(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.2

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 385 d = 30 ดงั นั้น สวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคา ขนมของทงั้ สี่คน คอื (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท 4 วธิ ีที่ 2 เน่ืองจากสว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของคา ขนมของท้ังสามคน คือ 0 บาท จะไดวาทั้งสามคนไดคาขนมจากผูป กครองเทา ๆ กนั และเนอื่ งจากคา เฉล่ยี เลขคณิตของคาขนมของท้ังสามคนคอื 50 บาท ดังนัน้ มานี ชใู จ และปต ิ ไดคา ขนมจากผปู กครองคนละ 50 บาท สมมตคิ าขนมของมานะคอื d บาท เนื่องจากคา เฉลี่ยเลขคณติ ของคาขนมของทงั้ สีค่ น คอื 45 บาท จะได 50 + 50 + 50 + d = 45 4 d = 30 ดงั นน้ั สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคาขนมของทง้ั ส่ีคน คือ (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท 4 26. 1) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ท่ีสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวา สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข ดงั นน้ั ขอมลู ชดุ ก ควรมคี วามแตกตา งในชดุ ขอ มลู มากกวา ขอ มูลชุด ข คาํ ตอบมไี ดห ลากหลาย เชน ใหขอ มูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 5, 8, 9 และขอ มูลชุด ข ประกอบดว ย 11, 12, 13, 14, 15 จะได คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมลู ชดุ ก คือ 1+ 2 + 5 + 8 + 9 = 5 5 คาเฉลย่ี เลขคณิตของขอ มลู ชดุ ข คอื 11+12 +13 +14 +15 = 13 5 สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมูลชดุ ก คอื (1− 5)2 + (2 − 5)2 + (5 − 5)2 + (8 − 5)2 + (9 − 5=)2 10 ≈ 3.16 5 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

386 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 และสว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชดุ ข คอื (11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2 5 ≈ 1.41 จะเห็นวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมลู ชุด ข 2) เน่ืองจากสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดเปน 0 ก็ตอเมื่อขอมูลทุกตัวมีคา เทา กนั แตจากโจทย กาํ หนดใหข อ มลู แตล ะชุดประกอบดวยจาํ นวนเต็มที่แตกตา งกัน ดงั นัน้ ไมมีโอกาสท่สี วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชดุ จะเปน 0 3) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ท่ีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากบั สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ข ดังนั้น ผลบวกของกําลังสองของผลตางของขอมูลใด ๆ กับคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูล ท้งั สองชุดตอ งเทากัน คําตอบมีไดหลากหลาย เชน ใหขอมูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 3, 4, 5 และขอมูล ชดุ ข ประกอบดวย 11, 12, 13, 14, 15 จะได คา เฉลยี่ เลขคณติ ของขอ มูลชุด ก คอื 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 3 5 คาเฉล่ียเลขคณติ ของขอมูลชดุ ข คอื 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 13 5 สวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชุด ก คอื (1− 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)2 = 2 5 และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ (11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2 5 จะเห็นวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากับสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอ มลู ชุด ข สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 387 27. เนือ่ งจากคา เฉลีย่ เลขคณติ ของขอมลู ชดุ นี้เทากบั 3 จะได 1+ 2 + x + 3 + 3 + y + 6 = 3 7 x+ y = 6 y = 6−x เน่อื งจากสวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชดุ นีเ้ ทา กับ 4 7 7 จะได (1− 3)2 + (2 − 3)2 + ( x − 3)2 + (3 − 3)2 + (3 − 3)2 + ( y − 3)2 + (6 − 3)2 = 4 7 77 ( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 2 ( x − 3)2 + ((6 − x) − 3)2 = 2 ( x − 3)2 + (3 − x)2 = 2 ( x − 3)2 + ( x − 3)2 = 2 ( x − 3)2 = 1 x − 3 =−1 หรอื x − 3 =1 ดงั นัน้ x = 2 หรอื x = 4 เนื่องจากขอ มลู ชุดนเี้ รยี งจากนอ ยไปมากคือ 1, 2, x, 3, 3, y, 6 จะได x = 2 เน่อื งจาก y= 6 − x จะได y = 4 28. สมมติวาขอมูลทบี่ ันทึกถูกตองจํานวน 19 ตัว คือ x1, x2,  , x19 เนื่องจากคาเฉลยี่ เลขคณติ ของขอมลู ชดุ ท่มี ขี อมูลทีบ่ นั ทกึ ผิด 1 ตวั เทากับ 10 19 ∑ xi + 8 จะได i=1 = 10 20 19 ∑ xi = 192 i=1 เนอ่ื งจากสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ มูลชดุ ท่มี ีขอมลู ที่บนั ทกึ ผดิ 1 ตวั เทากับ 2 จะได ∑19 ( xi −10)2 + (8 −10)2 i=1 = 2 20 −1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

388 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ∑19 ( xi −10)2 = 72 i=1 19 ∑ xi +12 ดังนน้ั คาเฉลีย่ เลขคณิตทีถ่ ูกตอ งของขอ มูลชดุ น้ี คือ 1=92 +12 10.2 i ==1 20 20 และความแปรปรวนท่ถี ูกตองของขอมูลชดุ นี้ คอื ∑19 ( xi −10.2)2 + (12 −10.2)2 19 xi − 10 ) − 0.2)2 + 3.24 ∑(( =i=1 i=1 20 −1 19 ( )∑19 ( xi −10)2 − 0.4( xi −10) + 0.04 + 3.24 = i=1 19 −=10)2 − 0.4 i191=( xi −10)  + i191 ∑ ∑ ∑19 ( xi (0.04) + 3.24 == i 1 19 =72 − 0.4 i191 =xi  + 0.4 i191  ( ) ∑ ∑= 10  + 19 0.04 + 3.24 19 = 72 − 0.4(192) + 0.4(190) + 0.76 + 3.24 19 ≈ 3.96 29. 1) ไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมชายตรงกับ P30 หมายความวามีนักเรียน ประมาณรอยละ 30 ทไ่ี ดคะแนนนอ ยกวา สมชาย 2) โดยท่ัวไปแลวไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมหญิงตรงกับ P40 หมายความวา มีนกั เรียนประมาณรอ ยละ 60 ทีไ่ ดค ะแนนมากกวา สมหญิง 30. 1) เนือ่ งจากผูท่ีสอบผานจะตองไดค ะแนนไมต า่ํ กวารอ ยละ 70 ของคะแนนเต็ม ดังนนั้ ผทู สี่ อบผา นจะตองไดค ะแนนมากกวาหรอื เทา กับ 70 ×80 =56 คะแนน 100 จากขอมูล จะไดวาถาใชเกณฑในการสอบผานนี้ คะแนนต่ําสุดของผูท่ีสอบผานคือ 59 คะแนน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 389 2) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดด ังน้ี 25 26 38 38 41 44 59 62 69 72 เน่อื งจาก P70 อยใู นตําแหนงท่ี 70(10 +1) = 7.7 100 ดังน้ัน ถาใชเกณฑใ นการสอบผานน้ี คะแนนตํ่าสุดของผูที่สอบผา นคอื 62 คะแนน 31. 1) เรยี งขอ มูลจากนอ ยไปมาก ไดดังนี้ 84 112.2 142.5 164 197.5 214.2 220.9 224.7 229.1 299.4 320.6 365.2 392.4 423.2 เน่ืองจาก P87 อยใู นตาํ แหนงที่ 87(14 +1) = 13.05 100 ดังน้นั P87 อยรู ะหวางขอมูลในตําแหนง ที่ 13 และ 14 ซึง่ มีคา อยรู ะหวาง 392.4 และ 423.2 ในการหา P87 จะใชการเทยี บบัญญัตไิ ตรยางศ ดงั นี้ เน่อื งจากขอ มูลในตาํ แหนงที่ 13 และ 14 มตี ําแหนง ตางกัน 14 −13 =1 มีคาตา งกัน 423.2 − 392.4 =30.8 จะไดว า ตาํ แหนง ตา งกนั 13.05 −13 =0.05 มคี า ตา งกนั 0.05× 30.8 = 1.54 1 ดงั นนั้ P87 = 392.4 +1.54 = 393.94 จะไดวาปริมาณนํ้าฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 87 มีปริมาณน้ําฝน นอ ยกวาคือ 393.94 มลิ ลเิ มตร 2) เนือ่ งจาก P40 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 40(14 +1) =6 จะไดว า P40 = 214.2 100 ดังนั้น ปริมาณน้ําฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 60 มีปริมาณนํ้าฝน มากกวาคือ 214.2 มลิ ลิเมตร 32. 1) เนอื่ งจาก Q2 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 2(40 +1) = 20.5 จะได Q2 = 65 4 ดังน้ัน คะแนนทมี่ นี กั เรียนประมาณคร่งึ หนงึ่ ของชัน้ ไดค ะแนนต่ํากวา คอื 65 คะแนน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

390 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 2) เนอ่ื งจาก Q3 อยูใ นตาํ แหนง ที่ 3(40 +1) = 30.75 จะได Q3 = 78 4 ดงั นน้ั คะแนนทม่ี นี กั เรียนประมาณหนึง่ ในสขี่ องช้นั ไดคะแนนสงู กวาคือ 78 คะแนน 3) เนื่องจาก P60 อยใู นตาํ แหนงที่ 60(40 +1) = 24.6 100 ดงั นน้ั P60 อยรู ะหวา งขอ มูลในตาํ แหนง ท่ี 24 และ 25 ซ่งึ มีคาอยรู ะหวา ง 69 และ 74 ในการหา P60 จะใชก ารเทยี บบญั ญตั ิไตรยางศ ดงั น้ี เนื่องจากขอ มูลในตาํ แหนงท่ี 24 และ 25 มตี ําแหนง ตา งกัน 25 − 24 =1 มีคา ตางกนั 74 − 69 =5 จะไดวา ตาํ แหนงตา งกัน 24.6 − 24 =0.6 มคี า ตา งกนั 0.6× 5 = 3 1 ดังนัน้ P60 = 69 + 3 = 72 จะไดวาคะแนนท่ีมีนกั เรียนประมาณหกในสบิ ของชน้ั ไดค ะแนนตา่ํ กวา คือ 72 คะแนน 4) เนอื่ งจาก P25 อยูในตาํ แหนง ท่ี 25(40 +1) = 10.25 100 ดังนั้น มีนกั เรียนท่ไี ดคะแนนนอ ยกวาเปอรเซ็นไทลท ่ี 25 อยู 10 คน จะไดวาจํานวนนักเรียนท่ีตองเขารวมกิจกรรมพัฒนาทักษะการคิดอยางมีวิจารณญาณ คอื 10 คน 33. 1) มธั ยฐานและคา สงู สดุ ของอตั ราเร็วสงู สดุ ในการเคล่อื นทข่ี องสัตวป าคอื 40 และ 70 ไมล ตอชัว่ โมง ตามลาํ ดบั มัธยฐานและคาสูงสุดของอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนท่ีของสัตวเลี้ยงคือ 38 และ 49 ไมลตอช่วั โมง ตามลาํ ดบั 2) พิสยั ระหวา งควอรไ ทลข องอัตราเรว็ สงู สุดในการเคลอื่ นที่ของสตั วป าคือ 45 − 25 =20 ไมลต อ ชว่ั โมง พสิ ยั ระหวางควอรไทลข องอตั ราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนทีข่ องสตั วเ ลี้ยงคือ 40 − 30 =10 ไมลต อ ชัว่ โมง 3) จากแผนภาพกลอง จะไดวามีสัตวปาประมาณรอยละ 75 ที่มีอัตราเร็วสูงสุดในการ เคล่อื นท่ีนอยกวา 45 ไมลตอ ชั่วโมง สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 391 ดังนั้น จึงสามารถสรุปไดวาสัตวปาสวนใหญมีอัตราเร็วสูงสุดในการเคลื่อนท่ีนอยกวา 49 ไมลต อช่วั โมง 34. 1) คาตํ่าสุด มัธยฐาน และคาสูงสุดของจํานวนคร้ังของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอ ยกวา คา ตาํ่ สุด มธั ยฐาน และคา สงู สุดของจํานวนครงั้ ของการดาวนโ หลดแอปพลเิ คชัน B ตามลําดับ 2) พิสัยระหวางควอรไทลของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอยกวา พสิ ยั ระหวา งควอรไ ทลข องจํานวนครัง้ ของการดาวนโหลดแอปพลเิ คชนั B 35. 1) เม่อื พจิ ารณาจากคา ตํ่าสดุ ของดชั นคี วามสขุ ของประเทศท่สี ุมมาจากแตละทวปี จะไดวาแผนภาพกลอง (1), (2) และ (3) แสดงดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจาก ทวปี เอเชยี อเมรกิ า และยุโรป ตามลาํ ดับ 2) เรียงคาต่ําสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดังน้ี อเมริกา เอเชีย ยุโรป เรียงมัธยฐานของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดดงั นี้ เอเชยี ยุโรป อเมริกา เรียงคาสูงสุดของดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก ไดด งั นี้ เอเชีย อเมรกิ า ยโุ รป 3) ทวีปอเมริกามีการกระจายของดัชนีความสุขมากที่สุด เพราะแผนภาพกลองมี ความกวา งมากท่ีสดุ 4) เม่ือพิจารณาเฉพาะประเทศท่ีสุมมา ทวีปยุโรปมีดัชนีความสุขมากท่ีสุด เนื่องจาก ดชั นคี วามสขุ อยใู นชว ง 5.195 – 7.537 และแผนภาพกลองมีความกวางนอย แสดงวา ขอมูลทั้งหมดเกาะกลุมกันอยูในชวงดังกลาว นอกจากน้ีคาสูงสุดของดัชนีความสุข ของประเทศที่สุมมาจากทวีปยุโรปยังมากกวาอีกสองทวีป และคาต่ําสุดของดัชนี ความสขุ ของประเทศทส่ี ุมมาจากทวปี ยโุ รปกม็ ากกวาอีกสองทวีป สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

392 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 36. 1) เนื่องจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทล ที่ 90 แสดงวามีผูเขาสอบท่ีไดคะแนนนอยกวาเพลงรพิณประมาณ 90% ของ ผูเขา สอบท้งั หมด ดงั น้นั สามารถสรปุ ไดว า เพลงรพิณไดคะแนนมากกวา ผูเขา สอบสวนใหญ 2) ขอสอบท่ีใชในการวัดผลครั้งน้ีนาจะยากเกินไปสําหรับผูเขาสอบสวนใหญ เน่ืองจาก มีผูเขาสอบมากถึง 90% ของผูเขาสอบท้ังหมดที่ไดคะแนนนอยกวา 28 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน 3) เนอื่ งจากเพลงรพณิ ได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพณิ ตรงกับเปอรเซ็นไทลท ี่ 90 ดังน้ัน มีผูเขาสอบท่ีไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณประมาณ 10% ของผูเขาสอบทั้งหมด ซ่งึ เทากบั 10× 6=21,519 62,151.9 ≈ 62,152 คน 100 4) เปน ไปไมได โดยจากขอ 3) มีผูเขา สอบประมาณ 62,152 คน ทไ่ี ดค ะแนนมากกวาเพลงรพิณ จะไดวา มีผูเขาสอบประมาณ 621,519 − 62,152 −1 =559,366 คน ที่ไดคะแนนนอยกวา เพลงรพิณ สมมติวา ผูเขา สอบทุกคนท่ไี ดคะแนนนอ ยกวา เพลงรพิณไดค ะแนนเทา กันคือ 27 คะแนน และผูเขาสอบทุกคนท่ีไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณไดคะแนนเทากันคือ 100 คะแนน จะไดวาคาสูงทีส่ ุดทเี่ ปนไปไดข องคา เฉล่ียเลขคณติ ของคะแนนสอบคอื (559,366× 27) + 28 + (62,152×100) ≈ 34.3 คะแนน ซงึ่ นอยกวา 38 คะแนน 621, 519 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 393 เฉลยแบบฝกหดั บทท่ี 4 ตวั แปรสุมและการแจกแจงความนา จะเปน แบบฝก หัด 4.1 1. ตวั แปรสุม ไมต อ เน่ือง 2. ตัวแปรสมุ ไมตอเนื่อง 3. ตัวแปรสมุ ตอเนื่อง 4. ตวั แปรสมุ ตอเน่อื ง 5. ตัวแปรสุมไมตอ เนือ่ ง 6. ตวั แปรสมุ ตอ เนอื่ ง แบบฝก หดั 4.2ก 1. เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X ในรูปตารางไดดังนี้ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(X = x) 0 11 1 33 1 7331 40 20 8 20 40 5 40 40 40 20 2. เขยี นแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ Y ในรปู ตารางไดดังนี้ y 0123456 P(Y = y) 41 17 7 1 3 0 1 80 80 80 40 20 80 3. เนอ่ื งจากปริภูมิตัวอยางของการทอดลูกเตาทเี่ ทยี่ งตรง 2 ลูก พรอ มกนั 1 ครั้ง คอื {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

394 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} คา ทเี่ ปนไปไดข องตวั แปรสมุ Z คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เหตกุ ารณท ี่ Z = 0 คอื {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} เหตกุ ารณท ี่ Z = 1 คือ {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3),(4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} เหตุการณที่ Z = 2 คอื {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)} เหตกุ ารณท ี่ Z = 3 คอื {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)} เหตุการณท ี่ Z = 4 คือ {(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)} เหตุการณท ่ี Z = 5 คอื {(1, 6), (6, 1)} จะไดตารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ดงั น้ี z 01234 5 1 P(Z = z) 1 5 2 1 1 18 6 18 9 6 9 และจะไดกราฟแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ Z ดงั นี้ 0 12345 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 395 แบบฝกหัด 4.2ข 1. 1) จากแบบฝก หัด 4.2ก ขอ 1 คา คาดหมายของตวั แปรสมุ X คอื µX = 0 (0) + 1 1  + 2  1  + 3 1  + 4  3  + 5 3  + 6  1  40   20  8  20  40  5  + 7  7  + 8 3  + 9  3  + 10  1   40  40  40   20  = 5.675 ดงั น้ัน คา คาดหมายของตวั แปรสุม X คือ 5.675 ขอ ความแปรปรวนของตวั แปรสุม X คอื σ 2 = ( 0 − 5.675)2 ( 0) + (1 − 5.675)2  1  + ( 2 − 5.675)2  1  X  40   20  + ( 3 − 5.675)2  1  + ( 4 − 5.675)2  3  + ( 5 − 5.675)2  3   8   20   40  + (6 − 5.675)2  1  + ( 7 − 5.675)2  7  + (8 − 5.675)2  3   5   40   40  + ( 9 − 5.675)2  3  + (10 − 5.675)2  1   40   20  ≈ 5.07 ดังนน้ั ความแปรปรวนของตวั แปรสุม X มีคาประมาณ 5.07 ขอ 2 และจะได σ X ≈ 5.07 ≈ 2.25 ดงั น้นั สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม X มคี า ประมาณ 2.25 ขอ 2) จากแบบฝก หดั 4.2ก ขอ 2 คา คาดหมายของตวั แปรสุม Y คอื µY = 0  41  + 1 17  + 2  7  + 3 1  + 4  3  + 5(0) + 6  1   80  80   40  20   80   80  ≈ 0.94 ดังน้นั คา คาดหมายของตัวแปรสมุ Y มคี าประมาณ 0.94 ช้ิน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

396 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ Y คือ σ 2 = ( 0 − 0.94 )2  41  + (1 − 0.94)2  17  + ( 2 − 0.94)2  7  Y  80   80   40  + ( 3 − 0.94)2  1  + ( 4 − 0.94 )2  3  + ( 5 − 0.94 )2 ( 0 )  20   80  + ( 6 − 0.94 )2  1   80  ≈ 1.53 ดังน้ัน ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ Y มคี าประมาณ 1.53 ช้นิ 2 และจะได σY ≈ 1.53 ≈ 1.24 ดังนัน้ สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ Y มีคา ประมาณ 1.24 ช้นิ 3) จากแบบฝกหัด 4.2ก ขอ 3 คา คาดหมายของตวั แปรสุม Z คือ µZ = 0  1  + 1 5  + 2  2  + 3 1  + 4  1  + 5 1   6  18   9  6   9  18  ≈ 1.94 ดังนัน้ คา คาดหมายของตัวแปรสมุ Z มคี าประมาณ 1.94 แตม ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ Z คือ σ 2 = ( 0 − 1.94)2  1  + (1 − 1.94 )2  5  + ( 2 − 1.94)2  2  Z  6   18   9  + ( 3 − 1.94 )2  1  + ( 4 − 1.94 )2  1  + ( 5 − 1.94 )2  1   6   9   18  ≈ 2.05 ดงั นน้ั ความแปรปรวนของตวั แปรสุม Z มีคาประมาณ 2.05 แตม2 และจะได σ Z ≈ 2.05 ≈ 1.43 ดังนัน้ สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ Z มคี า ประมาณ 1.43 แตม สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 397 2. 1) จํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางของการสุมหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบ้ียทีละอัน และไมใ สคืนกอ นหยบิ เบี้ยอันท่สี องคือ 6(5) = 30 เขยี นตารางแสดงผลลัพธที่เปนไปไดท งั้ หมดของการทดลองสุมไดด งั น้ี เบี้ยอนั ท่ี 2 3 5 6 7 8 11 เบี้ยอนั ท่ี 1 3 8 9 10 11 14 58 11 12 13 16 6 9 11 13 14 17 7 10 12 13 15 18 8 11 13 14 15 19 11 14 16 17 18 19 จากตาราง จะไดค าท่เี ปน ไปไดของตวั แปรสมุ X คือ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 และ 19 เขียนตารางแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X ไดดงั นี้ x 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 P(X = x) 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 เนื่องจาก µX = 8 1  + 9  1  + 10  1  + 11 2  + 12  1  + 13 2  15   15   15  15  15  15  +14  2  + 15  1  + 16  1  + 17  1  + 18  1  + 19  1   15   15  15   15  15   15  ≈ 13.33 ดังน้ัน คาคาดหมายของตัวแปรสุม X หรือคาคาดหมายของผลบวกของหมายเลข บนเบี้ยท้งั สองอันทสี่ มุ ไดมีคา ประมาณ 13.33 แตม หมายความวา โดยเฉลีย่ แลว ในการ สุมหยิบเบ้ียทีละอันและไมใสคืนกอนหยิบเบี้ยอันที่สอง จะไดผลบวกของหมายเลข บนเบี้ยทัง้ สองอนั ท่สี มุ ไดมคี า ประมาณ 13.33 แตม สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

398 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 2) เนอ่ื งจาก σ 2 = (8 − 13.33)2  1  + (9 − 13.33)2  1  + (10 − 13.33)2  1  X  15   15   15  + (11 − 13.33)2  2  + (12 − 13.33)2  1  + (13 − 13.33)2  2   15   15   15  + (14 − 13.33)2  2  + (15 − 13.33)2  1  + (16 − 13.33)2  1   15   15   15  + (17 − 13.33)2  1  + (18 − 13.33)2  1  + (19 − 13.33)2  1   15   15   15  ≈ 9.96 ดังนนั้ ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 9.96 แตม2 และจะได σ X ≈ 9.96 ≈ 3.16 ดงั นั้น สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม X มคี า ประมาณ 3.16 แตม 3. ใหต วั แปรสุม X คอื กาํ ไร (ขาดทุน) ทีบ่ ริษัทมน่ั ใจประกนั ชวี ติ ไดร บั จากลกู คารายนีใ้ นแตละป เนือ่ งจากมเี หตุการณทีเ่ ปน ไปได 2 เหตุการณ คือ ลกู คา เสยี ชีวติ และลูกคา ไมเสยี ชวี ิต จะได คาท่ีเปน ไปไดของตัวแปรสุม X คือ −1,950,000 และ 50,000 เน่อื งจากโอกาสทล่ี ูกคา รายนจี้ ะเสยี ชีวิตในแตละปเ ทากบั 1 100 ดังน้นั P(X =−1,950,000) =1 100 และ =P ( X 5=0,000) 99 100 เนือ่ งจาก µX = ( −1, 950, 000 )  1  + (50, 000 )  99  100  100  = 30,000 น่ันคือ คาคาดหมายของกําไร (ขาดทุน) ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตไดรับจากลูกคารายน้ี ในแตละปคือ 30,000 บาท ดังนั้น ถาบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับทําประกันชีวิตใหกับลูกคารายนี้ บริษัทจะไดกําไร โดยเฉลี่ยปละ 30,000 บาท สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 399 4. ใหต ัวแปรสุม X คอื รายไดจากการขายสินคา 1 ชน้ิ เนอื่ งจากมีเหตุการณท่ีเปนไปได 4 เหตกุ ารณ คือ สนิ คามรี อยตาํ หนิ 0, 1, 2 และ 3 แหง จะได คาทเ่ี ปนไปไดข องตัวแปรสมุ X คอื 20, 9, − 2 และ −13 จากขอ มลู จํานวนรอยตําหนิบนสินคาแตละชน้ิ จะได P( X = 20) = 47 60 P( X = 9) = 4 = 1 60 15 P( X = − 2) = 6 = 1 60 10 และ P ( X = −13) = 3 = 1 60 20 เน่ืองจาก µX = 20  47  + 9  1  + ( −2 )  1  + ( −13)  1   60   15  10   20  ≈ 15.42 ดงั นน้ั คา คาดหมายของรายไดจ ากการขายสนิ คา 1 ช้นิ มคี าประมาณ 15.42 บาท แบบฝกหัด 4.2.1 1. 1) การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X1 เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอ เนอื่ ง เนื่องจากคาทีเ่ ปนไปไดท้ังหมดของตัวแปรสุม X1 คอื 0 และ 1 ซง่ึ P( X1= 0=) P ( X1= 1=) 1 2 2) การแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสุม X2 ไมเ ปน การแจกแจงเอกรปู ไมต อ เนอ่ื ง เนือ่ งจากมี 0 และ 1 เปนคาที่เปน ไปไดของตวั แปรสุม X2 ซึ่ง P( X=2 0=) 1 และ 210 P ( X 2= 1=) 10 210 นัน่ คอื P( X2 =0) ≠ P( X2 =1) 3) การแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X3 ไมเ ปนการแจกแจงเอกรูปไมต อเนือ่ ง เน่ืองจากมี 40 และ 90 เปน คา ทเี่ ปน ไปไดข องตวั แปรสมุ X3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

400 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 โดยที่ 40 เกิดจากการหยิบไดสลากที่ระบุจํานวนเงินรางวัล 10 และ 30 บาท และ 90 เกิดจากการหยิบไดสลากท่ีระบุจํานวนเงินรางวัล 10 และ 80 บาท หรือหยิบได สลากท่ีระบจุ ํานวนเงนิ รางวลั 30 และ 60 บาท จะได P( =X3 4=0) 1 และ P( X=3 9=0) 2 C4, 2 C4, 2 น่นั คอื P( X3 =40) ≠ P( X3 =90) 4) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X4 เปน การแจกแจงเอกรปู ไมตอ เนือ่ ง เน่ืองจากคาท่ีเปนไปไดท ง้ั หมดของตัวแปรสมุ X4 คือ 0, 1, 2, 3 และ 4 ซ่ึง P=( X4=0) P=( X 4=1) P=( X 4=2) P=( X 4=3) P=( X 4=4) =1860 1 5 2. เนอ่ื งจากการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรูปไมต อ เน่ือง และคาท่ีเปนไปไดท้ังหมดของ X มี 6 คา จะได P=( X =5) P=( X =6) = P=( X =10) 1 6 ดงั นนั้ µX = 5 1  + 6  1  +  + 10  1  6  6  6  = 7.5 จะไดว า คา คาดหมายของตัวแปรสุม X คือ 7.5 เนื่องจาก σ 2 = (5 − 7.5)2  1  + ( 6 − 7.5 )2  1  +  + (10 − 7.5)2  1  X  6   6   6  ≈ 2.92 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X มคี า ประมาณ 2.92 และจะได σ X ≈ 2.92 ≈ 1.71 ดังนนั้ สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X มคี าประมาณ 1.71 3. สมมตวิ าครูนาํ ของขวญั มาจบั สลากทง้ั หมด n ช้ิน ใหต วั แปรสมุ X คือมูลคาของของขวัญทีน่ กั เรียนจับสลากได เน่ืองจากความนาจะเปนท่ีนักเรียนจะไดของขวัญแตล ะช้ินมคี าเทากันคือ 0.125 ดังนั้น การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรปู ไมต อเน่ือง สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 401 โดยท่ี P=( X 1=00) P=( X 2=00) = P=( X 10=0n)=1 0.125 จะได n = 8 n ดงั นนั้ ของขวญั ทงั้ หมดที่ครนู าํ มาจบั สลากมมี ลู คา 100 + 200 + 300 ++ 800 =3,600 บาท 4. 1) ถา a = 5 จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z ไมเปนการแจกแจง เอกรูปไมตอเนื่อง เน่ืองจาก P=(Z =30) P=(Z =18) P=(Z =12) P=(Z =10) 1 6 แต P(Z= 5=) 2= 1 6 3 2) คาของ a ท่ีทําใหตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ืองจะตองอยูในชวง 0 ≤ a < 5 เชน 4, 3.5, 2.5, 1 3) ถา a = 1 จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจง เอกรปู ไมต อเนอ่ื ง เน่อื งจาก µZ = 30  1  + 18 1  + 12  1  + 10  1  + 5  1  + 1 1   6  6   6   6   6  6  ≈ 12.67 แสดงวาโดยเฉล่ียแลวในการเลนเกมลูกเตาเสี่ยงโชคแตละคร้ังผูเลนจะไดรับเงินรางวัล ประมาณ 12.67 บาท ดงั น้ัน ผูจัดเกมน้คี วรต้งั ราคาคาตั๋วสําหรับเลนเกมอยา งนอ ย 13 บาท จึงจะไมขาดทุน 5. ใหต วั แปรสุม X คือเงินรางวลั ทผ่ี ูเลน จะไดรบั จากการเลน เกมวงลอ เส่ยี งโชค จะได คา ท่เี ปนไปไดของตัวแปรสุม X คอื 50, 100, 150, 200, ... , 500 เน่อื งจากวงลอมี 10 ชอ ง และโอกาสท่ลี กู ศรจะช้ีทช่ี องใดชอ งหนงึ่ เทากัน จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมต อเน่ือง โดยท่ี P=( X =50) P=( X 1=00) P=( X 1=50) = P=( X 5=00) 1 10 เนอ่ื งจาก µX = 50  1  + 100  1  + 150  1  +  + 500  1   10   10   10   10  = 275 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

402 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 แสดงวา โดยเฉลี่ยแลว ผูเลนจะไดเงินรางวัลจากการเลนเกมวงลอ เสีย่ งโชคแตละครั้ง 275 บาท แตเน่อื งจากผเู ลนตองจา ยเงินซอ้ื ตว๋ั ราคา 300 บาท นกั เรียนจึงไมควรเลนเกมนี้ แบบฝก หัด 4.2.2 1. จากโจทย จะไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม ท่ี n = 6 และ p = 0.3 1) P(X = 2) =  6  ( 0.3)2 ( 0.7 )4  2    ≈ 0.3241 2) P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2) =  6  ( 0.7 )6 +  6  ( 0.3) ( 0.7 )5 +  6  ( 0.3)2 ( 0.7 )4  0   1   2        ≈ 0.7443 3) วิธีที่ 1 P( X > 2) = P( X =3) + P( X =4) + P( X =5) + P( X =6) =  6  ( 0.3)3 ( 0.7 )3 +  6  ( 0.3)4 ( 0.7 )2 +  6  ( 0.3)5 ( 0.7 )  3   4   5        +  6  ( 0.3)6  6    ≈ 0.2557 วิธีที่ 2 P( X > 2) = 1− P( X ≤ 2) ≈ 1− 0.7443 ≈ 0.2557 4) วิธที ี่ 1 P(2 ≤ X ≤ 5) = P( X =2) + P( X =3) + P( X =4) + P( X =5) =  6  ( 0.3)2 ( 0.7 )4 +  6  ( 0.3)3 ( 0.7 )3  2   3      +  6  (0.3)4 (0.7)2 +  6  (0.3)5 (0.7)  4   5      ≈ 0.5791 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 403 วิธีที่ 2 P(2 ≤ X ≤ 5) = 1− P( X =0) − P( X =1) − P( X =6) = 1− ( P( X ≤ 2) − P( X =2)) − P( X =6) = 1− P(X ≤ 2)+ P( X = 2 ) −  6  ( 0.3)6  6    ≈ 1− 0.7443 + 0.3241− 0.0007 ≈ 0.5791 2. 1) คา ทเ่ี ปนไปไดข องตัวแปรสุม X คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 2) เนอื่ งจากตวั แปรสุม X มลี ักษณะดงั ตอ ไปนี้ 1. เกิดจากการทดลองสุม (การโยนเหรยี ญทีไ่ มเทย่ี งตรง) จาํ นวน 6 คร้ัง ที่เปนอสิ ระกนั 2. การทดลองสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เหรียญข้ึนหัว) หรอื ไมส ําเร็จ (เหรยี ญข้นึ กอ ย) 3. ความนาจะเปนที่เหรียญขึ้นหัวในการโยนเหรียญแตละครั้งเทากัน โดยเทากับ 1− 0.6 =0.4 และความนาจะเปนท่ีเหรียญข้ึนกอยในการโยนเหรียญแตละคร้ัง เปน 0.6 ดังน้นั การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม 3) ความนาจะเปนท่เี หรียญขน้ึ หัวนอ ยกวา 3 ครง้ั คือ P( X < 3) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2) =  6  ( 0.6)6 +  6  ( 0.4) ( 0.6)5 +  6  ( 0.4)2 ( 0.6 )4  0   1   2        ≈ 0.5443 4) เน่ืองจา=ก µX 6=(0.4) 2.4 ดงั น้ัน โดยเฉลีย่ แลว เหรยี ญจะขึ้นหวั 2.4 ครั้ง 5) เน=ื่องจาก σ X2 6=(0.4)(0.6) 1.44 ดังนน้ั ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X คือ 1.44 คร้งั 2 เนอ่ื งจาก=σ X =1.44 1.2 ดงั นน้ั สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X คอื 1.2 คร้ัง สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

404 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 3. 1) เน่อื งจากตัวแปรสุม Y มีลกั ษณะดงั ตอ ไปน้ี 1. เกิดจากการทดลองสมุ (การทอดลูกเตาท่เี ทีย่ งตรง) จํานวน 8 คร้งั ที่เปนอสิ ระกนั 2. การทดลองสุมแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเตาขึ้นแตมเปน จํานวนคู) หรือไมสําเร็จ (ลูกเตา ขนึ้ แตม เปนจาํ นวนค่ี) 3. ความนาจะเปนท่ลี ูกเตาข้ึนแตม เปน จํานวนคูในการทอดลูกเตา ท่ีเทยี่ งตรงแตล ะคร้ัง เทากัน โดยเทากับ 1 และความนาจะเปนที่ลูกเตาข้ึนแตมเปนจํานวนค่ีในการ 2 ทอดลูกเตาแตล ะคร้งั เปน 1 2 ดังน้ัน การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสุม Y เปน การแจกแจงทวินาม 2) ความนา จะเปนทไี่ ดแตมเปน จาํ นวนคู 5 ครง้ั คอื P(Y = 5) = 8 1 5  1 3      2   5  2 ≈ 0.2188 3) ความนาจะเปนท่ีไดแตมเปนจาํ นวนคนู อยกวา 8 คร้งั คือ P(Y < 8) = 1− P(Y =8) = 1 −  8   1 8  8   2    ≈ 1− 0.0039 ≈ 0.9961 4) เน่ืองจาก=µY 8= 12  4 ดังนนั้ คาคาดหมายของตวั แปรสมุ Y คือ 4 คร้ัง เน่ือ=งจาก σY2 8= 12  12  2 ดังนน้ั ความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y คอื 2 คร้งั 2 4. ใหต ัวแปรสุม X คอื จาํ นวนวนั ทโ่ี สภติ าซ้อื ชานมไขมกุ ในหนึง่ สัปดาห จะได คา ท่เี ปนไปไดของตวั แปรสมุ X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 เนอ่ื งจากตัวแปรสุม X มีลกั ษณะดังตอ ไปนี้ 1. เกิดจากการตัดสนิ ใจซือ้ ชานมไขมกุ ของโสภติ าในแตล ะวนั ในหน่งึ สปั ดาห ที่เปน อสิ ระกนั สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 405 2. การตัดสินใจซื้อชานมไขมุกของโสภิตาในแตละวันเกิดผลลพั ธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ซอื้ ชานมไขมุก) หรือไมสาํ เรจ็ (ไมซอื้ ชานมไขมกุ ) 3. ความนาจะเปนท่ีโสภิตาจะซื้อชานมไขมุกในแตละวันเทากัน โดยเทากับ 9 และ 10 ความนาจะเปนทโี่ สภิตาจะไมซ ื้อชานมไขม ุกในแตล ะวันเปน 1 − 9 =1 10 10 จะเหน็ วาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ X เปน การแจกแจงทวนิ าม ดงั นนั้ ความนา จะเปนทีโ่ สภิตาจะซ้อื ชานมไขมุกไมเกิน 2 วัน ในหนึง่ สปั ดาห คือ P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2) =  7  1 7 +  7   9   1 6 +  7  9 2  1 5  0   10   1   10   10   2   10   10       = 0.0002 5. ใหตวั แปรสมุ X คือจาํ นวนการแขง ขันทภี่ คั นนิ ทรช นะจากการแขงขัน 5 ครงั้ จะได คาทเี่ ปน ไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เนื่องจากตวั แปรสุม X มีลกั ษณะดงั ตอ ไปน้ี 1. เกดิ จากการแขง ขนั 5 คร้ัง ทเี่ ปน อิสระกนั 2. การแขงขันแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ภคนินทรชนะการแขงขัน) หรือไมสาํ เรจ็ (ภคนินทรไ มชนะการแขง ขัน) 3. ความนาจะเปน ทภี่ คั นินทรจ ะชนะการแขง ขันในแตล ะครง้ั เทา กนั โดยเทากับ 0.3 และ ความนา จะเปนที่ภคั นินทรจะไมชนะการแขงขนั ในแตล ะคร้ังเปน 1− 0.3 =0.7 จะเหน็ วาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม ดังน้นั ความนาจะเปน ทภ่ี ัคนินทรจ ะชนะการแขงขนั อยางนอ ย 1 ครงั้ คอื P( X ≥ 1) = 1− P( X <1) = 1− P( X =0) = 1 −  5  ( 0.7 )5  0    ≈ 0.8319 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

406 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 6. 1) ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาท่ีชํารุดเน่ืองจากโลหะบัดกรีเปนรูจาก แผงวงจรไฟฟา ที่ชาํ รดุ ท่สี ุมมาจาํ นวน 3 แผน จะได คา ท่ีเปนไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2 และ 3 เนือ่ งจากตัวแปรสุม X มีลกั ษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการสุมแผงวงจรไฟฟาท่ชี าํ รดุ จาํ นวน 3 แผน ท่ีเปน อสิ ระกนั 2. การสุมแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดแตละแผนเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชาํ รุดเน่ืองจากโลหะบดั กรีเปน ร)ู หรอื ไมสําเรจ็ (ชาํ รดุ ดวยสาเหตอุ นื่ ) 3. ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเนื่องจากโลหะบัดกรีเปนรูเทากัน โดยเทากับ 0.4 และความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวยสาเหตุอื่น เปน 1− 0.4 =0.6 จะเห็นวาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม ดงั นน้ั ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟา ทัง้ สามชํารดุ เนอ่ื งจากโลหะบัดกรเี ปนรู คอื P( X = 3) =  3  ( 0.4)3  3    = 0.064 2) ใหตัวแปรสุม Y คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาท่ีชํารุดเน่ืองจากอุปกรณเชื่อมไมติดจาก แผงวงจรไฟฟาทชี่ าํ รุดท่สี ุม มาจํานวน 3 แผน จะได คา ทเี่ ปน ไปไดข องตวั แปรสมุ Y คอื 0, 1, 2 และ 3 เนือ่ งจากตัวแปรสุม Y มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกิดจากการสมุ แผงวงจรไฟฟาท่ีชาํ รดุ จํานวน 3 แผน ท่เี ปน อสิ ระกนั 2. การสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณ เชอื่ มไมติด) หรือไมสําเรจ็ (ชาํ รดุ ดวยสาเหตุอน่ื ) 3. ความนาจะเปนท่ีแผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเน่ืองจากอุปกรณเชื่อมไมติด เทากัน โดยเทากับ 0.3 และความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวย สาเหตอุ น่ื เปน 1− 0.3 =0.7 จะเห็นวาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ Y เปน การแจกแจงทวินาม สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 407 ดังนน้ั ความนา จะเปน ทแี่ ผงวงจรไฟฟา 2 แผน ชาํ รดุ เน่อื งจากอปุ กรณเชื่อมไมตดิ คือ P(Y = 2) =  3  ( 0.3)2 ( 0.7 )  2    = 0.189 3) ใหตัวแปรสุม Z คือจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณแตกราวจาก แผงวงจรไฟฟาที่ชาํ รุดท่ีสุมมาจาํ นวน 3 แผน จะได คา ท่ีเปน ไปไดข องตัวแปรสุม Z คอื 0, 1, 2 และ 3 เนื่องจากตัวแปรสุม Z มลี ักษณะดังตอ ไปน้ี 1. เกิดจากการสมุ แผงวงจรไฟฟา ท่ชี ํารดุ จาํ นวน 3 แผน ทเ่ี ปนอสิ ระกัน 2. การสุมแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณ แตกรา ว) หรอื ไมส ําเรจ็ (ชาํ รุดดวยสาเหตุอ่นื ) 3. ความนาจะเปนที่แผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดเนื่องจากอุปกรณแตกราวเทากัน โดยเทากับ 0.1 และความนาจะเปนท่ีแผงวงจรไฟฟาแตละแผนชํารุดดวยสาเหตุอื่น เปน 1− 0.1 =0.9 จะเห็นวา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม Z เปนการแจกแจงทวนิ าม เน่อื งจา=ก µZ 3=(0.2) 0.6 ดังน้ัน คาคาดหมายของจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเน่ืองจากอุปกรณแตกราวคือ 0.6 แผน =เนอ่ื งจาก σ Z 3(0.2)(0.8) ≈ 0.69 ดังน้ัน สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดเนื่องจากอุปกรณ แตกราวมีคา ประมาณ 0.69 แผน 7. ใหต วั แปรสมุ X คือจํานวนรถยนตทเี่ ปล่ียนชองทางเดินรถในพนื้ ทีห่ า ม (เสน ทบึ ) จากรถยนต ท่วี งิ่ ผานปอมควบคมุ สัญญาณไฟจราจรบริเวณสแี่ ยกน้ีท่ีสมุ มาจํานวน 9 คัน จะได คา ท่ีเปน ไปไดของตัวแปรสุม X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เน่ืองจากตัวแปรสุม X มลี กั ษณะดงั ตอไปนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

408 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 1. เกิดจากการสุมรถยนตท่ีวิ่งผานปอมควบคุมสัญญาณไฟจราจรบริเวณส่ีแยกแหงน้ี จํานวน 9 คัน ทีเ่ ปนอิสระกัน 2. การสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (รถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถ ในพ้นื ท่หี าม) หรือไมสําเร็จ (รถยนตไ มเ ปลย่ี นชองทางเดนิ รถในพืน้ ทห่ี าม) 3. ความนาจะเปนท่ีรถยนตแตละคันจะเปลี่ยนชองทางเดินรถในพ้ืนที่หามเทากัน โดยเทากับ 0.75 และความนาจะเปนที่รถยนตแตละคันจะไมเปลี่ยนชองทางเดินรถ ในพ้ืนท่ีหามเปน 1− 0.75 =0.25 จะเหน็ วา การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวินาม 1) ความนาจะเปนที่จะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพื้นท่ีหาม (เสนทึบ) 4 คัน คอื P(X = 4) =  9  ( 0.75)4 ( 0.25)5  4    ≈ 0.0389 2) ความนาจะเปนท่ีจะพบรถยนตเปลี่ยนชองทางเดินรถในพ้ืนที่หาม (เสนทึบ) ไมเกิน 3 คนั คอื P( X ≤ 3) =  9  ( 0.25 )9 +  9  ( 0.75) ( 0.25)8 +  9  ( 0.75)2 ( 0.25)7  0   1   2        +  9  ( 0.75)3 ( 0.25)6  3    ≈ 0.01 3) ความนาจะเปนท่ีจะพบรถยนตเปลีย่ นชองทางเดนิ รถในพื้นที่หา ม (เสน ทึบ) มากกวา 6 คัน คอื P( X > 6) =  9  ( 0.75)7 ( 0.25)2 +  9  ( 0.75)8 ( 0.25) +  9  ( 0.75)9  7   8   9        ≈ 0.6007 4) เนือ่ งจ=าก µX 9=(0.75) 6.75 ดังนั้น คาคาดหมายของจํานวนรถยนตที่เปล่ียนชองทางเดินรถในพื้นท่ีหาม (เสนทึบ) คอื 6.75 คนั สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 409 =เนอื่ งจาก σ X 9(0.75)(0.25) ≈ 1.3 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจํานวนรถยนตที่เปลี่ยนชองทางเดินรถในพ้ืนท่ีหาม (เสนทบึ ) มีคา ประมาณ 1.3 คนั 8. ใหต วั แปรสุม X คอื จาํ นวนบุตรทม่ี ีจโี นไทป LhLh จากบุตรจํานวน 3 คน จะได คาท่ีเปนไปไดของตัวแปรสุม X คอื 0, 1, 2 และ 3 เนอ่ื งจากตัวแปรสุม X มีลกั ษณะดังตอไปน้ี 1. เกดิ จากการมีบุตรจาํ นวน 3 คน ทีเ่ ปน อิสระกัน 2. การมีบุตรแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (บุตรมีจีโนไทป LhLh ) หรือ ไมส ําเร็จ (บุตรไมม ีจโี นไทป LhLh ) 3. ความนาจะเปนท่ีบุตรแตละคนจะมีจีโนไทป LhLh เทากัน โดยเทากับ 1− 1 − 1 =1 424 และความนา จะเปน ทีบ่ ุตรแตล ะคนจะไมม จี ีโนไทป LhLh เปน 1− 1 =3 44 จะเห็นวา การแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม 1) ความนา จะเปนทบ่ี ุตรทั้ง 3 คน ไมมีจีโนไทป LhLh คอื P(X = 0) =  3 3 3      0  4 ≈ 0.4219 2) ความนาจะเปนที่มบี ุตรอยางนอ ย 1 คน มจี โี นไทป LhLh คือ P( X ≥1) = 1− P( X < 1) = 1− P( X =0) ≈ 1− 0.4219 ≈ 0.5781 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

410 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 แบบฝก หดั 4.3 1. 1) จากตารางท่ี 1 อา นคาประมาณของพ้ืนทใี่ ตเ สน โคง ปกตมิ าตรฐานจาก −∞ ถงึ −1.34 ไดเ ปน 0.0901 นน่ั คือ P(Z ≤ −1.34) =0.0901 0.0901 0 1.34 2) เนือ่ งจาก P(Z > 2.18) =1− P(Z ≤ 2.18) และจากตารางท่ี 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 2.18 ไดเปน 0.9854 นั่นคอื P(Z ≤ 2.18) =0.9854 ดังนัน้ P(Z > 2.18) =1− 0.9854 =0.0146 0.0146 0 2.18 3) เน่อื งจาก P(−2.45 ≤ Z ≤1.6=8) P(Z ≤1.68) − P(Z < −2.45) และจากตารางที่ 1 อานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 1.68 ไดเ ปน 0.9535 น่นั คอื P(Z ≤1.68) =0.9535 และอานคาประมาณของพ้ืนที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง −2.45 ไดเปน 0.0071 นนั่ คอื P(Z < −2.4=5) P(Z ≤ −2.4=5) 0.0071 ดงั น้นั P(−2.45 ≤ Z ≤1.6=8) 0.9535 − 0.00=71 0.9464 2.45 0.9464 1.68 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี 0

คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 411 4) เนื่องจาก P(0.91≤ Z ≤ 2.26=) P(Z ≤ 2.26) − P(Z < 0.91) และจากตารางท่ี 1 อานคาประมาณของพื้นท่ีใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 2.26 ไดเ ปน 0.9881 นนั่ คือ P(Z ≤ 2.26) =0.9881 และอานคาประมาณของพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง 0.91 ไดเปน 0.8186 น่ันคอื P(Z < 0.91) = P(Z ≤ 0.91) =0.8186 ดังน้ัน P(0.91 ≤ Z ≤ 2.2=6) 0.9881− 0.81=86 0.1695 0.1695 0 0.91 2.26 2. 1) คาของตัวแปรสุม ปกตมิ าตรฐานของ 11 คือ 11 − 10 = 0.5 2 2) คา ของตวั แปรสุม ปกติมาตรฐานของ 12 คอื 12 −10 = 1 2 3) คาของตวั แปรสมุ ปกตมิ าตรฐานของ 14.2 คอื 14.2 −10 = 2.1 2 3. เน่ืองจาก X  N (20, 100) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 20 และ σ 2 =100 น่ันคอื σ =10 ให Z = X −µ σ 1) P( X < 48.9) = P  Z < 48.9 − 20   10  = P(Z < 2.89) = 0.9981 0.9981 2.89 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

412 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 2) P( X >12.9) = P  Z > 12.9 − 20   10  = P(Z > −0.71) = 1− P(Z ≤ −0.71) = 1− 0.2389 = 0.7611 0.7611 0.71 0 3) P(18.5 ≤ X ≤ 37.4) = P  18.5 − 20 ≤ Z ≤ 37.4 − 20   10 10  = P(−0.15 ≤ Z ≤ 1.74) = P(Z ≤1.74) − P(Z < −0.15) = 0.9591− 0.4404 = 0.5187 0.5187 0.15 0 1.74 4. ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 400 และ σ =100 ให Z = X −µ σ 1) เนอื่ งจาก P( X > 538) = P  Z > 538 − 400   100  = P(Z >1.38) = 1− P(Z ≤1.38) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 413 P ( X > 538) = 1− 0.9162 = 0.0838 0.0838 0 1.38 ดังนนั้ มขี อ มลู ที่มคี ามากกวา 538 อยู (0.0838)(100) = 8.38 เปอรเ ซน็ ต 2) เน่อื งจาก P( X >179) = P  Z > 179 − 400   100  = P(Z > −2.21) = 1− P(Z ≤ −2.21) = 1− 0.0136 = 0.9864 0.9864 2.21 0 ดังนัน้ มีขอมูลที่มคี ามากกวา 179 อยู (0.9864)(100) = 98.64 เปอรเ ซน็ ต 3) เน่อื งจาก P( X < 356) = P  Z < 356 − 400   100  = P(Z < −0.44) = 0.33 0.33 0.44 0 ดังน้นั มขี อ มูลทม่ี คี านอยกวา 356 อยู (0.33)(100) = 33 เปอรเ ซน็ ต สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

414 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 4) เนื่องจาก P( X < 621) = P  Z < 621 − 400   100  = P(Z < 2.21) = 0.9864 0.9864 0 2.21 ดังนน้ั มีขอ มูลทมี่ คี า นอ ยกวา 621 อยู (0.9864)(100) = 98.64 เปอรเ ซน็ ต 5. ใหตวั แปรสมุ X คือระยะเวลาในการประกอบชิ้นสวนอเิ ลก็ ทรอนกิ สช นดิ นี้ จะไดวาตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =12 และ σ =1.5 ให Z = X −µ σ 1) เน่ืองจาก P ( X < 11) = P  Z < 11 − 12   1.5  = P (Z < −0.67) = 0.2514 0.2514 0.67 0 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสนี้จะใชเวลาในการประกอบนอยกวา 11 นาที คือ 0.2514 2) เนอ่ื งจาก P(10 < X < 13) = P  10 −12 < Z < 13 −12   1.5 1.5  = P (−1.33 < Z < 0.67) = P (Z < 0.67) − P(Z ≤ −1.33) = 0.7486 − 0.0918 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 415 P (10 < X < 13) = 0.6568 0.6568 1.33 0 0.67 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีช้ินสวนอิเล็กทรอนิกสน้ีจะใชเวลาในการประกอบระหวาง 10 ถึง 13 นาที คอื 0.6568 3) เนอื่ งจาก P( X > 14) = P  Z > 14 −12   1.5  = P (Z > 1.33) = 1− P (Z ≤ 1.33) = 1 − 0.9082 = 0.0918 0.0918 0 1.33 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีช้ินสวนอิเล็กทรอนิกสน้ีจะใชเวลาในการประกอบมากกวา 14 นาที คอื 0.0918 6. ใหตัวแปรสุม X คอื คะแนนสอบวัดความรคู วามสามารถวิชาคณิตศาสตรข องนักเรียนระดับ มัธยมศึกษาตอนปลายทีจ่ ัดโดยสถาบันแหงนี้ จะไดวา ตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 505 และ σ =111 ให Z = X −µ σ 1) เนื่องจาก P(400 < X < 600) = P  400 − 505 < Z < 600 − 505   111 111  = P (−0.95 < Z < 0.86) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

416 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 P (400 < X < 600) = P (Z < 0.86) − P (Z ≤ −0.95) = 0.8051 − 0.1711 = 0.634 0.634 0.95 0 0.86 ดังนนั้ ความนาจะเปน ท่ีนักเรยี นคนนี้จะไดคะแนนสอบระหวาง 400 และ 600 คะแนน คอื 0.634 2) เน่อื งจาก P( X > 700) = P  Z > 700 − 505   111  = P (Z > 1.76) = 1− P (Z ≤ 1.76) = 1 − 0.9608 = 0.0392 0.0392 0 1.76 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีนักเรียนคนน้ีจะไดคะแนนสอบมากกวา 700 คะแนน คือ 0.0392 3) เน่ืองจาก P( X < 450) = P  Z < 450 − 505   111  = P (Z < −0.50) = 0.3085 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 417 0.3085 0.50 0 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะไดคะแนนสอบนอยกวา 450 คะแนน คือ 0.3085 7. ใหตัวแปรสมุ X คอื คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข องนักเรียนชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 หองน้ี จะไดว าตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 72 และ σ =12 ให Z = X −µ σ ให x คอื เปอรเ ซ็นไทลท่ี 25 จะได P( X < x) = 0.25 P  Z < x − 72  = 0.25  12  เน่อื งจาก P(Z < −0.6745) =0.25 จะได x − 72 = −0.6745 12 x = 63.906 ดังน้นั เปอรเซ็นไทลที่ 25 คอื 63.906 คะแนน ให x คือเปอรเ ซ็นไทลที่ 90 จะได P( X < x) = 0.9 P  Z < x − 72  = 0.9  12  เน่ืองจาก P(Z <1.2816) =0.9 จะได x − 72 = 1.2816 12 x = 87.3792 ดังนั้น เปอรเซน็ ไทลที่ 90 คอื 87.3792 คะแนน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

418 คูม ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 8. ใหตัวแปรสมุ X คอื ความหนาของแผนพลาสติกทีผ่ ลิตโดยบริษัทแหงนี้ จะไดวา ตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 0.0625 และ σ 2 = 0.00000625 นัน่ คอื σ = 0.0025 ให Z = X −µ σ เน่อื งจาก P (0.0595 < X ≤ 0.0659) = P  0.0595 − 0.0625 < Z ≤ 0.0659 − 0.0625   0.0025 0.0025  = P (−1.2 < Z ≤ 1.36) = P (Z ≤ 1.36) − P (Z ≤ −1.2) = 0.9131− 0.1151 = 0.798 0.7908.7980 1.2 0 1.36 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีแผนพลาสติกท่ีสุมไดมีความหนามากกวา 0.0595 เซนติเมตร แตไมเกนิ 0.0659 เซนติเมตร คอื 0.798 9. ใหต วั แปรสมุ X คอื คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข องนักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 หอ งนี้ จะไดว าตัวแปรสมุ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 22 และ σ = 4 ให Z = X −µ σ 1) คาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนที่ได 30 คะแนน คอื 30 − 22 = 2 4 2) เนอ่ื งจาก P(15 < X < 32) = P  15 − 22 < Z < 32 − 22   4 4  = P (−1.75 < Z < 2.5) = P (Z < 2.5) − P(Z ≤ −1.75) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 419 P(15 < X < 32) = 0.9938 − 0.0401 = 0.9537 0.9537 1.75 0 2.5 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนน้ีจะไดคะแนนสอบระหวาง 15 และ 32 คะแนน คือ 0.9537 3) เนือ่ งจาก P( X > 34) = P  Z > 34 − 22   4  = P(Z > 3) = 1− P(Z ≤ 3) = 1− 0.9987 = 0.0013 0.0013 03 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นักเรียนคนน้ีจะไดคะแนนสอบมากกวา 34 คะแนน คือ 0.0013 4) เนือ่ งจาก P( X < 25) = P  Z < 25 − 22   4  = P (Z < 0.75) = 0.7734 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

420 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 0.7734 0 0.75 ดังน้ัน ความนา จะเปนทนี่ กั เรียนคนนจ้ี ะไดคะแนนสอบนอยกวา 25 คะแนน คือ 0.7734 10. ใหตัวแปรสมุ X คอื นํ้าหนักสทุ ธิของกระปองบรรจถุ ว่ั ทผ่ี ลิตในโรงงานแหง น้ี จะไดว าตวั แปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =12 ให Z = X −µ σ จากโจทย P ( X < 11.8) = 0.1151 จะได P  Z < 11.8 −12  = 0.1151  σ  และจากตารางที่ 1 จะได P(Z < −1.2) = 0.1151 ดงั นนั้ 11.8 −12 = −1.2 σ σ = 11.8 −12 −1.2 ≈ 0.17 σ 2 ≈ (0.17)2 ≈ 0.0289 จะไดวาความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตโดยโรงงานแหงนี้ คือ 0.0289 กรมั 2 11. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือยอดขายอาหารรายวันและยอดขายผลไมรายวันของรานอาหาร แหง น้ี ตามลําดบั จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกต=ิ โดยมี µX 8=,400 , σ X 360 และ =µY 5=, 200, σY 240 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 421 ให ZX = X − µX และ ZY = Y − µY σX σY ให x และ y คือ ยอดขายอาหารและยอดขายผลไมข องวนั นี้ ตามลาํ ดบั นน่ั คอื x = 9,500 และ y = 6,000 จะไดว าคา ของตัวแปรสุม ปกตมิ าตรฐานของ x=คอื xσ− XµX 9,500 − 8, 400 ≈ 3.056 360 และคาของตัวแปรสุมปกตมิ าตรฐานของ y=คือ yσ−YµY 6,000 − 5, 200 ≈ 3.333 240 เนื่องจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ของ y ดังนนั้ วันนี้รา นอาหารแหง นขี้ ายผลไมไ ดด กี วาอาหาร 12. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือคะแนนสอบวัดความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลี ตามลําดับ จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดย=มี µX 5=5 , σ X 13 และ µY = 50 , σY = 10 ให x และ y คือ คะแนนสอบวัดความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลีของภัครพรรณ ตามลําดับ น่ันคือ x = 75 และ y = 68 จะไดว าคา ของตวั แปรสมุ ปกตมิ าตรฐานของ x คือ x=− µX 75 − 55 ≈ 1.54 σX 13 และคาของตัวแปรสุมปกตมิ าตรฐานของ y คือ =y − µY 6=8 − 50 1.8 σY 10 เน่ืองจากคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐานของ x นอยกวาคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ของ y ดังนั้น ภัครพรรณมีโอกาสจะสอบติดคณะอักษรศาสตรสาขาวิชาภาษาเกาหลีมากกวา สาขาวิชาภาษาจนี สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

422 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 13. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ของ โรงเรียนแหง หนงึ่ จะไดว า ตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉลย่ี µ และสวนเบยี่ งเบนมาตรฐาน σ ให Z = X −µ σ นกั เรยี นจะไดเกรด 4 ถา ไดค ะแนนตั้งแต µ +1.5σ คะแนนข้ึนไป เน่อื งจาก P( X ≥ µ +1.5σ ) =  ≥ (µ +1.5σ ) − µ  PZ  σ   = P(Z ≥ 1.5) = 1− P(Z <1.5) = 1− 0.9332 = 0.0668 0.0668 0 1.5 ดงั น้นั ความนาจะเปนทน่ี กั เรยี นคนน้ีจะไดเกรด 4 คอื 0.0668 นกั เรียนจะไดเ กรด 3 ถาไดค ะแนนอยูในชว ง [µ + 0.5σ , µ +1.5σ ) เน่ืองจาก P(µ + 0.5σ ≤ X < µ +1.5σ ) = P  ( µ + 0.5σ ) − µ ≤Z < (µ +1.5σ ) − µ     σ σ  = P(0.5 ≤ Z <1.5) = P(Z <1.5) − P(Z < 0.5) = 0.9332 − 0.6915 = 0.2417 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 423 0.2401.72471 0 0.5 1.5 ดังนั้น ความนา จะเปน ทน่ี ักเรียนคนนจ้ี ะไดเ กรด 3 คือ 0.2417 นักเรยี นจะไดเ กรด 2 ถาไดค ะแนนอยูในชว ง [µ − 0.5σ , µ + 0.5σ ) เนื่องจาก P(µ − 0.5σ ≤ X < µ + 0.5σ ) = P  ( µ − 0.5σ ) − µ ≤ Z < (µ + 0.5σ ) − µ     σ σ  = P(−0.5 ≤ Z < 0.5) = P(Z < 0.5) − P(Z < −0.5) = 0.6915 − 0.3085 = 0.383 0.383 0.5 0 0.5 ดังนนั้ ความนาจะเปน ท่ีนักเรียนคนนี้จะไดเกรด 2 คือ 0.383 นักเรียนจะไดเกรด 1 ถา ไดคะแนนอยใู นชวง [µ −1.5σ , µ − 0.5σ ) เนือ่ งจาก P(µ −1.5σ ≤ X < µ − 0.5σ ) =  (µ −1.5σ ) −µ ≤ Z < (µ − 0.5σ )− µ  P σ σ    = P(−1.5 ≤ Z < −0.5) = P(Z < −0.5) − P(Z < −1.5) = 0.3085 − 0.0668 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

424 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 P(µ −1.5σ ≤ X < µ − 0.5σ ) = 0.2417 0.2417 1.5 0.5 0 ดงั นั้น ความนาจะเปน ทนี่ ักเรียนคนนจี้ ะไดเ กรด 1 คอื 0.2417 นกั เรยี นจะไดเ กรด 0 ถา ไดค ะแนนนอ ยกวา µ −1.5σ เนื่องจาก P( X < µ −1.5σ ) =  < (µ −1.5σ ) − µ  PZ  σ   = P(Z < −1.5) = 0.0668 0.0668 1.5 0 ดังนน้ั ความนาจะเปนทนี่ กั เรยี นคนนีจ้ ะไดเกรด 0 คือ 0.0668 14. ใหตวั แปรสมุ X คือสว นสูงของนกั เรียนหอ งน้ี จะไดวาตวั แปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ ให Z = X −µ σ 1) เน่ืองจากอักษรศิลปสูง 152 เซนติเมตร ซ่ึงปรับเปนคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ไดเ ปน −1.2 จะได 152 − µ = −1.2 σ 152 − µ = −1.2σ − − −(1) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 425 และเนื่องจากสรวิทยสูง 170 เซนติเมตร ซ่ึงปรับเปนคาของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน ไดเ ปน 0.8 จะได 170 − µ = 0.8 σ 170 − µ = 0.8σ − − −(2) จาก (1) และ (2) จะได σ = 9 และ µ =162.8 และจะได σ 2 = 81 ดังนั้น คาเฉลี่ยและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนหองนี้ คือ 162.8 เซนติเมตร และ 81 เซนตเิ มตร2 ตามลาํ ดับ 2) เน่อื งจากคา เฉลี่ยของความสูงของนักเรยี นหอ งน้ี คอื 162.8 เซนติเมตร ดังน้ัน วภิ ารัตนสูงนอยกวาคาเฉลย่ี ของความสูงของนักเรียนหอ งนี้ 3) เนื่องจาก P( X >180) = P  Z ≥ 180 −162.8   9  = P(Z >1.91) = 1− P(Z ≤ 1.91) = 1− 0.9719 = 0.0281 ดงั น้นั ความนา จะเปนท่ีนกั เรียนคนหนง่ึ ทีส่ ุมมาจากหอ งน้ีจะสงู กวาเกรกิ คือ 0.0281 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

426 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 แบบฝก หัดทา ยบท 1. 1) ตวั แปรสมุ ไมตอ เน่อื ง 2) ตวั แปรสุมตอ เนอ่ื ง 3) ตวั แปรสมุ ไมต อเน่อื ง 4) ตัวแปรสุมตอเนือ่ ง 5) ตวั แปรสมุ ตอเนื่อง 6) ตัวแปรสุมตอเน่อื ง 7) ตัวแปรสุมไมต อ เนื่อง 2. 1) เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสุม X ในรูปตารางไดด งั น้ี x 01234567 P(X = x) 1 7 5 3 3 3 1 1 44 44 22 11 22 44 11 44 2) เน่ืองจาก µX = 0  1  + 1 7  + 2  5  + 3 3  + 4  3  + 5 3   44  44  22  11  22  44  +6  1  + 7  1   11   44  ≈ 3.02 ดงั นน้ั คา คาดหมายของตัวแปรสมุ X มคี า ประมาณ 3.02 คน เน่ืองจาก σ 2 = ( 0 − 3.02 )2  1  + (1 − 3.02 )2  7  + ( 2 − 3.02 )2  5  X  44   44   22  + ( 3 − 3.02)2  3  + ( 4 − 3.02 )2  3  + ( 5 − 3.02)2  3   11   22   44  + ( 6 − 3.02 )2  1  + ( 7 − 3.02 )2  1   11   44  ≈ 2.66 จะได σ X ≈ 2.66 ≈ 1.63 ดงั นน้ั สว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ X มคี า ประมาณ 1.63 วนั สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 427 3. 1) จํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางของการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 1 ลูก 2 คร้ัง คือ 6(6) = 36 คา ทเ่ี ปนไปไดของตวั แปรสมุ X คอื 0, 1 และ 2 เหตกุ ารณท่ี X = 0 คอื {(a, b) }a, b∈{1, 2, 5, 6} เหตกุ ารณท ่ี X = 1 คอื {(a, b) ถา a ∈{3, 4} แลว b∈{1, 2, 5, 6} หรอื ถา b∈{3, 4} แลว a ∈{1, 2, 5, 6}} เหตกุ ารณที่ X = 2 คือ {(a, b) a, b∈{3, 4}} ดังนั้น P( X= 0=) 4(4=) 4 36 9 P( X= 1=) 2(4) + 2(4)= 4 36 9 และ P( X= 2=) 2(2=) 1 36 9 เขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ X ในรปู ตารางไดดังน้ี x012 P(X = x) 4 4 1 999 2) เนอ่ื งจาก µX = 0  4  + 1 4  + 2  1  9  9  9  =2 3 ≈ 0.67 ดังน้นั คาคาดหมายของตัวแปรสมุ X มีคา ประมาณ 0.67 แตม เน่ืองจาก σ 2 =  0 − 2 2  4  + 1 − 2 2  4  +  2 − 2 2  1  X  3   9  3   9   3   9  =4 9 ≈ 0.44 ดงั นั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X มีคา ประมาณ 0.44 แตม2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

428 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 และจะได σ X= 4= 2 ≈ 0.67 93 ดังนั้น สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X มีคาประมาณ 0.67 แตม 4. วิธที ่ี 1 ใหตวั แปรสมุ X คือกาํ ไร (ขาดทนุ ) จากการซือ้ สลากกินแบง รฐั บาล 1 ฉบบั จะไดตารางแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม X ดงั นี้ x P(X = x) 5,999,920 1 1, 000, 000 199,920 5 =1 1,000,000 200,000 99,920 2 =1 1,000,000 500,000 79,920 10 = 1 1,000,000 100,000 39,920 50 = 1 1,000,000 20,000 19,920 100 = 1 1,000,000 10,000 3,920 4,000 = 1 1,000,000 250 1,920 10,000 = 1 1,000,000 100 – 80 1− 14,168 =123, 229 1,000,000 125,000 จะได µX = 5, 999, 920  1, 1 000  + 199, 920  1  000,   200, 000  +99, 920  1  + 79, 920  1  + 39, 920  1   500, 000  100, 000   20, 000  +19, 920  1  + 3, 920  1  + 1, 920  1   10, 000  250  100  −80  123, 229   125, 000  = −32 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 429 น่ันคือ คาคาดหมายของกําไร (ขาดทุน) จากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ คือ −32 บาท ดงั นนั้ ถาซื้อสลากกินแบง รัฐบาล โดยเฉล่ยี แลว จะมีโอกาสขาดทนุ มากกวา ไดก าํ ไร วธิ ที ี่ 2 ใหต วั แปรสมุ X คอื เงินรางวัลที่ไดรบั จากการซอื้ สลากกินแบง รฐั บาล 1 ฉบบั จะไดต ารางแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ดังน้ี x P(X = x) 6,000,000 1 1, 000, 000 200,000 5 =1 1,000,000 200,000 100,000 2 =1 1,000,000 500,000 80,000 10 = 1 1,000,000 100,000 40,000 50 = 1 1,000,000 20,000 20,000 100 = 1 1,000,000 10,000 4,000 4,000 = 1 1,000,000 250 2,000 10,000 = 1 1,000,000 100 0 1− 14,168 =123, 229 1,000,000 125,000 จะได µX = 6, 000, 000  1, 1 000  + 200, 000  1  000,  200, 000  +100, 000  1  + 80, 000  1  + 40, 000  1  500, 000  100, 000   20, 000  +20, 000  1  + 4, 000  1  + 2, 000  1  + 0  123, 229  10, 000   250   100  125, 000  = 48 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

430 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 นั่นคือ คาคาดหมายของเงินรางวัลท่ีไดรับจากการซื้อสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ คือ 48 บาท แตเน่อื งจากสลากกินแบงรัฐบาล 1 ฉบับ ราคา 80 บาท ดังน้ัน ถาซื้อสลากกินแบงรัฐบาล โดยเฉลี่ยแลวจะมีโอกาสขาดทุนมากกวาไดกําไร 5. 1) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอ เน่อื ง เนื่องจากคาท่เี ปนไปไดข องตัวแปรสมุ X คือ 1, 2, 3, ... , 10 ซ่ึง P=( X =1) P=( X =2) = P=( X =10) 1 10 2) เนอ่ื งจาก µX = 1 1  + 2  1  +  + 10  1  10   10   10  = 5.5 ดงั นั้น คาคาดหมายของตัวแปรสมุ X คือ 5.5 เนื่องจาก σ 2 = (1 − 5.5)2  1  + ( 2 − 5.5 )2  1  +  + (10 − 5.5)2  1  X  10   10   10  = 8.25 และจะได σ X = 8.25 ≈ 2.87 ดงั นน้ั สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X มีคาประมาณ 2.87 6. เนื่องจากตัวแปรสุม Y มีคา ท่ีเปน ไปไดเ ปน จาํ นวนนับที่เรยี งติดกันทง้ั หมด 7 คา โดยมีมัธยฐานเปน 10 ดังนนั้ คาทเ่ี ปน ไปไดข องตัวแปรสุม Y คอื 7, 8, 9, 10, 11, 12 และ 13 เน่อื งจากการแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ Y เปนการแจกแจงเอกรูปไมต อ เนื่อง จะได P=(Y =7) P=(Y =8) = P=(Y =13) 1 7 ดงั นน้ั µY = 7  1  + 8 1  +  + 13 1   7  7  7  = 10 จะไดว าคาคาดหมายของตวั แปรสมุ Y คอื 10 เน่ืองจาก σ 2 = ( 7 − 10)2  1  + (8 − 10)2  1  +  + (13 − 10)2  1  Y  7   7   7  =4 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 431 ดงั น้ัน ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ Y คอื 4 และจะได =σY =4   2 ดงั นั้น สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม Y คือ 2 7. 1) P( X = 4) =  8  ( 0.7 )4 ( 0.3)4  4    ≈ 0.1361 2) P( X ≥ 6) = P( X =6) + P( X =7) + P( X =8) =  8  ( 0.7 )6 ( 0.3)2 +  8  ( 0.7 )7 ( 0.3) +  8  ( 0.7 )8  6   7   8        ≈ 0.5518 3) P( X > 5) = P( X ≥ 6) ≈ 0.5518 4) P(3 ≤ X ≤ 7) = P( X =3) + P( X =4) + P( X =5) + P( X =6) + P( X =7) =  8  ( 0.7 )3 ( 0.3)5 +  8  ( 0.7 )4 ( 0.3)4 +  8  ( 0.7 )5 ( 0.3)3  3   4   5        +  8  ( 0.7 )6 ( 0.3)2 +  8  ( 0.7 )7 ( 0.3)  6   7      ≈ 0.9311 8. 1) เน่อื งจากตัวแปรสุม X มลี ักษณะดังตอไปน้ี 1. เกิดจากการมีลกู 4 คน ท่ีเปน อิสระกนั 2. การมีลูกแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเปนชาย) หรือ ไมส ําเรจ็ (ลูกเปนหญงิ ) 3. ความนาจะเปนท่ีลูกแตละคนจะเปนชายเทากัน โดยเทากับ 0.5 และความนาจะเปน ท่ีลกู แตล ะคนจะเปน หญิงเปน 0.5 จะเห็นวา การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม เน่อื งจา=ก µX 4=(0.5) 2 ดังนน้ั คา คาดหมายของตวั แปรสุม X คือ 2 คน ซึง่ หมายความวา ถา สามีภรรยาคนู ้มี ลี ูก 4 คน โดยเฉลยี่ แลวลกู จะเปนชาย 2 คน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

432 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 2) เนือ่ งจาก σ 2 = 4(0.5)(0.5) = 1 X และ σ X = 1 = 1 ดังนั้น ความแปรปรวนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม X คือ 1 คน2 และ 1 คน ตามลาํ ดบั 9. ใหต ัวแปรสมุ X คอื จํานวนประตทู น่ี ักฟุตบอลคนนยี้ ิงเขาจากการยงิ ประตู 5 ครั้ง เน่ืองจากตวั แปรสุม X มลี ักษณะดังตอไปน้ี 1. เกดิ จากการยิงประตู 5 ครั้ง ทีเ่ ปนอสิ ระกัน 2. การยิงประตูแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ยิงเขาประตู) หรือ ไมส าํ เร็จ (ยงิ ไมเ ขา ประตู) 3. ความนาจะเปนที่นักฟุตบอลคนนี้จะยิงเขาประตูในการยิงประตูแตละครั้งเทากัน โดยเทากบั 0.7 และความนาจะเปน ท่ีนักฟตุ บอลคนน้จี ะยิงไมเขาประตูเปน 1− 0.7 =0.3 จะเหน็ วา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวนิ าม 1) ความนา จะเปนที่นักฟตุ บอลคนนจ้ี ะยงิ ได 3 ประตู คอื P( X = 3) =  5  ( 0.7 )3 ( 0.3)2  3    ≈ 0.3087 2) ความนาจะเปนท่นี กั ฟตุ บอลคนนี้จะยิงไดอยางนอย 2 ประตู คือ P( X ≥ 2) = 1− P( X < 2) = 1− (P( X =0) + P( X =1)) = 1− P( X =0) − P( X =1) = 1−  5  (0.3)5 −  5  ( 0.7 ) ( 0.3)4  0   1      ≈ 0.9692 3) ความนาจะเปน ที่นกั ฟตุ บอลคนนจ้ี ะยิงไมเขา ประตเู ลย คอื P( X = 0) =  5  ( 0.3)5  0    = 0.0024 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 433 10. ใหตัวแปรสมุ X คือจํานวนคนเปน โรคเบาหวานจากคนในชมุ ชนทส่ี ุมมาจํานวน 25 คน เนื่องจากตวั แปรสุม X มลี ักษณะดังตอ ไปน้ี 1. เกิดจากการสุมคนในชุมชนจาํ นวน 25 คร้ัง ทีเ่ ปนอสิ ระกัน 2. การสุมคนในชุมชนแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (คนที่สุมมาเปน โรคเบาหวาน) หรือไมส ําเร็จ (คนที่สมุ มาไมเ ปนโรคเบาหวาน) 3. ความนาจะเปนท่ีคนที่สุมมาแตละคนจะเปนโรคเบาหวานเทากัน โดยเทากับ 0.1 และ ความนา จะเปนทคี่ นทสี่ ุม มาแตล ะคนจะไมเ ปน โรคเบาหวานเปน 1− 0.1=0.9 จะเหน็ วา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม 1) ความนา จะเปนทจ่ี ะมีอยา งนอ ย 2 คน ในกลมุ คนทส่ี ุมมาเปนโรคเบาหวาน คอื P( X ≥ 2) = 1− P( X < 2) = 1− (P( X =0) + P( X =1)) = 1− P( X =0) − P( X =1) = 1 −  25  ( 0.9 )25 −  25  ( 0.1) ( 0.9 )24  0   1      ≈ 0.7288 2) เน่อื งจ=าก µX 2=5(0.1) 2.5 ดงั นน้ั คาดวา จะมี 3 คน ในกลุมคนทสี่ ุมมาเปนโรคเบาหวาน 11. 1) ใหต ัวแปรสุม X คือจํานวนลกู ท่ีมเี ลือดหมู A ของสามภี รรยาคนู ้ี เนอื่ งจากตัวแปรสมุ X มลี กั ษณะดงั ตอ ไปนี้ 1. เกดิ จากการมีลกู 4 คน ที่เปนอิสระกนั 2. การมีลูกแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกมีเลือดหมู A) หรือ ไมสําเร็จ (ลกู ไมม เี ลอื ดหมู A) 3. ความนาจะเปนท่ีลูกแตละคนจะมีเลือดหมู A เทากัน โดยเทากับ 1 และ 4 ความนาจะเปนทีล่ ูกแตล ะคนจะไมม เี ลอื ดหมู A เปน 1− 1 =3 44 จะเหน็ วา การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ X เปน การแจกแจงทวินาม ความนาจะเปนทจี่ ะมีลกู มากกวา 2 คน มเี ลือดหมู A คอื สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

434 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 P( X > 2) = P( X =3) + P( X =4) =  4   1 3  3  +  4   1 4  3   4   4   4   4      ≈ 0.0508 2) ใหต ัวแปรสมุ Y คอื จาํ นวนลูกที่มเี ลอื ดหมู O ของสามภี รรยาคูน้ี เนอื่ งจากตัวแปรสมุ Y มีลกั ษณะดงั ตอ ไปนี้ 1. เกิดจากการมลี ูก 4 คน ท่เี ปนอสิ ระกัน 2. การมีลูกแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกมีเลือดหมู O) หรือ ไมสําเรจ็ (ลกู ไมมเี ลอื ดหมู O) 3. ความนาจะเปนท่ีลูกแตละคนจะมีเลือดหมู O เทากัน โดยเทากับ 1 และ 4 ความนา จะเปน ทีล่ ูกแตล ะคนจะไมม เี ลือดหมู O เปน 1− 1 =3 4 4 จะเหน็ วาการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสุม Y เปน การแจกแจงทวนิ าม ความนาจะเปน ทีล่ ูกท้ังสค่ี นไมมีเลือดหมู O คอื P(Y = 0) =  4 3 4      0  4 ≈ 0.3164 12. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยากจากผลิตภัณฑท่ีสุมมาจากแตละ กลอ งจํานวน 5 ชิน้ เน่ืองจากตัวแปรสมุ X มีลักษณะดังตอไปนี้ 1. เกดิ จากการสุมผลิตภัณฑจากแตละกลองจาํ นวน 5 ครั้ง ท่เี ปนอิสระกัน 2. การสุมผลิตภัณฑแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ผลิตภัณฑท่ีสุมมา เปนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยาก) หรือไมสําเร็จ (ผลิตภัณฑท่ีสุมมาไมเปนผลิตภัณฑ ทีฝ่ าเกลียวเปดยาก) 3. ความนาจะเปนท่ีผลิตภัณฑท่ีสุมมาแตละชิ้นเปนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยากเทากัน โดยเทากับ 0.04 และความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑที่สุมมาแตละช้ินไมเปนผลิตภัณฑที่ ฝาเกลยี วเปด ยากเปน 1− 0.04 =0.96 จะเหน็ วาการแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี