(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 241 = 2sin 5θ cos3θ 2cos5θ cos3θ = sin 5θ cos 5θ = tan 5θ 9) sinθ + sin 3θ + sin 5θ + sin 7θ = (sin 3θ + sinθ ) + (sin 7θ + sin 5θ ) = 2 sin  3θ + θ  cos  3θ −θ  + 2 sin  7θ + 5θ  cos  7θ − 5θ   2   2   2   2  = 2sin 2θ cosθ + 2sin 6θ cosθ = 2cosθ (sin 6θ + sin 2θ ) = 2 cosθ  2 sin  6θ + 2θ  cos  6θ − 2θ     2  2   = 4cosθ sin 4θ cos 2θ 3. จาก A + B + C =π จะได A + B = π − C 44 จะได tan ( A + B) = tan  π − C   4  น่นั คือ tan A + tan B = tan π − tan C 1 − tan A tan B 4 1+ tan π tan C 4 tan A + tan B = 1 − tan C 1 − tan A tan B 1 + tan C (tan A + tan B)(1+ tan C ) = (1− tan C )(1− tan Atan B) tan A + tan B + tan A tan C + tan B tan C = 1− tan C − tan A tan B + tan A tan B tan C ดังน้นั tan A + tan B + tan C = 1− tan A tan B − tan A tan C − tan B tan C + tan A tan B tan C แบบฝก หัด 1.7.2 1. 1) จาก 2cos2 θ + cosθ = 0 จะได cosθ (2cosθ +1) = 0 นั่นคือ cosθ = 0 หรือ cosθ = − 1 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

242 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ าํ ให cosθ = 0 คอื π และ 3π 22 และคาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ = − 1 คอื 2π และ 4π 23 3 ดังนั้น คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที ําใหสมการเปนจริง คือ π , 2π , 4π และ 3π 23 3 2 2) จาก 2sin2 θ − sinθ −1 = 0 จะได (2sinθ +1)(sinθ −1) = 0 นน่ั คอื sinθ = − 1 หรือ sinθ =1 2 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ที่ทําให sinθ = − 1 คือ 7π และ 11π 26 6 และคา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให sinθ =1 คือ π 2 ดังนั้น คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที ําใหสมการเปนจรงิ คือ π , 7π และ 11π 26 6 3) จาก sinθ + cosθ = 2 จะได (sinθ + cosθ )2 = 2 sin2 θ + 2sinθ cosθ + cos2 θ = 2 1+ 2sinθ cosθ = 2 2sinθ cosθ = 1 นั่นคอื sin 2θ = 1 จะได θ = π หรอื θ = 5π เม่อื θ ∈[0, 2π ) 44 ตรวจคําตอบ แทน θ ในสมการ sinθ + cosθ =2 ดวย π 4 จะได sin π + cos π = 2 44 2 = 2 เปนจริง แทน θ ในสมการ sinθ + cosθ =2 ดว ย 5π 4 จะได sin 5π + cos 5π = 2 44 − 2 = 2 เปน เท็จ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 243 ดังนัน้ คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทีท่ าํ ใหส มการเปน จริง คือ π 4 4) จาก tanθ sinθ + tanθ = 0 จะได tanθ (sinθ +1) = 0 นั่นคอื tanθ = 0 หรอื sinθ = −1 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ทีท่ ําให tanθ = 0 คือ 0 และ π และคาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี ําให sinθ = −1 คอื 3π 2 แตเ น่อื งจาก tan 3π ไมน ยิ าม 2 ดงั น้ัน คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทาํ ใหสมการเปนจริง คือ 0 และ π 5) จาก จะได 4sin3 θ − sinθ = 0 ( )sinθ 4sin2 θ −1 = 0 sinθ (2sinθ −1)(2sinθ +1) = 0 นั่นคอื sinθ = 0 หรอื sinθ = 1 หรอื sinθ = − 1 22 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทีท่ ําให sinθ = 0 คือ 0 และ π คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ที่ทาํ ให sinθ = 1 คอื π และ 5π 26 6 และคา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให sinθ = − 1 คือ 7π และ 11π 26 6 ดังนั้น คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ีทําใหสมการเปนจรงิ คือ 0, π , 5π ,π , 7π 66 6 และ 11π 6 6) จาก sin2 θ − cosθ + 5 = 0 จะได ( )1− cos2 θ − cosθ + 5 = 0 cos2 θ + cosθ − 6 = 0 (cosθ + 3)(cosθ − 2) = 0 น่นั คอื cosθ = −3 หรอื cosθ = 2 เนอื่ งจาก −1≤ cosθ ≤1 ดงั นั้น ไมม ีคา θ ใด ในชวง [0, 2π ) ที่ทาํ ใหสมการเปน จริง สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

244 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 7) จาก 2sin2 θ − 3cosθ − 3 = 0 จะได ( )2 1− cos2 θ − 3cosθ − 3 = 0 2cos2 θ + 3cosθ +1 = 0 (2cosθ +1)(cosθ +1) = 0 นั่นคอื cosθ = − 1 หรือ cosθ = −1 2 คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ = − 1 คือ 2π และ 4π 23 3 และคาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ าํ ให cosθ = −1 คอื π ดงั นั้น คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ที าํ ใหส มการเปนจรงิ คือ 2π ,π และ 4π 33 8) จาก cotθ + 2sinθ = cosecθ จะได cosθ + 2sinθ = 1 เมอ่ื sinθ ≠ 0 sinθ sinθ cosθ + 2sin2 θ = 1 ( )cosθ + 2 1− cos2 θ = 1 2cos2 θ − cosθ −1 = 0 (2cosθ +1)(cosθ −1) = 0 น่ันคือ cosθ = − 1 หรอื cosθ =1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ีทาํ ให cosθ = − 1 คือ 2π และ 4π 3 23 และคาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที ําให cosθ =1 คือ 0 แตเนื่องจาก sinθ ≠ 0 ดงั น้นั คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ที่ทาํ ใหสมการเปนจริง คือ 2π และ 4π 33 2. 1) จาก 2sinθ −1 = 0 จะได sinθ = 1 2 คา ของ θ เมื่อ 0° ≤ θ < 360° ทท่ี ําให sinθ = 1 คอื 30° และ 150° 2 ดังนัน้ เซตคําตอบของสมการน้ี คอื {30°,150°} สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 245 2) จาก 3tan2 θ −1 = 0 จะได tan2 θ = 1 3 น่นั คอื tanθ = 1 หรือ tanθ = − 1 33 คา ของ θ เมื่อ 0° ≤ θ < 360° ทท่ี ําให tanθ = 1 คือ 30° และ 210° 3 และคาของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ทท่ี าํ ให tanθ = − 1 คือ 150° และ 330° 3 ดังนัน้ เซตคําตอบของสมการน้ี คอื {30°,150°,210°,330°} 3) จาก 4 tan2 θ − 3sec2 θ = 0 จะได ( )4 tan2 θ − 3 1+ tan2 θ = 0 tan2 θ − 3 = 0 tan2 θ = 3 นนั่ คอื tanθ = 3 หรอื tanθ = − 3 คาของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ทที่ าํ ให tanθ = 3 คอื 60° และ 240° และคา ของ θ เมือ่ 0° ≤ θ < 360° ท่ที าํ ให tanθ = − 3 คอื 120° และ 300° ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการน้ี คอื {60°,120°,240°,300°} 4) จาก 4cos4 θ = (sin 2θ )2 จะได 4cos4 θ − sin2 2θ = 0 4cos4 θ − 4sin2 θ cos2 θ = 0 ( )4cos2 θ cos2 θ − sin2 θ = 0 4cos2 θ (cosθ − sinθ )(cosθ + sinθ ) = 0 นั่นคอื cosθ = 0 หรอื cosθ = sinθ หรือ cosθ = −sinθ คาของ θ ในชวง 0° ≤ θ < 360° ท่ที าํ ให cosθ = 0 คือ 90° และ 270° คาของ θ ในชว ง 0° ≤ θ < 360° ที่ทําให cosθ = sinθ คือ 45° และ 225° คาของ θ ในชวง 0° ≤ θ < 360° ทท่ี ําให cosθ = −sinθ คือ 135°และ 315° ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {45°,90°,135°,225°,270°,315°} สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

246 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 5) จาก sin 5θ + sin 3θ = 0 จะได 2 sin  5θ + 3θ  cos  5θ − 3θ  = 0  2   2  2sin 4θ cosθ = 0 น่นั คือ sin 4θ = 0 หรอื cosθ = 0 คา ของ θ ในชว ง 0° ≤ θ < 360° ท่ีทาํ ให sin 4θ = 0 คอื 0°,45°,90°,135°, 180°,225°,270° และ 315° คาของ θ ในชวง 0° ≤ θ < 360° ทที่ าํ ให cosθ = 0 คือ 90° และ 270° ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการนี้ คอื {0°,45°,90°,135°,180°,225°,270°,315°} 3. 1) จาก 4sin2 θ = 1 จะได sin2 θ = 1 4 นนั่ คอื sinθ = 1 หรือ sinθ = − 1 22 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ] ทท่ี าํ ให sinθ = 1 คอื π และ 5π 26 6 และคาของ θ ในชว ง [0, 2π ] ทท่ี ําให sinθ = − 1 คือ 7π และ 11π 26 6 ดงั น้นั คาทว่ั ไปของ θ ทีท่ ําใหส มการเปน จรงิ คือ nπ − π และ nπ + π 66 เมื่อ n เปน จํานวนเตม็ 2) จาก sec2 θ − 2 tanθ = 0 จะได ( )tan2 θ +1 − 2 tanθ = 0 tan2 θ − 2 tanθ +1 = 0 (tanθ −1)2 = 0 น่นั คือ tanθ =1 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ] ทท่ี ําให tanθ =1 คอื π และ 5π 44 ดงั น้นั คา ทั่วไปของ θ ท่ที ําใหสมการเปนจรงิ คือ 2nπ + π และ 2nπ + 5π 44 เม่ือ n เปนจาํ นวนเตม็ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 247 แบบฝก หดั 1.8 1. 1) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 − 2bccos A จะได a2 = 402 + 602 − 2(40)(60)cos 60° = 1600 + 3600 − 2( 40) ( 60)  1   2  = 2800 ดังนน้ั a ≈ 52.92 2) จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 − 2accos B จะได b2 = 42 + 62 − 2(4)(6)cos120° = 16 + 36 − 2( 4) ( 6)  − 1   2  = 76 ดังนน้ั b ≈ 8.72 3) จากกฎของโคไซน c2 = a2 + b2 − 2abcosC จะได c2 = 1932 + 802 − 2(193)(80)cos133° ≈ 37249 + 6400 − 2(193)(80)(−0.6820) = 64709.16 ดังนั้น c ≈ 254.38 4) จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 − 2accos B จะได 72 = 122 + 82 − 2(12)(8)cos B นั่นคอื cos B ≈ 0.8281 ดงั นัน้ B ≈ 34.10° 5) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 − 2bccos A จะได 8.42 = 3.72 + 5.22 − 2(3.7)(5.2)cos A นน่ั คือ cos A ≈ −0.7752 ดังนน้ั A ≈ 140.82° 2. 1) เน่อื งจาก A + B + C = 180° ดังนนั้ B = 180° − ( A + C) = 180° − (45° + 60°) = 75° สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

248 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 จากกฎของไซน sin B = sin C bc ดงั นั้น sin 75° = sin 60° 20 c จะได c = 20sin 60° 2) เนือ่ งจาก sin 75° ดังนน้ั ≈ 17.93 A + B + C = 180° C = 180° − ( A + B) = 180° − (30° + 65°) = 85° จากกฎของไซน sin A = sin C ac ดังนั้น sin 30° = sin85° a 32 จะได a = 32sin 30° 3) เน่ืองจาก sin 85° ดังนน้ั ≈ 16.06 A + B + C = 180° B = 180° − ( A + C ) = 180° − (105° + 60°) = 15° จากกฎของไซน sin A = sin B ab ดงั น้นั sin105° = sin15° a4 จะได a = 4sin105° sin15° ≈ 14.93 และ sin C = sin B cb ดงั น้นั sin 60° = sin15° จะได c4 c = 4sin 60° sin15° ≈ 13.38 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 249 3. 1) พืน้ ทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม ABC = 1 absinC 2 = 1 (15)(20)sin 65° 2 ≈ 135.95 ตารางหนวย 2) พน้ื ที่ของรปู สามเหล่ยี ม ABC = 1 bcsin A 2 = 1 (80)(5.5)sin103.5° 2 ≈ 213.92 ตารางหนวย 3) พ้ืนท่ีของรูปสามเหลีย่ ม ABC = 1 acsin B 2 = 1 (14.1)(27.4)sin112° 2 ≈ 179.10 ตารางหนวย 4. ให AC และ BD เปนเสนทแยงมมุ ท้งั สองเสนของรูปสีเ่ หล่ยี มดา นขนาน ABCD พจิ ารณารปู สามเหลยี่ ม ABC จากรปู ไดวา มุม ABC เทา กบั 135° จากกฎของโคไซน AC2 = AB2 + BC2 − 2( AB)( BC )cos135° = 102 + 52 − 2(10)(5)cos135° ≈ 195.71 นน่ั คือ AC ≈ 13.99 พจิ ารณารปู สามเหลีย่ ม BCD 360° − 2(135°) จากรปู จะไดว า มุม BCD เทากับ 45° = 2 จากกฎของโคไซน BD2 = CD2 + BC2 − 2(CD)(BC )cos 45° สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

250 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 = 102 + 52 − 2(10)(5)cos 45° ≈ 54.29 จะได BD = 7.37 ดงั นนั้ เสนทแยงมุมเสน สั้นของรปู สีเ่ หลีย่ มน้ยี าวประมาณ 7.37 เซนตเิ มตร 5. จากรปู ให c แทนความยาวดาน AB และ AB = AC เนือ่ งจากรูปสามเหล่ยี มหนา จ่วั มีมุมยอดขนาด 30° จะไดม ุมที่ฐานของรปู สามเหล่ยี มหนา จ่วั มีขนาด 180° − 30°= 75° 2 จากกฎของไซน sin A = sin C BC AB จะได sin 30° = sin 75° 60 c c = 60sin 75° sin 30° ≈ 115.91 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 251 เนอ่ื งจากรูปสามเหลี่ยม ABC เปนรปู สามเหลี่ยมหนาจ่ัว จะไดวา ดา น AC ยาว 115.91 หนวย ดังนน้ั ความยาวรอบรปู ของรปู สามเหล่ยี มหนา จ่วั ขา งตน ยาวประมาณ 60 + 2(115.91) = 291.82 หนว ย 6. ใหจ ดุ E แทนจดุ ตัดของเสนทแยงมุมทั้งสองเสนของรปู สี่เหลย่ี มผนื ผา ABCD ที่ AB = 32 และ BC = 24 และให θ แทนขนาดของมุมแหลมทเี่ กิดจากเสนทแยงมมุ สองเสน ตดั กัน จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส A=C2 AB2 + BC2 = 322 + 242 = 1600 AC = 40 ดังน้ัน EC = EB = 20 จากกฎของโคไซน BC2 = EB2 + EC2 − 2(EB)(EC )cosθ 242 = 202 + 202 − 2(20)(20)cosθ cosθ = 0.28 จะได θ ≈ 73.74° ดงั นน้ั ขนาดของมุมแหลมทเ่ี กดิ จากเสน ทแยงมุมของรูปสเ่ี หลี่ยมรปู น้ตี ดั กัน ประมาณ 73.74° สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

252 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 7. ใหจ ุด A, B, C และ D แทนตําแหนง บานของหมอก ขวญั คะนงึ และฤดี ตามลําดบั จากกฎของไซน sin 45° = sin 30° BD 50 BD = 50sin 45° sin 30° = 50 2 เนื่องจากมมุ ABD = 30° + 45°= 75° จากกฎของไซน sin 90° = sin 75° 50 2 AD AD = 50 2 sin 75° sin 90° ≈ 68.30 ดงั น้ัน ความกวา งของคลองน้ีประมาณ 68.30 เมตร แบบฝกหัด 1.9 1. ให A เปนจุดท่ีพิเชษฐย ืนมองยอดตกึ และยอดเสาอากาศ B เปนฐานของตึก C เปน ยอดของตึก และ D เปนยอดเสาอากาศซ่ึงตงั้ อยูบ นยอดตึก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 253 จะได ระยะ AB เทากับ 18 เมตร ระยะ BC และ CD เปนความสงู ของตกึ และเสาอากาศ ตามลาํ ดบั ดงั รูป จาก BAˆC= 45° และ BAˆD= 60° พิจารณารปู สามเหลี่ยม ABC จะได tan BAˆ C = BC AB tan 45° = BC 18 BC = 18 tan 45° = (18)(1) = 18 พิจารณารูปสามเหลย่ี ม ABD จะได tan BAˆ D = BD AB tan 60° BD = BD 18 = 18 tan 60° สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

254 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 = 18 3 นน่ั คอื CD = BD − BC = 18 3 −18 ดังนนั้ เสาอากาศสูง 18 3 −18 เมตร 2. จากรูป และจากกฎของโคไซน จะได AB2 = 62 + 42 − 2(6)(4)cos30° = 36 + 16 − 2 (6)(4)  3  2  ≈ 10.43 จะได AB ≈ 3.23 ดังนน้ั ระยะระหวา งจุด A และจดุ B หา งกนั ประมาณ 3.23 กโิ ลเมตร 3. 1) ให A เปน จดุ ที่ทิพยมองยอดหนาผา B เปน ฐานของหนาผาบนชายฝง ระยะ AB เทากบั 500 เมตร และ BC เปนความสูงของหนาผาสวนทีเ่ หนอื ระดับสายตา ดังรปู สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 255 จาก BAˆC= 24° จะได tan BAˆ C = BC AB tan 24° = BC 500 BC = 500 tan 24° ≈ (500)(0.4452) ≈ 222.6 ดังนน้ั หนา ผาสูงประมาณ 222.6 เมตร 2) ให D เปนจดุ ที่ทิพยม องยอดหนา ผาเม่อื เรือใบอยูห างจากแนวชายฝง 200 เมตร ระยะ BD เทากบั 200 เมตร และ θ เปนขนาดของมุมเงยท่ีทิพยมองเห็นยอดหนาผา ดังรูป สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

256 คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เน่อื งจาก BDˆC =θ จะได tanθ = BC BD นน่ั คือ tanθ = 222.6 ≈ 48.06° จะได 200 tanθ = 1.113 θ ดงั นน้ั ทิพยมองเหน็ ยอดหนา ผาดว ยมุมเงย 48.06° 4. ให A เปนจดุ ท่ีพชิ ัยยืนมองยอดเสาอากาศเปน มุม θ B เปนจดุ ท่ีพชิ ัยยืนมองยอดเสาอากาศเปน มุม α และ CD เปนความสงู ของเสาอากาศ ดังรูป จาก θ + α = 90° จะได α= 90° −θ เนือ่ งจาก CAˆD = θ จะได ADˆC= 90° −θ= α และเน่อื งจาก CBˆD = α จะได BDˆC= 90° −α= θ พิจารณารปู สามเหล่ยี ม ACD จะได tan CAˆ D = CD AC tanθ = CD AC CD = AC tanθ = 100 tanθ พิจารณารปู สามเหลี่ยม BCD จะได tan BDˆ C = BC CD สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 257 tanθ = BC CD CD = BC tanθ = 200 tanθ นนั่ คอื 100 tanθ = 200 tanθ tan2 θ = 2 tanθ = 2 เพราะวา θ > 0 จะ=ได CD 1=00 tanθ 100 2 ดังนนั้ เสาอากาศสูง 100 2 เมตร 5. ให A เปน จุดทกี่ า นยนื มองรถบรรทุกและปอมยาม B เปน ฐานของตึก ระยะ AB = 4(15) +1.7 =61.7 เมตร C และ D เปนตําแหนงของปอมยามและรถบรรทกุ ตามลําดับ ดังรปู สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

258 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 เนื่องจากกา นมองเห็นปอมยามเปนมมุ กม 60° จะได ACˆB= 60° และ tan ACˆB = AB BC tan 60° = 61.7 BC 61.7 BC = tan 60° = 61.7 3 และเน่ืองจากกา นมองเหน็ รถบรรทกุ เปน มุมกม 30° จะได ADˆB= 30° และ tan ADˆ B = AB BD tan 30° = 61.7 BD 61.7 BD = tan 30° = (61.7 3) เนอ่ื งจากรถบรรทุกอยูทางทิศใตของปอ มยาม จะได BCˆD= 90° นนั่ คอื รปู สามเหล่ียม BCD เปนรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได BD2 = BC2 + CD2 CD2 = BD2 − BC2 ( )= 3 2 −  61.7 2 61.7  3  =  3 − 1  ( 61.7 )2  3  = 8 (61.7)2 3 จะได CD = 2 2 × 61.7 3 ≈ 100.76 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 259 ดงั น้ัน รถบรรทุกอยจู ากปอมยามเปนระยะประมาณ 100.76 เมตร 6. ให A เปน ตําแหนง ที่ต้ังกลอง B เปนตําแหนง ทน่ี รินทรย นื ระยะ AB เทา กบั 230 เซนติเมตร AC เปนความสงู ของขาตง้ั กลองซึ่งสงู 140 เซนตเิ มตร ดังรูป เนอ่ื งจาก ECˆD= 30° จะได tan ECˆD = DE CD tan 30° = DE 230 DE = 230 tan 30° = 230  1  3  ≈ 132.79 น่นั คอื ระยะ DE นอ ยกวา ระยะ DB ดังนน้ั กลอ งไมสามารถถายภาพเตม็ ตัวของนรินทรไ ด ให y คอื ระยะหางระหวา งจุดต้งั กลอ งและจดุ ท่นี รนิ ทรย นื เพ่ือใหถา ยภาพไดเ ต็มตวั สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

260 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 จะได tan 30° = BD y y = 140 tan 30° = 140 1 3 = 140 3 ≈ 242.49 ดังนนั้ นรนิ ทรตอ งยนื หา งจากจดุ ท่ตี ง้ั กลองอยางนอย 242.49 เซนตเิ มตร จงึ จะได ภาพถายเตม็ ตัว 7. ให A เปนตาํ แหนงของวตั ถุชิ้นที่ 1 B เปนตําแหนงของวตั ถุชิน้ ท่ี 2 CD เปน ความสงู ของหอคอย จะได CD = h เมตร ดงั รูป โดยใชความรเู ร่ืองเสนขนาน จะได DAˆC= 45° + α และ DBˆC= 45° −α จะได tan DAˆ C = CD AC tan (45° + α ) = h AC AC = h tan (45° + α ) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 261 และ tan DBˆC = CD BC tan (45° − α ) = h BC BC = h tan (45° − α ) จะได AB = CB − CA = tan ( h − α ) − tan h + α ) 45° ( 45° = h  tan 1 − α ) − tan 1 + α )     ( 45° ( 45°  = h 1+ tan 45° tanα − 1− tan 45° tanα   tan 45° − tanα tan 45° + tanα  = h 1 + tan α − 1− tan α  1 − tan α 1+ tan α  = h (1+ tanα )2 − (1− tanα )2     (1− tanα )(1+ tanα ) (1+ tanα −1+ tanα )(1+ tanα +1− tanα )  = h   1 − tan2 α  (2 tanα )(2)  = h   1 − tan2 α  = 2h  1 2 tan α   − tan2 α  = 2h tan 2α ดงั น้ัน วัตถุท้ังสองอยหู างกนั 2htan 2a เมตร สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

262 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 8. 1) เนอ่ื งจาก AOˆB= 360°= 72° 5 และเนอ่ื งจากวงกลมมรี ศั มี 5 เซนติเมตร จะไดวา OA = OB = 5 เซนติเมตร จากกฎของโคไซน AB2 = OA2 + OB2 − 2(OA)(OB)cos AOˆB = 52 + 52 − 2(5)(5)cos 72° ≈ 34.55 จะได AB ≈ 5.88 ดงั นนั้ ความยาวรอบรูปของรปู หา เหลย่ี มดานเทามุมเทาน้ีประมาณ 5×5.88 =29.4 เซนติเมตร 2) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 263 เนอ่ื งจากมมุ ภายในของรปู หาเหลีย่ มดานเทามุมเทารวมกนั เปน 540° จะไดมุมแตละมุมมีขนาด 108° นน่ั คือ OAˆB= 54°= OAˆC จะได tan OAˆ C = OC AC tan 54° = 5 AC 5 AC = tan 54° ≈5 1.3764 ≈ 3.63 น่นั คอื AB ≈ 2× 3.63 =7.26 ดังนน้ั ความยาวรอบรปู ของรูปหาเหลยี่ มดา นเทา มุมเทา นป้ี ระมาณ 5× 7.26 =36.3 เซนตเิ มตร 9. ให A เปน จุดที่อญั ชนั ยืนมองยอดหอคอย B เปนตําแหนง ของยอดหอคอย C เปนตําแหนง ของฐานหอคอย ระยะ BC เทากับ 60 เมตร และ D เปน ตําแหนงของตีนเขา ดงั รูป สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

264 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 เนือ่ งจาก DAˆC= 37° และ DAˆB= 49° จะได CAˆB= 49° − 37°= 12° และ ABˆD= 90° − 49°= 41° พจิ ารณารูปสามเหลย่ี ม ABC จากกฎของไซน จะได sin ABˆC sin BAˆ C = AC BC น่ันคอื sin 41° = sin12° AC 60 AC = 60sin 41° sin12° ≈ 189.33 พิจารณารปู สามเหล่ยี ม ADC จะไดวา sin DAˆ C = CD AC sin 37° = CD AC CD = AC sin 37° ≈ (189.33)(0.6018) ≈ 113.94 ดงั นั้น ฐานหอคอยอยูหา งจากอญั ชัน 189.33 เมตร และภเู ขาลูกนี้สงู 113.94 เมตร 10. ให A เปนจดุ ยอดของพีระมดิ B เปน จุดก่งึ กลางของฐานของพรี ะมิด C เปนจดุ ปลายฐานของพรี ะมิด จะได AB เปน ความสงู ของพรี ะมิด และให D และ E เปนตําแหนงท่อี ยหู างจากปลายฐานของพีระมิดเปนระยะ 30 เมตร และ 60 เมตร ตามลาํ ดบั ดงั รูป สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 265 จะได B=Dˆ A 43.71° และ B=EˆA 38.39° พจิ ารณารูปสามเหลย่ี ม ABD จะไดวา tan BDˆ A = AB BD tan 43.71° = AB BC + 30 AB = ( BC + 30) tan 43.71° พิจารณารปู สามเหลี่ยม ABE จะไดว า tan BEˆA = AB BE tan 38.39° = AB BC + 60 AB = ( BC + 60) tan 38.39° นั่นคอื ( BC + 30) tan 43.71° = ( BC + 60) tan 38.39° BC tan 43.71° + 30 tan 43.71° = BC tan 38.39° + 60 tan 38.39° (tan 43.71° − tan 38.39°) BC = 60 tan 38.39° − 30 tan 43.71° 60 tan 38.39° − 30 tan 43.71° BC = tan 43.71° − tan 38.39° BC ≈ 60(0.7923) − 30(0.9560) 0.9560 − 0.7923 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

266 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 BC ≈ 115.20 จะได AB ≈ (115.20 + 30) tan 43.71° ≈ 138.80 ดงั น้ัน ความสงู ของพรี ะมิดในปจ จุบัน สูงประมาณ 138.80 เมตร 11. จากกฎของโคไซน พจิ ารณารูปสามเหลยี่ ม AOB AB2 = OA2 + OB2 − 2(OA)(OB)cos AOˆB จะได 82 = 7.572.5+ 7.52 − 2(7.5)(67.5)cos AOˆB 112.5cos AOˆB = 48.5 cos AOˆB ≈ 0.4311 น่นั คอื AOˆB ≈ 64.46 องศา พิจารณารปู สามเหลยี่ ม AO′B AB2 = O′A2 + O′B2 − 2(O′A)(O′B)cos AOˆ ′B จะได 82 = 62 + 62 − 2(6)(6)cos AOˆ ′B 72cos AOˆ ′B = 8 cos AOˆ ′B ≈ 0.1111 น่นั คอื AOˆ′B ≈ 83.62 องศา ดงั น้นั มุม AOB มีขนาด 64.46 องศา และมุม AO′B มีขนาด 83.62 องศา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 267 แบบฝก หดั ทายบท 1. คาของฟงกช ันตรโี กณมิติทุกฟงกช นั ของจํานวนจรงิ ทกี่ าํ หนดใหแ สดงดังตารางตอไปนี้ θ sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ 1) −53π 0 −1 0 ไมนิยาม −1 ไมนิยาม 2) 11π −1 0 ไมนยิ าม −1 ไมนยิ าม 0 2 11π 2 −2 −1 2 − 2 −1 3) 22 4 4) 14π 3 −1 − 3 2 3 −2 − 3 32 2 3 3 5) 35π −1 3 − 3 −2 2 3 − 3 6 22 3 3 6) −11π 3 1 3 23 2 3 3 2 2 3 3 7) −19π 1 −3 −3 2 −2 3 −3 6 2 23 3 8) − 49π −2 2 −1 − 2 2 −1 4 2 2 2. จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ =1 − sin2 θ =1−  6601 2 =121  3721 เนื่องจาก π < θ < π จะได cosθ = − 11 2 61 1) sin (2π −θ ) = −sinθ = − 60 61 2) cosec(−θ ) = 1 = 1 =1 = − 61 − sin θ − 60 60 sin (−θ ) 61 3) cos(2π −θ ) = cosθ = − 11 61 60 4) tan (3π + θ ) = tanθ = sinθ = 61 = − 60 cosθ  11  11  − 61  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

268 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 − cosθ  − 11  11 sinθ  61  60 5) cot (π −θ ) = −cotθ = = − = 60 61 6) sec(θ − 2π ) = sec(−(2π −θ )) = sec(2π −θ ) = secθ = 1 = − 61 cosθ 11 3. เนื่องจาก 1+ cot2 θ =cosec2θ จะได cosec2θ = 1 +  8 2 = 1+ 64 = 289  15  225 225 นน่ั คือ cosecθ = 17 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 15 2 ดงั นน้ั sinθ = 15 17 เนอ่ื งจาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 −  15 2 = 64  17  289 น่นั คือ cosθ = 8 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 17 2 ดงั นั้น cosθ + cosecθ = 8 + 17 = 409 17 15 255 4. เน่ืองจาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 −  − 35 2 = 144  37  1369 นั่นคอื sinθ = 12 เพราะ π ≤ θ ≤ π 37 2 จะได secθ = − 37 และ tanθ = sinθ = − 12 35 cosθ 35 ดงั นั้น secθ + tanθ =− 37 − 12 =− 49 =− 7 35 35 35 5 5. เนอื่ งจาก 1+ tan2 θ =sec2 θ จะได sec2 θ = 1 +  − 1 2 = 37  6  36 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 269 นน่ั คอื secθ = 37 เพราะ 3π ≤ θ ≤ 2π 6 2 จะได cotθ = −6 และ cosθ = 6 37 37 ดังนั้น cotθ − cosθ =−6 − 6 37  37 + 37  37 =−6  37  6. 1) sec 5π + cosec 7π − cos 4π = 1 + 1 − cos 4π 6 33 cos 5π sin 7π 3 63 = 1+ 1 −  − 1  −3 3  2  22 =1 2 2) sin  − 7π  + cos  − π  + tan 5π = −sin 7π + cos π + tan 5π  6   3  4 6 34 = −  − 1  + 1 + 1  2  2 =2 3) sin 2π cos 2π − cot  − π  tan 2π = sin 2π cos 2π + cot π tan π 3 3  6  6 3 3 6 3 = 3 ⋅  − 1  + 3⋅ 3 2  2  = 3− 3 4 4) tan2 π + cot2 11π − sec2 23π − cosec2 13π 12 12 12 12 = tan2 π + cot2 π − sec2 π − cosec2 π 12 12 12 12 =  tan 2 π − sec2 π  +  cot 2 π − cosec2 π   12 12   12 12  = (−1) + (−1) = −2 7. เน่อื งจาก −1≤ cosθ ≤1 สําหรับทุกจํานวนจรงิ θ ถา −1 ≤ cosθ < 0 จะได 1 ≤ −1 cosθ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

270 คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 ถา 0 < cosθ ≤1 จะได 1 ≥1 cosθ น่ันคอื 1 ≥1 หรอื secθ ≥1 cosθ ดังนัน้ ไมมีจํานวนจริง θ ใด ๆ ที่ทาํ ให secθ <1 8. เน่อื งจากเรนจของฟง กช ัน tan คอื เซตของจาํ นวนจริง และ 5 เปนจํานวนจรงิ เมื่อ 0 ≤ θ < π จะไดว า tanθ > 0 2 ดังน้ัน มีจาํ นวนจรงิ θ ที่ทําให tanθ = 5 9. จากรปู จะได cos 40° = DB AB นน่ั คือ DB = AB cos 40° ≈ 6(0.7660) = 4.5960 น่นั คอื sin 40° = AD AB AD = AB sin 40° ≈ 6(0.6428) = 3.8568 นนั่ คือ tan 30° = AD CD CD = AD cot 30° ≈ (3.8568)(1.7320) ≈ 6.6800 และ sin 30° = AD น่นั คือ AC AC = AD cosec30° ≈ (3.8568)(2) ≈ 7.7136 จะได BC = CD + DB = 6.6800 + 4.5960 =11.276 ดงั นนั้ ดา น BC ยาวประมาณ 11.276 เซนติเมตร และดาน CA ยาวประมาณ 7.7136 เซนตเิ มตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 271 10. ให ABC เปนรปู สามเหลี่ยมหนา จัว่ ที่มมี ุม A เปน มุมยอด จากรปู จะได BD = DC = 20 นว้ิ cos 70° = BD AB จะได AB = BD = 20 ≈ 58.4795 cos 70° 0.3420 นั่นคอื AB + AC=+ BC 2(58.479=5) + 40 156.959 ดงั นัน้ ความยาวของเสน รอบรปู ของรูปสามเหลย่ี มหนาจว่ั ขา งตน ยาวประมาณ 156.959 น้ิว สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

272 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 11. จากรปู จะได AB = AC = 90 เน่อื งจาก cos15° = AD จะได AC AD = AC cos15° ≈ 90(0.9659) = 86.931 นน่ั คือ x =AB − AD =90 − 86.931 =3.069 ดังนั้น x มีคา ประมาณ 3.069 12. 1) คาบ คือ 2π แอมพลจิ ดู คือ 1 2 เรนจ คอื − 1 , 1 2 2  เขยี นกราฟของ y = 1 cosθ ไดด ังนี้ 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 273 2) คาบ คอื π 2 แอมพลจิ ูด คือ 1 2 เรนจ คือ − 1 , 1  2 2  เขยี นกราฟของ y = 1 sin 4θ 2 3) คาบ คือ π แอมพลจิ ดู คือ 1 2 เรนจ คือ − 1 , 1  2 2  เขยี นกราฟขอ=ง y 1 sin(−2θ ) ไดด งั นี้ 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 4) คาบ คอื π แอมพลจิ ูด คือ 1 2 เรนจ คอื − 1 , 1 2 2  เขยี นกราฟของ y =− 1 sin(−2θ ) ไดดังนี้ 2 5) คาบ คอื 4π แอมพลิจดู คือ 2 เรนจ คอื [−3,1] เขยี นกราฟของ y =−2sin 1θ −1 ไดด ังนี้ 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 275 6) คาบ คอื 4π แอมพลิจูด คือ 2 เรนจ คือ [−1, 3] เขยี นกราฟของ y =−2cos 1θ +1 ไดด งั นี้ 2 7) คาบ คือ π แอมพลจิ ดู คอื 2 เรนจ คอื [−1, 3] เขียนกราฟข=อง y 2sin 2θ +1 ไดดงั นี้ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

276 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 8) คาบ คือ π แอมพลจิ ดู คอื 2 เรนจ คอื [−3,1] เขยี นกราฟ=ของ y 2cos2θ −1 ไดดังน้ี 13. 1) (ค) 2) (จ) 3) (ฉ) 4) (ข) 5) (ง) 6) (ก) 14. 1) cosec  3π − π  = 1  2 3  sin  3π − π   2 3  1 = sin 3π cos π − cos 3π sin π 23 23 = 1 ( −1)  1  − ( 0)  3  2     2  = −2 2) cos165° = cos(180° −15°) = − cos15° สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 277 = −cos(45° − 30°) = −(cos 45°cos30° + sin 45°sin 30°) =  2⋅ 3+ 2 ⋅ 1  −  2 2 2 2  = − 6+ 2 4 3) sin105° = sin (60° + 45°) = sin 60°cos 45° + cos 60°sin 45° = 3⋅ 2 +1⋅ 2 2 2 22 = 6+ 2 4 4) tan 285° = tan (360° − 75°) = − tan 75° = − tan (30° + 45°) = − tan 30° + tan 45° 1 − tan 30° tan 45° 3 +1 = −3 1− 3 3 = 3+3 3−3 = −2 − 3 5) sec  − π  = 1  12  cos  − π   12  = 1 cos  π − π   4 3  = 1 cos π cos π + sin π sin π 4 3 43 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

278 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 =1 2⋅1+ 2⋅ 3 22 2 2 = 6− 2 6) cot  − 17π  = − cot  π + 5π   12   12  = − cot 5π 12 = − 1 tan 5π 12 = −  1 π   π 6  tan 4 + = − 1 tan π + tan π 46 1− tan π tan π 46 =− 1 1+ 3 3 1− 3 3 = 3−3 3+3 = 3−2 7) cos 3π cos 7π − sin 3π sin 7π = cos  3π + 7π  20 20 20 20  20 20  = cos π 2 =0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 279 8) tan 74° − tan14° = tan (74° −14°) 1 + tan 74° tan14° = tan 60° =3 9) sin  −π  cos 5π − cos  −π  sin 5π = sin  − π − 5π   12  12  12  12  12 12  = sin  − π   2  = −1 10) cos100°cos5° − sin100°sin 5° = cos(100° + 5°) = cos105° = cos(60° + 45°) = cos 60°cos 45° − sin 60°sin 45° = 1⋅ 2 − 3⋅ 2 22 2 2 = 2− 6 4 11) 1 + tan15° = tan 45° + tan15° 1 − tan15° 1 − tan 45° tan15° = tan (45° +15°) = tan 60° =3 12) 2sin 11π sin 7π = cos  11π − 7π  − cos  11π + 7π  12 12  12 12   12 12  = π − cos 3π cos 32 =1 2 13) cos165°cos 75° = 1 cos (165° + 75°) + cos (165° − 75°) 2 = 1 (cos 240° + cos90°) 2 = 1 (− cos 60°) 2 = −1 4 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 14) sin 80 cos 25 + sin100 cos35 + cos80 sin 25 + cos100 sin 35 = 1 (sin105° + sin 55°) + 1 (sin135° + sin 65°) + 1 (sin105° − sin 55°) 222 + 1 (sin135° − sin 65°) 2 = sin105° + sin135° = sin (180° − 75°) + sin (180° − 45°) = sin 75° + sin 45° = sin (30° + 45°) + sin 45° = sin 30°cos 45° + cos30°sin 45° + sin 45° = 1⋅ 2 + 3⋅ 2 + 2 22 2 2 2 = 6+3 2 4 15) cos135° + cos105° + cos 75° = cos(90° + 45°) + cos(180° − 75°) + cos 75° = cos(90° + 45°) − cos 75° + cos 75° = cos(90° + 45°) = cos90°cos 45° − sin 90°sin 45° = (0) ⋅ 2 − (1) ⋅ 2 22 =−2 2 16) sin 80° − sin 40° − sin 20° = 2 cos  80° + 40°  sin  80° − 40°  − sin 20° 2   2  = 2cos 60°sin 20° − sin 20° = 2  1  sin 20° − sin 20°  2  15. 1) =0 จาก cos2 α + sin2 α =1 จะได cos2 α =1 − sin2 α =1 −  153 2 =144  169 ดังนนั้ cosα = −12 เพราะ − 3π < α < −π 13 2 จาก tan β = − 3 จะได sin β = 3 ,cos β = − 1 เพราะ π < β < π 2 22 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 281 ดงั นน้ั sina=5a,cos =−12 ,sin β =3 ,cos β =− 1 , tana =− 5 และ 13 13 2 2 12 tan β = − 3 จะได sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = 5 ⋅  − 1  +  − 12  ⋅ 3 13  2   13  2 = −5 −12 3 26 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β =  − 12  ⋅  − 1  − 5 ⋅ 3  13   2  13 2 = 12 − 5 3 26 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β = 5 ⋅  − 1  −  − 12  ⋅ 3 13  2   13  2 = −5 +12 3 26 tan (a − β ) = tana − tan β 1+ tana tan β (− 5 − − 3) = 12 ( )1  5  +  − 12  − 3 = −5 +12 3 12 + 5 3 2) จาก secα = −17 จะได cosα = − 8 8 17 จาก cos2 α + sin2 α =1 จะได sin 2 α = 1− cos2 α =1−  − 8 2 = 225  17  289 ดงั นัน้ sinα = −15 เพราะ π < α < 3π 17 2 และจาก cos2 β + sin2 β =1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

282 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 จะได cos2 β =1 − sin2 β  2 2 =1 =1−  2  2 ดังนั้น cos β = − 2 เพราะ − 3π < β < −π 2 2 ดงั น้นั sina=−15a,cos =− 8 ,sin β =2 ,cos β =− 2 , tana =15 และ tan β = −1 17 17 2 28 จะได sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β =  − 15  ⋅  − 2  +  − 8  ⋅ 2  17   2   17  2 =72 34 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β =  − 8  ⋅  − 2  −  − 15  ⋅ 2  17   2   17  2 = 23 2 34 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β =  − 15  ⋅  − 2  −  − 8  ⋅ 2  17   2   17  2 = 23 2 34 tan (a − β ) = tana − tan β 1+ tana tan β 15 − (−1) 8 = 1+ 15 (−1) 8 = − 23 7 16. จาก sin2 x + cos2 x =1 จะได cos2 x =1 − sin2 x =1−  3 2 =16 5  25 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 283 นัน่ คือ cos x = 4 เพราะ 0 < x < π 52 และ sin2 ( x + y) + cos2 ( x + y) =1 จะได cos2 (x + y) =1 − sin 2 (x + y) =1 −  − 5 2 =144  13  169 นนั่ คือ cos( x + y) =−12 เพราะ π < x + y < 3π 13 2 จาก sin ( x + y) = sin x cos y + cos xsin y จะได − 5 = 3 cos y + 4 sin y ------------ (1) และจาก 13 5 5 ------------ (2) cos( x + y) = cos x cos y − sin xsin y ------------ (3) ------------ (4) จะได −12 = 4 cos y − 3 sin y 13 5 5 ------------ (5) ------------ (6) จาก (1) จะได − 15 = 9 cos y + 12 sin y 65 25 25 จาก (2) จะได − 48 = 16 cos y − 12 sin y 65 25 25 จาก (3) และ (4) จะได cos y = − 63 65 จาก (1) จะได − 20 = 12 cos y + 16 sin y 65 25 25 จาก (2) จะได − 36 = 12 cos y − 9 sin y 65 25 25 จาก (5) และ (6) จะได sin y = 16 65 ดังน้นั =sin x 3=,cos x 4=,sin y 16 และ cos y = − 63 5 5 65 65 4 1) cot x = cos x = 5 =4 3 3 sin x 5 sin ( x + y) −5 =5 = cos( x + y) 13 12 2) tan ( x + y) = − 12 13 3) sin y = 16 65 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

284 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 4) cos( x − y) = cos x cos y + sin xsin y = 4 ⋅  − 63  + 3 ⋅ 16 = − 204 5  65  5 65 325 17. cot 2x = 1 tan 2x 1 = 2 tan x 1 − tan2 x = 1 − tan2 x 2 tan x 1 −  1 2  2  =  1  2  2  18. จาก =3 1 − 2sin2 α จะได 4 cos 2α = 1− 2sin2 (0.52) cos 2(0.52) = นนั่ คอื cos1.04 = 1− 2sin2 (0.52) 0.50 = 1− 2sin2 (0.52) sin2 (0.52) = 0.25 ดังนน้ั sin 0.52 = 0.5 เพราะ 0 < 0.52 < π 2 19. 1) sin (π + θ ) = sinπ cosθ + cosπ sinθ = (0) ⋅ cosθ + (−1) ⋅ sinθ = −sinθ 2) sin  3π +θ  = sin 3π cosθ + cos 3π sinθ  2  22 = (−1) ⋅ cosθ + (0) ⋅ sinθ = − cosθ 3) tan (90° − A) = sin (90° − A) cos(90° − A) = sin 90°cos A − cos90°sin A cos90°cos A + sin 90°sin A สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 285 (1) ⋅ cos A − (0) ⋅ sin A = (0) ⋅ cos A + (1) ⋅ sin A = cos A sin A = cot A 4) sec(90° − A) = 1 cos(90° − A) =1 cos90°cos A + sin 90°sin A = 1 (0) ⋅ cos A + (1) ⋅ sin A =1 sin A = cosecA 5) tan (270° − A) = sin (270° − A) cos(270° − A) = sin 270°cos A − cos 270°sin A cos 270°cos A + sin 270°sin A (−1) ⋅ cos A − (0) ⋅ sin A = (0) ⋅ cos A + (−1) ⋅ sin A = − cos A −sin A = cot A 6) sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sin (α − β ) sinα cos β − cosα sin β sinα cos β + cosα sin β cosα cos β cosα cos β = sinα cos β cosα sin β cosα cos β − cosα cos β = tana + tan β tana − tan β 7) sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sinα cos β sinα cos β = 1+ cosα sin β sinα cos β สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

286 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 = 1+ cota tan β 8) cos( x + 45°) + cos( x − 45°) = 2 cos  x + 45° + x − 45°  cos  x + 45° − x + 45°   2   2  = 2cos x cos 45° = 2cos x ⋅ 2 2 = 2 cos x 9) sin ( x + y)sin ( x − y) = (sin x cos y + cos xsin y)(sin x cos y − cos xsin y) = sin2 x cos2 y − cos2 x sin2 y ( ) ( )= sin2 x 1− sin2 y − 1− sin2 x sin2 y = sin2 x − sin2 x sin2 y − sin2 y + sin2 x sin2 y = sin2 x − sin2 y ( )10) 1+ cos 2α 1 + 1 − 2sin2 α = 2cosα + sin 2α 2cosα + 2sinα cosα ( )2 1− sin2 α = 2cosα (1+ sinα ) 2(1− sinα )(1+ sinα ) = 2cosα (1+ sinα ) = 1− sinα cosα = seca− taan 11) 2 tana = 2 tana 1 + tan2 a sec2 a = 2sinα cos2 α cosα = 2sinα cosα = sin 2α 12) 1 − tan2 a = 1 − tan2 a 1 + tan2 a sec2 a = cos2 α − sin2 α ⋅ cos2 α cos2 α = cos2 α − sin2 α = cos 2α สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 287 13) cos 4α = cos 2(2α ) = 2cos2 2α −1 ( )= 2 2 2cos2 α −1 −1 ( )= 2 4cos4 α − 4cos2 α +1 −1 = 8cos4 α − 8cos2 α + 2 −1 = 8cos4 α − 8cos2 α +1 ( ) ( )14) cosec2a− 2 atan 2 = cot2 a−1 atan 2 = ( cot a− 1)a( cot + 1) 2 tan a − tan2 a 1 =  tan1a−1 taan1 +1 (a1 − tan2 ta)an(1a+ tan )  =  1 − tana 1 + taan  a2 tan  tana taan  (1a− tan )(a1+ tan ) =2 tan a = 2cotα 20. 1) ให  3  =θ จะได tanθ = − 3 arctan  − 3  3 เนื่องจากในชว ง  − π ,π  มี −π เพียงคาเดียวที่ tan  − π  =− 3  2 2  6  6  3 ดงั นนั้  3  =− π arctan  − 3  6 2) ให  3  =θ จะได cosθ = − 3 arccos − 2  2 เนอ่ื งจากในชว ง [0,π ] มี 5π เพียงคาเดียวที่ cos 5π = − 3 6 62 ดงั นั้น  3  =5π arccos − 2  6 และ  3   =cos 5π =− 3 cos arccos − 2   6 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

288 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 3) ให arccos 1 = θ จะได cosθ = 1 โดยท่ี 0 ≤ θ ≤ π 33 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ =1 − cos2 θ =1 −  1 2 =8 3  9 น่ันคอื sinθ = 2 2 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 3 ดังนนั้ tan  arccos 1  = tanθ  3  = sinθ cosθ 22 =3 1 3 = 22 4) ให  2  =θ จะได sinθ = − 2 โดยที่ −π ≤θ ≤ π arcsin  − 3  3 22 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ =1− sin2 θ =1−  2 2 = 7  − 3  9 นนั่ คอื cosθ = 7 เพราะ − π ≤ θ ≤ π 3 22 ดังนน้ั  2   = cotθ cot  arcsin  − 3   = cosθ sinθ 7 =3 −2 3 = − 14 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 289 5) ให arctan 1 = θ จะได tanθ = 1 โดยท่ี − π < θ < π 2 2 22 จาก tanθ = 1 จะได cotθ = 2 และ 0 ≤ θ ≤ π 22 จาก 1+ cot2 θ =cosec2θ จะได cosec2θ =1+ 22 =5 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π น่ันคอื cosecθ = 5 2 ดังน้ัน cosec  arctan 1  = cosecθ  2  =5 6) ให  3  =θ จะได cosθ = − 3 โดยท่ี 0 ≤ θ ≤ π arccos − 3  3 จาก cosθ = − 3 จะได π ≤ θ ≤ π 32 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ = 1 − cos2 θ  3 2 = 2 = 1−  − 3  3 นนั่ คอื sinθ = 6 เพราะ π ≤ θ ≤ π 3 2 ดงั น้ัน  3   = cotθ cot  arccos − 3   = cosθ sinθ −3 =3 6 3 =−2 2 7) ให arccos 1 = θ จะได cosθ = 1 โดยที่ 0 ≤ θ ≤ π 33 จาก cosθ = 1 จะได 0 ≤ θ ≤ π 32 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

290 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ =1 − cos2 θ =1 −  1 2 =8 3  9 นน่ั คือ sinθ = 2 2 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 3 2 = cosecθ ดงั นน้ั cosec  arccos 1  3  =1 sinθ =1 22 3 = 32 4 8) ให arccos a = θ จะได cosθ = a โดยที่ 0 ≤ θ ≤ π จาก cosθ = a และ 0 < a ≤1 จะได 0 ≤ θ ≤ π 2 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได sin2 θ =1− cos2 θ =1− a2 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π นั่นคอื sinθ= 1− a2 ดงั น้ัน sin (2arccos a) 2 = sin 2θ = 2sinθ cosθ = 2 1− a2a = 2a 1− a2 9) พิจารณา cos 5π + sin  − π  =0 + ( −1) =−1 2  2  ให arctan (−1) =θ จะได tanθ = −1 เนือ่ งจากในชว ง  − π , π  มี −π เพยี งคาเดียวที่ tan  − π  =−1  2 2  4  4  ดงั นั้น arctan (−1) =− π 4 และ arctan  cos 5π + sin  − π  = arctan (−1) = − π  2  2     4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี