ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

90 บทท่ี 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรของระบบ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส v1 = - dvo RC dt ทําการหาปรพิ นั ธ t dvo 1 t dt dt = - RC v1 (t) dt 0 0 1 t Vo (t) = - RC v1(t ) dt 0 ดงั นนั้ เมอ่ื vc(t = 0) = vo(t = 0) = 0 ตัวอยางท่ี 3.24 จงหาอนุพนั ธข อง vo ถา vc (t = 0) = 0 vo ic iC vc v1u(t ) รปู ที่ 3.24 วงจรตวั อยางที่ 3.24 วธิ ีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 แทนออปแอมปด วยแบบจําลองวงจร ดงั นนั้ กระแสทีไ่ หลผานออปแอมป ขั้นตอนที่ 2 มคี า เปน ศนู ยทําใหก ระแสทไี่ หลผา นตัวตานทานคือ ic มีคา เปน ศนู ยด ว ย ขนั้ ตอนท่ี 3 มีการตอ สัญญาณเอาตพ ตุ ซึง่ เปน การปอ นกลับแบบลบยอนกลับมาท่ี ขัน้ ตอนท่ี 4 อินพุต จะไดการปอ นกลบั แบบลบ vn = vp = 0 จากกฎของโอหม Ric = vn– v0 = -v0 dvc d(v1 - vn ) dv1 กระแสของตัวเกบ็ ประจุ ic = C dt = C dt = C dt แทนคา ic ในสมการกฎของโอหม CRCddvdt1dvt1 = -v0 = -vRo จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบ 91 RC dv1 = -v0 dt = -RC = -RC dddvvt11 -v0 dt v0 (t) ตัวอยางท่ี 3.25 จากวงจรออปแอมปตอไปนีจ้ งเขียนสมการความสมั พันธ vA = - t vs (t ) dt  vA  0 vS vo vo = 1-v0Avs-(vtB) + t vs (t) dt = vB  0 vB = -10vs (t) v0 (t) = 10 vs (t) + t vs (t) dt 0 รปู ท่ี 3.25 วงจรตวั อยางที่ 3.25 วิธที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 จากรูปดา นบนเปนวงจรที่มตี ัวเกบ็ ประจุ ซึง่ เปน วงจรแบบปรพิ นั ธ t ดังน้นั แรงดนั vA มีคา เปน vA = - vs (t) dt 0 C = 1/R R - vA vS + จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

92 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรของระบบ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขั้นตอนท่ี 2 จากรูปเปนวงจรแบบอนิ เวริ สตงิ แอมปลิไฟล คา แรงดนั เอาตพ ุต vB มคี าเปน vB = -10vs (t) R R- vB + ข้นั ตอนที่ 3 นาํ คาทงั้ 2 วงจร คอื วงจรปรพิ นั ธและวงจรอนิ เวอรติงแอมปลไิ ฟล มารวมกนั โดยใชว งจรอนิ เวอรสตงิ แอมปลิไฟลชุดที่ 2 คาแรงดัน vo มีสมการเปน vo = - vA - vB t vo = 10 vs (t) + 0 vs (t) dt vA = - t vs (t ) dt  vA  0 vS vo vo = 1-v0Avs-(vtB) + t vs (t) dt = vB  0 vB = -10vs (t) ตอบ สมการของวงจร คอื vo = 10 vs (t) + t vs (t) dt  0 3.3 สรุป ในการเขียนแบบจําลองคณิตศาสตรสรางข้ึนเพื่อใชในการออกแบบและวิเคราะหการทํางาน ของระบบควบคุม และสังเกตพฤติกรรมทางพลวัตของระบบ ซึ่งสามารถใชสมการอนุพันธ ในการวิเคราะหการทํางานของระบบสวนประกอบสําคัญของระบบเชิงกล ประกอบดวย 3 สวน จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบ 93 คอื มวล สปริง และตัวหนวง โดยมวลจะทําหนาที่สะสมพลังงานจลน สวนสปริงจะเปนช้ินสวน ท่ีทําหนาที่สะสมพลังงานศักย และตัวหนวงจะทําหนาที่สรางแรงกระทําเพื่อตานการเคล่ือนท่ี สวนประกอบสาํ คญั ของระบบทางไฟฟา มี 3 สวน ไดแก ตวั ตานทาน ตัวเก็บประจุ และตัวเหนยี่ วนาํ ซึ่งตัวตานทานเปนอุปกรณท่ีใชในการตานทานการไหลของกระแสไฟฟา เพื่อทําใหกระแสและ แรงดันภายในวงจรไดขนาดตามท่ีตองการ ตัวเหนี่ยวนํา ประกอบดวยขดลวด พันรอบแกน คุณสมบัติของการเหนี่ยวนําไฟฟา ตัวเหนี่ยวนําชนิดตางๆ ตัวเหน่ียวนําจะมีคุณสมบัติ ในการเหน่ียวนําทางไฟฟาโดยเกิดขึ้นในรูปของสนามแมเหล็ก ภายในตัวเหน่ียวนําสวนตัวเก็บ ป ร ะ จุ เป น อุ ป ก ร ณ ที่ ใ ช ใ น ก าร เก็ บ ป ร ะ จุ แ ล ะ ส าม า รถ ค าย ป ร ะ จุ ใ น ก าร ส ร าง แ บ บ จํ าล อ ง ทางคณิตศาสตรข องระบบทางกลและระบบทางไฟฟา น้ันจาํ เปน ท่ีจะตองเขาใจพ้ืนฐานทางฟสิกส ของระบบทางกลและระบบทางไฟฟาจงึ จะสามารถสรางแบบจาํ ลองสมการไดอยา งถูกตอง จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

94 บทที่ 3 แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส แบบฝก หัดทายบทท่ี 3 1. จงอธบิ ายสวนประกอบของแบบจาํ ลองทางกลและแบบจาํ ลองทางไฟฟา 2. จงเขียนสมการความสัมพนั ธข องแรงดันไฟฟาของตัวเหน่ียวนาํ และตวั เก็บประจุ 3. จงเขียนสมการพลงั งานของสปริงและตวั หนว ง 4. จงเขยี นสมการเปรียบเทียบความสัมพันธข องกระแส และแรงดนั ไฟฟา ของตัวตานทาน ตวั เกบ็ ประจุและตัวเหนยี่ วนํา 5. จากวงจรวงจรอนกุ รม RLC ที่ไมม ีแหลง จายในรูปที่ 3.26 จงเขยี นสมการอนุพนั ธข องแรงดนั ใน วงจร vR vL vC รปู ที่ 3.26 วงจรอนกุ รม RL ตอบ d2vc + R dvc + vc = 0 dt 2 L dt LC 6. จากวงจรขนาน RLC ท่ีมีแหลงจายสัญญาณข้ันบันได ดังรูปท่ี 3.27 จงเขียนสมการอนุพันธของ กระแสทีไ่ หลในวงจร iR iL iC ISu (t) รูปที่ 3.27 วงจรขนาน RLC ทมี่ ีแหลงจายสญั ญาณขน้ั บันได ตอบ d2iL + 1 diL + iL = IS dt 2 RC dt LC LC จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 3 แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบ 95 7. จากรูปท่ี 3.28 รถยนตมวล m เคล่ือนที่ดวยความเร็วคงที่โดยระบบครุยสคอนโทรล โดย u เปน แรงท่ีเกดิ จากการเคล่ือนท่ีของลอ และความเรว็ ในการเคล่ือนที่ คือ v ซึ่งจะมีทศิ ทางตรงขาม กับการเคล่อื นท่ขี องรถยนต จงเขยี นสมการอนุพนั ธข องระบบ bv u va == xv = x รปู ท่ี 3.28 การเคล่ือนทข่ี องรถยนต (ท่มี า : http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=CruiseControl&section= SystemModeling#2) ตอบ mv + bv = u จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

96 บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรของระบบ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส เอกสารอา งอิง รชั ทนิ จนั ทรเ จรญิ , วรทิ ธิ์ อ้ึงอาภรณ. (2545) .ระบบควบคมุ เชิงเสน . สํานักพิมพ สง เสริม เทคโนโลยี (ไทย – ญีป่ ุน) Ismael Herrera and George Pinder. (2012). Mathematical modeling in science and engineering .Wiley. บทท่ี 1 แนะนาํ ระบบควบคมุ (Introduction to control systems). [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http//:www.fivedots.coe.psu.ac.th/Software.coe/240-209/vcrcontrol.pdf (วนั ทคี่ น ขอมูล 10 เมษายน 2556) บทที่ 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตร (Mathematical model). [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://cyberlab.lh1.ku.ac.th/elearn/faculty/aid/id76/chapter3.htm (วันท่ีคน ขอมลู 10 เมษายน 2556) Berlin Chen .Mathematical Modeling and Engineering Problem Solving. Department of Computer Science & Information Engineering.National Taiwan Normal University. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www. berlin.csie.ntnu.edu.tw/.../NM2012S- Lecture01-Modeling%...(วันทค่ี น ขอ มูล 10 เมษายน 2556) Chapter 3 Mathematical Modelin_R1 part1.docx.pdf. [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://202.28.32.233/.../Chapter%203%20Mathematical%20Modelin_R1%20p (วนั ทค่ี น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Mihir Sen .Mathematical Analysis of Engineering Systems. Department of Aerospace and Mechanical Engineering University of Notre Dame 2008. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www3.nd.edu/~msen/Teaching/ EngAn/EngAnNotes.pdf (วนั ทคี่ น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

บทที่ 4 สมการอนุพันธสามญั อันดับหนงึ่ ในบทนีจ้ ะเปนการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชงิ อนพุ นั ธสามัญ (Ordinary differntial equation) และการประยุกตใชงานสมการโดยจะพจิ ารณาจากสมการที่งายทีส่ ดุ ไดแกส มการเชิงอนุพนั ธส ามัญ อันดับหน่ึงท้ังนี้เพ่ือนําไปเปนแนวทางพิจารณาถึงวิธีการแกสมการเชิงอนุพันธที่คอนขางยุงยาก ซง่ึ มคี วามสําคัญในทางปฏบิ ัติตอไป 4.1 บทนํา สมการเชิงอนุพันธเปนสมการที่ประกอบดัวยอนุพันธ (Derivative) ของฟงกชันตัวท่ีไมรูคา (Unknown function) ของ y(x) ซึ่งตองการที่จะกําหนดหรือหา y(x) น้ี สมการเชิงอนุพันธเกี่ยวของ กบั ทางวิศวกรรมละการประยุกตใชหลายอยาง เชน แบบจําลองเชิงคณิตศาสตรของปรากฏการณ ทางฟสิกสและระบบตางๆ สมการเชิงอนุพันธท่ีงายท่ีสุดสามารถหาคําตอบหรือหาผลเฉลยได โดยใชการหาอนุพนั ธเื บื้องตน ตัวอยางสมการเชงิ อนุพันธ ไดแก สมการอนุพันธสําหรับการหาระยะทางเชิงเสน x(t) ของมวล m ซึ่งเกิดจากการกระทําโดยแรง F(t) m d2x + kx = F (t ) (4.1) dt 2 รูปที่ 4.1 การเคลอ่ื นทใี่ นแนวตรงของรถไฟ (ที่มา : http://eduopp.wordpress.com/1dmotions/) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

98 บทที่ 4 สมการอนพุ นั ธส ามญั อนั ดบั หนง่ึ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส สมการอนุพันธสําหรับหาคาของกระแส i(t) ในวงจร LC เมื่อ L คือคาความเหน่ียวนํา C คอื คา ความจุ และ E(t) คอื แหลง กําเนิดแรงดนั ไฟฟา L d2i + 1 i = dE (4.2) dt 2 C dt รปู ที่ 4.2 วงจรแบบอนกุ รมของตวั เกบ็ ประจุและตวั ตานทาน สมการเชงิ อนพุ ันธการเคลือ่ นท่ีในแนวดง่ิ ของจรวดของเลนซึ่งมมี วล (m) ท่ีประกอบดวยตวั ถัง และนํ้ ามัน เมื่อทําการปลอยจรวดของเลนข้ึนไปในอากาศโดยเริ่มตน ปลอยท่ีเวลา t0 โดยความสมั พนั ธข องการเผาพลาญนา้ํ มันเชอื้ เพลงิ ในเวลา t และมวลของจรวดเปน ไปตามสมการ ความสัมพันธ dm = - 1 t (4.3) dt 4 รูปที่ 4.3 การปลอ ยจรวดของเลนบังคับ จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพันธส ามัญอนั ดบั หนง่ึ 99 สมการอนุพนั ธของน้าํ หนักซ่ึงติดกบั สปรงิ ที่ขึ้นและลง เมือ่ S = ความยาวของสปริงท่ียืดออกมา ในเวลา t วนิ าที d2s + s = 0 (4.4) dt 2 รูปท่ี 4.4 การเคลอื่ นทขี่ องสปรงิ 4.2 สมการเชิงอนพุ ันธสามญั และอนั ดบั (Ordinary differential equations and order) นิยาม 4.1 สมการเชิงอนุพันธคือสมการท่ีประกอบดวยอนุพนั ธของตัวแปรท่ีเทียบกับ ตัวแปร อสิ ระ (ซึ่งอาจมีหลายตัวแปรก็ได) และตัวแปรทั้งสองแบบนี้ไดแก ตัวแปรตามและตัวแปรอิสระ ตวั อยา งของสมการเชิงอนพุ นั ธ เชน dy dx = x + 4 d2 y + 4 dy + 3 y = 0 dx dx 2 xy+ 2 y -5 = 0 y + 5( y)2 + y2 - cos x = 0 ( y)2 + ( y)2 + 2 y - x3 = 0 z z x - x x - z = 0 นิยาม 4.2 อันดับของสมการอนุพันธ คือ อันดับสูงสุดของอนุพันธท่ีปรากฏอยูในสมการน้ัน เชน 1. y-( y)2 = 4 xy เปนสมการเชิงอนพุ นั ธอนั ดับที่ 2 เพราะวาอนั ดับที่สูงสดุ ของอนุพนั ธค อื 2 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

100 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธสามัญอนั ดับหนงึ่ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส  d3y  2 dy = 4xy3 d2y  dx 3  dx dx 2 2. - เปนสมการเชิงอนุพันธอันดับท่ี 3 เพราะวาอันดับท่ีสูงสุด   ของอนุพันธ คอื 3 นิยาม 4.3 สมการเชิงอนุพันธท่ีอยูในรูปเลขช้ีกําลังของอนุพันธอันดับตางๆ โดยจัดให มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด จะเรียกเลขชี้กําลังของอนุพันธอันดับที่สูงท่ีสุด ที่ปรากฏอยใู นสมการเชิงอนุพันธนัน้ วา ดกี รี (Degree) เชน dy 1. dx -3x2 y = 0 เปนสมการเชงิ อนพุ นั ธ อนั ดบั หน่ึง ดกี รหี นง่ึ 2. y2 - 2 y3 = 0 เปนสมการเชงิ อนุพนั ธอ ันดบั สอง ดีกรีสอง นิยาม 4.4 สมการเชิงอนุพันธ ซ่ึงประกอบดวยอนุพันธที่เทียบกับตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว มชี ือ่ วา สมการเชิงอนพุ นั ธส ามัญ (Ordinary differential equation) นิยาม 4.5 สมการเชิงอนุพันธ ซ่ึงประกอบดวยอนุพันธท่ีเทียบกับตัวแปรอิสระตั้งแตสองตัว ขึน้ ไป มีชือ่ วา สมการเชงิ อนพุ นั ธยอย (Partial differential equation) ซึง่ เปน สมการเชิงอนุพันธสามัญและอันดับ (Ordinary differential equations and order) คําวา สามัญ (Ordinary) ที่กําหนดขึ้นเพ่ือแสดงใหเห็นความแตกตางจากสมการเชิงอนุพันธยอย (Partial differential eaquation) ซ่ึงเกี่ยวของกับอนุพันธยอยของฟงกชันไมกําหนดคาของตัวแปร อิสระ (Independent variable) สองตัวหรือมากกวาสองขึ้นไป ดังตัวอยางเชน 2u + 2u = 0 x 2 y 2 เปนสมการเชิงอนุพันธยอยโดยที่ u เปนฟงกซันของตัวแปรอิสระสองตัวคือ x และ y ซ่ึงอาจ เขียนแทนไดดวย u = u(x ,y) ตวั อยางสมการเชงิ อนุพันธทส่ี าํ คญั คอื d2 y + dy - 2 xy = 0 เปนสมการเชิงอนุพนั ธสามัญ dx dx เปน สมการเชิงอนุพนั ธส ามญั 2  y3 -3y+ 4 y = 0 2u - 2u + 5xy -1 = 0 เปนสมการเชิงอนุพันธยอย x 2 y 2 สมการเชิงอนุพันธุมีอันดับ (Order) เปน n ถาอนุพันธที่ n ของตัวแปร y เทียบกับตัวแปร x เปน อนุพนั ธอันดับสูงสดุ ในสมการดังนั้นสมการเชิงอนุพันธอนั ดับทีห่ นึ่ง (First- order differential จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนพุ ันธสามญั อันดับหน่ึง 101 equation) สามารถเขียนไดเปน yหรือ ddxy หรือ f (x) สวนสมการเชิงอนุพันธอันดับท่ีสอง d2y ซึง่ มี n = 2 สามารถเขียนไดเปน y หรือ dx 2 หรือ f (x) และสมการเชิงอนุพันธอนั ดับที่สาม ซ่ึงมี n = 3 สามารถเขยี นไดเปน y หรือ d3y หรือ f (x) dx3 4.3 ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพนั ธ นิยาม 4.6 ฟงกช ันซึ่งไมอ ยูในรูปของอนุพันธของฟงกช ันและสอดคลองกบั สมการเชิงอนพุ ันธ วา ผลเฉลย โดยที่จะอยูในรูปของฟงกชันท่ีนิยามอยางชัดแจง (Explicicit function ) หรือฟงกชัน โดยปรยิ าย (Implicit function) ฟงกช นั ชัดแจง (Explicit function) คอื ฟง กชนั ทส่ี ามารถเขียนพจนของตวั แปรตามในพจนข อง ตัวแปรตนได ซงึ่ มรี ูปทั่วไป คอื y = f (x) เม่อื y เปน ฟงกช ันของ x เชน f (x) = 3x2 – 2x + 4 y = xx+-46 ฟงกชันโดยปริยาย (Implicit function) มีรูปท่ัวไป คือ f (x,y) = 0 ในบางฟงกชันไมสามารถ เขยี นพจนของตวั แปรตามในพจนของตัวแปรตนได หรอื เขียนไดห ลายกรณี เชน x2+y2 = 36 และ y เปนฟง กชนั ของ x ซึง่ สามารถเขยี น y ในพจนข อง x ไดเ ปน 2 คา คอื y = 36 - x2 หรือ y = - 36 - x2 เปน ตน การหาอนุพันธโดยปริยายน้ีทําไดโดยการหาอนุพันธทั้งสองขางของสมการท่ีกําหนด และ y หรือ ddyx เปนฟงกชันของ x ในการดําเนินการเชนนี้จะมีพจนของอนุพันธ y เทียบกับตัวแปร x (x) ลงใน อยูดวยแลว จัดรปู เพอ่ื หา ddxy ผลเฉลย (Solutions) ของสมการอาจหาจากการแทนที่ y = f สมการแลวทําใหสมการเปนจริงทุกคา ดังนั้น y = f (x) จึงเปนผลเฉลยของสมการชนิดผลเฉลย โดยชัดแจง ( Explicicit solutions) ตัวอยางที่ 4.1 จงแสดงวา y = -9x2 เปนผลเฉลยของสมการ ddxy = -18x วธิ ที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 โจทยก าํ หนด y = -9x2 ข้นั ตอนที่ 2 หาอนุพันธของฟงกช ัน จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

102 บทที่ 4 สมการอนุพันธส ามัญอนั ดับหน่ึง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส dy = d(-d9xx2 ) dx dy dx = (-18x) ตอบ y = - 9x2 เปน ผลเฉลยของสมการ จากตัวอยางที่ 4.1 ได y = -9x2 เปนผลเฉลยของสมการ ddyx = (-18x) และยังได y = -9x2+ C เปนผลเฉลยของสมการอีกดวย โดยทุกผลเฉลยท่ีหาไดสามารถเขียนอยูในรูปแบบท่ีเหมือนกัน จงึ เรียกสมการ y = -9x2+ C เปน ผลเฉลยทั่วไป (General Solution) ของสมการ ตวั อยา งที่ 4.2 กําหนดให y = e7x จงแสดงวา y เปนผลเฉลยของสมการ dy +5y = 12e7 x dx วธิ ีทํา ข้ันตอนที่ 1 กําหนดให y = e7x ขนั้ ตอนที่ 2 หาอนพุ นั ธของ y จะได (dex7 x dy = d ) = 7e7 x dx ขั้นตอนที่ 3 หาคา 5y = 5 e7x แทนคา ddxy และ 5y ในสมการจะได ข้นั ตอนที่ 4 ddxy + 5y = 7e7x + 5e7x =12e7x ตอบ y = e7x เปน ผลเฉลยของสมการ ตัวอยางท่ี 4.2 มีผลเฉลยท่ัวไปคือ y = e7x + Ce-5x โดย C เปนคาคงตัวท่ีไมเจาะจง (Arbitrary constant) ตวั อยา งท่ี 4.3 กาํ หนดให y = 3e-4x – xe-4x จงแสดงวา y เปนผลเฉลยของสมการ d2 y + 8 ddyx + 16y = 0 dx 2 วธิ ที ํา ข้นั ตอนท่ี 1 กาํ หนดให y = 3e-4x - xe-4x ข้นั ตอนท่ี 2 หาอนุพันธอ ันดับหนงึ่ ของ y จะได ขนั้ ตอนที่ 3 dddxyy dx = ddx (3e-4x- xe-4x) = 12e-4x+ 4xe-4x หาอนุพันธอ ันดับสองของ y จะได dy dx = ddx (3e-4x- xe-4x) จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อนั ดบั หน่งึ 103 d2y = d (-12e-4x- 4xe-4x) dx 2 dx2 d2y dx 2 = 48e-4x- 16xe ข้นั ตอนท่ี 4 แทนคา dy และ d2y ในสมการ dx dx 2 d2 y + 8 ddyx + 16y = 0 จะได dx 2 (48e-4x- 16xe-4x) + 8(-12e-4x+ 4xe-4x)+16(3e-4x- xe-4x) = 0 48e-4x- 16xe-4x- 96e-4x + 32xe-4x +48e-4x - 16xe-4x = 0 96e-4x- 96e-4x+ 32xe-4x- 32xe-4x = 0 ตอบ แสดงวา y = 3e-4x – xe-4x เปนผลเฉลยของสมการ d2y +8 dy +16y = 0 dx 2 dx ผลเฉลยท่ัวไป คือ y = C1e-4x - C2e-4x โดย C1 และ C2 เปนคาคงตัวท่ีไมเจาะจง (Arbitrary constant) สํ า ห รั บ ส ม ก ารเชิงอนุ พั น ธ ส า มั ญอันดับที่หนึ่ง 2x + y3+ (3xy2 - e-2y) ddyx = 0 มีผลเฉลย ของสมการเปน x2 + xy3 + 12 e-2y = 0 ซึ่งอยูในรูปของฟงกชันโดยปริยาย F(x,y) = 0 จะเรียก ผลเฉลยชนิดน้ีวา ผลเฉลยโดยปริยาย (Implicit solution) ของสมการ หรอื เขียนอยูในรูปทวั่ ไป คือ F(x,y) = C สําหรบั สมการในตวั อยางที่ 4.2 และ 4.3 คาคงตัว C ,C1 และ C2 เปนคาคงตวั ทไ่ี มเ จาะจง จํานวนคาคงตัวท่ีไมเจาะจงที่ปรากฏในผลเฉลยทั่วไปจะมีจํานวนตรงกับตัวเลขที่ช้ีอันดับสูงสุด ของอนุพันธของสมการน้ัน ในตัวอยางท่ี 4.1 และ 4.2 จะมีคาคงตัวที่ไมเจาะจงอยู 1 คาและ ในตัวอยางท่ี 4.3 มอี ยู 2 คา สําหรับผลเฉลยของสมการเม่ือมีการกําหนดเงื่อนไขเริ่มตน (Initial conditions) หรือเง่ือนไข ขอบเขต (Boundary conditions) จะทําใหคาคงตัวท่ีไมเจาะจงมีคาแนนอนจึงทําใหผลเฉลยทั่วไป เปล่ยี นเปนผลเฉลยเฉพาะราย (Particular solutions) โดยจาํ นวนคา คงตัวยังไมเ ปล่ยี นแปลง สมการเชงิ อนุพนั ธแ ตล ะสมการไมจําเปนวาจะตองมีผลเฉลยเพยี งฟงกชนั เดียว การตรวจสอบ วาฟงกชันใดจะเปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธนั้นหรือไมก็สามารถตรวจสอบไดโดยการ แทนคาอนุพันธตางๆ ในสมการเชิงอนุพันธ ถาสมการนั้นเปนจริงก็แสดงวา ฟงกชันนั้น เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ นน้ั จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

104 บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามญั อันดบั หนงึ่ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ตวั อยา งท่ี 4.4 สมการเชิงอนพุ นั ธ dy - cos x = 0 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปน้ี dx วธิ ีทาํ ขั้นตอนที่ 1 กาํ หนด y = sin x ข้ันตอนท่ี 2 หาอนพุ ันธของ y จะได ddddyxxy = d(sdinx x) = cos ในสมการ จะได x ขั้นตอนท่ี 3 แทนคา cos x - cos x = 0 เปนจริง dy ตอบ ดังน้นั y = sin x เปน ผลเฉลยของสมการ dx - cos x = 0 นอกจาก y = sin x เปนผลเฉลยของสมการ dy - cos x = 0 แลว y = sin x +2 และ y = sin x - 3 dx ddxy - cos x = 0 เชนกัน หรือ y = sin x + C เม่ือ C เปนคาคงท่ีใดๆ ซ่ึงก็เปนผลเฉลยของสมการ เรียกคําตอบของสมการซ่ึงมีคา เปน y = sin x + 2 วาเปนผลเฉลยเฉพาะซึ่งจะเปนคําตอบท่ีแนนอน และเรียก y = sin x + C วา ผลเฉลยทวั่ ไป ตวั อยา งท่ี 4.5 จงแสดงวา y = ex2 เปนผลเฉลยของสมการ dy - 2xy =0 dx วิธีทํา ข้ันตอนท่ี 1 กาํ หนด y = ex2 จะได ข้ันตอนที่ 2 หาอนพุ ันธข อง y จะได dy = d(dexx2 ) = 2x ex2 dx แทนคา ddyx และ y ในสมการจะได ข้ันตอนท่ี 3 ddxy - 2xy = 0 2xex2 -2xex2 = 0 ตอบ y = ex2 เปนผลเฉลยของสมการ ddxy - 2xy = 0 ตัวอยางที่ 4.6 กาํ หนด y = esin x จงแสดงวา y เปน ผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ ddyx = y cos x เมือ่ ddyx = y cos x เม่ือ y(/2) = e วธิ ีทํา ข้นั ตอนที่ 1 กําหนดให y = esin x ขนั้ ตอนที่ 2 หาอนุพนั ธของ y จะได จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพันธส ามญั อนั ดับหน่งึ 105 ddxy = d(edsxin x ) ddxy = esin x(cos x) dy ข้ันตอนท่ี 3 แทนคา y และ dx ในสมการ จะได ddyx = y cos x esin x(cos x) = esin x(cos x) esin x(cos x) - esin x(cos x) = 0 ขัน้ ตอนท่ี 4 ดงั น้ัน y = esin x เปน ผลเฉลยของสมการ ข้นั ตอนท่ี 5 จากเงือ่ นไขเรมิ่ ตน y(/2) = e แทนคา y = esin x = esin( /2) = e ตอบ น่ันคอื y = esin x เปนผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ 4.4 การแกส มการเชงิ อนพุ ันธอนั ดบั หนงึ่ การแกสมการเชิงอนุพันธเปนการหาฟงกชันซึ่งเมื่อนํามาแทนคาในสมการเชิงอนุพันธแลว ทําใหสมการดังกลาวนั้นเปนจริง สมการอันดับหนึ่งแบงเปนประเภทตางๆ โดยอาศัยรูปแบบ ของสมการแบงไดด ังน้ี คอื 1. สมการแบบแยกตัวแปรได (Separable equations) 2. สมการแบบเอกพันธ (Homogeneous equations) 3. สมการแมน ตรง (Exact equations) 4. สมการเชิงเสน (Linear equations) 4.4.1 สมการแบบแยกตัวแปรได (Separable equations) 4.4.1.1 รปู แบบสมการเชงิ อนุพันธแบบแยกตัวแปรได มีรูปแบบท่วั ไปดงั น้ี M ( x) + N ( y ). dy = 0 (4.5) dx พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เปนสมการเชิงอนุพันธ แบบแยกตัวแปรไดก็ตอเมอ่ื สามารถจัดสมการใหอยูในรูป M(x)dx + N(y)dy = 0 โดยท่ี M(x) และ N(y) เปนฟงกชันของ x และ y ตามลาํ ดับ จากสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตวั แปรได M(x)dx + N(y)dy = 0 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

106 บทที่ 4 สมการอนพุ นั ธส ามัญอันดับหนง่ึ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส จะได M (x ) + N ( y ). dy = 0 dx เม่อื y = y(x) เปน ผลเฉลยของสมการ จะได M (x) + N ( y(x)) y = 0 ทําการหาปริพนั ธเ ทยี บกบั ตัวแปร x ท้ังสองขาง จะได  M (x)dx +  N ( y(x))ydx = C เม่อื C เปน คาคงตัว เน่ืองจาก dy = y(x)dx จะได  M(x)dx +  N (y)dy = C ดงั น้นั ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการที่ (4.5) คอื  M(x)dx +  N (y)dy = C ตวั อยางของสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตวั แปรได เชน dy 1. 2 x +1 + ( y2 - 3) dx = 0 ซ่ึง M(x) = 2x + 1 และ N(y) = y2 - 3 2. 2 x 2+ ( y -1). ddyx =0 ซ่งึ M(x) = 2x2 และ N( y) = y -1 4.4.1.2 วิธกี ารแกส มการแบบแยกตวั แปรได ข้ันตอนท่ี 1 จดั สมการใหอ ยใู นรปู M(x)dx + N(y)dy = 0 ข้ันตอนท่ี 2 ทาํ การหาปรพิ นั ธข อง M(x) และ N(y) จะได  M(x)dx + N(y)dy = 0 ขน้ั ตอนที่ 3 จดั สมการใหอ ยูใ นรปู ผลเฉลยท่ัวไป หรือผลเฉลยเฉพาะ 4.4.2 การหาคําตอบท่ัวไปของสมการแบบแยกตวั แปรมี 4 ชนดิ ดว ยกัน คือ 4.4.2.1 รปู ของสมการเปน ddxy = M (x) จดั สมการใหอ ยใู นรปู dy = M (x)dx ทําการหาปรพิ ันธท ัง้ สองขางของสมการจะได dy =  M(x)dx ดังนัน้ ผลเฉลยท่ัวไป มคี า เปน y = M(x)+C จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนพุ ันธสามญั อันดบั หนึง่ 107 ตวั อยา งที่ 4.7 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอ ไปน้ี dy = 4x + 3 dx วิธที าํ ขัน้ ตอนที่ 1 จดั สมการใหอ ยูในรปู dy = M (x)dx จะได dy = (4 x + 3)dx ขน้ั ตอนที่ 2 หาผลเฉลยโดยหาปริพันธข องสมการ dy = 4xdx + 3 dx y = 4 x22 = + 3x + C ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คอื y = 2x2 + 3x + C 4.4.2.2 รปู ของสมการเปน dy = MN ((yx)) dx จัดสมการใหอยูใ นรปู N(y)dy = M(x)dx ทําการหาปรพิ ันธทงั้ สองขา งของสมการจะได  N(y)dy =  M(x)dx ดังนน้ั ผลเฉลยท่ัวไป มคี า เปน N(y)= M(x)+C ตวั อยางที่ 4.8 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการตอ ไปน้ี dy = 45x+y 3 dx วิธที าํ ขนั้ ตอนท่ี 1 จดั สมการใหอ ยูในรปู N(y)dy = M(x)dx (5y)dy = (4x+3)dx ขน้ั ตอนที่ 2 ทาํ การหาปริพันธท งั้ สองขา งของสมการจะได  N(y)dy =  M(x)dx (5y) dy = (4x + 3) dx 5y2 2 = 4 2x 2 + 3x + C y2 = 25 (2x2 + 3x + C ) y = 52 (2x2 + 3x +C) ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ y = 52 (2x2 + 3x +C) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

108 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธสามัญอนั ดับหนึ่ง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส 4.4.2.3 รูปของสมการเปน dy = ky dx จดั สมการใหอยใู นรปู dy = (ky)dx และนํา y ไปหารท้ังสองขา งของสมการจะได 1y dy = k dx ทาํ การหาปรพิ นั ธท ั้งสองขา งของสมการจะได  1y dy = k dx ln y = kx + C จดั สมการเพ่ือเขยี นผลเฉลยในรูปตวั แปร y eln y = e(kx+C) y = ekx .eC y = C.ekx ตวั อยา งท่ี 4.9 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการตอไปน้ี ddyx = 4 y วิธีทํา ข้ันตอนท่ี 1 จดั รูปสมการ dy = (ky)dx dy = (4 y)dx ข้นั ตอนที่ 2 นํา y ไปหารทั้งสองขา งของสมการจะได ขัน้ ตอนท่ี 3 1y dy - 4dx = 0 ทําการหาปรพิ ันธทง้ั สองขา งของสมการจะได  1y dy - 4 dx = 0 dx ln y - 4x = C ln y = 4x + C ขั้นตอนที่ 4 เขียนผลเฉลยของสมการในรปู ตวั แปร y ey = e4x+C y = e4x.eC = C.e4x ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ y = C.e4x จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนพุ นั ธส ามัญอนั ดบั หนงึ่ 109 4.4.2.4 รูปของสมการเปน dy = k(A- y) dx จัดสมการใหอ ยใู นรูป dy = k(A- y)dx นํา A- y ไปหารท้งั สองขางของสมการจะได A1-y dy = k dx ทาํ การหาปริพันธท ้งั สองขา งของสมการจะได  A1-y dy = k dx  -dA(A-y-y) = kx + C  d(AA--yy) = -(kx + C) ln(A-y) = -(kx - C) eln(A-y) = e-(kx+C) A - y = e-kx.e-C A - y = Ce-kx y = A - Ce-kx ตัวอยางท่ี 4.10 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการตอ ไปน้ี ddyx = 5(3- y) วิธีทาํ ขน้ั ตอนท่ี 1 จัดสมการใหอยใู นรปู dy = k(A - y)dx dy = 5(3 - y) dx ขน้ั ตอนท่ี 2 นาํ (3- y) ไปหารทง้ั สองขา งของสมการจะได (31- y) dy = 5dx (31- y) dy - 5dx = 0 ขนั้ ตอนท่ี 3 หาผลเฉลยโดยทําการหาปรพิ นั ธจะได  31- y dy - 5 dx = 0 จาก d(3- y) = -dy จะได -d(3- y) = dy  -d3(3--yy) dy -5x = 0  -d3(3--yy) dy = 5x -ln(3 - y) = 5x + C ln(3- y) = -(5x + C) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

110 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามญั อนั ดบั หนง่ึ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส eln(3-y) = e-(5x+C) eln(3-y) = e-5x. e-C 3 - y = e-5x. C ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ y = 3 - e-5x. C ตัวอยางท่ี 4.11 จงหาผลเฉลยของสมการ ddxy = 2xy2 วิธีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 จัดสมการใหอ ยใู นรปู dy = (ky)dx 1 dy = 2xy2dx y2 ข้นั ตอนท่ี 2 คณู ท้งั 2 ขางของสมการ จะได 1 dy = 2x dx y2 1 -2x dx + y2 dy = 0 ขนั้ ตอนที่ 3 หาผลเฉลยโดยทําการหาปรพิ นั ธจะได 1  (-2x)dx + y2 dy = 0  -22x2 + -y1 = C (C เปน คา คงตวั ไมเจาะจง) ข้ันตอนท่ี 4 จัดสมการในรปู y = x เพื่อหาผลเฉลยจะได -x2 + -y1 = C -y1 = x2 + C 1 y = - x2+C ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คอื y = - 1 x2+C ตวั อยางท่ี 4.12 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการ (4xy)dx + (x2 + 1)dy = 0 วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จัดรปู สมการแบบแยกตวั แปร ข้ันตอนท่ี 2 นํา (x2+1) มาลบท้ังสองขา งสมการ (4xy)dx = - (x2 + 1)dy 1 นํา - x 2 +1 มาคณู ทัง้ สองขางสมการ - 4x dx = 1y dy x 2 +1 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหนงึ่ 111 ขัน้ ตอนที่ 3 หาผลเฉลยโดยทาํ การหาปริพนั ธจะได 4 x  1y dy  x2 +1 dx = ให u = x2 + 1 du = 2x dx จะได 2 u1 du =  1y dy -2 ln |u| + ln C = ln y - ln |u|2 + ln C = ln y C ln u2 = ln y y = C = C u2 (x2 +1) C ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ y = (x2 +1) ตวั อยา งท่ี 4.13 จงแกส มการตอ ไปนโี้ ดยใชก ารแยกตวั แปร tan dr + 2r dθ = 0 วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จดั รปู สมการแบบแยกตวั แปร tan dr + 2r d = 0 tan dr = - 2r dθ 2-1r dr = tan1 θ dθ ข้ันตอนท่ี 2 ทาํ การหาปรพิ ันธท ้ัง 2 ขา งของสมการ - 21r dr = - tan1 θ dθ - 21r dr =  cot θdθ - 12 ln |r| = ln |sinθ | + ln |C| r-12 = C sinθ 1 r = C sinθ 1 = r C sin θ 1 r = (C sin θ)2 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ r = 1 (C sin θ)2 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

112 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธส ามญั อนั ดบั หนง่ึ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยางที่ 4.14 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ dy = 2 xy dx วิธที ํา ข้ันตอนที่ 1 จดั สมการแบบแยกตัวแปร dy = 2 xy dx ขัน้ ตอนที่ 2 นําตัวแปร y มาหารทงั้ สองขางของสมการจะได 1y dy = 2 1x dx ขนั้ ตอนท่ี 3 ทาํ การหาปริพนั ธท ้ัง 2 ขา งสมการจะได  1y dy = 2 1x dx จะได ln y = 2 ln x + C ln y - 2 ln x = C ln y - ln x2 = C ln y =C y x2 x2 = eC y = x2eC ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ y = x2eC ตัวอยา งท่ี 4.15 จงแกส มการเชิงอนุพนั ธ y = 1+ y2 วธิ ที ํา ข้นั ตอนที่ 1 จากโจทยกาํ หนดให y = 1+ y2 เขยี นสมการใหมเ ปน ขัน้ ตอนท่ี 2 ddxy = 1+ y2 จัดรูปสมการใหอยใู นรูปแบบสมการแบบแยกตัวแปร dy = (1+y2)dx นาํ (1+ y2) มาหารทัง้ สองขา งของสมการจะได 1 (1+ y 2 ) dy = dx ข้นั ตอนท่ี 3 ทาํ การหาปริพันธท ง้ั สองขา งของสมการจะได 1  (1+ y 2 ) dy = 1 dx จากสตู รการหาปริพันธ  1 du = tan-1u + C u2 +1 จะได 1 dy = 1 dx  (1+ y2 ) tan-1y = x + C จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธสามัญอนั ดับหนง่ึ 113 y = tan (x + C) ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คอื y = tan (x + C) ตวั อยางที่ 4.16 จงหาผลเฉลยของสมการ eyy= 3t -1 เม่ือ y(0) = 1 วธิ ีทํา ข้ันตอนที่ 1 โจทยก ําหนดให eyy= 3t -1 เขียนสมการเปน ข้นั ตอนท่ี 2 e y ddyt = 3t -1 จัดสมการแบบแยกตัวแปรจะได eydy = (3t -1)dt ขน้ั ตอนที่ 3 ทําการหาปริพนั ธท งั้ สองขางของสมการ ข้ันตอนท่ี 4  e ydy = (3t -1)dt  e ydy = (3t)dt - 1dt e y = 32t2 -t + C หรือ y = ln( 32t2 -t +C ) เปน ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ แทนคา y(0) = 1 ในผลเฉลยทวั่ ไปจะได y(0) = ln( 3(02)2 - 0 + C) 1 = ln(0 - 0 + C ) 1 = ln(C ) จะได C = e แทนคา C ในผลเฉลยทวั่ ไปจะได y = ln( 32t2 -t + e) ตอบ ผลเฉลยเฉพาะของสมการเม่ือ y(0) = 1 คอื y = ln( 32t2 -t + e) ตวั อยา งที่ 4.17 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปน้ี 7yy+2x = 0 วธิ ีทํา ขน้ั ตอนท่ี 1 โจทยก ําหนดให 7yy+2x = 0 เขียนสมการเปน ขั้นตอนท่ี 2 dy 7 y dx + 2x = 0 จัดสมการแบบแยกตัวแปร 7 y ddxy = - 2x 7ydy = -2xdx จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

114 บทที่ 4 สมการอนพุ นั ธส ามัญอันดับหน่ึง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ขนั้ ตอนท่ี 3 ทําการหาปรพิ นั ธท ง้ั สองขา งของสมการ 7ydy = -2xdx 7 y22 = - 22x2 + C 2772 2 -x2 +C y 2 = x2 =C y + ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คอื 27 y2 + x2 = C ตวั อยา งท่ี 4.18 จงหาผลเฉลยของสมการตอไปน้ี (1 + x 2 ) dy = 2 x ( y -1) dx วิธีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 จัดรูปสมการใหอยูในรูปแบบสมการแบบแยกตวั แปร (1+ x2 )dy = 2x( y -1)dx นาํ (1+x2) มาหารทง้ั สองขางของสมการ จะได 2x dy = (1+x2 ) ( y -1)dx นาํ (y-1) มาหารทง้ั สองขางของสมการ จะได yd-y1) ( = 2x ) dx (1+x2 ขนั้ ตอนที่ 3 ทาํ การหาปริพันธท งั้ สองขางของสมการ yyu111--11duddyy===lnu11u+2+dxxCu2=กdาํlxnหuน+ดใCห= uln=(yy จากสตู ร  -1 และ du = dy จะได -1) +C   2x สาํ หรบั  1+x2 dx กําหนดให v = 1 + x2 และ dv = 2x dx 21x dv หรอื dx = 2x 2vx 21x  1+x2 dx =   dv ดังน้ัน  y1-1 dy = = 1+21vxx2dvd=x ln v +C = ln(1+ x2 ) +C ln(y-1) = ln(1+x2) + ln C ln(y-1) = ln((1+x2) .C) จากคณุ สมบตั ิของลอการิทึมจะได ( y -1) = (1+ x2 ).C จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามัญอนั ดบั หน่ึง 115 y = (1+ x2 ).C +1 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ y = (1+ x2 ).C +1 4.5 สมการเชงิ อนุพันธสามญั อันดบั หนงึ่ กบั การประยกุ ตใ ชง านทางไฟฟา 4.5.1 สมการแบบแยกตวั แปร จะมคี า เปน ตวั แปร x และ ตัวแปร t คือเวลาโดยจะมสี มการเปน dx dt + ax = 0 (4.6) 4.5.2 วธิ กี ารแกส มการ ข้นั ตอนที่ 1 จัดสมการใหอยูในรปู แบบแยกตวั แปร ขน้ั ตอนที่ 2 dx dt = - ax 1x dx = - adt ทําการหาปริพนั ธเ พือ่ หาผลเฉลย  1x dx = - a dt ln x = - at + k ซ่ึง k = คา คงท่ี ขนั้ ตอนที่ 3 หาคา คงท่ี k เมือ่ เวลา t = 0 และ x (0+) จะได ln x (0+) = k ขนั้ ตอนที่ 4 แทนคา k = ln x (0+) ในสมการ ln x = - at + k ln x = - at + ln x (0+) ln x - ln x (0+) = -at ln  x  = -at  x(0+ )      x x(0+ ) = e-at  x = x (0+)e-at x = x (0+)e-at จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

116 บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามัญอันดับหนงึ่ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส 4.5.3 การสะสมพลงั งานของอุปกรณ ตารางที่ 4.1 การเกบ็ สะสมพลังงานของตัวอปุ กรณ ตวั แปร ตัวเหนี่ยวนาํ ตวั เกบ็ ประจุ สัญลักษณแ ละทศิ ทางการไหล แรงดัน v = L di v = C1 t i d + v(0) กระแส dt กาํ ลังไฟฟา L1 0 dv พลังงาน dt i = t vd + i(0) i = C สภาวะคงตวั 0 di dv dt dt P = Li P = Cv W = 1 Li 2 W = 1 Cv2 2 2 ลัดวงจร เปดวงจร กระแสคงท่ี แรงดันคงท่ี 4.5.4 การพิจารณาการทํางานของวงจรท่สี ภาวะเรมิ่ ตน 4.5.4.1 ถาวงจรประกอบดวยตัวตานทานและตัวเหน่ียวนําตออนุกรมกัน (RL Series Circuit) ตามรูปท่ี 4.5 t = 0+ รูปท่ี 4.5 วงจรตวั ตา นทานและตวั เหน่ียวนําตอ อนกุ รมที่สภาวะเรมิ่ ตน จากรูปท่ี 4.5 สัญลักษณ แทนสวิตชปด หมายความวา กอนหนาน้ีวงจร อยใู นสภาวะปดกอ นแลวจึงเปดออก ดังน้ันจะไดว งจรตามรปู ท่ี 4.6 จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพันธส ามญั อนั ดบั หน่งึ 117 RR V LV i(0) L is short circuited รปู ท่ี 4.6 เมอ่ื สวติ ชป ด วงจร ท่เี วลา t < 0 เสมือนวาตัวเหนี่ยวนําลัดวงจรสามารถหาคากระแส iL ไดดังน้ี i (0-) = V (เมื่อ i (0-) คือ R คากระแสไฟฟาทส่ี ภาวะเริ่มตน (Initial condition) 4.5.4.2 ถาวงจรประกอบดวยตัวตานทานและตัวเหนีย่ วนําตอผสมกันลกั ษณะดงั รปู ที่ 4.7 R1 t = 0+ R2 รูปท่ี 4.7 วงจร RL ตออนกุ รมกับ R R1 R2 i(0- ) รูปที่ 4.8 วงจรทาํ งานทีส่ ภาวะเรม่ิ ตน พิจารณาท่ีสภาวะเริ่มตนน้ันตัวเหน่ียวนําจะเสมือนลัดวงจรดังน้ันไมมีกระแสไหลผาน ตัวตานทาน R2 ดังน้ันสามารถหาคากระแสที่สภาวะเรมิ่ ตนไดดังน้ี V i(0-) = R1 (4.7) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

118 บทท่ี 4 สมการอนพุ ันธส ามญั อนั ดบั หนง่ึ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส 4.5.4.3 ถาวงจรประกอบดวยตัวตานทานและตัวเก็บประจุตออนุกรมกัน (RC Series Circuit) ดังรปู ที่ 4.9 t = 0+ vc รปู ท่ี 4.9 วงจรแบบอนกุ รม RC การพิจารณาการทํางานของตัวเก็บประจุใสภาวะเร่ิมตน ตัวเก็บประจุจะเสมือนวาเปด วงจรดังนน้ั แรงดันทตี่ กครอ มตวั เกบ็ ประจุ (vc) จะมคี า เทา กับแรงดันท่ีแหลงจา ยไฟ (V) vc vc รปู ท่ี 4.10 การทาํ งานของตวั เก็บประจใุ นสภาวะเรมิ่ ตน vc (0-) = V (4.8) 4.5.4.4 ถาวงจรประกอบดวยตวั ตา นทานและตวั เกบ็ ประจตุ อผสมกันดงั รปู ที่ 4.11 R1 t  0+ R2 รปู ท่ี 4.11 วงจร RC เม่อื ตอ ขนานกับ R จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพันธสามัญอันดบั หน่ึง 119 เม่ือพิจารณาที่สภาวะเร่ิมตนเม่ือสวิตชอยูท่ีตําแหนงท่ี 1 ตัวเก็บประจุจะทําหนาที่ในการ สะสมพลงั งานและเสมือนวาตัวเก็บประจุเปดวงจรอยู คาแรงดันของตัวเก็บประจุทสี่ ภาวะเร่ิมตน จะมีคา เทากับแรงดันที่แหลงจาย vc (0-) = V R1 vc (0- ) รูปที่ 4.12 ทสี่ ภาวะเรมิ่ ตน 4.5.4.5 การหาคาสภาวะเริม่ ตน ของวงจรทซี่ ับซอ นยงิ่ ขน้ึ R1 R3 t=0 V R2 R4 L L is short circuited รปู ท่ี 4.13 การพจิ ารณาสภาวะเร่มิ ตน ของวงจรท่ซี ับซอ น เมื่อพจิ ารณาที่สภาวะเร่มิ ตนตัวเหน่ยี วนําจะเสมอื นกบั ลดั วงจรดังน้ันจะไมม ีกระแสไหล ผา นตวั ตานทาน R2 และตัวตานทาน R4 จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

120 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธสามัญอนั ดับหนึ่ง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส R1 R3 V1 R2 R4 i(0- ) รูปท่ี 4.14 ทสี่ ภาวะเร่ิมตน ของตัวเหนย่ี วนาํ จะลัดวงจร ดงั นั้นสามารถหาคาของกระแสท่ไี หลในวงจรทสี่ ภาวะเรม่ิ ตน ไดจากสมการ V i(0-) = R1 +1R3 (4.9) 4.5.4.6 พิจารณาวงจรการตอแบบผสมสาํ หรับตวั ตา นทาน ตัวเหนีย่ วนําและตัวเกบ็ ประจุ R1 1 2 t 0 R2 R3 รูปที่ 4.15 วงจรการตอแบบผสมของ RLC R1 vc VR2 R2 รูปท่ี 4.16 การทํางานที่สภาวะเริ่มตน จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพันธส ามัญอนั ดับหน่ึง 121 ในสภาวะเร่ิมตนสวิตชอยูทีต่ ําแหนงที่ 1 สําหรับการทํางานท่ีสภาวะเร่ิมตนตัวเก็บประจุ จะเสมือนเปดวงจร และตัวเหนี่ยวนําจะเสมือนลัดวงจรตามรูปที่ 4.15 ดังน้ันแรงดัน VR2 เทากับ แรงดันที่ตกครอมตัวเก็บประจุ  vc (0-) = VR2 (4.10) และจากกฎของการแบง แรงดนั สามารถหาคา แรงดนั ทตี่ กครอ ม VR2 ไดตามสมการ VR2 =  R1 R V  +2R2   (4.11) ตวั อยา งที่ 4.19 จงหาคาผลตอบสนองทางธรรมชาตขิ องกระแสเหน่ียวนํา iL ของวงจรในรูปที่ 4.17 R1 S1 vs = Vo iL รปู ที่ 4.17 วงจรการตอ ตวั ตานทานและตวั เหนีย่ วนํา วธิ ที าํ ขน้ั ตอนที่ 1 หาคาการทาํ งานทสี่ ภาวะเรมิ่ ตน ท่ีเวลา t = 0+จะไดวา สวติ ช S1 จะปด วงจร ดังน้ันคาตัวเหนี่ยวนําจะเสมือนกับลัดวงจร จึงไมมีกระแสไหลผาน ตวั ตา นทาน R R1 S1 vs = Vo iL (0+ )  ไมมกี ระแสไหลผาน R iL (0+) = VRo1 ลัดวงจร จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

122 บทที่ 4 สมการอนุพันธสามญั อนั ดบั หนึง่ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขนั้ ตอนท่ี 2 ท่เี วลา t  0 สวติ ช S1 จะเปด ออกทําใหต ัวเหนยี่ วนาํ และตวั ตานทาน ตอ กันอยู ใชห ลกั การของลูปจะได VLLdd+itLV+R RiL = 0 = 0 vs = Vo iL ข้นั ตอนท่ี 3 dditL + RL iL = 0 ขน้ั ตอนท่ี 4 ไดสมการอนพุ ันธส ามัญอนั ดบั 1 คอื dditL + RL iL = 0 ข้นั ตอนที่ 5 ทาํ การแยกตวั แปร dditL = - RL iL dditL = - RL dt ทาํ การหาปรพิ ันธจ ะได  diiLL = - RL dt ln iL = - RL t + K หาคาคงท่ี K เมือ่ เวลา t = 0 และ iL(0+) จะได ; คา K เปน คาคงท่ี (เนอื่ งจาก ใชส ัญลักษณ C แลว) iL(0+) = VRo1 แทนคา iL(0+) ln iL = - RL t + K ln iL(0+) = - RL (0) + K VRo1 ln   = K     จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธส ามัญอันดบั หนงึ่ 123 ขัน้ ตอนที่ 6 แทนคา K = ln  VRo1  จะได     ln iL = - RL t +  VRo1      ln iL – ln  VRo1  = - RL t      ln  VRiLo1  = - RL t [คณุ สมบัติ ln  xy  = ln x - ln y]               VRiLo1 = e- R t [คณุ สมบตั ิ ln e y = ax มีคา เปน y = eax] L  iL = VRo1 e- R t L ตอบ ผลตอบสนองทางธรรมชาติของกระแสเหนีย่ วนาํ iL มคี าเปน iL = VRo1 e- R t L x = x(0+) e- at ตวั อยางที่ 4.20 จงหาผลตอบสนองทางธรรมชาติ (Natural response) สําหรับตัวเก็บประจุ vc ในรูปท่ี 4.18 R1 t0 vs = Vo vc รปู ที่ 4.18 วงจรตวั อยา งท่ี 4.16 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

124 บทที่ 4 สมการอนุพันธส ามัญอันดบั หนึง่ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 หาคาทสี่ ภาวะเร่ิมตน เมือ่ t = 0+ จะไดว งจรดงั รูป R1 a คา ตวั เก็บประจจุ ะเหมอื นกับเปด วงจร vs = Vo +-vc(0+) vc(0+) = Vo ขน้ั ตอนที่ 2 หาสมการท่เี วลา t  0 จะไดว งจรดังรปู จากกฎกระแสของเคอรชอฟท จะได vc iC + iR = 0 iC ซ่งึ iC = C ddvtc และ iR= vRc iR C ddvtc + vRc = 0 ขน้ั ตอนที่ 3 ddvtc + RvCc = 0 ไดส มการอนุพันธส ามญั อันดับหน่งึ คือ ขั้นตอนที่ 4 ddvtc + RvCc = 0 ddvtc = - RvCc v1c dvc = - R1C dt ทําการหาปรพิ นั ธ จะได  1 dvc = - R1C dt vc ln vc = - R1C t + K 1 vc = e- RC t+K ตอบ ผลตอบสนองทางธรรมชาตสิ าํ หรับตัวเก็บประจุ vc คอื e - 1 t +K RC จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพันธสามญั อนั ดับหน่ึง 125 ตวั อยา งที่ 4.21 จงหาคา vCที่ t  0 vc 200  รูปที่ 4.19 วงจรตวั อยางที่ 4.17 วิธที าํ ขัน้ ตอนท่ี 1 พจิ ารณาคา t = 0- จะไดว า ตวั เกบ็ ประจุ C เสมอื นเปด วงจร  vc(0-) = 5 V vc (0-) ขั้นตอนท่ี 2 เมอื่ t = 0+ ; สวิตชอ ยทู ีต่ าํ แหนง 2 iC vc  iR ic + iR = 0 Cddtvc + iR =0 ddvtc + iCR =0 ซง่ึ iR = vRc จะได ddvtc + RvCc = 0 ใชวิธีการแยกตวั แปร จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

126 บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหน่งึ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขนั้ ตอนท่ี 3 ในกรณี ตวั แปร x คือ vc ตัวแปร y คือ t ddvtc = R-vCc 1 1 vc dvc = - RC dt ขน้ั ตอนที่ 4 ทําการหาปริพันธท งั้ สองขา ง โดย RC เปนคาคงท่ี 1  vc dvc = - 1  dt RC 1 ln vc = - RC t + K หมายเหตุ K = คา คงที่ (เนอ่ื งจากใชสัญลกั ษณ C แลว ) ขนั้ ตอนที่ 5 หาคา K โดยทราบ vc (0-) = 5 V แทนคา t = 0-ในสมการ ln vc = - 1 t + K จะได RC 1 ln vc(0-) = - RC (0) + K ln vc(0-) = K ข้นั ตอนท่ี 6 จะได K = ln vc(0-) จะได 1 RC ln vc = - t + ln vc (0- ) ln vc - ln vc(0-) = - 1 t = RC vc 1 ln vc (0- ) - RC t vc = e- R1C t vc (0-) vc = vc(0-) e-R1C t ตอบ คา vC ท่ีเวลา t > 0 มีคาเปน vc = vc(0-) e-R1Ct ตัวอยางท่ี 4.22 ถังผสมสารละลายเกลือมีขนาดความจุ 10 ลิตร มีเกลือในถัง 20 กิโลกรัม โดยมีมอเตอรทาํ หนาที่กวนสารละลายในถังใหเขากนั จนกระท่ังไมมีเม็ดเกลือเหลืออยู ซ่ึงปริมาตร ของน้ําบริสุทธ์ทิ ไ่ี หลเขามอี ตั ราการไหลเขา 3 ลติ ร/นาที และอัตราการไหลออกของสารละลายเกลอื 2 ลิตร/นาที จงหาปรมิ าณของเกลือทีเ่ หลืออยใู นถงั เม่ือเวลาผานไป 5 นาที จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามญั อนั ดับหน่ึง 127 รปู ท่ี 4.20 การผสมการละลายในแทงค (ทมี่ า : http://topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/X3530954/X3530954.html ) วธิ ีทํา ขนั้ ตอนท่ี 1 เขยี นสมการอนุพนั ธอันดบั 1 โดยพจิ ารณาเง่ือนไขความสมั พันธ ของตัวแปรตางๆ ดังน้ี กาํ หนดให P(t) = ปรมิ าตรของสารละลายทีอ่ ยใู นถงั ท่เี วลา t วินาที V0 = ปริมาตรของสารละลายตงั้ ตน P = ปรมิ าณของเกลอื โดย V0 = 10 ลติ ร ปริมาตรของสารละลายทไ่ี หลเขา = อตั ราการไหลเขา  เวลาอตั รา ไหลเขา 3 ลติ ร/นาที ปรมิ าตรของสารละลายทไี่ หลเขา = 3 ลิตร/นาที  t = 3t ปรมิ าตรของสารละลายทไ่ี หลออก = อตั ราการไหลออก  เวลาอัตรา ไหลออก 2 ลติ ร/นาที ปรมิ าตรของสารละลายทีไ่ หลออก = 2 ลิตร/นาที  t = 2t ปริมาตรของสารละลายในถัง = ปรมิ าตรของสารละลายตงั้ ตน + ปริมาตรสารละลายที่ไหลเขา – ปรมิ าตรสารละลายทไ่ี หลออก ปริมาตรของสารละลายในถงั P(t) = 10 ลิตร + 3t -2t P(t) = 10 - t จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

128 บทที่ 4 สมการอนุพันธสามญั อันดับหน่ึง คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ความเขมขน ของสารละลาย = นํา้ หนักของของแขง็ / ปรมิ าตรของ สารละลาย ความเขมขน ของสารละลาย = P/10 - t dP dt = อัตราการเปล่ียนแปลงของสารละลายในถงั ผสม - อตั ราการไหลออก ของสารละลาย dP P 2P dt = - 10 + t 2 = - 10 + t ข้ันตอนท่ี 2 ทําการแกสมการโดยใชว ธิ กี ารแกส มการแบบแยกตัวแปร 2P dP = - 10 + t dt 2P dP = - 10 + t dt 1 dP = - 2 t dt P 10 + ทําการหาปริพนั ธท ้ังสองขางสมการจะได  P1dP 2 = - 10 + t dt ln P = -2 ln 10 + t +C ln P = ln 10 + t -2 +C โดยที่ C เปน คา คงท่ี ln P = ln C 10 + t -2 P = C 10 + t -2 แตเน่ืองจากสภาวะท่ีเปนลบหรือเวลานอยกวา 0 ไมสามารถหาคา ปรมิ าณของน้ําเกลือได ดงั นน้ั จงึ พิจารณาเฉพาะทเี่ วลามากกวาศูนยเ ทา น้ันจะได P = C 10 + t -2 P = C (10 + t)2 ดงั นั้นสมการท่ีเวลา t ใดๆ มีคาเปน P = C t)2 (10 + หาคาคงที่ C ที่สภาวะเร่มิ ตน t = 0 ภายในแทงคบรรจเุ กลือ 20 kg จะได ที่เวลา t = 0 ; P(0) = 20 แทนในสมการทีเ่ วลา t ใดๆ จะได P = C t)2 (10 + จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามัญอนั ดบั หนึ่ง 129 20 = C (10 + 0)2 20 = C 100 C = 2000 ขั้นตอนท่ี 3 คาํ นวณหาคา ปริมาณเกลอื ทเ่ี วลา t = 5 จะได 2000 P(5) = (10 + 5)2 = 2000 = 8.89 kg 152 ตอบ ปรมิ าณของเกลือในแทงคเมือ่ ผา นไป 5 นาที จะเหลืออยู 8.89 kg ตัวอยางที่ 4.23 ชางทําดาบนําแทงเหล็กเขาเตาเผาเพื่อใหความรอน จนกระทั่งเหล็กมีอุณหภูมิ 100 องศาเซลเซียส จึงนําออกมาวางไวในหองท่ีมีอุณหภูมิคงที่ 0 องศาเซลเซียส เม่ือเวลาผานไป 10 นาที อุณหภูมิของแทงเหล็กลดลงมีคาเปน 50 องศาเซลเซียส จงหาสมการของอุณหภูมิของ แทง เหล็ก ณ เวลา t ใด ๆ และเวลานานเทาใดแทง เหลก็ จะมีอณุ หภมู ลิ งลงเปน 30 องศาเซลเซยี ส รปู ที่ 4.21 การใหความรอนกบั แทงเหล็ก (ทีม่ า : http://www.amphawaknife.com/?cid=753969) วธิ ีทาํ ขั้นตอนท่ี 1 เขยี นสมการความสัมพนั ธเชงิ อนพุ นั ธ กาํ หนดให T = อุณหภมู ขิ องแทงเหลก็ ณ เวลา t ใดๆ (C) Tm = อณุ หภมู ิหอ งซงึ่ มอี ณุ หภมู คิ งที่ 0C (C) dT dt = อตั ราการเยน็ ลงของแทง เหล็ก ณ เวลา t (C/t) t = เวลา (min) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

130 บทที่ 4 สมการอนุพันธส ามัญอันดบั หนง่ึ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส จากสมการการเยน็ ตัวของวัตถเุ ปน ไปตามสมการความสมั พนั ธด ังน้ี dT dt +kT= kTm โจทยก ําหนดใหอุณหภูมิหองมีคา คงที่ 0C แทนคา Tm = 0 ในสมการได dT dt + kT = 0 ขนั้ ตอนท่ี 2 ทําการแกส มการแบบแยกตัวแปร ซงึ่ มตี วั แปร 2 ตัวแปร ไดแก ตวั แปร T ขัน้ ตอนท่ี 3 และ t dT dt + kT = 0 dT = -kT dt 1 T dT = -k dt ทาํ การหาปรพิ นั ธท งั้ สองขางของสมการจะได 1  T dT = -k  dt ln T = -kt + C1 ln T = C1- kt T = eC1-kt T = eC1.e-kt ; (C1 = คาคงท)ี่ หาคา คงที่ C1 โดยพิจารณาท่ีสภาวะเร่ิมตน t = 0 วินาที T = 100C แทนคา ในสมการจะได 100 = eC1.e-k(0) = eC1 = C ผลเฉลยเฉพาะมคี าเปน T = 100.e-kt หาคาคงที่ k เม่ือเวลาผานไป 10 นาที (t = 10 ) อุณหภูมิลดลงเปน 50C (T = 50) แทนคาในสมการจะได 50 = 100.e-k(10) 50 100 = e-10k 0.5 = e-10k ln (0.5) = ln e-10k จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพันธสามญั อันดบั หนึง่ 131 ln (0.5) = -10 k 1 k = 10 (ln 0.5) = 0.06931 ดังน้นั สมการอุณหภูมทิ เ่ี วลา t ใดๆ มีคา เปน T = 100 e-0.06931t ขน้ั ตอนที่ 4 ตองการหาคา เวลาทจี่ ะทําใหอ ุณหภูมลิ ดลง 30C แทนคาในสมการ T = 100 e-0.06931t 30 = 100 e-0.06931t 30 100 = e-0.06931t ln 30 = ln e-0.06931t 100 -1.2039 = -0.6931l t -1.2039 t = -0.0639 = 17.37 นาที ตอบ อุณหภูมขิ องเหลก็ ลดลง 30C ท่เี วลา 17.37 นาที ตวั อยางที่ 4.24 กลองส่ีเหล่ียมกลองหน่ึงถูกแรงกระทําใหเคลื่อนที่ในแนวราบดวยความเร็วตน 10 m/s และความเรง 4 m/s2 เมื่อ t = 0 วัตถุจะอยูหางจากจุดเริ่มตน 20 m จงหาความเร็วและ ตําแหนงของกลอ งสเี่ หล่ียมนเี้ มื่อเวลาใดๆ รูปท่ี 4.22 การเคล่ือนทใี่ นแนวราบ (ทม่ี า : http://2simquality.blogspot.com/) วิธที าํ ข้ันตอนท่ี 1 เขยี นสมการความสัมพันธ โดยจําลองการทํางานของระบบตามกฎการ เคลอ่ื นทข่ี องนิวตนั ปริมาณทเ่ี กี่ยวขอ ง ไดแก มวลของวัตถุ =m ความเร็วของวัตถุ = v แรงท่ีกระทาํ ตอวตั ถุ = F จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

132 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามญั อนั ดบั หนึง่ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เมือ่ โมเมนตมั ของวัตถุ คอื มวลของวตั ถุ  ความเรว็ ของวตั ถุ M=mv dM d(mv) dt dt อัตราการเปลีย่ นแปลงโมเมนตัม คอื = จากกฎการเคลื่อนท่ขี องนวิ ตัน d(mv) F dt  d(mv) หรือ dt = kF ; เมื่อ k = คาคงที่ ในกรณเี ปน วตั ถุคงมวล คา k = 1 ดงั น้ันจะได d(mv) dt = F จากรปู ที่ 4.22 แรงท่ีกระทําภายนอก คือ F = ma แทนคาในสมการจะได dv m dt = ma dv = a dt โจทยก าํ หนดใหค วามเรงมคี าเปน 4 m/s2 แทนคา a = 4 m/s2 จะได dv dt = 4 ข้ันตอนที่ 2 แกสมการแบบแยกตวั แปรระหวา งตวั แปร v และ ตัวแปร t จะได ขนั้ ตอนท่ี 3 dv dt = 4 dv = 4 dt ทําการหาปริพันธท ้ังสองขา งของสมการ จะได  dv   4dt v = 4t + C1 ; (C1 = คา คงท)ี่ หาคาคงที่ C1โดยพจิ ารณาท่สี ภาวะเรมิ่ ตน เม่อื t = 0 s ,v(0) = 10 m/s จะได v(0) = 4(0) + C1 = 10 C1 = 10 ดงั นน้ั สมการความเรว็ ทเี่ วลา t ใดๆ มีคาเปน v = 4t + 10 หาสมการความสมั พนั ธระหวา งระยะทางและความเร็ว จากความสัมพนั ธ dx dt = v แทนคา v จากสมการขางตน จะได จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามัญอนั ดบั หน่ึง 133 dx = 4t + 10 dt ทําการแกสมการแบบแยกตวั แปรระหวางตวั แปร x และ ตวั แปร t จะได dx = 4t dt + 10 dt ทําการหาปริพันธท ้งั สองขา งของสมการจะได  dx   4tdt  10dt t2 x = 4 2 + 10t = 2t2 + 10t +C2 ; (C2 = คา คงท่)ี เม่อื t = 0 s , x = 20 m แทนคา ในสมการหาคา C2 x = 2 t2+ 10t + C2 20 = 2(0)2+ 10(0) + C2 C2 = 20 ตอบ ตําแหนง ของวัตถุทเ่ี วลา t ใดๆ เปน x = 2t2 + 10t + 20 ตวั อยางท่ี 4.25 กอนหินมวล 0.5 kg ถูกโยนขึ้นไปในแนวด่ิงดวยความเร็วตน 10 m/s ซึ่งคา แรงโนมถวงมีคา g =9.8 m/s2 สมการการเคลื่อนทข่ี องกอ นหินและความเรว็ วัตถุนี้เม่ือเวลา t ใดๆ มีคา เปนอยางไร และวัตถจุ ะใชเ วลานานเวลาเทาใดถงึ จะถึงจดุ สูงสุด ในกรณไี มค ิดแรงตา นอากาศ รปู ที่ 4.23 การเคลื่อนทข่ี องกอ นหินในแนวดิง่ (ทมี่ า : https://krutussanee.wordpress.com) วธิ ีทาํ ขนั้ ตอนท่ี 1 สรา งสมการความสมั พนั ธจากกฎของนิวตนั จะไดว า แรงทีก่ ระทาํ ตอวตั ถุ จะมคี าเทากับแรงโนมถว งของโลกซ่ึงมีทิศทางตรงขามการเคล่ือนท่ขี อง วัตถุ โดยกอ นหนิ เคลื่อนที่ดวยความเรว็ ตน 10 m/s dvy m dt =F ซ่ึง F = -mg จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

134 บทท่ี 4 สมการอนพุ ันธสามญั อันดบั หนึ่ง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส หรอื m dvy = -mg dt โจทยก ําหนดให m = 0.5 kg และ g = 9.8 m/s2 แทนคา ในสมการจะได dvy dt = - 9.8 ขัน้ ตอนท่ี 2 ทาํ การแกสมการโดยใชก ารแยกตวั แปร ซ่งึ มีตวั แปรทีเ่ กี่ยวขอ ง 2 ตัวแปร ไดแก ตัวแปร v และตวั แปร t จะได dvy dt = - 9.8 dvy = -9.81 dt ทาํ การหาปริพนั ธท ง้ั สองขา งของสมการ  dvy   -9.81dt vy = -9.81 dt + C1 ; (C1 = คา คงท)ี่ สมการความสมั พนั ธท่ีเวลา t ใดๆ มคี า เปน vy = -9.81 dt + C1 หาคา C1 โดยพิจารณาท่สี ภาวะเร่มิ ตนจะได t = 0 และ vy (0) = 10 m/s แทนคาในสมการจะได vy (0) = -9.81(0) + C1 10 = -9.81(0) + C1 C1 = 10 ดังน้ัน vy = -9.8t + 10 ซง่ึ ความสัมพันธระหวา งอัตราเรว็ และระยะทางมดี ังนี้ คอื dy dt = vy หาสมการความสมั พันธระหวางระยะทางและเวลาจะได dy dt = -9.8 t +10 ข้ันตอนท่ี 3 โจทยตองการหาคา เวลาที่จุดสูงสุด ซ่งึ ที่จดุ สูงสุดคา ความเร็วจะมีคาเปน ศูนย หรอื อัตราการเปลยี่ นแปลงระยะกระจดั เทา กับศูนย dy dt = 0 จะได 0 = - 9.8 t + 10 -10 = -9.8 t -10 t = 9.8 = 1.02 s ตอบ กอนหนิ เคลื่อนที่ถงึ จุดสงู สุดในเวลา 1.02 วินาที จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธสามัญอนั ดบั หนึ่ง 135 ตัวอยา งที่ 4.26 นักโดดรมพรอมอุปกรณมีมวลรวม 120 kg กระโดดลงมาจากเฮลิคอปเตอรท่ีบิน ลอยนง่ิ ในทองฟา กอนรมกางออกแรงตานอากาศมคี า เปน 12 v หลงั จากกระโดด 6 s รม จึงกางออก ทาํ ใหแรงตานอากาศมคี าเปน 74 v2 จงหาความเร็วของนกั โดดรม กอนกางรมและหลังจากกางรม (ก) ออกจากเฮลคิ อปเตอร (ข) ดึงรม เพ่ือกางออก รปู ที่ 4.24 นกั กระโดดรมกระโดด (ทม่ี า : http://www.chatacheevit.com/i ) วิธีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 ทาํ การเขยี นสมการความสมั พันธของแรงท่ีเกิดข้ึนในแนวดง่ิ เม่ือกระโดด ลงมาจากเฮลิคอปเตอร แรงท่ีกระทําตอนักกระโดดรมมี 2 แรง คือ แรง ดึงดดู โลก (w) และแรงตา นอากาศ (R) ซ่ึงมีทิศทางตรงขามกับแรงดงึ ดูด โลก R=21V R= 74V2 m = 120 kg w=mg (ข) t > 5 (ก) 0 < t < 5 รูปท่ี 4.25 แบบจาํ ลองการเคล่อื นท่ีตามกฎของนวิ ตนั ในแนวดง่ิ วิธีทํา พิจารณาตอนกระโดดออกจากเฮลคิ อปเตอร ขั้นตอนท่ี 1 เขยี นสมการความสมั พนั ธแ บบอนุพนั ธ เงือ่ นไขทีส่ ภาวะเรม่ิ ตน เมอ่ื t = 0 ,v (0) = 0 ขณะที่กระโดดออกจาก 1 เฮลคิ อปเตอร หาความเรว็ เรม่ิ ตน มแี รงตา นอากาศเปน 2 v จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

136 บทที่ 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อนั ดบั หนึ่ง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส จากรูปท่ี 4.25 แรงทกี่ ระทาํ ตอ นักกระโดดรม คอื แรงดึงดดู โลก (w) และ แรงตานอากาศ (R) จากกฎของนวิ ตันจะได F = ma จะได w+R = ma 1 dv 2 dt โดย w = mg และ R = - v (ทศิ ทางตรงขาม) และ a= mg + - 1 v = m dv 2 dt แทนคา m = 120 kg , g = 9.8 m/s2 ในสมการจะได 1 dv (120)(9.8) - 2 v = 120 dt 1176 - 1 v = 120 dv 2 dt จดั รปู สมการโดยทาํ การหารดว ย 120 ทั้งสองขางของสมการ จะได 1 dv 9.8 - 240 v = dt 9.8 - 1 v = dv 240 dt 2352 - v dv 240 = dt ขั้นตอนที่ 2 ทาํ การแกสมการแบบแยกตัวแปรซึ่งมีตัวแปรท่ีเกีย่ วขอ ง 2 ตัวแปร ไดแก v และ t จะได dv dt 2352 - v = 240 1 dt = 1 - v dv 240 2352 ทาํ การหาปรพิ นั ธท ั้งสองขางของสมการจะได 1 1  240 dt =  2352 - v d (2352 - v) 1 t = -ln 2352 - v + C1 240 1 ln 2352 - v = - 240 t + C1 2352 - v = e-2140t+C1 2352 - v = C1e-2140t จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหนงึ่ 137 ข้นั ตอนที่ 3 หาคา C1 ท่สี ภาวะเรมิ่ ตน t = 0 , v (0) = 0 แทนคา ในสมการจะได ขน้ั ตอนท่ี 4 2352 - 0 = C1e-2140(0) ขั้นตอนที่ 5 2352 = C1e(0) = C1 C1 = 2352 ดังนนั้ สมการความเรว็ กอนกางรมมคี าเปน 2352 - v = 2352 e-2140t v = 2352 - 2352 e-2140t = 2352(1- e-2140t ) ความเร็วที่ t = 5 วนิ าที จะได v = 2352(1- e-2140(5) ) = 49.52 m / s พิจารณาขณะที่รม กางออก เปน เวลาหลังจากเวลา 5 วนิ าทีเปน ตนไป เงือ่ นไขเร่มิ ตนทีเ่ วลา t = 0 , v0 = v(5) = 49.52 m/s หาสมการความสมั พนั ธแ บบอนพุ นั ธ โดยพิจารณาเงอ่ื นไขทเี่ กยี่ วขอ ง โดย แรงทก่ี ระทาํ ตอนกั กระโดดรมมี 2 แรง คอื แรงดงึ ดดู โลก (w) และ แรงตานอากาศ (R) จากกฎของนิวตนั จะได F = ma w + R = ma ซ่ึง w = mg 4 R = - 7 v2 Mg - 4 v2 = m dv 7 dt แทนคา m = 120 kg g =9.8 m/s2 4 dv (120)(9.8)- 7 v2 = 120 dt 1176- 4 v2 = 120 dv 7 dt ทาํ การแกสมการแบบแยกตัวแปรซึง่ มีตวั แปรท่เี กยี่ วของคอื ตวั แปร v และตวั แปร t จะได 8232 - 4v2 = 120 dv 7 dt จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

138 บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธสามัญอันดบั หน่ึง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส 8232 - 4 v2 = 840 dv dt 1 1 840 dt = 8232 - 4v2 dv 1 dt = 1 - v2 ) dv 840 4(2058 4 1 840 dt = (2058 - v2 ) dv 1 dt = 1 v2 ) dv 210 (2058 - ทําการหาปริพันธท ้ังสองขา งของสมการจะได 2110dt 1  =  (2058 - v2 )dv  2110dt =  - (v2 +12058)dv 2110dt 1  =  - (v + 45.36)(v - 45.36)dv  (v + 1 - 45.36)dv = - 2110dt 45.36)(v  ( 90.73(v1- 1 2110dt 45.36) - 90.73(v + 45.36))dv = -  ( (v - 1 - (v + 415.36) )dv = - 9201.703dt 45.36) ln v -45.36 -ln v + 45.36 = -0.43t + C2 ln v -45.36 = -0.43t + C2 v + 45.36 v - 45.36 v + 45.36 = e-0.43t+C2 v - 45.36 = C2 e- 0.43t v + 45.36 v - 45.36 = (v + 45.36) C2e- 0.43t v - 45.36 = v C2 e- 0.43t + 45.36 C2 e- 0.43t v - vCe- 0.43t = 45.36 + 45.36 C2e- 0.43t v(1- C2e- 0.43t ) = 45.36(1+ C2e- 0.43t ) v = 45.(316-(1C+2eC-02.e4-30t.)43t ) v = 45.(3e6-(0e.4-30t.4-3Ct +2 )C2 ) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามัญอันดบั หนงึ่ 139 สมการความเรว็ มคี าเปน v = 45.(3e6-(0e.4-30t.4-3Ct +2)C2) หาคา C2 ท่สี ภาวะเรม่ิ ตน เมอ่ื รม กางจะได t = 5 ,v(5) = 49.52 m/s (4(885...5(35e464-(0+-e.4C-C30(.2245)3))(-5C) +2 )C2) 49.52 = 49.52 = 45.36 (8.54 +- CC22)) 1.09 = (8.54 1.09(8.54 - C2) = 8.54 + C2 9.32 - 1.09C2 = 8.54 + C2 -1.09C2 - C2 = (-9.32 + 8.54) -2.09 C2 = - 0.78 C2 = 0.373 แทนคา C2 ในสมการ v = 45.(3e6-(0e.4-30t.4-3Ct +2 )C2 ) 45.36(e-0.43t + 0.373) v = (e-0.43t -0.373) ตอบ สมการของความเร็วทีเ่ วลา 0 < t < 5 กอ นรมกางมสี มการเปน v = 2352(1- e- 2140t ) สมการของความเร็วที่เวลา t > 5 หลงั รมกางมสี มการเปน v = 45.36(e-0.43t + 0.373) (e-0.43t -0.373) ตวั อยางท่ี 4.27 จากสมการสําหรบั กระแสของไดโอด จงคํานวณหาคา ความชันของความตานทาน สําหรบั เจอรม าเนยี มไดโอดทอี่ ุณหภูมิ 290 K เม่ือคากระแสไบแอสไปขางหนาเปน 10 A วธิ ีทาํ ข้ันตอนที่ 1 จากสมการกระแสของไดโอด ข้นั ตอนที่ 2 eV eV I = I0(e kT -1)  I0e kT ทําการหาอนุพนั ธข องสมการเทยี บกับตวั แปร V จะได eV d(Id0VekT ) dI = dV จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย