(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.2

300 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 แนวคดิ ในการให้เหตผุ ล เน่ืองจาก ΔCMN เป็นรปู สามเหลี่ยมท่มี ี CMˆN เปน็ มมุ ฉาก MN = b หน่วย และ MC = a หนว่ ย (จากการสร้าง) จะได้ NC2 = a2 + b2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส) เนื่องจาก NCDE เป็นรปู สี่เหล่ียมจตั ุรสั ทแ่ี ต่ละดา้ นยาวเทา่ กับ NC (จากการสร้าง) ดังนน้ั NCDE มพี ื้นทเี่ ทา่ กบั NC2 ตารางหนว่ ย หรอื a2 + b2 ตารางหน่วย เน่อื งจาก รูปสเ่ี หล่ียมจตั ุรัส A มีพ้ืนท ่ี a2 ตารางหนว่ ย (รูปสเ่ี หลย่ี มจตั ุรสั A มีความยาว ของแตล่ ะดา้ น a หน่วย) และ รปู สี่เหล่ียมจัตรุ สั B มพี ื้นที่ b2 ตารางหน่วย (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั B มีความยาว ของแต่ละด้าน b หนว่ ย) ดังนั้น รูปสี่เหลยี่ มจตั ุรัส NCDE มพี ืน้ ที่เท่ากบั ผลบวกของ พื้นทข่ี องรปู สเี่ หล่ยี มจัตรุ สั A และพนื้ ทข่ี อง รปู สเ่ี หลย่ี มจัตุรัส B (สมบตั ิของการเทา่ กัน) 3. แนวคดิ 1 1) a B a b b A C QP a b D 1. สร้าง �AP และบน �AP สรา้ ง AQ ยาว a + b หน่วย 2. กำ�หนดจุด C บน AQ จะได ้ AC ยาวน้อยกว่า a + b หนว่ ย (เนอื่ งจาก จะสรา้ งรปู สามเหลย่ี มไดเ้ มอ่ื ผลบวกของความยาวของดา้ นสองดา้ นใด ๆ ของรปู สามเหลยี่ มมากกวา่ ความยาวของด้านท่สี าม) 3. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ a หน่วย และใช้จุด C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ b หน่วย เขียนส่วนโค้งตดั กนั ท้ังสองด้านของ AC ที่จุด B และจุด D ตามล�ำ ดบั 4. ลาก BA, BC, DA และ DC จะได ้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหล่ียมรปู วา่ วตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 301 2) สรา้ งไดห้ ลายรปู นับไม่ถ้วน เพราะ สามารถสร้าง AC ใหย้ าวนอ้ ยกวา่ a + b หนว่ ย ได้มากมายนับไมถ่ ้วน โดยใหจ้ ุดตัด B และ D อยู่ ทางขวาของจดุ A เสมอ ดงั ตวั อยา่ ง a B b b a A C QP a b D B ab A C QP a b D สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

302 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 แนวคดิ 2 1) a B aa b AC QP bb D 1. สรา้ ง �AP และบน �AP สรา้ ง AQ ยาว 2a หน่วย 2. ก�ำ หนดจดุ C บน AQ จะได ้ AC ยาวนอ้ ยกวา่ 2a หน่วย (เนอื่ งจาก จะสรา้ งรปู สามเหลยี่ มไดเ้ มอ่ื ผลบวกของความยาวของดา้ นสองดา้ นใด ๆ ของรปู สามเหลยี่ มมากกวา่ ความยาวของด้านทส่ี าม) 3. ใช้จุด A และจดุ C เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางรัศมีเท่ากับ a หนว่ ย เขยี นสว่ นโคง้ ตัดกนั ทางด้านใดดา้ นหนง่ึ ของ AC ทีจ่ ุด B แล้วลาก BA และ BC 4. ใชจ้ ดุ A และจดุ C เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางรศั มีเท่ากบั b หน่วย เขยี นสว่ นโค้งตัดกันอกี ด้านหน่งึ ของ AC ท่ีจุด D แลว้ ลาก DA และ DC จะได ้ ABCD เปน็ รูปสเ่ี หล่ียมรปู วา่ วตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 303 2) สร้างไดห้ ลายรูปนบั ไมถ่ ว้ น เพราะ สามารถสร้าง AC ให้ยาวน้อยกว่า 2a หน่วย ได้มากมายนับไม่ถ้วน โดยให้จุดตัด B และ D อย่ทู างขวาของจุด A เสมอ ดงั ตวั อย่าง B a a b a B aa AC QP A CQ P bb bb D D C 4. แนวคิด 1 R D S PQ AB T 1. สรา้ ง �AT และบน �AT สรา้ ง AB ยาวเทา่ กบั PQ 2. ลาก QS 3. ใช้จดุ A เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รัศมเี ท่ากับ PS และใช้จุด B เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รัศมีเทา่ กบั QS เขียนส่วนโค้งตัดกนั ทจี่ ดุ D 4. ลาก AD 5. ใช้จุด B เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมเี ทา่ กับ QR และใช้จุด D เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มเี ทา่ กบั SR เขยี นสว่ นโค้งตัดกันทจี่ ุด C 6. ลาก BC และ DC จะได้ ABCD เป็นรปู สี่เหลย่ี มท่ีเท่ากนั ทกุ ประการกับ PQRS สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

304 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 C แนวคิดในการให้เหตุผล R S D PQ A BT พจิ ารณา ΔABD และ ΔPQS เนอ่ื งจาก AB = PQ, AD = PS และ BD = QS (จากการสร้าง) ดงั นนั้ ΔABD ≅ ΔPQS (ด.ด.ด.) DˆAB = SˆPQ, AˆBD = PˆQS และ BˆDA = QˆSP (มมุ คทู่ สี่ มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี ม จะได้ ท่เี ทา่ กันทุกประการ จะมขี นาด เทา่ กนั ) พิจารณา ΔBCD และ ΔQRS เน่อื งจาก BD = QS, DC = SR และ BC = QR (จากการสรา้ ง) ดังนนั้ ΔBCD ≅ ΔQRS (ด.ด.ด.) จะได้ DˆBC = SˆQR, BˆCD = QˆRS และ CˆDB = RˆSQ (มมุ คทู่ สี่ มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี ม ที่เทา่ กันทุกประการ จะมขี นาด เทา่ กัน) AˆBD + DˆBC = PQˆS + SQˆR (สมบัติของการเทา่ กนั ) นัน่ คอื AˆBC = PQˆR (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) (สมบัติของการเทา่ กัน) จะได ้ ในทำ�นองเดยี วกันจะได้ CˆDA = RˆSP พจิ ารณา ABCD และ PQRS จะได ้ AB = PQ, BC = QR, CD = RS และ AD = PS (จากการสร้าง) DˆAB = SˆPQ, AˆBC = PQˆR, BˆCD = QˆRS และ CˆDA = RˆSP (จากการพสิ จู นข์ ้างต้น) ดงั นัน้ ABCD ≅ PQRS (รูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเม่ือ ด้านคู่ที่สมนัยกัน ยาวเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ และมมุ คู่ที่สมนยั กนั มขี นาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 305 C แนวคดิ 2 RU D S PQ A BT 1. สร้าง �AT และบน �AT สรา้ ง AB ยาวเทา่ กับ PQ 2. ทจ่ี ดุ A สรา้ ง UˆAB ให้มขี นาดเทา่ กับขนาดของ SˆPQ 3. บน �AU สรา้ ง AD ยาวเทา่ กบั PS 4. ใชจ้ ุด B เป็นจุดศนู ย์กลาง รัศมเี ทา่ กบั QR และใช้จุด D เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมีเทา่ กบั SR เขยี นส่วนโค้งตัดกนั ทจี่ ุด C 5. ลาก BC และ DC จะได้ ABCD เป็นรปู สเ่ี หล่ยี มที่เท่ากันทุกประการกับ PQRS แนวคดิ ในการใหเ้ หตผุ ล RU C D S PQ A BT ลาก QS และ BD พจิ ารณา ΔABD และ ΔPQS เนื่องจาก AB = PQ, DˆAB = SˆPQ และ AD = PS (จากการสรา้ ง) ดังนนั้ ΔABD ≅ ΔPQS (ด.ม.ด.) BD = QS, AˆBD = PQˆS และ BˆDA = QˆSP (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียม จะได ้ ท่ีเท่ากันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กัน และ มุมคู่ท่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ียมที่ เทา่ กันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

306 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 พิจารณา ΔBCD และ ΔQRS เนอ่ื งจาก BC = QR, CD = RS (จากการสร้าง) และ BD = QS (จากการพิสจู นข์ ้างตน้ ) ดังนั้น ΔBCD ≅ ΔQRS (ด.ด.ด.) จะได ้ DˆBC = SQˆR, BˆCD = QˆRS และ CˆDB = RˆSQ (มมุ คทู่ ี่สมนยั กนั ของรปู สามเหล่ียม ทเ่ี ท่ากนั ทุกประการ จะมขี นาดเท่ากัน) AˆBD + DˆBC = PQˆS + SQˆR (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) น่ันคอื AˆBC = PQˆR (สมบัตขิ องการเท่ากัน) (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จะได้ ในท�ำ นองเดียวกนั จะได ้ CˆDA = RˆSP พิจารณา ABCD และ PQRS จะได ้ AB = PQ, BC = QR, CD = RS และ AD = PS (จากการสรา้ ง) และ DˆAB = SˆPQ AˆBC = PQˆR, BˆCD = QˆRS และ CˆDA = RˆSP (จากการสรา้ ง) (จากการพสิ ูจนข์ ้างตน้ ) ดงั น้นั ABCD ≅ PQRS (รปู หลายเหลยี่ มสองรปู เทา่ กนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมอ่ื ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ยาวเทา่ กันเป็นคู่ ๆ และมมุ ค่ทู ี่สมนยั กันมขี นาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ) 5. แนวคดิ G 3 F D C 5E A 8 B พิจารณา ΔABC และ ΔADC (AC เปน็ เส้นแบง่ ครึง่ DˆAB) CˆAB = CˆAD (ก�ำ หนดให)้ AˆBC = AˆDC = 90° (AC เป็นดา้ นร่วม) (ม.ม.ด.) AC = AC ดังน้นั ΔABC ≅ ΔADC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 307 จะได ้ AB = AD = 8 (ด้านคูท่ ่สี มนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมที่ เทา่ กนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั ) (กำ�หนดให้) (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) เนอื่ งจาก AE = ED (กำ�หนดให้) (ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ) ดงั นั้น AE = ED = 4 (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก ΔAEF เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก จะได ้ FE2 = AF2 – AE2 FE2 = 52 – 42 ดงั น้ัน FE = 3 เนื่องจาก FG // AD (ก�ำ หนดให)้ จะได ้ ADGF เป็นรปู ส่ีเหลยี่ มคางหมู (มีด้านตรงข้ามขนานกัน 1 คู่) ดงั น้นั พนื้ ท่ีของ ADGF = –21 × (8 + 3) × 3 = 16.5 ตารางหน่วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

308 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คูม่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 4.3 การใหเ้ หตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปส่เี หลย่ี ม (7 ชว่ั โมง) จุดประสงค์ นกั เรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม เสน้ ขนาน และสมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี ม และรปู ส่เี หลย่ี มไปใชใ้ นการให้เหตุผล ความเข้าใจท่คี ลาดเคลอ่ื น - สอ่ื ทแ่ี นะน�ำ ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ 1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ให้เหตผุ ลได้หรอื ไม่ 2. ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเก่ียวกับการให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปส่ีเหล่ียม โดยอาศัยทฤษฎีบทเร่ืองความเท่ากัน ทกุ ประการของรปู สามเหลยี่ มและเสน้ ขนานทไ่ี ดเ้ รยี นมาแลว้ ผา่ นการถามตอบประกอบการอธบิ าย และการท�ำ กจิ กรรมเชงิ ส�ำ รวจ แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนร้อู าจท�ำ ไดด้ ังน้ี 1. ครูทบทวนทฤษฎีบทเก่ียวกับเงื่อนไขที่ทำ�ให้สรุปได้ว่ารูปสามเหล่ียมสองรูปเท่ากันทุกประการ ซึ่งได้แก่ รปู สามเหล่ยี มสองรปู ท่ีมคี วามสัมพนั ธก์ นั แบบ ด.ม.ด., ม.ด.ม., ด.ด.ด., ม.ม.ด. และ ฉ.ด.ด. โดยไม่ตอ้ งแสดง การพสิ จู น์ 2. ครแู นะนำ�ทฤษฎบี ทซ่ึงเป็นสมบัติท่ีสำ�คัญของรูปสามเหลีย่ มหน้าจวั่ ทกี่ ลา่ ววา่ ถา้ รูปสามเหลีย่ มรปู หนึ่งมดี ้านยาว เทา่ กนั สองดา้ น แลว้ มมุ ทอี่ ยตู่ รงขา้ มกบั ดา้ นคทู่ ย่ี าวเทา่ กนั มขี นาดเทา่ กนั ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 212 และอภปิ ราย กับนักเรียนเกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวด้วยการใช้ความสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด. ตลอดจนร่วมกันพิจารณา บทกลับของทฤษฎีบทนี้ ซ่งึ จะเห็นว่าเป็นจริงด้วย จากนนั้ ครใู หน้ ักเรียนใช้ค�ำ ว่า “ก็ต่อเมอื่ ” เพือ่ เขยี นทฤษฎบี ท ท้ังสองให้เปน็ ทฤษฎบี ทเดยี วกนั 3. ครอู ภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี นถงึ การพสิ จู นท์ ฤษฎบี ททใี่ ชใ้ นการตรวจสอบความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลยี่ ม มุมฉากสองรูป ที่กล่าวว่า ถ้ารูปสามเหล่ียมมุมฉากสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ฉาก–ด้าน–ด้าน (ฉ.ด.ด.) กลา่ วคอื มดี า้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาวเทา่ กนั และมดี า้ นอน่ื อกี หนง่ึ คยู่ าวเทา่ กนั แลว้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั เทา่ กนั ทุกประการ ในหนังสือเรียน หน้า 214 ซึ่งใช้แนวคิดในการพิสูจน์โดยการใช้สมบัติถ่ายทอดของการเท่ากัน ทุกประการ 4. ครทู บทวนบทนิยามของรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน และทฤษฎบี ททเ่ี ก่ยี วขอ้ งดงั น้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 309 บทนิยาม รปู สีเ่ หลย่ี มด้านขนาน คอื รูปสเี่ หลยี่ มทีม่ ดี า้ นตรงขา้ มขนานกนั สองคู่ ทฤษฎีบท 1) ด้านตรงขา้ มของรูปสี่เหล่ยี มดา้ นขนานยาวเทา่ กนั 2) ถา้ รูปสเ่ี หล่ียมรปู หน่ึงมดี ้านตรงขา้ มยาวเทา่ กันสองคู่ แล้วรูปสี่เหลย่ี มรูปนั้นเป็นรูปส่เี หล่ียมดา้ นขนาน 3) มมุ ตรงข้ามของรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานมีขนาดเทา่ กนั 4) ถา้ รปู สเ่ี หลยี่ มรปู หนงึ่ มมี มุ ตรงขา้ มทมี่ ขี นาดเทา่ กนั สองค ู่ แลว้ รปู สเ่ี หลยี่ มรปู นนั้ เปน็ รปู สเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน 5) เสน้ ทแยงมุมทงั้ สองของรปู สเี่ หลีย่ มดา้ นขนานแบง่ ครึ่งซึง่ กนั และกันท่จี ุดตดั ของเส้นทแยงมมุ จากนั้นครูอภิปรายกับนักเรียนถึงการพิสูจน์ทฤษฎีบทเก่ียวกับสมบัติของรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานที่นักเรียน เคยทราบแต่ยังไมไ่ ด้มีการพิสจู น์ในหนังสือเรียน หน้า 218–221 ซ่งึ จะท�ำ ใหท้ ราบเงือ่ นไขเกย่ี วกับความยาวของ ดา้ นและขนาดของมุมทท่ี ำ�ใหร้ ูปส่เี หลีย่ มเปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มด้านขนาน ส่วนส�ำ หรับทฤษฎบี ททว่ี า่ “ส่วนของเส้นตรง ทปี่ ดิ หวั ทา้ ยของสว่ นของเสน้ ตรงทข่ี นานกนั และยาวเทา่ กนั จะขนานกนั และยาวเทา่ กนั ” ทฤษฎบี ทนชี้ ว่ ยใหเ้ รา ทราบเง่ือนไขท่ีทำ�ให้รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพิ่มอีกหนึ่งเง่ือนไข คือ รูปสี่เหล่ียมที่มีด้านที่อยู่ ตรงขา้ มกนั คหู่ นง่ึ ขนานกนั และยาวเทา่ กนั เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน และทฤษฎบี ททก่ี ลา่ ววา่ “สว่ นของเสน้ ตรง ท่ีลากเช่ือมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูปสามเหล่ียมใด ๆ จะขนานกับด้านท่ีสามและยาวเป็นคร่ึงหนึ่งของ ดา้ นทีส่ าม” ก็เป็นทฤษฎบี ทท่มี ีประโยชนม์ ากในการนำ�ไปใช้อา้ งองิ ได้ 5. ครใู ชแ้ นวคดิ จาก “เกรด็ นา่ ร”ู้ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 224 เพอื่ ใหน้ กั เรยี นเหน็ ประโยชนจ์ ากการใชค้ วามรเู้ รอ่ื งสมบตั ิ ของเส้นทแยงมุมของรปู ส่ีเหลย่ี มขนมเปียกปูนไปใช้ในชีวติ จริง 6. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ใหเ้ หตุผลได้หรือไม”่ ในคมู่ อื ครู หน้า 317 เพอื่ เป็นตัวอย่างการพสิ ูจน์ โดย ใชส้ มบตั ขิ องเสน้ ขนานและความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลยี่ มในการใหเ้ หตผุ ล และน�ำ แนวคดิ การสรา้ งไป ใชใ้ นชวนคดิ 4.6 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 225 โดยครอู าจน�ำ เสนอหรอื อาจใหน้ กั เรยี นใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad เพ่ือหาวิธีในการแบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็นหลาย ๆ ส่วนที่เท่ากัน และสำ�หรับชวนคิด 4.7 ในหนงั สือเรียน หนา้ 226 แสดงให้เห็นถึงประโยชนข์ องการให้เหตผุ ลในการหาแนวเส้นแบ่งครึ่งมุม 7. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู สเี่ หลย่ี มทแี่ นบในรปู สเ่ี หลยี่ ม” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 227 โดยใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad เพอ่ื ตอ้ งการใหน้ ักเรียนส�ำ รวจและสร้างข้อความคาดการณ์เกี่ยวกบั ลกั ษณะของ PQRS ท่แี นบใน ABCD ซึ่งนกั เรียนควรได้ข้อค้นพบตา่ ง ๆ เชน่ ✤ ด้านตรงข้ามของ PQRS ยาวเทา่ กนั ✤ มุมตรงขา้ มของ PQRS มีขนาดเทา่ กัน ✤ PQRS เปน็ รปู ส่เี หลยี่ มดา้ นขนาน ✤ เสน้ ทแยงมมุ ของ PQRS แบง่ ครึ่งซึ่งกนั และกัน 8. ครูให้นักเรียนทำ� “กิจกรรมท้ายบท : สร้างรูปสามเหลี่ยมให้มีพื้นที่เท่ากับพื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมที่กำ�หนดให้” ในหนังสือเรียน หนา้ 232 โดยใช้ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad เพ่ือต้องการให้นกั เรียนนำ�ความรู้ เรอ่ื งเส้นขนาน สมบัติของรูปสามเหล่ียมและสมบัตขิ องรปู สี่เหลย่ี ม มาใช้แกป้ ญั หา โดยครคู วรถามถึงแนวคิดจาก การสรา้ งขอ้ 1 ถงึ ขอ้ 4 ให้นกั เรยี นบอกเหตผุ ล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

310 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 9. ในการเรียนเร่ืองการให้เหตุผลทางเรขาคณิตน้ี ไม่ได้มีจุดประสงค์ให้นักเรียนพิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ ด้วยตนเอง แต่ให้ใช้การอภิปรายร่วมกันกับครู ทั้งนี้มุ่งหวังให้นักเรียนนำ�สมบัติและทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตุผลในเร่ือง ตา่ ง ๆ ตอ่ ไป ครจู ึงไม่ควรประเมินผลในเรื่องการพิสจู น์ทฤษฎบี ทเหล่านี้ ความร้เู พิ่มเตมิ สำ�หรับครู 1. การพิสจู นท์ ฤษฎีบทในหนังสอื เรียน หน้า 212 ที่ว่า “ถ้ารปู สามเหลยี่ มรูปหนึง่ มีดา้ นยาวเทา่ กันสองด้าน แล้วมมุ ท่อี ยู่ ตรงขา้ มกับดา้ นคู่ที่ยาวเทา่ กนั มีขนาดเท่ากัน” ไมใ่ ช้แนวทางการแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหลีย่ มหนา้ จ่วั เพราะ ในการพสิ จู นเ์ ก่ยี วกับการสรา้ งเสน้ แบ่งครง่ึ มุม ต้องอาศัยความสมั พันธข์ องรูปสามเหล่ียมแบบ ด.ด.ด. และการพิสจู น์ ว่ารูปสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด. ต้องอ้างถึงสมบัติดังกล่าวของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว ซึ่งทำ�ให้เกิด ลักษณะการใหเ้ หตผุ ลแบบวนกลับ 2. จากทฤษฎบี ททว่ี า่ ดา้ นตรงขา้ มของรปู สเี่ หลยี่ มดา้ นขนานยาวเทา่ กนั ตามทไ่ี ดพ้ สิ จู นไ์ วแ้ ลว้ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 218 นั้น บทกลับของทฤษฎีบทน้ี คือ ถ้ารูปส่ีเหล่ียมรูปหน่ึงมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู่ แล้วรูปสี่เหล่ียมรูปนั้นเป็น รูปส่ีเหลยี่ มดา้ นขนาน มีแนวคดิ ในการพสิ จู นด์ งั น้ี AB DC กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รปู สีเ่ หลี่ยมรูปหนึง่ ทมี่ ี AB = CD และ CB = AD ตอ้ งการพิสจู นว์ ่า ABCD เปน็ รูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน พสิ จู น์ ลาก AC พิจารณา ΔABC และ ΔCDA เน่อื งจาก AB = CD, CB = AD (กำ�หนดให้) AC = CA (AC เป็นดา้ นร่วม) ดงั นน้ั ΔABC ≅ ΔCDA (ด.ด.ด.) จะได ้ (มุมคู่ทส่ี มนยั กันของรูปสามเหลีย่ ม BˆAC = DˆCA และ AˆCB = CˆAD ที่เท่ากันทุกประการ จะมขี นาดเทา่ กัน) ดงั นั้น AB // CD และ BC // AD (ถ้าเส้นตรงเสน้ หน่งึ ตัดเสน้ ตรงคหู่ นึง่ ทำ�ให้มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กัน แล้วเสน้ ตรง คู่นั้นขนานกัน) นัน่ คอื ABCD เปน็ รปู สเี่ หลย่ี มด้านขนาน (รปู สเี่ หลยี่ มด้านขนาน คือ รูปสเ่ี หลีย่ ม ทม่ี ดี ้านตรงขา้ มขนานกนั สองคู)่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 311 กจิ กรรม : สำ�รวจรปู สี่เหลยี่ มทแ่ี นบในรปู สี่เหล่ียม กิจกรรมนี้ เปน็ กิจกรรมท่ีมุ่งเน้นให้นักเรยี นฝึกสำ�รวจและสร้างขอ้ ความคาดการณ์เกยี่ วกับลกั ษณะของรูปสี่เหล่ยี มที่เกิด จากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดก่ึงกลางของด้านของรูปสี่เหล่ียมที่กำ�หนดให้ โดยมีสื่อ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนิน กิจกรรม ดงั น้ี ส่อื /อปุ กรณ์ ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขนั้ ตอนการดำ�เนินกิจกรรม 1. ครใู หน้ กั เรยี นจับคทู่ �ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู สเ่ี หลีย่ มทีแ่ นบในรูปสี่เหล่ยี ม” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 227 2. ครูให้นักเรียนสร้างรูปตามเงื่อนไขท่ีกำ�หนดให้ โดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad และบันทึกส่ิงท่ี นักเรียนส�ำ รวจและคน้ พบ 3. ครซู กั ถามและอภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี นเกย่ี วกบั ผลการส�ำ รวจและการสรา้ งขอ้ ความคาดการณถ์ งึ ลกั ษณะของ PQRS ทีแ่ นบใน ABCD พร้อมทง้ั แนวคิดในการให้เหตผุ ล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

312 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจรูปสเ่ี หลีย่ มทแี่ นบในรปู สเ่ี หลย่ี ม 1. ตัวอยา่ งการส�ำ รวจและข้อความคาดการณ์เก่ียวกับลักษณะของ PQRS 1) สำ�รวจความยาวของด้านตรงข้ามของ PQRS AP = 5.96 ซม. SR = 4.29 ซม. PB = 5.96 ซม. D R PQ = 4.29 ซม. BQ = 3.79 ซม. C SP = 6.35 ซม. QC = 3.79 ซม. P RQ = 6.35 ซม. CR = 2.89 ซม. S SR PQ SP RQ RD = 2.89 ซม. Q 4.84 ซม. 4.84 ซม. 6.55 ซม. 6.55 ซม. 4.46 ซม. 4.46 ซม. 5.84 ซม. 5.84 ซม. DS = 3.22 ซม. 5.10 ซม. 5.10 ซม. 6.24 ซม. 6.24 ซม. SA = 3.22 ซม. A B 3.89 ซม. 3.89 ซม. 5.50 ซม. 5.50 ซม. 4.29 ซม. 4.29 ซม. 6.36 ซม. 6.36 ซม. จากการสำ�รวจขา้ งตน้ ได้ข้อความคาดการณ์ คอื ด้านตรงข้ามของ PQRS ยาวเท่ากัน แนวคิดในการใหเ้ หตุผล : ดา้ นตรงขา้ มของ PQRS ยาวเทา่ กนั D R C S Q A PB ลาก AC และ BD พิจารณา ΔABC เนอื่ งจาก จุด P และจุด Q เปน็ จดุ ก่งึ กลางของ AB และ BC ตามล�ำ ดบั (กำ�หนดให)้ จะได ้ PQ = –21 AC (ส่วนของเส้นตรงท่ีลากเชื่อมจุดก่งึ กลางของด้านสองด้านของ รปู สามเหล่ียมใด ๆ จะยาวเป็นครง่ึ หนง่ึ ของด้านทสี่ าม) ในท�ำ นองเดียวกัน จาก ΔACD จะได ้ SR = –21 AC ดังนั้น PQ = SR (สมบัตขิ องการเท่ากัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 313 จาก ΔABD จะได ้ SP = –21 BD (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) จาก ΔBCD จะได้ RQ = –21 BD ดังน้ัน SP = RQ 2) สำ�รวจมมุ ตรงข้ามของ PQRS AP = 5.68 ซม. R m∠SPQ = 121.25° PB = 5.68 ซม. P BQ = 3.98 ซม. C m∠QRS = 121.25° QC = 3.98 ซม. D m∠PQR = 58.75° CR = 4.38 ซม. RD = 4.38 ซม. S m∠RSP = 58.75° DS = 1.79 ซม. SA = 1.79 ซม. A m∠SPQ m∠QRS m∠PQR m∠RSP Q 114.38° 114.38° 65.62° 65.62° 126.93° 126.93° 53.07° 53.07° 76.84° 76.84° 103.16° 103.16° 62.29° 62.29° 117.71° 117.71° B 121.25° 121.25° 58.75° 58.75° จากการส�ำ รวจข้างตน้ ไดข้ ้อความคาดการณ์ คอื มมุ ตรงข้ามของ PQRS มีขนาดเทา่ กัน แนวคิดในการให้เหตผุ ล : มมุ ตรงข้ามของ PQRS มีขนาดเท่ากัน C R D1 S3 4Q A 2 P ลาก AC, BD, SQ และ RP B เน่อื งจาก จุด P, Q, R และ S เปน็ จดุ ก่งึ กลางของ AB, BC, CD และ DA ตามลำ�ดบั (ก�ำ หนดให)้ พจิ ารณา ΔSRQ และ ΔQPS (ส่วนของเส้นตรงทีล่ ากเช่อื มจุดก่ึงกลางของด้านสองด้านของ รปู สามเหลีย่ มใด ๆ จะยาวเปน็ คร่งึ หน่งึ ของด้านท่สี าม) เนอ่ื งจาก SR = –21 AC (สว่ นของเส้นตรงทล่ี ากเชอ่ื มจดุ กึง่ กลางของด้านสองดา้ นของ รูปสามเหลีย่ มใด ๆ จะยาวเป็นคร่งึ หนึง่ ของด้านท่ีสาม) และ PQ = –21 AC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

314 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ ค่มู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ดังน้นั SR = PQ (สมบัตขิ องการเท่ากัน) ในทำ�นองเดยี วกนั (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจดุ กึง่ กลางของด้านสองดา้ นของ รูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะยาวเป็นคร่ึงหนึ่งของด้านท่ีสาม) จะได ้ RQ = SP = –21 BD (SQ เป็นดา้ นร่วม) (ด.ด.ด.) (มุมคทู่ ส่ี มนยั กันของรูปสามเหล่ยี มท่เี ท่ากันทุกประการ จะมี ขนาดเทา่ กัน) เนือ่ งจาก SQ = SQ ดงั นน้ั ΔSRQ ≅ ΔQPS (จากการพิสูจน์ขา้ งตน้ ) (จากการพสิ จู น์ขา้ งต้น) จะได ้ ˆ1 = ˆ2 (RP เป็นด้านรว่ ม) (ด.ด.ด.) (มมุ คูท่ ีส่ มนัยกันของรปู สามเหล่ียมทีเ่ ท่ากันทกุ ประการ จะมีขนาดเท่ากัน) พจิ ารณา ΔRSP และ ΔPQR จะได้ SR = PQ SP = RQ และ RP = RP ดังนัน้ ΔRSP ≅ ΔPQR จะได ้ ˆ3 = ˆ4 3) สำ�รวจความสัมพนั ธ์ของมุมภายในของ PQRS AP = 5.55 ซม. D R C m∠SPQ = 127.37° PB = 5.55 ซม. S P m∠QRS = 127.37° BQ = 3.73 ซม. A m∠PQR = 52.63° QC = 3.73 ซม. CR = 5.25 ซม. Q m∠RSP = 52.63° RD = 5.25 ซม. m∠SPQ + m∠PQR = 180.00° DS = 1.75 ซม. m∠PQR + m∠QRS = 180.00° SA = 1.75 ซม. B m∠SPQ m∠QRS m∠PQR m∠RSP m∠SPQ + m∠PQR m∠PQR + m∠QRS 126.41° 126.41° 53.59° 53.59° 180.00° 180.00° 107.75° 107.75° 72.25° 72.25° 180.00° 180.00° 76.35° 76.35° 103.65° 103.65° 180.00° 180.00° 63.56° 63.56° 116.44° 116.44° 180.00° 180.00° 127.37° 127.37° 52.63° 52.63° 180.00° 180.00° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 315 จากการส�ำ รวจขา้ งต้น ไดข้ ้อความคาดการณ์ คอื PQRS เปน็ รปู สี่เหลีย่ มดา้ นขนาน แนวคิดในการใหเ้ หตุผล : PQRS เปน็ รปู สีเ่ หลีย่ มด้านขนาน C R D SQ A ลาก AC, BD P B เนอื่ งจาก จุด P, Q, R และ S เปน็ จุดกงึ่ กลางของ AB, BC, CD และ DA ตามล�ำ ดบั (กำ�หนดให้) ดังนนั้ PQ // AC และ SR // AC (สว่ นของเส้นตรงทลี่ ากเชอ่ื มจุดกง่ึ กลางของดา้ นสองด้านของ รปู สามเหล่ียมใด ๆ จะขนานกบั ดา้ นทสี่ าม) จะได ้ PQ // SR (สมบัติถา่ ยทอด) ในทำ�นองเดียวกัน SP // DB และ RQ // DB (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดก่งึ กลางของดา้ นสองดา้ นของ รูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกบั ด้านที่สาม) จะได้ SP // RQ (สมบตั ถิ า่ ยทอด) ดงั นนั้ PQRS เป็นรปู สี่เหล่ยี มด้านขนาน (มดี า้ นตรงข้ามขนานกนั สองค)ู่ 4) สำ�รวจความสมั พนั ธข์ องเส้นทแยงมมุ ของ PQRS AP = 5.84 ซม. D SM = 5.06 ซม. PB = 5.84 ซม. MQ = 5.06 ซม. BQ = 1.75 ซม. S R C PM = 2.55 ซม. QC = 1.75 ซม. MR = 2.55 ซม. CR = 4.38 ซม. M Q SM MQ PM MR RD = 4.38 ซม. P 4.94 ซม. 4.94 ซม. 2.69 ซม. 2.69 ซม. DS = 3.45 ซม. B 5.44 ซม. 5.44 ซม. 3.73 ซม. 3.73 ซม. SA = 3.45 ซม. A 5.64 ซม. 5.64 ซม. 3.71 ซม. 3.71 ซม. 5.29 ซม. 5.29 ซม. 3.07 ซม. 3.07 ซม. 5.10 ซม. 5.10 ซม. 2.44 ซม. 2.44 ซม. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

316 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 จากการส�ำ รวจขา้ งต้น ไดข้ อ้ ความคาดการณ์ คือ เสน้ ทแยงมุมของ PQRS แบง่ คร่งึ ซึง่ กนั และกนั แนวคิดในการให้เหตุผล : เส้นทแยงมมุ ของ PQRS แบ่งครึ่งซง่ึ กนั และกัน D C R 4 S1 M 2Q A 3 B P ลาก SQ, PR และ BD โดยให้ SQ ตัดกับ PR ท่จี ุด M เนื่องจาก จุด P, Q, R และ S เป็นจุดกง่ึ กลางของ AB, BC, CD และ DA ตามลำ�ดับ (ก�ำ หนดให)้ พิจารณา ΔSMP และ ΔQMR (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้าน สองดา้ นของรปู สามเหลยี่ มใด ๆ จะขนานกบั ดา้ นทส่ี าม จะได้ SP = RQ = –21 BD และ SP // RQ // BD ˆ1 = ˆ2 และยาวเป็นคร่งึ หนงึ่ ของดา้ นท่สี าม) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง ˆ3 = ˆ4 มีขนาดเท่ากนั ) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง มขี นาดเทา่ กนั ) ดังนน้ั ΔSMP ≅ ΔQMR (ม.ด.ม.) จะได ้ SM = QM และ PM = RM (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเท่ากัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 317 กจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ใหเ้ หตผุ ลได้หรือไม่ กิจกรรมนี้เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนใช้สมบัติของเส้นขนานและความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ียม ในการให้เหตุผลว่า ถ้าเส้นตรงสามเส้นขนานซ่ึงกันและกัน และมีเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดทำ�ให้ได้ส่วนตัดบนเส้นนี้ยาวเท่ากัน แลว้ เสน้ ทข่ี นานกนั เหลา่ นจี้ ะตดั เสน้ ตดั อนื่ ๆ ออกเปน็ สว่ น ๆ ไดย้ าวเทา่ กนั ดว้ ย โดยมสี อื่ /อปุ กรณ์ และขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดังนี้ สือ่ /อปุ กรณ์ 1. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : ให้เหตผุ ลไดห้ รือไม่ 2. ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครแู จกใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ใหเ้ หตผุ ลได้หรอื ไม่ 2. ครูให้นักเรียนสร้างรูปตามเง่ือนไขที่กำ�หนดโดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad และสำ�รวจ ความยาวส่วนของเสน้ ตรงทถ่ี กู ตัดด้วยเส้นขนาน บันทกึ ส่งิ ท่นี ักเรยี นสำ�รวจและค้นพบ 3. ครซู กั ถามและอภปิ รายกบั นกั เรยี นเกยี่ วกบั แนวคดิ ในการพสิ จู น์ แลว้ ใหน้ กั เรยี นเตมิ ขอ้ ความในชอ่ งวา่ ง เพอื่ ใหเ้ หตผุ ล วา่ “ถา้ เสน้ ตรงสามเส้นขนานซ่ึงกนั และกนั และมีเสน้ ตรงเส้นหน่งึ ตัดท�ำ ใหไ้ ดส้ ่วนตดั บนเส้นนย้ี าวเท่ากนั แลว้ เสน้ ท่ขี นานกนั เหล่านจ้ี ะตัดเสน้ ตัดอ่นื ๆ ออกเปน็ ส่วน ๆ ไดย้ าวเท่ากันดว้ ย” โดยใชส้ มบัตขิ องเสน้ ขนานและความเท่า กันทุกประการของรูปสามเหล่ยี ม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

318 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : ใหเ้ หตุผลได้หรอื ไม่ ใหน้ กั เรยี นสรา้ งรปู และเตมิ ขอ้ ความในชอ่ งวา่ งเพอ่ื พสิ จู นว์ า่ ถา้ เสน้ ตรงสามเสน้ ขนานซง่ึ กนั และกนั และมเี สน้ ตรง เสน้ หนึ่งตัดท�ำ ใหไ้ ด้สว่ นตัดบนเส้นน้ยี าวเทา่ กัน แล้วเสน้ ท่ีขนานกนั เหลา่ นจ้ี ะตัดเส้นตัดอืน่ ๆ ออกเป็นสว่ น ๆ ได้ยาว เทา่ กนั ด้วย PR X A DN 1 1 B 3E F 2 S 3 C 4 Q 2 M Y กำ�หนดให้ เสน้ ตรง 1, 2 Cแ ล ะตาม3 ล ขำ�ดนบั าน ทซง่ึ�ำ กใหนั ้ แ AละBก=นั B Cมี แ �ลPะQ � R เปS ็น เเปส็นน้ เตสดั ้นตตัดัด อกี 1,เ ส ้น2หแนลง่ึ ะทตี่ 3ดั ทีจ่ ุด A, B และ เสน้ ตรง 1, 2 และ 3 ท่จี ุด D, E และ F ตามล�ำ ดบั ตอ้ งการพิสจู น์วา่ พสิ จู น์ ลาก �XY ผ่านจุด E และใหข้ นานกบั �PQ โดย �XY ตัดเส้นตรง 1 ทีจ่ ุด N และตดั เส้นตรง 3 ทีจ่ ุด M เนื่องจาก �XY1 // �P2Q และ // จะได ้ ABEN เป็นรูปส่เี หลีย่ มด้านขนาน ดังนัน้ AB = NE เนอื่ งจาก �XY2 // �P3Q และ // จะได้ BCME เป็นรปู สเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน ดังน้ัน BC = EM สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 319 พจิ ารณา ΔDEN และ ΔFEM เนือ่ งจาก AB = BC จะได้ NE = EM ˆ1 = ˆ2 ˆ3 = ˆ4 ดงั นั้น ΔDEN ≅ ΔFEM จะได ้ DE = EF นน่ั คือ ถา้ เสน้ ตรงสามเสน้ ขนานซง่ึ กนั และกนั และมเี สน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั ท�ำ ใหไ้ ดส้ ว่ นตดั บนเสน้ นย้ี าวเทา่ กนั แลว้ กรณีท่มี เี ส้นตรงมากกว่าสามเส้นขนานซ่ึงกนั และกัน จะพสิ จู น์ได้ในทำ�นองเดียวกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

320 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : ใหเ้ หตผุ ลได้หรือไม่ PR X A DN 1 1 B 3E 42 C 2F M3 Q YS กำ�หนดให้ เส้นตรง 1, 2 Cแ ล ะตาม3 ล ขำ�ดนบั าน ทซงึ่ำ�กใหัน้ แ AละBก=ัน B Cม ี แ �ลPะQ � R เปS น็ เเปสน็น้ เตสัดน้ ตตดั ดั อีก1,เ ส ้น2หแนลึ่งะที่ต3ัด ทจี่ ดุ A, B และ เส้นตรง 1, 2 และ 3 ทจ่ี ดุ D, E และ F ตามลำ�ดับ ตอ้ งการพิสจู น์วา่ DE = EF พสิ จู น์ ลาก �XY ผ่านจดุ E และใหข้ นานกับ �PQ โดย �XY ตัดเสน้ ตรง 1 ท่ีจุด N และตดั เส้นตรง 3 ทจ่ี ุด M เนื่องจาก �XY1 // �P2 Q (กำ�หนดให้ ) และ // (จากการสร้าง) จะได ้ ABEN เปน็ รปู สเี่ หลยี่ มด้านขนาน (มดี า้ นตรงข้ามขนานกันสองค)ู่ ดงั นัน้ AB = NE (ดา้ นตรงข้ามของรูปสเี่ หล่ยี มดา้ นขนานยาวเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก �XY2 // �P3 Q (ก�ำ หนดให้) และ // (จากการสร้าง) จะได ้ BCME เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมด้านขนาน (มีด้านตรงขา้ มขนานกันสองคู่) ดังน้นั BC = EM (ดา้ นตรงขา้ มของรูปสเ่ี หลีย่ มดา้ นขนานยาวเท่ากนั ) พิจารณา ΔDEN และ ΔFEM เนื่องจาก AB = BC (ก�ำ หนดให)้ จะได ้ NE = EM (สมบตั ิของการเท่ากัน) ˆ1 = ˆ2 ˆ3 = ˆ4 (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมขี นาดเทา่ กัน) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กนั แลว้ มมุ ตรงข้ามมีขนาดเท่ากนั ) ดังนั้น ΔDEN ≅ ΔFEM (ม.ด.ม.) จะได ้ DE = EF (ด้านคู่ทสี่ มนัยกันของรูปสามเหล่ียมที่เท่ากนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) น่ันคือ ถ้าเสน้ ตรงสามเส้นขนานซงึ่ กนั และกัน และมีเสน้ ตรงเสน้ หนึ่งตดั ทำ�ใหไ้ ดส้ ว่ นตดั บนเส้นนย้ี าวเท่ากนั แล้ว เส้นทขี่ นานกนั เหลา่ นจี้ ะตัดเสน้ ตดั อืน่ ๆ ออกเปน็ สว่ น ๆ ได้ยาวเท่ากนั ด้วย กรณีทีม่ ีเส้นตรงมากกว่าสามเสน้ ขนานซึง่ กันและกนั จะพสิ จู น์ไดใ้ นทำ�นองเดยี วกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 321 เฉลยชวนคิด ชวนคดิ 4.6 แนวคดิ C F ipst.me/10537 1 E I N A 5 B 4 D H 3 2 G M ลาก �MN ผา่ นจดุ G และให้ขนานกับ �AC เน่อื งจาก DG // BF และ EH // BF (จากการสรา้ ง) จะได้ DG // EH (สมบัตถิ ่ายทอด) และ �MN // �AC (จากการสร้าง) จะได้ DEIG เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน (มีดา้ นตรงขา้ มขนานกันสองคู่) ดังน้ัน DE = GI (ดา้ นตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานยาวเทา่ กนั ) พจิ ารณา ΔADG และ ΔGIH ˆ1 = ˆ2 (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตัด แล้วมมุ ภายนอก และมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก AD = DE (จากการสรา้ ง) จะได ้ AD = GI (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ ˆ3 = ˆ4 มุมภายในท่ีอยตู่ รงขา้ มบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตดั มีขนาดเท่ากัน) ˆ4 = ˆ5 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มมุ ภายในที่อย่ตู รงข้ามบนข้างเดยี วกันของเสน้ ตัดมีขนาดเทา่ กนั ) จะได้ ดงั นนั้ ˆ3 = ˆ5 (สมบตั ิของการเทา่ กัน) ΔADG ≅ ΔGIH (ม.ด.ม.) จะได ้ AG = GH (ด้านคู่ทส่ี มนัยกันของรปู สามเหล่ียมท่เี ท่ากนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

322 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ถา้ ตอ้ งการแบง่ สว่ นของเสน้ ตรงเปน็ หา้ สว่ นทยี่ าวเทา่ กนั สามารถท�ำ ไดโ้ ดยมแี นวการสรา้ งตามทก่ี ลา่ วไวใ้ นชวนคดิ ขา้ งตน้ (ชวนคิด 4.6) และไดภ้ าพสดุ ทา้ ยดังนี้ C H G F E D A I J KLB นั่นคอื จดุ I, J, K และ L แบง่ AB ออกเป็นหา้ สว่ นท่ยี าวเท่ากนั ชวนคดิ 4.7 F แนวคิด C 20 ม.R D E 20 ม. 25 ม. ipst.me/10538 BP 25 ม. A Q รูป ข พจิ ารณา ΔCPQ และΔCRQ CP = CR (กำ�หนดให)้ PQ = RQ (ก�ำ หนดให้) CQ = CQ (CQ เปน็ ดา้ นร่วม) ดงั นั้น ΔCPQ ≅ ΔCRQ (ด.ด.ด.) จะได้ (มมุ คทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเี่ ทา่ กัน PˆCQ = RˆCQ ทุกประการ จะมขี นาดเทา่ กัน) นน่ั คอื QC แบง่ ครึ่ง PˆCR̂ เน่ืองจาก BˆCD และ PˆCR เปน็ มมุ เดียวกัน ดังน้นั QC แบง่ คร่งึ BˆCD F เปน็ จดุ ที่อยู่บน �QC ดงั น้นั ต�ำ แหน่งฝังสมอบกทีน่ ายชา่ งใหญห่ าได้จึงอยู่ในแนวเสน้ แบง่ ครง่ึ BˆCD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 323 เฉลยแบบฝกึ หดั แบบฝึกหดั 4.3 ก 1. แนวคิด C D 4 2 1M A 3 B พิจารณา ∆ABM และ ∆CDM (กำ�หนดให ้ BD แบง่ ครงึ่ AC ท่ีจดุ M) เนื่องจาก AM = CM (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกนั แล้วมมุ ตรงข้ามมขี นาดเทา่ กัน) (กำ�หนดให ้ AC แบง่ ครง่ึ BD ทจ่ี ดุ M) ˆ1 = ˆ2 (ด.ม.ด.) (มุมคู่ที่สมนยั กนั ของรูปสามเหลย่ี มที่เท่ากันทุกประการ จะมี BM = DM ขนาดเทา่ กัน) ดงั นั้น (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ ท�ำ ใหม้ มุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั จะได้ ∆ABM ≅ ∆CDM แลว้ เสน้ ตรงคู่นน้ั ขนานกนั ) ˆ3 = ˆ4 ดงั น้นั AB // DC 2. แนวคิด นักเรยี นอาจวาดรปู ไดต้ า่ งกนั ดังรูป แตก่ ารใหเ้ หตุผลทำ�ได้แบบเดียวกัน AA D B CB C D สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

324 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คูม่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 พิจารณา ∆ABD และ ∆ACD เนือ่ งจาก AB = AC (ด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนา้ จ่วั ยาวเทา่ กัน) DB = DC (ดา้ นประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั ยาวเทา่ กัน) AD = AD (AD เปน็ ดา้ นร่วม) ดงั น้ัน ∆ABD ≅ ∆ACD (ด.ด.ด.) 3. แนวคิด C 2 54 30° 31 A BD จาก ∆ADC จะได้ CˆAD = 30° 30 + ˆ1 + ˆ2 = 180 (กำ�หนดให้) (ขนาดของมุมภายในทัง้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกัน เท่ากับ 180 องศา) ˆ1 + ˆ2 = 150° ˆ1 = ˆ2 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) เนอื่ งจาก (มุมท่ฐี านของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมขี นาดเท่ากนั ) ˆ1 = ˆ2 = 75° (สมบตั ิของการเท่ากนั ) ดังนั้น จาก ∆BCD จะได้ ˆ1 = ˆ3 (มมุ ท่ฐี านของรูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั มขี นาดเทา่ กนั ) ˆ1 = ˆ3 = 75° (จากการพิสูจนข์ ้างต้น ˆ1 = 75° และสมบตั ขิ องการเท่ากนั ) ดังน้ัน ˆ1 + ˆ3 + ˆ4 = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมุมของรูปสามเหลย่ี มรวมกัน เท่ากับ 180 องศา) 75 + 75 + ˆ4 = 180 (สมบัติของการเทา่ กัน โดยแทน ˆ1 และ ˆ3 ด้วย 75) ดังน้นั ˆ4 = 30° เนือ่ งจาก (สมบัติของการเท่ากนั ) ˆ2 = ˆ4 + ˆ5 จะได้ 75 = 30 + ˆ5 (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทนˆ2 ดว้ ย 75 และแทนˆ4 ดว้ ย 30) ดงั นั้น ˆ5 = 45° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) BˆCA = 45° (สมบัตขิ องการเท่ากนั โดยแทน ˆ5 ดว้ ย BˆCA) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 325 4. แนวคิด 1 B x° x° 1 100° 2 A D C จาก ∆ABD จะได้ (ขนาดของมมุ ภายนอกของรูปสามเหล่ียมเทา่ กบั ผลบวกของ ขนาดของมุมภายในท่ีไม่ใชม่ มุ ประชิดของมมุ ภายนอกนัน้ ) ˆ1 + x = 100 (มุมทีฐ่ านของรปู สามเหลยี่ มหน้าจวั่ มขี นาดเท่ากนั ) (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) (ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลีย่ มรวมกัน ˆ1 = x เท่ากบั 180 องศา) ˆ1 = x = 50 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน โดยแทน x ดว้ ย 50) ดังนัน้ (สมบัติของการเท่ากนั ) จาก ∆BCD จะได้ ˆ2 + x + 100 = 180 (สมบัติของการเทา่ กัน โดยแทน ˆ2 ดว้ ย BˆCD) ˆ2 + 50 + 100 = 180 ดงั น้นั ˆ2 = 30° BˆCD = 30° แนวคิด 2 B x° x° 2 1 100° 3 A D C จาก ∆ABD จะได้ ˆ1 + 100 = 180 ˆ1 = 80° (ขนาดของมมุ ตรง) (สมบัติของการเท่ากัน) ˆ1 + ˆ2 + x = 180 (ขนาดของมุมภายในท้ังสามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกัน เทา่ กับ 180 องศา) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

326 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คูม่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 80 + ˆ2 + x = 180 (สมบตั ิของการเท่ากัน โดยแทน ˆ1 ด้วย 80) ˆ2 + x = 100 ˆ2 = x (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) (มุมทฐี่ านของรปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั มีขนาดเทา่ กัน) ˆ2 = x = 50 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) ดังนั้น (ขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมุมของรปู สามเหลี่ยมรวมกัน เท่ากบั 180 องศา) จาก ∆BCD จะได้ (สมบตั ขิ องการเท่ากนั โดยแทน x ด้วย 50) ˆ3 + x + 100 = 180 (สมบตั ิของการเทา่ กัน) (สมบัติของการเท่ากนั โดยแทน ˆ3 ด้วย BˆCD) ˆ3 + 50 + 100 = 180 ˆ3 = 30° BˆCD = 30° ดังนัน้ 5. แนวคดิ B 5 4 C A E 8 D 1) แนวคดิ พจิ ารณา ∆AEB และ ∆CEB AˆEB = CˆEB = 90° (เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มรปู วา่ วตดั กนั เปน็ มมุ ฉาก) เนอ่ื งจาก BE = BE (BE เป็นดา้ นรว่ ม) และ AB = CB (ด้านประชิดของรูปสเ่ี หล่ียมรูปวา่ วยาวเทา่ กนั ) ดงั นนั้ (ฉ.ด.ด.) ∆AEB ≅ ∆CEB จะได ้ AE = EC (ดา้ นคทู่ ี่สมนัยกันของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก ∆AEB เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก มี AˆEB เป็นมุมฉาก AB = 5 เซนตเิ มตร และ BE = 4 เซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 327 จะได ้ AE2 = 52 – 42 (ทฤษฎบี ทพที าโกรัส) ดงั นัน้ AE = 3 เซนตเิ มตร (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) และ AC = 6 เซนตเิ มตร (สมบตั ิของการเท่ากัน) จะได้ พน้ื ทข่ี อง ABCD = –12 × ผลคณู ของความยาวของเส้นทแยงมมุ = –12 × (AC × BD) = –12 × (6 × 12) = 36 ตารางเซนติเมตร 2) แนวคดิ (AˆED = 90°) เน่ืองจาก ∆AED เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จะได้ AD2 = AE2 + ED2 (ด้านประชดิ ของรปู สเี่ หลี่ยมรปู วา่ วยาวเทา่ กัน) (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) = 32 + 82 ดงั นนั้ AD = √73 เซนตเิ มตร เน่อื งจาก AD = CD จะได้ CD = √73 เซนตเิ มตร ดงั นนั้ ความยาวรอบรูปของ ABCD = AB + BC + CD + DA = 5 + 5 + √73 + √73 = 10 + 2 √73 เซนตเิ มตร 6. แนวคิด D C E G 32° AF B จาก ∆AEF จะได้ (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี มรวมกนั AˆFE + 90 + 32 = 180 เท่ากับ 180 องศา) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

328 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ดงั นั้น AˆFE = 58° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) เม่อื พับกระดาษไปแลว้ รูปเดิมและรปู ใหม่ทไี่ ด้จากการพบั เทา่ กันทกุ ประการ ดงั นน้ั ∆AEF ≅ ∆GEF GˆFE = 58° (มมุ คู่ที่สมนยั กนั ของรูปสามเหล่ยี มทเี่ ทา่ กันทกุ ประการ จะได ้ จะมีขนาดเท่ากนั ) เนอื่ งจาก AˆFE + EˆFG + GˆFB = 180° 58 + 58 + GˆFB = 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได ้ GˆFB = 64° (สมบตั ิของการเทา่ กนั โดยแทน AˆFE และ EˆFG ดว้ ย 58) ดงั นัน้ (สมบัติของการเทา่ กัน) 7. แนวคดิ C 24° E 42° B D 42° F 84° พจิ ารณา ∆ABC และ ∆ADC A เน่อื งจาก CB = CD (กำ�หนดให)้ BˆCA = DˆCA = 24° (ก�ำ หนดให)้ CA = CA (CA เป็นดา้ นรว่ ม) ดังนน้ั จะได้ ∆ABC ≅ ∆ADC (ด.ม.ด.) BˆAC = DˆAC = 42° (มุมคูท่ ี่สมนยั กันของรูปสามเหลย่ี มที่เท่ากนั ทุกประการ จะมขี นาดเท่ากัน) จาก ∆ABC จะได ้ CˆBA + BˆAC + BˆCA = 180° (ขนาดของมุมภายในท้ังสามมมุ ของรปู สามเหลี่ยม รวมกันเทา่ กับ 180 องศา) จะได ้ CˆBA + 42 + 24 = 180 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน โดยแทน BˆAC ด้วย 42 และ BˆCA ด้วย 24) CˆBA = 114° (สมบัติของการเทา่ กัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 329 พจิ ารณา ∆ECB และ ∆FCD CˆEB = CˆFD = 42° (กำ�หนดให้) เนอื่ งจาก EˆBC = FˆDC (กำ�หนดให้) CB = CD (ก�ำ หนดให้) ดงั นน้ั (ม.ม.ด.) จะได้ ∆ECB ≅ ∆FCD (มมุ ค่ทู สี่ มนยั กันของรูปสามเหลยี่ มท่ีเทา่ กัน EˆCB = FˆCD ทกุ ประการ จะมีขนาดเท่ากนั ) เนอ่ื งจาก EˆCB + BˆCA + DˆCA + FˆCD = 90° (กำ�หนดให)้ 2(EˆCB + BˆCA) = 90 (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ EˆCB + BˆCA = 45° (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) EˆCB + 24 = 45 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั โดยแทน BˆCA ดว้ ย 24) EˆCB = 21° (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) จาก ∆ECB จะได้ EˆBC + EˆCB + CˆEB = 180° (ขนาดของมุมภายในทง้ั สามมุมของรปู สามเหลย่ี ม รวมกนั เทา่ กับ 180 องศา) จะได ้ EˆBC + 21 + 42 = 180 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน โดยแทน EˆCB ด้วย 21 และ แทน CˆEB ดว้ ย 42) ดังน้ัน EˆBC = 117° (สมบัติของการเทา่ กัน) EˆBA = 360 – (114 + 117) = 129° (มุมรอบจดุ มีขนาด 360 องศา และสมบตั ิของ การเท่ากัน) 8. แนวคดิ F AE B DC ลาก FB และพจิ ารณา ∆AED และ ∆BEF DE = FE และ AE = BE (ก�ำ หนดให)้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

330 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 และ AˆED = BˆEF (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นตดั กนั แลว้ มมุ ตรงข้าม มีขนาดเทา่ กัน) (ด.ม.ด.) (มุมค่ทู ี่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทเ่ี ทา่ กัน จะได ้ ∆AED ≅ ∆BEF ทกุ ประการ จะมีขนาดเทา่ กัน) ดังนั้น (ด้านคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรูปสามเหลีย่ มท่เี ท่ากนั DˆAE = FˆBE = 90° ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) (ดา้ นของรปู ส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั ยาวเท่ากัน) (สมบัตขิ องการเท่ากัน) (มีด้านยาวเท่ากันสองดา้ น) และ AD = BF (มมุ ทฐ่ี านของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มขี นาดเทา่ กนั ) (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม รวมกันเทา่ กบั 180°) เน่ืองจาก AD = AB (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทน FˆBA ดว้ ย 90) จะได้ BF = AB ดงั นน้ั ∆ABF เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจัว่ FˆAB = BˆFA จะได ้ เนื่องจาก FˆBA + FˆAB + BˆFA = 180° จะได ้ 90 + 2(FˆAB) = 180 ดังนัน้ 2(FˆAB) = 90° FˆAB = 45° 9. แนวคดิ A ลาก DE ⏊ AB ท่จี ดุ E พจิ ารณา ∆ADE และ ∆ADC (กำ�หนดให้ AD แบง่ ครง่ึ BˆAC) ˆ1 = ˆ2 12 เน่อื งจาก (AD เปน็ ดา้ นรว่ ม) (จากการสร้างและก�ำ หนดให้) AD = AD (ม.ม.ด.) ˆ3 = ˆ4 E3 ดังน้ัน ∆ADE ≅ ∆ADC 4 จะได ้ DE = DC (ด้านคู่ที่สมนัยกนั ของ B DC รปู สามเหลยี่ มที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) พจิ ารณารปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก BDE จะได้ BD > DE (ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวกวา่ ดา้ นประกอบมุมฉาก) เนือ่ งจาก DE = DC (จากการพิสจู นข์ ้างต้น) จะได้ BD > DC (สมบตั ิของการเทา่ กัน โดยแทน DE ดว้ ย DC) ดงั นัน้ BD ยาวกวา่ DC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 331 แบบฝกึ หดั 4.3 ข 1. แนวคิด B D 1 O2 4 3 C A ก�ำ หนดให้ AB และ CD ตัดกันและแบง่ ครึง่ ซง่ึ กนั และกนั ทจ่ี ุด O ต้องการพิสูจน์วา่ ACBD เปน็ รปู สเี่ หลยี่ มด้านขนาน พสิ ูจน์ พิจารณา ΔAOD และ ΔBOC จะได ้ AO = BO (CD แบ่งครึ่ง AB ทจ่ี ุด O) (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แล้วมมุ ตรงขา้ มมีขนาดเท่ากัน) ˆ1 = ˆ2 DO = CO (AB แบง่ คร่ึง CD ทีจ่ ดุ O) ΔAOD ≅ ΔBOC (ด.ม.ด.) ดงั นน้ั จะได ้ AD = BC (ด้านคู่ที่สมนยั กนั ของรปู สามเหลี่ยมท่ีเทา่ กันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) และ (มุมคูท่ ีส่ มนัยกันของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี ท่ากันทุกประการ ˆ3 = ˆ4 จะมขี นาดเทา่ กนั ) ดังนนั้ AD // BC (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึง่ ตัดเสน้ ตรงคู่หน่ึง ท�ำ ใหม้ มุ แย้งมขี นาด เท่ากนั แล้วเสน้ ตรงคนู่ ้นั ขนานกัน) นน่ั คอื ACBD เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน (รปู ส่ีเหล่ียมทม่ี ีดา้ นทอ่ี ยตู่ รงขา้ มกนั คู่หน่งึ ขนานกนั และ ยาวเท่ากนั เปน็ รูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน) * * อาจให้เหตผุ ลอยา่ งอ่ืนไดอ้ กี เชน่ จะได้ AC = DB และ AC // DB (สว่ นของเส้นตรงทปี่ ดิ หัวท้ายของสว่ นของเสน้ ตรงที่ ขนานกนั และยาวเทา่ กนั จะขนานกนั และยาวเท่ากัน) นั่นคอื ACBD เป็นรปู สีเ่ หลีย่ มด้านขนาน (มีด้านตรงขา้ มกันขนานกันสองคู่) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

332 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 VD 2. แนวคิด C W Y x° 79° 2 1 60° B AX Z เนอื่ งจาก WX // YZ (ก�ำ หนดให้) จะได้ (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ ˆ1 = 79° มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เน่อื งจาก (กำ�หนดให)้ จะได้ (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ XY // ZV มมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) เนอื่ งจาก (ขนาดของมุมภายในทงั้ สามมุมของรูปสามเหลีย่ มรวมกนั ˆ2 = 60° เทา่ กบั 180 องศา) จะได้ (สมบัติของการเทา่ กัน โดยแทน ˆ1 ด้วย 79 และ ดงั น้ัน แทน ˆ2 ดว้ ย 60) ˆ1 + ˆ2 + x = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากัน) 79 + 60 + x = 180 x = 41 3. แนวคิด C 10 ซม. D E 9 ซม. A 8 ซม. B เนื่องจาก จดุ D เปน็ จุดก่ึงกลางของ AC และ AC = 10 เซนติเมตร (กำ�หนดให้) (สมบตั ิของการเท่ากนั ) จะได้ DC = 5 เซนตเิ มตร (ก�ำ หนดให้) (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) เนื่องจาก จุด E เป็นจดุ กง่ึ กลางของ BC และ BC = 9 เซนตเิ มตร จะได ้ EC = 4.5 เซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 333 เนือ่ งจาก จดุ D และจุด E เปน็ จดุ กึง่ กลางของ AC และ BC ตามลำ�ดบั และ AB = 8 เซนตเิ มตร (กำ�หนดให้) จะได ้ DE = –12AB (ส่วนของเสน้ ตรงท่ลี ากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดา้ นสองดา้ นของ รปู สามเหล่ยี มใด ๆ จะยาวเป็นครงึ่ หนง่ึ ของด้านทส่ี าม) ดังน้ัน DE = 4 เซนติเมตร (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) นนั่ คือ ΔCDE มี DC = 5 เซนติเมตร, EC = 4.5 เซนติเมตร และ DE = 4 เซนติเมตร จะได ้ ความยาวรอบรูปของ ΔCDE = 5 + 4.5 + 4 = 13.5 เซนตเิ มตร 4. แนวคดิ 1 D FC 4 1 3 2 AE B ก�ำ หนดให ้ ABCD เป็นรูปส่เี หล่ียมดา้ นขนาน และ AˆDE = CˆBF (หรอื ˆ1 = ˆ2 ) ตอ้ งการพิสจู นว์ า่ BEDF เป็นรปู ส่เี หล่ียมดา้ นขนาน พิสูจน์ พิจารณา ΔADE และ ΔCBF (กำ�หนดให้) ˆ1 = ˆ2 AD = CB (ดา้ นตรงข้ามของรูปสเ่ี หล่ยี มดา้ นขนานยาวเท่ากัน) ˆ3 = ˆ4 (มุมตรงขา้ มของรูปสเี่ หล่ยี มดา้ นขนานมขี นาดเท่ากัน) (ม.ด.ม.) ดงั นนั้ ΔADE ≅ ΔCBF จะได ้ DE = BF (ดา้ นคู่ทีส่ มนยั กนั ของรปู สามเหลยี่ มท่เี ท่ากันทกุ ประการ จะยาวเท่ากัน) และ AE = CF (ดา้ นคทู่ ส่ี มนัยกันของรปู สามเหลยี่ มทีเ่ ท่ากันทกุ ประการ จะยาวเท่ากนั ) เนื่องจาก AB = CD (ดา้ นตรงขา้ มของรูปสีเ่ หลยี่ มดา้ นขนานยาวเทา่ กนั ) หรอื AE + EB = CF + FD (สมบัตขิ องการเท่ากัน) จะได้ EB = FD (สมบตั ิของการเทา่ กัน) ดังน้ัน BEDF เป็นรปู สีเ่ หลีย่ มด้านขนาน (มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู)่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

334 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 FC แนวคิด 2 D 86 4 19 3 57 10 2 AE B กำ�หนดให้ ABCD เป็นรูปสีเ่ หล่ยี มดา้ นขนาน และ AˆDE = CˆBF (หรอื ˆ1 = ˆ2 ) ต้องการพิสูจนว์ า่ BEDF เป็นรูปสี่เหลย่ี มดา้ นขนาน พิสจู น์ พจิ ารณา ΔADE และ ΔCBF (กำ�หนดให)้ ˆ1 = ˆ2 AD = CB (ด้านตรงข้ามของรูปส่ีเหลยี่ มด้านขนานยาวเทา่ กัน) ˆ3 = ˆ4 (มุมตรงขา้ มของรูปสี่เหลยี่ มด้านขนานมขี นาดเท่ากนั ) (ม.ด.ม.) ดงั น้ัน ΔADE ≅ ΔCBF (มุมค่ทู ี่สมนัยกนั ของรปู สามเหลย่ี มที่เทา่ กนั ทกุ ประการ ˆ5 = ˆ6 จะได ้ จะมขี นาดเท่ากัน) เน่ืองจาก ˆ5 + ˆ7 = ˆ6 + ˆ8 = 180° (ขนาดของมุมตรง) ˆ7 = ˆ8 จะได ้ (สมบตั ิของการเท่ากนั ) เนอ่ื งจาก ˆ1 + ˆ9 = ˆ2 + ˆ10 ˆ9 = ˆ10 (มมุ ตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนานมขี นาดเท่ากนั ) (ˆ1 = ˆ2 และสมบตั ิของการเทา่ กนั ) จะได ้ ดงั น้นั BEDF เปน็ รปู สเี่ หลย่ี มดา้ นขนาน (มีมุมตรงข้ามท่ีมีขนาดเท่ากนั สองคู่) 5. แนวคิด N 3 ซม. P M W 45° O L K 3 ซม. จาก ΔKON จะได ้ NˆKO + KOˆN + OˆNK = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของ รปู สามเหลยี่ มรวมกันเทา่ กับ 180 องศา) 45 + 90 + ONˆK = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากนั โดยแทน NˆKO ด้วย 45 และแทน KOˆN ด้วย 90) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 335 ONˆK = 45° (สมบตั ิของการเท่ากัน) (มีมมุ ที่มขี นาดเทา่ กนั สองมมุ ) ดงั น้ัน ΔKON เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว (ก�ำ หนดให)้ (ด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหล่ียม เน่อื งจาก KO = 3 เซนติเมตร หน้าจั่วยาวเทา่ กนั ) จะได ้ NO = 3 เซนติเมตร (OP และ NL ยาวเท่ากนั แบ่งครึ่งซง่ึ กนั และกนั ที่จุด W) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แล้วมมุ ตรงขา้ มมี ขนาดเท่ากัน) พิจารณา ΔNWP และ ΔOWL (ด.ม.ด.) (ดา้ นคทู่ ีส่ มนยั กนั ของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากนั จะได้ NW = OW และ PW = LW ทุกประการ จะยาวเทา่ กนั ) (ก�ำ หนดให)้ (สมบัติของการเท่ากนั ) (สมบตั ิของการเท่ากัน) NWˆP = OWˆ̂L ดงั นนั้ ΔNWP ≅ ΔOWL จะได้ NP = OL เนื่องจาก NP = 3 เซนติเมตร ดังนั้น OL = 3 เซนติเมตร จะได้ KL = KO + OL = 3 + 3 = 6 เซนตเิ มตร ดังนัน้ พ้ืนท่ขี องรปู ส่เี หลย่ี มด้านขนาน KLMN = 6 × 3 = 18 ตารางเซนตเิ มตร 6. แนวคิด D R SC Q AP B เนอ่ื งจาก AC = 8 เซนติเมตร และ BD = 12 เซนติเมตร (ก�ำ หนดให)้ จุด P จดุ Q จดุ R และจุด S เปน็ จุดกง่ึ กลางของดา้ นของรปู สีเ่ หลยี่ ม ABCD (ก�ำ หนดให้) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

336 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 จาก ΔABC จะได้ PQ = –12 AC (ส่วนของเส้นตรงทีล่ ากเชอ่ื มจดุ กง่ึ กลาง ของด้านสองด้านของรูปสามเหล่ยี มใด ๆ จะยาวเป็นคร่งึ หนึง่ ของดา้ นทสี่ าม) ดังนั้น (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) PQ = –12 (8) = 4 เซนตเิ มตร ในทำ�นองเดยี วกนั จาก ΔADC จะได้ SR = 4 เซนตเิ มตร จาก ΔDAB จะได้ PS = –12 BD (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเช่ือมจุดก่ึงกลางของ ดา้ นสองดา้ นของรปู สามเหลยี่ มใด ๆ จะยาวเปน็ ครึ่งหน่งึ ของด้านทีส่ าม) ดงั น้ัน (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) PS = –12 (12) = 6 เซนติเมตร ในทำ�นองเดียวกัน จาก ΔDCB จะได้ QR = 6 เซนติเมตร ดงั น้ัน ความยาวรอบรูปของ PQRS = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 เซนตเิ มตร 7. 1) แนวคดิ B 4y – 3 C 14 z E 25 AD เน่อื งจาก ABCD เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมขนมเปยี กปูน (กำ�หนดให้) (ด้านของรปู ส่ีเหลยี่ มขนมเปียกปูนยาวเทา่ กนั ) จะได้ BC = CD (ก�ำ หนดให)้ (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) นัน่ คือ 4y – 3 = 25 (เสน้ ทแยงมุมของรูปส่เี หล่ียมขนมเปียกปนู ดังนั้น y = 7 ตดั กันเปน็ มุมฉาก) (ก�ำ หนดให้) (เส้นแยงมมุ ของรูปสเี่ หล่ยี มขนมเปียกปนู เนือ่ งจาก ΔCED เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก แบง่ ครึ่งซง่ึ กันและกนั ) BD = 14 หนว่ ย จะได้ BE = ED = B—2D = —124 = 7 หน่วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 337 ดงั นน้ั z2 = 252 – 72 (ทฤษฎบี ทพที าโกรสั ) = 576 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) จะได้ z = 24 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดงั นัน้ z – y = 24 – 7 = 17 (สมบัตขิ องการเทา่ กนั โดยแทน z ด้วย 24 และแทน y ด้วย 7 ) 2) แนวคิด เนอ่ื งจาก ABCD เปน็ รปู ส่เี หลีย่ มขนมเปยี กปูน (กำ�หนดให)้ BD = 14 หนว่ ย (กำ�หนดให้) AC = 2z = 2(24) = 48 หนว่ ย (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) ดงั นั้น พน้ื ทขี่ อง ABCD = –21 × ผลคูณของความยาวของเสน้ ทแยงมุม = –21 × 14 × 48 = 336 ตารางหนว่ ย 8. แนวคิด P BC A พิจารณา ΔPBA และ ΔPBC AB = BC (กำ�หนดให้) (PB อย่ใู นแนวดิ่งหรือตัง้ ฉากกบั AB และ BC ซงึ่ อยู่บนพน้ื PˆBA = PˆBC = 90° ในแนวระดบั ) (PB เป็นด้านร่วม) PB = PB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

338 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 จะได ้ ΔPBA ≅ ΔPBC (ด.ม.ด.) ดงั น้นั PA = PC (ด้านคู่ท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากันทุกประการ จะ ยาวเทา่ กนั ) นั่นคือ ค�ำ กล่าวของสมศักด์ิทว่ี า่ “ท่อนเหล็กท่ีใช้ยดึ เสาสญั ญาณโทรศพั ท์จากจุด P ถงึ จุด A และจากจดุ P ถึงจุด C จะยาวเท่ากนั ” เป็นจรงิ 9. แนวคดิ EF C D AB พิจารณา ΔBAD และ ΔFCD AD = CD (จดุ D เป็นจุดก่งึ กลางของ AC) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกนั แล้วมุมตรงขา้ มมีขนาดเทา่ กัน) BˆDA = FˆDC (กำ�หนดให)้ ดงั นน้ั DˆAB = DˆCF (ม.ด.ม.) ΔBAD ≅ ΔFCD จะได้ AB = CF (ดา้ นคู่ทสี่ มนยั กันของรูปสามเหลี่ยมท่เี ท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากนั ) นน่ั คือ นายช่างใชส้ มบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ซ่งึ ท�ำ ให้สรปุ ไดว้ ่า CF เปน็ ความยาวของ สะพานที่จะตอ้ งสร้าง (เพราะ CF = AB และ AB เป็นความยาวของสะพานที่จะตอ้ งสรา้ ง) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 339 10. แนวคิด พน้ื บา� น C 18 ซม. ลกู นอนบนั ได (7 × 18) + 18 = 144 ซม. 7 × 18 = 126 ซม. 24 ซม. 18 ซม. ลูกตง้ั บันได พกุ บันได พ้นื ดิน แม�บันได B 7 × 24 = 168 ซม. A 1) แนวคดิ เนอื่ งจาก บันไดมี 7 ขน้ั แตล่ ะขนั้ สูง 18 เซนตเิ มตร และบันไดขน้ั บนสดุ หา่ งจากพื้นบา้ น 18 เซนติเมตร ดังน้ัน พ้ืนบ้านอยู่สงู จากพ้ืนดิน (7 × 18) + 18 = 144 เซนติเมตร = 1.44 เมตร 2) แนวคิด 1 เนอ่ื งจาก ΔABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ดังนั้น AC2 = 1682 + 1262 (ทฤษฎบี ทพที าโกรัส) = 44,100 จะได ้ AC = 210 เซนติเมตร ดงั น้นั ช่างสำ�ราญจะตอ้ งซ้อื ไมส้ ำ�หรบั ท�ำ แมบ่ ันไดยาวอยา่ งน้อย 210 เซนติเมตร หรอื 2.10 เมตร แนวคดิ 2 P 24 Q เนือ่ งจาก ΔPQR เปน็ รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 18 ดงั นั้น RQ2 = 182 + 242 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) R = 900 จะได้ RQ = 30 เซนติเมตร ดังน้ัน ชา่ งสำ�ราญจะต้องซ้อื ไม้สำ�หรบั ทำ�แมบ่ ันไดยาวอย่างน้อย 7 × 30 = 210 เซนตเิ มตร หรอื 2.10 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

340 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 กิจกรรมทา้ ยบท : สรา้ งรปู สามเหลย่ี มใหม้ ีพ้นื ท่ีเท่ากบั พ้นื ทขี่ อง รูปสีเ่ หลีย่ มทก่ี �ำ หนดให้ กิจกรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมท่ีมุ่งเน้นให้นักเรยี นฝึกสรา้ งรปู ตามเงื่อนไขทกี่ �ำ หนดให้ ฝกึ ส�ำ รวจและใหเ้ หตผุ ลเกย่ี วกบั การสร้าง รูปสามเหลี่ยมให้มีพน้ื ทเ่ี ทา่ กับพนื้ ทขี่ องรปู สีเ่ หล่ียมทก่ี ำ�หนดให้ โดยมสี อ่ื /อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนินกจิ กรรมดงั นี้ สอื่ /อปุ กรณ์ ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad ขั้นตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ใหน้ กั เรยี นจบั คทู่ �ำ “กจิ กรรม : สรา้ งรปู สามเหลยี่ มใหม้ พี นื้ ทเี่ ทา่ กบั พน้ื ทขี่ องรปู สเี่ หลยี่ มทก่ี �ำ หนดให”้ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 232 2. ครูให้นักเรียนสร้างรูปตามเงื่อนไขท่ีกำ�หนดให้ โดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad และบันทึกส่ิงท่ี นกั เรียนส�ำ รวจและค้นพบ 3. ครูซักถามและอภิปรายกับนักเรียนเก่ียวกับผลการส�ำ รวจและการให้เหตุผลเก่ียวกับการสร้างรูปสามเหลี่ยมให้มีพื้นท่ี เทา่ กับพนื้ ทข่ี องรปู สี่เหลี่ยมท่ีกำ�หนดให้ เช่น ✤ พืน้ ท่ขี อง ∆DBC เท่ากบั พืน้ ท่ีของ ∆DBE เพราะเหตุใด ✤ พื้นทข่ี อง ∆ADE เท่ากบั พื้นทข่ี อง ABCD เพราะเหตุใด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 341 เฉลยกิจกรรมท้ายบท : สร้างรูปสามเหลี่ยมให้มพี นื้ ทีเ่ ท่ากับ พื้นท่ขี องรปู สีเ่ หลี่ยมที่ก�ำ หนดให้ แนวการสรา้ ง C สรา้ งรปู ตามเงอ่ื นไขของข้ันตอนท่ี 1 ขอ้ 1) ถึงข้อ 4) ได้ดังนี้ X DD C AB A BE Y 5) พน้ื ท่ีของ ∆DBC เท่ากับพื้นทข่ี อง ∆DBE เพราะ - มฐี าน DB ร่วมกัน - มสี ว่ นสูงยาวเทา่ กนั เนอ่ื งจาก จดุ ยอด C และจดุ ยอด E อยู่บน �XY ทขี่ นานกบั ฐาน DB 6) พน้ื ท่ีของ ∆ADE เทา่ กบั พ้นื ท่ขี อง ABCD เนอื่ งจาก พ้นื ทข่ี อง ∆ADE = พืน้ ที่ของ ∆ADB + พ้นื ทขี่ อง ∆DBE = พ้นื ท่ขี อง ∆ADB + พื้นทีข่ อง ∆DBC (จากข้อ 5)) (สมบตั ิของการเทา่ กัน) และ พื้นที่ของ ABCD = พน้ื ทข่ี อง ∆ADB + พืน้ ทข่ี อง ∆DBC ดังนัน้ พนื้ ทข่ี อง ∆ADE = พ้นื ท่ขี อง ABCD ค�ำ ถาม (ในขนั้ ตอนที่ 2) X แนวคิด คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เชน่ P D RQ C D C AB AB E Y สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

342 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 สรา้ งรปู สามเหล่ยี มรูปอืน่ ซง่ึ มีพ้ืนที่เท่ากับรูปสี่เหลย่ี ม ABCD ที่ก�ำ หนดให้ ไดด้ ังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ 1. สร้าง �PQ ผา่ นจดุ D และขนานกับ �AE 2. ก�ำ หนดจุด R ลงบน �PQ แลว้ ลาก RA และ RE จะได้รูป ΔARE เนื่องจาก พน้ื ทข่ี อง ΔARE = พ้นื ท่ีของ ΔADE (มฐี าน AE รว่ มกนั และมสี ว่ นสงู ยาวเทา่ กนั เนอ่ื งจาก จดุ ยอด R และจุดยอด D อยบู่ น �PQ ทีข่ นานกบั ฐาน AE) และ พ้นื ที่ของ ΔADE = พน้ื ทีข่ อง ABCD (จากข้อ 6)) ดังนน้ั พ้นื ทข่ี อง ΔARE = พนื้ ทข่ี อง ABCD (สมบัติของการเท่ากนั ) ทัง้ น ี้ สามารถสร้างรปู สามเหลี่ยมรปู อนื่ ซง่ึ มพี นื้ ทีเ่ ทา่ กับรูปสเี่ หลย่ี ม ABCD ที่กำ�หนดใหไ้ ดม้ ากมาย เช่น กำ�หนดจดุ ใด ๆ บน �PQ แลว้ ลากเสน้ เช่อื มจดุ นั้นกับจดุ A และจดุ E สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 343 เฉลยแบบฝึกหัดทา้ ยบท 1. 1) แนวคิด w z D Cy A Bx ใหร้ ูปส่ีเหล่ยี มทเ่ี กิดขนึ้ ตามเงื่อนไขของโจทย์ คอื ABCD ดังรูป �x // �y เนื่องจาก (ก�ำ หนดให้) (AB อยบู่ น �x และ DC อยบู่ น �y) จะได ้ AB // DC เนอ่ื งจาก �w // �z (ก�ำ หนดให)้ (AD อยบู่ น �w และ BC อยู่บน �z) จะได้ AD // BC ดังนน้ั ABCD เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน (มีด้านตรงข้ามขนานกันสองค่)ู นนั่ คือ รูปส่ีเหลี่ยมท่ีเกดิ ข้นึ เปน็ รปู สี่เหล่ยี มดา้ นขนาน 2) แนวคิด w z D Cy 3 2 90° 1 x A B เน่อื งจาก ABCD เป็นรปู สเ่ี หล่ียมด้านขนาน (จากการพสิ จู น์ขอ้ 1)) DˆAB = 90° และ ˆ2 = 90° (กำ�หนดใหม้ ุมมมุ หน่งึ มขี นาด 90 องศา) จะได้ (มุมตรงข้ามของรูปสเี่ หล่ยี มด้านขนานมขี นาดเทา่ กัน) เนื่องจาก 90 + ˆ1 = 180 (ขนาดของมุมภายในทอี่ ยู่บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัดท่ตี ดั เส้นขนาน รวมกนั เทา่ กับ 180 องศา) ดงั น้นั (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) จะได้ ˆ1 = 90° (มมุ ตรงขา้ มของรปู สี่เหลี่ยมดา้ นขนานมีขนาดเทา่ กัน) ˆ3 = 90° ดังน้ัน ABCD เป็นรูปสี่เหลีย่ มมมุ ฉาก (มมี มุ ทกุ มมุ เปน็ มุมฉาก) นน่ั คอื รปู สี่เหลย่ี มตามเงื่อนไขดังกล่าวเป็นรูปส่ีเหลยี่ มมุมฉาก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

344 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 2. แนวคิด ตวั อยา่ งการสรา้ งที่แตกตา่ งกนั 8 หนว่ ย 6 หน่วย 6 หน่วย 6 หน่วย สามารถสรา้ งรูปส่เี หลีย่ มรปู ว่าวทีแ่ ตกต่างจากท่ีไดส้ รา้ งไวแ้ ล้วได้อกี มากมายไม่จำ�กัด 3. แนวคดิ A DE BC เพ่ือความสะดวกในการพิจารณารปู อาจวาดรปู ใหมไ่ มใ่ หซ้ อ้ นทับกนั พร้อมท้งั เขยี นสญั ลักษณ์ แสดงการเท่ากันของความยาวของดา้ นหรอื ขนาดของมุมทท่ี ราบจากโจทย์ลงในรูป แนวคิด 1 A AA 1 11 D3 2E 2E D3 B CB C สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 345 พจิ ารณา ΔABE และ ΔACD ˆ2 = ˆ3 เนือ่ งจาก (BE ⏊ AC ทีจ่ ุด E และ CD ⏊ AB ที่จดุ D) ˆ1 = ˆ1 (ˆ1 เป็นมมุ ร่วม) AB = AC ดงั น้ัน ΔABE ≅ ΔACD (ก�ำ หนดให้) (ม.ม.ด.) จะได ้ AE = AD (ด้านค่ทู ่สี มนยั กันของรปู สามเหล่ียมที่เทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเท่ากัน) แนวคดิ 2 A DE D E 34 3 4 1 21 CB 2 B CB C พจิ ารณา ΔBCD และ ΔCBE ˆ1 = ˆ2 เนอื่ งจาก (มมุ ทฐ่ี านของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั มขี นาดเท่ากนั ) ˆ3 = ˆ4 (CD ⏊ AB ท่จี ุด D และ BE ⏊ AC ทีจ่ ุด E) (BC เปน็ ด้านรว่ ม) BC = CB (ม.ม.ด.) ดังน้ัน ΔBCD ≅ ΔCBE (ดา้ นค่ทู ส่ี มนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมทเ่ี ทา่ กนั ทุกประการ จะยาวเทา่ กนั ) จะได้ BD = CE (ก�ำ หนดให)้ (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) AB = AC AB – BD = AC – CE นั่นคือ AD = AE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

346 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 4. แนวคิด ใช้ความรทู้ ่ีวา่ ขนาดของมุมภายในทัง้ สามมมุ ของรูปสามเหลีย่ มรวมกันเทา่ กบั 180° แนวคดิ 1 p° q° a XZ B Y p° (180 – p – q)° q° q° M Aa CN แนวการสร้าง 1. ลาก �MN และกำ�หนดจดุ A บน �MN แลว้ สร้าง AC บน �MN ยาว a หน่วย 2. ที่จดุ C สรา้ ง MˆCX ให้มีขนาดเทา่ กบั q° 3. ท่ีจุด A สร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับ 180 – p – q องศา โดยสร้าง MˆAY ให้มีขนาดเท่ากับ q° แล้วสร้าง YˆAZ ใหม้ ีขนาดเท่ากับ p° และให้ �AZ ตดั �CX ท่จี ุด B ทำ�ให้ได ้ BˆAC มีขนาด เท่ากบั 180 – p – q องศา และ AˆBC มขี นาดเท่ากับ 180 – q – (180 – p – q) องศา หรือเทา่ กบั p° จะได้ ΔABC เป็นรูปสามเหลี่ยมตามต้องการ แนวคดิ 2 p° q° a N X Y A (180 – p – q)° a p° (180 – p – q)° q° MB C Z สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 347 แนวการสรา้ ง 1. ลาก �MN และกำ�หนดจุด C บน �MN 2. ที่จุด C สร้าง MˆCX ให้มีขนาดเท่ากับ q° แล้วสร้าง XˆCY ให้มีขนาดเท่ากับ p° จะได้ NˆCY มีขนาดเทา่ กับ 180 – p – q องศา 3. บน �CX สร้าง CA ยาว a หน่วย 4. ท่จี ุด A สร้าง CˆAZ ใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของ NˆCY โดยให ้ �AZ ตัด �MN ที่จดุ B ทำ�ให้ได้ AˆBC มีขนาดเท่ากบั 180 – q – (180 – p – q) องศา หรอื p° จะได้ ΔABC เป็นรปู สามเหล่ยี มตามต้องการ แนวคิด 3 p° q° a X Y A (180 – p – q)° a (180 – p – q)° q° p° MB C N Z แนวการสรา้ ง 1. ลาก �MN และก�ำ หนดจดุ C บน �MN 2. ท่ีจดุ C สร้าง MˆCX ให้มีขนาดเทา่ กับ q° 3. สร้าง NˆCY ให้มีขนาด p° จะได้ XˆCY มีขนาดเท่ากบั 180 – p – q องศา 4. บน �CX สร้าง CA ยาว a หน่วย 5. ทจี่ ดุ A สร้าง CˆAZ ให้มขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ XˆCY โดยให ้ �AZ ตดั �MN ทจ่ี ุด B ทำ�ใหไ้ ด ้ AˆBC มขี นาดเท่ากบั 180 – q – (180 – p – q) หรือ p° จะได ้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมตามต้องการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

348 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 5. แนวคิด 1 ให้เสน้ ทแยงมมุ เส้นยาวมีความยาว c หน่วย D aa b b A c CX c a b B แนวการสร้าง 1. ลาก �AX และบน �AX สรา้ ง AC ยาว c หน่วย 2. ใชจ้ ุด A เป็นจุดศนู ย์กลาง รศั มเี ท่ากบั a หนว่ ย เขยี นส่วนโค้งท้ังสองดา้ นของ AC 3. ใชจ้ ดุ C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเทา่ กับ b หนว่ ย เขยี นส่วนโค้งตัดส่วนโคง้ ในข้อ 2 ท่ีจดุ B และ จุด D 4. ลาก AB, BC, CD และ DA จะได้ ABCD เปน็ รูปส่ีเหลี่ยมรูปว่าวตามตอ้ งการ แนวคิด 2 ใหเ้ สน้ ทแยงมุมเสน้ สั้นมคี วามยาว a หนว่ ย F bb a E aG Y b cc c H สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 349 แนวการสรา้ ง 1. ลาก �EY และบน �EY สร้าง EG ยาว a หน่วย 2. ใช้จุด E และจุด G เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รัศมเี ทา่ กบั b หนว่ ย เขยี นส่วนโคง้ ตดั กันทางดา้ นหนงึ่ ของ �EG ท่ีจดุ F 3. ใช้จดุ E และจดุ G เปน็ จุดศูนย์กลาง รัศมเี ทา่ กับ c หนว่ ย เขียนส่วนโคง้ ตัดกนั อกี ดา้ นหน่ึงของ �EG ที่จุด H 4. ลาก EF, FG, GH และ HE จะได้ EFGH เปน็ รูปสีเ่ หลีย่ มรปู ว่าวตามตอ้ งการ แนวคิด 3 ให้เสน้ ทแยงมุมเส้นสน้ั มีความยาว b หน่วย Q aa a P b RZ b c cc S แนวการสร้าง 1. ลาก �PZ และบน �PZ สร้าง PR ยาว b หน่วย 2. ใชจ้ ดุ P และจุด R เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มีเท่ากบั a หน่วย เขยี นสว่ นโค้งตดั กนั ทางด้านหนงึ่ ของ �PR ที่จดุ Q 3. ใชจ้ ุด P และจดุ R เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง รศั มเี ท่ากับ c หนว่ ย เขยี นสว่ นโค้งตัดกันอกี ดา้ นหนึง่ ของ �PR ทีจ่ ดุ S 4. ลาก PQ, QR, RS และ SP จะได ้ PQRS เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มรปู ว่าวตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี