(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 191 3. เนอ่ื งจาก sin2 θ + cos2 θ =1 จะได cos2 θ = 1− sin2 θ = 1− 0.62 = 0.64 จากทก่ี าํ หนดให 0 ≤θ ≤ π จะไดว า cosθ = 0.8 2 ดงั น้นั tan=θ sin=θ 0=.6 0.75 cosθ 0.8 csc=θ 1= 1= 10 ≈ 1.67 sinθ 0.6 6 sec=θ 1= 1= 1=0 1.25 cosθ 0.8 8 cotθ= cosθ= 0.8= 8 ≈ 1.33 sinθ 0.6 6 4. เนอ่ื งจาก sin2 θ + cos2 θ =1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 −  4 2 = 9  5  25 จากทีก่ าํ หนดให 0 ≤θ ≤ π จะไดวา cosθ = 3 25 นน่ั คอื secθ= 1= 1= 5 และ cosecθ= 1= 1= 5 cosθ 3 3 sinθ 4 4 55 ดงั นัน้ secθ + cosecθ = 5 + 5 = 35 3 4 12 5. เน่อื งจาก sec2 θ = 1+ tan2 θ จะได sec2 θ =1+  1 2 =10 3  9 จากท่กี ําหนดให 0 ≤θ ≤ π จะไดว า secθ = 10 23 นนั่ คอื co=sθ =3 3 10 และ c=otθ =1 3 tanθ 10 10 ดงั นั้น 2cosθ +=cotθ  3101=0  + 3 3 10 +15 2  5 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

192 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 6. 1) cos2 π + sin2 π + sin2 π + cos2 11π 446 6 = cos2 π + sin 2 π + sin 2 π + cos2  2π − π  4 4 6  6  = cos2 π + sin2 π + sin2 π + cos2 π 446 6 =  cos2 π + sin 2 π  +  sin 2 π + cos2 π   4 4   6 6  = 1+1 =2 2) π π + cos π π + sin 5π − tan 5π sin cos sin 36 36 3 3 π π π π  π  sin  2π − π  3 6 3 6  3   − 3  = sin cos + cos sin + sin 2π − − π   3  cos  2π = sin π cos π + cos π sin π − sin π −  −sin π  3 6 3 6 3  3  cos π 3 3 =  3× 3  +  1 × 1  − 3+ 2  2 2   2 2  2 1 2 = 3+1− 3+ 3 44 2 = 2+ 3 2 3) sin 3π + tanπ cos π − cot 5π − sin 7π 2 26 6 3π sin π π cos  π −π  − sin π π  2 cosπ cos  6  6  = sin + −  + 2  −π  sin  π 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 193 3π sin π cos π  − cos π   π  2 cosπ 2  6   6  = sin + − − − sin π sin 6 3 = (−1) + 0 + 2 +1 1 2 2 = (−1) + 3 + 1 2 = 3−1 2 = 2 3 −1 2 4) cos π − sin 5π + tan 9π − cos 5π + tan 7π 23 4 6 6 cos π  −π  sin  2π + π  − cosπ π  sin π + π  2  3   4  6  6  = − sin 2π + − +  π   π  cos  2π + 4  cos  π + 6  π  π  π  π   − sin π  cos  3  sin  6   6  = − − sin + − − cos +  2 4  π  cos π  − cos 6 4 21 = 0+ 3 + 2 + 3 + 2 2 22 3 22 = 3 +1+ 3 + 3 2 23 = 4 3+3 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

194 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 5) sin 5π + tan 7π − cos 3π sin 4π 6 6 43  π  sin  π + π  cos  π π   π   6   + 6  4   3  = sin π − + π  − − sin π + cos  π 6  π  − sin π   π   π  6  6   4   3  = sin +  − − cos − cos  π   − cos 6 sin π cos = sin π + 6 − cos π sin π 6 π 43 6 1 = 1+ 2  2× 3 2 3 −  2 2  2 = 1+ 3− 6 23 4 = 6+4 3−3 6 12 7. 1) เปนเทจ็ เนอ่ื งจาก cos  π + π  = cos 5π = − cos π =− 3  2 3  6 6 2 และ cos π + cos π =0 + 1 =1 2 3 22 จะเหน็ วา cos  π + π  ≠ cos π + cos π  2 3  2 3 2) เปนจรงิ เนอื่ งจาก sin π cos π + cos π sin π =  3× 3  +  1 × 1  = 3 + 1 =1 3 6 3 6  2 2   2 2  4 4 3) เปน เท็จ เนื่องจาก sin π + sin π =1 + 3 =1+ 3 และ sin π =1 6 32 2 2 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 195 จะเห็นวา π + sin π ≠ sin π sin 632 4) เปนเท็จ เนื่องจาก π + 2cos π = 3 +  2× 1  = 3+2 cos 2  2  2 63 และ cos 5π =cos  π − π  =− cos π =− 3 6  6  6 2 จะเห็นวา π + 2cos π ≠ cos 5π cos 6 36 5) เปน เท็จ เนอ่ื งจาก π + sin π = 2+ 2= 2 และ sin π = 1 cos 2 4 42 2 จะเหน็ วา π + sin π ≠ π cos sin 442 8. ให n เปน จาํ นวนเต็มใดๆ จะได cosec(2nπ + θ ) 1 = sin (2nπ + θ ) =1 sinθ = cosecθ 9. ให n เปน จํานวนเตม็ ใดๆ = 1 จะได sec(2nπ +θ ) cos(2nπ + θ ) =1 cosθ = secθ 10. กรณที ่ี 1 เม่อื n เปนจาํ นวนคู เขยี น n = 2k เมอื่ k เปน จาํ นวนเต็ม ดงั นน้ั cot (nπ +θ ) = cot (2kπ +θ ) cos(2kπ + θ ) = sin (2kπ + θ ) = cosθ sinθ = cotθ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

196 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 กรณที ่ี 2 เมอื่ n เปน จาํ นวนค่ี เขยี น =n 2k +1 เมอ่ื k เปน จาํ นวนเตม็ ดังน้นั cot (nπ +θ ) = cot ((2k +1)π +θ ) cos((2k +1)π + θ ) = sin ((2k +1)π + θ ) cos(2kπ + π + θ ) = sin (2kπ + π + θ ) = cos(π + θ ) sin (π + θ ) = − cosθ − sin θ = cotθ ดงั น้ัน cot(nπ +θ ) = cotθ เมอ่ื n เปนจํานวนเต็มใดๆ แบบฝก หัด 1.3 1. 1) เนือ่ งจาก π เรเดียน เทากับ 180 องศา ดังนั้น 4π เรเดยี น เทา กับ 4π × 180 องศา π เน่อื งจาก 4π × 180 = 720 π ดังน้นั มมุ ทีม่ ีขนาด 4π เรเดียน มีขนาดเทา กบั 720 องศา 2) เนือ่ งจาก π เรเดยี น เทา กับ 180 องศา ดังนั้น − 7π เรเดยี น เทากบั  − 7π  × 180 องศา  4  π 4 เนื่องจาก  − 7π  × 180 =−315  4  π ดงั นั้น มุมท่ีมีขนาด − 7π เรเดยี น มีขนาดเทา กบั −315 องศา 4 3) เน่อื งจาก π เรเดียน เทา กบั 180 องศา ดังน้นั − 2π เรเดยี น เทากบั  − 2π  × 180 องศา  3  π 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 197 เนื่องจาก  − 2π  × 180 =−120  3  π ดังนนั้ มมุ ทม่ี ีขนาด − 2π เรเดยี น มีขนาดเทา กับ −120 องศา 3 4) เนอ่ื งจาก π เรเดียน เทากบั 180 องศา ดงั น้นั − 5π เรเดียน เทา กับ  − 5π  × 180 องศา  6  π 6 เนอ่ื งจาก  − 5π  × 180 =−150  6  π ดังนนั้ มุมท่มี ีขนาด − 5π เรเดียน มขี นาดเทา กบั −150 องศา 6 5) เนอ่ื งจาก π เรเดียน เทา กับ 180 องศา ดงั น้ัน 11π 11π × 180 เรเดยี น เทากบั 5π องศา 5 เนื่องจาก 11π × 180 = 396 5 π ดังน้นั มมุ ท่ีมีขนาด 11π เรเดียน มีขนาดเทา กบั 396 องศา 5 6) เน่อื งจาก π เรเดียน เทา กบั 180 องศา ดงั นั้น 3 เรเดยี น เทา กับ 3 × 180 องศา π เน่อื งจาก 3× 180 = 540 ≈ 171.89 π π ดังนนั้ มมุ ทมี่ ีขนาด 3 เรเดียน มีขนาดเทากบั 540 องศา หรอื ประมาณ 171.89 องศา π 2. 1) เนอ่ื งจาก 180 องศา เทากับ π เรเดยี น ดงั นั้น 300 องศา เทากบั 300× π เรเดยี น 180 เนื่องจาก 300× π = 5π 180 3 ดังนั้น มมุ ท่ีมีขนาด 300 องศา มขี นาดเทา กบั 5π เรเดยี น 3 2) เนอื่ งจาก 180 องศา เทา กับ π เรเดียน ดงั น้ัน −112 องศา เทากับ (−112)× π เรเดียน 180 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

198 คูม อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 เนื่องจาก (−112)× π = − 28π 180 45 ดงั นั้น มมุ ทมี่ ีขนาด −112 องศา มีขนาดเทากับ − 28π เรเดยี น 45 3) เนอ่ื งจาก 180 องศา เทา กับ π เรเดียน ดงั นน้ั −315 องศา เทากบั (−315)× π เรเดยี น 180 เน่อื งจาก (−315)× π = − 7π 180 4 ดังน้ัน มมุ ที่มีขนาด −315 องศา มีขนาดเทา กับ − 7π เรเดยี น 4 4) เนอ่ื งจาก 180 องศา เทากับ π เรเดยี น ดงั นน้ั 880 องศา เทากบั 880× π เรเดยี น 180 เนอ่ื งจาก 880× π = 44π 180 9 ดังนัน้ มมุ ที่มีขนาด 880 องศา มีขนาดเทา กบั 44π เรเดียน 9 5) เนื่องจาก 180 องศา เทา กับ π เรเดยี น ดังนั้น −500 องศา เทา กบั (−500)× π เรเดียน 180 เนื่องจาก (−500)× π = − 25π 180 9 ดงั นัน้ มุมที่มีขนาด −500 องศา มีขนาดเทา กับ − 25π เรเดยี น 9 6) เน่อื งจาก 180 องศา เทา กับ π เรเดียน ดงั นนั้ 740 องศา เทากบั 740× π เรเดียน 180 เนอื่ งจาก 740× π = 37π 180 9 ดังนน้ั มมุ ที่มีขนาด 740 องศา มีขนาดเทากับ 37π เรเดียน 9 3. เน่อื งจาก มุมท่ีมีขนาด 2π เรเดยี น มีขนาดเทากบั 120° 3 จะไดขนาดของมุมท่ีเหลือมขี นาด 180° − (36° +120°)= 24° สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 199 เน่ืองจากมุมท่ีมขี นาด 24° มีขนาดเทา กับ 2π เรเดียน secθ cotθ 15 −2 3 −3 3 −3 ดังน้นั ขนาดของมุมท่ีเหลือมขี นาดเทากบั 2π เรเดยี น −2 3 15 −1 4. 2 1 θ sinθ cosθ tanθ cscθ 2 −2 3 3 1) 150° 1 −3 −3 2 2 2 3 3 2) 120° 3 −1 − 3 2 3 22 3 3) 315° − 2 2 −1 − 2 22 4) −315° 2 21 2 22 5) 930° − 1 − 3 3 −2 2 23 5. 1) จตุภาคที่ 1 หรอื 2 2) จตุภาคที่ 2 หรือ 3 3) จตุภาคที่ 2 หรอื 4 4) จตุภาคที่ 1 หรือ 3 5) จตุภาคท่ี 1 หรอื 2 6. 1) 3tan2 135° − sec2 300° = 3tan2 (180° − 45°) − sec2 (360° − 60°) 2sin 330° 2sin (360° − 30°) = 3tan2 45° − sec2 60° −2sin 30° 3tan2 π − sec2 π 43 = −2sin π 6 = 3(1)2 − (2)2 −2  1  2  =1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

200 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 2) tan (−480°) − sin (−840°) = − tan 480° + sin 840° cos ( −390°) cos 390° = − tan (360° +120°) + sin (720° +120°) cos(360° + 30°) = − tan120° + sin120° cos 30° − tan 2π + sin 2π 33 = π cos 6 −(− 3)+ 3 =2 3 2 =3 7. a b ให a และ b เปนความยาวของดา นตรงขามมุม Aและ B ตามลําดบั เนื่องจาก sin 20° = a 10 จะได a = 10sin 20° ≈ 3.42 เนือ่ งจาก cos 20° = b 10 จะได b = 10cos 20° ≈ 9.40 ดังนั้น ความยาวของดาน AC ยาวประมาณ 9.40 หนว ย และ ความยาวของดาน BC ยาวประมาณ 3.42 หนว ย 8. จาก cos A = 4 สามารถกําหนดรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เปน มมุ ฉาก 7 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 201 โดยใหด า นประชิดมมุ A ยาว 4 หนวยและดานตรงขา มมุม C ยาว 7 หนว ย จะไดดานตรงขา มมุม A ยาว 72 − 42 =33 หนวย ดงั รปู ดงั =น้ัน sin A =33 , tan A 3=3 ,cosecA 7 =33 ,sec A 7 และ cot A = 4 33 74 33 4 33 9. จากส่งิ ที่โจทยกําหนดให สามารถสรางรูปไดดังน้ี จากรปู จะไดว า=sin A 6 61=,cos A 5 61=, tan A 6=,sin B 5 61=,cos B 6 61 61 61 5 61 61 และ tan B = 5 6 พิจารณาในรปู สามเหลย่ี ม BCD เน่ืองจากมุม BDC เปนมุมฉาก จะไดวา sin B = CD และ cos B = DB 12 12 จะได CD = 12sin B =12 × 5 61 =60 61 61 61 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 และ DB = 12cos B =12 × 6 61 =72 61 61 61 ด=งั นนั้ sin A 6=61 , cos A 5=61 , tan A 6 61 61 5 =sin B 5=61 , cos B 6=61 , tan B 5 61 61 6 ความยาวของดา น CD เทากับ 60 61 หนว ย 61 ความยาวของดา น DB เทา กับ 72 61 หนว ย 61 10. วธิ ที ่ี 1 เนื่องจาก sin2 θ + cos2 θ =1 จะได cos2 θ =1− sin2 θ =1− 1 =8 99 น่นั คอื cosθ = − 2 2 เพราะวา secθ < 0 3 1 ดังนนั้ tanθ = sinθ = 3 2 = − 2 cosθ −2 4 3 วิธที ี่ 2 จาก sinθ = 1 สามารถกําหนดรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากทม่ี ีมมุ หนึ่งมีขนาดเปน θ 3 โดยใหด านตรงขามมุมท่ีมีขนาดเปน θ ยาว 1 หนว ย และดานตรงขามมุมฉาก ยาว 3 หนว ย จะไดดา นประชิดมมุ ทมี่ ีขนาดเปน θ ยาว 32 −12 = 8 = 2 2 หนว ย ดงั รูป เนอ่ื งจาก sinθ > 0 และ secθ < 0 จะไดวามมุ อยูในจตภุ าคที่ 2 น่ันคอื tanθ = − 1 = − 2 22 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 203 11. วธิ ที ่ี 1 จาก 1+ cot2 θ =cosec2θ เพราะวา sinθ < 0 วิธีที่ 2 จะได cosec2θ =1+ 52 =26 น่ันคือ cosecθ = − 26 จะได sinθ = − 26 26 จาก sin2 θ + cos2 θ =1 จะได cos2 θ =1− sin2 θ =1− 1 =25 26 26 ดังนน้ั cosθ = − 5 26 เพราะวา cotθ > 0 และ sinθ < 0 26 จาก cotθ = 5 สามารถกําหนดรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากทม่ี ีมมุ หนงึ่ มีขนาดเปน θ โดยใหด า นประชิดมมุ ทม่ี ีขนาดเปน θ ยาว 5 หนวย และดานตรงขา มมุมทมี่ ี ขนาดเปน θ ยาว 1 หนวย จะไดดา นตรงขา มมมุ ฉากยาว 12 + 52 =26 หนว ย ดงั รูป เนื่องจาก cotθ > 0 และ sinθ < 0 จะไดว า มุมอยใู นจตภุ าคที่ 3 นนั่ คอื cosθ =− 5 =− 5 26 26 26 12. สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

204 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 จากรูป จะได sin 60° = 50 AB นนั่ คอื AB = 50 = 50 = 100 3 sin 60° 33 2 ดงั น้นั นักวายนํา้ คนนวี้ ายน้าํ ขามฝงเปนระยะทาง 100 3 เมตร 3 13. จากรูปจะได sin 70° = BP 5 น่นั คอื BP = 5sin 70° ≈ 5(0.9397) =4.6985 เซนติเมตร จากรูปจะได sin50° = BP BC นัน่ คือ BC = BP ≈ 4.6985 ≈ 6.1338 เซนติเมตร sin 50° 0.7660 จากรูปจะได cos70° = AP 5 นั่นคือ AP = 5cos70° ≈ 5(0.3420) =1.71 เซนติเมตร จากรูปจะได cos50° = PC BC นนั่ คอื PC = (BC)cos50° ≈ (6.1338)(0.6428) ≈ 3.9428เซนตเิ มตร จะได AC = AP + PC = 1.71+ 3.9428 = 5.6528 เซนติเมตร สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 205 14. จากรูป จะได tan 40° = AC 60 น่ันคือ AC = 60 tan 40° ≈ 60(0.8391) =50.3460 ดงั นัน้ ความสูงของตึกทสี่ ูงกวา เทากบั 40 + 50.4360 =90.3460 ฟตุ 15. จากรูป จะได cos60° = 60 นัน่ คอื A=B 60 = 6=0 120 cos 60° 1 AB 2 และจากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได A=B2 AD2 + DB2 นัน่ คือ DB2 = AB2 − AD2 = 1202 − 602 = 10800 จะได DB = 60 3 และ B=E 120 − 60 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

206 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได B=C2 BE2 + CE2 ( )น่นั คอื BC2 = BE2 + CE2 = 120 − 60 3 2 + 302 ≈ 1158.47 จะได BC ≈ 34.04 ดังนนั้ ระยะทางท่สี ้นั ทส่ี ุดท่กี อยจะเดนิ จากโรงเรียนไปซ้ือของท่ีรา นคาแลว กลบั บา น คอื ระยะ AB + BC หรอื ประมาณ 154.04 เมตร แบบฝกหดั 1.4 1. 1) จาก y = 1 sinθ 2 จะได คาบ คือ 2π แอมพลิจูด คอื 1 2 และเรนจ คอื − 1 , 1  2 2  เขียนกราฟของ y = 1 sinθ ไดด ังนี้ 2 2) จาก y = 3sinθ จะได คาบ คอื 2π แอมพลิจูด คือ 3 และเรนจ คือ [−3, 3] เขยี นกราฟของ y = 3sinθ ไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 207 3) จาก y = 3sin 1 θ 2 จะได คาบ คอื 4π แอมพลจิ ดู คอื 3 และเรนจ คอื [−3, 3] เขียนกราฟของ y = 3sin 1θ ไดด ังนี้ 2 4) จาก y = 4cos3θ จะได คาบ คอื 2π 3 แอมพลจิ ดู คือ 4 และเรนจ คือ [−4, 4] เขยี นกราฟของ y = 4cos3θ ไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

208 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 5) จาก y = − 1 sin 4θ 2 จะได คาบ คอื π 2 แอมพลิจดู คือ 1 2 และเรนจ คอื − 1 , 1  2 2  เขียนกราฟของ y = − 1 sin 4θ ไดดังน้ี 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 209 6) จาก y = −2cos 1θ 2 จะได คาบ คอื 4π แอมพลิจดู คือ 2 และเรนจ คอื [−2, 2] เขยี นกราฟของ y = −2cos 1θ ไดดงั นี้ 2 2. 1) (จ) 2) (ฉ) 3) (ก) 4) (ฌ) 5) (ซ) 6) (ข) 7) (ค) 8) (ช) 9) (ง) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

210 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 แบบฝก หัด 1.5 1. 1) จาก cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β จะได cos(60° + 45°) = cos60°cos 45° − sin 60°sin 45° = 1⋅ 2 − 3⋅ 2 22 2 2 = 2− 6 4 2) จาก cos(α − β ) = cosα cos β + sinα sin β จะได cos  3π − π  = cos 3π cos π + sin 3π sin π  2 3  23 23 = 0 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 3 22 = −3 2 3) จาก cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β จะได cos 225° = cos(180° + 45°) = cos180°cos 45° − sin180°sin 45° = (−1)⋅ 2 − 0⋅ 2 22 =− 2 2 4) จาก sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β จะได sin135° = sin (90° + 45°) = sin 90°cos 45° + cos90°sin 45° = 1⋅ 2 + 0⋅ 2 22 =2 2 5) จาก tan (a + β ) = tana + tan β 1− tana tan β จะได tan 75° = tan (30° + 45°) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 211 tan 75° = tan 30° + tan 45° 1 − tan 30° tan 45° 3 +1 =3 1− 3 ⋅1 3 = 3+3 3− 3 = 2+ 3 6) จาก tan (a + β ) = tana + tan β 1− tana tan β จะได tan105° = tan (60° + 45°) = tan 60° + tan 45° 1 − tan 60° tan 45° = 3 +1 1− 3 ⋅1 = 3 +1 1− 3 = −2 − 3 7) จาก cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β จะได cos 7π = cos  π + π  12  3 4  = cos π cos π − sin π sin π 3 4 34 = 1⋅ 2 − 3⋅ 2 22 2 2 = 2− 6 4 8) จาก sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β จะได cosec 7π = 1 12 sin  π + π   3 4  สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

212 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 cosec 7π = 1 12 π π + π π sin cos cos sin 34 34 =1 3⋅ 2 +1⋅ 2 2 2 22 =4 6+ 2 = 6− 2 9) เนอ่ื งจาก sin17π = sin π + 5π  = −sin 5π 12  12 12 จาก sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β จะได −sin 5π = − sin  π + π  12  4 6  = − sin π cos π + cos π sin π  4 6 4 6  =  2⋅ 3+ 2 ⋅ 1 − 2 2 2  2   = − 6− 2 4 ดงั นน้ั sin 17π = − 6 − 2 12 4 10) จาก tan (a + β ) = tana + tan β 1− tana tan β จะได tan 19π = tan  π + 7π   12  12 = tan 7π 12 = tan  π + π   3 4  tan π + tan π 34 = 1− tan π tan π 34 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 213 tan 19π ( )= 3 +1 12 1− 3 (1) = 3 +1 1− 3 = −2 − 3 11) จาก sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β จะได sin  − π  = sin  π − π   12   4 3  = π π − cos π π sin cos sin 43 43 = 2⋅1− 2⋅ 3 22 2 2 12) จาก tan (a + β ) = 2− 6 4 = tana + tan β 1− tana tan β จะได cot  − 5π  = 1  12  tan  − 5π   12  = − 1 tan 5π 12 = −  1 π   π 6  tan 4 + 1− tan π tan π 46 = − π + tan π tan 46 1 − (1)  1   3  = − 1+ 1 3 = − 3 −1 3 +1 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

214 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 = −2 + 3 2. 1) จาก cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β จะได sin  − 5π  sin π + cos π cos  − 5π   2  2 2  2  = cos π cos  − 5π  + sin π sin  − 5π  2  2  2  2  = cos π cos 5π − sin π sin 5π 22 22 = cos  π + 5π   2 2  = cos3π = −1 2) sin π sin  − π  + cos  − π  cos π = 3 ⋅  − 2  + 2 ⋅1 3  4  4  3 2  2  22 = 2− 6 4 3) จาก sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β จะได sin 20°cos10° + cos 20°sin10° = sin (20° +10°) = sin 30° =1 2 4) จาก cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β จะได cos70°cos 20° − sin 70°sin 20° = cos(70° + 20°) = cos90° =0 5) จาก tan (a + β ) = tana + tan β 1− tana tan β จะได tan 20° + tan 25° = tan (20° + 25°) 1 − tan 20° tan 25° = tan 45° =1 6) จาก sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β จะได sin π cos 7π − cos π sin 7π = sin  π − 7π  12 12 12 12  12 12  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 215 sin π cos 7π − cos π sin 7π = sin  − π  12 12 12 12  2  = −1 7) จาก sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β จะได sin π cos 5π − sin 5π cos π = π cos 5π − cos π sin 5π sin 12 12 12 12 12 12 12 12 = sin  π − 5π   12 12  = sin  − π   3  = −3 2 8) จาก tan (a − β ) = tana − tan β 1+ tana tan β จะได tan 75° − tan 45° = tan (75° − 45°) 1 + tan 75° tan 45° = tan 30° =3 3 9) จาก cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β จะได cos15°cos30° − sin15°sin 30° = cos(15° + 30°) = cos 45° 10) จาก sin (α − β ) =2 2 = sinα cos β − cosα sin β จะได sin 20°cos80° − cos 20°sin 80° = sin (20° − 80°) = sin (−60°) =− 3 2 3. 1) เน่อื งจาก sin2 α + cos2 α =1 จะได cos2 α =1 − sin2 α =1−  3 2 =16 5  25 ดังนน้ั cosα = 4 เพราะ 0 < α < π 5 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

216 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 และเน่ืองจาก sin2 β + cos2 β =1 จะได sin 2 β =1 − cos2 β =1−  25 2 =1  5 ดังน้นั sin β =− 1 =− 5 เพราะ − π < β < 0 55 2 จะได sina=3 ,acos =4 , sin β =− 5 , cos β =2 5 , tana =3 และ tan β = − 1 2 55 5 5 4 ดงั น้นั sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = 3 ⋅ 2 5 + 4 ⋅  − 5 5 5 5  5  = 25 25 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β = 4 ⋅ 25 − 3 ⋅  − 5 5 5 5  5  = 11 5 25 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β = 3 ⋅ 2 5 − 4 ⋅  − 5 5 5 5  5  และ tan (a − β ) = 10 5 25 = 25 5 = tana − tan β 1+ tana tan β 3 −  − 1  4  2  = 3  1  1 + 4 ⋅  − 2  =2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 217 2) เนือ่ งจาก 1+ tan2 a=saec2 จะได sec2 a= 1 +atan2 = 1+  − 4 2 = 25  3  9 ดังน้นั secα = − 5 เพราะ π < α < π 3 2 ดังน้นั cosα = − 3 และไดวา sinα = 4 55 เนื่องจาก sin2 β + cos2 β =1 จะได sin 2 β =1 − cos2 β =1−  1 2 =3 2  4 ดงั นัน้ sin β = 3 เพราะ 0 < β < π 2 2 จะได sina=4 ,acos =− 3 , sin β =3 , cos β =1 , tana =− 4 และ 5 52 2 3 tan β = 3 ดงั นัน้ sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = 4 ⋅ 1 +  − 3  ⋅ 3 5 2  5  2 = 4−3 3 10 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β =  − 3  ⋅ 1 − 4 ⋅ 3  5  2 5 2 = −3 − 4 3 10 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β = 4 ⋅ 1 −  − 3  ⋅ 3 5 2  5  2 และ tan (a − β ) = 4+3 3 10 = tana − tan β 1+ tana tan β สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

218 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 −4− 3 =3 tan (a − β )  4   3  1 + − ⋅ 3 = −4 − 3 3 3−4 3 3) จาก cosecα = −2 จะได sinα = − 1 2 เนอ่ื งจาก sin2 α + cos2 α =1 จะได cos2 α = 1− sin 2 α = 1−  − 1 2 = 3  2  4 ดังน้ัน cosα = 3 เพราะ − π < α < 0 2 2 เนอ่ื งจาก 1+ tan2 β =sec2 β จะได sec2 β =1 + tan2 β =1+  185 2 =289  64 ดังนัน้ sec β = −17 เพราะ π < β < 3π 8 2 ดงั นนั้ cos β = − 8 และไดวา sin β = −15 17 17 จะได sina=− 1a,cos =3 ,sin β =−15 ,cos β =− 8 , tana =− 3 และ 22 17 17 3 tan β = 15 8 ดงั นั้น sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β =  − 1  ⋅  − 8  + 3 ⋅  − 15   2   17  2  17  = 8 −15 3 34 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β = 3 ⋅  − 8  −  − 1  ⋅  − 15  2  17   2   17  = −15 − 8 3 34 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 219 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β =  − 1  ⋅  − 8  − 3 ⋅  − 15   2   17  2  17  และ tan (a − β ) = 8 +15 3 34 = tana − tan β 1+ tana tan β − 3 − 15 = 38   1+  − 3  ⋅ 15 3  8  = −45 − 8 3 24 −15 3 4. จาก =cos 2x 2cos2 x −1 จะได cos 2x = 2  3 2 − 1  7  = 2⋅ 9 −1 49 = − 31 49 5. จาก =cos 2α 2cos2 α −1 จะได cos64° = cos 2(32°) นัน่ คอื = 2cos2 32° −1 0.44 = 2cos2 32° −1 2cos2 32° = 1.44 เพราะวา 0° < 32° < 90° cos2 32° = 0.72 cos32° = 0.72 ดังนั้น cos32° = 0.72 = 0.6 2 = 3 2 5 6. เนือ่ งจาก sin2 x + cos2 x =1 จะได sin 2 x = 1− cos2 x = 1 −  − 3 2 = 16  5  25 ดังนน้ั sin x = 4 เพราะ π < x < π 5 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

220 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 และเนอ่ื งจาก 1+ tan2 y =sec2 y จะได sec2 y =1 + tan2 y =1+  152 2 =169  144 ดังน้นั sec y = −13 เพราะ π < y < 3π 12 2 นนั่ คอื cos y = −12 และไดวา sin y = − 5 13 13 1) sin x = 4 5 2) sec y = − 13 12 3) cos( x + y) = cos x cos y − sin xsin y =  − 3  ⋅  − 12  − 4 ⋅  −5   5   13  5  13  = 56 65 4) cosec( x + y) = 1 sin ( x + y) =1 sin x cos y + cos x sin y =1 5 4  − 12   3   13  5 ⋅  13  +  − 5  ⋅  −  = − 65 33 7. 1) sin  π +θ  = sin π cosθ + cos π sinθ  2  22 = (1) ⋅ cosθ + (0) ⋅ sinθ = cosθ 2) cos  π +θ  = cos π cosθ − sin π sinθ  2  22 = (0) ⋅ cosθ − (1) ⋅ sinθ = −sinθ 3) cos  3π −θ  = cos 3π cosθ + sin 3π sinθ  2  22 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 221 = (0) ⋅ cosθ + (−1) ⋅ sinθ = −sinθ 4) tan (π −θ ) = tanπ − tanθ 1+ tanπ tanθ = 0 − tanθ 1 + 0 ⋅ tanθ = − tanθ 5) sin (90° − A) = sin 90°cos A − cos90°sin A = (1) ⋅ cos A − (0) ⋅ sin A = cos A 6) cot (90° − B) = cos(90° − B) sin (90° − B) = cos90°cos B + sin 90°sin B sin 90°cos B − cos90°sin B (0) ⋅ cos B + (1) ⋅ sin B = (1) ⋅ cos B + (0) ⋅ sin B = sin B cos B = tan B 7) cosec(90° − B) = 1 sin (90° − B) =1 sin 90°cos B − cos90°sin B = 1 (1) ⋅ cos B − (0) ⋅ sin B =1 cos B = sec B 8) cos(270° − A) = cos 270°cos A + sin 270°sin A = (0) ⋅ cos A + (−1) ⋅ sin A = −sin A 9) tan (a − β ) sin (α − β ) = cos(α − β ) = sinα cos β − cosα sin β cosα cos β + sinα sin β สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 sinα cos β − cosα sin β cosα cos β cosα cos β เม่อื cosα cos β ≠ 0 = cosα cos β + sinα sin β cosα cos β cosα cos β = tana − tan β เมื่อ tana tan β ≠ −1 1+ tana tan β cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β cosα cos β 10) cosα cos β = 1− tana tan β เมื่อ cosα cos β ≠ 0 11) sin (α + β ) + sin (α − β ) = sinα cos β + cosα sin β + sinα cos β − cosα sin β = 2sinα cos β 12) ให x + y =α และ x − y =β จะได x = α + β และ y = α − β 22 เนอื่ งจาก sin ( x + y) − sin ( x − y) = sin x cos y + cos x sin y − sin x cos y + cos xsin y = 2cos xsin y ดงั นัน้ sinα − sin β =2cos α + β sin α − β 22 13) ให x + y =α และ x − y =β จะได x = α + β และ y = α − β 22 เน่ืองจาก cos( x + y) + cos( x − y) = cos x cos y − sin x sin y + cos x cos y + sin xsin y = 2cos x cos y ดงั นั้น cosα + cos β =2cos α + β cos α − β 22 14) ให x + y =α และ x − y =β จะได x = α + β และ y = α − β 22 เนอ่ื งจาก cos( x + y) − cos( x − y) = cos x cos y − sin x sin y − cos x cos y − sin xsin y = −2sin x sin y สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 223 ดงั น้ัน cosα − cos β =−2sin α + β sin α − β 22 15) cos( x − 30°) − cos( x + 30°) = cos x cos30° + sin xsin 30° − cos x cos30° + sin xsin 30° = 1 sin x + 1 sin x 22 = sin x 16) sin ( x − 30°) + sin ( x + 30°) = sin x cos30° − cos xsin 30° + sin x cos30° + cos xsin 30° = 3 sin x + 3 sin x 22 = 3 sin x 17) cos 2α = cos2 α − sin2 α cosα − sinα cosα − sinα (cosα − sinα )(cosα + sinα ) = cosα − sinα = cosα + sinα เมื่อ cosα ≠ sinα 18) cos3α = cos(2α + α ) = cos 2α cosα − sin 2α sinα ( )= 2cos2 α −1 cosα − 2sinα cosα sinα = 2cos3 α − cosα − 2sin2 α cosα ( )= 2cos3 α − cosα − 2 1− cos2 α cosα = 2cos3 α − cosα − 2cosα + 2cos3 α = 4cos3 α − 3cosα 19) วธิ ีที่ 1 ( )cos3α − cosα = 4cos3 α − 3cosα − cosα sinα sinα = 4cos3 α − 4cosα sin α ( )−4cosα 1− cos2 α = sin α = −4cosα sin2 α sin α = −4sinα cosα สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

224 คูม อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 = −2(2sinα cosα ) = −2sin 2α เมอ่ื sinα ≠ 0 วธิ ที ่ี 2 −2sin 3α + α sin 3α − α = 22 cos3α − cosα sinα sinα = −2sin 2α sinα sin α = −2sin 2α เมื่อ sinα ≠ 0 20) จาก cos 2α = 2cos2 α −1 จะได cos 2  α  = 2cos2 α −1 2  2 น่ันคือ cosα = 2cos2 α −1 2 2cos2 α = 1 + cosα 2 cos2 α = 1 + cosα 22 21) จาก cos 2α = 1− 2sin2 α จะได cos 2  α  = 1 − 2sin2 α  2  2 นน่ั คอื cosα = 1− 2sin2 α 2 2sin2 α = 1 − cosα 2 sin2 α = 1 − cosα 22 22) tan2 a sin2 α 2 2 = cos2 α 2 1 − cosα = 2 1 + cosα 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 225 = 1 − cosα เม่อื cosα ≠ −1 1 + cosα แบบฝก หัด 1.6 1. 1) ให arcsin 0 = θ จะได sinθ = 0 เนื่องจากในชวง − π , π  มี 0 เพียงคา เดยี วท่ี sin 0 = 0 2 2  ดงั นั้น arcsin 0 = 0 2) ให arccos1 = θ จะได cosθ =1 เน่ืองจากในชวง [0,π ] มี 0 เพียงคาเดียวที่ cos0 =1 ดงั นั้น arccos1 = 0 3) ให arcsin (−1) =θ จะได sinθ = −1 เนอ่ื งจากในชวง − π , π  มี −π เพียงคาเดยี วท่ี sin  − π  =−1 2 2  2  2  ดงั นนั้ arcsin (−1) =− π 2 4) ให arccos(−1) =θ จะได cosθ = −1 เน่อื งจากในชวง [0,π ] มี π เพยี งคาเดียวที่ cosπ = −1 ดังนั้น arccos(−1) =π 5) ให arctan 0 = θ จะได tanθ = 0 เน่อื งจากในชวง  − π , π  มี 0 เพยี งคาเดยี วท่ี tan 0 =0  2 2  ดงั น้นั arctan 0 = 0 6) ให arctan (−1) =θ จะได tanθ = −1 เนื่องจากในชวง  − π , π  มี −π เพียงคา เดียวที่ tan  − π  =−1  2 2  4  4  ดงั นน้ั arctan (−1) =− π 4 7) ให arcsin 1 = θ จะได sinθ = 1 22 เนอ่ื งจากในชวง − π , π  มี π เพยี งคา เดยี วท่ี π =1 2 2  6 sin 2 6 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

226 คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ดงั นนั้ arcsin 1 = π 26 8) ให arctan 3 = θ จะได tanθ = 3 33 เนอ่ื งจากในชว ง  − π , π  มี π เพยี งคา เดยี วท่ี tan π = 3  2 2  6 6 3 ดงั น้ัน arctan 3 = π 36 9) ให arctan 3 = θ จะได tanθ = 3 เนอ่ื งจากในชว ง  − π , π  มี π เพยี งคา เดยี วที่ π = 3  2 2  3 tan 3 ดงั น้นั arctan 3 = π 3 10) ให  3  =θ จะได sinθ = − 3 arcsin  − 2  2 เนอ่ื งจากในชว ง − π , π  มี −π เพยี งคา เดยี วที่ sin  − π  =− 3 2 2  3  3  2 ดังน้นั  3  =− π arcsin  − 2  3 11) ให  3  =θ จะได cosθ = − 3 arccos − 2  2 เน่ืองจากในชวง [0,π ] มี 5π เพียงคา เดียวที่ cos 5π = − 3 6 62 ดังนั้น  3  =5π arccos − 2  6 12) ให  2  =θ จะได sinθ = − 2 arcsin  − 2  2 เนอื่ งจากในชว ง − π , π  มี −π เพียงคา เดยี วท่ี sin  − π  =− 2 2 2  4  4  2 ดังน้ัน  2  =− π arcsin  − 2  4 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 227 2. 1) ให  3  =θ จะได sinθ = − 3 arcsin  − 2  2 เนอ่ื งจากในชว ง − π , π  มี −π เพยี งคา เดยี วที่ sin  − π  =− 3 2 2  3  3  2 ดังน้ัน  3  =− π arcsin  − 2  3 และ  3   = cos  − π  = 1 cos arcsin  − 2    3  2 2) ให arcsin  − 1  =θ จะได sinθ = −1  2  2 เนอ่ื งจากในชว ง − π , π  มี −π เพยี งคา เดยี วที่ sin  − π  =− 1 2 2  6  6  2 ดังนนั้ arcsin  − 1  =− π  2  6 และ sin  arcsin  − 1   =sin  − π  =− 1   2    6  2   3) ให arcsin 1 = θ 3 จะได sinθ = 1 โดยที่ − π ≤ θ ≤ π 3 22 เน่ืองจาก sinθ > 0 ดงั น้ัน 0 < θ ≤ π 2 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 −  1 2 = 8  3  9 ดังนั้น cosθ = 8 เพราะ 0 < θ ≤ π 32 ดงั นัน้ tan  arcsin 1  = tanθ  3  = sinθ cosθ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

228 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 1 =3 8 3 =2 4 4) ให arctan 1 = θ 2 จะได tanθ = 1 โดยท่ี − π < θ < π 2 22 เนื่องจาก tanθ > 0 ดงั น้นั 0 < θ < π 2 จาก 1+ tan2 θ =sec2 θ จะได sec2 θ =1 + tan2 θ =1+  1 2 =5 2  4 ดงั น้นั secθ = 5 เพราะ 0 < θ < π 22 นน่ั คือ cosθ = 2 และไดวา sinθ = 1 55 ดงั น้นั tan  arctan 1  = tanθ  2  = sinθ cosθ 1 = 5 2 5 =1 2 5) ให arcsin 2 = θ 3 จะได sinθ = 2 โดยที่ − π ≤ θ ≤ π 3 22 เนอ่ื งจาก sinθ > 0 ดังน้ัน 0 < θ ≤ π 2 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 229 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ =  2 2 = 7 1 −  3  9 ดังนั้น cosθ = 7 เพราะ 0 < θ ≤ π 32 นนั่ คอื  =32  c=osθ 7 cos arcsin 3 6) ให arctan 2 = θ จะได tanθ = 2 โดยที่ − π < θ < π 22 เน่อื งจาก tanθ > 0 ดังน้นั 0 < θ < π 2 จาก 1+ tan2 θ =sec2 θ จะได sec2 θ =1+ tan2 θ =1+ 22 =5 ดังนั้น secθ = 5 เพราะ 0 < θ < π 2 น่นั คือ cos(arctan=2) cos=θ 1= =1 5 secθ 5 5 7) ให arcsin 2 5 = θ 5 จะได sinθ = 2 5 โดยที่ − π ≤ θ ≤ π 5 22 เน่ืองจาก sinθ > 0 ดงั นน้ั 0 < θ ≤ π 2 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 −  2 5 2 = 1   5 5 ดงั นน้ั cosθ = 1 เพราะ 0 < θ ≤ π 52 นัน่ คอื sec  arcsin 2 5=5  s=ecθ =1 5  cosθ 8) ให arctan (−3) =θ จะได tanθ = −3 โดยท่ี − π < θ < π 22 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

230 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 เน่ืองจาก tanθ < 0 ดังนนั้ − π < θ < 0 2 จาก 1+ tan2 θ =sec2 θ จะได sec2 θ = 1+ tan2 θ = 1+ (−3)2 = 10 ดังน้ัน secθ = 10 เพราะ − π < θ < 0 2 น่ันคอื cosθ = 1 10 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 −  1 2 9  10  = 10 ดังนั้น sinθ = − 3 เพราะ − π < θ < 0 10 2 นั่นคือ sin (arctan (−3)) =sinθ =− 3 =− 3 10 10 10 9) เน่ืองจาก arcsin  cos π  = arcsin 3  6  2 ให arcsin 3 = θ 2 จะได sinθ = 3 โดยท่ี − π ≤ θ ≤ π 2 22 เนื่องจาก sinθ > 0 ดังนัน้ 0 < θ ≤ π 2 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ =  3 2 = 1 1−  2  4 ดงั นน้ั cosθ = 1 เพราะ 0 < θ ≤ π 22 นนั่ คอื tan  arcsin  cos π6=  tan=θ sin=θ 3 3   cosθ =2  1 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 231 10) ให arccos 3 = α 5 จะได cosα = 3 โดยท่ี 0 ≤ α ≤ π 5 เนือ่ งจาก cosα > 0 ดังนน้ั 0 ≤ α < π 2 จาก cos2 α + sin2 α =1 จะได sin2 α = 1 − cos2 α = 1 −  3 2 = 16  5  25 ดงั นน้ั sinα = 4 เพราะ 0 ≤ α < π 52 ให arcsin  − 3  =β  5  จะได sin β = − 3 โดยที่ − π ≤ β ≤ π 5 22 เนอ่ื งจาก sin β < 0 ดังนนั้ − π < β < 0 2 จาก cos2 β + sin2 β =1 จะได cos2 β = 1 − sin2 β = 1 −  − 3 2 = 16  5  25 ดังน้ัน cos β = 4 เพราะ − π < β < 0 52 น่ันคือ sinα = 4 ,cosα = 3 ,sin β = − 3 และ cos β = 4 55 5 5 จะได sin  arccos 3 + arcsin  − 3   = sin (α + β )  5  5   = sinα cos β + cosα sin β = 4 ⋅ 4 + 3 ⋅  − 3  5 5 5  5  =7 25 11) เน่ืองจาก arcsin  sin 3π  = arcsin 2  4  2 ให arcsin 2 = θ จะได sinθ = 2 22 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 เนื่องจากในชวง − π , π  มี π เพยี งคาเดียวท่ี sin π = 2 2 2  4 4 2 ดงั นั้น arcsin  sin 3π  = π  4  4 12) เนอ่ื งจาก arcsin  cos  − π   = arcsin 1   3   2   ให arcsin 1 = θ จะได sinθ = 1 22 เนอ่ื งจากในชว ง − π , π  มี π เพียงคา เดียวที่ π =1 2 2  6 sin 2 6 ดงั น้ัน arcsin  cos  − π   = π   3   6   13) เนือ่ งจาก arccos  sin 7π  = arccos  − 1   6   2  ให arccos  − 1  =θ จะได cosθ = − 1  2  2 เนอ่ื งจากในชวง [0,π ] มี 2π เพียงคาเดียวที่ cos 2π = − 1 3 32 ดังน้นั arccos  sin 7π  = 2π  6  3 เน่ืองจาก  5π  ( )14)  3  − arctan tan = arctan 3 ให (arctan − 3) =θ จะได tanθ = − 3 เนอ่ื งจากในชวง  − π , π  มี −π เพียงคาเดียวท่ี tan  − π  =− 3  2 2  3  3  ดังน้ัน arctan  tan 5π  = −π  3  3 3. 1) ให arcsin 1 = θ จะได sinθ = 1 22 เนื่องจากในชว ง − π , π  มี π เพยี งคา เดียวที่ sin π =1 2 2  6 6 2 ดงั นัน้ arcsin 1 = π 26 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 233 ให arcsin 3 = α จะได sinα = 3 22 เนอ่ื งจากในชว ง − π , π  มี π เพยี งคา เดยี วท่ี sin π = 3 2 2  3 3 2 ดงั นัน้ arcsin 3 = π 23 จะไดวา arcsin 1 + arcsin 3 = π + π = π 2 2 632 และให arcsin (−1) =β จะได sin β = −1 เนื่องจากในชว ง − π , π  มี −π เพยี งคาเดียวที่ sin  − π  =−1 2 2  2  2  ดังนัน้ arcsin (−1) = − π 2 จะไดวา −arcsin (−1) = −  − π  = π  2  2 ดังน้นั arcsin 1 + arcsin 3 =−arcsin (−1) 22 2) ให arcsin x = θ จะได sinθ = x โดยที่ − π ≤ θ ≤ π 22 จาก cos 2θ = 1− 2sin2 θ ดงั นนั้ cos(2arcsin x) = cos 2θ = 1 − 2sin2 θ = 1− 2x2 เม่อื x∈[−1,1] 3) ให arctan x = θ จะได tanθ = x โดยที่ − π < θ < π เพราะ − π < θ < π 22 22 เน่ืองจาก 1+ tan2 θ =sec2 θ จะได secθ= 1+ tan2 θ ดงั นนั้ sec(arctan x) = secθ = 1 + tan2 θ = 1+ x2 เม่อื x ∈  สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

234 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 4) ให arctan x = θ จะได tanθ = x โดยท่ี − π < θ < π 22 น่นั คือ − tanθ =−x =csoins((−−θθ ) จาก tan ( −θ ) ) =− sin θ =− tanθ cosθ จะได tan (−θ ) =−x น่นั คือ arctan (−x) =−θ ดงั นน้ั arctan x + arctan (−x) = θ + (−θ ) = 0 เม่ือ x ∈ 5) ให arcsin x = θ จะได sinθ = x โดยที่ − π ≤ θ ≤ π 22 จาก cos  π −θ = sinθ= x  2 จะได arccos x= π −θ 2 ดงั น้ัน arccos x= π − arcsin x 2 น่ันคอื arcsin x + arccos x =π 2 4. จากรูปสามเหลี่ยม BCD จะได น่ันคอื tanα = 4 4 tanα = 1 arctan1 = α สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 235 จะได α = π 4 และเม่ือเปลี่ยนเปน ฟงกชันตรีโกณมติ ิของมุมท่ีมหี นวยเปน องศา จะได α= 45° จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได BD2 = CD2 + BC 2 = 42 + 42 = 32 นนั่ คือ BD = 4 2 จากรปู สามเหล่ยี ม ABD จะได tanθ = AB BD tanθ = 3 42 tanθ ≈ 0.53 นนั่ คอื θ = arctan 0.53 จะได θ ≈ 0.4874 และเมื่อเปล่ยี นเปน ฟงกช นั ตรีโกณมติ ิของมุมท่ีมีหนว ยเปน องศา จะได θ ≈ 27.92° ดงั นน้ั มุม CDB มขี นาด 45° และมมุ BDA มีขนาดประมาณ 27.92° แบบฝกหัด 1.7.1 1. 1) cosecθ ⋅ cosθ = 1 ⋅ cosθ sinθ = cotθ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

236 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 2) cos x + sin x = cos x + sin x sec x cosec x 11 cos x sin x = cos2 x + sin2 x =1 3) cosθ (tanθ + cotθ ) = cosθ tanθ + cosθ cotθ = cosθ ⋅ sinθ + cosθ ⋅ cosθ cosθ sinθ = sinθ + cos2 θ sinθ = sin2 θ + cos2 θ sinθ =1 sinθ = cosecθ 4) (secθ −1)(secθ +1) = sec2 θ −1 = tan2 θ ( )5) sin2 θ 1 + cot2 θ = sin2 θ + sin2 θ cot2 θ = sin2 θ + sin2 θ ⋅ cos2 θ sin2 θ = sin2 θ + cos2 θ =1 ( )6) (sinθ + cosθ )2 + (sinθ − cosθ )2 = sin2 θ + 2sinθ cosθ + cos2 θ ( )+ sin2 θ − 2sinθ cosθ + cos2 θ ( )= 2 sin2 θ + cos2 θ = 2(1) =2 7) sin2 α cot2 α + tan2 α cos2 α = sin2 α ⋅ cos2 α + sin2 α ⋅ cos2 α sin 2 α cos2 α = cos2 α + sin2 α =1 ( )8) 2sin2 α −1 = 2 1− cos2 α −1 = 2 − 2cos2 α −1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 237 = 1 − 2cos2 α ( )9) 3sin2 θ + 4cos2 θ = 3 1− cos2 θ + 4cos2 θ = 3 − 3cos2 θ + 4cos2 θ = 3 + cos2 θ 1 10) secθ + sinθ = cosθ + sinθ cosecθ cosθ 1 cosθ 11) sec4 θ − sec2 θ sinθ = sinθ + sinθ cosθ cosθ = tanθ + tanθ = 2 tanθ ( )= sec2 θ 2 − sec2 θ ( ) ( )= 2 1 + tan2 θ 1 + tan2 θ − ( ) ( )= 1+ 2 tan2 θ + tan4 θ − 1+ tan2 θ = tan4 θ + tan2 θ 12) 1 − cos2 θ = 1−  cos2 θ ⋅ 1− sinθ  1+ sinθ  1− sinθ   1 + sinθ  cos2 θ (1− sinθ ) = 1 − 1 − sin2 θ = 1− cos2 θ (1− sinθ ) cos2 θ = 1− (1− sinθ ) = sinθ 1+ tanθ 1 + tanθ 1− tanθ tanθ tanθ 13) = 1 − tanθ tanθ tanθ = cotθ +1 cotθ −1 1+ sinθ 1 + sinθ 1− sinθ sinθ sinθ 14) = 1 − sinθ sinθ sinθ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

238 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 = cosecθ +1 cosecθ −1 15) cos ec x − sin x = 1 − sin x sin x = 1 − sin2 x sin x = cos2 x sin x = cos x ⋅ cos x sin x = cos x cot x 16) tan2 θ − sin2 θ = sin2 θ − sin2 θ cos2 θ = 1 −1sin2 θ  cos2 θ =  1 − cos2 θ  sin 2 θ  cos2 θ    = sin2 θ ⋅ sin2 θ cos2 θ = tan2 θ sin2 θ sinθ 17) sinθ = sinθ sinθ − cosθ sinθ − cosθ sinθ sinθ 18) secθ − tanθ =1 1− cotθ = 1 − sinθ cosθ cosθ = 1− sinθ ⋅ 1+ sinθ cosθ 1 + sinθ = 1 − sin2 θ cosθ (1+ sinθ ) = cos2 θ cosθ (1+ sinθ ) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 239 = cosθ 1+ sinθ ( ) ( )2. 1) cos 45 −θ − sin 45 + θ = cos 45 cosθ + sin 45 sinθ −sin 45 cosθ − cos 45 sinθ = 2 cosθ + 2 sinθ 22 − 2 cosθ − 2 sinθ 22 =0 ( )2) tan 45 − α = tan 45 − tanα 1 + tan 45 tanα = 1 − tana 1 + tana 3) cos(α + β )cos(α − β ) = (cosα cos β − sinα sin β )(cosα cos β + sinα sin β ) = cos2 α cos2 β − sin2 α sin2 β ( ) ( )= cos2 α 1− sin2 β − 1− cos2 α sin2 β = cos2 α − cos2 α sin2 β − sin2 β + cos2 α sin2 β = cos2 α − sin2 β 2sinθ cosθ = 1+ 2cos2 θ −1 ( )4) sin 2θ 1+ cos 2θ 2sinθ cosθ = 2cos2 θ = sinθ cosθ = tanθ 5)  sin θ − cos θ 2 = sin 2 θ − 2sin θ θ + cos2 θ  2 2  cos 2 22 2 =  sin 2 θ + cos2 θ  − sin  2 ⋅ θ   2 2   2  = 1− sinθ 6) tan 3θ = tan (2θ + θ ) = tan 2θ + tanθ 1 − tan 2θ tanθ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

240 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 2 tanθ + tanθ 1 − tan2 θ = 2 tanθ 1− 1− tan2 θ ⋅ tanθ ( )2 tanθ + tanθ 1− tan2 θ 1 − tan2 θ 1 − tan2 θ − 2 tanθ tanθ ( )= 1 − tan2 θ 2 tanθ + tanθ − tan3 θ = 1 − 3tan2 θ = 3tanθ − tan3 θ 1 − 3tan2 θ 7) cos2 A + cos2 (60° + A) + cos2 (60° − A) = cos2 A + (cos 60°cos A − sin 60°sin A)2 + (cos 60°cos A + sin 60°sin A)2 = cos2 A +  1 cos A − 3 sin 2 +  1 cos A + 3 2  2 2 A   2 2 sin A = cos2 A +  1 cos2 A − 3 cos Asin A + 3 sin 2   4 2 4 A  +  1 cos2 A + 3 cos Asin A + 3 sin 2 A   4 2 4  = cos2 A + 1 cos2 A + 3 sin2 A 22 = 3 cos2 A + 3 sin2 A 22 ( )= 3 cos2 A + sin2 A 2 =3 2 2 sin  8θ + 2θ  cos  8θ − 2θ   2   2  8) sin 8θ + sin 2θ = cos8θ + cos 2θ  8θ + 2θ   8θ − 2θ  2 cos  2  cos  2  สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี