(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.2 ล.2

250 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท 1. ก�ำ หนดให้ AB // CD และ CD // EF โดยมรี ะยะหา่ งระหว่าง AB และ EF เทา่ กับ 20 เซนตเิ มตร และมรี ะยะห่าง ระหวา่ ง CD และ EF เท่ากับ 15 เซนตเิ มตร จงหาระยะห่างระหวา่ ง AB และ CD (2 คะแนน) ตอบ 5 เซนติเมตร, 35 เซนติเมตร แนวคิด A E C 20 ซม. 15 ซม. AC E 5 ซม. 15 ซม. BD F B FD ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น นักเรียนสามารถใชส้ มบัตขิ องเสน้ ขนานและรูปสามเหล่ยี มในการใหเ้ หตผุ ลและแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ไดค้ �ำ ตอบละ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไมต่ อบ ไดค้ ำ�ตอบละ 0 คะแนน 2. ให้นกั เรียนพิจารณารปู และข้อความตอ่ ไปนี้ A CB ให้ AB // XZ และ AE // CD (1) BˆCY = EˆXY (2) CˆAX = XˆYC X YZ (3) CˆBZ = YˆZD (4) BˆCD = CˆDE E D ข. (1) (3) และ (4) ง. (2) (3) และ (4) จากขอ้ ความขา้ งต้น ข้อความใดเปน็ จริง (1 คะแนน) ก. (1) (2) และ (4) ค. (1) (2) และ (3) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน 251 3. ใหน้ ักเรยี นพิจารณารปู และขอ้ ความตอ่ ไปน้ี D ให ้ AD // GB และ DC // EF 3 (1) ˆ2 = ˆ7 (2) ˆ5 = ˆ8 E 2C 4 B (3) ˆ3 = ˆ8 A 17 (4) ˆ3 = ˆ5 6 (5) ˆ1 = ˆ4 5 F 8 (1 คะแนน) G จากข้อความข้างต้น ขอ้ ความใดเปน็ จรงิ ก. (1) และ (2) ข. (3) และ (4) ง. (4) และ (5) ค. (3) และ (5) 4. B จากรูป กำ�หนดให้ �AB // �QE, PˆQR = 27° และ PˆRQ = 58° จงหาค่า a (1 คะแนน) A a° E ตอบ 85 P Q 27° 58° R 5. A จากรปู ก�ำ หนดให ้ AC = BC และ BC // DE B x° ถ้า x = 65 แล้ว y เท่ากับเท่าไร (1 คะแนน) C ตอบ 50 D y° E 6. A จากรูป กำ�หนดให ้ �DE // �BC, BˆAD = 74° และ 74° x° E AˆBC = 41° จงหาคา่ x (1 คะแนน) C 41° D ตอบ 115 B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

252 บทท่ี 3 | เส้นขนาน คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 7. C จากรปู ก�ำ หนดให้ AB // EF จงหาค่าของ a + b a° (1 คะแนน) 36° b° ตอบ 188 A D B 68° E F ส�ำ หรบั ข้อ 2–7 ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น นกั เรียนสามารถใชส้ มบตั ิของเส้นขนานและรูปสามเหลีย่ มในการให้เหตผุ ลและแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม ขอ้ ละ 1 คะแนน ตอบถูกต้อง ได ้ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน 8. P 55° Q จากรปู กำ�หนดให ้ PQ // RS, RS // MN และ TR // MQ R x° U S จงหาค่าของ x + y + z (2 คะแนน) T y° ตอบ 250 z° N M แนวคิด เนื่องจาก RˆSQ และ PˆQS เปน็ มมุ ภายในที่อยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัดทตี่ ดั เสน้ ขนาน จะได้ RˆSQ = 180 – 55 = 125° เนอ่ื งจาก ขนาดของมมุ ภายนอกของรูปสามเหล่ียมเท่ากบั ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มมุ ประชดิ ของ มมุ ภายนอกน้นั จะได ้ RˆSQ = y + z ดังน้นั y + z = 125 เน่อื งจาก TR // MQ และมี RS เป็นเสน้ ตัด จะได้ x = 125 ดังน้ัน x + y + z = 125 + 125 = 250 9. Z จากรูป กำ�หนดให ้ ∆XYZ มี XY = XZ และ W เปน็ จดุ W 52° a° อยบู่ นดา้ น XZ โดยที ่ WZ = ZY ถ้า YWˆZ = 52° แล้วค่าของ b – a เท่ากบั เท่าไร (2 คะแนน) X b° Y ตอบ 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | เสน้ ขนาน 253 แนวคิด เน่อื งจาก WZ = ZY จะได ้ ∆ZWY เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั ดังน้นั ZˆYW = 52° และ WˆZY = 180 – 2(52) = 76° เนือ่ งจาก XY = XZ จะได้ ∆XYZ เปน็ รูปสามเหลีย่ มหน้าจัว่ ดังนน้ั 76 = a + 52 จะได ้ a = 24 และ b = 180 – 2(76) = 28 ดงั น้ัน b – a = 28 – 24 = 4 10. C D จากรปู กำ�หนดให้ �PA // �QB และ �QC // �RD A B 40° b° จงหาค่าของ √a + √b (2 คะแนน) a° R ตอบ 20 Q M 40° N P แนวคดิ เน่ืองจาก �PA // �QB จะได้ MˆPA และ PˆQB เปน็ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั ทต่ี ดั เสน้ ขนาน ดงั นัน้ PˆQB = 40° เน่ืองจาก PˆQR เป็นมุมตรง จะได้ PˆQB + BˆQC + CˆQR = 180° 40 + 40 + a = 180 ดงั นัน้ a = 100 เนื่องจาก �QC // �RD จะได้ DˆRN และ CˆQR เปน็ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั ทต่ี ดั เสน้ ขนาน ดงั นน้ั b = a = 100 นน่ั คอื √a + √b = √100 + √100 = 20 11. E จากรปู ABCD เป็นรปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนาน 4 0° จงหาขนาดของ EˆHB (2 คะแนน) G ตอบ 117° D C B (3x – 8)° (2x + 3)° AH F สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

254 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 แนวคิด เนอ่ื งจาก GˆDA และ DˆAH เป็นมุมภายในที่อยู่บนขา้ งเดียวกันของเส้นตดั ที่ตดั เส้นขนาน ดงั นั้น (3x – 8) + (2x + 3) = 180 จะได้ x = 37 ดังนั้น DˆAH = 2(37) + 3 = 77° เน่ืองจาก ขนาดของมมุ ภายนอกของรปู สามเหลยี่ มเทา่ กบั ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของ จะได้ มมุ ภายนอกนั้น EˆHB = 40 + 77 = 117° สำ�หรบั ข้อ 8–11 ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น นักเรียนสามารถใชส้ มบัตขิ องเส้นขนานและรูปสามเหลีย่ มในการให้เหตุผลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ ขอ้ ละ 2 คะแนน ตอบถกู ต้อง ได ้ 2 คะแนน ตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน E 12. จากรูป กำ�หนดให้ AB // CD, CF // ED และ CE = CD C p° q° D จงหาคา่ ของ p, q และ r (3 คะแนน) ตอบ p = 56 85° B q = 62 A 56° r = 23 r° F แนวคดิ เน่อื งจาก AB // CD จะได้ EˆCD และ CˆAB เป็นมมุ ภายนอกและมมุ ภายในท่ีอยตู่ รงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั ท่ีตดั เสน้ ขนาน ดังน้ัน EˆCD = CˆAB นน่ั คือ p = 56 เนื่องจาก ∆ECD เป็นรปู สามเหลีย่ มหน้าจ่ัว จะได้ EˆDC = (180 – 56) ÷ 2 = 62° ดงั น้นั q = 62 เนือ่ งจาก CF // ED, EˆDC และ DˆCF เป็นมมุ แยง้ กนั จะได ้ DˆCF = 62° และเน่ืองจาก CˆDB และ AˆBD เปน็ มมุ ภายในท่ีอย่บู นข้างเดียวกันของเส้นตดั ท่ตี ดั เสน้ ขนาน จะได้ CˆDB = 180 – 85 = 95° พิจารณา ∆CDF จะได้ 62 + 95 + r = 180 ดงั นั้น r = 23 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | เส้นขนาน 255 ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น นักเรียนสามารถใช้สมบตั ขิ องเส้นขนานและรปู สามเหล่ียมในการใหเ้ หตุผลและแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 3 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ไดค้ �ำ ตอบละ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไม่ตอบ ไดค้ ำ�ตอบละ 0 คะแนน 13. A B จากรปู ก�ำ หนดให้ �AB // �DF และ AC // �DE C 80° 150° จงหาค่าของ a และ b (2 คะแนน) ตอบ a = 130 b = 150 D a° F b° E แนวคดิ ลาก �CG // �DF ดังน้ัน �CG // �AB ด้วย A B เนอื่ งจาก BˆAC และ AˆCG เป็นมมุ ภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกนั 30° 150° ของเส้นตดั ทีต่ ดั เสน้ ขนาน 50° C G จะได ้ AˆCG = 180 – 150 = 30° ดังนน้ั GˆCD = 80 – 30 = 50° D a° เนอ่ื งจาก GˆCD และ CˆDF เปน็ มมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั b° F ของเส้นตดั ที่ตัดเสน้ ขนาน E จะได ้ CˆDF = 180 – 50 = 130° ดงั นั้น a = 130 เนื่องจาก AC // �DE, AˆCD และ CˆDE เปน็ มุมแยง้ กัน จะได้ CˆDE = 80° เน่อื งจาก มุมรอบจุด D มีขนาด 360° จะได้วา่ 80 + 130 + b = 360 ดงั นนั้ b = 150 ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรียน นกั เรยี นสามารถใชส้ มบตั ขิ องเสน้ ขนานและรปู สามเหลย่ี มในการใหเ้ หตุผลและแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ไดค้ ำ�ตอบละ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ต้อง หรือไมต่ อบ ไดค้ ำ�ตอบละ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

256 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน คมู่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 14. กำ�หนดให้ AC // DE, BˆAC = 114° และ AˆBC = 38° จงหาขนาดของ CˆDE พร้อมแสดงเหตผุ ล (3 คะแนน) E C D AB แนวคิด เนือ่ งจาก BˆAC = 114° และ AˆBC = 38° (ก�ำ หนดให)้ E พิจารณา ∆ABC เนือ่ งจาก AˆC B + 114 + 38 = 180° (ขนาดของมมุ ภายในท้งั สามมมุ ของ C รูปสามเหลยี่ มรวมกันเท่ากบั 180° ) จะได้ AˆCB = 28° (สมบัตขิ องการเท่ากัน) D เนือ่ งจาก AC // DE และมี CD เปน็ เสน้ ตัด 114° 38° ดงั นั้น CˆDE = 28° (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตัด A B แล้วมุมแยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรยี น นกั เรยี นสามารถใชส้ มบัติของเสน้ ขนานและรูปสามเหล่ยี มในการใหเ้ หตผุ ลและแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารให้คะแนนดังน้ี ✤ เขียนแสดงเหตผุ ลสมบรู ณ์และหาค�ำ ตอบได้ถูกตอ้ ง ได้ 3 คะแนน ✤ เขยี นแสดงเหตุผลได้บางส่วน และได้คำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน หรอื เขียนแสดงเหตผุ ลสมบูรณ์ แตห่ าคำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง ✤ ไมเ่ ขยี นแสดงเหตุผล แต่ไดค้ �ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน หรือเขยี นแสดงเหตผุ ลไดบ้ างส่วน แต่หาค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง ✤ ไมเ่ ขยี นแสดงเหตุผล และได้ค�ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | เส้นขนาน 257 15. กำ�หนดให้ AB // CD และ BE = FE จงแสดงวา่ AB = DF (3 คะแนน) AB E C FD แนวคดิ พิจารณา ∆ABE และ ∆DFE เนอ่ื งจาก AB // CD และม ี BF เปน็ เส้นตัด (กำ�หนดให้) จะได้ AˆBE = DˆFE (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) AˆEB = DˆEF (ถา้ เส้นตรงสองเส้นตดั กัน แล้วมมุ ตรงขา้ มมีขนาดเท่ากนั ) และ BE = FE (กำ�หนดให)้ ดงั นัน้ ∆ABE ≅ ∆DFE (ม.ด.ม.) จะได ้ AB = DF (ดา้ นคู่ท่สี มนยั กนั ของรูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทกุ ประการ จะยาว เท่ากัน) ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น นกั เรยี นสามารถใชส้ มบัตขิ องเส้นขนานและรูปสามเหล่ียมในการให้เหตุผลและแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑ์การใหค้ ะแนนดงั น้ี ✤ เขียนแสดงเหตผุ ลถูกตอ้ งและสมบรู ณ์ ได ้ 3 คะแนน ✤ เขียนแสดงเหตุผลถูกตอ้ งเปน็ ส่วนใหญ ่ ได้ 2 คะแนน ✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลถกู ต้องเพียงเลก็ น้อย ได ้ 1 คะแนน ✤ ไม่เขียนแสดงเหตผุ ล หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

258 บทที่ 3 | เสน้ ขนาน ค่มู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 16. ถา้ หมุนรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ AOB รอบจุด O ด้วยมุม 60° ทวนเขม็ นาฬิกา โดยหมนุ ต่อเนอ่ื งไป 5 คร้งั จะได้ รูปหกเหลีย่ มดา้ นเท่ามุมเท่า ABCDEF ดงั รปู ED FC O AB จงอธิบายว่า ด้าน AB และด้าน ED ขนานกนั หรอื ไม ่ เพราะเหตุใด (3 คะแนน) แนวคดิ (EˆOD + DˆOC + CˆOB = 60 + 60 + 60 = 180°) เนอ่ื งจาก EˆOB เปน็ มมุ ตรง จะได ้ EO และ OB อยบู่ น EB เนอ่ื งจาก DˆEO = OˆBA = 60° (มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลย่ี มด้านเท่ามขี นาดเทา่ กบั 60°) ดังนั้น AB // ED (ถา้ เส้นตรงเส้นหน่ึงตัดเส้นตรงค่หู นึ่งท�ำ ให้มมุ แย้งมขี นาดเทา่ กัน แล้วเสน้ ตรงคนู่ ้นั ขนานกัน) ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน นกั เรียนสามารถใช้สมบตั ขิ องเสน้ ขนานและรูปสามเหลยี่ มในการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารใหค้ ะแนนดังน้ี ✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลสมบูรณ์และหาคำ�ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง ได้ 3 คะแนน ✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลไดบ้ างสว่ น และได้คำ�ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน หรอื เขยี นแสดงเหตผุ ลสมบรู ณ์ แต่หาคำ�ตอบไม่ถูกต้อง ✤ ไมเ่ ขยี นแสดงเหตผุ ล แตไ่ ด้ค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน หรอื เขียนแสดงเหตุผลได้บางส่วน แตห่ าค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง ✤ ไม่เขยี นแสดงเหตุผล และได้ค�ำ ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 259 บทที่ 4 การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต ในบทการใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ น้ี ประกอบดว้ ยหวั ขอ้ ยอ่ ย ดงั ตอ่ ไปน้ี 4.1 ความรูพ้ ื้นฐานเก่ียวกับการใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 2 ชัว่ โมง 4.2 การสร้างและการให้เหตผุ ลเกย่ี วกับการสร้าง 5 ชว่ั โมง 4.3 การใหเ้ หตุผลเก่ียวกบั รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลย่ี ม 7 ช่ัวโมง สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ สาระ การวัดและเรขาคณิต มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบตั ิของรูปเรขาคณติ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรูปเรขาคณิต และ ทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และน�ำ ไปใช้ได้ ตัวช้ีวดั ใชค้ วามรทู้ างเรขาคณิตและเคร่ืองมอื เชน่ วงเวียนและสนั ตรง รวมท้งั ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad หรือ ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ เพื่อสร้างรูปเรขาคณิต ตลอดจนนำ�ความรู้เกี่ยวกับการสร้างนี้ไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา ในชวี ิตจริง จดุ ประสงค์ของบทเรียน นักเรียนสามารถ 1. สรา้ งรูปตามที่กำ�หนดและใหเ้ หตุผลเกย่ี วกบั การสร้าง 2. นำ�สมบัตหิ รือทฤษฎีบทเกย่ี วกบั รปู สามเหล่ยี มและรปู ส่ีเหลี่ยมมาใช้ในการให้เหตุผล และน�ำ ไปใช้ในชวี ติ จริง ความเชือ่ มโยงระหว่างตวั ชว้ี ัดกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน เน่ืองจากตัวช้ีวัดกล่าวถึงการใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือ เช่น วงเวียนและสันตรง รวมท้ังซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ เพื่อสร้างรูปเรขาคณิต ตลอดจนนำ�ความรู้เก่ียวกับ การสร้างนี้ไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง ดังนั้น เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเรื่องการให้เหตุผลทางเรขาคณิต สอดคลอ้ งกับตัวชีว้ ัด ครคู วรจัดประสบการณ์ให้นักเรียนสามารถ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

260 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 1. ใชค้ วามรทู้ างเรขาคณติ และเครอ่ื งมอื เชน่ วงเวยี นและสนั ตรง รวมทง้ั ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ เพอ่ื สรา้ งรปู เรขาคณติ ซง่ึ สะทอ้ นไดจ้ ากการทน่ี กั เรยี นสามารถสรา้ งรปู ตามทก่ี �ำ หนด โดยใชก้ ารสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ 6 ขอ้ การใชบ้ ทนยิ ามตา่ ง ๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ ง และใหเ้ หตผุ ลเกย่ี วกบั การสรา้ ง 2. น�ำ ความรเู้ กย่ี วกบั การสรา้ งนไ้ี ปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแกป้ ญั หาในชวี ติ จรงิ ซงึ่ สะทอ้ นไดจ้ ากการทนี่ กั เรยี นสามารถน�ำ สมบตั ิหรือทฤษฎบี ทเก่ียวกับรูปสามเหลย่ี มและรปู สเ่ี หลยี่ มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล และนำ�ไปใชใ้ นชีวติ จริง ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 4.1 4.2 4.1 4.2 ความรพู� นื้ ฐาน การสร�างและ ความรูพ� ื้นฐาน การสรา� งและ เกยี่ วกบั การให� การใหเ� หตผุ ล เก่ียวกับการให� การใหเ� หตุผล เหตผุ ลทางเรขาคณติ เกี่ยวกับการสร�าง เหตผุ ลทางเรขาคณติ เก่ยี วกบั การสรา� ง แบบฝ�กหัด 4.1 : แบบฝ�กหดั 4.2 : ชวนคดิ 4.3 - 9, 11 4–5 4.3 อืน่ ๆ 4.3 อน่ื ๆ การให�เหตุผลเก่ียวกบั แบบฝก� หัดท�ายบท : การใหเ� หตผุ ลเกีย่ วกบั - รปู สามเหล่ียมและ 17–19 รปู สามเหลยี่ มและ รูปสเ่ี หล่ียม รูปส่ีเหลี่ยม แบบฝ�กหดั ชวนคิด 4.6 4.3 ก : 9 การแก�ป�ญหา การสอ่ื สารและ การส่ือความหมาย ทางคณติ ศาสตร� 4.1 4.2 การคดิ ทกั ษะและ 4.1 4.2 ความรพ�ู ืน้ ฐาน การสร�างและ สร�างสรรค� กระบวนการ ความร�พู ื้นฐาน การสรา� งและ เกยี่ วกบั การให� การใหเ� หตผุ ล ทางคณิตศาสตร� การเชอื่ มโยง เก่ียวกับการให� การใหเ� หตุผล เหตผุ ลทางเรขาคณติ เกย่ี วกบั การสร�าง เหตผุ ลทางเรขาคณติ เก่ียวกบั การสรา� ง ชวนคิด 4.4, ชวนคิด 4.1 - - 4.5 4.3 อื่น ๆ การให�เหตผุ ล 4.3 การให�เหตผุ ลเกยี่ วกบั การใหเ� หตผุ ลเกี่ยวกบั - อ่ืน ๆ รูปสามเหล่ียมและ รูปสามเหลยี่ มและ แบบฝก� หดั ท�ายบท : 21 รปู ส่ีเหล่ยี ม รปู สี่เหลีย่ ม ชวนคดิ 4.6 ชวนคดิ 4.7 แบบฝ�กหดั 4.2 4.3 ข : 8–10 4.1 การสร�างและ ความร�ูพืน้ ฐาน การใหเ� หตผุ ล เกย่ี วกับการให� เก่ยี วกับการสร�าง เหตผุ ลทางเรขาคณติ แบบฝก� หดั 4.2 : 2–3 แบบฝก� หดั 4.1 : กจิ กรรม : 12–13 สำรวจพ้นื ท่ีรปู สามเหลีย่ ม 4.3 อืน่ ๆ การให�เหตผุ ลเก่ียวกับ แบบฝก� หดั ท�ายบท : 20 รูปสามเหลยี่ มและ รปู สี่เหล่ยี ม กิจกรรม : สำรวจรปู ส่ีเหลี่ยมทแี่ นบ ในรปู ส่เี หลีย่ ม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 261 พฒั นาการของความรู้ ความรูพ้นื ฐาน 1. ความรพู้ น้ื ฐานและสมบตั ขิ องรปู เรขาคณติ สองมติ ิ 2. การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ที่จำเปน 3. ทฤษฎบี ทพที าโกรสั 4. การแปลงทางเรขาคณติ 5. ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม 6. เสน้ ขนาน ความรทู ่สี ำคัญ 1. ขอ้ สรปุ ท่ไี ด้จากการสังเกตหรอื การทดลองหลาย ๆ คร้ัง ซึ่งเช่ือวา่ มคี วามเปน็ ไปได้ ในบทเรียน มากท่สี ดุ แต่ยังไม่ไดพ้ ิสูจนว์ า่ เปน็ จรงิ เรยี กขอ้ สรปุ นนั้ วา่ ขอ้ ความคาดการณ์ 2. ประโยคมเี ง่ือนไข ประกอบดว้ ยข้อความสองข้อความที่เช่ือมดว้ ย “ถา้ ...แล้ว...” เรยี กข้อความทต่ี ามหลงั “ถา้ ” ว่า “เหตุ” และเรยี กขอ้ ความทีต่ ามหลัง “แลว้ ” ว่า “ผล” 3. เม่อื ประโยคมเี ง่อื นไขเป็นจริงและมบี ทกลับเปน็ จริง อาจเขยี นเป็นประโยคเดียวกัน โดยใชค้ ำ�วา่ “กต็ ่อเมื่อ” เชือ่ มข้อความทงั้ สองในประโยคมเี งื่อนไขน้นั ได้ และประโยคทไ่ี ด้ กจ็ ะเป็นจริงดว้ ย 4. ทฤษฎีบทในบทเรยี นน้ี ✤ ด้านสองด้านของรปู สามเหลี่ยมรูปหนงึ่ จะยาวเท่ากัน กต็ อ่ เมื่อ มมุ ที่อยตู่ รงข้ามกบั ดา้ นท้ังสองน้ัน มขี นาดเทา่ กัน ✤ ถา้ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากสองรปู มคี วามสมั พันธก์ ันแบบ ฉาก–ด้าน–ดา้ น (ฉ.ด.ด.) กลา่ วคือ มดี า้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาวเท่ากนั และมดี ้านอื่นอีกหนึ่งค่ยู าวเท่ากนั แลว้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู น้นั เท่ากันทกุ ประการ ✤ ดา้ นตรงข้ามของรูปสเ่ี หลี่ยมด้านขนานยาวเทา่ กนั ✤ ถ้ารปู ส่ีเหลย่ี มรูปหนึง่ มดี ้านตรงขา้ มยาวเท่ากนั สองคู่ แลว้ รูปส่เี หล่ยี มรูปนนั้ เปน็ รูปสเ่ี หลยี่ มด้านขนาน ✤ มมุ ตรงขา้ มของรูปสเ่ี หล่ียมด้านขนานมขี นาดเท่ากัน ✤ ถา้ รปู ส่เี หลี่ยมรปู หนง่ึ มมี มุ ตรงขา้ มที่มขี นาดเท่ากนั สองคู่ แล้วรูปส่เี หลี่ยมรปู น้นั เป็น รปู ส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน ✤ เส้นทแยงมุมทงั้ สองของรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานแบง่ ครงึ่ ซง่ึ กนั และกันทจี่ ดุ ตดั ของ เส้นทแยงมมุ ✤ สว่ นของเส้นตรงท่ีปดิ หวั ทา้ ยของส่วนของเสน้ ตรงทข่ี นานกันและยาวเท่ากนั จะขนานกันและยาวเทา่ กนั ✤ ส่วนของเสน้ ตรงที่ลากเชื่อมจุดกง่ึ กลางของดา้ นสองด้านของรูปสามเหลย่ี มใด ๆ จะขนานกับด้านทสี่ ามและยาวเปน็ คร่ึงหนึง่ ของดา้ นทสี่ าม ความรูใ นอนาคต 1. ความคลา้ ย 2. วงกลม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

262 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ภาพรวมของการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ แนะนำ�และอภิปรายเก่ียวกบั “ขอ้ ความคาดการณ์” “ประโยคมเี งอื่ นไข” “บทกลบั ของประโยคมีเงือ่ นไข” แนะนำ�และอภิปรายถงึ ค�ำ ศัพท์ที่ใชใ้ นคณิตศาสตรเ์ พือ่ สอื่ ความหมาย เชน่ คำ�อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท ยกตัวอยา่ งและอภิปรายการพสิ ูจนข์ อ้ ความทางคณิตศาสตร์ทีเ่ ป็นประโยคมเี งอ่ื นไข แบ่งเปน็ การพสิ จู นว์ ่าขอ้ ความเปน็ จริง และการพิสจู น์ว่าข้อความไมเ่ ป็นจริงโดยยกตัวอย่างคา้ น ทบทวนทฤษฎีบทเบือ้ งต้นทางเรขาคณติ เพื่อน�ำ ไปใชอ้ ้างอิงในการให้เหตผุ ล อภปิ รายเกยี่ วกบั การสรา้ งพ้ืนฐานทางเรขาคณติ โดยเนน้ การใหเ้ หตุผล และการใชค้ วามรูเ้ ร่ืองความเทา่ กันทุกประการของรูปสามเหลีย่ ม ยกตวั อย่าง อภปิ ราย และสรา้ งรปู เรขาคณติ ต่าง ๆ โดยใช้ความรู้เก่ียวกบั การสรา้ งพืน้ ฐานทางเรขาคณิต พร้อมทั้งให้เหตผุ ลเก่ียวกบั การสร้าง อภปิ รายและยกตัวอยา่ งการพสิ จู นส์ มบตั ิทส่ี ำ�คญั บางประการของรูปสามเหลี่ยมและรูปส่เี หล่ียม พรอ้ มทั้งอภิปรายการนำ�ไปใช้ในชวี ิตจรงิ สรุปบทเรียนเร่อื งการใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ ฝึกแก้ปญั หาโดยการทำ�กิจกรรมทา้ ยบท และแบบฝกึ หัดท้ายบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 263 4.1 ความรพู้ น้ื ฐานเกีย่ วกบั การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ (2 ช่ัวโมง) จดุ ประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. สรา้ งขอ้ ความคาดการณใ์ นสถานการณ์ทก่ี ำ�หนดให้ 2. บอกข้อความทเี่ ป็น “เหต”ุ และข้อความทเี่ ป็น “ผล” ของประโยคมเี ง่ือนไขทก่ี ำ�หนดให้ 3. เขยี นบทกลบั ของประโยคมีเงอื่ นไข 4. เขียนบทนิยามทอ่ี ยูใ่ นรปู “กต็ ่อเม่อื ” ใหเ้ ป็นประโยคมีเงือ่ นไข 2 ประโยค 5. ใชบ้ ทนิยาม สมบตั ิของจ�ำ นวน และสมบตั ทิ างเรขาคณิต ในการให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต ความเขา้ ใจทค่ี ลาดเคล่อื น นกั เรยี นอาจเข้าใจคลาดเคล่อื นว่า ถ้าประโยคมีเง่ือนไขใดเป็นจริง แล้วบทกลับของประโยคนนั้ ต้องเปน็ จริงด้วย สือ่ ที่แนะน�ำ ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ 1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณไ์ ด้หรือไม่ 2. ซอฟต์แวร์ The Geometer's Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อน้ีเป็นเร่ืองความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรใช้การยกตัวอย่าง การอภิปรายและให้ นักเรียนทำ�กิจกรรมเพ่ือให้เข้าใจความหมายของข้อความคาดการณ์ และสามารถให้เหตุผลทางเรขาคณิตได้ แนวทางการจัด กจิ กรรมการเรียนรอู้ าจทำ�ได้ดังน้ี 1. ครูนำ�นักเรียนสนทนาเกี่ยวกับการสร้างข้อความคาดการณ์ โดยครูอาจยกตัวอย่างสถานการณ์การสร้างข้อความ คาดการณ์ทใ่ี ชใ้ นชีวติ เช่น นกั เรียน ก สงั เกตรายการอาหารกลางวันท่ีขายในร้าน A พบว่าทุกวันพฤหัสบดีร้าน A ขายไข่พะโล้ จึงคาดการณ์ว่า ทุก ๆ วันพฤหัสบดีร้าน A จะมีไข่พะโล้ขาย จากนั้นครูเปิดโอกาสให้นักเรียน ยกตัวอย่างเช่ือมโยงประสบการณ์ท่ีเคยพบและสามารถสร้างข้อความคาดการณ์ได้ แล้วครูอาจยกสถานการณ์ การสังเกตจำ�นวนท่ีเรียงลำ�ดับกันของข้าวปั้น ในหนังสือเรียน หน้า 182 เพื่อหาแบบรูปของจำ�นวน ครูอาจใช้ ชวนคิด 4.1 เพ่ือสร้างขอ้ ความคาดการณเ์ ก่ยี วกบั รูปเรขาคณติ ของขา้ วหอม ในหนงั สือเรยี น หน้า 182 ร่วมกบั ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad และชวนคิด 4.3 ในหนังสอื เรยี น หน้า 197 ในการทดลองสร้าง ส่วนของเส้นตรงเพ่ือแบ่งพื้นที่พร้อมคาดการณ์คำ�ตอบที่เกิดข้ึนและให้เหตุผลแสดงแนวคิดของคำ�ตอบน้ัน ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณไ์ ดห้ รอื ไม”่ ในคมู่ อื ครู หนา้ 266 เพอื่ ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ สรา้ งขอ้ ความ คาดการณเ์ กย่ี วกับจ�ำ นวนและรูปเรขาคณติ เพิ่มเติม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

264 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 2. ครูยกตัวอย่างประโยคมีเงื่อนไข ซ่ึงประกอบด้วยสองข้อความที่เช่ือมกันด้วย “ถ้า...แล้ว...” โดยแนะนำ�ข้อความ สว่ นทเี่ ปน็ “เหต”ุ และขอ้ ความสว่ นทเ่ี ปน็ “ผล” จากนนั้ ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายเกย่ี วกบั “ประโยคมเี งอ่ื นไข เปน็ จรงิ ” และ “ประโยคมเี งอ่ื นไขไมเ่ ปน็ จรงิ ” ทงั้ นตี้ วั อยา่ งประโยคทค่ี รนู �ำ มาใชค้ วรเปน็ ประโยคทน่ี กั เรยี นคนุ้ เคย และเข้าใจงา่ ย เชน่ “ถา้ จ�ำ นวนนบั ใดหารดว้ ยสองลงตัว แลว้ จ�ำ นวนนับนนั้ เปน็ จำ�นวนค”ู่ และครคู วรจัดกิจกรรม ให้นักเรยี นได้มสี ่วนในการสร้างประโยคมีเง่ือนไขดังกล่าว 3. ครูนำ�เสนอตวั อย่างประโยคมีเงือ่ นไขและบทกลับของประโยคมีเงื่อนไข ใหน้ ักเรียนสังเกตว่าบทกลับของประโยค มีเง่ือนไขเป็นจริงหรือไม่ จากน้ันครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายจนได้ข้อสรุปว่า ถ้าประโยคมีเง่ือนไขใดเป็นจริง แลว้ บทกลับของประโยคน้ันอาจเป็นจรงิ หรือไมเ่ ปน็ จริงก็ได้ พร้อมยกตัวอยา่ งชวนคดิ 4.2 ในหนงั สือเรียน หนา้ 184 และเปิดโอกาสให้นักเรียนได้สร้างประโยคมีเง่ือนไขและบทกลับของประโยคมีเง่ือนไขเพื่อตรวจสอบ ความเข้าใจที่ถูกต้อง พร้อมท้ังแนะนำ�คำ�ว่า “ก็ต่อเมื่อ” ให้นักเรียนใช้กับประโยคมีเงื่อนไขท่ีเรียนมาข้างต้น ในกรณีที่ประโยคมเี งือ่ นไขเป็นจรงิ และบทกลับเปน็ จริง ซง่ึ ในบทน้จี ะจำ�กดั เพียงขอบเขตนีเ้ ท่านนั้ 4. ครใู หน้ ักเรยี นทำ� “กิจกรรม : ทำ�ไดไ้ หม” ในหนงั สอื เรยี น หน้า 185 และใหน้ กั เรียนร่วมกันอภปิ รายค�ำ ตอบจาก การเขยี นประโยคมเี งอื่ นไขและบทกลบั ของประโยคมเี งอื่ นไข เขยี นประโยคทอ่ี ยใู่ นรปู “กต็ อ่ เมอ่ื ” ใหเ้ ปน็ ประโยค มีเง่ือนไข 2 ประโยค ซ่ึงในกิจกรรมนี้จะเห็นได้ว่านักเรียนต้องมีความรู้แม่นยำ�ในเรื่องสมบัติของรูปเรขาคณิต เช่น รปู สามเหลี่ยมดา้ นเท่า รูปสามเหลีย่ มหน้าจ่วั รูปสเ่ี หล่ียมจตั รุ สั รปู ส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน ดังนั้นครคู วรทบทวน ความรู้ดังกล่าวเพอ่ื ไม่ให้เป็นอปุ สรรคตอ่ การทำ�กจิ กรรมนี้และการเรียนในสว่ นตอ่ ไปของบทน้ี 5. ครแู นะน�ำ ค�ำ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การเรยี นเรอ่ื งการใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ เชน่ ค�ำ อนยิ าม (undefined term) บทนยิ าม (definition) สจั พจน์ (axiom; postulate) และ ทฤษฎบี ท (theorem) ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายตวั อยา่ งท่ี 1 ถงึ ตัวอยา่ งท่ี 5 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 188–191 เพอ่ื ให้เหตผุ ลวา่ ข้อความหรือสิง่ ทกี่ �ำ หนดใหน้ น้ั เปน็ จริงหรอื ไม่ เปน็ จรงิ และถา้ ไมเ่ ปน็ จรงิ (ดงั ตวั อยา่ งที่ 3) ครคู วรใหน้ กั เรยี นรว่ มกนั ยกตวั อยา่ งคา้ น พรอ้ มการอภปิ รายประกอบ ท้ังน้ีเพื่อความสะดวกและความถูกต้องในการนำ�เสนอรูปเรขาคณิตหรือภาพจากโจทย์ ครูสามารถใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad ในการสรา้ งและการอธบิ ายโจทยไ์ ด้ นอกจากนค้ี รอู าจแนะน�ำ ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาความรเู้ พม่ิ เตมิ จากมมุ คณติ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 195 และ หนา้ 196 เกี่ยวกับวธิ กี ารให้เหตุผลซงึ่ มีสองวธิ ี คือการให้เหตผุ ลแบบอุปนัยและการให้เหตุผลแบบนริ นัย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 265 กจิ กรรม : ท�ำ ได้ไหม กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทมี่ งุ่ เนน้ ใหน้ กั เรยี นเขยี นประโยคมเี งอ่ื นไขและบทกลบั ของประโยคมเี งอ่ื นไข รวมทงั้ เขยี นประโยค ทอ่ี ยใู่ นรปู “ก็ตอ่ เมอ่ื ” ใหเ้ ป็นประโยคมเี งอื่ นไข 2 ประโยค โดยมีข้ันตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดงั นี้ สื่อ/อุปกรณ์ - ข้นั ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนท�ำ “กจิ กรรม : ท�ำ ได้ไหม” 2. ครแู ละนกั เรยี นชว่ ยกันเฉลยและอภปิ รายคำ�ตอบ เฉลยกจิ กรรม : ทำ�ไดไ้ หม 1. 1) ถา้ รูปสามเหล่ียมรูปหนงึ่ เปน็ รปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ แล้วรปู สามเหลย่ี มนัน้ มีส่วนสงู ทั้งสามเส้นยาวเทา่ กัน 2) ถา้ เสน้ ทแยงมมุ ทง้ั สองเสน้ ของ ABCD ตดั กนั เปน็ มมุ ฉากและแบง่ ครง่ึ ซงึ่ กนั และกนั แลว้ ABCD เปน็ รปู สเี่ หลย่ี ม ท่มี ดี ้านทั้งส่ียาวเทา่ กนั 2. 1) รูปสามเหลีย่ มรปู หน่ึงมีส่วนสูงทงั้ สามเสน้ ยาวเทา่ กนั กต็ อ่ เม่อื รูปสามเหล่ยี มนัน้ เปน็ รปู สามเหลีย่ มด้านเท่า 2) ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มทมี่ ดี า้ นทง้ั สย่ี าวเทา่ กนั กต็ อ่ เมอ่ื เสน้ ทแยงมมุ ทง้ั สองเสน้ ของ ABCD ตดั กนั เปน็ มมุ ฉาก และแบง่ ครึง่ ซงึ่ กนั และกนั 3. 1) “ถ้ารูปสี่เหล่ียมรูปหน่ึงเป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน แล้วด้านตรงข้ามของรูปสี่เหล่ียมน้ันยาวเท่ากันสองคู่” และ “ถา้ รปู สี่เหลีย่ มรูปหนง่ึ มดี า้ นตรงข้ามยาวเทา่ กันสองคู่ แลว้ รูปส่เี หล่ียมนัน้ เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน” 2) “ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงมีขนาดของมุมเท่ากันสองมุม แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว” และ “ถา้ รปู สามเหล่ยี มรูปหนึง่ เป็นรูปสามเหลยี่ มหน้าจว่ั แล้วรปู สามเหล่ยี มน้ันมขี นาดของมุมเทา่ กนั สองมุม” สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

266 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 กิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณ์ไดห้ รอื ไม่ กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีมุ่งเน้นให้นักเรียนสร้างข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับจำ�นวนและรูปเรขาคณิต โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดงั น้ี สือ่ /อุปกรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณ์ไดห้ รอื ไม่ ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หน้ ักเรียนท�ำ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณ์ได้หรือไม่ 2. ครแู ละนักเรียนชว่ ยกนั เฉลยและอภิปรายคำ�ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 267 ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณไ์ ด้หรือไม่ 1. จำ�นวนคี่ ได้แก่ … , -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, … ใหน้ ักเรยี นสังเกตแบบรูปแสดงจ�ำ นวนค่ี ในแต่ละช่องต่อไปน้ี … -5 -3 -1 1 3 5 … … [2 × (-3)] + 1 [2 × (-2)] + 1 [2 × (-1)] + 1 [2 × 0] + 1 [2 × 1] + 1 [2 × 2] + 1 … จงเขียนขอ้ ความคาดการณ์ของแบบรปู แสดงจำ�นวนคต่ี ่อไปน้ีใหส้ มบูรณ์ “จ�ำ นวนคี่ คือ จำ�นวนทเ่ี ขียนได้ในรปู เม่ือ k แทนจ�ำ นวนเต็มจำ�นวนหนงึ่ ” 2. สำ�หรับรูปห้าเหลี่ยม ABCDE เม่ือลากเส้นทแยงมุมจากจุดยอดจุดหนึ่ง ในที่น้ีคือจุดยอด A ไปยังจุดยอดอื่น เพอ่ื ท�ำ ใหเ้ กดิ รปู สามเหล่ยี ม ดังตวั อยา่ ง จะไดว้ า่ มีเส้นทแยงมมุ 2 เส้น และมรี ปู สามเหล่ียมเกิดขน้ึ 3 รปู B AC ED ใหน้ กั เรยี นเขยี นรปู หลายเหลยี่ มตา่ ง ๆ และลากเสน้ ทแยงมมุ ตามตวั อยา่ งขา้ งตน้ แลว้ เตมิ จ�ำ นวนในตาราง ใหส้ มบรู ณ์ จำ�นวนด้านของ 3 4 5 6 … 20 … n รูปหลายเหลยี่ ม จำ�นวน 2…… เส้นทแยงมุม จำ�นวน 3…… รูปสามเหล่ยี ม ทเ่ี กดิ จากการลาก เส้นทแยงมมุ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

268 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 3. จงพิจารณาหาแบบรูปเพ่ือแสดงจำ�นวนรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสที่แรเงาและพ้ืนท่ีท้ังหมดของรูปท่ีกำ�หนดให้ต่อไปนี้ และเขียนจ�ำ นวนทไี่ ดใ้ นชอ่ งวา่ งของตารางข้างล่างนี้ รปู ที่ 1 2 3 4 รปู ท่ี 1 2 3 4 … 10 … n จำ�นวนรูป 1357… … ทแี่ รเงา พืน้ ทีท่ ้ังหมด 1 4 9 16 … … (ตารางหน่วย) 4. ให้นกั เรยี นสรา้ ง AB และ CD ท่ยี าวเท่ากันและขนานกนั หลาย ๆ คู ่ และแตล่ ะคู่ให้ลาก AD และ BC จงเขยี นขอ้ ความคาดการณ์แสดงความเก่ียวขอ้ งระหวา่ ง AD และ BC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 269 เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.1 : คาดการณ์ได้หรือไม่ 1. จ�ำ นวนค่ี คอื จำ�นวนทีเ่ ขียนไดใ้ นรูป 2k + 1 เมอื่ k แทนจำ�นวนเตม็ จำ�นวนหนง่ึ 2. ตวั อยา่ งรปู หลายเหลี่ยมตา่ ง ๆ จ�ำ นวนดา้ นของ 3 4 5 6 … 20 … n รปู หลายเหล่ียม จ�ำ นวนเส้นทแยงมุม 0 1 2 3 … 17 … n – 3 จำ�นวนรูปสามเหล่ยี ม ทเ่ี กิดจากการลาก 1 2 3 4 … 18 … n – 2 เส้นทแยงมุม 3. 1 2 3 4 … 10 … n รูปท่ี จ�ำ นวนรปู 1 3 5 7 … 19 … 2n – 1 ที่แรเงา พื้นทท่ี ง้ั หมด 1 4 9 16 … 100 … n2 (ตารางหนว่ ย) 4. ตวั อยา่ งคำ�ตอบ C D C คำ�ตอบที่ 1 D C D A B B A AB ข้อความคาดการณ์ : AD และ BC ยาวเท่ากนั และขนานกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

270 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 CD ค�ำ ตอบที่ 2 D C A BA B D ขอ้ ความคาดการณ์ : AD และ BC แบ่งคร่ึงซึ่งกันและกนั ค�ำ ตอบที่ 3 DC C A BA B ข้อความคาดการณ์ : AD และ BC ตัดกนั ทำ�ให้ได้รูปสามเหล่ียมสองรปู ทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการแบบ ม.ด.ม. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 271 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 4.1 แนวคิดและตัวอยา่ งค�ำ ตอบ ipst.m e/1 0082 นักเรียนควรจะสร้างข้อความคาดการณ์อย่างใดอย่างหน่ึงหรือหลายอย่างเก่ียวกับจุดยอดของ รูปสามเหลี่ยมหน้าจว่ั ท้งั หลายทข่ี ้าวหอมสร้างบนฐาน AB เดียวกันได้ ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ ี AB ✤ จดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ มหนา้ จวั่ ทั้งหลายท่ีมีฐานเดยี วกัน จะอย่บู นเสน้ ตรงเดียวกนั ✤ จุดยอดของรปู สามเหลี่ยมหน้าจั่วทงั้ หลายท่มี ฐี านเดยี วกัน จะอยบู่ นเสน้ ตรงทีแ่ บ่งคร่งึ และตัง้ ฉากกับฐาน ✤ จดุ ยอดแตล่ ะจดุ ของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จว่ั ทงั้ หลายทม่ี ฐี านเดยี วกนั จะอยหู่ า่ งจากจดุ ปลายของฐานเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ ✤ ส่วนของเส้นตรงที่เช่ือมจุดยอดแต่ละจุดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วทั้งหลายท่ีมีฐานเดียวกัน กับจุดปลาย ของฐาน จะทำ�ใหเ้ กิดมมุ ที่ฐานทีม่ ีขนาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ ✤ ถ้าลากเส้นตรงผ่านจุดยอดทุกจุดของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวทั้งหลายท่ีมีฐานเดียวกัน เส้นน้ีจะต้ังฉากกับ ฐานและทำ�ใหเ้ กดิ รปู สามเหล่ยี มสองรปู ที่เท่ากนั ทุกประการแบบ ฉ.ด.ด. เป็นคู่ ๆ ✤ ถา้ ลากเสน้ ตรงผา่ นจดุ ยอดทกุ จดุ ของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จว่ั ทงั้ หลายทมี่ ฐี านเดยี วกนั เสน้ นจี้ ะแบง่ ครงึ่ ฐาน และท�ำ ใหเ้ กดิ รูปสามเหลยี่ มสองรูปทเี่ ท่ากนั ทุกประการแบบ ด.ด.ด. เป็นคู่ ๆ ✤ จุดยอดแต่ละจุดของรูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่ ท้ังหลายทม่ี ีฐานเดยี วกนั ที่อยขู่ า้ งใดขา้ งหนงึ่ ของฐาน จะมภี าพ สะท้อนเปน็ จดุ ยอดของรปู สามเหลีย่ มหนา้ จว่ั ที่อยู่อีกข้างหน่งึ ของฐาน เป็นคู่ ๆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

272 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชวนคิด 4.2 ipst.m e/1 0083 แนวคดิ บทกลบั ของประโยคมีเง่อื นไข คือ “ถ้ามะเหม่ยี วอยู่ในประเทศไทย แล้วมะเหม่ียวอยูท่ ีจ่ งั หวดั สงขลา” จะเห็นว่าประโยคนี้ไม่เป็นจริงเสมอไป เพราะมีหลายจังหวัดในประเทศไทย มะเหมี่ยวอาจอยู่ท่ีจังหวัดอื่น นอกจากจงั หวัดสงขลากไ็ ด้ ชวนคิด 4.3 แนวคดิ ipst.me/10084 ถา้ สรา้ งสว่ นของเสน้ ตรง 4 เสน้ แบง่ พนื้ ทข่ี องวงกลมหนง่ึ วง จะแบง่ ไดม้ ากทสี่ ดุ 11 ชนิ้ โดยมตี วั อยา่ ง การแบง่ ดังรูป ถ้าจะสร้างข้อความคาดการณ์เพ่ือหาจำ�นวนชิ้นที่แบ่งได้มากท่ีสุด จะต้องหาแบบรูปของจำ�นวนชิ้น ทแี่ บ่งได้ในแต่ละคร้ัง ดังนี้ แบ่งครัง้ ท่ี จ�ำ นวนสว่ นของเส้นตรง จ�ำ นวนชิ้นทแี่ บง่ ได้ 1 1 จำ�นวนรวม เขียนในรูปผลบวก 2 2 3 3 2 1+1 4 4 5 5 4 1+1+2 6 6 . . 7 1+1+2+3 . . . . 11 1 + 1 + 2 + 3 + 4 16 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 22 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 .. .. .. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 273 จากแบบรปู ขา้ งตน้ จะสรา้ งขอ้ ความคาดการณไ์ ด้วา่ ถ้าสร้างสว่ นของเสน้ ตรง n เสน้ จะแบ่งพนื้ ท่ีของวงกลมหนึง่ วงไดม้ ากที่สดุ 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + n ชน้ิ หรือ 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + n) ชิน้ ซึ่งเท่ากับ 1 + n(n + 1) ชิ้น หรือ 2 หรือ n2 + n + 2 ชน้ิ 2 (n + 1)2 – (n – 1) ชน้ิ 2 วิธีแบ่งพ้ืนท่ีของวงกลมเพื่อให้ได้จำ�นวนชิ้นท่ีแบ่งมากท่ีสุด คือ ในการสร้างส่วนของเส้นตรงต้ังแต่ เส้นที่สองเป็นต้นไป จะต้องให้ตัดกับส่วนของเส้นตรงทุกเส้นท่ีมีอยู่เดิมในวงกลมเส้นละหน่ึงตำ�แหน่ง และ ไมต่ ดั ที่จุดตัดเดมิ เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝึกหัด 4.1 ข้อเสนอแนะ ครคู วรสอนให้นกั เรียนไดฝ้ กึ การวเิ คราะห์สิ่งท่ีโจทยก์ ำ�หนดให้และเงือ่ นไขต่าง ๆ แลว้ เขยี นสัญลกั ษณ์แทน 1. แนวคิด มุมทมี่ ขี นาดเท่ากัน ดา้ นทม่ี ีความยาวเทา่ กัน หรอื เตมิ ชอ่ื มมุ อ่ืน ๆ ที่เกย่ี วข้องกบั เงื่อนไขทกี่ �ำ หนดใหใ้ นรปู เพม่ิ เตมิ ทง้ั นคี้ วรก�ำ หนดชอ่ื มมุ เปน็ ตวั เลขเพอ่ื ความสะดวกในการเรยี กชอ่ื และน�ำ ไปใชใ้ นการแสดงแนวคดิ หรอื การพิสูจน์ 1 43 2 เนื่องจาก ˆ2 = ˆ1 (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กัน แลว้ มุมตรงขา้ มมขี นาดเท่ากนั ) ˆ1 = ˆ4 (ก�ำ หนดให้) ˆ2 = ˆ4 (สมบัติของการเท่ากัน) ดงั นนั้ (ขนาดของมมุ ตรง) เน่อื งจาก ˆ4 + ˆ3 = 180° ดังนั้น ˆ2 + ˆ3 = 180° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทน ˆ4 ด้วย ˆ2 ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

274 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 2. 1) แนวคิด A 3 2 4 5 1B C เนือ่ งจาก ˆ1 = ˆ3 (ก�ำ หนดให้) ˆ1 = ˆ4 ดังน้นั ˆ3 = ˆ4 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กนั แลว้ มมุ ตรงขา้ มมขี นาดเท่ากัน) เนื่องจาก ดังนั้น ˆ3 = ˆ5 (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) เนอ่ื งจาก จะได ้ (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี ส้นตัด แลว้ มุมแย้งมขี นาดเทา่ กัน) ˆ3 = ˆ4 = ˆ5 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) ˆ2 ≠ ˆ3 (ก�ำ หนดให)้ ˆ2 ≠ ˆ4 และ ˆ2 ≠ ˆ5 ดงั น้นั รูปสามเหล่ยี ม ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีมมุ ที่มีขนาดเทา่ กันสองมุม) 2) แนวคดิ A 3 2 4 5 1B C เน่ืองจาก ˆ1 = ˆ3 (ก�ำ หนดให)้ ˆ1 = ˆ4 (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แลว้ มุมตรงขา้ มมขี นาดเท่ากัน) ดงั น้นั ˆ3 = ˆ4 (สมบัติของการเท่ากัน) เน่อื งจาก ˆ3 = ˆ5 (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากนั ) และ ˆ2 = ˆ3 (ก�ำ หนดให้) จะได้ ˆ2 = ˆ4 = ˆ5 (สมบัติของการเท่ากนั ) ดังน้นั รูปสามเหลย่ี ม ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ (มมี มุ ท่มี ขี นาดเท่ากนั สามมุม) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 275 3. แนวคิด 1 X B A 1E เน่ืองจาก ˆ1 = ˆ2 3 ˆ2 = ˆ3 C F2 D จะได้ ˆ1 = ˆ3 ดังนน้ั Y �AB // �CD (ก�ำ หนดให้) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตดั กัน แล้วมมุ ตรงขา้ มมขี นาดเท่ากนั ) แนวคิด 2 (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตัดเส้นตรงคู่หนง่ึ ทำ�ให้มุมภายนอกและ มุมภายในท่อี ย่ตู รงข้ามบนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตัดมขี นาด เท่ากนั แล้วเสน้ ตรงคนู่ ั้นขนานกัน) X B A 1E 4 3 C F2 D Y เน่อื งจาก ˆ1 = ˆ2 (กำ�หนดให)้ ˆ1 = ˆ4 และ ˆ2 = ˆ3 (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นตดั กัน แลว้ มุมตรงขา้ มมีขนาดเทา่ กนั ) ˆ4 = ˆ3 (สมบัติของการเท่ากนั ) (ถ้าเส้นตรงเส้นหนงึ่ ตัดเส้นตรงคู่หน่งึ ทำ�ให้มุมแย้งมีขนาด จะได้ �AB // �CD เท่ากนั แล้วเสน้ ตรงคูน่ ัน้ ขนานกัน) ดังนน้ั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

276 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 4. แนวคดิ AB 2 E1 43 CD กำ�หนดให ้ �AB // �CD และ DE พบ BC ทีจ่ ุด E ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ BˆED = AˆBE + EˆDC หรือ ˆ1 = ˆ2 + ˆ3 พิสจู น ์ ˆ2 = ˆ4 (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเส้นตดั แล้วมุมแยง้ มี เนือ่ งจาก ขนาดเท่ากัน) (ขนาดของมุมภายนอกของรปู สามเหลี่ยมเท่ากบั ผลบวกของ ˆ1 = ˆ4 + ˆ3 ขนาดของมมุ ภายในที่ไมใ่ ช่มมุ ประชดิ ของมมุ ภายนอกนนั้ ) ดงั นั้น หรอื ˆ1 = ˆ2 + ˆ3 (สมบัติของการเทา่ กัน โดยแทน ˆ4 ด้วย ˆ2 ) BˆED = AˆBE + EˆDC (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน) 5. แนวคดิ L AM B 32 D N C4 1O EF P ก�ำ หนดให ้ �AB // �CD และ �CD // �EF �LP ตัด �AB, �CD และ �EF ทีจ่ ุด M, N และ O ตามล�ำ ดบั ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า 1) EˆON = BMˆN หรือ ˆ1 = ˆ2 2) AMˆN + EˆON = 180° หรือ ˆ3 + ˆ1 = 180° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 277 พสิ จู น์ 1) ˆ1 = ˆ4 (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมเี ส้นตัด แลว้ มุมแยง้ มขี นาด เน่ืองจาก เทา่ กนั ) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาด เท่ากนั ) และ ˆ4 = ˆ2 (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) (สมบตั ิของการเทา่ กัน) พิสูจน์ (ขนาดของมุมตรง) (จากการพิสจู น์ 1) ) ดังนน้ั หรือ ˆ1 = ˆ2 (สมบตั ิของการเท่ากัน โดยแทน ˆ2 ดว้ ย ˆ1 ) EˆON = BMˆN (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) 2) เนอ่ื งจาก ˆ3 + ˆ2 = 180° และ ˆ1 = ˆ2 ˆ3 + ˆ1 = 180° ดังน้ัน หรือ AMˆN + EˆON = 180° 6. แนวคดิ เขยี นสัญลกั ษณ์แทนส่ิงท่โี จทย์ก�ำ หนดและสิ่งท่ที ราบว่าเท่ากนั ในรูปประกอบการให้เหตผุ ลได้ดังน้ี S TQ 50° W P 50°60° VU เนื่องจาก TWˆQ = 50° R STUV เป็นรูปส่ีเหลยี่ มผนื ผา้ (ก�ำ หนดให)้ (ก�ำ หนดให้) จะได้ SV // TU (ดา้ นตรงขา้ มของรูปสเี่ หลย่ี มผืนผ้าขนานกัน) ดังนน้ั (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี ส้นตัด SˆPW = TWˆQ = 50° แลว้ มุมภายนอกและมมุ ภายในที่อยู่ตรงข้าม บนขา้ งเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) (กำ�หนดให้) (มมุ ภายในแตล่ ะมมุ ของรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ มขี นาด 60 องศา) (ขนาดของมมุ ตรง) เนือ่ งจาก ΔPQR เป็นรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า จะได ้ WˆPU = 60° เนือ่ งจาก SˆPW + WˆPU + UˆPV = 180° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

278 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 จะได ้ 50 + 60 + UˆPV = 180 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน โดยแทน SˆPW ด้วย 50 และ แทน WˆPU ด้วย 60) ดงั น้ัน (สมบัติของการเทา่ กนั ) 7. แนวคดิ UˆPV = 70° กระจกเงาราบ ภาพสะทอ� น B ปา� ยตกแตง� 120° C 15° D A E เน่อื งจากรูปตน้ แบบและภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ นเทา่ กันทุกประการ BˆCD = 120° BˆCA = 120° (กำ�หนดให)้ จะได้ (มุมคู่ทส่ี มนยั กันของรูปสามเหลยี่ มที่ เทา่ กันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) เนอื่ งจาก CˆAB + AˆBC + BˆCA = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของ รูปสามเหลีย่ มรวมกันเท่ากับ 180 องศา) จะได ้ 15 + AˆBC + 120 = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากนั โดยแทน CˆAB ดงั นนั้ ดว้ ย 15 และ แทน BˆCA ดว้ ย 120 ) เนอ่ื งจาก (สมบตั ิของการเท่ากนั ) AˆBC = 45° (มุมคทู่ ่สี มนัยกนั ของรูปสามเหลี่ยมที่ AˆBC = DˆBC = 45° เท่ากันทกุ ประการ จะมขี นาดเท่ากนั ) และ AˆBD = AˆBC + DˆBC (สมบัติของการเทา่ กนั ) ดังน้ัน AˆBD = 45 + 45 = 90° (สมบัติของการเทา่ กนั โดยแทน AˆBC และ DˆBC ด้วย 45) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 279 8. แนวคดิ A x° F4B 53 1 75° 2 z° EC y° D จากภาพซงึ่ ประกอบดว้ ยรูปสเ่ี หล่ียมขนมเปยี กปนู ทั้งหมด 6 รปู ถา้ จะหาคา่ ของ 3(x + y) – z แสดงว่ามรี ปู ส่ีเหลี่ยม ขนมเปยี กปนู ทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ 2 แบบ คอื แบบท่ี 1 ไดแ้ ก่ รปู สเ่ี หลยี่ มขนมเปยี กปูน A, C และ E และแบบทีส่ อง ไดแ้ ก่ รปู สีเ่ หลี่ยมขนมเปียกปนู B, D และ F เนื่องจาก รูปส่เี หลี่ยมขนมเปยี กปนู A, C และ E มมี ุมแหลมมมุ หนึง่ ซ่งึ มขี นาดเท่ากับ y° (กำ�หนดให้) จะได้ y = ˆ1 = ˆ2 = ˆ4 (มุมตรงขา้ มของรูปสี่เหลยี่ มขนมเปยี กปูน มขี นาดเท่ากัน) เนอื่ งจาก รปู สี่เหลี่ยมขนมเปยี กปนู B, D และ F มีมุมแหลมมมุ หนึ่งซ่ึงมีขนาดเท่ากับ 75° (ก�ำ หนดให)้ จะได้ x = ˆ3 = ˆ5 = 75 (มมุ ตรงขา้ มของรูปสีเ่ หล่ยี มขนมเปยี กปนู ˆ2 + z = 180 มีขนาดเทา่ กนั ) เนื่องจาก (ด้านตรงข้ามของรูปส่ีเหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกัน และขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั ที่ตดั เสน้ ขนานรวมกนั เท่ากับ 180 องศา) z = 180 – ˆ2 (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) จะได้ เนอ่ื งจาก ˆ2 + ˆ3 + ˆ4 + ˆ5 + ˆ1 + 75 = 360 จะได้ (ˆ1 + ˆ2 + ˆ4 ) + (ˆ3 + ˆ5 + 75) = 360 (มุมรอบจดุ มขี นาด 360°) 3y + 3(75) = 360 น่นั คอื y = 45 และ z = 180 – 45 = 135 ดงั น้นั 3(x + y) – z = 3(75 + 45) – 135 = 225 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

280 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 9. แนวคิด Q b° R 1 T c° 85° 40° a° 2S P เนือ่ งจาก PQRS เป็นรปู สเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน (กำ�หนดให้) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ ดังนั้น ˆ1 = 85° และ ˆ2 = b° มขี นาดเท่ากัน) เน่ืองจาก (ขนาดของมุมภายในท้ังสามมุมของรูปสามเหลี่ยม 40 + ˆ1 + c = 180 รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา) จะได ้ 40 + 85 + c = 180 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน โดย แทน ˆ1 ด้วย 85) ดังนั้น c = 55 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จาก ΔPST จะได ้ (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ c = a + ˆ2 ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของ มุมภายนอกนนั้ ) จะได ้ c = a + b = 55 (สมบัติของการเทา่ กัน โดย แทน ˆ2 ด้วย b ) ดังน้ัน a + b + c = (a + b) + c = 55 + 55 = 110 10. แนวคดิ A C 100° ED m 2 140° 1 (ก�ำ หนดให้) (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั B แลว้ มุมภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ย่ตู รงขา้ ม บนข้างเดยี วกันของเส้นตดั มีขนาดเท่ากนั ) เน่อื งจาก // m และ BˆAC = 100° จะได ้ ˆ2 = 100° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 281 เนอ่ื งจาก ˆ1 + ˆ2 = 140° (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมเท่ากับ ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไี่ มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของ มมุ ภายนอกนน้ั ) (สมบัติของการเทา่ กัน โดย แทน ˆ2 ด้วย 100) ˆ1 + 100 = 140 จะได้ (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนน้ั ˆ1 = 40° หรอื AˆBC = 40° 11. แนวคิด 1 FG 1 20° D C2 mE 70° B A ตอ่ AC ออกไปทางจดุ C และให้ตัดกับสว่ นของเส้นตรง ท่จี ุด G เนอ่ื งจาก // m และ EˆAC = 70° ˆ1 = 70° (ก�ำ หนดให้) จะได้ (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มีขนาดเทา่ กนั ) เนื่องจาก (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ AˆCD = ˆ1 + 20 ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไี่ มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของ มุมภายนอกนนั้ ) จะได ้ AˆCD = 70 + 20 = 90° (สมบตั ิของการเทา่ กัน โดยแทน ˆ1 ด้วย 70) เน่ืองจาก AˆCB = –31 ของ AˆCD (ก�ำ หนดให)้ AˆCB = –31 × 90 = 30° จะได้ AˆCB + BˆCD = AˆCD (สมบตั ิของการเท่ากนั โดยแทน AˆCD ด้วย 90) 30 + BˆCD = 90 เนือ่ งจาก ดงั นั้น (สมบัตขิ องการเท่ากัน โดยแทน AˆCB ด้วย 30 และ นัน่ คือ BˆCD = 60° แทน AˆCD ดว้ ย 90) (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

282 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 แนวคิด 2 FD 20° 2 1 3 P C Q mE 70° B A ลาก �PQ ผ่านจุด C ให้ขนานกับส่วนของเส้นตรง �PQ // m จะได ้ ˆ1 = 20° และ ˆ2 + ˆ3 = 70° (สมบตั ขิ องการขนาน) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ ดงั นั้น มีขนาดเท่ากัน) เน่ืองจาก AˆCD = ˆ1 + (ˆ2 + ˆ3 ) จะได้ AˆCD = 20 + 70 = 90° (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ1 ด้วย 20 และ แทน ˆ2 + ˆ3 ดว้ ย 70) เนื่องจาก AˆCB = –13 ของ AˆCD (ก�ำ หนดให)้ AˆCB = –13 × 90 = 30° จะได ้ AˆCB + BˆCD = AˆCD (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน AˆCD ดว้ ย 90) 30 + BˆCD = 90 เนื่องจาก (สมบตั ิของการเท่ากนั โดยแทน AˆCB ด้วย 30 และ ดงั น้นั แทน AˆCD ดว้ ย 90) นน่ั คือ BˆCD = 60° (สมบัติของการเท่ากนั ) 12. แนวคิด A G D 4 C E 2 3 1 F B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 283 ให ้ �BD แบง่ คร่ึง AˆBC และมจี ุด E เปน็ จดุ ใด ๆ จุดหน่ึงบน �BD ให้ EG ⊥ �BA ท่จี ุด G และ ให้ EF ⊥ �BC ท่จี ุด F พจิ ารณา ΔBEF และ ΔBEG (กำ�หนดให ้ �BD แบ่งครง่ึ AˆBC) ˆ1 = ˆ2 เน่อื งจาก ˆ3 = ˆ4 = 90° (จากการสรา้ ง EG ⊥ �BA ทจี่ ุด G และ EF ⊥ �BC ท่ีจุด F) BE = BE (BE เป็นด้านร่วม) ดังนัน้ ΔBEF ≅ ΔBEG (ม.ม.ด.) จะได้ EF = EG (ด้านคทู่ ส่ี มนัยกันของรปู สามเหล่ียมทเ่ี ท่ากนั ทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั ) นั่นคือ จุดใด ๆ ท่ีอย่บู นเสน้ แบ่งคร่ึงมมุ มุมหนึ่ง ยอ่ มอยู่หา่ งจากแขนทงั้ สองขา้ งของมุมนนั้ เป็นระยะเทา่ กนั 13. ไม่จริง เช่น รูปส่เี หล่ยี มรปู ว่าว มีเสน้ ทแยงมุมตง้ั ฉากกนั แตด่ า้ นทกุ ดา้ นไมไ่ ดย้ าวเท่ากัน ดงั รปู D AC B หรอื รปู ส่เี หลี่ยมดา้ นไม่เทา่ ทมี่ ีเส้นทแยงมมุ ตง้ั ฉากกนั ดังรูป H E G F สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

284 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 4.2 การสรา้ งและการใหเ้ หตุผลเกย่ี วกบั การสรา้ ง (5 ช่ัวโมง) จดุ ประสงค์ นักเรียนสามารถ 1. ใหเ้ หตผุ ลเกยี่ วกบั การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณติ 2. สรา้ งรปู สามเหลีย่ มและรปู สี่เหลยี่ มตามเงอื่ นไขท่ีก�ำ หนดให ้ และใหเ้ หตุผลเกยี่ วกบั การสรา้ งนั้น ความเข้าใจทค่ี ลาดเคลอ่ื น - ส่อื ท่ีแนะน�ำ ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ซอฟต์แวร์ The Geometer's Sketchpad (GSP) ขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นี้เป็นเร่ืองเกยี่ วกบั การสรา้ งและการใหเ้ หตุผลเกีย่ วกบั การสร้าง จึงมุง่ เน้นให้นกั เรยี นสามารถให้เหตุผลเก่ียวกับ การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อได้ โดยอาศัยความรู้เรื่องความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ียม รวมถึงการสร้าง รูปเรขาคณิตต่าง ๆ เช่น รูปสามเหล่ียมและรูปส่ีเหล่ียม ที่มีเง่ือนไขตามที่โจทย์กำ�หนด แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรู้อาจ ท�ำ ไดด้ งั น้ี 1. ครูทบทวนความรู้ที่จำ�เป็นสำ�หรับเร่ืองน้ี เช่น การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ (โดยใช้เคร่ืองมือพ้ืนฐาน คือ วงเวียนและสันตรง) ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม เส้นขนาน สมบัติของรูปเรขาคณิต เพื่อให้ นกั เรียนมีความแม่นยำ�ในเร่อื งเหล่านี้ และนำ�มาใช้ในการให้เหตุผลได้ 2. ครนู ำ�เสนอและรว่ มกันอภปิ รายการสรา้ งพ้ืนฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ เรยี งตามลำ�ดับ โดยครูอาจดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพื่อสอนหรือแนะนำ�ให้นักเรียนนำ�ไปศึกษาขั้นตอนการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตข้อที่ 1–6 ได้ที่ มมุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 198 โดยมีแนวทางการใหเ้ หตุผลของการสรา้ งพน้ื ฐานแตล่ ะข้อ ดังนี้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 285 การสรา้ งขอ้ ที่ 2 การแบง่ ครงึ่ ส่วนของเสน้ ตรงท่ีก�ำ หนดให้ ลาก AP, PB, AQ และ QB ∆APQ ≅ ∆BPQ (มีความสมั พันธแ์ บบ ด.ด.ด. ) P เพราะ AP = BP (จากการสร้าง ใชร้ ศั มียาวเทา่ กนั ) 1 2 (จากการสร้าง ใชร้ ศั มยี าวเทา่ กัน) AQ = BQ PQ = PQ (PQ เปน็ ด้านรว่ ม) (มุมคูท่ ส่ี มนยั กันของรูปสามเหลยี่ มท่ี A C B จะได้ ˆ1 = ˆ2 เทา่ กนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเท่ากนั ) (มีความสมั พันธแ์ บบ ด.ม.ด.) ∆APC ≅ ∆BPC Q เพราะ AP = BP (จากการสร้าง ใชร้ ศั มยี าวเทา่ กัน) (จากการพสิ จู น์ขา้ งต้น) ˆ1 = ˆ2 PC = PC (PC เป็นด้านร่วม) จะได้ AC = BC (ดา้ นคู่ทส่ี มนยั กนั ของรูปสามเหลย่ี ม ทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเท่ากนั ) ดงั นั้น จดุ C แบ่งครึ่ง AB A การสร้างขอ้ ที่ 3 การสร้างมุมให้มีขนาดเทา่ กับขนาดของมุมทกี่ ำ�หนดให้ ลาก DE และ MN D ∆DBE ≅ ∆MYN (มคี วามสัมพนั ธ์แบบ ด.ด.ด.) เพราะ BE = YN (จากการสร้าง ใชร้ ัศมียาวเทา่ กัน) BD = YM (จากการสร้าง ใช้รัศมียาวเท่ากนั ) E C ED = NM (จากการสร้าง ใชร้ ัศมยี าวเท่ากัน) B (มุมคูท่ ่ีสมนยั กันของรูปสามเหลี่ยม จะได้ ˆB = ˆY X ทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเท่ากัน) M (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) หรอื ˆY = ˆB (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ดังนนั้ XˆYZ = AˆBC Y NZ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

286 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 การสร้างขอ้ ที่ 4 การแบ่งคร่ึงมมุ ทีก่ �ำ หนดให้ ลาก MD และ ND A ∆BMD ≅ ∆BND (มคี วามสมั พันธแ์ บบ ด.ด.ด.) D เพราะ BM = BN (รศั มขี องวงกลมเดียวกนั ) M MD = ND (จากการสร้าง ใชร้ ศั มียาวเทา่ กัน) (BD เป็นดา้ นร่วม) BD = BD (มุมคู่ที่สมนัยกนั ของรปู สามเหลย่ี ม ทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเทา่ กัน) จะได ้ MˆBD = NˆBD (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) B N C ดังนน้ั AˆBD = CˆBD การสรา้ งขอ้ ท่ี 5 การสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเสน้ ตรงทีก่ �ำ หนดให้ ลาก MP, MQ, NP และ NQ ∆MPQ ≅ ∆NPQ P (มีความสมั พันธ์แบบ ด.ด.ด.) 1 2 เพราะ MP = NP (รศั มีของวงกลมเดียวกัน) MQ = NQ (จากการสรา้ ง ใชร้ ศั มียาวเท่ากนั ) PQ = PQ (PQ เป็นด้านรว่ ม) N จะได้ (มมุ คทู่ ่สี มนัยกนั ของรูปสามเหลย่ี ม B M 3 4 ˆ1 = ˆ2 ท่เี ท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากนั ) A C B (มคี วามสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด.) ∆MPC ≅ ∆NPC Q เพราะ MP = NP (รัศมขี องวงกลมเดยี วกัน) (จากการพสิ ูจนข์ า้ งตน้ ) ˆ1 = ˆ2 PC = PC (PC เป็นด้านรว่ ม) (มมุ คู่ทส่ี มนยั กันของรูปสามเหลยี่ ม จะได้ ˆ3 = ˆ4 ทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ จะมีขนาดเท่ากนั ) (ขนาดของมมุ ตรง) เน่ืองจาก ˆ3 + ˆ4 = 180° (สมบัตขิ องการเทา่ กนั ) ท�ำ ใหไ้ ด้ ˆ3 = ˆ4 = 90° (สมบัติของการเทา่ กนั ) ดังนน้ั AˆCP = BˆCP = 90° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 287 การสร้างข้อที่ 6 การสร้างเส้นตัง้ ฉากทจี่ ุดจดุ หนึง่ ทอี่ ย่บู นเสน้ ตรงทก่ี �ำ หนดให้ ลาก MX และ NX ∆MXP ≅ ∆NXP X (มีความสมั พันธ์แบบ ด.ด.ด.) เพราะ MP = NP (รศั มขี องวงกลมเดียวกัน) MX = NX (จากการสร้าง ใชร้ ัศมียาวเทา่ กนั ) M 1 2 N XP = XP (XP เป็นดา้ นรว่ ม) A P B (มมุ ค่ทู ีส่ มนัยกันของรูปสามเหลี่ยม จะได้ ˆ1 = ˆ2 ท่ีเท่ากนั ทกุ ประการ จะมขี นาดเท่ากนั ) (ขนาดของมมุ ตรง) เนอ่ื งจาก ˆ1 + ˆ2 = 180° (สมบัติของการเท่ากัน) ท�ำ ใหไ้ ด้ ˆ1 = ˆ2 = 90° (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) ดงั นน้ั AˆPX = BˆPX = 90° 3. ครนู �ำ เสนอและอภปิ รายการน�ำ ความรเู้ กยี่ วกบั การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ 6 ขอ้ ไปใชใ้ นการสรา้ งรปู เรขาคณติ ตา่ ง ๆ ดงั ตัวอยา่ งท่ี 1 ในหนังสือเรียน หน้า 204 การสรา้ งเส้นขนานทีใ่ ช้ความรู้เร่อื งมมุ แย้งหรือหลกั การสรา้ ง รปู สี่เหลีย่ มขนมเปยี กปูน และตวั อยา่ งที่ 2 ในหนังสือเรยี น หนา้ 206 การสรา้ งรปู สามเหลย่ี มจากเงอ่ื นไขของ โจทยท์ ี่ก�ำ หนดความยาวของฐาน ส่วนสงู และขนาดของมมุ 1 มุม ท่ใี ช้หลักการสรา้ งเสน้ ขนาน ทัง้ นใี้ นการสอน ครูควรใช้การถาม–ตอบทีละข้ันตอนของการสร้างเพอื่ ฝกึ การใหเ้ หตผุ ล 4. ครใู ห้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : ส�ำ รวจพืน้ ที่รูปสามเหล่ียม” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 211 เพื่อสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ เกย่ี วกบั พน้ื ทขี่ องรปู สามเหลย่ี มทม่ี ฐี านเดยี วกนั และจดุ ยอดอยบู่ นเสน้ ตรงทข่ี นานกบั ฐาน และอาจใชช้ วนคดิ 4.4 และชวนคดิ 4.5 ในหนังสอื เรยี น หน้า 211 เพ่อื ให้นกั เรียนฝกึ คิด ใหเ้ หตผุ ล และเชือ่ มโยงความสมั พนั ธเ์ ก่ียวกับ พ้ืนทข่ี องรูปสามเหลยี่ มและรูปสเ่ี หล่ยี ม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

288 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 กจิ กรรม : สำ�รวจพ้ืนท่รี ปู สามเหลย่ี ม กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่มุ่งเน้นให้นักเรียนฝึกการสร้างข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม โดยมีส่ือ/ อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรมดังนี้ สอ่ื /อปุ กรณ์ ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ข้นั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม 1. ครใู ห้นักเรยี นจบั คู่กันทำ� “กจิ กรรม : ส�ำ รวจพ้ืนท่ีรปู สามเหล่ียม” ในหนังสือเรียน หนา้ 211 2. ครูให้นักเรียนสร้างรูปตามเงื่อนไขท่ีกำ�หนดให้ โดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad และบันทึกส่ิงท่ี นกั เรยี นสำ�รวจและค้นพบ 3. ครอู ภปิ รายกบั นกั เรยี นถงึ แนวทางในการสรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กยี่ วกบั พนื้ ทขี่ องรปู สามเหลย่ี มตามเงอ่ื นไขทก่ี �ำ หนด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 289 เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจพ้ืนทร่ี ูปสามเหล่ยี ม ตวั อยา่ งแนวการสร้างและการสำ�รวจโดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad X D C E FY m ∠XCA = 75.60° m ∠CAB = 75.60° ระยะทางจากจดุ C ถึง AB = 4.84 ซม. ระยะทางจากจุด D ถงึ AB = 4.84 ซม. ระยะทางจากจดุ E ถงึ AB = 4.84 ซม. ระยะทางจากจดุ F ถึง AB = 4.84 ซม. AB AB = 6.39 ซม. AB พ้ืนท่ี ΔABC พื้นที่ ΔADB พื้นที่ ΔAEB พน้ื ที่ ΔAFB พื้นท่ี ΔABC = 15.47 ซม.2 พื้นที่ ΔADB = 15.47 ซม.2 7.87 ซม. 19.89 ซม.2 19.89 ซม.2 19.89 ซม.2 19.89 ซม.2 พน้ื ที่ ΔAEB = 15.47 ซม.2 8.74 ซม. 22.10 ซม.2 22.10 ซม.2 22.10 ซม.2 22.10 ซม.2 พ้นื ที ่ ΔAFB = 15.47 ซม.2 4.41 ซม. 11.13 ซม.2 11.13 ซม.2 11.13 ซม.2 11.13 ซม.2 5.81 ซม. 14.45 ซม.2 14.45 ซม.2 14.45 ซม.2 14.45 ซม.2 6.39 ซม. 15.47 ซม.2 15.47 ซม.2 15.47 ซม.2 15.47 ซม.2 ขอ้ ความคาดการณ์ รปู สามเหลย่ี มท่ีมฐี านเดียวกัน และมจี ดุ ยอดอยู่บนเสน้ ตรงทีข่ นานกับฐาน จะมพี ้ืนทเ่ี ท่ากนั พสิ จู น์ข้อความคาดการณ์ FY XD C E h2 h1 h4 h3 ก�ำ หนดให ้ AB ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ �XY // AB และ ΔABC, ΔADB, ΔAEB, ΔAFB อยู่บนฐาน AB โดยมจี ดุ ยอด C, D, E, F อย่บู น �XY พนื้ ทีข่ อง ΔABC = พื้นท่ขี อง ΔADB = พ้ืนทขี่ อง ΔAEB = พ้ืนทีข่ อง ΔAFB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

290 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 พิสูจน์ เมอ่ื h1 เปน็ ความสงู ของ ΔABC เมือ่ h2 เปน็ ความสงู ของ ΔADB เน่อื งจาก พืน้ ทีข่ อง ΔABC = –21 × AB × h1 เมือ่ h3 เปน็ ความสูงของ ΔAEB พื้นท่ขี อง ΔADB = –21 × AB × h2 เมอื่ h4 เป็นความสงู ของ ΔAFB พน้ื ท่ขี อง ΔAEB = –21 × AB × h3 พ้ืนทีข่ อง ΔAFB = –21 × AB × h4 เนือ่ งจาก �XY // AB (ก�ำ หนดให้) จะได ้ �XY // �AB (AB อยูบ่ น �AB) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่น้ัน และ h1 = h2 = h3 = h4 จะเทา่ กนั ) นัน่ คอื –21 × AB × h1 = –21 × AB × h2 = –21 × AB × h3 = –21 × AB × h4 (สมบัติของการเท่ากนั ) ดงั นั้น พื้นท่ขี อง ΔABC = พื้นท่ีของ ΔADB = พื้นทขี่ อง ΔAEB = พ้ืนทีข่ อง ΔAFB (สมบัตขิ องการเท่ากัน) เฉลยคำ�ถามในกจิ กรรม 1. รูปสามเหลี่ยมแต่ละรปู มีพ้นื ที่เทา่ กับพื้นที่ของ ∆ABC เพราะ รูปสามเหล่ียมแต่ละรูปมีฐาน AB ร่วมกัน และมีความสูงเท่ากัน (ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับฐาน AB ของ รูปสามเหล่ยี มแตล่ ะรปู เทา่ กัน) 2. มีหลายรูปนับไม่ถ้วน และรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นมีจุดยอดอยู่บน �XY ที่ผ่านจุด C และขนานกับฐาน AB หรือมี จุดยอดอยู่บนเส้นตรงอกี เสน้ หนงึ่ (�PQ) ทอี่ ยใู่ ตฐ้ าน AB ขนานกบั ฐาน AB และอย่หู า่ งจากฐาน AB เทา่ กับท ี่ �XY อยู่ ห่างจากฐาน AB ดงั รปู XC Y A B Q P สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 291 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 4.4 แนวคิด ค�ำ ตอบมไี ดห้ ลากหลาย ตวั อย่างค�ำ ตอบ เช่น ipst .me/ 100 85 วธิ ีที่ 1 แบ่งคร่งึ ฐาน แลว้ ลากสว่ นของเสน้ ตรงจากจุดยอดมายงั จุดแบ่งครึ่งฐาน P Q DE R ให้ QR เปน็ ฐานของ ∆PQR ให้ PE เปน็ ส่วนสงู ของ ∆PQR จากการสร้างเสน้ ตรงแบ่งครงึ่ QR ท่จี ดุ D จะได้ QD = DR = –21QR แลว้ ลาก PD จะได ้ ∆PQD และ ∆PRD มพี ื้นทเ่ี ป็นครึ่งหนงึ่ ของพืน้ ทข่ี อง ∆PQR แนวคิดในการให้เหตผุ ล พ้ืนทขี่ อง ∆PQR = –21 × QR × PE (PE เป็นส่วนสงู ของ ∆PQR) พื้นทขี่ อง ∆PQD = –21 × QD × PE (แทน QD ด้วย –21QR) = –21 × –21QR × PE = –21 × พนื้ ที่ของ ∆PQR ในท�ำ นองเดยี วกนั พืน้ ท่ีของ ∆PRD = –21 × พน้ื ทีข่ อง ∆PQR สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

292 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คูม่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 วิธีที่ 2 แบง่ คร่งึ สว่ นสงู แลว้ ลากสว่ นของเสน้ ตรงจากจดุ แบ่งครง่ึ ทไ่ี ด้น้ันไปยังจุดปลายทั้งสองขา้ งของฐาน P นอกจากจะใชจ้ ุด G เป็น ST จุดยอดของรูปสามเหลยี่ มที่สร้างแล้ว G �STจะกใช็จ้จะไุดดใ้ผดจลดุเชห่นนเง่ึดบยี นวกัน QF R ให้ PF เปน็ สว่ นสงู ของ ∆PQR จากการสรา้ ง �ST แบ่งครึ่ง PF ทีจ่ ุด G จะได ้ GF = PG = –21PF แล้วลาก GQ และ GR จะได ้ ∆GQR มีพ้ืนทเี่ ป็นครึง่ หนง่ึ ของพื้นที่ของ ∆PQR แนวคิดในการใหเ้ หตผุ ล พ้ืนทีข่ อง ∆PQR = –21 × QR × PF พื้นทข่ี อง ∆GQR = –21 × QR × GF = –21 × QR × –21 PF (แทน GF ด้วย –21 PF) = –21 × –21 × QR × PF = –21 × พนื้ ทีข่ อง ∆PQR วิธีที่ 3 สร้างฐานให้มคี วามยาวเป็นสองเท่าของความยาวของฐานเดมิ และสร้างสว่ นสูงใหม้ คี วามยาวเปน็ –41 ของความสงู เดมิ แล้วลากเสน้ จากจดุ ยอดใหม่ที่ไดน้ นั้ ไปยงั จุดปลายทัง้ สองข้างของฐานใหม ่ P M N QD R S ให้ QR เป็นฐานของ ∆PQR และให้ PD เปน็ สว่ นสงู ของ ∆PQR จากการต่อ QR ออกไปทางจุด R จนถงึ จดุ S โดยให ้ RS = QR จะได้ QS = 2QR สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 293 จากการแบ่งคร่งึ PD ทจี่ ุด M จะได ้ MD = PM = –21PD และจากการแบง่ ครึ่ง MD ที่จุด N จะได ้ ND = MN = –21MD = –21 (–21PD) = 4–1PD แลว้ ลาก NQ และ NS จะได ้ ∆NQS มพี ้ืนท่ีเป็นครง่ึ หนง่ึ ของพ้ืนทขี่ อง ∆PQR แนวคดิ ในการให้เหตผุ ล พืน้ ท่ีของ ∆PQR = –21 × QR × PD พ้นื ทขี่ อง ∆NQS = –21 × QS × ND = –21 × 2QR × 4–1PD (แทน QS ด้วย 2QR และแทน ND ด้วย 4–1PD) = –21 × –21 × QR × PD = –21 × พื้นทข่ี อง ∆PQR ชวนคดิ 4.5 แนวคิด คำ�ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น ipst .me/ 100 86 วิธที ี่ 1 สร้างรูปสามเหลี่ยมให้มีความยาวของฐานเป็นสองเท่าของความยาวของฐานของรูปสี่เหล่ียม ดา้ นขนาน แต่มคี วามสงู เท่ากบั ความสูงของรูปสีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน DE C A FB G ให้ AB เป็นฐาน และให้ EF เปน็ สว่ นสงู ของ ABCD จากการตอ่ AB ออกไปทางจุด B จนถงึ จุด G โดยให ้ BG = AB จะได ้ AG = 2AB แล้วลาก EA และ EG จะได้ ∆EAG มพี ้นื ทีเ่ ท่ากบั พ้ืนทขี่ องรูปสเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน ABCD แนวคิดในการใหเ้ หตุผล พน้ื ทขี่ องรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน ABCD = AB × EF พ้นื ทขี่ อง ∆EAG = –21 × AG × EF = –21 × 2AB × EF (แทน AG ด้วย 2AB) = AB × EF สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

294 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ดงั นน้ั ∆EAG มพี น้ื ท่เี ทา่ กบั พน้ื ที่ของรปู สีเ่ หลี่ยมด้านขนาน ABCD เน่ืองจาก จดุ E เป็นจดุ จุดหนึ่งบน CD และยงั มีจดุ อ่นื ๆ อกี มากมายบน �CD ท่อี ยหู่ า่ งจาก AB เทา่ กบั EF ดังนน้ั จึงสามารถสรา้ งรปู สามเหล่ียมที่มพี ้นื ท่เี ทา่ กบั พน้ื ที่ของรูปสเี่ หล่ยี มดา้ นขนาน ABCD เช่นเดียวกับ ∆EAG ได้อกี หลายรปู เช่น ∆MAG เปน็ รปู สามเหล่ียมอกี รูปหนึ่งทม่ี พี น้ื ทเ่ี ท่ากับพ้ืนท่ี ของรปู สเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD ดังรูป DE MC A FB G วิธีที่ 2 สรา้ งรปู สามเหลยี่ มใหม้ คี วามยาวของฐานเทา่ กบั ความยาวของฐานของรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน แตม่ ี ความสงู เปน็ สองเทา่ ของความสงู ของรูปสี่เหลย่ี มดา้ นขนาน M DE C A FB ให้ EF เป็นสว่ นสูงของ ABCD จากการต่อ FE ออกไปทางจดุ E จนถึงจดุ M โดยให้ ME = EF จะได้ MF = 2EF แล้วลาก MA และ MB จะได ้ ∆MAB มพี ืน้ ทเี่ ทา่ กับพ้นื ทีข่ องรูปสี่เหล่ียมดา้ นขนาน ABCD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 295 แนวคิดในการให้เหตุผล พื้นทข่ี องรูปส่เี หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD = AB × EF พ้ืนท่ีของ ∆MAB = –21 × AB × MF = –21 × AB × 2EF (แทน MF ด้วย 2EF) = AB × EF ดังน้นั ∆MAB มีพน้ื ทเี่ ท่ากบั พ้ืนทีข่ องรูปสีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD สร้าง �ST ผา่ นจุด M ใหข้ นานกบั AB เน่ืองจาก จดุ M เป็นจดุ จดุ หนง่ึ บน �ST ท่ีขนานกบั AB และยังมจี ดุ อนื่ ๆ อกี มากมายบน �ST ท่อี ยู่หา่ ง จาก AB เท่ากบั 2EF ดงั นน้ั จึงสามารถสร้างรปู สามเหล่ยี มทมี่ ีพน้ื ทเ่ี ทา่ กบั พื้นท่ขี องรูปส่เี หลยี่ มด้านขนาน ABCD เช่นเดียวกับ ∆MAB ได้อีกหลายรปู เชน่ ∆NAB เป็นรปู สามเหลีย่ มอีกรูปหนง่ึ ทีม่ ีพืน้ ท่เี ท่ากับพ้ืนท่ขี อง รปู สี่เหล่ียมด้านขนาน ABCD ดงั รูป S MN T DE C A FB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

296 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 แบบฝึกหัด 4.2 เฉลยแบบฝึกหัด 1. 1) แนวคิด 1 PR XC a b b YZ A aB Q 1. สร้าง �AQ และบน �AQ สรา้ ง AB ยาว a หน่วย U C 2. สรา้ ง PˆAQ ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ XˆYZ b 3. สรา้ ง �AR แบง่ ครง่ึ PˆAQ 4. บน �AR สรา้ ง AC ยาว b หน่วย 5. ลาก BC จะได้ ΔABC เปน็ รปู สามเหล่ียมตามต้องการ แนวคิด 2 XS a b YZ A aB T 1. สรา้ ง �YS แบ่งครง่ึ XˆYZ 2. สรา้ ง UˆAT ให้มขี นาดเท่ากบั ขนาดของ SˆYZ 3. บน �AT สรา้ ง AB ยาว a หน่วย 4. บน �AU สร้าง AC ยาว b หนว่ ย 5. ลาก BC จะได ้ ΔABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 297 Q 2) แนวคิด Z CD AF B X R YP E 1. สร้าง �DE แบ่งครึง่ AB ทีจ่ ุด F 2. สรา้ ง �XP บน �XP สรา้ ง XR ยาวเท่ากับ AF และสรา้ ง RY ยาวเท่ากับ XY = –21AB 3. AC จะได้ + AC 4. สรา้ ง XˆYQ ให้มีขนาดเท่ากบั สองเทา่ ของขนาดของ AˆBC 5. บน �YQ สรา้ ง YZ ยาวเทา่ กับ BC 6. ลาก XZ จะได้ ΔXYZ เป็นรูปสามเหลยี่ มตามตอ้ งการ 3) แนวคิด X a b Z QS PA C Y RE 1. สร้าง �BP และบน �BP สรา้ ง BA ยาว b หน่วย a 2. สรา้ ง AˆBQ ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ XˆYZ bB 3. สร้าง �BR แบง่ คร่ึง AˆBQ 4. บน �BR สร้าง BE ยาว a หนว่ ย 5. ลาก �AS ให้ผ่านจดุ E และตดั �BQ ทีจ่ ุด C จะได ้ ΔABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

298 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 4) แนวคิด C P Q RA BX 1. สรา้ ง �AX 2. บน �AX สรา้ ง AB ยาวเปน็ สองเทา่ ของ QR 3. ใช้จดุ A และจุด B เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมเี ทา่ กับ PR เขยี นสว่ นโค้งให้ตัดกนั ทจ่ี ุด C 4. ลาก AC และ BC จะได ้ ΔABC เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจั่วตามต้องการ 5) แนวคิด a b k° T R U SC ba k° PA VB Q 1. สร้าง �PQ และก�ำ หนดจุด A บน �PQ 2. สรา้ ง �AR ตง้ั ฉากกบั �PQ ท่จี ุด A 3. บน �AR สรา้ ง AS ยาว b หน่วย 4. สร้าง �ST ต้งั ฉากกบั �AR ทีจ่ ุด S ทางด้านเดยี วกับ �AQ 5. สรา้ ง UˆAQ ให้มขี นาดเท่ากับ k° และ �AU ตัด �ST ท่จี ุด C (จะได้จดุ C มรี ะยะห่างจาก �PQ เท่ากบั b หนว่ ย) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 299 6. ใช้จุด C เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมีเทา่ กับ a หนว่ ย เขียนส่วนโค้งตัด �AQ ท่ีจดุ V 7. ใช้จดุ V เป็นจุดศนู ย์กลาง รัศมเี ทา่ กับ VA เขยี นสว่ นโค้งตดั �VQ ท่จี ุด B 8. ลาก BC จะได ้ ΔABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมตามตอ้ งการ 2. แนวคดิ V D a b R U E S C a P Mb N Q T 1. สรา้ ง �PQ และก�ำ หนดจุด M บน �PQ แล้วสรา้ ง MN ยาว b หน่วย 2. สรา้ ง �MR ตั้งฉากกับ �PQ ท่จี ดุ M และบน �MR สร้าง MC ยาว a หน่วย 3. ลาก �ST ผ่านจดุ N และจดุ C 4. สรา้ ง �NU ตง้ั ฉากกบั �ST ทีจ่ ดุ N และสร้าง �CV ตง้ั ฉากกบั �ST ท่ีจุด C ทางด้านเดียวกนั ของ �ST 5. ใชจ้ ุด N และจดุ C เปน็ จุดศนู ยก์ ลางรัศมเี ทา่ กับ NC เขียนสว่ นโคง้ ตัด �NU ทจี่ ดุ E และตดั �CV ทจี่ ุด D ตามลำ�ดับ 6. ลาก DE จะได้ NCDE เปน็ รูปส่ีเหล่ียมจัตรุ ัสตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี