(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.2

350 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 6. แนวคิด T EV S FW a b D c c MR C a P A bB Q N U แนวการสรา้ ง 1. ลาก �PQ และบน �PQ สรา้ ง AB ยาว b หน่วย 2. ท่ีจดุ A สร้าง �AR ใหต้ ้ังฉากกบั AB และบน �AR สรา้ ง AC ยาว a หน่วย 3. ลาก �MN ผ่านจุด B และจดุ C 4. ทีจ่ ุด C สร้าง �CS ใหต้ ้ังฉากกบั BC และบน �CS สร้าง CD ยาว c หนว่ ย 5. ลาก �TU ผา่ นจดุ B และจดุ D 6. ทีจ่ ดุ D สร้าง �DV ใหต้ งั้ ฉากกับ BD และบน �DV สร้าง DE ยาวเทา่ กับ BD 7. ทจี่ ดุ B สร้าง �BW ใหต้ ั้งฉากกบั BD และบน �BW สร้าง BF ยาวเท่ากบั BD 8. ลาก EF จะได้ BDEF เปน็ รูปส่เี หลยี่ มจตั ุรสั ตามต้องการ แนวคดิ ในการให้เหตผุ ล เนอ่ื งจาก รูปส่เี หล่ยี มจัตุรัส 3 รปู ที่กำ�หนดให้ มคี วามยาวของดา้ นเท่ากับ a, b และ c หนว่ ย (กำ�หนดให)้ จะได ้ รปู สเี่ หลี่ยมจัตรุ สั 3 รูปน้ี จะมีพ้ืนท่ี a2, b2 และ c2 ตารางหนว่ ย ตามลำ�ดับ (พื้นท่ขี องรูปสีเ่ หล่ยี มจตั ุรสั = ความยาวของดา้ น2) ดงั น้นั ผลบวกของพ้นื ท่ีของรูปสเี่ หล่ียมจตั ุรัส 3 รูปนี้ เทา่ กับ a2 + b2 + c2 ตารางหน่วย (สมบัติของการเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 351 เน่ืองจาก ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มทมี่ ี BˆAC เปน็ มุมฉาก มี AB = b หน่วย และ AC = a หน่วย (จากการสร้าง ) จะได ้ BC2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ) เนอื่ งจาก ΔBCD เปน็ รูปสามเหลี่ยมทมี่ ี BˆCD เปน็ มมุ ฉาก และมี CD = c หนว่ ย (จากการสรา้ ง ) จะได ้ BD2 = BC2 + CD2 BD2 = (a2 + b2) + c2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ) (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน หรอื BC2 ดว้ ย a2 + b2 และแทน CD2 ดว้ ย c2) BD2 = a2 + b2 + c2 (สมบตั ิของการเทา่ กัน) เนอ่ื งจาก BDEF เป็นรูปสเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั ทแี่ ต่ละด้านยาวเทา่ กับ BD จะได ้ พ้ืนทข่ี อง BDEF เทา่ กบั BD2 ตารางหนว่ ย (พื้นที่ของรปู สี่เหล่ยี มจตั รุ ัส = ความยาวของดา้ น2) (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดังนั้น พ้นื ทข่ี อง BDEF เทา่ กบั a2 + b2 + c2 ตารางหน่วย จะได ้ รปู สเี่ หลยี่ มจตั ุรสั BDEF เปน็ รูปทมี่ พี นื้ ที่เทา่ กับผลบวกของพื้นทีข่ องรูปส่ีเหลีย่ มจตั รุ สั ทง้ั สามรปู ทก่ี �ำ หนดใหต้ ามตอ้ งการ 7. แนวคดิ อาจเปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มรูปวา่ ว หรอื รปู สีเ่ หล่ียมใด ๆ กไ็ ด้ ดงั น้ี 1) รปู ส่เี หล่ียมรปู วา่ ว 2) รปู สเ่ี หล่ยี มใด ๆ ถา้ สรา้ งเสน้ ทแยงมมุ ใหต้ ง้ั ฉากกนั กอ่ น แลว้ ก�ำ หนด 4 จุดยอดบนเส้นทแยงมุมท่ีไม่ทำ�ให้มีด้านตรงข้าม 3 ขนานกนั กจ็ ะไดร้ ปู ทต่ี อ้ งการ 2 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

352 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 8. แนวคดิ 1 m C A 60° E D 60° F1 20° G 60° B เน่ืองจาก ΔABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ (กำ�หนดให)้ DˆCG = EˆAF = GˆBF = 60° (มุมภายในแต่ละมุมของรปู สามเหล่ยี มดา้ นเทา่ จะได ้ มขี นาด 60 องศา) (ขนาดของมมุ ภายนอกของรปู สามเหลยี่ มเทา่ กบั ผลบวก ของขนาดของมมุ ภายในที่ไม่ใชม่ ุมประชิดของ จาก ΔGDC จะได้ GˆDE = 20 + 60 = 80° มุมภายนอกนนั้ ) (กำ�หนดให้) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ย่ตู รงข้าม เนอ่ื งจาก // m บนข้างเดยี วกันของเสน้ ตดั มีขนาดเท่ากนั ) FˆEA = GˆDE = 80° (ขนาดของมุมภายในท้ังสามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม จะได้ รวมกนั เท่ากบั 180 องศา) (สมบตั ิของการเทา่ กัน) (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตดั กัน แลว้ มมุ ตรงขา้ ม มีขนาดเทา่ กัน) จาก ΔFEA จะได้ EˆFA + 60 + 80 = 180 นน่ั คือ ดังน้ัน EˆFA = 40° ˆ1 = 40° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 353 แนวคดิ 2 m D C E 60° A 60° 20° F1 G 23 60° B เน่ืองจาก ΔABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า n DˆCG = EˆAF = GˆBF = 60° จะได้ (กำ�หนดให)้ (มมุ ภายในแต่ละมุมของรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า มีขนาด 60 องศา) (สมบัติถา่ ยทอดของการขนาน) ท่ีจุด B สร้าง n // ดังนนั้ n // m ด้วย (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุม ˆ3 = 20° ภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน จะได้ ของเส้นตัดมขี นาดเท่ากนั ) (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) เน่ืองจาก ˆ3 + ˆ2 = 60° จะได ้ 20 + ˆ2 = 60 (สมบตั ิของการเท่ากนั โดยแทน ˆ3 ดว้ ย 20) ดงั นน้ั ˆ2 = 40° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) ˆ1 = 40° (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตัด แล้วมมุ แย้ง มีขนาดเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

354 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 9. แนวคดิ B 1 2G F w° x° 3 5 4 z° y° 6 A ED C เนอ่ื งจาก ˆ1 + w + ˆ3 = 180 (ขนาดของมมุ ตรง) w = 180 – ˆ1 – ˆ3 (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) จะได ้ x = 180 – ˆ2 – ˆ5 ในท�ำ นองเดยี วกันจะได้ y = 180 – ˆ6 z = 180 – ˆ4 และ เน่อื งจาก w + x + y + z = 360 (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สม่ี มุ ของรปู สเี่ หลย่ี มรวมกนั เท่ากับ 360 องศา) จะได้ (180 – ˆ1 – ˆ3 ) + (180 – ˆ2 – ˆ5 ) + (180 – ˆ6 ) + (180 – ˆ4 )̂ = 360 (สมบัติของการเทา่ กัน โดย แทนค่าของ w, x, y, z) (สมบตั ิของการเท่ากนั ) ดงั น้ัน 720 – ˆ1 – ˆ2 – ˆ3 – ˆ4 – ˆ5 – ˆ6 = 360 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 + ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = 360° 10. แนวคดิ B n° m° D 25° 21° A C สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 355 เนอื่ งจาก AD = BD = CD (กำ�หนดให)้ จะได้ ΔADC, ΔBDC และ ΔADB เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั (มีดา้ นยาวเท่ากันสองด้าน) จาก ΔADC จะได้ DˆAC = DˆCA = 25° AˆDC + DˆAC + DˆCA = 180° (มุมทีฐ่ านของรูปสามเหลีย่ มหนา้ จวั่ มขี นาดเท่ากัน) (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม เนือ่ งจาก จะได้ AˆDC + 25 + 25 = 180 รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา) (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน DAˆC และ DCˆA AˆDC = 130° ดว้ ย 25) (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) ในทำ�นองเดยี วกัน จาก ΔBDC จะได ้ BˆDC = 180 – 21 – 21 = 138° และจาก ΔADB จะได ้ m = 180 – 2n m + AˆDC + BˆDC = 360 เนอ่ื งจาก (มมุ รอบจดุ เท่ากบั 360 องศา) (สมบตั ิของการเทา่ กัน โดยแทน AˆDC ดว้ ย 130 และ m + 130 + 138 = 360 BˆDC ด้วย 138) จะได ้ m = 92 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) เน่ืองจาก m = 180 – 2n (จากการพิสจู น์ข้างต้น) จะได้ n = 44 (สมบัตขิ องการเท่ากัน) ดังน้นั m – n = 92 – 44 = 48 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) 11. แนวคดิ O 60° P y° z° Q x° 70° 60° R 60° M N เนื่องจาก ΔMNO เป็นรูปสามเหลีย่ มด้านเท่า (กำ�หนดให้) (มมุ ภายในแตล่ ะมุมของรูปสามเหล่ียมด้านเทา่ จะได้ NMˆO = MOˆN = ONˆM = 60° มขี นาด 60 องศา) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

356 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เนื่องจาก PQ // MN (ก�ำ หนดให้) จะได ้ x + y + 60 = 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด นน่ั คอื และ ทตี่ ัดเส้นขนานรวมกนั เทา่ กับ 180 องศา) x + y = 120 (สมบัติของการเทา่ กัน) ดังน้นั z = 60 (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ย่ตู รงข้ามบน ขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัดมขี นาดเทา่ กนั ) x + y – z = 120 – 60 = 60 (สมบตั ิของการเทา่ กนั โดยแทน x + y ด้วย 120 และ แทน z ด้วย 60) 12. แนวคิด C 16 30 D AE B 34 ΔABC มคี วามยาวของด้านเท่ากบั 34, 30 และ 16 หน่วย (กำ�หนดให)้ (บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส) เน่อื งจาก 342 = 1,156 และ 302 + 162 = 900 + 256 = 1,156 ดังน้ัน ΔABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยท่ี AˆCB = 90° พจิ ารณา ΔADE DE // CB และ DE = –12 (30) = 15 จะได ้ (สว่ นของเสน้ ตรงที่ลากเชอื่ มจดุ ก่ึงกลางของดา้ น สองดา้ นของรปู สามเหลย่ี มใด ๆ จะขนานกบั ดา้ นทสี่ าม และยาวเป็นครึง่ หน่งึ ของดา้ นท่สี าม) AˆDE = 90° (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด แล้วมมุ ภายนอกและมุมภายในท่อี ยตู่ รงขา้ ม บนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตดั มขี นาดเท่ากัน) น่ันคือ ΔADE เปน็ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 357 เนอ่ื งจาก AD = 8 หนว่ ย (กำ�หนดให้จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC และ AC = 16 หนว่ ย) ดงั นั้น พ้ืนท่ขี องรปู สามเหล่ยี ม ADE = –12 × 8 × 15 = 60 ตารางหน่วย 13. 1) แนวคิด A DF B EC เนื่องจาก จุด D จดุ E และจดุ F เป็นจดุ กึง่ กลางของ AB, BC และ CA ตามล�ำ ดับ (ก�ำ หนดให)้ จะได ้ DF // BC (ส่วนของเสน้ ตรงทล่ี ากเช่อื มจดุ กง่ึ กลางของ ดา้ นสองดา้ นของรปู สามเหลีย่ มใด ๆ จะขนานกบั ดา้ นทส่ี ามและยาวเปน็ คร่ึงหน่ึงของด้านทีส่ าม) ดงั น้นั DF // BE (BE อย่บู น BC) ในทำ�นองเดยี วกนั จะได้ FE // AB ดังนั้น FE // DB (DB อยบู่ น AB) จะได้ DFEB เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน (มดี า้ นตรงข้ามขนานกนั สองค)ู่ เนื่องจาก AˆBC = 90° (ก�ำ หนดให้) DˆFE = 90° (มุมตรงข้ามของรูปส่เี หลี่ยมดา้ นขนานมีขนาดเท่ากัน) ดงั นั้น 2) แนวคิด A 10 D F B EC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

358 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 เน่อื งจาก จดุ E และจุด F เป็นจุดก่งึ กลางของ BC และ CA ตามลำ�ดบั (กำ�หนดให้) จะได้ EF = A—2B (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชือ่ มจุดกง่ึ กลางของด้าน สองดา้ นของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะยาวเปน็ ครึง่ หนึ่ง ดังนั้น ของด้านท่สี าม) (กำ�หนดให้ AB = 10 หน่วย) EF = —120 = 5 หนว่ ย เนื่องจาก ΔABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่วั ทมี่ ี AˆBC เป็นมมุ ฉาก และ AB = 10 หนว่ ย จะได ้ AC2 = 102 + 102 (ทฤษฎีบทพที าโกรสั ) ดงั น้ัน AC = 10√2 หน่วย เนอ่ื งจาก CF = A—2C (กำ�หนดให้จดุ F เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ CA) (สมบัตขิ องการเท่ากัน) จะไ ด ้ CF = 1   0 2√  2   = 5√2 หน่วย 14. แนวคดิ DC EF AB กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รูปส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน จดุ E และจุด F เป็นจดุ ก่ึงกลางของด้าน AD และด้าน BC ตามล�ำ ดบั ลาก DF และ EB ต้องการพสิ จู นว์ า่ DFBE เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน พสิ ูจน์ เน่อื งจาก ED // BF (ต่างกเ็ ป็นสว่ นหนึ่งของด้านตรงข้ามที่ขนานกัน ของรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน) (จุด E และจุด F เป็นจดุ กึง่ กลางของ AD และ BC ตามล�ำ ดับ และ AD = BC) ดังนั้น และ ED = BF (รูปสีเ่ หลี่ยมท่มี ดี า้ นทีอ่ ยตู่ รงขา้ มกนั คหู่ นง่ึ ขนานกัน และยาวเทา่ กนั เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน) DFBE เป็นรูปสี่เหล่ยี มด้านขนาน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 359 15. แนวคดิ DC 44 AB 1) เนือ่ งจาก ΔADB มี AD = BD = 4 หนว่ ย (กำ�หนดให)้ ดังนนั้ ΔADB เปน็ รปู สามเหลีย่ มหน้าจั่ว (มีดา้ นยาวเทา่ กนั สองดา้ น) BˆAD = AˆBD (มุมท่ฐี านของรปู สามเหลีย่ มหน้าจวั่ มขี นาดเทา่ กนั ) จะได้ AˆDB = 2(BˆAD) (ก�ำ หนดให้) (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม เน่อื งจาก BˆAD + AˆBD + AˆDB = 180° BˆAD + BˆAD + 2(BˆAD) = 180 รวมกันเทา่ กับ 180 องศา) (สมบตั ิของการเทา่ กัน โดยแทน AˆBD ดว้ ย BˆAD และ AˆDB ด้วย 2(BˆAD) จะได ้ BˆAD = 45° (สมบัติของการเท่ากัน) ดงั นั้น ΔADB เป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จั่วมมุ ฉาก ทม่ี ี BˆAD = AˆBD = 45° และ AˆDB = 2(45) = 90° จะได ้ AB2 = AD2 + BD2 (ทฤษฎบี ทพที าโกรัส) AB2 = 42 + 42 (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน AD และ BD ด้วย 4) AB = √32 หรือ 4√2 หน่วย 2) เนอื่ งจาก AB // DC (ก�ำ หนดให้) ดังน้ัน BˆDC = AˆBD = 45° (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเส้นตดั แลว้ มมุ แย้งมีขนาดเท่ากัน) 16. แนวคิด MR N P 30° 140° L Q 30° O สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

360 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ต่อ OQ ออกไปทางจุด Q และใหต้ ดั MN ท่ีจุด R เนอ่ื งจาก PQ // LO (กำ�หนดให้) PQˆR = LOˆQ = 30° (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตัดแลว้ จะได ้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตดั มขี นาดเท่ากัน) (ขนาดของมุมตรง) (ก�ำ หนดให้) เน่อื งจาก RQˆO = 180° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) และ NQˆO = 140° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) จะได ้ RQˆN = 180 – 140 = 40° (มีด้านตรงขา้ มขนานกันสองคู่ คอื MN // PQ และ ดังนนั้ PQˆN = 30 + 40 = 70° MP // NQ (มุมตรงข้ามของรูปส่ีเหลย่ี มดา้ นขนานมีขนาดเทา่ กัน) เน่อื งจาก PQNM เปน็ รูปสีเ่ หล่ียมด้านขนาน PMˆN = 70° ดงั น้นั 17. แนวคิด A D F 55° 2C เน่อื งจาก ΔABC ≅ ΔDBE 15° และ AB = AC = DB = DE 13 5 4 จะได้ BE ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = ˆ4 (กำ�หนดให้) (ก�ำ หนดให้) (มุมท่สี มนัยกนั ของรูปสามเหล่ียมท่ีเทา่ กนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเท่ากนั และรูปสามเหลย่ี มทัง้ สองเป็นรปู เนอ่ื งจาก สามเหล่ียมหน้าจวั่ ) จะได้ DˆEF = 15° (กำ�หนดให้) ˆ5 = ˆ4 – 15 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 361 จาก ΔBEC จะได้ (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของ ขนาดของมุมภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของมุมภายนอกนัน้ ) ˆ3 + ˆ5 = ˆ2 + AˆCF (สมบตั ขิ องการเท่ากนั โดยแทน ˆ5 ด้วย ˆ4 – 15 แทน ˆ3 และ ˆ4 + (ˆ4 – 15) = ˆ4 + 55 ˆ2 ด้วย ˆ4 และแทน AˆCF ด้วย 55) ดงั น้ัน ˆ4 = 70° (สมบัตขิ องการเท่ากัน) จาก ΔABC จะได้ (ขนาดมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ียมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) BˆAC + ˆ1 + ˆ2 = 180 (สมบัติของการเทา่ กนั โดยแทน ˆ1 และ ˆ2 ดว้ ย 70) BˆAC + 70 + 70 = 180 BˆAC = 40° (สมบตั ิของการเท่ากัน) ดงั นน้ั 18. แนวคดิ S 60° Q U 60° 60° 60° 60° T R (ดา้ นของรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่ายาวเทา่ กัน) (มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด 60° 60 องศา) (สมบตั ิของการเทา่ กัน) P (สมบตั ิของการเท่ากนั ) (ดา้ นของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่ายาวเท่ากนั ) พจิ ารณา ΔPRS และ ΔQRT (ด.ม.ด.) (มมุ คทู่ สี่ มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ เน่ืองจาก PR = QR จะมขี นาดเทา่ กัน) PˆRQ = SˆRT = 60° ดังนน้ั PˆRQ + QˆRS = SˆRT + QˆRS PˆRS = QˆRT นน่ั คอื และ RS = RT ดงั น้นั ΔPRS ≅ ΔQRT จะได ้ PˆSR = QˆTR สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

362 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 จาก ΔSUT จะได้ SˆUT + UˆTS + TˆSU = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม รวมกันเทา่ กับ 180 องศา) (สมบัตขิ องการเทา่ กนั โดยแทน UˆTS ดว้ ย จะได้ SˆUT + (60 – QˆTR) + (60 + PˆSR) = 180 (60 – QˆTR) แทน TˆSU ดว้ ย (60 + PˆSR)) (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทน PˆSR ดว้ ย QˆTR) SˆUT + (60 – QˆTR) + (60 + QˆTR) = 180 SˆUT = 60° ดังนั้น 19. แนวคดิ A DE 84° C BF เนอ่ื งจาก ΔABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมหนา้ จัว่ ม ี AB = BC และ AˆBC = 84° (กำ�หนดให้) BˆAC = BˆCA (มุมท่ฐี านของรูปสามเหลย่ี มหน้าจวั่ มีขนาดเท่ากัน) จะได้ เน่อื งจาก AˆBC + BˆAC + BˆCA = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เทา่ กบั จะได ้ 180 องศา) ดังน้นั 84 + 2(BˆAC) = 180 (สมบัติของการเท่ากัน) BˆAC = 48° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) พิจารณา ΔDEA และ ΔEFC เน่ืองจาก AD = EC และ AE = FC (ก�ำ หนดให)้ และ (จากการพสิ ูจน์ขา้ งต้น) DˆAE = EˆCF = 48° (ด.ม.ด.) (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียมที่ ดงั นน้ั ΔDEA ≅ ΔEFC เทา่ กนั ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) จะได ้ ED = FE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 363 และ AˆDE = CˆEF และ AˆED = CˆFE (มุมคู่ท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมท่ี เทา่ กันทุกประการ จะมีขนาดเทา่ กัน) จาก ΔADE จะได้ DˆAE + AˆDE = DˆEF + CˆEF (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีไม่ใช่มุมประชิด ของมมุ ภายนอกน้นั ) 48 + CˆEF = DˆEF + CˆEF (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทน DˆAE ดว้ ย 48 และ จะได้ แทน AˆDE ด้วย CˆEF) ดงั น้นั DˆEF = 48° (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) เนอ่ื งจาก ΔDEF เปน็ รปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั (มี ED = EF จากการพิสูจนข์ ้างตน้ ) EˆDF = DˆFE (มุมทฐ่ี านของรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั มขี นาดเท่ากัน) จะไดว้ า่ (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ียม เนื่องจาก DˆEF + EˆDF + DˆFE = 180° จะได้ 48 + 2(DˆFE) = 180 รวมกันเท่ากับ 180 องศา) ดังนน้ั DˆFE = 66° (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน DˆEF ด้วย 48 และ EˆDF ด้วย DˆFE) (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) 20. C แทน� ยดึ แขนกล แท�นยึดแขนกล BD A A E F FB C 1 2 E D แนวคิด แขนกลท่ีเกษรออกแบบสามารถเคลื่อนย้ายแก้วนำ้�ได้ โดยท่ีแก้วน้ำ�ตั้งอยู่ในแนวดิ่งตลอดเวลา เพราะแขนกลนี้ มีส่วนประกอบที่เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ABEF และ BCDE ซ่ึงรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานทั้งสองน้ีสามารถโยกได้ โดยท่ี AF เป็นสว่ นที่คงท่ีและอยู่ในแนวดิ่ง BE และ CD ซึ่งขนานกบั AF จงึ อยใู่ นแนวดิ่งด้วยเสมอ ฐานวางแกว้ นำ้� ตั้งฉากกับ CD เสมอ ดงั นั้นฐานวางแกว้ นำ้�จึงอย่ใู นแนวนอนเสมอ ทำ�ให้แกว้ น�้ำ ต้งั อยใู่ นแนวดงิ่ ตลอดเวลา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

364 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 21. 1) แนวคิด ED H FC G A B 0.6 พน้ื โตะ๊ ED ขนานกับแนว AB เสมอ ไม่วา่ จะปรับระดับพนื้ โตะ๊ ใหส้ งู ข้นึ หรอื ต่ำ�ลง เพราะ เป็นไปตามสมบัตขิ อง เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มขนมเปยี กปนู ทวี่ า่ เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มขนมเปยี กปนู ตง้ั ฉากกนั การปรบั ระดบั โตะ๊ ให้สูงขึ้นใช้วิธีการบังคับให้เส้นทแยงมุมในแนวนอนส้ันลง (เช่น FC) เส้นทแยงมุมที่อยู่ในแนวต้ังก็จะมีความยาว เพมิ่ ขึน้ (เช่น GH) ทำ�ใหโ้ ต๊ะอยู่ในระดับสงู ขน้ึ ตามแนวตัง้ ทตี่ ้องการ ในทางกลับกันถา้ เพิม่ ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ ในแนวนอนใหม้ ากขน้ึ เสน้ ทแยงมมุ ในแนวตง้ั กจ็ ะมคี วามยาวลดลง ท�ำ ใหโ้ ตะ๊ ลดระดบั ลงตามตอ้ งการ โดยทเ่ี สน้ ทแยงมมุ ทง้ั สองจะต้ังฉากกนั เสมอ จงึ ท�ำ ใหพ้ ืน้ โตะ๊ ขนานกบั แนว AB เสมอ 2) แนวคิด J ลากเส้นทแยงมมุ ในแนวตัง้ ดงั รปู ED เนอ่ื งจากเส้นทแยงมมุ ของรปู สเ่ี หลีย่ มขนมเปียกปูนต้ังฉากกัน ΔABG เป็นรปู สามเหล่ียมทมี่ ี AˆIG เปน็ มุมฉาก H ดงั นัน้ จะได ้ AG2 = AI2 + IG2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ) F IG2 = 0.52 – 0.32 C ดงั นนั้ IG = 0.4 เมตร G เนอ่ื งจาก FHCG ประกอบดว้ ยรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากขนาดเดยี วกบั ΔABG จ�ำ นวน 0.5 0.5 สองรูป ดงั นัน้ GH = 0.4 + 0.4 = 0.8 เมตร A 0.3 I B เนอื่ งจาก ΔEHD เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉากขนาดเดียวกบั ΔABG 0.6 ดังนั้น HJ = 0.4 เมตร ดงั นัน้ พื้นโตะ๊ ED จะอย่หู ่างจากแนว AB เท่ากบั IG + GH + HJ = 0.4 + 0.8 + 0.4 = 1.6 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 365 ตวั อย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. จงสร้างรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว PQR ท่มี ฐี าน PQ ยาวเท่ากบั AB และมุมยอดมขี นาดเทา่ กับ a° D (6 คะแนน) C a° B A 2. ก�ำ หนดรปู สามเหล่ยี ม ABC จงสรา้ งรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน PQRS ท่มี ี PQ = AB, SˆPQ = AˆCB และมสี ว่ นสูง ยาวเท่ากับความสูงของรูปสามเหลีย่ ม ABC ทกี่ �ำ หนดให้ พร้อมทง้ั ใหเ้ หตุผลว่าเพราะเหตใุ ดรูปส่ีเหลย่ี ม PQRS ทไี่ ด้ จงึ เป็นรูปสเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน (14 คะแนน) C AD B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

366 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 3. ใหน้ ักเรียนศึกษาตัวอย่างแนวการสร้างรูปห้าเหลี่ยม PQRST ใหเ้ ทา่ กนั ทกุ ประการกบั รปู หา้ เหลย่ี ม ABCDE ต่อไปน้ ี จากนนั้ ให้นักเรียนให้เหตุผลวา่ รปู ท้งั สองเท่ากนั ทกุ ประการเพราะเหตใุ ด โดยตอบคำ�ถามตามทก่ี �ำ หนดทา้ ยการสร้าง (15 คะแนน) แนวการสร้าง DS LN E CT R M AB P QK 1) ลาก �PK และบน �PK สรา้ ง PQ ใหม้ ีความยาวเทา่ กบั AB 2) ที่จดุ P สร้าง LˆPQ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ EˆAB 3) ท่ีจดุ P สร้าง PT บน �PL ใหม้ คี วามยาวเท่ากบั AE 4) ลาก BE, BD และ QT 5) ที่จุด T สร้างสว่ นโค้งรัศมีเท่ากบั ED และที่จดุ Q สร้างสว่ นโคง้ รศั มเี ท่ากบั BD ตัดส่วนโค้งแรก ที่จุด S 6) ลาก TS และ QS 7) ทีจ่ ุด S สร้าง MˆSQ ให้มีขนาดเทา่ กับขนาดของ CˆDB และทีจ่ ดุ Q สร้าง SˆQN ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ DˆBC และให ้ �QN ตัด �SM ทจ่ี ุด R จะได ้ รูปห้าเหลยี่ ม PQRST เท่ากันทุกประการกับรูปห้าเหลย่ี ม ABCDE ที่กำ�หนดให้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 367 จากแนวการสรา้ งข้างตน้ จงตอบคำ�ถามต่อไปนี้ 1) PQ = AB เพราะ เพราะ 2) TˆPQ = EˆAB 3) PT = AE เพราะ 4) ΔPTQ ≅ ΔAEB เพราะมคี วามสมั พนั ธ์แบบ 5) QT = BE เพราะ 6) TS = ED เพราะ 7) QS = BD เพราะ 8) ΔQTS ≅ ΔBED เพราะมีความสมั พนั ธแ์ บบ เพราะ 9) RˆSQ = CˆDB เพราะ 10) SQˆR = DˆBC เพราะมคี วามสมั พันธ์แบบ 11) ΔQRS ≅ ΔBCD 12) SR = DC เพราะ 13) QR = BC เพราะ 14) รูปหา้ เหลีย่ ม PQRST เทา่ กนั ทกุ ประการกับรูปหา้ เหลย่ี ม ABCDE เปน็ ผลมาจากรูปสามเหล่ยี มท่ี เท่ากันทุกประการในขอ้ 15) จากรูปห้าเหลีย่ มท่ีเท่ากนั ทุกประการในขอ้ 14) ท�ำ ให้ได้ด้านของรปู หา้ เหล่ียมยาวเทา่ กัน คู่ ได้แก ่ 4. จงแบง่ AB ออกเปน็ 5 ส่วน ทย่ี าวเทา่ กนั โดยสรา้ งตามข้นั ตอนต่อไปนี้ (10 คะแนน) 1) ลาก AB มคี วามยาวพอสมควร 2) ทจี่ ดุ A ลาก �AC ด้านบนของ AB จะได้ BˆAC 3) ทีจ่ ุด B สรา้ ง AˆBD อีกด้านหน่งึ ของ AB ใหม้ ีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ BˆAC 4) ใชจ้ ุด A เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง ก�ำ หนดรัศมยี าวพอสมควร เขยี นส่วนโคง้ ตัด �AC ทจ่ี ุด E, F, G, H และ I โดยเปลี่ยนจดุ ศูนยก์ ลางทุกครงั้ เพือ่ ท�ำ ให้ AE = EF = FG = GH = HI 5) ใช้จดุ B เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง รัศมียาวเทา่ เดิม เขียนส่วนโคง้ ตัด �BD ทจ่ี ดุ J, K, L, M และ N โดยเปล่ยี น จุดศนู ยก์ ลางทุกครง้ั เพื่อท�ำ ให้ได้ว่า BJ = JK = KL = LM = MN 6) ลาก IB 7) ลาก HJ, GK, FL, EM ตัด AB ท่จี ุด O, P, Q และ R ตามลำ�ดับ 8) ลาก AN จะได้ AR = RQ = QP = PO = OB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

368 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 จากการสร้างข้างตน้ จงให้เหตุผลในการตอบค�ำ ถามต่อไปนี้ 1) �AC และ �BD ขนานกนั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด 2) AE และ MN เท่ากันหรือไม ่ เพราะเหตใุ ด 5. จงพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมที่กำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปสามเหล่ียมชนิดใด (รูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก หรอื รปู สามเหล่ียมด้านเท่า) เพราะเหตุใด (ตอบได้มากกว่า 1 ค�ำ ตอบ) (9 คะแนน) 1) C 2) P 2 45° 1 AB QR ΔABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม ΔPQR เป็นรปู สามเหลยี่ ม เพราะ เพราะ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 369 3) G 4) 60° C 120° A 2 T 1 SP ΔCAT เป็นรปู สามเหลีย่ ม ΔGSP เป็นรปู สามเหลย่ี ม เพราะ เพราะ 6. จากรปู จงหาคา่ x พร้อมทง้ั แสดงเหตุผล (3 คะแนน) A x° 55° 100° D B C 7. จากรปู ท่ีก�ำ หนดให ้ ΔACD เป็นรูปสามเหล่ยี มชนดิ ใด เพราะเหตใุ ด (5 คะแนน) A BCD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

370 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 8. จากรูปท่ีก�ำ หนดให ้ จงหาความยาวของ BC พร้อมทง้ั บอกเหตผุ ล (2 คะแนน) A D E 7 ซม. BC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 371 9. กำ�หนดให้ ΔPQR เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ทม่ี ี PQˆR เปน็ มุมฉาก ม ี PQ และ PR ยาว 5 และ 13 เซนตเิ มตร ตามลำ�ดบั และมจี ุด S และจุด T เป็นจดุ กึง่ กลางของ PQ และ QR ตามลำ�ดบั จงหา (10 คะแนน) 1) ความยาวรอบรูปของ ΔSQT 2) ความยาวรอบรูปของ ΔPQR เป็นก่ีเท่าของความยาวรอบรปู ของ ΔSQT 3) พื้นทีข่ อง ΔSQT 4) พื้นที่ของ ΔPQR เป็นก่เี ท่าของพื้นทขี่ อง ΔSQT สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

372 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 10. จากรปู ก�ำ หนดให ้ AB ขนานกบั CD GH ต้ังฉากกับ EF และ CˆEF มีขนาด 55° จงหาขนาดของ GHˆB พร้อมแสดงแนวคดิ ในการหาค�ำ ตอบ (3 คะแนน) ED C G AF B H 11. จากรปู กำ�หนดให้ �AB ขนานกบั �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามล�ำ ดบั จงเขียนแสดง การให้เหตุผลในแต่ละรายการตอ่ ไปนใี้ ห้สมบรู ณ์ เพ่อื พสิ ูจน์วา่ PQRS เปน็ รูปสเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน (10 คะแนน) E G CS RD 110° AP 70° B F Q H กำ�หนดให้ �AB ขนานกบั �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามลำ�ดบั ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า PQRS เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 373 พิสจู น์ �AB // �CD ( ) เน่ืองจาก ( ) ( ) จะได้ PQ // SR ( ) BQˆR = 70° ( ) เนอ่ื งจาก QˆRS = 70° ( ) ( ) จะได ้ RˆSP = 110° ( ) ( ) เนื่องจาก ( ) จะได ้ QˆRS + RˆSP = 70 + 110 หรอื QˆRS + RˆSP = 180° �EF // �GH ดงั นั้น จะได ้ PS // QR ดังน้นั PQRS เป็นรปู สเ่ี หล่ียมด้านขนาน 12. จากรูป �AD เปน็ เส้นแบง่ ครง่ึ BˆAC จงแสดงการให้เหตผุ ลเพอื่ หาวา่ ΔAFG เปน็ รูปสามเหลย่ี มชนดิ ใดโดยเติม เหตุผลท้ายข้อความทีก่ ำ�หนดใหใ้ นแตล่ ะข้อความให้ถูกตอ้ ง (7 คะแนน) C G DE A BF พจิ ารณา ΔAEF และ ΔAEG AˆFE = AˆGE = 90° เนอ่ื งจาก ( ) FˆAE = GˆAE ( ) ) และ AE = AE ( ) ดังน้ัน ΔAEF ≅ ΔAEG ( ) ) จะได ้ AF = AG ( ดงั นัน้ ΔAFG เปน็ รูปสามเหล่ยี ม ( สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

374 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 13. จากรปู กำ�หนดให ้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมหน้าจัว่ และมี AD = BE จงใหเ้ หตผุ ลว่า ΔCDE เป็นรูปสามเหลีย่ ม หน้าจั่ว (9 คะแนน) C A DE B 14. 22 ซม. P จากรูป ก�ำ หนดให้ ΔLMN เป็นรปู สามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว M LO = 9 เซนติเมตร NP = 22 เซนตเิ มตร N จงหาความยาวของ PO พร้อมท้ังแสดงเหตุผล (5 คะแนน) L O 9 ซม. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 375 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

376 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท 1. จงสรา้ งรปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่วั PQR ที่มีฐาน PQ ยาวเทา่ กับ AB และมมุ ยอดมีขนาดเทา่ กับ a° (6 คะแนน) D C แนวการสรา้ ง 1 a° B A D C WV R a° B A U a° SP QT 1) ลาก �ST และก�ำ หนดจุด P บน �ST 2) ทีจ่ ุด P สรา้ ง PQ บน �ST ให้มีความยาวเทา่ กบั AB 3) ท่จี ุด P สร้าง SˆPU ใหม้ ีขนาดเทา่ กับ a° จะได้ UˆPT มขี นาดเท่ากบั 180 – a องศา 4 ) ส รา้ ง �PV แบง่ ครึ่ง UˆPT จะได้ VˆPQ มีขนาดเทา่ กับ 1802– a องศา 5) ที่จุด Q สร้าง PQˆW ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ VˆPQ 6 ) ใ ห้ �PV และ �QW ตัดกันท่ีจดุ R จะได้ PˆRQ มีขนาดเทา่ กบั 180 – 180 – a – 180 – a หรอื a° 2 2 ดังนัน้ ΔPQR เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัวตามต้องการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 377 ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน ข้อ 1 นกั เรียนสามารถสร้างรูปตามทก่ี ำ�หนดและให้เหตุผลเกีย่ วกบั การสร้าง เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 6 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้ ✤ สรา้ งฐาน PQ ให้มคี วามยาวเท่ากับ AB ถูกต้อง ได ้ 1 คะแนน ได ้ 4 คะแนน ✤ ใชข้ นาดของมุมยอด a° สร้างมมุ ทีฐ่ าน PQ ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ สรา้ งรปู สามเหลย่ี มหน้าจั่ว PQR ได้สมบูรณ์ แนวการสร้าง 2 GT D C Q L E I B N F M a° K S A J H a° P R O 1) ลาก �RS และทีจ่ ุด R สร้าง TˆRS ให้มีขนาดเทา่ กบั a° 2) สร้าง �RE แบง่ ครง่ึ TˆRS 3) กำ�หนดจดุ F บน �RE และทจ่ี ุด F สร้าง �GH ตั้งฉากกบั �RE 4) สรา้ ง �IJ แบง่ คร่ึง AB ท่จี ดุ K 5) ใช้จุด F เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รัศมี KA เขยี นสว่ นโค้งตัด �GH ทจี่ ดุ L และจดุ M 6) ทจ่ี ดุ L สรา้ ง �LN ต้ังฉากกับ �GH และตัด �RT ท่จี ุด Q 7) ทีจ่ ุด M สรา้ ง �MO ตง้ั ฉากกบั �GH และตดั �RS ที่จุด P 8) ลาก PQ ดงั น้ัน ΔPQR เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจ่ัวตามต้องการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

378 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถสรา้ งรปู ตามท่กี �ำ หนดและใหเ้ หตผุ ลเกี่ยวกับการสร้าง เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้ ✤ สรา้ งมมุ ยอด PRQ ให้มีขนาดเท่ากบั a° ถกู ต้อง ได ้ 1 คะแนน ได ้ 5 คะแนน ✤ สรา้ งฐาน PQ ใหม้ ีความยาวเทา่ กับ AB หน่วย ถูกตอ้ ง 2. กำ�หนดรปู สามเหล่ียม ABC จงสร้างรปู ส่เี หลย่ี มด้านขนาน PQRS ทีม่ ี PQ = AB, SˆPQ = AˆCB และมีส่วนสูง ยาวเท่ากบั ความสูงของรปู สามเหล่ียม ABC ทีก่ ำ�หนดให้ พร้อมทงั้ ใหเ้ หตผุ ลวา่ เพราะเหตใุ ดรปู ส่ีเหลีย่ ม PQRS ท่ีได้ จึงเปน็ รปู ส่ีเหลย่ี มดา้ นขนาน (14 คะแนน) C AD B แนวการสรา้ ง UY C WV S RX AD BE P QF 1) ลาก �EF และก�ำ หนดจุด P บน �EF 2) ท่ีจุด P สร้าง PQ บน �EF ใหม้ คี วามยาวเทา่ กับ AB 3) ทีจ่ ดุ P สร้าง YˆPQ ให้มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ AˆCB 4) ท่ีจดุ P สรา้ ง �PU ต้ังฉากกบั �EF 5) ทีจ่ ุด P สรา้ ง PV บน �PU ให้มคี วามยาวเท่ากบั CD 6) ที่จุด V สรา้ ง �WX ตง้ั ฉากกบั �PU และให ้ �WX ตดั �PY ทจ่ี ดุ S 7) ที่จดุ S สร้าง SR บน �WX ให้มคี วามยาวเท่ากับ AB แล้วลาก QR ดังนัน้ PQRS เปน็ รูปสเ่ี หล่ียมด้านขนานตามต้องการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 379 แนวคิดในการใหเ้ หตุผล (จากการสรา้ งจะได ้ UˆPQ = PˆVX = 90°) เนื่องจาก UˆPQ + PˆVX = 180° �EF // �WX (ถ้าเสน้ ตรงเส้นหนงึ่ ตดั เส้นตรงคู่หน่งึ ท�ำ ใหข้ นาด ดงั นน้ั ของมมุ ภายในทอี่ ยูบ่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด รวมกันได้ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่น้ันขนานกัน) (สว่ นของเสน้ ตรงท่อี ยูบ่ นเสน้ ตรงท่ขี นานกนั จะขนานกัน) (จากการสรา้ ง) (จากการสรา้ ง) (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) จะได้ PQ // SR (ส่วนของเสน้ ตรงท่ปี ดิ หัวท้ายของสว่ นของเส้นตรงที่ขนานกนั และยาวเทา่ กัน จะขนานกนั และยาวเทา่ กัน) เนื่องจาก PQ = AB (มดี ้านตรงข้ามขนานกนั สองค)ู่ และ SR = AB จะได ้ PQ = SR ดงั น้นั PS // QR จะได้ PQRS เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 1 นกั เรียนสามารถสรา้ งรูปตามท่กี �ำ หนดและใหเ้ หตุผลเกี่ยวกบั การสรา้ ง เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 14 คะแนน โดยแบง่ ออกเปน็ สว่ น ๆ ดงั น้ี ส่วนที่ 1 การสรา้ ง 7 คะแนน ✤ สรา้ งฐานของรูปสเี่ หล่ยี มด้านขนานถูกต้อง 1 คะแนน ✤ สร้างมุมที่ฐานของรปู สี่เหลยี่ มด้านขนานถกู ตอ้ ง 1 คะแนน ✤ สร้างส่วนสูงถูกตอ้ ง 2 คะแนน ✤ สร้างเส้นขนานกบั ฐานถกู ต้อง 2 คะแนน ✤ สรา้ งด้านของรูปส่ีเหลีย่ มด้านขนานทีเ่ หลอื ถูกต้อง 1 คะแนน ส่วนที่ 2 การใหเ้ หตุผล 7 คะแนน (พิจารณาจากแนวการให้เหตผุ ลข้างตน้ รายการละ 1 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

380 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 3. ให้นกั เรียนศึกษาตวั อยา่ งแนวการสรา้ งรปู หา้ เหล่ยี ม PQRST ใหเ้ ทา่ กันทุกประการกบั รูปห้าเหลี่ยม ABCDE ตอ่ ไปน ี้ จากน้นั ให้นักเรยี นให้เหตุผลวา่ รปู ท้งั สองเท่ากนั ทุกประการเพราะเหตใุ ด โดยตอบคำ�ถามตามทก่ี �ำ หนดทา้ ยการสร้าง (15 คะแนน) แนวการสร้าง DS LN E CT R M AB P QK 1) ลาก �PK และบน �PK สรา้ ง PQ ให้มคี วามยาวเทา่ กับ AB 2) ทีจ่ ุด P สรา้ ง LˆPQ ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ EˆAB 3) ที่จุด P สรา้ ง PT บน �PL ให้มคี วามยาวเท่ากับ AE 4) ลาก BE, BD และ QT 5) ที่จดุ T สรา้ งส่วนโคง้ รัศมีเท่ากบั ED และทจี่ ดุ Q สร้างส่วนโค้งรศั มเี ท่ากบั BD ตดั สว่ นโค้งแรก ทจี่ ุด S 6) ลาก TS และ QS 7) ที่จดุ S สรา้ ง MˆSQ ให้มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ CˆDB และท่จี ดุ Q สร้าง SQˆN ให้มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ DˆBC และให ้ �QN ตดั �SM ท่ีจดุ R จะได้ รูปห้าเหลยี่ ม PQRST เทา่ กันทุกประการกบั รูปหา้ เหลย่ี ม ABCDE ทก่ี ำ�หนดให้ จากแนวการสร้างข้างต้น จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ 1) PQ = AB เพราะ จากการสรา้ ง PQ ใหม้ คี วามยาวเทา่ กับ AB 2) TˆPQ = EAˆB เพราะ จากการสร้าง LˆPQ ใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของ EˆAB และจดุ T เป็น จดุ บน �PL 3) PT = AE เพราะ จากการสรา้ ง PT ให้มีความยาวเทา่ กับ AE 4) ΔPTQ ≅ ΔAEB เพราะมคี วามสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด. 5) QT = BE เพราะ ดา้ นคูท่ ่ีสมนยั กันของรูปสามเหลีย่ มท่ีเท่ากันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั 6) TS = ED เพราะ จากการสร้างสว่ นโค้งทีจ่ ุด T ใหม้ ีรศั มีเท่ากบั ED และตัดส่วนโค้งจาก จุด Q ทีจ่ ดุ S 7) QS = BD เพราะ จากการสรา้ งสว่ นโค้งทีจ่ ดุ Q ใหม้ รี ศั มีเทา่ กบั BD และตัดสว่ นโค้งจาก จุด T ทจี่ ุด S สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 381 8) ΔQTS ≅ ΔBED เพราะมคี วามสมั พันธแ์ บบ ด.ด.ด. 9) RˆSQ = CˆDB เพราะ จากการสร้าง MˆSQ ให้มขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ CˆDB และจดุ R เปน็ จดุ บน �SM 10) SQˆR = DˆBC เพราะ จากการสร้าง SQˆN ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ DˆBC และจุด R เปน็ จุดบน �QN 11) ΔQRS ≅ ΔBCD เพราะมคี วามสัมพันธแ์ บบ ม.ด.ม. 12) SR = DC เพราะ ดา้ นคทู่ ่ีสมนยั กันของรปู สามเหลย่ี มที่เท่ากนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั 13) QR = BC เพราะ ด้านคู่ที่สมนัยกนั ของรูปสามเหลยี่ มที่เท่ากนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั 14) รูปห้าเหลี่ยม PQRST เท่ากันทุกประการกับรูปห้าเหล่ียม ABCDE เป็นผลมาจากรูปสามเหล่ียมที่เท่ากัน ทุกประการในข้อ 4, 8 และ 11 15) จากรูปหา้ เหล่ยี มท่ีเทา่ กนั ทกุ ประการในข้อท่ี 14) ทำ�ใหไ้ ด้ดา้ นของรปู ห้าเหลยี่ มยาวเท่ากัน 5 คู่ ได้แก่ PQ = AB, PT = AE, TS = ED, SR = DC และ QR = BC ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น ขอ้ 1 นักเรียนสามารถสรา้ งรูปตามท่ีก�ำ หนดและใหเ้ หตุผลเก่ียวกับการสรา้ ง เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 15 คะแนน (ข้อยอ่ ยละ 1 คะแนน) แต่ละข้อยอ่ ยใหเ้ หตุผลถกู ตอ้ งชดั เจน ได้ 1 คะแนน ได ้ 0 คะแนน แตล่ ะขอ้ ย่อยใหเ้ หตุผลไม่ถกู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ 4. จงแบ่ง AB ออกเป็น 5 สว่ นทย่ี าวเทา่ กนั โดยสรา้ งตามขัน้ ตอนต่อไปน้ี (10 คะแนน) 1) ลาก AB มคี วามยาวพอสมควร 2) ท่จี ดุ A ลาก �AC ดา้ นบนของ AB จะได้ BˆAC 3) ท่ีจุด B สรา้ ง AˆBD อีกดา้ นหนึง่ ของ AB ใหม้ ขี นาดเท่ากับขนาดของ BˆAC 4) ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง กำ�หนดรัศมียาวพอสมควร เขียนส่วนโค้งตัด �AC ที่จุด E, F, G, H และ I โดยเปลี่ยนจุดศนู ย์กลางทกุ ครง้ั เพ่อื ทำ�ให้ AE = EF = FG = GH = HI 5) ใช้จุด B เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมียาวเทา่ เดมิ เขียนส่วนโคง้ ตดั �BD ทจ่ี ุด J, K, L, M และ N โดยเปล่ยี น จดุ ศนู ยก์ ลางทกุ คร้งั เพ่ือทำ�ให้ BJ = JK = KL = LM = MN 6) ลาก IB 7) ลาก HJ, GK, FL, EM ตัด AB ที่จุด O, P, Q และ R ตามล�ำ ดับ 8) ลาก AN จะได ้ AR = RQ = QP = PO = OB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

382 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 แนวการสรา้ ง C I H G F E A RQPO B J K L M N D จากการสร้างข้างต้น จงให้เหตผุ ลในการตอบค�ำ ถามต่อไปนี้ 1) �AC และ �BD ขนานกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด ขนานกัน เพราะจากการสรา้ ง AˆBD ใหม้ ขี นาดเทา่ กับขนาดของ BˆAC จะได้วา่ มมุ ทง้ั สองเป็นมมุ แยง้ กันและ มีขนาดเทา่ กัน ทำ�ให้ �AC // �BD 2) AE และ MN เท่ากันหรือไม ่ เพราะเหตุใด AE = MN เพราะจากการสร้างใช้รศั มยี าวเท่ากนั (จากข้ันตอน 4) และ 5) ) ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 1 นักเรียนสามารถสร้างรปู ตามท่ีกำ�หนดและให้เหตุผลเกยี่ วกับการสรา้ ง เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้ ส่วนที่ 1 การสรา้ ง 8 คะแนน ✤ สร้างถกู ตอ้ ง ไดข้ นั้ ตอนละ 1 คะแนน ได้ขน้ั ตอนละ 0 คะแนน ✤ สร้างไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่สร้าง ได้ข้อละ 1 คะแนน ส่วนที่ 2 การให้เหตุผล 2 คะแนน ได ้ 0 คะแนน ✤ ใหเ้ หตผุ ลถกู ต้องชัดเจน ✤ ให้เหตุผลไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 383 5. จงพิจารณาว่ารูปสามเหล่ียมท่ีกำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ีเป็นรูปสามเหล่ียมชนิดใด (รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก หรอื รปู สามเหลี่ยมด้านเท่า) เพราะเหตใุ ด (ตอบได้มากกว่า 1 คำ�ตอบ) (9 คะแนน) แนวคดิ ในการใหเ้ หตุผล C 1) ΔABC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว เพราะ มีด้านยาวเทา่ กันสองดา้ น A B ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 2 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติหรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปส่ีเหล่ียมมาใช้ในการให้เหตุผล และนำ�ไปใชใ้ นชีวติ จริง เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารให้คะแนน ดังนี้ ✤ ตอบไดว้ า่ เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจั่ว และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน ✤ ตอบได้วา่ เป็นรูปสามเหลีย่ มหนา้ จ่วั แต่ไมบ่ อกเหตผุ ลหรอื บอกเหตผุ ลไม่ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ✤ ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 2) P 245° 2 1 1 คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เชน่ QR คำ�ตอบ 1 ΔPQR เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก เพราะ มมี มุ มมุ หนึ่งเป็นมุมฉาก คำ�ตอบ 2 ΔPQR เปน็ รูปสามเหลย่ี มหน้าจัว่ เพราะ มีมุมทีม่ ีขนาดเท่ากนั สองมุม คำ�ตอบ 3 ΔPQR เป็นรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก เพราะ มมี ุมมมุ หน่ึงเป็นมมุ ฉาก และ ΔPQR เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว เพราะมมี มุ ท่มี ีขนาด เท่ากันสองมุม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

384 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 แนวคิด เนอื่ งจาก ˆ11 // 2 (กำ�หนดให)้ จะได ้ = 45° (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตดั แล้วมุมแยง้ มีขนาดเท่ากัน) เน่อื งจาก 90 + ˆ1 + ˆ2 = 180 (ขนาดของมุมภายในท้งั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เทา่ กบั 180 องศา ) จะได ้ (สมบตั ขิ องการเท่ากัน โดยแทน ˆ1 ด้วย 45) ดังนนั้ 90 + 45 + ˆ2 = 180 จะได ้ ˆ2 = 45° (สมบัติของการเท่ากนั ) ˆ1 = ˆ2 (สมบตั ิของการเท่ากัน) ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั ิหรือทฤษฎีบทเก่ียวกับรูปสามเหลย่ี มและรปู ส่เี หล่ียมมาใชใ้ นการให้เหตผุ ล เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การใหค้ ะแนน ดงั นี้ ✤ ตอบได้วา่ เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉากและรูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ และบอกเหตผุ ลถกู ตอ้ ง ได้ 3 คะแนน ✤ ตอบได้ว่าเป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากหรือรปู สามเหลยี่ มหนา้ จัว่ และบอกเหตผุ ลถูกต้อง ได้ 2 คะแนน ✤ ตอบได้วา่ เปน็ รปู สามเหล่ยี มมุมฉากหรือรูปสามเหลยี่ มหนา้ จัว่ แตไ่ ม่บอกเหตผุ ลหรือ บอกเหตผุ ลไม่ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 3) G 60° ΔGSP เป็นรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า เพราะ มมี ุมทีม่ ขี นาดเท่ากันทั้งสามมมุ 2 1 120° (ขนาดของมมุ ตรง) S P (สมบัติของการเท่ากัน) (ขนาดของมุมภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหล่ียมรวมกัน แนวคิด ˆ1 + 120 = 180 เทา่ กบั 180 องศา ) เน่ืองจาก ˆ1 = 60° จะได้ (สมบตั ิของการเท่ากัน โดยแทน ˆ1 ดว้ ย 60) เนื่องจาก 60 + ˆ1 + ˆ2 = 180 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จะได้ (กำ�หนดให้ Gˆ = 60 องศา และสมบัติของการเทา่ กนั ) ดงั น้ัน 60 + 60 + ˆ2 = 180 จะได้ ˆ2 = 60° ˆ1 = ˆ2 = Gˆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 385 ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 2 นักเรียนสามารถน�ำ สมบัติหรือทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั รูปสามเหลี่ยมและรปู สี่เหล่ยี มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยมีเกณฑ์การให้คะแนน ดังนี้ ✤ ตอบไดว้ ่าเป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่าและบอกเหตผุ ลถูกต้อง ได้ 2 คะแนน ✤ ตอบได้ว่าเป็นรูปสามเหลยี่ มด้านเทา่ แต่ไมบ่ อกเหตผุ ลหรือบอกเหตุผลไม่ถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 4) 3 C 2 ΔCAT เปน็ รปู สามเหลยี่ มหนา้ จั่ว A 1 เพราะ มมี ุมท่ีมขี นาดเท่ากนั ทง้ั สองมมุ 12 4 T แนวคิด ˆ1 = ˆ2 และ ˆ21 =// ˆ 4 2 (กำ�หนดให)้ เน่ืองจาก ˆ1 = ˆ3 และ (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด แล้วมุมแย้ง จะได้ มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั นั้น (สมบัติของการเท่ากนั ) ˆ3 = ˆ4 จากแนวคิดขา้ งต้น จะได้ ΔCAT เป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั เพราะมีมมุ ทม่ี ีขนาดเท่ากันสองมุม ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั รูปสามเหล่ียมและรปู สี่เหลย่ี มมาใช้ในการใหเ้ หตุผล เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้ ✤ ตอบได้ว่าเปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จั่วและบอกเหตุผลถกู ต้อง ได ้ 2 คะแนน ✤ ตอบไดว้ า่ เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว แต่ไม่บอกเหตุผลหรือบอกเหตุผลไม่ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

386 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 6. จากรปู จงหาค่า x พร้อมท้งั แสดงเหตุผล (3 คะแนน) A x° 55° 100° D B C แนวคิด 1 x + 55 = 100 (ขนาดของมมุ ภายนอกของรูปสามเหล่ียมเท่ากบั ผลบวกของ เนอ่ื งจาก ขนาดของมมุ ภายในทไี่ ม่ใช่มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกน้ัน) x = 45 (สมบัติของการเทา่ กนั ) ดงั นนั้ แนวคิด 2 A x° 55° y° 100° D B C เน่อื งจาก y + 100 = 180 (ขนาดของมุมตรง) (สมบตั ิของการเท่ากัน) ดังน้นั y = 80 (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เท่ากบั 180 องศา) เนอ่ื งจาก x + y + 55 = 180 (สมบัติของการเทา่ กนั โดยแทน y ดว้ ย 80) (สมบัตขิ องการเท่ากัน) จะได ้ x + 80 + 55 = 180 ดงั นัน้ x = 45 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 387 ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรียน ข้อ 2 นักเรียนสามารถนำ�สมบัตหิ รอื ทฤษฎีบทเก่ียวกบั รปู สามเหล่ยี มและรปู สี่เหลย่ี มมาใชใ้ นการให้เหตุผล เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การให้คะแนน ดังนี้ ✤ หาคา่ x ถกู ต้อง และแสดงเหตุผลครบถว้ นสมบูรณ์ ได้ 3 คะแนน ✤ หาคา่ x ถูกตอ้ ง และแสดงเหตุผลถูกต้องบางสว่ น หรือแสดงเหตผุ ลถูกตอ้ ง แต่คำ�นวณหาค่า x ไม่ถกู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน ✤ หาคา่ x ถกู ต้อง แตไ่ มแ่ สดงเหตุผลหรอื แสดงเหตุผลแต่ไมถ่ ูกต้อง หรอื แสดงเหตุผลถูกต้องบางส่วน และคำ�นวณหาคา่ x ไมถ่ ูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน 7. จากรูปท่กี ำ�หนดให ้ ΔACD เป็นรูปสามเหล่ยี มชนิดใด เพราะเหตใุ ด (5 คะแนน) A BC D แนวคดิ 1 A 14 23 5 BCD เน่อื งจาก AB = BC = CA (ก�ำ หนดให)้ ดังนนั้ ΔABC เป็นรูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ (มีดา้ นยาวเทา่ กันสามดา้ น) จะได ้ (มุมภายในแตล่ ะมมุ ของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = 60° มีขนาดเท่ากบั 60 องศา) เนือ่ งจาก (ก�ำ หนดให้) จะได ้ ดงั นัน้ (สมบัติของการเท่ากนั โดยแทน ˆ1 ด้วย 60) เนอื่ งจาก ˆ1 + ˆ4 = 90° 60 + ˆ4 = 90 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) ˆ4 = 30° (ขนาดของมุมภายในท้งั สามมมุ ของรปู สามเหลี่ยม ˆ2 + ˆ1 + ˆ4 + ˆ5 = 180° รวมกนั เท่ากับ 180 องศา) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

388 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 จะได ้ 60 + 60 + 30 + ˆ5 = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากัน โดยแทน ˆ2 , ˆ1 และ ˆ4 ดว้ ย 60, ดังน้นั 60 และ 30 ตามล�ำ ดบั ) นน่ั คอื (สมบัติของการเทา่ กนั ) ˆ5 = 30° (มมี มุ ทีม่ ีขนาดเทา่ กนั สองมมุ ) ΔACD เปน็ รูปสามเหลยี่ มหน้าจ่วั แนวคิด 2 A 14 2 36 5 BCD เนื่องจาก AB = BC = CA (กำ�หนดให)้ ดังนนั้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่า (มีดา้ นยาวเทา่ กันสามด้าน) จะได้ (มมุ ภายในแต่ละมุมของรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = 60° มีขนาดเท่ากับ 60 องศา ) (ก�ำ หนดให้) เน่ืองจาก ˆ1 + ˆ4 = 90° 60 + ˆ4 = 90 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน โดยแทน ˆ1 ดว้ ย 60) จะได ้ ˆ4 = 30° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดงั นั้น ˆ3 + ˆ6 = 180° (ขนาดของมมุ ตรง) 60 + ˆ6 = 180 เนอื่ งจาก (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ3 ดว้ ย 60) ˆ6 = 120° จะได้ ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = 180° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) (ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของรปู สามเหล่ียม ดงั นัน้ เนอื่ งจาก รวมกันเท่ากบั 180 องศา) จะได้ 30 + ˆ5 + 120 = 180 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน โดยแทน ˆ4 ด้วย 30 และ ดงั น้นั แทน ˆ6 ด้วย 120) น่นั คือ (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) ˆ5 = 30° (มีมุมท่ีมขี นาดเทา่ กันสองมุม) ΔACD เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจว่ั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 389 ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบัติหรอื ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั รูปสามเหลย่ี มและรปู สเี่ หลย่ี มมาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ล เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน โดยแบ่งออกเปน็ ส่วน ๆ ดงั นี้ ได้ 1 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ หาขนาดของ ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 ถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ✤ หาขนาดของ ˆ4 ถูกต้อง ✤ หาขนาดของ ˆ5 ถกู ตอ้ ง ✤ ตอบได้วา่ ΔACD เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จั่ว ได้ 1 คะแนน ✤ ให้เหตุผลได้ว่า ΔACD เปน็ รปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่ัวได้ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน 8. จากรูปทก่ี ำ�หนดให ้ จงหาความยาวของ BC พรอ้ มทง้ั บอกเหตุผล (2 คะแนน) A D E 7 ซม. แนวคิด B เนือ่ งจาก C และ ดังนั้น จดุ D เปน็ จดุ กึง่ กลางของ AB (ก�ำ หนดให ้ AD = DB) จุด E เป็นจุดก่งึ กลางของ AC (ก�ำ หนดให้ AE = EC) เนอ่ื งจาก DE = –21BC (ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากเช่อื มจุดกง่ึ กลางของดา้ น จะได้ สองดา้ นของรปู สามเหล่ยี มใด ๆ จะยาวเปน็ ครึง่ หนึ่ง ดังนั้น ของดา้ นทสี่ าม) DE = 7 เซนตเิ มตร (ก�ำ หนดให)้ BC = 2DE = 14 เซนตเิ มตร (สมบัตขิ องการเท่ากัน) ความยาวของ BC เทา่ กับ 14 เซนตเิ มตร ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถนำ�สมบัตหิ รือทฤษฎีบทเก่ียวกบั รูปสามเหล่ยี มและรูปสี่เหลี่ยมมาใช้ในการให้เหตผุ ล เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้ ✤ หาความยาวของ BC ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ แสดงเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

390 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 9. ก�ำ หนดให้ ΔPQR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทม่ี ี PQˆR เป็นมุมฉาก มี PQ และ PR ยาว 5 และ 13 เซนตเิ มตร ตามล�ำ ดับ และมจี ดุ S และจุด T เปน็ จดุ กงึ่ กลางของ PQ และ QR ตามลำ�ดบั จงหา (10 คะแนน) 1) ความยาวรอบรูปของ ΔSQT 2) ความยาวรอบรูปของ ΔPQR เป็นก่ีเทา่ ของความยาวรอบรูปของ ΔSQT 3) พ้นื ทข่ี อง ΔSQT 4) พนื้ ท่ีของ ΔPQR เป็นกี่เทา่ ของพ้ืนท่ีของ ΔSQT แนวคดิ วาดรูปประกอบการหาค�ำ ตอบไดด้ ังนี้ P 5 ซม. S 13 ซม. Q TR เน่ืองจาก ΔPQR เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก (กำ�หนดให)้ (ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส) จะได้ QR2 = 132 – 52 (สมบัติของการเทา่ กนั ) ดังนั้น QR2 = 144 QR = 12 (สมบัติของการเท่ากนั ) เนื่องจาก จุด S เปน็ จดุ กึ่งกลางของ PQ และ PQ = 5 เซนตเิ มตร (ก�ำ หนดให้) จะได ้ SQ = 2.5 เซนตเิ มตร (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) เนอื่ งจาก จดุ T เป็นจุดก่งึ กลางของ QR และ QR = 12 เซนติเมตร (ก�ำ หนดให้ และจากการพสิ ูจนข์ ้างต้น) จะได ้ QT = 6 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากนั ) เนอ่ื งจาก จุด S และจดุ T เปน็ จุดกง่ึ กลางของ PQ และ QR ตามล�ำ ดบั และ PR = 13 เซนติเมตร (กำ�หนดให)้ จะได้ ST = –12 PR (ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากเช่ือมจดุ กง่ึ กลาง ของดา้ นสองดา้ นของรูปสามเหล่ียม ใด ๆ จะยาวเปน็ ครง่ึ หนง่ึ ของดา้ นทสี่ าม) ST = –12 (13) = 6.5 เซนติเมตร ดังนัน้ (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) พจิ ารณา ΔSQT มี SQˆT เปน็ มมุ ฉาก SQ = 2.5 เซนติเมตร QT = 6 เซนตเิ มตร และ ST = 6.5 เซนตเิ มตร จะได้ ความยาวรอบรปู ของ ΔSQT = 2.5 + 6 + 6.5 = 15 เซนติเมตร พน้ื ท่ขี อง ΔSQT = –12 (6)(2.5) = 7.5 ตารางเซนติเมตร และ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 391 พิจารณา ΔPQR มี PQˆR เป็นมุมฉาก, PQ = 5 เซนตเิ มตร QR = 12 เซนติเมตร และ PR = 13 เซนตเิ มตร จะได้ ความยาวรอบรปู ของ ΔPQR = 5 + 12 + 13 = 30 เซนตเิ มตร พื้นท่ีของ ΔPQR = –12 (12)(5) = 30 ตารางเซนติเมตร และ จากแนวคิดและข้อมูลท่ไี ดข้ า้ งต้น ตอบคำ�ถามไดด้ ังน้ี 1) ความยาวรอบรูปของ ΔSQT เท่ากบั 15 เซนติเมตร 2) ความยาวรอบรปู ของ ΔPQR เปน็ 2 เทา่ ของความยาวรอบรูปของ ΔSQT (เนือ่ งจาก ความยาวรอบรูปของ ΔPQR เทา่ กบั 30 เซนติเมตร และความยาวรอบรูปของ ΔSQT เทา่ กบั 1—350 = 2 เทา่ ของความยาวรอบรูปของ 15 เซนติเมตร จะได้ความยาวรอบรปู ของ ΔPQR เป็น ΔSQT) 3) พื้นท่ขี อง ΔSQT เท่ากบั 7.5 ตารางเซนตเิ มตร 4) พน้ื ท่ีของ ΔPQR เปน็ 4 เท่าของพนื้ ทขี่ อง ΔSQT (เนอ่ื งจาก พนื้ ที่ของ ΔPQR เท่ากบั 30 ตารางเซนตเิ มตร และ พน้ื ที่ของ ΔSQT เท่ากับ 7.5 ตารางเซนตเิ มตร จะไดพ้ ้นื ทีข่ อง ΔPQR เปน็ 7—3.05 = 4 เทา่ ของพ้นื ท่ีของ ΔSQT) ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ สมบัตหิ รือทฤษฎีบทเกีย่ วกับรปู สามเหล่ียมและรูปส่ีเหลยี่ มมาใช้ในการให้เหตุผล เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นสว่ น ๆ ดงั น้ี ข้อ 1) คะแนนเตม็ 5 คะแนน ✤ วาดรปู ประกอบการหาคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ หา QR ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ หา SQ และ QT ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ✤ หา ST ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ หาความยาวรอบรปู ของ ΔSQT ถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ขอ้ 2) คะแนนเต็ม 2 คะแนน ✤ หาความยาวรอบรูปของ ΔPQR ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ข้อ 3) คะแนนเต็ม 1 คะแนน ✤ หาพนื้ ที่ของ ΔSQT ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ข้อ 4) คะแนนเตม็ 2 คะแนน ✤ หาพนื้ ทขี่ อง ΔPQR ถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

392 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คูม่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 10. จากรปู กำ�หนดให้ AB ขนานกับ CD GH ตงั้ ฉากกับ EF และ CˆEF มขี นาด 55° จงหาขนาดของ GHˆB พรอ้ มแสดงแนวคดิ ในการหาคำ�ตอบ (3 คะแนน) ED C D GE C B G H AF B แนวคดิ เขียนสัญลกั ษณแ์ ทนส่งิ ที่โจAทยก์ �ำ หนดFและส่ิงท่ที ราบว่าเทHา่ กนั ในรูป ประกอบการใหเ้ หตผุ ลไดด้ ังนี้ E D C 55° B G H AF เน่อื งจาก AB // CD และ CˆEF = 55° (กำ�หนดให)้ จะได้ CˆEF = EˆFH = 55° (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเสน้ ตดั แล้วมุมแยง้ มขี นาดเท่ากัน) เน่ืองจาก FGˆH = 90° (ก�ำ หนดให้ GH ⊥ EF) ดังน้นั GHˆB = 55 + 90 = 145° (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลยี่ มเท่ากับผลบวกของ ขนาดของมุมภายในทไี่ ม่ใช่มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกนน้ั ) ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั ิหรอื ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับรปู สามเหลี่ยมและรูปสเ่ี หลี่ยมมาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ล เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังน้ี ✤ ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ✤ แสดงแนวคดิ ถูกต้อง ได้ 2 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 393 11. จากรูปกำ�หนดให้ �AB ขนานกับ �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามล�ำ ดับ จงเขยี นแสดง การให้เหตผุ ลในแตล่ ะรายการตอ่ ไปนีใ้ ห้สมบูรณ์ เพ่อื พิสจู นว์ า่ PQRS เปน็ รปู สเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน (10 คะแนน) E G CS RD 110° AP 70° B F Q H กำ�หนดให ้ �AB ขนานกบั �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามล�ำ ดับ ต้องการพิสูจนว์ ่า PQRS เป็นรปู สี่เหลย่ี มดา้ นขนาน พิสูจน์ �AB // �CD (กำ�หนดให ้ ) เนื่องจาก PQ // SR (PQ อยบู่ น �AB และ SR อยูบ่ น �CD ) จะได้ (กำ�หนดให ้ ) เน่ืองจาก BQˆR = 70° (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ มมุ แย้ง จะได้ QˆRS = 70° มขี นาดเทา่ กนั ) RˆSP = 110° (ก�ำ หนดให ้ ) เนื่องจาก (สมบัตขิ องการเทา่ กัน ) จะได ้ QˆRS + RˆSP = 70 + 110 (สมบตั ิของการเทา่ กัน ) หรอื QˆRS + RˆSP = 180° (ถา้ เสน้ ตรงเส้นหน่ึงตดั เส้นตรงคหู่ นึ่ง ทำ�ใหข้ นาดของ �EF // �GH ดังน้ัน มมุ ภายในท่ีอยูบ่ นข้างเดยี วกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเสน้ ตรงคู่นนั้ ขนานกนั ) PS // QR (PS อย่บู น �EF และ QR อยู่บน �GH ) จะได้ ดงั นั้น PQRS เปน็ รูปสีเ่ หลีย่ มดา้ นขนาน (มดี ้านตรงข้ามขนานกันสองค ู่ ) ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นักเรียนสามารถน�ำ สมบัติหรอื ทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั รูปสามเหลย่ี มและรูปสีเ่ หลี่ยมมาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ล เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน เติมเหตุผลในแตล่ ะช่องถูกตอ้ ง ได้ช่องละ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

394 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 12. จากรูป �AD เป็นเส้นแบ่งครงึ่ BˆAC จงแสดงการใหเ้ หตุผลเพอ่ื หาว่า ΔAFG เป็นรปู สามเหลยี่ มชนิดใดโดยเตมิ เหตุผลทา้ ยข้อความที่กำ�หนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ความให้ถูกต้อง (7 คะแนน) C G DE A BF พิจารณา ΔAEF และ ΔAEG AˆFE = AˆGE = 90° เน่อื งจาก (กำ�หนดให้ ) FˆAE = GˆAE ) (�AD เปน็ เสน้ แบง่ ครึ่ง BˆAC และ AE = AE (AE เปน็ ดา้ นรว่ ม ) ดังน้ัน ΔAEF ≅ ΔAEG (ม.ม.ด. ) จะได้ AF = AG (ด้านคู่ทสี่ มนัยกนั ของรปู สามเหลี่ยมท่เี ทา่ กันทุกประการ จะยาวเทา่ กัน ) ดงั นนั้ ΔAFG เปน็ รูปสามเหลย่ี มหน้าจั่ว (มีด้านยาวเท่ากันสองดา้ น ) ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน ข้อ 2 นักเรียนสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับรูปสามเหล่ียมและรูปสี่เหลย่ี มมาใชใ้ นการให้เหตผุ ล เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 7 คะแนน เตมิ เหตผุ ลในแตล่ ะชอ่ งถกู ต้อง ไดช้ ่องละ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ตอ้ งหรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 13. จากรูป ก�ำ หนดให้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มหนา้ จัว่ และมี AD = BE จงใหเ้ หตุผลว่า ΔCDE เปน็ รูปสามเหล่ียม หนา้ จ่วั C (9 คะแนน) A DE B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 395 แนวคดิ เขยี นสญั ลักษณ์แทนส่ิงที่ทราบวา่ เทา่ กนั จากเงือ่ นไขทโ่ี จทย์กำ�หนดลงในรปู เพ่อื ความสะดวกในการให้เหตผุ ล แนวคิด 1 C 1 D 2 A EB พิจารณา ΔACD และ ΔBCE (ก�ำ หนดให)้ เน่ืองจาก ΔABC เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจ่ัว (ด้านประกอบมุมยอดของรปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั ยาวเท่ากนั ) จะได ้ AC = BC (มมุ ทฐี่ านของรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่ัวมีขนาดเทา่ กนั ) และ (กำ�หนดให้) ˆ1 = ˆ2 (ด.ม.ด.) ดงั นนั้ (ด้านคู่ท่สี มนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมทเ่ี ทา่ กันทุกประการ จะได ้ AD = BE จะยาวเทา่ กนั ) ΔACD ≅ ΔBCE (มดี ้านยาวเท่ากันสองดา้ น) ดงั น้ัน CD = CE ΔCDE เป็นรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั แนวคดิ 2 C 1 35 64 2 A D EB พิจารณา ΔACD และ ΔBCE (ก�ำ หนดให)้ เนอื่ งจาก ΔABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว (ด้านประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลยี่ มหน้าจั่วยาวเทา่ กนั ) จะได ้ (มุมทฐี่ านของรูปสามเหลย่ี มหนา้ จัว่ มีขนาดเทา่ กนั ) และ AC = BC (ก�ำ หนดให้) (ด.ม.ด.) ดังนั้น ˆ1 = ˆ2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี AD = BE ΔACD ≅ ΔBCE

396 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 จะได ้ ˆ3 = ˆ4 (มมุ คทู่ ส่ี มนยั กันของรูปสามเหล่ียมทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเท่ากัน) (ขนาดของมมุ ตรง) เนอ่ื งจาก ˆ3 + ˆ5 = ˆ4 + ˆ6 = 180° (สมบตั ิของการเท่ากัน) ˆ5 = ˆ6 (มมี ุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองมมุ ) จะได้ ดงั นั้น ΔCDE เป็นรูปสามเหลีย่ มหนา้ จัว่ ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั รูปสามเหลีย่ มและรูปสเ่ี หล่ยี มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน ได ้ 5 คะแนน ใหเ้ หตุผลได้ว่า ΔACD ≅ ΔBCE แบบ ด.ม.ด. ถกู ตอ้ งชัดเจน ได ้ 2 คะแนน สรปุ ไดว้ ่า CD = CE หรือ CˆDE = CˆED และให้เหตุผลถูกต้องชดั เจน สรุปได้วา่ ΔCDE เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ และใหเ้ หตุผลถกู ต้องชัดเจน ได้ 2 คะแนน 14. N 22 ซม. P M จากรูป ก�ำ หนดให้ ΔLMN เป็นรปู สามเหล่ยี มหนา้ จ่วั L 9 ซม. O LO = 9 เซนตเิ มตร NP = 22 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ PO พรอ้ มทงั้ แสดงเหตุผล (5 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 397 แนวคิด 1 N 1 4 22 ซม. 7 P 6M 9 2 L 5 8O 9 ซม. พิจารณา ΔLMN ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 = 180° เนอื่ งจาก (ขนาดของมมุ ภายในท้ังสามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม รวมกนั เท่ากบั 180 องศา) จะได้ ดั้งนั้น ˆ1 + ˆ2 + 90 = 180 (ก�ำ หนดให ้ ˆ3 = 90 องศา) ˆ1 + ˆ2 = 90° (สมบตั ิของการเท่ากัน) เนอ่ื งจาก NP // LO (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นงึ่ ท�ำ ใหข้ นาดของมมุ ภายใน ทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา แลว้ เสน้ ตรงคูน่ นั้ ขนานกัน) จะได้ (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้น ˆ4 + ˆ1 + ˆ2 + ˆ5 = 180° ดงั นั้น ˆ4 + ˆ5 = 90° ขนาน รวมกันเท่ากับ 180 องศา) (ˆ1 + ˆ2 = 90 องศา และสมบตั ขิ องการเท่ากัน) พจิ ารณา ΔNMP ˆ4 + ˆ6 + ˆ7 = 180° เน่อื งจาก (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา) จะได้ ˆ4 + ˆ6 + 90 = 180 (กำ�หนดให ้ ˆ7 = 90 องศา) ˆ4 + ˆ6 = 90° ดงั นั้น ˆ4 + ˆ5 = ˆ4 + ˆ6 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) ˆ5 = ˆ6 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) เนื่องจาก (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) จะได้ พิจารณา ΔNMP และ ΔMLO ˆ6 = ˆ5 เนอ่ื งจาก (จากการพิสูจน์ขา้ งตน้ ) ˆ7 = ˆ8 = 90° (ก�ำ หนดให้) NM = ML (ก�ำ หนดให้ ΔLMN เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จัว่ ) ดงั น้นั ΔNMP ≅ ΔMLO (ม.ม.ด.) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

398 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 จะได ้ MP = LO = 9 (ด้านคู่ทีส่ มนยั กันของรปู สามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทุกประการ และ จะยาวเท่ากัน) ดงั น้นั NP = MO = 22 (ดา้ นคทู่ ี่สมนัยกนั ของรูปสามเหลีย่ มที่เทา่ กันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) PO = PM + MO = 9 + 22 = 31 เซนติเมตร แนวคดิ 2 (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม รวมกนั เทา่ กบั จาก ΔNMP จะได ้ ˆ4 + ˆ6 + 90 = 180 180 องศา) (ขนาดของมมุ ตรง) ทจี่ ดุ M จะได้ ˆ9 + ˆ6 + 90 = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) ˆ4 = ˆ9 ดงั น้นั พิจารณา ΔNMP และ ΔMLO NM = ML (กำ�หนดให้ ΔLMN เป็นรปู สามเหล่ยี มหน้าจว่ั ) ˆ7 = ˆ8 = 90° (ก�ำ หนดให้) ˆ4 = ˆ9 ดังนน้ั (จากการพิสูจนข์ ้างตน้ ) ΔNMP ≅ ΔMLO (ม.ม.ด) จะได ้ MP = LO = 9 (ดา้ นคทู่ ี่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) NP = MO = 22 (ด้านคู่ท่ีสมนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมที่เทา่ กนั ทุกประการ จะยาวเทา่ กัน) ดงั นัน้ PO = PM + MO = 9 + 22 = 31 เซนตเิ มตร ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับรูปสามเหล่ียมและรปู สเี่ หลย่ี มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดงั น้ี ✤ ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน ✤ ใหเ้ หตุผลได้ว่า ΔNMP ≅ ΔMLO แบบ ม.ม.ด. ถกู ตอ้ งชัดเจน ได ้ 3 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง 399 บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ในบทการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องนี้ ประกอบด้วย หวั ข้อย่อย ดงั ต่อไปนี้ 5.1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้ 1 ช่ัวโมง สมบตั กิ ารแจกแจง 3 ชั่วโมง 5.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 3 ชว่ั โมง ตัวแปรเดียว 2 ช่วั โมง 5.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง ท่เี ป็นกำ�ลังสองสมบรู ณ์ 5.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง ทเ่ี ป็นผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระ จ�ำ นวนและพีชคณติ มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรปู ความสมั พนั ธ์ ฟังก์ชนั ลำ�ดับและอนุกรม และน�ำ ไปใช้ ตัวชวี้ ดั เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ จุดประสงคข์ องบทเรยี น นักเรียนสามารถ 1. แยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง 2. แยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดียว พหุนามดีกรีสองท่ีเปน็ กำ�ลงั สองสมบรู ณ์ และพหุนามดกี รสี อง ที่เปน็ ผลต่างของก�ำ ลงั สอง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี