دروس مادة الرياضيات للفصل الاول للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫اﻹرﺳﺎل اﻷول‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻗﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 7‬ﺍﻟﺘﺸﺎﺒﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬‫‪ - 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫ﻭﺘﺭﻜﻴﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻹﺜﺒﺎﺕ ﻭﺠﻭﺩ ﺤﻠﻭل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ k , f ( x ) = k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻁﻰ ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫أﻧﺸﻄﺔ‬ ‫اﻟﻨﻬﺎیﺎت‬ ‫اﻻﺳﺘﻤﺮاریﺔ‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ اﻹﻋﻼم واﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﺗﻤﺎریﻦ وﻡﺸﻜﻼت‬ ‫اﻟﺤﻠﻮل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪: 1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ - 0‬ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪{ }:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪x 102 104 108 1010‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪=2+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (3‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≥ 109‬ﻓﺈﻥ ‪( )2 < f x < 2 + 10−9 :‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﺨﻤﻴﻨﻙ ﺤﻭل ‪( )lim f x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ (5‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪0,0000001‬‬ ‫‪0,00000001 0,000000001‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪ (6‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≤ 10−9‬ﻓﺈﻥ ‪( )f x ≥ 2 + 3 . 109 :‬‬ ‫‪ (7‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-0,9997‬‬ ‫‪-0,9998‬‬ ‫‪-0,9999‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪ -8‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≥ −10−9 :‬ﻓﺈﻥ ‪f ( x) ≤ 2 - 3 . 109 :‬‬

‫ﻭ )‪lim f ( x‬‬ ‫‪ -9‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﺨﻤﻴﻨﻙ ﺤﻭل ‪( )lim f x :‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x >0‬‬ ‫‪x <0‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪x 102 104 108 1010‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪2,03‬‬ ‫‪2,0003 2,00000003 2,000000003‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪=2+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x + 3‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪=2+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≥ 109 :‬ﻓﺈﻥ ‪( )2 ≤ f x ≤ 2 + 10−9 :‬‬ ‫‪f (x) ≥ 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫≥‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪=2+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪x ≤ 109‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x ≥ 109‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪( )f x ≤ 2 + 10−9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≤ 2 + 10- 9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. 2 ≤ f ( x ) ≤ 2 + 10−9 :‬‬ ‫‪lim f ( x) = 2‬‬ ‫‪ -4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺨﻤﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -5‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫‪x 0,0000001‬‬ ‫‪0,00000001‬‬ ‫‪0,000000001‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪30000002‬‬ ‫‪300000002‬‬ ‫‪3000000002‬‬ ‫‪ -6‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≤ 10-9 :‬ﻓﺈﻥ‪( ). f x ≥ 2 + 3 . 109 :‬‬

‫‪3‬‬ ‫≥‬ ‫‪3 . 109‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪≤ 10-9 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10-9‬‬ ‫‪3‬‬‫‪( ). f x‬‬ ‫≥‬ ‫‪2 + 3 . 109‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪≥ 2 + 3 . 109 :‬‬‫‪x -0,9997‬‬ ‫‪-0,9998‬‬ ‫‪ -7‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪-0,9999‬‬‫‪( )f x‬‬ ‫‪-1,00090027‬‬ ‫‪-1,00060012‬‬ ‫‪-1,00030003‬‬ ‫‪ -8‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x ≥ -10-9 :‬ﻓﺈﻥ‪( ). f x ≤ 2 - 3 . 109 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫‪-3 . 109‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x ≥ -10-9‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10-9‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪≤ 2 - 3 . 109 :‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪≤ 2 - 3 . 109 :‬‬ ‫‪lim f ( x) = +∞ ،‬‬ ‫‪ -9‬ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = -‬‬ ‫‪x >0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x <0‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 2‬‬ ‫ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪f ( x ) = -x + 1 : x < 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪f ( x ) = x + 1 : x ≥ 1‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪( ). f 1‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ (C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 1‬؟‬ ‫‪ -5‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪:‬‬ ‫[‪ ]-∞ ; 1‬ﻭ [∞‪]1 ; +‬‬

‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪.‬‬‫‪ -2‬ﺤﺴﺎﺏ )‪f (1) = 1 + 1 = 2 : f (1‬‬ ‫‪ -3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ )‪: (C‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ -4‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻤﺘﻘﻁﻊ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪. 1‬‬‫‪ -5‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ )‪ (C‬ﺨﻁ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻘﻁﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 1 ; +‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺨﻁ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻘﻁﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[ ]‬ ‫[‪. ]-∞ ; 1‬‬ ‫ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ -∞ ; 1‬ﻭ ∞‪] [ ] [. 1 ; +‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 3‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪y‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﻤﻊ ﺤﺼﺭ ﻜل ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﺎل) (‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ . a ; b‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ‪ f a‬ﻭ ‪( ) ( ) ] [. f b‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )f x = 2‬‬ ‫ﻤﺎﻫﻲ ﺍﻟﻤﺨﻤﻨﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺘﻨﺘﺠﻬﺎ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ 4‬؛ ‪[-5‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): f x = 0‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﺤﻠﻴﻥ ‪( ). x2 , x1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ [‪ x1 ∈ ]1 ; 2‬ﻭ [‪x2 ∈ ]-5 ; -4‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (1) > 0 :‬ﻭ ‪f ( 2) < 0‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ f ( −5) > 0 :‬ﻭ ‪f ( −4) > 0‬‬

‫‪ (3‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )f x = 2‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 4 ، f x = 2 :‬ﺤﻠﻭل‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﻤﻨﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻭﻜﺎﻥ] [‬ ‫‪ f a . f b < 0‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ ‪ x0‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ f x0 = 0‬ﻭ) ( ) ( ) (‬ ‫[‪x0 ∈ ]a ; b‬‬‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ c‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪( ) [ ]f a‬‬ ‫ﻭ ‪ f b‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﺒﺤﻴﺙ ‪] [ ( )x0 ∈ a ; b‬‬ ‫ﻭ ‪. f ( x0 ) = c‬‬ ‫‪ -I‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪ -1‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪: −‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪، A‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x > B :‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪f (x) > A‬‬ ‫ﺃﻭ ∞‪( )lim f = +‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ∞‪= +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬‫‪−‬‬‫‪( )lim‬‬‫‪f‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻫﻲ ∞‪ −‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ∞‪x  = +‬‬‫∞‪x→+‬‬ ‫‪( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫∞‪= -‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫∞‪x→+‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 3‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪ −‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪، A‬‬‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x < -B‬ﻴﻜﻭﻥ ‪( )f x > A‬‬ ‫‪( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ∞‪= +‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 4‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ∞‪−‬‬‫‪( )lim‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫‪− f‬‬ ‫∞‪x  = +‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f ( x ) = -∞ :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 5‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻫﻲ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪، e‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x > B‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪0 ≤ f (x) - < e‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f ( x ) = :‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 6‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪ −‬ﻫﻲ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ ، e‬ﻴﻭﺠﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x < -B‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪0 ≤ f (x) - < e‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f ( x ) = :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ x‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‬‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫‪،‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = -‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x< x0‬‬ ‫‪x> x0‬‬‫‪x ∈ x0 - α ; x0 ∪ x0 ; α + x0‬‬ ‫‪ x - x0 < α x‬ﺘﻌﻨﻲ ‪:‬‬‫‪ 0 ≤ f ( x) - < α x‬ﺘﻌﻨﻲ ‪f ( x) ∈ ] - e ; + e[ :‬‬

‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪ −‬ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ) ( ) (‬‫≤ ‪.0‬‬ ‫ﻭﺤﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪: x0‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻑ ‪: 1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻲ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ ، e‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0 < x - x0 < α‬ﻴﻜﻭﻥ ‪f ( x ) - < e :‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﻜﺒﺭ ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪، A‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0 < x - x0 < α‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪f (x) > A‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f ( x ) = +∞ :‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x> x0‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 3‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ ﻫﻲ ∞‪ −‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ‬‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ ، A‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪0 < x0 - x < α‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪f ( x ) < - A‬‬ ‫∞‪( )lim f x = -‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x< x0‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺘﺎﻥ ‪ ′ , , x0 .‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﺒل ﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺠﺩﻭل‪.‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬‫)‪lim ( f + g)( x‬‬ ‫)‪lim g( x‬‬ ‫)‪lim f ( x‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪+′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪:‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫)‪lim f ( x‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫)‪( > 0‬‬‫)‪lim ( f × g)( x‬‬ ‫)‪( < 0‬‬ ‫)‪lim g( x‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪×′‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪′‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪−‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ) ‪( x‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﻠﻭﺏ ‪:‬‬ ‫‪ f ‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪lim f ( x ) :‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪0 +‬‬ ‫∞‪0 −‬‬ ‫)‪+∞ 0 ; ( f ( x) > 0‬‬ ‫)‪−∞ 0 ; ( f ( x) < 0‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺩ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪( ):‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x→ x0‬‬‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪g( x‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫)‪g( x‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻀﺭﺏ ﻭ ﺒﺎﻟﻤﻘﻠﻭﺏ‬ ‫ﻫـ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪( )lim f x‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪f x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫∞‪+∞ +‬‬ ‫ﺩ ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺘﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ c , b , a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪( )lim f x = b‬‬ ‫‪x→a‬‬

‫‪lim ( gof )( x) = c‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪( )lim g x‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪= c‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→b‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫∞‪ x → +‬ﺃﻭ ∞‪. x → -‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ h , g , f‬ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. I‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪) :1‬ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل(‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( )g x ≤ f x : I‬‬‫∞‪( ) ( )lim f x = +‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ∞‪= +‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪lim g x‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪) :2‬ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ(‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( )f x ≤ g x : I‬‬‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ∞‪ lim g ( x ) = -‬ﻓﺈﻥ ∞‪lim f ( x ) = -‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪) : 3‬ﺍﻟﺤﺼﺭ(‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( ) ( )g x ≤ f x ≤ h x : I‬‬‫= ‪( ) ( ) ( )lim f x‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= lim h x‬‬ ‫=‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ∞‪ x → +‬ﺃﻭ ∞‪. x → -‬‬ ‫‪ -5‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪:‬‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪ −‬ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺩﻩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ) ( ) ( ) (‬ ‫ﻋﻨﺩ )∞‪. ( −‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ ‪:‬‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪ −‬ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻁ) ( ) (‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ‪.‬‬

‫‪ -6‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻲ ‪:‬‬‫‪ C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ) ( ). O ; i , j‬‬ ‫) ‪ M ( x ; y‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻤﻥ ) ‪. (C‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺠﻌل ‪ x‬ﺃﻭ ‪ y‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻘﺩﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺭﻴﺩﻩ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﻓﺭﻋﺎ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ‪:‬‬‫‪ (α‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ lim f ( x ) = +∞ :‬ﺃﻭ ∞‪ lim f ( x ) = -‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‪( ). x = x0 :‬‬ ‫‪( ) ( )lim f‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪= y0 :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= y0‬‬ ‫‪ lim f‬ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( ):‬‬ ‫‪. y = y0‬‬ ‫)‪lim f ( x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (γ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ∞‪= +‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ) (‬ ‫‪( ): lim‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪= 0‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬‫‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ) (‬ ‫‪: lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬‫‪lim‬‬ ‫)‪ f ( x‬‬ ‫‪- ax‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪= a‬‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( ). y = ax :‬‬‫‪( ) ( )lim‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x →+‬‬‫‪ f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪- ax = b‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪= a‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﺎﺌﻼ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( ). y = ax + b :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ C‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ‪( ) ( ). O ; i , j‬‬‫∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = ax + b :‬ﻴﻜﻭﻥ ∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﺎﺌﻼ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﺇﺫﺍ) ( ) ( ) (‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪ f ( x‬‬ ‫‪- (ax + b)‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪ -II‬ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ ‪. x0‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ‪ I‬ﻴﺸﻤل ‪ x0‬ﻭﻏﻴﺭ ﺨﺎل‪ .‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﺇﺫﺍ‬ ‫‪( ) ( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫‪=f‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪. 4‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x - 4 : f‬‬‫‪( ) ( )lim f x = 0 = f 4‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪ x‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻷﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x :‬‬ ‫ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻴﺸﻤل ‪ . 0‬ﺤﻴﺙ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [. 0 ; +‬‬

‫‪ x‬ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪[ ]x x :‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺠﺯﺀﻩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪[-3,5] = -4 , [1,78] = 1 , [0,5] = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ x :‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪[ ]. x‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 4‬ﻤﺜﻼ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺇﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x ∈ 3 ; 4 :‬ﻓﺈﻥ ‪[ ] [ [x = 3 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x ∈[4 ; 5[ :‬ﻓﺈﻥ ‪[ x] = 4 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ lim[ x] = 3 :‬ﻭ ‪lim[ x] = 4‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x>4 x<4‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ‪ 4‬ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪[ ]x‬‬ ‫ﻷﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪  x0 ; x0 + a‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫‪( ) ( )lim f‬‬‫‪x‬‬‫‪=f‬‬‫‪x0‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬‫‪x→ x0‬‬‫‪x> x0‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪x0 - a ; x0  :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪( x0‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪x< x0‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪ 0 ; +‬ﻭ[ [‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫)‪lim f ( x) = 0 = f (0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x>0‬‬

‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 5‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ -∞ ; 5‬ﻭ] ]‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪5 - x‬‬ ‫)‪lim f ( x) = 0 = f (5‬‬ ‫‪x→5‬‬ ‫‪x<5‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 4‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻷﻨﻬﺎ‬ ‫‪ x‬ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪[ ]x :‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ 5‬؛ ‪ [4‬ﻤﺜﻼ ﻭ ‪[ ] [ ]lim x = 4 = 4‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x>4‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪0‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪[ ]x : f‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻷﻥ ‪lim f ( x ) = lim x = 0 = 0 = f (0) :‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬‫‪x>0 x>0‬‬‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪lim f ( x) = lim ( − x) = 0 = 0 = f (0) :‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬‫‪x<0 x<0‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ ‪x0 ∈ D f :‬‬ ‫‪ x‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪:‬‬‫‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a ; b :‬ﺃﻭ ‪ -∞ ; b‬ﺃﻭ ∞‪] [ ] [ ] [. a ; +‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ x‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻜل‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ x0‬ﻤﻥ ‪. I‬‬ ‫‪ x‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻐﻠﻕ ‪ a ; b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ] [‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ‪ - :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺡ ‪] [a ; b‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫‪ x‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ[ [‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ a ; b‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪] [.‬‬

‫‪ x‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ] ]‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ a ; b‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ‪] [.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ‪sinx‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x - 1 :‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪cosx‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0 ; +‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ‪. I ⊂ D f :‬‬‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻓﺈﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻭ ﺨﻁ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻘﻁﻊ ‪[ ]،‬‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ a‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪.b‬‬ ‫‪ -5‬ﺘﻤﺩﻴﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﺎﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ‪:‬‬ ‫‪ x0‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ I .‬ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﻴﺸﻤل ‪. x0‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻥ ‪{ }. I - x0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل }‪ g ( x) = f ( x) : x ∈ I - {x0‬ﻭ = ) ‪g ( x0‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬‫‪g(0) = 1‬‬ ‫؛‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:x ≠ 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪x‬‬‫‪ f‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻋﻨﺩ ‪( ). 0‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin x‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ -6‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ f x‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ = ‪ lim f x‬ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫(‪g  f ( x) = g‬‬ ‫)‬ ‫‪x→ x0‬‬‫‪ f x‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ f x0‬ﻓﺈﻥ) (‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ gof‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬‫‪ f x‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ λf ; f × g ; f + g :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻨﺩ ‪( ). x0‬‬‫‪f‬‬‫ﻭ‬‫‪1‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪≠0‬‬‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﺩﻟﺘﺎﻥ ‪ x cos (ax + b) :‬ﻭ )‪x sin (ax + b‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ ،‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ‪ x0‬ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪tan x‬‬ ‫∈‪. k‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+ kπ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -7‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 1‬‬ ‫ﻨﻘﺒل ﺒﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ k‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪( ) [ ]f a‬‬‫ﻭ ‪ f b‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ‪ c‬ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( ) ( ). f c = k :‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺃﺩﻨﺎﻩ ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ‪ C1 , C2 , C3‬ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ‬‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ‪f (C1 ) = f (C2 ) = f (C3 ) = k :‬‬

‫)‪f(b‬‬ ‫‪k‬‬‫)‪f(a‬‬ ‫‪a C1 C2‬‬ ‫‪C3 b‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )‪ (1‬ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ C‬ﻭﺤﻴﺩ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ‪ x1‬ﻭ ‪ x2‬ﻤﻥ] [‬ ‫‪ a ; b‬ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x1 < x2‬ﻓﺈﻥ ‪( ) ( ) [ ]f x1 < f x2‬‬‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ C1 , C2‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻴﺙ ‪ C1 < C2‬ﻓﺈﻥ‪ f C1 < f C2 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ) ( ) (‬ ‫‪ f C1 ≠ f C2‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ ‪ c‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( ) ( ) ( ). f C = k :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 3‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺃﻭ ∞‪ a ; +‬ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪[ [ [ [k‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) ( ) ( ) () (‬‫أو‬ ‫‪lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim f x‬‬ ‫ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ f a‬ﻭ‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→b‬‬ ‫‪ f x = k‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ‪ C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [ ( ). a ; +‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 4‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ a ; b‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f a . f b < 0‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ] [ ) ( ) (‬‫ﺍﻷﻗل ‪ ،‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ C‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ . f C = 0‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺭﺘﻴﺒﺔ[ ] ) (‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻴﻀﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ C‬ﻭﺤﻴﺩ‪.‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪; 1‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x3 + x - 1 = 0 :‬‬ ‫‪.  2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ). f x = x3 + x - 1 :‬‬‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪; 1‬‬ ‫ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫×‬ ‫)‪f (1‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (1) = 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪; 1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )‪ (4‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ‪ c‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ f c = 0‬ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x3 + x - 1 = 0‬ﺤل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل) (‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻓﻲ ‪ x0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻓﻘﻁ )ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻓﻘﻁ( ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ N 0‬ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x0‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻭﻗﻑ‪.‬‬‫)‪f(x0‬‬ ‫‪N0‬‬ ‫)‪f(x0‬‬ ‫‪N0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬

‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 − x + 3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬ ‫‪( x − 1)2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫∞ ‪lim f ( x ) = +‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪x→1‬‬‫ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺨﻤﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﺩﺨل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫‪ (2‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ x‬ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ‪ 1‬ﺃﻤﺎ ﻗﻴﻡ )‪f ( x‬‬‫ﻓﻬﻲ ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ )‪ f (0,9‬ﻭ )‪f (1,1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺒﻴﻥ ‪ 291‬ﻭ ‪. 311‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺨﺘﺎﺭ‬ ‫‪ (3‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫‪ ZoomFit‬ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ‪.‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (4‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ‪:‬‬

‫ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺤﺭﻴﻙ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪(5‬ﻨﻨﻘﺭﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺯﺍﻟﻘﺔ ﺤﺘﻰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 0, 99‬ﻭﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪f (0,99) 41302,25‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﺩل ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺨﻤﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x→+‬‬ ‫∞ ‪lim f ( x ) = +‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:2‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻤﺎﻫﻭ ﺘﺨﻤﻴﻨﻙ ﺤﻭل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﺩﺨل ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪ (2‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫‪ (3‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫ﺜﻡ ﻨﺤﺭﻙ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪(4‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺯﺍﻟﻘﺔ ﻓﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪f (10000) 10001‬‬‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺨﻤﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 3‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x3  2 x  1 0 :‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﻓﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪. f (x) x3  2x 1‬‬ ‫ﻭﻨﺩﺨل‬ ‫‪ (2‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ‬ ‫‪ (3‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬

‫‪ (4‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺤﺭﻴﻙ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f ( x‬‬ ‫ﺍﻟﺯﺭ‬ ‫ﻓﻤﻥ ﺃﻥ ﺃﺠل ‪ 0,45 :‬ﻨﺠﺩ‪f ( x) -0,01 :‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 0,46‬ﻨﺠﺩ ‪f ( x) 0,01‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x) 0‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ‪x0‬‬ ‫ﻴﺤﻘﻕ ‪0,45  x0  0,46 :‬‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪− x = +∞ (1‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x2 - 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x2 + 3‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪y = ax + b :‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪f ( x ) = ax + b + g ( x‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪x3 +‬‬ ‫‪4x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ − x‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ (5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪≤ x :‬‬‫‪( ) ( )lim f‬‬‫‪x‬‬‫‪=0‬‬ ‫‪≤f‬‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x→+‬‬‫‪ (6‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f ( x ) ≥ x2 :‬ﻓﺈﻥ ‪lim f ( x ) = +∞ :‬‬‫∞‪x→+‬‬‫‪( ) ( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (7‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪≤ x - 1 :‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪= -∞ :‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:f‬‬ ‫‪ (8‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0 ; +‬‬ ‫‪ (9‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x + x : f‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0 ; +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ (10‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x : f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪ (11‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 + 4 : f‬‬ ‫‪ (12‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ] [‬ ‫‪ f x = 0‬ﺘﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺤﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [ ( ). a ; b‬‬‫‪ (13‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1 ; 5‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ] [‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪. 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (14‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫‪ (15‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ (16‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬‫‪ (17‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬ ‫‪ (18‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬

‫‪ (19‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪ (20‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 - 1 :‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 - 1‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (19‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 - 1 :‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 - 1‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫; ‪. 0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺤﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪x sin x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪ (20‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻓﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 - 4‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪- 5x +‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪6‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x4 +2x3 +2x+1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3 + 3x2 - 4x‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪4x2 - 4x - 3‬‬ ‫‪x2 + 4x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪3‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2 + x - 6‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x+5 -3‬‬ ‫‪x -2‬‬ ‫‪x - 2x - 4 (1‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x - 2x - 1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x + 1 - 1 (4‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x -1‬‬

4‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬lim - x + 4x2 + x + 1 (2 lim 2x - x2+ 1 (1 -4x - x2 + 1 x - 4x2+ xx → −∞ x→+∞ lim -x + x (4 lim  x2 + 1 - x (3  x → +∞ x → +∞ lim −x - 5 (6 lim x2 +1 - x2 +2 (5 x2 + 4 x → −∞ x → −∞ 5‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬lim sin 2x (3 lim sin 2x (2 lim sin x (1 tan x x sin 3x x→0 x→0 x→0 lim x sin x (5 lim 1 - cosx (4 1 - cosx sin2 x x→0 x→0 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ lim 1 - 2 sin2 x (2 lim cos 3x (1 π 1 + cos4x π cosx x→ 4 x→ 2 lim 1 - sin x - cosx (3 π 1 - sin x + cosx x → 2 f (x) = x2 + x - 4 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ x +1 : f ‫ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ . ‫( ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬C)

‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻓﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ f x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪( ):‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪= ax‬‬ ‫‪+b+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ‪ c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻨﻔﺭﺽ ∆ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل‪( ).‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪8‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )f x = 2x + x2 + 1 :‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪ f ( x) - x‬‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ f ( x) - 3x‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( ). C f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ sinx‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪9‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪: x‬‬ ‫‪a ≤ 4 + sin x ≤ b‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ x‬ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬‫‪ v x ≤ f x ≤ u x‬ﺤﻴﺙ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‪( ) ( ) ( ).‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ lim f x :‬ﻭ ‪( ) ( )lim f x‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪ -4‬ﺃﺤﺴﺏ ) ‪. lim f ( x‬‬ ‫‪x→0‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪10‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫)‪(α - 1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪α2 - 1‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪lim f ( x) , lim f ( x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → −‬‬‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪x3 + 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬‫‪‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪‬‬‫‪ f (-1) = 3‬‬ ‫‪; x ≠ 1 , x ≠ -1‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. -1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪≥1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, x<1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x) = 2x2 + 1 , x ≤ 0‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪3- 2- 3 +‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1 +4‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪-3 3‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﻓﻲ ‪( ).‬‬‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪; x≠1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫‪‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬‫‪‬‬‫‪ f (1) = 2‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ -2‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬‫∞‪x −∞ 0 +‬‬‫‪f (x) 4‬‬ ‫‪-4 -2‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 2‬ﻓﻲ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 1 ; +‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪[ [:‬‬ ‫‪f ( x) = -x + x - 1 + 0,9‬‬‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪.‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )f x = 0 :‬‬ ‫ﻤﻊ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺘﻘﺭﻴﺏ ‪10−2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪2 x - cosx = 0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺤﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬ ‫ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪x . sin x‬‬ ‫‪,x‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬‫‪‬‬ ‫‪1 - cosx‬‬‫‪‬‬‫‪ f (0) = 2‬‬

‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪0‬‬‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﺯ ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ] [ ]. 0 ; 1‬‬‫‪ -1‬ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﺩﺩ ‪ α‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]:‬‬‫‪. f (α) = α‬‬ ‫‪ -2‬ﻓﺴﺭ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.‬‬‫‪ -3‬ﻫل ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺤﻴﺙ ‪[ ]. a < b‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2 - 13x + 36 = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 21‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x6 - 13x3 + 36 = 0 :‬‬ ‫‪ -1‬ﺤل ﻓﻲ‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2n - 13x4 + 36 = 0 :‬‬ ‫‪ -2‬ﺤل ﻓﻲ‬ ‫‪ -3‬ﺤل ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 22‬‬‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻜل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﺩﺭﺠﺘﻪ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﺭﺓ ﻓﻲ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫‪ (1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ∞‪ − x → +‬ﻟﻤﺎ ∞‪ x → -‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫∞‪lim − x = +‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪2x2 - 1 = lim‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 ‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪ (2‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪x2 + 3‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2 ‬‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫∞‪1 +x→+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ) (‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim g‬‬ ‫‪ (3‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻨﻨﺎ ﻻ ﻨﻌﻠﻡ‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ﻟﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻥ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ ﻟﻴﺱ ﺇﻟﻰ ∞‪ +‬أو ∞‪−‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ (5‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫‪ (6‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪ lim x2 = +∞ :‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )f x ≥ x2 :‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫ﻭ ‪f (x) ≤ x - 3‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪ (7‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪= -∞ :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪ (8‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪ (9‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0; +‬‬ ‫‪x‬ﻭ ‪x x‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ‪x :‬‬

‫‪ (10‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪ (11‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ‬‫ﻭ ﻤﻭﺠﺒﺔ‬ ‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪x2 + 4 :‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. +‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪x :‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ (12‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻓﻤﺜﻼ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 - 1 : f‬‬‫]‪ 4‬؛ ‪ [2‬ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 - 1 = 0‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬‫‪ 2 ; 4‬ﻭ ﺤﺘﻰ ﺘﻘﺒل ﺤل ﺃﻜﻴﺩ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪( ) ( ) ] [. f a . f b < 0‬‬‫‪ (13‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [. 1 ; 5‬‬ ‫‪ (14‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬‫‪ x‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (15‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪-x2 - 1 : f‬‬‫ﻟﻜﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻥ ‪ f ′ x = -2x :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ) (‬‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x > 0‬ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. x < 0‬‬ ‫‪ (16‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫;‬ ‫‪x≠1‬‬‫‪‬‬ ‫‪x -1‬‬‫‪‬‬‫‪ f (1) = 3‬‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪ f 1 = 3 1‬ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻟﻜﻭﻥ ‪( ( ) ):‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim ( x + 1) = 2‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x →1‬‬‫‪ (17‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ .‬ﻷﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ‪:‬‬‫‪( ) ( ). lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=f‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪x→ x0‬‬‫‪ (18‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻷﻨﻪ ﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ‪.‬‬‫‪ (19‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ x2 - 1 > 0‬ﻭﻫﺫﺍ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﻘﻕ ﻓﻲ ‪.‬‬ ‫‪ (20‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪ f x = x sin x :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ) (‬

. 1∈ 0 ; π ‫ﻭ‬ 0 ; π ‫ﻋﻠﻰ‬ 2  2  . 2‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ f ( x) = 3x2 + x - 4 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬1 x -1• Df = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[( )• lim fx = lim 3x2 = lim 3x = -∞ x→−∞ xx→−∞ x→−∞ 3x 2 x( )• lim fx = lim = lim 3x = +∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞( )• lim fx = lim 3x2 + x - 4 < < x -1 x→1 x→1 = lim (x - 1) (3x + 4) = lim (3x + 4) = 7 < x -1 < x→1 x→1• lim f ( x) = lim (3x + 4) = 7>>x→1 x→1 f (x) = x2 - 4 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬2 x2 - 5x + 6• Df = {x ∈ : x2 - 5x + 6 ≠ 0} x = 3 ‫ ﺃﻭ‬x = 2 : ‫ ﻓﻨﺠﺩ‬x2 - 5x + 6 = 0 : ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬

Df = - {2 ; 3} : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ Df = ]-∞ ; 2[ ∪ ]2 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[ : ‫ﺃﻱ‬( )• lim f x = lim x2 =1 x→−∞ x→−∞ x2( )• lim f x = lim x2 =1 x→+∞ x→+∞ x2 ‫ ﻨﻜﺘﺏ ﺠﺩﻭل ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬: ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ x −∞ 2 3 +∞x 2 -5 x +6 + - +• lim f ( x) = lim x2 - 4 = lim ( x - 2) (x + 2)<< x2 - 5x + 6 < ( x - 2) (x - 3)x→2 x→2 x→2 = lim x + 2 = -4 > x- 3 x→2( )• lim f x = lim x + 2 = -4 > x -> 3 x→2 x→2( )• lim f x = lim x2 x2 - 4 = -∞ < < - 5x + 6 x→3 x→3  x2 - 4 → 5  : ‫ﻷﻥ‬  x 2 - 5x +6 <→ 0( )• lim f x = lim x2 x2 - 4 = +∞ > > - 5x + 6 x→3 x→3

 x2 - 4 → 5  : ‫ﻷﻥ‬  x 2 - 5x +6 >→ 0 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬3 f (x) = x3 + 3x2 - 4x - 12 x2 + 4x + 3•Df = {x ∈ : x2 + 4x + 3 ≠ 0} x = -3 ‫ ﺃﻭ‬x = -1 ‫ ﻓﻨﺠﺩ‬x2 + 4x + 3 = 0 ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ Df = - {-3 ; -1} : ‫ﺇﺫﻥ‬ Df = ]-∞ ; -3[ ∪ ]-3 ; -1[ ∪ ]-1 ; +∞[ : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬( )• lim f x = lim x3 = lim x = -∞ x→−∞ x→−∞ x2 x→−∞( )• lim f x = lim x3 = lim x = +∞ x→+∞ x→+∞ x2 x→+∞( )• lim f x = lim x3 + 3 x2 - 4 x - 12 < x→−3 x2 + 4x + 3 x→−3> = lim ( x + 3) (x2 - 4) ( x + 3) (x + 1) x→−3 = lim x2 - 4 = -5 x→−3 x + 1 2 : ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ x −∞ -3 -1 +∞ 3x2 +4 x+3 + - +( )• lim f x = lim x3 + 3x2 - 4x - 12 = +∞ < < x2 + 4x + 3 x →−1 x → −1

 x3 + 3x2 - 4x - 12 → -6  : ‫ﻷﻥ‬  x 2 + 4x +3 <→ 0( )• lim f x = lim x3 + 3x2 - 4x - 12 = -∞ > > x2 + 4x + 3 x →−1 x → −1  x3 + 3x2 - 4x - 12 → -6  : ‫ﻷﻥ‬  x 2 + 4x +3 >→ 0 f (x) = 4 x4 + 2 x3 + 2x + 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 4x2 - 4x - 3• Df = {x ∈ : 4x2 - 4x - 3 ≠ 0} x = 3 ‫ﺃﻭ‬ x = - 1 : ‫ﻨﺠﺩ‬ 4 x2 - 4x - 3 = 0 : ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ 2 2 Df = - - 1 ; 3  2  : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 2  Df =  -∞ ; - 1  ∪  - 1 ; 3  ∪  3 ; +∞  : ‫ﺃﻱ‬  2   2 2   2 ( )• lim f x = lim 4x4 = lim x2 = +∞ x→−∞ x→−∞ 4x2 x→−∞( )• lim f x = lim 4x4 = lim x2 = +∞ x→+∞ x→+∞ 4x2 x→+∞• lim f ( x) =1 lim 1 (2x + 1) (2x3 + 1) 2 2 (2x + 1) (2x - 3) x → − x →− 2x 3 +1 3 -3 2x -3 16 = lim 1 = 4 = 2 -4 x→−

( )• lim fx = lim 4x4 + 2x3 + 2x + 1 = -∞ 4 x2 - 4x -3x < 3 x < 3 2 2 → → 4x4 + 2x3 + 2x + 1 → 41  : ‫ﻷﻥ‬  4 x 2 - 4x -3 <→ 0 x −∞ - 1 3 +∞ 2 2 + 4 x2 -4 x-3 + - : ‫ﻷﻥ‬( )• lim fx = lim 4x4 + 2x3 + 2x + 1 = +∞ 4 x2 - 4x -3x > 3 x > 3 2 2 → → 4x4 + 2x3 + 2x + 1 → 41   4 x 2 - 4x -3 >→ 0 . 3‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬1) lim x + 5 - 3 x→4 x - 2x - 4 ( x+5 - 3) ( x+5 + 3) ( x + )2x-4 = lim ( ) ( ) ( )x→4 x - 2x-4 x + 2x-4 x+5 + 3 ( )( x + 5- 9) x + 2x - 4 = lim ( )x→4 [ x - (2x - 4)] x + 5 + 3

( )( x - 4) x + 2x - 4 = lim ( )x→4 -( x - 4) x + 5 + 3 ( )= lim x + 2x - 4 = 2 + 2 = - 4 = - 2 -x→4 x + 5 + 3 -(3 + 3) 6 32) lim x2 + x - 6 = lim ( x2 + x - 6) x - 2 x→2 x - 2 x→2 x - 2 . x - 2 = lim ( x - 2) (x + 3) x -2 x→2 x -2 = lim (x + 3) x - 2 = 0 x→23) lim x - 2x-1 = lim  x - 2x-1  x + 2x-1 x→1 x -1 x→ ( x - 1)  x + 2x - 1 = lim x - (2x - 1) x→1 ( x - 1)  x + 2 x - 1 = lim - (x - 1) x→1 ( x - 1)  x + 2 x - 1 = lim −1 = - 1 x→1 x + 2 x - 1 24) lim x = lim x  x+ 1 + 1 x→0 x+ 1 - 1 x→0  x+ 1 - 1  x+ 1 + 1

= lim x  x + 1 + 1 x→0 ( x + 1) - 1 = lim x  x + 1 + 1 x→0 x = lim x + 1 + 1 = 2 x→0 . 4‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬1) lim 2x - x2 + 1 = lim 2x - x2  1 + 1  x2 x→+∞ x - 4 x2 + x x→+∞ x2  4 + 1  x  x- 2x - x2 1+ 1 = lim x2 x→+∞ x- x2 4+ 1 x 2x - x 1+ 1 = lim x2 x→+∞ 4+ 1 x x -x

x 2 - 1+ 1   = lim x2  x→+∞ x 1 -  1 4+  x  2- 1+ 1 2-1 = lim x2 1-2 = = -1 x→+∞ 1 4+ x 1-2) lim - x+ -x+ x2  4+ 1 + 1  4x2 + x+ 1 = lim  x x2 x→−∞ -4 x - x2 + 1 x→−∞  1  x2  -4x - x 2 1 + −x + x2 4+ 1 + 1 = lim x x2 x→−∞ −4x - x2 1+ 1 x2 −x + x 4+ 1 + 1 = lim x x2 x → −∞ −4x - x 1+ 1 x2 −x - x 4+ 1 + 1 = lim x x2 x→−∞ −4x + x 1+ 1 x2

x -1 - 4+ 1 + 1 = lim  x  x2  x→−∞ x -4 + 1  1+ x2   -1- 4+ 1 + 1 -1 - 2 x x2 -4+1 = lim = =1 x→−∞ 1 -4+ 1+ x23) lim  x2 +1 - x   x2 +1 +x x→+∞ x2 +1 - x = lim    x→+∞ x2 + 1 + x = lim x2 + 1 - x2 = lim 1 =0 x→+∞ x2 + 1 + x x→+∞ x2 + 1 + x4) lim - x + x  = lim - x. x+ x  x→+∞ x→+∞ ( )= lim x - x + 1 = -∞ x→+∞5) lim x2 + 1 - x2 + 2 x→−∞  x2 +1 - x 2 +2   x2 +1 + x 2 +2  = lim     x→−∞ x2 + 1 + x2 + 2 = lim ( x2 + 1) - (x2 + 2) x→−∞ x2 + 1 + x2 + 2

= lim −1 = 0 x→−∞ x2 + 1 + x2 + 26) lim 5 = lim ( )5 -x + x2 +4x→−∞ - x - x2 +4 x→−∞ - x- x 2 +4   - x + x 2 +4     ( )5 -x + x2 + 4 = lim x→−∞ x2 - (x2 + 4) = lim -5 - x + x2 + 4  = -∞ x→−∞ 4  . 5‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ sin x1) lim sin x = lim x = 1 x→0 sin 3x x→0 sin 3x 3 3. 3x2) lim sin 2x = lim 2 × sin 2x =2 x→0 x x→0 2x3) lim sin 2x = lim sin 2x = lim sin 2x × cosx x→0 tan x x→0 sin x x→0 sin x cosx 2. sin 2 x 2x = lim sin x × cosx =2 x→0 x

1 - cosx 1 -  1 - 2 sin2 x sin2 x  2 4) lim = lim  x x 2 x→0 x→0  2sin 2 cos 2  2 sin2 x 1 1 2 2 = lim x x = lim x2 = x→0 2 2 x→0 2 4 sin2 cos2 2 cos x sin x = lim x .2 sin x cos x 1 - cosx x→0 2 25) lim x→0 1-  1 - 2 sin x2   2  2x sin x cos x xcos x 2 2 2 = lim x = lim x x→0 2 sin2 2 x→0 sin 2 cos x cos x 2 2 = lim sin x = lim x x→0 x→0 sin 2 2 x 2 x 2.

2 cos x 2 = lim x =2 x→0 2 sin x 2 . 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬1) lim cos3x π cos xx→ 2 x = π + z ‫ﺃﻱ‬ x - π =z : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 2 2 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬z → 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x → π ‫ﻟﻤﺎ‬ 2 cos3x cos3  π + z  cos  3π + 3z  cosx  2   2 lim = lim = lim x→0 cos  π + z  x→0 -sinz x→0  2  cos 3π cos3z - sin 3π sin3z 2 2 = lim z→0 -sinz sin3z 3. sin 3z -sinz 3z = lim = lim - sin z = -3 z→0 z→0 z

2) lim 1 - 2sin2 x π 1 + cos4x x→ 4 x = π +z ‫ﺃﻱ‬ x - π =z ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 4 4 ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ z → 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x → π ‫ﻟﻤﺎ‬ 4 1 - 2sin2 x 1 - 2sin2 π + z  1 + cos4x 1 + cos4  4 lim = lim π π  4 x → 4 z→0 + z  sin π π  2 4 4  1-2 cosz + cos sinz = lim 1 + cos (π + 4z) z→0  2 2  2  2 2  1 - 2 cosz + sinz = lim   z→0 1 - cos4z 1-2 × 1 (cosz + sinz)2 2 = lim z→0 1 - cos4z = lim 1 - (cos2z + sin2z + 2 sinz cosz) z→0 1 - cos4z = lim 1 - (1 + 2 sinz cosz) z→0 1 - cos4z -2 sinz . cosz -2 sinz . cosz 1 - cos4z 1 - 1 - 2 sin2 2z = lim ( )z→0 = lim z→0

= lim -2 sinz . cosz = lim - sinz . cosz z→0 2 sin2 2z z→0 ( 2 sinz . cosz)2 = lim - sinz . cosz = lim -1 z→0 4 sin2z . cos2z z→0 4 sinz . cosz : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ • lim 1 - 2 sin2 x = lim -1 =-∞ > π 1 + cos4x > 4 sinz . cosz x 4 z→0 → • lim 1 - 2 sin2 x = lim -1 = +∞ < π 1 + cos4x < 4 sinz . cosz x 4 z→0 →3) lim 1 - sinx - cosx π 1 - sin x + cosx x→ 2 x = π +z : ‫ﻨﺠﺩ‬ x - π =z ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 2 2 z → 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x → π ‫ ﻟﻤﺎ‬: ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 2 1- sinx - cosx 1- sin  π + z  - cos  π + z   2   2 lim = lim π 1- sin x+ cosx x→0  π   π x→ 2 1- sin  2 + z  + cos  2 + z  1-cosz +sinz 1-sin  1- 2sin 2z  + 2sin z cos z 1-cosz -sinz  2  2 2lim = lim z -  2  z z x→0 x→0 1-  1- 2sin2 2sin 2 cos 2

2sin2 z + 2 sin z cos z 2 2 2 = lim z z z z→0 2sin2 2 - 2 sin 2 cos 2 2sin z sin z + cos z  2 2 2  = lim z→0 2sin z sin z - cos z 2 2 2  sin z + cos z 1 2 2 -1 = lim z z = = -1 z→0 2 2 sin - cos . 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬-1 Df = ]-∞ ; -1[ ∪ ]-1 ; +∞[ ‫ ؛‬Df = - {-1} : ‫ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬-( )lim fx = lim x2 = lim x = -∞ x→−∞ xx → −∞ x→−∞( )lim fx = lim x2 = lim x = +∞ x→+∞ xx → +∞ x→+∞( )lim fx = lim x2 + x - 4 = +∞ < < x +1 x → −1x →−1  x2 + x - 4 → -4  : ‫ﻷﻥ‬  x +1 <→ 0( )lim fx = lim x2 + x - 4 = -∞ > > x +1 x → −1x → −1