(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.2

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 191 11) จาก x4 −16 = 0 จะได (x2 − 4)(x2 + 4) = 0 (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) = 0 นนั่ คือ x = 2 หรอื x = −2 หรอื x2 + 4 =0 จาก x2 + 4 =0 จะได x = ±2i ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {2, − 2, 2i, − 2i} 12) จาก x4 + 2x2 − 24 = 0 จะได ( x2 + 6)( x2 − 4) = 0 (x2 + 6)(x − 2)(x + 2) = 0 นน่ั คือ x = 2 หรือ x = −2 หรอื x2 + 6 =0 จาก x2 + 6 =0 จะได x = ± 6i ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ {2, − 2, 6i, − 6i} 13) จาก x6 + 7x3 − 8 = 0 จะได ( x3 −1)( x3 + 8) = 0 ( ) ( )( x −1) x2 + x +1 ( x + 2) x2 − 2x + 4 = 0 นัน่ คอื x =1 หรอื x = −2 หรอื x2 + x +1 =0 หรือ x2 − 2x + 4 =0 จาก x2 + x +1 =0 จะได x = −1± 1− 4(1)(1) = −1± 3i 22 จาก x2 − 2x + 4 =0 จะได x = −2 ± 4 − 4(1)(4) 2± 12i = 1± 3i = 22 ดังนั้น เซตคําตอบของสมการนี้ คือ 1, −2, − 1 + 3 i,− 1 − 3 i,1 + 3i,1 − 3i   2 22 2   14) จาก x5 + 2x4 − 8x2 −16x =0 จะได =0 ( )x x4 + 2x3 − 8x −16 ( )x x3 ( x + 2) − 8( x + 2) = 0 ( )x( x + 2) x3 − 8 = 0 ( )x( x + 2)( x − 2) x2 + 2x + 4 = 0 นน่ั คอื x = 0 หรือ x = 2 หรอื x = −2 หรอื x2 + 2x + 4 =0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

192 คูม ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 จาก x2 + 2x + 4 =0 จะได x = −2 ± 4 −16 = −2 ± 12i = −1± 3i 22 ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการน้ี คือ {0, 2, − 2, −1+ 3i, −1− 3i} แบบฝก หัด 1.4 1. 1) หรอื สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 193 2) หรอื 2. จํานวนเชิงซอ นทีแ่ สดงดวยจดุ A คอื (3, 1) จาํ นวนเชิงซอนทแ่ี สดงดวยจดุ B คือ (0, 2) จํานวนเชงิ ซอ นทแี่ สดงดว ยจุด C คือ (−3,− 4) จาํ นวนเชิงซอนที่แสดงดว ยจดุ D คือ (2,− 2) จํานวนเชิงซอนที่แสดงดว ยจุด E คือ (−3, 0) จาํ นวนเชงิ ซอ นที่แสดงดวยจดุ F คอื (−1,−1) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

194 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 3. 1) z1 + z2 = (6 − 5i) + (−3 + 4i) = 3 − i เขียนกราฟแสดงไดด ังรูป 2) z1 − z2 = (6 − 5i) − (−3 + 4i) = 9 − 9i เขียนกราฟแสดงไดด งั รปู สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 195 4. 1) z = 1+ 3i เขยี นกราฟแสดงไดดังรูป Y 4 z 2 −2 O X 2 2) z = 1− 3i −2 Y เขียนกราฟแสดงไดดงั รูป 2 −2 O X 2 −2 z −4 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

196 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 Y 4 3) z2 = (1+ 3i)2 =−8 + 6i เขยี นกราฟแสดงไดด ังรปู z2 −8 −4 OX Y 4) −z = −1− 3i เขยี นกราฟแสดงไดด งั รูป 2 O X −2 2 −2 −z −4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 197 5) 1 = 1 = 1 − 3 i z 1+ 3i 10 10 เขียนกราฟแสดงไดด ังรปู Y 1 −1 O X 1 1 z −1 6) z z = (1+ 3i)(1− 3i) = 10 เขยี นกราฟแสดงไดดังรปู สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

198 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 zi X 5. 1) z = 2 − 5i 5 2) zi = (2 − 5i)i = 5 + 2i 3) zi2 = (2 − 5i)(−1) = −2 + 5i 4) zi3 = (2 − 5i)(−i) = −5 − 2i 5) zi4 = 2 − 5i เขียนกราฟแสดงจาํ นวนเชงิ ซอนไดดังน้ี Y zi 2 5 −5 O zi3 −5 z, zi4 6. 1) คาสัมบรู ณของ 4i คอื 4i = 02 + 42 = 4 2) คาสัมบรู ณข อง 2 − 3i คอื ( )2 − 3i = 2 2 + (−3)2 = 11 3) คาสมั บูรณข อง − 3 − i คอื − 3 − i = ( )− 3 2 + (−1)2 = 2 4) คา สมั บูรณข อง 5 + 2 3i คือ 22 5 +23 = ( ) ( )5 + 2 3i = 17 5) คาสมั บูรณของ −3 − 4i คือ − 3 − 4i = (−3)2 + (−4)2 = 5 6) คา สัมบูรณข อง −5 +12i คือ − 5 +12i = (−5)2 +122 = 13 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 199 7. ให z1 และ z2 เปน จาํ นวนเชงิ ซอน จากทฤษฎีบท 4 จะได z1 − z2 2 + z1 + z2 2 = ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) + ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) ( ) ( )= ( z1 − z2 ) z1 − z2 + ( z1 + z2 ) z1 + z2 = z1 z1 − z1 z2 − z2 z1 + z2 z2 + z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 = 2z1 z1 + 2z2 z2 = 2 z1 2 + 2 z2 2 8. 1) Re( z) < 2 เขียนกราฟของจุดทั้งหมดซึ่งสอดคลองกับ Re(z) < 2 แสดงเปนสวนแรเงาไดดงั น้ี Y 5 −5 O2 5 X −5 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 2) Im( z) > 3 เขียนกราฟของจดุ ท้ังหมดซง่ึ สอดคลองกับ Im(z) > 3 แสดงเปน สว นแรเงาไดด งั นี้ Y 5 5X 3 −5 O สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 201 3) เนือ่ งจาก z − 2 คอื ระยะทางระหวางจดุ (2, 0) และจดุ z ใด ๆ ดังนน้ั เซตของจดุ ทง้ั หมดในระนาบเชงิ ซอนซ่งึ สอดคลอ งกับอสมการ z − 2 ≤1 คือ เซตของจดุ ท่ีอยูบนเสน รอบวงและอยภู ายในวงกลมที่มีจดุ ศนู ยกลางอยทู จ่ี ดุ (2, 0) และมีรัศมยี าว 1 หนวย จะได กราฟของจุดทง้ั หมดซึ่งสอดคลองกับอสมการ z − 2 ≤1 แสดงเปนสวนแรเงา ไดดงั นี้ Y 2 O X 24 −2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

202 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 4) เน่ืองจาก z + i = z − (−i) คือ ระยะทางระหวางจดุ (0, −1) และจดุ z ใด ๆ ดังนน้ั เซตของจดุ ทัง้ หมดในระนาบเชงิ ซอนซ่ึงสอดคลอ งกับอสมการ z + i ≥1 คอื เซตของจุดท่อี ยูบนเสน รอบวงและอยูภายนอกวงกลมท่ีมจี ดุ ศูนยก ลางอยทู จี่ ุด (0, −1) และรัศมียาว 1 หนว ย จะได กราฟของจุดทงั้ หมดซง่ึ สอดคลอ งกับอสมการ z + i ≥1 แสดงเปนสวนแรเงา ไดด ังนี้ Y −2 O X −2 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 203 5) เนือ่ งจาก z − 2 + 3i = z − (2 − 3i) คือระยะทางระหวา งจดุ (2, − 3) และจุด z ใด ๆ ดงั นนั้ เซตของจดุ ท้ังหมดในระนาบเชงิ ซอนซ่งึ สอดคลอ งกับอสมการ z − 2 + 3i < 3 คือ เซตของจุดที่อยูภายในวงกลม (ไมรวมจดุ บนเสนรอบวง) ท่มี ีจดุ ศูนยก ลางอยูท จ่ี ุด (2, − 3) และรัศมยี าว 3 หนว ย จะได กราฟของจุดทง้ั หมดซ่ึงสอดคลองกับอสมการ z − 2 + 3i < 3 แสดงเปนสวนแรเงา ไดด งั นี้ Y O X 5 −5 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

204 คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 6) ให z = a + bi จะได z= a − bi น่นั คือ i + z =i + (a − bi) =a + (1− b)i จาก Im(i + z ) =4 จะได 1− b =4 น่ันคอื b = −3 จะได Im( z) = −3 จะได กราฟของจดุ ท้ังหมดซึง่ สอดคลอ งกับสมการ Im(i + z ) =4 แสดงไดด ังน้ี Y 2 −2 O X 2 −2 −3 −4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 205 7) กราฟของจดุ ท้งั หมดในระนาบเชงิ ซอ นซ่งึ สอดคลองกบั สมการ z + 2 = z − 2 คือ กราฟของจดุ ท้ังหมดในระนาบเชิงซอ นท่มี ีระยะหา งจากจุด (−2,0) เทา กับระยะหา ง จากจดุ (2, 0) น่นั คอื แกนจนิ ตภาพ ดงั รปู Y 2 X 2 −2 O −2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

206 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 8) กราฟของจดุ ทั้งหมดในระนาบเชิงซอ นซง่ึ สอดคลองกับสมการ z − 3i = z + i คือ กราฟของจุดทั้งหมดในระนาบเชงิ ซอนทีม่ ีระยะหางจากจุด (0, 3) เทากับระยะหา ง จากจุด (0, −1) น่นั คอื เสนตรง y =1 (หรอื z = i ) ดังรปู Y 2 X 2 −2 O −2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 207 9) ใหจ ํานวนเชิงซอ น z= x + yi จาก z + 2i =z − 3 นน่ั คอื ( x + yi) + 2i = ( x + yi) − 3 x + ( y + 2)i = ( x − 3) + yi จะได x2 + ( y + 2)2 = ( x − 3)2 + y2 x2 + y2 + 4y + 4 = x2 − 6x + 9 + y2 6x + 4y −5 = 0 ดงั นน้ั กราฟของจุดทง้ั หมดซึ่งสอดคลองกับ z + 2i =z − 3 คอื 6x + 4y − 5 =0 แสดงไดดงั รูป Y 2 −2 O X −2 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

208 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 10) ใหจํานวนเชิงซอ น z= x + yi จาก z − (2 + i) = z + (2 + 3i) นัน่ คอื ( x + yi) − (2 + i) = ( x + yi) + (2 + 3i) ( x − 2) + ( y −1)i = ( x + 2) + ( y + 3)i จะได ( x − 2)2 + ( y −1)2 = ( x + 2)2 + ( y + 3)2 x2 − 4x + 4 + y2 − 2y +1 = x2 + 4x + 4 + y2 + 6y + 9 x + y +1 = 0 ดังน้นั กราฟของจุดท้ังหมดซ่ึงสอดคลอ งกับ z − (2 + i) = z + (2 + 3i) คอื x + y +1 =0 ดงั รูป Y 2 X −2 O 2 −2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 209 แบบฝก หัด 1.5 1. 1) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชิงข้วั ของ 1+ 3i จะได r =12 + ( )2 3 =2 เนอื่ งจาก tan=θ =3 3 และ (1, 3) เปน จดุ ในจตภุ าคที่ 1 1 จะไดวา θ คาหนง่ึ ทท่ี าํ ให tanθ = 3 คอื π 3 ดงั น้ัน รูปเชงิ ขว้ั รูปหน่งึ ของ 1+ 3i คือ 2  cos π + i sin π   3 3  และรูปเชิงขว้ั ท่ัวไปของ 1+ 3i คือ  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ   2  3   3     เม่อื k ∈ 2) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชงิ ข้ัวของ 1− i จะได =r 12 + (−1)2= 2 เนอื่ งจาก tanθ = (−1) = −1 และ (1, −1) เปนจุดในจตุภาคท่ี 4 1 จะไดว า θ คา หนึ่ง ทีท่ ําให tanθ = −1 คือ 7π 4 ดังนั้น รปู เชิงขัว้ รูปหนง่ึ ของ 1− i คอื 2  cos 7π + i sin 7π   4 4  และรูปเชิงขัว้ ทัว่ ไปของ 1− i คือ 2  cos  7π + 2kπ  + i sin  7π + 2kπ   4   4     เมอื่ k ∈ 3) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชิงข้วั ของ −2 3 + 2i จะได r = (−2 )3 2 + 22 =4 เนอ่ื งจาก tanθ = 2 = − 1 และ (−2 3, 2) เปนจดุ ในจตภุ าคที่ 2 −2 3 3 จะไดวา θ คาหนงึ่ ท่ที าํ ให tanθ = − 1 คือ 5π 36 ดังนัน้ รูปเชงิ ขัว้ รปู หนงึ่ ของ −2 3 + 2i คือ 4  cos 5π + i sin 5π  6 6  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

210 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 และรูปเชงิ ขว้ั ทว่ั ไปของ −2 3 + 2i คอื 4  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ    6   6    เมอื่ k ∈ 4) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชิงขว้ั ของ −4 − 4i จะได r = (−4)2 + (−4)2 = 4 2 เนอ่ื งจาก tan=θ −=4 1 และ (−4, − 4) เปน จดุ ในจตภุ าคท่ี 3 −4 จะไดว า θ คาหนึง่ ทท่ี าํ ให tanθ =1 คือ 5π 4 ดังนัน้ รปู เชิงข้วั รูปหน่ึงของ −4 − 4i คอื 4 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  และรปู เชงิ ขว้ั ทัว่ ไปของ −4 − 4i คือ 4 2  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ    4   4   เมอื่ k ∈ 5) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชงิ ขว้ั ของ 12 −12 3i จะได= r ( )122 + −12 2 24 3= เนือ่ งจาก tanθ = −12 3 = − 3 และ (12, −12 3) เปนจดุ ในจตุภาคท่ี 4 12 จะไดวา θ คา หนง่ึ ทท่ี ําให tanθ = − 3 คอื 5π 3 ดังนั้น รปู เชงิ ข้วั รปู หนง่ึ ของ 12 −12 3i คือ 24 cos 5π + i sin 5π  3 3  และรูปเชิงขัว้ ทั่วไปของ 12 −12 3i คอื  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ  24   3   3   เมื่อ k ∈ 6) ให r (cosθ + isinθ ) เปน รปู เชิงขวั้ ของ −i จะได =r 02 + (−1)=2 1 เน่ืองจาก −i เปน จดุ บนแกน Y ดา นลบ จะได θ = 3π 2 ดงั น้นั รปู เชงิ ขั้วรูปหน่ึงของ −i คือ 1 cos 3π + i sin 3π  2 2  และรปู เชงิ ขั้วทวั่ ไปของ −i คือ 1 cos  3π + 2kπ  + i sin  3π + 2kπ   เมอื่ k ∈  2   2    สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 211 2. 1) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชิงขวั้ ของ 2 + 2i จะได=r 2=,θ π 4 ดังนน้ั รูปเชงิ ข้วั รูปหนงึ่ ของ 2+ 2i คอื 2  cos π + i sin π   4 4  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะไดว า ( )2 + 5 = 25  cos 5π + i sin 5π   4 4  2i =  2  2   25  − 2 + i  − 2   = −16 2 −16 2i 2) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรปู เชิงขวั้ ของ 3 − i จะได=r 2=,θ 11π 6 ดังน้นั รปู เชิงขวั้ รปู หน่งึ ของ 3−i คือ 2  cos 11π + i sin 11π  6 6  จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร จะไดวา ( )7 27  cos 77π + i sin 77π  3−i =  6 6  = 27  cos 5π + i sin 5π   6 6  = 27  − 3 + i  1    2  2   = −64 3 + 64i 3) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชงิ ขั้วของ 3 + i 22 จะได =r 1,=θ π 6 ดงั น้ัน รูปเชิงข้วั รปู หน่งึ ของ 3+i คอื 1 cos π + i sin π  22 6 6  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะไดว า สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

212 คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2  3 + i 100 = 1100  cos 100π + i sin 100π   2 2   6 6  = cos 2π + i sin 2π 33 = −1+ 3i 22 4) เนื่องจาก 1− i เขียนในรปู เชิงขัว้ ไดเปน 2  cos 7π + i sin 7π   4 4  และ −1− i เขยี นในรูปเชงิ ข้ัวไดเ ปน 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร และทฤษฎบี ท 5 จะไดวา (( ))= 2 6  cos 42π + i sin 42π   4 4  (1− i)6 (−1− i)4 2 4  cos 20π + i sin 20π   4 4  = 2  cos 22π + i sin 22π   4 4  = 2  cos 11π + i sin 11π  2 2  = 2(0 + i(−1)) = −2i 5) เนอื่ งจาก − 3+i เขียนในรูปเชิงขว้ั ไดเ ปน 2  cos 5π + i sin 5π   6 6  และ 2 3 + 2i เขยี นในรปู เชงิ ขวั้ ไดเ ปน 4 cos π + i sin π  6 6  จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร และทฤษฎีบท 5 จะไดวา ( ) ( )3 5 − 3 + i 2 3 + 2i ( 4i )4  23  cos 15π + i sin 15π    45  cos 5π + i sin 5π    6 6     6 6   = 44 = 32  cos 20π + i sin 20π  6 6  สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 213 = 32  cos 4π + i sin 4π   3 3  = 32  − 1 + i  − 3    2  2   = −16 −16 3i 6) เนื่องจาก 2 3 + 6i เขียนในรูปเชงิ ข้ัวไดเ ปน 48  cos π + i sin π   3 3  2 + 2i เขียนในรูปเชงิ ขวั้ ไดเปน 8  cos π + i sin π   4 4  และ 3−i เขยี นในรปู เชิงขั้วไดเปน 2  cos  − π  + i sin  − π    6   6     จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร และทฤษฎบี ท 5 จะไดว า 2 3 + 6i = 48  cos  − π  + i sin  − π     3   3   ( ) ( )80 48 80  cos  − 80π  + i sin  − 80π    3   3   2 3 + 6i = = 4840  cos 4π + i sin 4π   3 3  ( )(2 + 2i)45 = 8 45  cos 45π + i sin 45π   4 4  = 267 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  ( )35 = 235  cos  − 35π  + i sin  − 35π  3−i   6   6     = 235  cos π + i sin π   6 6  สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

214 คูม อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 80 ( ( ) )ดงั นัน้ 2 3 + 6i (2 + 2i)45 35 3−i 4840  cos 4π + i sin 4π   3 3  =   5π + i sin 5π     π + i sin π   267 2  cos 4 4    235  cos 6 6   = 257 ⋅ 340 2  cos  − π  + i sin  − π     12   12     = 257 ⋅ 340 2  cos 11π + i sin 11π   12 12  1) เน่อื งจาก 1− 3i = 2 ( )3. 12 + − 3= 1+ 3= 2 และ 1− 3i =  1 − 3 i  2  2 2  = 2  cos 5π + i sin 5π   3 3  = 2  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ  เมือ่ k ∈  3   3   ดงั น้นั =θ 5π + 2kπ เม่ือ k ∈ 3 เน่ืองจาก ตองการหา θ ที่ 2π ≤θ < 6π เทานน้ั ดงั น้ัน คา k ทีเ่ ปนไปได คือ 1 และ 2 ซึง่ ทําใหไดวา r = 2 และ θ = 11π หรอื θ = 17π 33 2) เน่ืองจาก −1− i = (−1)2 + (−1)2 = 1+1= 2 และ −1− i = 2  − 1− 1 i   2 2  = 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  = 2  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ   เมอื่ k ∈   4   4     สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 215 ดังน้นั =θ 5π + 2kπ เม่ือ k ∈ 4 เน่ืองจาก ตองการหา θ ท่ี 5π ≤θ < 7π เทา นั้น ดงั นน้ั คา k ทีเ่ ปนไปได คือ 2 ซึง่ ทําใหไดวา r = 2 และ θ = 21π 4 3) เนอื่ งจาก −1− i = (−1)2 + (−1)2 = 1+1= 2 และ −1 − i = 2  − 1− 1 i   2 2  = 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  = 2  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ  เมื่อ k ∈  4   4   ดังนั้น 2=θ 5π + 2kπ เมอื่ k ∈ 4 นัน่ คอื =θ 5π + kπ เมอ่ื k ∈ 8 เน่อื งจาก ตองการหา θ ท่ี 0 ≤θ < 2π เทานนั้ ดงั นน้ั คา k ท่เี ปนไปได คือ 0 และ 1 ซ่งึ ทาํ ใหไดวา r = 4 2 และ θ = 5π หรือ θ = 13π 88 แบบฝก หัด 1.6 1. 1) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากทส่ี ามของ −64 จะได z3 = −64 เน่อื งจาก=−64 64(cosπ + isinπ ) จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r3 (cos3θ + isin 3θ ) = 64(cosπ + isinπ ) ดังนัน้ r3 = 64 และ 3θ − π = 2kπ เมอ่ื k ∈ θ = π + 2kπ เม่ือ k ∈ จึงไดว า r = 4 และ 3 ดังนั้น z = 4  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เม่ือ k ∈   3   3     สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

216 คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 เมอ่ื k = 0 จะได z1 = 4  cos π + i sin π  = 2 + 2 3i 3 3  เม่ือ k = 1 จะได z2 = 4(cosπ + isinπ ) = −4 เมือ่ k = 2 จะได z3 = 4  cos 5π + i sin 5π  = 2−2 3i  3 3  เวกเตอรท ่ีแสดงรากที่ 3 ของ −64 มีขนาด 4 หนวย และเวกเตอรแ ตล ะคทู ่ีอยใู น ลําดบั ตดิ กนั ทาํ มมุ ขนาด 2π หรอื 120° เทากันทกุ คู ซงึ่ เขียนแสดงไดด งั นี้ 3 2) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากทสี่ ามของ 27i จะได z3 = 27i เน่ืองจ=าก 27i 27  cos π + i sin π   2 2  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะได r3 (cos3θ + isin3θ )= 27  cos π + i sin π   2 2  ดังนน้ั r3 = 27 และ 3θ − π = 2kπ เมือ่ k ∈ จงึ ไดว า r =3 เม่ือ k ∈ 2 และ π + 2kπ θ= 2 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 217 ดังนัน้ z = 3 cos π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เมือ่ k ∈ 6 3   6 3   เมอื่ k = 0 จะได z1 = 3 cos π + i sin π  = 3 3 + 3i 6 6  22 เม่อื k = 1 จะได z2 = 3 cos 5π + i sin 5π  = −3 3 + 3i 6 6  22 เม่อื k = 2 จะได z3 = 3 cos 3π + i sin 3π  = −3i 2 2  เวกเตอรที่แสดงรากที่ 3 ของ 27i มีขนาด 3 หนว ย และเวกเตอรแตล ะคูท่ีอยูในลําดับ ตดิ กัน ทาํ มุมขนาด 2π หรอื 120° เทากันทุกคู ซง่ึ เขียนแสดงไดด ังนี้ 3 3) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากทส่ี ามของ 3 − i จะได z=3 3 − i เนอื่ งจาก=3 − i 2  cos 11π + i sin 11π   6 6  จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร จะได r3 (cos3θ + i sin 3θ )= 2  cos 11π + i sin 11π   6 6  ดังนั้น r3 = 2 และ 3θ − 11π = 2kπ เมอ่ื k ∈ 6 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

218 คูม ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 จึงไดวา r = 3 2 และ 11π + 2kπ เมอื่ k ∈ θ= 6 3 ดังนั้น z = 3 2  cos  11π + 2kπ  + i sin  11π + 2kπ  เมอ่ื k ∈   18 3   18 3   เมือ่ k = 0 จะได z1 = 3 2  cos 11π + i sin 11π   18 18  เม่ือ k = 1 จะได z2 = 3 2  cos 23π + i sin 23π   18 18  เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 2  cos 35π + i sin 35π   18 18  เวกเตอรท ี่แสดงรากที่ 3 ของ 3 − i มขี นาด 3 2 หนว ย และเวกเตอรแตละคูท่อี ยูใน ลาํ ดับติดกัน ทาํ มุมขนาด 2π หรอื 120° เทากนั ทกุ คู ซง่ึ เขยี นแสดงไดด งั น้ี 3 4) =ให z r (cosθ + i sinθ ) เปน รากท่สี ามของ 8 cos π + i sin π  3 3  จะไ=ด z3 8 cos π + i sin π  3 3  จากทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร จะได r3 ( cos 3θ + i sin 3θ ) = 8 cos π + i sin π  3 3  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 219 ดังนั้น r3 = 8 และ 3θ − π = 2kπ เมอื่ k ∈ 3 จงึ ไดวา r = 2 และ π + 2kπ เมอ่ื k ∈ θ= 3 3 ดงั นั้น z =  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เมอ่ื k ∈ 2  9 3   9 3     เม่ือ k = 0 จะได z1 = 2  cos π + i sin π   9 9  เมอ่ื k = 1 จะได z2 = 2  cos 7π + i sin 7π   9 9  เม่ือ k = 2 จะได z3 = 2  cos 13π + i sin 13π   9 9  เวกเตอรที่แสดงรากที่ 3 ของ 8 cos π + i sin π  มขี นาด 2 หนว ย และเวกเตอร 3 3  แตล ะคูทอี่ ยใู นลําดับติดกัน ทํามุมขนาด 2π หรือ 120° เทา กันทุกคู ซงึ่ เขยี นแสดง 3 ไดด ังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

220 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 2. พิจารณา 1 = 1(cos0 + isin 0) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากทสี่ องของ 1 จะได z2 =1 จากทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร จะได r2 (cos 2θ + isin 2θ ) =1(cos0 + isin 0) ดงั นนั้ r2 = 1 และ 2θ − 0 = 2kπ เมอื่ k ∈ จงึ ไดว า r = 1 และ θ = kπ เมอื่ k ∈ ดังน้ัน z = 1(cos kπ + isin kπ ) เมือ่ k ∈ เมอ่ื k = 0 จะได z1 = cos0 + isin 0 = 1 เมือ่ k = 1 จะได z2 = cosπ + isinπ = −1 เวกเตอรท่ีแสดงรากท่ี 2 ของ 1 มีขนาด 1 หนว ย และเวกเตอรท ง้ั สองทํามุมขนาด π หรือ 180° ซง่ึ เขียนแสดงไดด งั น้ี =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ีส่ขี อง 1 จะได z4 =1 จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r4 (cos 4θ + isin 4θ ) =1(cos0 + isin 0) ดังนนั้ r4 = 1 และ 4θ − 0 = 2kπ เมอ่ื k ∈ จึงไดวา r = 1 และ θ = 2kπ เมื่อ k ∈ 4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 221 ดังนั้น z = 1 cos kπ + i sin kπ  เมอื่ k ∈ 2 2  เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos0 + isin 0 = 1 เมือ่ k = 1 จะได z2 = π + i sin π =i cos 22 เม่ือ k = 2 จะได z3 = cosπ + isinπ = −1 เมื่อ k = 3 จะได z4 = cos 3π + i sin 3π = −i 22 เวกเตอรท ่ีแสดงรากท่ี 4 ของ 1 มีขนาด 1 หนวย และเวกเตอรแตละคทู ่ีอยใู นลาํ ดับตดิ กัน ทํามมุ ขนาด π หรอื 90° เทากันทุกคู ซึ่งเขยี นแสดงไดดังน้ี 2 =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ีแปดของ 1 จะได z8 =1 จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร จะได r8 (cos8θ + isin8θ ) =1(cos0 + isin 0) ดงั นน้ั r8 = 1 และ 8θ − 0 = 2kπ เม่ือ k ∈ θ = 2kπ เม่ือ k ∈ จึงไดว า r = 1 และ 8 ดงั นั้น z = 1 cos kπ + i sin kπ  เม่ือ k ∈ 4 4  สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 เม่อื k = 0 จะได z1 = cos0 + isin 0 =1 เมือ่ k = 1 จะได z2 = cos π + i sin π = 2+ 2i 44 22 เมือ่ k = 2 จะได z3 = cos π + i sin π =i 22 เมอ่ื k = 3 จะได z4 = cos 3π + i sin 3π = − 2+ 2i เมื่อ k = 4 44 22 จะได z5 = cosπ + i sinπ = −1 เมื่อ k = 5 จะได z6 = cos 5π + i sin 5π = − 2− 2i 44 22 เมอื่ k = 6 จะได z7 = cos 3π + i sin 3π = −i 22 เมอ่ื k = 7 จะได z8 = cos 7π + i sin 7π = 2− 2i 44 22 เวกเตอรท ่ีแสดงรากท่ี 8 ของ 1 มขี นาด 1 หนว ย และเวกเตอรแ ตล ะคทู ่ีอยใู นลําดบั ติดกนั ทํามมุ ขนาด π หรือ 45° เทา กนั ทุกคู ซงึ่ เขยี นแสดงไดด ังนี้ 4 พิจารณา i = 1 cos π + i sin π  2 2  =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากทสี่ องของ i สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 223 จะได z2 = i จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร จะได r2 (cos 2θ + i sin 2θ ) = 1 cos π + i sin π  2 2  ดงั นั้น r2 = 1 และ 2θ − π = 2kπ เมื่อ k ∈ จึงไดว า r = 1 2 และ θ = π + 2kπ เมือ่ k ∈ 2 2 ดังนั้น z = 1 cos  π + kπ  + i sin  π + kπ   เม่อื k ∈   4   4    เมอ่ื k = 0 จะได z1 = cos π + i sin π = 2+ 2i 44 22 เมอ่ื k = 1 จะได z2 = cos 5π + i sin 5π = − 2− 2i 44 22 เวกเตอรท ี่แสดงรากที่ 2 ของ i มขี นาด 1 หนวย และเวกเตอรท้งั สองทํามมุ ขนาด π หรือ 180° ซึง่ เขยี นแสดงไดดังน้ี =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากทส่ี ขี่ อง i จะได z4 = i จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร จะได r4 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 1 cos π + i sin π  2 2  สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

224 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 ดงั น้นั r4 = 1 และ 4θ − π = 2kπ เมอ่ื k ∈ 2 จึงไดว า r = 1 และ θ = π + 2kπ เม่ือ k ∈ 2 4 ดังน้ัน z = 1 cos  π + kπ  + i sin  π + kπ  เมื่อ k ∈   8 2   8 2    เมอ่ื k = 0 จะได z1 = π + π cos i sin 88 เมอ่ื k = 1 จะได z2 = cos 5π + i sin 5π 88 เมื่อ k = 2 จะได z3 = cos 9π + i sin 9π 88 เมื่อ k = 3 จะได z4 = cos13π + i sin 13π 88 เวกเตอรท ่ีแสดงรากที่ 4 ของ i มีขนาด 1 หนว ย และเวกเตอรแ ตละคทู ี่อยใู นลําดับติดกนั ทาํ มมุ ขนาด π หรอื 90° เทากนั ทุกคู ซึง่ เขยี นแสดงไดด ังน้ี 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 225 =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากท่แี ปดของ i จะได z8 = i จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r8 ( cos 8θ + i sin 8θ ) = 1 cos π + i sin π  2 2  ดงั น้นั r8 = 1 และ 8θ − π = 2kπ เม่อื k ∈ จึงไดวา r = 1 เม่ือ k ∈ 2 และ π + 2kπ θ= 2 8 ดงั น้ัน z = 1 cos  π + kπ  + i sin  π + kπ   เมอื่ k ∈   16 4   16 4    เม่อื k = 0 จะได z1 = cos π + i sin π 16 16 เม่อื k = 1 จะได z2 = cos 5π + i sin 5π 16 16 เม่อื k = 2 จะได z3 = cos 9π + i sin 9π 16 16 เมือ่ k = 3 จะได z4 = cos13π + i sin 13π 16 16 เมือ่ k = 4 จะได z5 = cos17π + i sin 17π 16 16 เมื่อ k = 5 จะได z6 = cos 21π + i sin 21π 16 16 เมื่อ k = 6 จะได z7 = cos 25π + i sin 25π 16 16 เมื่อ k = 7 จะได z8 = cos 29π + i sin 29π 16 16 เวกเตอรท ่ีแสดงรากท่ี 8 ของ i มีขนาด 1 หนวย และเวกเตอรแ ตละคทู ี่อยใู นลาํ ดบั ตดิ กนั ทํามุมขนาด π หรอื 45° เทากันทุกคู ซ่งึ เขียนแสดงไดดังนี้ 4 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

226 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 3. =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากทส่ี ข่ี อง 2 + 2 3i จะได z4= 2 + 2 3i เนื่องจาก 2+2 3i = 4  cos π + i sin π   3 3  จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r4 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 4  cos π + i sin π  3 3  ดังน้นั r4 = 4 และ 4θ − π = 2kπ เมือ่ k ∈ 3 จงึ ไดวา r = 4 4 = 2 และ π + 2kπ เมือ่ k ∈ θ= 3 4 ดังนั้น z= 2  cos  π + kπ  + i sin π + kπ  เมือ่ k ∈  12 2   12 2     เมือ่ k = 0 จะได z1 = 2  π + i sin π   cos 12  12 เมอื่ k = 1 จะได z2 = 2  cos 7π + i sin 7π   12 12  เมอ่ื k = 2 จะได z3 = 2  cos 13π + i sin 13π   12 12  สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 227 เมือ่ k = 3 จะได z4 = 2  cos 19π + i sin 19π   12 12  4. =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่หี า ของ 2 − 2 3i จะได z5= 2 − 2 3i เน่ืองจาก 2 − 2 =3i 4  cos 5π + i sin 5π  3 3  จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r5 (cos5θ + i sin 5θ )= 4  cos 5π + i sin 5π  3 3  ดังนน้ั r5 = 4 และ 5θ − 5π = 2kπ เมือ่ k ∈ 3 จึงไดวา r = 5 4 และ 5π + 2kπ เมื่อ k ∈ θ= 3 5 ดังนั้น z = 5 4  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เมอ่ื k ∈   3 5   3 5     เมอื่ k = 0 จะได z1 = 5 4  cos π + i sin π   3 3  เมอื่ k = 1 จะได z2 = 5 4  cos 11π + i sin 11π   15 15  เมอ่ื k = 2 จะได z3 = 5 4  cos 17π + i sin 17π   15 15  เมื่อ k = 3 จะได z4 = 5 4  cos 23π + i sin 23π   15 15  เมื่อ k = 4 จะได z5 = 5 4  cos 29π + i sin 29π   15 15  5. 1) จาก z4 = 1+ 3i =ให z r (cosθ + isinθ ) สอดคลองกบั สมการขา งตน เนื่องจาก 1+ =3i 2 cos π + i sin π  3 3  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะได r4 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 2  cos π + i sin π  3 3  ดังนัน้ r4 = 2 และ 4θ − π = 2kπ เม่ือ k ∈ 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

228 คูม อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 จงึ ไดวา r = 4 2 และ π + 2kπ เมื่อ k ∈ θ= 3 4 ดงั นั้น z = 4 2  cos  π + kπ  + i sin  π + kπ  เมอื่ k ∈   12 2   12 2   เมื่อ k = 0 จะได z1 = 4 2  cos π + i sin π   12 12  เมอ่ื k = 1 จะได z2 = 4 2  cos 7π + i sin 7π   12 12  เม่ือ k = 2 จะได z3 = 4 2  cos 13π + i sin 13π   12 12  เมอ่ื k = 3 จะได z4 = 4 2  cos 19π + i sin 19π   12 12  2) จาก z5 + i =0 จะได z5 = −i =ให z r (cosθ + isinθ ) สอดคลอ งกบั สมการขางตน เน่ืองจาก −i = 1 cos 3π + i sin 3π  2 2  จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r5 (cos5θ + i sin 5θ ) = 1 cos 3π + i sin 3π  2 2  ดงั นน้ั r5 = 1 และ 5θ − 3π = 2kπ เมอื่ k ∈ 2 จงึ ไดว า r = 1 และ 3π + 2kπ เมือ่ k ∈ θ= 2 5 ดังนั้น z =  cos  3π + 2kπ  + i sin  3π + 2kπ  เมอ่ื k ∈ 1  10 5   10 5     เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos 3π + i sin 3π 10 10 เมอ่ื k = 1 จะได z2 = cos 7π + i sin 7π 10 10 เมื่อ k = 2 จะได z3 = cos11π + i sin 11π 10 10 เมอ่ื k = 3 จะได z4 = cos 3π + i sin 3π = −i 22 เม่ือ k = 4 จะได z5 = cos19π + i sin 19π 10 10 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 229 3) จาก z7 −1 =0 จะได z7 =1 =ให z r (cosθ + isinθ ) สอดคลองกับสมการขา งตน เนื่องจาก 1 = 1(cos0 + isin 0) จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r7 (cos7θ + isin 7θ ) =1(cos0 + isin 0) ดังน้ัน r7 = 1 และ 7θ − 0 = 2kπ เมือ่ k ∈ θ = 2kπ เมื่อ k ∈ จึงไดว า r = 1 และ 7 ดังนั้น z = 1 cos 2kπ + i sin 2kπ  เมอื่ k ∈ 7 7  เมอ่ื k = 0 จะได z1 = cos0 + isin 0 = 1 เม่อื k = 1 จะได z2 = cos 2π + i sin 2π 77 เม่ือ k = 2 จะได z3 = cos 4π + i sin 4π 77 เม่อื k = 3 จะได z4 = cos 6π + i sin 6π 77 เมอ่ื k = 4 จะได z5 = cos 8π + i sin 8π 77 เม่ือ k = 5 จะได z6 = cos10π + i sin 10π 77 เมือ่ k = 6 จะได z7 = cos12π + i sin 12π 77 4) จาก z8 + 4 + 4i =0 จะได z8 =− 4 − 4i =ให z r (cosθ + isinθ ) สอดคลองกับสมการ เนือ่ งจาก −4 − 4i = 4 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะได r8 (cos8θ + i sin 8=θ ) 4 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  ดงั นน้ั r8 = 4 2 และ 8θ − 5π = 2kπ เมือ่ k ∈ 4 จงึ ไดว า r = 16 32 และ 5π + 2kπ เมอื่ k ∈ θ= 4 8 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

230 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 ดงั นน้ั z = 16 32  cos  5π + kπ  + i sin  5π + kπ  เมอ่ื k ∈   32 4   32 4     เมอ่ื k = 0 จะได z1 = 16 32  cos 5π + i sin 5π   32 32  เมื่อ k = 1 จะได z2 = 16 32  cos 13π + i sin 13π   32 32  เมื่อ k = 2 จะได z3 = 16 32  cos 21π + i sin 21π   32 32  เมอื่ k = 3 จะได z4 = 16 32  cos 29π + i sin 29π   32 32  เมอ่ื k = 4 จะได z5 = 16 32  cos 37π + i sin 37π   32 32  เมื่อ k = 5 จะได z6 = 16 32  cos 45π + i sin 45π   32 32  เมอ่ื k = 6 จะได z7 = 16 32  cos 53π + i sin 53π   32 32  เมื่อ k = 7 จะได z8 = 16 32  cos 61π + i sin 61π   32 32  แบบฝกหัด 1.7 1. 1) ให p ( x)= 2x3 + 2x2 + x +1 เนอ่ื งจากจาํ นวนเต็มท่หี าร 1 ลงตัว คอื ±1 และจาํ นวนเตม็ ที่หาร 2 ลงตัว คือ ±1, ± 2 ดังนนั้ จาํ นวนตรรกยะ k ท่ีทาํ ให p  k  = 0 จะอยูในกลมุ ของจาํ นวนตอไปน้ี ±1, ± 1 m  m  2 พิจารณา p(−1) =2(−1)3 + 2(−1)2 + (−1) +1 =−2 + 2 −1+1 =0 แสดงวา x +1 เปน ตวั ประกอบของ p(x) ดงั น้นั 2x3 + 2x2 + x +1 = ( x +1)(2x2 +1) นัน่ คอื ( )( x +1) 2x2 +1 = 0 จะได x = −1 หรอื 2x2 +1 =0 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 231 ถา 2x2 +1 =0 แลว x = ± 2 i 2 ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการนี้ คอื −1, 2 i, − 2 i   2 2   2) ให p( x)= 2x3 − x +1 เน่อื งจากจาํ นวนเต็มทีห่ าร 1 ลงตัว คือ ±1 และจํานวนเตม็ ท่หี าร 2 ลงตวั คอื ±1, ± 2 ดังนัน้ จํานวนตรรกยะ k ที่ทําให p  k  = 0 จะอยูในกลุมของจาํ นวนตอไปนี้ ±1, ± 1 m  m  2 พิจารณา p(−1) =2(−1)3 − (−1) +1 =−2 +1+1 =0 แสดงวา x +1 เปนตวั ประกอบของ p(x) ดงั นนั้ 2x3 − x +1= ( )( x +1) 2x2 − 2x +1 นนั่ คอื ( )( x +1) 2x2 − 2x +1 = 0 จะได x = −1 หรอื 2x2 − 2x +1 =0 ถา 2x2 − 2x +1 =0 แลว x= −(−2) ± 4 − 4(2)(1) i 1 ± 1i 2(2) = 22 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คอื −1, 1 + 1 i, 1 − 1 i   2 2 2 2   3) จาก x4 − 6x2 − 40 = 0 จะไดว า ( x2 + 4)( x2 −10) = 0 จะได x2 + 4 =0 หรอื x2 −10 =0 ถา x2 + 4 =0 แลว x = ±2i ถา x2 −10 =0 แลว x = ± 10 ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการนี้ คอื { 10, − }10, 2i, − 2i 4) ให p ( x) = x4 − x3 + 7x2 − 9x −18 เน่ืองจากจํานวนเต็มทีห่ าร −18 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ±18 พิจารณา p(−1) =(−1)4 − (−1)3 + 7(−1)2 − 9(−1) −18 = 1+1+ 7 + 9 −18 =0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 และ p(2) = (2)4 − (2)3 + 7(2)2 − 9(2) −18 = 16 − 8 + 28 −18 −18 =0 แสดงวา x +1 และ x − 2 เปน ตัวประกอบของ p(x) ( )ดังน้ัน x4 − x3 + 7x2 − 9x −18 = ( x +1)( x − 2) x2 + 9 น่ันคือ (( x +1)( x − 2) x2 + 9) = 0 จะได x = −1 หรือ x = 2 หรอื x2 + 9 =0 ถา x2 + 9 =0 แลว x = ±3i ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {−1, 2, 3i, − 3i} 5) ให p ( x) =x4 − 6x3 +15x2 − 22x +12 เนื่องจากจํานวนเต็มทีห่ าร 12 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12 พิจารณา p(1) = (1)4 − 6(1)3 +15(1)2 − 22(1) +12 = 1− 6 +15 − 22 +12 =0 และ p(3) = (3)4 − 6(3)3 +15(3)2 − 22(3) +12 = 81−162 +135 − 66 +12 =0 แสดงวา x −1และ x − 3 เปน ตวั ประกอบของ p(x) ( )ดงั นน้ั x4 − 6x3 +15x2 − 22x +12 = ( x −1)( x − 3) x2 − 2x + 4 นน่ั คือ ( )( x −1)( x − 3) x2 − 2x + 4 = 0 จะได x =1 หรอื x = 3 หรอื x2 − 2x + 4 =0 ถา x2 − 2x + 4 =0 แลว x= −(−2) ± 4 − 4(1)(4) i 1± 3i 2(1) = ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คอื {1, 3,1+ 3i,1− 3i} 6) ให p ( x) =x5 + 8x4 + 24x3 + 26x2 −17x − 42 เนือ่ งจากจํานวนเต็มทีห่ าร −42 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 7, ±14, ± 21, ± 42 พจิ ารณา p(1) = (1)5 + 8(1)4 + 24(1)3 + 26(1)2 −17(1) − 42 = 1+ 8 + 24 + 26 −17 − 42 =0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 233 p (−2) = (−2)5 + 8(−2)4 + 24(−2)3 + 26(−2)2 −17(−2) − 42 = −32 +128 −192 +104 + 34 − 42 =0 และ p(−3) = (−3)5 + 8(−3)4 + 24(−3)3 + 26(−3)2 −17(−3) − 42 = −243 + 648 − 648 + 234 + 51− 42 =0 แสดงวา x −1, x + 2 และ x + 3 เปน ตวั ประกอบของ p( x) ( )ดังนัน้ x5 + 8x4 + 24x3 + 26x2 −17x − 42 = ( x −1)( x + 2)( x + 3) x2 + 4x + 7 นน่ั คือ ( )( x −1)( x + 2)( x + 3) x2 + 4x + 7 = 0 จะได x =1 หรอื x = −2 หรอื x = −3 หรอื x2 + 4x + 7 =0 ถา x2 + 4x + 7 =0 แลว −4± 16 − 4(1)(7) i 3i x= 2(1) =−2 ± ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการน้ี คอื {1,−2, − 3, − 2 + 3i, − 2 − 3i} 2. ให p ( x) =x5 + 9x3 − 8x2 − 72 532 −1+ 3i + 9 −1+ 3i − 8 −1+ 3i − 72 ( ) ( ) ( ) ( )พจิ ารณา p −1+ 3i= = −16 −16 3i + 72 +16 +16 3i − 72 =0 ดังน้ัน −1+ 3i เปน คาํ ตอบของสมการ p(x) = 0 จากทฤษฎีบท 13 จะไดวา −1− 3i เปนคําตอบของสมการดวย ( )( )เนอื่ งจาก (x − −1+ 3i) (x − −1− 3i) = x2 + 2x + 4 และเมื่อนํา x2 + 2x + 4 ไปหาร p( x) ไดผ ลหารเปน x3 − 2x2 + 9x −18 ดังนนั้ ( )( )x5 + 9x3 − 8x2 − 72 = x2 + 2x + 4 x3 − 2x2 + 9x −18 = (x2 + 2x + 4)(x2 (x − 2) + 9(x − 2)) = (x2 + 2x + 4)(x − 2)(x2 + 9) น่นั คอื ( x2 ) (+ 2x + 4 ( x − 2) x2 + 9) = 0 จะได x = 2 หรือ x2 + 2x + 4 =0 หรอื x2 + 9 =0 ถา x2 + 9 =0 แลว x = ±3i ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการนี้ คอื {2, −1+ 3i, −1− }3i, 3i, − 3i สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

234 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 3. เน่ืองจาก 2 − 2 3i และ −4i เปน คําตอบของสมการ และจากทฤษฎบี ท 13 จะไดว า 2 + 2 3i และ 4i เปนคาํ ตอบของสมการดว ย ตามลําดบั ( )( )( ) ( )จะได x − 2 − 2 3i x − 2 + 2 3i ( x − 4i)( x + 4i) = 0 ( )( )x2 − 4x +16 x2 +16 = 0 x4 − 4x3 + 32x2 − 64x + 256 = 0 ดังนัน้ x4 − 4x3 + 32x2 − 64x + 256 =0 เปน สมการพหนุ ามดีกรี 4 ทีม่ ีสมั ประสิทธเิ์ ปน จํานวนเต็ม มี 2 − 2 3i และ −4i เปนคําตอบ และมี 1 เปน สัมประสทิ ธ์ินาํ 4. ให p( x) = x2 − x + (i +1) จะได p(i) = (i)2 − i + (i +1) = −1− i + (i +1) =0 ดงั นั้น i เปน คําตอบของสมการ p(x) = 0 พิจารณา p(−i) = (−i)2 − (−i) + (i +1) = −1+ i + (i +1) = 2i น่นั คอื −i ไมใชคาํ ตอบของสมการ p(x) = 0 ดงั นน้ั i เปน คําตอบ แต −i ไมใ ชค าํ ตอบ ผลที่ไดน้ี ไมขัดแยง กับทฤษฎบี ท 13 เน่อื งจาก สมการพหนุ าม x2 − x + (i +1) =0 มสี มั ประสทิ ธ์บิ างจาํ นวนไมใ ชจาํ นวนจริง 5. 1) เนอื่ งจาก i เปนคําตอบของสมการ และจากทฤษฎบี ท 13 จะไดวา −i เปนคาํ ตอบ ของสมการดวย จะได ( x + 3)( x − 2)( x − i)( x + i) = 0 ( x2 + x − 6)( x2 +1) = 0 x4 + x3 − 5x2 + x − 6 = 0 ดงั นน้ั x4 + x3 − 5x2 + x − 6 =0 เปนสมการพหนุ ามดีกรีต่าํ สดุ ทม่ี ีสัมประสิทธ์ิเปน จํานวนเต็ม ซง่ึ มี −3, 2 และ i เปน คําตอบ และมี 1 เปน สมั ประสิทธ์นิ ํา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 235 2) เนอื่ งจาก 2i เปน คาํ ตอบของสมการ และจากทฤษฎบี ท 13 จะไดว า −2i เปนคาํ ตอบ ของสมการดวย จะได ( x − 2i)2 ( x + 2i)2 ( x − 5)3 = 0 ( )( )x4 + 8x2 +16 x3 −15x2 + 75x −125 = 0 x7 −15x6 + 83x5 − 245x4 + 616x3 −1240x2 + 1200x − 2000 = 0 ดังนัน้ x7 −15x6 + 83x5 − 245x4 + 616x3 −1240x2 +1200x − 2000 =0 เปนสมการ พหนุ ามดีกรีต่ําสุดที่มสี ัมประสิทธเิ์ ปน จํานวนเต็ม มี 2i และ 5 เปนคาํ ตอบซ้ํา 2 คําตอบ และ 3 คาํ ตอบ ตามลาํ ดับ และมี 1 เปน สัมประสิทธ์นิ าํ 6. ให p ( x) =x4 − 2x3 − 7x2 + 28x + 52 เนื่องจาก ( x + 2)2 = x2 + 4x + 4 ( )( )และ x4 − 2x3 − 7x2 + 28x + 52 = x2 + 4x + 4 x2 − 6x +13 ( )จะไดว า x4 − 2x3 − 7x2 + 28x + 52 = ( x + 2)2 x2 − 6x +13 นน่ั คอื −2 เปน คาํ ตอบซํ้า 2 คําตอบของสมการพหุนาม p(x) = 0 และจะได (( x + 2)2 x2 )− 6x +13 = 0 น่ันคอื x = −2 หรือ x2 − 6x +13 =0 ถา x2 − 6x +13 =0 แลว x= −(−6) ± 36 − 4(1)(13) i 3 ± 2i 2(1) = ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ {−2, 3 + 2i, 3 − 2i} 7. เนื่องจาก 1+ i เปน คําตอบของสมการ และจากทฤษฎบี ท 13 จะไดวา 1− i เปนคําตอบ ของสมการดว ย เน่ืองจาก ( x − (1+ i))( x − (1− i)) = x2 − 2x + 2 และเมื่อนํา x2 − 2x + 2 ไปหาร x4 − 7x3 +18x2 − 22x +12 ไดผ ลหารเปน x2 − 5x + 6 ( )( )ดังน้นั x4 − 7x3 +18x2 − 22x +12 = x2 − 2x + 2 x2 − 5x + 6 ( )= x2 − 2x + 2 ( x − 3)( x − 2) น่ันคือ ( )x2 − 2x + 2 ( x − 3)( x − 2) = 0 จะได x = 3 หรอื x = 2 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบท้งั หมดของสมการพหุนามนี้ คือ {2, 3,1+ i, 1− i} สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

236 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 แบบฝกหัดทา ยบท 1. 1) 2(1+ 5i) + 3(−3 − 2i) = 2 +10i − 9 − 6i = −7 + 4i 2) i (2 − 4i) + i2 (−3 + i) = (2i + 4) + (−1)(−3 + i) = 2i + 4 + 3 − i = 7+i 3) 4(2 − 5i) − i (1− i) = 8 − 20i − i + i2 = 8 − 20i − i −1 = 7 − 21i 4) i (4 − 3i) − 3 (2 − i) = 2i + 3 − 3 + 3 i 22 22 = −3+7i 22 ( )( )5) 3 − 5i 3 + 5i (−1− i) = (3 + 5)(−1− i) = −8 − 8i 6) 5 =  5  3 + 2i  3 − 2i  3 − 2i  3 + 2i  5(3 + 2i) = 13 = 15 + 10 i 13 13 7) 4 − 3i =  4 − 3i  2 − 3i  2 + 3i  2 + 3i  2 − 3i  (4 − 3i)(2 − 3i) = 13 = 8 −12i − 6i − 9 13 = − 1 − 18 i 13 13 8) (3 − 2i)(2i) 4 + 6i = −2 + 3i −2 + 3i =  4 + 6i  −2 − 3i   −2 + 3i  −2 − 3i  = (4 + 6i)(−2 − 3i) 13 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 237 = −8 −12i −12i +18 13 = 10 − 24 i 13 13 9) −5i (2 − 3i) − 5i = −10i − 15 −  4 5i   4 + 3i   − 3i   4 + 3i  10) เน่ืองจาก 4 − 3i = −10i −15 − 5i (4 + 3i) 25 = −10i −15 − 4 i + 3 55 = − 72 − 54 i 55 1 =  1 1+i  = 1+ i 1−i  1− i  1+ i  2 1 =  1  1   1− i  1− i  (1− i)2 =1 −2i =  1  2i   −2i  2i  = 2i 4 =i 2 และ 1 = 1 ⋅ 1 i 1− (1− i)3 (1− i)2 = i 1+i  2  2  = −1+ i 4 ดงั นนั้ 1 +5− 1 + 1 = 1 + i + 5 − i + −1 + i 2 24 1− i (1− i)2 (1− i)3 = 21 + 1 i 44 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

238 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 2. วธิ ีท่ี 1 พิจารณา ( x + yi)2 = x2 + 2xyi + y2i2 จะได = x2 − y2 + 2xyi ( )( x + yi)4 = ( x + yi)2 2 ( )= x2 − y2 + 2xyi 2 2 +2 ( ) ( )= (2xyi) − 4x2 y2 x2 − y2 x2 − y2 ( ) ( )= x2 − y2 2 − 4x2 y2 + 4xy x2 − y2 i จาก ( x + yi)4 = a + bi ( ) ( )จะได x2 − y2 2 − 4x2 y2 + 4xy x2 − y2 i = a + bi ( )นั่นคือ a = x2 − y2 2 − 4x2 y2 = x4 − 6x2 y2 + y4 ( )และ b = 4xy x2 − y2 ดงั น้นั ( ) ( ( ))a2 + b2 = 2 2 x4 − 6x2 y2 + y4 x2 − y2 + 4xy ( )= x8 + 36x4 y4 + y8 −12x6 y2 −12x2 y6 + 2x4 y4 ( )+ 16x6 y2 − 32x4 y4 + 16x2 y6 = x8 + 4x6 y2 + 6x4 y4 + 4x2 y6 + y8 4 x2 3 y2 + 6 x2 2 y2 2 + 4x2 3 y2 4 +4 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=x2 y2 วิธีท่ี 2 จาก ( )= x2 + y2 4 จะไดวา a + bi = ( x + yi)4 a + bi = ( x + yi)4 = x + yi 4 4 x2 + y2 น่ันคอื ( )a2 + b2 = ( )a2 + b2 = x2 + y2 4 3. 1) i7 + 2i2 = i4 + 2 i3 i = 1 +  2   −i   i   −i  = 1 − 2i สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 239 2) พิจารณา i −1 = 1=  1   −i  = −i i  i   −i  i −2 = 1 = 1 = −1 i2 ( −1) i −3 =1 = 1 1 =(−1)(−i) =i i3 i2  i  i −4= 1= 1= 1 i4 1 สังเกตวา i=−1 i−=5 i−=9 i−13 , i−=2 i−=6 i−=10 i−14 , i=−3 i−=7 i−=11 i−15 และ i−=4 i−=8 i−1=2 i−16 และ i−1 + i−2 + i−3 + i−4 =(−i) + (−1) + i +1 = 0 นั่นคอื i−1 + i−2 + + i−16 =0 ดังนน้ั 1+ i−1 + i−2 + + i−16 =1+ 0 =1 3) (2 + i)(3 + 2i) = 4 + 7i 1+i 1+i =  4 + 7i  1− i   1+ i  1− i  = 11 + 3 i 22 4) (2 + i)2 + (2 − i)2 = (3 + 4i) + (3 − 4i) =6 5) 3 + 4i − 3 − 4i =  3 + 4i   3 + 4i  −  3 − 4i   3 − 4i  3 − 4i 3 + 4i  3 − 4i   3 + 4i   3 + 4i   3 − 4i  (−7 + 24i) − (−7 − 24i) = 25 = 48 i 25 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

240 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 ( ) ( )−1 i + (3 − 2i) 3+i 6) i 3 + i + 3 + 2i = =  i  3 − i  + ( 3 − 2i )  3 + i  3 − i  = 1 + 3i + 3 − 2i 4 = 13 +  3− 8  4  4  i 4. 1) z2z2 = (3 − 2i)(3 + 2i) = 13 2) z2 + z1 = z2 + z1 = 3 + 2i + 1 2−i = 3 + 2i +  1 i   2 + i   2−   2 + i  = 3 + 2i + 2 + i 5 = 17 + 11i 55 3)  z1  = z1  z2  z2   1 = 2−i 3 + 2i = 1 (2 − i)(3 + 2i) =1 8+i =  1 8−i   8 + i  8 − i  = 8 −1i 65 65 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี