(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 441  = − 2  + 1  DE AB AC 32    2 AB 1 AB + BC ( )=− + 32    = − 2 AB + 1 AB + 1 BC 322   = − 1 AB + 1 BC 62 จะได m = − 1 และ n = 1 62 ดังนั้น m − n =− 1 − 1 =− 2 62 3 14. จากรูป     EF = EA + AD + DF    = 1 BA + AD + 1 DC 22    = 1 BA + 1 DC + AD 22     BA + AD + DC AD = ( )1 + 1 22   = 1 BC + 1 AD 22   BC + AD = ( )1 2    นนั่ คือ EF = 1 BC + AD 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

442 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 15. ตอ งแสดงวา มจี าํ นวนจรงิ k ท่ี   และมีจํานวนจรงิ m ท่ี   จากรูป HG =kEF HE = mGF HG = HD + DG   = 1 AD + 1 DC 22   1 AD + DC ( )= 2  = 1 AC 2   AB + BC ( )= 1 2   AB BC = 1 + 1 2 2 = EB+ BF นแลน่ั ะคจือากรHปู Gจะขไนดา นกับHEEF== EF   HA + AE   = 1 DA + 1 AB 22   1 DA + AB ( )= 2  = 1 DB 2   DC + CB ( )= 1 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 443  = 1  + 1  HE DC CB 2 2 = GC + CF = GF  GF น่นั คอื HE ขนานกบั ดังน้นั รปู ส่เี หลีย่ ม EFGH เปนรปู สีเ่ หล่ยี มดานขนาน 16. เนอ่ื งจาก ABCD เปน รปู สี่เหล่ียมจัตุรัส จะได C มีพิกัดเปน (3, 3) ดังนัน้ =AC =33 −−11 2 2 17. ให Q มีพิกัดเปน ( x, y) จาก  x − (−1) PQ =    y − 3 จะได  2 =  x +1 −2  3  y − นั่นคอื x +1 = 2 จะได x =1 และ y − 3 = −2 จะได y =1 ดงั นน้ั พิกัดของจุด Q คือ (1, 1) 18. จาก a  3 + b −1 = 1 −2  1 1  จะได  3a + −b = 1 −2a  b 1  3a − b = 1 −2a + b 1 ดังนนั้ 3a − b = 1 --------- (1) และ −2a + b = 1 --------- (2) จาก (1) และ (2) จะได a =2 และ b = 5 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

444 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 19. เนอื่ งจาก 6 ขนานกับ  3 k  −2 แสดงวา มจี ํานวน m ที่ m ≠ 0 ซง่ึ ทําให 6 =  3 k  m −2 น่ันคือ 6 =  3m k  −2m  จะได 6 = 3m และ k = −2m จาก 6 = 3m จะได m = 2 นั่นคอื k =−2(2) =−4 ดงั นั้น u =  6 −4 จะได u + −2 =  6 + −2  1 −4  1 = 6 + (−2)    −4 + 1 =  4 −3 ขนาดของ  4 คือ 42 + (−3)=2 16 + =9 5 −3 ดงั นั้น ขนาดของ u + −2 เทา กบั 5 หนว ย  1  20. จาก u = (−2)2 + a2 + b2 จะได = 4 + a2 + b2 ดังนัน้ 4 + a2 + b2 = 3 4 + a2 + b2 = 9 a2 + b2 = 5 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 445 u + v  4 −1 4 + (−1)  3 −3  2   −1 21. 1) = +  =  −3 + 2 = 2)  2  1  2 +1  3  u + v = 32 + (−1)2 + 32 = 9 +1 + 9 = 19 จะได เวกเตอรหน่งึ หนวยท่ีมีทศิ ทางเดยี วกับ u + v คือ 3    3  19  1 −1 =  −1  19  3    19  3  19     = 3 i− 1 j+ 3 k 19 19 19 = 3 19  − 19  + 3 19  i j k 19 19 19 2u − v  4 −1  8 −1 8 − (−1)  9   −8 = 2 −3 −  2 = −6 −  2 =  −6 − 2 =    2  1  4  1  4 −1  3  2u − v = 92 + (−8)2 + 32 = 81 + 64 + 9 = 154 จะได เวกเตอรห นงึ่ หนว ยที่มีทศิ ทางตรงขามกบั 2u − v คอื − 9    9 154  − 1 −8 =  8 154  3    154  − 3 154     =− 9 i+ 8 j− 3 k 154 154 154 = −9 154  + 8 154  − 3 154  i j k 154 154 154 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

446 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 22. 1)  =  −3 −1 −4 2) PQ  1− 3 = −2  3) 2 − (−2)  4 เน่ืองจาก ขนาดของ  2 คอื  1  22 + 12 + (−2)2= 4 +1 + 4= 9= 3 −2  2   จะได= RS  2  3  13=−21  1    3  − 2  3  เนือ่ งจาก −4 2 −4 − 2 −6 −2  1  1  −3 −  =  −2 − =   11 5  11− 5  6 และขนาดของ −6 คอื  −3  (−6)2 + (−3)2 + 6=2 36 + 9 + 3=6 8=1 9  6 −6 −6 จะได เวกเตอรหนึ่งหนว ยทีม่ ีทิศทางเดียวกับ  −3 คอื 1  −3  6 9  6  8  3  จะได  4 −6  4 AC 9  −3 = 3  =−  6  8  −    3  =− 1 PQ, AC =− 2 PQ และ   จะไดวา RS 6 3 AC = 4RS นั่นคอื   และ  ขนานกัน PQ, RS AC โดยท่ี  และ  มีทิศทางตรงขามกัน และ  มขี นาดเปน 1 เทา ของขนาดของ  PQ RS RS PQ 6     PQ และ AC มีทศิ ทางตรงขา มกนั และ AC มขี นาดเปน 2 เทา ของขนาดของ PQ 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 447 และ  และ  มที ศิ ทางเดียวกนั และ  มขี นาดเปน 4 เทา ของขนาดของ  RS AC AC RS  −2 −1  −3 PQ =  0 − 4 =−4 23. 1)   1 − 3 −2 2) u =  3 4 2 3)  = 5 − 0 = 5 OR 0 − 0 0 24. เนื่องจาก vPPQQ2=แ−=ล0−(ะ3uiu) 2 จะไดว า ⋅ข(น3าjน) กัน 1) u ⋅ = (3)(0) + (0)(3) จะไดวา u= 0 v u และ u ⋅ v v ดังuน⋅ัน้ v = ตงั้ ฉากกับ เทา กับ (=60i +แ8ลjะ)ข⋅(น−าiด+ขอ7งjม)มุ ระหวา ง 90° 2) = (6)(−1) + (8)(7) = 50 ให θ เปนมุมระหวาง u และ v ซึง่ 0° ≤θ ≤180° จาก u ⋅ v = u v cosθ จะได cosθ = uu ⋅vv จาก u = 62 + 82 = 36 + 64 = 10 และ v = (−1)2 + 72 = 1+ 49 = 50 = 5 2 จะได 50 ( )cosθ = (10) 5 2 =1 2 น่นั คอื θ = 45° สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

448 คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 ดังuน⋅ัน้ v u ⋅ v (=i5−03แjล+ะ2ขkน)า⋅ด(ข5อiง+มุมj ร−ะkห)วา ง u และ v เทากบั 45° = 3) 4) = (1)(5) + (−3)(1) + (2)(−1) 25. 1) จะไดวา u= 0 v u และ v 2) u ⋅ v = ตง้ั ฉากกบั เทากบั ดังuน⋅น้ั v 7แjล)ะ⋅ข(3นiาด+ข4อjง−มุม5kระ)หวา ง (=i0− 90° = (1)(3) + (−7)(4) + (0)(−5) = −25 ให θ เปน มมุ ระหวาง u และ v ซงึ่ 0° ≤θ ≤180° จาก u ⋅ v = u v cosθ จะได cosθ = uu ⋅vv จาก u = 12 + (−7)2 + 02 = 1+ 49 + 0 = 50 = 5 2 และ v = 32 + 42 + (−5)2 = 9 +16 + 25 = 50 = 5 2 จะได ( )( )cosθ = −25 = − 1 2 52 52 นนั่ คือ θ = 120° u และ v ดuงั ⋅นv=ั้น+(uu−⋅⋅2vwi =−25 และขนาดของมุมระหวา ง − เทากับ 120° −  +  ) ⋅ (5i − 2  + k ) + (   +  ) ⋅ ( −3  +  ) j 3k j −2i j 3k j 5k = ((−2)(5) + (−1)(−2) + (3)(1)) + ((−2)(0) + (−1)(−3) + (3)(5)) = (−10 + 2 + 3) + (0 + 3 +15) (3u=) ⋅ v13− v ⋅ (2w )   k )     3k (5i j (5i  k  5k −2i j j j ( ) ( )= 3( − + ) ⋅ − 2 + − − 2 + ) ⋅ 2 ( −3 + ) 9k )  k )  = (  − 3  + ⋅ (5i − 2  + k ) − (5i − 2  + ⋅ ( −6  + 10k ) −6i j j j j = ((−6)(5) + (−3)(−2) + (9)(1)) − ((5)(0) + (−2)(−6) + (1)(10)) = (−30 + 6 + 9) − (0 +12 +10) = −37 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 449 (u ⋅ w )v = ( −2i        ( )3) − j + 3k ) ⋅ ( −3 j + 5k ) ( 5i − 2 j + k )  = (( −2) (0) + ( −1) ( −3) + (3) ( 5)) (5i − 2  + k ) (5i   j j k = ( 0 + 3 + 15)  − 2 + ) 18(5i  k = − 2 j + )    ( ) ( )=90i − 36j + 18k    w = k j 5k 4) จาก v ⋅ ⋅ −3 + 5i − 2 j + = 5(0) + (−2)(−3) +1(5) = 0+6+5 = 11   i j k จาก v × w = 5 −2 1 0 −3 5 = −2 1 − 5 1  + 5 −2  i j k −3 5 0 5 0 −3 =  − 1(0))  + (5( −3) − ( −2)(0))  = (−(7−i2−) (255) j−−1(1−53k) ) i − (5(5) j k ( )จะได v × w = (−7)2 + −252 + (−15)2 = 49 + 625 + 225 = 899 v = 52 + (−2)2 + 12 = 25 + 4 +1 = 30 34 และ w = 02 + (−3)2 + 52 = 0 + 9 + 25 = เปcนosมθุมระ=หวvvาง⋅ wwv w ให θ และ 34 ) จะได 11 =( sinθ = vv×ww = 30 ) ( 899 30 34 ( )( )และ 899 ( )( )ดังน้นั tanθ = sinθ 30 34 899 cosθ = = 11 11 ( 30)( 34) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

450 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 26. ให =v  (+ib+j    u ⋅ v =2 จาก u ai j ai bj ⋅ v = ) ⋅ ( + ) = a + b และ จะได a+b =2 --------- (1) จาก      --------- (2) u + v = ( i + j ) + ( ai + bj ) = (1+ a) i + (1 + b) j จะได u + v = (1+ a)2 + (1+ b)2 จาก u + v =26 จะได (1+ a)2 + (1+ b)2 = 26 จาก (1) และ (2) จะได (1+ a)2 + (1+ (2 − a))2 = 26 (1+ a)2 + (3 − a)2 = 26 1 + 2a + a2 + 9 − 6a + a2 = 26 10 − 4a + 2a2 = 26 2a2 − 4a −16 = 0 a2 − 2a − 8 = 0 (a − 4)(a + 2) = 0 น่นั คือ a − 4 = 0 หรอื a + 2 = 0 จะได a = 4 หรือ a = ถา a −2  ถา a =v 4i − 2 j ดงั นั้น = 4 จะได b = −2 นัน่ คอื v   = −2 จะได b = 4 น่ันคือ =−2i j  + 4 v ทีเ่ ปน ไปไดค ือ 4i − 2 j  หรอื −2i + 4 j สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 451 27. ให ABCD เปน รปู สเ่ี หลย่ี มจัตุรัส และ เสน ทแยงมุม AC และ BD ตัดกนั ดงั รูป จเจจนะาะอื่กไแดงรสจูปดางกจวะา AไAดCADC⋅BA==DตCBั้งCฉ=าAกดBก(ังบัA+นBนั้BB+CDBB=DCแล)ะ⋅(BBBC=CD−−AABABD) −  AB ( ) ( )    = BC + AB ⋅ BC − AB         = BC ⋅ BC − BC ⋅ AB + AB ⋅ BC − AB ⋅ AB = BC ⋅ BC−A2 B ⋅ AB 2 = BC − AB นน่ั คอื  = 0 AC BD ตง้ั ฉากกบั ดงั น้นั เสน ทแยงมุมทัง้ สองเสนของรปู สเี่ หลยี่ มจตั ุรัสตัดกนั เปน มุมฉาก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

452 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 28. จาก uu + vv = 31 − 21 จะได u + v 2 31 u − v 2 = 21 u 2 + 2(u ⋅ v) + v 2 31 u 2 − 2(u ⋅ v) + v 2 = 21 จาก u =1 จะได 1+ 2(u ⋅ v) + v 2 31 1− 2(u ⋅ v) + v 2 = 21 v จาก u ทาํ มมุ 60° กบั v จะ=ได u ⋅ v u =v cos60° 2 v นนั่ คอื 1+  2  + v 2 = 31 1− 2 v  + v 2 21 2      2   1 + v + v 2 31 1 − v + v 2 = 21 21+ 21 v + 21 v 2 = 31− 31 v + 31 v 2 10 v 2 − 52 v +10 = 0 5 v 2 − 26 v + 5 = 0 (5 v −1)( v − 5) = 0 นัน่ คอื 5 v −1 = 0 หรือ v − 5 = 0 จะได v = 1 หรอื v = 5 5 ดงั นั้น v = 1 หรือ v = 5 29. เนือ่ งจาก u +5v ตงั้ ฉากกบั u − 2v จะได (u + v) ⋅(u − 2v) = 0 u ⋅ u + v ⋅ u − 2(u ⋅ v) − 2(v ⋅ v) = 0 u 2 − u ⋅ v − 2 v 2 = 0 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 453 เนื่องจาก u = v จะได − u 2 − u ⋅ v = 0 จาก cosθ = uu ⋅vv u 2 = −(u ⋅ v) จะได cosθ = u ⋅ v = −(uu⋅⋅vv) = −1 u 2 นั่นคือ θ = 180° ดงั น้นั ขนาดของมุมระหวา ง u และ v เทา กับ 180° 30. จาก u ⋅ v = u v cosθ จะได (u ⋅ v)2 = ( u v cosθ )2 = u 2 v 2 cos2 θ = (u ⋅ u)(v ⋅ v)cos2 θ เน่ืองจาก 0 ≤ cos2 θ ≤1 จะได (u ⋅u)(v ⋅ v)cos2 θ ≤ (u ⋅u)(v ⋅ v) นน่ั คอื (u ⋅ v)2 ≤ (u ⋅u)(v ⋅ v) จาก (1) จะไดวา (u ⋅ v)2 = (u ⋅u)(v ⋅ v) กต็ อเม่ือ cos2 θ =1 นน่ั คอื (u ⋅ v)2 =(u ⋅u)(v ⋅ v) กต็ อ เมื่อ θ = 0° หรือ =θ 180° เนอ่ื งจาก   3− 7  −4 AB =  3 31. −2 − (−5) =   −6 − 6 −12   6 − 3  3 BC =  −2) −12 −14 − ( =  −4 −10 − (−6)   10 − 6  4 CD =  −14) −3 −17 − ( = 12  2 − (−10)  และ   7 −10 = −3 DA = 12 −5 − (−17)  6 − 2  4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

454 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 จะไดวา     A=B B=C C=D DA แนในล่นั ทะคําอื นAอBงA⋅เBดBียCตวัง้ก=ฉนั (า−กจ4กะ)แับไ(ลด3ะว )Bา+C(DC3B)ACD(−ต1ตต้ัง2้ังัง้ ฉฉฉ)าาา+กกก(กกก−ับบับั12ACD)(BDA−4) = 0 ดังนนั้ รปู ส่เี หล่ยี มทีม่ จี ุดยอดดงั กลาว เปน รูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั 32. จาก u = w จะได u 2 = w 2 จาก u − v = v + w จะได u − v 2 = v + w 2 u 2 − 2(u ⋅ v) + v 2 = v 2 + 2(v ⋅ w ) + w 2 −(u ⋅ v) = v ⋅ w − u v cos π = v w cosθ เมื่อ θ เปน มุมระหวา ง v และ w 5 − cos π = cosθ 5 cos  π − π  = cosθ 5  θ = π −π 5 θ = 4π 5 ดังนน้ั ขนาดของมุมระหวา ง v และ w มขี นาด 4π เรเดยี น 5 33. ให ABC เปน รูปสามเหล่ยี มหนาจั่ว ท่ีมี A เปน จุดยอด จะไดว า AB = AC ให AD เปน เสน มธั ยฐานท่แี บง ครงึ่ ดาน BC ทจี่ ดุ D ดงั รูป สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 455 จจาะกแรสูปดงจวะา ไดDAB=Cต้งั ฉาBกAก+บั ABCC ( )1=BC =DC 1   BA + AC  2  2 และ DA = DC + CA    1 BA + AC + CA ( )= 2    1 BA + AC − AC ( )= 2   1 BA − AC ( )= 2       DA ⋅ DC 1 BA − AC ⋅1 BA + AC ( ) ( )จะไดว า = 22     1 BA − AC ⋅ BA + AC ( )( ) ( )= 4         1 BA ⋅ BA + BA ⋅ AC − AC ⋅ BA − AC ⋅ AC ( )= 4  2      2 BA + BA ⋅ AC − BA ⋅ AC − AC ( )= 1 4  2  2 BA − AC ( )= 1 4 จะได  = 0 DA DC ตัง้ ฉากกับ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

456 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 เน่อื งจาก  ขนานกับ  จะได  ต้งั ฉากกับ  DC BC DA BC ดงั น้ัน เสน มธั ยฐานทีล่ ากจากจุดยอดของรปู สามเหล่ยี มหนาจั่วตัง้ ฉากกบั ฐาน ij k 34. 1) u × v = 2 1 −4 −3 0 −2 1 −4  2 −4  2 1  = i − j+ k 0 −2 −3 −2 −3 0 = −  − − ( −4)( −3))  + ((2) ( 0) − (1)( −3))  ((1)(−2)  ( −4) ( 0 ) ) i ((2) ( −2 ) j k  = −2i +16 j + 3k 2) วิธที ี่ 1   v × u = i j k −3 0 −2 2 1 −4 0 −2  −3 −2  −3 0  = i − j+ k 1 −4 2 −4 21 = −  − − ( −2 ) ( 2))  + ((−3)(1) − (0) ( 2))  ((0)(−4) ( − 2 ) (1)) i ( ( −3) ( −4 ) j k  = 2i −16 j − 3k วิธที ี่ 2 ( )v × u = −(u × v) เน่อื งจาก   = − −2i +16 j + 3k     = 2i − 16 j − 3k ij k 3) จาก u × w = 2 1 −4 −2 3 −1 = 1 −4  − 2 −4  + 2 1 i j k 1(3(11i)+(−−1110)j−+(−8−2k4 ) (−31) ) i −2 3 = − − ( −4)( −2))  + (( 2)(3) − (1) ( −2))  = ((2)(−1) j k จะได u × w = 112 +102 + 82 = 121+100 + 64 = 285 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 457   i j k 4) v × w = −3 0 −2 = 0 −2  −3 −2  −3 0 i− j+ k −2 3 −1 3 −1 −2 −1 −2 3    = ((0) ( −1) −( −2)(3)) i − (( −3) ( −1) − ( −2)( −2)) j + ((−3) (3) − ( 0) ( −2)) k   = 6i + j − 9k w × v =     −(v × w ) = −6i − j + 9k −6i − j + 9k     (v × w ) − (w × v) 6i + j − 9k − = 12i + 2 j −18k ( )จะได = 5) จาก u × w =     (11i   จะได 11i +10 j + 8k 2k j 8k v ⋅ (u × w ) = ( −3i − ) ⋅ + 10 + ) = (−3)(11) + (0)(10) + (−2)(8) = −49 w × u = −(u× w )   และจาก = −11i −10j − 8k    = −3i − 2k ⋅ −11i −10 j − 8k จะได ( ) ( )v ⋅(w × u) = (−3)(−11) + (0)(−10) + (−2)(−8) = 49 ดงั นัน้ v ⋅ (u × w ) − v ⋅ (w × u) = −49 − 49 = −98 จาก 2w =  6) −4i + 6j − 2k  จะได v × 2w = i j k = 0 −2  −3 −2  −3 0 −3 0 −2 6 i− j+ k −4 6 −2 −2 −4 −2 −4 6 = ((0) ( −2) − ( −2) ( 6) )  − ((−3)(−2) − (−2)(−4))  + (( −3)(6) − (0)( −4))   i j k  = 12i + 2 j −18k    ij k และจาก u × (v × 2w ) = 2 1 −4 12 2 −18 1 −4  2 −4  2 1  = i− j+ k 2 2−))1i8− 12 −18 12 2 = ((1)(−18) −  + ((2)(2) − (1)(12))  =  ( −4) ( ((2)(−18) − (−4)(12)) j k −10i −12 j − 8k สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

458 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1     จะได ( ) ( )u × (v × 2w ) + 3w = −10i −12 j − 8k + 3 −2i + 3 j − k  ( ) ( )   = −10i −12 j − 8k + −6i + 9 j − 3k   = −16i − 3 j −11k vเป×นwมมุ =ระ6หiว+า งj v− w 7) ให θ และ จาก 9k จะได v × w = 62 +12 + (−9)2 = 36 +1+ 81 = 118 v = (−3)2 + 02 + (−2)2 = 9 + 0 + 4 = 13 และ w = (−2)2 + 32 + (−1)2 = 4 + 9 +1 = 14 จาก v × w = v w sinθ v × w v w 118 = 59 13 14 91 ( )( )จะได sinθ = = 8) ให θ เปนมุมระหวาง u และ w จาก u × w = 285 u = 22 +12 + (−4)2 = 4 +1 +16 = 21 และ w = (−2)2 + 32 + (−1)2 = 4 + 9 +1 = 14 จาก u × w = u w sinθ sinθ = uu×ww = 285 = 285 ( )( )จะได 76 21 14     จาก ( ) ( )u ⋅ w = 2i + j − 4k ⋅ −2i + 3 j − k = (2)(−2) + (1)(3) + (−4)(−1) u ⋅ w = 3u w cosθ ( )( )และ = จะได cosθ = uu ⋅ ww = 3 =3 21 14 7 6 3 ดงั นนั้ cotθ cosθ 76 = 3 285 == 285 = 95 sinθ 285 76 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 459    1 −2 i jk 35. จาก  1 ×  1 = 1 1m   m  4 −2 1 4 1 m  − 1 m  + 1 1 = i j k 14 −(−m(24)(+1)42)mi )−j(−(+123)(k41) = − − (m)( −2) )  + ((1)(1) − (1) ( −2))  = ((1)(4)  j k i (4− m) จะได 4 − m =9 และ −4 − 2m =6 นั่นคือ m = −5  1 −2 −2  1  1 −2 เน่อื งจาก −1  1 และ  1 × −1 ต้ังฉากกบั −1 และ  1 36. ×     1  3   3  1  1  3  1 −2 i jk จาก −1 ×  1 = 1 −1 1   1  3 −2 1 3 −1 1  1 1  1 −1  = i− j+ k 13 −2 3 −2 1 = −  − (1) ( −2))  + ((1)(1) − ( −1) ( −2))  ((−1)(3) (1) (1)) i ((1)(3) − j k  = −4i − 5 j − k   ขนาดของ −4i − 5 j − k คือ (−4)2 + (−5)2 + (−1)2 = 16 + 25 +1 = 42 นน่ั คือ เวกเตอรหน่ึงหนวยทีม่ ีทิศทางเดียวกับ −4i − 5  −  คอื 1 (  − 5  − k ) j k −4i j 42 จะได เวกเตอรท่ีมขี นาด 5 หนว ยทมี่ ีทิศทางเดยี วกับ  − 5  −  −4i j k คอื      −4i − 5 j − k i j− k ( )5 = − 10 42 − 25 42 5 42 42 21 42 42 −2  1   1 −2    และจาก  1 × −1  −1  1  4i + 5 j + k  = −  ×   =  3  1   1  3     ขนาดของ 4i + 5 j + k คือ 42 + 52 + 12 = 16 + 25 +1 = 42 นนั่ คอื เวกเตอรห นึง่ หนวยที่มีทศิ ทางเดยี วกบั  + 5  +  คือ 1 (  + 5  +  ) 4i j k 4i j k 42 จะได เวกเตอรท ่ีมขี นาด 5 หนว ยทีม่ ีทศิ ทางเดียวกับ  + 5  +  4i j k คือ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

460 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1      4i + 5 j + k i j+ k ( )5 = 10 42 + 25 42 5 42 42 21 42 42 ดังน้นั เวกเตอรท่ีมีขนาด 5 หนว ยทง้ั หมด ซงึ่ ตัง้ ฉากกบั ท้งั  1 −2 คือ −1 และ  1   1  3 − 10 42  − 25 42  5 42  และ 10 42  + 25 42  + 5 42  i j− k i j k จาก 21 u ⋅ v = 42u 42 21 42 42 v cosθ 37. จะได − 1 = (1)(1)cosθ 2 cosθ = − 1 2 จะได θ = 120° จาก u × v = u v sinθ = (1)(1)sin120° =3 2   0 − 5 −5 38. จาก  5 − 7  −2 AB =  =  −12 − (−5) −7  =  −3 − 0 −3 BC  1− 5 = −4  −1− (−12)  11  2 − (−3) 5 CD  3 −1 2 =  = 6 − (−1) 7  =  5 − 2 =  3 DA  7 − 3  4   และ−C5D−6ขนานก−ัน1แ1ล ะ จะไดว า   และ  ขนานกนั AB BC DA ดังนั้น รปู สีเ่ หลีย่ มนเี้ ปนรปู ส่เี หลยี่ มดานขนาน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 461 พนื้ ทีข่ องรูปส่เี หล่ยี มดา นขนาน ABCD เทา กบั    AB × AD เนื่องจาก   i jk AB × AD = −5 −2 −7 −3 −4 11 −2 −7  −5 −7  −5 −2  = i − j+ k −4 11 −3 11 −3 −4 = − (  − ( −7) ( −3))  + ((−5)( −4) − ( −2 ) ( −3))  ((−2) (11) ( −7 ) −4)) i − (( −5)(11) j k   = −50i + 76 j +14k   จะได AB × AD = (−50)2 + 762 +142 = 8472 = 2 2118 ดังนั้น รูปสเ่ี หลีย่ มดานขนาน ABCD มีพื้นที่ 2 2118 ตารางหนว ย   39. พน้ื ทข่ี องรปู สามเหลยี่ ม ABC เทา กบั 1 AB × AC 2   −4 − 2 −6 AB  −3) จาก = 1 − ( =  4  5 − (−1)  6   7 − 2 5 AC  และ = −2 − (−3) =  1 ดงั นน้ั − (−1)   7  6     i jk AB × AC = −6 4 6 5 17 4 6  −6 6  −6 4  = i− j+ k 17 57 51 = )  − − (6) (5))  + (( −6)(1) − (4) (5))  ((4)(7 −(6)(1)) i ((−6)(7) j k  = 22i + 72 j − 26k   จะได AB × AC = 222 + 722 + (−26)2 = 6344 = 2 1586 ดังน้นั รปู สามเหล่ยี ม ABC มีพน้ื ที่ ( )1 2 1586 = 1586 ตารางหนวย 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

462 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 40. เน่ืองจากปริมาตรของทรงสีเ่ หล่ยี มดา นขนานเทากับ u ⋅(v × w )  i j k v × w = −1 −1 1 3 2 −1 −1 1  −1 1  −1 −1  = i − j+ k 2 −1 3 2−)1) i 3 2 = − − (( − (1) (3))  + ( ( −1) ( 2 ) − ( −1)(3))  ( ( −1) ( −1) (1)( −1)( −1) j k  = −i + 2 j + k ( ) ( )u ⋅(v × w ) = จะได      −2i + 5 j + 3k ⋅ −i + 2 j + k = (−2)(−1) + (5)(2) + (3)(1) = 2 +10 + 3 = 15 = 15 ดงั นัน้ ทรงสเ่ี หลยี่ มดา นขนานมปี ริมาตร 15 ลูกบาศกหนว ย 41. ให จุด B, C และ D แทนตาํ แหนง ของหลุม ดังรูป จากรูป จะไดวา ลูกสนุกเกอรจะลงหลมุ D เม่ือ BAˆ′A = CAˆ′D กําหนดให จดุ A มพี ิกดั เปน (0, 0) จะได สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 463 จุด B มีพิกัดเปน (0, 3) จุด A′ มีพิกดั เปน (2, 3) จดุ C มีพกิ ดั เปน (6, 3) และ จุด D มีพกิ ัดเปน (6, − 3)  และ=A′A จะได =A′B =03−− 23 −2 =00 −− 23 −2  0  −3   A′B = (−2)2 + 02 =2 และ A′A = (−2)2 + (−3)2 = 13   A′B ⋅ A′A =( −2) ( −2) + 0 ( −3) =4     จาก A′B ⋅ A′A = A′B A′A cos BAˆ ′A   จะได cos BAˆ′A = A′B ⋅ A′A = 4 = 2 A′B A′A 2 13 13 จะได  =63−− 23 4 และ=A′D =−63−− 23  4 =A′C 0 −6  42 + 02 = 4 และ  42 + (−6)=2 5=2 2 13 A′C = A′D=   A′C ⋅ A=′D (4)(4) + 0(−=6) 16     จาก A′C ⋅ A′D = A′C A′D cos CAˆ ′D   = A′C ⋅ A′D 16 2 A′C A′D 13 (4) 2 13 ( )จะได cos CAˆ ′D = = นน่ั คอื cos BAˆ′A = cosCAˆ′D เนื่องจาก 0° < BAˆ′A < 90° และ 0° < CAˆ′D < 90° จะได BAˆ′A = CAˆ′D ดังนน้ั ลูกสนุกเกอรส ีแดงนจ้ี ะลงหลมุ และจะลงหลุม D เพราะขนาดของมุมทลี่ ูกสนุกเกอร เคล่อื นไปในแนว AA′ กระทบขอบโตะ ทตี่ ําแหนง A′ เทา กับขนาดของมุมที่สะทอนในแนว A′D ทํากับขอบโตะ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

464 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 42. 1) จากรปู มุมระหวา ง v และ w เทากับ 45° จะได v × w = v w sin 45° = ( 225)( 450)  2  2  = 50,625 2 จากรูป v × w มที ศิ ทางเดียวกบั u น่นั คือ มมุ ระหวาง v × w และ u เทากบั 0° จะได u ⋅ (v × w ) = u v × w cos0° ( )= (180) 50,625 2 (1) = 9,112,500 2 2) จากขอ 1) จะไดความจุของตูปลาน้ี คอื 9,112,500 2 ÷1,000 =9,112.5 2 ลติ ร สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 465 แหล่งเรยี นรู้เพิม่ เตมิ forvo.com เป็นเว็บไซต์ท่ีรวบรวมการออกเสียงคําในภาษาต่าง ๆ ก่อต้ังข้ึนเม่ือ ค.ศ. 2008 โดยมีจุดมุ่งหมายเพ่ือพัฒนาการส่ือสารทางการพูด ผ่านการแลกเปล่ียนการออกเสียงคําในภาษา ต่าง ๆ ทั้งจากบุคคลที่เป็นเจ้าของภาษาและบุคคลที่ไม่ใช่เจ้าของภาษา forvo.com ได้รับคัดเลือก จากนิตยสาร Times ให้เป็น 50 เว็บไซตท์ ่ดี ที ส่ี ุดใน ค.ศ. 2013 (50 best websites of 2013) ปจั จบุ ัน เว็บไซต์น้ีเป็นฐานข้อมูลท่ีรวบรวมการออกเสียงที่ใหญ่ท่ีสุด มีคลิปเสียงท่ีแสดงการออกเสียง คําศัพท์ประมาณส่ีล้านคาํ ในภาษาต่าง ๆ มากกวา่ 330 ภาษา ครูอาจใช้เวบ็ ไซต์ forvo.com เพื่อศึกษาเพมิ่ เติมเกี่ยวกับการออกเสียงคําศัพท์คณิตศาสตร์ หรือชื่อนักคณิตศาสตร์ในภาษาอังกฤษหรือภาษาอ่ืน ๆ ท่ีปรากฏในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 ได้ เช่น periodic function ซ่ึงเป็นคําศัพท์คณิตศาสตร์ ในภาษาอังกฤษ หรือ Gustave Eiffel วศิ วกรและสถาปนิกชาวฝรงั่ เศส สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

466 คู่มอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 เลม่ 1 บรรณานุกรม สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2558). คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2557). คมู่ อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 1 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 – 6 กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศึกษาขั้นพนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2561). หนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เล่ม 1 ตามผลการเรยี นรู้กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณติ ศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว. สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2557). หนงั สือเรียนรเู้ พ่ิมเติมเพอื่ เสรมิ ศกั ยภาพคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 – 6 ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์. กรงุ เทพฯ: พฒั นาคุณภาพวิชาการ. สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2557). หนังสือเรยี นรู้เพ่ิมเติมเพือ่ เสรมิ ศกั ยภาพคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 – 6 เวกเตอร์. กรงุ เทพฯ: พัฒนาคุณภาพ วชิ าการ. สํานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พืน้ ฐาน. (2560). ตัวชีว้ ัดและสาระการเรยี นรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ชุมนุมสหกรณก์ ารเกษตร แห่งประเทศไทย. สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5 เลม่ 1 467 คณะผู้จัดทํา คณะทปี่ รกึ ษา สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี ศ. ดร.ชูกิจ ลมิ ปิจํานงค์ สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ดร.ศรเทพ วรรณรตั น์ ดร.วนดิ า ธนประโยชน์ศักด์ิ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณะผูจ้ ัดทาํ คมู่ ือครู สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี นางสาวปฐมาภรณ์ อวชยั สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี นางสาวอัมริสา จนั ทนะศริ ิ สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี นายพฒั นชยั รวิวรรณ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี นางสาวภิญญดา กลับแก้ว สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี ดร.ศศวิ รรณ เมลอื งนนท์ นักวิชาการอิสระ ดร.สธุ ารส นลิ รอด มหาวทิ ยาลัยศลิ ปากร จังหวดั นครปฐม ดร.จณิ ณวตั ร เจตน์จรงุ กิจ นักวชิ าการอสิ ระ นายทศธรรม เมขลา โรงเรยี นสภาราชินี จงั หวัดตรัง นายณัฐพล อดุ มเลิศสกุล โรงเรียน มอ.วิทยานุสรณ์ จังหวัดสงขลา ดร.ธนากร ปรญิ ญาศาสตร์ โรงเรียนยา่ นตาขาวรฐั ชนูปถมั ภ์ จังหวัดตรัง นายวิจติ ยังจติ ร นายวิฑิตพงค์ พะวงษา สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี นายสถติ พงษ์ เพ็ชรถึง สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี นางสธุ ดิ า นานชา้ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณะผู้พจิ ารณาคมู่ อื ครู สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี นายประสาท สอา้ นวงศ์ รศ. ดร.สมพร สูตนิ ันท์โอภาส นางสาวจนิ ตนา อารยะรังสฤษฏ์ นางสาวจาํ เรญิ เจียวหวาน นายสุเทพ กติ ติพิทักษ์ สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

468 คู่มอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 ดร.สุพัตรา ผาติวิสันต์ิ สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี ดร.อลงกรณ์ ต้งั สงวนธรรม สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี บรรณาธิการ สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี รศ. ดร.สิรพิ ร ทพิ ยค์ ง โรงเรียนราชวินติ บางเขน กรงุ เทพฯ คณะทํางานฝ่ายเสรมิ วชิ าการ โรงเรยี นสาธิตแหง่ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ นางสาวขวญั ใจ ภาสพนั ธุ์ ศนู ย์วจิ ยั และพฒั นาการศกึ ษา กรุงเทพฯ นายณรงคฤ์ ทธิ์ ฉายา โรงเรยี นสตรภี ูเกต็ จังหวดั ภูเก็ต โรงเรยี นทับปุดวทิ ยา จงั หวดั พงั งา นายถนอมเกียรติ งานสกุล โรงเรยี นสตรีสิรเิ กศ จังหวัดศรีสะเกษ นางนงนุช ผลทวี โรงเรยี นบางละมุง จังหวัดชลบุรี นางมยรุ ี สาลวี งศ์ โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลยั เพชรบุรี จงั หวัดเพชรบรุ ี นางสาวศราญลักษณ์ บตุ รรตั น์ โรงเรยี นเฉลมิ ขวญั สตรี จังหวัดพษิ ณโุ ลก นายศรณั ย์ แสงนลิ าววิ ัฒน์ ขา้ ราชการบาํ นาญ ว่าท่รี อ้ ยตรสี ามารถ วนาธรัตน์ ข้าราชการบํานาญ นางศุภรา ทวรรณกลุ ข้าราชการบํานาญ นายสุกิจ สมงาม นกั วิชาการอสิ ระ นางสุปราณี พว่ งพี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี นายชัยรัตน์ สนุ ทรประพี สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ฝา่ ยนวัตกรรมเพือ่ การเรยี นรู้ นางสาวปิยาภรณ์ ทองมาก สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี