(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.2

400 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ความเชอื่ มโยงระหวา่ งตวั ชี้วัดกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น เนื่องจากตัวชี้วัดกล่าวถึงความเข้าใจและการใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ดงั นน้ั เพอ่ื ใหก้ ารเรยี นรขู้ องนกั เรยี นในเรอ่ื งการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องสอดคลอ้ งกบั ตวั ชวี้ ดั ครคู วรจดั ประสบการณ์ ใหน้ กั เรยี นสามารถ เขา้ ใจหลกั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง ซงึ่ สะทอ้ นไดจ้ ากการทน่ี กั เรยี นสามารถ หาตวั ประกอบรว่ มทมี่ ดี กี รมี ากทส่ี ดุ ของพหนุ าม และใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงในการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามนน้ั ได้ รวมถงึ เขา้ ใจ หลกั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว ซง่ึ สะทอ้ นไดจ้ ากการทนี่ กั เรยี นรจู้ กั พหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว และ สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองนั้นโดยใช้สมบัติการแจกแจง กำ�ลังสองสมบูรณ์ และผลต่างของกำ�ลังสอง รวมทั้ง สามารถน�ำ ความรเู้ ร่อื งการแยกตวั ประกอบของพหุนามไปใชใ้ นการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ตอ่ ไป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 401 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 5.1 การแยกตวั ประกอบ 5.1 การแยกตวั ประกอบ ของพหนุ ามโดยใช� ของพหุนามโดยใช� สมบตั กิ ารแจกแจง 5.2 สมบตั กิ ารแจกแจง 5.2 การแยก การแยก ชวนคดิ 5.1 ตวั ประกอบ - ตัวประกอบ อนื่ ๆ ของพหุนามดีกรี อน่ื ๆ ของพหุนามดกี รี แบบฝ�กหัดทา� ยบท : สองตวั แปรเดียว - สองตัวแปรเดยี ว ชวนคดิ 5.2, 5.3, 5.4 ชวนคิด 5.4 ขอ� 8–12 5.4 5.3 5.4 5.3 การแยกตวั ประกอบ การแยกตวั ประกอบของ การแยกตวั ประกอบ การแยกตวั ประกอบของ ของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� พหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� ของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� พหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� ผลตา� งของกำลงั สอง กำลงั สองสมบรู ณ� ผลตา� งของกำลงั สอง ชวนคดิ 5.5 แบบฝก� หดั 5.3 : 4 กำลงั สองสมบรู ณ� - - การแกป� ญ� หา การสื่อสารและ การสอ่ื ความหมาย ทางคณิตศาสตร� 5.1 การแยกตวั ประกอบ การคดิ ทักษะและ 5.1 การแยกตวั ประกอบ ของพหนุ ามโดยใช� สร�างสรรค� กระบวนการ สมบตั กิ ารแจกแจง 5.2 ทางคณิตศาสตร� การเชอ่ื มโยง ของพหนุ ามโดยใช� 5.2 การแยก สมบตั กิ ารแจกแจง การแยก อื่น ๆ - ตวั ประกอบ - ตวั ประกอบ - ของพหุนามดกี รี ของพหนุ ามดกี รี อน่ื ๆ สองตวั แปรเดยี ว สองตวั แปรเดยี ว - AR มมุ คณติ 5.4 5.3 - การใหเ� หตุผล หนา� 250 การแยกตวั ประกอบ การแยกตวั ประกอบ 5.4 5.3 ของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� ของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� การแยกตวั ประกอบ การแยกตวั ประกอบของ ผลตา� งของกำลงั สอง กำลงั สองสมบรู ณ� ของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� พหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� -- ผลตา� งของกำลงั สอง กำลงั สองสมบรู ณ� -- 5.1 การแยกตวั ประกอบ ของพหนุ ามโดยใช� 5.2 สมบตั กิ ารแจกแจง การแยก - ตวั ประกอบ ของพหุนามดกี รี อ่ืน ๆ สองตวั แปรเดียว - ชวนคดิ 5.2, 5.4 5.4 5.3 การแยกตวั ประกอบ การแยกตวั ประกอบของ ของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� พหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน� ผลตา� งของกำลงั สอง กำลงั สองสมบรู ณ� ชวนคิด 5.5 - สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

402 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 พัฒนาการของความรู้ ความรูพ้ืนฐาน ✤ ความร้เู กย่ี วกับเรอ่ื งการแยกตัวประกอบของจ�ำ นวนนบั ท่ีจำเปน ✤ การบวก การลบ การคูณพหุนาม และการหารพหุนามด้วยเอกนาม ✤ การเขียนพหุนามท่ีก�ำ หนดให้ ให้อยู่ในรูปการคณู กนั ของพหนุ ามต้งั แตส่ อง พหุนามขึ้นไป โดยที่แต่ละพหุนามหารพหุนามท่กี �ำ หนดให้ไดล้ งตัว เรียกว่า การแยกตัวประกอบของพหนุ าม ✤ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง ถ้า a, b และ c แทนพหุนามใด ๆ แลว้ ab + ac = a(b + c) หรอื ba + ca = (b + c)a เรียก a วา่ ตัวประกอบรว่ มของ ab และ ac หรือตวั ประกอบรว่ มของ ba และ ca ✤ พหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียวคือ พหนุ ามทีเ่ ขยี นไดใ้ นรูป ax2 + bx + c ความรูทีส่ ำคญั เมอ่ื a, b, c เปน็ คา่ คงตัว ท่ ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร ในบทเรยี น ✤ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ จ�ำ นวนเต็ม และ a ≠ 0, c ≠ 0 ท�ำ ได้โดย 1. หาพหุนามดกี รีหน่ึงสองพหนุ ามที่คณู กนั แล้วไดพ้ จนห์ นา้ คือ ax2 2. หาจำ�นวนเต็มสองจำ�นวนท่คี ูณกันแล้วได้พจนห์ ลงั คือ c 3. นำ�ผลที่ได้ในข้อ 1) และ 2) มาหาพจน์กลางทีละกรณี จนกวา่ จะไดพ้ จนก์ ลาง เป็น bx ตามทีต่ ้องการ ✤ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณ์ ท�ำ ได้โดยใช้สตู ร ดงั น้ี A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 ✤ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน็ ผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง ท�ำ ไดโ้ ดยใชส้ ตู ร ดังน้ี A2 – B2 = (A + B)(A – B) ความรูในอนาคต ✤ การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสูงกวา่ สอง ✤ สมการก�ำ ลงั สองตัวแปรเดียว ✤ ฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง 403 ภาพรวมของการจดั กจิ กรรมการเรียนรูข้ องบทเรียน ทบทวนความร้เู รอ่ื งพหนุ ามและการแยกตัวประกอบของจ�ำ นวนนบั อภิปรายเกย่ี วกับการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามและเชือ่ มโยงความสมั พนั ธ์ของ การคณู พหุนามกบั การแยกตัวประกอบของพหุนาม ทบทวนการคูณกนั ของเอกนามกบั พหุนาม และอภปิ รายเก่ียวกบั การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง แนะนำ�พหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดียวและอภิปรายเกีย่ วกบั การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b เปน็ จ�ำ นวนเต็ม และ c = 0 ทบทวนการหาผลคณู ของพหุนาม (x + m)(x + n) และอภิปรายเกยี่ วกับการแยกตัวประกอบของ พหนุ ามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจำ�นวนเตม็ และ c ≠ 0 ทบทวนการหาผลคณู ของพหุนาม (px + r)(qx + s) และอภปิ รายเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของ พหุนามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปน็ จ�ำ นวนเตม็ และ a ≠ 1, c ≠ 0 สำ�รวจผลคูณของพหุนามท่ีอยูใ่ นรปู (A + B)2 และ (A – B)2 อภปิ รายการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทีเ่ ป็นก�ำ ลงั สองสมบูรณ์ สำ�รวจผลคูณของพหนุ ามที่อย่ใู นรูป (A + B)(A – B) อภิปรายการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องทเ่ี ป็นผลต่างของกำ�ลงั สอง สรปุ บทเรียน ท�ำ กิจกรรมทา้ ยบทเพ่ือเตมิ เตม็ ความรูท้ ีไ่ ดร้ ับจากบทเรยี น และพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรด์ ว้ ยแบบฝกึ หัดท้ายบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

404 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง คูม่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 5.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบัติการแจกแจง (1 ชวั่ โมง) จดุ ประสงค์ นกั เรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง ความเขา้ ใจที่คลาดเคลอ่ื น นักเรยี นมกั จะผดิ พลาดในการใชส้ มบตั ิการแจกแจง เชน่ 2x + 6 = 2(x + 6) หรือ 2(x + 3) = 2x + 3 ส่อื ท่แี นะนำ�ให้ใช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ - ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อน้ีเป็นเร่ืองเก่ียวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง โดยก่อนที่จะเรียนรู้หัวข้อน้ี ควรเนน้ ใหน้ กั เรยี นไดท้ �ำ ความเขา้ ใจเกย่ี วกบั การคณู พหนุ ามและเชอ่ื มโยงไปยงั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามซง่ึ เปน็ กระบวนการ ทำ�ย้อนกลับของการคณู พหุนาม แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนร้อู าจท�ำ ได้ดงั น้ี 1. ครูทบทวนสมบัติการแจกแจงของจำ�นวนเต็มและความหมายของตัวประกอบร่วมของจำ�นวนนับ เพราะเป็น ความรทู้ เี่ ราจะตอ้ งน�ำ มาใชใ้ นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในหวั ขอ้ น ี้ ส�ำ หรบั สมบตั กิ ารแจกแจงนน้ั ควรทบทวน ให้นักเรยี นเหน็ ทง้ั สองลักษณะ ดังน้ี a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca 2. ครูแนะนำ�นักเรียนเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง และชี้ให้นักเรียนเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามอาจเขยี นไดม้ ากกวา่ 1 แบบ ซึ่งต่างจากการแยกตัวประกอบของจำ�นวนนบั ท่ี เขยี นได้คำ�ตอบเดยี ว เชน่ -9x + 3 = 3(-3x + 1) หรือ -9x + 3 = -3(3x – 1) 3. เนอ่ื งจากการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามนน้ั เปน็ เรอ่ื งทค่ี อ่ นขา้ งยากส�ำ หรบั นกั เรยี นสว่ นมาก ดงั นน้ั ในขน้ั เรม่ิ ตน้ ของ การหาตวั ประกอบรว่ มของพหนุ าม ครคู วรใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาและหาตวั ประกอบรว่ มทลี ะตวั ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ จงแยกตัวประกอบของ 8x3y2 + 20x2y3 – 12y4 ข้นั ท่ี 1 พจิ ารณาค่าคงตัวซงึ่ เป็นสัมประสิทธข์ิ องแต่ละพจน์ หา ห.ร.ม. ของสัมประสทิ ธ์ขิ องแตล่ ะพจนไ์ ดแ้ ก ่ 8, 20 และ 12 จะได้ ห.ร.ม. เปน็ 4 ดังนน้ั 4 เป็นตวั ประกอบร่วมตวั หน่ึงของพหุนามน้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 405 ข้ันท่ี 2 พิจารณาตวั แปร x ในแตล่ ะพจน์ จะเห็นว่ามีตัวแปร x อย่ใู นพจน์เพียงสองพจน์ คอื 8x3y2 และ 20x2y3 แสดงวา่ ไมม่ ตี วั ประกอบร่วมที่เปน็ ตวั แปร x ข้นั ท่ี 3 พิจารณาตวั แปร y ในแตล่ ะพจน์ จะเห็นวา่ มีตัวแปร y อย่ใู นพจนท์ ัง้ สามคือ 8x3y2, 20x2y3 และ 12y4 จะได ้ y2 เป็นตัวประกอบร่วมอกี ตวั หนง่ึ ของพหุนามน้ ี ขัน้ ที่ 4 นำ�ตัวประกอบร่วมท้งั หมดมาเขียนเปน็ ผลคณู จะไดผ้ ลคูณนั้นเปน็ ตัวประกอบร่วม ของแต่ละพจน ์ จากข้ันตอนขา้ งต้นจะได ้ 4y2 เป็นตัวประกอบร่วมของ 8x3y2, 20x2y3 และ 12y4 ดงั นนั้ แยกตวั ประกอบของ 8x3y2 + 20x2y3 – 12y4 ได้ดงั นี้ 8x3y2 + 20x2y3 – 12y4 = 4y2(2x3 + 5x2y – 3y2) ครอู าจใหน้ กั เรยี นสงั เกตวา่ ในการพจิ ารณาตวั ประกอบรว่ มดงั ขา้ งตน้ ไมไ่ ดพ้ จิ ารณาเครอื่ งหมายระหวา่ งพจน ์ นอกจากน้ี ในการแยกตัวประกอบของพหนุ าม โดยทั่วไปจะไมเ่ ขยี นแยกตวั ประกอบของจ�ำ นวนเตม็ ท่ีเป็น ห.ร.ม. ท่ีไดต้ ่อไปอีก เชน่ จะไมเ่ ขียน 4y2 เปน็ 2 × 2 × y2 4. ส�ำ หรบั ชวนคดิ 5.1 มไี วเ้ พอ่ื ใหน้ กั เรยี นฝกึ การคดิ วเิ คราะหแ์ กป้ ญั หา และเหน็ การประยกุ ตข์ องการแยกตวั ประกอบ ของพหนุ าม ในการหาคา่ กลของจตั รุ สั กลปรกตนิ น้ั จะตอ้ งน�ำ จ�ำ นวนทงั้ หมดทอี่ ยใู่ นตารางมาบวกกนั แลว้ หารดว้ ย จ�ำ นวนแถว (หรือจ�ำ นวนหลกั ) จงึ จะได้คา่ กล ดังนน้ั ในการหาคา่ กลของจัตุรัสกลปรกติ ขนาด n × n ใด ๆ จะ ต้องหาผลบวกตัง้ แต่ 1 ถึง n2 แลว้ หารด้วย n ซงึ่ เปน็ จำ�นวนแถว โดยในการหาผลบวกต้ังแต่ 1 ถึง n2 นน้ั จะตอ้ ง อาศัยความรู้ของการหาผลบวกตั้งแต่ 1 ถึง n ซ่ึงเม่ือศึกษาจากมุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 247 มีคา่ เป็น n(n2+ 1) ซง่ึ อยู่ในรูปของการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัติ จะพบวา่ ผลบวกตงั้ แต่ 1 ถึง n ของการแจกแจงนนั่ เอง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

406 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี อง คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยชวนคดิ ชวนคิด 5.1 1. แนวคิด เน่ืองจาก ค่ากล คือ จำ�นวนท่ีเป็นผลบวกของจำ�นวนในแต่ละแถว (หรือแต่ละหลัก) ซึ่งมีค่า ipst.me/10419 เทา่ กนั โดยค่ากลน้นั หาไดจ้ ากผลรวมของจำ�นวนทั้งหมดหารด้วยจ�ำ นวนแถว จัตุรสั กลปรกติ ขนาด 4 × 4 จะมชี ่องวา่ งท้ังหมด 16 ช่อง สำ�หรบั เตมิ เลขโดด 1 ถึง 16 ในการหาผลบวกของจ�ำ นวนตั้งแต่ 1 ถึง 16 วิธหี นึง่ ทีส่ ามารถชว่ ยใหห้ าคา่ ไดง้ า่ ยและรวดเรว็ คือใช้การจับคใู่ หไ้ ด้ผลบวกเทา่ กบั 17 ดงั แผนภาพต่อไปน้ี 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 … 17 … อาจคิดได้จาก 17 16(17) = 136 2 17 ⋮ 17 จากแผนภาพ จะไดผ้ ลบวกเปน็ 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 = 8 × 17 = 136 เนอ่ื งจากจตั ุรสั กลปรกติ ขนาด 4 × 4 มี 4 แถว (หรือ 4 หลกั ) 136 ดงั นั้น ค่ากลของจัตุรัสกลปรกติ ขนาด 4 × 4 เทา่ กบั 4 = 34 2. แนวคิด จตั ุรัสกลปรกติ ขนาด n × n จะมีช่องวา่ งทงั้ หมด n2 ช่อง ส�ำ หรับเติมเลขโดด 1 ถงึ n2 จากแนวคิดในข้อ 1 จะไดว้ า่ ผลบวกของจ�ำ นวนตง้ั แต่ 1 ถงึ n2 เท่ากับ (n2)(n22 + 1) เนือ่ งจากจตั รุ ัสกลปรกติ ขนาด n × n มี n แถว (หรอื n หลกั ) ด ังนนั้ คา่ กลของจัตุรสั กลปรกติ ขนาด n × n เทา่ กับ (n2)(n2 + 1) ÷ n 2 = (n2)(n2 + 1) 2n = (n)(n2 + 1) 2 น ั่นคอื คา่ กลของจัตุรสั กลปรกติ ขนาด n × n เท่ากับ (n)(n2 + 1) 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง 407 3 . แ นวค ดิ จากแนวคิดในข้อ 2 จะได้ว่า ค่ากลของจตั รุ สั กลปรกติ ขนาด n × n เทา่ กับ (n)(n22 + 1) (n)(n2 + 1) จ ะไดว้ ่า 2 = 369 (n)(n2 + 1) = 738 (n)(n2 + 1) = (9)(82) (n)(n2 + 1) = (9)(81 + 1) (n)(n2 + 1) = (9)(92 + 1) นั่นคือ n = 9 ดังนัน้ ถา้ ต้องการสรา้ งจัตรุ สั กลปรกติ ทีม่ ีคา่ กลเปน็ 369 จะตอ้ งใช้ตารางขนาด 9 × 9 หมา ยเห ตุ : นกั เร ยี นอ าจลองหาจ�ำ นวนทแ่ี ทน n ใน (n)(n22 + 1) แล้วมีคา่ เทา่ กับ 369 ก็ได้ เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝกึ หดั 5.1 1. 1) 10x + 4 = 2(5x + 2) 2) 7x – 14 = 7(x – 2) 3) -9x + 3 = 3(-3x + 1) หรอื -3(3x – 1) 4) -8 – 12x = 4(-2 – 3x) หรอื -4(2 + 3x) 5) 14y + 26z = 2(7y + 13z) 6) x2 + 13x = x(x + 13) 7) 3z2 – 2z = z(3z – 2) 8) 5y2 – 20y = 5y(y – 4) 9) 12xz – 16z = 4z(3x – 4) 10) 33y2 – 11yz = 11y(3y – z) 11) 15x2y + 5x = 5x(3xy + 1) 12) 6xy – 8xy2 = 2xy(3 – 4y) x(x2 + 1) 13) x3 + x = y(y2 + 4) 14) y3 + 4y = = 3yz(3yz – 2) = 7x2y2(3x – 4y) 15) 9y2z2 – 6yz 16) 21x3y2 – 28x2y3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

408 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 17) -7x2z3 + 63xz5 = 7xz3 (-x + 9z2) หรอื -7xz3(x – 9z2) 6x3z2 (4x + 3z) 18) 24x4z2 + 18x3z3 = 6x2y2 (5y + 6x – xy) 3xz2 (8 – 9xz + 3x2z2) 19) 30x2y3 + 36x3y2 – 6x3y3 = 20) 24xz2 – 27x2z3 + 9x3z4 = 2. 1) m(n + 3) + 5(n + 3) = (n + 3)(m + 5) 2) (x + y)z – (x + y) = (x + y)(z – 1) 3) 4t(a + b) – s(a + b) = (a + b)(4t – s) 4) (4y2 + 3)y + 6(4y2 + 3) = (4y2 + 3)(y + 6) 5) a(b – 3c) + x(b – 3c) = (b – 3c)(a + x) 6) แนวคดิ 1 ax + by + bx + ay = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) แนวคดิ 2 ax + by + bx + ay = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) 7) แนวคดิ 1 5a – 10x + ab – 2bx = (5a – 10x) + (ab – 2bx) = 5(a – 2x) + b(a – 2x) = (a – 2x)(5 + b) แนวคดิ 2 5a – 10x + ab – 2bx = (5a + ab) – (10x + 2bx) = a(5 + b) – 2x(5 + b) = (5 + b)(a – 2x) 8) แนวคดิ na + 3b + nb + 3a = (na + nb) + (3a + 3b) = n(a + b) + 3(a + b) = (a + b)(n + 3) 9) แนวคดิ xy – st – xt + sy = (xy – xt) + (sy – st) = x(y – t) + s(y – t) = (y – t)(x + s) 10) แนวคดิ n2m + n2p – 8m – 8p = (n2m – 8m) + (n2p – 8p) = m(n2 – 8) + p(n2 – 8) = (n2 – 8)(m + p) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง 409 11) แนวคดิ ab2 – cb2 – 6a + 6c = (ab2 – cb2) – (6a – 6c) = b2(a – c) – 6(a – c) = 12) แนวคิด 2x3 – x + 14x2 – 7 = (a – c)(b2 – 6) = (2x3 – x) + (14x2 – 7) = x(2x2 – 1) + 7(2x2 – 1) 13) แนวคดิ a2 – 2b – 5a3 + 10ab = (2x2 – 1)(x + 7) = (a2 – 2b) – (5a3 – 10ab) = (a2 – 2b) – 5a(a2 – 2b) 14) แนวคิด x3 – x3z + y2z – y2 = (a2 – 2b)(1 – 5a) = (x3 – x3z) – (y2 – y2z) = x3(1 – z) – y2(1 – z) (1 – z)(x3 – y2) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

410 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 5.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว (3 ชั่วโมง) จุดประสงค์ นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดียวที่มสี มั ประสิทธ์ิของแต่ละพจนเ์ ป็นจ�ำ นวนเตม็ และมี สัมประสิทธ์ขิ องแต่ละพจนใ์ นพหนุ ามตัวประกอบเปน็ จ�ำ นวนเต็ม ความเขา้ ใจท่คี ลาดเคล่อื น - สอ่ื ทแี่ นะนำ�ใหใ้ ชใ้ นขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ ซอฟตแ์ วร ์ The Geometer's Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเก่ียวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ อาจท�ำ ได้ดังน้ี 1. ครแู นะน�ำ พหุนามดกี รีสองตัวแปรเดยี วที่เขียนอยใู่ นรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เป็นจ�ำ นวนเต็ม และ a ≠ 0 พร้อมท้งั ใหต้ ัวอยา่ งประกอบ อาจให้นกั เรยี นบอกค่า a, b และ c ในแต่ละพจน์ เหลา่ นนั้ 2. ครูทบทวนการคูณกันของเอกนามกับพหุนาม จากน้ันครูให้ตัวอย่างการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ในกรณีที่ c = 0 กอ่ น เพราะกรณีนจ้ี ะใช้ความรตู้ ่อเนอ่ื งจากหวั ข้อ 5.1 ซึง่ เป็นการแยกตวั ประกอบของ พหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจงและมตี วั ประกอบรว่ มเปน็ เอกนาม 3. ครูทบทวนการหาผลคูณของพหุนามโดยครูอาจดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยีในหนังสือเรียนชั้น ม.2 เล่ม 1 บทท่ี 6 เร่ืองพหุนาม หน้า 288 มาใช้ประกอบการทบทวน จากน้ันครูอภิปรายกับนักเรียนเกี่ยวกับ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทเ่ี ขยี นอยใู่ นรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a = 1 และ c ≠ 0 ในขน้ั ตอนตา่ ง ๆ ที่ใช้สมบัติของการแจกแจงและมีตัวประกอบร่วมเป็นพหุนาม อาจมีรายละเอียดที่อาจเข้าใจยากสำ�หรับนักเรียน บางกลมุ่ ครคู วรอธบิ ายใหน้ กั เรยี นเหน็ แนวคดิ แลว้ สรปุ วธิ กี ารแยกตวั ประกอบโดยใหข้ อ้ สงั เกตเกยี่ วกบั สมั ประสทิ ธิ์ ของพจน์กลาง (b) คา่ ของพจน์หลงั (c) พรอ้ มยกตัวอย่างประกอบ จนนักเรียนสามารถมองเหน็ ความสัมพันธ์ แล้วจึงคอ่ ยสรุปเป็นหลกั การทว่ั ๆ ไปคอื x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เม่ือ m และ n เป็นจ�ำ นวนเตม็ ท่ ี m + n = b และ mn = c ครูควรเน้นย้ำ�ให้นักเรียนตรวจสอบคำ�ตอบโดยการหาผลคูณของพหุนามท่ีเป็นตัวประกอบ ว่าตรงกับ พหนุ ามทีก่ �ำ หนดใหห้ รือไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง 411 ครคู วรใหข้ อ้ สงั เกตกบั นกั เรยี นดว้ ยวา่ ในกรณที ี่ x2 + bx + c ม ี b และ c เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ถา้ ไมส่ ามารถ หาจำ�นวนเตม็ สองจ�ำ นวนที่คณู กนั ได ้ c และบวกกันได้ b กแ็ สดงวา่ ไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามน้นั ให้มีตวั ประกอบที่เป็นพหุนามดกี รีหนงึ่ และมีสมั ประสทิ ธ์ิเปน็ จำ�นวนเตม็ ได้ ในหัวข้อนี้ครูควรให้นักเรียนฝึกการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองเพ่ิมเติม โดยสามารถดาวน์โหลด ไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 252 เพื่อให้นักเรียนฝึกฝนจนเกิดความคล่องแคล่วใน การแยกตัวประกอบของพหนุ าม ซง่ึ เปน็ พน้ื ฐานที่ส�ำ คัญในการเรยี นต่อในหวั ข้อถัดไป 4. ครอู าจใหน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมโดยใชส้ อ่ื AR ในมมุ คณติ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 250 เพอื่ ใหเ้ หน็ การใชพ้ หนุ ามแสดง ความสัมพันธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นของรปู สเี่ หลี่ยมมมุ ฉากกบั พนื้ ทขี่ องรปู สเ่ี หลีย่ มน้นั ซึง่ ความสมั พนั ธท์ ไ่ี ด้ เขยี นอย่ใู นรปู การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง การใช้สื่อรูปธรรมน้ี มีเจตนาให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอดและเรียนคณิตศาสตร์อย่างมีความหมาย ครไู มค่ วรยดึ ติดกับการใช้ส่อื รูปธรรมเกนิ ความจ�ำ เป็น เพราะบางครงั้ สอ่ื เหลา่ นก้ี ท็ ำ�ให้เกดิ ความยุ่งยากได้ ส่ิงที่ ครูควรใหน้ ักเรียนท�ำ คอื ใหโ้ จทย์ท่เี หมาะสมและใหน้ ักเรยี นได้ฝกึ ทกั ษะอย่างเพียงพอ 5. ครูทบทวนการหาผลคูณของพหุนามโดยครูอาจดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยีในหนังสือเรียนชั้น ม.2 เล่ม 1 บทที่ 6 เร่อื งพหุนาม หน้า 288 จากนัน้ ครูอภิปรายกับนกั เรียนเก่ียวกับการแยกตัวประกอบของพหุนาม ดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เปน็ จำ�นวนเต็มท่ี a ≠ 1 และ c ≠ 0 ซึ่งเป็นเรอ่ื งทตี่ ้องใช้เวลา ในการทำ�ความเข้าใจและการฝกึ ฝน ในการจดั การเรียนการสอน ครคู วรด�ำ เนนิ การอย่างช้า ๆ ใหเ้ วลานกั เรยี น ได้คิดค�ำ นวณอย่างรอบคอบและตรวจสอบค�ำ ตอบให้ถูกตอ้ งทุกคร้งั ครูควรย้ำ�กับนักเรียนเสมอว่าก่อนแยกตัวประกอบของพหุนามใด ๆ ควรพิจารณาว่าสามารถหา ตวั ประกอบร่วมไดห้ รอื ไม ่ ถา้ ไดค้ วรกระท�ำ ก่อน เพราะอาจจะช่วยให้การแยกตัวประกอบขน้ั ต่อไปทำ�ได้งา่ ยขน้ึ ดังตัวอย่างท่ี 10 ในหนังสือเรียน หน้า 256 วิธีที่ 1 ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ครูไม่ควรเข้มงวด เกย่ี วกบั รปู แบบของค�ำ ตอบมากนัก เช่น เมือ่ แยกตัวประกอบของ 6x2 – 10x – 4 อาจเขยี นค�ำ ตอบเป็น 6x2 – 10x – 4 = (3x + 1)(2x – 4) หรือ (6x + 2)(x – 2) ก็ให้ถอื ว่าถูกต้อง เพียงแต่ยงั ไม่เป็นการแยก ตวั ประกอบท่ีสมบูรณ์เทา่ นั้น สำ�หรับตวั อยา่ งที่ 11 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 257 เป็นโจทยท์ ี่ a เป็นจ�ำ นวนเต็มลบ ครูอาจแนะน�ำ ให้ นักเรยี นใช้วิธีท�ำ วธิ ีท่ี 2 ซึ่งนำ�ตัวประกอบร่วม -1 ออกมากอ่ น จะชว่ ยท�ำ ใหแ้ ยกตัวประกอบขั้นตอ่ ไปง่ายขน้ึ และอาจเขียนค�ำ ตอบโดยม ี -1 อยู่นอกวงเลบ็ ก็ได้เปน็ -3x2 + 10x + 8 = -(3x2 – 10x – 8) = (-1)(3x + 2)(x – 4) 6. ในหวั ขอ้ นคี้ รคู วรใหน้ กั เรยี นฝกึ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องเพม่ิ เตมิ โดยสามารถดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 257 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

412 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยชวนคิด ชวนคิด 5.2 ipst.me/10420 จงเติมเลขโดด 0–9 ลงใน ทั้งสิบชอ่ ง ซ่งึ เลขโดดแตล่ ะตัวนน้ั ใชไ้ ดเ้ พยี งครง้ั เดยี ว x2 + 0 x – 4 = (x + 2)(x – 2 ) x2 + 1 1 x + 1 8 = (x + 2)(x + 9 ) x2 + 2x – 3 5 = (x + 7 )(x – 5 ) x2 – 6 x + 8 = (x – 2)(x – 4) ชวนคิด 5.3 1. แนวคดิ จาก x2 + bx + 16 ให้พิจารณา m, n ท่ีเป็นจ�ำ นวนเต็ม โดยที่ mn = 16 และ m + n = b ipst.me/10421 ไดด้ งั ตารางตอ่ ไปน้ี m n mn b = m + n 16 1 16 17 8 2 16 10 4 4 16 8 2 8 16 10 1 16 16 17 -1 -16 16 -17 -2 -8 16 -10 -4 -4 16 -8 -8 -2 16 -10 -16 -1 16 -17 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง 413 จากตารางขา้ งตน้ จะไดว้ า่ จำ�นวนเต็ม b ทัง้ หมดท่เี ปน็ ไปได้ ทที่ �ำ ให้ x2 + bx + 16 สามารถแยกตัวประกอบออกเป็น พหุนามดีกรีหนง่ึ ซึ่งมสี มั ประสทิ ธแ์ิ ละคา่ คงตัวเป็นจำ�นวนเตม็ คอื 8, 10, 17, -8, -10, -17 รวมทั้งสิ้น 6 จำ�นวน 2. ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย แนวคิด พิจารณาตวั อยา่ งของ m, n ทเี่ ป็นจำ�นวนเตม็ ที่ซง่ึ m + n = -4 และ c เปน็ จ�ำ นวนเตม็ โดยท่ ี c = mn ได้ดังตารางต่อไปนี้ m n m+n c = mn -1 -3 -4 3 0 -4 -4 0 1 -5 -4 -5 2 -6 -4 -12 3 -7 -4 -21 ดังนนั้ จำ�นวนเตม็ c ทเี่ ป็นตวั อยา่ งท้ังสิ้น 5 จำ�นวน ทีท่ ำ�ให้ x2 – 4x + c สามารถแยกตวั ประกอบออกเป็น พหุนามดีกรหี นง่ึ ซ่ึงมีสมั ประสทิ ธิแ์ ละคา่ คงตวั เปน็ จำ�นวนเตม็ คือ 3, 0, -5, -12, -21 ชวนคิด 5.4 1. พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามกำ�ลังสองท่ีก�ำ หนดให้ ipst.me/10422 2x2 + 9x – 18 = (2x – 3)(x + 6) 4x2 + 25x + 6 = (x + 6)(4x + 1) 12x2 – 17x – 5 = (4x + 1)(3x – 5) จากความสัมพนั ธ์ขา้ งตน้ จะได้ว่า แทน x + 6 แทน 4x + 1 แทน 2x – 3 และ แทน 3x – 5 ดงั นั้น • = (2x – 3)( 3x – 5) = 6x2 – 19x +15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

414 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี อง คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 • • 2. = 12x2 – 69x – 105 1) 2) • = 4x2 + 4x – 3 3) 4) • • = 8x2 – 14 – • • + = 2x2 – 5x – 24 แนวคิด พจิ ารณาการแยกตัวประกอบของพหนุ ามกำ�ลงั สองที่ก�ำ หนดให้ จาก 1) 12x2 – 69x – 105 = (3)(4x2 – 23x – 35) = (3)(x – 7)(4x + 5) น่นั คือ จะแทน 3 หรอื x – 7 หรอื 4x + 5 จะแทน 3 หรอื x – 7 หรอื 4x + 5 และในท�ำ นองเดยี วกัน จะแทน 3 หรือ x – 7 หรือ 4x + 5 จาก 2) 4x2 + 4x – 3 = (2x – 1)(2x + 3) น่นั คอื จะแทน 2x – 1 หรอื 2x + 3 และในท�ำ นองเดยี วกนั จะแทน 2x – 1 หรอื 2x + 3 พิจารณาความสอดคลอ้ งกับความสัมพันธ์ 3) โดยใชต้ ารางดงั นี้ × 2x – 1 2x + 3 3 6x – 3 6x + 9 x–7 2x2 – 15x + 7 2x2 – 11x – 21 4x + 5 8x2 + 6x – 5 8x2 + 22x + 15 หมายเหตุ จากตารางนี้ นกั เรยี นอาจเลอื กพิจารณาเฉพาะการคณู กันของค่าคงตวั เพ่อื สังเกตหาความสมั พนั ธ์ท่ตี อ้ งการ จากตารางและจากความสัมพนั ธ์ 3) จะไดด้ ังน ้ี 8x2 – 14 = (8x2 + 6x – 5) – (6x + 9) (4x + 5)(2x – 1) – 3(2x + 3) = และจะไดว้ า่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง 415 แทน 4x + 5 แทน 2x – 1 แทน 3 แทน 2x + 3 แทน x – 7 เมือ่ พิจารณาคา่ ต่าง ๆ ในตารางและความสัมพันธ์ 4) จะได้พหนุ ามที่สอดคล้องกับความสมั พนั ธ์ดังกล่าว ดงั น้ี เนื่องจาก 2x2 – 5x – 24 = (6x – 3) + (2x2 – 11x – 21) = 3(2x – 1) + (x – 7)(2x + 3) จะได ้ 3(2x – 1) + (x – 7)(2x + 3) = 2x2 – 5x – 24 เนือ่ งจากการคณู และการบวกมีสมบัตกิ ารสลบั ท่ี ดังน้นั คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น • • + = 2x2 – 5x – 24 • + • = 2x2 – 5x – 24 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

416 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง คมู่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยแบบฝกึ หดั แบบฝึกหดั 5.2 ก n = 12 หรือ m = 12 n = 7 n = 8 หรือ m = 8 n = -13 1. 1) m = 7 n = -11 หรอื m = -11 n = 13 2) m = -13 n = -9 หรือ m = -9 n = -14 3) m = 13 n = 15 หรอื m = 15 n = 6 4) m = -14 n = -8 หรือ m = -8 n = 15 5) m = 6 n = 8 หรอื m = 8 n = -16 6) m = 15 n = -18 หรือ m = -18 n = -6 7) m = -16 n = -19 หรอื m = -19 n = 21 8) m = -6 n = 13 หรือ m = 13 n = -24 9) m = 21 10) m = -24 2. 1) x2 – 5x = x(x – 5) 2) 3m2 – 3m = 3m(m – 1) 3) -2y + y2 = y(-2 + y) หรอื -y(2 – y) 4) -5x2 – 10x = 5x(-x – 2) หรือ -5x(x + 2) 5) x2 + 4x + 3x + 12 = (x + 4)(x + 3) 6) m2 – 5m + 2m – 10 = (m – 5)(m + 2) 7) x2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) 8) n2 + 15n + 14 = (n + 14)(n + 1) 9) y2 + 10y + 24 = (y + 6)(y + 4) 10) x2 + 7x – 18 = (x + 9)(x – 2) 11) x2 – 9x + 20 = (x – 4)(x – 5) 12) a2 – 8a – 9 = (a + 1)(a – 9) 13) b2 + 9b – 10 = (b + 10)(b – 1) 14) x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6) 15) x2 – 14x + 24 = (x – 2)(x – 12) 16) a2 + 11a + 18 = (a + 2)(a + 9) 17) 56 + 15a + a2 = (8 + a)(7 + a) 18) m2 – 13m + 42 = (m – 6)(m – 7) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 417 19) x2 – 20x – 21 = (x + 1)(x – 21) 20) x2 – 15x + 36 = (x – 3)(x – 12) 21) y2 + 13y + 12 = (y + 12)(y + 1) 22) t2 – 11t + 30 = (t – 5)(t – 6) 23) a2 – a – 72 = (a + 8)(a – 9) 24) x2 – 17x + 70 = (x – 7)(x – 10) 25) y2 – 18y + 81 = (y – 9)(y – 9) 26) n2 + 15n – 54 = (n + 18)(n – 3) 27) x2 – 30x – 99 = (x + 3)(x – 33) 28) m2 – 22m + 121 = (m – 11)(m – 11) 29) x2 – 12x – 85 = (x + 5)(x – 17) 30) 144 + 24a + a2 = (12 + a)(12 + a) แบบฝึกหดั 5.2 ข 1. 2x2 – 2x – 4 = 2(x – 2)(x + 1) 2. 2a2 + 6a + 4 = 2(a + 2)(a + 1) 3. 3x2 – 6x – 9 = 3(x – 3)(x + 1) 4. 6y2 – y – 12 = (2y – 3)(3y + 4) 5. 9y2 – 6y + 1 = (3y – 1)(3y – 1) 6. 6a2 + a – 12 = (3a – 4)(2a + 3) 7. 6a2 + 17a + 12 = (3a + 4)(2a + 3) 8. 5x2 + 14x – 3 = (5x – 1)(x + 3) 9. 4x2 + 16x – 9 = (2x + 9)(2x – 1) 10. 9y2 – 12y – 5 = (3y + 1)(3y – 5) 11. 5x2 + 4x – 1 = (5x – 1)(x + 1) 12. 12a2 – a – 35 = (4a – 7)(3a + 5) 13. 16y2 – 8y + 1 = (4y – 1)(4y – 1) 14. 15x2 + 8x – 7 = (x + 1)(15x – 7) 15. 7a2 + 49a + 84 = 7(a + 3)(a + 4) 16. 35m2 + 18m – 8 = (7m – 2)(5m + 4) 17. 4 + 10x – 6x2 = 2(2 – x)(1 + 3x) หรือ -2(x – 2)(3x + 1) 18. 9 – 42y + 49y2 = (3 – 7y)(3 – 7y) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

418 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 19. 35 – 26b + 3b2 = (7 – b)(5 – 3b) 20. 4z2 – 28z + 49 = (2z – 7)(2z – 7) 21. -12a2 – 20a – 7 = (-6a – 7)(2a + 1) หรอื (6a + 7)(-2a – 1) 22. 10 – 19x – 15x2 = (5 + 3x)(2 – 5x) 23. 6b2 – 38b + 56 = 2(3b – 7)(b – 4) 24. 7m2 + 72m – 55 = (7m – 5)(m + 11) 25. 20a2 + 77a + 18 = (5a + 18)(4a + 1) 26. 3x2 – 40x + 117 = (3x – 13)(x – 9) 27. -10x2 + 81x – 45 = (-2x + 15)(5x – 3) หรือ (2x – 15)(-5x + 3) 28. 13y2 + 69y – 54 = (13y – 9)(y + 6) 29. 4y2 – 36 = 4(y – 3)(y + 3) 30. 9a2 – 64 = (3a – 8)(3a + 8) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 419 5.3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ท่เี ป็นกำ�ลงั สองสมบูรณ์ (3 ชว่ั โมง) จุดประสงค ์ นกั เรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทีเ่ ปน็ กำ�ลังสองสมบรู ณ์และเขยี นอยู่ในรปู A2 + 2AB + B2 หรอื A2 – 2AB + B2 เมื่อ A และ B เปน็ พหุนาม ความเขา้ ใจทคี่ ลาดเคล่อื น - สื่อทีแ่ นะน�ำ ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ซอฟต์แวร ์ The Geometer's Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเก่ียวกับการทำ�ความเข้าใจในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นกำ�ลังสองสมบูรณ์ แนวทางการจัดกจิ กรรมการเรยี นรอู้ าจทำ�ได้ดงั นี้ 1. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจก�ำ ลงั สองสมบรู ณ”์ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 260 เพอื่ ใหน้ กั เรยี นสงั เกตเหน็ รปู แบบ ของพหุนามที่เป็นกำ�ลังสองสมบูรณ์ นอกจากน้ี ครอู าจใหน้ กั เรยี นดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพอ่ื ฝกึ การคณู พหนุ ามท ่ี ไดผ้ ลลพั ธเ์ ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณเ์ พม่ิ เตมิ ไดท้ ม่ี มุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 260 2. ครอู ภปิ รายกบั นกั เรยี นเกย่ี วกบั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณ์ เมอ่ื นกั เรยี นสงั เกต เหน็ รปู แบบของการแยกตวั ประกอบแลว้ ตอ่ จากนนั้ ครอู าจใหส้ ตู รส�ำ หรบั การน�ำ ไปใชใ้ นการท�ำ แบบฝกึ หดั เลยกไ็ ด ้ นกั เรยี นจะจำ�สูตรในรูปของตัวแปร หรอื จ�ำ ในรปู ขอ้ ความกไ็ ด้ ดังนี ้ A2 + 2AB + B2 = (A+B)2 หรือ (หนา้ )2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า + หลงั )2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 หรือ (หน้า)2 – 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ – หลงั )2 3. ครูให้นักเรียนศึกษาแบบจำ�ลองแสดงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่เี ป็นกำ�ลังสองสมบูรณ์ในมุมคณิต ในหนงั สอื เรยี นหนา้ 262 4. ส�ำ หรบั หวั ขอ้ นไ้ี ดแ้ บง่ สาระเปน็ สองตอนเพอ่ื ความสะดวกในการจดั การเรยี นการสอน ✤ ตวั อยา่ งท่ี 1 ถึงตัวอยา่ งท่ี 4 และแบบฝกึ หัด 5.3 ขอ้ 1, 2 และ 4 เหมาะส�ำ หรับนักเรียนท่ัว ๆ ไป ✤ ตวั อยา่ งที่ 5 ตัวอย่างท่ี 6 และแบบฝกึ หดั 5.3 ขอ้ 3 เหมาะส�ำ หรับนักเรียนท่มี คี วามสามารถ เปน็ พเิ ศษ การจัดสาระให้กบั นกั เรียนให้อย่ใู นดลุ พินจิ ของครู สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

420 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง คูม่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ส�ำ หรบั ตวั อยา่ งที่ 5 และตวั อยา่ งท่ี 6 อาจแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทก่ี �ำ หนดใหโ้ ดยไมด่ ทู รี่ ปู แบบของ พหนุ ามทเี่ ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณ ์ แตอ่ าจท�ำ พหนุ ามนนั้ ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งงา่ ยกอ่ นแลว้ จงึ แยกตวั ประกอบกไ็ ด ้ เชน่ 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = 4x2 – 4x2 + 12x + x2 – 6x + 9 = x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + 32 = (x + 3)2 ดงั นนั้ 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = (x + 3)2 อน่ึง ตัวอยา่ งท่ี 5 ตวั อยา่ งท่ี 6 และแบบฝกึ หัด 5.3 ขอ้ 3 น้มี ีเจตนาให้นกั เรียนได้พฒั นาการคิดและ สงั เกตรปู แบบทเ่ี ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณ ์ ครจู งึ ควรใหน้ กั เรยี นท�ำ วธิ ดี งั ตวั อยา่ งมากกวา่ การท�ำ ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งงา่ ยกอ่ น ในการทำ�แบบฝึกหัด 5.3 ข้อ 3 ครูควรยำ้�ให้นักเรียนระมัดระวังในเร่ืองการเข้าวงเล็บและถอดวงเล็บ ซ่งึ อาจมกี ารเปลยี่ นเครอ่ื งหมายของแต่ละพจน์ ดงั นั้น ควรย้ำ�ใหน้ ักเรียนตรวจสอบการคำ�นวณอยูเ่ สมอ 5. ในหัวข้อนี้ครูควรให้นักเรียนฝึกการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นกำ�ลังสองสมบูรณ์เพิ่มเติม โดยสามารถดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลย ี ในหนงั สือเรยี น หนา้ 263 6. ครูใหน้ ักเรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ค้นหาเส้นทางกำ�ลงั สองสมบรู ณ์” ในหนังสอื เรียน หนา้ 265 เพื่อฝกึ ทกั ษะเพมิ่ เติม เกี่ยวกับการพจิ ารณาพหุนามดีกรสี องที่เปน็ กำ�ลังสองสมบรู ณ์ 7. สำ�หรับมุมคณิต ในหนังสอื เรียน หนา้ 267 มเี จตนาใหน้ กั เรียนรวู้ ่าถึงแม้จะเป็นพหุนามดกี รสี องทม่ี ีสองตัวแปร การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทีเ่ ป็นก�ำ ลงั สองสมบรู ณ์ก็ยงั ใชส้ ูตรดงั กล่าวได้เช่นกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง 421 กิจกรรม : สำ�รวจก�ำ ลงั สองสมบรู ณ์ กิจกรรมนี้เป็นกิจกรรมที่สนับสนุนให้นักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธ์ของพหุนามท่ีอยู่ในรูปกำ�ลังสองสมบูรณ์ ทั้งในรปู (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 และ (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 โดยใช้ความรเู้ กยี่ วกับเลขยกกำ�ลงั ที่มีฐานเปน็ พหนุ ามและการคูณพหนุ าม โดยมีข้ันตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดังนี้ ส่ือ/อปุ กรณ์ - ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครูให้นกั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจกำ�ลงั สองสมบูรณ”์ ในหนงั สอื เรียน หน้า 260 โดยในการท�ำ กิจกรรมน้ีครอู าจให้ นกั เรยี นทำ�กิจกรรมแบบเดีย่ วหรือคู่ก็ได้ 2. ครูใหน้ กั เรยี นพิจารณาพหนุ ามในขอ้ 1 แลว้ ใหน้ ักเรยี นเติมพหุนามในข้อ 2–5 3. ขณะท่ีนักเรียนทำ�ใบกิจกรรม ครูควรเดินสังเกตว่านักเรียนเขียนพหุนามโจทย์ในรูปการคูณได้ถูกต้องหรือไม่ และหาผลคณู ไดถ้ กู ตอ้ งหรอื ไม่ หากพบนกั เรยี นทไ่ี มส่ ามารถเตมิ 2 ชอ่ งนไี้ ดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง ใหค้ รชู ว่ ยเหลอื โดยการทบทวน ความหมายของเลขยกก�ำ ลงั และการคณู พหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง 4. ครูให้นักเรียนอภิปรายกับเพ่ือนที่นั่งข้าง ๆ เก่ียวกับความสัมพันธ์ของพหุนามที่พบจากการทำ�กิจกรรม พร้อมทั้ง จดบันทกึ ความสัมพันธ์ดงั กล่าวในสมดุ 5. ครูใหน้ ักเรียนพิจารณาพหุนามในข้อ 6 แล้วใหน้ กั เรียนเตมิ พหุนามในขอ้ 7–10 6. ครูให้นักเรยี นอภปิ รายกับเพ่อื นท่นี ง่ั ข้าง ๆ เก่ียวกับความสัมพันธ์ของพหุนามทีพ่ บจากการทำ�กิจกรรม 7. ครูใหน้ ักเรยี นตอบคำ�ถามทา้ ยกิจกรรม หมายเหต ุ ครอู าจชว่ ยใหน้ ักเรยี นหาความสมั พนั ธ์ได้ง่ายขน้ึ โดยการใช้ปากกาคนละสี เชน่ เดียวกับข้อ 1 ในใบกจิ กรรม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

422 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง คู่มือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจก�ำ ลังสองสมบูรณ์ ขอ้ โจทย์ เขียนในรูปการคณู ผลคณู ที่ได้ อาจจดั รปู ได้เปน็ 1 (x + 3)2 (x + 3)(x + 3) x2 + 3x + 3x + 32 x2 + 2(3x) + 32 2 (y + 5)2 (y + 5)(y + 5) y2 + 5y + 5y + 52 y2 + 2(5y) + 52 3 (3x + 1)2 (3x + 1)(3x + 1) (3x)2 + (1)(3x) + (1)(3x) + 12 (3x)2 + 2(1•3x) + 12 4 (5z + 4)2 (5z + 4)(5z + 4) (5z)2 + (4)(5z) + (4)(5z) + 42 (5z)2 + 2(4•5z) + 42 5 (A + B)2 (A + B)(A + B) A2 + AB + AB + B2 A2 + 2AB + B2 6 (x – 4)2 (x – 4)(x – 4) x2 – 4x – 4x + 42 x2 – 2(4x) + 42 7 (y – 6)2 (y – 6)(y – 6) y2 – 6y – 6y + 62 y2 – 2(6y) + 62 8 (9x – 1)2 (9x – 1)(9x – 1) (9x)2 – (1)(9x) – (1)(9x) + 12 (9x)2 – 2(1•9x) + 12 9 (2x – 7)2 (2x – 7)(2x – 7) (2x)2 – (7)(2x) – (7)(2x) + 72 (2x)2 – 2(7•2x) + 72 10 (A – B)2 (A – B)( A – B) A2 – AB – AB + B2 A2 – 2AB + B2 เฉลยค�ำ ถามท้ายกิจกรรม : ส�ำ รวจก�ำ ลงั สองสมบูรณ์ ตัวอย่างคำ�ตอบ ✤ จากกจิ กรรมข้างตน้ ความสมั พนั ธท์ ี่สงั เกตได้ มดี งั นี้ 1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 ✤ จากกจิ กรรมขา้ งต้น ความสัมพนั ธท์ ีส่ ังเกตได้ มีดงั นี้ 1. ถา้ พหนุ ามกำ�ลงั สองสามารถเขียนไดใ้ นรปู A2 + 2AB + B2 แลว้ สามารถเขยี นแยกตัวประกอบ ได้เปน็ A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) หรอื (A + B)2 2. ถา้ พหุนามกำ�ลังสองสามารถเขียนไดใ้ นรปู A2 – 2AB + B2 แลว้ สามารถเขยี นแยกตัวประกอบ ไดเ้ ปน็ A2 – 2AB + B2 = (A – B)(A – B) หรือ (A – B)2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 423 กจิ กรรม : คน้ หาเสน้ ทางกำ�ลงั สองสมบรู ณ์ กจิ กรรมน้เี ป็นกจิ กรรมที่เสรมิ ทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหุนามทอี่ ย่ใู นรปู ผลบวกทัง้ หมดยกกำ�ลงั สอง A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 และผลตา่ งทัง้ หมดยกกำ�ลงั สอง A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 โดยขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี ส่อื /อปุ กรณ์ - ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครใู ห้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : ค้นหาเส้นทางก�ำ ลังสองสมบูรณ์” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 265 โดยในการทำ�กจิ กรรมนี้ ครอู าจให้นักเรียน ท�ำ กจิ กรรมแบบเด่ียวหรือคูก่ ไ็ ด้ 2. ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยขา้ วปนุ้ หาเสน้ ทางไปเกบ็ แอปเปลิ โดยในขณะทน่ี กั เรยี นท�ำ ใบกจิ กรรม ครคู วรเดนิ สงั เกตวา่ นกั เรยี น มีวธิ ีการในการพจิ ารณาวา่ พหุนามนนั้ ๆ เปน็ ก�ำ ลังสองสมบูรณ์หรอื ไม่ หากพบนักเรียนทีไ่ มส่ ามารถแยกตัวประกอบ ทีอ่ ย่ใู นรปู ผลบวกทั้งหมดยกก�ำ ลังสอง A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 หรือผลต่างทงั้ หมดยกกำ�ลงั สอง A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 ครูอาจช่วยนกั เรียน โดยใชค้ ำ�ถามนำ� ดงั นี้ ✤ พหุนามทีน่ ักเรียนกำ�ลังพจิ ารณาอยู่มพี จน์ใดเป็นพจน์หนา้ ✤ ลกั ษณะของพหนุ ามทอ่ี ยใู่ นรปู ก�ำ ลังสองสมบรู ณเ์ ป็นอยา่ งไร ✤ พจน์หน้าของพหุนามนสี้ ามารถเขยี นอย่ใู นรูปกำ�ลังสองได้หรอื ไม่ ถ้าไดจ้ ะเขียนไดอ้ ย่างไร ✤ พจนห์ ลงั ของพหนุ ามน้สี ามารถเขียนอยู่ในรูปกำ�ลังสองไดห้ รือไม่ ถ้าไดจ้ ะเขียนไดอ้ ยา่ งไร 3. ครูอาจให้นกั เรยี นตรวจสอบความถกู ตอ้ งกบั เพอื่ นทน่ี ง่ั ขา้ ง ๆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

424 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยกจิ กรรม : ค้นหาเสน้ ทางกำ�ลังสองสมบูรณ์ ขา้ วปนุ้ ตอ้ งการไปเกบ็ แอปเปลิ ทท่ี า้ ยสวน แตเ่ สน้ ทางทข่ี า้ วปนุ้ จะ เลอื กเดนิ นน้ั ตอ้ งเปน็ เสน้ ทางของพหนุ ามทเ่ี ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณเ์ ทา่ นนั้ เพ่ือน ๆ ช่วยขา้ วปนุ้ หาเสน้ ทางหนอ่ ยนะคะ 9x2 + 15x + 6 x2 – 30x + 225 16x2 – 44x + 30 x2 + 14x + 48 9x2 + 42x + 49 = (x – 15)2 81x2 – 36x + 4 4x2 + 28x + 45 x2 – 21x + 110 x2 + 15x + 44 x2 + 20x + 99 x2 – 36x + 324 = (9x – 2)2 2x2 – 30x + 100 5x2 – 12x + 4 = (x – 18)2 x2 – 42x + 441 9x2 – 15x + 6 4x2 + 22x + 30 121x2 + 88x + 15 x2 + 17x + 72 = (x – 21)2 121x2 + 22x + 1 25x2 – 45x + 20 = (11x + 1)2 100x2 + 20x + 1 4x2 – 12x + 9 = (10x + 1)2 = (2x – 3)2 9(x – 2)2 – 42(x – 2) + 49 x2 – 25x + 156 = [3(x – 2) – 7]2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง 425 เฉลยค�ำ ถามทา้ ยมุมคณิต เฉลยค�ำ ถามทา้ ยมมุ คณิต หน้า 267 1. 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2 2. m2 + 44mn + 484n2 = (m + 22n)2 ipst.me/10423 (10x + 3y)2 3. 100x2 + 60xy + 9y2 = (x – 8y)2 4. 81t2 + 90tk + 25k2 = (9t + 5k)2 5. x2 – 16xy + 64y2 = 6. 9x2 – 6xy + y2 = (3x – y)2 เฉลยแบบฝกึ หดั แบบฝึกหัด 5.3 2) x2 + 16x + 64 = (x + 8)2 4) x2 + 40x + 400 = (x + 20)2 1. 1) x2 + 12x + 36 = (x + 6)2 6) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2 3) x2 + 34x + 289 = (x + 17)2 8) x2 – 38x + 361 = (x – 19)2 5) x2 + 46x + 529 = (x + 23)2 10) x2 – 60x + 900 = (x – 30)2 7) x2 – 28x + 196 = (x – 14)2 9) x2 – 52x + 676 = (x – 26)2 2. 1) 9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2 2) 16x2 + 56x + 49 = (4x + 7)2 3) 49x2 + 42x + 9 = (7x + 3)2 4) 100x2 + 220x + 121 = (10x + 11)2 5) 81x2 + 360x + 400 = (9x + 20)2 6) 4x2 – 36x + 81 = (2x – 9)2 7) 49y2 – 70y + 25 = (7y – 5)2 8) 64y2 – 176y + 121 = (8y – 11)2 9) 81x2 – 180x + 100 = (9x – 10)2 10) แนวคิด 1 225x2– 360x + 144 = 9(25x2 – 40x + 16) = 9[(5x)2 – 2(5x)(4) + 42] = 9(5x – 4)2 แนวคดิ 2 225x2 – 360x + 144 = (15x)2 – 2(15x)(12) + 122 = (15x – 12)2 = [3(5x – 4)]2 = 9(5x – 4)2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

426 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 3. 1) (x – 2)2 + 12(x – 2) + 36 = (x – 2)2 + 2(x – 2)(6) + 62 = [(x – 2) + 6]2 = (x + 4)2 2) (2x + 1)2 + 20(2x + 1) + 100 = (2x + 1)2 + 2(2x + 1)(10) + 102 = [(2x + 1) + 10]2 = (2x + 11)2 3) (x + 3)2 – 16(x + 3) + 64 = (x + 3)2 – 2(x + 3)(8) + 82 = [(x + 3) – 8]2 = (x – 5)2 4) (4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169 = (4x – 5)2 – 2(4x – 5)(13) + 132 = [(4x – 5) – 13]2 = (4x – 18)2 = [2(2x – 9)]2 = 4(2x – 9)2 5) แนวคิด 1 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 = [6(x + 6)]2 + 2[6(x + 6)](9) + 92 = [6(x + 6) + 9]2 = (6x + 36 + 9)2 = (6x + 45)2 = [3(2x + 15)]2 = 9(2x + 15)2 แนวคิด 2 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 = 9[4(x + 6)2 + 12(x + 6) + 9] = 9{[2(x + 6)]2 + 2[2(x + 6)](3) + 32} = 9[2(x + 6) + 3]2 = 9(2x + 15)2 6) 9(x – 1)2 – 30(x – 1) + 25 = [3(x – 1)]2 – 2[3(x – 1)](5) + 52 = [3(x – 1) – 5]2 = (3x – 8)2 7) 16x2 + 8x(x + 1) + (x + 1)2 = (4x)2 + 2(4x)(x + 1) + (x + 1)2 = [4x + (x + 1)]2 = (5x + 1)2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง 427 8) (x – 3)2 – 12x(x – 3) + 36x2 = (x – 3)2 – 2(x – 3)(6x) + (6x)2 = [(x – 3) – 6x]2 = (x – 3 – 6x)2 = (-5x – 3)2 หรอื [(-1)(5x + 3)]2 = (5x + 3)2 9) 49x2 + 14(x2 – x) + (x – 1)2 = 49x2 + 14x(x – 1) + (x – 1)2 = (7x)2 + 2(7x)(x – 1) + (x – 1)2 = [7x + (x – 1)]2 = (8x – 1)2 10) (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2 = (x + 2)2 – 18x(x + 2) + 81x2 = (x + 2)2 – 2(x + 2)(9x) + (9x)2 = [(x + 2) – 9x]2 = (x + 2 – 9x)2 = (2 – 8x)2 = [2(1 – 4x)]2 = 4(1 – 4x)2 4. 1) 36 2) 54x 4) 81 3) 20x 6) x2 5) 4x2 8) 30x 7) 81x2 10) 49 9) 150x สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

428 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 5.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง ทเ่ี ป็นผลต่างของก�ำ ลังสอง (2 ช่ัวโมง) จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทีเ่ ป็นผลต่างของก�ำ ลงั สองซึง่ เขยี นอยูใ่ นรปู A2 – B2 เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม ความเขา้ ใจทีค่ ลาดเคลื่อน - ส่ือท่ีแนะน�ำ ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ซอฟต์แวร ์ The Geometer's Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อน้เี ปน็ เรื่องเกยี่ วกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องทเ่ี ปน็ ผลตา่ งของกำ�ลังสอง แนวทางการจดั กิจกรรม การเรยี นรู้อาจท�ำ ไดด้ งั นี้ 1. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 268 เพื่อให้นักเรียนสังเกตเห็น รปู แบบของพหุนามทเี่ ปน็ ผลตา่ งของกำ�ลงั สอง นอกจากน้ี ครอู าจใหน้ กั เรยี นดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพอ่ื ฝกึ การคณู พหนุ ามทไ่ี ดผ้ ลลพั ธเ์ ปน็ ผลตา่ งของก�ำ ลงั สองเพม่ิ เตมิ ไดท้ ม่ี มุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 268 2. ครูอภิปรายกับนักเรียนเก่ยี วกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่เี ป็นผลต่างของกำ�ลังสอง เม่อื นักเรียน สงั เกตเหน็ รปู แบบของการแยกตวั ประกอบแลว้ ตอ่ จากนั้นครอู าจให้นกั เรียนจำ�สตู ร A2 – B2 = (A + B)(A – B) เมอ่ื A และ B เปน็ พหนุ าม หรอื จ�ำ สูตรข้อความย่อ ๆ ส�ำ หรับน�ำ ไปใช้ในการแยกตวั ประกอบดังนี้ (หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลงั )(หนา้ – หลงั ) 3. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ ษาแบบจ�ำ ลองแสดงการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน็ ผลตา่ งของก�ำ ลงั สองในมมุ คณติ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 270 4. ในการแยกตวั ประกอบของหวั ขอ้ น้ี มเี จตนาใหน้ กั เรยี นใชส้ ตู ร A2 – B2 = (A + B)(A – B) มากกวา่ ใชว้ ธิ แี ยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ท ่ี a ≠ 0, b = 0 และ c ≠ 0 ตามหวั ข้อ 5.2 ท่ผี ่านมา เช่น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง 429 การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 49x2 – 196 เราสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตามสตู รขา้ งตน้ ไดท้ นั ท ี โดยไมไ่ ดน้ �ำ ตวั ประกอบรว่ มออกมาเป็นตวั คณู กอ่ น ซงึ่ ครูควรชใี้ หน้ ักเรยี นเหน็ เป็นตวั อย่างว่า บางคร้ัง จำ�นวนท่ีเป็นสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ในพหุนามอาจมองเห็นไม่ง่ายนักว่ามีตัวประกอบร่วมหรือไม่ ดังน้ัน การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่มี ีรูปแบบเช่นนี้จงึ อาจทำ�ตามสูตรได้เลย ดงั นี้ 49x2 – 196 = (7x)2 – 142 จะได้ 49x2 – 196 = (7x + 14)(7x – 14) = 7(x + 2)(7)(x – 2) ดังนน้ั 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2) แตถ่ า้ นักเรียนจะหาตวั ประกอบรว่ มกอ่ นแล้วแยกตัวประกอบตอ่ ก็จะท�ำ ได้ดังนี้ 49x2 – 196 = 49(x2 – 4) จะได ้ 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2) 5. ครูควรอภิปรายกับนักเรียนว่า สำ�หรับพหุนามบางพหุนาม อาจจะไม่ได้อยู่ในรูปของผลต่างของกำ�ลังสอง อย่างชัดเจน แต่อาจมองเห็นได้ง่ายว่ามีตัวประกอบร่วม ดังน้ัน ในการแยกตัวประกอบควรใช้สมบัติการแจกแจง เพอ่ื นำ�ตัวประกอบร่วมออกมากอ่ น ก่อนที่จะใชค้ วามรเู้ ร่ืองผลตา่ งของก�ำ ลังสอง เชน่ 2x2 – 18 = 2(x2 – 9) = 2(x + 3)(x – 3) 6. ในหัวข้อนี้ ครูควรให้นักเรียนฝึกการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำ�ลังสองเพิ่มเติม โดยสามารถดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี หนา้ 271 7. สำ�หรับตวั อย่างท่ี 6 ตอ้ งการใหน้ ักเรยี นเหน็ การใช้พหุนามในการแก้โจทยป์ ญั หาบางเรือ่ ง เช่น โจทย์ปัญหา เก่ยี วกับความยาวและพนื้ ท่ีของรปู เรขาคณิต 8. ครูแนะน�ำ ให้นักเรียนใช้ความร้เู กีย่ วกับพหนุ ามดกี รสี องท่ีเป็นกำ�ลงั สองสมบูรณ์และผลต่างของกำ�ลงั สอง มาชว่ ย ในการคำ�นวณเกย่ี วกับจ�ำ นวนนบั บางจ�ำ นวนใหไ้ ด้ผลลัพธ์รวดเร็วข้นึ ดงั มมุ คณิต ในหนังสือเรียน หน้า 274 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

430 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง คมู่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 กิจกรรม : สำ�รวจผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง กิจกรรมน้ีเป็นกิจกรรมที่สนับสนุนให้นักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธ์ของพหุนามที่อยู่ในรูปผลต่างของกำ�ลังสองในรูป A2 – B2 ซ่ึงแยกตัวประกอบได้เป็น A2 – B2 = (A + B)(A – B) โดยใช้ความรู้เก่ียวกับการคูณพหุนามและสมบัติของ เลขยกกำ�ลัง โดยมีขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรมดังน้ี ส่ือ/อุปกรณ์ - ขั้นตอนการดำ�เนินกิจกรรม 1. ครแู จกใบกจิ กรรม : ส�ำ รวจผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง ใหน้ กั เรยี น โดยในการท�ำ กจิ กรรมนคี้ รอู าจใหน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมแบบ เดยี่ วหรือคูก่ ็ได้ 2. ครูให้นกั เรียนพจิ ารณาพหุนามในขอ้ 1 แล้วให้นักเรยี นเติมพหนุ ามในขอ้ 2–4 3. ขณะทน่ี กั เรยี นท�ำ ใบกจิ กรรม ครคู วรเดนิ สงั เกตวา่ นกั เรยี นหาผลคณู ไดถ้ กู ตอ้ งหรอื ไม่ หากพบนกั เรยี นทไ่ี มส่ ามารถหา ผลคูณได้อย่างถูกต้อง ให้ครูช่วยเหลือโดยการทบทวนความหมายของเลขยกกำ�ลังและการคูณพหุนามโดยใช้สมบัติ การแจกแจง 4. ครใู ห้นักเรยี นอภิปรายกับเพ่อื นทน่ี งั่ ข้าง ๆ เก่ียวกับความสมั พนั ธ์ของพหุนามทีพ่ บจากการทำ�กิจกรรม 5. ครูให้นกั เรียนเติมพหนุ ามในข้อ 5 6. ครูใหน้ ักเรยี นตอบค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม หมายเหต ุ ครูอาจช่วยให้นักเรยี นหาความสัมพนั ธ์ได้งา่ ยข้นึ โดยการใชป้ ากกาคนละสี เช่นเดยี วกบั ขอ้ 1 ในใบกิจกรรม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง 431 เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจผลตา่ งของกำ�ลงั สอง ขอ้ โจทย์ ผลคณู พหนุ ามในรูปผลส�ำ เรจ็ อาจจัดรปู ไดเ้ ปน็ 1 (x + 4)(x – 4) x2 – 4x + 4x – 16 x2 – 16 x2 – 42 x2 – 49 x2 – 72 2 (x + 7)(x – 7) x2 – 7x + 7x – 49 x2 – 81 x2 – 92 9x2 – 1 (3x)2 – 12 3 (x + 9)(x – 9) x2 – 9x + 9x – 81 A2 – B2 A2 – B2 4 (3x + 1)(3x – 1) 9x2 – 3x + 3x – 1 5 (A + B)(A – B) A2 – AB + AB – B2 เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม : สำ�รวจผลตา่ งของกำ�ลงั สอง ตวั อย่างค�ำ ตอบ ✤ จากกจิ กรรมข้างตน้ ความสัมพนั ธ์ทส่ี ังเกตได้ มีดังนี้ (A + B)(A – B) = A2 – B2 ✤ จากกจิ กรรมขา้ งตน้ ความสัมพันธท์ สี่ งั เกตได้ มีดงั นี้ ถา้ พหนุ ามกำ�ลงั สองสามารถเขยี นได้ในรูป A2 – B2 แล้วสามารถเขยี นแยกตัวประกอบไดเ้ ป็น A2 – B2 = (A + B)(A – B) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

432 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยค�ำ ถามทา้ ยมมุ คณิต เฉลยคำ�ถามท้ายมมุ คณติ หนา้ 274 1. 9972 = (1,000 – 3)2 ipst.me/10424 = 1,0002 – 2(1,000)(3) + 32 = 994,009 2. 2,0152 = (2,000 + 15)2 = 2,0002 + 2(2,000)(15) + 152 = 4,060,225 3. 1,0012 – 9992 = (1,001 + 999)(1,001 – 999) = 4,000 4. 3,0122 – 3,0082 = (3,012 + 3,008)(3,012 – 3,008) = 24,080 5. 2,0042 – 1,9962 = (2,004 + 1,996)(2,004 – 1,996) = 32,000 6. 2,5472 – 4532 = (2,547 + 453)(2,547 – 453) = 6,282,000 เฉลยชวนคิด ชวนคดิ 5.5 แนวคดิ แยกตัวประกอบของพหุนามไดด้ ังน้ี ipst.me/10425 8x2 + 10xy – 4x – 5y = (8x2 + 10xy) – (4x + 5y) = 2x(4x + 5y) – (4x + 5y) = (4x + 5y)(2x – 1) 4x2 – 4x + 1 = (2x)2 – 2(2x)(1) + 12 = (2x – 1)2 = (2x – 1)(2x – 1) 16x2 – 25y2 = (4x)2 – (5y)2 = (4x + 5y)(4x – 5y) 8x2 – 10xy – 4x + 5y = (8x2 – 10xy) – (4x – 5y) = 2x(4x – 5y) – (4x – 5y) = (4x – 5y)(2x – 1) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง 433 นำ�พหนุ ามท่ไี ดจ้ ากการแยกตวั ประกอบ มาเตมิ คำ�ตอบในตารางไดด้ ังนี้ 4x + 5y 2x – 1 4x – 5y 2x – 1 8x2 + 10xy – 4x – 5y 16x2 – 25y2 8x2 – 10xy – 4x + 5y 4x2 – 4x + 1 เฉลยแบบฝกึ หัด แบบฝึกหดั 5.4 1. 1) x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) 2) 16 – x2 = (4 + x)(4 – x) 3) x2 – 64 = (x + 8)(x – 8) 4) x2 – 144 = (x + 12)(x – 12) 5) 225 – x2 = (15 + x)(15 – x) 6) x2 – 361 = (x + 19)(x – 19) 7) x2 – 625 = (x + 25)(x – 25) 8) x2 – 900 = (x + 30)(x – 30) 9) 9x2 – 1 = (3x + 1)(3x – 1) 10) 4x2 – 49 = (2x + 7)(2x – 7) 11) 16x2 – 169 = (4x + 13)(4x – 13) 12) 49x2 – 81 = (7x + 9)(7x – 9) 13) 25x2 – 121 = (5x + 11)(5x – 11) 14) 196x2 – 100 = 4(7x + 5)(7x – 5) 15) 81x2 – 400 = (9x + 20)(9x – 20) 16) 64x2 – 225 = (8x + 15)(8x – 15) 17) 144x2 – 441 = 9(4x + 7)(4x – 7) 18) 1 – 289x2 = (1 + 17x)(1 – 17x) 19) 529x2 – 625 = (23x + 25)(23x – 25) 20) 961 – 900x2 = (31 + 30x)(31 – 30x) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

434 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 2. 1) (a – 2)2 – 1 = (a – 2)2 – 12 = [(a – 2) + 1][(a – 2) – 1] = (a – 1)(a – 3) 52 – (y + 1)2 2) 25 – (y + 1)2 = [5 + (y + 1)][5 – (y – 1)] = (6 + y)(4 – y) = x(x + 4) 3) (x + 2)2 – 4 = (x + 3)(x – 9) 4) (x – 3)2 – 36 = 5) 81 – (x + 5)2 = (14 + x)(4 – x) 6) x2 – (2x + 1)2 = (3x + 1)(-x – 1) หรอื (-1)(3x + 1)(x + 1) 7) 4x2 – (x – 2)2 = (3x – 2)(x + 2) 8) (2x + 3)2 – 25x2 = 9) (x + 6)2 – (x + 4)2 = (7x + 3)(-3x + 3) หรือ (-3)(7x + 3)(x – 1) 10) (x – 8)2 – (x – 5)2 = 4(x + 5) 11) (3x + 2)2 – (x – 1)2 = -3(2x – 13) 12) (4x – 3)2 – (5x + 2)2 = (4x + 1)(2x + 3) 13) 9(x – 7)2 – 100x2 = (9x – 1)(-x – 5) หรอื (-1)(9x – 1)(x + 5) 14) 144x2 – (2x – 3)2 = 15) 25x2 – 16(x – 5)2 = (13x – 21)(-7x – 21) หรอื (-7)(13x – 21)(x + 3) 16) (5x + 3)2 – 121x2 = (14x – 3)(10x + 3) (9x – 20)(x + 20) (16x + 3)(-6x + 3) หรอื (-3)(16x + 3)(2x – 1) 3. แนวคิด วงกลมทัง้ สองมพี น้ื ท่ีตา่ งกนั π(89)2 – π(65)2 = π(892 – 652) = π(89 + 65)(89 – 65) ≈ 3.14 × 154 × 24 ≈ 11,605.44 ตารางหนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง 435 4. แนวคิด ให้ ED = x เซนตเิ มตร จะได ้ AD = 38 + x เซนตเิ มตร A จากรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABD จะได ้ BD2 = 512 – (38 + x)2 และจากรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก BDE จะได ้ BD2 = 252 – x2 ดงั น้ัน 512 – (38 + x)2 = 252 – x2 51 38 [51 + (38 + x)][51 – (38 + x)] = 625 – x2 E (89 + x)(13 – x) = 625 – x2 x 1,157 – 76x – x2 = 625 – x2 25 C B D 76x = 532 x = 7 แทน x ดว้ ย 7 ในสมการ จะได ้ BD2 = 252 – x2 BD2 = 252 – 72 BD2 = 576 BD = 24 เซนติเมตร เน่ืองจาก BC = 2BD จะได้ BC = 2 × 24 = 48 เซนติเมตร เนือ่ งจาก AD = AE + ED จะได้ AD = 38 + 7 = 45 เซนตเิ มตร ดงั น้นั พ้นื ทีข่ อง ∆ABC = 22––11 × BC × AD = × 48 × 45 = 1,080 ตารางเซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

436 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 กจิ กรรมทา้ ยบท : คอ่ ย ๆ ค้นหา กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนฝึกทักษะเพื่อให้เกิดความคล่องแคล่วในการแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยมีขัน้ ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดงั น้ี ส่อื /อปุ กรณ์ - ข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูให้นกั เรยี นแตล่ ะคนทำ� “กจิ กรรมท้ายบท : ค่อย ๆ ค้นหา” ในหนงั สือเรียน หนา้ 277 2. ครใู ห้นักเรียนชว่ ยกนั เฉลยค�ำ ตอบ พร้อมทั้งอธบิ ายวธิ คี ดิ และการไดม้ าซึ่งค�ำ ตอบ เฉลยกิจกรรมทา้ ยบท : คอ่ ย ๆ คน้ หา สำ�นวนทซ่ี ่อนอยคู่ ือ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. SUCCESS IS A LADDER THAT CANNOT BE 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. CLIMBED WITH YOUR HANDS IN YOUR POCKETS สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 437 เฉลยแบบฝึกหัดทา้ ยบท 1. 1) 9(y2 – 20y + 100) – 441y2 = [3(y – 10)]2 – (21y)2 = [3(y – 10) + 21y][3(y – 10) – 21y] = (3y – 30 + 21y)(3y – 30 – 21y) = (24y – 30)(-18y – 30) = 6(4y – 5)(-6)(3y + 5) = (-36)(4y – 5)(3y + 5) 2) (4t2 – 12t + 9) – (5t + 1)2 = (2t – 3)2 – (5t + 1)2 = [(2t – 3) + (5t + 1)][(2t – 3) – (5t + 1)] = (7t – 2)(-3t – 4) หรือ (-1)(7t – 2)(3t + 4) 3) (4m2 – 36m + 81) – (16m2 + 56m + 49) = (2m – 9)2 – (4m + 7)2 = [(2m – 9) + (4m + 7)][(2m – 9) – (4m + 7)] = (6m – 2)(-2m – 16) = 2(3m – 1)(-2)(m + 8) = (-4)(3m – 1)(m + 8) 4) (n2 + 3n + 1)2 – 1 = [(n2 + 3n + 1) + 1][(n2 + 3n + 1) – 1] = (n2 + 3n + 2)(n2 + 3n) = (n + 1)(n + 2)(n)(n + 3) หรอื n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 2. แนวคดิ เนอ่ื งจาก 7x3 + 14x2 = A(x + 2) จะได้ 7x2(x + 2) = A(x + 2) ดังนั้น เน่ืองจาก A = 7x2 จะได ้ B(y + 5) = y2 + 2y – 15 ดังนัน้ น่ันคอื B(y + 5) = (y – 3)(y + 5) B = y – 3 A + 2B = 7x2 + 2(y – 3) = 7x2 + 2y – 6 3. แนวคิด จากการแยกตวั ประกอบโดยใช้สตู รผลตา่ งของกำ�ลังสอง จะได้ b2 – a2 = (b + a)(b – a) เน่อื งจาก b2 – a2 = 10 จะได้ (b + a)(b – a) = 10 (a + b)(b – a) = 10 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

438 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง คมู่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 เนือ่ งจาก a + b = 2 จะได ้ 2(b – a) = 10 นน่ั คอื ดังนน้ั b – a = 5 a – b = -5 4 . แ นวค ิด เนอ่ื งจาก D = 2,5582 – 2,5502 – 82 2,550 จะได ้ D = (2,558 – 2,550)(2,558 + 2,550) – 82 2,550 = 8(5,108) – 82 2,550 = 8(5,108 – 8) 2,550 = 8(5,100) 2,550 = 8(2) ดังนั้น D = 16 5. แนวคดิ สวนหนิ สวนหญา� พจิ ารณา พ้นื ท่ขี องสวนหินซ่ึงเป็นรูปวงแหวนท่ีมรี ัศมวี งกลมวงนอกเท่ากบั 4 เมตร และรศั มีวงกลมวงใน เทา่ กับ 1 เมตร จะได้วา่ พ้นื ท่ีของสวนหนิ ซึง่ เป็นรูปวงแหวน เทา่ กับ π(4)2 – π(1)2 = π(42 – 12) ≈ 3.14(4 + 1)(4 – 1) ≈ 3.14(5)(3) ≈ 47.1 ตารางเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี อง 439 เนอื่ งจาก ผู้รับเหมาคิดค่าดำ�เนินการจัดสวนหิน ราคาตารางเมตรละ 150 บาท คิดเป็นค่าใช้จ่ายในการจัด สวนหิน 47.1 × 150 = 7,065 บาท พิจารณา พนื้ ทข่ี องสวนหญา้ ซงึ่ เปน็ รปู วงแหวนทม่ี รี ศั มวี งกลมวงนอกเทา่ กบั 5 เมตร และรศั มวี งกลมวงในเทา่ กบั 4 เมตร จะได้ พ้นื ที่ของสวนหญา้ ซ่ึงเปน็ รปู วงแหวน เท่ากับ π(5)2 – π(4)2 = π(52 – 42) ≈ 3.14(5 + 4)(5 – 4) ≈ 3.14(9)(1) ≈ 28.26 ตารางเมตร เนื่องจาก ผู้รับเหมาคิดค่าดำ�เนินการจัดสวนหญ้า ราคาตารางเมตรละ 60 บาท คิดเป็นค่าใช้จ่ายในการจัด สวนหญา้ 28.26 × 60 = 1,695.60 บาท ดงั นน้ั พฤกษจ์ ะตอ้ งจา่ ยเงนิ ในการจดั สวนหนิ และสวนหญา้ เปน็ เงนิ ทง้ั สน้ิ 7,065 + 1,695.60 = 8,760.60 บาท 6. แนวคดิ เนอื่ งจาก พหนุ ามดีกรสี องทอ่ี ย่ใู นรปู กาํ ลงั สองสมบูรณ์ คือ พหุนามดกี รีสองที่อยู่ในรูป (พจนห์ นา้ )2 + 2(พจนห์ นา้ )(พจน์หลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 หรือ (พจน์หน้า)2 – 2(พจนห์ นา้ )(พจนห์ ลัง) + (พจน์หลัง)2 เนอ่ื งจาก (3x – 2)(3x + 4) + n = 9x2 + 12x – 6x – 8 + n = 9x2 + 6x – 8 + n จดั รูปจะได ้ (3x – 2)(3x + 4) + n = (3x)2 + 2(3x)(1) + (-8 + n) น่นั คือ (3x – 2)(3x + 4) + n จะอย่ใู นรปู กําลังสองสมบูรณ์เมอ่ื -8 + n = 12 = 1 ดังนัน้ n = 9 7. แนวคดิ หาค่าของ 20,182,0182 – 20,182,008 × 20,182,028 โดยใช้ความร้เู กี่ยวกับการแยกตัวประกอบ ของพหนุ ามทีเ่ ปน็ ผลต่างของกำ�ลังสอง จะได้วา่ 20,182,0182 – 20,182,008 × 20,182,028 = 20,182,0182 – (20,182,018 – 10) × (20,182,018 + 10) = 20,182,0182 – (20,182,0182 – 102) = 20,182,0182 – 20,182,0182 + 102 = 102 = 100 ดังน้ัน 20,182,0182 – 20,182,008 × 20,182,028 = 100 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

440 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 หมายเหตุ เพื่อใหม้ องงา่ ยข้ึน อาจสมมตุ ใิ หจ้ ำ�นวนใดจ�ำ นวนหน่ึงเป็นตวั แปร เชน่ ให้ x = 20,182,018 จะได้ 20,182,008 = x – 10 และ 20,182,028 = x + 10 ดงั นน้ั 20,182,0182 – 20,182,008 × 20,182,028 = x2 – (x – 10)(x + 10) = x2 – (x2 – 102) = x2 – x2 + 102 = 102 = 100 8. แนวคิด เนือ่ งจาก ∆ABC และ ∆ABD เปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก จาก ∆ABC จะได้ y2 = 392 – (16 + z)2 (ทฤษฎีบทพที าโกรสั ) C (ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ) จาก ∆ABD จะได ้ y2 = 252 – z2 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) 16 ดงั นั้น 392 – (16 + z)2 = 252 – z2 392 – 252 = (16 + z)2 – z2 D 39 (39 + 25)(39 – 25) = (16 + z + z)(16 + z – z) (64)(14) = (16 + 2z)(16) z 25 4(14) = 16 + 2z A y B z = 20 y2 = 252 – 202 จะได้ y = 15 ดังนนั้ พน้ื ที่ของ ∆BCD เท่ากับ –12 × 16 × 15 = 120 ตารางหน่วย 9. แนวคดิ B 37 13 h D C xA เน่ืองจาก ∆ABC และ ∆ABD เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ให้ AC = x หน่วย และ ให ้ AB = h หนว่ ย จะได้ AD = 7x หนว่ ย h2 = 132 – x2 (ทฤษฎบี ทพที าโกรสั ) จาก ∆ABC จะได ้ h2 = 372 – (7x)2 (ทฤษฎบี ทพที าโกรัส) จาก ∆ABD จะได ้ (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) ดงั นัน้ 132 – x2 = 372 – (7x)2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 441 (7x)2 – x2 = 372 – 132 49x2 – x2 = (37 + 13)(37 – 13) 48x2 = (50)(24) x2 = 25 10. แนวคิด จะได้ x = 5 ดงั น้ัน AC ยาว 5 หนว่ ย h ห�องเก็บของ 260 ซม. ห�องเกบ็ ของ x หลงั บนั ไดไม้หัก 30 ซม. กอ่ นบันไดไมห้ ัก กำ�หนดให้ ความสูงของหอ้ งเก็บของเป็นh เซนติเมตร กอ่ นบนั ไดไมห้ กั ระยะทางจากปลายบนั ไดไม้ถึงหอ้ งเกบ็ ของเป็น x เซนตเิ มตร จะได ้ h2 = 2602 – x2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส) หลังบนั ไดไม้หัก จะได้ h2 = 2502 – (x – 30)2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส) ดงั น้ัน 2602 – x2 = 2502 – (x – 30)2 (สมบัติของการเทา่ กนั ) 2602 – 2502 = x2 – (x – 30)2 (260 + 250)(260 – 250) = [x + (x – 30)][x – (x – 30)] (510)(10) = (2x – 30)(30) 170 = 2x – 30 จะได้ x = 100 ดงั นน้ั h2 = 2602 – 1002 = (260 + 100)(260 – 100) = (360)(160) = 57,600 จะได ้ h = 240 น่นั คอื ความสงู ของหอ้ งเกบ็ ของ เทา่ กับ 240 เซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

442 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 11. แนวคดิ เนือ่ งจาก ∆ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ทีม่ ดี ้านตรงข้ามมมุ ฉากยาว 41 หนว่ ย สมมตุ ิให้ ∆ABC มดี า้ นประกอบมมุ ฉากยาว a หน่วย และ b หนว่ ย ดงั รูป A b 41 Ca B โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได ้ a2 + b2 = 412 1 ∆พAหุนBาCมทมีพ่ีเปนื้ น็ ทกี่ ำ�1ล8งั 0สอตงาสรมางบหูรนณว่ ์ ยอยจใู่ ะนไรดูป้ –12 aab2 + =2 a1b80+ b ห2 ร =ือ ( a a+b b =)2 360 2 เนื่องจาก 3 เนื่องจาก จาก 1 และ 2 จะได้ a2 + 2ab + b2 = (a2 + b2) + 2ab = 412 + 2(360) = 2,401 จาก 3 จะได ้ (a + b)2 = 2,401 นั่นคือ a + b = 49 (เน่ืองจาก a และ b เปน็ ความยาวด้านของรูปสามเหลย่ี ม ดงั น้ัน a + b ไม่เปน็ จ�ำ นวนลบ) ความยาวรอบรูปของ ∆ABC เทา่ กบั a + b + 41 = 49 + 41 = 90 หนว่ ย 12. แนวคดิ [( )( )( ) ( )]หาค่าของ 18 1– —212 1– —312 1– —412 … 1– —912 โดยใช้ความรู้เกย่ี วกับผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง [( )( )( ) ( )]จะได ้ 18 1– —212 1– —312 1– —412 … 1– —912 [( )( )( ) ( )] 22 – 1 32 – 1 42 – 1 92 – 1 = 18 22 32 42 … 92 [ ] = 18(2 – 1)(2 + 1) ∙ (3 – 1)(3 + 1) ∙ (4 – 1)(4 + 1) ∙…∙ (9 – 1)(9 + 1) 22 32 42 92 [ ] = 18 ((21))((23)) ∙ ((32))((34)) ∙ (3)(5) ∙ ((54))((56)) ∙ (5)(7) ∙ ((76))((78)) ∙ ((87))((89)) ∙ (8)(10) (4)(4) (6)(6) (9)(9) [ ] = 18 (1)(10) (2)(9) = 10 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง 443 ตวั อย่างแบบทดสอบทา้ ยบท 1. ถ้า 4n2 + 6n = A(2n + 3) และ -5m2 – 15m = B(m + 3) สำ�หรบั ทุกคา่ ของ m และ n เมื่อ m และ n เป็นจำ�นวนจริง ใด ๆ แล้ว A × B มีคา่ เท่าใด (1 คะแนน) ก. -10 ข. 10 ค. -10mn ง. 10mn 2. ให้ x เปน็ จ�ำ นวนจรงิ บวกและ x > 4 ถา้ รูปสี่เหล่ียมมมุ ฉากรูปหน่ึงมีพื้นที่ x2 + 3x – 4 ตารางหน่วย พหนุ ามในข้อใด ทแ่ี ทนความกว้างและความยาวของรปู สเ่ี หลี่ยมได้ (1 คะแนน) ก. x – 1, x + 4 ข. x + 4, x + 1 ค. x + 1, x – 4 ง. x – 4, x – 1 3. พหนุ าม x2 – 1 + z(x – 1) เทา่ กบั พหุนามในข้อใด (1 คะแนน) ก. (x – 1)(x + z – 1) ข. (x – 1)(x + z + 1) ค. (x + 1)(x + z + 1) ง. (x + 1)(x + z – 1) 4. ก�ำ หนดให้ A, B และ C เป็นค่าคงตวั และ As2 + Bs + C = (6s – 5)(7s + 8) แลว้ คา่ ของ (2A + 2B +10) ÷ C เป็นเทา่ ใด (1 คะแนน) ก. - –53 ข. –53 ค. -3 ง. 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

444 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 5. จงหาผลลัพธ์ โดยใชว้ ิธีการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเี่ ปน็ ผลต่างของกำ�ลงั สอง (5 คะแนน) 1) 592 – 412 = = = ( ) ( ) 2) 1—505 2 –1—4052= = = = = = 3) 26.72 – 23.32 4) 5332 – 4672 = = = 5) 1,0242 – 242 = = = 6. จงเติมพจน์ท่ีหายไปลงในช่องว่าง เพ่ือให้พหุนามในรูปผลสำ�เร็จท่ีกำ�หนดให้ในแต่ละข้อ เป็นพหุนามดีกรีสองท่ีเป็น กำ�ลังสองสมบูรณ ์ (2 คะแนน) 1) 36x2 – 60x + 25 2) 25x2 + 70x + 49 7. ขอ้ ใดเป็นพหุนามดกี รสี องทีเ่ ป็นก�ำ ลังสองสมบูรณ ์ (1 คะแนน) ก. 9x2 – 30x + 16 ข. 16x2 + 50x + 25 ค. 25x2 + 80x + 64 ง. 100x2 – 300x + 81 8. จงเขียนตัวเลือกจาก a–m ที่พหุนามทางขวามือ เป็นผลจากการแยกตัวประกอบของพหุนามทางซ้ายมือท่ีกำ�หนดให้ ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี (6 คะแนน) 1) x2 + 24x + 144 a. (x – 18)2 b. (x + 12)2 2) 2x2 – 50 c. (3x + 8y)2 3) 4x2 + 15x – 25 d. 2(x + 5)(x – 5) 4) x3 – 5x2 + 3x – 15 e. (2x + 5)(2x – 5) 5) 9x2 + 60xy + 64y2 f. (4x + 5)(x – 5) 6) 3(x2 + 3x – 10) + 6(x2 – x – 30) g. (4x – 5)(x + 5) h. (x + 3)(x2 – 5) i. (x – 5)(x2 + 3) j. 3(x + 5)(3x – 14) k. 3(x + 5)(3x – 8) l. (3x + 16y)(3x + 4y) m. (4y + 3x)(4y + 12x) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง 445 9. ถ้ารปู สีเ่ หล่ยี มมุมฉากต่อไปนี้กวา้ ง x + 5 หน่วย และมีพื้นท่ ี 4x2 + 17x – 15 ตารางหนว่ ย จงหาวา่ ด้านยาวของ รูปส่ีเหลี่ยมมมุ ฉากนี้ยาวก่หี น่วย (1 คะแนน) x+5 ตอบ ด้านยาวของรูปสีเ่ หล่ียมมมุ ฉากนย้ี าว หนว่ ย 10. ถ้ารปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก มดี ้านประกอบมมุ ฉากดา้ นหน่ึงยาว x + 3 หน่วย และมพี ้ืนท่ ี 2x2 + 7x + 3 ตารางหนว่ ย จงหาว่า ด้านประกอบมมุ ฉากอีกดา้ นหนง่ึ ของรปู สามเหลี่ยมนยี้ าวก่หี น่วย (1 คะแนน) ตอบ ด้านประกอบมุมฉากอกี ดา้ นหน่งึ ของรูปสามเหลี่ยมน้ยี าว หน่วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

446 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท 1. ถ้า 4n2 + 6n = A(2n + 3) และ -5m2 – 15m = B(m + 3) ส�ำ หรับทุกคา่ ของ m และ n เมอื่ m และ n เป็นจ�ำ นวนจริง ใด ๆ แลว้ A × B มคี ่าเท่าใด (1 คะแนน) ก. -10 ข. 10 ค. -10mn ง. 10mn แนวคดิ แยกตัวประกอบของ 4n2 + 6n โดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง จะได ้ 4n2 + 6n = 2n(2n + 3) จากโจทย ์ 4n2 + 6n = A(2n + 3) จะได้ A = 2n แยกตัวประกอบของ -5m2 – 15m โดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง จะได้ -5m2 – 15m = -5m(m + 3) จากโจทย์ -5m2 – 15m = B(m + 3) จะได ้ B = -5m ดงั น้ัน A × B = 2n × (-5m) = -10mn ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน ข้อ 1 นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ได้ 0 คะแนน ตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไมต่ อบ 2. ให้ x เป็นจำ�นวนจรงิ บวกและ x > 4 ถา้ รปู สี่เหลยี่ มมมุ ฉากรูปหน่ึงมพี ื้นที่ x2 + 3x – 4 ตารางหนว่ ย พหุนามในข้อใดท่ี แทนความกวา้ งและความยาวของรปู ส่เี หลี่ยมนไ้ี ด้ (1 คะแนน) ก. x – 1, x + 4 ข. x + 4, x + 1 ค. x + 1, x – 4 ง. x – 4, x – 1 แนวคิด พน้ื ทขี่ องรูปสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก เท่ากับ ความกวา้ ง × ความยาว เนือ่ งจาก x2 + 3x – 4 = (x + 4)(x – 1) และ x เปน็ จ�ำ นวนจรงิ บวกโดยที่ x > 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง 447 จะได้ x + 4 เป็นจำ�นวนจรงิ บวก และ x – 1 เป็นจ�ำ นวนจริงบวก แต ่ x + 4 มากกว่า x – 1 ดงั นั้น รปู สเ่ี หลยี่ มมุมฉากรูปนก้ี ว้าง x – 1 หนว่ ย และยาว x + 4 หนว่ ย ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 2 นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว พหุนามดีกรสี องทเ่ี ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณ์ และพหุนามดีกรสี องทเ่ี ป็นผลตา่ งของกำ�ลงั สอง เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 3. พหุนาม x2 – 1 + z(x – 1) เท่ากับพหุนามในข้อใด (1 คะแนน) ก. (x – 1)(x + z – 1) ข. (x – 1)(x + z + 1) ค. (x + 1)(x + z + 1) ง. (x + 1)(x + z – 1) แนวคดิ x2 – 1 + z(x – 1) = (x2 – 1) + z(x – 1) = (x + 1)(x – 1) + z(x – 1) = (x – 1)[(x + 1) + z] = (x – 1)(x + z + 1) ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว พหนุ ามดีกรสี องท่เี ป็น กำ�ลงั สองสมบรู ณ์ และพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน็ ผลต่างของก�ำ ลังสอง เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

448 บทท่ี 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 4. กำ�หนดให้ A, B และ C เป็นคา่ คงตัว และ As2 + Bs + C = (6s – 5)(7s + 8) แลว้ ค่าของ (2A + 2B +10) ÷ C เป็นเทา่ ใด (1 คะแนน) ก. - –53 ข. –53 ค. -3 ง. 3 แนวคิด (6s – 5)(7s + 8) = 42s2 + 48s – 35s – 40 = 42s2 + 13s – 40 จากโจทย์ (6s – 5)(7s + 8) = As2 + Bs + C จะได ้ As2 + Bs + C = 42s2 + 13s – 40 นั่นคอื A = 42 B = 13 และ C = -40 ดังนัน้ (2A + 2B +10) ÷ C = [2(42) + 2(13) +10] ÷ (-40) = (84 + 26 + 10) ÷ (-40) = 120 ÷ (-40) = -3 ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว พหุนามดกี รีสองท่เี ปน็ กำ�ลังสองสมบรู ณ์ และพหนุ ามดกี รีสองที่เป็นผลต่างของกำ�ลังสอง เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 5. จงหาผลลัพธ์ โดยใช้วธิ กี ารแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่เี ปน็ ผลต่างของก�ำ ลงั สอง (5 คะแนน) 1) 592 – 412 = (59 – 41)(59 + 41) = (18)(100) = 1,800 2) ( ) ( ) 1—505 2 –1—405 2 ( )( )= 1—505 – 1—405 1—505 + 1—405 ( )( ) = 11—00 1—100–0 = 10 = 170 3) 26.72 – 23.32 = (26.7 – 23.3)( 26.7 + 23.3) = (3.4)(50) 4) 5332 – 4672 = (533 – 467)(533 + 467) = (66)(1,000) = 66,000 5) 1,0242 – 242 = (1,024 – 24)( 1,024 + 24) = (1,000)(1,048) = 1,048,000 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง 449 ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว พหนุ ามดกี รสี องที่เปน็ กำ�ลังสองสมบูรณ์ และพหนุ ามดกี รีสองทีเ่ ป็นผลตา่ งของก�ำ ลังสอง เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดงั น้ี ✤ เขยี นนพิ จน์ทีก่ �ำ หนดให้ในรปู (a – b)(a + b) ถกู ต้อง ได้ขอ้ ละ 0.5 คะแนน ✤ หาผลลพั ธถ์ ูกตอ้ ง ไดข้ ้อละ 0.5 คะแนน 6. จงเตมิ พจน์ท่ีหายไปลงในช่องว่าง เพื่อให้พหนุ ามในรปู ผลสำ�เร็จทก่ี ำ�หนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ เป็นพหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ป็นก�ำ ลัง สองสมบูรณ์ (2 คะแนน) 1) 36x2 – 60x + 25 2) 25x2 + 70x + 49 ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 2 นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว พหนุ ามดีกรสี องท่เี ป็น ก�ำ ลงั สองสมบูรณ์ และพหุนามดีกรีสองท่เี ป็นผลต่างของก�ำ ลังสอง เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน ตอบถกู ตอ้ ง ได้ขอ้ ละ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่ตอบ ไดข้ ้อละ 0 คะแนน 7. ข้อใดเปน็ พหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ปน็ ก�ำ ลังสองสมบรู ณ์ (1 คะแนน) ก. 9x2 – 30x + 16 ข. 16x2 + 50x + 25 ค. 25x2 + 80x + 64 ง. 100x2 – 300x + 81 ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว พหุนามดีกรสี องทเ่ี ป็น ก�ำ ลังสองสมบรู ณ์ และพหนุ ามดีกรีสองทเี่ ปน็ ผลต่างของกำ�ลงั สอง เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี