A-CONQUISTA-DA-MATEMATICA-MP-8_DIVULGACAO

Veja esta outra situação: ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3 Qual é o valor numérico da expressão (x + y) ? (x _ y) quando x = 1,1 e y = _0,8? Explorar a expressão algé- brica dada no exemplo 3, pe- (x + y) ? (x _ y) = dindo que os alunos calculem o valor numérico da expressão = [1,1 + (_0,8)] ? [1,1 _ (_0,8)] = substituímos as letras pelos números dados x2 _ y2, para x = 1,1 e y = = _0,8. = [1,1 _ 0,8] ? [1,1 + 0,8] = A ideia é que percebam que = [+0,3] ? [+1,9] = o resultado será o mesmo. = 0,57 valor numérico procurado Nós Uma consideração importante Incentivar os alunos a con- versar a respeito da questão Em algumas expressões algébricas fracionárias não é possível obter o valor numérico da e se possível pesquisar como funciona algum tipo de inves- expressão. Isso acontece quando os valores atribuídos às variáveis anulam o denominador da timento. Sugestões de sites a respeito do tema. Disponível expressão, e, como sabemos, não existe divisão por zero. em: <http://livro.pro/s7yp5v> e <http://livro.pro/9e3ctg>. Aces- Assim: a sos em: 6 nov. 2018. x • A expressão não tem valor numérico quando x = 0. • A expressão a + 2 não tem valor numérico quando a = 1. a _1 Na prática, determinamos o valor para o qual uma expressão fracionária não tem valor numérico igualando o denominador dessa expressão a zero e resolvendo a equação obtida. Vamos ver duas situações: x_3 2x _ 1 1 Para qual valor de x a expressão algébrica não tem valor numérico? 2x Ϫ 1 ϭ 0 h 2x ϭ 1 h x = 1 2 1 Dizemos que a expressão não tem valor numérico quando x = 2 . 2 Qual deve ser o valor de x, em função de y, para que a expressão algébrica x+y não tenha valor numérico? Igualando o denominador da expressão a zero, temos: x_y x_y=0hx=y Dizemos que a expressão algébrica dada não tem valor numérico quando x = y. NÓS Investimento Investimento é a aplicação de algum tipo de recurso, como o dinheiro, com a expectativa de receber no futuro um valor superior ao aplicado. Ao deixar dinheiro em um banco, essa instituição financeira paga ao aplicador juros, que são como um “prêmio”, sobre o valor investido. Os investimentos financeiros são formas interessantes de poupar ou assegurar dinheiro para o futuro. É necessário criar, no Brasil, uma cultura de investimento, pois boa parte das pessoas está mais habituada a lidar com empréstimos e financiamentos. • Você conhece algum tipo de investimento? Qual? Respostas pessoais. • Para que você acredita que seja importante investir? 105 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 105 11/13/18 18:14 105

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. c) a2 + ax , quando a = 8, x = 10 e O objetivo dessas questões m é levar os alunos a calcular o valor numérico de uma ex- 1. Calcule o valor numérico, na forma m = 9. 4 pressão algébrica quando se decimal, da expressão algébrica atribuem valores às variáveis, d) 3(x2 _ y2) _ 10(x + y) ? (x _ y), quando bem como utilizar os conhe- 1 cimentos de cálculo algébrico x _x+ x quando x = 4. _1,75 x = _2 e y = _2. zero para resolver problemas. 2. As fábricas de calçados utilizam a e) (a _ b)2 _ c2, quando a = 2 , b = 1 e Ao resolverem as questões f) c1x=y_+_x121.,_qu98ando x = 0,5 e 3 envolvendo números racionais 5p + 28 na forma fracionária os alunos fórmula matemática S = 4 para podem encontrar algumas dificuldades. Caso seja neces- determinar a numeração dos calçados, y = _8. sário, retomar as operações _0,25 de adição, subtração, multipli- na qual S é o número do sapato e p é cação e divisão com números x3 _ y3 racionais na forma fracionária. o comprimento do pé, em centímetros. g) x3 + y3 , quando x = 1 e y = _2. h) , quando x = 2 Enquanto fazem os exercí- Qual é o número do sapato de uma y+ 1 _ 65 cios propostos em sala de aula x 10 63 ou no momento em que for pessoa cujo pé tem 24 centímetros de x+ 1 corrigi-los (caso eles tenham y resolvido as atividades em comprimento? 37 e y = 5. 1 casa), orientá-los a identificar 2 o uso da expressão algébrica 3. Um modelo matemático mostra que no dia a dia, citando situações o número N de pessoas que compram 8. Considere a igualdade do cotidiano em que usamos determinado produto após t dias de vei- esse tipo de expressão. Eles culação publicitária é dado por N = 103 + A =p ? 1+ r n podem dizer, por exemplo, + 2 ? 10t. De acordo com esse modelo, 100 que utilizamos expressões al- quantas pessoas comprarão o produto . gébricas quando: após 5 dias de veiculação? 201 000 pessoas. • fazemos a relação para a Quando p = 104, r = 250 e n = 2, qual é compra do material escolar; T o valor de A? 122 500 • fazemos o planejamento + de gastos para determinado 4. Na igualdade VV = M 3 , temos que 9. Determine os valores das variáveis para passeio; que as expressões algébricas a seguir não • tentamos prever o consu- T = 43,2 e M = 1,5. Qual é o valor de V? mo de energia elétrica em um 9,6 representem números reais. mês. 5. Determine o valor de y na igualdade 6 x _5 2x x =_ 2 Na atividade 2, após terem y = x + x _ 3,2 , para x = 1,5. 2,3 a) x _4 x=4 c) + 5x 5 calculado o número do calça- 2 do correspondente ao pé de 24 cm, propor a cada aluno que 6. Sabe-se que p  = a+b+c e que a = 5, b) a+b a= 1 d) a _b b=1 use a fórmula dada na ativida- b = 13 e c = 10. 2 1 _ 3a 3 2 _ 2b de para determinar o número do próprio calçado. Essa ativi- Nessas condições: 10. Determine o valor de x, em função de y, dade pode contribuir para que os alunos atribuam significado a) Qual é o valor de p? 14 para o qual cada expressão algébrica a à ideia de valor numérico de uma expressão algébrica, já b) Qual é o valor numérico da expressão seguir não representa número real. que eles terão a oportunida- algébrica p ? (p _ a) ? (p _ b) ? (p _ c)? x x _y de de utilizar dados reais nos 504 a) x+y x = _y c) 2x + y cálculos. Além disso, como já devem saber a numeração dos 7. Determine o valor numérico de cada b) x + 2y x = 2y x =_ y próprios calçados, podem veri- uma das seguintes expressões algébricas: x _ 2y 2 ficar a fórmula. Discutir com os alunos a necessidade de apro- a) a2 _ 2a , quando a = 4. 4 11. Dividindo-se o número 34 em partes in- ximar os valores para números a versamente proporcionais aos números inteiros quando eles obtêm 1, 2 e 5, obtém-se os valores x, y e z, res- números na forma fracionária b) m2 _ 2mn + n2, quando m = _1 e pectivamente. Qual é o valor numérico para o número (S) do sapato. da expressão algébrica 5x _ 3yz? _20 n= 1 . 25 106 4 16 106 Uma fórmula bastanteD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 106 11/16/18 2:44 PM comum nos dias de hoje é a que calcula o Índice de Massa Corpórea (IMC). O IMC é dado pelo quociente entre a massa de uma pessoa (em kg) e a altura ao quadrado (em m). É possível encontrar diversas cal- culadoras de IMC na Internet.

CAPÍTULO MONÔMIO OU ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS TERMO ALGÉBRICO 4 Pense e responda pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Nas atividades propostas, explora-se a relação de concei- Responda às questões no caderno. tos geométricos, principalmen- te perímetros e áreas com o cál- 1. Esta figura é uma representação de um re- y culo algébrico. Procurar explo- tângulo, cujas medidas dos lados, expressas rar outras figuras conhecidas em unidades de comprimento, são x e y. pelos alunos, como quadrados, triângulos, losangos e outros a) Qual é a expressão algébrica que representa polígonos. A discussão a res- a área desse retângulo? xy peito dessas questões prepara os alunos para a compreensão b) Qual é a expressão algébrica que representa x dos conceitos que serão traba- o perímetro do retângulo da figura? 2x + 2y lhados nos capítulos seguintes dessa Unidade. Inicia-se com o c) Entre as duas expressões algébricas que você escreveu nos itens a e b estudo dos monômios (concei- existe uma diferença. Qual é essa diferença? Resposta pessoal. to e operações); em seguida, trata-se sobre polinômios (con- 2. Suponha um número real x. Como você representaria: ceito e operações); para depois a) o dobro desse número? 2x apresentar produtos notáveis e b) o quadrado do número acrescido do próprio número? x2 + x fatoração (com aplicações des- ses casos) e trabalhar com eles. Veja as situações a seguir. d d ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Ressaltar para os alunos que 1 A figura ao lado é uma representação de um triângulo equilátero. Seu lado os conceitos e algoritmos ma- mede d unidades de comprimento. temáticos (e, portanto, a Álge- A expressão algébrica que representa o perímetro desse triângulo é 3d. bra) são fundamentais para o desenvolvimento das tecno- logias e principalmente dos softwares que fazem os apa- relhos tecnológicos funcionar. 2 A caixa de presente lembra um bloco retangular. d OLHA UKHAL/SHUTTERSTOCK b ac As dimensões desse bloco retangular são: comprimento (a), altura (b) e largura (c). A expressão algébrica que representa o volume desse bloco retangular é abc. Essas situações mostram expressões algébricas representadas por uma multiplicação de números e variáveis ou por uma multiplicação de variáveis. 107 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 107 11/14/18 20:35 107

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3 Uma torneira gotejando desperdiça y litros de água em 1 hora. EDITORIA DE ARTE A expressão algébrica que representa a quantidade de água desperdiçada A leitura do item Investiga- ções relativas à Álgebra no por essa torneira gotejando por 4 horas é 4y. documento Orientações cur- Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou riculares e proposição de ex- pectativas de aprendizagem termos algébricos. para o Ensino Fundamental: ciclo II: Matemática, que traz Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica represen- informações e orientações a tada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de respeito do processo de ensino números e variáveis, em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical. e aprendizagem relativos à Ál- gebra, pode trazer informações Assim, são exemplos de monômios: 4x importantes e suscitar reflexões 3 relevantes para a organização • 3x • 7y • x2 • abc • e o planejamento do trabalho com Álgebra a ser desenvolvi- Não se do com os alunos. esqueçam de que todo número real é Um dos pontos a ser des- considerado um tacado desse documento é o que se refere às categorias de monômio. erros cometidos pelos alunos quando estudam Álgebra. WANDSON ROCHA Categorização de erros na Geralmente, um monômio é formado por duas partes: um número, chamado coeficiente álgebra do monômio, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis (considerando inclusive seus expoentes), chamada parte literal. Já os estudos de Cortés & Kavafian (1999) apresentam Observe os exemplos de monômios: uma classificação de erros e as constatações referentes à coeficiente coeficiente persistência deles, que ocor- rem no trabalho com a álge- • 3x • Ϫ10a3b • Ϫ18 coeficiente bra. O referido estudo levan- (não tem parte ta por meio de uma pesquisa parte literal parte literal literal) empírica, os erros cometidos por alunos franceses (no ní- Observações: vel correspondente à 7a e 8a séries no Brasil), quando da • Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, temos que: resolução de equações. Es- ses erros são classificados a) 1x = x; 1a4x3 = a4x3; 1mn2 = mn2 o coeficiente desses monômios é 1 em cinco categorias, cons- truídas a partir da utilização b) _1x = _x; _1a4x3 = _a4x3; _1mn2 = _mn2 o coeficiente desses monômios é _1 incorreta de determinadas propriedades matemáticas. • Quando o coeficiente de um monômio é 0, o monômio representa sempre o número real zero e é chamado monômio nulo. Exemplos: Os autores utilizam-se do quadro teórico Inva- • 0x = 0 • 0a4x3 = 0 • 0mn2 = 0 riantes Operacionais, de Gérard Vergnaud (1990), 108 para a elaboração, aplica- ção e análise da pesquisa. • tarefas envolvendo aD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 108 aluno, principalmente quan- para o Ensino Fundamental: ciclo II: 11/13/18 18:14 Matemática. Secretaria Municipal de Foram propostas aos alu- passagem dos termos algé- do ele se depara com uma Educação. São Paulo: SME/DOT, 2007. nos cinco tipos de tarefas, as bricos, de um membro pa- situação nova, como equa- quais, segundo os autores, ra o outro da equação (na ções com incógnitas nos p. 114. Disponível em: <www.cdcc.usp. são a origem dos erros na resolução de equações do dois membros ou quando as br/cda/PARAMETROS-CURRICULARES/ aprendizagem da álgebra: tipo ax + b = cx + d). equações envolvem produto Para os autores, a passa- de fatores. Portal-Secretaria-Municipal-De- • tarefas envolvendo trans- [...] Educacao-Sao-Paulo-Capital/ formações algébricas com gem por um erro durante a números/coeficientes nega- EF-CICLOII/OrientacpesCurriculares_ tivos; aprendizagem da resolução Fonte: SÃO PAULO. Orientações proposicao_expectativas_de_ • tarefas envolvendo cál- culo numérico com núme- de equações algébricas, é curriculares e proposição de aprendizagem_EnsFundII_mat.pdf>. ros negativos; Acesso em: 6 nov. 2018. • tarefas envolvendo fato- quase que necessária para o expectativas de aprendizagem ração e redução de termos semelhantes; • tarefas envolvendo o tratamento de produto de fatores; 108

ATIVIDADES Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 6. Para gastar 100 calorias, Caio deve correr 1. Mariana vende carrinhos em miniatura x minutos em um terreno plano ou fazer As questões propostas têm ginástica aeróbica por y minutos. Se como objetivo fixar a ideia de ao preço de x reais cada um. Qual o Caio quiser perder 800 calorias, qual é monômio e verificar o que os monômio que representa o preço de o monômio que representa o tempo, em alunos compreenderam, além 9 desses carrinhos? 9x minutos, que ele deve: de levantar possíveis dúvidas 2. Em uma rodovia, o preço de um dos pedá- para serem sanadas. gios é R$ 9,20. Se nesse pedágio passaram a) correr em um terreno plano? 8x x carros em determinado dia, qual é o Eles devem reconhecer um monômio que expressa a arrecadação, b) fazer ginástica aeróbica? 8y monômio, utilizá-lo para des- em reais nesse dia? 9,20x crever as situações e identifi- 7. Identifique quais das expressões algébri- car o coeficiente numérico e Posto de pedágio na rodovia Castello Branco cas a seguir são monômios. a parte literal desse monômio. em São Paulo, SP. 3. Um prédio possui x apartamentos por a) x2 Sim. g) x Não. Na atividade 7, se neces- andar. Se esse prédio tem 20 andares, y sário, lembrá-los de que geral- qual é o monômio que representa a b) _10 Sim. mente um monômio é forma- quantidade de apartamentos? 20x h) y3 Sim. do por duas partes: coeficiente 4. Na Viação Graviola, a viagem de Campina LÉO BURGOS/PULSAR IMAGENS c) x + 2y Não. (numérico) e parte literal, que Grande a João Pessoa custa R$ 22,50. 1 Não. compõem uma multiplicação Qual é o monômio que representa o d) _2,1bx2 Sim. i) xy (formando um termo), sem valor arrecadado com y passageiros que que estejam envolvidas adi- fazem esse trajeto? 22,50y e) 3a _ 2b Não. j) x Não. ções e subtrações. Ressaltar que existem monômios que f) 5 xy2 Sim. não têm parte literal (como no 8 caso do monômio apresentado no item b. Chamar a atenção 8. Identifique o coeficiente e a parte literal deles também para o fato de dos monômios a seguir. que, quando o coeficiente é 1 ou _1, ele não aparece ex- a) 7b3 7; b3. d) a5x3 1; a5x3. presso no monômio (é o caso, por exemplo, dos monômios b) _x2y _1; x2y. e) _6,2a4b2c apresentados nos itens b e d). c) 0,9c4 0,9; c4. _6,2; a4b2c. Pedir a eles que indiquem oral- f) 4 4 ; não tem. mente o coeficiente e a parte 5 5 literal de cada monômio que identificaram. 9. O volume de um cubo é dado pelo cubo da medida de sua aresta. Qual é É importante lembrá-los de o monômio que expressa o volume do que o número real zero tam- cubo da figura? 8a3 bém é um monômio chamado de monômio nulo. ANDERSON ALCANTARA/MOMENT/GETTY IMAGES EDITORIA DE ARTE a Lagoa do Parque Solon de Lucena em João Pessoa, PB. a 5. Qual é o monômio que representa o a produto de 7, a e b? 7ab 10. Considere a sequência numérica (x, 5x, 25x, ..., 15 625x). Quais são os monômios que estão faltando nessa sequência? 125x, 625x, 3 125x. 109 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 109 11/13/18 18:14 109

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Grau de um monômio Grau de um monômio O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das variáveis. Exemplos: O estudo de monômios serve como referência para • O monômio 6x2y5 é do 7o grau. (2 + 5 = 7) o estudo que vem logo a se- (ab = a1b1 h 1 + 1 = 2) guir, com os polinômios. A • O monômio Ϫ 1 ab é do 2o grau. determinação do grau de um 3 monômio assim como a iden- tificação de sua parte literal e • O monômio 5,1y6 é do 6o grau. de sua parte numérica contri- buem para a construção das • O monômio 10 é de grau zero. noções algébricas. O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Nesse caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. Exemplos: • O monômio 3x2y5 é do 2o grau em relação à variável x. • O monômio Ϫ 1 a3b é do 1o grau em relação à variável b. 2 Monômios semelhantes Acompanhe: • 10x2y e Ϫ 2 x2 y possuem a mesma parte literal: x2y. 3 • 2,5x3, 1 x3 e _4x3 possuem a mesma parte literal: x3. 2 Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, eles são denominados monômios semelhantes ou termos semelhantes. Assim, são exemplos de monômios ou termos semelhantes: • 10x2y e Ϫ 2 x2 y. 3 • _4a2b2 e 7a2b2. • 2,5x3; 1 x3 e _4x3. 2 Não são semelhantes, por exemplo, os monômios: • 6x2y e _4xy2. • 2x3; Ϫ 1 x2 e Ϫ 5 x. 2 4 110 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 110 11/13/18 18:14 110

Adição algébrica de monômios ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Acompanhe as situações a seguir. A x D ILUSRTAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Adição algébrica de 1 monômios 1 Qual é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura? E 2 5 Para resolver o problema, podemos representar: B F Um dos principais erros co- metidos pelos alunos está na • a área do retângulo 1 pelo monômio 5x; 3 redução de termos semelhan- C tes. Isso se agrava se os coefi- • a área do retângulo 2 pelo monômio 3x. cientes dos monômios forem x números racionais na forma Então, a área do retângulo ABCD, que é dada pela soma das áreas dos x fracionária. Fazer algumas retângulos 1 e 2, pode ser representada por 5x + 3x. Podemos, também, x abordagens na lousa, solici- considerar o retângulo ABCD, cujos lados medem (5 + 3) = 8 e x, e a tando que os alunos efetuem área será dada por 8x. diversos cálculos envolvendo Comparando os dois processos, temos: 5x + 3x = 8x ou, ainda, 5x + 3x = monômios. = (5 + 3)x = 8x. Assim, 8x é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura. 2 Esta figura ilustra a superfície lateral de uma escada, 4y com a indicação das medidas dos degraus. 2y Qual é a área dessa superfície? Para resolver o problema, podemos considerar que: 3 • a área da figura 1 é dada por x ? 6y ou 6xy; 2 • a área da figura 2 é dada por x ? 4y ou 4xy; 1 6y • a área da figura 3 é dada por x ? 2y ou 2xy. Então, a área da figura toda é dada por: 6xy + 4xy + 2xy = (6 + 4 + 2)xy = 12xy Assim, a área dessa superfície é dada por 12xy. Generalizando, podemos dizer que: Em uma expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão adicionando algebri- camente os coeficientes e mantendo a parte literal. Essa operação também pode ser chamada de redução de termos semelhantes. Observe os exemplos: • 5ax Ϫ 7ax ϭ Ϫ2ax • 2 ay2 Ϫ 7 ay2 ϭ Ϫ 1 ay2 • 9mn Ϫ 15mn ϩ 6mn ϭ 0mn ϭ 0 3 6 2 (9 Ϫ 15 ϩ 6) (5 Ϫ 7) ⎛ 2 Ϫ 7 ϭϪ 3 ϭϪ 1⎞ ⎜⎝ 3 6 6 2 ⎟⎠ 111 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 111 11/13/18 18:14 111

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. b) 20xy _ 17xy _ 5xy _2xy Algumas das questões apre- sentadas têm como objetivo 1. Entre os monômios a seguir, quais são os c) 2ab + 1,5ab _ 2,3ab 1,2ab levar os alunos a determinar o que apresentam grau 4? grau de monômios não nulos e 9x3y; _ 2 m2n2 d) _3,1x2y + 4,5x2y _ 2,7x2y _1,3x2y o grau de um monômio em re- 3 lação a uma de suas variáveis. e) 10bc _ 12bc + 7bc _ 3bc 2bc 2 Na atividade 4, pedir a eles 9x3y _1,6ac4 0,5ax2 _ 3 m2n2 f) 1,1ab3 _ 3,5ab3 _ 0,9ab3 _+1128,x82ay_2b03 ,5ab3 que registrem os seis monômios g) _ + apresentados, determinando o 1 x2y2 5 x2y2 4 x2y2 grau de cada um. Espera-se que 3 6 9 os alunos percebam que a or- 2. Qual é o grau do monômio _15a3x5y? dem, tanto crescente quanto de- 9o grau. 8. Qual é o monômio que devemos adicio- crescente, deve ser estabelecida 3. Qual é o valor que se deve colocar no nar a 7x3y3 para obter _2x3y3? _9x3y3 considerando-se os expoentes das partes literais dos monômios lugar do expoente x para que o monômio 9. Escreva o monômio que adicionado a apresentados. _2x2 resulta em: 7,5a2bxc5 seja do 10o grau? x = 3 É importante que eles per- cebam que o monômio 20 4. Observe os monômios: a) 5x2 b) _4x2 c) x2 d) 0 não tem parte literal e, como 7x2 _2x2 3x2 2x2 é não nulo, seu grau é zero. 7x3 _2x5 _2,5x 10. Fazendo a redução dos termos seme- Procurar explorar mais lhantes, escreva as expressões algébricas essa situação fazendo outros exemplos. 10x4 8x2 20 a seguir na forma mais simples. Portanto, para colocar es- a) Qual é o monômio de maior grau? _2x5 a) 7x _ (_2x + x) + (_3x + 5x) 10x _y2 ses monômios em ordem de- b) Escreva os monômios na ordem decres- b) 5y2 _ (_4y2 + 7y2) + (_y2 + 9y2 _ 11y2) crescente, os alunos podem primeiro organizar decrescen- cente, de acordo com o grau. c) 10ab _ [3ab _ (ab + 2ab _ 5ab) _ 8ab] temente no caderno os graus _2x5; 10x4; 7x3; 8x2; _2,5x; 20 13ab desses monômios, para depois d) 2xy + [_5xy + 2xy _ (xy + escrever os monômios de acor- 5. Os monômios 10anb2 e 20x7ym são do do com a ordem estabelecida. 8o grau. Qual é o valor numérico da ex- + 4xy _ 2xy) _ 8xy] _12xy pressão m + n? 7 Outras questões propostas 11. Observe a expressão algébrica a seguir. nesse bloco têm como objetivo 6. Observe os monômios: 20bc _ [_7bc _ (11bc _ 40bc _ 6bc) + 5bc] levar os alunos a identificar mo- nômios semelhantes e efetuar 5a2x _ 1 ax 0,7ax2 a) Escreva o monômio que pode representar a adição algébrica de dois ou 2 essa expressão. _13bc mais monômios semelhantes. b) Determine o monômio que se deve adi- Na atividade 7, propor que cionar ao monômio obtido no item a para eles se organizem em duplas se obter 5bc. 18bc para resolver as adições algébri- cas, trocar ideias com o colega e 10ax _0,5a2x 20a2x2 12. Obtenha a forma mais simples de escrita confrontar suas hipóteses a res- da expressão algébrica a seguir: peito da adição de monômios. Entre os monômios apresentados, iden- 3,4a2x2 _ (_1,6a2x2 + É importante que eles com- tifique aqueles que são semelhantes a: preendam o conceito e identi- 3 + 5,8a2x2 _ 3,7a2x2) _ (8,1a2x2 _ 1,9a2x2) fiquem monômios semelhan- a) 5ax2 0,7ax2 c) 4 a2x _0,5a2x. _3,3a2x2 tes, concluindo que esse fato 5a2x; 13. Considere a expressão algébrica possibilita a redução desses 0,6ay _ ay + 0,3ay + 0,5ay. monômios a um único termo. b) _1,2a2x2 20a2x2 d) 1_00ax,9; _ax21 ax. a) Escreva essa expressão na forma mais Quando os alunos se sen- 7. Efetue as adições algébricas dos monô- simples. 0,4ay tirem confiantes, mostrar que eles podem fazer o cálculo da mios a seguir. b) Qual o valor numérico dessa expressão soma algébrica dos coeficien- quando a = 1,4 e y = _0,9? _0,504 tes mentalmente, registrando, a) 7x2 + 2x2 _ 6x2 3x2 se houver necessidade, apenas os cálculos intermediários. 112 Dê atenção especial às ope- (naD2f-MoArTm-F2a-20d51e-V8f-rUa04ç-0ã96o-13o3-uLA-nG2a0.ifndodr-112 11/14/18 20:36 rações de monômios com coe- ma decimal), sanando dúvidas ficientes racionais não inteiros quanto às operações com nú- meros na forma de fração ou na forma decimal. Nas atividades 10, 11 e 12, discutir com os alunos a or- dem de eliminação de parên- teses e colchetes. 112

Multiplicação de monômios ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Pense e responda Veja o monômio que representa o volume de cada sólido: Essa seção tem como obje- tivo levar os alunos a perceber a ILUSTRAÇÕES: o processo da multiplicação aa EDITORIA DE ARTE entre monômios. Pedir a eles que expliquem oralmente o aa 2a 2a 2a a que foi feito para determinar o volume do sólido verde, do volume: a и a и a ϭ a3 volume: 2a и 2a и a ϭ 4a3 volume: 2a и a и a ϭ 2a3 laranja e do roxo. Verificar se eles descrevem a propriedade 1. No caderno, represente com um monômio o volume dos seguintes sólidos: de potências de mesma base. a) b) c) d) A atividade proposta tam- bém retoma a soma algébrica de monômios. 3a3 7a3 14a3 14a3 Inicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade: am ? an = am + n. Agora, por meio do cálculo de área e de volume vamos verificar como podemos efetuar a multiplicação entre monômios. 1 7x Área: (7x) и (3x) ϭ 7 и 3 и x и x ϭ 21x2 o monômio 3x 21 x2 que representa a área desse retângulo é 21x2 2 3y Volume: (6x) и (2x) и (3y) ϭ 6 и 2 и 3 и x и x и y ϭ 36x2y 2x 6x 36 x2 O monômio que representa o volume desse paralelepípedo retângulo é 36x2y Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os coeficientes entre si e multiplicamos as partes literais entre si. 113 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 113 11/14/18 20:43 113

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Veja outro exemplo: Atividades 3 A sequência (5xy, 10x3y2, 20x5y3, ..., A) tem 6 termos. Descubra o padrão dessa sequência e escreva o 6o termo. As questões propostas têm Vamos analisar o 1o e o 2o termos da sequência: como objetivo levar os alunos a efetuar a multiplicação de mo- ?2 nômios utilizando as proprie- dades da multiplicação no con- 5xy 10x3y2 junto dos números reais e as propriedades da potenciação. ? x2 ?y Na atividade 4, que pode ser realizada em duplas, os Observamos que o 2o termo é o produto do monômio 5xy (1o termo) pelo monômio 2x2y. alunos devem descobrir o pa- Analisando o 2o e o 3o termos, temos que o 3o termo é o produto do monômio 10x3y2 (2o termo) drão de montagem, ou seja, que pelo monômio 2x2y. Assim, essa é uma sequência recursiva. cada monômio da sequência, a Vamos representar a geração de uma sequência desse tipo em um fluxograma: partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por x2y, e Início Fim do processo Não achar o 6o termo (x11y6). Escolher o primeiro termo. Multiplicar o termo Deseja Apesar de o tema potencia- anterior pelo padrão e obter determinar o ção de monômios vir a seguir, próximo termo? se julgar conveniente, o estudo o novo termo. desse tema pode ser antecipa- do, associando-o à multiplica- Sim ção de monômios e retomando as propriedades da potencia- ATIVIDADES Resoluções a ção com números reais. partir da p. 289 Pode-se, então, propor aos Responda às questões no caderno. EDITORIA DE ARTE alunos que, em duplas, descu- bram quais seriam o 10o e o 1. Efetue as seguintes multiplicações: Escreva o monômio que representa a área: 20o termos dessa sequência, a) a4 и a6 a10 caso ela continuasse. Após a b) (1,5x2y) и (Ϫ0,3xy2) _0,45x3y3 1 resolução, pedir a cada dupla c) (Ϫ2,6abc) и (Ϫ1,2ab) 3,12a2b2c 2 que apresente o processo que d) (Ϫac) и (Ϫa4bc2) a5bc3 desenvolveu para encontrar e) (Ϫ0,1y3) и (ϩ0,2y4) _0,02y7 esses termos. 2. Calcule o resultado das multiplicações: a) de cada ladrilho. x2 ou 0,5x2 No caso do 10o termo (x19y10), muitas duplas farão o a) (5a4bc3) и (Ϫb2c) и (ϩ4a2c) _20a6b3c5 b) ocupada pelos ladrilhos amarelos. 6x2 cálculo da mesma maneira que fizeram para o 6o termo, ou b) (4,5y2) и (Ϫ0,3y) и (Ϫy4) 1,35y7 c) ocupada pelos ladrilhos azuis. 6x2 seja, multiplicando cada ter- mo por x2y e determinando o c) (0,1xy) и (100xy2) и (0,01x3) 0,1x5y3 d) total da figura. 12x2 seguinte. d) (Ϫ12mnp) и ⎝⎛⎜Ϫ 2 m2n⎞⎠⎟ и (5np) 40m3n3p2 4. A sequência (xy, x3y2, x5y3, ..., A) tem 6 Mas para o 20o termo (x39y20), 3 termos. Descubra o padrão de montagem esse é um processo demorado. dessa sequência e escreva o monômio Incentivá-los a buscar outros 3. Cada ladrilho retangular da figura a representado por A. A = x11y6. procedimentos para resolver a seguir tem x unidades de comprimento questão. por 0,5x unidades de largura. Discutir processos, como a 114 observação do comportamen- to dos termos da sequência: se D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 114 11/13/18 18:14 no 1o termo tem-se y1, no 2o termo, y2, no 3o termo, y3, o 20o termo será y20. 114

Divisão de monômios ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade: am : an = am _ n. Divisão de monômios Agora, consideremos alguns exemplos para verificar como podemos realizar a divisão entre O estudo da divisão entre dois monômios. monômios retoma o estudo realizado anteriormente, en- 1 Calcular 12y5 : 4y3. volvendo potências de mesma base e as operações de mul- 12y5 : 4y3 = 12y5 = 12 ? y5 = 3y2 tiplicação, divisão e poten- 4y3 4 y3 ciação. Se sentir necessidade, fazer um pequeno registro na 3 y5 Ϫ 3 lousa, resgatando esses con- ceitos e trazendo exemplos envolvendo expressões literais. 2 Calcular (20a4b2) Ϻ (Ϫ5ab). (20a4b2) Ϻ (Ϫ5ab) ϭ 20a4b2 ϭ 20 и a4 и b2 ϭ Ϫ 4a3b Ϫ5ab Ϫ5 a b Ϫ4 a4 Ϫ 1 b2 Ϫ 1 3 Calcular (Ϫ2a4xy) Ϻ (Ϫ0,5a2x). (Ϫ2a4xy) Ϻ (Ϫ 0,5a2x) ϭ Ϫ2 и a4 и x иy ϭ ϩ4a2y Ϫ0,5 a2 x ϩ4 a4 Ϫ 2 1 Para dividir um monômio por outro, dividimos os coeficientes entre si e as partes literais entre si. Observe, agora, o resultado da seguinte divisão: (15x3y2) Ϻ (5x5y5) ϭ 15x3y 2 ϭ 15 и x3 и y2 ϭ 3 5x5y5 5 x5 y5 x 2y 3 3 x3 Ϫ 5 y2 Ϫ 5 Nem sempre a divisão de um monômio por outro vai resultar em um monômio, como vimos antes. No entanto, ao longo dos nossos estudos veremos apenas a divisão de monômios que tenha como resultado um monômio. 115 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 115 11/13/18 18:14 115

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Potenciação de monômios Atividades Considere as situações a seguir. 1 Qual é o quadrado do monômio _10a3? As questões propostas têm como objetivo levar os alunos (Ϫ10a3)2 ϭ (Ϫ10a3) и (Ϫ10a3) ϭ (Ϫ10) и (Ϫ10) и a3 и a3 ϭ 100a6 a efetuar a divisão entre dois monômios aplicando, para ϩ100 a3 ϩ 3 isso, as propriedades da divi- são de números reais e as pro- 2 Qual é a 5a potência do monômio 2x2? priedades da potenciação. (2x2)5 ϭ (2x2) и (2x2) и (2x2) и (2x2) и (2x2) ϭ 2 и 2 и 2 и 2 и 2 и x2 и x2 и x2 и x2 и x2 ϭ 32x10 Em algumas atividades tra- 32 x2 ϩ 2 ϩ 2 ϩ 2 ϩ 2 balha-se a divisão de monô- mios combinada com a adição Para tornar mais simples esses cálculos, podemos usar as propriedades das potências: e a multiplicação, já vista ante- riormente. (am)n = am ? n (a ? b)n = an ? bn Na atividade 1, os alunos Observe, nos exemplos, como o cálculo se torna mais simples: terão a oportunidade de cal- cular alguns quocientes, o que • (Ϫ10a3)2 ϭ (Ϫ10)2 и (a3)2 ϭ ϩ100a6 • (2x2)5 ϭ (2)5 и (x2)5 ϭ 32x10 lhes permitirá verificar se com- preenderam o processo e expe- ATIVIDADES Resoluções a rimentar formas diferentes de partir da p. 289 organizar e realizar os cálculos, podendo, assim, encontrar o Responda às questões no caderno. ela adicionou o monômio +7x2y e obteve caminho que consideram mais 1. Calcule o quociente dos monômios: M. Qual é o monômio M? M = +2x2y rápido e prático para a divisão de monômios. a) (_32abc) : (+8ac) _4b 5. Se você dividir a expressão _27a4b2 + b) (+40x7y2) : (_10x4y2) _4x3 + 7a4b2 pela expressão _10ab + 6ab, qual Enfatizar a seguinte estra- c) (_100a3) : (_25a3) +4 monômio obterá? +5a3b tégia de divisão: d) (+55a4bc2) : (_11a2bc) _5a2c • Dividir os coeficientes en- 6. Edu efetuou a divisão _10x3y por _2xy tre si. 2. Efetue as seguintes divisões: e obteve como resposta 5x3. A resposta • Dividir as partes literais en- de Edu está correta? tre si, relembrando a seguinte a) ⎛⎝ϩ 2 a4x3⎞⎠ Ϻ ⎛⎝ϩ 4 ax 2⎞ 1 a3x Não, pois a resposta correta é 5x2. propriedade da potenciação 7 7 ⎠ 2 com números: para dividir po- 7. Se você dividir o cubo da soma (_7y + tências de mesma base dife- b) ⎛⎝Ϫ 1 a2n7 ⎞ Ϻ ⎝⎛ϩ 1 an6⎞⎠ _4an + 10y + 2y) pela soma (_10y2 _ 15y2), rente de zero, basta manter a 2 ⎠ 8 que monômio encontrará? _5y base e subtrair os expoentes. 3. Multiplique o monômio _40ax pelo 8. Efetue a divisão de ⎝⎛Ϫ 1 a2c5⎠⎞4 por Caso sinta necessidade, monômio _0,5ax2. A seguir, divida o 2 apresentar na lousa a resolu- resultado pelo monômio _10ax. Qual é ⎛⎝Ϫ 1 ⎞2 ção de alguns exemplos: o monômio que você vai obter? _2ax2 4 a4c9 ⎠ . a) a9 : a5 = a9−5 = a4 4. Núbia dividiu o monômio +60x6y3 pelo Em seguida, adicione o monômio c2 ao b) x6 : x5 = x6−5 = x1 = x H monômio _12x4y2. Ao resultado obtido, H Relembrar que todo núme- resultado. Que monômio você obteve? 2c2 ro elevado a 1 é ele mesmo. c) b5 : b5 = 1 H Relembrar 116 que todo número (não nulo) dividido por ele mesmo é igual D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 116 11/13/18 18:14 a 1. Na atividade 2, os alunos devem calcular quocientes en- tre monômios que têm coefi- cientes racionais não inteiros (na forma de fração ou deci- mal) ou que têm coeficientes inteiros cujo quociente não é inteiro. Se necessário, relem- brar com eles esses tipos de quociente entre dois números. Apresentar na lousa a resolu- ção, por exemplo, do item a. 116

POR TODA PARTE Resoluções a partir da p. 289 A bicicleta A bicicleta do barão alemão Karl von Drais, de 1817, é considerada a pioneira. Ele a batizou de “máquina corredora” (laufmaschine em alemão) e a imprensa a chamou de Draisine ou velocípede. Era feita de madeira e funcionava com o impulso dos pés. O objetivo de Von Drais era oferecer um meio de transporte mais barato e fácil de manter que os cavalos. [...] Nos anos 1860, ficou popular o modelo vendido como velocípede, mas chamado bone shaker (“agita ossos”), por causa do que ocorria quando circulava por ruas de paralelepípedos. Os pedais ficavam na roda dianteira. [...] Em 1870, começa a ser produzida a bicicleta de roda alta, sendo um dos modelos mais conhecidos (e caros) a Ariel, de James Starley. Apesar de agora soar estranho, essas bicicletas eram mais cômodas do que suas predecessoras, mas sua popularidade foi limitada porque “precisavam de um acrobata” para conduzi-las [...] A partir da década de 1880, surgem as chamadas “bicicletas de segurança”, exatamente porque diminuíam o risco de quedas em relação aos modelos anteriores. A primeira foi a Rover, obra do engenheiro J. K. Starkley. São bicicletas muito parecidas com as atuais, com duas rodas do mesmo tamanho e o quadro em forma de diamante. Em 1888, John Dunlop acrescentou as rodas com pneus, tornando os trajetos mais cômodos. [...] Fonte: HANCOCK, J. R. Há 200 anos foi criada a primeira bicicleta: estes foram os primeiros modelos. El País. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2017/04/19/deportes/1492597692_626497.html>. Acesso em: 11 set. 2018. Atualmente cresce o número de usuários de bicicletas motivados, principalmente, pelo trânsito crescente nas grandes cidades e o aumento dos valores dos combustíveis fósseis. Ainda sobre a bicicleta, veja alguns dados sobre a produção mundial e a distribuição da frota nacional desse meio de transporte não poluidor. Gráfico 1 Gráfico 2 Produção mundial de bicicletas* Frota brasileira de bicicletas* 8% China Sudeste 8% Índia Nordeste Brasil 5% 20% GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE Sul 14% 44% Outros países 10% 65% Centro-Oeste Norte * Dados de 2010. * Dados de 2010. 26% Informações obtidas em: LOBO, J. A bicicleta. Informações obtidas em: TRANSPORTE ATIVO. Introdução Disponível em: <www.ta.org.br/temp/2013/smtr_ta.pdf>. ao mundo cicloviário. Disponível em: <www.ta.org.br/ Acesso em: 3 fev. 2018. educativos/imc/IMG/IMC_02.pdf.>. Acesso em: 3 fev. 2018. Com base nos gráficos apresentados, responda no caderno: a) Qual é o país que produz mais bicicletas no mundo? China b) Se representarmos por x a produção mundial de bicicletas, qual monômio corresponderá à produção: 0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x (Brasil); 0,7x (China e Brasil). • da China? • da Índia? • do Brasil? • da China e do Brasil juntos? c) Se representarmos por y o total da frota nacional (Gráfico 2), qual monômio representará a frota da região: • Centro-Oeste? • Nordeste? • 0,08y • 0,26y d) Junte-se a um colega e elaborem outras questões sobre os dois gráficos apresentados. Troquem as perguntas com outras duplas (uma responde às questões elaboradas pela outra). Resposta pessoal. 117 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 117 11/13/18 18:14 117

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO POLINÔMIOS Polinômios 5 Uma sugestão é trabalhar Nos cálculos algébricos que fizemos até agora, consideramos apenas expressões com uma atividade mais con- algébricas chamadas monômios. textualizada, cujo tema este- ja próximo ao cotidiano dos Acompanhe as seguintes situações: alunos. 1 Qual é a expressão algébrica que repre- a b x EDITORIA DE ARTE Para isso, solicitar que tra- senta a área da figura a seguir? 1 2x gam para a sala de aula uma A área da figura é dada pela soma das conta de água e analisar a ex- pressão utilizada para o cálcu- áreas das figuras 1 e 2. Adicionamos, então, lo do consumo. Esta deve ser as áreas das duas figuras: uma atividade voluntária, ou seja, é importante que os alu- ab + x2 a área dessa figura é dada pela soma ab + x2 nos se sintam à vontade para trazer ou não a conta de água, 2 O desenho a seguir representa o DANIEL BOGNI pois sabe-se que algumas famí- esboço de uma rodovia que passa lias não se sentem confortáveis pelas cidades A, B, C e D. A distância em socializar essas informa- de A a B é igual à distância de B a C, ções. Por isso, se possível, pro- e ambas podem ser representadas videnciar cópias de uma conta por x quilômetros. Sabendo que a de água e levar para a aula, distância de A a D é de y quilôme- para que todos possam parti- tros, qual é a expressão algébrica cipar da atividade. que representa a distância de C a D? Assim, além de contextuali- Observando o esboço, podemos concluir que a distância de C a D é dada pela diferença zar os conhecimentos, os alu- entre as distâncias de A a D e de A a C: nos poderão refletir a respeito de questões importantes, como y _ 2x A expressão algébrica y _ 2x representa a distância entre as cidades C e D. a escassez de água. Perceberão também, observando a conta, As situações que acabamos de apresentar nos Qualquer adição algébrica de que há um escalonamento de mostram expressões algébricas que indicam, respecti- monômios denomina-se polinômio. cobrança de água de acordo vamente, uma adição ou uma subtração de monômios, com o consumo, indicado em ou seja, indicam uma adição algébrica de monômios. metros cúbicos (m3). Entenden- do esse escalonamento como São exemplos de polinômios as seguintes expressões: um incentivo ao racionamento, eles podem começar a refletir a • ab + x2 • 9z + 3y • 3x + 2y • y _ 2x respeito do consumo conscien- te de água. Observações: Apresentar um exemplo de • Qualquer monômio é considerado um polinômio. cálculo da conta de água. • Conta da casa de João. • Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio. Gasto mensal de 14 m3. Assim: é um polinômio de um só termo (monômio) Considerando os valores 2xy até 10 m3 como consumo mensal mínimo, o valor a ser 100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2 pago é: R$ 13,06. 118 Para valores de 11 m3 a 20 m3 paga-se R$ 2,04 por m3 deD2o-MuAtTr-Fa2-2c05o1-nV8t-aU,04-s09u6-p13o3-nLAd-Go20.iqndud e118 11/14/18 20:45 que ultrapassou o consumo o consumo de água esteja na mínimo. classe de consumo de 11 m3 a 20 m3 e que ultrapassou em x Como o consumo da casa m3 o consumo mensal mínimo. de João ultrapassou 4 m3 do consumo mínimo, o valor da O polinômio que represen- conta de água será dado por: ta o valor da conta de água nesse caso é 13,06 + 2,04x 13,06 + 4 ? 2,04 = 21,22 H (em reais). H R$ 21,22 Em seguida, orientar os alu- nos a confirmar o cálculo da conta de suas residências. Depois, pedir a eles que in- diquem algebricamente o valor 118

ATIVIDADES Resoluções a AMPLIANDO partir da p. 289 Atividade complementar Responda às questões no caderno. STOCKBYTE/GETTY IMAGES 4. Em um estacionamento, há x carros e y motos. 1. Com base nas atividades 1. Em uma partida de basquete, uma jo- 3 e 7 desta página do livro do gadora acertou x cestas de 2 pontos e Escreva o polinômio que representa: aluno, faça o desenho de um y cestas de 3 polígono em uma malha qua- pontos. Escreva a) a quantidade de veículos estacionados. driculada e represente suas o polinômio x+y medidas utilizando monômios. que representa Em seguida, troque com um a quantidade b) a quantidade de rodas dos veículos. colega e solicite a ele que de- de pontos que 4x + 2y termine as expressões que re- essa jogadora presentam a área e o perímetro marcou nessa 5. Escreva o polinômio que representa um da figura desenhada. partida. 2x + 3y Cesta de basquete. número formado por: Resposta pessoal. 2. Na bicicleta reclinada da figura a seguir, a) x dezenas e y unidades. 10x + y temos que: d + 5r b) y dezenas e x unidades. 10y + x • a medida do raio da roda maior é 3r; 6. Escreva o polinômio que expressa a • a medida do raio da roda menor é 2r; medida do segmento AB em cada figura: • a distância entre os pontos A e B é d. a) A CB 2a b 2a + b b) A BC b 2a C1 A 2a _ b B C2 LÉO TEIXEIRA 7. Escreva o polinômio que representa a área da figura a seguir. a2 + 2ab + b2 • Escreva o polinômio que expressa a dis- tância entre os centros C1 e C2 das rodas. ab 3. Escreva o polinômio que representa a a ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE área da região colorida de amarelo na figura a seguir. x2 _ y2 x b y x 8. Uma empresa de aluguel de carros cobra y uma taxa fixa de R$ 200,00 mais R$ 3,00 por quilômetro rodado. Qual polinômio vai expressar o valor a ser pago por uma pessoa que percorre x quilômetros com um carro dessa empresa? 200 + 3x 119 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 119 11/14/18 21:47 119

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Polinômio reduzido Polinômio reduzido Consideremos o polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy. Observe que esse polinômio possui termos ou monômios semelhantes. Um dos principais erros co- Sabendo que esses termos semelhantes podem ser reduzidos, temos: metidos pelos alunos está na redução de termos semelhan- x2 ϩ xy ϩ xy ϩ x2 ϩ xy ϭ tes. Isso se agrava se os coe- ficientes dos monômios forem ϭ x2 ϩ x2 ϩ xy ϩ xy ϩ xy ϭ pela propriedade comutativa números racionais na forma fracionária. Fazer algumas ϭ 2x2 ϩ 3xy soma algébrica de monômios semelhantes abordagens na lousa, solici- tando que os alunos efetuem Dizemos que: diversos cálculos envolvendo 2x2 + 3xy é a forma reduzida do polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy. monômios. Veja estas outras situações: 1 Escrever na forma reduzida o polinômio 3a _ 5ab + 8b _ 2a + 3ab + b. 3a Ϫ 5ab ϩ 8b Ϫ 2a ϩ 3ab ϩ b ϭ ϭ 3a Ϫ 2a Ϫ 5ab ϩ 3ab ϩ 8b ϩ b ϭ pela propriedade comutativa ϭ a Ϫ 2ab ϩ 9b forma reduzida 2 Escrever na forma reduzida o polinômio 3x2 _ (_9x + 4) + (_7x + x2 _ 3). 3x2 Ϫ (Ϫ9x ϩ 4) ϩ (Ϫ7x ϩ x2 Ϫ 3) ϭ ϭ 3x2 ϩ 9x Ϫ 4 Ϫ 7x ϩ x2 Ϫ 3 ϭ eliminando os parênteses ϭ 3x2 ϩ x2 ϩ 9x Ϫ 7x Ϫ 4 Ϫ 3 ϭ pela propriedade comutativa ϭ 4x2 ϩ 2x Ϫ 7 forma reduzida Observações: • Os polinômios de um só termo são chamados monômios. • Um polinômio reduzido de dois termos também recebe o nome de binômio. 3x + 2y 4a _ b xy + 5y2 • Um polinômio reduzido de três termos também é chamado trinômio. x2 _ 2xy + y2 x2 _ 7x + 10 a + 2b _ bc • Um polinômio reduzido com mais de três termos não tem nome particular. 120 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 120 11/13/18 18:14 120

Grau de um polinômio ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O grau de um polinômio reduzido não nulo é dado por seu termo de maior grau. Grau de um polinômio • O polinômio a3x Ϫ 2a4x3 ϩ 9ax2 é do 7o grau. Ressaltar para os alunos 4o grau 7o grau 3o grau que: • um polinômio na forma re- • O polinômio x3 Ϫ 6x2y2 Ϫ 2xy é do 4o grau. duzida não apresenta termos semelhantes; 3o grau 4o grau 2o grau • não se define grau para o polinômio nulo (aquele que O grau de um polinômio reduzido também pode ser estabelecido em relação a determinada tem todos os coeficientes variável. Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável considerada aparece iguais a zero ou que em sua nos termos não nulos do polinômio. Assim: forma reduzida é igual a zero); • se o polinômio for de uma O polinômio x3y ϩ 3x2y4 é do 3o grau em relação à variável x única variável, o grau do po- 4o grau em relação à variável y linômio é o maior expoente dessa variável; Polinômios com uma só variável real • se o polinômio tiver mais de uma variável, é preciso verifi- Considere os polinômios reduzidos: car o grau de todos os monô- mios e o maior deles é o grau • x2 + 7x _ 10 • x3 _ 2x2 + 4x _ 1 do polinômio. Polinômios como esses, muito importantes para estudos futuros, são denominados polinô- É importante destacar que mios na variável x. o grau de um polinômio só pode ser determinado se esse É costume, em Matemática, escrever polinômios com os termos em ordem, segundo as polinômio estiver na forma potências decrescentes da variável x. Veja os exemplos: reduzida. Discutir com eles o exemplo a seguir. • 6x2 _ 5x _ 1 O polinômio P = 2x5 + • x3 _ x _ 7 + 3x4 _ 2x2 _ x2 + x3 _ 2x5 aparentemente tem grau 5, • 5x4 _ 7x3 _ x2 + 2x _ 10 mas, depois de reduzir seus termos semelhantes, obtém- Quando um polinômio está assim ordenado, e nele não aparecem uma ou mais potências -se 3x4 + x3 _ 3x2, que é a da variável x, dizemos que o polinômio é incompleto. Nesse caso, os coeficientes dos termos que forma reduzida do polinô- não aparecem no polinômio são zeros. Veja os exemplos: mio P. • x3 _ 7x _ 1 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x3 + 0x2 _ 7x _ 1 Observando P em sua for- (forma geral). ma reduzida, verifica-se que ele tem grau 4 e não 5 como • x4 _ 9 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x _ 9 aparentava. (forma geral). Quase todas as situações 121 modeladas com polinômios recaem em polinômios de AMPLIANDOD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 121 11/13/18 18:14 uma única variável. Link Comentar também com os alunos que, para escrever po- O Portal do Saber, criado pela linômios de uma só variável na OBMEP, disponibiliza alguns ví- sua forma completa, eles de- deos a respeito de expressões vem estar na sua forma redu- algébricas e polinômios. zida e ordenados segundo as potências decrescentes de sua Disponível em: <http://livro. variável. Esse fato é bastante pro/2ms5i9>. Acesso em: 6 nov. utilizado na divisão de polinô- 2018. mios (assunto que será visto mais adiante) em que se preci- sa expressar o polinômio divi- dendo na sua forma completa. 121

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 4. Em relação à variável x, qual é o grau do Nesse bloco de questões polinômio a seguir? 5o grau. os alunos vão aplicar a escrita 1. Escreva os polinômios a seguir, na forma da forma reduzida de um po- reduzida: 2bx2 _ 7ax5 _ 3cx + abx3 linômio e, ainda, determinar o grau de um polinômio e es- a) 2a2x Ϫ 5a2x2 ϩ 3a2x Ϫ 7ax2 ϩ 5. Considere o polinômio: crever um polinômio de uma ϩ a2x2 Ϫ 2a2x ϩ 5ax2 3a2x _ 4a2x2 _ 2ax2 10 _ 6x3 + x _ 9x4 + x5 _ 5x2 variável na sua forma geral (ou Escreva-o na forma ordenada e dê o completa). b) 6x _ 5y + 3xy + 2xy _ 5x + grau do polinômio. + 9y + 4x _ xy _ y 5x + 3y + 4xy x5 _ 9x4 _ 6x3 _ 5x2 + x + 10; 5o grau. Na atividade 4, ressaltar que para obter o grau de um 2. Ao resolver uma questão, Fernando 6. Escreva a forma geral do polinômio c5 _ 1. polinômio em relação a uma chegou ao seguinte polinômio: c5 + 0c4 + 0c3 + 0c2 + 0c _ 1 determinada variável deve-se observar o expoente dessa va- 0,5a _ (0,7b _ 1,2ab) _ 1,3b + (0,8a + 7. Qual é o polinômio reduzido que ex- riável em todos os termos do pressa a área da figura a seguir? 2x2 + 3ax polinômio em que ela apare- + 2b _ 0,6ab) 1,3a + 0,6ab ce. O maior expoente é o grau xa procurado. No caso do polinô- a) Qual é a forma reduzida desse polinômio? mio apresentado, o grau em relação à variável x é 5, maior b) O polinômio é um trinômio ou binômio? x1 3 expoente dessa variável. Per- É um binômio. guntar também qual é o grau 4 5x em relação às demais variáveis 3. Qual é a forma reduzida de cada um dos a2 do polinômio. polinômios? ax Na atividade 6, inicialmen- a) 8ab _ (a + 7b _ 5) + (_5ab + 2 _ b) + te pergunte: + (+4a + 2ab _ 6b) 5ab + 3a _ 14b + 7 • O polinômio tem quantas variáveis? Resposta: Uma. b) 2x2 _ [2xy + x2 _ (3xy + y2) + 2y2] – xy • O polinômio está na forma reduzida? Por quê? Resposta: x2 _ y2 Sim, porque não há termos se- melhantes. DESAFIO • O polinômio é completo ou incompleto? 8. Todos estes polígonos são regulares e têm lados com a mesma medida x. Resposta: Incompleto. 3x 4x 5x x Assim, os alunos perceberão xx x o que devem observar para ob- ter a forma geral de um polinô- a) O que representa a expressão algébrica escrita dentro de cada figura dos três primeiros polígonos? mio de uma variável. b) Qual expressão algébrica deve ser escrita dentro da figura do hexágono? 6x O perímetro. Desafios 9. Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro de cada um dos hexágonos regulares da figura a seguir. 6x; 6x + 6; 6x + 12 Para os desafios, ativida- des 8 e 9, retomar o concei- ILUSTRAÇÕES: to de polígono regular com EDITORIA DE ARTE os alunos. Propor a eles que se reúnam em duplas para x 11 resolver as questões. Sociali- zar as diferentes estratégias 122 11/13/18 18:14 que surjam e faça a correção coletivamente. Alguns alunos D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 122 podem explicar para a classe, oralmente, como pensaram. Resolução dos Desafios 8. a) Representa o períme- tro de cada polígono. b) 6 ? x = 6x 9. Hexágono lilás: 6 ? x = 6x Hexágono verde: 6 ? (x + 1) = 6x + 6 Hexágono salmão: 6 ? (x + 2) = 6x + 12 122

Adição algébrica de polinômios ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Considere as situações a seguir. Adição algébrica de polinômios 1 Qual é o polinômio que representa o perímetro da figura? aϪ3 a ϩ 10 Como o perímetro representa a soma das medidas dos 2a ϩ 1 No estudo da adição algé- lados, temos: brica de polinômios, os alu- nos perceberão que grande (2a + 1) + (a + 10) + (a _ 3) = adição de polinômios EDITORIA parte dos procedimentos arit- DE ARTE méticos são válidos no campo = 2a + 1 + a + 10 + a _ 3 = algébrico. = 2a + a + a + 1 + 10 _ 3 = = 4a + 8 reduzindo os termos semelhantes O polinômio que representa o perímetro da figura é 4a + 8. 2 Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições: OFERTA ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI 2x reais de entrada e 5 prestações iguais de y reais OFERTA x reais de entrada e 3 prestações iguais de y reais Como podemos observar, os preços são expressos de maneiras diferentes. Nessas condições, qual é o polinômio que expressa a diferença entre os preços das duas lojas? Na loja 1, o preço é representado pelo polinômio 2x ϩ 5y. Na loja 2, o preço é representado pelo polinômio x ϩ 3y. A diferença entre os preços das duas lojas pode ser assim escrita: (2x ϩ 5y) Ϫ (x ϩ 3y) ϭ subtração de polinômios ϭ 2x ϩ 5y Ϫ x Ϫ 3y ϭ 2x Ϫ x ϩ 5y Ϫ 3y ϭ x ϩ 2y A diferença entre os preços é expressa pelo polinômio x ؉ 2y. 3 Dados P1 ϭ x3 ϩ 4x2 Ϫ 3x ϩ 7, P2 ϭ 3x3 ϩ 6x Ϫ 5 e P3 ϭ x2 ϩ 2x ϩ 3, determinar P1 ϩ P2 Ϫ P3. P1 ϩ P2 Ϫ P3 ϭ (x3 ϩ 4x2 Ϫ 3x ϩ 7) ϩ (3x3 ϩ 6x Ϫ 5) Ϫ (x2 ϩ 2x ϩ 3) ϭ ϭ x3 ϩ 4x2 Ϫ 3x ϩ 7 ϩ 3x3 ϩ 6x Ϫ 5 Ϫ x2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ ϭ x3 ϩ 3x3 ϩ 4x2 Ϫ x2 Ϫ 3x ϩ 6x Ϫ 2x ϩ 7 Ϫ 5 Ϫ 3 ϭ ϭ 4x3 ϩ 3x2 ϩ x Ϫ 1 O polinômio resultante de P1 ϩ P2 Ϫ P3 é 4x3 ؉ 3x2 ؉ x ؊ 1. 123 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 123 11/14/18 20:55 123

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. a) Qual é o oposto do polinômio A? As questões apresenta- b) Qual é o r_es9ualt2xa2d+o d7aaxs+om11aad_e 6Ax com o das propõem que os alunos 1. Observe as medidas dos lados da figura apliquem a adição algébrica e escreva o polinômio que expressa o seu oposto? 0 de polinômios. Algumas das perímetro desta figura. 13x + 3,1a questões retomam conceitos c) Subtraindo de A o seu oposto, que poli- já vistos, como é o caso do va- 3x ϩ a nômio obtemos? 18a2x2 _ 14ax _ 22a + 12x lor numérico de uma expres- são algébrica. 3x ϩ 0,5a 5. Considere os polinômios P1 = a + b + c, P2 = a _ b + c e P3 = a + b _ c. Determine: Na atividade 4, discutir 4x ϩ 0,6a 3x ϩ a EDITORIA a) P1 ϩ P2 ϩ P3 3a + b + c com os alunos o conceito de DE ARTE b) P1 ϩ P2 Ϫ P3 a _ b + 3c oposto. Comentar que todo c) P1 Ϫ P2 ϩ P3 a + 3b _ c polinômio adicionado ao seu 2. Quando adicionamos os polinômios d) P1 Ϫ P2 Ϫ P3 _a + b + c oposto resulta no polinômio 17x2 _ 15x + 20 e _13x2 + 20x _ 31, nulo. obtemos a soma: ax2 + bx + c. Qual é o 6. Um polinômio A adicionado ao polinômio valor numérico da expressão a + b + c? _2 9x + 3y _ 10xy _ x2y2 tem como resultado Resolver, caso julgue ne- o polinômio 3x2y2 _ 7x + 5y _ xy. Qual é cessário, algumas questões na 3. Em uma partida de basquete, Tiago fez o polinômio A? 4x2y2 _ 16x + 2y + 9xy lousa, como a atividade 2. x  arremessos de lances livres e acertou 60% menos 3 desses lances livres. Seu com- panheiro de equipe, Fernando, também 7. Dados os polinômios P = x2 + y2 _ 5xy e arremessou x lances livres, acertando 40% Q = 2x2 + 8xy _ 3y2, determine: mais 1 desses lances. a) P + Q b) P – Q Escreva o polinômio que representa: 3x2 + 3xy _ 2y2 _x2 _ 13xy + 4y2 a) a quantidade de lances livres que Tiago 8. Determine os polinômios que acertou. 0,6x _ 3 representam: b) a quantidade de lances livres que Fernando acertou. 0,4x + 1 a) (15a _ 7b + 4c) + (_8b + 3c _ 9a) 6a _ 15b + 7c c) a quantidade de lances livres que os dois acertaram juntos. x _ 2 b) (2y2 _ 3ay + 4a2) _ (ay _ 5y2 _ a2) 7y2 _ 4ay + 5a2 d) a diferença entre o número de lances livres que Tiago acertou e o número de c) (3a3 _ 2a2b + 5ab2 _ 6b3) + (7a2b _ 5a3 + lances livres que Fernando acertou. + b3 _ 6ab2) _2a3 + 5a2b _ ab2 _ 5b3 0,2x _ 4 d) (x2 _ 3xy + y2 _ x2y2) + (+x2 + 5x2y2 + 4. Você sabia que um polinômio tem + y2 + 3xy) 2x2 + 2y2 + 4x2y2 oposto? Veja as seguintes afirmações. e) (a2 _ 1,6b2 + 0,9c2) _ (0,8a2 _ b2 + 1,7c2) • _x é o oposto de +x. 0,2a2 _ 0,6b2 _ 0,8c2 • 2xy2 é o oposto de _2xy2. f) (7a2 _3ab+2b2)_(3a2_5ab_c2 _3b2)+ + (_6ab + c2) 4a2 _ 4ab + 5b2 + 2c2 • (2a + b) é o oposto de _(2a + b). g) (0,9x3 _ 1,8x + 1) + (_1,3x2 + • _(x2 _ 3x + 1) é o oposto de + 2,6x _ 2) _ (0,7x3 _ 1,6x2 + 0,4x + 5) (x2 _ 3x + 1). 0,2x3 + 0,3x2 + 0,4x _ 6 Dado o polinômio A = 9a2x2 _ 7ax _ 11a + h) (ab + a2b2 _ 7a _ b) _ (4a2b2 _ 7a + + 6x, responda: + 3b _ ab) + (4b + 5a2b2) 2a2b2 + 2ab i) (7y3 _ 2y2 + 3y _ 5) + (y3 _ 4y + + 9) _ (5y3 + 4y2 _ y + 1) 3y3 _ 6y2 + 3 124 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 124 11/14/18 20:55 124

Multiplicação de polinômios ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Multiplicando um monômio por um polinômio Multiplicação de polinômios De que maneira podemos representar a área desta figura? Ao abordar a multiplicação 2x y Uma das maneiras de representar a área é: de polinômios, retomar com os alunos a propriedade distri- x1 x и (2x ϩ y) butiva. 2 medida do comprimento AMPLIANDO medida da largura EDITORIA Link DE ARTE Uma possibilidade é pedir A expressão x ? (2x + y) representa, algebricamente, a multiplicação do monômio x pelo aos alunos para explorarem polinômio 2x + y. atividades em que se faz a multiplicação de monômios Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das figuras que a por polinômios, acessando a compõem, ou seja: plataforma Khan Academy. x и (2x ϩ y) ϭ x и 2x ϩ x и y ϭ 2x2 ϩ xy Disponível em: <http://livro. pro/8jjh9k>. Acesso em: 4 nov. área da área da 2018. figura 1 figura 2 Observe que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica: x и (2x ϩ y) ϭ 2x2 ϩ xy Podemos dizer que: A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Acompanhe as situações a seguir. 1 Qual é o polinômio que representa o produto 5a2m и (3a Ϫ 2am)? 5a2m и (3a Ϫ 2am) ϭ ϭ 5a2m и 3a Ϫ 5a2m и 2am ϭ ϭ 15a3m Ϫ 10a3m2 Nesse caso: • Multiplicamos 5a2m por 3a: 5a2m ? 3a = 5 ? 3 ? a2 ? a ? m = 15a3m. • Multiplicamos 5a2m por Ϫ2am: 5a2m ? (_2am) = 5 ? (_2) ? a2 ? a ? m ? m = _10a3m2. • Somando algebricamente ambos os resultados obtivemos o polinômio 15a3m Ϫ 10a3m2. 125 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 125 11/13/18 18:14 125

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Multiplicando um polinômio por outro polinômio Representação geométrica: De que maneira podemos representar a área da figura seguinte? 10 6 xa 10 10 ? 10 10 ? 6 EDITORIA DE ARTE 2 2 ? 10 2?6 x1 2 Depois de discutir com os b3 4 EDITORIA DE ARTE alunos as maneiras apresen- tadas anteriormente, propor Como a figura representada é um retângulo de lados (x + a) e (x + b), uma das maneiras que eles façam a seguinte multiplicação envolvendo dois de representar a área é: binômios: (x ϩ a) и (x ϩ b) (x + 2) ? (x + 6) medida da largura Espera-se que eles possam, medida do comprimento por analogia, obter esse pro- duto. Note que, algebricamente, a expressão (x + a) ? (x + b) representa a multiplicação de um Os alunos podem fazer essa polinômio por outro polinômio. parte reunidos em duplas, sob sua orientação. Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das quatro figuras que a Eles podem começar pela compõem, ou seja: representação geométrica: x и x ϩ x и a ϩ b и x ϩ b и a ϭ x2 ϩ ax ϩ bx ϩ ab x6 x x?x x?6 EDITORIA DE ARTE área 1 área 2 área 3 área 4 2 2?x 2?6 Então: (x ϩ a) и (x ϩ b) ϭ x и x ϩ x и b ϩ a и x ϩ a и b ϭ x2 ϩ ax ϩ bx ϩ ab x+2 polinômio polinômio x x+6 Note que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica: 6x + 12 • Multiplicamos x por x, o que resultou em x2. • Multiplicamos a por x, o que resultou em ax. x2 + 2x + • Multiplicamos x por b, o que resultou em bx. • Multiplicamos a por b, o que resultou em ab. x2 + 8x + 12 Podemos dizer que: A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo (ou monômio) de um deles por cada termo (ou monômio) do outro e reduzindo-se os termos semelhantes (se houver). 126 11/13/18 18:14 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 126 126

Acompanhe as questões a seguir. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 1 Qual é o polinômio que representa o produto (3a ϩ 2b) (2a Ϫ 5b)? Atividades (3a ϩ 2b) и (2a Ϫ 5b) ϭ Também podemos fazer assim: As questões desse bloco exploram a multiplicação de ϭ 3a и 2a ϩ 3a и (Ϫ5)b ϩ 2b и 2a ϩ 2b и (Ϫ5)b ϭ 3a ϩ 2b monômio por polinômio. ϭ 6a2 Ϫ 15ab ϩ 4ab Ϫ 10b2 ϭ ϭ 6a2 Ϫ 11ab Ϫ 10b2 ϫ 2a Ϫ 5b Na atividade 2, se neces- sário, esclareça que deve ser 6a2 ϩ 4ab 2a(3a ϩ 2b) efetuada primeiro a multipli- cação entre os monômios e, Ϫ15ab Ϫ 10b2 Ϫ5b(3a ϩ 2b) depois, a multiplicação entre o monômio resultante e o 6a2 Ϫ 11ab Ϫ 10b2 polinômio. O polinômio procurado é 6a2 Ϫ 11ab Ϫ 10b2. Na atividade 5, antes de os alunos determinarem a forma 2 Vamos calcular o produto de x ϩ 2 por x2 Ϫ x Ϫ 2. reduzida, perguntar qual é o grau do polinômio P. Discutir (x ϩ 2) и (x2 Ϫ x Ϫ 2) ϭ Também podemos fazer assim: com eles as possíveis respos- tas, que serão validadas ao se ϭ x и x2 ϩ x и (Ϫx) ϩ x и (Ϫ2) ϩ x2 Ϫ x Ϫ 2 obter a forma reduzida. ϩ 2 и x2 ϩ 2 и (Ϫx) ϩ 2 и (Ϫ2) ϭ ϭ x3 Ϫ x2 Ϫ 2x ϩ 2x2 Ϫ 2x Ϫ 4 ϭ ϫ xϩ2 ϭ x3 Ϫ x2 ϩ 2x2 Ϫ 2x Ϫ 2x Ϫ 4 ϭ ϭ x3 ϩ x2 Ϫ 4x Ϫ 4 x3 Ϫ x2 Ϫ 2x x(x2 Ϫ x Ϫ 2) ϩ2x2 Ϫ 2x Ϫ 4 2(x2 Ϫ x Ϫ 2) x3 ϩ x2 Ϫ 4x Ϫ 4 O produto é expresso por x3 ϩ x2 Ϫ 4x Ϫ 4. ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. 4. Na loja Só Computadores, havia a se- guinte oferta: xy + 4xz 1. Escreva o polinômio que representa a área da região verde da figura. 2xy _ 1,2y2 PROMOÇÃO 2x 1,2y y Computador e estabilizador ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 2. As dimensões de um paralelepípedo re- Entrada de y reais e 4 prestações mensais de z reais. tângulo são 3x, 2y e (2x _ y). Se o volume Sabendo que foram vendidos x desses de um paralelepípedo é dado pelo computadores ontem, escreva o polinô- mio que representa a quantia que a loja produto de suas três dimensões, escreva faturou com as vendas desse dia. o polinômio que represente o volume. 5. Escreva o polinômio P = a(a2 _ ab + b2) + 12x2y _ 6xy2 + b(a2 _ ab + b2) na sua forma reduzida. a3 + b3 3. Escreva os polinômios na forma reduzida: 127 a) 2bx(1 _ a) + 2x(a _ b _ c) _ 2x(a_2_abcx) b) 3a(2a _ b) _ [a(6a _ 3b) _ b(3a _ 5b)] 3ab _ 5b2 AMPLIANDOD2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 127 a observar que a propriedade Algoritmo: 11/14/18 21:48 distributiva da multiplicação Atividade complementar em relação à adição é a base 10 + 6 Propor a seguinte atividade para o cálculo do algoritmo da x 10 + 2 multiplicação com os números para ampliar o trabalho com decompostos. 12 multiplicação de polinômios. 20 Resolução de atividade: 60 Solicitar aos alunos que Efetuando o cálculo 16 ? 12: + 100 calculem 16 ? 12. Orientá-los 192 127

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 6. Observe esta figura: 10. Usando a multiplicação, escreva o po- Desafio 3x y linômio que representa cada uma das Você pode enriquecer esse potências a seguir. trabalho de integração com Geometria propondo aos alu- a) (x _ 5y)2 x2 _ 10xy + 25y2 nos que, depois de resolve- rem o desafio, atividade 13, 2x ILUSTRAÇÕES: b) (0,6 + 2ax)2 0,36 + 2,4ax + 4a2x2 construam um dominó com EDITORIA DE ARTE 20 peças (aproveitando as y c) (b + y)3 b3 + 3b2y + 3by2 + y3 nove já expostas na ativida- de), que relacionem polinô- a) Escreva o polinômio que representa a 11. Você sabe que o volume de um para- mios com perímetros e áreas área da região verde. 6x2 _ xy _ y2 lelepípedo é dado pelo produto das de figuras planas e até volu- medidas das três dimensões desse sólido. mes de sólidos conhecidos. b) Calcule o valor numérico do polinômio Determine o polinômio que representa obtido para x = 20 e y = 10. 2 100 a soma dos volumes das figuras a seguir. Organizar a classe em gru- 7x3 + 6x2 + 3x pos para que cada um deles construa o seu dominó. Discu- 7. Multiplicando o polinômio 1,2x + 0,5y 2x tir com eles se todos os domi- por 1,5x _ 0,5y, obtém-se um polinômio P. 1 nós construídos completam o Escreva P. P = 1,8x2 + 0,15xy _ 0,25y2 jogo. 8. Quando você multiplica 5x2 _ x _ 1 por 3x ϩ 1 Esses jogos podem ficar na 2x2 + x _ 5, obtém como produto o x escola para serem aproveita- dos em outros anos. polinômio ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. xϩ3 Qual é o valor numérico da expressão Resolução do Desafio 2 Na ponta da esquerda do a + b + c + d + e? _6 x dominó, precisamos da figura de um polígono cujo períme- 9. Escreva o polinômio que representa cada xϩ1 tro seja dado por 2x + 2y. Esse polígono é uma das pontas da produto. 12. Escreva na forma mais simples os peça B. Seguindo esse raciocí- nio, as próximas peças serão a) (3a _ 1,5x)(0,7a _ 5x) 2,1a2 _ 16,05ax + 7,5x2 polinômios: C, D e A. b) (a2 _ 1)(2a2 _ 2a + 1) 2a4 _ 2a3 _ a2 + 2a _ 1 a) (a3 _ b3)(a + b) _ (a2 + b2)(a2 _ b2) Na ponta da direita do c) (a + x)(a2 _ ax + x2) a3 + x3 b) (a _ 2b)[a(b _ 3) + b(1 _ a)] a3b _ ab3 dominó, precisamos de uma peça que expresse o perímetro _3a2 + 7ab _ 2b2 (6x) ou a área (2x2) desse po- lígono. Essa expressão é uma DESAFIO x perímetro x yy área x y área y das pontas da peça A. Seguin- 2x ϩ 4y x x2 Ϫ y2 xy x do esse raciocínio, as próximas 13. Você sabe jogar dominó? perímetro y y 2 peças serão D, C e B. No dominó que aparece aqui, 2x ϩ 2y y x y também devemos encostar as peças área xy em uma das extremidades abertas. A parte de uma peça em que aparece um polígono deve ficar em contato com a parte de outra peça, na qual apareça x 2x uma expressão algébrica que represente a área ou o perímetro desse polígono. Vendo este jogo já começado, como você o continuaria? Indique em qual sequência você colocaria as seguintes peças. Pela porta da esquerda: B, C, D, A. Pela ponta da direita: A, D, C, B. WANDSON ROCHA p1e2ríxmetro y x 2x xx p6erxímetro2x x xx y 2x x x x 3x 2x x p8erxímetro x MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES 3x x xx área 2x 2 128 BC AD D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 128 11/14/18 21:10 128

Divisão de polinômios por um monômio ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Considere as seguintes situações: As questões propostas têm como objetivo levar os alunos 1 Dividir 9x5 ϩ 21x4 Ϫ 12x3 por 3x3. a efetuar a divisão de um po- linômio por um monômio não (9x5 ϩ 21x4 Ϫ 12x3) Ϻ (3x3) ϭ nulo ou de um polinômio por outro polinômio não nulo e ϭ (9x5 ϩ 21x4 Ϫ 12x3) и 1 ϭ 9x5 ϩ 21x4 Ϫ 12x3 ϭ aplicar a relação fundamental 3x3 3x3 3x3 3x3 da divisão: ϭ (9x5 Ϻ 3x3) ϩ (21x4 Ϻ 3x3) Ϫ (12x3 Ϻ 3x3) ϭ dividendo = quociente x di- visor + resto ϭ 3x2 ϩ 7x Ϫ 4 ϭ 3x2 ϩ 7x Ϫ 4 Nos exercícios que envol- 2 Calcular (40x3y2 Ϫ 5x2y3) Ϻ (Ϫ10xy). vem divisão de polinômios por monômios, sugerir aos alunos (40x3y2 Ϫ 5x2y3) Ϻ (Ϫ10xy) ϭ que façam a representação das divisões em forma de fra- ϭ (40x3y2 Ϫ 5x2y3) и ⎛⎝⎜Ϫ 1 ⎞ ϭϭϪ 40x 3y 2 ϩ 5x 2y 3 ϭ ção antes de realizar os cálcu- 10xy ⎟⎠ 10xy 10xy los, por exemplo: ϭ Ϫ(40x3y2 Ϻ 10xy) ϩ (5x2y3 Ϻ 10xy) ϭ ϭ Ϫ4x2y ϩ 1 xy2 ϭ Ϫ4x2y ϩ 0,5 xy2 (_45a6 + 27a2) : (9a2) = 2 _45a2 + 27a2 = 9a2 = Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo = 45a6 + 27a6 = fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio. 9a2 9a2 = _5a4 + 3 Veja outra situação: 3 Calcular (12a4b2 Ϫ 28a2b2 ϩ 4ab3) Ϻ (4ab). (12a4b2 Ϫ 28a2b2 ϩ 4ab3) Ϻ (4ab) ϭ ϭ (12a4b2) Ϻ (4ab) Ϫ (28a2b2) Ϻ (4ab) ϩ (4ab3) Ϻ (4ab) ϭ ϭ 3a3b Ϫ 7ab ϩ b2 ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. 1. Efetue cada uma das seguintes divisões: a) (2,5a4b Ϫ 4,5a5b3) Ϻ (Ϫ5ab) _0,5a3 + 0,9a4b2 c) (a2b2c2 ϩ a3bc Ϫ abc2) Ϻ (abc) abc + a2 _ c b) ⎛1 x4y4 Ϫ 5 x3y3⎞⎠ Ϻ ⎝⎛Ϫ 1 x3y3⎠⎞ _ 1 xy + 5 ⎝6 8 2 3 4 2. Ao multiplicar um polinômio P por um monômio, você vai encontrar 18a2x5 ϩ 42a3x4 Ϫ 72a4x3. Se o monômio é 6a2x3, qual é esse polinômio? 3x2 + 7ax _ 12a2 129 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 129 11/13/18 18:14 129

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS TRATAMENTO DA INFORMAÇão Resoluções a partir da p. 289 Tratamento da informação Interpretando dados Nessa seção, os alunos en- O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador geral do desenvolvimento humano trarão em contato com um apoiado sob três aspectos: saúde, educação e renda. Ele surgiu com o intuito de oferecer um infográfico que apresenta a contraponto ao Produto Interno Bruto (PIB) per capita, que é uma medida econômica e que não esperança de vida ao nascer reflete a qualidade de vida de uma população. O pilar da saúde utiliza a esperança de vida ao em países membros do G-8 e nascer como parâmetro de cálculo. de cinco países em desenvol- vimento. Além da leitura de- A tabela a seguir mostra a situação, em 2016, de 13 países em relação a esse indicador: talhada de cada informação, os países membros do Grupo dos 8 (G-8), composto das sete nações mais industrializadas do é importante que percebam mundo (Estados Unidos, Japão, Alemanha, Reino Unido, França, Itália e Canadá) e pela Federação que essa forma de apresentar Russa, além de cinco países em desenvolvimento (China, Índia, México, Brasil e África do Sul), que informações é muito utilizada, participam como convidados das reuniões anuais do G-8. por exemplo, em jornais e re- vistas. Conversar com a turma Esperança de vida ao nascer – 2016 a respeito das “vantagens” e “desvantagens” desse tipo País Esperança de vida ao de gênero textual e ainda as nascer (em anos) particularidades existentes na formatação e na organização dos dados. Japão 83,98 Canadá 82,20 Itália 83,40 França 82,70 Alemanha 81,00 Reino Unido 81,20 Estados Unidos 78,69 México 77,12 China 76,25 Brasil 75,51 Rússia 71,59 Índia 68,56 África do Sul 62,77 Fonte: COUNTRYECONOMY.COM. Disponível em: <https://pt.countryeconomy.com/demografia/ esperanca-vida>. Acesso em: 7 set. 2018. 130 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 130 11/13/18 18:14 130

Responda às questões no caderno. Resoluções a partir da p. 289 AMPLIANDO 1. Qual era a média, aproximada, de esperança de vida ao nascer, nos países indicados, Link 2. Menor esperança de vida: 62,77 anos, na África do Sul; maior esperança em 2016? 77,30 anos. de vida: 83,98 anos, no Japão; variação da esperança de vida: 21,21 anos. Sugerir aos alunos que consultem a seção Respon- 2. Qual é a variação da esperança de vida ao nascer entre o país que ocupa a primeira e dendo do site do IBGE para obter informações sobre para o que ocupa a última colocação no infográfico? Identifique quais são esses países. que servem as pesquisas so- bre população: 3. Comparando o Brasil com o Japão, quanto os brasileiros viviam menos que os japoneses? • IBGE. Para que servem 8,47 anos. as pesquisas do IBGE? Dis- ponível em: <http://livro.pro/ 4. Em 2005, a esperança de vida ao nascer no Brasil era de 71,9 anos. Já em 2013 ela subiu ibhigg>. Acesso em: 6 nov. para 73,9. Quantos anos aumentou a esperança de vida ao nascer no Brasil em 2013 em 2018. relação a 2005? 2,0 anos. No entanto, o IDH não contempla todos os índices de desenvolvimento de um país. Por exemplo, ele não contempla a taxa de natalidade do país. Essa taxa é o indicativo do número de nascidos vivos a cada 1 000 habitantes. Veja a tabela com esse índice para os mesmos países que vimos antes. Taxa de natalidade – 2016 SAIBA QUE O símbolo ‰ deve ser lido “por mil”. País Taxa de natalidade (‰) Responda às questões no caderno. Japão 7,80 Canadá 10,80 5. O Instituto Brasileiro de Geografia Itália 7,80 e Estatística (IBGE) é o órgão, no França 11,70 Brasil, responsável pela coleta, pelo Alemanha 9,60 tratamento e armazenamento dos Reino Unido 11,80 dados relativos à população brasi- Estados Unidos 12,40 leira. Debata com seus colegas de México 18,17 classe a importância desse trabalho. China 12,00 A que ele se destina? Brasil 14,16 Resposta pessoal. Rússia 12,90 Índia 19,01 6. Os dados mostrados estão or- ganizados em forma de tabela. Organize-os em gráficos e, em seguida, faça um texto explicando a escolha pelo tipo de gráfico utilizado. Destaque pontos como adequação aos dados, facilidade de leitura, de comparação etc. Resposta pessoal. África do Sul 20,98 Fontes: COUNTRYECONOMY.COM. Disponível em: <https:// pt.countryeconomy.com/demografia/natalidade?anio=2016> e PORDATA. Disponível em: <https://www.pordata.pt/Europa/ Taxa+bruta+de+natalidade-1605>. Acessos em: 11 set. 2018. D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 131 131 11/13/18 18:14 131

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que aprendeu Responda às questões no caderno. televisão. Constatou-se que houve um Essas questões visam reto- 1. Determine o valor numérico da expres- aumento nas vendas a partir de então. O mar o trabalho com expres- são 3x2 _ 5x _ 1 quando: sões numéricas e seus valores diretor de marketing dessa empresa ve- numéricos. Você pode propor a) x = 0 _1 aos alunos que tragam de casa rificou que a quantidade vendida desse algumas questões já resolvidas b) x = _1 7 e desenvolvam outras na sala, produto no mês podia ser represen- com os colegas, fazendo uma c) x = 1,2 _2,68 3 autocorreção das questões fei- tada pela expressão algébrica 2 x + 40, tas individualmente. As ques- tões em que os alunos tiverem em que x representa o número de anún- mais dificuldades podem ser resolvidas na lousa. 2. Considere a seguinte expressão cios na televisão durante o mês. Se, em Retomar com os alunos algébrica: determinado mês, foram feitas 50 apari- alguns dos tópicos tratados nessa Unidade, dando ênfase (_a _ b)(a + b) + ab3 _ a2 ções na televisão, então foram vendidas para a Educação financeira b e o Tratamento da infor- nesse mês: Alternativa c. mação. Questionar os alunos se o tema cálculo algébrico e Sendo a = b = _2, o valor numérico a) 125 unidades. expressões algébricas se re- laciona com esses tópicos. A dessa expressão é: Alternativa a. b) 120 unidades. ideia é fazê-los perceber que os modelos matemáticos utili- a) 2 c) 1 e) 4 c) 115 unidades. zados na situação do cotidia- no dependem da Álgebra para b) _2 d) _1 d) 110 unidades. serem formulados. 3. Considere a expressão algébrica x xy y . e) 105 unidades. Explicar que existem mo- _ delos matemáticos que fazem O valor numérico dessa expressão x _ y, 2 1 parte do dia a dia de maneira 7. (Fuvest-SP) Se A = xy x = 5 ey= 2 , implícita, por exemplo, algorit- quando x = 0,4 e y = 0,5 é: Alternativa e. então A é igual a: mos computacionais, fórmulas de juros compostos, entre ou- a) _4 c) 1 e) _2 a) _0,1 c) _0,3 e) _0,5 tras possibilidades. b) 0,2 d) 0,4 Alternativa e. b) _1 d) 2 4. (Saresp-SP) Uma locadora cobra R$ 20,00 8. Um grupo de estudantes de meteorologia por dia pelo aluguel de uma bicicleta. Além disso, ela também cobra, apenas pesquisou as variações de temperatura em no primeiro dia, uma taxa de R$ 30,00. Chamando de x o número de dias que certa cidade. Após longa coleta de dados, a bicicleta permanece alugada e de y o valor total do aluguel, é correto afirmar o grupo concluiu que a temperatura podia que: Alternativa d. ser calculada por meio da fórmula mate- a) y = 600x 1 mática T = _ 6 t2 + 4t + 10, na qual T b) y = 50x representa a temperatura, e t representa c) y = 30x + 20 a hora do dia. O grupo calculou a tempe- d) y = 20x + 30 ratura na cidade às 12 horas e às 18 horas. Nesse período, a temperatura diminuiu quantos graus Celsius? Alternativa d. a) 9 °C c) 7 °C e) 5 °C 5. (Saresp-SP) O valor numérico da expres- b) 8 °C d) 6 °C são x3 + 2x2, para x igual a _2, é: 9. (FCMSC-SP) Para x = 0,1, o valor da ex- c) 0 Alternativa c. a) 2 pressão x3 _ 1 é: Alternativa b. 1_x b) 1 d) 16 a) _11,11 d) 1,11 6. O presidente de uma empresa resol- b) _1,11 e) 11,1 veu anunciar um de seus produtos na c) _0,111 132 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 132 11/13/18 18:14 132

10. Considerando uma bola com 10 cm de 13. São dados dois números reais, dos quais ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS o maior vale o triplo do menor. Se o diâmetro e se o volume da esfera é dado menor dos números é expresso por 3,5x, Um novo olhar 4 o monômio que representa o produto por 3 pr3 (em que r é o raio da esfera), desses dois números é: Alternativa b. Os questionamentos exis- tentes no encerramento des- o volume correspondente a uma bola é: sa Unidade poderão permitir, Alternativa e. além da retomada dos conte- a) 4186,66 cm3 d) 418,64 cm3 a) 36x2 d) 36,75x údos apresentados, reflexões a respeito das aprendizagens b) 500 cm3 e) 523,33 cm3 b) 36,75x2 e) 24,5x2 individuais e sistematizações. Por isso, é importante que os c) 5233,33 cm3 c) 36x alunos respondam individual- mente a cada uma das ques- 11. Sabe-se que ax = 10. Então, qual é o valor 14. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da tões para que possam perceber de A, se A = 4 ? ax _ 2a2x? Alternativa b. expressão n2 + 3n + 1 para n valendo 1, suas próprias conquistas e pos- 2, 3 etc., obtém-se uma das sequências síveis dúvidas em cada conteú- a) _200 c) _120 e) 240 a seguir. Qual delas? Alternativa b. do estudado na Unidade. b) _160 d) _60 a) 5, 11, 17, 23, ... A proposta de resumo deve- -se à quantidade de conceitos 12. A área do triângulo colorido dentro do b) 5, 11, 19, 29, ... que são trabalhadas. Para os retângulo a seguir pode ser represen- alunos, é uma importante reto- tada pelo monômio: Alternativa d. c) 5, 7, 9, 11, ... mada de diversos conceitos. Se julgar conveniente, pode-se ini- d) 1, 5, 9, 13, ... ciar esse trabalho em sala, com a sua mediação, e propondo EDITORIA DE ARTE 2,5x 15. A sequência xy , x2y , x3y, ... tem 7 termos. que o finalizem em casa. 4 2 Qual é o último termo dessa sequência? Depois de os alunos res- Alternativa a. ponderem às questões, em 5x a) 16x7y d) 16x5y uma roda de conversa, pedir que alguns alunos exponham a) 12,5x c) 12,5x2 e) 6,25 b) 8x7y e) 32x7y o que fizeram para iniciar uma b) 6,25x d) 6,25x2 discussão a respeito de cada c) 16x6y questão. Em seguida é possível propor a elaboração coletiva UM NOVO OLHAR Resoluções a partir da p. 289 de um diagrama organizando o que foi estudado. Nesta Unidade, abordamos a introdução ao cálculo algébrico, as expressões algébricas ou literais e o valor numérico das expressões algébricas. Também estudamos os conceitos de monômios, polinômios e suas operações. Na seção Educação financeira, foi estabelecida uma discussão sobre juros e na seção Tratamento da informação continuamos o trabalho de análise de dados, determinando qual o melhor tipo de gráfico a ser utilizado. Na abertura desta Unidade, buscou-se fazer uma reflexão sobre a simbologia utilizada na escrita matemática, de modo que você pudesse entender que as construções utilizadas nesta Unidade são uma maneira simplificada de se escrever uma expressão matemática. Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda às questões seguintes no caderno: Resposta pessoal. • Qual é a importância das expressões algébricas no cotidiano e na Matemática? • De acordo com a abertura da Unidade, além de François Viète, quais outros matemáticos e filósofos tiveram influência na utilização de letras e símbolos na Matemática? Pesquise. • Faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios, garantindo um exemplo para cada operação. Resposta pessoal. • Qual é a importância do estudo de monômios e polinômios? Resposta pessoal. Aristóteles, Euclides, Michael Stifel, Girolamo Cardano, Raffaele Bombelli e Leonhard Euler são os mais notórios personagens dessa longa história. 133 D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 133 11/16/18 2:45 PM 133

COMPETÊNCIAS GERAIS MANZI 1. Valorizar e utilizar os co- 5 Equações nhecimentos historicamente construídos sobre o mundo Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem dezenove! físico, social, cultural e digital Esse problema aparece em um papiro egípcio escrito para entender e explicar a rea- há 3000 anos. Desde essa época, o ser humano já se aven- lidade, continuar aprendendo turava no campo das equações. e colaborar para a construção Muitas vezes, as equações são usadas para fazer previ- de uma sociedade justa, de- sões e projetos e toda equação possui sempre, pelo menos, mocrática e inclusiva. um valor que não conhecemos. Em Matemática, é comum utilizarmos uma letra para 7. Argumentar com base identificar esse valor. em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, ne- PRIMOPIANO/SHUTTERSTOCK.COM Agora, pense e responda no caderno: gociar e defender ideias, pon- • A qual trecho do diálogo você associaria a equação tos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os v + g = 112? direitos humanos, a consciên- Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”. cia socioambiental e o con- • E a qual trecho você associaria a equação sumo responsável em âmbito 4v + 2g = 384? local, regional e global, com Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.” posicionamento ético em rela- • Observando a equação anterior, o que você acha ção ao cuidado de si mesmo, que representa o termo 4v? E o termo 2g? dos outros e do planeta. Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna ESPECÍFICAS das galinhas. 1. Reconhecer que a Mate- 134 mática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preo- quDe2s-MtãATo-F,2-2r0e51s-pV8e-Uit05a-1n34d-1o65-LoA-Gm20.oinddd o134 11/14/18 16:20 cupações de diferentes cultu- de pensar dos colegas e apren- ras, em diferentes momentos dendo com eles. históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar HABILIDADES p. XXI e XXII problemas científicos e tecno- lógicos e para alicerçar desco- Álgebra bertas e construções, inclusive • EF08MA07 com impactos no mundo do • EF08MA08 trabalho. • EF08MA09 3. Compreender as rela- ções entre conceitos e pro- cedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit- mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conheci- mento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhe- cimentos matemáticos, de- senvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba- lhando coletivamente no pla- nejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspec- tos consensuais ou não na dis- cussão de uma determinada 134

Entre vacas e seção Um novo olhar, após o galinhas, são 112 animais, em estudo formal desse conteú- um total de 384 pernas. E então, do. Nessa seção, eles serão es- quantas vacas e quantas galinhas timulados a tentar solucionar um problema parecido com há aqui? esse, mas com alguns dados modificados. Mãe, quantas vacas e Se julgar necessário, propor galinhas há aqui na outros problemas cuja resolu- ção também envolva a formula- fazenda? ção e solução de equações. AMPLIANDO Atividade complementar • José nasceu 5 anos depois de seu irmão Pedro. Quantos anos tinha Pedro quando ele ti- nha o dobro da idade de José? Resolução da atividade: Indicando por J a idade de José e por P a idade de Pedro, podemos escrever duas equa- ções para representar as infor- mações do problema: J+5=PhJ=P_5 P = 2J Substituindo a expressão que representa J na equação P = 2J, temos: P = 2J P = 2(P _ 5) P = 2P _ 10 P = 10 Assim, pode-se concluir que Pedro tinha 10 anos quando tinha o dobro da ida- de de José. 135 ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 135 lução para o questionamento o problema e aprese1n1/1t4a/1r8 o16r:a20l- apresentado no diálogo entre mente aos demais as estraté- Abertura de Unidade a mãe e a filha. gias utilizadas. Nessas páginas os alunos Incentivar os alunos a re- Nesse momento, não há serão convidados a resolver gistrar todas as estratégias e necessidade de apresentar de uma situação que envolve hipóteses por eles levantadas forma sistemática o sistema um sistema de equações. Su- e, em seguida, construir com a de equações. Os alunos serão gere-se que, nesse momento, turma um cartaz de soluções, incentivados a investigar essa sejam reunidos em duplas e, em que cada dupla deverá re- atividade novamente no en- juntos, tentem encontrar a so- gistrar sua forma de resolver cerramento desta Unidade, na 135

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO EQUAÇÃO DO 1O GRAU COM UMA INCÓGNITA Equação do 1o grau com 1 uma incógnita Alguns documentos antigos, como os papiros egípcios, traziam inúmeros e curiosos EDITORIA DE ARTE Os alunos já tiveram um pri- problemas matemáticos. meiro contato com o estudo das equações de 1o grau no 7o Veja a tradução de um problema que aparece no famoso Papiro de Rhind. ano. No 8o ano, retoma-se esse estudo e aprofunda-se o tema, Uma quantidade, sua metade, abordando as equações literais, seus dois terços, todos juntos são 26. fracionárias e as equações do 1o grau com duas incógnitas. Com Diga-me: qual é essa quantidade? isso, é possível o estudo da re- presentação geométrica desse Como os egípcios não usavam a linguagem algébrica das equações, para resolver tipo de equação no plano car- tesiano e sua utilização como esse tipo de problema, eles atribuíam à quantidade procurada um valor arbitrário, que fosse método para resolução de um sistema de equações. divisível, ao mesmo tempo, pelos denominadores das frações que apareciam no problema; Pense e responda nesse caso específico, um valor que fosse divisível por 2 (sua metade) e por 3 (seus dois Os alunos devem usar o terços) ao mesmo tempo. Esse valor pode ser 6, 12, 18, 24 ou qualquer múltiplo de 6, pois método apresentado anterior- mente para resolver os pro- qualquer um desses números é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. blemas. Depois, pedir a eles que, com os conhecimentos Usando o valor 6, por exemplo, e de acordo com o problema, temos: já adquiridos, representem as 1 2 situações de forma algébri- 6ϩ 2 и (6) ϩ 3 и (6) ϭ 6 ϩ 3 ϩ 4 ϭ 13 ca, esperando que obtenham equações do 1o grau com uma Como 13 não é a soma dada no problema, vamos fazer como os egípcios e usar incógnita. a ideia de proporção. Com os valores 6, 13 e 26 montamos a proporção: Ao resolverem essas equa- • Ao valor arbitrário 6 corresponde a soma 13. ções, propor uma discussão a respeito de qual processo • A qual valor vai corresponder à soma 26? sentiram mais facilidade para determinar a resposta. É inte- Como 26 representa o dobro de 13, que foi o valor encontrado, então, pela ressante notar que, nesse caso, não há uma única resposta cor- proporção, a quantidade procurada representará o dobro do valor arbitrário 6. Assim, reta, o mais importante é que os alunos consigam justificar a quantidade procurada será 2 ? 6, ou seja, 12. suas escolhas, analisando os pontos positivos e negativos Comprovando, temos: de cada método. Algumas 1 2 perguntas que podem orien- 12 + 2 ⋅ (12) + 3 ⋅ (12) = 12 + 6 + 8 = 26 tar esse raciocínio são: “Qual é a dificuldade que pode apre- pense e responda Resoluções a partir da p. 289 sentar o processo dos antigos egípcios?”; “Qual é a possível Conheça, a seguir, a tradução de outros problemas encontrados no Papiro de Rhind e vantagem de representar pro- blemas como esses por meio tente resolvê-los, no caderno, usando o processo utilizado pelos egípcios. de uma equação?”. 1. Uma quantidade aumentada do seu um sétimo resulta em 40. Qual é essa qeuman5t6i.dQad3u5ea?l 2. Uma quantidade, sua metade e sua quarta parte, adicionadas, resultam é essa quantidade? 32 3. Uma quantidade, seus dois terços e seus três quartos são adicionados, e a soma é 145. Qual é essa quantidade? 60 136 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 136 11/15/18 12:18 PM 136

A grande importância da Álgebra é permitir a resolução de problemas que envolvem números ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS desconhecidos e possibilitar fazer generalizações. Resolver na lousa o proble- Ao representar o número desconhecido (ou incógnita) usando uma letra do alfabeto, podemos ma proposto no livro do aluno. estabelecer uma relação entre os números conhecidos e os desconhecidos por meio de uma Observar se os alunos equacio- sentença matemática, por exemplo, uma equação. nam o problema, com base na situação dada. A transição da Usando técnicas matemáticas, podemos manipular essa equação até torná-la a mais simples linguagem verbal para a lingua- possível, permitindo, assim, que se estabeleça o valor do número desconhecido. gem matemática é um ponto a ser observado na sala de aula, Considere a seguinte situação: pois muitos alunos costumam Desenvolvendo certa velocidade média, um motorista percorreu, de carro, a distância entre apresentar dificuldades nessa as cidades baianas de Salvador e Mangue Seco em 4 horas. Se o motorista tivesse aumentado mudança de registro. em 20 km/h a velocidade média, teria percorrido a mesma distância em uma hora a menos, ou seja, em 3 horas. Como calcular a distância percorrida? Se julgar pertinente, levar para a sala de aula um conjun- Distância entre Salvador e Mangue Seco SONIA VAZ Vamos representar por x a to de problemas, que não serão resolvidos neste momento, para distância percorrida. serem apenas equacionados. Considerando que: velocidade média = distância percorrida , tempo gasto podemos montar a equação a seguir para o problema. BAHIA x ϩ 20 ϭ x 4 3 12° S velocidade média que OCEANO supostamente o veículo teria ATLÂNTICO desenvolvido no percurso 0 30 aumento da velocidade média 37° O velocidade média com a qual Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: 2012. o carro fez o percurso Centro histórico, Salvador, Bahia, 2018. INES SACRAMENTO/SHUTTERSTOCK.COM D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 137 137 11/14/18 16:21 137

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Nessa equação, observamos que: Como resolver uma • O primeiro membro, x + 20 , é uma expressão algébrica inteira. equação do 1o grau com 4 uma incógnita x • O segundo membro, 3 , também é uma expressão algébrica inteira. Apresentar, na lousa, os Equações desse tipo são chamadas equações inteiras do 1o grau na incógnita x. passos utilizados na resolução da equação da situação 1: Aplicando os princípios de equivalência das equações, chegamos à forma reduzida ax = b, x + 20 = x com a, b [ R e a 5 0, o que simplifica a resolução. 4 3 Veja outras equações desse tipo: 1o: Escrever todos os ter- • x + 1 = 7, que pode ser reduzida à forma x = 6. mos como frações de mesmo denominador, usando a equi- • 3x + 10 = 5x, que pode ser reduzida à forma 2x = 10. valência de frações: • 2 ? (3x _ 1) + 5x = 0, que pode ser reduzida à forma 11x = 2. 3x + 240 = 4x Como resolver uma equação do 12 12 12 1o grau com uma incógnita 2o: Efetuar as operações Resolver uma equação consiste em encontrar o valor da incógnita que torna a sentença (adições ou subtrações) nos numeradores em cada mem- verdadeira, ou seja, encontrar a solução ou a raiz da equação. bro (quando houver): Acompanhe as situações a seguir. (3x + 240) 4x 12 = 12 1 Considerando a situação apresentada anteriormente, vamos calcular a distância percorrida pelo motorista entre as cidades de Salvador e Mangue Seco. 3o: Utilizar o princípio mul- Para isso, calculamos a raiz da equação x ϩ 20 ϭ x no conjunto R. tiplicativo e eliminar os deno- 4 3 minadores (multiplicando os x ϩ 20 ϭ x dois membros por 12): 4 3 (3x + 240) 4x 3x ϩ 240 ϭ 4x reduzimos todos os termos ao mesmo denominador 12 12 12 12 ? 12 = ? 12 usamos o princípio multiplicativo para eliminar os 3x ϩ 240 ϭ 4x denominadores (multiplicando os dois membros por 12) 3x + 240 = 4x 3x Ϫ 4x ϭ Ϫ240 usamos o princípio aditivo (adicionamos _4 aos dois membros) 4o: Utilizar o princípio aditi- x ϭ 240 vo da igualdade: O número real 240 é raiz da equação. Portanto, o motorista percorreu 240 km. 3x + 240 = 4x 3x _ 3x + 240 = 4x _ 3x 2 Resolver a equação 5 ? (x + 2) _ 3 ? (x + 6) = 40 no conjunto R. 240 = x x = 240 5(x ϩ 2) Ϫ 3(x ϩ 6) ϭ 40 Em seguida, propor ou- tras equações similares para 5x ϩ 10 Ϫ 3x Ϫ 18 ϭ 40 Eliminamos os parênteses os alunos resolverem passo a passo. Depois, pedir a alguns 2x Ϫ 8 ϭ 40 deles que mostrem, na lousa, como fizeram. Discutir com a 2x ϭ 40 ϩ 8 Usamos o princípio aditivo (adicionamos turma a respeito de diferentes 2x ϭ 48 8 aos dois membros) resoluções para validá-las. xϭ 48 Usamos o princípio multiplicativo 2 ⎜⎛⎝multiplicamos os dois membros por 1 ⎟⎞⎠ x = 24 2 O número real 24 é a solução da equação. 138 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 138 11/15/18 12:19 PM 138

3 Resolver a equação y − 3 + y +1 = y −1 , em que U = R. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 4 6 12 Se possível, desenvolver a y−3 + y +1 = y −1 situação 3 na lousa. Solici- 4 6 12 tar aos alunos que, em cada etapa efetuada, descrevam o 3(y Ϫ 3) ϩ 2(y ϩ 1) ϭ 1(y Ϫ 1) reduzimos todos os termos ao mesmo denominador conceito matemático associa- 12 12 do à operação. O uso dos ter- mos corretos auxilia na com- 3(y Ϫ 3) ϩ 2(y ϩ 1) ϭ 1(y Ϫ 1) usamos o princípio multiplicativo para eliminar preensão dos procedimentos. 3y Ϫ 9 ϩ 2y ϩ 2 ϭ y Ϫ 1 os denominadores Assim, “determinar a fração equivalente”, “aplicar o prin- eliminamos os parênteses cípio aditivo e/ou multiplicati- vo”, entre outras, são expres- 5y Ϫ 7 ϭ y Ϫ 1 sões que devem fazer parte do vocabulário matemático do 5y ϭ y Ϫ 1 ϩ 7 usamos o princípio aditivo aluno de 8o ano. 5y ϭ y ϩ 6 Atividades 5y Ϫ y ϭ 6 usamos o princípio aditivo As atividades propostas têm como objetivo aplicar os co- 4y ϭ 6 nhecimentos adquiridos a res- peito de equações do 1o grau yϭ 6 usamos o princípio multiplicativo e socializar os diferentes proce- 4 dimentos desenvolvidos pelos alunos. y ϭ 3 simplificamos a fração A 2 Na atividade 4, observar 3 se os alunos efetuam corre- solução da equação é o número real 2 . tamente a resolução, pois há uma subtração entre os ter- ATIVIDADES Resoluções a mos fracionários. É comum partir da p. 289 que esse tipo de equação seja resolvido de forma incorreta, Responda às questões no caderno. 3. Considerando o conjunto R dos números pois os alunos podem vir a con- siderar que o sinal de menos 1. Considerando U = R, determine a solução reais, determine a raiz ou solução de refere-se apenas ao primeiro das seguintes equações do 1o grau com cada uma das seguintes equações do termo do numerador e não ao uma incógnita: 1o grau com uma incógnita: numerador como um todo. x x a) 21x _ 17 = 109 6 a) 4 + 20 = 3 240 Na atividade 5, espera-se que os alunos identifiquem b) 73x + 100 = 53x _5 b) 2 y _ 3 = 3 y 3 cada expressão entre parên- 5 4 20 teses como uma parcela da x 1 soma que resulta em 90. Além c) 1,7 + 2,5x = 4,2 1 c) 1_ 2 =_ 3 x +2 _6 disso, eles também devem perceber que para identificar d) 23x _ 22 = 19x + 67 _ 5 d) x _ 10 + x = 10 40 qual expressão representa o e) 12x _ 16 = _21 + 10x 2 9 6 maior número é preciso, de- x +3 x _ 1 7 pois de obter o valor de x, de- f) 1,9x _ 3,6 = x _ 10,8 _8 e) 4 _ 3 = 2 _29 terminar o valor de cada uma dessas expressões. g) 10 (x + 1) _ 5 (x _ 2) = 70 10 f) 4x _ 1 _2= 4 _ 2_x 16 10 5 4 h) 5 (x + 2) _ 13 = 2 (3x _ 1) _1 4. Qual deve ser o número real x para que a i) 7 (2 + x) = 5 (x _ 1,2) + 35 7,5 x +2 x_ 1 expressão 4 _ 5 _ seja igual a 1? j) 3 (x + 1) _ 2 (x _ 1) = _(x + 5) _5 9), (O3xnú_me1r3o)6e. As expressões (x _ 5), (2x 5. 2. Qual é o valor de x, no conjunto R, na ex- (4x _ 3) representam números, cuja soma pressão (3 + x) _ 1 = (17 _ 4x) _ (3 + x)? 2 é 90. Qual é o maior desses números? 45 139 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 139 11/14/18 16:21 139

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resolvendo problemas Resolvendo problemas Usando a linguagem das equações, podemos resolver problemas. Acompanhe a resolução A resolução de problemas dos problemas a seguir. envolvendo o uso de equações é um tema no qual alguns alu- 1 Uma equipe de futebol disputou algumas partidas em 2019 e obteve o seguinte desempenho: nos podem vir a apresentar di- venceu 45% dessas partidas, perdeu 20% e empatou 21 partidas. Quantas partidas essa ficuldades. Propor que os alu- equipe disputou em 2019? nos, organizados em duplas, tentem resolver os problemas Vamos representar por x o número de partidas disputadas pela equipe. propostos nesta página. Lembre-se: 45% = 0,45 e 20% = 0,20. É possível que alguns tentem resolver os problemas por ten- Assim, podemos escrever esta equação: tativa e erro. No problema 1, alguns alunos podem concluir 0,45x ϩ 0,20x ϩ 21 ϭ x que 35% do total de partidas correspondem a 21 partidas e, quantidade de partidas disputadas assim, concluir que 5% do total de partidas são 3. Logo, 100% quantidade de empates correspondem a 60 partidas. Observar que, com este racio- quantidade de derrotas cínio, os alunos não utilizaram a equação como estratégia de quantidade de vitórias resolução. O salto aqui é fazê- -los construir a equação que 0,45x + 0,20x + 21 = x traduz a situação-problema. Da mesma forma, é possível deter- 0,45x + 0,20x _ x = _21 minar uma solução para o pro- blema 2, usando o raciocínio _0,35x = _21 lógico. 0,35x = 21 Confrontar a resolução dos alunos e apresentar a resolu- x= 21 = 60 ção algébrica. 0,35 Logo, essa equipe disputou 60 partidas. 2 Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? Vamos indicar por x a quantidade de carros. A quantidade de motos será indicada por 14 _ x. A equação correspondente ao problema é: 4x ϩ 2 и (14 Ϫ x) ϭ 48 quantidade quantidade quantidade de rodas de rodas total de rodas dos carros das motos 4x + 2(14 _ x) = 48 4x + 28 _ 2x = 48 2x + 28 = 48 OLYA N./SHUTTERSTOCK.COM 2x = 48 _ 28 2x = 20 xϭ 20 ϭ 10 quantidade de carros 2 quantidade de motos 14 Ϫ x ϭ 14 Ϫ 10 ϭ 4 Nesse estacionamento, há 10 carros e 4 motos. 140 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 140 11/14/18 16:21 140

ATIVIDADES Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 5. A produção e as vendas de dezembro das três montadoras de automóveis de uma As atividades propostas têm 1. Observando a figura seguinte e supondo cidade foram registradas nesta tabela: como objetivo que os alunos que todas as maçãs que estão na balança apliquem a equação do 1o grau tenham a mesma massa, determine Produção e vendas em situações variadas. quantos gramas tem cada maçã. 100 g (dezembro de 2015) Nas situações-problema MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES Montadora Unidades Taxa apresentadas, reforçar o tra- produzidas percentual balho com leitura e interpre- Azul vendida da tação dos enunciados, para Branca produção que os alunos traduzam cor- Vermelha retamente as situações para 3 000 80% linguagem matemática (neste caso, as equações). Um traba- 5 000 60% lho interessante pode ser con- frontar as equações construí- 2. Karina participou de um concurso di- 2 000 x% das pelos alunos e verificar no que se assemelham e no que vidido em duas fases. Na 1a fase, ela Fonte: Dados fictícios. diferem. Discutir coletivamente os erros cometidos é uma es- obteve uma nota e, na 2a fase, obteve Sabendo que nesse mês as três monta- tratégia que contribui para a doras venderam 7 000 dos 10 000 carros aprendizagem. 3 pontos a mais que na 1a. A nota final produzidos, qual é o valor de x? x = 80 Se sentir necessidade, ex- dos candidatos desse concurso foi calcu- plorar alguns desses proble- mas oralmente. lada assim: (1a nota) +2 ? (2a nota) . 6. Humberto trabalha de segunda a sex- 3 ta-feira e recebe mensalmente um Para finalizar, propor que auxílio-alimentação de R$ 380,00. Ele cada aluno escreva um texto Sabendo que a nota final de Karina foi 8, tem duas opções para almoçar: em um contando as estratégias utili- restaurante, onde paga cerca de R$ 15,00 zadas por ele e pelos colegas e que nota ela tirou em cada fase? por refeição, ou levando a refeição de qual estratégia eles julgam ser sua casa, ao custo aproximado de R$ 7,00. a melhor para a resolução de 1ª fase: 6; ELIZABETH KNOX/MASTERFILE/LATINSTOCK Sabendo que às sextas-feiras Humberto cada atividade. nunca pode levar sua refeição para o 2ª fase: 9. trabalho e considerando que 1 mês tem Observar quais alunos ain- 4 semanas, responda às questões. da cometem erros na resolu- Estudante em sala de aula. ção das equações, como na a) O auxílio-alimentação é suficiente para troca de sinais ou na divisão, 3. Um prêmio de R$ 165 000,00 deve ser Humberto almoçar todos os dias no e propor a eles outras estraté- dividido entre Caio, Lucca e Theo. Lucca restaurante? Sim, pois gastaria R$ 300,00. gias de aprendizagem. deve receber a metade do valor de Caio, e Theo vai receber R$ 20 000,00 b) Em um mês, quantos reais, no mínimo, a mais que Caio. Qual quantia cada ele gasta com o almoço no seu trabalho? um receberá? Caio: R$ 58000,00; Lucca: R$ 172,00 no mínimo. R$ 29000,00; Theo: R$ 78000,00. DESAFIO 4. Para comprar um computador, Valdir precisa de 200 reais a mais do que tem. 7. Uma tabela tem quatro valores numé- Se ele tivesse o dobro da quantia que tem, compraria esse computador e ainda ricos. Observa-se que, com exceção do ficaria com 300 reais. 2 a) Qual a quantia que Valdir tem? 500 reais. primeiro, cada valor corresponde a 3 b) Qual o preço do computador? 700 reais. do valor numérico anterior. Sabendo que a soma desses quatro valores é 195, qual é o primeiro valor dessa tabela? E o último? 81 (primeiro valor) e 24 (último valor). 141 DesafioD2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 141 Resolução do Desafio = 195 h 65x 11/19/18 17:53 Seja x o primeiro valor: 27 Sugere-se que o desafio da = 195 h atividade 7 seja realizado pri- meiro individualmente. Em se- x+ 2 x + 2 ? 2 x + 2 ? h x = 81 guida, organizar os alunos em 3 3 3 3 duplas ou trios para que con- Assim, o primeiro valor será tem aos colegas as estratégias que utilizaram na resolução ? 2 ? 2 x = 195 h 81 e o último valor é calculado e quais foram as dificuldades 3 3 encontradas. assim: hx+ 2 x + 4 x + 8 x = 8 x = 8 ? 81 = 24. 3 9 27 27 27 Portanto o primeiro valor será 81 e o último valor será 24. 141

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO EQUAÇÃO FRACIONÁRIA COM UMA INCÓGNITA Equação fracionária com 2 uma incógnita Um ônibus, desenvolvendo certa velocidade, percorreu os 240 km que separam Neste momento os con- as cidades de Campo Grande e Bonito em x horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h ceitos de fração algébrica e a sua velocidade média, teria demorado uma hora a menos, ou seja, (x _ 1) horas equação algébrica fracionária para percorrer a mesma distância. Qual foi a quantidade x de horas que o ônibus são retomados e aprofunda- gastou para percorrer os 240 km? dos, bem como o estudo de fatoração, como por exemplo, CESAR DINIZ/PULSAR IMAGES a redução ao denominador MARCOS AMEND/PULSAR IMAGES comum. Ressaltar a importância de se determinar quais valores a incógnita pode assumir, isto é, o seu conjunto universo. Para as equações fracionárias a res- trição são os valores reais que anulam os denominadores. Tais valores não podem per- tencer ao conjunto universo da equação original. AMPLIANDO Vista da avenida Afonso Pena, Cachoeira do desejo, Bonito, Mato Campo Grande, Mato Grosso do Sul. Grosso do Sul. Foto tirada em outubro Atividade complementar Foto tirada em março de 2018. de 2017. Determinar o conjunto uni- Considerando: velocidade média = distância percorrida , temos a seguinte verso e o conjunto solução da equação para o problema. tempo gasto seguinte equação fracionária: x2 _ 9 = 6 240 ϩ 20 ϭ 240 x_3 x x Ϫ1 velocidade média que supostamente o Resolução da atividade ônibus teria desenvolvido no percurso É necessário determinar o aumento da velocidade média conjunto universo, buscando os números reais que anulam velocidade média com a qual o ônibus fez o percurso o denominador, para excluir esses valores. Nessa equação, observamos que: Observe que 3 torna o de- • O primeiro membro, 240 + 20, é uma expressão algébrica fracionária, pois o nominador x _ 3 nulo, isto x é, x deve ser diferente de 3. termo 240 contém a incógnita no denominador. Portanto o conjunto universo x dessa equação é U = r _ {3}. • O segundo membro ⎝⎛⎜ x2_401⎟⎞⎠ também é uma expressão algébrica fracionária, Depois disso, resolve-se a pois a incógnita aparece no denominador. equação: Equações desse tipo são chamadas equações fracionárias na incógnita x. (x + 3)(x _ 3) = 6 Uma equação é fracionária quando tem pelo menos uma incógnita no x_3 denominador, sempre fora de radical. Para x 5 3, a equação fra- 142 cionária acima é equivalente à equação x + 3 = 6. No en- D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 142 11/14/18 16:21 tanto, a raiz dessa equação do 1o grau é x = 3, que para a equação fracionária não é possível. Por isso, o conjunto solução dessa equação fracio- nária é o conjunto vazio, ou seja: S=@ 142

Como resolver uma equação fracionária AMPLIANDO Atividade complementar Resolveremos as equações fracionárias de forma similar à maneira como resolvemos as outras Determinar o conjunto uni- verso e resolver a equação fra- equações. Devemos, contudo, excluir do conjunto solução da equação fracionária os valores da cionária: incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação. Vamos resolver algumas equações fracionárias. Acompanhe os exemplos a seguir. x2 _ 9 = 10 x_3 1 Determinar o número real x que seja a solução da equação 2x = 3 + 2. x_3 x Resolução da atividade 2x ϭ 3 ϩ2 m.m.c. (x, x Ϫ3) ϭ x(x Ϫ 3) O conjunto universo é o x Ϫ3 x mesmo da equação da ativi- dade anterior, ou seja, U = 2x2 ϭ 3(x Ϫ 3) ϩ 2x(x Ϫ 3) = r _ {3}. x(x Ϫ 3) x(x Ϫ 3) x2 _ 9 2x2 ϭ 3(x Ϫ 3) ϩ 2x(x Ϫ 3) Note que x deve ser diferente x_3 = 10 de 0 e de 3, pois esses valores 2x2 ϭ 3x Ϫ 9 ϩ 2x2 Ϫ 6x anulam algum denominador (x _ 3)(x + 3) da equação. x_3 2x2 ϭ 2x2 Ϫ 3x Ϫ 9 = 10 como Ϫ3 não anula nenhum denominador da 2x2 Ϫ 2x2 ϭ Ϫ3x Ϫ 9 equação, ele é a raiz ou a solução da equação 0 ϭ Ϫ3x Ϫ 9 x + 3 = 10 (para x 5 3) x=7 0 ϩ 3x ϭ Ϫ9 Como 7 pertence ao con- junto universo da equação fra- 3x ϭ Ϫ9 cionária original (7 não anula o denominador), x = 7. x ϭ Ϫ9 O conjunto solução dessa 3 equação fracionária é S = {7}. x ϭ Ϫ3 O valor procurado é o número real _3. 2 Encontrar a solução da equação 1+t = 3 + t2 . 1_t 1 _ t2 Veja o que ocorre com essa equação: 1ϩ t ϭ 3 ϩ t2 m.m.c. (1 Ϫ t, 1 Ϫ t2) ϭ (1 ϩ t)(1 Ϫ t) 1Ϫ t (1ϩ t)(1Ϫ t) (1ϩ t)(1ϩ t) ϭ 3 ϩ t2 (1ϩ t)(1Ϫ t) (1ϩ t)(1Ϫ t) (1 ϩ t)(1 ϩ t) ϭ 3 ϩ t2 1 ϩ 2t ϩ t2 ϭ 3 ϩ t2 Note que t deve ser diferente 1 ϩ 2t ϩ t2 Ϫ t2 ϭ 3 de 1 e de _1, pois esses valores 1 ϩ 2t ϭ 3 anulam algum denominador 2t ϭ 3 Ϫ 1 da equação. 2t ϭ 2 tϭ 2 2 tϭ1 Como o número 1 anula os denominadores da equação, o número 1 não é raiz ou solução da equação e, portanto, podemos dizer que essa equação não tem raiz ou solução. 143 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 143 11/14/18 16:21 143

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 6. Sabendo que 5x ϩ 1 Ϫ 1 ϭ0 , As questões desse bloco x2 Ϫ Ϫ ϩ têm como objetivo levar os 1. Determine o valor que x não pode assumir 1 x 1 x 1 alunos a reconhecer e resolver nas equações fracionárias a seguir: equações fracionárias, além de em que x 5 1 e x 5 _1, determine o compreender que os valores que anulam os denominado- 3 1 11 valor real de x que torna verdadeira res de uma equação fracioná- 4 x 12 2 ria não podem ser solução da a) + = 0 essa igualdade. Ϫ 5 equação. b) x +3 ϭ 1+ 1_x 0 7. Em uma colônia de férias A, 128 crianças Procurar resolver algumas x 2x questões com e sem a utiliza- são distribuídas em x grupos de ativida- ção de equações, para poder compará-las. c) 1 + 3 = x_1 0 des, e, na colônia B, 224 crianças são 6x 2x 4x2 A atividade 8 trata do cus- distribuídas em (x + 6) grupos de ati- to médio de determinado pro- duto. Ler o problema com os d) x_3 = 3 _3 vidades. Sabendo que a quantidade de alunos e verificar se eles com- x +3 5 preendem o que cada uma crianças, em todos os grupos, é a mesma das variáveis dadas significa. e) 2 = 5 1 ou _1 para ambas as colônias de férias, qual é 2x _ x +1 2 1 a quantidade de grupos de atividades na f) 1+ 3 = 1 colônia de férias B? 14 grupos. 2_x 2 2 2. Qual é o valor real de x que torna verda- 8. Chama-se custo médio de produção o x_1 1 x custo total dividido pela quantidade deira a igualdade 1_x = 2 + 1 _ x ?3 produzida. Uma fábrica de camisetas tem um custo total mensal C dado pela 3. Determine o valor real de y para que fórmula C = F + 8x, em que F representa o custo fixo, e x é a quantidade de ca- as expressões 3y e 3+ 2 sejam misetas produzidas. Quantas camisetas iguais, sabendo 50ey devem ser produzidas nessa fábrica para y_4 y 4. Ϫ 4 se ter um custo médio de R$ 12,00 para que y 5 5 um custo fixo de R$ 2 000,00? 500 camisetas. 4. No conjunto R, qual é a solução da 9. O 8o ano A tem x alunos. Nessa classe equação x 1 1 = 3 _ x 2 3 , com foram distribuídos 320 livros, de forma que _ x_2 _ todos receberam a mesma quantidade. O 8o ano B tem (x _ 2) alunos. Nessa classe, x 5 1, x 5 2 e x 5 3? _1 foram distribuídos 300 livros, e todos os alunos receberam a mesma quantidade. 5. Determine o conjunto solução das se- guintes equações fracionárias: 5 = _ 3 x2 _ 9 + { }a) x 3 (x 5 3, x 5 _ 3) 4 4 1 1 b) x2 Ϫ 4 ϩ xϩ2 ϭ x 3 (x 5 2, x 5 _2, x 5 0) @ ILUSTRA CARTOON { }c) y 1 + y 2 5 = 7 ϩ5 y 5) 2 y2 Ϫ 25 Ϫ (y 5 _ 5, 5 3 d) 5x − 2 ϩ 2 Ϫ 1 ϭ0 Quantos alunos há em cada classe, se 9 Ϫ x2 x ϩ3 3Ϫx cada aluno das duas classes recebeu a { }(x 5 _ 3, x 5 3) mesma quantidade de livros? _ 1 32 alunos no 8o ano A e 30 alunos no 8o ano B. 2 144 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 144 11/16/18 2:53 PM 144

POR TODA PARTE Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Por toda parte Projeto Tamar Tartaruga-cabeçuda. Nessa seção os alunos apli- O projeto Tamar foi criado em 1980 e tem como missão o carão equações fracionárias trabalho de pesquisa, conservação e manejo das cinco espé- que resultarão em valores rela- cies de tartarugas marinhas que ocorrem no Brasil, todas cionados a situações reais. ameaçadas de extinção. Ler o texto com os alunos, O Tamar está presente em cerca de 1 100 km de praias, discutir com eles a respeito com bases localizadas no litoral e em ilhas oceânicas, em nove do que acham desse projeto estados brasileiros. e como devemos proteger os animais. Se quiser ampliar a Hoje, o projeto é reconhecido internacionalmente como atividade, propor aos alunos uma das mais bem-sucedidas experiências de conservação uma pesquisa mais detalhada marinha e serve de modelo para outros países, sobretudo a respeito das instituições exis- porque envolve as comunidades costeiras diretamente no seu tentes no estado onde moram trabalho socioambiental. e que trabalham com a preser- vação de animais e do meio Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Missão. Disponível em: ambiente em geral. <www.tamar.org.br/interna.php?cod=63>. Acesso em: 18 out. 2018. AMPLIANDO Mangue Seco e o projeto Tamar Tartaruga-de-pente. Link O projeto Tamar tem uma base no Sítio do Conde, na divisa entre Sergipe e Bahia, em Mangue Seco. No site do Projeto Tamar, <http://livro.pro/38cet6> (aces- Essa base protege aproximadamente 1500 desovas e 100 mil so em: 7 nov. 2018) é possível filhotes por temporada, dos quais quase metade (47,32%) da encontrar informações adicio- espécie oliva (Lepidochelys olivacea) e o restante de cabeçuda nais sobre o projeto, além de (Caretta caretta) e de pente (Eretmochelys imbricata). fotos de tartarugas e dos locais nos quais o projeto funciona. Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Sítio do Conde. Disponível em: Tartaruga-verde. <www.tamar.org.br/base.php?cod=34>. Acesso em: 18 out. 2018. FOTOS: BANCO DE IMAGENS - PROJETO TAMAR Tartaruga-oliva A tartaruga-oliva tem carapaça de coloração cinzenta (quando jovem) e verde-cinzento-escura (quando adulta). Pode atingir até 82 cm de comprimento curvilíneo de carapaça e possui, em média, 40 kg. É uma espécie carnívora e alimenta-se de salpas, peixes, moluscos, crustáceos, briozoários, tunicados, águas-vivas, ovos de peixe e, eventualmente, algas. Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Oliva. Disponível em: Tartaruga-oliva. <www.tamar.org.br/tartaruga.php?cod=21>. Acesso em: 18 out. 2018. Resolva as equações a seguir no caderno. 1. O projeto Tamar tem x bases mantidas em áreas de alimentação, desova, crescimento e descanso das tartarugas marinhas. 23; 23 bases. 3x Ϫ 15 ϭ 5 7 Ϫ 3x 10 10 5 2. Instalada em 1991, a base de Sítio do Conde monitora y quilômetros de praia, entre a foz do rio Inhambupe, ao sul, e a foz do rio Real, ao norte. y = 81; 81 km. 1 Ϫ 4 ϭ 1 Ϫ 129 4 y Ϫ 11 2 6y Ϫ 66 145 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 145 11/15/18 12:19 PM 145

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO EQUAÇÕES LITERAIS DO 1O GRAU NA INCÓGNITA X Equações literais do 3 1o grau na incógnita x Observe as seguintes equações, todas do 1o grau na incógnita x: Esse é um assunto que pode trazer alguma dificuldade aos • 3ax = 9 • 2a _ ax = bx • px _ 1 = p2 alunos, pois eles não estão acostumados a ter como solu- Nessas equações, aparecem outras letras, além da incógnita x. Essas letras figuram ção de uma equação uma ex- pressão que contém também na equação como constantes que representam números reais. letras. Auxilie-os nesse proces- so de aprendizagem, a fim de Equações desse tipo são denominadas equações literais do 1o grau na incógnita x. que adquiram a maturidade matemática necessária para a Como resolver uma equação literal compreensão do conceito. do 1o grau com uma incógnita Analisar com os alunos os Resolveremos as equações literais do 1o grau na incógnita x da mesma maneira exemplos apresentados e resol- que resolvemos as outras equações do 1o grau. Observe: ver os exemplos 1 e 2 na lou- sa, solicitando a contribuição 1 Considerando x a incógnita, resol- 2 Considerando x a incógnita, vamos deles durante a resolução. Em ver a equação 8x + 7a = 2x + 25a. resolver a equação seguida, comparar a estratégia 3(mx + n) _ 2mx = 5n. adotada na resolução na lousa 8x + 7a = 2x + 25a com a apresentada no livro. 8x = 2x + 25a _ 7a 3(mx + n) _ 2mx = 5n Atividades 8x = 2x + 18a 3mx + 3n _ 2mx = 5n As atividades propostas têm como objetivo levar os 8x _ 2x = 18a mx + 3n = 5n alunos a reconhecer e resolver equações literais, além de am- 6x = 18a mx = 2n h x = 2n pliar a compreensão de que m a solução de uma equação xϭ 18a ϭ 3a A solução é o número real 2n , literal é dada em função das 6 m letras consideradas constan- A solução da equação é 3a. para m 5 0. tes e, por isso, depende dos valores que essas constantes ATIVIDADES Resoluções a { } { }1.b) 5b 1 podem assumir. partir da p. 289 a b Reforçar a necessidade de Ϫ , com a 0 c) , com b 0 excluir alguns valores para es- sas constantes para que não Responda às questões no caderno. d) (a _ b)x + (a + b)x = 2a {1} tenhamos um denominador nulo, como por exemplo nos 1. Sendo x a incógnita e supondo que os e) x ϭcϩ x (a 5 0) {2ac} itens a, b e c da atividade 1. a 2a resultados representem números reais, Propor um desafio para os 2. Qual é o conjunto solução da equação alunos, perguntando: “E se resolva as seguintes equações literais no trocássemos a incógnita pela { }6hx + 14 =h118, + 2hx, em que x é a constante e vice-versa? Como {conjunto R: com h 0 ficaria a solução da equação?”. a , com b 0} incógnita? a) 5bx + 2a = bx + 3a 4b 3. Qual deve ser o número real x para que b) 3(ax + b) = 2(ax _ b) a soma bϩx ϩ bϪx resulte em Ϫ x ? c) (x + b)(x _ b) = x ? (x _ b3) 16b 5 3 10 146 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 146 11/15/18 12:20 PM 146

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Resoluções a ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS partir da p. 289 Educação financeira Juro zero e estratégia de marketing O texto apresentado nessa Atenção, consumidor: “juro zero” é consegue um desconto se comprar em uma seção tenta alertar o consumi- estratégia de marketing vez só. Isso mostra que esse valor menor dor a respeito da inexistência é o preço real do produto, e o preço cheio do “juro zero” quando existe Bruno Rosa embute juros. um desconto para pagamen- Publicado em 23 jul. 2011. to à vista. É apresentada uma [...] situação para explicar melhor RIO – Entre uma promoção e outra O grande risco que o consumidor corre como são calculados os pre- no comércio, é difícil não aderir a um é de fazer das compras a prazo um hábito, ços com juro embutido. Nela, parcelamento alardeado como juro zero. pagando juros sem saber e, assim, compro- o consumidor pode pagar em Impulsionada pelo aumento da renda e metendo seu orçamento e fazendo dívidas duas vezes (uma no ato da pelo avanço no nível de emprego no país, a financeiras, em que os juros são mais altos. compra e outra depois de um armadilha dos juros embutidos, escondida É melhor juntar e comprar por um preço mês) ou à vista com 5% de no desconto à vista, ganha força no comér- melhor, já que o juro zero é uma estratégia desconto. Explicar aos alunos cio. As lojas costumam anunciar o mesmo de marketing do comércio [...]. que, quando pagamos uma preço à vista e para parcelamento sem juros, [...] parcela no ato da compra, ela mas é só chorar um pouquinho que o cliente não tem juro embutido e que o valor real da mercadoria é o Fonte: ROSA, B. Atenção consumidor: “juro zero” é estratégia de marketing. valor com desconto à vista. Extra 20. Disponível em: <http://extra.globo.com/noticias/economia/atencao- consumidor-juro-zero-estrategia-demarketing-2294212.html>. Acesso em: 18 out. 2018. Se julgar interessante, apresentar a situação a seguir: Para entender melhor como são calculados os preços com juro embutido, acompanhe a situação a seguir. Um comerciante tem um produto cujo preço real é Em uma loja, há duas opções de pagamento na compra de uma bolsa no valor de R$ 300,00: R$ 100,00 e, para vendê-lo parcelar em duas vezes sem juro, com uma parcela sendo paga no momento da compra e a outra, em duas parcelas iguais a serem após 30 dias; ou pagar à vista e em dinheiro, obtendo um desconto de 5% sobre o valor da bolsa. pagas em 30 e 60 dias, vai Vamos analisar essa situação. embutir uma taxa de juro de 5% ao mês. Para isso, ele Se a loja deu um desconto no pagamento à vista em dinheiro, então os valores da compra deve calcular o valor das par- a prazo e da compra à vista são diferentes, ou seja, existe juro embutido no valor da compra a celas com essa taxa. prazo. Vamos calcular o valor e a taxa de juro dessa compra a prazo. Vamos representar o valor O valor da bolsa é R$ 300,00 e pode ser pago em duas parcelas iguais de R$ 150,00. das parcelas com a incógnita x. Com o desconto de 5%, o cliente pode pagar R$ 285,00 à vista, em dinheiro. Para calcular a taxa de juro embutido cobrada pela loja, vamos subtrair de R$ 285,00 os Dívida atualizada após 1 R$ 150,00, que correspondem ao valor da primeira parcela. Essa parcela não tem juro, pois foi paga mês: 100 ? 1,05 = 105 no ato da compra. Os restantes R$ 135,00, após um mês, com o juro, resultarão em uma dívida de R$ 150,00. Portanto, podemos dizer que o juro embutido dessa compra é R$ 15,00 e a taxa de Primeira parcela: x juro é aproximadamente 11%. Após o pagamento da pri- meira parcela, a dívida restan- • No caderno, calcule qual seria a taxa de juro embutido no pagamento em duas vezes de te será 105 _ x. R$ 150,00 caso o desconto do pagamento à vista fosse de 8%. Aproximadamente 19%. Para calcular o valor da se- gunda parcela, aplicamos o 147 juro de 5% sobre a dívida res- tante, que é (105 _ x) ? (1,05). D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 147 11/16/18 2:54 PM Como a segunda parcela deve ser igual à primeira, temos a equação x = (105 _ x) ? (1,05). Nessa, é apresentada a equação matemática para de- terminar o valor das parcelas de uma compra que pode ser paga em duas vezes (30 e 60 dias após a compra), com juro embutido. Promover uma discussão a respeito do tema e questionar se eles já passaram por situ- ações nas quais perceberam que comprar à vista era mais vantajoso. 147

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO EQUAÇÃO DO 1O GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Equação do 1o grau com 4 duas incógnitas pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Aqui, os alunos entrarão em contato com problemati- Responda às questões no caderno. zações que envolvem equa- ções do 1o grau com duas 1. Vamos considerar que as figuras representadas a seguir têm perímetro incógnitas. A ideia é verificar quais estratégias são utilizadas iguais: y pelos alunos na busca das so- luções e se fazem uso de fer- 8 ramentas algébricas. xy ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Propor aos alunos que de- terminem soluções distintas a) Qual é a equação do 1o grau com duas incógnitas que irnecpórgesneitna2taxy e+ossv1ea6lfoa=rto74?,y para uma mesma equação do b) Se você atribuir para a incógnita x o valor 6 e para a 1o grau com duas incógnitas. Espera-se que eles percebam esses dois valores verificam a equação que você escreveu? que para obter tais soluções Sim, pois 2 ? (6) + 16 = 4 ? (7), ou seja, 12 + 16 = 28. devem escolher um valor para uma das incógnitas, substituir 2. Em um estacionamento, há x carros e y motos, totalizando 60 rodas. esse valor na equação e, assim, determinar o valor da outra a) Qual é a equação nas incógnitas x e y que representa esse fato? incógnita, sempre respeitan- b) Considerando 12 carros e 6 motos, esses valores (12 e 6) verificam4xa+eq2uya=çã6o0 do as condições dadas sobre os valores que as incógnitas que você escreveu? Sim, pois 4 ? (12) + 2 ? (6) = 60, ou seja, 48 + 12 = 60. podem assumir. Por exemplo, se as incógnitas representam Toda equação que pode ser reduzida a uma equação equivalente na forma ax + by = c, idades ou quantidades, elas podem assumir somente valo- com a, b e c [ R e a 5 0, b 5 0, é denominada equação do 1o grau com duas incógnitas. res positivos e inteiros, ou seja, devem ser números naturais. São equações do 1o grau com duas incógnitas: • x ϩ y ϭ 10 • 3x ϩ 2y ϭ 16 • 7x Ϫ 5y ϭ 9 incógnitas x e y incógnitas x e y incógnitas x e y Dependendo do conjunto universo, uma equação do 1o grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, pode ter infinitas soluções, cada uma delas indicada por um par ordenado de números: o primeiro número representa o valor da incógnita x; o segundo representa sempre o valor da incógnita y. Essa ordem precisa ser respeitada. Daí o nome par ordenado. Indica-se: (x, y). Vamos verificar isso analisando as situações seguintes. 1 O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16? 3x + 2y = 16 3 ? (2) + 2 ? (5) = 16 6 + 10 = 16 (verdadeira) O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16. 148 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 148 11/15/18 12:22 PM 148

2 O par ordenado (5, 2) é solução da equação 3x + 2y = 16? ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3x + 2y = 16 3 ? (5) + 2 ? (2) = 16 Atividades 15 + 4 = 16 (falsa) O par ordenado (5, 2) não é solução da equação 3x + 2y = 16. As atividades propostas têm como objetivo que os alu- 3 Determinar a solução da equação 3x + 2y = 16 quando y = _1. nos apresentem uma solução para equações do 1o grau com 3x + 2y = 16 duas incógnitas e verificar se um par ordenado (x, y) é ou 3x + 2 ? (_1) = 16 não uma das soluções de uma equação do 1o grau com duas 3x _ 2 = 16 incógnitas. 3x = 16 + 2 Desafio 3x = 18 Resolução do Desafio x ϭ 18 Na atividade 7, o sistema 3 apresentado é bem simples. Com algumas tentativas, até x=6 mentalmente, os alunos po- dem chegar ao par (4, 3). Eles O par ordenado (6, _1) é solução da equação quando y = _1. devem perceber que procurar, por tentativas, uma solução de ATIVIDADES Resoluções a uma equação do 1º grau com partir da p. 289 duas incógnitas exige que se atribua um valor a uma in- Responda às questões no caderno. 4. Apresente uma solução para a equação cógnita e, com isso, se calcu- 9x _ 5y = 21 quando: le a outra. No caso, a solução 1. Verifique se o par ordenado (5, _2) é uma a) y vale 3 (4, 3) deve ser a mesma para as duas das soluções das seguintes equações: b) x vale _6 (_6, _15) equações. Assim, é necessário a) 5x + 2y = 21 Sim. procurar um valor para uma b) x _ 9y = 23 Sim. 5. Dada a equação 6x _ y = 42, encontre das incógnitas que forneça, c) 10x _ y = 48 Não. a solução dessa equação quando: nas duas equações, valores d) 6x + 6y = 18 Sim. a) x = 8 (8, 6) iguais para a outra incógnita. e) 3x _ 4y = _23 Não. b) y = 30 (12, 30) f) 0,5x _ 0,3y = 1,9 Não. Incentivar os alunos a pro- 6. Considere a afirmação: “O par ordenado curar mais de um par que seja 2. Considerando que y = 7x _ 3, determine (_1, 10) é solução, ao mesmo tempo, das solução das duas equações equações 10x _ y = _20 e 5x + 2y = 15”. simultaneamente. A impossibi- o valor da incógnita x nas equações: Essa afirmação é verdadeira ou falsa? lidade de encontrar outros pa- É verdadeira. res leva à discussão a respeito a) 2x + 3y5yy===21_5Ϫ92 292 11 da solução de um sistema de b) 3x _ 16 DESAFIO equações do 1o grau com duas c) 5x _ incógnitas, tema que será es- 7. Agora, junte-se com um amigo. Fazendo tudado na sequência. d) 0,3x _ 0,2y = 1,7 _1 tentativas e usando apenas números na- turais, descubra um par ordenado (x, y) 3. Determine uma das soluções da equação que seja solução, ao mesmo tempo, das 0,6x _ 1,5y = _1,5 quando: equações x + y = 7 e x _ y = 1. O par ordenado é (4, 3). a) y = 0,8 (_0,5; 0,8) b) y = 1,2 (0,5; 1,2) 149 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 149 11/14/18 16:21 149

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Representação geométrica Representação Veja como podemos representar uma equação do 1o grau com duas incógnitas no plano cartesiano. geométrica 1 Representar a equação x + y = 3 no plano cartesiano. A construção da represen- Inicialmente, construímos um quadro e escolhemos alguns valores para x e calculamos o tação geométrica de equações valor de y correspondente. Assim, encontramos alguns pares ordenados que são solução do 1o grau com duas incógni- dessa equação. tas pode ser feita utilizando software de geometria dinâ- xy Par ordenado (x,y) mica. É importante ressaltar _1 _1 + y = 3 h y = 3 + 1 = 4 (_1, 4) que a construção feita usando 0 0+y=3hy=3+0=3 (0, 3) papel quadriculado, régua e 1 1+y=3hy=3_1=2 (1, 2) lápis é fundamental para que os alunos compreendam o Depois, indicamos os pares ordenados no plano cartesiano. Com uma régua, traçamos a reta conceito envolvido. A utiliza- que passa por esses pontos. ção da ferramenta software deve ser feita posteriormente, y y com o objetivo de auxiliar no 6 6 processo de aprendizagem. 5 (_1, 4)4 (0, 3) 4 Se sua escola dispuser de 3 (1, 2) 3 computadores, sugerimos que 2 2 as construções sejam feitas em 1 papel e, em seguida, usando o 1 software. Questionar os alu- _4 _3 _2 _1_10 1 2 3 4 5 nos a respeito da inclinação das _4 _3 _2 _1_10 1 2 3 4 5 x x retas, dos pontos em que a reta cruza o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. Registrar na lousa as hipóteses dos alunos. A representação geométrica de uma equação do 1o grau com duas incógnitas é uma reta. ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Resolva as atividades a seguir no caderno. 2. Represente no plano cartesiano as equa- ções a seguir, usando uma folha de papel 1. Considerando que x assume os valores quadriculado. Resposta no final do livro. {_1, 0, 1, 2}, encontre os pares ordena- a) x _ y = 2 dos das equações a seguir: a) _2x + y = 2 Resposta no final do livro. b) 2x _ y = 5 b) x _ 3y = _1 c) _x _ 3y = 1 150 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 150 11/15/18 12:23 PM 150

CAPÍTULO SISTEMAS DE EQUAÇÕES ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS DO 1O GRAU COM DUAS 5 INCÓGNITAS Sistemas de equações do 1o grau com duas Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140. PHOTODISC/GETTY IMAGES incógnitas Em um estacionamento, há carros e motos, Retomar com os alunos o totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros problema 2 da página 140 e as estratégias de resolução e quantas motos há nesse estacionamento? adotadas naquele momento. Em seguida, apresentar a re- Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira: solução proposta nesta página São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas. e compará-las. FOTOS: Promover um debate a HEMERA respeito dessas estratégias e seus pontos positivos e nega- Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos tivos. Espera-se que os alunos por carros até completar 48 rodas e 14 veículos. concluam que o método de tentativa e erro pode ser bas- 4ϫ2ϭ8 tante trabalhoso dependendo da situação e que, por isso, é 10 ϫ 4 ϭ 40 necessário um novo método para a resolução de sistemas Quantidade de veículos de 4 rodas: 10 14 veículos e 48 rodas de equações do 1o grau com Quantidade de veículos de 2 rodas: 4 duas incógnitas, que é o tema que será estudado em seguida. Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos. Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado Descubra mais quando as quantidades forem muito grandes. Com os livros indicados é DESCUBRA MAIS possível apresentar novas situa- ções que incentivem os alunos Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora no trabalho com equações e Ática, 2011. sistemas, enriquecendo o estu- do desse tema. Em Encontros Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1o grau. Entre um problema do primeiro grau, é possível e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar. tratar do conteúdo de equação do 1o grau; e em Os olímpi- Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli cos, é possível tratar do conte- Neto, Editora FTD, 1999. údo de equação do 1o grau e sistemas de equações. O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas, os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da Verificar se esses livros es- disciplina e da perseverança na vida dos atletas. tão disponíveis na biblioteca da escola e, em caso afirmati- vo, organizar um momento de leitura, levando os alunos até esse espaço escolar. 151 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 151 11/14/18 16:21 151

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Vamos, agora, usar os conhecimentos de cálculo algébrico para resolver o problema de outro modo. Inicialmente, indicamos: Atividades • a quantidade de carros que há no estacionamento com x; As questões propostas têm • a quantidade de motos que há no estacionamento com y. como objetivo levar os alunos a representar uma situação Em seguida, com base nos dados do problema, montamos duas equações: por meio de um sistema de duas equações do 1o grau com x ϩ y ϭ 14 e 4x ϩ 2y ϭ 48 duas incógnitas. quantidade de carros quantidade total de rodas Na atividade 1, enfatizar a necessidade de associar cada quantidade de motos cada moto tem 2 rodas valor desconhecido a uma in- cógnita, x ou y, deixando clara quantidade de veículos cada carro tem 4 rodas essa associação. Por exemplo, no item a podemos fazer: Quando duas equações de 1o grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e, • Preço de um livro: x dizemos que há um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas (no caso, x e y). • Preço do outro livro: y Esse sistema pode ser representado assim: ⎩⎨⎧4x xϩϩy2ϭy 14 Sistema: ϭ 48 { x + y= 60 x = 2y Assim, é importante que ATIVIDADES Resoluções a 2. ⎩⎨⎧2xxϩϩy4ϭy 23 os alunos, na resolução de partir da p. 289 ϭ82 problemas por meio de siste- mas de equações do 1o grau Responda às questões no caderno. f) Em um jogo de basquete, a cestinha do com duas incógnitas, deixem time vencedor fez 24 cestas, algumas claro qual valor desconhe- 1. Usando as letras x e y para representar cido está associado a cada as incógnitas (números desconhecidos), valendo 3 pontos, e outras, 2 pontos, uma das incógnitas. estabeleça um sistema de duas equações num total de 56 pontos. do 1o grau associado a cada uma das si- tuações a seguir: g) O perímetro de um terreno retangular é a) Dois livros custam juntos 60 reais e o preço 22 m, e a medida da frente é 5 m maior de um deles é igual ao dobro do preço do feunpdaoto. s,⎩⎧⎨t2xoxϭtϩayl2ϩiyza5ϭn2d2o outro. 2. que a medida do Em um sítio há bois b) A soma das idades de Theo e Fernanda é 9 anos, enquanto a diferença entre essas 23 animais e 82 pernas. Usando as letras idades é 3 anos, sendo Theo o mais velho. x e y, escreva um sistema de duas equa- ções associado a esse fato. c) Uma tábua de 3,5 metros de comprimento deve ser cortada em dois pedaço de tal forma que o comprimento do pedaço maior seja igual ao triplo do comprimento do menor menos 0,5 metro. d) Gabriela tem 10 cédulas, umas de 20 reais CESAR DINIZ/PULSAR IMAGES e outras de 10 reais, perfazendo um total de 130 reais. e) A soma de dois números é 100, e o maior deles é igual ao dobro do menor mais 4. 1. a) ⎧⎨⎩xx ϩyϭ 60 b) ⎩⎧⎨xx ϩ y ϭ 9 c) ⎩⎧⎨xx ϩy ϭ3,5 d) ⎩⎨⎧2x0ϩx y ϭ10 e) ⎧⎨⎩xx ϩy ϭ100 f)⎩⎧⎨3xxϩϩy2ϭy 24 152 ϭ2y Ϫ y ϭ 3 ϭ 3y Ϫ0,5 ϩ10y ϭ130 ϭ 2y ϩ 4 ϭ56 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 152 11/15/18 12:23 PM 152

Solução de um sistema de equações ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS do 1o grau com duas incógnitas Solução de um sistema Quando duas equações formam um sistema, embora cada equação tenha infinitas soluções, de equações do 1o grau devemos procurar a solução que verifica as duas equações simultaneamente. com duas incógnitas A solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas, x e y, por Ler o texto apresentado aos exemplo, é um par ordenado (x, y) que é solução tanto da primeira equação como da segunda. alunos e verificar se eles com- preendem que, como cada Voltemos ao sistema de equações que representa o problema dos veículos da página 140: uma das equações do siste- ma pode ser representada por ⎧⎩⎨4x xϩϩy2ϭy 14 uma reta do plano cartesiano, ϭ 48 o ponto de intersecção das duas retas é a solução do sis- • O par ordenado (10, 4) é solução desse sistema, pois os valores verificam as duas equações tema, pois é solução tanto de uma como da outra equação. ao mesmo tempo: 4x + 2y = 48 40 + 8 = 48 (verdadeira) x + y = 14 4 ? 10 + 2 ? 4 = 48 Se possível, propor outros 10 + 4 = 14 (verdadeira) sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas • O par ordenado (6, 8) não é solução desse sistema, pois verifica a equação x + y = 14, mas e mostrar a resolução geomé- trica usando um software de não verifica a equação 4x + 2y = 48: geometria dinâmica. x + y = 14 4x + 2y = 48 24 + 16 5 48 Nós 6 + 8 = 14 (verdadeira) 4 ? 6 + 2 ? 8 = 48 (falsa) Propor aos alunos que dis- cutam a respeito do tema em Esse sistema pode ser resolvido y x + y = 14 4x + 2y = 48 pequenos grupos. Em segui- geometricamente. Para isso, vamos da, promover um debate com representar cada uma das equações 8 (10, 4) a turma toda. Apresentar os que compõem o sistema em um 7 seguintes questionamentos mesmo plano cartesiano. 6 para auxiliá-los na reflexão: 5 • Diferentes tipos de trans- A solução do sistema de equações 4 porte atendem mais satisfato- é o ponto de intersecção das duas 3 riamente às necessidades de retas no plano cartesiano. 2 cada indivíduo? 1 • Como uma nova modalida- de de transporte pode impac- _1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x tar no trânsito, na sociedade e _1 nas famílias das pessoas que _2 trabalham com modalidades _3 de transporte já existentes? _4 NÓS Não faz muito tempo que, para pegar um táxi, era necessário ir até a rua e balançar o dedo indicador ou ligar para alguma cooperativa de táxis. Mas isso mudou com a popularização dos smartphones e o desenvolvimento de novos aplicativos, desde alguns específicos para táxis até novas opções de transporte, como caronas e mesmo o transporte particular por geolocalização, o qual, em alguns casos, permite o compartilhamento da corrida com outros passageiros, o que acaba barateando o preço final. • Você acredita que a criação de novas opções de transporte pode ser benéfica para a população? Resposta pessoal. 153 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 153 11/14/18 16:21 153

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289 Atividades ATIVIDADES As atividades propostas Responda às questões no caderno. 4. Verifique se o par ordenado (_2, 2) é a têm o objetivo de aplicação dos conhecimentos adquiridos 1. O par ordenado (10, 7) é a solução do ⎪⎧⎨⎩⎪xx2Ϫϩ2y4yϭϭ37 a respeito de um sistema de equações, verificando se um sistema ⎧3x Ϫ 2y ϭ 16 ? Sim. solução do sistema. par ordenado é ou não solu- ⎩⎨2x ϩ 3y ϭ 41 Não é solução. ção de determinado sistema de duas equações do 1o grau 2. Verifique se o par ordenado (_3, 5) com duas incógnitas. é a solução do sistema de equações: 5. Descubra o par ordenado de números A atividade 5 vai além do naturais que é a solução do sistema. que simplesmente uma verifi- ⎩⎧⎨24xx ϩ 3y ϭ Ϫ3 31. Sim, é solução. cação. Nela os alunos devem Ϫ 5y ϭ determinar o par ordenado ⎧x ϩ y ϭ 6 que é a solução do sistema. 3. Entre os pares ordenados (1, 2) e (2, 1), ⎩⎨x Ϫ y ϭ 2 . (4, 2) Verificar que procedimentos os qual deles é a solução do sistema alunos usam para resolver essa questão. Ela pode ser feita em ⎧2x Ϫ yϭ3 ? (2, 1) duplas ou pequenos grupos. ⎩⎨3x ϩ 2y ϭ 8 Socializar e validar com a tur- ma os diferentes procedimen- DESAFIO tos que aparecerem. 6. Agora, junte-se com um amigo para resolver o desafio a seguir. Dois irmãos acabam de Desafio contar a quantia que cada um conseguiu economizar. No desafio da ativida- de 6, incentivar os alunos Bento, a criar estratégias próprias para resolução. Pedir que Antônio, eu preciso de menos. Basta que descrevam como pensaram e se você me der um terço do você me dê um quarto das suas socializem as respostas. Dis- cutir com eles a necessidade que você economizou, eu economias para que eu fique de uma estratégia eficaz para ficarei com 110 reais. com 110 reais. a resolução de um sistema de equações. Deixar que refli- MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES tam um pouco sobre isso. Para descobrir quantos reais cada irmão conseguiu economizar, responda às questões Resolução do Desafio no caderno. a) Alternativa b. a. Qual dos sistemas a seguir traduz a situação apresentada? Alternativa b. b) A incógnita x representa ⎪⎧ x y ϭ 110 ⎪⎧x ϩ y ϭ 110 ⎧⎪x Ϫ y ϭ 110 ⎨ 4 3 ⎨ 3 ϭ 110 ⎨ 3 ϭ 110 a quantia economizada por a) ϩ b) ⎪y ϩ x c) ⎪y Ϫ x ⎩ 4 ⎩ 4 Bento; a incógnita y, a quantia ⎪⎩x Ϫ y ϭ 10 economizada por Antônio. c) y A inbcó.gnNitoa sxisrteepmreasecnotarraetqouadnetieaqeucoançoõmesiz,aodaqupoerrBeepnrteos;eanitnacóaginnitcaóyg,naitqauxa?ntEiaaecinoncóomgniziataday?por Antônio. 3 x+ = 110 c. Verifique qual dos pares ordenados a seguir é a solução do sistema de equações correto. c) (85, 95) Alternativa a. x a) (80, 90) b) (90, 80) 4 y+ = 110 d. Qual é a quantia que cada irmão conseguiu economizar? x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e y = 90 reais (quantia economizada por Antônio). Substituindo os valores de 154 x e y no sistema identificado, temos: 80 + 90 = 110 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 154 11/15/18 12:24 PM 3 90 + 80 = 110 4 Portanto, alternativa a. d) x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e y = = 90 reais (quantia economi- zada por Antônio). 154