(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.2

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 235 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ ตอเน่ือง ประเดน็ สาํ คญั เกีย่ วกับเนอื้ หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนักเกยี่ วกบั การสอน • ครูควรเนนยํ้าวา ความนาจะเปนที่ตัวแปรสุมตอเนื่อง X จะมีคาอยูในชวงที่สนใจ หาไดจากพื้นท่ีใตเสนโคงความหนาแนน ซ่ึงสามารถหาไดจากปริพันธจํากัดเขต ข อ ง ฟ ง ก ชั น ค ว า ม ห น า แ น น ค ว า ม น า จ ะ เ ป น ข อ ง ตั ว แ ป ร สุ ม X แ ล ะ จะไดวา P( X = a) หาไดจากพ้ืนที่ใตเสนโคงความหนาแนนจาก a ถึง a a นั่นคือ P( X= a=) ∫ f (x) dx ซ่ึงเทากับ 0 เมื่อ f (x) เปนฟงกชันความหนาแนน a ความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ดังนั้น สําหรับตัวแปรสุมตอเนื่อง จะสนใจเฉพาะ ความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุมจะมีคาอยูในชวง แตจะไมพิจารณาความนาจะเปนของ การเกิดคา ของตวั แปรสมุ คา ใดคาหน่งึ การแจกแจงปกติมาตรฐาน • ครูควรเนนยํ้าวา เนื่องจากตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน Z เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง ดงั นั้น P(Z < z)= P(Z ≤ z) • ครูควรเนนยํ้าวา ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน (ตารางท่ี 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ห น า 256 – 257) แ ส ด ง ค า ป ร ะ ม า ณ ข อ ง พื้ น ท่ี ใ ต เ ส น โ ค ง ป ก ติ ม า ต ร ฐ า น ตั้ ง แ ต −∞ ถึ ง z ห รื อ ค ว า ม น า จ ะ เ ป น ที่ ตั ว แ ป ร สุ ม ป ก ติ ม า ต ร ฐ า น Z มีคานอยกวาหรือเทากับ z ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ P(Z ≤ z) ในกรณีท่ี ตองการหาความนาจะเปนท่ีอยูในรูป P(Z ≥ z) หรือ P(z1 ≤ Z ≤ z2 ) จะตอง จัดรูปกอน เชน ในการหา P(Z >1.29) จะตองปรับใหอยูในรูป 1− P(Z ≤1.29) กอน แลวจึงอานคาของ P(Z ≤1.29) จากตารางท่ี 1 และในทาํ นองเดียวกัน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 236 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 ในการหา P(−1.27 ≤ Z ≤ 0.45) จะตองปรับใหอยูในรูป P(Z ≤ 0.45) − P(Z < −1.27) ซ่ึงเทากับ P(Z ≤ 0.45) − P(Z ≤ −1.27) กอน แลวจึงอานคาของ P(Z ≤ 0.45) และ P(Z ≤ −1.27) จากตารางที่ 1 ดังแสดงในตัวอยางท่ี 13 จากหนังสือเรียนรายวิชา เพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 • ครูควรเนนย้ําวา ในกรณีท่ีตัวแปรสุมมีการแจกแจงปกติแตไมใชการแจกแจงปกติ มาตรฐานจะตองแปลงตัวแปรสุมนั้นใหเปนตัวแปรสุมปกติมาตรฐานโดยใชทฤษฎีบท 2 กอน จึงจะสามารถใชตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 หนา 256 – 257 ในการหาความนาจะเปนได ดังแสดงใน ตวั อยา งท่ี 14 จากหนงั สือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 ประเดน็ สําคญั เกี่ยวกบั แบบฝก หัด แบบฝกหัด 4.3 13. เกณฑในการแบงระดับคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษา ปท่ี 6 ของโรงเรยี นแหงหนงึ่ แสดงไดด งั น้ี เกรด คะแนน 4 ตัง้ แต µ +1.5σ ขน้ึ ไป 3 [µ + 0.5σ , µ +1.5σ ) 2 [µ − 0.5σ , µ + 0.5σ ) 1 [µ −1.5σ , µ − 0.5σ ) 0 นอ ยกวา µ −1.5σ โดย µ และ σ แทนคาเฉลี่ยและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบ วิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ตามลําดับ สมมติวา คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ถาสุมนักเรียนมา 1 คน จงหาความนาจะเปน ทนี่ กั เรยี นคนนี้จะไดเกรดในแตละระดับ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 237 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 • ถานําความนาจะเปนท่ีนักเรียนจะไดเกรดแตละระดับมารวมกันจะไดผลรวมเทากับ 1.0054 เน่ืองจากความนาจะเปนที่ไดจากตารางแสดงพ้ืนที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน เปน คาประมาณ จงึ ทาํ ใหผ ลรวมของความนา จะเปน ไมเ ทา กับ 1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 238 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 ครูอาจใหนักเรียนทบทวนความรูเรื่องการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเน่ือง โดยให นกั เรียนทาํ กจิ กรรม “ตัวตอ มหาสนกุ ” กิจกรรม : ตวั ตอ มหาสนกุ คําชีแ้ จง 1. ใหนกั เรียนตัดภาพที่ 1 ตามรอยประ จะไดทง้ั หมด 16 ช้นิ 2. นํากระดาษแตละช้ินท่ีตัดไดในขอ 1 มาตอใหเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาด 4× 4 ตารางหนวย ท่ีมีขอบสีดํา โดยดานที่อยูติดกันจะตองมีคาตรงกัน และกําหนดให X  N (2, 4), Y  N (3, 9) และ Z มกี ารแจกแจงปกติมาตรฐาน ภาพที่ 1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 239 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 เฉลยกิจกรรม : ตัวตอมหาสนุก สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 240 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 แนวทางการจดั กจิ กรรม : ตวั ตอมหาสนกุ เวลาในการจดั กิจกรรม 30 นาที สือ่ /แหลง การเรยี นรู ใบกิจกรรม “ตัวตอมหาสนุก” ดาวนโ หลดใบกจิ กรรมสําหรบั พิมพไ ดท ี่ ipst.me/11544 ข้นั ตอนการดาํ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูแบงนักเรียนออกเปนกลุม กลุมละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นแจก ใบกจิ กรรม “ตวั ตอ มหาสนกุ ” กลุมละ 1 ใบ 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมปฏิบัติตามคําช้ีแจงในใบกจิ กรรม ในระหวางที่นักเรียนทํากจิ กรรม ครคู วรเดินดนู ักเรียนใหท ว่ั ถงึ ทุกกลมุ เพื่อสังเกตการทํางานและฟงบทสนทนาของนกั เรยี น 3. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 1 กลุม ออกมานําเสนอคําตอบ พรอมทั้งใหเหตุผลประกอบ สําหรับแตละช้ินที่นํามาตอกัน และใหนักเรียนทั้งหองรวมกันอภิปราย เพ่ือนําไปสู ขอสรุปวาคําตอบใดถูกตอง โดยมีเหตุผลประกอบคําตอบท่ีสอดคลองกับเน้ือหา ในหนังสือเรียน นอกจากนี้ ครูอาจใหนักเรียนยกตัวอยางประกอบความหมายแตละคํา เพือ่ ตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 241 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 4.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนังสอื เรียน กิจกรรม : นอนพอไหม นักวิจัยไดสํารวจจํานวนชั่วโมงการนอนในคืนหน่ึงของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี โดยเลือกตัวอยางนักเรียนจากโรงเรียนตาง ๆ ในอําเภอ จาํ นวน 132 คน ไดผลสํารวจดังน้ี 6.0 7.0 5.0 7.5 8.5 9.0 7.0 10.5 4.0 11.5 8.0 7.5 8.5 4.0 8.0 3.5 9.0 5.0 6.0 5.5 10.5 9.5 12.0 5.5 5.5 11.0 6.5 9.0 7.0 9.0 4.0 7.5 8.5 4.5 7.0 10.5 9.5 4.5 8.5 7.5 5.5 9.0 10.0 3.0 8.0 6.5 10.0 6.5 10.0 4.5 10.5 6.5 5.0 4.0 7.5 9.5 6.5 7.5 5.0 8.0 6.5 10.0 7.0 7.5 6.0 8.5 8.0 6.0 10.5 6.5 9.5 8.5 8.5 9.5 6.5 8.0 7.0 3.5 7.5 4.0 5.5 9.0 3.5 11.0 7.0 5.0 3.0 6.5 4.5 10.0 8.0 6.0 7.0 8.0 7.5 6.0 7.5 6.0 9.0 8.0 7.5 5.5 4.5 6.0 8.5 5.0 7.0 9.5 7.0 7.5 5.5 8.5 7.0 6.5 8.0 7.0 5.5 9.0 6.0 11.5 6.0 8.0 5.0 7.5 6.5 8.5 9.5 5.0 10.0 11.0 4.5 7.0 นักเรยี นสามารถคดั ลอกชดุ ขอ มูลนี้ไดท่ี ipst.me/10681 สมมติวาตัวอยางท่ีเลือกมานี้เปนตัวแทนท่ีดีของประชากร และจํานวนช่ัวโมงการนอน ของนักเรยี นมกี ารแจกแจงใกลเคียงกบั การแจกแจงปกติ ใหนกั เรยี นตอบคาํ ถามตอไปนี้ 1. ระบุประชากรและตวั อยางในการสาํ รวจครั้งน้ี 2. กําหนดตัวแปรสุมท่ีใชในการสํารวจครั้งน้ีและระบุชนิดของตัวแปรสุม พรอมท้ังให เหตุผลประกอบ 3. หาคา เฉลยี่ เลขคณติ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดน้ี พรอมทัง้ อธิบายความหมาย 4. เนื่องจากนักวิจัยผูนี้ไดเลือกตัวอยางท่ีเปนตัวแทนที่ดีของประชากร ดังนั้นจะกําหนดให คาเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอยางเปนคาเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (µ) และกําหนดให สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 242 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวอยางเปนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ ) และเนื่องจากจํานวนช่ัวโมงการนอนของนักเรยี นมีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจง ปกติ จงใชโปรแกรม GeoGebra สรางเสนโคงปกติแสดงจํานวนชั่วโมงการนอนของ นักเรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 ในอาํ เภอเมอื งชลบรุ ี จังหวัดชลบุรี 5. National Sleep Foundation ของสหรัฐอเมริกาไดแนะนําระยะเวลาในการนอน ท่ีเหมาะสมของวัยรุนอายุ 14 – 17 ป คือ 8 – 10 ช่ัวโมงตอคืน จงใชเสนโคงปกติที่ได จากขอ 4 หารอยละของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่มจี ํานวนช่วั โมงการนอนไมส อดคลองกับคาํ แนะนําของ National Sleep Foundation สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 243 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 เฉลยกิจกรรม : นอนพอไหม 1. ประชากรในการสํารวจครั้งนี้ คือ นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี และตัวอยางในการสํารวจคร้ังนี้ คือ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ท่ีเลือกมาจาก โรงเรยี นตาง ๆ ในอําเภอเมอื งชลบรุ ี จงั หวัดชลบุรี จํานวน 132 คน 2. ใหตัวแปรสุม X ที่ใชในการสํารวจครั้งน้ี คือ จํานวนช่ัวโมงการนอนในคืนหนึ่งของ นกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 ในอําเภอเมืองชลบรุ ี จังหวัดชลบรุ ี จะไดวาตัวแปรสุม X เปนตัวแปรสมุ ตอเนื่อง เน่ืองจากตัวแปรสมุ X มีคาเปนจํานวน จรงิ ใด ๆ ทีอ่ ยูใ นชวง [0, 24] 3. ใชเคร่ืองคํานวณชวยในการหาคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูล ชุดน้ี จะได คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชดุ นี้ คือ 7.27 ช่ัวโมง และสวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ มูลชดุ น้ี คอื 2.04 ชว่ั โมง ซ่ึงหมายความวา นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่เลือกมาเปนตัวอยางจํานวน 132 คน มีจํานวนช่ัวโมงการนอนเฉล่ียในคืนหนึ่ง ประมาณ 7.27 ช่ัวโมง และโดยเฉลี่ยแลวจํานวนชั่วโมงการนอนในคืนหน่ึงของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ท่ีเลือกมาเปนตัวอยางจํานวน 132 คน ตางจากจาํ นวนช่ัวโมงการนอนเฉลย่ี ประมาณ 2.04 ชว่ั โมง หมายเหตุ ในที่นีต้ อ งใชส ูตรสว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตัวอยาง 4. ใชโปรแกรม GeoGebra สรางเสนโคงปกติแสดงจํานวนช่ัวโมงการนอนของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ไดโดยกําหนดให µ = 7.27 และ σ = 2.04 จะไดเสน โคง ปกติดังน้ี สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 244 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 5. วธิ ที ่ี 1 ใชเคร่ืองคาํ นวณชว ยในการหา P(8 ≤ X ≤10) จะได P(8 ≤ X ≤10) =0.2693 หรือนักเรยี นอาจหา P(8 ≤ X ≤10) โดยไมใชเครอ่ื งคํานวณไดด ังน้ี ให Z= X −µ σ เน่อื งจากตวั แปรสุม X มกี ารแจกแจงใกลเคียงกบั การแจกแจงปกติ ดงั นั้น ตัวแปรสมุ Z มกี ารแจกแจงใกลเคยี งกบั การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน เนื่องจาก P(8 ≤ X ≤ 10) = P  8 − 7.27 ≤ Z ≤ 10 − 7.27   2.04 2.04  = P (0.36 ≤ Z ≤ 1.34) = P (Z ≤ 1.34) − P (Z < 0.36) = P (Z ≤ 1.34) − P (Z ≤ 0.36) = 0.9099 − 0.6406 = 0.2693 0.2693 0 0.36 1.34 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 245 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 นัน่ คอื จะมีนกั เรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 ในอําเภอเมอื งชลบรุ ี จังหวัดชลบรุ ี ท่ีมีจํานวนชั่วโมงการนอนสอดคลองกับคําแนะนําของ National Sleep Foundation ประมาณรอยละ 27 ดังน้ัน จะมีนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ที่มีจํานวนชั่วโมงการนอนไมสอดคลองกับคําแนะนําของ National Sleep Foundation ประมาณรอ ยละ 100 – 27 = 73 วธิ ีที่ 2 ใชเ คร่ืองคํานวณชวยในการหา P( X < 8) และ P( X >10) จะได P( X < 8) =0.6398 และ P( X >10) =0.0904 หรอื นักเรียนอาจหา P( X < 8) และ P( X >10) โดยไมใ ชเ ครื่องคํานวณไดด ังนี้ ให Z = X −µ σ เนือ่ งจากตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงใกลเ คยี งกับการแจกแจงปกติ ดังน้ัน ตัวแปรสมุ Z มีการแจกแจงใกลเ คยี งกบั การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน เนือ่ งจาก P( X < 8) = P  Z < 8 − 7.27   2.04  = P (Z < 0.36) = P (Z ≤ 0.36) = 0.6406 0.6406 0 0.36 และ P( X > 10) = P  Z > 10 − 7.27   2.04  = P (Z > 1.34) = 1− P (Z ≤ 1.34) = 1− 0.9099 = 0.0901 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 246 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 0.0901 0 1.34 ดังน้ัน จะมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี ท่ีมีจํานวนชั่วโมงการนอนไมสอดคลองกับคําแนะนําของ National Sleep Foundation ประมาณรอ ยละ 64 + 9 =73 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 247 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 แนวทางการจดั กจิ กรรม : นอนพอไหม เวลาในการจัดกจิ กรรม 50 นาที กิจกรรมนี้เสนอไวใหน ักเรยี นใชความรูเรอื่ งตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน เพ่ือ แกปญหาในสถานการณที่กําหนดให โดยกิจกรรมน้ีมีส่ือ/แหลงการเรียนรู และขั้นตอนการ ดําเนนิ กิจกรรม ดังน้ี ส่ือ/แหลง เรียนรู 1. ใบกิจกรรม “นอนพอไหม” 2. ชุดขอมลู กิจกรรม “นอนพอไหม” จากเว็บไซต ipst.me/10681 3. คอมพิวเตอรท มี่ โี ปรแกรม GeoGebra หรอื เครอื่ งคาํ นวณ ขนั้ ตอนการดาํ เนนิ กิจกรรม 1. ครูแบงนักเรียนออกเปนกลุม กลุมละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากน้ันแจก ใบกิจกรรม “นอนพอไหม” แลวใหนักเรียนศึกษาสถานการณปญหา จากนั้นครูนํา อภปิ รายเกีย่ วกับสถานการณป ญ หาเพอื่ ใหนักเรียนทกุ คนเขาใจตรงกัน 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมปฏิบัติตามขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรมขอ 1 – 2 ใหเสร็จสิ้น ภายในเวลาที่กําหนด ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรม ครูควรเดินดูนักเรียนใหทั่วถึง ทกุ กลมุ และคอยชี้แนะ 3. ครูเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือนําเสนอผลท่ีไดจากการปฏิบัติตามข้ันตอนการปฏิบัติกิจกรรม ขอ 1 – 2 และใหนักเรียนทั้งหองรวมกันอภิปราย เพ่ือนําไปสูขอสรุปวาคําตอบใด ถูกตอ ง โดยมีเหตผุ ลประกอบคาํ ตอบที่สอดคลอ งกบั เนอื้ หาในหนังสอื เรยี น 4. ครูใหนักเรียนแตละกลุมปฏิบัติตามข้ันตอนการปฏิบัติกิจกรรมขอ 3 – 5 ใหเสร็จสิ้น ภายในเวลาท่ีกําหนด โดยใหนักเรียนใชคอมพิวเตอรท่ีมีโปรแกรม GeoGebra หรือ เคร่ืองคํานวณตามความเหมาะสม ในระหวางท่ีนักเรียนทํากิจกรรม ครูควรเดินดู นกั เรียนใหท ว่ั ถึงทกุ กลุม และคอยชีแ้ นะ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 248 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 5. ครูเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือนําเสนอผลที่ไดจากการปฏิบัติตามขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรม ขอ 3 – 5 กลุมละขอ หลังจากนักเรียนนําเสนอในแตละขอ ใหนักเรียนทั้งหองรวมกัน อภิปราย เพื่อนําไปสูขอสรุปวาคําตอบใดถูกตอง โดยมีเหตุผลประกอบคําตอบ ท่ีสอดคลองกบั เน้ือหาในหนงั สอื เรยี น สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 249 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 4.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวางเรยี น การวัดผลระหวางเรียนมีเปาหมายเพื่อปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครอู าจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจก แจงความนา จะเปน ครอู าจใชแบบฝกหัด เพ่อื วดั ผลประเมนิ ผลความรใู นแตละเน้ือหาไดด ังน้ี เนอ้ื หา แบบฝกหัด ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม 4.1 ขอ 1 – 6 การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสุมไมตอ เนอื่ ง 4.2ก ขอ 1 – 3 4.2ข ขอ 1 – 4 การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ตอ เนอื่ ง 4.2.1 ขอ 1 – 5 4.2.2 ขอ 1 – 8 4.3 ขอ 1 – 14 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 250 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 4.5 การวเิ คราะหแ บบฝกหดั ทา ยบท หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 มีจุดมุงหมายวา เม่ือนกั เรยี นไดเ รียนจบบทท่ี 4 ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนา จะเปน แลว นักเรียน 1. จาํ แนกไดวา ตัวแปรสุม ทก่ี าํ หนดใหเปน ตัวแปรสมุ ไมต อเนือ่ งหรอื ตัวแปรสุมตอ เน่ือง 2. เขยี นแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสุม ไมตอเน่ือง 3. หาคาคาดหมายและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง พรอมท้ังใช ในการแกป ญหา 4. ตรวจสอบไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเน่ืองที่กําหนดเปน การแจกแจงเอกรปู ไมต อ เน่ืองหรือไม 5. ใชความรูเก่ยี วกบั การแจกแจงทวนิ ามในการแกป ญ หา 6. หาความนา จะเปน ท่ีตวั แปรสุมปกติจะมคี าอยูในชว งทกี่ าํ หนด 7. ใชค วามรเู กยี่ วกับการแจกแจงปกตแิ ละการแจกแจงปกติมาตรฐานในการแกป ญหา ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ทายบทท่ีประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน ซ่ึงมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรู ความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย นอกจากนี้มีโจทยฝกทักษะท่ีนาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ ตรวจสอบวานักเรยี นมคี วามสามารถตามจดุ มงุ หมายเม่ือเรยี นจบบทเรียนหรือไม ทั้งนแี้ บบฝกหัดทา ยบทแตล ะขอ ในหนงั สอื เรียนรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 บทท่ี 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน สอดคลองกับจุดมงุ หมายของบทเรียน ดงั นี้ จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอที่ 1. จําแนกไดวา ตัวแปรสมุ ทกี่ ําหนดใหเ ปน ตัวแปรสมุ ไมตอเน่ือง 1 1) – 7) หรือตวั แปรสุม ตอเน่อื ง สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 251 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 จุดมุงหมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอ ที่ 2. เขียนแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสุม 2 1) ไมตอเนอ่ื ง 3 1) 3. หาคาคาดหมายและสว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม 2 2) 3 2) ไมตอเนื่อง พรอ มท้ังใชใ นการแกปญหา 4 5 2) 4. ตรวจสอบไดวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม 6 ไมตอเน่ืองท่ีกาํ หนดเปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง 5 1) หรอื ไม 7 1) – 4) 5. ใชความรเู ก่ยี วกับการแจกแจงทวนิ ามในการแกปญ หา 8 1) – 2) 9 1) – 3) 6. หาความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุมปกติจะมีคาอยูในชวง 10 1) – 2) ท่ีกําหนด 11 1) – 2) 12 1) – 3) 7. ใชความรูเกี่ยวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติ 13 มาตรฐานในการแกปญหา 14 1) – 3) 15 1) – 3) 16 1) – 4) 17 1) – 3) 18 19 20 1) – 6) 21 1) – 3) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 252 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 จดุ มงุ หมาย แบบฝกหดั ทา ยบทขอ ท่ี 7. ใชความรูเก่ียวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติ 22 1) – 2) มาตรฐานในการแกปญหา (ตอ) 23 1) – 2) 24 1) – 2) 25 1) – 3) 26 27 1) – 5) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 253 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 4.6 ความรเู พ่มิ เตมิ สาํ หรบั ครู ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสมุ • ในบางสถานการณอาจประมาณการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเน่ือง ดวยการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง เชน อาจหาคาประมาณของ ความนาจะเปน ของตัวแปรสุมท่มี กี ารแจกแจงทวินามโดยพจิ ารณาจากการแจกแจงปกติได ในกรณีท่ีคาท่ีเปนไปไดของตัวแปรสุมมีจํานวนมากและความนาจะเปนท่ีจะเกิดผลสําเร็จ ในการทดลองสมุ แตล ะครั้งมีคาใกลเคียงกับ 0.5 • กฎจํานวนมากเปนทฤษฎีบทท่ีกลาวถึงการที่คาเฉล่ียของตัวอยางสุมขนาดใหญลูเขาสู คาเฉล่ียของประชากร ดงั นี้ กฎจํานวนมาก (Law of Large Numbers: LLN) ให X1, X2, X3,  เปนตวั แปรสุม ที่เปน อิสระกันและมกี ารแจกแจงเดยี วกนั ถา คา คาดหมายของ Xi คือ µ สาํ หรบั ทกุ i ∈{1, 2, 3,} แลว Xn = X1 + X2 + X3 ++ Xn จะลเู ขาสู µ เมอ่ื n มากขนึ้ โดยไมมีท่ีสน้ิ สดุ n จากกฎจํานวนมาก จะไดวายิ่งตัวอยางมีขนาดใหญ คาเฉลี่ยของตัวอยางก็จะยิ่งใกลเคียง กบั คา เฉล่ียของประชากรหรือคา คาดหมาย กฎจํานวนมากสามารถนําไปใชอธิบายความหมายของคาคาดหมายของตัวแปรสุม เชน จากตัวอยางท่ี 5 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สามารถสรุปโดยใชกฎจํานวนมากไดวา ถาเลนเกมวงลอเส่ียงโชคหลาย ๆ คร้ัง คาเฉลี่ย ของกําไร (ขาดทุน) จากการหมุนวงลอจะใกลเคียงกับคาคาดหมายซง่ึ คือ −2 บาท นั่นคือ โดยเฉลยี่ แลว ผูเลน จะขาดทุนครัง้ ละ 2 บาท สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 254 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 การแจกแจงทวินาม ทฤษฎบี ท 1 ถาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวนิ าม จะไดวา 1. P( X= x=)  n  px (1 − )p n−x สําหรับทกุ x ∈{0, 1, 2,, n}  x    2. µX = np 3.=σ X np (1− p) เมอ่ื n แทนจาํ นวนคร้ังของการทดลองสมุ และ p แทนความนา จะเปนท่จี ะเกดิ ผลสําเรจ็ ในการทดลองสุมแตละครงั้ พิสจู น สมมติวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงทวินาม น่ันคือ ตัวแปรสุม X คือจํานวนครั้งของการเกิดผลสําเร็จจากการทดลองสุม n คร้ัง ที่เปนอิสระกัน โดยในแตละครั้งมีโอกาสเกิดผลสําเร็จดวยความนาจะเปน เทา กบั p และไมเกดิ ผลสาํ เร็จดว ยความนาจะเปนเทากับ 1− p 1. เน่อื งจาก X = x คือเหตกุ ารณท ีเ่ กดิ ผลสาํ เรจ็ x ครั้ง จากการทดลองสมุ n ครง้ั จาํ นวนวิธที จี่ ะเกดิ ผลสําเรจ็ x ครั้ง จากการทดลองสุม n คร้ัง เทากบั n วิธี    x  และในแตละวิธี มีความนาจะเปนเทากับ px (1− )p n−x เน่ืองจากการทดลองสุม n คร้ัง เปนอิสระกนั ดงั น้นั P( X= x=) n px (1 − )p n−x   2. µX  x  n = ∑xP(X = x) x=0 n = ∑xP(X = x) x =1 ∑= ( )n x  n  px n−x  x  x =1   1− p ∑= n x (n n! px (1 − )p n−x x =1 − x)!x! สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 255 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 ∑µX = n (n − n! − 1)! px (1 − )p n−x x =1 x)!( x ∑=  n (n (n −1)! p x−1 (1 − )p n−x  np  x =1 − x)!( x −1)!  ∑= n  n − 1 n−x ( )np x =1  x − 1 x −1  p 1− p ∑ ( )=np n −1  n − 1 p y (n−1)− y (ให y= x −1) y=0  y  1− p (จากทฤษฎบี ททวนิ าม)   = np ( p + (1− ))p n−1 = np 3. เนอื่ งจาก σ 2 n X = ∑( x − µ ) 2P ( X =x) x=0 n = ∑( x2 − 2µ x + µ2 ) P ( X =x) x=0 n nn = ∑ x2P ( X =x) −2µ∑ x P ( X ∑=x) + µ2 P ( X =x) =x 0 =x 0=x 0 ∑ ( )=n x2  n  px n−x − 2µ2 + µ2 x=0  x  1− p   ∑( ) ∑( )== xn0=x2 − x  nx  px 1− p n−x + xn0 x  n px (1 − )p n−x − µ2    x  ∑= n x(x − 1)  n  px (1 − )p n−x + µ − µ2 x=0 x    ∑= n x(x − 1)  n  px (1 − )p n−x + µ − µ2 x=2 x    ∑= n x(x − 1) (n n! px (1 − )p n−x + µ − µ2 x=2 − x)!x! ∑= n (n − n! − 2)! px (1 − )p n−x + µ − µ2 x=2 x)!( x ∑= n(n − 1) p2 n (n (n − 2)! 2)! px−2 (1 − )p n−x + µ − µ2 x=2 − x)!( x − ∑= n(n − 1) p2 n  n − 2 px−2 (1 − )p n−x + µ − µ2 x=2  x −   2  สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 256 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ∑( ) ( )σ n p2 n−2  n − 2  y n−2−y + µ − µ2 2 = n −1 y=0  y  p 1− p X   (ให y= x − 2 ) = n(n −1) p2 ( p + (1 − ))p n−2 + µ − µ 2 (จากทฤษฎีบททวนิ าม) = n(n −1) p2 + µ − µ2 = n2 p2 − np2 + np − n2 p2 = np(1− p) ดังน้ัน σ X = np(1− p) การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ ตอเนอื่ ง • คา คาดหมายและสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุมตอเนอื่ ง นยิ ามไดด งั น้ี คาคาดหมายหรือคาเฉล่ยี ของตวั แปรสมุ ตอ เนอื่ ง X เขียนแทนดว ย µX นิยามโดย ∞ ∫µX = x f ( x)dx −∞ เมอื่ f (x) เปน ฟงกช ันความหนาแนน ความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสุมตอเนือ่ ง X เขียนแทนดวย σ X นิยามโดย ∞ ∫=σ X ( x − µX ) 2 f ( x) dx −∞ เมื่อ f (x) เปน ฟง กช ันความหนาแนน ความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ X และเรียก σ 2 วา ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ ตอ เนือ่ ง X X ทั้งนี้ หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ไมไดนําเสนอ บทนิยามของคาคาดหมายและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุมตอเนื่อง เน่ืองจาก นักเรียนจําเปนตองมีความรูเก่ียวกับปริพันธไมตรงแบบ (improper integral) ซึ่งไมได สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 257 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 กําหนดในผลการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551 การแจกแจงปกติ • มธั ยฐานและฐานนิยมของตวั แปรสุมตอเนื่อง นยิ ามไดดงั น้ี มัธยฐานของตวั แปรสุม ตอเนอ่ื ง X คือจํานวนจริง m ทที่ ําให P( X ≤ m) =1 2 หมายเหตุ มธั ยฐานของตัวแปรสุมตอ เนื่องมเี พยี งคา เดียว ฐานนิยมของตัวแปรสุมตอเนื่อง X คือจํานวนจริง m ทั้งหมดท่ี f (m) เปนคาสูงสุดสัมพัทธ เมื่อ f (x) เปนฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ ตัวแปรสมุ X หมายเหตุ ฐานนิยมของตัวแปรสุมตอเน่ืองมีไดหลายคา ถาฟงกชันความหนาแนน ความนาจะเปนของตัวแปรสมุ มีคาสูงสดุ สัมพัทธหลายคา จะเรียกการแจกแจง ความนาจะเปนของตัวแปรสุมท่ีมีฐานนิยมเพียงหนึ่งคาวา การแจกแจง ฐานนยิ มเดี่ยว (unimodal distribution) จากบทนิยามขางตนสามารถพิสูจนไดวา ฐานนิยมของตัวแปรสุมท่ีมีการแจกแจงปกติ มีเพียงคาเดียว โดยเทากับคาเฉลี่ย ( µ ) และมัธยฐาน ซ่ึงเม่ือพิจารณาจากเสนโคงปกติ จะพบวาคาท้ังสามอยูท่ีตําแหนงเดียวกัน ณ จุดท่ีเสนตรงท่ีลากผานจุดโดงสุดของเสนโคง ปกติต้งั ฉากกบั แกน X สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 258 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน ทฤษฎีบท 2 ใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉล่ีย µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ถาตัวแปรสมุ Z นิยามโดย Z = X− µ แลว ตัวแปรสุม Z จะมีการแจกแจงปกติ σ มาตรฐาน น่ันคอื µZ = 0 และ σZ =1 นอกจากน้ี P(a ≤ X=≤ b) P  a − µ ≤Z ≤ b − µ  เม่ือ a, b เปนคาท่ีเปนไปได  σ σ  ของตวั แปรสมุ X และ a ≤ b พิสูจน ให f (x) = 1 e− 1 x−µ 2 เปนฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ 2 σ  σ 2π ตวั แปรสุม X เน่อื งจากตวั แปรสมุ Z นิยามโดย Z= X −µ σ ดังนนั้ z = x − µ และ =x σz+µ σ เม่ือ x และ z เปน คา ท่เี ปน ไปไดของตัวแปรสุม X และ Z ตามลาํ ดับ ให z1 และ z2 เปนคาที่เปน ไปไดข องตัวแปรสุม Z และ z1 ≤ z2 จะได P ( z1 ≤ Z ≤ z2 ) = P  z1 ≤ X− µ ≤ z2   σ  = P (σ z1 + µ ≤ X ≤ σ z2 + µ ) ∫ σ πσ z2+µ 1 e dx− 1 x−µ 2 2  σ  = 2 σ z1+µ ∫ ( )σ µ= 1 e d z +σ z2+µ − 1 x−µ 2 2  σ  σσ z1+µ 2π ∫z2 1 − z2 dz (เน่ืองจาก d (σ z + µ ) =σ dz , = σz1 2π e 2σ x= σ z1 + µ ↔ z= z1 และ x= σ z2 + µ ↔ z= z2 ) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 259 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 ∫P ( z1 ≤ Z ≤ z2 ) = z2 1 − z2 z1 2π e 2 dz ดังนั้น g (z) = 1 − z2 เปนฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ 2π e2 ตัวแปรสุม Z สงั เกตวา =g ( z) σ f (σ z + µ ) เมือ่ −∞ < z < ∞ จะได คาคาดหมายของตวั แปรสุม Z คือ ∞ ∫µZ = z g ( z) dz −∞ ∞ = ∫ z (σ f (σ z + µ ))dz −∞ ∫= ∞ x − µ σ f σ  x − µ  + µ  d  x − µ  −∞  σ   σ    σ   = ∞ ( x − µ ) f ( x ) dx (เนือ่ งจาก d  x − µ  = dx ) σ  σ  σ ∫ −∞ 1  ∞ ( x)dx ∞  ∫ ∫= σ  −∞ x f − f µ ( x) dx  −∞ = 1 (µ −µ) ∞ σ (เนื่องจาก ∫ x f ( x)dx = µ −∞ ∞ และ ∫ f ( x)dx =1) −∞ =0 และความแปรปรวนของตัวแปรสุม Z คอื ∞ ∫σ 2 = ( z − µZ ) 2g ( z) dz Z −∞ ∞ = ∫ z2 (σ f (σ z + µ ))dz −∞ ∫= ∞ x − µ 2 σ f σ  x − µ  + µ  d  x − µ  −∞  σ    σ    σ   สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 260 คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 2 1 ∞ (x) dx (เนื่องจาก  x − µ  dx ) ∫σ Z = f d  σ  = σ ( x − µ)2 σσ −∞ ( )=1 σ2 (เนื่องจาก σ2 ∞ ∫ ( x − µ )2 f ( x) dx =σ 2 ) −∞ =1 นั่นคือ สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ Z คอื σZ =1 จะไดวาฟงกช ันความหนาแนน ความนาจะเปน ของตัวแปรสมุ Z คือ =g ( z ) =1 e− z22 1 e− 1  z−µZ 2 2  σZ    2π σ Z 2π ดงั น้นั ตัวแปรสุม Z มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน ตอไปจะแสดงวา P(a ≤ X=≤ b) P  a− µ ≤ Z ≤ b− µ  เมื่อ a, b เปนคาท่ี  σ σ  เปนไปไดของตวั แปรสุม X และ a ≤ b ให a, b เปนคาที่เปนไปไดข องตัวแปรสมุ X และ a ≤ b จะได P(a ≤ X ≤ b) = ∫ 1 e dxb − 1 x−µ 2 2  σ  = = a σ 2π = 1  (σ z +µ )−µ 2 ∫ ( )σ µ1 e d z +b − 2  σ  a σ 2π ∫b 1 e − z2 d (σ z + µ ) 2 a σ 2π b−µ ∫σ 1 − z2 dz (เนื่องจาก d (σ z + µ ) =σ dz , σa−µ 2π e 2σ σ x = a ↔ z = a − µ σ และ x=b↔ z = b − µ ) σ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 261 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 b−µ P(a ≤ X ≤ b) = ∫σ 1 − z2 = a−µ 2π e 2 dz σ P  a − µ ≤ Z ≤ b − µ   σ σ  การแจกแจงปกติมาตรฐาน • การทําใหเปนมาตรฐาน (standardization) หมายถึง การแปลงตัวแปรสุม X ใหเปน ตัวแปรสุม Z ท่ีมีคาเฉล่ีย 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 เชน ตัวแปรสุม X มีคาเฉล่ีย µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ทาํ ใหเปน มาตรฐานไดด งั สมการ Z = X −µ σ การทําใหเปนมาตรฐานสามารถทําไดกับตัวแปรสุมใด ๆ โดยถาแปลงตัวแปรสุม X ที่มี การแจกแจงปกติ จะไดว า ตัวแปรสุม Z เปน ตัวแปรสุม ปกติมาตรฐาน การทําใหเ ปน มาตรฐานใชไดก ับกรณกี ารแปลงคาสังเกตจากตวั อยางชุดหน่ึงใหเปนคะแนน มาตรฐาน กลาวคือ คะแนนมาตรฐาน (standard score or z-score) คือ ผลตางระหวาง คาสังเกตกับคาเฉลี่ยของตัวอยางหารดวยสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวอยาง เชน ถา x1, x2, x3,, xn เปนคาสังเกต โดยมีคาเฉลี่ย x และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน s คะแนนมาตรฐานของคาสงั เกตท่ี i คอื zi = xi −x s อาจกลาวไดวาคะแนนมาตรฐานเปนคาท่ีบอกใหทราบวาความแตกตางระหวางคาของ ขอมูลน้ัน ๆ กับคาเฉล่ียเปนก่ีเทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนั้น คะแนนมาตรฐาน จึงเปนคาวัดตําแหนงท่ีของขอมูลท่ีนิยมใชอีกวิธีหน่ึง ถึงแมวาเปอรเซ็นไทลจะเปนคาวัด ตําแหนงที่ซึ่งใหคาที่แมนยํากวาคะแนนมาตรฐาน แตในกรณีท่ีทราบเพียงคาเฉล่ียและ สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน อาจใชคะแนนมาตรฐานในการพิจารณาตําแหนงท่ีของขอมูล แทนเปอรเ ซน็ ไทล นอกจากนี้ คะแนนมาตรฐานสามารถใชในการเปรียบเทียบขอมูลท่ีมีการแจกแจงปกติ ตั้งแตสองชุดข้ึนไปไดดวย เน่ืองจากเปนคาที่ไดปรับคาเฉล่ียและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของขอมูลแตละชุดใหเทากันแลว โดยในกรณีท่ีขอมูลมีการแจกแจงปกติ จะสามารถใช สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 262 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 หนา 256 – 257) ในการแปลงระหวางคะแนน มาตรฐานและเปอรเซ็นไทล เชน จากตารางท่ี 1 จะได P(Z ≤ 2.33) =0.9901 ดังน้ัน คะแนนมาตรฐาน 2.33 คือเปอรเซ็นไทลท ่ี 99 โดยประมาณ • ในการสุมตัวอยางขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงท่ีมีคาเฉลี่ย µ และ สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน σ ไมวาการแจกแจงของประชากรจะเปนประเภทใด ถาตัวอยาง มีขนาดใหญพอ จะสามารถสรุปไดวาคาเฉลี่ยของตัวอยางจะประมาณไดดวยคาเฉลี่ยของ ตวั แปรสุม ปกติท่มี ีคาเฉล่ีย µ และสว นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน σ ดังทฤษฎบี ทตอไปนี้ n ทฤษฎบี ทขีดจาํ กดั สวนกลาง (Central Limit Theorem: CLT) ให X1, X2, X3, , Xn เปน ตวั อยางสุม ขนาด n จากการแจกแจงทีม่ ีคา เฉลีย่ µ และสวนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน σ โดย −∞ < µ < ∞ และ 0 < σ 2 < ∞ ∑1 n Xi −µ i =1 ตัวแปรสุม n จะลูเขาเชิงการแจกแจงสูตัวแปรสุม Z ซ่ึงมีการแจก σ n แจงปกติมาตรฐาน เมอ่ื n → ∞ ทฤษฎีบทขีดจํากัดสวนกลางเปนทฤษฎีบทท่ีมีความสําคัญมากในทางสถิติและทฤษฎี ความนาจะเปน เน่ืองจากทําใหสามารถนําความรูเก่ียวกับการแจกแจงปกติไปใชวิเคราะห สถานการณต า ง ๆ ไดโดยไมจ ําเปนตอ งสนใจวา ประชากรจะมกี ารแจกแจงแบบใด สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 263 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 4.7 วิธีการใชง านโปรแกรมสําเรจ็ รูปในคอมพวิ เตอรในการนาํ เสนอขอ มลู • การคํานวณความนาจะเปนของตัวแปรสุมท่ีมีการแจกแจงทวินามดวยโปรแกรม GeoGebra Classic 5 การคํานวณความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม X ท่ีมีการแจกแจงทวินามจะมีคาอยูในชวงที่ สนใจ เชน เมื่อกําหนดใหตัวแปรสุม X คือจํานวนครั้งท่ีลูกเตาข้ึนแตม 5 จากการ ทอดลูกเตาที่เที่ยงตรง 1 ลูก 7 ครั้ง (ตัวอยางที่ 10 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 หนา 215) มีขนั้ ตอนดังตอไปนี้ 1. เปด โปรแกรม GeoGebra Classic 5 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 264 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 2. เลอื ก Probability Calculator จากเมนู View 3. โปรแกรมจะแสดง Probability Calculator สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 265 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 4. ปดสวนทีไ่ มไดใช ไดแ ก Algebra View และ Graphics View 5. คลิกเลือก Binomial เน่ืองจากในที่นี้ตองการคํานวณความนาจะเปนของตัวแปรสุม ทีม่ ีการแจกแจงทวินาม สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 266 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 6. เน่ืองจากกําหนดใหตัวแปรสุม X คือจํานวนคร้ังที่ลูกเตาขึ้นแตม 5 จากการ ทอดลูกเตาที่เท่ียงตรง 1 ลูก 7 คร้ัง จะไดวา X ~ B  7, 1  ดังน้ันจะตองปรับ  6  คา n เปน 7 และ p เปน 1/ 6 หรือประมาณ 0.1667 7. โปรแกรมจะแสดงการแจกแจงทวินามของตัวแปรสมุ X ที่มี n เปน 7 และ p เปน 0.1667 และแสดง P(3 ≤ X ≤ 4) =0.0938 ซ่ึงในที่น้ีคือความนาจะเปนท่ีลูกเตา ขึ้นแตม 5 เปนจํานวน 3 หรือ 4 คร้ัง นอกจากนี้ยังแสดงความนาจะเปนของการเกิด คาแตละคาท่ีเปนไปไดของตัวแปรสุมในบริเวณดานขวาของหนาตาง เชน สามารถ อานคาไดวา P( X= 5=) 0.0019 ซ่ึงในที่นี้คือความนาจะเปนที่ลูกเตาข้ึนแตม 5 เปน จาํ นวน 5 ครั้ง สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 267 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 8. สามารถหาความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุม X จะมีคาอยูในชวงที่สนใจไมวาจะอยูในรูป P(a ≤ X ≤ b), P( X ≥ a) หรือ P( X ≤ b) ไดจากการเลือกชวงที่ตองการและ ปรับคา ในโปรแกรม เชน P( X ≥ 4) =0.0176 และ P( X ≤ 4) =0.998 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 268 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 • การคํานวณความนาจะเปนของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติดวยโปรแกรม GeoGebra Classic 5 การคํานวณความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุม X ท่ีมีการแจกแจงปกติจะมีคาอยูในชวงที่สนใจ เชน เมื่อกําหนดให X ~ N (3.5, 4) (ตัวอยางท่ี 14 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 หนา 231) มขี นั้ ตอนดงั ตอไปนี้ 1. เปดโปรแกรม GeoGebra Classic 5 2. เลอื ก Probability Calculator จากเมนู View สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 269 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 3. โปรแกรมจะแสดง Probability Calculator 4. ปด สว นทไ่ี มไดใ ช ไดแก Algebra View และ Graphics View สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 270 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 5. โปรแกรมจะแสดงเสนโคงปกติมาตรฐานพรอมทั้งแสดง P(−1≤ X ≤1) =0.6827 เมือ่ X เปนตวั แปรสุมทีม่ ีการแจกแจงปกติมาตรฐาน 6. เน่ืองจากกําหนดให X ~ N (3.5, 4) ดังนั้นจะตองปรับคา µ เปน 3.5 และ σ เปน 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 271 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 7. สามารถหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม X จะมีคาอยูในชวงท่ีสนใจไมวาจะอยูในรูป P(a ≤ X ≤ b), P( X ≥ a) หรือ P( X ≤ b) ไดจากการเลือกชวงท่ีตองการและ ปรบั คา ในโปรแกรม เชน P(2.4 ≤ X ≤ 5.2) =0.5112 8. สามารถคัดลอกหรือบันทึกเสน โคงปกติไดโ ดยคลกิ ขวาบริเวณทแ่ี สดงเสน โคงปกติ 8.1 ถาเลือกคําส่ัง Copy to Clipboard จะเปน การคัดลอกเสนโคงปกติ และสามารถ นําไปวางบนโปรแกรมท่ีตอ งการใช สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 272 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 8.2 ถา เลอื กคําส่ัง Export as Picture จะบนั ทึกเสน โคงปกติเปนไฟลรูปภาพ • การเขียนเสนโคงความหนาแนนและหาฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ ตัวแปรสมุ ทีค่ าดวา จะมีการแจกแจงปกตดิ วยโปรแกรม GeoGebra Classic 5 การเขียนเสนโคงความหนาแนนและหาฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปนของ ตัวแปรสุม X เมื่อกําหนดใหตัวแปรสุม X คือ จํานวนช่ัวโมงการนอนในคืนหนึ่งของ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี โดยผลสํารวจจํานวน ชั่วโมงการนอนในคืนหน่ึงของตัวอยางนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 จากโรงเรียนตาง ๆ ในอําเภอเมืองชลบุรี จังหวัดชลบุรี จํานวน 132 คน แสดงใน ipst.me/10681 (กิจกรรม : นอนพอไหม จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 หนา 245) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 273 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 มีขั้นตอนดังตอ ไปนี้ 1. เปด โปรแกรม GeoGebra Classic 5 2. เลอื ก Spreadsheet จากเมนู View สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 274 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 3. โปรแกรมจะแสดง Spreadsheet View 4. ปด สว นทีไ่ มไ ดใ ช ไดแก Algebra View และ Graphics View สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 275 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 5. คดั ลอกขอมูลที่ตอ งการไปวางใน Spreadsheet ในท่ีนี้จะใชขอ มูลจาก ipst.me/10681 6. เลอื กขอ มูลทั้งหมด สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 276 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 7. เลือกเครื่องมือ One Variable Analysis 8. คลิกปมุ Analysis สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 277 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 9. โปรแกรมจะแสดงฮสิ โทแกรมในหนา ตาง Data Analysis 10. เลื่อน Classes เพื่อปรับจํานวนอันตรภาคช้ัน ในที่น้ีจะปรับเปน 19 ช้ัน สังเกตไดวา ถาขอมูลมีการแจกแจงใกลเคียงกับการแจกแจงปกติ ฮิสโทแกรมที่ไดจะมีลักษณะ สมมาตรคลา ยรปู ระฆงั สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 278 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 11. คลิกปุม Options ทม่ี มุ ขวาบนของหนาตาง Data Analysis 12. เลือก Frequency Type เปน Normalized และเลือกแสดง Normal Curve ซ่ึงคือ เสนโคงปกติท่ไี ดจ ากขอ มูล สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 279 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 13. คลกิ เปด Algebra View โดยไปที่เมนู View แลวเลอื ก Algebra 14. คลิกเปด Graphics View โดยไปท่ีเมนู View แลวเลือก Graphics สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 280 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 15. คลกิ ปมุ ท่มี มุ ขวาบนของหนาตาง Data Analysis จากนน้ั เลอื ก Copy to Graphics View 16. โปรแกรมจะแสดงฮิสโทแกรมและเสนโคงความหนาแนนใน Graphics View และ แสดงฟง กชันความหนาแนน ความนาจะเปนใน Algebra View สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 281 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 17. สามารถซอนการแสดงฮิสโทแกรมใน Graphics View ไดโดยคลิกขวาบริเวณฮิสโทแกรม แลว เลอื ก Show Object 18. สามารถปรับแตงเสนโคงความหนาแนนใน Graphics View ไดโดยคลิกขวาบริเวณ เสน โคงความหนาแนน แลว เลือก Object Properties สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนาจะเปน 282 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 19. สามารถคัดลอกหรือบันทึกเสน โคง ความหนาแนนไดโดยไปท่ีเมนู File เลอื ก Export 19.1 ถา คลกิ ที่ Graphics View to Clipboard จะเปน การคัดลอกเสนโคงความหนาแนน ที่แสดงใน Graphics View และสามารถนาํ ไปวางบนโปรแกรมท่ีตอ งการใช 19.2 ถาคลิกท่ี Graphics View as Picture (png, eps) จะบันทึกเสนโคงความหนาแนน ที่แสดงใน Graphics View เปน ไฟลร ูปภาพ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน 283 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 4.8 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 4 ตัวแปรสุมและการแจกแจงความนาจะเปน สําหรับรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชได ตามจดุ ประสงคการเรยี นรูท ีต่ อ งการวดั ผลประเมินผล ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. จงพจิ ารณาวาตวั แปรสุม ตอ ไปนี้เปน ตัวแปรสุม ไมต อ เนอื่ งหรอื ตัวแปรสมุ ตอ เนอ่ื ง 1) ตัวแปรสุม X1 คือปริมาณวิตามินซี (มิลลิกรัม) ในเคร่อื งดื่มท่ีวางขายในรา นสะดวกซือ้ แหงหน่ึง 2) ตัวแปรสุม X2 คือจํานวนผูเสียชีวิต (คน) จากอุบัติเหตุทางถนนในชวงเทศกาล สงกรานต พ.ศ. 2560 3) ตัวแปรสุม X3 คือปริมาณการใชอ ินเทอรเน็ต (กกิ ะไบต) ของภนญั ญาใน 1 เดอื น 4) ตวั แปรสุม X4 คอื จาํ นวนรถยนต (คนั ) ท่ใี ชบ รกิ ารทางดว นใน 1 เดอื น 2. โรงภาพยนตรแหงหนึ่งตองการทราบวา โดยเฉลี่ยแลวผูใชบริการมาชมภาพยนตร พรอมกันคร้ังละก่ีคน จึงเก็บขอมูลจํานวนบัตรชมภาพยนตรที่ขายไดในการขายแตละคร้ัง เปน ระยะเวลา 1 เดือน ไดขอ มลู ดงั น้ี จํานวนบตั รชมภาพยนตร ทข่ี ายไดในการขายแตละครงั้ 1 2 3 4 5 6 7 ความถ่ี 542 798 520 255 59 0 2 ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนบัตรชมภาพยนตรที่ขายไดในการขายแตละครั้งที่สุมมา และ สมมติวาโรงภาพยนตรแหงน้ีใชขอมูลขางตนในการสรุปจํานวนผูใชบริการท่ีมาชม ภาพยนตรพ รอ มกันแตล ะครั้ง 1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตาราง (ตอบ เปนทศนิยม 4 ตําแหนง) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ตัวแปรสุม และการแจกแจงความนาจะเปน 284 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 2) จงหาความนา จะเปนทผ่ี ูใชบริการจะมาชมภาพยนตรพ รอ มกนั ครงั้ ละ 2 คน 3) จงหาความนา จะเปน ท่ผี ใู ชบ รกิ ารจะไมมาชมภาพยนตรคนเดยี ว 4) โดยเฉล่ียแลวผูใชบริการมาชมภาพยนตรพ รอมกนั ครัง้ ละก่ีคน (ตอบเปน จํานวนเตม็ ) 3. โรงงานผลิตแยมแหงหน่ึงผลิตแยมวันละ 10 ล็อต ล็อตละ 40 ขวด จากการจดบันทึก จํานวนขวดแยมท่ีไมผ านมาตรฐานในแตละลอ็ ตเปน เวลา 1 สปั ดาห ไดผ ลดังนี้ จํานวนขวดแยมท่ไี มผ าน มาตรฐานในแตล ะลอ็ ต (ขวด) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ความถี่ 22 15 9 5 10 2 1 2 4 ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนขวดแยมท่ีไมผานมาตรฐาน เม่ือสุมแยมมา 1 ล็อต จากแยม ท่ผี ลิตท้งั หมดใน 1 สัปดาห 1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปตาราง (ตอบ เปน ทศนยิ ม 3 ตาํ แหนง) 2) จงหาคาคาดหมายของตวั แปรสมุ X 3) จงหาความแปรปรวนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ X 4) ถาโรงงานแหงน้ีไดต้ังเกณฑไววาหาก µX > 3 หรือ σ X > µX จะถือวากระบวนการ ผลิตแยมไมไดมาตรฐาน และจะตองส่ังซ้ืออุปกรณสําหรับผลิตแยมชุดใหม จงพจิ ารณาวาโรงงานแหง นี้จะตองสง่ั ซ้อื อปุ กรณสําหรับผลติ แยมชุดใหมหรอื ไม 4. ดานโบนัสในแอปพลิเคชันเกมหน่ึงมีกติกาคือใหผูเลนเลือกการด 1 ใบ จากทั้งหมด 5 ใบ โดยการดแตล ะใบระบุแตมท่ผี ูเลนจะไดร ับแตมหรอื เสยี ไป ดังน้ี รับแตม 100 แตม รบั แตม 20 แตม รับแตม 10 แตม เสียแตม 30 แตม และเสียแตม 10 แตม ใหตัวแปรสุม X คือ แตม ทผี่ ูเลน ไดรับหรือเสียไปจากการเลนดานโบนัสแตละคร้ัง 1) จงพิจารณาวาตัวแปรสุม X เปน ตัวแปรสมุ ไมต อ เนื่องหรอื ตัวแปรสุมตอ เน่อื ง 2) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X ในรปู ตาราง 3) จงพิจารณาวา ตัวแปรสุม X มีการแจกแจงแบบใด 4) จงหาคา คาดหมายและสว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ X สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี