(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.2

200 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คมู่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.2 : อยตู่ รงไหนบา้ ง D FC H 35° G AE 55° B จากรูป กำ�หนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้นักเรียนหาว่า มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซ่อนอยู่ ตรงไหนบ้าง พรอ้ มทัง้ บอกเหตผุ ลในการระบวุ ่ารปู นน้ั เปน็ รูปส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน สรปุ คำ�ตอบ นกั เรยี นสามารถหารปู สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนานได้ รปู ได้แก่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 201 เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.2 : อยตู่ รงไหนบ้าง D FC 35° H G AE 55° B จากรูป กำ�หนดให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า ให้นักเรียนหาว่า มีรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานซ่อนอยู่ ตรงไหนบา้ ง พรอ้ มทงั้ บอกเหตผุ ลในการระบวุ ่ารูปน้นั เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มด้านขนาน สรุปค�ำ ตอบ นกั เรยี นสามารถหารูปสีเ่ หลี่ยมดา้ นขนานได ้ 4 รูป ไดแ้ ก่ ■ABCD ■EBFD, ■AECF และ ■GEHF แนวคิด 1) ■ABCD เปน็ รูปสีเ่ หลย่ี มด้านขนาน เนือ่ งจาก ■ABCD เป็นรปู สี่เหลยี่ มผนื ผ้า 2) ■EBFD เป็นรูปสีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน จาก ∆ADE จะได ้ 90 + 35 + DˆEA = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมุมของรูปสามเหลยี่ มรวมกัน เทา่ กบั 180°) ดงั นนั้ DˆEA = 55° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) เนือ่ งจาก 55 + DˆEB = 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได ้ DˆEB = 125° (สมบัติของการเทา่ กัน) เน่อื งจาก DˆEB + FˆBE = 125 + 55 = 180° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) จะไดว้ ่า DE // FB (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนึง่ ตดั เส้นตรงคหู่ นง่ึ ท�ำ ใหข้ นาดของ มุมภายในท่ีอยบู่ นข้างเดยี วกันของเส้นตดั รวมกนั เท่ากับ 180° แลว้ เส้นตรงค่นู ้นั ขนานกนั ) เน่อื งจาก EB // DF (EB เป็นส่วนหนึง่ ของ AB และ DF เปน็ สว่ นหน่งึ ของ DC ซ่ึง AB // DC) ดงั นั้น ■EBFD เปน็ รปู สี่เหลีย่ มด้านขนาน (มีด้านตรงข้ามขนานกนั สองคู)่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

202 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 3) ■AECF เปน็ รูปสีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน เนือ่ งจาก CˆBF = 90 – 55 = 35° (มมุ ภายในแต่ละมุมของรปู สเี่ หลีย่ มผืนผ้ามีขนาด 90° และก�ำ หนดให ้ EˆBF = 55°) พจิ ารณา ∆EAD และ ∆FCB AˆDE = CˆBF = 35° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) AD = CB (ดา้ นตรงข้ามของรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ ยาวเทา่ กัน) (มมุ ภายในแต่ละมุมของรปู สี่เหล่ียมผนื ผ้ามีขนาด 90°) ดงั นัน้ DˆAE = BˆCF = 90° (ม.ด.ม.) ∆EAD ≅ ∆FCB จะได ้ AE = CF (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลยี่ มทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) AB = CD (ด้านตรงขา้ มของรูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผ้ายาวเท่ากนั ) จะได้ AE + EB = CF + FD (สมบัติของการเทา่ กนั ) ดงั นั้น EB = FD (AE = CF จากการพิสูจนข์ ้างต้น และสมบตั ขิ อง การเท่ากัน) พิจารณา ∆AFD และ ∆CEB FD = EB (จากการพสิ ูจน์ขา้ งตน้ ) (มมุ ภายในแตล่ ะมุมของรูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผ้ามีขนาด 90°) FˆDA = EˆBC AD = CB (ดา้ นตรงขา้ มของ รูปส่เี หลีย่ มผืนผ้ายาวเท่ากัน) ดงั น้ัน ∆AFD ≅ ∆CEB (ด.ม.ด.) จะได้ AF = CE (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลยี่ มทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) จะไดว้ ่า ■AECF เปน็ รปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน (มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากนั สองค่)ู 4) ■GEHF เป็นรปู ส่เี หล่ยี มด้านขนาน เนอื่ งจาก GE // FH (จากขอ้ 2) พสิ ูจนแ์ ลว้ วา่ ■EBFD เปน็ รูปสี่เหล่ยี มด้านขนาน และ GE เป็นส่วนหน่งึ ของ DE FH เปน็ สว่ นหน่ึงของ FB ซึ่ง DE // FB) และ GF // EH (จากขอ้ 3) พสิ ูจนแ์ ลว้ ว่า ■AECF เปน็ รปู สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน และ GF เป็นสว่ นหนง่ึ ของ AF EH เปน็ สว่ นหน่ึงของ EC ซึ่ง AF // EC) ดงั นนั้ ■GEHF เป็นรปู สี่เหล่ียมด้านขนาน (มีด้านตรงขา้ มขนานกนั สองคู)่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 203 แบบฝกึ หัด 3.2 ก เฉลยแบบฝึกหัด 1. แนวคดิ M BA NF MˆAB = AˆBN เพราะว่า �BN // �MF และมี AB เปน็ เส้นตัด ท�ำ ให้มมุ แย้งมขี นาดเท่ากนั 2. แนวคดิ B ME Y AK N MˆEA = EˆAK (�EM // �KY และม ี �BN เป็นเส้นตดั ท�ำ ใหม้ มุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) EˆAK = YˆAN (�BN ตดั กบั �KY ทำ�ให้มมุ ตรงขา้ มมขี นาดเท่ากนั ) จะได้ MˆEA = YˆAN (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ดังนนั้ MˆEA = EˆAK = YˆAN (สมบตั ิของการเท่ากัน) 3. แนวคดิ D E A 54° O CB เน่ืองจาก AˆOC + CˆOB = 180° (ขนาดของมมุ ตรง) จะได้ CˆOB = 180 – 54 = 126° (AˆOC = 54°) ดังน้ัน OˆBE = 126° (CD // BE และมี AB เปน็ เสน้ ตัด ทำ�ใหม้ ุมแย้งมี ขนาดเทา่ กัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

204 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 4. แนวคดิ A 7 6° B 55° D E C เน่อื งจาก 55 + BˆCD = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัดท่ตี ัดเสน้ ขนาน รวมกนั เท่ากบั 180°) จะได ้ BˆCD = 125° (สมบัตขิ องการเท่ากัน) เน่ืองจาก 125 + DˆCE = 180 (ขนาดของมมุ ตรง) จะได้ DˆCE = 55° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) เนื่องจาก AˆCD = 76° (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) ดังน้นั AˆCE = AˆCD + DˆCE = 76 + 55 = 131° 5. แนวคิด A B 115° C 105° F ED ลาก �CF ให้ขนานกับ �BA จะได ้ �CF ขนานกบั �DE ดว้ ย (สมบัติถา่ ยทอดของการขนาน) เนอ่ื งจาก BˆCF + 115 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยู่บนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตัดทตี่ ดั เส้นขนาน รวมกนั เท่ากับ 180°) ดงั นน้ั BˆCF = 65° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) เน่อื งจาก BˆCF + FˆCD = 105° (กำ�หนดให้) จะได ้ 65 + FˆCD = 105 (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) FˆCD = 40° (สมบัติของการเท่ากนั ) เนื่องจาก FˆCD = CˆDE (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตัด แลว้ มมุ แย้งมีขนาดเทา่ กนั ) นั่นคอื CˆDE = 40° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 205 6. แนวคดิ A B DC E กำ�หนดให้ AB // CD และ BC // DE ต้องการพสิ จู น์ว่า AˆBC = CˆDE พสิ จู น ์ เนอ่ื งจาก AB // CD (ก�ำ หนดให้) จะได้ AˆBC = BˆCD (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) เน่อื งจาก BC // DE (กำ�หนดให)้ (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตัด แลว้ มมุ แย้งมีขนาดเท่ากนั ) จะได้ BˆCD = CˆDE ดงั น้ัน AˆBC = CˆDE (สมบัติของการเท่ากนั ) 7. แนวคดิ PR AC B QS ก�ำ หนดให้ PQ // RS โดยม ี AC ตัด PQ และ RS ทจี่ ุด A และจุด B ตามล�ำ ดับ ตอ้ งการพิสจู นว์ ่า PˆAC = RˆBC พิสูจน ์ เนอ่ื งจาก PQ // RS (กำ�หนดให้) จะได ้ PˆAC = AˆBS (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเส้นตดั แล้วมมุ แย้งมีขนาดเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก AˆBS = RˆBC (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตัดกัน แลว้ มุมตรงข้ามมขี นาดเท่ากนั ) ดงั นั้น PˆAC = RˆBC (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

206 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 C 8. แนวคดิ D AE B F ก�ำ หนดให ้ ABCD เปน็ รูปส่ีเหลยี่ มดา้ นขนาน E เปน็ จุดกึ่งกลางของ AB และสว่ นตอ่ ของท้ัง DE และ CB ตดั กนั ท่จี ุด F ตอ้ งการพิสจู นว์ า่ DE = FE พิสจู น ์ พิจารณา ∆AED และ ∆BEF เนื่องจาก AD // BC (ด้านตรงขา้ มของรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน) (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเสน้ ตัด แลว้ มุมแย้งมขี นาดเท่ากนั ) จะได้ DˆAE = FˆBE AE = BE (E เปน็ จดุ ก่งึ กลางของ AB) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเทา่ กนั ) AˆED = BˆEF (ม.ด.ม.) ดงั นั้น ∆AED ≅ ∆BEF จะได ้ DE = FE (ด้านคูท่ ส่ี มนยั กันของรูปสามเหลี่ยมทีเ่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเท่ากนั ) แบบฝึกหัด 3.2 ข 1. AE 1) BC เน่อื งจาก EˆAC = AˆCB (กำ�หนดให)้ และเน่อื งจาก EˆAC และ AˆCB เปน็ มุมแย้งกัน �AE // BC ดังนนั้ (ถา้ เส้นตรงเสน้ หนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนงึ่ ท�ำ ให้มมุ แย้งมขี นาด เทา่ กัน แล้วเส้นตรงคนู่ ้นั ขนานกนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 207 B 2) A D CN M เน่อื งจาก AˆDC = BˆCN (กำ�หนดให)้ และ BˆCN = DˆCM (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แลว้ มุมตรงขา้ มมีขนาดเทา่ กนั ) จะได ้ AˆDC = DˆCM (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) และเน่ืองจาก AˆDC และ DˆCM เป็นมุมแยง้ กนั AD // �BM ดงั นน้ั (ถา้ เส้นตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคู่หน่ึง ท�ำ ใหม้ ุมแยง้ มขี นาดเท่ากนั แลว้ เสน้ ตรงคู่น้ันขนานกัน) 3) S R 110° 100° 110° 100° P Q เนอ่ื งจาก �SR และ �PQ มี �SP เป็นเส้นตัด ท�ำ ใหม้ ุมแย้งมีขนาดเทา่ กัน คือ 110° �SR // �PQ ดังนั้น หรือเนอื่ งจาก �SR และ �PQ ม ี �RQ เป็นเสน้ ตดั ท�ำ ใหม้ มุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั คือ 100° �SR // �PQ ดังน้ัน 4) E 40° D C 30° 40° B A ไมม่ สี ่วนของเส้นตรงคใู่ ดขนานกัน เพราะไม่มีมมุ แย้งคูใ่ ดมีขนาดเท่ากนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

208 บทที่ 3 | เส้นขนาน ค่มู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 2. แนวคดิ E 38° y° 82° A B C 38° x° D F เน่ืองจาก AˆEC = EˆCF = 38° (ก�ำ หนดให้) ดังนัน้ AB // CD (ถา้ เสน้ ตรงเส้นหน่งึ ตดั เส้นตรงคู่หน่งึ ท�ำ ให้มุมแยง้ มีขนาดเทา่ กัน แลว้ เส้นตรงคู่นัน้ ขนานกนั ) จะได ้ x + 82 = 180 (ขนาดของมุมภายในท่อี ยู่บนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตดั ทต่ี ัดเสน้ ขนาน รวมกนั เทา่ กบั 180°) ดังน้นั x = 98 (สมบัติของการเท่ากนั ) เนื่องจาก 38 + y + 82 = 180 (ขนาดของมมุ ตรง) จะได ้ y = 60 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) 3. แนวคดิ CB O AD ก�ำ หนดให้ AB และ CD แบ่งครึ่งซง่ึ กันและกนั ที่จดุ O ต้องการพสิ จู น์วา่ AD = BC และ AD // BC พสิ จู น์ พิจารณา ∆AOD และ ∆BOC AO = BO (AB และ CD แบ่งคร่ึงซงึ่ กันและกันทจี่ ดุ O) (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ตัดกัน แลว้ มุมตรงข้ามมขี นาดเทา่ กนั ) AˆOD = BˆOC DO = CO (AB และ CD แบ่งคร่งึ ซึ่งกนั และกันท่จี ุด O) (ด.ม.ด.) ดังนน้ั ∆AOD ≅ ∆BOC จะได ้ AD = BC (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) และจะได ้ AˆDO = BˆCO (มมุ คทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก AˆDO และ BˆCO เป็นมมุ แยง้ กนั ดังนนั้ AD // BC (ถา้ เสน้ ตรงเส้นหนึง่ ตัดเส้นตรงคหู่ นึ่ง ท�ำ ใหม้ ุมแย้งมีขนาดเท่ากนั แล้วเส้นตรงคนู่ ั้นขนานกนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 209 E 4. แนวคดิ C A1 352 4D B ก�ำ หนดให้ CˆAB = EˆBD และ AˆBC = BˆDE หรอื ˆ1 = ˆ2 และ ˆ3 = ˆ4 ต้องการพสิ จู นว์ า่ AC // BE และ BC // DE พสิ ูจน ์ ˆ3 + ˆ5 + ˆ2 = 180° (ขนาดของมุมตรง) ˆ1 = ˆ2 (กำ�หนดให้) จะได้ ˆ3 + ˆ5 + ˆ1 = 180° (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก ˆ3 + ˆ5 และ ˆ1 เป็นมมุ ภายในทีอ่ ยู่บนขา้ งเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเสน้ ตรงคูห่ นึง่ ดังน้ัน AC // BE (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หน่ึง ทำ�ให้ขนาดของมุมภายใน ที่อยู่บนขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั รวมกันเท่ากบั 180° แล้วเสน้ ตรง คู่นัน้ ขนานกนั ) ในท�ำ นองเดียวกันจะพสิ จู นไ์ ด้ว่า BC // DE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

210 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน ค่มู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 3.3 เสน้ ขนานและมุมภายนอกกบั มมุ ภายใน (3 ชว่ั โมง) จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. บอกไดว้ า่ มมุ คู่ใดเปน็ มมุ ภายนอกและมุมภายในทอ่ี ย่ตู รงขา้ มบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัด เมือ่ ก�ำ หนดใหเ้ ส้นตรง เส้นหน่งึ ตัดเส้นตรงคูห่ นงึ่ 2. บอกได้วา่ เมอ่ื เส้นตรงเสน้ หน่งึ ตดั เสน้ ตรงคู่หน่งึ เส้นตรงคู่นน้ั ขนานกัน ก็ตอ่ เมอื่ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั มีขนาดเท่ากนั และนำ�สมบตั ินไี้ ปใช้ ความเข้าใจท่คี ลาดเคลอ่ื น - สื่อทแ่ี นะน�ำ ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ 1. อปุ กรณข์ องกจิ กรรม : สำ�รวจมุมภายนอกและมุมภายใน 2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ในหวั ขอ้ นเี้ ปน็ เรอื่ งเกย่ี วกบั เสน้ ขนานและมมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน มงุ่ เนน้ ใหน้ กั เรยี นตรวจสอบการขนานกนั ของเสน้ ตรง สองเส้นได้ โดยใช้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ผ่านการให้เหตุผลและการใช้ความรู้ เก่ียวกับเส้นขนาน ขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด หรือขนาดของมุมแย้ง นอกจากนี้นักเรียนยังได้เห็น การพสิ จู นส์ มบตั ขิ องเสน้ ขนานและมมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน ซง่ึ สามารถน�ำ สมบตั นิ ไี้ ปใชเ้ ปน็ พนื้ ฐานในการใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ ต่อไป แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรียนรูอ้ าจท�ำ ไดด้ งั น้ี 1. ครูควรให้นักเรียนพิจารณารูปเส้นตัดตัดเส้นตรงสองเส้น ในหนังสือเรียน หน้า 153 เพื่อให้นักเรียนได้รู้จักว่า มมุ คู่ใดบ้างทเี่ ปน็ มุมภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยูต่ รงขา้ มบนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตดั 2. ครูใช้ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจมุมภายนอกและมุมภายใน” ในหนงั สือเรยี น หน้า 153–155 ให้นักเรยี นได้ลงมือปฏิบัติ กิจกรรม โดยนักเรียนต้องเขียนเส้นตัดและระบุว่ามุมคู่ใดบ้างท่ีเป็นมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกนั ของเสน้ ตดั พรอ้ มทั้งวัดขนาดของมุมเหลา่ นน้ั จากน้ันครูเน้นให้นกั เรยี นสังเกตผลที่ได้จากกิจกรรม ข้อ 1 และข้อ 2 แล้วสร้างข้อความคาดการณ์โดยใช้ภาษาของตนเอง ซ่ึงครูอาจยกตัวอย่างท่ีหลากหลาย โดยดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 153 เพื่อแสดงให้นักเรียนสังเกตเพิ่มเติม จากนั้นครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเพื่อสรุปว่าข้อความคาดการณ์ท่ีได้สอดคล้องกับสมบัติของเส้นขนานที่ว่า “ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เสน้ ตดั มีขนาดเท่ากนั ” สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 211 ในการท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจมมุ ภายนอกและมมุ ภายใน” ข้างตน้ น้ี ครสู ามารถใหน้ กั เรยี นปฏิบตั ิกจิ กรรม ผา่ นซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad แทนการท�ำ กจิ กรรมลงในหนงั สอื เรยี น เนอื่ งจากชว่ ยใหป้ ระหยดั เวลาในการท�ำ กจิ กรรม และสามารถปรบั เปลย่ี นลกั ษณะของเสน้ ตรงหรอื มมุ ไดห้ ลากหลาย โดยครดู าวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนังสอื เรียน หน้า 153 แลว้ ให้นกั เรียนสงั เกตผลที่ไดจ้ ากการท�ำ กจิ กรรม โดยปรบั เปลย่ี น �AB หรอื �CD หรอื เสน้ ตัด XY ทำ�ให้ข้อความคาดการณ์ทีส่ รา้ งมีความนา่ เชอ่ื ถือมากข้นึ หลงั จากทนี่ กั เรยี นไดข้ อ้ ความคาดการณซ์ ง่ึ เปน็ ไปตามทฤษฎบี ท “ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แล้วมุมภายนอกและมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัดมีขนาดเทา่ กัน” แลว้ ครแู ละนักเรียนควร ช่วยกันพิสูจน์ทฤษฎีบทเพ่ือให้นักเรียนเห็นจริง ซ่ึงวิธีพิสูจน์ท่ีนำ�เสนอในหนังสือเรียนใช้สมบัติของเส้นขนาน เก่ียวกบั มมุ แย้ง ครูอาจแนะน�ำ ใหน้ กั เรียนพสิ จู น์โดยใช้สมบัติของเส้นขนานเกย่ี วกบั ผลรวมของขนาดมุมภายใน ทอ่ี ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด เพ่อื ใหเ้ หน็ ความหลากหลายของวธิ กี ารพสิ ูจนก์ ไ็ ด ้ ดังการพิสจู นต์ อ่ ไปนี้ E A 12 B 34 56 D C 78 F กำ�หนดให้ �AB // �CD ม ี �EF เป็นเส้นตดั ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ ˆ1 = ˆ5 , ˆ2 = ˆ6 , ˆ7 = ˆ3 และ ˆ8 = ˆ4 พิสูจน์ เน่อื งจาก �AB // �CD (กำ�หนดให)้ จะได้ ˆ5 + ˆ3 = 180° (ขนาดของมมุ ภายในที่อยู่บนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัดทตี่ ัดเส้นขนาน รวมกนั เท่ากบั 180°) เนอื่ งจาก ˆ1 + ˆ3 = 180° (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ1 + ˆ3 = ˆ5 + ˆ3 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) ดงั นั้น ˆ1 = ˆ5 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) การพิสจู น์วา่ ˆ2 = ˆ6 , ˆ7 = ˆ3 และ ˆ8 = ˆ4 อาจให้นกั เรียนลองพสิ จู นโ์ ดยใช้สมบัติดงั ตวั อยา่ งขา้ งตน้ กไ็ ด้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

212 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 3. ครรู ว่ มอภปิ รายกบั นกั เรยี นวา่ ในการตรวจสอบการขนานกนั ของเสน้ ตรงสองเสน้ นอกจากจะพจิ ารณาจากขนาด ของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดและขนาดของมุมแย้งแล้ว ยังสามารถพิจารณาจากขนาดของ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดได้ ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีบท “ถ้าเส้นตรง เส้นหน่ึงตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ�ให้มุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาด เทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ น้ั ขนานกนั ” และอธบิ ายเพม่ิ เตมิ วา่ ทฤษฎบี ทนเ้ี ปน็ บทกลบั ของทฤษฎบี ท “ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน” จากนั้นร่วมกันพิสูจน์ทฤษฎีบทเพื่อให้นักเรียนเห็นจริง ซึ่งวิธีพิสูจน์ที่นำ�เสนอในหนังสือเรียนใช้ผลรวมของ ขนาดมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ครูอาจแนะนำ�ให้นักเรียนพิสูจน์โดยใช้สมบัติของเส้นขนาน เกยี่ วกับมมุ แย้ง เพอ่ื ให้เหน็ ความหลากหลายของวธิ ีการพิสูจน์กไ็ ด้ ดงั การพิสจู น์ตอ่ ไปนี้ X AB M CN D Y กำ�หนดให้ �XY ตัด �AB และ �CD ทจี่ ุด M และ N ตามล�ำ ดบั ท�ำ ให้ AMˆX = CˆNM ตอ้ งการพิสจู นว์ ่า �AB // �CD พสิ จู น์ เน่อื งจาก AMˆX = BMˆN (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กนั แลว้ มมุ ตรงขา้ มมขี นาดเทา่ กนั ) และ AMˆX = CˆNM (ก�ำ หนดให้) จะได ้ BMˆN = CˆNM (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) เน่อื งจาก ดงั น้ัน BMˆN และ CˆNM เปน็ มุมแย้งทมี่ ขี นาดเทา่ กัน �AB // �CD (ถ้าเสน้ ตรงเส้นหน่ึงตดั เสน้ ตรงคหู่ น่งึ ทำ�ให้มมุ แย้ง มขี นาดเทา่ กนั แลว้ เส้นตรงคูน่ ัน้ ขนานกนั ) 4. ครูอาจใช้ชวนคิด 3.3 ในหนังสือเรียน หน้า 162 ให้นักเรียนฝึกแก้ปัญหาโดยใช้สมบัติของเส้นขนานท่ีได้เรียน มาแล้ว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 213 กจิ กรรม : ส�ำ รวจมมุ ภายนอกและมุมภายใน กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมท่ีต้องการให้นักเรียนสำ�รวจมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด โดยนกั เรยี นตอ้ งเขยี นเส้นตดั ระบแุ ละวดั ขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน เพื่อสงั เกตและสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์เกี่ยวกบั ขนาดของมมุ ภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยตู่ รงขา้ มบนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั โดยมสี อื่ /อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดงั น้ี สือ่ /อปุ กรณ์ 1. ไมบ้ รรทัด 2. โพรแทรกเตอร์ ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูทบทวนมมุ ภายนอกและมุมภายในทอ่ี ยูต่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัด โดยครอู าจเขยี นเสน้ ตดั XY ตัด �AB และ �CD โดยให้จุด M และจุด N เป็นจุดตัดบน �AB และ �CD ตามลำ�ดับ และให้นักเรียนช่วยกันตอบว่า มมุ คใู่ ดบ้างทเี่ ปน็ มุมภายนอกและมุมภายในทอ่ี ยูต่ รงขา้ มบนข้างเดียวกันของเส้นตัด 2. ครใู หน้ ักเรยี นท�ำ กจิ กรรมข้อ 1 และขอ้ 2 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 153–155 โดยให้นักเรียนเขียนเส้นตดั XY ให้เอยี ง ทำ�มุมในแนวใดก็ได้ตามใจชอบ จากน้ันให้นักเรียนระบุว่า มุมคู่ใดบ้างที่เป็นมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้าม บนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตดั วัดขนาดของมุมเหลา่ น้ี และเติมลงในตารางให้สมบูรณ์ 3. ครูให้นักเรียนสังเกตตารางท่ีได้ในข้อ 1 และข้อ 2 แล้วสร้างข้อความคาดการณ์เก่ียวกับขนาดของมุมภายนอกและ มุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดกับการขนานกันของเส้นตรงคู่นั้น เมื่อกำ�หนดเส้นตรงคู่หน่ึงมาให้ ด้วยภาษาของตนเอง 4. ครูให้นักเรียนนำ�เสนอข้อความคาดการณ์ที่ได้ จากนั้นครูอาจยกตัวอย่างเพ่ิมเติมจากกิจกรรมท่ีนักเรียนทำ�ลงใน หนังสือเรียนหลาย ๆ ตัวอย่าง เพื่อให้นักเรียนเห็นจริงว่า ไม่ว่าเส้นตัด XY จะเอียงทำ�มุมในแนวใด ผลท่ีได้ยังคง เหมอื นเดิม หรอื ครอู าจดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หนา้ 153 เพ่อื แสดงตัวอย่างหรอื ให้นักเรียนได้สำ�รวจเพิ่มเติม เพื่อสรุปว่าข้อความคาดการณ์ที่ได้สอดคล้องกับสมบัติของเส้นขนานท่ีว่า “ถ้าเส้นตรง สองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ” หมายเหตุ ครอู าจใหน้ กั เรียนท�ำ กิจกรรมเปน็ รายบุคคล หรือเปน็ คู่ หรอื เป็นกลุม่ ขึ้นอย่กู ับบริบทของห้องเรยี น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

214 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจมมุ ภายนอกและมุมภายใน 1. ในแต่ละขอ้ ก�ำ หนดให้ �AB และ �CD ไมข่ นานกนั ใหน้ กั เรียนเขยี นเสน้ ตัด XY ตดั �AB และ �CD โดยให้ จุด M และ จดุ N เปน็ จดุ ตดั บน �AB และ �CD ตามล�ำ ดบั จากนน้ั ใหร้ ะบวุ า่ มมุ คใู่ ดบา้ งทเ่ี ปน็ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ ม บนข้างเดยี วกันของเส้นตัด พรอ้ มท้งั วัดขนาดของมมุ เหลา่ นน้ั แลว้ เตมิ ลงในตารางให้สมบรู ณ์ 1) ตวั อย่าง มมุ ช่ือมุม ขนาดของมุม X B มมุ ภายนอก AMˆX 92° AM คู่ท่ี 1 CˆNM 75° BMˆX 88° C ND มมุ ภายใน DˆNM 105° Y มุมภายนอก CˆNY 105° คทู่ ่ี 2 AMˆN 88° มมุ ภายใน DˆNY 75° มุมภายนอก BMˆN 92° คู่ท่ี 3 มุมภายใน มมุ ภายนอก ค่ทู ่ี 4 มมุ ภายใน 2) ตัวอยา่ ง A X มมุ ช่ือมมุ ขนาดของมุม M C มมุ ภายนอก AMˆX 111° N B คู่ที่ 1 CˆNM 101° BMˆX 69° Y D มุมภายใน DˆNM 79° มุมภายนอก CˆNY 79° คู่ท่ี 2 AMˆN 69° มุมภายใน DˆNY 101° มมุ ภายนอก BMˆN 111° คูท่ ่ี 3 มุมภายใน มุมภายนอก คู่ท่ี 4 มมุ ภายใน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 215 2. ในแตล่ ะข้อกำ�หนดให้ �AB และ �CD ขนานกนั ใหน้ กั เรียนเขยี นเสน้ ตัด XY ตัด �AB และ �CD โดยให้ จดุ M และจดุ N เป็นจุดตัดบน �AB และ �CD ตามลำ�ดับ จากน้ันให้ระบุว่า มุมคู่ใดบ้างท่ีเป็นมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั พรอ้ มท้งั วดั ขนาดของมุมเหลา่ นั้น แล้วเตมิ ลงในตารางให้สมบรู ณ์ 1) ตัวอยา่ ง มมุ ชื่อมุม ขนาดของมุม X มมุ ภายนอก AMˆX 129° A MB คทู่ ่ี 1 CˆNM 129° BMˆX 51° CN D มมุ ภายใน DˆNM 51° Y มมุ ภายนอก CˆNY 51° คทู่ ี่ 2 AMˆN 51° มุมภายใน DˆNY 129° มุมภายนอก BMˆN 129° คู่ท่ี 3 มมุ ภายใน มมุ ภายนอก ค่ทู ่ี 4 มมุ ภายใน 2) ตัวอยา่ ง B มมุ ชอื่ มมุ ขนาดของมุม X มุมภายนอก AMˆX 85° AM ค่ทู ่ี 1 CˆNM 85° BMˆX 95° ND มุมภายใน DˆNM 95° CY มมุ ภายนอก CˆNY 95° ค่ทู ี่ 2 AMˆN 95° มมุ ภายใน DˆNY 85° มมุ ภายนอก BMˆN 85° คูท่ ่ี 3 มุมภายใน มุมภายนอก คูท่ ี่ 4 มมุ ภายใน 3. จากตารางในข้อ 1 และข้อ 2 ให้นักเรียนสังเกตและสร้างข้อความคาดการณ์เก่ียวกับขนาดของมุมภายนอกและ ขนาดของมุมภายในที่อยตู่ รงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัด กบั การขนานกันของเส้นตรงคูน่ ัน้ ตวั อยา่ งค�ำ ตอบ ✤ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ มุมภายนอกและมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงขา้ ม บนขา้ งเดียวกันของเส้นตดั มีขนาดเท่ากัน ✤ ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นไมข่ นานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในที่อยู่ตรงข้าม บนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัดมีขนาดไม่เทา่ กนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

216 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คู่มือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยชวนคิด ชวนคิด 3.3 แนวคิดในการหาคำ�ตอบขอ้ นมี้ ไี ดห้ ลากหลาย นกั เรยี นอาจจะใชส้ มบตั ขิ องเสน้ ขนานเก่ียวกบั มุมภายในทอี่ ยู่ ipst.me/10079 บนข้างเดยี วกันของเส้นตัด มุมแย้ง มมุ ภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตัด หรือ ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลย่ี ม ประกอบการหาค�ำ ตอบ A a° t° B X u° Y P 15° Q M b° v° N E c° F w° d° C 75° D ลาก XY, PQ, MN และ EF ขนานกับ AB ดงั รูป เน่ืองจาก AB // XY (จากการสร้าง) จะได้ t = 15 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนื่องจาก XY // PQ (จากการสรา้ ง และสมบตั ถิ ่ายทอดของการขนาน) จะได้ u = t + a = 15 + a (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก PQ // MN (จากการสร้าง และสมบตั ิถ่ายทอดของการขนาน) จะได ้ v = u + b = 15 + a + b (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตดั แลว้ มุมภายนอก และมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนื่องจาก MN // EF (จากการสรา้ ง และสมบตั ิถ่ายทอดของการขนาน) จะได้ w = v + c = 15 + a + b + c (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตดั แล้วมุมภายนอก และมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก EF // CD (จากการสรา้ ง และสมบตั ิถ่ายทอดของการขนาน) จะได้ w + d = 75 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั นน้ั 15 + a + b + c + d = 75 (สมบัติของการเท่ากนั ) นนั่ คือ a + b + c + d = 60 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 217 แบบฝึกหัด 3.3 ก เฉลยแบบฝึกหดั 1. แนวคิด AP R B QS เนอ่ื งจาก �PQ // �RS และมี AB เปน็ เสน้ ตัด ท�ำ ให้มุมภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ย่ตู รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกันของ จะได ้ เสน้ ตัดมีขนาดเทา่ กนั AˆPQ = AˆRS และ BˆRS = BˆPQ 2. แนวคดิ Q N M L S T K P เนอ่ื งจาก �MN // �KL และมี �PQ เป็นเส้นตัด ท�ำ ใหม้ ุมภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยูต่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของ เสน้ ตัดมขี นาดเทา่ กนั จะได ้ NˆST = LˆTP เนอ่ื งจาก �MN // �KL และมี �PQ เปน็ เส้นตดั ท�ำ ให้มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กัน จะได้ NˆST = SˆTK เนอื่ งจาก �MN ตัดกบั �PQ ท�ำ ใหม้ มุ ตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน จะได ้ NˆST = QˆSM ดงั นัน้ NˆST = LˆTP = SˆTK = QˆSM สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

218 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 3. แนวคิด DF A 118° 66° X YB CE เนือ่ งจาก CD // EF และมี AB เปน็ เส้นตัด จะได ้ 118 = XˆYD + 66 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ ดงั นั้น XˆYD = 52° มุมภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตัดมีขนาดเทา่ กัน) (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) 4. แนวคดิ F A 52° B E 104° H CD ลาก EH ขนานกับ AB จะได้ EH // CD ดว้ ย (สมบัติถ่ายทอดของการขนาน) เนือ่ งจาก AB // EH และมี EF เป็นเส้นตดั จะได ้ AˆEH = 52° (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในทอ่ี ยูต่ รงข้ามบนข้างเดียวกันของเสน้ ตัดมีขนาดเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก AˆEC = 104° (กำ�หนดให้) จะได ้ HˆEC = 104 – 52 = 52° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) เนื่องจาก EH // CD และม ี EC เป็นเส้นตัด จะได ้ HˆEC + EˆCD = 180° (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน ดงั นนั้ รวมกนั เท่ากับ 180°) EˆCD = 180 – 52 = 128° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 219 5. แนวคิด DC 133° B EA เน่อื งจาก DˆAB + 133 = 180 (ขนาดของมุมตรง) (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) จะได้ DˆAB = 47° เน่ืองจาก AD // BC (ด้านตรงขา้ มของรูปส่เี หล่ียมดา้ นขนาน ขนานกัน) (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตดั แล้วมุมภายนอกและ จะได ้ AˆBC = 133° มมุ ภายในท่อี ย่ตู รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตดั มีขนาดเทา่ กนั ) ดงั นัน้ BˆCD = 47° และ CˆDA = 133° (มมุ ตรงข้ามของรปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนาน มขี นาดเท่ากนั ) 6. แนวคดิ D C A (x + 48)° B (2x – 17)° E เนอ่ื งจาก AB // CD ม ี CE เป็นเส้นตัด (ก�ำ หนดให)้ จะได้ 2x – 17 = x + 48 (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มมุ ภายในท่ีอยู่ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัดมีขนาดเท่ากนั ) ดงั นน้ั x = 65 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

220 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 DC แบบฝึกหดั 3.3 ข 1. 1) EA B F เนอื่ งจาก �DF และ BC มี �BE เป็นเส้นตัด แลว้ ทำ�ให้ EˆAD และ AˆBC ซง่ึ เปน็ มมุ ภายนอกและมมุ ภายใน ทอี่ ยตู่ รงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ดังน้นั �DF // BC 2) A M B C N เนอื่ งจาก AB และ MN ม ี BC เป็นเส้นตดั แล้วทำ�ให้ MˆNC และ AˆBC ซึ่งเป็นมมุ ภายนอกและมุมภายใน ทอี่ ย่ตู รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัด มขี นาดเท่ากนั ดังนั้น AB // MN 3) D 44° F B 46° 44° Q P AC E เน่อื งจาก AB และ CD มี PD เป็นเส้นตดั แล้วท�ำ ให้ PˆBA และ BˆDC ซึ่งเป็นมมุ ภายนอกและมมุ ภายใน ท่ีอย่ตู รงข้ามบนขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั มขี นาดเทา่ กนั ดังนนั้ AB // CD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 221 4) NQ 84° 50° 96° F 130° C D E AB PR M เนอ่ื งจาก NˆBC + 130 = 180 (ขนาดของมมุ ตรง) จะได ้ NˆBC = 50° (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) เนือ่ งจาก MN และ PQ ม ี AF เป็นเส้นตดั และ QˆDE = NˆBC จะได้ MN // PQ (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ ท�ำ ใหม้ มุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่ ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ น้ั ขนานกนั ) เน่ืองจาก NˆCD + 84 = 180 (ขนาดของมมุ ตรง) จะได ้ NˆCD = 96° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) เน่อื งจาก NP และ QR มี AF เปน็ เส้นตดั และ QˆEF = NˆCD จะได ้ NP // QR (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ ท�ำ ใหม้ มุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่ ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ น้ั ขนานกนั ) 2. แนวคดิ X P Y AM เนอื่ งจาก �YM // �QR QR จะได้ PˆAM = PˆQR (ก�ำ หนดให้) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายใน เนอื่ งจาก XˆYM = PˆQR ทีอ่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตัด มขี นาดเท่ากัน) (ก�ำ หนดให)้ จะได้ PˆAM = XˆYM (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดงั นัน้ (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ ท�ำ ใหม้ มุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ย่ ู �YX // �QP ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ น้ั ขนานกนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

222 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 E 3. แนวคิด B A DC F ก�ำ หนดให ้ ∆ABC และ ∆DEF เป็นรปู สามเหล่ียมหนา้ จัว่ ม ี AˆBC และ DˆEF เปน็ มุมยอด BˆAC = EˆFD ต้องการพิสูจน์วา่ AB // DE และ BC // EF พิสจู น์ เนอ่ื งจาก ∆ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มหนา้ จั่ว (ก�ำ หนดให)้ จะได ้ BˆAC = BˆCA (มุมท่ฐี านของรูปสามเหลย่ี มหน้าจัว่ มขี นาดเท่ากัน) เนื่องจาก BˆAC = EˆFD (กำ�หนดให)้ จะได้ BˆCA = EˆFD (สมบตั ิของการเทา่ กัน) ดงั นน้ั BC // EF (ถ้าเส้นตรงเสน้ หนึ่งตัดเสน้ ตรงคหู่ นึง่ ทำ�ใหม้ ุมภายนอก และมมุ ภายในทีอ่ ยู่ตรงขา้ มบนข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด มขี นาดเทา่ กัน แล้วเส้นตรงค่นู นั้ ขนานกนั ) ในทำ�นองเดียวกนั จะพสิ ูจนไ์ ด้วา่ AB // DE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 223 3.4 เส้นขนานและรูปสามเหลีย่ ม (4 ชัว่ โมง) จุดประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. บอกไดว้ า่ ถา้ ตอ่ ดา้ นใดดา้ นหนงึ่ ของรปู สามเหลย่ี มออกไป มมุ ภายนอกทเี่ กดิ ขน้ึ จะมขี นาดเทา่ กบั ผลบวกของขนาด ของมมุ ภายในท่ีไม่ใช่มุมประชิดของมมุ ภายนอกนั้น และนำ�สมบตั ินี้ไปใช้ 2. ใช้สมบัติเกี่ยวกับเส้นขนาน ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ียม หรือสมบัติของรูปสามเหลี่ยม ในการให้ เหตผุ ลและแกป้ ญั หา ความเข้าใจท่ีคลาดเคลื่อน - สอื่ ทแ่ี นะนำ�ใหใ้ ช้ในขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเกี่ยวกับเส้นขนานและรูปสามเหล่ียม มุ่งเน้นให้นักเรียนนำ�ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของเส้นขนานมาใช้ ในการพิสูจนท์ ฤษฎีบทอืน่ ๆ ซง่ึ จะเนน้ การใหเ้ หตุผลเกีย่ วกับรปู สามเหลีย่ ม แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจทำ�ได้ดังน้ี 1. ครูทบทวนเร่ืองผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม โดยอาจจัดกิจกรรมให้นักเรียนสังเกตผลจาก การลงมอื ปฏบิ ตั ิ เชน่ 1) ครูอาจให้นักเรียนเขียนรูปสามเหลี่ยมในลักษณะต่าง ๆ กลุ่มละ 3–4 รูป จากน้ันวัดขนาดของมุมภายใน ทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมแตล่ ะรูป และหาผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรูปสามเหล่ยี ม 2) ครูอาจให้นักเรียนตัดหรือพับมุมท้ังสามมุมของกระดาษรูปสามเหลี่ยม เพื่อแสดงผลบวกของขนาดของ มุมภายในทั้งสามมุมของรปู สามเหลี่ยม ดังรปู 3 13 2 12 3) ครอู าจดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพอื่ แสดงผลบวกของขนาดมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มได้ โดยครลู าก จดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มใหร้ ปู สามเหลยี่ มเปลยี่ นรปู รา่ งหรอื เปลยี่ นขนาดไป แลว้ ใหน้ กั เรยี นสงั เกตวา่ ผลบวก ของขนาดของมุมภายในของรปู สามเหลย่ี ม ยงั คงเท่าเดิมและเทา่ กับ 180 องศา ซง่ึ ครูดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP ได้ที่ http://ipst.me/10426 หรือสแกน QR Code สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

224 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน ค่มู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ครคู วรเนน้ ย�ำ้ วา่ ขอ้ คน้ พบหรอื ผลสรปุ ทไ่ี ดจ้ ากการส�ำ รวจตวั อยา่ งหลาย ๆ ตวั อยา่ งอาจเปน็ จรงิ ทกุ กรณหี รอื ไมก่ ไ็ ด้ เพอ่ื เปน็ การยนื ยนั วา่ ผลสรปุ นเ้ี ปน็ จรงิ ครกู บั นกั เรยี นจงึ ควรรว่ มกนั พสิ จู นท์ ฤษฎบี ทนใ้ี หเ้ หน็ จรงิ ดงั การพสิ จู น ์ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 163 2. ครูอาจใช้ชวนคิด 3.4 ในหนังสือเรียน หน้า 163 เพื่อขยายความคิดจากผลบวกของขนาดของมุมภายในของ รูปสามเหลีย่ ม หากนักเรียนไม่สามารถหาค�ำ ตอบได้ ครูสามารถดาวน์โหลดไฟล์ GSP และใหน้ ักเรียนสืบเสาะ ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในของรปู n เหลย่ี ม เพื่อศกึ ษาและหาคำ�ตอบได้ดว้ ยตนเอง 3. ครูจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรื่องขนาดของมุมภายนอกและขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม โดยแนะนำ�ให้ นักเรยี นรูจ้ ักมุมประชิดของรปู สามเหลยี่ มและมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียม กอ่ นรว่ มกันพิสจู นท์ ฤษฎีบท ซ่งึ ครู อาจใช้มุมคณิต ในหนงั สือเรียน หนา้ 164 ในการอธบิ ายเรื่องมมุ ประชดิ ของมุมด้วยก็ได้ 4. ครอู ภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี นถงึ การพสิ จู นท์ ฤษฎบี ททใ่ี ชใ้ นการตรวจสอบความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม สองรปู ทก่ี ลา่ ววา่ “ถา้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู มคี วามสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ –มมุ –ดา้ น (ม.ม.ด.) กลา่ วคอื มมี มุ ทม่ี ขี นาด เทา่ กนั สองค ู่ และดา้ นคทู่ อ่ี ยตู่ รงขา้ มกบั มมุ คทู่ ม่ี ขี นาดเทา่ กนั ยาวเทา่ กนั หนง่ึ ค ู่ แลว้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั เทา่ กนั ทกุ ประการ” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 165 ซง่ึ ใชแ้ นวคดิ ในการพสิ จู นโ์ ดยการใชส้ มบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มทก่ี ลา่ ววา่ “รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี คี วามสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ –ดา้ น–มมุ จะเทา่ กนั ทกุ ประการ เมอ่ื ดา้ นคทู่ ย่ี าวเทา่ กนั อยรู่ ะหวา่ ง มมุ คทู่ ม่ี ขี นาดเทา่ กนั ” จากนน้ั ครคู วรชใ้ี หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ ดา้ นคทู่ ย่ี าวเทา่ กนั จะเปน็ ดา้ นคใู่ ดกไ็ ด ้ ไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งเปน็ ด้านคู่ท่ีอยู่ระหว่างมุมคู่ท่ีมีขนาดเท่ากัน แต่ต้องเป็นด้านคู่ท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ท่ีมีขนาดเท่ากัน ทำ�ให้ได้ว่า รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี คี วามสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ –ดา้ น–มมุ ยอ่ มมคี วามสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ –มมุ –ดา้ น ดว้ ย 5. ครชู ใ้ี หน้ กั เรยี นเหน็ การเชอ่ื มโยงความรใู้ นการน�ำ สมบตั ขิ องเสน้ ขนานมาใชใ้ นการพสิ จู นท์ ฤษฎบี ทอน่ื ๆ ตอ่ เนอ่ื งกนั ดังแผนภูมติ อ่ ไปนี้ สมบัติของเส้นขนานเกยี่ วกบั มมุ แยง้ สมบัตเิ กย่ี วกับผลบวกของขนาดของ มมุ ภายในของรูปสามเหลย่ี ม สมบตั เิ กยี่ วกบั ขนาดของมุมภายนอกและ สมบตั เิ ก่ียวกบั ความเทา่ กนั ทุกประการของ มุมภายในของรูปสามเหลย่ี ม รปู สามเหลีย่ มแบบ ม.ม.ด. ท�ำ ใหไ้ ดว้ า่ ความสมั พนั ธ์แบบ ม.ด.ม. เปน็ ความสมั พนั ธแ์ บบ ม.ม.ด. ดว้ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 225 6. ครูอาจให้นักเรยี นน�ำ ความรู้ที่เรียนในหัวขอ้ นไี้ ปใชแ้ กป้ ัญหาในชวนคิด 3.3 ในหนังสอื เรียน หนา้ 162 เพ่ือเปน็ ทางเลือกอีกวธิ ีหนงึ่ โดยมีแนวคิดดงั นี้ A T B 15° 1 C 2 a° 3 b° 4 c° S 5 d° 75° D R ก�ำ หนดชอ่ื จุด R และ S แล้วต่อ RS ไปตัด AB ทจ่ี ุด T และก�ำ หนดมมุ ˆ1 ถึงมมุ ˆ5 ดังรูป จากรปู จะได้ ˆ1 = 75° (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเท่ากนั ) ดงั นั้น 75 = 15 + ˆ2 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหล่ยี มเท่ากบั = 15 + (a + ˆ3 ) ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไ่ี ม่ใชม่ มุ ประชิด = 15 + a + (b + ˆ4 ) ของมมุ ภายนอกน้นั ) = 15 + a + b + (c +ˆ5 ) = 15 + a + b + c + d (ถา้ เส้นตรงสองเส้นตดั กนั แล้วมมุ ตรงขา้ มมีขนาด เท่ากนั ) น่นั คือ a + b + c + d = 60 7. ครูอาจใช้ชวนคิด 3.5 ในหนังสอื เรียน หนา้ 167 ใหน้ กั เรยี นฝกึ แกป้ ัญหาโดยใชส้ มบัตติ ่าง ๆ ทไ่ี ดเ้ รียนมาแลว้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

226 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยชวนคิด ชวนคิด 3.4 ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม เทา่ กับ (n – 2) × 180 องศา ipst.me/10080 ชวนคดิ 3.5 นกั เรยี นสามารถใช้ขนาดของมุมตรง ขนาดของมุมตรงขา้ ม สมบัตเิ กย่ี วกบั ผลบวกของขนาดของมมุ ภายใน ipst.me/10081 ของรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม สมบัติเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหล่ียม หรือสมบตั อิ ื่น ๆ มาช่วยในการหาคำ�ตอบได้ 22° 64° 86° 36° 26° 72° 26° 72° 68° 112° 68° 118° 72° 46° 50° 62° 44° 40° จากรูปจะได้ m = 26 n = 50 p = 86 q = 22 r = 36 s = 72 t = 118 u = 44 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 227 เฉลยแบบฝกึ หัด แบบฝกึ หัด 3.4 AE 1. แนวคดิ B 64° x°68°C เนื่องจาก BA // CE และม ี BC เปน็ เส้นตัด จะได ้ 64 + (x + 68) = 180 (ขนาดของมุมภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัดท่ตี ดั เส้นขนาน รวมกนั เทา่ กับ 180°) ดงั นน้ั x = 48 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) 2. แนวคดิ EF 46° 128° AB C D เนอ่ื งจาก AˆBE = BˆCF = 128° (ก�ำ หนดให)้ จะได ้ BE // CF (ถ้าเส้นตรงเส้นหน่ึงตดั เสน้ ตรงคู่หนง่ึ ทำ�ให้มุมภายนอกและ มมุ ภายในที่อยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตัดมขี นาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่น้ันขนานกนั ) เนอื่ งจาก CˆEF = 81° (กำ�หนดให้) จะได้ CˆFE + 46 + 81 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยู่บนขา้ งเดียวกันของเส้นตดั ทต่ี ัด เส้นขนานรวมกันเท่ากบั 180°) ดังนัน้ CˆFE = 53° (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

228 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 3. แนวคิด B A x° 106° D C y° E พิจารณา ∆CDE จะได้ 106 = y + 90 (ขนาดของมมุ ภายนอกของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั ผลบวกของ ขนาดของมมุ ภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของมมุ ภายนอกนน้ั ) ดังนน้ั y = 16 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จะได้ AˆCD = 90 – y = 90 – 16 = 74° (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) จะได ้ x = 74 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง มขี นาดเทา่ กัน) ดังนนั้ x + √y = 74 + √16 = 78 4. แนวคิด 120° C y° B x° E 100° D A 130° เนือ่ งจาก DˆAE + 130 = 180 (ขนาดของมุมตรง) (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จะได ้ DˆAE = 50° (ขนาดของมุมภายนอกของรปู สามเหลีย่ มเทา่ กับผลบวกของ พิจารณา ∆ABC ขนาดของมุมภายในท่ีไม่ใช่มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกน้ัน) (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จะได ้ 120 = y + 50 (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ตดั กัน แลว้ มมุ ตรงข้ามมขี นาดเท่ากนั ) ดังนนั้ y = 70 เนือ่ งจาก AˆDE = 100° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 229 พจิ ารณา ∆ADE x = 100 + 50 = 150 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทา่ กบั ผลบวกของ จะได ้ ขนาดของมมุ ภายในท่ีไม่ใชม่ ุมประชดิ ของมมุ ภายนอกนัน้ ) 5. แนวคิด DA E x° y° 54° C B 48° F G เนอื่ งจาก DG // AC และมี EC เป็นเสน้ ตัด (ก�ำ หนดให้) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี ส้นตดั จะได้ x = 54 แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตดั มขี นาดเทา่ กัน) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แลว้ มุมตรงขา้ มมีขนาดเท่ากัน) (ขนาดของมมุ ตรง) (สมบัติของการเท่ากนั ) เนือ่ งจาก AˆBD = FˆBG = 48° และ 54 + 48 + y = 180 จะได ้ y = 78 ดงั นัน้ (x – y)2 = (54 – 78)2 = 576 6. แนวคิด E 44° Y X C4 6D 35 A1 2B 1) เนื่องจาก ∆EAB เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว จะได้ ˆ1 = ˆ2 (มมุ ท่ีฐานของรูปสามเหลย่ี มหน้าจั่วมีขนาดเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก �XY // AB มี AE เป็นเส้นตดั (กำ�หนดให้) จะได ้ ˆ1 = ˆ3 และ ˆ2 = ˆ5 (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตดั แล้วมมุ แย้ง มีขนาดเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

230 บทท่ี 3 | เส้นขนาน ค่มู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 และ ˆ1 = ˆ4 และ ˆ2 = ˆ6 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก ดังน้นั และมมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาด หรือ เท่ากัน) � (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = ˆ4 = ˆ5 = ˆ6 EˆAB = AˆBE = AˆCX = EˆCD = BˆDY = CˆDE 2) เน่ืองจาก ˆ1 + ˆ2 + 44 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เทา่ กบั 180°) และ ˆ1 = ˆ2 (มุมทฐ่ี านของรปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั มขี นาดเท่ากนั ) จะได ้ 2(ˆ1) + 44 = 180 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดงั นัน้ ˆ1 = 68° � (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) หรอื EˆAB = 68° 7. แนวคดิ QD E 120° A 32° C P 28° B เนื่องจาก BˆAC + 28 + 32 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เทา่ กบั 180°) จะได ้ BˆAC = 120° (สมบัติของการเทา่ กัน) ดงั นัน้ PˆAD = 120° (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แล้วมุมตรงข้ามมขี นาดเท่ากนั ) เนอ่ื งจาก EˆPQ = 120° (ก�ำ หนดให)้ จะได้ EˆPQ = PˆAD (สมบตั ิของการเท่ากัน) ดังน้นั �PQ // �BD (ถา้ เส้นตรงเสน้ หนงึ่ ตดั เสน้ ตรงค่หู นึ่ง ทำ�ใหม้ มุ ภายนอกและ มมุ ภายในท่อี ย่ตู รงขา้ มบนขา้ งเดียวกันของเส้นตดั มีขนาดเท่ากัน แลว้ เสน้ ตรงค่นู ้นั ขนานกนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 231 F 8. แนวคิด EA 12 3 4 B C เน่ืองจาก ∆ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่ัว (กำ�หนดให้) จะได้ ˆ3 = ˆ4 (มุมท่ฐี านของรปู สามเหลย่ี มหน้าจั่วมีขนาดเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก �EF // BC (กำ�หนดให)้ จะได้ ˆ3 = ˆ1 และ ˆ4 = ˆ2 (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด แลว้ มมุ แย้งมีขนาดเทา่ กนั ) ดังนน้ั ˆ1 = ˆ2 (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) น่นั คือ BˆAE = CˆAF (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) 9. แนวคิด G D B1 A4 2 5E 3 F CH ก�ำ หนดให้ �CG // �DH, AB = EF และ BC = FD ต้องการพิสูจนว์ ่า AC // DE พสิ จู น์ พิจารณา ∆ABC และ ∆EFD เนอ่ื งจาก AB = EF (กำ�หนดให)้ และ �CG // �DH (ก�ำ หนดให)้ จะได้ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ ˆ1 = ˆ2 มุมภายในท่อี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เน่ืองจาก (ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ตดั กนั แลว้ มมุ ตรงข้ามมีขนาดเทา่ กนั ) จะได้ ˆ1 = ˆ3 (สมบัติของการเทา่ กนั ) ˆ2 = ˆ3 เนือ่ งจาก BC = FD (ก�ำ หนดให้) ดงั นั้น ∆ABC ≅ ∆EFD (ด.ม.ด.) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

232 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 จะได้ ˆ4 = ˆ5 (มมุ ค่ทู ีส่ มนยั กันของรปู สามเหล่ียมทีเ่ ท่ากันทกุ ประการ จะมีขนาดเทา่ กัน) ดงั นนั้ (ถ้าเส้นตรงเส้นหนงึ่ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ ทำ�ให้มมุ แย้งมขี นาดเทา่ กัน AC // DE แล้วเส้นตรงคนู่ ัน้ ขนานกัน) 10. แนวคิด F ขนั้ ท่ี 3 I 77° H 282° ขั้นที่ 2 E D B ขั้นท่ี 1 C 77° พืน้ ดนิ 103° 103° A G ต่อ FE ไปทางจุด E และให้ตัดกับแนวพ้นื ดิน AH ทีจ่ ุด G เนือ่ งจาก GˆAB = 103° และ AˆBC = 77° (กำ�หนดให)้ จะได ้ GˆAB + AˆBC = 103 + 77 = 180° (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) ดังนัน้ BC // AH (ถา้ เส้นตรงเสน้ หน่ึงตัดเส้นตรงคู่หนง่ึ ท�ำ ให้ขนาดของ มมุ ภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกนั เทา่ กบั 180° แล้วเส้นตรงคู่น้นั ขนานกนั ) นน่ั คอื บนั ไดขั้นที่ 1 ขนานกบั พน้ื ดิน (กำ�หนดให)้ (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตัด แลว้ มุมแยง้ มี เนอ่ื งจาก AB // CD และ AˆBC = 77° จะได้ BˆCD = 77° ขนาดเท่ากนั ) เนือ่ งจาก มมุ กลับ CDE = 282° (ก�ำ หนดให้) (มมุ รอบจดุ มขี นาดเทา่ กบั 360°) จะได้ CˆDE = 360 – 282 = 78° และ CˆDE ≠ BˆCD (ถ้าเสน้ ตรงเสน้ หนงึ่ ตดั เสน้ ตรงคู่หน่งึ ทำ�ใหม้ ุมแยง้ มีขนาด ไม่เทา่ กัน แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ้ันไม่ขนานกนั ) ดังนน้ั DE ไม่ขนานกบั BC จะได้วา่ บันไดขน้ั ท่ี 2 ไมข่ นานกับบันไดข้ันท่ี 1 นนั่ คือ บนั ไดขั้นที่ 2 ไม่ขนานกับพืน้ ดนิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 233 เน่อื งจาก AB // GF มี AH เปน็ เสน้ ตดั (ก�ำ หนดให้ และจากการสรา้ ง) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก จะไดว้ า่ HˆGF = 103° และมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาด เทา่ กนั ) (กำ�หนดให้) เนื่องจาก ˆF = 77° (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) จะได้ ˆF + HˆGF = 77 + 103 = 180° ดงั นัน้ FI // AH (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นงึ่ ท�ำ ใหข้ นาดของมมุ ภายใน ท่ีอยู่บนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตัดรวมกนั เทา่ กับ 180° แล้วเสน้ ตรงคูน่ ้นั ขนานกัน) น่นั คือ บันไดขั้นที่ 3 ขนานกับพนื้ ดิน ดงั นัน้ แบบของบันไดท่ีภูรักษ์วาดข้ึนไม่สอดคล้องกับบันไดท่ีภูรักษ์ต้องการสร้าง คือ บันไดขั้นที่ 2 ไม่ขนานกับ พ้ืนดิน ภูรักษ์ต้องแก้ไขแบบของบันไดข้ันท่ี 2 โดยปรับมุมกลับ CDE ให้มีขนาดเท่ากับ 283° เพื่อให้ CˆDE มีขนาดเท่ากับ 77° (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หน่ึงทำ�ให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรง คู่นั้นขนานกัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

234 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 กจิ กรรมท้ายบท : เผยมมุ ให้ชดั กิจกรรมน ้ี เปน็ กจิ กรรมท่เี น้นให้นักเรยี นได้ใชส้ มบัตติ ่าง ๆ ท่ีไดเ้ รียนมาแลว้ มาใหเ้ หตุผลเพือ่ หาขนาดของมมุ ทง้ั หมดใน รปู ท่กี �ำ หนดให ้ ครูอาจให้นักเรียนท�ำ กจิ กรรมนี้นอกเวลาเรียน โดยมีขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดังนี้ ส่อื /อปุ กรณ์ - ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูให้นกั เรยี นแต่ละคนท�ำ “กิจกรรมท้ายบท : เผยมุมให้ชัด” ในหนังสือเรียน หน้า 172 2. ครูให้นักเรียนช่วยกันเฉลยขนาดของมุมแต่ละมุม พร้อมท้ังให้นักเรียนนำ�เสนอเหตุผลสนับสนุนคำ�ตอบของตนเอง ซึง่ เหตผุ ลของนักเรียนอาจแตกตา่ งกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 235 เฉลยกิจกรรมท้ายบท : เผยมุมให้ชดั A 69° 89° 91° 111° 69° 89° 91° 111° 69° B 21° 118° 84° 96° 62° 118° 84° 96° 62° 118° 83° 62° 96° 84° 118° 62° 96° 84° 118° 62° 97° 97° 83° 118° 108° 94° 22° 87° 72° 72° 86° 72° 86° 72° 108° 93° 83° 10° 96° 108° 72° 87° 8846°° 96° 84° 72° 62° 62° 94° 86° 22° 62° 118° 96° 118° 84° 118° 96° 62° 62° 83° 84° 62° 97° 22° 21° 69° 89° 91° 89° 69° 111° 69° D C สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

236 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยแบบฝึกหดั ท้ายบท 1. แนวคดิ B A 22° a° P Q b° x° ลาก �PQ ใหข้ นานกับ �AB จะได้ �PQ // �CD ดว้Cย8 5°(สมบัติถ่ายทอดของDการขนาน) เน่อื งจาก �AB // �PQ และ �PQ // �CD (จากการสร้าง) จะได้ a = 22 และ b = 85 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) ดังน้นั x = a + b = 22 + 85 = 107 2. แนวคดิ Q D 26° E 30° A x° P C (y – 12)° พจิ ารณา ∆PQE BF จะได้ AˆPQ = 30 + 26 = 56° (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทา่ กบั ผลบวกของ ขนาดของมมุ ภายในที่ไม่ใชม่ ุมประชดิ ของมมุ ภายนอกนัน้ ) เนอื่ งจาก �PQ // �BD และมี �EC เปน็ เส้นตดั (กำ�หนดให้) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ จะได้ CˆAD = AˆPQ มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั นั้น x = 56 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) เน่อื งจาก �EC // �BF และมี �BD เปน็ เสน้ ตัด (ก�ำ หนดให้) จะได้ x = y – 12 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) 56 = y – 12 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) ดังนัน้ y = 68 (สมบตั ิของการเทา่ กัน) นนั่ คือ  2 y5–  x = 2  ( 6 8 5)  –  5  6 = 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 237 3. แนวคิด AB เน่ืองจาก 120° D จะได้ (2x + y)° เนอื่ งจาก C (2x – y)° จะได ้ 140° F ดงั นั้น E จาก จะได ้ �AB // �CD และมี AC เปน็ เส้นตัด (ก�ำ หนดให้) (2x + y) + 120 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั ที่ตัดเส้นขนานรวมกันเทา่ กับ 180°) �CD // �EF และมี CE เปน็ เส้นตัด (กำ�หนดให้) (2x – y) + 140 = 180 (ขนาดของมุมภายในทอี่ ยู่บนขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตัด ท่ตี ัดเสน้ ขนานรวมกนั เท่ากบั 180°) (2x + y) + 120 = (2x – y) + 140 (สมบัติของการเท่ากนั ) y = 10 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) (2x + y) + 120 = 180 (2x + 10) + 120 = 180 x = 25 4. แนวคิด D CE (2y – 5)° (3x + 25)° (x + 55)° FA B เนือ่ งจาก ABCD เปน็ รูปสเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน (กำ�หนดให้) �DE // �BF และ AD // BC จะได ้ (ด้านตรงขา้ มของรูปส่เี หลีย่ มด้านขนาน จะขนานกนั ) เนอ่ื งจาก �DE // �BF และม ี BC เป็นเส้นตัด (ก�ำ หนดให้) จะได้ 3x + 25 = x + 55 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั นัน้ x = 15 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) เน่ืองจาก AD // BC และมี �BF เป็นเสน้ ตดั (ก�ำ หนดให)้ จะได้ (2y – 5) + (x + 55) = 180 (ขนาดของมุมภายในทีอ่ ยู่บนข้างเดยี วกนั ของเส้นตัดที่ตัด เสน้ ขนานรวมกนั เทา่ กบั 180°) ( 2y – 5) + (15 + 55) = 180 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดงั นน้ั y = 57.5 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

238 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 5. แนวคิด D C 100° (2x + y)° (5x + y)° B (5x – y)° A เน่ืองจาก AB // CD และม ี AD เปน็ เส้นตัด (กำ�หนดให้) จะได ้ (5x + y) + (5x – y) + 100 = 180 (ขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยูบ่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตดั ทต่ี ดั เสน้ ขนานรวมกนั เทา่ กับ 180°) ดังนั้น x = 8 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) เน่อื งจาก AB // CD และมี AC เปน็ เส้นตดั (กำ�หนดให้) จะได้ 2x + y = 5x – y (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเส้นตดั แล้วมมุ แยง้ มี ขนาดเทา่ กนั ) 2(8) + y = 5(8) – y (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) ดังนน้ั y = 12 (สมบตั ิของการเท่ากัน) 6. แนวคิด H 48° E A n° (5y – 8)° B (2x + 2y)° 32° C F GD จากรปู n = 48 (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แลว้ มมุ ตรงขา้ มมขี นาดเทา่ กัน) เนอื่ งจาก �AB // �CD และม ี �GH เป็นเสน้ ตดั (กำ�หนดให้) (ขนาดของมมุ ภายในทีอ่ ยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด จะได้ (5y – 8) + n = 180 ท่ีตดั เสน้ ขนานรวมกันเทา่ กับ 180°) (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) (สมบัติของการเท่ากัน) (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตดั แล้วมมุ แยง้ มี (5y – 8) + 48 = 180 ขนาดเท่ากนั ) (สมบัตขิ องการเท่ากัน) ดังน้ัน y = 28 (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) เน่ืองจาก 2x + 2y = n + 32 จะได้ 2x + 2(28) = 48 + 32 ดงั น้นั x = 12 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 239 7. แนวคดิ E A1 23 G 4B F 65 พิจารณา ∆AFE และ ∆BGH H เน่อื งจาก AE // HB และม ี AB เปน็ เสน้ ตัด (กำ�หนดให)้ (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด แลว้ มมุ แย้ง จะได ้ ˆ1 = ˆ4 มขี นาดเทา่ กัน) เนือ่ งจาก AF = BG (กำ�หนดให)้ และ FE // HG และม ี AB เปน็ เสน้ ตัด (กำ�หนดให้) จะได้ (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเสน้ ตัด แล้วมุมแย้ง ˆ3 = ˆ6 มีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 2 + ˆ3 = 180° และ ˆ5 + ˆ6 = 180° (ขนาดของมมุ ตรง) จะได ้ ˆ 2 + ˆ3 = ˆ5 + ˆ6 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) ˆ2 = ˆ5 (สมบัติของการเทา่ กัน) ดงั นั้น ∆AFE ≅ ∆BGH (ม.ด.ม.) จะได้ FE = GH (ดา้ นค่ทู ่ีสมนยั กันของรปู สามเหลย่ี มทเี่ ทา่ กันทกุ ประการ จะยาวเท่ากัน) 8. แนวคดิ BD A1 23 4E พจิ ารณา ∆ABC และ ∆CDE C เนอ่ื งจาก AB // CD และม ี AE เปน็ เสน้ ตดั (กำ�หนดให้) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ จะได ้ ˆ1 = ˆ3 มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก AC = CE (จุด C เป็นจดุ กึ่งกลางของ AE) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

240 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 และ CB // ED และม ี AE เปน็ เส้นตัด (กำ�หนดให้) จะได ้ (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ ˆ2 = ˆ4 มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั น้ัน (ม.ด.ม.) ∆ABC ≅ ∆CDE 9. แนวคดิ A 1E B2 34 CD เนื่องจาก ∆ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มหนา้ จวั่ (กำ�หนดให้) จะได ้ ˆ1 = ˆ2 (มุมท่ฐี านของรูปสามเหลยี่ มหนา้ จว่ั มขี นาดเทา่ กัน) เน่อื งจาก �CE // BA ม ี AC และ �BD เปน็ เส้นตัด (ก�ำ หนดให้) จะได้ ˆ1 = ˆ3 (ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี สน้ ตัด แล้วมมุ แย้งมขี นาด เท่ากัน) และ (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ ˆ4 = ˆ2 มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) ดังนน้ั (สมบตั ิของการเทา่ กัน) น่นั คอื ˆ3 = ˆ4 �CE แบ่งคร่ึง AˆCD 10. แนวคดิ A F E BC D จาก ∆ABC จะได ้ ˆA + ˆB + ˆC = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมุมของรูปสามเหลยี่ มรวมกนั เท่ากบั 180°) จาก ∆DEF จะได ้ ˆD + ˆE + ˆF = 180° (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ยี มรวมกนั เท่ากบั 180°) จะได้ ˆA + ˆB + ˆC + ˆD + ˆE + ˆF = 360° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ดงั นน้ั ผลบวกของ ˆA , ˆB , ˆC , ˆD , ˆE และ ˆF ของรปู ดาวหกแฉกน้เี ท่ากับ 360° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 241 11. แนวคิด A4 3 C 1 6 52 B ก�ำ หนดให ้ ∆ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มใดๆ ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ABC รวมกนั เท่ากบั 360° พิสจู น ์ เนอื่ งจาก ˆ1 + ˆ4 = 180° (ขนาดของมมุ ตรง) ˆ2 + ˆ5 = 180° (ขนาดของมมุ ตรง) ˆ3 + ˆ6 = 180° (ขนาดของมุมตรง) จะได ้ ˆ1 + ˆ4 + ˆ2 + ˆ5 + ˆ3 + ˆ6 = 540° (สมบัตขิ องการเท่ากัน) (ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 ) + (ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 ) = 540° (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) เนือ่ งจาก ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมุมของ รปู สามเหลีย่ มรวมกนั ได ้ 180°) จะได้ ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = 360° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดงั น้นั ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ABC รวมกันเท่ากับ 360° 12. แนวคิด จากแนวคิดในขอ้ 11 จะเหน็ วา่ มุมภายนอกแต่ละมุมเป็นมุมประกอบสองมมุ ฉากของมุมภายในแตล่ ะมมุ ทเ่ี ป็นมุมประชิดกนั ดงั น้ันจึงทำ�ให้เกดิ มมุ ตรงท้ังหมด n มมุ นั่นคือ ผลบวกของขนาดของมมุ ภายนอกของรปู n เหล่ยี ม เท่ากับ ผลบวกของขนาดของมุมตรง n มุม ลบดว้ ย ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในของรปู n เหลี่ยม จากชวนคิด 3.4 และแนวคิดข้างต้น จะได้ว่า ผลบวกของขนาดของมุมภายนอกของรูป n เหลี่ยม เท่ากับ n(180) – (n – 2)180 = 360° 13. แนวคิด A 78 E 59 10 6 D 3G F4 ก�ำ หนดให ้ B1 2 C ∆ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่วั มี BC เป็นฐาน BC // ED และ BˆAE = CˆAD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

242 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ตอ้ งการพิสูจนว์ ่า AE = AD พสิ ูจน ์ เน่ืองจาก ∆ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มหนา้ จว่ั (ก�ำ หนดให)้ (มมุ ท่ฐี านของรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่ัวมขี นาด จะได ้ ˆ1 = ˆ2 เทา่ กัน) เนอ่ื งจาก BC // ED ม ี AB และ AC เป็นเส้นตัด (ก�ำ หนดให้) จะได ้ ˆ1 = ˆ3 และ ˆ2 = ˆ4 (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตัด แลว้ มมุ แย้งมขี นาดเท่ากัน) ดงั น้นั ˆ3 = ˆ4 (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก ˆ3 + ˆ5 = 180° และ ˆ4 + ˆ6 = 180° (ขนาดของมมุ ตรง) จะได ้ ˆ3 + ˆ5 = ˆ4 + ˆ6 (สมบัติของการเทา่ กนั ) ดังนั้น ˆ5 = ˆ6 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) ˆเนื่องจาก ˆ3 = ˆ9 และ ˆ4 = 10 (ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ตัดกนั แล้วมุมตรงข้าม มขี นาดเทา่ กนั ) ˆˆ9 = 10 จะได ้ (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) ดงั นนั้ AG = AF (∆AGF เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั เนือ่ งจาก ˆˆ9 = 10 ) เน่ืองจาก (กำ�หนดให้) ˆ7 = ˆ8 จะได้ ∆AEG ≅ ∆ADF (ม.ด.ม.) ดังนน้ั AE = AD (ดา้ นคู่ทส่ี มนัยกนั ของรปู สามเหลย่ี มท่ีเทา่ กัน ทกุ ประการจะยาวเท่ากนั ) 14. แนวคิด FE D 13 24 ABC จากรูป ให้ BF และ CE เปน็ ท่อนเหล็กท่นี ำ�มาเชือ่ มตามแนวเสน้ ทแยงมมุ ของรูปส่เี หลี่ยมจัตรุ ัส เนื่องจาก ABEF และ BCDE เปน็ รปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรสั (กำ�หนดให้) จะได ้ EF = EB และ DE = DC (ดา้ นของรูปสเี่ หลี่ยมจตั ุรสั ยาวเทา่ กนั ) ดังน้นั ∆EFB และ ∆DEC เปน็ รูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั (มดี ้านยาวเท่ากันสองด้าน) เน่อื งจาก FˆEB = 90° และ EˆDC = 90° (มุมภายในแต่ละมมุ ของรปู ส่ีเหลย่ี มจัตุรสั มีขนาด 90°) จะได ้ ˆ1 = ˆ2 = 45° และ ˆ3 = ˆ4 = 45° (มมุ ที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จั่วมีขนาดเทา่ กัน) ดงั นน้ั ˆ3 = ˆ1 (สมบัติของการเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 243 น่นั คอื BF // CE (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นงึ่ ท�ำ ใหม้ มุ ภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มขี นาดเท่ากนั แลว้ เส้นตรงคูน่ น้ั ขนานกนั ) จะได้วา่ ท่อนเหล็กสองท่อนท่ีนำ�มาเชื่อมตามแนวเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปนี้เรียงตัวขนานกัน ในท�ำ นองเดียวกนั สามารถพสิ จู น์ไดว้ ่าท่อนเหลก็ ทอ่ นอ่ืน ๆ ก็เรยี งตวั ขนานกบั ท่อนเหล็กสองท่อนน้ดี ว้ ย ดังน้นั ขอ้ กงั วลของภวิ ัฒน์ไม่เปน็ จริง 15. แนวคดิ X B D FN T 108° Y กระจก A 68° C PE G a° M กระจก เนอ่ื งจาก กระจกเงา 2 บาน ขนานกนั พิจารณา แสงเลเซอรส์ ีชมพู เน่ืองจาก CˆAB = AˆBX (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตัด แลว้ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) (กำ�หนดให้) และ CˆAB = 68° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ดังนั้น AˆBX = 68° เน่ืองจาก ขนาดของมมุ ตกกระทบเท่ากับขนาดของมมุ สะทอ้ น จะได ้ AˆBX = CˆBD = CˆDB = EˆDF = EˆFD = GˆFN = 68° พิจารณา แสงเลเซอรส์ ีเขียว เน่อื งจาก GMˆN = MˆNY (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากนั ) (กำ�หนดให)้ และ GMˆN = a° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดังนั้น MˆNY = a° เน่ืองจาก ขนาดของมุมตกกระทบเทา่ กับขนาดของมุมสะทอ้ น จะได้ MˆNY = TˆNF = a° (สมบตั ิของการเทา่ กัน) พจิ ารณา ∆FTN (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหล่ยี มเทา่ กับผลบวกของขนาด จะได้ TˆFN + TˆNF = 108° ของมมุ ภายในที่ไมใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของมมุ ภายนอกน้ัน) 68 + a = 108 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) a = 40 (สมบัติของการเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

244 บทที่ 3 | เส้นขนาน คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 C 16. แนวคดิ D E B 12 A จากรปู ˆ1 = ˆB + ˆD และ ˆ2 = ˆC + ˆE (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของ ขนาดของมุมภายในทีไ่ มใ่ ช่มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกน้ัน) (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เทา่ กับ 180°) เน่อื งจาก ˆA + ˆ1 + ˆ2 = 180° (สมบตั ิของการเท่ากนั ) จะได้ ˆA + (ˆB + ˆD ) + (ˆC + ˆE ) = 180° หรือ ˆA + ˆB + ˆC + ˆD + ˆE = 180° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 245 ตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. กำ�หนดให้ AB // CD และ CD // EF โดยมีระยะหา่ งระหวา่ ง AB และ EF เท่ากบั 20 เซนตเิ มตร และมีระยะหา่ ง ระหวา่ ง CD และ EF เทา่ กบั 15 เซนตเิ มตร จงหาระยะหา่ งระหวา่ ง AB และ CD (2 คะแนน) ตอบ 2. ให้นกั เรียนพจิ ารณารปู และขอ้ ความตอ่ ไปนี้ A CB ให ้ AB // XZ และ AE // CD (1) BˆCY = EˆXY X YZ (2) CˆAX = XˆYC (3) CˆBZ = YˆZD (4) BˆCD = CˆDE E D ข. (1) (3) และ (4) จากข้อความข้างต้น ข้อความใดเป็นจรงิ ง. (2) (3) และ (4) (1 คะแนน) ก. (1) (2) และ (4) ค. (1) (2) และ (3) 3. ใหน้ ักเรยี นพจิ ารณารูปและข้อความตอ่ ไปน้ี D ให ้ AD // GB และ DC // EF 3 (1) ˆ2 = ˆ7 (2) ˆ5 = ˆ8 E 2C 4 B (3) ˆ3 = ˆ8 A 17 (4) ˆ3 = ˆ5 6 (5) ˆ1 = ˆ4 5 ข. (3) และ (4) ง. (4) และ (5) F 8 G จากข้อความขา้ งต้น ข้อความใดเปน็ จรงิ (1 คะแนน) ก. (1) และ (2) ค. (3) และ (5) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

246 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน คมู่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 4. B จากรปู ก�ำ หนดให ้ �AB // �QE, PˆQR = 27° และ A a° PˆRQ = 58° จงหาคา่ a (1 คะแนน) P E ตอบ Q 27° 58° R C 5. A จากรูป ก�ำ หนดให้ AC = BC และ BC // DE x° ถ้า x = 65 แล้ว y เทา่ กบั เท่าไร (1 คะแนน) B ตอบ D y° E 6. A จากรปู ก�ำ หนดให ้ �DE // �BC, BˆAD = 74° และ 74° x° E AˆBC = 41° จงหาค่า x (1 คะแนน) C 41° D ตอบ B C จากรูป ก�ำ หนดให ้ AB // EF จงหาค่าของ a + b 7. a° (1 คะแนน) 36° b° ตอบ A D B F 68° E 8. P 55° Q จากรูป กำ�หนดให้ PQ // RS, RS // MN และ TR // MQ R x° U S จงหาคา่ ของ x + y + z (2 คะแนน) y° ตอบ z° N TM 9. Z จากรปู กำ�หนดให ้ ∆XYZ ม ี XY = XZ และ W เป็นจดุ W 52° อยบู่ นด้าน XZ โดยท ่ี WZ = ZY ถ้า YWˆZ = 52° แลว้ คา่ ของ b – a เทา่ กับเท่าไร (2 คะแนน) X b° a° Y ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 247 10. C D จากรูป กำ�หนดให้ �PA // �QB และ �QC // �RD A B 40° b° จงหาคา่ ของ √a + √b (2 คะแนน) a° R ตอบ 40° Q M C N P B 11. E จากรปู ABCD เป็นรปู สีเ่ หล่ียมด้านขนาน 4 0° จงหาขนาดของ EˆHB (2 คะแนน) G ตอบ D (3x – 8)° (2x + 3)° AH F 12. E จากรูป กำ�หนดให้ AB // CD, CF // ED และ CE = CD จงหาคา่ ของ p, q และ r (3 คะแนน) C p° q° D ตอบ p = q = A 56° 85° B r = 13. A r° จากรูป กำ�หนดให้ �AB // �DF และ AC // �DE 150° C 80 ° F จงหาคา่ ของ a และ b (2 คะแนน) B ตอบ a = F b = D a° b° E สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

248 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 14. ก�ำ หนดให้ AC // DE, BˆAC = 114° และ AˆBC = 38° จงหาขนาดของ CˆDE พรอ้ มแสดงเหตผุ ล (3 คะแนน) E C D AB 15. กำ�หนดให้ AB // CD และ BE = FE จงแสดงวา่ AB = DF (3 คะแนน) AB E C FD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 249 16. ถา้ หมุนรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ AOB รอบจุด O ดว้ ยมมุ 60° ทวนเข็มนาฬิกา โดยหมุนตอ่ เนอ่ื งไป 5 คร้งั จะได้ รูปหกเหล่ียมดา้ นเทา่ มุมเท่า ABCDEF ดงั รูป ED FC (3 คะแนน) O AB จงอธบิ ายว่า ด้าน AB และด้าน ED ขนานกนั หรือไม ่ เพราะเหตใุ ด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี