(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.2

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | ความเทา่ กันทุกประการ 159 พิจารณา ΔABC และ ΔABʹCʹ AB = ABʹ (เขม็ ส้ันของนาฬกิ ายาวเทา่ กนั ) (เข็มสน้ั และเขม็ ยาวของนาฬกิ าทำ�มมุ ทมี่ ีขนาดเท่ากัน BˆAC = BʹˆACʹ เมอ่ื เวลา 11:50 น. และ 12:10 น.) AC = ACʹ (เข็มยาวของนาฬกิ ายาวเท่ากนั ) ดังนั้น ΔABC ≅ ΔABʹCʹ (ด.ม.ด.) จะได ้ BC = BʹCʹ (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) น่ันคือ ปลายเขม็ สัน้ และเข็มยาว ณ เวลา 11:50 น. และ 12:10 น. อยู่หา่ งเทา่ กัน 10. แนวคดิ Bʹ วิธีท่ี 1 ใชก้ ารพสิ ูจน์ B A Aʹ C Cʹ ให A แทนต�ำ แหน่งจดุ หมนุ ของเข็มนาฬกิ าทั้งสอง B แทนต�ำ แหนง่ จดุ ปลายของเข็มสนั้ ของนาฬกิ า เมอ่ื เวลา 11:36 น. C แทนตำ�แหน่งจุดปลายของเข็มยาวของนาฬกิ า เม่ือเวลา 11:36 น. Bʹ แทนตำ�แหนง่ จุดปลายของเข็มสั้นของนาฬิกา เมอ่ื เวลา 12:24 น. Cʹ แทนต�ำ แหนง่ จดุ ปลายของเขม็ ยาวของนาฬิกา เม่ือเวลา 12:24 น. พิจารณา ΔABC และ ΔABʹCʹ AB = ABʹ (เขม็ ส้ันของนาฬิกา ยาวเท่ากนั ) AC = ACʹ (เข็มยาวของนาฬิกา ยาวเทา่ กนั ) BC = BʹCʹ (ก�ำ หนดให)้ (ด.ด.ด.) ดงั นั้น ΔABC ≅ ΔABʹCʹ (มมุ คทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเทา่ กนั ) จะได ้ BˆAC = BʹˆACʹ น่ันคือ เขม็ ยาวและเขม็ สน้ั ของนาฬิกา ณ เวลาทงั้ สองทำ�มุมทีม่ ีขนาดเท่ากัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

160 บทท่ี 2 | ความเท่ากันทกุ ประการ คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 วธิ ที ี่ 2 ใช้การคำ�นวณหาขนาดของมมุ (ข้อน้จี ะเฉลยโดยใชแ้ นวคดิ ตา่ งจากทีเ่ ฉลยในชวนคดิ 2.16 เพอื่ ให้เห็นว่าแตล่ ะข้อมีวิธีทำ�ไดห้ ลากหลาย) เน่อื งจาก ในเวลา 1 นาที เขม็ ยาวของนาฬิกา หมุนไปดว้ ยมมุ —3660–0 หรือ 6 องศา และ ในเวลา 1 นาที เขม็ สัน้ ของนาฬกิ าจะหมุนไปด้วยมุม 6—300 หรอื 0.5 องศา เมื่อเวลา 11:36 น. เข็มยาวของนาฬิกาหมุนไปจากตวั เลข 12 ดว้ ยมุม 36 × 6 = 216 องศา แสดงว่า เหลืออกี 360 – 216 = 144 องศา เข็มยาวจะไปอยตู่ �ำ แหนง่ ตวั เลข 12 อกี ครั้งหน่ึง เขม็ สน้ั ของนาฬิกาจะหมุนไปจากตวั เลข 11 ดว้ ยมมุ 36 × 0.5 = 18 องศา แสดงว่า เหลืออกี 30 – 18 = 12 องศา เขม็ สัน้ จะไปอยู่ต�ำ แหน่งตวั เลข 12 อกี คร้ังหน่ึง ดังนั้น เข็มยาวและเข็มส้นั ของนาฬิกาท�ำ มมุ ทมี่ ีขนาด 144 – 12 = 132 องศา เมือ่ เวลา 12:24 น. เขม็ ยาวของนาฬิกาหมุนไปจากตัวเลข 12 ดว้ ยมุม 24 × 6 = 144 องศา เข็มส้นั ของนาฬกิ าจะหมุนไปจากตวั เลข 12 ดว้ ยมุม 24 × 0.5 = 12 องศา ดงั นนั้ เข็มยาวและเข็มสั้นของนาฬกิ าท�ำ มมุ ทีม่ ขี นาด 144 – 12 = 132 องศา น่นั คือ เข็มยาวและเขม็ สนั้ ของนาฬิกา ณ เวลาท้งั สองท�ำ มมุ ทม่ี ีขนาด 132 องศา เท่ากัน 11. 1) แนวคิด จากโจทย์ นำ�มาเขียนรปู ใหม่เฉพาะส่วนทีจ่ ะพิจารณาให้ดูงา่ ยขึน้ ไดด้ งั นี้ M A BN C สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | ความเท่ากนั ทกุ ประการ 161 พจิ ารณา ΔBMN และ ΔAMN BN = AN (เชือกยึดติดกบั พ้ืนสนามโดยหา่ งจากโคนเสาทต่ี �ำ แหนง่ N เปน็ ระยะทางเท่ากัน) BˆNM = AˆNM = 90° (เสาตง้ั ฉากกับพื้นดนิ ) MN = MN (MN เปน็ ด้านรว่ ม) ดังน้ัน ΔBMN ≅ ΔAMN (ด.ม.ด.) ในท�ำ นองเดยี วกัน ΔBMN ≅ ΔCMN (สมบัติของการเทา่ กันทุกประการ) จะได้ ΔAMN ≅ ΔCMN น่ันคอื รูปสามเหลี่ยมทัง้ สามรูปทีเ่ กดิ จากการผกู เชือกใหย้ ดึ กบั พนื้ สนามเท่ากนั ทกุ ประการ 2) ค�ำ ตอบข้นึ อยู่กับเหตุผล และสามารถคำ�นวณหาความยาวของเชอื กท่ใี ชไ้ ด้ดงั นี้ แนวคดิ M 80 B 60 N เนอื่ งจาก ΔBMN เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก จะได ้ BM2 = 602 + 802 = 10,000 ดังนน้ั BM = 100 เซนตเิ มตร น่นั คือ ถา้ มเี ชอื กยาวเสน้ ละ 100 เซนตเิ มตร จะไม่สามารถผกู เชือกเพ่อื ยดึ เสาไวไ้ ดท้ ัง้ สามจุด เนื่องจากต้อง เสียเชือกตรงปมที่ผูกไปบา้ ง ท�ำ ใหเ้ ชอื กท่เี หลอื ไมส่ ามารถผกู ยึดเสาไวไ้ ด้ เว้นแตส่ ามารถหาวัสดมุ ายึด ไว้โดยไม่เสียเชือกตรงปม หรือเลื่อนตำ�แหน่งที่จะยึดกับพื้นสนามให้ใกล้เสาเข้ามาอีก จึงจะสามารถ ผูกเชอื กเพ่อื ยดึ เสาไวไ้ ด้ท้ังสามจุด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

162 บทที่ 2 | ความเทา่ กนั ทุกประการ ค่มู อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ตัวอยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท 1. จากข้อความตอ่ ไปนี้ จงเติมค�ำ ลงในช่องว่าง ถ้ารปู สามเหลย่ี มสองรูปมดี า้ นคทู่ ี่ยาวเทา่ กัน คอื SU = DO, UN = OG และ SN = DG และมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากนั คือ SˆUN = DˆOG, UˆNS = OˆGD และ NˆSU = GˆDO ≅∆ (1 คะแนน) จะสรุปไดว้ ่า ∆ 2. รปู สามเหลย่ี มทกี่ �ำ หนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนเ้ี ทา่ กนั ทกุ ประการหรอื ไม่ ถา้ เทา่ กนั ทกุ ประการใหบ้ อกวา่ เทา่ กนั ทกุ ประการ ดว้ ยความสัมพันธแ์ บบใด (4 คะแนน) 1) 2) B FA Q 80° 6 ซม. 40° 25° R 7 ซม. 7 ซม. C A D 40° 40° 6 ซม. 80° 5 ซม. C E 5 ซม. B P 3) AC ตดั กบั BD ท่จี ุด O C 4) B C P O 35° D 6 ซม. A A 80° R 35° 6 ซม. 65° B Q สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | ความเท่ากันทุกประการ 163 3. D ABCD เปน็ รปู สเี่ หลยี่ มผนื ผา้ มี BE และ DF ตง้ั ฉากกบั AC FC A ที่จดุ E และ F ตามล�ำ ดบั E จงหาวา่ รปู สามเหลย่ี มคทู่ เ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการมที ง้ั หมดกค่ี ู่ อะไรบา้ ง B พร้อมระบุความสัมพันธ์ที่ทำ�ให้รูปสามเหลี่ยมคู่นั้นเท่ากัน ทุกประการ (4 คะแนน) (2 คะแนน) 4. ถ้ารปู สามเหลย่ี มทกี่ ำ�หนดใหเ้ ทา่ กันทุกประการ จงหาความยาวของด้าน AC กบั ขนาดของมมุ QPR C 30° P A 70° 30° 80° BR 6 ซม. Q 5. C 30° Z 5 ซม. Y 5 ซม. (5x)° AB X จากรปู ΔABC ≅ ΔXYZ มี AˆBC = 90° , AˆCB = 30° และ YˆXZ = (5x)° (2 คะแนน) จงหาค่า x สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

164 บทที่ 2 | ความเทา่ กนั ทกุ ประการ ค่มู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 6. B C จากรูป จงหาค่า x D E A (2x + 10)° (3x – 20)° (2 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | ความเท่ากันทุกประการ 165 7. กำ�หนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า X และ Y เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ AD ตามลำ�ดับ จงแสดงวา่ AX = CY (5 คะแนน) D C YX AB 8. กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน และ MˆBD = NˆDB (9 คะแนน) จงหาว่า ∆BMD และ ∆DNB เทา่ กนั ทุกประการหรือไม่ เพราะเหตใุ ด DC MN AB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

166 บทท่ี 2 | ความเทา่ กันทกุ ประการ คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 9. “รูปส่ีเหล่ียมคางหมหู น้าจ่ัว” เปน็ รูปสี่เหลยี่ มคางหมทู ี่มดี ้านท่ีไมข่ นานกัน ยาวเทา่ กัน จากรปู AB ขนานกับ DC M เป็นจุดกง่ึ กลางของ AB AMˆD = BMˆC และ AˆDM = BˆCM จงหาวา่ รปู สเี่ หลยี่ ม ABCD เปน็ รูปสี่เหล่ยี มคางหมูหนา้ จัว่ หรือไม่ เพราะเหตใุ ด (6 คะแนน) DC AM B 10. คลองแห่งหน่ึง มีเสาไฟฟ้าอยู่ริมฝั่งท้ังสองของคลอง ห่างจากริมฝั่งคลอง 50 เซนติเมตร โดยที่เสาไฟฟ้าแต่ละต้นของ แตล่ ะฝงั่ อยู่หา่ งเทา่ ๆ กนั ดังรปู ABC DE F GH I J ถ้านักเรยี นและเพอ่ื น ๆ ต้องการหาความกวา้ งของคลอง โดยอาศยั แนวของเสาไฟฟ้า จะมีวธิ หี าได้อย่างไร จงอธบิ าย (5 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | ความเทา่ กันทกุ ประการ 167 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

168 บทท่ี 2 | ความเทา่ กนั ทกุ ประการ คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบท้ายบท 1. จากขอ้ ความต่อไปน้ี จงเตมิ คำ�ลงในชอ่ งวา่ ง (1 คะแนน) ถา้ รปู สามเหล่ียมสองรูปมดี ้านคูท่ ีย่ าวเท่ากัน คอื SU = DO, UN = OG และ SN = DG และมมุ คู่ทีม่ ีขนาดเท่ากัน คือ SˆUN = DˆOG, UˆNS = OˆGD และ NˆSU = GˆDO จะสรุปไดว้ ่า ∆SUN ≅ ∆DOG ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน ได้ 1 คะแนน ข้อ 1 นักเรยี นสามารถบอกสมบตั ิของความเทา่ กนั ทกุ ประการของรูปเรขาคณติ ได้ 0 คะแนน เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน ตอบถกู ตอ้ ง ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ 2. รปู สามเหลยี่ มทกี่ �ำ หนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนเี้ ทา่ กนั ทกุ ประการหรอื ไม่ ถา้ เทา่ กนั ทกุ ประการใหบ้ อกวา่ เทา่ กนั ทกุ ประการ ด้วยความสมั พันธแ์ บบใด (4 คะแนน) 1) 2) A Q B F 80° 40° 25° 6 ซม. R 7 ซม. 7 ซม. C A D 40° 40° 6 ซม. 80° 5 ซม. C E 5 ซม. B P สรุปไมไ่ ด้ เทา่ กนั ทุกประการ เพราะมคี วามสมั พนั ธ ์ แบบ มุม–ดา้ น–มุม หรอื มุม–มมุ –ด้าน 3) AC ตดั กบั BD ทีจ่ ดุ O 4) C BC 35° P 6 ซม. O A 80° R 35° 6 ซม. 65° D B Q A เทา่ กันทกุ ประการ เพราะมคี วามสัมพันธ ์ เท่ากนั ทกุ ประการ เพราะมคี วามสมั พันธ์ แบบ ดา้ น–มุม–ดา้ น แบบ มมุ –ดา้ น–มมุ หรือ มมุ –มมุ –ด้าน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | ความเท่ากนั ทุกประการ 169 ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรียน ข้อ 2 นักเรียนสามารถบอกได้ว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน–มุม–ด้าน, มุม–ด้าน–มุม, ดา้ น–ดา้ น–ดา้ น, มุม–มมุ –ด้าน และ ฉาก–ด้าน–ดา้ น เท่ากันทกุ ประการ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ได้ขอ้ ละ 1 คะแนน ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 3. D ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ มี BE และ DF ตง้ั ฉากกบั AC FC ทจ่ี ดุ E และ F ตามล�ำ ดับ A E จงหาวา่ รปู สามเหลย่ี มคทู่ เ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการมที ง้ั หมดกค่ี ู่ อะไรบา้ ง B พร้อมระบุความสัมพันธ์ท่ีทำ�ให้รูปสามเหลี่ยมคู่นั้นเท่ากัน ทกุ ประการ (4 คะแนน) แนวคิด 3 คู่ เหตุผลมีได้หลากหลาย เชน่ 1) ∆ABC ≅ ∆CDA เพราะมคี วามสัมพันธแ์ บบ ด้าน–ด้าน–ด้าน (AB = CD, CB = AD, AC = CA) หรือ มคี วามสัมพันธ์แบบ ด้าน–มมุ –ด้าน (AB = CD, AˆBC = CˆDA, BC = DA) 2) ∆ABE ≅ ∆CDF เพราะมคี วามสมั พนั ธ์แบบ มมุ –มมุ –ดา้ น (AˆEB = CˆFD, BˆAE = DˆCF, AB = CD) หรือ มีความสัมพนั ธ์แบบ ฉาก–ดา้ น–ด้าน (AˆEB = CˆFD = 90°, * BE = DF, AB = CD) 3) ∆CBE ≅ ∆ADF เพราะมคี วามสมั พันธ์แบบ มุม–มมุ –ดา้ น (BˆEC = DˆFA, BˆCE = DˆAF, BC = DA) หรอื มคี วามสัมพันธแ์ บบ ฉาก–ด้าน–ดา้ น (BˆEC = DˆFA, = 90°, * BE = DF, BC = DA) * หมายเหตุ : ถ้านกั เรยี นตอบประเดน็ นี้ ควรใหอ้ ธิบายเพมิ่ เติม ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 2 นักเรียนสามารถบอกได้ว่ารูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีสัมพันธ์กันแบบ ด้าน–มุม–ด้าน, มุม–ด้าน–มุม, ดา้ น–ดา้ น–ดา้ นม มมุ –มมุ –ด้าน และ ฉาก–ดา้ น–ด้าน เท่ากันทกุ ประการ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบ่งออกเปน็ ส่วน ๆ ดังนี้ ตอบถกู วา่ มี 3 คู่ ได้ 1 คะแนน ตอบไดว้ า่ รูปสามเหลยี่ มคใู่ ดทีเ่ ทา่ กันทุกประการ พร้อมระบุความสมั พันธ์ไดถ้ กู ตอ้ ง ไดค้ ูล่ ะ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

170 บทที่ 2 | ความเท่ากันทกุ ประการ คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 4. ถ้ารปู สามเหล่ยี มทกี่ ำ�หนดใหเ้ ทา่ กนั ทุกประการ จงหาความยาวของดา้ น AC กับขนาดของมมุ QPR (2 คะแนน) C 30° P A 70° 30° 80° BR 6 ซม. Q ความยาวของดา้ น AC เท่ากบั 6 เซนติเมตร และขนาดของมุม QPR เทา่ กับ 70 องศา ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีสัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใชอ้ า้ งองิ ในการใหเ้ หตผุ ลและการแก้ปญั หา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ได้ค�ำ ตอบละ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 5. C 30° Z 5 ซม. Y 5 ซม. (5x)° AB X จากรูป ΔABC ≅ ΔXYZ มี AˆBC = 90° , AˆCB = 30° และ YˆXZ = (5x)° (2 คะแนน) จงหาค่า x แนวคิด เนอื่ งจาก ΔABC ≅ ΔXYZ (ก�ำ หนดให้) จะได้ BˆAC = YˆXZ (มมุ คทู่ สี่ มนยั กนั ของรปู สามเหลยี่ มทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะมีขนาดเทา่ กัน) เนื่องจาก BˆAC + AˆBC + AˆCB = 180° (ขนาดของมมุ ภายในท้งั สามมมุ ของรปู สามเหล่ียม รวมกันเท่ากบั 180 องศา) จะได้ BˆAC + 90 + 30 = 180 (ก�ำ หนดให้ AˆB C = 90° และ AˆCB = 30° ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | ความเทา่ กันทกุ ประการ 171 BˆAC = 60° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ดงั นนั้ YˆXZ = 60° จะได้ (ก�ำ หนดให้ YˆXZ = (5x)° ) ดงั นน้ั 5x = 60 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) x = 12 ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีสัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใช้อ้างองิ ในการใหเ้ หตผุ ลและการแก้ปัญหา เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน หาค่า x ถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 6. B C D E A (2x + 10)° (3x – 20)° จากรปู จงหาคา่ x (2 คะแนน) แนวคิด พิจารณา ΔABC และ ΔEDA (ก�ำ หนดให)้ (ฉ.ด.ด.) AˆBC = EˆDA = 90° , BC = DA และ CA = AE (มุมคู่ท่ีสมนัยกนั ของรปู สามเหลีย่ ม ทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ จะมขี นาดเทา่ กนั ) ดงั น้นั ΔABC ≅ ΔEDA (ขนาดของมุมภายในท้งั สามมุมของ รปู สามเหล่ียมรวมกันเทา่ กบั 180 องศา) จะได้ AˆCB = EˆA D = (3x – 20)° (กำ�หนดให)้ (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) เน่ืองจาก BˆAC + AˆCB + AˆBC = 180° จะได ้ (2x + 10) + (3x – 20) + 90 = 180 5x + 80 = 180 5x = 100 ดังน้ัน x = 20 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

172 บทท่ี 2 | ความเทา่ กันทกุ ประการ ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใชอ้ า้ งองิ ในการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ญั หา เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน หาค่า x ถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 7. กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผ้า X และ Y เปน็ จดุ กงึ่ กลางของดา้ น BC และ AD ตามล�ำ ดบั จงแสดงวา่ AX = CY (5 คะแนน) DC YX AB แนวคดิ พจิ ารณา ΔABX และΔCDY AB = CD (ด้านตรงข้ามของรูปสเี่ หล่ียมผนื ผา้ ยาวเท่ากนั ) AˆBX = CˆDY = 90° (มมุ ภายในแตล่ ะมุมของรปู ส่ีเหลีย่ มผนื ผ้า มีขนาด 90°) BX = DY (ต่างก็เป็นครง่ึ หนง่ึ ของด้านทยี่ าวเท่ากนั ) ดังน้ัน ΔABX ≅ ΔCDY (ด.ม.ด.) จะได้ AX = CY (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีสัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใช้อ้างอิงในการให้เหตุผลและการแก้ปญั หา เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน โดยแบง่ ออกเปน็ สว่ น ๆ ดงั นี้ ✤ บอกไดว้ า่ AB = CD และบอกเหตุผลถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน และบอกเหตผุ ลถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้ว่า AˆBX = CˆDY ✤ บอกไดว้ ่า BX = DY และบอกเหตผุ ลถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้วา่ ∆ABX ≅ ∆CDY และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ✤ บอกได้วา่ AX = CY และบอกเหตุผลถูกต้อง ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | ความเท่ากนั ทกุ ประการ 173 8. ก�ำ หนดให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน และ MˆBD = NˆDB (9 คะแนน) จงหาวา่ ∆BMD และ ∆DNB เท่ากันทุกประการหรอื ไม่ เพราะเหตุใด DC MN A B แนวคิด พิจารณา ∆ABD และ ∆CDB (ดา้ นตรงข้ามของรปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนานยาวเท่ากัน) (ดา้ นตรงข้ามของรูปส่ีเหลีย่ มดา้ นขนานยาวเท่ากัน) AB = CD (BD เปน็ ดา้ นรว่ ม) (ด.ด.ด.) AD = CB (มมุ คู่ทส่ี มนัยกนั ของรปู สามเหลีย่ มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเทา่ กัน) BD = DB (เปน็ มมุ คเู่ ดียวกับ AˆDB และ CˆBD ตามล�ำ ดับ ซึ่งมขี นาดเทา่ กัน) ดงั น้ัน ∆ABD ≅ ∆CDB (BD เปน็ ดา้ นร่วม) จะได ้ AˆDB = CˆBD (ก�ำ หนดให้) (ม.ด.ม.) พจิ ารณา ∆BMD และ ∆DNB BˆDM = DˆBN BD = DB ดงั นั้น MˆBD = NˆDB ∆BMD ≅ ∆DNB ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน ข้อ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใชอ้ า้ งอิงในการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ัญหา เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นสว่ น ๆ ดังน้ี ✤ บอกได้ว่า AB = CD และบอกเหตุผลถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้วา่ AD = CB และบอกเหตผุ ลถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้ว่า BD = DB และบอกเหตุผลถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้วา่ ∆ABD ≅ ∆CDB และบอกเหตผุ ลถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ บอกไดว้ ่า AˆDB = CˆBD และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ✤ บอกไดว้ า่ BˆDM = DˆBN และบอกเหตุผลถกู ตอ้ ง ✤ บอกได้วา่ BD = DB และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ บอกไดว้ า่ MˆBD = NˆDB และบอกเหตผุ ลถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ บอกไดว้ ่า ∆BMD ≅ ∆DNB และบอกเหตุผลถกู ตอ้ ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

174 บทที่ 2 | ความเท่ากันทกุ ประการ คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 9. “รปู ส่เี หลย่ี มคางหมหู น้าจว่ั ” เปน็ รูปสเ่ี หลยี่ มคางหมูท่มี ดี ้านทไี่ ม่ขนานกนั ยาวเทา่ กนั จากรปู AB ขนานกับ DC M เป็นจุดก่ึงกลางของ AB AMˆD = BMˆC และ AˆDM = BˆCM จงหาวา่ รูปส่ีเหล่ียม ABCD เปน็ รปู สี่เหลีย่ มคางหมูหนา้ จั่วหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด (6 คะแนน) DC AM B แนวคดิ ABCD เป็นรูปสเี่ หลยี่ มคางหมูหนา้ จ่ัว เมอ่ื AD = BC D C AM B พจิ ารณา ∆AMD และ ∆BMC AˆDM = BˆCM (ก�ำ หนดให)้ (ก�ำ หนดให้) AMˆD = BMˆC AM = BM (จดุ M เป็นจุดก่ึงกลางของ AB) ดังนั้น ∆AMD ≅ ∆BMC (ม.ม.ด.) จะได้ AD = BC (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) นน่ั คือ ABCD เป็นรปู สเี่ หลี่ยมคางหมูหนา้ จ่ัว (เปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มคางหมทู ม่ี ดี ้านท่ีไมข่ นานกนั ยาวเท่ากัน) ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น ขอ้ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใชอ้ า้ งอิงในการให้เหตุผลและการแก้ปญั หา เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดังน้ี ✤ บอกไดว้ ่า AˆDM = BˆCM และบอกเหตผุ ลถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้ว่า AMˆD = BMˆC และบอกเหตผุ ลถกู ต้อง ✤ บอกได้ว่า AM = BM และบอกเหตุผลถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้ว่า ∆AMD ≅ ∆BMC และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ บอกได้วา่ AD = BC และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ สรุปได้ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลย่ี มคางหมหู น้าจั่ว และบอกเหตุผลถูกต้อง ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | ความเทา่ กันทุกประการ 175 10. คลองแห่งหน่ึง มีเสาไฟฟ้าอยู่ริมฝั่งทั้งสองของคลอง ห่างจากริมฝั่งคลอง 50 เซนติเมตร โดยที่เสาไฟฟ้าแต่ละต้นของ แต่ละฝ่งั อยู่ห่างเทา่ ๆ กัน ดังรูป ABC DE F GH I J ถ้านักเรยี นและเพื่อน ๆ ต้องการหาความกว้างของคลอง โดยอาศยั แนวของเสาไฟฟ้า จะมวี ิธหี าไดอ้ ย่างไร จงอธบิ าย (5 คะแนน) ตวั อยา่ งค�ำ ตอบ A BC DE F GH I J K แนวคิด ถ้าคาดการณว์ า่ ริมฝงั่ คลองขนานกันและแนวของเสาไฟฟ้าขนานกับแนวของรมิ ฝัง่ คลอง ดงั รูป นกั เรยี นและเพื่อนสามารถหาความกว้างโดยประมาณของคลองได้จากเสาไฟฟ้าทตี่ �ำ แหน่ง C กบั ตำ�แหนง่ H โดยใช้เสาไฟฟ้าที่ต�ำ แหน่ง A, F และ G ช่วย ไดด้ ังน้ี ✤ ให้เพอ่ื นคนหนงึ่ ยืนเล็งในแนวเสน้ ตรง AF ✤ ให้เพอ่ื นอีกคนหนง่ึ ยืนเลง็ ในแนวเส้นตรง CG ✤ ให้เพ่ือนอีกคนหน่ึงยนื ในต�ำ แหน่งที่แนวเส้นตรงทั้งสองตดั กัน สมมติเปน็ จดุ K ✤ พิจารณา ∆GCH และ ∆GKF (CH ⏊ FH ทจี่ ดุ H และ KF ⏊ FH ท่ีจุด F) จะได ้ GˆHC = GˆFK GH = GF (จดุ G เป็นจดุ ก่ึงกลางของ FH) (ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ตดั กัน แล้วมมุ ตรงข้ามมขี นาดเทา่ กัน) CˆGH = KˆGF (ม.ด.ม.) ดังน้ัน ∆GCH ≅ ∆GKF จะได้ CH = KF (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

176 บทที่ 2 | ความเท่ากันทุกประการ คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ✤ เน่อื งจาก เสาไฟฟ้าท่จี ดุ C และจดุ H ห่างจากรมิ ฝง่ั คลอง 50 เซนติเมตร จะได้ ความกว้างโดยประมาณของคลอง เทา่ กบั CH – 1 เมตร ✤ วดั ระยะจากจดุ K ถึงจุด F เป็นเมตร ดงั น้นั ความกว้างโดยประมาณของคลองจะเทา่ กบั KF – 1 เมตร ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน ข้อ 3 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ียมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใชอ้ า้ งอิงในการใหเ้ หตุผลและการแก้ปญั หา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน โดยแบง่ ออกเปน็ ส่วน ๆ ดงั น้ี ✤ วาดรูปหรอื อธิบายเพอ่ื ใหไ้ ด้แนวคดิ วา่ รปู สามเหลยี่ มใดเท่ากนั ทกุ ประการ ได้ 1 คะแนน ✤ ใหเ้ หตุผลได้ว่ารปู สามเหลย่ี มคนู่ นั้ เท่ากันทุกประการ ได้ 3 คะแนน ✤ หาความกว้างของคลองได้ ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 177 บทที่ 3 เส้นขนาน ในบทเสน้ ขนานนี้ ประกอบดว้ ยหัวขอ้ ยอ่ ย ดังตอ่ ไปน้ี 2 ช่วั โมง 2 ชวั่ โมง 3.1 เส้นขนานและมุมภายใน 3 ชวั่ โมง 3.2 เส้นขนานและมุมแยง้ 4 ช่วั โมง 3.3 เสน้ ขนานและมมุ ภายนอกกับมุมภายใน 3.4 เส้นขนานและรูปสามเหล่ียม สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระ การวดั และเรขาคณติ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำ�ไปใช้ ตัวชว้ี ดั น�ำ ความร้เู กย่ี วกบั สมบตั ขิ องเสน้ ขนานและรูปสามเหลยี่ มไปใช้ในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ จุดประสงคข์ องบทเรียน นกั เรยี นสามารถใชส้ มบัติของเสน้ ขนานและรปู สามเหลีย่ มในการให้เหตุผลและแก้ปญั หาคณิตศาสตร ์ ความเชอ่ื มโยงระหว่างตัวชี้วัดกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น เนอ่ื งจากตวั ช้ีวัดกลา่ วถงึ การนำ�ความรูเ้ กย่ี วกับสมบตั ิของเส้นขนานและรูปสามเหลย่ี มไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร ์ และเน้ือหาในบทน้ีก็กล่าวถึงสมบัติของเส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเร่ืองเส้นขนาน สอดคล้องกับตัวชี้วัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้นักเรียนสามารถเข้าใจและใช้สมบัติของเส้นขนานและรูปสามเหล่ียมใน การให้เหตุผลและแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ซึ่งสะท้อนได้จากการที่นักเรียนสามารถระบุมุมภายใน มุมแย้ง และมุมภายนอก ซึ่งเป็นมุมที่เกิดจากเส้นตัดตัดเส้นขนาน มีความเข้าใจเก่ียวกับสมบัติของเส้นขนาน นำ�สมบัติดังกล่าวไปใช้ในการให้เหตุผล เกยี่ วกบั ขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลย่ี ม ตลอดจนน�ำ ไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลอยา่ งตอ่ เนอ่ื งเกย่ี วกบั เงอ่ื นไขของความเทา่ กนั ทุกประการของรูปสามเหลีย่ มสองรูปทส่ี ัมพันธ์กันแบบ มุม–มุม–ด้าน และน�ำ ไปใชแ้ ก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ได้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

178 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ 3.1 เสน� ขนานและ 3.1 แมเสบ3ุมน� บ.ภ1ขฝาน:�กย5หาในนัดและแแเลสบะ�นบ3มขฝ.ุม2นก� แาหยนดั ง� มมุ ภายใน อืน่ ๆ 3.2ก : 6–8 - 3.2 แบบฝก� หดั เส�นขนาน ทา� ยบท : 13 แบบฝก� หัด 3.2ข อืน่ ๆ และมมุ แย�ง กจิ กรรมทา� ยบท - 3.4 3.3 เสน� ขนานและ 3.4 3–4 : เสน� ขนานและ มมุ ภายนอกกบั รปู สามเหล่ียม มมุ ภายใน เสน� ขนานและ 3.3 ชวนคดิ รปู สามเหลยี่ ม เสน� ขนานและ - แบบฝ�กหัด มุมภายนอกกบั 3.4 : 8–9 มุมภายใน 3.3 - การแกป� �ญหา การสอื่ สารและ การส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร� 3.1 เส�นขนานและ การคดิ ทกั ษะและ มมุ ภายใน 3.2 สร�างสรรค� กระบวนการ - เส�นขนาน ทางคณิตศาสตร� การเช่อื มโยง 3.1 เส�นขนานและ มมุ ภายใน และมมุ แยง� - 3.2 อน่ื ๆ แบบฝก� หัด อนื่ ๆ เสน� ขนาน - แบบฝ�กหดั และมมุ แย�ง 3.2 : 5 ท�ายบท 3.4 3.3 การใหเ� หตุผล 14–15 แบบฝ�กหดั เสน� ขนานและ เสน� ขนานและ 3.2ข : 3–4 รปู สามเหลย่ี ม มมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน 3.4 3.3 - ชวนคิด เสน� ขนานและ เสน� ขนานและ 3.3 รปู สามเหลย่ี ม มมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน - - 3.1 เส�นขนาน 3.2 และมุมภายใน เสน� ขนาน และมุมแยง� ชวนคดิ 3.1, อ่นื ๆ 3.2 แบบฝก� หดั กจิ กรรมทา� ยบท 3.2ก : 6–8 แบบฝก� หัด 3.2ข : 3.3 3–4 3.4 เส�นขนานและ เสน� ขนานและ มมุ ภายนอกกับ รูปสามเหลีย่ ม มุมภายใน แบบฝ�กหัด แบบฝ�กหัด 3.4 : 10 3.3ข : 2–3 ชวนคดิ 3.3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 179 พัฒนาการของความรู้ ความรูพืน้ ฐาน ✤ มุมตรงข้าม มมุ ตรง มมุ ภายใน มุมภายนอก มุมแย้ง ท่จี ำเปน ✤ ความเทา่ กันทกุ ประการของรปู สามเหลยี่ ม ✤ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรปู สามเหล่ียม ความรทู ่สี ำคญั ✤ เส้นตรงสองเส้นทอ่ี ยู่บนระนาบเดยี วกนั ขนานกัน กต็ ่อเมือ่ ในบทเรียน เส้นตรงทง้ั สองเสน้ น้ันไมต่ ดั กัน ✤ ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั แลว้ ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงคนู่ ัน้ จะเท่ากนั เสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมรี ะยะห่าง ระหวา่ งเสน้ ตรงเทา่ กนั เสมอ แลว้ เสน้ ตรงคู่นั้นจะขนานกนั ✤ เสน้ ตรงสองเส้นท่ีก�ำ หนดให้จะขนานกันหรอื ไม่ สามารถตรวจสอบ จากระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงทัง้ สองท่วี ัดจากจุดท่ีแตกตา่ งกัน อยา่ งน้อยสองจุด หรือพิจารณาจากขนาดของมุมภายในท่อี ยู่บน ขา้ งเดียวกันของเส้นตัด ขนาดของมุมแยง้ หรอื ขนาดของ มุมภายนอกและมุมภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเส้นตัด ✤ ถ้าตอ่ ด้านใดด้านหน่งึ ของรูปสามเหลยี่ มออกไป แล้วมุมภายนอก ทเ่ี กดิ ข้นึ จะมีขนาดเท่ากบั ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทีไ่ มใ่ ช่ มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกนน้ั ความรใู นอนาคต ✤ การให้เหตุผลทางเรขาคณิต ✤ วงกลม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

180 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน ค่มู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ลำ�ดับการจดั กิจกรรมการเรียนรขู้ องบทเรียน ยกตัวอยา่ งส่งิ ท่มี ลี ักษณะของเส้นขนานในชวี ิตประจ�ำ วนั ทบทวนบทนยิ ามของเสน้ ขนาน และระยะห่างระหว่างเส้นขนาน แนะน�ำ มมุ ทอ่ี ยู่บนข้างเดียวกันของเสน้ ตัด และท�ำ กจิ กรรมส�ำ รวจ เพือ่ สร้างข้อความคาดการณ ์ ซ่ึงนำ�ไปสสู่ มบตั ิเกยี่ วกับเส้นขนานและมุมภายในทอี่ ยบู่ นข้างเดยี วกันของเสน้ ตัด อธิบายเพ่ิมเตมิ เกีย่ วกบั ประโยคมเี งอื่ นไข ซึง่ มคี �ำ ว่า “ถ้า...แล้ว...” กับประโยคที่มคี �ำ ว่า “ก็ต่อเมือ่ ” แนะนำ�มมุ แย้ง และทำ�กิจกรรมส�ำ รวจ เพอ่ื สร้างข้อความคาดการณ์ ซึ่งน�ำ ไปส่ทู ฤษฎบี ทเก่ยี วกับเสน้ ขนานและมมุ แยง้ อธบิ ายเพมิ่ เตมิ เกีย่ วกับบทกลับ เพ่อื เช่ือมโยงทฤษฎบี ทและบทกลับไปเป็นทฤษฎีบทเดียวกนั แนะนำ�มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทีอ่ ยตู่ รงข้ามบนข้างเดยี วกันของเส้นตัด ทำ�กจิ กรรมส�ำ รวจ เพื่อสรา้ งข้อความคาดการณซ์ ่ึงนำ�ไปสู่ทฤษฎีบทเก่ียวกับเส้นขนานและ มมุ ภายนอกกบั มมุ ภายในทอี่ ยู่ตรงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัด อธบิ ายเพม่ิ เตมิ เกยี่ วกบั บทกลับ เพ่อื เชอื่ มโยงทฤษฎีบทและบทกลับไปเป็นทฤษฎีบทเดียวกนั น�ำ สมบตั แิ ละทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั เสน้ ขนานไปใชใ้ นการพสิ จู นท์ ฤษฎบี ทเกย่ี วกบั รปู สามเหลย่ี มตอ่ ไปน้ี ✤ ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรูปสามเหลย่ี มรวมกันเท่ากบั 180 องศา ✤ ถา้ ต่อดา้ นใดด้านหนึ่งของรปู สามเหลยี่ มออกไป แล้วมุมภายนอกท่เี กิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับ ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไ่ี ม่ใช่มมุ ประชิดของมุมภายนอกนน้ั ✤ ถา้ รูปสามเหลีย่ มสองรูปมีความสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ –มุม–ดา้ น (ม.ม.ด.) กล่าวคือ มีมุมที่มี ขนาดเท่ากนั สองคู ่ และดา้ นคทู่ ี่อยู่ตรงขา้ มกบั มุมคู่ทม่ี ีขนาดเทา่ กนั ยาวเทา่ กันหนง่ึ ค ู่ แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปนัน้ เท่ากนั ทกุ ประการ สรุปบทเรียน ท�ำ กิจกรรมท้ายบทเพื่อเติมเตม็ ความรู้ที่ได้รับจากบทเรียน และพฒั นาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรด์ ้วยแบบฝกึ หัดท้ายบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 181 3.1 เส้นขนานและมุมภายใน (2 ชวั่ โมง) จดุ ประสงค์ นักเรียนสามารถ 1. บอกบทนิยามของเสน้ ขนาน 2. บอกได้ว่า ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงคู่นนั้ จะเท่ากนั เสมอ 3. บอกไดว้ ่า ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ มีระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรงเท่ากนั เสมอ แลว้ เส้นตรงคูน่ ั้นจะขนานกนั 4. ระบไุ ด้วา่ มมุ ค่ใู ดเป็นมมุ ภายในทีอ่ ย่บู นข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัด เม่ือกำ�หนดใหเ้ สน้ ตรงเสน้ หนงึ่ ตดั เส้นตรงคู่หนึง่ 5. บอกไดว้ ่า เมือ่ เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงตัดเส้นตรงคูห่ นึ่ง เสน้ ตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ตอ่ เมอื่ ขนาดของมมุ ภายในทีอ่ ยบู่ นขา้ ง เดียวกันของเสน้ ตดั รวมกนั เท่ากับ 180 องศา และนำ�สมบัตินไ้ี ปใช้ ความเข้าใจทค่ี ลาดเคลือ่ น นักเรียนอาจเข้าใจผิดว่า ผลรวมของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากับ 180 องศา เสมอ โดยไม่ได้พิจารณาว่า เส้นตัดนั้นต้องตัดเส้นตรงที่ขนานกัน จึงจะทำ�ให้ผลรวมของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ เสน้ ตัดเท่ากับ 180 องศา ส่ือทีแ่ นะน�ำ ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ 1. อปุ กรณ์ของกจิ กรรม : ส�ำ รวจผลรวมของขนาดของมมุ ภายในที่อยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั 2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) 3. อปุ กรณ์ของกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา ขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อน้ีเป็นเรื่องเกี่ยวกับเส้นขนานและมุมภายใน มุ่งเน้นการทบทวนบทนิยามของเส้นขนาน ระยะห่างระหว่าง เสน้ ขนาน และเพม่ิ เตมิ ความรเู้ กยี่ วกบั สมบตั ขิ องเสน้ ขนานทเี่ กย่ี วกบั มมุ ภายใน และน�ำ สมบตั นิ ไ้ี ปใชเ้ ปน็ พน้ื ฐานในการใหเ้ หตผุ ล ทางเรขาคณิตตอ่ ไป แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจท�ำ ไดด้ ังนี้ 1. ครูและนักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างส่ิงต่าง ๆ ในสิ่งแวดล้อมรอบตัวที่มีลักษณะของเส้นขนานบนระนาบเดียวกัน เพอื่ น�ำ เขา้ สบู่ ทนิยามของการขนานกนั ของเส้นตรง จากน้ันครูควรชี้แจงใหน้ ักเรียนเหน็ วา่ บทนิยามดังกลา่ วนี้ สามารถน�ำ ไปใชก้ บั การขนานกนั ของสว่ นของเสน้ ตรงและรงั ส ี เมอ่ื สว่ นของเสน้ ตรงและรงั สนี น้ั เปน็ สว่ นหนงึ่ ของ เส้นตรงท่ขี นานกนั หรอื อย่บู นเสน้ ตรงทข่ี นานกัน 2. ครูอาจทบทวนและท�ำ ความเข้าใจเพ่มิ เตมิ กบั นกั เรียนเกย่ี วกับระยะห่างระหวา่ งเส้นขนานในประเดน็ ต่อไปนี้ 1) ระยะหา่ งระหวา่ งจุดจดุ หนึง่ กับเสน้ ตรง จะหมายถงึ ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงทล่ี ากจากจุดนั้นไปต้งั ฉาก กับเส้นตรง ดังรูป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

182 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 P AQ B จากรปู PQ ต้งั ฉากกับ �AB จะได้ PQ คือระยะห่างระหว่างจดุ P กบั �AB 2) เมื่อกล่าวถึงระยะห่างระหว่างเส้นขนานท่ีกล่าวว่า “ระยะห่างระหว่างเส้นขนานเท่ากันเสมอ” ในการ ตรวจสอบการเท่ากันของระยะห่างของเส้นขนานนี้ ในทางปฏิบัติ จะวัดระยะห่างจากจุดที่แตกต่างกัน อย่างน้อยสองจุดบนเส้นตรงเส้นหนึ่งไปยังเส้นตรงอีกเส้นหน่ึงก็เพียงพอแล้ว ท้ังน้ีเนื่องจากมีเส้นตรงเพียง เส้นเดียวเท่านน้ั ทลี่ ากผ่านจุดสองจดุ ทกี่ ำ�หนดให้ได้ 3. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายเกยี่ วกบั การตรวจสอบวา่ เสน้ ตรงคใู่ ดขนานกนั ถา้ ใชบ้ ทนยิ ามของเสน้ ขนานโดยตรง หรือพิจารณาจากระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงทงั้ สองเสน้ นัน้ อาจไมส่ ะดวก ในทางคณิตศาสตร์ยงั มวี ธิ กี ารอน่ื ๆ อีก ที่จะตรวจสอบ โดยพิจารณาจากขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ขนาดของมุมแย้ง หรือ ขนาดของมุมภายนอกและมมุ ภายในท่ีอยูต่ รงขา้ มบนข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด 4. ครูให้นักเรียนพิจารณารูปเสน้ ตัดตัดเส้นตรงสองเส้น ในหนงั สือเรียน หนา้ 134 เพื่อใหน้ ักเรียนได้รูจ้ ักวา่ มมุ ใด บา้ งทเี่ ปน็ มมุ ภายในบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั จากนน้ั ครคู วรใช้ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจผลรวมของขนาดของมมุ ภายใน ทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั ” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 134–136 ใหน้ กั เรยี นไดล้ งมอื ปฏบิ ตั กิ จิ กรรม โดยนกั เรยี น ต้องเขียนเส้นตัดและระบุว่ามุมคู่ใดบ้างท่ีเป็นมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด พร้อมท้ังวัดขนาดของ มุมเหล่านัน้ จากนั้นใหน้ ักเรียนสงั เกตผลท่ีได้จากกิจกรรมขอ้ 1 และขอ้ 2 แล้วสร้างขอ้ ความคาดการณ์โดยใช้ ภาษาของตนเอง ซ่ึงครูควรยกตัวอย่างที่หลากหลายโดยอาจดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรยี น หนา้ 134 เพอ่ื แสดงตัวอยา่ งให้นักเรียนสงั เกตเพ่ิมเติม แล้วร่วมกนั อภปิ รายเพ่ือสรุปว่าขอ้ ความ คาดการณท์ ีไ่ ดน้ ั้น สอดคล้องกบั สมบัตขิ องเส้นขนานทวี่ า่ “ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตัด แลว้ ขนาด ของมมุ ภายในท่อี ยู่บนข้างเดยี วกนั ของเส้นตดั รวมกันเท่ากับ 180 องศา” ในการทำ� “กิจกรรม : สำ�รวจผลรวมของขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด” ข้างต้นนี้ ครูสามารถให้นักเรียนทำ�กิจกรรมโดยผ่านซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad แทนการทำ�กิจกรรม ลงในหนังสือเรยี น เนื่องจากช่วยใหป้ ระหยัดเวลาในการทำ�กิจกรรม และสามารถปรบั เปลยี่ นลกั ษณะของเสน้ ตรง หรอื มมุ ไดห้ ลากหลาย โดยครดู าวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 134 แลว้ ใหน้ กั เรยี น สังเกตผลทไี่ ด้จากการทำ�กิจกรรม โดยปรบั เปลีย่ น �AB หรอื �CD หรือเส้นตัด XY ท�ำ ใหข้ อ้ ความคาดการณท์ ่ี สรา้ งมคี วามน่าเช่ือถอื มากขน้ึ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 183 5. ครูเน้นกับนักเรียนให้สังเกตว่า สมบัติของเส้นขนานแสดงอยู่ในรูปประโยคมีเง่ือนไข “ถ้า...แล้ว…” สองประโยค ซ่ึงเปน็ บทกลบั ของกันและกนั และทำ�ความเข้าใจว่า สามารถใชป้ ระโยคทมี่ ีค�ำ ว่า “ก็ต่อเมื่อ” แทนได้ เมื่อประโยค มเี งื่อนไข “ถา้ ...แล้ว…” เป็นประโยคมีเงื่อนไขที่เปน็ จริง ดังในหนังสือเรียน หน้า 137 ในทางกลบั กนั ประโยค ที่มีคำ�ว่า “ก็ต่อเมื่อ” ท่ีเป็นจริงก็สามารถกล่าวโดยใช้ประโยคมีเง่ือนไข “ถ้า...แล้ว...” สองประโยคที่เป็นบทกลับ ของกันและกนั แทนได้ 6. ครูอาจใชช้ วนคดิ 3.1 ในหนงั สือเรียน หนา้ 137 เพ่อื กระตุ้นใหน้ ักเรียนคดิ ส�ำ รวจ และคน้ หาค�ำ ตอบด้วยตนเอง เกยี่ วกบั ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งซา้ ยของเสน้ ตดั ทตี่ ดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ ทไ่ี มข่ นานกนั จากนนั้ ครใู ห้ นกั เรยี นนำ�เสนอค�ำ ตอบและแนวคดิ ในการหาคำ�ตอบ 7. ครูใช้ตัวอย่างในหนังสือเรียน หน้า 137–140 เพ่ือตรวจสอบความรู้ความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับสมบัติของ เสน้ ขนาน โดยในตวั อย่างที่ 4 ครคู วรสรุปใหน้ ักเรียนเหน็ วา่ การขนานกันของเส้นตรงมีสมบัตถิ า่ ยทอด 8. ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา” ในคมู่ อื ครู หน้า 187 เพ่ือกระตุ้นใหน้ กั เรียนคิดวา่ ภาพท่เี หน็ เหมือนกับสิ่งท่เี ป็นจรงิ หรอื ไม ่ ซึง่ ควรให้เหตผุ ลยนื ยนั ไดโ้ ดยใช้สมบตั ิตา่ ง ๆ ท่ไี ด้เรยี นรู้มา 9. ครูฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์โดยใช้แบบฝึกหัด 3.1 ในหนังสือเรียน หน้า 140–142 โดยใน แบบฝึกหดั 3.1 ขอ้ 1 ข้อยอ่ ย 4) ครคู วรใหน้ ักเรยี นให้เหตุผลเพื่อสนบั สนุนคำ�ตอบของตนเอง โดยนักเรยี น อาจตอบวา่ เส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกัน หรือเสน้ ตรงทงั้ สองเส้นไมข่ นานกัน หรอื ไมส่ ามารถสรุปได ้ โดยครูต้อง คำ�นึงถงึ เหตผุ ลท่ีสมเหตสุ มผลในการตอบ ส�ำ หรับแบบฝึกหดั 3.1 ข้อ 2 เปน็ การนำ�ความรู้เรือ่ งสมการมาชว่ ยหาขนาดของมุมที่เกีย่ วกบั เสน้ ขนาน 10. ครูอาจใช้ชวนคิด 3.2 ในหนังสือเรียน หน้า 142 ในการอภิปรายกับนักเรียนเก่ียวกับขนาดของมุมภายในของ รปู สเ่ี หล่ยี มมุมฉาก สมบัติของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก และผลรวมของมมุ ภายในทีอ่ ยู่บนข้างเดียวกนั ของเส้นตัดทตี่ ดั เส้นขนาน เพอื่ ระบวุ า่ ด้านตรงขา้ มของรปู ส่เี หลยี่ มมมุ ฉากขนานกันหรอื ไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

184 บทที่ 3 | เส้นขนาน คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 กจิ กรรม : สำ�รวจผลรวมของขนาดของมุมภายใน ทอี่ ยบู่ นขา้ งเดียวกันของเส้นตัด กจิ กรรมน้ี เปน็ กิจกรรมที่ต้องการให้นกั เรียนส�ำ รวจผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัด โดย นกั เรยี นตอ้ งเขยี นเสน้ ตดั ระบแุ ละวดั ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั เพอ่ื สงั เกตและสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ เกย่ี วกบั ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี ส่ือ/อุปกรณ์ 1. ไม้บรรทดั 2. โพรแทรกเตอร์ ขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูทบทวนมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด โดยครูอาจเขียนรูปเส้นตัด XY ตัด �AB และ �CD โดยให้ จุด M และจดุ N เป็นจดุ ตดั บน �AB และ �CD ตามล�ำ ดับ และใหน้ ักเรยี นช่วยกนั ตอบวา่ มมุ คใู่ ดบา้ งทเ่ี ป็นมุมภายใน ที่อยบู่ นข้างเดยี วกันของเส้นตัด 2. ครูใหน้ กั เรียนท�ำ กิจกรรมขอ้ 1 และข้อ 2 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 135–136 โดยให้นกั เรียนเขยี นเส้นตดั XY ให้เอยี ง ทำ�มุมในแนวใดก็ได้ตามใจชอบ จากนั้นให้นักเรียนระบุว่า มุมคู่ใดเป็นมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด วดั ขนาดของมุมเหล่านี้ และเติมลงในตารางใหส้ มบูรณ์ 3. ครใู หน้ กั เรยี นสงั เกตตารางทไี่ ดใ้ นขอ้ 1 และขอ้ 2 แลว้ สรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กยี่ วกบั ผลรวมของขนาดของมมุ ภายใน ทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั กบั การขนานกนั ของเสน้ ตรงคนู่ น้ั เมอื่ ก�ำ หนดเสน้ ตรงคหู่ นง่ึ มาให้ ดว้ ยภาษาของตนเอง 4. ครูให้นักเรียนนำ�เสนอข้อความคาดการณ์ที่ได้ จากน้ันครูอาจยกตัวอย่างเพ่ิมเติมจากกิจกรรมท่ีนักเรียนทำ�ลงใน หนังสือเรียนหลาย ๆ ตัวอย่าง เพ่ือให้นักเรียนเห็นจริงว่า ไม่ว่าเส้นตัด XY จะเอียงทำ�มุมในแนวใด ผลที่ได้ยังคง เหมอื นเดิม หรอื ครูอาจดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนงั สือเรยี น หนา้ 134 เพ่อื แสดงตัวอย่างหรือ ให้นักเรียนได้สำ�รวจเพิ่มเติม เพ่ือสรุปว่าข้อความคาดการณ์ท่ีได้สอดคล้องกับสมบัติของเส้นขนานท่ีว่า “ถ้าเส้นตรง สองเสน้ ขนานกันและมีเส้นตดั แลว้ ขนาดของมุมภายในท่อี ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัดรวมกันเทา่ กบั 180 องศา” หมายเหต ุ ครูอาจให้นกั เรยี นท�ำ กจิ กรรมเป็นรายบคุ คล หรือเป็นคู่ หรือเป็นกล่มุ ข้นึ อย่กู บั บรบิ ทของหอ้ งเรียน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 185 เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจผลรวมของขนาดของมุมภายใน ทอี่ ยูบ่ นขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตดั 1. ในแตล่ ะข้อกำ�หนดให ้ �AB และ �CD ไมข่ นานกนั ใหน้ ักเรียนเขยี นเส้นตัด XY ตัด �AB และ �CD โดยให้จุด M และจุด N เปน็ จดุ ตดั บน �AB และ �CD ตามล�ำ ดับ จากนั้นให้ระบวุ ่า มุมคใู่ ดบ้างทเ่ี ป็นมุมภายในทอ่ี ยู่บนขา้ งเดียวกัน ของเส้นตดั XY พร้อมทง้ั วดั ขนาดของมุมเหล่าน้ัน แลว้ เติมลงในตารางใหส้ มบูรณ์ 1) ตัวอยา่ ง ผลรวมของ ขนาดของ A X B ชือ่ มมุ ขนาด มุมภายในท่ีอยู่ M ของมุม บนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั XY C ND คทู่ ่ี 1 AMˆN 88° 163° Y CˆNM 75° BMˆN 92° 197° ค่ทู ี่ 2 DˆNM 105° 2) ตัวอย่าง ผลรวมของ ขนาดของ A X ชอ่ื มมุ ขนาด มุมภายในทีอ่ ยู่ M ของมุม บนขา้ งเดยี วกนั C N B ของเสน้ ตดั XY Y D AMˆN 69° 170° คู่ที่ 1 CˆNM 101° คูท่ ่ี 2 BMˆN 111° 190° DˆNM 79° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

186 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 2. ในแต่ละขอ้ กำ�หนดให ้ �AB และ �CD ขนานกนั ให้นักเรียนเขยี นเสน้ ตดั XY ตัด �AB และ �CD โดยใหจ้ ุด M และ จุด N เปน็ จดุ ตัดบน �AB และ �CD ตามลำ�ดบั จากนนั้ ให้ระบุวา่ มุมค่ใู ดบา้ งทีเ่ ป็นมมุ ภายในทอี่ ยูบ่ นข้างเดยี วกนั ของ เส้นตัด XY พรอ้ มท้ังวดั ขนาดของมุมเหลา่ น้ัน แล้วเติมลงในตารางให้สมบูรณ์ 1) ตวั อยา่ ง ผลรวมของ ขนาดของ A X B ช่อื มุม ขนาด มุมภายในทีอ่ ยู่ M ของมมุ บนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั XY CN D คทู่ ่ี 1 AMˆN 51° 180° Y CˆNM 129° ค่ทู ่ี 2 BMˆN 129° 180° DˆNM 51° 2) ตวั อย่าง ผลรวมของ B ขนาดของ X ขนาด มุมภายในท่อี ยู่ M ช่ือมมุ ของมมุ บนขา้ งเดยี วกนั A ของเสน้ ตดั XY D คทู่ ี่ 1 AMˆN 95° 180° N CˆNM 85° CY BMˆN 85° คู่ท่ี 2 DˆNM 95° 180° 3. จากการทำ�กิจกรรมในข้อ 1 และข้อ 2 เมื่อกำ�หนดเส้นตรงคู่หนึ่งมาให้ นักเรียนได้ข้อความคาดการณ์อย่างไรเกี่ยวกับ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในท่ีอยบู่ นข้างเดยี วกันของเสน้ ตดั กับการขนานกนั ของเส้นตรงคนู่ น้ั ตัวอยา่ งค�ำ ตอบ ✤ ถ้าเส้นตรงเสน้ หน่งึ ตดั เสน้ ตรงค่หู น่งึ และเส้นตรงค่นู ัน้ ขนานกัน แลว้ ขนาดของมุมภายในทอี่ ยู่บน ขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกันเทา่ กบั 180° ✤ ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั เท่ากบั 180° ✤ ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ไมข่ นานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตดั ไมเ่ ท่ากับ 180° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 187 กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา กจิ กรรมน้ี เปน็ กิจกรรมท่ีตอ้ งการให้นกั เรยี นตระหนกั วา่ ภาพที่เห็นอาจเป็นภาพลวงตา นกั เรียนควรสังเกตภาพให้ถถ่ี ว้ น ว่าเป็นดงั ท่เี หน็ หรือไม่ ซึง่ ควรใหเ้ หตุผลยนื ยนั ได้โดยใชส้ มบัติตา่ ง ๆ ทไี่ ด้เรียนรู้มา โดยมีสื่อ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการด�ำ เนิน กจิ กรรม ดังน้ี สือ่ /อปุ กรณ์ 1. ไม้บรรทัด 2. โพรแทรกเตอร์ 3. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา ขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูนำ�เสนอภาพลวงตาในใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา ในคู่มือครู หน้า 188 และร่วมสนทนากับ นกั เรยี นว่า ภาพที่เห็นมลี ักษณะอย่างไร 2. ครูใหน้ กั เรยี นอภปิ รายร่วมกันว่า นกั เรียนเชอ่ื ในสิ่งทเี่ หน็ หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด 3. ครใู หน้ กั เรยี นน�ำ เสนอแนวคดิ สนบั สนนุ ค�ำ ตอบของตนเองหนา้ ชน้ั เรยี น จากนนั้ ครสู รปุ แนวคดิ ของนกั เรยี นทนี่ �ำ เสนอ และเน้นยำ้�ว่า ภาพท่ีเห็นอาจไม่ได้เป็นอย่างที่คิด ดังน้ันการตัดสินจากส่ิงท่ีเห็นอาจจะไม่ใช่ส่ิงที่เป็นอยู่จริง จึงควรมี หลกั การในการตัดสนิ หรือสรุป 4. ครูกับนักเรียนอาจอภิปรายเพ่ิมเติม เพื่อให้นักเรียนเช่ือมโยงได้ว่า การวัดระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่หน่ึง ต้องสร้าง เส้นจากจุดบนเส้นตรงเส้นหนึ่งไปต้ังฉากกับเส้นตรงอีกเส้นหน่ึง ถ้าระยะห่างท่ีวัดจากจุดสองจุดท่ีแตกต่างกันบน เสน้ ตรงเสน้ หนงึ่ เทา่ กนั และจดุ ทงั้ สองนน้ั อยบู่ นดา้ นเดยี วกนั ของเสน้ ตรงอกี เสน้ หนง่ึ แลว้ จงึ จะสรปุ ไดว้ า่ เสน้ ตรงคนู่ นั้ ขนานกัน AE XB CF YD หมายเหต ุ ครูอาจให้นกั เรียนท�ำ กิจกรรมเปน็ รายบคุ คล หรือเปน็ คู่ หรอื เป็นกลมุ่ ขึ้นอยกู่ ับบรบิ ทของห้องเรียน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

188 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา ให้นกั เรยี นพจิ ารณาภาพต่อไปน้ี ภาพที่ 1 ภาพท่ี 2 ภาพที่ 3 นกั เรยี นคดิ วา่ ในแต่ละภาพสว่ นของเสน้ ตรงในแนวนอนท้งั หมดขนานกันหรือไม่ เพราะเหตใุ ด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 189 เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ภาพลวงตา ใหน้ ักเรียนพิจารณาภาพตอ่ ไปนี้ ภาพที่ 1 ภาพท่ี 2 ภาพท่ี 3 นักเรยี นคดิ วา่ ในแตล่ ะภาพสว่ นของเส้นตรงในแนวนอนทง้ั หมดขนานกันหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด ตวั อยา่ งคำ�ตอบ ✤ ขนานกนั เพราะวา่ เมอ่ื วดั ระยะห่างระหว่างสว่ นของเสน้ ตรงแต่ละคู่ พบว่ามีระยะหา่ ง เทา่ กันเสมอ ✤ ขนานกนั เพราะวา่ เมื่อเขียนเสน้ ตดั ตดั ส่วนของเสน้ ตรงแต่ละคู่ พบว่าขนาดของ มมุ ภายในทอ่ี ย่บู นข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกนั เท่ากับ 180 องศา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

190 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยชวนคิด ชวนคิด 3.1 เมื่อกำ�หนดเส้นตรงสองเส้นทีไ่ ม่ขนานกันให ้ และมเี ส้นตดั ตัดเส้นตรงสองเสน้ นนั้ ไมว่ า่ เสน้ ตัดจะเอยี งท�ำ มุม ipst.me/10077 ไปในแนวใดก็ตาม 1. ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งซา้ ยของเสน้ ตดั จะเทา่ กนั เนอ่ื งจาก เมอ่ื เราตอ่ เสน้ ทง้ั สอง ในแนวของเสน้ เดมิ เสน้ ตรงทง้ั สองเสน้ จะตดั กนั และเกดิ เปน็ รปู สามเหลย่ี ม ซง่ึ ไมว่ า่ เสน้ ตดั จะเอยี งท�ำ มมุ ไป แนวใดกต็ าม ขนาดของมมุ ทจ่ี ดุ ตดั P หรอื จดุ ยอด (NˆPM) ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี กดิ ขน้ึ จะเทา่ เดมิ ดงั รปู XB XB M M CP NY D CP N D A A Y CP XB A M ND Y เน่อื งจากผลรวมของขนาดของมมุ ภายในท้งั สามมุมของรปู สามเหล่ยี มเทา่ กับ 180° จะได้วา่ NˆPM + PMˆN + MˆNP = 180° ดงั นนั้ PMˆN + MˆNP = 180 – NˆPM ซงึ่ เป็นค่าคงตัว และ PMˆN + MˆNP เปน็ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในที่อยู่บนข้างซา้ ยของเส้นตดั ดงั น้นั ไม่ว่าเส้นตัดจะเอียงทำ�มุมไปในแนวใดก็ตาม ผลรวมของขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างซ้าย ของเสน้ ตัด จะเท่ากนั 2. ถ้าผลรวมของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างขวาของเส้นตัดน้อยกว่า 180° แล้วเม่ือต่อเส้นตรง ทั้งสองเสน้ ในแนวของเสน้ เดิม เสน้ ตรงท้งั สองเส้นนจ้ี ะตดั กนั ทางขา้ งขวาของเส้นตัด ดงั รูป ชวนคดิ 3.2 ขนานกนั เพราะวา่ รูปสเ่ี หลย่ี มมุมฉากมีมมุ ทกุ มุมเป็นมมุ ฉาก ท�ำ ให้ขนาดของมมุ ภายในท่อี ยบู่ นขา้ งเดยี วกัน ipst.me/10078 ของเสน้ ตดั ทต่ี ดั ดา้ นทอ่ี ยตู่ รงขา้ มแตล่ ะคขู่ องรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก รวมกนั ได ้ 180° จงึ ไดว้ า่ ดา้ นทอ่ี ยตู่ รงขา้ มกนั ขนานกนั ทกุ คู่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 191 เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝึกหัด 3.1 1. 1) �AB และ �CD ขนานกนั เพราะว่า ขนาดของมุมภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตดั รวมกนั เท่ากบั 117 + 63 = 180 องศา 2) �AB และ �CD ไม่ขนานกนั เพราะวา่ ขนาดของมุมภายในท่ีอยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตัดรวมกนั เทา่ กบั 134 + 47 = 181 องศา ซึง่ ไมเ่ ท่ากบั 180 องศา 3) �AB และ �CD ไม่ขนานกัน เพราะว่า DˆYX = 180 – 91 = 89 องศา ทำ�ให้ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ น ขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัดรวมกันเทา่ กบั 90 + 89 = 179 องศา ซ่ึงไม่เทา่ กบั 180 องศา 4) จากรปู ที่ก�ำ หนดให้ ขอ้ มูลไม่เพียงพอทจี่ ะตอบได้วา่ �AB และ �CD ขนานกันหรือไม่ 2. แนวคดิ ใชส้ มบัติของเสน้ ขนานทว่ี ่า “ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมเี สน้ ตัด แลว้ ขนาดของมมุ ภายในที่อยู่ บนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กับ 180°” ในการสร้างสมการ จากน้ันแก้สมการเพือ่ หาค�ำ ตอบ 1) 79 2) 88 3) 60 4) 75 5) 5 หรอื -5 6) 20 (ใช้ขนาดของมมุ ตรง เพอ่ื หาขนาดของ QˆAB กอ่ น) 3. แนวคิด A B x° y° 60° CD เนอ่ื งจาก �AB // �CD จะได้ x + 90 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยู่บนขา้ งเดยี วกันของเส้นตัดทต่ี ดั เส้นขนานรวมกนั เท่ากับ 180°) ดังนั้น x = 90 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) และ y + 60 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในท่อี ยบู่ นข้างเดียวกนั ของเส้นตดั ทต่ี ดั เสน้ ขนานรวมกนั เท่ากบั 180°) ดังนน้ั y = 120 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) นน่ั คอื 2x – y = 2(90) – 120 = 60 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

192 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 DC 4. แนวคดิ 53° 71° A B เนือ่ งจาก ABCD เป็นรปู ส่ีเหล่ยี มคางหมู มีดา้ น AB ขนานกับด้าน CD จะได ้ AˆDC + 53 = 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดท่ีตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากบั 180°) ดงั นั้น AˆDC = 127° (สมบตั ิของการเท่ากัน) และ DˆCB + 71 = 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดท่ีตัด เส้นขนานรวมกนั เทา่ กับ 180°) ดังน้นั DˆCB = 109° (สมบัติของการเทา่ กนั ) 5. แนวคดิ A L PK M N B กำ�หนดให ้ �PL // �MN มี �AB เป็นเส้นตัด ตดั �PL และ �MN ทจี่ ุด K และ M ตามลำ�ดบั ตอ้ งการพิสจู น์ว่า BMˆN = AˆKP (ก�ำ หนดให)้ พสิ ูจน ์ เนอื่ งจาก �PL // �MN มี �AB เปน็ เสน้ ตดั จะได ้ MˆKL + KMˆN = 180° (ขนาดของมุมภายในทีอ่ ยู่บนข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด ที่ตัดเสน้ ขนานรวมกนั เทา่ กบั 180°) เนอื่ งจาก BMˆN + KMˆN = 180° (ขนาดของมุมตรง) จะได ้ BMˆN + KMˆN = MˆKL + KMˆN (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ดังน้ัน BMˆN = MˆKL (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) เน่ืองจาก MˆKL = AˆKP (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาด ดงั น้นั BMˆN = AˆKP เท่ากัน) (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 193 3.2 เส้นขนานและมมุ แยง้ (2 ชั่วโมง) จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. บอกไดว้ า่ มุมคู่ใดเป็นมมุ แยง้ เม่ือกำ�หนดให้เส้นตรงเสน้ หนึ่งตดั เส้นตรงคหู่ นงึ่ 2. บอกได้ว่า เมื่อเส้นตรงเส้นหน่ึงตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน และนำ�สมบัติน้ีไปใช้ ความเข้าใจท่คี ลาดเคลอื่ น นกั เรียนอาจเข้าใจผิดว่า มมุ ที่เป็นมุมแยง้ กันมีขนาดเทา่ กันเสมอ แตท่ ่ถี ูกตอ้ งคือ มมุ แย้งเกดิ จากเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ตัดเส้น ตรงคหู่ น่ึง ซ่งึ เสน้ ตรงคูน่ น้ั อาจขนานกันหรอื ไม่ขนานกนั ก็ได้ ดงั นนั้ เมอื่ กลา่ วถงึ มมุ แย้งทั่ว ๆ ไป จะสรุปวา่ มีขนาดเทา่ กันไมไ่ ด้ สื่อที่แนะนำ�ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ 1. อปุ กรณ์ของกจิ กรรม : สำ�รวจมุมแย้ง 2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) 3. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.2 : อย่ตู รงไหนบ้าง ขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นเ้ี ปน็ เรอ่ื งเกย่ี วกบั เสน้ ขนานและมมุ แยง้ มงุ่ เนน้ ใหน้ กั เรยี นตรวจสอบการขนานกนั ของเสน้ ตรงสองเสน้ ไดโ้ ดยใช้ มุมแย้ง โดยผ่านการให้เหตุผลและการใช้ความรู้เกี่ยวกับเส้นขนานและขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด นอกจากน้นี ักเรยี นยังไดเ้ ห็นการพิสูจนส์ มบัติของเส้นขนานและมมุ แยง้ ซ่งึ สามารถน�ำ สมบัตนิ ี้ไปใชเ้ ป็นพ้ืนฐานในการให้เหตุผล ทางเรขาคณติ ต่อไป แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรยี นรอู้ าจท�ำ ไดด้ งั นี้ 1. ครูควรให้นักเรียนพิจารณารูปเส้นตัดตัดเส้นตรงสองเส้น ในหนังสือเรียน หน้า 143 เพ่ือให้นักเรียนได้รู้จักว่า มุมคู่ใดทีเ่ ปน็ มมุ แย้งกนั และครูควรทำ�ความเข้าใจกบั นักเรยี นเพ่ิมเตมิ ว่า มุมแย้งทเี่ กดิ จากเส้นตรงเสน้ หนึง่ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นงึ่ อาจเกิดจากเสน้ ตรงท่ีขนานกันหรือไมข่ นานกันก็ได้ 2. ครูควรใช้ “กิจกรรม : สำ�รวจมุมแย้ง” ในหนังสือเรียน หน้า 143–144 ให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติกิจกรรม โดยนกั เรยี นต้องเขยี นเสน้ ตดั และระบวุ า่ มมุ ค่ใู ดบา้ งทีเ่ ปน็ มมุ แย้งกนั พรอ้ มท้ังวดั ขนาดของมมุ เหลา่ น้ัน จากนนั้ ครูเน้นให้นักเรยี นสงั เกตผลที่ไดจ้ ากกิจกรรมขอ้ 1 และข้อ 2 แล้วสรา้ งข้อความคาดการณโ์ ดยใชภ้ าษาของตนเอง ซึ่งครอู าจยกตวั อย่างท่หี ลากหลายโดยดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนงั สือเรยี น หน้า 143 เพอื่ แสดงให้นักเรียนสังเกตเพ่ิมเติม จากนั้นครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเพื่อสรุปว่าข้อความคาดการณ์ที่ได้ สอดคลอ้ งกับสมบัตขิ องเสน้ ขนานท่วี า่ “ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตดั แลว้ มมุ แย้งมขี นาดเท่ากนั ” สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

194 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ในการทำ� “กิจกรรม : สำ�รวจมุมแย้ง” ข้างต้นนี้ ครูสามารถให้นักเรียนทำ�กิจกรรมโดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad แทนการท�ำ กิจกรรมลงในหนงั สอื เรยี น เน่อื งจากชว่ ยให้ประหยดั เวลาในการท�ำ กิจกรรม และสามารถปรบั เปล่ียนลกั ษณะของเส้นตรงหรอื มมุ ได้หลากหลาย โดยครูดาวน์โหลดไฟล์ GSP จาก มุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หนา้ 143 แล้วใหน้ ักเรียนสังเกตผลทไ่ี ด้จากการทำ�กจิ กรรม โดยปรับเปล่ียน �AB หรือ �CD หรอื เสน้ ตัด XY ท�ำ ให้ขอ้ ความคาดการณท์ ่สี รา้ งมีความนา่ เช่อื ถือมากขน้ึ หลงั จากทนี่ กั เรยี นไดข้ อ้ ความคาดการณซ์ ง่ึ เปน็ ไปตามทฤษฎบี ท “ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มีขนาดเทา่ กัน” แล้ว ครแู ละนักเรยี นควรชว่ ยกนั พิสจู นท์ ฤษฎีบทเพอ่ื ให้นกั เรยี นเห็นจริง นอกจากน้ี ครูควรเน้นย้ำ�กับนักเรียนเพิ่มเติมว่า การอ้างด้วยสมบัติของมุมแย้ง ควรเขียนข้อความของสมบัติน้ันให้สมบูรณ์ ไมค่ วรเขยี นอ้างวา่ “เพราะเป็นมุมแยง้ ” หรอื ไม่ควรเขียนอ้างวา่ “มมุ แยง้ ย่อมมีขนาดเท่ากนั ” 3. ครูร่วมอภิปรายกับนักเรียนว่า ในการตรวจสอบการขนานกันของเส้นตรงสองเส้น นอกจากจะพิจารณาจาก ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดท่ีตัดเส้นตรงทั้งสองแล้ว ยังสามารถพิจารณาจากขนาด ของมุมแย้งได้ ซ่ึงเป็นไปตามทฤษฎีบท “ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ�ให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงค่นู ั้นขนานกัน” พร้อมทั้งรว่ มกันพสิ จู นท์ ฤษฎีบทเพอ่ื ให้นักเรยี นเหน็ จริง จากนั้นครูอธบิ ายเพิ่มเตมิ วา่ ทฤษฎีบทนีเ้ ปน็ บทกลบั ของทฤษฎบี ท “ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตัด แลว้ มุมแย้งมขี นาดเทา่ กนั ” ซ่ึงเป็นประโยคมเี งอ่ื นไขทเ่ี ป็นจริงทั้งสองประโยค จึงสามารถใช้ประโยคท่ีมคี ำ�วา่ “ก็ต่อเม่ือ” แทนได ้ จงึ ได้เป็น ทฤษฎีบท “เม่ือเส้นตรงเส้นหนึง่ ตดั เสน้ ตรงคหู่ น่ึง เสน้ ตรงคู่นัน้ ขนานกนั กต็ อ่ เมื่อ มุมแย้งมขี นาดเท่ากัน” 4. ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 : อยู่ตรงไหนบ้าง” ในคูม่ ือครู หนา้ 199 เพื่อกระต้นุ ให้นกั เรยี นเช่ือมโยงความ รู้เกี่ยวกับเส้นขนานและสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เพ่ือหาว่ามีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ในตำ�แหน่งใดบ้าง ส�ำ หรับ “เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.2 : อยู่ตรงไหนบา้ ง” มไี ว้เพื่อเป็นแนวทางของครใู นการตรวจสอบคำ�ตอบ ของนักเรียน ซึง่ ครูอาจให้นกั เรยี นเขียนตอบสน้ั ๆ หรือแสดงค�ำ ตอบดว้ ยวาจา ไมม่ เี จตนาใหน้ ักเรยี นเขยี นแสดง เหตุผลในรปู แบบดงั กลา่ ว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 195 ความร้เู พ่ิมเตมิ ส�ำ หรบั ครู มุมแย้งทก่ี ลา่ วถึงในบทเรยี นจะเป็นมุมแย้งภายใน (alternate interior angles) เท่าน้ัน ในทางคณติ ศาสตร์ กำ�หนดมุมแย้ง เปน็ ดังน ้ี B กำ�หนดให้ �EF เป็นเส้นตดั ตัด �AB และ �CD ดังรูป D E ˆ8 และ ˆ2 เป็นมุมแยง้ ภายนอก (alternate exterior angles) A 21 ˆ7 และ ˆ1 เป็นมมุ แยง้ ภายนอก ˆ3 และ ˆ5 เป็นมมุ แยง้ ภายใน 34 ˆ4 และ ˆ6 เปน็ มมุ แย้งภายใน 65 เน่ืองจาก ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นตัดกนั แล้วมมุ ตรงข้ามมีขนาดเท่ากนั C 78 จึงท�ำ ใหไ้ ด้ ˆ1 = ˆ3 , ˆ2 = ˆ4 , ˆ5 = ˆ7 และ ˆ6 = ˆ8 F ดงั นนั้ สมบตั ติ า่ ง ๆ ของเสน้ ขนานทเี่ กย่ี วกบั มมุ แยง้ ภายใน จงึ ยงั คงเปน็ จรงิ ส�ำ หรบั มมุ แยง้ ภายนอกดว้ ย หนงั สอื หลายเล่มเมือ่ กลา่ วถงึ สมบัติต่าง ๆ ของเสน้ ขนานเกี่ยวกบั มมุ แยง้ จงึ ไม่ระบุว่าเปน็ มมุ แยง้ ภายในหรือมุมแย้งภายนอก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

196 บทท่ี 3 | เส้นขนาน ค่มู ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 กิจกรรม : ส�ำ รวจมมุ แย้ง กจิ กรรมนี้ เป็นกิจกรรมทีต่ ้องการให้นักเรียนส�ำ รวจมมุ แย้ง โดยนกั เรยี นตอ้ งเขยี นเส้นตัด ระบุและวัดขนาดของมุมแย้ง เพ่อื สงั เกตและสรา้ งข้อความคาดการณเ์ ก่ยี วกับขนาดของมมุ แยง้ โดยมีสอ่ื /อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดงั นี้ ส่อื /อปุ กรณ์ 1. ไมบ้ รรทัด 2. โพรแทรกเตอร์ ขัน้ ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม 1. ครทู บทวนมมุ แย้ง โดยครูอาจเขียนรูปเสน้ ตดั XY ตดั �AB และ �CD โดยให้จุด M และจดุ N เปน็ จุดตดั บน �AB และ �CD ตามล�ำ ดับ และให้นกั เรียนชว่ ยกันตอบวา่ มมุ คใู่ ดบา้ งทเ่ี ปน็ มมุ แย้งกัน 2. ครใู หน้ กั เรียนท�ำ กจิ กรรมข้อ 1 และขอ้ 2 ในหนังสือเรียน หน้า 143–144 โดยใหน้ กั เรยี นเขียนเสน้ ตัด XY ใหเ้ อียง ท�ำ มมุ ในแนวใดก็ได้ตามใจชอบ จากนั้นใหน้ กั เรยี นระบุว่า มมุ คู่ใดบ้างทเ่ี ปน็ มุมแย้งกนั วัดขนาดของมมุ เหล่าน้ี และ เติมลงในตารางให้สมบรู ณ์ 3. ครูให้นักเรียนสังเกตตารางท่ีได้ในข้อ 1 และข้อ 2 แล้วสร้างข้อความคาดการณ์เก่ียวกับขนาดของมุมแย้งกับ การขนานกันของเสน้ ตรงคู่น้ัน เมือ่ ก�ำ หนดเส้นตรงคหู่ น่งึ มาให้ ดว้ ยภาษาของตนเอง 4. ครูให้นักเรียนนำ�เสนอข้อความคาดการณ์ท่ีได้ จากน้ันครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมจากกิจกรรมท่ีนักเรียนทำ�ลงใน หนังสือเรียนหลาย ๆ ตัวอย่าง เพ่ือให้นักเรียนเห็นจริงว่า ไม่ว่าเส้นตัด XY จะเอียงทำ�มุมในแนวใด ผลท่ีได้ยังคง เหมือนเดมิ หรอื ครอู าจดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนังสือเรยี น หนา้ 143 เพอ่ื แสดงตวั อย่างหรอื ให้นักเรียนได้สำ�รวจเพิ่มเติม เพื่อสรุปว่าข้อความคาดการณ์ท่ีได้สอดคล้องกับสมบัติของเส้นขนานที่ว่า “ถ้าเส้นตรง สองเส้นขนานกันและมเี ส้นตัด แล้วมมุ แยง้ มีขนาดเทา่ กัน” หมายเหตุ ครอู าจใหน้ ักเรียนทำ�กิจกรรมเปน็ รายบุคคล หรือเป็นคู่ หรือเป็นกลุ่ม ขึ้นอยูก่ บั บริบทของหอ้ งเรียน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 197 เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจมุมแยง้ 1. ในแต่ละขอ้ กำ�หนดให ้ �AB และ  �CD ไมข่ นานกนั ให้นักเรยี นเขียนเสน้ ตดั XY ตดั �AB และ   �CD โดยให้ จุด M และจดุ N เปน็ จุดตดั บน �AB และ    �CD ตามลำ�ดบั จากนัน้ ใหร้ ะบุวา่ มุมคูใ่ ดบ้างทีเ่ ปน็ มุมแยง้ กัน พรอ้ มท้ังวัดขนาด ของมุมเหลา่ น้ัน แล้วเติมลงในตารางให้สมบูรณ์ 1) ตวั อยา่ ง X B ช่อื มุม ขนาดของมมุ M A คทู่ ี่ 1 AMˆN 88° DˆNM 105° C ND ค่ทู ี่ 2 BMˆN 92° Y CˆNM 75° 2) ตวั อย่าง ชือ่ มุม ขนาดของมมุ A X คู่ที่ 1 AMˆN 69° M DˆNM 79° C 111° B 101° N Y คูท่ ี่ 2 BMˆN CˆNM D 2. ในแตล่ ะข้อก�ำ หนดให ้ �AB และ   �CD ขนานกนั ใหน้ กั เรียนเขียนเสน้ ตัด XY ตดั �AB และ �CD โดยให้ จดุ M และจดุ N เปน็ จดุ ตัดบน �AB และ   �CD ตามลำ�ดบั จากนน้ั ใหร้ ะบวุ า่ มุมคู่ใดบ้างทเ่ี ป็นมุมแยง้ กัน พรอ้ มท้งั วดั ขนาดของ มมุ เหลา่ นน้ั แลว้ เติมลงในตารางให้สมบูรณ์ 1) ตวั อยา่ ง X ชอ่ื มมุ ขนาดของมุม A MB AMˆN 51° คู่ที่ 1 DˆNM 51° CN D คทู่ ่ี 2 BMˆN 129° Y CˆNM 129° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

198 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 2) ตัวอย่าง B ช่ือมมุ ขนาดของมุม XM คูท่ ่ี 1 AMˆN 95° A DˆNM 95° 85° D BMˆN 85° N คทู่ ่ี 2 CˆNM CY 3. จากตารางในข้อ 1 และ 2 ให้นกั เรยี นสังเกตและสร้างข้อความคาดการณเ์ กีย่ วกบั ขนาดของมมุ แย้ง กบั การขนานกนั ของ เส้นตรงค่นู น้ั ตวั อยา่ งคำ�ตอบ ✤ ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตัด แลว้ มมุ แย้งมขี นาดเทา่ กนั ✤ ถ้าเสน้ ตรงเส้นหน่ึงตัดเสน้ ตรงคู่หนง่ึ และเสน้ ตรงค่นู ั้นขนานกนั แล้วมมุ แยง้ มีขนาดเทา่ กัน ✤ ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นไม่ขนานกันและมีเสน้ ตดั แล้วมมุ แยง้ มีขนาดไมเ่ ท่ากัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 199 กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 : อย่ตู รงไหนบา้ ง กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนได้ฝึกใช้สมบัติของเส้นขนานและสมบัติต่าง ๆ ของรูปเรขาคณิตท่ี เคยเรียนมาในการใหเ้ หตุผลเพื่อแกป้ ญั หา โดยมีสือ่ /อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดังนี้ สื่อ/อุปกรณ์ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.2 : อยตู่ รงไหนบา้ ง ขั้นตอนการด�ำ เนินกิจกรรม 1. ครูทบทวนสมบตั ขิ องเส้นขนาน สมบัติของรปู ส่ีเหล่ยี มด้านขนาน สมบัตเิ ก่ียวกบั ขนาดของมมุ ภายในรปู สามเหล่ยี ม ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแล้ว เพ่ือใช้ในการให้เหตุผลประกอบการทำ� กิจกรรม 2. ครูใหน้ กั เรียนคน้ หารปู สเ่ี หลีย่ มดา้ นขนานโดยท�ำ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.2 : อยู่ตรงไหนบา้ ง ในคู่มอื ครู หน้า 200 และอภปิ รายรว่ มกนั วา่ รปู สเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานซอ่ นอยตู่ รงไหน และมแี นวคดิ ในการคน้ หารปู สเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานอยา่ งไร 3. ครูให้นักเรียนนำ�เสนอคำ�ตอบและแนวคิดสนับสนุนคำ�ตอบของตนเองหน้าชั้นเรียน จากนั้นครูและนักเรียนร่วมกัน อภปิ รายเพ่ือสรุปแนวคิดในการไดม้ าซึ่งค�ำ ตอบ 4. ส�ำ หรบั “กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 : อยูต่ รงไหนบา้ ง” ไม่ตอ้ งการใหน้ ักเรียนระบุได้วา่ รปู สี่เหลี่ยมดา้ นขนานท่ซี อ่ นอยู่ ในรูปนี้มีท้ังหมดกี่รูปหรือระบุได้ด้วยการวัด ครูควรให้นักเรียนอภิปรายถึงเหตุผลที่ได้มาซ่ึงคำ�ตอบ ทั้งน้ี นักเรียนสามารถระบุชือ่ ของรปู สเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานได้หลายรูป ขึ้นอยูก่ ับพ้นื ฐานความรู้ท่ีนักเรียนม ี ครูควรพจิ ารณา ความสมเหตุสมผลของค�ำ ตอบและแนวคดิ ท่นี กั เรยี นนำ�เสนออย่างถถ่ี ว้ น หมายเหตุ ครูอาจให้นกั เรียนทำ�กิจกรรมเป็นรายบุคคล หรอื เปน็ คู่ หรอื เปน็ กลุ่ม ขน้ึ อยู่กบั บรบิ ทของหอ้ งเรยี น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี