(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.2

คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 341 น่นั คอื n(E3 ) = 8 จะได P ( E=3 ) nn((ES3=)) 8= 2 20 5 ดงั น้นั ความนาจะเปนที่นกั กีฬาคนนีจ้ ะสวมเส้ือสีฟา เทา กับ 2 5 13. ให S1 แทนปรภิ ูมิตวั อยางของการหยิบลกู บอลครั้งละ 1 ลูก 2 ครั้ง จากกลองใบหนงึ่ ซ่งึ มี ลูกบอล 30 ลูก โดยหยิบลกู บอลลูกแรกแลวไมใ สคืนกอนจะหยบิ ลูกบอลลูกท่สี อง จะได n( S1 ) = C30,1 × C29,1 = 30 × 29 = 870 และให S2 แทนปรภิ ูมติ วั อยางของการหยบิ ลูกบอลคร้ังละ 1 ลูก 2 ครั้ง จากกลองใบหนึ่ง ซ่งึ มลี กู บอล 30 ลูก โดยหยิบลกู บอลลกู แรกแลวใสค ืนกอนจะหยิบลกู บอลลูกทส่ี อง จะได n( S2 ) = C30,1 × C30,1 = 30 × 30 = 900 1) ให E1 แทนเหตุการณที่หยบิ ไดล ูกบอลลูกแรกเปน สีแดงและลูกบอลลูกที่สองเปน สเี หลือง เมื่อกําหนดใหหยิบลกู บอลลกู แรกแลวไมใสคนื กอนจะหยิบลกู บอลลกู ท่สี อง ขนั้ ตอนท่ี 1 หยิบครั้งท่ี 1 ไดลกู บอลสแี ดง 1 ลกู จากลูกบอลสแี ดง 10 ลูก ทาํ ได 10 วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 หยบิ ครั้งท่ี 2 ไดล กู บอลสเี หลือง 1 ลกู จากลูกบอลสเี หลือง 10 ลูก ทําได 10 วิธี ดังน้นั จะมวี ิธีหยบิ ไดลูกบอลสแี ดง 1 ลกู และสีเหลือง 1 ลกู ตามลําดับ 10×10 =100 วิธี นั่นคอื n(E1 ) =100 จะได P ( E=1 ) n( ES=11 )) 1=00 10 n( 870 87 ดงั น้นั ความนาจะเปนทห่ี ยิบไดล กู บอลลูกแรกเปนสีแดงและลูกบอลลูกท่ีสองเปน สีเหลือง เมอ่ื กําหนดใหห ยบิ ลูกบอลลกู แรกแลวไมใสคนื กอนจะหยิบลูกบอลลกู ท่สี อง เทา กบั 10 87 2) ให E2 แทนเหตุการณท ่ีหยิบไดลูกบอลลูกแรกเปนสแี ดงและลูกบอลลูกทสี่ องเปนสี เหลอื ง เม่อื กําหนดใหห ยบิ ลูกบอลลูกแรกแลวใสคนื กอนจะหยิบลกู บอลลกู ที่สอง ขั้นตอนที่ 1 หยบิ ครง้ั ท่ี 1 ไดล กู บอลสีแดง 1 ลูก จากลูกบอลสีแดง 10 ลูก ทําได 10 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 หยบิ ครัง้ ท่ี 2 ไดล ูกบอลสเี หลอื ง 1 ลกู จากลกู บอลสเี หลือง 10 ลูก ทาํ ได 10 วธิ ี ดงั นั้น จะมีวิธหี ยิบไดล ูกบอลสีแดง 1 ลูก และสเี หลอื ง 1 ลกู ตามลําดบั 10×10 =100 วิธี นั่นคอื n(E2 ) =100 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

342 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 จะได P ( E=2 ) n( ES=22 )) 1=00 1 n( 900 9 ดงั นั้น ความนาจะเปนทหี่ ยิบไดลูกบอลลูกแรกเปนสีแดงและลกู บอลลูกทีส่ องเปนสีเหลือง เม่ือกําหนดใหหยบิ ลูกบอลลกู แรกแลวใสค นื กอนจะหยบิ ลกู บอลลกู ทส่ี อง เทา กบั 1 9 3) ให E3 แทนเหตุการณท ่หี ยบิ ไดลูกบอลสเี ขยี วทั้งสองคร้ัง เมอื่ กําหนดใหหยิบลูกบอล ลกู แรกแลว ใสคืนกอ นจะหยิบลกู บอลลูกทสี่ อง ขั้นตอนที่ 1 หยิบครงั้ ที่ 1 ไดลกู บอลสีเขยี ว 1 ลูก จากลูกบอลสเี ขียว 10 ลูก ทาํ ได 10 วิธี ขั้นตอนที่ 2 หยิบครง้ั ที่ 2 ไดล กู บอลสเี ขียว 1 ลูก จากลกู บอลสเี ขยี ว 10 ลูก ทาํ ได 10 วธิ ี ดังนัน้ จะมวี ธิ ีหยบิ ไดล ูกบอลสีเขยี ว 2 ลูก 10×10 =100 วธิ ี นัน่ คอื n(E3 ) =100 จะได P ( E=3 ) n ( ES=23 )) 1=00 1 n ( 900 9 ดังนัน้ ความนา จะเปนทห่ี ยิบไดล ูกบอลสเี ขียวทัง้ สองครั้ง เมื่อกาํ หนดใหห ยิบลูกบอล ลูกแรกแลวใสค นื กอ นจะหยิบลกู บอลลกู ที่สองเทากับ 1 9 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณท่ีหยบิ ไดล ูกบอลสเี ขียวทั้งสองครั้ง เมอื่ กําหนดใหหยิบลูกบอล ลูกแรกแลวไมใ สค นื กอนจะหยบิ ลูกบอลลูกท่สี อง ข้นั ตอนท่ี 1 หยบิ ครง้ั ท่ี 1 ไดลูกบอลสเี ขยี ว 1 ลกู จากลกู บอลสีเขียว 10 ลูก ทําได 10 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 หยิบครั้งที่ 2 ไดลูกบอลสีเขยี ว 1 ลกู จากลกู บอลสีเขียวท่เี หลือ 9 ลูก ทาํ ได 9 วิธี ดงั นัน้ จะมีวิธีหยบิ ไดลกู บอลสเี ขียว 2 ลูก 10×9 =90 วธิ ี นัน่ คือ n(E4 ) = 90 จะได P ( E=4 ) nn((ES=14)) 9=0 3 870 29 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ที่หยิบไดลูกบอลสีเขียวทงั้ สองครั้ง เมื่อกาํ หนดใหหยบิ ลูกบอล ลกู แรกแลวไมใ สค นื กอ นจะหยบิ ลูกบอลลูกที่สอง เทากบั 3 29 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 343 5) ให E5 แทนเหตกุ ารณท ห่ี ยบิ ไดล ูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลกู เม่อื กําหนดใหห ยบิ ลูกบอลลกู แรกแลวไมใสค นื กอนจะหยบิ ลูกบอลลกู ท่ีสอง วิธที ่ี 1 หยิบไดล กู บอลสแี ดงอยางนอย 1 ลูก แบงเปนกรณีดังนี้ กรณีท่ี 1 หยบิ ไดล ูกบอลสแี ดง 1 ลกู ในคร้งั ท่ี 1 ขน้ั ตอนท่ี 1 หยบิ ครง้ั ที่ 1 ไดล กู บอลสแี ดง 1 ลูก จากลูกบอล สแี ดง 10 ลกู ทําได 10 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 หยิบครัง้ ท่ี 2 ไดลูกบอลสอี ื่นท่ีไมใ ชส แี ดง 1 ลูก จากลูกบอลสีอ่นื ท่ีไมใ ชสแี ดง 20 ลกู ทําได 20 วิธี ดงั นนั้ จะมวี ธิ หี ยบิ ไดลกู บอลสแี ดง 1 ลูก 10× 20 =200 วิธี กรณที ่ี 2 หยิบไดล ูกบอลสแี ดง 1 ลกู ในครั้งที่ 2 ขั้นตอนที่ 1 หยิบคร้ังท่ี 1 ไดลกู บอลอ่ืนที่ไมใชสแี ดง 1 ลกู จากลูกบอลสีอื่นทไ่ี มใ ชสีแดง 20 ลกู ทําได 20 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 หยิบครั้งที่ 2 ไดล ูกบอลสแี ดง 1 ลกู จากลกู บอลสีแดง 10 ลกู ทําได 10 วิธี ดังนัน้ จะมวี ธิ ีหยบิ ไดลูกบอลสแี ดง 1 ลูก 20×10 =200 วิธี กรณีท่ี 3 หยิบไดล ูกบอลสีแดง 2 ลกู ขน้ั ตอนที่ 1 หยบิ คร้ังท่ี 1 ไดล กู บอลสีแดง 1 ลกู จากลูกบอลสีแดง 10 ลูก ทาํ ได 10 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 หยิบคร้งั ท่ี 2 ไดล ูกบอลสีแดง 1 ลกู จากลกู บอลสแี ดง ที่เหลือ 9 ลูก ทาํ ได 9 วธิ ี ดังนั้น จะมวี ิธหี ยิบไดลูกบอลสแี ดง 2 ลูก 10×9 =90 วิธี จะไดวา มวี ิธหี ยิบไดลูกบอลสีแดงอยา งนอ ย 1 ลูก 200 + 200 + 90 =490 วิธี นนั่ คอื n(E5 ) = 490 จะได P ( E=5 ) nn((ES=15)) 4=90 49 870 87 ดังนนั้ ความนาจะเปนทีไ่ ดลูกบอลสแี ดงอยางนอ ย 1 ลกู เมอื่ กาํ หนดใหห ยบิ ลูกบอลลกู แรกแลว ไมใสค นื กอนจะหยิบลกู บอลลกู ที่สอง เทากบั 49 87 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

344 คูม อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 วธิ ที ี่ 2 หยิบไมไ ดล กู บอลสีแดง ขนั้ ตอนท่ี 1 หยิบครั้งที่ 1 ไดลกู บอลสีอืน่ ท่ีไมใ ชสีแดง 1 ลูก จากลกู บอลสีอน่ื ที่ไมใ ชสแี ดง 20 ลกู ได 20 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 หยิบคร้งั ท่ี 2 ไดลูกบอลสอี ่ืนท่ีไมใชสีแดง 1 ลกู จากลูกบอลสีอน่ื ท่ีไมใชสแี ดงทเี่ หลือ 19 ลกู ได 19 วิธี โดยหลักการคณู จะมีวิธีหยบิ ไดล ูกบอลสอี ืน่ ท่ีไมใชส แี ดง 2 ลกู เทา กับ 20 ×19 =380 วธิ ี จะไดวา จะมวี ธิ ีหยบิ ไดล ูกบอลสแี ดงอยางนอย 1 ลูก 870 − 380 =490 วธิ ี นั่นคือ n(E5 ) = 490 จะได P ( E=5 ) nn((ES=15)) 4=90 49 870 87 ดังนั้น ความนา จะเปน ทไ่ี ดล กู บอลสีแดงอยางนอ ย 1 ลกู เมื่อกําหนดใหห ยิบ ลูกบอลลกู แรกแลว ไมใสคนื กอนจะหยิบลูกบอลลกู ท่สี อง เทากบั 49 87 6) ให E6 แทนเหตุการณทห่ี ยิบไมไดลกู บอลสีแดง เมือ่ กาํ หนดใหหยิบลูกบอลลกู แรกแลว ใสคืนกอนจะหยิบลูกบอลลูกท่ีสอง ขั้นตอนท่ี 1 หยิบครั้งท่ี 1 ไดล ูกบอลสอี นื่ ที่ไมใชส แี ดง 1 ลูก จากลกู บอลสอี ่ืนที่ไมใช สแี ดง 20 ลกู ได 20 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 หยิบครั้งที่ 2 ไดลกู บอลสอี นื่ ท่ีไมใ ชส แี ดง 1 ลูก จากลูกบอลสีอนื่ ทไ่ี มใช สีแดง 20 ลูก ได 20 วธิ ี ดังน้นั มีวธิ ีหยบิ ไมไ ดล ูกบอลสีแดง 20× 20 =400 วธิ ี นัน่ คอื n(E6 ) = 400 จะได P ( E=6 ) n ( ES=26 )) 4=00 4 n ( 900 9 ดังนน้ั ความนาจะเปนท่ีไมไดล ูกบอลสีแดง เม่ือกําหนดใหห ยิบลูกบอลลูกแรกแลวใสค ืน กอ นจะหยิบลูกบอลลูกทีส่ อง เทากับ 4 9 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 345 14. ให S เปนปรภิ ูมติ วั อยางของการทดลองสุม นี้ จะได n=(S ) C=52,3 22,100 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ีไดไพ J, Q, K อยา งละใบ ขน้ั ตอนท่ี 1 หยิบไดไพ J 1 ใบ จากไพ J 4 ใบ ได 4 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 หยบิ ไดไพ Q 1 ใบ จากไพ Q 4 ใบ ได 4 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 3 หยิบไดไ พ K 1 ใบ จากไพ K 4 ใบ ได 4 วธิ ี จะไดวา จํานวนวธิ ีท่ไี ดไ พ J, Q, K อยางละใบ ได 4× 4× 4 =64 วิธี น่นั คอื n(E1) = 64 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) =64 16 22,100 5, 525 ดังนั้น ความนา จะเปน ท่ไี ดไ พ J, Q และ K อยางละใบ เทา กับ 16 5, 525 2) ให E2 เปน เหตุการณท่ีไดไพท่มี ีหนา สีแดง 2 ใบ เนอื่ งจากมีไพห นาสีแดง และไพหนาสดี าํ อยางละ 26 ใบ ข้ันตอนท่ี 1 หยบิ ไดไพห นา สแี ดง 2 ใบ จากไพหนาสแี ดง 26 ใบ ได C26,2 วิธี ข้ันตอนที่ 2 หยบิ ไดไพห นาสีดํา 1 ใบ จากไพห นา สีดาํ 26 ใบ ได C26,1 วธิ ี จะไดวา จาํ นวนวธิ หี ยบิ ไพท่ีมีหนาสีแดง 2 ใบ ได C26,2 ×C26,1 =8,450 นน่ั คอื n(E2 ) = 8,450 จะได P=(E2 ) nn=((ES2)) 8=, 450 13 22,100 34 ดังน้นั ความนาจะเปนที่ไดไพทีม่ หี นา สแี ดง 2 ใบ เทากับ 13 34 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ่ไี ดไ พทม่ี ีหมายเลขเดียวกันหรือตัวอกั ษรเดียวกันทั้งสามใบ ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกหมายเลขหรือตวั อกั ษร 1 ตวั จาก 13 ตวั ได 13 วิธี ข้นั ตอนที่ 2 เลือกไพ 3 ใบ จากไพท่ีมหี มายเลขหรอื ตัวอักษรเดียวกนั ซึ่งมี 4 ใบ ได C4,3 = 4 วธิ ี ดังน้นั จาํ นวนวิธที ีไ่ ดไพหมายเลขเดียวกันหรือตัวอักษรเดยี วกนั ทั้งสามใบ 13× 4 =52 วธิ ี น่ันคือ n(E3 ) = 52 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

346 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 จะได P=( E3 ) nn=((ES3)) =52 1 22,100 425 ดังนน้ั ความนาจะเปน ท่ไี ดไพทมี่ หี มายเลขหรือตัวอักษรเดียวกนั ทง้ั สามใบ เทากับ 1 425 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดไ พที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรตางกันทง้ั สามใบ ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกหมายเลขหรือตัวอกั ษร 3 ตวั จาก 13 ตัว ได C13,3 วิธี ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กไพ 1 ใบ จากหมายเลขหรือตัวอักษรตวั ที่ 1 จากหมายเลขหรือ ตัวอกั ษรที่เลือกในข้ันท่ี 1 ซ่ึงมี 4 ใบ ได 4 วธิ ี ขัน้ ตอนที่ 3 เลือกไพ 1 ใบ จากหมายเลขหรือตัวอักษรตวั ที่ 2 จากหมายเลขหรือ ตัวอกั ษรที่เลอื กในขัน้ ที่ 1 ซ่งึ มี 4 ใบ ได 4 วิธี ข้นั ตอนที่ 4 เลอื กไพ 1 ใบ จากหมายเลขหรอื ตวั อักษรตวั ท่ี 3 จากหมายเลขหรอื ตัวอกั ษรท่ีเลอื กในข้ันท่ี 1 ซง่ึ มี 4 ใบ ได 4 วิธี จะไดวา จํานวนวิธีท่ไี ดไพหมายเลขหรือตัวอักษรตางกันทงั้ สามใบ C13,3 × 4× 4× 4 =18,304 วิธี น่นั คือ n(E4 ) =18,304 จะได P=( E4 ) nn=((ES4)) 18=, 304 352 22,100 425 ดังนั้น ความนา จะเปนทไ่ี ดไพทีม่ ีหมายเลขหรือตัวอักษรตา งกันทัง้ สามใบ เทากบั 352 425 15. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) = 5× 5× 5 = 125 ให E แทนเหตุการณทผี่ ูเขาแขง ขนั 2 คน สมุ ไดหัวขอเดียวกนั และอีกคนไดหัวขออน่ื ขนั้ ตอนท่ี 1 เลอื กผูเ ขา แขงขนั ท่ีแตงกลอนหวั ขอเดียวกัน 2 คน จาก 3 คน ได C3, 2 = 3 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกหวั ขอ 1 หัวขอ จากหัวขอบังคบั 5 หวั ขอ ได 5 วิธี ขน้ั ตอนที่ 3 เลือกหวั ขอ 1 หัวขอ จากหวั ขอบังคบั ทีเ่ หลือ 4 หัวขอ ได 4 วธิ ี จะไดว า มจี ํานวนวธิ ที ผี่ ูเขาแขงขัน 2 คน สมุ ไดห วั ขอเดยี วกัน และอีกคนไดหวั ขอ อืน่ 3× 5× 4 =60 วธิ ี นัน่ คอื n(E) = 60 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 347 จะได P (=E ) nn((=ES )) 6=0 12 125 25 ดังน้นั ความนาจะเปนท่ีจะมีผูเขา แขง ขัน 2 คน สมุ ไดหวั ขอเดยี วกัน และอีกคนไดหัวขออ่ืน เทา กับ 12 25 16. ให S แทนปริภูมิตวั อยางของการทดลองสุม น้ี จะได n(S ) = P6,3 × P5,2 = 2, 400 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ีศวิ ัชจะไดเ ขา ทํางาน ขั้นตอนท่ี 1 เลอื กตําแหนงท่วี า งสาํ หรบั ผูช าย ใหศ วิ ัช ได 3 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 จดั ผชู ายทเ่ี หลือ 5 คน เขาทํางานในตําแหนงทีว่ าง 2 ตาํ แหนง ได P5,2 = 20 วิธี ขนั้ ตอนที่ 3 จัดผหู ญงิ 5 คน เขาทาํ งานในตําแหนง ทีว่ า ง 2 ตาํ แหนง ได P5,2 = 20 วธิ ี จะไดว า จํานวนวธิ ีในการจัดผูเขา สมคั รเขาทาํ งาน โดยท่ีศวิ ชั ไดเขาทาํ งาน เปน 3× 20 × 20 =1, 200 วธิ ี นั่นคอื n(E1 ) =1200 จะได P=(E1) nn=((ES1)) 1=, 200 1 2, 400 2 ดังน้ัน ความนา จะเปน ที่ศิวชั จะไดเ ขา ทาํ งานที่บริษัทนี้ เทา กับ 1 2 2) ให E2 แทนเหตุการณที่สรอยไดเขาทํางานแตป ลายฟาไมไดเ ขาทํางาน ขั้นตอนที่ 1 เลือกตาํ แหนงท่ีวางสาํ หรับผหู ญงิ ใหส รอย ได 2 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 จัดผหู ญงิ 3 คนทเี่ หลอื ท่ีไมใชปลายฟา เขา ทํางานในตําแหนง ท่วี า ง 1 ตาํ แหนง ได 3 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 จัดผูชาย 6 คน เขาทํางานในตําแหนง ทวี่ าง 3 ตําแหนง ได P6,3 =120 วธิ ี จะไดว า จํานวนวิธใี นการจัดผูเขาสมัครเขาทํางาน โดยทสี่ รอยไดเ ขา ทํางาน แตปลายฟา ไมไดเขาทํางาน เปน 2×3×120 =720 วิธี นน่ั คอื n(E2 ) = 720 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

348 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) =720 3 2, 400 10 ดงั นั้น ความนา จะเปนที่สรอยไดเขาทํางาน แตปลายฟา ไมไดเขา ทาํ งาน เทา กบั 3 10 17. ให S แทนปริภูมิตวั อยา งของการทดลองสุมน้ี จะได n(S=) 8=! 40,320 ให E แทนเหตกุ ารณทน่ี กั เรียนชายและนักเรียนหญงิ ยนื สลับกนั กรณีท่ี 1 นักเรยี นชายยนื หวั แถว จัดนกั เรียนชายยืนกอนได 4! วธิ ี จดั นกั เรียนหญิงยืนแทรกนกั เรยี นชายซงึ่ มี 4 ตาํ แหนง ได 4! วธิ ี ดงั นน้ั จะมีวิธจี ัดนักเรียนชายและนักเรียนหญิงยนื สลบั กนั โดยนกั เรยี นชาย ยนื หวั แถว 4!4!= 576 วธิ ี กรณที ่ี 2 นกั เรยี นหญงิ ยนื หวั แถว จัดนักเรียนหญงิ ยนื กอนได 4! วธิ ี จัดนักเรยี นชายยืนแทรกนักเรียนหญงิ ซึ่งมี 4 ตําแหนง ได 4! วธิ ี ดงั นนั้ จะมีวิธีจดั นักเรียนชายและนกั เรียนหญิงยนื สลบั กนั โดยนักเรยี นหญงิ ยนื หวั แถว 4!4!= 576 วิธี โดยหลักการบวก จะมีวิธีจดั ใหนักเรยี นชายและนักเรียนหญงิ ยืนสลับกนั ได 576 + 576 =1,152 วิธี นั่นคอื n(E) =1,152 จะได P=( E ) nn=((ES )) 1,1=52 1 40, 320 35 ดังนัน้ ความนาจะเปน ที่นกั เรียนชายและนักเรียนหญิงยืนสลบั กัน เทา กับ 1 35 18. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S=) 5=! 120 ให E แทนเหตุการณที่ไอศกรมี ลูกบนสดุ เปน รสวานลิ าและไอศกรีมลูกกลางเปน รสชาเขียว เนอ่ื งจากตองการใหไอศกรีมลูกบนสดุ เปน รสวานิลาและไอศกรีมลูกกลางเปนรสชาเขยี ว แสดงวา เหลือตกั ไอศกรีมใสโ คนครั้งที่ 1, 2 และ 4 เปนอีกสามรสท่เี หลอื ซ่ึงทําได 3!= 6 วิธี น่นั คือ n(E) = 6 จะได P(=E ) nn((=ES )) =6 1 120 20 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 349 ดังน้ัน ความนา จะเปน ท่ไี อศกรีมลกู บนสดุ เปนรสวานลิ าและไอศกรีมลูกกลางเปนรสชาเขียว เทากบั 1 20 19. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยา งของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) = 10! 6!3!1! ให E แทนเหตกุ ารณทรี่ หัสของผูทีไ่ ดร ับรางวลั ใหญข ้ึนตน ดว ย 1 และลงทายดว ย 2 เน่ืองจากตอ งการใหร หสั ข้ึนตนดวย 1 และลงทายดว ย 2 จะมตี ัวเลขทเ่ี หลือในการเรยี ง 8 ตวั คอื ตวั เลข 1 จาํ นวน 5 ตัว และตัวเลข 0 จํานวน 3 ตัว ซง่ึ จดั เรียงได 8! วิธี 5!3! นนั่ คอื n(E) = 8! 5!3! จะได P ( E ) =nn((ES ) =8! × 6!3!1! =1 ) 5!3! 10! 15 ดงั นัน้ ความนาจะเปน ทีร่ หัสของผทู ไี่ ดรับรางวัลใหญขน้ึ ตน ดว ย 1 และลงทายดวย 2 เทา กบั 1 15 20. ให S แทนปริภูมิตวั อยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S ) = 9! 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทห่ี นงั สือคณติ ศาสตรว างในตําแหนงหวั แถวและทา ยแถว ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกหนงั สอื คณติ ศาสตร 2 เลม จากหนังสือคณิตศาสตร 2 เลม มาวางในตาํ แหนงหวั แถวและทา ยแถว ได 2! วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 จัดหนงั สอื 7 เลม ทเ่ี หลือแทรกระหวา งหนังสอื คณติ ศาสตรได 7! วิธี ดงั นั้น มีวธิ ีในการจดั หนงั สือคณิตศาสตรวางในตําแหนง หัวแถวและทายแถวได 2!7! วธิ ี นน่ั คอื n(E1 ) = 2!7! จะได P (=E1 ) nn((=ES1)) 2=!7! 1 9! 36 ดังนั้น ความนา จะเปนท่หี นังสือคณิตศาสตรวางในตําแหนง หัวแถวและทายแถว เทา กบั 1 36 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

350 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทห่ี นงั สือวชิ าเดียวกันอยตู ิดกนั ข้นั ตอนที่ 1 มัดหนงั สือวิชาเดียวกันเปน 3 มดั ซึง่ จดั เรียงได 3! วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 มัดทเ่ี ปน หนังสือเคมีทต่ี า งกัน 3 เลม จดั เรียงได 3! วิธี ข้นั ตอนท่ี 3 มัดทเ่ี ปนหนงั สือคณติ ศาสตรทต่ี างกัน 2 เลม จดั เรียงได 2! วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 4 มัดทเี่ ปนหนังสือภาษาอังกฤษที่ตา งกนั 4 เลม จดั เรยี งได 4! วธิ ี จะไดวา จาํ นวนวธิ ีจัดเรยี งใหหนังสือวิชาเดยี วกันอยูติดกนั ได 3!3!2!4! วิธี นนั่ คือ n(E2 ) = 3!3!2!4! จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 3!3=!2!4! 1 9! 210 ดังนน้ั ความนา จะเปนทห่ี นังสือวชิ าเดียวกันอยูตดิ กนั เทา กับ 1 210 21. ให S แทนปริภมู ติ วั อยา งของการทดลองสมุ น้ี เนอ่ื งจากตอ งการจํานวนคท่ี ี่มีสามหลักที่เลขโดดในแตล ะหลกั ไมซาํ้ กนั จะไดวา ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 1, 3, 5, 7 หรอื 9 เปนหลักหนวย ได 5 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดดทไี่ มใช 0 และไมซ้ํากบั หลักหนวย เปนหลักรอย ได 8 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดดทีเ่ หลือเปนหลักสิบ ได 8 วิธี ดังนัน้ จะมีจํานวนค่ีที่มสี ามหลกั ท่เี ลขโดดในแตล ะหลักไมซ้ํากัน 5×8×8 =320 จํานวน จะได n(S ) = 320 ให E แทนเหตกุ ารณทส่ี มุ ไดจํานวนคที่ ม่ี ีสามหลกั ท่เี ลขโดดในแตละหลักไมซํา้ กัน และ มากกวา 300 แตนอ ยกวา 900 กรณีท่ี 1 หลกั หนว ยเปน เลขโดด 1 หรอื 9 ขัน้ ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 1 หรอื 9 เปนหลกั หนว ย ได 2 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 3, 4, 5, …, 8 เปนหลกั รอย ได 6 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดดท่เี หลือเปนหลักสิบได 8 วธิ ี ดงั นนั้ จะมจี าํ นวนค่ีท่ตี องการในกรณนี ้ที ั้งหมด 2× 6×8 =96 จํานวน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 351 กรณที ี่ 2 หลักหนว ยเปน เลขโดด 3, 5 หรอื 7 ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 3, 5 หรอื 7 เปนหลกั หนวย ได 3 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 3, 4, 5, …, 8 และไมซ ํา้ กับหลักหนว ย เปน หลกั รอ ย ได 5 วิธี ขนั้ ตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดดทเี่ หลือเปนหลกั สิบได 8 วธิ ี ดงั น้นั จะมจี ํานวนคี่ท่ีตอ งการในกรณีนท้ี ้ังหมด 3×5×8 =120 จาํ นวน โดยหลกั การบวก จะมีจาํ นวนคี่สามหลักท่ีเลขโดดในแตล ะหลักไมซ าํ้ กันและมคี า มากกวา 300 แตน อยกวา 900 ท้ังหมด 96 +120 =216 จาํ นวน นนั่ คอื n(E) = 216 จะได P (=E ) nn((=ES )) 2=16 27 320 40 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ท่จี าํ นวนคี่นม้ี ากกวา 300 แตน อยกวา 900 เทากบั 27 40 22. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยางของการทดลองสุมน้ี จะได =n(S ) =15! 630,630 4!5!6! 1) ให E1 แทนเหตุการณท่ีหลอดไฟสเี ดียวกันอยูต ิดกันท้งั หมด จะพิจารณาวาหลอดไฟสีเดียวกนั มัดติดกนั เปน สง่ิ ของ 1 ช้นิ ดังนั้น จะมีหลอดไฟอยู 3 มัด จดั เรียงได 3! วธิ ี เนอ่ื งจากหลอดไฟสีเดยี วกันไมต างกนั จะไดในแตล ะมดั จัดเรยี งได 1 วิธี ดงั น้นั จาํ นวนวธิ ีจัดเรียงใหหลอดไฟสเี ดยี วกันอยูติดกันท้งั หมด ได 3!= 6 วิธี น่นั คือ n(E1) = 6 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) =6 1 630, 630 105,105 ดงั น้ัน ความนาจะเปนท่ีหลอดไฟสเี ดียวกนั อยูตดิ กันทง้ั หมด เทากับ 1 105,105 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทีห่ ลอดไฟสีขาวอยูทางซายสุด และหลอดไฟสนี ้าํ เงินอยูทางขวาสดุ เนือ่ งจากตองการใหห ลอดไฟสีขาวอยูทางซายสดุ และหลอดไฟสีนํ้าเงนิ อยูท างขวาสุด จะเหลอื หลอดไฟทต่ี องจัดเรียง ไดแก หลอดไฟสีขาว 3 หลอด สแี ดง 5 หลอด และสีน้ําเงิน 5 หลอด ซึ่งจัดเรียงได 13! = 72,072 วธิ ี 3!5!5! สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

352 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 ดังนั้น จํานวนวธิ ีทีจ่ ัดหลอดไฟสีขาวอยูทางซา ยสุด และหลอดไฟสีนาํ้ เงนิ อยทู างขวาสดุ ได 72,072 วธิ ี นั่นคอื n(E2 ) = 72,072 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 72=, 072 4 630, 630 35 ดงั น้นั ความนาจะเปนที่หลอดไฟสีขาวอยทู างซายสุด และหลอดไฟสนี าํ้ เงินอยูทางขวาสดุ เทา กับ 4 35 23. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n=(S ) C=11, 3 165 1) ให E1 แทนเหตุการณท่ีหยบิ ไดลูกบอลครบทุกสี ขั้นตอนที่ 1 หยบิ ลกู บอลสีแดง 1 ลูก จากลูกบอลสีแดง 5 ลูก ได 5 วิธี ขัน้ ตอนที่ 2 หยิบลูกบอลสขี าว 1 ลกู จากลกู บอลสีขาว 3 ลูก ได 3 วิธี ข้ันตอนท่ี 3 หยบิ ลกู บอลสนี ํ้าเงิน 1 ลูก จากลูกบอลสนี าํ้ เงนิ 3 ลกู ได 3 วธิ ี ดงั น้นั จาํ นวนวธิ หี ยิบไดล ูกบอลครบทุกสี มี 5×3×3 =45 วธิ ี นน่ั คอื n(E1) = 45 จะได P ( E=1 ) nn((ES=1)) 4=5 3 165 11 ดังนั้น ความนาจะเปน ท่หี ยบิ ไดล ูกบอลครบทุกสี เทากับ 3 11 2) ให E2 แทนเหตุการณทหี่ ยิบไดลกู บอลสีแดงอยา งนอย 1 ลกู วิธที ่ี 1 หยบิ ไดลกู บอลสแี ดงอยางนอ ย 1 ลกู แบง เปนกรณีดังนี้ กรณที ่ี 1 หยิบไดล ูกบอลสแี ดง 1 ลูก หยิบลูกบอลสีแดง 1 ลูก จากลูกบอลสแี ดง 5 ลกู ได 5 วธิ ี หยบิ ลกู บอลสีอืน่ อีก 2 ลูก จากลกู บอลสีอนื่ ที่ไมใ ชสแี ดง 6 ลูก ได C6, 2 =15 วธิ ี ดงั นั้น จาํ นวนวธิ หี ยิบลกู บอลสแี ดง 1 ลูก และสอี น่ื อกี 2 ลูก มี 5×15 =75 วิธี สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 353 กรณีท่ี 2 หยบิ ไดลกู บอลสีแดง 2 ลกู หยบิ ลกู บอลสแี ดง 2 ลูก จากลูกบอลสแี ดง 5 ลูก ได C5, 2 =10 วธิ ี หยิบลกู บอลสีอ่นื ทีไ่ มใชสีแดงอีก 1 ลูก จากลกู บอลสีอืน่ ท่ไี มใ ช สีแดง 6 ลกู ได 6 วธิ ี ดังนัน้ จํานวนวธิ หี ยบิ ลูกบอลสแี ดง 2 ลกู และสอี ื่นอกี 1 ลูก มี 10× 6 =60 วิธี กรณีที่ 3 หยบิ ไดล กู บอลสีแดง 3 ลกู หยิบลกู บอลสีแดง 3 ลกู จากลูกบอลสแี ดง 5 ลกู ได C5, 3 =10 วธิ ี ดังน้ัน จาํ นวนวิธีหยิบลกู บอลสีแดง 3 ลกู มี 10 วธิ ี โดยหลักการบวก จะไดวา จาํ นวนวิธีหยบิ ลูกบอลสีแดงอยา งนอย 1 ลูก มี 75 + 60 +10 =145 วิธี น่นั คือ n(E2 ) =145 จะได P ( E=2 ) nn((ES=2)) 1=45 29 165 33 ดังนนั้ ความนา จะเปนท่ีหยบิ ไดลูกบอลสแี ดงอยางนอย 1 ลกู เทา กบั 29 33 วธิ ที ี่ 2 หยิบไมไดลกู บอลสีแดง หยิบลูกบอลสีอ่ืนทไี่ มใชสีแดง 3 ลูก จากลกู บอลสีอน่ื 6 ลกู ได C6, 3 = 20 วธิ ี จะไดว า จํานวนวิธีหยบิ ลูกบอลสแี ดงอยางนอย 1 ลกู มี 165 − 20 =145 วธิ ี นั่นคือ n(E2 ) =145 จะได P ( E=2 ) nn((ES=2)) 1=45 29 165 33 ดงั นัน้ ความนา จะเปนที่หยิบไดลกู บอลสแี ดงอยา งนอย 1 ลูก เทากับ 29 33 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณทีห่ ยิบไดลกู บอลสนี ํา้ เงนิ อยางนอย 1 ลกู และไมไ ดล ูกบอลสขี าว กรณีท่ี 1 หยบิ ไดลกู บอลสนี ํา้ เงิน 1 ลกู หยิบลกู บอลสนี ํ้าเงิน 1 ลูก จากลูกบอลสนี ํ้าเงนิ 3 ลูก ได 3 วิธี หยิบลูกบอลสแี ดง 2 ลกู จากลกู บอลสแี ดง 5 ลกู ได C5, 2 =10 วิธี ดังนั้น จาํ นวนวิธีหยิบลกู บอลสนี ้ําเงนิ 1 ลูก และสแี ดงอกี 2 ลกู มี 3×10 =30 วธิ ี สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

354 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 กรณที ่ี 2 หยบิ ไดล กู บอลสนี ํา้ เงนิ 2 ลูก หยบิ ลูกบอลสีนํ้าเงนิ 2 ลกู จากลูกบอลสนี ้าํ เงิน 3 ลูก ได C3, 2 = 3 วธิ ี หยิบลูกบอลสีแดง 1 ลูก จากลกู บอลสีแดง 5 ลูก ได 5 วธิ ี ดังนัน้ จาํ นวนวธิ ีหยิบลกู บอลสนี ้ําเงนิ 2 ลูก และสแี ดง 1 ลกู มี 3×5 =15 วธิ ี กรณที ่ี 3 หยบิ ไดลกู บอลสีน้ําเงนิ 3 ลกู หยบิ ลกู บอลสีนาํ้ เงิน 3 ลูก จากลูกบอลสีนาํ้ เงนิ 3 ลกู ได C3, 3 =1 วิธี ดังน้นั จํานวนวิธหี ยบิ ลกู บอลสีนา้ํ เงนิ 3 ลูก มี 1 วิธี โดยหลกั การบวก จะได จาํ นวนวธิ ีหยบิ ลูกบอลสนี ้ําเงนิ อยา งนอ ย 1 ลกู และไมไดล กู บอล สขี าว มี 30 +15 +1 =46 วิธี น่นั คอื n(E3 ) = 46 จะได P=( E3 ) nn=((ES3)) 46 165 ดังน้นั ความนาจะเปนทีห่ ยิบไดล กู บอลสนี ้ําเงินอยา งนอย 1 ลูก และไมไดลูกบอลสีขาว เทา กบั 46 165 24. ให S แทนปริภมู ติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้ เนอื่ งจากตอ งการสรางเลขหกหลักจากเลขโดด 6 ตัว คอื 0, 4, 4, 5, 5, 5 จะไดวา เลขโดดในหลักแสนตองไมใ ชเลข 0 ซึง่ ทําได 2 กรณี ดงั นี้ กรณีท่ี 1 เลขโดดในหลกั แสนเปน เลข 4 จะจดั เรียงเลขโดด 5 ตวั ทีเ่ หลอื ได 5! = 20 วิธี 1!1!3! กรณีท่ี 2 เลขโดดในหลักแสนเปนเลข 5 จะจัดเรยี งเลขโดด 5 ตัว ทีเ่ หลือได 5! = 30 วิธี 1!2!2! โดยหลักการบวก จะสรางจํานวนหกหลัก จากเลขโดด 0, 4, 4, 5, 5, 5 ได 20 + 30 =50 จาํ นวน จะได n(S ) = 50 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่จํานวนน้ีอยูร ะหวาง 400,000 ถงึ 500,000 เนอ่ื งจากจํานวนทอี่ ยรู ะหวาง 400,000 ถึง 500,000 จะมีเลขโดดในหลกั แสนเปน เลข 4 เทา นัน้ ซ่ึงจะจดั เรียงเลขโดด 5 ตวั ท่เี หลือได 5! = 20 วธิ ี 1!1!3! ดงั นัน้ มจี าํ นวนท่อี ยรู ะหวาง 400,000 ถงึ 500,000 อยู 20 จํานวน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 355 นัน่ คือ n(E1) = 20 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 2=0 2 50 5 ดังนนั้ ความนาจะเปนที่จํานวนนี้อยูระหวาง 400,000 ถงึ 500,000 เทากับ 2 5 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท่ีจํานวนน้ีมากกวา 500,000 เนอ่ื งจากจํานวนที่มากกวา 500,000 จะมเี ลขโดดในหลักแสนเปนเลข 5 เทานน้ั ซง่ึ จะจดั เรยี งเลขโดด 5 ตวั ที่เหลอื ได 5! = 30 วิธี 1!2!2! ดงั น้นั มจี าํ นวนท่ีมากกวา 500,000 อยู 30 จาํ นวน น่นั คือ n(E2 ) = 30 จะได P ( E2=) nn((ES2=)) 3=0 3 50 5 ดังน้ัน ความนา จะเปนที่จํานวนนี้มากกวา 500,000 เทากับ 3 5 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ่จี ํานวนน้ีมากกวา 400,000 และเปนจาํ นวนคู เน่ืองจากจํานวนท่เี ปนจาํ นวนคู จะมเี ลขโดดในหลักหนวยเปน 0 หรอื 4 มี 2 กรณี ดงั นี้ กรณที ่ี 1 เลขโดดในหลักหนวยเปน เลข 0 จะจัดเรียงเลขโดด 5 ตัว ที่เหลือได 5! =10 วิธี 2!3! ดังนั้น จาํ นวนท่ีมากกวา 400,000 และมีเลขโดดในหลกั หนวยเปน เลข 0 มี 10 จํานวน กรณีท่ี 2 เลขโดดในหลักหนวยเปน 4 ซึ่งแบง เปนกรณียอ ย 2 กรณี ดังน้ี กรณี 2.1 เลขโดดในหลักแสนเปนเลข 4 จะจดั เรียงเลขโดด 4 ตวั ท่เี หลอื ได 4! = 4 วธิ ี 1!3! กรณี 2.2 เลขโดดในหลักแสนเปน เลข 5 จะจดั เรียงเลขโดด 4 ตัวท่ีเหลอื ได 4! =12 วธิ ี 1!1!2! ดังนน้ั จํานวนที่มากกวา 400,000 และมีเลขโดดในหลกั หนวยเปน เลข 4 มี 16 จํานวน โดยหลักการบวก จะมีจํานวนทม่ี ากกวา 400,000 และเปน จํานวนคู 10 +16 =26 จํานวน สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

356 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 นั่นคอื n(E3 ) = 26 จะได P ( E=3 ) nn((ES3=)) 2=6 13 50 25 ดังน้ัน ความนา จะเปน ทจ่ี ํานวนนี้มากกวา 400,000 และเปนจํานวนคู เทากบั 13 25 25. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยางของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) = (11−1)!= 10! ให E แทนเหตุการณท ไี่ มม ีลกู เสอื สองคนใดน่ังตดิ กัน จดั เนตรนารี 6 คน นง่ั กอ น ได (6 −1)!=5! วิธี ตอมาจดั ลูกเสือ 5 คน น่ังแทรกระหวางเนตรนารี ซ่งึ มีท่ีใหแทรก 6 ที่ จะจดั ได P6,5 = 6! วธิ ี ดงั นน้ั มวี ิธที ่ไี มมีลูกเสือสองคนใดน่ังติดกนั 5!6! วิธี นัน่ คือ n(E) = 5!6! จะได P(=E ) nn((=ES )) 5=!6! 1 10! 42 ดงั นั้น ความนาจะเปน ท่ไี มม ลี ูกเสอื สองคนใดน่ังติดกัน เทากบั 1 42 แบบฝก หดั 3.3 1. ให H แทนเหรียญข้ึนหัว และ T แทนเหรยี ญขึน้ กอย 1) ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได S = {HHH , HHT , HTH , HTT ,THH ,THT ,TTH ,TTT} 2) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ่ีเหรียญท้ังสามเหรียญขน้ึ หนาเหมือนกัน จะได E1 = {HHH ,TTT} 3) ให E2 แทนเหตกุ ารณที่มีเหรยี ญขน้ึ หัวอยา งนอย 2 เหรยี ญ จะได E2 = {HHH , HHT , HTH ,THH} 4) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่มเี หรยี ญข้นึ กอ ยมากกวาเหรียญขน้ึ หัว จะได E3 = {HTT ,THT ,TTH ,TTT} สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 357 5) E1 ∪ E2 = {HHH , HHT , HTH ,THH ,TTT} 6) E2 ∪ E3 = {HHH , HHT , HTH , HTT ,THH ,THT ,TTH ,TTT} = S 7) E1 ∩ E2 = {HHH} 8) E1 ∩ E3 = {TTT} 9) E2′ = {HTT ,THT ,TTH ,TTT} 10) E3′ = {HHH , HHT , HTH ,THH} 2. ให A แทนเหตุการณที่พนิ ิจจะไดรบั ทุนไปเรียนตอทสี่ หรฐั อเมริกา และ B แทนเหตุการณท ี่พินจิ จะไดรบั ทนุ ไปเรยี นตอทปี่ ระเทศอังกฤษ จะได A∪ B แทนเหตุการณท ่ีพินิจไดร ับทนุ ไปเรยี นตอที่สหรฐั อเมรกิ าหรอื ประเทศองั กฤษ และ A∩ B แทนเหตุการณท ่ีพินจิ ไดรับทุนไปเรียนตอทีท่ ั้งสองประเทศ โจทยกําหนดให P( A) = 3 , P(B) = 7 และ P( A ∪ B) =9 4 10 10 จาก P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) จะได P( A ∩ B) =P( A) + P( B) − P( A ∪ B) =3 + 7 − 9 =11 4 10 10 20 ดงั นนั้ ความนาจะเปน ทีพ่ ินจิ จะไดรบั ทนุ ไปเรยี นตอที่ทงั้ สองประเทศ เทากบั 11 20 3. เนื่องจาก A และ B เปน เหตุการณทีไ่ มเ กิดรวมกัน นัน่ คือ A ∩ B = ∅ จะได P( A ∩ B) = 0 โจทยก ําหนดให P( A) = 0.4 และ P(B) = 0.5 1) จาก P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( A∩ B) จะได P ( A ∪ B) = 0.4 + 0.5 − 0 ดงั นั้น P ( A ∪ B) = 0.9 2) จาก จะได P( A′) = 1− P( A) ดงั นน้ั P ( A′) = 1− 0.4 P ( A′) = 0.6 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

358 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 3) เนอื่ งจาก A′ ∩ B = B ∩ A′ = B − A จะได P( A′ ∩ B)= P(B − A) จาก P(B − A) = P(B) − P(B ∩ A) จะได P(B − A) = 0.5 − 0 = 0.5 ดงั นน้ั P( A′ ∩ B) =0.5 4. ให S เปนปริภูมติ วั อยา งซงึ่ เปนเซตจาํ กัด และให A, B และ C เปน เหตุการณใ ด ๆ เนือ่ งจาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) −n(B∩C)+ n(A∩ B∩C) จะไดว า n(A∪ B∪C) n( A) + n (B) + n(C ) − n (A∩ B) − n (A∩C ) n(S) = n( S) n (S) n(S ) n(S) n(S) − n(B ∩ C) + n(A∩ B∩C) n(S) n(S) ดังนั้น P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P(B) + P(C ) − P( A ∩ B) − P( A ∩ C ) −P(B∩C)+ P(A∩B∩C) 5. ให A แทนเหตุการณที่กานตจะไดเ ขาทํางานทีบ่ ริษัทนี้ B แทนเหตุการณท ข่ี ิมจะไดเขาทํางานท่บี ริษัทนี้ และ C แทนเหตกุ ารณท ่คี ณนิ จะไดเ ขาทาํ งานท่ีบริษทั น้ี จะได P( A) = P(B) และ P(C) = 3P( A) เน่ืองจาก P( A) + P(B) + P(C) = 1 จะได P( A) + P( A) + 3P( A) = 1 5P( A) = 1 นั่นคอื P( A) = 1 5 จะได P(B) = 1 และ P(C) = 3 55 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 359 1) ความนาจะเปนท่ีกานตจ ะไดเ ขา ทํางานท่ีบริษทั น้ี เทา กับ 1 5 2) เนื่องจาก C′ เปน เหตกุ ารณทีค่ ณินไมไดเ ขาทํางาน และจาก P(C′) = 1− P(C) จะได P(C′) = 1− 3 = 2 55 ดังน้นั ความนาจะเปนที่คณินไมไดเขา ทํางานที่บริษัทนี้ เทา กับ 2 5 6. จากโจทยกําหนดให P=( A) 0.6, P( A −=B) 0.2 และ P( A ∪ B) =0.8 จาก P( A ∩ B) = P( A) − P( A − B) จะได P( A ∩ B) = 0.6 − 0.2 = 0.4 จาก P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) จะได P( B) = P( A ∪ B) − P( A) + P( A ∩ B) = 0.8 − 0.6 + 0.4 = 0.6 ดังนัน้ P(B) = 0.6 7. ให A แทนเหตกุ ารณท ี่พนกั งานคนนี้เดนิ ทางดวยรถประจาํ ทาง และ B แทนเหตกุ ารณท ่ีพนักงานคนน้ีเดินทางดว ยรถไฟฟา จะได A∩ B แทนเหตกุ ารณท่ีพนักงานคนนเ้ี ดนิ ทางดวยรถประจําทางและรถไฟฟา และ A′ ∩ B′ แทนเหตกุ ารณท่ีพนกั งานคนนไ้ี มไดใ ชท ้ังสองวิธี โจทยกาํ หนดใ=ห P( A) 0=.5, P(B) 0.3 และ P( A ∩ B) =0.2 ตอ งการหา P( A′ ∩ B′) จาก P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) จะได P( A ∪ B) = 0.5 + 0.3 − 0.2 = 0.6 จากสมบตั ขิ องเซต ไดว า A′ ∩ B′ = ( A ∪ B)′ ( )จาก P ( A ∪ B)′ = 1− P( A ∪ B) ( )จะได P ( A ∪ B)′ = 1− 0.6 = 0.4 น่ันคือ P( A′ ∩ B′) = 0.4 ดงั นนั้ ความนา จะเปนที่พนักงานบริษัทไมไ ดใชท้ังสองวธิ ีในการเดนิ ทาง เทากับ 0.4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

360 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 8. ให A แทนเหตุการณท ี่ผูปว ยคนน้ีเปนโรคเบาหวาน และ B แทนเหตุการณท ผ่ี ปู ว ยคนนี้เปนโรคหัวใจ จะได A ∪ B แทนเหตกุ ารณทผี่ ปู ว ยคนน้ีเปนโรคเบาหวานหรือโรคหวั ใจ และ A − B แทนเหตกุ ารณที่ผูป วยคนนีเ้ ปนโรคเบาหวานเพียงอยางเดียว โจทยก ําหนด=ให P( A) 0=.41, P(B) 0.28 และ P( A ∪ B) =0.6 ตองการหา P( A − B) จาก P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) จะได นั่นคือ P( A∩ B) = P( A) + P(B) − P( A∪ B) P ( A ∩ B) = 0.41+ 0.28 − 0.6 = 0.09 จาก P( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) จะได P( A − B) = 0.41− 0.09 = 0.32 ดงั นนั้ ความนาจะเปนที่ผูปว ยคนน้เี ปน โรคเบาหวานเพยี งอยา งเดียว เทา กับ 0.32 9. ให S แทนปริภูมิตวั อยาง A แทนเหตุการณทล่ี กู เตา ท้ังสองลกู ข้ึนแตมเทา กนั B แทนเหตุการณท ่ผี ลบวกของแตม นอยกวา 8 C แทนเหตุการณทีผ่ ลบวกของแตม เทากับ 8 และ D แทนเหตุการณทผ่ี ลบวกของแตมมากกวา 6 จะไดวา S = {(1,1), (1, 2),, (1, 6), (2,1), (2, 2),, (2, 6),  (6,1), (6, 2),, (6, 6)} A = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B = {(1,1), (1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5), (1, 6), (2,1), (2, 2),(2, 3),(2, 4) ,(2, 5), (3,1), (3, 2),(3, 3),(3, 4) , (4,1), (4, 2),(4, 3), (5,1), (5, 2), (6,1)} สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 361 C = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} และ D = {(1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5),(3, 6), (4, 3), (4, 4),(4, 5),(4, 6) , (5, 2), (5, 3),(5, 4),(5, 5) ,(5, 6), (6,1), (6, 2),(6, 3),(6, 4),(6, 5), (6, 6)} ดงั นัน้ P( A=) 6= 1 , P(B=) 2=1 7 , P(C ) = 5 และ P(D=) 2=1 7 36 6 36 12 36 36 12 1) เหตุการณท ีล่ ูกเตาทั้งสองลกู ข้ึนแตม ไมเ ทา กนั หรือผลบวกของแตมเทา กับ 8 คือ A′ ∪ C จาก P( A′) = 1− P( A) จะได P ( A′) = 1− 1 = 5 และจาก 66 P( A′ ∪ C ) = P( A′) + P(C ) − P( A′ ∩ C ) เนอ่ื งจาก A′ ∩ C = {(2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2)} จะไดว า P( A′ ∩ C) = 4 = 1 36 9 นน่ั คือ P( A′ ∪ C ) = 5 + 5 − 1 = 31 6 36 9 36 ดงั น้นั ความนาจะเปน ท่ลี กู เตาทั้งสองลูกจะข้ึนแตม ไมเทากันหรอื ผลบวกของแตม เทา กบั 8 คอื 31 36 2) เหตุการณท ีล่ ูกเตา ท้ังสองลูกข้ึนแตม เทากันหรอื ผลบวกของแตมนอยกวา 8 คือ A ∪ B จาก P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) เน่ืองจาก A ∩ B = {(1,1), (2, 2), (3, 3)} จะไดวา P( A ∩ B) = 3 = 1 36 12 นนั่ คอื P( A ∪ B) = 1 + 7 − 1 =2 6 12 12 3 ดังนนั้ ความนาจะเปน ทลี่ กู เตาท้ังสองลูกจะขึ้นแตมเทากนั หรือผลบวกของแตม นอยกวา 8 คือ 2 3 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

362 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 3) เหตุการณทีล่ ูกเตาท้ังสองลูกจะขึน้ แตมเทา กันแตผลบวกของแตม ไมมากกวา 6 คอื A − D จาก P( A − D) = P( A) − P( A ∩ D) เนื่องจาก A ∩ D = {(4, 4), (5, 5), (6, 6)} จะไดวา P( A ∩ D) = 3 = 1 36 12 นั่นคือ P( A − D) =1 − 1 =1 6 12 12 ดงั นน้ั ความนาจะเปนท่ีลกู เตาทัง้ สองลูกจะข้ึนแตมเทากนั แตผ ลบวกไมมากกวา 6 คอื 1 12 10. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยาง A แทนเหตกุ ารณท ่ีจาํ นวนนเ้ี ปน จาํ นวนคู B แทนเหตุการณท จ่ี ํานวนน้ลี งทายดวย 3 C แทนเหตุการณท่ีจํานวนนห้ี ารดวย 5 ลงตวั และ D แทนเหตุการณทจ่ี ํานวนนีห้ ารดวย 3 ลงตัว จะไดว า S = {1, 2, 3,,100} A = {2, 4, 6,,100} B = {3,13, 23,, 93} C = {5,10,15,,100} และ D = {3, 6, 9,, 99} ดงั นนั้ P(=A) 5=0 1 , P(=B) 1=0 1 , P(=C ) 2=0 1 และ P( D) = 33 100 2 100 10 100 5 100 1) เหตกุ ารณท จ่ี าํ นวนน้ีเปน จาํ นวนคหู รือลงทายดว ย 3 คือ A ∪ B เนือ่ งจาก A ∩ B = ∅ จะได P( A ∪ B) = P( A) + P(B) = 1 + 1 = 3 2 10 5 ดงั นน้ั ความนาจะเปนที่จํานวนนีเ้ ปนจํานวนคหู รือลงทายดวย 3 คอื 3 5 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 363 2) เหตกุ ารณทีจ่ ํานวนนเ้ี ปน จาํ นวนค่หี รือหารดว ย 5 ลงตัว คือ A′ ∪ C จาก P( A′ ∪ C ) = P( A′) + P(C ) − P( A′ ∩ C ) และจาก P( A′) = 1− P( A) จะได P( A′) = 1− 1 = 1 22 เน่ืองจาก A′ ∩ C = {5,15, 25,, 95} จะไดวา P( A′ ∩ C ) = 10 = 1 100 10 นั่นคอื P( A′ ∪ C ) = 1 + 1 − 1 = 3 2 5 10 5 ดังนั้น ความนา จะเปน ท่จี าํ นวนนเ้ี ปน จํานวนคี่หรือหารดวย 5 ลงตวั เทากับ 3 5 3) เหตุการณท จี่ าํ นวนนเี้ ปนจาํ นวนคแู ละหารดว ย 3 ลงตวั คอื A∩ D เนอื่ งจาก A ∩ D = {6,12,18,, 96} จะไดวา P( A ∩ D) = 16 = 4 100 25 ดังนนั้ ความนาจะเปน ทจ่ี าํ นวนน้ีเปนจํานวนคแู ละหารดว ย 3 ลงตัว เทากบั 4 25 4) เหตกุ ารณทจี่ ํานวนน้เี ปน จํานวนคูหรอื หารดว ย 3 ลงตวั คือ A∪ D จาก P( A ∪ D) = P( A) + P(D) − P( A ∩ D) และจากขอ 3) จะไดว า P( A ∪ D) = 1 + 33 − 4 = 67 2 100 25 100 ดังนน้ั ความนา จะเปน ทีจ่ าํ นวนน้ีเปนจาํ นวนคหู รือหารดว ย 3 ลงตวั เทากบั 67 100 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

364 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 แบบฝก หัดทา ยบท 1. ให B1, B2 แทนตวั ถังรถชนิดท่ี 1, 2 ตามลาํ ดบั M1,M2 แทนเคร่ืองยนตชนิดที่ 1, 2 ตามลาํ ดับ และ C1,C2,C3 แทนสีพนรถสีที่ 1, 2, 3 ตามลําดบั 1) สามารถเขยี นแผนภาพแสดงผลลัพธข องการผลิตรถยนตแ บบตา งๆ ไดดังนี้ ชนิดของตวั ถัง ชนิดของเครื่องยนต สีพนรถ C1 B1M1C1 B1M1C2 M1 C2 B1M1C3 B1M 2C1 B1 C3 B1M 2C2 C1 B1M 2C3 M 2 C2 C3 C1 B2 M 1C1 B2 M 1C2 M1 C2 B2 M 1C3 B2 C3 B2M 2C1 C1 B2M 2C2 B2M 2C3 M 2 C2 C3 2) ให S แทนปรภิ มู ิตัวอยา งของการทดลองสุมน้ี จากแผนภาพขอ 1) จะได {S = B1M1C1, B1M1C2 , B1M1C3, B1M 2C1, B1M 2C2 , B1M 2C3, }B2M1C1, B2M1C2 , B2M1C3 , B2M 2C1, B2M 2C2 , B2M 2C3 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 365 2. ให H แทนเหรียญข้ึนหัว และ T แทนเหรยี ญขึน้ กอ ย 1) ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา งของการทดลองสุม น้ี เนอื่ งจาก ผลลพั ธท เี่ ปนไปไดท้งั หมดจากการโยนเหรยี ญหนึ่งเหรียญสามคร้งั คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT ดงั น้ัน S = {HHH , HHT , HTH , HTT ,THH ,THT ,TTH ,TTT} 2) ให E1 แทนเหตุการณท เ่ี หรียญขึ้นหวั เพียงหนึง่ ครงั้ ดงั น้ัน E1 = {HTT ,THT ,TTH} 3) ให E2 แทนเหตกุ ารณทเี่ หรียญข้ึนหวั สามคร้งั ดงั นน้ั E2 = {HHH} 4) ให E3 แทนเหตกุ ารณทีเ่ หรียญขน้ึ หัวอยา งนอยหนง่ึ ครง้ั ดงั นัน้ E3 = {HHH , HHT , HTH , HTT ,THH ,THT ,TTH} 5) ให E4 แทนเหตกุ ารณทเี่ หรียญไมข ้นึ หวั เลย ดงั นั้น E4 = {TTT} 3. ให R แทนลูกบอลสีแดง W แทนลกู บอลสีขาว และ G แทนลูกบอลสีเขียว 1) ให S แทนปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ เนอื่ งจากผลลัพธท่ีเปนไปไดทั้งหมดจากการหยบิ ลูกบอลทลี ะลกู แลว ใสคืนกอนหยบิ ลกู บอลลกู ทีส่ อง จากกลอ งท่ีบรรจลุ ูกบอลสแี ดง 1 ลกู สีขาว 1 ลูก และสเี ขยี ว 1 ลูก คอื RR, RW, RG, WR, WW, WG, GR, GW และ GG ดังนน้ั S = {RR, RW , RG,WR,WW ,WG,GR,GW ,GG} 2) ให E แทนเหตุการณท ไี่ ดลกู บอลสขี าวและสีแดงอยางละ 1 ลูก ดงั นั้น E = {RW ,WR} 4. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จากตารางมีใบสงั่ ซ้ือสนิ คา ท้ังหมด 212 + 389 +124 +105 +170 =1,000 ใบ จะได n(S ) =1,000 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

366 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 1) ให E1 แทนเหตุการณทใี่ บส่งั ซือ้ สินคาที่สุม มาเปนใบสงั่ ซ้ือสินคาจากภาคเหนือ จากตาราง มใี บสง่ั ซ้ือสินคา จากภาคเหนอื 212 ใบ นนั่ คือ n(E1) = 212 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) =212 53 1, 000 250 ดังนั้น ความนาจะเปน ทีใ่ บสงั่ ซือ้ สินคาที่สุมมาจะเปนใบสงั่ ซ้ือสินคา จากภาคเหนือ เทา กับ 53 250 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณที่ใบสั่งซอ้ื สนิ คา ท่สี มุ มาเปน ใบสง่ั ซ้ือสินคาจากภาคกลาง จากตาราง มีใบส่ังซอื้ สนิ คาจากภาคกลาง 389 ใบ นั่นคอื n(E2 ) = 389 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 389 1, 000 ดังนั้น ความนาจะเปนทีใ่ บสั่งซ้อื สินคา ทีส่ ุมมาจะเปน ใบสัง่ ซือ้ สนิ คาจากภาคกลาง เทากับ 389 1, 000 3) ให E3 แทนเหตุการณทีใ่ บสัง่ ซอื้ สนิ คาท่ีสมุ มาเปนใบสง่ั ซื้อสนิ คาจากภาคตะวนั ออก จากตาราง มีใบสง่ั ซอ้ื สนิ คา จากภาคตะวันออก 124 ใบ น่นั คือ n(E3 ) =124 จะได P=( E3 ) nn=((ES3)) =124 31 1, 000 250 ดงั นั้น ความนา จะเปนทใ่ี บสั่งซื้อสนิ คาทส่ี ุมมาจะเปน ใบส่ังซื้อสนิ คา จากภาคตะวนั ออก เทากบั 31 250 4) ให E4 แทนเหตุการณที่ใบสั่งซื้อสินคาท่ีสุมมาเปน ใบสั่งซื้อสินคาจากภาคตะวันออกเฉียงเหนือ จากตาราง มีใบส่งั ซ้อื สินคา จากภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ 105 ใบ นน่ั คือ n(E4 ) =105 จะได P=( E4 ) nn=((ES4)) =105 21 1, 000 200 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีใบส่ังซ้ือสินคา ท่ีสมุ มาจะเปนใบสงั่ ซ้ือสนิ คา จากภาคตะวนั ออกเฉียงเหนอื เทา กับ 21 200 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 367 5) ให E5 แทนเหตุการณทีใ่ บสั่งซอ้ื สินคา ทส่ี ุมมาเปนใบสัง่ ซื้อสนิ คาจากภาคใต จากตาราง มใี บสงั่ ซื้อสินคา จากภาคใต 170 ใบ น่ันคอื n(E5 ) =170 จะได P=( E5 ) nn=((ES5)) =170 17 1, 000 100 ดงั นนั้ ความนาจะเปนท่ใี บสั่งซอ้ื สินคา ท่ีสุมมาจะเปนใบสัง่ ซ้ือสินคา จากภาคใต เทา กับ 17 100 5. ให S เปน ปริภูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) =100 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทนี่ ักเรยี นคนนจ้ี ะสวมรองเทา เบอร 7 จากตาราง มีนักเรียนทสี่ วมรองเทา เบอร 7 อยู 35 คน นน่ั คอื n(E1) = 35 จะได P ( E=1 ) nn((ES=1)) 3=5 7 100 20 ดงั นั้น ความนาจะเปน ท่ีนกั เรียนคนน้ีจะสวมรองเทาเบอร 7 เทา กับ 7 20 2) ให E2 แทนเหตุการณท น่ี กั เรียนคนน้จี ะสวมรองเทาเล็กกวา เบอร 8 จากตาราง มนี ักเรยี นทีส่ วมรองเทาเล็กกวา เบอร 8 อยู 3 +12 + 35 =50 คน นัน่ คือ n(E2 ) = 50 จะได P ( E=2 ) nn((ES=2)) 5=0 1 100 2 ดังนนั้ ความนา จะเปนทน่ี กั เรียนคนนี้จะสวมรองเทาเลก็ กวาเบอร 8 เทา กบั 1 2 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ่ีนกั เรียนคนน้ีจะสวมรองเทาเบอร 8 หรอื 9 จากตาราง มนี ักเรยี นทส่ี วมรองเทาเบอร 8 หรอื 9 อยู 27 +16 =43 คน นนั่ คอื n(E3 ) = 43 จะได P=( E3 ) nn=((ES3)) 43 100 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่นกั เรียนคนนี้จะสวมรองเทา เบอร 8 หรือ 9 เทากบั 43 100 4) ให E4 แทนเหตุการณทีน่ ักเรยี นคนนี้จะสวมรองเทา เบอร 5 หรอื 10 จากตาราง มนี ักเรียนท่ีสวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 อยู 3 + 7 =10 คน นัน่ คอื n(E4 ) =10 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

368 คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 จะได P ( E=4 ) nn((ES=4)) 1=0 1 100 10 ดังนัน้ ความนาจะเปน ที่นกั เรียนคนนี้จะสวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 เทา กับ 1 10 5) ให E5 แทนเหตุการณทีน่ กั เรียนคนนจ้ี ะสวมรองเทาใหญกวา เบอร 10 จากตาราง ไมม ีนักเรยี นทีส่ วมรองเทา ใหญก วาเบอร 10 น่นั คอื n(E5 ) = 0 จะได P ( E=5 ) nn((ES=5)) =0 0 100 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ท่ีนักเรียนคนน้ีจะสวมรองเทา ใหญกวาเบอร 10 เทา กับ 0 6. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสุมน้ี จากตาราง มจี าํ นวนพนกั งานขายท้งั หมด 30 + 50 + 80 + 70 + 20 =250 คน จะได n(S ) = 250 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่พนักงานขายคนนขี้ ายสนิ คาไดต้งั แต 10,000 ถงึ 19,999 บาท จากตาราง จํานวนพนักงานขายทขี่ ายสินคาไดต ั้งแต 10,000 ถึง 19,999 บาท เทากบั 50 คน นั่นคอื n(E1) = 50 จะได P (=E1 ) nn((E=S1)) 5=0 1 250 5 ดังนัน้ ความนาจะเปน ทีพ่ นักงานขายคนนจ้ี ะขายสนิ คาไดต ้ังแต 10,000 ถงึ 19,999 บาท เทา กับ 1 5 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่ีพนักงานขายคนนข้ี ายสินคาไดนอ ยกวา 20,000 บาท จากตาราง จํานวนพนักงานขายท่ีขายสินคา ไดน อยกวา 20,000 บาท เทา กบั 30 + 50 =80 คน นน่ั คือ n(E2 ) = 80 จะได P ( E=2 ) nn((E=S2)) 8=0 8 250 25 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีพนักงานขายคนนจี้ ะขายสินคาไดนอยกวา 20,000 บาท เทากับ 8 25 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 369 3) ให E3 แทนเหตุการณที่พนักงานขายคนนข้ี ายสินคา ไดน อ ยกวา 10,000 บาท หรือ อยา งนอย 40,000 บาท จากตาราง จาํ นวนพนักงานขายที่ขายสนิ คาไดนอยกวา 10,000 บาท เทากบั 30 คน และจํานวนพนักงานขายทข่ี ายสนิ คาไดอยางนอย 40,000 บาท เทา กับ 20 คน จะไดว า จาํ นวนพนักงานขายทข่ี ายสนิ คา ไดนอยกวา 10,000 บาท หรอื อยา งนอย 40,000 บาท เทากบั 30 + 20 =50 คน นน่ั คอื n(E3 ) = 50 จะได P ( E=3 ) nn((E=S3)) 5=0 1 250 5 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่พี นักงานขายคนนจ้ี ะขายสนิ คาไดน อยกวา 10,000 บาท หรือ อยางนอย 40,000 บาท เทากับ 1 5 7. ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) =10 1) ให E1 แทนเหตุการณท ี่ลกู ศรจะช้ีท่ชี อ งที่มหี มายเลข 1 กํากับไว จากรปู มชี อ งที่มีหมายเลข 1 กํากบั ไว อยู 1 ชอ ง นนั่ คือ n(E1) =1 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) 1 10 ดงั น้ัน ความนาจะเปนท่ลี กู ศรจะช้ีทีช่ อ งที่มีหมายเลข 1 กํากบั ไว เทา กบั 1 10 2) ให E2 แทนเหตุการณท่ีลูกศรจะชที้ ี่ชองท่มี หี มายเลข 6 กํากบั ไว จากรูป มีชองท่ีมหี มายเลข 6 กํากับไว อยู 2 ชอง นนั่ คือ n(E2 ) = 2 จะได P ( E2=) nn((ES2=)) 2= 1 10 5 ดังน้ัน ความนาจะเปน ที่ลูกศรจะชี้ท่ีชอ งที่มหี มายเลข 6 กาํ กับไว เทากบั 1 5 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

370 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 3) ให E3 แทนเหตุการณทลี่ กู ศรจะชี้ที่ชอ งทมี่ หี มายเลขที่กํากบั เปน จาํ นวนคู จากรูป มีชองที่มหี มายเลขท่ีกํากับเปน จาํ นวนคู คือ 2, 4 และ 6 อยู 6 ชอ ง น่นั คอื n(E3 ) = 6 จะได P ( E3=) nn((ES3=)) 6= 3 10 5 ดังน้นั ความนา จะเปน ทลี่ ูกศรจะช้ที ชี่ อ งท่ีมีหมายเลขทกี่ าํ กับเปน จํานวนคู เทากบั 3 5 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณที่ลกู ศรจะชท้ี ชี่ อ งทีม่ หี มายเลขที่กาํ กับเปน จาํ นวนคี่ จากรูป มชี องท่ีมีหมายเลขท่กี ํากับเปนจาํ นวนคี่ คือ 1, 3, 5 และ 7 อยู 4 ชอ ง นัน่ คอื n(E4 ) = 4 จะได P ( E4=) nn((ES4=)) 4= 2 10 5 ดงั นนั้ ความนาจะเปน ที่ลกู ศรจะชี้ท่ชี องที่มหี มายเลขที่กาํ กับเปน จํานวนคี่ เทากับ 2 5 5) ให E5 แทนเหตุการณท ่ีลูกศรจะชท้ี ีช่ องที่มหี มายเลขท่ีกาํ กับเปนจาํ นวนเฉพาะ จากรปู มีชอ งท่ีมีหมายเลขทีก่ ํากบั เปนจาํ นวนเฉพาะ คือ 2, 3, 5 และ 7 อยู 5 ชอ ง น่นั คือ n(E5 ) = 5 จะได P ( E5=) nn((ES5=)) 5= 1 10 2 ดังนน้ั ความนาจะเปนที่ลูกศรจะชี้ทชี่ อ งท่ีมหี มายเลขท่ีกาํ กับเปนจํานวนเฉพาะ เทา กับ 1 2 6) ให E6 แทนเหตกุ ารณทล่ี กู ศรจะชี้ท่ชี อ งท่มี ีหมายเลขท่ีกาํ กบั เปน จาํ นวนทนี่ อ ยกวา 8 จากรูป มีชองท่ีมหี มายเลขกาํ กับเปน จาํ นวนทน่ี อ ยกวา 8 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 อยู 10 ชอง นนั่ คือ n(E6 ) =10 จะได P ( E6=) nn((ES6=)) 1=0 1 10 ดังนั้น ความนาจะเปน ทลี่ กู ศรจะชท้ี ีช่ อ งท่ีมหี มายเลขกํากับเปน จาํ นวนที่นอยกวา 8 เทา กบั 1 8. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยางของการทดลองสุม นี้ จะได n(S=) 2=5 32 ให E แทนเหตกุ ารณที่เหรียญข้ึนหวั ในการโยนครัง้ แรก สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 371 เน่ืองจาก จาํ นวนวิธที ี่เหรียญข้ึนหวั ในการโยนครงั้ แรก จากการโยนเหรียญหาครั้ง มีได 1× 2 × 2 × 2 × 2 =16 วิธี นน่ั คือ n(E) =16 จะได P( E=) n(E) 1=6 1 n ( S=) 32 2 ดังน้นั ความนาจะเปนทเ่ี หรียญขนึ้ หวั ในการโยนครงั้ แรก เทากับ 1 2 9. ให S แทนปริภูมิตวั อยา งของการทดลองสุมน้ี เน่อื งจากลูกแตล ะคนเปนผชู ายหรอื ผูหญงิ จะได n(S ) = 2× 2× 2 = 8 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทล่ี กู ทั้งสามคนเปนผูหญงิ ขน้ั ตอนท่ี 1 เหตกุ ารณท ล่ี ูกคนที่ 1 เปน ผหู ญงิ มไี ด 1 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 เหตกุ ารณท ่ีลูกคนที่ 2 เปน ผูหญงิ มไี ด 1 วธิ ี ขั้นตอนที่ 3 เหตุการณท ล่ี ูกคนที่ 3 เปน ผูหญงิ มีได 1 วิธี โดยหลกั การคูณ เหตุการณที่ลูกทั้งสามคนเปนผูหญิง มไี ด 1×1×1=1 วธิ ี นัน่ คอื n(E1) =1 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) 1 8 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ลี กู ท้ังสามเปนผูหญิง เทากับ 1 8 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท มี่ ีลูกเปน ผูชายอยา งนอ ย 2 คน เนอื่ งจากครอบครวั นมี้ ลี ูก 3 คน จึงแบง เปน 2 กรณี ดังนี้ กรณที ี่ 1 ครอบครวั นีม้ ลี ูกเปนผชู าย 2 คน มีได 3 วิธี กรณีท่ี 2 ครอบครวั น้ีมลี ูกเปนผูชาย 3 คน มไี ด 1 วธิ ี ดงั นัน้ เหตุการณทมี่ ีลูกเปน ผูชายอยา งนอ ย 2 คน มีได 4 วธิ ี น่นั คอื n(E2 ) = 4 จะได P ( E2 =) nn((ES2))= 4= 1 8 2 ดังนนั้ ความนาจะเปนท่ีมลี กู ชายอยางนอย 2 คน เทา กับ 1 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

372 คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 3) ให E3 แทนเหตุการณทลี่ ูกคนแรกและคนสุดทา ยเปน ผชู าย ขั้นตอนที่ 1 เหตกุ ารณท ่ลี ูกคนแรกเปน ผชู าย มีได 1 วิธี ข้ันตอนที่ 2 เหตกุ ารณท ล่ี ูกคนสดุ ทายเปนผชู าย มีได 1 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 3 เหตุการณที่ลูกคนที่ 2 เปนผูชายหรอื ผูห ญิง มไี ด 2 วิธี โดยหลกั การคูณ เหตุการณที่ลูกคนแรกและคนสุดทา ยเปนผชู าย มไี ด 1×1× 2 =2 วธิ ี นนั่ คอื n(E3 ) = 2 จะได P ( E3 =) nn((ES3))= 2= 1 8 4 ดงั น้นั ความนา จะเปนทีล่ กู คนแรกและคนสุดทา ยเปนผูชาย เทา กบั 1 4 10. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n(S ) = 6× 6 = 36 1) ให E1 แทนเหตุการณท ผ่ี ลบวกของแตมบนหนาลูกเตา ทง้ั สองมากกวา 3 เนือ่ งจากผลลพั ธท ่ีผลบวกของแตมบนหนาลูกเตา ทัง้ สองไมมากกวา 3 ไดแก (1,1), (1, 2) และ (2,1) น่ันคือ จาํ นวนวิธีทผี่ ลบวกของแตม บนหนา ลูกเตาทง้ั สองไมมากกวา 3 มี 3 วธิ ี จะได จาํ นวนวธิ ที ผี่ ลบวกของแตม บนหนาลูกเตามากกวา 3 มี 36 − 3 =33 วิธี นนั่ คือ n(E1) = 33 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 3=3 11 36 12 ดังน้ัน ความนาจะเปน ที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตา ทงั้ สองมากกวา 3 เทากบั 11 12 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ีแ่ ตมบนหนา ลูกเตาทัง้ สองไมเ ทา กนั เน่ืองจากผลลพั ธท่ีแตม บนหนาลูกเตา ทัง้ สองเทากัน ไดแก (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) และ (6, 6) นน่ั คอื จํานวนวิธีทแี่ ตมบนหนาลูกเตาทง้ั สองเทากัน มี 6 วธิ ี จะได จํานวนวธิ ที แ่ี ตมบนหนาลกู เตา ไมเ ทา กัน มี 36 − 6 =30 วิธี น่ันคือ n(E2 ) = 30 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 373 จะได P ( E2=) nn((ES2=)) 3=0 5 36 6 ดังนั้น ความนาจะเปน ที่แตมบนหนาลูกเตาทง้ั สองไมเทา กัน เทากับ 5 6 11. ให S แทนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสุม น้ี จะได n(S ) = 6× 6 = 36 ให E แทนเหตกุ ารณท่ีผเู ขา รว มประชุมคนหนง่ึ เขา และออกโดยไมใ ชป ระตบู านเดมิ ขนั้ ตอนท่ี 1 เลอื กประตเู ขา ได 6 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กประตูออกทีไ่ มซ ้าํ กับประตูเขา ได 5 วิธี โดยหลกั การคณู จํานวนวธิ ีที่ผูเ ขาประชมุ เขาและออกโดยไมใ ชประตูบานเดิม ได 6×5 =30 วธิ ี นน่ั คือ n(E) = 30 จะได P( E=) nn((ES=)) 3=0 5 36 6 ดังนนั้ ความนา จะเปนท่ผี ูเขา ประชุมคนหน่งึ จะเขา และออกโดยไมใ ชป ระตูบานเดิม เทากบั 5 6 12. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S ) = 5 ให E แทนเหตุการณทีน่ กั เรียนคนนี้จะตอบผิด เน่อื งจาก จาํ นวนวธิ ีท่นี กั เรยี นคนน้จี ะตอบถูก มไี ด 1 วธิ ี ดังนั้น จาํ นวนวธิ ที น่ี กั เรยี นคนนจี้ ะตอบผิด มีได 5 −1=4 วธิ ี นน่ั คือ n(E) = 4 จะได P=( E ) nn=((ES )) 4 5 ดังนน้ั ความนาจะเปน ทนี่ ักเรียนคนนีจ้ ะตอบผิด เทากับ 4 5 13. ให E1 แทนเหตกุ ารณท่นี ักเรียนจะซื้อนาํ้ สม ซง่ึ P(E1)= 1= 5 6 30 E2 แทนเหตุการณทน่ี ักเรียนจะซ้ือนา้ํ เกกฮวย ซ่งึ P(E2=) 3= 9 10 30 E3 แทนเหตุการณทีน่ ักเรยี นจะซื้อนม ซ่ึง P(E3 =) 2= 12 5 30 และ E4 แทนเหตุการณที่นักเรยี นจะซ้ือนาํ้ อัดลม ซึ่ง P(E4=) 2= 4 15 30 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

374 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 จะได P(E3 ) > P( E2 ) > P( E1 ) > P( E4 ) ดังนั้น ถารา นคาตองการนําเครือ่ งด่มื มาขายเพยี ง 3 ชนิด รา นคา ควรนํานม นํ้าเกก ฮวย และ นํ้าสมมาขาย 14. ให S แทนปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S=) 5=! 120 ให E แทนเหตกุ ารณทเี่ ตยวิ่งเขาเสน ชยั เปนอนั ดับท่ี 1 หรอื 2 เน่ืองจาก การเขา เสน ชัยของเตยมไี ด 2 วธิ ี และผูเขาแขงขันอีก 4 คนท่ีเหลอื เขา เสนชัยอนั ดับใดก็ได มีได 4! วธิ ี โดยหลักการคณู การเขาเสนชัยของผเู ขา แขงทง้ั หมด โดยที่เตยวิ่งเขาเสนชัยเปน อนั ดบั ท่ี 1 หรอื 2 เทา กับ 2× 4!=48 วธิ ี นนั่ คือ n(E) = 48 จะได P(=E ) nn((=ES )) 4=8 2 120 5 ดังนั้น ความนาจะเปนทีเ่ ตยจะวงิ่ เขา เสน ชัยเปนอันดบั 1 หรือ 2 เทากบั 2 5 15. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยางของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) = C10,1 × C9,1 = 10 × 9 = 90 1) ให E1 แทนเหตุการณทหี่ ยิบไดล กู บอลสแี ดงทงั้ สองลูก ขน้ั ตอนที่ 1 มวี ธิ ที ี่จะหยบิ ลูกบอลลกู แรกไดล กู บอลสแี ดง 3 วธิ ี ขัน้ ตอนที่ 2 มวี ธิ ีที่จะหยิบลูกบอลลกู ทสี่ องไดล กู บอลสีแดง 2 วธิ ี โดยหลกั การคูณ มีวิธหี ยิบไดลกู บอลสแี ดงทั้งสองลูก 3× 2 =6 วธิ ี น่ันคอื n(E1) = 6 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 6= 1 90 15 ดงั นน้ั ความนาจะเปน ทีห่ ยบิ ไดลกู บอลสแี ดงทงั้ สองลูก เทากบั 1 15 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 375 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ห่ี ยบิ ไดลูกบอลสขี าวและสดี าํ กรณที ี่ 1 มีวธิ ีท่จี ะหยิบลกู บอลลูกแรกไดเ ปนสีขาว 2 วิธี มวี ิธที ่จี ะหยบิ ลูกบอลลกู ท่สี องไดเ ปน สดี าํ 5 วิธี โดยหลักการคณู มวี ธิ ที ่ีหยิบลูกบอลลูกแรกไดเ ปน สีขาว และหยบิ ลกู บอลลกู ที่ สองไดเปนสดี ํา 2×5 =10 วธิ ี กรณีท่ี 2 มวี ธิ ที จ่ี ะหยิบลูกบอลลูกแรกไดเปน สีดํา 5 วิธี มวี ธิ ีทีจ่ ะหยิบลกู บอลลกู ท่ีสองไดเปนสขี าว 2 วธิ ี โดยหลักการคณู มีวิธที ่ีหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปนสีดาํ และหยิบลกู บอลลูกท่ี สองไดเปน สีขาว 5× 2 =10 วิธี โดยหลกั การบวก มีวธิ ที ห่ี ยบิ ไดล กู บอลสขี าวและสีดํา 10 +10 =20 วิธี นนั่ คอื n(E2 ) = 20 วธิ ี จะได P ( E=2 ) nn((ES2=)) 2=0 2 90 9 ดงั นัน้ ความนาจะเปนที่หยิบไดลกู บอลสขี าวและสีดํา เทากับ 2 9 16. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n( S ) = C8,1 × C7,1 × C6,1 = 8× 7 × 6 = 336 ให E แทนเหตุการณที่คร้งั ที่ 1 หยบิ ไดลูกบอลสแี ดง และคร้ังท่ี 2 และ 3 หยบิ ไดลูกบอลสีเหลอื ง ขนั้ ตอนที่ 1 มีวิธที ่ีจะหยบิ ลูกบอลลกู แรกไดเปน สแี ดง 2 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 มีวธิ ีท่ีจะหยิบลูกบอลลกู ท่ีสองไดเ ปนสีเหลอื ง 3 วิธี ขั้นตอนท่ี 3 มวี ธิ ีท่จี ะหยบิ ลกู บอลลูกทีส่ ามไดเปน สีเหลือง 2 วธิ ี โดยหลักการคณู มีวิธที ี่จะหยิบไดลกู บอลสแี ดง 1 ลูก และสีเหลือง 2 ลูกตามลําดับ 2× 3× 2 =12 วธิ ี นนั่ คอื n(E) =12 จะได P(=E ) nn((=ES )) 1=2 1 336 28 ดงั น้นั ความนา จะเปนที่ครงั้ ที่ 1 หยบิ ไดลูกบอลสแี ดง และครง้ั ท่ี 2 และ 3 หยบิ ไดล กู บอล สเี หลือง เทา กบั 1 28 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

376 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 17. ให S แทนปรภิ มู ติ วั อยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n=(S ) C=12,3 220 ให E แทนเหตกุ ารณทจ่ี ะไดลูกแกว ครบทุกสี นัน่ คือ ไดลูกแกว สีเขียว 1 ลกู สีชมพู 1 ลกู และสีฟา 1 ลกู ขน้ั ตอนท่ี 1 มวี ิธีทีจ่ ะหยบิ ลกู แกวไดเปนสีเขียว 4 วธิ ี ขนั้ ตอนท่ี 2 มวี ิธที ีจ่ ะหยิบลกู แกวไดเปนสีชมพู 3 วธิ ี ข้ันตอนที่ 3 มวี ิธที จ่ี ะหยิบลกู แกว ไดเ ปนสีฟา 5 วธิ ี โดยหลักการคณู จะมีวธิ ที ี่จะหยิบลกู แกว 3 ลกู พรอมกัน ไดล กู แกวครบทุกสี 4×3×5 วธิ ี นน่ั คอื n(E) = 4× 3× 5 จะได P=( E ) nn=((ES )) 4 ×=3× 5 3 220 11 ดังนั้น ความนา จะเปน ที่จะไดลกู แกวครบทุกสี เทากบั 3 11 18. ให S แทนปริภมู ติ วั อยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n=(S ) C=30,2 435 ให E แทนเหตุการณท่นี ักเรียนท้ังสองเปน ผูชายทั้งคหู รือผูหญิงท้ังคู กรณที ี่ 1 มวี ธิ ีที่จะเลือกไดนักเรยี นท้ังสองคนเปน ผหู ญงิ C18,2 =153 วิธี กรณีท่ี 2 มีวิธีที่จะเลอื กไดนักเรยี นทัง้ สองคนเปนผูชาย C12,2 = 66 วธิ ี โดยหลักการบวก มวี ธิ ีท่จี ะเลือกนักเรียนเปนผูชายท้ังคูหรือผหู ญงิ ทงั้ คู 153 + 66 =219 วธิ ี นั่นคือ n(E) = 219 จะได P(=E) nn((=ES )) 2=19 73 435 145 ดงั นั้น ความนา จะเปนทีน่ กั เรียนท้งั สองเปนผชู ายทง้ั คูหรอื ผูหญิงท้งั คู เทา กับ 73 145 19. 1) ให S1 แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี จะได n(=S1 ) C=40,1 40 ให E1 แทนเหตกุ ารณท ว่ี ชิระหยิบไดชอ็ กโกแลตท่ีหอดว ยกระดาษสแี ดง มวี ิธที ่จี ะหยิบชอ็ กโกแลตที่หอดวยกระดาษสีแดง 1 ช้นิ จากชอ็ กโกแลตที่หอดวย กระดาษหอสีแดง 30 ชิ้น ได 30 วิธี นนั่ คอื n(E1) = 30 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 377 จะได P ( E=1 ) n ( ES11=)) 3=0 3 n ( 40 4 ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่วี ชริ ะหยิบไดช ็อกโกแลตที่หอดวยกระดาษสีแดง เทากับ 3 4 2) ให S2 แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้ จะได n(=S2 ) C=40,2 780 ให E2 แทนเหตุการณที่วชิระหยิบไดช ็อกโกแลตทห่ี อดว ยกระดาษสีเดยี วกัน กรณีที่ 1 ไดช ็อกโกแลตหอ ดว ยกระดาษสีแดงทัง้ สองช้นิ มีวิธีหยบิ ช็อกโกแลตที่หอดวยกระดาษสีแดง 2 ช้นิ จากช็อกโกแลตทหี่ อดว ย กระดาษสีแดง 30 ชิ้น ได C30,2 = 435 วธิ ี กรณที ่ี 2 ไดช็อกโกแลตทหี่ อดวยกระดาษสเี ขียวทง้ั สองชิน้ มีวิธหี ยิบช็อกโกแลตที่หอดวยกระดาษสเี ขียว 2 ชิน้ จากช็อกโกแลตท่ีหอดวย กระดาษสเี ขยี ว 10 ช้นิ ได C10,2 = 45 วธิ ี โดยหลักการบวก จะมวี ธิ ีหยิบไดชอ็ กโกแลตทหี่ อดว ยกระดาษสเี ดยี วกัน 435 + 45 =480 วธิ ี น่นั คือ n(E2 ) = 480 จะได P ( E=2 ) 4=80 8 780 13 ดงั น้ัน ความนาจะเปน ทวี่ ชิระหยิบไดช อ็ กโกแลตท่หี อดว ยกระดาษสีเดียวกนั เทากับ 8 13 3) ให S3 แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได ( )n S3 = C40,10 ให E3 แทนเหตกุ ารณที่วชริ ะหยิบไดชอ็ กโกแลตทีห่ อดวยกระดาษสีแดงอยา งนอยหน่ึงชิน้ เนือ่ งจาก วธิ ที ่ีหยบิ ไมไ ดช็อกโกแลตท่ีหอดวยกระดาษสแี ดงเลย คอื วธิ ที ห่ี ยิบได ช็อกโกแลตที่หอดวยกระดาษสเี ขยี วทั้งหมด 10 ชน้ิ ซ่งึ ทําได C10,10 =1 วิธี ดังนั้น จะมวี ธิ ีหยิบไดช อ็ กโกแลตท่ีหอ ดว ยกระดาษสีแดงอยางนอ ยหนึง่ ช้นิ C40,10 −1 วิธี นนั่ คือ n(=E3 ) C40,10 −1 จะได P(E3 )= n( E3 ) = C40,10 −1 1− 1 n(S) = C40,10 C40,10 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

378 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 ดงั น้ัน ความนาจะเปนทวี่ ชิระหยบิ ไดชอ็ กโกแลตท่ีหอดว ยกระดาษสแี ดงอยา งนอยหนึ่งชิ้น เทากบั 1− 1 C40,10 20. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยางของการทดลองสุมนี้ จะได n( S ) = C30,1 × C29,1 = 30 × 29 = 870 ให E แทนเหตุการณทีพ่ นักงานที่ไดรับรางวลั เปน ผูช ายท้งั คู ข้นั ตอนที่ 1 เลอื กผชู าย 1 คน จาก 10 คน ไดรบั รางวลั ได 10 วิธี ขัน้ ตอนที่ 2 เลอื กผูช าย 1 คน จากทเ่ี หลือ 9 คน ไดร ับรางวลั ได 9 วิธี โดยหลกั การคณู จะมวี ธิ ที ่พี นักงานที่ไดร บั รางวัลทง้ั สองคนเปนผชู ายท้งั คู 10×9 =90 วิธี นน่ั คือ n(E) = 90 จะได P(=E ) nn((=ES )) 9=0 3 870 29 ดงั นั้น ความนา จะเปนท่ีพนักงานทไี่ ดร บั รางวลั เปนผูชายทงั้ คู เทากับ 3 29 21. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n=(S ) C=10,2 45 1) ให E1 แทนเหตุการณที่พนักงานที่ไดรับเลือกเปนกรรมการเปนผูชายหนง่ึ คนและผูหญิงหนึ่งคน ข้ันตอนที่ 1 มีวธิ ที จ่ี ะเลือกพนักงานผชู ายเปน กรรมการ 1 คน ได 7 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 2 มีวิธีที่จะเลือกพนักงานผูหญงิ เปน กรรมการ 1 คน ได 3 วธิ ี โดยหลกั การคณู มวี ธิ ีทจ่ี ะเลอื กกรรมการเปน ผูชายหนง่ึ คนและผหู ญิงหนึง่ คนได 7×3 =21 วิธี นนั่ คือ n(E1) = 21 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 2=1 7 45 15 ดังนั้น ความนา จะเปนท่ีพนักงานท่ีไดรบั เลือกเปนกรรมการเปนผชู ายหน่ึงคนผหู ญิงหนึ่งคน เทากับ 7 15 2) ให E2 แทนเหตุการณที่พนกั งานที่ไดรับเลือกเปนกรรมการเปนผูหญิงอยา งนอยหนึ่งคน กรณที ี่ 1 มีวธิ ที ่ีจะเลือกพนักงานผหู ญิง 1 คน และผูช าย 1 คน เปน กรรมการ ได 3× 7 =21 วิธี กรณที ี่ 2 มีวิธีทจี่ ะเลอื กพนักงานผูห ญงิ 2 คน เปนกรรมการ ได C3,2 = 3 วิธี โดยหลักการบวก มวี ิธเี ลอื กกรรมการเปน ผูหญงิ อยางนอยหนง่ึ คน ได 21+ 3 =24 วธิ ี สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 379 นน่ั คอื n(E2 ) = 24 จะได P ( E=2 ) nn((ES2=)) 2=4 8 45 15 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่พนักงานที่ไดรบั เลือกเปนกรรมการเปน ผหู ญงิ อยางนอยหน่งึ คน เทา กับ 8 15 3) ให E3 แทนเหตุการณที่พนักงานทไ่ี ดรับเลือกเปนกรรมการเปนผชู ายอยางนอยหน่ึงคน กรณที ี่ 1 มีวธิ ที ่ีจะเลอื กพนักงานผชู าย 1 คน และผูหญงิ 1 คน เปนกรรมการ ได 7 × 3 =21 วิธี กรณที ่ี 2 มวี ธิ ีทจ่ี ะเลือกพนักงานผชู าย 2 คน เปน กรรมการ ได C7,2 = 21 วิธี โดยหลักการบวก มวี ธิ เี ลอื กกรรมการเปน ผูชายอยา งนอยหนึ่งคน ได 21+ 21=42 วธิ ี นัน่ คอื n(E3 ) = 42 จะได P ( E=3 ) nn((ES3=)) 4=2 14 45 15 ดงั นน้ั ความนาจะเปนที่พนักงานที่ไดรับเลือกเปน กรรมการเปนผชู ายอยา งนอยหนึ่งคน เทา กบั 14 15 22. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(=S ) C=5,3 10 ให E แทนเหตุการณท่ีไดผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้งสามมากกวา 10 เนอ่ื งจากเหตกุ ารณท ่ผี ลรวมของหมายเลขบนบัตรเปน 11 มี 1 วธิ ี คือ หยิบไดบตั รซง่ึ มี หมายเลข 2, 4 และ 5 และเหตุการณที่ผลรวมของหมายเลขบนบัตรเปน 12 มี 1 วิธี คอื หยิบไดบ ัตรซึ่งมหี มายเลข 3, 4 และ 5 โดยหลักการบวก มีวิธหี ยิบไดบตั รไดผลรวมของหมายเลขบนบตั รทัง้ สามมากกวา 10 อยู 1+1 =2 วธิ ี นน่ั คือ n(E) = 2 จะได P( E=) nn((ES=)) 2= 1 10 5 ดงั น้ัน ความนาจะเปน ที่ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้งสามมากกวา 10 เทา กบั 1 5 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

380 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 23. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยางของการทดลองสุมน้ี จะได n=(S ) C=40,1 40 ให E แทนเหตุการณท่ีไดนักกรีฑาท่ีมีฝาแฝด เน่ืองจากมีฝาแฝด 3 คู ซึง่ หมายถงึ มนี ักกรีฑา 6 คน ที่มีฝาแฝด น่ันคือ n(E) = 6 จะได P( E=) nn((ES=)) 6= 3 40 20 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่นักกรีฑาคนนจี้ ะมีฝาแฝด เทา กับ 3 20 24. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้ จะได n=(S ) C=12,4 495 ให E แทนเหตกุ ารณท ่จี ะไดเงาะ 2 ผล และสม กบั ชมพูอยา งละ 1 ผล ข้ันตอนที่ 1 มวี ิธีทีจ่ ะหยบิ ไดเ งาะ 2 ผล จากเงาะ 4 ผล ได C4,2 = 6 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 2 มีวิธที ี่จะหยบิ ไดส ม 1 ผล จากสม 3 ผล ได 3 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 3 มวี ิธที จ่ี ะหยิบไดช มพู 1 ผล จากชมพู 5 ผล ได 5 วิธี โดยหลักการคูณ มวี ิธหี ยบิ ผลไมจากตะกรา 4 ผล พรอ มกัน โดยไดเงาะ 2 ผล และสม กับชมพู อยางละ 1 ผล ได 6×3×5 =90 วิธี นน่ั คอื n(E) = 90 จะได P (=E ) nn((=ES )) 9=0 2 495 11 ดงั นนั้ ความนา จะเปน ท่ีไดเ งาะ 2 ผล และสม กบั ชมพูอยา งละ 1 ผล เทากับ 2 11 25. ให S แทนปรภิ มู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S ) = 5× 5× 5 = 125 ให E แทนเหตกุ ารณทนี่ กั เรียนคนนี้จะใสจ ดหมายในตูท่ีไมซ ํา้ กันเลย นนั่ คอื n(E) = 5× 4× 3 = 60 จะได P(=E ) nn((=ES )) 6=0 12 125 25 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ท่นี กั เรียนคนนจี้ ะใสจ ดหมายในตทู ่ีไมซ้าํ กนั เลย เทากบั 12 25 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 381 26. ให S แทนปริภูมติ วั อยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S ) = C5,1 × C5,1 = 5× 5 = 25 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่บตั รทั้งสองใบมหี มายเลขเดยี วกนั ข้ันตอนที่ 1 มวี ธิ ีหยิบบตั ร 1 ใบ จากบตั ร 5 ใบ ได 5 วิธี ข้นั ตอนที่ 2 มวี ธิ หี ยบิ บตั ร 1 ใบ ใหม ีหมายเลขเดยี วกบั ใบแรก ได 1 วิธี โดยหลักการคูณ จะมวี ิธหี ยิบบตั รทั้งสองใบมีหมายเลขเดยี วกนั 5×1=5 วธิ ี นั่นคอื n(E1) = 5 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 5= 1 25 5 ดงั นั้น ความนา จะเปนทบี่ ตั รท้ังสองใบมีหมายเลขเดียวกัน เทา กับ 1 5 2) ให E2 แทนเหตุการณท่ีไดบ ตั รทั้งสองใบมหี มายเลขไมซ้าํ กนั ข้ันตอนท่ี 1 มีวธิ หี ยิบบัตร 1 ใบ จากบตั ร 5 ใบ ได 5 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 2 มีวธิ ีหยบิ บัตร 1 ใบ ใหมีหมายเลขไมซาํ้ กบั ใบแรก ได 4 วธิ ี โดยหลกั การคณู จะมีวิธหี ยิบบัตรทง้ั สองใบมีหมายเลขไมซ ้ํากัน 5× 4 =20 วธิ ี นนั่ คอื n(E2 ) = 20 จะได P ( E=2 ) nn((ES2=)) 2=0 4 25 5 ดงั นนั้ ความนา จะเปน ท่ีบตั รทง้ั สองใบมีหมายเลขไมซํ้ากนั เทา กับ 4 5 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ่บี ัตรทั้งสองใบมหี มายเลขเปน จาํ นวนคู เนือ่ งจากบัตรทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนคมู ี 3 ใบ คอื 2, 6 และ 8 ขัน้ ตอนที่ 1 มีวิธหี ยิบบตั รที่มีหมายเลขเปนจาํ นวนคู 1 ใบ จาก 3 ใบ ได 3 วธิ ี ขัน้ ตอนที่ 2 มีวธิ ีหยิบบตั รที่มีหมายเลขเปนจํานวนคู 1 ใบ จาก 3 ใบ ได 3 วธิ ี โดยหลักการคูณ จะมีวธิ หี ยิบบตั รท้ังสองใบมีหมายเลขเปนจาํ นวนคูได 3×3 =9 วิธี น่นั คอื n(E3 ) = 9 จะได P=( E3 ) nn=((ES3)) 9 25 ดงั นน้ั ความนา จะเปนที่บตั รทงั้ สองใบมีหมายเลขเปน จาํ นวนคู เทา กบั 9 25 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

382 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทผ่ี ลบวกของหมายเลขบนบตั รทัง้ สองเปนจํานวนคู ในการหยบิ ใหไดบัตรที่มีผลบวกของหมายเลขบนหนาบตั รทงั้ สองเปน จํานวนคูเปน ได 2 กรณี กรณที ่ี 1 หมายเลขบนหนาบัตรทั้งสองเปน จํานวนคู ขนั้ ตอนที่ 1 มีวิธหี ยิบบตั รท่ีมีหมายเลขเปนจํานวนคู 1 ใบ จาก 3 ใบ ได 3 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 มวี ิธหี ยิบบตั รทีม่ ีหมายเลขเปนจาํ นวนคู 1 ใบ จาก 3 ใบ ได 3 วธิ ี โดยหลกั การคูณ จะมีวธิ ีหยบิ บตั รทง้ั สองใบเปน จาํ นวนคู ได 3×3 =9 วิธี กรณีที่ 2 หมายเลขบนหนาบตั รท้ังสองเปน จํานวนคี่ ขนั้ ตอนท่ี 1 มีวธิ ีหยิบบตั รทม่ี หี มายเลขเปนจํานวนคี่ 1 ใบ จาก 2 ใบ ได 2 วิธี ขนั้ ตอนที่ 2 มีวธิ ีหยบิ บัตรทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนคี่ 1 ใบ จาก 2 ใบ ได 2 วธิ ี โดยหลกั การคณู จะมวี ิธีหยิบบัตรท้ังสองใบเปน จํานวนคี่ ได 2× 2 =4 วิธี โดยหลักการบวก จะมวี ิธีหยิบบัตรทีม่ ีผลบวกของหมายเลขบนบตั รท้ังสองเปนจํานวนคู 9 + 4 =13 วธิ ี นน่ั คอื n(E4 ) =13 จะได P=( E4 ) nn=((ES4)) 13 25 ดังนั้น ความนาจะเปนทผ่ี ลบวกของหมายเลขบนหนา บัตรทัง้ สองเปน จาํ นวนคู เทากับ 13 25 27. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยางของการทดลองสุม น้ี จะได n(S ) = P20,4 = 20 ×19 ×18×17 ให E แทนเหตกุ ารณท่สี มศรีไดเปน นายกชมรมและสมปองไดเปนอปุ นายกชมรม ขน้ั ตอนท่ี 1 มีวธิ ีท่ีสมศรีไดเ ปน นายกชมรม 1 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 มวี ธิ ีที่สมปองไดเ ปน อุปนายกชมรม 1 วิธี ขัน้ ตอนที่ 3 มีวิธเี ลอื กเลขานกุ ารจากสมาชิก 18 คนทเ่ี หลอื 18 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 4 มีวธิ ีเลือกเหรญั ญกิ จากสมาชิก 17 คนท่เี หลือ 17 วิธี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 383 โดยหลักการคณู มีวิธเี ลอื กคณะกรรมการที่สมศรีเปน นายกชมรมและสมปองเปนอุปนายก ชมรม 1×1×18×17 วธิ ี นั่นคือ n(E=) 18×17 จะได P=( E ) nn=((ES )) 18 ×17= 1 20 ×19 ×18 ×17 380 ดงั นน้ั ความนาจะเปน ที่สมศรีไดเปน นายกชมรมและสมปองไดเ ปนอุปนายกชมรม เทากับ 1 380 28. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n=(S ) C=52,2 1,326 1) ให E1 แทนเหตุการณทีห่ ยิบไดไ พท มี่ ีหนาสีแดงท้ังสองใบ นั่นคอื n(=E1 ) C=26,2 325 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) =325 25 1, 326 102 ดงั นัน้ ความนาจะเปน ท่ีหยิบไดไพท่ีมีหนา สีแดงทง้ั สองใบ เทา กบั 25 102 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท่ีหยิบไดไ พโพดําและโพแดง นนั่ คือ n( E2 ) = C13,1 × C13,1 =13×13 =169 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) =169 13 1, 326 102 ดังน้ัน ความนา จะเปน ทห่ี ยบิ ไดไพโ พดําและโพแดง เทากบั 13 102 3) ให E3 แทนเหตุการณท่หี ยบิ ไดไพ J ท้ังสองใบ นน่ั คือ n( E=3 ) C=4,2 6 จะได P=( E3 ) nn=((ES3)) =6 1 1, 326 221 ดังน้นั ความนา จะเปนท่หี ยบิ ไดไพ J ทง้ั สองใบ เทากับ 1 221 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

384 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 29. ให S1 แทนปรภิ มู ติ วั อยางของการทดลองสุมหยิบสลาก 2 ใบ โดยใสสลากคนื กอนจะ หยบิ สลากใบทสี่ อง จะได n( S1 ) = C10,1 × C10,1 =10 ×10 =100 ให E1 แทนเหตกุ ารณที่ผลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สองใบเทา กับ 10 เม่อื ใส สลากคนื กอนหยบิ สลากใบทส่ี อง จะได E1 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9,1)} จะได n(E1 ) = 9 นน่ั คอื P ( E=1 ) n( ES=11 )) =9 0.09 n( 100 ให S2 แทนปรภิ ูมติ ัวอยางของการทดลองสมุ หยิบสลาก 2 ใบ โดยไมใ สส ลากคืนกอ นจะ หยบิ สลากใบท่ีสอง จะได n( S2 ) = C10,1 × C9,1 = 10 × 9 = 90 ให E2 แทนเหตกุ ารณท่ีผลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สองใบเทากบั 10 เมอ่ื ไมใส สลากคนื กอนหยบิ สลากใบทส่ี อง จะได E2 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9,1)} จะได n(E2 ) = 8 น่ันคือ P ( E2=) n( ES22=)) 8 ≈ 0.089 n( 90 เนื่องจาก P(E1) > P(E2 ) น่ันคือ ความนา จะเปน ทผี่ ลบวกของหมายเลขบนสลากท้ังสองเทากับ 10 เม่ือหยบิ สลาก แบบใสคืน มากกวา ความนาจะเปน ทีผ่ ลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สองเทา กับ 10 เมื่อหยิบสลากแบบไมใสคนื ดงั นัน้ แหวนควรจะใสส ลากคืนกอนจะหยบิ สลากใบทส่ี อง 30. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยางของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) = C5,1 × C4,1 = 5× 4 = 20 ให E แทนเหตกุ ารณที่ครคู นนจ้ี ะสวมเสือ้ และกางเกงสตี า งกัน เนอ่ื งจาก มีวิธแี ตงตวั โดยสวมเสื้อและกางเกงสเี ดยี วกนั (เสอื้ สีดําและกางเกงสีดาํ ) 1× 2 =2 วธิ ี ดังนั้น มวี ิธีสวมเสอ้ื และกางเกงสตี างกนั 20 − 2 =18 วธิ ี นัน่ คอื n(E) =18 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 385 จะได P( E=) n( ES=)) 1=8 9 n( 20 10 ดังนั้น ความนา จะเปน ที่ครูคนนจ้ี ะสวมเส้อื และกางเกงสีตางกัน เทา กบั 9 10 31. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n=(S ) C=20,3 1,140 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะไดพัดลมทมี่ ีคุณภาพดีมากทั้งสามเครอ่ื ง น่นั คอื n( E=1 ) C=8,3 56 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) =56 14 1,140 285 ดงั นน้ั ความนา จะเปนที่จะไดพดั ลมท่ีมคี ณุ ภาพดมี ากท้ังสามเครอ่ื ง เทากับ 14 285 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณที่จะไดพัดลมท่มี คี ุณภาพปานกลางท้ังสามเคร่อื ง นัน่ คอื n( E=2 ) C=3,3 1 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 1 1,140 ดังนนั้ ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดพดั ลมท่ีมีคุณภาพปานกลางท้ังสามเครอื่ ง เทากับ 1 1,140 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีจะไดพัดลมทีม่ ีคุณภาพปานกลางอยางนอ ยหนงึ่ เครอ่ื ง วิธที ่ี 1 ในการซ้ือพดั ลม 3 เครอ่ื ง จะไดพ ดั ลมที่มคี ุณภาพปานกลางอยางนอยหนงึ่ เคร่ือง แบงเปน 3 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 มีวธิ ีท่จี ะไดพัดลมที่มคี ุณภาพปานกลางเพียงเคร่ืองเดยี ว 3× C17,2 =408 วธิ ี กรณีที่ 2 มีวิธีทจ่ี ะไดพดั ลมท่ีมคี ุณภาพปานกลางสองเครื่อง C3,2 ×17 =51 วิธี กรณีท่ี 3 มีวิธที ่จี ะไดพดั ลมท่ีมีคุณภาพปานกลางสามเครื่อง C3,3 =1 วธิ ี โดยหลกั การบวก มีวธิ ีที่จะไดพดั ลมที่มีคณุ ภาพปานกลางอยา งนอ ยหนง่ึ เครือ่ ง 408 + 51+1 =460 วิธี น่นั คอื n(E3 ) = 460 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

386 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 จะได P=( E3 ) nn(=(ES3)) =460 23 1,140 57 ดังนั้น ความนา จะเปนที่จะไดพัดลมที่มีคณุ ภาพปานกลางอยา งนอ ยหน่ึงเครื่อง เทา กับ 23 57 วิธที ่ี 2 ในการซื้อพัดลม 3 เครือ่ ง จะไมไ ดพดั ลมท่ีมีคุณภาพปานกลางเลย ทาํ ได C17,3 = 680 วธิ ี จะไดว า มีวธิ ที ีจ่ ะไดพดั ลมท่ีมีคณุ ภาพปานกลางอยางนอยหนึ่งเครือ่ ง 1,140 − 680 =460 วิธี นั่นคอื n(E3 ) = 460 จะได P=( E3 ) nn(=(ES3)) =460 23 1,140 57 ดงั น้ัน ความนาจะเปนทจี่ ะไดพัดลมที่มคี ุณภาพปานกลางอยางนอยหนึง่ เคร่อื ง เทากับ 23 57 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณท ีจ่ ะไดพัดลมท่มี คี ุณภาพดีมากสองเครื่องและปานกลางหน่งึ เคร่ือง นั่นคือ n( E4 ) = C8, 2 × C3,1 = 28× 3 = 84 จะได P=( E4 ) nn(=(ES4)) =84 7 1,140 95 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่จะไดพัดลมที่มีคุณภาพดีมากสองเคร่อื งและปานกลางหนึง่ เครื่อง เทากบั 7 95 5) ให E5 แทนเหตุการณทีจ่ ะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพดีมาก ดี และปานกลางอยางละเครอื่ ง นั่นคอื n( E5 ) = C8,1 × C9,1 × C3,1 = 8× 9 × 3 = 216 จะได P=( E5 ) nn(=(ES5)) =216 18 1,140 95 ดงั น้ัน ความนา จะเปนท่ีจะไดพัดลมท่ีมคี ุณภาพดีมาก ดี และปานกลางอยางละเคร่ือง เทากับ 18 95 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 387 32. ให S แทนปรภิ มู ติ วั อยา งของการทดลองสุมน้ี จะได n( S ) = C10, 1 × C9, 1 = 10 × 9 = 90 ให E แทนเหตกุ ารณทีค่ ณุ อาเดารหัสบัตรเอทเี อ็มของทอรุง ถูกในการกดรหัสคร้ังแรก เนอ่ื งจาก รหสั บัตรเอทเี อม็ ที่ถกู ตองมีเพียง 1 รหสั จะได n(E) =1 นั่นคอื P=( E ) nn=((ES )) 1 90 ดังน้ัน ความนาจะเปนทค่ี ุณอาจะเดารหัสบตั รเอทีเอม็ ของทอรุงในการกดรหัสคร้ังแรก เทา กบั 1 90 33. ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ นี้ เนอ่ื งจาก มบี ตั รเงนิ สดทงั้ หมด 50 +100 + 350 =500 ใบ จะได n(S ) = C500,2 ให E แทนเหตุการณที่บตั รเงินสดสองใบท่ีลูกคา สุมหยบิ ไดมมี ูลคานอยกวา 100 บาท น่นั คือ หยบิ ไมไดบ ัตรเงินสดมูลคา 100 บาทเลย ซึง่ ทาํ ได C450,2 วธิ ี นน่ั คอื n( E ) = C450,2 จะได P=( E ) nn=((ES )) C=450,2 4, 041 C500,2 4, 990 ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่ีบตั รเงินสดสองใบแรกท่ลี กู คาสมุ หยบิ ไดมมี ลู คานอยกวา 100 บาท เทากบั 4,041 4, 990 34. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n( S ) = C6,2 × C4,2 × C2,2 = 90 ให E แทนเหตุการณทฝ่ี าแฝดอยกู ลุมเดียวกนั เน่อื งจากตอ งการใหฝ าแฝดอยกู ลุมเดยี วกนั นน่ั คือ จะเหลือจดั นกั เรยี น 4 คน เปน 2 กลุม ซง่ึ ทาํ ได 3× C4,2 × C2,2 =18 วธิ ี นัน่ คอื n(E) =18 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

388 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 จะได P( E=) nn((ES=)) 1=8 1 90 5 ดงั นน้ั ความนาจะเปนท่ีฝาแฝดอยูกลมุ เดียวกัน เทา กบั 1 5 35. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S ) = 8×8 = 64 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่ลกู เตาทั้งสองลูกขนึ้ แตม เทา กัน เน่ืองจาก E1 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8)} นน่ั คือ n(E1) = 8 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 8= 1 64 8 ดังนัน้ ความนา จะเปนทลี่ กู เตาทัง้ สองลูกข้นึ แตมเทากัน เทากบั 1 8 2) ให E2 แทนเหตุการณทผี่ ลรวมของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองหารดวย 5 ลงตวั เนอ่ื งจาก E2 = {(1, 4), (2, 3), (2, 8), (3, 2), (3, 7), (4,1), (4, 6),(5, 5), (6, 4), (7, 3), (7, 8), (8, 2), (8, 7)} นั่นคือ n(E2 ) =13 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 13 64 ดงั น้ัน ความนา จะเปน ทีผ่ ลรวมของแตม บนหนา ลูกเตาทั้งสองหารดวย 5 ลงตวั เทา กับ 13 64 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ี่ผลตางของแตมบนหนาลกู เตา ทงั้ สองเปน 2 เนื่องจาก E3 = {(1, 3), (2, 4), (3,1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3),(5, 7), (6, 4), (6, 8), (7, 5), (8, 6)} นนั่ คอื n(E3 ) =12 จะได P ( E=3 ) nn((ES3=)) 1=2 3 64 16 ดงั น้ัน ความนาจะเปนทผ่ี ลตางของแตมบนหนา ลูกเตาทง้ั สองเปน 2 เทา กับ 3 16 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 389 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทีผ่ ลรวมของแตม บนหนาลูกเตา ทง้ั สองเปน จาํ นวนคู แตผ ลตา ง ของแตมบนหนาลกู เตาท้ังสองเปน 4 เนื่องจาก E4 = {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (5,1), (6, 2), (7, 3), (8, 4)} น่ันคอื n(E4 ) = 8 จะได P ( E4=) nn((ES4=)) 8= 1 64 8 ดงั น้นั ความนา จะเปน ทผ่ี ลรวมของแตมบนหนา ลูกเตาท้ังสองเปนจํานวนคู แตผ ลตา ง ของแตมบนหนา ลกู เตาทงั้ สองเปน 4 เทากับ 1 8 36. ให S แทนปริภูมิตวั อยา งของการทดลองสุม น้ี จะได n(S ) = 10! 4!4!2! ให E แทนเหตกุ ารณทเ่ี พื่อนสนิททั้งสองคนนี้จะไดนง่ั รถมาคันท่สี าม เนอื่ งจากใหเ พื่อนสนทิ ทั้งสองคนน่งั รถมา คนั ที่ 3 จะมีวิธีจดั นักทองเทยี่ วทเี่ หลือ 8 คน น่งั รถมา คนั ที่ 1 และ 2 ได 8! วิธี 4!4! น่นั คอื n(E) = 8! 4!4! จะได P ( E ) = n(E) = 8! × 4!4!2! =1 n(S) 4!4! 10! 45 ดังน้ัน ความนา จะเปนทีเ่ พ่อื นสนทิ ทงั้ สองคนนี้จะไดนั่งรถมาคันทส่ี าม เทา กบั 1 45 37. ให S แทนปริภมู ิตวั อยางของการทดลองสุม นี้ จะได n(S ) = 10! 3!2!4!1! 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ่หี ลอดไฟสีเดยี วกนั อยตู ิดกัน พจิ ารณาหลอดไฟสีเดียวกันมัดติดกันเปนสิ่งของ 1 สงิ่ ดงั นนั้ จะมหี ลอดไฟอยู 4 หลอด จัดเรยี งได 4!= 24 วิธี เนื่องจากหลอดไฟแตล ะหลอดเหมือนกัน ในแตละมัดจึงจดั เรียงได 1 วธิ ี จะไดว า มีวิธจี ัดเรยี งหลอดไฟสเี ดียวกนั อยตู ิดกนั 24 วธิ ี นน่ั คือ n(E1) = 4! สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

390 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 จะได P ( E1 ) =nn((ES1)) =4!× 3!2!4!1! =1 10! 525 ดงั นั้น ความนาจะเปน ทหี่ ลอดไฟสีเดยี วกนั อยตู ิดกนั เทากับ 1 525 2) ให E2 แทนเหตุการณท ี่หลอดไฟสีมวงไมอยูติดกัน เนื่องจากตอ งการใหหลอดไฟสีมว งไมอยูตดิ กนั จะแบง เปน 2 ข้นั ตอน ขั้นตอนที่ 1 จดั เรยี งหลอดไฟสีอ่ืน ๆ ที่ไมใชส มี วง ได 7! วธิ ี 2!4!1! ขน้ั ตอนท่ี 2 นําหลอดไฟสีมวงมาแทรกระหวางหลอดไฟสีอน่ื ๆ ได 8 ตําแหนง นั่นคอื มวี ิธีนาํ หลอดไฟสีมว งไปแทรกได C8,3 = 8! วิธี 5!3! ดังนัน้ จะมีวธิ ีจัดหลอดไฟสมี วงไมอ ยตู ิดกนั ได 7! × 8! วิธี 2!4!1! 5!3! น่ันคอื n=( E2 ) 7! × 8! 2!4!1! 5!3! จะได P ( E2 )= nn((ES2))= 7! × 8! × 3!2!4!1!= 7 2!4!1! 3!5! 10! 15 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีหลอดไฟสีมว งไมอยูติดกนั เทากบั 7 15 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี