A-CONQUISTA-DA-MATEMATICA-MP-8_DIVULGACAO

CAPÍTULO RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS DUAS EQUAÇÕES DO 1O GRAU 6 COM DUAS INCÓGNITAS Método da substituição Existem métodos algébricos que permitem calcular o par ordenado (x, y), que é Nesta e na próxima página a solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. é apresentado o método da substituição para a resolução Neste capítulo, estudaremos dois desses métodos: o da substituição e o de sistemas de duas equações da adição. do 1o grau com duas incógni- tas. Ler com os alunos a expli- Método da substituição cação e reproduzi-la na lousa, explicando cada passo. Veri- Em um estacionamento, há carros e motos, PHOTODISC/GETTY IMAGES ficar se os alunos compreen- totalizando 14 veículos e 48 rodas. dem o que é feito de um passo Quantos carros e quantas motos há para outro. nesse estacionamento? Comentar que esse método é bastante utilizado para a re- solução de sistemas desse tipo e que será uma ferramenta muito útil para diversos assun- tos que verão em anos poste- riores, tanto na Matemática como em outras disciplinas. Inicialmente, indicamos: • a quantidade de carros que há no estacionamento por x; • a quantidade de motos que há no estacionamento por y. De acordo com os dados do problema, formamos o sistema de equações: {x ϩ y ϭ 14 4x ϩ 2y ϭ 48 Para resolver esse sistema pelo método da substituição, seguimos os passos: 1o passo: Na 1a equação, isolamos a incógnita x. x + y = 14 x = 14 _ y 2o passo: Na 2a equação, vamos substituir x por 14 _ y. 4x + 2y = 48 4(14 _ y)+ 2y = 48 equação do 1o grau na incógnita y 56 _ 4y + 2y = 48 56 _ 2y = 48 _2y = 48 _ 56 _2y = _8 2y = 8 8 y= 2 y=4 quantidade de motos 155 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 155 11/14/18 16:21 155

3o passo: Substituímos y por 4 na equação x = 14 _ y. x = 14 _ y x = 14 _ 4 x = 10 quantidade de carros Então, a solução do sistema ⎩⎧⎨4x xϩϩy2ϭy 14 48 é o par ordenado (10, 4). ϭ Há 10 carros e 4 motos no estacionamento. Considere agora estas outras situações: 1 Vamos resolver o sistema: ⎪⎧ x Ϫ1ϭ y ⎨ 2 3 ⎪⎩x Ϫ 3(y ϩ 2) ϭ Ϫ4 1o passo: Inicialmente, devemos preparar as equações, isto é, devemos escrevê-las na forma ax + by = c. • x Ϫ1ϭ y • x _ 3(y + 2) = _ 4 2 3 x _ 3y _ 6 = _4 x _ 3y = _4 + 6 3x Ϫ 6 ϭ 2y x _ 3y = 2 6 6 3x _ 6 = 2y 3x = 2y + 6 3x _ 2y = 6 2o passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente: ⎧⎩⎨3xxϪϪ32yyϭϭ26 • Nesse sistema, é mais simples iniciarmos pela 2a equação: x _ 3y = 2 x = 2 + 3y • Substituímos o valor de x na 1a equação: 3x _ 2y = 6 3(2 + 3y) _ 2y = 6 6 + 9y _ 2y = 6 6 + 7y = 6 7y = 6 _ 6 7y = 0 y= 0 7 y=0 • Determinamos o valor de x para y = 0: x = 2 + 3y x = 2 + 3 ? (0) x=2+0 x=2 A solução do sistema é o par ordenado (2, 0). 156 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 156 11/14/18 16:21 156

⎧ 3x ϭ1 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ⎪⎪ y 2 Determinar o par (x, y) que é a solução do sistema: ⎨ Apresentar o exemplo 2 na ⎪ 2 5 lousa e propor aos alunos que ⎪⎩ x ϭ y Ϫ1 o resolvam antes de observar a resolução apresentada no 1o passo: Nesse sistema, devemos ter y 5 0, y 5 1 e x 5 0. Vamos, então, reduzir as equa- livro. Em seguida, explorar o ções à sua forma mais simples. exemplo na lousa solicitando que os alunos comparem com • 3x ϭ1 • 2 ϭ 5 a resolução feita por eles e co- y x y Ϫ1 mentem a respeito dos pontos em que identificaram alguma 3x ϭ y 2(y Ϫ 1) = 5x dificuldade. y y x(y Ϫ 1) x(y Ϫ 1) Atividades 3x = y 2(y _ 1) = 5x Nesse bloco as questões y = 3x 2y _ 2 = 5x têm como objetivo levar os alunos a resolver um sistema _5x + 2y = 2 de equações do 1o grau com duas incógnitas utilizando o 2o passo: Depois, resolvemos o sistema: ⎩⎨⎧Ϫy 5ϭx 3x 2y ϭ 2 método da substituição. ϩ Nesse caso, é mais simples iniciarmos pela primeira equação. • y = 3x • y = 3x • _5x + 2y = 2 y = 3 ? (2) _ 5x + 2 ? (3x) = 2 y=6 _5x + 6x = 2 x=2 A solução do sistema é o par ordenado (2, 6). ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. g) ⎧⎨⎩36xy Ϫ 5y ϭ 2(x Ϫ y) ϩ 1 (1, 0) Ϫ 3(x Ϫ 3y) ϩ 2ϭ Ϫx 1. Determine a solução de cada um dos se- guintes sistemas de equações do 1o grau ⎪⎨⎧x xϩ yϭ 9 (6, 3) nas incógnitas x e y: ⎪⎩ 2y ϭ1 h) a) ⎧⎨⎩xx ϩy ϭ 22 d) ⎩⎧⎨3xxϩϪ22yyϭϭϪ240 ⎨⎧⎪⎪⎩2yxϪ1ϭ12ϭϩ 3y Ϫy ϭ 8 (4, −4) 1 (4, 2) (15, 7) i) xϪ b) ⎧⎩⎨2xxϪϩyyϭϭ426 ⎩⎧⎨2x xϩϪ3yy ϭ3 3 (10, 6) ϭ 1,8 e) 2. Uma fração é equivalente a 7 . Se 4 (1,2; 0,6) adicionarmos 2 ao denominador dessa c) ⎩⎨⎧53xx ϩ y ϭ Ϫ5 f) ⎪⎧ x ϭ 10 Ϫ y fração, ela se tornará equivalente a 3 . Ϫ 2y ϭ Ϫ1 ⎨ 5 2 Qual é a fração pedida? 21 2 ⎪⎩x Ϫ y ϭ 8 (−1, −2) (20, 12) 12 157 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 157 11/14/18 16:21 157

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Método da adição Método da adição Veremos a seguir como resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas usando o método algébrico da adição. Para o método da adição, retomar a aplicação do princí- Consideremos as situações: pio multiplicativo da igualdade com os alunos: multiplicando 1 Determinar a solução (x, y) do sistema: ⎨⎧⎩52xx ϩ3y ϭ 21 (ou dividindo) os dois membros Ϫ3y ϭ14 de uma equação por um mes- mo número não nulo, obtemos 1o passo: Como as duas equações apresentam termos opostos (+3y na primeira e _3y na outra equação equivalente à segunda), adicionamos as duas equações membro a membro. Isso permite obter uma única equação original. equação, equivalente às equações dadas, sem a incógnita y. Ressaltar que, para determi- 5x + 3y = 21 7x = 35 nar por qual número se deve 2x _ 3y = 14+ 35 multiplicar cada equação do 7x + 0 = 35 h xϭ 7 sistema ao utilizar o método da adição, deve-se buscar eliminar x=5 uma das incógnitas ao se fazer a adição, membro a membro, 2o passo: Substituindo x por 5 em uma das equações do sistema, temos: das duas equações. Facilita eli- minar incógnitas que tenham 5x + 3y = 21 Não se esqueça sinais diferentes nas duas 5 ? 5 + 3y = 21 de que o par ordenado que equações, em particular, se ti- 25 + 3y = 21 é solução do sistema é solução verem coeficientes opostos. 3y = 21 _ 25 tanto da primeira equação 3y = _4 quanto da segunda. y = _ 4 MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES 3 { }A solução do sistema é o par ordenado S = 5, _ 4 . 3 2 Resolver o sistema: ⎧⎨⎩54xx ϩ3y ϭ2 Ϫ 2y ϭ6 1o passo: Observando as equações do sistema, vemos que não é viável adicionar membro a membro as duas equações, pois, não havendo termos opostos, nenhuma das incógnitas vai “desaparecer”. Vamos, então, usar um recurso que é uma aplicação do princípio multiplicativo para deixar o sistema com termos opostos. Primeiro, devemos escolher uma das incógnitas, por exemplo, y. Observe que o coeficiente de y na primeira equação é 3 e o coeficiente de y na segunda equação é _2. Assim, como os sinais dos coeficientes de y já estão trocados, se quisermos deixar os termos na forma de opostos, basta multiplicar a primeira equação (5x + 3y = 2) pelo coeficiente de y da segunda equação (2) e, também, multiplicar a segunda equação (4x _ 2y = 6) pelo coeficiente de y da primeira equação (3). Veja o esquema a seguir: ⎧⎪5x ϩ3y ϭ 2 (x 2) h ⎩⎨⎧1102xx ϩ6y ϭ4 ⎪⎨⎩4x Ϫ2y ϭ 6 (x 3) Ϫ6y ϭ18 158 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 158 11/16/18 2:55 PM 158

2o passo: Agora, temos dois termos opostos: +6y e _6y. Por esse motivo, podemos adicionar ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS membro a membro as equações para obter uma única equação sem a incógnita y. Depois que os alunos acompanharem os exemplos 10x + 6y = 4 h 22x = 22 apresentados no livro, forne- 12x _ 6y = 18 + x=1 cer outros na lousa para que 22x + 0 = 22 eles possam analisar qual dos dois métodos estudados (mé- 3o passo: Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema. todo da adição ou da substitui- 5x + 3y = 2 ção) é mais adequado utilizar 5 ? 1 + 3y = 2 em cada sistema. Pedir que 5 + 3y = 2 justifiquem suas escolhas, dis- 3y = 2 _ 5 cutindo a respeito disso com 3y = _3 toda a turma. y = _1 A solução do sistema é o par ordenado (1, _1). AMPLIANDO ⎧8 ϩ 6 ϭ3 ⎪⎪ ϩ Atividade complementar 3 Dado que xy = 24 e ⎨ x y , determinar o par (x, y) com x 5 0 e y 5 0, que é a solução do sistema. ⎪ 2 3 ϭ1 Resolva o sistema a seguir ⎪⎩ pelo método da adição e pelo x y método da substituição. 1o passo: Vamos reduzir as equações à sua forma mais simples. • 8 ϩ 6 ϭ3 Como xy = 24, temos: • 2 ϩ 3 ϭ1 Como xy = 24, temos: { x = 3y = 4 x y 8y + 6x = 3 ? (24) x y 2y + 3x = 24 2x _ 5y 8y ϩ 6x ϭ 3xy 8y + 6x = 72 2y ϩ 3x ϭ 1xy Resolução da atividade xy xy xy xy • Utilizando o método da 8y + 6x = 3xy 2y + 3x = xy adição: 2o passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente: ⎧⎨⎩28yy ϩ6x ϭ 72 Para resolver o sistema apli- ϩ3x ϭ 24 cando o método da adição, é preciso ter os dois coeficientes Observe que o sistema não apresenta termos opostos, porém, ao analisar a incógnita x, temos opostos no mesmo membro de cada equação. Assim: que a primeira equação possui coeficiente +6 e a segunda equação possui o coeficiente +3. Portanto, para deixar o sistema com termos opostos na incógnita x, basta multiplicarmos a { x _ 3y = 0 x(_2) h 2x _ 5y = 4 segunda equação por _2. Observação: se quiséssemos deixar os termos opostos na variável y, bastaria multiplicar a h _ 2x + 6y = 0 2x _ 5y = 4 segunda equação (2y + 3x = 24) por _4. { Veja a resolução a seguir. Adicionando membro a membro as duas equações, ⎧⎪8y ϩ6x ϭ 72 x(_2) h ⎨⎧⎩Ϫ8y4ϩy Ϫ6x6ϭx ϭ72Ϫ48 obtemos: 0 + y = 4 h y = 4 ⎪⎨⎩2y ϩ3x ϭ 24 • 8y + 6x = 72 Substituindo y por 4 na • 2y + 3x = 24 equação x _ 3y = 0, temos: _4y _ 6x = _48 + x _ 3 ? 4 = 0 h x = 12. 2 ? (6) + 3x = 24 4y + 0 = 24 Logo, (12, 4) é a solução 12 + 3x = 24 desse sistema. • Utilizando o método da 4y = 24 3x = 24 _ 12 substituição: y=6 3x = 12 Observando o sistema origi- nal, verifica-se que na primeira x=4 equação a incógnita x já está isolada. Assim, basta substituir A solução do sistema é o par ordenado (4, 6). x por 3y na segunda equação: 159 2 ? 3y _ 5y = 4 h 6y _ 5y = =4hy=4 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 159 11/15/18 12:26 PM Substituindo o valor de y na primeira equação, temos: x = 3y h x = 3 ? 4 h h x = 12 Desse modo, obtemos a so- lução (12, 4) para o sistema. 159

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289 Atividades ATIVIDADES Nesse bloco as questões Responda às questões no caderno. 5. Num sorteio, dois números foram pre- têm como objetivo levar os miados. A soma desses dois números é alunos a resolver um sistema 1. Determine a solução de cada um dos se- 170, e o maior deles é igual ao triplo do de equações do 1o grau com guintes sistemas de equações do 1o grau menor mais 2 unidades. Quais foram os duas incógnitas utilizando o nas incógnitas x e y: números sorteados? 128 e 42. método que julgarem mais adequado, da adição ou da a) ⎧⎨⎩xx ϩ y ϭ 42 (25, 17) 6. Caio e Pedro são irmãos. Em 2011, a substituição. Ϫ y ϭ 8 soma das idades dos dois era 22 anos. Verificar se os alunos com- b) ⎧2x ϩ 7y ϭ 1 (4, _1) Como Caio é dois anos mais velho que preendem que usando o méto- ⎨⎩Ϫ2x ϩ 3y ϭ Ϫ11 do da substituição ou o método Pedro, qual era a idade de Caio em 2011? da adição chegarão ao mesmo c) ⎩⎨⎧72xx Ϫ 4y ϭ 22 (6, 5) 12 anos. resultado. Além disso, é interes- Ϫ 4y ϭ Ϫ8 7. Em um terreno há sante fazê-los experimentar a galinhas e ovelhas. resolução pelos dois métodos, STOCKBYTE/GETTY IMAGES até que identifiquem em qual d) ⎧8x ϩ 6y ϭ 10 (2, _1) São 31 animais e deles se sentem mais confor- ⎨⎩Ϫ3x ϩ 6y ϭ Ϫ12 táveis para realizar a resolução. 82 pernas. Quantas Outro ponto a ser considerado é que, além da preferência pes- ⎩⎧⎨24xx ϩ 2y ϭ Ϫ7 galinhas e quantas soal para a escolha do método ϩ 3y ϭ Ϫ0,5 de resolução, em alguns casos, e) (_2,5; 1,5) ovelhas estão nesse utilizar um ou outro método facilita bastante os cálculos. ⎨⎪⎧2xx Ϫ y ϭ 12 terreno? 21 galinhas e Galinhas Auxiliar os alunos no desenvol- ⎩⎪ 3 ϩ 10 ovelhas. alimentando. vimento dessa habilidade de f) y , com y 5 0 (9, 6) identificação ao analisar o siste- 2 DESAFIO Resposta:  ma de equações dado. ϭ6 = 8 = 2 = 6 = 12 = 14 8. Agora, junte-se com um amigo para resol- Desafio ⎪⎧ x Ϫ y ϭ xϪy 2 2 ver os desafios a seguir. Resolução do Desafio ⎨ 5 2 7 7 a) Considere: g) ⎝⎜⎛ , ⎟⎠⎞ a) Observe, no qua- 4 28 dro, a soma dos =x =t ⎩⎪2x ϭ 2 Ϫ 5y valores com figu- 18 ras, em cada linha =y =t h) ⎩⎨⎧138(x(yϪϪ22) )ϭϩ2y(yϭϪ33(2) x ϩ 3) (2, 3) e em cada coluna. 4 38 EDITORIA DE ARTE =z Descubra os valo- res “escondidos” 444 20 Da 4a linha, tem-se: 4 + 4 + pelas figuras. + 4 + x = 20 h x = 8 2. Dois números reais x e y são tais que 30 26 22 26 2y Da 1a coluna, tem-se: z + xϩ4 ϭ1 e xϩ2 ϭ 4. + 8 + 4 + 4 = 30 h z = 14 yϩ3 b) Carlos e sua irmã Andrea levaram seu Da 3a coluna, tem-se: y + Nessas condições, sendo x 5 _2 e y 5 _3, cachorro Balu ao veterinário. Lá, encon- + y + 14 + 4 = 22 h y = 2 determine o valor de: traram uma balança com defeito, que só Da 2a linha, tem-se: 8 + k + a) y _ x 1 b) x : y 3 c) (x + y)(x _ y) indicava corretamente valores superiores + 2 + 2 = 18 h k = 6 25 a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram os seguintes valores: Da 2a coluna, tem-se: 4 + 3. Quando adicionamos 2 aos dois termos + 6 + t + 4 = 28 h t = 12 de uma fração, ela se torna equivalente a • Carlos e Balu, =8 juntos, 87 kg. 5 ; quando subtraímos 2 dos dois termos =2 6 da mesma fração, ela se torna equiva- • Carlos e Andrea, 1 juntos, 123 kg. lente a 2 . Qual é a fração considerada? 3 4 • Andrea e Balu, MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES 4. Carlos pensou em dois números. A soma juntos, 66 kg. entre esses números é 175, e a diferença Quantos quilogra- mas tem cada um? entre eles é 43. Quais são os números em Carlos tem 72 kg, Andrea tem 51 kg e Balu tem 15 kg. que Carlos pensou? 109 e 66. 160 =6 Subtraindo (I) de (II):D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 160 Portanto, Carlos tem 72 kg, 11/16/18 2:57 PM A – B = 36 (IV) Andrea tem 51 kg e Balu tem = 12 Somando (III) e (IV): 15 kg. 2A = 102 h A = 51 = 14 Substituindo A em (IV): 51 _ B = 36 h B = 15 b) (I) Substituindo A em (II): C + B = 87 (II) C + 51 = 123 h C = 72 C + A = 123 (III) A + B = 66 160

CAPÍTULO EQUAÇÃO DO ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 2O GRAU 7 Equação do 2o grau Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores Esse é o primeiro contato que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado. dos alunos com as equações de 2o grau. Aqui serão apre- Na resolução das equações do 2o grau, usaremos a fatoração e esta propriedade sentadas apenas as equações importante dos números reais: do tipo ax2 + b = 0. Caso os alunos demonstrem interesse, • Sendo x e y dois números reais quaisquer e x2 = y, então x ϭ ϩ y ou x ϭ Ϫ y . apresentar, apenas a título de curiosidade, os demais tipos Resolvendo equações da forma de equações do 2o grau e co- ax2 + b = 0 mentar que essas equações serão estudadas de maneira Acompanhe as situações a seguir. mais aprofundada no ano se- guinte e no Ensino Médio. 1 Qual é a solução da equação x2 _ 9 = 0, no conjunto R? Verificar se os alunos reco- x2 _ 9 = 0 nhecem que as estratégias uti- lizadas para resolver esse tipo de equação do 2o grau são similares às estratégias utiliza- das para a resolução de equa- ções do 1o grau. x2 = 9 usamos o princípio aditivo x ϭ ± 9 h x ϭ ±3 Logo, os números _3 e 3 são as raízes da equação. Assim, S ϭ {Ϫ3, 3} . 2 Resolver a equação 16x2 _ 1 = 0 no conjunto R. 16x2 _ 1 = 0 SAIBA QUE 16x2 = 1 usamos o princípio aditivo Utilizamos a notação 1 usamos o princípio multiplicativo x ϭ ± a para representar x2 ϭ 16 x ϭ ϩ a ou x ϭ Ϫ a . xϭ± 1 h x ϭ ± 1 16 4 1 1 Logo, os números Ϫ 4 e 4 são as raízes da equação. Assim, S ϭ ⎧⎨Ϫ 1 , 1 ⎬⎫ . ⎩ 4 4 ⎭ 3 Determinar os valores reais de x para que se tenha 3x2 _ 60 = 0. Como todos os termos da equação são divisíveis por 3, podemos dividir cada termo da equação por 3, para depois determinar os valores de x: 3x2 _ 60 = 0 3x2 Ϫ 60 ϭ 0 h x2 Ϫ 20 ϭ 0 3 3 3 x2 ϭ 20 h x ϭ ± 20 Como 20 não apresenta raiz quadrada exata, os númerosϪ 20 e ϩ 20 são { }as raízes da equação. Assim, S ϭ Ϫ 20 , 20 . 161 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 161 11/16/18 2:58 PM 161

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 4 Determinar a solução da equação x2 + 4 = 0 no conjunto R. x2 + 4 = 0 Atividades x² = _4 As atividades têm como ob- x ϭ ± Ϫ4 jetivo levar os alunos a deter- Como Ϫ4 não existe no conjunto R, não temos valores reais para x. minar o conjunto solução de Logo, a equação não tem raízes reais. Assim, S = @. equações do 2o grau do tipo ax2 + b = 0. 5 Resolver, no conjunto R, a equação (2y + 1)2 = 8 + 2(2y + 1). Inicialmente, vamos multiplicar os polinômios e deixar a equação na forma ax² + b = 0 para, Nas atividades 2 e 3, ve- depois, resolvê-la: rificar se os alunos percebem que precisam realizar algu- (2y + 1)² = 8 + 2(2y + 1) mas manipulações algébricas para que a equação chegue à (2y + 1)(2y + 1) = 8 + 2(2y + 1) forma ax2 + b = 0 e possam resolvê-la com as estratégias 4y² + 2y + 2y + 1 = 8 + 4y + 2 estudadas. 4y² + 4y + 1 = 10 + 4y Por ser um assunto novo para os alunos, verificar se, 4y² + 4y _ 4y + 1 _ 10 = 0 usamos o princípio aditivo durante a execução das ativi- dades, alguém propõe estraté- 4y² _ 9 = 0 forma ax² + b = 0 gias diferentes da apresentada. Caso isso aconteça, solicitar 4y² = 9 usamos o princípio aditivo que o aluno explique sua estra- 9 usamos o princípio multiplicativo tégia para que o resto da turma y2 ϭ 4 possa validá-la. Desse modo, a construção do conhecimento é y ϭϮ 9 feita de maneira coletiva, sem- 4 pre respeitando a opinião e as ideias dos colegas. y ϭ Ϯ 3 2 3 3 Logo, os números Ϫ 2 e 2 são as raízes da equação. Assim, S ϭ ⎩⎧⎨Ϫ 3 , 3 ⎭⎫⎬ . 2 2 ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 1. Determine o conjunto solução de cada 2. Qual é o conjunto solução de cada uma uma das seguintes equações do 2o grau, das seguintes equações do 2o grau, no conjunto R: sendo U = R? a) x2 _ 1 = 0 {_1, 1} a) (x + 5)(x _ 6) = 51 _ x {_9, 9} b) x2 _ 16 = 0 {_4, 4} b) 2x(x + 1) _ x(x + 5) = 3(12 _ x) {_6, 6} c) x2 _ 64 = 0 {_8, 8} 3. Calcule o conjunto solução de cada d) x2 + 16 = 0 @ a){ }equação:1 − 1 , 1 5 5 3x Ϫ 3x ϭ 0 , x 5 0, U = R 3 3 { }e) 9x2 = 25 3 3 Ϫ , x2 5 4 2 { }b) { }f) x2 _ 20 = 0 −2 5 , 2 5 Ϫ ϭ Ϫ1, U = R − 6, 6 162 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 162 11/14/18 16:21 162

RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a sugerir que realizem essa ati- partir da p. 289 vidade em sala de aula, assim poderão discutir eventuais Responda às questões no caderno. 5. A altura de uma árvore, em metros, é dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a con- 1. Qual é o número real representado pela dada por h ϭ 10 Ϫ 100 , sendo t a sultar o livro para tirar dúvidas letra x que torna verdadeira a igualdade 10 ϩ t e buscar informações. idade da árvore em anos. Se essa árvore 7x _ [5x + 3 _ (2x + 1) _ 10] = Enfatizar a necessidade de = _(_ x + 3)? Alternativa b. tem 6 metros de altura, quantos anos resolverem os exercícios indi- vidualmente, buscando infor- ela tem? Alternativa d. mações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para a) 11 c) 3 e) Ϫ 7 a) 12 anos. d) 15 anos. chegar aos resultados. Con- 2 11 3 versar com os alunos a res- b) 13 anos. e) 16 anos. peito de seus acertos e erros, indicando a correção com b) Ϫ 11 d) Ϫ 3 c) 14 anos. intervenções pontuadas, isto 3 11 é, dando pistas de quais ca- 6. Segundo pesquisa realizada em um minhos eles poderão buscar 2. Observe as equações: grupo de pessoas, foi constatado que, para encontrar o resultado esperado. 3x ϭ 3ϩ 2 (x 5 0, x 5 4) ao longo de x meses, a quantidade de xϪ4 x Outra possibilidade é propor pessoas que contrairá certo tipo de aos alunos que resolvam algu- mas das questões previamente 5 ϭ Ϫ3 (y 5 _3, y 5 3) gripe é dada pela expressão matemática em casa e que desenvolvam y2 Ϫ 9 yϩ3 outras em aula, formando du- 13000 . Após quantos meses a quanti- plas ou grupos com os colegas. Nessa interação devem apro- Resolvendo cada uma dessas equações, 10 ϩ2 veitar para fazer a autocorre- o quociente x : y é: Alternativa a. x ção daquelas que trouxeram prontas. dade de pessoas infectadas por esse tipo Sugerir também que os a) Ϫ 3 c) 3 e) Ϫ 2 de gripe será de 4 000? Alternativa c. alunos refaçam algumas ativi- 5 5 5 dades anteriores dos assuntos a) 6 meses. d) 9 meses. que tiverem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as ativida- b) Ϫ 5 d) 5 b) 7 meses. e) 10 meses. des. Procurar trabalhar em sala 3 3 com o conteúdo no qual os c) 8 meses. alunos mais tiveram dificulda- 3. O aluguel de uma moto em uma agência de durante o desenvolvimento A é 280 reais, acrescido de 3 reais por 7. Considere o sistema de equações: da Unidade também pode con- quilômetro rodado. Em uma agência B, tribuir nesse momento. o aluguel da mesma moto é 400 reais, ⎧x Ϫ 2 ϩ y ϭ 1 acrescido de 1 real por quilômetro ⎪ y 2 2 Será valioso para o desen- rodado. ⎨ 3 Ϫ1 volvimento da autonomia 2 intelectual dos alunos que ⎪x Ϫ ϭ 2 percebam seus processos de ⎩ aprendizagem, suas dificulda- des e a busca de informações. Qual deve ser a quantidade de quilôme- Qual é o valor da razão x ? Alternativa b. tros rodados para que o valor do aluguel y Se ainda persistirem dúvi- seja o mesmo em ambas as agências? das, orientar a trocar ideias a) 0,5 c) 0,2 e) 0,05 com os colegas e a buscar no livro os conceitos que precisa- a) 60 km c) 68 km e) 72 km b) 2 d) 5 rem retomar. b) 64 km d) 70 km Alternativa a. 8. Em uma loja, a diferença entre o preço de Dar oportunidade para os venda e o preço de custo de um produto alunos mostrarem como pen- 4. Um número natural n é tal que: é R$ 5 000,00. Se o preço de custo repre- saram para resolver as ques- senta 75% do preço de venda, então o tões, tirando as dúvidas dos nϩ3 ϭ nϩ7 . preço de custo desse produto é: colegas. nϩ7 n ϩ 12 Qual é o valor numérico da expressão a) R$ 10 000,00 d) R$ 16 000,00 nϩ3 ? a) 16 c) 5 e) 3 b) R$ 12 000,00 e) R$ 20 000,00 b) 25 d) 4 Alternativa d. c) R$ 15 000,00 Alternativa c. 163 ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 163 seja necessário, façam retoma- Unidade, com o ob11je/14t/i1v8o16:d21e das para sanar as dúvidas que retomar, organizar e sistemati- Retomando o que podem surgir. zar as ideias e definições. aprendeu Se achar conveniente, an- Os alunos podem fazer O objetivo das atividades tes de iniciar as atividades, esse bloco de questões como dessa seção é propiciar aos alu- propor aos alunos que façam uma autoavaliação; por isso, nos que retomem os conteúdos um fluxograma dos conteúdos eles devem respondê-las in- estudados na Unidade e, caso trabalhados no decorrer dessa dividualmente. É interessante 163

9. Em uma caixa, a quantidade de bolas 14. Considere dois números reais x e y. vermelhas é o triplo da quantidade de 3 Multiplicando o número x por 4 , ele bolas pretas. Se tirarmos 2 bolas pretas e diminui 5 unidades, e multiplicando o 26 bolas vermelhas, a quantidade de bolas 5 3 de cada cor ficará igual. Quantas bolas número y por , ele aumenta 6 uni- vermelhas há na caixa? Alternativa d. dades. Nessas condições, podemos dizer a) 8 d) 36 que x _ y vale: b) 12 e) 48 a) 38 c) 21 e) 7 c) 24 b) 29 d) 11 Alternativa d. 10. As revistas A e B são publicadas por uma 15. Em um grupo de jovens, 25% têm esta- mesma editora. A assinatura anual da tura superior a 1,70 m; 45% têm estatura entre 1,65 m e 1,70 m; e 12 desses jovens revista A custa o quádruplo da assina- têm estatura inferior a 1,65 m. tura anual da revista B, e a assinatura anual das duas revistas juntas custa Quantos desses jovens têm altura que R$ 260,00. A diferença entre os valores varia entre 1,65 m e 1,70 m? das assinaturas das duas revistas é: a) 40 b) 32 c) 27 d) 25 e) 18 Alternativa e. a) R$ 52,00 d) R$ 212,00 16. Uma motocicleta, desenvolvendo certa velocidade, percorre 240 km em t horas. b) R$ 156,00 e) R$ 218,00 Mantendo essa mesma velocidade média, percorrerá 400 km em (t + 2) horas. Qual c) R$ 208,00 Alternativa b. é essa quantidade t de horas? 3 horas. 11. Juca pegou um pote cheio de amendoins, 17. Em um jogo de decisão de campeonato que estava pesando 420 gramas, e comeu de futebol, os preços dos ingressos foram a metade deles. Verificou que o pote aumentados: a arquibancada passou a passou a pesar 235 gramas. Quantos custar 70 reais, e a numerada, 90 reais. gramas tem o pote vazio? Como o estádio só oferecia esses dois tipos de ingressos, a renda foi de 1540000 reais. a) 25 g d) 45 g b) 32 g c) 40 g e) 50 g Alternativa e. 12. São dadas as equações 1 ϭ 1 xϪ3 y Ϫ1 e 3y = 2(x _ 1). Sabendo que x 5 3 e y 5 1, a expressão x Ϫ y vale: FERNANDO DONASCI/FOLHAPRESS y x a) Ϫ 3 c) 5 e) 2 2 2 3 b) 3 d) Ϫ 2 Alternativa b. 2 3 13. A bilheteria de um cinema apurou 620 reais Bilheteria. vendendo ingressos para 100  pessoas durante uma sessão. O preço de cada Se os preços dos ingressos fossem os ingresso é 8 reais, e estudante paga a de sempre (50 reais para arquibancada metade desse preço. Quantos estudantes e 80  reais para numerada), a renda compraram ingressos nessa sessão? do jogo teria sido de 1 210 000 reais. Quantas pessoas compraram ingressos a) 45 b) 48 c) 50 d) 54 e) 55 para a arquibancada? 13 000 pessoas. Alternativa a. 164 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 164 11/14/18 16:21 164

18. Pelo regulamento de um torneio de 21. Um treinador propôs a um de seus joga- ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS basquete, cada partida que a equipe dores que arremessasse, sucessivamente, Um novo olhar ganha vale 2 pontos, e cada partida uma bola à cesta, informando-lhe que Os questionamentos exis- tentes no encerramento dessa que perde vale 1 ponto. A equipe de ganharia 5  pontos a cada acerto e Unidade poderão permitir re- flexões a respeito das apren- basquete do nosso colégio disputou um perderia 2  pontos a cada erro. Ao fim dizagens individuais, além de uma breve retomada dos torneio jogando 12 partidas e somando dessa parte do treinamento, o jogador conteúdos apresentados. É im- portante que os alunos respon- 18 pontos. Quantas partidas a equipe do havia feito 50  arremessos e acumulara dam individualmente a cada uma das questões para que, nosso colégio venceu no torneio? 194  pontos. Quantos arremessos o desse modo, possam perceber 19. Para embalar 1 650 livros, um1a0 epadrittiodarsa. jogador acertou? 42 arremessos. o que aprenderam e as possí- veis dúvidas que ainda tenham. usou 27 caixas, umas com capacidade 22. Fernando tem em STOCKDISC/GETTY IMAGES para 50 livros, e outras, para 70 livros. seu cofre 78 moedas, Sugerir que eles façam um Quantas caixas de cada tipo a editora umas de 1 real e resumo dos conceitos abor- utilizou? 12 caixas para 50 livros e 15 caixas outras de 50 centa- dados em razão das sutilezas 20. Em uma pcoarma 7p0eltiviçroãso. esportiva, foram vos, num total de inerentes, principalmente nos distribuídas apenas medalhas de ouro 49 reais. métodos de resolução apre- e de prata. Cada medalha de ouro vale sentados para sistemas de 3 pontos, e cada medalha de prata vale Qual é a quanti- equação. Recomenda-se tam- 2  pontos, para efeito de classificação. dade de moedas bém a seleção de exemplos Se a equipe A conquistou 11 medalhas de 50  centavos? E pertinentes a cada um dos e somou 29 pontos, quantas medalhas a quantidade de conceitos. de ouro a equipe A ganhou? moedas de 1 real? 7 medalhas de ouro. 58 moedas de 50 centavos; 20 moedas de 1 real. A primeira questão aborda o conjunto universo de uma UM NOVO OLHAR Os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos equação fracionária e é pre- da equação, pois, se isso ocorrer, teremos uma divisão por zero, o que já ciso ter um cuidado especial sabemos que é impossível. com a exclusão dos itens que anulam o denominador. Nesta Unidade, realizamos estudos sobre as equações do 1o grau com uma incógnita, equações fracionárias com uma incógnita, equações literais do 1o grau na incógnita x, A segunda questão propicia equações do 1o grau com duas incógnitas, sistemas de equações do 1o grau com duas incóg- que os alunos retomem os mé- nitas, tipos de resoluções para esse modelo de sistema e equação do 2o grau incompleta, todos de resolução estudados do tipo ax2 _ b = 0. para sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas. Na Educação Financeira, foi abordado o “juro zero” como uma estratégia de marketing, pois o juro, muitas vezes, pode estar embutido no preço. Na terceira e na quarta questões, os alunos são con- Para que possa perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas, sugerimos a você vidados a rever as páginas de que faça um roteiro contendo os conceitos abordados nesta Unidade e não se esqueça de abertura da Unidade e ten- acrescentar alguns exemplos. tar reformular as estratégias criadas anteriormente, ou Na abertura da Unidade, pudemos ver um uso do sistema de equações do 1o grau. perceber se suas hipóteses e Vamos retomar as aprendizagens e refletir sobre elas. Responda no caderno. soluções se aproximaram das estratégias de soluções apre- • O que devemos excluir do conjunto universo de uma equação fracionária? sentadas ao longo da Unidade. • Nesta Unidade, quais foram os métodos estudados que podem ser usados para calcular a resolução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas? Método da substituição e método da adição. • Na abertura da Unidade, você foi questionado sobre a interpretação de um problema. Represente o sistema que resolve o problema da abertura desta Unidade. • Se, na situação da abertura da Unidade, o número de animais fosse 122 e o número de pernas fosse 418, quantos animais de cada espécie haveria? Possível sistema: ⎩⎧⎨4xxϩϩy2ϭy1ϭ12384 . 87 vacas e 35 galinhas. 165 D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 165 11/16/18 2:58 PM 165

COMPETÊNCIAS GERAIS 6 Polígonos e 7. Argumentar com base transformações no plano em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, ne- Toda imagem digital do tipo bitmap é com- REINHARD DIRSCHERL/ gociar e defender ideias, pon- posta de pixels. EASYPIX BRASIL tos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os Um pixel é a menor unidade de uma imagem Podemos ver facilmente um pixel direitos humanos, a consciên- representada na tela de um computador. em um computador ao ampliar cia socioambiental e o con- uma imagem. sumo responsável em âmbito É na ampliação ou na impressão de uma local, regional e global, com foto que podemos perceber a principal impor- posicionamento ético em rela- tância da quantidade de pixels que a compõem. ção ao cuidado de si mesmo, Em uma máquina fotográfica, essa quantidade dos outros e do planeta. é o que conhecemos pelo nome de megapixel. ESPECÍFICAS O valor de megapixels de uma máquina 2. Desenvolver o raciocínio fotográfica diz quantos pixels vão compor uma fotografia tirada pela máquina. lógico, o espírito de investiga- ção e a capacidade de produ- Como um pixel não possui um tamanho zir argumentos convincentes, definido, quanto mais megapixels tiver uma recorrendo aos conhecimen- foto, menor será o tamanho do pixel e mais ela tos matemáticos para compre- poderá ser ampliada, pois o pixel sofrerá menos ender e atuar no mundo. distorção. 5. Utilizar processos e ferra- Observe ao lado um exemplo de imagem mentas matemáticas, inclusive no qual ampliamos uma parte da foto para ser tecnologias digitais disponí- possível ver os pixels e sua formação poligonal. veis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais EDITORIA DE ARTE e de outras áreas de conheci- mento, validando estratégias e Esta é a visualização de um resultados. pixel. Podemos entender que a imagem é formada 6. Enfrentar situações-pro- por figuras quadradas bem blema em múltiplos contex- pequenas que, juntas, tos, incluindo-se situações formam uma imagem nítida. imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto 166 11/17/18 14:48 prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar con- Acessos em: 6 nov. 2018.D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 166 clusões, utilizando diferentes • <http://livro.pro/bv29qh>. registros e linguagens (gráfi- • <http://livro.pro/pg436n>. cos, tabelas, esquemas, além • <http://livro.pro/x9hdi3>. de texto escrito na língua ma- terna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). HABILIDADES p. XXI e XXII Geometria • EF08MA14 • EF08MA15 • EF08MA16 • EF08MA18 AMPLIANDO Links Para saber mais a respeito do pixel e das resoluções das câmeras digitais e monito- res, acessar os sites a seguir. 166

Agora, pense e responda no caderno: ADAM LISTER GALLERY 167 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • Os pixels possuem a forma de quadrados e de retângulos, REINHARD DIRSCHERL/EASYPIX BRASIL 11/17/18 15:15 Abertura de Unidade mas podemos compor imagens no cotidiano com outras figuras figuras poligonais. Onde você já viu imagens for- Essa abertura envolve um madas por outras figuras poligonais? Resposta pessoal. tema que pode ser de grande • De que outras maneiras podemos compor imagens interesse para a maioria dos just•apDuotreifliaigzcuaornardsdopoocleiogsmosanaosisotepuxatrtraoa,csomfmiagpiuoorrramqsou?saRaneicstopidso.astdaepdosesímveel:gPaopdiexmeolss alunos: a fotografia, hoje am- significa maior qualidade da imagem de uma foto? plamente divulgada e presen- te nas redes sociais. Aqui há Sim, pois poderá ser ampliada sem sofrer distorção. o enfoque na ampliação e na redução de imagens, mais es- Recife de corais no Mar Vermelho. pecificamente na qualidade de imagem que se obtém e no sig- D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 167 nificado da palavra megapixel (visto com frequência nas ca- racterísticas de câmeras digitais, sejam elas de celulares ou não). O pixel é um pequeno qua- drado ou retângulo, portanto um polígono que é utilizado para a formação de imagens, e quanto mais megapixel uma câmera tem, mais qualidade a imagem pode ter, pois meno- res serão os pixels utilizados na formação da imagem. Essa dife- rença é mais visível em fotos im- pressas, principalmente quando deseja-se uma ampliação. Observando a imagem da abertura, pode-se notar algu- mas características de fotos ampliadas, por exemplo: é possível identificar o pixel que compõe a imagem do peixe em virtude da ampliação ex- cessiva da imagem original. O segundo questionamento proposto leva os alunos a re- fletir sobre outras maneiras de formar imagens utilizando po- lígonos. Eles podem responder algo relacionado ao tangram ou a mosaicos. Se julgar oportuno, comentar com os alunos sobre o trabalho de Adam Lister, artista america- no nascido em 1978 e formado pela Escola de Artes Visuais de Nova York. Adam recriou diver- sas obras de arte clássicas na forma de pixels, trabalho que originou a série Art History 101 (História da Arte 101, em tradu- ção livre). Para saber mais a res- peito de seu trabalho, acessar os sites: <http://livro.pro/824guy> e <http://livro.pro/nv73bi>. Acessos em: 18 nov. 2018. Por exemplo, ao lado apre- sentamos a obra feita por Adam Lister com base na famosa obra “Criação de Adão”, pintura ori- ginal de Michelangelo, 1512. 167

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO POLÍGONOS E SEUS ELEMENTOS Polígonos e seus 1 elementos O pintor e poeta Paul Klee nasceu em 18 de dezembro de 1879, em Esta página retoma o concei- Münchenbuchsee, na Suíça. Em 1898, partiu para Munique, na Alemanha, a fim de to de polígono visto nos anos estudar Arte. Foi professor da escola de Arte Moderna Bauhaus e da Academia anteriores por meio da visuali- de Belas-Artes de Dusseldorf. zação e interpretação de uma das obras do artista Paul Klee. Em 28 de junho de 1940, Paul Klee morreu em decorrência de um câncer de pele. Observe a obra Small town among the rocks, de sua autoria: Caso julgue interessante, solicitar aos alunos que pesqui- sem outras obras desse artista e verifiquem se é possível iden- tificar polígonos nelas também. A seguir, apresentamos uma possibilidade de trabalho para a retomada do conceito de polígono. AMPLIANDO KUNSTMUSEUM BERN, BERN Atividade complementar Small town among the rocks (1932), Paul Klee. Óleo sobre ILUSTRAÇÕES: tela. 64 cm × 80 cm. EDITORIA DE ARTE • Organizar os alunos em grupos para desenvolver uma Nesse quadro, estão representadas figuras geométricas planas formadas apenas atividade pela escola levando por linhas fechadas simples, segmentos de reta e respectivas regiões internas. caderno e lápis. A tarefa será anotar no caderno objetos que Cada uma dessas figuras é chamada polígono. No quadro anterior, por exemplo, identifiquem ter a forma de lembram polígonos as seguintes figuras: diversos polígonos. Algumas possibilidades de observação: Polígono é uma figura plana formada por uma linha fechada simples, com- • no chão, o tipo de piso; posta apenas de segmentos de reta, reunida com a sua região interna. • no jardim, as formas que encontram na natureza; • nas paredes, quadros e painéis; • no teto, o tipo de luminária; • nos móveis, os diversos formatos. Ao retornarem à sala de aula, cada grupo fará um re- latório com o desenho dos di- versos tipos de polígono que seus integrantes observaram. Se tiverem acesso à internet, eles poderão acessar sites para realizar pesquisas a res- peito do uso dos polígonos em nosso cotidiano. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 168 Outro assunto de grande a pD2r-MinATc-Fi2p-20a51l-Vé8-U0a6-1q66u-19a9-nLAt-Gi2d0.ainddd e168 planas, formadas pelo mes- mas sua contribuição na 11/16/18 7:37 PM interesse dos alunos e que está dos polígonos para videoga- mo número de ângulos e indústria dos jogos vai mui- relacionado a polígonos são os mes que são utilizados em lados e sua função nos ga- to além disso. jogos de videogame. Ler para sua criação. mes é contribuir como prin- os alunos a reportagem a se- cipal ferramenta na hora Você sabia que os po- guir, que fala um pouco a res- [...] de criar gráficos detalhados lígonos tiveram um papel peito dessa relação. para jogos 3d. Ou seja, é a muito importante em toda O que são polígonos para utilização de polígonos que a evolução dos jogos 3d? Você sabe por que al- videogames? torna possível criar jogos guns jogos são tão pesados com gráficos incríveis [...], Quando os videogames e outros não? Existem algu- Se você não sabe muito surgiram, os jogos eram mas razões para isso, mas sobre o assunto, entenda simples e tinham foco na que polígonos são figuras 168

Elementos de um polígono utilizar muitos polígonos na programação contribui No polígono representado pela figura a seguir, podemos destacar os seguintes elementos: para tornar um game mais leve ou mais pesado. • Os vértices, que são os pontos A, B, C, D e E. Nomeamos os polígo- A nos por meio de seus vértices: no caso, temos o polígono ABCDE. Veja que: Quanto mais riqueza de • Os lados, que são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA. B detalhes um jogo apresentar em seu gráfico, mais polígo- • Os ângulos internos, que são os ângulos formados por dois lados E nos ele precisará utilizar em consecutivos: Aå BC, BåCD, CåDE, Då EA e Eå AB. Também usamos as sua configuração. Ao mesmo letras que indicam os vértices para representar os ângulos internos: tempo, para tornar esses de- å A, å B, å C, å D e å E. talhes possíveis, mais pesa- do o jogo será. Em um polígono, também devemos destacar: [...] • As diagonais, que são segmentos que unem um vértice a outro D C BLOG AVELL. Polígonos para videogames: descubra a vértice não consecutivo a ele. Na figura a seguir, são diagonais AC, AD, BD, BE e CE. arquitetura por trás de jogos 3d. A 21 fev. 2018. Disponível em: <http:// EB blog.avell.com.br/poligonos-para- videogames-jogos-3d/>. Acesso em: DC 3 nov. 2018. • Os ângulos externos, que são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento de um lado consecutivo a ele. No polígono da figura a seguir, temos: På AB, ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Qå BC, Rå CD, Så DE e Tå EA. Elementos de um P polígono A Nesta página os elemen- a tos de um polígono são reto- mados. Verificar se os alunos Te B apresentam dúvidas e saná-las. E Q Uma possibilidade é utilizar b jogos para explorar o conceito de polígonos e identificar seus d C ILUSTRAÇÕES: elementos. Os alunos podem, SD c EDITORIA DE ARTE por exemplo, montar um jogo de dominó relacionando os R polígonos, seus elementos e a nomenclatura (que será reto- Convém destacar que, em um mesmo polígono, o número de vértices, de lados e de ângulos mada na página seguinte). internos é sempre o mesmo. Comentar com os alunos 169 que as manifestações artísti- cas como pintura e escultura diversão, eD2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 169 não em histórias ca com novas tecnologias, Por que alguns 1j1o/1g6/o18s7:3s7 ãPMo são propícias ao desenvolvi- elaboradas e gráficos realis- permitindo que jogos mais mais pesados que outros? mento de conceitos geomé- tas. A parte visual dos títu- detalhados surgissem. Foi tricos. Propor um trabalho de los sofriam com limitações nesse momento que jogos Utilizar uma grande observação e identificação de causadas pelas configura- – que até então eram de- quantidade de polígonos na polígonos em obras de artis- ções de hardware disponí- senvolvidos em pixels – pas- arquitetura dos videogames tas brasileiros. É interessante veis na época. saram a ser desenvolvidos não é a única razão para realizar esse trabalho integra- com a utilização polígonos e tornar um jogo pesado. do com as aulas de Arte para Com o tempo a indústria a oferecer uma experiência Existem situações na pró- que os alunos possam conhe- dos games passou a explorar mais rica para os jogadores. pria programação que con- cer um pouco mais das obras e desenvolver a parte gráfi- tribuem para isso, porém envolvidas. Pesquisas, visitas a museus e desenhos podem fa- zer parte da atividade. 169

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Nomenclatura Nomenclatura Apesar de a origem da palavra polígono ser relacionada a “vários ângulos”, também podemos nomear polígonos considerando o número de lados que possuem. A nomenclatura dos polígo- nos foi trabalhada no 6o ano e Por serem utilizados com mais frequência, alguns polígonos recebem nomes especiais. Veja é retomada agora no 8o ano. o quadro: Comentar com os alunos a respeito dos prefixos que no- Polígono Número de lados Nome meiam cada um dos polígo- nos do quadro e questionar 3 triângulo (tri = três) se eles já viram esses prefixos em outros contextos. Eles po- 4 quadrilátero (quadri = quatro) dem responder a respeito da quantidade de vezes que de- 5 pentágono (penta = cinco) terminada equipe ganhou al- guma competição esportiva. 6 hexágono (hexa = seis) Por exemplo, a seleção bra- sileira masculina de futebol é 7 heptágono (hepta = sete) pentacampeã mundial, pois ganhou 5 vezes a Copa do 8 octógono (octo = oito) Mundo (nos anos de 2002, 1994, 1970, 1962 e 1958). 9 eneágono (enea = nove) Atividade 10 decágono (deca = dez) A atividade 1 trata do la- Existem, ainda, outros polígonos com nomes especiais: drilhamento do plano. A res- peito desse assunto, sugerimos • 11 lados – undecágono • 15 lados – pentadecágono o texto escrito pela professora Élvia Mureb Sallum, do Institu- • 12 lados – dodecágono • 20 lados – icoságono to de Matemática e Estatística da Universidade de São Pau- Os demais polígonos, como o polígono de 13 lados, o de 18 lados, o de 25 lados, entre lo, que pode ser acessado no outros, não recebem nomes particulares. site <http://livro.pro/b4zhex>. Acesso em: 3 nov. 2018. ATIVIDADE Resoluções a partir da p. 289 AMPLIANDO Responda à questão no caderno. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Atividade complementar 1. A figura corresponde a um ladrilhamento. Observe que os polígonos representados nesse ladrilhamento são diferentes na ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Propor um desafio, para en- forma e no tamanho, porém todos se encaixam muito bem! riquecer e ampliar o trabalho a) Quantos tipos diferentes de figuras poligonais você observa com polígonos. Reproduzir a nesse ladrilhamento? 3 tipos. figura a seguir na lousa e pe- b) Como se chamam esses polígonos? dir aos alunos que montem Triângulos, quadriláteros e octógonos. a figura utilizando palitos de fósforos usados e de mesmo comprimento. 170 Depois, eles devem resolver deDt2-rMiâATn-Fg2-u20l5o1-?V8-UR0e6-s16p6o-19s9t-LaA:-GT20r.iinâddn-170 • Com base na figura origi- 11/17/18 15:15 as questões propostas. Orien- tá-los sobre alguns cuidados gulo equilátero. nal, tente formar 6 triângulos com o manuseio de palitos de fósforos. • Deslocando apenas 3 pali- equiláteros deslocando exata- • Que polígonos formam es- tos, monte uma figura com mente 4 palitos. A figura obti- sa figura? Resposta: Triângulos. • O que podemos dizer a 6 triângulos equiláteros. da, com 6 triângulos equiláte- respeito da medida dos lados desses triângulos? Respos- Resposta: ros, forma um novo polígono? ta: Os lados de cada triângulo têm a mesma medida. Se sim, qual é esse polígono? • Que nome recebe esse tipo Resposta: Sim, forma um 170 hexágono.

CAPÍTULO DIAGONAIS DE UM ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS POLÍGONO CONVEXO 2 Diagonais de um A polígono convexo Você já sabe que todo segmento de reta B Para ampliar o trabalho que une dois vértices não consecutivos de um E com diagonais de um polígo- no, pode-se colocar na lousa o polígono é chamado diagonal do polígono. seguinte quadro: No polígono da figura ao lado, os seg- Número de lados do 8 15 10 28 mentos AC, AD, BD, BE e CE são as suas polígono diagonais. DC Número de Devemos observar que: diagonais • se quisermos traçar as diagonais a partir do vértice A, não podemos ligá-lo a 3 Pedir aos alunos que repro- duzam o quadro no caderno vértices do polígono, que sejam a ele mesmo (A) e aos vértices consecutivos (B e E); e que o preencham. Como os polígonos do quadro têm • o segmento CA, por exemplo, indica a mesma diagonal que o segmento AC. muitos lados, espera-se que os alunos compreendam que o Em geral, o número de diagonais não coincide com o número de lados do modo mais prático de realizar a tarefa é utilizando a fórmula polígono. A única exceção é o pentágono, que, como acabamos de ver na figura, apresentada nesta página. No entanto, reforçar que, caso de- possui 5 lados e 5 diagonais. sejassem desenhar o polígono e contar suas diagonais uma Cálculo do número de diagonais a uma também seria possível, de um polígono apesar de mais trabalhoso. A representação do polígono a seguir é um octógono (8 lados), no qual estão Caso tenham dificuldade traçadas todas as suas diagonais. para manipular a fórmula na realização dos cálculos, ajudá- A -los a identificar cada uma das incógnitas, a saber: HB • d indica o número de dia- ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE gonais; GC • n indica o número de lados do polígono. FD E Discutir com os alunos que esses dois números devem ser Você seria capaz de contar quantas diagonais tem esse octógono? naturais não nulos, pois indicam Traçar uma a uma ou contar as diagonais de um polígono é um processo traba- quantidades (de diagonais ou lhoso, principalmente se ele tiver um número grande de lados. de lados). Vamos, então, aprender a determinar o número de diagonais de um polígono sem traçá-las. Note que, em um polígono qualquer de n lados (ou n vértices): • de qualquer vértice do polígono partem diagonais para todos os vértices (n), menos para 3 deles (ele mesmo e os vértices consecutivos a ele); portanto, (n _ 3) diagonais; 171 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 171 11/16/18 7:37 PM NO DIGITAL – 3˙ bimestre as habilidades EF08MA03, EF08MA14, EF08MA18, • Ver o plano de desenvolvimen- EF08MA22, EF08MA23, to para as Unidades 6 e 7. EF08MA24 e EF08MA25. • Desenvolver o projeto integra- • Acessar a proposta de acom- dor sobre consumo de energia panhamento da aprendizagem. elétrica. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham 171

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • como são n vértices, e de cada um partem (n _ 3) diagonais, o número total de diagonais seria n · (n _ 3). Mas, dessa forma, estaríamos contando cada diagonal duas vezes (lembre-se Caso julge necessário, an- tes de iniciar as atividades, de que AC e CA, por exemplo, são a mesma diagonal). Então, o número de diagonais (d) é propor o problema a seguir na lousa e realizar a resolução em dado pela metade de n · (n _ 3). conjunto com os alunos. • Existe um único polígono Assim: cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de Em um polígono de n lados (ou n vértices), o número de lados. Qual é esse polígono? diagonais (d) é dado por: n ? (n _ 3) d= 2 Resolução Consideremos, então, a situação a seguir. • número de lados: n 1 Quantas diagonais possui o decágono? • número de diagonais: decágono: 10 lados d = n ? (n _ 3) 2 n = 10 • dado do problema: d = 2n d= n ? (n _ 3) = 10 ? (10 _ 3) = 10 ? 7 = 70 = 35 Igualando as expressões 2 2 2 2 para d, temos: O decágono possui 35 diagonais. 2n = n ? (n _ 3) 2 ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 4n = n ? (n _ 3) Responda às questões no caderno. 5. (Saresp-SP) Observe as diagonais dos n_3=4 polígonos regulares de 4, 5 e 6 lados. n=4+3 1. Responda às questões a seguir. n=7 a) Há um polígono que não possui diago- EDITORIA DE ARTE Logo, o polígono procura- nais. Qual é esse polígono? Triângulo. b) Qual é o polígono que possui 2 diagonais? do é o heptágono. Quadrilátero. Atividades 2. Quantas diagonais tem um polígono de: a) 5 lados? 5 diagonais. Para as atividades 7 e 8, b) 8 lados? 20 diagonais. Quantas diagonais tem um polígono verificar se os alunos perce- c) 11 lados? 44 diagonais. bem que, com a fórmula de d) 16 lados? 104 diagonais. regular de 7 lados? Alternativa b. determinação do número de e) 18 lados? 135 diagonais diagonais também é possível a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 determinar o número de lados do polígono, se conhecido o 6. Qual é o polígono cujo número de diago- número de diagonais. nais é o quádruplo do número de lados? Undecágono. 3. O número de diagonais de um octó- gono é: Alternativa c. 7. (UFSCar-SP) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: Alternativa c. a) 6 lados. d) 12 lados. a) 13 c) 20 b) 9 lados. e) 20 lados. b) 18 d) 23 c) 10 lados. 4. Um polígono tem 60 cm de perímetro, 8. (PUC-RJ) Um polígono regular de n lados e todos os lados têm a mesma medida: 5 cm. Calcule o número de lados e o tem 90 diagonais. O valor de n é: número de diagonais desse polígono. e) 21 Alternativa c. 12 lados; 54 diagonais. a) 10 c) 15 b) 12 d) 20 172 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 172 11/16/18 7:37 PM 172

CAPÍTULO ÂNGULOS DE UM ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS POLÍGONO CONVEXO 3 Ângulos de um polígono convexo Ângulo interno e ângulo externo Para determinar a soma das Consideremos o polígono da figura seguinte. Nele podemos observar que: medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é Aa • No vértice A med(å A) ϩ med(å a ) ϭ 180° utilizada a soma das medidas • No vértice B med(å B ) ϩ med(å b ) ϭ 180° dos ângulos internos do tri- e A BB • No vértice C med(å C ) ϩ med(å c ) ϭ 180° ângulo, que já foi trabalhada EE • No vértice D med(å D ) ϩ med(å d ) ϭ 180° na Unidade 3 deste volume. b • No vértice E med(å E ) ϩ med(å e ) ϭ 180° Se julgar pertinente, retomar a atividade da seção Pense e dD C Responda da página 71, que D cC mostra uma maneira de deter- minar a soma das medidas dos Um ângulo interno e um ângulo externo de mesmo vértice de um polígono ângulos internos de um triân- são sempre adjacentes suplementares. gulo. Veja a seguir: • Com uma tesoura de pon- Soma das medidas dos ângulos tas arredondadas, recortar um internos de um polígono convexo papel em um formato que lembra um triângulo. Vejamos, agora, como podemos fazer para calcular a soma das medidas dos ângulos • Em seguida, usar lápis de internos de um polígono convexo. Vamos partir do conhecimento de que a soma das diferentes cores para destacar medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°. os três ângulos internos e no- meá-los como a, b e c. Quando queremos determinar a soma das medidas dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo, podemos decompor o polígono em triângulos, uma vez que a • Depois, usando a mesma soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo já é conhecida e igual a 180°. tesoura, recortar o triângulo, Fazemos isso traçando as diagonais que partem de um único vértice do polígono. dividindo-o em três partes. Observe: • Traçando todas as diagonais a partir de um mesmo vértice, dividimos um pen- tágono em 3 triângulos. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE • Por último, juntar os três vértices em um único ponto. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o valor da soma dos ângulos internos de um pentágono é 3 ? 180°, ou seja, 540°. Esse processo, porém, pode ser longo e demorado, principalmente quando o polígono tiver muitos lados. D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 173 173 Pela figura, podemos veri- ficar que, juntos, os três ân- 11/16/18 7:37 PM gulos internos do triângulo formam um ângulo raso ou de meia-volta. Então: a + b + c = 180°. 173

AMPLIANDO O quadro seguinte vai nos ajudar a obter mais rapidamente essa soma. Atividades Nome Polígono No de lados No de triângulos Soma das complementares Quadrilátero formados medidas dos Pentágono ângulos internos 1. Pedir aos alunos que, Hexágono A usando o mesmo raciocínio do Heptágono (Si) quadro apresentado no livro D 21B 4 do aluno, determinem a soma 2 = (4 _ 2) cada triângulo dos ângulos internos do octó- C gono (8 lados) e do eneágono AB 2 ? 180° = 360° (9 lados). 1 Resolução da atividade 5 3 ? 180° = 540° E3 2 C 3 = (5 _ 2) • Octógono O polígono tem 8 lados. D Assim, é possível dividir o oc- B 1C tógono em (8 _ 2) triângu- A4 los, ou seja, em 6 triângulos. 6 4 ? 180° = 720° Logo, a soma das medidas dos 3 2D 4 = (6 _ 2) ângulos internos do octógono F é dada por 6 ? 180° = 1 080° • Eneágono E O polígono tem 9 lados. A ILUSTRAÇÕES: Assim, é possível dividir o ene- G5 1B EDITORIA DE ARTE ágono em (9 _ 2) triângulos, ou seja, em 7 triângulos. Logo, F4 3 2C 7 5 ? 180° = 900° a soma das medidas dos ân- 5 = (7 _ 2) gulos internos do eneágono é ED dada por 7 ? 180° = 1 260° Desse modo, verificamos que é possível dividir o polígono em um número de triângulos que 2. Mostrar que quando o nú- coincide sempre com o número de lados do polígono menos 2. mero de lados de dois polígonos diferem de 1 unidade, as somas Um decágono, por exemplo, pode ser dividido em 8 (ou seja, 10 _ 2) triângulos. Então, a das medidas de seus ângulos in- soma das medidas dos ângulos internos do decágono é: ternos diferem de 180°. 8 и 180° ϭ 1 440° Resolução da atividade número de soma das medidas dos ângulos triângulos traçados internos de cada triângulo Considere dois polígonos com n e n + 1 lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados: • Soma das medidas dos ân- • número de lados n gulos internos do polígono de • número de triângulos n Ϫ 2 (2 a menos que o número de lados do polígono) n lados: Si(1) = (n _ 2) ? 180° • soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo 180° • Soma das medidas dos ân- gulos internos do polígono de • soma das medidas dos ângulos internos do polígono (n Ϫ 2) 180° (n + 1) lados: Sendo Si a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados, temos: Si = (n _ 2) ? 180° (Sni(2_) =1()n? +1_ 2) ? 180° = 180° = Obtendo a diferença entre essas duas somas: Si(2) _ Si(1) = (n _ 1) ? 174 ? 180° _ (n _ 2) ? 180° Si(2) _ Si(1) = 180° n _ 180° D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 174 11/16/18 20:57 _ 180°n + 2 ? 180° Si(2) _ Si(1) = 2 ? 180° _ 180° Si(2) _ Si(1) = 180° Portanto, a diferença entre as somas das medidas dos ân- gulos internos desses polígo- nos é 180°. 174

Veja como podemos usar a fórmula matemática Si = (n – 2) 180° para resolver problemas: ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 1 Um polígono tem 13 lados. Qual é a soma de seus ângulos internos? Soma das medidas dos 13 lados n = 13 ângulos externos de um polígono convexo Si = (n _ 2) 180° Si = (13 _ 2) 180° = 11 180° = 1 980° Realizar na lousa os cálculos A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 13 lados é 1 980°. para a determinação da soma das medidas dos ângulos ex- 2 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 900°. Qual é esse polígono? ternos de um triângulo, de um quadrilátero e de um pentágo- Nesse caso, temos Si = 900°. no, com mostrado no livro do Como Si = (n _ 2) ? 180°, temos: (n _ 2) ? 180° = 900° aluno. Em seguida, apresentar n ? 180° _ 360° = 900° h n ? 180° = 900° + 360° h n ? 180° = 1 260° h n ϭ 1 260° ϭ7 o raciocínio para um polígono 180° de n lados. Com isso, espera- O polígono é o heptágono (7 lados). -se que o aprendizado seja sig- nificativo, de maneira que os Soma das medidas dos ângulos alunos compreendam o que externos de um polígono convexo estão fazendo. Assim como fizemos para os ângulos internos, vamos calcular a soma das medidas dos ângulos externos (Se) de um polígono convexo. • Triângulo Sabemos que: mA a ϩ m ϭ 180° ⇒ a ϩ b ϩ c ϩ m ϩ n ϩ p ϭ 3 и 180° a b ϩ n ϭ 180° c ϩ p ϭ 180° ILUSTRAÇÕES: Cc bn EDITORIA DE ARTE Daí: Si ϭ 180° Se p B 180° ϩ Se ϭ 540° ⇒ Se ϭ 360° soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo • Quadrilátero m Sabemos que: A B a ϩ m ϭ 180° a bn b ϩ n ϭ 180° ⇒ a ϩ b ϩ c ϩ d ϩ m ϩ n ϩ p ϩ q ϭ 4 и 180° c ϩ p ϭ 180° qd c d ϩ q ϭ 180° D pC Si ϭ 360° Se Daí: 360° ϩ Se ϭ 720° ⇒ Se ϭ 360° soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero 175 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 175 11/16/18 7:37 PM 175

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • Pentágono Atividades r Am B Sabemos que: ⇒ a ϩ b ϩ c ϩ d ϩ e ϩ m ϩ n ϩ p ϩ q ϩ r ϭ 5 и 180° Ee a n a ϩ m ϭ 180° Nesse bloco de questões os b ϩ n ϭ 180° alunos aplicarão a soma das b c ϩ p ϭ 180° medidas dos ângulos internos d ϩ q ϭ 180° e a soma das medidas dos ân- qd c e ϩ r ϭ 180° Si ϭ 540° Se gulos externos de um polígo- D pC no convexo qualquer. Temos: 540° ϩ Se ϭ 900° ⇒ Se ϭ 360° soma das medidas dos ângulos Caso os alunos apresentem externos de um pentágono dificuldades, auxiliá-los, sa- nando eventuais dúvidas. Se tomarmos um polígono de n lados, temos que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é igual a 180°. 180° и (n Ϫ 2) ϩ Se ϭ 180°n 180°n Ϫ 360° ϩ Se ϭ 180°n Se ϭ 180°n Ϫ 180°n ϩ 360° Si ϩ Se ϭ 180°n Se ϭ 360° Assim, podemos enunciar a propriedade: A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360°. ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Responda às questões no caderno. 3. Como se chama o polígono cuja soma das 1. Em um polígono qualquer de n lados, medidas dos ângulos internos é 1620°? quando traçamos as diagonais que Undecágono. partem de um único vértice, decompo- 4. Em um polígono, temos que Si + Se = mos o polígono em (n _ 2) triângulos. = 1 080°. Qual é esse polígono? Sabendo que, em determinado po- A Hexágono. lígono, obtivemos 8 triângulos nessa 5. A figura ao lado ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE decomposição, quantos lados tem esse polígono? Qual o seu nome? é um pentágono 2x 10 lados; decágono. não regular. Calcule 120° E 2. Copie o quadro seguinte e preencha-o corretamente. as medidas dos B 3x 135° ângulos Eå AB e Aå BC. 150° med(Eå AB) = 54º e med(Aå BC) = 81º C D 6. Copie o quadro se- guinte e complete-o. Pentágono Eneágono Icoságono Soma das medidas dos ângulos 1 440° 1 800° 2 160° 2 340° Soma das 540° 1 260° 3 240° internos medidas dos ângulos Número de internos lados do 10 12 14 15 polígono 176 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 176 11/16/18 7:37 PM 176

CAPÍTULO ÂNGULOS DE UM ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS POLÍGONO REGULAR 4 Ângulos de um polígono regular Sabemos que, em um polígono regular: Nesta página é apresenta- • todos os lados são congruentes; do como determinar a medida dos ângulos internos e exter- • todos os ângulos internos são congruentes. nos de um polígono regular. Como em cada vértice de um polígono a soma das medidas do ângulo interno Se necessário, retomar com os alunos o conceito de polígono e seu ângulo externo é 180°, podemos concluir que os ângulos externos de um regular e suas características. polígono regular também são congruentes entre si. Reproduzir na lousa as situ- Indicamos: ações apresentadas, verifican- do se os alunos apresentam alguma dúvida a respeito do assunto tratado. • a medida de cada ângulo interno de um polígono regular por ai; • a medida de cada ângulo externo de um polígono regular por ae. Para um polígono regular de n lados, temos: ai = Si = (n_2) ⋅180º e ae = Se = 360º n n n n Consideremos, então, as seguintes situações: 1 Qual a medida do ângulo interno e a do ângulo externo EDITORIA DE ARTE de um hexágono regular? Hexágono regular: 6 lados. Cálculo da soma das medidas dos ângulos internos: Si = (6 _ 2) ⋅ 180° ⇒ Si = 4 ⋅ 180° = 720° Como o hexágono é regular: a= Si = 720° =120° n 6 ae = Se = 360° = 60° n 6 O ângulo interno mede 120°, e o ângulo externo mede 60°. 2 Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 144°? Si Como o polígono é regular: ai = n número de lados do polígono Se ai = 144°, então: • Si = 144º • 180°n _ 360° = 144°n n 180°n _ 144°n = 360° 180°(n _ 2) =144° 36°n = 360° n 360° 180°(n_2) = 144°n n= 36° =10 n n Portanto, o polígono é o decágono (10 lados). 177 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 177 11/16/18 7:37 PM 177

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 Atividades Responda às questões no caderno. 7. Considerando a figura, GF Neste bloco de questões 1. Em um polígono qualquer de n lados, em que ABC é a re- E os alunos devem calcular as podem ser traçadas (n _ 3) diagonais par- presentação de um H medidas do ângulo interno tindo de cada vértice. Sabendo que, em um e do ângulo externo de um determinado polígono, podem ser traçadas triângulo equilátero, I AB D polígono regular. Caso apre- 7 diagonais de cada vértice, responda: calcule a medida x. 165° sentem dificuldade na resolu- ção orientá-los a consultar no a) Qual é a soma das medidas dos ângulos x livro os conceitos e as relações internos desse polígono? 1 440° adequadas para cada item das C questões. b) Qual é a medida de cada ângulo interno, caso o polígono seja regular? 144° 8. Na figura seguinte, o segmento AB Na questão 9, propor que representa um lado de um hexágono os alunos resolvam os itens pro- 2. Considerando a representação do hexá- regular, e o segmento AC representa um postos em duplas. A troca de lado de um octógono regular. Qual é a ideias amplia as interpretações gono da figura, determine a medida x. medida de x do ângulo BAC? 105° de cada um, contribuindo para um melhor entendimento e en- xx 141° riquecimento da aprendizagem. xx A x 78° 78° BC 3. Na figura, ABCDE é a A 9. A figura seguinte descreve, em esboço, de que maneira uma pessoa se desloca. representação de um x y xB pentágono regular. D E Calcule o valor de y _ x. C 120 m 72° D 4. Na figura, ABCDE é a representação de 36° um pentágono regular. Qual é a medida x do ângulo DFE do triângulo DFE? 36° 120 m C ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE A BE 120 m 36° AB CD xF Partindo do ponto A, ela avança 120 m e gira 36° para a esquerda. A seguir, avança 5. É dado um polígono regular, no qual outros 120 m e gira 36° para a esquerda. a soma das medidas dos ângulos inter- Repete esse movimento até que retorna nos é igual ao quádruplo da soma das ao ponto A, fechando a trajetória. medidas dos ângulos externos. Qual é esse polígono regular? Decágono regular. a) Qual é o polígono regular que essa tra- jetória limita? Decágono regular. 6. Em um polígono, a razão entre a soma das b) Quantos quilômetros essa pessoa cami- medidas dos ângulos internos e a soma nha na trajetória toda? 1,2 km das medidas dos ângulos externos é igual c) Se, em média, essa pessoa der 11 passos 7 a cada 8 m, quantos passos ela dará em a 2 . Quantos lados tem esse polígono? toda a trajetória? 1 650 passos. 9 lados. 178 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 178 11/17/18 14:48 178

CAPÍTULO CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 5 Construções geométricas Neste capítulo, vamos aprender a construir, com régua e compasso, dois polígo- A construção de polígonos nos regulares. regulares, seja com régua e compasso seja com softwares Triângulo equilátero de geometria dinâmica é uma habilidade que deve ser desen- Já sabemos que o triângulo equilátero é um polígono regular de três lados; volvida, pois auxilia na compre- portanto, ele apresenta todos os lados e todos os ângulos internos congruentes entre ensão das relações e proprieda- si. Assim, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, cada ângulo des dos polígonos. do triângulo equilátero mede 60°. Siga, em seu caderno, as etapas da construção: 1o passo: Definimos o comprimento do lado do triângulo que desejamos cons- truir. Nesse caso, vamos construir um triângulo equilátero de lado 4 cm. 2o passo: Construímos um segmento de reta AB de 4 cm de comprimento. AB 4 cm 3o passo: Colocamos a ponta-seca do compasso em A, abrimos até o ponto B e traçamos um arco. 4o passo: Repetimos o procedimento anterior, mas, agora, a ponta-seca deve estar em B. ILUSTRAÇÕES: MARCEL BORGES D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 179 179 11/16/18 7:37 PM 179

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 5o passo: Marcamos o ponto de intersecção dos arcos e nomeamos como C. Unimos o ponto C, com uma régua, aos vértices A e B, determinando o triângulo equilátero. Uma possibilidade para o trabalho com construções ge- MARCEL BORGES ométricas e propriedades dos polígonos é o uso do geopla- Depois de traçado o contorno, basta colorir a parte interna da figura. no. Se possível, providenciar Para essa construção anterior, utilizamos arcos de circunferências de mesmo raio a fim de alguns e levá-los à sala de garantir que todos os lados do triângulo sejam congruentes. Já vimos que a circunferência é o lugar aula. Também é possível cons- geométrico de todos os pontos equidistantes ao centro dessa circunferência. Assim, ao construir truir o seu próprio geoplano. os arcos, estamos encontrando todos os pontos que distam 4 cm de A e todos os pontos que A construção não é complexa, distam 4 cm de B. O ponto de intersecção desses arcos é aquele que dista, ao mesmo tempo, mas exige material específico. 4 cm de A e de B. Há também placas prontas com furinhos e hastes de plás- pense e responda Resoluções a partir da p. 289 tico para serem encaixadas. Pode-se também construir um Responda às questões no caderno. Três lados congruentes entre si. geoplano com madeira e pre- gos. Dentro da possibilidade 1. Na construção anterior, utilizamos qual propriedade do triângulo equilátero? de cada escola, pode-se pedir aos alunos que construam um 2. Existe outra propriedade dos triângulos equiláteros que pode ser utilizada na sua em sala de aula ou sugerir que construção? Sim, três ângulos congruentes entre si. façam em casa, com o auxílio de um adulto. Hexágono regular A seguir está o material e o O hexágono regular é o polígono de 6 lados que apresenta todos os lados e todos os ângulos procedimento para construir o geoplano. Apresentar essas congruentes entre si. orientações aos alunos para que possam efetuar a tarefa. Como a soma dos ângulos internos de um hexágono é 720° (Si = (6_2) ⋅180° = 720°) , cada 720° Material necessário ângulo interno mede 120° (a= 6 =120°). • Uma placa de madeira com Siga, em seu caderno, as etapas da construção: forma quadrada e pouco mais de 20 cm de lado; 1o passo: Definimos o comprimento do lado do hexágono que desejamos construir. Nesse • Um lápis de carpinteiro ou caso, vamos construir um hexágono de lado 1,2 cm. lápis preto com grafite mais grossa para traçar uma malha 2o passo: Construímos um segmento de reta OA de 1,2 cm de comprimento. sobre a placa de madeira; • 64 pregos com cabeça (ca- OA da prego medindo cerca de 15 mm de comprimento); 3o passo: Com a ponta-seca do compasso em O e abertura igual à med OA • Um martelo; (OA) traçamos uma circunferência. • Elásticos de diversas cores. 180 Procedimentos 1. Forme uma malha 8 x 8 breD2a-MsATp-Fr2o-20p51r-iVe8d-Ua06d-1e66s-19e9-LcAa-Gr2a0.cindtde-180 Os alunos devem compa- 11/16/18 21:01 sobre a placa de madeira, mar- rísticas de cada polígono for- rar os perímetros das figuras cando 64 pontos equidistantes formadas no geoplano e per- 2,5 cm, tanto horizontal quanto mado. Proponha-lhes a: verticalmente. ceber que há polígonos dife- • Observar os vértices, os la- rentes com perímetros iguais. 2. Fixe um prego em cada dos, os ângulos internos e os Se necessário, recorde a noção ponto marcado: você formará ângulos externos dos polígo- de perímetro. 8 filas com 8 pregos em cada nos formados; uma. • Usar elásticos de cores di- 3. Com o auxílio de um ferentes para indicar as diago- adulto, fixe os pregos na placa utilizando o martelo: cada pre- nais dos polígonos formados. go deve entrar 5 mm na ma- deira, ficando 10 mm de altura para fora dela, o que permitirá o manuseio dos elásticos. Depois de construir o ge- oplano, os alunos devem for- mar contornos de polígonos com os elásticos e refletir so- 180

4o passo: Ainda com a mesma abertura e com a ponta-seca do compasso no ponto A, ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS determinamos o ponto B. B Se possível, solicitar aos alu- nos que realizem as constru- OA ções com régua e compasso apresentadas nessas páginas. 5o passo: Com a mesma abertura e a ponta-seca em B determinamos o ponto C na circunfe- Fazendo na prática, os alunos rência. E com a ponta-seca em C e mesma abertura, determinamos o ponto D. E assim seguimos por conseguem compreender me- toda a circunferência, até determinar todos os pontos que correspondem aos vértices do hexágono. lhor o que está sendo proposto e perceber eventuais dúvidas CB que surgirem. DO A Caso julgue oportuno, orientar os alunos a resolver EF as atividades em duplas, assim um auxilia o outro no processo 6o passo: Traçamos os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA. Para finalizar, colorimos a região de aquisição do conhecimento. interna da figura. 1. F C Resolução do Desafio Os alunos deverão construir CB um quadrado, que é o polígo- DO A GA B no regular de 4 lados. EF HI Para isso, traçar um seg- mento AB qualquer. Esse é um Esse processo garante a construção do hexágono regular desejado, pois: dos lados do quadrado. Em seguida, construir a perpendi- • o triângulo formado pelos pontos OAB é um triângulo equilátero. cular desse segmento que pas- sa pelo ponto B. Determinar o • em um triângulo equilátero, os ângulos internos são congruentes e medem 60°. Assim, ponto C, pertencente à per- construindo dois triângulos equiláteros consecutivos, obtemos o ângulo de 120° que é a pendicular traçada de modo medida do ângulo interno do hexágono regular. que o segmento BC tenha a mesma medida do segmento CB pense e responda AB. Para isso, realizar o trans- 120° porte da medida utilizando o ILUSTRAÇÕES: Responda às questões no caderno. compasso. Repetir esse pro- EDITORIA DE ARTE D O 60° A cedimento para determinar o 1. Podemos dividir o hexágono em quantos triângulos equiláteros? ponto D, pertencente à reta EF 6 triângulos equiláteros. perpendicular ao segmento BC e que passa pelo ponto C. ATIVIDADES Resoluções a 2. Os alunos devem construir um quadrado. Eles podem Por fim, traçar os segmentos partir da p. 289 construir ângulos de 90º e utilizar arcos de circunferência CD e DA e o quadrado estará para transportar a medida do lado. construído. Responda às questões no caderno. DESAFIO 1. A partir da construção de um triângulo 2. Utilizando régua e compasso, construa equilátero de 5 cm de lado, construa um um polígono regular de 4 lados. hexágono regular de lado 5 cm. D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 181 181 11/17/18 14:48 181

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS Propriedades dos 6 quadriláteros Paralelogramos A congruência de triângu- los foi estudada na Unidade Considere os quadriláteros seguintes: 3 deste volume e dá subsídio para que as propriedades dos Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 T quadriláteros, apresentadas D CF EO Q aqui, possam ser compreendi- das pelos alunos. Se necessá- P N rio, retomar os casos de con- gruência de triângulos. AB G H M RS Uma possibilidade de ativi- AB // CD EF // GH MN // OP RS // TQ dade é solicitar aos alunos que, AD // BC EH // FG QR // ST utilizando o geoplano constru- PM // NO ído anteriormente, construam os diferentes tipos de paralelo- Todos esses quadriláteros apresentam, em comum, o fato de terem os lados opostos paralelos. gramo estudados e observem as características de cada um. Todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo. Espera-se que os alunos re- Observe: conheçam o retângulo como um paralelogramo de ângulos • O paralelogramo EFGH, da figura 2, que tem os quatro ângulos internos retos, é denominado internos congruentes; o lo- retângulo. sango como um paralelogra- mo de lados congruentes e o • O paralelogramo MNOP, da figura 3, que tem os quatro lados congruentes, é chamado quadrado como um paralelo- losango ou rombo. gramo que também é um re- tângulo e um losango, ou seja, • O paralelogramo RSTQ, da figura 4, que tem os quatro lados congruentes e os quatro tem os lados e os ângulos in- ângulos internos retos, é chamado quadrado. Os paralelogramos apresentam as seguintes ternos congruentes. propriedades: 1a propriedade: Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. • Como a e d são medidas de ângulos colaterais internos, D C ILUSTRAÇÕES: temos: a + d = 180° a = 180° _ d (1) d c EDITORIA DE ARTE • Como c e d são medidas de ângulos colaterais inter- a b nos, temos: c + d = 180° c = 180° _ d (2) A B Comparando (1) e (2), temos: a = c A Х C Usando o mesmo raciocínio, mostramos que B Х D. 182 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 182 11/16/18 7:38 PM 182

2a propriedade: AMPLIANDO Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes. Atividade complementar Traçando a diagonal AC, obtemos os triângulos ABC e CDA, em que: Para sistematizar esse con- • a = c (ângulos alternos internos) D C teúdo, propor um exercício do • AC Х AC (lado comum) c tipo Verdadeiro ou Falso. Pe- dir que os alunos justifiquem • b = d (ângulos alternos internos) d as afirmações que julgarem falsas. A construção de argu- Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos, b B mentos é uma habilidade im- temos que ᭝ABC Х ᭝CDA. Como consequência, AB Х CD a portante a ser desenvolvida. e BC Х DA. • Associe V ou F a cada uma A das afirmações a seguir. 3a propriedade: a) As diagonais de qualquer retângulo são congruentes. Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. b) As diagonais de qual- Traçando as diagonais AC e BD, temos: quer losango são congruentes. • a = c (ângulos alternos internos) c) As diagonais de um quadrado são congruentes. • AB Х CD (lados opostos) d) As diagonais de qual- • b = d (ângulos alternos internos). D C quer retângulo são perpendi- d c culares entre si. Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos, M temos que ᭝AMB Х ᭝CMD. e) As diagonais de qual- quer losango são perpendicu- Como consequência, AM Х CM e BM Х DM. a b lares entre si. A B Portanto, o ponto M é ponto médio tanto da diagonal f) As diagonais de um AC como da diagonal BD. quadrado são perpendiculares entre si. Agora, vamos estudar os paralelogramos que recebem nomes especiais: retângulo, losango e quadrado. Resposta da atividade a) V Retângulo b) F c) V d) F e) V f) V Além das propriedades dos paralelogramos, o retângulo apresenta uma propriedade carac- terística: as suas diagonais são congruentes. Decompondo o retângulo nos triângulos ABC e ABD, temos: D C • AB Х AB (lado comum) A B ILUSTRAÇÕES: • Aˆ Х Bˆ (ângulos retos) EDITORIA DE ARTE • BC Х AD (lados opostos do retângulo) Pelo caso LAL da congruência de triângulos, temos que ᭝ABC Х ᭝BAD. Como consequência: AC Х BD. 183 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 183 11/17/18 14:49 183

Losango Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o losango apresenta uma propriedade característica: as suas diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Considerando a diagonal DB do losango a seguir, pelo caso LLL de congruência de triân- gulos, temos que ᭝ABD Х ᭝CBD. D M AC B Podemos concluir também que esses triângulos são isósceles, portanto, os ângulos ADB e ABD e os ângulos CDB e CBD são congruentes. Como os triângulos são congruentes, concluímos que os ângulos ADB, ABD, CDB e CBD são congruentes, assim, DB é bissetriz de å D e å B. Analogamente, podemos concluir que AC é bissetriz de åA e åC. Agora, vamos demonstrar que as diagonais do losango são perpendiculares. Considerando os triângulos AMB e AMD, temos que: • AB Х AD (lados do losango) • Bå AM Х Då AM (AC é bissetriz) • AM é comum aos triângulos ABM e ADM. Então, pelo caso LAL de congruência de triângulos, temos que ᭝ABM Х ᭝ADM. Logo, os ângulos AMB e AMD também são congruentes e, como eles são suplementares, temos que med(AMå B) ϭ med(AMå D) ϭ 90º. Portanto, AC e DB são perpendiculares (AC DB). Quadrado O quadrado reúne as propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos e não serão demonstradas, pois são análogas às demonstrações anteriores. DC AC Х BD M AC BD AC é bissetriz de Aˆ e CA é bissetriz de Cˆ . BD é bissetriz de Bˆ e DB é bissetriz de D . AB 184 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 184 11/17/18 14:49 184

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Responda às questões no caderno. 5. Observando o losango ABCD, determine: Atividades 1. Considere o paralelogramo da figura a C Neste bloco de questões, seguir. Nela, estão expressas as medidas os alunos deverão identificar de dois ângulos opostos. Quais são x M 12 20 os paralelogramos e aplicar as medidas dos quatro ângulos desse 16 as propriedades características paralelogramo? 45°, 45°, 135° e 135° DB destes. 4x + 1° y Para o trabalho com parale- logramos como os retângulos, 6x _ 21° A losangos e quadrados, pode- -se utilizar o tangram. 2. Determine a medida x no paralelogramo a) as medidas x e y indicadas. x = 16 e y = 12 da figura a seguir. x = 47° b) os perímetros dos seguintes triângulos: Pedir aos alunos que cons- truam quadriláteros com vá- *AMB, *ABC e *ABD. 48, 64 e 72 rias peças do tangram. 6. Sabendo que a figura a seguir é um qua- Levantar questões como: drado, dê as medidas x e y indicadas. • É possível construir um x = 90° e y = 45° quadrado com 5 peças do tan- gram? E com 6 peças? Respos- Dx 35° C x tas: Sim; não. • É possível construir um pa- 82° y ralelogramo com 7 peças do tangram? Resposta: Sim. AB 7. Se as diagonais de um retângulo formam • É possível construir um tra- um ângulo de 114° entre si, quais são as pézio com 5 peças do tan- 3. A figura seguinte é um retângulo. medidas dos ângulos que as diagonais gram? Resposta: Sim. formam com os lados do retângulo? 3x + 2y 33° e 57° Resolver com os alunos a questão 4, verificando se os 2x + y 8. A medida de cada ângulo obtuso de alunos utilizam produto notá- um losango é expressa por 2x + 5°, en- vel ou a propriedade distribu- De acordo com as indicações, escreva o quanto a medida de cada ângulo agudo tiva para o cálculo da área. Se polinômio que indica: é expressa por x + 40°. Nessas condi- julgar necessário, aproveitar a) o perímetro do retângulo. 10x + 6y ções, determine as medidas dos quatro o momento para recordar os b) a área do retângulo. 6x2 + 7xy + 2y2 ângulos desse losango. 95°, 95°, 85° e 85° produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da dife- 4. Esta figura é um 5x _ y 9. Na figura seguinte, ABCDEF é um he- rença de dois termos. quadrado. xágono regular, e AFGH é um losango. Determine as medidas x e y indicadas. Para a questão 9, se ne- G x = 60° e y = 120° cessário, retomar com os alu- nos o cálculo da medida do H y xF ângulo interno de um polígo- no regular. AE De acordo com as 5x _ y ILUSTRAÇÕES: indicações, escreva BD EDITORIA DE ARTE o polinômio que indica: C a) o perímetro do quadrado. 20x _ 4y b) a área do quadrado. 25x2 _ 10xy + y2 185 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 185 11/16/18 7:38 PM 185

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Trapézios Trapézios Observe os quadriláteros das figuras seguintes. Eles apresentam apenas dois lados paralelos. Quadriláteros com essa característica são chamados trapézios. Os trapézios compõem o grupo dos quadriláteros for- Os lados paralelos são as bases do trapézio. mados por apenas um par de lados paralelos. Estudos mos- D C S R PS // QR. tram que os egípcios já estu- A PS é a base maior. davam essa figura. AB // CD. QR é a base menor. No Papiro de Rhind, do- AB é a base maior. Q cumento egípcio datado de aproximadamente 1650 a.C., CD é a base menor. encontramos a figura de um trapézio (observe-o na parte BP esquerda da imagem abaixo). A base maior era designada PO por um vocábulo cuja tra- dução seria “boca”; a base A distância entre as bases é a medida da altura menor era a “truncadura”; altura do trapézio. os lados não paralelos, as “larguras”. M N Os romanos denominavam Entre os trapézios, devemos destacar dois casos particulares: o trapézio de mensa, pois achavam que a figura desse • Trapézio retângulo D C quadrilátero lembrava uma É o trapézio no qual um dos lados não para- mesa. lelos é perpendicular às bases. Somente a partir de mea- O lado AD é perpendicular às bases. dos do século XVII é que o termo trapézio foi adotado • Trapézio isósceles A B definitivamente. É o trapézio no qual os lados não paralelos são SR congruentes. PS 2 QR Vamos apresentar duas propriedades dos tra- Q pézios isósceles. Em um trapézio isósceles, 1a propriedade: aϭb P os ângulos da mesma base são cϭd congruentes. DC Aˆ Х Bˆ dc Cˆ Х Dˆ a b A B 2a propriedade: DC PRINT COLLECTOR/GETTY IMAGES AC 2 BD Em um trapézio isósceles, ILUSTRAÇÕES: as diagonais são congruentes. EDITORIA DE ARTE A B 186 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 186 11/16/18 7:38 PM Fragmento do Papiro de Rhind, de c. 1650 a.C. 186

Base média de um trapézio ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O segmento cujas extremidades são os pontos médios dos lados não paralelos é denominado O uso do vocabulário ade- base média do trapézio. A base média de um trapézio é um segmento paralelo às bases do trapézio. quado é importante na iden- tificação dos quadriláteros. D C M ponto médio do lado AD Assim, nos exercícios, solici- M N N ponto médio do lado BC tar que os alunos destaquem A B MN base média do trapézio a respeito de qual trapézio a MN // AB e MN // CD questão se refere. A medida da base média de um trapézio é igual à metade da soma das medidas Atividades das bases do trapézio. ( ) ( ) ( )med MN As questões desse bloco med AB + med CD exploram reconhecimento de ϭ 2 trapézios, suas classificações e aplicação das propriedades dos trapézios. Incentivar os alunos a repre- sentar a situação descrita por figuras, sempre que possível. Resoluções a partir da p. 289 ATIVIDADES Responda às questões no caderno. 6. A figura a seguir é um trapézio isósce- 1. Em um trapézio, três de seus ângulos les. Sabendo que AM está contido na medem 78°, 102° e 98°. Determine a medida do quarto ângulo. 82° bissetriz do ângulo A, e BM está contido 2. No trapézio isósceles, os ângulos da mesma na bissetriz do ângulo B, determine a base são congruentes. Se em um trapézio x = 106° isósceles um dos ângulos mede 74°, deter- medida x indicada. mine as medidas dos outros três ângulos. DC 3. Determine a medida x indic7a4d°,a1n06a°feig1u0r6a°. D C x = 62° 106° 106° 118° M x AB x 7. No trapézio ABCD, EF é a base média. AB Determine a medida x da base maior AB. 20,5 cm 4. Determine as D 12,9 cm C medidas x e y x + 30° x + y E 16,7 cm F ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE indicadas na figura. 70° 50° Ax B x = 80º e y = 50º. 5. Em um trapézio isósceles, a medida de 4 8. Em um trapézio, denominamos x a medida cada ângulo agudo corresponde a 5 da da base maior e y, a medida da base menor. Sabendo que a base média mede medida de cada ângulo obtuso. Nessas 25 cm e que x _ y = 14 cm, determine as medidas das bases desse trapézio. condições, determine as medidas dos x = 32 cm e y = 18 cm quatro ângulos desse trapézio. 100°, 100°, 80° e 80° 187 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 187 11/16/18 7:38 PM 187

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS TRATAMENTO DA INFORMAÇão Tratamento da Interpretando um gráfico de setores informação Observe o gráfico de setores representado: As atividades desenvolvidas ajudam a ampliar os conheci- População de cada região brasileira EDITORIA DE ARTE mentos sobre gráficos e inter- (Censo 2010) pretação de tabelas. 8,3% 27,8% Centro-Oeste Apresentar aos alunos ou- 7,4% Nordeste tros gráficos de setores, mui- Sudeste to comuns na mídia escrita e 14,4% Sul televisiva. Caso ache interes- Norte sante e seja possível, orien- 42,1% Informações obtidas tá-los a pensar em um tema em: IBGE. Sinopse do de interesse comum que pos- Censo Demográfico sibilite uma coleta de dados 2010. Disponível em: para uma pesquisa e que pos- <www.censo2010.ibge. sa gerar ações importantes e gov.br/sinopse/index. informações pertinentes. Em php?dados=5&uf=00>. seguida, eles deverão organi- Acesso em: 19 out. 2018. zar os dados em uma tabela e apresentá-los em um gráfico Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação de setores. Lembre a turma de à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE. que é interessante pensar em um tema cujos dados coleta- Responda às questões no caderno. Resoluções a partir da p. 289 dos possam ser representados em um gráfico de setores, que 1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a repre- é o tema desta seção. senta? Região Sudeste. 42,1%. Comentar com os alunos 2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem? que também é possível cons- Região Centro-Oeste. 7,4%. truir um gráfico de setores utilizando uma planilha ele- 3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê? trônica. Se julgar interessante, Não, porque não temos a informação da população total. levar os alunos ao laboratório de informática para que, em Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de duplas, construam os gráficos 190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa apresentados nesta seção. e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe. Região Sudeste: Região Nordeste: Porcentagem Número de habitantes Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 100% − 190 755 799 42,1% − x 27,8% − x xϭ 42,1и 190755799 ⇒ x Ӎ 80 308 191 xϭ 27,8 и 190755799 ⇒ x Ӎ53 030 112 100 100 188 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 188 11/16/18 7:38 PM 188

Região Sul: Região Norte: Porcentagem Número de habitantes Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 100% − 190 755 799 14,4% − x 8,3% − x xϭ 14,4 и 190755799 ⇒ x Ӎ 27468835 xϭ 8,3 и 190755799 ⇒ x Ӎ15832732 100 100 1. Resposta: Região Centro-Oeste: Preferência esportiva dos alunos Porcentagem Número de habitantes da escola X 100% − 190 755 799 Esporte Percentual (%) Número de 7,4% − x alunos Basquete 30% 108 Futebol 35% 126 Tênis 15% 54 7,4 и 190755799 ⇒ x Ӎ14115929 Vôlei 20% 72 xϭ 100 Total 100% 360 Fonte: Alunos da escola X. População de cada região brasileira (Censo 2010) Assim, podemos dizer que a Região Porcentagem Número de região Sudeste tem aproximada- (%) habitantes mente 80 308 191 habitantes. Norte Nordeste 8,3 15 832 732 Da mesma maneira, conse- Centro-Oeste 27,8 53 030 112 guimos encontrar a população Sudeste 7,4 14 115 929 aproximada de cada região bra- 42,1 80 308 191 sileira, a partir da porcentagem apresentada no gráfico de setores. Sul 14,4 27 468 835 Esta tabela foi elaborada com os Total 100 190 755 799 dados encontrados. Informações obtidas com base no gráfico da página anterior. Responda às questões no caderno. 4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos, construa uma tabela relacionando o esporte com a quantidade de alunos que preferiu cada um deles. Preferência esportiva dos alunos da escola X a) Qual o esporte favorito dos alunos da escola X? 20% Basquete Futebol b) Quantos alunos resFputoenb-ol. 30% Tênis deram que preferem o Vôlei basquete? 108 15% c) Você acha melhor EDITORIA DE ARTE 35% analisar os dados repre- sentados em um gráfico de setores ou em uma tabela? Resposta pessoal. Fonte: Alunos da escola x. 189 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 189 11/16/18 20:54 189

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES NO PLANO Transformações no plano 7 Os alunos já viram o con- Já vimos que, em polígonos e em outras figuras geométricas, podem ser apli- teúdo de transformações no cadas transformações geométricas. As figuras obtidas por essas transformações plano no 7o ano, então, apro- são imagens do original e podem ter suas medidas dos lados alteradas, assim como veitar este momento para sua posição no plano. retomar os conceitos e tirar eventuais dúvidas. Reflexão Caso deseje que os alunos realizem as situações apre- sentadas nestas páginas, pe- dir a eles que providenciem régua, compasso e o papel quadriculado. Considere a figura representada a seguir. Podemos dizer que II é a reflexão de I em relação à linha vermelha. B A A’ B’ G H H’ G’ F E E’ F’ C D D’ C’ I II Quando duas imagens são reflexo uma da outra e esse reflexo se dá em relação a uma linha, dizemos que há simetria de reflexão ou simetria axial e a linha é seu eixo de reflexão ou eixo de simetria. Translação O pentágono regular I foi transladado na direção e A E sentido do vetor u, gerando o pentágono II . Para transladar o A’ pentágono, deslocamos os vértices A, B, C, D e E dois quadradi- B I u ILUSTRAÇÕES: nhos para a direita e, em seguida, dois quadradinhos para baixo, EDITORIA DE ARTE obtendo os pontos A’, B’, C’, D’ e E’. Observe a figura ao lado: CD II E’ B’ C’ D’ SAIBA QUE A translação é a transformação no plano que desloca todos os pontos de uma figura na mesma direção e sentido, preservando Transladar: transferir suas dimensões originais. para outro lugar. 190 11/17/18 14:49 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 190 190

Rotação ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Considere a figura a seguir. Nela, I foi rotacionada em Aproveitar o contexto e questionar os alunos sobre torno do ponto O, em 90° no sentido anti-horário, obtendo-se onde podemos ver exemplos de transformações do plano a figura II . em nosso cotidiano. Alguns exemplos que os alunos po- Para construir a rotação de uma figura, é preciso definir o II dem mencionar: obras de arte, ponto em torno do qual essa figura girará, ou seja, um centro mosaicos, ladrilhos e pisos, lo- gomarcas, entre outros. de rotação. Também é preciso definir um ângulo e um sentido de rotação. 90º I Abaixo temos a rotação do triângulo IJK, construído passo a O passo, em torno do ponto O, com um ângulo de rotação de 45°, no sentido horário. Observe como cada um dos vértices do triângulo foi unido ao centro de rotação e definiu, de acordo com a medida do ângulo de rotação e o sentido definido, os vértices da imagem I’J’K’. I’ I’ I’ J’ J’ I IJ IJ IJ J K’ K’ K’ K’ K 45º O K 45º O K 45º O K 45º O O centro de rotação também pode ser um dos pontos da I’1 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE figura. Agora, vamos rotacionar o triângulo IJK, considerando o vértice K como centro de rotação. Faremos um giro de 45° no IJ sentido horário: J1’ 45° K1’ K A transformação geométrica rotação consiste em girar determinada figura, em torno de um ponto do plano, mantendo o ângulo de deslocamento. pense e responda 191 Na figura acima, qual o ponto fixo desta rotação? O ponto K, que corresponde, neste caso, ao centro de rotação. 11/17/18 14:49 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 191 191

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Composição de transformações Composição de Algumas figuras podem ser obtidas por meio da composição de transformações geométricas transformações no plano. Vejamos alguns exemplos. Verificar se os alunos com- 1 Observe a figura. preendem que a composição de transformações são duas B B’ A’ ou mais transformações fei- tas em seguida. É importante AC Figura final. que eles percebam que não Figura inicial. C’ é uma nova transformação, apenas uma composição das O triângulo ABC (Figura inicial) passou por duas transformações geométricas para chegar ao já conhecidas. triângulo A'B'C' (Figura final). Acompanhe o passo a passo: Salientar também que tendo 1o) Reflexão em relação à reta r. 2o) Rotação de 45° no sentido anti horário, a figura inicial e a final, é pos- com centro de rotação o vértice A’. sível que mais de uma compo- sição de transformações resulte r B1 r B1 naquela imagem final. B B Se julgar oportuno, reunir A C C1 A’ A C C1 B’ A’ os alunos em duplas, distribuir Figura inicial. papel quadriculado e solicitar Figura inicial. 45° que os alunos tentem repro- duzir as figuras presentes no Figura final. texto. Esse exercício faz com que compreendam as etapas C’ necessárias para a obtenção da figura final. 2 A figura inicial do peixe a seguir sofreu uma translação horizontal de 3 unidades para a direita e em seguida uma rotação de 180° em relação ao ponto O. Ju K Figura inicial. O ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 180° Figura final. pense e responda Resoluções a partir da p. 289 Responda à questão no caderno. Na figura do peixe, é possível chegar à figura final fazendo outros tipos de composição de transformações? Resposta no final do livro. 192 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 192 11/17/18 14:53 192

ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 de uma figura em torno de um ponto, sugerimos a apre- 1. Copie o polígono b) sentação de um simulador de rotação, desenvolvido pela ABCDE em uma AB u Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Nele, o aluno folha de papel pode manipular alguns pontos e construir diversas figuras. quadriculado E C Disponível em: <http://livro. pro/jqwwmu>. Acesso em: 5 e, em seguida, D nov. 2018. construa sua reflexão em r Resolução do Desafio Os alunos devem realizar relação à reta r. Resposta no final do livro a rotação da figura em torno 2. Construa, em uma folha de papel quadri- DESAFIO do ponto O por um ângulo de 90°. A figura final será a re- culado, um plano cartesiano e marque os 5. Copie a figura em A produzida a seguir. uma folha de papel O pares ordenados A (3, 2), B (7, 2) e C (5, 5). quadriculado e, ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE A em seguida, com- B 9F0° F’ Em seguida, construa o polígono A’B’C’, A’ O B F F’ refletido em relação ao eixo das orde- plete sua rotação B’ nadas (eixo y). Resposta no final do livro A’ em torno do ponto a) Quais as coordenadas dos pontos A’, B’ O no sentido anti-horário, de um ângulo B’ e C’? A’(-3, 2), B’(-7, 2) e C’(-5, 5) de 90␱. Use régua e jogo de esquadros. b) O que você observa com relação às co- Resposta no final do livro ordenadas dos pontos A’, B’ e C’? 3. Os pentágonos ABCDE E A’B’C’D’E’ são 6. Escher (1898-1972), artista holandês de grande renome, utilizou duas transforma- simétricos em relação a uma reta t. Copie ções no plano para compor a obra a seguir. os pentágonos em uma folha de papel quadriculado e desenhe a reta t. M.C. ESCHER'S BIRD/FISH (NO 22) © 2018 THE M.C. ESCHER COMPANY. THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS Resposta no AE RESERVED. WWW.MESCHER.COM final do livro D B A’ B’ C C’ E’ D’ Pássaros/Peixes (No 22), de Maurits Cornelis Escher, 1941. 4. Copie as figuras a seguir em uma folha de papel quadriculado. Em seguida, faça Quais transformações você identifica no a translação de cada uma delas, obede- quadro? Espera-se que os alunos identifiquem cendo o vetor dado. a) u a translação. 7. Em uma folha de papel quadriculado, Resposta no final do livro construa um plano cartesiano e uma figura geométrica qualquer. Em seguida, aplique uma reflexão em relação ao eixo das ordenadas, seguida de uma translação vertical de 3 unidades. Resposta pessoal. 193 ORIENTAÇÕES DIDÁTICASD2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 193 O uso de softwares de geo- isometrias em suas 1o1/1b7/r1a8 s14:d54e metria dinâmica pode auxiliar mosaicos. Atividades na construção das isometrias. As atividades propostas Mas, é importante que essa Caso julgue interessante, etapa de construção, usando apresentar algumas obras do pretendem que o aluno possa, papel quadriculado, régua, artista, disponíveis em seu site utilizando seus instrumentos compasso e esquadros, seja oficial: <http://livro.pro/c4njps> geométricos, trabalhar com as trabalhada em sala de aula. (site em inglês). Acesso em: transformações geométricas 5 nov. 2018. no plano, percebendo as dife- O artista holandês M.C. renças na construção de cada Escher trabalhou muito com Para que os alunos com- uma delas. preendam melhor a rotação 193

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Tecnologias Depois do estudo das transformações geométricas no plano, vamos usar ferramentas do software Geogebra para fazer composições envolvendo simetrias de reflexão, translação e rotação. Reservar com antecedência computadores para os alunos. Transformações no plano O ideal é que seja em quanti- dade suficiente para que eles Talita e Fernando estavam usando o software de geometria dinâmica para estudar trans- trabalhem em duplas. formações no plano. Eles receberam um desafio para compor um padrão geométrico usando as simetrias de reflexão, translação e rotação. Nesse desafio, eles poderiam usar apenas as É importante salientar que seguintes ferramentas: a escolha do software de geo- metria dinâmica foi feita, entre vários possíveis, por ele ser gra- tuito e de fácil utilização. O GeoGebra, além das fer- ramentas geométricas, também permite a análise algébrica em diversas situações, como no cál- culo de áreas, perímetros etc. Mover Reta Reflexão em relação a uma reta Ponto Polígono Translação por um vetor Vetor Intersecção entre dois objetos Rotação em torno de um ponto Além disso, eles poderiam usar a ferramenta apenas duas vezes. Observe algumas etapas das construções realizadas por Talita e Fernando. 1º) Inicialmente eles construíram dois triângulos. Em seguida, os triângulos BCD e CEF foram refletidos em relação ao eixo y. Depois, refletiram os triângulos CEF e F’E’C1’em relação ao eixo x. ILUSTRAÇÕES: GEOGEBRA 2018 194 11/16/18 7:38 PM D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 194 194

2º) Foi realizada uma translação do triângulo BCD, obtendo o triângulo B1’ C3’D1’. Em seguida, O uso do software para rea- foi feita uma rotação desse último triângulo, de centro em A e 90° no sentido horário. lizar as transformações vistas anteriormente auxilia o aluno 3º) Em seguida, foi realizada uma translação do triângulo JKI, obtendo o triângulo J’K’I’. Para no processo de compreensão finalizar, Talita refletiu os triângulos JKI e J’K’I’ em relação ao eixo x, obtendo o padrão geométrico dos conceitos. que desejava. Após a realização das ati- vidades propostas, incentivar os alunos a testarem outras composições de transforma- ções com outras figuras. Desse modo, o raciocínio e o desen- volvimento de novas habilida- des são estimulados. 1 No Geogebra, construa o padrão geométrico apresentado anteriormente. Você pode seguir o passo a passo que Talita e Fernando usaram, ou realizar as transformações geométricas em outra ordem. Resposta pessoal. 2 Depois de construído o padrão geométrico, usando a ferramenta clique sobre um vértice de um dos primeiros polígonos construídos e arraste. Veja a seguir um exemplo. ILUSTRAÇÕES: GEOGEBRA 2018 O que você verificou? Resposta possível: As alterações realizadas nos primeiros polígonos constru- ídos acontecem nos demais polígonos obtidos como transformação no plano dos primeiros. 195 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 195 11/16/18 7:38 PM 195

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RETOMANDO O QUE APRENDEU Resoluções a partir da p. 289 Retomando o que Responda às questões no caderno. 5. Em um polígono regular, a medida de aprendeu cada ângulo externo é 24°. Esse polígono 1. Calcule quantas diagonais possui a re- tem: Alternativa a. Orientar os alunos a reto- presentação do polígono ao lado. a) 90 diagonais. mar no livro os conceitos e as b) 105 diagonais. propriedades que precisarem a) 22 Alternativa c. A B c) 119 diagonais. lembrar para a realização das K d) 135 diagonais. atividades. Fazer a correção co- e) 170 diagonais. letivamente, retomando expli- b) 34 JC cações na lousa, quando julgar 6. Um retângulo e um quadrado têm o necessário. c) 44 I D mesmo perímetro. No retângulo, um d) 55 dos lados mede 15 cm, e a medida do e) 66 H E outro corresponde a 60% dessa medida. G F O lado do quadrado mede: Alternativa b. a) 10 cm 2. (Saresp-SP) Seis cidades estão localizadas b) 12 cm nos vértices de um hexágono regular, c) 14 cm d) 16 cm como mostra a figura. Há um projeto e) 20 cm para interligá-las, duas a duas, por meio 7. No losango ABCD a seguir, temos que: de estradas. Algumas dessas estradas D correspondem aos lados do polígono, e M AC as demais correspondem às diagonais. Desse modo, o número de estradas a serem construídas é: A B a) 9 Alternativa b. b) 15 c) 21 F C d) 24 B e) 27 ED • med (AM) = 40 cm • med (MC) = x + 3y 3. Quantos lados tem o polígono cuja • med (BM) = x + y soma das medidas dos ângulos internos • med (MD) = 30 cm é 2 160º? Alternativa a. a) 14 Qual é o valor da expressão x _ y? a) 16 cm Alternativa c. b) 16 b) 18 cm c) 20 cm c) 17 d) 25 cm e) 30 cm d) 18 e) 20 4. Esta figura é a representação de um hexá- 8. Na figura a seguir, o triângulo MBN é gono não regular. O valor de x é: isósceles (BM Х BN). Qual é, em graus, a) 105° Alternativa b. 160° o valor da medida y? Alternativa d. xx b) 100° a) 12° D ILUSTRAÇÕES: EDITORIA c) 110° b) 14° x x A DE ARTE c) 15° 3x 2x 2 M d) 120° xx d) 18° e) 20° C2 B e) 108° 160° N y 196 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 196 11/16/18 7:38 PM 196

9. Na figura abaixo, ABCD é um quadri- 11. (OBM) Na figura, ABCDE é um pentá- ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS látero qualquer e CD Х CB. Então, a gono regular, CDFG é um quadrado e Um novo olhar medida y do ângulo CBD é. Alternativa c. DFH é um triângulo equilátero. O valor Os questionamentos exis- tentes no encerramento des- a) 31° A D do ângulo b é: Alternativa c. ta Unidade poderão permitir b) 32° 72° 21° reflexões sobre as aprendiza- c) 33° C a) 30° HF gens individuais, além de uma d) 34° x breve retomada dos conteú- b) 36° ␤ G dos apresentados. É importan- 21° c) 39° C te que os alunos respondam d) 45° D individualmente a cada uma E das questões para que, des- sa forma, possam perceber o e) 35° y que aprenderam, as dúvidas que ainda tenham e retomar B e) 60° AB alguns pontos que julguem necessários. Ajudá-los, caso 10. (OBM) C 12. (Fuvest-SP) No retângulo a seguir, o valor isso ocorra. em graus de a + b é: Alternativa d. D A primeira questão busca fazer uma revisita à abertura 40º b ILUSTRAÇÕES: EDITORIA desta Unidade, retomando a E DE ARTE relação entre a quantidade de pixels e a resolução de uma xa fotografia. AB a) 50 A segunda questão aborda a) A figura ABCD é um quadrado e CE Х CB. a relação entre o ângulo in- b) 90 terno e o ângulo externo ad- Determine a medida do ângulo x. jacente a ele de um polígono x = 22°30’ c) 120 qualquer. b) Resolva a equação x 3x 4 Ϫ 2 ϭ 3. 4 d) 130 A terceira questão busca le- Ϫ xx = _ 5 e) 220 var os alunos a refletir sobre as características que fazem um Espera-se que o aluno encontre em sua pesquisa que a relação entre a polígono receber a nomen- quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia (conhecido como clatura de polígono regular mito do megapixel ) não é o que importa. O mais importante para se (todos os lados congruentes ter uma foto de qualidade são as lentes e os sensores da máquina. entre si e todos os ângulos in- UM NOVO OLHAR ternos congruentes entre si). Nesta Unidade, estudamos os polígonos e, em especial, os quadriláteros. Nosso estudo A quarta questão aborda sobre polígonos foi dividido em: elementos de um polígono, nomenclatura utilizada, dia- os três tipos de paralelogra- gonais de um polígono, relação entre os ângulos internos e externos de um polígono, soma mos que recebem nomes es- das medidas dos ângulos internos de um triângulo, soma das medidas dos ângulos internos peciais, levando a observação de um polígono convexo, soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo. da relação mais intrínseca Com relação aos quadriláteros, foram abordados: as propriedades de um quadrilátero, os existente entre eles, pois todo paralelogramos, os trapézios e a base média de um trapézio. quadrado também pode ser classificado como losango ou Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no retângulo, sendo a recíproca caderno às questões a seguir. não verdadeira. • Na abertura da Unidade, citamos que a quantidade de pixels de uma foto é muito A quinta questão retoma os importante para a ampliação dela. Faça uma pesquisa e verifique qual a relação tipos de trapézios estudados entre a quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia. (ressaltamos que os trapézios escalenos não são menciona- • Qual é a relação entre o ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele de dos, tratamos apenas dos ca- um polígono regular? A soma das medidas desses ângulos é igual a 180°. sos especiais de trapézios). • Que características tem um polígono regular? A última questão permite que os alunos se lembrem das • Quais quadriláteros estudados são paralelogramos? O retângulo, o losango e o quadrado. isometrias estudadas na Uni- dade: reflexão, translação e • Que tipos de trapézios foram estudados? Trapézio isósceles e trapézio retângulo. rotação. • Que transformações geométricas no plano você conheceu? Reflexão, translação e rotação. Um polígono regular tem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si (o que acarreta que também todos os ângulos externos são congruentes entre si). 197 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 197 11/17/18 15:45 197

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATUALIDADES EM FOCO Atualidades em foco Querer é poder? Mas, o que eu quero? O tema desta seção é a Quantas vezes você já comprou algo que não precisava? Ou apenas porque queria ter, ou educação para o consumo. porque seus colegas já tinham e você ainda não? Com o acesso facilitado a propagandas que induzem as O consumismo, o acúmulo cada vez maior de bens materiais e supérfluos, promove em nossa pessoas a consumir itens que sociedade um declínio de valores. Em alguns casos, as pessoas se tornam dependentes desses não são necessários, torna-se bens, valorizando mais a aquisição de produtos e de bens do que as relações sociais e afetivas. primordial uma educação vi- sando o consumo adequado Com a facilidade em se conseguir crédito, ficou cada vez mais comum substituir um produto de produtos em geral. que quebrou por outro novo, em vez de consertá-lo, bem como trocar produtos obsoletos da nossa casa, mesmo que ainda estejam funcionando. Ler o texto de sensibilização com os alunos e estimular o O consumo irresponsável e ilimitado também prejudica a natureza e o meio ambiente, pois debate a respeito das facilida- retiramos deles bens que são renovados e devolvemos uma quantidade cada vez maior de lixo, des que existem hoje em dia que, muitas vezes, é descartado em locais impróprios. para o consumo desenfreado e o que pode ser feito para Dessa forma, para minimizar os efeitos do consumismo desenfreado, é preciso que se faça combatê-lo. um trabalho de educação ou reeducação que promova reflexões acerca do consumo e do con- sumismo, do desejo e da necessidade, da preservação e conservação ambiental, do descarte Pode ser levantado pelos responsável e, inclusive, da implementação de leis mais efetivas. alunos os diversos tipos de persuasão a que somos expos- tos em nosso cotidiano para realizar compras desnecessá- rias. Em seguida, elencar na lousa os exemplos apresenta- dos pelos alunos. Uma outra possibilidade é trazer para a sala de aula slogans publici- tários, abordagens ou mesmo material visual com imagens como cartazes e outdoors para contribuir com o debate. FAITHIE/SHUTTERSTOCK.COM 198 11/17/18 14:59 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 198 198

2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, pagarei R$ 10,69. Como Na atividade 2, aproveitar o videogame equivale a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você pagará para explicar aos alunos que, Responda no caderno: 1m4 uxitRo$ 10,69 de juros, o que totaliza: R$ 146,90. se eles esperassem um mês 1. A escola pode contribuir para a conscientização do consumo responsável e sus- para comprar o brinquedo, teriam economizado o valor tentável. Você concorda com essa afirmação? Por quê? Converse com seus colegas. de R$ 146,90 e que poderiam 2. Os juros cobrados pelos bancos e pelas operadoras de crédito variam de acoRredsopocsotma poestsiopaol. utilizar esse dinheiro para ou- tra coisa. Explicar ainda que, de financiamento que utilizamos. Assim, o valor da taxa de juros aplicada em um mesmo se ao final dos 30 dias eles não tiverem o dinheiro para banco pode ser diferente, de acordo com a linha de crédito. A seguir são apresentadas pagar o brinquedo, o banco calculará novamente os juros, as taxas médias de juros aplicadas por diversos bancos durante o ano de 2010, de acordo só que dessa vez sobre o valor do brinquedo mais o valor dos com o Banco Central. juros. Comentar que, neste caso, as demais possíveis taxas Taxas de Juros Taxa média março Taxa média abril Variação no mês cobradas pela operadora do Linha de crédito 5,72% 5,77% 0,87% cartão não foram consideradas. Juros do comércio 10,69% 10,69% Cartão de crédito 7,34% 7,40% 0% Na atividade 3, orientar os Cheque especial 2,33% 2,44% 0,82% alunos na construção da tabe- CDC-bancos 4,74% 4,79% 3,00% la e na escolha dos produtos Empréstimo pessoal - bancos 9,78% 9,87% 1,05% para a realização da pesquisa. Empréstimo pessoal - financeiras 6,77% 6,82% 0,92% Estimulá-los a pesquisarem Taxa média 0,74% nos locais onde costumam frequentar para que tenham, Fonte: BELEDELI, M. Crédito fácil pode virar armadilha ao consumidor. Jornal do Comércio. Diponível em: de fato, um parâmetro dos <http://jcrs.uol.com.br/site/noticia.php?codn=30398&codp=21&codni=3>. Acesso em: 2 nov. 2018. preços aplicados que reflitam seus hábitos de consumo. Se Responda à questão a seguir: necessário, fazer intervenções na realização dos cálculos. Vamos supor que você queira comprar um videogame e não tenha o dinheiro nesse mês. Mas você está com tanta vontade de comprá-lo que não resiste à persuasão do vendedor Para essa atividade, pode- e acaba utilizando uma linha de crédito de seu cartão, mas se esqueceu que não era uma -se utilizar a calculadora, com boa data para realizar a compra, pois, a fatura venceria naquele mesmo mês. Supondo que o objetivo de que os alunos se o video game tenha custado R$ 1 400,00 e você tenha atrasado um mês o pagamento de preocupem mais com a pes- sua fatura, quanto pagará de juros? (Como não houve variação na taxa de juros, pode-se quisa, o processo e a consta- utilizar o valor referente a abril ou a maio.) tação dos valores do que com os cálculos. Se possível, elabo- 3. Elabore uma lista com 5 itens que você costuma consumir frequentemente; por exemplo, rar uma pesquisa a respeito de sucos, lanches, itens de higiene etc. Pesquise os valores unitários desses produtos em dife- compra por atacado e aplicati- rentes estabelecimentos. Anote o resultado em um quadro, como o da referência a seguir. vos de compra coletiva. Estabelecimento: Valor 1 Valor 2 Valor 3 Produto a) Agora, calcule a diferença entre o maior e o menor valor encontrados para o mesmo produto e multiplique-os pelo número de unidades de cada produto que você cosRteusmpoastcaopnessusomailr. durante o mês. b) Faça a soma dessa diferença de todos os produtos que você consome e descubra quanto c) você economizaria se adquirisse esse produto no local onde se aep, ljiucnatoosm, deensRoceruspbvoaraslotmar.pqeusasnoatol. Compartilhe suas descobertas com os colegas e com o professor a sala toda economizaria se adotasse o hábito de pesquisar os preços para descobrir o local d) com a melhor oferta. Lembre-se de avaliar despesas com porádteicsalocpaomdeernitao,trtaRezemesrppoobseteantcep.efíscsiooasl?. Você já ouviu falar em compra coletiva? Será que essa Por quê? Resposta pessoal. 199 D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 199 11/17/18 15:45 199

COMPETÊNCIAS 7 Contagem, probabilidade e GERAIS estatística 2. Exercitar a curiosidade Na imagem está representada uma linha MANZI intelectual e recorrer à abor- de produção fabril em que há um setor cuja dagem própria das ciências, atividade consiste em reparar produtos com 16/11/18 18:46 incluindo a investigação, a re- defeitos, os quais precisam de melhorias, o que flexão, a análise crítica, a ima- gera retrabalho. ginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e Mas como definir em quais peças há testar hipóteses, formular e defeito? Para isso, existe um setor de inspeção, resolver problemas e criar so- que é o responsável por avaliar a qualidade luções (inclusive tecnológicas) dos itens produzidos. Esse setor também é com base nos conhecimentos responsável por fazer uma análise estatística da das diferentes áreas. produção. 7. Argumentar com base Agora, observando a imagem, pense e res- em fatos, dados e informações ponda no caderno. confiáveis, para formular, ne- gociar e defender ideias, pon- • O retrabalho (melhorias) acontece em que tos de vista e decisões comuns momento da produção? Depois da inspeção. que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciên- • O que você entende por retrabalho? Você cia socioambiental e o con- acha que para uma fábrica é melhor que sumo responsável em âmbito muitos ou poucos itens passem por esse local, regional e global, com setor? Respostas pessoais. posicionamento ético em rela- ção ao cuidado de si mesmo, • Quais procedimentos podem ser adotados dos outros e do planeta. para evitar o retrabalho e diagnosticar suas causas? Como esses dados podem ser ESPECÍFICAS organizados? 2. Desenvolver o raciocínio • Que tipo de gráfico você acha que seria lógico, o espírito de investiga- melhor para representar os problemas que ção e a capacidade de produ- causam o retrabalho? Por quê? zir argumentos convincentes, Resposta pessoal. recorrendo aos conhecimen- tos matemáticos para compre- Possível resposta: analisar o processo de produção para ender e atuar no mundo. orientar os funcionários e promover condições para que fiquem atentos aos pontos mais frágeis da produção. 4. Fazer observações siste- máticas de aspectos quantita- 200 tivos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 200 de modo a investigar, organi- zar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crí- tica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. HABILIDADES p. XXI e XXII Números • EF08MA03 Probabilidade e estatística • EF08MA22 • EF08MA23 • EF08MA24 • EF08MA25 • EF08MA26 • EF08MA27 200

201 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 11/15/18 4:58 PM Abertura de Unidade Para iniciar, explorar a ima- gem de abertura. Conversar com os alunos a respeito dos trabalhos que são feitos em linha de produção, por exem- plo, na montagem de auto- móveis e na usinagem de pe- ças industriais. Questioná-los a respeito da relação que há entre os ambientes em que ocorrem esses trabalhos com Probabilidade e Estatística. Espera-se que eles compreen- dam que as ferramentas esta- tísticas servem para analisar, por exemplo, a quantidade de peças produzidas em relação à quantidade de peças vendi- das em diferentes períodos do ano. Após analisar a imagem de abertura desta Unidade, verifi- car se os alunos conhecem o significado do termo retraba- lho. Espera-se que eles com- preendam que retrabalho é uma ação reparadora tomada no produto que não está de acordo com os requisitos exi- gidos. Comentar que o retra- balho demanda maior tempo e custo de produção, uma vez que o produto deve passar novamente por um processo anterior, gerando mais gastos. Aproveitar o tema da aber- tura da Unidade para propor situações que envolvam a ideia do princípio fundamen- tal da contagem. Por exemplo: em uma fábrica de automó- veis, há três modelos de carro- ceria e dois modelos de rodas. Como é possível determinar a quantidade de combinações possíveis entre elas para mon- tar carros? Espera-se que os alunos consigam concluir que há 6 combinações possíveis. D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 201 201

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS CAPÍTULO CONTAGEM Pense e responda 1 O problema proposto reto- pense e responda Resoluções a partir da p. 289 ma os conhecimentos prévios que os alunos têm a respeito De uma cidade A, saem 4 rodovias para a cidade B e, de B, partem 3 de possibilidades. Ele pode ser resolvido por meio de esque- rodovias para a cidade C. De quantas maneiras distintas (ou diferen- ma: desenhar as rodovias que partem da cidade A e chegam tes) é possível sair da cidade A e chegar à cidade C, passando pela à B e, em seguida, desenhar as rodovias que partem de B e cidade B? De 12 maneiras distintas. chegam à C. Princípio Fundamental da Contagem ou cidade A Princípio Multiplicativo cidade B cidade C Bárbara e Giovana foram a uma lanchonete para cada uma delas tomar um suco e comer um lanche natural. Pediram o cardápio e verificaram que podiam escolher entre três tipos de suco Outro modo de resolver (laranja, melancia e uva) e dois tipos de lanche natural (simples ou completo). o problema é descrever os eaeloeEmc2,oenenjmtuonsqtoudedoasEs1cecosontrrjaruednsatpososqnudEee1 De quantas maneiras diferentes cada uma delas pode escolher um suco e um lanche? ligam as cidades A e B e E2 Para responder a essa questão, vamos organizar todas as opções em um diagrama, que é ao conjunto das estradas que chamado árvore de possibilidades. ligam B a C: Observando o diagrama a seguir, percebemos que as meninas podem escolher um suco e um lanche de 6 maneiras diferentes. E1 = {x1, x2, x3, x4} e E2 = = {y1, y2, y3} Opções Opções de Possibilidades de suco lanche natural Há 12 possibilidades (4 x x 3) de sair da cidade A e ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES chegar à cidade C, passando pela cidade B. 202 16/11/18 18:47 Princípio Fundamental Exemplo:D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 202 da Contagem ou 2 379 3 279 7 239 9 237 Princípio Multiplicativo 2 397 3 297 7 293 9 273 2 739 3 729 7 329 9 327 O diagrama de árvore, 2 793 3 792 7 392 9 372 apresentado na situação de 2 937 3 927 7 923 9 723 escolha de um suco e um 2 973 3 972 7 932 9 732 lanche, é um bom recurso para resolução dos primeiros problemas apresentados aos alunos. Comentar que esse recurso fica inviável em situa- ções que apresentam número grande de possibilidades. Apresentar exemplos que mostram um número maior de possibilidades. Uma sugestão é a formação de números com 4 algarismos distintos escolhi- dos entre 2, 3, 7 e 9. Resolver essa situação, usando um qua- dro em que seja possível variar as posições dos algarismos. 202

Cada opção de suco pode ser combinada com cada opção de lanche natural. Como são ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3 tipos de suco e 2 tipos de lanche natural, fazemos a seguinte multiplicação para encontrar todas as possibilidades: Ao trabalhar o princípio fundamental da contagem, número de 3ϫ2ϭ6 número de apresentar situações do dia opções de suco possibilidades a dia em que é possível reco- nhecer a utilização desse prin- número de opções de cípio. Como sugestão, acessar lanche natural o vídeo disponível em <http:// livro.pro/qbnzv8> (acesso em: Portanto, é possível escolher um lanche e um suco de 6 maneiras diferentes. 8 nov. 2018). Observe outras situações em que podemos aplicar o princípio multiplicativo. Na situação 2, enfatizar 1 Um restaurante oferece em seu cardápio quatro tipos diferentes de carnes (boi, porco, frango que um aluno ser escolhido e peixe), que podem ser servidos com três tipos de acompanhamentos: arroz branco, massa como representante é dife- e salada. De quantas maneiras diferentes se pode escolher um prato formado por uma rente de ser escolhido como carne e um acompanhamento? suplente. Essa informação é importante ao considerar a Para cada tipo de carne, temos 3 possibilidades de escolha do acompanhamento. Assim, resolução, pois influencia a podemos determinar o número de possibilidades de formar um prato, utilizando uma ordem da escolha dos elemen- multiplicação. tos. Ao usar o princípio multi- plicativo, concluir que há 600 número de 4 ϫ 3 ϭ 12 número de possibilidades de escolha para opções de carne possibilidades essa situação. número de opções de Propor a seguinte situação: acompanhamento escolher 2 alunos em 25 para formar uma dupla. Neste caso, Assim, temos 12 maneiras diferentes de formar um prato. a dupla formada pelos alunos A e B é a mesma dupla for- 2 Em uma sala de aula de 8o ano com 25 alunos, dois alunos serão escolhidos para assumir mada pelos alunos B e A. Ao os cargos de representante de sala e de suplente. De quantas maneiras distintas essa dupla aplicar o princípio multiplica- poderá ser formada? tivo, as duplas AB e BA são contadas duas vezes, como se Qualquer um dos 25 alunos da sala pode ser o representante; portanto, temos 25 possibili- fossem distintas. Nesse caso, dades para o cargo de representante. Escolhido esse aluno, restam 24 alunos para assumir em que a ordem dos elemen- a posição de suplente. Assim, aplicando o princípio multiplicativo, temos: tos não importa, é necessário descontar os casos repetidos, número de 25 ϫ 24 ϭ 600 número de portanto, há 300 possibilida- opções para possibilidades des de escolha. Essa situação representante número de opções ilustra a diferença entre os de classe para suplente problemas quando se consi- dera a ordem de escolha dos elementos. Existem 600 possibilidades de formarmos uma dupla, na qual um dos escolhidos é represen- tante de sala e o outro, suplente. 203 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 203 11/15/18 4:58 PM 203

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Outros problemas de contagem Outros problemas de Diversos problemas envolvem a noção de contagem. Veja alguns exemplos. contagem 1 Quantos anagramas possui a palavra ROSA? O primeiro exemplo envol- vendo anagrama mostra uma A palavra ROSA tem 4 letras e qualquer uma dessas SAIBA QUE situação em que não há letras letras pode assumir a primeira posição na palavra. repetidas: ROSA. Isso ocor- Escolhida essa letra, sobram outras 3 letras para a Anagramas são permutações re para que, inicialmente, os segunda posição. Em seguida, há 2 letras disponíveis e, das letras de uma palavra, formando alunos possam compreender escolhida essa 3a letra, restará apenas 1 para a 4a letra. novas palavras, com ou sem sentido. como permutar as letras de posição. Veja: Apresentar exemplos de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 anagramas com letras repe- tidas. Ao escolher CASA, há número de número de número de número de duas letras repetidas que, opções para opções para opções para opções para quando permutadas, figuram como se fossem letras diferen- a 1a letra a 2a letra a 3a letra a 4a letra tes, mas se tratam da mesma letra (A). Desse modo, a con- Assim, temos 24 anagramas da palavra ROSA. tagem do número de anagra- mas vai precisar levar em con- 2 Quantas são as placas de automóveis que podem ser formadas por três letras e quatro sideração esses casos. Uma su- algarismos? gestão é propor que os alunos escrevam alguns anagramas SP-SÃO PAULO EDITORIA DE de CASA (ou outro qualquer ARTE que contenha uma repetição ABC-1234 de letras) e tentem determinar a quantidade de anagramas O nosso alfabeto é constituído de 26 letras (incluindo K, Y e W) e temos disponíveis possíveis. 10 algarismos (de 0 a 9). Assim, aplicando o princípio multiplicativo, temos: Os anagramas geram boas 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175 760 000 reflexões para escritores e li- teratos, que buscam, nas pa- possibilidades possibilidades lavras escritas, visualizar essas de letras de números ocorrências. Propor que os alunos usem a criatividade Assim, existem 175 760 000 placas diferentes usando 3 letras e 4 algarismos. para formar diferentes pala- vras com base em algumas le- ATIVIDADES Resoluções a partir da p. 289 tras e para construir versos ou frases com essas palavras. Por Responda às questões no caderno. 2 cores de shorts (branco com listra azul exemplo, com os anagramas 1. Bernardo é o técnico do time masculino e todo azul). ATOR e ROTA pode-se cons- truir frase do tipo “Na rota de handebol da escola de Mari. Ele tem Organize essas opções em uma árvore em que seguia, encontrei um de mandar confeccionar os uniformes de possibilidades e responda: ator.”, “O ator seguiu a rota do time para o campeonato que vai de seu coração.”. acontecer no fim do ano. Como as cores a) De quantas maneiras diferentes Bernardo da escola são azul, amarela, vermelha e pode montar um uniforme com uma ca- branca, a empresa que vai confeccionar miseta e um shorts? 6 maneiras diferentes. os uniformes deu as seguintes opções de escolha para Bernardo: 3 cores de cami- b) Do total de possibilidades, quantos setas (vermelho, amarelo e branco) e uniformes podem ser formados com a camiseta branca? 2 uniformes. 204 D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 204 11/16/18 11:36 204