Sección 5 .7 : La distribución de Poisson 191 D em ostración. Por las definiciones 4.6 y 5.7, « * ( ' ) - x-0 x • = <■-'• ii=o -{ ^x -T 00 (Ae‘)x d o n d e ^ — j— se p u e d e re c o n o c e r c o m o la se rie de M a cla u rin d e ez con »=o z — Áe1. A sí, M x (t) = e - * - e Aí' = E ntonces, sí diferenciam os M x (t) dos veces con respecto a t. obtenem os M' x ( t ) = Áe, e * t’- l) M x (t) = Ae'eAl<' _,) + A2e V (*'~l) de m a n e ra q u e /x\\ = M'x ( 0 ) = A y = A/j(0) = A + A \\ A sí, /x = A y o 2 — /x; — fx2 = (A + A2) — A2 = A, lo cual c o n c u erd a con el te o re m a 5.8. A unque la distribución de Poisson se ha derivado com o u na form a lím ite de la distribución binom ial, tiene m uchas aplicaciones que no tienen relación directa con dis tribuciones binom iales. Por ejem plo, la distribución de Poisson puede servir com o un m odelo para el núm ero de éxitos que ocurren durante un intervalo de tiem po dado o en una región específica cuando ( 1) son independientes los núm eros de éxitos que ocu rren en intervalos de tiem po o regiones que no se traslapan, (2 ) la probabilidad de que ocurra un solo éxito en un intervalo de tiem po muy corto o en una región muy peque ña es p ro porcional a la longitud del in tervalo de tiem po o al tam añ o de la región, y (3) la probabilidad de que m ás de un éxito ocurra en tal intervalo corto de tiem po o que caiga en tal región pequeña es insignificante. De ahí, una distribución de Poisson podría describir el núm ero de llam adas telefónicas recibidas por hora en una oficina, el núm ero de erro res de m ecanografía por página o el núm ero de bacterias en un cultivo d a d o c u a n d o se co n o ce el n ú m e ro p ro m e d io d e éxitos. A, p ara el in te rv alo d e tiem p o o la región específica dados. EJEMPLO 5.12 El núm ero de cam iones que llegan en un día cualquiera a un paradero de cam iones en cierta ciudad se conoce que es 12. ¿C uál es la p robabilidad de que en un día dad o lle guen m enos de 9 camiones a ese paradero? Solución Sea X el núm ero de cam iones que llegan en un día dado. E ntonces, usam os la ta bla II con A = 12, y o b ten e m o s 8 ▲ P { X < 9) = 2 p ( j c ; 12) = 0.1550 *=o Si, en una situación donde son válidas las condiciones anteriores, los éxitos ocu rren a una tasa m edia d e a p o r u nidad de tiem p o o p o r unidad d e región, entonces el núm ero de éxitos en un intervalo de / unidades de tiem po o t unidades de la región es-
192 C a p ítu lo 5: Distribuciones de p robabilidad especiales pecificada es una variable aleatoria de Poisson con la m edia A = a t (véase el ejercicio 5.48). Por consiguiente, el núm ero de éxitos, X, en un intervalo de tiem po de longitud t unidades o una región de tam año t unidades tiene la distribución de Poisson p(x; at) = - — par a x = 0 , 1 , 2 ,... EJEMPLO 5.13 C ierta clase de lám ina de m etal tiene, en prom edio, cinco defectos por cada 10 pies cua drados. Si suponem os una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de q ue una lám ina del m etal de 15 pies cu ad rad o s ten d rá al m enos 6 d efectos? Solución Sea X el n ú m e ro d e d efecto s e n u n a lám ina del m etal de 15 pies cu a d ra d o s. E n tonces, p u esto que la unidad de área es 10 pies cuadrados, tenem os A = a t = (5 )( 1.5) = 7.5 y P ( X £ 6 ) = 1 — P ( X á 5 ) = 1 - 0.2414 = 0.7586 de acuerdo a la im presión de com putadora m ostrada en la figura 5.4. ▲ EJERCICIOS 5.33 A veces se d efin e la d istrib u ció n binom ial n eg ativ a e n u n a fo rm a d ife re n te c o m o la distribución del núm ero de fracasos que precede el Aésimo éxito. Si el Aésimo éxito ocurre en el xésim o ensayo, debe estar precedido p o r x — k fra casos. A sí, encuentre la distribución de Y = X — k, donde X tiene la distribu ción d e la definición 5.4. 5 3 4 C on respecto al ejercicio 5.33, encuentre expresiones para p Y y a y ■ 5 3 5 D em u estre el teo rem a 5.5. 5 3 6 D em uestre el teorem a 5.6 al determ inar prim ero E ( X ) y E [ X ( X + 1 ) ] . 5 3 7 D em uestre qu e la función generatriz de m om entos de la distribución geom étri ca está dada por de' M xit) = 1 - e '(l - 0 ) 5 3 8 U se la función generatriz de m om entos derivada en el ejercicio 5.37 para mos- 1 , 1 -0 tra r q u e p a ra la d istrib u ció n g eo m étrica, ¡x = - y cr = — - 5— . o o* 5 3 9 Al diferenciar con respecto a 0 las expresiones en am bos lados de la ecuación oc 5 > ( 1 - 0 )1-1 = 1 1=1
Sección 5 .7 : La distribución de Poisson 193 d e m u e s tre q u e la m ed ia d e la d istrib u c ió n g e o m é tric a e s tá d a d a p o r /x = —. 0 2 —6 E n to n ces, al d ife ren c iar o tra vez con resp ecto a 0, d e m u e stre q u e fj.'2 = — t í — y p o r ta n to q u e a 2 = —1 -- 59— . * 5 .4 0 Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución geom étrica, dem ues tre que P(X = x + n \\X > n) = P{X = x) 5 .4 1 Si la p ro b ab ilid a d e s f ( x ) d e q u e un p ro d u cto falle la .vésima vez q u e se usa, e s to es, en el orésimo ensayo, entonces su tasa de falla en el .résim o ensayo es la probabilidad de que fallará en el .résimo ensayo dado que no ha fallado en los prim eros x — 1 ensayos; sim bólicam ente, está dada por Z(x) = M _____ { ) 1 — F ( x — 1) donde F( x) es el valor de la función de distribución correspondiente en x. D e m uestre que si X es una variable aleatoria geom étrica, su tasa de falla es cons tante e igual a 0 . 5 .4 2 Se presenta una variación de la distribución binom ial cuando los n ensayos son to d o s in d e p e n d ie n te s, p e ro la p ro b ab ilid a d de é x ito e n el z'ésimo e n say o es 0 ,, y estas probabilidades no son todas iguales. Si X es el núm ero de éxitos o b te nidos bajo estas condiciones en n ensayos, dem uestre que (a) n x = nd, donde 1\" = - • 2 0 ,; i- 1 (b) a \\ = « 0 (1 - 0 ) — n a \\, donde 0 es com o se define en el inciso (a) y i= l 5 .4 3 C uando se calculan todos los valores de una distribución hipcrgeom étrica, a m enudo se puede simplificar el trabajo al calcular prim ero /i(0 ; n, N , M ) y usar entonces la fórm ula recursiva h ( x + 1; « , N . M ) = -{ I + j ' V - Xm M- x + u • * ( * \"• N ■M ) V erifique esta fórm ula y úsela para calcular los valores de la distribución hiper- geom étrica con n = 4, N = 9 y k = 5. 5 .4 4 V erifiq u e la ex p resió n d a d a p ara E [ X { X — 1)] e n la d e m o stra c ió n d el te o r e m a 5.7. M 5 .4 5 D em uestre q u e si hacem os 0 = — en el teorem a 5.7, la m edia y la varianza de la distrib u ció n hipergeom étrica se p u ed en escribir com o ¿1 = nd y a 2 = N —n nd{ 1 — 0) • ~ ——-. ¿ C ó m o se co m p a ran e sto s resu lta d o s c o n e l análisis d e la p ágina 185?
Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales 5.46 C uando calculam os todos los valores de una distribución de Poisson, a m enudo se p u ed e sim plificar el tra b a jo al calcular p rim ero p ( 0 ;A) y usar después la fórm ula recursiva P (x + 1; A) = •/?(*; A) V erifique esta fórm ula y úsela junto con e 2 = 0.1353 para verificar los valo re s d a d o s en la tab la II p a ra A = 2. 5.47 A proxim e la probabilidad binom ial b ( 3; 100,0.10) al usar (a) la fórm ula para la distribución binom ial y logaritmos; (b) la tabla II 5.48 Suponga que f { x , r) es la probabilidad de o b ten er x éxitos durante un interva lo de tiem po de longitud / cuando (i) la probabilidad de un éxito du ran te un in tervalo de tiem po m uy pequeño de t a t + Af es a • Ar, (ii) la probabilidad de m ás de un éxito du ran te dicho intervalo de tiem po es insignificante, y (iii) la probabilidad de un éxito durante ese intervalo de tiem po no depende de lo que h aya p a s a d o a n te s d el tie m p o t. (a) D em uestre que bajo estas condiciones f ( x , t + A t ) = f ( x , r ) [ l — a • Ar] + f ( x — 1, t ) a ■At y por tanto que (b) D em uestre por sustitución directa que una solución a este sistem a infinito de ecuaciones diferenciales (hay una para cada valor de x) está dada por la distribución de Poisson con A = at. 5.49 U se repetidam ente la integración por partes p ara dem ostrar que E ste resultado es im portante porque los valores de la función de distribución de una variable aleatoria de Poisson se pueden obtener así al consultar una tabla de funciones gam m a incom pletas. 5.50 D erive las fórm ulas p a ra la m edia y la varianza de la distribución d e P oisson al evaluar prim ero E{X) y E [ X { X — 1)]. 5.51 D e m u e stre q u e si las condiciones lím ite n —►oo, e —►0, m ientras nd perm anece constante, se aplican a la función generatriz de m om entos de la distribución bino m ial, obtenem os la función generatriz de m om entos de la distribución de Poisson. [Sugerencia: válgase d el h e c h o q u e lím ^1 + ^ = e2.} 5.52 U se el teorem a 5.9 para m ostrar que para la distribución de Poisson a 3 = - ^ = , donde a 3 es la m edida de la asim etría definida en el ejercicio 4.34.
Sección 5 .7 : La distribución de Poisson 195 5.53 A l diferenciar con respecto a A las expresiones de am bos lados de la ecuación k*e~k M .\" j =0 derive la siguiente fórm ula recursiva para los m om entos alrededor de la m edia de la distribución de Poisson: Pr+ l ~ A p a ra r = 1, 2. 3 , . . . . T a m b ié n , use e sta fórm ula recursiva y el hech o q u e /x0 = 1 y /x, = 0 p a ra e n c o n tra r /x2, /x3 y M-»- >’ verifiq u e la fó rm u la d a d a p a ra a 3 en el ejercicio 5.52. 5.54 U se el teo rem a 5.9 para en co n trar la función generatriz de m om entos de Y = X — A, d o n d e X es una variable aleato ria q u e tiene la distribución de Pois son con el p a rá m e tro A, y úsela p a ra v erificar q u e = A. APLICACIONES 5.55 Si la p ro b ab ilid ad es 0.75 d e q u e una p ersona cre e rá un ru m o r acerca d e los d e litos de cierto político, encuentre las probabilidades de que (a) la octava persona que escucha el rum or será la quinta en creerlo; (b) la décim a quinta persona que escuche el rum or será la décim a en creerlo. 5.56 Si las probabilidades de ten er un hijo o una hija son am bas 0.50, encuentre las probabilidades de que (a) el cuarto niño de una familia sea el prim er hijo varón; (b) el séptim o niño de una familia sea su segunda hija; (c) el décim o niño de una familia sea su cuarto o quinto hijo varón. 5.57 U n a e x p e rta tira d o ra certera falla en d a r en el blanco cinco p o r ciento d e las veces. E ncuentre la probabilidad de que fallará en dar en el blanco por segun da vez en el décim o quinto tiro, use (a) la fórm ula para la distribución binom ial negativa; (b ) el te o re m a 5.5 y la tab la I. 5.58 A l grabar un com ercial de televisión, la probabilidad es 0.30 de que cierto ac to r dirá correctam ente sus líneas en una tom a cualquiera. ¿Cuál es la probabi lidad de q ue dirá correctam ente sus líneas por prim era vez en la sexta tom a? 5.59 E n una “prueba de tortura*’ un apagador de luz se prende y se apaga hasta que falla. Si la probabilidad es 0.001 de que el apagador falle en cualquier m om ento en que se prenda o se apague, ¿cuál es la probabilidad de que el apagador no fa lle durante las prim eras 800 veces que se prende o se apaga? Suponga que se sa tisfacen las condiciones requeridas por la distribución geométrica y use logaritmos. 5.60 A dapte la fórm ula del teorem a 5.5 de m anera que se pueda usar para expresar probabilidades geom étricas en térm inos de probabilidades binom iales, y use la fórm ula de la tabla I para (a) verificar el resu ltado del ejem plo 5.5; (b ) reh a c e r el ejercicio 5.58.
Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales 5.61 U n in g en iero d e c o n tro l d e calid ad inspecciona una m u e stra to m a d a al a z ar de do s calculadoras m anuales d e cad a lote q u e liega de tam a ñ o 18 y acepta el lote si am bas está n en buenas condiciones de trabajo; de o tra m anera, se inspeccio na todo el lote y el costo se carga al vendedor. ¿C uáles son las probabilidades de q u e u n lote así se acepte sin inspección adicional si contiene (a) cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo; (b) ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo; (c) 12 calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo? 5.62 D e los 16 so licitan tes p a ra u n tra b a jo , 10 tien en títu lo u n iv ersitario . Si se esco gen tres d e los solicitantes al azar p ara entrevistas, ¿cuáles son las probabilida des de que (a) ninguno tenga un título universitario; (b) uno tenga un título universitario; (c) dos tengan un título universitario; (d) los tres tengan un título universitario? 5.63 E n cu en tre la m edia y la varianza d e la distribución h ipergeom étrica con n = 3, N = 16 y k = 10, use (a) los resultados del ejercicio 5.62; (b) las fórm ulas del teorem a 5.7. 5.64 ¿C uál es la p ro b ab ilid a d d e q u e u n a a u d ito ra de im p u esto s só lo d escu b ra dos declaraciones de im puestos con deducciones ilegítim as si selecciona al azar cin co declaracio n es e n tre 15, d e las cuales nueve co n tien en d educciones ilegítim as? 5.65 V erifiq u e en cad a caso si se satisface la condición p a ra la ap ro x im ació n b in o mial a la distribución hipergeom étrica: (a) N = 200 y n = 12; (b) N = 500 y n = 20; (c) N = 640 y n = 30. 5.66 U n e m b a rq u e de 80 alarm as c o n tra ro b o c o n tien e 4 q u e son defectu o sas. Si del em barque se seleccionan al azar tres y se em barcan a un cliente, encuentre la probabilidad de que el cliente recibirá exactam ente una unidad m ala, use (a) la fórm ula de la distribución hipergeom étrica; (b) la distribución binom ial com o una aproxim ación. 5.67 E n tre los 300 em p lead o s de una com pañía. 240 son sindicalizados. m ien tras que los otros no lo son. Si se seleccionan al azar seisde los em pleados para prestar su servicios en un com ité queadm inistra el fondo depensión, encuentre la p ro babilidad de que cuatro de los seis serán sindicalizados, use (a) la fórm ula de la distribución hipergeom étrica; (b) la distribución binom ial com o una aproxim ación. 5.68 U n panel de 300 p ersonas escogidas p ara servir de ju ra d o s incluye a 30 que tie nen m en o s de 25 años de edad. P uesto q u e el ju ra d o de 12 perso n as escogido de este p a n e l p ara ju zg ar una d e lito de narcóticos no incluye a nadie m en o r d e 25
Sección 5 .7 : La distribución de Poisson 197 años de edad, el abogado defensor de los jóvenes acusados se queja de que este jurado realm ente no es representativo. C iertam ente, él argum enta, si la selección fuera al azar, la probabilidad de ten e r uno de los 12 ju rad o s de m enos d e 25 años de edad debe ser muchas veces la probabilidad de no tener ninguno de ellos m e nor a 25 años de edad. En realidad, ¿cuál es la razón de estas dos probabilidades? 5.69 V erifique e n cada caso si los valores de n y 0 satisfacen la regla práctica p ara una buena aproximación, una excelente aproximación, o ninguna cuando querem os usar la distribución de Poisson p ara aproxim ar las probabilidades binom iales (a) n = 125 y 0 = 0.10; (b) n = 25 y 0 = 0.04; (c) n = 120 y 0 = 0.05: (d) n = 40 y 0 = 0.06. 5.70 C on respecto al ejercicio 5.8, determ ine el valor de x (entre 5 y 15) para el cual el porcentaje de error es el más grande cuando usamos la distribución de Poisson con A = 7.5 para aproxim ar la distribución binomial con n = 150 y 0 = 0.05. 5.71 P o r e x p erien cia se sab e q u e 1.4 p o r c ien to d e las llam ad as recib id as en un c o n m utador son núm eros equivocados. Use la aproxim ación de Poisson a la distri bución binom ial para determ inar la probabilidad que de las 150 llamadas que recibe el conm utador dos son núm eros equivocados. 5.72 Los reg istro s m u estran q u e la p ro b ab ilid a d e s 0.0012 de q u e una p erso n a se in toxicará con alim entos si pasa el día en cierta feria estatal. Use la aproxim ación de Poisson a la distribución binom ial para encontrar la probabilidad de que en tre 1.000 personas que asisten a la feria estatal cuando m ucho dos se intoxica rán por alimentos. 5.73 En una ciudad dada. 4 por ciento de todos los conductores con licencia estarán involucrados en al m enos un accidente autom ovilístico en un año dado cual quiera. U se la aproxim ación de Poisson a la distribución binom ial para d e te r m inar la probabilidad de que en tre 150 conductores con licencia escogidos al azar en esta ciudad (a) sólo cinco estarán involucrados en al m enos un accidente en un año dado cualquiera; (b) cuando m ucho tres estarán involucrados en al m enos un accidente en un año dado cualquiera. 5.74 C o n resp ecto al ejem p lo 5.13 y la im presión de co m p u tad o ra d e la figura 5.4. e n c u e n tre la p ro b ab ilid a d de q u e una lám ina d el m etal d e 15 pies cu a d ra d o s te n d rá e n tr e o ch o y d o c e d e fe c to s, use. (a) los valores en la colum na P (X = K ); (b) los valores en la colum na P (X L E S S O R = K ). 5.75 El n ú m ero d e q u ejas que un n eg o cio d e tin to re ría recib e p o r d ía e s u n a v a ria ble aleatoria que tiene la distribución de Poisson con A = 3.3. U se la fórm ula para la distribución de Poisson para en co n trar la probabilidad deque sólore cibirá dos quejas en un día dado cualquiera. 5.76 El n ú m ero d e descom posturas m ensuales de una co m p u tad o ra es una variable aleatoria q u e tiene una distribución de Poisson con A = 1.8. Use la fórm ula de la distribución de Poisson para encontrar las probabilidades de que esta com pu tadora funcionará por un mes
198 C apítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales (a) sin descom posturas; (b) con sólo una descom postura. 5.77 U se la tab la II p ara verificar los resultados del ejercicio 5.76. 5.78 En cierta región desértica el núm ero de personas que se enferman gravemente cada año por com er cierta planta venenosa es una variable aleatoria que tiene la distribu ción de Poisson con A = 5.2. Use la tabla II para encontrar las probabilidades de (a) tres enferm edades como ésa en un año dado; (b) al m enos 10 enferm edades como ésa en un año dado; (c) cualquier núm ero entre cuatro y seis enferm edades com o ésa en un año dado. 5.79 En la inspección de una tela producida en rollos continuos, cl núm ero de im perfecciones p or yarda es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con A = 0.25. E ncuentre la probabilidad de que 2 yardas de la tela ten drá cuando m ucho una im perfección, use (a) la tab la II; (b) la im presión de com p u tad o ra de la figura 5.5. 5.80 (a) Use un program a de cóm puto para calcular la probabilidad exacta de o b te ner uno o m ás defectuosos en una m uestra de tam año 100 tom ada de un lo (b) te d e 1,000 productos fabricados que se supone contiene seis defectuosos. (c) A proxim e esta probabilidad m ediante el uso de la distribución binomial apropiada. A proxim e esta probabilidad m ediante el uso de la distribución de Poisson apropiada y com pare los resultados de los incisos (a), (b) y (c). 5.8 LA D IS TR IB U C IÓ N M U LT1N O M IA L U na generalización inm ediata de la distribución binomial surge cuando cada ensayo tie ne más de dos resultados posibles, las probabilidades de los resultados correspondien tes son las m ism as para cada ensayo, y los ensayos son todos independientes. Este sería el caso, p o r ejem plo, cuando a las personas entrevistadas en una encuesta de opinión se les pregunta si están a favor de una candidato, contra él o indecisos, o cuando las m uestras de productos m anufacturados se clasifican com o excelente, arriba del prom e dio. en el prom edio o inferior. Para tratar esta clase de problem as en general, considerem os el caso donde hay n ensayos independientes que perm iten k resultados m utuam ente exduyentes cuyas probabilidades respectivas son 0] , 02 f l a c ó n 2 8, = 1^. A l re fe rim o s a los resu l tados com o que son de la prim era clase, la segunda c la se ,... y la Aésima clase, estare mos interesados en la probabilidad de obtener x, resultados de la prim era clase, x 2 re sultados de la segunda c la se .... y x k resultados de la Aésima clase ^con = n^. Al proceder com o en la derivación de la fórm ula para la distribución binom ial. p rim ero en co n tram o s la p ro b ab ilid ad de o b ten e r resu ltad o s de la p rim era clase,
Sección 5 .8 : La distribución m u ltin o m ial 199 x 2 resultados de la segunda c la s e ,... y x k resultados de la Pésim a clase en un orden es p ecífico es 0-}’ ‘ (ti1 • . . . -(¡I*. P ara te n e r la p ro b a b ilid a d c o rre s p o n d ie n te p a ra to d o s esos resultados de cada clase en cualquier orden, tendrem os que m ultiplicar la proba bilidad para cualquier orden específico por (\\ X i , x 2 \" x k J) = X , ! ' X 2 ! ’ -.--.--.--'-X--f--t-!- de a c u e rd o al te o re m a 1 .8 . d efin ic ió n 5.8 Las variables aleato rias A ',. X 2, . . . , X„ tien en una d istrib u ció n m u ltin o m ial y se conocen com o variables aleato rias m ultinom iales si y sólo si su distribución de probabilidad conjunta está dada por f ( x x, x2, ... , x*; n , 0X, 02. ..., 0*) — (y • •\\ X ] , A . 2 V 0*il *02J • ... / •9 p a ra x¡ = 0 , 1 kk n p a ra cad a i, d o n d e ^ x¡ = n y 2 ^ = *• í=i í=i A sí. los núm eros de resultados de las diferentes clases son variables aleatorias que tie n e n la d istrib u c ió n m ultinom ial con los p a rá m e tro s n. 0 t , d2, . . . y 0*. E l n o m b re “ m ultinom ial\" se deriva del hecho de que p ara los valores de x¡, las probabilidades son iguales a los térm inos correspondientes de la expansión m ultinom ial de + 0 , + ••• + 9k y . EJEMPLO 5.14 C ierta ciudad tiene tres estaciones de televisión. D urante el horario principal del sábado en la noche, el canal 12 tiene 50 por ciento del público, el canal 10 tiene 30 p o r ciento del público y el canal 3 tiene 20 por ciento. E ncuentre la probabilidad de que entre ocho per sonas que ven televisión en esa ciudad, escogidas al azar un sábado por la noche, cinco es tarán viendo el can al 12, do s estarán viendo el canal 10 y una estará viendo el canal 3. Solución Sustituim os .r, = 5, x2 = 2, .rj = 1 ,0 , = 0 .5 0 ,0 , = 0.30. 03 = 0.20 y n = 8 en la fórm ula de la definición 5.8, y obtenem os / ( 5 , 2, 1; 8 , 0.50, 0.30, 0 .2 0 ) = - (0 .5 0 )5(0 .3 0 )2(0 .2 0 ) = 0.0945
200 Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales 5.9 LA D ISTR IB U C IÓ N H IP ER G EO M ÉTR ICA M U L TIV A R IA D A Justo com o la distribución hipergeom étrica tom a el lugar de la distribución binomial para el m uestreo sin reem plazo, tam bién existe una distribución m uitivariada análoga a la distribución m ultinom ial que aplica al m uestreo sin reem plazo. Para derivar esta fórm ula, c o n sid e rem o s un c o n ju n to de N e le m en to s, d e los cuales A/, son e le m e n to s de la prim era clase, M 2 son elem entos d e la segunda c la se ,... y Mk son elem entos de la Aési- k m a clase tales q u e ^ M, = N . C o m o e n rela ció n con la d istrib u c ió n m u ltin o m ia l, es- tam os interesados en la probabilidad de o b ten er x } elem entos (resultados) de la prim e ra clase, x 2 elem entos de la segunda clase,,.., y x k elem entos de la Pésim a clase, pero ah o ra estam os escogiendo sin reem plazo, /i de los N elem entos del conjunto. H ay ^ m aneras de escoger x, de los A/, elem entos de la prim era clase, m aneras de escoger x 2 elem entos de los M 2 elem entos de la segunda c la se .... y m aneras de escoger x k elem entos de los M k elem entos de la Pésim a clase, y por tanto, M A fM A f M k\\ J 11 ] • . . . • ! Im aneras de escoger los \\ x ¡ = n elem entos requeridos. Pues- .ti / \\ x 2 / \\xk / /N \\ to que hay I I m aneras de escoger n de los N elem entos en el conjunto y suponem os que todas son igualm ente posibles (que es lo que querem os decir cuando afirm a m os que la selección es al azar), se sigue que la probabilidad deseada está dada por M x d efin ició n 5.9 Las variables aleatorias X {, X 2 tienen una distribución hipergeom étrica m uitivariada y se conocen com o variables aleatorias hipergeo- m étricas m ultivariadas si y sólo si su distribución de probabilidad conjunta está dada por f[xi, x2 x k \\ n. A/,, M 2 ( \" ’X x Mk ) = — -l--------- kk p a ra x¡ = 0 , 1 , . . . , n y x, á A/, p a ra cad a i, d o n d e 2 x ¡ = n y ^ M¡ = N. 1=1 1=1 Así. la distribución conjunta de las variables aleatorias bajo consideración, esto es, la distribución de los núm eros de resultados de las diferentes clases, es una distribución hipergeom étrica m uitivariada con los parám etros n, M x, M2,... y M k .
Sección 5 .9 : La distribución hipergeom étrica m ultivariada 201 EJEMPLO 5.15 En un panel de presuntos jurados participan seis hom bres casados, tres hom bres solte ros. siete m ujeres casadas y cuatro m ujeres solteras. Si la selección es al azar, ¿cuál es la probabilidad d e que el ju rad o consistirá de cuatro hom bres casados, un hom bre sol tero. cinco m ujeres casadas y dos m ujeres solteras? Solución S u stitu im o s x¡ = 4. x 2 = 1. -V3 = 5, x A = 2, A/, = 6 . M z = 3. M3 = 7. M 4 = 4, N = 20 y n = 12 en la fó rm u la de la definición 5.9, y o b ten e m o s /( 4 . 1, 5, 2; 12, 6 . 3. 7, 4) = = 0.0450 ▲ EJERCICIOS 5.81 Si X x. X 2 , - . . , X k tie n e n la d istrib u c ió n m u ltin o m ial d e la d e fin ició n 5.8, d e m u e s tre q u e la m e d ia d e la d istrib u c ió n m arg in al d e X, e s nfí, p a ra i = 1 , 2 k. 5.82 Si X x, X 2 X k tienen la distribución m ultinom ial de la definición 5.8, d e m u e stre q u e la c o v a ria n z a d e X, y X¡ e s —ndjd, p a ra i = 1, 2 , . . . , k , j = 1, 2 ,..., k e i # j. APLICACIONES 5413 L as p ro b ab ilid a d e s so n 0 .4 0 ,0 .5 0 y 0.10 de q u e, e n el trá n sito de la ciu d ad , cier ta clase d e auto com pacto prom ediará m enos de 2 2 millas por galón, de 2 2 a 26 millas por galón o m ás de 26 millas por galón. E ncuentre la probabilidad de que de 10 autos probados de óstos tres prom ediarán m enos de 2 2 millas por galón, seis prom ediarán de 22 a 26 millas por galón y uno prom ediará 26 millas por ga lón. 5.84 S u ponga q u e las p ro b ab ilid a d e s son 0.60. 0.20, 0.10 y 0.10 d e que u n a d e c la ra ción de im puestos estatales a la ren ta se llenará correctam ente, que sólo con tendrá errores en favor del causante, que sólo contendrá errores en favor del estado o que contendrá am bas clases de errores. ¿C uál es la probabilidad de que de 12 de tales declaraciones de im puesto a la renta escogidas al azar para auditoría, cinco estarán correctam ente llenadas, cuatro sólo contendrán errores a favor del causante, dos sólo contendrán errores a favor del estado y uno con tendrá am bas clases de errores? 5.85 D e a c u e rd o a la teo ría m en d elian a de la herencia, si p lan tas con sem illas am ari llas redondas se cruzan con plantas con semillas verdes arrugadas, las probabili dades de obtener una planta que produzca semillas amarillas redondas, semillas amarillas arrugadas, semillas verdes redondas o semillas verdes arrugadas son.
202 Capítulo 5 : Distribuciones de probabilidad especiales respectivam ente, ^ y ¿Cuál es la probabilidad de que de nueve de esas plantas obtenidas habrá cuatro que produzcan semillas am arillas redondas, dos que produzcan semillas am arillas arrugadas, tres que produzcan semillas verdes redondas y ninguna que produzca semillas verdes arrugadas? 5.86 Si en tre 18 ladrillos de vidrio defectuosos hay 10 q ue tienen fracturas pero no decoloraciones, cinco que tienen decoloraciones pero no fracturas y tres que tienen fracturas y decoloraciones, ¿cuál es la probabilidad de que de seis de los ladrillos (escogidos al azar para pruebas adicionales) tres tendrán fracturas pe ro no decoloraciones, uno tendrá decoloraciones pero no fracturas y dos ten drán fracturas y decoloraciones? 5.87 D e 25 d ó la re s d e p la ta a c u ñ ad o s e n 1903 hay 15 d e la casa d e m o n ed a d e Fila- delfia, siete de la casa de m oneda de Nueva O rleans y tres de la casa de m oneda de San Francisco. Si se escogen al azar cinco de estos dólares de plata, en cu en tre las probabilidades de obtener (a) cuatro de la casa de m oneda de Filadelfia y uno de la casa de m oneda de N ueva Orleans; (b) tres de la casa de m oneda de Filadelfia y uno de cada una de las otras dos casas de moneda. REFERENCIAS Se puede encontrar información útil sobre las diversas distribuciones de probabilidad espe ciales en D e r m a n , C., G l e s e r , L., and O L K 1N, I., Probability M odels and Applications. N ueva York: M acmillan Publishing Co., Inc.. 1980, H a stin g s, N. A. J., and Pe a c o c k , J. B., Statistical Distributions. Londres: Buttcrw orth & Co. Ltd.. 1975, y J o h n so n , N. L., and K o t z , S., Discrete Distributions. Boston: H oughton Mifflin Com- pany, 1969. Se pueden encontrar las probabilidades binominales para n = 2 a n = 49 en Tables o f the Binomial Probability Distribution. National Bureau of Standards Applied Mat- hem atics Series No. 6 . W ashington, D.C.: U.S. G overnm ent Printing Office, 1950, y para n = 50 a n = 100 en R o m ig , H. G .. 50-100 B inom ial Tables. N ueva York: John Wiley & Sons. Inc., 1953. La tabla de probabilidades de Poisson que más ampliamente se usa es M o l in a , E. C„ Poisson's Exponential Binomial Lim it. M elboum e, Fia.: Robert E. Krieger Publishing Com pany, 1973 Reprint.
CAPÍTULO 6 Densidades de probabilidad especiales 6.1 IN T R O D U C C IÓ N 6.2 LA DISTRIBUCIÓN UNIFORM E 6. 3 LAS D IS TR IB U C IO N ES G A M M A , E X P O N E N C IA L Y )l C U A D R A D A 6.4 LA D ISTR IBUCIÓ N BETA 6.5 LA DISTRIBUCIÓN N O R M AL 6 .6 LA A P R O X IM A C IÓ N N O R M A L A LA D ISTR IBUC IÓ N B IN O M IA L 6.7 LA D ISTR IB U C IÓ N N O R M A L BIVARIADA 6.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiarem os algunas de las densidades de probabilidad que figuran de m anera m uy prom inente en la teoría estadística y en las aplicaciones. A dem ás de las tratadas en el texto, se introducen otras más en los ejercicios posteriores a la sección 6.4, y tres de las densidades de probabilidad que son de im portancia básica en la teoría de m uestreo se abordarán en el capítulo 8 . C om o en el capítulo 5, derivarem os parám e tros y funciones generatrices de m om entos, dejando, una vez más, algunos detalles com o ejercicios. 6.2 LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME L as den sid ad es d e p ro b ab ilid ad d e los ejem plos 3.8 y 3.11 son casos especiales d e la distribución uniform e: en la figura 3.7 se m uestra la gráfica de la del ejem plo 3.11. En general. definición 6.1 U na variable aleato ria tiene una distribución uniform e y se conoce com o u n a variable aleato ria uniform e continua si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por 1 p a ra a < x < ¡3 en cualquier otra parte u( x ; a, (3) = 203
204 C a pítulo 6: Densidades de probabilidad especiales Los p a rá m e tro s a y /3 d e e sta d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d son c o n sta n te s reales, con a < j8 . y se p u e d e visualizar e n la figura 6.1. E n el ejercicio 6.2 se p e d irá al lec to r que verifique que t e o r e m a 6.1 La m edia y la varianza de la distribución uniform e están dadas por A unque la distribución uniform e tiene algunas aplicaciones directas, una de las cuales se exam inará en el ejem plo 7.8, su valor principal es que, a causa de su sim pli cidad. se presta rápidam ente a la tarc a de ilustrar diversos aspectos de la teoría estadís tica. u(x; a , P) 1 p- a a ----------------- x F ig u ra 6 .1 La distribución uniform e P 6.3 LAS D ISTR IBU C IO N ES G A M M A , EX P O N EN C IA L Y jl C U A D R A D A Algunos de los ejem plos y ejercicios de los capítulos 3 y 4 atañen a variables aleatorias que tienen densidades de probabilidad de la form a p a ra .r > 0 0 en cualquier otra parte
Sección 6 .3 : Las distribuciones g a m m a , exponencial y ji cuadrada 205 d o n d e a > 0 , /3 > 0 y ¿fc d e b e se r tal q u e el á re a total bajo la curva sea igual a 1. Para x evaluar k, prim ero hacem os la substitución y = —, lo cual nos da í kx\" ~ 1 d x = k p \" í f ~xe ^ dy Jo Jo La integral así o b tenida depende sólo de a y define la bien conocida función gam m a T (a) = I y a~ie~y dy para a > 0 Jo que se trata en detalle en m uchos de los textos de cálculo avanzado. Al integrar por partes, lo q u e se deja al lector en el ejercicio 6.7, encontram os que la función gam m a satisface la fórm ula recursiva I » = (a-l).r(«-l) para a > 1, y puesto que r O) = í e ' dy = 1 se sigue p or la aplicación repetida de la fórm ula recursiva que T (a ) = ( a — l) í donde a es u n e n te ro positivo. T a m b ié n , un valo r especial im p o rta n te e s r ( ^ ) = V 7r. com o se le ped irá al lector que verifique en el ejercicio 6.9. R eg resam o s a h o ra al p ro b lem a d e e v a lu a r k. igualam os la integral o b te n id a a 1, y obtenem os í k x a-'e~*lf,d x = k ^ r i a ) = 1 Jo y por tanto * = i? i » E sto nos lleva a la siguiente definición de la distribución gamm a. 6.2d e f i n i c i ó n U n a v ariab le a le a to ria X tie n e u n a d istrib u ció n g am m a y se c o noce com o una variable aleatoria gam m a si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por 1 x a~ i e~x/fi parax > 0 g{x\\ o, fi) = { P T (a) en cualquier otra parte 0 d o n d e a > 0 y /3 > 0.
Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales Cuando a no es un entero positivo, el valor de T (a) deberá buscarse en una tabla especial. Para dar al lector una ¡dea sobre la form a de las gráficas de las densidades g am m a, e n la figura 6 .2 se m u estran algunas p a ra varios valores especiales de a y /3. f(x) Figura 6 .2 Gráficas d e distribuciones gam m a. Algunos casos especiales de la distribución gam m a juegan papeles im portantes en la estad ística, p a ra a = 1 y /3 = 0, o b ten e m o s d efin ic ió n 6 3 U na variable aleatoria X tiene una d istrib u ció n ex p o n en cial y se conoce com o u n a variable aleato ria exponencial si y sólo si su densidad de p ro babilidad está dada por * (*•) = para x > 0 donde 6 > 0 . en cualquier otra parte La densidad se visualiza en la figura 6.3 Para dem ostrar cómo puede surgir en la práctica una distribución exponencial, vayam os a la situación descrita en el ejercicio 5.48. donde nos interesa la probabilidad de o b ten er .t éxitos du ran te un intervalo de tiem po de longitud t cuando (i) la p ro b a bilidad d e un éx ito d u ran te un intervalo de tiem po m uy p e q u e ñ o d e t a t + Af es a • Af, (¡i) la probabilidad de m ás de un éxito d urante un intervalo de tiem po tal es insignifi cante, y (iii) la probabilidad de un éxito durante un intervalo de tiem po tal no depende de lo q u e haya p asad o antes del tiem p o t. E n ese ejercicio, d em ostram os q u e el n ú m e ro de éxitos es un valor de la variable aleatoria discreta X q ue tiene la distribución de Poisson con A = at. A hora determ inem os la densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua Y . el tiem po de espera hasta el prim er éxito. Claram ente:
Sección 6 .3 : Las distribuciones g a m m a , exponencial y ji cuadrada 207 Figura 6.3 Distribución exponencial. F(y) = P (Y á y ) = 1 — P(Y > y) = 1 — P {0 é x ito s e n el in te rv a lo d e tie m p o d e lo n g itu d y ) = 1 - p (0 ; ay) =, 0! = 1 — e~ay p a ra y > 0 y F(y) = 0 p ara y S 0.U n a vez quehem os encontrado así la función de distribución deY, encontram os que ladiferenciación con respecto a y nos da í ae~ayp a r a y > 0 \\ ü en cualquier otra parte q u e e s la d istrib u ció n exponencial con 0 = —. La distribución exponencial se aplica no sólo a la ocurrencia del prim er éxito en un proceso de Poisson, que es com o llam am os a una situación com o la descrita en el ejercicio 5.48, p e ro en virtud de la condición (iii) (véase el ejercicio 6.16), se aplica tam bién a los tiem pos de espera entre éxitos. EJEM P LO 6.1 E n una cierta localidad en la c a rretera 1-10, el n úm ero de autos que exceden el lím ite de velocidad en m ás de 10 millas por hora en m edia hora es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con A = 8.4. ¿C uál es la probabilidad de un tiem po de espera m enor de 5 m inutos entre autos que exceden el límite de velocidad en más de 1 0 millas por hora?
Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales Solución Al usar m edia hora com o la unidad de tiem po, tenem os a = A = 8.4. Por consi- guíente, el tiem po de espera es una variable aleatoria que liene una distribución exponencial con 0 = ¿ y, p u esto que 5 m inutos es ¿ de la unidad d e tiem p o , en- contram os que la probabilidad deseada es +1 que es aproxim adam ente 0.75 ▲ v O tr o caso esp ecial d e la distrib u ció n gam m a surge c u a n d o a = — y /3 = 2, d o n d e v es la minúscula de la letra griega ni. definición 6.4 Una variable aleatoria X tiene una distribución ji cuadrada y se conoce com o u n a variable aleato ria ji cuadrada si y sólo si su densidad de p ro b a bilidad está dada por 1J i 2r/2r ( v / 2 ) para x > 0 o en cualquier otra parte El p arám etro v se conoce com o el número de grados de libertad, o sim plem ente gra dos de libertad. La distribución ji cu ad rad a juega un papel m uy im p o rtan te en la te o ría de! m uestreo, y se exam ina con cierto detalle en el capítulo 8 . Para derivar las fórm ulas p ara la m edia y la varianza de la distribución gam m a y, por tanto, de las distribuciones exponencial y ji cuadrada, dem ostrem os prim ero el si guiente teorema. teorem a 6.2 El résim o m om ento alrededor del origen de la distribución gam m a está dado por , _ 0 T ( a + r) Mr pr(/o)\\ D em ostración. P or la definición 4.2,
Sección 6 .3 : Las distribuciones g a m m a , exponencial y j¡ cuadrada 209 x d o n d e h a c e m o s y = —. P u e s to q u e la in te g ra l de la d e re c h a e s T ( r + a ) de p a c u erd o a la definición de la función gam m a e n la p ágina 205, e sto co m p leta la dem ostración. T C on el uso de este teorem a, derivem os ahora los siguientes resultados sobre la distribución gamm a. teorema 6J La media y la varianza de la distribución gamm a están dadas por fi = a/3 y (T2 = a/32 D em ostración. Por el teorem a 6.2 con r = 1 y r = 2, obtenem os , _ PV(a + 1) _ mi - ■■ pI ('an) — _ « p * “ eV i ■ ° ( \" + 1)02 así q u e ¡jl = a/3 y a 2 = a ( a + 1 )/32 — (a(3)2 = a(32. T A l su stitu ir e n e sta s fórm ulas a = 1 y /3 = 6 p a ra la distrib u ció n exponencial y a = —y /3 = 2 p a ra la distrib u ció n ji c u a d ra d a , o b ten e m o s c o r o la r io 1 L a m edia y la varianza de la distribución exponencial están dadas por = 0 y a 2 = 62 COROLARIO 2 L a m e d ia y la v a ria n z a d e la d is trib u c ió n ji c u a d ra d a e s tá n d a d a s por H = v y o2 = 2v P ara referencia futura, tam bién dem os aquí la función generatriz de m om entos de la distribución gam m a teorem a 6.4 L a función generatriz de m om entos de la distribución gam m a es tá dada por A#jr(0 = (1 - 0 0 -
210 C apítulo 6: Densidades d e probabilidad especiales Se pedirá al lector que dem uestre este resultado y lo use p ara encontrar algunos de los m om entos m ás b ajo s en los ejercicios 6.12 y 6.13. 6 .4 LA D ISTR IB U C IÓ N B E TA La densidad uniforme f ( x ) = 1 para 0 < x < 1 y f ( x ) = 0 en cualquier otra parte es un caso especial de la distribución beta, la cual se deñne de la siguiente m anera d efinición 6.5 U na variable aleatoria X tiene una distribución b eta y se cono ce com o una variable aleato ria b eta si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por (.O en cualquier otra parte d o n d e a > 0 y /3 > 0. E n años recientes, la distribución bota ha encontrado aplicaciones im portantes en la infe rencia bayesiana. d o n d e los p arám etro s se consideran com o variables aleato rias, y hay n e cesidad de una densidad de probabilidad bastante “flexible\" para el parám etro 6 de la distribución binomial, el cual sólo tom a valores distintos a cero en el intervalo desde 0 has ta 1. C on “ flexible” querem os decir que la densidad d e probabilidad pu ed e to m a r u n a gran variedad de form as diferentes, como se pedirá al lector que verifique para la distribución b e ta e n el ejercicio 6.27. E ste uso de la distribución b e ta se exam ina e n el capítulo 10. N o dem ostrarem os aquí que el área total bajo la curva de la distribución beta, co m o la de cualquier densidad de probabilidad, es igual a 1 , p ero en la dem ostración del teorem a que sigue, nos valdrem os del hecho que JÍo Y r (ra rr) r• rf( / 3^) x‘ \" ^ - x r ' dx = x V por tanto que Esta integral define la función beta, cuyos valores se d en o tan B (a , 0 ); en o tras pala- r (cí) • f (fl) bras, B (a, 0) = _ . E n cualquier libro de texto de cálculo avanzado se puede r ( a + P) encontrar un análisis detallado de la función beta.
Sección 6 .4 : La distribución beta 211 teo r em a 6.5 La m edia y la varianza de la distribución b eta están d ad as p o r _O 2— £ 0 _________ ^ a+^ ^ (“ + P ) 2{<* + P + 1) D em ostración. Por definición. = r(g + p) r(a + i ) •r(/3) r(g)-r(/3)' r(a + /3 + i) g+p donde reconocim os la integral com o B (a + l,/3 ) y usam os el hecho que F ( o + 1) = o • T (g ) y T (g + p + l ) = ( a + /3) • T ( o + P ). P asos sim ilares, los q ue se d ejarán al lector en el ejercicio 6.28, dan (g + 1)g - ( a + (3 + 1 ) ( g + P ) y se sigue que ( g + 1 )g \\g + p) <r2 = ( « + /3 + 1 ) (g + P) _________ ap_________ ( a -1- P) 2( a + P + 1) EJERCICIOS 6.1 D em uestre que si una variable aleatoria tiene una densidad uniform e con los pa rám etros a y p , la probabilidad que asum irá un valor m enor que a + p (P — a ) es igual a p. 6.2 D e m u e stre el te o re m a 6.1 6 3 Si una variable aleatoria X tiene una densidad uniform e con los parám etros a y p. encuentre su función de distribución. 6.4 M uestre que si una variable aleatoria tiene una densidad uniform e con los pa rám etros a y p. el résim o m om ento alrededor de la m edia es igual a (a) 0 cuando r es impar; (b) —i1jry(lp—-2—a V cuan(*0resPar‘ ) 6 3 U se los resultados del ejercicio 6.4 para en co n trar g 3 y g 4 para la densidad uni form e con los parám etros a y p.
212 C apítulo 6: Densidades de probabilidad especiales 6.6 Se dice que una variable aleatoria tiene la distribución d e Cauchy si su densi dad está dada por P M = (, - a? + ? Par“ < 1 ■= °° D em uestre que para esta distribución no existen p \\ y p í. 6.7 Use la integración p or partes p ara m ostrar que T (a ) = (a — 1) • T (a — 1) p a ra a > 1. 6.8 Efectúe un cam bio apropiado de variable para m ostrar que la integral que de fine la función gam m a se puede escribir com o T ( a ) = 2 ' ~ a - J z 2a^ i e d z p a ra a > 0 6.9 A l u sa r la fo rm a d e la función gam m a del ejercicio 6 .8 , p o d e m o s escrib ir r Q ) = V 2 í e~'-r dz Jo y por tanto [ r m r = 2{ / V ^ } { = Cam bie a coordenadas polares para evaluar esta integral doble, y así dem ostrar que r(i) = V tt. 6.10 E ncuentre las probabilidades de que el valor de una variable aleatoria excede rá a 4 si tiene una distribución gam a con (a) a = 2 y 0 = 3; (b ) a = 3 y /3 = 4. 6.11 M uestre q u e una distribución gam m a con a > 1 tiene un m áxim orelativo en x = f i ( a — 1). ¿Q u é pasa cu an d o 0 < a < 1 y a = 1? 6.12 D em uestre el teorem a 6.4, haga la sustitución y = M c n l a integral que define Mx (t). ' 6.13 E xpanda la función generatriz de m om entos de la distribución gam m a com o una serie binom ial, y lea los valores de /xí, /xj, /tj y y.\\. 6.14 Use los resu ltad o s del ejercicio 6.13 p ara en co n trar a } y a 4 p araladistribución gamma. 6.15 M uestre q u e si una variable aleato ria tien euna densidad exponencial conel p a rá m e tro 0, la p ro b ab ilid a d d e q u e asu m irá u n v alo r m e n o r q u e —0 ■In (1 — p ) es igual a p para 0 % p < 1 . 6.16 Si X tiene una distribución exponencial, dem uestre que P (X £ t + T \\X S T) = P {X S t) Esta propiedad de una variable aleatoria exponencial es paralela a la de una variable aleatoria geom étrica dada en el ejercicio 5.40.
Sección 6 .4 : La distribución beta 213 6.17 Si X es una variable aleato ria que tiene una distribución exponencial con el p a rám etro 0, use los teorem as 4.10 y 6.4 para e n co n trar la función generatriz de m om entos d e la variable aleatoria v = X — 0. 6.18 C o n resp ecto al ejercicio 6.17, use el hecho que los m o m en to s d e Y a lred ed o r del origen son los m om entos correspondientes de X alred ed o r de la m edia, e n cuentre a , y a 4 para la distribución exponencial con el parám etro 0 . 6.19 M uestre q u e si v > 2, la distribución ji cu ad rad a tiene un m áxim o relativo en x = v — 2. ¿ Q u é su ced e c u a n d o i/ = 2 o 0 < i > < 2 ? 6.20 U n a v ariab le a le a to ria X tiene la d istrib u ció n d e R ayleigh si y só lo si sud e n si dad de probabilidad está dada por í 2axe~al‘ para x > 0 en cualquier otra parte \\0 donde a > 0. D em uestre que para esta distribución <a ) = (b) <r = I ( i - í 6.21 U n a v a ria b le a le a to ria X tien e una d istrib u ció n d e P a re to si y só lo si su d e n si dad de probabilidad está dada por ñx) = x■’¡Th Para x > 1 en cualquier otra parte 0 donde a > 0. D em uestre que /i' existe sólo si r < a. 6.22 C o n re sp e c to al ejercicio 6.21. d e m u e stre q u e p ara la d istrib u ció n d e P areto (X siem pre que a > 1 . a- 1 6.23 U na variable aleato ria X tiene la distribución de W eibull si y sólo si su densi dad de probabilidad está dada por = í k x *-- lIe. ojO p a ra .r > 0 en cualquier otra parte /(* ) 10 donde a > 0 y P > 0 . (a) Exprese k en térm inos de a y 0. (b) Dem uestre que fi = ^ O b se rv e q u e las distrib u cio n es de W eibull con /3 = 1 son d istrib u cio n es e x p o nenciales. 6.24 Si la v a ria b le a le a to ria T e s el tie m p o p a ra d esco m p o stu ra o d e fe c to de un p ro ducto com ercial y los valores de su densidad de probabilidad y su función de distribución en el tiem po / son /( /) y F{t), entonces su tasa de defecto en el
214 Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales tiem po t (véase tam bién el ejercicio 5.41) está dada por — Así , la tasa 1 - F(t) de defecto en el tiem po t es la densidad de probabilidad de defecto en el tiem p o t d a d o q u e no o c u rre un d e fe c to a n tes d el tie m p o t. (a) M uestre que si T tiene unadistribución exponencial, la tasa de defecto es constante. (b) M uestre que si T tiene una distribución de W eibull (véase el ejercicio 6.23), la tasa de defecto está dada por 6 .2 5 Verifique que la integral de la densidad beta desde — hasta ° ° es igual a 1 para (a ) a = 2 y (3 = 4; (b) a = 3 y /3 = 3. 6 .2 6 M u estre q u e si a > 1 y 0 > 1, la d e n sid a d b e ta tien e u n m áxim o rela tiv o en a —1 X ~ a + i3 - 2 ' 6 2 7 Bosqueje las gráficas de las densidades beta que tienen (a) a = 2 y / 3 = 2 ; (b) « = i y 0 = 1; (c) a = 2 y 0 = *; (d) a = 2 y [i = 5. [Sugerencia: para evaluar r ( j ) y r ( |) , utilice la fórm ula recursiva r ( a ) = ( a — l ) * r ( a — 1) y el resultado del ejercicio 6.9.] 6 .2 8 V erifique la expresión d ad a p a ra / 4 en la d em o stració n del teo re m a 6.5. 6.29 D em uestre que los parám etros de la distribución beta se pueden expresar co m o sigue en térm inos de la m edia y la varianza de esta distribución: (a ) a = /xV ( 1 - M) (b) (1 - /* ) > ( 1 - M) 1 - a2 6.30 Karl Pearson, uno de los fundadores de la estadística m oderna, dem ostró que la ecuación diferencial 1 d[f(x)]_ d - .t f(x) dx a + bx + ex* nos da (p ara valores apropiados d e las constantes a, b. c y d) la m ayor p arte de las distribuciones im portantes de la estadística. Verifique que la ecuación diferencial da (a) la distribución gam m a cuando a = c = 0 , b > O y d > —b\\ (b) la distribución exponencial cuando a = c = d = 0 y b > 0 : d —1 d (c) la distribución beta cuando a = 0 , b = - c , — -— < 1 y - > - 1 . bb
Sección 6 .4 : La distribución beta 215 APLICACIONES 6.31 Se escoge un p unto D en la línea A B , cuyo punto m edio es C y cuya longitud es a. Si X , la distancia de D a A , es una variable aleatoria que tiene la densidad u niform e con a = 0 y j3 = a , ¿cuál es la p ro b ab ilid a d d e q u e AD, BD y A C form arán un triángulo? 6 3 2 En ciertos experim entos, el erro r com etido cuando se determ ina la densidad de una sustancia es una variable aleatoria que tiene la densidad uniform e con a = —0.015 y /3 = 0.015. E n c u e n tre las p ro b ab ilid a d e s de q u e un e rro r tal (a) e s ta rá e n tre —0.002 y 0.003; (b ) excederá 0.005 en valor absoluto. 6 3 3 Si una com pañía em plea n vendedores, sus ventas brutas en miles de dólares se pue de considerar como una variable aleatoria que tiene una distribución gamma con a = 80 V7t y fi = 2. Si el costo de ventas es $8.000 dólares por vendedor, ¿cuán tos vendedores debe em plear la compañía para maximizar la utilidad esperada? 6 3 4 En cierta ciudad, el consum o diario de energía eléctrica en millones de kilova tios-hora se puede tratar com o una variable aleatoria que tiene la distribución gam m a con o = 3 y /3 = 2. Si la p lan ta g e n e ra d o ra d e e sta ciudad tiene una c a pacidad diaria de 12 m illones de kilovatios-hora, ¿cuál es la probabilidad de que esta oferta de energía sea inadecuada cualquier día dado? 6.35 El m illaje (en miles de m illas) que los dueños de autom óviles obtienen con una cierta m arca de neum ático radial es una variable aleatoria que tiene una distri bución exponencial con 6 = 40. E ncuentre las probabilidades de que uno de estos neum áticos durará (a) al m enos 2 0 ,0 0 0 millas; (b ) c u a n d o m ucho 30,(XX) millas. 6 3 6 La cantidad de tiem po que un reloj funcionará sin ten er que volverlo a poner a tiem po es una variable aleatoria que tiene la distribución exponencial con 0 = 120 días. E ncuentre las probabilidades de que un reloj tal (a) tendrá que ponerse a tiem po en m enos de 24 días; (b) no ten d rá que ponerse a tiem po en al m enos 180 días. 6 3 7 El núm ero de aviones que llegan por día a un pequeño aeropuerto privado es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con A = 28.8. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiem po entre dos llegadas tales sea al m enos 1 hora? 6.38 El núm ero total de cheques sin fondos que un banco recibe d u ran te un día de negocios d e 5 h oras es una variable aleato ria d e Poisson con A = 2. ¿C uál es la probabilidad de que no recibirá un cheque sin fondos en un día cualquiera d u rante las prim eras 2 horas de actividad? 6 3 9 U na cierta clase de aparato dom éstico requiere una reparación en prom edio una vez cada 2 años. Suponiendo que los tiem pos entre reparaciones están dis tribuidos exponencialm ente, ¿cuál es la probabilidad de que un ap arato dom és tico tal trabajará al m enos 3 años sin requerir reparaciones? 6.40 Si la proporción anual de declaraciones erró n eas de im puestos al ingreso som e tidas al 1RS (InternaI Revenue Service; servicio interno de recaudación) se pue-
216 Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales de co n sid erar una variable aleato ria q ue tiene la distribución beta con a = 2 y /3 = 9, ¿cuál e s la p ro b ab ilid a d d e q u e e n un a ñ o d a d o c u a lq u iera h a brá m enos del 10 por ciento de declaraciones erróneas? 6.41 Si la p ro p o rc ió n anual d e n u ev o s re sta u ra n te s q u e fracasan e n u n a ciudad d a da se puede considerar com o una variable aleatoria que tiene una distribución beta con a = 1 y = 4. encuentre (a) la m edia de esta distribución, esto es, la proporción anual de nuevos res taurantes que se puede esperar que fracasen en la ciudad dada; (b) la probabilidad de que al m enos 25 por ciento de todos los nuevos restau rantes fracasen en la ciudad dada en un año cualquiera. 6 .4 2 Suponga que la vida de servicio de un sem iconductor es una variable aleatoria que tiene la distribución de W eibull (véase el ejercicio 6.23) con a = 0.025 y /3 = 0.500. (a) ¿Cuánto se puede esperar que dure un sem iconductor como ése? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un sem iconductor com o ése estará toda vía en condiciones operativas después de 4,000 horas? 6.5 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución norm al, que estudiarem os en esta sección, es de m uchas m aneras, la pie dra angular de la teoría estadística m oderna. Se investigó p or prim era vez en el siglo xtx cuando los científicos observaron un grado asom broso de regularidad en los errores de medición. Encontraron que los patrones (distribuciones) que observaban se podían apro ximar cercanam ente por curvas continuas, a los que se referían com o “curvas normales de errores” y las atribuían a las leyes del azar. A braham de M oivre (1667-1745), Pierrc Laplace (1749-1827) y K arl G auss (1777-1855) estudiaron por prim era vez las propieda des m atem áticas de estas curvas normales. DEFINICIÓN 6 .6 U n a v ariab le a le a to ria X tien e una d is trib u c ió n n o rm a l y se c o noce com o u n a variable aleato ria norm al si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por 1 - l ( — ): para - o o < x < oo n ( x ; ¿i, (r) = ----- 7 — e 2y \" ' donde a > 0 . La gráfica de un a distribución norm al, con la form a de la sección transversal de una cam pana, se m u estra en la figura 6.4. La notación que aquí se usa es sim ilar a la que se utiliza en relación con algunas de las distribuciones de probabilidad del capítulo 5; m uestra explícitam ente que los dos p arám etros de la distribución norm al son n y o . Sin em bargo, queda p or m ostrar que el p a rá m e tro n e s. de hecho, E ( X ) y q u e el p a rá m e tro <r es. d e hecho, la raíz c u a d ra d a
Sección 6 .5 : La distribución norm al 217 F ig u re 6 .4 Gráfica d e la distribución norm al. de var(AT), donde X es una variable aleatoria que tiene la distribución norm al con es tos dos parám etros. N o obstante, prim ero dem ostrem os que la fórm ula de la definición 6.6 puede servir com o una densidad de probabilidad. Puesto que los valores de n (x; /i, ir) son evidente m ente positivos m ientras a > 0 . debem os probar que el área total bajo la curva es igual a 1. A l integrar d e —o o a oo y hacer la sustitución z = * , obtenemos E ntonces, p uesto que la integral de la derecha es igual a r(i) V i de acuerdo al 2 V ff = ejercicio 6.9. se sigue que el área total bajo la curva es igual a / - - - • A continuación probarem os que TEOREMA 6 . 6 L a función g e n e ra triz d e m o m e n to s de la d istrib u ció n n o rm al e s tá dada por D em ostración. Por definición. M x {t) = / e \" - — - j = e A ° > dx J —x (J V 2 7 7 = _ ! = . / V i H - ’W l * (T V 277 J-X y si com pletam os el cuadrado, esto es, usam os la identidad
218 Capítulo 6 : Densidades de probabilidad especiales —I x t a 2 + (jc — / i ) 2 = [x — ( n + / t r ) ] 2 — I fi ta 2 — ¿ a * obtenem os Mx (t) = P uesto q u e la can tid ad d e n tro d e las llaves es la integral de —oo a oo d e u n a d e n sidad norm al con los parám etros + ta2 y o \\ y por tanto es igual a 1, se sigue que A h o ra e sta m o s listos p a ra v erificar q u e los p a rá m e tro s /i y o- e n la d efin ició n 6 .6 son. ciertam ente, la m edia y la desviación estándar de la distribución norm al. Si dife renciam os dos veces Mx (t) con respecto a t, obtenem os * M 0 = (m + <tO ) - a m O y d e m a n e ra q u e A í* (0 ) = /x y M x ( 0 ) = ¿i2 + a 2. A sí, E ( X ) = /x y v a r(A ') = (M2 + o 2 ) - ¿ = o 2. Puesto que la distribución norm al juega un papel básico en estadística y su den sidad no se puede integrar directam ente, se han tabulado sus áreas para el caso espe cial d o n d e ¿i = 0 y a = 1 . d e f in ic ió n 6 .7 La d istrib u ció n n o rm a l co n n = 0 y a = 1 se co n o ce c o m o la distribución norm al estándar. Los asientos en la tabla III, representados por el área som breada de la figura 6.5, son los valores ÜZ F ig u ra 6 .5 Áreas tabuladas bajo la distribución n o rm a l estándar.
Sección 6 .5 : La distribución n o rm a l 219 esto es, las probabilidades de que una variable aleatoria que tenga la distribución n o r m al estándar asum irá un valor en el intervalo de 0 a z, para z = 0.00, 0.01, 0.02,..., 3.08 y 3.09 y tam bién z = 4.0, z = 5.0 y z = 6.0. E n virtud de la sim etría de la distribución norm al alred ed o r de su m edia, es innecesario am pliar la tabla III a los valores negati vos de z. EJEMPLO 6.2 E ncuentre las probabilidades de que una variable aleatoria que tiene la distribución norm al estándar asum irá un valor (a) m e n o r q u e 1.72; (b) m enor que - 0 .8 8 ; (c) e n tre 1.30 y 1.75; (d) e n tre —0.25 y 0.45. Solución (a) Buscam os el asiento correspondiente a z = 1.72 en la tabla III, sum am os 0.500 (v éase la figura 6 .6 ) y o b ten e m o s 0.4573 + 0.5000 = 0.9573. (b) Buscam os el asiento correspondiente a z = 0.88 en la tabla III, restam os 0.5000 (v éase la figura 6 .6 ) y o b te n e m o s 0.5000 — 0.3106 = 0.1894. (c) B uscam os los asientos correspondientes a z = 1.75 y z = 1.30 en la tabla III. re s ta m o s el se g u n d o d el p rim e ro (v éa se la fig u ra 6 .6 ) y o b te n e m o s 0.4599 - 0.4032 = 0.0567. (d) B uscam os los asientos correspondientes a z = 0.25 y z = 0.45 en la tabla III. los su m am o s (v éase la fig u ra 6 .6 ) y o b te n e m o s 0.0987 -1- 0.1736 = 0.2723. ▲ F ig u ra 6 .6 Diagramas para el ejemplo 6.2.
220 C a pítulo 6 : Densidades de probabilidad especiales O casionalm ente, se nos pide encontrar un valor de z que corresponda a una pro babilidad especificada que cae entre los valores listados en la tabla III. E n ese caso, por conveniencia, siem pre escogemos el valor de z que corresponda al valor tabular que es m ás cercano a la probabilidad especificada. Sin em bargo, si la probabilidad dada cae a m itad de cam ino entre los valores tabulares, escogerem os para z el valor que cae a m i tad de cam ino en tre los valores correspondientes de z. EJEM PLO 6.3 Con respecto a la tabla III. encuentre los valores de z que corresponden a los datos de (a) 0.3512; (b) 0.2533. Solución (a) P u esto que 0.3512 cae e n tre 0.3508 y 0.3531, que c o rresp o n d en a z = 1.04 y z = 1.05, y puesto que 0.3512 es m ás cercano a 0.3508 que 0.3531, esco gem os z = 1.04. (b) Puesto que 0.2533 cae a m itad de cam ino en tre 0.2517 y 0.2549. que corres ponden a z — 0.68 y z — 0.69. escogem os z — 0.685. ▲ Para determ inar las probabilidades relacionadas con variables aleatorias que tie nen distribuciones norm ales distintas a la distribución norm al estándar, usam os el si guiente teorem a t e o r e m a 6.7 Si X tien e una d istrib u ció n n o rm al con m ed ia /x y la desviación e s tá n d a r </, e n to n c e s tiene la distribución norm al estándar. D em ostración. Puesto que la relación entre los valores de X y Z es lineal. Z d e b e asu m ir un v alo r e n tre Z\\ = V‘ a ^ y z 2 = * 2 a ^ c u a n d o X asu m e un va lor entre x, y x 2. Por tanto podem os escribir P { z , < Z < z 2)
Sección 6 .5 : La distribución norm al 221 donde se ve que Z es una variable aleatoria que tiene la distribución norm al es tándar. ▼ Así. para usar la tabla III en relación con cualquier variable aleatoria que tiene una distribución norm al, sim plem ente efectuam os el cambio de escala z = — EJEMPLO 6.4 Supongam os que la cantidad de radiación cósm ica a la que una persona está expuesta cuando vuela en jet por Estados Unidos es una variable aleatoria que tiene una distri bución norm al con una m edia de 4.35 m rem y una desviación estándar de 0.59 m rem . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona estará expuesta a m ás de 5.20 m rem de radiación cósmica en un vuelo com o ése? Solución Buscam os el d a to correspondiente a z = ^ ^ 5 9 ^ ^ = * en *a la ^ a ^ Y *° res* tam os de 0.5000 (véase la figura 6.7) y obtenem os 0.5000 — 0.4251 = 0.0749. ▲ ;=0 r = 1.44 F ig u r e 6 .7 D ia g ra m a para el ejem plo 6 .4 . C on la ayuda de program as de com putadora escritos especialm ente para aplica ciones estadísticas es posible encontrar directam ente las probabilidades relacionadas con variables aleatorias que tienen una distribución norm al y otras distribuciones con tinuas más. El siguiente ejem plo ilustra dichos cálculos m ediante el uso del software es tadístico M IN IT A B . EJEMPLO 6.5 Use un program a de com putadora para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene (a) la distribución ji cuadrada con 25 grados de libertad asum irá un valor m a yor q ue 30;
222 C apítulo 6: Densidades d e probabilidad especiales (b ) la d istrib u c ió n n o rm al c o n la m edia 18.7 y la desviación e s tá n d a r 9.1 asu m i rá un valor en tre 10.6 y 24.8. Solución M ediante el uso del softw are M IN IT A B , seleccionam os la opción “distribución cum ulativa” para obtener lo siguiente: (a) MTB>CDF C 1; SUBC>Chisquare 25 30.0000 0.7757 A sí. la probabilidad requerida es 1.0000 — 0.7757 = 0.2243. (b) MTB>CDF C2; y MTB>CDF C 3; SUBC>Normal 1 8 .7 9 . 1 . SUBONormal 1 8 .7 9 .1 . 10.6000 0.1867 24.800 0.7487 A sí. la probabilidad requerida es 0.7487 — 0.1867 = 0.5620. ▲ 6 .6 LA A P R O X IM A C IÓ N N O R M A L A LA D ISTR IB U C IÓ N B IN O M IA L A lgunas veces se introduce la distribución norm al com o una distribución continua que proporciona una aproxim ación cercana a la distribución binom ial cuando n, el núm ero d e en say o s, e s m u y g ran d e y d, la p ro b ab ilid a d de un é x ito e n un e n say o in d iv id u al, es cercano a j . La figura 6.8 m uestra los histogram as de las distribuciones binom iales con n = 10 n = 25 F ig u re 6 .8 Distribuciones binomiales con 0 = 2 -
Sección 6 .6 : La a pro xim a ció n norm al a la distribución binom ial 223 0 = j y n = 2, 5, 10 y 25, y se p u e d e v e r q u e con n crecien te e stas d istrib u cio n es se aproxim an al p atró n sim étrico en form a de cam pana de la distribución norm al. A fin de o frecer un fundam ento teórico para este argum ento, probem os prim ero el siguiente teorem a. teorem a 6.8 Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución binom ial con los parám etros n y 0 , entonces la función generatriz de m om entos de V n6{\\ - 0) se ap roxim a a la distribución n o rm al e s tá n d a r c u a n d o n —>oo. D em ostración. Al valem os de los teorem as 4.10 y 5.4, podem os escribir Mz {t) = - 1 )]\" 17 d o n d e n — n d y <r = V / j0(1 — 0 ). E n to n c es, si to m am o slo g aritm o s y su stitu i m os en la serie de M aclaurin de e' \", obtenem os ln A f x - M = + n-ln[l + e(e-/0 - l)] = - £ + \"-ln[l+<>{¿ + f ( ¿ ) + ¿ ( ¿ ) + - } ] y, si u sam os la serie infinita ln (1 + x ) = x — | x 2 + 5 X3 — •••. la cual converge para U | < 1 , para expandir este logaritm o, se sigue que Al reunir las potencias de t, obtenem os
224 C apítulo 6 : Densidades de probabilidad especiales puesto que p = nd. Entonces, al sustituir tr = V n 0 ( 1 — 0 ), encontram os que ln M x - ll( t ) = - t 2 + — y - Z - ¿ <T se ap ro x im a a 0 c u a n d o n —>oo. Se sigue que lím ln M x - J t ) — - i<rr 2 y puesto que el lím ite de un logaritm o es igual al logaritm o del límite (siem pre que los dos límites existan), concluimos que 12 lím M x-jX t) = e2 tr la cual es la función g en eratriz d e m om entos del teo re m a 6 .6 con p = 0 y cr = 1 T E sto c o m p le ta la d e m o stra c ió n d el te o re m a 6 .8 , p e ro ¿y a d e m o stra m o s q u e c u a n do n -* oo la distribución de Z, la variable aleato ria binom ial estandarizada, se ap ro x i ma a la distribución norm al estándar? N o exactam ente. Para este fin. debem os referirnos a dos teorem as que enunciarem os sin dem ostrarlos: 1. H ay un a correspondencia unívoca entre las funciones generatrices d e m om entos y las distribuciones (densidades) de probabilidad cuando existen las primeras 2. Si la función generatriz de m om entos de una variable aleatoria se aproxim a a la de otra variable aleatoria, entonces la distribución (densidad) d e la p rim e ra variable aleatoria se aproxim a a la de la segunda variable aleatoria bajo las m ism as condiciones límite. H ablando estrictam ente, nuestros resultados son válidos cuando n -* oo, pero a m enudo se usa la distribución norm al para aproxim ar probabilidades binom iales aun cuando n es relativam ente pequeña. U na buena regla em pírica es usar esta aproxim a ción sólo c u a n d o n d y n ( l — 6) son a m b o s m ay o re s q u e 5. EJEMPLO 6.6 Use la aproxim ación norm al a la distribución binomial para determ inar la probabilidad de sacar seis caras y 1 0 cruces e n 16 lanzam ientos de una m o n ed a b alanceada o equilibrada. Solución P ara en co n trar esta aproxim ación debem os usar la corrección de continuidad, de acuerdo a la cual cada entero no negativo k se rep resen ta con el intervalo de k — ¿ a k + \\ . C on respecto a la figura 6.9, debem os determ inar así el área b a jo la curva e n tre 5.5 y 6.5, y p u esto que M = 16 - i = 8 y o — V 16• 5 •5 = 2. d e bem os encontrar el área entre:
Sección 6 .6 : La a pro xim a ció n norm al a la distribución b in o m ia l 225 ; = ^ _ i = - L25 y Los datos en la tabla III que corresponden a : = 1.25 y z — 0.75 son 0.3944 y 0.2734. y encontram os que la aproxim ación norm al a la probabilidad de “seis ca ras y 10 cruces” es 0.3944 — 0.2734 = 0.1210. Puesto que cl valor correspondien te en la tab la I es 0 .1 2 2 2 , en co n tram o s q u e el e rro r de la aproxim ación es —0 . 0 0 1 2 y que el porcentaje de erro r es q ^ 2 2 ^ = ^ '9^ c en va,or abs°!uto- A z = -1.25 j = -0.75 F igura 6 .9 Diagram a para el ejemplo 6.6. La aproxim ación norm al a la distribución binom ial solía aplicarse m uy exten sa m ente, particularm ente al aproxim ar probabilidades relacionadas con grandes valores de variables aleatorias binom iales. H oy en día, la m ayor p arte de este trabajo se hace con com putadoras, com o se ilustra en el ejem plo 6.5, y hem os m encionado la relación entre las distribuciones norm al y binomial principalm ente a causa de sus aplicaciones teóricas. C onstituye la base de m uchos de los procedim ientos tratados en los capítulos 1 1 .1 3 y 16. EJERCICIOS 6.43 D em uestre qu e la distribución norm al tiene ( a ) un m áxim o relativ o en x = /x: (b ) p u n to s de inflexión e n .r = /i — cr y x = fi + cr. 6 .4 4 M u estre q u e la ecu ació n d iferen cial del ejercicio 6.30 con ¿> = c = 0 y a > 0 nos da una distribución normal. 6 .4 5 E n la dem ostración del teorem a 6 .6 diferenciam os dos veces la función genera triz de m om entos de la distribución norm al con respecto a / para dem ostrar que E ( X ) = n y var(Af) = cr2. A l d ife ren c iar dos veces m ás y u sa r la fórm ula del ejercicio 4.33, e n c u e n tre las e x p re sio n es p a ra y /x4.
C apítulo 6: Densidades de probabilidad especiales 6.46 Si A’es u n a variable aleatoria que tiene una distribución norm al con la m edia n y la desviación estándar er, encuentre la función generatriz de m om entos d e Y = X — c, donde c e s una constante, y úsela p ara volver a trabajar con el ejercicio 6.45. 6.47 U se los re su lta d o s d el ejercicio 6.45 p a ra d e m o s tra r q u e a 3 = 0 y ar4 = 3 p a ra distribuciones norm ales, donde a 3 y a 4 son com o se definieron en los ejercicios 4.34 y 4.35. 6.48 Si X es u n a variable aleato ria que tien e una distribución n o rm al con la m edia fx y la desviación están d ar a , use la tercera p arte del teo rem a 4.10 y el teo rem a 6 .6 para d em o strar que la función generatriz de m om entos de. es la función generatriz de m om entos de la distribución normal estándar. A dvier ta que, ju n to con los dos teo rem as e n la página 224, esto dem u estra el teo re m a 6.7. 6.49 Si X es u n a v a ria b le a le a to ria q u e tie n e la d istrib u c ió n n o rm a l e s tá n d a r y Y = X 2, d e m u e stre q u e cov(A r, Y ) = 0 a u n c u a n d o A* y y n o son e v id e n te m e n te independientes. 6.50 U se la e x p an sió n e n la serie d e M aclau rin d e la función g e n e ra triz de m o m e n tos de la distribución norm al estándar para dem ostrar que (a) n , = 0 cuando r es impar; r! (b ) ti, = ------ — — c u a n d o r es par. 6.51 Si h a c em o s K x (t) = In el coeficiente de — en la serie de M aclaurin de K x (t) se llam a el résim o acum ulante, y se d en o ta con k,. A l igualar coeficien tes de potenciales iguales, dem uestre que (a) k2 = fi2: (b ) k3 = ¿i3; (c) k4 = - 3 6 ^ 2 C on respecto al ejercicio 6.51, m uestre que p ara las distribuciones norm ales k 2 = <r2 to d o s los d e m á s acu m u lan te s so n cero. 6 ^ 3 P ru e b e q u e si A\" es variable a le a to ria q u e tien e la distribución d e Poisson con el p a rá m e tro A y A -*■ oo, en to n ces la función g en eratriz de m o m en to s de esto es, la de la variable aleatoria de Poisson estandarizada, se aproxim a a la función generatriz de m om entos de la distribución norm al estándar. 6.54 D em u estre q u e cuando a - * oo y p perm anece co n stan te, la función generatriz de m om entos de una variable aleatoria gam m a estandarizada se aproxim a a la función generatriz de m om entos de la distribución norm al estándar.
Sección 6 .6 : La a pro xim a ció n n orm al a la distribución b inom ial 227 APLICACIONES 6.55 Si Z es una variable aleatoria que tiene la distribución norm al estándar, encuen tre las probabilidades que asum irá un valor (a ) m a y o r q u e 1.14; (b ) m a y o r q u e —0.36; (c) e n tre - 0 .4 6 y —0.09; (d ) e n tre —0.58 y 1.12. 6.56 Si Z es una variable aleatoria que tiene la distribución norm al estándar, encuentre (a) P ( Z < 1.33); (b) P (Z S -0.79); (c) P( 0.55 < Z < 1.22); (d) /*( —1.90 S Z S 0.44). 6.57 E n cu en tre z si el áre a d e la curva norm al está n d a r (a) e n tre 0 y z es 0.4726; (b) a la izquierda de z es 0.9868; (c) a la derecha de z es 0.1314; (d ) e n tre —z y z e s 0.8502. 6.58 Si Z es u n a variab le a le a to ria q u e tien e la distrib u ció n n o rm al e stá n d a r, e n c u e n tre los valores respectivos de Z\\ , z 2, Zj y z 4 tales que (a) /»(0 < Z < z ,) = 0.4306; (b ) P ( Z £ z2) = 0.7704; (c) P { Z > z3) = 0.2912; (d ) P ( - z 4 S Z < z4) = 0.9700. 6.59 Si X es u n a v ariab le a le a to ria q u e tien e una d istrib u ció n n o rm al, ¿cuáles son las probabilidades de obtener un valor (a) d en tro de una desviación estándar de la media; (b) d en tro de dos desviaciones estándar de la media; (c) d en tro de tres desviaciones estándar de la media; (d) d en tro de cuatro desviaciones estándar de la m edia? 6.60 Si z a está d efin id a por encuentre sus valores para (a) a = 0.05; (b) a = 0.025; (c) a = 0 .0 1 ; (d) a = 0.005. 6 .6 1 (a) U se un program a de com putadora para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución norm al con la m edia —1.786 y la desviación e stá n d a r 1.0416 asum irá un valor e n tre —2.159 y 0.5670.
C a pítulo 6: Densidades de probabilidad especiales (b) Interpole en la tabla III para encontrar esta probabilidad y com pare su re sultado con el valor m ás exacto encontrado en el inciso (a). 6.62 (a) Use un program a de com putadora para encontrar la probabilidad de que (b) u na variable aleatoria q ue tiene la distribución norm al con m edia 5.853 y la desviación está n d a r 1.361 asum irá u n valor m ayor q u e 8.625; In terp o le en la tabla III p ara en co n trar esta probabilidad y com pare su re sultado con el valor m ás exacto encontrado en el inciso (a). 6 .6 3 Suponga que durante los periodos de m editación trascendental la reducción del consum o de oxígeno de una persona es una variable aleatoria que tiene una dis tribución norm al con /x = 37.6 cc p o r m inuto y cr = 4.6 cc p o r m inuto. E n c u e n tre las probabilidades de que durante un periodo de m editación trascendental el consum o de oxígeno de una persona se reducirá por (a) al m enos 44.5 cc p o r m inuto; (b) cuando m ucho 35.0 cc p o r m inuto; (c) cualquier valor entre 30.0 y 40.0 cc por m inuto. 6 .6 4 E n un proceso fotográfico, el tiem po de revelado de im presiones se puede con siderar com o una variable aleatoria que tiene la distribución norm al con ti = 15.40 segundos y tr = 0.48 segundos. E ncuentre las probabilidades de que el tiem po que tom a revelar una de las im presiones será (a) al m enos 16.00 segundos; (b) cu ando m ucho 14.20 segundos; (c) cu alq u ier valor en tre 15.00 y 15.80 segundos. 6 .6 5 Supongam os que la cantidad real de café instantáneo que u na m áquina sirve en un frasco de “ 6 onzas” es una variable aleatoria que tiene una distribución nor m al con <r = 0.05 onzas. Si sólo 3 p o r c ie n to d e los frascos d e b e n c o n te n e r m e nos de 6 onzas de café, ¿cuál debe ser la m edia del llenado de estos frascos? 6 .6 6 U n a variable aleato ria tien e la distribución norm al con a = 10. Si la p ro b ab i lidad de que la variable aleatoria asum irá un valor m enor que 82.5 es 0.8212, ¿cuál es la probabilidad de que asum irá un valor m ayor que 58.3? 6 .6 7 V erifique en cada caso si la aproxim ación norm al a la distribución binom ial se puede usar de acuerdo a la regla em pírica de la página 224. (a) n = 16 y 6 = 0 .2 0 ; (b) n = 65 y 6 = 0.10; (c) n = 120 y 6 = 0.98. 6.6 8 Suponga que querem os usar la aproxim ación norm al a la distribución binom ial para determ inar 6(1; 150,0.05). (a) C on base en la regla em pírica de la página 224, ¿estaría justificado el uso de la aproximación? (b) H aga la aproxim ación y redondee a cuatrodecimales. (c) Si u n a im p resió n d e c o m p u ta d o ra m u estra q u e b( 1; 150,0.05) = 0.0036 r e dondeado a cuatro decim ales, ¿cuál es el porcentaje de erro r de la aproxi m ación obtenida en el inciso (b)?
Sección 6 .7 : La distribución n o rm a l bivariada 229 Esto sirve p ara ilustrar que la regla em pírica es sólo eso y no más; hacer aproxi maciones com o ésta tam bién requiere una buena cantidad de juicio profesional. 6 .6 9 C o n re sp e c to al ejercicio 6 .6 8 . d e m u e stre q u e la d istrib u ció n d e P oisson h u b ie ra dado una m ejor aproximación. 6 .7 0 U se la aproxim ación norm al a la distribución binom ial para determ inar (con c u a tro decim ales) la p robabilidad d e o b ten e r siete caras y siete cruces en 14 lan zam ientos de una m oneda balanceada. Tam bién consulte la tabla I para encon trar el error de esta aproximación. 6.71 Si 23 por ciento de todos los pacientes con presión arterial alta tiene efectos co laterales perjudiciales con cierta clase de m edicam ento, use la aproxim ación norm al para encontrar la probabilidad de que entre 12 0 pacientes con presión arterial alta tratados con este m edicam ento más de 32 tendrán efectos colate rales perjudiciales. 6 .7 2 Si la probabilidad de que un banco rechazará una solicitud de préstam o es 0.20, use la aproxim ación norm al para determ inar (con tres decim ales) la probabilidad de que el banco rechazará cuando mucho 40 de 225 solicitudes de préstam o. 6 .7 3 Para ilustrar la ley de los grandes núm eros (véase tam bién el ejercicio 5.30), use la aproxim ación norm al a la distribución binom ial para determ inar las probabi lidades d e q u e la pro p orción de caras estará e n tre 0.49 y 0.51 cuando se lanza una m oneda balanceada (a) 100 veces; (b) 1,000 veces; (c) 10,0 0 0 veces. 6.7 LA DISTRIBUCIÓN NORM AL BIVARIADA E n tre las densidades m uitivariadas, la distribución normal multivariada es de especial im portancia, la cual es una generalización de la distribución norm al en una variable. Com o es m ejor (en realidad, es prácticam ente necesario) presentar esta distribución en notación m atricial, aquí sólo darem os el caso bivariado; los análisis del caso m ás gene ral se encuentran entre las referencias al final de este capítulo. definición 6.8 U n p ar de variables aleatorias X y Y tienen una distribución n o r m al bivariada y se conocen com o variables aleatorias distribuidas norm alm ente e n form a co n ju n ta si y sólo si su densidad de probabilidad conjunta está d ad a por ñ x -y) = ----------------------- p a ra —oo < x < oo y —oo < y < o o , d o n d e o-, > 0 , <r2 > 0 , y “ 1 < p < 1 .
230 C apítulo 6 : Densidades de probabilidad especiales Para estudiar esta distribución conjunta, m ostrem os prim ero que los parám etros /x,, <r¡ ya 2 5 0 0 Ia 5 m ed ias y las desv iacio n es e s tá n d a r d e las d o s v ariab les a le a to rias X y Y . P a ra e m p e z a r, in te g ram o s so b re y de —oo a oo y o b te n e m o s s(x) m ' 2 tT (7 1cr2V I — p J -o o p a ra la d e n sid a d m arg in al d e X . E n to n c es, hacem o s la sustitución te m p o ra l u = — - ■— para sim plificar la notación y si cam biam os la variable de integración al hacer v = y ~ th-, o b ten e m o s e --2--(-*—'— y f 1 ^ (xr-lpuv) , s i * ) = ~— r / 7^ = i / * 2(1 ^ dv 2 ttct[ V i — P J-oo Después de com pletar el cuadrado al hacer v 2 — 2 pu v = ( v — p u )2 — p 2u 2 y reunir térm inos, esto se vuelve (T| V 2 tT l V27T V i — p J - * J Finalm ente, identificam os la cantidad entre paréntesis com o la integral de una densi d a d n o rm a l de —oo a oo y, p o r ta n to , al h a c er igual a 1 , o b te n e m o s -V > e2 1 s ( x ) = ~(7 ,TV/ T2 i=r = ~a tTV J2Tir e 2 p a ra —oo < x < oo. Se sigue p o r in sp ecció n q u e la d e n s id a d m arg in al d e X e s u n a distribución norm al con la m edia p x y la desviación estándar a x y, por sim etría, que la d e n s id a d m arg in al d e Y e s u n a d istrib u c ió n n o rm a l con la m e d ia /x2 y la d esv iació n e s tá n d a r a 2. En lo tocante al parám etro p donde p es la m inúscula de la letra griega rho, se llam a el coeficiente de correlación, y la in teg ració n necesaria m o strará q u e cov(A ', Y ) = p a xa 2. A sí. el p a rá m e tro p m ide c ó m o varían ju n ta s las variab les a le a to ria s X y Y , y su significado se a n a liz a rá con m ás d e ta lle e n el c a p ítu lo 14. C uando tratam os con un par de variables aleatorias que tienen una distribución norm al bivariada, sus densidades condicionales tam bién son de im portancia; dem ostre m os el siguiente teorem a.
Sección 6 .7 : La distribución norm al bivariada 231 teorem a 6.9 Si X y y tienen una distribución norm al bivariada, la densidad condicional de Y dado X = x es una distribución norm al con la media Pw* = P 2 + P ^ ( x ~ P j ) y la varianza = * 2(1 - p 2) y la densidad condicional de X d ad o Y = y es una distribución norm al con la m edia y la varianza p*i> = p i + p ~ { y ~ P 2) = ^ í ( l ~ P 2) f(Xi y) D em ostración. Si escribim os íflíy U ) = - -- -- - de acuerdo a la definición x — u. y — /x-> &(■*) 3.13 y hacem os u = — —— y v = — ^ ' p ara sim plificar la notación, obtenem os w (/y \\i x )v _= -2-7--r-í-T-,-<--r-2--V--/--l------ —p 2 V27TÍT) ___ l V 2^t72v T — vz^V i — Entonces, expresam os este resultado en térm inos de las variables originales, y o b tenem os w (y\\x) = tr2 V i —p2 (t 2\\ ^ 2 n V i p2 para —oo < y < o o , y por inspección se puede ver que ésta es una distribución n o rm al con la m edia Mvv = P 2 + P ~ ~ (* ~ M i) y la v arianza <rv.« = ° 2 0 — P2)-
232 C apítulo 6 : Densidades de probabilidad especiales Los resultados correspondientes para la densidad condicional de X dado Y = y siguen por sim etría. ▼ La distribución norm al bivariada tiene m uchas propiedades im portantes, algunas estadísticas y algunas puram ente m atem áticas. E ntre las prim eras, está la siguiente p ro piedad, q u e se p ed irá al lector la dem uestre en el ejercicio 6.74. teo r em a 6.10 Si dos variables aleatorias tienen una distribución norm al bivaria da, son in d ep en d ien tes si y sólo si p = 0 . E n relación con esto , si p = 0, se dice q u e las variables aleatorias no están correlacio nadas. Tam bién, hem os m ostrado que para dos variables aleatorias que tienen una distri bución norm al bivariada las dos densidades m arginales son norm ales, pero la recíproca no es necesariam ente verdad. E n otras palabras, las distribuciones m arginales pueden ser norm ales am bas sin que la distribución conjunta sea una distribución norm al biva riada. Por ejem plo, si la densidad bivariada de X y Y está dada por 2 /(at, y ) d en tro de los cuadros 2 y 4 de la figura 6.10 d entro de los cuadros 1 y 2 de la figura 6 .1 0 0 en cualquier otra parte f[x , y) d o n d e x , y ) e s el v a lo r d e la d e n sid a d n o rm a l b iv ariad a c o n /i, = 0 , p .2 = 0 y p = 0 en (x. y ), es fácil ver que las densidades m arginales de X y Y son norm ales aun cuan do su densidad conjunta no es una distribución norm al bivariada. Se obtienen m uchas propiedades interesantes de la densidad norm al bivariada al e stu d ia r la superficie normal bivariada. q u e se m u estra en la figura 6 .1 1 y cuya e cu a ción es z — f{x, y ) , donde f[x , y) es el valor de la densidad norm al bivariada en (x, y). C om o se pedirá al lector que verifique en los ejercicios q ue siguen, la densidad norm al y 21 34 F ig u r a 6 .1 0 Espacio m uestral para la densi F ig u ra 6 .1 1 Superficie normal bivariada. d ad bivariada dada p o r f*(x, y).
Sección 6 .7 : La distribución norm al bivariada 233 biv ariad a tien e u n m áxim o e n (/x ,, /X2 )» c u a lq u ier p la n o p a ra le lo al e je z in terseca la superficie en una curva que tiene la form a de una distribución norm al y cualquier pla no paralelo al plano x y que interseca la superficie la interseca en una elipse llam ada un contorno de densidad de probabilidad constante. C u a n d o p = 0 y <r, = <r2, los c o n to r nos de densidad d e probabilidad constante son círculos, y es costum bre referirse a la densidad co n ju n ta correspondiente com o una distribución normal circular. EJERCICIOS 6.74 Para p ro b a r el teo rem a 6.10, dem uestre que si X y Y tien en una distribución norm al bivariada. entonces (a) su independencia implica que p = 0 ; (b) p = 0 implica que son independientes. 6.75 D em uestre que cualquier p lano perpendicular al plano x y interseca la superfi cie norm al bivariada en una curva que tiene la form a de una distribución nor mal. 6.76 Si el exponente de e de una densidad norm al bivariada es ^ [ ( * + 2 ) 2 - 2 .8 (x + 2 )(y - 1 ) + 4 ( y - l ) 2] encuentre (a) /* ,,/z 2, <r,,o-2 y p ; (b) /iflty o iu - 6.77 Si el exponente de e de una densidad norm al bivariada es ^ (x2 + Ay2 + 2xy + 2x + 8y + 4 ) e n c u e n tre <r,, <r2 y p , d a d o q u e /i, = 0 y / i 2 = —1 . 6.78 Si A\" y y tie n e n la d istrib u ció n n o rm al b iv ariad a con /z, = 2, /z2 = 5, <r, = 3, cr2 = 6 y p = §, e n c u e n tre H yh y 6.79 Si ATy y tien en una distribución n o rm al bivariada y U = X + Y y V = X — Y , en c u en tre u n a expresión p ara el coeficiente de correlación d e U y V. 6.80 Si A\" y y tie n e n una distrib u ció n n o rm al b iv ariad a. se p u e d e d e m o s tra r q u e su función generatriz de m om entos conjunta (véase el ejercicio 4.63) está dada por M x . r ( l t . t 2) = E ( e \" * + ' ’r ) í,Mi +f2í*2+ 5(ffj»? + 2 p < ri< W J +<r2fj) =e Verifique que (a) la p rim e ra d eriv ad a p arcial de esta función con resp e c to a /, e n ¡i = 0 y h = O es/*,;
234 C a pítulo 6: Densidades de probabilidad especiales (b ) la seg u n d a d eriv ad a p arcial con resp e c to a r, e n tx = 0 y t2 — 0 es <r\\ + m í; (c) la se g u n d a d e riv a d a p a rc ial c o n re s p e c to a t¡ y t2 e n r, = 0 y t2 = 0 es p tr,c r2 + m ,p 2- APLICACIONES 6.81 E l c e n tro d e u n b lan c o se to m a c o m o el o rig en d e u n sistem a re c ta n g u la r de coordenadas, con respecto al cual el punto de im pacto d e un cohete tiene las coord en ad as X y Y. Si X y Y tien en la densidad norm al bivariada con /x( = 0, /x2 = 0 . cr, = 1 2 0 pies, <r2 = 1 2 0 p ie s y p — 0 , e n c u e n tre la p ro b a b ilid a d de que el punto de im pacto estará (a) d entro de un cuadro con lados de 180 pies, cuyo centro está en el origen y cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas; (b) d en tro de un círculo cuyo radio de 75 pies con su centro en el origen. 6.82 Si X y Y tie n e n la d istrib u ció n n o rm a l circu lar con /x, = p 2 = 0 y cr, = cr2 = 12, encuentre (a) la probabilidad de obtener un punto (*, y ) dentro de un círculo x 2 + y2 = 36; (b) el valor de c para el cual la probabilidad de obtener un punto (x , y ) den tro del círculo x2 + y 2 = c2 e s 0.80. 6.83 Suponga q u e A' y y , la altu ra y el peso de ciertos anim ales, tien en la d istrib u ción n o rm a l b iv ariad a con = 18 p u lg ad as, ¿i2 = 15 libras, <r, = 3 pulgadas, tr2 = 2 libras y p = 0.75. E ncuentre (a) el peso esperado de uno d e estos anim ales de 17 pulgadas de alto; (b) la altura esperada de uno de estos anim ales de 2 0 libras de peso. REFERENCIAS En forma resum ida es posible encontrar información útil acerca de varias densidades de p ro babilidades especiales en D erman, C., G leser, L., and O lkin, I., Probabiliiy Models and Applications. Nueva York, Macmillan Publishing Co., Inc., 1980, H a s t in g s . N. A. J., and P e a c o c k , J. B., Statistical Distributions. Londres: Butterw orth & Co. Ltd.. 1975, y J o h n so n , N. L., and K o t z . S.. C ontinuous Univariate Distributions, Vols. 1 and 2. Boston: H oughton M ifflin Com pany, 1970. U na prueba directa que la distribución binomial estandarizada se aproxima a la distribución norm al estándar cuando n —>oo se da en K e e pin g , E. S., Introduction to Statistical Inference. Princeton, N.J.: D. Van N ostrand Co., Inc., 1962.
C apítulo 6 : Referencias 235 U n tratam iento detallado de las propiedades matemáticas y estadísticas de la superficie nor mal bivariada se puede encontrar en Y u l e , G . U .t and K en d a ll, M. G .. A n Introduction to the Theory o f Statistics, 14th ed. Nueva York: H afn e r Publishing Co., Inc., 1950. La distribución norm al m ultivariada se trata en notación m atricial en BlCKEL, P. J.t and D o k su m . K. A., M athematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. San Francisco: H olden-D ay, Inc., 1977, H o g g , R. V., and C r a ig , A. T., Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed. Nueva York: M acm illan Publishing Co., Inc., 1978, L in d g r e n , B. W., Statistical Theory, 3rd ed. Nueva Y ork: M acmillan Publishing Co., Inc., 1976.
CAPÍTULO 7 Fundones de variables aleatorias 7.1 IN TR O D U C C IÓ N 7 .2 TÉ C N IC A DE LA F U N C IÓ N DE DISTRIBUCIÓN 7 .3 T É C N IC A DE TR A N S F O R M A C IÓ N : U N A VARIABLE 7 .4 T É C N IC A D E TR A N S F O R M A C IÓ N : VARIAS VARIABLES 7 .5 TÉ C N IC A DE F U N C IÓ N GENERATRIZ DE M O M E N TO S 7.1 IN TR O D U C C IÓ N En este capítulo tratarem os el problem a de encontrar las densidades o probabilidades de d istrib u ció n d e funciones de una o más variables aleatorias. E s to es, d a d o u n c o n ju n to de variables aleatorias X¡, X 2 X n y su densidad o distribución de probabilidad con junta, estarem os interesados en encontrar la densidad o distribución de probabilidad de alguna variable a le a to ria Y = u ( X ¡ , X 2, . . . , A\",). E sto significa q u e los valores d e Y están relacionados a los de las X es por m edio de la ecuación y = u ( x t, x 2 xn). Para resolver esta clase de problem as se dispone de varios m étodos. Los que exa m in arem o s e n las c u a tro seccio n es sig u ien tes so n llam ad o s la técnica de la fundón de distribudón, la técnica de transformadón, y la técnica de la fundón generatriz de m o mentos. A u n q u e en algunas situaciones se p u ed en u sa r los tre s m éto d o s, e n la m ayoría de los problem as será preferible una técnica (m ás fácil que las dem ás). Esto es cierto, por ejem plo, en algunos casos donde la función en cuestión es lineal en las variables aleatorias X {, X 2, ..., X„, la técnica de la función generatriz de m om entos produce las derivaciones m ás simples. Las diversas técnicas que exam inarem os en este capítulo se usarán otra vez en el capítulo 8 p ara derivar varias distribuciones que son de fundam ental im portancia en la inferencia estadística. 236
Sección 7.2: Técnica d e la función d e distribución 237 7 .2 TÉ C N IC A DE LA FU N CIÓ N DE D ISTR IBUCIÓ N U n m étodo directo de obtener la densidad de probabilidad de una función de variables aleatorias continuas consiste en encontrar prim ero su función de distribución y después su densidad de probabilidad por diferenciación. Así, si X u X 2,...,X „ son variables aleatorias continuas con una densidad de probabilidad conjunta, la densidad de p roba bilidad de Y = u ( X , , X 2 X„) se obtiene al determ inar prim ero una expresión pa ra la probabilidad F(y) = P ( Y S y ) = P [ u { X l , X 2 X n) S y ] y después se diferencia para obtener ™^ de acuerdo al teo re m a 3.6. EJEM P LO 7.1 Si la densidad de probabilidad de X está dada por í 6x(l — x) para 0 < x < 1 «■> - 1 . en cualquier otra parte e n c u e n tre la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d d e Y = X 3. Solución Sea G (y ) el valor de la función de distribución de Y en y , podem os escribir G(y) = P (Y S y) = P ( X 3 £ y) = P ( X S y ,/J) ry«/3 6x( 1 - x ) d x • ílo = 3y2/3 - 2y y por tanto g(y) = 2{y~^ - 1) p a ra 0 < y < 1; e n c u a lq u ier o tra p a rte , g ( y ) = 0. E n e l ejercicio 7.20 se le p e dirá el lector que verifique este resultado m ediante una técnica diferente. ▲ EJEM PLO 7.2 para y > 0 Si Y = | A”| , d e m o s tra r que en cualquier otra parte . \\f{y) + f(~ y ) g(y) [ 0
238 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias donde f ( x ) es el valor de la densidad de probabilidad de X en x y g (y )es el valor de densidad de probabilidad de Y en y. Tam bién, use este resultado para encontrar la den sid ad d e p ro b a b ilid a d d e Y = |Af | c u a n d o X tie n e la d istrib u ció n n o rm a l e stá n d a r. Solución Para y > 0 tenem os G(y) = P ( Y Z y ) = P(\\X\\ á y ) = P(-yZXtíy) = F(y) - F (— y) y, después de la diferenciación, g(y) = /(y) + f(~y) Tam bién, puesto que U l no puede ser negativo, g(y ) = 0 para y < 0. A rbitra riam ente haciendo g (0 ) = 0 , así podem os escribir g(«) = f f l y ) + paray > 0 \\0 en cualquier otra parte Si X tiene la distribución norm al estándar y Y = |A l, se sigue que g(y) = n(y; 0, 1 ) + n ( - y ; 0 , 1 ) = 2n(y;0, 1) p ara y > 0 y g ( y ) = 0 en cualquier otra parte. En el ejem plo 7.9 se puede en contrar una aplicación im portante para este resultado. ▲ EJEM PLO 7.3 Si la densidad conjunta de X, y X 2 está dada por í 6 e, _- i3xX,|- 2 x ¡ pa ra x, > 0 .x 2 > 0 = {o en cualquier otra parte e n c u en tre la d en sid ad d e p ro b ab ilid ad d e Y = X , + X 2. Solución A l integrar la densidad conjunta sobre la región som breada de la figura 7.1, ob tenem os ¡■y r y ~* : F(y) = I I 6 e -3X| ~ 2X} d x , d x 2 = 1 + 2e~iy - 3e~2y y, al diferenciar con respecto a y. obtenem os f [ y ) = 6 ( < T 2' - <•-’>) para y > 0 : en cualquier otra parte. f ( y ) = 0 . ▲
Sección 7 .2 : Técnica de la funció n de distribución 239 *2 *i + * 2 = y •*i F ig u ra 7.1 D ia g ra m a para el ejem plo 7.3. EJERCICIOS 7.1 Si la densidad de probabilidad de X está dada por lx e ~ ^ para x > 0 = {o en cualquier otra parte y Y = X 2, e n c u en tre (a) la función de distribución de Y; (b) la densidad de probabilidad de Y. 72 Si X tiene u na distribución exponencial con el p arám etro 0, use la técnica de la función de distribución p ara en co n trar la densidad de probabilidad de la varia ble aleatoria Y = ln X . 7 3 Si X tie n e la d en sid ad u n ifo rm e con los p a rá m e tro s o = 0 y /3 = 1, use la té c nica de la función de distribución p ara encontrar la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = V A . 7.4 Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por _ / 4xye_(r +vl p a ra * > 0, y > 0 \\0 en cualquier otra parte y Z = V a 2 + Y 2, e n c u en tre (a) la función de distribución de Z; (b) la densidad de probabilidad de Z. 7 3 Si A , y A 2 son variables aleatorias independientes que tienen densidades expo nenciales con parám etros 0 , y 02, use la técnica de la función de distribución pa ra encontrar la densidad de probabilidad de Y = A, + A2 cuando.
C apítulo 7: Funciones de variables aleatorias (a) 0 , * 02; (b) 0 , = 02. (E l ejem plo 7.3 es un caso especial de esto con 0, = £ y 02 = ¿.) 7.6 C o n re s p e c to a las d o s v a ria b le s a le a to ria s del e je rcic io 7.5, m u e stre q u e si 0 i = 0 2 = 1 , la variable aleatoria +Z — * - X\\ X 2 tien e la d e n sid a d u n ifo rm e con a = 0 y /3 = 1. 7.7 Sean X¡ y X 2 variables aleato rias in d ep en d ien tes que tien en la densidad unifo r m e con a = 0 y /3 = 1. V aya a la figura 7.2, e n c u e n tre e x p re sio n es p a ra la fu n ción de distribución de Y = X¡ + X 2 para (a) y S 0 ; (b) 0 < y < 1; y = xl + x2 ^ 2 l < y = xi + x2 < 2 *\\ X2 F ig u ra 7 .2 Diagrama para el ejercicio 7.7.
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