A-CONQUISTA-DA-MATEMATICA-MP-8_DIVULGACAO

Agora, tomemos a seguinte situação: Notas dos alunos do 8o ano na As questões 2 e 3 permi- A professora do 8o ano de uma escola prova final de Matemática tem que os alunos construam listou as notas de seus 35 alunos na prova final a tabela de frequências com in- de Matemática. Os resultados estão mostrados Nota obtida na prova Número de tervalos de classe, percebendo a seguir: que o tamanho de cada classe final de Matemática alunos de frequência precisa ser cons- tante. Além disso, as atividades 8 4,5 6 7 7,5 2 6 0¿2 2 exigem que os alunos interpre- tem dados coletados, categori- 2¿4 6 zando-os conforme a classe de frequência escolhida, antes de 5 9,5 4,5 3 3 7 8 4¿6 7 conseguir elaborar as tabelas. 8 8,5 9 5,5 5,5 2,5 6 6¿8 11 6,5 7 8,5 5 4 1 3,5 8 ¿ 10 9 1,5 3,5 7 7 6 9 8 Total 35 Da forma como estão os dados, ela não Fonte: Professora do 8o ano. consegue visualizar rapidamente quantos alunos ficaram abaixo da média. Ela decidiu, então, Repare que os intervalos de classe construir uma tabela de distribuição de fre- sempre possuem o mesmo tamanho, ou quências, com os seguintes intervalos de classe: seja, neste exemplo, cada intervalo corres- ponde a 2 unidades. 2. Observe as informações dadas e faça o que se pede, no caderno. a) Copie a tabela dada anteriormente e preencha com o total de alunos em cada um dos intervalos de classe. Resposta no final do livro. b) Quantos alunos tiveram média igual ou maior a 8? 9 alunos. c) A média para aprovação nesta escola deve ser maior ou igual a 6. Quantos alunos tiveram nota inferior à média na prova de Matemática? 15 alunos. d) Qual é a porcentagem de alunos que têm nota maior que ou igual a 6? Aproximadamente 57%. 3. Estes são os pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de Voleibol de 2018, em quilogramas (kg). 76 99 106 83 80 80 87 81 95 85 89 93 72 76 101 107 99 80 83 85 75 Informações obtidas em: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Disponível em: <http://2018. cbv.com.br/ligadasnacoes/selecao-brasileira-masculina>. Acesso em: 28 ago. 2018. Faça, em seu caderno, o que se pede, utilizando as informações fornecidas. a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, contendo 5 classes de frequências. Não esqueça dos dados que toda a tabela deve ter, como fonte e títulos. Resposta no final do livro. b) Quantos jogadores compõem a Seleção Brasileira Masculina de Voleibol? 21 jogadores. c) Qual a faixa de peso que concentra mais jogadores? De 79 kg a 86 kg. d) Quantos jogadores estão acima de 93 kg? 7 jogadores. e) Qual o peso do jogador mais leve desta seleção? E do mais pesado? 72 kg; 107 kg. 55 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 55 11/14/18 4:11 PM 55

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Resoluções a partir da p. 289 Tecnologias Calculadora científica JUST KEEP DRAWING//SHUTTERSTOCK.COM Essa seção permite aos alunos conhecer um pouco A calculadora foi um dos primeiros instrumen- a respeito do funcionamento tos tecnológicos de fácil acesso e, hoje, pode ser de uma calculadora científica. encontrada em diversos modelos. Nesta seção, Caso os alunos não possuam exploraremos o uso da calculadora científica. uma, comentar que muitos celulares hoje em dia apresen- Vale a pena destacar que a calculadora é tam as funções de uma calcu- um instrumento que nos auxilia a entender e a ladora científica. Além disso, desenvolver nossa capacidade crítica de avaliar um também há sites na internet problema; por essa razão, não deve ser utilizada que apresentam calculadoras para fazer cálculos simples. científicas online. Veja a se- guir alguns exemplos: Existem diversas marcas de calculadora cientí- • CalculadoraOnline:<http: fica; por isso, é possível que o visor e/ou as teclas //livro.pro/idajs7>. Acesso em: tenham algumas diferenças nos comandos para 10 nov. 2018. determinada função. Para verificar se há diferença, • Web 2.0 Calc.com: <http:// basta executar alguns cálculos cujas respostas você livro.pro/895xvo>. Acesso em: já conhece. 10 nov. 2018. A tecla ^ é utilizada para calcular o valor da potência de um número Se necessário, retomar com elevado a um valor qualquer. os alunos como inserir na cal- culadora um número negativo. Por exemplo: 311. Para fazer esse cálculo, digitamos o 3; em seguida, pressionamos a tecla ^ e digitamos o valor do expoente, 11. Para finalizar, Por exemplo, para inserir _7 na Web 2.0 Calc.com, pressionamos = , e aparecerá o valor 177 147. pode-se digitar o 7 e clicar na Há calculadoras em que essa tecla é mostrada assim: [xy]. tecla +/_, que troca o sinal do número que está no visor. Vale lembrar que algumas calcula- doras possuem uma tecla es- pecífica para o sinal negativo. A tecla x2 é utilizada para calcular o valor da potência de um número elevado ao quadrado (expoente 2). Por exemplo: 272. Para realizar esse cálculo, digitamos o valor 27; em seguida, pressionamos a tecla x2 . Para finalizar, pressionamos = , e na calculadora aparecerá 729. 56 11/14/18 4:12 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 56 56

10x ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Propor aos alunos outros desafios com a calculadora A tecla log tem como função secundária o cálculo de potências de base 10. Então, científica e reservar um tempo de aula para que eles explorem será necessário utilizar a tecla Shift , que dá acesso às funções auxiliares. outras funcionalidades, ou seja, um tempo para que eles perce- Por exemplo: 10_7. bam que as calculadoras cien- tíficas realizam muitos outros Para realizar esse cálculo, fazemos o procedimento a seguir. Por meio da tecla Shift , cálculos além das quatro ope- rações básicas da aritmética. 10x habilitamos a função secundária do teclado. Em seguida, pressionamos log . Aparecerá o número 10 no visor. Então, digitamos o expoente, que nesse caso é _7, e, em seguida, pressionamos = , e aparecerá o valor 0,0000001. Algumas calculadoras apresentam diretamente a tecla 10x. Nesse caso, basta colocar o valor do expoente e acionar a tecla para obter a potência de 10 que se quer. Calcular a raiz quadrada de um número é ooumtersomdo eqvueereáleuvasraersasetneúcmlaero^aodeaxpcoaelncutela21-. já foram vistos alguns re- 1. Agora que cursos da calculadora científica para o dora para elevar esses mesmos números cálculo de potências, usando uma calcu- ao expoente 1 (dica: use 0,5 na calcula- ladora científica, descreva no caderno 2 que procedimento você pode usar para dora). Anotem no caderno os resultados o cálculo das potências a seguir. obtidos. a) 2352 c) 397 2 3,7 9 15 50 b) 1173 d) 10_11 Resposta pessoal. 22,2 45,7 2. Troque ideias com um colega e expliquem como vocês fariam o cálculo da potência 113 146,3 305,1 55, usando uma calculadora simples, sem teclas especiais de potência. Resposta pessoal. a) Agora, comparem os resultados obtidos pelos dois. Com base nessa comparação, 3. Além das teclas apresentadas anterior- qual relação é possível fazer entre os dois mente, a calculadora científica também tipos de cálculos efetuados? Caso seja necessário, escolham outros números para apresenta uma tecla para calcular a dar prosseguimento à investigação. raiz quadrada de um número qualquer. Por exemplo: calcular a raiz quadrada b) Caso vocês precisassem calcular a raiz de 5. Para esse cálculo, pressionamos a tecla , depois o número que se deseja quadrada de 258, mas a tecla das obter a raiz quadrada (nesse caso, 5) e, calculadoras de vocês não estives- em seguida, pressionamos = . Aparecerá sem funcionando, qual procedimento o valor 2,236067978. adotariam? Agora, vamos fazer uma investigação. c) Elabore uma atividade que deverá ser resol- Para isso, junte-se com um colega e vida pelo seu colega de dupla com o uso usem duas calculadoras científicas, uma da calculadora. Para solucioná-la, deverá para cada integrante da dupla. ser necessário o uso de algumas das teclas apresentadas e das relações existentes Um dos integrantes deverá, usando a entre elas. Em seguida, corrijam a atividade, tecla da calculadora, obter a raiz qua- verificando não só a resposta final, mas drada dos números a seguir, enquanto o se o raciocínio aplicado está correto. Resposta pessoal. 1 Usar a tecla ^ e elevar o número 258 ao expoente 2 . 57 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 57 11/14/18 4:15 PM 57

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO NÚMEROS REAIS Atividades 6 As atividades propostas Números irracionais nessa seção têm como obje- tivo fixar os conceitos de nú- Observe o seguinte número racional: 0,4545454545... meros irracionais e explorar o cálculo de raiz quadrada apro- Vimos que ele é uma dízima periódica, pois possui um número infinito de casas decimais e ximada de números racionais. Na atividade 2, o aluno deve reconhecer um número irracional, observando se há ou não um período que se repete. período igual a 45. Podemos representá-lo também por 0,45. Esse número pode ser escrito na a 5 forma b , em que a e b são números inteiros, com b5 0. Nesse caso, 0,4545454545... = 11 . Agora, veja outro exemplo: 3,8687888990... Observando a formação desse número, podemos dar continuidade do seguinte modo: 3,868788899091...; 3,86878889909192...; 3,8687888990919293...; e assim por diante. Se con- tinuarmos a preencher as casas decimais nessa sequência, teremos um número com infinitas casas decimais e sem um período que se repita. Números como esse não podem ser escritos na forma a , em que a e b são números inteiros, b com b 5 0. Assim, esses números não são números racionais. Ao conjunto de números que apresentam essas características (número infinito de casas decimais e não periódicos) damos o nome de conjunto dos números irracionais. E representamos esse conjunto por I. Número irracional é todo número cuja representação decimal é sempre infinita e não periódica. São exemplos de números irracionais: • 2 = 1,414213562373... • p = 3,1415926535... • 1,7070070007... ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. Conclui-se então que 30 é um número: 1. (Saresp-SP) Calculando-se 30 , obtém-se a) natural. c) racional. 5,4772255..., número que tem represen- b) inteiro. tação decimal infinita, mas não é dízima d) irracional. periódica. Alternativa d. 58 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 58 11/12/18 14:21 58

2. (Saresp-SP) Um exemplo de número 3. (Saresp-SP) A parte decimal da represen- ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS irracional é: Alternativa d. tação de um número segue o padrão de a) 3,12121212... regularidade indicado: 0,12112111211112... O conjunto dos números b) 3,501501501... Este número é: reais c) 3,321321321... d) 3,290291292293... a) racional não inteiro. c) irracional negativo. Se desejar, desenhar o dia- grama que representa a rela- b) inteiro negativo. d) irracional positivo. ção de inclusão dos conjuntos Alternativa d. numéricos já estudados na lousa e orientar os alunos a O conjunto dos números reais reproduzi-lo no caderno. Ex- plorar com eles o significado Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números desse diagrama, pedir a eles irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por R. que relatem o que interpretam nessa representação dos con- 2[R _5 [ R 3 [R 2,030030003... [ R juntos numéricos. p[R 4 _ 3 [R R 1 I EDITORIA DE ARTE 6 _ [R 1,25 [ R N Z Q _0,48 [ R 10 [ R 1,666... [ R _2,1333... [ R Eles podem verificar a re- lação de inclusão entre esses Os conjuntos numéricos n, z, Q e I são subconjuntos de R, pois todos os elementos de cada conjuntos e perceber que não um deles pertencem também a R. Observe que alguns números pertencem a um conjunto e não há um número irracional que a outro. Por exemplo, _5 [ R, _5 [ z, mas _5 { n. também seja racional, simul- taneamente. Além disso, eles Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados: também podem observar que, reunindo-se todos os números R* conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0) racionais aos números irracio- nais, formamos o conjunto R+ conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou iguais a 0) dos números reais. R_ conjunto dos números reais não positivos (números reais menores ou iguais a 0) R*+ conjunto dos números reais positivos (números reais maiores que 0) R*_ conjunto dos números reais negativos (números reais menores que 0) Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; e cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional. Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números na reta: Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 123 4 Ϫ2 28 Ϫ 8 Ϫ 1 1 3 3 4 4 59 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 59 7/4/19 6:54 PM 59

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS As operações com números reais Atividades Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos n, z e Q. Assim: As atividades apresentadas nessa seção têm como princi- • no conjunto n, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada pal objetivo levar os alunos a e encontrar um número natural; aplicar os conhecimentos ad- quiridos a respeito do conjun- • no conjunto z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e to dos números reais. encontrar um número inteiro; Amplie a atividade 1 com • no conjunto Q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número alguns questionamentos como: racional. • Que números pertencem ao Porém, no conjunto dos números reais efetuamos qualquer adição, subtração, multiplicação conjunto dos números reais, mas não pertencem ao conjun- e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz quadrada de to dos números racionais? Res- qualquer número não negativo e encontramos números reais. posta: Os números irracionais. • Que números pertencem Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não ao conjunto dos números in- representa um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, tenha como teiros não negativos, mas não resultado um número real negativo. Então, por exemplo, Ϫ4 { R. pertencem ao conjunto dos números inteiros positivos? Resoluções a Resposta: Apenas o zero. partir da p. 289 Na atividade 4, depois de ATIVIDADES _ 5 _0,4 97 os alunos responderem em 4 2 seu caderno, pedir a eles que _5 troquem ideia com um colega, comparem suas respostas e Responda às questões no caderno. 4. Usando o símbolo [ ou {, estabeleça a discutam a respeito daquelas que são diferentes, se houver. 1. Observe os números a seguir. relação entre: Na atividade 6, observar a) 100 e R* [ e) _ 9 e R [ se os alunos conseguem criar uma escala apropriada para _4 _2,3 _ 1 0 0,6 1 8 b) 100 e R+ [ f) _9 e R { subdividir a reta numérica, de 4 c) 100 e R_ { g) 2,6 e R+ [ forma a localizar corretamente d) 9 e R [ os números solicitados. Quais deles pertencem ao conjunto: 5. (Saresp-SP) José, com sua calculadora, Na atividade 7 promover o a) n? 0; 1. debate e a construção coletiva determinou o valor de 50 e obteve de uma solução para um pro- b) Z? _4; 0; 1. blema. Ao fim desta atividade, como resultado 7,0710678... Pode-se pedir aos alunos que digam os c) Z, mas não pertencem a n? _4. números escolhidos e verifi- 1 provar que esse número tem infinitas que se acertaram. d) Q, mas não pertencem a z?_2,3; _ 4 ; 0,6. casas decimais e não é dízima periódica. 2. Observe os números a seguir. É, portanto, um número: 6 6 6,6 _6 a) irracional. c) racional. b) natural. d) inteAirloterrnealatitviavoa.. Identifique quais deles são: 6. Construa uma reta real e, nela, localize 7 a) reais e naturais. 6 os seguintes números reais: _5; 2 ; 9; b) reais e inteiros. 6; _6. 5 c) reais e racionais. 6; _6; 6,6. _0,4; _ 4 . d) reais e irracionais. 6 7. Junte-se a um colega e criem um exemplo de um número real que seja também 3. Qual destes números reais é o maior: racional e esteja escrito na forma fracioná- 5 ou 22 . 22 ria. Esse número é uma dízima periódica? 9 9 Expliquem. Resposta pessoal. 60 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 60 11/14/18 4:16 PM 60

RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Retomando o que Responda às questões no caderno. 5. (OBM) Dividindo-se o número 4(42) por aprendeu 44 obtemos o número: Alternativa e. 1. (PUC-RJ) O maior número abaixo é: a) 2 O objetivo das atividades Alternativa a. b) 43 dessa seção é propiciar aos alu- a) 331 c) 44 nos que retomem os conteúdos d) 48 estudados na Unidade e caso b) 810 e) 412 seja necessário, façam reto- madas para sanar as dúvidas c) 168 que podem surgir. d) 816 Os alunos podem fazer esse bloco de questões como uma e) 2434 (24)8 autoavaliação, por isso, eles (48)2 devem respondê-las individu- 2. (FGV-SP) Se calcularmos o valor de 295, 6. (OBM) A razão é igual a: almente. É interessante suge- iremos obter um número natural N. Alternativa c. rir que realizem essa atividade O  algarismo final (das unidades) desse a) 1 em sala de aula, assim pode- número N vale: Alternativa e. 4 rão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. a) 2 b) 1 2 Enfatizar a necessidade de b) 4 resolverem os exercícios indi- c) 1 vidualmente, buscando infor- c) 5 mações de forma autônoma, d) 2 escolhendo suas fontes para d) 6 chegar aos resultados. Conver- e) 8 sar com os alunos a respeito de e) 8 seus acertos e erros, indicando 7. (OBM) O valor da soma a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas 3. (OBM) Quantos dos números a seguir são 22003 ? 91001 + 22002 ? 91001 é: Alternativa c. de quais caminhos eles pode- maiores que 10? 41001 ? 32003 41001 ? 32003 rão buscar para encontrar o resultado esperado. 3 11, 4 7 , 5 5 , 6 3 , 7 2 Alternativa c. a) 1 c) 1 e) 2 3 Se ainda persistirem dúvi- das, orientar a trocar ideias a) 1 b) 2 d) 4 com os colegas e a buscar no b) 2 3 3 livro do aluno os conceitos c) 3 que precisarem lembrar. d) 4 8. (Enem/MEC-Simulado) No depósito e) 5 de uma biblioteca há caixas contendo Dar oportunidade para os folhas de papel de 0,1 mm de espessura, alunos mostrarem como pensa- DESAFIO e em cada uma delas estão anotados 10 ram para resolver as questões, títulos de livros diferentes. Essas folhas tirando as dúvidas dos colegas. 4. (UERJ) Um evento está sendo realizado foram empilhadas formando uma torre em uma praia cuja faixa de areia tem vertical de 1 m de altura. cerca de 3 km de extensão e 100 m de largura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade A ordem de grandeza do maior número de títulos de livros registrados nesse empilhamento? Alternativa c. possível de adultos que podem assistir a a) 102 esse evento sentados na areia é de: b) 104 a) 104 Alternativa c. c) 105 b) 105 d) 106 c) 106 e) 107 d) 107 61 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 61 11/14/18 4:18 PM 61

9. Se um quadrado tem 7,7 cm de lado, a 14. Todo número cuja representação decimal sua área é de: Alternativa b. a) 50,29 cm2 é infinita e não periódica é um número: b) 59,29 cm2 c) 59,19 cm2 a) natural. Alternativa e. d) 51,09 cm2 e) 50,09 cm2 b) inteiro positivo. c) racional. d) fracionário. e) irracional. 10. Sabe-se que a área de um terreno qua- 15. A representação decimal de um número drado é 1 764 m2. Qual é o perímetro pode ser: finita, infinita e periódica ou, desse terreno? Alternativa b. ainda, infinita e não periódica. Escreva a) 158 m qual é o caso de cada um dos números a seguir. b) 168 m a) 27 Finita. c) 178 m 6 d) 186 m b) 0,23 Infinita e periódica. e) 196 m 11. Os números x e y representam, respecti- c) 2 Infinita e não periódica. vamente, as raízes quadradas exatas dos números 51,84 e 40,96. Com o auxílio de 16. Observe os números a seguir e responda uma calculadora, descubra quanto vale x _ y. Alternativa d. às questões: Sim; 49 . a) 0,08 7 3 49 b) 8 _97 5 _3 7 1,25 c) 1,8 a) Alguns desses números pertencem ao d) 0,8 conjunto dos números naturais? Qual? e) 2,8 b) Quais números pertencem ao479c.onjunto dos números inteiros? _97; 12. Dos números a seguir, qual deles é qua- c) Quais números são irracionais? _ 3 drado perfeito? Alternativa d. a) 151 d) Quais números são reais, mas não são b) 453 racionais? _ 3 c) 20,44 d) 24 964 e) Quais números são reais, mas não são e) 3 804 irracionais? 1,25; 49 ; _97; 3 . 7 5 17. Qual é o menor número natural que devemos multiplicar pelo número 60 13. O valor aproximado com uma casa para que o produto seja um número decimal da raiz quadrada de 10 é: quadrado perfeito? Alternativa d. a) 3,2 Alternativa d. a) 2 b) 3,4 b) 3 c) 3,3 c) 5 d) 3,1 d) 15 e) 3,5 e) 60 62 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 62 11/14/18 4:19 PM 62

18. Sabendo que x2 _ y2 = (x + y)(x _ y), 20. O número p é classificado como: ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS calcule o valor de 9992 _ 1. Alternativa d. a) um número natural. Alternativa d. a) 1 000 000 b) uma dízima periódica. Um novo olhar b) 999 999 c) um número racional. c) 998 999 d) uma dízima não periódica. Os questionamentos exis- d) 998 000 e) um número inteiro. tentes no encerramento des- e) 990 000 sa Unidade poderão permitir, 21. Ao calcular 310 +38 obtemos como além de uma breve retomada 19. Por qual número devemos dividir 105 125 10 dos conteúdos apresentados, para que o quociente tenha uma raiz resposta: Alternativa b. reflexões a respeito das apren- quadrada exata? Alternativa b. dizagens individuais. É interes- a) 3 a) um número irracional maior que 50. sante que os alunos respondam b) 5 individualmente a cada uma c) 7 b) o número natural 81. das questões para que, dessa d) 15 forma, possam perceber suas e) 21 c) um número irracional menor que 100. aprendizagens e possíveis dúvi- das a respeito de cada conteú- d) a potenciação 37. do apresentado. e) um número racional. UM NOVO OLHAR Resoluções a partir da p. 289 Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas. Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e apro- ximada e os números irracionais. Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de Sissa, apresentada na abertura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos. Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno. • Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada para representar números e resultados? Resposta pessoal. • Quantos bits tem um quilobyte (KB)? 8 000 bits ou 8 x 103 bits. • O que são os números quadrados perfeitos? Os números naturais que são quadrados de outros números naturais. • Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada? Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado, tem como resultado o número X. 63 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 63 11/15/18 12:45 63

COMPETÊNCIAS GERAIS 3 Ângulos e 2. Exercitar a curiosidade triângulos intelectual e recorrer à abor- O triângulo é conhecido e usado ALBUM ART/LATINSTOCK dagem própria das ciências, há milênios pelo ser humano por incluindo a investigação, a refle- conta de suas diversas aplicações. Por Triângulo de descarga: construção xão, a análise crítica, a imagina- exemplo, a utilização de um triângulo que permitia descarregar as pressões ção e a criatividade, para inves- retângulo para verificar se o ângulo exercidas por grandes pesos que se tigar causas, elaborar e testar de uma parede com o chão é 90°. Se encontravam por cima das portas hipóteses, formular e resolver a medida do ângulo for essa, dizemos dos túmulos e das cidadelas. problemas e criar soluções (in- que a parede está subindo “reta”, ou clusive tecnológicas) com base seja, perpendicular ao chão. No passado nos conhecimentos das diferen- tes áreas. Além disso, triângulos dão sus- Atualmente tentação a construções, sejam elas 7. Argumentar com base metálicas ou de pedras, como você em fatos, dados e informações pode ver nas fotografias ao lado. confiáveis, para formular, ne- gociar e defender ideias, pon- Vamos entender o porquê disso? tos de vista e decisões comuns Construa com palitos de sorvete que respeitem e promovam os e percevejos um triângulo e um qua- direitos humanos, a consciên- drado, tomando cuidado para deixar cia socioambiental e o con- os vértices livres para girarem. Veja: sumo responsável em âmbito local, regional e global, com S_MARIA/SHUTTERSTOCK.COM posicionamento ético em rela- EDITORIA DE ARTE ção ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. STUART MAC FARLANE/ARSENAL FC/GETTY IMAGES Agora, segurando em dois vértices do triângulo, puxe- ESPECÍFICAS -os e empurre-os em sentidos opostos. Faça o mesmo Os triângulos dão resistência 1. Reconhecer que a Mate- com o quadrado. às estruturas. mática é uma ciência humana, • O que você pôde notar? O que aconteceu com o triân- fruto das necessidades e preo- gulo? E com o quadrado? cupações de diferentes culturas, O triângulo não pôde ser deformado, diferentemente do quadrado. em diferentes momentos histó- ricos, e é uma ciência viva, que 64 contribui para solucionar pro- blemas científicos e tecnológi- HABILIDADESD2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 64 11/14/18 5:55 PM cos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com im- p. XXI e XXII pactos no mundo do trabalho. Geometria 2. Desenvolver o raciocínio • EF08MA15 lógico, o espírito de investiga- • EF08MA17 ção e a capacidade de produ- zir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimen- tos matemáticos para compre- ender e atuar no mundo. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba- lhando coletivamente no pla- nejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspec- tos consensuais ou não na discussão de uma determi- nada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. 64

IRAQ MUSEUM, BAGHDAD/BRIDGEMAN/EASYPIX ROYAL EXCHANGE ART ROYAL EXCHANGE ART GALLERY AT CORK STREET, ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS LONDON/BRIDGEMAN/EASY PIX Escrita cuneiforme gravada em Vela triangular: apareceu pela primeira vez Abertura de Unidade pedra, feita pelos sumérios por na Idade Média. Não se sabe que nação foi volta de 3200 a.C. Repare na a primeira a utilizá-la. Essa abertura leva os alu- decomposição de triângulos. nos a realizar uma reflexão a respeito da utilização dos tri- ONEJOTA/SHUTTERSTOCK.COM ângulos no cotidiano, mais especificamente na área da construção civil (reforço e es- tabilidade de estruturas). Ini- ciar a aula discutindo com a turma que estrutura pode ser considerada firme e algumas características de estruturas que suportam muito mais do que pesam. Em seguida, pedir aos alunos para observar as imagens refe- rentes ao uso do triângulo em outros contextos históricos. AMPLIANDO Link Para auxiliar os alunos na compreensão do conceito de rigidez do triângulo, apre- sentar a eles um simulador, feito com o software de ge- ometria dinâmica GeoGebra e disponível no site: <www. geogebra.org/m/BaEHfS85>. Acesso em: 12 nov. 2018. RUBENS CHAVES/PULSAR Os triângulos são muito utilizados, por Repare no guindaste: sua estrutura permite a ele exemplo, na construção civil. levantar massas maiores do que sua base de apoio. D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 65 65 11/14/18 5:57 PM 65

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO ÂNGULOS Ângulos 1 Retomar com os alunos Vamos relembrar o conceito e as classificações de ângulos. Ângulo é toda região onde podemos identificar ân- do plano, convexa ou não, determinada por duas semirretas de mesma origem. gulos no ambiente e pedir a eles que citem outras situa- região região convexa ções em que o ângulo aparece não convexa no cotidiano, por exemplo, o ângulo formado pela perna No ângulo desta figura, destacamos os A (o joelho seria o “vértice” do seguintes elementos: ângulo) ao se sentar em uma cadeira. Aproveitar a situação • O ponto O, origem das semirretas, deno- O para comentar com os alunos minado vértice do ângulo. os cuidados de postura que devem ser observados quan- • As semirretas OA e OB denominadas lados B do se sentam para estudar ou do ângulo. passam algum tempo utilizan- vértice do ângulo do o computador. Para identificar esse ângulo, utilizamos a nota- ção AOˆ B . Algumas dessas orienta- ções estão no texto a seguir. Os ângulos podem ser classificados conforme suas medidas. Vamos rever nos quadros a seguir essas classificações. Braços Ângulo nulo Ângulo de meia-volta ou Ângulo de uma volta Os cotovelos devem ser med (AÔB) = 0° ângulo raso med (AÔB) = 180° med (AÔB) = 360° mantidos sempre junto ao corpo, ou seja, nem projeta- O AB AO B O AB dos para frente (braços es- ticados) e nem em posição Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso de voo (cotovelos erguidos). med (AÔB) = 90° 0° , med (AÔB) , 90° 90° , med (AÔB) , 180° Alinhe seus antebraços em um ângulo entre 100 e 110 A A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE graus com o teclado. Pense assim: se o seu cotovelo fos- O B OB A B se o centro de um relógio, es- O ses graus equivaleriam com 66 o horário 12h20. Já os pulsos devem permanecer sempre assDi2m-MATp-Fo2-r20d51i-aV8n-Ut0e3-.06D4-0a95r-LAo-Gp2o0.irntddu-66 Retomar a classificação de 11/12/18 8:19 PM retos (relaxados) e alinhados nidade para que outros alunos ângulos, com relação às me- com o resto do braço. vivenciem o papel do robô e didas, junto aos alunos. Se outros a voz de comando. Si- julgar pertinente, fazer uma [...] tuações como essas podem atividade rápida de constru- levar os alunos a associar a de- ção de ângulos usando régua Fonte: VALIN, A. Como fazer para finição de ângulo com a ideia e transferidor. se posicionar corretamente em de giro que é importante para o seu aprendizado. frente ao computador. Disponível em: <https://www. tecmundo.com.br/educacao/1361- ergonomia-como-fazer-para- se-posicionar-corretamente- em-frente-ao-pc.htm>. Acesso em: 12 nov. 2018. Caso julgar pertinente, ler a reportagem completa com os alunos. Em seguida, solicitar a um aluno para seguir alguns co- mandos como se fosse um robô. Essa brincadeira ajuda a desenvolver e retomar as noções de lateralidade. Por exemplo: com o braço estica- do para a frente, pedir a ele que gire 90° à direita, depois que gire 180° à esquerda e 66

Ângulos adjacentes ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Vamos relembrar: dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são Ângulos adjacentes denominados ângulos consecutivos. Relembrar o conceito de Na figura a seguir, AÔB e BÔC são consecutivos. Eles têm em comum apenas um lado (OB), ângulos adjacentes com os não tendo pontos internos comuns. alunos e auxiliá-los a iden- tificar quando dois ângulos C são consecutivos e quando são adjacentes e a represen- B tar dois ângulos consecutivos adjacentes. Por exemplo, na OA figura apresentada no livro do aluno, os ângulos AOB e AOC Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são denominados são consecutivos, mas não são ângulos adjacentes. adjacentes. Então, em nosso exemplo, AÔB e BÔC são adjacentes. Pedir aos alunos que façam a leitura do texto do livro do Bissetriz de um ângulo aluno de forma atenta e indi- vidual. Depois, perguntar se Seja o ângulo AOB da figura e med (AÔB) = 50°. compreendem as nomenclatu- A partir do vértice O, traçamos OP que divide AÔB em dois ângulos adjacentes de mesma ras “ângulos consecutivos” e medida. A OP damos o nome de bissetriz de AÔB. Observe: “ângulos adjacentes”. Estimu- lar os alunos a expor suas dú- AA vidas e a tentar esclarecer as dúvidas dos colegas. Valorizar P ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE a troca de informação e co- nhecimento para que efetiva- 50° 25° mente ocorra o aprendizado. O 25° Bissetriz de um ângulo BO B A bissetriz de um ângulo pode ser construída usando- Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice desse ângulo que -se um software de geometria determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes. dinâmica como o GeoGebra. Para isso, construir um ângulo (pode ser uma medida qual- quer ou uma medida pré-de- terminada pelo usuário), e, uti- lizando a ferramenta bissetriz, selecionar um ponto em um lado do ângulo, o vértice do ângulo e outro ponto no outro lado do ângulo. Caso julgue interessante, le- var os alunos ao laboratório de informática para que eles pos- sam realizar esse experimento na prática, utilizando o software de geometria dinâmica. 67 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 67 11/16/18 2:35 PM 67

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ângulos complementares Ângulos Dois ângulos adjacentes são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º. complementares, Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e complementares, e cada ângulo é chamado suplementares e ângulos complemento do outro. opostos pelo vértice C Dando continuidade ao es- tudo a respeito de ângulos, o B objetivo desta página é levar os alunos a reconhecer, re- OA presentar e relacionar ângulos complementares, ângulos su- Assim, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu complemento (BÔC) será 90° _ x. plementares e ângulos opos- tos pelo vértice. Pretende-se, Ângulos suplementares também, que eles compreen- dam como determinar, a partir Dois ângulos adjacentes são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. da medida de um ângulo, a Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares, e cada ângulo é chamado medida de seu complemento suplemento do outro. e de seu suplemento. B Solicitar aos alunos que façam a leitura individual do CO A texto e relatem o que com- preenderam. Pedir a eles que Dessa forma, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu suplemento (BÔC) será 180° _ x. anotem a definição de ângu- los complementares e suple- Ângulos opostos pelo vértice mentares. É interessante que alguns alunos sejam convi- Consideremos duas retas r e s, que se cruzam em um único ponto V, formando quatro dados para ir à lousa explicar ângulos de medidas a, x, b e y, conforme mostra a figura a seguir. como calcular a medida do complemento de um ângulo Os ângulos de medidas x e y são chamados ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.). Também e a medida do suplemento de são opostos pelo vértice os ângulos de medida a e b. um ângulo. Estimular a troca de ideias nesse momento. r s Depois, apresentar dois ângulos adjacentes quaisquer na lousa e solicitar aos alunos que verifiquem se os ângulos dados são complementares e/ ou suplementares. No estudo de ângulos opos- tos pelo vértice, importante res- saltar a congruência entre eles. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE a ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTEyx V b Observe a figura a seguir, em Se você usar um transferidor, verá que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, que AÅOD e BÅOC são ângulos ou seja, têm a mesma medida. opostos pelo vértice. 68 AB m • Como AOÅ B e AOÅ D são ad-D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 68 • Como AOÅ B e BÅOC são adja- • Comparando (1) e (2), temos: 7/4/19 7:03 PM jacentes suplementares, te- centes suplementares, temos yx mos que m + y = 180° (1). que m + x = 180° (2). m + y = 180° O m + x = 180° D C A BA B m+y=m+x mm y=x Indicando por: Portanto, AÔD e BÔC têm x = med (BOÅ C) y x a mesma medida. y = med (AOÅ D) O O De modo análogo, é pos- m = med (AÅOB) sível concluir que AÔB e CÔD são ângulos de medidas iguais. DC 68

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno. 9. Observe a figura e dê as medidas x e y Atividades indicadas. 1. Observe os pares de ângulos suplemen- As atividades deste bloco tares destacados na figura e determine 80° exploram a aplicação dos con- as medidas x e y indicadas. yy ceitos de ângulos complemen- y = 80°; x = 130°. tares, suplementares e opos- x tos pelo vértice. y MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES x 50° MW EDITORA E ILUSTRAÇÕESx = 80° e y = 100°. No estudo com ângulos, 10. Na figura abaixo, calcule as medidas x, y verificar as dificuldades que os 100° alunos ainda apresentam em e z indicadas. relação à resolução de equa- 2. Determine a medida do complemento ções, instrumento para obter de um ângulo de: x as medidas de ângulos desco- y 40° nhecidos usando as proprie- a) 66° 24° c) 22° 68° dades estudadas a respeito z desse tema. Desenvolver reso- luções coletivas, propondo a x = 140°, y = 40° e z = 140°. alguns alunos que façam seus 11. Determine as medidas x e y indicadas na registros na lousa, enquanto o restante da sala descreve o figura a seguir. que é exposto. b) 74° 16° d) 47° 43° 2x _ 100° y 3. Determine a medida do suplemento de um ângulo de: x + 30° a) 78° 102° c) 135° 45° x = 130° e y = 20°. 12. Duas retas, AB e CD, são concorren- b) 67° 113° d) 139° 41° tes em um ponto M, de tal modo que 4. A medida de um ângulo é igual à medida a medida de AMˆ D representa a terça do seu complemento, aumentada de 70°. parte da medida de AMˆ C. Determine Qual é a medida desse ângulo? 80° as medidas dos quatro ângulos adjacen- tes, indicados na figura, formados com 5. A medida de um ângulo é igual à terça vértice no ponto M. parte da medida do seu suplemento. Qual a medida desse ângulo? 45° DB 6. Sabendo que a medida de um ângulo M é igual ao quádruplo da medida do seu complemento, determine a medida AC desse ângulo. 72° 45°, 45°, 135° e 135°. 7. O triplo da medida de um ângulo é igual ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE ao dobro da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo? 72° 8. A medida do suplemento de um ângulo é igual ao quádruplo da medida do com- plemento desse mesmo ângulo. Quanto mede esse ângulo? 60° 69 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 69 11/14/18 5:59 PM 69

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO TRIÂNGULOS Triângulos 2 A definição de triângulo e Elementos de um triângulo seus elementos é retomada nesta página. Relembrar com Vamos destacar os seguintes elementos de um triângulo: os alunos como nomear lados, vértices e ângulos de um triân- A • Vértices pontos A, B e C gulo. Verificar se eles percebem a que o triângulo é um polígono • Lados AB, AC e BC que não possui diagonais. A EDITORIA DE ARTE c • Ângulos internos Â, Bˆ e Cˆ Em seguida, a classificação BB C • Ângulos externos â, bˆ e cˆ de triângulos em relação às b medidas dos lados e em rela- C ção às medidas dos ângulos Representação: *ABC também é relembrada. Verifi- car se os alunos ainda apre- Classificação de triângulos sentam alguma dúvida a res- peito dessas nomenclaturas e Classificamos os triângulos em relação às medidas de seus lados ou às medidas saná-las. de seus ângulos internos. Em relação às medidas dos lados, um triângulo é classi- ficado como: Para aprofundar a explora- ção a respeito dos triângulos, Equilátero Isósceles Escaleno fazer alguns questionamen- tos, como: “É possível existir Quando os Quando dois lados Quando os três um triângulo com dois ângu- três lados têm têm medidas iguais. lados têm medidas los retos?”; “Um triângulo medidas iguais. diferentes. equilátero pode ser obtusân- gulo?”. Espera-se que os alu- Em relação às medidas dos ângulos, um triângulo é classificado como: nos respondam que não em ambos os casos. Na primeira Acutângulo Retângulo Obtusângulo questão, não é possível que um triângulo tenha dois ân- Quando os três Quando um dos Quando um dos gulos retos, pois apenas esses ângulos internos ângulos internos ângulos internos é dois ângulos somariam 180°, são agudos é reto (medida obtuso (a medida que é a soma total de todos (menores que 90º). igual a 90º). é maior que 90º e os ângulos internos de um menor que 180º). triângulo. Do mesmo modo, um triângulo equilátero não pode ser obtusângulo, pois um triângulo equilátero pos- sui todos os ângulos de mes- ma medida. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, cada ângulo interno de um triângulo equi- látero mede 60° (180° : 3). Portanto, o triângulo equiláte- ro é um triângulo acutângulo. 70 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 70 11/12/18 8:19 PM 70

Ângulos no triângulo ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Pense e responda Veja como Núbia determinou a soma dos ângulos internos de um triângulo. Se possível, realizar com os alunos o experimento feito 1o passo: Núbia, com uma tesoura de pontas 2o passo: Em seguida, usou lápis de por Núbia para que eles re- arredondadas, recortou um papel em um diferentes cores para destacar os três lembrem, de forma intuitiva, a formato que lembra um triângulo. ângulos internos e os nomeou como a, b e c. soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Esse EDITORIA DE ARTE3o passo: Depois, usando a mesma tesoura, 4o passo: Por último, juntou os três assunto já foi abordado em WANDSON ROCHArecortou o triângulo, dividindo-o em três partes.vértices em um único ponto.anos anteriores, a ideia é que seja retomado por meio desta atividade prática para que, em seguida, eles possam acompa- nhar a demonstração matemá- tica desta propriedade. Ângulos no triângulo Se julgar necessário, reto- mar os conceitos de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal: ângulos correspondentes, al- ternos internos, alternos ex- ternos, colaterais internos e colaterais externos. Esses con- ceitos serão utilizados na de- monstração de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Agora, faça o que se pede: 1. Utilizando uma folha de papel sulfite, uma tesoura de pontas arredondadas e lápis de cor, faça o mesmo trabalho de Núbia. Resposta pessoal. 2. Com o trabalho finalizado, responda no caderno: qual a soma dos ângulos internos de um triângulo? Pela montagem é possível verificar que, juntos, os três ângulos internos do triângulo formam um ângulo raso ou de meia-volta. Então: a + b + c = 180°. Agora, vamos usar os conhecimentos que adquirimos sobre ângulos formados por uma transversal com duas retas paralelas para demonstrar essa relação. • Consideremos a representação do triângulo ABC seguinte: A a = med (Aˆ ) Tracemos uma reta r, paralela à reta que contém a b = med (Bˆ ) o lado BC, passando por A. Essa paralela vai formar c = med (Cˆ ) com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas b cC indicaremos por m e n, respectivamente. B 71 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 71 7/4/19 7:05 PM 71

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A r m Nesta página é apresentada n a demonstração da proprieda- a de de que em qualquer triân- m = b (alternos internos) gulo, a medida de um ângulo r⁄BC h n = c (alternos internos) externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos b c não adjacentes a ele. É im- B C portante que os alunos com- preendam essa demonstração Assim: m + a + n = 180° e a necessidade de realizá-la. Desse modo, aos poucos, os b + a + c = 180° alunos vão se familiarizando Além dos ângulos internos, um polígono, como o triângulo, possui ângulos externos. com a linguagem matemática e abstração necessárias para Os ângulos externos são aqueles formados por um lado do polígono e pelo realizar demonstrações. prolongamento de um lado consecutivo a ele. Como complemento ao Considerando o triângulo ABC da figura a seguir, temos: conteúdo desta página e da anterior, entregar aos alunos zA x • a, b, c são as medidas dos ângulos internos; uma folha com alguns triân- a c gulos desenhados, deixando • x, y, z são as medidas dos ângulos externos. espaço suficiente para que Bb C Através da imagem, podemos observar que possam fazer os prolonga- y mentos de seus lados, e pedir os ângulos a e z são adjacentes suplementares. a eles que marquem os ângu- O mesmo ocorre com os ângulos b e y e c e x. los internos e tracem seus res- pectivos ângulos externos. Para o triângulo, existe uma relação entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Vamos observar a figura seguinte, da qual estabelecemos que: Em seguida, nesta mesma folha com os triângulos de- A senhados, solicitar a eles que destaquem cada ângulo for- ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE a mado por um ângulo interno e o ângulo externo adjacente Bb x • x + c = 180° (adjacentes suplementares); a ele, e respondam: “Que ti- c pos de ângulos foram destaca- Assim, temos: • a + b + c = 180° (soma das medidas dos dos?” (Resposta esperada: To- C ângulos internos). dos são ângulos rasos (180°)). x + c = 180° x+c=a+b+c h x=a+b a + b + c = 180° medida do ângulo externo soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. 72 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 72 7/4/19 7:26 PM 72

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno. 5. Calcule o valor de a na representação Atividades deste triângulo. 58° 1. Em cada uma das representações dos As atividades desse bloco triângulos, identifique o maior lado: 116° têm como objetivo levar os alunos a utilizar as relações da a) A BC aa soma das medidas dos ângu- los internos e das medidas dos 80° 6. Considerando a representação do tri- ângulos externos de um triân- ângulo ABC da figura, determine o gulo, verificar que cada ângulo B 60° 40° C valor de x. 50° interno de um triângulo é su- plementar ao ângulo externo b) N A adjacente a ele, e que a medida x de um ângulo externo é igual à PN 2x + 10° soma das medidas dos dois ân- gulos internos não adjacentes 40° a ele; e estabelecer as relações de desigualdade entre ângulos P 30° 110° e lados de um triângulo. M Desafio SAIBA QUE C Para o desafio da atividade Em qualquer triângulo, o maior 60° 9, se preferir, propor aos alunos ângulo opõe-se ao maior lado, e o B que se organizem em duplas maior lado opõe-se ao maior ângulo. para discutir como encontrarão 7. Em um triângulo ABC, med (Â) = 72°. as medidas a, b, x e y. Propor 2. Considerando as medidas a, b, c e d in- Sabendo que a medida do ângulo aos alunos que reproduzam a dicadas na representação do triângulo, externo no vértice B é 125°, qual a figura no caderno. Em seguida, qual relação de igualdade podemos medida do ângulo interno C? 53° que a observem e descrevam os formar entre: conceitos que podem ser usa- 8. Considere um triângulo ABC, em que dos para determinar as medidas R o ângulo externo no vértice A mede solicitadas. Em seguida, pedir a 116°, med (Bˆ ) = x e med (Cˆ ) = x _ 20°. eles que marquem na figura os c Determine as medidas dos três ângulos triângulos que a compõem. internos desse triângulo. 68°, 48° e 64°. Resolução do Desafio a dT DESAFIO Os ângulos de medidas x e b 9. Observe a figura a seguir e calcule o valor 135° são ângulos suplementa- S da expressão dada, utilizando todas as res, então x + 135° = 180°. propriedades que forem necessárias: Portanto, x = 45°. a) b, c e d? b) a e b? c) a, c e d? x+y+a+b b + c + d = 180° a + b = 180° c + d = a Os ângulos de medidas x, 3. Num triângulo, as medidas de dois de b y e 110° são ângulos internos de um triângulo, então a soma seus ângulos internos são 72° e 81°. Qual ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE dessas medidas é 180°. Como já calculamos o valor do ângulo é a medida do terceiro ângulo interno? x, temos: 27° 4. As medidas, em graus, dos ângulos inter- x + y + 110° = 180° 135° 45° + y +110° = 180° nos de um triângulo são expressas por y = 25° Os ângulos de medidas y, (3x _ 48°), (2x + 10°) e (x _ 10°). Quanto x 75° a 70° 75° e a formam um ângulo 110° y raso, então: mede o maior ângulo desse triângulo? y + 75° + a = 180° 86° x + y + a + b = 180° 25° + 75° + a = 180° a = 80° 73 Por último, os ângulos de medidas a, b e 70° são ângulos D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 73 11/14/18 6:02 PM internos de um triângulo, então: a + b + 70° = 180° 80° + b + 70° = 180° b = 30° Calculando o valor da ex- pressão solicitada, temos: x + y + a + b = 45° + + 25° + 80° + 30° = 180° 73

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Altura de um triângulo Altura de um triângulo Altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando um ângulo de 90° com esse lado (ou com seu prolongamento). A partir daqui os alunos verão alguns elementos do A triângulo, suas definições e suas características. Esses ele- BH AH À BC mentos serão muito úteis no AH é a altura relativa ao lado BC. desenvolvimento de outros as- suntos dentro da Matemática C nos anos seguintes de estudo. SAIBA QUE É importante que os alunos compreendam o conceito de Utilizamos o símbolo À para relacionar cada um dos elementos, para segmentos ou retas que formam um ângulo que estejam aptos a construí-los de 90°, ou seja, que são perpendiculares. em qualquer triângulo dado. A No caso da altura, reforçar com os alunos que nem sem- AH À BC pre a altura está na região in- AH é a altura relativa ao lado BC. terna do triângulo. B CH Se possível, levar os alunos ao laboratório de informática Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um único ponto denominado orto- para que eles realizem a cons- centro. Observe as alturas e o ortocentro nos diferentes triângulos: trução das alturas de um triân- gulo utilizando o software de • Triângulo acutângulo geometria dinâmica GeoGebra. Verificar se eles compreendem ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE A AH altura relativa ao lado BC que é necessário entender o H‘ BH‘ altura relativa ao lado AC conceito de altura de um triân- CH“ altura relativa ao lado AB gulo para realizar a construção. H’ O ortocentro: ponto de encontro O Para complementar, sugerir C das alturas do *ABC aos alunos que acessem o site BH <https://www.geogebra.org/m/ QvcF2vcb> (acesso em: 14 nov. 2018), que disponibiliza um si- mulador em que é possível visu- alizar as alturas e o ortocentro de um triângulo, alterando as posições de seus vértices. Note que, nesse caso, o ortocentro pertence à região interna do triângulo e não coincide com nenhum de seus vértices. 74 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 74 11/12/18 8:19 PM 74

• Triângulo obtusângulo ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A Mediana de um triângulo H‘ C AH altura relativa ao lado BC B BH‘ altura relativa ao lado AC Inicialmente, apresentar aos H CH“ altura relativa ao lado AB alunos o conceito de ponto O H’ O ortocentro do *ABC médio. Em seguida, explicar a definição e construção da me- Note que, nesse caso, o ortocentro não pertence à região interna do triângulo. diana de um triângulo. Verifi- • Triângulo retângulo car se os alunos compreendem o conceito e apresentam algu- C ma dúvida. H AH altura relativa ao lado BC Novamente, utilizar o re- CA altura relativa ao lado AB curso do software de geome- BA altura relativa ao lado AC tria dinâmica pode auxiliar no A ortocentro do *ABC processo de aprendizagem do aluno. BA Outra opção é solicitar Note que, nesse caso, duas das alturas coincidem com os lados AC e AB, e o ortocentro aos alunos que acessem o coincide com o vértice A. site <https://www.geogebra. org/m/fQFRXaaF> (acesso em: Mediana de um triângulo 14 nov. 2018), que apresenta um simulador em que é possí- Antes de iniciarmos o estudo de mediana, precisamos entender o que é o ponto médio de vel visualizar as medianas e o um segmento. baricentro do triângulo, alte- rando a posição dos vértices. Um ponto M, pertencente a AB, é denominado ponto médio deste segmento se M divide AB em dois segmentos congruentes. Caso julgar interessante, comentar com os alunos que AMB o baricentro de um triângulo é também o seu centro de mas- Nesta figura, M é o ponto médio do segmento AB. Então AM 2 MB. sa. Essa abordagem pode ser feita em conjunto com o pro- Agora que sabemos o que é o ponto médio de um segmento, vamos estudar a mediana. fessor de Ciências. Mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE A BM 2 MC h M é o ponto médio de BC. BM AM é a mediana relativa ao lado BC do *ABC. C 75 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 75 11/12/18 8:19 PM 75

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um único ponto denominado baricentro. Bissetriz de um triângulo A Assim como foi feito para M M‘ AM“ mediana relativa ao lado BC os elementos anteriores, ex- B G BM‘ mediana relativa ao lado AC plicar aos alunos o conceito CM mediana relativa ao lado AB e a construção da bissetriz de M’ G baricentro: ponto de encontro das um triângulo e verificar se eles apresentam alguma dificul- C medianas do *ABC dade. Neste caso, comentar com os alunos que a definição O baricentro, diferentemente do ortocentro, é sempre um ponto interno do triângulo. de bissetriz de um triângulo é bastante parecida com a defi- Bissetriz de um triângulo nição de bissetriz de um ângu- lo, vista na página 67. A ideia é Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice do triângulo ao seu ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE a mesma, dividir o ângulo em respectivo lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida. duas partes de mesma medida. AA Para complementar, suge- S rir que os alunos acessem o site <https://www.geogebra. BS C B C org/m/BhZqWYgt> (acesso em: 14 nov. 2018) para reali- BÂS 2 CÂS BCˆ S 2 SCˆ A zar explorações no GeoGebra envolvendo as bissetrizes e o AS é a bissetriz relativa ao ângulo A. CS é a bissetriz relativa ao ângulo C. encentro de um triângulo. Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um único ponto denominado Para auxiliar os alunos a incentro. visualizarem a propriedade do triângulo isósceles men- A S‘ AS bissetriz relativa ao ângulo A cionada, apresentar a eles S” I BS‘ bissetriz relativa ao ângulo B o simulador disponível em: CS“ bissetriz relativa ao ângulo C <https://www.geogebra. BS I incentro: ponto de encontro das org/m/dfpXWbxM> (acesso em: 14 nov. 2018.). Nele é pos- C bissetrizes do *ABC sível movimentar os vértices de um triângulo isósceles e verifi- Em geral, as alturas, as medianas e as bissetrizes de um triângulo não coincidem, a não ser car que a altura, a mediana e a nos triângulos isósceles e equiláteros. bissetriz relativas à base desse triângulo coincidem. A AH a altura, a mediana e a bissetriz relativas ao lado BC coincidem BHC 76 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 76 11/14/18 6:05 PM 76

Mediatriz ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Já sabemos que o ponto médio de um segmento o divide em dois segmentos congruentes. Mediatriz Na figura a seguir o ponto M, pertencente a AB, é o ponto médio deste segmento, pois AM 2 MB. Inicialmente, apresentar o conceito de reta mediatriz. A AMB partir daí, explicar o conceito e a construção da mediatriz de A reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo um triângulo. ponto M é chamada reta mediatriz de AB. Verificar se os alunos com- SAIBA QUE A M B ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE preendem a diferença entre a definição de mediana de um Qualquer ponto da reta mediatriz tem a mesma distância triângulo e de mediatriz de um de A e de B. Assim, a mediatriz é o lugar geométrico de triângulo. Se julgar necessário, todos os pontos equidistantes de A e de B. promover um debate com a turma para que eles possam Mediatriz de um lado de um triângulo é a reta perpendicular a esse lado que passa pelo seu explicar aos colegas essa di- ponto médio. ferença. Alguns pontos que podem auxiliar para o desen- A reta r é a mediatriz do lado BC no triângulo ABC. volvimento dessa discussão: • A mediatriz é uma reta; já r a mediana é um segmento de A reta. • A mediatriz não passa ne- B PC cessariamente pelo vértice oposto do lado a que ela se Todo triângulo possui três mediatrizes, que se encontram em um único ponto denominado refere. Já o vértice e o ponto circuncentro. médio do lado oposto são ne- cessariamente as extremida- A r des da mediana. tM s • A mediatriz necessariamen- te passa pelo ponto médio do B N C r mediatriz do lado BC lado do triângulo e forma um O s mediatriz do lado AC ângulo reto com esse lado. Já a t mediatriz do lado AB mediana, também passa pelo P O circuncentro: ponto de encontro das ponto médio do lado do triân- gulo, mas pode ou não formar mediatrizes do *ABC um ângulo reto com esse lado. D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 77 77 Observando os triângulos que os alunos já trabalharam, 11/14/18 6:06 PM discutir em que condições a reta mediatriz contém a media- na relativa ao mesmo lado. Es- pera-se que os alunos respon- dam que isso ocorre quando o triângulo é isósceles e, em par- ticular, quando ele é equilátero. Solicitar aos alunos que acessem o site <https://www. geogebra.org/m/bePR4ACr> (acesso em: 14 nov. 2018) para que explorem as media- trizes e o circuncentro de um triângulo, alterando a posição dos vértices. 77

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA QUEM QUER MAIS Para quem quer mais Usando dobraduras Com antecedência, pedir aos É possível representar os elementos de um triângulo usando dobraduras. Nesta ativi- alunos que levem os materiais dade vamos obter as bissetrizes e o incentro de um triângulo. necessários para desenvolver a atividade proposta nessa seção. Você vai precisar de: Por meio da manipulação e da • papel sulfite observação de cada etapa, será • tesoura com pontas arredondadas possível perceber os conceitos • lápis abordados anteriormente. • esquadro • transferidor Caso julgue interessante, so- licitar aos alunos que realizem 1o passo: Recorte um triângulo qualquer. dobraduras para representar os demais elementos do triângulo 2o passo: Para obter a bissetriz de um ângulo do triângulo, dobre-o sobrepondo dois lados. vistos anteriormente. As orien- tações para realizar essa ativida- bissetriz bissetriz de estão na atividade comple- mentar a seguir. 3o passo: Obtenha, da mesma maneira, as três bissetrizes dos ângulos internos.ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 4o passo: Marque o ponto I onde elas se encontram. Esse ponto é o incentro do Após o estudo desses ele- triângulo. mentos, realizar alguns ques- Investigação 1: Pegue um compasso, coloque a ponta-seca no incentro, abra-o até o tionamentos como: “Em quais ponto mais próximo de um dos lados e trace a circunferência. A circunferência toca cada condições a mediana, a altura lado do triângulo em um só ponto? Registre no caderno. Sim. e a bissetriz, relativas ao mesmo lado, coincidem?”. Espera-se a = 90° que os alunos cheguem à con- clusão de que isso acontece nos triângulos isósceles e equiláteros. Se julgar conveniente, co- mentar com os alunos que o ortocentro, o baricentro, o incentro e o circuncentro são chamados de pontos notáveis do triângulo. AMPLIANDO Investigação 2: Recorte um triângulo e, por dobradura, obtenha uma das bissetrizes dos ângulos internos. De um ponto qualquer da bissetriz, trace um segmento de reta até Atividade complementar um dos lados que formam o ângulo dividido pela bissetriz de forma que esse segmento Veja, em cada sequência a de reta seja perpendicular ao lado escolhido (dica: use esquadro e régua). seguir, como representar, por Partindo do mesmo ponto escolhido anteriormente, faça o mesmo com o outro lado dobradura, vários elementos de que forma o ângulo. Dobre novamente o triângulo na bissetriz. Os dois segmentos traça- um triângulo. Para fazer estas dos têm o mesmo comprimento? Repita o processo em diferentes pontos da bissetriz. O atividades, você vai precisar de: que é possível observar? Sim. Os dois segmentos traçados possuem sempre o mesmo comprimento. • papel sulfite; • tesoura com ponta arredon- 78 dada; • lápis; • esquadro; • transferidor. Dobradura 1: Representando alturaDs2-/MoATr-tFo2-2c0e51n-Vt8-rUo03:-064-095-LA-G20.indd 78 Investigação: Meça os ângulos que cada altura forma com o 11/14/18 6:07 PM lado que contém o seu pé. Quanto mede cada um desses ângulos? altura altura Registre no caderno. (Resposta: 90°) Dobradura 2: Representando medianas/baricentro: ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE pé da altura pé da altura mediana mediana • Recorte um triângulo como esse e, por dobradura, represen- te as três alturas desse triângulo. • Marque o ponto O onde as três alturas se encontram. Esse ponto médio ponto médio do lado ponto é o ortocentro do triângulo. do lado 78

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno. 5. No *MPQ, MX e PY são bissetrizes. Atividades Calcule as medidas a, b e c. 1. Sendo AH a altura do *ABC, determine O objetivo das atividades as medidas x e y. M a = 115°, propostas é levar os alunos a 30° b = 80° e identificar e representar a me- A c = 65°. diana, a altura e a bissetriz de aY um triângulo, revelando o pon- to de encontro entre elas e re- y x = 20° e y = 50°. c solvendo problemas em que es- x ses elementos estão envolvidos. 70° P 35° b Q X Na atividade 4, organizar 40° os alunos em duplas e pedir a BH C 6. Em um *ABC, o ângulo B mede 60°, e eles que desenhem no caderno o ângulo C mede 20°. Calcule a medida o triângulo apresentado, com 2. No *MNP, MA é a bissetriz relativa ao do ângulo formado pela altura relativa suas bissetrizes e ângulos. A lado PN. Qual a medida de PMˆ A? 50° ao lado BC e a bissetriz do ângulo A. 20° troca de ideias entre eles é bas- tante importante para determi- P 7. Considere duas retas paralelas, r e s. narem a solução do problema. Destacamos um segmento AB em uma 35° A das retas e traçamos vários triângulos Na atividade 7, pode ha- com base AB e um vértice na outra reta ver pequena variação nas me- 45° N paralela. Veja: didas, conforme a precisão da régua usada e das medições C D E F G H Ir efetuadas. M 3. Na figura, AH é uma altura, e BI é outra s altura. Determine as medidas a, b e c indicadas. AB A a = 30°, Usando a régua, responda: cI b = 30° e a) Qual a medida do lado comum AB? 1,5 cm b c = 60°. b) Qual a medida da altura relativa ao lado 60° a AB de todos os triângulos traçados? O que você observou? BH C c) Qual dos triângulos traçados tem: • o menor perímetro? 4. No *ABC a seguir, med (Bˆ ) = 60° e • o maior perímetro*?AFB; *ACB e *AIB. med (Cˆ ) = 40°. Sabendo que BD e CE são 8. Na figura, AD é bissetriz relativa ao ângulo as bissetrizes relativas aos lados AC e AB, A, e AH é altura relativa ao lado BC. respectivamente, determine as medidas Determine as medidas a, b e c indicadas. x e y. A a = 90°, A x = 80° e y = 130°. b b = 50° e c = 95°. x D ILUSTRAÇÕES: E EDITORIA DE ARTE y C B 45° ac 35° C B HD 2,6 cm; todos possuem a mesma medida de altura. 79 • RecorteD2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 79 um triângulo e, por entre essas distâncias? Registre é chamado circun1c1e/1n4/1t8ro6:08dPMo dobradura, represente as três triângulo. medianas. no caderno. [Resposta: 1 ] • Marque o ponto G onde elas 2 Investigação: Cole o triân- se encontram. Esse ponto é o gulo no caderno e, em seguida, baricentro do triângulo. Dobradura 3: Obtendo pegue o compasso, coloque a Investigação: Para cada ponta seca no circuncentro, mediana, meça as distâncias do mediatrizes/circuncentro: abra-o até um dos vértices e ponto médio do lado ao bari- trace a circunferência. Ela passa centro e do baricentro ao vérti- • Recorte um triângulo e, por pelos outros vértices? Registre ce. Qual é, nessa ordem, a razão dobradura, represente as suas no caderno. (Resposta: Sim.) três mediatrizes. • Marque o ponto C onde elas se encontram. Esse ponto 79

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Figuras congruentes 3 Nesta página, o conceito Figuras congruentes de figuras congruentes e po- lígonos congruentes é apre- Observe as figuras geométricas: sentado brevemente para que o conceito de triângulos con- gruentes possa ser apresenta- do em seguida aos alunos. Verificar se os alunos assi- milam o conteúdo apresen- tado, pois ele será utilizado como base para a explanação de triângulos congruentes. Vamos sobrepor uma figura à outra: Notamos que as duas figuras, quando sobrepostas, coincidem exatamente. Nesse caso, dizemos que as figuras são congruentes. O mesmo ocorre com polígonos, ou seja, dois polígonos com o mesmo número de lados são congruentes quando podemos sobrepor um ao outro exatamente, fazendo que coincidam. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Os polígonos representados se sobrepõem exatamente; logo, são congruentes e apresentam lados com a mesma identificação congruentes e ângulos de mesma cor congruentes. 80 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 80 11/14/18 6:09 PM 80

Triângulos congruentes P ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Considere os triângulos abaixo: ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Triângulos congruentes A Nesta página, é apresen- tado o conceito de triângulos M congruentes. Verificar se os BC alunos compreendem o con- ceito, pois ele será bastante Nesses triângulos, temos: N utilizado em vários momentos Aˆ 2 Mˆ de seu aprendizado nos próxi- Bˆ 2 Nˆ Aˆ e Mˆ são ângulos correspondentes mos anos. Cˆ 2 Pˆ Bˆ e Nˆ são ângulos correspondentes Cˆ e Pˆ são ângulos correspondentes Se possível, como atividade complementar, levar os alunos BC 2 NP BC e NP são lados correspondentes ao laboratório de informática e solicitar que eles resolvam, em AC 2 MP AC e MP são lados correspondentes duplas, as atividades propostas no site <https://www.geoge bra.org/m/fBy4dZmC> (acesso em: 14 nov. 2018). É interes- sante notar que os alunos terão a oportunidade de testar suas conjecturas utilizando simula- dores feitos com o GeoGebra antes de elaborar as respostas para as perguntas feitas. AB 2 MN AB e MN são lados correspondentes Dois triângulos são congruentes quando têm os lados e os ângulos correspondentes congruentes. Observe os triângulos ABC e MNP: AM B CN P Aˆ 2 Mˆ AB 2 MN Bˆ 2 Nˆ e AC 2 MP h *ABC 2 *MNP Cˆ 2 Pˆ BC 2 NP símbolo de congruência Como todos os lados correspondentes e todos os ângulos correspondentes são congruentes, os triângulos ABC e MNP também são congruentes. 81 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 81 11/14/18 6:09 PM 81

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Casos de congruência de triângulos Casos de congruência de Para saber se dois triângulos são congruentes, verificamos se os seus lados e seus ângulos triângulos correspondentes são congruentes. Para que os alunos com- No entanto, existem condições que, uma vez satisfeitas, garantem a congruência de dois triângulos preendam os casos de con- sem a necessidade de verificar a congruência entre os seis elementos (3 ângulos e 3 lados). Essas gruência de triângulos, propor condições são chamadas casos de congruência de triângulos. Vejamos quais são esses casos. atividades de construção e demonstrações geométricas, 1o caso: Lado, Lado, Lado (LLL). levantando algumas hipóte- São congruentes dois triângulos que possuem os três lados correspondentes congruentes. ses para serem verificadas por eles. Por exemplo: AM a) Se apenas um par de ele- B CN P mentos correspondentes de dois triângulos for conhecido, AB 2 MN (L) poderemos afirmar que esses AC 2 MP (L) h *ABC 2 *MNP triângulos são congruentes? BC 2 NP (L) Para responder a essa ati- 2o caso: Lado, Ângulo, Lado (LAL). vidade, pedir aos alunos que São congruentes dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre construam dois triângulos esses lados correspondentes congruentes. que tenham: • conhecida apenas a medida AM de um lado, de medida 4,5 cm; • conhecida apenas a medida B CN P de um ângulo interno, de me- dida 45°. AB 2 MN (L) Bˆ 2 Nˆ (A) h *ABC 2 *MNP Após a construção dos tri- BC 2 NP (L) ângulos pedidos e a discussão em grupo a respeito das ob- 3o caso: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA). ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE servações que fizeram na ati- São congruentes dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre vidade, eles deverão perceber esses ângulos correspondentes congruentes. que há a possibilidade de se construir infinitos triângulos AM não congruentes. B Bˆ 2 Nˆ CN P b) Saber apenas que dois elementos de um triângulo 82 BC 2 NP (A) 11/12/18 8:19 PM são congruentes a dois ele- Cˆ 2 Pˆ (L) h *ABC 2 *MNP mentos correspondentes de (A) outro triângulo é suficiente para determinar que dois tri- D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 82 ângulos são congruentes? Para responder a essa ati- vidade, pedir aos alunos que, organizados em grupos, cons- truam dois triângulos. • Conhecidos apenas dois lados correspondentes con- gruentes, de medidas 3,0 cm e 5,0 cm, respectivamente. • Conhecidos apenas dois ân- gulos internos corresponden- tes congruentes, de medidas 45° e 80°, respectivamente. • Conhecidos apenas um lado e um ângulo interno respecti- vamente congruentes, de me- didas 3 cm e 30°. Eles deverão concluir que é possível construir infinitos triân- gulos não congruentes saben- do apenas que dois elementos de um triângulo são congruen- tes a dois elementos correspon- dentes de outro triângulo. 82

4o caso: Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto (LAAO). ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS São congruentes dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado correspondentes congruentes. Caso de congruência no triângulo retângulo AM Após a apresentação dos B CN P casos de congruência de tri- ângulos, apresentar o caso BC 2 NP (L) h *ABC 2 *MNP da congruência no triângulo Bˆ 2 Nˆ (A) retângulo. Aˆ 2 Mˆ (AO) Como aprofundamento, ve- rificar se os alunos conseguem explicar por que esse caso de congruência só vale para triân- gulos retângulos. Estimule-os a apresentar um exemplo que mostre esse fato. Caso de congruência no triângulo retângulo Já vimos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto (medida igual a 90°). No triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais: • O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. • Os lados que formam o ângulo reto são chamados catetos. C med (Aˆ ) = 90° hipotenusa med (Bˆ ) , 90° med (Cˆ ) , 90° cateto A cateto B ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE São congruentes dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um dos catetos respectivamente congruentes. AM B CN P Aˆ 2 Mˆ ângulos retos h *ABC 2 *MNP 83 AB 2 MN catetos BC 2 NP hipotenusas 11/16/18 2:39 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 83 83

Utilização dos casos de congruência Podemos utilizar os casos de congruência para determinar elementos desconhecidos nos triângulos e demonstrar propriedades importantes da Geometria. Acompanhe a situação a seguir. 1 Na figura, AB//DE, e C é ponto médio de AD. Determinar os valores de x e y. D B 7 cm 60° 5 cm x CyE 60° A Como C é ponto médio de AD, AC 2 CD. Como ACˆ B e DCˆ E são ângulos opostos pelo vértice (opv), ACˆ B 2 DCˆ E. Vamos, então, comparar os triângulos ABC e DEC. B 7 cm C D ILUSTRAÇÕES: 60° EDITORIA DE ARTE x 60° 5 cm A yE Observamos que: (A) • Aˆ 2 Dˆ (60°) (L) • AC 2 CD (C é ponto médio) (A) • ACˆ B 2 DCˆ E (o.p.v.) Pelo caso ALA, temos que *ABC 2 *DEC. Logo, os lados correspondentes são congruentes, ou seja, BC 2 EC e AB 2 DE. Portanto, x = 5 cm e y = 7 cm. 84 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 84 11/12/18 8:19 PM 84

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno. 6. (Saresp-SP) Nos triângulos LUA e AMO Atividades os elementos congruentes estão assina- 1. Os triângulos ABC e MNP são congruen- lados com marcas iguais. Esse bloco de atividades tem tes. Pelas indicações, determine o caso como objetivo levar os alunos de congruência e as medidas x e y. LAO a reconhecer triângulos con- gruentes e a aplicar os casos de M congruência de triângulos. A Nx B 60° 30° C y P Caso LAL; x = 60° e y = 30°. UM 2. Na figura, Bˆ 2 Ê e AB 2 DE. Nessas con- Sabendo que UA = 10 cm e LA = 8 cm, dições, determine as medidas x e y. pode-se dizer que AO e MO medem, B respectivamente: Alternativa c. a) 10 cm e 10 cm c) 8 cm e 10 cm y A x D b) 10 cm e 8 cm d) 8 cm e 8 cm 5 cm E 4 cm C 7. Na figura, Aˆ 2 Bˆ e AM 2 MB. Prove que x = 4 cm e y = 5 cm. M é ponto médio de CD. D Resposta no final do livro. 3. No *ABC, AB 2 AC e A AM BD 2 DC. Nessas condi- xy ções, mostre que: B a) x = y Resposta no C b) Bˆ 2 Cˆ final do livro. B D C 8. A figura mostra um retângulo no qual M 4. Na figura, AC 2 MN e Cˆ 2 Nˆ . Prove que é o ponto médio do lado BC. Prove que AB 2 MP. o triângulo AMD é isósceles. C M C M B Resposta no P final do livro. A B N Resposta no final do livro. 5. Os triângulos ABC e DBC da figura ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE apresentam os ângulos congruentes assinalados com marcas iguais. Nessas condições, mostre que os triângulos ABC e DBC são congruentes. ABD São congruentes C DA pelo cao LAAO. 85 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 85 11/14/18 6:12 PM 85

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS Propriedades do 4 triângulo isósceles Propriedades do triângulo isósceles Explorar as propriedades do triângulo isósceles, construin- Já estudamos que um triângulo isósceles possui dois lados congruentes. Agora, do a altura, a mediana e a vamos ver que alguns elementos desses triângulos recebem nomes especiais: bissetriz usando um software de geometria dinâmica. Com • O lado com medida diferente é chamado base. A o auxílio do computador, esse trabalho de constatação das propriedades é mais facilmen- te visualizado pelos alunos para melhor apropriação por parte deles. • Os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos da base. • O ângulo oposto à base é chamado ângulo do vértice. B C Os triângulos isósceles possuem duas propriedades importantes: 1a propriedade: em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem. Seja o *ABC isósceles, com AB 2 AC, e a mediana AM relativa à base BC. Queremos demonstrar que AM é também a altura relativa à base BC e a bissetriz do ângulo A. Comparando os triângulos ABM e ACM, temos: A • AB 2 AC (lados congruentes do triângulo isósceles) (L) a1 a2 • BM 2 MC (M é ponto médio de BC) (L) • AM 2 AM (lado comum) (L) m1 m2 BM Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. C Como *ABM 2 *ACM, temos: a1 = a2 h BAˆ M 2 MAˆ C h AM é bissetriz de Aˆ (ângulo do vértice). m1 = m2 e m1 + m2 = 180° h m1 = m2 = 90° h AM é altura relativa a BC (base). 2a propriedade: em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. O triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB 2 AC, e AM é a mediana relativa ao lado BC. A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. Então, todos os elementos do *ABM são congruentes com seus correspondentes no *ACM. Em particular: Bˆ 2 Cˆ (ângulos da base do triângulo isósceles). BMC 86 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 86 11/14/18 6:13 PM 86

Propriedade do triângulo equilátero ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Agora vamos estudar uma propriedade do triângulo equilátero: em todo triângulo equilátero Propriedade do os três ângulos internos são congruentes, medindo 60° cada um. triângulo equilátero Vamos demonstrar essa propriedade. O triângulo equilátero é o mais particular de todos os Seja um triângulo ABC equilátero (AB Х AC Х BC) e a mediana AM relativa à base BC. triângulos, pois a altura, a mediana e a bissetriz referen- A tes a todos os seus ângulos internos coincidem, além de Comparando os triângulos ABM e ACM, temos: todos os ângulos internos se- rem congruentes. • AB Х AC (lados do triângulo equilátero) (L) Para ampliar e enriquecer o • BM Х MC (M é ponto médio de BC) (L) trabalho com triângulos, pro- por uma atividade em que os • AM Х AM (lado comum) (L) alunos terão a oportunidade de rever, discutir e registrar BMC o que aprenderam até esse momento. Organizar a turma Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. Então, Bˆ 2 Cˆ . 1 em grupos de quatro ou cinco alunos e pedir a eles que ela- A Traçamos a mediana BM‘. Comparando os triângulos borem uma lista, descrevendo BAM’ e BCM’, temos: tudo o que sabem a respeito dos triângulos. Eles poderão, ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE M‘ • BA Х BC (lados do triângulo equilátero) (L) por exemplo, apresentar nessa • AM‘ Х M‘C (M’ é ponto médio de AC) (L) lista os diversos tipos de triân- gulo que conhecem e as res- BC • BM‘ Х BM‘ (lado comum) (L) pectivas propriedades. Pelo caso LLL, temos que *BAM’ Х *BCM’. Então, Aˆ 2 Cˆ . 2 Assim que terminarem de organizar a lista, pedir a um De 1 e 2 vem: Bˆ 2 Cˆ h Aˆ 2 Bˆ 2 Cˆ aluno de cada grupo que re- Aˆ 2 Cˆ lacione na lousa os triângulos que conhecem, bem como suas propriedades já estuda- das, comentando e registran- do as conclusões do grupo. Com essa atividade, os alu- nos podem refletir a respeito do que sabem, trocando co- nhecimento com os colegas. Como med (Aˆ ) + med (Bˆ ) + med (Cˆ ) = 180° (soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo), temos: med (Aˆ ) ϭ med (Bˆ ) ϭ med (Cˆ ) ϭ 180° ϭ 60° 3 Portanto, os três ângulos internos são congruentes, medindo 60º cada um. 87 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 87 11/12/18 8:19 PM 87

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 5. Você já sabe que, em B As atividades desse bloco 1. Em um triângulo isósceles, um dos um triângulo isósceles, têm como objetivo levar os alu- ângulos internos mede 106°. Quanto nos a aplicar as propriedades medem os outros dois ângulos desse a altura e a mediana x estudadas para triângulos isós- triângulo? 37° cada um. celes e equiláteros. Observar se relativas à base e a eles compreenderam as pro- priedades e, se julgar necessá- bissetriz do ângulo rio, retomar alguns conceitos. do vértice coincidem. Você poderá ainda solicitar a algum aluno que tenha com- 2. Na figura, a representação do triângulo No triângulo isósceles preendido tais conceitos para ser tutor de seus colegas. ABC é isósceles, com AB 2 BC. Calcule as ABC da figura, no qual 73° Desafio medidas x e y indicadas na figura. os lados BA e BC são A M C congruentes, BM é a No desafio da atividade 8, x = 67° e y = 46. pedir aos alunos que reprodu- A mediana relativa à base AC. Qual é o zam a figura no caderno e re- gistrem cada etapa necessária x valor da medida x indicada? 17° para se chegar ao valor da ex- pressão dada. Se preciso, pedir 6. Sabe-se que a representação do pen- a eles que revejam os concei- tos e as propriedades dadas. tágono ABCDE da figura é regular (os Resolução do Desafio y 67° 5 lados e os 5 ângulos internos são con- Como x é um ângulo inter- B C gruentes). Sabendo A no de um triângulo equilátero, que a medida do então x = 60°. ângulo EAB é 108°, E x 3. A figura mostra dois trechos de 600 km qual é o valor de x, B Observando a figura, sa- cada um (linha cheia) percorridos por bemos que x e y são ângulos um avião. Qual é o valor de x, medida medida do ângulo complementares, então temos: do ângulo BCA? 22°30’ AEB indicado na D C x + y = 90° figura? 36° 60° + y = 90° AC 7. Na figura, temos que AB e CD são pa- x ralelos, e o triângulo ACD é isósceles. y = 30° 135° Determine as medidas a, b e c indicadas na figura. a = 20°, b = 40° e c = 50°. Como o triângulo ADE é B isósceles, então os ângulos da B base são congruentes. Consi- 4. Caio saiu de um ponto A, passou pelo derando esse triângulo, temos: ponto B, caminhou de B até C e retor- A 20° 110° C ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE nou ao ponto A, conforme mostra o a c y + z + z = 180° esquema. Considerando que as distân- cias AB e AC são iguais, calcule a medida a 30° + 2z = 180° x do ângulo BAC. 50° Db z = 75° Portanto, x + y + z = 60° + B E + 30° + 75° = 165°. 65° DESAFIO x A 8. O quadrilátero ABCD D C é um quadrado, e o zE triângulo ABE é equilá- C tero. Nessas condições, y calcule o valor da x expressão x + y + z. A B Registre no caderno. 165° 88 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 88 11/14/18 6:14 PM 88

CAPÍTULO CONSTRUÇÕES ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS GEOMÉTRICAS 5 Construções geométricas Veja no material Para realizar uma aula de audiovisual o vídeo sobre bissetriz e mediatriz. construções geométricas, so- licitar previamente aos alunos Faça, em seu caderno, as etapas indicados a seguir, de uma construção geomé- que tragam régua e compasso trica. Para isso, você precisará de lápis, compasso, borracha e régua. para a sala de aula. Antes de iniciar o trabalho, certificar-se Construção 1: 2o passo: Com a ponta-seca do com- de que o grafite do compas- 1o passo: Desenhe um ângulo qualquer. passo no vértice O, trace um arco com uma so esteja na mesma altura da abertura qualquer e determine os pontos C ponta-seca. Além disso, o ide- A e D. al é trabalhar com a ponta do compasso chanfrada, ou seja, O A lixada a 45° para fora. Se pre- C ferir, distribuir folhas de papel B sulfite para que os alunos rea- O lizem as construções. 3o passo: Com a ponta-seca do com- passo no ponto C, trace um arco de abertura D AMPLIANDO qualquer, entre as duas semirretas que B formam o ângulo. Link 4o passo: Com a mesma abertura do No site “Portal do saber”, passo anterior, coloque a ponta-seca do compasso no ponto D, trace um arco que se desenvolvido pela OBMEP, há encontre com o arco formado no passo 3, diversos vídeos que ensinam marcando o ponto E. construções geométricas bá- sicas. A aula 1 trata da cons- A A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, trução de ângulos. Disponível C C ALEX ARGOZINO em: <http://livro.pro/upoi2z>. Acesso em: 10 nov. 2018. O OE NO AUDIOVISUAL D D Um dos materiais audiovisu- B B ais disponíveis nesta coleção é um vídeo a respeito de bis- setriz e mediatriz. Nesse vídeo abordam-se os conceitos de bissetriz de um ângulo e me- diatriz de um segmento de reta, bem como a construção geométrica dessas figuras com o auxílio de régua e compasso. 89 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 89 11/14/18 6:15 PM 89

5o passo: Com a régua, trace a O A semirreta, com origem no ponto O C e passe pelo ponto E. E D B Agora vamos fazer uma investigação. Para isso, vamos O C observar a construção final sem os arcos e vamos marcar o E *OCE e o *ODE. ILUSTRAÇÕES: Dessa construção podemos afirmar que: EDITORIA DE ARTE • OC Х OD, pois os pontos C e D foram marcados através D de um mesmo arco de uma circunferência com centro em O. • CE Х DE, pois o ponto E foi marcado usando o compasso sem modificar sua abertura. • OE é lado comum aos dois triângulos. Dessa forma, pelo critério LLL o *OCE e o *ODE são congruentes. Portanto, podemos afirmar que COˆ E 2 DOˆ E. A semirreta OE tem sua origem no vértice O (vértice do ângulo COD) e divide o ângulo COD em dois ângulos congruentes (COE e DOE). Assim, podemos dizer que a semirreta OE é a bissetriz do ângulo COD. Portanto, os passos acima permitem construir a bissetriz de um ângulo qualquer. Construção 2: 2o passo: Com a ponta-seca do com- passo no ponto A e uma abertura maior que 1o passo: Construa um segmento de a metade da medida AB, trace dois arcos. reta AB qualquer. A BA B 90 11/14/18 6:16 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 90 90

3o passo: Com a mesma abertura do 4o passo: Trace uma reta pelos pontos ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS passo anterior, coloque a ponta-seca do com- C e D. passo no ponto B, trace arcos que cortam os Fazer a construção da me- anteriores e marque os pontos C e D. C diatriz com os alunos e solicitar a eles que verifiquem se a reta C construída passa pelo ponto médio do segmento de reta AM B dado, usando uma régua. Em seguida, com o transferidor, A B solicitar a eles que verifiquem se, de fato, a reta construída é D perpendicular ao segmento de Ds reta AB. Essa construção tam- bém pode ser feita com o uso de um software de geometria dinâmica. Agora vamos fazer uma nova investigação. Para isso, vamos obser- C var a construção final sem os arcos e vamos marcar o *CAD e o *CBD. Dessa construção podemos afirmar que: A EB D • CA Х CB Х AD Х BD, pois os pontos C e D foram marcados com arcos de duas circunferências de mesmo raio, uma com centro em A e outra com centro em B. • CD é lado comum aos dois triângulos. Dessa forma, pelo critério LLL, o *CAD e o *CBD são congruen- tes. Portanto, podemos afirmar que ACˆ D 2 BCˆ D. Vamos agora analisar outros dois triângulos: *CAE e *CBE. C Além de sabermos que CA Х CB e que ACˆ D 2 BCˆ D (da análise anterior), também podemos afirmar que CE é lado comum aos dois triângulos. A EB ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, Então, pelo critério LAL, temos que o *CAE e o *CBE são COSTTA EDITORAÇÃO congruentes. Desse fato, podemos afirmar: • AE Х BE. • AEˆ C 2 BEˆ C. D Como med (AEˆ C) + med (BEˆ C) = 180°, então med (AEˆ C) = 90° e med (BEˆ C) = 90°. Assim, podemos afirmar que a reta CD divide o segmento de reta AB em duas partes de mesma medida e é perpendicular a ele. Dessa forma, a reta CD é mediatriz do segmento de reta AB. Assim, os passos acima permitem construir a mediatriz de um segmento de reta qualquer. 91 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 91 11/14/18 6:17 PM 91

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que Responda às questões no caderno. 5. O triângulo BDC é equilátero. Determine aprendeu o valor da medida x. 1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo O objetivo das atividades vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um C dessa seção é propiciar aos deles mede: alunos que retomem os conte- 15° údos estudados na Unidade e, a) 20° c) 30° e) 50° caso seja necessário, façam re- D tomadas para sanar as dúvidas b) 70° d) 80° Alternativa b. Ax 20° que podem surgir. 2. (Saresp-SP) Na figura abaixo as retas B Os alunos podem fazer esse paralelas r e s são cortadas pelas trans- bloco de questões como uma versais t e v. a) 15° c) 20° e) 27° autoavaliação, por isso, eles devem respondê-las individu- t b) 18° d) 25° almente. É interessante sugerir que realizem essas atividades Alternativa d. em sala de aula, assim pode- rão discutir eventuais dúvidas s 6. O triângulo ABC é A com os colegas, por exemplo. r Orientá-los a consultar o livro ␦␪ equilátero e M, N e P N para tirar dúvidas e buscar in- y formações. são, respectivamente, C ab os pontos médios dos M Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios indi- v lados AB, AC e BC P vidualmente, buscando infor- desse triângulo. mações de forma autônoma, B escolhendo suas fontes para É correto afirmar que: a) Quais as medidas chegar aos resultados. Conver- 60° cada um. sar com os alunos a respeito de dos ângulos internos do triângulo MNP? seus acertos e erros, indicando a) a + b = € + 0 c) b + y + 0 = 180° a correção com intervenções b) Qual a classificação do triângulo MNP pontuadas, isto é, dando pis- b) y + b = 90° d) y + 0 = b quanto às medidas dos lados? Equilátero. tas de quais caminhos eles po- Alternativa a. derão buscar para encontrar o resultado esperado. 3. Em um triângulo isósceles ABC, em que 7. O ângulo BAC de um triângulo isósceles é reto. Sendo CP a bissetriz do ângulo Se ainda persistirem dúvi- AB 2 AC, o ângulo A mede o dobro da ACB do triângulo, a medida do ângulo das, orientar a trocar ideias BPC é igual a: com os colegas e a buscar no soma dos outros dois ângulos. Então, a livro os conceitos que precisa- rem lembrar. medida do ângulo A é: Dar oportunidade para os a) 90° c) 60° e) 120° a) 22,5° c) 67,5° e) 135° alunos mostrarem como pen- saram para resolver as ques- b) 30° d) 100° Alternativa e. b) 45° d) 112,5° Alternativa d. tões, tirando as dúvidas dos colegas. 4. Na figura a seguir, a representação 8. Na figura seguinte, as retas t e s são do triângulo ABC é isósceles (com paralelas. Qual é o valor, em graus, da AB 2 BC). Determine o valor da medida expressão x _ y? x em graus. t ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE A x = 70° s 130° M y x 155° 150° BC a) 130° c) 65° e) 75° a) 40° c) 55° e) 65° b) 100° d) 50° Alternativa c. b) 50° d) 60° Alternativa b. 92 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 92 11/14/18 6:18 PM 92

9. Na figura a seguir, os triângulos ABP e precisará ser deslocada para um novo ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS APC são isósceles (AB 2 AP e AP 2 PC ). local (C’) que deverá, ainda, atender o Sabendo que PQ é a bissetriz relativa ao mesmo critério da distância. Um novo olhar ângulo APC, determine o valor de x + y. O novo ponto de instalação está Os questionamentos exis- a) 90° A localizado: tentes no encerramento desta a) na bissetriz do ângulo formado pelo lado Unidade poderão permitir re- b) 70° 20° y EDITORIA DE ARTE flexões a respeito das apren- c) 100° MARCOS MACHADOAB e o lado AC’.dizagens individuais, além de Q b) na altura de um triângulo definido pelos uma breve retomada dos con- teúdos apresentados. É impor- d) 80° B x C pontos A, B e C’. tante que os alunos respondam e) 60° P c) na mediatriz do segmento AB. individualmente a cada uma Alternativa a. d) em um outro ponto qualqueAr.lternativa c. das questões para que, dessa forma, possam perceber o que 10. Entre duas cidades (A e B) será instalada aprenderam e as possíveis dú- vidas que ainda tenham. Nesta uma antena de celular em um ponto Unidade, pedir aos alunos que façam um registro dos concei- C, de tal forma que ela deverá ficar à tos abordados em razão das su- tilezas inerentes principalmente mesma distância das duas cidades. No em relação a alturas, medianas, bissetrizes e mediatrizes do tri- entanto, traçando-se o segmento de ângulo e, por consequência, seus pontos notáveis. reta que liga as duas cidades (AB), perce- A primeira questão busca be-se que onde está o ponto médio do retomar com os alunos o valor da soma dos ângulos internos segmento há um lago que impede essa de um triângulo; a segunda questão resgata a classificação instalação. Dessa forma, a instalação dos triângulos (observadas as medidas de seus ângulos in- UM NOVO OLHAR Resoluções a partir da p. 289 ternos ou as medidas de seus lados). A terceira questão soli- Nesta Unidade, retomamos a definição de triângulo, a soma de seus ângulos internos cita que os alunos relembrem e as classificações com relação às medidas dos lados e dos ângulos. Vimos o que é ângulo os casos de congruência de externo, altura, mediana, bissetriz, mediatriz, além da congruência de triângulos, casos triângulos. A última questão de congruência e as propriedades dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros. proposta solicita que os alu- nos retomem o procedimento Abordamos, ainda, a construção de bissetriz e mediatriz usando régua e compasso. de construção da mediatriz de Devido ao grande número de conceitos estudados, sugerimos que faça um fichamento um segmento de reta. de cada tópico, apontando, de maneira sucinta, as definições. É interessante inserir exem- plos para complementar seus registros. Na abertura da Unidade, foram apresentadas algumas estruturas do passado e do presente nas quais o triângulo foi utilizado para aumentar a estabilidade e, por conse- quência, aumentar a carga de sustentação. É claro que, quanto mais aprofundado for nosso conhecimento sobre triângulos, maiores serão nossas possibilidades de perceber a aplicação deles ao nosso redor. Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no caderno às questões a seguir. • Qual o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo? Você saberia provar sua resposta? 180°. Resposta pessoal. • Como os triângulos podem ser classificados? • Quais são os casos de congruência de triângulos que foram abordados nesta Unidade? LLL, LAL, ALA, LAAO. • Descreva como construir a mediatriz de um segmento de reta? Resposta pessoal. De acordo com as medidas de seus ângulos internos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo ou triângulo obtusângulo. De acordo com as medidas de seus lados: triângulo equilátero, triângulo 93 isósceles ou triângulo escaleno. D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 93 11/14/18 6:19 PM 93

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATUALIDADES EM FOCO Atualidades em foco Ciência e tecnologia Solicitar aos alunos que Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites. leiam a reportagem e per- guntar a eles o que acharam Brasileiros ganham prêmio inédito na da fala dos ganhadores, da Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação maneira como a competição acontece e outros detalhes Dois jovens brasileiros ganharam a especialistas. Eles tiveram que usar esse que julgar convenientes. Olimpíada Internacional de Tecnologia tempo para aprimorar o projeto para e Inovação, conquistando pela primeira que ele pudesse se tornar uma startup Discutir com a turma o sig- vez o título para o país. Eles também com potencial de aplicação no mercado. nificado da palavra resiliência levaram para casa o prêmio de cinco e verificar se acreditam que mil francos suíços, visto que a com- Ao todo, 40 pessoas participa- a parceria escola-tecnologia petição aconteceu no Idiap Research ram da disputa, sendo que elas foram pode ser interessante. A ideia Institute, em Martigny, na Suíça. divididas em sete equipes. No dia de é fazê-los pensar nas possíveis encerramento da olimpíada, os grupos relações existentes entre os di- Os consagrados foram Fábien tiveram que se apresentar por quatro ferentes conteúdos escolares e Giovanni de Oliveira, de 22 anos, horas para uma banca de avaliadores os recursos tecnológicos dispo- estudante do 4o ano de Engenharia de e investidores. “Se eu pudesse mensu- níveis. Podemos pensar em al- Controle e Automação da Universidade rar o dia mais difícil, eu diria que é o gumas possibilidades de explo- Federal de Itajubá (UNIFEI), e Renato último”, afirma Oliveira. “Porque ali rações nas diferentes áreas do Rodrigues, de 27 anos, mestrando em você coloca em jogo toda dedicação e conhecimento, por exemplo: Estratégia e Inovação em Engenharia esforço de três semanas.” • Na disciplina de Língua Por- de Produção na Universidade Federal tuguesa, poderíamos trabalhar de São Carlos (UFSCar).  Para  Rodrigues, a adaptação ao a escrita correta de um e-mail e idioma e ao fuso horário também a utilização de suas ferramen- Eles desenvolveram o “Milênio foram complicados. “A gente gravava os tas ou, ainda, o uso do bloco Bus”, projeto que integra a Internet das feedbacks dos jurados no celular e escutava de notas de maneira eficiente. Coisas  (IoT, na sigla em inglês) com o várias vezes no quarto até entender o que • Na disciplina de Ciências, transporte público por meio de um eles estavam falando”, revela Rodrigues.  poderíamos dar maior ênfase hardware e um aplicativo de celular. “O nas unidades de medidas uti- objetivo é trabalhar com pagamentos Apesar disso, ele se orgulha do lizadas na informática como digitais, informações ao passageiro e prêmio, principalmente porque diz “giga”, “mega”, “tera”, além geração de dados com Big Data”, explica ter trabalhado com poucos recursos e de esclarecimentos a respeito Oliveira em entrevista à GALILEU.  condições adversas. “O brasileiro é um das configurações dos equi- povo bem criativo, temos que valorizar pamentos, juntamente com Para ganhar a olimpíada, foi neces- nossa resiliência”, opina. as inovações tecnológicas nos sário muito mais do que apenas uma campos da medicina e saúde. boa proposta. A competição durou três Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio • Na disciplina de Inglês, po- semanas, e nesse período os jovens inédito na Olimpíada Internacional de deríamos trabalhar as ferra- assistiram aulas de negócios, e venture mentas de tradução existen- capital, por exemplo, com professores e Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https:// tes, que nos permitem com- revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/ preender os idiomas e dialetos brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiada- do mundo todo, a fim de ter- mos acesso às outras informa- internacional-de-tecnologia.html>. ções e culturas. Acesso em: 4 set. 2018. • Na disciplina de Geografia, poderíamos aprender mais a • Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça respeito de softwares de geo- uma pesquisa sobre o significado dessas expressões. Resposta pessoal. localização ou a simplesmente utilizá-los de maneira eficiente 94 no dia a dia. • Na disciplina de Matemática, D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 94 11/14/18 20:38 poderíamos aprender a desen- volver softwares e aplicativos que nos ajudariam nos cálculos e na resolução de problemas do dia a dia. Isso sem falar em áre- as que poderiam ser agregadas à educação, como economia, contabilidade e direito. 94

Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados Na primeira questão, reco- com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a lher as informações pesquisadas melhorar sua região, o nosso país e até o mundo. pelos alunos acerca do assunto e, se julgar conveniente, reto- Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos mar as explorações realizadas existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo em aula durante o estudo de melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público. potências. Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a Estipular com a turma a for- capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase ma de organização dos grupos impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume para a concepção da ideia de de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade. um aplicativo solicitado no final da seção. Comentar com eles a • Os componentes do seu grupo já ouviram falar em kilo, mega, giga ou tera? Sabem respeito da importância de se o que essas palavras significam? Resposta pessoal. conhecer mais sobre o assunto antes de propor qualquer ativi- Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza dade. Depois, agendar um dia padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI) para que os alunos apresentem e, normalmente, são operados com a base decimal (10X). suas ideias. No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a unidade padrão utilizada é o byte. Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais: Unidade Símbolo Valor Ordem de equivalente grandeza Byte B Kilobyte KB − 1 x 100 byte Megabyte MB 1024 B 1 x 103 byte Gigabyte GB 1024 KB 1 x 106 byte Terabyte TB 1024 MB 1 x 109 byte Petabyte PB 1024 GB 1 x 1012 byte Exabyte EB 1024 TB 1 x 1015 byte Zettabyte ZB 1024 PB 1 x 1018 byte Yottabyte YB 1024 EB 1 x 1021 byte 1024 ZB 1 x 1024 byte • Façam uma pesquisa sobre a história da informática e do armazenamento digital, pro- curando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de grandeza mudou? Resposta pessoal. • Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida que usam os prefixos mostrados anteriormente. Dica: lembrem-se das unidades já estudadas por vocês. Resposta pessoal. • Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será gratuito ou pago, suas funcionalidades etc. Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula. Resposta pessoal. 95 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 95 11/14/18 6:22 PM 95

COMPETÊNCIAS GERAIS 4 Expressões e 1. Valorizar e utilizar os co- cálculo algébrico nhecimentos historicamente Você consegue imaginar como seria “fazer” construídos sobre o mundo Matemática sem utilizar a simbologia matemática? físico, social, cultural e digital para entender e explicar a rea- Eduardo questionou-se por que eram usados letras lidade, continuar aprendendo e símbolos para expressar cálculos que ele acreditava e colaborar para a construção poderiam ser descritos com palavras. Observe, na tirinha de uma sociedade justa, de- a seguir, como Eduardo imaginou se um matemático do mocrática e inclusiva. século XVI lhe mostrasse um exemplo de cálculo que não utilizava símbolos. 4. Utilizar diferentes lingua- gens − verbal (oral ou visual- Vamos rever esse exemplo: Duas vezes um número -motora, como Libras, e es- desconhecido adicionado de um inteiro determina qual- crita), corporal, visual, sonora quer número ímpar, desde que esse número desconhecido e digital −, bem como conhe- pertença ao conjunto dos números inteiros. cimentos das linguagens artís- tica, matemática e científica, Agora, pense e responda no caderno: É MUITO SIMPLES. para se expressar e partilhar in- D•esAcreevxepqrueaslqsuãeor naúpmreersoeímntpaadr;a2nc+om1ocoemxnem[ -Ω. ANTES, A DESCRIÇÃO DE formações, experiências, ideias UM CÁLCULO MATEMÁTICO e sentimentos em diferentes plo por François Viète na imaginação de contextos e produzir sentidos Eduardo descreve que tipo de número? ERA MUITO LONGA, que levem ao entendimento Passe para a linguagem matemática o PRECISAVA-SE ESCREVER mútuo. exemplo apresentado na tirinha. MUITO, POR ISSO VÁRIAS PESSOAS SE DEDICARAM ESPECÍFICAS • Escreva literal e matematicamente uma 1. Reconhecer que a Mate- sentença matemática. Qual das duas A SIMPLIFICÁ-LA, ATÉ maneiras foi a mais simples para você QUE FRANÇOIS VIÈTE mática é uma ciência humana, escrever? Resposta pessoal. SISTEMATIZOU O USO. fruto das necessidades e preo- cupações de diferentes cultu- 96 11/13/18 18:13 ras, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência HABILIDADESD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 96 viva, que contribui para solu- cionar problemas científicos e p. XXI e XXII tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, in- Álgebra clusive com impactos no mun- • EF08MA06 do do trabalho. • EF08MA08 • EF08MA09 2. Desenvolver o raciocínio Probabilidade e Estatística lógico, o espírito de investiga- • EF08MA23 ção e a capacidade de produ- • EF08MA25 zir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimen- tos matemáticos para compre- ender e atuar no mundo. 6. Enfrentar situações-pro- blema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imagina- das, não diretamente relacio- nadas com o aspecto prático- -utilitário, expressar suas res- postas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escri- to na língua materna e outras linguagens para descrever al- goritmos, como fluxogramas, e dados). 96

3x y a؉b t WANDSON ROCHA ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3 EU SEMPRE ME PERGUNTEI POR QUE Abertura de Unidade USAMOS LETRAS E SÍMBOLOS NAS Em diversos momentos, os alunos encontram e utilizam a OPERAÇÕES PARA EXPRESSAR simbologia matemática sem se preocupar ou se dar conta de COISAS QUE PODIAM SER DITAS COM que ela nem sempre foi assim. É interessante propor que eles PALAVRAS, E EU ACABEI DE reflitam a respeito da evolução da simbologia na tentativa de DESCOBRIR O MOTIVO. “economizar” e “agilizar” os cálculos. Aqui a intenção é A EXPRESSÃO QUE DETERMINA propiciar a comparação de al- OS NÚMEROS ÍMPARES É: DUAS gumas possibilidades de escri- VEZES UM NÚMERO ta matemática. DESCONHECIDO ADICIONADO DE UM INTEIRO DETERMINA Na abertura, Eduardo se QUALQUER NÚMERO ÍMPAR, questiona por que a escrita DESDE QUE ESSE NÚMERO matemática utiliza símbolos DESCONHECIDO PERTENÇA e letras. AO CONJUNTO DOS Ao comparar as regras ma- NÚMEROS INTEIROS. temáticas que lhe são conheci- das em outra linguagem, per- 97 cebe que, na verdade, as sim- bologias utilizadas atualmente AMPLIANDOD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 97 11/13/18 18:13 passaram por transformações e hoje propiciam uma escrita Link as habilidades tida como “mais econômica”. EF08MA06, EF08MA07, Para que os alunos percebam No site <http://livro.pro/ EF08MA08, EF08MA09, isso, apresentar alguns exem- nu92q8>, é possível encontrar EF08MA10 e EF08MA11. plos de expressões matemáti- uma pequena biografia a res- • Acessar a proposta de acom- cas e sugerir que tentem me- peito de François Viète. Aces- panhamento da aprendizagem. lhorá-las. so em: 4 nov. 2018. Acredita-se que não é neces- sário contextualizar a teoria dos números, mas é necessário que testem suas operações a fim de verificar sua validade. Por ser uma atividade dinâmica, é ne- cessário questioná-los o tempo todo, de forma que, se os alu- nos perceberam que a simbo- logia criada vale para a adição, descubram se ela também é vá- lida para a multiplicação. Ao fim dessa parte, discutir com eles a dificuldade inerente ao criar um novo sistema que funcione de maneira univer- sal e explicar-lhes que o atual sistema é um conjunto de pe- quenas criações de muitos ma- temáticos ao longo da história. NO DIGITAL – 2˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvimen- to para as Unidades 4 e 5. • Desenvolver o projeto integra- dor sobre eficiência energética. • Explorar as sequências didáti- cas do bimestre, que trabalham 97

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO O USO DE LETRAS PARA REPRESENTAR NÚMEROS O uso de letras para 1 representar números Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar números desconhecidos levou o O texto inicial traz uma visão ser humano a recorrer às palavras. Isso, porém, tornava o cálculo longo e complicado. simples do desenvolvimento histórico do uso de palavras e Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século III a.C.) foram os filósofos gregos que letras para expressar a solução deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e de um problema. Em uma dis- expressar a solução de um problema. cussão coletiva, pedir que com- partilhem o que entenderam. Entretanto, muito tempo se passou até as letras serem amplamente usadas para indicar quantidades desconhecidas. Esse uso se deve, principalmente, ao alemão No hotsite da TV Escola, é Michael Stifel (1486-1567) e aos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Raffaelle possível acessar alguns percur- Bombelli. Bombelli é autor de uma obra de notável interesse, intitulada L’Algebra e sos educativos. Em um deles publicada em 1572. é possível acessar o conteúdo de expressões algébricas e ter Foi, porém, um advogado e matemático francês, François Viète (1540-1603), acesso a algumas questões re- quem introduziu o uso sistemático das letras para indicar os números desconhecidos lacionadas ao tema. e os símbolos das operações usados até hoje. Disponível em: <http://livro. pense e responda Resoluções a partir da p. 289 pro/4n5wtn>. Acesso em: 4 nov. 2018. Responda às questões no caderno. Pense e responda 1. Você já sabe que: As questões desta seção têm o objetivo de verificar os • a área de um retângulo equivale ao produto do comprimento pela conhecimentos prévios dos largura; alunos a respeito das expres- sões algébricas e o uso de le- • a área de um quadrado equivale ao quadrado da medida do lado do tras. Por meio de argumentos quadrado. geométricos e de apresentação de fórmulas, eles podem lidar Como você faria para calcular a área de cada figura a seguir? um pouco com esse tema. a) 32 b) a ? b c) ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Na atividade 2, se julgar pertinente, comentar com os 3 a 2x alunos que uma expressão algébrica é necessariamente b y 2x ? y composta por números, letras 3 e operações. Já uma expressão numérica não contém letras Das expressões que você escreveu para representar as áreas das figuras, (como a expressão matemáti- quais foram escritas usando-se: ca expressa no item a). I) apenas números? II) números e letras? III) apenas letras? AMPLIANDO Expressão a. Expressão c. Expressão b. Atividade complementar 2. Observe as expressões matemáticas a seguir: • (Enem) Num campeona- to de futebol de 2012, um ti- a) 3 + 2 + 5 ? 4 c) 3x2 + 2y + 4 me sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P) em b) x + y + z d) (5 _ 1)2 + 18 : 3 _ 43 38 jogos, tendo 22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D). Que diferenças você observa entre elas? Resposta pessoal. No critério adotado para esse ano, somente as vitórias e em- Espera-se que os alunos observem que as expressões a e d apresentam somente números e as pates têm pontuações positivas expressões c e b apresentam letras e números. e inteiras. As derrotas têm va- 98 lor zero e o valor de cada vitó- ria é maior que o valor de cada ao longo do campeonato.D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 98 ano de 2013? ber que A pontuação em caso 11/16/18 2:43 PM empate. Cada vitória e cada empate a) P = 3V + E de vitória é 3 e a pontuação continuariam com a mesma b) P = 3V _ 2D em caso de empate é 1. Um torcedor, considerando pontuação de 2012. c) P = 3V + E _ D a fórmula da soma de pontos d) P = 3V + E _ 2D Para 2013, mantêm-se as injusta, propôs aos organiza- Qual a expressão que forne- e) P = 3V + E + 2D pontuações para vitórias e em- dores do campeonato que, ce a quantidade de pontos (P), pates. Como a pontuação em para o ano de 2013, o time em função do número de vitó- Resolução de atividade caso de derrota é _2, a expres- derrotado em cada partida rias (V), do número de empa- Resolvendo o sistema para são correta para a pontuação é: perca 2 pontos, privilegiando tes (E) e do número de derrotas os times que perdem menos (D), no sistema de pontuação 2012 ou mesmo analisando as P = 3V + E _ 2D proposto pelo torcedor para o alternativas é possível perce- Alternativa d. 98

O objetivo de representar números desconhecidos por meio de letras era indicar as operações ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS matemáticas de forma mais simples e sintética. Antes de iniciar as ativida- Assim: des, propor algumas escritas matemáticas e solicitar que x2 4y c os alunos, em duplas, façam 2 a tradução para a linguagem natural. Por exemplo, escre- indica o quadrado indica o quádruplo indica a metade ver na lousa 3 ? n. Os alunos de um número de um número de um número devem escrever: o triplo de um número qualquer. Outra Da mesma forma, se a e b representam dois números reais quaisquer, temos que: possibilidade é trabalhar com números consecutivos. Pedir • a + b ou b + a representa a soma desses dois números; que representem um número qualquer (x). Em seguida, pe- • a _ b representa a diferença entre esses dois números; dir que indiquem o consecu- tivo desse número. Os alunos • a ? b ou b ? a representa o produto desses dois números; devem escrever x + 1. a • a : b ou b , com b 5 0, representa a divisão de a por b. Atividades Na Geometria, se a representa a medida do lado de um quadrado qualquer, temos que: Após a resolução das ques- tões, propor aos alunos que a confrontem suas respostas com as de um colega. Socia- EDITORIA DE ARTE • 4 и a ou 4a indica o perímetro desse quadrado; lizar as diferentes expressões a a • a2 indica a área desse quadrado. de um mesmo item para vali- dá-las (ou não) coletivamente. a Por exemplo, na ativida- ATIVIDADES Resoluções a de 1, podemos ter: partir da p. 289 Z i) z : w ou W Responda às questões no caderno. 2. Usando duas letras (por exemplo, x e y), j) 1 x ou x ou x : 2 escreva uma expressão que represente: 2 2 1. Escreva as operações de forma sintética: Aproveitar a atividade 2 a) o quadrado do número real x. x2 a) o dobro de um número real adicionado ao dobro de outro número real. 2x + 2y para discutir com os alunos al- b) o cubo do número real y. y3 gumas situações, por exemplo: b) o produto da soma pela diferença de c) a raiz quadrada do número real a. a dois números reais quaisquer. (x + y)(x _ y) • A igualdade x2 + y2 = (x + + y)2 é sempre verdadeira, pa- d) a quinta potência do número real b. b5 e) a adição dos números reais b e c. b + c c) a adição dos quadrados de dois números ra x e y reais quaisquer? reais quaisquer. x2 + y2 f) o produto dos números reais a e x. ax • A igualdade x2 + y2 = (x + + y)2 é válida para quais nú- g) o dobro do número real y. 2y d) a diferença dos quadrados de dois nú- h) a sexta parte do número real m. 1 m meros reais quaisquer. x2 _ y2 meros reais x e y? i) caooqmmueowtcaide5ent0de.oenwnztúremoesronúremael rxo.s reais z6 e w, a diferença entre os números e) o quadrado da soma de dois números • Qual é a expressão geral de j) reais quaisquer. (x + y)2 um número natural (n) par? E k) 21reaxis x e y. f) a adição da raiz quadrada de um nú- de um número natural ímpar? mero real com a quinta parte de outro Espera-se que os alunos identi- l) o quíntuplo do número real z. 5z x _ y número real. 1 fiquem 2n como par e 2n + 1 5 x + y como ímpar. Discutir com os alunos o 99 significado de uma generaliza- ção e sua importância para a Matemática, e como a lingua- D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 99 11/14/18 20:28 gem algébrica foi determinan- AMPLIANDO ção entre as duas disciplinas te nesse contexto. presentes no currículo escolar Link e tratadas, muitas vezes, de No artigo “Matemática e forma independente. Dispo- nível em: <http://livro.pro/ língua materna: uma apro- h26ouh>. Acesso em: 4 nov. ximação necessária”, Nílson 2018. José Machado discute a rela- 99

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS OU LITERAIS Expressões algébricas ou 2 literais Sabemos que é possível usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., m, n, ..., w, y, z) É importante que os alunos para representar números reais. se deparem com diversas situ- ações que envolvam expres- Consideremos, então, as seguintes situações: sões algébricas. 1 Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular demonstrada a seguir? Uma situação que possi- bilita desenvolver expressões algébricas e generalizações é o trabalho com sequências nu- méricas ou geométricas. A se- guir, sugerimos uma atividade com uma sequência de figuras recursivas, ou seja, cada nova figura está relacionada com a figura anterior. O comprimento da piscina é expresso pelo número real x. ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI A largura da piscina é expressa pelo número real y. O perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. Então, a expressão que representa o perímetro da piscina retangular é: 2 ? x + 2 ? y ou 2x + 2y 2 Qual é a expressão que representa a área total do terreno da figura? A área total do terreno é igual à soma das áreas das partes 1 e 2. Como a parte 1 é um retângulo, a sua área é expressa por ab. Como a parte 2 é um quadrado, a sua área é expressa por c2. Então, a expressão que representa a área total do terreno é: ab + c2 100 11/13/18 18:13 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 100 100

3 Para fazer um carreto, Geraldo cobra uma DANIEL BOGNI Pedir que observem o pa- taxa fixa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 por drão de formação dessa se- quilômetro rodado. Qual é a expressão que SAIBA QUE quência. representa o valor que ele cobra para fazer um carreto num percurso (ida e volta) de A palavra literal vem do latim litteralis, A partir da 2a figura, foram x quilômetros? que significa “letra”. acrescentados 4 quadrados Como cada quilômetro rodado custa R$ 1,50, (um em cada ponta), ou seja, então para x quilômetros o custo é 1,50x reais. A palavra álgebra vem do árabe al jabr cada figura é a anterior mais 4 Logo, o preço P do carreto é dado por: e representa uma regra para transformar quadrados. Assim: uma igualdade em outra equivalente. • a 1a figura é composta de 1 P = 40 + 1,50x quadrado; • a 2a, de 5 quadrados (1 + 4); Nas três situações apresentadas, escrevemos • a 3a, de 9 quadrados (5 + 4 expressões matemáticas nas quais aparecem números ou 1 + 4 + 4) e letras, ou somente letras. Essas expressões mate- • a 4a, de 13 quadrados (9 + 4 máticas são chamadas algébricas ou literais. ou 1 + 4 + 4 + 4) Uma expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente Mantendo esse mesmo pa- letras, é denominada expressão algébrica ou literal. As letras, que normalmente drão: representam números reais, são chamadas variáveis. a) Quantos quadrados Assim, são exemplos de expressões algébricas ou literais: compõem a 10a figura? • 2x + 2y • ab + c2 • 40 + 1,50x b) Qual é a expressão geral que determina a quantidade Mais expressões algébricas de quadrados da enésima fi- gura (a figura de posição n)? Quando uma expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador, ela é chamada expressão algébrica inteira. Resolução de atividade: a) Conforme aumenta a • 2x + 3y • 1 x • x y2 • 3a _ 2c 2 5 10 posição da figura na sequência, fica muito trabalhoso determi- Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador, ela é chamada nar a quantidade de quadrados expressão algébrica fracionária. dela a partir da figura anterior. • 2a • 1 • bc • 2a • 1 Explicar que é possível obter b x 5a x_y a2 + ax a quantidade de quadrados de uma figura dessa sequência, Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no interior de um radical, ela dependendo apenas de sua posição e da 1a figura. é chamada expressão algébrica irracional. a 1a H 1 • ab • 2x • x2 + y2 2a H 5 = 1 + 4 = 1 + 1 ? 4 3a H 9 = 5 + 4 = 1 + 4 + Essas expressões não possuem valor numérico quando os valores atribuídos às varáveis anulam o denominador. +4=1+2?4 4a H 13 = 9 + 4 = 1 + 4 + 101 +4+4=1+3?4 5a H 17 = 13 + 4 = 1 + 4 + AMPLIANDOD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 101 11/14/18 20:31 +4+4+4=1+4?4 Verifica-se que a quantida- Atividade complementar EDITORIA DE ARTE de de parcelas 4 é uma unida- Considere a seguinte sequên- de a menos que a posição da figura. Então: cia de figuras: 10a figura H 1 + 9 ? 4 = 1 + + 36 = 37 1a figura 2a figura 3a figura 4a figura Logo, a 10a figura é com- posta de 37 quadrados. b) A expressão geral que determina quantos quadra- dos compõem a enésima fi- gura (posição n) é dada por: 1 + (n − 1) ? 4 Ao final dessa atividade, propor a leitura do livro do aluno. Se possível, construir um mapa conceitual, com os tipos de expressões algébricas citadas no texto. 101

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 5. Escreva a expressão algébrica que repre- Essas questões têm como senta a área da figura a seguir. x2 + ay objetivo levar os alunos a re- 1. Em certa loja um livro custa x reais e um conhecer e utilizar expressões caderno custa y reais. Qual é a expressão x algébricas para representar di- algébrica que representa o valor total ferentes situações. pago por Caio ao comprar 5 livros e xx 8 cadernos iguais a esses nessa loja? É importante trabalhar com 5x + 8y yy exercícios que relacionem a Ge- ometria (perímetro e áreas de 2. Em uma empresa trabalham h homens a figuras) com expressões algé- e m mulheres. bricas, reforçando a integração 6. Caio tinha x reais. Foi a uma loja de es- da Álgebra com a Geometria. a) Qual é a expressão algébrica que vai portes e comprou 2 pares de tênis. Cada representar: par custou y reais. Qual expressão algé- Incentivar os alunos a de- brica pode representar a quantia que senvolver diferentes estratégias • o total de pessoas que trabalham nessa sobrou para Caio, depois de comprar os para a resolução dos problemas. empresa? h + m pares de tênis? x _ 2y Na atividade 3, por exemplo, os alunos podem fazer: • a diferença entre o número de 7. Qual é a expressão algébrica que re- • Na figura, cada retângulo homens e o número de mulheres que presenta a soma do quadrado de pequeno tem área x ? y. Como trabalham nessa empresa? h _ m um número x com o triplo do mesmo são 12 retângulos pequenos número x? x2 + 3x idênticos, a área do retângulo • a razão entre o número de homens e maior é dada por 12xy; o número de mulheres que trabalham 8. Um alvo é composto A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE de duas regiões, A e ou b)nvAeoslgcsêaumeesamcrdpeavreesuseaxé?pfrmrheascsioõneásriaal?géQburaicl?asSimqu; emh B, conforme mostra a • O retângulo maior tem la- 3. A área de um retângulo pode ser dada figura. dos medindo 4 ? x e 3 ? y. As- sim, sua área é igual a 4x ? 3y. pelo produto das medidas de dois lados consecutivos. Qual é a expressão Pedir que comparem os re- algébrica que você pode escrever para sultados obtidos: 12xy e 4x ? representar a área da figura a seguir? ? 3y e digam que conclusões podem tirar. 12xy Nesse alvo, cada B flecha que atinge a y região A vale x pontos e cada flecha que atinge a região B vale y pontos. Fernando x atingiu a região A com 7 flechas e a 4. Suponha que um x xy região B com 10 flechas. Escreva a ex- terreno tenha a pressão algébrica que representa o total forma da figura x y de pontos que Fernando marcou. 7x + 10y aqui mostrada x xy 9. Use uma expressão algébrica para e suas medidas responder. sejam representadas, em unidades de a) Quantos dias há em um período de x semanas mais 20 dias? 7x + 20 comprimento, pelas letras x e y. b) Quantos meses há em um período de y Qual é a expressão algébrica que repre- anos mais 10 meses? 12y + 10 senta o perímetro desse terreno? 5x + 3y 102 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 102 11/13/18 18:14 102

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Educação financeira Juros contra × juros a favor O objetivo dessa seção é Os juros são o ponto central do sucesso efeito semelhante. Se você faz uma anteci- despertar nos alunos a refle- financeiro. Trata-se de uma questão de pação com o banco, por meio do cartão de xão sobre como é possível usar escolha: você pode usar os juros contra crédito, para pagar por um desejo imediato, os juros a seu favor ou contra. ou a favor de você! Em síntese, antecipar e não consegue quitar na data, pagará juros Levá-los a perceber que isso custa e retardar rende. sobre juros, e o valor da dívida se multipli- pode ocorrer quando aplica- cará. Pior ainda, porque a taxa de juros do dos sobre uma dívida ou a um Se você antecipa com o banco um valor cartão é, no mínimo, 13 vezes maior do que investimento. x para pagar por algo que deseja ter, devol- a taxa de rendimento de uma poupança. verá ao banco x + os juros. Se, ao contrário, Pode-se ainda conversar retarda o uso de um valor x, deixando-o guar- Para se ter uma ideia, uma única dívida a respeito da necessidade e dado no banco, receberá do banco x + juros de R$ 150,00 no cartão de crédito, a uma importância de planejamento quando decidir utilizá-lo. A questão é que taxa de 9% ao mês, transforma-se em uma financeiro. esse é um processo por trás do qual existe dívida de aproximadamente R$ 4600000,00 uma lógica matemática de acumulação, os em dez anos. São os juros contra você! Comentar que o cheque chamados juros compostos, popularmente especial tem um limite que, definidos como “juros sobre juros”. [...] depois de atingido, o banco modifica a ação em relação à [...] Fonte: DOMINGOS, R. Ter dinheiro não tem segredo: dívida. Pedir aos alunos que O problema é que essa é uma moeda educação financeira para jovens. São Paulo: façam também a interpre- de dois lados. Os juros contra você têm um DSOP Educação Financeira, 2011. p. 83. tação do gráfico de linhas apresentado. Lígia tem uma conta bancária com cheque especial. Isso significa que ela tem um limite e que pode utilizar um valor superior ao seu saldo, ficando, assim, com saldo negativo. Esse saldo O cálculo pedido na ativi- negativo é um empréstimo automático e já aprovado, pelo qual se cobram juros. Para o banco dade 2 é apenas ilustrativo da não cobrar mais os juros, é necessário que o cliente deposite um valor igual ao da dívida. tendência matemática desse tipo de juro. Ressaltar a im- O gráfico a seguir representa o saldo da conta bancária de Lígia, que inicialmente era devedor portância de se manter um em R$ 200,00, e que incidiu juro composto de 10% ao mês. controle da vida financeira de modo que esse comportamen- Responda às questões no caderno. to dos juros funcione a favor do indivíduo e não contra. 1. Em quanto tempo a dívida de Lígia dobrará? Valor da dívida Lembrar os alunos que 5 anos Entre 7 e 8 meses. são 60 meses. 700 2. O gráfico representado pela expressão 600 Ressaltar a importância v = 200 ? (1,1)n, em que v é o valor devido 500 crescente do tempo numa depois de n meses. Utilizando a expressão 400 aplicação a juro composto. No e uma calculadora, calcule o valor da dívida 300 exemplo dado, se a mesma dí- de Lígia depois de 5 anos. 200 vida evoluísse a juro simples, o Aproximadamente R$ 60 896,33. 100 montante após 5 anos seria de R$ 1 400,00. Aproveitar para Fonte: Dados fictícios. 0 explorar o uso da calculadora. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses decorridos Valor da dívida em reais EDITORIA DE ARTE 103 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 103 11/14/18 20:32 103

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA Valor numérico de uma 3 expressão algébrica Vamos analisar duas situações. As generalizações algébricas tratam de modo consistente as 1 Ângela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema. situações em que Aritmética Supondo que cada entrada para o cinema custe x reais, a expressão algébrica e Geometria estão envolvidas. que representa o gasto delas com as entradas é 3x. Dessa forma, o valor numérico • Supondo que, no domingo, cada entrada custe 18 reais, elas deverão pagar de uma expressão algébrica 54 reais pelas três entradas: permite também avaliar situa- 3x = 3 ? 18 = 54 ções mais concretas ou particu- Dizemos que 54 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 18. lares. Por exemplo: • Supondo que, na quarta-feira, cada entrada custe 15 reais, elas deverão pagar pelas três entradas 45 reais: Um doce custa x reais. Se 3x = 3 ? 15 = 45 forem comprados 3 doces, a Dizemos que 45 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 15. expressão algébrica que re- presenta a quantia que deve 2 A forma e as medidas de um terreno estão representadas na figura a seguir: ser paga, em reais, é 3x. Qual é essa quantia, se cada doce a custa 5 reais? A área desse terreno é dada pela expressão Nesse caso, 3x = 3 ? 5 = b algébrica: = 15, isto é, 15 reais. Diz-se que 15 é o valor numérico da a a2 ϩ bc expressão algébrica 3x quan- do x = 5. c área do retângulo de lados b e c área do quadrado de lado a AMPLIANDO EDITORIA DE ARTE Atividade complementar Vamos supor que: • Dobrando a medida a do • o lado do quadrado meça 20 unidades de comprimento; lado de um quadrado, o que • as medidas dos lados b e c do retângulo sejam 16 e 12 unidades de compri- ocorre com a área do novo quadrado obtido? Se esse qua- mento, respectivamente. drado tem lado de 5 cm, qual Nessas condições, vamos calcular a área desse terreno: será a área do novo quadrado? a2 + bc = 202 + 16 ? 12 = 400 + 192 = 592 Resolução de atividade A área desse terreno será 592 unidades de área. Permitir que os alunos ex- O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica a2 + bc para a = 20, b = 16 e c = 12. plorem essa situação. Sugerir que construam um quadro Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica para organizar os dados obti- por números e efetuamos os cálculos indicados, obtemos o valor dos. Convidar algumas duplas numérico da expressão algébrica dada para esses números. para irem à lousa anotar a medida de lado escolhida. Ao 104 final, construir coletivamente uma síntese a respeito da situ- ação proposta. D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 104 Logo, a área do novo qua- algébrica 4 ? a² tem valor nu- 11/14/18 20:32 drado é o quádruplo da área mérico dado por: Quadrado Novo do quadrado original (do- original quadrado brando a medida do lado, a 4 ? (5)² = 4 ? 25 = 100 área se quadruplica). Ou seja, a área do novo lado a 2a quadrado é 100 cm². Se a = 5, então a expressão área a2 (2a)2 = 4a2 104