(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.2

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 291 3) เทียนหอม และ องิ ฟา เขาเสน ชยั 50 อนั ดับแรก มไี ด P50,2 รูปแบบ มะตมู และ ปนจนั่ เขา เสน ชัยในอันดับที่มากกวาอนั ดับท่ี 50 มไี ด P50,2 รูปแบบ และเหลือผูเขา แขงขันอีก 96 คน ซ่ึงจะเขาเสนชัยเปน อันดับใดก็ได ใน 96 อนั ดับท่เี หลือ มีได 96! รูปแบบ ดังน้ัน จํานวนรูปแบบการเขาเสน ชัยของผเู ขา แขงขนั ท้ังหมด โดยเทยี นหอมและองิ ฟา เขา เสน ชัย 50 อนั ดับแรก มะตมู และ ปน จ่นั เขาเสน ชยั ในอันดบั ที่มากกวา อันดบั ท่ี 50 คือ P50,2 × P50,2 × 96! = 492 × 502 × 96! รปู แบบ 4) เนื่องจากการแขง ขันนี้ใหร างวัลผูเขาเสนชยั สามอันดับแรก และ เทยี นหอมไดร างวลั แตอ ิงฟาไมไ ดรางวลั จะไดว า รูปแบบการเขาเสน ชยั ของ เทียนหอม มไี ด 3 รปู แบบ รูปแบบการเขาเสน ชัยของ องิ ฟา มีได 97 รูปแบบ และเหลือผเู ขา แขงขันอกี 98 คน ซ่งึ จะเขาเสนชยั เปน อนั ดับใดกไ็ ดใน 98 อนั ดบั ทเี่ หลอื มีได 98! รปู แบบ ดังนนั้ จํานวนรูปแบบการเขา เสนชยั ของผูเ ขาแขง ขนั ทั้งหมด โดยท่ี เทยี นหอมไดรางวัล แตอิงฟา ไมไดรางวัล คอื 3×97 ×98!= 291×98! รปู แบบ แบบฝกหดั 2.3 1. มกี ระถางตน ไมทั้งหมด 9 กระถาง เปน กระถางตนมะลิ 3 กระถาง เปน กระถางตน กหุ ลาบ 2 กระถาง และเปนกระถางตนดาวเรือง 4 กระถาง ดงั นน้ั จะจัดวางกระถางใหเ กิดรูปแบบท่ีแตกตา งกนั ได 9! =1,260 แบบ 3!2!4! 2. มีเลขโดดท้ังหมด 7 ตวั มเี ลขโดด 0 อยู 1 ตวั มเี ลขโดด 2 อยู 2 ตัว มเี ลขโดด 3 อยู 3 ตัว และมีเลขโดด 4 อยู 1 ตวั สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

292 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 วิธที ี่ 1 มีเลขโดดทไี่ มรวมศูนยทั้งหมด 6 ตัว คอื 2, 2, 3, 3, 3 และ 4 จะสามารถจัดเรียงเลขโดดเหลา นไี้ ด 6! = 60 วธิ ี 2!3!1! และนาํ เลขโดด 0 มาแทรกระหวางเลขโดดทจี่ ัดเรียงแลว โดยไมอ ยูตําแหนงแรกสดุ ได 6 ตําแหนง ดงั น้ัน จะสรางจํานวนท่ีมากกวาหนึง่ ลา นไดท ง้ั หมด 60× 6 =360 จาํ นวน วธิ ีท่ี 2 สามารถจดั เรยี งเลขโดดทั้ง 7 ตัวน้ี ได 7! = 420 จํานวน 1!2!3!1! ในจาํ นวนน้ี จะมีจาํ นวนท่นี อ ยกวา 1 ลา น นั่นคือ จํานวนที่มเี ลขโดด 0 อยใู น ตําแหนง แรก อยู 6! = 60 จาํ นวน 2!3!1! ดังนน้ั จะสรา งจาํ นวนท่มี ากกวาหนง่ึ ลา นไดท ั้งหมด 420 − 60 =360 จํานวน วิธีที่ 3 สรา งจาํ นวนทีม่ ากกวา หนึ่งลา นได 3 กรณี ดงั น้ี กรณที ี่ 1 เลขโดด 2 อยูในหลักลา น จดั เลขโดดทเี่ หลือในหลักอ่นื ๆ ได 6! =120 วิธี 1!1!3!1! กรณีที่ 2 เลขโดด 3 อยูในหลักลาน จดั เลขโดดทเี่ หลือในหลักอน่ื ๆ ได 6! =180 วธิ ี 1!2!2!1! กรณีท่ี 3 เลขโดด 4 อยูในหลักลาน จดั เลขโดดท่ีเหลอื ในหลักอ่ืนๆ ได 6! = 60 วธิ ี 1!2!3! ดงั นัน้ จะสรางจาํ นวนทม่ี ากกวาหน่ึงลานได 120 +180 + 60 =360 จํานวน 3. 1) เน่อื งจากมหี ลอดไฟทั้งหมด 15 หลอด เปนหลอดไฟสีขาว 4 หลอด หลอดไฟสีแดง 5 หลอด และหลอดไฟสีน้ําเงิน 6 หลอด ดงั นั้น จะมีวธิ ีประดับหลอดไฟไดแตกตา งกนั ท้ังหมด 15! = 630,630 วิธี 4!5!6! 2) เนื่องจากตอ งการใหหลอดไฟสีเดยี วกันอยตู ิดกนั จะพจิ ารณาวา หลอดไฟสเี ดียวกนั มดั ติดกนั โดยคดิ เปนส่ิงของ 1 ชน้ิ ดงั นั้น จะมหี ลอดไฟอยู 3 มดั จัดเรยี งได 3! วธิ ี เน่ืองจากในแตละมัดหลอดไฟสีเดยี วกนั ไมตางกัน จงึ ถือวาจัดเรยี งได 1 วิธี จะไดวา จะมวี ิธีประดับหลอดไฟ โดยใหห ลอดไฟสเี ดียวกนั อยูติดกนั ได 6 วิธี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 293 3) เน่ืองจากตองการใหหลอดไฟสีขาวอยทู างซายสุด และหลอดไฟสีนาํ้ เงินอยทู างขวาสดุ ดังน้นั จะเหลอื หลอดไฟสขี าวและสีน้าํ เงินใหประดบั 3 และ 5 หลอด ตามลําดับ นน่ั คอื เหลือหลอดไฟท้ังหมด 13 หลอด เปน หลอดไฟสีขาว 3 หลอด หลอดไฟสแี ดง 5 หลอด และหลอดไฟสีนํา้ เงิน 5 หลอด ดงั นน้ั มวี ิธีประดับหลอดไฟ โดยใหหลอดไฟสขี าวอยูท างซายสุด และหลอดไฟสีน้าํ เงนิ อยูท างขวาสดุ ได 13! = 72,072 วธิ ี 3!5!5! 4. วิธีท่ี 1 มตี วั อักษรไมรวมตวั O ท้ังหมด 7 ตวั มีตัวอกั ษร C อยู 2 ตัว มตี ัวอักษร H, L, A, T และ E อยางละ 1 ตัว จะไดวา มวี ิธจี ดั เรียงตัวอักษรเหลา น้ไี ด 7! = 7! วธิ ี 2!1!1!1!1!1! 2! และนําตวั อักษร O มาแทรกระหวางตัวอกั ษรทจี่ ดั เรียงได 8 ตาํ แหนง ได P8,2 วิธี แตเ นอ่ื งจากตวั อักษร O อยู 2 ตวั เหมอื นกัน จะจัดเรยี งได P8,2 = 28 วิธี 2 ดังนนั้ จาํ นวนวิธีจดั เรยี งตวั อักษรดังกลา ว โดยตัวอกั ษร O ไมอยูติดกนั มี วธิ ีที่ 2 7!× 28 =70,560 วิธี 2! ในคําวา CHOCOLATE มีตัวอักษรทั้งหมด 9 ตัว มีตวั อักษร C อยู 2 ตวั มตี วั อักษร O อยู 2 ตวั และมีตัวอักษร H, L, A, T และ E อยา งละ 1 ตัว สามารถจดั เรียงตวั อักษรดังกลาวได 9! = 9! วธิ ี 2!2!1!1!1!1!1! 2!2! ในจาํ นวนนมี้ ีวธิ จี ดั เรยี งตวั อกั ษรโดยทอี่ ักษร O ทงั้ สองอยูตดิ กันได 8! = 8! วิธี 2!1!1!1!1!1! 2! ดังนัน้ จํานวนวิธีจดั เรยี งตัวอกั ษรดงั กลาว โดยตวั อกั ษร O ไมอ ยูตดิ กนั มี 9! −=8! 90,720 − 20,1=60 70,560 วิธี 2!2! 2! สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

294 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 5. ใหก ารเดนิ ทางไปทางทิศเหนือ 1 ชอ ง แทนดวยตวั อักษร N และการเดินทางไปทางทศิ ตะวนั ออก 1 ชอ ง แทนดว ยตัวอักษร E 1) การเดินทางจากจุด O ไปยงั จุด P จะพิจารณาเชนเดยี วกับการจดั เรียงตวั อักษร N จาํ นวน 8 ตัว และตัวอกั ษร E จํานวน 7 ตัว ซงึ่ จดั ได 15! วธิ ี 8!7! ดงั นั้น จาํ นวนเสนทางท้งั หมดจากจุด O ไปยังจดุ P มี 15! = 6,435 เสน ทาง 8!7! 2) เนอ่ื งจากตองการผา นจดุ A จะแบงออกเปน 2 ขั้นตอน ขัน้ ตอนท่ี 1 การเดินทางจากจดุ O ไปยงั จุด A จะพิจารณาเชนเดียวกับการจดั เรยี ง ตัวอักษร N จาํ นวน 4 ตวั และตัวอักษร E จาํ นวน 4 ตัว ซ่ึงจัดได 8! วธิ ี 4!4! ดงั น้นั จาํ นวนเสนทางจากจุด O ไปยงั จดุ A มี 8! เสน ทาง 4!4! ข้ันตอนที่ 2 การเดินทางจากจุด A ไปยังจดุ P จะพจิ ารณาเชนเดยี วกับการจัดเรยี ง ตัวอักษร N จาํ นวน 4 ตวั และตวั อักษร E จาํ นวน 3 ตัว ซ่ึงจัดได 7! วธิ ี 4!3! ดังน้นั จาํ นวนเสนทางจากจดุ A ไปยังจุด P มี 7! เสนทาง 4!3! จะไดวา จาํ นวนเสนทางทั้งหมดจากจดุ O ไปยงั จดุ P โดยผา นจุด A มี 8! × 7! =2,450 เสน ทาง 4!4! 4!3! แบบฝก หดั 2.4 1. การจดั นกั เรยี นทําการแสดง โดยท่ีนกั เรยี นหญิงหนงึ่ คนอยูตรงกลาง ทาํ ได 4 วิธี และจะเหลือนกั เรยี นอีก 6 คน ซึง่ สามารถเขาแถวเปน วงกลมได (6 −1)!=5! วธิ ี ดังนนั้ จะจัดนักเรียนเพื่อทําการแสดงใหเกิดรูปแบบทแ่ี ตกตา งกันทัง้ หมด ได 4×5!=480 วิธี 2. เน่อื งจากตองการใหนักเรยี นชายนงั่ ตดิ กนั และนกั เรยี นหญิงนัง่ ติดกัน จะพจิ ารณามดั คนนงั่ ตดิ กนั เปนของ 1 มัด ดังนัน้ จะมขี องอยู 2 มดั จัดเรียงเปนวงกลมได (2 −1)! วธิ ี ในแตละวธิ ีนี้ มดั ทเ่ี ปนนักเรยี นชาย 3 คนน้นั จัดเรยี งได 3! วิธี และมัดที่เปนนักเรยี นหญิง จัดเรยี งได 3! วธิ ี ดังนน้ั จะจัดนกั เรียนนัง่ รอบโตะ กลม โดยทนี่ ักเรยี นชายนัง่ ตดิ กนั และนักเรยี นหญงิ นั่งตดิ กัน ได (2 −1)!× 3!× 3!=36 แบบ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 295 3. 1) จัดสมาชกิ ครอบครวั น้ีซง่ึ มี 6 คน นั่งรอบโตะกลม ไดทั้งหมด (6 −1)!=5!=120 แบบ 2) เนอ่ื งจากตองการใหพอ และแมนง่ั ติดกัน จะพจิ ารณามัดพอ แมเ ปนของ 1 มดั ดังน้นั จะมคี นทัง้ หมด 5 คน นั่งโตะเปน วงกลมได (5 −1)! แบบ ในแตละวิธีน้ี พอและแมส ามารถนั่งสลับได 2 แบบ ดังนัน้ จะจัดสมาชิกครอบครัวน้นี ง่ั โตะกลม โดยท่ีพอ และแมนงั่ ตดิ กัน ได (5 −1)!× 2 =48 แบบ 3) วธิ ีที่ 1 เนือ่ งจากตอ งการใหพอและแมไ มน่งั ตดิ กัน จะสามารถทําได 2 ขัน้ ตอน ดังนี้ ขั้นตอนท่ี 1 จัดลกู 4 คน นั่งรอบโตะกลม ได (4 −1)! วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 จัดพอและแมน ่งั แทรกลูกทั้ง 4 คน ซึง่ มี 4 ตําแหนง ได P4,2 วิธี ดงั นัน้ จะจัดสมาชิกครอบครัวน้นี ั่งโตะ กลม โดยท่ีพอและแมไมน่ังตดิ กนั ได (4 −1)!× P4,2 =72 วธิ ี วธิ ีท่ี 2 เนือ่ งจากมวี ธิ จี ดั สมาชิกครอบครัวนี้ นง่ั รอบโตะกลมได 120 วธิ ี และจากขอ 2) จะมวี ธิ ีจัดสมาชิกครอบครัวน้ี น่ังรอบโตะกลม โดยใหพอ และแมน ่ัง ติดกนั ได 48 วิธี ดังนัน้ จะจัดสมาชกิ ครอบครัวนีน้ งั่ โตะ กลม โดยท่ีพอและแมไมน ง่ั ตดิ กัน ได 120 − 48 =72 วธิ ี 4. จดั ใหน กั เรียนชาย 4 คน น่งั เปน วงกลมกอน ได (4 −1)! วธิ ี ตอมาจดั นักเรยี นหญงิ 3 คน นง่ั แทรกระหวางนักเรียนชายซ่ึงมีท่วี าง 4 ตาํ แหนง ได P4,3 วิธี ดงั นั้น จะจัดนักเรยี นชายและนักเรยี นหญิงนั่งเปน วงกลม โดยไมใ หนักเรียนหญิงสองคนใด น่งั ตดิ กนั ได (4 −1)!× P4,3 =144 วธิ ี แบบฝก หัด 2.5 1. ตอ งการเลือกตัวแทนนักเรียน 5 คน จากนักเรียนกลุมหนึ่งซ่ึงมี 8 คน ทําได C=8,5 =8! 56 วิธี 3!5! 2. ตองการเลอื กทาํ ขอสอบ 4 ขอ จากขอสอบ 6 ขอ ทําได C=6,4 =6! 15 วิธี 2!4! สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

296 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 3. 1) เนือ่ งจากมีผลไมในตะกรา ทัง้ หมด 14 ผล ดังนัน้ จาํ นวนวิธีในการเลือกหยิบผลไม 4 ผล จากผลไม 14 ผล ในตะกรา เปน 14  = 1, 001 วิธี    4  2) เน่อื งจากตอ งการหยบิ ไดเงาะท้งั ส่ผี ล จะได หยบิ เงาะ 4 ผล จากเงาะ 8 ผล ทําได 8 = 70 วิธี    4  ดงั น้ัน จํานวนวธิ ใี นการเลอื กหยิบผลไม 4 ผล จากตะกรา โดยที่หยิบไดเ งาะทง้ั สผ่ี ล เปน 70 วิธี 3) เนอ่ื งจากตอ งการใหห ยบิ ไมไดสม เลย นน่ั คือ หยิบผลไม 4 ผล จากผลไม 10 ผลที่ไมใ ชส ม ในตะกรา ทาํ ได 10  = 210 วิธี    4  ดงั นนั้ จํานวนวธิ ีในการเลือกหยบิ ผลไม 4 ผล จากตะกรา โดยท่หี ยบิ ไมไดสมเลย เปน 210 วิธี 4. เนอ่ื งจากตองการหยบิ ลกู บอล 3 ลกู โดยทไ่ี ดลูกบอลทุกสี น่ันคือ หยิบไดสลี ะลูก หยบิ ลกู บอลสีแดง 1 ลกู จากลูกบอลสแี ดง 5 ลูก ได 5 วิธี    1  หยิบลูกบอลสีขาว 1 ลกู จากลกู บอลสีขาว 3 ลกู ได 3 วิธี    1  และหยิบลกู บอลสีนํา้ เงิน 1 ลูก จากลูกบอลสีนํ้าเงนิ 3 ลูก ได 3 วธิ ี  1   ดงั น้นั จาํ นวนวิธีการหยบิ ลูกบอล โดยท่ีไดล ูกบอลครบทุกสี เทา กบั 533 = 45 วธิ ี  1    1    1  5. 1) เนือ่ งจากมไี พส แี ดงและไพส ดี ําอยางละ 26 ใบ การหยบิ ไพใ บแรกไดไพสแี ดงและใบทสี่ องไดไ พสดี ํา สามารถทําไดดังนี้ ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกไพสีแดง 1 ใบ จากไพส ีแดง 26 ใบ ทําได  26 วธิ ี    1  ขน้ั ตอนที่ 2 เลือกไพส ีดาํ 1 ใบ จากไพสีดํา 26 ใบ ทําได  26 วธิ ี    1  ดงั น้ัน จาํ นวนวธิ ที ีห่ ยิบไพใ บแรกไดไพสแี ดงและใบท่สี องไดไพส ดี าํ เทากับ  26   26  = 676 วธิ ี  1   1      สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 297 2) เนื่องจากมไี พ K ทง้ั หมด 4 ใบ การหยบิ ไพไ ดไพ K ทง้ั สองใบ สามารถทาํ ไดดังน้ี ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกไพ K 1 ใบ จากไพ K ทั้งหมด 4 ใบ ทําได 4 = 4 วธิ ี    1  ข้ันตอนที่ 2 เลอื กไพ K 1 ใบ จากไพ K ทเ่ี หลือ 3 ใบ ทําได 3 = 3 วิธี  1   ดังนน้ั จาํ นวนวิธีท่หี ยิบไพ K ทง้ั สองใบ ทําได 4×3 =12 วิธี 6. 1) เนือ่ งจากปกรณต องไดร บั เลอื กใหเ ปน กรรมการ นนั่ คือจะสามารถเลือกกรรมการไดอีก 2 คน จากสมาชกิ 19 คน ซ่ึงทําได 19  = 171 วิธี    2  ดังนัน้ จํานวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการ โดยทีป่ กรณต องไดรับเลือกใหเ ปนกรรมการ เทากบั 171 วธิ ี 2) เลอื กสามี หรอื ภรรยามาเปนกรรมการได 2 วธิ ี แลวจะสามารถเลือกกรรมการไดอีก 2 คน จากสมาชิก 18 คน ซึง่ ทําได 18  วิธี    2  ดังน้นั จํานวนวิธใี นการเลือกกรรมการ โดยท่สี ามภี รรยาคูหน่ึง ไดร ับเลือกเปนกรรมการ เพียงหน่ึงคน เทากับ 2 × 18  =306 วิธี    2  7. วธิ ที ่ี 1 การเลอื กผูแทน 3 คน จากคน 9 คน โดยตองมผี ูชายอยางนอย 1 คน แบงเปน 3 กรณี ดงั นี้ กรณที ่ี 1 มีผูชาย 1 คน เลือกผชู าย 1 คน จากผชู าย 4 คน ได 4 วิธี    1  เลือกผูหญิง 2 คน จากผหู ญงิ 5 คน ได 5 วิธี    2  ดงั นั้น จาํ นวนวิธเี ลือกไดผ ชู าย 1 คน เทากบั 45 = 40 วิธี      1   2  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

298 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 กรณที ี่ 2 มีผชู าย 2 คน เลอื กผูช าย 2 คน จากผูชาย 4 คน ได 4 วธิ ี    2  เลอื กผหู ญิง 1 คน จากผหู ญิง 5 คน ได 5 วธิ ี    1  ดังนั้น จาํ นวนวิธเี ลอื กไดผชู าย 2 คน เทา กับ  4   5 = 30 วธิ ี  2       1  กรณที ี่ 3 มีผชู าย 3 คน เลือกผูชาย 3 คน จากผูชาย 4 คน ได 4 วธิ ี    3  ดงั น้นั จํานวนวธิ ีเลอื กไดผ ูชาย 3 คน เทากับ 4 = 4 วธิ ี    3  จะได จํานวนวิธเี ลอื กผูแ ทน 3 คน โดยตอ งมผี ูชายอยางนอ ย 1 คน เทากบั 40 + 30 + 4 =74 วธิ ี วธิ ที ี่ 2 วธิ เี ลือกผแู ทน 3 คน จากคน 9 คน ทําได 9 = 84    3  มีวิธกี ารเลือกผแู ทน 3 คน โดยเปนผูหญงิ ทั้งสามคน ได 5 = 10 วิธี    3  ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ เี ลอื กผแู ทน 3 คน โดยตองมผี ูชายอยางนอย 1 คน เทากับ 84 −10 =74 วธิ ี 8. เนอ่ื งจากตอ งการใหมีมะละกอและละมุดรวมอยูด วย จงึ จะพจิ ารณาวาเลือกผลไม 2 ชนดิ จาก 4 ชนิดท่ีเหลือ คือ แกวมังกร ชมพู ฝร่ัง และนอยหนา ซ่ึงทาํ ได 4 = 6 วิธี    2  ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ ีเลือกผลไม 4 ชนิด ที่มีมะละกอและละมุดรวมอยดู วย เทา กับ 6 วธิ ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 299 9. การสรา งรูปหลายเหลีย่ มจากจุดบนวงกลม 6 จุด ทาํ ได 4 กรณี ดงั นี้ กรณที ่ี 1 สรา งรปู สามเหลี่ยม เลอื กจุด 3 จดุ จากจดุ 6 จุด ได 6 = 20 วธิ ี    3  กรณที ่ี 2 สรางรปู สี่เหลี่ยม เลอื กจดุ 4 จดุ จากจุด 6 จดุ ได 6 = 15 วิธี    4  กรณที ่ี 3 สรา งรูปหาเหลีย่ ม เลือกจุด 5 จดุ จากจดุ 6 จุด ได 6 = 6 วิธี    5  กรณีที่ 4 สรางรปู หกเหลยี่ ม เลือกจดุ 6 จุด จากจดุ 6 จุด ได 6 =1 วิธี    6  ดงั นัน้ จํานวนวธิ ีสรางรูปหลายเหลย่ี มแนบในวงกลมโดยใชจดุ เหลานี้เปน จดุ ยอด เทา กบั 20 +15 + 6 +1 =42 วธิ ี 10. จากโจทย จะไดว ามสี ม 6 ผล มงั คดุ 3 ผล และมะมวง 1 ผล การหยิบไดผลไมช นิดละ 1 ผล ทาํ ไดโดย หยบิ สม 1 ผล จากสม 6 ผล ได 6 วิธี    1  หยิบมงั คดุ 1 ผล จากมังคดุ 3 ผล ได 3 วิธี  1   หยบิ มะมวง 1 ผล จากมะมวง 1 ผล ได 1 วธิ ี 1 ดังนน้ั จํานวนวิธหี ยิบผลไมจ ากตะกรา ใบนีจ้ ํานวน 3 ผล โดยหยบิ ผลไมไดช นดิ ละ 1 ผล เทากับ  631 = 18 วธิ ี    1  1  1  สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

300 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 แบบฝกหัด 2.6 1. 1) (2x + 3y)5 =  5  ( 2 x )5 +  5  ( 2 x )4 (3y) +  5  ( 2 x )3 (3y)2 +  5  ( 2 x )2 ( 3 y )3 2)  0   1   2   3  3) ( )2x2 − y 5         +  5  ( 2 x ) (3 y )4 +  5  ( 3 y )5  4   5      = (2x)5 + 5(2x)4 (3y) +10(2x)3 (3y)2 +10(2x)2 (3y)3 +5(2x)(3y)4 + (3y)5 = 32x5 + 240x4 y + 720x3 y2 + 1080x2 y3 + 810xy4 + 243y5 ( )= 2x2 + (− y) 5 5 5  5 4  5  3  5  2 (− y)3 ( ) ( ) ( ) ( )= 2x2 +  1  2x2 ( − y ) +  2  2x2 ( − y )2 +  3  2x2  0         ( )+  5  2x2 (− y )4 +  5  ( − y )5  4   5      5 4 3 y2 −10 2 y3 + 5 −5 y +10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=2x2 2x2 2x2 2x2 2x2 y4 − y5 = 32x10 − 80x8 y + 80x6 y2 − 40x4 y3 + 10x2 y4 − y5  3x − 2 7 =  3x +  − 2  7  y    y         =  7  (3x)7 +  7  ( 3x )6  − 2  +  7  (3x )5  − 2 2 +  7  (3x)4  − 2 3  0   1   y   2   y   3   y                +  7  (3x )3  − 2 4 +  7  (3x)2  − 2 5 +  7  (3x )  − 2 6 +  7   − 2 7  4   y   5   y   6   y   7   y                  = (3x)7 − 7 (3x )6  2  + 21( 3x )5  2 2 − 35 ( 3x )4  2 3 + 35 ( 3x )3  2 4  y   y   y   y          −21(3x )2  2 5 + 7 (3x )  2 6 −  2 7  y   y   y        = 2187x7 − 10206x6 + 20412x5 − 22680x4 + 15120x3 − 6048x2 y y2 y3 y4 y5 + 1344x − 128 y6 y7 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 301 4)  x + 3 4 =  4 x 4 +  4 x 3  3  +  4 x 2  3 2 +  4 x  3 3 +  4 3 4  2 y     2     2   y     2   y     2   y    y     0   1     2     3    4   =  x 4 + 4  x 3  3  + 6  x 2  3 2 + 4  x  3 3 +  3 4  2   2   y  2   y   2   y   y          = x4 + 3x3 + 27x2 + 54x + 81 16 2 y 2 y2 y3 y4 2. จากทฤษฎีบททวินาม พจนท ่ีมี x6 y4 คือ 10  ( 2 x )6 ( 3 y )4 = 210(2x)6 (3y)4    4  = (210) 2634 x6 y4 ดงั นัน้ สัมประสทิ ธิ์ของ x6 y4 คอื (210)2634 3. จากทฤษฎีบททวนิ าม พจนท่ีมี x5 y16 คอื ( ) ( )13 8  ( x )5 2y2 = 1287( x)5 2 y2 8  8   = (1287) 28 x5 y16 ดงั นั้น สมั ประสิทธขิ์ อง x5 y16 คอื (1287)28 4. จากทฤษฎีบททวินาม พจนท ่ีมี x9 y14 คือ ( ) ( )10 3 7 ( ) ( )= −120 x3 3 3y2 7 x3 −3 y 2  7  = −(120)37 x9 y14   ดงั นน้ั สมั ประสทิ ธิ์ของ x9 y14 คือ −(120)37 5. จากทฤษฎบี ททวนิ าม พจนที่มี x7 คือ 10  ( 2 x )7 ( −3)3 = −120(2x)7 (3)3    3  = −(120) 2733 x7 ดังนั้น สมั ประสิทธ์ขิ อง x7 คือ −(120)2733 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

302 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 6. จากทฤษฎบี ททวนิ าม พจนที่ k +1 คือ 6−k  6  x2   − 3 k =  6  ⋅ x12−2k ( −3)k  k  4   x   k  46−k     ⋅ xk =  6  ⋅ ( −3)k ⋅ x12−2k −k  k    46−k =  6  ⋅ ( −3)k ⋅ x12−3k  k    46−k ให 12 − 3k = 0 จะได k = 4 ดังนน้ั พจนท่ีไมม ี x คือ พจนที่ 5 น่ันคอื  6   x2 2  − 3 4 =  x2 2  3 4  4   4   x  15 4   x        ( )= 15 1  34 16  ดังนัน้ พจนท่ีไมมี x คือ 1215 16 แบบฝกหัดทายบท 1. รปู สี่เหล่ียมผนื ผาท่ีเกดิ จากการเรียงกระเบื้องขางตน มี 6 ขนาด ไดแ ก ขนาดท่ี 1 รปู สีเ่ หลี่ยมผืนผา มีทง้ั หมด 6 รูป ขนาดที่ 2 รปู สี่เหลย่ี มผืนผา มที ง้ั หมด 3 รูป ขนาดท่ี 3 รูปส่ีเหลยี่ มผืนผา มีทั้งหมด 6 รปู ขนาดที่ 4 รูปสี่เหลย่ี มผืนผา มที ้ังหมด 3 รูป ขนาดที่ 5 รูปส่เี หลีย่ มผืนผา มที ั้งหมด 2 รปู ขนาดที่ 6 รปู สี่เหลี่ยมผืนผา มีท้ังหมด 2 รูป ดงั นน้ั การจัดเรียงกระเบื้องขางตน มีรูปสเ่ี หล่ียมผนื ผาทัง้ หมด 6 + 3 + 6 + 3 + 2 + 2 =22 รปู สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 303 2. ผูโดยสารจะลงเรือขามฟากเท่ียวไปและเทีย่ วกลับ มี 2 ขั้นตอน คือ ขน้ั ตอนท่ี 1 ผูโดยสารลงเรือขา มฟากเทยี่ วไป ได 3 วิธี ขั้นตอนที่ 2 ผูโ ดยสารลงเรือขามฟากเท่ียวกลบั โดยไมซาํ้ กับเที่ยวไป ได 2 วิธี ดงั นั้น จํานวนวธิ ีท่ีผโู ดยสารจะขา มฟากโดยท่เี ท่ียวไปและเท่ยี วกลับลงเรอื ไมซ ้ําลํากนั เทา กบั 3× 2 =6 วิธี 3. หมายเลขที่นง่ั ในสนามกีฬาแหง นี้ มีองคประกอบ 3 สว น สวนท่ี 1 ระบโุ ซนที่นัง่ มี 20 โซน สว นที่ 2 ระบุแถวในโซน มี 26 แถว สว นที่ 3 ระบตุ ําแหนงทนี่ ่งั ในแถว มี 30 ทีน่ ัง่ ดงั นน้ั จาํ นวนท่นี ั่งทั้งหมดในสนามกีฬาแหงน้ี เทากับ 20× 26×30 =15,600 ทีน่ ั่ง 4. 1) การทักทายระหวางผูแทนไทยและเจา ภาพจนี เกดิ ขึ้นท้งั หมด 25×15 =375 คร้ัง 2) การทกั ทายระหวางผแู ทนไทยและเจาภาพญ่ปี ุนเกิดข้นึ ทง้ั หมด 24×10 =240 ครง้ั 3) การทักทายตลอดการเดินทางเกิดข้ึนทั้งหมด 375 + 240 =615 ครง้ั 5. 1) รหัสประจําตัวพนกั งาน มีองคประกอบ 2 สวน ดังนี้ สว นท่ี 1 ตัวอักษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั มไี ด 26 ตวั สวนที่ 2 เลขโดด 3 ตวั ทไี่ มเปน ศูนยทั้งหมด โดยเลขโดดซ้าํ กนั ได มี 999 จํานวน ดงั นน้ั รหัสประจําตัวของพนักงานบริษัทแหง นม้ี ีไดท ั้งหมด 26×999 =25,974 รหัส 2) รหัสประจาํ ตวั พนักงาน มอี งคประกอบ 2 สว น ดังนี้ สว นท่ี 1 ตัวอกั ษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั มไี ด 26 ตัว สวนท่ี 2 เลขโดด 3 ตวั ที่ไมเปน ศูนยท ั้งหมด โดยไมมเี ลขโดดทีซ่ า้ํ กัน มไี ด 10× 9×8 =720 จํานวน ดงั นัน้ รหสั ประจําตวั ของพนักงานบรษิ ัทแหงนม้ี ีไดท ั้งหมด 26× 720 =18,720 รหสั 6. หมายเลขทะเบียนรถยนตน ่ังสวนบคุ คลในกรุงเทพมหานคร ประกอบดวย 3 สวน ดงั นี้ สวนท่ี 1 เลขโดดที่ไมใช 0 มีได 9 ตัว สวนที่ 2 พยัญชนะไทย 2 ตวั ทไ่ี มใช งง จน ศพ ตด มไี ด (35×35) − 4 แบบ สวนที่ 3 จํานวนเต็มบวกทไี่ มเกิน 4 หลัก มไี ด 9,999 จํานวน ดังน้ัน หมายเลขทะเบยี นรถยนตน ง่ั สวนบคุ คลในกรุงเทพมหานคร มีไดส งู สุด 9 × ((35× 35) − 4) × 9,999 =109,879,011 หมายเลข 7. เนื่องจากขอสอบแตละขอ นักเรยี นสามารถตอบได 2 วิธี ดังน้ัน จํานวนวิธีทน่ี ักเรียนคนน้ีทําขอ สอบชุดนี้ โดยตอบคาํ ถามครบทกุ ขอ เทา กบั 210 =1,024 วธิ ี สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

304 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 8. เน่ืองจากจุด 1 จดุ สามารถแทนการปรากฏของจดุ นูนและแทนการไมป รากฏของจดุ นูน น่ันคอื จดุ 1 จุด มลี ักษณะทเี่ ปนไปได 2 รูปแบบ จะไดวา ลกั ษณะของเซลลท ี่เปนไปไดมีทงั้ หมด 26 รูปแบบ แตอกั ษรเบรลลแ ตล ะเซลลต อ งมจี ุดนูนอยางนอย 1 ตาํ แหนง ซึ่งรูปแบบท่ีทั้ง 6 จุด ไมม ีจุดนนู มี 1 รปู แบบ ดังนนั้ รปู แบบที่เปนไปไดส าํ หรบั แตล ะเซลล เทากบั 26 −1=63 รปู แบบ 9. เขียนตารางแสดงแตม ทไ่ี ดจากการทอดลูกเตาหนง่ึ ลกู สองคร้ัง ไดด ังน้ี ครั้งที่ 1 1 2 3 4 5 6 ครัง้ ท่ี 2 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 1 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 2 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 3 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 4 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 5 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 6 1) จากตาราง จํานวนวธิ ีท่ีผลรวมของแตม เทา กับเจ็ด เปน 6 วิธี 2) วิธที ่ี 1 จากตาราง จาํ นวนวธิ ีทผี่ ลรวมของแตม ไมเทากบั เจด็ เปน 30 วธิ ี วธิ ีท่ี 2 เนอื่ งจาก จาํ นวนวิธีท่ไี ดแตมจากการทอดลกู เตาสองครง้ั เปน 36 วธิ ี และจาํ นวนวธิ ีที่ผลรวมของแตม เทากับเจด็ เปน 6 วิธี ดงั นั้น จาํ นวนวิธีทผ่ี ลรวมของแตมไมเทา กบั เจ็ด เปน 36 − 6 =30 วิธี 10. จาํ นวนวธิ ใี นการเรยี งหนงั สอื 4 เลม จาก 6 เลม เปนแถวบนชัน้ วางหนังสือช้นั หนง่ึ เป=น P6,4 (=6 −6!4)! 360 วธิ ี 11. จํานวนวิธีในการเลือกกรรมการชดุ น้ี 4 คน เพ่อื ทําหนา ท่ีตา งกนั จากผเู ขา สมคั ร 50 คน เป=น P50,4 (=505−0!4)! 5,527,200 วิธี 12. มีตวั อกั ษรท้งั หมด 11 ตัว มีตัวอักษร M, A และ T อยางละ 2 ตวั และมตี วั อักษร H, E, I, C และ S อยา งละ 1 ตวั สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 305 1) เน่ืองจากตอ งการใหต วั อกั ษรตวั แรกและตวั สดุ ทา ยเปน สระเดยี วกนั และเนื่องจากสระที่มี 2 ตัว คอื ตัวอกั ษร A จะจดั A ใหอ ยูในตาํ แหนง แรกและตาํ แหนง สุดทายได 1 วิธี จะไดว า เหลอื ตัวอกั ษรทีน่ าํ มาเรียงระหวาง A ท้งั สองตวั 9 ตวั ดงั นน้ั จํานวนวธิ ีการเรียงตวั อักษร โดยทอี่ ักษรตวั แรกและอักษรตัวสุดทา ยเปนสระ เดียวกนั เทากบั 9! = 90,720 วิธี 2!2!1!1!1!1!1! 2) เนอื่ งจากตองการใหพยัญชนะเดยี วกันอยตู ิดกนั จงึ พจิ ารณาวา พยัญชนะเดียวกนั เปน ตวั อกั ษร 1 ตวั ดงั นน้ั จะมตี ัวอักษรอยู 9 ตวั โดยมเี พยี งตัวอักษร A ที่มี 2 ตัว ดงั นน้ั จาํ นวนวิธีการจดั เรียงตัวอกั ษร โดยที่พยัญชนะเหมือนกันอยตู ิดกัน เทา กบั 9! = 181,440 วธิ ี 2!1!1!1!1!1!1!1! 3) เนือ่ งจากตัวอกั ษรตัวแรกเปน สระ จะมี 3 กรณี คอื กรณที ี่ 1 ตวั อักษรตัวแรกเปน A จะไดว า มวี ธิ จี ดั เรียงตัวอักษรทเี่ หลือทั้งหมด 10! = 907,200 วธิ ี 2!2!1!1!1!1!1!1! กรณีที่ 2 ตวั อกั ษรตัวแรกเปน E จะไดว า มีวิธีจัดเรยี งตัวอักษรทีเ่ หลอื ทง้ั หมด 10! = 453,600 วธิ ี 2!2!2!1!1!1!1! กรณีที่ 3 ตวั อกั ษรตวั แรกเปน I จะไดว า มวี ิธีจัดเรยี งตัวอักษรทเ่ี หลอื ทั้งหมด 10! = 453,600 วิธี 2!2!2!1!1!1!1! ดังนัน้ จาํ นวนวธิ ีการเรยี งตวั อักษร โดยท่ีตัวอักษรตวั แรกเปนสระ เทากับ 907, 200 + 453,600 + 453,600 =1,814, 400 วิธี 13. 1) หลักพนั หลกั รอย หลักสิบ หลักหนวย หลักแสน หลกั หม่นื เลขโดดในหลกั แสนตอ งเปน เลข 4 และจดั เรียงเลขโดดที่เหลอื ได 5! = 20 วิธี 1!1!3! ดังน้นั สรางจํานวน 6 หลกั ที่อยูระหวาง 400,000 ถึง 500,000 ได 20 จาํ นวน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

306 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 2) เลขโดดในหลกั แสนตอ งเปนเลข 5 และจัดเรียงเลขโดดท่ีเหลอื ได 5! = 30 วธิ ี 1!2!2! ดงั นัน้ สรา งจาํ นวน 6 หลัก ท่มี ากกวา 500,000 ได 30 จํานวน 3) การสรางจํานวนทมี่ ากกวา 400,000 และเปน จํานวนคู มี 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 เลขโดดในหลักแสนเปน เลข 4 เลขโดดในหลักหนวยเปนเลข 0 หรอื 4 ได 2 วิธี และจัดเรยี งเลขโดดท่ีเหลอื ได 4! วิธี 3!1! ดังน้ัน สรา งจาํ นวนดงั กลา วได 2× 4! =8 จาํ นวน 3!1! กรณที ่ี 2 เลขโดดในหลักแสนเปนเลข 5 กรณยี อยที่ 2.1 เลขโดดในหลกั หนว ยเปน 0 จัดเรยี งเลขโดดท่เี หลือได 4! วิธี 2!2! ดงั นน้ั สรา งจาํ นวนดังกลา วได 4! = 6 วิธี 2!2! กรณยี อ ยที่ 2.2 เลขโดดในหลักหนว ยเปน 4 จัดเรียงเลขโดดที่เหลอื ได 4! วธิ ี 2!1!1! ดังนน้ั สรางจาํ นวนดังกลา วได 4! =12 วิธี 2!1!1! ดังนั้น สรา งจาํ นวนดงั กลาวได 6 +12 =18 จํานวน จะไดว า สรางจํานวน 6 หลัก ที่มากกวา 400,000 และเปน จํานวนคูได 8 +18 =26 จาํ นวน 14. เนอื่ งจากตองการใหหลอดไฟสีเดยี วกันอยูตดิ กนั จะพจิ ารณาวาหลอดไฟสเี ดยี วกนั มดั ตดิ กนั และคดิ เปนสงิ่ ของ 1 ช้ิน ดังนั้น จะมีหลอดไฟอยู 3 มัด จัดเรยี งเปนวงกลมได (3 −1)! วิธี ในแตละวิธีนี้ มดั ท่ีเปนหลอดไฟสีแดงท่ีตางกนั 2 หลอด จัดเรยี งได 2! วิธี มดั ท่ีเปนหลอดไฟสีเหลืองทีต่ างกนั 3 หลอด จดั เรยี งได 3! และมัดท่ีเปนหลอดไฟสีน้ําเงินทต่ี า งกัน 4 หลอด จัดเรยี งได 4! วธิ ี ดงั น้นั จํานวนวธิ ีจดั หลอดไฟเปนวงกลมโดยใหห ลอดไฟสีเดียวกันอยตู ดิ กนั เทากับ (3 −1)!2!3!4! =576 วิธี สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 307 15. เนอ่ื งจากตอ งการใหห ลอดไฟสแี ดงอยตู ดิ กัน จะพจิ ารณาวาหลอดไฟสแี ดงท้ัง 3 หลอดมัดรวมกนั เปน สง่ิ ของ 1 มดั ดังน้ัน จะมีหลอดไฟอยูทง้ั หมด 7 หลอด จัดเรยี งได 7! วิธี 1!4!2! ในแตละวิธี มดั ท่ีเปน หลอดไฟสีแดงทต่ี างกัน จัดเรียงได 3! วิธี ดงั นั้น จาํ นวนวธิ จี ัดหลอดไฟท้ังหมดโดยใหหลอดไฟสีแดงอยูติดกัน เทากับ 7! ×3!=630 วิธี 1!4!2! 16. 1) เนือ่ งจากตอ งการใหกุล กั้ง และกงุ นัง่ ติดกนั จะพิจารณาวาทั้งสามคนมดั ติดกัน โดยคิดเปนนกั เรียน 1 คน ดังน้ัน จะมีนักเรยี นอยู 8 คน ซึง่ จัดเรยี งเปน วงกลมได (8 −1)! วธิ ี แตล ะวิธีน้ี ทั้งสามคน จะจัดเรียงได 3! วธิ ี ดงั นน้ั จํานวนวิธีจัดนักเรยี นทง้ั 10 คน นัง่ รอบโตะ กลม โดยที่กลุ ก้งั และกงุ นั่งตดิ กัน เทา กบั (8 −1)!× 3!=30,240 วธิ ี 2) จัดนักเรียน 7 คน น่ังเปนวงกลมกอ น ได (7 −1)! วิธี ตอ มาจดั กลุ กง้ั และกุง ใหน ง่ั แทรกระหวางนกั เรยี น 7 คนนัน้ ซึง่ มีตาํ แหนงทแ่ี ทรกได 7 ทน่ี ัง่ จะจัดได P7,3 วธิ ี ดงั นั้น จาํ นวนวธิ ีจัดนกั เรียนทงั้ 10 คน นง่ั รอบโตะกลม โดยท่ไี มมสี องคนใดในกลุ กง้ั และกุง นัง่ ติดกนั เทากับ (7 −1)!× P7,3 =151,200 วิธี 3) จดั นักเรียน 7 คน น่งั เปน วงกลมกอน ได (7 −1)! วิธี เนอื่ งจากตอ งการใหกลุ และกั้งน่ังตดิ กัน จะพิจารณาใหท ้ังสองคนน้ีมดั ตดิ กนั โดยคดิ เปน นกั เรยี น 1 คน ซงึ่ จะจัดแทรกระหวางนักเรยี น 7 คน ได P7,2 วิธี แตล ะวิธนี ี้ กุลและกั้งนัง่ สลบั ที่กันไดอีก 2! วธิ ี ดังน้นั จาํ นวนวิธจี ัดนักเรียนท้ัง 10 คน นงั่ รอบโตะ กลม โดยทก่ี ลุ และกงั้ นง่ั ตดิ กนั แตก ุงไมน่ังตดิ กับท้ังกลุ และก้ัง เทากบั (7 −1)!× P7,2 × 2 =60,480 วิธี 17. เลอื กจุด 2 จดุ จากจุด 10 จดุ ทาํ ได 10  = 45 แบบ    2  ดังนน้ั สามารถลากสว นของเสน ตรงเชื่อมจดุ 2 จุด จากจดุ 10 จุด ได 45 เสน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

308 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 18. 1) เน่ืองจากชมรมหมากรกุ มีสมาชกิ ทง้ั หมด 10 คน การจับคเู ลน หมากรกุ จะตอ งเลอื กคนมา 2 คน จาก 10 คนน้ี ทาํ ได 10  = 45 แบบ    2  ดงั นนั้ จํานวนวิธีการจับคเู ลน หมากรุก เทากบั 45 วธิ ี 2) เนอ่ื งจากตองการใหเ พศตรงขามหามจบั คูกัน แบง ได 2 กรณี คอื กรณที ่ี 1 ผชู ายจับคกู ับผชู าย เลอื กชาย 2 คน จากชาย 6 คน ทําได 6 = 15 วิธี    2  กรณที ่ี 2 ผหู ญงิ จบั คูกบั ผหู ญิง เลอื กหญิง 2 คน จากหญิง 4 คน ทาํ ได 4 = 6 วิธี    2  ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ ีในการจับคูเ ลนหมากรกุ โดยทเี่ พศตรงขา มกันหา มจับคกู ัน เทา กับ 15 + 6 =21 วิธี 19. ตองการเลอื กคณะกรรมการ โดยตอ งมผี ูชายอยางนอย 2 คน แบงเปน 2 กรณี ดังนี้ กรณีท่ี 1 มีผชู าย 2 คน เลือกผูชาย 2 คน จากผชู าย 4 คน ได 4 วธิ ี    2  และเลอื กผูห ญิง 1 คน จากผูหญิง 5 คน ได 5 วิธี    1  ดงั นั้น จํานวนวธิ ีเลอื กคณะกรรมการ 3 คน โดยมีผชู าย 2 คน เทา กบั  4   5  = 30 วิธี  2   1      กรณที ี่ 2 มีผูชาย 3 คน เลือกผูช าย 3 คน จากผชู าย 4 คน ได 4 วธิ ี    3  ดังน้ัน จํานวนวิธเี ลอื กคณะกรรมการเปนผชู าย 3 คน เทา กับ 4 วธิ ี จะได จํานวนวธิ ีในการเลือกคณะกรรมการ 3 คน โดยตองมีผชู ายอยางนอ ย 2 คน เทากับ 30 + 4 =34 วิธี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 309 20. ตอ งการเลือกนักเรยี น 10 คน มายนื เปนวงกลม ทําได 2 ข้ันตอน ดังนี้ ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกนักเรยี น 10 คน จากนกั เรียน 40 คน ทาํ ได  40 วิธี  10   ขนั้ ตอนท่ี 2 จดั นกั เรยี น 10 คนที่เลือกมา ยนื เปนวงกลม ทาํ ได (10 −1)! วธิ ี ดงั นน้ั จํานวนวธิ กี ารจดั นักเรยี น 10 คน มายืนถา ยรูปเปนวงกลม เทากับ  40  × (10 − 1)!=  40  × 9! วธิ ี  10   10     21. การจอดรถของฝนและฝน โดยใหจ อดหา งกนั หนง่ึ ชอ ง แบงเปน 2 กรณี คอื กรณีที่ 1 ถา ฝนจอดชองที่ 1, 2, 9 หรอื 10 ฝนจะจอดไดเพียง 1 วิธี ดังนน้ั จํานวนวธิ จี อดรถหางกันหน่งึ ชอง เทา กับ 4 วิธี กรณีท่ี 2 ถาฝนจอดชองที่ 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8 ฝนจะจอดได 2 วิธี ดงั นั้น จาํ นวนวิธจี อดรถหา งกันหนง่ึ ชอ ง เทากับ 12 วิธี ดังนน้ั จาํ นวนวิธกี ารจอดรถของฝนและฝน โดยตองการจอดรถหางกันหนง่ึ ชอง เทากบั 4 +12 =16 แบบ 22. เนอื่ งจากคะแนนเต็ม 10 คะแนน ถา ตอ งการไดคะแนนสอบ 70% จะตอ งทําได 7 คะแนน ซง่ึ แบงไดเปน 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 ตอบขอ 1 หรอื ขอ 6 ถกู อยา งใดอยางหนง่ึ เทานั้น ทําได 2 =2 วิธี    1  และทาํ ขอ อื่นๆ ถูกอีก 4 ขอ ทาํ ได  4  = 1 วิธี  4    ดงั นนั้ จํานวนวิธีท่ที ําคะแนนได 7 คะแนน เทา กบั 2×1=2 วธิ ี กรณที ี่ 2 ตอบขอ 1 และขอ 6 ถูกทงั้ สองขอ ทําได 1 วธิ ี และทาํ ขอ อื่นๆ ถูกอีกเพยี ง 1 ขอ ทําได  4  = 4 วธิ ี  1    ดงั นน้ั จํานวนวิธีทที่ าํ คะแนนได 7 คะแนน เทา กบั 4 วธิ ี จะได จํานวนวธิ ที ี่นกั เรียนคนหน่ึงจะไดคะแนนสอบของวชิ านี้ 70% พอดี เทากบั 2 + 4 =6 วธิ ี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 23. เนอ่ื งจากมนี กั กีฬา 3 สาย สายละ 4 คน ในแตละสาย จดั การแขง ขนั แบบพบกันหมด ซึ่งจะจัดการแขงขันได 4 = 6 คู  2   จะไดวา ในรอบคดั เลือก จะมีการแขงขันทงั้ หมด 3× 6 =18 คู เนอ่ื งจากในรอบคัดเลือก ทําการแขง ขันวันละ 6 คู จะไดว า การแขงขนั ในรอบคัดเลือกใชเวลา 18 ÷ 6 =3 วนั และจะมีผทู ่เี ขา รอบตอไปเพียง 6 คน ซึง่ จะจัดการแขงขันได 6 = 15 คู    2  เน่อื งจากในรอบทส่ี องนี้ ทําการแขงขนั วนั ละ 3 คู จะไดวา การแขงขันในรอบท่ีสองใชเ วลา 15 ÷ 3 =5 วัน ดังนนั้ การแขงขันแบดมนิ ตนั ครัง้ นีจ้ ะตองใชเ วลาทง้ั หมด 3 + 5 =8 วนั จงึ จะไดผชู นะ 24. 1) จํานวนวธิ ที น่ี กั ทอ งเทีย่ ว 9 คน จะนัง่ รถโดยสารไปเทีย่ วนา้ํ ตก เทา กบั 9! = 756 วธิ ี 2!2!5! 2) เน่ืองจากจํานวนที่นัง่ วางของรถโดยสารทั้งสามคนั มี 10 ที่ ซ่ึงมีจาํ นวนมากกวานักทองเที่ยว นั่นคือ จะมที ีน่ ั่งวางเหลือ 1 ที่ ในรถโดยสารคันใดคันหน่งึ ซึ่งพิจารณาได 3 กรณี ดงั นี้ กรณีที่ 1 รถโดยสารคันท่ี 1 เหลือที่วาง 1 ที่ จะไดวา จํานวนวิธที ่นี ักทองเทย่ี ว 9 คน จะนัง่ รถโดยสาร เทากบั 9! = 504 วธิ ี 1!3!5! กรณที ี่ 2 รถโดยสารคนั ที่ 2 เหลือท่วี า ง 1 ที่ จะไดว า จํานวนวิธที ีน่ กั ทองเทยี่ ว 9 คน จะนั่งรถโดยสาร เทา กบั 9! = 756 วธิ ี 2!2!5! กรณที ี่ 3 รถโดยสารคันท่ี 3 เหลอื ที่วา ง 1 ที่ จะไดว า จาํ นวนวิธที ี่นกั ทองเทย่ี ว 9 คน จะน่ังรถโดยสาร เทากับ 9! =1,260 วิธี 2!3!4! ดังน้นั จํานวนวธิ ที นี่ ักทองเทีย่ ว 9 คน จะนัง่ รถโดยสารไปเท่ียวนํ้าตก เทา กับ 504 + 756 +1, 260 =2,520 วธิ ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 311 25. การจัดเรยี งลูกบอล 4 ลกู มาเรียงในแนวเสน ตรง แบงเปน 3 กรณี ดงั น้ี กรณีท่ี 1 มีลูกบอลสดี ํา 1 ลูก จะไดวา มลี กู บอลสีดาํ สแี ดง สีขาว และสเี หลอื ง อยา งละ 1 ลูก นํามาจดั เรยี งในแนวเสน ตรงได 4!= 24 วธิ ี กรณีที่ 2 มลี กู บอลสดี ํา 2 ลูก เลือกสีลกู บอลเปนลกู บอลสดี ํา 2 ลกู และลกู บอลสีอ่ืนอีก 2 ลกู ได 1×  3 =3 วิธี    2  จะไดว า มีลกู บอลสดี ํา 2 ลูก และสอี ื่นๆ 2 สี สีละ 1 ลกู นํามาจดั เรียงในแนวเสนตรงได 4! วิธี 2!1!1! ดงั น้ัน จะจดั เรียงลกู บอลในแนวเสนตรงได 3× 4! =36 วธิ ี 2!1!1! กรณที ี่ 3 มีลกู บอลสีดํา 3 ลูก เลือกสีลกู บอลเปน ลูกบอลสดี าํ 3 ลูกและลูกบอลสีอ่นื อีก 1 ลูก ได 1× 3 =3 วิธี    1  จะไดวา มลี ูกบอลสีดาํ 3 ลกู และสีอน่ื ๆ 1 สี อกี 1 ลูก นาํ มาจัดเรียงในแนวเสน ตรงได 4! วิธี 3!1! ดงั นั้น จะจัดเรียงลกู บอลในแนวเสน ตรงได 3× 4! =12 วธิ ี 3!1! จะได จํานวนวิธใี นการนําลูกบอล 4 ลูก มาจัดเรียงในแนวเสนตรง เทากับ 24 + 36 +12 =72 วธิ ี 26. การสรา งรหัสผา นอเี มล ประกอบดว ย 2 สว น ไดแก สวนที่ 1 ตัวอักษรภาษาอังกฤษตวั พมิ พเล็ก มีตวั อักษรท้งั หมด 8 ตัว มตี วั อักษร p, i, n และ g อยา งละ 2 ตัว สามารถสรางรหสั ได 8! = 2,520 วิธี 2!2!2!2! สว นที่ 2 เลขโดด 2 ตัวทา ย มีได 10×10 =100 จํานวน ดงั น้นั ปง ปงมีวธิ กี ารสรา งรหัสผานอีเมลไดทั้งหมด 2,520×100 =252,000 วธิ ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

312 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 27. การนง่ั รับประทานอาหารใหต รงกบั เง่ือนไข แบงเปนกรณี ดงั นี้ กรณีที่ 1 ไมม ีสามภี รรยาคูใ ดนง่ั ติดกนั นัน่ คือ ทุกคนู ่ังตรงขา มกนั มดั แตละคใู หเ ปน 1 คน จะสามารถจดั ได 5! วธิ ี ในแตล ะคูสามภี รรยาสามารถน่ังสลบั กนั ได 2 วิธี ดังนน้ั จาํ นวนวิธใี นการน่งั มี 5!× 25 =3,840 วิธี กรณที ี่ 2 มสี ามภี รรยาน่งั ตดิ กัน 2 คู น่ันคือ มี 3 คู ทีน่ งั่ ตรงขามกนั เลือกสามภี รรยา 2 คู จาก 5 คู มานัง่ ตดิ กนั ได 5 วิธี    2  คสู ามภี รรยา 2 คู ทนี่ ัง่ ติดกัน นงั่ ได 4 ตําแหนง และสลบั กันได 2 วิธี เลอื กตาํ แหนงทวี่ า งใหส ามีภรรยาทีน่ ั่งตรงขา มกัน ได 3! วธิ ี ในแตละคสู ามีภรรยาสามารถนั่งสลบั กันได 2 วธิ ี ดงั น้ัน จํานวนวิธใี นการนั่ง มี  5  × 4 × 2 × 3! × 25 =15, 360 วิธี  2    กรณที ่ี 3 มสี ามีภรรยาทีน่ ัง่ ตดิ กนั 4 คู นนั่ คือ มี 1 คู นงั่ ตรงขา มกนั เลือกสามภี รรยา 4 คู จาก 5 คู มานง่ั ติดกนั ได 5 วิธี    4  คสู ามภี รรยาทน่ี งั่ ติดกัน 4 คู นัง่ ได 3 ตาํ แหนง และสลับกนั ได 4! วธิ ี เลอื กตําแหนงท่วี างในสามีภรรยานัง่ ตรงขา มกันได 1 วิธี ในแตละคูสามภี รรยาสามารถนงั่ สลบั กันได 2 วธิ ี ดงั นั้น จํานวนวิธใี นการนั่ง มี  5  × 3 × 4! × 25 =11, 520 วธิ ี  4    จะไดว า จํานวนวธิ ีในการนัง่ รับประทานอาหารท้ังหมด มี 3,840 +15,360 +11,520 =30,720 วิธี 28. เนือ่ งจากประเทศไทยมี 76 จงั หวดั และดารณีมีเพื่อนสนทิ อยู 12 จังหวดั จะไดว า จงั หวดั ทดี่ ารณไี มม เี พอื่ นสนิทอยมู ี 64 จังหวดั 1) ไปเท่ยี วจังหวัดทม่ี ีเพื่อนสนิทอยู 2 จังหวดั และจังหวัดทไ่ี มมีเพ่ือนสนิทอยูอกี 3 จังหวดั เลอื กจังหวดั ที่มีเพื่อนสนิทอยู 2 จังหวัด จาก 12 จังหวดั ได 12  วธิ ี    2  เลอื กจังหวดั ที่ไมม เี พื่อนสนทิ อยู 3 จังหวัด จาก 64 จงั หวัด ได  64 วธิ ี    3  ดงั น้นั จํานวนวธิ ีการเลอื กจังหวดั ทดี่ ารณีไปเทีย่ วมเี พ่ือนสนิทอยู 2 จงั หวดั เทา กบั 12 64 = 2, 749, 824 วิธี     2  3  สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 313 2) วธิ ที ี่ 1 ตองการไปเทีย่ วจงั หวดั ที่มีเพื่อนสนทิ อยูอยา งนอย 1 จังหวดั แบง ได 5 กรณี ดงั นี้ กรณีที่ 1 ไปเทีย่ วจงั หวดั ทม่ี เี พอ่ื นสนิทอยู 1 จังหวดั และจงั หวัดทไ่ี มมีเพ่อื นสนทิ อยอู ีก 4 จังหวัด เลือกจังหวัดท่มี ีเพื่อนสนทิ อยู 1 จงั หวัด จาก 12 จงั หวดั ได 12 วิธี เลอื กจงั หวดั ที่ไมมีเพ่ือนสนิทอยู 4 จงั หวดั จาก 64 จงั หวัด ได  64  วิธี    4  ดังนัน้ จํานวนวธิ ีการเลอื กจงั หวดั ท่ีดารณไี ปเทยี่ วมเี พ่ือนสนทิ อยู 1 จังหวดั เทา กบั  64 วิธี 12    4  กรณีท่ี 2 ไปเทีย่ วจงั หวดั ท่ีมเี พอ่ื นสนิทอยู 2 จังหวดั และจงั หวดั ทีไ่ มมีเพือ่ นสนทิ อยูอีก 3 จังหวัด เลือกจังหวัดทีม่ ีเพอ่ื นสนิทอยู 2 จงั หวัด จาก 12 จงั หวัด ได 12  วิธี    2  เลือกจังหวัดท่ีไมมเี พ่ือนสนิทอยู 3 จงั หวัด จาก 64 จงั หวดั ได  64 วธิ ี    3  ดงั น้ัน จํานวนวิธกี ารเลือกจังหวัดทีด่ ารณไี ปเทย่ี วมีเพื่อนสนทิ อยู 2 จังหวดั เทา กับ 12 64 วิธี     2  3  กรณีที่ 3 ไปเทย่ี วจงั หวดั ทีม่ เี พ่อื นสนิทอยู 3 จังหวดั และจงั หวัดที่ไมม เี พื่อนสนิท อยอู ีก 2 จังหวดั เลือกจังหวัดทม่ี ีเพื่อนสนิทอยู 3 จงั หวัด จาก 12 จังหวัด ได 12  วิธี    3  เลือกจงั หวดั ที่ไมมีเพ่ือนสนิทอยู 2 จังหวัด จาก 64 จงั หวดั ได  64  วธิ ี    2  ดงั นน้ั จาํ นวนวธิ ีการเลอื กจงั หวัดที่ดารณีไปเท่ยี วมเี พื่อนสนทิ อยู 3 จังหวดั เทา กับ 12 64 วธิ ี     3  2  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

314 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 กรณที ่ี 4 ไปเท่ยี วจงั หวดั ท่ีมเี พ่ือนสนทิ อยู 4 จงั หวดั และจงั หวัดทีไ่ มมีเพ่ือนสนทิ อยอู ีก 1 จงั หวัด เลอื กจงั หวดั ทม่ี ีเพอ่ื นสนิทอยู 4 จังหวัด จาก 12 จงั หวดั ได 12  วธิ ี    4  เลือกจงั หวัดที่ไมมีเพื่อนสนิทอยู 1 จงั หวดั จาก 64 จงั หวัด ได 64 วิธี ดังนั้น จาํ นวนวิธกี ารเลือกจงั หวัดทีด่ ารณีไปเทย่ี วมเี พื่อนสนิทอยู 4 จงั หวัด เทากบั 12  วธิ ี 64    4  กรณีที่ 5 ไปเทย่ี วจังหวัดทีม่ เี พ่ือนสนทิ อยู 5 จังหวดั เลือกจังหวดั ท่มี ีเพ่อื นสนิทอยู 5 จังหวดั จาก 12 จังหวดั ได 12  วิธี    5  ดงั น้ัน จํานวนวิธกี ารเลือกจังหวดั ทด่ี ารณไี ปเที่ยวมีเพื่อนสนทิ อยู 5 จังหวัด เทา กับ 12  วิธี    5  จะได จํานวนวิธีการเลอื กจังหวัดท่ดี ารณีไปเท่ยี ว โดยมีเพ่ือนสนทิ อยูอยา งนอย 1 จังหวดั เทากับ 12  64  + 12 64 + 12   64  + 12  + 12  =10, 850, 328 วธิ ี  4        2  64        2  3   3     4   5  วิธีท่ี 2 เลือกไปเท่ียว 5 จังหวดั จาก 76 จังหวัดได  76 วิธี    5  เลือกไปเที่ยวจังหวดั ท่ีไมม เี พ่ือนสนิทอยู 5 จังหวดั จาก 64 จงั หวัด ได  64 วิธี    5  ดังนนั้ จํานวนวธิ ีการเลือกจังหวัดที่ดารณีไปเท่ยี ว โดยมเี พ่ือนสนิทอยูอยางนอย 1 จังหวัด เทากบั  76  −  64  =10,850, 328 วธิ ี    5   5    3) เน่ืองจากดารณีมีเพื่อนสนิทอยูในจังหวดั ท่อี ยูภาคตะวนั ออกเฉยี งเหนือ 3 จงั หวดั ตอ งการไปเทย่ี วจงั หวดั ท่ีมเี พ่ือนสนิทอยูทกุ จงั หวดั และอยางนอย 2 จงั หวดั ในน้นั อยู ภาคตะวนั ออกเฉียงเหนอื แบงได 2 กรณี ดังนี้ กรณที ี่ 1 ไปเท่ยี วจังหวดั ทีม่ เี พื่อนสนิทอยู และอยใู นภาคตะวนั ออกเฉยี งเหนือ 2 จงั หวัด เลือกจงั หวดั ทมี่ ีเพื่อนสนิทอยู และอยูในภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ 2 จงั หวดั จาก 3 จังหวัด ได 3 วธิ ี    2  สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 315 และเลือกจังหวดั ที่มเี พ่ือนสนิทอยู แตไมอยภู าคตะวนั ออกเฉียงเหนือ 3 จังหวัด จาก 9 จังหวดั ได 9 วิธี    3  ดังนนั้ จํานวนวธิ ีการเลอื กจงั หวัดทดี่ ารณไี ปเท่ยี วมีเพื่อนสนิทอยู และอยูใน ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 2 จังหวดั เทากับ 39 วิธี      2   3  กรณที ่ี 2 ไปเท่ยี วจังหวัดทีม่ ีเพ่ือนสนิทอยู และอยใู นภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 3 จงั หวัด เลอื กจงั หวัดท่ีมีเพื่อนสนิทอยู และอยูในภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ 3 จังหวดั จาก 3 จังหวดั ได 3 วิธี    3  และเลือกจังหวัดท่ีมเี พื่อนสนิทอยู แตไมอยูภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 2 จังหวดั จาก 9 จังหวดั ได 9 วธิ ี    2  ดงั นน้ั จํานวนวิธกี ารเลอื กจังหวดั ทด่ี ารณไี ปเท่ียวมเี พ่ือนสนิทอยู และอยูใน ภาคตะวันออกเฉียงเหนอื 3 จังหวดั เทากับ 39 วิธี  3     2  จะได จํานวนวิธกี ารเลือกจงั หวดั ท่ีดารณีไปเที่ยวมีเพื่อนสนิทอยูทกุ จังหวัด และอยางนอย 2 จังหวัดในนนั้ อยูภาคตะวันออกเฉยี งเหนือ เทากบั  3   9  +  3   9  =288 วธิ ี  2   3   3   2          29. เลขโดด 0, 1, 2, 3 และ 4 มีผลรวมเปน 9 แบงเปน กรณี ดังน้ี กรณที ีม่ เี ลขโดด 0 กรณที ่ี 1 มีเลขโดด 0, 4, 4 และ 1 สามารถจัดเรยี งได 3! ×3 =9 วธิ ี 2!1! กรณที ี่ 2 มเี ลขโดด 0, 2, 3 และ 4 สามารถจดั เรียงได 3!×3 =18 วิธี กรณีท่ี 3 มเี ลขโดด 0, 3, 3, และ 3 สามารถจัดเรียงได 3 วิธี ดงั นน้ั หมายเลขในกรณนี ้มี ี 9 +18 + 3 =30 จํานวน กรณีทไี่ มม ีเลขโดด 0 กรณีที่ 4 มีเลขโดด 1, 1, 3 และ 4 สามารถจัดเรยี งได 4! =12 วธิ ี 2!1!1! กรณีท่ี 5 มเี ลขโดด 1, 2, 2 และ 4 สามารถจัดเรยี งได 4! =12 วิธี 1!2!1! สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

316 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 กรณีที่ 6 มเี ลขโดด 1, 2, 3 และ 3 สามารถจัดเรยี งได 4! =12 วธิ ี 1!1!2! กรณที ี่ 7 มีเลขโดด 2, 2, 2 และ 3 สามารถจดั เรียงได 4! = 4 วธิ ี 3!1! ดังน้นั หมายเลขในกรณนี ม้ี ี 12 +12 +12 + 4 =40 จาํ นวน จะได จํานวนหมายเลขทั้งหมดที่บญุ ชว ยเชอ่ื วาจะนาํ โชคมาให เทา กบั 30 + 40 =70 จาํ นวน 30. 1) สบั เซตของ U ท่ีมีสมาชกิ 2 ตัว คือ เซตที่มีสมาชิก 2 ตวั และสมาชกิ นัน้ อยใู น U เน่อื งจาก เลือกสมาชิก 2 ตัว ใน U จาก 100 ตัว ได 100  วิธี    2  ดังนั้น จํานวนสับเซตของ U ทม่ี สี มาชกิ 2 ตัว มี 100  = 4, 950 สับเซต    2  2) ใหส ับเซตของ U ท่มี ีสมาชิก 2 ตัว อยใู นรูป {a,b} โดยที่ a < b ตองการให b − a ≤ 7 น่ันคือ b ≤ a + 7 แบง กรณีได ดงั นี้ กรณีท่ี 1 ถา a ∈{1, 2, 3,..., 93} จะเลือก b ได 7 วิธี กรณที ี่ 2 ถา a = 94 จะเลอื ก b ได 6 วิธี จาก 95, 96, 97, 98, 99 และ 100 กรณีท่ี 3 ถา a = 95 จะเลือก b ได 5 วิธี จาก 96, 97, 98, 99 และ 100 กรณที ่ี 4 ถา a = 96 จะเลือก b ได 4 วิธี จาก 97, 98, 99 และ 100 กรณที ี่ 5 ถา a = 97 จะเลือก b ได 3 วิธี จาก 98, 99 และ 100 กรณที ี่ 6 ถา a = 98 จะเลือก b ได 2 วธิ ี จาก 99 และ 100 กรณีท่ี 7 ถา a = 99 จะเลอื ก b ได 1 วธิ ี คอื b = 100 ดังน้ัน จาํ นวนสบั เซต U ทมี่ ีสมาชกิ 2 ตัว ซงึ่ ทงั้ สองจาํ นวนตา งกนั ไมเ กนิ 7 มี (93× 7) + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1 =672 สบั เซต 31. ให= f {( x, y)∈ A× A y −1 ≤ x, x ∈ A} โดยท่ี A = {2, 3, 4, 5} สงั เกตวา f ∈S และสามารถสรา ง f จาก 4 ข้ันตอน คอื ข้นั ตอนท่ี 1 ถา x = 2 จะมี y ได 2 จํานวน จาก 2 และ 3 ข้นั ตอนท่ี 2 ถา x = 3 จะมี y ได 3 จาํ นวน จาก 2, 3 และ 4 ข้นั ตอนที่ 3 ถา x = 4 จะมี y ได 4 จาํ นวน จาก 2, 3, 4 และ 5 ขน้ั ตอนท่ี 4 ถา x = 5 จะมี y ได 4 จาํ นวน จาก 2, 3, 4 และ 5 ดงั นัน้ จาํ นวนฟงกช ันท้งั หมดท่เี ปน สมาชกิ ของ S มี 2×3× 4× 4 =96 ฟง กช ัน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 317 32. 1) เนอ่ื งจากมหี นังสอื นยิ าย 3 เลม และหนงั สือประเภทอ่นื ๆ อีก 3 เลม จะไดว า ถา หยิบหนังสือมาอยางนอย 1 เลม แลว ตอ งการใหหยบิ ไดห นังสอื นยิ าย อยา งนอย 1 เลม แบงเปน กรณี ดงั น้ี กรณีที่ 1 หยบิ หนงั สอื 1 เลม แลวไดห นงั สอื นิยาย 1 เลม ทําได 3 = 3 วิธี    1  กรณีท่ี 2 หยบิ หนงั สือ 2 เลม หยิบไดห นงั สือนิยาย 1 เลม และหยิบหนังสอื ประเภทอ่นื ๆ อกี 1 เลม ทาํ ได 33 วธิ ี  1   1   หยบิ ไดหนังสอื นิยาย 2 เลม ทาํ ได 3 วิธี    2  ดงั นั้น หยิบหนงั สอื 2 เลม แลว ไดห นงั สือนิยายอยางนอย 1 เลม ทาํ ได  3   3 +  3  = 12 วิธี  1   1   2       กรณีท่ี 3 หยบิ หนงั สือ 3 เลม หยิบไดห นงั สอื นิยาย 1 เลม และหยบิ หนังสอื ประเภทอ่ืน ๆ อกี 2 เลม ทําได  3 3 วธิ ี  1      2  หยิบไดหนังสือนิยาย 2 เลม และหยิบหนังสอื ประเภทอื่น ๆ อกี 1 เลม ทําได  3 3 วธิ ี     2  1  หยิบไดหนงั สือนิยาย 3 เลม ทาํ ได 3 วธิ ี  3  ดงั นัน้ หยิบหนงั สอื 3 เลม แลวไดห นังสอื นยิ ายอยางนอย 1 เลม ทาํ ได  3   3  +  3   3 +  3 = 19 วธิ ี  1   2   2   1   3         สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

318 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 กรณีที่ 4 หยิบหนังสือ 4 เลม หยบิ ไดห นงั สอื นยิ าย 1 เลม และหยบิ หนังสอื ประเภทอ่นื ๆ อีก 3 เลม ทําได 33 วิธี    3  1   หยบิ ไดห นงั สอื นิยาย 2 เลม และหยิบหนังสือประเภทอน่ื ๆ อีก 2 เลม ทําได 33 วธิ ี     2  2  หยิบไดห นังสือนยิ าย 3 เลม และหยิบหนังสอื ประเภทอน่ื ๆ อีก 1 เลม ทาํ ได 33 วธิ ี  3     1  ดังนั้น หยบิ หนังสอื 4 เลม แลว ไดหนงั สือนยิ ายอยา งนอย 1 เลม ทําได  3  3  +  3  3  +  3 3 = 15 วธิ ี  1   3   2  2   3   1         กรณที ี่ 5 หยบิ หนงั สอื 5 เลม หยบิ ไดหนงั สือนยิ าย 2 เลม และหยิบหนังสือประเภทอื่น ๆ อีก 3 เลม ทําได  3 3 วธิ ี    3  2   หยบิ ไดห นังสือนิยาย 3 เลม และหยิบหนังสือประเภทอื่น ๆ อกี 2 เลม ทาํ ได  3 3 วธิ ี      3   2  ดังนนั้ หยบิ หนงั สือ 5 เลม แลว ไดห นงั สือนิยายอยางนอย 1 เลม ทําได  3   3 +  3   3  =6 วิธี  2   3  3   2         กรณที ่ี 6 หยบิ หนงั สือ 6 เลม หยิบไดหนงั สือนยิ าย 3 เลม และหยิบหนงั สือประเภทอ่ืน ๆ อีก 3 เลม ทาํ ได 33 วิธี  3  3   ดังน้นั หยิบหนงั สือ 6 เลม แลวไดหนังสือนิยายอยา งนอย 1 เลม ทาํ ได  3 3  = 1 วิธี  3   3    จะไดว า จาํ นวนวธิ ีท่นี ักเรยี นคนน้สี มุ หยบิ หนังสอื มาอา นอยา งนอ ย 1 เลม แลว ได หนงั สอื นยิ ายอยางนอ ย 1 เลม เทา กบั 3 +12 +19 +15 + 6 +1 =56 วิธี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 319 2) เนื่องจากมหี นงั สือสารคดี 2 เลม และหนังสอื ประเภทอน่ื ๆ อกี 4 เลม จะไดวา ถา หยบิ หนังสอื มาอยางนอ ย 1 เลม แลว ตอ งการใหหยบิ ไดหนงั สือสารคดี อยางนอย 1 เลม แบงเปน กรณี ดังน้ี กรณีท่ี 1 หยบิ หนงั สอื 1 เลม แลว ไดห นงั สือสารคดี 1 เลม ทําได 2 = 2 วิธี    1  กรณีที่ 2 หยิบหนังสือ 2 เลม หยบิ ไดหนังสอื สารคดี 1 เลม และหยิบหนังสือประเภทอ่นื ๆ อกี 1 เลม ทําได 24 วธิ ี      1   1  หยิบไดห นงั สอื สารคดี 2 เลม ทําได 2 วิธี  2   ดงั นนั้ หยิบหนงั สือ 2 เลม แลว ไดห นงั สือสารคดีอยางนอย 1 เลม ทําได  2  4  +  2  = 9 วิธี  1  1   2       กรณที ี่ 3 หยบิ หนังสอื 3 เลม หยบิ ไดหนงั สือสารคดี 1 เลม และหยบิ หนงั สอื ประเภทอนื่ ๆ อีก 2 เลม ทาํ ได 24 วธิ ี      1   2  หยิบไดหนงั สือสารคดี 2 เลม และหยบิ หนงั สอื ประเภทอื่น ๆ อกี 1 เลม ทําได 24 วธิ ี     2  1  ดังน้ัน หยบิ หนงั สือ 3 เลม แลวไดห นังสอื สารคดีอยางนอย 1 เลม ทาํ ได  2   4  +  2  4  = 16 วธิ ี  1   2   2  1         กรณีที่ 4 หยบิ หนังสือ 4 เลม หยบิ ไดห นังสือสารคดี 1 เลม และหยบิ หนังสือประเภทอ่ืน ๆ อีก 3 เลม ทาํ ได 24 วธิ ี      1   3  หยิบไดห นงั สือสารคดี 2 เลม และหยบิ หนงั สือประเภทอื่น ๆ อีก 2 เลม ทาํ ได 24 วธิ ี      2   2  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 ดังน้นั หยิบหนังสือ 4 เลม แลว ไดหนงั สอื สารคดีอยางนอย 1 เลม ทําได  2   4  +  2   4  = 14 วิธี  1   3   2   2          กรณที ่ี 5 หยิบหนงั สือ 5 เลม หยบิ ไดห นงั สอื สารคดี 1 เลม และหยบิ หนังสือประเภทอ่นื ๆ อีก 4 เลม ทาํ ได 24 วิธี     1  4  หยบิ ไดหนงั สอื สารคดี 2 เลม และหยิบหนงั สือประเภทอื่น ๆ อีก 3 เลม ทําได 24 วธิ ี     2  3  ดงั น้ัน หยิบหนังสอื 5 เลม แลวไดห นงั สือสารคดีอยางนอย 1 เลม ทําได  2   4  +  2  4  =6 วิธี  1   4   2  3         กรณีท่ี 6 หยบิ หนงั สอื 6 เลม หยบิ ไดหนังสือสารคดี 2 เลม และหยบิ หนังสือประเภทอนื่ ๆ อกี 4 เลม ทําได 24 วธิ ี     2  4  ดังน้นั หยบิ หนงั สอื 6 เลม แลวไดห นงั สอื สารคดีอยา งนอย 1 เลม ทาํ ได 24 =1 วธิ ี    4   2   จะได จาํ นวนวิธีทน่ี ักเรียนคนนส้ี มุ หยิบหนังสอื มาอานอยางนอย 1 เลม แลวไดห นังสือ สารคดีอยางนอย 1 เลม เทากับ 2 + 9 +16 +14 + 6 +1 =48 วิธี 3) เน่อื งจากมหี นังสือการต นู 1 เลม และหนังสอื ประเภทอ่นื ๆ อกี 5 เลม จะไดวา ถา หยบิ หนังสือมาอยางนอ ย 1 เลม แลวตอ งการใหหยบิ ไดห นงั สือการตูน อยางนอย 1 เลม แบง เปนกรณี ดังนี้ กรณที ี่ 1 หยิบหนงั สือ 1 เลม แลว ไดห นังสอื การต ูน 1 เลม ทําได 1 = 1 วธิ ี 1 กรณีที่ 2 หยิบหนงั สือ 2 เลม แลว ไดห นังสอื การตนู 1 เลม และไดหนังสือประเภทอ่ืน ๆ อีก 1 เลม ทาํ ได 1 5  = 5 วิธี 1  1   สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 321 กรณีที่ 3 หยิบหนงั สือ 3 เลม แลวไดห นังสือการต ูน 1 เลม และไดหนังสือประเภทอื่น ๆ อกี 2 เลม ทาํ ได 1  5  = 10 วิธี 1  2    กรณีท่ี 4 หยบิ หนงั สือ 4 เลม แลวไดห นังสือการต นู 1 เลม และไดห นังสือประเภทอื่น ๆ อกี 3 เลมทาํ ได 1  5  = 10 วิธี 1  3    กรณที ี่ 5 หยิบหนงั สอื 5 เลม แลวไดห นงั สือการตูน 1 เลม และไดหนังสือประเภทอืน่ ๆ อกี 4 เลมทําได 1 5 =5 วธิ ี 1   4  กรณีท่ี 6 หยิบหนงั สอื 6 เลม แลว ไดห นังสอื การต ูน 1 เลม และไดห นังสือประเภทอ่ืน ๆ อกี 5 เลมทําได 1  5  = 1 วธิ ี 1  5    จะได จํานวนวธิ ที ่นี ักเรยี นคนน้สี มุ หยบิ หนังสือมาอานอยา งนอย 1 เลม แลวไดห นงั สือ การตูนอยา งนอย 1 เลม เทากับ 1+ 5 +10 +10 + 5 +1 =32 วิธี 4) ถา หยิบหนังสือมาอยางนอย 1 เลม แลว ตอ งการใหหยิบไดห นังสอื ครบทุกประเภท นนั่ คอื ตองหยิบหนงั สือมาอยา งนอย 3 เลม ซ่ึงแบง เปนกรณี ดงั นี้ กรณีที่ 1 หยบิ หนงั สือ 3 เลม แลวไดหนงั สือครบทุกประเภท ทาํ ได 3 21 = 6 วิธี    1  1  1  กรณีที่ 2 หยิบหนังสือ 4 เลม หยิบไดห นงั สือนิยายและหนงั สอื การต นู อยางละ 1 เลม และหนงั สือสารคดี 2 เลม ทําได 3 21 วิธี  1    1   2  หยบิ ไดหนังสือสารคดแี ละหนังสอื การต นู อยางละ 1 เลม และหนังสือนิยาย 2 เลม ทาํ ได  3 21 วธิ ี     1  2   1 ดังนั้น หยิบหนงั สือ 4 เลม แลว ไดหนงั สอื ครบทุกประเภท ทําได  3   2  1 +  3   2  1 =9 วิธี  1   2  1  2   1  1         สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

322 คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 2 กรณีที่ 3 หยิบหนงั สอื 5 เลม หยบิ ไดหนังสอื สารคดีและหนังสอื การต นู อยางละ 1 เลม และหนังสอื นิยาย 3 เลม ทาํ ได 3 21 วิธี  3   1   1  หยบิ ไดห นังสอื นยิ ายและหนงั สือสารคดี อยา งละ 2 เลม และหนงั สอื การต ูน 1 เลม ทาํ ได  3 21 วิธี     1  2   2  ดังนัน้ หยบิ หนังสอื 5 เลม แลวไดห นงั สือครบทกุ ประเภท ทําได  3  2 1 +  3   2  1 =5 วิธี  3  1  1  2   2  1       กรณีที่ 4 หยิบหนังสือ 6 เลม แลว ไดห นงั สือครบทุกประเภท ทาํ ได 1 วิธี จะได จาํ นวนวธิ ีทนี่ กั เรียนคนน้ีสมุ หยิบหนังสอื มาอา นอยา งนอ ย 1 เลม แลว ไดห นังสอื ครบทกุ ประเภท เทากบั 6 + 9 + 5 +1 =21 วธิ ี 33. จากทฤษฎบี ททวนิ าม พจนท ่ีมี p12q16 คอื ( ) ( ) ( ) ( )12 p3 4 −5q2 8 = 495 p3 4 5q2 8  8    = (495)58 p12q16 ดงั นั้น สมั ประสิทธิ์ของ p12q16 คอื (495)58 34. พจิ ารณาการกระจาย ( x −1)8 จากทฤษฎีบททวินาม พจนท ่ีมี x4 คอื  8  x4 ( −1)4 = 70x4  4    จะได สัมประสิทธ์ิของ x4 จากการกระจาย (x −1)8 คอื 70 พจิ ารณาการกระจาย (x +1)4 จากทฤษฎีบททวินาม พจนท่ีมี x4 คอื  4  x4 = 1x4  0    = x4 จะได สัมประสทิ ธิข์ อง x4 จากการกระจาย (x +1)4 คอื 1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 323 พจิ ารณาการกระจาย ( x2 )5 +1 จากทฤษฎบี ททวินาม พจนท ี่มี x4 คือ ( ) ( )5  3  x2 2 (1)3 = 10 x2 2   = 10x4 จะได สัมประสทิ ธิข์ อง x4 จากการกระจาย ( )x2 +1 5 คือ 10 ดงั น้นั สมั ประสทิ ธิ์ของ x4 จากการกระจาย ( x −1)8 (+ ( x +1)4 − x2 )5 คือ +1 70 +1 −10 =61 35. จากทฤษฎบี ททวนิ าม พจนท ่ี k +1 คอื 15 12 15−k  x2 k = 15  ⋅ 1215−k ⋅ x2k         x45−3k 3k  k  x3  3   k  = 15  ⋅ 1215−k x2k −45+3k   3k  k  = 15  ⋅ 1215−k x5k −45   3k  k  ให 5k − 45 = 0 จะได k = 9 ดงั น้ัน พจนท่ีไมมี x คอื พจนท่ี 10 จะได พจนท ่ไี มม ี x คอื 15 12 6  x2 9 = (5, 005)  12 6  x2 9        x3   3   9 x3  3    = ( 5, 005) 126 39 36. เน่ืองจาก (1.1)400 = (1+ 0.1)400 =  400  (1)400 +  400  (1)399 ( 0.1) +  400  (1)398 (0.1)2 +  +  400  ( 0.1)400  0   1   2   400          พจิ ารณา  400  (1)398 ( 0.1)2 = (79,800)(1)398 (0.1)2  2    = 798 เน่ืองจาก ทกุ พจนที่ไดจากการกระจาย (1+ 0.1)400 เปน จาํ นวนจรงิ บวก จะไดว า (1.1)400 > 798 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

324 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 ดงั น้ัน (1.1)400 มีคามากกวา 700 6  6   6   6   6 ( ) ( ) ( )37. เนอื่ งจาก  0   1   2  2  y2 6 x + y2 =   x6 +   x5 y2 +   x4 y2 + +  6   ดังน้นั ผลรวมของสมั ประสิทธ์ิจากการกระจาย (x + )y2 6 คือ 6 +  6  + 6 +  +  6  = 26 = 64    1     6   0     2    38. เนือ่ งจาก (15)20 = (14 +1)20 =  20 1420 +  20 1419 (1) +  +  20  (1)19 +  20  (1)20  0   1   14  20     19    =  20 1420 +  20 1419 + +  1290 14 +1  0   1    =   20 1419 +  20 1418 +  +  20   + 1 14   0   1   19        เน่อื งจาก  20 1419 +  20 1418 +  +  20  เปน จํานวนเต็ม  0   1   19      ดงั นนั้ เศษจากการหาร (15)20 ดวย 14 คอื 1 39. จากทฤษฎบี ททวินาม พจนท ี่มี x2 คือ n n ( ) −  ( 2 x )2 (1)n−2 =   4x2 n 2   n − 2     จะได n = 312 4   n − 2  4n! = 312 (n − 2)!(n − (n − 2))! 4n(n −1)(n − 2)! = 312 (n − 2)!2! นัน่ คือ n(n −1) = 156 n = 13 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 325 40. เนื่องจาก  x + 1 n =  n  x n +  n  xn−1  1  +  n  x n−2  1 2 +  +  n   1 n  x   0   1   x   2   x   n   x          จะไดผ ลรวมของสมั ประสิทธิจ์ ากการกระจาย  x + 1 n คอื  n  +  n  +  n  +  +  n   x   0   1   2   n          เน่อื งจาก  n  +  n  +  n  +  +  n  = 2n  0   1   2   n          จะได 2,048 = 2n ดงั นน้ั n = 11 41. กง่ิ แกวตองการเชญิ เพื่อนสนทิ มารว มงานแตง งานอยา งนอ ย 1 คน แบง เปนกรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 มีเพื่อนสนิทมารวมงาน 1 คน ได 10  วิธี    1  กรณที ่ี 2 มีเพื่อนสนิทมารวมงาน 2 คน ได 10  วิธี    2  กรณที ี่ 3 มเี พ่ือนสนิทมารวมงาน 3 คน ได 10  วิธี    3   กรณที ี่ 10 มเี พ่ือนสนทิ มารวมงาน 10 คน ได 10  วธิ ี 10   จะได จํานวนวิธีทจี่ ะมเี พื่อนสนิทมารวมงานอยา งนอย 1 คน เทา กบั 10  + 10  + 10  +  + 10        10   1   2   3  เนือ่ งจาก 10  + 10  + 10  + 10  +  + 10  = 210         10   0   1   2   3   จะได 10  + 10  + 10  +  + 10  = 210 − 10        10     1   2   3    0  = 210 −1 = 1,023 ดังนน้ั จํานวนวิธที ีจ่ ะมเี พื่อนสนทิ มารว มงานอยา งนอย 1 คน เทากับ 1,023 วิธี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

326 คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 2 บทท่ี 3 ความนา จะเปน แบบฝกหดั 3.1 1. ให S1, S2, S3, S4 และ S5 เปน ปรภิ ูมิตวั อยางของการทดลองสมุ ในขอ 1), 2), 3), 4) และ 5) ตามลาํ ดบั 1) เนื่องจากในการหยิบลูกอม 1 เม็ด จากถงุ ที่กําหนดให จะหยิบไดล ูกอมรสสม รสองนุ รสมะนาว หรอื รสกาแฟ ดงั น้ัน S1 = {ลูกอมรสสม , ลกู อมรสองนุ , ลูกอมรสมะนาว, ลูกอมรสกาแฟ} 2) เนอ่ื งจากในการทาํ ขอสอบแบบถกู ผิด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนสอบท่เี ปน ไปได คือ 0, 1, 2, 3, …, 10 ดังน้นั S2 = {0,1, 2, 3,,10} 3) เน่อื งจากในการแขงขนั วอลเลยบ อลแตล ะครัง้ ผลของการแขง ขนั ที่อาจเปนไปได คือ ชนะ หรือ แพ ใหผลการแขง ขันที่ชนะแทนดวย “ช” และผลการแขงขันท่แี พแทนดว ย “พ” จะไดผลลัพธของการแขงขันวอลเลยบ อลไทย 2 นัด ทอ่ี าจเปนไปได คือ ชช ชพ พช หรือ พพ ดงั นน้ั S3 = {ชช, ชพ, พช, พพ} 4) เนอื่ งจากการทอดลกู เตาหนึ่งลูกหน่งึ ครัง้ แตม บนหนาลูกเตาที่อาจเกดิ ข้ึน คือ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 จะไดผลบวกของแตมบนหนา ลกู เตา ท่ีอาจเกิดข้นึ ในการทอดลูกเตา สามลูกหน่ึงครั้ง คือ 3, 4, 5, …, 18 ดงั น้ัน S4 = {3, 4, 5,,18} 5) เนอ่ื งจากในการขายพัดลม 5 เครือ่ ง จาํ นวนพัดลมที่ขายไดอาจเปน 0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5 เครื่อง ดงั นน้ั S5 = {0,1, 2, 3, 4, 5} สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 327 2. ให H แทนเหรยี ญขน้ึ หวั และ T แทนเหรยี ญขน้ึ กอ ย จะได ผลลัพธท ่ีไดจ ากการโยนเหรยี ญหน่งึ เหรียญสองครง้ั ที่เปน ไปได คือ HH, HT, TH หรอื TT 1) ให S เปนปริภมู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ จะได S = {HH , HT,TH ,TT} 2) ให E1 เปน เหตุการณที่เหรยี ญข้ึนหวั ท้งั สองคร้ัง จะได E1 = {HH} 3) ให E2 เปนเหตกุ ารณทีเ่ หรียญข้ึนหนา ตางกัน จะได E2 = {HT,TH} 3. ให S เปนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสุม น้ี H แทนเหรยี ญขน้ึ หัว และ T แทนเหรยี ญข้นึ กอ ย ใหเ ลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แทนลูกเตาขน้ึ หนา 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ตามลําดับ สามารถเขยี นแผนภาพแสดงผลลพั ธข องการทดลองสมุ ไดดงั น้ี หนาของเหรียญ แตมบนหนา ลกู เตา H1 H2 H3 H H4 H5 H6 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

328 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 T1 T2 T3 T T4 T5 T6 โดยทสี่ ัญลักษณ Hi หมายถึง เหรียญขน้ึ หวั และลูกเตาข้ึนแตม i Ti หมายถงึ เหรยี ญขึ้นกอยและลกู เตาขึ้นแตม i เมือ่ i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่เหรยี ญข้ึนกอ ยและแตมบนหนาลกู เตาเปน จาํ นวนค่ี จะได E1 = {T1, T 3, T 5} 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทีเ่ หรียญข้ึนหัวและแตม บนหนาลกู เตาเปน จาํ นวนคู จะได E2 = {H 2, H 4, H 6} 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณทแ่ี ตมบนหนาลูกเตาเปนจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัว จะได E3 = {H 3, H 6,T 3,T 6} 4) ให E4 แทนเหตุการณท ่ีเหรียญขึ้นกอยและแตมบนหนา ลูกเตา เปนจํานวนทีห่ ารดว ย 7 ลงตัว เนือ่ งจากไมมีแตมใดบนหนา ลูกเตาเปน จํานวนทีห่ ารดวย 7 ลงตวั จะได E4 = ∅ 5) ให E5 แทนเหตุการณท แี่ ตมบนหนาลูกเตา เปนจํานวนทีห่ ารดวย 7 ไมลงตัว เนือ่ งจากแตมบนหนา ลูกเตาทุกแตมเปนจํานวนที่หารดว ย 7 ไมลงตัว จะได E5 = {H1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6} 4. ให R1 และ R2 แทนลูกบอลสแี ดงลกู ที่ 1 และลูกท่ี 2 ตามลาํ ดับ W1 และ W2 แทนลูกบอลสขี าวลูกที่ 1 และลกู ท่ี 2 ตามลาํ ดับ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 329 จะได ผลลพั ธจากการหยบิ ลูกบอล 2 ลกู โดยการหยบิ ทลี ะ 1 ลูก และใหค ืนลกู แรกลงไป กอ นทจ่ี ะหยบิ ลูกทสี่ อง ดงั แผนภาพ ลกู บอลลกู ที่หนึ่ง ลูกบอลลกู ทส่ี อง R1 R1R1 R2 R1R2 R1 W1 R1W1 W2 R1W2 R1 R2 R1 R2 R2R2 R2 W1 R2W1 W2 R2W2 R1 W1R1 R2 W1R2 W1 W1 W1W1 W2 W1W2 R1 W2 R1 R2 W2R2 W2 W1 W2W1 W2 W2W2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

330 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 ให S เปน ปริภมู ิตวั อยา งของการทดลองสุมน้ี จะได {S = R1R1, R1R2 , R1W1, R1W2 , R2R1, R2R2 , R2W1, R2W2 ,W1R1,W1R2 , W1W1,W1W2 , }W2R1,W2R2 ,W2W1,W2W2 และให E แทนเหตุการณท่ีไดลูกบอลสีขาวท้ังสองลูก จะได E = {W1W1,W1W2 ,W2W1,W2W2} แบบฝกหดั 3.2 1. ให S แทนปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S ) = 30 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่จบั สลากไดช อื่ ของนักเรียนชาย จะมวี ธิ ีเลือกนักเรียนชาย 1 คน จากนกั เรียนชาย 18 คน ได 18 วิธี นั่นคอื n(E1) =18 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 1=8 3 30 5 ดงั นั้น ความนาจะเปนทสี่ ลากที่ไดเปนชือ่ ของนกั เรยี นชาย เทากบั 3 5 2) ให E2 แทนเหตุการณทีจ่ บั สลากไดช่ือของนักเรยี นหญิง จะมวี ิธเี ลอื กนักเรียนหญิง 1 คน จากนกั เรียนหญงิ 12 คน ได 12 วธิ ี นน่ั คือ n(E2 ) =12 จะได P ( E2=) nn((ES2=)) 1=2 2 30 5 ดังนั้น ความนาจะเปน ทสี่ ลากทีไ่ ดเ ปน ช่อื ของนักเรยี นหญิง เทา กบั 2 5 2. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุม น้ี จะได n(S ) = 20 1) ให E1 แทนเหตุการณทหี่ ยิบไดล กู ปงปองสแี ดง เน่ืองจากมลี กู ปงปองสีแดงอยู 15 ลกู ดงั น้นั จะมีวธิ ีหยบิ ลูกปงปองสแี ดงได 15 วธิ ี นั่นคือ n(E1) =15 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 331 จะได P ( E=1 ) nn((ES1=)) 1=5 3 20 4 ดังน้นั ความนา จะเปน ทจี่ ะหยิบไดล กู ปงปองสแี ดง เทากบั 3 4 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท จี่ ะหยิบไมไดล ูกปงปองสดี ํา เนือ่ งจากมลี ูกปง ปองทไี่ มใชสดี ําอยู 19 ลกู ดังน้ัน จะมวี ธิ หี ยิบไมไดล ูกปง ปองสดี ํา 19 วธิ ี นนั่ คอื n(E2 ) =19 จะได P=(E2 ) nn=((ES2)) 19 20 ดังนัน้ ความนา จะเปน ทจ่ี ะหยิบไมไดล ูกปง ปองสีดํา เทา กบั 19 20 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณทีห่ ยบิ ไดล ูกปง ปองสีดําหรือสีขาว กรณีที่ 1 หยบิ ไดล ูกปง ปองสีดํา เนือ่ งจากมลี กู ปง ปองสดี าํ อยู 1 ลกู จะมวี ธิ หี ยิบลูกปงปองสีดาํ ได 1 วิธี กรณีที่ 2 หยบิ ไดล กู ปง ปองสขี าว เนือ่ งจากมลี ูกปง ปองสขี าวอยู 1 ลกู จะมีวิธีหยบิ ลกู ปงปองสีขาวได 1 วธิ ี โดยหลักการบวก จะมีวธิ ีหยิบไดลูกปงปองสีดาํ หรือสขี าว 1+1=2 วธิ ี นั่นคือ n(E3 ) = 2 จะได P ( E=3 ) nn((ES3=)) =2 1 20 10 ดังน้นั ความนา จะเปนทจ่ี ะหยิบไดลกู ปง ปองสีดาํ หรือสีขาว เทากบั 1 10 3. ให S แทนปรภิ มู ิตัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S ) =13 1) ให E1 แทนเหตุการณทีห่ ยิบไดล ูกแกว สเี หลือง เน่ืองจากมลี ูกแกว สีเหลืองอยู 3 ลกู จะมวี ธิ ีหยิบลกู แกว สเี หลอื งได 3 วธิ ี นัน่ คอื n(E1) = 3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

332 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 2 จะได P=(E1) nn=((ES1)) 3 13 ดงั นนั้ ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลกู แกวสีเหลือง เทา กบั 3 13 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทห่ี ยบิ ไดลูกแกวที่ไมใชสแี ดง เน่อื งจากมีลกู แกวท่ไี มใชสีแดงอยู 7 ลูก จะมวี ิธหี ยิบไดลูกแกว ทไี่ มใชส แี ดง 7 วธิ ี น่ันคือ n(E2 ) = 7 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 7 13 ดงั นน้ั ความนาจะเปนที่จะหยิบไดล ูกแกวทไ่ี มใ ชสแี ดง เทากับ 7 13 4. ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S ) = 52 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดไพห มายเลข 7 เน่ืองจากมไี พห มายเลข 7 อยู 4 ใบ จะมีวธิ ีทห่ี ยบิ ไพหมายเลข 7 ได 4 วิธี นน่ั คอื n(E1) = 4 จะได P(E=1) nn((ES1=)) 4= 1 52 13 ดังนน้ั ความนา จะเปนท่ไี ดไพหมายเลข 7 เทา กบั 1 13 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ี่ไดไพ J, Q หรือ K เนอ่ื งจากมีไพ J, Q หรือ K อยู 12 ใบ จะมวี ิธีท่หี ยบิ ไพ J, Q หรือ K ได 12 วิธี นัน่ คือ n(E2 ) =12 จะได P(E2=) nn((ES2=)) 1=2 3 52 13 ดงั นั้น ความนา จะเปนทจ่ี ะไดไพ J, Q หรือ K เทากบั 3 13 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 333 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ี่ไดไ พด อกจิก เน่ืองจากมไี พดอกจิกอยู 13 ใบ จะมีวิธีหยิบไดไพด อกจิก 13 วิธี น่นั คอื n(E3 ) =13 จะได P ( E=3 ) nn((ES3=)) 1=3 1 52 4 ดงั นัน้ ความนาจะเปนท่ีจะไดไพด อกจิก เทา กบั 1 4 4) ให E4 แทนเหตุการณท ี่ไดไพ A โพแดง เนอ่ื งจากมไี พ A โพแดงอยู 1 ใบ จะมีวธิ ีทีไ่ ดไพ A โพแดง 1 วิธี นั่นคอื n(E4 ) =1 จะได P=( E4 ) nn=((ES4)) 1 52 ดงั นั้น ความนาจะเปน ทจ่ี ะไดไพ A โพแดง เทากับ 1 52 5. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S ) = 6 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ่ีไดเ บี้ยท่ีมหี มายเลขเปน จํานวนเฉพาะ เนอื่ งจากเบย้ี ท่มี หี มายเลขเปนจํานวนเฉพาะมี 3 อัน คือ เบยี้ หมายเลข 3, 7 และ 11 จะมีวธิ ีหยบิ เบี้ยทมี่ หี มายเลขเปน จํานวนเฉพาะได 3 วธิ ี นน่ั คือ n(E1) = 3 จะได P ( E1 )= nn((ES1))= 3= 1 6 2 ดงั นน้ั ความนาจะเปน ท่ีจะไดเบ้ยี ทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนเฉพาะ เทากบั 1 2 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณที่ไดเ บีย้ ท่ีมหี มายเลขเปนจาํ นวนทห่ี ารดวย 3 ลงตวั เนือ่ งจากเบ้ยี ที่มีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดว ย 3 ลงตวั มี 2 อัน คือ เบยี้ หมายเลข 3 และ 9 จะมวี ิธีหยิบเบย้ี ที่มหี มายเลขเปนจํานวนทห่ี ารดวย 3 ลงตวั ได 2 วธิ ี นั่นคือ n(E2 ) = 2 จะได P ( E2 =) nn((ES2))= 2= 1 6 3 ดังนัน้ ความนาจะเปนท่ีจะไดเบี้ยท่มี ีหมายเลขเปน จํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตวั เทากบั 1 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

334 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดเ บีย้ ท่ีมหี มายเลขเปนจํานวนท่ีหารดวย 6 ลงตวั เนอื่ งจากไมมเี บ้ียที่มหี มายเลขเปน จํานวนทหี่ ารดวย 6 ลงตัว จะมีวิธีหยิบเบยี้ ทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนทหี่ ารดว ย 6 ลงตัวได 0 วธิ ี นนั่ คอื n(E3 ) = 0 จะได P ( E3 )= nn((ES3))= 0= 0 6 ดงั นนั้ ความนาจะเปนทีจ่ ะไดเบ้ยี ทมี่ หี มายเลขเปนจาํ นวนที่หารดว ย 6 ลงตัว เทา กับ 0 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณท ่ีไดเบี้ยที่มหี มายเลขเปน จํานวนทเ่ี ปนกําลงั สองสมบรู ณ เนื่องจากเบีย้ ท่มี หี มายเลขเปนจาํ นวนทเี่ ปนกาํ ลังสองสมบูรณมี 2 อนั คือ เบยี้ หมายเลข 4 และ 9 จะมีวธิ ีหยิบเบย้ี ทม่ี หี มายเลขเปนจํานวนท่ีเปน กาํ ลงั สองสมบรู ณไ ด 2 วธิ ี นนั่ คอื n(E4 ) = 2 จะได P ( E4 =) nn((ES4))= 2= 1 6 3 ดังนัน้ ความนาจะเปน ท่จี ะไดเบย้ี ทมี่ หี มายเลขเปน จาํ นวนที่เปนกําลงั สองสมบูรณ เทา กบั 1 3 6. ให S แทนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) =100 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่จะไดเหรียญทมี่ หี มายเลขเปน จํานวนเต็มบวก เนื่องจากมวี ิธหี ยิบเหรยี ญที่มีหมายเลขเปน จาํ นวนเต็มบวก 100 วิธี นน่ั คอื n(E1 ) =100 จะได P ( E=1 ) nn((ES=1)) 1=00 1 100 ดงั นัน้ ความนาจะเปนทจี่ ะไดเหรยี ญทีม่ ีหมายเลขเปน จาํ นวนเต็มบวก เทากบั 1 2) ให E2 แทนเหตุการณทจี่ ะไดเหรียญท่ีมหี มายเลขเปนจาํ นวนคู เน่อื งจากเหรยี ญท่มี หี มายเลขเปน จํานวนคูมี 50 เหรยี ญ ไดแก เหรียญที่มีหมายเลข 2, 4, 6,,100 จะมวี ธิ หี ยิบเหรียญที่มีหมายเลขเปน จํานวนคูได 50 วิธี นัน่ คอื n(E2 ) = 50 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 2 335 จะได P ( E=2 ) nn((ES=2)) 5=0 1 100 2 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ท่จี ะไดเหรียญท่มี ีหมายเลขเปนจาํ นวนคู เทา กบั 1 2 3) ให E3 แทนเหตุการณทีจ่ ะไดเ หรียญท่มี ีหมายเลขเปนจาํ นวนที่หารดว ย 5 ลงตวั เน่อื งจากเหรยี ญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนที่หารดวย 5 ลงตวั มี 20 เหรียญ ไดแก เหรยี ญ ที่มีหมายเลข 5,10,15,,100 จะมีวิธหี ยิบเหรียญที่มหี มายเลขเปน จาํ นวนทหี่ ารดวย 5 ลงตวั ได 20 วิธี นั่นคือ n(E3 ) = 20 จะได P ( E=3 ) nn((ES=3)) 2=0 1 100 5 ดังนั้น ความนา จะเปน ท่จี ะไดเหรียญทมี่ หี มายเลขเปนจํานวนท่หี ารดว ย 5 ลงตวั เทา กับ 1 5 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณท ่จี ะไดเหรียญท่ีมีหมายเลขเปนจํานวนท่ีหารดวย 5 ไมลงตัว เนอื่ งจากเหรยี ญที่มหี มายเลขเปน จาํ นวนทห่ี ารดวย 5 ลงตัว มี 20 เหรียญ ดงั นน้ั มีเหรียญทม่ี ีหมายเลขเปน จาํ นวนทห่ี ารดวย 5 ไมล งตวั 80 เหรยี ญ จะมีวธิ หี ยิบเหรยี ญท่ีมีหมายเลขเปน จาํ นวนทห่ี ารดว ย 5 ไมลงตวั ได 80 วธิ ี นน่ั คือ n(E4 ) = 80 จะได P ( E=4 ) nn((ES=4)) 8=0 4 100 5 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีจะไดเหรียญที่มีหมายเลขเปนจํานวนที่หารดวย 5 ไมล งตัว เทากับ 4 5 7. ให S แทนปรภิ มู ติ วั อยางของการทดลองสมุ นี้ ให “ช” แทนผชู าย และ “ญ” แทนผูหญิง จะได S = {ชช, ชญ, ญช, ญญ} นั่นคือ n(S ) = 4 1) ให E1 แทนเหตุการณท่สี ามีภรรยามลี กู เปน ผูชายทั้งคูหรือผูหญงิ ทง้ั คู จะได E1 = {ชช, ญญ} น่นั คอื n(E1) = 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

336 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 จะได P ( E1 =) nn((ES1))= 2= 1 4 2 ดังน้ัน ความนาจะเปน ที่สามีภรรยามีลูกเปนผชู ายทั้งคูหรือผูหญงิ ทงั้ คู เทากบั 1 2 2) ให E2 แทนเหตุการณทสี่ ามภี รรยามีลูกเปน ผูหญงิ อยางนอย 1 คน จะได E2 = {ชญ, ญช, ญญ} นั่นคือ n(E2 ) = 3 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 3 4 ดังนนั้ ความนา จะเปนที่สามภี รรยามีลกู เปนหญิงอยางนอย 1 คน เทา กับ 3 4 8. ให S แทนปริภูมิตัวอยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n(=S ) C=5,2 10 ให E แทนเหตกุ ารณทจ่ี ะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสีย 1 หลอด ข้ันตอนที่ 1 หยิบหลอดไฟดี 1 หลอด จากหลอดดีท้ังหมด 3 หลอด ได C3,1 = 3 วิธี ข้นั ตอนที่ 2 หยบิ หลอดไฟเสีย 1 หลอด จากหลอดเสยี ท้งั หมด 2 หลอด ได C2,1 = 2 วิธี ดงั นัน้ n(E) =3× 2 =6 จะได P( E=) n(E) 6= 3 n ( S=) 10 5 ดังน้นั ความนาจะเปนท่ีจะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสีย 1 หลอด เทากบั 3 5 9. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(=S ) C=4,2 6 ให E แทนเหตุการณท่จี ะไดถงุ เทาทั้งสองคเู ปน สเี ดยี วกัน กรณที ี่ 1 หยิบไดถุงเทา ท้ังสองคูเปนสดี ํา มไี ด C2, 2 =1 วิธี กรณที ี่ 2 หยบิ ไดถ งุ เทา ทงั้ สองคูเปนสขี าว มไี ด C2, 2 =1 วธิ ี นั่นคือ n(E) =1+1 = 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 337 จะได P( E=) nn((ES ))= 2= 1 6 3 ดงั น้นั ความนา จะเปน ทีจ่ ะไดถงุ เทา ทั้งสองคูเปน สีเดียวกัน เทา กบั 1 3 10. ให S แทนปรภิ มู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S ) = 6× 6 = 36 ให E แทนเหตุการณท่ผี ลคูณของแตมเปน จํานวนคู วธิ ที ่ี 1 ในการทอดลกู เตาท่ีเทย่ี งตรงสองลกู หนง่ึ คร้ัง ผลคูณของแตม เปนจํานวนคเู ปน ได 3 กรณี กรณีท่ี 1 ลูกเตาทั้งสองลกู ไดแ ตม เปนจํานวนคู แตมท่ีไดจากลูกเตาลกู ที่ 1 เปนได 3 วิธี คือ 2, 4 และ 6 แตมท่ีไดจ ากลูกเตา ลกู ท่ี 2 เปน ได 3 วธิ ี คอื 2, 4 และ 6 จะมีจาํ นวนวิธที ผ่ี ลคณู ของแตมเปนจํานวนคเู ปน 3×3 =9 วิธี กรณที ี่ 2 ลกู เตา ลูกท่ี 1 ไดแตมเปน จาํ นวนคเู พยี งลกู เดยี ว แตม ที่ไดจ ากลูกเตา ลูกท่ี 1 เปน ได 3 วิธี คือ 2, 4 และ 6 แตม ท่ีไดจากลูกเตาลกู ท่ี 2 เปนได 3 วิธี คือ 1, 3 และ 5 จะมจี ํานวนวิธที ผี่ ลคูณของแตมเปน จํานวนคูเปน 3×3 =9 วิธี กรณีท่ี 3 ลูกเตา ลกู ที่ 2 ไดแตม เปนจาํ นวนคูเพียงลูกเดยี ว แตมที่ไดจ ากลูกเตาลกู ท่ี 1 เปน ได 3 วิธี คือ 1, 3 และ 5 แตมที่ไดจากลูกเตา ลูกท่ี 2 เปนได 3 วธิ ี คอื 2, 4 และ 6 จะมีจาํ นวนวิธีท่ีผลคูณของแตมเปนจํานวนคเู ปน 3×3 =9 วธิ ี โดยหลักการบวก จะมวี ธิ ีทอดลกู เตาทผี่ ลคูณของแตมท่ีไดเปนจํานวนคู 9 + 9 + 9 =27 วิธี น่ันคอื n(E) = 27 จะได P( E=) n(E) 2=7 3 n ( S=) 36 4 ดงั น้ัน ความนาจะเปน ท่ผี ลคูณของแตมเปน จํานวนคู เทากับ 3 4 วิธที ี่ 2 ในการทอดลกู เตา ทเี่ ทีย่ งตรงสองลกู หนง่ึ ครั้ง ผลคณู ของแตมท่ีเปน จาํ นวนคจี่ ะ เกิดข้นึ เม่ือแตมบนหนา ของลูกเตาท้งั สองลกู เปนจํานวนค่ี ดังนี้ แตมบนหนาของลูกเตา ลูกที่ 1 เปนได 3 วธิ ี คอื 1, 3 และ 5 แตม บนหนา ของลูกเตา ลกู ที่ 2 เปน ได 3 วิธี คอื 1, 3 และ 5 จะมจี าํ นวนวิธที ผ่ี ลคณู ของแตมเปน จํานวนค่ีเปน 3×3 =9 วิธี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

338 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 2 ดังนนั้ จะมวี ธิ ีทอดลูกเตา ท่ผี ลคณู ของแตมที่ไดเ ปนจาํ นวนคู 36 − 9 =27 วิธี นน่ั คือ n(E) = 27 จะได P( E=) nn((ES=)) 2=7 3 36 4 ดังนัน้ ความนา จะเปนท่ผี ลคูณของแตม เปน จํานวนคู เทากับ 3 4 11. 1) ให S1 แทนปริภมู ิตวั อยา งของการทดลองสุมน้ี จะได n(=S1 ) C=4,2 6 ให E1 แทนเหตุการณที่หยบิ ไดลกู บอลสีแดงและสีเขยี วอยา งละ 1 ลกู นน่ั คือ n( E1 ) = C2,1 × C2,1 = 2 × 2 = 4 จะได P ( E1 =) n( E1 ))= 4= 2 n( S1 6 3 ดงั นั้น ความนา จะเปน ที่หยบิ ไดลกู บอลสีแดงและสเี ขียวอยา งละ 1 ลูก เม่ือหยิบ ลกู บอล 2 ลูกพรอมกนั เทา กับ 2 3 2) ให S2 แทนปรภิ มู ติ วั อยางของการทดลองสุมนี้ จะได ( )n S2 = C4,1 × C3,1 = 4 × 3 = 12 ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่ีหยิบไดล กู บอลสแี ดงและสีเขยี วอยางละ 1 ลูก กรณที ่ี 1 หยิบไดล กู บอลสีแดงเปน ลกู แรก มีวธิ หี ยบิ ลกู บอลลกู แรกไดส แี ดง 2 วธิ ี มีวธิ หี ยิบลูกบอลลกู ท่ีสองไดสีเขยี ว 2 วธิ ี ดังนนั้ มีวธิ หี ยบิ ลกู บอลลกู แรกไดส ีแดง และลูกบอลลูกทส่ี องไดส ีเขยี ว 2× 2 =4 วิธี กรณีท่ี 2 หยิบไดลกู บอลสเี ขยี วเปนลกู แรก มีวิธหี ยบิ ลูกบอลลกู แรกไดสีเขยี ว 2 วธิ ี มวี ธิ ีหยิบลูกบอลลกู ทีส่ องไดสีแดง 2 วธิ ี ดงั น้ัน มวี ธิ ีหยิบลกู บอลลูกแรกไดสเี ขยี ว และลูกบอลลูกท่สี องไดส ีแดง 2× 2 =4 วธิ ี โดยหลกั การบวก จะไดจาํ นวนวิธีหยบิ ไดลกู บอลสีแดงและสเี ขียวอยางละ 1 ลกู 4 + 4 =8 วิธี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 2 339 น่ันคอื n(E2 ) = 8 จะได P ( E2=) n ( ES22=)) 8= 2 n ( 12 3 ดงั นั้น ความนา จะเปนท่หี ยบิ ไดล กู บอลสีแดงและสีเขียวอยางละ 1 ลกู เมอื่ หยบิ ลูกบอลทลี ะลูกโดยไมใสคืนกอนจะหยิบลูกบอลลกู ทส่ี อง เทา กับ 2 3 3) ให S3 แทนปริภูมติ ัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได ( )n S3 = C4,1 × C4,1 = 4 × 4 =16 ให E3 แทนเหตุการณท ห่ี ยิบไดลูกบอลสีแดงและสีเขยี วอยา งละ 1 ลกู กรณที ี่ 1 หยิบไดล ูกบอลสีแดงเปน ลูกแรก มีวธิ ีหยิบลกู บอลลูกแรกไดสแี ดง 2 วิธี มีวธิ ีหยิบลูกบอลลูกทส่ี องไดส ีเขยี ว 2 วิธี ดงั นั้น มีวิธหี ยิบลกู บอลลูกแรกไดสีแดง และลูกบอลลูกที่สองไดสีเขยี ว 2× 2 =4 วิธี กรณที ี่ 2 หยบิ ไดล กู บอลสเี ขยี วเปน ลกู แรก มีวิธหี ยบิ ลกู บอลลกู แรกไดสเี ขียว 2 วิธี มวี ธิ หี ยิบลกู บอลลกู ทส่ี องไดสีแดง 2 วิธี ดงั นน้ั มีวิธหี ยิบลกู บอลลกู แรกไดส เี ขยี ว และลกู บอลลกู ท่ีสองไดสีแดง 2× 2 =4 วิธี โดยหลกั การบวก จะไดจํานวนวธิ ีหยิบไดลูกบอลสแี ดงและสีเขยี วอยางละ 1 ลูก 4 + 4 =8 วิธี นัน่ คือ n(E3 ) = 8 จะได P ( E3=) n( ES33=)) 8= 1 n( 16 2 ดงั นั้น ความนาจะเปนท่หี ยิบไดล กู บอลสีแดงและสีเขยี วอยางละ 1 ลกู เม่ือหยบิ ลูกบอล ทีละลกู โดยใสค ืนกอนจะหยบิ ลกู บอลลูกทส่ี อง เทากับ 1 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

340 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 2 12. ให S แทนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) =5× 4 = 20 1) ให E1 เปน เหตกุ ารณที่นักกีฬาคนนสี้ วมเสื้อและกางเกงสีเดียวกัน นั่นคอื สวมเสือ้ สขี าวและกางเกงสีขาวเทา น้นั ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีเลือกสวมเสือ้ สขี าวได 3 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 มีวิธเี ลอื กสวมกางเกงสขี าวได 1 วิธี ดงั น้นั จะมวี ธิ สี วมเสือ้ และกางเกงสเี ดยี วกนั 3×1=3 วิธี นั่นคอื n(E1) = 3 จะได P=( E1 ) nn=((ES1)) 3 20 ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่ีนกั กีฬาคนนี้จะสวมเสอ้ื และกางเกงสีเดียวกัน เทา กบั 3 20 2) ให E2 แทนเหตุการณทนี่ ักกีฬาคนน้ีสวมเส้อื และกางเกงสตี างกัน กรณที ี่ 1 สวมเสื้อสีขาวและกางเกงสีเทา มีวิธีเลอื กสวมเสื้อสีขาวได 3 วิธี มวี ิธเี ลอื กสวมกางเกงสีเทาได 3 วิธี ดังน้ัน มวี ธิ สี วมเส้ือและกางเกงสีตา งกัน 3×3 =9 วธิ ี กรณีที่ 2 สวมเสือ้ สฟี าและกางเกงสใี ดก็ได มวี ิธีเลือกสวมเส้ือสฟี าได 2 วธิ ี มวี ธิ เี ลอื กสวมกางเกงสีขาวหรือสีเทาได 4 วิธี ดังน้ัน มีวิธสี วมเสื้อและกางเกงสตี า งกัน 2× 4 =8 วิธี โดยหลักการบวก จะมีวิธีเลอื กสวมเสอ้ื และกางเกงสตี างกัน 9 + 8 =17 วธิ ี นั่นคือ n(E2 ) =17 จะได P=( E2 ) nn=((ES2)) 17 20 ดงั น้นั ความนา จะเปน ทีน่ ักกีฬาคนนจ้ี ะสวมเสื้อและกางเกงสตี า งกัน เทากับ 17 20 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ีน่ กั กีฬาคนนสี้ วมเสอื้ สีฟา ขั้นตอนที่ 1 มีวธิ ีเลือกสวมเส้อื สฟี าได 2 วธิ ี ข้ันตอนที่ 2 มวี ธิ เี ลือกสวมกางเกงสใี ดกไ็ ด ได 4 วธิ ี ดังนัน้ จะมวี ิธสี วมเสอ้ื สีฟา 2× 4 =8 วิธี สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี