(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.2

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 241 4) z1 + 1 = 1+ 1 z2 2 − i 3 − 2i =  2 1 i   2 + i  +  3 1   3 + 2i   −   2 + i   − 2i   3 + 2i  = 2 + i + 3 + 2i 5 13 = 41 + 23 i 65 65 1 5)  z1  (1 − i) = 2 + i (1− i)  z2    3 − 2i = ( 2 + i 1 − 2i ) (1 − i ) )(3 = 1−i 8−i = 1−i 8+i   8 − i  8 + i  = 9−7i 65 65 6) z1 − z2 = z1 − z2 z1 z1 z1 1 = 2 − i − 3 − 2i 11 2+i 2+i = 2 + i − (3 − 2i)(2 + i) 2−i =  2 + i   2 + i  − (3 − 2i ) ( 2 + i )  2 − i   2 + i  = 3 + 4i − (8 − i) 5 = − 37 + 9 i 55 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

242 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 7) ( z1 + z2 ) z1−1 = z1 + z2 z1 1 = 2 − i + 3 − 2i 11 2+i 2+i = 2 + i + (3 − 2i)(2 + i) 2−i =  2 + i   2 + i  + (3 − 2i ) ( 2 + i)  2 − i   2 + i  = 3 + 4i + (8 − i) 5 = 43 − 1 i 55 ( )( ) ( )8) z1 − 2 z2 − i = z1 − 2 ( z2 − i ) 3i 3i  2 1 i − 2  ( ( 3 + 2i ) + i )  − = 3i   1 i  2 + i  − 2  (3 + 3i )   2−   2 + i   = 3i  2 + i − 2  ( 3 + 3i )  5 = 3i  − 8 + 1 i  (3 + 3i )  5 5  = 3i − 27 − 21i = 55 3i  − 27 − 21 i  ( −3i )  5 5  = ( 3i ) ( −3i ) = −7 +9i 55 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 243 5. 1) iz =i ⋅ z =−i z 2) ให z= x + yi จะได iz =i( x + yi) =− y + xi นัน่ คอื Im(iz) =Im( y − xi) =x =Re( x + yi) =Re( z) 3) ให z= x + yi จะได iz =i( x + yi) =− y + xi นน่ั คือ Re(iz) =Re(− y + xi) =− y =− Im( z) 6. 1) เนื่องจาก (1+ i)a + 2(1− 2i)b = (a + 2b) + (a − 4b)i จะได a + 2b = 3 และ a − 4b = 0 ---------- (1) ---------- (2) (1) − (2) จะได 6b = 3 b =1 2 แทน b ใน (1) ดว ย 1 จะได 2 a +1 = 3 a =2 ดังน้ัน a = 2 และ b = 1 2 2) เนื่องจาก (1+ 2i)a + (2 − 3i)b = (a + 2b) + (2a − 3b)i จะได a + 2b = 10 ---------- (1) และ 2a − 3b = 0 ---------- (2) (1)× 2 จะได 2a + 4b = 20 ---------- (3) (3) − (2) จะได 7b = 20 b = 20 7 แทน b ใน (1) ดวย 20 จะได 7 a + 40 = 10 7 a = 30 7 ดังนน้ั a = 30 และ b = 20 77 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

244 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 7. 1) 3z =3(3 − 4i) =9 −12i เขยี นกราฟแสดงไดด ังรปู 2) z =3 − 4i =3 + 4i เขยี นกราฟแสดงไดดังรูป สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 245 3) =1 1=  3 1   3 + 44ii= 3+ 4i z 3 − 4i  − 4i   3 + 25 25 เขียนกราฟแสดงไดด ังรปู 4) iz =i (3 − 4i) =4 + 3i เขียนกราฟแสดงไดด ังรูป สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

246 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 5) z3 =(3 − 4i)3 =(3 − 4i)2 (3 − 4i) =(−7 − 24i)(3 − 4i) =−117 − 44i เขียนกราฟแสดงไดด ังรูป 6) จาก a = 3, b = −4 และ =r 32 + (−4)=2 2=5 5 เนอื่ งจาก b < 0 จะได รากทสี่ องของ 3 − 4i คือ  5+3 − 5 − 3i   8− 2i  = ±(2 − i) ±  2 2  = ±  2 2  ดังนนั้ รากทสี่ องของ 3 − 4i คือ 2 − i และ −2 + i เขียนกราฟแสดงไดดังรูป สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 247 8. 1) คา สัมบรู ณของ 2 − 3i คือ 2 − 3i = 22 + (−3)2 = 13 คา สัมบรู ณของ 3 + 4i คอื 3 + 4i = 32 + 42 = 5 คาสมั บูรณของ 6 + 4i คือ 6 + 4i = 62 + 42 = 2 13 คาสมั บรู ณของ 15 − 8i คอื 15 − 8i = 152 + (−8)2 = 17 ดังนั้น คา สมั บูรณของ (2 − 3i)(3 + 4i) คือ (2 − 3i)(3 + 4i) (6 + 4i)(15 − 8i) (6 + 4i)(15 − 8i) 2 − 3i 3 + 4i = 6 + 4i 15 − 8i = 13 ⋅ 5 2 13 ⋅17 =5 34 2) คา สัมบูรณข อง 3 คอื 3 = 32 + 02 = 3 คา สมั บรู ณข อง 1− 3i คือ 1− 3i = 12 + (−3)2 = 10 คาสัมบูรณข อง 1+ i คือ 1+ i = 12 +12 = 2 ดงั น้ัน คา สัมบรู ณของ 3(1− 3i)2 คอื 3 1 − 3i 2 = 3⋅( )2 = 15 2 10 1+i 1+i 2 9. 1) พิจารณา 2 + 2i =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรปู เชิงขั้วของ 2 + 2i จะได r= ( 2)2 + ( )2 2 2= เนอ่ื งจาก tan=θ =2 1 และ ( 2, 2) เปน จุดในจตภุ าคท่ี 1 2 จะไดว า θ คาหน่งึ ทที่ ําให tanθ =1 คือ π 4 รปู เชงิ ข้ัวรปู หนึง่ ของ 2+ 2i คือ 2  cos π + i sin π   4 4  พิจารณา 2 − 2 3i =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รปู เชิงขวั้ ของ 2 − 2 3i สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

248 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 ( )จะได =r 2 22 + −2 4 3= เนือ่ งจาก tanθ = −2 3 = − 3 และ (2,−2 3) เปนจุดในจตภุ าคท่ี 4 2 จะไดวา θ คา หนึ่ง ทีท่ าํ ให tanθ = − 3 คือ 5π 3 รปู เชิงข้วั รูปหนงึ่ ของ 2−2 3i คอื 4  cos 5π + i sin 5π   3 3  จะได ( 2 + 2i)( 2 − 2 3i) = 2  cos π + i sin π  ⋅ 4 cos 5π + i sin 5π  4 4  3 3  = 8   π + 5π  + i sin  π + 5π  cos  4 3   4 3  = 8 cos 23π + i sin 23π  12 12  ดังนนั้ รปู เชิงขั้วท่วั ไปของ ( 2 + 2i)( 2 − 2 3i) คอื  cos  23π + 2kπ  + i sin  23π + 2kπ   เม่อื k ∈ 8  12   12   2) รูปเชิงขั้วรูปหนงึ่ ของ −2i คือ 2  cos 3π + i sin 3π  2 2  พจิ ารณา 5 + 5i =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รูปเชิงขั้วของ 5 + 5i จะได r = 52 + 52 = 5 2 เน่อื งจาก tanθ= 5= 1 และ (5, 5) เปน จดุ ในจตภุ าคท่ี 1 5 จะไดว า θ คาหนงึ่ ทท่ี าํ ให tanθ =1 คอื π 4 รปู เชิงขว้ั รูปหนึ่งของ 5 + 5i คือ 5 2  cos π + i sin π   4 4  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 249 จะได 2i 2  cos 3π + i sin 3π  5 + 5i  2 2  =  π π  5 2  cos 4 + i sin 4  = 2  cos  3π − π  + i sin  3π − π  5   2 4   2 4     = 2  cos 5π + i sin 5π  5  4 4  ดังน้นั รูปเชิงขว้ั ท่ัวไปของ 2i คือ 2  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ  5   4   4   5 + 5i   เมอื่ k ∈ 3) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชงิ ขวั้ ของ −3 + 3i จะได r= ((−3)2 + )2 12 3= เนอื่ งจาก tanθ = − 3 และ (−3, 3) เปน จุดในจตภุ าคที่ 2 3 จะไดว า θ คา หน่งึ ทท่ี ําให tanθ = − 3 คอื 5π 36 รูปเชิงขวั้ รปู หนงึ่ ของ −3 + 3i คือ 12  cos 5π + i sin 5π   6 6  4 4  20π + i sin 20π   6 6  −3 + 3i = ( ) ( )จะได 12 cos = 144  cos 10π + i sin 10π  3 3  = 144  cos 4π + i sin 4π  3 3  ดงั น้ัน รูปเชิงขั้วทัว่ ไปของ (−3 + )3i 4 คือ 144  cos  4π + 2kπ  + i sin  4π + 2kπ     3   3     เมื่อ k ∈ 4) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชิงข้ัวของ −1+ 3i จะได r= ((−1)2 + )2 3 =2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

250 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 เนื่องจาก tanθ = 3 = − 3 และ (−1, 3) เปน จุดในจตุภาคท่ี 2 −1 จะไดวา θ คา หนึง่ ที่ทําให tanθ = − 3 คอื 2π 3 รูปเชิงข้วั รปู หนงึ่ ของ −1+ 3i คือ 2  cos 2π + i sin 2π  3 3  จะได รปู เชงิ ข้วั รูปหน่งึ ของ −1− 3i คือ  cos  − 2π  + i sin  − 2π  2  3   3     ดงั นน้ั ( ) ( )5 −4 −1 + 3i −1 − 3i = 25  cos 10π + i sin 10π  ⋅ 2−4  cos 8π + i sin 8π   3 3   3 3  = 2  cos 18π + i sin 18π  3 3  = 2(cos 6π + i sin 6π ) = 2(cos 0 + i sin 0) ดังน้ัน รูปเชงิ ขั้วทัว่ ไปของ (−1+ ) (5 )3i −4 คอื 2(cos 2kπ + i sin 2kπ ) 3i −1 − 10. 1) เม่ือ k ∈ ให r (cosθ + isinθ ) เปน รปู เชิงขวั้ ของ 3 − 3i จะ=ได r ( ) ( )2 2 6 3 + −=3 เนอ่ื งจาก tanθ = − 3 = −1 และ ( 3, − 3) เปน จดุ ในจตภุ าคท่ี 4 3 จะไดวา θ คาหน่งึ ที่ทําให tanθ = −1 คอื 7π 4 รูปเชงิ ข้ัวของ 3 − 3i คือ 6  cos 7π + i sin 7π   4 4  8 8  56π + i sin 56π   4 4  3 − 3i = ( ) ( )ดังนั้น 6 cos = 64 (cos14π + i sin14π ) = 64 (1+ i (0)) = 64 + 0i สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 251 2) ให r (cosθ + isinθ ) เปนรูปเชิงขว้ั ของ −1+ 3i จะได r= ((−1)2 + )2 3 =2 เนอื่ งจาก tanθ = 3= − 3 และ (−1, 3) เปนจดุ ในจตภุ าคท่ี 2 −1 จะไดว า θ คา หนึง่ ทที่ าํ ให tanθ = − 3 คอื 2π 3 รูปเชงิ ขว้ั ของ −1+ 3i คอื 2  cos 2π + i sin 2π  3 3  ( )ดังนน้ั 10 210  20π + i sin 20π  −1 + =  cos 3 3  3i = 210  cos 2π + i sin 2π   3 3  = 210  − 1 + i  3    2  2   ( )= 29 −1+ 3i = −29 + 29 3i 3) ให r (cosθ + isinθ ) เปน รปู เชงิ ขวั้ ของ −1− i จะได r = (−1)2 + (−1)2 = 2 เนือ่ งจาก tan=θ −=1 1 และ (−1, −1) เปน จุดในจตุภาคที่ 3 −1 จะไดวา θ คา หนงึ่ ที่ทําให tanθ =1 คอื 5π 4 รูปเชงิ ขวั้ ของ −1− i คอื 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  ดงั น้ัน 1 = (−1 − i)−10 (−1 − i)10 ( )= 2 −10  cos  − 50π  + i sin  − 50π    4   4     = 2−5  cos 50π − i sin 50π   4 4  สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

252 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 = 1  cos π − i sin π  32  2 2  = 1 (0 − i(1)) 32 = −1i 32 4) ให r (cosθ + isinθ ) เปน รปู เชงิ ขวั้ ของ − 3 − i 33 จะได r=  3 2 +  − 1 2 = 2  − 3   3  3 เนอ่ื งจาก t=anθ −1 1 และ  3 , − 1  เปนจุดในจตภุ าคที่ 3 =3 3  − 3 3  −3 3 จะไดวา θ คา หนึ่ง ที่ทําให tanθ = 1 คือ 7π 36 รูปเชิงขว้ั ของ − 3−i คือ 2  cos 7π + i sin 7π  33 3  6 6  ดังนนั้  3 − i 100 =  2 100  cos 700π + i sin 700π   − 3 3   3   6 6  =  2 100  cos 2π + i sin 2π   3   3 3  =  2 100  − 1 + i  3    3   2  2   =  2 100  − 1 + 3 i   3   2 2  = 299 + 299 3 i 33 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 253 5) เน่อื งจาก รปู เชิงข้ัวของ −1+ i คือ 2  cos 3π + i sin 3π   4 4  ( )จะได 6  18π + i sin 18π  (−1+ i)6 = 2  cos 4 4  = 23  cos π + i sin π   2 2  เนื่องจาก รูปเชงิ ข้ัวของ 3−i คอื 2  cos 11π + i sin 11π  6 6  8  88π + i sin 88π   6 6  3−i ( )จะได = 28 cos = 28  cos 2π + i sin 2π   3 3  เนอื่ งจาก รปู เชิงข้ัวของ 1+ 3i คือ 2  cos π + i sin π  3 3  ( )จะได 1+ 5 25  cos 5π + i sin 5π   3 3  3i = 8 3−i ดงั นัน้ ( )(−1+ i)6 ( )5 1+ 3i = 23 ⋅ 28  cos  π + 2π − 5π  + i sin  π + 2π − 5π  25   2 3 3   2 3 3   = 26  cos  − π  + i sin  − π     2   2     = 26 (0 + i (−1)) = 0 − 64i 11. 1) ( )เนอื่ งจาก − 3 + 3i = − 3 2 + 32 = 12 = 2 3 และ − 3 + 3i = 2 3  − 1 + 3 i   2 2  = 2 3  cos 2π + i sin 2π   3 3  = 2 3  cos  2π + 2kπ  + i sin  2π + 2kπ  เมือ่ k ∈   3   3     สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

254 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 ดังนน้ั =θ 2π + 2kπ เมอื่ k ∈ 3 เนอ่ื งจากตองการหา θ ท่ี 6π ≤ 3θ ≤ 9π หรือ 2π ≤θ ≤ 3π เทานนั้ ดงั น้ัน คา k ทีเ่ ปนไปได คือ 1 ซึง่ ทาํ ใหไดวา r = 2 3 และ θ = 8π 3 2) เน่อื งจาก −1− i = (−1)2 + (−1)2 = 2 และ −1− i =  2− 2 i  2  − 2 2  = 2  cos 5π + i sin 5π   4 4  = 2  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ  เม่ือ k ∈   4   4   ดงั นั้น 3=θ 5π + 2kπ เมื่อ k ∈ นัน่ คือ =θ 5π + 2kπ เมื่อ k ∈ 4 12 3 เนื่องจากตองการหา θ ท่ี −2π ≤θ ≤ π เทา นนั้ จะได คา k ทเี่ ปนไปได คือ −3, − 2, −1 และ 0 ซึง่ ทาํ ใหไดว า r = 6 2 และ =θ 5π + 2kπ เมื่อ k ∈{−3, − 2, −1, 0} 12 3 ดังน้ัน r = 6 2 และ θ คอื −19π ,−11π ,− 3π และ 5π 12 12 12 12 ( )3) เน่อื งจาก − 3 − i = − 3 2 + (−1)2 = 3 +1= 2 และ − 3−i =  3 − 1 i  2 − 2 2  = 2  cos 7π + i sin 7π   6 6  = 2  cos  7π + 2kπ  + i sin  7π + 2kπ   เมอื่ k ∈   6   6   ดงั นน้ั 4=θ 7π + 2kπ เม่อื k ∈ นน่ั คือ =θ 7π + kπ เม่ือ k ∈ 6 24 2 เนอ่ื งจากตอ งการหา θ ที่ −4π ≤θ < 0 เทาน้นั จะได คา k ท่ีเปน ไปได คือ −1, − 2, − 3,, − 8 ซง่ึ ทําใหไดวา r = 4 2 และ=θ 7π + kπ เมอ่ื k ∈{−1, − 2, − 3,, − 8} 24 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 255 12. จาก zk = k k  cos kπ + i sin kπ  + 1  180 180  จะได z1 = 1  cos π + i sin π  2  180 180  z2 = 2  cos 2π + i sin 2π  3  180 180  z3 = 3  cos 3π + i sin 3π  4  180 180   z180 = 180  cos 180π + i sin 180π  181  180 180  ดงั น้นั z1 ⋅ z2 ⋅ z3 ⋅⋅ z180 = 1  cos π + i sin π  ⋅ 2  cos 2π + i sin 2π  ⋅ 3  cos 3π + i sin 3π  2  180 180  3  180 180  4  180 180  ⋅ ⋅ 180  cos 180π + i sin 180π  181  180 180  = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 180  cos  π + 2π +  + 180π  + i sin  π + 2π +  + 180π   2 3 4 181   180 180 180   180 180 180     = 1  cos (1 + 2 +  + 180) π + i sin (1 + 2 +  + 180) π  181  180  180 = 1  cos 16290π + i sin 16290π  181  180 180  = 1 cos 181π + i sin 181π  181  2 2  = 1 cos π + i sin π  181  2 2  = 1 (0 + i(1)) 181 = 1i 2 + 2i 181 13. จาก z5 − 2 − 2i = 0 จะได z5 = 2 + 2i =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากท่ี 5 ของ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

256 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 เน่ืองจาก 2+ 2i = 2  cos π + i sin π  4 4  จากทฤษฎบี ทเดอมัวฟวร จะได r5 (cos5θ + i sin 5θ ) = 2  cos π + i sin π  4 4  ดังนนั้ r5 = 2 และ 5θ − π = 2kπ เมอื่ k ∈ 4 นั่นคอื r = 5 2 และ π + 2kπ เมือ่ k ∈ θ= 4 5 ดงั นัน้ z = 5 2  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เม่อื k ∈   20 5   20 5     เมอ่ื k = 0 จะได z1 = 5 2  cos π + i sin π   20 20  เมือ่ k = 1 จะได z2 = 5 2  cos 9π + i sin 9π   20 20  เมื่อ k = 2 จะได z3 = 5 2  cos 17π + i sin 17π   20 20  เมือ่ k = 3 จะได z4 = 5 2  cos 25π + i sin 25π   20 20  เมื่อ k = 4 จะได z5 = 5 2  cos 33π + i sin 33π   20 20  เนอื่ งจาก cos 17π และ cos 25π เปนจํานวนลบ จงึ พิจารณาเฉพาะ π , cos 9π cos 20 20 20 20 และ cos 33π ซ่ึงเปนจาํ นวนบวก 20 เนอื่ งจากฟงกชันโคไซนเ ปน ฟงกช ันลดบนชวง (0,π ) และ cos 33π = cos 7π 20 20 จะได cos π > cos 33π > cos 9π 20 20 20 น่ันคอื π มีคามากสดุ cos 20 ดงั น้ัน 5 2  cos π + i sin π  เปนจํานวนเชิงซอนท่ี Re( z) มคี า มากที่สุด และ  20 20  สอดคลอ งกับสมการ z5 − 2 − 2i =0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 257 14. 1) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ี 3 ของ −27i เน่ืองจาก −27i = 27  cos 3π + i sin 3π   2 2  จากทฤษฎบี ทเดอมัวฟวร จะได r3 (cos3θ + i sin 3θ ) = 27  cos 3π + i sin 3π   2 2  ดังนัน้ r3 = 27 และ 3θ − 3π = 2kπ เมอ่ื k ∈ 2 นั่นคือ r = 3 และ 3π + 2kπ เม่ือ k ∈ θ= 2 3 ดังนนั้ z =  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เม่ือ k ∈ 3 2 3   2 3     เม่อื k = 0 จะได z1 = 3 cos π + i sin π  = 3i 2 2  เม่อื k = 1 จะได z2 = 3 cos 7π + i sin 7π  = − 3 −1i 6 6  22 เม่ือ k = 2 จะได z3 = 3 cos 11π + i sin 11π  = 3 −1i 6 6  22 2) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รากที่ 4 ของ −2 − 2 3i เนื่องจาก −2 − 2 3i = 4  cos 4π + i sin 4π   3 3  จากทฤษฎบี ทเดอมวั ฟวร จะได r4 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 4 cos 4π + i sin 4π  3 3  ดงั น้ัน r4 = 4 และ 4θ − 4π = 2kπ เมอ่ื k ∈ 3 นัน่ คือ r = 4 4 = 2 และ 4π + 2kπ เมอ่ื k ∈ θ= 3 4 ดงั นั้น z = 2  cos  π + kπ  + i sin  π + kπ  เมอ่ื k ∈   3 2   3 2     เม่อื k = 0 จะได z1 = 2  cos π + i sin π  = 2  1 + 3 i   3 3   2 2  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

258 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 เมื่อ k = 1 จะได z2 = 2  cos 5π + i sin 5π  =  3 + 1 i   6 6  2  − 2 2  เมอ่ื k = 2 จะได z3 = 2  cos 4π + i sin 4π  = 2  − 1 − 3 i   3 3   2 2  เมอ่ื k = 3 จะได z4 = 2  cos 11π + i sin 11π  =  3 − 1 i   6 6  2  2 2  3) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากที่ 5 ของ 1 เน่ืองจาก 1 = 1(cos0 + isin 0) จากทฤษฎีบทเดอมวั ฟวร จะได r5 (cos5θ + isin 5θ ) = 1(cos0 + isin 0) ดงั นั้น r5 = 1 และ 5θ − 0 = 0 + 2kπ เม่อื k ∈ θ = 2kπ เม่อื k ∈ นนั่ คือ r = 1 และ 5 ดงั น้นั z = 1 cos 2kπ + i sin 2kπ  เม่อื k ∈ 5 5  เม่อื k = 0 จะได z1 = cos0 + isin 0 = 1 เมือ่ k = 1 จะได z2 = cos 2π + i sin 2π 55 เม่อื k = 2 จะได z3 = cos 4π + i sin 4π 55 เมอ่ื k = 3 จะได z4 = cos 6π + i sin 6π 55 เมอ่ื k = 4 จะได z5 = cos 8π + i sin 8π 55 4) =ให z r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ี 8 ของ −i เนื่องจาก −i = 1 cos 3π + i sin 3π  2 2  จากทฤษฎีบทเดอมวั ฟวร จะได r8 (cos8θ + i sin 8θ ) = 1 cos 3π + i sin 3π  2 2  ดังน้ัน r8 = 1 และ 8θ − 3π = 2kπ เม่ือ k ∈ 2 นั่นคือ r = 1 และ 3π + 2kπ เม่ือ k ∈ θ= 2 8 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 259 ดงั น้ัน z = 1 cos  3π + kπ  + i sin  3π + kπ  เมื่อ k ∈   16 4   16 4    เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos 3π + i sin 3π 16 16 เม่ือ k = 1 จะได z2 = cos 7π + i sin 7π 16 16 เม่ือ k = 2 จะได z3 = cos11π + i sin 11π 16 16 เมอ่ื k = 3 จะได z4 = cos15π + i sin 15π 16 16 เมื่อ k = 4 จะได z5 = cos19π + i sin 19π 16 16 เมื่อ k = 5 จะได z6 = cos 23π + i sin 23π 16 16 เมอ่ื k = 6 จะได z7 = cos 27π + i sin 27π 16 16 เมื่อ k = 7 จะได z8 = cos 31π + i sin 31π 16 16 15. 1) ให z = r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ี 3 ของ −8i จะได z3 = −8i เนอ่ื งจาก −8i = 8 cos 3π + i sin 3π  2 2  จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร จะได r3 (cos3θ + i sin 3θ ) = 8 cos 3π + i sin 3π  2 2  ดังนนั้ r3 = 8 และ 3θ − 3π = 2kπ เม่อื k ∈ 2 นัน่ คือ r = 2 และ θ = π + 2kπ เมอ่ื k ∈ 23 ดงั นน้ั z = 2  cos  π + 2kπ  + i sin  π + 2kπ  เมือ่ k ∈   2 3   2 3    เม่อื k = 0 จะได z1 = 2  cos π + i sin π  = 2i 2 2  เม่ือ k = 1 จะได z2 = 2  cos 7π + i sin 7π  = − 3−i  6 6  สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

260 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 เม่ือ k = 2 จะได z3 = 2  cos 11π + i sin 11π  = 3−i 6 6  เวกเตอรท่ีแสดงรากท่ี 3 ของ −8i มีขนาด 2 หนวย และเวกเตอรแตล ะคทู ี่อยใู นลาํ ดับ ทตี่ ดิ กนั ทาํ มุม 2π หรือ 120° เทากันทุกคู ซึ่งแสดงไดดังนี้ 3 2) ให z = r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ี 3 ของ −2 3 + 2i จะได z3 = −2 3 + 2i เน่อื งจาก −2 3 + 2i = 4  cos 5π + i sin 5π  6 6  จากทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร จะได r3 (cos3θ + i sin 3θ ) = 4  cos 5π + i sin 5π   6 6  ดังนน้ั r3 = 4 และ 3θ − 5π = 2kπ เมอ่ื k ∈ 6 นั่นคอื r = 3 4 และ θ = 5π + 2kπ เมอื่ k ∈ 18 3 ดงั น้นั z= 3 4  cos  5π + 2kπ  + i sin  5π + 2kπ  เมื่อ k ∈  18 3   18 3   เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3 4  cos 5π + i sin 5π   18 18  เม่ือ k = 1 จะได z2 = 3 4  cos 17π + i sin 17π   18 18  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 261 เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 4  cos 29π + i sin 29π   18 18  เวกเตอรท่ีแสดงรากท่ี 3 ของ −2 3 + 2i มีขนาด 3 4 หนวย และเวกเตอรแตละคูท่ี อยูในลาํ ดบั ทีต่ ิดกัน ทาํ มุม 2π หรือ 120° เทา กนั ทุกคู ซึ่งแสดงไดดังน้ี 3 3) ให z = r (cosθ + isinθ ) เปนรากที่ 4 ของ 2 − 2 3i จะได z4 = 2 − 2 3i เนื่องจาก 2−2 3i = 4  cos 5π + i sin 5π  3 3  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะได r4 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 4  cos 5π + i sin 5π  3 3  ดงั น้นั r4 = 4 และ 4θ − 5π = 2kπ เม่ือ k ∈ 3 นั่นคอื r = 4 4 = 2 และ θ = 5π + kπ เม่อื k ∈ 12 2 ดังนนั้ z = 2  cos  5π + kπ  + i sin  5π + kπ  เมอื่ k ∈   12 2   12 2     เม่ือ k = 0 จะได z1 = 2  cos 5π + i sin 5π   12 12  สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

262 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 เม่อื k = 1 จะได z2 = 2  cos 11π + i sin 11π   12 12  เม่ือ k = 2 จะได z3 = 2  cos 17π + i sin 17π   12 12  เมื่อ k = 3 จะได z4 = 2  cos 23π + i sin 23π   12 12  เวกเตอรท่ีแสดงรากที่ 4 ของ 2 − 2 3i มขี นาด 2 หนวย และเวกเตอรแตล ะคูท่อี ยู ในลําดับทต่ี ิดกัน ทาํ มุม π หรือ 90° เทา กนั ทุกคู ซึง่ แสดงไดด ังน้ี 2 4) ให z = r (cosθ + isinθ ) เปน รากท่ี 2 ของ 27  cos 5π + i sin 5π   3 3  จะได z2 = 27  cos 5π + i sin 5π   3 3  จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร จะได r2 (cos 2θ + i sin 2θ ) = 27  cos 5π + i sin 5π   3 3  ดงั นัน้ r2 = 27 และ 2θ − 5π = 2kπ เมอ่ื k ∈ 3 นน่ั คอื r = 27 = 3 3 และ θ = 5π + kπ เมื่อ k ∈ 6 ดังน้นั z = 3 3  cos  5π + kπ  + i sin  5π + kπ   เมื่อ k ∈   6   6     สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 263 เม่อื k = 0 จะได z1 = 3 3  cos 5π + i sin 5π  = −9+3 3i  6 6  22 เม่ือ k = 1 จะได z2 = 3 3  cos 11π + i sin 11π  = 9−3 3i  6 6  22 เวกเตอรท ่ีแสดงรากท่ี 2 ของ 27  cos 5π + i sin 5π  มขี นาด 3 3 หนว ย และ  3 3  เวกเตอรท ั้งสองทํามมุ π หรอื 180° ซง่ึ แสดงไดดงั นี้ 16. 1) เน่ืองจาก b2 − 4ac =22 − 4(5)(2) =−36 ซึ่ง −36 < 0 จะไดว า คาํ ตอบขอ=งสมการน้ี คือ x −b ± b2 − 4ac i −2 ± −36 i = 2(5) 2a = −2 ± 6i = −1± 3i 10 5 ดังน้นั เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ − 1 + 3 i, − 1 − 3 i   5 5 5 5  2) จาก (2x − 3)2 + 9 = 0 จะได (2x − 3)2 = −9 2x − 3 = ±3i x = 3 ± 3i 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

264 คูม อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คอื  3 + 3 i, 3− 3 i   2 2 2 2    3) จาก ( )( x + 2) x2 + 4x + 5 = 0 จะได x = −2 หรอื x2 + 4x + 5 =0 ถา x2 + 4x + 5 =0 แลว พบวา b2 − 4ac =42 − 4(1)(5) =− 4 ซ่งึ − 4 < 0 ดังนัน้ x = −b ± b2 − 4ac i − 4 ± 16 − 4(1)(5) i = 2(1) =−2 ± i 2a ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการน้ี คือ {−2, − 2 + i, − 2 − i} 4) จาก 2x3 + x2 +1 = 0 จะได ( )( x +1) 2x2 − x +1 = 0 นน่ั คอื x = −1 หรอื 2x2 − x +1 =0 ถา 2x2 − x +1 =0 แลว x= − ( −1) ± 1− 4(2)(1) i = 1± 7i 2(2) 4 ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการน้ี คือ −1, 1 + 7 i, 1 − 7 i   4 44 4  17. 1) เน่ืองจาก −i และ 2 + 3i เปน คาํ ตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 13 จะไดวา i และ 2 − 3i เปน คาํ ตอบของสมการดว ย ตามลําดบั จะได ( x − 2)( x + i)( x − i)( x − (2 + 3i))( x − (2 − 3i)) = 0 ( )( )( x − 2) x2 +1 x2 − 4x +13 = 0 x5 − 6x4 + 22x3 − 32x2 + 21x − 26 = 0 ดงั นน้ั x5 − 6x4 + 22x3 − 32x2 + 21x − 26 =0 เปน สมการพหนุ ามดีกรีต่ําสุดท่มี ี สัมประสทิ ธิเ์ ปนจาํ นวนจรงิ มี 2, − i และ 2 + 3i เปน คาํ ตอบ และมี 1 เปน สมั ประสิทธน์ิ ํา 2) เนอ่ื งจาก 3i และ 1− i เปนคําตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 13 จะไดวา −3i และ 1+ i เปนคาํ ตอบของสมการดว ย ตามลาํ ดับ จะได x( x − 3i)( x + 3i)( x − (1− i))( x − (1+ i)) = 0 ( )( )x x2 + 9 x2 − 2x + 2 = 0 x5 − 2x4 + 11x3 −18x2 + 18x = 0 ดังนน้ั x5 − 2x4 +11x3 −18x2 +18x =0 เปน สมการพหนุ ามดีกรีตํ่าสุดที่มี สัมประสทิ ธ์ิเปนจํานวนจริง มี 0, 3i และ 1− i เปน คําตอบ และมี 1 เปนสัมประสิทธิ์นาํ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 265 18. 1) เนอื่ งจาก −2 + i เปน คาํ ตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 13 จะไดวา −2 − i เปนคําตอบของสมการดวย จะได ( x − 6)( x − (−2 + i))( x − (−2 − i)) = 0 ( )( x − 6) x2 + 4x + 5 = 0 x3 − 2x2 −19x − 30 = 0 ดังนั้น x3 − 2x2 −19x − 30 =0 เปน สมการพหนุ ามดีกรีต่าํ สุดทม่ี ีสัมประสิทธิ์เปน จํานวนจริง มี 6 และ −2 + i เปนคาํ ตอบ และมี 1 เปน สมั ประสิทธิ์นาํ 2) เนอ่ื งจาก 1+ 2i เปนคาํ ตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 13 จะไดวา 1− 2i เปน คําตอบของสมการดวย และจาก 1+ 2i เปน คําตอบซาํ้ 2 คําตอบ ดงั น้นั 1− 2i กเ็ ปน คําตอบซ้าํ 2 คาํ ตอบ จะได ( x + 3)2 ( x − (1+ 2i))2 ( x − (1− 2i))2 = 0 ( )( x + 3)2 x2 − 2x + 5 2 = 0 ( )( )x2 + 6x + 9 x4 − 4x3 +14x2 − 20x + 25 = 0 x6 + 2x5 − x4 + 28x3 + 31x2 − 30x + 225 = 0 ดังนัน้ x6 + 2x5 − x4 + 28x3 + 31x2 − 30x + 225 =0 เปน สมการพหนุ ามดีกรตี ่าํ สุด ทีม่ ีสัมประสิทธเิ์ ปน จํานวนจรงิ มี −3 และ 1+ 2i เปนคําตอบซ้าํ 2 คาํ ตอบ ทัง้ สอง คาํ ตอบ และมี 1 เปน สมั ประสทิ ธ์ินาํ 19. เนือ่ งจาก −1+ i และ 3 + 3i เปน คําตอบของสมการ และจากทฤษฎบี ท 13 จะไดว า −1− i และ 3 − 3i เปนคาํ ตอบของสมการดว ย ตามลาํ ดบั ( )( )( ) ( )จะได (3x + 2)( x − (−1+ i))( x − (−1− i)) x − 3 + 3i x − 3 − 3i = 0 ( )( )(3x + 2) x2 + 2x + 2 x2 − 6x +12 = 0 3x5 −10x4 − 2x3 + 40x2 + 96x + 48 = 0 ดังน้นั 3x5 −10x4 − 2x3 + 40x2 + 96x + 48 =0 เปนสมการพหุนามดีกรี 5 ท่ีมสี มั ประสิทธ์ิ เปน จํานวนเตม็ มี − 2 , −1+ i และ 3 + 3i เปน คาํ ตอบ และมี 3 เปนสัมประสิทธ์ินํา 3 20. เนือ่ งจาก 1+ 2i เปน คําตอบของสมการ และจากทฤษฎบี ท 13 จะไดวา 1− 2i เปนคาํ ตอบ ของสมการดวย นั่นคอื สมการ z3 + az + b =0 มีคาํ ตอบ คือ 1+ 2i,1− 2i และจาํ นวนจริง c จะได ( z − c)( z − (1+ 2i))( z − (1− 2i)) = 0 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

266 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 ( )( z − c) z2 − 2z + 5 = 0 z3 + (−c − 2) z2 + (2c + 5) z − 5c = 0 เนอ่ื งจากสมการพหนุ ามที่กาํ หนดให มสี ัมประสิทธขิ์ องพจน z2 เทากบั 0 ดงั น้นั −c − 2 = 0 c = −2 จะได สมการพหุนามท่ีตองการคือ z3 + z +10 =0 ดังนน้ั a = 1 และ b = 10 21. 1) จาก x2 − x −12 = 0 จะได ( x − 4)( x + 3) = 0 นั่นคือ x = 4 หรือ x = −3 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการนี้ คือ {−3, 4} 2) จาก x4 + 4x3 + 4x2 = 0 จะได ( )x2 x2 + 4x + 4 = 0 x2 ( x + 2)2 = 0 นนั่ คอื x = 0 หรอื x = −2 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คอื {−2, 0} 3) เนื่องจาก x6 + x4 + x2 +1 = 0 จะได ( ) ( )x6 + x4 + x2 +1 = 0 ( ) ( )x4 x2 +1 + x2 +1 = 0 ( x2 +1)( x4 +1) = 0 นน่ั คอื x2 +1 =0 หรือ x4 +1 =0 ถา x2 +1 =0 แลว x = ±i ถา x4 +1 =0 แลว x4 = −1 นั่นคือ x เปน รากที่ 4 ของ −1 =ให x r (cosθ + isinθ ) เปนรากท่ี 4 ของ −1 เนื่องจาก −1 = 1(cosπ + isinπ ) จากทฤษฎบี ทเดอมัวฟวร จะได r4 (cos 4θ + isin 4θ ) = 1(cosπ + isinπ ) ดงั น้นั r4 = 1 และ 4θ − π = 2kπ เม่ือ k ∈ θ = π + 2kπ เมือ่ k ∈ นน่ั คอื r = 1 และ 4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 267 ดังนั้น x = 1 cos  π + kπ  + i sin  π + kπ  เมือ่ k ∈   4 2   4 2    เมื่อ k = 0 จะได x1 = cos π + i sin π = 2+ 2i 44 22 เม่อื k = 1 จะได x2 = cos 3π + i sin 3π = − 2+ 2i 44 2 2 เม่ือ k = 2 จะได x3 = cos 5π + i sin 5π = − 2− 2i 44 2 2 เมอ่ื k = 3 จะได x4 = cos 7π + i sin 7π = 2 − 2i 44 22 ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการน้ี คือ i, − i, 2+ 2 i, 2− 2 i, − 2+ 2 i, − 2− 2 i   2 2 2 2 2 2 2 2   4) ให p ( x) = 2x4 − 2x3 − x2 +1 เนื่องจากจาํ นวนเต็มทีห่ าร 1 ลงตัว คือ ±1 และจํานวนเต็มทห่ี าร 2 ลงตัว คอื ±1, ± 2 ดงั นัน้ จํานวนตรรกยะ k ทท่ี าํ ให p  k  = 0 จะอยูในกลุม ของจาํ นวนตอไปนี้ m  m  คือ ±1, ± 1 2 พจิ ารณา p(1) = 2(1)4 − 2(1)3 − (1)2 +1 = 2 − 2 −1+1 =0 แสดงวา x −1 เปน ตัวประกอบของ p(x) ( )ดังนั้น 2x4 − 2x3 − x2 +1 = ( x −1) 2x3 − x −1 ให q( x)= 2x3 − x −1 เน่ืองจากจาํ นวนเต็มท่ีหาร −1 ลงตัว คอื ±1 และจาํ นวนเตม็ ทหี่ าร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2 ดังนน้ั จํานวนตรรกยะ k ที่ทาํ ให q  k  = 0 จะอยูในกลมุ ของจาํ นวนตอไปนี้ คือ ±1, ± 1 m  m  2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

268 คูม ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 พิจารณา q(1) = 2(1)3 −1−1 = 2 −1−1 =0 แสดงวา x −1 เปน ตวั ประกอบของ q(x) ดังนนั้ ( )2x3 − x −1= ( x −1) 2x2 + 2x +1 ( )นั่นคือ 2x4 − 2x3 − x2 +1 = ( x −1)2 2x2 + 2x +1 ดังน้นั ( )( x −1)2 2x2 + 2x +1 = 0 จะได x =1 หรอื 2x2 + 2x +1 =0 ถา 2x2 + 2x +1 =0 แลว −2 ± 4 − 4(2)(1) i =− 1 ± 1 i x= 2(2) 2 2 ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการนี้ คือ 1, − 1 + 1 i , − 1 − 1 i   2 2 2 2  5) ให p ( x) = x4 + x3 − 5x2 + x − 6 เนอื่ งจากจาํ นวนเต็มท่ีหาร −6 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 6 พจิ ารณา p(2) = (2)4 + (2)3 − 5(2)2 + (2) − 6 = 16 + 8 − 20 + 2 − 6 =0 และ p(−3) = (−3)4 + (−3)3 − 5(−3)2 + (−3) − 6 = 81− 27 − 45 − 3 − 6 =0 แสดงวา x − 2 และ x + 3 เปนตวั ประกอบของ p(x) ( )ดังน้นั x4 + x3 − 5x2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3) x2 +1 นัน่ คอื ( )( x − 2)( x + 3) x2 +1 = 0 จะได x = 2 หรอื x = −3 หรอื x2 +1 =0 ถา x2 +1 =0 แลว x = ±i ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ {−3, 2, i, − i} 6) ให p ( x) = 2x4 + x3 + 2x2 −19x −10 เน่ืองจากจํานวนเต็มท่ีหาร −10 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 5, ±10 และจาํ นวนเตม็ ที่หาร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 269 ดังนนั้ จาํ นวนตรรกยะ k ทท่ี าํ ให p  k  = 0 จะอยใู นกลมุ ของจาํ นวนตอไปนี้ m  m  คอื ±1, ± 2, ± 5, ±10, ± 1 , ± 5 22 พจิ ารณา p(2) = 2(2)4 + (2)3 + 2(2)2 −19(2) −10 = 32 + 8 + 8 − 38 −10 =0 และ p  − 1  = 2  − 1 4 +  − 1 3 + 2  − 1 2 − 19  − 1  − 10  2   2   2   2  2  = 1 − 1 + 1 + 19 −10 882 2 =0 แสดงวา x − 2 และ x + 1 เปนตัวประกอบของ p(x) 2 ดังนั้น ( )p(x) ( 2)  1  = x −  x + 2  2x2 + 4x +10 ( )= ( x − 2)(2x +1) x2 + 2x + 5 นั่นคือ ( )( x − 2)(2x +1) x2 + 2x + 5 = 0 จะได x = 2 หรือ x = − 1 หรือ x2 + 2x + 5 =0 2 ถา x2 + 2x + 5 =0 แลว −2 ± 4 − 4(1)(5) i x= 2(1) =−1± 2i ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการนี้ คอื − 1 , 2, − 1 + 2i, −1 − 2i   2   22. =ให z r (cosθ + isinθ ) เปน รปู เชิงขว้ั ของ −1+ 3i จะได r= ((−1)2 + )2 3 =2 เน่ืองจาก tanθ = 3 = − 3 และ (−1, 3) เปนจดุ ในจตุภาคท่ี 2 −1 จะไดวา θ คา หนึ่ง ทีท่ ําให tanθ = − 3 คอื 2π 3 รปู เชิงขวั้ ของ −1+ 3i คือ 2  cos 2π + i sin 2π  3 3  และ รปู เชิงขัว้ ของ −1− 3i คือ 2  cos  − 2π  + i sin  − 2π  3   3   สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

270 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 ดังนน้ั ( −1 + ) (n )n 3i + −1 − 3i = 2n  cos 2nπ + i sin 2nπ  + 2n  cos  − 2nπ  + i sin  − 2nπ   3 3    3   3     = 2n  cos 2nπ + i sin 2nπ + cos  − 2nπ  + i sin  − 2nπ   3 3  3   3     = 2n  cos 2nπ + i sin 2nπ + cos 2nπ − i sin 2nπ   3 3 3 3  = 2n  2 cos 2nπ   3  = 2n+1 cos 2nπ 3 ดงั นั้น (−1+ ) (n )n เปน จํานวนจริง ทุกจาํ นวนเต็มบวก n 3i + −1 − 3i 23. ให z เปนจํานวนเชงิ ซอ น โดยท่ี z= x + yi เมือ่ x และ y เปน จํานวนจริง จะได z= x − yi และพิจารณา z + z = ( x + yi) + ( x − yi) = 2x เนื่องจาก x เปน จาํ นวนจรงิ จะได 2x เปนจาํ นวนจริง ดงั นัน้ z + z เปน จาํ นวนจรงิ และพจิ ารณา zz = ( x + yi)( x − yi) = x2 + y2 เนื่องจาก x และ y เปน จํานวนจรงิ จะได x2 + y2 เปนจํานวนจริง ดงั น้นั zz เปนจํานวนจริง 24. จาก (z − a)(z − a) = k2 จะได ( )( z − a) z − a = k2 z −a 2 = k2 z−a = k เนือ่ งจาก z − a คอื ระยะทางระหวางจุด a และจดุ z ดงั น้นั เซตของจาํ นวนเชงิ ซอน z ที่สอดคลอ งกบั สมการ z − a = k คือ เซตของจุด ทงั้ หมดในระนาบที่มรี ะยะหา งจากจุด a เทากับ k หนวย หรอื เซตของจุดในระนาบที่ อยบู นวงกลมท่ีมจี ุดศูนยกลางอยทู ่จี ดุ a และมีรศั มยี าว k หนว ย น่ันเอง สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 271 25. 1) เน่อื งจาก z + 3 − 2i = z − (−3 + 2i) คอื ระยะทางจากจดุ (−3, 2) ถงึ จุด z ดังนน้ั เซตของจดุ ในระนาบเชิงซอนซง่ึ สอดคลองกับอสมการ z + 3 − 2i >1 คือ เซตของจุดท่ีอยภู ายนอกวงกลม (ไมรวมจุดบนเสน รอบวง) ทมี่ จี ุดศูนยกลางอยูที่ จุด (−3, 2) และมีรศั มียาว 1 หนวย จะได กราฟของจดุ ทงั้ หมดซึง่ สอดคลองกับอสมการ z + 3 − 2i >1 แสดงเปน สว น แรเงาไดดังรูป สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

272 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 2) ให z= x + yi จะได z − i = ( x + yi) − i = x + ( y −1)i นนั่ คอื Re( z − i) = x =Re( z) จาก Re( z − i) > −5 จะได Re( z) > −5 จะได กราฟของจุดทงั้ หมดซึ่งสอดคลอ งกบั อสมการ Re(z − i) > −5 แสดงเปน สว นแรเงา ดงั รูป สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 273 3) กราฟของจุดทง้ั หมดในระนาบเชงิ ซอ นซึง่ สอดคลองกับอสมการ z − 3 ≥ z คอื กราฟ ของจุดท้ังหมดในระนาบเชงิ ซอนทีม่ ีระยะหางจากจุด (3,0) มากกวา ระยะหางจากจดุ (0,0) จะได กราฟของจุดท้งั หมดซึ่งสอดคลอ งกับอสมการ z − 3 ≥ z แสดงเปน สว นแรเงา ดงั รูป สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 4) ให z= x + yi จะได z − 2 + i = ( x + yi) − 2 + i = ( x − 2) + ( y +1)i น่นั คอื Re( z − 2 + i) = x − 2 = Re( z) − 2 จาก Re( z − 2 + i) < −2 จะได Re( z) − 2 < −2 ดงั นั้น Re( z) < 0 จะได กราฟของจุดทั้งหมดซง่ึ สอดคลองกับอสมการ Re(z − 2 + i) < −2 แสดงเปน สว นแรเงา ดงั รูป สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 275 5) กราฟของจุดท้งั หมดในระนายเชงิ ซอนซึ่งสอดคลองกับสมการ z + 6 = z − 2 คือ กราฟของจดุ ทง้ั หมดในระนาบเชิงซอ นท่ีมีระยะหา งจากจุด (−6,0) เทา กบั ระยะหา ง จากจุด (2,0) ซึ่งก็คือ เสนตรง x = −2 ดงั รูป 6) กราฟของจดุ ทง้ั หมดในระนาบเชิงซอนซง่ึ สอดคลองกับสมการ z − i = z + 4i คอื กราฟของจุดทั้งหมดในระนาบเชงิ ซอนท่ีมรี ะยะหางจากจุด (0,1) เทากับระยะหาง จากจดุ (0,−4) ซึ่งก็คือ เสน ตรง y = − 3 ดงั รปู 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

276 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 7) ใหจํานวนเชิงซอน z แทนดวยจดุ (a,b) จาก z − 3i = z − 3 นัน่ คือ a + bi − 3i = a + bi − 3 a − bi + 3i = a + bi − 3 a + (3 − b)i = (a − 3) + bi จะได a2 + (3 − b)2 = (a − 3)2 + b2 a2 + 9 − 6b + b2 = a2 − 6a + 9 + b2 a=b เขียนกราฟของจุดในระนาบ ไดเ สนตรง y = x ดงั รปู สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 277 8) ใหจาํ นวนเชงิ ซอน z แทนดว ยจุด (a,b) จาก z − 2 + i = z − (6 + 3i) นัน่ คือ a + bi − 2 + i = a + bi − 6 + 3i (a − 2) + (b +1)i = (a − 6) + (b + 3)i จะได (a − 2)2 + (b +1)2 = (a − 6)2 + (b + 3)2 a2 − 4a + 4 + b2 + 2b +1 = a2 −12a + 36 + b2 + 6b + 9 2a − b −10 = 0 เขียนกราฟของจุดในระนาบ ไดเ สนตรง 2x − y −10 =0 ดงั รปู 26. จากสมการ z − i =2 แสดงวา z จะอยบู นวงกลมท่ีมีจดุ ศูนยกลางท่ีจุด (0,1) และรัศมียาว 2 หนว ย กราฟจะตดั แกน Y ทจ่ี ุด (0, 3) ซ่งึ ทําให z = 3 มีคามากทีส่ ดุ ดงั นน้ั z = 3i สอดคลอ งกบั สมการ z − i =2 ซึ่ง z มากท่ีสดุ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

278 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 27. ให p ( x) = x5 + 2x4 − 4x3 − 8x2 − 9x +18 จะได (p −1− 2i) 5 432 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −1− 2i + 2 −1− 2i − 4 −1− 2i − 8 −1− 2i − 9 −1− 2i +18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −1+11 2i + 2 −7 − 4 2i − 4 5 − 2i − 8 −1+ 2 2i − 9 −1− 2i +18 = −1+11 2i −14 − 8 2i − 20 + 4 2i + 8 −16 2i + 9 + 9 2i +18 =0 ดังนัน้ −1− 2i เปน คําตอบของสมการพหนุ าม x5 + 2x4 − 4x3 − 8x2 − 9x +18 =0 จากทฤษฎีบท 13 จะไดวา −1+ 2i เปน คาํ ตอบของสมการดวย ( )( )เนอื่ งจาก ( ) ( )x − −1− 2i x − −1+ 2i = x2 + 2x + 3 และเม่ือนํา x2 + 2x + 3 ไปหาร p( x) ไดผลหารเปน x3 − 7x + 6 ( )( )ดังนนั้ x5 + 2x4 − 4x3 − 8x2 − 9x +18 = x2 + 2x + 3 x3 − 7x + 6 ให q( x) = x3 − 7x + 6 เน่ืองจากจํานวนเต็มทหี่ าร 6 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 6 พจิ ารณา q(1) = (1)3 − 7(1) + 6 = 1−7+6 =0 แสดงวา x −1 เปนตัวประกอบของ q(x) ดังนั้น ( )x3 − 7x + 6 = ( x −1) x2 + x − 6 ( ) ( )นน่ั คอื x5 + 2x4 − 4x3 − 8x2 − 9x +18 = x2 + 2x + 3 ( x −1) x2 + x − 6 จะได ( ) ( )x2 + 2x + 3 ( x −1) x2 + x − 6 = 0 ( )x2 + 2x + 3 ( x −1)( x − 2)( x + 3) = 0 น่ันคอื x =1 หรือ x = 2 หรอื x = −3 ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการนี้ คือ {−3, 1, 2, −1+ 2i, −1− 2i} สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 279 28. ให p ( x) = x5 + 9x4 + 33x3 + 55x2 + 42x +12 เนอื่ งจาก ( x +1)3 = x3 + 3x2 + 3x +1 ( )( )และ x5 + 9x4 + 33x3 + 55x2 + 42x +12 = x3 + 3x2 + 3x +1 x2 + 6x +12 ( )จะไดว า x5 + 9x4 + 33x3 + 55x2 + 42x +12 = ( x +1)3 x2 + 6x +12 นนั่ คอื −1 เปนคําตอบซํ้า 3 คาํ ตอบของสมการพหนุ าม p(x) = 0 และจะได ( )( x +1)3 x2 + 6x +12 = 0 น่นั คือ ( x +1)3 =0 หรือ x2 + 6x +12 =0 ถา x2 + 6x +12 =0 แลว −6 ± 36 − 4(1)(12) i 3i x= 2(1) =−3 ± ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {−1, − 3 + 3i, − 3 − 3i} 29. เนื่องจาก 3 + i เปน คําตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 13 จะไดวา 3 − i เปนคําตอบ ของสมการดวย เน่ืองจาก ( x − (3 + i))( x − (3 − i)) = x2 − 6x +10 และเมื่อนํา x2 − 6x +10 ไปหาร x5 − 9x4 + 24x3 + 6x2 −112x +120 ไดผลหารเปน x3 − 3x2 − 4x + 12 ( )( )ดังนน้ั x5 − 9x4 + 24x3 + 6x2 −112x +120 = x2 − 6x +10 x3 − 3x2 − 4x +12 ( )( )= x2 − 6x +10 x2 ( x − 3) − 4( x − 3) ( ) ( )= x2 − 6x +10 ( x − 3) x2 − 4 ( )= x2 − 6x +10 ( x − 3)( x − 2)( x + 2) นัน่ คือ ( )x2 − 6x +10 ( x − 3)( x − 2)( x + 2) = 0 จะได x = 3 หรือ x = 2 หรอื x = −2 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบทงั้ หมดของสมการพหุนามนี้ คือ {−2, 2, 3, 3 + i, 3 − i} สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 บทท่ี 2 หลักการนับเบื้องตน แบบฝก หดั 2.1 1. จากหลักการบวก จะมีวิธีเลอื กสั่งอาหารได 12 + 8 + 5 =25 แบบ 2. รูปสามเหลี่ยมดานเทา ทีเ่ กดิ จากการจดั เรียงกระเบื้องมี 3 ขนาด ไดแก ขนาดท่ี 1 รูปสามเหลี่ยมดานเทา ทีแ่ ตละดา นยาว 1 หนว ย มี 9 รปู ขนาดที่ 2 รปู สามเหลย่ี มดา นเทา ทแ่ี ตละดา นยาว 2 หนว ย มี 3 รปู ขนาดที่ 3 รปู สามเหลี่ยมดา นเทา ทีแ่ ตละดานยาว 3 หนว ย มี 1 รปู จากหลักการบวก จะไดวา มรี ูปสามเหล่ยี มดานเทา ทั้งหมด 9 + 3 +1=13 รปู 3. การเขาออกประตูหางสรรพสินคาของนอยหนา ประกอบดวย 2 ขัน้ ตอน ดังนี้ ขั้นตอนท่ี 1 นอ ยหนาสามารถเลอื กเขาประตไู ด 10 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 นอยหนาสามารถเลอื กออกประตู โดยไมใ หซ ํ้ากบั ประตทู ่เี ขา ได 9 วิธี จากหลกั การคูณ นอยหนาสามารถเลอื กเขา ออกประตู โดยไมใชประตูซํา้ กนั ได 10 × 9 =90 วิธี 4. การสรา งรูปสามเหลยี่ มจากจุด a1, a2, b1, b2, b3, c1, c2 และ c3 พจิ ารณาไดดงั น้ี กรณีท่ี 1 รปู สามเหลี่ยมที่มจี ุดยอดอยูบนดาน AB, BC และ AC ดานละจดุ มี 3× 2× 3 =18 รปู กรณีที่ 2 รูปสามเหลย่ี มทมี่ ีจุดยอด 2 จุด อยบู นดาน AB มี 3×5 =15 รูป กรณที ่ี 3 รปู สามเหลี่ยมทมี่ ีจุดยอด 2 จดุ อยูบนดา น AC มี 3×5 =15 รปู กรณีท่ี 4 รปู สามเหลี่ยมทม่ี ีจดุ ยอด 2 จดุ อยูบ นดา น BC มี 1× 6 =6 รูป จากหลกั การบวก จะสรางรูปสามเหล่ยี มที่มจี ดุ ดังกลา วเปนจุดยอดได 18 +15 +15 + 6 =54 รปู 5. 1) การสรา งรปู สามเหลีย่ มจากจุด A, B, C, D, E หรือ F มี 2 กรณี ไดแ ก กรณที ี่ 1 รูปสามเหลี่ยมทม่ี ีจดุ ยอด 2 จดุ อยบู นสว นของเสน ตรง AD ขนั้ ตอนท่ี 1 เลือกจุด 2 จดุ จากจุด A, B, C, D ได 6 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 เลือกจดุ 1 จดุ จากจดุ E,F ได 2 วธิ ี จากหลกั การคูณ จะสรา งรปู สามเหลย่ี มได 6× 2 =12 รปู กรณที ี่ 2 รูปสามเหลีย่ มทมี่ จี ุดยอด 2 จุด ท่ไี มใชจ ุด C อยบู นสว นของเสน ตรง CF ข้นั ตอนที่ 1 เลือกจุด 2 จุด จากจดุ E,F ได 1 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 2 เลอื กจุด 1 จดุ จากจุด A, B, D ได 3 วิธี สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 281 จากหลกั การคูณ จะสรางรูปสามเหลย่ี มได 1×3 =3 รูป จากหลักการบวก จะสรางรปู สามเหล่ยี มทม่ี ีจุด A, B, C, D, E หรอื F เปน จดุ ยอด ไดท้ังหมด 12 + 3 =15 รูป 2) สังเกตวา ในการสรา งรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก จะตองมี C เปนจุดยอด น่ันคือ การสรางรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ประกอบดว ย 2 ขั้นตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กจดุ 1 จุด จากจดุ A, B, D ได 3 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 เลือกจุด 1 จุด จากจุด E,F ได 2 วธิ ี จากหลักการคูณ จะสรา งรูปสามเหล่ยี มมุมฉากทมี่ จี ุด A, B, C, D, E หรือ F เปน จุดยอด ไดทง้ั หมด 3× 2 =6 รูป 3) การสรางรูปสามเหลย่ี มที่มี A เปน จุดยอด และมจี ดุ ยอดอีกสองจดุ จากจุด B, C, D, E หรือ F มี 2 กรณี ไดแก กรณที ี่ 1 จดุ ยอดอีกสองจุดไมอยูบนสวนของเสนตรง AD จะเลือกจุดได 1 วธิ ี คอื เลอื กจดุ E และ F ดังนน้ั จะสรา งรูปสามเหล่ยี มได1 รูป กรณีท่ี 2 จุดยอดอีกสองจดุ มี 1 จดุ อยูบนสว นของเสนตรง AD ข้ันตอนท่ี 1 เลอื กจุด 1 จุด จากจุด B, C, D ได 3 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 เลอื กจุด 1 จุด จากจดุ E,F ได 2 วธิ ี จากหลักการคณู จะสรางรปู สามเหลีย่ มได 3× 2 =6 รูป ดงั นน้ั จะสรางรูปสามเหลยี่ มที่มี A เปนจดุ ยอด และมีจุดยอดอีกสองจุดจากจุด B, C, D, E หรอื F ไดท้งั หมด 1+ 6 =7 รูป 6. การวางกระดาษรูปส่ีเหล่ยี มมุมฉากขนาด 2×1 ตารางหนวย ลงในรูป ประกอบดว ย 3 ขน้ั ตอน ดงั น้ี ขน้ั ตอนท่ี 1 วางลงในรปู สีเ่ หลย่ี มมุมฉากขนาด 2×3 ตารางหนวย ได 3 วธิ ี ดงั รูป ขั้นตอนที่ 2 วางลงในรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากขนาด 2× 2 ตารางหนวย ได 2 วธิ ี ดงั รปู สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

282 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 ขน้ั ตอนที่ 3 วางลงในรปู สี่เหลีย่ มมุมฉากขนาด 2× 4 ตารางหนวย ได 5 วิธี ดงั รูป จากหลักการคูณ จํานวนวิธที แ่ี ตกตา งกนั ในการวางกระดาษรูปสี่เหล่ยี มมมุ ฉากขนาด 2×1 จํานวน 9 ช้นิ ลงในรปู ดังกลาว เทา กับ 3× 2×5 =30 วิธี 7. การสรา งรหัสบตั รเอทีเอม็ จํานวน 4 ตัว โดยใหสอดคลองกับเงือ่ นไขดังกลาว ประกอบดวย 4 ขัน้ ตอน ดังน้ี ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 0, 2, 4, 6 หรือ 8 เปนหลกั สุดทาย ได 5 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดดทไ่ี มใช 9 และเลขโดดที่ไมซํ้ากบั เลขโดดหลัก สดุ ทาย เปน หลกั แรก ได 8 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดดทเี่ หลอื เปนหลักทส่ี อง ได 8 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 4 เลือกเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดดทเี่ หลือเปน หลกั ทส่ี าม ได 7 วธิ ี จากหลักการคูณ จํานวนรหัสบัตรเอทีเอ็มที่เลขโดดในแตละหลกั ไมซ้ํากัน เลขโดดในหลกั แรก ไมใ ช 9 และเลขโดดในหลักสดุ ทา ยเปนจํานวนคู มที ั้งหมด 5×8×8× 7 =2,240 รหสั 8. การสรางคําโดยไมคํานึงถึงความหมาย ทป่ี ระกอบดวยตวั อักษรภาษาอังกฤษ 5 ตวั ประกอบดว ย 5 ขัน้ ตอน ดงั น้ี ขั้นตอนท่ี 1 เลือกตวั อักษร 1 ตวั เปนตวั อกั ษรตัวแรก ได 26 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกตวั อักษร 1 ตวั ที่ไมซ ้ํากับตัวอักษรตวั แรก เปนตัวอักษรตัวทีส่ อง ได 25 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 3 เลอื กตัวอักษร 1 ตวั ทไ่ี มซ ํา้ กับตวั อกั ษรตวั ท่ีสอง เปน ตวั อักษรตัวท่สี าม ได 25 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 4 เลอื กตัวอักษร 1 ตัว ทไี่ มซ ํา้ กับตัวอกั ษรตวั ที่สาม เปนตัวอักษรตวั ทสี่ ่ี ได 25 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 5 เลอื กตวั อักษร 1 ตัว ที่ไมซํา้ กับตวั อักษรตัวทสี่ ่ี เปน ตัวอักษรตัวทห่ี า ได 25 วธิ ี จากหลกั การคณู จํานวนวิธีสรา งคาํ ท่ีไมคํานงึ ถึงความหมาย ซง่ึ ประกอบดว ยตัวอักษร ภาษาองั กฤษ 5 ตวั โดยที่ตวั อกั ษร 2 ตัวท่ีตดิ กนั ตองแตกตา งกัน มที ้งั หมด 26 × 25× 25× 25× 25 =10,156, 250 วธิ ี 9. 1) การสรางจาํ นวนเต็มบวกสามหลักทม่ี ากกวา หรอื เทา กบั 300 ประกอบดวย 3 ขน้ั ตอน ดังนี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 283 ข้ันตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 3, 4, 5 เปนหลกั รอย ได 3 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 0,1, 2, 3, 4, 5 เปนหลักสบิ ได 6 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 0,1, 2, 3, 4, 5 เปน หลกั หนวย ได 6 วธิ ี จากหลักการคณู จะไดจํานวนเต็มบวกท่ีมากกวาหรือเทา กับ 300 ทส่ี รา งจากเลขโดด 0,1, 2, 3, 4 และ 5 มีทั้งหมด 3× 6× 6 =108 จํานวน ดังน้ัน จํานวนเตม็ บวกทีม่ ากกวา 300 มที ้ังหมด 108 −1=107 จํานวน 2) การสรา งจํานวนเตม็ บวกสามหลักที่มากกวา 300 โดยเลขโดดในแตละหลักไมซาํ้ กัน ประกอบดวย 3 ข้นั ตอน ดังน้ี ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดด 3, 4, 5 เปนหลกั รอ ย ได 3 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 0,1, 2, 3, 4, 5 และไมซา้ํ กับหลกั รอย เปนหลักสบิ ได 5 วิธี ข้ันตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว จากเลขโดดทเ่ี หลือ เปนหลักหนว ย ได 4 วิธี จากหลกั การคูณ จะไดจ ํานวนเตม็ บวกท่มี ากกวา 300 ทส่ี รางจากเลขโดด 0,1, 2, 3, 4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลักไมซ าํ้ กนั มีทั้งหมด 3×5× 4 =60 จาํ นวน 10. รหัสหนงั สือของหองสมดุ แหงนี้ มอี งคป ระกอบ 4 สว น ไดแ ก สว นที่ 1 ตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั มีได 26× 26 =676 วธิ ี สว นท่ี 2 เลขโดด 3 ตัว ทไี่ มเ ปน ศูนยพรอ มกนั มีได 999 วิธี สว นที่ 3 ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตัว มไี ด 26 วธิ ี สว นท่ี 4 เลขโดด 2 ตัว ทีไ่ มเปนศูนยพรอมกัน มีได 99 วธิ ี จากหลักการคูณ จะไดวา รหัสหนงั สือท่ีเปนไปไดทั้งหมดมี 676×999× 26×99 =1,738,283,976 รหัส 11. เขียนตารางแสดงแตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตาหนึ่งลูกสองคร้ัง ไดดงั นี้ คร้ังที่ 1 1 2 3 4 5 6 ครง้ั ที่ 2 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

284 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 1) วิธที ่ี 1 จากตารางจะไดว า จํานวนวธิ ที แ่ี ตมทไี่ ดจากการทอดลกู เตา ท้ังสองครั้งเทากนั เปน 6 วธิ ี วิธีที่ 2 ขั้นตอนท่ี 1 แตม ที่ไดจากการทอดลูกเตาครงั้ ที่ 1 มไี ด 6 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 แตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาครงั้ ที่ 2 โดยใหแตม เทา กบั การ ทอดลกู เตา คร้ังท่ี 1 มีได 1 วธิ ี จากหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวธิ ที ีแ่ ตมที่ไดจากการทอดลูกเตาท้ังสองครัง้ เทา กัน เปน 6×1 =6 วิธี 2) วธิ ีที่ 1 จากตารางจะไดวา จํานวนวิธีที่แตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาท้งั สองครั้งตา งกัน เปน 30 วธิ ี วธิ ีท่ี 2 เนอื่ งจาก จํานวนวธิ ีท่ไี ดแตม จากการทอดลกู เตา สองครง้ั เปน 36 วิธี และจํานวนวิธที แี่ ตม ท่ีไดจากการทอดลูกเตาท้ังสองครง้ั เทากนั เปน 6 วิธี ดังน้ัน จาํ นวนวิธีท่ีแตมทไ่ี ดจากการทอดลูกเตา ท้ังสองครงั้ ตางกนั เปน 36 − 6 =30 วิธี วิธีที่ 3 ขน้ั ตอนที่ 1 แตมท่ีไดจากการทอดลกู เตาครง้ั ที่ 1 มไี ด 6 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 แตมที่ไดจากการทอดลูกเตาครั้งท่ี 2 โดยใหแ ตมตางกบั การ ทอดลูกเตาครงั้ ที่ 1 มีได 5 วิธี จากหลักการคูณ จะได จาํ นวนวธิ ที ่ีแตมท่ีไดจ ากการทอดลูกเตาทง้ั สองครัง้ ตางกัน เปน 6×5 =30 วิธี 3) จากตารางจะไดว า จํานวนวธิ ีทีผ่ ลรวมของแตมท่ีไดจากการทอดลูกเตา ทงั้ สองครั้ง นอยกวา 10 เปน 30 วธิ ี 12. 1) การสรา งจํานวนเต็มบวกสามหลกั มี 3 ขน้ั ตอน ดังนี้ ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั ท่ีไมใ ช 0 เปน หลักรอย ได 9 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลักสบิ ได 10 วธิ ี ขั้นตอนที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปนหลกั หนว ย ได 10 วธิ ี จากหลกั การคูณ จะได จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก มที ้ังหมด 9×10×10 =900 จํานวน 2) การสรา งจาํ นวนเต็มบวกสามหลัก ทเี่ ลขโดดในหลกั แรกและหลักสดุ ทา ยไมซ าํ้ กัน มี 3 ข้นั ตอน ดงั น้ี ขัน้ ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตวั ท่ีไมใ ช 0 เปน หลกั รอย ได 9 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั ท่ีไมซ าํ้ กับหลกั รอ ย เปน หลกั หนวย ได 9 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลักสบิ ได 10 วิธี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 285 จากหลักการคูณ จะได จาํ นวนเต็มบวกทีม่ ีสามหลัก ทีเ่ ลขโดดในหลักแรกและหลักสุดทาย ไมซํา้ กันมีท้ังหมด 9×9×10 =810 จํานวน 3) การสรา งจํานวนเต็มบวกสามหลกั ทเี่ ลขโดดในหลกั แรกและหลกั สุดทา ยรวมกนั ได 10 มี 3 ขั้นตอน ดงั น้ี ขั้นตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว ท่ีไมใช 0 เปน หลักรอ ย ได 9 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตวั ทีร่ วมกับหลกั รอ ยแลว ได 10 เปน หลักหนว ย ได 1 วธิ ี ขั้นตอนที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั สบิ ได 10 วิธี จากหลักการคูณ จะได จํานวนเตม็ บวกที่มสี ามหลัก ทีเ่ ลขโดดในหลักแรกและหลักสุดทาย รวมกันได 10 มีท้งั หมด 9×1×10 =90 จํานวน 13. การสรางพาลนิ โดรมท่ีประกอบดว ยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 4 ตวั มี 4 ขน้ั ตอน ดังนี้ ขั้นตอนท่ี 1 เลือกตัวอักษรภาษาองั กฤษ 1 ตัว เปนตัวทีห่ นงึ่ ได 26 วิธี ขัน้ ตอนที่ 2 เลอื กตัวอักษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั เปนตัวทีส่ อง ได 26 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 3 เลือกตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตัว ซึง่ ตองเปนตัวอักษรเดียวกบั ตัวทส่ี องเปน ตัวท่สี าม ได 1 วิธี ขั้นตอนที่ 4 เลอื กตัวอักษรภาษาองั กฤษ 1 ตัว ซง่ึ ตองเปน ตัวอักษรเดียวกบั ตวั ทหี่ นง่ึ เปน ตัวท่ีสี่ ได 1 วธิ ี จากหลักการคูณ จะได พาลนิ โดรมทปี่ ระกอบดว ยตวั อักษรภาษาองั กฤษ 4 ตัว โดยทจี่ ะมี ความหมายหรอื ไมก็ได มที ง้ั หมด 26× 26×1×1 =676 คาํ 14. 1) การนาํ ผลไมใสต ะกราโดยไมมีเงอ่ื นไข มี 4 ขั้นตอน ดังน้ี ขั้นตอนที่ 1 นําผลไมช นิดที่ 1 ใสใ นตะกรา ใดตะกรา หน่งึ ทําได 6 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 นําผลไมช นดิ ท่ี 2 ใสในตะกรา ใดตะกราหน่งึ ทําได 6 วธิ ี ขน้ั ตอนที่ 3 นาํ ผลไมช นิดท่ี 3 ใสในตะกราใดตะกราหนึ่ง ทําได 6 วิธี ขน้ั ตอนที่ 4 นําผลไมช นดิ ท่ี 4 ใสในตะกราใดตะกราหนง่ึ ทาํ ได 6 วิธี จากหลักการคูณ จะไดจํานวนวิธใี นการนาํ ผลไมใ สต ะกราโดยไมมเี ง่ือนไข มีท้ังหมด 6 × 6 × 6 × 6 =1, 296 วิธี 2) การนําผลไมใสตะกราโดยตะกราแตละใบมีผลไมไมเ กิน 1 ผล มี 4 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นตอนท่ี 1 นาํ ผลไมช นดิ ที่ 1 ใสในตะกราใดตะกรา หนงึ่ ทาํ ได 6 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 2 นําผลไมช นิดที่ 2 ใสใ นตะกราใบหนงึ่ ทวี่ า งอยู ทําได 5 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 3 นําผลไมช นดิ ที่ 3 ใสในตะกราใบหนึง่ ท่ีวา งอยู ทําได 4 วิธี ขน้ั ตอนที่ 4 นาํ ผลไมชนดิ ที่ 4 ใสใ นตะกรา ใบหนึง่ ทว่ี า งอยู ทาํ ได 3 วธิ ี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

286 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 จากหลักการคูณ จะไดจํานวนวธิ ใี นการนาํ ผลไมใสตะกราโดยตะกราแตละใบมผี ลไม ไมเกิน 1 ผล มีทั้งหมด 6×5× 4×3 =360 วธิ ี แบบฝกหัด 2.2 1. เนอ่ื งจากมีหนงั สอื ท่ีแตกตา งกันทง้ั หมด 9 เลม สามารถนาํ หนังสอื ทง้ั หมดนี้มาวางเรยี งบนชัน้ วางหนังสือ ทําไดท ั้งหมด 9!= 362,880 วิธี 2. 1) 8! P8,4 = (8 − 4)! = 8! 4! = 8×7×6×5 = 1,680 10! 2) P10,2 = (10 − 2)! = 10! 8! = 10 × 9 = 90 3) P7,3 = 7! (7 − 3)! = 7! 4! = 7×6×5 = 210 20! 4) P20,2 = (20 − 2)! = 20! 18! = 20 ×19 = 380 5! 5) P5,5 = (5 − 5)! = 5! 0! = 5× 4×3× 2×1 = 120 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 287 7! 6) P7,0 = (7 − 0)! = 7! 7! =1 3. จาก Pn,4 = 18 × Pn−1,2 จะได n! = 18 × (n − 1)! (n − 3)! (n − 4)! n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)! = 18 × ( n − 1) (n − 2)( n − 3)! (n − 4)! (n − 3)! n(n −1)(n − 2)(n − 3) = 18(n −1)(n − 2) จาก Pn, 4 จงึ ไดว า n ≥ 4 จะได (n −1)(n − 2) ≠ 0 นั่นคอื n(n − 3) = 18 n2 − 3n −18 = 0 (n − 6)(n + 3) = 0 จะได n − 6 =0 หรอื n + 3 =0 นน่ั คือ n = 6 หรือ n = −3 เนือ่ งจาก n เปน จํานวนเต็มบวก ดังนนั้ n = 6 4. Pn,1 + Pm,1 = (n n! + m! − 1)! (m −1)! = n(n −1)! + m(m −1)! (n −1)! (m −1)! = n+m (n + m)(n + m −1)! = (n + m −1)! (n + m)! = (n + m −1)! = Pn+m,1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

288 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 5. ในทน่ี ้ี n = 11 และ r = 5 จะได 11! P11,5 = (11 − 5)! = 11! 6! = 11×10 × 9 × 8 × 7 = 55,440 ดงั นนั้ จาํ นวนวิธใี นการจัดทมี ผูเลน มีทงั้ หมด 55,440 วธิ ี 6. วิธที ี่ 1 ในท่นี ้ี n = 4 และ r = 3 จะได P4,3 = 4! (4 − 3)! = 4! 1! = 4×3× 2×1 = 24 ดังนน้ั สรา งจาํ นวน 3 หลกั จากเลขโดด 2, 3, 5 และ 9 โดยทีแ่ ตล ะหลกั มีเลขโดด ไมซาํ้ กนั ไดท ้ังหมด 24 จํานวน วิธีท่ี 2 การสรา งจาํ นวน 3 หลกั จากเลขโดด 2, 3, 5 และ 9 โดยท่แี ตล ะหลักมเี ลขโดด ไมซํ้ากัน มี 3 ข้ันตอน ดงั นี้ ข้ันตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั รอ ย ได 4 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั สบิ ได 3 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปน หลักหนว ย ได 2 วิธี จากหลักการคูณ สรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 2, 3, 5 และ 9 โดยท่ีแตละหลักมี เลขโดดไมซ ํ้ากนั ไดทง้ั หมด 4×3× 2 =24 จาํ นวน 7. รูปแบบการนั่งให 3 คน ไมมีใครนัง่ ตดิ กนั มี 4 รูปแบบ คือ ใหทงั้ 3 คน นงั่ บนเกา อ้ีในตําแหนง ท่ี (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 6) และ (2, 4, 6) และในแตละรปู แบบ ท้ัง 3 คน สามารถนัง่ สลบั ตําแหนง กันได 3! วธิ ี โดยหลักการคูณ มวี ธิ ีที่จัดใหคน 3 คน นง่ั เกา อ้ี 6 ตัว โดยทีไ่ มมีใครนง่ั ติดกัน ได 4×3!=24 วธิ ี สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 289 8. 1) เนอ่ื งจากมีหนังสอื รวมกัน 9 เลม นาํ มาเรียงสับเปล่ยี น ไดท ้ังหมด 9! = 362,880 วธิ ี 2) เนอ่ื งจากตองการใหหนังสือเลมแรกและเลม สดุ ทายเปนหนังสอื คณิตศาสตร จะจดั หนงั สอื เลม แรกและเลม สดุ ทายเปนหนังสอื คณติ ศาสตรได P2,2 วธิ ี จากนัน้ จดั หนงั สือทีเ่ หลือท้ังหมดไวระหวา งหนงั สือคณิตศาสตร 2 เลม ได 7! วธิ ี ดงั นัน้ จาํ นวนวิธีจดั เรียงหนังสือโดยใหหนังสอื เลม แรกและเลม สุดทา ยเปน หนงั สอื คณติ ศาสตรไดทั้งหมด P2,2 × 7!=10,080 วธิ ี 3) เน่อื งจากตอ งการใหหนงั สือวิชาเดียวกนั อยตู ิดกนั จะพิจารณาวาหนังสือวชิ าเดียวกันมัดตดิ กนั โดยคิดเปนสิง่ ของ 1 ชิ้น ดงั นน้ั จะมหี นังสืออยู 3 มัด จดั เรียงได 3! วิธี แตละวธิ ีใน 3! วิธนี ้ี มดั ทเ่ี ปน หนงั สอื เคมีท่ตี า งกนั 3 เลม จัดเรียงได 3! วิธี มัดทเ่ี ปนหนงั สือคณติ ศาสตรทตี่ างกัน 2 เลม จัดเรียงได 2! วธิ ี และมัดท่ีเปนหนงั สือภาษาองั กฤษที่ตา งกนั 4 เลม จดั เรียงได 4! วธิ ี ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ ีจัดเรียงใหหนังสอื วชิ าเดยี วกันอยตู ิดกนั ไดท้ังหมด 3!3!2!4!=1,728 วธิ ี 9. 1) การจัดคนท่ีมาสมัครเขาทํางาน มี 2 ขัน้ ตอน ดังน้ี ข้ันตอนท่ี 1 จดั ผูสมคั รที่เปนผชู าย ได P6,3 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 จดั ผสู มัครที่เปนผหู ญิง ได P5,2 วธิ ี ดังน้ัน จํานวนวิธจี ัดคนท่ีมาสมัครเขา ทาํ งาน มีทง้ั หมด P6,3 × P5,2 = 6! × 5! = 2, 400 วิธี 3! 3! 2) การจดั คนท่ีมาสมคั รเขา ทํางาน โดยมีชาติเปน หนงึ่ ในผสู มัครงาน และชาตไิ ดเ ขา ทาํ งาน ทําไดโ ดยเลอื กตาํ แหนงงานท่ีวา งสาํ หรับผชู ายใหชาตทิ ําได 3 วิธี นน่ั คือ จะเหลือผสู มคั รที่เปนผูชาย 5 คน และตําแหนงวา ง 2 ตาํ แหนง ซ่ึงจัดได P5,2 วิธี และจัดผูส มคั รท่ีเปนผหู ญิงเขาทํางานได P5,2 วธิ ี ดังนัน้ จํานวนวธิ ีจัดคนที่มาสมัครเขาทาํ งาน โดยชาติเปน หนึ่งในผสู มัครงานและชาติได เขาทาํ งาน มที ัง้ หมด 3× P5,2 × P5,2 =1,200 วธิ ี 3) การจดั คนท่ีมาสมคั รเขา ทํางาน จะจดั ผูมาสมัครท่เี ปน ผูช ายได P6,3 วิธี เน่อื งจากรุงไดเขา ทํางาน จัดตําแหนง ท่ีวา งงานสาํ หรับผูหญิงใหร ุงทาํ ได 2 วิธี จะเหลือผสู มคั รงานทีเ่ ปน ผูหญงิ 4 คน แตห ญงิ ไมไ ดเขา ทํางาน จะเหลอื ผูส มคั รงานท่เี ปน ผูห ญงิ เพียง 3 คน ซ่งึ จดั ได P3,1 วธิ ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

290 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 ดังนั้น จาํ นวนวิธีจดั คนท่ีมาสมคั รเขา ทํางาน โดยรุงและหญิงเปนสองคนในผสู มคั รงาน และรงุ ไดเขาทํางานแตหญิงไมไดเ ขาทํางาน มีทง้ั หมด P6,3 × 2× P3,1 =720 วธิ ี 10. เน่ืองจากตองการใหไมม ผี หู ญิง 2 คนใดยนื ตดิ กนั จะแบง เปน 2 ขนั้ ตอน ดงั นี้ ขน้ั ตอนที่ 1 จัดผูช าย 6 คน ยืนเรยี งแถวได 6! วิธี ขั้นตอนท่ี 2 จดั ผูหญิง 3 คน ยืนแทรกระหวางผชู ายได 7 ตาํ แหนง จดั ได P7,3 วธิ ี ดังนนั้ จํานวนวิธีทจ่ี ะจดั ผชู าย 6 คน และผหู ญงิ 3 คน ยืนเรียงแถวหนา กระดาน โดยทีไ่ มมี ผูหญงิ 2 คนใดยนื ตดิ กัน มีทงั้ หมด 6!× P7,3 =151,200 วธิ ี 11. 1) เนอื่ งจากมีหนังสือที่แตกตา งกัน 8 เลม จะนาํ หนงั สือทงั้ หมดมาวางเรียงเปนแถว ได 8! วิธี 2) เนอ่ื งจากตอ งการใหห นงั สือภูมิศาสตรไ มอ ยตู ิดกัน จะแบงเปน 2 ขนั้ ตอน ดังน้ี ขั้นตอนที่ 1 จดั หนังสือทไี่ มใชหนงั สือภมู ิศาสตรก อน ได 5! วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 จดั หนังสือภูมิศาสตรแ ทรกได 6 ตําแหนง ได P6,3 วิธี ดงั น้นั จะนาํ หนงั สือทั้งหมดมาวางเรยี งเปน แถว โดยท่ีหนงั สอื ภูมิศาสตรไ มอ ยูติดกนั ได 5!× P6,3 =14,400 วิธี 12. 1) เนือ่ งจากตอ งการให เทยี นหอม อิงฟา มะตมู และปน จ่นั เขาเสนชัย 4 อนั ดบั แรก จะมี ได 4! รปู แบบ เหลือผูเขา แขงขันอีก 96 คน ซึง่ จะเขา เสนชัยเปน อนั ดับใดก็ไดใน 96 อันดบั ทเ่ี หลือ มไี ด 96! รูปแบบ ดงั นัน้ จาํ นวนรูปแบบการเขา เสนชยั ของผูเขา แขงขนั ทัง้ หมด โดยท่ี เทียนหอม อิงฟา มะตูม และปน จน่ั เขาเสน ชัย 4 อันดับแรก คือ 4!×96! รปู แบบ 2) เทยี นหอม เขา เสนชนั อันดับท่ี 5 มีได 1 รปู แบบ อิงฟา มะตูม ปน จั่น เขาเสน ชัยในอันดบั ทน่ี อยกวา อันดบั ที่ 5 มไี ด P4,3 รปู แบบ เหลือผูเขา แขงขนั อกี 96 คน ซ่ึงจะเขาเสนชัยเปน อันดับใดกไ็ ดใ น 96 อันดับท่เี หลือ มีได 96! รปู แบบ ดงั นัน้ จํานวนรูปแบบการเขา เสน ชัยของผเู ขาแขง ขนั ท้ังหมด โดยทเี่ ทยี นหอมเขา เสน ชัย อนั ดบั ที่ 5 และ องิ ฟา มะตมู ปนจัน่ เขา เสน ชยั ในอันดับทนี่ อยกวาอันดบั ท่ี 5 คอื P4,3 × 96! =24 × 96! รูปแบบ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี