(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.2

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 141 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 • การหาคําตอบของแบบฝกหัด 3.2 ขอ 6. 4) น้ัน ครูอาจใหนักเรียนใชทฤษฎีบท 1 ในการ แกปญหาโดยใชค วามรูวา P( A′)= 1− P( A) เม่ือ S เปนปริภูมิตัวอยางซึ่งเปนเซตจํากัด และ A เปน เหตกุ ารณใด ๆ ซึ่งทําไดดังนี้ ให A แทนเหตุการณทีจ่ ะไดเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปนจํานวนทหี่ ารดว ย 5 ลงตวั จะได A′ แทนเหตุการณท่จี ะไดเ หรยี ญทม่ี ีหมายเลขเปนจํานวนทีห่ ารดวย 5 ไมลงตัว จาก P( A′) = 1− P( A) จะได P( A′) = 1− 1 = 4 55 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีจะไดเหรียญท่ีมีหมายเลขเปนจํานวนที่หารดวย 5 ไมลงตัว เทากับ 4 5 ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกบั แบบฝกหัด การหาคําตอบของแบบฝกหัดทายบทขอ 38 และ 39 ในที่น้ีใหพิจารณาวาหลอดไฟสีเดียวกัน ไมแ ตกตางกนั สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 142 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 3.3 แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรยี น กิจกรรม : Monty Hall Problem Monty Hall Problem เปนปญหาคณิตศาสตรซึ่งมีท่ีมาจากเกมโชวทางโทรทัศนชื่อ Let’s Make a Deal โดยออกอากาศในสหรัฐอเมริกาเม่ือ ค.ศ. 1984 – 1986 และ Monty Hall เปนพิธีกร ของรายการ กติกาของเกมโชวนี้มีอยูวา “มีประตูที่มีลักษณะเหมือนกันอยูสามบานคือประตู หมายเลข 1, 2 และ 3 โดยดานหลังประตูทั้งสามบานน้ีจะมีประตูเพียงบานเดียวที่มีรถยนตซ่ึง เปนของรางวัลใหญอยู และอีกสองบานท่ีเหลือจะมีแพะอยู ผูเขาแขงขันสามารถเลือกประตูบาน ใดกไ็ ด 1 บาน เมื่อผเู ขาแขง ขนั เลือกประตหู มายเลขใดหมายเลขหน่ึงแลวพิธีกรจะเลือกเปดประตู ที่มีแพะ 1 บาน จากประตูสองบานท่ีผูเขาแขงขันไมไดเลือก ดังนั้น ตอนนี้จะมีประตูท่ียังปดอยู สองบาน ประตบู านหนง่ึ คือประตทู ่ผี เู ขา แขงขันเลอื กและประตูอีกบานหนึ่งคือประตูท่ีผูเขาแขงขัน ไมไดเลอื ก จากนน้ั พธิ กี รบอกผูเ ขาแขงขันวา ใหโอกาสผูเขาแขงขันสามารถเปลี่ยนใจมาเลือก ประตอู ีกบานหนึง่ ได” ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. จากสถานการณท่ีกําหนดให ถานักเรียนเปนผูเขาแขงขัน ควรจะเลือกเปลี่ยนประตูหรือไม เพราะเหตุใด 2. เปดเว็บไซต ipst.me/7402 3. ทดลองเลนเกม โดยคลิกเลือกประตูหมายเลข 1, 2 หรือ 3 จากน้ันโปรแกรมจะเปดประตู บานที่เหลือท่ีมีแพะอยู 1 บาน คลิกเลือกวาจะเปลี่ยนหรือไมเปล่ียนประตูตามที่ตัดสินใจ ในขอ 1 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 143 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 4. ทดลองเลน เกมอยางนอย 30 คร้ัง โดยเลอื กไมเปลี่ยนประตู ใหน กั เรียนทําเครอ่ื งหมาย X ลงในตารางตามผลลพั ธท ไี่ ดจ ากการเปด ประตูท่นี กั เรยี นเลือก กรณไี มเ ปลยี่ นประตู ครงั้ ท่ี รถ แพะ คร้ังท่ี รถ แพะ ครัง้ ที่ รถ แพะ 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 7 17 27 8 18 28 9 19 29 10 20 30 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 144 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 5. จากการทดลองในขอ 4 จงหาวาอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปดประตู แลว มรี ถยนตกบั จาํ นวนการทดลองเลนเกม 30 ครัง้ คิดเปน เทาใด 6. ทดลองเลน เกมอยางนอ ย 30 ครง้ั โดยเลอื กเปลีย่ นประตู ใหนักเรียนทําเครื่องหมาย X ลงในตารางตามผลลัพธที่ไดจากการเปดประตูที่นักเรยี นเลือก กรณเี ปลีย่ นประตู ครั้งที่ รถ แพะ คร้ังท่ี รถ แพะ ครงั้ ที่ รถ แพะ 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 7 17 27 8 18 28 9 19 29 10 20 30 7. จากการทดลองในขอ 6 จงหาวาอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปดประตู แลวมรี ถยนตกบั จํานวนการทดลองเลน เกม 30 คร้ัง คดิ เปนเทาใด 8. จากผลการทดลองขางตน นักเรียนคิดวาการเลือกเปล่ียนหรือไมเปลี่ยนประตู มีผลตอการ ไดรางวัลหรือไม เพราะเหตใุ ด 9. จากสถานการณเ กมโชว Let’s Make a Deal 9.1 การเลอื กประตูในครงั้ แรกจากประตทู ัง้ สามบาน 9.1.1 จงหาความนาจะเปน ของเหตุการณท ดี่ านหลังประตูท่ีผูเ ขาแขงขนั เลือกมีรถยนต 9.1.2 จงหาความนาจะเปนของเหตกุ ารณทด่ี า นหลังประตูท่ผี เู ขาแขงขนั เลือกมีแพะ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 145 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 9.2 กรณีไมเปล่ียนประตู หลังจากพิธีกรเลือกเปดประตูท่ีมีแพะ 1 บาน ถาผูเขาแขงขัน ไมเปล่ียนใจในการเลอื กประตู จงหาความนาจะเปนของเหตุการณท่ีผูเขาแขงขันไดรางวัล เปน รถยนต 9.3 กรณีเปลี่ยนประตู หลังจากพธิ ีกรเลือกเปด ประตูทีม่ แี พะ 1 บาน ถา ผูเ ขาแขงขันเลือก เปลย่ี นประตู 9.3.1 กรณที ่ี 1 ดา นหลังประตูท่ผี เู ขา แขงขนั เลือกในคร้ังแรกมีรถยนต จงหาความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณในกรณีนี้ และเม่ือผูเขาแขงขันเลือก เปลย่ี นประตู แสดงวาเขาจะไดรางวัลเปนอะไร 9.3.2 กรณที ี่ 2 ดา นหลังประตูทผ่ี เู ขา แขงขันเลอื กในครัง้ แรกมีแพะ จงหาความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณในกรณีนี้ และเมื่อผูเขาแขงขันเลือก เปล่ยี นประตู แสดงวา เขาจะไดรางวลั เปน อะไร 9.3.3 จงหาความนาจะเปนของเหตุการณท ่ผี ูเขา แขง ขันไดร างวลั เปน รถยนต 10.จากความนาจะเปนที่ไดในขอ 9.2 และ 9.3 นักเรียนคิดวาการเลือกเปลี่ยนหรือไมเปลี่ยน ประตู มีผลตอการไดร างวลั หรือไม เพราะเหตุใด 11.คาํ ตอบทไ่ี ดในขอ 8 และ 10 สอดคลองกนั หรือไม นักเรยี นคดิ วา คําตอบในขอใดนาเชื่อถือกวา สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนาจะเปน 146 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 เฉลยกจิ กรรม : Monty Hall Problem 1. คําตอบของนักเรียนในขอนี้อาจเปนเพียงการคาดเดาก็ได ขึ้นกับเหตุผลประกอบคําตอบ ของนักเรียน 2. – 3. – 4. กรณีไมเ ปลยี่ นประตู ครั้งท่ี รถ แพะ ครัง้ ท่ี รถ แพะ ครัง้ ท่ี รถ แพะ 1X 11 X 21 X 2X 12 X 22 X 3X 13 X 23 X 4X 14 X 24 X 5X 15 X 25 X 6X 16 X 26 X 7X 17 X 27 X 8X 18 X 28 X 9X 19 X 29 X 10 X 20 X 30 X หมายเหตุ คําตอบข้นึ อยูกับการทดลองของนักเรียน 5. จากการทดลองในขอ 4 จะไดวา อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณท่ีเปดประตู แลว มีรถยนตก ับจํานวนการทดลองเลนเกม 30 ครงั้ คิดเปน 7 ≈ 0.23 30 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 147 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 6. กรณเี ปลย่ี นประตู ครง้ั ที่ รถ แพะ ครงั้ ท่ี รถ แพะ ครั้งที่ รถ แพะ 1X 11 X 21 X 2X 12 X 22 X 3X 13 X 23 X 4X 14 X 24 X 5X 15 X 25 X 6X 16 X 26 X 7X 17 X 27 X 8X 18 X 28 X 9X 19 X 29 X 10 X 20 X 30 X หมายเหตุ คําตอบขึน้ อยกู บั การทดลองของผูเ รยี น 7. จากการทดลองในขอ 6 จะไดวา อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปดประตู แลว มีรถยนตกบั จํานวนการทดลองเลน เกม 30 ครง้ั คดิ เปน 20 ≈ 0.67 30 8. การเลือกเปลย่ี นหรือไมเปลี่ยนประตูมีผลตอ การไดร างวัล โดยจะมีโอกาสไดรางวัลมากกวา ถา เลอื กเปลี่ยนประตู ซ่ึงอาจพิจารณาจากอตั ราสวนในขอ 5 และ 7 หมายเหตุ 1) คาํ ตอบขนึ้ อยกู บั ผลลพั ธท ไี่ ดจากการทดลองของนักเรียนในขอ 5 และ 7 โดยครูควรให นักเรียนเปรียบเทียบคําตอบกับเพ่ือน และควรสงเสริมใหนักเรียนอภิปรายรวมกัน เพื่อใหไดขอสรุปวา จากผลลัพธที่ไดจากการทดลองของนักเรียนสวนใหญ จะเห็นวา การเลอื กเปล่ียนประตูทาํ ใหม ีโอกาสไดรางวัลมากกวาการไมเ ปลีย่ นประตู 2) การทดลองขางตนเปนตัวอยางหน่ึงในการหาความนาจะเปนเชิงการทดลอง (experimental probability) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนาจะเปน 148 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 9. 9.1 9.1.1 เนื่องจากผลลพั ธของการเปด ประตูจากการเลือกประตูในคร้ังแรกอาจเปนแพะ ตัวที่หนึ่ง แพะตัวที่สอง หรือรถยนต ดวยโอกาสที่เทา ๆ กัน ดังน้ัน ความ นาจะเปนของเหตุการณท่ีดานหลังประตูท่ีผูเขาแขงขันเลือกในคร้ังแรกมี รถยนตจึงเปน 1 3 9.1.2 ความนา จะเปนของเหตุการณท่ีดานหลังประตูท่ีผูเขาแขงขันเลือกในคร้ังแรกมี แพะเปน 2 3 9.2 สําหรับกรณีท่ีผูเขาแขงขันไมเปลี่ยนใจในการเลือกประตู โอกาสท่ีจะไดรางวัลขึ้นอยู กบั การเลือกประตูในคร้งั แรกเทา นัน้ ดงั นั้น ความนาจะเปนของเหตุการณที่ผูเขาแขงขัน ไดร างวลั เปน รถยนตจึงเปน 1 3 9.3 9.3.1 ความนาจะเปนท่ีจะเกิดเหตุการณในกรณีน้ี คือความนาจะเปนของเหตุการณ ท่ีดานหลังประตูที่ผูเขาแขงขันเลือกในครั้งแรกมีรถยนต ซึ่งเปน 1 (จากคําตอบ 3 ขอ 9.1.1) ในกรณีนี้ เนื่องจากดานหลังประตูท่ีผูเขาแขงขันเลือกในคร้ังแรกมี รถยนต และเม่ือผูเขาแขงขันเลือกเปล่ียนประตู แสดงวาประตูที่เหลือหลังจากที่ พิธีกรเลือกเปดประตูที่มีแพะ 1 บาน จะมีแพะ ดังน้ัน ผูเขาแขงขันจะไดรางวัล เปน แพะ 9.3.2 ความนาจะเปนท่ีจะเกิดเหตุการณในกรณีนี้ คือ ความนาจะเปนของเหตุการณที่ ดานหลังประตูท่ีผูเขาแขงขันเลือกในคร้ังแรกมีแพะ ซ่ึงเปน 2 (จากคําตอบขอ 3 9.1.2) ในกรณีนี้ เน่ืองจากดานหลังประตูท่ีผูเขาแขงขันเลือกในคร้ังแรกมีแพะ และเมื่อผูเขาแขงขันเลือกเปลี่ยนประตู แสดงวาประตูท่ีเหลือหลังจากที่พิธีกร เลือกเปดประตูท่ีมีแพะ 1 บาน จะมีรถยนต ดังน้ัน ผูเขาแขงขันจะไดรางวัลเปน รถยนต 9.3.3 เน่ืองจากผูเขาแขงขันเลือกเปล่ียนประตู แสดงวาผูเขาแขงขันจะไดรางวัลเปน รถยนต ถา ประตูทเี่ ลอื กในคร้งั แรกมีแพะ ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีผูเขาแขงขัน จะไดรางวลั เปนรถยนตจะเทากับความนาจะเปนท่ีหาไดในขอ 9.3.2 ซ่งึ เทากบั 2 3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 149 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 10.จากขอ 9.2 และ 9.3 จะไดวา ความนาจะเปนที่ผูเขาแขงขันจะไดรางวัลเปนรถยนตมี คาประมาณ 0.33 และ 0.67 ตามลําดับ นั่นคือ ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีผูเขา แขงขันจะไดรางวัลเปนรถยนตในกรณีที่เลือกเปลี่ยนประตูมากกวาความนาจะเปนของ เหตุการณที่ผูเขาแขงขันจะไดรางวัลเปนรถยนตกรณีที่เลือกไมเปล่ียนประตู ดังนั้น นักเรยี นจงึ ควรเลอื กเปลีย่ นประตู เพื่อเพิ่มโอกาสทจ่ี ะไดร างวัลเปนรถยนต 11.คําตอบในขอ 8 และ 10 สอดคลองกัน โดยคําตอบในขอ 10 นาเช่ือถือกวา เพราะพิจารณา จากความนา จะเปนเชงิ ทฤษฎี หมายเหตุ ในกรณีท่ีมีนักเรียนไดคําตอบในขอ 8 ไมสอดคลองกับคําตอบในขอ 10 ครูควรสงเสริม ใหนักเรียนอภิปรายรวมกันเพ่ือใหไดขอสรุปวา ผลลัพธที่ไดจากการทดลองอาจชวยในการ ตัดสินใจวาจะเลือกเปลี่ยนหรือไมเปล่ียนประตูได แตถาจํานวนครั้งของการทดลองนอย อาจ ใหผลลัพธทีไ่ มน าเชอ่ื ถือ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 150 คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 แนวทางการจดั กจิ กรรม : Monty Hall Problem เวลาในการจัดกจิ กรรม 50 นาที กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนใชความรู เรื่อง ความนาจะเปน เพื่อแกปญหาในสถานการณท่ี กาํ หนด ในการทํากจิ กรรมนน้ี ักเรยี นแตล ะคูควรมีเครื่องคอมพิวเตอรอยางนอย 1 เคร่ือง โดย ครูอาจเลือกจัดกิจกรรมน้ีในหองคอมพิวเตอรก็ได กิจกรรมน้ีมีสื่อ/แหลงการเรียนรู และ ขนั้ ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม ดังน้ี ส่ือ/แหลงการเรียนรู 1. ใบกิจกรรม “Monty Hall Problem” 2. ไฟลก จิ กรรม “Monty Hall Problem” จากเว็บไซต ipst.me/7402 ขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม 1. ครนู ําเขา สูกิจกรรมโดยเปด สอื่ วีดิทศั นหรอื เลาเร่ืองราวสนั้ ๆ เกี่ยวกับ Monty Hall Problem 2. ครูแจกใบกิจกรรม “Monty Hall Problem” ใหกับนักเรียนทุกคนและใหนักเรียนทํากิจกรรมนี้ เปนคู โดยครูจบั คูนักเรยี นแบบคละความสามารถ 3. ครแู ละนักเรียนรวมกันอภิปรายปญหาจากสถานการณท่ีกําหนดให 4. ครูใหน กั เรยี นตอบคําถามทป่ี รากฏในขั้นตอนการปฏบิ ัตขิ อ 1 ในใบกิจกรรม พรอมใหเหตผุ ลประกอบ โดยไมตอ งคาํ นึงถึงความถูกตองของคําตอบ 5. ครูใหนักเรียนแตละคูเปดไฟลกิจกรรม “Monty Hall Problem” จากเว็บไซต ipst.me/7402 จากน้ันครชู แ้ี จงวธิ ีใชไ ฟลกิจกรรมใหนักเรียนเขาใจกอนเริ่มทํากจิ กรรมในไฟลกจิ กรรม 6. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามท่ีปรากฏในขั้นตอนการปฏิบัติขอ 3 – 7 ในใบ กิจกรรม ซ่ึงในระหวางท่ีนักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหทั่วถึงทุกกลุม และคอย ชแ้ี นะเมือ่ นักเรยี นพบปญหา 7. ครแู ละนักเรียนรว มกันอภปิ รายเกย่ี วกับคาํ ตอบทีไ่ ดของคําถามในข้ันตอนการปฏิบัติขอ 4 – 7 ในใบกิจกรรม จากนั้น ครูหาคาเฉลี่ยของคําตอบในขอ 5 และ 7 โดยใชขอมูลจากนักเรียนทุก คนในชัน้ เรยี น แลว ใหน ักเรยี นแตล ะคนเปรยี บเทยี บผลการทดลองของตนเองกบั คาเฉลี่ยที่ได 8. ครูใหนักเรียนตอบคําถามท่ีปรากฏในขั้นตอนการปฏิบัติขอ 8 – 11 ในใบกิจกรรม โดยให นักเรียนพิจารณาจากผลการทดลองท่ีได โดยใหนักเรียนเปรียบเทียบผลการทดลองกับ นักเรยี นคอู น่ื ๆ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 151 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 9. ครูและนักเรยี นรว มกันอภิปรายและสรุปคําตอบของคําถามท่ีปรากฏในขั้นตอนการปฏิบัติ ขอ 8 – 11 ในใบกิจกรรม ครูอาจเพิ่มเติมวาการทดลองดังกลาว เปนตัวอยางหน่ึงในการ หาความนา จะเปน ทีเ่ รียกวา ความนา จะเปนเชิงการทดลอง (experimental probability) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนาจะเปน 152 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 กิจกรรม : เพอื่ นรวมชะตา ในท่ีน้ี เพ่ือนรวมชะตา หมายถึง ผูท่ีเกิดวันท่ีและเดือนเดียวกัน แตไมจําเปนตองเปนปเดียวกัน โดยจะกําหนดให 1 ป มี 365 วนั นน่ั คือ ไมพ จิ ารณาผูทเี่ กดิ วนั ที่ 29 กุมภาพนั ธ ใหนกั เรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1. ถาตองการใหมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน นักเรียนคิดวาจะตอง มีคนอยางนอ ยกค่ี น 2. ถาสุมคนมา 2 คน ความนาจะเปนท่ี 2 คนนี้ เปน เพอ่ื นรว มชะตากันเปน เทาใด 3. ถาสมุ คนมา 3 คน ความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน จาก 3 คนน้ี เปนเพ่ือนรวมชะตา กัน เปน เทาใด 4. นักเรียนคิดวาความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน จาก 23 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน จะมากกวา 0.5 หรือไม (โดยยงั ไมต อ งคาํ นวณ) 5. ใหนักเรียนเขียนสูตรการหาความนาจะเปนท่ีจะมีคนอยางนอย 2 คน จาก n คน เปนเพ่ือน รวมชะตากนั เมอื่ n∈{ 2, 3, 4,  } 6. เปดเวบ็ ไซต ipst.me/8465 6.1 เล่ือนสไลเดอรเพ่ือปรับคา n สังเกตวาหนาจอจะปรากฏความนาจะเปนท่ีจะมีคน อยางนอ ย 2 คน จาก n คน เปนเพื่อนรวมชะตากัน 6.2 ตรวจสอบคําตอบในขอ 4 โดยเลื่อนสไลเดอรเพ่ือหาวา เมื่อ n มีคาตั้งแตเทาใดข้ึนไป จึง จะไดค วามนาจะเปนท่จี ะมีคนอยา งนอ ย 2 คน จาก n คน เปนเพื่อนรวมชะตากัน มากกวา 0.5 คาํ ตอบทไ่ี ดตรงกบั ท่ีนกั เรยี นตอบในขอ 4 หรอื ไม 6.3 อธิบายกราฟแสดงความสัมพันธระหวาง n และความนาจะเปนท่ีจะมีคนอยางนอย 2 คน จาก n คน เปนเพื่อนรว มชะตากนั 6.4 จะตองสุมคนอยางนอยกี่คน ถาตองการใหไดความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพอ่ื นรวมชะตากนั มากกวา 0.99 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 153 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 เฉลยกิจกรรม : เพ่อื นรว มชะตา 1. เนื่องจาก ในกิจกรรมน้ีกําหนดให 1 ป มี 365 วัน ดงั นั้น ถา ตอ งการมนั่ ใจวา มคี นอยางนอย 2 คน เปน เพ่ือนรวมชะตากัน จะตองมีคนอยางนอย 366 คน 2. เมือ่ กลา วถึง “วันเกดิ ” ในกิจกรรมนี้ จะหมายถึง วันและเดอื นเกิดเทา นนั้ จากโจทย ปริภูมิตัวอยาง (S ) คือ เซตที่มีสมาชิกเปนคูอันดับของวันเกิดที่เปนไปไดท้ังหมด ของคน 2 คน จะได n(S ) = 3652 ให E แทนเหตุการณท่คี น 2 คน มีวันเกิดตรงกัน จะได n(E) = 365 ดังน้นั ความนาจะเปน ที่คน 2 คน ท่สี มุ มาจะเปน เพื่อนรว มชะตากัน คือ P=( E) 3=65 1 ซ่ึงมคี าประมาณ 0.0027 3652 365 3. จากโจทย ปริภูมิตัวอยาง (S ) คือ เซตท่ีมีสมาชิกเปนสามสิ่งอันดับของวันเกิดที่เปนไปได ท้งั หมดของคน 3 คน จะได n(S ) = 3653 วธิ ที ี่ 1 ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ีท้งั สามคนมีวันเกิดตรงกัน จะได n( E1 ) = 365 และ P ( E1 ) = 365 3653 ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่มี คี น 2 คน มีวนั เกิดตรงกนั สวนอกี คนมวี นั เกิดทตี่ างออกไป จะได n( E2 ) =C3, 2 × 365×1× 364 =3× 365× 364 และ P ( E2 ) = 3× 365 × 364 3653 เน่ืองจาก E1 ∩ E2 =∅ ดังนนั้ ความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน จาก 3 คน เปน เพอื่ นรวมชะตากัน คือ P( E1 ∪ E2 ) = P ( E1 ) + P ( E2 ) = 365 + 3× 365× 364 3653 3653 ซ่ึงมคี าประมาณ 0.0082 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนาจะเปน 154 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 วธิ ีท่ี 2 ให E แทนเหตุการณท ่ีคน 3 คน ไมม ีวนั เกดิ ซ้ํากนั เลย นั่นคือ เหตุการณท่ีจะมีคนอยางนอย 2 คน จาก 3 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน คอื E′ เนอื่ งจาก n(E) = 365× 364× 363 =จะได P(E) 365 × 364 × 363 ≈ 0.9918 3653 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีจะมีคนอยางนอย 2 คน จาก 3 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน คือ P(E′) =1− P(E) ≈ 0.0082 หมายเหตุ สามสิง่ อันดบั เขยี นไดในรูป ( x1, x2, x3 ) 4. จากขอ 1 ความนาจะเปนท่ีจะมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน จะเปน 1 เม่ือ มีคนต้ังแต 366 คน ขึ้นไป ดังน้ัน อาจทําใหนักเรียนหลายคนคิดวาความนาจะเปนที่จะมี คนอยา งนอ ย 2 คน จาก 23 คน (ซงึ่ นอยกวา 366 มาก) เปนเพื่อนรวมชะตากันจึงไมนาจะ มากกวา 0.5 5. ให n ∈{2, 3, 4, } จากโจทย ปริภูมิตัวอยาง (S ) คือ เซตที่มีสมาชิกเปน n สิ่งอันดับของวันเกิดที่เปนไปได ทั้งหมดของคน n คน จะได n(S ) = 365n ให E แทนเหตกุ ารณท ค่ี น n คน ไมมวี ันเกิดซาํ้ กนั เลย น่ันคือ เหตกุ ารณท จี่ ะมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพอ่ื นรว มชะตากัน คอื E′ 365× 364 × 363×× (365 − n +1) เนือ่ งจาก ( )n E = P365,n จะได E( )P = P365,n หรอื 365n 365n ดงั นนั้ ความนาจะเปนท่จี ะมีคนอยา งนอย 2 คน เปนเพือ่ นรวมชะตากนั คอื 363 ×  × (365 + 1) P ( E ′) =1 − P ( E ) =1 − P365,n หรือ 1− 365 × 364 × 365n − n 365n หมายเหตุ n ส่ิงอันดบั เขียนไดในรปู ( x1, x2, , xn ) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 155 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 6. 6.1 – 6.2 เม่ือ n ≥ 23 จะไดความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน จาก n คน เปนเพื่อนรวม ชะตากัน มากกวา 0.5 6.3 กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง n และความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน เปนดงั น้ี จากกราฟ สังเกตไดวา ในชวงแรก เมื่อ n เพิ่มขึ้น จะทําใหความนาจะเปนท่ีจะมีคน อยา งนอ ย 2 คน เปน เพ่อื นรวมชะตากัน เพิ่มข้ึนอยางรวดเร็ว โดยจะเห็นวาเม่ือ n = 41 จะไดความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน มากกวา 0.9 จากน้นั เม่อื n เพิ่มขน้ึ ความนา จะเปนจะคอย ๆ เพิ่มขึ้นทลี ะนอ ยจนเขาใกล 1 6.4 เมื่อ n ≥ 57 จะไดความนาจะเปนที่จะมีคนอยางนอย 2 คน เปนเพ่ือนรวมชะตากัน มากกวา หรือเทากับ 0.99 ดังนั้น จะตองสุมคนจํานวนอยางนอย 57 คน ถาตองการใหความนาจะเปนที่จะมีคน อยางนอ ย 2 คน เปนเพอื่ นรว มชะตากนั มากกวา 0.99 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนาจะเปน 156 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 แนวทางการจดั กิจกรรม : เพอ่ื นรวมชะตา เวลาในการจดั กจิ กรรม 30 นาที กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนเช่ือมโยงและใชความรู เร่ือง ความนาจะเปน เพ่ือแกปญหาใน สถานการณท่ีกําหนด โดยกิจกรรมนี้มีส่ือ/แหลงการเรียนรู และข้ันตอนการดําเนินกิจกรรม ดังน้ี สอื่ /แหลง การเรียนรู 1. ใบกิจกรรม “เพือ่ นรว มชะตา” 2. ไฟลก จิ กรรม “เพอ่ื นรวมชะตา” จากเวบ็ ไซต ipst.me/8465 3. เครื่องคาํ นวณ ข้นั ตอนการดาํ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูนําเขาสูกิจกรรมโดยสุมเลือกนักเรียนประมาณ 10 คน พรอมท้ังถามวันเดือนปเกิดของ แตละคน แลวใหน กั เรียนท้ังชั้นเรียนสังเกตวามีนักเรียนคนใดท่ีเกิดวันท่ีและเดือนเดียวกัน หรอื ไม 2. ครูจับคูนักเรียนแบบคละความสามารถ จากน้ันแจกใบกิจกรรม “เพ่ือนรวมชะตา” ใหกับ นักเรยี นทกุ คนแลวใหนกั เรียนศกึ ษาเก่ียวกับเพ่ือนรวมชะตาตามที่กําหนดในใบกิจกรรม จากนั้น ครูนําอภิปรายเกี่ยวกับเพ่ือนรวมชะตาตามที่กําหนดในใบกิจกรรมเพื่อใหนักเรียนทุกคนเขาใจ ตรงกัน โดยเนน ยาํ้ วากิจกรรมน้ี • กาํ หนดให 1 ป มี 365 วัน • เม่อื กลาวถึง “วนั เกิด” จะหมายถึงวนั ท่ีและเดือนเกดิ เทานั้น • ไมพิจารณาคนทีเ่ กิดวันที่ 29 กุมภาพันธ • ไมพจิ ารณากรณีที่มีฝาแฝด 3. ครูใหนักเรยี นแตละกลมุ ชว ยกนั ตอบคําถามขอ 1 – 5 ในใบกจิ กรรม โดยใหนักเรียนใชเครื่อง คํานวณตามความเหมาะสม ในระหวางท่ีนักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหท่ัวถึงทุก กลมุ และคอยชี้แนะ 4. ครูสุมเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือตอบคําถาม และใหนักเรียนกลุมอื่น ๆ รวมกันอภิปรายเก่ียวกับ คําตอบ รวมทั้งกระตนุ ใหนักเรยี นใหเหตผุ ลประกอบคําตอบ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 157 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 5. ครูใหนักเรียนแตละคูเปดไฟลกิจกรรม “เพื่อนรวมชะตา” จากเว็บไซต ipst.me/8465 จากนั้น ครูช้ีแจงวิธีใชไฟลกิจกรรมใหนักเรียนเขาใจกอนเร่ิมทํากิจกรรมในไฟลกิจกรรมและตอบ คําถามขอ 6.2 – 6.4 6. ครูสุมเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือตอบคําถาม และใหนักเรียนกลุมอ่ืน ๆ รวมกันอภิปรายเก่ียวกับ คําตอบ จากน้ันครูนํานักเรียนอภิปรายเพ่ือนําไปสูขอสรุปของกิจกรรม ซ่ึงนักเรียนจะเห็น วา การคํานวณทางคณติ ศาสตรจ ะชว ยในการคาดการณไดด ีกวา การใชความรสู กึ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 158 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 3.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน การวัดผลระหวางเรียนมีเปาหมายเพื่อปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียน ทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงที่ครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของนักเรียน ซึ่งหนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 ไดนําเสนอแบบฝกหัดท่ี ครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 3 ความนาจะเปน ครูอาจใชแบบฝกหัด เพ่ือวดั ผลประเมนิ ผลความรใู นแตล ะเน้อื หาไดดังนี้ เนื้อหา แบบฝกหดั การทดลองสุม ปริภมู ติ ัวอยาง และเหตุการณ 3.1 ขอ 1 – 4 3.3 ขอ 1 ความนา จะเปน 3.2 ขอ 1 – 25 กฎท่ีสาํ คญั บางประการของความนาจะเปน 3.3 ขอ 2 – 10 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 159 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 3.5 การวเิ คราะหแบบฝกหดั ทา ยบท หนังสอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 มีจุดมุงหมายวา เม่ือนักเรียน ไดเรียนจบบทท่ี 3 ความนา จะเปน แลวนกั เรยี นสามารถ 1. หาปรภิ ูมิตวั อยางและเหตุการณ 2. ใชค วามรูเ กยี่ วกบั ความนาจะเปนในการแกป ญ หา ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ทา ยบททปี่ ระกอบดว ยโจทยเ พอื่ ตรวจสอบความรหู ลังเรยี น ซ่งึ มีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความ เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย นอกจากน้ีมีโจทยฝกทักษะท่ีนาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจ เลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบทเพื่อ ตรวจสอบวา นกั เรยี นมคี วามสามารถตามจดุ มุงหมายเม่ือเรียนจบบทเรียนหรือไม ทั้งน้ีแบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 บทท่ี 3 ความนาจะเปน สอดคลอ งกบั จดุ มุง หมายของบทเรยี น ดงั นี้ จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอที่ 1. หาปริภมู ิตัวอยางและเหตุการณ 1 2) 2 1) – 5) 2. ใชความรูเ กยี่ วกบั ความนาจะเปนในการแกป ญหา 3 1) – 2) 4 1) – 5) 5 1) – 5) 6 1) – 3) 7 1) – 6) 8 9 1) – 3) 10 1) – 2) 11 12 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนาจะเปน แบบฝกหดั ทา ยบทขอ ท่ี 160 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 13 จุดมุงหมาย 14 2. ใชค วามรูเกีย่ วกับความนาจะเปนในการแกป ญหา (ตอ ) 15 1) – 2) 16 17 18 19 1) – 3) 20 21 1) – 3) 22 23 24 25 26 1) – 4) 27 28 1) – 3) 29 30 31 1) – 5) 32 33 34 35 1) – 4) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 161 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 จดุ มุงหมาย แบบฝก หดั ทายบทขอท่ี 2. ใชความรูเ กี่ยวกบั ความนาจะเปน ในการแกปญ หา (ตอ ) 36 โจทยฝ กทักษะ 37 1) – 2) โจทยทาทาย 38 39 1) – 2) 40 1) – 2) 41 42 1) – 4) 43 44 1 1) 45 46 47 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 162 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 3.6 ตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 3 ความนาจะเปน สําหรับรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ท่ตี อ งการวดั ผลประเมินผล ตวั อยางแบบทดสอบประจําบท 1. ตองการจัดชาย 3 คน และหญิง 4 คน ยืนเรียงแถวหนากระดานเพื่อถายรูป ถานายภาคิน อยูในกลุมนี้ดวย จงหาความนาจะเปนที่ทุกคนยืนเรียงแถวสลับชายหญิงและนายภาคินยืน ตรงกลาง 2. รานคา แหง หนึ่งมเี คร่ืองดืม่ 4 ชนิด ไดแ ก น้ําอัดลม นาํ้ ผลไม น้ําสมุนไพร และน้ําเปลา จงหา ความนา จะเปนที่นักเรยี นสองคนเลือกเคร่ืองด่ืมคนละ 1 ชนิด แลวไดเปนเครื่องดื่มชนิดเดยี วกนั 3. มบี ัตร 4 ใบ แตล ะใบมีตัวอักษร R, O, C และ K เขยี นกาํ กบั ไวบ ัตรละ 1 ตวั อักษร สุมหยบิ บตั ร 4 ใบ โดยหยิบทลี ะใบแลวใสค นื กอนหยบิ บัตรใบถดั ไป จงหาความนาจะเปนท่บี ัตรที่ได เรยี งตามลาํ ดบั เปนคาํ วา COOK 4. ตูข องเลนหยอดเหรยี ญตูหนง่ึ บรรจรุ ถของเลน ไว 50 คัน ที่แตกตางกนั ท้ังหมด แบงเปนสีสม แดง เขียว นํ้าเงิน และเหลือง จํานวนสีละเทา ๆ กัน ในการเลนแตละครั้งผูเลนจะหยอด เหรียญสิบบาท 1 เหรียญ และจะไดรางวัลเปนรถของเลน 1 คันเสมอ ถารวีเปนผูเลนคนแรก ของตูของเลนหยอดเหรียญตูน้ี จงหาความนาจะเปนที่รวีหยอดเหรียญสิบบาท จํานวน 5 เหรียญ เพือ่ เลน ตูข องเลน ตนู ้ี 5 คร้ัง แลวไดรถสีแดง 2 คัน รถสีเหลือง 2 คัน และรถสีนํ้าเงิน 1 คัน ตามลาํ ดับ 5. ในทางคณิตศาสตร พาลินโดรมเปนจํานวนนับที่เม่ือเขียนเลขโดดเรียงยอนกลับจากหลังไป หนาหรือจากขวาไปซาย แลวไดจํานวนเดิม เชน 8, 22, 101 จงหาความนาจะเปนที่สราง จาํ นวนนับที่มสี ามหลักจากเลขโดด 7 ตัว คอื 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 แลว จํานวนที่ไดเปน พาลินโดรม 6. เกมโยนลูกบอลลงกลองมกี ลองซ่ึงแบงเปนชอง 16 ชองท่ีมีขนาดเทากัน แตละชองบรรจุลูกบอล ได 1 ลกู ผูเลนจะไดโยนลูกบอล 4 ครง้ั ครงั้ ละ 1 ลูก และจะไดรางวัลเมือ่ ลูกบอลทั้งสี่ลูกอยู ในกลองตามชองในแนวเสนทแยงมุมชองละ 1 ลูก ดังรูป จงหาความนาจะเปนท่ีรติเลนเกม น้แี ลว จะไดรบั รางวัล สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 163 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 รปู ที่ 1 กลอง รปู ที่ 2 ตําแหนงของลกู บอลในกลองตามชองท่จี ะไดรางวัล 7. มีสลาก 6 ใบ ซ่ึงมีหมายเลข −2, −1, 0, 2, 3 และ 5 หมายเลขละ 1 ใบ จงหาความนาจะเปน ทเี่ ม่ือสุมหยิบสลากขน้ึ มาพรอมกัน 2 ใบ ไดเปนสลากที่มีผลรวมของจํานวนที่เปนหมายเลข ของสลากมากกวา 2 8. มเี สอ้ื 10 สี สลี ะ 5 ตวั โดยแตละสมี ขี นาด XS, S, M, L และ XL สุมหยิบเส้อื 2 ตวั พรอ มกนั จงหาความนาจะเปนทไี่ ดเสื้อขนาดเดยี วกนั แตส ีตางกัน 9. ในการคัดเลือกนักกีฬาวายน้ําของโรงเรียนแหงหนึ่ง จํานวน 4 คน มีผูสมัคร 10 คน จงหา ความนาจะเปน ทกี่ วนิ ซ่งึ เปน หน่ึงในผูส มคั รจะไดรับคัดเลอื ก 10. แทนแกรมประกอบดวยรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส 1 รูป รูปสี่เหล่ียมดานขนาน 1 รูป และรูป สามเหล่ยี มมุมฉาก 5 รูป โดยกําหนดหมายเลขใหแ ตล ะรูปเหลา น้ดี งั รปู - รปู ทม่ี พี น้ื ทีน่ อ ยท่สี ดุ มี 2 รปู คือ รูปหมายเลข 3 และ 5 - รปู ทีม่ ีพืน้ ท่ีเปน สองเทาของรปู ทม่ี ีพื้นทนี่ อยทีส่ ุดมี 3 รปู คือ รูปหมายเลข 4, 6 และ 7 - รปู ทม่ี พี ื้นท่ีเปน สเ่ี ทาของรปู ท่ีมีพน้ื ที่นอยที่สุดมี 2 รูป คือ รูปหมายเลข 1 และ 2 มีนาและเมษาสุมหยิบสลากพรอมกันจากกลองที่บรรจุสลากหมายเลข 1 – 7 ซึ่งแตละ หมายเลขแทนรูปท่ีประกอบเปนแทนแกรมดังที่อธิบายขางตน ถาผูชนะคือผูท่ีหยิบไดสลาก สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 164 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 ท่ีมีหมายเลขของรูปท่ีมีพ้ืนที่มากกวา จงหาความนาจะเปนที่มีนาจะชนะ เมื่อเมษาหยิบได สลากทีม่ หี มายเลขของรูปท่ีมีพ้นื ทน่ี อ ยท่สี ุด 11. งานเลี้ยงหน่ึงมีผูมารวมงานทั้งหมด 10 คน โดยคนกลุมน้ีมีสามีภรรยา 2 คู ตองการจัดท่ีน่ังให ผูมารวมงานเปนโตะกลม 2 ตัว ตัวละ 5 ท่ีน่ัง ถาโตะกลมทั้งสองตัวนี้ไมแตกตางกัน จงหา ความนา จะเปน ทท่ี กุ โตะมคี สู ามภี รรยา เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสุมน้ี การจัดคน 7 คน ยืนเรยี งแถวหนา กระดานเพื่อถา ยรปู ทาํ ได 7! วิธี ดงั นนั้ n(S ) = 7! = 7 × 6 × 5× 4× 3× 2 ให E แทนเหตกุ ารณทีน่ ายภาคนิ จะไดย ืนตรงกลางและทุกคนยนื เรียงแถวสลับชายหญิง (หญงิ ) (ชาย) (หญิง) นายภาคนิ (หญิง) (ชาย) (หญงิ ) ตาํ แหนงที่ ตําแหนงท่ี ตาํ แหนงท่ี ตาํ แหนงท่ี ตําแหนงท่ี ตาํ แหนงที่ ตาํ แหนงท่ี 123 456 7 วธิ ีที่ 1 การจัดคน 7 คน ยนื เรยี งแถวถา ยรูป โดยนายภาคินยืนตรงกลาง (ตําแหนง ที่ 4) และทกุ คนยนื เรยี งแถวสลบั ชายหญงิ แบงเปน 7 ข้ันตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 จดั ใหนายภาคนิ ยนื ตรงกลาง (ตําแหนงท่ี 4) ทําได 1 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 เลือกหญิง 1 คน จากทั้งหมด 4 คน ใหย ืนตําแหนงท่ี 1 ทําได 4 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 3 เลือกชาย 1 คน จากทเี่ หลือ 2 คน ใหย ืนตําแหนง ที่ 2 ทําได 2 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 4 เลอื กหญิง 1 คน จากท่ีเหลือ 3 คน ใหยนื ตาํ แหนง ที่ 3 ทําได 3 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 5 เลอื กหญงิ 1 คน จากท่เี หลือ 2 คน ใหย ืนตาํ แหนงท่ี 5 ทาํ ได 2 วิธี ขั้นตอนที่ 6 เลอื กชาย 1 คน จากท่เี หลือ 1 คน ใหย นื ตําแหนงที่ 6 ทาํ ได 1 วิธี ขั้นตอนที่ 7 เลือกหญิง 1 คน จากทีเ่ หลอื 1 คน ใหยนื ตําแหนงท่ี 7 ทําได 1 วธิ ี ดงั นนั้ n( E ) =1× 4 × 2 × 3× 2 ×1×1 =4 × 3× 2 × 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 165 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 วธิ ที ่ี 2 การจัดคน 7 คน ยนื เรียงแถวถายรปู โดยนายภาคนิ ยนื ตรงกลาง (ตาํ แหนงที่ 4) และทกุ คนยืนเรยี งแถวสลบั ชายหญงิ แบง เปน 3 ข้นั ตอน ดังน้ี ข้ันตอนที่ 1 จัดใหนายภาคินยืนตรงกลาง (ตําแหนงท่ี 4) ทาํ ได 1 วิธี ข้ันตอนที่ 2 จัดหญงิ 4 คน ใหยนื ตาํ แหนงที่ 1, 3, 5 และ 7 ทาํ ได 4! วิธี ขนั้ ตอนที่ 3 จดั ชาย 2 คน ใหย ืนตําแหนงท่ี 2 และ 6 ทาํ ได 2! วิธี ดงั นั้น n( E ) =1× 4!× 2! = 4 × 3× 2 × 2 =จะได nn((ES )) =4 × 3× 2 × 2 1 7 × 6× 5× 4× 3× 2 105 ดังนนั้ จงหาความนาจะเปนท่ีทุกคนยืนเรยี งแถวสลบั ชายหญงิ และนายภาคินยืนตรงกลาง เทา กบั 1 105 2. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ นี้ การเลือกเคร่อื งด่มื ของนักเรียนสองคนแบงเปน 2 ขั้นตอน ดงั น้ี ข้ันตอนที่ 1 นักเรียนคนที่ 1 เลอื กเครื่องด่ืม 1 ชนดิ จากเครอื่ งดื่มทง้ั หมด 4 ชนิด ได 4 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 2 นักเรียนคนที่ 2 เลือกเคร่ืองดื่ม 1 ชนิด จากเคร่อื งด่ืมท้ังหมด 4 ชนดิ ได 4 วิธี ดงั นั้น n(S ) = 4× 4 =16 ให E แทนเหตุการณทีน่ ักเรียนสองคนเลือกเครื่องด่ืม 1 ชนดิ แลวไดเ ปน เครื่องด่มื ชนิดเดยี วกัน การเลือกเครอ่ื งด่ืมของนักเรียนสองคนแบงเปน 2 ขัน้ ตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 นกั เรียนคนที่ 1 เลอื กเคร่ืองด่ืม 1 ชนดิ จากเคร่อื งดื่มทง้ั หมด 4 ชนิด ได 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 นกั เรยี นคนที่ 2 เลอื กเคร่ืองด่ืมชนิดเดยี วกับท่นี กั เรียนคนที่ 1 เลือก ได 1 วิธี ดังนั้น n(E) = 4×1 = 4 จะได nn((ES=)) 4= 1 16 4 ดังนั้น ความนาจะเปนทน่ี กั เรียนสองคนเลอื กเครื่องดื่มคนละ 1 ชนิด แลว ไดเปน เครือ่ งดื่ม ชนดิ เดยี วกัน เทา กับ 1 4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 166 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 3. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยางของการทดลองสมุ น้ี การสมุ หยิบบตั ร 4 ใบ โดยหยิบทีละใบแลว ใสค นื กอนหยิบบัตรใบถัดไปแบง เปน 4 ขัน้ ตอน ดงั นี้ ขั้นตอนที่ 1 หยบิ บตั รใบท่ี 1 จํานวน 1 ใบ จากบัตรทง้ั หมด 4 ใบ ทาํ ได 4 วิธี ขัน้ ตอนที่ 2 หยิบบตั รใบท่ี 2 จาํ นวน 1 ใบ จากบัตรทั้งหมด 4 ใบ ทาํ ได 4 วธิ ี ขั้นตอนที่ 3 หยิบบัตรใบที่ 3 จํานวน 1 ใบ จากบัตรทง้ั หมด 4 ใบ ทําได 4 วิธี ขั้นตอนที่ 4 หยบิ บตั รใบที่ 4 จาํ นวน 1 ใบ จากบัตรทงั้ หมด 4 ใบ ทําได 4 วิธี ดงั นั้น n(S ) = 4× 4× 4× 4 = 256 ให E แทนเหตุการณทสี่ มุ หยิบบัตรแลวไดบ ัตรท่เี รยี งตามลาํ ดับเปน คาํ วา COOK การสมุ หยบิ บัตรแลวไดบ ตั รท่ีเรยี งตามลําดบั เปนคําวา COOK แบงเปน 4 ขั้นตอน ดงั น้ี ขัน้ ตอนท่ี 1 หยิบบตั รใบท่ี 1 ไดเปนบัตรที่มตี ัวอักษร C ทําได 1 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 2 หยิบบตั รใบที่ 2 ไดเ ปนบัตรที่มีตวั อักษร O ทาํ ได 1 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 3 หยบิ บัตรใบที่ 3 ไดเ ปนบัตรที่มีตวั อักษร O ทําได 1 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 4 หยิบบัตรใบที่ 4 ไดเปน บตั รที่มตี ัวอกั ษร K ทําได 1 วิธี ดงั นัน้ n(E) = 1×1×1×1 = 1 จะได n(E) = 1 n(S) 256 ดงั นน้ั ความนาจะเปนทีส่ ุมหยิบบัตร 4 ใบ โดยหยิบทลี ะใบแลวใสค นื กอ นหยบิ บัตรใบถดั ไป แลวบตั รท่ีไดเ รียงตามลําดบั เปนคําวา COOK เทา กับ 1 256 4. ให S แทนปริภูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี การเลน ตูของเลน หยอดเหรยี ญของรวีแบง เปน 5 ขน้ั ตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนท่ี 1 ในการหยอดเหรยี ญเพอ่ื เลนครง้ั ที่ 1 จาํ นวนวิธีที่รวจี ะไดร ถมี 50 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 ในการหยอดเหรียญเพอ่ื เลนคร้ังที่ 2 จํานวนวธิ ที ร่ี วจี ะไดร ถมี 49 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 ในการหยอดเหรยี ญเพ่ือเลนคร้ังท่ี 3 จํานวนวิธที ี่รวจี ะไดร ถมี 48 วิธี ขั้นตอนท่ี 4 ในการหยอดเหรยี ญเพ่อื เลน ครั้งที่ 4 จํานวนวิธที ่รี วีจะไดรถมี 47 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 5 ในการหยอดเหรยี ญเพอื่ เลน ครัง้ ท่ี 5 จาํ นวนวธิ ที ่ีรวีจะไดรถมี 46 วธิ ี ดงั นน้ั n(S ) = 50× 49× 48× 47 × 46 ให E แทนเหตกุ ารณท ่รี วไี ดร ถสีแดง 2 คัน รถสีเหลอื ง 2 คัน และรถสีนาํ้ เงิน 1 คัน ตามลาํ ดบั สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 167 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 เนื่องจาก ตูของเลน นี้บรรจุรถของเลนสีละ 10 คนั ตอ งการไดรถสีแดง 2 คัน รถสเี หลือง 2 คนั และรถสีนํ้าเงิน 1 คนั ตามลําดบั จะไดวา การเลน ตหู ยอดเหรียญของรวีใหไดต ามเง่ือนไขที่กําหนด แบง เปน 5 ขั้นตอน ดังน้ี ขั้นตอนที่ 1 ในการหยอดเหรียญเพื่อเลน ครง้ั ที่ 1 จาํ นวนวธิ ที ีร่ วจี ะไดรถสแี ดงมี 10 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 ในการหยอดเหรยี ญเพอ่ื เลนครั้งท่ี 2 จํานวนวิธีทร่ี วีจะไดรถสีแดงมี 9 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 3 ในการหยอดเหรยี ญเพ่ือเลน ครั้งท่ี 3 จํานวนวิธีทร่ี วจี ะไดรถสีเหลอื งมี 10 วิธี ข้นั ตอนที่ 4 ในการหยอดเหรยี ญเพอ่ื เลน ครง้ั ที่ 4 จํานวนวธิ ที ่รี วจี ะไดรถสีเหลืองมี 9 วิธี ขัน้ ตอนท่ี 5 ในการหยอดเหรียญเพือ่ เลน คร้งั ที่ 5 จํานวนวิธที ่ีรวจี ะไดรถสนี ้ําเงนิ มี 10 วิธี ดงั น้ัน n( E) = 10× 9×10× 9×10 =จะได nn((ES )) =10 × 9 ×10 × 9 ×10 135 50 × 49 × 48× 47 × 46 423, 752 ดงั นัน้ ความนาจะเปน ทจ่ี ะไดรถสีแดง 2 คัน รถสีเหลือง 2 คัน และรถสีนํ้าเงิน 1 คัน ตามลําดับ เทา กับ 135 423, 752 5. ให S แทนปริภมู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี การสรา งจาํ นวนนบั ท่ีมสี ามหลักจากเลขโดดที่กําหนดให แบง เปน 2 กรณี ดงั น้ี กรณที ี่ 1 เลขโดดทงั้ สามหลกั ไมซา้ํ กันเลย นําเลขโดดสามตัวทไ่ี มซ ้าํ กนั เลย จากเลขโดด 1, 2, 3 หรอื 4 มาจัดเรยี งเปน จาํ นวนนับที่มีสามหลกั ได 4×3× 2 =24 วิธี กรณที ่ี 2 มเี ลขโดดซ้าํ กัน 1 คู แบง เปน 2 ข้ันตอน ดังนี้ ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณาการเลอื กเลขโดดทซี่ ้ํากัน 1 คู ดงั น้ี เลอื กเลขโดดที่ซํ้ากัน 1 คู จากเลขโดด 2, 3 หรือ 4 ได 3 วธิ ี และเลือกเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 1, 2, 3 หรือ 4 ทไี่ มซา้ํ กับเลขโดด ท่ีเลือกในข้นั ท่ี 1 ได 3 วธิ ี ดังนัน้ การเลือกเลขโดดสามตัวทซ่ี ้ํากัน 1 คู ทําได 3×3 =9 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 นําเลขโดดในขนั้ ที่ 1 มาจดั เรยี งเปน จาํ นวนนับท่ีมีสามหลักได 3! = 3 วิธี 2! ดงั นนั้ นําเลขโดดสามตัวที่ซา้ํ กนั 1 คู มาจดั เรียงเปนจาํ นวนนบั ทม่ี สี ามหลกั ได 9× 3 =27 วธิ ี ดงั นน้ั n(S ) = 24 + 27 = 51 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 168 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 ให E แทนเหตุการณทจ่ี าํ นวนนับท่ีมีสามหลักเปนพาลินโดรม หลักรอย หลกั สิบ หลักหนว ย เหตุการณท ่จี าํ นวนนบั ท่มี ีสามหลักเปนพาลนิ โดรม แบง เปน 2 ขัน้ ตอน ดงั น้ี ขั้นตอนท่ี 1 เลือกเลขโดดที่ซํา้ กัน 1 คู เพ่ือเปนหลกั รอ ยและหลักหนวยของจาํ นวนนบั ทมี่ ีสามหลกั จากเลขโดด 2, 3 หรอื 4 ได 3 วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 1, 2, 3 หรือ 4 ที่ไมซํ้ากบั เลขโดดทีเ่ ลอื กใน ขั้นท่ี 1 เพื่อเปน หลกั สิบของจาํ นวนนบั ท่ีมีสามหลัก ได 3 วธิ ี ดงั นน้ั n(E) = 3× 3 = 9 จะได n( ES=)) 9= 3 n( 51 17 ดังนั้น ความนาจะเปนที่สรางจํานวนนับที่มีสามหลักจากเลขโดด 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 แลว จาํ นวนที่ไดเ ปนพาลินโดรม เทากบั 3 17 6. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยางของการทดลองสุมน้ี พิจารณาการทดลองสมุ นี้เปน 4 ขัน้ ตอน ดงั น้ี ขน้ั ตอนท่ี 1 โยนลกู บอลลูกที่ 1 ลงชอ งใดชองหนึง่ ของกลอง ได 16 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 โยนลูกบอลลูกที่ 2 ลงชอ งใดชองหนึง่ ของกลอง ได 16 วิธี ขั้นตอนที่ 3 โยนลูกบอลลกู ท่ี 3 ลงชองใดชอ งหนงึ่ ของกลอง ได 16 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 4 โยนลูกบอลลกู ท่ี 4 ลงชอ งใดชองหนึง่ ของกลอง ได 16 วิธี ดงั นน้ั n(S ) =164 ให E แทนเหตกุ ารณทรี่ ติเลน เกมน้ีแลว ไดร างวัล วธิ ีที่ 1 เหตุการณทรี่ ติเลน เกมน้ีแลวไดร างวลั แบงเปน 2 กรณี ดงั น้ี กรณที ี่ 1 รติเลนเกมนแี้ ลวไดร างวลั โดยลกู บอลทั้งสีล่ กู อยูในแนวเสนทแยงมุม จากมุมบนซายไปมมุ ลา งขวา แบงเปน 4 ขัน้ ตอน ดังนี้ ข้ันตอนท่ี 1 โยนลกู บอลลกู ที่ 1 ลงชอ งใดชอ งหนึ่งในแนวเสน ทแยงมุม ทก่ี าํ หนด ได 4 วิธี ขนั้ ตอนที่ 2 โยนลกู บอลลูกที่ 2 ลงชองใดชอ งหนึ่งในแนวเสนทแยงมมุ ที่กาํ หนด ท่ีไมซาํ้ กับชองทโ่ี ยนลกู บอลลูกแรก ได 3 วิธี สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 169 คูม อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 ขน้ั ตอนท่ี 3 โยนลูกบอลลูกท่ี 3 ลงชอ งใดชองหนึ่งในแนวเสนทแยงมุม ท่ีกาํ หนด ท่ีไมซ ํ้ากับชองทีโ่ ยนลูกบอลลูกท่ี 1 และ 2 ได 2 วิธี ขน้ั ตอนที่ 4 โยนลูกบอลลูกท่ี 4 ลงชองใดชองหนงึ่ ในแนวเสน ทแยงมุม ท่ีกาํ หนด ที่ไมซ ้ํากับชองที่โยนลกู บอลลูกท่ี 1, 2 และ 3 ได 1 วิธี ดงั น้ัน จํานวนวิธีทรี่ ติเลน เกมนี้แลว ไดรางวลั โดยลูกบอลท้งั สีล่ ูกอยใู น แนวเสนทแยงมุมจากมมุ บนซายไปมุมลางขวาเปน 4×3× 2×1=24 วธิ ี กรณที ี่ 2 รติเลนเกมนแ้ี ลวไดร างวลั โดยลกู บอลท้ังสล่ี กู อยูในแนวเสนทแยงมมุ จากมุมบนขวาไปมมุ ลางซาย แบงเปน 4 ข้ันตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 โยนลกู บอลลูกที่ 1 ลงชองใดชองหนงึ่ ในแนวเสน ทแยงมมุ ท่ีกําหนด ได 4 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 โยนลกู บอลลูกที่ 2 ลงชอ งใดชองหนึง่ ในแนวเสนทแยงมุม ท่กี ําหนด ท่ีไมซ ้ํากับชอ งทโ่ี ยนลูกบอลลูกแรก ได 3 วิธี ข้นั ตอนท่ี 3 โยนลูกบอลลกู ท่ี 3 ลงชองใดชองหนง่ึ ในแนวเสนทแยงมมุ ที่กําหนด ที่ไมซํ้ากับชองที่โยนลูกบอลลูกที่ 1 และ 2 ได 2 วิธี ข้นั ตอนที่ 4 โยนลกู บอลลกู ที่ 4 ลงชองใดชอ งหน่งึ ในแนวเสน ทแยงมมุ ทีก่ ําหนด ที่ไมซ้ํากับชองที่โยนลกู บอลลูกท่ี 1, 2 และ 3 ได 1 วธิ ี ดังนน้ั จํานวนวิธีท่รี ติเลนเกมน้ีแลว ไดรางวัลโดยลูกบอลทั้งส่ีลูกอยูใน แนวเสนทแยงมุมจากมมุ บนขวาไปมุมลา งซา ยเปน 4×3× 2×1=24 วิธี ดังนั้น n(E) = 24 + 24 = 48 วิธที ี่ 2 เนื่องจาก การไดร างวัลในเกมนี้ คือ ลกู บอลทงั้ ส่ีลกู อยใู นแนวเสนทแยงมุมแนวใด แนวหนึง่ จากทีม่ ที ้ังหมด 2 แนว คอื จากมุมบนซายไปมุมลางขวา และจากมุม บนขวาไปมุมลา งซาย และแตละแนวเสนทแยงมุมมชี อ งท้งั หมด 4 ชอง จะไดวา เหตุการณท่ีรตเิ ลน เกมนีแ้ ลว ไดร างวัลแบง เปน 2 ข้นั ตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนที่ 1 เลือกแนวเสน ทแยงมมุ ของชอง 1 แนว จากแนวเสน ทแยงมุม 2 แนว มี 2 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 จัดเรียงลกู บอลที่โยนลกู ที่ 1, 2, 3 และ 4 ใหอ ยใู นชองใดชองหนึง่ ตามแนวท่ีเลือกในข้นั ท่ี 1 มี 4! = 24 วิธี ดังนั้น n(E) =2× 24 =48 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 170 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 จะได nn((=ES )) 4=8 3 164 4, 096 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรตเิ ลนเกมนแี้ ลวจะไดรับรางวลั เทากบั 3 4, 096 7. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสุมน้ี การสุมหยบิ สลากขน้ึ มาพรอมกนั 2 ใบ จากสลากทงั้ หมด 6 ใบ มี C=6, 2 =6! 15 วิธี 4!2! ดงั นั้น n(S ) =15 ให E แทนเหตกุ ารณทสี่ ุมหยบิ สลากข้ึนมาพรอ มกัน 2 ใบ ไดเ ปนสลากทมี่ ีผลรวมของ จาํ นวนท่เี ปนหมายเลขของสลากมากกวา 2 วิธที ่ี 1 เน่อื งจาก การสุมหยบิ สลากขึ้นมาพรอมกนั 2 ใบ ไดเปนสลากที่มผี ลรวมของจํานวน ทีเ่ ปนหมายเลขของสลากมากกวา 2 มี 7 วธิ ี ไดแก (−2, 5), (−1, 5), (0, 3), (0, 5), (2, 3), (2, 5) และ (3, 5) ดงั นนั้ n(E) = 7 จะได n( E) = 7 n( S) 15 ดังนั้น ความนาจะเปนท่สี ุมหยิบสลากขึ้นมาพรอมกนั 2 ใบ ไดเปนสลากท่มี ีผลรวมของ จํานวนที่เปนหมายเลขของสลากมากกวา 2 เทากบั 7 15 วธิ ีที่ 2 การสมุ หยิบสลากขึ้นมาพรอมกนั 2 ใบ ไดเ ปน สลากที่มีผลรวมของจาํ นวนที่เปน หมายเลขของสลากไมเ กิน 2 มไี ด 4 กรณี ดังน้ี กรณีที่ 1 หยิบไดส ลากท่มี หี มายเลขเปนจํานวนเตม็ ลบท้ังคู มไี ด 1 วธิ ี คอื (−2, −1) กรณที ี่ 2 หยบิ ไดส ลากที่มีหมายเลขเปน −2 และอกี หมายเลขหนึ่งเปน ศูนยห รือ จาํ นวนเต็มบวก มไี ด 3 วิธี คอื (−2, 0), (−2, 2) และ (−2, 3) กรณีที่ 3 หยบิ ไดสลากที่มหี มายเลขเปน −1 และอีกหมายเลขหนง่ึ เปนศนู ยหรือ จาํ นวนเตม็ บวก มไี ด 3 วิธี คอื (−1, 0), (−1, 2) และ (−1, 3) กรณที ี่ 4 หยบิ ไดสลากทม่ี ีหมายเลขเปน 0 และอีกหมายเลขหน่ึงเปนจํานวนเต็มบวก มไี ด 1 วิธี คอื (0, 2) ดังน้ัน การสมุ หยบิ สลากข้ึนมาพรอมกัน 2 ใบ ไดเปนสลากที่ มีผลรวมของจาํ นวนทเ่ี ปน หมายเลขของสลากไมเ กิน 2 มไี ด 1+ 3 + 3 +1=8 วิธี สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนา จะเปน 171 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 จะไดว า n(E) = 15 − 8 = 7 จะได n( E) = 7 n( S) 15 ดังนนั้ ความนาจะเปนทสี่ มุ หยิบสลากขึ้นมาพรอมกนั 2 ใบ ไดเ ปนสลากที่มผี ลรวมของ จาํ นวนท่ีเปนหมายเลขของสลากมากกวา 2 เทา กบั 7 15 8. ให S แทนปรภิ มู ติ วั อยา งของการทดลองสมุ น้ี การสุมหยิบเส้อื 2 ตวั จากเสือ้ ทั้งหมด 50 ตัว ทําได C=50, 2 =50! 50× 49 วิธี 48!2! 2 ดังน้นั n(S=) 25× 49 ให E แทนเหตกุ ารณทห่ี ยบิ ไดเ สื้อขนาดเดยี วกนั แตส ตี า งกนั การสมุ หยิบเสือ้ 2 ตัว แบงเปน 2 ขนั้ ตอน ดงั น้ี ขนั้ ตอนที่ 1 สุม หยบิ เสือ้ 1 ขนาด จากทัง้ หมด 5 ขนาด ทําได C5,1 = 5 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 สุมหยบิ เสอื้ 2 สีท่ีแตกตา งกนั จากทัง้ หมด 10 สี ทาํ ได C10, 2= 10! = 5× 9 วธิ ี 8!2! ดงั น้ัน n(E) = 5× 5× 9 จะได =nn((ES )) 5=× 5× 9 9 25× 49 49 ดงั นน้ั ความนาจะเปนทีไ่ ดเส้อื ขนาดเดยี วกนั แตสีตา งกัน เทา กบั 9 49 9. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยางของการทดลองสุมนี้ การคัดเลือกนกั กีฬาวายนํ้าจํานวน 4 คน จากผสู มัคร 10 คน ทําได C10, 4 = 10! = 10× 7 × 3 วิธี 6!4! ดังนัน้ n(S ) = 10× 7 × 3 ให E แทนเหตุการณท กี่ วินซงึ่ เปนหนง่ึ ในผสู มัครจะไดร ับคัดเลอื ก การคดั เลือกนกั กีฬาวา ยนํา้ ท่ีกวนิ ซ่ึงเปน หน่ึงในผูสมัครจะไดรับคัดเลือก แบงเปน 2 ขัน้ ตอน ดงั น้ี ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กกวินเปน นกั กีฬาวา ยนา้ํ ทาํ ได 1 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 เลือกนักกีฬาวายนา้ํ อีก 3 คน จากผสู มคั รอีก 9 คนทเี่ หลือ ทาํ ได C9, 3 = 9! = 7×4×3 วธิ ี 6!3! ดงั นั้น n(E) = 7 × 4× 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | ความนาจะเปน 172 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 จะได =nn((ES )) 7=× 4 × 3 2 10 × 7 × 3 5 ดงั น้นั ความนาจะเปนทกี่ วนิ ซ่ึงเปน หน่งึ ในผสู มคั รจะไดร บั คัดเลอื ก เทา กับ 2 5 10. ให S แทนปรภิ มู ติ วั อยางของการทดลองสมุ นี้ เนื่องจาก มีนาและเมษาสุมหยบิ สลากพรอมกัน จากสลากหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 หรอื 7 ดงั นั้น n(S ) =2 × C7, 2 =2 × 7! =42 5!2! ให E แทนเหตุการณท มี่ ีนาชนะเมษา เมื่อเมษาหยิบไดส ลากทมี่ หี มายเลขของรปู ที่มี พน้ื ทนี่ อยท่สี ุดแบงเปน 2 ข้นั ตอน ดงั น้ี ข้ันตอนที่ 1 เมษาหยบิ ไดสลากท่ีมีหมายเลขของรปู ทีม่ ีพน้ื ทนี่ อยทสี่ ุด มีได C2,1 = 2 วธิ ี ขัน้ ตอนที่ 2 มนี าหยบิ ไดส ลากท่มี หี มายเลขของรูปที่มีพื้นท่ีมากกวา มไี ด C5,1 = 5 วธิ ี ดงั น้ัน n(E) = 2× 5 = 10 จะได nn((ES=)) 1=0 5 42 21 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่มีนาจะชนะ เม่ือเมษาหยิบไดสลากท่ีมีหมายเลขของรูปที่มีพื้นท่ี นอ ยที่สดุ เทากบั 5 21 11. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสุมน้ี การจัดคน 10 คน นั่งโตะกลม 2 ตัว ตัวละ 5 ทนี่ ่ัง แบง เปน 2 ขนั้ ตอน ดงั น้ี ขน้ั ตอนที่ 1 พิจารณาการจัดคนนัง่ โตะ กลมตวั ที่ 1 ดงั นี้ เลอื กคน 5 คน จากคนทัง้ หมด 10 คน เพอื่ น่งั โตะ กลมตวั ที่ 1 ได C10, 5 = 10! วธิ ี 5!5! และจัดคน 5 คนนี้ เพ่ือนัง่ โตะกลมตัวท่ี 1 ได 4! วธิ ี ขัน้ ตอนท่ี 2 ดงั นน้ั การจัดคนน่ังโตะกลมตวั ท่ี 1 ทาํ ได 10! × 4!=10!4! วิธี 5!5! 5!5! พิจารณาการจัดคนน่ังโตะกลมตวั ท่ี 2 ดงั นี้ เลอื กคน 5 คน จากคนทเี่ หลอื 5 คน เพ่ือนั่งโตะกลมตวั ท่ี 2 ได 1 วิธี และจัดคน 5 คนน้ี เพ่อื นัง่ โตะกลมตัวท่ี 2 ได 4! วธิ ี ดงั นัน้ การจัดคนนัง่ โตะกลมตวั ท่ี 2 ทาํ ได 1× 4!=4! วธิ ี ดังนน้ั n(S=) 10!4!× 4=! 10!4!4! 5!5! 5!5! สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | ความนา จะเปน 173 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 ให E แทนเหตกุ ารณที่จัดทน่ี ่ังแลวทุกโตะมีคูสามภี รรยา เหตุการณท่ีจดั ท่นี งั่ แลวทุกโตะ มีคสู ามภี รรยา แบง เปน 3 ข้ันตอน ดงั นี้ ขนั้ ตอนที่ 1 พิจารณาการจดั คนน่ังโตะ กลมตัวที่ 1 ดังนี้ เลือกคูสามภี รรยา 1 คู จากท้ังหมด 2 คู เพอื่ นัง่ โตะ กลมท่ี 1 ได 2 วิธี เลือกคนอีก 3 คน จากคน 6 คนทไี่ มใชคูส ามภี รรยา เพอ่ื นัง่ โตะกลมท่ี 1 ได C6, 3 = 6! วธิ ี และจัดคนท้ัง 5 คนนี้ เพือ่ นั่งโตะ กลมตวั ท่ี 1 ได 4! วิธี 3!3! ดงั น้นั การจัดคนน่ังโตะ กลมตัวท่ี 1 ทําได 2× 6! × 4!=2× 6!4! วิธี 3!3! 3!3! ขัน้ ตอนที่ 2 พิจารณาการจดั คนนงั่ โตะกลมตัวที่ 2 ดงั นี้ เลือกคูสามภี รรยา 1 คู จากท่ีเหลือ 1 คู เพ่อื น่งั โตะ กลมที่ 2 ได 1 วิธี เลอื กคนอีก 3 คน จากคน 3 คน ทไ่ี มใชคูสามีภรรยา เพอ่ื น่ังโตะกลมท่ี 2 ได 1 วธิ ี และจัดคนท้ัง 5 คนน้ี เพือ่ นัง่ โตะ กลมตวั ที่ 2 ได 4! วธิ ี ดงั น้นั การจดั คนนัง่ โตะ กลมตัวที่ 2 ทําได 1×1× 4!=4! วิธี ดงั นัน้ n=( E ) 2 × 6!4!=× 4! 2 × 6!4!4! 3!3! 3!3! n(E) 2 × 6!4!4! =n(S ) จะได =3!3! 10 10!4!4! 63 5!5! ดงั น้นั ความนา จะเปน ทีท่ ุกโตะ มคี ูสามีภรรยา เทากับ 10 63 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 เฉลยแบบฝกหัด บทท่ี 1 จํานวนเชงิ ซอน แบบฝกหัด 1.1 1. คาของ Re(z) และ Im(z) ของจาํ นวนเชงิ ซอน z ท่กี ําหนดให เปนดงั ตารางตอไปน้ี z Re( z) Im( z) 1. 2 + 3i 23 2. − 4 + 5i −4 5 1 −3 3. 1 − 3 i 22 22 −4 0 4. − 4 5. 3i 03 6. 2 − 2 2i 2 −2 2 2. 1) (−1, − 2) + (2,1) = (−1+ 2, − 2 +1) 2) = (1, −1) 3) (−1, − 2)(2,1) = ((−1)2 − (−2)1, (−1)1+ (−2)2) = (−2 + 2, −1− 4) = (0, − 5) (−2, 2) + (2, − 2) = (−2 + 2, 2 − 2) = (0, 0) (−2, 2)(2, − 2) = ((−2)2 − 2(−2), (−2)(−2) + 2(2)) = (−4 + 4, 4 + 4) = (0, 8) (−2, 3) + (1, 4) = (−2 +1, 3 + 4) = (−1, 7) (−2, 3)(1, 4) = ((−2)1− 3(4), (−2)4 + 3(1)) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 175 = (−2 −12, − 8 + 3) = (−14, − 5) 4)  3, 1  +  4, 2  =  3 + 4, 1 + 2   2   3   2 3  =  7, 7   6   3, 1  4, 2  =  3( 4) −  1  2  , 3 2  + 1 ( 4)   2   3    2   3 3  2    = 12 − 1 , 2 + 2  3  =  35 , 4   3  3. 1) (2 − 3i) + (4 − 5i) = (2 + 4) + (−3 − 5)i = 6 − 8i 2) (5 + 4i) + 3(2i − 7) = (5 + 4i) + (6i − 21) = (5 − 21) + (4 + 6)i = −16 +10i ( ) ( ) ( )3) 2 − 2i + 5 − 8i = (2 + 5) + − 2 − 8 i ( )= (2 + 5) + − 2 − 2 2 i = 7 − 3 2i 4) i (2 − i) = 2i − i2 = 1 + 2i ( )5) 2i i − 2 = 2i2 − 2i = − 2 − 2i 6) i2 (3 − 4i) = (−1)(3 − 4i) = −3 + 4i 7) (−1− i)2 = (−1− i)(−1− i) = (−1)(−1− i) + (−i)(−1− i) = 1+ i + i + i2 = 1 + 2i −1 = 2i สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

176 คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 8) (3 + 2i)(2 + 4i) = 3(2 + 4i) + 2i (2 + 4i) 9) ( 2 − 3i)( 2 + 3i) = 6 +12i + 4i + 8i2 = 6 +12i + 4i − 8 = −2 +16i = 2 ( 2 + 3i) + (− 3i)( 2 + 3i) = 2 + 6i − 6i − 3i2 = 2+3 =5 10) (5 − 2i)(−2 + 3i) = 5(−2 + 3i) + (−2i)(−2 + 3i) = −10 +15i + 4i − 6i2 = −10 +19i + 6 = −4 +19i 4. 1) จาก 2a − 3bi = 4 + 6i จะได 2a = 4 และ ดงั น้นั a = 2 และ −3b = 6 2) จาก 2a + bi = 10 b = −2 จะได 2a = 10 และ b =0 ดังนั้น a = 5 และ b =0 3) จาก 3a + (a − b)i = 6 + i และ a − b = 1 จะได 3a = 6 จาก 3a = 6 จะได a = 2 จาก a = 2 และ a − b = 1 จะได b = 1 ดงั นัน้ a = 2 และ b = 1 4) จาก a + b − 2abi = 5 −12i จะได a+b = 5 ----------- (1) และ −2ab = −12 ab = 6 ----------- (2) จาก (1) จะได b = 5−a ----------- (3) จาก (2) และ (3) จะได a(5 − a) = 6 5a − a2 = 6 a2 − 5a + 6 = 0 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 177 (a − 3)(a − 2) = 0 นน่ั คอื a − 3 = 0 หรือ a − 2 = 0 a = 3 หรอื a= 2 ถา a = 3 จะได b = 2 ถา a = 2 จะได b = 3 ดงั น้ัน a = 3, b = 2 หรือ a = 2 , b = 3 5) จาก (a + bi)(2 + 5i) = 3 − i (2a − 5b) + (5a + 2b)i = 3 − i จะได 2a − 5b = 3 ----------- (1) และ 5a + 2b = −1 ----------- (2) (1)× 2 ; จะได 4a −10b = 6 ----------- (3) (2) × 5 ; จะได 25a +10b = −5 ----------- (4) (3) + (4) ; จะได (4a −10b) + (25a +10b) = 6 + (−5) (4a + 25a) + (10b −10b) = 1 29a = 1 a= 1 29 แทน a ดว ย 1 ใน (2) จะได 5 1  + 2b = −1 29  29 5 + 2b = −1 29 −1− 5 2b = 29 2b = − 34 29 b= − 17 29 ดงั นัน้ a = 1 และ b = − 17 29 29 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

178 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 ( ) ( )5. 1) (1− i)3 = 13 − 3 12 (i) + 3(1) i2 − i3 = 1− 3i + 3(1)(−1) − (−i) = 1− 3i − 3 + i = −2 − 2i 2) พิจารณา ( ) ( )( ) ( )(2 + i)4 = 24 + 4 23 (i) + 6 22 i2 + 4(2) i3 + i4 = 16 + 32i + 24(−1) + 8(−i) +1 = 16 + 32i − 24 − 8i +1 = −7 + 24i และ ( ) ( )( ) ( )(2 − i)4 = 24 − 4 23 (i) + 6 22 i2 − 4(2) i3 + i4 = 16 − 32i + 24(−1) − 8(−i) +1 = 16 − 32i − 24 + 8i +1 = −7 − 24i ดงั นน้ั (2 + i)4 − (2 − i)4 = (−7 + 24i) − (−7 − 24i) = −7 + 24i + 7 + 24i = 48i 3) พจิ ารณา ( ) ( )(1+ i)3 = 13 + 3 12 (i) + 3(1) i2 + i3 = 1+ 3i + 3(−1) + (−i) และ = 1+ 3i − 3 − i (จากขอ 1)) ดงั น้ัน = −2 + 2i (1− i)3 = −2 − 2i (1+ i)3 − (1− i)3 = (−2 + 2i) − (−2 − 2i) = −2 + 2i + 2 + 2i = 4i 4) พจิ ารณา (2 + 2i)4 = 24 (1+ i)4 = 24 (1+ i)3 (1+ i) (จากขอ 2)) = 24 (−2 + 2i)(1+ i) = 16((−2 − 2) + 0) = 16(−4) = −64 ดังนั้น (−i)5 (2 + 2i)4 = (−i)4 (−i)(−64) = (−i)(−64) = 64i สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 179 แบบฝก หัด 1.2 1. 1) (−8 + 3i) − 2(3 − 2i) = −8 + 3i − 6 + 4i 2) 3) = −14 + 7i 4) 5) 5(3 + i) − i (1+ i) = 15 + 5i − i +1 6) = 16 + 4i −3(2 − i) + i (2 + i) = −6 + 3i + 2i −1 = −7 + 5i −i (1+ i) − 3i (−3 − 2i) = −i +1+ 9i − 6 = −5 + 8i 1 (1+ i) − 3 (3 + 2i) = 1 + 1 i − 9 − 3i 22 22 2 = −4 − 5 i = 6 − 6i − 2 6i +12 2 ( ) ( )2 18 − 3i − 2 3i 2 + 12i = 18 − 3 6i 7) (2 + i)2 (1+ i) − (1+ i)(1− 3i)2 ( )( )= 22 + 2(2)(i) + i2 (1+ i) − (1+ i) 12 − 2(1)(3i) + (3i)2 = (4 + 4i −1)(1+ i) − (1+ i)(1− 6i − 9) = (3 + 4i)(1+ i) − (1+ i)(−8 − 6i) = (1+ i)(3 + 4i + 8 + 6i) = (1+ i)(11+10i) = (11+10i) + i (11+10i) = 11+10i +11i −10 = 1+ 21i 2. 1) 1 =  1  2 + 3i  2 − 3i  2 − 3i  2 + 3i  = 2 + 3i 13 = 2+ 3i 13 13 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 2) 3 + 2i =  3 + 2i  2 + 3i  2 − 3i  2 − 3i  2 + 3i  3(2 + 3i) + 2i (2 + 3i) = 13 = 6 + 9i + 4i − 6 13 =i 3) 4 + 3i =  4 + 3i  1− i  1+ i  1 + i  1 − i  4(1− i) + 3i (1− i) = 2 = 4 − 4i + 3i + 3 2 = 7−1i 22 4) 2 − 2i =  2 − 2i  −4i  4i  4i  −4i  = −8i − 8 16 = −1−1i 22 5) 2−i =  2−i  4−i  4+i  4 + i  4 − i  2(4 − i) + (−i)(4 − i) = 17 = 8 − 2i − 4i −1 17 = 7 −6i 17 17 6) i =  i  2 − 6i  2 + 6i  2 + 6i  2 − 6i  = 2i + 6 40 = 3+1i 20 20 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 181 7) (1− i)3i = 3i + 3 2+i 2+i =  3 + 3i  2 − i   2 + i  2 − i  3(2 − i) + 3i (2 − i) = 5 = 6 − 3i + 6i + 3 5 = 9 + 3i 5 = 9 + 3i 55 8) −4i (3 + 2i) + i = −12i + 8 +  1 i i   1 + i   −   1 + i  1−i = −12i + 8 + i −1 2 = 15 − 23 i 22 3. 1) จาก z (1+ i) = 4 จะได z = 4 1+ i =  4 1−i   1+ i  1− i  = 2 − 2i 2) จาก (2 − i)z = 4 + 2i จะได z = 4 + 2i 2−i =  4 + 2i  2 + i   2 − i  2 + i  = 6 +8i 55 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

182 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 3) จาก (3 − i)z = 6 − 7i จะได z = 6 − 7i 3−i =  6 − 7i  3 + i   3 − i  3 + i  = 5 − 3i 22 4) จาก (1+ 3i)z = −2 − i จะได z = −2 − i 1+ 3i =  −2 − i  1− 3i   1+ 3i  1− 3i  = −1+1i 22 5) จาก (1+ 3i)z = 1+ i จะได z = 1+ i 1+ 3i =  1+ i  1− 3i   1+ 3i  1− 3i  6) จาก = 2 −1i 55 (2 + i)z + i = 3 จะได z = 3−i 2+i =  3−i  2−i   2 + i  2 − i  7) จาก = 1−i (1+ i)2 z = 2z −1+ 3i จะได (1+ i)2 z − 2z = −1+ 3i ( )(1+ i)2 − 2 z = −1+ 3i ((1+ 2i −1) − 2) z = −1+ 3i (−2 + 2i) z = −1+ 3i z = −1+ 3i −2 + 2i สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 183 z =  −1 + 3i  −2 − 2i   −2 + 2i  −2 − 2i  z = 1− 1i 2 8) จาก z +i =3 จะได 2+i = 3−i z 2+i = (2 + i)(3−i) z z = 7+i 4. 1) ให z1= a + bi และ z2= c + di จะได z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i = (ca − db) + (cb + da)i = (c + di)(a + bi) = z2 z1 2) ให z= x + yi , z1= a + bi และ z2= c + di จะได z ( z1z2 ) = ( x + yi)((a + bi)(c + di)) = ( x + yi)((ac − bd ) + (ad + bc)i) = ( x(ac − bd ) − y (ad + bc)) + ( x(ad + bc) + y (ac − bd ))i = ( xac − xbd − yad − ybc) + ( xad + xbc + yac − ybd )i = ( xac − ybc − xbd − yad ) + ( xad − ybd + xbc + yac)i = (( xa − yb)c − ( xb + ya)d ) + (( xa − yb)d + ( xb + ya)c)i = (( xa − yb) + ( xb + ya)i)(c + di) = (( x + yi)(a + bi))(c + di) = ( zz1 ) z2 3) ให z= a + bi จะได z = a + bi = a − bi = a + bi =z สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

184 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 4) ให z1= a + bi และ z2= c + di จะได z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i = (a − c) −(b − d)i = (a − bi) − (c − di) = z1 − z2 5. 1) z1 = z1 = 2−i 2) z1 − z2 = z1 − z2 = (2 + i) − (−3 − 2i) = 5 + 3i 3) z1 − z2 = z1 − z2 = z1 − z2 = (2 − i) − (−3 − 2i) = 5+i 4) z1 + z2 = (2 − i) + (−3 − 2i) = −1− 3i 5) 1 = 1   z2  z2  =1 −3 − 2i =  1  −3 + 2i   −3 − 2i  −3 + 2i  = −3 + 2i 13 = −3+ 2i 13 13 6) z2 = −3 + 2i z1 2 + i =  −3 + 2i  2 − i   2 + i  2 − i  = −4+7i 55 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 185 7) 1 1 = z1 + z2 8) z1 + z2 1 6. 1) = 2) 2 + i + (−3 − 2i) 3) 4) = 1  −1− i  =  1  −1+ i   −1− i  −1+ i  = −1 + 1i 22  1 + 1  =  1 i + 1 2i  i  z1 z2 i  2+ −3 −    =   2 1 i  2 − i  +  1 2i   −3 + 2i   i   +   2 − i   −3 −   −3 + 2i     =  2− i + −3 + 2i  i  5 13 =  11 − 3 i  i  65 65  = 3 + 11 i 65 65 zz = (2 − 4i)(2 + 4i) 1(z+ z) = 20 2 = 1 ((2 − 4i) + (2 + 4i)) 1(z − z) 2 i = 1 (4) z(z+ z) 2 =2 = 1((2 + 4i) − (2 − 4i)) i = 1(8i) i =8 = (2 − 4i)((2 − 4i) + (2 + 4i)) = (2 − 4i)(4) = 8 −16i สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

186 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 5) z = 2 + 4i z 2 − 4i =  2 + 4i  2 + 4i   2 − 4i  2 + 4i  = −12 +16i 20 = −3+ 4i 55 6) ( z − z )i = ( z − z)i = ((2 + 4i) − (2 − 4i))i = (8i)i = −8 7) (1 − z ) z−1 = 1 − z z 1− (2 + 4i) = 2 − 4i = −1 − 4i 2 − 4i =  −1 − 4i  2 + 4i   2 − 4i  2 + 4i  = 14 −12i 20 = 7 − 3i 10 5 8)  z −2 =  (2 − 4i) − 2   i +1     1+ i  =  −4i   1+ i  = −4i 1+ i = 4i 1−i =  4i  1+ i   1− i  1+ i  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 187 = −4 + 4i 2 = −2 + 2i 7. ให z1 และ z2 เปน จํานวนเชงิ ซอ น โดยท่ี z1= a + bi และ z2= c + di เมอื่ a, b, c และ d เปนจาํ นวนจริง สมมตใิ ห z1z2 = 0 และ z1 ≠ 0 จะได (a + bi)(c + di) = 0 (ac − bd ) + (ad + bc)i = 0 นั่นคือ ac − bd = 0 ----------- (1) และ ad + bc = 0 ----------- (2) จาก z1 ≠ 0 จะสามารถพจิ ารณาได 3 กรณี คอื กรณี 1 ; a ≠ 0 และ b = 0 จาก (1) จะได ac = 0 ดงั นั้น c = 0 จาก (2) จะได ad = 0 ดังนั้น d = 0 กรณี 2 ; a = 0 และ b ≠ 0 จาก (1) จะได bd = 0 ดงั น้นั d = 0 จาก (2) จะได bc = 0 ดังน้ัน c = 0 กรณี 3 ; a ≠ 0 และ b ≠ 0 คูณ (1) ดวย b จะได abc − b2d =0 ----------- (3) จาก (2) ดว ย a จะได a2d + abc =0 ----------- (4) นํา (4) – (3) จะได a2d + b2d =0 ( )d a2 + b2 =0 จาก a ≠ 0 และ b ≠ 0 ดงั นั้น d = 0 จาก 1) เมื่อ d = 0 จะได ac = 0 ดงั น้ัน c = 0 จากทง้ั 3 กรณจี ะได z2 =c + di =0 ดังนั้น ถา z1z2 = 0 แลว z1 = 0 หรือ z2 = 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

188 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 แบบฝกหดั 1.3 1. 1) ให z = a + bi = −16i จะได a = 0, b = −16 และ r = (−16)2 = 16 เนอ่ื งจาก b < 0 จะไดว า รากท่สี องของ −16i คือ  16 − 16 i  = ±( 8 − 8i) ±  2 2  = ±(2 2 − 2 2i) ดังนน้ั รากทสี่ องของ −16i คือ 2 2 − 2 2i และ −2 2 + 2 2i 2) ให z = a + bi = 5 +12i จะได =a 5=, b 12 และ r = 52 +122 = 13 เนอ่ื งจาก b ≥ 0 จะไดวารากทส่ี องของ 5 +12i คือ  13 + 5 + 13 − 5i  = ±(3 + 2i) ±  2 2  ดงั นั้น รากทีส่ องของ 5 +12i คอื 3 + 2i และ −3 − 2i 3) ให z = a + bi = 3 + 4i จะได =a 3=, b 4 และ r = 32 + 42 = 5 เนอ่ื งจาก b ≥ 0 จะไดวารากทส่ี องของ 3 + 4i คือ  5+3 + 5 − 3i  = ±(2 + i) ±  2 2  ดังน้นั รากท่สี องของ 3 + 4i คอื 2 + i และ −2 − i 4) ให z = a + bi = 8 − 6i จะได a = 8, b = −6 และ r = 82 + (−6)2 = 10 เนอื่ งจาก b < 0 จะไดวา รากที่สองของ 8 − 6i คอื  10 + 8 − 10 − 8 i  = ± (3 − i) ±  2 2  ดังนัน้ รากทีส่ องของ 8 − 6i คอื 3 − i และ −3 + i ให z = a + bi = 1− 2 2i จะได a = 1, b = −2 2 และ r = 2 ( )5) 12 + −2 2 =3 เนอ่ื งจาก b < 0 จะไดว ารากท่สี องของ 1− 2 2i คอื ( ) 3+1 − 3 − 1i  2 2  ±  = ± 2 −i ดังน้ันรากท่สี องของ 1− 2 2i คอื 2 − i และ − 2 + i สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 189 2. 1) จาก x2 + 48 =0 จะได x2 = −48 x = ±4 3i ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คอื {4 3i, − 4 3i} 2) จาก 2x2 + 2x + 25 =0 เนอ่ื งจาก 22 − 4(2)(25) =−196 < 0 จะไดว า คําตอบของสมการนี้ คือ −2 ± −196 i −=2 ±14i −1± 7i = 4 42 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการนี้ คอื − 1 + 7 i, − 1 − 7 i   2 2 2 2  3) จาก 2x2 + 5x +12 =0 เนอื่ งจาก 52 − 4(2)(12) =−71< 0 จะไดวา คาํ ตอบของสมการน้ี คอื −5 ± −71i = −5 ± 71i 44 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ − 5 + 71 i, − 5 − 71 i   4 44 4   4) จาก 2x2 − 2x +1 =0 เน่ืองจาก (−2)2 − 4(2)(1) =−4 < 0 จะไดวา คาํ ตอบของสมการน้ี คือ 2 ± −4 i = 1± i 42 ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการน้ี คือ 1 + 1 i, 1 − 1 i   2 2 2   2  5) จาก x2 − 2x −1 =0 เนอ่ื งจาก (−2)2 − 4(1)(−1) =8 > 0 จะไดวา คาํ ตอบของสมการน้ี คือ 2 ± 8 = 1± 2 2 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {1+ 2,1− 2} สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

190 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 6) จาก x2 − 4x + 5 =0 เนอื่ งจาก (−4)2 − 4(1)(5) =−4 < 0 จะไดวา คาํ ตอบของสมการน้ี คือ 4 ± 2 −4 i 2±i = ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คอื {2 + i, 2 − i} 7) จาก x2 + x + 6 =0 เน่ืองจาก 12 − 4(1)(6) =−23 < 0 จะไดวา คําตอบของสมการนี้ คอื −1± −23i = −1± 23i 22 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คอื − 1 + 23 i, − 1 − 23 i   2 22 2   8) จาก 3x2 + 5x −16 =0 เนื่องจาก 52 − 4(3)(−16) = 217 > 0 จะไดว า คําตอบของสมการน้ี คือ −5 ± 217 6 ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการนี้ คอื − 5 + 217 , − 5 − 217   6 66  6  9) จาก 2x2 + 2x + 4 =0 เนอ่ื งจาก 22 − 4(2)(4) =−28 < 0 จะไดว า คําตอบของสมการน้ี คือ −2 ± −28 i = −1± 7i 42 ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการนี้ คือ − 1 + 7 i, − 1 − 7 i   2 22 2  10) จาก ( x +1)2 + 49 = 0 จะได ( x +1)2 = −49 x +1 = ±7i x = −1 ± 7i ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {−1+ 7i,−1− 7i} สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี