Juro simples Resoluções a partir da p. 289 pense e responda Como eu Você paga 50% é metade, né? posso pagar? 50% de entrada, Metade de Esta TV é o último lançamento. Vale e o restante R$ 1.200,00 é em 3 vezes R$ 600,00. R$ 1.200,00. sem juro. Fica faltando Em 3 vezes sem juro, Isso E se eu quiser Pense e responda a outra metade. divido 600 : 3 5 200. mesmo! pagar 30% de entrada As atividades apresentadas R$ 600,00. É isso? e o restante em valorizam a construção e 10 vezes, posso? a experimentação de suas próprias hipóteses. Nesse caso, Falta pagar Mas, no caso de dividir Então, em vez 30% de R$ 1.200,00 R$ 840,00. o restante em 10 vezes, de R$ 84,00, eu vou pagar há um juro de 5% em são R$ 360,00. R$ 88,20 por mês. cada parcela. WANDSON ROCHA Agora, responda às questões no caderno. Densidade de um corpo 1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal. Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de razão entre duas gran- dezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela razão entre a massa e o volume desse corpo. 2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da TV? Nesse caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00. 3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto sai a TV? R$ 1.080,00 23 densidade ϭ massa do corpo volume do corpo D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 23 11/14/18 5:19 PM Consideremos a seguinte situação: 1 Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm3. Qual é a densidade dessa escultura? densidade ϭ massa do corpo ϭ 3,5 kg ϭ 3500 g ϭ 8,75 g/cm3 volume do corpo 400 cm3 400 cm3 Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm3. PARA QUEM QUER MAIS Eureka! Eureka! Para quem quer mais Arquimedes nasceu em Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), na SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES Nesta seção você encontra ilha da Sicília. Era filho do astrônomo Fídias e desfrutava informações complementares rela- de prestígio junto ao rei Hierão II, que lhe permitiu estudar cionadas ao conteúdo estudado. em Alexandria, templo do saber da época. Saiba que... Traz informações Há várias histórias pitorescas sobre Arquimedes. Uma complementares de maneira rápida e acessível. delas diz respeito à coroa de ouro que um ourives teria moldado para o rei. Suspeitando que pudesse haver prata oculta em meio ao ouro e não querendo desmanchar a Densidade demográfica coroa, Hierão encaminhou a questão para Arquimedes. O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de razão entre duas grande- Conta-se que, quando estava em um banho público, zas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja: Arquimedes observara a elevação da água à medida que mergulhava seu corpo e percebera que esse fato poderia resolver o problema da coroa. Feliz com a descoberta, Arquimedes saindo da água, Arquimedes teria se esquecido de que estava nu e correra em xilogravura de 1547, de autoria desconhecida. para casa gritando: “Eureka! Eureka!” (“Achei! Achei!”). Veja como ele fez: densidade demográfica ϭ número de habitantes 1 Mergulhou em um recipiente cheio d’água uma massa de ouro puro, igual à massa área de região ocupada da coroa, e recolheu a água que transbordou. Considere a seguinte situação: Tocantins: localização 2 Retomando o recipiente cheio d’água, mergulhou nele uma massa de prata pura, também igual à massa da coroa, recolhendo a água que transbordou. 1 O estado de Tocantins, situado na região 50°O Norte e criado em 5 de outubro de 1988, MARANHÃO 3 Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d’água a coroa do rei e constatou que o ocupa uma área de 277 621 km2. De volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha 1a e 2a operações. Ficou, então, constatado que a coroa não era totalmente de ouro puro! uma população de 1 383 445 habitantes. • Pesquise e anote no caderno os valores correspondentes às densidades do ouro Qual era, então, a densidade demográfica e da prata. douro ϭ 19,32 g/cm3 e dprata ϭ 10,49 g/cm3 aproximada desse estado nesse ano? 259 PARÁ PIAUÍ D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 259 11/15/18 20:15 10°S Palmas TOCANTINS MATO GROSSO GOIÁS Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. BAHIA 160 SONIA VAZ Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90. 0 De acordo com os dados apresentados, temos: densidade demográfica ϭ 1 383 445 hab ϭ 4,9 hab/km2 277 621 km2 Logo, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km2, aproximadamente. SAIBA QUE 18. Sabendo que x2 _ y2 = (x + y)(x _ y), 20. O número p é classificado como: calcule o valor de 9992 _ 1. Alternativa d. a) um número natural. Alternativa d. A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo Demográfico ou Recenseamento Demográfico, que é uma pesquisa a) 1 000 000 b) uma dízima periódica. realizada para reunir informações sobre a população brasileira. Essas informações são importantes para que b) 999 999 c) um número racional. o governo possa criar políticas públicas mais eficientes para atender às necessidades da sociedade. c) 998 999 d) uma dízima não periódica. d) 998 000 e) um número inteiro. O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por e) 990 000 meio de uma pesquisa, obter informações sobre a sociedade não é nova, ao contrário, os romanos já faziam 21. Ao calcular 310 +38 obtemos como censos séculos antes de Cristo. 19. Por qual número devemos dividir 105 125 10 para que o quociente tenha uma raiz resposta: Alternativa b. O próximo Censo Demográfico no Brasil será no ano 2020, quando se atualizarão todos os dados sobre a quadrada exata? Alternativa b. população brasileira. a) 3 b) 5 c) 7 a) um número irracional maior que 50. d) 15 e) 21 b) o número natural 81. 260 c) um número irracional menor que 100. d) a potenciação 37. D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 260 11/15/18 20:15 e) um número racional. UM NOVO OLHAR Resoluções a partir da p. 289 CAPÍTULO SISTEMAS DE EQUAÇÕES Um novo olhar Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como DO 1O GRAU COM DUAS É o momento de você refletir sobre os também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação 5 INCÓGNITAS conhecimentos que adquiriu ao longo e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência da Unidade e analisar sua produção nas de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140. propostas de trabalho, ampliando seu números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas. comprometimento com a aprendizagem. Em um estacionamento, há carros e motos, Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros Descubra mais possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números Apresenta indicações de quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e apro- e quantas motos há nesse estacionamento? ximada e os números irracionais. livros e sites que propiciam o Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira: enriquecimento e aprofundam Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas. o conteúdo em questão. Sissa, apresentada na abertura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos. Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno. • Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada para representar números e resultados? Resposta pessoal. • Quantos bits tem um quilobyte (KB)? 8 000 bits ou 8 x 103 bits. • O que são os números quadrados perfeitos? Os números naturais que são quadrados de outros números naturais. • Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada? Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado, tem como resultado o número X. PHOTODISC/GETTY IMAGES 63 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 63 11/15/18 12:45 FOTOS: HEMERA Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos por carros até completar 48 rodas e 14 veículos. 4ϫ2ϭ8 10 ϫ 4 ϭ 40 Quantidade de veículos de 4 rodas: 10 14 veículos e 48 rodas Quantidade de veículos de 2 rodas: 4 Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos. Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado quando as quantidades forem muito grandes. DESCUBRA MAIS Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora Ática, 2011. Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1o grau. Entre um problema e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar. Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto, Editora FTD, 1999. O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas, os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da disciplina e da perseverança na vida dos atletas. 151 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 151 11/14/18 16:21 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 5 11/17/18 15:41 5
A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto: 1 Qual a área do terreno que não está com gramado? 2 Qual a área da região onde será colocada areia? 3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado? Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial, antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado. 8 m 10 m 5m 5m 5m 5m EDITORIA DE ARTE ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 2m 8m 2m 2m 10 m Nós 12 m Propicia a reflexão Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio: sobre valores, que será feita sempre Ai = (B + b) ? h = (12 + 8) ? 5 = 50 em duplas, trios 2 2 ou grupos. Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo. At = b?h = 2?5 =5 e Ap = b ? h = 10 ? 5 = 50 2 2 Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m2, a área da região destinada ao tanque de areia é de 5 m2 e a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado é de 50 m2. A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura. pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região triangular de 2 m de base e 5 m de altura. Resposta pessoal. Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência. POR TODA PARTE Resoluções a partir da p. 289 NÓS Áreas pelo Brasil Responda às questões no caderno. Cultivar em locais pequenos Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas 1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões: podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos. Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las. • Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira? Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico. 233 1,4 m D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 233 11/14/18 8:47 PM 2m a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 cen- tímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira. 1,9202 m² b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira? 0,4948 m² 2. Uma maneira muito prática de calcu- RR AP lar áreas aproximadas de regiões com Por toda parte formas complexas é dividir essas regiões AM PA MA CE RN por polígonos simples, como triângulos, AC RO MT PB Esta seção apresenta diversas retângulos e até trapézios. Esse processo TO PI PE situações que possibilitam ainda é muito utilizado ainda nos dias de hoje. DF BA AL mais a conexão da Matemática com Usando esse método, vamos calcular a diversas áreas do conhecimento. área de alguns estados brasileiros, con- SE forme o esquema apresentado do mapa Educação do Brasil, que traz os estados aproxima- GO financeira dos por polígonos. MS MG Com o objetivo de desenvolver PR reflexões sobre atitudes SP ES como hábitos conscientes de RJ consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, SC economia etc. a) A região ocupada pelo estado de São RS Paulo foi aproximada por dois trapézios isósceles congruentes. Observe a figura, com as medidas em quilômetros, e calcule a área aproximada desse estado. 240000 km² 400 200 480 200 800 200 km 200 km b) Aproximando a região ocupada pelo es- EDUCAÇÃO FINANCEIRA Resoluções a partir da p. 289 tado de Sergipe por um triângulo retângulo isósceles, calcule essa área aproximada. 20 000 km² O que são os bancos? 237 Banco Central do Brasil D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 237 11/14/18 8:51 PM Editada em dez. 2002 Existe um grupo de pessoas que tem dinheiro e quer guardá-lo. Há outro grupo que precisa de dinheiro para investi-lo ou usá-lo em negócios, como construir prédios, abrir comércio e instalar novas fábricas. Se esses grupos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as pessoas, a ponto de umas pedirem dinheiro emprestado às outras. Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma forma segura de guar- dá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos. E, às pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem-lhes empréstimos e recebem juros pelo serviço. Dessa maneira, os bancos movimentam o dinheiro. Usam as economias de uns para emprestar a outros. [...] Além do mais, acontece algo que pode parecer curioso: os bancos fazem com que o dinheiro se multiplique. Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo aquilo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. A outra parte, bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros. Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquirir bens, como um carro ou uma casa, sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por confiarem neles, garantem o negócio. [...] Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos? Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018. Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e entenda melhor como os bancos funcionam. 1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos? a) Ter um dinheiro extra para aproveitar 2. Uma pessoa fez uma aplicação de mais a vida. R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês. Quanto receberá de juro em 1 ano? b) Comprar uma máquina que vai aumentar R$ 360,00 a produtividade de um negócio. 3. As aplicações financeiras nos auxiliam c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren- a capitalizar nosso dinheiro. Discuta dimento seja maior que o juro pago. com seus colegas as situações a seguir d) Completar o orçamento doméstico. indicando se a aplicação financeira pode e) Comprar um objeto cujo valor não está ou não contribuir para: Respostas pessoais. disponível. 1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já para as pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço. 28 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 28 11/14/18 5:39 PM TRATAMENTO DA INFORMAÇão Região Sul: Região Norte: Porcentagem Número de habitantes Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 100% − 190 755 799 14,4% − x 8,3% − x Interpretando um gráfico de setores xϭ 14, 4 и 190755799 ⇒ x Ӎ 27468835 xϭ 8,3 и 190755799 ⇒ x Ӎ15832732 100 100 Tratamento Observe o gráfico de setores representado: 1. Resposta: Região Centro-Oeste: da informação EDITORIA DE ARTE Preferência esportiva dos alunos Porcentagem Número de habitantes Esta seção trabalha de forma da escola X 100% − 190 755 799 organizada com propostas 7,4% − x População de cada região brasileira Esporte Percentual (%) Número de de tratamento e organização (Censo 2010) alunos de dados, probabilidade e Basquete 30% 108 Estatística. Futebol 35% 126 Tênis 15% 54 7, 4 и 190755799 x Ӎ14115929 xϭ 100 ⇒ Vôlei 20% 72 8,3% Total 100% 360 7,4% Fonte: Alunos da escola X. População de cada região brasileira (Censo 2010) 14,4% Centro-Oeste 27,8% Nordeste Assim, podemos dizer que a Porcentagem Número de Sudeste região Sudeste tem aproximada- (%) habitantes 42,1% Sul Informações obtidas mente 80 308 191 habitantes. Região Norte em: IBGE. Sinopse do 8,3 15 832 732 Censo Demográfico Da mesma maneira, conse- Norte 27,8 53 030 112 2010. Disponível em: guimos encontrar a população Nordeste 7,4 14 115 929 <www.censo2010.ibge. aproximada de cada região bra- Centro-Oeste 42,1 80 308 191 gov.br/sinopse/index. sileira, a partir da porcentagem Sudeste php?dados=5&uf=00>. Acesso em: 19 out. 2018. apresentada no gráfico de setores. Sul 14,4 27 468 835 Esta tabela foi elaborada com os Total 100 190 755 799 Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação dados encontrados. Informações obtidas com base no gráfico da página anterior. à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE. Responda às questões no caderno. Responda às questões no caderno. Resoluções a partir da p. 289 4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos, 1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a repre- construa uma tabela relacionando o esporte com a quantidade de alunos que preferiu senta? Região Sudeste. 42,1%. cada um deles. 2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem? Preferência esportiva dos alunos da escola X a) Qual o esporte favorito Região Centro-Oeste. 7,4%. dos alunos da escola X? 20% 30% Basquete 3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê? 15% Futebol b) Quantos alunos resFputoenb-ol. Não, porque não temos a informação da população total. Tênis deram que preferem o Vôlei basquete? 108 Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de 190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa c) Você acha melhor e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe. analisar os dados repre- sentados em um gráfico Região Sudeste: Região Nordeste: de setores ou em uma tabela? Porcentagem Número de habitantes Porcentagem Número de habitantes EDITORIA DE ARTE 35% Resposta pessoal. 100% − 190 755 799 100% − 190 755 799 27,8% − x 42,1% − x xϭ 42,1и 190755799 ⇒ x Ӎ 80 308 191 xϭ 27,8 и 190755799 ⇒ x Ӎ53 030 112 100 100 Fonte: Alunos da escola x. 188 189 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 188 11/16/18 7:38 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 189 11/16/18 20:54 6 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 6 11/17/18 15:41
Tecnologias • No passo 2, Intervalo de dados, vamos selecionar “Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo. Tecnologias Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos • No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo. Nesta seção você verá Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção • No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos. como utilizar ferramentas tecnológicas na resolução de gráficos. Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar. de problemas ou questões Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc • Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto. matemáticas. do LibreOffice. Observe a tabela seguinte. Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela- tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de Número de irmãos dos alunos gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o do Ensino Médio botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”. Número de Frequência irmãos absoluta 0 20 1 15 2 35 3 10 Total 80 Fonte: Dados fictícios. Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela. Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas. • Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico. • Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna” e clicar em Próximo. GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018 GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018 1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de 226 gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal. D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 226 227 11/15/18 4:59 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 227 11/15/18 4:59 PM ATUALIDADES EM FOCO Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a Atualidades Ciência e tecnologia melhorar sua região, o nosso país e até o mundo. em foco Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites. Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo Nesta seção você encontrará Brasileiros ganham prêmio inédito na melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público. o trabalho com temas atuais Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a e de importância social. Dois jovens brasileiros ganharam a especialistas. Eles tiveram que usar esse capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase Será um momento de refletir Olimpíada Internacional de Tecnologia tempo para aprimorar o projeto para impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume e Inovação, conquistando pela primeira que ele pudesse se tornar uma startup de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade. sobre esses assuntos e de vez o título para o país. Eles também com potencial de aplicação no mercado. perceber como a Matemática levaram para casa o prêmio de cinco • Os componentes do seu grupo já ouviram falar em kilo, mega, giga ou tera? Sabem mil francos suíços, visto que a com- Ao todo, 40 pessoas participa- o que essas palavras significam? Resposta pessoal. ajuda a entender o mundo petição aconteceu no Idiap Research ram da disputa, sendo que elas foram em que vivemos. Institute, em Martigny, na Suíça. divididas em sete equipes. No dia de Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza encerramento da olimpíada, os grupos padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI) Os consagrados foram Fábien tiveram que se apresentar por quatro e, normalmente, são operados com a base decimal (10X). Giovanni de Oliveira, de 22 anos, horas para uma banca de avaliadores estudante do 4o ano de Engenharia de e investidores. “Se eu pudesse mensu- No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a Controle e Automação da Universidade rar o dia mais difícil, eu diria que é o unidade padrão utilizada é o byte. Federal de Itajubá (UNIFEI), e Renato último”, afirma Oliveira. “Porque ali Rodrigues, de 27 anos, mestrando em você coloca em jogo toda dedicação e Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais: Estratégia e Inovação em Engenharia esforço de três semanas.” de Produção na Universidade Federal Unidade Símbolo Valor Ordem de de São Carlos (UFSCar). Para Rodrigues, a adaptação ao equivalente grandeza idioma e ao fuso horário também Byte B Eles desenvolveram o “Milênio foram complicados. “A gente gravava os Kilobyte KB − 1 x 100 byte Bus”, projeto que integra a Internet das feedbacks dos jurados no celular e escutava Megabyte MB 1024 B 1 x 103 byte Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o várias vezes no quarto até entender o que Gigabyte GB 1024 KB 1 x 106 byte transporte público por meio de um eles estavam falando”, revela Rodrigues. Terabyte TB 1024 MB 1 x 109 byte hardware e um aplicativo de celular. “O Petabyte PB 1024 GB 1 x 1012 byte objetivo é trabalhar com pagamentos Apesar disso, ele se orgulha do Exabyte EB 1024 TB 1 x 1015 byte digitais, informações ao passageiro e prêmio, principalmente porque diz Zettabyte ZB 1024 PB 1 x 1018 byte geração de dados com Big Data”, explica ter trabalhado com poucos recursos e Yottabyte YB 1024 EB 1 x 1021 byte Oliveira em entrevista à GALILEU. condições adversas. “O brasileiro é um 1024 ZB 1 x 1024 byte povo bem criativo, temos que valorizar Para ganhar a olimpíada, foi neces- nossa resiliência”, opina. • Façam uma pesquisa sobre a história da informática e do armazenamento digital, pro- sário muito mais do que apenas uma curando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de boa proposta. A competição durou três Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio grandeza mudou? Resposta pessoal. semanas, e nesse período os jovens inédito na Olimpíada Internacional de assistiram aulas de negócios, e venture • Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida capital, por exemplo, com professores e Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https:// que usam os prefixos mostrados anteriormente. Dica: lembrem-se das unidades já revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/ estudadas por vocês. Resposta pessoal. brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiada- • Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa internacional-de-tecnologia.html>. pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será Acesso em: 4 set. 2018. gratuito ou pago, suas funcionalidades etc. • Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula. Resposta pessoal. uma pesquisa sobre o significado dessas expressões. Resposta pessoal. 94 95 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 94 11/14/18 20:38 D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 95 11/14/18 6:22 PM RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que aprendeu Responda às questões no caderno. 5. A divisão do número 0,5 por x tem o mesmo resultado que a adição do Esta seção visa sistematizar os 1. (Saresp-SP) Amélia deseja ladrilhar sua número 0,5 a x. Se x é um número real temas trabalhados por meio de cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m positivo e considerando p = 3,14, qual é atividades de todos os conteúdos com ladrilhos quadrados de 30 cm de a área do círculo cujo raio mede x cm? estudados na Unidade. lado. Qual é o número de ladrilhos necessários? Alternativa c. a) 0,685 cm² d) 0,875 cm² Respostas a) 49 c) 161 b) 0,785 cm² e) 0,578 cm² No final do livro estão todas as respostas das b) 51 d) 483 c) 0,885 cm² Alternativa b. atividades propostas. 2. (Saresp-SP) Na figura E F 6. Observe esta figura: há dois quadrados. D G A área do quadrado C 2 maior é 25 m² e BG A B mede 2 m. Alternativa a. 2 A área da região pintada de azul é: a) 16 m² c) 9 m² 2 respostas 22 b) 21 m² d) 18 m² 3. (Vunesp-SP) O menor país do mundo 2 UNIDADE 1 Pense e Responda p. 23 Pense e responda p. 30 em extensão é o estado do Vaticano, Números racionais 1. Resposta pessoal. 1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313... com uma área de 0,4 km². Se o territó- A área dessa figura, em centímetro qua- 2. R$ 480,00; R$ 720,00 2. Todos os números são dízimas periódicas. 7; 13; rio do Vaticano tivesse a forma de um Atividades p. 18 3. R$ 1 080,00 quadrado, então a medida de seus lados drado, é: (Use p = 3,14) 1. 3; 13. estaria entre: Alternativa d. Atividades p. 25 3. A quantidade de algarismos do período de a) 11 d) 11,24 _2 _1_ 3 0 1 7 1,6 2 1. a) 207 reais. 4 5 cada uma das dízimas é igual à quantidade a) 200 m e 201 m. d) 632 m e 633 m. b) 11,04 e) 12,14 b) 96,04 reais. de algarismos do denominador da respectiva c) 11,14 Alternativa c. 2. 2,5% fração; os denominadores são formados b) 220 m e 221 m. e) 802 m e 803 m. 2. a) . d) , 3. 760 reais. somente pelo algarismo 9. b) , e) = 4. Alternativa a. c) 401 m e 402 m. 7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm. c) , f) . 5. Alternativa c. Atividades p. 30 g) 0,029 Sabendo que BC é o diâmetro do círculo, 6. Alternativa c. 1. a) 0,7 h) 0,385 4. A, B, C e D são os vértices D 20 C qual é a área da região colorida de roxo? 3. a) 29 e) 457 7. 4% i) 8,2 de uma região retangu- 8 4 8. Alternativa c. b) 3,1 j) 16,3 lar, conforme mostra a 12 9. À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos c) 0,06 k) 4,27 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE b) 141 f) 1 479,87 d) 0,11 l) 1,104 20 100 reais de desconto pelo pagamento à vista. e) 1,62 A g) 1 f) 0,009 g) DE figura. Considere que A 79 h) DE as medidas indicadas B c) _ 33 h) 45,01 2. a) 0,5 i) DE b) 2,333... j) DP são dadas em quilômetros. d) 66,65 c) 1,8 k) DE d) 1,85 l) DP Se a densidade demográfica dessa 4. a) 16,74 Tratamento da informação p. 26 e) 3,1818... 1. a) Gráfico de colunas triplas ou gráfico de f) 1,2222... região é de 72 habitantes por km², qual BOC b) _ 120 g) 1,375 49 múltiplas colunas. h) 1,32 b) Região Norte: 45,30%; Região Norte: i) 0,15 é a população dessa região? Alternativa c. c) 10,875 j) 0,1444... 68,50%; Região Norte: 6,98%. k) 8,25 d) 10 c) Região Nordeste: 3,30%. l) 4,1666... d) Região Sudeste: 42,65%. a) 17 100 habitantes. e) 3,22 e) Não. Resposta pessoal. 3. a) DE f) Cerca de 0,82%. Resposta pessoal. b) DP b) 17 200 habitantes. f) 209 g) Não. c) DE 7 2. a) Resposta pessoal. d) DE b) 1,72%; 0,0075%; 0,75%; 0,02%. e) DP c) 17 280 habitantes. a) 63 cm² d) 63,75 cm² g) _44,2 3. f) DP b) 63,25 cm² e) 64,25 cm² d) 17 300 habitantes. c) 63,50 cm² h) 7,878 4. a) Período: 2 Alternativa b. b) Período: 7 e) 17 380 habitantes. 5. a) _12,6 c) Período: 01 b) 12 d) Período: 3 c) Aproximadamente 68,14. e) Período: 56 f) Período: 034 d) _ 5 Percentual de água nos órgãos do corpo humano 26 246 e) 66,84 100% 75% 86% 86% 75% 75% 83% 81% f) 32,1 90% D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 246 11/14/18 9:00 PM Percentual 80% g) 60,3 6. Alternativa b. 70% 7. Alternativa a. 60% Atividades p. 21 50% 1. 8% 2. 60% 40% 3. 76% 30% 4. 12,5% 5. a) 42% 20% 10% b) 40% 0% c) 12% Cérebro d) 6% Pulmões Atividades p. 32 6. Aproximadamente 16,6%. MCúFosírcgauaçldãooos 7. a) 450 kg SanRgiunse b) 88% 8. 55% Órgão 1. a) _ 22 9 Fonte: NÚCLEO DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL MUNICIPAL. 1 Curiosidades sobre a água. Disponível em: <https://ead.pti. b) 9 org.br/ntm/mod/forum/discuss.php?d=32>. c) 161 9 Educação Financeira p. 28 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e d) _ 629 99 Por toda parte p. 22 quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já 1. 8 500 000 km² para as pessoas que precisam de dinheiro para e) 29 2. A área aproximada é de 16 250 000 km². investimentos, os bancos fazem empréstimos, 99 3. Pesquisa do aluno. recebendo uma compensação na forma de juro 4. 6 630,12 km² pelo serviço. f) 700 2. R$ 360,00 333 3. Resposta pessoal. 2. Alternativa d. 278 D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 278 11/17/18 13:29 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 7 11/17/18 15:41 7
sumário Unidade 1 Por toda parte • Do disquete ao pen drive .................................................... 46 NÚMEROS RACIONAIS ............................... 12 Atividades................................................. 47 3. Números quadrados perfeitos................ 48 1. Conjunto dos números racionais............ 14 Como reconhecer se um número A reta numérica .......................................... 15 é quadrado perfeito .................................... 49 Atividades................................................. 49 2. Operações com números racionais ........ 16 4. Raiz quadrada exata de um Adição e subtração ..................................... 16 número racional não negativo ............... 50 Multiplicação de números racionais............. 17 Atividades................................................. 51 Divisão de números racionais ...................... 17 5. Raiz quadrada aproximada de Atividades .....................................................18 um número racional não negativo......... 52 Atividades................................................. 53 3. Porcentagem ................................................19 Tratamento da informação • Tabelas Atividades .....................................................21 com intervalos de classes: leitura e Por toda parte • Amazônia ocupa interpretação .............................................. 54 quase 50% do território nacional ............... 22 Tecnologias • Calculadora científica .......... 56 Juro simples ................................................ 23 6. Números reais .......................................... 58 Atividades .....................................................25 Números irracionais..................................... 58 Tratamento da informação • Recursos Atividades................................................. 58 hídricos............................................................26 O conjunto dos números reais..................... 59 Educação financeira • O que são Atividades................................................. 60 os bancos?.................................................. 28 Retomando o que aprendeu........................ 61 4. Dízimas periódicas................................... 29 Unidade 3 Atividades ...............................................30 Fração geratriz de dízimas ÂNGULOS E TRIÂNGULOS.......................... 64 periódicas simples......................................31 Atividades ...............................................32 1. Ângulos .........................................................66 Fração geratriz de dízimas periódicas Ângulos adjacentes ........................................67 compostas .................................................. 33 Bissetriz de um ângulo ...................................67 Atividades................................................. 33 Ângulos complementares ..............................68 Tecnologias • Investigando com Ângulos suplementares..................................68 a calculadora............................................... 34 Ângulos opostos pelo vértice ........................68 Atividades .....................................................69 Retomando o que aprendeu........................ 36 2. Triângulos......................................................70 Unidade 2 Elementos de um triângulo............................70 Classificação de triângulos .............................70 POTÊNCIAS, RAÍZES E NÚMEROS REAIS.... 38 Ângulos no triângulo .....................................71 Atividades .....................................................73 1. Potência de um número racional ........... 40 Altura de um triângulo...................................74 Descobrindo a potência de um número real....40 Mediana de um triângulo ..............................75 Atividades................................................. 42 Bissetriz de um triângulo................................76 Mediatriz .........................................................77 2. Propriedades da potenciação ................. 43 Atividades .....................................................79 Explorando a calculadora ............................ 43 Conhecendo as propriedades da potenciação ........................................... 44 Potências de base dez ................................. 45 8 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 8 11/17/18 18:30
3. Congruência de triângulos........................80 Divisão de polinômios por um monômio... 129 Figuras congruentes .......................................80 Atividades.................................................. 129 Triângulos congruentes ..................................81 Tratamento da informação • Casos de congruência de triângulos..............82 Interpretando dados.................................... 130 Atividades .....................................................85 Retomando o que aprendeu......................132 4. Propriedades dos triângulos ....................86 Unidade 5 Propriedades do triângulo isósceles...............86 Propriedade do triângulo equilátero..............87 EQUAÇÕES................................................ 134 Atividades .....................................................88 1. Equação do 1o grau com 5. Construções geométricas ..........................89 uma incógnita ........................................... 136 Retomando o que aprendeu .........................92 Como resolver uma equação Atualidades em foco • Ciência e tecnologia......94 do 1o grau com uma incógnita ................... 138 Atividades.................................................. 139 Unidade 4 Resolvendo problemas ................................ 140 Atividades.................................................. 141 EXPRESSÕES E CÁLCULO ALGÉBRICO ......96 2. Equação fracionária com 1. O uso de letras para representar uma incógnita........................................... 142 números ....................................................... 98 Como resolver uma equação fracionária ..... 143 Atividades.................................................... 99 Atividades.................................................. 144 Por toda parte • Projeto Tamar ................ 145 2. Expressões algébricas ou literais.......... 100 Mais expressões algébricas ......................... 101 3. Equações literais do 1o grau Atividades.................................................. 102 na incógnita x ........................................... 146 Educação financeira • Juros Como resolver uma equação literal contra x juros a favor ................................. 103 do 1o grau com uma incógnita ................... 146 Atividades.................................................. 146 3. Valor numérico de uma Educação financeira • Juro zero e expressão algébrica.................................104 estratégia de marketing .............................. 147 Atividades.................................................. 106 4. Equação do 1o grau com 4. Monômio ou termo algébrico ............... 107 duas incógnitas ........................................ 148 Atividades.................................................. 109 Atividades.................................................. 149 Grau de um monômio ................................ 110 Representação geométrica.......................... 150 Monômios semelhantes .............................. 110 Atividades.................................................. 150 Adição algébrica de monômios .................. 111 Atividades.................................................. 112 5. Sistemas de equações do 1o grau Multiplicação de monômios........................ 113 com duas incógnitas................................ 151 Atividades.................................................. 114 Atividades.................................................. 152 Divisão de monômios.................................. 115 Solução de um sistema de equações do Potenciação de monômios.......................... 116 1o grau com duas incógnitas....................... 153 Atividades.................................................. 116 Atividades.................................................. 154 Por toda parte • A bicicleta ...................... 117 6. Resolução de sistema de duas equações 5. Polinômios ................................................. 118 do 1o grau com duas incógnitas............ 155 Atividades.................................................. 119 Método da substituição .............................. 155 Polinômio reduzido...................................... 120 Atividades.................................................. 157 Grau de um polinômio................................ 121 Método da adição ....................................... 158 Polinômios com uma só variável real.......... 121 Atividades.................................................. 160 Atividades.................................................. 122 Adição algébrica de polinômios.................. 123 7. Equação do 2o grau.................................. 161 Atividades.................................................. 124 Resolvendo equações da forma Multiplicação de polinômios .......................125 ax² + b = 0................................................. 161 Atividades.................................................. 127 Atividades.................................................. 162 Retomando o que aprendeu .................... 163 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 9 11/17/18 18:38 9
Unidade 6 Unidade 7 POLÍGONOS E TRANSFORMAÇÕES CONTAGEM, PROBABILIDADE NO PLANO ............................................... 166 E ESTATÍSTICA..........................................200 1. Polígonos e seus elementos .................. 168 1. Contagem .................................................. 202 Elementos de um polígono......................... 169 Nomenclatura .............................................. 170 Princípio fundamental da contagem Atividades.................................................. 170 ou princípio multiplicativo........................... 202 Outros problemas de contagem ................. 204 2. Diagonais de um polígono convexo...... 171 Atividades.................................................. 204 2. Probabilidade............................................ 206 Cálculo do número de diagonais Experimento aleatório ................................. 206 de um polígono........................................... 171 Espaço amostral........................................... 206 Atividades.................................................. 172 Evento .......................................................... 206 3. Ângulos de um polígono convexo ....... 173 Probabilidade ............................................... 207 Ângulo interno e ângulo externo ............... 173 Atividades.................................................. 208 3. Estatística................................................... 210 Soma das medidas dos ângulos Conceitos básicos de Estatística.................. 210 internos de um polígono convexo .............. 173 Variáveis ....................................................... 213 Organização dos dados............................... 213 Soma das medidas dos ângulos Atividades.................................................. 216 externos de um polígono convexo ............. 175 4. Medidas em Estatística........................... 218 Atividades.................................................. 176 Média aritmética.......................................... 218 4. Ângulos de um polígono regular ......... 177 Moda............................................................ 220 Atividades.................................................. 178 Mediana ....................................................... 220 5. Construções geométricas ....................... 179 Amplitude .................................................... 222 Triângulo equilátero..................................... 179 Atividades.................................................. 223 Hexágono regular........................................ 180 5. Realizando pesquisas estatísticas......... 224 Atividades.................................................. 181 Atividades.................................................. 225 6. Propriedades dos quadriláteros............ 182 Tecnologias • Utilizando planilha Paralelogramos ............................................ 182 eletrônica para construção de gráficos ........ 226 Retângulo..................................................... 183 Retomando o que aprendeu.................. 228 Losango........................................................ 184 Quadrado..................................................... 184 Atividades.................................................. 185 Trapézios ...................................................... 186 Atividades.................................................. 187 Tratamento da informação • Interpretando um gráfico de setores .......... 188 7. Transformações no plano ....................... 190 Reflexão ....................................................... 190 Translação .................................................... 190 Rotação ........................................................ 191 Composição de transformações ................. 192 Atividades.................................................. 193 Tecnologias • Transformações no plano....................................................... 194 Retomando o que aprendeu ..................... 196 Atualidades em foco • Querer é poder? Mas, o que eu quero? .................................... 198 10 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 10 11/17/18 17:54
Unidade 8 Unidade 9 ÁREA, VOLUME E CAPACIDADE..............230 ESTUDO DE GRANDEZAS ....................... 248 1. Área de figuras planas .......................... 232 1. Grandezas............................................... 250 Problemas envolvendo área de polígonos.... 232 Razão e proporção.................................... 250 A circunferência e o círculo....................... 234 Grandezas proporcionais ........................... 251 Atividades............................................... 236 Grandezas não proporcionais .................... 252 Por toda parte • Áreas pelo Brasil........... 237 Representação gráfica ............................... 253 Atividades............................................... 254 2. Volume de sólidos geométricos ........... 238 Unidades de medida de volume................ 238 2. Algumas razões especiais ..................... 255 Cubo e bloco retangular ........................... 239 Velocidade média...................................... 255 Cilindro..................................................... 240 Escala ....................................................... 256 Atividades............................................... 241 Atividades............................................... 257 Por toda parte • Distâncias aproximadas 3. Capacidade ............................................. 242 entre algumas cidades............................... 258 Unidades de medida de capacidade.......... 242 Densidade de um corpo ............................ 259 Equivalência entre o decímetro Densidade demográfica............................. 260 cúbico e o litro.......................................... 243 Atividades............................................... 261 Tratamento da informação • Gráfico de linhas ................................................... 244 3. Grandezas diretamente proporcionais... 262 Atividades............................................... 264 Retomando o que aprendeu ..................... 246 4. Grandezas inversamente proporcionais ......................................... 265 Atividades............................................... 267 5. Regra de três.......................................... 268 Regra de três simples ................................ 268 Atividades............................................... 269 Regra de três composta ............................ 270 Atividades............................................... 271 Tratamento da informação • Interpretando os significados das informações.................... 272 Retomando o que aprendeu ................. 274 Atualidades em foco • Diversidade cultural....................................................276 Respostas.................................................................................................... 278 Referências bibliográficas.......................................................................287 D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 11 11/17/18 17:54 11
COMPETÊNCIAS MARCOS GUILHERME 1 Números racionais GERAIS 2. Exercitar a curiosidade A Educação financeira é um tema importante para ser pensado em qual- intelectual e recorrer à abor- quer idade, pois, além de planejar dagem própria das ciências, gastos, é importante saber lidar com a incluindo a investigação, a re- quantidade excessiva de propagandas flexão, a análise crítica, a ima- que oferecem produtos e serviços. ginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e Atualmente, porém, além das pro- testar hipóteses, formular e pagandas dos produtos, muitas lojas resolver problemas e inventar aderiram à divulgação das opções de soluções. pagamento: parcelado sem juro, par- celado com juro e pagamento à vista. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações Muitas vezes, há um bom des- confiáveis, para formular, ne- conto se o produto for pago à vista. gociar e defender ideias, pon- tos de vista e decisões comuns Entendemos que consumir é que respeitem e promovam os preciso, mas a grande questão é veri- direitos humanos e a consci- ficar se somos capazes de adquirir o ência socioambiental em âm- necessário e gastar somente o dinheiro bito local, regional e global, que temos. com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mes- Comprar à vista significa fazer o pagamento do valor integral mo, dos outros e do planeta. (ou com desconto) no ato da compra. Comprar a prazo significa ESPECÍFICAS Agora, responda no caderno: pagar o valor em parcelas. 5. Utilizar processos e ferra- • O que significa equilíbrio financeiro? Resposta pessoal. • Qual é a diferença entre comprar algo à vista e comprar mentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponí- a prazo? veis, para modelar e resolver • Você sabe o que é juro? Você sabe explicar como fun- problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conheci- ciona o juro? Resposta pessoal. mento, validando estratégias e resultados. HABILIDADES p. XXI e XXII Números • EF08MA04 • EF08MA05 12 17/11/18 20:20 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 12 12
NO DIGITALD2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 13 – 1˙ bimestre 13 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • Ver o plano de desenvolvimen- to para as Unidades 1, 2 e 3. 17/11/18 20:20 Abertura de Unidade • Desenvolver o projeto integra- dor sobre crescimento popula- as habilidades EF08MA01, Promover, inicialmente, cional no Brasil. EF08MA02, EF08MA04, uma conversa com os alunos • Explorar as sequências didáti- EF08MA05, EF08MA15, sobre Educação financeira e cas do bimestre, que trabalham EF08MA16 e EF08MA17. qual é o papel da Matemática • Acessar a proposta de acom- nessa área. É interessante dis- panhamento da aprendizagem. cutir com a turma a diferença entre “desejo e necessidade” de compra de produtos e as possibilidades de planejamen- to para alcançá-los. Com essa discussão, levar os alunos a perceberem que o planeja- mento do tempo (curto, mé- dio e longo prazos), dos rece- bimentos e dos gastos poderá auxiliá-los na realização de seus objetivos, mas para isso é importante que haja um equi- líbrio financeiro. Um dos cálculos a ser ex- plorado é o que envolve o comprometimento de renda. Apresentar aos alunos uma ideia de distribuição dos gas- tos, por exemplo: 30% da ren- da comprometida em compras a prazo, 50% em necessidades básicas e 20% em lazer e pou- pança. Uma sugestão é fazer algumas simulações com dife- rentes níveis de renda, inician- do com valores inteiros, como: R$ 500,00; R$ 1 000,00; R$ 2 000,00 e R$ 2 500,00. Na discussão sobre equi- líbrio financeiro é possível conversar sobre a importân- cia de não dever mais do que se ganha e os riscos que uma compra parcelada pode ofere- cer ao concluir que a parcela, por ser baixa, não atrapalhará o planejamento financeiro fa- miliar. Pode-se ainda discutir a diferença entre poupar para comprar à vista e comprar imediatamente a prazo, com foco no desconto, geralmen- te, oferecido pelas lojas no pagamento à vista. Comentar que em dívidas ou poupança a aplicação é de juro composto, e não simples (essa variação será aprofun- dada mais adiante, no Ensino Médio). Se achar interessante, estabelecer uma simulação com juro composto (juro sobre juro) em curto prazo e compa- rar com juro simples. 13
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Conjunto dos números 1 racionais Os números racionais são encontrados em diversas situações cotidianas. Vamos O conjunto dos números ver algumas dessas situações: racionais é retomado neste momento para que, na se- Mariana viajou com sua família Paula está no 8o ano. Em quência, os alunos possam ex- para o Chile e, no dia 3 de classe há 30 alunos. As plorar os números irracionais e julho de 2018, experimentou sua 2 um novo conjunto numérico: uma temperatura de –3 °C. o conjunto dos números re- meninas correspondem a 3 da ais. Para que essa progressão aconteça, é fundamental que turma. Dessa quantidade, 20% eles tenham compreendido os usam óculos. demais conjuntos numéricos (naturais, inteiros e racionais) vepunPeomeoczordveaanrRso.ts$seePepv1gemrê1useq3idcju3uuies,irc9aso4oov90sma.u. pEdpeloeereláenun-glemcaaogadenomattcersioov5uuê WANDSON ROCHA e as operações fundamentais possíveis nesses conjuntos. Nas situações apresentadas, temos diversos números: 3; 2018; Ϫ3; 40; 1133,99; Além disso, é relevante que 5; 8; 30; 2 e 20%. Todos esses números pertencem ao conjunto dos números os alunos sejam capazes de 3 localizar um número racional racionais. Os números racionais podem ser positivos ou negativos. na reta numérica, usando o recurso apresentado no livro Todo número racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, do aluno e outros que por ventura souber, para realizar sendo o divisor diferente de zero, ou seja, todo número racional pode ser escrito comparações entre números. a na forma b , com a e b inteiros e b 5 0. Discutir com a turma sobre os significados de cada um dos números que aparece nas três situações propostas. Na si- tuação 1, há a presença de nú- mero indicando tempo (data) e temperatura. Na situação 2, os números estão indicando preço, medida e quantidade. Na situação 3, podem identi- ficar quantidade e porcenta- gem. O importante é que os alunos percebam que todas as situações propostas apresen- tam números racionais. Os números racionais positivos, negativos e o zero formam o conjunto numé- rico denominado conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado pela letra Q (letra inicial da palavra Quociente). 14 7/4/19 6:52 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 14 14
A reta numérica ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A reta numérica Vamos relembrar como localizamos números racionais na reta numérica observando os exem- A localização de números plos a seguir. racionais na reta numérica Representar na rneútamneuromϩéri14caeostnáúlomcearloizardacoioennatrl eϩos14 n.úmeros pode trazer algumas dificul- Sabemos que o 1 dades para os alunos, princi- inteiros 0 e ϩ1. Então, vamos palmente relacionadas à sub- dividir o segmento AB, que vai de 0 até ϩ1, em quatro partes iguais e considerar uma dessas divisão em partes iguais. Ao partes, a partir do ponto A, para a direita. perceber dificuldades em loca- lizar pontos na reta numérica, AB propor a seguinte atividade: 01 1 2 distribuir papel quadriculado 4 para os alunos e pedir que, Representar na reta numérica o número racional 11 . com o auxílio de uma régua, 3 2 Ϫ tracem um segmento de reta 11 11 2 de 11 centímetros. Em segui- 3 3 3 Vamos escrever o número Ϫ na forma mista: Ϫ ϭ Ϫ3 . da, marcar na extremidade es- querda um ponto e indicar o Esse número está localizado entre os números inteiros Ϫ3 e Ϫ4. Então, vamos dividir o número 0. A 10 cm deste pon- segmento MN, que vai de Ϫ3 até Ϫ4, em 3 partes iguais e considerar duas dessas partes, a partir do ponto M, para a esquerda. to, marcar outro ponto e indi- car o valor 1. Na extremidade NM direita do segmento, desenhar a ponta de seta para indicar Ϫ4 2 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 que a reta numérica continua. Ϫ3 3 Depois, subdividir o segmento Comparação de números racionais de reta entre os pontos 0 e 1 em quatro partes iguais e ano- Comparar dois números racionais significa dizer se um é maior que o outro, ou se é menor tar as frações 1 , 2 e 3 nos ou, ainda, se é igual. Vamos rever como comparar dois números racionais. 4 4 4 pontos correspondentes. • Todo número racional negativo é menor que todo número racional positivo. 01 2 31 Ϫ4,6 , 7,8 Ϫ 1 , 13 Ϫ 1 , 3 44 4 3 5 4 Repetir essa atividade, sub- • Todo número racional negativo é menor que zero. dividindo o segmento de reta em 5 partes iguais. Ϫ5 , 0 Ϫ12,4 , 0 Ϫ 6 ,0 11 Questionar os alunos sobre qual deveria ser a medida de • Na comparação de números racionais negativos, será maior aquele que possuir o menor módulo. um segmento de reta constru- Vamos comparar Ϫ1,4 e Ϫ0,2. Sabemos que |Ϫ1,4| ϭ 1,4 e |Ϫ0,2| ϭ 0,2. Assim, Ϫ0,2 possui ído para representar frações com denominadores que não o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero. são divisores de 10, como 3 por exemplo. Discutir com a Ϫ2 Ϫ1,4 Ϫ1 Ϫ0,2 0 1 2 3 turma sobre as respostas da- das pelos alunos. Espera-se Dessa maneira Ϫ1,4 , Ϫ0,2. que algum dos alunos diga, por exemplo, que 12 centíme- • Na comparação de números racionais positivos, será maior aquele que possuir o maior módulo. tros seria uma boa medida. Vamos comparar 12,9 e 19,2. Sabemos que |12,9| ϭ 12,9 e |19,2| ϭ 19,2. Assim, 12,9 possui o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero. Dessa maneira 12,9 , 19,2. 15 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 15 17/11/18 20:20 15
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Operações com números 2 racionais Vamos relembrar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com Inicialmente, é feita uma números racionais, tanto na forma fracionária quanto na forma decimal. recapitulação sobre operações com números racionais de Adição e subtração acordo com o que os alunos estudaram em anos anterio- • Na forma fracionária res. Verificar se as operações, Temos que estudar dois casos distintos: o primeiro deles refere-se às frações na forma fracionária e na for- ma decimal, estão bem com- com denominadores iguais. O segundo, às frações com denominadores diferentes. preendidas pelos alunos. 1o caso: Frações de mesmo denominador. Na adição e subtração de Para somarmos (ou subtrairmos) frações de mesmo denominador, mantemos o números racionais na forma denominador e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja um exemplo: fracionária, pode ser que os alunos cometam um erro bas- 34 Ϫ ⎜⎛⎝Ϫ 111⎟⎠⎞ 34 ϩ 1 33 ϭ Ϫ3 tante comum, que é somar Ϫ 11 ϭ Ϫ 11 11 ϭ Ϫ 11 (ou subtrair) independente- mente os numeradores e os 2o caso: Frações com denominadores diferentes. denominadores das frações. Para somarmos (ou subtrairmos) frações com denominadores diferentes, devemos obter frações equivalentes às frações dadas, de mesmo denominador. Em seguida, Caso esse erro ocorra, reto- mantemos o denominador comum e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja mar os procedimentos usados o exemplo a seguir: para o cálculo de cada opera- ção vista anteriormente. 3 ϩ ⎜⎛⎝Ϫ 1 ⎟⎞⎠ ϭ Ϫ 18 Ϫ 5 ϭ Ϫ23 Ϫ5 6 30 30 30 Apontar que a adição e a subtração de números racio- • Na forma decimal nais na forma decimal seguem o mesmo algoritmo que os dos Para a adição (ou subtração) de números representados na forma decimal, números naturais, portanto, é preciso que os alunos posicio- devemos observar que: nem corretamente os algaris- mos nas respectivas ordens. – algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com uma vírgula alinhada à outra. Verificar como os alunos re- solvem problemas que envol- – adicionamos (ou subtraímos) as unidades de mesma ordem entre si. vem unidades de medida de tempo. Pode ser que, alguns – colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais. alunos escrevam, por exem- plo, 3h15min como 3,15, por Veja os exemplos a seguir: não compreenderem que se trata de um sistema sexage- a) U dc b) D U dc simal. Auxiliá-los com as dúvi- das, caso isso ocorra. 7 , 88 7,88 13 , 49 13,49 EDITORIA DE ARTE Ϫ 3 , 5 0 Ϫ 3,50 Ϫ 0 , 2 5 Ϫ 0,25 4 , 38 4,38 13 , 24 13,24 16 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 16 17/11/18 20:20 16
Multiplicação de números racionais ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • Na forma fracionária Multiplicação e divisão Para multiplicarmos dois números racionais na forma fracionária, multiplicamos os numera- de números racionais dores entre si e, em seguida, os denominadores. Caso seja necessário, simplificamos o resultado Na multiplicação de núme- até obter a fração irredutível. Veja o exemplo: ros racionais, pode acontecer um erro comum entre os alu- ⎜⎝⎛Ϫ 4 ⎠⎞⎟ и ⎜⎛⎝Ϫ 15 ⎟⎠⎞ 5 60 5 20 nos: realizar a multiplicação 9 7 63 21 entre numerador e denomi- nador. Portanto, observar a • Na forma decimal maneira que os alunos estão Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos: realizando a operação é im- portante para colher possíveis – multiplicar os números como se fossem números naturais. erros envolvendo o algoritmo da multiplicação de frações. – colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores. Na divisão, verificar se os alunos compreendem que di- Veja um exemplo: visões equivalentes possuem quocientes iguais, ou seja, se 4,2 1 algarismo na parte decimal multiplicar (ou dividir) o divi- ϫ 2,1 1 algarismo na parte decimal dendo e o divisor por um mes- mo número, o quociente não 42 2 algarismos na parte decimal vai ser alterado. ϩ8 4 Outro erro frequente apre- 8 ,8 2 sentado pelos alunos é a inser- ção (ou não) de zeros no quo- Divisão de números racionais ciente. Para explorar essa difi- culdade, propor alguns cálculos • Na forma fracionária que envolvam esses casos. Para dividirmos dois números racionais na forma fracionária, mantemos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Veja o exemplo: 12 : ⎜⎝⎛Ϫ 1 ⎠⎟⎞ ϭ 12 и ⎝⎜⎛Ϫ 4 ⎠⎞⎟ ϭϪ 48 7 4 7 1 7 • Na forma decimal Para obtermos o quociente entre dois números racionais na forma decimal, podemos multi- plicar os dois termos por uma mesma potência de 10 conveniente a fim de obtermos um número natural como divisor. Veja: ϫ10 12,66 ' 0,3 ϭ 126,6 ' 3 ϫ10 Então, dividir 12,66 por 0,3 é o mesmo que dividir 126,6 por 3. Efetuando os cálculos, temos que 12,66 dividido por 0,3 é igual a 42,2. 17 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 17 17/11/18 20:20 17
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289 Atividades ATIVIDADES Ϫ2 Ϫ1 3 0 1 7 1,6 2 Ϫ 4 5 Depois de realizar a ativida- de 5, os alunos podem verificar Responda às questões no caderno. c) 8,7 ϫ 5 10,875 a resposta realizando as opera- 4 ções por meio do algoritmo ou 1. Construa um segmento de reta de 8 cm. usando alguma calculadora. Subdivida-o partes iguais e numere-as d) ⎝⎜⎛Ϫ 36 ⎠⎞⎟ ϫ ⎛⎝⎜Ϫ 50 ⎠⎟⎞ 10 Caso julgue necessário, am- de Ϫ2 a 2. Em seguida, localize os se- 15 12 pliar essa atividade variando a guintes pontos: posição da vírgula nos núme- e) (Ϫ4,6) ϫ (Ϫ0,7) 3,22 ros de cada item para que os alunos percebam a diferença Ϫ 3 1,6 7 Ϫ1 0 f) 19 ϫ 33 209 nos resultados. 7 5 3 7 7 Para a atividade 6, dis- 2. Compare os números racionais a seguir, g) 11,05 ϫ (Ϫ4) Ϫ44,2 cutir com os alunos sobre os usando os símbolos ., , e ϭ: métodos usados por eles para h) 3,9 ϫ 2,02 7,878 a resolução. Verificar os dife- rentes raciocínios usados e se a) 4,9 4,09 . d) Ϫ 89 Ϫ 63 , 5. Encontre os quocientes das divisões a foi cometido algum equívoco. 7 4 seguir: Ao usar equação para resolver, temos: b) Ϫ15,3 15,3 , e) Ϫ 7 Ϫ1,4 ϭ a) 16,38 : (Ϫ1,3) Ϫ12,6 e) 501,3 : 7,5 5 66,84 2 x + 1 x + 70 = x c) 19 23 , f) 23,98 23,8.9 b) ⎜⎝⎛Ϫ 42 ⎞⎟⎠ : ⎜⎛⎝Ϫ 7 ⎞⎟⎠ 12 f)643,284 : 20,04 5 4 3 3 13 26 32,1 Portanto, a resposta encon- 3. Efetue as adições e as subtrações: c) Ϫ1 397 : (Ϫ20,5) g) 18 331,2 : 304 Aproximadamente 68,14. 60,3 trada é x = 200 g. A atividade 7, da Prova d) 5: ⎝⎛⎜Ϫ 738 ⎠⎟⎞ Ϫ 5 26 Brasil, solicita que os alunos SAIBA QUE subtraiam dois números racio- Podemos transformar em fração um número na forma decimal e vice-versa. nais na forma decimal. É uma 6. (OBM) Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que questão simples, que avalia, N41eellySôgnainahgaan25hdaa70bagrrraam, Paes,nohapegsaonhdaa barra, em gramas, é: Alternativa b. exatamente, a aplicação do algoritmo da subtração. a) 7 ϩ 4,5 29 e) 123 35 457 8 8 4 4 Ϫ Ϫ b) 13 19 141 f) 1347,01 ϩ 132,86 a) 160 c) 240 e) 400 4ϩ5 20 1 479,87 b) 200 d) 280 c) Ϫ 8 Ϫ 5 Ϫ 79 g) 49 ϩ ⎝⎛⎜Ϫ 18 ⎟⎞⎠ 1 7. (Prova Brasil) Uma casa tem 3,88 metros 11 3 33 7 3 de altura. Um engenheiro foi contratado d) 79,05 Ϫ 12,4 h) 50 Ϫ 4,99 para projetar um segundo andar e foi 66,65 45,01 informado que a prefeitura só permite 4. Efetue as multiplicações a seguir: construir casas de dois andares com altura a) 5,4 ϫ 3,1 16,74 de até 7,80 metros. Qual deve ser a altura máxima, em metros, do segundo andar? b) ⎛⎝⎜Ϫ 45 ⎞⎟⎠ ϫ ⎛⎝⎜ 48 ⎟⎠⎞ Ϫ 120 a) 3,92 c) 4,92 49 18 49 b) 4,00 d) 11,68 Alternativa a. 18 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 18 17/11/18 20:20 18
CAPÍTULO PORCENTAGEM ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3 Porcentagem A expressão por cento faz parte de nosso dia a dia. Podemos encontrá-la Retomar, com os alunos, facilmente em notícias ao ler jornais, revistas ou assistir à televisão. Nas compras o conceito de porcentagem e em lojas e supermercados, nas aplicações e nos empréstimos em bancos, enfim, em solicitar exemplos do cotidia- tudo que se relaciona à economia e às finanças encontramos a expressão por cento. no em que o uso de porcenta- Também usamos comumente essa expressão para fazer gem possa ser percebido. comparações, como você já pôde observar em muitos dos gráficos e tabelas estudados anteriormente. Os alunos vão ter contato com diferentes registros de A expressão por cento vem do latim per centum representação (decimal, cen- e quer dizer “por um cento”. Pode ser representada tesimal e percentual). Propor, pelo símbolo %. como atividade de retomada, que os alunos copiem o qua- Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “A região Norte ocupa uma dro a seguir e completem os superfície que corresponde a 45% da superfície do Brasil”, isso significa que a região espaços em branco. Norte ocupa uma área de 45 km² para cada 100 km² da área ocupada pelo Brasil. FABIO COLOMBINI Representação 10% Então, podemos estabelecer a seguinte relação: percentual Razão 12 centesimal 100 Representação 0,45 decimal 45% ϭ 45 ϭ 0,45 representação decimal Comentar que o símbolo 100 razão centesimal utilizado para representar a representação percentual porcentagem – % – é relativa- Quando dizemos que “Quase 85% da população brasileira vive em áreas mente recente. Registros his- urbanas”, isso significa que cerca de 85 em cada grupo de 100 brasileiros vivem em áreas urbanas. tóricos apresentam informa- ções sobre os cálculos percen- 85 tuais utilizando as frações cen- 100 85% ϭ ϭ 0,85 representação decimal tesimais; utilizavam-se siglas razão centesimal como “Xpcento” ou “Xpc”, representação percentual mas com a intensificação do Veja como podemos calcular a taxa ou índice percentual nas situações a seguir. comércio sentiu-se a necessi- dade de fixar uma base (100). 1 Como escrever 1 na fϭorma d15e000taϭxa5p0e%rcentual? Na situação 1, destacar 2 Devemos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denomi- que, para representar uma nador 100. fração na forma percentual, busca-se a fração equivalen- ϫ50 te de denominador 100. No SAIBA QUE caso da fração original não ser 1 50 1 Nos exemplos anteriores, equivalente a uma fração com 2 100 2 45% e 85% são chamados ϭ ϭ 50% ϭ 50% de taxas percentuais. denominador 100, por exem- 1 plo, 3 , determina-se a forma ϫ50 decimal correspondente (divi- dindo numerador por denomi- 19 nador) para depois expressar na forma percentual (mesmo que aproximada). D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 19 17/11/18 20:20 19
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 2 Como escrever a razão 3 na forma de taxa percentual? 8 Na situação 2, mostrar que 3 para expressar na forma per- Observando que 8 não é divisor de 100, vamos escrever a forma decimal de 8 (dividindo centual um número que está na forma decimal basta multi- 3 por 8): plicá-lo por 100 e acrescentar o símbolo de porcentagem 3 ϭ0,375 ϭ 0,375 и100 ϭ 37,5 ϭ 37,5% 3 ϭ 37,5% (%). Por exemplo: 8 100 100 8 • 0,375 = 37,5% 3 Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa quantos por cento (0,375 ? 100 = 37,5) de desconto? • 2,4 = 240% (2,4 ? 100 = 240) Inicialmente, temos a razão 7 000 ϭ 7 25 000 25 Na situação 3, destacar que existe mais de uma ma- Podemos fazer o cálculo de dois modos. neira de resolver um proble- ma. No caso, são apresenta- 1o modo 2o modo dos dois modos de fazer o Usando razões equivalentes: cálculo. Escrevendo na forma decimal: IMAGE SOURCE/GLOW IMAGES ϫ4 Na situação 4, mostrar que 7 ϭ 0,28 ϭ 28 ϭ 28% as 15 cestas representam o 25 100 total de arremessos. Portanto, correspondem a 100% dos 7 ϭ 28 ϭ 28% arremessos, dos quais apenas 25 100 12 cestas foram convertidas. ϫ4 Nós Representa 28% de desconto. • Espera-se que os alunos respondam à questão com si- 4 Em uma partida de basquetebol, obtemos o índice de tuações cotidianas que mos- aproveitamento de lances livres de um jogador calcu- trem ações que combatam o lando a razão percentual entre o número de acertos e o desperdício de água e ajudem total de lances livres cobrados por esse jogador. a não poluir o meio ambiente, Qual o índice de aproveitamento de um jogador que acertou como: fechar bem a torneira, 12 dos 15 lances livres que cobrou em uma partida? escovar os dentes com a tor- neira fechada, não jogar o lixo 12 ϭ 0,8 ϭ 0,80 ϭ 80 ϭ 80% Jogador de basquete no chão etc. 15 100 acertando a bola na cesta. • O site a seguir trata de um tipo específico de lixo, o ele- O índice de aproveitamento desse jogador foi de 80%. Veja no material audiovisual o trônico, cuja produção tem au- vídeo sobre movimentos migratórios mentado de maneira significa- no mundo. tiva: <http://livro.pro/fqjjt3>. Acesso em: 6 nov. 2018. NÓS Consumo sustentável Consumo sustentável é um conjunto de práticas adotadas na escolha de um produto ou serviço, cujo objetivo é causar menor impacto sobre os recursos naturais ou até mesmo eliminá-lo. O consumo sustentável também está relacionado com a escolha consciente das compras, ou seja, evitando as compras por impulso, compra-se apenas o que realmente é necessário. Respostas pessoais. • Você já parou para pensar se tem hábitos de consumo sustentável? Cite algumas ações que podem ser adotadas no dia a dia que evitam desperdício. • Pesquise a taxa percentual referente à reciclagem do lixo na sua cidade. 20 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 20 17/11/18 20:20 NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre movimen- tos migratórios no mundo. Nesse vídeo, abordam-se algumas questões políticas e sociais que causam esses movimentos, bem como alguns impactos econômicos e sociais causados por eles. O cálculo de porcentagem é abordado com o intuito de analisar razões entre quantidades. 20
ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno. 6. O primeiro Campeonato Mundial de Atividades Voleibol Masculino foi realizado em 1. Na venda de um tênis de 150 reais, 1949. Desse ano até 2014, já foram rea- As questões propostas têm um vendedor obteve uma comissão de lizados 18 torneios, e o Brasil ganhou como objetivo levar os alunos a 12 reais. Essa comissão representa 3 deles. O número de conquistas brasi- reconhecer o significado do sím- quantos por cento do preço do produto? leiras representa quantos por cento do bolo % (por cento), representar 8% número de torneios realizados? razões em forma percentual e Aproximadamente 16,6%. explorar taxas percentuais. 2. Rafael prepara um copo de suco mistu- rando 120 mililitros de água e 80 mililitros CC. 2.5 BY KIBBUTZ GAN SHMUEL ARCHIVE Mostrar aos alunos diferen- de suco de fruta concentrado. Qual é a tes relações que podem ser taxa percentual de água nessa mistura? Campeonato Mundial de Voleibol usadas para encontrar a taxa 60% Masculino, em Moscou, 1952. percentual, como transformá- -la em fração ou expressá-la 3. Vilma acertou 38 das 50 questões da prova 7. No verão de 2018, foi realizada uma na forma decimal. de Matemática de um vestibular. Quantos análise do lixo deixado em uma praia por cento dessa prova ela acertou? 76% do litoral brasileiro. O lixo foi separado Desenvolver com os alunos e classificado, e os resultados foram: atividades que utilizam dados 4. Quinta-feira passada, 5 dos 40 alunos de que fazem parte do cotidiano uma classe faltaram na aula de Educação Análise do lixo encontrado na praia deles. Uma sugestão é fazer a Física. Nesse dia, o professor registrou análise do consumo de ener- quantos por cento de faltas? 12,5% gia elétrica. Usar uma conta de luz para propor que relacio- 5. Após uma apresentação de música, nem o consumo de cada mês 250 espectadores foram entrevistados e e verifiquem o aumento ou a opinaram sobre o show. Veja o resultado diminuição de consumo em dessa pesquisa: relação ao mês anterior (em porcentagem). Tipo de material Massa (em kg) Aproveitar a atividade 5, Opinião sobre o show Plástico 396 para comentar com os alunos que a porcentagem aparece Opinião Número de pessoas 9 com bastante frequência em pesquisas de opinião e aná- Ótimo 105 Vidro lises de pesquisas realizadas. Na atividade, a partir da por- Bom 100 Metal 18 centagem de cada opinião, é possível concluir, de modo Regular 30 Papel 27 mais direto, que a maioria das pessoas considerou o show Ruim 15 Fonte: Dados fictícios. como ótimo ou bom. Fonte: Dados fictícios. Com base nessa tabela, responda: Observando a tabela e considerando o a) Quantos quilogramas de lixo foram reco- total de entrevistados, escreva a taxa per- lhidos nessa praia? 450 kg centual correspondente a cada opinião. a) Ótimo 42% b) Os materiais de plástico recolhidos repre- b) Bom 40% sentam quantos por cento desse total? c) Regular 12% 88% d) Ruim 6% 8. No colégio do meu bairro estudam 1 600 alunos, dos quais 720 são meninos. O número de meninas representa quantos por cento do total de alunos que estudam nesse colégio? 55% 21 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 21 17/11/18 20:20 21
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS POR TODA PARTE Resoluções a partir da p. 289 Por toda parte Amazônia ocupa quase 50% do território nacional Ao realizar as atividades Maior reserva de diversidade biológica do mundo, propostas nessa seção, os alunos terão coletado dados a Amazônia é também o maior bioma brasileiro em SAIBA QUE sobre os biomas do Brasil. Essas explorações podem ser extensão. Com a área aproximada de 4 196 943 km², Bioma é conceituado como um ampliadas em outras áreas do conhecimento, como Geogra- o Bioma Amazônia ocupa quase metade do território conjunto de vida (vegetal e animal), fia e Ciências. nacional (49,29%). ocupa 2 da América do Sul e 5% constituído pelo agrupamento de Depois de realizarem as A bacia amazônica 5 tipos de vegetação contíguos e atividades, propor aos alunos identificáveis em escala regional, que façam uma pesquisa so- da superfície terrestre. Sua área, de aproximadamente com condições geoclimáticas bre o desmatamento e suas similares e história compartilhada consequências. Selecionar pre- 6,5 milhões de quilômetros quadrados, abriga a maior de mudanças, o que resulta em uma viamente fontes de pesquisa 1 diversidade biológica própria. que eles possam usar na sala rede hidrográfica do planeta, que escoa cerca de 5 do de aula. Ao terminar, realizar um debate com a turma e criar volume de água doce do mundo. Sessenta por cento da um texto único sobre as atitu- des que podem ajudar a cons- bacia amazônica encontra-se em território brasileiro, cientizar as pessoas a respeito do tema. onde o Bioma Amazônia ocupa a totalidade de cinco unidades da federação (Acre, Amapá, No site do Instituto de Pes- Amazonas, Pará e Roraima), grande parte de Rondônia (98,8%), mais da metade do Mato quisa Ambiental da Amazônia (IPAM), é possível encontrar Grosso (54%), além de parte do Maranhão (34%) e de Tocantins (9%). mapas que mostram áreas desmatadas. No site a seguir, Informações obtidas em: IBGE. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2013- há o mapa das áreas desmata- agencia-de-noticias/releases/12789-asi-ibge-lanca-o-mapa-de-biomas-do-brasil-e-o-mapa-de-vegetacao-do-brasil- das na região amazônica, com dados coletados até 2014 – em-comemoracao-ao-dia-mundial-da-biodiversidade.html>. Acesso em: 1 jul. 2018. <http://livro.pro/o6vrbc>. Aces- so em: 6 nov. 2018. De acordo com o texto apresentado, responda às questões a seguir, no caderno, usando uma calculadora. 1. Qual a área aproximada do território brasileiro? 8 500 000 km² uamáarepa easpqruoixsaimeaddaesdcaubsurapeqrufíacnietodsabAiomméariscahádonoSuBl?raAési1ál6ree2a5q0aup0ra0o0nxitkmomas²d.pa or 2. Qual cento 3. Faça cada um deles representa do território nacional. Pesquisa do aluno. 4. O Programa de Monitoramento do Desmatamento na Amazônia (Prodes) é o sistema responsável pelas taxas oficiais do desmatamento na Amazônia Legal, cujo saté- lite opera com imagens de 30 metros de resolução. A apuração do Inpe (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) com esse sistema, referente ao período de agosto de 2016 a julho de 2017, apontou uma queda de 16% no desmatamento da floresta. Essa é a segunda menor taxa de toda a história do monitoramento. Informações obtidas em: INPE. Disponível em: <http://www.obt.inpe.br/OBT/noticias/INPE-estima- desmatamento-por-corte-raso-na-Amazonia-em-2017>. Acesso em: 1 jul. 2018. • Sabendo que a área desmatada registrada de agosto de 2015 a julho de 2016 foi cerca de 7 893 km², calcule e registre a área desmatada no mesmo período entre 2016 e 2017. 6 630,12 km² Vista aérea de desmatamento RICARDO LIMA/MOMENT OPEN/GETTY IMAGES no município de Altamira, PA. 22 17/11/18 20:20 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 22 22
Juro simples ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289 Pense e responda pense e responda Como eu Você paga 50% é metade, né? As atividades dessa seção posso pagar? 50% de entrada, Metade de têm como objetivo preparar Esta TV é o último os alunos para o trabalho com lançamento. Vale e o restante R$ 1.200,00 é juro simples e verificar os co- em 3 vezes R$ 600,00. nhecimentos prévios sobre R$ 1.200,00. sem juro. o assunto. Pedir aos alunos que tragam de casa diferentes Fica faltando Em 3 vezes sem juro, Isso E se eu quiser panfletos com propaganda de a outra metade. divido 600 : 3 5 200. mesmo! pagar 30% de entrada mercadorias que contenham ofertas e situações de compra R$ 600,00. É isso? e o restante em à vista e a prazo. 10 vezes, posso? É importante o aluno com- Nesse caso, Falta pagar Mas, no caso de dividir Então, em vez preender as duas maneiras 30% de R$ 1.200,00 R$ 840,00. o restante em 10 vezes, de R$ 84,00, eu vou pagar mais comuns de efetuar o pa- há um juro de 5% em gamento de uma compra: o são R$ 360,00. R$ 88,20 por mês. pagamento à vista, em que o cada parcela. cliente paga o preço total da mercadoria no ato da com- WANDSON ROCHA pra (com algum desconto ou não); pagamento a prazo (em Agora, responda às questões no caderno. prestações), em que o valor 1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal. da compra é dividido em pa- 2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da TV? Nesse gamentos mensais e conse- cutivos. Nessa modalidade o caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00. cliente pode ou não pagar 3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto parte do valor no ato da com- pra (entrada). sai a TV? R$ 1.080,00 Na modalidade de paga- 23 mento à vista, o vendedor pode oferecer um desconto para o cliente; na compra a prazo, ge- ralmente, é cobrado um acrésci- mo (juro) pelo tempo de espera para receber o pagamento inte- gral da mercadoria. Se achar pertinente, propor a série de atividades disponível no link <http://livro.pro/qjrrhp>. Acesso em: 18 nov. 2018. Na atividade 1, os alunos poderão concluir que juro é uma espécie de “aluguel” que se paga pelo uso de di- nheiro emprestado ou quando se paga uma mercadoria em prestações. D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 23 17/11/18 20:20 23
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a um banco, ela paga uma compensação pelo tempo que fica com a quantia emprestada. Ressaltar que no regime de juro simples a taxa de juro Às vezes, quando se compra uma mercadoria à prestação, paga-se um acréscimo pelo tempo sempre é aplicada no capital correspondente ao número de prestações. (valor inicial da transação). Quando alguém aplica dinheiro em um banco, recebe uma compensação pelo tempo em Antes de apresentar as si- que está emprestando a quantia ao banco. tuações propostas no livro, é interessante fazer uma simula- Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo se chama juro e corres- ção de juro simples na lousa. ponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra. Por exemplo, uma aplicação de R$ 10 000,00 a uma taxa Assim, podemos dizer que: mensal de 1% a juro simples. Pedir aos alunos que calculem Toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se recebe, pela quantia o montante (capital + juro) a em dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado, é chamada juro. cada mês de um trimestre. O importante é eles perceberem Quando falamos em juro, devemos considerar: que o cálculo do juro de cada • O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital. mês é obtido tomando-se • A taxa de porcentagem que se paga pelo “aluguel” do dinheiro chama-se taxa de juro. sempre 1% de 10 000 reais. • O total que se paga no fim do empréstimo (capital ϩ juro) chama-se montante. Propor aos alunos que fa- Vejamos, a seguir, algumas situações que envolvem juro. çam modificações nas condi- ções de cada situação apre- 1 Regina vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por 3 meses com uma taxa de sentada para que observem o juro simples de 2,7% ao mês. Qual a quantia que ela deverá pagar de juro e qual o total que que ocorre. Por exemplo, eles Regina terá de pagar no fim do empréstimo? podem alterar a taxa e o prazo. Vamos indicar por x a quantia que ela deverá pagar de juro e teremos: x ϭ (2,7% de 12 000) · 3 Ressaltar que a taxa de juro x ϭ 0,027 · 12 000 · 3 ϭ 972 sempre deve estar na mesma Ao todo, ela deverá pagar ao banco a quantia de: unidade de tempo que o pe- 12 000 ϩ 972 ϭ 12 972 ríodo de tempo considerado. Regina deverá pagar 972 reais de juro e pagará, no total, 12 972 reais. 2 Uma aplicação feita durante 2 anos, a uma taxa de 12% ao ano, rendeu 1 800 reais de juro simples. Qual foi a quantia aplicada? Vamos, inicialmente, determinar quanto a aplicação rendeu de juro por ano: 1 800 : 2 ϭ 900 Representando a quantia aplicada por x, podemos escrever: 12% · x ϭ 900 0,12x ϭ 900 xϭ 900 ϭ 7 500 WANDSON ROCHA 0,12 A quantia aplicada foi 7 500 reais. 24 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 24 17/11/18 20:20 24
ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno, con- emprestado a cada mês. Sabendo que Atividades siderando juro simples. pagou R$ 6 000,00 de juros, quantos Espera-se que com essas atividades os alunos tenham 1. Quanto renderá de juro: meses levou para pagar o empréstimo? compreendido juro como a c) 5 mAlteesrensativa c. compensação em dinheiro a) a quantia de 1 800 reais, aplicada durante a) 3 meses que se recebe ou que se paga por uma quantia aplicada ou 5 meses, a uma taxa de a2p,3li%cadaao20dm7urrêaesna?itse. b) 4 meses d) 6 meses emprestada, além de aplica- a quantia de 2 450 reais, rem os conhecimentos adqui- b) 7. Uma loja do meu bairro colocou o se- ridos para resolver problemas guinte anúncio na vitrine: de juro simples que envolve o 2 meses, a uma taxa de 1,96% ao mês? tempo dado em anos, meses 96,04 reais. EDITORIA DE ARTE APARELHO DE SOM ou dias. 2. Uma aplicação de 40 000 reais rendeu, Na atividade 1, orientar em 3 meses, 3 000 reais de juro. Qual é os alunos a realizar os cálcu- los formalmente e, depois, a taxa mensal de juro? 2,5% 150 REAIS 156 REAIS refazê-los com a calculadora, À VISTA COM CHEQUE verificando os resultados en- 3. Luís Roberto colocou parte de seu PARA 30 DIAS contrados. 13o salário em uma aplicação que rendia 25,6% de juro ao ano. Sabendo-se que Qual é a taxa mensal de juro que essa loja No item a, para calcular o após dois anos ele recebeu 389,12 reais juro simples relativo aos 5 me- de juro, qual foi a quantia que ele aplicou? está cobrando para pagamento a prazo? ses, basta multiplicar o valor 760 reais. 4% obtido em um mês (R$ 41,40) pela quantidade de meses que 4. (UFPB) Katienne tem duas opções de pa- 8. (Fuvest-SP) Há um ano, Bruno comprou renderá juro. Portanto, em gamento na compra de um fogão: sem uma casa por R$ 50 000,00. Para isso, 5 meses, renderá: R$ 207,00 (5 ? juros, em quatro parcelas mensais iguais tomou emprestados R$ 10 000,00 de ? 41,40). de R$ 350,00; ou à vista, com 15% de Edson e R$ 10 000,00 de Carlos, pro- desconto. Nesse contexto, o preço desse metendo devolver-lhes o dinheiro, Vale ressaltar que o juro fogão, à vista, é: Alternativa a. após um ano, acrescido de 5% e 4% de simples não costuma ser pra- juros, respectivamente. A casa valorizou ticado no mercado. Mas, em a) R$ 1 190,00 3% durante este período de um ano. termos didáticos, é bastante Sabendo-se que Bruno vendeu a casa útil discuti-lo, pois permite aos b) R$ 1 110,00 hoje e pagou o combinado a Edson e alunos compreender o concei- Carlos, o seu lucro foi de: Alternativa c. to de juro como acréscimo de c) R$ 1 210,00 um valor. a) R$ 400,00 d) R$ 700,00 d) R$ 1 090,00 e) R$ 1 290,00 5. (Saresp-SP) Certo banco cobra juros b) R$ 500,00 e) R$ 800,00 simples de 0,3% ao dia para contas pagas c) R$ 600,00 com atraso de até 30 dias. Pedro pagou 9. Mariana precisa comprar um fogão. Depois de pesquisar bastante, ela en- uma conta de R$ 50,00 com atraso de controu um fogão com duas opões de pagamento: R$ 700,00 à vista ou 12 dias. O valor pago por Pedro foi de: R$ 800,00 em 4 parcelas de R$ 200,00, Alternativa c. pagando a primeira parcela no ato da a) R$ 51,00 compra. Sabendo-se que Mariana tem os R$ 800,00 e pretende aplicá-los a b) R$ 51,40 juro simples de 4% ao mês, qual tipo de pagamento será mais vantajoso financei- c) R$ 51,80 ramente? Por quê? d) R$ 52,20 À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos 100 reais de desconto pelo pagamento à vista. 6. (Saresp-SP) Marcos fez um empréstimo de R$ 120 000,00 que deverá ser pago 25 com juros de 1% ao mês sobre o valor D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 25 17/11/18 20:20 25
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS TRATAMENTO DA INFORMAÇão Resoluções a partir da p. 289 Tratamento da Recursos hídricos informação A água é uma substância fundamental para a manutenção da vida animal e da vida vegetal. Propor aos alunos que se É um recurso natural de extrema importância no desenvolvimento de diversas atividades, como reúnam em duplas, incenti- no setor agrícola, industrial, econômico, entre outros. vando a troca de ideias e de estratégias de resolução. As As atividades a seguir trazem algumas pesquisas estatísticas sobre a importância da água. questões que eles tiverem Para resolver essas atividades, é necessário interpretar e construir diferentes tipos de gráfico. mais dificuldades podem ser resolvidas na lousa. 1. O Brasil possui cerca de 13,7% do total de água doce do mundo, sendo considerado um território rico em termos hídricos. No entanto, o país vive sérios problemas, relacionados tanto Esta seção aborda o tema à degradação da qualidade das águas, principalmente nas proximidades das áreas urbanas, água com vários enfoques: re- quanto à falta de controle do excesso e da insuficiência de água, que atingem várias locali- cursos hídricos, distribuição da dades brasileiras. Não são somente as enchentes que afetam as cidades brasileiras: a escassez água no planeta e distribuição hídrica também impõe sérias restrições e elevados custos ao desenvolvimento econômico e de água nos órgãos do corpo social de grandes cidades do Brasil. humano. Para tanto, solicitar que os alunos realizem uma Observando o gráfico a seguir, responda no caderno: pesquisa sobre a importância do consumo diário de água de Distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população do Brasil (em %) maneira consciente, os benefí- cios desse hábito e os malefícios % Recursos hídricos quando não há preocupação 80 Superfície com essa recomendação. To- 70 68,5 População das essas informações poderão ser apresentadas em cartazes a 60 serem expostos na escola para que as informações pesquisa- 50 45,3 42,65 28,91 das sejam compartilhadas. 40 18,3 6 10,8 Explorar o gráfico de colunas 30 18,8 15,05 Sudeste triplas com os alunos para que 15,7 6,41 6,5 6,8 respondam à atividade 1, de 20 6,98 EDITORIA DE ARTE modo a verificar possíveis dúvi- 10 das. Perguntar a diferença entre 3,3 as colunas, o que significa cada 0 Centro-Oeste Sul Nordeste Região cor, o que indica a legenda e Norte fazer algumas leituras de dados de colunas diferentes. Informações obtidas em: MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE. Disponível em: <http://www.mma.gov.br/estruturas/ sedr_proecotur/_publicacao/140_publicacao09062009025910.pdf>. Acesso em: 1o jul. 2018. Se julgar pertinente, aces- sar o site do Instituto Brasilei- a) Que tipo de gráfico é este? Gráfico de colunas triplas ou gráfico de múltiplas colunas. ro de Geografia e Estatística (IBGE), na área IBGE Educa b) Indique a região brasileira: (<http://livro.pro/brkfs4>, acesso em: 6 nov. 2018), pois • com a maior superfície; Região Norte: 45,30%. é possível encontrar material para alunos e professores. Há • com mais recursos hídricos; Região Norte: 68,50%. diversas representações gráfi- cas apresentadas com dados • com a segunda menor concentração de população. Região Norte: 6,98%. Região Nordeste: reais e atuais da população 3,30%. brasileira. c) Que região tem a menor taxa percentual de recursos hídricos do nosso país? d) Em qual região há maior concentração de população? Região Sudeste: 42,65%. e) JPQuousdatienfi-tqsoeusedpsiozureacr erqenustopeodqsautaaá.ngtuNmoaãeomdn.ooaOrcioesSurudpdaoeersmsfítuceuipepnedodrosfosícBueiiresaatsãdimloa. aniroeargrpieãogopi,uãlomaçSaãuiood,repséotreéombnrpaúosmisleseuirriaoa?dsEeexgpuhlniaqdbuaietacnotmeso? f) você pensou para responder. Cerca de 0,82%. Resposta pessoal. g) Pode-se dizer que a região que dispõe de mais recursos hídricos é a que possui a maior população? Não. 26 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 26 17/11/18 20:20 26
Cerca de 70% da superfície da Terra está coberta de água. Desse total, 97,5% constituem Para a atividade 2, explo- os oceanos e mares, e somente 2,5% são de água doce. Observe, no gráfico, como essa água rar os gráficos que mostram é distribuída. a distribuição da água no pla- neta. O segundo gráfico dessa Total global Água no planeta atividade apresenta um deta- (água) lhamento da parte referente à 2,5% do total global água doce do primeiro gráfico. 2,5% (água doce) Para realizar uma abor- 68,9% dagem interdisciplinar com Ciências, é possível explorar 97,5% 29,9% o infográfico apresentado em: <http://livro.pro/wyqyhj> 0,3% 0,9% (acesso em: 6 nov. 2018). Ele oferece riqueza de informa- Total global (água) 2,5% do total global (água doce) EDITORIA DE ARTE ções sobre a questão da água Água doce Geleiras e coberturas no planeta. Água salgada permanentes de neve Conversar com os alunos so- Rios e lagos bre como devem ser as barras no gráfico a ser feito na ativi- Águas subterrâneas dade 3. Espera-se que eles con- Solos, pântanos e geadas cluam que os comprimentos das barras devem ser proporcio- Informações obtidas em: AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS. A água no planeta nais aos percentuais relativos a para crianças. Disponível em: <http://arquivos.ana.gov.br/institucional/sge/CEDOC/ cada órgão da tabela. Catalogo/2014/AAguaNoPlanetaParaCriancas2014.pdf>. Acesso em: 1o jul. 2018. 2. Responda no caderno, ao que se pede. a) Explique o significado de cada taxa percentual representada no gráfico. Resposta pessoal. b) Determine qual taxa percentual, aproximada, de água do planeta corresponde: • às geleiras e coberturas permanentes de neve; 1,72% • aos rios e lagos; 0,0075% • às águas subterrâneas; 0,75% • aos solos, aos pântanos e às geadas. 0,02% Você pode utilizar uma calculadora para fazer os cálculos. 3. Você sabia que o total de água no corpo humano Percentual de água nos órgãos é 70%, a mesma taxa percentual de água da do corpo humano superfície terrestre? Veja, na tabela, quantos por cento de água há nos órgãos do corpo humano. Órgão Percentual Faça um gráfico de barras com os dados da tabela. Resposta no gabarito ao final do livro. Cérebro 75% Informações obtidas em: NÚCLEO DE TECNOLOGIA Pulmões 86% EDUCACIONAL MUNICIPAL Curiosidades sobre a água. Disponível em: <https://ead.pti.org.br/ntm/mod/forum/ Fígado 86% discuss.php?d=32>. Acesso em: 3 ago. 2018. Músculos 75% Coração 75% Rins 83% Sangue 81% 27 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 27 17/11/18 20:20 27
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS EDUCAÇÃO FINANCEIRA Resoluções a partir da p. 289 Educação financeira O que são os bancos? O texto proposto nesta se- Banco Central do Brasil ção procura explicar o que são Editada em dez. 2002 corretoras de valores, sua im- portância e como fazem para Existe um grupo de pessoas que tem dinheiro e quer guardá-lo. Há outro grupo que guardar e capitalizar dinheiro precisa de dinheiro para investi-lo ou usá-lo em negócios, como construir prédios, abrir aos seus clientes. Pedir aos comércio e instalar novas fábricas. alunos que leiam o texto e façam um resumo com as in- Se esses grupos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo formações que considerarem que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as pessoas, a ponto de umas mais importantes. pedirem dinheiro emprestado às outras. Ler, em seguida, coletiva- Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma forma segura de guar- mente, e discutir com os alu- dá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos. nos os pontos levantados em seus resumos. Explorar as in- E, às pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem-lhes formações destacadas por eles empréstimos e recebem juros pelo serviço. e explicar como as corretoras ganham dinheiro, mostrando Dessa maneira, os bancos movimentam o dinheiro. Usam as economias de uns para que há uma diferença entre o emprestar a outros. juro pago pelo tomador e o juro recebido por quem investe. [...] Além do mais, acontece algo que pode parecer curioso: os bancos fazem com que o Após a discussão do tema, dinheiro se multiplique. solicitar aos alunos que façam Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum as atividades propostas. tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo aquilo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. A outra parte, Discutir as respostas da ati- bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das vidade 3. Espera-se que os pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em alunos concluam que as situa- uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros. ções dos itens a e d podem ser Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquirir bens, como um carro ou uma casa, desvantajosas e que a solução, sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso nesses casos, é adequar gastos de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por confiarem neles, garantem o negócio. [...] e ganhos. Nas situações rela- tivas a negócios, apresentadas Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos? nos itens b e c, comentar que Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018. muitas vezes essa é a principal escolha para quem está desen- Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e volvendo um negócio, mesmo entenda melhor como os bancos funcionam. com o risco do lucro demorar mais que o previsto ou não 1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos? a) Ter um dinheiro extra para aproveitar acontecer, podendo gerar pre- juízos. No item e, discutir a rela- 2. Uma pessoa fez uma aplicação de mais a vida. ção entre necessidade e desejo. R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês. Nessa situação, uma alternativa Quanto receberá de juro em 1 ano? b) Comprar uma máquina que vai aumentar é poupar dinheiro durante um R$ 360,00 a produtividade de um negócio. tempo para comprar o objeto posteriormente, se for possível 3. As aplicações financeiras nos auxiliam c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren- aguardar. a capitalizar nosso dinheiro. Discuta dimento seja maior que o juro pago. com seus colegas as situações a seguir d) Completar o orçamento doméstico. indicando se a aplicação financeira pode e) Comprar um objeto cujo valor não está ou não contribuir para: Respostas pessoais. disponível. 1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já para as pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço. 28 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 28 17/11/18 20:20 28
CAPÍTULO DÍZIMAS PERIÓDICAS ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 4 Dízimas periódicas Em Matemática, muitas vezes, é útil representar números racionais, expressos por Apresentar outros exem- plos em que os alunos tenham meio de frações, na forma decimal. Para isso, basta dividir o numerador pelo denominador. que determinar a representa- ção decimal de um número Em alguns casos, essa representação decimal é finita. Por exemplo, a fração 9 : racional e reconhecer quando 20 essa representação é decimal finita ou infinita periódica. 9 20 9 0 0,45 Pedir que efetuem, em um 100 papel à parte, uma divisão cujo resultado seja uma dízima 0 periódica. Por exemplo, 10 di- vidido por 3, cujo resultado é Ou seja, 9 ϭ 0,45 3,333... Haverá um momento 20 em que não será mais possível 7 continuar essa divisão no pa- Em outros casos, essa representação decimal é infinita. Vamos ver a fração Ϫ 11 : pel, pois não terá mais espaço disponível. É importante cha- 7 11 mar a atenção dos alunos para 70 0,636363... o fato de que a divisão nunca termina, pois é infinita. 40 70 Enfatizar a diferença entre 40 uma dízima periódica simples 70 e uma dízima periódica com- 40 posta, pois, posteriormente, os 7 alunos terão que encontrar a fração geratriz dessas dízimas. Ou seja, 7 ϭ Ϫ0,636363... Ϫ 11 No segundo exemplo, o resto nunca se anula e fica alternando entre 7 e 4. O quociente tem a parte decimal infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica. No caso de Ϫ0,636363..., os algarismos 6 e 3, respectivamente, continuarão se repe- tindo indefinidamente. Dizemos que: Na dízima periódica Ϫ0,636363..., o período é o grupo 63, que se repete, e a representação abreviada desse número é Ϫ0,63. Essa dízima é uma dízima periódica dita simples. Vamos observar a seguinte dízima periódica: 12,1454545... Nela o período é 45 e o algarismo 1, que ocupa a casa dos décimos, não se repete. Portanto não pertence ao período. Nesse caso, a dízima periódica é chamada de composta. 29 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 29 17/11/18 20:20 29
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Em uma dízima periódica, a parte que fica à direita da vírgula e não compõe o período pode ou não existir. Caso exista, ela determina uma dízima periódica composta. Caso Pense e responda contrário, trata-se de uma dízima periódica simples. As questões propostas pre- pense e responda Resoluções a partir da p. 289 param os alunos para a ideia de como encontrar a fração Observe as frações e, usando uma calculadora, transforme-as em números racionais na geratriz de uma dízima peri- ódica simples. Por meio delas, forma decimal. é possível verificar alguns pa- drões de repetição ao trans- • 7 • 13 • 3 • 211 formar um número racional 9 99 9 99 para a representação decimal. Agora, no caderno, faça o que se pede. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima perió- 1. Quais os valores encontrados? 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313... dica simples, os alunos terão, inicialmente, que identificar o 2. Quais dos números obtidos são dízimas periódicas? Quais os períodos delas? período dessa dízima. Em se- Todos os números são dízimas periódicas; 7; 13; 3; 13. guida, deverão equacionar o problema. É possível que alguns 3. Observando os números na forma de fração e as dízimas periódicas, quais relações alunos apresentem dúvidas no podemos identificar? A quantidade de algarismos do período de cada uma das dízimas é igual à momento de subtrair as equa- quantidade de algarismos do denominador da respectiva fração; os denominadores são formados somente ções construídas. Se necessário, pelo algarismo 9. retome essa passagem na lousa. ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. c) 9 1,8 h) 33 1,32 Espera-se que os alunos re- 5 25 solvam a atividade 1 (divisões 3 por 10, 100 e 1 000) mental- 1. Os números racionais a seguir são cha- d) 37 1,85 i) 20 0,15 mente. Para a atividade 2, mados frações decimais. Escreva cada 20 eles devem efetuar as divisões um deles na forma decimal. 13 pelo algoritmo usual. e) 35 3,1818... j) 90 0,1444... 11 Na atividade 4, os alunos a) 7 0,7 g) 29 0,029 11 33 devem identificar o período 10 1 000 f) 9 1,2222... k) 4 8,25 de cada dízima periódica. Isso deve estar bem compreendido b) 31 3,1 h) 385 0,385 g) 11 1,375 l) 25 4,1666... por eles, pois o próximo assun- 10 1 000 8 6 to a ser trabalhado será deter- minar a fração geratriz de uma c) 6 0,06 i) 82 8,2 3. Classifique os números decimais do exer- dízima periódica. 100 10 cício anterior em decimais exatos (DE) ou dízimas periódicas (DP). d) 11 0,11 j) 163 16,3 100 10 4. Para cada uma das dízimas periódicas a e) 162 1,62 k) 427 4,27 seguir, identifique o período: 100 100 a) 0,02222... 2 f) 9 0,009 l) 1 104 1,104 b) 1,77777... 7 1 000 1 000 c) 12,0101... 01 d) Ϫ56,3333... 3 2. Qual é a representação decimal de cada e) Ϫ3,4565656...56 um dos seguintes números racionais? f) 1,034034034...034 a) 1 0,5 b) 7 2,333... 2 3 3. a) DE; b) DP; c) DE; d) DE; e) DP; f) DP; g) DE; h) DE; i) DE; j) DP; k) DE; l) DP 30 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 30 17/11/18 20:20 30
Fração geratriz de dízimas periódicas simples Veja os casos a seguir. 1 Vamos encontrar a fração geratriz da dízima periódica 0,5555..., ou seja, encontrar qual fração, quando transformada em número racional na forma decimal, gera essa dízima. Para isso, montamos a equação x ϭ 0,5555... (que chamaremos de I) em que x é a fração geratriz procurada. Depois, multiplicamos os dois termos dessa equação por 10, ou seja, 10x ϭ 5,5555... (que chamaremos de II). Em seguida, subtraímos (I) de (II): 10x ϭ 5,5555... (II) Ϫ x ϭ 0,5555... (I) 9x ϭ 5 Resolvendo a equação temos que: 9x ϭ 5 x ϭ 5 9 A fração geratriz da dízima periódica 0,5555... é 5 . 9 2 Dada a dízima periódica 3,2727..., vamos encontrar a fração geratriz dela. Para encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica, montamos a equação y ϭ 3,2727... (que chamaremos de I) em que y é a fração geratriz que desejamos. Em seguida, multiplicamos os dois termos dessa equação por 100 e obtemos 100y ϭ 327,2727... (que chamaremos de II). Em seguida, subtraímos (I) de (II): 100y ϭ 327,2727... (II) Ϫ y ϭ 3,2727... (I) 99y ϭ 324 99y ϭ 324 h y ϭ 324 ϭ 36 99 11 A fração geratriz procurada é 36 . 11 31 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 31 17/11/18 20:20 31
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS No primeiro caso, multiplicamos a dízima por 10, pois o período continha apenas um alga- rismo que se repetia: o algarismo 5. Ao fazermos a subtração, as casas decimais, por serem iguais, Explorar o esquema apre- se eliminam. sentado que resume os pro- cedimentos para encontrar a O mesmo raciocínio foi aplicado ao exemplo 2, mas dessa vez foi necessário multiplicar- fração geratriz de uma dízima mos por 100, pois o período era composto por 2 algarismos que se repetiam: os algarismos periódica simples. Aproveitar 2 e 7. o momento para colher possí- veis dúvidas e apresentar ou- Observe um fluxograma do processo para encontrar frações geratrizes de dízimas perió- tros exemplos que os alunos dicas simples: podem trazer. Escolher a dízima Atividades periódica simples que se quer determinar a Para resolver a atividade 2, os alunos podem encontrar a fração geratriz fração geratriz de 1,88888... e, em seguida, somar com 1 , 9 pois a resposta aparece em Multiplicar a dízima forma de fração. Destacar que pela potência de 10 cujo expoente a fração da resposta está em é a quantidade de sua forma irredutível, portan- algarismos do período to, é preciso que os alunos Subtrair a dízima do resultado obtido na cheguem até esse ponto. As- etapa anterior. O sim, temos: valor obtido será o numerador da fração 1,88888...+ 1 = 17 + 1 = Compor o denominador 9 9 9 como um número de n 18 algarismos 9, em que n é A fração geratriz foi = 9 =2 o número de algarismos encontrada do período da dízima ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. 1. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas simples a seguir: a) −2,4444... – 22 c) 17,8888... 161 e) 0,292929... 29 b) 9 d) 9 f) 99 0,11111... 1 −6,353535... – 629 2,102102102... 700 9 99 333 2. (UFPI) Marque a alternativa que contém o valor da expressão numérica 1,88888... + 1 . Alternativa d. 9 33 10 10 7 a) 50 b) 9 c) 19 d) 2 e) 55 32 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 32 17/11/18 20:20 32
Fração geratriz de dízimas ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS periódicas compostas Explorar os procedimentos Assim como é possível determinar a fração geratriz das dízimas periódicas simples, também usados para determinar as fra- podemos determinar as frações geratrizes de dízimas periódicas compostas. ções geratrizes de dízimas pe- riódicas compostas. Comentar Veja o caso a seguir. com os alunos que os proce- dimentos são similares aos 1 Dada a dízima periódica composta Ϫ5,6707070..., vamos encontrar sua fração geratriz. utilizados no caso de dízimas Para fazermos o que se pede, primeiro escrevemos a equação x ϭ Ϫ5,6707070..., em que x periódicas simples com uma nova etapa. é a fração que queremos encontrar. Em seguida, multiplicamos os dois membros dessa equação por 10 (equação I) e também por 1 000 (equação II). Atividades Em seguida, subtraímos (I) de (II): Na atividade 1, é impor- tante que os alunos comparti- 1 000x ϭ Ϫ5670,707070... (II) lhem os fluxogramas que cria- Ϫ 10x ϭ Ϫ 56,707070... (I) h 990x ϭ Ϫ5 614 h x ϭ Ϫ 5 614 2 807 ram, a fim de verificarem pon- 990x ϭ Ϫ5 614 990 495 ϭ Ϫ tos em comuns ou divergentes no momento de sintetizar os procedimentos para encontrar A fração geratriz que procurávamos é Ϫ 2 807 . a fração geratriz de uma dízi- 495 ma periódica. Nesse exemplo, multiplicamos a dízima por 10, pois havia um algarismo que não pertencia ao Uma estratégia para resol- período (o algarismo 6). Em seguida, multiplicamos a dízima por 1 000, pois tínhamos 3 algarismos ver a atividade 3 é decom- até a repetição do período (6, 7 e 0). Em seguida, subtraímos as duas equações, eliminando as por o número 0,1333... como casas decimais e encontrando a fração procurada. 0,1 + 0,03333.... e, com isso, observar a relação 0,03333 = = 0,3333.... : 10. Com isso, temos: ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 0,1333...= 0,1+0,03333...= 0,333... 1 3 = 0,1 + 10 = 10 + 90 = Responda às questões no caderno. 4. (UFPI) Sabendo-se que 0,6666... Ϫ 2 , = 12 = 2 3 90 15 1. Faça um fluxograma do processo de ob- qual das frações irredutíveis abaixo equi- tenção da fração geratriz de uma dízima vale a 1,5666...? Alternativa e. Resposta no final periódica composta. do livro. a) 1 c) 133 e) 47 30 300 30 2. Encontre a fração geratriz das dízimas 2 43 15 330 periódicas compostas a seguir: 2 071 b) d) 7Ϫ,105,555353.3..33.4.2.52Ϫ c) 69,0333... 30 a) 24 5. (Ufop-MG) A respeito dos números b) 45 0d,3)3Ϫ3.1..,1Ϫ74317,Ϫ4q..u.19a19l60é3 a Ϫ 0,499999... e b Ϫ 0,5, é correto afirmar: Alternativa b. 3. (OBM) Sabendo-se que a) b ϭ a ϩ 0,011111... a fração irredutível equivalente a 0,1333...? b) a ϭ b 1 1 1 333 c) a é irracional e b é racional. 13 30 10 000 a) c) e) d) a , b mn , b) 1 d) 2 Alternativa d. 6. (PUC-RJ) Escreva na forma de fração 15 15 a soma 0,2222... ϩ 0,23333... 41 90 33 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 33 17/11/18 20:20 33
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Tecnologias Resoluções a partir da p. 289 Reservar uma aula para rea- lizar essa investigação com os alunos. Em duplas, eles devem encontrar a representação de Investigando com a calculadora todas as frações propostas. Se Dado um número racional na forma fracionária, temos como saber se sua representação decimal será exata ou periódica sem transformá-lo em um número racional na forma decimal? tratam de frações unitárias, Vamos investigar. pois isso faz que o numerador • Primeiro, vamos tentar fazer essa análise com algumas frações. Anote em seu caderno quais das frações a seguir você supõe serem, ou tem certeza que são, dízimas periódicas. Em não seja um fator dificultador seguida, justifique as escolhas. Alternativas b, c e d; resposta pessoal. da atividade. Dessa maneira, o foco da investigação fica cen- trado na mudança do denomi- nador e sua relação com o quo- ciente encontrado. Durante essa investigação, a) 17 b) 37 c) 109 d) 46 e) 12 f) 90 25 33 40 81 7 16 pode ocorrer de os alunos le- vantarem hipóteses como: • as dízimas periódicas são geradas por números primos. • Agora, vamos iniciar nossa investigação. Junte-se a um colega para realizá-la. Para isso, vocês Isso é falso, pois 2 e 5 são pri- precisarão reproduzir o quadro a seguir em seu caderno e ter em mãos uma calculadora. Com o auxílio da calculadora, divida o numerador pelo denominador e vá assinalando em mos e 1 e 1 geram decimais 2 5 seu quadro se o resultado encontrado é um número decimal exato ou uma dízima periódica. 1 exatos; 18 não é primo e 18 gera dízima periódica. Representação decimal Representação decimal Representação decimal • os múltiplos de 2 e 5 geram Fração Decimal Dízima Fração Decimal Dízima Fração Decimal Dízima decimais exatos. Essa afirma- exato periódica exato periódica exato periódica ção também não se verifica, 1 1 1 pois 15 é múltiplo de 5 e 1 2X 9 X 16 X 15 gera uma dízima periódica. 111 3 X 10 X 17 X 111 4 X 11 X 18 X 111 5 X 12 X 19 X 111 X 13 X 20 X 6 111 X X 14 X 21 7 111 8 X 15 X 22 X 34 17/11/18 20:20 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 34 34
• O que você observa com relação aos denominadores de frações correspondentes a números Explorar as hipóteses le- decimais exatos? E de frações correspondentes a dízimas periódicas? Anote suas hipóteses vantadas pelos alunos e dis- no caderno e debata com seus colegas e com seu professor. cutir com a turma a validade das hipóteses levantadas. Isso • Com base nas suas observações, diga se os números racionais a seguir, ao serem escritos é muito importante durante na forma decimal, serão decimais exatos (DE) ou dízimas periódicas (DP), sem realizar a uma investigação matemática. transformação para a forma decimal. Entre as conclusões possí- a) 11 DP c) 72 DE e) 44 DE veis nessa investigação, espe- 21 24 80 ra-se que os alunos concluam que os denominadores que b) 57 DE d) 7 DP f) 108 DE correspondem a divisores de 8 13 30 potências de 10 geram deci- mais exatos. • Retome as primeiras frações apresentadas nesta seção e verifique se suas hipóteses iniciais estavam corretas. Ao finalizar a investigação, é importante que os alunos revejam suas hipóteses iniciais e consigam reconhecer, rapida- mente, quando um número ra- cional na forma fracionária terá uma representação exata ou uma representação decimal. PARA QUEM QUER MAIS A fração geratriz da dízima 0,999... Ao analisar o número 0,9999..., independentemente da quantidade de casas que vamos analisar, pode passar a impressão de ser um número menor que 1. Porém, ao determinar a fração geratriz da dízima 0,999..., nos deparamos com o seguinte resultado: x = 0,999... 10x = 9,999... 10x _ x = 9,999... _0,999... 9x = 9 x=1 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 35 35 17/11/18 20:20 35
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que Responda às questões no caderno. temperada representa quantos por aprendeu cento do número de espécies em uma 1. Copie a frase a seguir e, usando as pala- floresta de região tropical? As questões dessa seção vras indicadas, complete a frase: visam retomar o trabalho com a) 1% c) 4% e) 6% números racionais, porcen- equivalentes numeradores b) 2% d) 5% Alternativa c. tagem, juro simples e fração geratriz. denominadores mantemos 5. 30% de 40% de 50% de um número re- presenta quantos por cento do número? Propor aos alunos que tra- gam algumas questões de casa a) 4% c) 5% e) 10% e desenvolvam em sala de aula b) 8% d) 6% Alternativa d. com os colegas para que seja realizada uma troca de conheci- irredutível 6. Tarcísio tomou emprestados R$ 2.400,00 mento e discussão de diferentes do banco e vai pagar o empréstimo em raciocínios utilizados para resol- Para somarmos frações de dife- 6 vezes, com juro simples de 4% ao mês. ver um mesmo problema. A quantia que Tarcísio pagará de juro rentes, encontramos as frações às por mês será: Alternativa c. Após as atividades dessa seção, realizar uma discussão frações dadas, os denominadores a) R$ 16,00 com a turma sobre como os conceitos estudados ao longo e somamos os . Se necessário, sim- b) R$ 32,00 das aulas podem ser aplicados no dia a dia. Ao tratar desses plificamos o resultado a fim de obter a c) R$ 96,00 assuntos, uma possibilidade é denominadores; equivalentes; levar os alunos a perceber a fração . mantemos; numeradores; d) R$ 160,00 necessidade de realizar uma pesquisa de mercado e de irredutível. e) R$ 300,00 avaliar todas as condições de 2. A quantidade de casas decimais do pagamento e seus benefícios ou prejuízos. produto Ϫ3,4 por Ϫ1,56 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Encontre as frações geratrizes das Alternativa c. dízimas periódicas a seguir: 3. Uma pesquisa de “boca de urna”, reali- 04Ϫ3,,,17022715,3751.158..3.1...83.9.14. 9283930.9.9.70Ϫ3 192906 zada no primeiro turno das eleições para a) b) prefeito de uma cidade, indicou que um c) 1 d) dos candidatos tinha 5 das intenções de voto. Esse número representa quantos por cento das intenções de voto dessa 8. Elabore uma atividade envolvendo o pesquisa? tema porcentagem de tal modo que, a) 5% c) 20% e) 50% para resolvê-lo será necessário aplicar b) 10% d) 25% Alternativa c. os conhecimentos adquiridos nessa 4. Uma pesquisa mostrou que uma área unidade. Utilize tabelas e gráficos para de 4 hectares de floresta, na região tropical, pode conter cerca de 375 es- compor a atividade e, se achar necessá- pécies diferentes de plantas, enquanto uma área florestal do mesmo tamanho, rio, aconselhe o uso da calculadora ou na região temperada, pode apresen- tar cerca de 15 espécies. O número de de uma planilha eletrônica. espécies em uma floresta de região Em seguida, troque sua atividade com a de um colega, resolva a atividade dele e, juntos, corrijam e debatam as duas atividades. 36 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 36 17/11/18 20:20 36
9. (UFMG) No período de um ano, certa apli- 11. (Saresp-SP) Uma pesquisa publicada As atividades 9 e 10 são cação financeira obteve um rendimento pelo jornal Folha de S.Paulo levantou a mais desafiadoras e podem de 26%. No mesmo período, porém, parcela da população chamada de “ex- gerar maiores dificuldades por ocorreu uma inflação de 20%. Então, é cluída”. (São pessoas que, em geral, não parte dos alunos. Em ambas as correto afirmar que o rendimento efetivo completaram o 1o grau e vivem em famí- questões, é preciso calcular a da referida aplicação foi de: Alternativa b. lias com renda inferior a R$ 1 200,00.) porcentagem de uma porcen- tagem, ou seja, é preciso mul- a) 3% Constatou-se que essa parcela corres- tiplicar as porcentagens dadas ponde a 60% da população. no enunciado. Caso os alunos b) 5% questionem, dar essa dica pode Qual é o gráfico que melhor representa auxiliá-los na resolução. c) 5,2% essa situação? Alternativa a. Um novo olhar d) 6% a) c) É importante que os alu- 10. (PUC-RJ) Em um viveiro há várias araras. EExcxlculuídídooss EExcxlculuídídooss EDITORIA DE ARTE nos respondam individual- OOuutrtoross OOuutrtoross mente a cada uma das ques- • 60% das araras são azuis, EExcxlculuídídooss EExcxlculuídídooss tões para que possam refletir • 40% das araras são vermelhas, OOuutrtoross OOuutrtoross sobre as aprendizagens e • 40% das araras azuis têm bico branco, possíveis dúvidas a respeito • 30% das araras vermelhas têm bico b) d) dos assuntos estudados. São questões que permitem o pa- branco. EExcxlculuídídooss EExcxlculuídídooss pel ativo dos alunos diante OOuutrtoross OOuutrtoross de seu conhecimento. Que porcentagem das araras do viveiro EExcxlculuídídooss EExcxlculuídídooss tem bico branco? Alternativa d. OOuutrtoross OOuutrtoross A primeira questão pede aos alunos que escrevam um a) 10% bilhete a um colega, explican- do como resolver as operações b) 12% com números racionais. Ao pensar em como explicar as c) 24% operações para um colega, o aluno é convidado a verificar d) 36% os pontos que ainda trazem dificuldade para expressar o e) 40% seu raciocínio. UM NOVO OLHAR Resoluções a partir da p. 289 A segunda questão 2 abor- da o período de uma dízima Nesta Unidade, revimos o conjunto dos números racionais e suas operações e estu- periódica. Espera-se que os alu- damos a porcentagem e o sistema de juro simples, com enfoque em aplicações na vida nos consigam identificar qual é cotidiana e, por consequência, na cidadania. o período de uma dízima. Entre os conceitos estudados, destacamos: o entendimento da porcentagem como taxa, A terceira questão leva os os descontos e acréscimos, as aplicações de porcentagem e o juro simples e suas aplicações alunos a refletir sobre como como rendimento ou dívida. decidir se um número racio- nal terá representação decimal Além disso, aprendemos a encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica. exata ou periódica. • Imagine que um colega de classe tenha faltado na aula de revisão das operações com números racionais. Escreva um bilhete para ele, explicando como somar, subtrair, multiplicar e dividir números racionais. Aproveite para contar-lhe quais dificuldades você enfrentou nessa aula e o que fez para saná-las.Resposta pessoal. • Ao se deparar com uma dízima periódica, você é capaz de identificar seu período? Resposta pessoal. • O número racional 6 ao ser escrito na representação decimal será exato ou Ϫ11 será periódico? Explique sua resposta, com argumentos matemáticos. Será uma dízima periódica. Resposta pessoal. 37 D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 37 17/11/18 20:20 37
COMPETÊNCIAS GERAIS 2 Potências, raízes 1. Valorizar e utilizar os co- e números reais nhecimentos historicamente Lendas são narrativas ligadas à Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira construídos sobre o mundo tradição oral que contam fatos histó- casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 físico, social, cultural e digital ricos combinados a outros de origem pela terceira, 8 pela quarta e assim para entender e explicar a rea- fantástica. lidade, continuar aprendendo sucessivamente, até chegar à 64a casa. e colaborar para a construção Ao lado, apresentamos resumida- de uma sociedade justa, de- mente uma lenda de como o jogo de mocrática e inclusiva. xadrez teria sido inventado. 2. Exercitar a curiosidade Sissa pediu grãos de trigo pelas casas de um tabuleiro da seguinte maneira: intelectual e recorrer à abor- 1 grão pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, dagem própria das ciências, 8 pela quarta, e assim sucessivamente, dobrando a quantidade de grãos até incluindo a investigação, a re- chegar à 64a casa. O pedido se mostra impossível pela quantidade de grãos flexão, a análise crítica, a ima- que Sissa teria que receber ao todo. ginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e Espera-se que os alunos percebam que, para cada casa do tabuleiro, Mas, feitos os cálculos, testar hipóteses, formular e eles precisarão calcular uma potência de base 2. O expoente vai verificou-se que se resolver problemas e criar so- variar de 0 a 63. luções (inclusive tecnológicas) juntassem todo o trigo com base nos conhecimentos Leia a lenda e responda no caderno às questões a seguir: do mundo ainda não das diferentes áreas. • Sissa faz um pedido que se mostra impossível de ser seria possível coletar a quantia que Sissa pediu ESPECÍFICAS atendido. Qual foi esse pedido? como recompensa. 1. Reconhecer que a Mate- • Que estratégias você utilizaria para calcular quantos mática é uma ciência humana, grãos Sissa deveria receber? fruto das necessidades e preo- • Uma das lendas diz que os matemáticos do rei levaram cupações de diferentes cultu- ras, em diferentes momentos um grande tempo para calcular a quantidade de grãos históricos, e é uma ciência que deveria ser paga a Sissa. Hoje existem ferramentas viva, que contribui para solu- tecnológicas, além da calculadora, que ajudam a rea- cionar problemas científicos e lizar esses cálculos com mais facilidade. Você conhece tecnológicos e para alicerçar alguma dessas ferramentas tecnológicas? descobertas e construções, in- clusive com impactos no mun- Para essa questão, uma resposta provável será o computador. Mas ele não faz o do do trabalho. cálculo sozinho. Para isso, você poderá apresentar aos alunos as planilhas eletrônicas. 38 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investiga- HABILIDADESD2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 38 11/14/18 3:49 PM ção e a capacidade de produ- zir argumentos convincentes, p. XXI e XXII recorrendo aos conhecimen- tos matemáticos para compre- Números ender e atuar no mundo. • EF08MA01 • EF08MA02 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimen- tos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álge- bra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áre- as do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e apli- car conhecimentos matemáti- cos, desenvolvendo a autoesti- ma e a perseverança na busca de soluções. 38
Segundo a lenda, Tendo gostado do jogo, o reiWANDSON ROCHA ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Sissa, um sábio prometeu uma recompensa: daria indiano, inventou o qualquer coisa que Sissa pedisse. Abertura de Unidade jogo de xadrez para curar o tédio do rei. Indicando por Q a soma dos Estimular os alunos a obser- grãos, temos: var e ler atentamente a lenda O rei ficou espantado perante um pedido que que foi relatada por meio da pareceu tão humilde e cedeu imediatamente Q = 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 263 história em quadrinhos. Em 39 seguida, discutir com eles o à sua aparente insignificância. papel das lendas na tradição 11/14/18 3:51 PM oral e escrita. É interessante D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 39 que percebam que a narrativa não retrata um fato, mas con- ta uma história a respeito do jogo de xadrez. Se houver possibilidade, le- var tabuleiros de xadrez para a sala de aula e alguns grãos de feijão ou de arroz para repre- sentar um trecho da história retratada. Os alunos ainda po- dem ser convidados a avaliar o pedido de Sissa. Na primeira questão, po- de-se perguntar aos alunos o que eles pediriam se estives- sem no lugar de Sissa, como eles entendem o fim da his- tória, entre outras questões. Se achar conveniente, resga- tar outras lendas conhecidas pelos alunos. Na segunda questão, veri- ficar se os alunos compreen- dem que a quantidade total de grãos é muito grande e que seu cálculo é inviável. Para que eles cheguem a essa conclu- são, é interessante fazer algu- mas perguntas como: “Quan- tos grãos de trigo haveria na 6ª casa do tabuleiro?”; “Quantos grãos seriam necessários para preencher até a 10ª casa?”; “Vocês conseguem desco- brir alguma regularidade nas quantidades referentes a cada casa do tabuleiro? Qual?”. Outra opção é construir uma tabela com a quantidade de grãos referentes às 10 primei- ras casas do tabuleiro. Caso os alunos desejem sa- ber a quantidade total, uma possibilidade é elaborar uma tabela com a quantidade de grãos de cada casa utilizando uma planilha eletrônica. 39
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO POTÊNCIA DE UM NÚMERO RACIONAL Pense e responda 1 Nessa seção, a atividade pense e responda Resoluções a partir da p. 289 proposta utiliza o processo in- vestigativo com levantamento Pegue algumas folhas de papel sulfite e siga as orientações: de hipóteses e de sua consta- tação, da dedução até chegar 1. Dobre uma das folhas ao meio, sucessivamente, por 3 vezes, como à generalização. Essa proposta mostram as ilustrações. poderá levar os alunos a com- preender as ideias que envol- WANDSON ROCHA vem a operação potenciação. 1a dobra 2a dobra 3a dobra Além disso, eles poderão determinar, por meio dessa A seguir, desdobre a folha. Depois responda às questões no caderno. atividade, as sequências numé- a) Em quantas partes iguais a folha ficou dividida? 8 ricas das potências de base 2. b) Dobre outra folha de papel sulfite ao meio, sucessivamente, por 4 vezes. Para isso, os alunos precisarão de folhas de papel sulfite. É Desdobre-a e responda: Em quantas partes a folha ficou dividida? 16 conveniente que a atividade c) Você é capaz de dizer em quantas partes uma folha de papel sulfite vai ficar dessa seção seja resolvida co- letivamente. dividida se for dobrada, sucessivamente, por 5 vezes? 32 d) Explique como você chegou a essas respostas. Resposta pessoal. Descobrindo a potência de um número racional Os alunos serão convidados a dobrar e desdobrar as folhas de papel sulfite, mas antes é interessante que levantem hi- póteses a respeito da quanti- dade de dobras e vincos feitos no papel. Descobrindo a potência de um número racional Agora, observe uma folha de papel e as dobras nela feitas. ILUSTRAÇÕES: MARCOS GUILHERME 0 dobra 1 parte 1 dobra 2 partes 20 = 1 21 = 2 2 dobras 4 partes 3 dobras 8 partes 4 dobras 16 partes 22 = 2 x 2 = 4 23 = 2 x 2 x 2 = 8 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 40 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 40 11/14/18 3:52 PM 40
• 5 dobras 32 partes ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 Estimular os alunos a ela- borar coletivamente um car- • 6 dobras 64 partes taz, que deverá ficar exposto na sala de aula e poderá ser 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 completado ao longo do ano com informações e exemplos • 7 dobras 128 partes de conceitos e conteúdos vis- tos ao longo da Unidade e que 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 julgarem pertinentes como, por exemplo, o conceito de • 8 dobras 256 partes potenciação apresentado aqui. 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 Dado um número racional a e um número natural n, a expressão an chama-se potência e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a. an = a x a x a x a x a x ... x a n fatores Essa operação é chamada potenciação. Assim, pela definição: • 103 = 10 x 10 x 10 = 1 000 3 fatores • (0,5)4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 4 fatores ⎝⎜⎛ 1 ⎞⎠⎟ 2 1 1 1 3 3 3 9 • = x = 2 fatores Em uma potenciação, temos os seguintes termos: expoente 25 = 32 potência (resultado da operação) base Lê-se: dois elevado à quinta é igual a 32. Observações: Dado um número racional a, define-se a1 = a. • 61 = 6 • ⎜⎛⎝ 1 ⎞⎟⎠1 ϭ 1 • (1,7)1 = 1,7 9 9 Dado um número racional a, com a 5 0, define-se a0 = 1. ⎜⎝⎛ 2 ⎞⎠⎟ 0 3 • 50 = 1 • ϭ1 • (2,4)0 = 1 41 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 41 11/12/18 14:21 41
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades 2. c) ⎛⎝⎜ 1 ⎟⎠⎞ x ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠ x ⎜⎝⎛ 1 ⎟⎞⎠ x ⎜⎝⎛ 1 ⎟⎠⎞ Orientar os alunos a realizar 4 4 4 4 as atividades tentando identi- Responda às questões no caderno. 5. Considerando o como unidade de ficar os conhecimentos neces- medida de superfície, use a potenciação sários para a compreensão e a 1. Observe as multiplicações e escreva cada para calcular a área da figura a seguir. resolução de cada uma delas. uma na forma de potência. Isso auxilia a turma a identificar a relação de coerência entre as a) 6 x 6 x 6 63 atividades e a perceber a apli- cação dos conceitos estudados. b) 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 0,55 2 Na atividade 6, os alunos 3 3 ⎜⎛⎝ 3 ⎞⎠⎟ podem construir o cubo ilus- c) 10 x 10 10 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE trado na atividade antes de resolvê-la, utilizando peças do d) 1,2 x 1,2 x 1,2 x 1,2 1,24 Material Dourado ou dados de mesmo tamanho. A utilização e) 9 x 9 x 9 x ... x 9 910 de material manipulável facili- ta a compreensão do conceito 10 fatores de potência e ajuda os alunos a perceber que o volume do f) 1,1 x 1,1 x 1,1 x ... x 1,1 1,120 objeto que está sendo medi- do pode ser determinado por 20 fatores 132 = 13 x 13, ou seja, 169 quadrados. meio de uma multiplicação. 6. Com cubinhos iguais a este , Lucca g) 2 x 2 x 2 x ... x 2 225 Para a atividade 12, uma compôs o cubo a seguir. Use a potenciação sugestão é que ela seja resol- 25 fatores para descobrir quantos cubinhos ele usou. vida coletivamente, favorecen- do a troca de informações. Os h) 1 x 1 x 1 x ... x 1 1100 alunos devem perceber que, nessa situação-problema, eles 100 fatores precisaram primeiro interpretar os dados e determinar os valo- 2. Escreva na forma de multiplicação as res de x e y, para só depois cal- cular o valor da expressão x + y. potências a seguir. ⎠⎟⎞ 4 f) 0,7 x 0,7 x 0,7 a) 25 c) ⎜⎛⎝ 1 e) (2,8)2 2x2x2x2x2 4 2,8 x 2,8 b) (0,8)3 d) 106 f) (0,7)³ 83 = 8 x 8 x 8, ou seja, 512 cubinhos. 0,8 x 0,8 x 0,8 d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 7. Verifique se a expressão (10 + 7)2 é dife- 3. Cada figura a seguir sugere uma potência. rente da expressão 102 + 72.Sim, pois Escreva a potência sugerida. (10 + 7)2 = 172 = 289 e 102 + 72 = 100 + 49 = 149. 8. Considerando que 50% = 0,5, qual é o a) b) número decimal que representa o cubo de 50%? 0,125 52 23 Cubo. 9. Sabe-se que o número decimal A repre- Quadrado. senta o dobro de 1,1 e o número decimal B representa o quadrado de 1,1. Qual é o valor de A _ B? 0,99 4. Calcule as potências a seguir. 10. Escreva a expressão (0,5)2 na forma: a) 53 125 h) (0,4)3 0,064 a) decimal. 0,25 b) percentual (%). 11. Compare os números a e b usand2o5%o b) 105 100 000 i) ⎜⎛⎝ 2 ⎠⎞⎟ 3 8 c) 27 128 3 27 sinal =, . ou ,. a = 32; b = 64; d) 34 81 j) (2,5)2 6,25 a) a = 23 x 22 e b = 26 a , b. a = 225; e) 112 121 k) ⎝⎜⎛ 1 ⎟⎞⎠ 4 1 b) a= 32 x 52 e b = (3 x 5)2 b = 225; a = b. f) 200 1 2 16 12. Sabendo que 10x = 100 e 100 = y, calcule g) (1,8)2 3,24 l) (3,7)0 1 o valor de x + y. x + y = 2 + 1 = 3 42 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 42 11/12/18 14:21 42
CAPÍTULO PROPRIEDADES DA ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS POTENCIAÇÃO 2 Pense e responda pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Com base nas potências de 2 e 3, são propostos diversos Veja as potências que Thiago calculou: cálculos que se relacionam com as propriedades a serem 21 = 2 WANDSON ROCHA estudadas. 22 = 2 x 2 = 4 23 = 2 x 2 x 2 = 8 No item a, por exemplo, 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 pode-se perguntar aos alunos: 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 • O que vocês acham que 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 aconteceu com as potências nessa igualdade? Há alguma 31 = 3 maneira prática de efetuar es- 32 = 3 x 3 = 9 se cálculo? 33 = 3 x 3 x 3 = 27 • Essa maneira é sempre 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 válida? 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729 Permitir aos alunos que utilizem as estratégias que 1. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades a seguir no caderno. julgarem mais interessantes e, após um tempo de exploração a) Usando o símbolo = ou 5, compare: (pode ser em duplas), eles de- vem ser incentivados a verbali- • 22 x 23 e 25 22 x 23 = 25 • 34 x 32 e 36 34 x 32 = 36 zar as hipóteses e conjecturas realizadas durante a atividade b) Usando o símbolo = ou 5, compare: proposta. Muitas vezes, eles intuitivamente conseguem • 25 : 23 e 22 25 : 23 = 22 • 35 : 32 e 33 35 : 32 = 33 chegar às propriedades da potenciação. c) Encontre o resultado de: Nessa seção, explorar todas • (23)2 26 = 64 • (22)3 26 = 64 • 34 81 as relações com potências de 2 e 3 e ampliar, por exemplo, d) Usando o símbolo = ou 5, compare: • (22)3 e 26 (22)3 = 26 para as potências de 5. • (23)2 e 26 (23)2 = 26 • (32)2 e 34 (32)2 = 34 Explorando a Explorando a calculadora calculadora Para calcular o valor de uma potência, por exemplo, 35, usando uma calculadora simples, Retomar com os alunos podemos fazer assim: o uso da calculadora no cál- culo de potências, utilizando 3x3x3x3x3= 243. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE a multiplicação de fatores iguais, mesmo que exista a te- Ou assim: 243. cla específica para a potência (no caso de estarem utilizando 3 x 3 ==== uma calculadora científica). 43 É importante ressaltar que os equipamentos tecnológicos são auxiliares na resolução dos cálculos, mas não substituem o raciocínio nem a compreensão da situação ou do problema. D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 43 11/14/18 3:57 PM 43
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Conhecendo as propriedades da potenciação Conhecendo as propriedades da 1a propriedade: Produto de potências de mesma base. potenciação Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: Nesse tópico, o objetivo é conservamos a base e adicionamos os expoentes. levar os alunos a conhecer e aplicar as quatro proprieda- am x an = am + n des da potenciação: produto de potências de mesma base; Consideremos, por exemplo, o produto de potências de mesma base 23 x 27. quociente de potências de 23 ϫ 27 ϭ (2 ϫ 2 ϫ 2) ϫ (2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2) mesma base; potência de uma potência; e potência de um 23 27 produto. potências de mesma base Ao final, convidar os alunos 23 ϫ 27 ϭ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϫ 2 ϭ 210 a observar todas as proprieda- des da potenciação e propor 10 fatores a eles que resolvam algumas atividades simples envolvendo 23 ϫ 27 ϭ 23 ؉ 7 ou 210 a multiplicação e a divisão de potências de mesma base. Assim: ⎛ 4 ⎞2 ⎛ 4⎞ ⎛ 4 ⎞3 ⎛ 4 ⎞2 + 1 + 3 ⎛ 4 ⎞6 • 35 x 32 = 35 + 2 = 37 ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7⎠ Se achar interessante, as • × × = = propriedades da potenciação também poderão compor o 2a propriedade: Quociente de potências de mesma base. cartaz proposto na página 41. Um quociente de potências de mesma base, em que o expoente do dividendo é maior ou igual ao expoente do divisor, pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes. am : an = am _ n, com a 5 0 e m > n. Consideremos, por exemplo, o quociente de potências de mesma base 75 : 72. 75 Ϻ 72 ϭ (7 ϫ 7 ϫ 7 ϫ 7 ϫ 7) Ϻ (7 ϫ 7) ϭ 7× 7×7×7× 7 ϭ 7 ϫ 7 ϫ 7 ϭ 73 7×7 75 72 75 : 72 = 75 _ 2 ou 73 Assim: • 115 : 115 = 115 _ 5 = 110 • (2,3)6 : (2,3)5 = (2,3)6 _ 5 = (2,3)1 3a propriedade: Potência de uma potência. Uma potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma única potência: conser- vamos a base e multiplicamos os expoentes. (am)n = am x n Consideremos, por exemplo, a seguinte potência de potência (52)3. (52)3 = 52 x 52 x 52 = 52 + 2 + 2 = 56 (52)3 = 52 x 3 ou 56 44 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 44 11/14/18 3:58 PM 44
Assim: ⎢⎣⎡⎝⎛ 1 ⎞ 4⎤6 ⎛ 1⎞4 × 6 ⎛ 1 ⎞ 24 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • (62)5 = 62 x 5 = 610 3 ⎠ ⎥ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ • ⎦ = = Potências de base dez 4a propriedade: Potência de um produto. Nesse tópico, os alunos Para elevar um produto de dois ou mais números racionais a um expoente, elevamos serão levados a identificar as cada fator a esse expoente. potências de base dez e reco- nhecer sua utilidade na reali- (a x b)n = an x bn zação de cálculos e escrita de números muito grandes, como Consideremos, por exemplo, a potência de um produto (2 x 7)3. a distância entre planetas me- (2 x 7)3 = (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x 7) = 2 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7 dida em quilômetros. O uso de notação científica, tanto para 3 fatores representar números quanto para efetuar cálculos, é bas- (2 x 7)3 = 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 7 = 23 x 73 tante importante para o estu- do em outras disciplinas como Assim: Física e Química. • ⎡⎛ 1 ⎞ ϫ ⎛ 1⎞⎤6 ϭ ⎛ 1⎞6 ϫ ⎛ 1⎞6 • (52 x 73)2 = (52)2 x (73)2 = 54 x 76 Realizar a leitura do texto ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦⎥ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ apresentado no livro do aluno, estabelecendo uma relação Observação: com as estratégias e os pen- samentos desenvolvidos pelo Essa propriedade também pode ser aplicada quando temos uma potência de um quociente. Veja: grupo durante a resolução da atividade proposta anterior- • (7 : 6)3 = 73 : 63 • (3 Ϻ 52)4 ϭ 34 Ϻ (52)4 ϭ 34 Ϻ 58 mente na seção Pense e res- ponda da página 43. Potências de base dez Você deve saber que 10n, para n natural, escreve-se: 10n = 1 000...0 n zeros Assim, a potência de base 10, com expoente natural, é uma maneira de se escrever o número que, no Sistema de Numeração Decimal, é representado por 1 seguido de n zeros. Observe: • 105 = 100 000 • 102 = 100 • 101 = 10 5 zeros 2 zeros 1 zero As potências de base 10 são úteis para escrever números muito grandes. Por exemplo, 1 200 000 pode ser escrito na forma: 1 200 000 = 1,2 x 1 000 000 = 1,2 x 106 Veja outros exemplos: • A distância de Marte ao Sol é aproximadamente 228 000 000 km e pode ser indicada assim: 2,28 x 100 000 000 km = 2,28 x 108 km. • Netuno encontra-se a cerca de 4 500 000 000 km do Sol. Podemos escrever essa distância assim: 4,5 x 1 000 000 000 km = 4,5 x 109 km. Dizemos que os números 1,2 x 106, 2,28 x 108 e 4,5 x 109 estão representados em notação científica. Nesse tipo de representação, o número que multiplica a potência de base dez deve estar entre o número 1 e o 10. 45 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 45 11/14/18 4:00 PM 45
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS POR TODA PARTE Resoluções a partir da p. 289 Por toda parte Do disquete ao pen drive PHOTODISC/GETTY IMAGES Para fazer a leitura desse No fim dos anos 1990 e início dos anos 2000, Disquete. HERMES texto, os alunos podem se or- usávamos corriqueiramente os disquetes para CD-ROM. ganizar em duplas ou peque- armazenar arquivos de computadores e transpor- nos grupos. Depois, pedir a tá-los a todos os lugares. Eram aqueles disquetes alguns alunos que relatem as de 3,5 polegadas, revestidos por uma capinha de principais ideias do texto aos plástico e com capacidade de 1,44 MB (megabytes). colegas e propor um debate a Além da pequena capacidade de armazenamento respeito do assunto. É impor- desses dispositivos removíveis, havia alguns tante que eles expressem suas inconvenientes relacionados ao seu uso, como a opiniões e apresentem argu- desmagnetização, a quebra e a grande facilidade mentos para validá-las. de os arquivos neles armazenados serem “corrom- pidos”. Devido a essas limitações, o CD-ROM entrou Se for possível, levar para em cena, armazenando quase 500 vezes mais dados a sala de aula um disquete, que os disquetes. um CD-ROM e um pen drive para que os alunos possam Depois do CD-ROM surgiu o DVD com capacida- manipular e conhecer melhor des de 4,7 GB (gigabytes) (DVD de uma camada) a esses objetos. A comparação 8,5 GB (DVD de dupla camada). física é bastante interessante e, normalmente, surpreende Contudo, o dispositivo que veio revolucionar os alunos. o armazenamento de arquivos foi o pen drive, também chamado de memória USB Flash. Entre Ainda em duplas ou gru- os diferenciais do novo dispositivo, podem-se pos, eles podem resolver a destacar: a capacidade de armazenamento, que atividade 1 e elaborar estra- inicialmente era de 8 MB (atualmente há modelos tégias de resolução. com capacidade maior de 512 GB), a facilidade de transporte, manuseio e de transferência de dados e a durabilidade (se bem cuidado, pode durar até GARO/PHANIE/GLOW IMAGES dez anos). Você sabe o que é o byte? Pen drive. O byte é uma unidade de quantidade de infor- mações usada para especificar a capacidade de memórias de computadores, tamanhos de arquivos e discos, entre outros. Um byte equivale a 8 bits. Veja alguns múltiplos do byte: • 1 quilobyte (KB) é aproximadamente igual a 1 000 bytes ou 103 bytes; • 1 megabyte (MB) é aproximadamente igual a 1 000 000 bytes ou 106 bytes; • 1 gigabyte (GB) é aproximadamente igual a 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes. 1. Um CD-ROM com capacidade de 700 MB foi usado para gravar dados que ocupa- vam 123 MB. Escreva, no caderno, esses valores em quilobyte, byte e bit, utilizando potências de base 10. 7 x 108 bytes; 1,23 x 108 bytes; 7 x 105 quilobytes; 1,23 x 105 quilobytes; 5,6 x 109 bits; 9,84 x 108 bits. 46 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 46 11/14/18 4:05 PM 46
ATIVIDADES Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 7. Se a = 27 x 34 x 72, b = 25 x 32 x 7 e c = 25 x 3 x 7, calcule o quociente indi- Nessas atividades, os alu- 1. Aplicando as propriedades da poten- cado em cada item a seguir: nos terão a oportunidade de ciação, escreva cada expressão em uma aplicar as propriedades da po- única potência: a) a : b 252 b) a : c 756 c) b : c 3 tenciação. Eles devem identifi- car as propriedades envolvidas a) 96 x 92 98 8. Aplicando as propriedades da poten- em cada atividade. É essencial ciação, calcule o valor das expressões que percebam a importância b) (203)2 206 numéricas: das propriedades das potên- cias como um facilitador dos c) 107 : 105 102 a) (29 ϫ 211 ϫ 23) Ϻ (27)3 22 = 4 cálculos. d) (810)3 830 b) [(0,4)2]10 Ϻ [(0,4)9 ϫ (0,4)7 ϫ (0,4)] Propor a seguinte discus- (0,4)3 = 0,064 são: “O que vocês acham mais e) (0,7)4 : (0,7) (0,7)3 simples: resolver as potências 9. Determine o quociente de 1 0242 por 643. 4 e depois efetivar os cálcu- f) [(2,5)4]5 (2,5)20 los ou simplificar a expressão utilizando as propriedades da g) (1,9)12 : (1,9)10 (1,9)2 10. Considerando que a x b = 20, calcule o potenciação antes de efetuar valor de: os cálculos?”. É importante ⎝⎛⎜ 1 ⎞⎠⎟6 ϫ⎛⎜⎝ 1 ⎠⎞⎟ 4 ϫ ⎜⎝⎛ 1 ⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 1 ⎞⎟⎠ 11 salientar que não há certo ou 2 2 2 2 errado nessa discussão, mas h) a) a2 x b2 400 b) a3 x b3 8 000 espera-se que os alunos con- cluam que utilizar as proprie- i) ⎛⎝⎜ 2 ⎟⎞⎠14 : ⎜⎛⎝ 2 ⎟⎞⎠9 ⎜⎝⎛ 2 ⎠⎞⎟ 5 11. Algumas unidades de medida muito uti- dades na simplificação antes 5 5 5 lizadas são o metro, o grama e o litro. de efetuar os cálculos facilita a Seus múltiplos possuem prefixos que resolução das atividades. 2. Sabendo que a = 213, b = 27, c = 25, de- equivalem a: termine na forma de potência o valor Por exemplo, na ativida- das expressões: giga K 1 000 000 000 de 5, propor aos alunos que realizem a atividade das duas a) a x b 220 f) b3 221 mega K 1 000 000 maneiras e comparem as reso- luções ao final. b) b : c 22 g) a x b x c 225 Na atividade 11, ajudar os c) a x c 218 h) a : c 28 miria K 10 000 Giga = 109; alunos a perceber que as po- quilo K 1 000 mega = 106; tências de base 10 facilitam d) a : b 26 i) c4 220 hecto K 100 miria = 104; o registro escrito de números com valores muito grandes. e) a2 226 quilo = 103; hecto = 102; Solicitar aos alunos que 3. Dados x = 102 e y = 105, compare as po- deca K 10 relacionem as potências de 10 com as correspondências tências x5 e y2 usando o sinal = ou 5. deca = 101. entre as unidades de medida. x5 = y2 Escreva esses prefixos e indique as potências Assim, utilizando as potências 4. Transforme cada expressão em um de 10, como podemos escre- de base 10 que correspondem às equiva- ver 38 km em metros? E em produto de potências: centímetros. a) [(0,6) x(0,(61),14 )x]4 (1,1)4 1 1 5 lências apresentadas anteriormente. b) (32 x 10)2 34 x 102 d) ⎣⎢⎡⎝⎜⎛ 2 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 3 ⎟⎠⎞ ⎤ ϫ ⎦⎥ 12. Escreva os números a seguir em notação ⎝⎛⎜ 1 ⎟⎞⎠ 5 ⎜⎛⎝ 1 ⎟⎞⎠ 5 científica: 5,43 x 108 2 3 c) [(1,6)3 ϫ (2,4)2]2 x a) 1 350 000 1,35 x 106 c) 543 000 000 (1,6)6 x (2,4)4 (104)7 b) 689 000 6,89 x 105 d) 82 7680,207060x 107 5. Calcule o valor da expressão (108 ϫ 10)3 . 10 13. Escreva os números dados em notação 6. Você já sabe que 9 = 32, 27 = 33 e científica6 3c0o0m00t0o0d0o0s os seus algar4is6m0 8o0s0: 729 = 36. Usando as propriedades das a) 6,3 x 109 c) 4,608 x 105 potências de mesma base, calcule o valor b) 9,23 x 104 92 300 d) 1,6 x161 00070 000 da expressão (9 x 729) : 27. 243 47 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 47 11/12/18 14:21 47
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Números quadrados 3 perfeitos Qual é o Representando O objetivo nesse tópico é número obtido esse número preparar os alunos para fazer quando elevamos 4 geometricamente... a associação entre a Geome- ao quadrado? tria e os números quadrados 42 ؍4 ؋ 4 ؍16 perfeitos. Pode-se discutir essa 42 ؍ relação e começar a identificar quadrados perfeitos com base Dezesseis! É um na variação da medida do lado quadrado do quadrado. perfeito! Ao iniciar a reflexão a res- WANDSON ROCHA peito dos quadrados perfeitos, levar os alunos a pensar no O número 16, que equivale a 4 ao qua- 1 cm significado do nome utilizado, drado, é chamado quadrado perfeito. ou seja, por que eles acredi- 1 cm EDITORIA DE ARTE tam que se chama quadrado É possível mostrar geometricamente perfeito e que números pode- que 16 é um número quadrado perfeito. riam se encaixar nesse concei- to. Nesse momento, deverão Consideremos um quadrado com 1 cm explicitar o porquê da escolha de lado. Se usarmos 16 desses quadrados, desses números, pois assim os poderemos formar um novo quadrado. alunos serão levados a refletir a respeito do conteúdo e com- Os números naturais que são quadrados de outros números naturais são deno- preender melhor o conceito minados números quadrados perfeitos. apresentado. Levar os alunos a perceber que o processo geométrico para o reconhecimento de um número quadrado perfeito pode ser demorado, principal- mente se o número for muito grande. Outro aspecto impor- tante é que os alunos perce- bam a relação que existe entre um número quadrado perfeito e a sua raiz quadrada. Veja, a seguir, o quadro com alguns números naturais que são quadrados perfeitos: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n2 (números quadrados 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 perfeitos) 48 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 48 11/14/18 4:06 PM 48
Como reconhecer se um número é ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS quadrado perfeito Como reconhecer se Reconhecer se um número é quadrado perfeito pelo processo geométrico é demorado, um número é quadrado principalmente se o número for grande. Vamos agora aprender outro processo. Primeiro devemos perfeito fatorar na forma completa um número. Se todos os fatores tiverem expoente par, o número será um quadrado perfeito. Caso um dos fatores não apresente expoente par, o número não será um É importante que os alunos quadrado perfeito. Acompanhe os exemplos: saibam utilizar o processo de fatoração de um número para • Verificar se 144 é um quadrado perfeito. • Verificar se 450 é um quadrado perfeito. verificar se um número é qua- drado perfeito ou não. Nesse 144 2 144 = 24 x 32 450 2 450 = 21 x 32 x 52 momento, talvez seja neces- 72 2 225 3 sário relembrar o processo de 36 2 decomposição de um número 18 2 75 3 em fatores primos. 93 25 5 33 Atividades 1 55 1 Na atividade 1, propor aos alunos que utilizem uma Como todos os fatores encontrados Como o fator 2 não apresenta ex- folha de papel quadriculado, apresentam expoente par, 144 é um número poente par, 450 não é um número quadrado pois isso auxilia a construção quadrado perfeito. perfeito. da ideia de quadrado perfei- to. Solicitar aos alunos que ATIVIDADES Resoluções a 2. a) É quadrado perfeito. e) Não é quadrado perfeito. formem um quadrado com 25 partir da p. 289 b) Não é quadrado perfeito. f) É quadrado perfeito. quadradinhos recortados para c) É quadrado perfeito. g) Não é quadrado perfeito. a proposta no item a. Para o Sim, 25 é um quadrado perfeito. d) É quadrado perfeito. h) É quadrado perfeito. item b, pedir a eles que tentem Responda às questões no caderno. formar um quadrado, usando 3. O número natural A é expresso por: 29 quadradinhos. Nesse caso, os alunos perceberão que não 1. Desenhe um quadrado de 1 cm de lado A = 2x x 116 há como montar esse quadra- e depois responda: do. Esse trabalho pode ser am- Dê um algarismo que possa ser colocado pliado para outros números. a) Você pode formar um novo quadrado no lugar do expoente x para que A não usando 25 desses quadrados? Sim. seja um número quadrado perfeito. Na atividade 2, os alunos Qu4a.lqQueuraanlgtaorissmnoúqmueerreopsrenseanttueruamisnúqmueardoríamdpoars. vão verificar se um número é Então 25 é um quadrado perfeito? perfeitos há entre 100 e 300? Sugestão: quadrado perfeito quando to- para achar os números, faça 112, 122, ... dos os expoentes encontrados b) Se usar 29 desses quadrados, você poderá 5. Q7unaúlméeroos: 1m21e;n1o44r; 1n6ú9m; 1e9r6o; 22in5;te25ir6oe p28e9l.o em sua fatoração forem pares. formar um novo quadrado? Não. qual devemos multiplicar 24 x 32 x 53 Realizar a fatoração dos nú- para que esse número se torne qua- meros apresentados nos itens Então 29 é um quadrado perfeito? drado perfeito? Alternativa b. a e b coletivamente, na lousa. Não, 29 não é um quadrado perfeito. a) 2 b) 5 c) 3 d) 10 e) 0 Depois, solicitar que os alunos 2. Fazendo a fatoração dos números natu- façam individualmente a fato- rais a seguir, verifique quais deles são 6. O número natural B, cujo algarismo da ração dos números dos itens números quadrados perfeitos. unidade é 5, é um número quadrado seguintes. perfeito e está entre 600 e 700. Descubra a) 225 e) 1 000 o valor de B. O valor de B é 625. b) 300 f) 1 024 c) 400 g) 2 000 d) 729 h) 1 600 49 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 49 11/14/18 4:07 PM 49
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO RAIZ QUADRADA EXATA DE UM NÚMERO RACIONAL Raiz quadrada exata de 4 NÃO NEGATIVO um número racional não negativo Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos, então cada fator é a raiz quadrada desse número. Por exemplo: Na primeira situação, co- mentar com os alunos que, • A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 x 5 = 52 = 25. Indica-se: 25 = 5 . para determinar a raiz quadra- da de 576, devemos procurar • A raiz quadrada de 49 é 7, pois 7 x 7 = 72 = 49. Indica-se: 49 = 7 . um número positivo que, mul- Observamos, então, que todo número quadrado perfeito tem uma raiz qua- tiplicado por ele mesmo, terá como produto um número drada exata. cujo algarismo das unidades é Veja, agora, como fazer para determinar a raiz quadrada exata de outros números 6. Assim, ao analisarmos o re- sultado de 21 x 21, já é pos- quadrados perfeitos, acompanhando as situações a seguir. sível perceber que o algarismo das unidades desse produto 1 Veja a conversa de Luana e Renato. Podemos será 1. Logo, 21 não pode usar o que já sabemos! ser a raiz quadrada de 576. Renato, Vamos procurar por tentativas, Analogamente, o resultado de você sabe como um número que elevado ao 22 x 22 terá como algarismo podemos fazer para das unidades 4. Portanto, 22 calcular a raiz exata quadrado dê 576. também não é raiz quadrada de 576. do número 576? Seguindo esse raciocínio, as únicas possibilidades seriam 24 e 26 (pois 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). ROBERTO ZOELLNER O número 576 está entre os números quadrados perfeitos 400 e 900. A raiz quadrada do número 400 é 20, pois: 400 = 20 x 20 = 202 A raiz quadrada do número 900 é 30, pois: 900 = 30 x 30 = 302 Então, o número que procuramos está entre os números 20 e 30. Por tentativas, fazemos: 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 Então, pela definição, temos: 576 = 24, pois 242 = 24 x 24 = 576. Para conferir com a calculadora, digite o número 576 e aperte a tecla . 50 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 50 11/14/18 4:08 PM 50
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 2 Observe a pergunta que a professora QUAL É O NÚMERO NA FORMA ESTÚDIO ORNITORRINCO Na segunda situação, incen- escreveu para os alunos. DECIMAL QUE REPRESENTA tivar os alunos a verificarem o A RAIZ QUADRADA EXATA resultado usando uma calcula- dora simples. DO NÚMERO 42,25? Atividades Nesse caso, sabemos que o número 42,25 está entre 36 e 49. Conduzir os alunos a iden- tificar e reconhecer números 36 = 6 x 6 = 62 que são quadrados perfeitos e 49 = 7 x 7 = 72 a determinar a raiz quadrada exata de um número racional. Logo, o número que procuramos é um número na forma decimal entre 6 e 7. Daí, temos: Na atividade 2, organizar (6,1)2 = 6,1 x 6,1 = 37,21 a turma em duplas para que (6,2)2 = 6,2 x 6,2 = 38,44 possam trocar informações a (6,3)2 = 6,3 x 6,3 = 39,69 respeito dos procedimentos a (6,4)2 = 6,4 x 6,4 = 40,96 serem adotados para determi- (6,5)2 = 6,5 x 6,5 = 42,25 nar a raiz quadrada exata dos números apresentados. Orien- Então, pela definição: 42,25 ϭ 6,5, pois (6,5)2 = 6,5 x 6,5 = 42,25. tar os alunos a encontrar a raiz quadrada exata desses números ATIVIDADES Resoluções a utilizando a calculadora como partir da p. 289 suporte para a realização dos cálculos. Responda às questões no caderno. 3. A área de um terreno quadrado mede 1 764 m2. A medida do lado desse No item a, pedir aos alu- 1. Os números naturais a seguir são qua- terreno representa a raiz quadrada nos que determinem os dois drados perfeitos. Determine a raiz exata desse número. Quanto mede o números inteiros consecutivos quadrada exata de cada um deles. lado desse terreno? 42 m que são quadrados perfeitos e têm entre eles o número 1 764 m2 2,56. Se necessário, auxiliá-los a concluir que esses números são 1 e 4. Depois de perceber isso, e sabendo que 1 = 1 e a) 484 22 e) 1 296 36 4 = 2, os alunos devem, por tentativas, determinar um nú- b) 625 25 f) 1 849 43 mero entre 1 e 2 que, elevado ao quadrado, resulte em 2,56. c) 729 27 g) 3 025 55 (1,1)2 = 1,21 d) 1 156 34 h) 4 096 64 (1,2)2 = 1,44 (1,3)2 = 1,69 2. Os números na forma decimal a seguir (1,4)2 = 1,96 têm a raiz quadrada exata. Determine (1,5)2 = 2,25 essa raiz. (1,6)2 = 2,56 a) 2,56 1,6 e) 10,24 3,2 Assim, 1,6 é o número de- cimal que, elevado ao quadra- b) 3,61 1,9 f) 12,25 3,5 EDITORIA DE ARTE do, resulta em 2,56. Portanto: c) 5,29 2,3 g) 37,21 6,1 d) 7,84 2,8 h) 51,84 7,2 2,56 = 1,6. 51 Outra maneira de determi- nar a raiz quadrada de um nú- mero decimal é escrevê-lo como uma fração decimal e fatorar o D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 51 11/12/18 14:21 numerador e o denominador. 2,56 = 256 100 Então, 2,56 = 256 = 100 = 28 = 24 = 22 ? 52 2?5 16 = 10 = 1,6. Se julgar oportuno, mostrar essa estratégia na lousa. 51
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO RAIZ QUADRADA APROXIMADA DE UM NÚMERO RACIONAL Raiz quadrada 5 NÃO NEGATIVO aproximada de um número racional não 1 Acompanhe as seguintes situações. Para obter uma negativo aproximação da raiz quadrada Eu preciso saber de 30, usei uma calculadora com A atividade proposta no qual é a raiz quadrada do exemplo 1 pode ser amplia- a tecla e o valor encontrado da com o uso de uma calcu- número 30. foi 5,477225575051661. ladora simples, que agiliza os cálculos e permite que os alu- nos foquem na compreensão do conceito de raiz quadrada aproximada. Notei que o 30 WANDSON ROCHA não é quadrado perfeito. Portanto, a raiz quadrada de 30 não é exata. • Aproximação até décimos: 5,5 (a diferença entre o valor encontrado e o apro- ximado é menor que 0,1). • Aproximação até centésimos: 5,48 (a diferença entre o valor encontrado e o aproximado é menor que 0,01). • Aproximação até milésimos: 5,477 (a diferença entre o valor encontrado e o aproximado é menor que 0,001). É possível, então, determinar a raiz quadrada de 30 com a aproximação conveniente. Porém, nem sempre dispomos de uma calculadora. Como podemos calcular, nesse caso? Podemos determinar o número que expressa a raiz quadrada, com apro- ximação de uma ou mais casas decimais, fazendo uma estimativa desse valor. Vejamos, então, como estimar a raiz quadrada de 30 com os conhecimentos que já temos sobre os números quadrados perfeitos. • 30 é um número que está entre os quadrados perfeitos 25 e 36. • Como 25 = 52 e 36 = 62, o número procurado está entre 5 e 6. • Vamos descobrir que número é esse fazendo tentativas: (5,1)2 = 5,1 x 5,1 = 26,01 26,01 , 30 (5,2)2 = 5,2 x 5,2 = 27,04 27,04 , 30 (5,3)2 = 5,3 x 5,3 = 28,09 28,09 , 30 (5,4)2 = 5,4 x 5,4 = 29,16 29,16 , 30 (5,5)2 = 5,5 x 5,5 = 30,25 30,25 . 30 52 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 52 11/12/18 14:21 52
Observando os cálculos anteriores, verificamos que: ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • O número que expressa 30 é maior que 5,4 e menor que 5,5. A estratégia apresentada • 5,4 e 5,5 são os números que representam uma aproximação para 30 até décimos. no exemplo 2 será retomada na seção de atividades. Fazer Para não termos dois valores, convencionamos que o número procurado corresponde ao a apresentação desse exemplo na lousa e certificar-se de que menor valor e escrevemos: 30 1 5,4. Assim, a raiz quadrada de 30 é aproximadamente igual todos os alunos tenham com- preendido que o valor da raiz a 5,4 se a aproximação for de uma casa decimal (menor que 0,1). Caso haja necessidade de uma quadrada procurada será sem- pre uma aproximação. aproximação de duas casas decimais (aproximação menor que 0,01), fazemos mais tentativas com Atividades números entre 5,4 e 5,5. (5,41)2 = 29,2681 29,2681 , 30 Pela convenção já estabelecida, podemos (5,42)2 = 29,3764 29,3764 , 30 As atividades propostas têm como objetivo levar os alunos escrever que 30 1 5,47, ou seja, a raiz qua- (5,43)2 = 29,4849 29,4849 , 30 a calcular raízes quadradas aproximadas de números ra- drada de 30 é aproximadamente 5,47 se a (5,44)2 = 29,5936 29,5936 , 30 cionais. Ao trabalhar com as atividades, os alunos podem aproximação for de duas casas decimais (menor (5,45)2 = 29,7025 29,7025 , 30 elaborar uma lista com os qua- drados perfeitos para utilizá-la que 0,01). (5,46)2 = 29,8116 29,8116 , 30 no processo de obtenção das raízes quadradas aproxima- 2 Um número positivo x representa a raiz quadrada (5,47)2 = 29,9209 29,9209 , 30 das que terão de determinar. aproximada, com uma casa decimal, do número (5,48)2 = 30,0304 30,0304 . 30 Se julgar conveniente, montar uma lista com os quadrados 11,3. Vamos descobrir o valor desse número x? perfeitos de 1 a 100 na lousa. Sabemos que o número 11,3 está entre 9 e 16. Como 9 = 32 e 16 = 42, o número procurado está entre 3 e 4. Vamos, então, fazer os cálculos: (3,1)2 = 9,61 9,61 , 11,3 (3,2)2 = 10,24 10,24 , 11,3 (3,3)2 = 10,89 10,89 , 11,3 (3,4)2 = 11,56 11,56 . 11,3 Então, considerando sempre o menor valor, podemos dizer que a raiz quadrada de 11,3 é aproximadamente 3,3, ou seja, 11,3 1 3,3 (aproximação menor que 0,1). O valor do número x é 3,3. ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. 3. Calcule a raiz quadrada, com valor apro- ximado até a primeira casa decimal, de 1. Obtenha um valor inteiro aproximado cada um dos seguintes números: que expresse a raiz quadrada de: a) 172 13 c) 360 19 a) 2 1,4 e) 20 4,4 b) 200 14 d) 500 22 b) 3 1,7 f) 55 7,4 2. Com aproximação até a primeira casa c) 6 2,4 g) 150 12,2 decimal, calcule a raiz quadrada de: d) 10 3,1 h) 450 21,2 a) 2,9 1,7 c) 13,1 3,6 e) 51,2 7,1 4. Com valor aproximado até a primeira casa decimal, calcule o valor da 5 . 2,2 b) 6,9 2,6 d) 18,5 4,3 f) 66,218,1 53 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 53 11/16/18 2:33 PM 53
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS TRATAMENTO DA INFORMAÇão Resoluções a partir da p. 289 Tratamento da informação Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação STEFANOLUNARDI//SHUTTERSTOCK.COM Nesta seção, os alunos são Vamos observar a situação a seguir: apresentados a uma tabela de A academia Saúde realizou uma pes- distribuição de frequência com quisa para conhecer melhor seus alunos. Eles intervalos de classes. Nesse responderam a um questionário com várias momento, é importante que perguntas, e uma das variáveis pesquisadas foi eles aprendam a ler e interpre- a altura dos alunos. A gerente da academia tar esse tipo de representação. organizou os dados na seguinte tabela: Além disso, é importante Altura dos alunos da que reflitam a respeito de pos- academia Saúde síveis encaminhamentos que a gerência da academia pode Altura Número fazer com base nos dados co- (em metro) de alunos letados, como, por exemplo, 1,50 ¿ 1,58 adequação dos equipamentos 1,58 ¿ 1,66 9 às diferentes faixas de altura. 1,66 ¿ 1,74 11 1,74 ¿ 1,82 25 1,82 ¿ 1,90 30 Pessoas se exercitando. 1,90 ¿ 1,98 10 5 Essa é uma tabela de distribuição de frequên- Total 90 cias com intervalos de classes. Ela apresenta, na primeira coluna, o que foi pesquisado, neste caso, a altura dos alunos; e na segunda coluna a quan- tidade de vezes que esse valor apareceu, ou seja, a quantidade de alunos que apresentam aquela altura. Na primeira coluna, os valores das alturas estão divididos em intervalos numéricos que são chamados de intervalos de classes. Fonte: Alunos da academia Saúde. Quando utilizamos a representação 1,50 ¿ 1,58, indicamos que o extremo inferior estará incluso (1,50) e excluímos o extremo superior (1,58). Assim, para que nenhum número fique de fora, a próxima classe começará com o valor 1,58. 1. Observe as informações na tabela e responda no caderno: a) Quantos alunos da academia Saúde foram pesquisados? 90 alunos. b) A altura dos alunos da academia varia entre quais valores? De 1,50 m até 1,98 m. c) Quantos alunos têm altura entre 1,58 m e 1,66 m, incluindo 1,58 m? 11 alunos. d) Qual é o intervalo de classe que apresenta maior frequência? O que isso significa? e) Quantos alunos têm altura menor que 1,82 m? 75 alunos. f) Quantos alunos têm altura igual a ou maior que 1,74 m? 45 alunos. 5,56% aproximadamente. g) Qual é a porcentagem de alunos que têm altura maior que ou igual a 1,90 m? 1,74 ¿ 1,82; significa que a resposta mais obtida entre os alunos pesquisados foi a de que eles têm altura maior que ou igual a 1,74 m e menor que 1,82 m. 54 D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 54 11/14/18 4:09 PM 54
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