(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 291 10) พจิ ารณา sin  − 3π  =− 2  4  2 ให  2  =θ จะได cosθ = − 2 arccos − 2  2 เน่ืองจากในชวง [0,π ] ไมมจี าํ นวนจริง θ ใดที่ทาํ ให cosθ = − 2 2 ดังนน้ั arccos1 = ∅ และ arccos  sin  − 3π  =  2  = ∅   4   arccos − 2  11) พจิ ารณา tan 5π =1 4 ให arccos1 = θ จะได cosθ =1 เนอื่ งจากในชวง [0,π ] มี 0 เพยี งคาเดียวท่ี cos0 =1 ดงั น้ัน arccos1 = 0 และ arccos  tan 5π  = arccos1 = 0 4  12) เนอ่ื งจาก sin  − π  =− 3 และ cos  − π  =2  3  2  4  2 จะได arccos  sin  − π   =  3  =5π   3   arccos − 2  6   และ arcsin  cos  − π  = arcsin 2 =π   4   24 ดังนัน้ tan  arccos  sin  − π   − arcsin  cos  − π    = tan  5π −π     3     4     6 4        tan 5π − tan π 64 = 1+ tan 5π tan π 64 − 3 −1 =3 1− 3 3 = −2 − 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

292 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 21. 1) ให arcsin 4 = θ จะได sinθ = 4 โดยที่ − π ≤ θ ≤ π 5 5 22 เน่อื งจาก sinθ = 4 จะได 0 ≤ θ ≤ π 52 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ =1 − sin2 θ =1 −  4 2 =9 5  25 น่นั คือ cosθ = 3 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 5 2 ให arccos12 = a จะได cosα = 12 โดยที่ 0 ≤ α ≤ π 13 13 เนอื่ งจาก cosα = 12 จะได 0 ≤ α ≤ π 13 2 จาก cos2 α + sin2 α =1 จะได sin 2 α =1 − cos2 α =1 −  1123 2 =25  169 นน่ั คอื sinα = 5 เพราะ 0 ≤ α ≤ π 13 2 และให arcsin 16 = β จะได sin β = 16 โดยที่ − π ≤ β ≤ π 65 65 2 2 เน่อื งจาก sin β = 16 จะได 0 ≤ β ≤ π 65 2 จาก cos2 β + sin2 β =1 จะได cos2 β =1 − sin2 β =1 −  1665 2 =3969  4225 น่นั คอื cos β = 63 เพราะ 0 ≤ β ≤ π 65 2 พิจารณา sin (θ + α + β ) = sin ((θ + α ) + β ) = sin (θ + α )cos β + cos(θ + α )sin β = (sinθ cosα + cosθ sinα )cos β + (cosθ cosα − sinθ sinα )sin β = sinθ cosα cos β + cosθ sinα cos β + cosθ cosα sin β − sinθ sinα sin β = 4 ⋅ 12 ⋅ 63 + 3 ⋅ 5 ⋅ 63 + 3 ⋅ 12 ⋅ 16 − 4 ⋅ 5 ⋅ 16 5 13 65 5 13 65 5 13 65 5 13 65 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 293 = 1 โดยที่ 0 ≤ θ + α + β ≤ 3π 2 นั่นคอื θ + α + β =π 2 ดงั น้ัน arcsin 4 + arccos12 + arcsin 16 =π 5 13 65 2 2) ให arctan 1 = θ จะได tanθ = 1 โดยที่ − π < θ < π 3) 22. 1) 3 3 22 จะได tan 2θ = 2 tanθ 1 − tan2 θ = 2  1  3  1 −  1 2  3  =3 4 จะได 2θ = arctan 3 4 ดงั น้นั 2arctan 1 = arctan 3 34 ให arcsin x = θ จะได sinθ = x โดยท่ี − π ≤ θ ≤ π 22 จาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ =1− sin2 θ =1− x2 เพราะ − π ≤ θ ≤ π นน่ั คือ cosθ= 1− x2 ดงั นั้น sin (2arcsin x) 22 = sin 2θ = 2sinθ cosθ = 2x 1− x2 เม่อื x ∈[−1,1] ให arctan x = a จะได tana = x โดยที่ − π < α < π 22 และ arctan y = β จะได tan β = y โดยที่ − π < β < π 22 จะได tan (a + β ) = tana + tan β 1− tana tan β สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

294 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 = x+y 1− xy นัน่ คอื α + β = arctan x + y 1 − xy ดังนนั้ arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy 2) ให arctan x = a จะได tana = x โดยที่ − π < α < π 22 และ arctan y = β จะได tan β = y โดยท่ี − π < β < π 22 จะได −π < α + β < π จาก α + β > π จะได π < α + β < π นนั่ คือ − π < −π + (α + β ) < 0 22 2 เน่อื งจาก tan (−π + (a + β )) = − tan (π − (a + β )) = tan (a + β ) = tana + tan β 1− tana tan β = x+y 1− xy จะได −π + (α + β ) = arctan x + y 1 − xy นั่นคอื α + β = π + arctan x + y 1 − xy ดังนัน้ arctan x + arctan y = π + arctan x + y 1 − xy 3) ให arctan x = a จะได tana = x โดยท่ี − π < α < π 22 และ arctan y = β จะได tan β = y โดยท่ี − π < β < π 22 จะได −π < α + β < π จาก α + β < − π จะได −π < α + β < − π นน่ั คอื 0 < π + (α + β ) < π 2 22 เนื่องจาก tan (π + (a + β )) = tan (a + β ) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 295 = tana + tan β 1− tana tan β = x+y 1− xy จะได π + (α + β ) = arctan x + y 1 − xy น่ันคอื α + β = −π + arctan x + y 1 − xy 23. 1) ดังน้นั arctan x + arctan y = −π + arctan x + y 2) 1 − xy พจิ ารณา arctan 2 + arctan 3 เน่อื งจาก (2)(3) >1, 2 > 0 จะได arctan 2 + arctan 3 = π + arctan  1 2+3    − (2)(3) = π + arctan (−1) = π +  − π   4  = 3π 4 ดงั นั้น arctan1+ arctan 2 + arctan 3 = π + 3π =π 44 พิจารณา arctan 1 + arctan 1 23 เนอื่ งจาก  1   1  < 1 จะได  2   3  arctan 1 + arctan 1  1+1  23   = arctan  2 3    1   1    1 −  2   3   = arctan1 =π 4 ดังนั้น arctan1+ arctan 1 + arctan 1 = π + π =π 2 3 442 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

296 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 3) พจิ ารณา arctan (−3) + arctan 3 เนื่องจาก (−3)(3) <1 จะได 4) arctan (−3) + arctan 3 =  (−3) + 3  24. 1) arctan  1− (−3)(3)  2) 3) = arctan 0 4) 5) =0 ดงั นัน้ arctan (−3) + arctan 0 + arctan 3 = 0 พจิ ารณา arctan (−2) + arctan (−3) เน่อื งจาก (−2)(−3) >1, − 2 < 0 จะได arctan (−2) + arctan (−3) = −π + arctan  (−2) + (−3)  1− (−2)(−3)  = −π + arctan1 = −π + π 4 = − 3π 4 ดงั น้ัน arctan (−1) + arctan (−2) + arctan (−3) = − π − 3π =−π 44 1+ tan2 (−θ ) = 1+ tan2 θ (secθ − tanθ )(secθ + tanθ ) = sec2 θ = sec2 θ − tan2 θ ( )= 1+ tan2 θ − tan2 θ =1 ( ) ( )tan2 θ − cot2 θ = sec2 θ −1 − cosec2θ −1 secθ − secθ sin2 θ = sec2 θ −1 − cosec2θ +1 = sec2 θ − cosec2θ ( )= secθ 1− sin2 θ 2sinθ cosθ − cosθ cos2 θ 1 − sinθ + sin2 θ − cos2 θ = cosθ = cosθ cosθ (2sinθ −1) ( )= 1 − cos2 θ − sinθ + sin2 θ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 297 cosθ (2sinθ −1) = sin2 θ − sinθ + sin2 θ cosθ (2sinθ −1) = 2sin2 θ − sinθ cosθ (2sinθ −1) = sinθ (2sinθ −1) = cosθ sinθ = cotθ 6) cotθ cosθ + sinθ = cosθ ⋅ cosθ + sinθ sinθ = cos2 θ + sinθ sinθ = cos2 θ + sin2 θ sinθ =1 sinθ = cosecθ 7) 1 − sinθ + cosθ (1− sinθ )(1− sinθ ) + cos2 θ cosθ 1 − sinθ = cosθ (1− sinθ ) 1 − 2sinθ + sin2 θ + cos2 θ = cosθ (1− sinθ ) = 2 − 2sinθ cosθ (1− sinθ ) 2(1− sinθ ) = cosθ (1− sinθ ) = 2secθ 8) 1 − sinθ = 1 − sinθ ⋅ 1 − sinθ 1 + sinθ 1 + sinθ 1 − sinθ = 1 − 2sinθ + sin2 θ 1 − sin2 θ = 1 − 2sinθ + sin2 θ cos2 θ = 1 − 2sinθ + sin2 θ cos2 θ cos2 θ cos2 θ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

298 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 = sec2 θ − 2secθ tanθ + tan2 θ = (secθ − tanθ )2 9) cosθ + sinθ = cosθ + sinθ 1− tanθ 1 − cotθ 1− sinθ − cosθ 1 cosθ sinθ = cosθ + sinθ cosθ − sinθ sinθ − cosθ cosθ sinθ = cos2 θ − sin2 θ cosθ − sinθ cosθ − sinθ (cosθ − sinθ )(cosθ + sinθ ) = cosθ − sinθ = sinθ + cosθ 1 10) cotθ + tanθ = cotθ + cotθ 1− tanθ 1 − cotθ 1− 1 1− cotθ cotθ 1 = cot2 θ − cotθ cotθ −1 cotθ −1 cot2 θ − 1 = cotθ cotθ −1 cot3 θ −1 = cotθ (cotθ −1) ( )(cotθ −1) cot2 θ + cotθ +1 = cotθ (cotθ −1) cot2 θ + cotθ +1 = cotθ = cotθ +1+ tanθ = 1+ tanθ + cotθ 11) cot 2θ + tanθ = cos 2θ + sinθ sin 2θ cosθ = cos2 θ − sin2 θ + sinθ 2sinθ cosθ cosθ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 299 = cosθ − sinθ + sinθ 2sinθ 2cosθ cosθ = cosθ + sinθ 2sinθ 2cosθ = cos2 θ + sin2 θ 2sinθ cosθ =1 sin 2θ = cosec2θ 12) tan (a − β ) + tan β = tan ((a − β ) + β ) 1− tan (a − β ) tan β = tana 13) cota− taan = cosα − sinα sinα cosα = cos2 α − sin2 α sinα cosα ( )2 cos2 α − sin2 α = 2sinα cosα = 2cos 2α sin 2α = 2cot 2α 14) sin 2θ + sinθ = 2sinθ cosθ + sinθ cos 2θ + cosθ +1 2cos2 θ −1 + cosθ + 1 = 2sinθ cosθ + sinθ 2cos2 θ + cosθ sinθ (2cosθ +1) = cosθ (2cosθ +1) = sinθ cosθ = tanθ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

300 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 15) sinθ + sin 3θ + sin 5θ (sin 5θ + sinθ ) + sin 3θ cosθ + cos3θ + cos5θ = (cos5θ + cosθ ) + cos3θ = 2sin 3θ cos 2θ + sin 3θ 2cos3θ cos 2θ + cos3θ sin 3θ (2cos 2θ +1) = cos3θ (2cos 2θ +1) = sin 3θ cos 3θ = tan 3θ 16) cos 20°cos 40°cos80° = 1 ((2sin 20°cos 20°)cos 40°cos80°) 2sin 20° = 1 (sin 40°cos 40°cos80°) 2sin 20° = 1 ((2sin 40°cos 40°)cos80°) 4sin 20° = 1 (sin 80°cos80°) 4sin 20° = 1 (2sin 80°cos80°) 8sin 20° = 1 ⋅ sin160° 8sin 20° = 1 ⋅ sin (180° − 20°) 8sin 20° = 1 ⋅ sin 20° 8sin 20° =1 8 25. 1) จาก A + B + C = 180° จะได B + C= 180° − A จะได sin (180° − A) = sin ( B + C ) นัน่ คอื sin A = sin ( B + C ) 2) จาก A + B + C = 180° จะได B + C= 180° − A จะได cos(180° − A) = cos(B + C ) นัน่ คอื −cos A = cos( B + C ) ดังนน้ั cos A = −cos(B + C ) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 301 3) จาก A + B + C = 180° จะได A + =B 180° − C จะได sin A + sin B + sin C = 2sin A + B cos A − B + sin (180° − ( A + B)) 22 = 2sin A + B cos A − B + sin ( A + B) 22 = 2sin A + B cos A − B + sin 2 ⋅ ( A + B) 22 2 = 2sin A + B cos A − B + 2sin A + B cos A + B 22 22 = 2 sin A + B  cos A − B + cos A + B  2  2 2   A− B + A+ B A− B − A+ B   2 2 2 2 2 2  = 2sin 180° − C  2cos cos  2    = 2 sin  90° − C  2 cos A cos  − B   2   2 2     = 4cos C cos A cos B 222 = 4cos A cos B cos C 222 4) จาก A + B + C = 180° จะได A + =B 180° − C ( )จะได cos A + cos B + cosC = 2cos A + B cos A − B + cos 180 − ( A + B) 22 = 2cos A + B cos A − B − cos( A + B) 22 = 2cos A + B cos A − B − cos 2 ⋅ ( A + B) 22 2 = 2 cos A+ B cos A − B −  2 cos2 A+ B − 1 2 2  2 = 2cos A + B cos A − B − 2cos2 A + B +1 22 2 = 2 cos A + B  cos A − B − cos A + B  + 1 2  2 2  สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

302 คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1  A− B + A+ B A−B − A+ B   2 2 2 2 2 2  = 2cos180° − C  −2sin sin  +1 2    = 2 cos  90° − C  −2 sin A sin  − B   +1  2   2  2     26. 1) = 4sin C sin A sin B +1 2) 222 = 1 + 4sin A sin B sin C 222 จาก 4sin2 θ − 3 = 0 จะได sin2 θ = 3 4 นน่ั คือ sinθ = 3 หรอื sinθ = − 3 22 คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทําให sinθ = 3 คือ π และ 2π 23 3 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี ําให sinθ = − 3 คอื 4π และ 5π 23 3 ดงั น้นั คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ใหส มการเปนจริง คือ π , 2π , 4π และ 5π 33 3 3 จาก 2cos2 θ − 3 cosθ = 0 จะได ( )cosθ 2cosθ − 3 = 0 น่นั คอื cosθ = 0 หรอื cosθ = 3 2 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ีทําให cosθ = 0 คอื π และ 3π 22 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ = 3 คอื π และ 11π 26 6 ดังนั้น คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทาํ ใหส มการเปน จรงิ คือ π ,π , 3π และ 11π 62 2 6 3) จาก cos2 θ + cosθ = sin2 θ จะได cos2 θ + cosθ = 1− cos2 θ 2cos2 θ + cosθ −1 = 0 (2cosθ −1)(cosθ +1) = 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 303 นั่นคอื cosθ = 1 หรือ cosθ = −1 2 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี ําให cosθ = 1 คือ π และ 5π 23 3 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี ําให cosθ = −1 คือ π ดังนั้น คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทาํ ใหส มการเปน จริง คือ π ,π และ 5π 33 4) จาก 3tan2 θ = 2sec2 θ +1 จะได ( )3tan2 θ = 2 1+ tan2 θ +1 3tan2 θ = 3 + 2 tan2 θ tan2 θ = 3 น่ันคือ tanθ = 3 หรอื tanθ = − 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให tanθ = 3 คอื π และ 4π 33 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ีทําให tanθ = − 3 คือ 2π และ 5π 33 ดงั นน้ั คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ที่ทําใหสมการเปน จริง คือ π , 2π , 4π และ 5π 33 3 3 5) จาก tanθ = 2sinθ จะได sinθ = 2sinθ เมอ่ื cosθ ≠ 0 cosθ 2sinθ cosθ − sinθ = 0 sinθ (2cosθ −1) = 0 น่นั คือ sinθ = 0 หรอื cosθ = 1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ ําให sinθ = 0 คอื 0 และ π คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให cosθ = 1 คอื π และ 5π 23 3 ดงั นน้ั คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี ําใหสมการเปนจรงิ คือ 0,π ,π และ 5π 33 6) จาก 3secθ − cosθ + 2 = 0 จะได 3 − cosθ + 2 = 0 เม่อื cosθ ≠ 0 cosθ 3 − cos2 θ + 2cosθ = 0 cos2 θ − 2cosθ − 3 = 0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

304 คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 (cosθ − 3)(cosθ +1) = 0 นน่ั คอื cosθ = 3 หรือ cosθ = −1 เนื่องจาก −1≤ cosθ ≤1 ดังนนั้ ไมมีคา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทาํ ให cosθ = 3 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ = −1 คือ π ดังนัน้ คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทาํ ใหสมการเปนจริง คือ π 7) จาก 3cosec2θ + 2cosecθ = 0 ( )จะได cosecθ 3cosecθ + 2 = 0 นน่ั คอื cosecθ = 0 หรอื cosecθ = − 2 3 เน่ืองจาก cosecθ ≥1 ดังนนั้ ไมมีคาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ าํ ให cosecθ = 0 คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให cosecθ = − 2 คอื 4π และ 5π 33 3 ดงั น้ัน คา ของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที ําใหสมการเปนจริง คือ 4π และ 5π 33 8) จาก cos 2θ + 2cos2 θ = 1 2 จะได cos 2θ +  2 cos2 θ − 1 =0  2 2cos2 θ −1+ cosθ = 0 2cos2 θ + cosθ −1 = 0 (2cosθ −1)(cosθ +1) = 0 นั่นคอื cosθ = 1 หรอื cosθ = −1 2 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทีท่ าํ ให cosθ = 1 คือ π และ 5π 23 3 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทําให cosθ = −1 คือ π 27. 1) ดังนนั้ คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ าํ ใหส มการเปนจริง คือ π ,π และ 5π 33 จาก 2cos2 θ + 2cos 2θ = 1 จะได ( )2cos2 θ + 2 2cos2 θ −1 = 1 6cos2 θ − 3 = 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 305 cos2 θ = 1 2 น่ันคือ cosθ = 2 หรอื cosθ = − 2 22 คา ของ θ เม่อื 0° ≤ θ < 360° ทท่ี าํ ให cosθ = 2 คอื 45° และ 315° 2 คาของ θ เมือ่ 0° ≤ θ < 360° ท่ที าํ ให cosθ = − 2 คอื 135° และ 225° 2 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ {45°,135°,225°,315°} 2) จาก 4cosecθ − 4sinθ = 2 2 cotθ จะได 4 − 4 sin θ = 2 2 cosθ เม่ือ sinθ ≠ 0 sinθ sinθ 4 − 4sin2 θ = 2 2 cosθ ( )4 − 4 1− cos2 θ = 2 2 cosθ 4cos2 θ − 2 2 cosθ = 0 ( )2cosθ 2cosθ − 2 = 0 นั่นคอื cosθ = 0 หรอื cosθ = 2 2 คาของ θ เม่ือ 0° ≤ θ < 360° ที่ทําให cosθ = 0 คือ 90° และ 270° คา ของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ที่ทําให cosθ = 2 คอื 45° และ 315° 2 ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ {45°,90°,270°,315°} 3) จาก cosθ + 4sinθ − sin 2θ = 2 จะได cosθ + 4sinθ − 2sinθ cosθ = 2 cosθ − 2 − 2sinθ cosθ + 4sinθ = 0 cosθ − 2 − 2sinθ (cosθ − 2) = 0 (cosθ − 2)(1− 2sinθ ) = 0 น่ันคือ cosθ = 2 หรือ sinθ = 1 2 เนือ่ งจาก −1≤ cosθ ≤1 ดงั นั้น ไมมีคาของ θ เมื่อ 0° ≤ θ < 360° ทท่ี ําให cosθ = 2 คา ของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ท่ที าํ ให sinθ = 1 คอื 30° และ 150° 2 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการน้ี คือ {30°,150°} สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

306 คูม ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 4) จาก sin 3θ cosθ − cos3θ sinθ = cosθ 28. 1) จะได sin (3θ −θ ) = cosθ 2) sin 2θ − cosθ = 0 2sinθ cosθ − cosθ = 0 cosθ (2sinθ −1) = 0 น่นั คอื cosθ = 0 หรอื sinθ = 1 2 คาของ θ เมื่อ 0° ≤ θ < 360° ทที่ าํ ให cosθ = 0 คือ 90° และ 270° คา ของ θ เมอื่ 0° ≤ θ < 360° ทีท่ าํ ให sinθ = 1 คอื 30° และ 150° 2 ดังนั้น เซตคําตอบของสมการนี้ คือ {30°,90°,150°,270°} จาก tan2 θ − 3 = 0 จะได tan2 θ = 3 นน่ั คือ tanθ = 3 หรือ tanθ = − 3 คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทําให tanθ = 3 คอื π และ 4π 33 คา ของ θ ในชว ง [0, 2π ) ท่ีทําให tanθ = − 3 คอื 2π และ 5π 33 ดังน้ัน คาท่ัวไปของ θ ที่ทาํ ใหส มการเปน จริง คือ nπ + π และ nπ − π 33 เม่อื n เปนจาํ นวนเตม็ จาก cos 2θ = sinθ จะได 1− 2sin2 θ = sinθ 2sin2 θ + sinθ −1 = 0 (2sinθ −1)(sinθ +1) = 0 นนั่ คือ sinθ = 1 หรือ sinθ = −1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที าํ ให sinθ = 1 คอื π และ 5π 26 6 คาของ θ ในชว ง [0, 2π ) ทท่ี ําให sinθ = −1 คือ 3π 2 ดงั น้ัน คาท่ัวไปของ θ ทท่ี าํ ใหสมการเปน จริง คือ 2nπ + π ,2nπ + 5π และ 2nπ + 3π 66 2 เมอ่ื n เปน จาํ นวนเต็ม สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 307 29. 1) เน่อื งจาก A + B + C = 180° 2) จะได A = 180° − ( B + C )= 180° − (120° + 35°)= 25° จากกฎของไซน sin A = sin B ab จะได sin 25° = sin120° 15 b b = 15sin120° sin 25° ≈ 15(0.8660) 0.4226 ≈ 30.7383 และ sin A = sin C ac จะได sin 25° = sin 35° 15 c c = 15sin 35° sin 25° ≈ 15(0.5736) 0.4226 ≈ 20.3597 ดังน้นั b ≈ 30.7383, c ≈ 20.3597 และ A = 25° เนอื่ งจาก A + B + C = 180° จะได C = 180° − ( A + B)= 180° − (102° + 41°)= 37° จากกฎของไซน sin C = sin A ca จะได sin 37° = sin102° 52.8 a a = 52.8sin102° sin 37° ≈ 52.8(0.9781) 0.6018 ≈ 85.8154 และ sin C = sin B cb สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

308 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 จะได sin 37° = sin 41° 52.8 b b = 52.8sin 41° sin 37° ≈ 52.8(0.6561) 0.6018 ≈ 57.5641 ดงั นั้น a ≈ 85.8154, b ≈ 57.5641 และ C = 37° 3) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 − 2bccos A ( ) ( )จะได 12 = 3 2 + 22 − 2 3 (2)cos A cos A = 3 2 น่นั คอื A = 30° จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 − 2accos B ( )จะได3 2 12 + 22 − 2(1)(2)cos B = cos B = 1 2 นนั่ คอื B = 60° เนื่องจาก A + B + C = 180° จะได C = 180° − ( A + B)= 180° − (30° + 60°)= 90° ดงั น้นั A = 30° , B = 60° และ C = 90° 4) จากกฎของไซน sin B = sin C bc จะได sin 60° = sin C 3 2 3+ 3 ( )3 + 3 sin 60° sin C = 32 = 6+ 2 4 น่นั คอื C = 75° หรือ 105° ถา C = 75° แลว A = 180° − ( B + C )= 180° − (60° + 75°)= 45° สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 309 จากกฎของไซน sin B = sin A ba จะได sin 60° = sin 45° 32 a a = 3 2 sin 45° sin 60° = 23 ถา C = 105° แลว A = 180° − ( B + C )= 180° − (60° +105°)= 15° จากกฎของไซน sin B = sin A ba จะได sin 60° = sin15° 32 a a = 3 2 sin15° sin 60° = 3− 3 ดงั นนั้ A = 45° , C = 75° และ a = 2 3 หรอื A = 15° , C = 105° และ a = 3 − 3 5) จากกฎของไซน sin B = sin C bc จะได sin 45° = sin C 8 12 sin C = 12 sin 45° 8 =3 2 นัน่ คือ C = 60° หรือ 120° ถา C = 60° แลว A = 180° − ( B + C )= 180° − (45° + 60°)= 75° จากกฎของไซน sin B = sin A ba จะได sin 45° = sin 75° 8a a = 8 sin 75° sin 45° = 6+ 2 ถา C = 120° แลว A = 180° − ( B + C )= 180° − (45° +120°)= 15° สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 จากกฎของไซน sin B = sin A ba จะได sin 45° = sin15° 8a a = 8 sin15° sin 45° = 6− 2 ดงั นนั้ A = 75° , C = 60° และ a = 6 + 2 หรอื A = 15° , C = 120° และ a = 6 − 2 6) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 − 2bccos A จะได 32 = 42 + 52 − 2(4)(5)cos A cos A = 4 5 นนั่ คือ A ≈ 36.87° จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 − 2accos B จะได 42 = 32 + 52 − 2(3)(5)cos B cos B = 3 5 นั่นคือ B ≈ 53.13° จากกฎของโคไซน c2 = a2 + b2 − 2abcosC จะได 52 = 32 + 42 − 2(3)(4)cosC cosC = 0 นนั่ คือ C = 90° ดังนั้น A ≈ 36.87° , B ≈ 53.13° และ C = 90° สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 311 30. ให AC เปนเสนผานศนู ยกลางของวงกลมน้ี จะไดมมุ ในครง่ึ วงกลมเปน มมุ ฉาก นั่นคือ มุม ABˆC = 90° และรูปสี่เหล่ียมดานขนานรปู น้ีเปน รปู ส่ีเหล่ยี มผนื ผา เนือ่ งจาก BAˆC= 55° จะได ACˆB= 90° − 55°= 35° เนอ่ื งจากวงกลมนีม้ รี ัศมียาว 10 หนวย จะได AC = 20 หนวย จากกฎของไซน จะได sin ABˆC = sin BAˆ C AC BC น่นั คือ sin 90° = sin 55° 20 BC BC = 20sin 55° sin 90° ≈ 16.38 จากกฎของไซน จะได sin ABˆC = sin ACˆB AC AB น่นั คอื sin 90° = sin 35° 20 AB AB = 20sin 35° sin 90° ≈ 11.47 จาก พ้ืนทีส่ วนท่แี รเงา = พนื้ ท่ีของวงกลม – พน้ื ท่ขี องรปู ส่เี หลย่ี มผืนผา = π (10)2 − (16.38)(11.47) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

312 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 ≈ 126.12 ตารางหนวย ดังนัน้ พื้นที่สวนทแี่ รเงาประมาณ 126.12 ตารางหนว ย 31. พิจารณารปู สามเหลีย่ ม BCD จากกฎของโคไซน จะได BD2 = BC2 + CD2 − 2( BC )(CD)cos BCˆD = 402 + 202 − 2(40)(20)cos30° ≈ 614.36 จะได BD ≈ 24.79 เน่อื งจาก AB = AD , BAˆD= 90° และทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได BD2 = AB2 + AD2 ( )614.36 = 2 AD2 AD2 = 614.36 = พ้นื ทรี่ ปู สามเหล่ียม ABD + พื้นทร่ี ปู สามเหล่ยี ม BCD 2 AD ≈ 17.53 พน้ื ทขี่ องรูปสเ่ี หลี่ยม ABCD = 1 ×17.53×17.53 + 1 × 40 × 20 × sin 30° 22 ≈ 353.65 ดงั นั้น ทด่ี ินแปลงนข้ี องวมิ ลมีพ้ืนที่ 353.65 ตารางเมตร สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 313 32. จากกฎของโคไซน จะได a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 + c2 − a2 cos A = 2bc cos2 A = ( )b2 + c2 − a2 2 ( 2bc )2 sin2 A = 1 − cos2 A ( )b2 + c2 − a2 2 = 1− (2bc)2 ( )(2bc)2 − b2 + c2 − a2 2 = (2bc)2 ( )( )2bc − b2 − c2 + a2 2bc + b2 + c2 − a2 = ( 2bc )2 ( )( )a2 − (b − c)2 (b + c)2 − a2 = ( 2bc )2 = (a − b + c)(a + b − c)(b + c − a)(b + c + a) ---------- (1) ( 2bc )2 ให s = a + b + c จะได a + b + c = 2s 2 น่นั คอื a − b + c = a + b + c − 2b = 2s − 2b a + b − c = a + b + c − 2c = 2s − 2c b + c − a = a + b + c − 2a = 2s − 2a สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

314 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 แทนใน (1) จะได sin2 A 2s (2s − 2a)(2s − 2b)(2s − 2c) = ( 2bc )2 16s (s − a)(s − b)(s − c) = 4 ( bc )2 4s(s − a)(s − b)(s − c) = ( bc )2 น่นั คือ sin A = 2 s(s − a)(s − b)(s − c) bc จาก พื้นท่รี ูปสามเหลี่ยม ABC = 1 bcsin A 2 จะได พน้ื ท่ีรปู สามเหล่ียม ABC = 1 bc ⋅ 2 s(s − a)(s − b)(s − c) 2 bc = s(s − a)(s −b)(s −c) ดงั น้ัน พื้นท่ีของรปู สามเหลยี่ มใดๆ เทากับ s(s − a)(s − b)(s − c) เมอื่ a, b และ c เปน ความยาวของดานทั้งสามดา น และ s = a + b + c 2 33. ให A และ B เปนตําแหนง ของเรือสองลํา โดยระยะ AB เทากับ 60 เมตร เนอ่ื งจาก DAˆC= 45° และ DBˆA= 30° พจิ ารณารูปสามเหลย่ี ม ACD จะได สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 315 tan 45° = CD CA CD = CA tan 45° และพิจารณารปู สามเหล่ยี ม BCD จะได tan 30° = CD CA + 60 CD = (CA + 60) tan 30° น่นั คือ CA tan 45° = (CA + 60) tan 30° CA = (CA + 60) 1 3 CA = 1 CA + 60 33 1 − 1  CA = 60 3  3  3 − 1  = 60  3  CA 3 CA = 60 × 3 3 3 −1 = 60 3 −1 = 60 ⋅ 3 +1 3 −1 3 +1 60( 3 +1) = 2 = 30( 3 +1) ดงั นัน้ เรือลาํ ที่อยใู กลประภาคารหา งจากประภาคาร 30( 3 +1) เมตร สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

316 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 34. จากกฎของโคไซน จะได AB2 = AC2 + BC2 − 2( AC )( BC )cos ACˆB = 3.22 + 2.42 − 2(3.2)(2.4)cos 75° ≈ 12.02 น่นั คือ AB ≈ 3.47 ดังนน้ั ความกวา งของบึงกวา งประมาณ 3.47 กิโลเมตร สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 317 35. จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได CD2 = 1.852 + 0.42 ≈ 3.85 น่นั คอื CD ≈ 1.89 DF 2 = 0.32 + 0.62 =0.45 น่ันคือ DF ≈ 0.67 และ CF 2 = 0.72 +1.252 ≈ 2.05 น่ันคอื CF ≈ 1.43 จากกฎของโคไซน จะได CF 2 = CD2 + DF 2 − 2(CD)( DF )cosCDˆ F 2.05 ≈ 3.58 + 0.45 − 2(1.89)(0.67)cosCDˆ F cosCDˆ F ≈ 0.78 นน่ั คือ CDˆ F ≈ 38.74° ดังนั้น มมุ ระหวา ง CD และ DF มีขนาดประมาณ 38.74° สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

318 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 36. ให A เปนจุดทเี่ พชรยืนมองยอดเขาที่เชิงเขาแหงหนงึ่ B เปนจดุ ทีเ่ พชรมองยอดเขา หลงั จากทีเ่ ดินขึน้ ไปตามไหลเ ขาซึ่งเอียงทาํ มมุ 32 องศา กบั แนวราบเปนระยะทาง 100 เมตร ระยะ AB เทากับ 100 เมตร และ CD เปนความสูงของภูเขา จาก DAˆC= 47° และ BAˆC= 32° จะได DAˆB= 47° − 32°= 15° จาก EBˆD= 77° จะได BDˆ E= 90° − 77°= 13° จาก DAˆC= 47° จะได ADˆ C= 43° นัน่ คอื ADˆ B= 43° −13°= 30° จาก DAˆB= 15° และ ADˆ B= 30° จะได ABˆD= 180° − (15° + 30°=) 135° พิจารณารูปสามเหลย่ี ม ABD จากกฎของไซน จะได sin ABˆD = sin ADˆ B AD AB sin135° = sin 30° AD 100 AD = 100sin135° sin 30° 100 × 2 =2 1 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 319 = 100 2 พิจารณารปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ACD จะได sin CAˆ D = CD AD CD = AD sin CAˆ D = 100 2 sin 47° ≈ 103.43 ดังน้ัน ภูเขาลูกนส้ี ูงประมาณ 103.43 เมตร 37. ให A เปน จดุ ทสี่ ดุ ายนื มองยอดเขาในครั้งแรก B เปนจุดทีส่ ดุ ายนื มองยอดเขาในครัง้ ท่สี อง ระยะ AB เทากบั 500 เมตร และ CD เปน ความสูงของภูเขาลูกนี้ พจิ ารณารปู สามเหลย่ี ม ACD จะได tan 65° = CD AC AC = CD tan 65° สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คูม ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 พิจารณารูปสามเหลี่ยม BCD จะได tan 35° = CD CB CB = CD tan 35° จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ในรูปสามเหลีย่ ม ABC ที่มี BAˆC= 90° จะได CB2 = AC2 + AB2  CD 2 =  CD 2 + 5002  tan 35°   tan 65°  5002 =  CD 2 −  CD 2  tan 35°   tan 65°  5002 = 1 − 1  CD 2  0.702 2.142  38. 5002 = 1.82CD2 จะได CD 65 370.62 ดงั นั้น ภูเขาลูกน้สี งู ประมาณ 370.62 เมตร ให CD เปน ความสงู ของประภาคาร โดยใชความรเู ร่ืองเสนขนาน จะได DAˆC= 30° และ DBˆC= 40° เนอื่ งจาก DBˆC= 40° จะได CDˆ B= 90° − 40°= 50° และ DBˆA = 180 − 40 = 140 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 321 เนอื่ งจาก DAˆC= 30° และ DBˆ=A 140° จะได BDˆ A= 180° − (30° +140°)= 10° พิจารณารูปสามเหลีย่ ม ABD จากกฎของไซน จะได sin ADˆ B = sin ABˆD AB AD นั่นคือ sin10° = sin140° 100 AD AD = 100sin140° sin10° = 370.17 และ sin ADˆ B = sin DAˆ B AB BD นัน่ คอื sin10° = sin 30° 100 BD BD = 100sin 30° sin10° = 287.94 พจิ ารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได sin CBˆD = CD BD CD = BD sin CBˆD = 287.93sin 40° = 185.08 ดงั นนั้ ยอดประภาคารอยูหา งจากจุด A เปน ระยะประมาณ 370.17 เมตร ยอดประภาคารอยูห างจากจดุ B เปนระยะประมาณ 287.94 เมตร และประภาคารมคี วามสูงประมาณ 185.08 เมตร 39. 1) เน่อื งจากจะไมอ นุญาตใหมีการออกหนงั สอื แสดงสทิ ธิในที่ดิน หากพน้ื ท่ีมีคาความ ลาดชันโดยเฉลีย่ มากกวา 35 เปอรเ ซน็ ตข นึ้ ไป จะได ta=nθ 3=5 0.35 100 =นั่นคือ θ arctan (0.35) ≈ 0.3367 และเม่ือเปลี่ยนเปนฟงกชนั ตรีโกณมติ ิของมุมที่มหี นว ยเปน องศา จะได θ ≈19.29° ดงั น้ัน จะไมอ นุญาตใหม ีการออกหนังสือแสดงสิทธใิ นพืน้ ที่ เมือ่ พื้นท่เี อยี งทํามุม มากกวา 19.29° สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

322 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 2) เน่ืองจากความหางของแตละเสนชัน้ ความสงู เทา กับ 20 เมตร เมอื่ กาํ หนดใหพืน้ ที่ทม่ี ี ความลาดชันมากกวา 35 เปอรเซ็นต ให d แทนความหางของเสนชน้ั ความสูงแตละเสน จะไดว า tanθ = 20 d 0.35 = 20 d d = 20 0.35 ≈ 57.14 เนื่องจาก ระยะจรงิ 50,000 มิลลเิ มตร เทากับระยะในแผนท่ี 1 มิลลเิ มตร จะได ระยะ 57.14 เมตร เทากบั ระยะในแผนท่ี 1.14 มลิ ลิเมตร ดงั น้นั จะไมอ นุญาตใหม ีการออกหนังสือแสดงสทิ ธิในที่ดนิ ในพื้นที่ท่ีมรี ะยะหาง ระหวางเสนชน้ั ความสงู นอ ยกวา 1.14 มลิ ลิเมตร 40. 1) จาก s = h cotθ จะได s = h cosθ sinθ hsin (90° −θ ) = sinθ 2) จาก s = hcotθ และ h = 1 จะได s = cotθ θ 15° 30° 45° 60° 75° 90° s 2+ 3 3 1 3 2− 3 0 3 จากตาราง จะไดกราฟแสดงความสมั พันธระหวา งความยาวของเงาบนหนาปดและมมุ ทีแ่ สงอาทติ ยท ํากับหนา ปด ดังนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 323 3) แสงอาทติ ยทาํ มุมกบั หนา ปด 15 องศา ทําใหเ งาทป่ี รากฏบนหนาปดยาวมากทีส่ ดุ แสงอาทิตยทาํ มุมกับหนาปด 90 องศา ทาํ ใหเ งาท่ีปรากฏบนหนา ปดยาวนอ ยท่ีสดุ 4) ประมาณ 12.00 น. 41. 1) จากสมการ sinθ = W L ในทน่ี ้ี จะได W = 5 และ L = 6.5 น่นั คือ sinθ = 5 6.5 จะได θ ≈ 50.28° ดงั น้นั มุมทเี่ กดิ จากเสนทางการเคลอ่ื นที่ของหยดเลือดทํากับพน้ื มขี นาดประมาณ 50.28 องศา 2) จากสมการ sinθ = W L ในทนี่ ้ี จะได W = 1.4 และ L = 1.8 นน่ั คอื sinθ = 1.4 1.8 จะได θ ≈ 51.06° ดังนนั้ มุมทีเ่ กิดจากเสนทางการเคลื่อนที่ของหยดเลือดทํากับพน้ื มขี นาดประมาณ 51.06 องศา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

324 คูม ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 42. ให A แทนตําแหนงยอดหอไอเฟล ระยะ AB แทนความสูงจากระดับสายตาปรชี าถึงยอดหอไอเฟล จะได AB = 324 −1.8 =322.2 เมตร จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได CD = 1252 +1252 =125 2 เมตร นั่นคอื CB = 125 2 เมตร 2 พจิ ารณารปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC จะได tanθ = AB BC = 322.22 125 2 2 ≈ 3.65 จะได θ ≈ 74.68° ดงั นั้น ปรชี าจะมองเห็นยอดหอไอเฟลดวยมุมเงยประมาณ 74.68 องศา สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 325 43. ให ABC เปนรปู สามเหลย่ี มหนา จ่ัว ทม่ี ีมมุ A เปนมุมยอด และ AD เปนความสูง และ BC เปนฐาน จะได ADˆ C= 90° θ 1) จาก cos = AD 2 AC นนั่ คอื θ = AD cos 24 AD = θ 4 cos 2 ดงั น้นั ความสงู ของรปู สามเหลีย่ มนี้ เทากับ 4cosθ นิว้ 2 2) จาก sin θ = DC 2 AC นั่นคือ sin θ = DC 24 DC = 4sin θ 2 ดังน้นั ความยาวฐานของรูปสามเหลีย่ มนี้ เทา กับ θ นว้ิ 8sin 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

326 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 3) จากพ้นื ที่ของรปู สามเหลีย่ ม = 1 × AD × BC 2 = 1  4 cos θ   8sin θ  2  2   2  = 8  2 sin θ cos θ   2 2  = 8sinθ ดังนนั้ พ้ืนทข่ี องรูปสามเหลี่ยมน้ี เทากบั 8sinθ ตารางนิ้ว 44. จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได AC2 = AB2 + BC 2 = 122 + 52 = 169 นน่ั คอื AC = 13 เซนติเมตร จาก EC2 = AE2 + AC2 = 62 + 132 = 205 นน่ั คอื EC = 205 เซนติเมตร พิจารณารูปสามเหลย่ี ม ACE จากกฎของโคไซน จะได AE2 = AC2 + EC2 − 2( AC )( EC )cos ACˆE นั่นคือ ( ) ( )62 = 132 + 205 2 − 2(13) 205 cos ACˆE จะได cos ACˆE ≈ 0.9080 ACˆE ≈ 24.77° พจิ ารณารูปสามเหลยี่ ม HDF จากกฎของโคไซน จะได HF 2 = DH 2 + DF 2 − 2( DH )( DF )cos HDˆ F เนอื่ งจาก HF = AC = 13 และ DF = EC = 205 ( ) ( )จะได 132 = 62 + 205 2 − 2(6) 205 cos HDˆ F จะได cos HDˆ F ≈ 0.4191 HDˆ F ≈ 65.22° จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได CH 2 = HD2 + DC2 = 62 + 122 = 180 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 327 นนั่ คอื CH = 180 นวิ้ พิจารณารูปสามเหล่ียม ECH จากกฎของโคไซน จะได EH 2 = EC2 + HC2 − 2( EC )( HC )cos ECˆH น่ันคอื 22 205 + 180 − 2 205 ( ) ( ) ( )( )52 = 180 cos ECˆH จะได cos ECˆH ≈ 0.9370 ECˆH ≈ 20.45° ดังน้ัน มมุ ACE มุม HDF และมุม ECH มขี นาดประมาณ 24.77°, 65.22° และ 20.45° ตามลาํ ดับ 45. จาก f =(θ ) 50(1− cosθ ) จะได คาบ คือ 2π และ แอมพลิจดู คือ 50 เขยี นกราฟของฟงกช ัน f =(θ ) 50(1− cosθ ) ไดด ังน้ี 1) จาก −1 ≤ cosθ ≤1 จะได −1 ≤ − cosθ ≤ 1 0 ≤ 1 − cosθ ≤ 2 0 ≤ 50(1− cosθ ) ≤ 100 นั่นคอื 0 ≤ f (θ ) ≤100 ดังนน้ั เรนจข อง f คือ [0,100] 2) ในวันแรม 15 ค่าํ แทน θ ใน f (θ ) ดว ย 0° จะได f (0°) = 50(1− cos0°) =0 ดงั น้นั รอยละของพื้นท่ภี าพของดวงจันทรท ส่ี ามารถมองเห็นได ในวันแรม 15 ค่ํา เปน 0 ในวันขน้ึ 8 คาํ่ แทน θ ใน f (θ ) ดว ย 90° จะได สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

328 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 f (90°) = 50(1− cos90°) = 50 ดงั นั้น รอยละของพืน้ ท่ีภาพของดวงจันทรท ี่สามารถมองเห็นได ในวนั ขึน้ 8 คํา่ เปน 50 ในวันขนึ้ 15 คาํ่ แทน θ ใน f (θ ) ดว ย 180° จะได f (180°) = 50(1− cos180°) = 100 ดงั นน้ั รอยละของพื้นทภี่ าพของดวงจนั ทรท ี่สามารถมองเห็นได ในวนั ขึ้น 15 ค่ํา เปน 100 ในวนั แรม 8 คํา่ แทน θ ใน f (θ ) ดวย 270° จะได f (270°) = 50(1− cos 270°) = 50 ดังนั้น รอยละของพนื้ ทภ่ี าพของดวงจันทรทส่ี ามารถมองเห็นได ในวนั แรม 8 คา่ํ เปน 50 3) จาก 25 = 50(1− cosθ ) จะได 1− cosθ = 1 2 cosθ = 1 2 เนอ่ื งจาก 0° ≤ θ ≤ 360° จะได θ= 60° หรอื =θ 300° ดังนนั้ θ= 60° หรอื =θ 300° ทาํ ใหด วงจันทรมีลกั ษณะเปน เสย้ี วทมี่ รี อยละของ พืน้ ทภ่ี าพของดวงจันทรท ่สี ามารถมองเห็นไดเ ปน 25 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 329 บทที่ 2 เมทริกซ แบบฝกหดั 2.1 1. จากโจทยจ ะไดวา 2y −=3 5, 2=z 4 และ x + y =3 จาก 2y − 3 =5 จะได y = 4 จาก 2z = 4 จะได z = 2 แทน y ดวย 4 ใน x + y =3 จะได x = −1 ดังนัน้ x, y และ z คอื −1, 4 และ 2 ตามลําดบั 2. =ให A =03 , B  1 และ C = 5 จากระบบสมการเชิงเสน −2 3 จะไดสมการเมทรกิ ซ คือ x 3 + y  1 5 0 −2 = 3 3. 1) จาํ นวนนกั เรียนชายช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 2 คือ สมาชิกที่อยใู นแถวท่ี 2 หลักที่ 2 น่นั คือ จํานวนนักเรยี นชายช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 2 มี 124 คน 2) จํานวนนักเรียนหญิงท้ังหมดของโรงเรยี นแหงน้ี คือ 122 +128 +115 =365 คน 3) เมทรกิ ซแสดงผลตางของจาํ นวนนกั เรยี นหญิงและชายในแตล ะระดบั ชนั้ ของ โรงเรยี นแหง น้ี คือ  122 − 130  8  128 − 124  =4  115 − 119    4   4. 1) A+ B = 1 2 + 0 1 3 4  −1  1 1+ 0 2 +1 = 3 +1 4 + (−1) =  1 3 4 3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

330 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 2) 2A− B = 1 2 − 0 1 2 3 4  1 −1 3) 5. 1) = 2 4 − 0 1 6 8  1 −1 2) 3) = 2 − 0 4 −1  8 − (−1)  6 −1 = 2 3 5 9 −2B = − 2 0 1 3 3  1 −1  0 − 2   3    = 2 2 3 3  −  1 3 −1 3 2 =  1(−1) + 3(1) 1(3) + 3(3) 1(2) + 3(0) 2 −1  1 3 0  2(2) + (−1)(0) 2 ( −1) + ( −1) (1) 2(3) + (−1)(3) = −1+ 3 3 + 9 2 + 0  4 + 0  −2 − 1 6−3 =  2 12 2 −3 3 4 1 2 5 −3  1(−3) + 2(1) + 5(−1) 2 0 −1  1 2(−3) + 0(1) + (−1)(−1)  −1 =  = −3 + 2 − 5  1  −6 + 0 + = −6 −5 −2 1  7 = (−2)(7) +1(−5)  5 6 −5  5(7) + 6(−5)  = −14 − 5  30  35 − สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 331 −2 1  7 = −19  5 6 −5  5  0  1 4) [3 2 1]  = 3(0) + 2(1) +1(−1) 5) 6) −1 6. 1) = [0 + 2 −1] = [1] −11[3 2 1] =  1(3) 1( 2 ) 1(1) −1(3) −1( 2 ) −1(1)  3 2 1 = −3 −2 −1 −1 5 2  x (−1)( x) + 5( y) + 2( z) −3 0    4  y  =  ( x) + ( −3) ( y ) + 0 ( z )   z  4 = −x + 5y + 2z  4x − 3y 3 −1 3 2 −4 5 2C − 3E = 2 4 0  1 −1 1 − 3  1 2 1 3 2 2 0 6 − 2 6 6 −12 15  2 0 − 3 3 −3 =  8 4 2 6 6 6 0 6 − 6 − 2 − (−12) 6 −15  2 − 3 0 − (−3) =  8 − 3 4 − 6 2 − 6 6 − 0  0 10 −9  3 =  5 −1 −2 − 4 6 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

332 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 1 2 0 1 0 2 1 4 2 1 2) AB =  3 2 1(1) + 2(2) + 0(3) 1(0) + 2(1) + 0(2) = 2(1) +1(2) + 4(3) 2(0) +1(1) + 4(2)  1+ 4 + 0 0 + 2 + 0 = 2 + 2 +12 0 +1+ 8 =  5 2 16 9 1 0 1 2 0 2 1 2 1 4 BA =  3 2 1(1) + 0(2) 1(2) + 0(1) 1(0) + 0(4)  2(0) +1(4) =  2 (1) + 1( 2) 2(2) +1(1) 3(1) + 2(2) 3(2) + 2(1) 3(0) + 2(4)  1+ 0 2 + 0 0 + 0 = 2 + 2 4 +1 0 + 4 3 + 4 6 + 2 0 + 8 1 2 0 = 4 5 4 7 8 8 3) D2 = 3 −2 3 −2 2 0 2 0 = 3(3) + (−2)(2) 3(−2) + (−2)(0)  2(−2) + 0(0)  2(3) + 0(2) = 9 − 4 (−6) + 0 6 + 0  ( −4) + 0 5 −6 = 6 −4 จาก AB ทไี่ ดใ นขอ 2) จะได สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 333 AB + D2 = 5 2 + 5 −6 16 9 6 −4 =  5 + 5 2 + (−6)  9 + (−4) 16 + 6 10 −4 = 22 5 3 −1 3 3 −1 3 4) C2 = 4 1 0 4 1 0 2 1 3 2 1 3 3(3) + (−1)(4) + 3(2) 3(−1) + (−1)(1) + 3(1) 3(3) + (−1)(0) + 3(3)  4(3) +1(0) + 0(3) =  4(3) +1(4) + 0(2) 4(−1) +1(1) + 0(1)  2(3) +1(4) + 3(2) 2(−1) +1(1) + 3(1) 2(3) +1(0) + 3(3)   9 − 4 + 6 (−3) −1+ 3 9 + 0 + 9   = 12 + 4 + 0 (−4) +1+ 0 12 + 0 + 0  6+4+6 (−2) +1+ 3 6 + 0 + 9  11 −1 18 = 16 −3 12 16 2 15 จาก BA ท่ีไดใ นขอ 2) จะได  1 2 0 11 −1 18 BA − 2C2 = 4 5 4 − 2 16 −3 12 7 8 8 16 2 15  1 2 0 22 −2 36 = 4 5 4 − 32 −6 24 7 8 8 32 4 30 1− 22 2 − (−2) 0 − 36   = 4 − 32 5 − (−6) 4 − 24 7 − 32 8 − 4 8 − 30  −21 4 −36 = −28 11 −20 −25 4 −22 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

334 คูม ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 1 2 1 2 3 2 1 0 1 2 5) At Bt = 0 4 1(1) + 2(0) 1(2) + 2(1) 1(3) + 2(2)  2(3) +1(2) =  2 (1) + 1(0) 2(2) +1(1) 0(1) + 4(0) 0(2) + 4(1) 0(3) + 4(2) 1+ 0 2 + 2 3 + 4 = 2 + 0 4 +1 6 + 2 0 + 0 0 + 4 0 + 8 1 4 7 = 2 5 8 0 4 8  1 4 7 2 −4 5 2 8  1 −1 At Bt + 2E = 5 + 2  1 0 4 8 2 2 0  1 4 7 4 −8 10 = 2 5 8 + 2 2 −2 0 4 8 4 4 0  1+ 4 4 + (−8) 7 +10 = 2 + 2 5 + 2 8 + (−2) 0 + 4 4 + 4 8 + 0 5 −4 17 = 4 7 6 4 8 8 6) จาก AB ทไ่ี ดในขอ 2) จะได ( AB) D =  5 2 3 −2 16 9 2 0 =  5(3) + 2(2) 5(−2) + 2(0)  16(−2) + 9(0) 16 (3) + 9(2) =  15 + 4 (−10) + 0   48 + 18 ( −32 ) + 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 335 ( AB) D = 19 −10 66 −32 3 −1 3 2 −4 5 = 4 0  1 −1 7) C+E 1 +  1 2 1 3 2 2 0 3 + 2 (−1) + (−4) 3 + 5  1+1 0 + (−1) =  4 + 1 2 + 2 1+ 2 3 + 0 5 −5 8 = 5 2 −1 4 3 3 จาก BA ท่ไี ดในขอ 2) จะได  1 2 0 5 −5 8 4 4  2 −1 BA(C + E ) = 5  5 7 8 8 4 3 3 1(5) + 2(5) + 0(4) 1(−5) + 2(2) + 0(3) 1(8) + 2(−1) + 0(3) = 4(5) + 5(5) + 4(4) 4(−5) + 5(2) + 4(3) 4(8) + 5(−1) + 4(3)  7(8) + 8(−1) + 8(3)  7 (5) + 8(5) + 8( 4) 7(−5) + 8(2) + 8(3)  5 +10 + 0 (−5) + 4 + 0 8 − 2 + 0   = 20 + 25 +16 (−20) +10 +12 32 − 5 +12 35 + 40 + 32 (−35) +16 + 24 56 − 8 + 24  15 −1 6  2 39 =  61 107 5 72 7. 1) AB =  1 3 −1 3 2 2 −1  1 3 0  1(−1) + 3(1) 1(3) + 3(3) 1(2) + 3(0) = 2(−1) + (−1)(1) 2(3) + (−1)(3) 2(2) + (−1)(0) = (−1) + 3 3 + 9 2 + 0    ( −2) −1 6−3 4 + 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

336 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 =  2 12 2 −3 3 4 จะได ABC = ( AB)C −1 2 2 12 2  1 = −3 3 4  0 −2  3  2(−1) +12(0) + 2(3) 2(2) +12(1) + 2(−2) = (−3)(−1) + 3(0) + 4(3) (−3)(2) + 3(1) + 4(−2) = (−2) + 0 + 6 4 +12 − 4  (−6) + 3 − 8  3 + 0 +12  4 12 = 15 −11 2) AC t =  1 3 −1 0 3 2 −1  1 −2  2  1(−1) + 3(2) 1(0) + 3(1) 1(3) + 3(−2) = 2(−1) + (−1)(2) 2(0) + (−1)(1) 2(3) + (−1)(−2) = (−1) + 6 0 + 3 3 − 6 (−2) − 2  0 −1 6 + 2  5 3 −3 = −4 −1 8 จาก AB ท่ีไดขอ 1) จะได AB + ACt = 2 12 2 + 5 3 −3 = −3 3 4 −4 −1 8  2 + 5 12 + 3 2 + (−3) (−3) + (−4) 3 + (−1)  4 + 8  7 15 −1 = −7 2 12 3) A2 =  1 3  1 3 2 −1 2 −1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 337 A2 =  1(1) + 3(2) 1(3) + 3(−1)  2(3) + (−1)(−1) 2 (1) + ( −1) ( 2 ) =  1+ 6 3 − 3 2 − 2 6 +1 7 0 = 0 7 −1 3 −1 2  1 3 2  1 BC = 0  0 −2  3 = (−1)(−1) + 3(0) + 2(3) (−1)(2) + 3(1) + 2(−2)  1(2) + 3(1) + 0(−2)  1(−1) + 3(0) + 0(3)  1+ 0 + 6 −2 + 3 − 4 = (−1) + 0 + 0 2 + 3 + 0  7 −3 = −1 5 จะได A2 − 2BC = 7 0 − 2 7 −3 0 7 −1 5 = 7 0 −  14 −6 0 7 −2 10  7 −14 0 − (−6) = 0 − (−2) 7 −10 = −7 6  2 −3 8. จาก A2 =  1 1  1 1 0 2 0 2  1(1) +1(0) 1(1) +1(2) = 0(1) + 2(0) 0(1) + 2(2) 1+ 0 1+ 2 = 0 + 0 0 + 4 = 1 3 0 4 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

338 คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 A3 = A2 A  1 3  1 1 = 0 4 0 2  1(1) + 3(0) 1(1) + 3(2) = 0(1) + 4(0) 0(1) + 4(2) 1+ 0 1+ 6 = 0 + 0 0 + 8 1 7 = 0 8 A4 = A3 A  1 7  1 1 = 0 8 0 2 = 1(1) + 7(0) 1(1) + 7(2)  0(1) + 8(2) 0 (1) + 8( 0) = 1+ 0 1 + 14 0 + 0 0 +16 =  1 15 0 16 จึงคาดการณว า An = 1 2n −1 เม่อื n เปน จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ   0 2n  9. 1) 2 At =  1 3 2 −1 2 =  2 6 −2 4 ให X เปน เมทริกซที่ตอ งการ จะได A+ X = 2At นนั่ คือ X = 2At − A = 2 6 − 1 −1 −2 4 3 2  2 −1 6 − (−1) = (−2) − 3  4 − 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 339 X =  1 7 −5 2 2) วิธีที่ 1 A2 = 1 −1 1 −1 วิธที ี่ 2 3 2 3 2 = 1(1) + (−1)(3) 1(−1) + (−1)(2)  3(−1) + 2(2)  3(1) + 2(3)  1 − 3 −1 − 2 = 3 + 6 −3 + 4 = −2 −3  9 1 ให X เปนเมทริกซท่ีตองการ จะได A+ X = A2 น่ันคอื X = A2 − A = −2 −3 − 1 −1  9 1 3 2 = −2 −1 −3 − (−1)    9−3 1 − 2 = −3 −2  6 −1 ให X เปน เมทรกิ ซทตี่ องการ จะได A + X = A2 นนั่ คอื X = A2 − A = AA − AI2 = A( A− I2 ) = 1 −1  1 −1 − 1 0  3 2  3 2 0 1    = 1 −1 0 −1 3 2 3 1 = 1(0) + (−1)(3) 1(−1) + (−1)(1)  3(−1) + 2(2)  3(0) + 2(3) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

340 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 X = −3 −2  6 −1 3) ให X เปนเมทรกิ ซทต่ี องการ จะได 10. 1) A+ X = x y 2)  z t  นน่ั คอื X = x y − A  z t  = x y − 1 −1   3 2  z t  =  x −1 y +1 z − 3 t − 2 3X − A = A 3X = 2A X = 2A 3 = 2 −1 1  −2 3  2 − 2 2  3  = 3  4 − 4   3 3  1 A = 2(2X − A) 2 1 A = 4X −2A 2 5 A = 4X 2 X = 5A 8 = 5 −1 1  −2 8  2 − 5 5  8  = 8  5 − 5   4 4  สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี