Sección 2 .4 : La p robabilidad de un evento 41 P(A) = P(0, U O , U - U O j = P { O x) + P ( Oi ) + - + P { O n) ~ Ñ + 77 + *\" + Ñ n térm inos n Ñ O bserve qu e la fórm ula P ( A ) = — del teo rem a 2.2 es idéntica con la del co n cepto clásico de probabilidad (ver página 25). En verdad, lo que hem os dem ostrado aquí es que el concepto clásico de probabilidad es congruente con los postulados de probabilidad — resulta de los postulados en el caso especial donde los resultados indi viduales son todos equiprobables. EJEM PLO 2.11 Se dice que una m ano de póker de cinco cartas repartidas de un baraja de 52 cartas de ju e go es un “ fulT si consiste en tres de un m ism o valor y un par. Si todas las m anos de cinco cartas son igualm ente probables, ¿cuál es la probabilidad de que le den un “full”? Solución El núm ero de m aneras en que nos pueden dar un “full” en particular, digamos (A \\(4\\ tre s rey es y do s ases, es I ^ II ^ I . P u e sto q u e hay 13 m a n e ra s d e seleccionar el valor de la carta para las tres del m ism o valor y para cada una de éstas hay 12 m a neras de seleccionar el valor de la carta para el par, en total hay = 13-12- ( 3 ) ( 2 diferentes “fulles”. También el núm ero total de m anos de póker de cinco cartas es » -< ?) y resulta de acuerdo al teorem a 2.2 que la probabilidad de o b ten er un “full” es P ( A ) = ^ = ------------------------- = 0.0014
42 Capítulo 2: Probabilidad 2.5 A LG U N A S REGLAS D E P R O B A B ILID A D Basados en los tres postulados de probabilidad, podem os derivar m uchas otras reglas que tienen aplicaciones im portantes. E ntre ellas, los cuatro teorem as siguientes son con secuencia inm ediata de los postulados. t e o r e m a 2 J Si A y A ' son eventos com plem entarios en un espacio m uestra! S, entonces P(A') = 1 - P(A) Demostración, En el segundo y tercer pasos de la prueba que sigue, usa m os la definición de com plem ento,de acuerdo a la cual A y A ’ son m utuam ente e x d u y e n te s y A U A ' = S. A sí. escribim os 1 = P(S) (por el postulado 2) = P(AUA') = P( A) + P ( A ' ) (por el postulado 3) y de ahí resulta que P ( A ' ) = 1 — P{A). ▼ E n relación con la in terp retació n de frecuencia, este resu ltad o im plica que si un evento ocurre, digam os, 37% de las veces, entonces no ocurre 63% de las veces. teo rem a 2.4 ^ ( 0 ) = 0 p a ra cualquier espacio m u estral S. Demostración. Puesto que S y 0 son m utuam ente exduyentes y S U 0 = S de acuerdo con la definición del conjunto varío 0 , resulta que P(S) = P(S U 0 ) = P(S) + P (0 ) (por el postulado 3) y, p o r ta n to , q u e P ( 0 ) = 0 . ▼ E s im p o rtan te señ alar que n o resulta n ecesariam ente que si P ( A ) = 0 entonces A = 0 . En la práctica, a m enudo asignam os la probabilidad 0 a eventos que, en térm i nos coloquiales, n o sucederían en un m illón de años. Por ejem plo, hay el ejem plo clási co que le asignam os una probabilidad de 0 , al evento de un m ono con una m áquina de escribir, escribirá L a República de Platón palabra por palabra sin un error. C om o vere-
Sección 2.5: Algunas reglas d e probabilidad 43 mos en los capítulos 3 y 6 . es relevante el hecho que P ( A ) = 0 no implica que A = 0 es pertinente, especialm ente, en el caso continuo. t e o r e m a 2.5 Si A y B son eventos en un espacio m uestral S y A C B . en to n ces P{ A) % P{B). Demostración. Puesto que A C B. podem os escribir B = A U {A' fl B) com o se puede verificar fácilm ente m ediante un diagram a de Venn. Entonces, puesto que A y A ' H B son m utuam ente excluyentes, obtenem os P( B) = P{A) + P ( A ' C \\ B ) (por el postulado 3) ^ P(A) (por el postulado l ) ▼ E n palabras, este teo re m a enuncia que si A es un su b co n ju n to de B, en to n ces P ( A ) no puede ser m ayor que P( B ) . Por ejem plo, la probabilidad de sacar un corazón de un baraja ordinaria de 52 cartas de juego no puede ser m ayor que la probabilidad de sacar una carta roja. E n verdad, la probabilidad es com parada con \\. t e o r e m a 2.6 0 % P { A ) S 1 para cualquier evento A. Demostración. U sando el teorem a 2.5 y el hecho q ue 0 C A C S para cualquier evento A en 5, tenem os P(O) S P(A) S P(S) Entonces, B (0 ) = 0 y P ( S ) = 1 nos lleva al resultado que 0 ^ P(A) ¿ 1 ▼ A veces nos referim os al tercer p o stu lad o de p robabilidad com o la regla especial de adición: es especial e n el sentido que los eventos A ,, A 2. A d eb en ser todos m u tu am en te excluyentes. P ara dos eventos cualquiera A y B, existe la regla general de adición: t e o r e m a 2.7 Si A y B son dos eventos en el espacio m uestral S, entonces P(A U B) = P{A) + P(B) - p(a n B) Demostración. Si asignam os las p ro b ab ilid ad es a, b. y c a los ev en to s m u tu am e n te ex clu y en tes A C\\ B , A C\\ B ' y A ' C\\ B c o m o en e l diag ram a d e V enn de la figura 2.9, encontram os que
44 Capítulo 2: Probabilidad P(A U B) = a + b + c = (a + b) + (c + a) — a = P(A) + P(B) - P ( A D B ) F ig u ra 2 .9 D iagram a de Venn para la dem ostración del teorem a 2.7. EJEMPLO 2.12 En un zona m etropolitana grande, las probabilidades son 0.86,0.35 y 0.29 de que una familia (escogida aleatoriam ente para una encuesta de m uestreo) tenga un aparato de televisión a color, un aparato de televisión en blanco y negro, o am bas clases de apara tos respectivam ente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o am bas clases de aparatos? Solución Si A es el ev en to de q u e una fam ilia en esta zona m etropolitana tenga un ap ara to de televisión a color y B es el evento de que tiene un aparato blanco y negro, tenem os P ( A ) = 0.86, P ( B ) = 0.35 y P{ A D B) = 0.29; al sustituir en la fórm ula del teo rem a 2.7 nos da P ( A U B ) = 0.86 + 0.35 - 0.29 = 0.92 A EJEMPLO 2.13 C erca de cierta salida de la c a rretera 1-17, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un cam ión parado en un retén tendrá frenos defectuosos o neum áticos muy gastados. Tam bién, la probabilidad es 0.38 de que un cam ión parado en el retén tendrá frenos defec tuosos y/o neum áticos m uy gastados. ¿C uál es la probabilidad de que un cam ión parado en este retén tendrá los frenos defectuosos así com o los neum áticos muy gastados? Solución Si B es el evento que un cam ión parado en el retén tendrá frenos defectuosos y T es el even to de que ten d rá neum áticos m uy gastados, tenem os P{B) = 0.23, P( T ) = 0.24 y P ( B U T) = 0.38; al sustituir en la fórm ula del teorem a 2.7 nos da 0.38 = 0.23 + 0.24 — P ( B C \\T )
Sección 2.5: Algunas reglas de probabilidad 45 Al resolver para P (B D T), obtenem os P {B fl T ) = 0.23 + 0.24 - 0.38 = 0.09 ▲ A l usar repetidam ente la fórm ula del teorem a 2.7, podem os generalizar esta re gla de adición de m anera que se aplique a cualquier núm ero de eventos. Por ejem plo, para tres eventos obtenem os t e o r e m a 2 .8 Si A . B y C son tres eventos cualquiera en el espacio m uestral 5 , entonces P ( A U B U C ) = P ( A ) + P( B ) + P{ C) - P{ A C B) — P( A O C) - p { B n c ) + p (a r b h c ) D em ostración. A l escribir A U B U C com o A U (B U C) y al aplicar la fórm ula del teorem a 2.7 dos veces, una vez para P[A U ( f i U C ) ] y una vez para P ( B U C), obtenem os P ( A U B U C ) = P[AU(0UC)] = P ( A ) + P ( B U C) - P[ A H ( B U C)] = P{ A) + P( B) + P(C) - P( B H C) - p [a n (suc)] Entonces, usam os la ley distributiva que se pidió al lector que verificara en el in ciso (b) del ejercicio 2.1, encontram os que p [a n ( b u c)] = p [(a n B) u (a n c)] = p (a d b ) + p (a n c) - p [(a n B ) n {a n c ) ] = p (a n B) + p (a n c ) - P { A r \\ b h c ) y por tanto que P ( A U B U C) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) - P ( A D B ) - P { A D C) - P ( B n q + p(/inBnc) ▼ (E n el ejercicio 2.30se pedirá al lector que dé una dem ostración alternativa de este teorem a, basado en el m étodo usado en el texto p a ra dem ostrar el teorem a 2.7.) EJEMPLO 2.14 Si una persona acude con su dentista, supongam os que la probabilidad de que le lim pie la dentadura es 0.44, la probabilidad de que le tape una caries es 0.24, la probabili d a d de q u e se le e x tra ig a un d ie n te es 0 .2 1 , la p ro b a b ilid a d d e q u e se le lim p ie la dentadura y le tap e una caries es 0.08, la probabilidad de que le lim pie la d en tad u ra y
Capítulo 2: Probabilidad le extraiga un d ien te es 0 .1 1 , la probabilidad de q ue le tap e una caries y le saque un diente es 0.07, y la p ro b ab ilid ad de que le lim pie la d e n ta d u ra, le tap e una caries y le saque un diente es 0.03. ¿C uál es la probabilidad de que a una persona que acude con su den tista se le haga por lo m enos una de estas cosas? Solución Si C es el even to que a la persona se le lim pie la dentadura, F e s el evento que se le tape una caries, y £ es el evento de que se le saque un diente, se nos da P ( C ) = 0.44, P( F) = 0.24, P { E ) = 0.21, P ( C (~) F) = 0.08, P ( C C E ) = 0.11, P ( F H £ ) = 0.07 y P ( C (~\\ FC\\ E ) = 0.03, y la sustitución en la fó rm u la del te o rema 2.8 nos da P ( C U F U E ) = 0.44 + 0.24 + 0.21 - 0.08 - 0.11 - 0.07 + 0.03 = 0.66 A EJERCICIOS 2.23 U se las p a rte s (a ) y (b) del ejercicio 2.4 p a ra d e m o stra r que (a) P(A) £ P ( A D B ) ; (b) P( A) £ P ( A U B ) . 2.24 C o n re fe re n c ia a la figura 2.9, verificar que p ( a n b ') = p {a ) - p ( a n b ) 2 .2 5 C o n refe re n c ia a la figura 2.9 y h acien d o q u e P ( A ' C\\ B ‘) = d, verificar que p (a ' n B ‘ ) = i - p {a ) - p { b ) + p ( a n b ) 2 J 6 El evento que \"A o B pero no am bos” ocurrirá se puede escribir como (Anfi')u(A'nfí) Exprese la probabilidad de este evento en térm inos de P( A) , P( B) y P ( A H B). 2~27 U se la fó rm u la del te o re m a 2.7 p a ra d e m o s tra r que (a) P( A C B) ^ P{A) + P(B); (b ) P ( A C \\ B ) g; P { A ) + P ( B ) - 1. 2 .2 8 U se el diagram a de Venn de la figura 2.10 con lasprobabilidades a, b , c, d , e . f y g asignadas a A D B H C . A D B C ) C ' , y A H B' O C ' p ara m ostrar que si P ( A ) — P { B ) = P ( C ) = 1, en to n ces P { A Cl B f l C ) = 1. (Sugerencia: Em piece con el argum ento que puesto que P( A) = 1, se concluye que e = c = f = 0 .) 2.29 D é una dem ostración alternativa del teorem a 2.7 usando las relaciones A U B = A U { A ’ O B) y B = (A H B) U (A' d B). 2J O U se el diag ram a de V enn de la figura 2.10 y el m éto d o p o r el que se dem ostró el teo re m a 2.7 p ara p ro b ar el teorem a 2.8
Sección 2.5: Algunas reglas de probabilidad 47 F ig u r a 2 .1 0 D ia g ra m a para los ejercicios 2.28, 2 .3 0 y 2.31. 231 R epetir el m étodo de dem ostración usado en el ejercicio 2.30 para dem ostrar que P{A U B U C U D ) = P{A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A D B) c) c)- p (a n - p (a n D) - P(B n - p(b n d ) - p (c n d ) + p (a n b n c ) + p (a n b n d ) + P(A n c r\\ D) + P(B n c r D) - p (a c B r e n D) (Sugerencia: C on respecto al diagram a de Venn de la figura 2.10 divida cada una de las ocho regiones en dos partes, designando a una estar dentro de D y la otra fuera d e D y sean a. b, c, d, e . f , g. h, i,j, k. I . m . n . o y p las probabilidades aso ciadas c o n las 16 reg io n es resultantes. 2 3 2 D em uestre por inducción que P ( E t U U U E n) S ¿ P( E, ) 1-1 p a ra cualquier secuencia finita d e eventos E 2, - . . , y E n. 2 3 3 La v e n ta ja de que un evento ocurrirá está dada por la razón de la probabilidad de que el evento ocurra a la probabilidad de que no ocurra, siem pre que nin guna de las probabilidades sea cero. La ventaja generalm ente se indica en tér m inos d e e n te ro s positivos q u e n o tien en un facto r en com ún. M o strar q u e si la ventaja es a a b de que un evento ocurrirá, su probabilidad es a P ~ a+b 2 34 Se pueden determ inar las probabilidades subjetivas al exponer a las personas a situaciones donde se corren riesgos y al en co n trar la ventaja a la cual conside rarían justo apostar al resultado. La ventaja entonces se convierte en probabi
Capítulo 2: Probabilidad lidades p o r m edio de la fórm ula del ejercicio 2.33. Por ejem plo, si una persona siente que la ventaja de 3 a 2 es ventaja justa de que una em presa comercial ten d rá éx ito (o q ue sería ju sto ap o star $30 co n tra $20 a q ue ten d rá éxito), la probabilidad es ^ ^ ^ = 0.6 de que la em presa comercial tendrá éxito. D em uestre que si las p robabilidades subjetivas se d eterm in an de esta m an era, satisfacen (a) el postulado 1 en la página 37; (b) el postulado 2. V éase tam b ién el ejercicio 2.56. A P L IC A C IO N E S 2.35 U n e x p e rim e n to tien e cinco resu ltad o s posibles. A, B, C, D, y E, q u e son m u tu am en te excluyentes. V erifique si las asignaciones de probabilidades siguientes son perm isibles y explique sus respuestas (a) P( A) = 0.20, P(B) = 0.20, P( C) = 0.20, P( D) = 0.20 y P( E) = 0.20; (b ) P{ A) = 0.21, P( B) = 0.26, P( C) = 0.58, P( D) = 0.01 y P( E) = 0.06; (c) P ( A) = 0.18, P ( B ) = 0.19, P(C) = 0.20, P( D) = 0.21 y P( E) = 0.22; (d) P( A ) = 0.10, P( B) = 0.30, P(C) = 0.10, P(D) = 0.60 y P(E) = -0.10; (c) P{A) = 0.23, P(B) = 0.12, P{C) = 0.05, P(D) = 0.50 y P{E) = 0.08. 2J ó Si A y B son m utuam ente excluyentes, P(A) = 0.37 y P{B) = 0.44, encontrar (a) P(A')\\ (b) P(B'); (c) P(AUB)-, (d) P (/l O fi); (e) P(Ar\\B'); (f) P ( A ' H B ’). 2 J 7 Explique por quéhay un erro r en cada una de lassiguientes declaraciones: (a) La probabilidad de que Jean apruebe el exam en de la b arra de abogados e s 0.66 y la p ro b ab ilid a d d e q u e n o lo pase es —0.34. (b) La probabilidad de que el equipo de casa gane un juego de fútbol venide ro es 0.77, la probabilidad de que se em pate el ju ego es 0.08, y la probabi lidad de que gane o em pate el juego es 0.95. (c) Las probabilidades de que una secretaria com eta 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 o más erro res al m ecanografiar un inform e son. respectivam ente, 0.12,0.25,0.36,0.14. 0.09 y 0.07. (d) Las probabilidades de que un banco reciba 0 .1 ,2 ,3 o m ás cheques malos en un día dado son, respectivam ente, 0.08,0.21.0.29 y 0.40. 2.38 S u p o n g am o s q u e a cad a u n o d e los 30 p u n to s del esp acio m uestral del ejercicio 2.10 se le asigna la probabilidad E ncuentre las probabilidades de que en un m om ento dado (a) al m enos una de las cam ionetas esté vacía; (b) cada una de las cam ionetas transporte el mismo núm ero de pasajeros;
Sección 2 .5: Algunas reglas de probabilidad 49 (c) la cam ioneta más grande transporte m ás pasajeros que la cam ioneta más pequeña; (d) juntas transporten al m enos seis pasajeros. 2.39 Las probabilidades de que la facilidad de darle servicio a una nueva m áquina de rayos X se clasifique com o muy difícil, difícil, prom edio, fácil o m uy fácil son. respectivam ente, 0.12, 0.17, 0.34. 0.29 y 0.08. E ncuentre las probabilidades de que la facilidad de darle servicio a la m áquina se clasifique (a) difícil o muy difícil: (b) ni m uy difícil ni m uy fácil; (c) prom edio o peor: (d) prom edio o mejor. 2 .4 0 Un d epartam ento de policía necesita neum áticos nuevos para sus carros p atru llas y las probabilidades son 0.15, 0.24, 0.03, 0.28, 0.22 y 0.08 respectivam ente que com prará neum áticos U niroyal. neum áticos G oodyear, neum áticos Miche- lin, neum áticos G eneral, neum áticos G oodrich o neum áticos A rm strong. E n cuentre las probabilidades de que com prará (a) neum áticos G oodyear o Goodrich; (b) neum áticos U niroyal. M ichelin. o G oodrich; (c) neum áticos M ichelin, o A rm strong; (d) neum áticos U niroyal , M ichelin, G eneral, o Goodrich. 2.41 U n som brero contiene veinte papeletas blancas num eradas del 1 al 20. diez p a peletas rojas num eradas del 1 al 1 0 . cuarenta papeletas amarillas num eradas del 1 al 40. y d iez p a p e le ta s azules n u m era d as del 1 al 10. Si e stas p a p e le ta s se m ez clan m uy bien para que cada una tenga la m ism a probabilidad de salir, encuen tre las probabilidades de sacar una papeleta que sea: (a) azul o blanca; (b ) n u m e ra d a 1. 2, 3 .4 o 5; (c) roja o am arilla y n u m e ra d a 1 ,2 ,3 o 4; (d ) n u m e ra d a . 5, 15, 25 o 35; (e) blanca y con núm ero m ayor que 12 o am arilla y con núm ero m ayor que 26. 2 .4 2 C uatro candidatos están buscando una vacante en un consejo escolar. Si A tie ne el doble de posibilidades que fí de ser elegido, y a A y a B se le dan las m is mas oportunidades de ser electos, m ientras que C tiene el doble de posibilidades que D de ser electo, ¿cuáles son las probabilidades de que (a) C gane; (b) A no gane. 2 .4 3 Dos cartas se extraen aleatoriam ente de una baraja de 52 cartas de ju eg a Encuen tre la probabilidad de que am bas cartas sean m ayores que 3 y m enores que 8 . 2 .4 4 En un juego de póker. cinco cartas se reparten aleatoriam ente de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego. E ncuentre las probabilidades de sacar (a) dos pares (dos valores cualquiera distintos que ocurren dos veces exactamente) (b) cuatro de una clase (cuatro cartas con el mismo valor).
Capítulo 2: Probabilidad 2.45 En un ju eg o de Yahtzee, se tiran sim ultáneam ente cinco dados balanceados. E n cuentre las probabilidades de sacar (a) dos pares; (b) tres d e una clase; (c) un “ f u ir (tres de una clase y un par); (d ) c u a tro de una clase. 2 .4 6 D e los 78 doctores del personal de un hospital, 64 tienen seguro contra tratam ien to erróneo, 36 son cirujanos y 34 de los cirujanos tienen seguro contra tratam iento erróneo. Si uno de estos doctores se escoge al azar para representar al personal del hospital en una convención de la A.M . A. (esto es, cada doctor tiene una pro babilidad de ^ de ser seleccionado), ¿cuál es la probabilidad de que el seleccio nado no sea un cirujano y no tenga seguro contra tratam iento erróneo? 2 .4 7 Explique sobre la base de las diversas reglas de los ejercicios 2.23 a 2.27por qué hay un error en cada uno de los siguientes enunciados; (a) La probabilidad de que llueva es 0.67, y la probabilidad de que llueva o nieve es de 0.55. (b) La probabilidad de que una estudiante obtenga una calificación aprobato ria en inglés es 0.82, y la probabilidad de que obtenga una calificación ap ro b ato ria en inglés y francés es 0 .8 6 . (c) La probabilidad de que una persona que visite el zoológico de San D iego vea las jirafas es 0.72, la probabilidad de que vea los osos es de 0.84 y la probabilidad de que vea am bos es 0.52. 2 .4 8 D ad o P{A) = 0.59, P( B) = 0.30 y P( A O B ) = 0.21, encontrar (a) P { A U B ) \\ (b) P ( A n f l') ; (c) P { A ' ( J B ‘); (d) P (A 'flB '). 2 .4 9 Para parejas casadas que viven en cierto suburbio, la probabilidad de queelm a rid o vote e n u n a elecció n del co n sejo esco lar es de 0 .2 1 , la p ro b ab ilid a d d e que la esposa vote es de 0.28, y la pro b ab ilid ad d e q ue am bos voten es de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que al m enos uno de ellos vote? 2 .5 0 U na profesora de biología tiene dos asistentes graduados que la ayudan con su investigación. La probabilidad de que el m ayor de los dos asistentes se ausente en un día dado es 0.08, la probabilidad de que el m ás jo v en de los dos se ausen te en un día dado es 0.05 y la probabilidad de que am bos se ausenten en un día dado es 0.02. E ncuentre las probabilidades de que (a) cualquiera o am bos de los asistentes graduados esté ausente en cualquier día dado; (b) al m enos uno de los dos asistentes graduados no esté ausente en cualquier día dado; (c) sólo uno de los dos asistentes graduados esté ausente en cualquier día d ad a 2 .5 1 En el R oanoke College se sabe que } de los estudiantes no viven en el campus. Tam bién se sabe que | de los estudiantes son oriundos del estado de Virginia y que i de los estudiantes son de fuera del estado o viven en el campus. ¿Cuál es
Sección 2 .5: Algunas reglas de probabilidad 51 la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriam ente del R oanoke College sea de fuera del estado y viva en el cam pus? 2 .5 2 Suponga q u e si una persona visita D isneylandia. la probabilidad de que vaya al C rucero d e la Jungla es 0.74, la probabilidad de que se suba al M onorriel es 0.70, la probabilidad de que tom e el paseo del M atterhorn es 0.62, la probabili dad de q ue vaya al C rucero de la Jungla y se suba al M onorriel es 0.52, la pro babilidad de que vaya al C rucero de la Jungla así com o tom e el paseo del M atterh o rn es 0.46, la probabilidad de que se suba al M onorriel y tom e el p a seo del M atterhorn es 0.44, y la probabilidad de que haga estas tres cosas es 0.34. ¿C uál es la probabilidad de q u ' una persona que visite D isneylandia hará al m enos una de estas tres cosas? 2 .5 3 Supongam os que si una persona viaja a E uropa p or prim era vez. la probabili d ad de q ue visite L ondres es 0.70, la probabilidad de que visite París es 0.64, la probabilidad de que visite Rom a es 0.58, la probabilidad de que visite A m ster- dam es 0.58, la probabilidad de q ue visite L ondres y París es 0.45, la probabili d ad de q ue visite L ondres y R om a es 0.42, la probabilidad de que visite Londres y A m sterdam es 0.41, la probabilidad de que visite París y R om a es 0.35, la p ro babilidad d e que visite París y A m sterdam es 0.39, la probabilidad de que visi te R om a y A m sterdam es 0.32, la probabilidad de que visite Londres, París y R om a es 0.23, la probabilidad de que visite Londres, París y A m sterdam es 0.26, la probabilidad de q ue visite Londres, R om a y A m sterdam es 0.21, la p ro b ab i lidad de q ue visite París, R om a y A m sterdam es 0.20, y la probabilidad de que visite to d as estas cuatro ciudades es 0.12. ¿C uál es la probabilidad de que una persona que viaja a E uropa por prim era vez visite al m enos una de estas cua tro ciudades. (Sugerencia: Use la fórm ula del ejercicio 2.31.) 2 .5 4 Use la fórm ula del ejercicio 2.33 para convertir cada una de las siguientes ven tajas en probabilidades: (a ) Si se escogen a le a to ria m e n te tre s huevos d e u n a caja d e 12 huevos d e los cu ales tre s e stá n rotos, la v e n ta ja es d e 34 a 21 d e q u e al m en o s u n o de ellos estará roto. (b ) Si u n a p e rso n a tien e o c h o billetes d e $1. cinco b illetes de $5, y un billete de $2 0 , y aleatoriam ente selecciona tres de ellos, la ventaja es de 11 a 2 de que no todos serán billetes de $1. (c) Si disponem os arbitrariam ente las letras de la palabra “nest”, la ventaja es de 5 a 1 de que no o b ten d rem o s una palabra que signifique algo en inglés. 2 .5 5 U se la definición de \"ventaja\" d ad o en el ejercicio 2.33 para convertir cada una de las siguientes probabilidades a ventaja: (a) La probabilidad de que el últim o dígito de las placas de circulación de un autom óvil sea un 2, 3 .4 . 5, 6 o 7 es de íb ) La probabilidad de sacar al m enos dos caras en cuatro lanzam ientos de una m o n ed a b a la n c e ad a e s jj¡. (c) La probabilidad de tirar \"7 u 11\" con un par de dados balanceados es 2.56 Si las probabilidades subjetivas se determ inan por el m étodo sugerido por el ejercicio 2.34, el tercer postulado de probabilidad puede no satisfacerse. Sin em-
52 Capítulo 2: Probabilidad bargo, los proponentes del concepto de probabilidad subjetiva generalm ente im ponen este postulado com o un criterio de congruencia; en otras palabras, con sideran las probabilidades subjetivas que no satisfacen el postulado com o incongruentes. (a) La directora de una secundaria piensa que la ventaja es 7 a 5 contra ella para obtener un aum ento de $ 1,000 y 11 a 1 contra ella de obtener un au m en to de $2.000. A dem ás, piensa que o b ten e r uno de estos au m en to s o el otro es una apuesta pareja. Exam ine la congruencia de las probabilidades subjetivas correspondientes. (b) C u an d o a un funcionario de un p artid o político le p reg u n tan sobre su futuro político, responde que la ventaja es 2 a 1 a que no se postulará para la C ám ara de R epresentantes, y 4 a 1 a que no se postulará para el Senado. A dem ás, siente que la ventaja es 7 a 5 a que se p o stu lará p ara una o el otro. ¿Son congruentes las probabilidades correspondientes? 2.57 H ay dos Porsches en una carrera de autom óviles en Italia, y un rep o rtero cree que la ventaja contra que ganen es de 3 a 1 y de 5 a 3. P ara ser congruente (véa se el ejercicio 2.56), ¿qué ventaja debe asignar el reportero al evento que uno de los dos autom óviles gane? 2.58 Si hacem os x = al núm ero de puntos en las caras de arriba cuando se lanzan un p a r de dad o s, e n to n c e s p o d e m o s u sa r el esp acio de m u estre o S2 d el e je m p lo 2.2 para describir los resultados del experim ento. (a ) E n c u e n tre la p ro b ab ilid a d d e cada resu lta d o e n S 2- (b ) V erifique q u e la sum a d e e sta s p ro b ab ilid a d e s e s 1. 2.59 U se un program a de com putadora que pueda generar enteros aleatoriam ente en el intervalo (0 , 1 0 ) con iguales probabilidades, genere 1.000 de tales enteros y use la interpretación de frecuencia para estim ar la probabilidad de que un en tero escogido aleatoriam ente tenga un valor m enor que 1. 2.60 U se el m étodo del ejercicio 2.59, genere un segundo conjunto de enteros alea torios en (0,10). Estim e la probabilidad de que A: un entero seleccionado aleato riam ente del prim er conjunto sea m enor que 1 ó B. un entero seleccionado aleatoriam ente del segundo conjunto sea m enor que 1. (a) use la interpretación de frecuencia de las probabilidades; (b ) use el teorem a 2.7 y P ( A H B ) = 0.25. 2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL C uando las probabilidades se citan sin especificar el espacio m uestral pueden aparecer dificultades con facilidad. Por ejem plo, si p reguntam os la probabilidad de que un ab o gado gane m ás d e $50.000 al año. bien podría ser que obtuviéram os varias respuestas diferentes y todas podrían ser correctas. U na de ellas podría aplicarse a todos los gra duados de facultades de leyes, otra podría aplicarse a todas las personas con licencia pa ra practicar la profesión legal, una tercera podría aplicarse a todas aquellas dedicadas activam ente a la práctica de la profesión legal, y así sucesivam ente. Puesto que la elec
Sección 2.6: Probabilidad condicional 53 ción de un espacio m uestral (esto es, el conjunto de todas las posibilidades bajo consi deración) no es siem pre evidente por sí mismo, a m enudo ayuda a usar el sím bolo P ( A |S ) para d e n o ta r la probabilidad condicional del evento A relativa al espacio m ues tral S o, com o tam b ié n la llam am os, \"la p ro b ab ilid a d de A d a d o S\". E l sím b o lo P ( A |S) hace explícito que nos estam os refiriendo a un espacio m uestral particular 5, y es pre ferible que la notación abreviada P ( A ) a m enos que la elección tácita de S se en tien da claram ente. Tam bién es preferible cuando querem os referirnos a varios espacios m uéstrales en el m ism o ejem plo. Si A es el evento de que una persona gane m ás de $50.000 al año, G es el evento de que una persona sea un graduado de la facultad de le yes, L es el evento de que una persona tenga licencia para practicar la profesión legal, y E es el evento de que una persona esté dedicada activam ente a la práctica de la profe sión legal, entonces P ( A \\ G ) es la probabilidad de que un graduado de la facultad de leyes gane m ás d e $50,000 al año, P ( A \\ L ) es la probabilidad de que una persona con licencia para practicar la profesión legal gane m ás de $50.000 al año y P ( A \\ E ) es la probabilidad de q ue una persona dedicada activam ente a la práctica de la profesión le gal gane m ás de $50,000 al año. En los siguientes ejem plos se ilustran algunas ideas relacionadas con las probabi lidades condicionales. EJEMPLO 2.15 U na organización de investigación de los consum idores ha estudiado los servicios con ga rantía proporcionados por las 50 agencias de autom óviles nuevos en una cierta ciudad, y en la tabla siguiente se resum en sus hallazgos. Unen servicio Mal servicio de garantía de garantía En operación por 10 años o más 16 4 En operación menos de 10 años 10 20 Si una persona selecciona aleatoriam ente una de estas agencias de autom óviles nuevos, ¿cuál es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garan tía? Tam bién, si u n a p erso n a selecciona a le a to riam e n te una de las agencias q u e han operado por 10 artos o más, ¿cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporciona buen servicio de garantía? Solución Por “aleatoriam ente\" querem os decir que, en cada caso, todas las selecciones son igualm ente probables y podem os p o r tan to usar la fórm ula del teorem a 2.2. Si G d en o ta la selección de la agencia que p roporciona buen servicio de garantía, y si n { G ) denota el núm ero de elem entos en G y n (S ) el núm ero de elem entos en el espacio m uestral com pleto, obtenem os E sto contesta la prim era pregunta.
54 Capítulo 2: Probabilidad Para la segunda pregunta, nos circunscribimos al espacio m uestral reducido q u e co n sta d e la p rim e ra línea d e la tab la , e sto es, las 16 + 4 = 20 agencias que han e sta d o o p e ra n d o p o r 10 a ñ o s o más. D e éstas, 16 p ro p o rc io n a n b u en servicio de garantía y obtenem os p ( C \\ T) = ^ = 0.80 d o n d e T d e n o ta la selección d e u n a agencia q u e h a o p e ra d o p o r 10 añ o s o más. E sto resp o n d e la seg u n d a p re g u n ta y, c o m o se d eb ió h a b e r e sp era d o , P ( G \\ T) es considerablem ente más alta que P(G). ▲ P u e sto q u e el n u m e ra d o r de P ( G | T ) e s n( T f l G ) = 16 en el e je m p lo p re c e d e n te, el núm ero de agencias que han operado por 10 años o m ás y brindan buen servicio d e g a ra n tía y el d e n o m in a d o r es n( T) , el n ú m ero d e agencias q u e h a n o p e ra d o 10 años o más. podem os escribir con símbolos p^ =n(Jñ r Entonces, si dividim os el num erador y el denom inador entre n(S ), el núm ero total de agencias de autom óviles nuevos en la ciudad dada, obtenem os n (TD G ) \"(S ) _ P ( T C G ) nG]T) - ~ ~ ñ fr n(S) y así, h em o s e x p re sa d o la p ro b a b ilid a d con d icio n al P ( G 17 ) e n térm in o s d e d o s p ro b a bilidades d efinida p ara todo el espacio m uestral S. G eneralizando de lo anterior, definam os ahora la probabilidad condicional. d efin ició n 2.1 Si A y B son dos even to s cualquiera en un espacio m uestral S y P ( A ) ^ 0, la p ro b a b ilid ad condicional de B dado A es p ^ = -p w EJEMPLO 2.16 C on respecto al ejem plo 2.15, ¿cuál es la probabilidad de que una de las agencias que ha operado m enos de 10 años proporcionará buen servicio de garantía?
Solución Sección 2 .6 : Probabilidad condicional 55 Puesto que P ( T ’ O G ) = = 0.20 y P ( T ' ) = ^ ^ = 0-60 - la sustitución en la fórm ula nos da P{( G1\\ r )' = P { Pr n( TG) ) = °-^ = -l a 0.60 3 A unque presentam os la fórm ula para P( B\\ A) po r m edio de un ejem plo donde las posibilidades son igualm ente probables, esto no constituye un requisito para su uso. EJEMPLO 2.17 C on respecto a los dados am añados del ejem plo 2.9, ¿cuál es la probabilidad de q ue el núm ero de p untos tirados sea un cuadrado perfecto? Tam bién, ¿cuál es la probabilidad de que sea un cuadrado perfecto dado que es m ayor que 3? Solución Si A es el ev en to de que el núm ero de puntos tirados sea m ayor que 3 y B es el evento de que es un cuadrado perfecto, tenem os A — {4.5 .6 }. B = {1,4} y A C\\ B = {4}. P u e sto q u e las p ro b ab ilid a d e s d e tira r un 1 .2 .3 .4 .5 o 6 con eld a d o son 9, 9, 9, « .i y 9 (v éase p ág in a 39). e n c o n tra m o s q u e la resp u e sta a la p rim e ra pregunta es 'w = Í + ¿-| Para determ inar P(B\\A), calculam os prim ero P(A H B) — ^ y /*(/!) = I + | + I = Í Entonces, al sustituir en la fórm ula de la definición 2.1, obtenem os Para verificar que la fórm ula de la definición 2.12 ha dado la respuesta “correc ta\" en el ejem plo precedente, sólo tenem os que asignar probabilidad v a los dos n ú m eros pares en el espacio m uestral reducido A y probabilidad 2v al núm ero impar, de tal m a n e ra q u e la su m a d e las tre s p ro b a b ilid a d e s se a igual a 1. A sí te n e m o s v + 2 v + v = 1, v = | y. p o r tan to , P ( B \\ A ) = ¡ co m o antes. EJEMPLO 2.18 Un fabricante de partes de aeroplano sabe, por experiencia, que la probabilidad de que una orden esté lista para em barque a tiem po es 0.80. y de q ue esté lista para em barque
56 Capítulo 2: Probabilidad a tiem po y tam bién se entregue a tiem po es 0.72. ¿C uál es la probabilidad de que tal orden se entregue a tiem po dado que estuvo lista para em barque a tiem po? Solución Si R representa el evento de que una orden esté lista para em barque a tiem po y D sea el evento que se entregue a tiem po, tenem os P ( R ) = 0.80 y P ( R H D ) = 0.72, y resulta que v' P(R) 0.80 Así, 90% de los em barques se entregarán a tiem po con tal que sean em barcados a tiem po. A dvierta que P { R \\ D ) , la probabilidad de que un em barque qu e se en tregó a tiem po tam bién estuvo listo para em barque a tiem po, no se puede deter m inar sin inform ación adicional; para este propósito tam bién tendríam os que saber P(D). A Si m ultiplicam os las expresiones de am bos lados de la fórm ula de la definición 2.1 p o r P { A ) . o b te n e m o s la siguiente re g la d e m u ltip lica c ió n . t e o r e m a 2.9 Si A y B son dos ev en to s cu alq u iera en un espacio m u estral S y P(A) & 0. entonces P(A r\\B) = P{A)-P(B\\A) En palabras, la probabilidad de que A y B ocurran am bos es el producto de la p ro b a bilidad d e A y la p ro b ab ilid a d condicional de B d a d o A. A ltern a tiv a m e n te, si P ( B ) ^ 0, la probabilidad d e que A y B o curran am bos es el producto de la probabilidad d e B y la probabilidad condicional de A dado fi; con símbolos P(A D B ) = P{B)‘ P(A\\B) Para derivar esta regla alternativa de m ultiplicación, intercam biam os A y fi en la fórm u la d el te o re m a 2.9 y nos valem os del h e c h o q u e A Ci fi = f i f l A . EJEMPLO 2.19 Si seleccionam os a le a to ria m e n te dos cinescopios en sucesión de un e m b a rq u e d e 240 ci nescopios, d e los cuales 15 e stá n defectuosos, ¿cuál e s la p ro b ab ilid ad d e q u e am b o s e s tén defectuosos? Solución Si suponem os probabilidades iguales para cada selección (que es lo que q u ere m os d ecir al seleccionar aleato riam en te cinescopios), la p ro b ab ilid ad de que el prim er cinescopio esté defectuoso es ¿ 5 , y la probabilidad de que el segundo ci nescopio esté defectuoso dado que el prim er cinescopio está defectuoso es A sí la probabilidad de q ue am bos cinescopios estén defectuosos es ¿ 5 • = 1 ^ 2 •
Sección 2.6: Probabilidad condicional 57 Esto supone que estam os m u estrean d o sin reem plazo; esto es, el prim er cinesco pio no se reem plaza antes de que se seleccione el segundo cinescopio. ▲ EJEMPLO 2.20 Encuentre las probabilidades de sacar aleatoriam ente dos ases de una baraja ordinaria de 52 cartas de ju eg o si m ucstream os (a) sin reem plazo; (b ) con reem plazo. Solución (a ) Si la p rim e ra carta no se reem p laza an tes de que se saque la seg u n d a. la probabilidad de sacar dos ases en sucesión es 4_2= 1 5 2 '5 1 221 (b ) Si la prim era carta se reem plaza antes de q ue se saque la segunda, la p ro babilidad correspondiente es 4 4= 1 A 52 ' 52 “ 169 En las situaciones descritas en los dos ejem plos precedentes hay un orden tem poral definido en tre los dos eventos A y B. En general, éste no tiene que ser el caso cuando escribim os P ( A \\B) o P ( B \\ A ) . Por ejem plo, podríam os preguntar por la proba bilidad de q ue la prim era carta qu e se sacó sea un as dado que la segunda carta que se sacó (sin reem plazo) es un as: la respuesta tam bién sería El teorem a 2.9 se puede generalizar fácilm ente para que sea válido en m ás de dos eventos; por ejem plo, para tres eventos tenem os t e o r e m a 2.10 Si A , B y C son tres eventos cualquiera en un espacio m uestral 5 tal que P ( A Pl B) ^ 0, entonces P ( A n B n C) = P ( A ) • P { B \\ A ) - P ( C \\ A n B) D e m o stra c ió n . E scrib ien d o á f l f l O C c o m o (>4 f l B ) D C y u sa n d o dos veces la fórm ula del teorem a 2.9, obtenem os p ( a n b n c) = p [ { a n A) n c] = p ( a n b ) - p ( c \\ a n fl) = P ( A ) ‘P (B \\A )-P (C \\A D B) ▼
58 Capítulo 2: Probabilidad EJEM PLO 2.21 U na caja de fusibles contiene 20 fusibles, de los cuales cinco están defectuosos. Si se se leccionan tres fusibles aleatoriam ente y se sacan de la caja en sucesión sin reem plazo, ¿cuál es la probabilidad de que los tres fusibles estén defectuosos? Solución Si A es el evento de que el prim er fusible esté defectuoso, B es el evento de que el segundo fusible esté defectuoso, y C es el evento de que el tercer fusible esté defectuoso, entonces P { A) = P{B\\ A) = P(C\\A H B) = ^ y la sustitu ción en la fórm ula nos da ^ n «nc) = A .± .l 1 114 A G eneralizaciones adicionales de los teorem as 2.9 y 2.10 a & eventos son simples, y la fórm ula resultante se puede dem ostrar p or inducción m atem ática. 2.7 EVENTOS INDEPENDIENTES H ab lan d o de m an era inform al, dos eventos A y B son in d e p e n d ie n te s si la ocurrencia o no ocurrencia de cualquiera de los dos no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. Para ilustrarlo tom em os el ejem plo precedente, donde las selecciones habrían si d o in d e p e n d ie n te s si cad a fusible se h u b ie ra ree m p la z a d o a n tes de q u e el siguiente se seleccionara; la probabilidad de sacar un fusible defectuoso habría perm anecido C on sím bolos, dos eventos A y B son independientes si P ( B \\ A ) = P(B) y P ( A \\ B ) = P ( A ) , y se puede dem ostrar que cualquiera de estas igualdades implica a la o tra cuando am bas probabilidades condicionales existen, esto es, cuando ni P ( A ) ni P ( B ) es igual a cero (véase el ejercicio 2.65). A hora, si sustituim os P ( B ) p o r P ( B |A ) en la fórm ula del teorem a 2.9, obtenem os P(A (IB) = P(A)-P(B\\A) = P(A)-P(B) y usarem os esto com o nuestra definición form al de independencia. d e fin ic ió n 2.2 D os ev en to s A y B son in d e p e n d ie n te s si y sólo si P{Af\\B) = P(A)'P(B) Siguiendo los pasos en sentido inverso, podem os dem ostrar que la definición 2.2 im pli ca la definición de independencia que dim os anteriorm ente.
Sección 2.7: Eventos independientes 59 Si dos eventos no son independientes, decim os que son d ep en d ien tes. A l o b ten er la fó rm u la de la d efinición 2.2. su p o n e m o s q u e P ( B \\ A ) ex iste y, p o r ta n to , q u e P( A) ^ 0. Por conveniencia m atem ática, perm itirem os que ladefinicióntam biénsea válida c u a n d o P ( A ) = 0 y/o P ( B ) — 0. EJEMPLO 2.22 Se lanza una m oneda tres veces y se supone que los ocho resultados posibles, H H H , HHT, H T H , T H H , HTT, TH T, T T H y TTT, son igualm ente probables. Si A es el even to de que una cara ocurra en cada uno de los dos prim eros lanzamientos. B es el evento que una cruz ocurra en el tercer lanzam iento y C es el evento que exactam ente dos cru ces ocurren en los tres lanzamientos, dem uestre que (a) los eventos A y fí son independientes; (b) los eventos B y C son dependientes. Solución Puesto que A = {HHH. HHT} B = {HHT. HTT, THT. TTT} C = {H IT . TH T, TTH} A C\\ B = {H H T } B C \\C = {HTT, THT} el supuesto de que los ocho resultados posibles son todos equiprobables nos da P (A ) = i, P ( B) = }, P(C) = 1, P ( A H B) = | y P ( B D C ) = J. (a) P u esto que P ( A ) • P( B) = i ' 2 = s = P (A ^ # ) • ,os eventos A y B son in dependientes. (b ) P u esto q u e P ( B ) • P{C) = í *| = j | ^ P ( B D C ), los eventos A y B no son independientes. ▲ En relación con la definición 2.2, se puede dem ostrar que si A y B son indepen dientes. entonces tam bién lo son A y B'. A ' y B, y A ' y B'. Por ejem plo. t e o r e m a 2.1 1 Si A y B son independientes, entonces A y B' tam bién son in d e pendientes. D e m o stra c ió n . P uesto q u e A = ( A f~l B ) U ( A f l B ' ) , c o m o se le pidió al lec to r q u e d e m o s tra ra e n el inciso (a ) del ejercicio 2.4, A O B y A IT B ' so n m u tuam ente excluyentes, y A y B son independientes por suposición, tenem os P{A) = P[[A D B) U (A D B')] = P{A ClB) + P(A H B ') = p ( a ) - p ( b ) + p (a n B')
60 Capítulo 2: Probabilidad Resulta que P { A C B ' ) = P { A ) - P { A ) •P ( B ) = P (A )-[ 1 - P(B)} = P ( A ) - P ( B ■) y de ahí que A y B' sean independientes. T E n los ejercicios 2.66 y 2.67 se le pedirá al lector que dem uestre que si A y B son independientes, e n to n c e s A ' y B so n in d ep e n d ien te s y así lo son A ' y B \\ y si A y B son dependientes, entonces A y B' son dependientes. P ara ex ten d er el concepto de independencia a m ás de dos eventos, definam os lo siguiente definición 2 3 Los eventos A t , A 2 y A k son in d e p e n d ie n te s si y só lo si la p ro b ab ilid a d d e la intersección de cu alesq u iera 2, 3 o A: d e esto s ev en to s es igual al producto de sus probabilidades respectivas. Para tres eventos A , B y C. p o r ejem plo, la independencia requiere que P ( A H B ) = P (A )\"P(B) P (A n C ) = P(A)-P(C) P(BD C ) = P(B)-P(C) y P ( A D B r C ) = P(A) • P(B) • P(C) Es de interés señalar que tres o más eventos pueden ser independientes por pa rejas sin ser independientes. EJEMPLO 2.23 La figura 2.11 m u estra un diagram a de Venn con probabilidades asignadas a sus diver sas regiones. Verifique que A y B son independientes, que A y C son independientes y que B y C son independientes pero que A, B y C no son independientes. Solución P(A fl B) = Com o se puede ver en el diagram a, P( A) = P ( B ) = P(C) = P{ A r \\ C ) = P { B C \\ C ) = ¿ y P ( A D B H C) = Así,
Sección 2 .7 : Eventos independientes 61 P(B) • P(C) = - = P{BC\\C) pero P(A)-P(B)-P(C) = P(A n e n e ) A o F ig u ra 2 .1 1 D ia g ra m a de V enn para el e je m p lo 2 .2 3 . A propósito, al ejem plo anterior se le puede dar una interpretación \"real\" al con siderar un cuarto grande que tiene tres interruptores separados que controlan las luces del techo. Estas luces estarán encendidas cuando los tres interruptores estén \"hacia arri b a” y por tanto tam bién cuando uno de los interruptores esté “ hacia arriba\" y los otros d os e sté n \"h acia a b a jo ” . Si A es el e v e n to q u e el p rim e r in te rru p to r e sté “ hacia a rrib a ” , B es el ev en to q u e el segundo in te rru p to r esté “hacia a rrib a\", y C es el ev en to que el tercer in te rru p to r esté “hacia arrib a\", el diagram a de Venn de la figura 2.11 m uestra un posible conjunto de probabilidades asociado con que los interruptores estén \"hacia arri ba\" o “hacia abajo” cuando las luces del techo están prendidas. Tam bién puede suceder que P ( A fl B H C) = P ( A ) • P ( B) • P{C) sin que A . B y C sean independientes por parejas; se le pedirá al lector que verifique esto en el ejer cicio 2 .6 8 . Por supuesto, si se nos da que ciertos eventos son independientes, la probabilidad de que todos ocurran es sim plem ente el producto de sus respectivas probabilidades. EJEMPLO 2.24 Encuentre las probabilidades de obtener (a) tres caras en tres lanzam ientos aleatorios de una m oneda balanceada; (b) cuatro seis y después otro núm ero en cinco lanzam ientos aleatorios de un dado balanceado.
62 Capítulo 2: Probabilidad Solución (a) Al m ultiplicar las probabilidades respectivas, obtenem os 1 1 1_ 1 2 *2 * 2 8 (b) Al m ultiplicar las probabilidades respectivas, obtenem os 1.1.1.1.5 _ 5 A 6 * 6 6 *6 * 6 7,776 2.8 TEOREM A DE BAYES En m uchas situaciones el resultado de un experim ento depende de lo que sucede en va rias etapas interm edias. Lo siguiente es un ejem plo sencillo donde hay una etapa inter m edia que consta de dos alternativas: EJEMPLO 2.25 La term inación de un trabajo de construcción se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habrá una huelga, 0.85 de que el trabajo de cons trucción se term ine a tiem po si no hay huelga y 0.35 que el trab ajo de construcción se term ine a tiem p o si hay huelga. ¿C uál es la probabilidad de que el trab ajo de construc ción se term ine a tiem po? Solución Si A es el even to de que el trabajo de construcción se term inará a tiem po y fi es el evento de que hab rá una huelga, se nos dan fi(fi) = 0.60, P{ A\\ B' ) = 0.85 y P(A | fi) = 0.35. N os valem os de la fórm ula del inciso (a) del ejercicio 2.4, del he cho de q u e A (1 B y A B' son m u tu am en te excluyentes y de la form a a lte rn a tiva de la regla de m ultiplicación, podem os escribir p {a ) = p [ ( A n f i ) u ( A n f i ' ) ] = P(A n fi) + P { A D B ' ) = p ( b ) • p { a \\ b ) + P(B') • P(A |fi') Entonces, al sustituir los valores num éricos dados, obtenem os P( A) = (0.60)(0.35) + (1 - 0.60)(0.85) = 0.55 A U na generalización inm ediata de esta clase de situación es el caso donde la eta pa interm edia perm ite k alternativas diferentes (cuya ocurrencia se denota por fi,.
Sección 2 .8 : Te o re m a de Bayes 63 B 2, . . . , B k ). R e q u ie re el sig u ien te te o re m a , alg u n as veces llam ad o la regla de la proba bilidad total o la regla de eliminación. TEOREM A 2 .1 2 Si los ev en to s B x. B : , . . . , y B k co n stitu y en u n a p artició n del e s p acio m u estral S y P{ B¡) ^ 0 p a ra i = 1 ,2 k. en to n ces p a ra c u alq u ier ev en to A en S P ( A ) = ' S . p M - p í a Ib ,) 1=1 C om o fue definido en la nota al pie de la página 10, las B constituyen una partición del espacio m uestral si son m u tu am en te excluyentes por parejas y si su unión es igual a S. U na dem ostración form al del teorem a 2.12 consta, esencialm ente, de los m ism os pasos del ejem plo 2.25, y se le deja al lector en el ejercicio 2.74. EJEMPLO 2.26 Los m iem bros de una em presa de consultoría rentan autom óviles de tres agencias de renta de autom óviles: 60% de la agencia 1.30% de la agencia 2, y 10% de la agencia 3. Si 9% de los autom óviles de la agencia 1 necesita una afinación, 20% de los autos de la agencia 2 necesitan una afinación, y 6 % de los autos de la agencia 3 necesitan una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que un autom óvil rentado, entregado a la em p re sa. necesite una afinación? Solución Si A es el evento de que el autom óvil necesita una afinación,y B x, B-, y B y son los even tos de que el autom óvil venga de las agencias 1, 2 o 3, tenem os P { B X) = 0.60, P ( B 2) = 0.30 , P { B 3) = 0.10, />(>%| f i,) = 0 .0 9 ,P ( > l|f i: ) = 0 2 0 y P ( / l |f i O = 0.06. Al sustituir estos valores en la fórmula del teorem a 2.12 obtenem os P{ A) = (0.60) (0.09) + (0.30) (0.20) + (0.10)(0.06) = 0.12 Así, 12% d e todos los autom óviles rentados entregados a esta em presa necesita rán una afinación. ▲ C on resp ecto al ejem plo precedente, supongam os que nos interesa la siguiente pregunta: si un autom óvil ren ta d o en treg ad o a la em presa de consultoría necesita una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido de la agencia de renta 2? Para responder a preguntas de esta clase, necesitam os el siguiente teorem a, llam ado el teo rema de Bayes: t e o r e m a 2 .1 3 Si B X, B 2, . . . , B k co n stitu y e una p artició n d el esp acio m u estral S y P(B,) ^ 0 para i = 1 ,2 k, entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) * 0
64 Capítulo 2: Probabilidad P { B r) - P ( A \\ B r) P {B ,\\A )= - para r = 1 ,2 ' Z P { B , ) - P ( A \\ B i) i* 1 En palabras, la probabilidad de que el evento A se haya alcanzado a través de la rési- ma ram a del diagram a de árbol de la figura 2 .1 2 , dado que se alcanzó a través de una de sus k ram as, es la razón de la probabilidad asociada con la résim a ram a a la suma de las probabilidades asociadas con todas las k ram as de! árbol. ... p ( a n B r) D em ostración. Escribimos P ( B r\\A) = — acuer t *° a *a def¡- nición d e p ro b a b ilid a d co n d icio n al, só lo te n e m o s q u e su stitu ir P ( B r) • P ( A \\ B r) con P ( A O B r) y la fó rm u la d el te o re m a 2.12 p o r P { A ) . y P(A\\Bt) A P(B, ) ■P ( A \\ B t) A f l P{A\\B2) A P(B:) P(A¡B:) ete. etc 74* V P(A\\Bk) A P ( B k) ■P (A\\ Bk) F ig u ra 2 .1 2 D ia g ra m a d e árbol para el teorem a d e Bayes. EJEMPLO 2.27 C on resp ecto al ejem plo 2.26, si un autom óvil de ren ta en treg ad o a la em presa de co n su lto ra necesita una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la agencia de renta 2 ? Solución Al sustituir las probabilidades en la página 63 en la fórm ula del teorem a 2.13, ob tenem os P(B = _ m m i o ) _______________ V 2 1 (0.60)(0.09) + (0.30)(0.20) + (0.10)(0.06) = 0.060 ” 0.120 = 0.5 O bserve q ue aunque sólo 30% de los autom óviles entregados a la em presa vie nen de la agencia 2,50% de los autom óviles que requieren una afinación vienen de esa agencia. A
Sección 2.8: Teorem a de Bayes 65 EJEMPLO 2.28 En un cierto estado. 25% de todos los autom óviles em iten cantidades excesivas de con tam inantes. Si la probabilidad es 0.99 de que un au to que em ite cantidades excesivas de contam inantes fallará las pruebas de em isión vehicular del estado, y la probabilidad es 0.17 que un autom óvil que no em ite cantidades excesivas de contam inantes aun así fa llará la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que un auto que falla la prueba em ita can tidades excesivas de contam inantes? Solución Si dibujam os esta situación com o en la figura 2.13, encontram os que las probabilida des asociadas con las dos ram as del diagram a de árbol son = (0.25)(0.99) = 0.2475 y (1 — 0.25) (0.17) = 0.1275. Así, la probabilidad de que un au to que falla la p ru e ba realm ente em ita cantidades excesivas de contam inantes es 0.2475 = 0.66 0.2475 + 0.1275 Por supuesto, este resultado tam bién se podía haber obtenido sin el diagram a al sustituir directam ente en la fórm ula del teorem a de Bayes. ▲ B 0.99 A J* • ( 0.25 ) ( 0 .99) = 0.2475 0.17 A * (0.75)(0.17) = 0.1275 F ig u ra 2 .1 3 Diagram a de árbol para el ejem plo 2.28. Aunque el teorem a de Bayes resulta de los postulados de probabilidad y la defini ción de probabilidad condicional, ha sido objeto de una amplia controversia. Es indudable la validez del teo re m a de Bayes, p ero num erosos argum entos han surgido sobre la asigna ción de probabilidades previas P( B, ) . Tam bién, una b uena dosis d e m isticism o rodea al teorem a de Bayes porque supone una forma de razonam iento \"al revés”, o a la “inversa\", esto es. razonar \"del efecto a la causa”. Por ejem plo, fallar la prueba es el efecto y em itir cantidades excesivas de contam inantes es una causa posible (ejem plo 2.28). EJERCICIOS 2.61 D e m u e stre q u e los p o stu lad o s de p ro b ab ilid a d se satisfacen p o r las p ro b a b ili d a d e s condicionales. E n o tra s p alab ras, d e m u e stre q u e si P { B ) =*= 0, en to n c e s (a) P ( A | f í ) g 0 ; (b) P ( B \\ B ) = 1; (c) P(A¡ U A 2 U = P ( A l \\ B ) + P ( A Z\\ B ) + ••• p a ra c u a lq u ier se cu e n cia d e e v e n to s m u tu a m e n te e x d u y e n te s A ,, A 2.......
Capítulo 2: Probabilidad 2.62 D em uestre p o r m edio de ejem plosnum éricos queP [B \\A ) + P{B\\A') (a) puede ser igual a 1; (b) no necesita ser igual a 1. 2.63 R epitiendo el m étodo de dem ostración del teorem a 2.10, m uestre que P ( A C \\ B C \\ C C l D ) = P { A ) - P ( B \\ A ) - P ( C \\ A n B ) ■P ( D \\ A n B n C) con tal q u e P ( A f l B O C ) ^ 0. 2.64 D ados tres eventos A , B y C tales que P ( A O B fl C ) * 0 y P ( C \\ A H B) = P(C\\B). dem uestre que P { A \\ B C \\ C ) = P(A\\B). 2.65 D em u estre que si P ( B \\ A ) = P ( B ) y P{ B) 0. entonces P ( A \\ B ) = P ( A ) . 2.66 D em u estre que si los eventos A y B son independientes, entonces (a) los eventos A ' y B son independientes; (b) los eventos A ' y B' son independientes. 2.67 D em u estre que si los eventos A y B son dependientes, entonces los eventos A y B' son dependientes. 2.68 Tom e la figura 2.14 com o referencia p ara dem o strar que P ( A D B f l C ) = P ( A ) ‘ P{B) • P(C) no implica necesariam ente que A . B . y C son todos indepen dientes por parejas. F ig u ra 2 .1 4 D ia g ra m a para los ejercicios 2 .6 8 , 2 .6 9 y 2 .7 0 . 2.69 Tome la figura 2.14 com o referencia para dem ostrar que si A es independiente de B y A es independiente d e C, entonces B no es necesariam ente independiente de C. 2.70 Tom e la figura 2.14 com o referencia para dem ostrar que si A es independiente de B y A es independiente de C, entonces A no es necesariam ente independien te dc B U C. 2.71 Si los ev en to s A , B , y C son independientes, dem uestre que (a) A y B C\\C son independientes; (b) A y B U C son independientes;
Sección 2 .8 : Teorem a de Bayes 67 2.72 D e m u e stre que se d e b e n satisfacer 2* — k — 1 co n d icio n es p a ra que k e v e n tos sean independientes. 2.73 Para cualquier evento A , dem uestre que A y 0 son independientes. 2.74 D em uestre el teorem a 2.12 valiéndose de la siguiente generalización de la ley distributiva dada en el inciso (b) del ejercicio 2 .1: / m ^ u ñ j U - U B » ) = (Anfl,)u(>inB2) u - ü ( / i n B t) APLICACIONES 2.75 H ay noventa aspirantes para un trabajo en el dep artam en to de noticias de una estación d e televisión. A lgunos son egresados de la universidad y algunos no. al gunos de ellos tienen al m enos tres años de experiencia y algunos no la tienen, el análisis exacto es Egresados de No egresados la universidad de la universidad A l m enos tres años de experiencia 18 9 M enos de tres años de experiencia 36 27 Si el orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es alea torio. G es el evento que el prim er aspirante entrevistado sea un egresado de la universidad, y T es el ev en to de que el p rim er asp iran te en trev istad o tenga al m enos tres años de experiencia, determ ine cada una de las siguientes probabi lidades directam ente de los asientos y de los renglones y colum nas de la tabla: (a) P(C)-. (b) P ( r ) - (c) P ( G D T \\ , (d) P ( G ' n r ) ; (e) P{T\\G)\\ (f) P{G'\\T'). 2.76 U se los resultados de ejercicio 2.75 para verificar que . , , p(Gnr) (a) P ( r |G ) = ^ ^ ; (b) p.( G ', \\ r,) = p y( pG{'rr)r )\\ 2.77 C on respecto al ejercicio 2.46. ¿cuál es la probabilidad de q ue el doctor escogi do para rep resen tar al personal del hospital en la convención tenga seguro con tra tratam iento erróneo dado que es un cirujano? 2.78 C on respecto al ejercicio 2.49. ¿cuál es la probabilidad de que un m arido vote en la elección dado que su m ujer va a votar? 2.79 C on respecto al ejercicio 2.51, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los estu diantes viva en el campus dado que es de fuera del estado? 2.80 U n a caja contiene 100 pelotas, de las cuales 25 son rojas, 40 son blancas, y 35 son negras. Si se seleccionan dos pelotas de la caja, ¿cuál es la probabilidad que una será roja y una será blanca
Capítulo 2: Probabilidad (a) si la prim era pelota se reem plaza antes de sacar la segunda; (b) si la segunda pelota se saca sin reem plazar la prim era? 2 J1 Se cree que las probabilidades son 0.20.0.40,0.30 y 0.10 de que los equipos de b alo n cesto de c u atro universidades, T, U. V y W. gan en el c am p eo n ato d e su conferencia. Si se pone a la universidad U bajo vigilancia y se le declara inele gible p ara el cam peonato, ¿cuál es la probabilidad de que la universidad T ga ne el cam peonato de la conferencia? 2X 2 C on respecto al ejercicio 2.52, encuentre las probabilidades de q ue una perso na que visite Disneylandia (a) viajará en el M onorriel dado que irá en C rucero de la Jungla; (b) tom ará el pasco del M atterhorn dado que irá al C rucero de la Jungla y via jará en el M onorriel; (c) no irá al C rucero de la Jungla dado que viajará en el M onorriel y/o to m a rá el paseo del M atterhorn; (d) tom ará el paseo del M atterhorn e irá al C rucero de la Jungla dado que no viajará en el M onorriel. (Sugerencia: D ibuje un diagram a de Venn y anote las probabilidades asociadas con las diversas regiones.) 2.83 La probabilidad de sobrevivir a una cierta operación de trasplante es 0.55. Si un paciente sobrevive la operación, la probabilidad de que su cuerpo rechace el trasplante en m enos de un m es es 0.20. ¿C uál es la probabilidad de que sobre viva a estas etapas críticas? 2.84 Se exam inan canastas o cajas de huevo en busca de coágulos de sangre alre m o v er a le a to ria m e n te tre s huevos sucesivam ente y e x a m in ar su co n ten id o . Si los tres huevos están bien, se em barca la caja; de otra m anera se rechaza. ¿C uál es la probabilidad de que una caja se em barque si contiene 1 2 0 huevos, de los cuales 10 tienen coágulos de sangre? 2.85 S u p o n g am o s q u e en V ancouver, B. C , la p ro b ab ilid a d de q u e a un día lluvioso de o to ñ o le siga un día lluvioso es 0.80 y la probabilidad de que a un día solea do le siga un día lluvioso es 0.60. E n co n trar las probabilidades de que a un día lluvioso d e o to ñ o le siga (a) un día lluvioso, un día soleado y otro día lluvioso; (b) dos días soleados y después un día lluvioso; (c) dos días lluviosos y después dos días soleados; (d) llueva dos días mas tarde. [Sugerencia: E n el inciso (c) use la fórm ula del ejercicio 2.63.] 2.86 U se la fórm ula del ejercicio 2.63 para encontrar la probabilidad de escoger alea toriam ente (sin reem plazo) cuatro conejillos de Indias de una jaula que contie ne 20 conejillos de Indias, de los cuales 15 e stá n san o s y 5 e stán enferm os. 2.87 Se lanza d o s veces un d a d o b alan cead o . Si A es el e v e n to d e q u e e n el p rim e r tiro salga un núm ero par, B es el evento de que en el segundo tiro salga un nú m ero par, y C es el evento de que am bos tiros resulten en el mismo núm ero, ¿son los eventos A , B y C
Sección 2.8: Teorem a de Bayes 69 (a) independientes por parejas, (b) independientes? 2.88 U n tirad o r certero acierta en el blanco con una probabilidad de 0.75. Si se su pone independencia, encuentre las probabilidades de obtener (a) un acierto seguido de dos fallas: (b) dos aciertos y una falla en cualquier orden. 2.89 U n a m o n ed a está arreg lad a d e m anera que las p robabilidades d e cara y cruz, son 0.52 y 0.48 resp ectiv am en te. Si la m o n ed a se lanza tres veces, ¿cuáles son las probabilidades de sacar (a) sólo caras; (b) dos cruces y una cara en ese orden? 2.90 U n em b arq u e de 1.000 partes contiene 1% de p artes defectuosas. E n cu en tre la probabilidad de que (a) las prim eras cuatro partes escogidas arbitrariam ente para inspección no sean defectuosas; (b) la prim era p arte defectuosa se encontrará en la cuarta inspección. 2.91 Los registros m édicos m uestran que una en tre 10 personas en una cierta ciudad tien e deficiencia tiro id ea. Si se escogen a le a to ria m e n te 12 p e rso n a s en e sta ciu dad y se les hacen análisis, ¿cuál es la probabilidad de que al m enos una de ellas tenga una deficiencia tiroidea? 2.92 Si cinco d e los 10 cam iones rep a rtid o re s d e una co m p añ ía no satisfacen los es tándares de emisión y tres de ellos se seleccionan para una inspección, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los cam iones seleccionados satisfará los es tándares de emisión? 2.93 Si una p e rso n a escoge a le a to ria m e n te c u a tro d e 15 m o n ed as de o ro q u e un cam bista tiene en alm acén, y seis de las m onedas son falsas, ¿cuál es la p ro b a bilidad de que las m onedas escogidas sean todas falsas? 2.94 U na tienda departam ental que factura a sus clientes una vez al m es ha encon trad o que si un cliente paga o p ortunam ente en un mes, la probabilidad es 0.90 d e q u e él o ella tam b ién pag u e o p o rtu n a m e n te el sig u ien te m es: sin em bargo, si un cliente no paga o p ortunam ente en un mes, la probabilidad de que él o ella pague o p ortunam ente el siguiente m es es solam ente 0.40. (a) ¿C uál es la probabilidad de que un cliente que paga o p ortunam ente en un m es tam bién pagará oportunam ente los tres meses siguientes? (b) ¿C uál es la probabilidad de que un cliente que no paga o p ortunam ente en un m es tam poco pagará oportunam ente los siguientes dos m eses y después haga un pago oportuno al m es siguiente de ello? 2.95 C on respecto a la figura 2.15, verifique que los eventos A , B, C y D son inde pendientes. A dvierta que la región que representa a A consta de dos círculos, y tam bién es así para las regiones que representan B y C. 2.96 E n una p la n ta electró n ica, se sabe p o r e x p erien cia prev ia q u e la p ro b ab ilid ad es 0.84 de que un trabajador nuevo que haya asistido al program a de capacita-
Capítulo 2: Probabilidad F ig u ra 2 .1 5 D ia g ra m a para el ejercicio 2 .9 5 . ción o adiestram iento de la com pañía cum plirá con su cuota de producción, y la p robabilidad correspondiente es 0.49 para un trab ajad o r nuevo que n o haya asistido al program a de capacitación de la com pañía. Si 70% de todos los tra bajadores nuevos asisten al program a de capacitación, ¿cuál es la probabilidad de que un trabajador nuevo cum plirá con la cuota de producción? 2.97 En un laberinto T, a una rata se le da com ida si voltea a la izquierda y una des carga de electricidad si voltea a la derecha. E n el prim er ensayo hay una pro babilidad de 50-50 de que la rata se voltee en cualquier dirección; entonces, si recibe alim ento en el prim er ensayo, la probabilidad es 0.68 de que volteará a la izquierda en el siguiente ensayo, y si recibe una descarga eléctrica en el p ri m er ensayo, la probabilidad es 0.84 de que volteará a la izquierda en el siguien te ensayo. ¿C uál es la probabilidad de que la rata voltee a la izquierda en cl segundo ensayo? 2 .9 8 Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios en tre los trabajadores y la adm inistración son por salarios, 15% p or las condicio nes de trab ajo y 25% son sobre aspectos de prestaciones. Tam bién 45% de los litigios p o r salarios se resuelven sin huelgas, 70% de los litigios por condiciones de trab ajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. ¿C uál es la probabilidad de que un litigio entre trab aja dores y la adm inistración se resuelva sin una huelga? 2 .9 9 C on respecto al ejercicio 2.98, ¿cuál es la probabilidad de que si un litigio entre los trabajadores y la adm inistración se resuelva sin una huelga, sea por salarios? 2 .1 0 0 La probabilidad de que un accidente de un solo autom óvil sea debido a frenos defectuosos es 0.04, la probabilidad de que un accidente de un solo auto sea co rrectam ente atribuido a frenos defectuosos es 0.82, y la probabilidad de que un accidente de un solo auto sea incorrectam ente atribuido a frenos defectuosos es 0.03. ¿C uál es la probabilidad de que
Sección 2 .8 : Te o re m a de Bayes 71 (a) un accidente de un solo auto será atribuido a frenos defectuosos; (b) un accidente de un solo auto atribuido a frenos defectuosos fue realm en te causado por frenos defectuosos? 2 .1 0 1 En una cierta com unidad. 8 % de todos los adultos m ayores de 50 años tienen diabetes. Si un servicio de salud en esta com unidad diagnostica correctam ente a 95% de las personas con diabetes como enferm as de diabetes e incorrecta m ente diagnostica a 2 % de todas las personas sin diabetes com o enferm as de diabetes, encuentre las probabilidades de que (a) el servicio de salud com unitario diagnosticará a un adulto m ayor de 50 co m o enferm o de diabetes; (b) una persona m ayor de 50 diagnosticada con diabetes por el servicio de sa lud realm ente tenga la enferm edad. 2 .1 0 2 Con respecto al ejem plo 2.25, suponga que descubrimos posteriorm ente que el tra bajo se term inó a tiem po. ¿C uál es la probabilidad de que haya habido una huelga? 2.1 0 3 U na casa d e ventas por correo em plea tres dependientes de alm acén, U, V y W, quienes retiran artículos de los anaqueles y los reúnen para su subsecuente ve rificación y em paque. U com ete un erro r en una orden (saca el artículo equivo cado o la cantidad equivocada) una vez de cien, V com ete un error en una orden cinco veces de cien, y W com ete un erro r en una orden tres veces de cien. Si U, V y W surten, respectivam ente, 30, 40 y 30% de todas las órdenes, ¿cuál es la probabilidad de que (a) se com eta un error en una orden; (b ) si se c o m e te un e rro r e n u n a o rd en , la o rd en h aya sido su rtid a p o r U: (c) si se co m ete un e rro r en una o rd en , la orden haya sido surtida p o r V I 2.104 La explosión en una obra en construcción pudo h aber ocurrido com o resultado de electricidad estática, mal funcionam iento del equipo, descuido o sabotaje. E ntrevistas con los ingenieros de construcción que analizaron los riesgos im pli cados dieron com o resultado cálculos de que tal explosión ocurriera con proba bilidad de 0.25 com o un resultado de la electricidad estática, 0.20 com o un resultado del mal funcionam iento del equipo. 0.40 com o un resultado de descui do, y 0.75 com o un resultado de sabotaje. Tam bién se juzgó que las probabilida des previas de las cuatro causas de la explosión eran 0.20,0.40,0.25 y 0.15. C on base en toda esta inform ación, ¿cuál es (a) la causa m ás verosímil de la explosión; (b) la causa m enos verosímil de la explosión? 2 .1 0 5 U na corredora de arte recibe un em barque de cinco pinturas antiguas del ex tranjero, y sobre la base de la experiencia pasada estim a que las probabilidades son, respectivam ente, 0.76,0.09,0.02,0.01,0.02 y 0.10 de que 0 ,1 ,2 ,3 ,4 o todas las 5 sean falsificaciones. Puesto que el costo de autenticación es bastante alto, decide seleccionar aleatoriam ente una de las cinco pinturas y enviarla para su autenticación. Si resulta que esta pintura es una falsificación, ¿qué probabilidad debe asignarle ahora a la posibilidad de que todas las otras pinturas sean tam bién falsificaciones?
Capítulo 2: Probabilidad 2.1 0 6 Para obtener respuestas a preguntas delicadas, algunas veces usamos un m étodo llamado la técnica de respuesta al azar. Supongamos, por ejemplo, que querem os determ inar qué porcentaje de los estudiantes a una universidad grande fuman m arih u an a. E lab o ram o s 20 tarjeta s •‘flash’’, an o tam o s \"F u m o m ariguana al m e nos una vez por sem ana\" en 12 de las tarjetas, donde 12 se selecciona arbitraria m ente. y \"N o fumo m ariguana al m enos una vez por sem ana\" en las otras. Entonces, dejam os que cada estudiante (en la m uestra entrevistada) seleccione al azar una de las 20 tarjetas y responda “sí\" o “no\" sin divulgar la pregunta. (a) Establezca una relación entre P (Y ). la probabilidad de que un estudiante dará una respuesta de “sí” y P ( M) . la probabilidad de que un estudiante se leccionado aleatoriam ente en esa universidad fume m arihuana al m enos una vez por semana. (b) Si 106 de 250 estudiantes respondieron \"sí” bajo estas condiciones, use el resultado del inciso (a) v ^ com o un estim ado de P( Y) para estim ar P(M). REFERENCIAS E ntre los num erosos libros de texto sobre teoría de la probabilidad publicados en años re cientes, uno de los más populares es F e l l e r , W„ A n Introduction to Probability Theory and lis Applications. Vol. 1,3rd ed. Nueva York: John W iley & Sons, Inc., 1968. Se pueden encontrar tratam ientos más elem entales en B a r r , D. R „ and Z k h n a , P. W„ Probability: M odeling Uncertainty. Reading. Mass.: A ddison- Wesley Publishing Company, Inc.. 1983, D r a p e r . N. R.. and L a w re n c e . W. E., Probability: A n Introductory Course. C’hicago: M arkam Publishing Company, 1970, F r e u n d , J. E., Introduction to Probability. Encino, Calif.: Dickenson Publishing Co.. Inc., 1973, G o l d b e r g , S., Probability— A n Introduction. M ineóla, N.Y.: D over Publications, Inc. (R eed i ción de la edición de 1960), HODGES, J. L.. and Leh.mann, E. L., Elements o f Finite Probability. San Francisco: Holden- Day, Inc., 1965, N os a l , M., Basic Probability and Applications. Philadelphia: W. B. Saunders Company, 1977. En muchos textos se dan tratam ientos más avanzados, por ejemplo. H o e l. P , P o r t , S. C , and S to n e , C. J., Introduction to Probability Theory. Boston: H oughton Mifflin Company, 1971, K h a z a n i e . R., Basic Probability Theory and Applications. Pacific Palisades. Calif.: G oodyear Publishing Company. Inc., 1976, P a rz e n , E., M odern Probability Theory and lis Applications. Nueva York: John Wiley & Sons. Inc., 1960. R oss, S., A First Course in Probability. 3rd ed. Nueva York: M acmillan Publishing C om pany, 1988, S o l o m o n , F., Probability and Stochastic Processes. U pper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1987.
CAPITULO 3 Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.1 IN T R O D U C C IÓ N 3 .2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES 3 .3 VARIABLES ALEATORIAS C O N T IN U A S 3 .4 FU N C IO N ES DE D EN SID A D DE PROBABILIDADES 3 .5 DISTRIBUCIONES M ULTIVARIADAS 3 .6 DISTRIBUCIONES M ARGINALES 3 .7 DISTRIBUCIONES C O N D IC IO N A LE S 3.1 IN TR O D U C C IÓ N E n la m ayoría d e los problem as aplicados que contienen probabilidades sólo nos inte resa un aspecto particular (o dos o unos cuantos aspectos particulares) de los resulta dos de los experim entos. Por ejem plo, cuando lanzam os un p ar de dados generalm ente nos interesa sólo el total y no el resultado de cada dado: cuando entrevistam os a una pareja de casados seleccionada aleatoriam ente quizá nos interese el tam año de su fa milia y su ingreso com binado, pero no el núm ero de años que han estado casados o el total de sus activos; y cuando m uestream os focos incandescentes producidos en serie tal vez nos interese su durabilidad o su brillantez, pero no su precio. En cada u n o de estos ejem plos nos interesan núm eros asociados con los resulta dos d e e x p erim en to s de azar, esto es, en los valores asum idos p o r las variables aleato rias. E n el len g u a je de la p ro b ab ilid a d y la estad ística, el to ta l q u e lanzam os con un p a r de dados es una variable aleatoria, el tam año de la familia de una pareja de casados esco gida aleatoriam ente y su ingreso com binado son variables aleatorias, y tam bién lo son la durabilidad y la brillantez de un foco incandescente escogido aleatoriam ente para inspección. P ara se r m ás explícitos, co n sid ere la figura 3.1, q u e (com o la figura 2.1 en la p á gina 29) representa el espacio m uestral para un experim ento en el que lanzam os un par de dados, y supongam os que cada uno de los 36 resultados posibles tiene la probabili d a d Sin e m b a rg o , a d v ie rta q u e e n la figura 3.1 h em o s aso ciad o un n ú m ero a cada punto: por ejem plo, hem os asociado el núm ero 2 al punto ( 1. 1 ), el núm ero 6 al punto (1, 5 ), el n ú m ero 8 al p u n to (6 , 2 ), e l n ú m ero 11 al p u n to (5, 6 ) y así sucesivam ente. Evi- 73
Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad Dado verde 7 8 9 10 11 12 6 •••••• 6 7 8 9 10 11 5 •••••• 5 6 7 8 9 10 4 •••••• 456 789 3— • • • • • • 3456 78 2~ • • • • • • 2 34567 1 •••••• 1l 1l l1 12 3456 F igura 3.1 N ú m e ro total de puntos obtenidos con un par de dados. dentem ente, asociam os con cada punto el valor de una variable aleatoria, esto es, el to tal correspondiente al lanzam iento del par de dados. Puesto que “asociar un núm ero con cada punto (elem ento) de un espacio mues- tral\" es sim plem ente otra form a de decir que estam os “definiendo una función sobre los puntos de un espacio m uestral”, hagam os ahora la siguiente definición. d efin ic ió n 3.1 Si S es un espacio m uestral con u n a m edida de probabilidad y X es una función de valor real definida sobre los elem entos de S. entonces X se lla m a una variable aleatoria.t En este libro siem pre denotarem os las variables aleatorias con letras m ayúsculas y sus valores con las correspondientes letras minúsculas; por ejem plo, escribirem os x para denotar el valor de la variable aleatoria X . C on relación al ejem plo precedente y a la figura 3.1, observe que la variable alea toria X asum e el valor 9, y escribim os X = 9 para el subconjunto {(6 ,3 ) , ( 5 ,4 ), (4, 5), (3, 6 )} t En algunos libros se usan los términos “variable de probabilidad”, \"variable estocástica” y \"variatc\" en vez de “variable aleatoria\".
Sección 3.1: Introducción 75 del espacio m uestral 5. Así, X = 9 se interpreta com o el conjunto de elem entos de S para el cual el total es 9, y, más generalm ente, X = x se debe interpretar com o el con ju n to de elem entos del espacio m uestral para el cual la variable aleatoria X asum e el valor x. Esto puede parecer confuso, pero recuerda a uno de los m atem áticos que di cen *71*) es una función de .r”. EJEM P LO 3.1 Se seleccionan dos calcetines al azar y se sacan en sucesión de una gaveta que contie ne cinco calcetines cafés y tres calcetines verdes. Enum ere los elem entos del espacio m uestral, las probabilidades correspondientes y los valores w q u e corresponden a la va riable aleatoria W. donde W es el núm ero de calcetines cafés seleccionados. Solución Si B y G representan café y verde, las probabilidades para B B , BG . G B y G G son, re s p e c tiv a m e n te M = & , H = ü , H = $1 y H = y los resultados se m uestran en la siguiente tabla Elemento del Probabilidad U! espacio muestral 2 5 BB 14 1 15 1 BG 56 0 15 GB 56 GG 3 28 T am bién, podem os escribir P (W = 2) = £ , p o r ejem plo, para la probabilidad d el e v e n to de q u e la v ariab le a le a to ria IV a su m irá el valor 2. ▲ EJEM PLO 3.2 Se lanza cuatro veces una m oneda balanceada. E num ere los elem entos del espacio m uestral que se presum e son igualm ente probables, ya que esto es lo que querem os de cir por una m oneda que está balanceada, y los valores correspondientes de x de la va riable aleatoria X , el núm ero total de caras. Solución Si H y T representan cara y cruz, los resultados se m uestran en la siguiente tabla:
C a p ítu lo 3: Distribuciones de p robabilidad y densidades de probabilidad Elemento del Probabilidad x espacio muestral 4 1 3 HHHH 3 HHHT 16 3 HHTH 3 HTHH 1 THHH 2 HHTT 16 2 HTHT 2 HTTH 1 2 THHT 2 THTH 16 2 TTHH 1 HTTT 1 1 THTT 1 TTHT 16 1 TTTH 0 ITTT 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 \\_ 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 A sí, podem os escribir P ( X = 3 ) = ¡?, por ejem plo, p ara la probabilidad del evento de que la variable aleatoria X asum irá el valor 3. ▲ E l hech o q u e la d efinición 3.1 se lim ita a funciones de v alo res reales n o im pone restricción alguna. Si los n ú m ero s q u e q u e re m o s asignar a los resu ltad o s d e un ex p e ri m ento son núm eros com plejos, siem pre podem os considerar por separado las partes reales e im aginarias com o valores asum idos por do s variables aleatorias. T am bién, si querem os describir cuantitativam ente los resultados de un experim ento, digam os, si d a m os el color del cabello de una persona, podem os hacer arbitrariam ente que las des-
Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 77 cripciones tengan valores reales al codificar los diversos colores, y quizá al representar los con los n ú m ero s 1. 2, 3 y así sucesivam ente. E n todos los ejem plos de esta sección hemos lim itado nuestro análisis a espacios m u éstra les d isc re to s, y p o r tan to a variables aleatorias discretas, a sab er, v ariab les a le a torias cuyo intervalo es finito o infinito num erable. Las variables aleatorias continuas definidas sobre espacios m uéstrales continuos se estudiarán en la sección 3.3. 3.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES C o m o ya vim os e n los ejem p lo s 3.1 y 3.2, la m edida de p ro b ab ilid a d d efinida en un e s pacio m uestral discreto autom áticam ente provee las probabilidades de que una varia ble aleatoria asum irá cualquier valor dado dentro de su intervalo. P or ejem plo, una vez asignada la probabilidad ¿ a cada elem ento del espacio m uestral de la figura 3.1, inm ediatam ente encontram os que la variable aleatoria X , el to ta l lanzado c o n el p a r de dad o s, asum e el v a lo r 9 con p ro b ab ilid a d jg- c o m o se d e s cribe en la página 74, X = 9 contiene cuatro elem entos igualm ente probables del es pacio m uestral. Las probabilidades asociadas con todos los valores posibles de X se m uestran en la siguiente tabla: P (X = x) 1_ 2 36 2_ 3 36 42 36 4_ 5 36 _5_ 6 36 72 36 _5_ 8 36 92 36 10 2 36 11 2 36 12 2 36
78 C a p ítu lo 3: Distribuciones de p robabilidad y densidades de probabilidad E n vez de m ostrar las probabilidades asociadas con los valores de una variable alea toria en una tabla, com o hicimos en la ilustración precedente, es generalm ente preferible dar una fórmula, esto es, expresar las probabilidades por m edio de una función tal que sus valores, f [ x ) , sean iguales a P ( X = x ) para cada x dentro del rango de la variable aleatoria X. Por ejem plo, para el total obtenido con un par de dados escribiríamos „ . 6 — Ijc — 71 p a ra x = 2 , 3 , . . . , 12 / W = --------— com o se puede verificar fácilm ente por sustitución. C laram ente 6 - |2 - 7| , 6 ^ 5 = J . n1 36 36 36 /(3) = 36 = «Z-f , A R' 36 36 /(1 2 ) = 6 ~ - 12 ~ 7| = É -Z -j. = _L A] 36 36 36 y todos estos valores concuerdan con los m ostrados en la tabla precedente. definición 3.2 Si X es una variable aleatoria discreta, la función dad a por f ( x ) = P ( X = a:) p ara cada x d e n tro del in terv alo d e X se llam a la distribución de probabilidad de X. Basado en los postulados de probabilidad, se deduce inm ediatam ente que t e o r e m a 3.1 U na función puede servir com o la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta A' si y sólo si sus valores f ( x ) , satisfacen las con diciones 1. f ( x ) ^ 0 para cada valor d entro de su dom inio; 2. = 1. d o n d e la su m a se e x tien d e so b re to d o s los v a lo re s d e n tro X de su dominio. EJEM PLO 3.3 E ncuentre una fórm ula para la distribución de probabilidad del núm ero total de caras obtenidas en cuatro lanzam ientos de una m oneda balanceada.
Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 79 Solución C on base en las p robabilidades en la tabla de la página 76. encontram os que ¿,= 0) = / > ( * = ! ) = A. p ( x = 2 ) = f t . />(X = 3) = f# y P ( X = 4 ) = ^ . A l o b se rv a r q u e los n u m e ra d o re s de e stas cinco fracciones 1, 4, /4 \\ / 4\\ Í4 \\ Í4\\ ( 4\\ 6. 4 y 1 son los coeficientes binom iales I I, I I , I I, 1^1 y I I , encontram os que la fórm ula para la distribución de probabilidad se puede escribir com o f{x) = -7 7 - para x = 0, 1, 2, 3. 4 16 En la sección 5.4 se da una justificación teórica para esta fórm ula y un tratam ien to más general para n tiros de una m oneda balanceada. ▲ EJEMPLO 3.4 p a ra .r = 1 , 2 , 3, 4, 5 V erifique si la función dada por x+2 /(* ) = 25 puede servir com o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Solución Al sustituir los diferentes valores de x, obtenem os / ( l ) = ¿ , f[2) = g , fV>) = 5 . / ( 4 ) = m y ñ $ ) = P u e sto q u e to d o s esto s v alo res so n n o n e g a ti vos se satisface la prim era condición del teorem a 3.1, y puesto que / ( .) + ñ 2) + /(3 ) + * 4 ) + / (5, = ¿ ¿ ¿ + A + L =1 se satisface la segunda condición del teorem a 3.1. Así, la función dada puede se r vir com o la distribución de probabilidad de una variable aleatoria que tenga el in tervalo {1, 2, 3, 4, 5}. Por supuesto, si alguna variable aleatoria dada realm ente tiene esta distribución de probabilidad es un asunto totalm ente distinto. ▲ En algunos problem as es deseable presentar gráficam ente las distribuciones de probabilidad y las dos clases de presentaciones gráficas usadas para este propósito se m uestran en las figuras 3.2 y 3.3. La m ostrada en la figura 3.2, llam ada un histograma de probabilidad, o sim plem ente un histograma. rep resen ta la distribución de p ro b ab i lidad del ejem plo 3.3. La altura de cada rectángulo es igual a la probabilidad de que X asum a el valor que corresponde al punto medio de su base. AI representar 0 con el in tervalo de - 0 .5 a 0.5,1 con el intervalo de 0.5 a 1 .5 ,... y 4 con el intervalo de 3.5 a 4.5, estam os, por así decirlo, “extendiendo\" los valores de la variable aleatoria discreta d a da sobre una escala continua.
Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad f(x) 6 16 4 16 16 0 12 3 N úm ero de caras F igura 3.2 Histograma de probabilidades. /« 6 16 4 16 16 0 12 3 4 N ú m e ro de caras F igura 3.3 Gráfica de barras.
Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 81 Puesto que cada rectángulo del histogram a de la figura 3.2 tiene ancho unitario, podríam os haber dicho que las áreas de los rectángulos, en vez de sus alturas, son igua les a las probabilidades correspondientes. Hay ciertas ventajas al identificar las áreas de los rectángulos con las probabilidades, por ejem plo, cuando deseam os aproxim ar la grá fica de una distribución de probabilidad discreta con una curva continua. E sto se puede hacer aun cuando los rectángulos de un histogram a no tengan todos un ancho unitario m ediante el ajuste de las alturas de los rectángulos o al m odificar la escala vertical. L a gráfica d e la figura 3.3 se llam a gráfica de barras, p e ro tam b ién se c o n o ce c o m o histogram a. C om o en la figura 3.2, la altura de cada rectángulo, o b arra, es igual a la probabilidad del valor correspondiente de la variable aleatoria, pero no hay p reten sión de ten er una escala horizontal continua. A lgunas veces, com o se m uestra en la fi gura 3.4, usam os líneas (rectángulos sin ancho) en vez de los rectángulos, p ero todavía nos referim os a las gráficas com o histogramas. A unque hay diversas ocasiones en las que usarem os las gráficas en este texto, los histogram as y los diagram as de b arra se usan principalm ente en la estadística descrip tiva para com unicar visualm entc la inform ación proporcionada por una distribución de probabilidad o una distribución de datos reales. Hay m uchos problem as en los que interesa conocer la probabilidad de que el va lor de una variable aleatoria sea m enor que o igual a algún núm ero real x. Así, escri b a m o s q u e la p ro b a b ilid a d de q u e A” asu m a un v alo r m e n o r q u e o igual a x c o m o F(x) = P { X = x ) y refirám onos a esta función definida para todos los núm eros reales x com o la función de distribución, o la distribución acumulativa, d e X. m b 16 4 16 16 23 N ú m e ro de caras Figura 3.4 H istogram a.
82 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad definición 3 3 Si X es una variable aleatoria discreta, la función d ada por F(x) = P (X á x) = 2 / ( 0 Para < * < 00 (Si d o n d e f ( t ) es e l valor d e la distribución d e p ro b ab ilid ad de X en r, es llam ada la fundón de distribución, o la distriburión acumulativa, de X. Con base en los postulados de probabilidad y algunas de sus consecuencias inm e diatas. se sigue que teorema 3 3 Los valores de F(x) de la función de distribución de una variable aleatoria discreta X satisface las condiciones 1. F ( - o o ) = o y F (o o ) = 1; 2. si a < b, e n to n c e s F ( a ) = F ( b ) p a ra c u a le sq u ie r n ú m ero s reales a y b. Si se nos d a la distrib u ció n d e p ro b ab ilid a d d e u n a variable a le a to ria d iscreta, ge neralm ente es fácil encontrar la función de distribución correspondiente. EJEMPLO 3.5 Encuentre la función de distribución del núm ero total de caras obtenidas en cuatro lan zam ientos de una m oneda balanceada. Solución D a d o f { 0 ) = ± , f ( 1) = ¿ . / ( 2) = f c . / ( 3 ) = & y / ( 4 ) = ¿ d el ejem p lo 3.3, se sigue que f i o ) = m = -¡¿ m = m + «>) = ^ f(2) = /(0) + /U ) + /(2)
Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 83 F(3) = /(O) + / ( l ) + f{2) + f(3) = yg f(4) = m +fii) +A2) + m +f{4) = i Por tanto, la función de distribución está dada por F(x) = 0 para* < 0 para 0 = x < 1 1^ para 1 S r < 2 16 para 2 á i < 3 5_ para 3 S í < 4 16 parar S 4 n 16 15 16 1 O bserve que esta función de distribución está definida no sólo para los valores asum idos p or la variable aleatoria dada, sino p ara todos los núm eros reales. Por e jem p lo , p o d e m o s escribir F (1 .7 ) = p, y F ( 1 0 0 ) = 1 . a u n q u e las p ro b ab ilid a d e s de o b te n e r “c u a n d o m ucho 1.7 c a ra s\" o “ c u a n d o m ucho 100 c a ra s” e n c u a tro la n zam ientos de una m oneda balanceada pueden no tener un significado real. ▲ EJEMPLO 3.6 E n c u e n tre la función d e distrib u ció n d e la variable a le a to ria W del e je m p lo 3.1 y d ib u je su gráfica. Solución C on base en las probabilidades dadas en la tabla de la página 75, podem os escri bir /(O) = = ?6 + & = 5S y / ( 2 ) = p . d e m an e ra que F (0) = /(O ) = ~ F( 1) = /(O ) + /(1 ) = ~ F(2) = / ( 0 ) + /(1 ) + / ( 2 ) = 1 De ahí que la función de distribución de W está dada por
Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad F(w) = 0 p a r a h- < 0 paraO ^ w < 1 3_ 28 para 1 á w < 2 _9_ para w S 2 14 1 La gráfica d e esta función de distribución, m ostrada en la figura 3.5, se obtuvo al trazar p rim ero los puntos (w \\ F ( w) ) para w = 0, 1 y 2 y después com p letar la función escalón com o se indica. O bserve que en todos los puntos de discontinui dad la función de distribución asum e el m ayor de los dos valores, com o lo indi can los puntos grandes en la figura 3.5. ▲ F(w) 1 i ----------------------- 9 l 14 i a a i a a i a a • a a a a a a a a 3 a 28 IV ii 012 F ig u r a 3 .5 G ráfica de la fu n ció n d e distribución del e je m p lo 3.6. Tam bién podem os invertir el proceso ilustrado en los dos ejem plos anteriores, es to es, obtener valores de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria a par tir de su función d e distribución. Para este fin, usam os el siguiente resultado: t e o r e m a 3.3 Si el intervalo d e la variable aleato ria X consta de los valores < x 2 < Jfj < ” • < x n , e n to n c e s f ( x \\ ) = F ( ^ |) y f[x¡) = F(x<) - F(x,-x) para i = 2, 3 n
Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 85 EJEM PLO 3.7 Si la función de distribución de X está d ad a por F(x) = 0 para x < 2 para 2 á x < 3 J_ para 3 S x < 4 36 p a ra 4 S .r < 5 _3_ para 5 ^ x < 6 36 para 6 S x < 7 6_ para 7 á i < 8 36 para 8 S x < 9 para 9 i . t < 10 10 para 10 ^ x < 11 para 11 ^ x < 12 36 para x § 12 15 36 21 36 26 36 30 36 33 36 35 36 1 encu en tre la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria. Solución A l usar el teo rem a 3.3, obtenem os /(2 ) = /(3) = ¿ ^ f \\ 4) = ^ / ( 5 ) = g - & « » ........ A l 2 ) = 1 - í = i y u n a c o m p a rac ió n con las probabilidades en la tabla de la página 77 nos revela que la variable alea toria que nos interesa en este caso es el núm ero total de puntos tirados con un par de dados. ▲ En el resto de este capítulo estarem os interesados en variables aleatorias conti nuas y sus distribuciones, y en problem as relacionados con la ocurrencia sim ultánea de los valores de dos o m ás variables aleatorias. En el capítulo 5 regresarem os a las distri buciones de probabilidad de variables aleatorias discretas; de hecho, todo ese capítulo estará dedicado a las distribuciones de probabilidad que proporcionan m odelos espe cialm ente im portantes para las aplicaciones.
Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad EJERCICIOS 3.1 D e te rm in e si los valores d ad o s p u ed en servir c o m o valores d e una distribución de p ro b a b ilid a d d e u n a variable a le a to ria c o n el in te rv alo x = 1, 2, 3 y 4: (a) / ( I ) = 0.25. f { 2)= 0.75, 3) = 0.25 y f { 4) = -0 .2 5 ; (b ) / ( l ) = 0.15, f { 2) = 0.27. f { 3) = 0.29 y /( 4 ) = 0.29; (C) / ( D = í ¡ , / ( 2 ) = t S , / ( 3 ) = ¿ y / i ; 4 ) = ¿ . 3.2 D eterm in e si la función dada puede servir com o distribución de probabilidad de una variable aleatoria con el intervalo dado: (a ) / ( .t ) = - — ■\" p a ra x = 1, 2, 3, 4, 5; (b) f{x) = ^ para x = 0 , 1, 2, 3, 4; (c) f( x ) = - para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 3.3 V erifique que f ( x ) = 2x p ara x = 1. 2, 3 k pueda servir com o la AlK i X1 distribución de probabilidad de una variable aleatoria con el intervalo dado. 3.4 D eterm ine c tal que la función pueda servir com o la distribución de probabili dad de una variable aleatoria con el intervalo dado: (a) f\\x) = ex p a ra x = 1, 2, 3. 4, 5; (b) f{x) = p ara x = 0, 1, 2, 3, 4, 5; (c) / ( x) = ex2 p a ra x = 1, 2, 3 , . . . , k ; (d) f(x) = c Q ) p a ra x = 1, 2 , 3........ [Sugerencia: para el inciso (c) refiérase al apéndice A.] 3.5 ¿Para qué valores de k f(x) = { \\ - k ) k > puede servir com o los valores de la distribución de probabilidad de una varia ble aleatoria con el intervalo infinito num erable x = 0 . 1 . 2 .... ? 3.6 D em uestre que no hay valores de c tales que /w = f pueda servir com o los valores de la distribución de probabilidad de una varia ble aleatoria con el intervalo infinito num erable x = 1, 2, 3 ,—
Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 87 3 .7 C onstruya un histogram a de probabilidad para cada una de las siguientes dis tribuciones de probabilidad: para x = 0 , 1, 2 ; 5-x p a ra x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 3 .8 D em u estre el teo rem a 3.2. 3 .9 D eterm ine si los valores d ados pueden servir com o los valores de una función de distribución de una variable aleatoria con el intervalo x = 1 .2 .3 y 4: ( a ) F{ 1) = 0.3, F{2 ) = 0.5, F{ 3 ) = 0.8 y F (4 ) = 1.2; ( b ) E ( l ) = 0.5, F( 2) = 0.4, F{ 3 ) = 0.7 y F( 4) = 1.0; (c ) ^ ( 1 ) = 0.25, F{2) = 0.61, F( 3 ) = 0.83. y F(4 ) = 1.0. 3 .1 0 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria del inciso (a) del ejercicio 3.7 y dibuje su gráfica. 3.11 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria que tiene la d istri bución de probabilidad ftx ) = yj: para * = 1.2, 3, 4. 5 3 .1 2 Si X tiene la función de distribución 0 parax< 1 6 1 para r i? 10 encuentre ( a ) P {2 < * S 6 ); (b) P{A -= 4); (c) la distribución de probabilidad de X.
Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.13 Si X tiene la función de distribución F(x) = 0 p a ra .r < —4 p a ra —1 S x < 1 1 para 1 § x < 3 4 para 3 á . r < 5 1 para r £ 5 - 2 3 4 1 encuentre (a) P ( X ^ 3); (b) P ( X = 3); (c) P ( X < 3); (d) P ( A í g l ) ; (e) P (-0 .4 < * < 4); (f) P ( X = 5). 3.14 C on respecto al ejem plo 3.4, verifique q ue los valores de la función de distribu ción están dados por x 2 + 5x F(x) = 50 p a ra x = 1, 2. 3, 4 y 5. 3 .1 5 C on respecto al teorem a 3.3, verifique que (a ) P ( X > x,) = 1 — F [x,) para i = 1, 2. 3 n : ( b ) P { X £ x ,) = 1 - F ( x ,- ,) p ara i = 2, 3 , . . . , n y P ( X £ x ,) = 1. APLICACIONES 3 .1 6 C on respecto al ejem plo 3.3, encuentre la distribución de probabilidad de Y , la diferencia entre el núm ero de caras y el núm ero de cruces obtenidas en cuatro lanzam ientos de una m oneda balanceada. 3 .1 7 U n a urna contiene c u a tro p elo tas n u m erad as 1, 2, 3 y 4. Si se sacan al a z ar dos pelotas d e la urna (esto es, cada par tiene la misma oportunidad de ser seleccio nado) y Z es la sum a de los núm eros de las pelotas que se sacaron, encuentre (a) la distribución de probabilidad de Z y dibuje un histogram a; (b) la función de distribución de Z y dibuje su gráfica. 3 .1 8 U na m oneda está alterada para que las caras sean doblem ente probables que las cruces. Para tres lanzam ientos independientes de la m oneda, encuentre (a) la distribución de probabilidad de X , el núm ero total de caras; (b) la probabilidad de lanzar cuando m ucho dos caras. 3 .1 9 C on respecto al ejercicio 3.18. encuentre la función de distribución de la variable aleatoria X y dibuje su gráfica. U se la función de distribución de X para encontrar (a) P( 1 < A f S 3 ) ; (b) P(X > 2).
Sección 3.3: Variables aleatorias continuas 89 3.20 La distribución de probabilidad de V , el núm ero sem anal de accidentes en una cierta intersección, está d ad o p o r g(0) = 0.40, g( 1) = 0.30, g(2) = 0.20 y #(3 ) = 0.10. Construya la función de distribución de V y dibuje su gráfica. 3.21 C on referencia al ejercicio 3.20, encuentre la probabilidad de que habrá al m e nos dos accidentes en una sem ana cualquiera, usando (a) las probabilidades originales; (b) los valores de la función de distribución. 3.22 C on respecto al ejercicio 2.58, ¿es el resultado de este ejercicio una distribución de probabilidad? Si lo es, dibuje su histogram a. 3.23 C on respecto al ejercicio 3.22. encuentre la función de distribución de la sum a de los puntos del dado, esto es la probabilidad de que esta sum a de puntos en los d ad o s sea c u a n d o m ucho 5, d o n d e 5 = 2, 3 . . . . , 12. 3.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS En la sección 3.1 in tro d u jim o s el c o n c e p to d e v ariab le a le a to ria com o u n a función de valor real definida sobre los puntos de un espacio m uestral con una m edida de p ro b a bilidad. y e n la figura 3.1 ilustram os esto a) asignar el total o b ten id o con un p a r de dados a cada uno de los 36 puntos igualm ente probables del espacio m uestral. En el caso con tinuo, donde las variables aleatorias pueden asum ir valores en una escala continua, el procedim iento es con m ucho el mismo. Los resultados de los experim entos se represen tan por puntos en segm entos de líneas o líneas, y los valores de las variables aleatorias son núm eros apropiadam ente asignados a los puntos m ediante reglas o ecuaciones. Cuando una medición u observación proporciona directam ente el valor de una varia ble aleatoria, generalm ente no nos m olestam os en distinguir entre el valor de la variable aleatoria (la m edición que obtenem os) y el resultado del experim ento (el punto corres pondiente sobre el eje real). Así, si un experim ento consiste en determ inar el conteni do real de un frasco de 230 gram os de café instantáneo, el resultado en si, digam os, de 225.3 gram os, es el valor de la variable aleatoria que nos interesa, y no es realm ente ne cesario añadir que el espacio m uestral consiste en un cierto intervalo continuo de pun tos sobre el eje real positivo. El problem a de definir probabilidades en relación con los espacios m uestra con tinuos y las variables aleatorias continuas acarrea algunas com plicaciones. Para ilustrar, considerem os la siguiente situación. EJEM PLO 3.8 Supongam os q ue nos interesa la posibilidad de que un accidente ocurra en una carre tera que tiene 2()0 km de largo y que nos interesa la probabilidad de que ocurra en un lu g ar d a d o o en c ie rto tra m o d e la c a rre te ra . El esp acio m uestral d e e s te '‘e x p e rim e n to ” consiste en un continuo de puntos, aquéllos en el intervalo de 0 a 2 0 0 . y supondre m os. para esclarecer el tem a, que la probabilidad de que un accidente ocurra en cual- d q u ie r in terv alo d e longitud d es —— , d o n d e d se m ide e n k ilóm etros. A d v ie rta q u e e s
90 C a p ítu lo 3: Distribuciones de p robabilidad y densidades de probabilidad ta asignación de probabilidades es congruente con los postulados 1 y 2 de la página 37: las probabilidades son to d as no negativas y P( S ) = ^ = 1. H asta ahora la asig- ¿XjKj 2(X) nación de probabilidades se aplica sólo a los intervalos sobre el segm ento de línea desde 0 hasta 200, p e ro si usam os el postulado 3, tam bién podem os o b te n e r las p ro b ab ilid a des para la unión de cualquier secuencia finita o infinita num erable de intervalos que no se traslapan. P or ejem plo, la probabilidad de que un accidente ocurra en cualesquie ra de dos intervalos que no se traslapan de longitud d, y d 2 es dj + d 2 200 y la probabilidad de que ocurra en uno cualquiera de una secuencia infinita num erable de intervalos que no se traslapan de longitud d x, d 2, d3,...e s d x + d 2 + d 3 + ••• 200 Entonces, si aplicam os el teorem a 2.7, podem os am pliar la asignación de probabilidad a la unión de intervalos que se traslapan, y puesto que la intersección de dos interva los es un intervalo y el com plem ento de un intervalo es o un intervalo o la unión de dos intervalos, podem os am pliar la asignación de probabilidad a cualquier subconjunto del espacio m uestral que se pueda obtener al form ar uniones o intersecciones de finitam en te o num erablem ente m uchos intervalos o al form ar com plem entos. A Así, al am pliar el concepto de probabilidad al caso continuo, hem os usado otra vez los p o stu la d o s 1, 2 y 3, p e ro p a ra h a c e r e sto e n g en eral d e b e m o s excluir d e n u e stra definición de “evento” todos los subconjuntos del espacio m uestral que no se puedan obtener form ando uniones o intersecciones de finitam ente o num erablem ente muchos intervalos o form ando com plem entos. H ablando en térm inos prácticos, esto no es im portante, ya que sim plem ente no asignam os probabilidades a tales clases de conjuntos de difícil com prensión. C on respecto al ejem plo 3.8, observe tam bién que la probabilidad de que ocurra un accidente en un intervalo muy corto, digamos, un intervalo de 1 centím etro, es so lam ente 0.00000005, que es m uy pequeño. C onform e la longitud del intervalo se apro xima a cero, la probabilidad de que ocurra un accidente en él tam bién se aproxim a a cero: ciertam ente, en el caso continuo siempre asignamos una probabilidad cero a puntos individuales. E sto no significa que los eventos correspondientes no pueden ocurrir; des pués de todo, cuando ocurre un accidente en el tram o de 2 00 kilóm etros de carretera, tiene que ocurrir en algún punto aun cuando cada punto tenga probabilidad cero. 3.4 FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES La m anera en que asignam os probabilidades en el ejem plo 3.8 es muy especial, y es de naturaleza sim ilar a la m anera en que asignam os probabilidades iguales a las seis caras de un dado, caras o cruces, las 52 cartas de juego en una baraja estándar y así sucesi-
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