(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.2

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 335 อันตรภาคช้ัน ความถี่ 541− 580 11 581− 620 11 621− 660 3 661− 700 1 701− 740 1 2) มหี มบู า นท่มี ีประชากรอาศัยอยตู ่ํากวา 501 คน จํานวน 2 + 7 + 5 +14 =28 หมบู า น 3) มีหมบู า นทีม่ ีประชากรอาศัยอยตู งั้ แต 381 ถงึ 580 คน จํานวน 7 + 5 +14 +11+11 =48 หมูบ า น 4) จํานวนหมูบานที่มปี ระชากรอาศยั อยูมากกวา 660 คน คดิ เปน รอยละ 2 ×100 ≈ 3.03 66 ของจาํ นวนหมูบ า นท้งั หมด แบบฝกหดั 3.2 1. จากขอ มูลสามารถเขียนฮสิ โทแกรมไดด ังน้ี จาํ นวนนักเรยี น (คน) 6 5 4 3 2 1 คะแนน 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

336 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 2. 1) หาความถข่ี องแตละอันตรภาคชนั้ จากความถี่สะสมไดดังน้ี อันตรภาคช้ัน ความถส่ี ะสม ความถี่ 61 − 67 3 3 68 − 74 6 3 75 − 81 9 3 82 − 88 24 15 89 − 95 47 23 96 − 102 63 16 103 − 109 76 13 110 − 116 80 4 ดังน้ัน ครูมีระดับนํ้าตาลในเลือดอยูในชวง 89 − 95 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มากท่ีสุด โดยมีจาํ นวน 23 คน 2) จากขอมลู สามารถเขียนฮิสโทแกรมไดด ังน้ี จํานวนครู (คน) 24 20 16 12 8 4 0 60.5 67.5 74.5 81.5 88.5 95.5 102.5 109.5 116.5 ระดับนาํ้ ตาลในเลือด (มิลลิกรัมตอเดซิลิตร) 3) ขอสรุปดังกลาวไมเปนจริง เนื่องจากถาสมมติวาครูทั้ง 16 คน ท่ีมีระดับนํ้าตาลในเลอื ด อยูในชวง 96 −102 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มีระดับน้ําตาลในเลือดสูงกวา 100 มิลลิกรัม ตอเดซลิ ติ ร จะไดวา มคี รทู ่มี ีระดับน้ําตาลในเลือดสูงกวา 100 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร หรือ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 337 อยูในชวง 100 −125 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร ทั้งหมด 16 +13+ 4 =33 คน ซึ่งคิดเปน รอ ยละ 33 ×100 =41.25 ของครทู ัง้ หมด 88 ดังนั้น ครูท่ีมีความเส่ียงตอการเปนโรคเบาหวานจึงมีนอยกวารอยละ 42 ของครู ทง้ั หมด 3. 1) มี 29 +11 =40 เขตที่อัตราสวนพื้นที่สีเขียว 10 ประเภท ตอจํานวนประชากร นอ ยกวา 40 ตารางเมตรตอคน 2) มี 1+1+1 =3 เขตท่ีอัตราสวนพ้ืนท่ีสีเขียว 10 ประเภท ตอจํานวนประชากร ไมนอยกวา 80 ตารางเมตรตอคน 3) จากฮิสโทแกรม เขตที่มีอัตราสวนพื้นที่สีเขียว 10 ประเภท ตอจํานวนประชากร มากทสี่ ุดมีอตั ราสว นพืน้ ทสี่ ีเขียวตอจํานวนประชากรอยูใ นชวง 280 −300 ตารางเมตร ตอคน และเนือ่ งจากเขตนีม้ ปี ระชากร 182,235 คน ดงั นน้ั ในเขตนจ้ี ะมพี น้ื ทส่ี ีเขียวอยา งนอย 280×182,235 = 51,025,800 ตารางเมตร นน่ั คอื สามารถสรุปไดวา พน้ื ทส่ี ีเขียวในเขตนั้นไมน อ ยกวา 50,000,000 ตารางเมตร 4. 1) แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนท่ีสุมมามีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดอยูในชวง 190 − 200 มิลลิกรมั ตอ เดซลิ ิตร มากท่ีสดุ และมีแพทยอ ยใู นชว งน้ี 9 คน 2) ระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดของแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่สุมมา มคี าสูงสุดอยูในชวง 240 − 250 มลิ ลกิ รมั ตอเดซลิ ิตร และมแี พทยอ ยใู นชว งน้ี 2 คน 3) 3.1) จากฮิสโทแกรม มีแพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนท่ีมีระดับคอเลสเตอรอลรวมใน เลือดสูงกวา คาปกติ 5 + 2 + 5 +1+1 =14 คน ซึ่งคดิ เปนรอยละ 14 ×100 ≈ 46.67 30 ของจํานวนแพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนท่ีสมุ มาทัง้ หมด 3.2) จากฮิสโทแกรม มีแพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนและแพทยประจํา โรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดสูงกวาคาปกติ 14 + (9 + 7 + 4 + 4 + 2) =40 คน ซึ่งคิดเปนรอยละ 40 ×100 ≈ 66.67 ของ 60 จาํ นวนแพทยท ีส่ มุ มาทง้ั หมด สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

338 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 3.3) แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือด สูงกวาคาปกติมีจํานวนนอยกวาแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับ คอเลสเตอรอลรวมในเลอื ดสูงกวาคา ปกตอิ ยู 26 −14 =12 คน 4) คาํ ตอบมีไดห ลากหลาย เชน • แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนท่ีมีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดอยูในชวง 190 − 200 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มีจํานวนมากท่ีสุด โดยแพทยประจําโรงพยาบาล เอกชนท่ีมีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดปกติมีจํานวนมากกวาแพทยประจํา โรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดสูงกวาคาปกติอยู 16 −14 =2 คน • แพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลที่มีระดับคอเลสเตอรอลรวมในเลือดอยูในชวง 200 − 210 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร มีจํานวนมากที่สุด รองลงมาคือ ชวง 210 − 220 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร โดยแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลท่ีมีระดับคอเลสเตอรอล รวมในเลือดปกติมีจํานวนนอยกวาแพทยประจําโรงพยาบาลรัฐบาลท่ีมีระดับ คอเลสเตอรอลรวมในเลอื ดสูงกวาคาปกติอยู 26 − 4 =22 คน • แพทยประจําโรงพยาบาลเอกชนที่มีระดับคอเลสเตอรอลในเลือดปกติมีจํานวน มากกวา แพทยป ระจําโรงพยาบาลรัฐบาลอยู 16 − 4 =12 คน 5. 1) จากขอ มูลสามารถเขยี นแผนภาพจุดไดด งั นี้ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 จํานวนภาพยนตร (เรอ่ื ง) ที่นกั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 จาํ นวน 50 คน ชมในหนึ่งป สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 339 จากขอมูลสามารถเขยี นแผนภาพลาํ ตนและใบไดด งั นี้ 035567779 10025556666666777788899 200012234555566788 3223 2) นักเรียนที่ชมภาพยนตรมากกวา 12 เร่ือง ในหน่ึงป คิดเปนรอยละ 39 ×100 =78 50 ของจาํ นวนนักเรียนท้ังหมด 6. นักเรียนท่ีไดคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรตั้งแตรอยละ 90 ขึ้นไปของคะแนนเต็ม คือ นักเรียนทไ่ี ดคะแนนสอบ 45 คะแนนขึ้นไป ซ่งึ มีจํานวน 19 + 24 +19 +18 +12 + 5 =97 คน และนักเรียนท่ีไดคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษตั้งแตรอยละ 90 ขึ้นไปของคะแนนเต็ม คือ นักเรยี นทีไ่ ดคะแนนสอบ 45 คะแนนขนึ้ ไป ซงึ่ มีจํานวน 24 +12 + 5 + 3 + 2 =46 คน ดงั น้ัน มีนักเรียนที่ไดรางวัลในวิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษ จํานวน 97 และ 46 คน ตามลําดับ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

340 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 7. 1) เขียนแผนภาพลาํ ตนและใบของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและวิชาคณิตศาสตรไดดังน้ี วิชาภาษาไทย วชิ าคณิตศาสตร 604579 2502256799 83603455679 998877777665400070001344577889 8776433221111118011225 8422905 2) จากแผนภาพลําตนและใบในขอ 1) เขียนตารางความถ่ีแสดงจํานวนนักเรียนที่ไดเกรด ตา ง ๆ ของแตล ะวิชา ไดด งั นี้ เกรด จํานวนนักเรียน (คน) วิชาภาษาไทย วชิ าคณติ ศาสตร 44 2 3 15 6 2 16 13 12 8 0 3 11 3) นักเรียนที่คะแนนวิชาคณิตศาสตรขาดไปเพียง 1 คะแนน แลวจะไดเกรดดีขึ้นคือ นักเรยี นที่ไดค ะแนน 59, 69 และ 79 ซงึ่ มที ง้ั หมด 4 คน 4) เมือ่ เปรียบเทียบจากเกรด พบวา นกั เรียนสว นใหญใ นหอ งนี้ถนดั วชิ าภาษาไทยมากกวา วชิ าคณติ ศาสตร 8. 1) เรยี งขอ มลู จากนอยไปมากไดดังน้ี 5 6 6 7 7 8 9 9 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 20 20 ขอ มลู มีท้งั หมด 31 ตวั จะได Q1 อยใู นตําแหนง ท่ี 31 +1 =8 ดงั นน้ั Q1 = 9 4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 341 Q2 อยใู นตาํ แหนงท่ี 2(31 +1) = 16 ดงั นนั้ Q2 = 14 4 และ Q3 อยใู นตาํ แหนง ท่ี 3( 31 + 1) = 24 ดังนนั้ Q3 = 17 4 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดน้ี คือ 9, 14 และ 17 คนั ตามลาํ ดับ 2) แทน Q1 และ Q3 ดว ย 9 และ 17 ตามลาํ ดบั ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1 ) จะได 9 −1.5(17 − 9) =− 3 แทน Q1 และ Q3 ดวย 9 และ 17 ตามลาํ ดบั ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1 ) จะได 17 +1.5(17 − 9) =29 เนอื่ งจากไมม ีขอ มูลทม่ี คี า นอ ยกวา −3 หรือมากกวา 29 ดังนัน้ ขอ มูลชดุ นี้ไมมีคานอกเกณฑ 3) จากขอมูลสามารถเขียนแผนภาพกลอ งไดดังน้ี 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาจํานวนรถจักรยานยนตที่มาจอดบริเวณหนาบานของ นภาพักตรในชวง 9 ถึง 14 คัน มีการกระจายมากท่ีสุด รองลงมาคือชวง 5 ถึง 9 คัน สว นชวง 14 ถงึ 17 คนั และชว ง 17 ถึง 20 คัน มีการกระจายนอ ยใกลเ คียงกนั 9. 1) เรยี งขอมูลจากนอยไปมากไดดงั นี้ 3.6 5.0 5.4 5.5 5.6 5.8 5.8 5.9 6.0 6.0 7.2 6.1 6.3 6.4 6.5 6.7 6.8 6.9 7.0 7.0 7.2 7.3 7.5 7.5 7.7 8.0 8.0 ขอ มูลมที ง้ั หมด 27 ตวั จะได Q1 อยใู นตาํ แหนง ที่ 27 + 1 = 7 ดังนั้น Q1 = 5.8 4 Q2 อยูใ นตําแหนง ที่ 2(27 +1) = 14 ดังนัน้ Q2 = 6.5 4 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

342 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 และ Q3 อยูในตําแหนง ท่ี 3(27 +1) = 21 ดังนั้น Q3 = 7.2 4 ดังน้ัน ควอรไทลท่ี 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลท่ี 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 5.8, 6.5 และ 7.2 เซนตเิ มตร ตามลาํ ดับ 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 5.8 และ 7.2 ตามลาํ ดบั ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1 ) จะได 5.8 −1.5(7.2 − 5.8) =3.7 แทน Q1 และ Q3 ดวย 5.8 และ 7.2 ตามลําดับ ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1 ) จะได 7.2 +1.5(7.2 − 5.8) =9.3 จากขอมลู มี 3.6 นอยกวา 3.7 แตไมม ีขอ มลู ทมี่ ากกวา 9.3 ดงั นัน้ ขอมูลชดุ นม้ี ีคานอกเกณฑ คือ 3.6 3) จากขอมูลสามารถเขยี นแผนภาพกลองไดดงั นี้ 5 5.8 6.5 7.2 8 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 4) จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาความยาวของกลวยทอดในชวง 5 ถึง 5.8 เซนติเมตร ชวง 5.8 ถึง 6.5 เซนติเมตร ชวง 6.5 ถึง 7.2 เซนติเมตร และชวง 7.2 ถึง 8 เซนติเมตร มีการกระจายใกลเคยี งกนั 10. 1) คะแนนต่ําสุดของนักเรียนกลุมน้ีคือ 60 คะแนน และคะแนนสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ คอื 67 คะแนน 2) เน่ืองจาก 91 ตรงกับ Q3 จึงมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6/2 ที่ไดคะแนนมากกวา 91 คะแนน ประมาณ 25% สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 343 3) เนื่องจาก 75 ตรงกับ Q2 จึงมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/1 ที่ไดคะแนนนอยกวา 75 คะแนน ประมาณ 50% 4) เนื่องจาก 77 ตรงกับ Q1 จึงมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6/2 ท่ีไดคะแนนมากกวา 77 คะแนน ประมาณ 75% 5) คําตอบมไี ดห ลากหลาย เชน นาจะมีนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6/2 ไดเกรด 4 ในวิชาคณิตศาสตรมากกวานักเรียน ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6/1 เนอื่ งจากควอรไ ทลท่ี 2 ของคะแนนของนักเรียนชัน้ มัธยมศึกษา ปที่ 6/2 คือ 85 คะแนน ซ่ึงมากกวา 80 คะแนน ดังน้ัน นาจะมีนักเรียนในหองน้ี มากกวาครึ่งหนึ่งท่ีไดเกรด 4 ในขณะที่ควอรไทลที่ 2 ของคะแนนของนักเรียน ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6/1 คือ 75 คะแนน ซึ่งนอ ยกวา 80 คะแนน ดังนน้ั นาจะมนี ักเรียน ในหอ งนน้ี อยกวาครงึ่ หนง่ึ ทีไ่ ดเกรด 4 11. จากขอมลู สามารถเขยี นแผนภาพการกระจายไดดงั น้ี 70 60 ํ้นาห ันก (กิโลก ัรม) 50 40 30 20 10 0 140 145 150 155 160 165 170 ความสงู (เซนตเิ มตร) จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเม่ือความสูงของนักเรียนมากขึ้น นํ้าหนักของ นักเรยี นจะมแี นวโนมมากขึ้นดว ย ดังนน้ั ความสูงและนํา้ หนักของนกั เรียนมีความสมั พนั ธในทศิ ทางเดียวกัน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

344 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 12. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเม่ือความสูงจากระดับนํ้าทะเลปานกลางมากข้ึน ความดนั อากาศจะมีแนวโนมลดลง ดังน้ัน ความดันอากาศและความสูงจากระดับน้ําทะเลปานกลางมีความสัมพันธในทิศทาง ตรงกันขา ม 13. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเม่ืออายุมากข้ึน จํานวนเพ่ือนสนิทของนักเรียนไมได มากขึน้ หรอื นอยลงตาม ดังนั้น จาํ นวนเพอ่ื นสนิทและอายขุ องนกั เรยี นไมมคี วามสัมพนั ธเ ชิงเสน แบบฝก หัด 3.3.1 1. 1) พิจารณาขอ มลู คา จา งรายวนั ของพนักงานช่วั คราวในรานที่ 1 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตของคา จา งรายวนั ของพนักงานชั่วคราวในรานท่ี 1 คอื 248 + 225 + 280 + 324 + 346 + 320 + 284 + 275 + 325 + 375 = 300.20 บาท 10 เรยี งขอ มูลคาจางรายวันของพนกั งานชัว่ คราวในรานที่ 1 จากนอยไปมากไดด งั นี้ 225 248 275 280 284 320 324 325 346 375 เนื่องจากมธั ยฐานอยใู นตําแหนง ที่ 10 + 1 = 5.5 2 ดังนั้น มธั ยฐานของคา จางรายวนั ของพนักงานชั่วคราวในรา นที่ 1 คือ 284 + 320 = 302 บาท 2 เนื่องจากขอมูลคาจางรายวันของพนักงานช่ัวคราวในรานที่ 1 มีความถี่เปน 1 เทากันหมด ดงั นน้ั ไมมฐี านนิยมของคาจา งรายวันของพนกั งานชัว่ คราวในรา นที่ 1 พิจารณาขอ มูลคาจา งรายวนั ของพนกั งานช่ัวคราวในรา นท่ี 2 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตของคาจางรายวันของพนักงานช่ัวคราวในรานท่ี 2 คือ 260 + 232 + 245 + 220 + 256 + 248 + 276 + 235 + 244 + 280 = 249.60 บาท 10 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 345 เรียงขอมูลคา จา งรายวนั ของพนกั งานช่ัวคราวในรานที่ 2 จากนอยไปมากไดดงั นี้ 220 232 235 244 245 248 256 260 276 280 เนอื่ งจากมธั ยฐานอยใู นตาํ แหนงท่ี 10 + 1 = 5.5 2 ดงั น้นั มธั ยฐานของคา จางรายวนั ของพนกั งานช่วั คราวในรานท่ี 2 คือ 245 + 248 = 246.50 บาท 2 เน่ืองจากขอมูลคาจางรายวันของพนักงานชั่วคราวในรานที่ 2 มีความถ่ีเปน 1 เทากนั หมด ดงั น้ัน ไมม ฐี านนิยมของคา จา งรายวันของพนักงานชั่วคราวในรา นที่ 2 2) ควรเลือกทํางานรานท่ี 1 เนอื่ งจากโดยเฉล่ียแลวจะไดรบั คาจา งรายวันมากกวา รานที่ 2 2. 1) เรยี งขอมูลจากนอ ยไปมากไดดงั นี้ 7 9 11 11 12 12 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 18 19 19 27 28 ขอมลู มีท้ังหมด 27 ตวั จะได Q1 อยใู นตําแหนง ที่ 27 +1 = 7 ดังน้นั Q1 = 13 4 และ Q3 อยูในตําแหนงท่ี 3(27 +1) = 21 ดงั น้นั Q3 = 17 4 แทน Q1 และ Q3 ดว ย 13 และ 17 ตามลําดบั ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1 ) จะได 13 −1.5(17 −13) =7 แทน Q1 และ Q3 ดว ย 13 และ 17 ตามลําดับ ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1 ) จะได 17 +1.5(17 −13) =23 จากขอ มูล ไมมขี อ มูลท่ีนอ ยกวา 7 แตมี 27 และ 28 ท่ีมากกวา 23 ดังนน้ั คา นอกเกณฑ คือ 27 และ 28 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของระยะเวลาท่ีลูกคาจํานวน 27 คน ใชในการทําธุรกรรมท่ีธนาคาร แหงนี้ คอื 415 ≈15.37 นาที 27 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

346 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 3) คา เฉลยี่ เลขคณิตของระยะเวลาทล่ี กู คา ใชในการทาํ ธรุ กรรมทธี่ นาคารแหงนี้ โดยไมรวม คา นอกเกณฑ คอื 415 − (27 + 2=8) 3=60 14.4 นาที 25 25 4) ถึงแมขอมูลชุดน้ีจะมีคานอกเกณฑถึงสองคา แตคาเฉลี่ยเลขคณิตท่ีไดจาก ขอ 2) และ 3) ไมแตกตางกันมาก เนื่องจากขอมูลสวนใหญมีคาใกลเคียงกัน และ คานอกเกณฑท ้งั สองคามีคาใกลเคียงกันและไมต า งจากขอ มูลท่มี ีคามากท่ีสดุ มาก 3. เนือ่ งจากคะแนนสอบยอยวิชาคณิตศาสตรแ ตล ะครั้งมีคะแนนเตม็ 100 คะแนน และคิดเปน รอยละ 15 ของคะแนนทัง้ หมด จะได นาํ้ หนกั ของการสอบยอยแตล ะครัง้ คอื 15 = 0.15 100 เนื่องจากคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตรมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน และคิดเปน รอ ยละ 70 ของคะแนนท้งั หมด จะได น้าํ หนกั ของการสอบปลายภาคคือ 70 = 0.7 100 ดังนน้ั คะแนนเฉลย่ี วชิ าคณติ ศาสตรของนักเรียนคนนี้คือ 0.15(74) + 0.15(80) + 0.7(62) = 66.5 คะแนน 0.15 + 0.15 + 0.7 4. 1) คา เฉล่ยี เลขคณิตของจาํ นวนการตายของไกป า ในพ้ืนท่สี ํารวจท้ัง 14 พ้ืนที่ คือ 61 ≈ 4.36 ตัว 14 เรียงขอมูลจํานวนการตายของไกปาในพื้นท่ีสาํ รวจทัง้ 14 พน้ื ท่ี จากนอ ยไปมากไดดังน้ี 0002234 5 5 6 7 8 9 10 เนือ่ งจากมธั ยฐานอยูในตําแหนงที่ 14 +1 = 7.5 2 ดังนั้น มัธยฐานของจํานวนการตายของไกปา ในพ้นื ท่ีสํารวจท้ัง 14 พน้ื ที่ คอื 4 + 5 = 4.5 ตัว 2 จากขอมูล จะเห็นวา 0 มคี วามถ่ีสูงสดุ ดงั น้ัน ฐานนยิ มของจํานวนการตายของไกป า ในพื้นทีส่ าํ รวจทงั้ 14 พื้นท่ี คือ 0 ตัว สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 347 จะเห็นวาไมควรใชฐานนิยมเปนตัวแทนของขอมูลชุดน้ี เพราะทําใหเขาใจวาพื้นท่ี สวนใหญไมมไี กปาตาย ท้ังท่ีในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2562 มีพ้ืนท่ีถึง 11 พื้นที่ ท่ีมีไกปา ตายตั้งแต 2 −10 ตวั 2) คา เฉล่ียเลขคณติ ของจํานวนการเกดิ ของไกป าในพ้นื ท่สี าํ รวจทัง้ 14 พนื้ ที่ คือ 699 ≈ 49.93 ตวั 14 เรยี งขอมลู จาํ นวนการเกิดของไกปา ในพื้นที่สาํ รวจทั้ง 14 พนื้ ที่ จากนอยไปมากไดด งั น้ี 26 28 30 31 32 34 38 40 42 46 46 48 126 132 เน่ืองจากมธั ยฐานอยูใ นตําแหนง ที่ 14 + 1 = 7.5 2 ดังน้นั มธั ยฐานของจํานวนการเกดิ ของไกปาในพน้ื ท่ีสาํ รวจทัง้ 14 พ้นื ท่ี คือ 38 + 40 = 39 ตัว 2 จากขอ มลู จะเห็นวา 46 มคี วามถส่ี ูงสุด ดังนน้ั ฐานนิยมของจํานวนการเกิดของไกปา ในพ้นื ทส่ี าํ รวจทง้ั 14 พนื้ ที่ คือ 46 ตวั จะเห็นวาควรใชเปนมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เนื่องจากคาเฉล่ียเลขคณิต และฐานนิยมมคี า มากกวาขอมูลสว นใหญ 5. เนื่องจากคาเฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของจํานวนจดหมายรับรองของผูสมัคร จํานวน 148 คน คือ 2.9, 3 และ 3 ฉบับ ตามลําดับ สามารถอธิบายไดวาผูสมัครสวนใหญ ย่ืนจดหมายรับรองครบทั้ง 3 ฉบับ แตยังคงมีผูสมัครบางคนท่ียื่นจดหมายรับรองไมครบ 3 ฉบบั 6. สมมตวิ า นํ้าหนกั ของนกั เรียน 3 คนนค้ี อื x, x และ 46 กิโลกรัม เน่ืองจากคาเฉลย่ี เลขคณิตของนา้ํ หนักของนกั เรยี น 3 คน คือ 38 กโิ ลกรัม จะได 46 + x + x = 38 3 x = 34 ดังนนั้ นกั เรียนสองคนท่เี หลอื หนกั คนละ 34 กิโลกรมั สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

348 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 7. วธิ ที ี่ 1 เนือ่ งจากขอ มูลชดุ นมี้ ี 7 ตวั และมีคา เฉล่ียเลขคณิตคือ 81 จะได ผลรวมของขอมูลทงั้ 7 ตัว เปน 7×81 =567 ถา ตัดขอ มลู ออกไป 1 ตัว จะเหลือขอ มลู 6 ตวั และมคี าเฉลยี่ เลขคณิตคือ 78 จะได ผลรวมของขอมลู 6 ตัวท่ีเหลือเปน 6× 78 =468 ดังนน้ั ขอ มลู ทถ่ี กู ตัดออกไปมีคา เทากับ 567 − 468 =99 วธิ ที ี่ 2 สมมตขิ อมูลทถ่ี ูกตดั ออกไปคอื a สว นขอ มูล 6 ตัวทีเ่ หลอื คือ x1, x2,  , x6 เน่ืองจากเมอื่ ตดั a ออกไป ขอมลู 6 ตวั ทเี่ หลือมีคาเฉลีย่ เลขคณิตคือ 78 ดงั นัน้ 6 = 78 ∑ xi i =1 6 6 ∑ xi = 468 i =1 แตเน่อื งจากขอ มลู 7 ตวั นี้มีคาเฉลี่ยเลขคณติ คอื 81 6 a + ∑ xi จะได i=1 = 81 7 a + 468 = 81 7 a = 99 ดังนนั้ ขอมูลท่ีถูกตัดออกไปมีคาเทา กับ 99 8. สมมติวาคะแนนสอบยอยวิชาคณติ ศาสตรท้ัง 5 คร้ัง ของนอยหนา เม่ือเรียงจากนอยไปมาก เปน x1, x2 , x3, x4 , x5 เนือ่ งจากมธั ยฐานของขอมูลชดุ นีค้ ือ 87 คะแนน จะได x3 = 87 เนื่องจากฐานนิยมของขอมูลชุดน้ีคอื 80 คะแนน จะได x=1 x=2 80 เนอื่ งจากคาเฉลีย่ เลขคณติ ของขอมูลชดุ นค้ี ือ 86 คะแนน จะได 80 + 80 + 87 + x4 + x5 = 86 5 x4 + x5 = 183 เนื่องจากคะแนนสอบยอยวิชาคณิตศาสตรทั้ง 5 ครั้งของนอยหนาเปนจํานวนเต็ม และ 87 < x4 < x5 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 349 จะไดวา x5 มคี า สงู ทส่ี ุดทเี่ ปน ไปได เมอื่ x4 = 88 และจะได x5 = 183−88 = 95 ดังนั้น คะแนนสอบยอ ยท่ีสงู ทีส่ ุดทีเ่ ปน ไปไดข องนอ ยหนาคอื 95 คะแนน แบบฝก หดั 3.3.2 1. เรียงขอมูลจากนอ ยไปมาก ไดดังน้ี 24 28 32 32 36 38 40 42 44 46 54 จะได พสิ ยั ของเวลาที่ใชในการตดิ ต้ังประตูคือ 54 − 24 =30 นาที เน่อื งจาก Q1 อยูในตําแหนงท่ี 11 + 1 = 3 จะได Q1 = 32 4 และ Q3 อยูในตําแหนง ที่ 3(11 + 1) = 9 จะได Q3 = 44 4 ดงั นนั้ พสิ ัยระหวางควอรไ ทลของเวลาที่ใชในการติดตง้ั ประตูคอื 44 − 32 =12 นาที เนอื่ งจากขอ มูลท่กี าํ หนดในโจทยเปนขอมลู ของตัวอยา ง ให xi แทนเวลาท่ใี ชใ นการตดิ ตัง้ ประตูบานท่ี i เมอื่ i ∈{1, 2, 3, ... , 11} และ x แทนคา เฉลยี่ เลขคณิตของเวลาทีใ่ ชในการติดตั้งประตู จะได=x 24 + 28 + 32 + 32 + 36 + 38 + 40 + 42 + 44 + 46 +=54 416 ≈ 37.8 11 11 จากขอมูล จะได xi xi − x ( xi − x )2 24 –13.8 190.44 28 –9.8 96.04 32 –5.8 33.64 32 –5.8 33.64 36 –1.8 3.24 38 0.2 0.04 40 2.2 4.84 42 4.2 17.64 44 6.2 38.44 46 8.2 67.24 54 16.2 262.44 ∑11 ( xi − x )2 =747.64 i=1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

350 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 ดังน้นั สว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของเวลาท่ใี ชใ นการติดตั้งประตูคือ 747.64 ≈ 8.65 นาที 11 − 1 และความแปรปรวนของเวลาท่ใี ชใ นการตดิ ตั้งประตูคอื 747.64 = 74.764 นาที2 10 2. 1) เรียงขอมูลในตารางจากนอยไปมาก ไดด ังน้ี 117 337 337 344 444 475 519 522 553 717 933 จะได พิสัยของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวชุดนี้คือ 933 −117 =816 กิโลแคลอรี เน่อื งจาก Q1 อยูในตาํ แหนงท่ี 11 + 1 = 3 จะได Q1 = 337 4 และ Q3 อยูในตําแหนง ท่ี 3(11 + 1) =9 จะได Q3 = 553 4 ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวชุดนี้คือ 553 − 337 =216 กิโลแคลอรี 2) พิสัยระหวางควอรไทลเหมาะสําหรับใชอธิบายลักษณะการกระจายของขอมูลชุดนี้ มากกวาพิสยั เน่ืองจากเมื่อพิจารณาผลตางของขอ มูล 2 ตวั ใด ๆ จะไดวา สว นใหญแลว ขอมูลไมไดตางกันมากถึง 816 กิโลแคลอรี โดยผลตางของขอมูลจะใกลเคียงกับ พิสยั ระหวางควอรไทลท ีค่ าํ นวณได ซง่ึ เทา กบั 216 กิโลแคลอรี 3. เนื่องจากขอมลู ทก่ี ําหนดในโจทยเ ปน ขอ มูลของประชากร ให µ1 และ σ 1 แทนคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิก ในครอบครัวน้ใี นปจ จบุ นั ตามลาํ ดบั ให µ2 และ σ 2 แทนคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิก ในครอบครัวนีใ้ นอีก 5 ปขางหนา ตามลําดบั จะได µ1 = 45 + 42 + 20 +17 +16 5 = 28 σ1 = (45 − 28)2 + (42 − 28)2 + (20 − 28)2 + (17 − 28)2 + (16 − 28)2 5 = 814 5 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 351 σ 1 ≈ 12.76 และ σ 2 = 814 1 5 = 162.8 ดังน้ัน สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้มีคาประมาณ 12.76 ป และความแปรปรวนของอายุของสมาชกิ ในครอบครวั นคี้ ือ 162.8 ป2 และจะได µ2 = (45 + 5) + (42 + 5) + (20 + 5) + (17 + 5) + (16 + 5) 5 = 33 และ σ2 = (50 − 33)2 + (47 − 33)2 + (25 − 33)2 + (22 − 33)2 + (21 − 33)2 5 = 814 5 ≈ 12.76 ดังน้ัน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้ในอีก 5 ปขางหนา มคี าประมาณ 12.76 ป จะเห็นวาในอีก 5 ปขางหนา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้ ยังคงเทากับสว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายขุ องสมาชิกในครอบครวั นีใ้ นปจจุบนั 4. เรยี งขอมลู จากนอ ยไปมาก ไดดังนี้ 870 1,236 1,423 1,458 1,506 1,633 1,664 จะได พสิ ยั ของขอ มลู ชุดนีค้ ือ 1,664 − 870 =794 ราย เนอื่ งจาก Q1 อยใู นตําแหนง ที่ 7+1 = 2 จะได Q1 = 1, 236 4 และ Q3 อยใู นตาํ แหนง ที่ 3(7 +1) = 6 จะได Q3 = 1,633 4 ดงั นน้ั พิสัยระหวางควอรไทลของขอมลู ชดุ นค้ี อื 1,633 −1,236 =397 ราย เนอื่ งจากขอมูลท่กี ําหนดในโจทยเปน ขอ มลู ของประชากร ให xi แทนจํานวนผูบ าดเจบ็ รวมตั้งแต พ.ศ. 2556 – 2558 ในวนั ท่ี i ของชวง 7 วนั อนั ตราย ของเทศกาลปใหม เม่อื i ∈{1, 2, 3, ... , 7} และ µ แทนคา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ มูลชดุ นี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

352 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 จะได µ = 870 +1, 236 +1, 423 +1, 458 +1,506 +1,633 +1,664 = 7 ≈ 9, 790 จากขอ มลู จะได 7 1,398.57 xi xi − µ ( xi − µ )2 870 –528.57 279,386.24 1,236 –162.57 26,429.00 1,423 24.43 596.82 1,458 59.43 3,531.92 1,506 107.43 11,541.20 1,633 234.43 54,957.42 1,664 265.43 70,453.08 ∑7 ( xi − µ )2 ≈ 446,895.68 i=1 ดังน้นั สวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชุดนคี้ อื 446,895.68 ≈ 252.67 ราย 7 5. สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 1 คอื 4.8 ≈ 0.066 73.2 และสัมประสิทธ์ิการแปรผนั ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข องนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 หอง 2 คือ 3.6 ≈ 0.069 52.4 เน่ืองจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น มัธยมศึกษาปท่ี 6 หอง 2 มากกวาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร ของนักเรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 หอ ง 1 เพียงเล็กนอ ย สรุปไดวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 2 มีการ กระจายมากกวา คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข องนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 หอ ง 1 เพียง เล็กนอย หรือกลาวไดวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 353 หอง 1 เกาะกลุมกันมากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 หอง 2 เพียงเล็กนอย 6. เนอ่ื งจากขอมูลทีก่ าํ หนดในโจทยเ ปน ขอมลู ของประชากร ให xi และ yi แทนอณุ หภูมิสูงสุดและอุณหภมู ิต่าํ สดุ ของจังหวดั ขอนแกน ใน พ.ศ. 2548 + i เมอ่ื i ∈{1, 2, 3, ... , 10} ตามลําดบั µ x และ µ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิตํ่าสุดของจังหวัด ขอนแกน ต้งั แต พ.ศ. 2549 – 2558 ตามลาํ ดบั และ σ x และ σ y แทนสว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของอณุ หภูมสิ งู สุดและอณุ หภมู ติ ํา่ สดุ ของ จงั หวัดขอนแกน ตงั้ แต พ.ศ. 2549 – 2558 ตามลาํ ดับ จะได µx = 39.3 + 41.1 + 38.5 + 39.6 + 41.2 + 39.3 + 39.0 + 41.8 + 40.5 + 41.0 10 = 40.13 และ µy = 12.0 +12.6 +11.9 +10.2 +13.5 +11.6 +15.0 +11.6 +10.2 +11.6 10 = 12.02 จากขอ มลู จะได xi − µ x 2 ( )xi xi − µ x 39.3 –0.83 0.69 41.1 0.97 0.94 38.5 –1.63 2.66 39.6 –0.53 0.28 41.2 1.07 1.14 39.3 –0.83 0.69 39.0 –1.13 1.28 41.8 1.67 2.79 40.5 0.37 0.14 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

354 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 xi − µ x 2 ( )xi xi − µ x 41.0 0.87 0.76 ∑( )10 xi − µ x 2 ≈ 11.37 i=1 และ yi − µ y 2 ( )yi yi − µ y 12.0 –0.02 0.00 12.6 0.58 0.34 11.9 –0.12 0.01 10.2 –1.82 3.31 13.5 1.48 2.19 11.6 –0.42 0.18 15.0 2.98 8.88 11.6 –0.42 0.18 10.2 –1.82 3.31 11.6 –0.42 0.18 ∑( )10 yi − µ y 2 ≈ 18.58 i=1 ดงั น้นั σ x ≈ 11.37 ≈ 1.07 และ σy ≈ 18.58 ≈ 1.36 10 10 จะได สัมประสิทธ์ิการแปรผันของอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 คอื 1.07 ≈ 0.03 40.13 และสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิต่ําสุดของจังหวัดขอนแกน ต้ังแต พ.ศ. 2549 – 2558 คอื 1.36 ≈ 0.11 12.02 เนื่องจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ต้ังแต พ.ศ. 2549 – 2558 นอยกวาสัมประสิทธ์ิการแปรผันของอุณหภูมิตํ่าสุดของจังหวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 355 สรุปไดวาอุณหภูมสิ ูงสุดของจงั หวัดขอนแกน ตั้งแต พ.ศ. 2549 – 2558 มีการกระจายนอยกวา อุณหภูมิตํ่าสุดของจังหวัดขอนแกน หรือกลาวไดวาอุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแกน ต้งั แต พ.ศ. 2549 – 2558 เกาะกลุมกนั มากกวาอุณหภมู ติ ่ําสดุ ของจงั หวดั ขอนแกน แบบฝกหัด 3.3.3 1. 1) เรยี งขอ มูลจากนอยไปมาก ไดด ังน้ี 12.00 12.00 19.00 25.20 30.00 36.00 39.00 40.00 84.00 136.00 240.00 300.00 500.00 720.00 779.20 เนอ่ื งจาก Q1 อยูในตาํ แหนง ท่ี 15 +1 = 4 จะได Q1 = 25.20 4 Q2 อยใู นตําแหนง ท่ี 2(15 +1) =8 จะได Q2 = 40.00 4 และ Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(15 +1) = 12 จะได Q3 = 300.00 4 ดังนั้น ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลท่ี 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดน้ี คือ 25.20, 40.0 และ 300.00 เมกะวัตต ตามลาํ ดับ 2) กําลังผลิตท่ีมีโรงไฟฟาพลังน้ําเขื่อนขนาดใหญจํานวนครึ่งหนึ่งมีกําลังผลิตนอยกวา คือ Q2 ซึ่งเทา กบั 40.00 เมกะวัตต 3) เนอ่ื งจาก Q3 = 300.00 ดังนั้น โรงไฟฟาพลังน้ําเข่ือนขนาดใหญท่ีมีกําลังผลิตมากกวาควอรไทลท่ี 3 คือ เขอ่ื นภูมพิ ล เขื่อนสิรกิ ิติ์ และเข่ือนศรีนครินทร 2. 1) เรยี งขอมลู จากนอ ยไปมาก ไดดังนี้ 289 304 305 311 313 324 324 329 341 342 345 353 เนือ่ งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนงที่ 12 +1 = 3.25 4 ดังนั้น Q1 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงท่ี 3 และ 4 ซึ่งมีคาอยูระหวาง 305 และ 311 ในการหา Q1 จะใชการเทียบบัญญตั ไิ ตรยางศ ดงั น้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

356 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 เน่ืองจากขอมูลในตําแหนงท่ี 3 และ 4 มีตําแหนงตางกัน 4 − 3 =1 มีคาตางกัน 311− 305 =6 จะไดว า ตําแหนง ตา งกัน 3.25 − 3 =0.25 มีคา ตางกนั 0.25× 6 = 1.5 1 ดังนั้น Q1 = 305 +1.5 = 306.5 เน่อื งจาก Q3 อยูในตาํ แหนงท่ี 3(12 +1) = 9.75 4 ดังนน้ั Q3 อยรู ะหวา งขอ มูลในตําแหนง ท่ี 9 และ 10 ซ่ึงมคี า อยูระหวา ง 341 และ 342 ในการหา Q3 จะใชการเทยี บบัญญัตไิ ตรยางศ ดงั นี้ เน่ืองจากขอมูลในตําแหนงที่ 9 และ 10 มีตําแหนงตางกัน 10 − 9 =1 มีคาตางกัน 342 − 341 =1 จะไดวา ตาํ แหนงตา งกนั 9.75 − 9 =0.75 มคี าตางกนั 0.75 ×1 = 0.75 1 ดงั นน้ั Q3 =341+ 0.75 =341.75 จะไดวาควอรไทลท่ี 1 และควอรไทลท่ี 3 ของขอมูลชุดนี้ คือ 306.5 และ 341.75 คน ตามลําดบั 2) เน่ืองจาก Q1 = 306.5 ดังน้ัน เดือนที่มีจํานวนทารกแรกเกิดนอยกวาควอรไทลท่ี 1 คือ เดือนมกราคม กุมภาพนั ธ และพฤศจิกายน 3) เนือ่ งจาก Q3 = 341.75 ดังนั้น เดือนที่มีจํานวนทารกแรกเกิดมากกวาควอรไทลท่ี 3 คือ เดือนเมษายน กรกฎาคม และกนั ยายน 3. 1) เรียงระยะเวลาต้ังทองเฉลี่ยของสัตวเลี้ยงลูกดวยนํ้านม 10 ชนิดน้ีจากนอยไปมาก ไดดังน้ี 100 105 166 201 238 330 365 406 425 660 เน่ืองจาก P20 อยใู นตาํ แหนงท่ี 20(10 +1) = 2.2 100 ดงั นน้ั P20 อยรู ะหวางขอ มลู ในตาํ แหนง ท่ี 2 และ 3 ซ่ึงมีคา อยูร ะหวาง 105 และ 166 ในการหา P20 จะใชก ารเทียบบญั ญัตไิ ตรยางศ ดังนี้ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 357 เน่ืองจากขอมูลในตําแหนงที่ 2 และ 3 มีตําแหนงตางกัน 3 − 2 =1 มีคาตางกัน 166 −105 =61 จะไดว าตาํ แหนงตา งกนั 2.2 − 2 =0.2 มคี าตา งกนั 0.2× 61 = 12.2 1 ดงั นั้น P20 =105 +12.2 =117.2 เน่ืองจาก P80 อยูใ นตาํ แหนงท่ี 80(10 +1) = 8.8 100 ดังนน้ั P80 อยรู ะหวางขอมูลในตําแหนงท่ี 8 และ 9 ซง่ึ มคี า อยูระหวา ง 406 และ 425 ในการหา P80 จะใชการเทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ ดังน้ี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 8 และ 9 มีตําแหนงตางกัน 9 − 8 =1 มีคาตางกัน 425 − 406 =19 จะไดว าตาํ แหนง ตางกัน 8.8 − 8 =0.8 มคี า ตางกัน 0.8 ×19 = 15.2 1 ดังนน้ั P80 = 406 +15.2 = 421.2 จะไดวา เปอรเซ็นไทลท ่ี 20 และเปอรเ ซ็นไทลท่ี 80 ของระยะเวลาต้ังทอ งเฉล่ียของสัตว เล้ยี งลูกดวยนาํ้ นม 10 ชนิดนี้ คอื 117.2 และ 421.2 วัน ตามลําดับ 2) เรียงอายขุ ยั เฉล่ยี ของสตั วเล้ยี งลูกดวยน้ํานม 10 ชนดิ น้ีจากนอ ยไปมาก ไดดงั น้ี 8 10 12 15 15 15 16 20 35 41 เนอื่ งจาก P20 อยใู นตําแหนง ที่ 20(10 +1) = 2.2 100 ดงั น้ัน P20 อยรู ะหวา งขอ มลู ในตําแหนง ท่ี 2 และ 3 ซึ่งมคี า อยูระหวา ง 10 และ 12 ในการหา P20 จะใชก ารเทยี บบัญญัตไิ ตรยางศ ดงั น้ี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงท่ี 2 และ 3 มีตําแหนงตางกัน 3 − 2 =1 มีคาตางกัน 12 −10 =2 จะไดว า ตําแหนงตา งกัน 2.2 − 2 =0.2 มคี าตา งกัน 0.2× 2 = 0.4 1 ดังนั้น P20 =10 + 0.4 =10.4 เนื่องจาก P80 อยูในตําแหนงที่ 80(10 +1) = 8.8 100 ดังนนั้ P80 อยรู ะหวา งขอมลู ในตาํ แหนงที่ 8 และ 9 ซ่ึงมีคาอยูร ะหวา ง 20 และ 35 ในการหา P80 จะใชการเทียบบญั ญตั ไิ ตรยางศ ดังนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

358 คูม ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 เนื่องจากขอมูลในตําแหนงท่ี 8 และ 9 มีตําแหนงตางกัน 9 − 8 =1 มีคาตางกัน 35 − 20 =15 จะไดวาตาํ แหนงตางกัน 8.8 − 8 =0.8 มีคาตางกัน 0.8×15 = 12 1 ดงั นน้ั P80 = 20 +12 = 32 จะไดวาเปอรเซ็นไทลท่ี 20 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของอายุขัยเฉล่ียของสัตวเล้ียงลูก ดว ยน้ํานม 10 ชนิดนี้ คอื 10.4 และ 32 ป ตามลําดบั 3) สัตวท่ีมีระยะเวลาตั้งทองเฉลี่ยมากกวาเปอรเซ็นไทลท่ี 80 คือ สัตวที่มีระยะเวลา ตง้ั ทองเฉล่ียมากกวา 421.2 วนั ซงึ่ ไดแ ก ยีราฟและชา ง สัตวท่ีมีอายุขัยเฉลี่ยนอยกวาเปอรเซ็นไทลท ี่ 20 คือ สัตวท่ีมีอายุขัยเฉลี่ยนอยกวา 10.4 ป ซึง่ ไดแ ก กวางและยรี าฟ ดงั นน้ั สวนสัตวแหงนจ้ี ะเลือกเพ่มิ จํานวนยีราฟ ชา ง และกวาง 4. เรียงคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 จากนอยไปมาก ไดดังนี้ 27 31 35 37 43 49 49 54 55 56 57 59 60 61 61 64 67 68 70 70 73 73 74 77 78 78 78 82 86 88 เนอื่ งจาก P90 อยูในตําแหนง ท่ี 90(30 +1) = 27.9 100 ดังนนั้ P90 อยูระหวา งขอมลู ในตาํ แหนงที่ 27 และ 28 ซง่ึ มคี าอยูร ะหวา ง 78 และ 82 ในการหา P90 จะใชการเทยี บบัญญัติไตรยางศ ดงั น้ี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงท่ี 27 และ 28 มีตําแหนงตางกัน 28 − 27 =1 มีคาตางกัน 82 − 78 =4 จะไดวา ตําแหนงตางกัน 27.9 − 27 =0.9 มคี าตา งกัน 0.9× 4 = 3.6 1 ดังนนั้ P90 =78 + 3.6 =81.6 จะไดวาเปอรเซ็นไทลท่ี 90 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษา ปท ี่ 6/2 คือ 81.6 คะแนน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 359 จากตัวอยางที่ 24 จะได เปอรเซ็นไทลท่ี 80 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6/1 คือ 81.6 คะแนน ดังนั้น ขอสรุปที่วา “เปอรเซ็นไทลที่ 90 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6/2 มากกวาเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของ นักเรียนชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6/1” ไมเปน จรงิ 5. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุท่ีมีวุฒิปริญญาตรี คือ 298, 924 ≈ 15,732.84 บาท 19 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุท่ีมีวุฒิปริญญาตรี มคี าประมาณ 1,984.83 บาท สัมประสิทธิ์การแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาตรี คอื 1,984.83 ≈ 0.13 15, 732.84 คาเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุท่ีมีวุฒิปริญญาโท/เอก คอื 594,163 ≈ 29,708.15 บาท 20 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุทีม่ วี ุฒิปริญญาโท/เอก มีคาประมาณ 11,625.01 บาท สมั ประสทิ ธก์ิ ารแปรผนั ของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจทุ ี่มวี ุฒปิ รญิ ญาโท/เอก คือ 11,625.01 ≈ 0.39 29, 708.15 เน่ืองจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุท่ีมี วุฒิปริญญาตรีนอยกวาสัมประสิทธ์ิการแปรผันของเงินเดือนของพนักงานใหมแรก บรรจทุ ่ีมีวุฒปิ ริญญาโท/เอก ดังน้ัน เงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุท่ีมีวุฒิปริญญาตรีมีการกระจายนอยกวา เงินเดือนของพนกั งานใหมแ รกบรรจทุ ่ีมวี ฒุ ิปรญิ ญาโท/เอก สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

360 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 2) เรียงขอมูลเงินเดือนของพนักงานใหมแรกบรรจุท่ีมีวุฒิปริญญาโท/เอก จากนอยไปมาก ไดดงั นี้ 18,028 19,940 20,957 21,050 21,342 22,643 23,125 23,454 23,823 24,163 26,555 26,686 28,677 30,879 32,505 33,050 37,871 39,526 56,807 63,082 เนอื่ งจาก P30 อยใู นตําแหนงท่ี 30(20 +1) = 6.3 100 ดังนั้น ตําแหนงของพนักงานใหมแรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก ท่ีไดเงินเดือน นอยกวาเปอรเซ็นไทลที่ 30 ไดแก ตําแหนงเจาพนักงานการเงินและบัญชี เจาหนาที่ บัญชี และเจาหนาที่การเงิน ตําแหนงนักวิเคราะหนโยบายและแผน และนักวางแผน ตําแหนงนักทรัพยากรบุคคล เจาหนาที่ฝกอบรม เจาหนาที่ทรัพยากรบุคคล และ เจาหนาท่ีวิเทศสัมพันธ ตําแหนงนักประชาสัมพันธ และเจาหนาที่ประชาสัมพันธ ตําแหนงนักวิชาการคอมพิวเตอร และนักเขียนโปรแกรม และตําแนงเศรษฐกร และ นกั เศรษฐศาสตร แบบฝก หัดทา ยบท 1. 1) ยอดชาํ ระ ความถี่ ความถ่ีสมั พทั ธ ความถสี่ ะสมสมั พัทธ เงิน (บาท) สะสม ตํ่ากวา 100 ความถ่ี สดั สว น รอ ยละ สัดสวน รอยละ 2 100 – 199 2 2 = 0.04 4 0.04 4 4 6 50 8 0.12 12 200 – 299 11 22 0.34 34 13 17 4 = 0.08 26 0.60 60 300 – 399 14 50 28 0.88 88 5 30 10 0.98 98 400 – 499 11 = 0.22 44 50 500 – 599 49 13 = 0.26 50 14 = 0.28 50 5 = 0.10 50 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 361 ยอดชําระ ความถ่ี ความถ่ี ความถ่ีสัมพทั ธ ความถส่ี ะสมสัมพทั ธ เงิน (บาท) สะสม สัดสว น รอ ยละ สัดสว น รอ ยละ 600 – 699 1 50 1 = 0.02 2 1.00 100 50 2) ลูกคามยี อดชาํ ระเงนิ อยใู นอันตรภาคชนั้ 400 – 499 มากท่ีสดุ 3) ลูกคาท่ีมียอดชําระเงินต่ํากวา 100 บาท มี 2 คน ซึ่งมีจํานวนมากกวาลูกคาท่ีมียอด ชําระเงนิ ตง้ั แต 600 – 699 บาท ซ่งึ มีเพยี ง 1 คน 4) ลูกคาท่ีมียอดชําระเงินต้ังแต 400 บาทข้ึนไป คิดเปนรอยละ 28 +10 + 2 =40 ของ จาํ นวนลกู คา 50 คนนี้ 5) ลูกคาที่มียอดชําระเงินตั้งแต 200 บาท แตนอยกวา 500 บาท คิดเปนรอยละ 88 −12 =76 ของจาํ นวนลูกคา 50 คนนี้ 2. 1) ความถ่ี ปริมาณฟลอู อไรด (x) 0 ≤ x < 0.5 15 0.5 ≤ x < 1 7 1 ≤ x < 1.5 4 1.5 ≤ x < 2 1 x≥2 3 จากตารางความถี่ อาจสรุปไดวาย่ีหอน้ําดื่มบรรจุขวดที่มีปริมาณฟลูออไรดอยูในชวง ต้ังแต 0 แตนอยกวา 0.5 มิลลิกรัมตอลิตร มีจํานวนมากท่ีสุด รองลงมาคือชวงตั้งแต 0.5 แตนอ ยกวา 1 มลิ ลิกรัมตอลติ ร สวนชว งตัง้ แต 1.5 แตน อยกวา 2 มิลลกิ รัมตอ ลติ ร เปน ชว งทม่ี ีจาํ นวนย่ีหอ น้ําดมื่ บรรจขุ วดนอ ยท่ีสดุ โดยมีเพียงยห่ี อเดยี ว 2) จํานวนย่ีหอน้ําด่ืมบรรจุขวดที่มีปริมาณฟลูออไรดตั้งแต 2 มิลลิกรัมตอลิตรขึ้นไป คดิ เปน รอ ยละ 3 ×100 =10 ของจํานวนยี่หอน้าํ ดม่ื บรรจุขวดท่สี ํารวจทัง้ หมด 30 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

362 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 3. จากโจทย กําหนดจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 5 ช้ัน คาเร่ิมตนคือ 0 มิลลิเมตร และ คา สดุ ทายคอื 510 มิลลเิ มตร สามารถเขยี นตารางความถี่ไดดงั น้ี 1. คาํ นวณความกวางของอันตรภาคชน้ั ไดดังน้ี คาสุดทา ย – คาเร่มิ ตน 5=10 − 0 102 จาํ นวนอนั ตรภ=าคช้ัน 5 ดงั น้นั ความกวา งของอันตรภาคชนั้ คือ 102 มลิ ลิเมตร 2. กําหนดอันตรภาคช้ันในรูปชวง โดยแบงเปน 5 ช้ัน พรอมท้ังหาจํานวนขอมูลท้ังหมด ทีอ่ ยูในแตละอันตรภาคช้ัน จะไดตารางความถ่ี ดังน้ี ปริมาณนาํ้ ฝนรายเดอื น (x) ความถ่ี 0 ≤ x < 102 19 102 ≤ x < 204 9 204 ≤ x < 306 5 306 ≤ x < 408 2 408 ≤ x < 510 1 จากตารางความถ่ี อาจสรุปไดว า ตงั้ แต พ.ศ. 2554 – 2556 ปรมิ าณนํ้าฝนรายเดือนของ จังหวดั ระยองในชว งตง้ั แต 0 แตนอยกวา 102 มลิ ลเิ มตร มีความถ่ีสูงท่ีสุด รองลงมาคอื ชวงต้ังแต 102 แตนอยกวา 204 มิลลิเมตร สวนชวงตั้งแต 408 แตนอยกวา 510 มิลลิเมตร มีความถ่ีต่าํ ทส่ี ุด 4. 1) เกรด ความถี่ (คน) 48 3 13 2 10 1 12 02 2) นกั เรียนหองนีไ้ ดเ กรด 3 มากทสี่ ดุ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 363 3) นักเรียนท่ีไดต้ังแตเกรด 3 ขึ้นไป คิดเปนรอยละ 8 +13 ×100 ≈ 46.67 ของจํานวน 45 นักเรียนท้งั หมด 5. 1) จากโจทย กาํ หนดจํานวนอันตรภาคช้ันเทา กับ 5 ชัน้ คา เร่ิมตนคอื 0 ช้ิน และคา สดุ ทา ย คอื 25 ชน้ิ สามารถเขยี นตารางความถีไ่ ดด ังนี้ 1. คาํ นวณความกวางของอันตรภาคช้ัน ไดดงั น้ี คาสดุ ทาย – คา เรม่ิ ตน 2=5 − 0 5 จํานวนอันตรภา=คชั้น 5 ดังนั้น ความกวา งของอันตรภาคชนั้ คือ 5 ชน้ิ 2. จะไดตารางความถขี่ องขอมลู เปน ดงั น้ี จาํ นวนสนิ คา ขอบลา ง – ขอบบน ความถ่ี 0–4 –0.5 – 4.5 8 5–9 4.5 – 9.5 15 10 – 14 9.5 – 14.5 3 15 – 19 14.5 – 19.5 3 20 – 24 19.5 – 24.5 1 2) จากขอมูลสามารถเขยี นฮสิ โทแกรมไดดังนี้ จาํ นวนคน 16 14 12 10 8 6 4 2 จาํ นวนสินคา (ชน้ิ ) -0.5 4.5 9.5 14.5 19.5 24.5 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

364 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 3) จากขอมูลสามารถเขยี นแผนภาพจุดไดด ังน้ี 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4) เรียงขอ มูลจากนอ ยไปมาก ไดด ังนี้ 2233344455 5566777888 9 9 9 12 13 14 15 16 19 22 จากโจทย มขี อ มลู 30 ตวั มคี า ต่าํ สุดคอื 2 และคาสูงสุดคอื 22 หา Q1, Q2 และ Q3 ไดด งั นี้ เน่อื งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนงที่ 30 + 1 = 7.75 4 ดงั นั้น Q1 = 4 เนอ่ื งจาก Q2 อยูในตําแหนงท่ี 2(30 +1) = 15.5 ดังนั้น Q2 = 7 4 เนอ่ื งจาก Q3 อยใู นตําแหนง ที่ 3(30 +1) = 23.25 4 ดงั น้ัน Q3 อยรู ะหวางขอ มูลในตําแหนงที่ 23 และ 24 ซ่ึงมคี าอยูระหวา ง 9 และ 12 ในการหา Q3 จะใชก ารเทยี บบัญญตั ิไตรยางศ ดงั นี้ เนือ่ งจากขอ มลู ในตาํ แหนงท่ี 23 และ 24 มีตาํ แหนงตางกัน 24 − 23 =1 มีคา ตา งกัน 12 − 9 =3 จะไดว า ตําแหนง ตางกัน 23.25 − 23 =0.25 มคี าตา งกนั 0.25× 3 = 0.75 1 ดังนน้ั Q3 =9 + 0.75 =9.75 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 365 จะไดวาควอรไทลท่ี 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลท่ี 3 ของจํานวนสินคา คือ 4, 7 และ 9.75 ชน้ิ ตามลําดับ หาคานอกเกณฑไดดงั น้ี แทน Q1 และ Q3 ดวย 4 และ 9.75 ตามลาํ ดับ ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1 ) จะได 4 −1.5(9.75 − 4) =− 4.625 แทน Q1 และ Q3 ดว ย 4 และ 9.75 ตามลําดับ ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1 ) จะได 9.75 +1.5(9.75 − 4) =18.375 จากขอ มลู ไมม ีขอมูลทีน่ อยกวา −4.625 แตม ี 19 และ 22 ทีม่ ากกวา 18.375 ดังน้นั คา นอกเกณฑ คอื 19 และ 22 จากขอมลู สามารถเขียนแผนภาพกลองไดดังน้ี 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 6. 1) จาํ นวนนกั เรยี นที่จาํ คาํ ศพั ทไ ดมากกวา 92 คํา คดิ เปนรอยละ 7 + 3 + 2 + 3 ×100 ≈ 33.33 ของจํานวนนักเรียนทง้ั หมด 45 2) จาํ นวนนกั เรียนทจี่ ําคําศพั ทไดมากกวา 70 คํา แตไมเกิน 80 คํา คิดเปนรอ ยละ 1+ 2 + 4 + 6 + 2 ×100 ≈ 33.33 ของจํานวนนักเรียนทง้ั หมด 45 3) จากฮิสโทแกรม จะไดวาจํานวนคําศัพททีน่ ักเรียนจํานวนมากทีส่ ุดจําไดอยูในชวง 92 – 94 คํา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

366 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 7. 1) เขียนตารางความถี่ที่แสดงขอบลางของช้ันและขอบบนของช้ันของแตละอันตรภาคช้ัน ของผลการทดสอบการอา นภาษาไทยของนกั เรียนช้นั ประถมศึกษาปท่ี 1/1 ไดด ังน้ี คะแนน ขอบลา ง – ขอบบน จาํ นวนนักเรยี น ชน้ั ประถมศึกษาปท่ี 1/1 20 – 22 19.5 – 22.5 1 17 – 19 16.5 – 19.5 8 14 – 16 13.5 – 16.5 12 11 – 13 10.5 – 13.5 15 8 – 10 7.5 – 10.5 11 5–7 4.5 – 7.5 3 เขียนฮิสโทแกรมแสดงผลการทดสอบการอานภาษาไทยของนักเรียนช้ันประถมศึกษา ปท ่ี 1/1 ไดด ังนี้ จํานวนนักเรยี น (คน) 16 14 12 10 8 6 4 2 คะแนน 0 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 367 2) เขียนตารางความถี่ที่แสดงขอบลางของชั้นและขอบบนของช้ันของแตละอันตรภาคชั้น ของผลการทดสอบการอานภาษาไทยของนกั เรยี นชัน้ ประถมศกึ ษาปท่ี 1/2 ไดดงั น้ี คะแนน ขอบลา ง – ขอบบน จํานวนนกั เรยี น ชน้ั ประถมศึกษาปที่ 1/2 20 – 22 19.5 – 22.5 0 17 – 19 16.5 – 19.5 11 14 – 16 13.5 – 16.5 28 11 – 13 10.5 – 13.5 11 8 – 10 7.5 – 10.5 0 5–7 4.5 – 7.5 0 เขียนฮิสโทแกรมแสดงผลการทดสอบการอานภาษาไทยของนักเรียนชั้นประถมศึกษา ปท ี่ 1/2 ไดดงั นี้ จาํ นวนนักเรียน (คน) 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 คะแนน 0 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

368 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 3) เมื่อพิจารณาฮิสโทแกรมของนักเรียนทั้งสองหอง พบวา คะแนนของนักเรียนช้ัน ประถมศึกษาปท่ี 1/1 มีการกระจายมากกวาคะแนนของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปท่ี 1/2 เน่ืองจากความกวางของแทงของฮิสโทแกรมของนักเรียนทั้งสองหองเทากัน แตจํานวนแทงของฮิสโทแกรมของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 1/1 มีมากกวาจํานวน แทงของฮิสโทแกรมของนักเรียนช้ันประถมศึกษาปที่ 1/2 โดยที่คะแนนของนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปท่ี 1/1 อยูในชวง 5 – 22 คะแนน และคะแนนของนักเรียนชั้น ประถมศกึ ษาปที่ 1/2 อยใู นชวง 11 – 19 คะแนน 8. 1) ขอ มลู มที ั้งหมด 20 ตัว เน่อื งจาก Q1 อยูใ นตําแหนง ที่ 20 +1 = 5.25 4 ดงั นนั้ Q1 อยูระหวา งขอมูลในตาํ แหนง ท่ี 5 และ 6 ซึง่ มีคา อยรู ะหวา ง 7 และ 8 ในการหา Q1 จะใชก ารเทียบบัญญตั ไิ ตรยางศ ดังนี้ เน่ืองจากขอมูลในตําแหนงท่ี 5 และ 6 มีตําแหนงตางกัน 6 − 5 =1 มีคาตางกัน 8 − 7 =1 จะไดวาตาํ แหนงตา งกนั 5.25 − 5 =0.25 มคี าตางกัน 0.25×1 = 0.25 1 ดังน้ัน Q1 =7 + 0.25 =7.25 เนอื่ งจาก Q2 อยใู นตําแหนงท่ี 2(20 +1) = 10.5 ดังนัน้ Q2 = 8 4 เนอ่ื งจาก Q3 อยใู นตาํ แหนง ที่ 3(20 +1) = 15.75 ดงั น้ัน Q3 = 9 4 จะไดวาควอรไทลท่ี 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดน้ี คือ 7.25, 8 และ 9 คะแนน ตามลําดบั 2) แทน Q1 และ Q3 ดวย 7.25 และ 9 ตามลําดับ ใน Q1 −1.5(Q3 − Q1 ) จะได 7.25 −1.5(9 − 7.25) =4.625 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 369 แทน Q1 และ Q3 ดวย 7.25 และ 9 ตามลําดับ ใน Q3 +1.5(Q3 − Q1 ) จะได 9 +1.5(9 − 7.25) =11.625 จากขอ มลู มี 1 และ 3 ทนี่ อยกวา 4.625 แตไ มม ีขอ มูลท่ีมากกวา 11.625 ดงั นัน้ คานอกเกณฑ คอื 1 และ 3 3) จากขอมลู สามารถเขียนแผนภาพกลองไดด ังน้ี 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 จากแผนภาพกลอง จะเห็นวาขอมูลในชวง 5 ถึง 7.25 มีการกระจายมากท่ีสุด รองลงมาคือชวง 8 ถึง 9 และชวง 9 ถึง 10 สวนชวง 7.25 ถึง 8 มีการกระจาย นอยที่สดุ 9. เปนไปไมไดที่แผนภาพกลอง (3) จะแสดงคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้งของนักเรยี น แตละคนในกลุมน้ี เนื่องจากถาแผนภาพกลอง (3) แสดงคะแนนเฉลี่ยจากการสอบท้ังสองคร้งั ของนักเรียนแตละคนในกลุมนี้ จะไดวามีนักเรียนท่ีไดคะแนนเฉล่ียจากการสอบท้ังสองครั้ง เปน 80 คะแนน แตจากแผนภาพกลอง จะเห็นวาคะแนนสูงสดุ จากการสอบครัง้ ที่ 2 คือ 80 คะแนน และคะแนนสูงสุดจากการสอบคร้ังที่ 1 คือ 70 คะแนน ดังน้ัน คะแนนเฉลี่ยจาก การสอบทั้งสองครง้ั ของนักเรยี นแตละคนจะตอ งไมเ กิน 80 + 70 = 75 คะแนน 2 10. เม่ือพิจารณาจากฮิสโทแกรม จะไดวาลักษณะการกระจายของขอมูลชุดน้ีคลายกับ การแจกแจงสมมาตร และมธั ยฐานหรอื Q2 ควรมีคา ประมาณ 15,000 บาท ดังน้ัน แผนภาพกลอ งทไ่ี ดจากฮิสโทแกรมดังกลาวคอื แผนภาพกลอง ข สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

ํจานวนสาย ัพน ุธ ืพช ตอ ้ืพนท่ี 0.04 ตารางเมตร370 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 11. จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อจํานวนเว็บเพจท่ีลูกคาเยี่ยมชมมากขึ้น จํานวนเงิน ทล่ี กู คา สงั่ ซ้ือสนิ คา จะมแี นวโนม มากข้ึนดวย ดังนั้น จํานวนเงินที่ลูกคาส่ังซ้ือสินคาและจํานวนเว็บเพจท่ีลูกคาเยี่ยมชมมีความสัมพันธใน ทิศทางเดยี วกัน 12. จากขอ มูลสามารถเขยี นแผนภาพการกระจายไดด งั นี้ 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ความสงู จากระดบั น้าํ ทะเลปานกลาง (กิโลเมตร) จากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเม่ือความสูงจากระดับน้ําทะเลปานกลางมากขึ้น จํานวนสายพันธพุ ืชตอพนื้ ที่ 0.04 ตารางเมตร จะมแี นวโนม ลดลง ดังน้ัน จํานวนสายพันธุพืชตอพ้ืนท่ี 0.04 ตารางเมตร และความสูงจากระดับน้ําทะเล ปานกลางมีความสัมพนั ธใ นทิศทางตรงกนั ขา ม สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 371 13. 1) สายการบนิ D ตรงเวลาท่ีสุด และสายการบนิ J ไมต รงเวลามากทส่ี ุด 2) สายการบิน I เกิดเหตุการณที่กระเปาเดินทางสูญหายมากท่ีสุด และสายการบิน A เกิดเหตกุ ารณท่กี ระเปา เดนิ ทางสูญหายนอ ยทีส่ ดุ 3) ขอสรุปท่ีวา “สายการบิน J เกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสญู หายบอยกวาสายการบนิ B ประมาณ 2 เทา” ไมเปนจริง เน่ืองจากสายการบิน J มีจํานวนคร้ังของการเกิด เหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายอยูระหวาง 7 – 8 ครั้งตอผูโดยสาร 1,000 คน แตสายการบิน B มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย อยูระหวาง 5 – 6 ครั้งตอผูโดยสาร 1,000 คน ดังนั้น สายการบิน J มีจํานวนคร้ังของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย มากกวาสายการบนิ B ไมถ งึ 2 เทา 4) ขอสรุปที่วา “สายการบินท่ีเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายบอย มีแนวโนม ท่ีจะตรงเวลา” ไมเปนจริง โดยจากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อจํานวนครั้งของ การเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายมากขึ้น รอยละของเที่ยวบินตรงเวลา จะมีแนวโนม ลดลง ดังนั้น จํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายและรอยละของ เทีย่ วบินตรงเวลามคี วามสัมพนั ธใ นทศิ ทางตรงกันขา ม 14. ขอ มลู ชดุ ก คาเฉล่ยี เลขคณิต = 5(5) + 3(6) + 2(7) + 2(8) + 2(9) + 2(10) ขอ มูลชดุ ข 16 = 6.9375 มธั ยฐาน = 6 + 7 2 = 6.5 ฐานนิยม = 5 คาเฉลยี่ เลขคณติ = 4(1) + 3(2) + 2(3) + 4 + 30 11 ≈ 4.55 มธั ยฐาน = 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

372 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 ฐานนิยม = 1 15. 1) ขอ มูลชุด ก คา เฉลย่ี เลขคณติ = 2 + 2(3) + 3(5) + 2(7) + 8 +10 + 2(14) +19 13 ≈ 7.85 มธั ยฐาน = 7 ฐานนยิ ม = 5 ขอมูลชุด ข คาเฉล่ียเลขคณติ = 0.9 +1.2 +1.7 + 2.1+ 2.5 + 2.8 + 3.2 + 3.3 + 3.7 + 4.8 + 5.7 11 = 2.9 มัธยฐาน = 2.8 ขอมลู ชดุ นไี้ มมฐี านนยิ ม ขอมลู ชุด ค คา เฉลีย่ เลขคณิต = 59 + 73 + 82 + 87 + 87 + 90 6 ≈ 79.67 มธั ยฐาน = 82 + 87 2 = 84.5 ฐานนยิ ม = 87 2) ขอ มลู ชุด ก พสิ ยั = 19 − 2 = 17 ขอมลู ชุด ก มี 13 ตัว เน่ืองจาก Q1 อยูในตําแหนงที่ 13 +1 = 3.5 4 ดังนน้ั Q1 คือคา เฉลีย่ เลขคณิตของขอ มลู ในตาํ แหนง ท่ี 3 และ 4 ซง่ึ คอื 3+5 = 4 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 373 เนือ่ งจาก Q3 อยูในตาํ แหนง ที่ 3(13 +1) = 10.5 4 ดงั น้ัน Q3 คอื คาเฉล่ยี เลขคณิตของขอ มลู ในตาํ แหนงที่ 10 และ 11 ซ่ึงคอื 10 +14 = 12 2 จะได พิสยั ระหวางควอรไ ทล = 12 − 4 = 8 ให xi แทนขอมลู ชุด ก ตวั ท่ี i เมอื่ i ∈{1, 2, 3, ... , 13} และ x แทนคา เฉลยี่ เลขคณติ ของขอ มูลชุด ก จาก 1) จะไดว า x ≈ 7.85 จากขอมูลชุด ก จะได xi xi − x ( xi − x )2 2 –5.85 34.22 3 –4.85 23.52 3 –4.85 23.52 5 –2.85 8.12 5 –2.85 8.12 5 –2.85 8.12 7 –0.85 0.72 7 –0.85 0.72 8 0.15 0.02 10 2.15 4.62 14 6.15 37.82 14 6.15 37.82 19 11.15 124.32 ∑13 ( xi − x )2 ≈ 311.66 i=1 ดังนัน้ สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ก คือ 311.66 ≈ 5.10 13 −1 และความแปรปรวนของขอ มลู ชดุ ก คือ 311.66 ≈ 25.97 12 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

374 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 2 ขอ มลู ชุด ข พสิ ยั = 5.7 − 0.9 = 4.8 ขอมลู ชดุ ข มี 11 ตัว เน่อื งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนง ที่ 11 + 1 = 3 ดังน้ัน Q1 = 1.7 4 และ Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(11 + 1) =9 ดังนั้น Q3 = 3.7 4 จะได พสิ ัยระหวางควอรไทล = 3.7 −1.7 = 2 ให yi แทนขอมลู ชุด ข ตัวที่ i เม่อื i ∈{1, 2, 3, ... , 11} และ y แทนคา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอมูลชดุ ข จาก 1) จะไดว า y = 2.9 จากขอมูลชดุ ข จะได yi yi − y ( yi − y )2 0.9 –2.0 4.00 1.2 –1.7 2.89 1.7 –1.2 1.44 2.1 –0.8 0.64 2.5 –0.4 0.16 2.8 –0.1 0.01 3.2 0.3 0.09 3.3 0.4 0.16 3.7 0.8 0.64 4.8 1.9 3.61 5.7 2.8 7.84 ∑11 ( yi − y )2 =21.48 i=1 ดงั นั้น สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอมลู ชดุ ข คอื 21.48 ≈ 1.47 11 −1 และความแปรปรวนของขอ มลู ชุด ข คอื 21.48 = 2.15 10 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 375 ขอมูลชุด ค พิสยั = 90 − 59 = 31 ขอมลู ชุด ค มี 6 ตัว เนอ่ื งจาก Q1 อยใู นตําแหนง ท่ี 6 +1 = 1.75 4 ดังน้ัน Q1 อยูระหวางขอมูลในตําแหนงที่ 1 และ 2 ซงึ่ มีคาอยูระหวาง 59 และ 73 ในการหา Q1 จะใชการเทยี บบญั ญตั ิไตรยางศ ดงั น้ี เนื่องจากขอมูลในตําแหนงท่ี 1 และ 2 มีตําแหนงตางกัน 2 −1 =1 มีคาตางกัน 73 − 59 =14 จะไดว า ตําแหนง ตางกัน 1.75 −1 =0.75 มีคา ตา งกนั 0.75×14 = 10.5 1 ดงั นน้ั Q1 =59 +10.5 =69.5 เน่อื งจาก Q3 อยูในตําแหนง ที่ 3(6 +1) = 5.25 4 ดังน้นั Q3 อยูระหวา งขอ มูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 ซ่ึงมีคา อยูระหวาง 87 และ 90 ในการหา Q3 จะใชการเทียบบัญญัตไิ ตรยางศ ดงั นี้ เน่ืองจากขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 มีตําแหนงตางกัน 6 − 5 =1 มีคาตางกัน 90 − 87 =3 จะไดว าตาํ แหนง ตา งกนั 5.25 − 5 =0.25 มีคา ตางกนั 0.25× 3 = 0.75 1 ดังนั้น Q3 =87 + 0.75 =87.75 จะได พสิ ยั ระหวา งควอรไทล = 87.75 − 69.5 = 18.25 ให zi แทนขอมลู ชุด ค ตัวท่ี i เมอื่ i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} และ z แทนคา เฉลีย่ เลขคณิตของขอมลู ชดุ ค จาก 1) จะไดว า z ≈ 79.67 จากขอมูลชดุ ค จะได zi zi − z ( zi − z )2 59 –20.67 427.25 73 –6.67 44.49 82 2.33 5.43 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

376 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 2 zi zi − z ( zi − z )2 87 7.33 53.73 87 7.33 53.73 90 10.33 106.71 ∑6 ( zi − z )2 ≈ 691.34 i=1 ดังน้นั สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอมลู ชุด ค คือ 691.34 ≈ 11.76 6 −1 และความแปรปรวนของขอมูลชดุ ค คือ 691.34 ≈ 138.27 5 3) ขอมูลชุด ก มสี มั ประสิทธ์กิ ารแปรผนั คอื 5.10 ≈ 0.65 7.85 ขอ มูลชดุ ข มสี มั ประสทิ ธ์กิ ารแปรผัน คือ 1.47 ≈ 0.51 2.9 และขอ มูลชดุ ค มีสมั ประสิทธิก์ ารแปรผนั คือ 11.76 ≈ 0.15 79.67 เนอ่ื งจากขอ มูลชุด ก มีสมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผนั มากกวา ขอมูลชุด ข และ ค ดังนน้ั ขอมูลชุด ก มกี ารกระจายมากทีส่ ดุ 16. ให a, b, c และ d แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทย คณิตศาสตร ภาษาอังกฤษ และ คอมพวิ เตอรของศริ วิ ทิ ย ตามลําดับ เนื่องจากคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทยเทากับ 21.5 คะแนน นั่นคือ a + b = 21.5 จะได a + b =43 − − −(1) 2 เนือ่ งจากคา เฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบของวิชาภาษาอังกฤษและคอมพวิ เตอรเ ทากับ 28.5 คะแนน นน่ั คือ c + d = 28.5 จะได c + d =57 − − −(2) 2 จาก (1) และ (2) จะได a + b + c + d =100 ดงั นัน้ คาเฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบทง้ั สี่วชิ านคี้ อื 100 = 25 คะแนน 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 2 377 17. เนอ่ื งจากคา เฉลยี่ เลขคณติ ของอายนุ ักเรียน = ผลรวมของอายขุ องนกั เรยี น จาํ นวนนักเรียน จะได ผลรวมของอายนุ กั เรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 3 =15×60 =900 ป ผลรวมของอายนุ กั เรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 =17×50 = 850 ป ผลรวมของอายุนักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 =18× 40 =720 ป ดังนั้น คาเฉล่ยี เลขคณิตของอายนุ กั เรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 3 – 5 ของโรงเรียนแหงน้ีคอื 900 + 850 + 720 ≈ 16.47 ป 60 + 50 + 40 18. 1) การหาเกรดเฉลี่ยคือการหาคาเฉล่ียเลขคณิตถวงน้ําหนัก โดยท่ีขอมูลคือเกรดของ แตละวิชาและนา้ํ หนกั ของแตละขอ มูลคือหนวยกติ ของแตละวชิ า ดังน้นั เกรดเฉล่ยี = ผลรวมของผลคณู ของหนว ยกิตและเกรดของแตล ะวชิ า ผลรวมของหนวยกติ จากผลการเรียนภาคเรียนสุดทายของนักเรียนคนนี้จะสามารถหาผลรวมของผลคูณ ของหนว ยกิตและเกรดของแตล ะวิชา และผลรวมของหนวยกิต ไดดงั นี้ ชอ่ื วชิ า หนวยกติ เกรด หนวยกิต × เกรด ภาษาไทย 6 1.0 3.5 3.5 คณิตศาสตร 6 1.0 3 3 สงั คมศกึ ษา 6 0.5 4 2 พระพทุ ธศาสนา 6 0.5 4 2 ศลิ ปะ 5 0.5 3 1.5 เครือขา ยและโครงงานคอมพิวเตอร 0.5 2.5 1.25 ภาษาอังกฤษ 6 1.0 4 4 เสริมทกั ษะภาษาไทย 2 1.0 3.5 3.5 วทิ ยาศาสตรเ พ่ิม 2 0.5 2 1 ชีวิตกับสขุ ภาพ 3 0.5 4 2 กฬี ากับสุขภาพ 3 0.5 4 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

378 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 2 ชอื่ วิชา หนว ยกิต เกรด หนวยกิต × เกรด ภาษาญ่ีปนุ 6 3.0 4 12 ภาษาอังกฤษเพือ่ การส่ือสาร 6 0.5 3.5 1.75 ภาษาอังกฤษเพอื่ การอาน – เขยี น 6 1.0 4 4 ภาษาอังกฤษรอบรู 6 1.0 4 4 รวม 13.0 - 47.5 ดงั นนั้ เกรดเฉล่ียของภาคเรียนสุดทา ยของนักเรยี นคนนีค้ อื 47.5 ≈ 3.65 13.0 2) เนื่องจาก เกรดเฉลยี่ ของ 5 ภาคเรยี น = ผลรวมของผลคูณของหนว ยกติ และเกรดเฉล่ียของแตละภาคเรียนจาํ นวน 5 ภาคเรยี น ผลรวมของหนว ยกติ ของทง้ั 5 ภาคเรยี น จะได ผลรวมของผลคณู ของหนว ยกติ และเกรดเฉลีย่ ของแตล ะภาคเรยี นจาํ นวน 5 ภาคเรยี น 3.75 = 75.0 ดังน้ัน ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน 5 ภาคเรยี น คอื 3.75× 75.0 =281.25 เนอื่ งจากเกรดเฉลี่ยของทงั้ 6 ภาคเรยี น = ผลรวมของผลคณู ของหนวยกิตและเกรดของแตล ะวิชาของภาคเรยี นท่ี 6 + ผลรวมของผลคณู ของหนวยกิตและเกรดเฉลีย่ ของแตล ะภาคเรยี นจํานวน 5 ภาคเรยี น ผลรวมของหนวยกติ ของทงั้ 6 ภาคเรยี น ดังน้นั เกรดเฉลยี่ ของทั้ง 6 ภาคเรียนของนกั เรยี นคนน้ีคอื 47.5 + 281.25 ≈ 3.74 13.0 + 75.0 19. สมมติวาขอมลู ชดุ นี้เมอ่ื เรยี งจากมากไปนอ ยคอื a, b, c, d, e เน่ืองจากขอ มลู 2 ตวั สุดทาย คอื 102 และ 99 ตามลาํ ดบั จะได d = 102 และ e = 99 เน่อื งจากคา เฉลยี่ เลขคณติ ของจาํ นวนเตม็ 5 จาํ นวนนี้ คอื 360 จะได a + b + c +102 + 99 = 360 5 a + b + c = 1,599 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 379 a = 1,599 − b − c เนอ่ื งจากขอมลู ชุดนเี้ รยี งจากมากไปนอยคือ a, b, c, 102, 99 ดังนั้น a มีคามากทส่ี ุดทเี่ ปนไปได เมือ่ b= c= 102 จะได a = 1,599 −102 −102 = 1,395 ดังนัน้ คาทม่ี ากท่ีสุดท่ีเปน ไปไดข องขอ มลู ชุดนีค้ อื 1,395 20. สมมตวิ าขอมลู ชดุ นเี้ มื่อเรียงจากนอยไปมากคือ a, b, c, d, e เนอื่ งจากมธั ยฐานของขอมลู ชดุ นี้คือ 5 จะได c = 5 เน่อื งจากพิสยั ของขอ มลู ชุดนค้ี อื 5 จะได e − a =5 นน่ั คอื e= a + 5 เน่ืองจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมลู ชุดนี้คอื 5 จะได a + b + 5 + d + (a + 5) = 5 5 2a + b + d = 15 ถา a ≥ 4 จะได b + d ≤ 7 ซึ่งเปน ไปไมไ ด เน่ืองจาก 4 ≤ b ≤ d ดังนั้น a < 4 เน่ืองจากฐานนิยมของขอ มูลชดุ นค้ี ือ 5 ดงั นน้ั ขอมูลทม่ี ีคาเทากับ 5 จะตองมคี วามถ่อี ยา งนอย 2 ถา b= d= 5 จะได 2a = 5 ดงั นั้น a = 2.5 ซึง่ เปน ไปไมได เนอื่ งจาก a เปน จํานวนเตม็ ดงั น้ัน จะมเี พียงตวั ใดตวั หน่ึงใน b และ d ทเี่ ทา กบั 5 กรณี 1 b = 5 เน่อื งจาก a < 4 จะไดว า a อาจเปน 1, 2 หรือ 3 สมมติวา a = 1 เนื่องจาก e= a + 5 จะได e = 6 และเนื่องจาก b = 5 และ 2a + b + d =15 จะได d = 8 ซึ่งเปนไปไมไ ด เน่ืองจาก d ≤ e สมมติวา a = 2 เนื่องจาก e= a + 5 จะได e = 7 และเนื่องจาก b = 5 และ 2a + b + d =15 จะได d = 6 ดงั นน้ั 2, 5, 5, 6, 7 เปนชดุ ขอ มูลหนง่ึ ที่เปน ไปได สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

380 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 2 สมมตวิ า a = 3 เน่ืองจาก e= a + 5 จะได e = 8 และเนอื่ งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15 จะได d = 4 ซ่งึ เปนไปไมได เนือ่ งจาก b ≤ d กรณี 2 d = 5 เนอ่ื งจาก a < 4 จะไดวา a อาจเปน 1, 2 หรอื 3 สมมติวา a = 1 เน่อื งจาก e= a + 5 จะได e = 6 และเนื่องจาก d = 5 และ 2a + b + d =15 จะได b = 8 ซ่ึงเปนไปไมไ ด เนื่องจาก b ≤ c สมมตวิ า a = 2 เนอ่ื งจาก e= a + 5 จะได e = 7 และเน่ืองจาก d = 5 และ 2a + b + d =15 จะได b = 6 ซึง่ เปนไปไมได เนื่องจาก b ≤ c สมมติวา a = 3 เนือ่ งจาก e= a + 5 จะได e = 8 และเนื่องจาก d = 5 และ 2a + b + d =15 จะได b = 4 ดังน้ัน 3, 4, 5, 5, 8 เปนชุดขอ มูลหนึง่ ทเ่ี ปน ไปได ดังน้ัน ชุดของขอ มูลที่เปนไปไดท้ังหมด คอื 2, 5, 5, 6, 7 และ 3, 4, 5, 5, 8 21. 1) เรียงขอ มูลจากนอยไปมาก ไดด งั น้ี 30 65 67 75 75 78 80 85 90 92 125 ขอมูลชดุ นี้มี 11 ตัว เนอ่ื งจาก Q1 อยูในตาํ แหนง ท่ี 11+1 = 3 ดงั น้ัน Q1 = 67 4 Q2 อยูในตําแหนง ท่ี 2(11+1) = 6 ดงั นั้น Q2 = 78 4 และ Q3 อยใู นตําแหนง ที่ 3(11+1) = 9 ดงั นัน้ Q3 = 90 4 ดังนั้น ควอรไทลท่ี 1 ควอรไทลที่ 2 และควอรไทลที่ 3 ของขอมูลชุดน้ี คือ 67, 78 และ 90 ช้นิ ตามลาํ ดับ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 381 2) พสิ ยั ของขอมูลชดุ นี้ คือ 125 − 30 =95 ชน้ิ พิสัยระหวางควอรไทลข องขอ มลู ชุดน้ี คือ 90 − 67 =23 ชิ้น เน่ืองจากเม่ือพิจารณาผลตางของขอมูล 2 ตัวใด ๆ จะไดวาสวนใหญแลวขอมูลไมได ตางกันมากถึง 95 ชิ้น โดยผลตางของขอมูลจะใกลเคียงกับพิสัยระหวางควอรไทล ทคี่ ํานวณได ซ่งึ เทา กบั 23 ชิน้ ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลเหมาะสําหรับใชอธิบายการกระจายของขอมูลชุดนี้ มากกวา พสิ ยั 3) เนอ่ื งจา=ก P25 Q=1, P50 และQ2 P75 = Q3 ดังน=ั้น P25 6=7, P50 78 และ P75 = 90 เน่อื งจาก P90 อยูในตาํ แหนงท่ี 90 (11 + 1) = 10.8 100 ดังนัน้ P90 อยูระหวา งขอมูลในตาํ แหนงที่ 10 และ 11 ซ่งึ มีคาอยูระหวาง 92 และ 125 ในการหา P90 จะใชก ารเทียบบญั ญตั ไิ ตรยางศ ดังนี้ เน่ืองจากขอ มลู ในตําแหนง ที่ 10 และ 11 มีตาํ แหนง ตางกัน 11−10 =1 มีคา ตางกัน 125 − 92 =33 จะไดว า ตําแหนงตางกัน 10.8 −10 =0.8 มคี า ตา งกนั 0.8 × 33 = 26.4 1 ดงั นน้ั P90 =92 + 26.4 =118.4 ดังน้ัน เปอรเซ็นไทลท่ี 25 เปอรเซ็นไทลท่ี 50 เปอรเซ็นไทลที่ 75 และเปอรเซ็นไทลที่ 90 ของขอมลู ชุดนี้ คือ 67, 78, 90 และ 118.4 ชน้ิ ตามลาํ ดับ 22. 1) จากขอมลู สามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบไดด ังนี้ นักกีฬาบาสเกตบอลชาย นักกฬี าบาสเกตบอลหญงิ 15 3 4 7 16 0 1 3 6 7 8 8 8 9 6 5 17 0 1 1 2 2 4 5 9 8 5 3 1 0 0 0 18 1 2 8 8 6 5 5 5 0 0 19 6 20 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

382 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 2 2) จากแผนภาพในขอ 1) จะเห็นวาขอมูลความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายและหญิง ไมมขี อ มูลใดท่มี ีคา แตกตา งจากขอ มูลตัวอืน่ ในแตล ะชุดมาก ดังนน้ั จึงควรใชค าเฉลย่ี เลขคณติ เปน ตวั แทนของขอ มลู แตล ะชุด 3) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายคือ 3,759 = 187.95 20 เซนตเิ มตร จะไดว า มีนกั กฬี าบาสเกตบอลชายทีส่ ูงมากกวาคาเฉลี่ยเลขคณติ อยู 11 คน ดังนั้น นักกีฬาบาสเกตบอลชายท่ีสูงมากกวาคาเฉล่ียเลขคณิตคิดเปนรอยละ 11 ×100 =55 ของจาํ นวนนกั กฬี าบาสเกตบอลชายทั้งหมด 20 23. เน่ืองจากขอ มูลทีก่ าํ หนดในโจทยเ ปนขอ มลู ของตัวอยาง ให xi และ yi แทนเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 1 และ หอง 2 คนที่ i เม่อื i ∈{1, 2, 3, ... , 10} ตามลาํ ดับ x และ y แทนคาเฉล่ียเลขคณิตของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของ นกั เรยี นหอง 1 และหอ ง 2 ทส่ี ุมมา ตามลําดบั และ sx และ sy แทนสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวัน ของนักเรยี นหอ ง 1 และหอง 2 ที่สมุ มา ตามลําดบั จะได= x 3=54 35.4 และ=y 5=01 50.1 10 10 จากขอมลู จะได xi xi − x ( xi − x )2 0 –35.4 1,253.16 20 –15.4 237.16 30 –5.4 29.16 42 6.6 43.56 35 –0.4 0.16 82 46.6 2,171.56 54 18.6 345.96 28 –7.4 54.76 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 2 383 xi xi − x ( xi − x )2 0 –35.4 63 27.6 1,253.16 761.76 และ yi − y –5.1 ∑10 ( xi − x )2 =6,150.4 yi –10.1 45 11.9 i=1 40 –40.1 62 –26.1 ( yi − y )2 10 –35.1 24 –20.1 26.01 15 9.9 102.01 30 44.9 141.61 60 69.9 1,608.01 95 681.21 120 1,232.01 404.01 98.01 2,016.01 4,886.01 ∑10 ( yi − y )2 =11,194.9 i=1 =ดงั นน้ั sx 6,150.4 ≈ 26.1=4 และ sy 11,194.9 ≈ 35.27 10 −1 10 −1 ดงั น้นั สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั ของเวลาที่ใชใ นการอานหนังสือในหนึ่งวนั ของนกั เรียนหอง 1 คือ 26.14 ≈ 0.74 35.4 และสัมประสิทธ์ิการแปรผันของเวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 2 คอื 35.27 ≈ 0.70 50.1 เนื่องจากสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียน หอง 1 มากกวานักเรียนหอง 2 ดังนั้น เวลาที่ใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนท่ีสุมมา 10 คน จากหอง 1 มีการ กระจายมากกวา เวลาที่ใชใ นการอานหนังสอื ในหน่ึงวนั ของนกั เรียนท่สี ุม มา 10 คน จากหอ ง 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

384 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 2 24. 1) มัธยฐานของจํานวนลกู เกดท่ีใสในขนมปง แตล ะอนั ของรานท่ี 1 คอื 30 เมด็ และมัธยฐานของจํานวนลกู เกดท่ีใสใ นขนมปงแตละอนั ของรานท่ี 2 คือ 31 เม็ด 2) จากแผนภาพกลองของรา นท่ี 1 จะได Q3 = 31 ดังน้ัน ขนมปงจากรานที่ 1 ที่มีจํานวนลูกเกดนอยกวา 31 เม็ด คิดเปนรอยละ 75 ของ ขนมปงที่ซ้ือจากรานท่ี 1 ท้งั หมด 3) จากแผนภาพกลองของรานที่ 2 จะไดวาควอรไทลท่ี 3 ของจํานวนลูกเกดที่ใสใน ขนมปง แตล ะอันทีซ่ ้อื จากรา นท่ี 2 คือ 33 เม็ด 4) อรรถฤทธิ์ควรซ้ือขนมปงลูกเกดจากรานที่ 1 เนื่องจากเม่ือพิจารณาจากแผนภาพกลอง จะเหน็ วาแผนภาพกลองของรานท่ี 1 มีความกวางนอยกวารา นที่ 2 มาก ดงั นัน้ จาํ นวนลูกเกดในขนมปง แตละอันของรา นท่ี 1 ใกลเ คยี งกนั มากกวา รา นที่ 2 5) อรรถฤทธิ์ควรซ้ือขนมปงลูกเกดจากรานท่ี 2 เน่ืองจากมีจํานวนขนมปงของรานที่ 2 ประมาณรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกดมากกวาขนมปงของรานที่ 1 นอกจากน้ี ยังมีแนวโนมสูงวามีจํานวนขนมปงของรานที่ 2 ไมถึงรอยละ 25 ท่ีมีจํานวนลูกเกด นอ ยกวา ขนมปงของรานท่ี 1 25. วธิ ที ่ี 1 สมมตคิ าขนมของมานี ชูใจ และปต ิ คอื a, b และ c บาท ตามลําดับ เนอ่ื งจากคา เฉล่ยี เลขคณติ ของคาขนมของทง้ั สามคน คือ 50 บาท และสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคาขนมของทั้งสามคน คอื 0 บาท จะได (a − 50)2 + (b − 50)2 + (c − 50)2 = 0 3 (a − 50)2 + (b − 50)2 + (c − 50)2 =0 แตเ น่อื งจาก (a − 50)2 ≥ 0, (b − 50)2 ≥ 0 และ (c − 50)2 ≥ 0 จะได (a − 50)2 = (b − 50)2 = (c − 50)2 = 0 a − 50 = b − 50 = c − 50 = 0 ดังนนั้ a = b = c = 50 สมมติคาขนมของมานะคอื d บาท เนอ่ื งจากคาเฉลย่ี เลขคณติ ของคาขนมของทัง้ สีค่ น คอื 45 บาท จะได 50 + 50 + 50 + d = 45 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี