(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 341 11. 1) A−B = 1 2 − 3 2 3 0 0 −1 1− 3 2 − 2 = 3 − 0 0 − (−1) = −2 0  1  3 ( A − B)2 = −2 0 −2 0  3 1  3 1 (−2)(−2) + 0(3) (−2)(0) + 0(1) = 3(0) +1(1)  3(−2) +1(3)  4 + 0 0 + 0 = (−6) + 3 0 +1 =  4 0 −3 1 A2 = 1 2 1 2 3 0 3 0 1(1) + 2(3) 1(2) + 2(0) = 3(1) + 0(3) 3(2) + 0(0) = 1+ 6 2 + 0 3 + 0 6 + 0 = 7 2 3 6 AB = 1 2 3 2 3 0 0 −1 1(3) + 2(0) 1(2) + 2(−1) = 3(3) + 0(0) 3(2) + 0(−1) = 3 + 0 2 − 2 9 + 0 6 + 0 = 3 0 9 6 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

342 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 B2 = 3 2 3 2 0 −1 0 −1 =  3(3) + 2(0) 3(2) + 2(−1)  0(2) + (−1)(−1) 0 (3) + ( −1) ( 0) 9 + 0 6 − 2 = 0 + 0 0 +1 9 4 = 0 1 A2 − 2 AB + B2 = 7 2 − 2 3 0 + 9 4  3 6 9 6 0 1 = 7 2 − 6 0 + 9 4  3 6 18 12 0 1  10 6 = −15 −5 ดงั นน้ั ( A − B)2 ≠ A2 − 2AB + B2 2) A+ B = 1 2 + 3 2 3 0 0 −1 1+ 3 2 + 2 = 3 + 0 0 + (−1) = 4 4 3 −1 (A+ B)(A− B) = 4 4 −2 0 3 −1  3 1  4(−2) + 4(3) 4(0) + 4(1) = 3(−2) + (−1)(3) 3(0) + (−1)(1)  −8 +12 0 + 4 = (−6) − 3 0 −1  4 4 = −9 −1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 343 A2 − B2 = 7 2 − 9 4  3 6 0 1 = 7 − 9 2 − 4 3 − 0 6 −1 = −2 −2  5  3 ดังนน้ั ( A + B)( A − B) ≠ A2 − B2 12. เน่ืองจาก A ≠ 0 จะได 0 a b 0 a b A2 = 0 0 c 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0(0) + a(0) + b(0) 0(a) + a(0) + b(0) 0(b) + a(c) + b(0)  0(b) + 0(c) + c(0) =  0(0) + 0 ( 0) + c (0) 0(a) + 0(0) + c(0) 0(0) + 0(0) + 0(0) 0(a) + 0(0) + 0(0) 0(b) + 0(c) + 0(0) 0 0 ac = 0 0 0 0 0 0 เนอ่ื งจาก ac ≠ 0 จึงไดว า A2 ≠ 0 A3 = AA2 0 a b 0 0 ac = 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(0) + a(0) + b(0) 0(0) + a(0) + b(0) 0(ac) + a(0) + b(0)  0(ac) + 0(0) + c(0) =  0(0) + 0 ( 0) + c (0) 0(0) + 0(0) + c(0) 0(0) + 0(0) + 0(0) 0(0) + 0(0) + 0(0) 0(ac) + 0(0) + 0(0) 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 น่นั คือ A3 = 0 ดงั น้นั จํานวนเต็มบวก n ท่นี อยทส่ี ดุ ท่ีทาํ ให An = 0 คือ 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

344 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 13. จาก A2 =  1 1  1 1 x y x y =  1(1) +1( x) 1(1) +1( y)  x(1) + y ( y)  x (1) + y ( x) =  1+ x 1+ y    x + yx x + y2  เนอ่ื งจาก A2 = 0 จะได  1+ x 1+ y = 0 0 x + yx  x + y2  0 0 นน่ั คอื 1+ x= 0, 1+ y= 0, x + yx= 0 และ x + y2 =0 ดงั น้นั x = −1 และ y = −1 14. ให และA = aij m×n B = bij n× p จะได เมือ่AB = cij m×p cij = ai1b1 j + ai2b2 j +  + ainbnj นั่นคอื =k ( AB) k=cij m ×p kcij m ×p จาก kA = kaij m×n จะได (kA) B = dij m×p เมอื่ dij = (kai1 )b1 j + (kai2 )b2 j + + (kain )bnj ( ) ( ) ( )= k ai1b1 j + k ai2b2 j + + k ainbnj ( )= k ai1b1 j + ai2b2 j +  + ainbnj = kcij ดงั น้นั k ( AB) = (kA) B และจาก kB = kbij n×p จะได A(kB) = eij m×p เมอ่ื ( ) ( ) ( )eij = ai1 kb1 j + ai2 kb2 j +  + ain kbnj ( ) ( ) ( )= k ai1b1 j + k ai2b2 j + + k ainbnj ( )= k ai1b1 j + ai2b2 j +  + ainbnj = kcij น่นั คือ k ( AB) = A(kB) สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 345 ดังนั้น k=( AB) (=kA) B A(kB) 15. 1) เปนเทจ็ เชน ให A= 1 1 จะได −1 −1 A2 =  1 1  1 1 −1 −1 −1 −1  1(1) +1(−1) 1(1) +1(−1) = (−1)(1) + (−1)(−1) (−1)(1) + (−1)(−1)  1 −1 1 −1 = −1 +1 −1 +1 = 0 0 0 0 แต A≠ 0 0 0 0 2) เปนเทจ็ เชน ให A= 0 1 จะได  0  1 A2 = 0 1 0 1  0  0  1  1 0(0) +1(1) 0(1) +1(0) = 1(0) + 0(1) 1(1) + 0(0)  0 +1 0 + 0 = 0 + 0 1+ 0 = 1 0 0 1 แต A≠ 1 0 และ A ≠ −1 0 0 1  0 −1 3) เปน เท็จ เชน ให A = 1 0 จะได 0 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

346 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 A2 = 1 0 1 0 0 0 0 0 = 1(1) + 0(0) 1(0) + 0(0)  0(0) + 0(0) 0 (1) + 0 ( 0) 1+ 0 0 + 0 = 0 + 0 0 + 0 1 0 = 0 0 แต A ≠ 0 0 และ A ≠ 1 0 0 0 0 1 4) เปนเทจ็ เชน ให A = 1 −2 จะได 1 −1 A2 = 1 −2 1 −2 1 −1 1 −1 1(1) + (−2)(1) 1(−2) + (−2)(−1) = 1(1) + (−1)(1) 1(−2) + (−1)(−1) = 1 − 2 −2 + 2  −2 +1  1 − 1 = −1 0  0 −1 น่นั คือ A2 = −I2 16. ให Aเปนเมทรกิ ซแสดงขอมลู จากตารางแสดงยอดขายขาวแตละชนดิ ของโรงสรี วมใจชาวนา นัน่ คือ A = 20 45 8 55 10 14  23, 000 ให B = 25,000 เปน เมทริกซแสดงราคาขายขาวแตละชนดิ ในราคาปกติ 17, 000  23, 000 =2505 1405 148 1275,,000000 1, 721, 000 =ดงั นน้ั AB 1, 753, 000 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 347 นน่ั คือ รายรบั ของโรงสรี วมใจชาวนาที่ขายขาวทุกชนิดในราคาปกติของสาขาจงั หวัด บรุ ีรัมยแ ละจังหวัดเชยี งใหม เปน 1,721,000 บาท และ 1,753,000 บาท ตามลาํ ดับ 22, 000  23, 500 ให C =  เปนเมทรกิ ซแสดงราคาขายขา วแตล ะชนิดในราคาสมาชกิ  15, 000 22, 000 1, 617, 500 =2505 1405 148 1253,,500000 1, 655, 000 =ดงั น้นั AC น่นั คือ รายรบั ของโรงสรี วมใจชาวนาที่ขายขาวทุกชนิดในราคาสมาชกิ ของสาขาจังหวัด บุรรี ัมยแ ละจังหวัดเชียงใหม เปน 1,617,500 บาท และ 1,655,000 บาท ตามลาํ ดบั 17. ให A เปนเมทรกิ ซแสดงขอมลู จากตารางแสดงยอดขายรถยนตม ือสองและรถยนตใ หมของ วริ ชั และดวงใจในเดือนตลุ าคม 2561 นั่นคอื A = 5 15 1.35 0 และให B เปน เมทริกซแ สดงขอมลู จากตารางแสดงยอดขายรถยนตมอื สองและรถยนตใหม ของวริ ัชและดวงใจในเดือนพฤศจิกายน 2561 นั่นคอื B =  7.5 16 2.09 8.5 1) A + B เปนเมทรกิ ซแสดงยอดขายรถยนตมือสองและรถยนตใหมของแตล ะคนรวมทั้ง สองเดอื น จะได A+ B = 5 15 +  7.5 16 1.35 0 2.09 8.5 = 12.5 31 3.44 8.5 ดงั น้ัน ยอดขายรถยนตมือสองและรถยนตใหมของวริ ชั รวมท้ังสองเดือนเปน 12.5 ลานบาท และ 31 ลานบาท ตามลําดับ และ ยอดขายรถยนตมอื สองและรถยนตใหมของดวงใจ รวมทั้งสองเดือนเปน 3.44 ลานบาท และ 8.5 ลานบาท ตามลาํ ดับ 2) B − A เปน เมทรกิ ซแสดงยอดขายรถยนตมอื สองและรถยนตใหมของวิรชั และดวงใจ ในเดือนพฤศจิกายน 2561 ทเี่ พม่ิ ข้ึนจากเดือนตลุ าคม 2561 จะได B−A =  7.5 16 − 5 15 2.09 8.5 1.35 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

348 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 B−A =  2.5 1 0.74 8.5 ดังนัน้ ยอดขายรถยนตม ือสองและรถยนตใหมของวิรัชในเดือนพฤศจิกายน 2561 เพม่ิ ขึน้ จากเดือนตลุ าคม 2561 2.5 ลานบาท และ 1 ลา นบาท ตามลาํ ดบั และยอดขาย รถยนตมอื สองและรถยนตใหมของดวงใจในเดือนพฤศจิกายน 2561 เพม่ิ ข้นึ จากเดือน ตลุ าคม 2561 เปนจํานวน 0.74 ลานบาท และ 8.5 ตามลําดับ 3) 3 B เปน เมทรกิ ซแสดงคา นายหนาสําหรบั รถยนตม อื สองและรถยนตใ หมข อง 100 ทัง้ สองคน ในเดือนพฤศจกิ ายน 2561 จะได 3B = 3  7.5 16 100 100 2.09 8.5  0.225 0.48 = 0.0627 0.255 ดงั นนั้ คา นายหนาสําหรบั รถยนตมอื สองและรถยนตใหมของวิรัชเปน 0.225 ลา นบาท และ 0.48 ลานบาท ตามลําดับ และ คา นายหนาสาํ หรบั รถยนตมือสองและรถยนตใ หม ของดวงใจเปน 0.0627 ลานบาท และ 0.255 ลานบาท ตามลําดับ แบบฝกหัด 2.2 1. 1) 2 −1 = 2(3) − (−1)(6) 63 = 12 2) −2 1 = (−2)(2) − (1)(−3) −3 2 = −1 3) วธิ ีท่ี 1 2 −1 0 4 2 1 = 2(2)(1) + (−1)(1)(4) + 0(4)(2) − 4(2)(0) − 2(1)(2) −1(4)(−1) 4 21 =0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 349 วธิ ีที่ 2 (จากทฤษฎีบท 4 ขอ 5) 2 −1 0 4 21 = 0 4 21 4) วธิ ีท่ี 1 −2 2 3 1 −1 0 = (−2)(−1)(4) + 2(0)(0) + 3(1)(1) − 0(−1)(3) −1(0)(−2) − 4(1)(2) 0 14 =3 (เนื่องจากเมทริกซใหมเกิดจากการคูณ สมาชิกแตล ะตัวในแถวท่ี 2 ดว ย 2 แลว วธิ ีท่ี 2 นาํ ไปบวกกับสมาชิกแตละตวั ในแถวท่ี 1) −2 2 3 0 03 1 −1 0 = 1 −1 0 0 14 0 14 = ( )−1 1+3 (3) 1 −1 (จากบทนยิ าม 12 โดยการกระจายตาม แถวที่ 1) 01 = 3(1(1) − (−1)(0)) =3 5) วธิ ีที่ 1 −2 1 4 1 4 −2 = (−2)(4)(−6) +1(−2)(3) + 4(1)(6) − 3(4)(4) − 6(−2)(−2) − (−6)(1)(1) 3 6 −6 =0 (เน่ืองจากเมทรกิ ซใหมเกิดจากคูณ สมาชกิ แตล ะตวั ในหลักที่ 1 ดวย 2 แลว วิธที ่ี 2 นําไปบวกกับสมาชกิ แตละตวั ในหลกั ที่ 3) −2 1 4 −2 1 0 1 4 −2 = 1 4 0 3 6 −6 360 = 0 (จากบทนยิ าม 12 โดยการกระจายตาม หลักท่ี 1) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

350 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 6) วธิ ีที่ 1 23 1 0 5 −2 = 2(5)(−2) + 3(−2)(0) +1(0)(0) − 0(5)(1) − 0(−2)(2) − (−2)(0)(3) 0 0 −2 = −20 วธิ ีที่ 2 23 1 (จากบทนิยาม 12 โดยการกระจายตาม แถวที่ 1) 0 5 −2 = ( )−1 1+1 (2) 5 −2 0 −2 0 0 −2 = 2((5)(−2) − (−2)(0)) = −20 7) วิธที ่ี 1 −2 2 5 1 −1 −2 = (−2)(−1)2 + 2(−2)3 + 5(1)(−5) − 3(−1)(5) − (−5)(−2)(−2) − 2(1)(2) 3 −5 2 = −2 วิธีท่ี 2 (เนอ่ื งจากเมทรกิ ซใหมเ กิดจากการคูณ สมาชกิ แตละตัวในแถวท่ี 2 ดว ย 2 −2 2 5 00 1 แลว นําไปบวกกับสมาชิกแตละตัวในแถวท่ี 1) 1 −1 −2 = 1 −1 −2 3 −5 2 3 −5 2 = ( )−1 1+3 1 −1 (จากบทนิยาม 12 โดยการกระจายตาม แถวท่ี 1) 3 −5 = 1(1(−5) − (−1)(3)) = −2 8) วธิ ที ่ี 1 = 1(2)(3) + 2(3)(7) + 3(7)(6) − 7(2)(3) − 6(3)(1) − 3(7)(2) 123 = 72 723 763 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 351 วิธีท่ี 2 (เน่อื งจากเมทริกซใหมเกิดจากการคูณ สมาชิกแตละตัวในแถวท่ี 1 ดวย −1 123 12 3 แลว นาํ ไปบวกกบั สมาชิกแตล ะตัวในแถวท่ี 2) 723 = 600 763 763 = ( )−1 2+1 (6) 2 3 (จากบทนิยาม 12 โดยการกระจายตาม แถวท่ี 2) 63 = 72 9) วิธีที่ 1 070 1 3 5 = 0(3)(0) + 7(5)(−6) + 0(1)(2) − (−6)(3)(0) − 2(5)(0) − 0(1)(7) −6 2 0 = −210 วิธที ่ี 2 (จากบทนิยาม 12 โดยการกระจายตาม แถวท่ี 1) 070 1 3 5 = ( )−1 1+2 (7) 1 5 −6 0 −6 2 0 = −7(1(0) − 5(−6)) = −210 a2 ab ac ab c 10) ab b2 bc = a ab b2 bc (จากทฤษฎบี ท 4 ขอ 3) ac bc c2 ac bc c2 ab c (จากทฤษฎบี ท 4 ขอ 3) = ab a b c ac bc c2 = ab(0) =0 2. จาก det ( A) = 7 −2 = 7(−1) − (−2)(4) = 1 4 −1 จะไดวา de=t ( At ) d=et ( A) 1 และ det ( A5=) (det ( A))5= 15= 1 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

352 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 และจาก 12 5 det ( B) = −3 0 −2 21 3 = ( )−1 2+1 (−3) 2 5 + ( )−1 2+3 (−2) 1 2 13 2 1 = 3(2(3) − 5(1)) + 2(1(1) − 2(2)) = −3 จะไดวา det (Bt ) = det (B) = −3 และ (det B6 ) =(det ( B))6 =(−3)6 =729 แบบฝก หัด 2.3 1. 1) เนอ่ื งจากดเี ทอรมิแนนตข องเมทริกซน เ้ี ทากับ 3(2) − (−1)(−5) =1 ซ่งึ ไมเทา กบั 0 ดังนั้น เมทริกซน ี้มีเมทริกซผ กผัน คอื 1 2 1 = 2 1 1 5 3 5 3 2) เนอ่ื งจากดเี ทอรม แิ นนตของเมทรกิ ซน ้เี ทากับ 1(4) − 2(2) =0 ดังนั้น เมทรกิ ซน จี้ ึงไมมีเมทริกซผ กผนั 3) เนอื่ งจากดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซนี้เทา กบั 0(0) − (1)(1) =−1 ซง่ึ ไมเทากับ 0 ดงั น้ัน เมทรกิ ซน ้ีมเี มทริกซผ กผัน คอื 10 −1 = 0 1 −1 −1 0 1 0 4) เน่อื งจากดเี ทอรมแิ นนตของเมทริกซนี้เทา กับ (cosθ )(cosθ ) − (−sinθ )(sin=θ ) cos2 θ + sin=2 θ 1 ซึ่งไมเ ทากับ 0 ดังนน้ั เมทรกิ ซน้ีมีเมทรกิ ซผ กผัน คอื 1  cosθ sinθ  =  cosθ sinθ  1 −sinθ cosθ   − sin θ cosθ  2. ให AB = 0 และ B ≠ 0 สมมตวิ า A มีเมทริกซผ กผนั จะได =A−1AB A=−1 ( AB) A−1 0 เน่อื งจาก A−1A=B ( )A−1A =B I=B B และ A−10 = 0 จะได B = 0 ซ่ึงขัดแยง กบั สมมติฐานวา B ≠ 0 ดังน้นั A ไมม ีเมทริกซผ กผัน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 353 แบบฝกหัด 2.4 1. =1) ให A =52 177 , X x และ B =  1  y  −2  เขยี นระบบสมการในรปู สมการเมทรกิ ซ AX = B ไดดงั นี้ 5 17  x =  1 2    −2 7   y  หาเมทริกซผ กผันของ A จะได A−1 = 1  7 −17 5(7) −17(2) −2 5 =  7 −17 −2 5 เนื่องจาก X = A−1B ดังนน้ั  x  7 −17  1  y  = −2 5 −2  =  7(1) −17(−2)  + 5(−2)  − 2(1)  41 = −12 นั่นคอื x = 41 และ y = −12 ดังนั้น (41, −12) เปน คําตอบของระบบสมการ =2) ให A =131 −−14 , X x และ B = 2  y  3  เขียนระบบสมการในรปู สมการเมทริกซ AX = B ไดดังนี้ 11 − 4  x = 2  1  y  3  3 −  หาเมทริกซผกผนั ของ A จะได A−1 = 1 −1 4  11(−1) − (− 4)(3) −3 11 = −1 4  −3 11 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

354 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เนอ่ื งจาก X = A−1B ดงั นัน้  x −1 4  2  y = −3 11 3 =  −1(2) + 4(3)    −3(2) + 11(3)  10  = 27 นน่ั คือ x = 10 และ y = 27 ดงั นนั้ (10, 27) เปนคําตอบของระบบสมการ 2. 1) เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการน้ี คอื 5 −7 12 1 4 −2 ใชการดําเนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแตงเติมไดดังน้ี 5 −7 12  1 4 −2 R1 ↔ R2 1 4 −2 5 −7 12  1 4 −2 0 −27 22 −5R1 + R2 1 4 − 2    0 1 − 22  − 1 R2  27  27 1 0 34  − 4R2 + R1  27    0 22  1 − 27  เมอื่ แปลงเมทรกิ ซน ใ้ี หอยูในรูประบบสมการจะได x = 34 27 y = − 22 27 ดังนนั้  34 , − 22  เปนคาํ ตอบของระบบสมการเพยี งคาํ ตอบเดียว  27 27  สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 355 2) เมทรกิ ซแตง เติมของระบบสมการน้ี คือ  1 −3 −5 − 2 6  10  ใชการดําเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแ ตงเตมิ ไดดงั น้ี  1 −3 −5  1 −3 −5 − 2  0  6 10  0 0  2 R1 + R2 เม่ือแปลงเมทริกซนีใ้ หอยูใ นรูประบบสมการจะได ------- (1) x −3y = −5 0=0 ------- ( 2) เนือ่ งจากสมการ (2) เปนจรงิ เสมอ จงึ หาเฉพาะคา ของ x และ y ท่สี อดคลอง กับสมการ (1) กเ็ พยี งพอ จากสมการ (1) จะได =x 3y − 5 จะเห็นวา x ข้นึ อยูกบั y นนั่ คอื สามารถเลือก y ใหเปนจาํ นวนจรงิ ใดก็ได ในทน่ี ใ้ี ห y = t เมือ่ t เปน จํานวนจริงใด ๆ ดังนั้น คาํ ตอบของระบบสมการคือ (3t − 5, t) เม่อื t เปน จาํ นวนจริงใด ๆ 1 3 1 2 3) เมทรกิ ซแตงเตมิ ของระบบสมการน้ี คอื 1 −1 −3 −6 2 −3 0 7  ใชก ารดาํ เนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแตงเติมไดด ังนี้ 1 3 1 2 1 3 1 2 1 −1 −3 − 6  0 − 4 − 4 −8 −R1 + R2 2 −3 0 7  0 −9 −2 3 −2R1 + R3 1 3 1 2 1 0  4  0 1 1 2  − R2 −9 −2 3  1 0 − 2 − 4 −3R2 + R1  0 1 1 2 0 0 7 21 9R2 + R3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

356 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 1 0 − 2 − 4  0 1 2 0 0 1 3 1 R3 1 7 1 0 0 2  2R3 + R1  0 1 0 −1 −R3 + R2 0 0 1 3 เม่ือแปลงเมทรกิ ซน ใ้ี หอยใู นรูประบบสมการจะได x=2 y = −1 z =3 ดังนั้น (2, −1, 3) เปนคาํ ตอบของระบบสมการเพยี งคําตอบเดียว 4 5 −5 6 4) เมทรกิ ซแตง เติมของระบบสมการนี้ คอื 1 2 −1 1 1 −1 − 2 3 ใชการดาํ เนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแตง เติมไดด งั นี้ 4 5 −5 6 1 2 −1 1 R1 ↔ R2 1 2 −1 1  4 5 −5 6 1 −1 − 2 3 1 −1 − 2 3 1 2 −1 1  0 −3 −1 2 − 4R1 + R2 0 −3 −1 2 −R1 + R3 1 2 −1 1  0 −3 −1 2 0 0 0 0 −R2 + R3 1 2 −1 1    0 1 1 − 2  − 1 R2 3 3  3  0 0 0 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 357 1 0 −5 7  −2R2 + R1  3 3    0 1 1 2  3 − 3   0 0 0 0 เมือ่ แปลงเมทรกิ ซน ใ้ี หอยใู นรูประบบสมการจะได x−5z = 7 ------- (1) 33 ------- ( 2) ------- (3) y+1z = −2 33 0=0 เนอื่ งจากสมการ (3) เปน จริงเสมอ จงึ หาเฉพาะคา ของ x, y และ z ท่ีสอดคลอง กับสมการ (1) และ (2) กเ็ พียงพอ จากสมการ (1) และ (2) จะได x = 5z + 7 และ y = −z − 2 33 จะเห็นวา x และ y ข้นึ อยูกับ z นัน่ คอื สามารถเลือก z ใหเ ปน จาํ นวนจรงิ ใดกไ็ ด ในท่นี ี้ให z = t เมอื่ t เปนจํานวนจริงใด ๆ ดังนน้ั คําตอบของระบบสมการคือ  5t + 7 , −t − 2 , t  เมอ่ื t เปนจาํ นวนจริงใด ๆ  3 3  2 1 7 6 5) เมทรกิ ซแตง เติมของระบบสมการน้ี คือ 1 −2 −2 −2 3 −1 5 −16 ใชการดําเนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแ ตงเตมิ ไดด งั นี้ 2 1 7 6 1 − 2 − 2 − 2  R1 ↔ R2 1 − 2 − 2 − 2  2 1 7 6 3 −1 5 −16 3 −1 5 −16 1 − 2 − 2 − 2  0  5 11 10  −2R1 + R2 0 5 11 −10 −3R1 + R3 1 − 2 − 2 − 2  0  5 11 10  0 0 0 −20 −R2 + R3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

358 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เม่ือแปลงเมทรกิ ซนี้ใหอยใู นรูประบบสมการจะได ------- (1) x − 2y − 2z = −2 5y +11z = 10 ------- ( 2) 0 = − 20 ------- (3) จะเหน็ วา สมการ (3) เปนไปไมได แสดงวาระบบสมการต้ังตน นําไปสูระบบสมการซึ่ง ไมสอดคลองกนั ดงั นน้ั ระบบสมการน้ีไมมีคําตอบ 3 2 − 2 −6 เมทริกซแตง เติมของระบบสมการน้ี คอื 5 0  6) −3 − 3  1 4 −3 −11 ใชก ารดาํ เนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแ ตงเตมิ ไดดังน้ี 3 2 − 2 −6 1 4 −3 −11 R1 ↔ R3 5 0 −3  5 0 −3  − 3   − 3  1 4 −3 −11 3 2 − 2 − 6  1 4 −3 −11 0 −20 12   52  −5R1 + R2 0 −10 7 27  −3R1 + R3 1 4 −3 −11   0 −3 13  1   1 5 − 5  − 20 R2 0 −10 7 27 1 0 −3 − 3  − 4R2 + R1  5 5   0 −3 13   1 5 − 5  0 0 1 1   10R2 + R3 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 359 1 0 0 0 3 R3 + R1  1  5  0 0  0 − 2 3 R3 + R2 0 5   1 1  เม่ือแปลงเมทริกซน ี้ใหอยใู นรูประบบสมการจะได x=0 y = −2 z =1 ดงั นั้น (0, − 2, 1) เปน คําตอบของระบบสมการเพยี งคาํ ตอบเดียว 1 0 −3 −1 7) เมทริกซแตงเติมของระบบสมการนี้ คือ 3 1 −2 3 2 2 1 3 ใชการดาํ เนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแตง เตมิ ไดด ังน้ี 1 0 −3 −1 1 0 −3 −1 3 1 − 2 3  0 1 7 6 −3R1 + R2 2 2 1 3 0 2 7 5 −2R1 + R3 1 0 −3 −1  0 1 7 6 0 0 − 7 − 7 −2R2 + R3 1 0 −3 −1  0 1 6 0 0 7 1 − 1 R3 1 7 1 0 0 2 3R3 + R1  0 1 0 −1 −7R3 + R2 0 0 1 1 เม่ือแปลงเมทรกิ ซน้ีใหอยูในรูประบบสมการจะได x=2 y = −1 z =1 ดังน้ัน (2, −1, 1) เปน คําตอบของระบบสมการเพียงคําตอบเดยี ว สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

360 คูม ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 2 1 1 3 8) เมทริกซแตงเติมของระบบสมการนี้ คอื 1 2 1 4 1 1 2 5 ใชการดาํ เนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแ ตง เตมิ ไดด งั น้ี 2 1 1 3 1 1 2 5 R1 ↔ R3 1 2 1 4  1 2 1 4 1 1 2 5 2 1 1 3 1 1 2 5  0 1 −1 −1 −R1 + R2 0 −1 −3 − 7 −2R1 + R3 1 0 3 6  −R2 + R1  0 1 −1 −1 0 0 − 4 −8 R2 + R3 1 0 3 6 0 −1  0 1 −1 2 1 0 1 4 − R3 1 0 0 0 −3R3 + R1  0 1 0 1 R3 + R2 0 0 1 2 เม่อื แปลงเมทรกิ ซน้ีใหอยูใ นรูประบบสมการจะได x=0 y =1 z=2 ดังนัน้ (0, 1, 2) เปนคําตอบของระบบสมการเพียงคําตอบเดียว 1 2 3 0 9) เมทริกซแตงเติมของระบบสมการนี้ คอื 4 5 6 4 7 8 9 7 ใชการดําเนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแ ตง เติมไดดังนี้ 1 2 3 0 1 2 3 0 4 5 6 4  0 −3 − 6 4 −4R1 + R2 7 8 9 7 0 − 6 −12 7 −7R1 + R3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 361 1 2 3 0 0 −3 − 6   4  0 0 0 −1 −2R2 + R3 เมอ่ื แปลงเมทริกซนใี้ หอยูในรูประบบสมการจะได ------- (1) x + 2y + 3z = 0 −3y − 6z = 4 ------- ( 2) 0 = −1 ------- (3) จะเหน็ วา สมการ (3) เปน ไปไมได แสดงวา ระบบสมการตัง้ ตน นําไปสูระบบสมการซึ่ง ไมส อดคลอ งกนั ดงั น้นั ระบบสมการนไ้ี มมคี ําตอบ 3 2 1 2 10) เมทริกซแตง เติมของระบบสมการน้ี คอื 1 1 −2 −4 5 4 1 6 ใชการดําเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแตง เติมไดด งั นี้ 3 2 1 2 1 1 − 2 − 4 R1 ↔ R2 1 1 − 2 − 4  3 2 1 2 5 4 1 6 5 4 1 6 1 1 − 2 − 4  0 −1  7 14  −3R1 + R2 0 −1 11 26 −5R1 + R3 1 1 − 2 − 4  0  1 −7 −14  − R2 0 −1 11 26 1 0 5 10 −R2 + R1  0 1 − 7 −14 0 0 4 12 R2 + R3 1 0 5 10 0   0 1 −7 −14  0 1 3 1 R3 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

362 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 1 0 0 −5 −5R3 + R1  0 1 0 7 7R3 + R2 0 0 1 3 เมอื่ แปลงเมทรกิ ซนใี้ หอยูในรูประบบสมการจะได x = −5 y=7 z=3 ดังนัน้ (−5, 7, 3) เปนคําตอบของระบบสมการเพียงคําตอบเดียว 2 −1 − 4 −1 11) เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการน้ี คือ 3 −1 −5 0 1 − 2 −5 −5 ใชก ารดําเนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแ ตง เตมิ ไดดงั นี้ 2 −1 − 4 −1 1 − 2 −5 −5 R1 ↔ R3 3 −1 −5 0  3 −1 −5 0 1 − 2 −5 −5 2 −1 − 4 −1 1 − 2 −5 −5  0  5 10 15  −3R1 + R2 0 3 6 9 −2R1 + R3 1 2 −1 1  0 −3 −1 2 0 0 0 0 −R2 + R3 1 − 2 −5 −5 1  0 3 5 0 1 2 9 R2 3 6 1 0 −1 1 2R2 + R1  0 1 2 3 0 0 0 0 −3R2 + R3 เม่ือแปลงเมทรกิ ซน ใี้ หอยูในรูประบบสมการจะได ------- (1) x−z = 1 y + 2z = 3 ------- ( 2) 0=0 ------- (3) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 363 เนอ่ื งจากสมการ (3) เปน จรงิ เสมอ จงึ หาเฉพาะคา ของ x, y และ z ท่สี อดคลอง กับสมการ (1) และ (2) กเ็ พียงพอ จากสมการ (1) และ (2) จะได x= z +1 และ y =− 2z + 3 จะเหน็ วา x และ y ขึ้นอยูกบั z นนั่ คือ สามารถเลอื ก z ใหเ ปนจํานวนจริงใดกไ็ ด ในทน่ี ใี้ ห z = t เมือ่ t เปนจาํ นวนจริงใด ๆ ดังนั้น คาํ ตอบของระบบสมการคอื (t +1, − 2t + 3, t) เมือ่ t เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ 1 −2 −7 −6 12) เมทริกซแตงเติมของระบบสมการน้ี คอื 3 1 −2 −2 2 1 1 − 2 ใชก ารดาํ เนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแตง เตมิ ไดดังนี้ 1 −2 −7 −6 1 − 2 −7 −6 3 1 − 2 − 2  0  7 19 16  −3R1 + R2 2 1 1 − 2 0 5 15 10 −2R1 + R3 1 − 2 −7 −6  0 16  0 7 19 2 1 R3 1 3 5 1 − 2 −7 −6  0 1 3 2 R2 ↔ R3 0 7 19 16 1 0 −1 − 2 2R2 + R1  0 1 3 2 0 0 − 2 2 −7R2 + R3 1 0 −1 − 2  0 1 2 0 0 3 −1 − 1 R3 1 2 1 0 0 −3 R3 + R1  0 1 0 5 −3R3 + R2 0 0 1 −1 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

364 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 เมื่อแปลงเมทริกซน ใี้ หอยูในรูประบบสมการจะได x = −3 y=5 z = −1 ดงั น้นั (−3, 5, −1) เปน คาํ ตอบของระบบสมการเพียงคําตอบเดยี ว 3. ให x แทน จํานวนบุคคลท่วั ไปที่มาใชบริการ y แทน จํานวนนกั เรียนทมี่ าใชบริการ z แทน จาํ นวนผูส งู อายุที่มาใชบริการ จากโจทย สามารถเขยี นเปน ระบบสมการเชงิ เสน ไดด งั น้ี x + y + z = 2, 420 14x + 9 y + 7z = 32,540 x −10 y −10z = 0  1 1 1 2, 420  เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการนี้ คือ 14 9 7 32,540  1 −10 −10 0 ใชก ารดําเนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแตง เตมิ ไดด ังนี้  1 1 1 2, 420  1 1 1 2, 420 14  0  9 7 32, 540   −5 −7 −1, 340  −14 R1 + R2  1 −10 −10 0 0 −11 −11 −2, 420 −R1 + R3 1 1 1 2, 420 0 340   0 −5 −7 −1, 220 1 1 − 1 R3 11 1 1 1 2, 420  0 1 1 220 R2 ↔ R3 0 −5 − 7 −1,340 1 0 0 2, 200 −R2 + R1  0 1 1 220 0 0 − 2 −240  5R2 + R3 1 0 0 2, 200  0 1 1 220 0 0 1 120  − 1 R3 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 365 1 0 0 2, 200  0 1 0  100  − R3 + R2 0 0 1 120 เมือ่ แปลงเมทริกซน ใ้ี หอยูในรูประบบสมการจะได x = 2, 200 y = 100 z = 120 นัน่ คอื (2200, 100, 120) เปน คาํ ตอบของระบบสมการเพยี งคําตอบเดยี ว ดังน้ัน มบี คุ คลทวั่ ไป นกั เรยี น และผสู งู อายุมาใชบ รกิ าร 2200, 100 และ 120 คน ตามลําดับ 4. ให x แทน ราคากุงตอกโิ ลกรัม y แทน ราคาปลาหมึกตอกิโลกรมั z แทน ราคาหอยแครงตอกโิ ลกรมั จากโจทย สามารถเขยี นเปนระบบสมการเชิงเสน ไดด งั นี้ 50x + 70 y + 20z = 22,100 15x + 60 y + 45z = 15,600 70x + 20 y + 30z = 19, 400 50 70 20 22,100 เมทรกิ ซแตงเติมของระบบสมการนี้ คือ 15 60 45 15,600 70 20 30 19, 400 ใชการดําเนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแ ตงเตมิ ไดดงั นี้ 50 70 20 22,100 50 70 20 22,100 1  040  15 15 60 45 15,600   1 4 3 1, 400 R2 70 20 30 19, 400 20 30 19, 70  1 4 3 1,040 R1 ↔ R2  50 70 20 22,100 70 20 30 19, 400 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

366 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 1 4 3 1,040  0 −130 −130 −29,900 −50R1 + R2 0 −260 −180 −53, 400 −70R1 + R3 1 4 3 1,040 1 0 230 130  0 1 1 400 − R2 −260 −180 −53, 1 0 −1 120 −4R2 + R1  0 1 1 230 0 0 80 6, 400 260R2 + R3 1 0 −1 120  0 1 230 0 0 1 80 1 R3 1 80 1 0 0 200 R3 + R1 0   1 0 150  −R3 + R2 0 0 1 80 เม่อื แปลงเมทรกิ ซนีใ้ หอยใู นรูประบบสมการจะได x = 200 y = 150 z = 80 น่ันคือ (200, 150, 80) เปน คําตอบของระบบสมการเพยี งคําตอบเดยี ว ดังนน้ั มกี ุง ปลาหมึก และหอยแครงราคากิโลกรัมละ 200, 150 และ 80 บาท ตามลาํ ดับ 5. 1) ให x แทนคาซักกางเกงยีนสต อตวั y แทนคาซักกางเกงขาส้ันตอตวั z แทนคา ซักเส้ือเชต้ิ ตอตวั จากโจทย สามารถเขียนเปนระบบสมการเชิงเสน ไดด ังน้ี x + 5y + 3z = 115 2x + 5y + z = 105 3x + 4z = 120 1 5 3 115 เมทรกิ ซแตง เติมของระบบสมการนี้ คือ 2 5 1 105 3 0 4 120 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 367 ใชการดําเนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแตงเติมไดด งั น้ี 1 5 3 115 1 5 3 115 2 5 1 105  0 −5 −5 −125 −2R1 + R2 3 0 4 120 0 −15 −5 −225 −3R1 + R3 1 5 3 115 1 0 25 5  0 1 1 −225 − R2 −15 −5 1 0 − 2 −10 −5R2 + R1  0 1 1 25 0 0 10 15015R2 + R3 1 0 − 2 −10  0 1 25 0 0 1 15 1 R3 1 10 1 0 0 20 2R3 + R1 0   1 0 10  −R3 + R2 0 0 1 15 เม่ือแปลงเมทริกซน ี้ใหอยูใ นรูประบบสมการจะได x = 20 y = 10 z = 15 น่ันคือ (20, 10, 15) เปนคาํ ตอบของระบบสมการเพยี งคําตอบเดียว ดังนัน้ รา นนุมหอมนานคดิ คาซกั กางเกงยนี ส กางเกงขาส้ัน และเสื้อเช้ิตตัวละ 20, 10 และ 15 บาท ตามลาํ ดบั 2) ให A เปน เมทริกซแสดงคา ซกั ผา แตละชนิด จะได A = [20 10 15] 6 ให B = 2 เปนเมทรกิ ซแสดงจาํ นวนกางเกงยีนส กางเกงขาสั้น และ 7 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

368 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 6 เสื้อเชิต้ ทป่ี ระสทิ ธ=์ิสงซัก จะได AB [=20 10 15]2 [245] 7 ดังน้นั ถาประสิทธิ์สงซักกางเกงยนี ส 6 ตัว กางเกงขาสั้น 2 ตัว และเส้ือเชิ้ต 7 ตวั เขาจะตองจายเงนิ ทั้งหมด 245 บาท 6. ให y = ax2 + bx + c เปนสมการพาราโบลาที่ตองการหา เมื่อ a, b และ c เปน จาํ นวนจริง เน่ืองจากพาราโบลาผานจุด (−1, 9) , (1, −1) และ (2, 3) จะไดวา 9 = a(−1)2 + b(−1) + c −1 = a(1)2 + b(1) + c 3 = a(2)2 + b(2) + c สามารถเขียนเปนระบบสมการเชงิ เสน ไดด งั นี้ a−b+c = 9 a + b + c = −1 4a + 2b + c = 3 1 −1 1 9 เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการน้ี คอื 1 1 1 −1 4 2 1 3 ใชการดาํ เนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแ ตง เตมิ ไดดังนี้ 1 −1 1 9 1 −1 1 9 1 1 1 −1  0 2 0 −10 −R1 + R2 4 2 1 3 0 6 −3 −33 − 4R1 + R3 1 −1 1 9 1  0 − 5  2 0 1 0 −33 R2 6 −3 1 0 1 4  R2 + R1  0 1 0 −5 0 0 −3 −3 −6R2 + R3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 369 1 0 1 4 0 5  0 1 0 − 1 0 1 − 1 R3 3 1 0 0 3 −R3 + R1  0 1 0 −5 0 0 1 1 เมือ่ แปลงเมทริกซนี้ใหอยูในรูประบบสมการจะได a =3 b = −5 c =1 นน่ั คอื (3, −5, 1) เปน คําตอบของระบบสมการเพียงคําตอบเดียว ดังนนั้ สมการพาราโบลาทผ่ี า นจุด (−1, 9) , (1, −1) และ (2, 3) คอื y = 3x2 − 5x +1 7. ให x แทน จาํ นวนการส่ังซอื้ สินคาแบบ 1 ชนิ้ y แทน จาํ นวนการสั่งซอ้ื สินคา แบบ 2 ชิ้น z แทน จาํ นวนการสั่งซอ้ื สนิ คา แบบ 3 ช้ินข้นึ ไป จากโจทย สามารถเขยี นเปน ระบบสมการเชิงเสน ไดด งั น้ี x + y + z = 300 15x + 60 y + 45z = 5,500 −x + z = 100  1 1 1 300 เมทริกซแตง เติมของระบบสมการนี้ คอื 50 30 0 5,500 −1 0 1 100 ใชการดําเนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแ ตงเตมิ ไดดังน้ี  1 1 1 300 1 1 1 300 50 30 0 5,500  0 −20 −50 −9,500 −50R1 + R2 −1 0 1 100 0 1 2 400 R1 + R3 1 1 1 300  0 1 2 400 R2 ↔ R3 0 −20 −50 −9,500 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

370 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 1 0 −1 −100 −R2 + R1  0 1 2 400 0 0 −10 −1,500 20R2 + R3 1 0 −1 −100  0 1 400 0 0 2 150 − 1 R3 1 10 1 0 0 50 R3 + R1  0 1 0 100 −2R3 + R2 0 0 1 150 เมือ่ แปลงเมทริกซน้ีใหอยใู นรูประบบสมการจะได x = 50 y = 100 z = 150 นั่นคอื (50, 100, 150) เปนคาํ ตอบของระบบสมการเพียงคาํ ตอบเดยี ว ดังนั้น มกี ารสัง่ ซื้อสนิ คา แบบ 1 ชนิ้ 2 ชน้ิ และ 3 ช้ินขึน้ ไปอยางละ 50, 100 และ 150 ครง้ั ตามลําดับ 8. ให x แทน ปริมาณเห็ดฟาง (100 กรมั ) y แทน ปรมิ าณเห็ดหอม (100 กรมั ) z แทน ปริมาณเห็ดโคน (100 กรัม) จากโจทย สามารถเขียนเปนระบบสมการเชงิ เสน ไดด งั นี้ 3x + 2 y + 6z = 85 0.1x + 0.1y + 0.3z = 4 5x + 4 y + 5z = 95  3 2 6 85 เมทรกิ ซแตง เติมของระบบสมการนี้ คอื 0.1 0.1 0.3 4  5 4 5 95 ใชการดาํ เนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแตง เติมไดด ังน้ี  3 2 6 85 3 2 6 85 0.1 0.1 0.3 4  1 1 3 4010R2  5 4 5 95 5 4 5 95 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 371 1 1 3 40 R1 ↔ R2 3   2 6 85  5 4 5 95 1 1 3 40  0 −1 −3 − 35 −3R1 + R2 0 −1 −10 −105 −5R1 + R3 1 1 3 40  0 1 3 35 −R2 0 −1 −10 −105 1 0 0 5 −R2 + R1  0 1  3 35  0 0 − 7 −70 R2 + R3 1 0 0 5 0 35  0 1 3 10  1 0 1 7 − R3 1 0 0 5  0 1 0 5 −3R3 + R2 0 0 1 10 เมอื่ แปลงเมทริกซนใี้ หอยูใ นรูประบบสมการจะได x=5 y=5 z = 10 นน่ั คือ (5, 5, 10) เปนคําตอบของระบบสมการเพยี งคาํ ตอบเดียว ดงั น้ัน ถาตองการผดั เห็ดรวมมติ รท่ีมโี ปรตีน 85 กรัม ไขมัน 4 กรมั และคารโบไฮเดรต 95 กรัม จะตองใชเหด็ ฟาง เหด็ หอม และเห็ดโคน อยางละ 500, 500 และ 1,000 กรมั ตามลําดับ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

372 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 แบบฝก หัดทา ยบท 1. จาก y −z − 2  x y = −4 2 3 −1 2  1 2 −5   z  จะได 3y −3z  − 2x 2y = −4 2 −3 6  2 4 −5 z 3y − 2x −3z − 2 y −4 2  6 − 4 = −5 z  −3 − 2 3y − 2x −3z − 2 y = −4 2  2 −5   −5 z  จะไดว า 3y − 2x =−4, − 3z − 2y =2 และ z = 2 แทน z ดวย 2 ใน −3z − 2y =2 จะได y = −4 แทน y ดวย −4 ใน 3y − 2x =−4 จะได x = −4 ดงั นนั้ x, y และ z คือ −4, − 4 และ 2 ตามลาํ ดบั 2. จาก x[1 −2] − 2y[2 −1] = [−2 −2] จะได [x −2x] − [4y −2y] = [−2 −2] [x − 4y −2x + 2y] = [−2 −2] จะไดว า x − 4 y = −2 --------- (1) --------- (2) และ −2x + 2y = −2 --------- (3) จาก (1) จะได 2x − 8y = −4 จาก (2) และ (3) จะได y =1 แทน y ดวย 1 ใน (1) จะได x = 2 ดังนั้น x = 2 และ y =1 3. 1) 62B + 38B − 2A = 100B − 2A = −2 2 − 1 2 100  −1 2 −1 0  3 = −200 200 − 2 4  −100 −2 0  300 = −202 196  302 −100 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 373 2) CD = 1 3 −2 0 −2 2 0 −4 2 1 3)  3 −1 จะได  1(0) + 3(2) + (−2)(3) 1(−2) + 3(1) + (−2)(−1) = 2(0) + 0(2) + (−4)(3) 2(−2) + 0(1) + (−4)(−1) =  0 3 −12 0 0 −2 1 3 −2 2 1 2 0 −4 DC =  3 −1 0(1) + (−2)(2) 0(3) + (−2)(0) 0(−2) + (−2)(−4)  2(−2) +1(−4) = 2(1) +1(2) 2(3) +1(0)  3(1) + ( −1) ( 2) 3(3) + (−1)(0) 3(−2) + (−1)(−4)  −4 0 8  −8 =  4 6  1 9 −2 AB =  1 2 −2 2 −1 0  −1  3  1(−2) + 2(3) 1(2) + 2(−1) = (−1)(−2) + 0(3) (−1)(2) + 0(−1) = 4 0 2 −2 ( AB)t = 4 2 0 −2 At Bt =  1 −1 −2 3 2 0  −1  2 = 1(−2) + (−1)(2) 1(3) + (−1)(−1)  2(3) + 0(−1)  2(−2) + 0(2) = −4 4 −4 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

374 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 Bt At = −2 3  1 −1  2 −1 2 0 = (−2)(1) + 3(2) (−2)(−1) + 3(0)  2(−1) + (−1)(0) 2 (1) + ( −1) ( 2 ) 4 2 = 0 −2  1 −1 0  1 0 0 4) ( E + I3 ) = −2 2 −3 + 0 1 0  0 5 3 0 0 1  2 −1 0 = −2 3 −3  0 5 4 (E − I3 ) =  1 −1 0  1 0 0 −2 2 −3 − 0 1 0  0 5 3 0 0 1  0 −1 0 = −2 1 −3  0 5 2 จะได (E + I3 )(E − I3 ) =  2 −1 0  0 −1 0 −2 3 −3 −2 1 −3  0 5 4  0 5 2  2(0) + (−1)(−2) + 0(0) 2(−1) + (−1)(1) + 0(5) 2(0) + (−1)(−3) + 0(2) = (−2)(0) + 3(−2) + (−3)(0) (−2)(−1) + 3(1) + (−3)(5) (−2)(0) + 3(−3) + (−3)(2)  0(0) + 5(−3) + 4(2)  0(0) + 5(−2) + 4(0) 0(−1) + 5(1) + 4(5)  2 −3 3  −15 =  −6 −10 −10 25 −7 5) จากขอ 2) และขอ 3) จะได AB − 2CD = 4 0 − 2 0 3 2 −2 −12 0 = 4 0 − 0 6 2 −2 −24 0 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 375 AB − 2CD =  4 −6 26 −2  1 −1 0  1 −1 0 6) E2 = −2 2 −3 −2 2 −3  0 5 3  0 5 3  1(1) + (−1)(−2) + 0(0) 1(−1) + (−1)(2) + 0(5) 1(0) + (−1)(−3) + 0(3) = (−2)(1) + 2(−2) + (−3)(0) (−2)(−1) + 2(2) + (−3)(5) (−2)(0) + 2(−3) + (−3)(3)  0(0) + 5(−3) + 3(3)  0(1) + 5(−2) + 3(0) 0(−1) + 5(2) + 3(5)  3 −3 3  −15 =  −6 −9 −10 25 −6 จากขอ 2) จะได −4 0 8  3 −3 3 −1 −2 0  −8  −15  0 DC − E2 + 4F =  4 6 −  −6 −9 + 4  3 1  1 9 −2 −10 25 −6  4 2 −1 −4 0 8  3 −3 3 −4 −8 0  −8  −9 −15 + 12 0 =  4 6 −  −6 4  1 9 −2 −10 25 −6 16 8 −4 −11 −5 5  19 7 =  22  27 −8 0  1 2  1 3 −2 7) AC = −1 0 2 0 −4  1(1) + 2(2) 1(3) + 2(0) 1(−2) + 2(−4) = (−1)(1) + 0(2) (−1)(3) + 0(0) (−1)(−2) + 0(−4)  5 3 −10 = −1 −3 2 0 2 3  1 −1 0 −2 1 −1 −2 2 −3 Dt E =  0 5 3  0(1) + 2(−2) + 3(0) 0(−1) + 2(2) + 3(5) 0(0) + 2(−3) + 3(3) = (−2)(1) +1(−2) + (−1)(0) (−2)(−1) +1(2) + (−1)(5) (−2)(0) +1(−3) + (−1)(3) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

376 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 Dt E = −4 19 3 −4 −1 −6 จะได 2AC + Dt E = 5 3 −10 + −4 19 3 = 2 −1 −3 2 −4 −1 −6 = 8) At B =  10 6 −20 + −4 19 3 = −2 −6 4 −4 −1 −6 =  6 25 −17 DtCt = −6 −7 −2 =  1 −1 −2 2 = 2 0  3 −1 จะได ( )At B t − DtCt = 1(−2) + (−1)(3) 1(2) + (−1)(−1)  2(2) + 0(−1) =  2(−2) + 0(3) −5 3 −4 4 0 2 3  1 2 −2 1 −1  0  3 −4 −2  0(1) + 2(3) + 3(−2) 0(2) + 2(0) + 3(−4) (−2)(1) +1(3) + (−1)(−2) (−2)(2) +1(0) + (−1)(−4) 0 −12 3 0 −5 −4 − 0 −12  4 3 0  3 −5 8  4  0 9) BDt = −2 2  0 2 3  −1 −2 1 −1  3 = (−2)(0) + 2(−2) (−2)(2) + 2(1) (−2)(3) + 2(−1)  3(3) + (−1)(−1)  3(0) + ( −1) ( −2 ) 3(2) + (−1)(1) = −4 −2 −8  2 5 10 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 377 −4 −1 −2 0 F =  2 −2 −8  1 0 ( )BDt 5 10  3 2 −1  4 = (−4)(−1) + (−2)(3) + (−8)(4) (−4)(−2) + (−2)(1) + (−8)(2) (−4)(0) + (−2)(0) + (−8)(−1)  2(−2) + 5(1) +10(2) 2(0) + 5(0) +10(−1)  2(−1) + 5(3) +10(4) = −34 −10 8  21 −10  53 ( )จะได −34 −10 8 1 3 −2 BDt F + C =  53 21 −10 + 2 0 −4 = −33 −7 6  21 −14  55 1 3 −2  1 −1 0 = 2 0 −4 −2 2 −3 10) CE  0 5 3  1(1) + 3(−2) + (−2)(0) 1(−1) + 3(2) + (−2)(5) 1(0) + 3(−3) + (−2)(3) = 2(1) + 0(−2) + (−4)(0) 2(−1) + 0(2) + (−4)(5) 2(0) + 0(−3) + (−4)(3) = −5 −5 −15  2 −22 −12 −5 −5 −15 0 −2  2 −22 −12 2 1 (CE) D =  3 −1 (−5)(0) + (−5)(2) + (−15)(3) (−5)(−2) + (−5)(1) + (−15)(−1) = 2(−2) + (−22)(1) + (−12)(−1)  2(0) + (−22)(2) + (−12)(3) = −55 20 −80 −14 A2 = 1 2  1 2 −1 0 −1 0  1(1) + 2(−1) 1(2) + 2(0) = (−1)(1) + 0(−1) (−1)(2) + 0(0) −1 2 = −1 −2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

378 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 จากขอ 2) จะได (CE ) D − CD + 3A2 = −55 20 − 0 3 + 3 −1 2 −80 −14 −12 0 −1 −2 = −55 20 − 0 3 + −3 6 −80 −14 −12 0 −3 −6 = −58 23  −71 −20 4. จาก A2 = x −1 x −1 = x2 −1 −x − y   1 y  1 y     x + y −1 + y2  และ 3I2 = 1 0 3 0 3 0 1 = 0 3 จะได x2 −1 −x − y  3 0   = 0 3  x + y −1 + y2  น่นั คือ x2 −1 = 3, − x − y = 0, x + y = 0 และ y2 −1 =3 จาก x2 −1 =3 จะได x = 2 หรือ x = −2 จาก y2 −1 =3 จะได y = 2 หรอื y = −2 และจาก x + y =0 และ −x − y จะได x = −y ดังนั้น ถา x = 2 จะได y = −2 และ ถา x = −2 จะได y = 2 5. 1) At B = 2 −2  1 1  −1 0 −2  1 = 2(1) + (−2)(0) 2(1) + (−2)(−2)  1(1) + (−1)(−2)  1(1) + ( −1) ( 0) = 2 6  1 3 พจิ ารณา A2 =  2 1  2 1 −2 −1 −2 −1  2(2) +1(−2) 2(1) +1(−1) = (−2)(2) + (−1)(−2) (−2)(1) + (−1)(−1) =  2 1 −2 −1 =A สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 379 พจิ ารณา A=3 A2=A A=A A=2 A และ A=4 A3=A A=A A=2 A จะเห็นวา An = A สาํ หรับทุกจาํ นวนนับ n ดงั น้ัน A40,000 = A=  2 1 จาก −2 −1 2 X − At B = A40,000 X = 1 A40,000 + At B ( )จะได 2 = 1 2 1 + 2 6   −2 −1  3  2   1  = 1 4 7 2 −1 2  2 7   =  2  − 1 1 2 2) BA = 1 1  2 1 0 −2 −2 −1 =  1(2) +1(−2) 1(1) +1(−1)  0(1) + (−2)(−1) 0 ( 2) + ( −2)( −2) = 0 0 4 2 B −1 1 −2 −1 1 = 1(−2) −1(0)  0 = 1 −2 −1 −2  0 1 1 1 =  2  0 − 1  2  จาก ( )BA = 2 X − B−1 จะได X = 1 BA + B−1 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

380 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 1 1   = 1 0 0 + 0 2  2 4 2 − 1  2  1 1   0 0 + 0 2  = 2 1 − 1  2  1 1 =  2  2 1 2  6. 1) จาก  1 −3 a = −1 0 2  b  2   a − 3b = −1  2b  2   จะได a − 3b =−1 และ 2b = 2 น่นั คือ b =1 และ a = 2 2) จาก 5 5 a = 5 −6 −4 b 4  5a + 5b = 5 −6a − 4b 4 จะได 5a + 5b = 5 -------- (1) -------- (2) −6a − 4b = 4 -------- (3) จาก (1) จะได 4a + 4b = 4 -------- (1) จาก (2) และ (3) จะได a = −4 และ b = 5 -------- (2) 3) จาก 7 4 a b = −1 1 5 3  c d   0 −3 7a + 4c 7b + 4d  −1 1   =  −3  5a + 3c 5b + 3d   0 จะได 7a + 4c = −1 5a + 3c = 0 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 381 จาก (1) จะได 21a +12c = −3 -------- (3) จาก (2) จะได 20a +12c = 0 -------- (4) จาก (3) และ (4) จะได a = −3 และ c = 5 -------- (5) และ 7b + 4d = 1 -------- (6) -------- (7) 5b + 3d = −3 -------- (8) จาก (5) จะได 21b +12d = 3 -------- (1) จาก (6) จะได 20b +12d = −12 -------- (2) จาก (7) และ (8) จะได b =15 และ d = −26 ดังนนั้ a =−3, b =15, c =5 และ d = −26 -------- (3) -------- (4) 4) จาก −2 −3 a b = −1 5  2 4  c d   1 4 −2a − 3c −2b − 3d  −1 5   =  4  2a + 4c 2b + 4d   1 จะได −2a − 3c = −1 2a + 4c = 1 จาก (1) และ (2) จะได c = 0 และ a = 1 2 และ −2b − 3d = 5 2b + 4d = 4 จาก (3) และ (4) จะได d = 9 และ b = −16 ดงั น้นั a =1 , b =−16, c =0 และ d = 9 2 7. 1) 111 111 (เนอ่ื งจากเมทริกซใหมเกิดจากการคูณ 234 = 234 สมาชิกแตล ะตัวในแถวท่ี 1 ดว ย −3 แลว 13 3 นาํ ไปบวกกบั สมาชิกแตล ะตัวในแถวท่ี 3) −2 0 0 = ( )−1 3+1 (−2) 1 1 (จากบทนยิ าม 12 โดยการกระจาย ตามแถวที่ 3) 34 = −2(1(4) −1(3)) = −2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

382 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 12 3 12 3 (เนือ่ งจากเมทริกซใหมเกิดจากการคูณ สมาชกิ แตล ะตวั ในแถวที่ 1 ดว ย −2 2) 4 5 6 = 2 1 0 แลวนําไปบวกกับสมาชิกแตละตวั ในแถวท่ี 2 2 10 2 10 = 0 (จากทฤษฎบี ท 4 ขอ 5) 11 0 7 = (−1)2+2 (−8) 11 7 (จากบทนิยาม 12 โดยการกระจาย 3) −20 −8 −12 ตามหลกั ท่ี 2) 10 9 10 0 9 = (−8)(11(9) − 7(10)) = −232 −2 1 −4 = ( )−1 3+1 (5) 1 −4 (จากบทนิยาม 12 โดยการกระจาย 4) −5 −1 3 ตามแถวที่ 3) −1 3 50 0 = 5(1(3) − (−4)(−1)) 3 50 = −5 (เน่ืองจากเมทรกิ ซใหมเกิดจากการคูณ 5) −1 2 −1 0 11 −3 สมาชิกแตล ะตวั ในแถวท่ี 2 ดวย 3 แลว นาํ ไปบวกกบั สมาชกิ แตล ะตัวในแถวท่ี 1) 0 −4 3 = −1 2 −1 0 −4 3 = ( )−1 2+1 (−1) 11 −3 (จากบทนยิ าม 10 โดยการกระจาย ตามหลักท่ี 1) −4 3 = 1(11(3) − (−3)(−4)) 3 −2 5 = 21 (เนอื่ งจากเมทรกิ ซใหมเ กิดจากการคูณ 6) −2 3 −1 3 −2 5 2 −1 6 = −2 3 −1 สมาชกิ แตล ะตัวในแถวท่ี 2 ดวย 1 แลว 025 นําไปบวกกับสมาชกิ แตล ะตวั ในแถวท่ี 3 = (−1)3+2 (2) 3 5 + ( )−1 3+3 (5) 3 −2 −2 −1 −2 3 (จากบทนิยาม 10 โดยการกระจาย ตามแถวท่ี 3) = −2(3(−1) − 5(−2)) + 5(3(3) − (−2)(−2)) = 11 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 383 1 −1 2 (เน่ืองจากเมทรกิ ซใหมเกิดจากการคูณ สมาชิกแตละตวั ในแถวที่ 1 ดวย −4 แลว 8. จาก det ( A) = 4 0 4 นําไปบวกกับสมาชิกแตล ะตัวในแถวท่ี 2) 0 −5 3 1 −1 2 = 0 4 −4 0 −5 3 = ( )−1 1+1 (1) 4 −4 (จากบทนิยาม 10 โดยการกระจาย ตามหลักท่ี 1) −5 3 (จากบทนิยาม 10 โดยการกระจาย ตามแถวท่ี 3) = 1((4)(3) − (−4)(−5)) (เนื่องจากเมทริกซใหมเ กิดจากการคูณ สมาชิกแตละตวั ในแถวท่ี 2 ดว ย 2 แลว = −8 นาํ ไปบวกกับสมาชิกแตละตัวในแถวท่ี 1) 2 3 −2 det ( B) = 1 4 −1 10 0 = ( )−1 3+1 (1) 3 −2 4 −1 = 1(3(−1) − (−2)(4)) =5 −3 −1 2 det (C ) = 2 4 −1 130 17 0 = 2 4 −1 13 0 = ( )−1 2+3 (−1) 1 7 (จากบทนิยาม 10 โดยการกระจาย ตามหลกั ท่ี 3) 13 = 1(1(3) − 7(1)) = −4 ( ) ( )1) det At + det ( B) − det Ct = det ( A) + det ( B) − det (C ) = −8 + 5 − (−4) =1 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

384 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 2) det ( ABC ) = det ( A)det ( B)det (C ) = (−8)(5)(−4) = 160 ( ) ( )3) det A3B2C2 − det AB3C5 = det ( A3 )det (B2 )det (C2 ) − det ( A)det (B3 )det (C5 ) = (det ( A))3 (det (B))2 (det (C ))2 − det ( A)(det (B))3 (det (C ))5 = (−8)3 (5)2 (−4)2 − (−8)(5)3 (−4)5 ( )= (−8)(5)2 (−4)2 (−8)2 − 5(−4)3 = −1, 228,800 − 1 1 −1 1  − 1  ( −1) + 1 1   − 1  1  + 1 1   2     2 2   2   2  4  9. จาก 2 1 2  = และ  2 ดังนนั้ 1 1  1( −1) + 2  1  1 1  + 2  1   จาก 4    2  2   4     = 1 0 0 1  −1 1  − 1 1 ( −1)  − 1  + 1 (1) ( −1) (1) + 1 ( 2 )  2   2   2  2 2  1   1 2 =   1 4     2   1  − 1  + 1 (1) 1 (1) + 1 ( 2)   2  2  4 2 4  = 1 0 0 1 − 1 1 −1 1  2    2 และ 1 2  เปน เมทรกิ ซผ กผนั ซึ่งกันและกนั  2 1 1 4  − 1 1 ( −2 )  − 1  + 2  1  ( −2 )  1  + 2  1   4   4  4  2   2  −2 2  1 2  =   1 1 1  1 − 1  + 1 1  1 1  + 1 1   4 2   4  4  2  2   1 0 = 0 1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 385 − 1 1  − 1  ( −2) + 1 (1)  − 1  ( 2) + 1 (1)   4   4  2  4 2  และ 2  −2 2 =  1 1   1 1  (1)  1 (−2) + 1 (1) 1 ( 2) + 1  4 2  4 2 42 = 1 0 0 1 − 1 1  4  ดังน้นั −2 2 และ 2  เปนเมทริกซผ กผันซงึ่ กันและกนั  1 1 1 1  4 2  10. 1) เนื่องจากดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซนีเ้ ทากบั 1(−2) − 4(2) =−10 ซึง่ ไมเทา กับ 0 1 2  5  ดังน้นั เมทรกิ ซน้ีมีเมทริกซผกผนั คอื 1 −2 −4 = 1 5  −10 −2 1  5 −1  10  2) เนือ่ งจากดเี ทอรมิแนนตของเมทรกิ ซน ี้เทากบั 4(3) − 5(−2) =22 ซ่ึงไมเทา กับ 0 3 − 5   22  ดงั นน้ั เมทริกซน ้ีมเี มทรกิ ซผ กผัน คือ 1 3 −5 =  22  22 2 4  1 2  11 11  3) เนอื่ งจากดเี ทอรม ิแนนตของเมทรกิ ซนเี้ ทากับ (−6)(2) − (−3)(4) =0 ดงั นน้ั เมทรกิ ซนี้ไมมีเมทริกซผกผนั 4) เนอื่ งจากดเี ทอรม ิแนนตของเมทรกิ ซน เ้ี ทา กับ tan2θ − sec2θ =−1 ซงึ่ ไมเทา กบั 0 ดังน้นั เมทริกซนี้มเี มทริกซผ กผนั คอื 1  tanθ − secθ  = − tanθ secθ  −1 −secθ tanθ   secθ − tanθ  11. 1) A+ B = 2 1 + 1 1 −2 −1 0 −2 = 3 2 −2 −3 เนอื่ งจากดเี ทอรมแิ นนตของเมทรกิ ซน เี้ ทากบั 3(−3) − 2(−2) =−5 ซงึ่ ไมเ ทา กับ 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

386 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1  3 2   ดงั นั้น A+ B มีเมทริกซผกผัน คือ 1 −3 −2 =  5 5  −5  2 3 − 2 5 − 3  5  2) AB = 2 1  1 1 −2 −1 0 −2  2(1) +1(0) 2(1) +1(−2) = (−2)(1) + (−1)(0) (−2)(1) + (−1)(−2) = 2 0 −2 0 เนอ่ื งจากดเี ทอรม แิ นนตของเมทริกซน เ้ี ทากับ 2(0) − 0(−2) =0 ดงั น้นั AB ไมมีเมทริกซผกผัน 12. 1=) ให A =52 13 , X x และ B = 20  y 17  เขียนระบบสมการในรูปสมการเมทริกซ AX = B ไดดงั นี้ 2 1 x = 20 5 3    y  17   หาเมทริกซผกผันของ A จะได =A−1 2=(3)1−1(5) −53 −21 3 −1 − 5 2 เนอ่ื งจาก X = A−1B ดังนัน้ x = 3 −1 20   − 5 2 17   y   =  3(20) −1(17) −5(20) + 2(17) =  43 −66 นั่นคอื x = 43 และ y = − 66 ดงั นนั้ (43, − 66) เปน คําตอบของระบบสมการ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 387 =2) ให A =74 −−53 , X x และ B = 13  y  13  เขยี นระบบสมการในรปู สมการเมทริกซ AX = B ไดด งั นี้ 4 −3  x = 13 7 −5  y 13 หาเมทรกิ ซผกผันของ A จะได =A−1 4=(−5)1+ 3(7) −−75 34 −5 3 − 7 4 เนอ่ื งจาก X = A−1B ดงั น้ัน x = −5 3 13  y  − 7 4 13  =  −5(13) + 3(13)  −7(13) + 4(13) = −26 −39 นนั่ คอื x = − 26 และ y = − 39 ดังน้ัน (−26, − 39) เปนคาํ ตอบของระบบสมการ 13. 1) เมทรกิ ซแตง เตมิ ของระบบสมการน้ี คอื 1 2 5 3 4 11 ใชก ารดาํ เนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแตง เตมิ ไดด งั นี้ 1 2 5  1 2 5 3 4 11 0 −2 − 4 −3R1 + R2  1 2 5 1 0 1 2 2 − R2  1 0 1 −2R2 + R1 0 1 2 เมื่อแปลงเมทริกซนใ้ี หอยใู นรูประบบสมการจะได x =1 y =2 ดงั นน้ั (1, 2) เปน คาํ ตอบของระบบสมการเพียงคาํ ตอบเดียว สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

388 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 2) เมทรกิ ซแตง เติมของระบบสมการนี้ คอื 1 −3 − 2  − 3 9 6 ใชการดาํ เนนิ การตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแ ตง เติมไดด ังน้ี 1 −3 − 2  1 −3 − 2 − 3 9 6 0 0 0 3R1 + R2 เม่ือแปลงเมทริกซน ใ้ี หอยใู นรูประบบสมการจะได ------- (1) x −3y = −2 0 =0 ------- ( 2) เนอ่ื งจากสมการ (2) เปน จริงเสมอ จึงหาเฉพาะคาของ x และ y ทสี่ อดคลอง กบั สมการ (1) กเ็ พยี งพอ จากสมการ (1) จะได =x 3y − 2 จะเหน็ วา x ข้นึ อยูก ับ y น่นั คอื สามารถเลอื ก y ใหเปนจํานวนจริงใดกไ็ ด ในทีน่ ใี้ ห y = t เมอื่ t เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ จะได x= 3t − 2 ดงั นัน้ คาํ ตอบของระบบสมการ คือ (3t − 2, t) เมือ่ t เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ 1 2 4 7 3) เมทริกซแตงเติมของระบบสมการน้ี คือ 1 2 3 6 1 1 2 4 ใชการดาํ เนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแ ตง เตมิ ไดดังน้ี 1 2 4 7 1 2 4 7 1 2 3 6  0  0 −1 −1  − R1 + R2 1 1 2 4 0 −1 − 2 −3 −R1 + R3 1 2 4 7 0   0 1 1  − R2 0 1 2 3 −R3 1 2 4 7  0 1 2 3 R2 ↔ R3 0 0 1 1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 389 1 0 0 1 −2R2 + R1  0 1 2 3 0 0 1 1 1 0 0 1  0 1 0 1 −2R3 + R2 0 0 1 1 เมื่อแปลงเมทริกซน ้ใี หอยูในรูประบบสมการจะได x =1 y =1 z =1 ดังน้นั (1, 1, 1) เปนคําตอบของระบบสมการเพียงคาํ ตอบเดียว −1 1 5 15   4) เมทริกซแตงเตมิ ของระบบสมการนี้ คือ  2 −3 4 29   3 1 − 2 −5 ใชก ารดําเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแ ตง เติมไดดงั น้ี −1 1 5 15 1 −1 −5 −15 −R1   2 29  2 −3 4 29   −3 4  3 1 − 2 −5 3 1 − 2 −5 1 −1 −5 −15  0 −1 14  59  −2R1 + R2 0 4 13 40 −3R1 + R3 1 −1 −5 −15  0 1 −14 −59 −R2 0 4 13 40 1 0 −19 −74 R2 + R1  0 1 −14 −59 0 0 69 276 −4R2 + R3 1 0 −19 −74 0 −59  0 1 −14 4 1 0 1 69 R3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

390 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 1 0 0 219R3 + R1  0 1 0 −314R3 + R2 0 0 1 4 เม่ือแปลงเมทริกซน ใี้ หอยูใ นรูประบบสมการจะได x =2 y = −3 z =4 ดงั นนั้ (2, −3, 4) เปนคาํ ตอบของระบบสมการเพียงคาํ ตอบเดียว 1 2 5 16 5) เมทรกิ ซแตงเตมิ ของระบบสมการน้ี คอื 2 2 6 20 1 2 6 18 ใชก ารดําเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแ ตงเติมไดด งั นี้ 1 2 5 16 1 2 5 16 2 2 6 20 0  1 2 6 18  −2 −4 −12  −2 R1 + R2 0 0 1 2 −R1 + R3 1 2 5 16 1  0 1 2  2 0 0 1 6  − R2 2  1 0 1 4 −2R2 + R1  0 1 2 6 0 0 1 2 1 0 0 2 −R3 + R1  0 1 0 2 −2R3 + R2 0 0 1 2 เมื่อแปลงเมทริกซนใี้ หอยใู นรูประบบสมการจะได x =2 y =2 z =2 ดงั นั้น (2, 2, 2) เปนคําตอบของระบบสมการเพยี งคาํ ตอบเดียว 2 0 2 2 6) เมทรกิ ซแตงเตมิ ของระบบสมการน้ี คือ 1 1 2 1 3 −1 2 1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี