A-CONQUISTA-DA-MATEMATICA-MP-8_DIVULGACAO

2. Uma sorveteria dispõe de 16 sabores de “L” e “D” representam, respectivamente, ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS sorvete que podem ser combinados com letra maiúscula e dígito. Atividades 3 caldas diferentes (morango, chocolate e caramelo). De quantas maneiras é Opção Formato Caso considere necessário, possível combinar uma bola de sorvete indicar que algumas atividades e uma calda? 48 maneiras. I LDDDDD sejam feitas em duplas para os II DDDDDD alunos trocarem ideias sobre 3. Quantos números de 4 algarismos distin- III LLDDDD como raciocinaram a respeito tos podemos formar? 4 536 números. IV DDDDD de cada situação. V 4. As turmas do 8o ano de certa escola, já LLLDD Na atividade 8, é preciso pensando na formatura no ano seguinte, farão uma eleição entre os 93 alunos As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, calcular o número de possi- para a escolha do presidente e do vice- bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, bilidades de cada uma das -presidente da comissão de formatura. podem se repetir em qualquer das opções. opções de formato de senha Considere que qualquer aluno, entre para ver qual se adapta às os 93, pode ser escolhido. De quantas A empresa quer escolher uma opção de condições dadas: o número maneiras distintas é possível formar essa formato cujo número de senhas distintas desejado de senhas deve estar dupla de representantes? 8 556 maneiras. possíveis seja superior ao número espe- entre 1 milhão e 2 milhões. rado de clientes, mas que esse número Para cada opção, temos: 5. Uma senha bancária é formada por não seja superior ao dobro do número 4 dígitos seguidos de 3 símbolos (#, & e *). esperado de clientes. Opção I: 26 x 105 = De quantas maneiras Ana pode escolher = 2 600 000 . 2 000 000 uma senha, se ela não pretende usar nem A opção que mais se adéqua às condi- o algarismo 0 nem o símbolo #? Opção II: 106 = 1 000 000 = 52 488 maneiras. ções da empresa é Alternativa e. =1 000 000 6. Desde 2016, na Argentina, as placas de carros (chamadas chapas patentes) estão a) I. c) III. e) V. Opção III: 262 x 104 = sendo formadas no padrão Mercosul: duas letras do alfabeto de 26 letras, b) II. d) IV. = 6 760 000 . 2 000 000 seguidas de 3 algarismos, seguidos de Opção IV: 105 = 100 000 , duas letras. Quantas placas podemos 9. (OBMEP) Os ciclistas têm aversão ao formar com esse padrão? 456 976 000 número zero (porque é oval) e ao número , 1 000 000 oito (porque assim ficam as rodas após Opção V: 263 x 102 = REPÚBLICA DA ARGENTINA os acidentes). Quantos sócios podem se inscrever num clube de ciclistas se cada = 1 757 600 AB 123 CD um deve possuir uma identificação de Portanto, a opção V é corre- três dígitos, sem usar o dígito zero nem 7. Quantos números ímpares podemos o dígito oito? 512 ta, pois 1 000 000 , 1 757 600 formar usando uma única vez cada um , 2 000 000. dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9? 72 números.EDITORIA DE ARTE Na atividade 9, como os ci- 8. (Enem/2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um clistas tem aversão aos números público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será 10. (OBMEP) Um estacionamento tem 10 0 e 8, dos 10 algarismos dispo- necessária uma senha com formato a ser vagas, uma ao lado da outra, inicial- níveis, restam apenas 8. Como definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo pro- mente todas livres. Um carro preto e não há restrição quanto à repe- gramador, descritas no quadro, em que OBuMmEPc2a01r8ro rosa chegam a esse estaciona-NÍVEL 3 tição dos algarismos, é pos3sível D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 205 o1u0tem.rasU,esminenicsteioasctlma.aceDrionrnetoeamstqoedupnaatosondlitvteeramemss.1mU0omvacacungaapersriao,rrapurmsedatdouaieafoesulmravedcaonagrtdraeoa ss 13. Observe calcular o total de combinações, sãqoueprnaoaspsoiigrmcuioa:nld8aaisdxea 3836,0x4=8e90=5.+D51e1220q.u+an1t5a0s as parcelas rosdaechfeogarmmaaeqssueeeshtaacijoanapmeelnotom. Dee nquoasntuasmmaanveairagsa ptmraêarsnceneiúlraamsseinrpotoesdirienamtse,oiresomsreepsosocrAtsdrreietiivçamveoãtrscoi3vrce6oiism0dncseacepnocdtomueet,roivteoa1aspn0?rstooiepmmo: rapéciõodpneeraeitusrcêmasisoa qdiufeelirhevanrtjeaespeeesnlostemrseecnaoersrloeusmsp?aodvAealmgteaorlncivuarpetaievrnadturdea.selveasg?as de forma A) 12 existir uma vaga vazia entre os B) 15 carros preto e rosa. Uma ma- C) 20 neira de resolver esse proble- D) 60 E) 120 ma é considerar que o carro A) a57)06 56 c) 71 e) 80 preto se encontra estacionado B) d) 72 na primeira vaga. Desse modo, C) b7)1 70 14. Vovó Vera quis hsaáber8 possibilidades de lugar qual de suas cinco neptinaharas estacionar o carro rosa. D) 72 E) 80 205 tinha feito um sudaesIsessnaholao.acontecerá também quan- na parede de As netinhas fizeramdoaso carro preto estiver na úl- seguintes declaraçõets:ima vaga. Quando o carro es- 11/1••6/1EL8umí1sí1lai:a3:6:QNuãeomfutdiieveseue.rnheomu foqi ua aMlaqríuliaeoruuamRaafadealas. va- 11. Qual é o maior valor possível para o máximo divisor • Marília: Não fgoiaasReanfaterlaenaemseagVuitónrida.a e a nona,• comum de dois números naturais cujo produto é 6 000? • VRiatófarieal:aL: uNíãsaosnfeoãimoaeLpsurtáíesad.itzeernedomaovserd7adpe.ossibilida- A) 10 B) 20 Se apenas uma dasdneetsinhdaes mluegntaiur, qpuaermafeoz coadrersoenrhoo?sa. C) 30 D) 40 A) Emília Então, há 2 x 8 + 8 x 7 = E) 60 B) Luísa = 16 + 56 = 72 possibilida- C) Marília des de estacionar o carro pre- D) Rafaela E) Vitória to e o carro rosa, respeitando a condição dada. 12. A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de 15. Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a área 1 e pontos P, Q, R e S tais que partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum AP = AB , BQ = BC , CR = CD e DS = DA . 205vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado, 3 3 3 3 e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do Qual é a área do quadrilátero PQRS? C polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO PROBABILIDADE Experimento aleatório 2 Discutir com os alunos a res- Experimento aleatório peito do que eles sabem sobre experimento aleatório. Esse No estudo da probabilidade, um experimento é considerado aleatório se, mesmo conceito precisa ser trabalha- ao repeti-lo um número considerável de vezes, da mesma maneira, o resultado obtido do cuidadosamente para que é sempre imprevisível. os alunos compreendam que, apesar de não se saber qual O lançamento de um dado e o de uma moeda são exemplos de experimentos alea- será o resultado obtido, é pos- tórios, pois em cada repetição do experimento o resultado obtido não pode ser previsto. sível descrever todas as possibi- lidades do experimento. Espaço amostral Evento Para cada experimento aleatório existe um conjunto de possibilidades de resultados. Ao lançar um dado e observar a face de cima, é possível obter um de seis resultados diferentes. A ideia de evento é inserida Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Já para o lançamento de uma moeda “honesta”, é a partir da construção de sub- possível obter um de dois resultados diferentes: cara ou coroa. conjuntos de um experimento aleatório. Comentar que o es- Dado um experimento aleatório, o espaço amostral S é o conjunto de tudo de problemas de conta- todas as possibilidades de resultado daquele experimento. gem auxilia na construção de espaços amostrais. Evento Vamos imaginar agora que, a partir do lançamento de um dado honesto, vamos observar os resultados obtidos na face superior. Desejamos saber, por exemplo, qual é a chance de sair o número 2 no lançamento desse dado. Ou, ainda, qual é a chance de ocorrer um número primo. Essas duas situações descrevem subconjuntos do espaço amostral e são denominadas eventos. No primeiro caso, ao lançar o dado e sair número 2, temos que E = {2} e, assim, o número de elementos de E é representado por n(E) = 1. No segundo, ao lançar o dado e ocorrer número primo, temos que E = {2, 3, 5} e, assim, o número de elementos de E é representado por n(E) = 3. Se o conjunto formado pelos elementos de um evento é vazio, dizemos que esse evento é impossível. Por exemplo, no experimento “Lançamento de um dado de 6 faces”, o evento “Sair o número 7” é um evento impossível. Quando o número de elementos do evento coincide com o número de elementos do espaço amostral, o evento é chamado evento certo. No experimento “Lançamento de um dado de 6 faces”, o evento “Sair um número menor ou igual a 6” é um evento certo, pois n(S) = 6 e n(E) = 6. 206 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 206 11/15/18 4:58 PM 206

Considere a situação a seguir. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 1 Uma urna tem 20 bolinhas, numeradas de 1 a 20. Uma bolinha é escolhida ao acaso e Ao apresentar o exemplo observa-se seu número. da urna com bolinhas, veri- Nesse caso, o espaço amostral é dado por: ficar se os alunos compreen- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} dem a construção do conjun- Como vimos, todo evento é um subconjunto do espaço amostral. to de elementos de cada um O evento “Obter um número maior que 11” dado por E = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. dos espaços amostrais dados. O evento “Obter um número múltiplo de 4” corresponde ao subconjunto E = {4, 8, 12, 16, 20}. Após explorar os itens a e b, propor outras situações, como Probabilidade construir o espaço amostral dos números menores que 3 Vimos que, em um experimento aleatório, a probabilidade (P) de um evento acontecer é ou maiores que 17. Essa ideia dada pela razão entre o número de possibilidades favoráveis ao evento e o número total de da união de eventos será de- possibilidades que podem ocorrer no experimento. Agora, vamos realizar esse cálculo analisando senvolvida no Ensino Médio, o espaço amostral. mas é possível apresentar situ- ações iniciais a respeito desse No experimento aleatório “Retirar uma bola, ao acaso, de uma urna com bolas numeradas de conteúdo. 1 a 15”, o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. A probabilidade de o evento “Sair a bola de número 8” acontecer é de 1 em 15, pois só existe um número 8 no Probabilidade espaço amostral. O estudo das probabili- Nesse caso, para determinar a probabilidade de um evento ocorrer, podemos determinar o dades será desenvolvido em número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento. espaços amostrais equiprová- veis, ou seja, em que as pro- n(S) = 15 ⎫ → P(E) ϭ 1 babilidades de ocorrência dos n(E) = 1 ⎭⎬ 15 eventos são iguais. Essa ideia vem sendo construída desde A probabilidade (P) de um evento (E) acontecer, a partir de os anos finais do Ensino Fun- damental I. um experimento aleatório, é dada pela razão entre o número de Considerando os espaços elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. equiprováveis, a soma das probabilidades de ocorrência P(E) ϭ n(E) de todos os eventos de um es- n(S) paço amostral é sempre igual a 1. Isso será apresentado Veja outros exemplos. mais adiante. 1 A professora de música vai escolher duas de suas alunas para um teste: uma para tocar violão e outra para cantar. Ela vai escolher entre Gabriela, Helena, Luma, Leila, Bárbara e Lorena. Sabendo que todas tocam violão e cantam, qual é a probabilidade de a professora escolher Helena para tocar violão e Gabriela para cantar? Há 30 maneiras diferentes de a professora escolher as duplas, uma para tocar violão e outra para cantar. Assim, n(S) = 30. Além disso, E = {(Helena, Gabriela)} n(S) = 30 ⎫ → P(E) ϭ 1 n(E) = 1 ⎬ 30 ⎭ Portanto, a probabilidade de a professora escolher Helena para tocar violão e Gabriela para cantar é de uma em trinta, ou seja, 1 . 30 207 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 207 16/11/18 18:48 207

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS No exemplo envolvendo a 2 No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de: professora de música, indicar a) sair a face com o número 4? a utilização do princípio mul- tiplicativo para o cálculo da Para calcular a probabilidade de esse evento ocorrer, determinamos o número de elementos probabilidade pedida. Com isso, mostrar aos alunos que do espaço amostral e o número de elementos do evento. Temos: a análise das possibilidades de ocorrência de um evento é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} importante antes de pensar no cálculo da probabilidade. E = {4} Para que os alunos pensem n(S) = 6 ⎫⎪ → P(E) ϭ 1 Assim, P(E) ϭ 1 . mais nas possibilidades, pro- n(E) = 1 ⎬ 6 6 por o jogo Jokenpô (pedra, ⎪⎭ papel e tesoura). Em duplas, cada jogador deve escolher b) não sair a face com o número 4? entre papel, pedra e tesoura. As regras são: papel ganha de Para esse evento, temos o mesmo espaço amostral anterior, porém o número de elementos pedra (pois embrulha a pe- dra), tesoura ganha de papel do evento muda. Vejamos: (pois tesoura corta o papel) e pedra ganha de tesoura (pois S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} amassa a tesoura). Deixar um tempo para os alunos jogarem E = {1, 2, 3, 5, 6} algumas rodadas e, em segui- da, anotar e analisar as pos- n(S) = 6 ⎪⎬⎫ → P(E) ϭ 5 Assim, a probabilidade de “não sair a face com o número 4” sibilidades de jogadas. Veja o n(E) = 5 ⎪⎭ 6 quadro a seguir de exemplo. é igual a P(E) ϭ 5 . 6 Observe que a soma das probabilidades calculadas nos itens a e b é igual a 1. 1 ϩ 5 ϭ 6 =1 6 6 6 Sair a face 4 Não sair a face 4 Sair qualquer face 1 Observe que, para cada face do dado, a probabilidade de que ela seja retirada é sempre igual 6 . Assim, a soma de todas as probabilidades será igual a 1. a 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϭ 6 =1 6 6 6 6 6 6 6 Jogador Jogador Resultado Sair a face 1 Sair a face 2 Sair a face 3 Sair a face 4 Sair a face 5 Sair a face 6 Sair qualquer face 12 Pedra Pedra Empate A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é sempre 1. Pedra Tesoura Jogador 1 vence 1. b) S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); Pedra Papel Jogador 2 ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2); (3, 3); vence (3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); Tesoura Pedra Jogador 2 (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}. vence Responda às questões no caderno. 2. Considerando os experimentos e os Tesoura Tesoura Empate 1. Escreva o espaço amostral para cada um espaços amostrais do exercício anterior, dos experimentos a seguir: Tesoura Papel Jogador 1 indique os subconjuntos referentes aos vence a) lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas. eventos a seguir: Papel Pedra Jogador 1 b) lançar dois dados de cores distintas e a) ssoaaciirraddsauolaistseEdmrSa=2do={oe(m{csd(a1,ear,4ancsu),i;nccj(aooa2mrs,sa3o)e);;2m((1c3fao,am2rcso)ee;ea(jsn,a4ici,n1g5o)aur.}o..aais)}.. vence observar as faces de cima. b) c) Papel Tesoura Jogador 2 c) a sequência dos sexos possíveis para o S = {(M, M, F); (M, F, M), (F, M, M)}. vence Papel Papel Empate nascimento de 3 filhos de um casal. 1. c) S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M), 1. a) S = {(cara, cara); (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}. (M, F, F), (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M)}. Com esse quadro é possível calcular, por exemplo, a pro- 208 babilidade de dar empate en- tre dois jogadores. Como, no quadro, há 3 casos de empate ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 208 11/15/18 4:58 PM entre 9 disponíveis, a probabi- Na atividade 7, verificar se Dos 720 anagramas de FLE- 3 1 lidade em questão é 9 = 3 . Atividades os alunos retomam o concei- CHA (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x to de múltiplo de um número 1 = 720), calculados na ativi- A primeira parte das ativi- natural para concluir que se dade 8, 480 começam com dades propostas trabalham a um número é múltiplo de 3 e consoantes (4 x 5 x 4 x 3 x construção do espaço amos- múltiplo de 5 então ele é múl- 2 x 1 = 480). Assim, a P(E) = 480 2 tral e dos subconjuntos rela- tiplo de 15. Com isso, no item = 720 = 3 . tivos a diferentes eventos. Em b será preciso contar a quanti- seguida, é aplicado o cálculo dade de múltiplos de 15 entre 1 e 100. de probabilidades. 208

3. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, para verificar quantas dessas 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}. duplas são formadas apenas por meninas. Sendo G1, G2 e G3 3. Um experimento consiste em retirar uma 8. Escolhido um entre todos os anagramas cada uma das meninas, temos: bolinha numerada de uma urna com 25 bolinhas, numeradas de 1 a 25, e ob- da palavra FLECHA, qual é a probabili- servar seu número. dade de ele começar com uma consoante? a) Dê o espaço amostral desse experimento. 2 DESAFIO P(E)ϭ 3 G1G2 G1G3 G2G3 b) Escreva os elementos do evento A, sendo Junte-se a um colega para resolver os Portanto, 3 das 10 duplas desafios a seguir. A “o número obtido ser emveúnlttipoAloB=,d{s9ee,n91d8”o}.. são formadas apenas por me- Escreva os elementos do c) 9. Em um grupo de 5 adolescentes, há 3 ninas. Assim: garotas e 2 rapazes. 3 B “o número obtido ser maior que 23”. P(E) = 10 B = {24, 25}. a) Quantas são as possibilidades de duplas 10. a) Primeiramente, va- 4. Uma urna contém 2 bolas amarelas, 4 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Ao re- b) fQourmalaédaaspproobraebsisliedsadadeodleesecsesnate1ds0u?dpulaplsaesr. mos determinar, pelo princípio tirarmos uma bola ao acaso, qual é a multiplicativo, quantos núme- probabilidade de ela ser azul? E vermelha? formada apenas por meninas? fPo(rEm) ϭam13-0 ros podem ser formados com 4 Com os algarismo 2, 3, 6, 7 e 8 P(A) ϭ 9 ; 10. as regras dadas. 3 31. -se números de 4 algarismos distintos. 5 x 4 x 3 x 2 = 120 9 SELMA CAPARROZ P( V ) ϭ ϭ Escolhido um desses números ao acaso, Agora, vamos determinar 11. b(aqFu))CaíMpmlaéSpr?Caar-?PSp(PEr)Po)ϭ(UbEam)ϭ53bihl52iodsapdietadl efeezleusmere: studo quantas dessas possibilidades com 181 pacientes, vítimas de ferimen- são números pares. Para isso, o último algarismo precisa ser 2, 6 ou 8. Então, pelo princípio multiplicativo: 5. Um baralho possui 52 cartas, distribuídas Números terminados em 2: em 4 naipes: ouro, copas, paus e espada. tos provocados por projétil de arma de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Sorteando-se uma carta ao acaso, qual é fogo, cujos dados foram organizados de Números terminados em 6: a probabilidade de: 12 3 acordo com o estado de admissão do pa- 4 x 3 x 2 x 1 = 24 52 13 5. c) P(C) ϭ ϭ ciente e o desfecho do caso, conforme Números terminados em 8: apresentado na tabela. 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Estado de Desfecho do caso Total: 24 + 24 + 24 = 72 admissão Satisfatório Ruim OLGA POPOVA/ Total Então, a probabilidade de SHUTTERSTOCK.COM Grave 26 77 Moderado 15 5 103 um número desses, ao acaso, 50 8 20 Leve 91 90 58 ser par é: 72 3 Total 181 120 5 a) P(A)ϭ 1 P(E) = = rei e às) 52 a) suuemmr aaumdfigarmueriaa?d?eP(d(pBaa)mϭuas?,54v2aϭlet1e13, b) Já sabemos que o total b) c) Um grupo de estudantes de medi- de possibilidades é 120. Agora cina decidiu escolher aleatoriamente vamos calcular o número de 6. Qual é a probabilidade de, ao sortearmos um dos casos de desfecho satisfató- possibilidades em que o nú- um número de 2 algarismos distintos, rio para estudo. A probabilidade de o mero é ímpar, ou seja, o alga- ele ser par? P(E)ϭ 41 caso escolhido ser de um paciente cujo rismo das unidades deve ser 3 81 estado de admissão era grave é de, ou 7. Pelo princípio multiplica- 7. Considere os números de 1 a 100. aproximadamente, Alternativa b. tivo, temos: Sorteando um número ao acaso, qual é Números terminados em 3: a probabilidade de o número: a) 33,7%. d) 14,3%. 4 x 3 x 2 x 1 = 24 16 4 a) ser múltiplo de 6? P(E)ϭ 100 ϭ 25 b) 28,5%. e) 56,9%. Números terminados em 7: b) ser múltiplo de 3e de 5? c) 25,2%. 4 x 3 x 2 x 1 = 24 P(E)ϭ 6 ϭ 3 Total: 24 + 24 = 48 100 50 209 Então, a probabilidade de um número desses, ao acaso, ser ímpar é: 48 2 DesafiosD2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 209 segunda pessoa da d16u/1p1/1la8 .18A:4s8- P(E) = 120 = 5 sim, teríamos 20 (4 x 5) pos- Na atividade 9, espera-se encontrar a quantidade de nú- sibilidades. Mas, desse modo, que os alunos usem o princípio meros de 4 algarismos distintos cada dupla está sendo contada multiplicativo para resolver o formados a partir de 5 alga- duas vezes, pois a dupla AB é a item a e, depois, calculem a pro- rismos. Em seguida, contar a mesma da dupla BA. Assim, o babilidade no item b a partir do quantidade de números pares. número de possibilidades são resultado obtido anteriormente. 10 duplas. Resolução dos Desafios Na atividade 10, uma pos- 9. a) Utilizando o princípio b) Vamos elencar as duplas sibilidade de resolução é cons- que contêm apenas meninas truir o espaço amostral, ou seja, multiplicativo, há 5 possibilida- des para a primeira pessoa da dupla e 4 possibilidades para a 209

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO ESTATÍSTICA Conceitos básicos da 3 Estatística Conceitos básicos da Estatística Apresentar a definição de população e amostra e ex- A Estatística é uma parte da Matemática em que são estudados métodos para coleta, plorar a imagem que ilustra organização e análise de dados de diferentes áreas, visando a tomada de decisões. essa definição. Para ampliar o entendimento dos alunos, Realizamos uma pesquisa estatística quando pretendemos estudar alguma carac- é interessante assistir ao vídeo terística de determinado conjunto de elementos, que pode ser de pessoas, resultados, disponível no link <http://li objetos etc. O conjunto de todos os elementos que têm a característica do interesse vro.pro/qtqmbh> (acesso em: da pesquisa é chamado população. 8 nov. 2018), que apresenta um experimento que ajuda a Quando temos muitos elementos na população que queremos estudar, podemos discutir os conceitos de po- realizar a pesquisa por meio de uma amostra que represente essa população. pulação e amostra. Além das orientações para o professor, População é o conjunto de elementos que queremos pesquisar e apresenta há a descrição da atividade alguma característica comum. para os alunos, os materiais necessários para a realização e Amostra é um subconjunto, uma parte da população, que apresenta as as discussões que a atividade mesmas características da população. suscita. população Para complementar o es- tudo a respeito de pesquisa BAKHTIAR ZEIN/ censitária, apresentar o trecho SHUTTERSTOCK.COM a seguir, extraído do site do IBGE. amostra [...] Algumas pesquisas necessitam que toda a população seja investigada. Esse tipo de pesquisa é chamada censitária. No Brasil, a cada 10 anos, é realizado o Censo Para que serve o Censo? Demográfico pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que tem como – O Censo é a principal fon- objetivo constituir a principal fonte de referência para o conhecimento das condições te de dados sobre a situação de vida da população em todos os municípios do país. O próximo censo está previsto de vida da população nos para acontecer em julho de 2020. municípios e localidades. São coletadas informações pense e responda Resoluções a partir da p. 289 para a definição de políticas públicas em nível nacional, Nem todas as pesquisas são censitárias. Em muitos casos, são feitas pesqui- estadual e municipal. Os re- sultados do Censo também sas com amostra da população. Em sua opinião porque isso acontece? ajudam a iniciativa priva- Resposta pessoal. Respostas possíveis: Dificuldade em levantar os dados, da a tomar decisões sobre custos envolvidos nas pesquisas etc. investimentos. Além disso, a partir deles, é possível 210 acompanhar o crescimento, a distribuição geográfica e Pense e respondaD2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 210 pesquisa tem uma grande 16/11/18 18:49 a evolução de outras carac- Ao questionar os alunos a vantagem que é a coleta de terísticas da população ao longo do tempo. respeito do porquê de todas dados gerais, porém o custo as pesquisas não serem cen- para isso é muito alto, além de [...] sitárias, espera-se que eles um tempo maior para que a percebam que esse tipo de pesquisa seja realizada. Fonte: GUIA DO CENSO. Apresen- tação. Disponível em: <https:// censo2010.ibge.gov.br/materiais/ guia-do-censo/apresentacao.html>. Acesso em: 8 nov. 2018. 210

O processo de coleta de dados de uma população pode ser muito dispendioso e demorado. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Por essa razão, a escolha da amostra é de fundamental importância no processo de realização de uma pesquisa. O censo é indicado quando a população é pequena ou quando se necessita Amostras do resultado exato. Comentar a respeito dos Por exemplo, em uma campanha eleitoral para presidente do Brasil, as pesquisas de intenções exemplos de pesquisas feitas de voto são atualizadas toda semana. Para que isso ocorra, é necessário pesquisar uma parte dos por amostragem e a impor- eleitores brasileiros, pois, se a pesquisa fosse realizada com toda a população, é muito provável tância delas para realizar pro- que, no dia da eleição, ainda não tivesse sido finalizada a primeira pesquisa. jeções. Discorrer a respeito das pesquisas realizadas nas Ao escolher uma amostra, é muito importante garantir que ela seja representativa, ou seja, eleições para descobrir a in- que tenha as mesmas características da população, uma vez que as conclusões são feitas de acordo tenção de voto da população. com os resultados obtidos da amostra. Existem algumas maneiras de escolher uma amostra, É importante que os alunos processos conhecidos como amostragem. Entre os métodos de amostragem, vamos estudar três: compreendam que esse tipo casual simples; sistemático e estratificado. de pesquisa precisa seguir cri- térios rígidos preestabelecidos Amostragem é o processo para recolher amostras de uma população, para que o resultado delas não de maneira que se possa garantir o acaso na escolha. Cada elemento da seja enviesado, ou seja, não população deve ter a mesma chance de ser selecionado. beneficie candidato X ou Y. Comentar, por exemplo, que Amostra casual simples se a pesquisa tiver uma amos- tra de 200 pessoas e todas A amostra casual simples é caracterizada por um sorteio aleatório. Os elementos de uma foram entrevistadas em um população podem ser enumerados e, em seguida, sorteados entre uma quantidade estabelecida único bairro, não é possível previamente. concluir que aquela é a opi- nião da maioria das pessoas Veja um exemplo: daquele Estado. O professor de Educação Física vai fazer uma pesquisa sobre esporte favorito com todos os alunos do 8o ano para decidir os esportes que vai incluir na competição entre turmas. Como a Expor aos alunos que quan- característica da população é ser aluno do 8o ano, independentemente de outras características, to maior for o tamanho da como sexo, idade e estatura, ele vai fazer uma amostra casual simples de 30 dos 300 alunos dos amostra, melhor serão os da- 8o anos. Para isso, ele vai numerar os alunos de 1 a 300, escrever esses números em pedaços de dos projetados. Para exempli- papel, colocá-los em uma urna e depois realizar o sorteio. ficar isso, é possível realizar uma pesquisa na própria sala Amostra sistemática de aula obtendo respostas com diferentes amostragens. No caso da amostra sistemática, os elementos da população a ser estudada já se encontram ordenados. São exemplos: produtos de uma linha de produção, prontuários médicos, prédios de uma rua etc. Para a seleção dos elementos que farão parte da amostra, é elaborado um sistema pelo pesquisador. Veja um exemplo: Uma empresa que fabrica parafusos pretende fazer uma pesquisa para verificar se o com- primento dos parafusos está dentro do padrão. Para a amostra dessa pesquisa, será retirado, periodicamente, um elemento para a amostra, durante uma semana. 211 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 211 11/15/18 4:59 PM 211

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Amostra proporcional estratificada Pense e responda Na amostra estratificada, a população é dividida em subpopulações chamadas estratos. Esse tipo de amostra é realizado quando outras características da população devem ser levadas em Dar um tempo para que os conta. Por exemplo, nas pesquisas de intenção de voto para presidente do Brasil, a população alunos pensem sobre o me- são os eleitores brasileiros, mas a região do país onde reside, o sexo, a faixa etária e a faixa de lhor tipo de amostragem para renda do eleitor são importantes para essa pesquisa. Assim, o pesquisador deve selecionar uma o caso de saber o aplicativo de amostra aleatória de cada estrato. celular preferido dos alunos. Colher as diferentes respostas Observe a situação. e compartilhar entre a turma Em um congresso para médicos, 110 se inscreveram para a palestra de cardiologia, 140 para para que os próprios alunos a de obstetrícia e 150 para a de ortopedia. A equipe organizadora do congresso quer fazer uma avaliem o que consideram pesquisa com 40 pessoas que participaram das palestras sobre a importância do tema tratado mais adequado. em cada uma delas. Se for realizada uma amostra simples, existe a probabilidade de os 40 selecionados terem assistido à mesma palestra. Assim, é necessário fazer uma amostra proporcional de cada palestra (estrato). Para isso, a equipe organizadora montou o quadro: Palestra População Amostra Cardiologia 110 11 Obstetrícia 140 14 Ortopedia 150 15 Total 400 40 Para determinar a amostra proporcional de cada estrato, eles utilizaram o total de inscritos no congresso (400), o total de inscritos em cada estrato, o total de pessoas que participarão da amostra (40) e fizeram os seguintes cálculos: Cardiologia: Obstetrícia: Ortopedia: 400 4→004→0 40 400 4→004→0 40 400 4→004→0 40 110 1→10x→ x 140 1→40x→ x 150 1→50x→ x x = 1x1=0401×0140400×0=4101= 11 x = 1x4=0401×0440400×0=4104= 14 x = 1x5=0401×0540400×0=4105= 15 Assim, dos 110 inscritos em cardiologia serão sorteados 11 para a amostra, dos 140 de obstetrícia serão sorteados 14 e dos 150 de ortopedia serão sorteados 15. pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Em sua opinião, em uma pesquisa sobre o aplicativo de celular preferido dos alunos do 8º ano de uma escola, qual é o melhor tipo de amostragem a ser realizada? Resposta pessoal. Resposta possível: se considerarmos que todos os alunos usam aplicativos e que tenham características parecidas, podemos escolher uma amostra casual simples. 212 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 212 11/15/18 4:59 PM 212

Variáveis ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Quando nos referimos a certas características da população (e da amostra), como sexo, faixa Variáveis etária, escolaridade etc., estamos nos referindo ao que chamamos, em Estatística, de variáveis. O estudo a respeito de va- As variáveis são as características que estão sendo analisadas em uma riáveis será feito de maneira amostra ou população. Podem assumir valores numéricos e não numéricos. bastante detalhada, abordan- São classificadas em qualitativas e quantitativas. do as variáveis qualitativas e as variáveis quantitativas. A par- As variáveis quantitativas podem ser medidas usando uma escala numérica. São classi- tir da compreensão dos tipos ficadas em discretas ou contínuas. As variáveis quantitativas discretas podem ser contadas de variáveis, os alunos podem e, em geral, são representadas com números inteiros. Por exemplo: número de filhos, copos de construir melhor a ideia de água ingeridos em um dia. Por outro lado, as variáveis quantitativas contínuas representam grandezas discretas e grande- resultados de medidas, como a massa de um indivíduo (em quilogramas), o tempo gasto em zas contínuas. determinada atividade (em horas) etc. Pedir aos alunos que deem Já as variáveis qualitativas são as características que não possuem valores numéricos; são outros exemplos de cada tipo definidas por categorias ou atributos, ou seja, representam uma classificação dos elementos da de variável estudada. Verificar população. São designadas como nominais ou ordinais. As variáveis qualitativas nominais se eles tiveram contato com não requerem ordenação, como cor dos olhos, região onde mora. Já as variáveis qualitativas algum tipo de situação no dia ordinais pressupõem uma ordenação, como grau de escolaridade ou estágio de crescimento de a dia em que é possível iden- uma planta. tificar uma variável: quando pedem para avaliar um filme O esquema a seguir sintetiza as variáveis e suas classificações. como ótimo, bom, regular ou ruim, por exemplo, há a pre- sença de uma variável qualita- tiva ordinal. Variáveis Quantitativas Contínua Qualitativas Discreta Nominal Ordinal Organização dos dados Para organizar os dados obtidos por meio de uma pesquisa, podemos construir tabelas e gráficos. O tipo de tabela e de gráfico que vamos utilizar depende da variável que está sendo analisada. Observe as tabelas a seguir. 213 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 213 11/15/18 4:59 PM 213

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SAIBA QUE Ao explorar a diferença Frequência absoluta é o número de vezes em que cada entre frequência absoluta e elemento aparece na amostra ou em um intervalo da amostra. frequência relativa, propor a seguinte questão: “Qual é a Frequência relativa é a porcentagem da frequência de diferença de uma pesquisa cada elemento ou intervalo da amostra. apresentar os resultados ape- nas em frequência relativa Tabela 1 Tabela 2 e outra pesquisa apresentar os dados obtidos usando os Esporte preferido dos alunos do 8o ano A Grau de escolaridade dos funcionários da empresa X dois tipos de frequência?”. Espera-se que os alunos per- Esporte Frequência Frequência Grau de escolaridade Frequência Frequência cebam que tendo apenas a absoluta relativa (%) absoluta relativa (%) frequência relativa, é possível realizar conclusões a respeito Futebol 9 30 Ensino Fundamental 6 5 das porcentagens para cada tipo de resultado, entretanto Vôlei 12 40 Ensino Médio 30 25 ficam faltando informações a Ensino Superior 48 40 respeito da quantidade de ele- Basquete 9 30 mentos da amostra. Total 30 100 Pós-graduação 36 30 Fonte: Dados fictícios. Total 120 100 Fonte: Dados fictícios. Tabela 3 Tabela 4 Número de filhos dos funcionários da empresa X Altura dos alunos de uma academia de ginástica Número Frequência Frequência relativa de filhos absoluta (%) Altura Frequência Frequência (em metros) absoluta relativa (%) 0 10 20 1,65 ¿ 1,69 20 10 15 10 1,69 ¿ 1,73 70 35 2 25 50 1,73 ¿ 1,77 40 20 1,77 ¿ 1,81 50 25 3 10 20 1,81 ¿ 1,85 20 10 Total 50 100 Fonte: Dados fictícios. Total 200 100 Fonte: Dados fictícios. pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Qual é o tipo de variável estudada em cada uma das pesquisas repre- sentadas nas tabelas? Tabela 1: Qualitativa nominal; tabela 2: qualitativa ordinal; tabela 3: quantitativa discreta; tabela 4: quantitativa contínua. Observe que na primeira coluna de cada uma das tabelas acima estão representados os dados da variável de cada pesquisa. As tabelas 1 e 2 organizam pesquisas que apresentam variáveis qualitativas. Esporte preferido é uma variável qualitativa nominal, e os dados podem ser organizados da forma que o pesquisador preferir. Grau de escolaridade é uma variável qualitativa ordinal, e os dados apresentam uma hierarquia; assim, devem ser organizados em ordem. 214 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 214 11/15/18 4:59 PM 214

As tabelas 3 e 4 organizam pesquisas que apresentam variáveis quantitativas. Número de ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS filhos é uma variável quantitativa discreta e os dados são organizados em ordem crescente. Altura é uma variável quantitativa contínua e os dados são organizados em ordem crescente e A construção de um gráfico em intervalos de classe. de setores envolve, além do conhecimento de proporcio- Observe que na tabela 4 os intervalos de classe apresentam o símbolo ¿ . Esse símbolo inclui nalidade, o uso de instrumen- o valor inicial e não inclui o valor final. Ou seja, por exemplo, no intervalo 1,65 ¿1,69, contamos tos geométricos, como o com- todos os alunos com alturas de 1,65 m (inclusive) e menor que 1,69 m. Quem tem 1,69 m de passo, a régua e o transferidor. altura entra no intervalo seguinte 1,69 ¿ 1,73. Se julgar oportuno, propor Agora, observe os dados das tabelas organizados em gráficos. a construção de gráfico de setores simples, usando ins- Frequência Gráfico 1 Gráfico 2 trumentos geométricos, para absoluta que os alunos possam retomar Esporte preferido dos Grau de escolaridade dos esse procedimento e calcular 12 alunos do 8o ano A funcionários da empresa X os ângulos correspondentes 10 às frequências relativas. 12 Grau de 8 99 escolaridade Essa construção também 6 pode ser feita a partir de um 4 Pós-graduação software de planilha eletrôni- 2 ca. Caso escolha essa opção, 0 Ensino Superior acompanhar como os alunos raciocinam para realizar essa Futebol Vôlei Basquete Esporte Ensino Médio Frequência construção. É importante que Ensino Fundamental absoluta eles percebam que os softwa- res nos ajudam a obter resul- 0 10 20 30 40 50 tados mais rápidos, porém é preciso saber o conceito que Fonte: Dados fictícios. Fonte: Dados fictícios. há por trás da execução dos programas. Gráfico 3 Gráfico 4 Número de filhos dos Altura dos alunos de uma academia funcionários da empresa X de ginástica Frequência Frequência absoluta 25 absoluta 25 20 70 70 15 10 60 50 GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE 50 40 5 40 0 10 9 5 30 20 20 20 10 0 1 2 3 Número 0 1,65 1,69 1,73 1,77 1,81 1,85 Altura de filhos (em metro) Fonte: Dados fictícios. Fonte: Dados fictícios. pense e responda Considerando os exemplos apresentados, que correspondência podemos fazer entre o tipo de variável e sua representação gráfica? Resposta possível: As variáveis qualitativas e quantitativa discreta são representadas em grá- ficos de barras ou colunas separadas. A variável quantitativa contínua é representada em colunas agrupadas. Os gráficos 1 e 3 são gráficos de colunas e o gráfico 2 é um gráfico de barras, que já conhecemos. Eles são adequados para representar variáveis qualitativas e variáveis quantitativas discretas. Neles, as barras são separadas e relacionam cada valor com sua frequência absoluta. O gráfico 4 representa a variável quantitativa contínua e é chamado de histograma. Cada barra representa um intervalo de valores e como eles são contínuos, as barras são agrupadas. 215 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 215 11/17/18 13:18 215

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Já o gráfico de setores, que relaciona cada valor da variável com sua porcentagem, pode ser utilizado para todos os tipos de variáveis. Observe os gráficos referentes às pesquisas das tabelas Atividades apresentadas anteriormente. Após os alunos realizarem a Gráfico 1 Gráfico 2 atividade 1, propor que com- partilhem as respostas para Esporte preferido dos Grau de escolaridade dos que a turma conclua qual seria alunos do 8o ano A funcionários da empresa X o melhor tipo de pesquisa es- colhida. É importante notar se 30 alunos pesquisados 120 funcionários pesquisados os argumentos usados pelos 5% alunos na defesa de sua esco- lha são consistentes ou se há 30% 30% 25% Grau de algum erro matemático ao se escolaridade expressarem. Esporte 30% Futebol Ensino Fundamental A atividade 3 mostra aos Vôlei alunos que uma pesquisa feita Basquete Ensino Médio com uma amostra específica da população não permite re- Ensino Superior alizar conclusões a respeito de toda a população. Nesse caso, Pós-graduação seria melhor que a diretora da escola anotasse as respostas 40% 40% de meninos e meninas. Fonte: Dados fictícios. Fonte: Dados fictícios. Gráfico 3 Gráfico 4 Número de filhos dos Altura dos alunos de uma funcionários da empresa X academia de ginástica 50 funcionários pesquisados 200 alunos pesquisados 20% 20% Número 10% 10% Altura de filhos (em metros) 0 25% 1,65 ¿ 1,69 1,69 ¿ 1,73 1 10% 2 1,73 ¿ 1,77 EDITORIA DE ARTE 1,77 ¿ 1,81 3 35% 50% 20% 1,81 ¿ 1,85 Fonte: Dados fictícios. Fonte: Dados fictícios. ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. pesquisaram 50 trabalhadores dos 250 funcionários registrados na empresa. 1. Uma fábrica de chocolates decide fazer Com base nas informações anteriores, uma pesquisa para descobrir se seu responda: público prefere os chocolates ao leite ou a) CQQQ50luuuaaafsauslllniéafciéqiapou2nose5aápu0-ruaaiofvl.uasaanMVçmdrcãaiaaiáoorosievásnsmdetvaáreel,rpailse?orqsenmsasuedaaqpsa.nuseteiailstmoqagptuprirvaieesamassa?cqao..unitsínau?a. os chocolates amargos. Na sua opinião, a b) pesquisa deverá ser censitária ou amos- c) tral? Explique. Resposta pessoal. 2. Uma empresa está verificando a 3. A diretora de uma escola deseja saber pertinência da implantação de uma qual é o esporte preferido pelos alunos consultoria nutricional para seus fun- de sua escola. Para isso, selecionou uma cionários. Uma das pesquisas realizadas amostra dos alunos, contendo apenas foi com relação à massa (em quilogra- meninos. O que podemos dizer sobre o mas) de seus funcionários. Para isso, resultado dessa pesquisa? 3. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que essa amostra refletirá a opinião de uma parte dos alunos, já que as meninas não foram representadas na amostra e podem ter opiniões divergentes. 216 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 216 11/16/18 11:35 216

4. Resposta no final do livro. a) Construa uma tabela que dê a frequên- A atividade 7 apresenta 4. Em uma pesquisa, 100 jovens universi- um histograma dos gastos cia absoluta e a frequência relativa da de clientes de uma padaria. tários foram entrevistados para saber o qQuuaanntitdoasdealduenoirsmpãooss.suRdeoemslpivor2sot.aonuo final No item a, espera-se que os consumo diário de água. Copie a tabela b) mais alunos percebam que não é de dados a seguir em seu caderno, com- fácil concluir, a partir da leitu- pletando a coluna da frequência relativa irmãos? 15 alunos. ra direta do gráfico, quais são em %. Depois responda às questões. as frequências relativas, por- 7. Os gastos dos clientes de uma padaria tanto, é preciso calcular cada Consumo de água em um sábado, no período da manhã, uma delas. estão registrados no histograma. Quantidade de copos Frequência Frequência de água (por dia) absoluta relativa (%) Número de Gastos dos clientes da padaria 3 6 23 23% clientes 14 9 56 56% 12 14 14% 12 Total 7 7% 100 100% 10 9 7 5 EDITORIA DE ARTE Fonte: Dados fictícios. 5 10 15 20 25 30 35 Gastos (em reais) a) Quantos jovens ingerem 6 ou menos copos de água por dia? 79 jovens. Fonte: Dados fictícios. b) Considerando a recomendação de se a) Construa uma tabela de frequências com ingerir, no mínimo, 8 copos de água b) oQsudanadtoosscalipernetseesnRftoeasrdpaoomsstàanonpoagdfriáanfraiiclaodno. olivpreo-. por dia, qual o percentual de jovens que cumprem essa recomendação? 21% ríodo da pesquisa? 57 clientes. 5. A tabela apresenta os salários dos 15 fun- c) Quantos clientes gastaram menos de cionários de uma pequena empresa de R$ 20,00? 31 clientes. informática: Salários dos funcionários de uma empresa Salários (em reais) Frequência absoluta 8. O gráfico mostra o resultado de uma 954 ¿ 1 443 9 pesquisa socioeconômica, na qual foi 1 443 ¿ 1 932 2 perguntado a cada um dos 600 entre- 1 932 ¿ 2 421 1 vistados: Quantos aparelhos de TV há 2 421 ¿ 2 910 1 em sua casa? 2 910 ¿ 3 399 2 Total 15 Aparelhos de TV nas residências 600 pessoas entrevistadas Fonte: Dados fictícios. 2% 4% EDITORIA DE ARTE 14% 20% Número de a) Quantos funcionários recebem menos aparelhos de TV que R$1 932,00? 11 funcionários. 60% 0 1 b) Quantos funcionários recebem salário 2 maior ou igual a R$ 2 421,030?funcionários 3 4 6. Em uma escola, foi realizada uma pes- quisa para saber a quantidade de irmãos a) A maioria das pessoas entrevistadas tem de cada um dos 30 alunos do 8o ano. A quantos aparelhos de TV em casa? 2. quantidade de irmãos, por aluno, está registrada a seguir: b) Qual a porcentagem de pessoas que têm três ou mais aparelhos de TV? 16% 3140221100 0223410231 c) Construa uma tabela com os dados do 0243110202 gráfico, apresentando as frequências ab- soluta e relativa. Resposta no final do livro. 217 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 217 16/11/18 18:55 217

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO MEDIDAS EM ESTATÍSTICA Média aritmética 4 simples As medidas estatísticas existem para nos ajudar a verificar se determinado valor Ao explorar o cálculo da representa bem uma série de dados. As medidas estatísticas que vamos estudar agora média aritmética simples, são a média aritmética simples e a ponderada, a moda e a mediana. apresentar outras situações em que ela está presente: de- Média aritmética terminar a altura média dos jogadores de um time de bas- Média aritmética simples quete, calcular o tempo médio do deslocamento de casa até Veja a situação a seguir. um local ao longo de uma se- Marina acompanha a previsão do tempo na cidade onde mora. A tabela mostra mana, são alguns exemplos. as temperaturas mínimas previstas para a semana de 27 a 31 de agosto de 2018. Comentar que muitas pes- Temperaturas mínimas previstas para a semana de soas utilizam o termo mé- 27 a 31 de agosto de 2018 dia sem o rigor matemático. Quando pedem uma pizza, Data 27/08 28/08 29/08 30/08 31/08 por exemplo, e o atendente Temperaturas 10 11 14 15 15 diz que ela será entregue em mínimas (em oC) média em 30 minutos, a ideia por trás disso é que, a partir da experiência de entrega de piz- zas daquele estabelecimento, o tempo costuma ser em tor- no de 30 minutos. Fonte: Dados fictícios. Podemos calcular a temperatura mínima média desses 5 dias, adicionando todas as temperaturas e dividindo o resultado por 5, ou seja, pela quantidade de dados da tabela. Tmin ϭ 10ϩ11ϩ14 ϩ15ϩ15 ϭ 65 = 13 5 5 Dessa maneira, a temperatura mínima média prevista para os cinco dias de agosto foi de 13 °C. A média apresenta de forma resumida um conjunto de dados, e o valor encon- trado representa todos os valores desse conjunto. A média aritmética simples de uma série de dados é determinada pela soma de todos os dados dividida pela quantidade de dados. Média aritmética ponderada Algumas situações pressupõem o cálculo da média aritmética ponderada. Veja o exemplo a seguir. Na disciplina de Matemática, Marcos foi avaliado de diferentes maneiras: um traba- lho individual com peso 1; duas provas mensais, cada uma com peso 2; e uma prova 218 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 218 16/11/18 18:56 218

final, com peso 4. Marcos obteve nota 7,7 no trabalho, 4,8 e 8,4 nas provas mensais e 6,1 na ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS avaliação final. Qual foi a média de notas obtida por Marcos? Ao explorar a situação Quando uma prova tem peso 2, é como se a nota obtida nessa prova fosse contada duas apresentada no cálculo da vezes. Veja como podemos organizar as notas de Marcos: média aritmética ponderada, notas escolares, discutir com 7,7 4,8 4,8 8,4 8,4 6,1 6,1 6,1 6,1 a turma como seria possível descobrir a nota mínima que é peso 1 peso 2 peso 2 peso 4 necessário obter em uma pro- va a partir de outras notas já Assim, é como se Marcos tivesse realizado 9 provas e sua média é dada por: obtidas para ser aprovado. Por exemplo, se a nota mínima de M= 7,7 + 4,8 + 4,8 + 8, 4 + 8,4 + 6,1+ 6,1+ 6,1+ 6,1 = 58,5 = 6,5 aprovação em Matemática de 9 9 uma escola é 7 e determinado aluno obteve notas 4 e 6, res- Outra maneira de calcular a média de notas de Marcos é multiplicar a nota obtida em cada pectivamente, em provas com um dos instrumentos avaliativos por seu respectivo peso. Em seguida, dividir pela soma dos pesos: pesos 1 e 2, qual deverá ser a nota mínima que ele deve tirar Mϭ 7,7 ⋅1ϩ4,8 ⋅ 2ϩ8,4 ⋅ 2ϩ6,1⋅ 4 ϭ 7, 7 ϩ 9, 6 ϩ16, 8 ϩ 24, 4 ϭ 58,5 = 6,5 na terceira prova desse siste- 1ϩ 2ϩ 2ϩ 4 9 9 ma de avaliação para ser apro- vado, sabendo que a terceira A média aritmética ponderada de uma série de dados é determinada pela prova tem peso 2? Espera-se soma de todos os produtos de cada valor multiplicado pelo seu peso e dividido que os alunos elaborem uma pela soma dos pesos. equação para resolver essa si- tuação e concluam que a nota A média aritmética ponderada também é utilizada quando os dados estão representados mínima, nesse caso, é 9,5. em tabelas. Assim, os pesos são indicados pela frequência absoluta, que apresenta a quantidade de vezes em que o valor aparece. Podemos organizar as notas de Marcos da seguinte maneira: Notas de Marcos em Matemática Nota Frequência Nota absoluta (peso) x 4,8 6,1 2 frequência 4 9,6 24,4 7,7 1 7,7 8,4 2 16,8 Total 9 58,5 Fonte: Boletim de Marcos. M= ∑(Nota × Frequência absoluta) = 58,5 = 6,5 ∑Frequência absoluta 9 SAIBA QUE O símbolo ∑ significa somatório. D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 219 219 16/11/18 18:56 219

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Moda Saiba que A moda também é uma medida utilizada na análise de dados estatísticos. Ela indica o valor que mais se repete entre os dados. Veja os exemplos a seguir. Ao apresentar essa infor- mação aos alunos, verificar 1 Em um condomínio de casas, foi realizada uma pesquisa sobre o número de habitantes por se eles não trazem uma ideia residência. Observe os resultados: errada a respeito da moda, ao considerar que uma série de 1–1–1–2–2–2–2–3–3–3–3–3–3–4–4–5–5–5 dados não apresenta moda, registrar que a moda é igual O número que mais apareceu, ou seja, que teve a maior frequência, foi de 3 habitantes por a 0. residência. Assim, a moda dessa pesquisa é 3 habitantes. Pedir que os alunos deem 2. A tabela mostra uma pesquisa realizada com alunos do Ensino Médio de uma escola sobre exemplos de situações que o número de irmãos. Observe. podem apresentar mais de uma moda. Por exemplo, Número de irmãos dos alunos do Ensino Médio uma pesquisa que pergunta a quantidade de moradores Número de irmãos Frequência absoluta da residência. Quanto maior o 0 20 número de residências investi- 1 15 gadas, maiores são as chances 2 35 de ter modas diferentes. 3 10 80 Total Fonte: Dados fictícios. Para determinar a moda do número de irmãos dessa pesquisa, basta olhar o dado que apresenta maior frequência. O número 35 é maior número na frequência absoluta, indicando que 35 alunos têm 2 irmãos. Assim, a moda dessa pesquisa é 2 irmãos. A moda de uma série de dados é determinada pelo valor que apresenta a maior frequência. SAIBA QUE Uma série de dados pode ter mais de uma moda, quando diferentes valores possuem a mesma frequência; ou ainda, pode não ter moda, quando nenhum valor se repete. Mediana A mediana é a medida estatística que divide o conjunto de dados em duas partes com a mesma quantidade de termos, na qual a primeira parte apresenta valores menores ou iguais a ela e, na segunda parte, valores maiores ou iguais a ela. Veja o exemplo a seguir. A joalheria Gema Pura vende algumas pedras preciosas. Observe, na tabela a seguir, os preços unitários de venda das pedras preciosas dessa joalheria. 220 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 220 11/15/18 4:59 PM 220

Podemos organizar todos os valores em ordem crescente e buscar o preço unitário de venda ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS que separa os demais preços em duas partes iguais. É importante enfatizar que Veja como fizemos: é preciso ordenar os valores de uma série de dados para Tabela de preços obter a mediana. Caso os alu- nos não façam isso, podem Pedra Preço unitário (R$) termo central realizar conclusões erradas a respeito do conjunto de dados Ágata 80,00 2 10 30 40 80 190 700 analisado. (Os preços estão em reais.) Ametista 10,00 Propor aos alunos um exer- Nesse caso, dizemos que a quantidade de preços cício prático usando tecno- Berilo 30,00 unitários de venda das pedras da joalheria Gema Pura logia. Em um conjunto com que são menores ou iguais ao termo central é igual muitos valores, por exemplo, Diamante 190,00 à quantidade de preços unitários de venda que são 200 ocorrências coletadas, maiores ou iguais ao termo central. Esse termo central como é possível determinar Esmeralda 40,00 é a mediana desse conjunto de dados. a mediana deles usando uma planilha eletrônica? Construir, Rubi 700,00 com a turma, essa situação em uma planilha eletrônica e mos- Topázio 2,00 trar como é possível ordenar os valores do menor para o Fonte: Joalheria Gema Pura. maior e desse modo descobrir a mediana desejada. A mediana dos preços das pedras preciosas dessa joalheria é R$ 40,00, ou seja, metade das pedras preciosas tem preços menores ou iguais a R$ 40,00 e outra metade das pedras preciosas tem preços maiores ou iguais a R$ 40,00. Se uma série de dados possui uma quantidade ímpar de dados, a mediana é o termo central da série, organizada em ordem crescente (ou decrescente). O dono da joalheria Gema Pura adquiriu uma pedra de Jade. Veja como ficou a tabela de preços com a compra dessa pedra: Tabela de preços A joalheria passou a ter 8 pedras, um número par de itens (e não ímpar, como na tabela anterior, em que foram Pedra Preço unitário relacionados 7 preços). Nesse caso, a mediana é calculada por (R$) meio da média aritmética dos termos centrais, de modo que a Ágata 80,00 quantidade de valores que são menores ou iguais à mediana Ametista 10,00 seja igual à quantidade de valores que são maiores ou iguais Berilo 30,00 à mediana. Diamante 190,00 Esmeralda 40,00 Com a aquisição da nova pedra, os preços unitários de venda Jade 85,00 (em reais), em ordem crescente, foram organizados assim: Rubi 700,00 2 10 30 40 80 85 190 700 termos centrais Topázio 2,00 A mediana dos preços de venda passou a ser R$ 60,00 Fonte: Joalheria Gema Pura. ⎛ 40 ϩ 80 ⎞ . ⎝ 2 ⎠ 221 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 221 11/15/18 4:59 PM 221

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Amplitude Amplitude A amplitude de uma série de dados é uma medida que nos auxilia na análise das medidas que acabamos de estudar. Apresentar o conceito de amplitude e pedir aos alunos Os dados a seguir apresentam as notas de Lucas e de Mariana na disciplina Língua Portuguesa: que calculem a amplitude de situações apresentadas ante- Lucas: 3,5 – 4,0 – 6,5 – 6,5 – 9,0 – 9,5 Mariana: 5,5 – 6,0 – 6,5 – 6,5 – 7,0 – 7,5 riormente. No caso da tabela com os preços das pedras de Calculando a média, a moda e a mediana das notas de cada um, temos: uma joalheria, apresentada na página anterior, a amplitude Lucas é R$ 698,00. Questionar os alunos a respeito do que sig- Média = 3,5 + 4,0 + 6,5 + 6,5 + 9,0 + 9,5 = 39 = 6,5 nifica esse valor. Espera-se que 6 6 eles concluam que isso mostra uma diferença grande entre Mediana: 3,5 4,0 6,5 6,5 9,0 9,5 → 6,5 + 6,5 = 6,5 elementos de um mesmo con- 2 junto de dados, no caso, dife- termos centrais rença grande entre os valores Moda: 6,5 cobrados pelas pedras. Se a amplitude, nessa situação, Mariana fosse R$ 20,00, a diferença entre os valores das pedras se- Média = 5,5 + 6,0 + 6,5 + 6,5 + 7,0 + 7,5 = 39 = 6,5 ria bem menor. 6 6 Comentar que a amplitude Mediana: 5,5 6,0 6,5 6,5 7,0 7,5 → 6,5 + 6,5 = 6,5 nos ajuda a realizar conclusões 2 mais precisas a respeito dos termos centrais dados de um conjunto, junto Moda: 6,5 a média, a mediana e a moda. Observando esses cálculos, temos a impressão de que as duas séries de dados são muito parecidas, pois a média, a moda e a mediana das notas de Lucas são iguais às de Mariana. Porém, ao olhar os dados de forma mais cuidadosa, verificamos que os dois grupos são diferentes. Para analisar melhor essas notas, vamos considerar a diferença entre a maior e a menor nota de cada um. Lucas Mariana Maior nota: 9,5 Menor nota: 3,5 Maior nota: 7,5 Menor nota: 5,5 Diferença: 9,5 _ 3,5 = 6,0 Diferença: 7,5 _ 5,5 = 2,0 A amplitude de uma série de dados é a diferença entre o maior valor e o menor valor observados. Podemos dizer que, quanto menor a amplitude dos dados, mais próximos eles estão da média, da moda e da mediana. Como a amplitude das notas de Lucas é bem maior que a amplitude das notas de Mariana, podemos dizer que as notas de Lucas estão “mais espalhadas” que as de Mariana, ou seja, as notas de Mariana ficam mais próximas das medidas que encontramos. 222 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 222 11/15/18 4:59 PM 222

2. c) A altura média será 1,72 m e a mediana, 1,72 m. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. b) Esse conjunto de dados possui uma moda? Na atividade 4, os alunos c) EDmetecarPmsooisnsauefiirmdauaamtsivmeod,oidqaaunsaa:l1é2deeassnssoaasmesoé14driaea?nodse. devem ler o gráfico proposto 1. O quadro mostra as notas de quatro no enunciado e retirar dele alunos do 8o ano na disciplina de Ciências. dados. Não se esqueça de organizá-las as informações necessárias Observe: em ordem crescente ou decrescente. 13 para determinar a moda. Pelo gráfico, é possível identificar Bruno 6,5 7,5 7,0 7,5 6,0 d) Determine a amplitude desses dados. que 21 pessoas entrevistadas 19 – 9 = 10 tinham 9 anos, 15 pessoas ti- Camila 8,0 8,0 7,0 6,5 7,5 nham 12 anos, e 12 pessoas 4. (Enem/MEC) Uma pessoa, ao fazer uma tinham 18 anos. Como foram Marcela 5,0 5,5 4,5 5,5 6,0 pesquisa com alguns alunos de um curso, 48 pessoas entrevistadas e coletou as idades dos entrevistados e or- a idade com maior número Roberto 4,5 7,5 5,0 5,0 8,0 ganizou esses dados em um gráfico. de ocorrência foi 9, então a moda é 9. a) Determine a média de notas de cada um 1. Bruno teve média 6,9; Camila, dos alunos. 7,4; Marcela, 5,3 e Roberto, 6,0. Frequência de ocorrência EDITORIA DE ARTE b) Para serem aprovados nessa disciplina, os alunos precisam de média maior ou 21 15 igual a 6,0. Quais dos alunos acima 12 Bruno, Camila e Roberto foram aprovados? foram aprovados. 2. O quadro a seguir apresenta a altura dos jogadores de basquete do time do 9o ano do Colégio Y. 9 12 18 Idade (ano) Nome Artur Bernardo Fernando Altura (em m) 1,65 1,69 1,79 Qual a moda das idades, em anos, dos Guilherme Marcelo Otávio Wilson entrevistados? Alternativa a. 1,75 1,63 1,69 1,76 a) 9 c) 13 e) 21 a) Determine a altura média dos jogadores b) 12 d) 15 desse time. A altura média é 1,71 m. 5. No quadro seguinte, temos as notas b) Qual é a mediana das alturas dos joga- obtidas por dois alunos do 8o ano de dores desse time? Explique o significado certa escola, acompanhadas dos respec- desse valor. tivos pesos de cada uma das avaliações. c) Gustavo também vai fazer parte do time Avaliação Peso Notas do Notas do de basquete do 9o ano do Colégio Y. Se aluno 1 aluno 2 sua altura é 1,78 m, qual será a altura média e a mediana das alturas do time Prova 3 5,5 6,3 considerando o novo integrante? mensal 3. No curso de sapateado de Marina, são Trabalho 2 9,2 8,7 6 meninas e 4 meninos, de diferentes em grupo idades, que compõem a companhia de dança. Na tabela a seguir, registraram-se Lista de 1 10,0 9,8 as idades dos integrantes desse grupo: exercícios 12 17 15 14 12 19 9 11 14 10 Prova 4 5,4 4,9 trimestral a) Qual é a idade média dos participantes desse grupo de dança? 13,3 anos. Sabendo que a média para aprovação nessa escola é 6,0, verifique se os alunos 2. b) A mediana é 1,69 m. Metade dos jogadores tem 1 e 2 estão aprovados. altura menor ou igual a 1,69 m e a outra metade tem altura maior ou igual a 1,69 m. Aluno 1 = 6,65; Aluno 2 = 6,57. Os dois alunos estão aprovados. 223 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 223 11/16/18 20:18 223

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO REALIZANDO PESQUISAS ESTATÍSTICAS Realizando pesquisas 5 estatísticas Para realizar uma pesquisa, precisamos de um objetivo que nos possibilita iden- É importante que os alu- tificar a população a ser pesquisada, a necessidade de fazer uma amostragem e a nos compreendam que toda variável a ser estudada. Depois, é necessário um planejamento de como será feita a pesquisa estatística tem um coleta dos dados. objetivo definido e que con- clusões podem ser realizadas Veja a seguinte situação. a partir dos dados obtidos. Por isso, a pesquisa deve se- Uma escola pretende levar os alunos dos 8o e 9o anos para assistir a uma peça guir critérios definidos antes de teatro (objetivo). Para isso, a coordenadora resolveu fazer uma pesquisa sobre de ser executada. qual peça eles gostariam de assistir (variável). Ela entrevistou 60 alunos (amostra) dos 200 alunos matriculados nos 8o e 9o anos (população). Depois do objetivo defini- do, é preciso pensar nas vari- A coordenadora selecionou 3 peças para os alunos escolherem, que vamos chamar áveis a serem analisadas, no de Peça 1, Peça 2 e Peça 3. Como a população a ser pesquisada tem 120 meninas e tamanho da amostra, quais 80 meninos, ela selecionou uma amostra proporcional estratificada. Observe: perguntas serão elaboradas. Após a pesquisa, definir como População Amostra os dados serão apresentados: se apenas em tabelas ou, tam- bém, em gráficos. Com os da- dos organizados, calcular as medidas de tendência central, se possível e pertinente, e rea- lizar possíveis conclusões. Meninos 80 24 Meninas 120 36 Total 200 60 200 2ᎏ00 8ᎏ0 80 200 2ᎏ001ᎏ20 120 60 6ᎏ0 ᎏx x 60 6ᎏ0 ᎏx x e x = 6x20=0⋅ 160220000⋅ 10=20036= 36 x = 6x20=0⋅0862000⋅0=80024= 24 Depois de selecionada a amostra, ela elaborou um questionário para os alunos responderem: Nome: Idade: Sexo: M ( ) F ( ) Qual peça de teatro você gostaria de assistir? Escolha somente 1 opção. ( ) Peça 1 ( ) Peça 2 ( ) Peça 3 224 11/15/18 4:59 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 224 224

Ela organizou os dados coletados em uma tabela e um gráfico: ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Peça de teatro preferida Frequência Peça de teatro preferida Pense e responda absoluta Peça Frequência 30 28 Verificar se os alunos con- absoluta 17 cluem que não é possível cal- 25 cular a média dos dados da Peça 1 28 15 pesquisa apresentada, pois 20 eles foram obtidos a partir de Peça 2 15 uma variável qualitativa: os 15 alunos da situação precisavam Peça 3 17 EDITORIA DE ARTE escolher uma peça entre três 10 oferecidas. Nesse ponto, é es- Total 60 perado que os alunos treinem 5 o olhar crítico a respeito da Fonte: Alunos dos 8o e 9o anos. Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça Estatística e avaliem quando 0 uma ou outra medida de ten- dência central será utilizada. Após analisar os dados da pesquisa, a coordenadora tomou a decisão de levar os alunos ao teatro para assistirem à Peça 1. Atividade pense e responda Resoluções a partir da p. 289 A atividade proposta leva os alunos a terem uma pos- É possível calcular a média dos dados dessa pesquisa? tura ativa, pois eles terão que Explique sua resposta. Não, pois essa pesquisa trabalhou com definir as pesquisas que vão realizar a partir do tipo indi- uma variável qualitativa. cado de variável. Acompanhar o processo realizado por eles ATIVIDADE Resoluções a partir da p. 289 ao longo dessas pesquisas. A respeito do relatório final, é Responda às questões no caderno. importante que esteja bem escrito e consiga transmitir ao 1. Agora é sua vez! Junte-se a um colega e façam duas pesquisas seguindo as leitor, que não fez parte da orientações a seguir: pesquisa, o que pode ser con- a) Pesquisa com uma variável qualitativa nominal cluído a respeito dela. Escolham um objetivo, definam a população, a amostra e a variável. Façam a pesquisa e escrevam um relatório com os resultados, organizando-os em tabela, gráfico de colunas ou de barras e gráfico de setores. Não esqueçam de colocar a conclusão de sua pesquisa. b) Pesquisa com uma variável quantitativa discreta Escolham um objetivo, definam a população, a amostra e a variável. Façam a pesquisa e escrevam um relatório com os resultados, organizando-os em tabela, gráfico de colunas ou de barras e gráfico de setores. Determinem a média, a moda, a mediana e a amplitude dos dados da pesquisa. Não esqueçam de colocar a conclusão de sua pesquisa, relacionando essas medidas. 225 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 225 16/11/18 18:59 225

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Tecnologias Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos Ao longo da Unidade, os Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção alunos tiveram contato com de gráficos. diferentes situações que apre- sentaram dados possíveis de Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc analisar e calcular, manual- do LibreOffice. mente, as medidas de tendên- cia central relacionado a eles. Observe a tabela seguinte. Como dito anteriormente, na maioria das situações de pes- Número de irmãos dos alunos quisas estatísticas a quantida- do Ensino Médio de de dados pode ser enorme; portanto, é necessário fazer Número de Frequência uso de planilhas eletrônicas irmãos absoluta para auxiliar a organização e a análise dos dados. 0 20 Comentar que existem di- 1 15 ferentes tipos de planilha ele- trônica, mas que nessa seção 2 35 será desenvolvido o trabalho com a planilha Calc do Libre 3 10 Office. Portanto, antes de ini- ciar esse trabalho, dialogar Total 80 com os alunos a respeito do que eles conhecem dessa fer- Fonte: Dados fictícios. ramenta, uma vez que ela já foi utilizada anteriormente na Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o coleção. título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela. Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas. • Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico. • Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna” e clicar em Próximo. GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018 226 11/15/18 4:59 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 226 226

• No passo 2, Intervalo de dados, vamos selecionar Ao final da seção de tec- “Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo. nologia, verificar se os alunos ainda têm alguma dúvida a • No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo. respeito dos procedimentos • No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos. indicados nesta Unidade. Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar. Para resolverem a ativida- de proposta, eles precisam • Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto. fazer uma seleção de quais tabelas da Unidade vão utili- zar para construir gráficos no programa indicado. Durante o desenvolvimento da ativida- de, acompanhar se os alunos fazem escolhas de modo que construam diferentes gráficos. Propor aos alunos que criem o hábito de investigar o fun- cionamento de qualquer tec- nologia que utilizam. Como eles já estudaram a respeito desses gráficos e os procedi- mentos manuais para cons- truí-los, agora, podem utilizar as ferramentas de construção de gráficos para agilizar os procedimentos de análise de pesquisas estatísticas. Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela- tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”. GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018 1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal. 227 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 227 11/15/18 4:59 PM 227

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que Responda às questões no caderno. 3. As tabelas a seguir mostram o tempo de aprendeu escolaridade de candidatos a uma vaga 1. (UEMG) Uma secretária possui 6 camisas, de vendedor de uma empresa nos anos Na atividade 1, a secretária 2013 e 2014. vai usar um tipo de cada peça 4 saias e 3 pares de sapatos. O número de roupa; portanto, conside- rando que ela tem 6 camisas, de maneiras distintas com que a secretá- Tempo de escolaridade 4 saias e 3 pares de sapatos, dos candidatos em 2013 basta calcular o número de ria poderá se arrumar usando 1 camisa, maneiras distintas de se arru- mar, assim: 6 x 4 x 3 = 72. 1 saia e 1 par de sapatos corresponde a: Tempo de escolaridade Número de Alternativa c. Na atividade 2, primeiro, a) 13 (em anos) candidatos é preciso calcular o total de possibilidades do lançamento b) 126 48 dos dois dados de seis faces: 6 x 6 = 36. Depois, analisar c) 72 84 os palpites de cada pessoa: para José, a soma deve ser 7; d) 54 11 5 portanto, os casos possíveis são (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), 2. (Enem/MEC) José, Paulo e Antônio estão 15 3 (3,4), (4,3), ou seja, 6 casos; jogando dados não viciados, nos quais, para Paulo, a soma deve ser 4; em cada uma das seis faces, há um Fonte: Dados fictícios. portanto, são possíveis os ca- número de 1 a 6. Cada um deles jogará sos (1,3), (3,1), (2,2), ou seja, dois dados simultaneamente. José acre- Tempo de escolaridade dos 3 casos; para Antônio, a soma dita que, após jogar seus dados, os candidatos em 2014 deve ser 8; portanto, os casos números das faces voltadas para cima possíveis são (2,6), (6,2), (3,5), lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo Tempo de escolaridade Número de (5,3), (4,4), com total de 5 ca- acredita que sua soma será igual a 4 sos. Como a probabilidade é e Antônio acredita que sua soma será (em anos) candidatos calculada pela razão dos casos igual a 8. possíveis pelo total de possibi- 4 10 lidades, José tem maior proba- Com essa escolha, quem tem a maior bilidade de acertar o palpite. probabilidade de acertar sua respectiva 85 soma é Alternativa d. Na atividade 3, os alunos 11 10 precisam calcular a média a) Antônio, já que sua soma é a maior de ponderada a partir dos dados todas as escolhidas. 15 12 do tempo de escolaridade in- dicado nas duas tabelas. Veri- b) José e Antônio, já que há 6 possibilida- Fonte: Dados fictícios. ficar se eles calculam a média des tanto para escolha de José quanto colocando no denominador para a escolha de Antônio, e há apenas a) Em 2013, qual foi o valor modal do o número de candidatos. No 4 possibilidades para a escolha de Paulo. tempo de escolaridade dos candidatos à item a, vão obter 8,2; no item vaga de vendedor nessa empresa? Qual b, 10. Para o item c, basta c) José e Antônio, já que há 3 possibilida- foi esse valor em 2014? 4 anos; 15 anos. calcular a razão entre as duas des tanto para a escolha de José quanto médias, obtendo 0,82. para a escolha de Antônio, e há apenas b) Considere M1 a média, em anos, do 2 possibilidades para a escolha de Paulo. tempo de escolaridade entre os candi- Na atividade 4, verificar datos de 2013 e M2 a média, em anos, se os alunos não confundem d) José, já que há 6 possibilidades para formar do tempo de escolaridade entre os média com mediana. Como a sua soma, 5 possibilidades para formar a candidatos de 2014. Calcule: atividade pede a maior media- soma de Antônio e apenas 3 possibilidades na nas quatro notas obtidas, é para formar a soma de Paulo. • M1 8,2 preciso escrever as notas dos candidatos em ordem e calcu- e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. • M2 10 lar a média dos termos cen- trais. Depois, observar a me- • M1 0,82 diana obtida: K – 33; L – 33,5; M2 M – 35; N – 36; P – 31. c) Determine a mediana do tempo de 228 escolaridade dos candidatos à vaga de vendedor nessa empresa em 2013. Faça o mesmo considerando o ano de 2014. 8 anos; 11 anos. 228 ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 228 20,90 – 20,96. Como a quan- 11/15/18 4:59 PM Atividades tidade de dados na tabela é par, deve-se calcular a média A atividade 5 solicita que, aritmética dos termos centrais: 20,80 + 20,90 a partir dos dados da tabela, 2 = o aluno determine a mediana da série de dados. Para isso, é = 41,70 = 20,85. preciso organizar os dados em 2 ordem: 20,50 – 20,60 – 20,60 – 20,80 – 20,90 – 20,90 –

4. (Enem/MEC) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos. Um novo olhar Candidatos Português Matemática Direito Informática Este é o momento de os K 33 33 33 34 alunos refletirem a respeito L 32 39 33 34 dos assuntos explorados ao M 35 35 36 34 longo da Unidade. Propor que N 24 37 40 35 eles respondam às questões P 36 16 26 41 no caderno e, depois, fazer uma roda de conversa para Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana que compartilhem as reflexões realizadas. das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for maior. Espera-se que os alunos O candidato aprovado será Alternativa d. tenham compreendido como usar o princípio multiplicativo a) K b) L c) M d) N e) P no cálculo de probabilidades, calcular e analisar algumas 5. (Enem/MEC) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olim- medidas de tendência central, píada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: bem como utilizá-las no de- senvolvimento de uma pesqui- Raia 1 2 3 4 5 6 78 sa estatística. Tempo (segundo) 20,90 20,90 20,50 20,80 20,60 20,60 20,90 20,96 A mediana dos tempos apresentados no quadro é Alternativa d. e) 20,90. a) 20,70. b) 20,77. c) 20,80. d) 20,85. UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, estudamos o princípio multiplicativo da contagem, probabilidade e Estatística. Você conheceu um pouco os conceitos básicos de Estatística e como eles estão relacionados com a organização dos dados em tabelas e gráficos. Você percebeu como a Estatística é importante para a tomada de decisões? Com ela conseguimos analisar as características de séries de dados para entender seu comporta- mento e decidir a melhor forma de utilizar esses dados. Na seção Tecnologias, você pôde aprender como utilizar uma planilha eletrônica para construir gráficos de colunas e de setores. A abertura teve como tópico principal o retrabalho e como podemos, com o uso de técnicas, investigar e diagnosticar os motivos que levam ao retrabalho. Vamos retomar as aprendizagens adquiridas nesta Unidade e refletir sobre elas, resol- vendo as questões a seguir no caderno: • Como o princípio multiplicativo pode nos auxiliar a resolver problemas de probabilidade? • Que técnicas você aprendeu para facilitar a organização de dados? • Quais foram as medidas estatísticas que você aprendeu? • Qual é a diferença entre média, moda e mediana? • Você foi convidado na abertura desta Unidade a opinar sobre que tipo de gráfico seria melhor para representar os problemas que causam o retrabalho de deter- minada tarefa. Após concluir esta Unidade, sua resposta permanece a mesma? Por quê? Resposta pessoal. D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 229 229 11/17/18 13:17 229

COMPETÊNCIAS GERAIS 8 Área, volume e 2. Exercitar a curiosidade capacidade intelectual e recorrer à abor- ALEX SILVA SITUAÇÃO DOS dagem própria das ciências, RESERVATÓRIOS incluindo a investigação, a re- BOUNWARD/SHUTTERSTOCK.COM A necessidade de determinar as QUE ABASTECEM A flexão, a análise crítica, a ima- medidas de superfície, volume e capa- GRANDE SÃO PAULO ginação e a criatividade, para cidade é algo que faz parte da vida investigar causas, elaborar e das pesssoas há muito tempo. Capacidade total testar hipóteses, formular e dos reservatórios resolver problemas e criar so- Alguns povos da Antiguidade, luções (inclusive tecnológicas) como os babilônios, os chineses, os Em bilhões de litros com base nos conhecimentos egípcios, os hindus e os gregos, cal- (Dados de 21/10/2014) das diferentes áreas. culavam as áreas de algumas figuras geométricas com muita precisão em 1 164** ESPECÍFICAS seus cálculos. Por exemplo, no Egito Cantareira 1. Reconhecer que a Mate- antigo os agricultores das margens 521 do Rio Nilo pagavam ao faraó um Alto Tietê mática é uma ciência humana, imposto pelo uso da terra, que era 171 fruto das necessidades e preo- proporcional à área cultivada. Guarapiranga cupações de diferentes cultu- ras, em diferentes momentos Atualmente, costuma-se ficar 112 históricos, e é uma ciência atento à capacidade de água dos viva, que contribui para solu- reservatórios que abastecem a popu- Rio Grande cionar problemas científicos e lação. Esse monitoramento é feito tecnológicos e para alicerçar por empresas especializadas e nos 16,5 descobertas e construções, in- ajuda a compreender a situação dos clusive com impactos no mun- reservatórios. Alto Cotia do do trabalho. Responda no caderno. Todos os reservatórios tiveram queda em 13 3. Compreender as relações seus níveis em 2015 em comparação a 2014. entre conceitos e procedimen- • Observe os níveis dos reservatórios ao lado. Se compa- Rio Claro tos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álge- rarmos os níveis de 2015 com os de 2014, a que conclusão Capacidade máxima bra, Geometria, Estatística e TOTAL Probabilidade) e de outras áre- podemos chegar sobre os reservatórios apresentados? as do conhecimento, sentindo 1 998* segurança quanto à própria • Você sabe como está a situação atual dos reservató- capacidade de construir e apli- * Cálculo feito sobre a capacidade máxima car conhecimentos matemáti- rios de água da região onde você mora? acrescida do volume morto cos, desenvolvendo a autoesti- Resposta pessoal. Lembre aos alunos que diversas regiões do Brasil ma e a perseverança na busca sofrem problemas de desabastecimento de água e que medidas simples ** Inclui primeira cota do volume morto, de soluções. no dia a dia podem contribuir para evitar seu desperdício. de 182,5 bilhões de litros 230 5. Utilizar processos e ferra- Nível em 24/02/2014 mentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponí- Nível em 23/02/2015 veis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais Nível em 24/02/2015 e de outras áreas de conheci- mento, validando estratégias e HABILIDADES AMPLIANDOD2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 230 11/14/18 8:46 PM resultados. p. XXI e XXII 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobre- Grandezas e medidas Link tudo, questões de urgência • EF08MA19 social, com base em princípios • EF08MA20 Para saber mais a respeito éticos, democráticos, susten- • EF08MA21 do status dos reservatórios de táveis e solidários, valorizando água, consulte a página da a diversidade de opiniões de Agência Nacional de Águas. indivíduos e de grupos sociais, Disponível em: <http://livro. sem preconceitos de qualquer pro/7w7kui>. Acesso em 9 natureza. nov. 2018. 230

CCAAPPAACCIDIDAADDEEEEMMBBILILHHÕÕEESSDDEELLITITRROOSS ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS MaMnatenvteve SuSbuiubiu DeDsceesuceu 9933,5,5%% 9955,5,5%% Abertura de Unidade 83,843%,4%83,813%,1% Ao iniciar o trabalho com essa abertura, propor aos 6677,1,1%% 555,7,7%% alunos que observem o in- fográfico e elaborem indivi- 57,57%,5%57,547%,4% dualmente um resumo das informações obtidas. Verificar 3399,2,2%% 36,346%,4%36,376%,7% 35,345%,4%35,345%,4% se eles conseguem perceber o significado de cada item, 1177,1,1%% 18,138%,3%18,138%,3% principalmente a linha ponti- lhada que indica o nível do re- 10,160%,6%10,170%,7% servatório em 2014. Perguntar a eles se sabem o nome do re- CaCnatnarteairreaira AltAoltToieTtiêetê GuGauraprairpainragnaga AltAoltCooCtoiatia RioRiGorGanradnede RioRiColaCrloaro servatório que atende a região onde moram e qual é o nível Fonte: CANTAREIRA sobe a 10,7% CaCnatanrteairreaira CaCnatanrteairreai/ra/ atual desse reservatório. e recupera reserva retirada do 2o AltAoltToieTtiêetê AltAoltToieTtiêetê volume morto. G1. Disponível em: Outras discussões a res- <http://g1.globo.com/sao-paulo/ AltAoltCooCtioatia CaCnatanrteairreai/ra/ RioRiColaCrloa/ro/ peito da economia de água noticia/2015/02/cantareira-sobe- AltAoltCooCtioatia AltAoltToieTtiêetê podem ser debatidas durante 107-e-recupera-reserva-retirada- a aula. Algumas perguntas do-2-volume-morto.html>. GuGauraprairpainragnaga RioRiColaCrloaro que podem ser feitas: “Será Acesso em: 10 nov. 2018. que há a preocupação com a economia de água em nossa GuGauraprairpainragnag/a/ RioRiGorGanradnede casa?”; “Qual é o tempo mé- AltAoltCooCtioatia dio de banho de cada um de nós?”; “Nós nos lembramos SÃSOÃOPAPUALUOLO de fechar as torneiras para es- covar os dentes?”; “Evitamos D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 231 231 lavar carros e calçadas com água própria para o consu- 11/13/18 22:08 mo?” etc. Ao iniciar a leitura do texto que acompanha a imagem, conversar com os alunos a respeito dos conceitos de ca- pacidade e volume dos reser- vatórios de água. NO DIGITAL – 4˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvi- mento para as Unidades 8 e 9. • Desenvolver o projeto integrador sobre preconceito e discriminação. • Explorar as sequências didáti- cas do bimestre, que trabalham as habilidades EF08MA12, EF08MA13, EF08MA19, EF08MA20, EF08MA21, EF08MA26 e EF08MA27. • Acessar a proposta de acom- panhamento da aprendizagem. 231

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO ÁREA DE FIGURAS PLANAS Pense e responda 1 Reunir os alunos em grupos Problemas envolvendo área e distribuir quadrados de pa- de polígonos pel para cada grupo (ou con- feccionar com eles as peças), pense e responda Resoluções a partir da p. 289 para que possam concretizar a atividade. Caso decida cons- Responda à questão no caderno. MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES truir com os alunos, separar Para cobrir um terreno com gra- cartolina, tesoura e régua com mado, Marcos vai utilizar placas antecedência (ou solicitar que quadradas de grama com lados de os alunos tragam esse material 1 m. De quantas placas quadradas na data da realização da ativi- ele vai precisar para fazer um gra- dade). É importante que os mado retangular de 5 m por 3 m? pedaços quadrados de papel Ele vai precisar de 15 placas. mantenham a proporção das medidas indicadas no proble- ma. Por exemplo, os quadra- dos de papel podem ter lados de medida 10 cm. Acompanhe a situação. A prefeitura de uma cidade atendeu as solicitações dos moradores e vai construir uma área para as crianças brincarem na praça principal da cidade. Analisando a vista aérea da praça, a equipe responsável optou por utilizar uma região em forma de trapézio que não estava com gramado. Observe. 8m 5m MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES 12 m O arquiteto desenhou um esboço da área para crianças. Ele pretende fazer uma região onde será colocada areia, de formato triangular, ampliar um pouco o espaço total e montar um parquinho com piso emborrachado de formato retangular. Observe o esboço. gira-gira escorregador piso emborrachado EDITORIA DE ARTE tanque de areia balanço 232 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 232 11/14/18 10:20 232

A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto: ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 1 Qual a área do terreno que não está com gramado? 2 Qual a área da região onde será colocada areia? Nós 3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado? Organizar a classe para ler Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial, as informações do capítulo 2 antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado. do livro Horta em peque- nos espaços, publicado no 8 m 10 m site da Embrapa. Disponível em: <http://livro.pro/berwqu> 5m 5m 5m 5m EDITORIA DE ARTE (acesso em 9 nov. 2018). Nes- se capítulo do livro, os alunos 2m 8m 2m 2m 10 m vão aprender os princípios de 12 m como cultivar uma horta em pequenos espaços. Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio: Em seguida, organizar a Ai = (B + b) ? h = (12 + 8) ? 5 = 50 classe para discutir e levantar 2 2 os benefícios de uma horta caseira. Anotar na lousa as Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o sugestões dadas pelos alunos. As prováveis sugestões que espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo. os alunos vão apontar podem ser: levar a uma forma de co- At = b?h = 2?5 =5 e Ap = b ? h = 10 ? 5 = 50 mer mais saudável e de respei- 2 2 to com o meio ambiente, pois o cultivo dessas hortas elimina Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m2, a área da o uso de agrotóxicos; contato com a natureza, que pode ser região destinada ao tanque de areia é de 5 m2 e a área da região destinada ao parquinho com piso terapêutico e tranquilizador; a economia, por ser uma forma emborrachado é de 50 m2. mais barata de produzir o pró- prio alimento; a melhoria da A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se relação familiar, entre outras. uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia Depois, os alunos podem sugerir formas e ações especí- do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura. ficas para implementar hortas em suas casas ou de parentes, pense e responda Resoluções a partir da p. 289 condomínios ou na sua pró- pria escola. Para viabilizar essas Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada ações, é interessante que eles à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região escrevam um manual a respei- triangular de 2 m de base e 5 m de altura. Resposta pessoal. to da construção de uma horta em pequenos espaços. Essa Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência. atividade pode ser feita em pe- quenos grupos, para estimular NÓS a participação de todos e a troca de ideias. É interessante, Cultivar em locais pequenos sempre que possível, promover Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas ações em que o aluno seja o agente propagador do conhe- podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos. cimento que adquiriu. Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira Se considerar convenien- de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para te, convidar o professor de download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para Ciências para um trabalho cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las. interdisciplinar. • Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira? Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico. 233 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 233 11/14/18 8:47 PM 233

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A circunferência e o círculo A circunferência e o O comprimento de uma circunferência círculo Acompanhe a situação a seguir. A determinação do com- Suponha que um aro da rodinha de uma bicicleta possua o raio com comprimento igual a r. primento da circunferência é Consideremos que seja possível adaptar, perfeitamente, sobre esse aro, um barbante qualquer. apresentada nesta página. Ler Cortando esse barbante e esticando-o, obteremos o comprimento da circunferência desse aro. com os alunos e verificar se eles apresentam alguma dúvi- FOTOS: DOTTA2 da. Auxiliá-los nesse caso. Aro da rodinha de bicicleta. Comprimento C da circunferência do aro. Em seguida, a área do cír- culo é apresentada. Para fazer Se dividirmos o comprimento C de uma circunferência pelo comprimento 2r de seu diâmetro, a verificação, uma atividade encontraremos uma aproximação do número irracional p (isso ocorre sempre, qualquer que seja experimental é proposta no a circunferência). livro do aluno. Para isso, pro- videnciar com antecedência C = π h C = 2r ? π h C = 2πr o material necessário para a 2r atividade proposta, ou pedir aos alunos que tragam de Essa fórmula permite calcular o comprimento de qualquer circunferência, conhecida a casa. Eles podem desenvolver medida r de seu raio. a atividade em duplas sob sua orientação. Se juntarmos à circunferência todos os pontos de seu interior, obtemos um círculo. Observe: Ler o texto da experiência rr EDITORIA DE ARTE e acompanhar o desenvolvi- OO mento e os procedimentos utilizados pelos alunos. Circunferência. Círculo. Com base nas manipula- O círculo ocupa uma superfície, e sua medida é a área do círculo. ções, nos recortes e nas remon- tagens das partes recortadas, os alunos devem verificar ex- perimentalmente a relação do círculo com o retângulo e de- terminar sua área. Para finalizar esta aula ex- perimental para a verificação da área do círculo, solicitar às duplas que desenhem, em uma folha, dez circunferências de mesmo raio e tracem po- lígonos inscritos (aproximados) nessas circunferências com número de lados diferentes. O objetivo é que os alunos per- cebam que, quanto maior o número de lados do polígono inscrito, mais o seu perímetro se aproxima do comprimento da circunferência e sua área se aproxima da área do círculo. 234 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 234 11/13/18 22:08 234

Área de regiões circulares ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Para determinar a expressão para o cálculo da área do círculo, vamos utilizar a ideia de Área de regiões aproximação por áreas conhecidas. Observe. circulares Em uma cartolina desenhamos um círculo dividindo-o em 16 partes iguais. Depois recorta- Para motivar os alunos a mos, separando cada pedaço. buscar aspectos históricos e complementares a essa se- ILUSTRAÇÕES: ção, apresentar o vídeo: Roda EDITORIA DE ARTE do sonho. Disponível em: <http://livro.pro/h7qu6h>. Juntamos as partes recortadas, encaixando-as, conforme a figura a seguir: (acesso em: 9 nov. 2018). Esse recurso educacional produzi- B C SAIBA QUE do pela Unicamp-SP apresenta altura justificativas para a fórmula de Quanto maior a cálculo da área do círculo. O AE quantidade de partes em vídeo pode ser apresentado que dividimos o círculo, mais para apoiar uma discussão D próxima de um retângulo entre os alunos com a inten- fica a figura formada. ção de esclarecer dúvidas e sistematizar a justificativa da fórmula. pr A superfície do círculo foi reorganizada, e sua área se aproxima da área de uma figura que conhecemos: o retângulo. Assim, podemos calcular a área do círculo, multiplicando a medida da base pela medida da altura. Observando a imagem acima, percebemos que a medida da base é a metade da medida do comprimento da circunferência, e a medida da altura é equivalente à medida do raio da circunferência. Temos: A = b ? h = pr ? r = pr2 Usando a fórmula da área do círculo, vamos resolver a situação a seguir. 1 Uma folha de papelão tem a forma circular de raio 21 cm. Qual é, em cm , a área ocupada por essa folha? (Usar: p = 3,14) Área = pr² H Área = 3,14 ? (21)² H Área = 3,14 ? 441 H Área = 1 384,74 A área ocupada por essa folha é 1 384,74 cm². pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Voltando à questão da página 233 sobre a área do tanque de areia para as crianças, qual tanque ocupa uma área maior na praça: o tanque de areia com formato circular de 2 m de diâmetro, ou um tanque triangular de 2 m de base e 5 m de altura? O tanque triangular tem área de 5 m2, e o tanque circular tem área aproximada de 3,14 m2. Assim, o tanque trian- gular tem uma área maior para as crianças brincarem. At = b⋅h = 2⋅5 =5 Ac = pr2 1 3,14 ⋅ 12 1 3,12435 2 2 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 235 11/14/18 8:48 PM 235

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 5. Quero pintar as quatro paredes e o teto de uma sala com as dimensões da figura Nessas atividades, os alu- 1. Um piso quadrado de cerâmica tem a seguir. Sabendo que cada lata de tinta nos utilizarão o conhecimento 15 cm de lado. permite pintar 40 m2, quantas latas de desenvolvido nas atividades tinta terei de comprar? 4 latas de tinta. propostas na seção anterior a) Qual é a área desse piso? 225 cm2 para determinar áreas de cír- 5m culos e partes de círculos. b) Quantos pisos são necessários para pavi- 1,5 m Pedir aos alunos que resol- 2. mentar uma sala de 45 smã2odne2eá0cr0ee0sas?páisroiass. vam as atividades em duplas e, Quantas telhas francesas caso julgar necessário, corrigir algumas questões na lousa. para cobrir um telhado formado por duas partes retangulares, com as dimensões da figura a seguir, se para cada metro qua- ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE drado de telhado são usadas 20 telhas? 1m 1 600 telhas. 2m 10 m 4m 4m 3m 8m 6. O comprimento do raio de uma Os dados a seguir referem-se às ques- circunferência corresponde, em cen- tões de números 3 e 4. tímetro, a uma das raízes da equação (Saresp-SP) Na figura está representada a planta baixa de um escritório que terá x2 _16x_720 = 0. Qual é o comprimento seu piso totalmente revestido de carpete. dessa circunferência? (Use: p = 3,14) 4m 226,08 cm 7. A medida do raio de uma circunferência corresponde à medida da hipotenusa de 5m 1 m (porta) um triângulo retângulo isósceles, cujos 4m 2m lados congruentes medem 10 2 cm. Nessas condições, calcule o comprimento 4m dessa circunferência. (Use: p = 3,14) 4m 125,6 cm 8. Um menino brinca com um arco de 1 m de diâmetro. Que distância ele percorre 4m ao dar 100 voltas no arco? (Use: p = 3,14) 9. Um vazamento no tanque de um n3a14vimo 3. A quantidade de carpete necessária para executar o serviço será, no mínimo, igual a: provoca o aparecimento de uma mancha a) 34 m2 c) 38 m2 de óleo circular. O raio r da mancha, t b) 36 m2 d) 40 m2 minutos depois do início do vazamento, 4. Quantos metros de cordão Adlteernaactaivbaaa-. é dado, em metros, pela fórmula r ϭ t . 5 mento serão colocados à volta toda do a) Qual é, em metros, o raio da mancha escritório como rodapé? Alternativa c. após 4 minutos do início deomvamza2,mae0ná,rt4eoa?m Nesse momento, qual é, a) 30 c) 27 b) b) 28 d) 20 da mancha? (Use: p = 3,14) 0,5024 m² 236 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 236 11/16/18 2:46 PM 236

POR TODA PARTE Resoluções a partir da p. 289 Ou, se preferir, anotar na lousa a relação entre m2 e dm2, ou Áreas pelo Brasil seja, 1 m2 = 100 dm2 Responda às questões no caderno. No item a da atividade 2, 1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões: os alunos devem calcular a área de um trapézio isósceles. 1,4 m ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Talvez alguns alunos não se re- cordem da fórmula para o cál- 2m culo da área de um trapézio. Se julgar oportuno, escrever a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 cen- na lousa essa fórmula. É possí- tímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira. 1,9202 m² vel também que eles resolvam o problema usando apenas b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros triângulos e retângulos, resol- quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira? 0,4948 m² vendo o problema por compo- sição e decomposição. 2. Uma maneira muito prática de calcu- RR AP lar áreas aproximadas de regiões com Para complementar a ati- formas complexas é dividir essas regiões AM PA MA CE RN vidade, solicitar aos alunos por polígonos simples, como triângulos, AC RO MT PB que, em pequenos grupos, retângulos e até trapézios. Esse processo TO PI PE escolham dois estados da fe- é muito utilizado ainda nos dias de hoje. DF BA AL deração e, a partir do uso de Usando esse método, vamos calcular a polígonos simples, calculem área de alguns estados brasileiros, con- SE a área aproximada desses es- forme o esquema apresentado do mapa tados. Nesse momento, eles do Brasil, que traz os estados aproxima- GO precisarão retomar o conceito dos por polígonos. de escala. É uma atividade que MS MG entrelaça novos conhecimen- PR tos e conhecimentos estuda- SP ES dos anteriormente. RJ SC a) A região ocupada pelo estado de São RS Paulo foi aproximada por dois trapézios isósceles congruentes. Observe a figura, com as medidas em quilômetros, e calcule a área aproximada desse estado. 240000 km² 400 200 480 200 800 200 km 200 km b) Aproximando a região ocupada pelo es- tado de Sergipe por um triângulo retângulo isósceles, calcule essa área aproximada. 20 000 km² 237 ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 237 foco nas dimensões e carac- 11/14/18 8:51 PM terísticas oficiais da Bandeira Por toda parte Nacional Brasileira. Além disso, medida de superfície. Se julgar serão exploradas áreas aproxi- oportuno, retome o quadro de Nessa seção, os alunos apli- madas de estados brasileiros medidas na lousa. carão os conceitos de áreas representados por polígonos. estudados. Tais conhecimentos km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 serão empregados na resolu- Na atividade 1, os alunos ção de situações que envolvem precisarão relembrar a tabela dados reais brasileiros, com de conversão de unidades de 237

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Volume de sólidos 2 geométricos Volume de um sólido geométrico é a medida do espaço ocupado por ele. A O estudo do volume do unidade de volume padrão é o metro cúbico. cubo e do bloco retangular foi iniciado em anos anteriores e, Unidades de medida de volume neste Volume ele é retomado e ampliado. A ideia é a discus- Além do metro cúbico, existem outras unidades de medida padronizadas para são do volume desses sólidos expressar volumes. Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, geométricos em comparação com as respectivas abreviações: com o cilindro, por exemplo. Além disso, busca-se resolver Múltiplos do metro cúbico Unidade Submúltiplos do metro cúbico problemas mais complexos, fundamental que exijam um grau de abs- tração maior e que permitam Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro cúbico Decímetro Centímetro Milímetro relacionar este conteúdo a ou- cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico tros temas já estudados. km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ É importante que os alunos, nesse momento, consigam di- (1 000 m)³ (100 m)³ (10 m)³ (1 m)³ (0,1 m)³ (0,01 m)³ (0,001 m)³ ferenciar as medidas lineares (utilizadas para comprimen- 1 000 000 000 m³ 1 000 000 m³ 1 000 m³ 1 m³ 0,001 m³ 0,000001 m³ 0,000000001 m³ tos) das medidas de superfície (relacionadas ao cálculo de As unidades mais utilizadas para expressar volumes, além do metro cúbico, são áreas) e também das medidas o decímetro cúbico e o centímetro cúbico. de volume (relacionadas à ca- pacidade). Se julgar oportuno, Veja a seguir alguns exemplos de transformação de unidades. refazer na lousa uma tabela com as medidas. • Transformar 30 000 cm3 em decímetro cúbico. Caso seja possível, construir km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 um mural permanente com as unidades de medida de com- Como, da direita para a esquerda, cada unidade representa 1 da unidade primento, área e volume mais anterior, devemos dividir 30 000 cm3 por 1 000. 1000 usuais, seus múltiplos e sub- múltiplos. Isso facilita, ao lon- 30 000 cm3 = (30 000 : 1 000) dm3 = (30 000 x 0,001) dm3 = 30 dm3 go do tempo, a memorização tanto das unidades de medida 1 quanto de suas relações. 2 • Quantos centímetros cúbicos há em m³? ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Como, da esquerda para a direita, cada unidade representa 1 000 vezes a unidade seguinte, multiplicamos 1 m³ por 1000 x 1000 (1 000 000). 2 1 2 m³ = 0,5 m³ = (0,5 x 1 000 000) cm3 = 500 000 cm3 238 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 238 11/13/18 22:08 238

Cubo e bloco retangular Você deve se lembrar de que o cubo é um sólido cujas dimensões têm medidas iguais. As três dimensões do cubo são dadas pelas medidas de suas arestas. Observe: a a a O volume V de um cubo de aresta com medida a é dado por: V = a3 O volume de um cubo é igual à medida de sua aresta elevada ao cubo.ILUSTRAÇÕES: Veja a seguir a imagem de um bloco retangular, também chamado de paralelepípedo. NesseEDITORIA DE ARTE sólido, suas bases e faces laterais são retângulos: c b a O volume V de um bloco retangular de dimensões com medidas a, b e c é dado por: V=a?b?c Assim como no cubo, o volume de um bloco retangular é igual ao produto de suas três dimensões. Acompanhe a resolução de um exemplo. O volume de uma piscina com a forma de um bloco retangular é 120 m3. O comprimento da piscina é 8 m, e a largura é 5 m. Vamos calcular a MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES profundidade dessa piscina. V = a ? b ? c h 120 = 8 ? 5 ? c h c = 120 =3 40 A profundidade dessa piscina é 3 m. 239 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 239 11/13/18 22:08 239

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Cilindro Cilindro Sabemos que o cilindro circular reto é um sólido geométrico, portanto tem volume. Vamos lembrar de algumas características dos cilindros. Para o cálculo do volume do cilindro, retomar com os base alunos o cálculo do compri- mento da circunferência e o altura • As bases são dois círculos paralelos congruentes. cálculo da área do círculo. • A altura é a distância entre suas bases. • Superfície lateral curva. Se achar oportuno, con- versar com os alunos a respei- base to do Princípio de Cavalieri e apresentar o vídeo Princípio Para compreender o cálculo do volume do cilindro, vamos retomar o volume de um bloco ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE de Cavalieri – aula 17, do retangular. professor Eduardo Corrêa, com a demonstração desse O bloco retangular é um sólido geométrico que apresenta c princípio tão importante na duas bases retangulares paralelas congruentes e sua altura é a determinação de volume de sólidos geométricos. Disponível distância entre as bases. Na figura ao lado, as bases do bloco em: <http://livro.pro/o559je>. Acesso em: 9 nov. 2018. retangular são retângulos com dimensões a e b, e altura c. b a A área do retângulo é dada por a ⋅ b e a chamamos de área da base do bloco retangular. O volume do bloco retangular é dado por V = a ? b ? c , mas podemos substituir a expressão a ? b por área da base e c por altura. Observe: Vbloco retangular = a ? b ? c → Vbloco retangular = Abase ? h área da altura base Como no bloco retangular, podemos determinar o volume de outros sólidos geométricos retos, que apresentam duas bases paralelas congruentes e que a altura é a distância entre elas, por meio do produto da área da base pela altura. Assim, o volume do cilindro reto também é dado por: Vcilindro = Abase ? h A base do cilindro é um círculo e já vimos que sua área é A = pr2 ; então, temos: Vcilindro = Abase ? h → Vcilindro = pr2 ? h Considere o exemplo a seguir. 1 Calcule o volume de um cilindro reto, cujo raio da base é igual a 5 cm, e a altura é igual a 10 cm. Utilizando a expressão do volume do cilindro, temos: Vcilindro = πr2 ? h = 3,14 ? 52 ? 10 = 785 O volume do cilindro é 785 cm3. 240 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 240 11/14/18 8:52 PM 240

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Desafios 1. a) Área total: 24 cm²; b) Área total: 32 cm²; A atividade 9 solicita que o aluno analise as dimensões volume: 8 cm³. volume: 12 cm³. de cada uma das caixas, verifi- Responda às questões no caderno. a embalagem tem 10  cm de altura e cando em qual delas é possível inserir o objeto de 80 cm de 1. Para cada figura a seguir, calcule a área base de 20 cm por 10 cm. No processo de aresta. A escolha deve ser feita total e o volume. confecção do sorvete, uma mistura é co- de modo que sobre o menor locada na embalagem no estado líquido espaço livre em seu interior. a) b) e, quando levada ao congelador, tem Resolução do Desafio 2 cm 2 cm seu volume aumentado em 25%, ficando O objeto que se deseja co- com consistência cremosa. Inicialmente locar dentro dessa caixa tem 2 cm 2 cm é colocada na embalagem uma mistura volume igual a 512 000 cm3, sabor chocolate com volume de 1000 cm3 pois 803 = 512 000. Assim, 2 cm 3 cm e, após essa mistura ficar cremosa, será para resolver essa atividade devemos analisar as dimen- 2. Qual é a medida da aresta de um cubo adicionada uma mistura sabor morango, sões das opções de caixa e calcular o respectivo volume que tem 125 cm³ de volume? 5 cm de modo que, ao final do processo de para comparar com o volume do objeto. Então: 3. Calcule a área total de um cubo cujo congelamento, a embalagem fique com- • A caixa 2 não pode ser volume é igual a 64 m³. 96 m² pletamente preenchida com sorvete, sem utilizada pois uma das suas transbordar. O volume máximo, em cm3, dimensões é menor que a 4. Calcule o volume de um bloco retangu- da mistura sabor morango que deverá ser aresta do objeto. lar sabendo que suas arestas medem colocado na embalagem é: 2,5 cm ? 1,5 cm ? 2 cm. 7,5 cm³ Volume das outras caixas: a) 450 c) 600 e) 1000 • Caixa 1: 86 cm ? 86 cm ? ? 86 cm = 636 056 cm3 5. O bloco retangular da figura tem 45 cm³ b) 500 d) 750 Alternativa c. • Caixa 3: 85 cm ? 82 cm ? de volume. Determine a medida da altura ? 90 cm = 627 300 cm3 desse bloco retangular. 3 cm ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE DESAFIO • Caixa 4: 82 cm ? 95 cm ? ? 82 cm = 638 780 cm3 Agora, reúna-se a um colega para resol- • Caixa 5: 80 cm ? 95 cm ? x ver o desafio a seguir: ? 85 cm = 646 000 cm3 3 cm 9. (Enem/MEC) Um casal realiza sua Assim, a caixa que possui mudança de domicílio e necessita colocar o menor volume maior que 5 cm numa caixa de papelão um objeto cúbico, 512 000 cm3 é a Caixa 3. de 80 cm de aresta, que não pode ser 6. As medidas das arestas de um cubo desmontado. Eles têm à disposição cinco Portanto, alternativa c. medem x cm. Se dobrarmos as medidas caixas, com diferentes dimensões, con- das arestas, dobraremos o volume? forme descrito: Justifique sua resposta. Não, pois o volume ficará multiplicado por 8. Caixa 1: 86 cm ? 86 cm ? 86 cm 7. Para cada figura a seguir, determine o Caixa 2: 75 cm ? 82 cm ? 90 cm volume. Use p = 3,14. Caixa 3: 85 cm ? 82 cm ? 90 cm a) b) Caixa 4: 82 cm ? 95 cm ? 82 cm 5 cm 4 cm Caixa 5: 80 cm ? 95 cm ? 85 cm O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre 2 cm o menor espaço livre em seu interior. Volume: 62,8 cm³ 3 cm A caixa escolhida pelo casal deve ser a Volume: 28,26 cm³ de número 8. (Enem/MEC) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de para- a) 1. c) 3. e) 5. lelepípedo retangular reto. Internamente, b) 2. d) 4. Alternativa c. 241 ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 241 também a área total de cada final da primeira et1a1/p14a/1,8 o8:53vPoM- 241 sólido. Se julgar oportuno, re- lume na embalagem é igual a Atividades alizar a planificação, na lousa, 1 000 cm3 ? 1,25 = 1 250 cm3. tanto do cubo quanto do blo- Como a capacidade da caixa e As atividades desse bloco co retangular. A visualização de 10 cm ? 20 cm ? 10 cm = buscam consolidar o cálculo dos sólidos “desmontados” = 2 000 cm3, ficam faltando do volume de cubos, blocos contribui para o entendimento 750 cm3. Como a mistura de retangulares e cilindros. do cálculo da área. morango vai aumentar 25%, seu volume máximo deve ser Na atividade 1, além do Para resolver a atividade 8, 750 cm3 : 1,25 = 600 cm3. cálculo do volume, os alunos o aluno deve considerar que, ao são convidados a determinar Portanto, alternativa c.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO CAPACIDADE Unidades de medida de 3 capacidade A capacidade de certo recipiente corresponde à quantidade de líquido que cabe A relação entre as unida- dentro dele. A unidade de capacidade padrão é o litro. des de medida de capacidade e as unidades de medida de Unidades de medida de capacidade volume será feita na próxima etapa. Neste momento, é im- Além do litro, existem outras unidades de medida padronizadas para expressar portante que os alunos com- capacidades. preendam a relação entre litro e mililitro. Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, com as res- pectivas abreviações: Se julgar oportuno, pro- por a resolução dos exemplos apresentados, em duplas. Múltiplos do litro Unidade Submúltiplos do litro fundamental Quilolitro Hectolitro Decalitro Decilitro Centilitro Mililitro kL hL daL Litro dL cL mL 10 L L 1 000 L 100 L 1L 0,1 L 0,01 L 0,001 L A unidade mais utilizada para expressar capacidades, além do litro, é o mililitro. EDITORIA DE ARTE Veja a seguir um exemplo de transformação de unidades. • Expressar 35 L em mililitros. kL hL daL L dL cL mL 35 L = (35 x 10 x 10 x 10) mL = (35 x 1 000) mL = 35 000 mL Acompanhe a situação a seguir. 1 Cristina vai fazer uma festa e precisa comprar embalagens de suco de frutas de capacidade igual a 1 L. Ela sabe que, cada convidado bebe cerca de 3 copos de 200 mL. Quantas embalagens ela terá que comprar, sabendo que convidou 20 pessoas para a festa? Cada convidado deve tomar 600 mL (3 ? 200 mL = 600 mL). Serão 20 convidados, então 20 ? 600 = 12 000 mL. Como 1 L = 1 000 mL, temos que 12 000 mL = 12 L. Logo, Cristina precisará comprar 12 embalagens de suco. 242 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 242 11/13/18 22:08 242

Equivalência entre o decímetro cúbico ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS e o litro Pense e responda pense e responda Resoluções a partir da p. 289 O objetivo da atividade é Você se surpreenderia se alguém lhe dissesse que uma caixa mostrar aos alunos que 1 li- em forma de cubo com 1 dm de aresta tem capacidade de tro é a capacidade de um re- 1 litro? cipiente cúbico com 1 dm de Se, em um recipiente em forma de cubo de 1 dm de aresta, aresta. Se achar conveniente, for despejada a água de uma garrafa com exatamente 1 li- desafiar os alunos a construir a tro, veremos que nesse recipiente cabe exatamente 1 litro caixa descrita na atividade. So- de água. cializar as ideias e estratégias utilizadas. Agora, pense: SAIBA QUE Se em 1 dm³ cabe 1 litro de água, quantos litros cabem em AMPLIANDO um recipiente com 1 m³ de capacidade? 1 dm é o mesmo que 10 cm. Para responder a essa questão, imagine que esse recipiente Links tenha a forma de um cubo. Para que o volume desse cubo seja 1 L = 1 dm3 1 m3, as suas arestas devem medir 1 m. Podemos escrever: Para mais informações a respeito das unidades de me- 1 m3 = 1 m ? 1 m ? 1 m dida em uso no país e seu sur- gimento histórico, acessar os Sabemos que 1 m = 10 dm. Logo: 1 m3 = 10 dm ? 10 dm ? 10 dm Veja no material links a seguir: 1 m3 = 1 000 dm3 audiovisual o vídeo • POZEBON, A.; LOPES, A. R. sobre a relação entre L. V. Grandezas e medidas: Então: litro e decímetro cúbico. surgimento histórico e con- textualização curricular. In: VI Como 1 dm³ = 1 L, cabem 1 000 litros dentro de um recipiente com capacidade de 1 m³. CONGRESSO INTERNACIO- NAL DE ENSINO DE MATE- Vejamos algumas situações em que podemos aplicar essa relação. MÁTICA, 2013, Canoas. Dis- ponível em: <http://livro.pro/ 1 Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES jc8vmn>. Acesso em: 9 nov. o consumo do último mês foi 36 m3. Quantos litros de 2018. água foram consumidos? • INMETRO. Portaria no 590, de 2 de dezembro de 2013. 36 m3 = 36 000 dm3 Disponível em: <http://livro. pro/fuxvm8>. Acesso em: 9 Como 1 dm3 = 1 L, temos: 36 m3 = 36000 dm3 = 36000 L nov. 2018. Foram consumidos 36 000 litros de água. NO AUDIOVISUAL 2 Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de vacina, que devem ser colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com a quantidade de Um dos materiais audiovisuais vacina fabricada? disponíveis nesta coleção é um vídeo a respeito da relação Como 1 L = 1 dm3 = 10 cm x 10 cm x 10 cm = 1 000 cm3, temos: entre o litro e o decímetro cú- 1 400 L = 1 400 dm3 = (1 400 x 1 000) cm3 = 1 400 000 cm3 bico. Nesse vídeo, aborda-se (1 400 000 cm3) : (35 cm3) = 40 000 ampolas uma discussão a respeito das diferentes unidades de volume Serão obtidas 40 000 ampolas dessa vacina. e de capacidade, bem como um experimento que permite veri- 243 ficar a correspondência entre 1 decímetro cúbico e 1 litro. Além disso, apresenta-se uma reflexão a respeito do consumo consciente de água. D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 243 11/14/18 8:54 PM 243

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS TRATAMENTO DA INFORMAÇão Resoluções a partir da p. 289 Tratamento da Gráfico de linhas informação Quando precisamos representar uma série de dados com relação ao tempo, o gráfico mais Os gráficos apresentados adequado é o gráfico de linhas. nesta seção trazem informa- ções de três diferentes assun- No exemplo a seguir, temos representados os preços da gasolina e do diesel, ao longo dos tos que podem se transformar meses de abril e maio de 2018, nas refinarias. em tema de pesquisa, envol- vendo as áreas de Matemática, Em R$ Preço dos combustíveis nas refinarias Ciências e Geografia. Diesel Gasolina O primeiro gráfico mostra o 2,5 aumento dos valores dos com- bustíveis nas refinarias ao lon- 2 go dos meses de abril e maio de 2018. 1,5 Data O segundo gráfico mostra 12121121121692871123687593///////////////554454444545455///////////////222222222222222000000000000000111111111111111888888888888888 o decrescimento do desmata- mento da Amazônia, de forma EDITORIA DE ARTE sistemática, a partir de 2004, quando foi implementado Fonte: MOTA, C. V. 6 perguntas para entender a alta nos preços da gasolina e do diesel. Terra. pelo governo o Plano de Ação Disponível em: <https://www.terra.com.br/noticias/brasil/6-perguntas-para-entender-a-alta-nos-precos-da- para Prevenção e Controle do Desmatamento na Amazônia gasolina-e-do-diesel,ca91201b9d03f54efccbe616558e74e2p1y97sm0.html>. Acesso em: 22 set. 2018. Legal (PPCDAm). Mais infor- mações a respeito do plano ou Analisando o gráfico, percebemos que, de 7 de abril de 2018 a 22 de maio de 2015, o outras questões relacionadas valor dos combustíveis aumentou consideravelmente. O que poderia ter acontecido no Brasil, ou ao tema podem ser encon- em outros países, para que esse aumento fosse assim tão acentuado? Observe que apenas os tradas no site do Ministério dados do gráfico não nos permitem entender totalmente a realidade. Os dados, retirados de um do Meio Ambiente, disponível contexto, não significam muita coisa. em: <http://livro.pro/b5asjq> (acesso em: 9 nov. 2018). Observe outras situações em que aparece o gráfico de linhas. O último gráfico traz a 1. A partir de 2004, o governo federal instituiu o Plano de Ação para Prevenção e Controle questão da imigração para o do Desmatamento na Amazônia Legal (PPCDAm). A medida fomenta políticas públicas Brasil. Nos últimos anos, de- para manter a floresta em pé, por meio do monitoramento e de ações de fiscalização vido a diversas guerras e pro- e controle.  blemas econômicos graves, diversos países do mundo re- 244 ceberam, de formas distintas e em maior ou menor número, D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 244 11/14/18 8:57 PM imigrantes. Uma pesquisa a respeito dos deslocamentos e os motivos que levaram milha- res de pessoas a deixarem seus países de origem pode ser um assunto interessante para complementar a seção. Se julgar oportuno organi- zar uma aula no laboratório de informática e propor que os alunos construam os gráficos apresentados, usando uma planilha eletrônica. 244

2. Pico migratório em 2010: crise econômica internacional; mudanças na macroestrutura conjuntural do país nas áreas de infraestrutura, construção, tecnologia, inovação e serviços que tornaram atrativa a vinda de imigrantes estrangeiros; crescimento das indústrias de petróleo, gás, mineração e de alta tecnologia, coincidentemente setores que exigem uma No gráfico a seguir, temos a série histórica de 1988 a 2016, sobre o total de quilômetros quadrados desmatados na Amazônia, nesse período. O monitoramento da região ama- zônica é feito por satélites, desde 1988, segundo o Ministério do Meio Ambiente (MMA). Série histórica de monitoramento de desmatamento Desmatamento 29 059 27 772 (km2) 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 11 030 5 000 0 4 517 7 986 Ano 1988 1992 2004 19962005 19982006 20002007 20022008 20042009 20062010 20082011 2010 2012 20122013 20142014 2016 1990 1994 Fonte: BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Desmatamento na Amazônia Legal. Disponível em: <http://www.mma.gov.br/mma-em-numeros/desmatamento>. Acesso em: 22 set. 2018. A partir da criação do programa do governo, em 2004, é claramente perceptível a redução no desmatamento da Amazônia. Observe ainda que, com o parágrafo introdutório, que contextualiza o início do pro- grama de controle do desmatamento, a leitura do gráfico torna-se muito mais eficiente. Ainda observando o gráfico, responda às questões a seguir no caderno: • Em qual ano, a quantidade de quilômetros quadrados desmatados foi mínima? Em 2012. • Qual foi a porcentagem de redução, com relação a 2004? 84% 2. O gráfico a seguir mostra o número de imigrantes vindos para o Brasil de 2000 a 2014. Série histórica do número de imigrantes no Brasil – 2000 a 2014 Número de imigrantes 1 134 678 1 030 000 830 000 630 000 95 829 46 860 46 946 432 356 GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE 430 000 30 134 73 001 230 000 70 415 30 000 65 654 1999 2002 2000 2003 2001 Ano Fonte: UEBEL, R. R. G.; RÜCKERT, A. A. Aspectos gerais da dinâmica imigratória no Brasil no século XXI. Disponível em: <https://journals.openedition.org/confins/11905#tocto1n1>. Acesso em: 22 set. 2018. • Analise o gráfico e diga em qual ano ocorreu o primeiro pico migratório para o BoErmcaos2irl0r.e10r. • Faça uma pesquisa sobre imigração no Brasil e explique o que aconteceu para esses dois picos migratórios indicados no gráfico. qualificação profissional de excelência e mão de obra especializada existente no exterior. Pico migratório em 2014: cenário internacional e suas mudanças políticas e econômicas nos últimos anos; implantação de acordos de cooperação nas matérias de imigração e trabalho; atratividade econômica do país nas áreas de indústria, finanças e ensino. 245 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 245 11/14/18 8:58 PM 245

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que Responda às questões no caderno. 5. A divisão do número 0,5 por x tem aprendeu o mesmo resultado que a adição do 1. (Saresp-SP) Amélia deseja ladrilhar sua número 0,5 a x. Se x é um número real Nesta seção, exploram-se cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m positivo e considerando p = 3,14, qual é questões envolvendo os con- com ladrilhos quadrados de 30 cm de a área do círculo cujo raio mede x cm? teúdos desenvolvidos na Uni- lado. Qual é o número de ladrilhos dade. Propor aos alunos que necessários? Alternativa c. a) 0,685 cm² d) 0,875 cm² resolvam as questões desse bloco de atividades em duplas a) 49 c) 161 b) 0,785 cm² e) 0,578 cm² ou trios, discutindo cada ques- tão. Pedir aos alunos que re- b) 51 d) 483 c) 0,885 cm² Alternativa b. gistrem no caderno o procedi- mento utilizado em cada caso, 2. (Saresp-SP) Na figura E F 6. Observe esta figura: resgatando os conceitos traba- há dois quadrados. D G lhados na Unidade. Mais uma A área do quadrado C 2 vez, incentivá-los a procurar no maior é 25 m² e BG A B livro do aluno os conceitos em mede 2 m. Alternativa a. 2 que tiveram dificuldade. A área da região Orientar os alunos a destacar as informações importantes do pintada de azul é: enunciado e o que se pede. Se for necessário, eles devem re- a) 16 m² c) 9 m² 2 produzir os desenhos apresen- 22 tados ou elaborar outros que b) 21 m² d) 18 m² traduzam a situação descrita. 3. (Vunesp-SP) O menor país do mundo 2 Realizar um levantamento em extensão é o estado do Vaticano, das principais dificuldades e com uma área de 0,4 km². Se o territó- A área dessa figura, em centímetro qua- retomar os assuntos na lousa. rio do Vaticano tivesse a forma de um Para a correção, chamar alunos quadrado, então a medida de seus lados drado, é: (Use p = 3,14) de diferentes grupos para resol- estaria entre: Alternativa d. ver, na lousa, as questões que a) 11 d) 11,24 geraram mais dificuldades. a) 200 m e 201 m. d) 632 m e 633 m. b) 11,04 e) 12,14 c) 11,14 Alternativa c. b) 220 m e 221 m. e) 802 m e 803 m. c) 401 m e 402 m. 7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8  cm. Sabendo que BC é o diâmetro do círculo, 4. A, B, C e D são os vértices D 20 C qual é a área da região colorida de roxo? de uma região retangu- lar, conforme mostra a 12 A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE figura. Considere que A B as medidas indicadas são dadas em quilômetros. Se a densidade demográfica dessa BOC região é de 72 habitantes por km², qual é a população dessa região? Alternativa c. a) 17 100 habitantes. b) 17 200 habitantes. c) 17 280 habitantes. a) 63 cm² d) 63,75 cm² b) 63,25 cm² e) 64,25 cm² d) 17 300 habitantes. c) 63,50 cm² Alternativa b. e) 17 380 habitantes. 246 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 246 11/14/18 9:00 PM 246

8. (Saresp-SP) Um recipiente de plástico, I II ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS de forma cúbica, tem o volume de 950 mL 750 mL 1 331 cm3. Podemos dizer que nesse re- Um novo olhar cipiente cabe: Alternativa b. III IV V EDITORIA DE ARTE 550 mL 475 mL 325 mL Os questionamentos exis- a) menos que 1 litro de água. tentes no encerramento desta Unidade poderão permitir re- b) entre 1 litro e 1 litro e meio de água. flexões a respeito das apren- dizagens individuais, além de c) entre 1 litro e meio e 2 litros de água. uma breve retomada dos con- teúdos apresentados. d) mais que dois litros de água. É importante que os alunos 9. Uma empresa comprou 100 barris, sendo a) Apenas a xícara I. respondam individualmente a que cada barril contém 120 L de óleo. A b) As xícaras III e IV. cada uma das questões para quantidade de óleo deverá ser colocada c) As xícaras II e V. que, dessa forma, possam em recipientes que têm 750 mL de ca- d) As xícaras III e V. perceber o que aprenderam e pacidade cada um. Quantos recipientes e) As xícaras IV e V. as possíveis dúvidas que ainda serão necessários? 16 000 recipientes. tenham a respeito de determi- nado assunto abordado. 10. Um reservatório, cujo volume é 10 m3, Um ponto a ser ressaltado no estava totalmente cheio, quando dele 12. (Enem/MEC) A maior piscina do mundo, encerramento desta Unidade é registrada no livro Guiness, está locali- a interpretação de textos que foram retirados 2 200 L de água. Numa zada no Chile, em San Alfonso del Mar, envolvem valores numéricos e 1 cobrindo um terreno de 8 hectares de a utilização de conhecimentos segunda vez, foi retirado 2 da quan- área. Sabe-se que 1 hectare corresponde matemáticos para uma correta a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor, interpretação dos dados. tidade de água que restou. Quantos em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina? Questionar os alunos acerca litros ainda restaram nesse reservatório? da seguinte situação: “Quem 3 900 L não possui determinados co- 11. (OBMEP) Cada uma das 5 xícaras da figura nhecimentos matemáticos consegue realizar uma inter- está cheia só com café, só com leite ou só pretação de texto ou de gráfi- co da mesma forma que uma com suco. No total, a quantidade de café é a) 8 d) 8 000 pessoa que possui?”; “Será que haverá diferença entre es- o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas b) 80 e) 80 000 sas interpretações? Por quê?”; “Quais são os conhecimentos está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais c) 800 Alternativa e. matemáticos importantes nes- se tipo de interpretação?”. as xícaras que contêm leite? Alternativa e. O objetivo desses questiona- mentos é levar os alunos a UM NOVO OLHAR Resoluções a partir da p. 289 notarem que a Matemática é uma ferramenta indispensável Nesta Unidade, aprofundamos o estudo sobre a área de figuras geométricas planas. para o pleno exercício da cida- Estudamos também a área do círculo. Retomamos o estudo do volume de cubos e blocos dania, pois sem ela acabamos retangulares. Relembramos as características do cilindro e aprendemos como calcular por fazer uma interpretação seu volume. fragmentada das informações, o que nos impede de ter uma Retomamos também a ideia de capacidade e vimos a equivalência entre as unidades visão do todo e, portanto, de medida de volume e de capacidade. Na abertura dessa Unidade você foi convidado a uma análise mais completa da refletir sobre a capacidade dos reservatórios de água que abastecem a Grande São Paulo. situação. Agora, vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 8. Responda às No início da Unidade foram questões no caderno. propostos questionamentos relacionados à capacidade e Re••spQQosuutaaailpséeasassomdali.efedriednaçsaesetnutdreadvaosluqmuee você costuma usar no dia a dia? Cite exemplos. ao volume de reservatórios hí- e capacidade? O volume representa o espaço ocupado dricos, ao consumo de água e economia. Retome o questio- por um c•orApop,oennqtuearnetolaaçõcaepsacdidoadaesséuqnutaonttoraetsasedcoornpeosétacaUpanziddeadaremcaozemnacronnocseeiutoinsteerisotru. dados em namento inicial analisando a outras disciplinas. Uma possível resposta: Relacionar o assunto meio ambiente da abertura capacidade da piscina propos- com as aulas de Geografia e Ciências. ta na última questão da seção. 247 D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 247 11/14/18 9:03 PM 247

COMPETÊNCIAS GERAIS 9 Estudo de 1. Valorizar e utilizar os co- grandezas nhecimentos historicamente O uso de escala na Arquitetura construídos sobre o mundo Você já viu a planta baixa de uma residência ou físico, social, cultural e digital alguma maquete que represente uma construção ou um para entender e explicar a rea- conjunto de construções, como um bairro, por exemplo? lidade, continuar aprendendo Diante da impossibilidade de usar as medidas reais e colaborar para a construção em tais representações, profissionais que trabalham de uma sociedade justa, de- com Arquitetura, Engenharia Civil, Design, entre outros, mocrática e inclusiva. usam o conceito de escala. Com isso, podemos verificar a relação entre a 4. Utilizar diferentes lingua- medida do comprimento de uma parede da sala de aula gens – verbal (oral ou visual- e a medida do comprimento da representação corres- -motora, como Libras, e escri- pondente em uma planta baixa. ta), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conheci- Observe a imagem, converse com os colegas e faça no caderno o que se pede nos itens mentos das linguagens artís- a seguir. tica, matemática e científica, para se expressar e partilhar • sIdeenntatifuiqmuaecnaasaimemagecomnsotrquuçeãon.opRsleapsnpetorasmbtaaitipxeaoasesfmíivremrle:laaarçpãqroouàpeocrtaçesãamoeoeonsstrupemeorsaolánmpaiasgeqsnousbe.rteeoqdueesernehpordea- informações, experiências, • Você já viu uma maquete ou uma planta baixa? Junte-se a um colega e pesquise situ- ideias e sentimentos em di- ferentes contextos e produzir ações em que é comum o uso desses recursos. sentidos que levem ao enten- dimento mútuo. • Meça as paredes da sua sala de aula e faça o esboço de uma delas para representá-la. Use 1 cm, no desenho, para representar 1 metro de comprimento real. Nesse caso a ESPECÍFICAS escala utilizada é de 1 para 100, indicada por 1 : 100. Resposta pessoal. 3. Compreender as relações Resposta pessoal. Algumas situações que os alunos podem relatar: maquetes feitas para representar prédios entre conceitos e procedimen- que serão construídos, localizadas em stands de vendas, planta baixa de apartamentos à venda em panfletos de tos dos diferentes campos da propaganda, planta baixa de feiras e exposições com a distribuição dos stands de cada expositor. Matemática (Aritmética, Álge- 248 bra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áre- HABILIDADESD2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 248 11/14/18 15:42 as do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria p. XXI e XXII capacidade de construir e apli- car conhecimentos matemáti- Álgebra cos, desenvolvendo a autoesti- • EF08MA12 ma e a perseverança na busca • EF08MA13 de soluções. 5. Utilizar processos e ferra- mentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponí- veis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conheci- mento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-pro- blema em múltiplos contex- tos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar con- clusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráfi- cos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua ma- terna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 248

DAVID KASZA/SHUTTERSTOCK.COMORIENTAÇÕES DIDÁTICAS D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 249 Abertura de Unidade Analisar a imagem de abertura da Unidade com os alunos, trazendo questões a respeito dos temas relaciona- dos a ela. Por exemplo, escala, maquete, planta baixa, pro- porção são alguns assuntos que os alunos podem indicar. Discutir com a turma a res- peito das questões que apare- cem na abertura desta Unida- de. Ao solicitar que os alunos meçam as paredes da sala de aula, verificar como realizam essa medida. Caso algum de- les meça de modo errado, indicar os procedimentos ade- quados para concluírem as medições. Pedir que compar- tilhem o esboço feito com os outros colegas para verifica- rem diferenças e semelhanças. Comentar que na Arte é possível encontrar muitas es- culturas que usam a proporção em suas representações. Este é o caso das obras do artista australiano Ron Mueck que é conhecido por suas obras realistas se assemelharem ao ser humano em proporções diferentes das que estamos acostumados a ver na vida real. Acessar o site <http:// livro.pro/e8njer> para conhe- cer algumas obras e compar- tilhar com os alunos. 249 11/14/18 15:42 249

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO GRANDEZAS Razão e proporção 1 Nesse momento são reto- Razão e proporção mados os conceitos de razão e proporção para que, na se- Vimos que, sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão quência, sejam explorados, com mais profundidade, o entre a e b ou razão de a para b o quociente a ou a : b. reconhecimento de relações a b proporcionais e não propor- cionais entre grandezas. A razão b ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: Para complementar o razão de a para b ou a está para b ou a para b. exemplo envolvendo espor- te, propor a seguinte situa- Considere a situação a seguir. LEONARD ZHUKOVSKY/SHUTTERSTOCK.COM ção: no Campeonato Anual de Futebol de uma escola, a Em um jogo de basquete, determinado jogador equipe do 8o ano A acumulou fez 23 dos 92 pontos marcados pela sua equipe em 36 pontos dos 57 disputados. certa partida. A razão entre o número de pontos Qual foi o aproveitamento dessa equipe? feitos por esse jogador e o total de pontos da Pedir aos alunos que escre- partida é dada por: 23 . vam a razão correspondente à 92 essa situação, ou seja, a razão No exemplo dado, podemos afirmar que a cada que relaciona o total de pon- tos acumulados pelo total de 4 pontos feitos, 1 foi desse jogador. Assim, temos pontos disputados: a razão 1 . total de pontos acumulados 4 Kevin Durant, jogador da total de pontos disputados As razões são equivalentes; portanto, podemos seleção norte-americana de escrever a seguinte igualdade: basquete, nos Jogos Olímpicos Conversar com a turma a do Rio de Janeiro. 2016. respeito das maneiras de repre- sentar esta razão na forma per- 23 ϭ 1 centual. Neste caso, a maneira 92 4 mais interessante é pelo quo- ciente entre 36 e 57 que resul- A essa igualdade, damos o nome de proporção. ta em, aproximadamente, 0,63 ou 63%. Portanto, o aprovei- A proporção é uma igualdade entre duas razões. tamento dessa equipe foi de, aproximadamente, 63%. Segundo a propriedade fundamental das proporções, temos: a = c ⇔ axd =bxc b d Verificando a propriedade fundamental das proporções no exemplo anterior, temos: 23 = 1 ⇔ 23 x 4 = 92 x 1. 92 4 250 D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 250 11/15/18 20:15 250

Grandezas proporcionais ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas proporcionais. Grandezas proporcionais 1 No quadro a seguir, relacionamos a medida do lado de um quadrado e o respectivo perímetro. Explorar as situações apre- Medida do lado do quadrado (em metros) Perímetro do quadrado (em m) sentadas para que os alunos 1 4 identifiquem a presença da 2 8 proporcionalidade e da não 3 12 proporcionalidade. A situa- ção 1 relaciona a medida do Observe que, quanto maior a medida do lado do quadrado, maior o seu perímetro. E esse lado de um quadrado com o aumento é proporcional, pois, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, seu perímetro seu perímetro. A situação 2 também dobrará. Ao triplicarmos a medida do lado, o perímetro também triplicará. apresenta a relação entre a velocidade e o tempo de des- 2 Um automóvel e um ônibus farão uma viagem entre São Paulo (SP) e Valparaíso (SP), distantes locamento de veículos. A situ- 560 km. A velocidade média permitida para o automóvel é de 100 km/h. Já o ônibus precisa ação 3 envolve área e volume. transitar desenvolvendo uma velocidade média de 80 km/h. Sabendo que o automóvel leva Se julgar oportuno, pedir aos 5,6 h para percorrer essa distância, considerando sua velocidade constante, calcule quanto alunos que se reúnam em gru- tempo a mesma distância será percorrida pelo ônibus (também com velocidade constante). pos e analisem cada uma des- Construindo um quadro que relaciona as duas informações, temos: sas situações antes de fazer a leitura do livro do aluno. Automóvel Velocidade média (em km/h) Tempo gasto no percurso (em h) Ônibus 100 5,6 Solicitar que os alunos, em 80 7 grupo, pensem e anotem em seus cadernos, duas situações Observe que o produto entre a velocidade e o tempo gasto, em ambos os casos, é igual proporcionais e duas situações a 560. Conforme a velocidade média aumenta, o tempo gasto no percurso se reduz, não proporcionais. Depois, proporcionalmente. propor que socializem com a turma, para que possam 3 Para asfaltar certa região retangular, de 25 m por 60 m, usamos 2 340 L de betume. Qual apresentar suas ideias. Criar um mural de exemplos de si- volume de betume é necessário para asfaltarmos outra região retangular, de 80 m por 60 m? tuações de proporcionalidade e de situações nas quais as Para resolver essa situação, vamos construir um quadro, relacionando a área a ser asfaltada grandezas envolvidas não são proporcionais pode colaborar com o aprendizado da turma. e a quantidade de betume necessário. FOKUSGOOD/SHUTTERSTOCK.COM Área retangular a ser asfaltada Volume de betume (em m2) (em L) 25 x 60 = 1 500 m2 2 340 80 x 60 = 4 800 m2 x Observe que uma das dimensões do terreno se manteve. A outra dimensão aumentou 3,2 vezes (80 : 25 = 3,2). Assim, o volume de betume necessário também deverá aumentar em 3,2 vezes. Dessa maneira, 2 340 x 3,2 = 7 488. O volume necessário de betume será de 7 488 L. 251 D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 251 11/15/18 20:15 251

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Grandezas não proporcionais Grandezas não Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas, mas não de forma proporcional. proporcionais 1 Considere o lado de um quadrado, medido em centímetros (cm), e sua área, medida em O trabalho com grandezas centímetros quadrados (cm2). não proporcionais é bastante importante para que os alunos 1 cm2 4 cm2 9 cm2 percebam a não linearidade 1 cm 2 cm 3 cm destes casos. A situação 1 relaciona a medida do lado de Vamos organizar esses dados em um quadro. Área do quadrado (em cm2) um quadrado com a área dele. A situação 2 relaciona a me- Medida do lado do quadrado (em cm) 1 dida de temperatura em graus 1 4 Celsius com graus Fahrenheit. 2 9 Nos dois casos não há propor- 3 cionalidade entre as grande- zas comparadas. Percebemos que, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, sua área quadruplicará. Da mesma maneira, triplicando a medida do lado, a área ficará multiplicada por 9. Para ampliar a ideia de não proporcionalidade, propor aos Assim, podemos concluir que a medida do lado de um quadrado e de sua área não são alunos que tragam panfletos 1 4 9 promocionais que apresentem grandezas proporcionais. Observe: 1 2 3 . informações do tipo “Leve 3 e pague 2”. Analisar com a tur- 2 A escala de temperatura Fahrenheit é muito utilizada nos países de língua inglesa. Para con- ma a relação entre os preços e a verter uma temperatura, medida em graus Celsius (°C) para graus Fahrenheit (°F) é preciso quantidade de itens oferecidos. multiplicar a temperatura em °C por 1,8 e somar 32. Observe o quadro a seguir. Pense e responda Medida em grau Celsius (oC) Medida em grau Fahrenheit (oF) A comparação da altura 10 50 de uma pessoa relacionada à 20 68 idade dela é um exemplo ex- plícito de que as duas gran- Assim, 10 °C correspondem a 50 °F e 20 °C, a 68 °F. dezas não possuem relação de proporcionalidade. Após As duas escalas termométricas não são proporcionais, pois, ao dobrarmos a temperatura em responder à questão, fazer graus Celsius, isso não se repetirá na escala Fahrenheit. um levantamento de outras situações em que é explícito a não proporcionalidade. Por exemplo, em uma partida de futebol, o tempo de jogo e a quantidade de gols marcados. SYDA PRODUCTIONS/SHUTTERSTOCK.COM pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Um bebê nasceu com 3,5 kg e 50 cm; ao final do primeiro ano, ele está com 75 cm. Podemos afirmar que, aos 20 anos, esse bebê terá 1 500 cm, ou seja, 15 m? Explique seu raciocínio. Não, pois a idade de uma pessoa e sua altura não são grandezas proporcionais. 252 D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 252 11/15/18 20:40 252

Representação gráfica ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS As situações que apresentam grandezas proporcionais podem ser representadas por meio Representação gráfica de gráficos. A representação gráfica de Acompanhe as situações a seguir. situações de proporcionalida- de direta é uma reta, confor- 1 Considere um automóvel que, partindo de uma situação de repouso, começa a se deslocar me os exemplos mostrados, 6 metros a cada 5 segundos. Observe no quadro a seguir os dados desse deslocamento. mas nem toda reta representa uma relação de proporcionali- Tempo Deslocamento Deslocamento (em m) dade; a representação gráfica (em s) (em m) de situações envolvendo duas 20 grandezas inversamente pro- 0 0 15 porcionais é uma hipérbole, 10 assunto que será abordado 5 6 no Ensino Médio. Da mesma 5 maneira, gráficos de funções 10 12 quadráticas, que representam _5 0 grandezas não proporcionais 15 18 _5 (como a relação entre o lado de um quadrado e sua área) 5 10 15 20 25 Tempo também serão revistos mais (em s) adiante. Observe que, em todos os pontos, o deslo- Se julgar oportuno, cons- truir com os alunos o gráfico camento é igual a 1,2 vezes o tempo, pois que relaciona a temperatura em graus Celsius e a tempe- 6 = 12 = 18 = 1,2. ratura em graus Fahrenheit a 5 10 15 partir da relação: F = 32 + + 1,8 ? C, em que F represen- Considerando o deslocamento como y e o tempo, como x, matematicamente, temos: ta a temperatura em graus y = 1,2 ? x. Fahrenheit e C representa a temperatura em graus Celsius. Observe que os pontos estão alinhados, o que nos permite traçar uma semirreta, começando pela origem do sistema cartesiano. °F 2 Uma costureira está fazendo a tabela de preço dos vestidos que vai produzir. Ela sabe que o 86 preço de 1 metro de cetim custa R$ 17,90. Decidiu fazer um quadro com valores para saber o quanto vai gastar, dependendo da quantidade de cetim que precisará comprar, depois 68 representou em um gráfico. Observe. 50 Quantidade de cetim Valor gasto Valor gasto (em R$) (em m) (em R$) 32 50,00 (3; 53,70) 1 17,90 40,00 (2; 35,80) Quantidade de cetim (em m) 2 35,80 30,00 EDITORIA DE ARTE 3 53,70 Com a representação gráfica, ela consegue perceber 20,00 (1; 17,90) que, se precisar de 2,5 m de tecido, por exemplo, vai 10,00 123 gastar por volta de R$ 45,00. 0,00 0 Podemos dizer que o valor gasto depende da quanti- dade de metros. Assim, se chamarmos o valor gasto em reais de y e a quantidade de cetim em metros, de x, temos: y = 17,9 ? x. Com essa expressão, podemos calcular que para 2,5 metros de cetim essa costureira pagará R$ 44,75. D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 253 253 0 10 20 30 °C 11/15/18 20:15 Destacar aos alunos que esse gráfico é uma reta que, diferente dos outros casos, não passa pela origem do pla- no cartesiano. 253

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a Quantidade de acertadores Valor do prêmio (em R$) partir da p. 289 1 1 530 000,00 Atividades 2 765 000,00 5 306 000,00 As atividades propostas le- 6 255 000,00 vam os alunos a identificarem grandezas proporcionais e Responda às questões no caderno. a) Quanto cada acertador receberá, se o grandezas não proporcionais prêmio for dividido entre 5 ganhadores? e explora a representação grá- 1. Retome a relação entre as escalas termo- R$ 306 000,00. fica de grandezas diretamente métricas estudadas na Unidade. Vimos proporcionais. que as escalas Celsius e Fahrenheit não b) E se fossem 6 ganhadores? são proporcionais. A relação matemá- R$ 255 000,00 A atividade 3 apresenta tica entre elas é dada pela expressão: uma situação comum de en- °F ϭ 1,8 ϫ °C ϩ 32. c) Faça um quadro relacionando as quanti- contrar no dia a dia: promo- dades 1, 2, 5 e 6 de acertadores e o valor ção de um produto em quan- Assim, determine: do prêmio correspondente. tidades maiores. Espera-se que os alunos identifiquem a) 68 oF em oC. b) 25 oC em oF. d) Conforme o número de acertadores au- que, nesse caso, não se trata 20 oC 77 oF menta, o que acontece com o valor do de uma situação envolvendo 2. Classifique as grandezas apresentadas prêmio? Diminui proporcionalmente. grandezas proporcionais. nas situações a seguir em Proporcionais 6. Observe o gráfico a seguir: Na atividade 4, observar as estratégias desenvolvidas (P) ou em Não Proporcionais (NP). Preço a pagar pelos alunos para encontrar o (em R$) valor pago pelas 8 alcachofras. A medida do lado de um hexágono regular Um modo de resolver o pro- e seu perímetro. P ? blema é descobrir o valor uni- tário da alcachofra (R$ 3,90) e, A quantidade de cestas convertidas em 87,24 a partir disso, calcular o valor uma partida de basquetebol e o tempo 58,16 total (R$ 31,20) de jogo. NP Na atividade 7, verificar A temperatura e a hora em que foi medida 0 1 2 3 4 5 5,5 6 Quantidade EDITORIA DE ARTE se os alunos concluem que o ao longo de um dia. NP de kg de café preço a ser pago pela corrida de táxi e o número de quilô- A distância percorrida por um automóvel, Analisando as informações presentes no metros percorridos não são a uma velocidade constante, e o tempo gráfico, responda: grandezas proporcionais. Se do percurso. P julgar conveniente, solicitar a) Qual o preço de 2 kg de café? R$ 58,16 aos alunos que escrevam a re- A medida da aresta de um cubo e seu lação matemática entre essas volume, em litros. NP b) Qual o valor pago por 5,5 kg de café? grandezas: y = 5,12 + 2,49x, R$ 159,94 em que y indica o valor pago 3. Uma livraria decidiu fazer uma liquidação e x, a quantidade de quilôme- com alguns livros. 7. A tarifa de táxi é composta de um valor tros percorridos. fixo, chamado de bandeirada, adicionado Ao chegar lá, é possível ler o anúncio: “2 ao valor pago por quilômetro rodado. livros por R$ 19,00”; “5 livros por R$ 38,00”. Sabendo que o valor da bandeirada é de Os preços são proporcionais ao número de R$ 5,12 e o valor por quilômetro rodado livros comprados? Justifique sua resposta. é de R$ 2,49, responda às perguntas: Não, pois R$ 38,00 seriam o preço correspondente a 4 livros. 4. Maurício foi a uma quitanda e viu que a) O valor a ser pago em um táxi e a quan- três alcachofras custavam R$ 11,70. tidade de quilômetros rodados são duas Decidiu comprar 8. Quanto ele pagou grandezas proporcionais? Explique. no total? R$ 31,20 Não, pois o valor é sempre acrescido da bandeirada. 5. Um prêmio de loteria, no valor de b) Paola pegou um táxi em Recife às 10 h da R$ 1 530 000,00, será dividido igual- manhã. Fez um percurso de 12 quilômetros. mente pelo total de acertadores. Qual o valor pago por ela? R$ 35,00 254 D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 254 11/15/18 20:15 254