ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 6 สมการอนุพนั ธแบบแมนตรง 191 เมือ่ M(x,y) = 4x - 2y ทาํ การหาปรพิ นั ธเ ทยี บตัวแปร x จะได จะได M(x,y)dx = 4xdx - 2ydx = 4 x22 - 2yx ทําการหาอนุพันธเ ทยี บกับตัวแปร y จะได y  M (x, y)dx = y (2x2 - 2 yx) = y (2x2 - 2 yx) = 2yx2 - 2x y = 0- 2x = -2 x y แทนคา ในสมการ หาคา dh( y) = N(x, y) - y  M (x, y)dx d(y) dh( y) d(y) = 2y - 2x - (-2x) = 2 y ทาํ การหาอนพุ ันธเ พ่ือหาคา h(y) จะได  dh( y) = h(y) =  2y dy = 2y2 + k = y2 + k d(y) 2 ขั้นตอนที่ 4 หาคาเพือ่ แทนในสมการคาํ ตอบตอไปนี้ (x,y) =  M(x,y) dx+h(y) เม่อื  M(x,y) dx = 2x2 - 2yx และ h(y) = y2+ k (x, y) = 2x2- 2yx + y2+ k และ (x, y) = C C - k = 2x2- 2yx + y2 ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คอื C - k = 2x2- 2yx + y2 6.4 สมการเชงิ อนพุ ันธอ นั ดบั ที่หน่งึ แบบไมแ มน ตรง (Non - exact differential equation) สมการเชิงอนุพันธอันดับที่หน่ึงระดับขั้นหนึ่งมีหลายชนิด โดยทั่วไปมีรูปไมแตกตางกัน เปน ดงั สมการที่ (6.1) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (6.1) จ า ก ส ม ก า ร ท่ี (6.1) ห า ก ต ร ว จ ส อ บ แ ล ว พ บ ว า  M(x, y)   N(x,y) สมการที่ (6.1) y y เปนสมการเชิงอนุพันธแ บบไมแมนตรง (อาจเปนสมการแบบแยกตัวแปรไดหรอื สมการเอกพันธ จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

192 บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแบบแมนตรง คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ก็ได การหาผลเฉลยหาตามรูปแบบสมการ) สมการเชิงอนุพันธแบบไมแมนตรง จึงหาผลเฉลย ตามขั้นตอนวิธีสมการเชิงอนุพันธแบบแมนตรงฟงกชัน (x,y) ที่นํามาคูณเรียกวา ตัวประกอบ ปรพิ ันธ (Integrating factor : I.F.) การหาผลเฉลยสมการเชงิ อนพุ นั ธแบบไมแ มน ตรง สมการเชิงอนุพันธแบบไมแมนตรงอาจเปนสมการแบบไมแยกตัวแปรได หรือเปนสมการ เอกพันธก็ไดซึ่งไดศึกษามาแลว ในท่ีนี้จะพิจารณาเฉพาะการหาผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธแบบ ไมแ มนตรงตามขัน้ ตอนวธิ ดี ังนี้ dy dx ข้ันตอนที่ 1 เขียนสมการใหอ ยใู นรูป M(x,y) + N(x,y) = 0 ข้ันตอนที่ 2 หา My = M และ Mx = N y x 2.1 ถา My = Nx แสดงวาเปน สมการแบบแมนตรงไมตองหาคาตัวประกอบ ปริพนั ธซง่ึ คาตัวประกอบปรพิ นั ธ (x,y) คอื ฟงกช ัน ซง่ึ ทาํ ใหส มการ dy M(x,y) + N(x,y) dx = 0 ไมใ ชส มการแบบแมนตรงเปนสมการแมนตรง 2.2 ถา My  Nx แสดงวา ไมใ ชส มการแบบแมนตรงใหทาํ ข้ันตอนตอ ไป ขนั้ ตอนที่ 3 M y- N M y- N N N 3.1 ถา x ถา เปนฟง กชันของ x ลว นๆ ใหสมมตวิ า x = f (x) จะได  (x) = ef (x)dx 3.2 ถา M y- N x ไมใชฟงกชันของ x ลวนๆ พิจารณาดูวา เปนฟงกชันของ y N N -M ลวนๆ หรือไม ถาเปนฟงกชันของ y ลวนๆ ใหสมมติวา x M y = g(y) จะได (y) = eg(y)dy สมการเชงิ อนพุ นั ธแ บบไมแมนตรงมสี มบตั ิแตกแยกยอ ยหลายแบบ การหาตวั ประกอบปริพันธ เพื่อนําไปคูณกับสมการแบบไมแมนตรงใหเปนสมการแบบแมนตรง หรืออยูในรูปท่ีสามารถ หาผลเฉลยไดงายจึงแตกตา งกันไปตามเงือ่ นไขรปู แบบสมาการ ดังจะไดศ ึกษาแตล ะกรณดี งั น้ี M N 1.กรณี y - x = f (x) อยางเดียวได (x) = ef (x)dx N จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 6 สมการอนพุ นั ธแ บบแมน ตรง 193 ตัวอยางที่ 6.11 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอไปนี้ (x2+ y2+x)dx + xydy = 0 วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 พิจารณาสมการใหอ ยูในรูป M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (x2+ y2+x)dx + xydy = 0 จากโจทยจ ะได M(x,y) = (x2+ y2+x) , N(x,y) = xy ขน้ั ตอนที่ 2 พสิ ูจนวา  M (x, y) =  N (x, y) y x หาคา  M (x, y) =  (x2 + y2 + x) =  x2 + y2 + x = 0+ 2y y y y y y หาคา  N(x, y) =  xy = y  x = y x x x จะได  M(x, y)   N ( x, y ) แสดงวา ไมเปนสมการแบบแมน ตรง y y ขน้ั ตอนท่ี 3 หาตัวประกอบปริพนั ธโดยตรวจสอบเงื่อนไขดังน้ี ข้นั ตอนที่ 4 M N เพราะวา y - x = 2y-y = 1x เปน f (x) อยา งเดยี ว xy N ดังน้ัน (x) = ef (x)dx= e 1x dx = eln x = x คูณ (x) = x เขา ไปในสมการ จะได (x3+ xy2+x2)dx + x2ydy = 0 เปน สมการแมนตรง จะได M(x,y) = (x3+ xy2+ x2) และ N(x,y) = x2y หาคา h(y) จากสมการ dh( y) = N ( x, y) - y  M ( x, y)dx d(y) เมอื่ M(x,y) = (x3+ xy2+ x2) ทาํ การหาปริพันธเ ทียบตวั แปร x จะได M(x,y)dx = (x3+ xy2+ x2)dx = x3dx + y2xdx + x2dx M(x,y)dx = x44 + y2 x22 + x33 ทาํ การหาอนพุ ันธเ ทยี บกบั ตัวแปร y จะได y  M (x, y)dx = ( x44 + y2 x22 + x33 ) = x44y1 + x2 2y2y + x33y1 y  M (x, y)dx =0+ x22y + 0= x2y 2 แทนคา ในสมการ dh( y) = N(x, y) - y  M (x, y)dx d(y) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

194 บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแ บบแมนตรง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส dh( y) = x2 y - x2 y = 0 d(y) ทําการหาปรพิ ันธเ พอ่ื หาคา h(y) จะได  dh( y) = h( y ) =  0dy = 0 + k d(y) ข้ันตอนท่ี 5 หาคาเพอื่ แทนในสมการคาํ ตอบตอไปน้ี (x,y) =  M(x,y) dx+h(y) เมอื่  M(x,y)dx= x44 + y2 x22 + x33 และ h(y) = k (x, y) = x44 + y2 x22 + x33 + k และ (x, y) = C C - k = x44 + y2 x22 + x33 ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คอื C - k = x44 + y2 x22 + x33 2. กรณี N - M = F(y) แตเพียงอยา งเดยี ว (x) = ef (y)dy x y N ตวั อยา งท่ี 6.12 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xydy + (y2+ x2+ y)dy = 0 วิธที าํ ขั้นตอนที่ 1 พจิ ารณาสมการใหอยูในรปู M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จากโจทย M(x,y) = xy , N(x,y) = y2+ x2+ y ขั้นตอนที่ 2 พิสจู นว า  M (x, y) =  N (x, y ) y x หาคา  M (x, y) =  xy = x  y = x y y y หาคา  N(x, y) =  ( y 2 + x2 + y) = y 2 1 + x 2 + y1 = 2x x x x x x จะได  M(x, y)   N ( x, y ) แสดงวา ไมเ ปน สมการแบบแมน ตรง y y ข้นั ตอนที่ 3 หาตัวประกอบปริพันธโดยตรวจสอบเงอ่ื นไขดงั นี้ N M เพราะวา x - y = 2xxy-x = 1y เปน f (y) อยา งเดยี ว N จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแ บบแมนตรง 195 โดยที่ (x) = ef (y)dy= e 1 dy = eln y = y y คูณสมการ xy dx + (y2+ x2+ y)dy = 0 ดวย (x) = y จะได xy2dx + (y3+ x2y + y2)dy = 0 เปน สมการแมน ตรง จะได M(x,y) = xy2 และ N(x,y) = y3+ x2y + y2 ข้ันตอนที่ 4 หาคา h(y) จากสมการ dh( y) = N(x, y) - y  M (x, y)dx ข้นั ตอนท่ี 5 d(y) เมอื่ M(x,y) = xy2 ทาํ การหาปริพันธเ ทยี บตวั แปร x จะได M(x,y)dx = (xy2)dx = y2x dx = y2x2 2 M(x,y)dx = y2xdx M(x,y)dx = y2x2 2 ทําการหาอนุพันธเ ทยี บกบั ตัวแปร y จะได y  M (x, y)dx = xy2 = x2 yy2 = x2 (2 y) = 2x2 y y  M (x, y)dx = 2x2 y แทนคา ในสมการจะได dh( y) = (y3 + x2y + y2 ) - 2x2 y = y3 - x2y + y2 d(y) ทําการหาปริพันธห าคา h(y) จะได  dh( y) = h( y) =  ( y3 - x2 y + y2 )dy d(y) h( y) =  y3dy - x2 ydy + y2dy h(y) = y4 - x2y2 + y3 4 2 3 หาคา เพ่อื แทนในสมการคําตอบตอไปนี้ (x,y) =  M(x,y) dx+h(y) เม่อื  M(x,y)dx = y2x2 และ h(y) = y4 - x2y2 + y3 2 4 2 3 y2x2 y4 x2y2 y3 (x, y) = 2 + 4 - 2 + 3 และ (x, y) = C จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

196 บทที่ 6 สมการอนุพนั ธแบบแมน ตรง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ดังนนั้ C= y4 + y3 4 3 y4 y3 ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คือ C= 4 + 3 ตวั อยางท่ี 6.13 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอ ไปน้ี dy + y(x+y) = 0 dx x+2 y-1 dy วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 เขียนสมการในรูป M(x,y) + N(x,y) dx =0 (x + 2y – 1) dy + y (x + y) = 0 dx dy y(x + y) + (x + 2y - 1) dx = 0 M(x,y) = y(x + y) และ N(x,y) = (x + 2y - 1) ขั้นตอนท่ี 2 พจิ ารณาวาเปน สมการแบบแมนตรงหรือไม  M ( x, y ) =  N (x, y) y M x y My = =  ( y)(x + y ) =  ( xy + y 2 ) y y N = x + 2y x Nx = =  (x + 2 y - 1) = 1 x จาก My  Nx ไมเ ปนสมการแบบแมนตรง ขนั้ ตอนที่ 3 หาตวั ประกอบปรพิ นั ธม าคณู เพื่อใหเ ปนสมการแบบแมน ตรง พจิ ารณา My -Nx = x + 2y -1 = 1 เปนคาคงทใ่ี นรูปแบบของตวั แปร x N x + 2y -1 [ f (x) = x ] (x) = ef (x)dx = edx = ex ดังน้นั ตวั ประกอบปริพนั ธ คอื ex ข้ันตอนท่ี 4 นาํ ex คณู เขา ในสมการ y(x + y) + (x + 2y - 1) dy = 0 จะได dx dy ex [y (x + y)] + ex [x + 2y - 1] dx =0 M [ e x (y)(x + y)] =  [e x yx + y2ex] = xe x + 2yex y N y x [ex (x + 2y - 1)] =  [xe x + 2 ye x - e x ] x = xex + ex + 2yex จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนพุ นั ธแบบแมนตรง 197 N = xex + 2yex Mx =  y N เปนจริง แสดงวาเปน สมการแบบแมนตรง x ขน้ั ตอนที่ 5 ตอ งหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการโดยวธิ ีทาํ ใหอยใู นรูปของ (x, y) = C โดยที่ (x, y) = ex (x + 2y -1) (x, y) = xex + 2yex - ex  y (x, y) dy =  (xex + 2yex - ex ) dy y (x, y) = xex y + y2ex - yex + f (x) เมอ่ื f (x) เปน arbitrary ฟง กช นั ของ x จากสมการ x (x, y) =  [xe x y + y2ex - yex + f (x)] x = [xyex + yex + y2ex - yex + ddx f (x)] = [xyex + y2ex + ddx f (x)] x (x, y) = yex(x+ y) + ddx f (x) x (x, y) จาก x (x, y) = yex(x + y) จะได yex(x + y) = yex(x+ y) + ddx f (x) ddx f (x) =0  f (x) = k ; k = คาคงที่ ขั้นตอนท่ี 6 แทนคา f (x) = k ลงในสมการ จะได y (x, y) = xy ex + y2ex - yex + k เม่ือ (x, y) = C C = xy ex + y2ex - yex + k C - k = xy ex + y2ex - yex ให C - k = m m = xy ex + y2ex - yex เปน ผลเฉลยทั่วไปของสมการ ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื m = xy ex + y2ex - yex จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

198 บทท่ี 6 สมการอนพุ ันธแบบแมนตรง คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยา งท่ี 6.14 วงจรไฟฟาประกอบดวยอุปกรณและคากําหนดใหต ามวงจร จงหาประจุไฟฟา และ กระแสไฟฟาในวงจรขณะเวลา t ใดๆ V = Q C C (ก) (ข) รปู ท่ี 6.1 วงจรไฟตรงมีแหลง จา ย 100V วิธที าํ จากรปู ที่ 6.1 (ข) เปนวงจร RC ในสภาวะสวิตชเ ริม่ ตน ซึง่ มีกระแสไหลในวงจร ข้ันตอนที่ 1 สรา งสมการเชิงอนพุ นั ธ (จากกฎแรงดนั ของเคอรช อฟท : KVL) จากรปู ท่ี 6.1 (ข) ได VR + VC = E Q C จากกฎของโอหม จะได VR = Ri และ VC = แทนคาได Ri + Q = E (เม่อื C = ตัวเกบ็ ประจ)ุ C dQ dQ Q แทนคา i = dt , R dt + C = E จากสมการเปน สมการเชงิ อนพุ นั ธเ ชิงเสนอันดบั ท่หี นึง่ สําหรับวงจร RC แทนคา R = 50  , C = 0.01 F และ E = 100 V ไดสมการเชิงอนุพนั ธ dQ Q 50 dt + 0.01 = 100 นาํ 50 หารทกุ พจนของสมการ dQ dt + 2Q =2 ขน้ั ตอนท่ี 2 หาผลเฉลยสมการเชิงอนพุ นั ธ จดั รูป dQ + 2Q =2 dt ไดต ัวประกอบปรพิ นั ธ (t) = e2dt = e2t คณู สมการดวยตวั ประกอบปรพิ นั ธ e2t เขาทกุ พจน e2t dQ + 2Q e2t = 2 e2t dt จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 6 สมการอนุพนั ธแบบแมน ตรง 199 ข้นั ตอนที่ 3 จดั รูปสมการใหมีสมการแบบผลตางของอนพุ นั ธจะได e2tdQ+2e2tQdt = 2e2tdt d d จดั รูป dt (Qe2t) = dt e2t ขั้นตอนที่ 4 หาปรพิ นั ธของสมการ d(Qe2t)dt = de2t dt Qe2t = e2t + k (เมื่อ k = คาคงท)่ี ข้ันตอนที่ 5 หาคา k ท่ี t = 0 และ Q = 0 ได 0 = 1+k k = -1 แทนคา k ในสมการ Qe2t = e2t + k Qe2t = e2t - 1 นํา e2t หารทุกพจน Qe2t = e2t - 1 e2t e2t e2t ประจุไฟฟาทเ่ี วลา t ใดๆ Q(t) = 1 - e-2t หากระแสทเ่ี วลา t ใดๆ จาก dQ i(t) = dt แทนคา Q จะได i(t) = ddt (1 - e-2t) กระแสขณะเวลา t ใดๆ i(t) = 2e-2t A ตอบ ประจุไฟฟา ทีเ่ วลา t ใด ๆ Q(t)= 1 - e-2t และกระแสไฟฟา ทีเ่ วลา t ใดๆ i(t) = 2e-2t A จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

200 บทที่ 6 สมการอนพุ นั ธแบบแมน ตรง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยา งท่ี 6.15 วงจรไฟฟาประกอบดวยอุปกรณและคากําหนดใหตามวงจร จงหากระแสไฟฟา ในวงจรขณะเวลา t ใดๆ เม่อื สวิตช S เร่มิ ตอ วงจร (t = 0, i = 0) R=50  V = iR R + E=5 V i L=1 H + E i V = L di - - L dt S S (ก) (ข) รปู ท่ี 6.2 วงจร RL ท่ี R = 50  , L = 1 H , E = 5 V สภาวะสวิตช S เร่มิ ตอวงจร วิธที าํ ขัน้ ตอนท่ี 1 เขียนสมการเชงิ อนพุ ันธจากรูปที่ 6.2 (ข) ใชก ฎแรงดนั ของเคอรชอฟท ได VL + VR =E หรอื L ddIt + Ri =E ข้นั ตอนท่ี 2 แทนคา R = 50  , L = 1 H , E = 5 V ไดส มการเชิงอนุพนั ธสาํ หรับวงจร รูปที่ 6.2 (ก) เม่อื แทนคาและหาผลเฉลยไดด งั น้ี ddti + 50i = 5 ตัวประกอบปริพนั ธ (t) = e50dt = e50t คูณเขาไปทัง้ สองขางของสมการ e50t ddti + 50 ie50t = 5 e50t จัดรปู สมการใหมีสมการแบบผลตางของอนพุ นั ธจะได e50t di + 50 ie50tdt = 5 e50tdt d (ie50t) = d  1 e50t  dt dt 10 ข้นั ตอนท่ี 3 หาปริพนั ธของสมการ d  dt (i e50t) dt =  d  1 e50t  d(50t) dt 10 1 ie50t = 10 e50t + C นาํ e50t หารทกุ พจนของสมการ ie50t = 1 e50t + C e50t 10 e50t e50t จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแ บบแมน ตรง 201 หรอื i = 110 + Ce-50t (C = คา คงท่)ี ขั้นตอนท่ี 4 หาคา C โดยแทนคาที่ t = 0, i = 0 ในสมการจะได = 110 + C 0 = - 110 C = 110 - 110 e-50t ดังน้นั i(t) กระแสในวงจรที่เวลา t ใด ๆ i(t) = 110 (1 - e-50t) ตอบ กระแสไฟฟาในวงจรขณะเวลา t ใดๆ i(t) = 110 (1 - e-50t) A ผลเฉลยประกอบดวยกระแสสองสวนคือ 110 และ - 110 e-50t เรียกวากระแสช่ัวขณะ (Transient current) ปรากฏในวงจรชวงสวิตชเร่ิมตอวงจร เม่ือเวลานาน t   จะมีคาเปนศูนย จึงมเี พยี งกระแส 110 ปรากฏในวงจรเรยี กวา กระแสสถานะคงตัว (Steady – state current) 6.5 สรปุ สมการเชิงอนุพันธอันดับท่ีหนึ่งที่เปนสมการแบบแมนตรง รูปทั่วไปของสมการแมนตรง สามารถเขียนใหอ ยใู นรูปแบบตอ ไปนี้ dy M(x,y) + N(x,y) dx = 0 หรือ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 โดยมี M(x,y) และ N(x,y) เปนฟงกชันท่ีเปนสัมประสิทธ์ิของคาเชิงอนุพันธ dx และ dy ถา ตรวจสอบพบวา  M (x, y) =  N ( x, y ) แลวสมการจะเปน สมการแบบแมนตรง โดยมฟี งกช ัน y x F(x,y) = C เปนผลเฉลยท่ั วไปหากตรวจสอบแลวพ บวา  M (x, y)   N (x, y) เปนสมการ y y เชิงอนุพันธแ บบไมแมนตรง สามารถหาผลเฉลยตามข้ันตอนวิธีสมการเชงิ อนุพันธแบบแมนตรง โดยนําตวั ประกอบปรพิ ันธเขามาคูณในสมการ จากน้ันจึงแกส มการโดยใชว ิธกี ารแมนตรงเพื่อหา ผลเฉลยของสมการ จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

202 บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแบบแมน ตรง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส แบบฝก หัดทายบทท่ี 6 1. 2xy - 9x2 + (2y + x2 + 1) dy ตอบ y2 + (x2 + 1)y - 3x2 = C dx ตอบ x2y + y3 = C 2. 2xydx + (x2+3y2)dy = 0 3. (6x2 - y + 3)dx + (3y2 - x - 2)dy = 0 ตอบ 2x3 - xy + 3x + 3y3 - 2y = C 4. (ey)dx + (2y + xey)dy = 0 ตอบ xey + y2 = C 5. (2xy - sinx)dx + (x2 - cos y)dy = 0 ตอบ x2y + cos x - sin y = C 6. (1 + 2x x2 - y2 )dx - 2y( x2 - y2 )dy = 0 ตอบ x + 2 (x2 - y2) 32 + C = 0 3 7. (y2 - 2x)dx + (2xy + 1)dy = 0 ตอบ xy2 - x2 + y = C 8. x(1 - sin y)dy = (cos x - cos y - y)dx ตอบ xy - x cos y - sin x = C 9. (3xy - y2)dx + x(x - y)dy = 0 ตอบ ไมเปน สมการแบบแมนตรง 10. (3x2y - 1)dx + (x3 + 6y - y2)dy = 0 1 ตอบ x3y - x + 3y2 - 3 y3 = C จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนพุ นั ธแบบแมนตรง 203 เอกสารอา งองิ วีรศกั ดิ์ บุญทน.(2553). คณติ ศาสตรอิเลก็ ทรอนกิ ส 2. กรุงเทพมหานคร: สาํ นกั พมิ พแ หง จฬุ าลงกรณม หาวิทยาลัย. ภคั คนิ ี ชิตสกลุ และคณะ.(2010). คณิตศาสตรวศิ วกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรุงเทพมหานคร. Erwin Kreyszig . พรชยั สารทวาหา .(2550). สมการเชงิ อนพุ นั ธ. กรงุ เทพมหานคร : ภาควิชาคณติ ศาสตร คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณม หาวิทยาลยั . นริ ดั ร คําประเสริ ฐ .(2553). คณิตศาสตรวศิ วกรรมไฟฟา 4. กรงุ เทพมหานคร: ศูนยสอื่ เสริม กรงุ เทพฯ . สุวฒั น รอดผล.(2546) . สมการเชงิ อนพุ นั ธส าํ หรบั วศิ วกร. กรุงเทพมหานคร : สาํ นกั พิมพ ส.ส.ท สมาคมสงเสรมิ เทคโนโลยีไทยญ่ีปนุ สําเริง ชืน่ รังสกิ ุล .(2555). สมการเชิงอนพุ ันธ. กรงุ เทพมหานคร : สํานกั พิมพแ หง จฬุ าลงกรณ มหาวิทยาลัย. Linear Differential Equations. [ออนไลน] เขาถงึ ไดจาก http://wwwtutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วนั ท่คี นขอมูล 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] เขาถงึ ไดจาก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วนั ท่ี คนขอมลู 10 เมษายน 2556) Chapter 14 Difference Equations 1. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจ าก http://www.cimt.plymouth.ac.uk /projects/.../discrete_ch14.pdf (วนั ทคี่ นขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter11 Differential Equation. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ math103/keshet.notes/chapter11Notes.pdf. (วันท่ีคนขอมลู 1 พฤษภาคม 2556) Chapter4 Application of Second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis. [ออนไลน] เขา ถึงไดจากhttp://www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%204% 20Second %20order%20DEs.pdf. (วนั ทคี่ นขอมลู 10 เมษายน 2556) Application second order. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20Concepts%20and%20Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf . (วันทค่ี น ขอมูล 10 เมษายน 2556) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแบบเชงิ เสน 7.1 สมการอนพุ นั ธเชงิ เสน อนั ดบั หนงึ่ (Linear first order differential equations) จากรูปแบบทั่วไปของสมการอนุพันธเชิงเสนอันดับท่ี n เม่ือ a0(x)  0 มีลักษณะดังสมการ ตอไปน้ี a0 (x) dny + a1 ( x ) d n-1y + ... + an-1 ( x ) dy + an (x) y = b(x) dX n dX n-1 dX ในกรณีท่ี n = 1 และ a0(x)  0 จะมสี มการเปนสมการอนพุ ันธเชิงเสน อันดับหน่ึงและมอี ันดับ เปน อันดับหนึง่ มีวิธีการหาผลเฉลยทีเ่ ปนแบบอยา งเฉพาะของสมการดังกลา ว สามารถใหบทนยิ าม สมการเชิงอนุพนั ธเชิงเสนอนั ดับหนึง่ ไดด งั นี้ คอื บทนิยาม 7.1 เรียกสมการเชิงอนุพันธที่สามารถเขียนไดในรูป a1 ( x) dy + a0 ( x ) y = b( x) วา สมการ dx เชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่ง (Linear differential equations of first order) หรอื เรียกส้ันๆ วาสมการ เชงิ เสน (Linear equations) สมการเชิงอนพุ ันธเชิงเสนอนั ดับหนึ่ง บางครัง้ อาจจะพบวา ในรูปของ เม่ือ a1(x)  0 เมือ่ นําคา a1(x) หารทง้ั สองขา งของสมการจะได aa11 ( x) aa10 (x) ( x) dy + (x) y = b(x) dx a1 ( x ) หรือ dy + aa01 ( x) y = b(x) dx ( x) a1 ( x ) กําหนดให P(x) = aa10 (x) และ Q(x) = b(x) (x) a1 ( x ) จะได dy + P( x) y = Q(x) dx หรือ y + P(x)y = Q(x) จากสมการเปน รปู ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอนั ดบั หนึง่ ทีห่ น่ึงระดับหรอื ข้ันหน่ึง

206 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ตวั อยางของสมการเชงิ อนุพนั ธเชิงเสนอันดับหนง่ึ คือ 1. 3x2y- 4xy = 2 2. (sin x)y+(cos 2x)y = 3x 3. (x2- 1)y- (4x+3)y = 0 7.2 การหาผลเฉลยสมการเชงิ อนุพนั ธเ ชิงเสน อนั ดบั ที่หนง่ึ โดยสมการเชิงอนุพนั ธเชิงเสน อันดับหนึ่งไดแบง เปน 2 แบบ คือ สมการแบบทว่ั ไปและสมการ ท่มี ีรปู แบบเฉพาะ 7.2.1 การหาผลเฉลยสมการเชงิ อนุพันธเ ชงิ เสน อนั ดับหนง่ึ ทมี่ ีรปู แบบทว่ั ไป dy ในการหาผลเฉลยของสมการอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่ง มีหลักการดังนี้ คือ จากสมการ dx dy + P(x)y = Q(x) จัดใหอยูในรูป P(x)y - Q(x) + dx = 0 หรือ (P(x)y - Q(x))dx + dy = 0 ซึ่งเมื่อ เปรยี บเทยี บกับสมการ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะไดวา M(x,y) = P(x)y - Q(x) และ N(x,y) = 1 และ ถาสมการ(P(x)y - Q(x))dx + dy = 0 เปน สมการแมนตรง ก็สามารถแกสมการไดเ ลย แตถา สมการ ดงั กลา วไมเปน สมการแมนตรง จงึ ตองหาตัวประกอบปรพิ ันธมาคูณสมการเพื่อใหสมการดงั กลาว น้ันเปนสมการแมน ตรงเสยี กอ น แลว จงึ คอยแกสมการดว ยวิธีการของสมการแมนตรง การหาตัวประกอบปรพิ นั ธ  (x,y) มาคูณสมการ สามารถหาไดด ังน้ี คือ My -Nx กรณีท่ี 1 N = P ( x )-0 = P(x) กรณีท่ี 2 1 Nx -My M = 0-P(x) = -1 P(x) สมมติใหตวั ประกอบปริพนั ธ คือ  (x) จากสมการ (P(x)y - Q(x))dx + dy = 0 จะได  (x) [P(x)y - Q(x)]dx +  (x)dy = 0 ซึ่งเปนแบบสมการแมนตรง ซ่ึงมีสมบัติวา  [( x).M (x, y)] =  [( x).N ( x, y)] น่ันคือ จะไดวา y x  [(x).( P(x) y - Q(x))] =  ( x) y d x  (x).P(x) = dx (x) 1  d (x) = P(x) (x) dx หาปรพิ นั ธท ง้ั สองขาง ln (x) =  P(x)dx จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน 207 จะเหน็ ไดว า (x) = eP(x)dx นาํ (x) = eP(x)dx คณู สมการ [P(x)y - Q(x)]+ dy = 0 จะไดวา eP(x)dx [P(x)y - Q(x)] + eP(x)dx dy = 0 eP(x)dx P(x)y dx+ eP(x)dx dy = eP(x)dx Q(x)dx d dy d เน่ืองจาก ddx [e P(x)dx .y] = e  P( x )dx dx + y dx e P( x)dx หรือ ดังนั้น ddx [e [e P(x)dx .y] = eP(x)dxdy + yeP(x)dx.P(x)dx dx P(x)dx .y] = eP(x)dx.Q(x) หรอื d [(x).y] = (x).Q(x) = (x).Q(x)dx dx d[(x).y]  d[(x).y] =  (x).Q(x)dx 1 (x).y =  (x).Q(x)dx+ C dy (x) dx น่ันคือ y=  (x).Q(x)dx + C  จึงเปนผลเฉลยท่ัวไปของสมการ +P(x)y = Q(x)  ซง่ึ เปน สมการแมน ตรงตามตอ งการ dy dx สามารถสรปุ หลักการหาผลเฉลยของสมการแมน ตรงที่อยูใ นรูป +P(x)y = Q(x) ไดด ังนคี้ ือ ข้ันตอนที่ 1 จดั สมการในรปู ของ dy +P(x)y = Q(x) (7.1) dx ขนั้ ตอนท่ี 2 หา  (x) โดยใชส ูตร  (x) = eP(x)dx เมอื่ P(x) คอื คา ในสมการ (7.1) ข้ันตอนที่ 3 นาํ  (x) คณู ตลอดสมการจะได dy  (x)( dx + P(x)y) = Q(x) (x) ขน้ั ตอนท่ี 4 ตรวจสอบวา  (x)( dy + P(x)y) = d d ) [ (x)y] หรือไม dx (x 4.1 ถาใช d[ (x)y] =  (x)Q(x)dx แลวทาํ การหาปรพิ นั ธ d 4.2 ถาไมใ ช คือ d(x) [ (x)y] ไมเทา กับ  (x)Q(x)dx แสดงวา  (x) ท่ีหาไมถ ูกตอ ง จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

208 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตัวอยา งท่ี 7.1 จงหาคาํ ตอบของสมการ dy + 3y = 1 + e-2x dx dy วธิ ที าํ ข้นั ตอนที่ 1 จัดสมการในรปู dx + P(x)y = Q(x) dy + 3y = 1 + e-2x dx ข้นั ตอนท่ี 2 หาตัวประกอบปริพนั ธ  (x) โดยท่ี  (x) = eP(x)dx ซง่ึ P(x) = 3  (x) = e3dx = e3x ข้นั ตอนท่ี 3 นาํ  (x) = e3x คูณเขา ไปในสมการจะได ขน้ั ตอนที่ 4 e3x( dy + 3y ) = e3x(1 + e-2x) ข้ันตอนที่ 5 dx ตรวจสอบวา  (x)( dy + P(x)y) = dy [ (x)y] dx dx dy = ddx [ e3xy] e3x( dx + 3y ) e3x dy + 3e3xy = e3x dy + 3e3xy dx dx dy = ddx [ e3xy] เปนจริง  e3x( dx + 3y ) ddx [ (x)y] =  (x)Q(x) d[ (x) y] =  (x)Q(x) dx d [e3xy] = e3x(1 + e-2x)dx ทาํ การหาปรพิ ันธท ้งั สองขา งของสมการ d [e3xy]= e3x dx + ex dx e3x y = 1 e3x + ex + C ; C เปนคาคงท่ี 3 1 y = 3 + e-2 x + Ce-3x ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คือ y = 1 + e-2x + Ce-3x 3 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน 209 ตวั อยางท่ี 7.2 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอไปน้ี dy +  2x +1  y = e -2 x dx  x  วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 จดั สมการในรูปของ dy + P(x)y = Q(x) dx dy 2 x+ 1 dx +  x  y = e -2 x   ขั้นตอนท่ี 2 หาตวั ประกอบปรพิ นั ธ  (x) จาก  (x) = e P(x)dx 2x +1 เมอื่ P(x) = x และ Q(x) = e-2x จะได (x) = e 2xx+1dx = e (2+ 1x )dx (x) = e(2x+ln x) = e2x. eln x = e2x. x ข้ันตอนที่ 3 นํา  (x) คูณตลอดสมการจะได ข้นั ตอนที่ 4  xe2x dy + 2xx+1 y = x e-2x . e2x =x ขนั้ ตอนท่ี 5 dx dy d ตรวจสอบวา (x) ( dx + P(x)y) = d (x) [ (x)y] x e2x ( dy + ( 2x + 1 ) y) = d [x e2x y] dx x d(x) d dy d จะได d(x) [x e2x y] = xe2x dx + y d(x ) (x e2x ) = xe2x dy + y (2x e2x + e2x ) dx dy = xe2x dx + e2x (2x + 1) y  xe2x dy + e2x (2x + 1) y = d [x e2x y] dx d(x) ให d[ (x) y] =  (x)Q(x) dx d [x e2x y] = xe2x. e-2x dx = x dx  d[xe2x y] =  x dx xex y = x2 +C (เมอ่ื C = คา คงท่ี) 2 e-x y = 1 xe-x + x C 2 e-x ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ y = 1 xe-x + x C 2 จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

210 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตัวอยา ที่ 7.3 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปน้ี 2(y - 4x2)dx + xdy = 0 วิธีทาํ ข้ันตอนที่ 1 จดั สมการในรูปของ dy + P(x)y = Q(x) จะได dx 2(y - 4x2)dx + xdy = 0 dy 2( y - 4 x2 ) + x dx =0 =0 2 y - 8x2 + x dy =0 dx = 8x 2 dy x y - 8x + dx dy + 2 y dx x ขัน้ ตอนท่ี 2 หาตวั ประกอบปริพันธ  (x) โดยที่  (x) = e P(x)dx 2 ให P(x) = x และ Q(x) = 8x   (x) = e 2x dx = e 2 ln x = e ln x 2 = x 2 d ข้ันตอนท่ี 3 ตรวจสอบวา  (x)( dy + P(x)y) = d (x) [(x)y] dx dy 2 d [ dx + x y ] = d(x) [ x2 y] x2 dy + 2xy = x2 dy + 2xy เปน จริง dx dx ข้นั ตอนท่ี 4 ให d[ (x)y] =  (x)Q(x)dx d[ x2 y ] = x2 (8x)dx = 8x3dx  d[x2 y] = 8x3dx x2y = 8x4 + C 4 x2 y = 2x4 + C y = 2x2 + x-2C ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คือ y = 2x2 + x-2C ตวั อยางที่ 7.4 จงหาผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ y+ 3y = 1 + e-2x dy วิธที าํ ขนั้ ตอนท่ี 1 สมการเชิงเสน dx + 3y = 1 + e-2x ซึง่ เปน สมการเชิงเสนในรปู dy + P(x)y = Q(x) dx จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน 211 โดยที่ P(x) = 3 และ Q(x) = 1 + e-2x ข้ันตอนท่ี 2 หาตวั ประกอบปรพิ นั ธ  (x) = e P(x)dx = e3dx = e3x ขัน้ ตอนท่ี 3 นํา e3x คณู เขาท้ังสองขางของสมการ จะได ข้ันตอนท่ี 4 dy e3x dx + 3e3xy = e3x(1 + e-2x) จดั รปู การหาอนุพันธแบบการคณู d dx (e3x y) = e3x + ex หรอื d(e3xy) = (e3x + ex)dx ขัน้ ตอนที่ 5 หาปรพิ ันธท ้งั สองขางของสมการ จะได  d(e3x y) =  d(e3x y + ex )dx 1 e3xy = 3 e3x + e x + C น่ันคอื y = 1 e3x + ex + C หรอื y 3 e3x e3x e3x 1 = 3 + e-2x + Ce-3x ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คอื y = 1 + e-2x + Ce-3x 3 ตวั อยางที่ 7.5 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอ ไปนี้ y- 2xy = - x วิธที าํ ขัน้ ตอนที่ 1 จากสมการเชงิ เสน y- 2xy = x เปนสมการเชงิ เสน ในรูป y+ P(x)y = Q(x) โดยที่ P(x) = - 2x และ Q(x) = x ขั้นตอนที่ 2 หาตัวประกอบปรพิ นั ธ  (x) โดยที่  (x) = e P(x)dx ขั้นตอนท่ี 3  (x) = e -2x dx = e-x2 นํา e-x2 คูณเขาท้งั สองขางของสมการจะได e-x2 y- 2xy e-x2 = e-x2 x ข้นั ตอนท่ี 4 จดั รูปสมการในรปู แบบของการหาอนพุ นั ธจ ะได d (e-x 2 y) = e-x2 x หรือ dx จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

212 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส d(e-x2 y) = (e-x2 x)dx ขั้นตอนท่ี 5 ทาํ การหาปริพันธท ้งั สองขา งของสมการ  d(e-x2 y) =  (e-x2 )dx 1 e-x2 y = - 2 e- x2 +C y = - 1 + Ce x 2 2 1 ตอบ จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y = - 2 + Cex2 7.2.2 การหาผลเฉลยสมการเชงิ อนพุ ันธเชิงเสน อันดบั ท่ีหนงึ่ โดยใชส ูตร ตัวอยางท่ี 7.6 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของ dy + P(x) y = Q(x) dx dy วธิ ีทาํ ขนั้ ตอนที่ 1 จากรูปสมการ dx + P(x)y = Q(x) ขน้ั ตอนที่ 2 หาตวั ประกอบปริพนั ธ  (x) โดยที่  (x) = e P(x)dx ข้นั ตอนท่ี 3 จดั รูปสมการจะได dy + P(x)ydx = Q(x)dx ขั้นตอนท่ี 4 นาํ  (x) = e P(x)dx คณู เขา ไปในสมการจะได e P(x)dx(dy + P(x)ydx) = e P(x)dxQ(x)dx e P(x)dxdy + eP(x)dxP(x)ydx = e P(x)dxQ(x)dx ข้นั ตอนท่ี 5 จัดรูปสมการในรปู ผลคณู ของอนุพนั ธจ ะได d(ye P(x)dx) = e P(x)dxQ(x)dx ขน้ั ตอนที่ 6 ทาํ การหาปริพนั ธจะได d(y e P(x)dx) = e P(x)dxQ(x)dx ye P(x)dx = e P(x)dxQ(x)dx + C ตอบ จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื ye P(x)dx = e P(x)dxQ(x) dx + C จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน 213 ข้นั ตอนการหาผลเฉลยสมการเชงิ อนุพนั ธเ ชงิ เสน อนั ดบั หนึง่ โดยใชสูตร dy 1. จดั รูปแบบสมการใหเปน รปู แบบมาตรฐาน คือ dx + P(x)y = Q(x) 2. หาคา P(x) และ Q(x) 3. ตรวจสอบรูปแบบของ P(x) และ Q(x) วา เปน สมการในรูปแบบใดโดยมีท้งั 4 รูปแบบ ไดแ ก P(x) Q(x) ตวั เลข ตวั เลข ตัวเลข ฟงกชนั ฟงกช นั ตัวเลข ฟงกชนั ฟงกชัน 4. หาตัวประกอบหาปริพันธจ ากสมการ  (x) = e P(x)dx 5. หาผลเฉลยทั่วไปจากสมการ ye P(x)dx = e P(x)dxQ(x)dx + C (เมื่อ C = คาคงที)่ y = 1 [e P(x)dxQ(x)dx + C] e P(x)dx y = e-P(x)dx[e P(x)dxQ(x)dx + C] ตวั อยางท่ี 7.7 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสนตอไปน้ี dy dx + 2 y = 5 วิธีทํา ข้ันตอนท่ี 1 เขยี นใหอยใู นรูปแบบสมการเชงิ เสน dy dx + P(x)y = Q(x) ขนั้ ตอนท่ี 2 หาคา P(x) = 2 เปน ตวั เลข และ Q(x) = 5 เปน ตวั เลข ซ่ึงสมการอยใู นรปู แบบตวั เลข ตัวเลข ขั้นตอนท่ี 3 หาคา (x) = e P(x)dx = e 2dx = e2x ข้นั ตอนที่ 4 แทนคาลงในสมการผลเฉลยท่วั ไป y = e-P(x)dx[e P(x)dxQ(x)dx + C] y = e-2x [5e2x(5)dx + C] จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

214 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส y = e-2x [5e2xd  2x  x + C]  2  y = e- 2x  5 e 2 x + C   2  y = e-2x. 5 e2 x + e-2x.C 2 5 y = 2 e0 + e-2x.C y = 5 + e-2x.C 2 5 ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ y = 2 + e-2x.C ตัวอยางท่ี 7.8 จงหาผลเฉลยทัว่ ไปของสมการอนุพนั ธแ บบเชิงเสนตอไปนี้ dy dx + 5y = 4e3x วธิ ที าํ ขน้ั ตอนท1ี่ เขยี นใหอยใู นรปู แบบสมการเชงิ เสน dy dx + P(x)y = Q(x) ขนั้ ตอนท่ี 2 หาคา P(x) = 5 เปน ตัวเลขสว น Q(x) = 4e3x เปน ฟงกชัน ซง่ึ สมการอยู ในรูปแบบตวั เลขฟง กชนั ขั้นตอนที่ 3 หาคา (x) = e P(x)dx = e5dx = e5x ขนั้ ตอนท่ี 4 แทนคาลงในสมการผลเฉลยทว่ั ไป y = e-P(x)dx[e P(x)dxQ(x)dx + C] y = e-5x [e5x(4e3x)dx + C] y = e-5x [4e5x.e3xdx + C] y = e-5x [4e8xdx + C] y = e-5x [4e8xd  8x  +C]  8  y = e-5x  4 e8x + C   8  y =  4 e8x .e-5x + C.e-5x   8  จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน 215 y = 4 e3x + C.e-5x 8 4 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ y = 8 e3x + C.e-5x ตัวอยา งที่ 7.9 จงหาผลเฉลยทัว่ ไปของสมการอนุพนั ธแบบเชิงเสนตอไปนี้ dy -  5  y = x5sin 3x dx  x  วิธที าํ ขั้นตอนที่ 1 เขียนใหอ ยใู นรูปแบบสมการเชงิ เสน dy dx + P(x)y = Q(x) ข้ันตอนที่ 2 หาคา P(x) =  - 5  เปน ตวั เลข และ Q(x) = x5sin 3x เปนฟงกชนั  x  ซ่งึ สมการอยูในรปู แบบตวั เลข และ ฟงกชนั ขน้ั ตอนท่ี 3 หาตวั ประกอบปริพันธ  (x) = e P(x)dx = e(- 5x )dx = e-5 ln x ขัน้ ตอนที่ 4 แทนคา ลงในสมการผลเฉลยท่ัวไป y = e-P(x)dx[e P(x)dxQ(x)dx + C] y = e-(-5ln x) [e(-5ln x)(x5sin 3x)dx + C] y = eln x5 [ eln x-5 .x5sin 3x dx + C] จากสูตร eln xn = xn ดังนัน้ จะได y = x5[x-5.x5sin 3xdx + C] y = x5[x0.sin 3xdx + C] y = x5[sin 3xdx + C] y = x5[sin 3x d  3x  + C]  3  y= x5  1 cos 3x + C   3    y= x5  1 cos 3x  + C .x5  3    ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื y = x5  1 cos 3x + C.x 5  3   จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

216 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยา งที่ 7.10 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการอนพุ นั ธแ บบเชงิ เสนตอไปน้ี (x4 + 2y)dx - xdy = 0 วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 จัดสมการใหอยใู นรปู แบบสมการเชิงเสน dy dx + P(x)y = Q(x) จัดรปู สมการจะได dy dx dx (x4 + 2y) dx - x =0 (x4 + 2y) - x dy = 0 dx นาํ x หารทกุ พจนข องสมการจะได  x4 + 2 y  x dy = 0  x x x dx -     x3 + 2 y  - dy = 0  x  dx dy - 2 y = x3 dx x 2 ขั้นตอนที่ 2 หาคา P(x) =  - x  เปนฟงกช ัน และ Q(x) = x 3 เปน ฟงกชนั ขนั้ ตอนที่ 3   ซึ่งสมการอยูในรูปแบบฟงกชันกบั ฟง กช นั หาตวั ประกอบปริพนั ธ  (x) = e P(x)dx = e(- 2x )dx = e-2ln x ขัน้ ตอนที่ 4 แทนคา ลงในสมการผลเฉลยท่วั ไป y = e-P(x)dx[e P(x)dxQ(x)dx + C] y = e-(-2ln x) [e(-2ln x)(x3)dx + C] y = eln x2 [ eln x-2 .x3dx + C] จากสูตรeln xn = xn ดังนน้ั จะได y = x2[x-2.x3dx + C] y = x2[xdx + C] y = x2  x2 + C   2    y =  x4 + x2C   2    จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชิงเสน 217 ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื y =  x4 + x2C   2    ตวั อยางท่ี 7.11 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการอนพุ นั ธแบบเชงิ เสน ตอ ไปน้ี dy +  x + 2  y = e-x dx  x  วธิ ที าํ ขนั้ ตอนท่ี 1 จัดสมการใหอยูใ นรูปแบบสมการเชิงเสน dy dx + P(x)y = Q(x) dy +  x + 2 y = e-x dx  x x  dy + 1 + 2  y = e-x dx x  ขัน้ ตอนท่ี 2 หาคา P(x) = 1 + 2  เปน ฟง กช นั และ Q(x) = e-x เปน ฟง กชัน x  ซึ่งสมการอยูใ นรปู แบบฟง กชันกบั ฟงกช นั ขน้ั ตอนที่ 3 หาคา ตวั ประกอบปรพิ ันธ  (x) = e P(x)dx = e(1+ 2x )dx = ex+2ln x ขน้ั ตอนที่ 4 แทนคาลงในสมการผลเฉลยท่ัวไป y = e-P(x)dx[e P(x)dxQ(x)dx + C] y = e-(x+2ln x)[e(x+2ln x ) e-xdx + C] y = e-x e-2ln x [ex.e2ln x.e-xdx + C] y = e-x.ex-2 [ex. ex-2 .e-xdx + C] จากสตู รeln xn = xn ดงั นน้ั จะได y = e-x.x-2 [ex.x2.e-xdx + C] y = e-x.x-2 [ex.e-x..x2dx + C] y = e-x.x-2 [e0.x2dx + C] y = e-x.x-2 [x2dx + C] y = e-x.x-2  x3 + C   3    จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

218 บทที่ 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส y =  e-x .x-2. x3 + Ce-x .x-2   3    y =  e-x . x3 + Ce-x .x-2   3    y =  x .e-x + Ce-x   3 x2    ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y =  x .e-x + Ce-x   3 x2    7.3 สมการแบรน ลู ลี (Bernoulli equations) สมการแบรน ลู ลี เปน สมการเชงิ อนุพันธเ ชงิ เสน อันดบั หน่ึงอกี รปู แบบหน่ึง ซึ่งมนี ยิ ามดังน้ี คอื บทนิยาม 7.2 เรียกสมการเชิงอนุพันธท่ีสามารถเขียนไดในรูป y+ P(x)y = Q(x).yn วา สมการ เชิงอนุพันธแบรนูลลี หรือสมการแบรนูลลี (bernoulli differential equations or bernoulli equations) ตัวอยา งเชน 1. y+3xy = 2xy 2. y-3x2y = -xy3 3. y- 1 y = x2 2x y3 1. จากสมการ y+ P(x)y = Q(x).yn ถา n = 0 แลว สมการแบรนูลลีดังกลาวก็คือสมการ เชิงอนพุ ันธเ ชงิ เสน อนั ดับหนึ่ง 2. แตถ า n  0 และ n  1 แลว สามารถจดั สมการแบรนูลลีใหอ ยใู นรปู ของสมการเชงิ เสนได การแกส มการแบรน ลู ลสี ามารถแบง ได ดงั น้ี คือ กรณที ี่ n  0 จะไดสมการแบรนูลลีในรูป y+ P(x)y = Q(x) จะเห็นวาเปนสมการเชิงเสน ซ่ึงสามารถหาผลเฉลยเชนเดียวกับการแกสมการ เชิงเสน กรณีท่ี n = 1 จะไดสมการแบรนูลลีในรูป y+ P(x)y = Q(x) หรือ y+ [P(x) - Q(x)]y = 0 จะเหน็ วาเปนสมการเชิงเสน กรณี n  0 และ n  1 จากสมการแบรน ูลี y+ P(x)y = Q(x).yn จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชิงเสน 219 7.3.1 ขนั้ ตอนการแกส มการแบรนลู ลี ขั้นตอนที่ 1 นาํ y-n คูณทงั้ สองขางของสมการ จะได y-ny+ P(x)y1-n = Q(x) ข้นั ตอนที่ 2 กําหนดให z = y1-n ข้ันตอนท่ี 3 จะได dz = (1- n)y-n.y ขัน้ ตอนท่ี 4 dx แทนคาในสมการ จะได 1 dz 1-n dx + P(x)z = Q(x) dz + (1- n)P(x)z = (1- n)Q(x) dx จะเหน็ วา สมการเปน สมการเชงิ เสน ทาํ การแกสมการแบบเชิงเสน ตวั อยางท่ี 7.12 จงแกส มการ (1+ x2) dy + xy = x3y3 dx วธิ ที ํา ขนั้ ตอนท่ี 1 จัดสมการใหมใ หเ ปนสมการแบบแบรน ลู ลีโดยนาํ (1+ x2) หารเขา ท้ังสองขา งของสมการจะได dy + x y = x3 y3 dx 1+ x2 1+ x2 หรอื y+ 1 x y = x3 y3 + x2 1+ x2 จดั สมการในรูป y+ P(x)y = Q(x).yn ขัน้ ตอนท่ี 2 dz ข้นั ตอนท่ี 3 เมื่อ n= 3 กาํ หนดให z = y1 - n ดงั นน้ั dx = (1- n)y-n.y จะได z = y1-3 = y-2 dz dy ดังนัน้ dx = -2y-3 dx dy = 1 dz dx -2 y -3 dx ขนั้ ตอนที่ 4 แทนคาในสมการ dy + 1 x y = x3 y3 จะได dx + x2 1+ x2 1 dz + 1 x 2 y = x3 y3 -2 y-3 dx +x 1+ x2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

220 บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขั้นตอนที่ 5 นํา -2y-3 คณู เขา ทุกพจนเ พ่ือใหเปน สมการแบบแบรน ลู ลี ขั้นตอนท่ี 6 dz - 1 2x 2 y-2 = -2x3 ขนั้ ตอนท่ี 7 dx +x 1+ x2 ขน้ั ตอนที่ 8 ข้นั ตอนท่ี 9 เมอ่ื z = y-2 ข้ันตอนท่ี 10 หรอื dz - 2 x 2 z = -2x3 (7.2) ข้ันตอนที่ 11 dx 1+ x 1+ x2 พจิ ารณารูปแบบของสมการเชิงเสน ในรปู dz + P(x)z = Q(x) dx -2x จะได P(x) = 1+ x2 หาคา ตวั ประกอบปริพันธ (x,y) = eP(x)dx = eP(x)dx  1-+2xx2 dx -ln(1+x2 ) 1  (x,y) = = =e e   นํา 1 คูณสมการท่ี (7.2) จะได 1+ x2 1+ x2 -2x3 1 dz - 1 2 x z = 1+ x2 1+ x2 dx + x2 จดั สมการในรปู อนุพนั ธข องการคณู d z  = -2x3 dx  x2  (1+ x2 )2  1 +  ทาํ การหาปรพิ นั ธท ัง้ สองขา ง ของสมการ z =  -2x3 )2 dx = -2 (1 x3 )2 dx 1+ x2 (1+ x2 + x2 = -2  x - (1 x3 )2  dx + x2 + x2  1  = -2  1 ln(1 + x 2 ) + 1 x  + C  2 2 + x2   1  x = -ln(1 + x2) - 1 + x2 + C z = -(1 + x2) ln(1 + x2) - x + C(1 + x2) แทนคา เนอ่ื งจาก z = y-2 จะได y-2 = -(1 + x2) ln(1 + x2)- x + C(1 + x2) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแบบเชงิ เสน 221 หรือ 1 + (1 + x2) ln(1 + x2) + x = C(1 + x2) y2 1 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y2 + (1 + x2) ln(1 + x2) + x = C(1 + x2) 7.4 สมการเชิงอนพุ นั ธเชงิ เสน อนั ดบั สอง (Linear differential equations of second order) สมการเชงิ อนุพันธเชิงเสนอันดับสอง เปนสมการเชิงอนุพันธที่สามารถหาผลเฉลยของสมการ ได โดยมีรปู แบบทเ่ี ฉพาะตวั บทนิยาม 7.3 เรยี กสมการเชิงอนุพันธท่ีเขียนไดในรูป a(x)y+ b(x)y+ C(x)y = f (x) วา สมการ เชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสอง (Linear differential equations of second order) เมื่อ a(x)  0 , b(x) , C(x) และ f (x) เปนฟง กชนั ตอ เนอื่ ง ตัวอยางเชน 1. 2x2y+ (x - 1)y+ (2x + 3)y = x2-1 2. exy+ xy+ y = 0 3. (sin x)y+ (cos x)y = ex จากสมการ a(x)y+ b(x)y+ C(x)y = f (x) เนอ่ื งจากวา a(x)  0 ถานาํ a(x) หารทงั้ สองขาง ของสมการจะได b(x) c(x) f (x) a(x) a(x) a(x) y + y + y = แทนคา b(x) = P(x) , c(x) = Q(x) และ f (x) = r(x) จะไดสมการเปน a(x) a(x) a(x) y+ P(x)y+Q(x)y = r(x) หรอื อาจจะเขียนในรูป d2y + P(x) dy + Q( x ) y = r ( x) dx2 dx โดยท่ี P(x),Q(x) และ r(x) เปนฟงกช ันตอ เนือ่ ง และถา r(x) = 0 จะไดส มการเปน d2y + P(x) dy + Q(x)y = 0 ซ่ึ ง จ ะ เรี ย ก ส ม ก า ร เชิ ง อ นุ พั น ธ แ บ บ นี้ ว า ส ม ก า ร dx2 dx เชิงอนุพันธเอกพันธ แตถา r(x)  0 จะเรียกสมการเชิงอนุพันธแบบน้ีวาสมการเชิงอนุพันธ ไมเ อกพนั ธ เชน 1. d2y + x 3 dy - 4 xy = sin x สมการเชิงอนพุ ันธไมเ อกพันธ dx2 dx จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

222 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส 2. y + y- 5y = e2x สมการเชิงอนพุ นั ธไ มเอกพนั ธ 3. d2y = x2 + 2x สมการเชิงอนพุ ันธไ มเ อกพันธ dx2 d2y 4. dx2 + 3x dy = 0 สมการเชงิ อนพุ นั ธเ อกพันธ dx จะเห็นวาสมการที่ 1 ถึง สมการที่ 3 เปนสมการเชิงอนุพันธไมเอกพันธ เนื่องจาก r(x)  0 แตส มการท่ี 4 เปนสมการเชิงอนุพันธเ อกพนั ธ เนื่องจาก r(x) = 0 7.4.1 การแกส มการเชิงอนพุ นั ธเชิงเสน อันดบั สองโดยการหาปรพิ ันธ ในการแกสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสองถาสมการไมอยูในรูปท่ียุงยากนัก การแกสมการก็สามารถทําไดโดยงายถา P(x) = Q(x) = 0 สามารถทําการแกสมการโดยการหา ปริพันธสองคร้งั เพื่อทําการหาผลเฉลยของสมการ ตัวอยา งท่ี 7.14 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปน้ี d2y = x2 + 2x dx2 d2y วิธีทํา ข้ันตอนท่ี 1 โจทยก ําหนด dx2 = x2 + 2x เปน สมการอนุพันธอันดับที่ 2 มีรปู สมการ เปน d2y + P( x) dy + Q( x )y = 0 โดย P(x) = Q(x) = 0 dx2 dx d2y = x2 + 2x dx2 ขั้นตอนท่ี 2 แกสมการโดยทาํ การหาปริพนั ธส องครง้ั ดังนนั้ ทําการหาปรพิ ันธค รัง้ ที่ 1  d2y =  ( x2 + 2x)dx = x3 + x2 + C1 dx2 3 dy = x3 + x2 + C1 dx 3 ทําการหาปริพนั ธครง้ั ท่ี 2 จะได  dy =  ( x3 + x2 + C1 )dx dx 3 x4 x3 y = 12 + 3 + C1x + C2 ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ y = x4 + x3 + C1x + C2 12 3 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน 223 7.4.2 การแกส มการเชิงเสนอนั ดบั สองโดยรูปแบบเฉพาะ สําหรับการแกสมการ d2y + P(x) dy +Q(x)y = r(x) จะพิจารณาเฉพาะในกรณี dx2 dx ท่สี ัมประสทิ ธขิ์ อง dy และ y หรือ P(x) และ Q(x) เปน คาคงท่ตี ามลําดบั dx บทนิยาม 7.4 ถา f (x) และ g(x) เปนฟงกชันตอเนื่อง จะเรียกวาไมเปนอิสระเชิงเสน (Linearly dependent) ก็ตอเม่ือสามารถเขียน f (x) = Cg(x) 13โดg(ยxท) ี่ดCังนเปน้ั นfคแาลคะงทg่ี และเรียกวาเปนอิสระเชิงเสน (Linearly iเnชdน epf(exn)d=enet)xแถลา ะCg(ไxม)เ=ปน3eคxาซคึ่งงfท(xี่ ) = ไมเปน อิสระเชิงเสน แตถ า m(x) = x2 และ n(x) = x ซึ่ง m(x) = xn(x) ดงั นนั้ f (x) และ g(x) เปน อิสระเชงิ เสน ทฤษฎีบทที่ 7.1 ถา y1 = y1(x) และ y2 = y2(x) เปนผลเฉลยอิสระเชิงเสนของสมการเชิงอนุพันธ เอกพนั ธุ d2y + P(x) dy + Q(x)y =0 แลว จะไดว า y = C1y1(x) + C2y2(x) เปน ผลเฉลยท่ัวไป dx2 dx ขอสังเกต 1. จะเรยี ก C1y1(x) + C2y2(x) วา ผลรวมเชงิ เสน (Linear combination) 2. ผลเฉลยท้ังหมดของสมการเชิงอนุพันธเอกพันธุ จะสามารถเขียนอยูในรูปผลรวม เชงิ เสน ของ y1 และ y2 ได ขัน้ ตอนการหาผลเฉลยของสมการถาสมการเชิงอนุพนั ธเ อกพันธ d2y + P(x) dy + Q(x)y = 0 โดยที่ P(x) และ Q(x) เปน คาคงท่ี dx2 dx ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณาจากผลเฉลยท่ีอยใู นรูป y = emx ซึง่ จะไดวา dy = memx และ d2y = m2emx dx dx 2 ข้นั ตอนที่ 2 นาํ ไปแทนคาในสมการเชงิ อนุพนั ธ จะได m2emx+ P(x) memx+ Q(x)emx = 0 emx(m2+ P(x)m + Q(x)) = 0 และเนื่องจาก emx 0 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

224 บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ข้ันตอนที่ 3 พิจารณาหาสมการชวย ดังนั้น m2+ Pm + Q = 0 จะเรียกสมการนี้วา ข้ันตอนท่ี 4 สมการชว ย (Axiliary equation) หาคําตอบของสมการชวย ซึง่ เปน สมการกําลงั สองทม่ี ีคําตอบของสมการ ข้ันตอนท่ี 5 คือ ข้ันตอนที่ 6 กรณีท่ี 1 m = -P ± P2 -4Q 2 กรณีที่ 2 ให m1 = -P + P2 -4Q และ m2 = -P - P2 -4Q 2 2 ตรวจสอบคา m1และ m2 1. P2- 4Q > 0 จะไดวา m1และ m2 เปนจาํ นวนจริงที่มีคา แตกตา งกนั 2. P2- 4Q = 0 จะไดว า m1 และ m2 เปน จาํ นวนจรงิ ที่มคี าเทา กนั 3. P2- 4Q < 0 จะไดวา m1 และ m2 เปนจาํ นวนเชิงซอนท่มี คี า แตกตางกนั พิจารณาผลเฉลยของสมการ d2y + P(x) dy + Q(x)y =0 จากลักษณะ dx2 dx ของคาํ ตอบของสมการชวย ดงั นี้ ถา คําตอบของสมการ m2+ Pm + Q = 0 คือ m1 และ m2 เปนจาํ นวนจรงิ ที่มี คาแตกตางกัน จะไดวา y1 = em1x และ y2 = em2x ซึ่งเปนอิสระเชิงเสน และผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ d2y + P(x) dy +Q(x)y = 0 dx2 dx จะอยใู นรูป y = C1em1x + C2em2x ถาคําตอบของสมการ m2+ Pm + Q = 0 คือ m1 = m2 = m เปนจํานวนจริง ที่มีคาเทากัน จะไดวา y1 = emx และ y2 = xemx ซึ่งไมเปนอิสระเชิงเสน และผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ d2y +P dy +Qy = 0 จะอยู dx2 dx ในรูป y = C1em1x + C2em2x สามารถแสดงไดวา y2 = xemx เปน ผลเฉลย ของสมการดวย ดังน้ีจากสมการ m2+ Pm + Q = 0 ซ่ึงมีคําตอบ 2 คําตอบ เทา กัน ดังนั้น P2 – 4Q = 0 ทําใหไ ดวา m= - P และ y2 = xe- P2 x 2 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน 225 นั่นคือ d y2(x) = d  xe - 2P x  = x  - P e- P2 x  + e- P2 x = 1 - P x  e- 2p x dx dx    2       2 d2 y2(x) = 1- P x   - P e- P2 x  + e- P2 x  - P  =  P2 x - P  e- P2 x dx 2 2   2   2  4       จะไดว า d2y + P dy + Qy = 0 =  P2 x - P  e-P2 x + P 1 - P x  e- 2P x + Qxe - P2 x dx2 dx 4  2     =  - P2 + Q  xe- P2 x  4    =  - P 2 + 4Q  xe- P2 x  4    เนือ่ งจาก P2- 4Q = 0 หรือ -P2+4Q = 0 ดงั นัน้ d2 y2(x) + P d y2(x) + Qy2(x) = 0 ซ่ึงแสดงวา y2(x) dx 2 dx เปน ผลเฉลยของสมการ น่นั คอื จะไดผ ลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คอื y1 = emx และ y2 = xemx และสามารถเขยี นผลเฉลยทั่วไปของสมการ d2y + P dy + Qy = 0 dx2 dx สาํ หรบั กรณนี ไ้ี ดเปน y = C1emx + C2xemx กรณที ่ี 3 ถาคําตอบของสมการ m2 + Pm + Q = 0 คือ m1 และ m2 เปนจํานวน เชงิ ซอนที่มคี าท้ังสองตอ งเปนสงั ยคุ กันและกัน ดังน้ัน จะไดผลเฉลยเปน y1(x) = eaxcos bx และ y2(x) = eaxsin bx ซึ่งเปนผลเฉลยแบบอิสระเชิงเสน นน่ั คือ จะไดผลเฉลยทวั่ ไปของสมการในรปู ผลรวมเชงิ เสน คอื y = C1eaxcos bx + C2xeaxsin bx หรือ y = eax(C1cos bx + C2sin bx) สามารถแสดงไดวา y1(x) = eaxcos bx เปนผลเฉลยของสมการ d2y + P dy + Qy =0 ดงั นี้ คือ d y1(x) = d (eax cos bx) = eax(-b) dx2 dx dx dx sin bx + aeaxcos bx = eax(a cos bx - b sin bx) d2 y1(x) = eax[-ab sin bx - b2cos bx] + aeax [a cos bx - b sin bx] dx 2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

226 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส = eax [(a2 - b2) cos bx - 2ab sin bx] แทนคาในสมการ d2y + P dy + Qy =0 จะไดวา dx2 dx eax [(a2 - b2) cos bx - 2ab sin bx] + Peax[a cos bx - b sin bx] + Qeaxcos bx = eax [(a2 - b2+ aP + Q) cos bx + (-2ab - bP) sin bx] เนื่องจาก m1 = a + jb และ m2 = a - jb เปนคาํ ตอบของสมการกาํ ลงั สอง m2 + mP + Q = 0 ซงึ่ มีสมบัตเิ กี่ยวกับผลบวกและผลคณู ของคาํ ตอบ คอื m1 + m2 = -P น่นั คือ P = -(a + jb + a - jb) = -2a และ m1m2 = Q นั่นคือ Q = (a + jb)(a - jb) = a2 + b2 ดงั นั้น จะไดวา eax [(a2 - b2+ aP + Q) cos bx +(-2ab - bP) sin bx] = eax [(a2 - b2+ a(-2a) + a2 + b2) cos bx +(-2ab - b(-2a))sin bx] = eax [0.cos bx + 0.sin bx) =0 แสดงวา y1(x) = eaxcos bx เปน ผลเฉลยของสมการ d2y + P dy + Qy = 0 dx2 dx พสิ จู นในทาํ นองเดียวกันจะไดวา y2(x) = eaxsin bx เปนผลเฉลยของ สมการ d2y + P dy + Qy = 0 ดว ย นั่นคือผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ dx2 dx y = eax(C1cos bx + C2sin bx) ตัวอยางที่ 7.15 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการ y- 2 y-15y = 0 วิธที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 โจทยกาํ หนด y - 2 y-15y = 0 พิจารณาสมการ y+ Py+ Qy = 0 จะไดวา P = -2 และ Q = -15 ซึง่ เปนจํานวนจรงิ ซง่ึ เปนคาคงที่ ดังน้ันใช การแกส มการแบบกรณที ่ี 1 ขั้นตอนที่ 2 หาสมการชว ย m2+ Pm + Q = 0 m2-2m-15 = 0 (m-5)(m+3) = 0 m = 5 , -3 , เม่ือ m1 = 5 และ m2 = -3 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชงิ เสน 227 ข้นั ตอนที่ 3 ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการเชงิ อนพุ นั ธ จะอยใู นรูป y = C1em1x + C2em2x โดย y1 = em1x และ y2 = em2x ซึง่ เปนอิสระเชงิ เสน จะได y = C1e5x + C2e-3x เมื่อ C1 และ C2 เปนคา คงที่ ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการคอื y = C1e5x + C2e-3x ตัวอยา งที่ 7.16 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ y - 4y + 4 = 0 วิธที าํ ขั้นตอนท่ี 1 โจทยก าํ หนด y - 4y + 4 = 0 พิจารณาสมการ y+ Py+ Qy = 0 จะไดวา P = -4 และ Q = +4 เปน จํานวนจรงิ ทัง้ สองซงึ่ เปน คาคงที่ มีสมการชวยเปน m2 - 4m + 4 = 0 (m - 2)2 = 0 m =2,2 ข้นั ตอนท่ี 2 คา m1 = m2 = m เปนจาํ นวนจรงิ ทมี่ คี าเทา กนั ดังน้นั แกส มการโดยใช กรณีที่ 2 ขน้ั ตอนที่ 3 ผลเฉลยท่ัวไปของสมการเปน y = C1emx + C2xemx y = C1e2x + C2xe2x เม่อื C1 และ C2 เปน คา คงที่ ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ y = C1e2x + C2xe2x เมอ่ื C1 และ C2 เปน คา คงที่ ตวั อยา งท่ี 7.17 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ y- y + 4y = 0 วิธที าํ ขัน้ ตอนท่ี 1 โจทยกําหนด y - y + 4 = 0 พิจารณาสมการ y+ Py+ Qy = 0 จะไดว า P = -1 และ Q = +4 เปนจาํ นวนจริงซึ่งเปน คาคงท่ี มีสมการชว ยเปน m2 - m + 4 = 0 ขน้ั ตอนท่ี 2 หาคาตัวแปร m จะได m = -(-1) ± (-1)2 - 4(1)(4) = 1± 2 j15 2(1)  m1 = 1 + j15 = 1 + j15 2 2 2 m2 = 1- j15 1 j15 และ 2 = 2 - 2 m1 และ m2 เปน จาํ นวนเชิงซอนทม่ี คี า ทงั้ สองตอ งเปน สงั ยคุ กันและกนั จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

228 บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ถา ให m1 = a + jb และ m2 = a – jb จะได a = 1 และ b = 15 2 2 ข้ันตอนที่ 3 ผลเฉลยคําตอบของสมการ y = eax(C1cos bx + C2sin bx) y = e2x (C1cos 15 x + C2sin 15 x) 2 2 ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = e2x (C1cos 15 15 ตอบ 2 x + C2sin 2 x) ในการแกป ญหาทางฟส ิกส พบวาตองการทราบผลเฉลี่ยทเ่ี ปนคําตอบเฉพาะ น่ันคอื ตองการ ทราบคาของ C1 และ C2 เปนสวนใหญ ดังนั้นจําเปนตองทราบเงื่อนไขอีก 2 เงื่อนไข จึงจะทําให หาคาของ C1 และ C2 ได ซึ่ง 2 เง่ือนไขดังกลาว คือ คาของ y(x) และ y(x) ท่ีจุด x = x0 ซึ่งเรียกคา เหลาน้ีวา เง่ือนไขเร่ิมตน (Initial condition) และเรียกสมการเชิงอนุพันธอันดับสองท่ีมีเงื่อนไข เรมิ่ ตน น้วี า ปญหาเรมิ่ ตนอันดบั สอง (Second order initial value problem) ตวั อยางที่ 7.18 จงหาผลเฉลยของปญหาเรม่ิ ตน ของสมการ y+ 2y - 3y = 0, y(0) = 1 และ y(0) = 5 วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 โจทยกําหนด y +2 y - 3y = 0 พิจารณาสมการ y+ Py+ Qy = 0 จะได P = 2 และ Q = -3 ซึ่งเปนคา คงท่ี ดงั นน้ั ข้นั ตอนที่ 2 หาสมการชว ยซงึ่ สมการชว ยจะมคี า m2+ Pm + Q = 0 ดงั นน้ั m2 + 2m - 3 = 0 (m + 3)(m - 1) = 0 m = -3,1 ข้ันตอนที่ 3 ดงั น้ัน m1 = -3 และ m2 = 1 ขั้นตอนที่ 4 ผลเฉลยทั่วไปของสมการ y = C1em1x + C2em2x จะไดผ ลเฉลยท่วั ไปคอื y = C1ex + C2e-3x และ y= C1ex - 3C2e-3x หาผลเฉลยเฉพาะโดยแทนคาในสมการคําตอบ y = C1ex + C2e-3x เม่อื y(0) = 1 สมการ y จะได 1 = C1 + C2 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน 229 y= C1ex - 3C2e-3x เมือ่ y(0) = 5 สมการ y จะได 5 = C1 - 3C2 ทําการแกร ะบบสมการจะได C1 = 2 และ C2 = -1 ดงั น้นั ผลเฉลยของปญหาเริ่มตน คอื y = 2ex - e-3x ตอบ ผลเฉลยของปญ หาเร่ิมตน คอื y = 2ex - e-3x 7.4.3 สมการเชิงอนพุ ันธเชิงเสน อันดบั สองแบบไมเปนเอกพันธ สมการเชิงอนพุ ันธเชิงเสนอันดบั สองแบบไมเปน เอกพนั ธจะอยูในรปู สมการ y + Py + Qy = r(x) โดยที่ P และ Q เปนคา คงท่ี และ r(x) เปนฟง กชันตอ เนื่องของ x ซงึ่ สามารถหาผลเฉลย ของสมการไดจ ากทฤษฎีบทดงั นี้ คอื ทฤษฎีบทท่ี 7.2 ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเสน y + Py + Qy = r(x) โดยที่ P และ Q เปน y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x) โด ยท่ี C1y1(x) + C2y2(x) เป น ผล เฉ ล ยท่ั วไป ข องส ม ก าร เชิงอนพุ ันธเชงิ เสน เอกพนั ธ y + Py + Qy = 0 และ y = P(x) เปน ผลเฉลยของ y + Py + Qy = r(x) เรียกผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนุพันธ หรือ C1y1(x) + C2y2(x) วาฟงกชันเพ่ิมเติม (Complementary function) ของ y(x) + Py(x) + Qy(x) = 0 และเรียก yP(x) วาผลเฉลยเฉพาะราย (Particular solution) โดยผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ y + Py + Qy = r(x) จะเกิดจาก ผลบวกของฟง กชนั เพมิ่ เติมและผลเฉลยเฉพาะราย ขัน้ ตอนการแกสมการมี 2 ขน้ั ตอน ดังน้ี คอื ขน้ั ตอนที่ 1 พิสูจนว า สาํ หรบั ทุกคาของ C1 และ C2ใน y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x) สอดคลองกบั สมการ y + Py + Qy = r(x) เนื่องจาก y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x) ดังนนั้ y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + y P(x) และ y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + y P(x)  y + Py + Qy = C1y1(x) + C2y2(x) + y P(x) + P[C1y1(x) + C2y2(x) + y P(x)]+ Q[C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x)] = C1 [y1 (x)+ Py1 (x) + Qy1(x)] + C2[y2(x) + Py2(x) + Qy2(x)] + y P(x) + PyP(x)+ QyP(x) จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

230 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ขน้ั ตอนท่ี 2 แตเ น่ืองจาก y1P(x) และ y2(x) เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนพุ ันธ y + Py + Qy = 0 จะไดวา y + Py+ Qy = 0 + 0 + yP(x) + P yP(x) + QyP(x) เนือ่ งจาก yP(x) เปนผลเฉลยของสมการ y + Py + Qy = r(x) ดังนั้น y + Py + Qy = 0 + 0 + r(x) = r(x) ซ่งึ เปน การแสดงวา y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x) สอดคลอ งกับสมการ y + Py + Qy = r(x) พิสจู นว า ถากําหนดให y(x) เปน ผลเฉลยของสมการ y + Py + Qy = r(x) แลว จะตองมี C1 และ C2 ทที่ าํ ให y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x) เน่อื งจาก y(x) - yP(x) สอดคลองกับสมการ y + Py + Qy = 0 เพราะวา (y(x) - yP(x)) + P(y(x) - yP(x)) + Q(y(x) - yP(x)) = y(x) - yP(x) + Py(x) - PyP(x) + Qy(x) - QyP(x) = [y(x) + Py(x) + Qy(x)] - [yP(x) + PyP(x) + QyP(x)] = r(x) - r(x) = 0 เมอ่ื C1y1(x) + C2y2(x) เปน ผลเฉลยทั่วไปของสมการ ดังน้ันจะมคี า ของ C1 และ C2 จะสามารถเขยี นผลเฉลย y(x) - yP(x) อยใู นรูป y(x) - yP(x) = C1y1(x) + C2y2(x) y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yP(x) ตวั อยางท่ี 7.19 จากสมการตอไปนี้ จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของ y - 2y - 3y = e2x วิธที ํา ขัน้ ตอนท่ี 1 จากสมการ y - 2y - 3y = e2x จะไดวา เนือ่ งจาก de2x = 2e2x และ d2e2x = 4e2x dx dx2 ดงั นั้นผลเฉลยเฉพาะรายจะอยใู นรปู yP(x) = Ae2x ดงั นั้น จึงสมมตใิ หผลเฉลยเฉพาะราย คือ yP(x) = Ae2x ขนั้ ตอนที่ 2 ทําการหาอนุพนั ธของ yP(x) จะได yP(x) = 2Ae2x และ yP(x) = 4Ae2x จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน 231 แทนคา จะได y + Py + Qy = r(x) 4Ae2x - 2(2Ae2x) - 3Ae2x = e2x -3Ae2x = e2x 1 A = - 3 ข้ันตอนที่ 3 แทนคา สมการในคําตอบ yP(x) = Ae2x 1 3 ตอบ ผลเฉลยของสมการเฉพาะราย คือ yP(x) = - e2x ตวั อยา งท่ี 7.20 จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ y +2y - 8y = e2x วิธที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 สมมตใิ หผลเฉลยเฉพาะราย คือ ข้ันตอนที่ 2 yP(x) = Ae2x = e2x จะได yP(x) = 2Ae2x และ yP(x) = 4Ae2x แทนคา ในสมการ y +2y - 8y จะได 4Ae2x + 4Ae2x - 8Ae2x = e2x 0 = e2x ซ่ึงไมเ ปน จรงิ ขนั้ ตอนท่ี 3 สมมตใิ หผ ลเฉลยเฉพาะรายของสมการคอื yP(x) = Axe2x หาอนุพันธข อง yP(x) จะได yP(x) = A(2xe2x + e2x) = A2xe2x + Ae2x และ yP(x) = 2(A2xe2x + Ae2x)+ 2Ae2x = 4Axe2x + 4Ae2x แทนคา จะได ในสมการ y + 2y - 8y = e2x จะได 4Axe2x + 4Ae2x + 2(2Axe2x + Ae2x) - 8Axe2x = e2x 6Ae2x = e2x A = 1 6 1 ดังนนั้ ผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ คอื yP(x) = 6 xe2x จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

232 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตอบ ผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ คือ yP(x) = 1 xe2x 6 หมายเหตุ ถาผลเฉลยเฉพาะราย yP(x) = Axe2x เปนฟงกชันเติมเต็มดวย ดังน้ันจะตองสมมติให yP(x) = Ax2e2x สามารถสรุปการหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ y + Py + Qy = keax มีหลักการ ดงั นี้ 1. ทดลองให yP(x) = Aeax 2. หาคา yP(x) และ yP(x) แลว แทนคา ในสมการ y + Py + Qy = keax และแกส มการหาคา A 3. ถา yP(x) = Aeax ไมเ ปนฟง กชนั เติมเต็มจะไดว า yP(x) = Aeax เปนผลเฉลยเฉพาะรายของ สมการ 4. แตถา yP(x) = Aeax เปนฟงกชันเติมเต็ม ดังนั้นสมมติ yP(x) ใหม โดยคูณดวย xn เม่ือ n เปน จํานวนเต็มบวกท่ีต่ําที่สุดท่ี yP(x) ไมเปนฟงกชันเติมเต็ม โดยสมมติให yP(x)= Axeax หรือ yP(x) = Ax2eax เปนตน ในการสมมติผลเฉลยเฉพาะรายของฟงกชนั r(x) เปนฟงกช นั ที่อยใู นรปู ของฟง กช ันพหุนาม และผลบวกเชงิ เสน ของฟงกชันไซนแ ละโคไซน อน่ื ๆ ใหใ ชหลักดังนี้ คือ สมการเชิงอนพุ นั ธสมการฟง กช นั yP(x) เร่มิ ตน yP(x) = Aeax y + Py + Qy = keax y + Py + Qy = a0 + a1x + a2x2 + …+ anxn yP(x) = A0 +A1x + A2x2 + …+ Anxn y + Py + Qy = a1cos bx + a2sin bx yP(x) = A1cos bx + A2sin bx ตัวอยางที่ 7.21 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการ y + y = 2x วธิ ีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 หาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนพุ นั ธ y + y = 2x ซ่ึงมีลกั ษณะเปน ฟง กชนั เติมเตม็ อยแู ลว y + y = 0 ข้ันตอนที่ 2 สมมติ yP(x) ใหม ถา C1 = A0 และ C2 = 0 yP(x) = x(A0 + A1x) = A0x + A1x2 ไมม เี ทอมใดซ้าํ กบั yC(x) จะได yP(x) = A0 + 2A1x และ yP(x) = 2A1 ขั้นตอนที่ 3 แทนคา yP(x) , yP(x) และ yP(x)ในสมการ จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน 233 y + y = 2x จะได ข้นั ตอนท่ี 4 2A1 + A0 + 2A1x = 2x (2A1 + A0) + 2A1x = 2x ทาํ การเทียบสมั ประสิทธิจ์ ะได 2A1 = 2 A0 + 2A1 = 0 จะได A1= 1 และ A0 = -2 ผลเฉลยเฉพาะราย คือ yP(x)= -2x + x2 ดงั นนั้ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ y + y = 2x จะอยใู นรูป y = yC(x) + yP(x) หรือ y = C1 + C2e-x - 2x + x2 ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คอื y = C1 + C2e-x - 2x + x2 ตวั อยา งท่ี 7.22 จงหาผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ y - 4y = 2sin 2x + 3cos 2x วธิ ีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 หาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการเชงิ อนพุ ันธ ซงึ่ มฟี งกชันเตมิ เตม็ เปน y - 4y = 0 ขัน้ ตอนท่ี 2 พิจารณาสมการชว ยของสมการเชงิ อนพุ นั ธ y - 4y = 0 เมอื่ m2+Pm+Q = 0 เมอื่ P = -4 , Q = 0 จะได m2 - 4 = 0 (m - 2)(m + 2) = 0 m = 2, -2 ขั้นตอนท่ี 3 ดงั นั้น m1 = 2 และ m2 = -2 รปู ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ y - 4y = 0 จะอยใู นรูป yC(x) = C1em1x + C2em2x yC(x) = C1e2x + C2e-2x เนื่องจาก r(x) = 2sin 2x + 3cos 2x สมมตใิ ห yP(x) = A1cos 2x + A2sin 2x จะได yP(x) = -2A1sin 2x + 2A2cos 2x และ yP(x) = -4A1cos 2x - 4A2sin 2x จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

234 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ข้ันตอนที่ 4 แทนคา yP(x) yP(x) และ yP(x)ในสมการ y - 4y = 0 จะได (-4A1cos 2x - 4A2sin 2x) - 4(A1cos 2x + A2sin 2x) = 3cos 2x + 2sin 2x - 8A1cos 2x - 8A2sin 2x = 3cos 2x + 2sin 2x ทําการเทียบสัมประสทิ ธิ์ จะได -8A1 = 3 และ -8A2 = 2 3 1 ดังนน้ั A1 = - 8 และ A2 = - 4 จะไดผ ลเฉลยเฉพาะราย คอื yP(x) = - 3 cos 2x - 1 sin 2x 8 4 ดงั นัน้ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ y - 4y = s2sin 2x + 3cos 2x จะอยูในรปู y = yC(x) + yP(x) 3 1 8 4 y = C1e2x + C2e-2x - cos 2x - sin 2x ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปคอื y = C1e2x + C2e-2x - 3 cos 2x - 1 sin 2x 8 4 7.5 สมการเชิงอนพุ นั ธเ ชงิ เสน อนั ดบั n แบง เปน 2 แบบ คอื 7.5.1 การแกส มการเชิงอนพุ ันธเชิงเสน อันดับ n เอกพนั ธ เปนสมการทีม่ ีรูปสมการเปน y(n) + an-1 y(n-1) + an-2 y(n-2) + …+ a2 y + a1y+ a0 y = 0 โดยท่ี an-4 , an-2 , an-3 , …, a2 , a1 , a0 เปนคา คงทซี่ ่ึงจะมีสมการชวยเปน mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 มหี ลักในการพิจารณาหาผลเฉลยโดยกาํ หนดสมการชวยแลว พิจารณาลกั ษณะของคําตอบ ของสมการชวยได ดังน้ี 1. รากของสมการชวยเปน จาํ นวนจรงิ ตา งกนั ทกุ ราก 2. รากของสมการชว ยเปน จาํ นวนเชิงซอนตางกนั ทกุ ราก 3. รากของสมการชว ยเปน จาํ นวนจรงิ และจํานวนเชงิ ซอ นตา งกนั ทกุ ราก 4. รากของสมการชว ยมคี า ซํ้ากัน การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุ ันธ สามารถพจิ ารณาไดด งั น้ี คอื 7.5.1.1 รากของสมการชวยเปนจํานวนจรงิ ตางกันทกุ ราก จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน 235 จากสมการเชงิ อนุพันธท ี่อยใู นรูป y(n)+ an-1 y(n-1)+an-2 y(n-2)+…+a2 y+a1 y+a0 y = 0 ซึ่งมสี มการชว ยเปน mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 ถารากของสมการเปนจํานวนจริงตางกัน n ราก โดยสมมตใิ หมีคาเปน m1 , m2 , m3 , … , mn จะไดผ ลเฉลยของสมการอยูในรูป y = C1em1x + C2em2x + C3em3x + ...Cnemnx โดยท่ี C1 , C2 , C3 , …, Cn เปนคา คงที่ ตวั อยา งที่ 7.23 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ y - 2y - y + 2y = 0 วิธีทาํ ขนั้ ตอนที่ 1 จาก สมการ y - 2y – y + 2y = 0 ขน้ั ตอนท่ี 2 จะมีสมการชว ยเปน mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 หาคาสมการชว ย เมอ่ื n = 2 สมการชวยคือ m2 - 2m2 - m + 2 =0 (m - 1)(m + 1)(m - 2) = 0 m = 1 , -1 , 2 โดยรากของสมการเปนจาํ นวนจรงิ 3 จํานวน ซึ่งมีคา ตางกนั ขน้ั ตอนที่ 3 ผลเฉลยท่ัวไปจะอยูในรูป y = C1em1x + C2em2x + C3em3x + ...Cnemnx ผลเฉลยท่วั ไปคอื y = C1ex + C2e-x + C3e2x ตอบ ผลเฉลยทั่วไปคือ y = C1ex + C2e-x + C3e2x ตวั อยา งท่ี 7.24 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการ d4y -10 d3y  35 d2y -50 dy  24 y = 0 dx4 dx3 dx2 dx วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 จากสมการ y(n) + an-1 y(n-1) + an-2 y(n-2) + …+ a2 y + a1 y+ a0 y = 0 จะสมการชวยเปน mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 ขัน้ ตอนที่ 2 จากโจทยค า n = 4 จะไดสมการชวยเปน m4 - 10m3 + 35m2 - 50m + 24 = 0 (m - 1)(m - 2)(m - 3)(m - 4) = 0 m = 1,2,3,4 รากของสมการเปนจาํ นวนจริง 4 จาํ นวน ทม่ี คี าตา งกนั ข้นั ตอนท่ี 3 ผลเฉลยทั่วไปจะอยูในรูป y = C1em1x + C2em2x + C3em3x + ...Cnemnx แทนคา m1 = 1 , m2 = 2 , m3 = 3 , m4 = 4 ในสมการจะได จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

236 บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ผลเฉลยท่ัวไปคอื y = C1ex + C2e2x + C3e3x + C4e4x ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปคือ y = C1ex + C2e2x + C3e3x + C4e4x 7.5.1.2 เม่ือรากของสมการชวยเปน จํานวนเชิงซอนทตี่ างกัน สมมตใิ ห m1 = a1 + jb1 , m2 = a2 + jb2 , … , mn = an + jbn ซึ่งเปนรากของสมการ ชวยทีเ่ ปน จํานวนเชงิ ซอ น n รากท่ีแตกตางกนั จะไดผลเฉลยท่ัวไปอยใู นรปู y = C1em1x + C2em2x + C3em3x + ...Cnemnx และสามารถเปล่ียนผลเฉลยท่วั ไปใหอ ยใู นรปู ออยเลอรไ ด ตวั อยา งท่ี 7.25 จงแกสมการ y(4) - 4 y+ 7y- 4 y+ 6y = 0 วิธที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 จากโจทย y(4) - 4 y+ 7y- 4 y+ 6y = 0 ข้ันตอนที่ 2 มีสมการชว ยจะอยูในรปู mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 จากโจทยค า n = 4 สามารถเขยี นสมการชวยไดเ ปน สมการชว ยจะอยใู นรูป m4 - 4m3 + 7m2 - 4m + 6 = 0 (m2 + 1)(m2 - 4m + 6) = 0 m = ±j, 4± 16-24 2 = j,-j,2+j 2 ,2-j 2 ขน้ั ตอนท่ี 3 ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = C1em1x + C2em2x +C3em3x + ...Cn-1emn-1x + Cnemnx จะเห็นวารากของสมการเปน จํานวนเชิงซอน 4 จํานวน มคี า ตา งกัน คือ m1 = j , m2 = - j , m3 = 2 + j 2 , m4 =2 - j 2 แทนคา ลงในสมการคาํ ตอบ y = C1e jx + C2e- jx + C3e(2+ j 2 )x + C4e(2- j 2 )x หรือ 2x ) y =C1(cos x + j sin x) +C2(cos x - jsin x) +C3e2x (cos 2x + j sin 2x ) + C4ex(cos 2x - j sin จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน 237 ใชความสัมพันธของจํานวนเชิงซอนท่ีอยูในรูปออยเลอรรวมเทอม ในคูแรกและคูหลัง จัดรูปใหมจ ะไดเ ปน y = k1cos x + k2sin x + e2x(k3cos 2x + k4sin 2x ) ตอบ ผลเฉลยของสมการ คือ y = k1cos x + k2sin x + e2x(k3cos 2x + k4sin 2x ) 7.5.1.3 รากของสมการชว ยเปน จาํ นวนจริงและจาํ นวนเชิงซอนทีต่ า งกัน ผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนุพันธที่มีสมบัติแบบน้ี สามารถตอบในรูป ของผลรวมของผลเฉลยท่เี ปน ของจาํ นวนจริงตางกนั และจํานวนเชิงซอนตา งกนั ดงั ตัวอยางตอ ไปนี้ ตัวอยางที่ 7.26 จงแกส มการ y-5y+ 25y-125y = 0 วธิ ที าํ ขั้นตอนท่ี 1 จากโจทย y-5y+ 25y-125y = 0 มีสมการชว ยจะอยใู นรปู mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 ข้ันตอนท่ี 2 จากโจทยค า n = 3 สามารถเขียนสมการชว ยได สมการชวยจะอยใู นรูป m3 - 5m2 + 25m - 125 = 0 m2(m - 5) + 25(m - 5) = 0 (m - 5)(m2 + 5) = 0 m = 5 , j5 , - j5 ขัน้ ตอนท่ี 3 ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ y = C1em1x + C2em2x +C3em3x + ...Cn-1emn-1x + Cnemnx จะเห็นวารากของสมการเปน จํานวนเชงิ ซอ น 2 จาํ นวนมคี า ตา งกนั คือ m1 = 5 , m2 = j5 , m3 = - j5 แทนคา ลงในสมการคาํ ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปคอื y = C1e5x + C2e- j5x + C3e j5x y = C1e5x + C2(cos 5x - j sin 5x) + C3(cos 5x - j sin 5x) y = k1e5x + k2cos 5x + k3sin 5x ตอบ ผลเฉลยท่วั ไป คือ y = k1e5x + k2cos 5x + k3sin 5x จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

238 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยางที่ 7.27 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพนั ธอนั ดับหกสําหรบั y(x) ทม่ี ีสมั ประสทิ ธิ์เปน จํานวนจริง ถารากของสมการชว ยเปน 3  j,  j และ  5 วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 เน่ืองจากสมการชว ยมรี ากของสมการคือ 3  j,  j และ  5 ซงึ่ เปนจาํ นวนจรงิ และจํานวนเชิงซอ นทีต่ างกนั ท้งั หมด ขน้ั ตอนท่ี 2 ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y = C1em1x + C2em2x +C3em3x + ...Cn-1emn-1x + Cnemnx รากของสมการเปน จาํ นวนจริงและจํานวนเชงิ ซอ นทต่ี างกนั ท้งั หมด 6 คา คือ m1 = 3  j , m2 =  j , m3 =  5 แทนคา ลงในสมการคาํ ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปคอื y = C1e(3+ jπ)x + C2e(3- jπ)x + C3e j2πx + C4e- j2πx + C5e5x + C6e-5x y =C1e3x (cos πx + j sin πx) + C2e3x (cos πx - j sin πx) +C3(cos 2πx - j sin 2πx) + C4e3x (cos 2πx - j sin 2πx) +C5e5x + C6e-5x หรือ y = e3x (k1cos πx + k2sin πx) + k3cos 2πx + k4sin 2πx + k5e5x + k6e-5x ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ y = e3x (k1cos πx + k2sin πx) + k3cos 2πx + k4sin 2πx + k5e5x + k6e-5x 7.5.1.4 รากของสมการชว ยมคี า ซํา้ กนั สมมติใหรากของสมการชวยที่มีคาซํ้ากัน n รากและมีคาเทากับ m ดังน้ันจะได ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธคือ y = C1emx + C2xemx +C3x2emx + ...Cnxn-1emx หรือ y = emx (C1 + C2x + C3x2 + ...Cnxn-1) ตัวอยางที่ 7.28 จงหาผลเฉลยของสมการ y(5) = 0 วิธีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 จากโจทย สมการ y(5) = 0 มีสมการชวยอยใู นรปู mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 ขน้ั ตอนท่ี 2 จากโจทยคา n = 5 สามารถเขยี นสมการชว ยไดเ ปน สมการชว ยจะอยใู นรปู จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน 239 m5 = 0 m = 0,0,0,0,0 ขั้นตอนที่ 3 ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คือ y = C1emx + C2xemx + C3x2emx + ...Cnxn-1emx จากขนั้ ตอนที่ 2 รากของสมการเปน จาํ นวนจรงิ ซํา้ กนั 5 ราก คอื m1 = 0 , m2 = 0, m3 = 0 , m4 = 0 , m5 = 0 ผลเฉลยท่วั ไปคอื y =C1e0x + C2xe0x + C3x2e0x + C4x3e0x + C5x4e0x y = C1 + C2 x + C3x2 + C4 x3 +C5 x4 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไป คือ y = C1 + C2 x + C3x2 + C4x3 +C5 x4 ตวั อยา งที่ 7.29 จงแกสมการ d3y - 6 d2y + 12 dy - 8y = 0 dx3 dx2 dx วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 จากโจทย d3y - 6 d2y + 12 dy -8y = 0 เปน สมการอนพุ ันธอันดบั ท่ี 3 ขั้นตอนท่ี 2 dx3 dx2 dx มสี มการชวยอยใู นรปู mn + an-1 mn-1 + an-2mn-2 +…+ a2m2 + a1 m + a0 = 0 เมือ่ n = 3 สมการชว ยจะอยใู นรปู m3 - 6m2 + 12m - 8 = 0 (m - 2)3 =0 m = 2, 2 , 2 ข้ันตอนท่ี 3 ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คือ y = C1emx + C2xemx + C3x2emx + ...Cnxn-1emx จะไดรากของสมการเปน จํานวนจรงิ ซํา้ กนั 3 ราก คือ m1 = 2 , m2 = 2 และ m3 = 2 ผลเฉลยทั่วไปคอื y = C1e2x + C2xe2x + C3x2e2x หรอื y =e2x (C1 + C2x + C3x2 ) ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปคอื y =e2x (C1 + C2x + C3x2 ) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

240 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยางที่ 7.30 จงแกส มการ y(4) + 18y+ 81 = 0 วิธที ํา ขนั้ ตอนที่ 1 จากโจทย y(4) + 18y+ 81 = 0 เปน สมการอนพุ นั ธอนั ดับท่ี 4 ข้นั ตอนที่ 2 มสี มการชวยอยใู นรปู mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 เมื่อ n = 4 ดังน้ันจะมีสมการชว ยจะอยูในรปู m4 + 18m2 + 81 =0 (m2 + 9)(m2 + 9) =0 (m + j3)(m - j3)(m + j3)(m - j3) = 0 m = -j3 , j3 , -j3 , j3 ข้ันตอนที่ 3 ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = C1emx + C2xemx + C3x2emx + ...Cnxn-1emx จะไดร ากของสมการเปน จํานวนจริงซํ้ากัน 4 ราก คือ m1 = -j3 , m2 = j3 และ m3 = -j3 , m4 = j3 เปน จาํ นวนเชิงซอน 4 ราก มีรากซ้าํ กันอยา งละ 2 ราก แทนคาในสมการคําตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปคอื y = C1e- j3x + C2xe- j3x + C3e j3x + C4xe j3x ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปคือ y = C1e- j3x + C2xe- j3x + C3e j3x + C4xe j3x 7.5.2 สมการเชงิ อนุพันธเ ชิงเสน อันดับ n ไมเ อกพันธ สําหรบั การแกส มการเชิงอนพุ ันธเ ชิงเสนอันดับ n ท่ีไมเอกพนั ธ หรอื สมการที่อยใู นรูป y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + …+ a2y + a1y + a0y = r(x) โดยที่ an-1 , an-2 , an-3 , a2 , a1 , a0 เป นคาคงที่ เนอ่ื งจากผลเฉลยทว่ั ไปจะอยใู นรูป y = yC(x) + yP(x) โดยที่ จะได yC(x) เปนผลเฉลยทัว่ ไปของ y(n)+an-1 y(n-1)+an-2 y(n-2)+ …+ a2y + a1y+ a0y =0 yP(x) เปน ผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ ในการหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการเชงิ เสนแบบนจี้ ะใชว ธิ เี ทียบสมั ประสทิ ธ์ิ ตวั อยา งที่ 7.31 จงแกสมการ d3y + d2y = ex cos x dx3 dx2 วธิ ที ํา ขนั้ ตอนที่ 1 จากโจทยเขยี นสมการไดเ ปน y+ y excos x เปนสมการอนพุ ันธ อันดบั ท่ี 3 ขั้นตอนที่ 2 มสี มการชวยอยใู นรูป mn + an-1mn-1 + an-2mn-2 + … + a2m2 + a1m + a0 = 0 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน 241 เมือ่ n = 3 ดงั นน้ั จะมีสมการชวยจะอยใู นรูป สมการชว ยจะอยูใ นรปู m3 + m2 = 0 m2(m + 1) = 0 m = 0 , 0 , -1 จะเหน็ วารากของสมการชว ยเปนจํานวนจริง 3 ราก ข้นั ตอนท่ี 3 ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ ขั้นตอนที่ 4 y = C1em1x + C2em2x +C3em3x + ...Cn-1emn-1x + Cnemnx ขน้ั ตอนที่ 5 ดังนัน้ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ y+ y = 0 คือ ขัน้ ตอนที่ 6 yC(x) = C1 + C2x + C3e-x หาคา yPเนอ่ื งจาก r(x) = excos x ดงั นน้ั สมมตใิ ห yp(x) = A1excos x + A2exsin x yP(x) = A1[-exsin x + excos x] + A2[excos x + exsin x] = (A1+ A2)excos x + (-A1+ A2)exsin x yP(x) = (A1+ A2)[-exsin x + excos x] + (-A1+ A2)[excos x + exsin x] = (2A2)excos x + (-2A1)exsin x yp(x) = (2A1) [-exsin x + excos x] + (-2A1)[excos x + exsin x] = (-2A1 + 2A2)excos x + (-2A1- 2A2)exsin x แทนคา yp(x) และ yP(x) จะไดว า y + y = (-2A1 + 2A2)excos x + (-2A1- 2A2) exsin x + (2A2)excos x + (-2A1)exsin x = (-2A1 + 2A2)excos x + (-4A1 - 2A2)exsin x น่ันคอื (-2A1 + 2A2)excos x + (-4A1 - 2A2)exsin x = excos x ทําการเทยี บสัมประสทิ ธิ์ จะไดว า -2A1 + 4A2 = 1 และ -4A1 + 2A2 = 0 1 1 แกระบบสมการเชงิ เสนได A1 = - 10 และ A2 = 5 ดังน้นั yP(x) = - 1 excos x + 1 exsin x 10 5 ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการเชิงอนพุ นั ธ คือ จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย