(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.2

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 435 1) ความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑท่ีสุมมาจากแตละกลองเปนผลิตภัณฑท่ีฝาเกลียวเปดยาก ทง้ั 5 ชิ้น คอื P( X = 5) =  5  ( 0.04)5  5    = 1.024 ×10−7 2) ความนาจะเปนทีผ่ ลติ ภณั ฑท ี่สุมมาจากแตล ะกลอ งเปนผลิตภัณฑที่ฝาเกลยี วเปดยาก ไมเกิน 2 ชิน้ คอื P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2) =  5  ( 0.96)5 +  5  ( 0.04 ) ( 0.96 )4 +  5  ( 0.04)2 (0.96)3  0   1   2        ≈ 0.9994 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑแตละกลองที่สงมาตรวจสอบจะผานการตรวจสอบ คุณภาพมีคาประมาณ 0.9994 3) จากขอ 2) จะไดวาความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑแตละกลองท่ีสงมาตรวจสอบจะไมผาน การตรวจสอบคุณภาพมีคาประมาณ 1− 0.9994 =6×10−4 ดงั นนั้ จะมีผลติ ภณั ฑท ่ไี มผ า นการตรวจสอบคุณภาพประมาณ (6×10−4 )×10,000 =6 กลอ ง 13. ใหตัวแปรสุม X คือจํานวนเครื่องขยายเสียงท่ีมีระดับเสียงมากกวา 90 เดซิเบล จากเครื่อง ขยายเสียงทีส่ มุ มาจํานวน 12 เคร่อื ง เนอ่ื งจากตวั แปรสุม X มีลกั ษณะดงั ตอไปนี้ 1. เกิดจากการสมุ เครื่องขยายเสียงจาํ นวน 12 ครง้ั ท่เี ปน อิสระกัน 2. การสุมเครื่องขยายเสียงแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เครื่อง ขยายเสียงที่สุมมามีระดับเสียงมากกวา 90 เดซิเบล) หรือไมสําเร็จ (เครื่องขยายเสียง ที่สุมมามรี ะดบั เสยี งไมมากกวา 90 เดซเิ บล) สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

436 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 3. ความนาจะเปนที่เครื่องขยายเสียงท่ีสุมมาแตละเครื่องจะมีระดับเสียงมากกวา 90 เดซิเบล เทากันโดยเทากับ 0.05 และความนาจะเปนท่ีเครื่องขยายเสียงท่ีสุมมาแตละ เครอ่ื งจะมีระดบั เสยี งไมมากกวา 90 เดซิเบล เปน 1− 0.05 =0.95 จะเห็นวาการแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ X เปน การแจกแจงทวินาม ความนาจะเปนที่มีเคร่ืองขยายเสียงอยางมาก 2 เครื่อง ที่มีระดับเสียงมากกวา 90 เดซิเบล คือ P( X ≤ 2) = P( X =0) + P( X =1) + P( X =2) = 12  ( 0.95)12 + 12  ( 0.05) ( 0.95)11 + 12  ( 0.05)2 ( 0.95)10        0   1   2  ≈ 0.9804 14. 1) เนอ่ื งจากวงลอท่ีใชในการเลน มี 6 ชอง และโอกาสท่ลี ูกศรจะช้ีทช่ี องใดชองหนงึ่ เทา กัน 2) จะไดวาตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงเอกรูปไมต อ เนอื่ ง โดยท่ี P=( X =50) P=( X 1=00) = P=( X 5=00) 1 6 เนอ่ื งจาก µX = 50  1  + 100  1  + 200  1  + 300  1  + 400  1  + 500  1  6   6  6   6  6  6  ≈ 258.33 ดังน้ัน โดยเฉล่ียแลวในการเลนเกมวงลอเส่ียงโชคแตละครั้ง ผูเลนจะไดเงินรางวัล ประมาณ 258.33 บาท เนือ่ งจาก σ 2 = (50 − 258.33)2  1  + (100 − 258.33)2  1  X  6   6  + ( 200 − 258.33)2  1  + ( 300 − 258.33)2  1   6   6  + ( 400 − 258.33)2  1  + ( 500 − 258.33)2  1   6   6  ≈ 25,347.22 จะได σ X ≈ 25,347.22 ≈ 159.21 ดงั น้ัน สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของเงินรางวลั ทไี่ ดจ ากการเลมเกมวงลอ เสีย่ งโชคแตล ะครั้ง มคี า ประมาณ 159.21 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 437 3) เน่ืองจากโดยเฉลี่ยแลวในการเลนเกมวงลอเสี่ยงโชคแตละครั้ง ผูเลนจะไดเงินรางวัล มากกวาคาต๋ัวเพียงประมาณ 258.33− 250 =8.33 บาท แตมีความเสี่ยงท่ีเงินรางวัล จะคลาดเคลื่อนจากคาคาดหมายถึง 159.21 บาท ดังน้ัน คําตอบจึงมีไดหลากหลาย เชน ถานักเรียนตองการม่ันใจที่จะไดรับเงินรางวัล นักเรียนอาจตัดสินใจไมเลนเกมนี้ แตถา นักเรียนยอมรับความเสย่ี งได นักเรียนอาจตดั สนิ ใจเลนเกมน้ี 15. 1) เนอ่ื งจากตวั แปรสมุ X มีลักษณะดังตอ ไปน้ี 1. เกิดจากการทดลองสุม (การทอดลูกเตาท่ีเที่ยงตรง 1 ลูก) จํานวน 10 คร้ัง ท่ีเปน อิสระกัน 2. การทดลองสุมแตละครั้งเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (ลูกเตาขึ้นแตม มากกวา 4) หรือไมส าํ เรจ็ (ลกู เตา ขึ้นแตม นอยกวา หรอื เทากบั 4) 3. ความนาจะเปนที่ลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 จากการทอดลูกเตาแตละครั้งเทากัน โดยเทากับ 2 = 1 และความนาจะเปนทล่ี ูกเตา ข้ึนแตมนอยกวาหรอื เทากับ 4 เปน 63 1− 1 =2 33 ดงั น้นั การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงทวินาม 2) ความนา จะเปนทล่ี กู เตา ข้นึ แตมมากกวา 4 เปน จํานวน 4 ถงึ 6 ครงั้ คือ P(4 ≤ X ≤ 6) = P( X =4) + P( X =5) + P( X =6) = 10   1 4  2 6 + 10   1 5  2 5 + 10   1 6  2 4    3   3     3   3     3   3   4   5   6  ≈ 0.4211 3) เนอ่ื งจาก=µX 10  1  ≈ 3.33 3  ดังนัน้ คาคาดหมายของตัวแปรสุม X มีคา ประมาณ 3.33 คร้งั เนอื่ =งจาก σ X2 10  1  2  ≈ 2.22  3   3  ดังน้ัน ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X มคี า ประมาณ 2.22 คร้ัง2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

438 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 16. 1) เน่ืองจากตัวแปรสมุ X มีลักษณะดงั ตอไปนี้ 1. เกดิ จากการทดลองสุม (การเดาขอสอบ) จํานวน 10 ครงั้ ท่เี ปนอิสระกนั 2. การทดลองสุมแตละคร้ังเกิดผลลัพธไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จ (เดาถูก) หรือ ไมสาํ เร็จ (เดาผิด) 3. ความนาจะเปนที่จะเดาขอสอบแตละขอถูกมีคาเทากัน โดยเทากับ 1 และ 6 ความนาจะเปน ทีจ่ ะเดาขอ สอบแตล ะขอผิดเปน 1− 1 =5 66 ดงั นนั้ การแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงทวินาม 2) ความนา จะเปนทนี่ กั เรียนคนนีจ้ ะตอบผิดทุกขอ คือ P( X = 0) = 10  5 10      0  6 ≈ 0.1615 3) ความนา จะเปนทนี่ กั เรียนจะได 5 คะแนน คอื P( X = 5) = 10  1 5  5 5      6   5  6 ≈ 0.013 ดงั นั้น ความนา จะเปนที่นักเรยี นคนนจ้ี ะไดคะแนนผานเกณฑพอดมี ีคา ประมาณ 0.013 ความนาจะเปนท่นี กั เรียนจะไดต ้ังแต 5 คะแนนขน้ึ ไป คือ P( X ≥ 5) = 10   1 5  5 5 + 10   1 6  5 4 + 10   1 7  5 3    6   6     6   6     6   6   5   6   7  + 10   1 8  5 2 + 10   1 9  5  + 10   1 10    6   6     6   6  10   6   8   9   ≈ 0.0155 ดงั นั้น ความนา จะเปนทน่ี ักเรยี นคนนจ้ี ะสอบผา นมีคา ประมาณ 0.0155 4) เนอ่ื งจา=ก µX 10  1  ≈ 1.67  6  ดงั น้นั โดยเฉลยี่ แลวนกั เรียนคนนจ้ี ะทําขอ สอบชดุ นไ้ี ดป ระมาณ 1.67 คะแนน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 439 เน่ือ=งจาก σ X2 10  1  5  ≈ 1.39  6   6  ดังนั้น ความแปรปรวนของคะแนนท่ีนักเรียนคนน้ีไดรับจากการทําขอสอบชุดนี้ มีคาประมาณ 1.39 คะแนน2 17. เน่ืองจาก X  N (100, 64) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =100 และ σ 2 = 64 นั่นคอื σ = 8 ให Z = X −µ σ 1) P( X < 92) = P  Z < 92 − 100   8  = P(Z < −1) = 0.1587 2) P (94 < X < 106) = P  94 − 100 < Z < 106 − 100   8 8  = P (−0.75 < Z < 0.75) = P (Z < 0.75) − P (Z ≤ −0.75) = 0.7734 − 0.2266 = 0.5468 3) P (102 < X < 110) = P  102 − 100 < Z < 110 − 100   8 8  = P (0.25 < Z < 1.25) = P (Z < 1.25) − P (Z ≤ 0.25) = 0.8944 − 0.5987 = 0.2957 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

440 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 18. เน่ืองจาก X  N (25, 36) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 25 และ σ 2 = 36 นนั่ คอื σ = 6 ให Z = X −µ σ ดงั นัน้ P (20 < X < 35) = P  20 − 25 < Z < 35 − 25   6 6  = P (−0.83 < Z < 1.67) = P (Z < 1.67) − P (Z ≤ −0.83) = 0.9525 − 0.2033 = 0.7492 19. เนื่องจาก X  N (120, 225) จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =120 และ σ 2 = 225 นัน่ คอื σ = 15 ให Z = X −µ σ ดังนัน้ P( X ≥130) = P  Z ≥ 130 −120   15  = P (Z ≥ 0.67) = 1− P (Z < 0.67) = 1− 0.7486 = 0.2514 และ P (93 ≤ X ≤ 140) = P  93 −120 ≤ Z ≤ 140 −120   15 15  = P (−1.8 ≤ Z ≤ 1.33) = P (Z ≤ 1.33) − P (Z < −1.8) = 0.9082 − 0.0359 = 0.8723 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 441 20. ใหต วั แปรสมุ X คอื นํ้าหนกั สุทธขิ องกาแฟผงสําเร็จรูปบรรจขุ วดที่ผลิตในโรงงานแหงน้ี จะไดวา ตัวแปรสมุ X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =115.5 และ σ = 0.3 ให Z = X −µ σ 1) เนื่องจาก P (115 < X < 115.5) = P  115 − 115.5 < Z < 115.5 −115.5   0.3 0.3  = P (−1.67 < Z < 0) = P(Z < 0) − P(Z ≤ −1.67) = 0.5 − 0.0475 = 0.4525 ดังนั้น ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีน้ําหนักสุทธิระหวาง 115 และ 115.5 กรัม คือ 0.4525 2) เนอื่ งจาก P(114.9 < X <115.5) = P  114.9 −115.5 < Z < 115.5 −115.5   0.3 0.3  = P (−2 < Z < 0) = P(Z < 0) − P(Z ≤ −2) = 0.5 − 0.0228 = 0.4772 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธิระหวาง 114.9 และ 115.5 กรัม คอื 0.4772 3) เน่ืองจาก P(115.2 < X <115.9) = P  115.2 −115.5 < Z < 115.9 −115.5   0.3 0.3  = P (−1 < Z < 1.33) = P (Z < 1.33) − P(Z ≤ −1) = 0.9082 − 0.1587 = 0.7495 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธิระหวาง 115.2 และ 115.9 กรัม คอื 0.7495 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

442 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 4) เนื่องจาก P(114.7 < X <115) = P  114.7 −115.5 < Z < 115 − 115.5   0.3 0.3  = P (−2.67 < Z < −1.67) = P (Z < −1.67) − P (Z ≤ −2.67) = 0.0475 − 0.0038 = 0.0437 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธิระหวาง 114.7 และ 115 กรัม คอื 0.0437 5) เนอ่ื งจาก P( X >115.5) = P  Z > 115.5 −115.5   0.3  = P(Z > 0) = 1− P(Z ≤ 0) = 1− 0.5 = 0.5 ดังน้ัน ความนาจะเปนที่กาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดท่ีสุมไดจะมีน้ําหนักสุทธิมากกวา 115.5 กรัม คือ 0.5 6) เนอื่ งจาก P( X <115) = P  Z < 115 − 115.5   0.3  = P (Z < −1.67) = 0.0475 ดังนั้น ความนาจะเปนท่ีกาแฟผงสําเร็จรูปบรรจุขวดที่สุมไดจะมีนํ้าหนักสุทธินอยกวา 115 กรมั คอื 0.0475 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 443 21. ใหต ัวแปรสุม X คือคาใชจ ายในการใชโ ทรศัพทม ือถือรายเดอื นของคนในจงั หวดั น้ี จะไดวา ตวั แปรสมุ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 520 และ σ = 270 ให Z = X −µ σ 1) เน่ืองจาก P( X < 520) = P  Z < 520 − 520   270  = P(Z < 0) = 0.5 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผูที่สุมไดจะมีคาใชจายในการใชโทรศัพทมือถือนอยกวา 520 บาทตอเดือน คือ 0.5 2) เนือ่ งจาก P( X > 700) = P  Z > 700 − 520   270  = P (Z > 0.67) = 1− P (Z ≤ 0.67) = 1− 0.7486 = 0.2514 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผูที่สุมไดจะมีคาใชจายในการใชโทรศัพทมือถือมากกวา 700 บาทตอ เดอื น คอื 0.2514 3) เนอื่ งจาก P (500 < X < 800) = P  500 − 520 < Z < 800 − 520   270 270  = P (−0.07 < Z < 1.04) = P (Z < 1.04) − P (Z ≤ −0.07) = 0.8508 − 0.4721 = 0.3787 ดังนั้น ความนาจะเปนที่ผูท่ีสุมไดจะมีคาใชจายในการใชโทรศัพทมือถือระหวาง 500 และ 800 บาทตอเดือน คอื 0.3787 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

444 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 22. ใหต ัวแปรสุม X คือคะแนนสอบของนกั เรยี น จะไดวาตัวแปรสุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี µ = 200 และ σ = 30 ให Z = X −µ σ 1) เนื่องจาก P (170 < X < 230) = P  170 − 200 < Z < 230 − 200   30 30  = P (−1 < Z < 1) = P(Z < 1) − P(Z ≤ −1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 ดังนั้น มีนักเรียนประมาณ 0.6826×1,000 ≈ 683 คน ที่ไดคะแนนสอบระหวาง 170 และ 230 คะแนน 2) เนือ่ งจาก P( X > 260) = P  Z > 260 − 200   30  = P(Z > 2) = 1− P(Z ≤ 2) = 1− 0.9772 = 0.0228 ดังน้ัน มีนักเรียนประมาณ 0.0228×1,000 ≈ 23 คน ที่ไดคะแนนสอบมากกวา 260 คะแนน 23. ใหตัวแปรสุม X คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 ใน ภาคเรียนหนึง่ จะไดวา ตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 60 และ σ = 5 ให Z = X −µ σ 1) ให x แทนคะแนนตํา่ สดุ ของกลุมนกั เรยี นทไี่ ดค ะแนนสงู สุด ซึ่งมจี าํ นวนประมาณ 5% ของนกั เรยี นทั้งหมด ดงั น้นั x คอื เปอรเซ็นไทลท ่ี 95 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 445 จะได P( X < x) = 0.95 P  Z < x − 60  = 0.95  5  เน่ืองจาก P(Z <1.645) =0.95 จะได x − 60 = 1.645 5 x = 68.225 ดังน้ัน คะแนนตํ่าสุดของกลุมนักเรียนท่ีไดคะแนนสูงสุด ซึ่งมีจํานวนประมาณ 5% ของ นกั เรยี นท้งั หมด คอื 68.225 คะแนน 2) ให x แทนคะแนนสูงสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสดุ ซง่ึ มจี ํานวนประมาณ 10% ของนกั เรยี นท้ังหมด ดงั นัน้ x คือเปอรเซน็ ไทลท ี่ 10 จะได P( X < x) = 0.1 P  Z < x − 60  = 0.1  5  เนอื่ งจาก P(Z < −1.282) =0.1 จะได x − 60 = −1.282 5 x = 53.59 ดังนั้น คะแนนสงู สดุ ของกลุมนักเรียนท่ีไดคะแนนตํ่าสุด ซ่ึงมีจํานวนประมาณ 10% ของ นกั เรียนท้งั หมด คือ 53.59 คะแนน 24. ใหตัวแปรสุม X คอื คะแนนสอบวัดผลวิชาคณติ ศาสตรร ะดบั ประเทศทีจ่ ดั โดยสถาบันแหง นี้ จะไดวาตวั แปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ = 25 และ σ = 5 ให Z = X −µ σ 1) เนอ่ื งจาก P( X > 30) = P  Z > 30 − 25   5  = P(Z > 1) = 1− P (Z ≤ 1) = 1− 0.8413 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

446 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 P( X > 30) = 0.1587 ดังนัน้ ความนา จะเปนที่ผูเขาสอบท่สี มุ ไดจะไดค ะแนนมากกวา 30 คะแนน คือ 0.1587 2) ให x แทนคะแนนต่ําสุดของกลุมผูเขาสอบที่ไดคะแนนสูงสุด ซ่ึงมีจํานวนประมาณ 2% ของผูเ ขา สอบทัง้ หมด ดังนัน้ x คือเปอรเซน็ ไทลท ่ี 98 จะได P( X < x) = 0.98 P  Z < x − 25  = 0.98  5  เนื่องจาก P(Z < 2.054) =0.98 จะได x − 25 = 2.054 5 x = 35.27 ดังน้ัน คะแนนตํ่าสุดของกลุมผูเขาสอบที่ไดคะแนนสูงสุด ซ่ึงมีจํานวนประมาณ 2% ของ ผูเขาสอบทง้ั หมด คอื 35.27 คะแนน 25. ใหตัวแปรสุม X คือน้ําหนักรถรวมนํ้าหนักบรรทุกของรถบรรทุกที่ว่ิงระหวางกรุงเทพมหานคร และนครราชสีมาในชว งระยะเวลาหนึ่ง จะไดวาตัวแปรสุม X มีการแจกแจงปกติ โดยมี µ =15 และ σ = 4 ให Z = X −µ σ 1) เน่อื งจาก P( X >12) = P  Z > 12 − 15   4  = P (Z > −0.75) = 1− P (Z ≤ −0.75) = 1− 0.2266 = 0.7734 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรถบรรทุกท่ีสุมไดจะมีนํ้าหนกั รถรวมนํ้าหนกั บรรทุกมากกวา 12 ตัน คอื 0.7734 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 447 2) เน่อื งจาก P( X < 20) = P  Z < 20 −15   4  = P (Z < 1.25) = 0.8944 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรถบรรทกุ ที่สมุ ไดจ ะมนี ้ําหนกั รถรวมนํ้าหนักบรรทุกนอยกวา 20 ตัน คอื 0.8944 3) เน่ืองจาก P(10 < X <18) = P  10 − 15 < Z < 18 − 15   4 4  = P (−1.25 < Z < 0.75) = P (Z < 0.75) − P (Z ≤ −1.25) = 0.7734 − 0.1056 = 0.6678 ดังน้ัน ความนาจะเปนท่ีรถบรรทุกท่ีสุมไดจะมีนํ้าหนักรถรวมนํ้าหนักบรรทุกระหวาง 10 และ 18 ตนั คอื 0.6678 26. พจิ ารณา X  N (a, 9) ให Z = X −a 3 จากโจทย P ( X ≤ 6) = 0.0985 P  Z ≤ 6 − a  = 0.0985  3  เนื่องจาก P(Z ≤ −1.29) =0.0985 จะได 6 − a = −1.29 3 ดังนั้น a = 9.87 พจิ ารณา X ( ) N 10, b2 ให Z = X −10 b จากโจทย P ( X ≤ 12) = 0.6026 P  Z ≤ 12 − 10  = 0.6026  b  สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

448 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 P  Z ≤ 2  = 0.6026  b  เน่อื งจาก P(Z ≤ 0.26) =0.6026 จะได 2 = 0.26 b ≈ 7.69 ดงั นนั้ b พจิ ารณา X  N (10, 4) ให Z = X −10 2 จากโจทย P ( X ≤ c) = 0.1841 P  Z ≤ c − 10  = 0.1841  2  เนอื่ งจาก P(Z ≤ −0.9) =0.1841 จะได c −10 = −0.9 2 ดงั นน้ั c = 8.2 พิจารณา X  N (3, 1) ให Z= X − 3 จากโจทย P( X ≤ 2) = d P(Z ≤ 2 − 3) = d P (Z ≤ −1) = d เนอื่ งจาก P(Z ≤ −1) =0.1587 ดังนนั้ d = 0.1587 27. ใหตัวแปรสุม X และ Y คือคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหอง 1 และหอ ง 2 ตามลําดับ จะไดวาตัวแปรสุม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดย=มี µX 6=5 , σ X 5 และ =µY 7=0 , σY 10 ให ZX = X − µX และ ZY = Y − µY σX σY สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 449 1) เนอ่ื งจาก P(55 < X < 75) = P  55 − 65 < ZX < 75 − 65   5 5  = P (−2 < Z X < 2) = P (Z X < 2) − P (Z X ≤ −2) = 0.9772 − 0.0228 = 0.9544 ดังนั้น มีนักเรียนหอง 1 จํานวน 0.9544×100 =95.44 เปอรเซ็นต ท่ีไดคะแนนสอบ ระหวา ง 55 และ 75 คะแนน 2) เนื่องจาก P( X ≤ 80) = P  Z X ≤ 80 − 65   5  = P(ZX ≤ 3) = 0.9987 ดังน้ัน มีนักเรียนหอง 1 จํานวน 0.9987×100 =99.87 เปอรเซ็นต ที่ไดคะแนนไมเกิน คะแนนของเกง 3) เน่อื งจาก P(Y > 90) = P  ZY > 90 − 70   10  = P(ZY > 2) = 1− P(ZY ≤ 2) = 1− 0.9772 = 0.0228 ดังน้ัน มีนักเรียนหอง 2 จํานวน 0.0228×100 =2.28 เปอรเซ็นต ท่ีไดคะแนนมากกวา กลา 4) จากขอ 1) จะได ความนาจะเปนท่ีนักเรียนหอง 1 ไดคะแนนสอบระหวาง 55 และ 75 คะแนน คือ 0.9544 เนื่องจาก P (55 < Y < 75) = P  55 − 70 < ZY < 75 − 70   10 10  = P (−1.5 < ZY < 0.5) = P (ZY < 0.5) − P (ZY ≤ −1.5) = 0.6915 − 0.0668 = 0.6247 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

450 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 จะได ความนาจะเปนที่นักเรียนหอง 2 ไดคะแนนสอบระหวาง 55 และ 75 คะแนน คอื 0.6247 ดังนั้น สามารถสรุปไดวานักเรียนหอง 1 มีโอกาสสอบไดคะแนนระหวาง 55 และ 75 คะแนน มากกวานักเรียนในหอง 2 มีโอกาสสอบไดคะแนนระหวาง 55 และ 75 คะแนน 5) เนอ่ื งจาก 80 − µX = 80 − 65 σX 5 =3 ดังน้นั คา ของตัวแปรสุมปกตมิ าตรฐานของคะแนนสอบของเกง คือ 3 และเนอ่ื งจาก 90 − µY = 90 − 70 σY 10 =2 ดงั นน้ั คาของตวั แปรสมุ ปกติมาตรฐานของคะแนนสอบของกลา คอื 2 เน่ืองจากคาของตวั แปรสมุ ปกติมาตรฐานของคะแนนสอบของเกง มากกวากลา ดังนนั้ สามารถบอกไดวา เกง ทําคะแนนสอบไดดีกวา กลา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 451 บรรณานุกรม กฤษณะ เนียมมณี. (2562). คณิตศาสตรการเงินในชีวิตประจําวัน. สืบคนเมื่อ 21 พฤศจิกายน 2562, จ า ก https://www.mebmarket.com/ebook-101208-ค ณิ ต ศ า ส ต ร ก า ร เ งิ น ในชีวิตประจาํ วนั สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2559). Microsoft ® Excel ® 2016 MSO (16.0.4266.1001) 32-bit [โ ป ร แ ก ร ม ค อ ม พิ ว เ ต อ ร ]. Redmond, WA: Microsoft Corporation. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 3 เลม 1 ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวช้ีวัด กลมุ สาระการเรยี นรคู ณติ ศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสตู รแกนกลาง การศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 ตามผลการเรียนรู กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว. สํานักงานราชบัณฑิตยสภา. (2561). พจนานุกรมศัพทสถิติศาสตร ฉบับราชบัณฑิตยสภา (พมิ พครง้ั ท่ี 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพแ หงจฬุ าลงกรณมหาวิทยาลยั . Encyclopedia Titanica. Encyclopedia Titanica: Titanic Facts, History and Biography. Retrieved August 1, 2019, from https://www.encyclopedia-titanica.org International GeoGebra Institute. Quartile1 Command. Retrieved August 1, 2019, from https://wiki.geogebra.org/en/Quartile1_Command Kaggle. Titanic: Machine Learning from Disaster. Retrieved August 1, 2019, from https://www.kaggle.com/c/titanic Lefebvre, M. (2009). Basic Probability Theory with Applications. New York, NY: Springer Science+Business Media, LLC. Weiss, N. A. (2017). Introductory Statistics (10th ed). Essex, England: Pearson Education Limited. สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

452 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 คณะผูจ ัดทาํ ทีป่ รึกษา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี ศ. ดร.ชูกจิ ลมิ ปจ ํานงค คณะผูจดั ทาํ คมู อื ครู นายประสาท สอา นวงศ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี รศ. ดร.สมพร สูตินันทโ อภาส สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี รศ. ดร.สริ ิพร ทิพยค ง สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวจินตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นายสเุ ทพ กติ ตพิ ทิ ักษ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวจําเรญิ เจยี วหวาน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี ดร.อลงกรณ ต้ังสงวนธรรม สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี วา ท่ีรอยเอก ดร.ภณฐั กวยเจริญพานชิ ก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นางภิญญดา ดําดวง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.จิณณวัตร เจตนจ รงุ กจิ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี รศ. ดร.กลั ยา วานิชยบัญชา ขา ราชการบาํ นาญ รศ. ดร.พาชติ ชนตั ศิริพานิช สถาบันบัณฑิตพัฒนบริหารศาสตร ผศ. ดร.จุฑาภรณ สนิ สมบูรณท อง มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร รศ. ดร.ณัฐกาญจน ใจดี จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รศ. ดร.สญั ญา มิตรเอม มหาวิทยาลยั ธรรมศาสตร นางนงนุช ผลทวี โรงเรียนทับปดุ วิทยา จังหวดั พงั งา คณะบรรณาธกิ าร จฬุ าลงกรณม หาวิทยาลยั รศ. ดร.สุพล ดุรงควัฒนา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวอัมริสา จันทนะศริ ิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวปฐมาภรณ อวชัย สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นายพฒั นชัย รวิวรรณ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 453 ฝายสนบั สนนุ วิชาการ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวเบญจพรรณ กวเี ลิศพจนา สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.จฬุ าลกั ษณ แกวหวงั สกูล สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นายกฤษณะ ปอ มดี มหาวทิ ยาลยั สงขลานครนิ ทร วทิ ยาเขตหาดใหญ นางสาวปยาภรณ ทองมาก ดร.พรฑติ า ทวิ ทัศน ออกแบบปก บรษิ ัท พงิ ค บลู แบล็ค แอนด ออเรจ น จํากดั สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



สถาบนั สง� เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ� ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร