(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท. เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.5 ล.1

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 391 ใชก ารดําเนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทริกซแตงเติมไดด ังนี้ 2 0 2 2 1 0 1 1 1 R1 1 1 2 1  1 1 2 1 2 3 −1 2 1 3 −1 2 1 1 0 1 1  0 1 1 0 −R1 + R2 0 −1 −1 − 2 −3R1 + R3 1 0 1 1  0 1 1 0 0 0 0 − 2 R2 + R3 เมอ่ื แปลงเมทริกซน ีใ้ หอยูในรูประบบสมการจะได ------- (1) x+z = 1 y+z = 0 ------- ( 2) 0 = −2 ------- (3) จะเหน็ วาสมการ (3) เปน ไปไมได แสดงวาระบบสมการต้งั ตน นาํ ไปสูระบบ สมการซึง่ ไมสอดคลองกนั นั่นคอื ระบบสมการน้ีไมมีคําตอบ 2 4 8 0 7) เมทริกซแตงเตมิ ของระบบสมการน้ี คือ 1 2 3 0 1 1 2 0 ใชก ารดําเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแ ตง เติมไดดังนี้ 2 4 8 0 1 2 4 0  1 R1 1 2 3 0 1 2 3 0  2 1 1 2 0   1 1 2 0 1 2 4 0  0 0 −1 0 −R1 + R2 0 −1 − 2 0 −R1 + R3 1 2 4 0 0   0 1 0  − R2 0 1 2 0 −R3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

392 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 1 2 4 0  0 1 2 0 R2 ↔ R3 0 0 1 0 1 0 0 0 −2R2 + R1  0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0  0 1 0 0 −2R3 + R2 0 0 1 0 เม่อื แปลงเมทรกิ ซน ใ้ี หอยูใ นรูประบบสมการจะได x =0 y =0 z =0 ดงั น้ัน (0, 0, 0) เปนคําตอบของระบบสมการเพียงคาํ ตอบเดียว 1 1 2 0 8) เมทริกซแตงเติมของระบบสมการนี้ คอื 1 0 1 0 3 −1 2 0 ใชก ารดาํ เนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซแตง เติมไดดังนี้ 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 0  0 −1 −1 0 −R1 + R2 3 −1 2 0 0 − 4 − 4 0 −3R1 + R3 1 1 2 0  0 1 1 0 −R2 0 − 4 − 4 0 1 0 1 0 −R2 + R1  0 1 1 0 0 0 0 0 4R2 + R3 เมื่อแปลงเมทรกิ ซนี้ใหอยใู นรูประบบสมการจะได ------- (1) x+z = 0 y+z = 0 ------- ( 2) 0 =0 ------- (3) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 393 เนอื่ งจากสมการ (3) เปนจรงิ เสมอ จึงหาเฉพาะคาของ x, y และ z ที่ สอดคลอ งกบั สมการ (1) และ (2) ก็เพียงพอจากสมการ (1) และ (2) จะได x = − z และ y = − z จะเห็นวา ท้ัง x และ y ขนึ้ อยกู ับ z นั่นคือ สามารถเลือก z ใหเ ปน จํานวนจริง ใดก็ได ในท่นี ใ้ี ห z = t เม่อื t เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คอื (−t, − t, t) เมื่อ t เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ 14. 1) ให A เปน เมทรกิ ซแสดงขอมลู จากตารางแสดงยอดขายหนงั สือในป 2561 ของ สาํ นักพิมพแหงหน่ึง (หนวยเปน เลม) นั่นคือ A = 100 200 500 200 300 400 ให B = [150 200] เปนเมทริกซแสดงราคาของหนงั สือสารคดีและหนังสือจิตวิทยา ดังนน้ั BA = [150 200] 100 200 500 200 300 400 = [55,000 90,000 155,000] ดังน้นั บรษิ ัทมรี ายไดจากการขายหนงั สอื ทั้งหมด 55,000 + 90,000 +155,000 =300,000 บาท 2) ให 30 A เปนเมทริกซแสดงยอดขายทีเ่ พมิ่ ขนึ้ 30% ในปถัดไป 100 จะได A + 30 A =13 A เปน เมทรกิ ซแ สดงยอดขายหนงั สือที่ตอ งการ 100 10 =ดังนั้น 13 A 11=03 210000 230000 540000 130 260 650 260 390 520 10 นัน่ คอื ถา บริษทั ตองการใหยอดขายหนงั สอื เพมิ่ ขึ้น 30% ในปถดั ไป บรษิ จั ะตอง ขายหนงั สอื สารคดีเลม ท่ี 1 เลม ท่ี 2 และเลมท่ี 3 จํานวน 130, 260 และ 650 เลม ตามลําดับ และขายหนงั สือจิตวิทยาเลมท่ี 1 เลม ที่ 2 และเลมที่ 3 จาํ นวน 260, 390 และ 520 เลม ตามลาํ ดับ 15. ให A เปน เมทริกซแสดงขอมลู จากตารางแสดงจํานวนโจทยท่เี ยาวมาลยแ ละการเวก ทาํ ไดถกู ตองในรอบแรก น่นั คอื A = 3 1 6 3 5 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

394 คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 6 ให B = 4 เปน เมทริกซแสดงคะแนนสาํ หรับโจทยแ ตละระดับในรอบแรก  1 3 1 6 6 28 3 5 2 4 40 ดังนัน้ AB =  1 = นน่ั คือ ในรอบแรก เยาวมาลยและการเวกไดคะแนน 28 และ 40 คะแนน ตามลาํ ดบั ให C เปนเมทริกซแสดงขอมูลจากตารางแสดงจํานวนโจทยที่เยาวมาลยแ ละการเวก ทาํ ไดถูกตองในรอบท่สี อง นั่นคอื C = 2 5 3 5 4 7 8 ให D = 5 เปน เมทรกิ ซแสดงคะแนนสาํ หรับโจทยแตละระดบั ในรอบทสี่ อง 2 2 5 3 8 47 CD = 5 4 7 5 74 ดงั น้นั 2 = น่นั คอื ในรอบท่ีสอง เยาวมาลยและการเวกไดคะแนน 47 และ 74 คะแนน ตามลําดบั จะได AB + CD เปน เมทรกิ ซแสดงคะแนนรวมจากการสอบท้งั สองรอบ นน่ั คือ AB + CD = 28 + 47 =  75 40 74  114  ดงั น้ัน เยาวมาลยแ ละการเวกไดคะแนนรวมจากการสอบทั้งสองรอบเปน 75 และ 114 คะแนน ตามลําดับ 16. ให x แทนจาํ นวนเงนิ ทรี่ ัตนาจะตอ งลงทุนในกองทุนรวม A y แทนจํานวนเงนิ ท่รี ตั นาจะตอ งลงทุนในกองทุนรวม B z แทนจํานวนเงนิ ทรี่ ัตนาจะตอ งลงทุนในกองทนุ รวม C จากโจทย สามารถเขยี นเปนระบบสมการเชิงเสน ไดด ังน้ี x + y + z = 50,000 y − 3z = 0 0.06x + 0.04 y + 0.10z = 2,900 เมทริกซแตง เติมของระบบสมการน้ี คือ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 395  1 1 1 50,000  0  0 1 −3 0.06 0.04 0.10 2,900 ใชการดาํ เนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแ ตงเตมิ ไดดงั นี้  1 1 1 50,000 1 1 1 50,000  0  0 0  0 1 −3 1 −3 0.06 0.04 0.10 2,900 0 −0.02 0.04 −100 −0.06R1 + R3 1 0 4 50,000 −R2 + R1  0 1 −3 0 0 0 −0.02 −100 0.02R2 + R3 1 0 4 50,000  0 1 −3 0 0 0 1 5,000 −50R3 1 0 0 30,000 − 4R3 + R1  0 1 0 15,000 3R3 + R2 0 0 1 5,000 เมอ่ื แปลงเมทริกซน ี้ใหอยใู นรูประบบสมการจะได x = 30,000 y = 15,000 z = 5,000 นนั่ คือ (30000, 15000, 5000) เปนคําตอบของระบบสมการเพยี งคําตอบเดยี ว ดงั น้ัน รตั นาจะตองลงทุนในกองทุนรวม A กองทนุ รวม B และกองทุนรวม C เปน จํานวนเงนิ 30000, 15000 และ 5000 บาท ตามลําดบั 17. 1) จากขอมลู ในตารางจะได f (1) = 10 f (2) = 9 f (3) = 4 ซึ่งสามารถเขยี นเปนระบบสมการเชิงเสน ไดดังนี้ a+b+c 4a + 2b + c = 10 9a + 3b + c =9 =4 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

396 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการนี้ คอื 1 1 1 10 4 2 1  9  9 3 1 4 ใชก ารดําเนนิ การตามแถวเพื่อแปลงเมทรกิ ซแตงเติมไดดงั นี้ 1 1 1 10 1 1 1 10 4 2 1 9  0 −2 −3 −31 −4R1 + R2 9 3 1 4 0 −6 −8 −86 −9R1 + R3 1 1 1 10     0 1 −3 − 31  − 1 R2 2 2  2  0 −6 −8 −86 1 0 −1 − 11  2  2  −R2 + R1  0 1 3 31 2 2 0 0 1 7 6R2 + R3   1 0 0 −2  1 R3 + R1 2  0 1 0 5 0 0 1 7  − 3 R3 + R2 2 เมอ่ื แปลงเมทรกิ ซน ใ้ี หอยูใ นรูประบบสมการจะได a = −2 b=5 c=7 น่ันคือ (−2, 5, 7) เปนคําตอบของระบบสมการเพยี งคาํ ตอบเดยี ว ดงั นั้น ฟง กช ันแสดงรายไดรวมของบรษิ ัทในแตล ะปคอื f (x) =−2x2 + 5x + 7 2) รายไดรวมของบรษิ ัทในปท ี่ 7 คือ f (7) =7 + 5(7) − 2(7)2 =−56 ลา นบาท ดังน้นั ในปท ี่ 7 บริษัทขาดทุน 56 ลา นบาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 397 บทท่ี 3 เวกเตอร แบบฝก หัด 3.1ก 1. ตัวอยา งปริมาณสเกลาร แปลงผักหลังโรงเรียนมีพนื้ ที่ 100 ตารางวา เสาไฟฟาตน หนง่ึ สงู 12 เมตร ฤดูหนาวในปน ้ี จะมีอุณหภมู ิลดลงตํา่ สดุ 12 องศาเซลเซียส ตัวอยางปริมาณเวกเตอร รถยนตคนั หนง่ึ ขับไปทางทิศใตเปนระยะทาง 200 กโิ ลเมตร นักกอลฟ ตีลูกกอลฟไปขา งหนาดว ยความเรว็ 120 กโิ ลเมตรตอ ช่วั โมง รถไฟแลนเขา สูสถานดี วยอตั ราเรว็ ทล่ี ดลง 3 เมตรตอวินาที2 2. 1) เขียนเวกเตอรแสดงการเคลอ่ื นที่ 120 เมตร ไปทางทิศเหนือ ไดด ังรปู สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

398 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 2) เขยี นเวกเตอรแสดงการเคล่ือนท่ี 30 เมตร ไปทางทศิ 060 องศา ไดด ังรปู 3) เขยี นเวกเตอรแสดงการเคลอ่ื นท่ี 80 กโิ ลเมตร ไปทางทศิ 300 องศา ไดดงั รปู 4) เขยี นเวกเตอรแสดงการเคลอ่ื นท่ี 10 กิโลเมตร ไปทางทศิ ตะวันออกเฉยี งเหนือ ไดด งั รปู สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 399 3. ตวั อยางเวกเตอรท เ่ี ทากบั เวกเตอรท่กี ําหนดให 1) DC 2) BE 3) −AD 4) AD 5) −CE 6) CE 4. −u แทนการเดินทางในทศิ 255 องศา เปนระยะ 300 กโิ ลเมตร 5. เขียนเวกเตอรแสดงการเดินทางของชายคนนี้ โดยมีจุด O เปน จุดเรม่ิ ตน และจุด P เปน จดุ สน้ิ สดุ ของการเดนิ ทาง ดังรูป จากรูป ชายคนน้ีอยูหางจุดเริ่มตน 32 + 32 =3 2 กิโลเมตร และอยูทางทิศเหนอื ของจดุ เริ่มตน แบบฝก หัด 3.1ข 1. ตวั อยางคําตอบ  CE = Cc2cD+ c+ DE = = สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

400 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1    ( )CA = CD + DA = CD + − AD   = c− f  BD = B C c+ CD  = b+  DB = DA+ AB = − AD +aAB  = −f+ AF = AD + DF = AfD− e− FD  =  FA = FD + DA = eF−D f− AD  =  AE = AfD+ c+ DE  =  EA = ED+ DA ( )=−−cD−E−f AD    = = PQ + QP 2. 1) PQ + QS + SP     = 0    ( ) ( )2) OR − RO + RS = OR + OR + RS ( )   = PO + OR + RS   = PR + RS    = PS   ( ) ( )3) SO + RQ + OR = RQ + SO + OR ( )   = RQ + SO + OR   = RQ +SR = SR + RQ = SQ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 401 แบบฝกหดั 3.1ค 1. 1) จาก 3u −32uv = 3vv = นนั่ คอื u = v ดงั น้ัน u และ v มขี นาดเทากันและทิศทางเดยี วกนั 2) จาก 2u−+3wu 2ww + 5u = = นนั่ คอื u = − 1 w 3 ดงั น้นั u มีทิศทางตรงขามกบั w มขี นาดเปน หนง่ึ ในสามของขนาดของ w 2. จาก 3w = 2s จะได 3((a + 4b)u + (2a + b +1)v) = 2((b − 2a + 2)u + (2a − 3b −1)v) 3(a + 4b)u + 3(2a + b +1)v = 2(b − 2a + 2)u + 2(2a − 3b −1)v (3(a + 4b) − 2(b − 2a + 2))u = (2(2a − 3b −1) − 3(2a + b +1))v เนอื่ งจาก u และ v เปน เวกเตอรท่ีไมขนานกนั และไมเปนเวกเตอรศนู ย ดังนั้น 3(a + 4b) − 2(b − 2a + 2) = 0 และ 2(2a − 3b −1) − 3(2a + b +1) = 0 จะได 7a +10b − 4 = 0 --------- (1) และ −2a − 9b − 5 = 0 --------- (2) จาก (1) จะได 14a + 20b − 8 = 0 --------- (3) จาก (2) จะได 14a + 63b + 35 = 0 --------- (4) จาก (3) และ (4) จะได 43b + 43 = 0 3. น1)น่ั คอื เนือ่ งbจา=ก−1ABแล=ะ−CaD= 2 v = −w จะได ดดเ2นังังs่อืนน−งัน้นั้ จuากvD==BD=wBBuD=เป++DนvADเทA+เ็จปAน Bเท=จ็ −u + v 2) 3) = −BvA = สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

402 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 4) ดงั นน้ั 2s − u =ABv +เปBน Eเท) จ็ =   2 AE 2( = 2AB + 2BE = 2AB + BD  = 2AB + BA + AD = 2AB −AB + AD ดงั น้นั  2===AE=uvAB++uuv++AvDเปนจรงิ 5) AE = AB+ BE ดงั นน้ั  A==E=−−CwwD+++ssBเEปนเทจ็ 6) AE = AB+ BE = −CD + BE   = −CD + 1 BD  2   −CD BC + CD ( )= + 1  2   −CD AD + CD ( )= + 1  2  AD CD = 1 − 1 = 2u − w 2 2u −2w ดงั นัน้  เปน จรงิ AE=   2 2 4. OP = OB + BP   = OB + 1 BA  2   OB BO + OA ( )= + 1  2   OB −OB + OA ( )= + 1 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 403  = 1  + 1  OP OB OA 22   1 OB + OA ( )= 2 5. จากรปู จะได  =    OC OB + BC BA ( ) n = OB + m+n ( ) = OB + n   OA − OB m+n    = OB + n OA − n OB m+n m+n   = m OB + n OA m+n m+n   1 mOB + nOA ( )= m+n = 1 (mu + nv) m+n 6. ให ABCD เปน รูปสเ่ี หลย่ี มทม่ี ีเสน ทแยงมมุ AC และ BD แบง ครึ่งซงึ่ กันและกนั และ ตัดกนั ที่จุด E ดงั รปู สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

404 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 เดจจนะางั อ่ืนกแงรสัน้ จปู ดางกวจAาะABไEดA=B=−AC−=ขBCEนEา−นAEแกEลDับะ+=CEE−DBB(C=แแEลล−ะะ+EDECAD=DD) ขนานกบั BC  AB CE + ED A=D  =−CD ขนAาEน+กบัEDCDและแตBม=CีทิศทBาEงต+รงEขCามกนั  นัน่ คอื AD =ขนAาEนก+บั EDBC= EC + BE = BE + EC = BC จากรูป AD ดงั น้นั และมที ศิ ทางเดยี วกนั น่นั คอื จะไดวา รูปสเ่ี หล่ียม ABCD เปน รปู สีเ่ หล่ยี มดานขนาน ดังนน้ั รปู ส่เี หลีย่ มทเี่ สน ทแยงมุมแบงครงึ่ ซึง่ กันและกันเปน รูปสี่เหลี่ยมดา นขนาน แบบฝกหดั 3.2 1. 1) ภาพฉายของจุด (3, 3,1) บนแกน X คือ จดุ (3, 0, 0) 2) ภาพฉายของจดุ (3, 3,1) บนแกน Y คอื จุด (0, 3, 0) 3) ภาพฉายของจดุ (3, 3,1) บนแกน Z คือ จุด (0, 0,1) 4) ภาพฉายของจุด (3, 3,1) บนระนาบ XY คือ จดุ (3, 3, 0) 5) ภาพฉายของจดุ (3, 3,1) บนระนาบ YZ คือ จดุ (0, 3,1) 6) ภาพฉายของจดุ (3, 3,1) บนระนาบ XZ คอื จุด (3, 0,1) 2. 1) รูปทั่วไปของพิกดั ของจดุ บนแกน X คือ (x, 0, 0) 2) รปู ทวั่ ไปของพิกดั ของจุดบนแกน Y คือ (0, y, 0) 3) รปู ทวั่ ไปของพิกดั ของจดุ บนแกน Z คอื (0, 0, z) 4) รปู ท่วั ไปของพิกัดของจดุ ในระนาบ XY คอื (x, y, 0) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 405 5) รปู ท่วั ไปของพิกดั ของจดุ ในระนาบ YZ คอื (0, y, z) 6) รปู ทว่ั ไปของพิกัดของจุดในระนาบ XZ คอื (x, 0, z) 3. จากรูป จุด B มพี ิกดั เปน (3, 5, 0) จุด C มีพกิ ัดเปน (1, 5, 0) จุด D มพี ิกัดเปน (1, 2, 0) จุด G มีพกิ ัดเปน (3, 5, 3) จดุ E มีพกิ ดั เปน (1, 2, 3) จดุ F มีพกิ ัดเปน (3, 2, 3) 4. AF = (3 −1)2 + (2 − 5)2 + (0 − 3)2 = 22 + (−3)2 + (−3)2 = 4+9+9 = 22 หนวย ซ่ึงมีความยาวเทากับ DG, OB และ EC 5. ภาพฉายของจดุ P(3, − 4, 8) ในระนาบ XY, YZ และ XZ คอื (3, − 4, 0) , (0, − 4, 8) และ (3, 0, 8) ตามลาํ ดบั ภาพฉายของจดุ Q(7, − 2, 8) ในระนาบ XY, YZ และ XZ คอื (7, − 2, 0) , (0, − 2, 8) และ (7, 0, 8) ตามลําดบั และระยะทางระหวา งจดุ P และ Q คือ (3 − 7)2 + (−4 − (−2))2 + (8 − 8)2 = (−4)2 + (−2)2 = 20 = 2 5 เน่ืองจากระยะทางของจุดท่ีเปนภาพฉายในระนาบ XY, YZ และ XZ เปน 2 5, 2 และ 4 ตามลาํ ดับ ดงั น้นั ระยะทางระหวา งจุด P และ Q เทา กับระยะทางของภาพฉายในระนาบ XY 6. AB = (1− (−1))2 + (2 − 7)2 + (1− 9)2 = 22 + (−5)2 + (−8)2 = 4 + 25 + 64 = 93 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

406 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 AC = (1−11)2 + (2 − 4)2 + (1− 2)2 = (−10)2 + (−2)2 + (−1)2 = 100 + 4 +1 = 105 BC = (−1−11)2 + (7 − 4)2 + (9 − 2)2 = (−12)2 + 32 + 72 = 144 + 9 + 49 = 202 ดังนน้ั รูปสามเหล่ยี ม ABC เปนรปู สามเหลีย่ มดา นไมเ ทา แบบฝก หดั 3.3ก 1. ให จุด B มพี กิ ัดเปน (a,b)  จาก AB = a − 3 b − 4 จะได 2 = a − 3 5 b − 4 นนั่ คือ a − 3 = 2 และ b − 4 = 5 จะได a = 5 และ b = 9 ดังนัน้ พกิ ดั ของจุด B คือ (5,9) 2. จาก u = 1 และ v =  4 จะได 3 −1 u + v= 1 + −41=  1+ 4 5 3 2 3 + (−1)= u − v= 1 − −41=  1− 4 −3 3  4 3 − (−1)=  =2u 2=31  2(1) 2  2 (=3)  6 −v =−  4 =−41 −1 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 407 และ 1 u =− 1 1  − 1 (1) =− 13  3 3 3  3  − =   1 − 3 (3)  −1 แสดงเวกเตอร u, v, u + v, u − v, 2u, − v และ − 1 u ไดด ังรูป 3 3. 1)  −1 − 0 −1 2) AB =  4 − 0 =  4 3)   0 − (−1)  1 BA =   = −4  0 − 4  3 − (−2) 5 AB =  2 −1 =  1    −2 − 3 = −5 BA =  1 − 2  −1    −1− (−2)  1 AB =  2 − (−8) = 10   −2 − (−1)  −1 BA =   = −10  −8 − 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

408 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 4)  =  0 −1 −1 AB  0 −1 = −1  0 − (−1)  1   1− 0  1 BA =  1 − 0  1  =  −1 − 0 −1  −1 − 7 −8 AB =  8 − 3  5 5)  =   3 −1  2  7 − (−1)  8 BA =   = −5  3 − 8 −2  1 − 3    2 −1  1 AB = −1− (−1)  0 6) =   0 − 2 −2   1 − 2 −1 BA = −1− (−1)  0 =   2 − 0  2 4. 1)  − 5u = −1 − 5 3 t  3 4 = −1 − 15  3 20  = −1 − 15  3 − 20  = −16 −17 2) นเิ สธของ  − 5u คือ − −16 =1176 t −17 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 409 2v − w =  1  −1 2  0 3) 2 −  3 −7 2  −1 4  0 = −  6 −7  2 − (−1)   = 4 − 0 6 − (−7)  3  4 =  13 นิเสธของ 2v − w คอื  3  −3  4 = −4 4) −  13 −13 5. 1) u + v =  a1  +  b1   a2  b2     =  a1 + b1  a2  + b2  =  b1 + a1  b2  + a2  =  b1  +  a1  = vb+2  a2  u  2) α (u + v) = a   a1  +  b1     a2  b2      = a  a1 + b1  a2 + b2   = aa((aa21 + b1 ) + b2 ) =  aa1a+ b1  aa2a+  b2  สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

410 คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 α (u + v) = aaaa21 aa+  bb21    = aαuaa+21aα +v b1  = b2   3) α (βv) = α  b  b1    b2    = α  b b1   b b2    = α ( bb1 ) α ( bb2 ) =  (αb ) b1  (αb ) b2   = (αb )  b1  = (αβ ) vb2   4) (α + β )u = (a + β )  a1  a2   =  (a + β ) a1  (a + β ) a2   =  a a1 + β a1  a a2  + β a2  = a a1  +  β a1  a a2   β a2     = a  a1  + β  a1  = α  a2  u a2  u +   β สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 411 5) (u + v) + w =   a1  +  b1   +  c1    a2  b2   c2      =  a1 + b1  +  c1  a2 + b2  c2    = ((aa21++bb21)) + c1  + c2   = aa21++((bb21 + c1 ) + c2 ) =  a1  +  b1 + c1  a2  b2 + c2    =  a1    b1  +  c1   = ua+2  v++  c2    wb)2   ( 6. 1) เนื่องจาก 2 = 2  1 จะได 2 และ  1 ขนานกัน 4 2 4 2 เนือ่ งจาก −8 = ( −4) 2 และ 6 = 2 −4  1 3 3 1 ดงั นนั้ 2 , −8 และ 6 ตา งเปนเวกเตอรที่ขนานกนั  1 −4 3  เนอ่ื งจาก 7 =  7  8 จะได 7 และ 8 ขนานกัน 0  8  0 0 0 −2  1 −2  1 2) เน่ืองจาก −4 =(−2) 2 จะได −4 และ 2 ขนานกัน −2  1 −2  1  −1 − 1 −2 PQ =  8 − 2  6 7. 1)  =  11− 3  8 u −3  9 2) =  12 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

412 คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1   1− 0  1 OR −3 − 0  −3 3) = =  −4 − 0 −4    PQ จะเห็นวา u = 3 PQ และ OR = −1 มดังีทนิศ้ันทาPงเQด,ียuวกแนั 2ละแตOมRีทิศเทปาน งเตวกรงเตขอาม2รทก่ีขับนOานRกนั ทง้ั หมด โดยที่  และ u PQ แบบฝก หัด 3.3ข 1. 1)  41=  OA= i +4j 2)   1  + 3  −  OS = 3 =i j 4k −4 3)  =−41 − 3 =−−71 =−7i −  AB − 2 j 4)  1 −−2( −−34)= −46=  − 6  CD=  4i j  5)   3 −1 2   PQ=  3= 2i + 3 j + 4k 2 − (−1)=  6 − 2 4 6)  −1 − 0  −1  − 2  +  MN = −1 −1 =−2 =−i j k  2 −1  1 2. 1) ขนาดของเวกเตอร  1 คอื 12 + 22 = 1+ 4 = 5 2 ขนาดของเวกเตอร  3 คือ 32 + (−4)2= 9 +16= 5 −4 ขนาดของเวกเตอร  −1 คือ (−1)2 + (−4)2 = 1 + 16= 17 −4 ขนาดของเวกเตอร  3 คอื 32 + 22 = 9+4 = 13 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 413 1 2) ขนาดของเวกเตอร 1 คอื 12 +12 + 32 = 1+1+ 9 = 11 3  3 9 +1 + 4= 14 ขนาดของเวกเตอร −1 คอื 32 + (−1)2 + 22=  2 ขนาดของเวกเตอร −4 คอื  0  (−4)2 + 02 + (−1)=2 16 + 0 +=1 17  −1  =75−− 21 4 = 16 + 25 = 41 3) =AB AB = 5 42 + 52 จะได 4)  −1 − 7 −8 RS = 3 − 4 = −1  5 −1  4  จะได RS = (−8)2 + (−1)2 + 42 = 64 +1+16 = 9 3. 1) u = 22 +12 = 5 จะได เวกเตอรห นง่ึ หนว ยท่ีมีทิศทางเดยี วกบั u คือ 2   1 2 =  5   1 5  1  5    = 2 i+ 1 j 55 = 2 5  + 5  i j 55 ดังน้ัน เวกเตอรหนงึ่ หนวยที่มีทิศทางเดียวกับ u คือ 2 5  + 5  i j 55 2) v = 12 + (−3)2 + (−1)2 = 11 จะได เวกเตอรห นึง่ หนวยทีม่ ีทิศทางเดยี วกับ v คือ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

414 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1  1    1  11  1 −3 = − 3 11  −1   − 11  1 11     = 1 i − 3 j − 1 k 11 11 11 = 11  − 3 11  − 11  i j k 11 11 11 ดังน้ัน เวกเตอรห น่งึ หนวยที่มีทศิ ทางเดียวกบั v คือ 11  − 3 11  − 11  i j k 11 11 11   −4 −1 −5 3) AB = 5 − (−3) =  8   AB = (−5)2 + 82 = 25 + 64 = 89  AB จะได เวกเตอรหน่ึงหนวยที่มีทศิ ทางเดยี วกบั คือ − 5   1 −5 = 89   8 89   8  89    = − 5 i+ 8 j 89 89 = −5 89  + 8 89  i j 89 89  ดงั นัน้ เวกเตอรห นงึ่ หนว ยท่ีมีทิศทางเดยี วกบั AB คือ −5 89  + 8 89  i j 89 89   0 −1  −1 CD −3 − 5  −8 4) = =    1− 8 −7 CD = (−1)2 + (−8)2 + (−7)2 = 1+ 64 + 49= 114 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 415 จะได เวกเตอรห น่งึ หนวยท่ีมีทิศทางเดยี วกบั  คือ CD − 1    −1 114  1  −8 = − 8 114    −7 114  − 7   114  j k  =− 1 i − 8 − 7 114 114 114 = − 114  − 8 114  − 7 114  i j k 114 114 114 = − 114  − 4 114  − 7 114  i j k 114 57 114  ดังน้ัน เวกเตอรห นง่ึ หนว ยที่มีทศิ ทางเดยี วกบั CD คือ − 114  − 4 114  − 7 114  i j k 114 57 114 4. 1) เวกเตอรท ่ีมีขนาด 4 หนวย และขนานกับ u คือ  2 5  + 5   = 85  + 45  4  5 i 5 j  5 i 5 j และ −4  2 5  + 5  =− 8 5  − 45   5 i 5 j  5 i 5 j 2) เวกเตอรที่มขี นาด 4 หนวย และขนานกบั v คือ        11 i − 3 11 j − 11 k  = 4 11 i − 12 11 j − 4 11 k และ 4  11 11 11 11 11 11  11  − 3 11  − 11   =− 4 11  + 12 11  + 4 11  −4  i j 11 k  11 i j 11 k 11 11 11  3) เวกเตอรท ี่มีขนาด 4 หนวย และขนานกับ AB คอื  5 89  + 8 89   =− 20 89  + 32 89  และ 4 − 89 i 89 j  89 i 89 j −4  − 5 89  + 8 898=9 j  20 89  − 32 89   89 i i j 89 89 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

416 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 4) เวกเตอรที่มขี นาด 4 หนว ย และขนานกับ  คือ CD  114  − 8 114  − 7 114   =− 4 114  − 32 114  − 28 114  และ 4 − i j 114 k  114 i 114 j k 114 114 114  114  − 8 114  − 711141=4 k  4 114  + 32 114  28 114  −4 − i j i j+ k 114 114 114 114 114 แบบฝกหัด 3.4 1. 1) u ⋅ v = (3i + 4  ) ⋅ (  +  ) j 2i j = (3)(2) + (4)(1) 2) u ⋅ v = 1( 02i + 5  ) ⋅ (  ) = j j = (2)(0) + (5)(1) u ⋅ v = 5     = −i + 3 j + k ⋅ 3i + 4k ( ) ( )3) = (−1)(3) + (3)(0) + (1)(4) u ⋅ v = 1  (3i  = −i − k j ( )4) ⋅ + ) = (−1)(3) + (0)(1) + (−1)(0) = −3 2. ให θ เปน มมุ ระหวาง u และ v ซงึ่ 0° ≤ θ ≤180° จากทฤษฎีบท 3 จuuะ⋅ไvvดวา u ⋅ v =u v cosθ ดงั นัน้ cosθ = 1) เน่ืองจาก u ⋅ v = (3i + 2  ) ⋅ (9i + 6  ) = (3)(9) + (2)(6) = 39 j j และ u = 32 + 22 = 9 + 4 = 13 v = 92 + 62 = 81 + 36 = 117 จะได cosθ = 39 = 1 ดงั น้ัน θ = 0° 13 117 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 417 2) เนอ่ื งจาก u ⋅ v = (3i +  ) ⋅ ( −2i +  ) = (3)(−2) + (1)(1) = −5 j j และ u = 32 +12 = 9 +1 = 10 v = (−2)2 +12 = 4 +1 = 5 จะได cosθ = −5 = − 1 10 5 2 3) ดงั นน้ั =θ 135° (  +  −  ) ⋅ (i + 2  +  ) เนอ่ื งจาก u ⋅ v = 2i j k j 4k = (2)(1) + (1)(2) + (−1)(4) จะไดวา u =0 v ตัง้ ฉากกับ ดงั น้นั θ= 90° 4) เน่ืองจาก u ⋅ v = (  − 2  −  ) ⋅ (i −  ) i j k j = (1)(1) + (−2)(−1) + (−1)(0) =3 และ u = 12 + (−2)2 + (−1)2 = 1+ 4 +1 = 6 v = 12 + (−1)2 + 02 = 1 + 1 + 0 = 2 จะได cosθ = 3 =3 ดังนน้ั θ= 30° 62 2 3. 1) u ⋅ v + u ⋅ w =   2 ⋅ 4  +   2 ⋅  1   −3  1   −3 −1      = ((2)(4) + (−3)(1)) + ((2)(1) + (−3)(−1)) = 5+5 = 10 2) (u + v) ⋅ (u + v) =   2 + 4  ⋅   2 + 4   −3  1   −3  1        =  6 ⋅  6 −2 −2 = (6)(6) + (−2)(−2) = 40 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

418 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 3) v ⋅ (u + v) = 4 ⋅   2 + 4   1  −3  1      = 4 ⋅  6  1 −2 = (4)(6) + (1)(−2) = 22 4) (u + v) ⋅ (u − v) =   2 + 4  ⋅   2 − 4   −3  1   −3  1        =  6 ⋅ −2 −2 −4 = (6)(−2) + (−2)(−4) = −4 u ⋅ v + u ⋅ w  −4  2   −4  6   2  7    2 −3  4. 1) =  ⋅   +   ⋅    4 −7    4  0  = ((−4)(2) + (2)(7) + (4)(−7)) + ((−4)(6) + (2)(−3) + (4)(0)) = −22 − 30 = −52 (u + v) ⋅ (u + v)  −4  2   −4  2   2  7    2  7  2) =  +   ⋅   +     4 −7    4 −7  −2 −2  9  9 =  ⋅  −3 −3 = (−2)(−2) + (9)(9) + (−3)(−3) = 94 v ⋅ (u + v)  2  −4  2   7   2  7  3) =  ⋅   +   −7   4 −7   2 −2  7  9 =  ⋅  −7 −3 = (2)(−2) + (7)(9) + (−7)(−3) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 419 v ⋅ (u + v) = 80 (u + v) ⋅ (u − v)  −4  2   −4  2   2  7    2  7  4) =  +   ⋅   −     4 −7    4 −7  −2 −6  9 ⋅ −5 =  −3  11 = (−2)(−6) + (9)(−5) + (−3)(11) = −66 5. จาก u ⋅ v =u v cosθ และ u > 0, v > 0 จะไดว า u ⋅v มเี ครอ่ื งหมายเดยี วกับ cosθ 1) ถา u ⋅ v > 0 จะได cosθ > 0 นน่ั คอื 0° < θ < 90° ดงั นน้ั θ เปน มมุ แหลม 2) ถา u ⋅ v =0 จะได cosθ = 0 นั่นคือ θ= 90° ดงั นัน้ θ เปน มมุ ฉาก 3) ถา u ⋅ v < 0 จะได cosθ < 0 นนั่ คือ 90° < θ <180° ดังน้ัน θ เปนมมุ ปาน 6. 1) เน่ืองจาก 2 ⋅  3 = (2)(3) + (3)(−2) = 0  3 −2 ดังนน้ั 2 และ  3 ตงั้ ฉากกัน  3 −2 2) เนอ่ื งจาก 2 ⋅ −1 = (2)(−1) + (6)(3) = 16 6  3 ดังนั้น 2 และ −1 ไมตั้งฉากกัน 6  3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

420 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1  2  1 3) เนอื่ งจาก −2 ⋅ 2 = (2)(1) + (−2)(2) + (1)(2) = 0  1 2  2  1 ดังนัน้ −2 และ 2 ต้ังฉากกนั  1 2 เนอื่ งจาก 2  2  1 −2 4)  ⋅ = (2)(2) + (1)(−2) + (2)(1) = 4 2  1 2  2 ดงั นน้ั  1 และ −2 ไมต ้ังฉากกนั  2  1 7. 1) ถา u ต้งั ฉากกบั v จะได u ⋅ v =0 เนือ่ งจาก u ⋅ v = (1− m)(m) + (2)(m + 2) = m − m2 + 2m + 4 = −m2 + 3m + 4 จะได −m2 + 3m + 4 = 0 m2 − 3m − 4 = 0 (m − 4)(m +1) = 0 น่นั คือ m = 4 หรือ m = −1 ดังนน้ั u ตงั้ ฉากกบั v เมอื่ m = 4 หรอื m = −1 ( )2) u = (1− m)2 + 22 = 1− 2m + m2 + 4 = m2 − 2m + 5 ( )และ v = m2 + (m + 2)2 = m2 + m2 + 4m + 4 = 2m2 + 4m + 4 ถา u มขี นาดเทากบั v จะได m2 − 2m + 5 = 2m2 + 4m + 4 m2 − 2m + 5 = 2m2 + 4m + 4 m2 + 6m −1 = 0 จะได −6 ± 62 − 4(1)(−1) 10 m= 2(1) =−3 ± ดงั นน้ั u มขี นาดเทากับ v เม่ือ m =−3 + 10 หรอื m =−3 − 10 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 421 8. เนื่องจาก u ตงั้ ฉากกบั v จะได u ⋅v =0 1) u + v 2 = (u + v) ⋅ (u + v) = (u + v) ⋅ u + (u + v) ⋅ v = u ⋅ (u + v) + v ⋅ (u + v) = u ⋅ u + u ⋅ v + v ⋅ u + v ⋅ v = u 2 + u ⋅ v + u ⋅ v + v 2 = u 2 + 2(u ⋅ v) + v 2 = u 2 + 2(0) + v 2 = u 2 + v 2 ดงั นั้น u + v 2 = u 2 + v 2 2) u − v 2 = (u − v) ⋅ (u − v) = (u − v) ⋅ u − (u − v) ⋅ v = u ⋅ (u − v) − v ⋅ (u − v) = u ⋅ u − u ⋅ v − v ⋅ u + v ⋅ v = u 2 − u ⋅ v − u ⋅ v + v 2 = u 2 − 2(u ⋅ v) + v 2 = u 2 − 2(0) + v 2 = u 2 + v 2 ดังนน้ั u − v 2 = u 2 + v 2 9. จาก u + v 2 = u 2 + 2(u ⋅ v) + v 2 จะได 42 = 52 + 2(u ⋅ v) + 32 2(u ⋅ v) = −18 และจาก u − v 2 = u 2 − 2(u ⋅ v) + v 2 จะได u − v 2 = 52 − (−18) + 32 นน่ั คือ u − v = 52 u − v =− 52 =52 หรือ เน่ืองจาก u − v ≥ 0 ดังน้ัน u − v =52 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

422 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 10. เน่ืองจาก  ขนานกับ  จะไดว า มีจาํ นวนจริง k ท่ี k ≠0 ซงึ่   OC OB OC = kOB ดังนน้ั  4 4k  และ OC = k1 =    k  AC = AO + OC =  −1 + 4k  −3    k  เน่อื งจาก  =ตงั้ ฉ4าkกkก−−บั 31OB จะได AC AC ⋅ OB = 0 4k − 1 ⋅ 4 = 0  k − 3  1 (4k −1)(4) + (k − 3)(1) = 0 17k − 7 = 0 k= 7 17    จะได O=C 28 i + 7 j 17 17    และ AC = AO + OC = (−i − 3  ) +  28  + 7   = 11  − 44  j  17 i 17 j  17 i 17 j สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลม 1 423 จะได   28 2 + 7 2 = 784 + 49 = 833 =7 17 OC =  17   17  289 17 17 และ   11 2 +  − 1474=2 121 + 19=36 20=57 1=21 11 17 A=C  17   289 289 17 17 ดังนนั้ พ้นื ทข่ี องรูปสามเหลย่ี ม OAC เทากับ =1 OC AC 2 12= 71717  111717  77 ตารางหนวย 34 11. จาก=AB =59 −− 78 −2 แล=ะ AD =1130 −− 78 6  1 2  จะได AB = (−2)2 + 12 = 4+1 = 5 และ  62 + 22= 36 + 4= 40  AD=  AD AB ให θ เปนขนาดของมุมระหวาง และ จะได AB ⋅ AD =AB AD cosθ เนอ่ื งจาก  ⋅  =−21 ⋅ 6 =( −2 ) ( 6) + (1)( 2) =−10 AB AD 2 จะได −10 = ( 5)( )40 cosθ cosθ = ( −10 5)( 40) = −1 2 นน่ั คือ θ = 135° จะไดวา BAˆ=D 135° เนอ่ื งจาก รูปสี่เหล่ยี ม ABCD เปน รูปสเ่ี หล่ยี มดานขนาน จะไดว า และ จาก B=ˆ Dˆ= 45° Aˆ= Cˆ= 135° u + v + w = 0 12. จะได −w = u + v −w 2 = u + v 2 w 2 = u 2 + 2(u ⋅ v) + v 2 จาก u − v = 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

424 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 u − v 2 = 3 u 2 − 2(u ⋅ v) + v 2 = 3 12 − 2(u ⋅ v) +12 −2(u ⋅ v) =3 2(u ⋅ v) =1 = −1 จะได w 2 = 12 + (−1) +12 w 2 = 1 นน่ั คือ w = 1 ดงั นนั้ ขนาดของ w เทากับ 1 13. ให ABC เปน รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก โดยมี AC เปนดานตรงขา มมุมฉาก ดังรูป จาก    AB + BC = AC   2  2 จะได AB + BC = AC ( ) 2    2  2 AB + 2 AB ⋅ BC + BC = AC     เน่อื งจาก AB ตง้ั ฉากกบั BC จะได AB ⋅ BC = 0  2   2 นน่ั คือ AB + BC 2 = AC ดงั น้ัน AB2 + BC2 =AC2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 425 14. ให ABCD เปนรปู ส่ีเหล่ียมขนมเปย กปนู และ เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกัน ดังรปู เจจจนาะะ่อืกไแดงรสจูปดางกจวะาAไAดCADC⋅BA==DตCBงั้ Cฉ=าAกดBก(งั บัA+นBน้ัBB+CDBB=CDแล)ะ⋅(BBBC=CD−−AAABBD) −  AB ( ) ( )    = BC + AB ⋅ BC − AB         = BC ⋅ BC − BC ⋅AB + AB ⋅ BC − AB ⋅ AB = BC ⋅ B−CA−BA2B ⋅ AB = BC 2 นนั่ คอื  = 0 AC BD ต้งั ฉากกับ ดังนน้ั เสน ทแยงมุมของรปู ส่ีเหล่ียมขนมเปย กปูนตดั กันเปนมุมฉาก แบบฝกหดั 3.5   1. 1) j × k = i 2) k × i = j 3) k × j = −i 4) i× k = − j 5) j × j = 0 6) k × k = 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

426 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1   ij k 2. 1) u × v = 2 0 3 1 2 −1 0 3 2 3 2 0  = i − j+ k 2 −1 (31)(2−))1i 1 2 = − − − (3)(1) )  + (( 2) (2) − ( 0)(1))  (( 0)(1)  ((2) ( −1) j k  + = −6i + 5 j 4k   ij k v × u = 1 2 −1 20 3 2 −1  1 −1  1 2  = i − j+ k 03 2 3 20 =  − ( −1) ( 2 ) )  + ((1)(0) − (2 ) ( 2))  ((2)(3) − ( −1) (0)) i ((1)(3) − j k  = 6i −5 j −4k ij k 2) u × v = 1 1 −1 01 0 = 1 −1  − 1 −1  + 1 1 i j k 10 0 0 01 = − (  − − ( −1)(0 ))  + ((1) (1) − (1) (0))  ((1)(0) −1) (1)) i ((1)(0) j k = i+ k  ij k v × u = 0 1 0 1 1 −1 1 0 0 0 0 1 = i − j+ k 1 −1 1 −1 11    = ((1)( −1) − (0) (1)) i − ((0)( −1) − ( 0) (1)) j + ((0)(1) − (1) (1)) k  = −i − k สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 427 3) u × v   ij k =2 7 0 5 4 −3 7 0 2 0 2 7  = i− j+ k 4 −3 5 −3 5 4 =  − −3) − ( 0) (5))  + (( 2) (4) − ( 7) (5))  ((7 )(−3) − (0) (4)) i ((2 )( j k  = −21i+ 6 j − 27k ij k v × u = 5 4 −3 27 0 4 −3  5 −3  5 4  = i− j+ k 7 0 2 0 27 = 4) (  − 0) − ( −3) ( 2))  + ((5) (7) − ( 4)(2))  (( 0) − ( −3)( 7)) i ((5)( j k   = 21i −6 j +27k i jk 3. 1) u × v = 5 −3 4 0 1 −1 −3 4  5 4  5 −3  = i − j+ k 1 −1 0 −1 0 1 =  − − ( 4)(0))  + ((5)(1) − ( −3) ( 0))  ( ( −3) ( −1) −( 4 ) (1)) i ((5) ( −1) j k  = −i + 5 j + 5k 2) u × v = (−1)2 + 52 + 52 = 1+ 25 + 25 = 51 3) เนอื่ งจาก u = 52 + (−3)2 + 42 = 25 + 9 +16 = 50 = 52 และ v = 02 +12 + (−1)2 = 0+1+1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

428 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 v = 2 จาก u × v = u v sinθ u × v จะได sinθ = u v นัน่ คอื sinθ = (5 51 2) 2)( = 51 10 ดงั นั้น ไซนข องมุมระหวา ง u และ v คือ 51 10 4. =ให u =aa21  , v  b1  w  c1  b2  และ c2  เปน เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ  =  a3  b3    c3  i jk จะได v × w = b1 b2 b3 u ⋅ (v × w ) = c1 c2 c3 )  − (b1c3 − b3c1 )  + (b1c2 − b2c1 )  = b3c2 i j k (b2c3 − (a1 )(b2c3 − b3c2 ) − (a2 )(b1c3 − b3c1 ) + (a3 )(b1c2 − b2c1 ) = a1b2c3− a1b3c2 − a2b1c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 i jk และ u × v = a1 a2 a3 (u × v) ⋅ w = b1 b2 b3 )  − ( a1b3 − a3b1 )  + ( a1b2 − a2b1 )  = a3b2 i j k (a2b3 − (a2b3 − a3b2 )(c1 ) − (a1b3 − a3b1 )(c2 ) + (a1b2 − a2b1 )(c3 ) ดงั น้ัน = a2b3c1 − a3b2c1 − a1b3c2 + a3b1c2 + a1b2c3 − a2b1c3 = a1b=2c3(−u ×a1vb3)c⋅2w− a2b1c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 u ⋅ (v × w ) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 429 u  a1  v  b1  วธิ ที ี่ 1 ให   และ b2  เปน เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได 5. =  a2  =  a3  b3  (u − v) × (u + v)  a1 − b1   a1 + b1    a2  =  a2 − b2  × + b2   a3 − b3   a3 + b3    k ij = a1 − b1 a2 − b2 a3 − b3 −++−((a((2a(1(2a2a((aa+a2aa2a113baa211b−331)2+−−bb−++2ba3b112)a2aa−))b(b112(b(ab3(2+a3a22a3−323a−b+−b)+32+b2bbi)1ab13bbaa−332)2a32))−(−3−−−2i−(b+ab(ba−2(11ba1b3abbb333332−(2−−2−−−−baba32ba1a33)2b3)2a)(a1)ba(a2a1(31a32a−−1−−)1++aa(a+j3b322b+bb2bb1a1211)()3)++2+)iabbjkbb11332baaa212j1−++++2bbbb3(32b12bba112a)2)1))jk)ikb2 − (2a2 )b1 ( )=  (( ))= k = ( ) ( ) ( )= i jk = 2a1 2a2 2a3 = (2bu1) × vb2 b3 วธิ (uีท ่ี 2 ×ให(u u vแ)ละ=v (เ(ปuน −เวvก)เ×ตอuร)ใ+ด(ๆ(uใน−รvะ)บ×บvพ)ิกัดฉากสามมิติ จะไดวา − v + ) = ((u + (−v)) × u) + ((u + (−v)) × v) = (u × u) + ((−v) × u) + (u × v) + ((−v) × v) (0u+×(uu)×−v()v+×(uu)×+v()u−×0v) − (v × v) = = = 2(u × v) = (2u) × v สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

430 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1 6. 1) ไมสามารถดาํ เนนิ การได 2) สามารถดําเนนิ การได และมีผลลัพธเ ปน ปริมาณเวกเตอร 3) สามารถดาํ เนินการได และมีผลลัพธเ ปน ปรมิ าณเวกเตอร 4) ไมสามารถดําเนินการได 5) สามารถดําเนินการได และมีผลลพั ธเ ปนปรมิ าณสเกลาร 7. เวกเตอรท ่ีมีทศิ ทางตั้งฉากกับระนาบที่กําหนดดวย u และ v คอื u × v และ v ×u i jk จาก u × v = 2 −1 1 −1 1 −2 −1 1  2 1  2 −1  = i− j+ k 1 −2 −1 −2 −1 1    = (( −1)( −2) − (1) (1)) i − ((2)( −2) − (1) ( −1) ) j + (( 2)(1) − ( −1) ( −1)) k = i +3j +k และ v × u = −(u × v)  = −i − 3 j − k เนอ่ื งจาก u ⋅ v = (2)(−1) + (−1)(1) + (1)(−2) = −2 −1− 2 = −5 = 5 และ u × v = 12 + 32 +12 = 11 (i   จะได เวกเตอรหน่ึงหนว ยท่มี ีทิศทางเดยี วกบั u × v คอื 1 + 3 j + k ) 11 k ) และเวกเตอรหนงึ่ หนว ยทีม่ ศิ ทางเดียวกบั v × u คือ − 1 (i + 3  + j 11 ดังนนั้ เวกเตอรสองเวกเตอรทีม่ ขี นาดเทา กับ u ⋅v และมีทศิ ทางตง้ั ฉากกบั ระนาบที่    กาํ หนดดวย u และ v คอื i + 3 j + =k 11  11  5 11 k ( )5 5 i + 15 j + และ 11 11 11 11    15 11  5 11  i +3j +k i j k ( )− 5 =− 5 11 − − 11 11 11 11 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 431 8. พื้นท่ีของรปู ส่เี หลี่ยมดานขนาน PQRS เทา กบั     PQ × PS เนอื่ งจาก   ij k PQ × PS = 3 −2 0 0 34 −2 0  3 0  3 −2  = i− j+ k 34 04 03 = (( −  4) − (0) ( 0))  + ((3) (3) − ( −2 ) ( 0))  −2 ) ( 4 )  (0)(3)) i − ((3)( j k  = −8i −12 j + 9k   จะได PQ × PS = (−8)2 + (−12)2 + 9=2 64 +144 + 8=1 28=9 17 ดังนั้น รปู สีเ่ หลยี่ มดา นขนาน PQRS มีพน้ื ท่ี 17 ตารางหนว ย   9. พื้นท่ีรูปสามเหล่ียม ABC เทากบั 1 AB × AC 2 เน่อื งจาก   8 − 0  8    AB  2  6 8i j 4k =  8− =  = + 6 − −2 − 2 −4 และ  = 9 − 0 =  9 =  + 10  +  ดงั น้นั AC 12 − 2 10 9i j 4k  6− 2  4    i j k AB × AC = 8 6 −4 9 10 4 6 −4  8 −4  8 6  = i− j+ k 10 4 9 4 9 10 ( −4 ) (10 ) ) i  = (( 6) ( 4) −  − ((8)( 4) − ( −4)(9)) j k + ((8) (10) − (6) (9))   = 64i − 68 j + 26k   จะได AB × AC = 642 + (−68)2 +=262 9=,396 18 29 ดงั น้นั รปู สามเหลย่ี ม ABC มีพน้ื ที่ 1 (18 )29 = 9 29 ตารางหนว ย 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

432 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 10. 1) เน่อื งจากปริมาตรของทรงสเ่ี หลยี่ มดานขนานเทากับ u ⋅(v × w )  i jk v × w = 1 1 0 011 1 0 1 0 1 1 = i − j+ k 11 01 01 =  − (0 ) ( 0) )  + ((1)(1) − (1) (0))  ((1)(1) −(0)(1)) i − ((1)(1) j k  = i − j+k จะได (i +  ) ⋅ (i −  + k ) u ⋅ (v × w ) = k j = (1)(1) + (0)(−1) + (1)(1) =2 =2 ดงั น้นั ทรงส่เี หลย่ี มดานขนานมปี ริมาตร 2 ลูกบาศกหนว ย 2) เน่อื งจากปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมดา นขนานเทากบั u ⋅(v × w )   i jk v × w = 1 −1 1 1 12 −1 1  1 1  1 −1  = i − j+ k 12 12 11 = ( −  − (1) (1))  + ((1) (1) − ( −1) (1))  ( −1) ( 2 ) (1)(1)) i − ((1)(2) j k  ( ) ( )=−3i −j + 2k = u (v × w ) จะได ⋅  + 3  −  ⋅   2i j 4k −3i − j + 2k = (2)(−3) + (3)(−1) + (−4)(2) = −17 = 17 ดงั น้ัน ทรงสี่เหลี่ยมดานขนานมีปรมิ าตร 17 ลกู บาศกห นวย สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 433 แบบฝก หดั ทายบท 1. 1) ตAAAัวEDBอ /ย/////า ECDงCเBCวกโโโเดดดตยยยอทททรีี่่ ที่ AA่ขีAEDนBาแนแแลลลกะะะนั  DC CB มีทิศทางเดียวกัน EC มีทศิ ทางตรงขามกนั มีทศิ ทางเดยี วกัน 2) ตัวอยา งเวกเตอรท ่เี ทากนั AB = DC AE = EC 3) ตAัวDอยาแงลเะวกCเตBอรเทปเ่ีนปนน เิ นสธเิ สกธันกัน 2. ใหจดุ O เปน จดุ เรมิ่ ตน และให ทศพรและปุณณเ ดินมายังจุด A และจุด B ตามลําดบั ให C เปนจุดท่ีทําให AC ต้งั ฉากกับ OB ดังรปู เน่ืองจาก OA = OB จะไดวา รปู สามเหลย่ี ม OAB เปนรูปสามเหล่ยี มหนาจั่ว ดังนั้น OAˆB = OBˆA จะได OBˆA = 1 (180° − 45°) = 67.5° 2 ดงั น้ัน ทศพรอยูทางทิศ 292.5° ของปุณณ โดยวัดจากทิศเหนือไปตามเขม็ นาฬิกา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

434 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เลม 1    3. 1) BC = vBD+w+ DC  =  2) BC + CD = BvD  =  3) BE = BD + DE ( )= BD + −ED ( ( ))( )   = v−u   4) AB − DB + DE = AB − −BD + DE ( )   = AB + BD + DE  = AE  = t   5) CA = CD+ DE+ EA = −−wD C−u−−EtD − AE   = ( ) ( )  6) BA + AE − DC + CE = BE − DE   = BE + ED = BvD = 4. จากรูป จะได     1  และ  1  A=B AC + CB , EC = AC CD = CB 22         ED EC CD 1 AC 1 CB 1 AC + CB 1 AB ( )เน่ืองจาก = + = + = = 2 2 2 2   BG / / GE สังเกตวา AG / / GD และ จะไดวา สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 435 มจี าํ นวนจรงิ k ซ่งึ k ≠0 ท่ี  =  และมีจํานวนจริง m ซงึ่ m≠0 ที่  =   AG k GD BG mGE AB จาก  = 1 ED 2   AG − BG จะไดวา ( )  = 1 GD − GE 2   1 kGD − mGE ( )= 2 GD  GE ดงั นัน้ GD1แ−ละk2 GE = 1 − m เนอื่ งจาก 2 ไมข นานกันและไมใชเวกเตอรศนู ยท ง้ั คู จะไดว า 1− k = 0 และ 1− m = 0 22 นนั่ คอื k= 2 และm = 2 ดังนัน้ AG = 2GD 5.    1) BF = BA+ AF = −−uA B+ v+ AF = 2) ใหจ ดุ O เปนจดุ ตดั ของเสนทแยงมมุ AD, BE และ CF   CF AB จะไดวา CรOCปูสF=า=มOเCหFOล=ย่ี +ม−OAAFOB=B=−เ−2ปuนuรูปสามเหล่ียมดานเทา และ ขนานกบั ดังน้นั จะไดว า สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

436 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 3) ดในงั ทนาํัน้ นองเEดFียวก===บั ขอ−−EvvO2)+−+จ(uO−ะuไFด)ว า   =−v EO =− AF 6. จาก w เปน เวกเตอรที่มที ิศทางตรงขามกบั v และมีขนาดเปน 1 เทาของขนาดของ v 2 จะได w = − 1 v หรือ v = − 2w 2 จะได u =3(−2w ) =− 6w และจาก u = 3v ดงั นน้ั u เปน เวกเตอรท่ีมที ิศทางตรงขามกับ w และมีขนาดเปน 6 เทาของขนาดของ w 7. จาก (a + 2b − 7)u= (3b − a − 3)v เนื่องจาก u และ v เปน เวกเตอรท่ีไมขนานกนั และไมใ ชเวกเตอรศ ูนยทั้งคู จะได a + 2b − 7 = 0 --------- (1) และ 3b − a − 3 = 0 --------- (2) จาก (1) และ (2) จะได b = 2 และ a = 3 8. จากรูป จะได    PQ = PC + CQ = 1  + 3  BC CD 34   1 AD 3 − AB ( )= + 34   = − 3 AB + 1 AD 43 ดงั นั้น a = − 3 และ b = 1 43 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เลม 1 437 9. จากรปู จะได u  +   + 1  =AB BM =AB BC 2       และ v = AD + DN = AD + 1 DC = BC + 1 AB 22     AB ดงั นน้ั 4 u − 2 v = 4  AB + 1 BC  − 2  BC + 1  33 3  2  3  2  =  4  + 2   −  2  + 1    3 AB 3 BC   3 BC 3 AB  = 4  + 2  − 2  − 1  AB BC BC AB 3 3 3 3 = AB 10. ให (x, y, z) เปนจดุ ที่อยหู า งจากจดุ (0, 0, 0) และ (1, 2, 3) เปน ระยะทางเทา กนั จะได ( x − 0)2 + ( y − 0)2 + ( z − 0)2 = ( x −1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 x2 + y2 + z2 = x2 − 2x +1+ y2 − 4y + 4 + z2 − 6z + 9 x2 + y2 + z2 = x2 − 2x +1+ y2 − 4y + 4 + z2 − 6z + 9 2x + 4 y + 6z = 14 x + 2y + 3z = 7 นน่ั คือ =a 2=, b 3 และ c = 7 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

438 คูม ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 11. 1) จาก A เปนภาพฉายของจุด P บนแกน X จะได A มพี กิ ัดเปน (1, 0, 0) 2) จาก B เปนภาพฉายของจุด P ในระนาบ XY 3) จะได B มพี กิ ดั เปน (1, − 2, 0) จาก C เปน ภาพฉายของจดุ P บนในระนาย XZ จะได C มพี ิกัดเปน (1, 0, 2) จะได   1 −1  0 AB = −2 − 0 = −2  0 − 0  0  =  1 −1 = 0 AC 0 − 0 0 2 − 0 2   1−1 0 BC = 2 0 − (−2)=  2 − 0 2  และ AB= 02 + (−2)2 + 0=2 2  AC = 02 + 02 + 22 = 2  02 + 22 + 22 = 2 2 BC =   จะเห็นวา AB = AC แจดะลังนไะดน้ัเนวาอื่รปูงAจสาBากมตเห้ังAลฉBีย่ากม⋅=กAAับCBCA(Cเ0ป)น(ร0ปู ) ส+า(ม−เ2ห)ล(0่ยี ม) +หน(0า)=จ(ัว่ 2) 0 นนั่ คอื รปู สามเหล่ียม ABC เปน รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉากดวย ความยาวรอบรูปของรปู สามเหล่ยี ม ABC เทา กับ 2 + 2 + 2 2 = 4 + 2 2 หนว ย พื้นท่ขี องรปู สามเหลีย่ ม ABC เทากบั 1 (2)(2) = 2 ตารางหนวย 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 439 12. 1)  − 1 u = 2  1 − 1 −2 2) 2t −2 2 −4 3) 2 =  2 +  1 −4 2 =  2 +1 −4 + 2  3 = −2 จาก u −  = −2 − 3  1 3t −4 −2 = −2 + −3 −4  6  −2 + (−3) =   −4 + 6 = −5  2 ดงั น้นั นเิ สธของ u −  คือ − −5 =−25 3t  2 2(v + 2w )   0 −2  2  −2  4  = + 2     1 −5    0  −4   −2  8  = 2  +     1 −10   0 + (−4)   = 2 −2 + 8 1+ (−10) −4  6 = 2  −9 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

440 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เลม 1 2(v + 2w ) =  −8  12  −18 1 (3v − w )   0 −2  จาก 1  −2  4  4) 2 = 2  3  1 −   13.   −5   0 −2  1  −6  4  = 2   3 −     −5 0 − (−2) 1   = 2  −6 − 4  3 − (−5) 1  2 2 −10 =  8  1 = −5  4 ดังนัน้ นเิ สธของ 1 (3v − w ) คือ  1  −1 − −5 = 5 2  4 −4 จากรูป    DE = ( )DA+AE  = − AD + AE สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี