(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.2

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 185 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 7. โปรแกรมจะแสดงแผนภาพกลองพรอมทั้งแสดงชื่อของแผนภาพกลองและ มัธยฐานใน Graphics View (ในกรณีท่ีไมเห็นแผนภาพกลองใน Graphics View สามารถคลิกคางบริเวณ Graphics View พรอมกับเลื่อน cursor ไปยังบริเวณที่ แสดงแผนภาพกลอ ง) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหและนําเสนอขอ มลู เชงิ ปริมาณ 186 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 8. สามารถซอ นการแสดงชอื่ ของแผนภาพกลอ งและมัธยฐานไดโดยคลกิ ขวาบริเวณ แผนภาพกลองแลว เลอื ก Show Label 9. สามารถปรับแตงแผนภาพกลองไดโดยคลิกขวาบริเวณแผนภาพกลองแลวเลือก Object Properties สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอมูลเชงิ ปริมาณ 187 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 10. สรางจุดแทนคานอกเกณฑแตละคา ในทนี่ ้ี คา นอกเกณฑ ไดแ ก 11, 12 และ 14 และเน่ืองจาก yOffset = 2 ดังนั้นจะตองสรางจุด (11, 2), (12, 2) และ (14, 2) โดยพิมพแตละคูอันดับ ลงใน Input bar สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนาํ เสนอขอมลู เชิงปริมาณ 188 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 11. สามารถซอนการแสดงชื่อของจุดไดโดยคลิกขวาท่ีแตละจุดแลวเลือก Show Label สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหแ ละนาํ เสนอขอมลู เชงิ ปริมาณ 189 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 12. สามารถปรบั แตงจุดไดโดยคลิกขวาท่ีแตล ะจุดแลวเลอื ก Object Properties 13. สามารถคัดลอกหรือบนั ทกึ แผนภาพกลอ งไดโดยไปทีเ่ มนู File เลอื ก Export 13.1 ถาคลิกที่ Graphics View to Clipboard จะเปนการคัดลอกแผนภาพกลอง และคานอกเกณฑที่แสดงใน Graphics View และสามารถนําไปวางบน โปรแกรมท่ีตองการใช สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหแ ละนาํ เสนอขอมลู เชิงปริมาณ 190 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 13.2 ถาคลิกท่ี Graphics View as Picture (png, eps) จะบันทึกแผนภาพกลอง และคานอกเกณฑทีแ่ สดงใน Graphics View เปนไฟลรูปภาพ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนาํ เสนอขอมูลเชงิ ปริมาณ 191 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 3.8 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 3 การวิเคราะหและนําเสนอขอมูล เชิงปริมาณ สําหรับรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ซึ่งครูสามารถ เลอื กนาํ ไปใชไดตามจดุ ประสงคการเรยี นรทู ี่ตอ งการวัดผลประเมนิ ผล ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 หองหนึ่ง จํานวนทั้งหมด 50 คน แสดงไดดังนี้ 156 165 170 159 165 159 168 172 158 157 166 170 180 168 176 174 160 163 159 155 167 169 169 165 159 181 159 175 156 160 179 154 168 157 162 150 158 165 158 166 163 159 155 163 165 165 162 161 155 158 1) จงเขียนตารางความถ่ีพรอมท้ังแสดงความถ่ีสัมพัทธและความถี่สะสมสัมพัทธในรูป รอยละของขอมูลชุดนี้ โดยกาํ หนดใหจ ํานวนอันตรภาคช้ันเทากับ 7 ชั้น คา เริ่มตนและ คา สุดทายเทา กบั 150 และ 185 เซนตเิ มตร ตามลาํ ดบั 2) นักเรียนมคี วามสูงอยใู นชว งใดมากทส่ี ดุ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหแ ละนาํ เสนอขอมลู เชงิ ปริมาณ 192 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 2. จํานวนผูใชบริการสวนสาธารณะแหงหน่ึงในชวงเวลา 06:00 – 06:30 น. ของวันหน่ึง จาํ แนกตามอายุ แสดงไดดังน้ี อายุ ( x) จาํ นวนผูใชบรกิ ารสวนสาธารณะ (คน) 0 ≤ x < 10 3 10 ≤ x < 20 5 20 ≤ x < 30 7 30 ≤ x < 40 13 40 ≤ x < 50 14 50 ≤ x < 60 20 60 ≤ x < 70 27 70 ≤ x < 80 6 80 ≤ x < 90 3 90 ≤ x < 100 2 1) ผใู ชบ รกิ ารสวนสาธารณะในชวงเวลาดงั กลาวอยใู นชวงอายใุ ดมากทสี่ ดุ  2) จงเขียนฮสิ โทแกรมจากขอมูลทีก่ ําหนดให 3. ระยะเวลารอรบั ยา (นาที) ของผูใ ชบ รกิ ารท่ีสถานอี นามยั แหง หนง่ึ จํานวน 40 คน แสดงได ดังน้ี 24 45 27 29 27 34 36 47 50 41 35 34 47 48 35 25 28 30 32 33 30 32 20 17 15 19 21 24 19 18 16 15 29 28 26 25 31 33 35 40 1) จงเขียนแผนภาพจดุ และแผนภาพลําตน และใบจากขอมูลท่กี ําหนดให 2) จํานวนผูใชบริการท่ีมีระยะเวลารอรับยามากกวา 30 นาที คิดเปนรอยละเทาใดของ จาํ นวนผูใชบริการท้งั หมด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหแ ละนําเสนอขอ มลู เชงิ ปริมาณ 193 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 4. ผลผลิตพริกขี้หนูสวน (กิโลกรัม) ที่ไดจากสวนพริกของเกษตรกรในสองอําเภอ อําเภอละ 30 สวน ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2562 แสดงไดด งั น้ี อําเภอที่ 1 18 19 35 38 39 40 19 40 42 20 42 45 46 28 43 22 44 44 22 30 30 22 32 25 25 32 27 36 27 28 อาํ เภอที่ 2 4 4 10 11 11 12 5 14 21 5 14 20 21 8 16 6 16 17 6 8 22 6 10 6 6 10 7 10 7 17 1) จงเขียนแผนภาพลาํ ตนและใบเพ่อื นําเสนอขอมูลสองชดุ น้ใี นแผนภาพเดียวกนั 2) ผลผลติ พริกขห้ี นูสวนของอาํ เภอใดมากกวา กนั 3) อาํ เภอที่ 1 มีสวนพริกจํานวนกี่สวนทมี่ ผี ลผลติ พริกขห้ี นูสวนตง้ั แต 20 ถึง 30 กโิ ลกรัม 4) อาํ เภอที่ 2 มสี วนพริกจํานวนกีส่ วนทีม่ ีผลผลิตพรกิ ข้หี นูสวนมากกวา 15 กโิ ลกรัม 5) จํานวนสวนพริกท่ีมีผลผลิตพริกข้ีหนูสวนนอยกวา 40 กิโลกรัม คิดเปนรอยละเทาใด ของจํานวนสวนพริกทส่ี ํารวจท้ังหมด 5. แมคาขายผลไมคนหนึ่งไดจดบันทึกนํ้าหนักของแตงโม (กิโลกรัม) ที่รับมาจากรานคา ไดขอ มลู ดังนี้ 1.5 1.7 1.7 2 1.8 1.5 3.4 2 2.2 2.2 2.5 3.5 3 2.2 3.3 1.8 2 3.3 3.5 3.2 3.2 3 3 1) จงหาควอรไทลท่ี 1 ควอรไทลท่ี 2 และควอรไ ทลท ่ี 3 ของขอมลู ชดุ นี้ 2) ขอมลู ชุดน้ีมีคานอกเกณฑหรือไม ถามีคอื คา ใด  3) จงเขียนแผนภาพกลอ งเพ่ือนําเสนอขอ มลู ชดุ น้ี 4) จากแผนภาพกลองท่ีไดใ นขอ 3) จงอธิบายลักษณะการกระจายของขอมลู ชุดนี้ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

ํจานวนไอศก ีรมที่ขายไ ด (แทง)บทที่ 3 | การวเิ คราะหและนาํ เสนอขอ มลู เชิงปริมาณ 194 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 6. จํานวนแอปพลิเคชันในโทรศัพทสมารตโฟนของผูใชโทรศัพทสมารตโฟนจํานวน 27 คน แสดงไดดงั น้ี 24 25 28 30 25 50 25 25 17 45 22 20 21 28 21 25 25 24 25 22 25 20 22 22 20 15 24 1) จงหาควอรไทลท ่ี 1 ควอรไ ทลท ่ี 2 และควอรไทลท ี่ 3 ของขอ มูลชดุ นี้ 2) ขอ มูลชดุ นม้ี ีคานอกเกณฑหรอื ไม ถา มีคอื คา ใด  3) จงเขยี นแผนภาพกลองเพ่อื นําเสนอขอ มลู ชุดนี้ 4) จากแผนภาพกลอ งทีไ่ ดในขอ 3) จงอธิบายลักษณะการกระจายของขอมลู ชดุ น้ี 7. จํานวนไอศกรีมที่ขายไดของรานคาแหงหน่ึงในวันท่ีมีอุณหภูมิตางกัน แสดงดวยแผนภาพ การกระจายไดดงั น้ี 45 40 35 30 25 20 15 25 27 29 31 33 35 37 อุณหภูมิ (องศาเซลเซียส) จงพิจารณาวาจาํ นวนไอศกรีมทขี่ ายไดแ ละอณุ หภูมิมีความสัมพันธก ันหรือไม อยา งไร สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหและนาํ เสนอขอมลู เชิงปริมาณ 195 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 8. ราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนหนึ่งและระยะเวลาหลังจากวางจําหนาย แสดงดวยแผนภาพ การกระจายไดดังน้ี รารคาาโคาทโรทศัรพศั ทพส ทมสามราต รโตฟโนฟ (นบ(าบทา)ท) 300,00000 5 10 15 20 250,00000 200,00000 ระยะเวลาหลังจากวางจําหนา ย (เดอื น) 150,00000 100,00000 50,00000 00 0 จงพิจารณาวาราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนน้ีและระยะเวลาหลังจากวางจําหนาย มคี วามสมั พันธก ันหรือไม อยา งไร 9. ความยาวเสนผมและไอคิวของนักเรียนท่ีสุมมาจํานวน 30 คน แสดงดวยแผนภาพ การกระจายไดด งั นี้ ไอ ิคว 160 140 120 5 10 15 20 25 30 35 40 100 ความยาวเสนผม (เซนตเิ มตร) 80 60 40 20 0 0 จงพิจารณาวาความยาวเสนผมและไอคิวของนักเรียนที่สุมมาจํานวน 30 คน มคี วามสัมพันธก ันหรอื ไม อยา งไร สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวเิ คราะหและนําเสนอขอ มูลเชงิ ปริมาณ 196 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 10. ถาเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานจํานวน 5 คน จากบริษัทแหงหน่ึงเปน 18,900 บาท และ เงินเดือนของพนักงาน 3 คน จากพนักงานกลุมนี้ คือ 16,000, 17,500 และ 24,000 บาท สวนพนักงานอีกสองคนที่เหลือมเี งินเดือนตางกัน 4,000 บาท จงหาเงินเดือนของพนักงาน สองคนทเ่ี หลือ 11. ในการสอบวิชาคอมพิวเตอร แบงการสอบออกเปนสองสวนคือ การสอบขอเขียนและ การสอบเขียนโปรแกรม ซึ่งถวงนํ้าหนักดวย 3 และ 1 ตามลําดับ และมีเง่ือนไขวานักเรียน จะสอบผานเม่ือมีคะแนนเฉลี่ยไมนอยกวา 60 คะแนน ถากฤตสอบขอเขียนได 70 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน และสอบเขียนโปรแกรมได 38 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน จงพจิ ารณาวากฤตสอบผา นวิชาคอมพิวเตอรหรือไม 12. น้ําหนกั (กิโลกรมั ) ของนักเรยี นจาํ นวน 7 คน ทส่ี ุม มาจากนกั เรียนหอ งหนึ่ง เปน ดังน้ี 45 55 30 62 47 34 52 ตอมาทราบวามีการจดขอมูลผิดพลาด โดยจดขอมูลท่ีอยูในตําแหนงมัธยฐานตํ่ากวา ความเปนจริง 4 กิโลกรัม จงหาวามัธยฐานท่ีถูกตองของขอมูลชุดน้ีเปนเทาใด และ คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เปลี่ยนไปจากเดิมหรือไม ถาเปล่ียนไปจากเดิมแลว คาเฉลยี่ เลขคณติ ท่ถี ูกตองของขอมลู ชดุ นเี้ ปนเทา ใด 13. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนจํานวน 10 คน ที่สุมมาจากนักเรียนหองหนึ่ง เปน ดังน้ี 75 75 80 63 87 63 82 67 75 90 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของขอมูลชุดน้ี และพิจารณาวาควรใช คากลางใดเปนตวั แทนของขอมูลชดุ น้ี พรอ มท้งั ใหเหตผุ ลประกอบ 14. จงหาพิสัยและพสิ ยั ระหวางควอรไ ทลของขอ มูลชุดน้ี 20 24 35 23 33 10 32 45 37 56 27 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอ มูลเชิงปริมาณ 197 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 15. ระยะเวลาท่ีใชในการผานดานตรวจคนเขาเมืองทาอากาศยานสุวรรณภูมิ (นาที) ของ นักทอ งเทย่ี วจาํ นวน 7 คน เปน ดังนี้ 6 7 7 7 9 9 11 จงหาพสิ ยั พสิ ยั ระหวางควอรไ ทล และสวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ 16. ครอบครัวหนึ่งเลี้ยงสุนัขทั้งหมด 5 ตัว ซึ่งมีอายุ 2, 5, 5, 6 และ 7 ป จงหาความแปรปรวน ของอายสุ ุนัขของครอบครัวน้ี 17. ปรมิ าณการสง ออกขาว (ลานตัน) ของประเทศไทยในชว ง พ.ศ. 2555 – 2558 แสดงไดด งั น้ี พ.ศ. ปริมาณสงออกขา ว (ลา นตนั ) 2555 6.97 2556 7.05 2557 10.97 2558 9.80 จงหาสัมประสิทธ์ิการแปรผันของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 (ตอบเปน ทศนิยม 2 ตําแหนง) (ท่ีมา : http://fic.nfi.or.th/foodsectordatabank-detail.php?id=9) 18. ยอดขายรถยนต (คนั ) ยอนหลงั 5 ปของบรษิ ัทรถยนตแหงหนึ่ง แสดงไดด งั นี้ ปที่ ยอดขายภายในประเทศ (คนั ) ยอดขายในตา งประเทศ (คนั ) 1 9,100 24,900 2 5,000 26,700 3 7,200 26,600 4 1,200 17,700 5 4,400 19,300 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของยอดขายรถยนตภายในประเทศและในตางประเทศของ บรษิ ทั แหง นี้ พรอ มทงั้ เปรยี บเทยี บการกระจายของขอ มลู ทง้ั สองชุดนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอ มลู เชงิ ปริมาณ 198 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 (ทมี่ า : https://www.thanachartbluebook.com/news.asp?P1=252EB96AC2B6590B6AB85 61A6D6F7FE7755084591AD5035482826BA720DA1710) 19. คาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรและ ภาษาอังกฤษของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 หองหน่ึง ซ่ึงท้ังสองวิชามีคะแนนเต็ม 100 คะแนน เปนดงั น้ี วิชาคณิตศาสตร วิชาภาษาองั กฤษ คาเฉล่ยี เลขคณติ 81.6 78.3 สว นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 3.4 2.7 จงเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรและภาษาอังกฤษของ นักเรยี นหอ งน้ี 20. ปริมาณการสง ออกขาวไทยไปยังตลาดสงออกขาว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 แสดงไดด ังนี้ ประเทศ ปริมาณสงออกขา ว (หม่ืนตนั ) สาธารณรฐั ประชาชนจีน 96 แคเมอรนู 45 ฟล ิปปนส 82 ไนจีเรีย 64 แอฟรกิ าใต 57 มาเลเซีย 44 สหรัฐอเมรกิ า 43 จงหา 1) ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลท่ี 2 และควอรไทลท่ี 3 ของปริมาณการสงออกขาวไทยไปยัง ตลาดสงออกขา ว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 2) ตลาดสงออกขา วทีม่ ปี ริมาณการสง ออกขาวนอยกวาควอรไ ทลที่ 1 3) ตลาดสงออกขาวที่มปี รมิ าณการสง ออกขา วมากกวาควอรไทลท ่ี 2 (ที่มา : http://fic.nfi.or.th/foodsectordatabank-detail.php?id=9) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนาํ เสนอขอมูลเชิงปริมาณ 199 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 21. ยอดขาย (บาท) ในไตรมาสแรกประจําป 2562 ของพนักงาน 11 คน ท่ีสุมมาจากบรษิ ัท แหงหนงึ่ แสดงไดด งั น้ี พนักงานคนท่ี ยอดขาย (บาท) 1 407,000 2 565,000 3 445,500 4 336,000 5 627,000 6 375,000 7 524,400 8 470,300 9 290,700 10 784,500 11 668,200 ตามเงื่อนไขของบริษัท พนักงานจะไมไดปรับเงินเดือนถามียอดขายนอยกวาควอรไทลท่ี 1 จะไดปรับเงินเดือน 2% ถามียอดขายมากกวาหรือเทากับควอรไทลที่ 1 แตนอยกวา ควอรไทลท่ี 3 และจะไดปรับเงินเดือน 4% ถามียอดขายมากกวาหรือเทากับควอรไทลท่ี 3 จงหาวาพนกั งานทไี่ ดปรบั เงินเดือน 2% มยี อดขายมากที่สดุ และนอ ยที่สดุ เปน เทาใด 22. คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 7 คน ซ่ึงมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ท่ีเรียงจาก นอยไปมาก แสดงไดด งั น้ี 65 69 77 80 82 84 92 จงหาเปอรเซ็นไทลที่ 25 เปอรเซ็นไทลท่ี 50 และเปอรเซ็นไทลท่ี 80 ของคะแนนสอบ วิชาภาษาไทยของนักเรยี นกลมุ น้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหและนาํ เสนอขอมูลเชงิ ปริมาณ 200 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 23. คะแนนสอบยอยของนักเรียนจํานวน 9 คน ท่ีสุมมาจากนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอ งหนึ่ง ซ่ึงมีคะแนนเต็ม 30 คะแนน แสดงไดด งั น้ี นกั เรยี นคนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 คะแนน 25 18 27 29 28 22 15 24 22 ถานักเรียนท่ีไดคะแนนนอยกวาเปอรเซ็นไทลท่ี 40 ของคะแนนสอบยอยของนักเรียน กลมุ นต้ี อ งสอบใหม จงหาวามนี กั เรยี นท่ตี องสอบใหมกีค่ น 24. ระยะเวลา (นาที) ในการใชโทรศัพทเคลื่อนท่ีสําหรับโทรออกในหน่ึงวัน ที่สํารวจจาก ผูตอบแบบสอบถามจาํ นวน 40 คน แสดงไดดังนี้ 109 20 87 63 30 27 95 63 32 24 67 66 22 34 64 26 78 47 36 94 3 22 7 66 9 28 12 20 73 43 10 35 12 39 45 27 60 57 44 57 จงหาวามีผูตอบแบบสอบถามกี่คนท่ีมีระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับ โทรออกในหน่ึงวันมากกวาเปอรเซ็นไทลท่ี 80 และมีผูตอบแบบสอบถามก่ีคนที่มี ระยะเวลาในการใชโทรศพั ทเคลอื่ นที่สาํ หรบั โทรออกในหนึง่ วันนอ ยกวา เปอรเ ซน็ ไทลท่ี 14 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหแ ละนาํ เสนอขอมลู เชิงปริมาณ 201 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 เฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท 1. 1) จากโจทย กําหนดจํานวนอันตรภาคชั้นทั้งหมด 7 ชั้น คาเริ่มตนคือ 150 เซนติเมตร และคาสดุ ทายคือ 185 เซนตเิ มตร สามารถเขียนตารางความถีไ่ ดดังน้ี 1. คํานวณความกวา งของอันตรภาคชนั้ ไดด ังนี้ คาสดุ ทา ย – คาเร่ิมตน 1=85 −150 5 จาํ นวนอนั =ตรภาคชัน้ 7 ดังน้ัน ความกวางของอันตรภาคชนั้ คือ 5 เซนติเมตร 2. กําหนดอันตรภาคชนั้ ไดดังนี้ อันตรภาคชัน้ คา เรมิ่ ตน คาสดุ ทา ย ชัน้ ท่ี 1 150 150 + 5 −1 =154 ชั้นท่ี 2 155 155 + 5 −1 =159 ชน้ั ท่ี 3 160 160 + 5 −1 =164 ชั้นที่ 4 165 165 + 5 −1 =169 ช้นั ที่ 5 170 170 + 5 −1 =174 ชน้ั ท่ี 6 175 175 + 5 −1 =179 ชน้ั ที่ 7 180 180 + 5 −1 =184 3. หาจาํ นวนขอ มลู ทัง้ หมดท่ีอยูใ นแตละอันตรภาคช้ันโดยทํารอยขีด ไดดงั น้ี อนั ตรภาคชน้ั รอยขีด 150 − 154 || 155 − 159 |||| |||| |||| || 160 − 164 |||| ||| 165 − 169 |||| |||| |||| 170 − 174 |||| 175 − 179 ||| 180 − 184 || สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหและนาํ เสนอขอ มลู เชิงปริมาณ 202 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 4. นับจาํ นวนขอ มูลจากรอยขดี ท่ีทําในขอ 3 จะไดต ารางความถี่ ดงั นี้ อนั ตรภาคชั้น ความถ่ี 150 − 154 2 155 − 159 17 160 − 164 8 165 − 169 14 170 − 174 4 175 − 179 3 180 − 184 2 5. หาความถส่ี ัมพทั ธแ ละความถี่สะสมสัมพทั ธในรปู รอยละ ไดด งั นี้ อันตรภาคช้นั ความถี่ ความถสี่ ัมพทั ธ ความถ่สี ะสมสมั พทั ธ ในรูปรอ ยละ ในรปู รอยละ 150 − 154 2 2 ×100 =4 4 50 38 54 155 − 159 17 17 ×100 =34 82 50 90 96 160 − 164 8 8 ×100 =16 100 50 165 − 169 14 14 ×100 =28 50 170 − 174 4 4 ×100 =8 50 175 − 179 3 3 ×100 =6 50 180 − 184 2 2 ×100 =4 50 2) นักเรยี นมีความสงู อยใู นชวง 155 – 159 เซนตเิ มตร มากทส่ี ดุ 2. 1) ผูใชบริการสวนสาธารณะในชวงเวลาดังกลาวที่มีอายุตั้งแต 60 ป แตนอยกวา 70 ป มจี าํ นวนมากท่ีสุด สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหแ ละนําเสนอขอ มูลเชิงปริมาณ 203 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 2) จากขอ มลู สามารถเขียนฮิสโทแกรมไดดังนี้ จํานวนผมู าใชบ ริการสวนสาธารณะ (คน) 30 25 20 15 10 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 อายุ (ป) 3. 1) จากขอมลู สามารถเขียนแผนภาพจดุ ไดดังน้ี 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 ระยะเวลารอรบั ยา (นาที) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวเิ คราะหและนําเสนอขอ มลู เชิงปริมาณ 204 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 จากขอมลู สามารถเขียนแผนภาพลาํ ตน และใบไดดงั นี้ 15567899 20144556778899 30012233445556 4015778 50 2) จาํ นวนผใู ชบรกิ ารทมี่ รี ะยะเวลารอรับยามากกวา 30 นาที คิดเปน รอยละ 18 ×100 =45 ของจาํ นวนผใู ชบริการทงั้ หมด 40 4. 1) จากขอมลู สามารถเขยี นแผนภาพลาํ ตน และใบเพื่อนาํ เสนอขอมลู สองชุดนไ้ี ดด งั นี้ อาํ เภอท่ี 1 อาํ เภอที่ 2 04455666667788 99810000112446677 887755222020112 986522003 6544322004 2) จากแผนภาพลําตนและใบ ผลผลิตพริกข้ีหนูสวนของอําเภอท่ี 1 มีปริมาณมากกวา ผลผลติ พรกิ ขี้หนสู วนของอาํ เภอที่ 2 3) 12 สวน 4) 8 สวน 5) สวนพริกที่มีผลผลิตพริกข้ีหนูสวนนอยกวา 40 กิโลกรัม มี 51 สวน คิดเปนรอยละ 51 ×100 =85 ของจํานวนสวนพริกท่ีสํารวจทง้ั หมด 60 5. 1) เรียงนํ้าหนักของแตงโม 23 ผล จากนอ ยไปมากไดดงั นี้ 1.5 1.5 1.7 1.7 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.2 2.2 2.2 2.5 3.0 3.0 3.0 3.2 3.2 3.3 3.3 3.4 3.5 3.5 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหแ ละนําเสนอขอมูลเชิงปริมาณ 205 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 เนอ่ื งจาก Q1 อยูในตาํ แหนงท่ี 23 +1 = 6 ดงั น้ัน Q1 = 1.8 4 Q2 อยใู นตาํ แหนงที่ 2(23 +1) = 12 ดงั นนั้ Q2 = 2.2 4 และ Q3 อยูใ นตาํ แหนง ที่ 3(23 +1) = 18 ดังน้นั Q3 = 3.2 4 2) แทน Q1 และ Q3 ดว ย 1.8 และ 3.2 ตามลาํ ดับ ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1) จะได 1.8 −1.5(3.2 −1.8) =− 0.3 แทน Q1 และ Q3 ดว ย 1.8 และ 3.2 ตามลําดับ ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1) จะได 3.2 +1.5(3.2 −1.8) =5.3 เนอื่ งจากไมม ขี อมลู ทีม่ คี า นอยกวา −0.3 หรือมากกวา 5.3 ดังน้นั ขอมลู ชดุ นี้ไมม ีคา นอกเกณฑ 3) จากขอ มูลสามารถเขียนแผนภาพกลอ งไดด งั น้ี 1.5 1.8 2.2 3.2 3.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาขอมูลในชวง 2.2 ถึง 3.2 มีการกระจายมากที่สุด รองลงมาคือขอมูลในชวง 1.8 ถึง 2.2 และขอมูลในชวง 1.5 ถึง 1.8 และชวง 3.2 ถึง 3.5 มีการกระจายนอยใกลเ คยี งกัน 6. 1) เรียงจํานวนแอปพลิเคชันในโทรศัพทสมารตโฟนของผูใชโทรศัพทสมารตโฟนจํานวน 27 คน จากนอ ยไปมากไดดังนี้ 15 17 20 20 20 21 21 22 22 22 22 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 28 28 30 45 50 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหแ ละนําเสนอขอ มูลเชงิ ปริมาณ 206 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 เนื่องจาก Q1 อยใู นตําแหนง ที่ 27 +1 = 7 ดังนั้น Q1 = 21 4 Q2 อยใู นตาํ แหนงท่ี 2(27 +1) = 14 ดงั นนั้ Q2 = 24 4 และ Q3 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 3(27 +1) = 21 ดังน้ัน Q3 = 25 4 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 21 และ 25 ตามลําดบั ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1) จะได 21−1.5(25 − 21) =15 แทน Q1 และ Q3 ดว ย 21 และ 25 ตามลําดบั ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1) จะได 25 +1.5(25 − 21) =31 จากขอมูลขางตน มี 45 และ 50 มากกวา 31 แตไ มม ีขอมลู ท่ีนอ ยกวา 15 ดังนัน้ คานอกเกณฑ คือ 45 และ 50 3) จากขอมลู สามารถเขยี นแผนภาพกลอ งไดดงั นี้ 15 21 24 25 30 15 20 25 30 35 40 45 50 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาขอมูลในชวง 24 ถึง 25 มีการกระจายนอยที่สุด และ ขอ มูลในชวง 15 ถึง 21 และชวง 25 ถงึ 30 มกี ารกระจายมากใกลเคียงกนั 7. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่ออุณหภูมิสูงข้ึน จํานวนไอศกรีมท่ีขายไดมีแนวโนม มากขึ้นดวย ดงั นั้น จาํ นวนไอศกรมี ท่ขี ายไดและอณุ หภมู มิ คี วามสัมพนั ธในทศิ ทางเดยี วกัน 8. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนนี้มีแนวโนมลดลง เมื่อ ระยะเวลาหลังจากวางจําหนายเพิ่มขึ้น ดังนั้น ราคาโทรศัพทสมารตโฟนรุนนี้และระยะเวลาหลังจากวางจําหนายมีความสัมพันธ ในทิศทางตรงกนั ขาม สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวเิ คราะหแ ละนําเสนอขอ มลู เชิงปริมาณ 207 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 9. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อความยาวเสนผมของนักเรียนมากข้ึน ไอคิวไมได มากขนึ้ หรือนอ ยลงตาม ดังนั้น ความยาวเสน ผมและไอควิ ของนกั เรยี นไมมีความสมั พันธเ ชงิ เสน 10. ใหพ นกั งานสองคนทเ่ี หลอื มีเงนิ เดอื น x และ x + 4,000 บาท เน่อื งจากเงนิ เดอื นเฉลย่ี ของพนกั งานจํานวน 5 คน จากบริษัทแหงนเ้ี ปน 18,900 บาท จะได 18,900 = 16,000 +17,500 + 24,000 + x + ( x + 4,000) 5 = 2x + 61,500 5 94,500 = 2x + 61,500 2x = 33,000 x = 16,500 และจะได x + 4,000 = 16,500 + 4,000 = 20,500 ดงั นน้ั พนกั งานสองคนที่เหลอื มีเงนิ เดือน 16,500 และ 20,500 บาท 11. ในที่นี้ขอมูลคือคะแนนสอบขอเขียนและคะแนนสอบเขียนโปรแกรมวิชาคอมพิวเตอรของ กฤต ซึ่งเทากับ 70 และ 38 คะแนน ตามลําดับ โดยมีคะแนนเต็มเปน 100 คะแนนเทากัน และมนี ํ้าหนักขอมลู เปน 3 และ 1 ตามลําดบั จะได คา เฉลี่ยเลขคณติ ถวงนา้ํ หนกั = 3(70) +1(38) = 3+1 = 210 + 38 4 248 4 = 62 ดังนัน้ คะแนนเฉล่ียของกฤต คอื 62 คะแนน จากเง่อื นไขวา นกั เรยี นจะสอบผานเม่ือมคี ะแนนเฉลย่ี ไมนอ ยกวา 60 คะแนน จะไดว ากฤตสอบผานวิชาคอมพวิ เตอร สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหและนําเสนอขอมลู เชิงปริมาณ 208 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 12. เรียงนาํ้ หนกั ของนกั เรยี น 7 คน จากนอ ยไปมากไดดงั น้ี 30 34 45 47 52 55 62 62 จะได คาเฉล่ยี เลขคณติ ของขอ มลู ชุดน้ี คอื 30 + 34 + 45 + 47 + 52 + 55 +=62 325 ≈ 46.43 กิโลกรัม 7 7 เน่อื งจากมธั ยฐานอยูในตาํ แหนงท่ี 7 +1 = 4 2 ดงั นน้ั มัธยฐานของขอมลู ชุดน้ี คือ 47 กิโลกรัม เน่อื งจากจดคาทีเ่ ปนตําแหนง ของมัธยฐานต่าํ กวา ความเปนจริง 4 กิโลกรัม จะได มัธยฐานท่ีถกู ตอ ง คือ 47 + 4 =51 กโิ ลกรัม และจะได ขอ มลู ชดุ ใหมท ถี่ ูกตอ งเปน 30 34 45 51 52 55 ซึ่งมีคาเฉลีย่ เลขคณติ 30 + 34 + 45 + 51+ 52 + 55 +=62 3=29 47 กิโลกรมั 77 ดังนัน้ คา เฉล่ียเลขคณติ ของขอมูลชุดน้เี ปล่ียนไปจากเดิม โดยคาเฉล่ยี เลขคณิตทถี่ กู ตองของ ขอ มลู ชดุ น้ี คอื 47 กโิ ลกรมั 13. เรียงคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรของนกั เรยี น 10 คน จากนอ ยไปมากไดดงั น้ี 63 63 67 75 75 75 80 82 87 90 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอ มูลชุดน้ี คอื 63 + 63 + 67 + 75 + 75 + 75 + 80 + 82 + 87 +=90 7=57 75.7 คะแนน 10 10 เนอ่ื งจากมธั ยฐานอยูในตาํ แหนง ท่ี 10 +1 = 5.5 2 จะได มัธยฐานของขอมูลชุดน้ี คือ คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลในตําแหนงท่ี 5 และ 6 ซง่ึ คือ 75 คะแนน เนื่องจาก คะแนนสอบ 63 คะแนน มีความถเ่ี ปน 2 คะแนนสอบ 67 คะแนน มคี วามถเี่ ปน 1 คะแนนสอบ 75 คะแนน มคี วามถเี่ ปน 3 คะแนนสอบ 80 คะแนน มคี วามถี่เปน 1 คะแนนสอบ 82 คะแนน มีความถ่เี ปน 1 คะแนนสอบ 87 คะแนน มคี วามถ่เี ปน 1 คะแนนสอบ 90 คะแนน มคี วามถเี่ ปน 1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวเิ คราะหและนําเสนอขอ มูลเชิงปริมาณ 209 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 จะเห็นวา คะแนนสอบ 75 คะแนน มคี วามถส่ี ูงสดุ ดังน้นั ฐานนยิ มของขอ มลู ชดุ นี้ คือ 75 คะแนน เน่ืองจากขอมูลชุดน้ีมีคาใกลเคียงกัน จึงควรใชคาเฉล่ียเลขคณิตซึ่งคํานวณจากขอมูล ทง้ั หมดเปนตวั แทนของขอมลู ชุดนี้ 14. เรียงขอ มลู ทงั้ 11 ตัว จากนอ ยไปมากไดดังน้ี 10 20 23 24 27 32 33 35 37 45 56 จะเห็นวาคา สูงสุดและคา ตาํ่ สดุ ของขอมลู ชุดน้ี คอื 56 และ 10 ตามลําดับ ดงั นั้น พิสัยของขอมูลชดุ น้ี คือ 56 −10 =46 เน่อื งจาก Q1 อยใู นตําแหนง ที่ 11 + 1 = 3 จะไดว า Q1 = 23 4 และ Q3 อยใู นตําแหนง ที่ 3(11+1) = 9 จะไดว า Q3 = 37 4 ดังน้ัน พิสยั ระหวางควอรไทลข องขอมลู ชดุ น้ี คอื Q3 − Q1 = 37 − 23 =14 15. จะเห็นวาคาสงู สดุ และคาตํ่าสดุ ของขอมูลชุดนี้ คือ 11 และ 6 นาที ตามลาํ ดบั ดงั น้นั พสิ ัยของขอ มูลชดุ นี้ คอื 11− 6 =5 นาที เนอื่ งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนง ที่ 7 +1 = 2 จะไดวา Q1 = 7 4 และ Q3 อยใู นตาํ แหนง ที่ 3(7 +1) = 6 จะไดว า Q3 = 9 4 ดงั น้ัน พสิ ยั ระหวางควอรไทลของขอมลู ชุดน้ี คือ Q3 − Q1 = 9 − 7 = 2 นาที ให xi แทนระยะเวลาท่ีใชใ นการผา นดา นตรวจคนเขาเมอื งทาอากาศยานสวุ รรณภูมิของ นกั ทองเทย่ี วคนท่ี i เม่ือ i ∈{1, 2, 3, ... , 7} และ µ แทนคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมลู ชุดนี้ 7 ∑จะ=ได µ xi 6 +7 + 7 + 7 + 9 + 9 +11 == 56 8 =i=1 77 7 ดงั น้นั คาเฉลีย่ เลขคณติ ของขอมลู ชดุ นี้ คอื 8 นาที สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอ มลู เชงิ ปริมาณ 210 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 จากขอมลู ขางตน จะได xi − µ 2 ( )xi xi − µ 6 −2 4 7 −1 1 7 −1 1 7 −1 1 9 11 9 11 11 3 9 ∑( )7 xi − µ 2 =18 i =1 7 xi − µ )2 18 ≈ 1.6 7 ดังนน้ั=σ ∑( i=1 = 7 นั่นคือ สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชุดนมี้ ีคา ประมาณ 1.6 นาที 16. ให xi แทนอายสุ ุนขั ตัวท่ี i เม่ือ i ∈{1, 2, 3, 4, 5} และ µ แทนคา เฉลี่ยเลขคณิตของอายุสนุ ัขของครอบครัวน้ี 5 ∑จะได=µ xi 2=5 5 i=1 = 5 5 ดงั น้นั คาเฉล่ยี เลขคณติ ของอายสุ ุนขั ของครอบครวั นี้ คือ 5 ป จากขอมลู ขา งตน จะได xi − µ 2 ( )xi xi − µ 2 −3 9 50 0 50 0 61 1 72 4 ∑( )5 xi − µ 2 =14 i =1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหแ ละนาํ เสนอขอมลู เชิงปริมาณ 211 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 ดงั น้นั σ=2 5 ( xi − µ )2 1=4 ∑ i=1 = 55 2.8 นัน่ คอื ความแปรปรวนของอายุสนุ ขั ของครอบครวั นเี้ ทากบั 2.8 ป2 17. ให x1, x2, x3 และ x4 แทนปริมาณการสงออกขาว (ลานตัน) ของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555, 2556, 2557 และ 2558 ตามลาํ ดับ และ µ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 4 ∑จะ=ได µ xi 34.79 ≈ 8.70 =i=1 4 4 ดงั นัน้ คา เฉลีย่ เลขคณติ ของปริมาณการสง ออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 คือ 8.70 ลา นตัน จากขอมูลขางตน จะได xi xi − µ ( )xi − µ 2 6.97 −1.73 2.99 7.05 −1.65 2.72 10.97 2.27 5.15 9.80 1.10 1.21 ∑( )4 xi − µ 2 ≈ 12.07 i=1 ดงั น=ั้น σ 4 xi − µ )2 12.07 ≈ 1.74 4 ∑( i=1 ≈ 4 นั่นคือ สัมประสิทธิ์การแปรผันของปริมาณการสงออกขาวของประเทศไทยในชวง พ.ศ. 2555 – 2558 คอื σ ≈ 1.74 ≈ 0.20 µ 8.70 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหแ ละนาํ เสนอขอ มลู เชิงปริมาณ 212 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 18. ให xi แทนยอดขายรถยนตภ ายในประเทศของบริษัทรถยนตในปท ี่ i เมือ่ i ∈{1, 2, 3, 4, 5} yi แทนยอดขายรถยนตในตา งประเทศของบริษัทรถยนตในปท ่ี i เม่อื i ∈{1, 2, 3, 4, 5} µx แทนคา เฉลี่ยเลขคณติ ของยอดขายรถยนตภ ายในประเทศ และ µy แทนคา เฉล่ียเลขคณิตของยอดขายรถยนตใ นตางประเทศ จะไ=ด µx 5 26=, 900 5, 380 5 ∑ xi =i=1 5 5 ∑แล=ะ µy yi 115=, 200 23, 040 =i=1 5 5 จากขอ มลู ขางตน จะได xi xi − µx ( )xi − µx 2 9,100 3,720 13,838,400 5,000 −380 144,400 7,200 1,820 3,312,400 1,200 −4,180 17,472,400 4,400 −980 960,400 ∑( )5 xi − µx 2 =35,728,000 i =1 และ yi yi − µy ( )yi − µy 2 24,900 1,860 3,459,600 26,700 3,660 13,395,600 26,600 3,560 12,673,600 17,700 −5, 340 28,515,600 19,300 −3, 740 13,987,600 ∑( )5 yi − µy 2 =72,032,000 i =1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | การวิเคราะหแ ละนาํ เสนอขอมูลเชงิ ปริมาณ 213 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 =จะได σ x ∑( )5 xi − µx 2 35,728,000 ≈ 2,673.13 5 =i=1 5 =และ σ y ∑( )5 yi − µy 2 72,032,000 ≈ 3,795.58 5 =i=1 5 ดังนั้น สัมประสิทธ์ิการแปรผันของยอดขายรถยนตภายในประเทศและสัมประสิทธ์ิ การแปรผนั ของยอดขายรถยนตใ นตา งประเทศของบรษิ ัทแหง น้ี คือ σx ≈ 2, 673.13 ≈ 0.497 และ σy ≈ 3,795.58 ≈ 0.165 ตามลาํ ดบั µx 5, 380 µy 23, 040 จะเห็นวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของยอดขายรถยนตภายในประเทศมากกวาสัมประสิทธ์ิ การแปรผนั ของยอดขายรถยนตใ นตางประเทศ จึงสรปุ ไดวายอดขายรถยนตภายในประเทศ มีการกระจายมากกวายอดขายรถยนตในตางประเทศ หรือกลาวไดวายอดขายรถยนต ในตา งประเทศเกาะกลมุ กนั มากกวา ยอดขายรถยนตภายในประเทศ 19. ให µx แทนคา เฉล่ยี เลขคณติ ของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร µy แทนคาเฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ σx แทนสว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร และ σ y แทนสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ จะได สัมประสิทธิก์ ารแปรผนั ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข องนกั เรยี นหอ งนี้ คือ =σ x 3.4 ≈ 0.0417 µx 81.6 และสัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผนั ของคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของนกั เรียนหอ งน้ี คอื =σ y 2.7 ≈ 0.0345 µy 78.3 จะเห็นวาสัมประสิทธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองน้ี มากกวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ จึงสรุปไดวาคะแนน สอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองน้ีมีการกระจายมากกวาคะแนนสอบวิชา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหแ ละนาํ เสนอขอ มูลเชิงปริมาณ 214 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 ภาษาอังกฤษ หรอื กลา วไดว าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนหองน้ีเกาะกลุมกัน มากกวา คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร 20. เรยี งปรมิ าณการสงออกขาวไทยไปยังตลาดสงออกขา ว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 จากนอ ยไปมาก ไดดังน้ี 43 44 45 57 64 82 96 1) เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 7 +1 = 2 จะไดว า Q1 = 44 4 Q2 อยูในตําแหนง ที่ 2(7 +1) = 4 จะไดว า Q2 = 57 4 และ Q3 อยูในตําแหนง ที่ 3(7 +1) = 6 จะไดว า Q3 = 82 4 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลท่ี 3 ของปริมาณการสงออก ขาวไทยไปยังตลาดสงออกขาว 7 แหง ใน พ.ศ. 2558 คือ 44, 57 และ 82 หมื่นตัน ตามลําดับ 2) ตลาดสงออกขา วทีม่ ีปริมาณการสง ออกขา วมากกวาควอรไทลท ี่ 1 คอื สหรฐั อเมริกา 3) ตลาดสง ออกขา วที่มปี รมิ าณการสงออกขาวมากกวา ควอรไ ทลท่ี 2 คือ ไนจเี รยี ฟล ิปปนส และสาธารณรัฐประชาชนจนี 21. เรียงยอดขายในไตรมาสแรกประจําป 2562 ของพนักงาน 11 คน จากนอยไปมากไดดงั นี้ 290,700 336,000 375,000 407,000 445,500 470,300 524,400 565,000 627,000 668,200 784,500 เน่อื งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 11+1 = 3 จะไดวา Q1 = 375,000 4 และ Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(11+1) = 9 จะไดวา Q3 = 627,000 4 ดังนั้น พนักงานที่ไดปรับเงินเดือน 2% มียอดขายมากท่ีสุดและนอยท่ีสุดเปน 565,000 และ 375,000 บาท ตามลําดับ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวเิ คราะหแ ละนาํ เสนอขอมลู เชิงปริมาณ 215 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 22. เนอื่ งจาก P25 อยใู นตาํ แหนงที่ 25(7 +1) = 2 จะไดว า P25 = 69 100 P50 อยูใ นตาํ แหนง ท่ี 50(7 +1) = 4 จะไดว า P50 = 80 100 และ P80 อยใู นตาํ แหนง ที่ 80(7 +1) = 6.4 100 จะไดว า P80 อยูร ะหวางขอ มูลในตําแหนง ที่ 6 และ 7 ซึง่ มีคาอยูระหวา ง 84 และ 92 ในการหา P80 จะใชก ารเทียบบัญญตั ิไตรยางศ ดงั น้ี เน่อื งจากขอมลู ในตําแหนงที่ 6 และ 7 มีตําแหนงตา งกนั 7 − 6 =1 มีคาตา งกนั 92 −84 =8 จะไดวาตําแหนงตางกนั 6.4 − 6 =0.4 มีคาตางกัน 0.4 × 8 = 3.2 1 ดงั น้ัน P80 =84 + 3.2 =87.2 จะไดวาเปอรเซ็นไทลที่ 25 เปอรเซ็นไทลที่ 50 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของคะแนนสอบ วิชาภาษาไทยของนักเรียนกลมุ น้ี คอื 69, 80 และ 87.2 คะแนน ตามลาํ ดบั 23. เรยี งคะแนนสอบยอยของนักเรยี นจํานวน 9 คน จากนอ ยไปมากไดดงั น้ี 15 18 22 22 24 25 27 28 29 เนอื่ งจาก P40 อยูใ นตาํ แหนงท่ี 40(9 +1) = 4 จะไดว า P40 = 22 100 และเนื่องจากนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาเปอรเซ็นไทลท่ี 40 ของคะแนนสอบยอยของ นกั เรยี นกลุมนต้ี องสอบใหม ดังนั้น มีนักเรียนทตี่ อ งสอบใหมจ ํานวน 2 คน 24. เรียงระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออกในหนึ่งวัน ที่สํารวจจาก ผตู อบแบบสอบถามจาํ นวน 40 คน จากนอยไปมากไดดังน้ี 3 7 9 10 12 12 20 20 22 22 24 26 27 27 28 30 32 34 35 36 39 43 44 45 47 57 57 60 63 63 64 66 66 67 73 78 87 94 95 109 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | การวิเคราะหและนําเสนอขอ มลู เชิงปริมาณ 216 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 เนอ่ื งจาก P80 อยูในตาํ แหนง ท่ี 80(40 +1) = 32.8 100 จะไดวา P80 อยูระหวา งขอ มูลในตาํ แหนง ที่ 32 และ 33 นัน่ คอื P80 = 66 ดังนั้น มีผูตอบแบบสอบถามท่ีมีระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคล่ือนท่ีสําหรับโทรออก ในหนง่ึ วนั มากกวา เปอรเ ซน็ ไทลท ี่ 80 จาํ นวน 7 คน และเนือ่ งจาก P14 อยูในตาํ แหนง ที่ 14(40 +1) = 5.74 100 จะไดวา P14 อยรู ะหวา งขอมูลในตําแหนง ท่ี 5 และ 6 นัน่ คอื P14 = 12 ดังนั้น มีผูตอบแบบสอบถามท่ีมีระยะเวลาในการใชโทรศัพทเคลื่อนที่สําหรับโทรออก ในหนึง่ วันนอ ยกวาเปอรเซน็ ไทลท ่ี 14 จาํ นวน 4 คน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 217 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 บทที่ 4 ตวั แปรสมุ และการแจกแจงความนา จะเปน เน้ือหาในบทนี้ประกอบดวย ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม (ตัวแปรสุมไมตอเน่ืองและ ตัวแปรสุมตอเนื่อง) คาคาดหมายและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมไมตอเน่ือง การแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุม ไมตอ เน่อื ง อันไดแก การแจกแจงเอกรปู ไมตอ เนื่อง และการแจกแจงทวินาม การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง อันไดแก การแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐาน เปอรเซ็นไทลของตัวแปรสุมตอเน่ือง และ การเปรียบเทยี บตาํ แหนง ของขอมูลโดยใชค า ของตวั แปรสุมปกตมิ าตรฐาน ในบทเรียนนี้มุงเนนใหนักเรียนบรรลุผลการเรียนรูตามสาระการเรียนรูเพิ่มเติม และบรรลุ จดุ มุงหมายดังตอไปน้ี ผลการเรยี นรแู ละสาระการเรยี นรเู พมิ่ เตมิ ผลการเรยี นรู สาระการเรียนรเู พ่มิ เติม • หาความนาจะเปนของเหตุการณ • การแจกแจงเอกรปู • การแจกแจงทวินาม ที่เกิดจากตัวแปรสุมท่ีมีการแจกแจง • การแจกแจงปกติ เอกรูป การแจกแจงทวินาม และการ แจกแจงปกติ และนําไปใชในการ แกป ญหา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 218 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 จดุ มุงหมาย 1. จาํ แนกไดวา ตวั แปรสมุ ทก่ี าํ หนดใหเ ปนตัวแปรสุมไมต อ เน่ืองหรือตัวแปรสมุ ตอ เนือ่ ง 2. เขียนแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม ไมตอเน่ือง 3. หาคาคาดหมายและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง พรอมท้ังใช ในการแกป ญ หา 4. ตรวจสอบไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่องเปนการแจกแจง เอกรูปไมตอ เน่ืองหรอื ไม 5. ใชความรูเกี่ยวกบั การแจกแจงทวินามในการแกป ญ หา 6. หาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม ปกตจิ ะมีคา อยใู นชวงทีก่ ําหนด 7. ใชค วามรเู ก่ยี วกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกตมิ าตรฐานในการแกปญ หา ความรูกอ นหนา ipst.me/10679 • หลักการนับเบอ้ื งตน • ความนา จะเปน • การวิเคราะหและนาํ เสนอขอมูลเชิงปริมาณ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 219 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 4.1 เน้ือหาสาระ 1. ตัวแปรสุม คือฟงกช ันจากปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ ไปยงั เซตของจํานวนจริง 2. จะเรียกสมาชิกของเรนจของตัวแปรสุมวา คาของตัวแปรสุม ซึ่งแตละคาจะเกิดไดดวย ความนาจะเปนคาหน่งึ 3. ตัวแปรสมุ แบงไดเปน 2 ชนิด ตามลกั ษณะของคา ทเี่ ปนไปไดข องตวั แปรสมุ ดงั นี้ 3.1 ตัวแปรสุมไมตอเน่ือง คือตัวแปรสุมที่คาท่ีเปนไปไดทั้งหมดอยูในเซตท่ีสามารถนับ จํานวนสมาชิกได หรือคาที่เปนไปไดทั้งหมดของตัวแปรสุมสามารถเขียนเรียงลําดับ จากนอยไปมากได ทั้งน้ี เซตของคาที่เปนไปไดทั้งหมดของตัวแปรสุมไมตอเน่ือง อาจเปนเซตจํากดั หรือเซตอนนั ตกไ็ ด 3.2 ตัวแปรสุมตอเน่ือง คือตัวแปรสุมที่เซตของคาที่เปนไปไดท้ังหมดเปนชวงท่ีเปน สบั เซตของ  4. เม่ือนําความนาจะเปนของการเกิดคาแตละคาที่เปนไปไดทั้งหมดของตัวแปรสุมมาเขียน แสดงเพอ่ื อธบิ ายลกั ษณะของตัวแปรสุม จะเรียกวา การแจกแจงความนา จะเปน โดยอาจ เขยี นแสดงในรปู ตารางหรือกราฟ 5. บทนิยาม 1 คา คาดหมายของตัวแปรสมุ ไมต อเนื่อง X เขียนแทนดว ย µX นิยามโดย n ∑=µX =xi P ( X xi ) i =1 เมื่อ n แทนจํานวนคาที่เปนไปไดท้ังหมดของตัวแปรสุม X และ x1, x2, x3,  , xn แทนคา ทีเ่ ปน ไปไดท ้งั หมดของตวั แปรสมุ X 6. อาจเรียกคา คาดหมายของตัวแปรสุมวา คาเฉลีย่ ของตัวแปรสุม 7. บทนิยาม 2 สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ ไมต อ เนื่อง X เขยี นแทนดวย σ X นิยามโดย n ∑σ X = ( xi − µX )2 P ( X =xi ) i =1 และเรียก σ 2 วา ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ ไมต อ เน่ือง X X สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 220 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 เม่ือ n แทนจํานวนคาที่เปนไปไดทั้งหมดของตัวแปรสุม X และ x1, x2, x3, , xn แทนคาท่เี ปน ไปไดทงั้ หมดของตวั แปรสุม X 8. บทนิยาม 3 ให X เปน ตวั แปรสุมไมต อเนอื่ ง ถาคา ที่เปน ไปไดท ั้งหมดของ X คอื x1, x2, x3,  , xn แลว การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ือง เมอ่ื P(=X x=i ) 1 สําหรับทุก i ∈{1, 2, 3,  , n} n 9. บทนิยาม 4 การแจกแจงทวินาม คือ การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ซึ่งคือจํานวน ครั้งของการเกิดผลสําเร็จจากการทดลองสุม n คร้ัง ท่ีเปนอิสระกัน โดยในแตละคร้ังมี โอกาสเกิดผลสําเร็จดวยความนาจะเปนเทากับ p และไมเกิดผลสําเร็จดวยความนาจะเปน เทา กบั 1− p หมายเหตุ 1. เรียก n และ p วา พารามิเตอรของการแจกแจงทวินาม และเขียน สัญลักษณ X ~ B(n, p) เพื่อแสดงวาการแจกแจงความนาจะเปนของ ตัวแปรสมุ X เปน การแจกแจงทวินามทีม่ ี n และ p เปน พารามิเตอร 2. การทดลองสุม 1 ครั้ง ที่มีผลลัพธที่เปนไปได 2 แบบ คือ สําเร็จหรือ ไมส ําเรจ็ เรียกวา การลองแบรนูลลี 10. การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่องท่ีมีลักษณะ ดังตอไปน้ี 1) เกิดจากการทดลองสุมจํานวน n คร้ัง ท่ีเปนอิสระกัน กลาวคือ ผลท่ีไดจากการ ทดลองสุมในคร้งั กอ นหนาไมสงผลตอการทดลองสุมในครงั้ ตอ ๆ ไป 2) การทดลองสุมแตละคร้ังมีผลลัพธทเ่ี ปน ไปไดเ พยี ง 2 แบบ คอื สาํ เร็จหรือไมสาํ เรจ็ 3) ความนาจะเปนท่ีจะเกิดผลสําเร็จในการทดลองสุมแตละครั้งเทากัน ใหเปน p เม่ือ 0 < p <1 และจะไดวาความนาจะเปนที่จะไมเกิดผลสําเร็จในการทดลองสุมแตละครั้ง เปน 1− p สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 221 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 11. ทฤษฎบี ท 1 ถาการแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสุม X เปนการแจกแจงทวนิ าม จะไดว า 1) P( X= x=) n px (1 − )p n−x สาํ หรบั ทกุ x ∈{0, 1, 2,, n}    x  2) µX = np 3) =σ X np (1− p) เมอื่ n แทนจาํ นวนครั้งของการทดลองสุม และ p แทนความนา จะเปน ที่จะเกิดผลสําเร็จ ในการทดลองสุม แตละครั้ง 12. เน่ืองจากตัวแปรสุมตอเน่ืองมีเซตของคาท่ีเปนไปไดทั้งหมดเปนชวงซ่ึงเปนสับเซตของ  ซ่ึงมีสมาชิกเปนจํานวนอนันต จึงไมเหมาะกับการเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ในรปู ตาราง แตจ ะใช เสน โคงความหนาแนน ในการเขียนแสดงการแจกแจงความนา จะเปน โดยความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวงใดชวงหนึ่งจะเทากับพ้ืนท่ีที่ปดลอมดวย เสนโคงความหนาแนนกับแกน X ในชวงนั้น จะเรียกพื้นที่บริเวณดังกลาววา พื้นท่ีใตเสน โคงความหนาแนน เสนโคงความหนาแนนเปนกราฟของฟงกชัน y = f (x) โดยท่ี x แทนคาท่ีเปนไปได ของตวั แปรสมุ จะเรียกฟง กช นั นว้ี า ฟงกช นั ความหนาแนนความนา จะเปน หมายเหตุ f (x) เปนฟงกชันความหนาแนนความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ X กต็ อ เมือ่ 1. f (x) ≥ 0 สําหรบั ทุก x ท่ีเปน คา ที่เปน ไปไดข องตวั แปรสมุ X 2. พื้นทีใ่ ตเสน โคงความหนาแนน ท้งั หมดจะเทา กับ 1 13. ถาให X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง และ a เปนคาท่ีเปนไปไดของ X จะไดวา P( X= a=) 0 เนื่องจากพื้นที่ใตเสนโคงความหนาแนน จาก a ถึง a เทากับศูนย ดังน้ัน สําหรับตัวแปรสุมตอเนื่อง จะไมพิจารณาความนาจะเปนของการเกิดคาของตัวแปรสุมคา ใดคาหนึ่ง แตจะสนใจเฉพาะความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวงใดชวงหนึ่ง โดย ความนา จะเปน ท่ีตัวแปรสุม จะมีคาอยูในชวงปด [a, b] จะเทากับความนา จะเปนท่ีตัวแปร สุมจะมีคาอยูในชวงเปด (a, b) นั่นคือ P(a ≤ X ≤ b)= P(a < X < b) เม่ือ a และ b เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X ในทํานองเดียวกัน จะไดวา P( X ≤ a=) P( X < a) และ P( X ≥ a=) P( X > a) เมอ่ื a เปน คา ที่เปน ไปไดของตัวแปรสมุ X สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 222 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 14. บทนยิ าม 5 การแจกแจงปกติ คือ การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเน่ือง X ท่ีมีฟงกชัน ความหนาแนนความนาจะเปน คือ 1 e− 1  x− µ 2 2  σ  f (x) = เม่ือ −∞ < x < ∞ σ 2π โดยที่ µ แทนคา เฉล่ีย และ σ แทนสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 15. ถาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงปกติ แลวเม่ือเขียน กราฟของฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนสําหรับตัวแปรสุม X จะได เสนโคงปกติ ซ่งึ เปนเสนโคง รูประฆังทีม่ สี มบตั ดิ งั ตอ ไปนี้ 1) เสนโคงมีเสนต้ังฉากกับแกน X ท่ีลากผานคาเฉลี่ยเปนแกนสมมาตร ทําใหพื้นที่ใต เสนโคงทางดานซา ยของคาเฉลี่ยเทากบั พ้ืนทีใ่ ตเ สนโคงทางดา นขวาของคาเฉลีย่ 2) ปลายเสนโคงทั้งสองดานเขาใกลแกน X แตจะไมตัดแกน X หรือกลาวไดวา แกน X เปนเสน กํากบั แนวนอน 3) คาเฉล่ียและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (หรือความแปรปรวน) จะเปนตัวกําหนด ลักษณะเฉพาะของเสนโคงวามีแกนสมมาตรอยูที่ใด และมีการกระจายจากคาเฉล่ีย มากนอ ยเพียงใด 16. ถา ตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยท่ี µ แทนคาเฉลีย่ และ σ 2 แทนความแปรปรวน จะเรียกตัวแปรสุม X วา ตัวแปรสุมปกติ เรียก µ และ σ 2 วา พารามิเตอรของ การแจกแจงปกติ และเขียนสัญลักษณ X ~ N (µ, σ 2 ) เพ่ือแสดงวาการแจกแจง ความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ X เปน การแจกแจงปกตทิ ีม่ ี µ และ σ 2 เปน พารามเิ ตอร 17. บทนยิ าม 6 การแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ การแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ยเทากับ 0 (µ = 0) และ สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 1 (σ =1) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 223 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 18. ฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ท่ีมีการแจกแจงปกติมาตรฐาน คอื f (z)= 1 − z2 เม่ือ −∞ < z < ∞ 2π e2 เรียกเสนโคงปกติซ่ึงไดจากตัวแปรสุมปกติท่ีมีคาเฉล่ียเปน 0 และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน เปน 1 วา เสนโคงปกติมาตรฐาน ดงั รูป เรียกตวั แปรสุมท่มี กี ารแจกแจงปกติมาตรฐานวา ตัวแปรสมุ ปกตมิ าตรฐาน 19. การหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมปกติมาตรฐานจะมีคาอยูในชวงท่ีสนใจ จะใชตาราง แสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 หนา 256 – 257) แทนการหาปริพันธจํากัดเขต ของฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปน โดยคาท่ีปรากฏในตารางที่ 1 คือคาประมาณ ของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง z หรือความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม ปกติมาตรฐาน Z มีคานอยกวา หรือเทากับ z เขียนแทนดว ยสญั ลกั ษณ P(Z ≤ z) 20. ทฤษฎบี ท 2 ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉล่ีย µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ถาตัวแปรสุม Z นิยามโดย Z = X− µ แลว ตัวแปรสุม Z จะมีการแจกแจงปกติ σ มาตรฐาน นัน่ คอื µZ = 0 และ σZ =1 นอกจากนี้ P(a ≤ X=≤ b) P  a − µ ≤ Z ≤ b − µ  เม่ือ a, b เปนคาท่ีเปนไปไดของ  σ σ  ตัวแปรสมุ X และ a ≤ b สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 224 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 21. สําหรับตัวแปรสุมตอเนื่อง X เน่ืองจากพ้ืนท่ีใตเสนโคงความหนาแนนทั้งหมดเทากับ 1 หรือคิดเปน 100% ดังนั้น ถา x เปนคาที่เปนไปไดของตัวแปรสุม X จะไดวาขอมูลที่มี คานอยกวา x มีจํานวน P( X < x)⋅100% น่ันคือ ถา P( X < x)⋅100 เปนจํานวนเต็ม ท่อี ยูร ะหวาง 0 และ 100 จะไดว าเปอรเ ซ็นไทลท่ี P( X < x)⋅100 เทา กบั x 22. การแปลงตัวแปรสุม ปกติใหเ ปน ตวั แปรสมุ ปกติมาตรฐาน นอกจากจะมีประโยชนในการหา ความนาจะเปนโดยใชตารางแลว ยังสามารถนําคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานท่ีแปลงได ไปใชในการเปรียบเทียบขอมูลตั้งแตสองชุดข้ึนไปวามีความแตกตางกันหรือไมเพียงใด เน่ืองจากคาเฉลี่ยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดมักจะไมเทากัน บางคร้ัง จึงไมส ามารถนําขอ มลู แตละชุดมาเปรียบเทียบโดยตรงได สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 225 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 4.2 ขอเสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน ความหมายและชนดิ ของตวั แปรสุม ประเดน็ สําคญั เกยี่ วกับเนอื้ หาและสงิ่ ทคี่ วรตระหนักเกยี่ วกบั การสอน • หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ไดนําเสนอ บทนยิ ามของตัวแปรสมุ ดังนี้ ตัวแปรสุม (random variable) คือฟงกชันจากปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุม ไปยังเซตของจํานวนจริง ถึงแมวาตัวแปรสุมจะนิยามวาเปนฟงกชัน แตโดยท่ัวไปเมื่อกลาวถึงตัวแปรสุม จะหมายถึงสมาชิกของเรนจของตัวแปรสุม (ซึ่งเรียกวา คาของตัวแปรสุม) โดยจะ ไมสนใจโดเมนและความสัมพันธระหวางโดเมนและเรนจของตัวแปรสุม ดวยเหตุน้ี จึงอาจพบการนิยามตัวแปรสุมวาเปนตัวแปรเชิงปริมาณที่คาแตละคาที่เปนไปได ของตวั แปรนน้ั มโี อกาสเกิดขน้ึ ดวยความนาจะเปนคาหนึง่ นอกจากนี้ ครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมเพ่ืออธิบายวาสามารถกําหนดตัวแปรสุม เปนฟงกช ันไดอยา งไร เชน o ถาสนใจจํานวนครั้งที่เหรียญข้ึนหัว ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 คร้ัง จะกําหนดใหตัวแปรสุม X คือจํานวนคร้ังที่เหรียญข้ึนหัว ในท่ีนี้จะกําหนดโดเมน ของตัวแปรสุมเปนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสมุ ซึ่งคือ {H, T} กําหนดเรนจ ของตัวแปรสุมเปนเซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนครั้งท่ีเปนไปไดที่เหรียญข้ึนหัว ซ่ึงคือ {0, 1} และจะพิจารณาวา X เปนฟงกชันจาก {H, T} ไปยัง {0, 1} โดยที่ X ( H ) = 1 และ X (T ) = 0 o ถาสนใจจํานวนลูกคาท่ีมาใชบริการที่รานอาหารแหงหน่ึงระหวางเวลา 11:00 – 14:00 น. จะกําหนดใหตัวแปรสุม Y คือจํานวนลูกคาที่มาใชบริการที่รานอาหาร แหงนี้ระหวางเวลา 11:00 – 14:00 น. ในท่ีนี้จะกาํ หนดโดเมนและเรนจของ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 226 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ตัวแปรสุมเปนเซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนลูกคาท่ีเปนไปไดท่ีมาใชบริการ ที่รานอาหารแหงนี้ ซึ่งคือ x∈ ∪{0} และจะพิจารณาวา Y เปนฟงกชันจาก  ∪{0} ไปยงั  ∪{0} โดยที่ Y ( x) = x สาํ หรับทุก x ∈ ∪{0} อยางไรก็ตาม ครูอาจไมจําเปนตองใหความสําคัญกับการหาโดเมนและ ความสัมพันธระหวางโดเมนและเรนจของตัวแปรสุม เนื่องจากไมใชประเด็นสําคัญ ในการศกึ ษาเกยี่ วกบั ตัวแปรสมุ สําหรับนกั เรยี นในระดับนี้ การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ ไมต อ เนือ่ ง ประเดน็ สาํ คญั เกย่ี วกับเนื้อหาและส่ิงทค่ี วรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน คาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ ไมต อเนอื่ ง • ครูอาจนําเสนอตัวอยางเกี่ยวกับการนําคาคาดหมายและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานไปใช ในการตัดสินใจเกี่ยวกับการลงทุน เพ่ือใหนักเรียนเห็นตัวอยางการนําไปใชในชีวิตจริง เชน 1. นักลงทุนคนหนึ่งมีทางเลือกในการลงทุนกับบรษิ ัท A และบริษัท B โดยมขี อมลู ดังน้ี ผลตอบแทน ความนา จะเปน ผลตอบแทน ความนา จะเปน (บาท) (บาท) 20,000 0.6 20,000 0.7 −10, 000 0.4 −20, 000 0.3 บรษิ ทั A บริษทั B ในการพิจารณาวา นักลงทนุ ควรเลอื กลงทนุ กบั บริษทั ใด ทาํ ไดดังนี้ ใหตัวแปรสุม X และ Y คือผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B ตามลําดับ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 227 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 เนื่องจาก µX = 20,000(0.6) + (−10,000)(0.4) = 8,000 และ µY = 20,000(0.7) + (− 20,000)(0.3) = 8,000 น่ันคือ คาคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับทั้งสองบริษัทเทากัน โดยเทากบั 8,000 บาท ซึ่งหมายความวา ในการลงทุนกับแตละบริษัท โดยเฉล่ียแลวจะไดรับผลตอบแทน 8,000 บาท เนอ่ื งจาก σ 2 = (20,000 − 8,000)2 (0.6) + (−10,000 − 8,000)2 (0.4) X = 216,000,000 และ σ 2 = (20,000 − 8,000)2 (0.7) + (−20,000 − 8,000)2 (0.3) Y = 336,000,000 น่ันคือ ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B เทา กบั 216,000,000 และ 336,000,000 บาท2 ตามลําดบั และจะไดวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบรษิ ทั B มคี าประมาณ 14,696.94 และ 18,330.30 บาท ตามลําดับ ซึ่งอธิบายคราว ๆ ไดวา โดยเฉล่ียแลวผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และ บริษัท B จะตางจากคาคาดหมายประมาณ 14,696.94 และ 18,330.30 บาท ตามลําดับ ดังนั้น นักลงทุนควรเลือกลงทุนกับบริษัท A เนื่องจากถึงแมวาคาคาดหมาย ของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัททั้งสองจะเทากัน แตโดยเฉล่ียแลว ผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A ตางจากคาคาดหมายนอยกวาบริษัท B ซงึ่ อาจกลา วไดวา การลงทุนกับบริษัท A มคี วามเสยี่ งนอยกวาการลงทุนกับบริษัท B สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 228 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 2. นักลงทุนคนหน่ึงมีทางเลือกในการลงทุนกับบริษัท B ในตัวอยางขางตน และบริษัท C โดยมขี อมูลดังนี้ ผลตอบแทน ความนา จะเปน (บาท) 10,000 0.8 −20, 000 0.2 บริษัท C ในการพจิ ารณาวา นกั ลงทุนควรเลือกลงทนุ กับบริษทั ใด ทําไดดงั นี้ ใหตัวแปรสุม Y และ Z คือผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C ตามลาํ ดับ เนอื่ งจาก µY = 20,000(0.7) + (− 20,000)(0.3) = 8,000 และ µZ = 10,000(0.8) + (− 20,000)(0.2) = 4,000 น่ันคือ คาคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C เทากบั 8,000 และ 4,000 บาท ตามลาํ ดบั ซ่ึงหมายความวา ในการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C โดยเฉล่ียแลวจะไดรับ ผลตอบแทน 8,000 และ 4,000 บาท ตามลําดับ เน่อื งจาก σ 2 = (20,000 − 8,000)2 (0.7) + (−20,000 − 8,000)2 (0.3) Y = 336,000,000 และ σ 2 = (10,000 − 4,000)2 (0.8) + (−20,000 − 4,000)2 (0.2) Z = 144,000,000 นั่นคือ ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C เทา กบั 336,000,000 และ 144,000,000 บาท2 ตามลาํ ดบั และจะไดวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และบริษัท C มีคา ประมาณ 18,330.30 และ 12,000 บาท ตามลาํ ดับ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 229 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 ซึ่งอธิบายคราว ๆ ไดวา โดยเฉลี่ยแลวผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B และ บริษทั C จะตา งจากคาคาดหมายประมาณ 18,330.30 และ 12,000 บาท ตามลําดบั จะเห็นวาคาคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท B สูงกวาบริษัท C ในขณะท่คี วามเสี่ยงของการลงทนุ กับบริษัท B ก็สูงกวา บริษัท C ดว ย ดังนั้น การตัดสินใจในการเลือกลงทุนกับบริษัท B หรือบริษัท C จึงข้ึนอยูกับ ความพอใจในผลตอบแทนและการยอมรับกบั ความเสีย่ งจากการลงทุน การแจกแจงทวินาม • ครูควรทบทวนความหมายของสัญลักษณ n และทฤษฎีบททวินาม ซ่ึงนักเรียน    r  ไดศ ึกษามาแลวในชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เร่อื งหลักการนับเบือ้ งตน • ในบางคร้ังการหาคาประมาณของ P( X = x) อาจไมไดใชหลักการปดเศษโดยครึ่งหน่ึง ใหปดข้ึนที่นักเรียนคุนเคย เพ่ือใหผลรวมของความนาจะเปนเทากับ 1 พอดี n∑ P ( X= x=) 1 เชน จากตัวอยางที่ 10 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร    x=0 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 คาประมาณของ P( X = 4) ที่คํานวณไดจริงคอื 0.0156285722 แตในตารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ไดป ดเปน 0.015628 แทนทีจ่ ะปด เปน 0.015629 เน่อื งจากตองการให 7 x=) 1 ∑ P( X= x=0 อยางไรก็ตาม ถานักเรียนจะใชหลักการปดเศษโดยคร่ึงหน่ึงใหปดขึ้น ก็จะไมถือวา นักเรียนทําผิด ถึงแมวาผลรวมของความนาจะเปนจะไมเทากับ 1 พอดี จึงแนะนําใหครู ควรตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนโดยพิจารณาจากวิธีการคิดมากกวาสนใจคําตอบ ทีเ่ ปน คาประมาณท่ไี ดจากการคาํ นวณ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 230 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 ครูอาจใหนักเรียนทบทวนความรูเรื่องการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเน่ือง โดยใหนักเรียนทํากจิ กรรม “สสี นั หรรษา” กจิ กรรม : สสี ันหรรษา คาํ ช้แี จง ตอนที่ 1 ใหน กั เรยี นเลอื กคาํ ตอบท่ีถูกตองทส่ี ดุ เพยี งคําตอบเดียว 1. ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงเอกรูปไมตอ เนื่อง และคาท่ีเปนไปไดข องตัวแปรสุม X คือ 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหา µX ระบายสเี ขยี วในชอ งหมายเลข 1 ก. 2 ข. 3 ระบายสเี หลอื งในชองหมายเลข 1 2. ใหตัวแปรสมุ Y คือผลตางของแตมบนหนาลูกเตา จากการทอดลูกเตาทีเ่ ทย่ี งตรง 2 ลูก พรอ มกนั 1 ครัง้ จงหา P(Y > 3) ก. 1 ระบายสีมว งในชอ งหมายเลข 2 3 ข. 1 ระบายสีดําในชองหมายเลข 2 6 3. เกมวงลอ เสยี่ งโชคมกี ติกาการเลนคือ ผเู ลน จะตองหมุนวงลอรปู วงกลมทแี่ บงเปน 5 ชอ ง เทา ๆ กัน โดยแตละชองระบุจํานวนเงินรางวัลแตกตางกันคือ 70, 150, 200, 300 และ 500 บาท ถาลูกศรชี้ท่ีชองใด ผูเลนจะไดเงินรางวัลตามท่ีระบุในชองน้ัน สมมติวา ในการหมุนวงลอแตละคร้ังโอกาสท่ีลูกศรจะชี้ที่ชองใดชองหน่ึงเทากัน และในการเลน เกมวงลอเสี่ยงโชคแตละคร้ังผูเลนจะตองจายเงินซ้ือตั๋วราคา 220 บาท ถาเลนเกมวงลอ เส่ียงโชคหลาย ๆ คร้ัง โดยเฉล่ยี แลวผูเลน จะไดเ ปรยี บหรอื เสียเปรียบ ก. ไดเ ปรียบ ระบายสแี ดงในชอ งหมายเลข 3 ข. เสียเปรียบ ระบายสฟี า ในชองหมายเลข 3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 231 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 4. ใหตัวแปรสุม Z คือจํานวนครั้งไดแตมเปนจํานวนเฉพาะ จากการทอดลูกเตา ท่ีเท่ียงตรง 1 ลูก 3 ครั้ง จงพิจารณาวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงแบบใด ก. การแจกแจงเอกรูปไมตอ เนื่อง ระบายสเี หลืองในชองหมายเลข 4 ข. การแจกแจงทวินาม ระบายสเี ขียวในชอ งหมายเลข 4 5. ในการรักษาโรคมะเร็งดวยสมุนไพรท่ีคิดคนขึ้นมาใหม พบวา เมื่อผูปวยรับประทาน สมุนไพรชนิดนี้ตอเน่ืองกันไปตามแพทยสั่งในชวงระยะเวลาหน่ึง ความนาจะเปน ท่ีผูปวยแตละคนจะหายจากโรคมะเร็งเปน 0.1 ถานักวิจัยสุมผูปวยโรคมะเร็งท่ีมารับ การรักษาดวยสมุนไพรนี้จํานวน 3 คน จงหาความนาจะเปนท่ีจะมีผูปวยหาย จากโรคมะเร็งไมมากกวา 2 คน ก.  3  ( 0.1) ( 0.9 )2 +  3  ( 0.1)2 (0.9) ระบายสสี มในชองหมายเลข 5  1   2  ระบายสีชมพใู นชองหมายเลข 5     ข. 1 −  3  ( 0.9 )3  3    6. ในการโยนเหรียญที่ไมเท่ียงตรงเหรียญหน่ึง พบวา ความนาจะเปนที่เหรียญข้ึนกอย ในการโยนเหรียญแตละครั้งเทากับ 0.6 จงหาวาโดยเฉลี่ยแลวเหรียญจะขึ้นหัวกี่คร้ัง จากการโยนเหรยี ญนี้ 8 ครัง้ ก. 3.2 ครั้ง ระบายสฟี า ในชองหมายเลข 6 ข. 4.8 คร้งั ระบายสีแดงในชอ งหมายเลข 6 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 232 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 ตอนที่ 2 ใหนกั เรยี นนําขอ มลู ท่ไี ดจ ากการตอบคําถามในตอนที่ 1 มาระบายสใี นรูปตอ ไปน้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 233 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 เฉลยกจิ กรรม : สีสนั หรรษา ระบายสเี หลอื งในชองหมายเลข 1 ตอนที่ 1 ระบายสีดาํ ในชอ งหมายเลข 2 1. ข ระบายสีแดงในชอ งหมายเลข 3 2. ข ระบายสเี ขยี วในชองหมายเลข 4 3. ก 4. ข ระบายสีชมพูในชอ งหมายเลข 5 5. ข ระบายสฟี าในชองหมายเลข 6 6. ก ตอนที่ 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 234 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 แนวทางการจดั กจิ กรรม : สีสนั หรรษา เวลาในการจัดกจิ กรรม 30 นาที ส่อื /แหลง การเรียนรู ใบกิจกรรม “สสี นั หรรษา” ดาวนโ หลดใบกจิ กรรมสําหรบั พิมพไดที่ ipst.me/11543 ขัน้ ตอนการดําเนนิ กิจกรรม 1. ครูแบงนักเรียนออกเปนกลุม กลุมละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นแจก ใบกจิ กรรม “สสี ันหรรษา” กลุมละ 1 ใบ 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมปฏิบัติตามคําชี้แจงในใบกิจกรรม ในระหวางที่นักเรียนทํากจิ กรรม ครูควรเดนิ ดูนกั เรยี นใหท่วั ถงึ ทกุ กลมุ เพือ่ สงั เกตการทํางานและฟงบทสนทนาของนักเรยี น 3. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 1 กลุม ออกมานําเสนอคําตอบ พรอมท้ังใหเหตุผลประกอบ คําตอบแตละขอ และใหนักเรียนทั้งหองรวมกันอภิปราย เพื่อนําไปสูขอสรุปวา คาํ ตอบใดถูกตอ ง โดยมเี หตผุ ลประกอบคําตอบทส่ี อดคลอ งกับเน้ือหาในหนังสือเรยี น สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี