Luiz Roberto Dante MANUAL DO PROFESSOR Ensino Fundamental - Anos Finais MATEMATICA COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
3a EDIÇÃO Luiz Roberto Dante SÃO PAULO, 2018 Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp-SP), campus de Rio Claro Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP) Licenciado em Matemática pela Unesp-SP, Rio Claro Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp-SP, Rio Claro Ex-professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na rede pública de ensino Autor de várias obras de Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio MANUAL DO PROFESSOR Ensino Fundamental - Anos Finais MATEMATICA COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
Direção geral: Guilherme Luz Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas Gestão de projeto editorial: Mirian Senra Gestão e coordenação de área: Ronaldo Rocha Edição: Pamela Hellebrekers Seravalli, Marina Muniz Campelo, Carlos Eduardo Marques (editores); Sirlaine Cabrine Fernandes, Darlene Fernandes Escribano (assist.) Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga Planejamento e controle de produção: Paula Godo, Roseli Said e Márcia Pessoa Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci, Ana Paula C. Malfa, Brenda T. M. Morais, Célia Carvalho, Daniela Lima, Diego Carbone, Flavia S. Vênezio, Gabriela M. Andrade, Hires Heglan, Luís M. Boa Nova, Maura Loria, Raquel A. Taveira, Sueli Bossi, Vanessa P. Santos; Amanda T. Silva e Bárbara de M. Genereze (estagiárias) Arte: Daniela Amaral (ger.), André Gomes Vitale (coord.) e Renato Neves (edição de arte) Diagramação: Arte4 Produção editorial Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.), Luciana Sposito e Angra Marques (licenciamento de textos), Erika Ramires, Luciana Pedrosa Bierbauer, Luciana Cardoso e Claudia Rodrigues (analistas adm.) Ilustrações: Paulo Manzi e Thiago Neumann Design: Gláucia Correa Koller (ger.), Adilson Casarotti (proj. gráfico e capa) Gustavo Vanini e Tatiane Porusselli (assist. arte) Foto de capa: Jane Sweeney/Getty Images Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A. Avenida das Nações Unidas, 7221, 3o andar, Setor A Pinheiros – São Paulo – SP – CEP 05425-902 Tel.: 4003-3061 www.atica.com.br / [email protected] Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Dante, Luiz Roberto Teláris matemática, 7º ano : ensino fundamental, anos finais / Luiz Roberto Dante. -- 3. ed. -- São Paulo : Ática, 2018. Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia. ISBN: 978-85-08-19115-4 (aluno) ISBN: 978-85-08-19116-1 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental). I. Título. 2018-0072 CDD: 372.7 Julia do Nascimento - Bibliotecária - CRB - 8/010142 2018 Código da obra CL 713481 CAE 631711 (AL) / 631712 (PR) 3a edição 1a impressão Impressão e acabamento II
Apresentação Esta coleção de Matemática é composta de 4 volumes. O Manual do Professor de cada volume está organizado em Parte geral (comum a todos os volumes) e Parte específica (para cada volume); além disso, é acompanhado de material digital. Parte geral • Fundamentos teóricos. • Interdisciplinaridade e temas contemporâneos. • Formulação e resolução de problemas. • Avaliação. • Estrutura geral desta coleção. • Objetos de conhecimento e habilidades abordados nos 4 volumes desta coleção. • Informações úteis para a formação continuada do professor. • Bibliografia. Parte específica • As Unidades temáticas e os capítulos do volume. • Orientações específicas para os capítulos do volume. • Principais objetivos dos capítulos do volume. • Estrutura específica do Manual do Professor “em U” do volume. • Reprodução do Livro do Estudante do volume e orientações página a página (no formato “em U”). Na elaboração deste Manual, procuramos apresentar, de maneira clara e objetiva, os princípios e os fundamentos teóricos que norteiam o trabalho desta coleção no ensino da Matemática, com destaque para as Unidades temáticas – Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística – e as possíveis articulações entre elas. Além disso, buscamos oferecer diferentes elementos que possam contribuir para sua prática diária, desde o planejamento das ações até possíveis reflexões e reformulações criadas a partir das observações e das análises realizadas. Como são sugestões, podem e devem ser adaptadas sempre que necessário. Material digital do professor • Orientações gerais para o ano letivo. • Quadros bimestrais com os objetos de conhecimento e as habilidades que devem ser trabalhados em cada bimestre. • Sugestões de atividades que favorecem o trabalho com as habilidades propostas para cada ano. • Orientações para a gestão da sala de aula. • Proposta de projetos integradores para o trabalho com os diferentes componentes curriculares. • Sequências didáticas para ampliação do trabalho em sala de aula. • Propostas de avaliação. • Fichas de acompanhamento. • Audiovisuais. O material digital busca complementar o trabalho proposto no material impresso e tem como principal objetivo favorecer e enriquecer ainda mais seu trabalho nas práticas cotidianas. III
SUMçRIO Parte geral 7-º ano .................................................................................................. XXII 8-º ano ................................................................................................. XXIV 1 Conversa com o professor ...................................................... V 9-º ano ................................................................................................. XXVI 2 Fundamentos teóricos ............................................................. V Postura do professor........................................................ XXVIII Autonomia do professor ao trabalhar Princípios norteadores do ensino de Matemática .......... V com esta coleção ............................................................... XXVIII Orientações metodológicas para um trabalho A lição de casa .................................................................... XXVIII significativo com os alunos ................................................. VII O uso do caderno ............................................................... XXVIII Recursos didáticos auxiliares .......................................... XXIX Avanços conquistados pela Educação matemática ............... VII Calculadora ....................................................................................... XXIX 3 A interdisciplinaridade e os temas contemporâneos ... IX Livros paradidáticos ...................................................................... XXIX Jornais, revistas e folhetos de propaganda ........................... XXX Ciência e tecnologia ............................................................................ IX Instrumentos e materiais ............................................................. XXX Direitos da criança e do adolescente ............................................ IX Vídeos .................................................................................................. XXX Diversidade cultural ........................................................................... IX Computador ...................................................................................... XXX Educação alimentar e nutricional .................................................. IX Internet ............................................................................................ XXXII Educação ambiental ........................................................................... X Jogos, divertimentos e quebra-cabeças .............................. XXXII Educação das relações étnico-raciais/Ensino de história e Sala ambiente de Matemática ou laboratório cultura afro-brasileira, africana e indígena ................................. X de ensino de Matemática .......................................................... XXXII Educação em direitos humanos ...................................................... X Educação financeira e fiscal ............................................................. X 7 Informações úteis para a formação Educação para o consumo ................................................................ X Educação para o trânsito ................................................................... X continuada do professor ................................................ XXXIII Ética .......................................................................................................... X Processo de envelhecimento/ A importância da atualização .................................................. XXXIII Respeito e valorização do idoso ..................................................... XI Grupos e instituições ................................................................. XXXIII Saúde ....................................................................................................... XI Órgãos governamentais ........................................................... XXXVI Trabalho .................................................................................................. XI Secretarias de Educação estaduais e municipais ............ XXXVI Vida familiar e social .......................................................................... XI Páginas eletrônicas .................................................................... XXXVI Revistas e boletins de Educação matemática ................... XXXVI 4 Formulação e resolução de problemas ............................. XI Sobre documentos oficiais da Educação ............................ XXXVII Sobre conteúdos ......................................................................... XXXVII Objetivos ...................................................................................... XI Sobre História da Matemática ............................................... XXXVII As etapas da resolução de um problema .......................... XI Sobre Educação matemática ............................................... XXXVIII Algumas sugestões para a sala de aula ............................ XII Sobre metodologia do ensino de Matemática .................. XXXIX Um exemplo para ser debatido em sala de aula ............ XII Sobre Matemática recreativa ........................................................ XL Sobre Tecnologias .............................................................................. XL 5 A avaliação ............................................................................... XIII Sobre Educação .................................................................................. XL O que e quando avaliar? ....................................................... XIII 8 Bibliografia ................................................................................ XLI Instrumentos de avaliação ................................................. XIV A avaliação em Matemática ................................................ XIV Parte específica Indicadores para a avaliação em Matemática .......................... XV 9 As Unidades temáticas e os capítulos do 7o ano ...... XLIII Como lidar com o erro dos alunos em Matemática ............. XVII 10 Orientações específicas para os capítulos 6 Estrutura geral desta coleção .......................................... XVII do 7o ano ................................................................................. XLIV Proposta de ensino da Matemática nesta coleção .... XVII Os volumes desta coleção ................................................. XVIII 11 Estrutura específica do Manual As seções e os boxes desta coleção e ideias de como explorá-los ............................................................ XVIII do Professor do 7o ano (página a página)..................... LXIV Objetos de conhecimento e habilidades abordados nos 4 volumes desta coleção ........................ XX 12 Reprodução do Livro do Estudante do 7o ano................... 1 6-º ano ..................................................................................................... XX IV MANUAL DO PROFESSOR
Parte geral 1 Conversa com o professor úteis para a formação continuada do professor visa incentivá-lo a estar sempre atualizado, aperfeiçoando e aprofundando continua- Caro colega professor, escrevi este Manual especialmente para mente sua formação em Matemática, em Metodologia do Ensino de você. Sei que nem sempre o professor tem condição e oportunidade Matemática e em Educação. Fazendo parte desse movimento nacional de ler revistas e livros especializados em Educação matemática (área que busca a melhoria da qualidade de aprendizagem e de ensino da do conhecimento que estuda as múltiplas variáveis da aprendizagem Matemática, certamente você se sentirá seguro e motivado nessa e do ensino da Matemática), de participar de encontros e congressos complexa, mas gratificante, tarefa diária de criar condições para que e de frequentar cursos de especialização ou pós-graduação. Mas, com os alunos aprendam Matemática com significado e prazer e possam a experiência no trabalho que desenvolvo com professores de Mate- usá-la naturalmente na vida deles como cidadãos. Com isso, você es- mática, sei da grande vontade que todos têm e da necessidade de tará auxiliando-os na concretização dos princípios gerais da educação: estar atualizados e ter acesso às mais recentes informações sobre aprender a conhecer, a fazer, a conviver e a ser. aprendizagem e ensino da Matemática. Bom trabalho. Compartilhe comigo suas vitórias, seus sucessos, Estou certo de que este Manual vai ajudá-lo nessa busca. Vamos suas dúvidas e suas dificuldades enviando sugestões para melhorar refletir juntos sobre algumas questões, como: pressupostos teóricos este trabalho. que embasam a maneira de ensinar Matemática; interdisciplinaridade; formulação e resolução de problemas; avaliação e avaliação em Ma- Um abraço, temática; algumas ideias para a utilização desta coleção em confor- midade com a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e com outros O autor documentos oficiais; recursos didáticos auxiliares. O item Informações 2 Fundamentos teóricos Não podemos confundir educação integral com educação em pe- ríodo integral; na verdade, educação integral refere-se Princípios norteadores do ensino de Matemática “à construção intencional de processos educativos que promo- É inegável que a Matemática nos acompanha diariamente e a ha- vam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibi- bilidade de resolver problemas é peça fundamental no jogo da vida em lidades e os interesses dos alunos e, também, com os desafios da sociedade; a partir dessa afirmação, trazemos algumas reflexões a res- sociedade contemporânea, de modo a formar pessoas autônomas, peito da Educação matemática. Se a Matemática é uma das ferramentas capazes de se servir dessas aprendizagens em suas vidas” básicas que utilizamos em nosso cotidiano, por que ainda encontramos alunos que não veem significado no aprendizado dessa disciplina? Ou (BRASIL, 2017, p. 17) ainda, se a manipulamos todos os dias, por que inúmeros resultados obti- dos em avaliações mostram certa inabilidade na lida com a Matemática? O Brasil é “gigante por natureza” (em extensão), rico em diversida- de natural e cultural e, ao mesmo tempo, desigual em oportunidades; Algumas indagações como estas permitiram um rico diálogo sobre dessa maneira, além das necessidades e possibilidades individuais, esse descompasso existente entre a teoria e a prática e um cuidadoso temos o desafio de cuidar e zelar das demandas coletivas, sejam elas olhar para as possíveis transformações que a educação, o ensino de oriundas de pequenos ou de grandes grupos, sejam locais ou nacionais. Matemática e a própria sociedade vêm passando ao longo do tempo. As necessidades e possibilidades de cada indivíduo e comunidade se tornam únicas e não podem ser desprezadas; ao mesmo tempo, deve Na Matemática, o próprio rigor científico atualmente é de outra haver um cuidado para que as aprendizagens essenciais sejam garan- natureza: “os meios de observação, de coleção de dados e de proces- tidas a todos os alunos, independentemente da região onde moram e samento desses dados, que são essenciais na criação da Matemática, da realidade local. mudaram profundamente” (D’AMBROSIO, 1996, p. 58) e, mais ainda, passamos a reconhecer que a Matemática pode ser afetada pela di- A Constituição Federal de 1988 já determinava o direito à edu- versidade cultural. cação com vistas ao pleno desenvolvimento dos alunos, ao preparo para a cidadania e à qualificação para o trabalho. Orientava e fixava Nesse novo contexto, o objetivo da educação, incluindo a Educação os conteúdos mínimos e reforçava a importância e a necessidade de matemática, é fomentar a transformação da informação em conheci- se respeitar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais. mentos significativos e úteis ao cotidiano, ou seja, os alunos precisam ser capazes de utilizar os conhecimentos construídos ao depararem No ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabeleceu com um problema para tomar decisões pertinentes. competências e diretrizes que nortearam a elaboração dos currículos e conteúdos mínimos. Na verdade, é importante salientar que houve Alunos, desde muito cedo, passam a ser incentivados a exercitar a uma grande preocupação em estabelecer o que seria básico-comum capacidade de pensar e buscar soluções para os problemas apresen- (competências e diretrizes) e o que seria diverso (currículo). tados. A criatividade, o olhar analítico-crítico, a responsabilidade, a autonomia na tomada de decisões e a habilidade de resolver problemas A LDB determinava ainda que os currículos de cada segmento da se tornam foco no ensino e na aprendizagem. Educação Básica tivessem uma base nacional comum e esta deveria ser complementada, em cada sistema de ensino ou unidade escolar, Mas será que a escola e a educação nela propiciada favorecem com uma parte diversificada que contemplasse as características aprendizagens significativas que, de fato, permitam a educação inte- regionais e locais. A partir desta determinação, o Conselho Nacional de gral de cada aluno e o desenvolvimento de competências e habilidades (incluindo as atitudinais e as socioemocionais) fundamentais? MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL V
Educação (CNE) passou a inserir nas diretrizes curriculares nacionais 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a (DCN) o conceito de contextualização como “a inclusão, a valorização cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito das diferenças e o atendimento à pluralidade e à diversidade cultural ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valo- resgatando e respeitando as várias manifestações de cada comuni- rização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, dade” (Parecer CNE/CEB no 7/2010). seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. No ano de 2014, no Plano Nacional de Educação (PNE), é reafirmada a necessidade de se criar em parceria (União, estados, Distrito Federal 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabi- e municípios) a Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Portanto, a lidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando BNCC tem como um dos principais objetivos dar conta dessas apren- decisões com base em princípios éticos, democráticos, in- dizagens essenciais que devem ser garantidas a todos os alunos na clusivos, sustentáveis e solidários. busca de uma equidade (igualdade) na educação, preservando as par- ticularidades, incluindo as identidades linguísticas, étnicas e culturais (BRASIL, 2017, p. 10) e as necessidades locais. Cabe salientar que cada Secretaria de Edu- cação tem autonomia para planejar as ações das unidades escolares. Considerando todas as perspectivas que acabamos de mencionar e, em articulação com as competências gerais da Educação Básica A BNCC adota 10 competências gerais que objetivam o compromis- descritas na BNCC, a Matemática deve garantir aos alunos o desen- so da educação brasileira com a formação humana integral e com a volvimento das seguintes competências específicas. construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente cons- diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que truídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para contribui para solucionar problemas científicos e tecnoló- entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e gicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive colaborar para a construção de uma sociedade justa, de- com impactos no mundo do trabalho. mocrática e inclusiva. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem a capacidade de produzir argumentos convincentes, recor- própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a rendo aos conhecimentos matemáticos para compreender análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investi- e atuar no mundo. gar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos base nos conhecimentos das diferentes áreas. dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do co- 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e nhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade culturais, das locais às mundiais, e também participar de de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvol- práticas diversificadas da produção artístico-cultural. vendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-moto- 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos ra, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de bem como conhecimentos das linguagens artística, matemá- modo a investigar, organizar, representar e comunicar in- tica e científica, para se expressar e partilhar informações, formações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e eticamente, produzindo argumentos convincentes. e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de in- tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver formação e comunicação de forma crítica, significativa, problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhe- reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo cimento, validando estratégias e resultados. as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar in- formações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. incluindo-se situações imaginadas, não diretamente rela- cionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes re- e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe gistros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de possibilitem entender as relações próprias do mundo do texto escrito na língua materna e outras linguagens para trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cida- descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). dania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações con- democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a di- fiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos versidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os sem preconceitos de qualquer natureza. direitos humanos, a consciência socioambiental e o con- sumo responsável em âmbito local, regional e global, com 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesqui- dos outros e do planeta. sas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e ou não na discussão de uma determinada questão, respeitan- emocional, compreendendo-se na diversidade humana e do o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrí- tica e capacidade para lidar com elas. (BRASIL, 2017, p. 263) VI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Além disso, quanto ao ensino e à aprendizagem da Matemática, a Avanços conquistados pela Educação matemática BNCC propõe 5 Unidades temáticas que se correlacionam: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. Os avanços conquistados por estudos e pesquisas em Educação matemática indicam que, para que cada aluno aprenda Matemática Na Unidade temática Números, espera-se que os alunos, a partir atribuindo significado ao que está aprendendo, são fundamentais as de diversas experimentações, desenvolvam o pensamento numérico; ações descritas a seguir. outro aspecto considerado nela é a educação financeira. • Trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitivamente, an- Na Unidade temática Álgebra, busca-se o desenvolvimento do pen- tes da simbologia, antes da linguagem matemática. Por exemplo, samento algébrico que envolve: o desenvolvimento de uma linguagem, veja a seguir uma situação-problema que torna possível trabalhar o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência com os alunos, de maneira intuitiva, a ideia de função antes de de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações e apresentá-la em linguagem matemática. sistemas. É importante destacar a indicação do trabalho com Álgebra em todos os ciclos do Ensino Fundamental. A BNCC recomenda a ex- “Considere a quantidade de litros de álcool e o respectivo preço ploração de algumas dimensões da Álgebra nos anos finais do Ensino a pagar: Fundamental, como a relação de equivalência e proporcionalidade, a noção intuitiva de função e a identificação de recursividade em leis Quantidade de litros (L) Preço a pagar (R$) de formação de sequências. O pensamento algébrico pode contribuir enormemente para o desenvolvimento do pensamento computacional. 1 2,70 2 5,40 A Unidade temática Geometria visa ao desenvolvimento do pen- 3 8,10 samento geométrico, fundamental para a análise de propriedades e à ææ elaboração de conjecturas. As ideias matemáticas fundamentais nesta 50 135,00 Unidade temática, para os anos finais do Ensino Fundamental, são as figuras geométricas e as propriedades delas, os lugares geométricos, O preço a pagar é dado em função da quantidade de litros de álcool as construções, as representações, as vistas e as transformações. que se coloca no tanque de um veículo, ou seja, o preço a pagar depende da quantidade de litros comprados.” O estudo das relações métricas aparece na Unidade temática Gran- dezas e medidas. Os conteúdos desenvolvidos nessa Unidade temá- Depois desse trabalho intuitivo calcado na elaboração de con- tica contribuem para o desenvolvimento integrado dos pensamentos ceitos é que, pouco a pouco, vamos introduzindo a linguagem numérico, geométrico, métrico e algébrico. matemática. Na Unidade temática Probabilidade e estatística, almeja-se o de- AB senvolvimento das noções de aleatoriedade e amostragem e o de- senvolvimento de habilidades imprescindíveis à leitura de mundo, à x F F(x) compreensão da realidade e à tomada de decisões adequadas, como: coletar, organizar, apresentar e interpretar dados. Vale salientar que a F: A ñ B BNCC indica o uso de tecnologias integrado a todas as Unidades temá- x ñ F(x) ticas para o enriquecimento das explorações e para o favorecimento das aprendizagens. “A cada x de A corresponde um único F(x) de B, levado pela função F.” Orientações metodológicas para um • Fazer com que os alunos aprendam por compreensão. Eles de- trabalho significativo com os alunos vem atribuir significado ao que aprendem. Para isso, devem A sociedade está em constante mudança, dado o grande e rápido saber o porquê das coisas, e não simplesmente mecanizar pro- desenvolvimento da tecnologia. Máquinas de calcular, computadores, internet, etc. são assuntos do dia a dia e todos eles têm ligações es- cedimentos e regras. Por exemplo, não basta dizer que o número treitas com a Matemática. Para acompanhar essa rápida mudança, foi necessário estudar e pesquisar como se deveria ensinar Matemática racional 0,3 5 0,3333» é igual a 3 ou 1 ; para a compreensão, no Ensino Fundamental. 9 3 Nas últimas décadas, muitos pesquisadores da Psicologia cogni- é preciso saber por que isso ocorre, fazendo, por exemplo: tiva se dedicaram a estudar e pesquisar como as crianças e os jovens aprendem, como transferem a aprendizagem para resolver situações- x 5 0,333» ~ 10x 5 3,333» 5 3 1 0,333» ~ -problema, como constroem conceitos, qual é a maturidade cognitiva necessária para se apropriar, com significado, de determinado concei- ~ 10x 5 3 1 x ~ 9x 5 3 ~ x5 3 ou x 5 1 to, como a interação com o meio social desenvolve a aprendizagem, 9 3 entre muitos outros assuntos. Outro exemplo: Não basta os alunos calcularem mecanicamente Aproveitando tais pesquisas e estudos, educadores matemáticos que mdc(6, 8) 5 2 . É necessário que compreendam o que é divisor do mundo todo reuniam-se em grupos e em congressos internacio- de um número natural, o que é divisor comum e, em seguida, que nais para debater como usar esses avanços da Psicologia cognitiva. identifiquem o maior dentre os divisores comuns. Assim: Começou, então, um grande movimento internacional para melhorar a aprendizagem e o ensino da Matemática, surgindo a Educação ma- Divisores de 6: 1, 2, 3, 6. temática – área do conhecimento já consolidada que, por meio de estudos e pesquisas, vem contribuindo muito para mudar o ensino Divisores de 8: 1, 2, 4, 8. dessa disciplina. Divisores comuns de 6 e 8: 1, 2. Maior (ou máximo) dos divisores comuns de 6 e 8: 2. Portanto, mdc(6, 8) 5 2. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL VII
• Incentivar cada aluno a pensar, raciocinar, criar, relacionar • Compreender a aprendizagem da Matemática como um processo Banco de imagens/Arquivo da editora ideias, descobrir e ter autonomia de pensamento. Em lugar de ativo. Cada aluno é uma pessoa ativa, que observa, constrói, modifi- simplesmente imitar, repetir e seguir o que o livro ou o que você ca e relaciona ideias, interagindo com outros alunos e outras pesso- fez e ensinou, cada aluno pode e deve fazer Matemática, desco- as, com materiais diversos e com o mundo físico. É preciso criar um brindo ou redescobrindo por si só uma ideia, uma propriedade, uma ambiente de busca, de exploração, de construção e de descoberta regularidade, uma maneira diferente de resolver uma questão, etc. e encorajar os alunos a explorar, desenvolver, levantar hipóteses, Para que isso ocorra, é preciso criar oportunidades e condições na testar, debater e aplicar ideias matemáticas. As salas de aula de- sala de aula para os alunos descobrirem e expressarem as próprias veriam ser verdadeiras salas ambiente de Matemática, equipadas descobertas. Por exemplo, desafios, jogos, quebra-cabeças, pro- com grande diversidade de material instrucional que favorecesse blemas curiosos, entre outros, os ajudam a pensar logicamente, a a curiosidade, a criatividade e a aprendizagem matemática. relacionar ideias e a realizar descobertas. • Permitir o uso adequado de calculadoras e computadores. Em uma • Trabalhar a Matemática por meio de situações-problema próprias da sociedade voltada à comunicação, que se apoia no uso de calcula- vivência dos alunos e que os façam realmente pensar, analisar, jul- doras, computadores e diversos aparelhos eletrônicos, nada mais gar e decidir pela melhor solução. É claro que os problemas rotineiros natural do que os alunos utilizarem ferramentas para explorar ideias devem ser trabalhados, mas a ênfase deve ser dada a situações da numéricas, regularidades em sequências, tendências, comprovação vivência deles, situações sobre as quais eles precisam “pensar mais” de cálculos com “números grandes”, construções, aplicações da para resolvê-las. É consenso entre os educadores matemáticos que Matemática em problemas reais, etc. a capacidade de pensar, de raciocinar e de resolver problemas deve constituir um dos principais objetivos do estudo da Matemática. • Utilizar a História da Matemática como um excelente recurso didá- tico. É produtivo comparar a Matemática de diferentes períodos da • Trabalhar o conteúdo com significado, levando cada aluno a sentir História ou de diferentes culturas (Etnomatemática). Por exemplo, que é importante saber aquilo para a vida em sociedade ou que o você pode contar o episódio no qual os pitagóricos só conheciam conteúdo trabalhado lhe será útil para entender o mundo em que os números racionais e acreditavam apenas na existência dos vive. Para que os alunos vejam a Matemática como um assunto segmentos de reta comensuráveis (o comprimento de um seg- útil e prático e possam apreciar o poder, precisam perceber que mento de reta pode ser medido pelo outro e a medida é expressa ela está presente em praticamente tudo e que é aplicada para por um número racional). Ao medir o comprimento da diagonal do resolver problemas do mundo real e para entender uma grande quadrado, de lado de medida de comprimento de 1 unidade, usando variedade de fenômenos. esse lado como unidade de medida, surgem os números irracionais • Valorizar e levar em conta a experiência acumulada pelos alunos ( 2 , no caso) e os segmentos incomensuráveis. dentro e fora da escola. Um aluno do 6o ano, por exemplo, já viveu intensamente os primeiros anos de vida. É preciso iniciar o trabalho d 1 d2 5 12 1 12 5 2, com d > 0 ~ d 5 2 de elaborar e aplicar novos conceitos e procedimentos matemáticos, dando continuidade ao que ele já sabe. Detectar os conhecimentos 1 prévios de cada aluno para, com base neles, desenvolver novos conhecimentos, contribui para uma aprendizagem significativa. O lado do quadrado e a diagonal dele são segmentos de reta inco- mensuráveis entre si. • Incentivar os alunos a fazer cálculo mental, estimativas e arredon- damentos, obtendo resultados aproximados. Por exemplo, quando • Utilizar jogos. Os jogos constituem outro excelente recurso didático, um aluno efetua a divisão 306 4 3 e obtém 12 como resultado, pois levam os alunos a desempenhar um papel ativo na construção ele evidencia que não adquiriu sentido numérico, que não sabe do conhecimento. Envolvem ainda a compreensão e a aceitação arredondar (300 4 3 5 100), que, enfim, lhe falta a habilidade de de regras; promovem o desenvolvimento socioafetivo e cognitivo; cálculo mental. desenvolvem a autonomia e o pensamento lógico; exigem que cada aluno interaja com os colegas, tome decisões e crie novas regras. 306 3 3 0 04351 0 0 Durante um jogo, os alunos estão motivados a pensar e a usar cons- tantemente conhecimentos prévios. Além disso, os jogos facilitam 006 12 6435 21 o trabalho com símbolos e com o raciocínio por analogias. 0 102 • Trabalhar o desenvolvimento de uma atitude positiva em relação à Matemática. É preciso reforçar a autoconfiança dos alunos na Em muitas situações, mais vale saber qual é o resultado aproxi- resolução de problemas; aumentar o interesse deles por diferentes maneiras de solucionar um problema; levá-los a observar caracte- mado do que o resultado exato propriamente dito. Por exemplo, é rísticas e regularidades de números, operações, figuras geomé- mais importante saber se é possível, com R$ 100,00, comprar tricas, etc.; sensibilizá-los para organizarem-se, argumentarem 2 objetos que custam R$ 48,00 e R$ 49,50, do que saber exa- logicamente e perceberem a beleza intrínseca da Matemática (si- metrias, regularidades, logicidade, encadeamentos lógicos, etc.). tamente o preço exato deles juntos. Enfim, é necessário valorizar a aprendizagem em Matemática. • Considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem • Enfatizar igualmente as Unidades temáticas da Matemática – “aprender a aprender” mais do que levar em conta resultados (Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Proba- prontos e acabados. É muito mais importante valorizar a manei- bilidade e estatística) e, de preferência, trabalhá-las de modo ra como cada aluno resolveu um problema, especialmente se o integrado. Por exemplo, quando os alunos medem o comprimento fez de maneira autônoma, original, diferente, criativa, em vez de da sala de aula com uma fita métrica, eles observam a medida simplesmente verificar se ele acertou a resposta. Podemos dizer de comprimento de uma figura geométrica retangular, fazem o mesmo sobre o modo de efetuar operações, realizar medições, resolver equações e sobre as maneiras de observar e descobrir propriedades e regularidades em figuras geométricas. Sempre que possível, devemos analisar com os alunos diferentes resoluções de um mesmo problema. VIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
medições tendo o metro como unidade de medida e obtêm um probabilidade, que trata das “previsões” e das medidas de chance número como medida, naquela unidade. Na verdade, como se vê, de algo ocorrer. as medidas são como “pontes” entre as grandezas geométricas (comprimento, área e volume) e os números e, também, entre • Finalmente, a Álgebra nos ajuda nas generalizações, nas abstra- estes e outras grandezas, como massa, tempo, capacidade e ções, na comunicação de ideias e fenômenos por meio da linguagem temperatura. Esse tipo de atividade que integra as Unidades matemática e na resolução de problemas em que a aritmética é temáticas é muito importante para que os alunos sintam a uni- insuficiente. Por exemplo, o tema função, integrador por excelência, dade da Matemática. é um dos mais importantes da Matemática. Por meio das funções e dos gráficos podemos entender melhor diversos fenômenos das • A alfabetização matemática, exigida para todo cidadão do terceiro ciências naturais e dos fatos da atualidade. milênio, não se restringe a números e cálculos. Tão importante quanto os Números é a Geometria, que permite compreender: o • Trabalhar os temas contemporâneos (direitos da criança e do espaço, a ocupação e a medida dele, trabalhando com os sólidos adolescente; educação para o trânsito; preservação do meio geométricos; as superfícies, as formas, regularidades e medidas ambiente; educação alimentar e nutricional; processo de enve- delas; as linhas, as propriedades e medidas delas; as relações lhecimento; respeito e valorização do idoso; educação em direitos entre todas essas figuras geométricas; as construções; a loca- humanos; saúde; sexualidade; vida familiar e social; educação lização e os deslocamentos no espaço e no plano. Medir usando para o consumo; educação financeira e fiscal; trabalho; ciência adequadamente instrumentos de medida é uma atividade diária e tecnologia; diversidade cultural; cidadania) de modo integra- de qualquer cidadão, em casa ou no exercício de uma profissão. do e contextualizado com as atividades e explorações de Ma- temática, por meio de situações-problema. A Etnomatemática • Atualmente, igual importância tem a Estatística, que trabalha com e a utilização de projetos, por exemplo, podem favorecer o de- coleta, organização e interpretação de dados numéricos em tabe- senvolvimento do trabalho interdisciplinar a partir dos temas las e gráficos, para facilitar a comunicação. Da mesma maneira, a contemporâneos. 3 A interdisciplinaridade e os temas contempor‰neos Muitos trabalhos interdisciplinares e projetos que envolvem os Todos os alunos têm direito à educação, mas a simples inserção de- temas contemporâneos podem surgir com a leitura de textos apresen- les no ambiente escolar não garante o cumprimento desse direito. Para tados no próprio livro, em artigos de jornais e revistas levados por você que possam aprender a resolver problemas – um dos principais objetivos ou pelos próprios alunos e em textos da internet. A pesquisa e a elabo- almejados nas aulas de Matemática –, eles precisam desenvolver um ração de projetos que possam contemplar os temas contemporâneos vasto conjunto de habilidades matemáticas e, com elas, desenvolver as e as diferentes áreas do conhecimento, bem como o desenvolvimento habilidades atitudinais e as socioemocionais. de inúmeras habilidades, devem ser incentivadas. Acreditar na capacidade de criação, conhecer os potenciais e as A seguir apresentaremos os variados temas contemporâneos fragilidades, agir com flexibilidade e resiliência, com todas as habili- descritos na BNCC e explorados nesta coleção, bem como possíveis dades matemáticas, favorece a compreensão e a busca dos direitos explorações. Além desses exemplos de exploração e temas, outros e deveres como cidadão reflexivo e atuante, preocupando-se com os são sugeridos na parte específica do Manual do Professor e você pode direitos e os deveres dos demais membros da sociedade. enriquecer ainda mais as atividades propostas. Diversidade cultural Ciência e tecnologia A Matemática foi e é construída por todos os grupos sociais (e não A Matemática sempre esteve presente nas atividades humanas. apenas por matemáticos) que desenvolvem habilidades para contar, Em constante evolução, a ciência das regularidades e dos padrões localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar em função das se faz presente em muitas áreas do conhecimento, afetando-as e necessidades e dos interesses. sendo afetada por elas. O ensino da Matemática deve contemplar não apenas o conhecimento matemático, mas também o conhecimento Valorizar esse saber matemático-cultural e aproximá-lo do saber tecnológico e, principalmente, o conhecimento reflexivo. É importan- escolar em que os alunos estão inseridos são procedimentos de fun- te, portanto, que a Matemática seja reconhecida como um dos vários damental importância para o processo de ensino e aprendizagem. A caminhos possíveis para o estudo dos fenômenos e da resolução de Etnomatemática (Matemática de grupos étnicos), as moedas sociais e problemas. Não basta aos alunos apenas dominar as técnicas e as as unidades de medida locais, por exemplo, dão grande contribuição a aplicações; são necessários o entendimento, a análise e a busca pela esse tipo de trabalho. No estudo comparativo dos sistemas de numera- construção de novos modelos que permitam compreender a realidade ção, por exemplo, os alunos podem constatar a supremacia do sistema e transformá-la. indo-arábico e concluir que a demora da adoção dele pelos europeus deveu-se, entre outras razões, ao preconceito da época contra os Direitos da criança e do adolescente povos de tez mais escura e não cristãos. Outros exemplos podem ser encontrados ao pesquisarmos a produção de conhecimento matemá- O ambiente construído nas aulas de Matemática pode favorecer tico em culturas como a chinesa, a maia e a romana. Nesse momento, ou inibir o crescimento individual e o crescimento coletivo dos alunos. entram os recursos da História da Matemática e da Etnomatemática. A maneira como o erro é tratado, a validação e o incentivo às estra- tégias individuais ou a apresentação e a valorização dos caminhos Educação alimentar e nutricional a serem percorridos nos fornecem indícios das competências e das habilidades que consideramos essenciais no ensino e na aprendiza- No âmbito da nutrição, a Matemática está presente em inúmeras gem da Matemática. situações cotidianas, desde o número de calorias ingeridas diariamen- te até os índices calculados com fórmulas matemáticas e os dados representados em gráficos. As explorações propiciadas nas aulas de MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL IX
Matemática relativas à educação alimentar e nutricional promovem Especificamente nos princípios propostos nas aulas de Matemá- reflexões de extrema relevância para os alunos. tica, os direitos humanos também se relacionam diretamente com a Etnomatemática. Essencialmente, ela busca a harmonia entre os A utilização dos conceitos matemáticos em prol do reconhecimento diferentes, com base no respeito mútuo, na solidariedade e na coo- dos principais problemas nacionais e mundiais envolvendo a nutrição peração. É um campo que conecta a Educação matemática à justiça e a desnutrição, a fome e a obesidade, entre outros, pode permitir, social e busca eliminar a desigualdade discriminatória. além da identificação da Matemática no cotidiano, a relevância dela na formação de cada indivíduo e de cada sociedade. Outras inúmeras possibilidades de reflexão a serem exploradas nas aulas de Matemática se relacionam, por exemplo, à observação e Educação ambiental à análise de questões sociais da própria comunidade. Este tema pode e deve ser trabalhado em vários momentos na aula Educação financeira e fiscal de Matemática buscando a conscientização dos alunos diante dos problemas do meio ambiente e a busca por melhorias e soluções. Por Munir os alunos de conhecimentos, habilidades e competências exemplo: coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, para que se sintam preparados para enfrentar as situações desafia- a formulação de hipóteses e a prática da argumentação são proce- doras do cotidiano é um dos objetivos atuais do ensino da Matemática. dimentos que auxiliam na tomada de decisões sobre a preservação Educar financeiramente é muito mais do que apresentar conteúdos do meio ambiente; a quantificação permite tomar decisões e fazer sobre finanças; é criar oportunidades para que eles possam refletir intervenções necessárias, como em questões relacionadas à recicla- sobre as próprias ações, percebendo que cada uma delas, mesmo que gem e ao aproveitamento de material; os conceitos de área, volume pequena, pode gerar consequências para eles e para as pessoas com e porcentagem são utilizados para abordar questões como poluição, as quais convivem, e que as atitudes deles no presente podem gerar, desmatamento, camada de ozônio, entre outras. além de consequências imediatas, reflexos no futuro. Educação das relações étnico-raciais/Ensino de As aulas de Matemática constituem um ótimo momento para evidenciar a diferença, por exemplo, entre necessidade e desejo, história e cultura afro-brasileira, africana e indígena essencial e supérfluo, consumo e consumismo, preço e valor, bens individuais e bens coletivos/públicos. Abordagens propostas a partir desses temas podem afetar a vida dos seres humanos de maneira local, regional e global e dar subsídios Educação para o consumo para a construção de uma pedagogia da diversidade, que garanta o reconhecimento da importância histórica e cultural africana, afro- Aspectos relativos aos direitos do consumidor também necessitam -brasileira e indígena. da Matemática para serem mais bem compreendidos. Por exemplo, para analisar a composição e a qualidade dos produtos e avaliar o É preciso buscar a superação de opiniões e contextos pautados impacto deles na saúde e no meio ambiente, ou para analisar a rela- em abordagens estereotipada das diferenças étnico-raciais e buscar ção entre menor preço/maior quantidade. No segundo exemplo, você o rompimento dos comportamentos sociais equivocados, que tomam pode ajudar os alunos a compreender que ofertas como “Compre 3 e as etnias como forma de classificação social e de demarcação de pague 2” nem sempre são vantajosas, pois geralmente são criadas diferenças. para produtos que não têm muita saída – não havendo a necessidade de comprá-los em grande quantidade – ou que estão com o prazo de A ideia é dar lugar a uma educação capaz de valorizar a história e os validade próximo do vencimento. saberes produzidos por diferentes povos, possibilitar a compreensão das características naturais e culturais nas diferentes sociedades e Habituar-se a analisar essas situações é fundamental para que lugares, e propor o reconhecimento dos diferentes referenciais para eles possam reconhecer e criar estratégias de proteção contra pro- a produção, a circulação e a transmissão de conhecimentos. Isso pagandas enganosas e contra os estratagemas de marketing a que significa trazer para a escola uma perspectiva comprometida com a são submetidos como consumidores. diversidade a ponto de promover a execução de ações, projetos, novos desenhos curriculares e novas posturas pedagógicas que atendam Educação para o trânsito ao preceito legal da educação como direito social capaz de garantir também o direito à diferença, no sentido de viabilizar a construção de No trânsito, o fator humano sempre está presente. Trata-se, por- uma sociedade mais democrática e justa. tanto, de um problema coletivo. Motoristas e pedestres dividem as responsabilidades, os direitos e os deveres nesse amplo espaço de Educação em direitos humanos convivência. Mas será que ser conhecedor do Código de Trânsito Bra- sileiro já nos garante uma atitude consciente e cidadã nas ruas, nas A sala de aula é um espaço de convivência e as ações nela desen- avenidas e nas estradas que frequentamos? Analisar dados quanti- volvidas trazem indicativos não apenas dos conteúdos disciplinares, tativos sobre o número de acidentes nos garante uma atitude cidadã mas também de princípios e de valores desejados pelo indivíduo que e consciente? faz parte dela. Na maioria das vezes, esses princípios e valores são permeados de maneira sutil, indireta e não intencional. Cada um de Nas aulas de Matemática, além de ler e interpretar informações nós é dotado de crenças, valores e representações sociais sobre o sobre o trânsito no Brasil, os alunos devem ser incentivados a refletir ambiente da sala de aula e sobre as ações nele propostas, inclusive sobre práticas de companheirismo, tolerância, solidariedade, coope- durante as aulas de Matemática. ração e comprometimento, para que possam aplicá-las nos diversos espaços de convivência nos quais transitam. Em qualquer aula, de qualquer disciplina, um dos temas relacio- nados aos direitos humanos que pode ser desenvolvido desde cedo Ética com os alunos diz respeito às relações de gênero, principalmente em atividades coletivas. É fundamental orientá-los a respeitar as diferen- Por meio de atividades apropriadas, é possível desenvolver em ças entre meninos e meninas, sem, contudo, infundir neles os papéis cada aluno atitudes como: confiança na própria capacidade de cons- rigidamente estabelecidos na sociedade para homens e mulheres, truir e de adquirir conhecimentos matemáticos e de resolver problemas desestimulando toda e qualquer forma de preconceito. com eles; empenho em participar ativamente das atividades da sala de aula; e respeito à maneira de pensar dos colegas. Para isso, é preciso X MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
que você: valorize a troca de experiências entre os alunos; promova de desenvolvimento físico no Brasil e em outros países; estatísticas intercâmbio de ideias; respeite o pensamento, a produção e a maneira sobre doenças (dengue, febre amarela e outras) e prevenção contra de se expressar de cada aluno; deixe claro que a Matemática é para to- elas; levantamento de dados sobre saneamento básico, condições de dos, e não apenas para os mais talentosos; e incentive a solidariedade trabalho; dieta básica; entre outros. entre os alunos, ajudando-os a superar o individualismo. Trabalho O trabalho em duplas ou em grupos é próprio para o desenvolvi- mento dessas atitudes. Situações relacionadas a este tema, como pesquisas dos alunos na escola ou na comunidade a respeito das profissões, podem propor- Processo de envelhecimento/Respeito e valorização cionar contextos interessantes a serem explorados em sala de aula. Nesta faixa etária é pertinente explorar projetos de vida e escolhas e do idoso especificidades do mundo do trabalho. A Matemática certamente é uma área do conhecimento repleta Vida familiar e social de possibilidades que incentivam o pensar. Atividades envolvendo a lógica, o raciocínio e a memória devem fazer parte dos processos de A Matemática está presente em inúmeras situações do cotidiano, ensino-aprendizagem da Matemática. A memória é uma importante no mundo do trabalho e da família. Portanto, o ensino e a aprendizagem função cognitiva do ser humano e está intimamente ligada à linguagem da Matemática devem estar vinculados à realidade social em que vive- e à atenção. Também não podemos deixar de mencionar a memória mos. O conhecimento matemático deve fornecer aos alunos condições como identidade. de observar, analisar e até mesmo criticar questões sociais, econômi- cas e políticas. Para isso, as aulas de Matemática devem incentivar a Resolver desafios e inferir e conjecturar sobre diversas questões criação de estratégias pessoais, a argumentação, a criatividade, o tra- são habilidades essenciais e podem propiciar significativas evolu- balho em equipe, o espírito crítico e o desenvolvimento da autonomia. ções cognitivas. Os alunos, a partir de diferentes experimentações envolvendo essas habilidades, devem ser incentivados a reconhecer O uso dos números e das operações, a leitura e a interpretação a importância dos idosos na sociedade e a importância da Matemá- de dados quantitativos, a destreza com as unidades de medida, as tica na preservação da memória e no desenvolvimento das funções relações multiescalares, as proporções, os padrões, a dedução de cognitivas dos indivíduos. propriedades e a verificação de conjecturas são algumas das inúme- ras habilidades e dos conceitos aplicados diariamente nas diferentes Saúde situações do cotidiano de adultos e crianças. Dados estatísticos sobre fatores que interferem na saúde do cida- É importante observar cada aluno como um ser social, dotado de dão, quando trabalhados adequadamente na sala de aula, podem cons- história, vivências, conhecimentos e desejos pessoais. O ensino da cientizar os alunos e, indiretamente, a família deles. Alguns contextos Matemática deve, portanto, identificar, acolher e preocupar-se com apropriados para a aprendizagem de conteúdos matemáticos são: saberes, desejos e necessidades individuais e coletivos e construir-se índices de fome, subnutrição e mortalidade infantil em várias regiões com base nesses cenários. do país, particularmente naquela em que os alunos vivem; médias 4 Formulação e resolução de problemas • desenvolver o raciocínio lógico do aluno; • ensinar o aluno a enfrentar situações novas; A resolução de problemas é a coluna vertebral da instrução • levar o aluno a conhecer as várias aplicações da Matemática; matemática desde o Papiro de Rhind. • tornar as aulas mais interessantes e motivadoras. George Polya As etapas da resolução de um problema A razão principal de se estudar Matemática é para aprender Segundo George Polya em A arte de resolver problemas, são 5 eta- como se resolvem problemas. pas que os alunos devem adotar na resolução de um problema. Vamos examinar cada uma delas. Lester Jr. 1) Compreensão do problema Ao ter como prioridade a construção do conhecimento pelo fazer e • Leia e interprete cuidadosamente o problema. pensar, o papel da formulação e resolução de problemas é fundamental • Quais são os dados e as condições do problema? Há dados a para auxiliar os alunos na apreensão dos significados. mais no problema? Faltam dados? • O que se pede, ou seja, o que se pergunta no problema? Faremos a seguir algumas considerações para melhor atingir esse objetivo. Para aprofundar o assunto, indicamos a leitura dos seguintes 2) Elaboração de um plano de solução livros. • Qual é seu plano para resolver o problema? • DANTE, Luiz Roberto. Formulação e resolução de problemas de • Quais estratégias você tentará desenvolver? • Você se lembra de um problema semelhante mais simples que Matemática: teoria e prática. São Paulo: Ática, 2010. pode ajudá-lo a resolver este problema? • KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas • É possível fazer um desenho, um diagrama ou uma tabela? • É possível resolver o problema por partes? na Matemática escolar. Trad. Hygino H. Domingues e Olga Corbo. • É possível estimar uma resposta? São Paulo: Atual, 1997. • POLYA, George. A arte de resolver problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. Objetivos A resolução de problemas deve ter por meta: • fazer o aluno pensar; MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL XI
3) Execução do plano Eu pretendo comprar um pacote com Thiago Neumann/Arquivo da editora 3 cadernos. A loja Estudar oferece um desconto • Efetue todos os cálculos indicados no plano. • Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias manei- de 20% sobre o preço, que é de R$ 22,00. O desconto da loja Aprender é de 15%, e o preço é ras de resolver o mesmo problema. de R$ 20,00 para o mesmo pacote de cadernos. 4) Verificação ou retrospectiva Em qual loja é mais vantajoso fazer compras? • Você leu e interpretou corretamente o problema? Compreendendo o problema • Você elaborou um plano razoável e viável? • Executou com precisão o que foi planejado? Conferiu todos os Inicialmente, Angélica precisa compreender o problema. Ela descre- ve o problema para si mesma fazendo algumas perguntas. cálculos? • Há alguma maneira de “tirar a prova” para verificar se você O que eu preciso Quais dados eu tenho? Thiago Neumann/Arquivo da editora saber? Na loja Estudar, o acertou a resposta? • A resposta está correta? Preciso saber preço é de R$ 22,00 e o • Existe outra maneira de resolver o problema? em qual loja é desconto é de 20%. • É possível usar a mesma estratégia para resolver problemas melhor comprar. Na loja Aprender, o preço é de R$ 20,00 e semelhantes? o desconto é de 15%. 5) Emissão da resposta Elaborando um plano de solução Thiago Neumann/Arquivo da editora • A resposta é compatível com a pergunta? • Você respondeu à pergunta do problema, escrevendo a resposta Angélica precisa planejar como resolver o problema. Ela pensa nas maneiras que pode adotar para resolvê-lo. Procura por extenso? pela melhor estratégia: desenhar um diagrama; estimar e checar; fazer uma tabela ou um gráfico; escrever uma sentença matemática Algumas sugestões para a sala de aula e fazer os cálculos; escrever uma equação; fazer o caminho inverso. • Comece trabalhando com problemas simples e, pouco a pouco, Assim, ela elabora um plano perguntando a si mesma: apresente problemas mais complexos. Isso fortalece a autoestima e a autoconfiança de cada aluno. Como posso resolver o problema? Posso escrever uma sentença • Valorize o processo, a maneira como cada aluno resolveu o proble- ma, e não apenas o resultado. matemática, determinar o preço do pacote de cadernos em cada loja, • Incentive os alunos a contar como resolveram o problema. Isso comparar esses valores e ver qual auxilia a organização do pensamento, a comunicação matemática e a diversidade de soluções. é o menor. • Sugira aos alunos que façam a verificação da solução e a revisão Executando o plano do que fizeram. Agora, Angélica precisa executar o plano e resolver o problema. • Deixe claro que é permitido errar. Aprendemos tanto por tentativa e Ela pode fazer os cálculos mentalmente, com lápis e papel ou com erro quanto por tentativa e acerto. O erro deve ser encarado como uma calculadora. ponto de apoio para uma ideia nova. Quando está implícito que “é proibido errar”, os alunos não se arriscam, não se aventuram, não Angélica escolheu usar uma calculadora. geram novas ideias e não exploram caminhos novos e diferentes. Posso usar uma Thiago Neumann/Arquivo da editora • Oriente, incentive e questione, com o objetivo de deixar os alunos calculadora e determinar Banco de imagens/ descobrirem por si a solução. Arquivo da editora o preço em cada loja • Não apresse os alunos durante a resolução de um problema: esta não é uma competição de velocidade. Preço na loja Estudar: 4,4 2 2 . 0 032 0 % 17,60 • Proponha aos alunos que inventem problemas e que formulem 2 2 . 0 024 . 45 problemas a partir de uma resposta dada. • Forme um “Banco de problemas” da turma, organizado por ano, por ciclo, por assunto ou por nível de dificuldade. • Implante, na sala de aula ou na escola, uma seção intitulada, por exemplo, “O problema da semana”, que poderá figurar no mural da sala ou da escola. • É importante que os alunos sintam que podemos usar a resolu- ção de problemas para tomar decisões em muitas situações do cotidiano. Um exemplo para ser debatido em sala de aula É interessante que, na primeira semana de cada ano, você debata com a turma um exemplo de problema, como este que vamos analisar. Assim, sempre que os alunos forem resolver um problema, lembrarão das fases e dos cuidados a tomar. Angélica tem um problema para resolver. Ela precisa tomar uma decisão. Leia cuidadosamente o problema de Angélica. XII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Banco de imagens/ Preço na loja Aprender: 3,0 Desconto Preço com Preço Paulo Manzi/Arquivo da editora Arquivo da editora 2 0 . 0 031 5 % 17,00 2 0 . 0 023 . 05 desconto normal Verificando se a resposta está correta Loja Estudar R$ 4,40 1 R$ 17,60 5 R$ 22,00 Loja Aprender R$ 3,00 1 R$ 17,00 5 R$ 20,00 Finalmente, Angélica pode verificar se a resposta que obteve está correta. Ela pensa como pode checar a resposta, fazendo algumas Logo, a solução de Angélica está correta. perguntas para si mesma. Emissão da resposta Angélica escreve a resposta por extenso. Thiago Neumann/Arquivo da editora Como posso checar Minha solução É mais vantajoso comprar o pacote de ca- Paulo Manzi/ minha resposta? responde à dernos na loja Aprender, pois ela tem o me- Arquivo da editora Somando o pergunta do nor preço. desconto com problema? Sim, pois É importante que os alunos sintam que, como demonstrado, o preço conseguido, podemos usar a resolução de problemas para tomar decisões em obtenho o preço determinei qual muitas situações do cotidiano. normal. loja oferece o menor preço. 5 A avalia•‹o O que e quando avaliar? A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informa- Incidindo sobre os aspectos globais do processo de ensino-apren- ções sobre como está se realizando o processo de ensino-aprendiza- dizagem, a avaliação oferece informações sobre os objetivos, as ha- gem como um todo – tanto para você e a equipe escolar conhecerem e bilidades, os métodos, os conteúdos, os materiais pedagógicos, os analisarem os resultados dos trabalhos como para cada aluno verificar próprios procedimentos de avaliação – se houve ou não crescimento o próprio desempenho. Assim, a avaliação não deve simplesmente e envolvimento de cada aluno em todo o processo, ou até mudanças focar o aluno, o desempenho cognitivo e o acúmulo de conteúdos, para das atitudes dele. Enfim, não procede mais pensar que os avaliados classificá-lo em “aprovado” ou “reprovado”. são o aluno e o desempenho cognitivo. Além disso, a avaliação deve ser essencialmente formativa, na A ação avaliativa deve ser contínua e não circunstancial, deve medida em que cabe a ela subsidiar o trabalho pedagógico, redirecio- ser reveladora de todo o processo e não apenas do produto. E esse nando o processo de ensino-aprendizagem para sanar dificuldades, processo contínuo ajuda a constatar o que está sendo construído e aperfeiçoando-o constantemente. Vista como um diagnóstico contínuo assimilado pelos alunos e o que está em via de construção. Cumpre e dinâmico, a avaliação torna-se um instrumento fundamental para também o papel de identificar dificuldades para que sejam programa- repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias das atividades diversificadas de recuperação ao longo do ano letivo, de ensino, para que cada aluno realmente aprenda. a fim de evitar que se acumulem e solidifiquem. Nessa perspectiva, a avaliação deixa de ter o caráter “classificató- Devendo ser contínua e processual, a avaliação não pode sim- rio” de simplesmente aferir acúmulo de conhecimento para promover plesmente definir a “aprovação” ou a “reprovação”. A avaliação final ou reter o aluno. Ela deve ser entendida como um processo de acompa- representa um diagnóstico global do processo vivido – que servirá nhamento e compreensão dos avanços, das habilidades desenvolvidas para o planejamento e a organização do próximo ano. Todavia, pode e dos limites e das dificuldades de cada aluno para atingir os objetivos ocorrer que algum aluno não consiga um desenvolvimento equili- da atividade realizada. brado em todas as dimensões da formação apropriada àquele ano, dificultando a interação com a turma de referência. A decisão da Assim, o objetivo da avaliação é diagnosticar como está se dan- conveniência ou não de mantê-lo mais uma vez naquele ano deve do o processo de ensino-aprendizagem e coletar informações para ser coletiva, da equipe escolar, e não apenas de um professor. corrigir possíveis distorções observadas nele. Por exemplo, se os re- Levam-se em conta, nesse caso, o desempenho global do aluno sultados da avaliação não foram satisfatórios, é preciso buscar as e a pluralidade de dimensões que estão em jogo, como os bene- causas. Pode ser que os objetivos tenham sido superdimensionados fícios da manutenção do aluno com os colegas para a socializa- ou que o problema esteja no conteúdo, na metodologia de ensino, nos ção e o desenvolvimento equilibrado de habilidades, vivências e materiais instrucionais, na própria maneira de avaliar ou em algum convivências. A permanência de algum aluno no mesmo ano deve outro aspecto. O importante é determinar os fatores do insucesso e ser considerada uma situação excepcional e de modo algum uma reorientar as ações para sanar ou minimizar as causas e promover a prática escolar habitual. aprendizagem dos alunos. Em resumo, avalia-se para identificar os problemas e os avanços e redimensionar a ação educativa, visando ao sucesso escolar. XIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Instrumentos de avaliação ano letivo, como está se desenvolvendo o processo educativo dele. Nessa ficha poderão constar aspectos cognitivos (dificuldades de O que tem sido feito usualmente é a verificação do aproveitamen- aprendizagem, providências tomadas para sanar as dificuldades), to de cada aluno apenas por meio de procedimentos formais, isto é, além de aspectos gerais (afetivos, atitudinais, socioemocionais, de aplicação de provas escritas no final do mês ou do bimestre. É sabido socialização, de organização, entre outros). que só esse procedimento e essa perspectiva não são capazes de mensurar todos os progressos que cada aluno alcançou, deixando de Conclusão lado, por exemplo, mudança de atitudes, envolvimento e crescimen- to no processo de ensino-aprendizagem e avanço na capacidade de A avaliação é um elemento, uma parte integrante do processo de expressão oral ou na habilidade de manipular material pedagógico. Na ensino-aprendizagem, abrangendo a atuação, o desempenho de cada BNCC podemos encontrar indicações claras sobre a importância do aluno e também os objetivos, a estrutura e o funcionamento da escola desenvolvimento integral dos alunos e a pertinência e necessidade e do sistema de ensino. É algo bem mais amplo do que medir a quan- do desenvolvimento de habilidades, incluindo as socioemocionais. tidade de conteúdos que o aluno aprendeu em determinado período. Por isso, sugerimos vários tipos de instrumento de avaliação. Va- Portanto, a avaliação deve ser compreendida como: mos analisar a seguir alguns deles. • elemento integrador entre a aprendizagem e o ensino; Observação e registro • conjunto de ações cujo objetivo é o ajuste e a orientação da Ao avaliar o desempenho global de cada aluno, é preciso considerar intervenção pedagógica para que o aluno aprenda da melhor os dados obtidos continuamente a partir de observações que levem forma; em conta os aspectos citados anteriormente e outros que possam traduzir o aproveitamento dele. • conjunto de ações que busca obter informações sobre o que foi aprendido e como; Esse acompanhamento das atividades no dia a dia dos alunos é muito valioso, principalmente nas aulas que dão oportunidade de • elemento de reflexão contínua para o professor sobre sua participação, nas quais cada um pergunta, emite opiniões, levanta prática educativa; hipóteses, constrói novos conceitos e busca novas informações. Além disso, nas atitudes deles é possível observar a responsabilidade, a • instrumento que possibilita ao aluno tomar consciência de cooperação, a organização e outros modos de agir. seus avanços, dificuldades e possibilidades; Em suma, a observação permite que você obtenha informações • ação que ocorre durante todo o processo de ensino e apren- sobre as habilidades cognitivas, as atitudes e os procedimentos dos dizagem e não apenas em momentos específicos caracteri- alunos, em situações naturais e espontâneas. zados como fechamento de grandes etapas de trabalho. O processo de observação deve ser acompanhado de cuidadoso […] Avaliar a aprendizagem, portanto, implica avaliar o registro, a partir de objetivos propostos e critérios bem definidos. ensino oferecido – se, por exemplo, não há a aprendizagem esperada, significa que o ensino não cumpriu com sua finali- Provas, testes e trabalhos dade: a de fazer aprender. Esses 3 instrumentos de avaliação não devem ser utilizados como (BRASIL, 1997, p. 56) sanção, punição ou apenas para ajuizar valores. Devem, sim, ser enca- rados como oportunidades para perceber avanços ou dificuldades dos A avaliação em Matemática alunos em relação ao conteúdo em questão. Para isso, a formulação deles deve se fundamentar principalmente em questões de compreen- A mudança no ensino da Matemática deve vir acompanhada por são e raciocínio, e não apenas de memorização ou mecanização. uma mudança de ênfase na maneira de avaliar os alunos. Os estudos e as pesquisas em Educação matemática relacionados com a avaliação É interessante arquivar trabalhos significativos dos alunos em apontam que devemos trabalhar alguns aspectos com maior ênfase e pastas ou portfólios individuais para que eles verifiquem, periodica- outros, com menor ênfase, como indicado no quadro a seguir. mente, quanto evoluíram. Aspectos a serem trabalhados na avaliação Entrevistas e conversas informais em Matemática É extremamente importante estabelecer canais de comunicação en- Maior ênfase Menor ênfase tre você e os alunos para ouvir o que eles têm a dizer sobre o processo de aprendizagem e perceber o que e como estão aprendendo. Isso pode ser Avaliar o que os alunos sabem, como Avaliar o que os alunos não sabem. feito individualmente, em pequenos grupos ou em conversas coletivas. sabem e como pensam matemati- Conversando também se avalia o que os alunos estão aprendendo ou não. camente. Autoavaliação Avaliar se os alunos compreende- Avaliar a memorização de defini- ram os conceitos, os procedimen- ções, regras e esquemas. Se pretendemos construir sujeitos autônomos, é preciso que cada tos e se desenvolveram atitudes aluno exercite a reflexão sobre o próprio processo de aprendizagem e positivas em relação à Matemática. socialização. A avaliação feita pelo aluno, se bem orientada, é muito construtiva para favorecer uma análise crítica do próprio desempenho. Avaliar o processo e o grau de cria- Avaliar apenas o produto, contando Ele pode expressar-se por escrito ou oralmente, indicando do que mais gostou ou do que menos gostou e por quê, quanto acha que aprendeu, tividade das soluções dadas pelos o número de respostas certas nos em que teve mais dificuldade ou facilidade, o que pode e deve ser feito para melhorar o desempenho, etc. alunos. testes e provas. Fichas avaliativas Encarar a avaliação como parte inte- Avaliar contando o número de res- grante do processo de ensino. É importante que se tenha na escola uma ficha de cada aluno postas certas nas provas, com o que revele aos responsáveis, periodicamente e ao longo de todo o único objetivo de classificar. Focalizar uma grande variedade de Focalizar um grande número de capa- tarefas matemáticas e adotar uma cidades específicas e isoladas. visão global da Matemática. XIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Propor situações-problema que en- Propor exercícios e problemas que Nesta atividade é possível avaliar se: volvam aplicações de conjunto de requeiram apenas uma capacidade. ideias matemáticas. • os questionamentos dos alunos foram pertinentes; Propor situações abertas que te- Propor problemas rotineiros que • foram adequados os vários processos de representação utilizados (tabelas, gráficos, equações, relatórios); nham mais de uma solução. apresentem uma única solução. • houve ou não verificação dos resultados; Propor aos alunos que inventem, Propor aos alunos que resolvam uma formulem problemas e os resolvam. série de problemas já formulados. • houve ou não generalizações. Usar várias formas de avaliação, in- Formular problemas cluindo as escritas (provas, testes, trabalhos, autoavaliação), as orais Utilizar apenas provas e testes es- A capacidade de formular problemas pode ser medida quando você (exposições, entrevistas, conversas critos. sugere aos alunos que inventem os próprios problemas a partir de informais) e as de demonstração alguns dados ou figuras. Por exemplo: (material pedagógico). “Quatro em cada cinco dentistas recomendam o creme dental Utilizar material manipulável, calcula- Excluir material manipulável, calcula- Dentes limpos. doras e computadores na avaliação. doras e computadores na avaliação. a) A partir dessa afirmação, faça uma pergunta, obtenha um problema Fonte de consulta: NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). e resolva-o. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics: Addenda Series I-IV. Reston, 1993. b) Faça uma pergunta cuja resposta seja 160.” Indicadores para a avaliação em Matemática É interessante também oferecer a resposta para que os alunos inventem um problema: “Invente um problema cuja resposta seja 20” Como dissemos anteriormente, esta coleção contempla as atuais ou “Invente um problema cuja resolução use uma equação do 1o grau tendências em Educação matemática. Dentre outras, elas dizem res- e a resposta seja 10”. peito a desenvolver um ensino que aumente o poder matemático dos alunos por intermédio da formulação e resolução de problemas, valo- Identificar lacunas é muito importante na formulação e na reso- rizando a comunicação matemática, a construção e a compreensão lução de problemas. de conceitos e procedimentos. Em um problema do tipo: “Você vai comprar 10 itens no supermer- Passemos, então, a exemplificar como avaliar tais capacidades. cado. Na fila do caixa 1, que é expresso (máximo de 10 itens), estão 6 pessoas. No caixa 2 há 1 pessoa na fila e no caixa 3 há 2 pessoas. Os Avaliando o poder matemático dos alunos outros caixas estão fechados. Para qual dos caixas você se dirigirá? Qual é a informação necessária para responder à pergunta?”. (É preciso É preciso avaliar o poder matemático dos alunos, ou seja, a ca- saber a quantidade de mercadorias que cada pessoa está comprando pacidade deles de usar a informação para raciocinar e pensar criati- e a velocidade com que os caixas estão operando.) vamente, bem como para formular problemas, resolvê-los e refletir criticamente sobre eles. Alunos inventam problemas A avaliação deve analisar até que ponto os alunos assimilaram e Introduzido determinado assunto e tendo já resolvido alguns deram sentido à informação, se conseguem aplicá-la em situações exercícios, propomos aos alunos que elaborem um ou dois pro- que requeiram raciocínio e pensamento criativo e se são capazes de blemas sobre o assunto. utilizar a Matemática para comunicar ideias. Além disso, a avaliação deve analisar a predisposição deles em face dessa ciência, em parti- A proposta é para que escrevam os problemas em duplas e os cular a confiança em fazer Matemática e o modo como a valorizam. entreguem resolvidos, com os nomes dos autores. Esses problemas são datilografados e uma lista é distribuída a todos os alunos. Por exemplo, eles podem revelar o poder matemático em uma si- tuação-problema aberta como esta: “Construa a planta baixa da escola Muitas duplas entregam mais do que um problema. Sempre ou de parte dela”. que possível, todos os alunos têm ao menos um de seus problemas incluído na lista. O pedido para que os problemas sejam feitos Avaliando a formulação e a resolução de problemas em duplas tem como objetivo evitar problemas demais, além de provocar um salutar intercâmbio entre os mais e os menos Como a formulação e a resolução de problemas devem constituir interessados, entre os mais e os menos hábeis e causar animadas o eixo fundamental da Matemática escolar, o mesmo deve acontecer discussões envolvendo Matemática. na avaliação. A capacidade dos alunos de formular e resolver proble- mas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado de um ensino Ao elaborar uma lista não há muita preocupação quanto à or- prolongado, de várias oportunidades para a resolução de muitos tipos dem dos problemas, exceto no caso de problemas muito traba- de problema e do confronto com situações do mundo real. lhosos, que vão para o final da lista. A variedade dos problemas propostos pelos alunos costuma ser maior do que a oferecida em Ao avaliar essa capacidade, é importante verificar se eles são livros didáticos, e a ausência de uma classificação por “tipo” é um capazes de resolver problemas não padronizados, de formular pro- dos aspectos positivos das listas. Os problemas também não se blemas a partir de certos dados, de empregar diferentes estratégias prendem a um só assunto – os alunos usam com frequência outros de resolução e de fazer a verificação dos resultados, bem como a conteúdos que já fazem parte do seu conhecimento. generalização deles. Formular problemas é uma atividade dos alunos que deve ser Resolver problemas realizada várias vezes ao longo do ano. A experiência nos mos- trou que, com o passar do tempo, os problemas se tornam mais Tomemos este exemplo: “A pulsação dos alunos é variável. Qual interessantes e criativos. deverá ser a pulsação considerada normal para os alunos da turma? Você pode considerar várias condições (como a turma assistindo à aula (BRASIL, 2004, p. 269-270) ou fazendo um exercício físico) e descobrir como elas se relacionam com a pulsação”. Utilizar várias estratégias É importante que os alunos tenham, individual ou coletivamente um caderno de problemas, com uma coleção de problemas interes- MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL XV
santes e a descrição das estratégias usadas para resolvê-los. Avalie É preciso verificar ainda se os alunos analisam situações para iden- a correção e a diversidade dessas estratégias. tificar propriedades comuns. Por exemplo, o que há de comum entre um quadrado e um losango que não é quadrado? E no que eles diferem? Fazer generalizações Ilustrações: Banco de imagens/ Quadrado. Losango. Generalizar soluções de problemas é outro ponto fundamental.Arquivo da editora Por exemplo, peça aos alunos que determinem o valor da soma dos 5 Ilustrações: Banco de imagens/Outro aspecto importante é verificar se os alunos utilizam os ra- primeiros números naturais ímpares, ou seja, de 1 1 3 1 5 1 7 1 9 (é Arquivo da editoraciocínios espacial, proporcional e dedutivo para resolver problemas. 25); depois, proponha a eles que escrevam uma expressão que forneça Por exemplo, para verificar o uso do raciocínio espacial, peça a eles que a soma dos n primeiros números ímpares. A solução é: desenhem a planificação da superfície de um cubo, ou que desenhem um cone montado a partir da planificação da superfície dele. E, para 1 parcela: 1 verificar o uso do raciocínio proporcional, pergunte: “Quantos alunos 2 parcelas: 1 1 3 5 4 (22) da escola, aproximadamente, usam óculos?”. Esse tipo de indagação 3 parcelas: 1 1 3 1 5 5 9 (32) leva-os a desenvolver um processo que permite identificar, em uma 4 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 5 16 (42) amostra de alunos, os que usam óculos e a utilizar raciocínio propor- 5 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 (52) cional para determinar o número aproximado de alunos que usam ææ óculos em toda a escola. Para aferir o raciocínio dedutivo, peça a eles n parcelas: n2 que justifiquem por que, se somarmos o mesmo número de pontos à porcentagem de acertos no teste de cada aluno, a média das classifi- Avaliando a comunicação dos alunos cações aumentará o mesmo número. Na sala de aula, debatemos ideias e conceitos matemáticos, par- Avaliando a compreensão de conceitos tilhamos descobertas, confirmamos hipóteses e adquirimos conhe- cimentos matemáticos pela escrita, pela fala e pela leitura. O próprio A essência do conhecimento matemático são os conceitos. Os ato de comunicar clareia e organiza o pensamento e leva os alunos a alunos só poderão dar significado à Matemática se compreenderem envolverem-se na construção da Matemática. Como essa área do co- os conceitos e os significados dela. nhecimento utiliza símbolos e, portanto, tem uma linguagem própria, específica, às vezes a comunicação fica dificultada. A avaliação do conhecimento e da compreensão de conceitos deve indicar se os alunos são capazes de: verbalizá-los e defini-los; iden- Ao avaliar como os alunos comunicam as ideias matemáticas, tificá-los e produzir exemplos e contraexemplos; utilizar modelos, é preciso verificar se eles: são capazes de se expressar oralmente, diagramas e símbolos para representar conceitos; passar de uma por escrito, de forma visual ou por demonstrações com material forma de representação para outra; reconhecer vários significados e pedagógico; se compreendem e interpretam corretamente ideias interpretações de um conceito; compará-los e integrá-los. matemáticas apresentadas de forma escrita, oral ou visual; e se utilizam corretamente o vocabulário matemático e a linguagem ma- Para identificar exemplos e contraexemplos de conceitos, é possí- temática para representar ideias, descrever relações e construir vel apresentar uma questão como esta: “Quais dos seguintes números modelos da realidade. são racionais?”. Veja a seguir um problema que envolve esses aspectos. “Suponha que você esteja ao telefone falando com um colega de turma e quer que ele desenhe algumas figuras. Escreva as instruções de modo que ele consiga desenhar a figura e o gráfico exatamente como estão desenhados abaixo.” y 4 0 5 1,34 25,6 5 x 2 1,121121112» 216 26 25% 3 22 Avaliando o raciocínio dos alunos Para reconhecer as condições que determinam um conceito, pro- Para avaliar a capacidade de raciocínio matemático dos alunos, ponha aos alunos que façam uma classificação dos quadriláteros é preciso verificar se eles identificam padrões, formulam hipóteses e fazem conjecturas. Por exemplo, peça a eles que determinem o (polígonos de 4 lados). Ao separar os paralelogramos (que têm 2 padrão de cada sequência a seguir, completem-na seguindo o mes- mo padrão e indiquem possíveis generalizações dos termos (com pares de lados paralelos) dos trapézios (que têm apenas 1 par de ou sem recorrência). lados paralelos), eles demonstram que sabem identificar essas fi- guras geométricas pelas propriedades delas. Na continuação, po- dem separar os retângulos (que têm 4 ângulos retos) dos losangos (que têm 4 lados de mesma medida de comprimento) e incluir os • 0, 3, 8, 15, 24, , , , ... quadrados (que têm 4 ângulos retos e 4 lados de mesma medida de an 5 n2 2 1, n é N comprimento) tanto nos losangos quanto nos retângulos, demons- trando compreensão dos conceitos de quadrado, losango, retângulo, • 2, 1, 12 , 1 , 1 , , , , ... paralelogramo e quadrilátero. 4 8 Para avaliar a passagem da representação de um conceito para an 2 1 a 5 an 5 outro, peça a eles que escrevam de diferentes formas um número 1 2 e 2 racional: 3 , 0,75, 75 e 75%, por exemplo. 4 100 XVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
A integração de conceitos pode ser trabalhada e avaliada com pelos alunos devem ser encarados naturalmente, como parte do pro- atividades do tipo: “Una os pontos médios dos lados de um trapézio cesso de ensino-aprendizagem. Na maioria das vezes, é até possível isósceles. Qual figura se obtém?\" (Um losango e as diagonais dele.). usá-los para promover uma aprendizagem significativa. Para tanto, é fundamental analisar o tipo de erro cometido. Ao fazer isso, você Avaliando procedimentos matemáticos poderá perceber quais foram, de fato, as dificuldades apresentadas e, assim, reorientar sua ação pedagógica com mais eficácia para sa- Procedimentos matemáticos são, por exemplo, os algoritmos ou ná-las. Cada erro tem uma lógica e lhe dá indicações de como está as técnicas de cálculo, as maneiras de traçar retas paralelas, perpen- ocorrendo o processo de aprendizagem de cada aluno. diculares, ângulos, etc. Por exemplo, são frequentes os erros ao calcular o valor de uma A avaliação dos alunos quanto ao conhecimento de procedimentos potência ou de uma raiz quadrada. Os alunos, muitas vezes, não per- deve indicar se eles são capazes de: executar uma atividade matemática cebem que, ao escrever a potência 232, o expoente 2 é relativo à base com confiança e eficiência; justificar os passos de um procedimento; 3 e, portanto, temos 232 5 2(3 3 3) 5 29. Se a base fosse 23, então reconhecer se ele é adequado ou não a determinada situação e se funcio- na ou não; e, sobretudo, criar novos procedimentos corretos e simples. eles teriam que escrever (23)2, fazendo uso dos parênteses, e, nesse Por exemplo, para justificar os passos da multiplicação (x 2 3)(x 2 2), caso, teriam (23)2 5 (23) 3 (23) 5 9. eles podem usar a propriedade distributiva e desenvolver: O ato de o próprio aluno descobrir ou de você mostrar onde, como e (x 2 3)(x 2 2) 5 x(x 2 2) 2 3(x 2 2) 5 x2 2 2x 2 3x 1 6 5 por que ele cometeu o erro ajuda-o a superar lacunas de aprendizagem e equívocos de entendimento. 5 x2 2 (2 1 3)x 1 6 5 x2 2 5x 1 6 Para checar se o resultado de um procedimento está correto, pro- Formar um repertório de todos os erros mais frequentes cometi- dos pelos alunos permite que você, ao trabalhar um assunto, chame ponha, por exemplo, que os alunos façam a verificação após determinar a atenção de todos para os pontos mais críticos e, com isso, diminua as raízes 2 e 3 da equação do 2o grau x2 2 5x 1 6 5 0. a possibilidade de erro. Como lidar com o erro dos alunos em Matemática É interessante também que eles sejam incentivados a comparar entre si as respostas, os acertos e os erros, a explicar como pensaram Muito se aprende por tentativas e erros, idas e vindas, por aproxi- e a entender como os outros colegas resolveram a mesma situação. mações sucessivas e aperfeiçoamentos. Por isso, os erros cometidos 6 Estrutura geral desta coleção Permitir que os alunos revisitem as experiências e identifiquem aprendizagens anteriores, as consolidem e as ampliem é um dos Como qualquer outro material didático, o livro deve ser visto como objetivos norteadores desta coleção. mais um (e não o único) importante auxiliar do professor que busca en- sinar Matemática com mais significado para os alunos, com assuntos • As atividades propostas procuram incentivar a experimentação do cotidiano, auxiliando-os a desenvolver conceitos com compreensão e a reflexão e dão aos alunos a oportunidade de conversar sobre e apresentando situações-problema interessantes, contextualizadas, Matemática de acordo com as próprias vivências, além de trabalhar atuais e interdisciplinares. os conceitos em situações-problema, desafios, trabalhos interdis- ciplinares e artísticos. Proposta de ensino da Matemática nesta coleção • Também é possível identificar as retomadas e os avanços durante Esta coleção traz a seguinte proposta pedagógica de ensino da Ma- a leitura e a interpretação dos quadros com os objetos de conhe- temática para os anos finais do Ensino Fundamental (do 6o ao 9o ano). cimento e as habilidades dos 4 volumes desta coleção. • Contemplar as 5 grandes Unidades temáticas da Matemática – • Minimizar: o “adestramento” do cálculo mecânico; os problemas- Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabili- -padrão rotineiros; o uso excessivo de técnicas e dispositivos prá- dade e estatística – integradas entre si e, sempre que possível, ticos; a memorização de fórmulas, sem compreensão; o excessivo com as demais áreas do conhecimento. Os temas e objetos de cálculo com raízes; a ênfase nos cálculos com frações, aumentan- conhecimento apresentados em cada Unidade temática são tra- do-a nos cálculos com decimais (tendo em vista a aplicação deles balhados de modo espiral ao longo dos 4 volumes, retomando-se, nas medidas, no sistema monetário e nas calculadoras). Enfim, a ampliando-se e aprofundando-se gradativamente os conceitos e prioridade é a compreensão dos conceitos e procedimentos para procedimentos já estudados. a possível aplicação na formulação e na resolução de problemas. • Os conceitos são, em geral, desencadeados a partir de uma situa- ção-problema, como é recomendado pelos educadores matemáticos • Ajudar os alunos a construir e desenvolver conceitos e procedi- que trabalham com formulação e resolução de problemas; a modela- mentos matemáticos, sempre compreendendo e atribuindo sig- gem matemática é feita pela procura de modelos matemáticos a par- nificado ao que estão fazendo, evitando a simples memorização tir de problemas reais; as abordagens da História da Matemática são e a mecanização. E, sempre que possível, trabalhando com situa- trabalhadas por meio de diversas leituras; e o uso das tecnologias ções-problema contextualizadas e, posteriormente, aplicando os de informação e comunicação, como calculadoras, computadores e conceitos em situações cotidianas, na própria Matemática ou em softwares, é indicado em vários momentos desta coleção. outras áreas do conhecimento. • Explorar as etapas a serem consideradas na resolução de um pro- blema: leitura e compreensão, elaboração de plano, execução do • Trabalhar, sempre que possível, a Matemática de maneira transver- plano, verificação e emissão da resposta. sal e integradora com outros componentes curriculares – Ciências, • Propor uma apropriação gradativa dos conhecimentos. O cuidado Língua Portuguesa, História, Geografia, Arte, etc. – e com os temas com a progressão do conhecimento é de fundamental importância. contemporâneos, por meio de textos e situações-problema a serem realizados em duplas ou em grupos. XVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Os volumes desta coleção Para ampliar as explorações, os alunos podem criar um dicionário matemático ou um caderno de descobertas matemáticas, no qual Cada um dos 4 volumes do Livro do Estudante está dividido podem registrar termos, descobertas, significados e utilizações de em capítulos (6o ano e 7o ano – 10 capítulos, 8o ano – 8 capítulos conteúdos da Matemática. e 9o ano – 9 capítulos), que abordam todas as Unidades temáticas Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade Bate-papo e estatística. As atividades propostas neste boxe são, essencialmente, orais Os objetos de conhecimento e as habilidades a serem explorados e em grupo, para que os alunos conversem informalmente entre si e em cada Unidade temática estão distribuídos nos capítulos e articula- com você sobre Matemática. Nesse momento, há uma troca de ideias, dos ao longo do livro, retomando, ampliando e aprofundando conceitos, percepções e experiências. Ao se expressar oralmente, cada aluno procedimentos e atitudes trabalhados nos anos iniciais do Ensino organiza as ideias e o próprio pensamento. Ao verbalizar conceitos e Fundamental. procedimentos, ele promove a comunicação matemática, que auxilia a aprendizagem. As seções e os boxes desta coleção e Aproveite para verificar como os alunos se expressam, como pen- ideias de como explorá-los sam, como escutam, que tipo de dificuldades têm, etc., e aja pedago- gicamente considerando essa observação. Cada volume do Livro do Estudante desta coleção está dividido em capítulos e apresenta seções e boxes. Com o objetivo de ofere- Raciocínio lógico cer melhor aproveitamento, servindo até como sugestão de roteiro para as aulas, apresentamos a seguir nossa intenção ao elaborar As atividades deste boxe propiciam um momento a mais para as várias seções e boxes desta coleção e algumas sugestões de os alunos pensarem logicamente. Sendo este um dos principais como trabalhá-los. objetivos do estudo da Matemática, incentive-os a pensar sobre a situação-problema proposta e a resolvê-la individualmente ou em Apresentação pequenos grupos. Texto destinado aos alunos, incentivando-os a se dedicar aos es- Você sabia? tudos. Pode ser trabalhado logo na primeira aula com o livro, fazendo uma leitura individual ou coletiva. Este boxe apresenta informações adicionais ou curiosidades interessantes para mostrar aos alunos uma aplicação do conteúdo Conheça seu livro estudado ou para motivar o que será estudado a seguir. Em forma de rodízio, peça a um aluno que leia em voz alta o texto, incentivando a Explica aos alunos o que há no livro de Matemática e qual é a es- leitura e a desinibição. trutura dos capítulos. É importante apresentar essa estrutura a eles antes de iniciar o trabalho com os capítulos. Um pouco de História Sumário Este boxe permite aproximar os alunos de dados históricos da Matemática e também da Etnomatemática para que possam conhecer Enumeração dos capítulos e das principais seções do livro. É im- e valorizar a abordagem histórico-cultural dessas ciências e, ainda, portante que cada aluno tenha conhecimento dos conteúdos e se permite explorar os temas contemporâneos, quando pertinente. aproprie do material que vai utilizar ao longo do ano. Glossário Abertura do capítulo Neste boxe, apresentamos o significado de palavras ou expres- Cada capítulo é iniciado com imagens, textos e questões que pro- sões que aparecem nos textos e podem não ser do conhecimento dos curam contextualizar os assuntos que serão estudados. Incentive os alunos. É como se fosse um pequeno dicionário. alunos a criar inferências sobre os assuntos e oriente-os no momento de socialização das respostas às questões. Incentive a participação Atividade resolvida passo a passo de todos e observe os conhecimentos que já têm sobre os assuntos. Nas sugestões de atividades resolvidas passo a passo, os alunos Explorar e descobrir encontram, de maneira detalhada e comentada, cada uma das etapas e dos passos a serem utilizados durante a resolução de uma situação- As atividades deste boxe visam promover a aprendizagem sig- -problema, além de propostas de ampliação. nificativa por meio da experimentação de conteúdos matemáticos, que inclui a confecção, a manipulação e a exploração de materiais Leitura concretos e o projeto de conjecturar, por exemplo, regularidades nu- méricas e algébricas e propriedades. Nas atividades propostas, os Ao longo dos capítulos aparecem textos que ampliam e enri- alunos verificam possibilidades, descobrem e constroem relações, quecem o conteúdo trabalhado, relacionando a Matemática com investigam concretamente diversas situações propostas, concluem outras áreas do conhecimento e mostrando algumas aplicações. e sistematizam. É o protagonismo do aluno em ação. No final de algumas dessas seções são apresentadas questões para os alunos responderem, propiciando reflexão e interpretação Há um provérbio chinês que diz: do tema tratado. Eu ouço e eu esqueço Aproveite esta seção para propor trabalhos em grupo e apresenta- Eu vejo e eu lembro ção de seminários, por exemplo, incentivando os alunos a pesquisar Eu faço e eu aprendo. mais sobre o assunto. Depois, eles podem criar questionamentos com as novas informações obtidas, passando para outros grupos Aprender fazendo é um dos objetivos desta coleção e, em especial, responderem. das atividades deste boxe. Assim, ao acompanhar os alunos agindo (fazendo verificações, testando proposições, recortando, medindo, Matemática e tecnologia comparando, etc.), você terá oportunidade de observar os conhecimen- tos, as aptidões e as dificuldades de cada um deles. Com base nessa Esta seção permite que os alunos, ao longo de cada volume, ex- observação, sua ação pedagógica se tornará mais eficaz. plorem diferentes ferramentas tecnológicas, como a calculadora, o computador e diversos softwares livres. XVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Além de se aproximar da linguagem cotidiana e atual da maio- A ideia é levá-los a identificar as atividades e os conteúdos que ria dos alunos, o uso da tecnologia permite construir, de maneira geram maior tranquilidade e conforto e os conteúdos que precisam precisa e com pouco esforço, modelos que demandariam grande ser retomados. Enquanto isso, ao acompanhar o trabalho deles, habilidade para desenhá-los na lousa. Ainda possibilita a visualização seu papel é perceber lacunas de aprendizagem e preenchê-las e a manipulação de construções de maneira dinâmica, com grande com novas atividades e metodologias diferentes das utilizadas precisão e beleza. anteriormente. Jogo Em seguida, nas questões de autoavaliação, cada aluno tem a oportunidade de pensar sobre o próprio processo de aprendizagem, Esta seção apresenta jogos relacionados ao conteúdo que está as estratégias de estudo e a convivência com os colegas. Procure sendo estudado no respectivo capítulo. Por meio de atividades lúdicas orientá-lo, sem cobranças rigorosas, para que desenvolva atitudes e desafiadoras, incentiva-se o importante trabalho cooperativo em positivas em relação à Matemática e à escola e também em relação duplas ou em pequenos grupos. ao processo de se autoavaliar e conversar sobre isso. Os alunos dessa faixa etária ainda aprendem muito brincando, Utilize esta seção como parte do processo de avaliação e autoa- interagindo com os colegas e se desenvolvendo integralmente. Orga- valiação. Se julgar pertinente, solicite aos alunos que elaborem um nize-os em grupos e incentive-os a jogar de acordo com os conceitos texto falando sobre as aprendizagens do capítulo e sobre a maneira e os procedimentos matemáticos envolvidos no jogo. como se dedicaram aos estudos. Comente que o objetivo principal desse instrumento de avaliação é o remanejamento das próximas Durante as partidas, a interação entre os participantes produz ações, como a elaboração de revisões, se for necessário. Oriente-os aprendizagem – muitas vezes, o que não se aprendeu em uma aula ou a ser sinceros, refletindo sempre se as próprias ações geraram os em uma lição do livro é assimilado no momento lúdico. Ao acompanhar resultados esperados. as duplas ou os grupos durante as partidas, analise as dificuldades que cada aluno tem e, posteriormente, busque saná-las. Respostas Revisando seus conhecimentos Quando os alunos terminam uma atividade ou resolvem um pro- blema, eles pensam: “Será que fiz corretamente?”. Esta seção foi ela- Esta seção permite retomar alguns dos conceitos e procedimen- borada com as respostas das principais atividades para que confiram tos já trabalhados no próprio capítulo e nos capítulos e nos volumes as respostas obtidas. Caso não tenham acertado, cada um deles deve anteriores, ampliando-os e aprofundando-os de modo espiral. Tem procurar refazer os raciocínios e os cálculos. por objetivo manter vivas as ideias e os procedimentos matemáticos essenciais estudados naquele volume ou nos anos anteriores. Isso É importante acertar a resposta, mas lembre-os de que mais trará autoconfiança e segurança aos alunos. importante ainda é o processo usado para chegar a ela. Sugira a eles que persistam na busca dos próprios caminhos e estratégias Durante a correção das atividades, retome alguns conceitos e para resolver um problema e para conferir se acertaram ou não. reserve um tempo da aula para a socialização das estratégias de re- Em seguida, comparar as respostas e as resoluções com as dos solução das atividades mais complexas. colegas também permite desenvolver o conhecimento e deve ser um processo contínuo. Testes oficiais Lista de siglas Fazer com que os alunos conheçam e reconheçam os processos de aprendizagem favorece o desenvolvimento das estratégias individuais Seção que apresenta o significado das siglas que utilizamos, ao que permitam avanços e superação de possíveis desafios. longo dos livros, nos Testes oficiais. Nesta seção, os alunos são convidados a conhecer e resolver di- Sugestões de leitura e sugestões de sites ferentes atividades apresentadas em avaliações de aprendizagem, como Saresp, Saeb, Obmep, Enem e Prova Brasil, que são normalmente Seções de sugestão de obras com leituras que complementam realizadas pelos alunos durante a jornada escolar. É importante escla- os assuntos desenvolvidos no volume e uma relação de alguns sites recer para a turma que, em provas oficiais, diversos conteúdos podem relacionados à Matemática e a conhecimentos gerais. ser cobrados em uma única questão. Além disso, algumas questões podem apresentar linguagens um pouco diferentes das apresentadas Incentivar e promover momentos de leitura é um dos papéis do nos livros didáticos e é importante que os alunos estejam preparados professor. A leitura de livros paradidáticos de Matemática pode auxiliar para compreendê-las e relacioná-las. na aprendizagem de várias maneiras: como introdução a um novo con- teúdo a ser estudado; como complementação e aprofundamento após Além da resolução das atividades, é importante incentivá-los o estudo de um conteúdo; como ampliação de um conteúdo estudado; a refletir sobre a importância da mensuração de resultados, o e como integração entre Matemática e Língua Portuguesa no que se desempenho e, principalmente, compreender a necessidade e a refere à leitura e à interpretação de texto. relevância de construir diagnósticos contínuos e dinâmicos que possam permitir replanejamentos de ações que favoreçam novas Há vários sites relacionados com a Matemática e com os conheci- aprendizagens. mentos gerais que os alunos podem acessar para desenvolver apren- dizagens. Nesta seção, relacionamos alguns deles, disponíveis na Verifique o que estudou época em que a obra foi publicada. Oriente os alunos nas consultas e incentive-os a pesquisar outros sites mais atuais. Seção de encerramento de cada capítulo, com algumas atividades para aferição da aprendizagem, percepção das conquistas e siste- Bibliografia matização de conhecimentos adquiridos, seguidas de perguntas de autoavaliação do aprendizado e das práticas atitudinais. Para escrever uma coleção é preciso ler e pesquisar muito. Colo- camos, nesta seção, referências bibliográficas que temos lido e con- Peça aos alunos que resolvam as atividades no caderno e ano- sultado nos últimos anos. tem, ao lado de cada uma, o sentimento despertado ao realizá-las. XIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
XX MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL Objetos de conhecimento e habilidades abordados nos 4 volumes desta coleção Apresentamos a seguir as principais habilidades trabalhadas em cada volume desta coleção, agrupadas pelas Unidades temáticas da BNCC. 6o ano Unidades temáticas BNCC | Números BNCC | Álgebra BNCC | Geometria BNCC | Grandezas e medidas BNCC | Probabilidade e estatística Objeto de conhecimento Habilidade Capítulo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e com- (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja repre- paração de números naturais e de números racionais representados sentação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. na forma decimal Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e com- (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e paração de números naturais e de números racionais representados destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais carac- na forma decimal terísticas (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos números naturais / Divisão euclidiana ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Fluxograma para determinar a paridade de um número natural / Múltiplos (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique e divisores de um número natural / Números primos e compostos a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). Fluxograma para determinar a paridade de um número natural / Múltiplos (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre e divisores de um número natural / Números primos e compostos números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. Fluxograma para determinar a paridade de um número natural / Múltiplos (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. e divisores de um número natural / Números primos e compostos Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, compara- (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros ção, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. e subtração de frações Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, compara- (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas ção, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma repre- e subtração de frações sentação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, compara- (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e ção, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. e subtração de frações Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, compara- (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racio- ção, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição nais positivos na representação fracionária. e subtração de frações (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias com números racionais diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de uso da “regra de três” proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. Propriedades da igualdade (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, sub- trair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares (EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, ordenados em situações como a localização dos vértices de um polígono. Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de (vértices, faces e arestas) prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de (EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados lados e dos ângulos. Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras (EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com planas em malhas quadriculadas o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais. Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, (EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações esquadros e softwares de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de esquadros e softwares dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. Ângulos: noção, usos e medida (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. Ângulos: noção, usos e medida (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. Ângulos: noção, usos e medida (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais. Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. (EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área. Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados fa- (EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional voráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equi- (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por provável / Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um meio de experimentos sucessivos. experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE XXIGERAL Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia numéricas em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Coleta de dados, organização e registro / Construção de diferentes tipos (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos de gráficos para representá-los e interpretação das informações alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das infor- mações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxo- (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os gramas objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
XXII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL 7o ano Unidades temáticas BNCC | Números BNCC | Álgebra BNCC | Geometria BNCC | Grandezas e medidas BNCC | Probabilidade e estatística Objeto de conhecimento Habilidade Capítulo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Múltiplos e divisores de um número natural (EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divi- Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples sor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos. (EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros. Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da (EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, reta numérica e operações associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros. da reta numérica e operações Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divi- (EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. são, razão e operador Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divi- (EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura são, razão e operador podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divi- (EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo são, razão e operador de problemas. Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divi- (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da são, razão e operador divisão, razão e operador. Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divi- (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração são, razão e operador 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza. Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações da reta numérica. Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações elas e suas propriedades operatórias. Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais. ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações Linguagem algébrica: variável e incógnita (EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. Linguagem algébrica: variável e incógnita (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. Linguagem algébrica: variável e incógnita (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequên- cias numéricas. Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade (EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de de uma sequência numérica uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes. Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e gran- (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e dezas inversamente proporcionais de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas. Equações polinomiais do 1o grau (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multi- (EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes plicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simé- da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. tricos em relação aos eixos e à origem Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multi- (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos plicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simé- eixos e à origem. tricos em relação aos eixos e à origem Simetrias de translação, rotação e reflexão (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros. (EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geomé- A circunferência como lugar geométrico trico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes. Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas (EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma por uma transversal transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica. Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas (EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência dos ângulos internos do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na constru- dos ângulos internos ção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção dos ângulos internos de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados. Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado. Problemas envolvendo medições (EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada. Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, medida convencionais mais usuais envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico). Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente (EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. determinadas como triângulos e quadriláteros Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas. determinadas como triângulos e quadriláteros Medida do comprimento da circunferência (EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica. Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabili- (EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de dade por meio de frequência de ocorrências probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE XXIIIGERAL (EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados. Pesquisa amostral e pesquisa censitária (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a ne- Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção cessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de tabelas e gráficos e interpretação das informações de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas. Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para re- (EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia presentar conjunto de dados e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.
XXIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL 8o ano Unidades temáticas BNCC | Números BNCC | Álgebra BNCC | Geometria BNCC | Grandezas e medidas BNCC | Probabilidade e estatística Objeto de conhecimento Habilidade Capítulo 12345678 Notação científica (EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica. Potenciação e radiciação (EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário. O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo. Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais. Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica. Valor numérico de expressões algébricas (EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações. Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano cartesiano. Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e (EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representação no plano cartesiano representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso. Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b (EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser repre- sentados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b. Sequências recursivas e não recursivas (EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. Sequências recursivas e não recursivas (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes. Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente pro- (EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente porcionais ou não proporcionais proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente pro- (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente porcionais ou não proporcionais proporcionais, por meio de estratégias variadas. Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de qua- (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência driláteros de triângulos. Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, regulares mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção regulares de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso. Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução problemas de problemas. Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e (EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geomé- rotação tricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Área de figuras planas/ Área do círculo e comprimento de sua circun- (EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, ferência utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medidas de terrenos. Volume de cilindro reto/ Medidas de capacidade (EF08MA20) Resolver a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. Volume de cilindro reto/ Medidas de capacidade (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular. Princípio multiplicativo da contagem/ Soma das probabilidades de (EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utili- todos os elementos de um espaço amostral zando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos cons- (EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto titutivos e adequação para determinado conjunto de dados de dados de uma pesquisa. Organização dos dados de uma variável contínua em classes (EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões. (EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, Medidas de tendência central e de dispersão moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude. Pesquisas censitária ou amostral/ Planejamento e execução de (EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam pesquisa amostral a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). Pesquisas censitária ou amostral/ Planejamento e execução de (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem pesquisa amostral adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE XXVGERAL
XXVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL 9o ano Unidades temáticas BNCC | Números BNCC | Álgebra BNCC | Geometria BNCC | Grandezas e medidas BNCC | Probabilidade e estatística Objeto de conhecimento Habilidade Capítulo 123456789 Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem seg- Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta mentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de numérica diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. numérica Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fra- cionários. Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais su- (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de apli- cessivos cação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira. (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas Funções: representações numérica, algébrica e gráfica variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. Razão entre grandezas de espécies diferentes (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica. Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta proporcionais e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas. Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis/ Resolução de (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau. Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas pa- (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas ralelas intersectadas por uma transversal cortadas por uma transversal. Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ân- gulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. Relações métricas no triângulo retângulo/ Teorema de Pitágoras: ve- rificações experimentais e demonstração (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporciona- Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. lidade e verificações experimentais Relações métricas no triângulo retângulo/ Teorema de Pitágoras: ve- rificações experimentais e demonstração (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporciona- relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. lidade e verificações experimentais
Polígonos regulares (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a cons- Distância entre pontos no plano cartesiano trução de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano. Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pe- (EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes quenas/Unidades de medida utilizadas na informática ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros. Volume de prismas e cilindros (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes (EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e independentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos. Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem indu- (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem zir a erros de leitura ou de interpretação induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros. Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expres- (EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com sos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agru- ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, padas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos destacando aspectos como as medidas de tendência central. (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência relatório central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE XXVIIGERAL
Postura do professor A sequência dos conteúdos foi cuidadosamente estudada e testada. Mas certamente não é a única. Se você sentir necessidade de modificá- Seu papel é o de mediador, orientador e incentivador da aprendi- -la, tendo em vista as peculiaridades da turma, deve fazê-lo naturalmen- zagem dos alunos. Cabe a você ajudá-los a desenvolver autonomia, te, tendo o cuidado de manter a coerência necessária entre os assuntos. instigando-os a refletir, investigar e descobrir, criando na sala de aula uma atmosfera de busca e confiança, em que o diálogo e a troca Paralelamente ao uso desta coleção, sugira aos alunos leituras de ideias sejam uma constante, quer entre você e cada aluno, quer complementares adequadas – livros paradidáticos, revistas e jor- entre os alunos. nais –, como as que relacionamos no final de cada volume do Livro do Estudante. Em lugar de “ensinar”, no sentido tradicionalmente entendido, você passa a estar ao lado de um aluno, de uma dupla ou de uma equipe, A lição de casa ajudando-os a pensar, a descobrir e a resolver problemas, usando caminhos e estratégias diversificados. Com isso, você se transforma É essencial propor a lição de casa frequentemente. Isso auxilia os também em um investigador, buscando e criando novas atividades, alunos no desenvolvimento do hábito de estudar e praticar o que já novos desafios e novas situações-problema, registrando tudo para estudaram. Para isso, eles podem usar algumas atividades propostas posterior reflexão, transformação, aprimoramento e aplicação. no decorrer de cada capítulo ou atividades da seção Revisando seus conhecimentos. De tempos em tempos, uma aula expositiva partilhada e dialoga- da com os alunos pode ser apropriada para sintetizar e organizar as Sem exagerar, você pode e deve propor atividades de fixação descobertas, as ideias e os resultados e, também, para sistematizar como lição de casa, além de situações-problema contextualizadas. e formalizar os assuntos tratados em determinado período. É interessante também sugerir, para casa, atividades de assuntos que serão debatidos na aula seguinte. Bem dosadas, elas servem de Autonomia do professor ao trabalhar motivação para a próxima aula, e os alunos já ficarão familiarizados com esta coleção com o assunto; eventualmente, alguns até virão para a aula com as atividades realizadas. Cada professor tem sua maneira de ministrar a aula e utilizar o livro didático, e cada turma tem uma dinâmica particular. Portanto, A correção da lição de casa é fundamental para que, assim, os as ideias apresentadas aqui são sugestões que podem e devem ser alunos percebam que a lição é parte integrante do curso. A correção adaptadas, sempre que necessário. pode ser feita em duplas ou em pequenos grupos. Peça que exponham os problemas e as atividades em que tiverem mais dificuldades e co- Ao iniciar um capítulo, explore com os alunos as imagens, os textos mente cada um deles. e as questões da abertura, levando-os a perceber as possíveis explo- rações e temas a serem desenvolvidos. Resgate os conhecimentos O uso do caderno que eles têm sobre os assuntos e amplie-os. O caderno é um material escolar importante. Nele cada aluno No decorrer dos capítulos, é interessante ler e conversar com os deve registrar o que é trabalhado em sala de aula, as resoluções e alunos sobre cada página – em especial as páginas que introduzem respostas das atividades feitas em sala de aula e as tarefas reali- um conceito novo –, fazendo indagações, problematizando e incenti- zadas em casa. vando as descobertas. Permita que eles, individualmente ou em grupo, realizem as atividades propostas sob sua orientação e acompanha- Além disso, é importante incentivá-los a registrar no caderno os mento. Em seguida, alguns deles podem explicar oralmente e/ou na debates, as várias maneiras de resolver um problema, as observações lousa como desenvolveram determinada atividade e as estratégias significativas feitas pelos colegas e por você, as soluções mais origi- utilizadas. Após a exposição, sintetize o que foi trabalhado e, quando nais e mais interessantes dadas a uma atividade ou a um problema, as necessário, sistematize as descobertas dos alunos. dúvidas e os erros mais frequentes do aluno e dos colegas, a opinião pessoal sobre determinado assunto, etc. É como se cada aluno fosse Outra possibilidade é reuni-los em duplas ou em pequenos gru- escrevendo um relatório da própria aprendizagem e compondo o pró- pos e sugerir que descubram o que deve ser feito em cada ativida- prio livro. Feito isso, ele terá mais prazer em usar o caderno, além de de ou página. Enquanto isso, caminhe entre as duplas ou grupos, estar desenvolvendo autonomia. orientando, fazendo perguntas e instigando-os a refletir. Dessa proposta poderá resultar o desenvolvimento de inúmeras compe- O caderno também pode se constituir em importante elemento de tências, inclusive as socioemocionais, e, ainda, a autonomia e o avaliação. Examinando cuidadosamente o caderno de um aluno – e protagonismo dos alunos. seria interessante que isso fosse feito frequentemente –, é possível saber se ele compreendeu o que foi abordado, quais procedimentos Reforçamos que, sempre que necessário, é possível complemen- ele utiliza para resolver atividades e problemas, como pensa, que tipos tar o material didático apresentando atividades, problemas, jogos, de erro comete e o que realmente fica de cada aula dada. quebra-cabeças, desafios, entre outros. É como se você e os alunos fossem “reescrevendo” juntos a coleção. Depois do trabalho com Também é essencial orientar os alunos a manter os cadernos em determinado conteúdo, incentive outros desenvolvimentos sobre ordem, organizados e completos. Caderno limpo e bem cuidado pode o assunto, de livre escolha deles, de acordo com a criatividade e o ser sinal de aluno interessado, organizado e que tem hábitos de lim- gosto. Por exemplo, após o estudo das figuras geométricas planas, e peza, e isso também ajuda na organização do pensamento. partindo delas, incentive-os a inventar jogos e quebra-cabeças ou a construir mosaicos e painéis. Com certeza, muitas propriedades das Para mais detalhes sobre esse assunto, leia o interessante artigo figuras geométricas planas só serão descobertas, ou esclarecidas, “Os cadernos dos alunos e a aprendizagem da Matemática”, de Regina nesse momento. Maria Simões Puccinelli Tancredi e outras, na revista Educação Mate- mática em Revista, ano 8, n. 11, dez. 2001, p. 26-33. XXVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Recursos didáticos auxiliares Multiplicação Divisão Fator Fator Produto Dividendo Divisor Quociente Como dissemos, o livro didático é apenas um dos recursos auxilia- res de que o professor deve lançar mão para seu trabalho pedagógico 15 12 ? 13 5 ? na sala de aula. Há muitos outros recursos importantes para promover 26 10 ? uma aprendizagem significativa. Vejamos alguns deles. 15 24 ? 52 20 ? Calculadora 15 48 ? É permitido usá-la em sala de aula? Tabelas elaboradas para fins didáticos. É consenso entre os educadores matemáticos e indicado pela “Quando se dobra um fator, o produto também dobra.” BNCC que os alunos precisam ter contato com novas tecnologias, e a calculadora é uma delas. Uma razão é social: a escola não pode se “Quando se dobram o dividendo e o divisor, o quociente distanciar da vida dos alunos e a vida em sociedade está impregnada do uso da calculadora. Outra razão é pedagógica: efetuando os cálcu- permanece o mesmo.” los na calculadora, eles terão mais tempo livre para raciocinar, criar e resolver problemas. Portanto, o que se deve debater atualmente é • Outro exemplo é quando os alunos calculam raízes quadradas quando e como utilizar a calculadora. aproximadas e depois fazem a verificação com a calculadora. Nos anos iniciais de estudo, enquanto os alunos estiverem cons- truindo os conceitos básicos das 4 operações, é necessário que • Para trabalhar com problemas da realidade. Ao trabalhar com façam isso manualmente para perceber algumas regularidades e adquirir habilidades no cálculo aritmético. O cuidado, a atenção, a problemas que apresentam dados reais, em geral os números disciplina mental – impostos pela ordem sequencial em que são efetuadas as operações – e a concisão de determinado algoritmo são muito “grandes” ou “pequenos” e, às vezes, são vários itens (como o da divisão) são aspectos educativos essenciais que eles poderão incorporar para o resto da vida, aplicando-os em outras e muitas operações a realizar com eles. Isso faz da calculadora situações do cotidiano. um instrumento fundamental para aliviar os alunos do trabalho A partir do 5o ou 6o ano, quando os alunos já tiverem dominado as várias ideias associadas às operações e o relacionamento entre as manual, mecânico, permitindo que eles se concentrem mais no es- operações e as regras de cálculo, é importante iniciá-los no uso da calculadora. Esse instrumento é mais um recurso didático que pode sencial, ou seja, no raciocínio, nas estratégias e nas descobertas. ser utilizado para facilitar a aprendizagem da Matemática. Por exemplo, o índice de massa corpórea (IMC) de uma pessoa é Em quais casos é recomendado o uso da calculadora? m dado pela fórmula IMC 5 h2 , em que m é a medida de massa • Quando os cálculos numéricos são apenas auxiliares. Nesse caso, usando a calculadora, os alunos têm mais tempo para pensar, criar, (em quilogramas) e h é a medida de altura (em metros). Uma investigar, conjecturar, relacionar ideias, descobrir regularidades, etc. O tempo gasto desnecessariamente com cálculos longos e mulher adulta é considerada “saudável” se o IMC está entre 18,5 enfadonhos pode ser usado na busca de novas estratégias para a resolução de problemas, na busca de soluções de um desafio, e 24,9. Então, uma mulher com 1,65 m de medida de altura e de um jogo, entre outras situações. 70 kg de medida de massa está fora desse padrão, pois o IMC • Para melhorar a estimativa dos alunos por meio de jogos e desa- fios. A calculadora é recomendada também para aguçar a capaci- dela é IMC 5 70 â 25,71, que é maior do que 24,9. dade de estimativa dos alunos. Há várias possibilidades de jogos 1,652 do tipo estime e confira. Por exemplo, de um conjunto de 15 a 20 números de 3 algarismos, um aluno escolhe 3 números e estima a Outro exemplo: gastam-se 11,2 cm de arame de aço galvaniza- soma deles; outro aluno escolhe mais 3 números e também estima a soma. Em seguida, eles conferem os cálculos com a calculadora. do para fabricar um clipe de papel. Com 1 000 m desse arame, Quem se aproximar mais do resultado correto marca 1 ponto. Vence quem fizer 5 pontos primeiro. Algo semelhante pode ser feito com quantos clipes serão fabricados aproximadamente? as demais operações. 11,2 cm 5 0,112 m 1 000 4 0,112 â 8 928,5 • Para investigar propriedades matemáticas. Analisando padrões ou regularidades que ocorrem em situações ou em tabelas com Assim, com 1 000 m desse arame serão fabricados, aproxima- muitos dados, os alunos podem levantar hipóteses, fazer con- jecturas, testá-las e descobrir propriedades. Por exemplo, ao damente, 8 928 clipes. preencher tabelas usando os resultados obtidos com uma calcu- ladora, eles podem descobrir propriedades da multiplicação e da Livros paradidáticos divisão que, depois, você poderá provar para eles, generalizando. Em geral, os livros paradidáticos são escritos em estilo mais coloquial, abordam aspectos históricos interessantes, integram-se com outras áreas do conhecimento e não se restringem ao conteúdo matemático de determinado tema. Assim, eles podem ser utilizados como alternativas para aprofundar e esclarecer detalhes de assuntos importantes abordados nas aulas. No final de cada volume do Livro do Estudante, apresentamos uma lista de livros paradidáticos como sugestão de leitura para os alunos. Como utilizar os livros paradidáticos? Há várias possibilidades de uso dos livros paradidáticos. Apresen- tamos a seguir alguns exemplos. • Uso livre. Incentive os alunos a ler determinado livro paradidático sem nenhuma cobrança posterior. • Tarefa de casa. Indique um livro paradidático para os alunos lerem em casa e promova, em sala de aula, um debate sobre o tema do livro. • Desencadeando um conteúdo. Antes de iniciar um conteúdo, solicite aos alunos que, em grupos, estudem um livro paradidá- tico na sala de aula. Em seguida, coordene um debate sobre o tema do livro. XXIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• Aprofundando um conteúdo. Após trabalhar um conteúdo, peça Eles podem redigir ou elaborar uma história em quadrinhos sobre aos alunos que, individualmente ou em grupos, estudem um livro parte do que viram em um vídeo. Também podem fazer uma dramati- paradidático na sala de aula. No final, coordene um debate e es- zação e gravar um vídeo – por exemplo, sobre a história dos números clareça possíveis dúvidas. ou sobre elementos matemáticos presentes na natureza, nas obras de arte e nas construções –, exibindo-o para a turma. • Servindo de fonte de consulta. Um livro paradidático proporcio- na também um melhor entendimento de determinado assunto, o Como todas as outras, essa interessante atividade com vídeo deve desenvolvimento de um trabalho interdisciplinar ou o desenvolvi- ser planejada detalhadamente para que cumpra realmente os objetivos mento de um projeto em grupo, que pode ser exposto para a turma propostos. É fundamental que você assista antes ao vídeo para poder e para os demais alunos da escola. programar sua ação pedagógica e suas intervenções. Jornais, revistas e folhetos de propaganda O Guia da TV Escola (Secretaria de Educação a Distância – SED-MEC) é um excelente material de consulta sobre vídeos. Além dele, listamos É marcante a presença da Matemática em jornais, revistas e fo- a seguir alguns endereços eletrônicos que exibem vídeos sobre Mate- lhetos de propaganda. Use esses recursos auxiliares para chamar a mática. (Acesso em: 27 jul. 2018.) atenção dos alunos e mostrar que a Matemática está presente no cotidiano deles, que ela é útil no dia a dia das pessoas e que também • Aula de Matemática: proporção áurea (Donald no país da Matemági- é uma forma de linguagem. ca). Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY>. Muitos trabalhos interdisciplinares e projetos que envolvem os • Aula de Matemática e música (Donald no país da Matemágica). temas contemporâneos também podem ter origem na leitura de artigos Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=7S3iW_sbqsA>. de jornais e revistas. Sempre que possível, incentive a pesquisa e a elaboração de projetos que possam contemplar os temas contempo- • Donald no país da Matemágica – (Completo). Disponível em: <www. râneos e as diferentes áreas do conhecimento e o desenvolvimento youtube.com/watch?v=wbftu093Yqk>. de inúmeras habilidades. • Número áureo PHI –1a parte (Prof. Luiz Barco). Disponível em: Além disso, os alunos podem melhorar a leitura e a interpretação <www.youtube.com/watch?v=w2NqqfHM9_8>. de textos lendo, em jornais e revistas, notícias que contenham dados numéricos. Também podem formular problemas com dados obtidos em • Número áureo PHI – 2a parte (Prof. Luiz Barco). Disponível em: folhetos, jornais e revistas, resolvendo-os em seguida. Assim, após <www.youtube.com/watch?v=T0CA60XXYp0>. solicitar a leitura de um texto, formule questões e problemas sobre ele. • Matemática e música – parte 1 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: Outra utilidade, ainda, é a coleta de tabelas e gráficos em jornais, <www.youtube.com/watch?v=jy8KGaXxG4U>. revistas e folhetos de propaganda, para serem interpretados oral- mente. Você também pode pedir que os alunos façam uma redação • Matemática e música – parte 2 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: descrevendo como interpretam esses recursos. <www.youtube.com/watch?v=rK9xPVB5S3o>. Textos com muitos dados também podem ser lidos e, em seguida, • Matemática e música – parte 3 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: os dados podem ser organizados, elaborando tabelas e construindo <www.youtube.com/watch?v=6XCKqXxcftQ>. gráficos para representar a situação. • Matemática e música – parte 4 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: Instrumentos e materiais <www.youtube.com/watch?v=nylquiAd6nM>. Os instrumentos (régua, esquadro, transferidor, compasso, • Matemática e música – parte 5 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: fita métrica, trena, termômetro, ampulheta, relógio, cronômetro, <www.youtube.com/watch?v=TtWkiQ4NxSw>. teodolito, pantógrafo, espelho, bússola, copo graduado, tesoura com pontas arredondadas e outros) constituem recursos didáticos • Matemática e música – parte 6 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: auxiliares da aula de Matemática. Outros recursos importantes são <www.youtube.com/watch?v=lgUsAmUnFko>. os materiais, como papel quadriculado, malha triangulada, folha de papel sulfite e de cartolina, fita adesiva, cola, barbante, arame, • Matemática e música – parte 7 (Prof. Luiz Barco). Disponível em: canudinhos e palitos. <www.youtube.com/watch?v=IV8q5mNa62M>. Nesta coleção, propomos muitas utilizações de instrumentos e ma- • Novo Telecurso – Ensino Fundamental: Matemática. Dispo- teriais em diversas atividades do Explorar e descobrir e, em particular, nível em: <www.youtube.com/watch?v=r2Sv_4o1Hk4&list= naquelas que envolvem manipulações e construções geométricas. PL07FB7232EBCE4DBF>. Vídeos • Portal da Matemática – Obmep. Disponível em: <www.youtube. com/user/MPTOBMEP>. Há uma grande variedade de vídeos com aulas de Matemática. Este é mais um recurso que você pode usar para motivar um assunto, • Fundação Lemann – Khan Academy. Disponível em: <www.funda complementar um conteúdo, debater um tema, aprofundar uma teoria, caolemann.org.br/khanportugues/>. problematizar a partir de uma situação, etc. • Guia do Estudante. Disponível em: <http://guiadoestudante.abril. Por exemplo, apresente aos alunos um vídeo que mostre a pre- com.br/blogs/divirta-estudando/8-videos-para-estudar-matema sença da Matemática na música, na natureza, nas construções, nos tica-no-youtube/>. jogos ou na tecnologia. Depois, conversem sobre a importância da Matemática e das aplicações dela em diversos setores do cotidiano. Computador Em uma era de tecnologia e comunicação, é fundamental que os alunos se familiarizem com o computador e com programas específicos para aprofundar ainda mais a aprendizagem matemá- tica. Relacionamos a seguir alguns programas que podem auxiliá-lo nas aulas. XXX MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
GeoGebra Reprodução/<www.geogebra.org> Na internet é possível encontrar outras informações e sugestões didáticas para o uso do GeoGebra. Veja algumas sugestões. (Acesso GeoGebra: aglutinação das palavras Geometria e Álgebra. Fotos: Reprodução/<www.geogebra.org> em: 20 jul. 2018.) Reprodução/Programa Logo O GeoGebra é um software livre e dinâmico de Matemática que pode • HOHENWARTER, Markus. GeoGebra: informações. Disponível em: ser utilizado em diversos conteúdos das Unidades temáticas Álgebra e Geometria e em todos os níveis de ensino. Ele foi criado em 2001 <http://static.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf>. pelo matemático austríaco Markus Hohenwarter (1976-) e recebeu • Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro. Disponível em: <www. diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos. geogebra.im-uff.mat.br/index.html>. Software livre: qualquer programa gratuito de computador cujo código-fonte deve ser disponibilizado para permitir o uso, o Geometricks estudo, a cópia e a redistribuição. É um software de Geometria desenvolvido pelo dinamarquês Viggo Trata-se de um programa interativo que reúne geometria, álgebra, Sadolin, da Royal Danish School of Education Studies, Copenhague planilha de cálculo, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos sim- (Dinamarca). Traduzido no Brasil pelos professores Miriam G. Penteado bólicos. Possui interface amigável, que permite construir, de forma e Marcelo C. Borba, da Unesp-Rio Claro (SP), ele possibilita a cons- precisa e com pouco esforço, modelos que exigiriam grande habilidade trução de objetos geométricos, tais como pontos, retas, segmentos se desenhados na lousa. Além da precisão e da beleza, as constru- de reta, ponto médio de segmentos de reta, circunferências, retas ções realizadas no GeoGebra obedecem a relações matemáticas que perpendiculares e retas paralelas, bissetrizes e mediatrizes. Todas as disciplinam, possibilitando a transformação do visual da página e as construções são apresentadas na área de trabalho e podem ser apresentando dinamismo, que, muitas vezes, convence mais do que livremente movimentadas. qualquer demonstração de resultados. Acesse o site <http://ns.rc.unesp.br/igce/pgem/home/frames/ As normas que gerenciam o GeoGebra são simples e as ferramen- geometricks.htm> para obter mais informações e sugestões de ativi- tas básicas estão à disposição do usuário na tela de trabalho: basta dades e para fazer o download da versão demo desse software. (Acesso escolher a ferramenta clicando sobre o ícone desejado. em: 27 jul. 2018.) No endereço <www.geogebra.org/download> você e os alunos Planilhas eletrônicas podem fazer o download do software “Geometria” ou acessá-lo on-line. Auxilie os alunos nessa etapa de instalação. Embora não sejam programas originalmente educativos, as pla- nilhas eletrônicas são muito usadas para efetuar cálculos, entender Nos volumes do Livro do Estudante, propomos diversos momentos fórmulas e construir gráficos. Um exemplo de aplicativo de planilha em que os alunos utilizarão o GeoGebra para fazer construções de eletrônica é o software livre OpenOffice Calc. Geometria. Antes de iniciar uma atividade com esse software, dê um tempo para que eles explorem o programa e identifiquem algumas das Nos volumes do Livro do Estudante, propomos alguns momentos construções que podem fazer. em que os alunos utilizarão o OpenOffice Calc. A seguir listamos algumas funcionalidades que podem ser úteis Logo em qualquer atividade realizada nele. Convém explorá-las também com os alunos. Logo é uma linguagem de programação voltada para crianças e • Em atividades de Geometria plana, é recomendado mudar a visua- jovens. Ela utiliza uma tartaruga para percorrer a tela, obedecendo a comandos especiais, para criar, por exemplo, figuras ou programas lização do programa (à direita, na parte superior da tela) para que na tela do computador. sejam exibidas as malhas na tela. No site <www.nied.unicamp.br/?q=content/super-logo-30> (aces- • Se necessário, você pode mover uma imagem utilizan- so em: 6 ago. 2018), é possível baixar gratuitamente uma versão do do a opção “Mover” na barra de ferramentas bási- software pedagógico Super Logo 3.0, que utiliza a linguagem logo. cas (à esquerda da tela). Trata-se de uma adaptação em português desenvolvida pelo Núcleo de Informática Aplicada à Educação, da Universidade de Campinas • Você também pode desfazer ( ) ou refazer uma (Unicamp). Se possível, baixe o programa e desenvolva a atividade a ação ( ) clicando nas setinhas localizadas na seguir e outras com os alunos. parte superior da tela. Os comandos para a frente (PF) e para trás (PT) movem a tartaruga • Utilizando as lupas (à esquerda da tela, na parte inferior), em linha reta. Por exemplo, PF 40 move a tartaruga 40 espaços para você pode aumentar ou diminuir o zoom. Outra opção a frente e PT 20 move 20 espaços para trás. para isso é utilizar o scroll do mouse (aquela “bolinha” que fica na parte superior da maioria dos mouses). Os comandos para a direita (PD) e para a esquerda (PE) giram a tartaruga. Por exemplo, PD 90 gira a tartaruga 90° para a direita e PE 45 gira a tartaruga 45° para a esquerda. Observe este exemplo de comandos: PF 50: 50 espaços para a frente. PD 45: gira 45° para a direita. PF 70: 70 espaços para a frente. PD 90: gira 90° para a direita. PF 60: 60 espaços para a frente. Veja a figura que aparecerá na tela. XXXIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Podemos analisar as medidas de abertu- 70 90° Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora mais dinâmico, prazeroso e eficaz. O aluno aprende fazendo em ofi- ra dos ângulos da figura ao lado. 45° 90° 60 cinas de Matemática. Ao longo dos anos, você pode propor aos 135° Esses espaços são propícios para incentivar: atitudes positivas em alunos que desenvolvam, usando a lingua- 50 relação à Matemática (gosto pela Matemática, perseverança na busca gem logo, diversas atividades relacionadas de soluções e confiança na própria capacidade de aprender e fazer ao que estão estudando no momento. Veja 45° Matemática); a construção com compreensão de conceitos, procedi- alguns exemplos. 50 mentos e habilidades matemáticas; a busca de relações, propriedades e regularidades; o espírito investigativo e a autonomia. a) Ao estudar medidas de abertura de ân- 45° 50 gulos: construir a figura dada por PF 50, Por que sala ambiente ou laboratório de ensino de PD 45, PF 50, PD 45, PF 50. Matemática? Resposta ao lado: Esse espaço é importante para os alunos relacionarem o conhe- 50 cimento escolar com a vida e com o mundo, pois eles interagem com uma diversidade maior de recursos e de material pedagógico e, por b) Ao estudar quadriláteros: construir a fi- 30 isso, têm possibilidade de fazer essa relação com eficácia. Também gura dada por PF 20, PE 90, PF 30, PE 90, permite agregar materiais que incentivam a curiosidade, a observação, a investigação e a troca de experiências e vivências. PF 20, PE 90, PF 30. 20 20 Com que estrutura? Resposta ao lado: Deve ser um espaço simples, que permita fácil reconhecimento, Retângulo de altura de medida de com- 30 para os alunos e para você, do material adequado a cada situação e fácil acesso deles aos materiais. primento de 20 unidades e base de medi- Qual material utilizar nesses espaços? da de comprimento de 30 unidades. Há uma grande variedade de material que pode ser usado em um c) Outro exemplo para o estudo de quadrilá- 50 laboratório de ensino ou em uma sala ambiente de Matemática. Entre eles, destacamos: teros: construir a figura dada por PF 50, • livros (didáticos, paradidáticos, de História da Matemática, de pro- PD 90, PF 50, PD 90, PF 50, PD 90, PF 50. 50 50 blemas, de curiosidades, etc.); Resposta ao lado: • compassos, esquadros, transferidores, réguas, trenas, cronômetros, Quadrado de lado de medida de compri- 50 termômetros, copos com graduação, balanças, fitas métricas, etc.; • blocos lógicos, material dourado, ábacos, jogos de tangram, sólidos mento de 50 unidades. geométricos, caleidoscópios, etc.; d) Ao estudar triângulos: escrever um programa para desenhar um triân- • calculadoras, computadores, vídeos, CDs, DVDs, TV; • mapas, globo terrestre, bússolas, guias de cidades; gulo equilátero de lado de medida de comprimento de 50 unidades. • cartazes, tabelas, gráficos; • geoplanos, dobraduras, figuras geométricas variadas; Resposta: PF 50, PD 120, PF 50, PD 120, PF 50. • obras de arte, pinturas, artesanatos, fotografias ou desenhos de Internet animais (estrela-do-mar, por exemplo); • jornal ou mural com curiosidades, desafios e problemas da se- Um excelente recurso didático para enriquecer as aulas de Matemá- tica é a internet. Nela, há sites que exploram a História da Matemática, mana; curiosidades, desafios, etc. • banco de problemas para cada ano e/ou por assunto; • jogos (damas, xadrez, matrix, dominó, bingo e outros jogos) que Usando sites de busca e procurando, por exemplo, por “educação matemática”, surgirão vários endereços de grupos, universidades e permitam explorar conceitos matemáticos, incluindo aqueles in- pessoas que trabalham com essa área. No final de cada volume do Livro ventados pelos alunos; do Estudante, apresentamos alguns sites que podem ser acessados. • jornalzinho da Matemática; • painéis, mosaicos e faixas decorativas; Jogos, divertimentos e quebra-cabeças • roletas, moedas, dados e tetraedros. A sala ambiente ou o laboratório de ensino de Matemática deve ser Por meio desses recursos, os alunos aprendem Matemática brin- um ambiente permanente de busca e descoberta. cando. Em um jogo, cada aluno desempenha papel ativo na construção do conhecimento, desenvolvendo raciocínio e autonomia, além de Qual é o papel do professor nesses espaços? interagir com os colegas. Cabe a você incentivar cada aluno a pensar ativa, criativa e auto- Sala ambiente de Matemática ou laboratório nomamente, atuando como mediador entre eles e o conhecimento, de ensino de Matemática considerar a sala ambiente ou o laboratório de ensino de Matemática como um espaço de ensino e aprendizagem, elaborar uma proposta Quando possível, organize um espaço do tipo laboratório de ensino pedagógica de interação que inclua trocas afetivas entre os alunos, de Matemática ou sala ambiente de Matemática, ou até mesmo um formação de hábitos e respeito mútuo, e incentivar um processo con- cantinho da Matemática, integrado ao projeto pedagógico da escola. tínuo de exploração e apropriação do saber. O que são laboratórios de ensino ou salas ambiente de Matemática? Laboratórios ou salas ambiente são espaços de construção co- letiva do conhecimento nos quais os recursos didático-pedagógicos ganham vida. Com esses espaços e recursos você e os alunos podem dar mais vazão à criatividade, dinamizar o trabalho e enriquecer as atividades de ensino-aprendizagem, tornando esse processo muito XXXII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
7 Informações úteis para a formação continuada do professor Todos os sites foram acessados em jul. 2018. Tel.: (19) 3343-7314 e (19) 3343-7315 e-mail: [email protected] A importância da atualização site: <www.puc-campinas.edu.br/institucional/centros/ceatec/> • Centro de Ciências Exatas e da Terra (CCET) Todos nós, professores, sabemos que é extremamente im- Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) portante estarmos sempre atualizados, especialmente porque o Campus Universitário – Lagoa Nova mundo está em constantes e rápidas mudanças. Estamos a todo CEP 59078-970 – Natal (RN) momento aprendendo coisas novas: com os alunos em nossa expe- Tel.: (84) 3215-3822 (coordenação) e (84) 3215-3820 (depar- riência de sala de aula; consultando grupos de estudos e pesquisas; tamento) consultando publicações (livros, revistas, jornais, etc.); trocando e-mail: [email protected] ideias e vivências em cursos, encontros, congressos; etc. Tudo isso site: <www.mat.ufrn.br> é o que atualmente chamamos de formação continuada do profes- • Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET) sor, ou seja, o diploma é apenas o primeiro estágio de sua formação. Universidade Federal de São Carlos (Ufscar-SP) Rodovia Washington Luís, km 235 Entretanto, nem sempre estão acessíveis informações precisas Caixa Postal 676 – CEP 13565-905 – São Carlos (SP) sobre onde e como obter orientações para o trabalho no dia a dia. Tel.: (16) 3351-8220 (ramal 243) Há no país muitos grupos estudando e pesquisando o ensino e a e-mail: [email protected] aprendizagem da Matemática (Educação matemática) e que rea- site: <www.dm.ufscar.br/dm> lizam cursos, palestras e orientações técnicas para professores. • Centro de Ciências Físicas e Matemáticas – CFM/UFSC Há também muitas publicações nessa área que podem auxiliar seu Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) – Campus trabalho diário com os alunos. Universitário Trindade CEP 88040-900 – Florianópolis (SC) A seguir indicamos alguns endereços pelos quais você poderá Tel.: (48) 3721-6560 se comunicar com esses grupos e obter as publicações para se site: <www.cfm.ufsc.br> integrar nesse movimento nacional de melhoria da qualidade do • Centro de Ciências Naturais e Exatas (CCNE) ensino de Matemática e para saber que não está só nessa difícil, Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) – Campus UFSM mas gratificante, tarefa de trabalhar prazerosamente as ideias Faixa de Camobi, Prédio 13 matemáticas com os alunos. CEP 97105-900 – Santa Maria (RS) Tel.: (55) 3220-8337 Grupos e instituições e-mail: [email protected] site: <w3.ufsm.br/ccne> • Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) • Centro de Ensino de Ciências e Matemática (Cecimig) Faculdade de Educação – Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Matemática e Estatística – Universidade de São (UFMG) Paulo (USP) Avenida Antônio Carlos, 6627 – Pampulha – Cidade Universitária CEP 31270-901 – Belo Horizonte (MG) Rua do Matão, 1010, sala 167, bloco B, Cidade Universitária Tel.: (31) 3409-5338 e (31) 3409-5337 Armando Salles de Oliveira e-mail: [email protected] site: <www.cecimig.fae.ufmg.br> CEP 05508-090 – São Paulo (SP) Tel.: (11) 3091-6160 e-mail: [email protected] site: <www.ime.usp.br/caem/> • Centro de Ciências Exatas (CCE) Universidade Estadual de Londrina (UEL) Rodovia Celso Garcia Cid, PR 445, km 380, Campus Universitário Caixa Postal 10 011 – CEP 86057-970 – Londrina (PR) Tel.: (43) 3371-4733 e-mail: [email protected] site: <www.uel.br/cce/portal/> • Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de Tecnologias (Ceatec) Pontifícia Universidade Católica de Campinas (PUCCamp) Rodovia Dom Pedro I, km 136 – Parque das Universidades CEP 13086-900 – Campinas (SP) XXXIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• Centro de Estudos, Memória e Pesquisa em Educação Matemá- • Fundação Universidade Regional de Blumenau (Furb) tica (Cempem) Departamento de Matemática Faculdade de Educação – Universidade Estadual de Campinas Rua Antônio da Veiga, 140 – Victor Konder (Unicamp) CEP 89012-900 – Blumenau (SC) Rua Bertrand Russell, 801 Tel.: (47) 3321-0275 CEP 13083-970 – Campinas (SP) e-mail: [email protected] Tel.: (19) 3788-5587 site: <www.furb.br/matematica> e-mail: [email protected] site: <www.cempem.fae.unicamp.br> • Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (Gepem) • Curso de Pós-Graduação em Educação Matemática Instituto de Educação – sala 30 – Universidade Federal Rural Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) do Rio de Janeiro (UFRRJ) Rua Marquês de Paranaguá, 111 – Prédio 1 – Consolação Rodovia BR 465, km 7 CEP 01303-050 – São Paulo (SP) CEP 23890-000 – Seropédica (RJ) Tel.: (11) 3124-7200 Tel.: (21) 2682-1841 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] site: <www.pucsp.br/pos-graduacao/mes site: <www.gepem.ufrrj.br> trado-e-doutorado/educacao-matematica> • Instituto de Ciências Exatas • Departamento de Matemática Universidade Católica do Salvador (Ucsal) Centro de Ciências Exatas Avenida Professor Pinto de Aguiar, 2589 – Pituaçu Universidade Federal do Espírito Santo (Ufes) CEP 41740-090 – Salvador (BA) Avenida Fernando Ferrari, 514 – Goiabeiras Tel.: (71) 3206-7855 CEP 29075-910 – Vitória (ES) e-mail: [email protected] Tel.: (27) 4009-2479 site: <www.ucsal.br> e-mail: [email protected] site: <www.matematica.ufes.br> • Instituto de Ciências Exatas e da Terra (Icet) Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT) – Campus Cuiabá • Faculdade de Educação Avenida Fernando Corrêa, no 2367 – Boa Esperança Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada CEP 78060-900 – Cuiabá (MT) – Universidade de São Paulo (USP) Tel.: (65) 3615-8713 Avenida da Universidade, 308 e-mail: [email protected] Cidade Universitária Armando Salles de Oliveira site: <www.ufmt.br/icet> CEP 05508-040 – São Paulo (SP) Tel.: (11) 3091-3099 • Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE) e-mail: [email protected] Universidade Estadual Paulista (Unesp) – Campus de Rio Claro site: <www4.fe.usp.br/feusp/departamentos/edm> Avenida 24A, 1515 – Bairro Bela Vista CEP 13506-900 – Rio Claro (SP) • Faculdade de Educação Tel.: (19) 3526-9000 Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) site: <www.rc.unesp.br/igce> Avenida Bertrand Russell, 801 CEP 13083-865 – Campinas (SP) • Instituto de Matemática Tel.: (19) 3521-5601 Universidade Federal da Bahia (UFBA) – Campus de Ondina e-mail: [email protected] Avenida Adhemar de Barros, s/n site: <www.fe.unicamp.br> CEP 40170-110 – Salvador (BA) Tel.: (71) 3283-6258 site: <www.dmat.ufba.br> XXXIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) Estrada Dona Castorina, 110 – Jardim Botânico Avenida Transnordestina, s/n – Campus Universitário Novo CEP 22460-320 – Rio de Janeiro (RJ) Horizonte Tel.: (21) 2529-5000 CEP 44036-900 – Feira de Santana (BA) e-mail: [email protected] Tel.: (75) 3224-8115 site: <www.impa.br> e-mail: [email protected] site: <http://www2.uefs.br/nemoc/index.html> • Laboratório de Educação Matemática (Lemat) • Projeto Fundão-Matemática Instituto de Matemática e Estatística (IME) – Universidade Fe- Instituto de Matemática – Universidade Federal do Rio de Ja- deral de Goiás (UFG) – Campus Samambaia (Campus II) neiro (UFRJ) Caixa Postal 131 – CEP 74001-970 – Goiânia (GO) Bloco C, sala 108, Projeto Fundão Tel.: (62) 3521-1124 Caixa Postal 68 530 – CEP 21941-972 – Rio de Janeiro (RJ) e-mail: [email protected] Tel.: (21) 2562-7511 site: <www.mat.ufg.br/lemat> e-mail: [email protected] site: <www.projetofundao.ufrj.br/matematica> • Laboratório de Ensino de Geometria (LEG) • Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) Universidade Federal Fluminense (UFF) Estrada Dona Castorina, 110 – Sala 109 – Jardim Botânico Rua Mário Santos Braga, s/n – Praça do Valonguinho CEP 22460-320 – Rio de Janeiro (RJ) CEP 24020-140 – Niterói (RJ) Tel.: (21) 2529-5065 Tel.: (21) 2629-2011 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] site: <www.sbm.org.br> site: <www.leguff.weebly.com> • Universidade de Brasília (UnB) Departamento de Matemática – Campus Universitário Darcy • Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) Ribeiro Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica ICC Centro – Bloco A – Asa Norte (Imecc) – Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) CEP 70910-900 – Brasília (DF) CEP 13083-970 – Campinas (SP) Tel.: (61) 3107-6481 Tel.: (19) 3521-5937 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] site: <www.mat.unb.br> site: <www.ime.unicamp.br/lem> • Universidade Estadual de Maringá (UEM) Departamento de Matemática • Laboratório de Ensino de Matemática (Lemat) Avenida Colombo, 5 790 – Campus Universitário Departamento de Matemática – Universidade Federal de Per- CEP 87020-900 – Maringá (PR) nambuco (UFPE) Tel.: (44) 3011-4933 Avenida Jornalista Anibal Fernandes, s/n – Cidade Universitária e-mail: [email protected] CEP 50740-560 – Recife (PE) site: <www.dma.uem.br> Tel.: (81) 2126-7650 • Universidade Federal do Paraná (UFPR) e-mail: [email protected] Departamento de Matemática – Centro Politécnico – Jardim site: <www.ufpe.br/dmat> das Américas Caixa Postal 19 081 – CEP 81531-980 – Curitiba (PR) • Mathema – Assessoria Pedagógica Tel.: (41) 3361-3041 Avenida Mascote, 398 – Vila Mascote site: <www.mat.ufpr.br> CEP 04363-000 – São Paulo (SP) Tel.: (11) 5548-6912 site: <www.mathema.com.br> • Núcleo de Educação Matemática Omar Catunda (Nemoc) XXXVMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Órgãos governamentais • Revista Nova Escola, da Fundação Victor Civita. Traz planos de aulas, sugestões de avaliação, indicação de livros e filmes para • Fundação Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) professores. Disponível em: <www.novaescola.com.br>. SBS – Setor Bancário Sul, quadra 2, bloco F, Edifício FNDE CEP 70070-929 – Brasília (DF) • Diversas publicações, como a revista Ciência Hoje das Crianças. Tel.: 0800-616161 Disponível em: <www.uol.com.br/cienciahoje>. e-mail: [email protected] site: <www.fnde.gov.br> • Página de Educação do site UOL, com diversos assuntos de Ma- O FNDE mantém o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). temática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Disponível em: <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica>. • Ministério da Educação (MEC) Esplanada dos Ministérios, Bloco L • Site voltado para a Matemática, com desafios de lógica, jogos e CEP 70047-900 – Brasília (DF) atividades. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Tel.: 0800-616161 site: <www.mec.gov.br> • O Khan Academy apresenta a Matemática essencial, com a Informe-se sobre os programas da TV Escola e a revista da TV maioria dos assuntos desenvolvidos normalmente no Ensino Escola. Fundamental. Disponível em: <http://pt.khanacademy.org/ math>. • Secretaria de Educação Básica (SEB) Esplanada dos Ministérios, Bloco L, 5o andar, sala 500 • Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM): notícias, competi- CEP 70047-900 – Brasília (DF) ções, arquivo de provas, exercícios do mês, entre outros con- Tel.: (61) 2022-8319 teúdos. Disponível em: <www.obm.org.br>. e-mail: [email protected] site: <http://portal.mec.gov.br/seb> • Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Dis- Informe-se sobre os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ponível em: <www.impa.br>. de Matemática, sobre o Guia do livro didático e todas as ques- tões relacionadas com o Ensino Fundamental. • Conteúdo do programa Arte & Matemática da TV Cultura mos- trando diversas expressões da Matemática. Disponível em: Secretarias de Educação estaduais e municipais <www2.tvcultura.com.br/artematematica/programas.html>. A Secretaria de Educação do estado em que a escola se en- • Site que visa auxiliar alunos do Ensino Fundamental e do Ensino contra e também a do município provavelmente mantêm equipes Médio. Disponível em: <www.matematica.com.br>. pedagógicas e publicações, além de oferecer cursos de Matemática a professores. • Site com diferentes jogos envolvendo conceitos matemáticos. Disponível em: <www.aulavaga.com.br/jogos-de-matematica>. Páginas eletrônicas • Softwares matemáticos disponibilizados gratuitamente. Dispo- • Portal do Inep, com destaque para o Saeb e a Prova Brasil. Dis- nível em: <www.somatematica.com.br/softwares.php>. ponível em: <www.inep.gov.br>. • Lista com a descrição de inúmeros softwares matemáticos • Portal Aprendiz, destinado a professores e alunos. Disponível existentes. Disponível em: <http://gregosetroianos.mat.br/ em: <www.aprendiz.com.br>. softwares.asp>. • Estação Ciência. Disponível em: <www.eciencia.usp.br>. Revistas e boletins de Educação matemática • Núcleo de Apoio à Pesquisa “Escola do Futuro/USP”. Disponível • Boletim de Educação Matemática (Bolema) em: <www.futuro.usp.br>. • Portal Klick Educação, com destaque para as páginas: Biblio- Publicado pelo Departamento de Matemática, IGCE – Unesp – Rio Claro (SP). teca ativa, com sugestões de aulas, atividades e um banco de dados; Profissões, com vários temas com textos explicativos site: <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/> e ilustrações. Disponível em: <www.klickeducacao.com.br>. • Boletim Gepem: série Reflexão em Educação matemática Publicações do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação matemática e do Mestrado em Educação matemática da Uni- versidade de Santa Úrsula (RJ). site: <www.gepem.ufrrj.br> • Educação Matemática em Revista: temas e debates Publicações da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Sbem). site: <www.sbem.com.br/revista/index.php/emr/index> XXXVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• Educação Matemática Pesquisa – Meu professor de Matemática, de Elon Lages Lima; Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação – Coordenadas no plano, de Elon Lages Lima; Matemática da PUC-SP. – Geometria euclidiana plana, de João Lucas Marques Barbosa; e-mail: [email protected] – Isometrias, de Elon Lages Lima; site: <https://revistas.pucsp.br/index.php/emp> – Construções geométricas, de Eduardo Wagner. • Revista Brasileira de História da Matemática (RBHMat) • COLEÇÃO Matemática: Aprendendo e ensinando. Vários autores. site: <www.rbhm.org.br> São Paulo: Atual/Mir. Vários volumes, 1999. • Revista do Professor de Matemática • KALEFF, Ana Maria Martensen Roland. Vendo e entendendo po- liedros. Niterói: Ed. da UFF, 2003. Revista da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) que traz publi- cações ricas, variadas e excelentes para o professor de Matemática • LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de aprofundar continuamente seus conhecimentos. Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006. 3 volumes. (Coleção do Professor de Matemática). site: <www.rpm.org.br> • PIRES, Célia Maria Carolino. Números naturais e operações. São • Revista Pro-Posições Paulo: Melhoramentos, 2013. Publicada pela Faculdade de Educação da Universidade Estadual • POGORÉLOV, Alekséi Vasílievich. Geometría elemental. Trad. em de Campinas (Unicamp). espanhol de Carlos Vega. Moscou: Mir, 1974. site: <www.proposicoes.fe.unicamp.br> • TINOCO, Lúcia. Geometria euclidiana por meio de resolução de problemas. Rio de Janeiro: UFRJ (Instituto de Matemática), Pro- Sobre documentos oficiais jeto Fundão, 1999. da Educação • WEYL, Herman. Simetria. São Paulo: Edusp, 1997. Recomendamos com ênfase a leitura de documentos oficiais referentes, por exemplo, à Base Nacional Comum Curricular (BNCC) Sobre História da Matemática e ao Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE). • BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. 3. ed. Trad. Elza • BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curri- F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 2010. cular. Brasília, 2017. • COLEÇÃO Tópicos de História da Matemática para uso em sala Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/ de aula. Vários autores. São Paulo: Atual, 1993. download-da-bncc>. • EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino • . Ministério da Educação e Desporto. Secretaria de Edu- H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004. cação Fundamental. Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil – Ensino Fundamental – matrizes de referência, • GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. tópicos e descritores. Brasília, 2011. São Paulo: Makron Books, 2007. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/prova%20 • GUELLI, Oscar. Coleção Contando a História da Matemática. São brasil_matriz2.pdf>. Paulo: Ática. Vários volumes, 1998. Sobre conteúdos • IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligên- cia dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de A primeira regra do ensino é saber o que se deve ensinar. Janeiro: Nova Fronteira, 1997. t. 1 e 2. A segunda, é saber um pouco mais do que aquilo que se • MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. História na Educação deve ensinar. matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. George Polya • REVISTA Brasileira de História da Matemática. Vários autores. • ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1995. • SINGH, Simon. O enigma de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 1998. • BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria fractal para • STRUIK, Dirk. História concisa das matemáticas. Trad. João Cos- sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. me Santos Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1992. • CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemá- • TENÓRIO, Robson Moreira (Org.). Aprendendo pelas raízes: al- tica. Lisboa: Sá da Costa, 1989. guns caminhos da Matemática na História. Salvador: Centro Editorial e Didático da Universidade Federal da Bahia, 1995. • COLEÇÃO do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Vários autores. 12 volumes, 2006. – Medida e forma em Geometria, de Elon Lages Lima; XXXVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Sobre Educação matemática • PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da orga- nização linear à ideia de rede. São Paulo: FTD, 2000. • BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; GARNICA, Antonio Vicente Marafioti. Filosofia da Educação matemática. Belo Horizonte: • POLYA, George. A arte de resolver problemas. Trad. Heitor Lisboa Autêntica, 2006. de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. • BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática & impli- • PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. In- cações no ensino-aprendizagem de Matemática. Blumenau: vestigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Au- Editora da Universidade Regional de Blumenau (Furb), 2004. têntica, 2003. • BORBA, Marcelo de Carvalho. Tendências internacionais em for- • POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento mação de professores de Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. 2006. • BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. • POZO, Juan Ignácio. A solução de problemas: aprender a resol- Coleção explorando o ensino da Matemática. Brasília: 2010. ver, resolver para aprender. Trad. Beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: Artmed, 1998. • . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fun- damental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. • PUBLICAÇÕES do Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Ma- 3o e 4o ciclos. Brasília, 1998. temática (Caem) do IME/USP. SPEC/PADCT/Capes. • CARRAHER, Terezinha. Aprender pensando: contribuição da Há vários fascículos, todos para uso em sala de aula. psicologia cognitiva para a educação. Petrópolis: Vozes, 2005. – O uso de quadriculados no ensino de Geometria, de Fusako • et al. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 2000. M. Ochi et al. • CURY, Helena Noronha. Análise de erros: o que podemos apren- – Materiais didáticos para as quatro operações, de Virginia C. der com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, Cardoso. 2007. – O conceito de ângulo no ensino de Geometria, de Maria Ignez • D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre de S. V. Diniz et al. educação e Matemática. São Paulo/Campinas: Summus/Ed. da Unicamp, 1986. – Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil, de Kátia Cristina S. Smole et al. • . Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996. – Álgebra: das variáveis às equações e funções, de Eliane R. de Souza et al. • . Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998. – Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas • . Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernida- de Matemática, de Júlia Borin. de. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. – A Matemática das sete peças do tangram, de Eliane R. de Souza • DANTE, Luiz Roberto. Formulação e resolução de problemas de et al. Matemática: teoria e prática. São Paulo: Ática, 2010. • PUBLICAÇÕES do Gepem – Grupo de Estudos, Pesquisas em • KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de proble- Educação Matemática. Série Reflexão em Educação Matemática. mas na Matemática escolar. Trad. Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. Há muitos títulos interessantes nesta série. Destacamos 2 deles: Avaliação em Educação matemática, de Paulo Abrantes, • LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em e Etnomatemática: uma proposta pedagógica, de Eduardo Se- aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. bastiani. • LOVELL, Kurt. Desenvolvimento dos conceitos matemáticos e • PUBLICAÇÕES do Projeto Fundão do Instituto de Matemática científicos na criança. Porto Alegre: Artmed, 1998. da UFRJ. • MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org.). Educação matemática: São diversas sugestões de atividades baseadas em pesquisas. uma introdução. São Paulo: Educ, 1999. Exemplos de como o próprio aluno pode construir seu conhe- cimento: • MOYSÉS, Lúcia M. M. Aplicações de Vygotsky à Educação mate- mática. Campinas: Papirus, 2003. – Geometria segundo a teoria de Van Hiele, de Lilian Nasser (Coord.). • NACARATO, Adair Mendes; LOPES, Celi Espasandin. Indagações, reflexões e práticas na Educação matemática. Campinas: Mer- – Construindo o conceito de função do 1o grau, de Lucia A. A. cado das Letras, 2013. Tinoco (Coord.). • . Educação matemática, leitura e escrita: armadilhas, – Tratamento da informação: explorando dados estatísticos e utopias e realidade. Campinas: Mercado das Letras, 2009. noções de probabilidade a partir das séries iniciais, de Maria Laura M. Leite (Coord.). XXXVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
– Geometria: na era da imagem e do movimento, de Maria Laura de Matemática. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática M. Leite e Lilian Nasser (Coords.). (SBM), n. 6. – Razões e proporções, de Lucia A. A. Tinoco (Coord.). • FIORENTINI, Dário; GRANDO, Regina Célia; MISKULIN, Rosana Giaretta Sguerra. Práticas de formação e de pesquisa de pro- – A Geometria euclidiana por meio de resolução de problemas, fessores que ensinam Matemática. Campinas: Mercado das de Lucia A. A. Tinoco (Coord.). Letras, 2009. – Números: linguagem universal, de Vânia Maria P. Santos • GRANDO, R. C.; TORICELLI, L.; NACARATO, A. M. De professora para (Coord.). professora: conversas sobre iniciação matemática. São Carlos: Pedro & João ed., 2009. – Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática: mé- todos alternativos, de Vânia Maria P. Santos (Coord.). • LIMA, Elon Lages. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: Socieda- de Brasileira de Matemática (SBM), 2001. Capítulos 1, 15, 16, • VERGNAUD, Gérard. A criança, a Matemática e a realidade: pro- 17 e 18. (Coleção do Professor de Matemática). blemas de ensino da Matemática na escola elementar. Curitiba: UFPR, 2009. • LIMA, Paulo Figueiredo; BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar. Gran- dezas e medidas. In: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria Sobre metodologia do ensino da Educação Básica. João Bosco Pitombeira Fernandes de Car- de Matemática valho (Org.). Matemática: Ensino Fundamental. v. 17. Brasília: 2010. (Coleção Explorando o ensino). • AEBLI, Hans. Didática psicológica: aplicação à didática da psi- cologia de Jean Piaget. São Paulo: Nacional, 1978. • LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (Org.). Apren- dendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. • BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modela- gem matemática. São Paulo: Contexto, 2006. • LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan. O proces- so de avaliação nas aulas de Matemática. Campinas: Mercado • BERTONI, Nilza Eigenheer. Educação e linguagem matemática II: das Letras, 2010. numerização. Brasília: UnB, 2007. • PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da in- • BIEMBENGUT, Maria Salett; SILVA, Viviane Clotilde da; HEIN, Nel- fluência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. son. Ornamentos 3 criatividade: uma alternativa para ensinar Geometria Plana. Blumenau: Universidade Regional de Blume- • PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: refle- nau, 1996. xões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001. • BIGODE, Antonio José Lopes; FRANT, Janete Bolite. Matemática: • REVISTA do Professor de Matemática (RPM). São Paulo: Socie- soluções para dez desafios do professor. São Paulo: Ática, 2011. dade Brasileira de Matemática (SBM): • . GIMENEZ, Joaquim. Metodologia para o ensino da aritmé- – O ensino da Matemática através de suas aplicações, de Her- tica: competência numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009. bert Fremont, n. 5, p. 28. • BORBA, R. E. S. R.; MONTEIRO, C. E. F. (Org.). Processos de ensino – O ensino por meio de problemas, de George Polya, n. 7, p. 11. e aprendizagem no ensino da Matemática. Recife: Universitária, 2013. – Dez mandamentos para professores, de George Polya, n. 10, p. 2. • BRASIL, Luiz Alberto dos Santos. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino de Matemática. Rio de Janeiro: Forense-Universitária, – O ensino da Matemática, de Geraldo Ávila, n. 23, p. 1. 1977. – Objetivos do ensino da Matemática, de Geraldo Ávila, n. 27, p. 1. • CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da Mate- mática. São Paulo: Cortez, 2000. – Sobre o ensino da Matemática, de Elon Lages Lima, n. 28, p. 1. • CARVALHO, João Bosco Pitombeira Fernandes de; GITIRANA, – Conceituação, manipulação e aplicações, de Elon Lages Lima, Verônica. A matemática do contexto e o contexto na matemáti- n. 41, p. 1. ca. In: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho (Org.). – Observações de um matemático sobre o ensino da Matemá- Matemática: Ensino Fundamental. v. 17. Brasília: 2010. (Coleção tica, de André Toom, n. 44, p. 3. Explorando o ensino). – A crise no ensino de Matemática no Brasil, de Suely Druck, • CYRINO, Hélio. Diálogo geométrico. Campinas: Átomo, 2001. n. 53, p. 1. • DANTE, Luiz Roberto. Uma proposta para mudanças nas ênfases • REVISTA NOVA ESCOLA. São Paulo: Fundação Victor Civita. Abril ora dominantes no ensino da Matemática. Revista do Professor Cultural. • ROSA NETO, Ernesto. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1998. XXXIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• SANTOS, Cleane Aparecida dos; NACARATO, Adair Mendes. Aprendi- cação Matemática: sala de aula e internet em movimento. zagem em Geometria na educação básica: a fotografia e a escrita Belo Horizonte: Autêntica, 2014. na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. • PAIVA, Maria Auxiliadora Vilela et al. Cabri: descobrindo a Geo- • TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como metria no computador. Vitória: Leacim-Ufes, 1997. dois e dois. A construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997. • RÊGO, Rogéria Gaudêncio do; RÊGO, Rômulo Marinho do. Mate- • VALENTE, Wagner Rodrigues. Avaliação em Matemática: história maticativa. João Pessoa: Ed. da UFPB, 1997. e perspectivas atuais. São Paulo: Papirus, 2008. • . Matematicativa II. João Pessoa: Ed.da UFPB, 2004. • VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicações na sala de aula. 6. ed. • REVISTA do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo. Dis- Porto Alegre: Artmed, 2009. ponível em: <www.pucsp.br/geogebrasp/pesquisa_publica coes.html>. Sobre Matemática recreativa Sobre Educação • CHEMALE, Elena Hass; KRUSE, Fábio. Curiosidades matemáticas. Novo Hamburgo: Centro Universitário Feevale, 1999. É interessante que você possa ler alguns (ou todos) os livros su- geridos a seguir, que tratam de sua formação e sua vida profissional. • COLEÇÃO Ciência Hoje na Escola. Matemática. São Paulo: Instituto Ciência Hoje, 1999. v. 8. • ALARCÃO, Isabel (Org.). Formação reflexiva de professores: es- tratégias de supervisão. Porto: Porto Editora, 1996. (Coleção • COLEÇÃO O Prazer da Matemática. Vários autores. Lisboa: Gra- Cidine). diva. Diversos volumes. • BROUSSEAU, Guy. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, • ENZENSBERGER, Hans Magnus. O diabo dos números. São Paulo: Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões psi- Companhia das Letras, 2000. copedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. • GITIRANA, Verônica (Org.) et al. Jogos com sucata na educação • DELORS, Jacques (Org.). Educação: um tesouro a descobrir. São matemática: projeto rede. Recife: Ed. da UFPE, 2013. Paulo/Brasília: Cortez/MEC/Unesco, 1999. • KALEFF, Ana Maria M. R.; REI, Dulce Monteiro; GARCIA, Simone • ESTRELA, Maria Teresa (Org.). Viver e construir a profissão do- dos Santos. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Ni- cente. Porto: Porto Editora, 1997. terói: Ed. da UFF, 2002. • GARCÍA, Carlos Marcelo. Formação de professores: para uma • MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e me- mudança educativa. Porto: Porto Editora, 1999. todológicos no campo da Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. • HERNÁNDEZ, Fernando. Transgressão e mudança na educação: os projetos de trabalho. Porto Alegre: Artmed, 1998. • OBERMAIR, Gilbert. Quebra-cabeças, truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981. • MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. Brasília/São Paulo: Unesco/Cortez, 2001. • PERELMANN, J. Aprenda Álgebra brincando. Trad. Milton da Silva Rodrigues. São Paulo: Hemus, 1970. • NÓVOA, Antonio. Profissão: professor. Porto: Porto Editora, 1999. • REVISTA Galileu. Rio de Janeiro: Globo. Seção de problemas. • PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2001. • TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987. • . Ensinar: agir com urgência, decidir na incerteza. Porto Alegre: Artmed, 2001. • . Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record, 1991. • ; PAQUAY, Léopold; ALTET, Marguerite; CHARLIER, Évelyne (Org.). Formando professores profissionais: Quais estratégias? • . O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1998. Quais competências? Porto Alegre: Artmed, 2001. • . Os números governam o mundo. Folclore da Matemática. • RATHS, Louis E.; ROTHSTEIN, Arnold, M. Ensinar a pensar: teoria Rio de Janeiro: Ediouro, 1998. e aplicação. Trad. Dante Moreira Leite. São Paulo: EPU, 1977. Sobre Tecnologias • TEDESCO, Juan Carlos. O novo pacto educativo. Trad. Otacílio Nunes. São Paulo: Ática, 2001. • BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação matemática. Belo Horizonte: Au- • ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: têntica, 2007. Artmed, 1998. • BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia R. da; GADINIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em Edu- XL MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
8 Bibliografia ABRANTES, Paulo. Avaliação e educação matemática. Rio de Janeiro: MEM/USU Gepem, 1995. et al. Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Associação de Professores de Matemática (APM), 1996. BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: Caem-USP, [s.d.]. BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução de Elza Furtado Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL, Luis Alberto dos Santos. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino de Matemática. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1978. BRASIL. Lei n. 9 394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Diário Oficial da União, Brasília, 23 dez. 1996. . Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2017. . Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Câmara de Educação Básica. Resolução n. 7, de 14 de dezembro de 2010. Fixa Diretrizes Curriculares para o Ensino Fundamental de 9 anos. Diário Oficial da União, Brasília, 15 dez. 2010. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Conselho Nacional de Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília, 2013. . Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho (Org.). Matemática: Ensino Fundamental. v. 17. Brasília: 2010. (Coleção Explorando o ensino). . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 3o e 4o ciclos. Brasília, 1998. . Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais, v. 1: Introdução. Brasília, 1997. BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental. São Paulo: Ática, 2011. CARRAHER, Terezinha Nunes (Org.). Aprender pensando: contribuição da psicologia cognitiva para a educação. 19. ed. Petrópolis: Vozes, 2008. CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, 2011. CARVALHO, João Bosco Pitombeira de. As propostas curriculares de Matemática. In: BARRETO, Elba Siqueira de Sá (Org.). Os currículos do Ensino Fundamental para as escolas brasileiras. São Paulo: Autores Associados/Fundação Carlos Chagas, 1998. CHEVALLARD, Yves et al. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2001. COLL, Cesar; TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática. São Paulo: Ática, 2002. D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996. . Etnomatemática: temática arte ou técnica de conhecer e aprender. São Paulo: Ática, 1990. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2007. . Formulação e resolução de problemas de Matemática: teoria e prática. São Paulo: Ática, 2010. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 4. ed. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. FAYOL, Michael. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1996. . Numeramento: aquisição das competências matemáticas. São Paulo: Parábola, 2012. FEY, James Taylor; HIRSCH, Christian R. Calculators in Mathematics Education 1992 Yearbook. Restom: NCTM, 1992. FONSECA, Maria da Conceição F. R. (Org.). Letramento no Brasil: habilidades matemáticas. São Paulo: Globalização Educativa/Instituto Paulo Montenegro, 2004. IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução de Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2000. t. 1 e 2. . Os números: a história de uma grande invenção. 9. ed. São Paulo: Globo, 1998. INMETRO. Vocabulário internacional de metrologia: conceitos fundamentais e gerais e termos associados. Rio de Janeiro, 2009. KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: Papirus, 1984. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. XLIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
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Parte específica 9 As Unidades temáticas e os capítulos do 7o ano Conforme descrevemos na Parte geral deste Manual, na concepção • Álgebra como estudo das equações. desta coleção estão intrínsecas as 8 competências específicas da Mate- mática, descritas na BNCC. Isso pode ser observado em cada capítulo de Por exemplo: todos os volumes, tanto no Livro do Estudante quanto nas orientações apresentadas página a página na Parte específica “em U” deste Manual. 2x 1 3 5 13 y 2 8 5 12 O Livro do Estudante do 7o ano está organizado em 10 capítulos, nos quais abordamos as 5 Unidades temáticas da Matemática: Números, Ál- em que a letra é uma incógnita, um valor desconhecido a se deter- gebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. As habilidades da BNCC apresentadas em cada Unidade temática estão minar. distribuídas nos capítulos e articuladas ao longo do livro, retomando, am- pliando e aprofundando conceitos, procedimentos e atitudes trabalhados • Álgebra do ponto de vista estrutural. nos anos anteriores do Ensino Fundamental. Por exemplo: 2x 1 3(x 1 1) 5 2x 1 3x 1 3 5 5x 1 3 em que os alunos fazem cálculos algébricos para obter expressões equivalentes. Nesse caso, a letra é apenas um símbolo abstrato. Números • Álgebra como estudo das funções. Por exemplo: Nesta Unidade temática, no 7o ano, introduzimos o estudo dos núme- ros inteiros, com forte apelo às situações do cotidiano, tais como tempera- C 5 3,70x tura, fuso horário, movimentação bancária (saldo credor e devedor), saldo em que o custo C do combustível é dado em função do número x de de gols em campeonatos, entre outras. Apresentamos a sequência dos litros que se compra (considerando, nesse caso, que cada litro custa números inteiros como ampliação da sequência dos números naturais, a R$ 3,70). Aqui, variando o “número de litros”, varia também o “custo”, representação dos números inteiros na reta numerada e a localização de e a letra é interpretada como uma variável. pontos do plano usando pares ordenados, cujas coordenadas são números inteiros. As operações com números inteiros são trabalhadas por meio Neste volume, o trabalho com Álgebra é focado nas expressões al- de situações contextualizadas, de modo que os alunos compreendam o gébricas, nas equações de 1o grau com 1 incógnita, nas representações significado de cada operação, bem como os procedimentos para determi- algébricas de leis de formação de sequências e no importante conceito nar os resultados. Em particular, por meio da análise de regularidades, os de proporcionalidade, abordando grandezas diretamente proporcionais alunos descobrem a “regra de sinais” da multiplicação de números inteiros. e grandezas inversamente proporcionais, de modo contextualizado e mediante a resolução de problemas. Ressaltamos também a retomada e a ampliação do estudo de múlti- plos e divisores de números naturais, apresentando aos alunos, de ma- Na exploração das sequências, as atividades propostas buscam trabalhar neira contextualizada, os conceitos de mínimo múltiplo comum e máxi- alguns termos e fazer com que os alunos identifiquem o “comportamento” dos mo divisor comum. São trabalhados também os conceitos de regra de 3 números, chegando à lei de formação. Além disso, propomos a classificação simples e juros simples, que são importantes ferramentas para o estudo das leis de formação das sequências em recursivas e não recursivas. O uso de Matemática. da calculadora é incentivado para favorecer essas observações. Os números racionais nas formas fracionária e decimal são retoma- Geometria dos, ampliados e aprofundados por meio de situações-problema. São feitas conexões com porcentagens, gráficos, grandezas e medidas. Neste volume, na Unidade temática Geometria, alguns conceitos e ex- O estudo da potenciação com expoente natural é ampliado, agora com plorações são retomados e ampliados, como a diferença entre círculo, cir- base racional. cunferência e esfera e também o conceito de ângulo. O estudo dos ângulos é retomado para trabalharmos os tipos de ângulo (adjacentes, suplementa- Assim, até o 7o ano, já introduzimos os números naturais, os números res, complementares, opostos pelo vértice, entre outros) e as relações entre inteiros e os números racionais (formas fracionária e decimal). Nos anos os ângulos formados por 2 retas paralelas e 1 reta transversal. seguintes, esses conteúdos serão retomados, ampliados e sistematizados. O estudo das medidas de abertura de ângulos é amplamente explorado Álgebra e são propostas, por exemplo, situações que levem à compreensão de que os submúltiplos do grau (minutos e segundos) são de base sexagesimal. Iniciamos no 7o ano o estudo da Álgebra com a finalidade de desenvol- Retomamos os polígonos para verificar a relação entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo em cada vértice dele e explorar a soma ver nos alunos as capacidades de abstração e de generalização, assim das medidas de abertura dos ângulos internos e a soma das medidas de abertura dos ângulos externos. como muni-los de uma importante ferramenta para resolver problemas. O polígono mais ressaltado é o triângulo. Fazemos um trabalho anali- Neste e nos próximos volumes, apresentamos atividades e situações- sando a soma das medidas de abertura dos ângulos internos, a construção do triângulo equilátero, a rigidez do triângulo e a condição de existência. -problema que contemplam e enfatizam igualmente as várias dimensões Ao constatar concretamente que a soma das medidas de abertura dos da Álgebra. Veja algumas delas. ângulos internos de um triângulo é igual a 180¡, damos a oportunidade de os alunos explorarem a soma das medidas de abertura dos ângulos • Álgebra como aritmética generalizada. internos de um polígono convexo qualquer. Por exemplo: Também exploramos a composição de figuras planas formando ladri- lhamentos e mosaicos e explorando a possibilidade ou não de formá-los a1b5b1a com diferentes regiões poligonais regulares. (propriedade comutativa da adição) em que a e b representam números inteiros quaisquer, generalizando igualdades como: (22) 1 3 5 3 1 (22) (15) 1 (24) 5 (24) 1 (15) XLIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA
Ainda nesta Unidade temática, apresentamos explorações que es- cálculos que envolvem a decomposição das figuras em outras cujas me- timulam e favorecem a utilização de softwares de geometria dinâmica, didas de área os alunos conhecem ou sabem calcular. como o GeoGebra. Atrelado ao estudo da circunferência, apresentamos o número p como Introduzimos o importante assunto de simetria. Neste volume, o traba- razão entre a medida de comprimento da circunferência e a medida de lho com simetria é proposto e realizado por meio de dobraduras, recortes comprimento do diâmetro dela. e explorações. Apresentamos intuitivamente a simetria de uma figura em relação a um ou mais eixos, a simetria em regiões planas e a simétrica Probabilidade e estatística de uma figura, mostrando ainda como a simetria pode ser relacionada a situações do cotidiano. Em relação aos assuntos dos conteúdos de Estatística e de Probabilidade, apresentamos propostas que incentivam os alunos a argumentar e analisar Grandezas e medidas diferentes situações envolvendo o cálculo de média aritmética (visto no 6o ano como aplicação da operação de divisão) para que possam, por exemplo, As grandezas e as medidas delas são trabalhadas em vários capítulos identificar os indicadores mais adequados para determinada situação ou, deste volume, muitas vezes articulada com as demais Unidades temáticas ainda, perceber que a mesma informação pode ser muito importante em um e usando diversas situações-problema. caso e irrelevante ou inadequada em outro. Em relação à média aritmética ponderada, os alunos, a partir das explorações realizadas em anos anteriores, Em continuidade aos estudos de formalização e ampliação dos estudam diferentes situações nas quais tal indicador é usado. conhecimentos relacionados às grandezas e às medidas, iniciados nos anos anteriores, os alunos fazem explorações relacionadas às Abordamos também a pesquisa estatística e termos relacionados a unidades de medida de volume, de temperatura e de comprimento. ela, como população estatística, amostra estatística, indivíduo de uma Além disso, são incentivados: a explorar grandezas e medidas que pesquisa, variável, frequência absoluta e frequência relativa. No campo da envolvem números racionais; a identificar e calcular a medida de aber- teoria das probabilidades, introduzimos o conceito de probabilidade como tura de um ângulo; a perceber grandezas diretamente proporcionais e medida de chance de um evento acontecer. São propostas diversas situa- grandezas inversamente proporcionais; a ampliar os conhecimentos ções-problema contextualizadas e relacionadas a conceitos de Estatística sobre a velocidade média; a calcular a medida de perímetro e a medida e de Probabilidade, abrindo espaço para integrações interdisciplinares. de área de diferentes regiões planas; e a calcular a medida de volume de paralelepípedos ou blocos retangulares. Nos volumes seguintes desta coleção, esses assuntos serão amplia- dos e sistematizados com maior aprofundamento. Ao trabalhar com a medida de área de figuras planas, são explorados 10 Orientações específicas para os capítulos do 7o ano Todos os capítulos deste volume estão comentados nesta seção. Vale A partir do trabalho com a reta numerada, introduzimos a ideia de salientar que, na Parte geral deste Manual, é possível encontrar, além de módulo ou valor absoluto de um número inteiro. Desse conceito, também sugestões de leituras complementares, que ampliam as reflexões, os qua- obtemos a ideia de números opostos ou simétricos, ou seja, números que dros contendo a descrição e as interfaces existentes entre os capítulos, se situam à mesma medida de distância do 0. as Unidades temáticas, os objetos de conhecimento e as habilidades da BNCC, e sugestões de avaliação. Portanto, recomendamos, sempre que É importante explorar atividades do tipo a 5 2b para que os alunos possível e necessário, uma retomada à Parte geral do Manual. percebam que, por exemplo, se a 5 2, então b 5 22 (2 5 2b ~ b 5 22) ou se a 5 23, então b 5 3 (23 5 2b ~ b 5 3). Em geral, nesse caso, os Capítulo 1 – Números inteiros e sequências alunos pensam que necessariamente a é positivo e b é negativo. Enfatize também que o simétrico do simétrico de um número inteiro é o próprio número. Neste capítulo, trabalhamos com os números inteiros e com sequên- cias. Iniciamos com a abordagem de contextos em que esses números, Usando a reta numerada horizontal, crescente para a direita, explo- principalmente os números inteiros negativos, que os alunos vão aprender ramos a comparação de 2 números inteiros: dados 2 números inteiros agora, são usados. Por exemplo, em situações de temperatura, altitude quaisquer, o menor deles é o que está localizado à esquerda do outro na e fuso horário civil. reta numerada. Assim, dados 2 números positivos, será maior o que estiver mais distante do 0; dados 2 números negativos, será maior o que estiver Aproveite para analisar as medidas de temperatura nas diferentes mais próximo do 0. Oriente os alunos a justificar o raciocínio em cada etapa. épocas do ano na cidade na qual a escola está localizada. Pergunte aos alunos se eles conhecem alguma cidade em que já foram registradas Apresentamos as operações de adição e de subtração de números medidas de temperatura negativas. Você também pode reunir algumas inteiros visando a compreensão, sem memorização de regras, e utilizando reportagens sobre o registro de baixas e de altas medidas de temperatura situações contextualizadas. e apresentar a eles. No trabalho da multiplicação de números inteiros, é importante incen- Apresentamos alguns fatos sobre a origem dos números negativos. tivar os alunos a preencher tabelas e a observar as regularidades deles. Fica claro no texto que os números negativos não foram aceitos pronta- Veja um exemplo. mente, sendo chamado por alguns matemáticos de numeri absurdi. Apesar de a ideia de número negativo existir entre algumas civilizações antigas, 34 3 2 1 0 21 22 23 24 como a chinesa e a hindu, houve grande resistência na Europa, por parte 4 16 12 8 4 0 24 28 212 216 de muitos matemáticos, para aceitá-la. 3 12 9 6 3 0 23 26 29 212 28 6 4 2 0 22 24 26 28 Ainda neste capítulo, apresentamos o conjunto dos números intei- 14 3 2 1 0 21 22 23 24 ros, ressaltando que ele contém o conjunto dos números naturais, que 00 0 0 0 0 0 000 foi estudado no livro do 6o ano. A representação dos números inteiros na 21 24 23 22 21 0 1 234 reta numerada deixa clara essa relação. Atividades de localizar números 22 28 26 24 22 0 2 468 inteiros que correspondam a pontos na reta numerada facilitam a com- 23 212 29 26 23 0 3 6 9 12 preensão desses números e a noção de que o 0 (zero) é a origem da reta. 24 216 212 28 24 0 4 8 12 16 XLIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA
Observando as regularidades, os alunos descobrem por si só as cha- tidas. Na operação de potenciação de números inteiros com expoente madas “regras de sinais” e compreendem o porquê delas. Essas operações natural, as regras são deduzidas considerando essa operação como uma aparecerão com mais frequência em Álgebra; assim, elas serão retomadas representação de uma multiplicação de fatores iguais. em capítulos e volumes posteriores, quando, com mais maturidade, os alunos terão mais domínio. Dependendo do desempenho da turma, Neste capítulo, também propomos algumas atividades envolvendo você pode apresentar um enfoque mais matemático para justificar que expressões numéricas com números inteiros, reforçando para os alunos (23) 3 (24) 5 112, já se sabendo que (23) 3 (14) 5 212. Observe. em qual ordem devem efetuar as operações. • (23) 3 0 5 0 (O produto é igual a 0 quando um dos fatores é 0.) Exploramos informalmente a localização de pontos em um plano car- tesiano trabalhando a noção de par ordenado. Apresente atividades em • (23) 3 [(14) 1 (24)] 5 0 (A soma de 2 números opostos é igual a 0.) que os alunos precisem indicar o par ordenado correspondente a um ponto no plano cartesiano. A atividade inversa também é interessante: dado o • (23) 3 (14) 1 (23) 3 (24) 5 0 (Pela propriedade distributiva.) par ordenado, pedir aos alunos que localizem o ponto correspondente em um plano. • (212) 1 ? 5 0 Assim, no lugar do símbolo ?, temos necessariamente de colocar 112, pois No estudo de sequências, introduzimos o assunto a partir da apre- sentação de sequências em diferentes contextos, inclusive as sequên- só a soma de 2 números opostos resulta em 0. Logo: (23) 3 (24) 5 112 cias não numéricas. Os alunos são levados a identificar os termos da Trabalhamos a divisão como operação inversa da multiplicação; dessa sequência, reconhecendo a notação que utiliza índices para cada termo. Por fim, aprendem sobre a lei de formação das sequências e a identificar maneira, as regras vistas na multiplicação de números inteiros são man- a presença ou não de recursividade. Principais objetivos • Aplicar os conceitos de números inteiros opostos ou simétricos e de módulo de um número inteiro em diversas situações cotidianas. Páginas 10 e 11 | Abertura • Reconhecer a presença dos números inteiros em situações do dia a dia. Páginas 21 e 22 | 3 Comparação de números inteiros • Identificar o uso dos números inteiros em contagem, ordenação, me- • Comparar números inteiros na reta numerada. dida ou código. • Fazer uso dos sinais >, < ou 5 na comparação de números inteiros. Páginas 12 a 15 | 1 Explorando a ideia de número positivo e número ne- Páginas 23 a 28, 30 a 34 | 4 Operações com números inteiro s gativo • Adicionar 2 ou mais números inteiros, de mesmos sinais ou de sinais • Identificar a representação dos números inteiros em situações coti- opostos. dianas. • Utilizar a reta numerada como recurso na adição de 2 ou mais números • Identificar e compreender o uso dos números negativos em situações inteiros. do cotidiano. • Efetuar a adição de 2 ou mais números inteiros em diferentes contex- • Resolver situações-problema envolvendo fatos do cotidiano com nú- tos, como com medidas de temperatura, medidas de altitude, créditos meros inteiros. e débitos. • Resolver situações-problema envolvendo gráficos e tabelas com nú- • Reconhecer o zero como elemento neutro da adição. meros inteiros. • Compreender que a subtração sempre é possível no conjunto dos nú- • Compreender o uso dos números inteiros no contexto de medidas de meros inteiros. temperatura, de medidas de altitude e de fusos horários. • Subtrair2oumaisnúmerosinteiros,demesmossinaisoudesinaisopostos. • Aprender sobre a origem dos números negativos. • Utilizar a reta numerada como recurso na subtração de 2 ou mais nú- Páginas 17 a 20 | 2 O conjunto dos números inteiros meros inteiros. • Conhecer o conjunto dos números inteiros. • Efetuar a subtração de 2 ou mais números inteiros em diferentes contex- • Relacionar os números naturais aos números inteiros positivos. tos, como com medidas de temperatura, medidas de altitude, créditos • Representar e relacionar os números positivos e os números negativos e débitos. em uma reta numerada. • Compreender o uso da calculadora para obter sequências de números • Indicar o antecessor e o sucessor de um número inteiro. por meio da adição ou da subtração de números inteiros. • Indicar quais números pertencem ao conjunto dos números naturais (N). • Indicar quais números pertencem ao conjunto dos números inteiros • Perceber a regularidade da multiplicação de números com sinais iguais e com sinais opostos. (Z). • Identificar e relacionar os conjuntos N e Z. • Calcular o produto de 2 ou mais números inteiros. • Ordenar números inteiros e módulos de números inteiros. • Calcular a diferença entre 2 números inteiros em situações cotidianas. • Compreender que, quando o zero é um dos fatores, o resultado da mul- • Identificar, na reta numerada, o módulo (ou valor absoluto) de um nú- tiplicação é zero. mero inteiro. • Compreender algumas propriedades e características da multiplicação • Determinar o módulo de um número inteiro. de números inteiros. • Aplicar a regra de sinais para a multiplicação de 2 ou mais fatores. • Recordaraideiadequeamultiplicaçãoeadivisãosãooperaçõesinversas. • Calcular o quociente entre 2 números inteiros. XLVMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA
• Compreender que não é possível calcular o quociente de uma divisão • Inventar sequências numéricas ou figurais a partir de exemplos. cujo divisor é igual a zero. • Compreender a classificação de sequências em finitas ou infinitas. • Escrever sequências a partir da regra dada. • Aplicar a regra de sinais para a divisão. • Criar e classificar sequências em finitas ou infinitas. • Recordar o cálculo e a leitura de potências com números naturais na • Determinar o próximo termo de uma sequência dada. • Escrever sequências a partir do padrão dado. base e no expoente. • Identificar alguns termos de sequências a partir do padrão dado. • Entender os conceitos de potenciação para bases inteiras negativas • Compreender o conceito de lei de formação. • Compreender quando uma sequência é recursiva. e expoentes naturais. • Construir sequências a partir da lei de formação dada. • Calcular o valor de potências com bases inteiras e expoentes naturais. • Determinar potências diferentes que têm o mesmo valor. Páginas 42 e 43 | Revisando seus conhecimentos • Aplicar a regra de sinais para a potenciação. • Ordenar números inteiros. Página 29 | Leitura • Comparar, adicionar e subtrair números inteiros no contexto de medida • Ler, compreender e colher dados a partir da leitura de um texto. • Adicionar e subtrair 2 ou mais números inteiros, de mesmos sinais ou de temperatura. • Calcular expressões numéricas com adição, subtração, multiplicação, de sinais opostos. • Efetuar adições e subtrações de números inteiros no contexto de me- divisão e potenciação. • Analisar dados em um gráfico para resolver problemas. didas de temperatura. • Realizar uma pesquisa sobre a conservação de alimentos. • Pesquisar sobre fenômenos naturais. • Indicar quais afirmações sobre os números inteiros são falsas, apre- Página 35 | Leitura sentando contraexemplos, e justificar as verdadeiras com exemplos. • Reconhecer e indicar pontos utilizando o sistema cartesiano. • Ler, compreender e colher dados a partir da leitura de um texto. • Indicar os próximos termos de uma sequência dada. • Adicionar 2 ou mais números inteiros quaisquer, de mesmo sinal ou • Classificar sequências em recursivas ou não. • Indicar o padrão de formação de sequências. de sinais opostos. • Subtrair 2 ou mais números inteiros quaisquer, de mesmo sinal ou de Página 44 | Testes oficiais sinais opostos. • Ordenar números inteiros. • Efetuar cálculos de adição e subtração de números inteiros no contexto • Comparar, adicionar e subtrair números inteiros no contexto de medida de Matemática financeira. de temperatura. • Calcular a porcentagem de um número inteiro. • Identificar medidas de temperatura em uma reta numerada. • Compreender o conceito de números opostos e simétricos. Página 36 | 5 Expressões numéricas com números inteiros • Reconhecer e indicar pontos utilizando o sistema cartesiano. • Calcular o valor de expressões numéricas com números inteiros, elimi- Página 45 | Verifique o que estudou nando corretamente parênteses, colchetes e chaves e obedecendo a ordem correta das operações. • Ordenar números inteiros. • Identificar quais números pertencem ao conjunto dos números naturais. • Entender que é possível expressar uma situação em linguagem mate- • Identificar quais números pertencem ao conjunto dos números inteiros. mática própria, formando a partir daí uma sentença. • Compreender que a subtração sempre é possível no conjunto dos nú- • Compreender e usar as regras das expressões numéricas. meros inteiros. • Empregar as regras de sinais com números inteiros. • Indicar o módulo de um número inteiro. • Comparar números inteiros. Páginas 37 e 38 | 6 Representação de pares ordenados de números • Comparar números inteiros usando uma reta numerada. inteiros no plano (coordenadas cartesianas) • Criar uma sequência recursiva. • Identificar o padrão ou a lei de formação de uma sequência. • Compreender o conceito de plano cartesiano. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do • Compreender o conceito de coordenadas. • Localizar pontos no plano. estudo deste capítulo. • Representar pontos do plano com pares ordenados de números inteiros. • Compreender os conceitos de abscissa, ordenada e origem do plano cartesiano. • Explorar a construção de figuras sobre o plano cartesiano, propondo desafios para o aprendizado dos princípios geométricos. Páginas 39 a 41 | 7 Sequências • Entender o conceito de sequência. • Conhecer as notações e as nomenclaturas de sequências. • Identificar sequências em situações do cotidiano e da Matemática. XLVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA
Veja mais resoluções das atividades. Atividade 6 (Revisando seus conhecimentos) Atividade 88 a) Medida de temperatura de refrigeração de alguns alimentos Banco de imagens/Arquivo da editoray Banco de imagens/Arquivo da editora 4 Medida de temperatura (em ¡C) C 10 3 5 A 2 D Alimento 1 0 I 0 1 2 3 4x Gráfico elaborado para fins didáticos. 24 23 22 21 F 25 21 210 22 B 215 G 220 E 23 H Frutas, verduras e legumes 24 Carne e aves Peixes nACD: obtusângulo e escaleno. Pratos prontos e congelados nIEG: retângulo e isósceles. Leite e derivados nFHB: acutângulo e escaleno. Capítulo 2 – Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações Neste capítulo, retomamos conceitos explorados anteriormente, como múltiplos e divisores de números naturais, números primos, números compostos e decomposição de um número natural em fatores primos. A partir dessa retomada, explicamos, de maneira contextualizada, os conceitos de máximo divisor comum (mdc) e de mínimo múltiplo comum (mmc). Apesar de serem conceitos simples, é importante ressaltar a diferença entre eles e explorar estratégias pessoais de como determiná-los. Além disso, apresentamos o método prático e o cálculo mental para mmc. Retomamos também as ideias das frações vistas no 6o ano, como parte-todo, quociente, operador ou razão, para, em seguida, ampliar os estudos de frações equivalentes e simplificação de frações. Essas explorações, provavelmente, foram menos enfatizadas nos estudos iniciais e merecem atenção especial neste momento. Em relação às operações com frações, apresentamos diferentes situações-problema. Se possível, utilize materiais manipulativos como os discos e as tiras de frações e incentive os alunos a representar as operações com esses materiais. O estudo da multiplicação de frações será trazido agora de maneira a formalizar os conhecimentos. O mesmo vale para as situações que envolvem divisão de frações. No caso da divisão de fração por fração, o raciocínio envolvido, de “quanto cabe”, muitas vezes não é imediato, uma vez que a divisão geralmente é relacionada à ideia de distribuição em partes iguais. Cite aos alunos alguns exemplos com números naturais antes de propor as situações com frações. Principais objetivos • Recordar as ideias de múltiplo e divisor de um número natural. • Compreender a resolução de uma atividade que envolve os conceitos Páginas 46 e 47 | Abertura • Identificar números múltiplos de 4 em uma situação apresentada por de múltiplo e divisor. • Verificar propriedades dos múltiplos e divisores. meio de uma imagem. • Indicar sequências de números múltiplos. • Identificar múltiplos em uma sequência de frações equivalentes. • Identificar se um número é múltiplo de outro. • Conversar sobre experiências de viagens com a família e os amigos. • Identificar os divisores de um número. • Construir um quadrado mágico com múltiplos de 3. Páginas 48 a 56 | 1 Múltiplos e divisores de números naturais • Reconhecer as ideias de múltiplo e divisor em situações cotidianas. XLVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA
• Resolver situações-problema com múltiplos e divisores. • Dividir uma fração por outra fração. • Recordar as ideias de números primos e números compostos. • Compreender o uso da fração inversa nas divisões que envolvem frações. • Indicar números primos em diferentes situações. • Resolver situações-problema que envolvem a divisão com frações. • Reconhecer se um número é primo ou não usando os critérios de di- Páginas 72 e 73 | Revisando seus conhecimentos visibilidade. • Dividir o mmc entre 2 números por 4. • Decompor um número em fatores primos. • Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com • Compreender a ideia de máximo divisor comum (mdc). • Indicar o mdc entre 2 ou mais números. números inteiros. • Resolver situações-problema usando o mdc. • Preencher uma cruzadinha com números. • Compreender a ideia de mínimo múltiplo comum (mmc). • Resolver uma situação-problema envolvendo a contagem de possibi- • Indicar o mmc entre 2 ou mais números. • Resolver situações-problema usando o mmc. lidades. • Usar diferentes estratégias para encontrar o mmc. • Descobrir a regularidade de uma sequência e completar a sequência. • Calcular o mmc mentalmente. • Formar uma sequência recursiva a partir dos primeiros termos e da Páginas 57 a 71 | 2 Frações lei de formação. • Identificar qual comparação de decimais está errada. • Compreender a ideia de fração como parte do todo. • Identificar qual comparação de decimais está errada de acordo com a • Utilizar a ideia de fração como parte do todo para resolver situações- posição na reta numerada. -problema. • Identificar as afirmações falsas, indicando um contraexemplo, e as • Compreender a ideia de fração como quociente. • Utilizar a ideia de fração como quociente para resolver situações-pro- verdadeiras, indicando exemplos. • Ordenar números inteiros em ordem crescente. blema. • Identificar polígonos. • Compreender a ideia de fração como razão ou comparação. • Utilizar a ideia de fração como razão ou comparação para resolver si- Página 74 | Testes oficiais • Comparar frações com denominadores diferentes. tuações-problema. • Efetuar adição e subtração de frações com denominadores diferentes. • Recordar a ideia de fração equivalente. • Identificar múltiplos de 3 em um intervalo de números naturais. • Recordar a ideia de simplificação de frações. • Efetuar adição e subtração de números inteiros. • Comparar e ordenar frações com denominadores iguais. • Comparar e ordenar frações com denominadores diferentes. Página 75 | Verifique o que estudou • Utilizar o mmc para encontrar frações equivalentes que tenham o mes- • Indicar múltiplos e divisores de um número. mo denominador. • Indicar o mmc e o mdc entre 2 números. • Adicionar e subtrair frações com denominadores iguais. • Indicar os números primos em um intervalo de números naturais. • Adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes. • Indicar a fração de uma área. • Utilizar o mmc para encontrar frações equivalentes para, em seguida, • Resolver uma situação-problema usando a ideia de fração como medida. • Calcular a fração de um número. adicioná-las ou subtraí-las. • Utilizar a ideia de fração como probabilidade para resolver situações- • Multiplicar frações. • Utilizar figuras para representar a multiplicação de frações. -problema. • Compreender o conceito de fração inversa. • Ordenar frações com denominadores diferentes. • Dividir uma fração por um número natural. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do • Dividir um número natural por uma fração. estudo deste capítulo. Capítulo 3 – Números racionais outro número racional. Essa relação pode ser facilmente percebida ao analisar uma reta numerada. Neste capítulo, ampliamos os conjuntos numéricos, obtendo o conjunto dos números racionais (Q). Definimos número racional e estabelecemos as Retomamos os conceitos de módulo e de número oposto que os relações entre os conjuntos numéricos N, Z e Q. Além disso, retomamos alunos aprenderam no início deste volume, mas agora com foco nos e aprofundamos a comparação e as operações com números racionais. números racionais. A partir desses conhecimentos, os alunos têm au- tonomia para comparar os números racionais usando a reta numerada, Comente com os alunos que a representação do conjunto Q é diferente por exemplo. da representação dos conjuntos N e Z. Nos conjuntos N e Z é possível escrever números consecutivos, ou seja, listá-los, o que não ocorre no Ao propor a multiplicação de números racionais, relembre os alunos de conjunto Q, pois, entre quaisquer 2 números racionais, sempre existe que o sinal negativo em um número representa o simétrico ou oposto dele. XLVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA
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