(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

บทที่ 3 | เวกเตอร 152 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทายบทขอที่ 2. หาผลลพั ธข องการบวก การลบเวกเตอร และการคณู เวกเตอร 23 1) – 3) ดว ยสเกลาร 27* 3 1) – 6) 3. หาผลคูณเชิงสเกลาร 4 5 1) – 3) 6 7 8 9 10 12 1), 2)*, 3), 4)* 13 14 15 18* 19* 21* 1) – 2) 22 3)* 26* 24 1) – 4) 25 1) – 4) 26* 27* สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 153 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอ ท่ี 4. หาผลคูณเชิงเวกเตอร 5. นาํ ความรูเ กย่ี วกับเวกเตอรไ ปใชใ นการแกปญหา 28 โจทยท า ทาย 29 30 31 32 34 1) – 8) 35 36 37 11 1) – 3) 38 39 40 41 42 33 หมายเหตุ แบบฝกหัดทายบทขอ 12. 2), 12. 4), 18, 19, 21, 22. 3), 26 และ 27 สอดคลองกับ จดุ มุงหมายของบทเรยี นมากกวา 1 จุดมุง หมาย สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 154 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 3.5 ความรเู พ่ิมเติมสาํ หรับครู • แนวคิดในการหาผลบวกของเวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสองมิติ เปนดงั น้ี ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 และ d ≥ 0 u = a และ v = c เปนเวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ ดังรปู b  d  จากรปู จะได u + v =ba + c  + d  นน่ั คอื a + c  =ba ++ c  b  d  d     สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 155 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 • แนวคดิ ในการหาผลคูณของเวกเตอรด วยสเกลารในระบบพิกดั ฉากสองมิติ เปนดงั นี้ ให a, b และ k เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a ≥ 0, b ≥ 0 และ k > 1 u = a และ k u = c เปน เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ ดังรปู b  d   พิจารณารปู โดยใชร ปู สามเหลี่ยมคลาย จะได c= d= kuu= k b a ดงั นั้น c = ka และ d = k b จะได =k u =dc  k a k  b  นนั่ คอื k a = k a b  k b  (ในกรณีท่ี k ≤ 1 สามารถใชแนวคดิ ของรูปสามเหลีย่ มคลายขางตน แสดงไดใ นทํานอง เดยี วกนั ) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 156 คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 • ทฤษฎีบทเก่ียวกับเร่ืองเวกเตอร ที่ไมไดแสดงการพิสูจนในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 บทที่ 3 เวกเตอร แสดงการพสิ ูจนไ ดด งั นี้ ทฤษฎีบท 2 ให u, v และ w เปนเวกเตอรใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ และ a เปน 1ส)เกลาuร⋅ vจะ=ไดvว ⋅าu 2) u ⋅ (v + w ) = (u ⋅ v) + (u ⋅ w ) และ (u + v) ⋅ w = (u ⋅ w ) + (v ⋅ w ) (u ⋅ v) = u v u v 3) a ( a ) ⋅ = ⋅ ( a ) 4) 0 ⋅ u =0 5) u ⋅ u =u 2         6) i ⋅i = j⋅ j = k ⋅k =1 และ i⋅ j =i ⋅k = j ⋅k =0 พิสูจน u  a2  v  b2  ==และuu=w⋅⋅((bbc11i1+i+c+1bc)22ijj)++เ(ปb(น2c1เ+iวกc+2เตc)2อjรj)ใน ระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ 2) ให =a1i + j, =b1i + j จะได u ⋅ (v + w ) = a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) = (a1b1 + a1c1 ) + (a2b2 + a2c2 ) = ( ua1⋅bv1 +) +a(2bu2⋅)w+)( a1c1 + a2c2 ) = ( ดงั นัน้ u ⋅ (v + w ) = (u ⋅ v) + (u ⋅ w )  ) + (b1i b)2jj)⋅w⋅ w และ (u + v) ⋅ w = ( aa11i++b1a)2ij + (a2 + + = b2 ( = (a1 + b1 )c1 + (a2 + b2 )c2 = (a1c1 + b1c1 ) + (a2c2 + b2c2 ) = ( ua1⋅cw1+) +a2(cv2 ⋅)w+ )(b1c1 + b2c2 ) = ( ดงั น้นั (u + v) ⋅ w = (u ⋅ w ) + (v ⋅ w ) หมายเหตุ กรณที ่ี u, v และ w เปน เวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสามมิติสามารถ พิสูจนไ ดใ นทาํ นองเดยี วกัน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 157 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 3) ให =u   และ =v  เปนเวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ a1i + a2 j b1i + b2 j และ a เปนสเกลารใด ๆ = a ⋅ (  + a2  ) ⋅ (  + b2  ) จะได a ⋅(u ⋅ v) a1i j b1i j = a (a1b1 + a2b2 ) = aa1b1 + aa2b2 = ((aa( aau1a))1⋅b)v1i++((aaaa22))bj2  ⋅ (  + b2  ) = b1i j =     และ a ⋅ (u ⋅ v) = a ⋅ ( a1i + a2 j ) ⋅ ( b1i + b2 j ) = a (a1b1 + a2b2 ) = aa1b1 + aa2b2 = (uaa1⋅1((iaa+bv1 a) 2+ja)2⋅ (ab2 )  + ( ab2 )   = (ab1 ) i j = ) ดังนน้ั a(u ⋅ v) = (au) ⋅ v = u ⋅(a v) หมายเหตุ กรณที ี่ u และ v เปน เวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสามมติ สิ ามารถ จใพหะสิ ไ=ูจดuน ไดaใ1นiท+าํ aน2อjงเเดปียน วเกวกัน0เต⋅อuรใน=ระ(บ0บiพ+ิก0ัดjฉ)า⋅ก(aส1อiง+มิตa2ิ 4)  j ) = (0)a + (0)b ดังนนั้  ⋅ u =0 u =0 0 เปน เวกเตอรใ นระบบพิกดั ฉากสามมติ ิสามารถพสิ จู นไดใ น หมายเหตุ กรณีท่ี ทํานองเดยี วกนั สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 158 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 6) ใ=ห i =10 , j 0 และ  = 0 1 k 0 0 0 1 จะได  1 1 (1)(1) + (0)(0) + (0)(0)= 1 i ⋅i= 0 ⋅ 0= 0 0  0 0 (0)(0) + (1)(1) + (0)(0)= 1 j ⋅ j= 1 ⋅ 1= 0 0  0 0 (0)(0) + (0)(0) + (1)(1)= 1 k ⋅k= 0 ⋅ 0= ดงั นน้ั      1  1 i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k =1 และ  1 0 (1)(0) + (0)(1) + (0)(0)= 0 i ⋅ j= 0 ⋅ 1= 0 0  1 0 (1)(0) + (0)(0) + (0)(1)= 0 i ⋅k= 0 ⋅ 0= 0 1  ⋅  0 0 (0)(0) + (1)(0) + (0)(1)= 0 j k= 1 ⋅ 0= ดังนน้ั      0  1 i ⋅ j =i ⋅k = j ⋅k =0 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 159 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 ทฤษฎบี ท 6 u, v และ w เปน เวกเตอรใ ด ๆ ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ และ α เปน กาํ หนด จ1)าํ นวuนจ×รvงิ ใ=ด −ๆ(v × u) 2) (u + v) × w = (u × w ) + (v × w ) 3) u × (v + w ) = (u × v) + (u × w ) 4) u × (α v) =α (u × v) (α u) × v= α (u × v) 5) =0 6) u × u พสิ จู น 2) =ให u =aa12  , v b1  และ w  c1  เปน เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ b2  c2   =  a3  b3  c3  จะได u + v  a1  b1  a2  b2  =  +  a3  b3   a1 + b1    =  a2 + b2  a3 + b3  น่นั คอื (u + v)× w =  a1 + b1  c1  a2  c2  + b2  ×  a3+ b3  c3   ij k = a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 = c1 c2 a( 3a2++bc3b3)2c)2c1ik− (a1 + b1 ) c3 − ( a3 + b3 ) c1    j (a2 + b2 ) c3 − (    + (a1 + b1 )c2 − = a2c3i + b2c3i − a3c2i − b3c2i − a1c3 j − b1c3 j + a3c1 j + b3c1 j +a1c2k + b1c2k − a2c1k − b2c1k สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 160 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1    ( )= − − j+ j+ a2c3i  a3c2i  a1c3  a3c1  a1c2 k− a2c1k  ( ( ) )= + + )b2c3i − b3c2i − b1c3 j + b3c1 j  +bj1(c+a2k1(cb2−1c−b2 2a−c21bck21c)1k)  − −a3c1 j k ( a2c3 − a3c2 i  ( a1c3 ) +(b2c3 − b3c2 ) i− b1c3 j− b3c1     i jk i jk = a1 a2 a3 + b1 b2 b3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 = (u × w ) + (v × w ) ดังน้นั (u + v) × w = (u × w ) + (v × w ) 3) =ให u =aa12  , v b1  และ w  c1  เปน เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ b2  c2   =  a3  b3  c3  จะได v + w b1  c1  b2  c2  =  +  b3  c3   b1 + c1  b2  = + c2  b3 + c3  นัน่ คอื u × (v + w ) =  a1   b1 + c1    b2   a2  × + c2  a3 b3 +c3   ij k = a1 a2 a3 = b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3   − a1 (b3 + c3 )− a3 (b1 + c1 )  i  j a2 (b3 + c3 ) − a3 (b2 + c2 ) )     + a1(b2 + c2 ) − a2 (b1 + c1  k = a2b3i + a2c3i − a3b2i − a3c2i − a1b3 j − a1c3 j + a3b1 j + a3c1 j +a1b2k + a1c2k − a2b1k − a2c1k สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 161 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1    ( )= − − + + − a2b3i  a3b2i  a1b3 j  a3b1 j  a1b2 k  a2b1k  ( )= + a2c3i −−a3aab332cc)22ii)−i−−(aa1(c1ab313jc−3+−aa3a3bc311c)1jj)++ja+(1ac(12abk12c−−2 a−a22acb121kc)1k) (a2b3 −  k +( a2c3   i jk i jk = a1 a2 a3 + a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = (u × v) + (u × w ) ดงั นั้น u × (v + w ) = (u × v) + (u × w ) ให u  a1  และ v  b1  เปน เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ   b2  4) =  a2  =  a3  b3  และ α เปนจํานวนจริงใด ๆ จะได α v b1  นั่นคอื b2  u × (α v) = α  b3  αb1  α  = b2  αb3   a1  ab1  a2  a  =  × b2  a3  a b3   i jk = a1 a2 a3 a+aab21((aaaa12(bba33b)−b2a−2a)a3−b3aa2b(a)32i(b−2 )b(1ai)1ba−3 k−aa13(b1 )b3aj)+−(aa31b(2 −b1a)2b1j ( )= )   k = สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 162 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1  i jk = a a1 a2 a3 b3 = α (bu1 × vb)2 ดงั นั้น u × (α v) =α (u × v) ให u  a1  เปนเวกเตอรใ นระบบพิกัดฉากสามมติ ิ   6) =  a2  a3  จะได u × u  a1   a1    a2  =  a2  ×  a3  a3  i jk = a1 a2 a3 = a1 a2 a3  − ( a1a3 − a1a3 )  + ( a1a2 − a1a2 )  a3 − i j k ( a2 a2a3) = 0i − 0 j + 0k =0 u u  ดงั นั้น × =0 • จากทฤษฎบี ท 3 ในหนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ให u และ v เปนเวกเตอรใด ๆ ที่ไมใชเวกเตอรศูนย ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือ สามมิติ และ θ เปนขนาดของมมุ ระหวาง u และ v ซ่ึง 0O ≤θ ≤180O (มุมระหวาง เวกเตอร หมายถึง มุมท่ีไมใชมุมกลับ ซึ่งมีแขนของมุมเปนรังสีที่ขนานและมีทิศทาง เดยี วกับเวกเตอรท ้งั สอง) จะไดว า u ⋅v =u v cosθ ดังนนั้ ถา θ เปนมุมแหลม จะไดว า u ⋅v > 0 ถา θ เปน มุมฉาก จะไดว า u ⋅ v ถา θ เปน มมุ ปาน จะไดว า u ⋅ v =0 <0 นอกจากนี้ เมอ่ื θ = 0O จะได=ว า u ⋅ v u v= cos0O u v และเมือ่ θ =180O จะไดวา u ⋅ v =u v cos180O =− u v สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 163 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 3.6 ตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 3 เวกเตอร สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ทีต่ อ งการวัดผลประเมนิ ผล ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. กvํา=หนAดFรปู จสงาเขมียเหนลย่ี BมCห,นAาEจว่ั แAละBFDAดังใรนูปรูปใหข อBง=Cu    , =u  และ C=D D=E EF AB และ v สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 164 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 2. นักวิทยาศาสตรสรางระบบจําลองเหตุการณหยดนํ้ากระทบบนผิวโลหะชนิดพิเศษ โดยแสดงผล ความเร็วของน้าํ ณ แตล ะตาํ แหนงในรปู เวกเตอร ดงั น้ี ตาํ แหนง ความเร็วของนํา้ ณ ตาํ แหนง น้นั 1 A 0 1   B  2  1  2  0 C 1 − 1   D 2  1  2  E −1    0  − 1   F 2  − 1 2  0 G −1 1   H  2  − 1 2  จงเขียนเวกเตอรแ สดงความเรว็ ของน้าํ ณ ตําแหนงตา ง ๆ ลงในแกนพกิ ัดฉากเดยี วกัน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 165 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 3. กาํ หนด  −  +  x (i +  ) + y (  − i ) + z ( 2k −  ) จงหา x+ y+z i 4j k= j j j 4. ให a เปนเวกเตอรท ี่ไมใ ชเ วกเตอรศ นู ย จงหาเวกเตอร a ทั้งหมดทสี่ อดคลองกับสมการ a (a + a a) =6a a,  c a  c  5. ให b และ เปน เวกเตอรทไี่ มใ ชเวกเตอรศูนย โดยท่ี + b + =0 จงพิจารณาวาขอความตอ ไปน้เี ปนจริงหรอื เท็จ 1) เวกเตอรที่เกดิ จากการบวกกันของสองเวกเตอรใด ๆ มที ิศทางตรงกันขามกบั อกี เวกเตอรหนึ่งเสมอ 2) มมุ ระหวา ง c และ a มขี นาดเทา กับมมุ ระหวา ง c และ  เสมอ b 6. ให uvwP(เเเxปปป,นนนyภภภ,าาzาพพพ)ฉฉฉเาาปายยยน ขขขจอออุดงงงใดOOOๆPPPใบนบบนรนนะรรรบะะะนบนนาพาาบบบิกัดYXฉXZYาZกสามมติ ิ และ จงพิจารณาวา ขอความตอ ไปน้เี ปนจรงิ หรือเท็จ ถา u ต้งั ฉากกับ v แลว 1) y=0 2) v + w ≥ OP 7. ให u และ v เปนเวกเตอรใด ๆ ซึ่ง u มีขนาด 7 หนวย v มีขนาด 11 หนวย ถาขนาด ของมุมระหวาง u และ v เปน 60 องศา แลว จงหาขนาดของ u + v 8. จงหาเวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิทีม่ ขี นาด 7 หนว ย และตัง้ ฉากกบั เวกเตอร 3 4 9. ให u และ v เปน เวกเตอรใ ด ๆ ทตี่ ้งั ฉากกนั จงแสดงวา u + v = u − v ให u, v และ 2w แเลปะน เuวก+เตvอ+รwใน=ระiบ+บ2พjิก+ดั ฉ3kากจสงาหมามขติ นทิ าต่ี ดั้งขฉอางกซwึ่งกันและกัน โดยท่ี 10. =u 1,=v ถใกหาาํ หuuน=+ดใv−หi+ +uw3==ji,0v+แ=5ล−jว2,จivง−ห=5า−j 2uแi⋅ลw+ะ+3wvj −⋅ wเปkน แเวลกะเตwอร=ใ ด3iๆ−ทaไี่ มj ใ+ชkเวกถเตา อuรศ⋅vนูย= u ⋅ w 11. แลว 12. 13. จงหา a −  v =  +  +  และ w=  ให u k, i j k i+j =i จงพิจารณาวา คา ของ u ⋅(v × w ), v ⋅(w ×u) และ w ⋅(u × v) มคี วามสมั พนั ธก นั อยางไร สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 166 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 14. นักเดินปา กลุมหนึ่งเดินทางเขาไปในปาลึกลับ และไดต้ังกลองถายรูปที่จุด A โดยหันกลอง ถายรูปไปในแนวตั้งฉากกับแกน X ตามแนวเวกเตอร 0 แลวถายรูปสิ่งมีชีวิตลึกลับได 1 สิ่งมีชีวิตนั้นวิ่งผานหนากลองจากจุด A ไปยังจุด B, C และ D ตามลําดับ ซึ่งกลองเก็บ ขอมูลเชิงเวกเตอร=ไดวา AB =−25 , BC  6 และ CD = −3 ถาตองการถายภาพ 5  3  ส่งิ มีชีวติ ดงั กลา วซ่งึ หยดุ นิง่ ทีจ่ ุด D แลวจะตอ งหมนุ กลองถา ยรูปจากตาํ แหนงเดิมไปเทา ใด เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. เนื่องจาก  = u และ  = v AB  AF  BC BF จะได = 1 4   BA + AF ( )= 1 4 = 1 (−u + v) 4 = − 1 u + 1 v 44 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 167 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1    AE = AF + FE   = AF + 1 FB  4   AF FA + AB ( )= + 1  4   AF − AF + AB ( )= + 1 4 = v + 1 (−v + u) 4 = v − 1 v + 1 u 44 = 1 u + 3 v  4 4 DA = DB + BA   = 1 FB − AB 2    FA + AB − AB ( )=1 2    − AF + AB − AB ( )=1 2 = 1 (−v + u) − u 2 = − 1 v + 1 u − u 22 = − 1 u − 1 v 22 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 168 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 2. ตวั อยางคําตอบ เขยี นเวกเตอรแสดงความเรว็ ของนา้ํ ณ ตาํ แหนงตาง ๆ ลงในแกนพิกดั ฉากเดียวกันไดดังนี้ หมายเหตุ นกั เรียนอาจเขียนแสดงความเร็วของนํ้า ณ ตาํ แหนงตาง ๆ ลงในแกนพกิ ัดฉากเดียวกัน 3. โจดายกแตล ะเวกเiตอ−ร4มjีจุด+เkริม่ ตน ===ทีแ่ ต((xกxx(iตi−า++งyกx)jjนัi))++แ+ล(y(ะxy(ไ+jมj−ใ−yชy−iจiดุ)z)+)+(z0j(,(+220z2)kkzไ−k−ดjz)j ) จะได x − y =1, x + y − z =−4 และ 2z = 1 นัน่ คือ x =− 5 , y =− 9 และ z = 1 44 2 ดังนั้น x + y + z =− 5 +  − 9  + 1 =−3 4  4  2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 169 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 4. จาก a (a + a a) = 6a ( )จะได a a + a 2 = 6a  ( )a a + a 2 − 6a = 0 ( )a a 2 + a − 6  =0 เนื่องจาก a ≠  จะไดว า a 2 + a − 6 = 0 0 ( a + 3)( a − 2) = 0 นนั่ คอื a = −3 หรอื a = 2 เนอื่ งจาก a ≥ 0 จะไดวา a = 2 ดงั นนั้ a ท้ังหมดท่ีสอดคลองกับสมการ a (a + a a) =6a คือ เวกเตอรท ่ีมีขนาด 2 หนว ย a a++bc+=c −b=  5. 1) จาก a  =−c 0  c =−a จะได b b + หรือ หรือ + ดังนั้น ขอ ความ “เวกเตอรท่เี กิดจากการบวกกนั ของสองเวกเตอรใ ด ๆ มที ิศทาง ตจสะมรงไมดกตวันิใา ขหา มaaก+ับ=bอ−ีก+3เccวก=แเต−ลอ3ะcรห+bน2่ึง=cเส2+มccอ”=0เปนจรงิ 2) แตมุมระหวาง c และ a คือ 180 องศา และมุมระหวา ง c และ ดงั น้ัน ขอความ “มุมระหวา ง c และ a มีขนาดเทา กับมุมระหวาง  คอื 0 bอ งศเสามอ” b และ c เปน เท็จ 6. เนือ่ งจาก u เปน ภาพฉายของ  บนระนาบ XY จะไดวา u =  x OP  y    0  v  v 0 OP   เนอื่ งจาก เปน ภาพฉายของ บนระนาบ YZ จะไดวา =  y   z  เนอ่ื งจาก w เปน ภาพฉายของ  บนระนาบ XZ จะไดวา w = x OP 0  z  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 170 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 1) ให u ตัง้ ฉากกบั v u ⋅ v = 0 จะได x 0  y     ⋅  y  = 0 0  z  0⋅ x + y2 + 0⋅ z = 0 y2 = 0 y =0 ดงั น้ัน ขอ ความ “ถา u ต้งั ฉากกับ v แลว y = 0 ” เปนจรงิ 2) เนื่องจาก จดุ P มพี กิ ดั เปน (x, y, z) จะไดวา  =  x OP  y    z   นั่นคือ OP = x2 + y2 + z2 เนื่องจาก v =  0  และ w = x  y  0    z   z  จะได v + w 0 x   0 =  y  +  z   z   x  y  =  v + w  2 z  น่ันคือ = x2 + y2 + (2z)2 = x2 + y2 + 4z2 เน่ืองจาก x2 + y2 + 4z2 ≥ x2 + y2 + z2  จะไดวา v + w ≥ OP  ดงั นน้ั ขอ ความ “ v + w ≥ OP ” เปนจริง สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 171 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 7. เน่อื งจาก u + v 2 = (u + v) ⋅ (u + v) = u ⋅ u + 2u ⋅ v + v ⋅ v = u 2 + 2u ⋅ v + v 2 = u 2 + 2 u v cos 60o + v 2 = 72 + 2 ( 7)(11)  1  + 112  2  = 49 + 77 +121 = 247 จะได ขนาดของ u + v คอื 247 หนว ย u 8. จาก = 3 4 ให v = x เปน เวกเตอรใด ๆ ท่ีต้ังฉากกบั u  y จะได u ⋅ v = 0 3 ⋅  x  = 0 4  y    3x + 4y = 0 y = −3x 4 นั่นคือ v =  x  ซง่ึ v= x2 +  − 3 x =2 5x  3   4 4 − x 4 เมื่อ x≥0 จะไดเ วกเตอรหนึง่ หนวยที่มที ิศทางเดยี วกับ v คือ 1  x  =  4  5x  3   5  4 − 4 x  3    − 5    4   28      นัน่ คอื เวกเตอรท ี่มีขนาด 7 หนว ย และมีทศิ ทางเดียวกบั v คือ 7 5  =  5  − 3 − 21 5  5  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 172 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 เมอื่ x<0 จะไดเวกเตอรห นึง่ หนว ยที่มีทิศทางเดยี วกบั v คอื  1   x  = − 4   −5x   3   5  − 4 x  3  4    5   นัน่ คือ เวกเตอรท่มี ีขนาด 7 หนวย และมีทศิ ทางเดียวกบั v คอื 7 − 4  = − 28   5   5     3  21  5   5   28  − 28     5  ดังน้นั เวกเตอรท ่ีมีขนาด 7 หนว ย และตง้ั ฉากกบั 3 คือ  5  หรอื  4 − 21  21 5   5  u + v 2 = (u + v) ⋅ (u + v) 9. จาก = u ⋅ u + 2u ⋅ v + v ⋅ v = u 2 + 2u ⋅ v + v 2 = u 2 + v 2 (เนือ่ งจาก u ⊥ v ) u + v = u 2 + v 2 จะได u − v 2 = (u − v) ⋅ (u − v) และ = u ⋅ u − 2u ⋅ v + v ⋅ v = u 2 − 2u ⋅ v + v 2 = u 2 + v 2 (เนือ่ งจาก u ⊥ v ) u − v = u 2 + v 2 จะได u + v = u − v ดงั น้ัน  10. จาก u + v + w = i + 2 j + 3k u + v + w = 12 + 22 + 32 จะได u + v + w 2 = 12 + 22 + 32 (u + v + w ) ⋅ (u + v + w ) = 12 + 22 + 32 u u v v w w 2u ⋅uv ⋅+u2+uv⋅ w⋅v++2wv ww ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 12 + 22 + 32 ⋅ = 12 + 22 + 32 u 2 + v 2 + w 2 = 12 + 22 + 32 12 + 22 + w 2 = 12 + 22 + 32 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 173 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 w 2 = 32 w = 3 ดังนัน้ ขนาดของ w คือ 3 หนวย w   เมอ่ื a ≠ 0 และ b ≠ 0 11. ให a i bj u(a+iv++bjw) = + = จาก (  +  ) + (  −  ) + = 0  จะได −i 3 j −2i 5 j 0i + 0 j    −1 + ( −2) + a i ++ a3) i++( −5) + b j = 0i + 0 j ( −2 +  = ( −3 b) j  0i + 0 j น่นั คอื −3 + a =0 และ −2 + b =0 จะได และ ดงั นน้ั a=3 3bi=+22  จะได w = ( −i j  (3i  ( −2i  (3i  j j j j u ⋅ w + v ⋅ w = + 3 ) ⋅ + 2 ) + − 5 ) ⋅ + 2 ) = (−3 + 6) + (−6 −10) 35jj )−⋅k(−2แiละ+ = −13      aj k 12. จาก u =i + 5 j , v + )w=3i − + จะได ==−2(ii + u ⋅ v 3j −k = (1)(−2) + (5)(3) + (0)(−1) = −2 +15 + 0 = 1(3i    = j 3i − aj + k และ ( )u ⋅ w + 5 ) ⋅ = (1)(3) + (5)(−a) + (0)(1) = 3 − 5a + 0 เน่ืองจาก u ⋅ v = u3 −⋅ w5a จะได = 13 = 3 − 5a a = −2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | เวกเตอร 174 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 13. จาก u, v และ w ทก่ี ําหนดให  จะไดวา v × w = i jk 11 1 11 0 1 1 1 1  1 1 = i− j+ k 1 0  1 0 1 1 = −i +j  ij k w × u = 11 0 1 0 −1 1 0 1 0 1 1  = i− j+ k 0 −1  1 −1 1 0 = −i + j − k  i j k u × v = 1 0 −1 11 1 0 −1  1 −1  1 0  = i− j+ k 1 1  1 1 1 1 = i )i−−2kj +k จะได u ⋅ (v × w ) = +  ) ( ⋅ (−i j v ⋅ (w × u) = −(i1+  +  ) ⋅ (  +  −  ) = j k −i j k = −1+1−1 w ⋅ (u × v) = (−i1+  )(i − 2  +  ) = j j k = 1−2 ดังน้นั u ⋅ (v × w ) =v ⋅ (w × u) =w ⋅ (u × v=) −1 =− 1 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 175 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 14. แนวกลองถายรูป จากรปู จะไดวา     AD = AB + BC + CD = −2 + 6 + −3  5 5  3   =  1 13 เนอื่ งจาก ตัง้ กลอ งถายรูปที่จุด A โดยหนั กลอ งถายรูปไปในแนวต้ังฉากกบั แกน X ตามแนว 0 1 ให θ เปน ขนาดของมมุ ระหวาง  กับ 0 ซ่งึ 0o ≤ θ ≤ 180o AD 1 ( )จาก  0  AD ⋅ 1 = AD 02 + 12 cosθ ( )( )จะได  1 0 13 ⋅ 1 = 12 + 132 02 + 12 cosθ 13 = 170 ⋅ cosθ cosθ = 13 170 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | เวกเตอร 176 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 θ = arccos  13   170  ดังนัน้ จะตอ งหมุนกลองจากตาํ แหนง เดิมไป  13  องศา ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา arccos  170  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 177 เฉลยแบบฝกหัดและวิธที ําโดยละเอียด บทที่ 1 ฟงกช นั ตรโี กณมิติ แบบฝกหดั 1.1 1. 1) sin8π = sin (4(2π )) = sin (2π ) =0 cos8π = cos(4(2π )) = cos(2π ) =1 ดงั นั้น sin8π = 0 และ cos8π =1 2) วธิ ที ี่ 1 sin (−8π ) = sin (−4(2π )) =0 cos(−8π ) = cos(−4(2π )) =1 วิธีท่ี 2 sin (−8π ) = −sin8π = −sin (4(2π )) cos(−8π ) = −sin 2π =0 = cos8π = cos(4(2π )) = cos 2π =1 ดังนั้น sin (−8π ) =0 และ cos(−8π ) =1 3) sin 7π = sin  3π + π  2  2  = sin  2π +  π + π   2   สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

178 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 sin 7π = sin  π + π  2  2  = = −sin π 2 −1 cos 7π = cos  3π + π  2  2  =  2π +  π + π  cos   2     = cos  π + π  2  = − cos π 2 =0 ดังนน้ั sin 7π = −1 และ cos 7π = 0 22 4) วธิ ีที่ 1 sin  − 7π  = sin  −3π − π   2   2  =1 cos  − 7π  = cos  −3π − π   2   2  = 0 วิธที ่ี 2 sin  − 7π  = −sin 7π  2  2 = −(−1) =1 cos  − 7π  = cos 7π 2  2 =0 ดงั น้นั sin  − 7π  =1 และ cos  − 7π  =0  2   2  5) sin 57π = sin (56π + π ) = sinπ = 0 cos57π = cos(56π + π ) = cosπ = −1 ดงั น้ัน sin 57π = 0 และ cos57π = −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 179 6) วธิ ีที่ 1 sin (−57π ) = sin (−56π − π ) = 0 cos(−57π ) = cos(−56π − π ) = −1 วิธีท่ี 2 sin (−57π ) = −sin 57π =0 cos(−57π ) = cos57π = −1 ดงั นัน้ sin (−57π ) =0 และ cos(−57π ) =−1 2. ตวั อยา งคาํ ตอบ 1) 0, π , − π , 2π , 3π 2) 0, 2π , − 2π , 4π , 6π 3) 3π , 7π , 11π , − π , − 5π 22 2 2 2 4) π , 3π , 5π , − π , − 3π 5) π , 5π , 13π , − 7π , − 11π 66 6 6 6 6) 3π , 5π , 11π , − 3π , − 5π 44 4 4 4 7) 4π , 5π , 10π , − π , − 2π 33 3 3 3 8) π , 5π , 7π , − π , − 5π 33 3 3 3 3. จตภุ าคที่ 1 และจตุภาคท่ี 2 4. จตุภาคท่ี 2 และจตุภาคท่ี 3 5. 1) sin 5π = sin  2π − π  = −sin π 3  3  3 cos 5π = cos  2π − π  = π 3 3  cos 3 2) sin 7π = sin  π + π  = −sin π 6  6  6 cos 7π = cos  π + π  = − cos π 6  6  6 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

180 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 3) sin 9π = sin  2π − π  = −sin π 5  5  5 cos 9π = cos  2π − π  π 5  5  = cos 5 4) sin 7π = sin π − 3π  = sin 3π 10 10  10 cos 7π = cos  π − 3π  = − cos 3π 10 10  10 5) sin  − 37π  = −sin 37π  12  12 = − sin  2π + 13π   12  = −sin 13π 12 = − sin  π + π  12  = −  − sin π   12  π = sin 12 cos  − 37π  = cos 37π  12  12 = cos  2π + 13π   12  = cos13π 12 = cos  π + π   12  = − cos π 12 6) sin  − 16π  = −sin 16π = − sin  2π + 2π  = −sin 2π  7  7  7  7 cos  − 16π  = cos 16π = cos  2π + 2π  = cos 2π  7  7  7  7 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 181 6. 1) sin  − 5π  = −sin 5π  4  4 = − sin  π + π  4  = −  − sin π   4  = π sin 4 cos  − 5π  =2  4  2 = cos 5π 4 = cos  π + π  4  = − cos π 4 =− 2 2 ดงั นั้น sin  − 5π  =2 และ cos  − 5π  =− 2  4  2  4  2 2) sin  − 7π  = −sin 7π  4  4 = − sin  2π − π   4  = −  − sin π   4  = sin π 4 cos  − 7π  =2  4  2 = cos 7π 4 = cos  2π − π   4  สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

182 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 = cos π 4 cos  − 7π  = 2  4  2 ดังน้นั sin  − 7π  =2 และ cos  − 7π  =2  4  2  4  2 3) sin  2π + π  = sin π = 2  4  4 2 cos  2π + π  = π = 2  4  cos 2 4 ดังนน้ั sin  2π + π  =2 และ cos  2π + π  =2  4  2  4  2 4) sin  2π + 3π  = sin 3π  4  4 = sin  π − π   4  = sin π 4 cos  2π + 3π  =2  4  2 = cos 3π 4 = cos  π − π   4  = − cos π 4 =− 2 2 ดังนนั้ sin  2π + 3π  =2 และ cos  2π + 3π  =− 2  4   4  2 2 5) sin  3π + π  = sin  2π +  π + π   3   3     = sin π + π  3  สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 183 = −sin π 3 sin  3π + π  = −3  3  2 cos  3π + π  = cos  2π +  π + π   3   3     = cos  π + π  3  = − cos π 3 = −1 2 ดังนนั้ sin  3π + π  =− 3 และ cos  3π + π  =− 1  3  2  3  2 6) sin  − 7π  = −sin 7π  6  6 = − sin  π + π   6  = −  − sin π   6  = sin π 6 =1 2 cos  − 7π  = cos 7π  6  6 = cos  π + π  6  = − cos π 6 = −3 2 ดังน้นั sin  − 7π  =1 และ cos  − 7π  =− 3  6   6  2 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

184 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 7) sin  − 7π  = −sin 7π  3  3 = − sin  2π + π   3  = −sin π 3 = −3 2 cos  − 7π  = cos 7π  3  3 = cos  2π + π   3  = cos π 3 =1 2 ดงั นัน้ sin  − 7π  =− 3 และ cos  − 7π  =1  3  2  3  2 8) sin 13π = sin  4π + π  3  3  = sin π 3 =3 2 cos 13π = cos  4π + π  3  3  = cos π 3 =1 2 ดงั น้นั sin 13π = 3 และ cos13π = 1 32 32 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 185 9) sin 37π = sin  6π + π  6  6  π = sin 6 =1 2 cos 37π = cos  6π + π  6 6  = π cos 6 =3 2 ดงั น้นั sin 37π = 1 และ cos 37π = 3 62 62 10) sin π − π  = sin π 3  3 =3 2 cos  π − π  = − cos π  3  3 = −1 2 ดังนนั้ sin  π − π  =3 และ cos  π − π  =− 1  3  2 3  2 7. 1) sin 37π = sin  6π + π  6  6  = sin π 6 =1 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

186 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 2) sin 109π = sin  2π + 37π  36  36  = sin 37π 36 = sin π + π  36  = −sin π 36 ≈− 9 100 3) sin  − 13π  = −sin 13π  4  4 = − sin  2π + 5π   4  = −sin 5π 4 = − sin  π + π   4  = −  − sin π   4  =2 2 4) sin  − 29π  = −sin 29π  3  3 = − sin  8π + 5π  3  = −sin 5π 3 = − sin  2π − π   3  = −  − sin π   3  =3 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 187 5) cos 31π = cos  6π + 7π  4  4  = cos 7π 4 = cos  2π − π  4  = cos π 4 =2 2 6) cos 34π = cos 10π + 4π  3 3  = cos 4π 3 = cos  π + π   3  = − cos π 3 = −1 2 7) cos  − 29π  = cos 29π  6  6 = cos  4π + 5π   6  = cos 5π 6 = cos  π − π  6  = − cos π 6 =− 3 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

188 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 8) cos  − 73π  = cos 73π  36  36 = cos  2π + π   36  = cos π 36 เนื่องจาก sin2 π + cos2 π = 1 36 36 จะได cos2 π = 1− sin2 π 36 36 cos2 π ≈ 1 −  9 2 36  100  cos2 π ≈ 9919 36 10000 เนอื่ งจากจดุ ปลายสวนโคงที่ยาว π หนวย เมื่อวัดในทศิ ทางทวนเข็ม 36 นาฬกิ า จะอยใู นจตภุ าคที่ 1 จะได π ≈ 9919 cos 36 100 ดงั นน้ั cos  − 73π  ≈ 9919  36  100 8. เนื่องจาก sin2 θ + cos2 θ = 1 จะได cos2 θ = 1− sin2 θ จาก sinθ = 1 จะได cos2 θ = 1 −  1 2 = 24  5  25 5 เนือ่ งจาก 0 <θ < π จะได จุดปลายสว นโคง ท่ียาว θ หนว ย เม่อื วดั ใน 2 ทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ า จะอยูในจตุภาคท่ี 1 จะได cosθ = 24 5 ดงั นนั้ sinθ = 1 และ cosθ = 24 55 1) sin (π −θ ) = sinθ =1 5 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 189 2) sin (−θ ) = −sinθ = −1 5 3) sin (θ − π ) = sin (−(π −θ )) = −sin (π −θ ) = − 1 5 4) cosθ = 24 5 5) cos(π + θ ) = − cosθ = − 24 5 6) cos(θ − 2π ) = cos(−(2π −θ )) = cos(2π −θ ) = cosθ = 24 5 9) จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ = 1− cos2 θ และจาก cos2 θ − sin2 θ =1 จะได cos2 θ ( )− 1− cos2 θ =1 22 นนั่ คอื cos2 θ = 3 4 จะได cos = 3 หรอื cosθ = − 3 22 เน่อื งจากกําหนดให π ≤θ ≤ π 2 ดงั นัน้ cosθ = − 3 2 10. 1) เปน เท็จ เชน เมอ่ื θ = 3π จะได sin 3π = −1 และ cos 3π = 0 22 2 จะเห็นวา sin 3π < cos 3π 22 2) เปน จริง 3) เปนจริง แบบฝก หดั 1.2 1. 1) จตภุ าคท่ี 1 2) จตภุ าคที่ 3 3) จตุภาคท่ี 2 4) จตุภาคที่ 2 5) จตุภาคที่ 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

190 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 2. คาของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิทุกฟงกชันของจํานวนท่ีกําหนดใหแสดงดังตารางตอไปนี้ θ sinθ cosθ tanθ cscθ secθ cotθ 1) 0 0 1 0 ไมน ิยาม 1 ไมน ยิ าม 2) π 1 0 ไมน ิยาม 1 ไมน ยิ าม 0 2 3) π 2 21 2 21 422 4) 3π 2 −2 −1 2 − 2 −1 4 22 5) 2π 3 −1 −3 23 −2 − 3 3 2 2 3 3 6) π 0 −1 0 ไมนิยาม −1 ไมนยิ าม 7) 7π −2 2 −1 − 2 2 −1 4 2 2 8) 4π − 3 − 1 3 − 2 3 −2 3 3 22 3 3 9) 7π −1 0 ไมนิยาม −1 ไมน ิยาม 0 2 10) 5π 1 − 3 − 3 2 −2 3 − 3 6 2 23 3 11) 2π 0 1 0 ไมน ิยาม 1 ไมน ิยาม 12) − 3π −2 −2 1 −2 −2 1 4 2 2 13) − 5π 2 −2 −1 2 − 2 −1 4 22 14) − π −3 1 − 3 −2 3 2 −3 3 22 33 15) −π 0 −1 0 ไมนยิ าม −1 ไมนิยาม 16) − 5π −1 0 ไมนิยาม −1 ไมน ิยาม 0 2 17) − 7π 1 −3 −3 2 −2 3 − 3 62 23 3 18) −2π 0 1 0 ไมน ิยาม 1 ไมน ยิ าม สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี