ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 393 L di(t) + Ri(t ) + 1  idt = V dt C ข้ันตอนที่ 2 ทําลาปลาซทรานสฟอรมจะได (เมื่อ L แทนตัวเหนี่ยวนํา และ L ข้ันตอนที่ 3 แทนลาปราซทราสฟอรม ) L L di(t )  + L[Ri(t )] + L  1  idt  = L [V ]  dt   C  จาก L  di  = sI(s)- i(0) และ  dt  I(s) และ L[ i-(0) L[i(t)] = i (t )dt ] = I(s) + s s แทนคา ในสมการ i- L(sI( s) - i(0)) + RI (s) + 1  I(s) + (0)  = V C  s s  s หาคากระแสท่สี ภาวะเริ่มตน i-(0) เมื่อสวติ ชป ดในทนั ที ไมม กี ระแสไหล อยกู อนดงั นนั้ i-(0) = 0 A ท่ีเวลา t = 0- และกระแสท่ีตวั เกบ็ ประจุที่สภาวะ เริ่มตนมคี า i-(0) = 0 A LsI(s) + RI (s) + 1 I(s) = V C s s C1s ) V (Ls + R + I(s) = s ( CLs2 + RCs + 1) I (s) = V Cs s VCs I ( s) = s(CLs2 + RCs + 1) I ( s) = (CLs2 VC + 1) + RCs VC I ( s) = LC(s2 + RC s + 1 ) LC LC VC I ( s) = LC(s2 R 1 (10.21) + L s + LC ) ถากาํ หนดให R = 2  , L = 1 H , C = 1 F และ V = 2 V ใหห ากระแสที่ 2 เกิดขน้ึ ในวงจรแทนคา ในสมการท่ี (10.21) จะได 2 /2 I (s) = 1 )(s2 + 2 1 1( 2 1 s + 1(12 ) ) จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

394 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส I (s) = (s2 + 2 + 2) 2s s2 + 2s + 2 = (s +1- j)(s +1+ j) = 0 s1 = -1+ j และ s2 = -1- j ขน้ั ตอนท่ี 4 ทาํ การแกสมการโดยแยกเศษสว นยอ ยจะได I (s) = (s +1- 2 +1+ j) j)(s A B = s +1- j + s +1+ j A = (s + 1 - 2 + 1 + j )  (s + 1 - j) s=-1+ j j)(s A = ( s + 2 j) s=-1+ j = -1 + 2 + j 1+ j +1 = 2 j = 1 = - j +2 j 2 B = (s +1- j)(s +1+ j) (s +1+ j) s=-1- j B = (s 2 - j) s=-1- j = -1 - j 2 - j +1 +1 = 2 j = - 1 = j -2 j 2 I (s) = (s +1- j)(s +1+ j) = s -j j + s + j j +1- 1+ ขั้นตอนท่ี 5 ทําการลาปลาซทรานสฟอรม กลบั จะได L-1[I (s)] = L-1  s -j j + s j j   +1- +1+  i(t) = - je(-1+ j)t + je(-1+ j)t i(t) = - je-t. je+ jt + je-t . je jt i(t) = - je-t ( je+ jt + je jt ) i(t) = - je-t (cos t - jsin t - cos t - jsin t) i(t) = -2e-tsin t A ตอบ กระแสที่ไหลในวงจรมคี า เปน i(t) = -2e-tsin t จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 395 ตัวอยางที่ 10.14 จงหาแรงดนั ครอ มตัวเกบ็ ประจุ C ที่ t > 0 เมอื่ R = 3  , L = 1 H , C = 1 F และ 2 V = 1 V และเมอื่ ตวั เกบ็ ประจไุ มไดถ ูกประจไุ วก อ น R=3 + i L=1 H - C=½ F V =1 V รปู ที่ 10.7 วงจรอนกุ รม RLC วิธีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 หาสมการความสัมพันธโ ดยใชเคอรช อฟโวลเตจ เมอ่ื ปด สวิตชท ี่ t = 0 ขน้ั ตอนที่ 2 เมอ่ื VR คอื แรงดนั ที่ตกครอ ม R VL คอื แรงดนั ทีต่ กครอ มตวั เหนย่ี วนํา VC คือ แรงดนั ทต่ี กครอมตวั เก็บประจุ เม่อื L แทนตัวเหนย่ี วนํา และ L แทนลาปลาซทราสฟอรม จะไดส มการ VR +VL +VC = V (10.22) di(t ) i(t )R + L dt + VC = V ความสัมพนั ธข อง VC กับกระแส i(t) คอื d i(t ) = C dt VC (t ) (10.23) ทําลาปลาซทรานสฟอรมของสมการที่ (10.22) และ (10.23) จะได di(t ) L[i(t) R + L dt + VC (s)] = L[V ] I (s)R + L[sI (s) - i(0) + VC ] = V s 1 แทนคา R =3 ,L = 1H,C = 2 F และ V = 1V 3I (s) + (1)[sI (s) - i(0) + VC ( s)] = 1 s d L[i(t )] = L[C dt VC (t )] I(s) = C[sVC (s) -VC (0)] จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

396 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส แทนคา I(s) = 1 [sVC (s) - vc (0)] 2 ข้นั ตอนท่ี 3 หาคากระแสทีส่ ภาวะเรมิ่ ตน ที่เวลา t = 0 จะได i(0) = 0 จะได ขนั้ ตอนที่ 4 3I (s) + [sI ( s) + VC (s)] = 1 ขั้นตอนท่ี 5 s 1 3I (s) + sI (s) + VC (s) = s I (s)[3 + s] + VC (s) = 1 (10.24) s จากสมการที่ (10.24) จะได 1 I (s) - 2 sVC (s) = -VC (0) (10.25) จากสมการท่ี (10.24) และ (10.25) เขยี นสมการในรปู แบบเมทรกิ ซ 1 3+ s 1   I(s)  =  s  (10.26) 1  VC (s)  VC   1 - 2 s  1  - 2 (0)    หาคาแรงดนั VC (s) โดยใชกฎคราเมอรจ ะได 1 3+s s VC (s) = 1 -112 (10.27) 3+s 1 - 1 s 2 2 VC (s) = s(s + 1)( s + 2) ทาํ การแกสมการโดยใชเศษสว นยอยจะได VC (s) = As1 + sA+21 + sA+32 2 A1 = s(s + 1)( s + 2)  s s=0 A1 = (s + 2 + 2) s=0 = (0 + 2 + 2) = 1 1)(s 1)(0 2 A2 = s(s + 1)(s + 2)  (s +1) s=-1 A2 = 2 2) s=-1 = 2 2) = -2 s(s + (-1)(-1 + 2 A3 = s(s + 1)(s + 2)  (s + 2) s=-2 A3 = 2 1) s=-2 = 2 +1) = 1 s(s + (-2)(-2 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 397 แทนคา VC (s) = 1 + -2 + s 1 2 s s+1 + ขั้นตอนท่ี 6 ทาํ การแปลงกลับจะได L-1[VC (s)] = L-1[1s + -2 + s 1 2 ] s+1 + vc (t) = 1- 2e-t + e-2t ตอบ แรงดันท่ตี กครอมตวั เก็บประจมุ ีคา เปน vc (t) = 1- 2e-t + e-2t ตัวอยางที่ 10.15 วงจรอนุกรม RC มีแหลงจายแรงดัน V = 180sin (200t - ) โวลต และประจุ เริ่มตนบนตัวเก็บประจุ q0 = 1250  10-6 คูลอมป จงหากระแสถาสวิตชปดท่ีเวลา t > 0 เปนไป ตามมุม  = 90C รูปท่ี 10.8 วงจรอนกุ รม RC วธิ ที ํา ขั้นตอนที่ 1 ใชกฎแรงดนั ของเคอรชอฟจะได ข้นั ตอนท่ี 2 ขน้ั ตอนที่ 3 เม่ือ VR = แรงดันทต่ี กครอ มตัวตานทาน R VC = แรงดนั ที่ตกครอ มตวั เกบ็ ประจุ C V = แรงดันท่แี หลง จา ยไฟ VR +VC =V ใชก ฎของโอหม แทนคาในสมการ 1 i(t )R +  i(t )dt = V C 1 40i(t) + 25 10-6  i(t )dt = 180sin (200t - 90) ทําลาปลาซทรานสฟอรม จะได 1 L[40i(t) + 25  10-6  i(t)dt ] = L[180 sin (200t - 90)] จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

398 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส จาก L[sin(ωt + θ)] = s sinsθ2 + ωωc2os θ + s sin90s°2 + 200 cos 90° L[sin(200 t + 90°)] = + 2002 = s sin 90° + 200 cos 90° s2 + 4 106 1 I(s) qs0 s sin 90° + 200 cos 90° 40 I (s) + 2510-6  s +  = 180  s2 + 4 106      ข้นั ตอนท่ี 4 แทนคา sin 90 = 1 และ cos 90 = 0 และ q0 = 1250  10-6 จะได + 122550101-06-s6 ขน้ั ตอนที่ 5 40I(s) + I(s) = 180  s(1) + 200(0)  ขั้นตอนที่ 6 2510-6 s  s2 + 4 106  ข้ันตอนท่ี 7 180s = s2 + 4 106 40 I (s) + 4 10s4 I (s) + 50 = s2 180s s + 4 106 40sI (s) 4 10s4 I (s) 180s 50 s + = s2 + 4 106 - s I (s)[ 40s + 4 104 ] = s2 180s - 50 s + 4 106 s 180s 50 s + 4 106 s 40s + 4 104    I(s) = s2 -  180s 50 s + 4 106 s +  I(s) = s2 -  40(s 103) I (s) =  40(s2 + 180s2 )( s + 103 ) - 50   4 106 40(s +103)  4.5s2 I (s) =  (s2 + 4 106 )( s + 103) - 1.25   (s +103)  ทาํ การหาคา รากของสมการ s2 + 4 106 = 0 s2 = - 4 106 s = ± -4 106 = ±2 (-1) 103 = ±2 j 103 ทําการกระจายเศษสวนยอ ย ของเทอมที่ 1 ของสมการ I(s) จะได 4.5s2 (s2 + 4 106 )( s + 103) = s + 2 A + s - 2 B + s C j 103 j 103 + 103 หาคา A , B และ C โดยใชว ธิ ีเศษเหลอื A = ( s + 2 j  103 )( 4.5s2 103 )( s + 103 )  (s + 2 j 103 ) s=-2 j103 s-2j A = (s - 2 j 4.5s2 + 103 ) s =-2 j103  103 )( s จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 399 A = (-2 j 103 -42.5j(-210j 3)1(-023 )2 +103 ) j 103 4.5 A = (-2 j 103 + 103 ) = 1.8 - j0.9 B = (s + 2 j 103 )( 4.5s2 )(s + 103 )  ( s - 2 j 103 ) s =+2 j103 s - 2 j 103 B = (s + 2 j 4.5s2 + 103 ) s = 2 j 103 103 )( s B = (2 j 103 +42.5j(21j031)(023 )2 + 103 ) j 103 4.5 B = (2 j 103 + 103 ) = 1.8 + j0.9 C = ( s + 2 j 103 4.5s2 )(s +103 )  (s + 103) s = -103 )(s - 2 j 103 4.5s2 C = ( s + 2 j 103)(s - 2 j 103 ) s = -103 C = (-103 + 2 j 4.5(-103)2 - 2 j 103 ) 103 )(+103 C = 0.9 ขนั้ ตอนที่ 8 แทนคา A ,B และ C I ( s) = s + 2 A + s - 2 B + s C + s 1.25 j 103 j 103 + 103 +103 1.8 - j0.9 1.8 + j0.9 0.9 1.25 I ( s) = s+2j 103 + s-2j 103 + s + 103 + s +103 = 1.8 - j0.9 + 1.8 + j0.9 - s 0.35 s+ j2 ×103 s- j2 ×103 + 103 ข้นั ตอนที่ 9 หาลาปลาซทรานสฟอรม กลบั จะได L1[I (s)]  (1.8 - j0.9)L-1  s + 1  + (1.8 + j0.9) L-1  s - 1  - 0.35 L-1  s 1   j2 103   j2 103   + 103      i (t) = (1.8 - j0.9)e- j2103t + (1.8 + j0.9)e j2103 t - 0.35e-103 t = 1.8e- j2103t - j0.9e- j2103t +1.8e j2103t + j0.9e j2103t - j0.35e- j103t = (1.8e j2103t + e- j2103t ) - j0.9(e- j2103t - e j2103 t ) - 0.35e-103t =1.8 2  21 (e j2103t + e- j2103t ) - j0.9 2 j  12 (e- j2103 t - e j2103t ) - 0.35e-103t i (t) = 3.6cos (2103t) +1.8 21j (e-j2103 t - e j2103t ) - 0.35e-103t; j  j = j2 = -1 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

400 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส = 3.6cos (2000t) - 1.8  1 (e j 2103 t - e-j 2103 t ) - 0.35e -103 t 2j = 3.6cos (2000t) - 1.8sin (2103t) - 0.35 e-103t = 3.6cos (2000t ) - 1.8sin (2000t ) - 0.35e-103t = 4.02 sin (2000t + 116.60) - 0.35e-103t A ตอบ i(t) = 4.02 sin (2000t + 116.60) - 0.35e-103t A 10.3 การประยกุ ตล าปลาซทรานสฟอรมในระบบควบคุม ระบบควบคุม คือ กระบวนการในการควบคุมเอาตพุตเพื่อใหไดผลลัพธตามที่ตองการ เชน การควบคมุ อณุ หภูมขิ องเครอื่ งปรบั อากาศใหมีอุณหภูมิท่ีเหมาะสมท่อี ณุ หภูมิหอง หรอื การควบคุม ความสวางภายในหองเรียนใหม คี วามสวาง 300 ลักซ เปน ตน รปู ท่ี 10.9 การควบคุมปริมาณนาํ้ ในถงั รูปที่ 10.9 เปนการควบคุมระดับน้ําในถังโดยเม่ือปมนํ้าทํางานสูบน้ําออกจากถังจนกระทั่ง ปริมาณนํ้าในถงั ลดลงตาํ่ กวา ระดับเซน็ เซอรวาลว 1 จะปลอ ยนํ้าไหลเขา มาในถงั จนกระท่ังถึงระดับ เซนเซอรจ งึ หยุดปลอยนาํ้ ซ่งึ กระบวนการนจ้ี ะดาํ เนนิ ไปเร่อื ยๆ จนกวา จะไมม กี ารใชนาํ้ ซึ่งในระบบควบคุมจะแทนระบบดวยรูปสี่เหลี่ยมผืนผามีลูกศรแสดงทิศทาง ซ่ึงลูกศรชี้เขา หมายถึงสัญญาณอินพุตหรือเปาหมาย สวนลูกศรชี้ออกหมายถึงเอาตพุตหรือผลลัพธ การแปลง ลาปลาซเปนพ้ืนฐานในการสรางโมเดลทางคณิตศาสตรของระบบทีต่ องศึกษาในโดเมนของความถ่ี เนอ่ื งจากระบบที่จาํ ลองและวเิ คราะหด ว ยสมการอนุพันธส ามัญนั้นทาํ ไดย าก จึงมีการนําการแปลง ลาปลาซมาเปนเคร่ืองมือในการแปลงสมการในโดเมนเวลาเปนสมการในโดเมนความถ่ีหรือ s domain สวนในการแปลงกลับไปสูโดเมนของเวลาก็ใชวิธีการแปลงผกผันลาปลาซทรานสเฟอร จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 401 ฟง กชัน (Transfer function) เปนแบบจําลองทางคณติ ศาสตรในรูปของอตั ราสวนของโพลิโนเมียล ของระบบ หรือโพ รเซสท่ีตองการศึกษาใน โดเมน ของความถี่ซึ่งมีคาเป นอัตราสวน ของผลตอบสนองหรือเอาตพ ุต Y(s) ตอ อนิ พุต X(s) ในโดเมนของความถ่ี X(s) bamnssmn + bbmn--11ssnm-1-1++.......+.+ab00 Y(s) + รปู ท่ี 10.10 ทรานสเฟอรฟง กชัน เมอ่ื H(s) คอื ทรานสเฟอรฟ ง กช ัน จะได bmanssmn++bbmn--11ssnm--11++........+.+a0b0 H (s) = Y (s) = X (s) ทรานสเฟอรฟงกชันของวงจรไฟฟา (Electric network transfer function) คุณลักษณะ ของอุปกรณพ ื้นฐานทางไฟฟาไดแ ก ตวั ตา นทาน ตัวเก็บประจุ และตัวเหนี่ยวนํา ซึ่งแสดงในตาราง ท่ี 10.1 โดยการสรา งแบบจาํ ลองตอ งใชคุณสมบตั ขิ องแรงดนั และกระแสของอปุ กรณแตละตวั ตารางท่ี 10.1 ความสัมพนั ธข องแรงดันและกระแส อมิ พีแดนซ แอดมทิ แตนท Z(s)=V(s)/I(s) Y(s)=I(s)/V(s) ชนดิ อปุ กรณ แรงดัน - กระแส กระแส – แรงดัน แรงดนั – ประจุ ตวั เกบ็ ประจุ v(t) = C1 1 i(t) = C dvd(tt) v(t) = C1 q(t) C1s Cs  i(t)dt 0 ตวั ตานทาน v(t) = Ri(t) i(t) = 1R v(t) v(t) = R dqd(tt) R R1 = G v(t) = L did(tt) i(t) = L1 1 v (t )dt v(t) = L d 2q( t ) Ls L1s dt2 ตวั เหน่ยี วนํา  (mhos), 0 หมายเหตุ : v(t) = V (volts), i(t) = A (amps), q(t) = Q (coulombs), C = F(farads), R = (Ohms), G = L = H (henries). ข้ันตอนการหาทรานสเฟอรฟ งกชนั 1. แทนคาอิมพีแดนซของแตละตวั อปุ กรณ จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

402 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส 2. แทนคาแหลงจายและตัวแปรเวลา t ดว ยคาทที่ าํ การแปลงลาปลาซแลว 3. สมมติคาของกระแสทแี่ ปลงลาปลาซแลวและทิศทางในแตล ะลปู 4. เขยี นสมการโดยใชก ฎแรงดนั ของเคอรชอฟทข องแตละลปู 5. แกสมการใหอยูใ นรูปของตวั แปรอนิ พุตและเอาตพุต 6. เขียนสมการในขอ 5 ใหอ ยใู นรูปของทรานสเฟอรฟ งกช นั ตัวอยา งที่ 10.16 จากวงจรอนุกรมในรูปจงหาทรานสเฟอรฟ ง กช ัน Vo รูปท่ี 10.11 วงจรอนกุ รม RL วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 แทนคา อิมพแี ดนซของแตละตวั อุปกรณ ขั้นตอนท่ี 2 ข้ันตอนที่ 3 เมื่อกําหนดใหค าเริ่มตน ทั้งหมดมีคาเปนศนู ย ใชก ฎแรงดนั ของ เคอรช อฟทจ ะได (เม่อื L แทนตวั เหน่ยี วนํา และ L แทนลาปลาซทราส ฟอรม ) VL +VR =Vs di(t) L dt + i(t)R = V (t) แทนคาแหลง จา ยและตัวแปรเวลา t ดว ยคาทีท่ าํ การแปลงลาปลาซ L L di(t) +i(t )R  = L [V (t )] dt  L[sI(s) -i(0)]+ RI(s) = V(s) LsI(s) + RI(s) = V(s) I(s)(Ls + R) = V(s) V (s) I (s) = Ls + R (10.28) แกส มการใหอ ยูใ นรูปของตวั แปรอนิ พุตและเอาตพตุ เนื่องจากแรงดนั ขาออก คอื Vo = Ri(t) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 403 ทาํ การแปลงลาปลาซจะได L[V0] = L[Ri(t)] (10.29) V0(s) = RI(s) แทนคาสมการท่ี (10.28) ในสมการท่ี (10.29) จะได V (s) V0 (s) = R Ls +R ข้ันตอนท่ี 4 จัดสมการใหอยใู นรูปทรานสเฟอรฟงกชนั จะได VV0((ss)) = R R Ls + R H (s) = Ls + R ตอบ ทรานสเฟอรฟ ง กชนั ของวงจร คือ H (s) = R R Ls + ตวั อยา งท่ี 10.17 จากวงจรอนกุ รม RC ดงั รูปท่ี 10.12 ถาอินพุตคือ u(t) จงหาแรงดันเอาตพ ุต vo(t) vo (t) รปู ท่ี 10.12 วงจรอนกุ รม RC วิธที าํ ข้นั ตอนที่ 1 หาทรานสเ ฟอรฟงกชัน H(s) ของวงจร คือ เมอื่ แรงดนั เอาตพ ตุ คอื v0(t) = i(t)R แรงดนั อินพตุ คือ vi(t) = i(t)(Xc +R) vv0i ((tt)) i(t)R R H (s) = = i(t)(Xc + R) = X c+ R ขั้นตอนที่ 2 แทนคา R = 1  และ C = 1 F จะได จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

404 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส H(s) = R = 1 R = 1 1 Xc +R jωc jω + R + 1 เมื่อ Xc = 1 = 1 jωc sc 1 s H (s) = 1 +1 = s +1 s หาคา ลาปลาซทรานสฟอรม จากโจทยเ มือ่ อินพตุ f (t) คือ u(t); ขน้ั ตอนที่ 3 f (t) = u(t) L[ f (t)] = L[u(t)] 1 F(s) = s ขัน้ ตอนท่ี 4 หาคา vo(t) จาก r(t) = vo(t) = L-1[H (s)F(s)] 1 s 1s] + r(t ) = vo (t ) = L-1[ s + 1  = L-1  s 1    r(t) = vo(t) = e-t ตอบ vo(t) = e-tu(t) ตัวอยา งที่ 10.18 จากวงจรอนุกรม RLC ดังรูปที่ 10.13 เมอ่ื แหลง จายไฟมแี รงดันเทา กับ 100โวลต และสวิตชป ด ท่ีเวลา t = 0 จงคํานวณหาคากระแส i(t) t = 0 R=2 L=1 H + i(t) - 100 V C= 0.2 F รูปที่ 10.13 วงจรอนกุ รม RLC วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 หาทรานสเ ฟอรฟงกช ัน H(s) ของวงจร คือ จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 405 H (s) = 1 = (XL + 1 + R) = XL + 1 + R Z Xc Xc ขัน้ ตอนท่ี 2 แทนคา R = 2  , C = 0.2 F และ L = 1 H จะได ขน้ั ตอนท่ี 3 เมอ่ื Xc = 1 = 1 และ XL = jωL = sL jωc sc 1 1 Cs H (s) = XL + Xc + R = sL + 1 + R = LCs2 + RCs+1 Cs 0.2s s H (s) = 0.2 s2 + 0.4 s + 1 = s2 + 2 s + 5 หาคา ลาปลาซทรานสฟอรม จากโจทยเ ม่อื อนิ พตุ f (t) คอื u(t); จากโจทย ; f (t) = 100 L[f (t)] = L[100] 100 F(s) = s ข้นั ตอนที่ 4 หาคา i(t) จาก r(t) = i(t) = L-1[H(s).F(s)] s 100 r(t ) = i(t ) = L-1{ s2 + 2s + 5 . s } r(t ) = i(t ) = L-1{ s2 100 + 5} + 2s จัดรูปสมการการแปลงกลบั จะได ขัน้ ตอนท่ี 5 r(t ) = i(t) = L-1[ s2 50 2 5] + 2s + 50 2 r(t ) = i(t ) = L-1[ (s2 + 2s +1) + 4 ] i(t) = L-1[ (s +510)2 2 22 ] + a จาก L-1[ s2 + a2 ] = sin at และ L-1[F(s - a)] = f (t )e -at เมอ่ื f (t) = sin 2t และ a = 1 จะได i(t) = L-1{(s +510)2 2 22 } = 50L-1  (s 2 + 22  +  +1)2  i(t) = 50(sin 2t).e-t ตอบ กระแส i(t) = 50(sin 2t).e-t A จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

406 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตวั อยา งท่ี 10.19 จากวงจรอนุกรม RC ดังรูปที่ 10.14 ถา แรงดันมีคาเปน e-3t จงหาคากระแสที่ไหล ในวงจร รปู ที่ 10.14 วงจรอนกุ รม RC วิธที าํ ข้ันตอนที่ 1 หาทรานสเฟอรฟงกช นั จาก ขั้นตอนที่ 3 เม่ืออิมพีแดนซ คอื Z = R + 1 ข้ันตอนที่ 4 sC ข้นั ตอนที่ 5 1 1 H (s) = Z = 1 R+ sC โจทยกําหนด R = 2  และ C = 1 F แทนคา ในทรานสเฟอรฟงกชนั H (s) = 1 = 2 1 1 = s = 1  s s 1  Z + s 2s +1 2  + 2    โจทยก าํ หนดให แรงดันอินพตุ มคี า e-3t f (t) = e-3t 1 + L[ f (t )] = L[e-3t ] = s 3 หาคากระแสจากสมการ I(s) = H(s).F(s) 1  s  1  I(s) = 2  + . s+3 s 1   2  ทําการแยกเศษสวนยอ ยของ I(s) จะได I (s) = 1  1 s  = A 1 + s B 3 2  2 )(s 2 + (s + + 3) . s +  จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 407 A = 1  ( s + 1 s + 3)  + 1 ) 2  2 )(s 2  .(s s = -21 A = 1  - - 1 3  = - 110 2  1 2  2 +   B = 1  (s + 12 s + 3)  .( s + 3) 2  )(s  s = -3   B = 1  ( s s 1 )  = 1  -3 1  = - 3 = -0.6 2  + 2 2  -3 + 2  5 . s = -3  A  -0.6  B -0.1 s+3 I (s) = s + 1 + s + 3 = s + 0.5 + 2 i(t) = - 0.1e-0.5t -0.6e-3t ตอบ กระแสทีไ่ หลในวงจรมคี า i(t) = - 0.1e-0.5t -0.6e-3t A ตวั อยา งท่ี 10.20 จากวงจรอนกุ รม RC จงคํานวณหาคา กระแส i(t) ในวงจร i(t) 1 R -1 t R2C e -t / RC ( ) DC รปู ที่ 10.15 วงจรอนกุ รม RC วิธที าํ ข้นั ตอนที่ 1 หาสมการทรานสเฟอรฟงกช ันจาก 1 I(s) 1 1 sC H (s) = V(s) = Z(s) = R + XC + R + 1 = sRC +1 sC ทาํ ใหสมั ประสิทธหิ์ นา s มีคา เปน 1 โดยทาํ การดงึ ตวั รว ม RC จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

408 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส (s) = sC = sC = s sRC +1    H RC s + 1 R s + 1 RC RC ขั้นตอนที่ 2 หาลาปลาซทรานสฟอรม โดยโจทยกาํ หนดคาอินพตุ ข้นั ตอนท่ี 3 ขน้ั ตอนท่ี 4 f (t) = (t) L[f (t)] = L[ (t)]  F(s) = 1 หาคา กระแส จาก  r(t) = L-1 H (s)F(s) เม่ือ i(t) = r(t) i(t) = r(t) = L-1[H(s)] = L-1    s 1   RC  R s +     i(t) = 1 L-1  s1  R  RC  s +     ทําการกระจายเศษสว นยอย จะได s B 1 = A+ 1 s + RC s + RC = A(ss++R1RC1C) + B 1 s = A(s + RC ) + B s = As + A + B RC A  s = RC +B + As ทาํ การเทียบสัมประสิทธ์ิจะได A RC + B = 0 จะได B = -A RC A = 1 แทนคา A ใน สมการจะได -A -1 B = RC = RC จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 409  i(t) = 1 L-1  s + sR1C  R       = 1 L-1  A + B  R   s + 1   RC   1 +RCR1C = 1 L-1  - s  R  1    = 1  1 L-1  11  R R  RC  L-1[-1] -  s +   1 1 = R δ(t) - RC e-t/RC  u(t)  1 1 ตอบ กระแสทไี่ หลในวงจร i (t) = R δ(t) - RC e-t / RC  u(t) A  ตัวอยางที่ 10.21 จงหาคากระแส i (t) ท่ีไหลของวงจรเมื่อมีตัวตานทาน 2  ตออนุกรมกับ ตัวเหนีย่ วนาํ 4 H (t) รูปท่ี 10.16 วงจรอนกุ รม RL วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 หาทรานสเฟอรฟงกชนั ของวงจร โดยวงจรมี R ตอ อนกุ รมกบั L จะได ขัน้ ตอนที่ 2 Z(s) = R + jωL = R + sL 1 1 1 + sL H (s) = Z(s) = R + jωL = R หาลาปลาซทรานสฟอรม ของสัญญาณอนิ พตุ โดย โจทยก าํ หนดให f (t) = (t) (เม่ือ L แทนตวั เหนี่ยวนําและ L แทนลาปลาซทรานสฟอรม ) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

410 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส L[f (t)] = L[ (t)] = 1 ข้ันตอนที่ 3 หาลาปลาซทรานสฟอรมของกระแส i(t) จากทรานสเฟอรฟง กชัน i(t) = L-1[H(s)] 1 i(t ) = L-1[ R + sL ] ทาํ ใหส มั ประสทิ ธ์ิหนา s มคี า เปน 1 i(t) = 1 L-1  R 1  L  L   + s    1 e-LRtu(t) i(t) = L ข้ันตอนท่ี 4 แทนคา R = 2  และ L = 4 H จะได i(t) = 1 e- 42 t u(t ) = 0.25e-0.5tu(t) 4 ตอบ กระแสทไี่ หลในวงจรมคี า เปน i(t) = 0.25e-0.5tu(t) ตัวอยา งที่ 10.22 วงจรแปลงผนั ไฟฟากระแสสลับเปนไฟฟากระแสตรง ในรปู เปน วงจรเรยี งกระแส แบบคร่งึ คลน่ื ซึ่งเปลยี่ นสัญญาณไฟฟากระแสสลับเปน สญั ญาณไฟฟากระแสตรง ซงึ่ แรงดนั อนิ พุต x(t) มคี าแรงดนั ยอด 12 V ความถี่ 60 Hz ไดโอดทํางานเม่อื แหลงจายแรงดันมากกวาแรงดันท่ีโหลด (สําหรับไดโอดในอุดมคติ) สมมติวาสามารถขับแรงดัน 12 V ท่ี 100 mA (R = 120 ) และ C =1,000 F จงหาคา y(t) 11.3V + t=0 y (t) R - C +iC vc - Circuit Model รูปที่ 10.17 วงจรตวั อยางท่ี 10.22 วิธที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 เขยี นสมการอนุพนั ธโ ดยใหค าความตา นทานไดโอด คือ D IC + y  +  y-x  = 0 R D dy y y-x C dt + R +  D  = 0 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 411 dy = - 1 + 1  y+  1  x = 0 dt RC DC DC คาความตา นทานแบบจาํ ลองไดโอดถาคา ความตา นทานมากเมอื่ y > x และคาความตา นทานต่าํ เมอ่ื x > y จากสมการอนพุ นั ธจะได dy 1 1 1 dt + RC + DC  y =  DC  x เมือ่ ไดโอดไมทาํ งาน dy 1 dt + RC  y = 0 ขนั้ ตอนท่ี 2 ทําการหาคา ลาปลาซทรานสฟอรม L  dy + 1  y  = L[0]  dt RC  1 (sY - y(0)) +  RC Y = 0 ขัน้ ตอนท่ี 3 แทนคา R = 120  ,C =1,000 F และ y(0) = 12 V- 0.7 V = 11.3 V จะได 1 RC (sY - y(0)) +  Y = 0 (sY -11.3) +  1 Y = 0 120100010-6 (sY -11.3)+8.33Y =0 (sY )+8.33Y =11.3 Y (s+8.33)=11.3 11.3 Y = (s +8.33) ขน้ั ตอนที่ 4 ทาํ การแปลงกลับลาปลาซ จะได L-1[Y ( s)] = L-1  (s 11.3   +8.33)  y(t) =11.3.e-8.33tu(t) ตอบ y(t) =11.3.e-8.33tu(t) จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

412 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตัวอยางที่ 10.23 จากวงจรในรูป จงหาสมการ vO(t) เม่อื vO(0) = 4 V 10C1F v 10Rk1 50Rk2 + v - OA1 - +TL081 รูปท่ี 10.18 วงจรตวั อยางท่ี 10.23 วิธที าํ ขัน้ ตอนท่ี 1 จากรปู เปน วงจรแบบกลบั เฟส ให vo(t) เปนแรงดนั เอาตพุตของ ข้นั ตอนท่ี 2 ออปแอมป และ v- = 0 V เมื่อเทยี บกับกกราวด ขน้ั ตอนที่ 3 ใชก ฎกระแสของเคอรชอฟททีโ่ หนด v- จะได ขน้ั ตอนท่ี 4 C ddvto + Rvo2 = 0 เขยี นสมการอนุพนั ธจะได dvo vo dt + R2C = 0 ทําการหาลาปลาซทรานสฟอรมจะได VVssLVVoooo((dss((d))vsst+o=))-+((vsV+soR+L+ov(20o(RCRs)(210R)+21Cv)C2=VoCRo))v2=o(Cs(=v)0o)L=(0[00)] หาลาปลาซทรานสฟอรม กลับจะได L-1[Vo (s)] = L-1  +voR(021)C )      (s    จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 413 vo (t ) = vo (0)e - t RC ขัน้ ตอนที่ 5 แทนคา t = 0 จะได v(0) = 4 V ตอบ t vo (t) = 4e- RC 4e- V vo (t ) = t RC ตวั อยางท่ี 10.24 จงหาสมการ voOuCt (t) ของวงจรออปแอมปตอไปน้ี เมือ่ vin (t) = sin t และ vin(0) = 0 V i2 (t) Vin (t ) i1 (t ) vc V- v oc V+ out รูปที่ 10.19 วงจรตวั อยา งที่ 10.24 วิธที ํา ขั้นตอนท่ี 1 พจิ ารณาวงจรออปแอมปเ มอ่ื i1(t)=C dvdct(t) ข้ันตอนที่ 2 ใชก ฎแรงดนั ของเคอรชอฟท จะได vc(t)= vin(t)-v(t)= vin(t) ดังนัน้ กระแสอินพุตมคี า เปน i1(t)=C dvdint(t) จากกฎกระแสของเคอรช อฟท i1(t)= i2(t) จากกฎของโอหม i2 (t) = v1(t)-RvoOuCt (t) = - voOuCRt (t) ดงั น้ันจะได Ri2(t) = -voOuCt (t) และ i1(t)= i2(t) ดงั นนั้ voOuCt (t)= - Ri1(t) จาก i1(t)=C dvdint(t) จะได dvin (t ) voOuCt (t ) = - RC dt จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

414 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขนั้ ตอนท่ี 3 หาลาปลาซทรานสฟอรม จะได L[voOuCt (t)] = L[-RC dvdint(t)] ขน้ั ตอนที่ 4 [VoOutC (s)] = -RC[sVin(s) - vin(0)] เมื่อ vin(0) = 0 V จะได [VoOutC (s)] = -RC[sVin(s)] หาลาปลาซทรานสฟอรมกลับ จากคณุ สมบตั ิ L-1[sF(s)]= f (t)= ddt f (t) จะได L-1[VoOutC (s)]= dLd-t1V[-inR(Ct)sVin (s)] voOuCt (t) = - RC โจทยกําหนด vin (t) = sin t voOuCt (t) = - RC ddt sin t voOuCt (t)= - RC (cost) V ตอบ voOuCt (t)= - RC (cost) V ตัวอยา งที่ 10.25 หาคา ความสมั พนั ธแ รงดนั อินพุตและเอาตพ ตุ ของวงจรในรูป Rf Vi (t ) Rin V- vo (t) V+ รูปที่ 10.20 วงจรตวั อยา งท่ี 10.25 วธิ ที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 จากวงจรแรงดนั ท่ีตกครอมตวั เก็บประจุมีคา เปน vL(t)= L didLt(t) เม่ือ L แทนตัวเหนยี่ วนํา และ L แทนลาปราซทราสฟอรม หาลาปลาซทรานสฟอรมของ vL(t) จะได diL (t ) L[vL (t )] = L  L dt   จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 415 VVILLL(((sss)))==LLssIL ( s) ขัน้ ตอนท่ี 2 หาอัตราขยายทว่ั ไปจากสูตร VVOin (t ) Zf (t ) = - Zin ใชล าปลาซทรานสฟอรม Zf (s) VViOn (( ss)) = - Zin (s) ดังนัน้ Zin ( s)= RiRninLLss Zin ( s)= Rin +Ls Z f (s)= Rf ข้นั ตอนท่ี 3 แทนคา ในสมการอตั ราขยายจะได    VVVVVVVVVVVVOOOOOOOiiiiinnnnn((((((((((((ssssssssssss))))))))))))=======-------RRRRRRRRRRRRiifiiifRnniffffnnnnRi(n+RRLfRRi(LLLnisiRnRiRnLLsnsLi+iinsnn+LL1s+s11Vss1Ls)i+ns+()11s)V-iRRn(ifnsV) in(s) หาลาปลาซทรานสฟอรมกลบั จะได  L-1[VO (s)]= L-1 - Rf RLin 1sVin (s) - Rf Vin(s)  Rin Rin  Rf  Rf  Rin Rin  vO (t )= - Rin u(t )- (t )  vin (t ) L   Rf Rf vO ตอบ(t)=- Rin Rin u(t ) - Rin (t ) vin(t) L   จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

416 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยางท่ี 10.26 จากวงจรบัคคอนเวอรเตอร +5 VDC ถึง 0…5 V DC V1 V2 iL vL S1 V2 V3 S2 iC (ก) วงจรบคั คอนเวอรเตอร (ข) แบบจําลอง รูปที่ 10.21 วงจรตวั อยางที่ 10.26 มอสเฟทจะทาํ งานดงั น้ี 1. จะทํางานเมื่อแรงดัน +5 V จายเขาท่ีตัวเหนี่ยวนําและไดโอดไมทํางานสวิตชเปดเปน เวลานาน เอาตพุตจะมคี า +5 V 2. จะไมทํางานเม่ือ แรงดัน +5 V ไมตอเขาในวงจร ในกรณีน้ีไดโอดจะทํางานโดยทําให กระแสไหลตอเนื่องในตัวเหนี่ยวนาํ พลงั งานในตัวเหน่ยี วนาํ จะลดลงจนกระท่ังเปน ศนู ยตามสมการ อนุพนั ธ คาเอาตพุต y(t) จะลดลงจนเปน ศนู ย 3. โดยจะทําใหมอสเฟททํางานและหยุดทํางาน ซ่ึงทําใหแรงดันเอาตพุตทํางานและ หยดุ ทํางานที่แรงดนั 0V และ 5V วิธที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 กรณที ่ี 1 เม่ือสวติ ช S1 ปด ท่เี วลา t = 0 และ S2 เปดที่เวลา t = 0 ขนั้ ตอนที่ 2 กอนเวลา t = 0 สวิตช S1 เปด และ S2 ปด เง่ือนไขคา เร่ิมตน v3(0) = vC= - 0.7 V และ iL(0)= v3R(0) สมมตใิ ห S1 ปด ท่เี วลา t = 0 และ S2 เปด ใชลาปลาซทรานสฟอรม v2 = 5 ลาปลาซทรานสฟอรมสําหรับยูนติ สเต็ป 5 V เม่ือ L แทนตวั เหนยี่ วนาํ และ L แทนลาปราซทราสฟ อรม dIL L dt = 5-V3 หาลาปลาซทรานสฟอรม LL(sLILdd-ItiL(0)=) =L5s-5V-3V3  จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 417 LsIL -+LVi3(0=)5s=+5sL-Vi(30) (10.30) LsIL หาคากระแส IL dV3 V3 dt R I L = C + L[ I-==L(CCC] =ss(V+sLV3R13-CC-)Vvvd333dV((=t030)-)+)C++VvRV3V3RR3(30) (10.31) IL IL IL ข้ันตอนที่ 3 หาคา V3 จะได 1 5 ขัน้ ตอนท่ี 4 R s  1+Ls Cs + V3 = + Li(0) + LCsv3 (0) s(RLCs2 +Ls+ R)V3 =5R+ sRLi(0)+ s2RLCv3(0) สมมติคา R = 10  ,C= 33 F, L=15 mH ,v3(0) = -0.7 V, i(0) = -70 mH V3 =  -0.7s2 -30,000 s+10,000,000   s3 +3,000s2 +2,000,000 s    -0.7s2 V3 =  (s -30,000 s+10,000,000   +1,000)(s + 2,000)    -0.7s2 -30,000 s+10,000,000 V3 =  s(s +1,000)(s + 2,000)  = A + B + C   s s +1,000 2,000   หาคา A , B และ C จาก A =  -0.7s2 -30,000 s+10,000,000  =5  (s +1,000)( s + 2,000)  = 39.3   s = 0 = 33.6 B =  -0.7s2 -30,000 s+10,000,000   s( s + 2,000)    s = -1,000 C =  -0.7s2 - 30,000 s+10,000,000   s( s +1,000)    s = -2,000 แทนคา VA3,=B5sแ+ละs+-C319,ใ0.น30ส0 ม+กsา+ร323V,.06300 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

418 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขัน้ ตอนที่ 5 ทาํ ลาปลาซทรานสฟอรมกลับจะได v3(t) = (5-39.3e-1000t+33.6e--2000t)u(t) ขั้นตอนท่ี 6 กรณที ี่ 2 เม่อื สวิตช S1 ปด ทีเ่ วลา t = 0 และ S2 ปด ท่เี วลา t = 0 กอนเวลา t = 0 สวติ ช S1 ปด และ S2 เปด เงือ่ นไขคา เริ่มตน v3(0) = vC= 5 V และ iL(0)= v3R(0) สําหรบั t>0; v2 = - 0.7 V L ddItL = -0.7 - V3 I L = C dV3 + V3 dt R จดั สมการเหมือนขน้ั ตอนที่ 2 จะได ข้ันตอนท่ี 7 s RLCs2 +Ls+ RV3 =-0.7R+ sRLi(0)+ s2RLCv3(0) สมมติคา R = 10  ,C = 33.3 F,L =15 mH ,v3(0) = 5 V, i(0) = 500 mH V3 =  5s2 -15,000 s +1, 400,000   s3 + 3,000s2 +2,000,000 s    5s2 -15,000 s+1,400,000 V3 =  s(s +1,000)( s + 2,000)     5s2 -15,000 s+1,400,000  s(s +1,000)( s + 2,000) V3 =   = A + s B + C   s +1,000 2,000   หาคา A , B และ C จาก A =  5s2 -15,000 s+1,400,000  = -0.7  s +1,000)(s + 2,000)  = 11.4  s = 0 = -5.7 5s2 B =  -15,000 s +1,400,000   s(s+ 2,000)   s = 1,000 5s2 C =  -15,000 s+1,400,000   s(s +1,000)   s = -2,000 แทนคา A , B และ C +ใ1น11,.ส040ม0ก+ารsV+-325,.0700 -0.7 V3 = s + s ทําลาปลาซทรานสฟอรมกลับจะได ตอบ v3(t) = (-0.7 - 11.4e-1000t- 5.7e-2000t)u(t) เวลา t = 0 v3(t) = (5 - 39.3e-1000t+ 33.6e-2000t)u(t) เมื่อสวิตช S1 ปด ที่เวลา t = 0 และ S2 เปดที่ จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 419 v3(t) = (-0.7 - 11.4e-1000t- 5.7e-2000t)u(t) เม่อื สวติ ช S1 ปด ทเี่ วลา t = 0 และ S2 ปด ท่ี เวลา t = 0 10.4 สรุป การประยกุ ตวงจรไฟฟากบั การแปลงลาปลาซและการแปลงกลบั ตองหาความสัมพนั ธร ะหวา ง ตัวแปรท่ีตองการหาคาโดยใชกฎพื้นฐานทางไฟฟาของเคอรชอฟทในรูปของตัวแปรเวลากอน จากนน้ั จงึ ใชก ารแปลงลาปลาซเพอ่ื เปลีย่ นตัวแปรจากโดเมนของเวลาเปน โดเมนของความถ่ี ทาํ การ หาเศษสวนยอ ยเพอ่ื หาคาคงที่ในสมการโดยใชวธิ ีเศษเหลอื หรอื การเทียบสมั ประสิทธิ์ แลว จงึ ทําการ แปลงกลับลาปลาซเพ่ือใหอยใู นรูปของโดเมนของเวลา สวนการหาคาทรานสเฟอรฟง กชันเปน การ ทรานสเฟอรฟงกชันหรือฟงกชันถายโอนหมายถึง แบบจําลองทางคณิตศาสตรท่ีแสดง ความสมั พนั ธระหวางอนิ พุตกบั เอาทพุต โดยจะจาํ กดั การพจิ ารณาเฉพาะกบั ระบบทเี่ ปนเชิงเสน และ H(s) =VI((ss)) 1 ไมเปลี่ยนแปลงตามเวลาเทานั้น ซ่ึงทรานสเฟอรฟงกชันมีสมการเปน = Z(s) และ i(t) = L-1[H(s)] จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

420 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แบบฝก หดั ทายบทท่ี 10 จงแกสมการอนพุ นั ธตอ ไปน้ี ดว ยวิธีการลาปลาซทรานสฟอรม และการแปลงกลับ 1. y(t) - 2y(t) + 5y = 0 เม่อื y(0) = -1 , y(0) = 7 ตอบ y(t) = -ex cos 2x + 4exsin 2x 2. y(t) + 4 y(t) = (t -1) เมื่อ y(0) = 0 , y(0) = 1 1 1 ตอบ y(t) = 2 u(t-1) sin (2(t-1)) + 2 sin 2t 2x 3. d2x + dx + x = 0 เมอ่ื x(0) = 0 , x(0) = 1 dt 2 dt ตอบ x(t ) = 2 e-0.5t sin 3 t 3 2 4. y(x)-3y(x) + 2yx = 1- e2x เมอ่ื y(0) = 0 , y(0) = 0 1 3 ตอบ y( x) = 2 - ex + 2 e2 x - xe2x 5. y(t) -3y(t) + 2y(t) = e3t เมือ่ y(0) = 0 และ y(0) = 0 1 1 ตอบ y(t ) = 2 - et - e2t - 2 e3t y(t 6. ตอบ ) - 5y(t) + 2 = sin t เม่อื y(0) = 1 และ y(0) = 21 t + sin 10 20 -2e2t 2e3t 1 t) y(t ) = + + 10 (cos 7. y(t) + y(t) = t เมอ่ื y(0) = 1 และ y(0) = -2 ตอบ y(t) = t + cos t - 3sin t 8. จากวงจรอนุกรม RLC เมื่อแหลงจายไฟมีแรงดันเทากับ 200โวลต และสวิตชปดที่เวลา t = 0 จงคาํ นวณหาคา กระแส i(t) 9. จากวงจรในรูปที่ เม่ือเริ่มตนสวิตชเปดอยูกอน และตัวเก็บประจุ C ไมไดถูกประจุไวกอ น และ เมื่อสวติ ชป ด ท่เี วลา t = 0 จงหากระแสท่ีไหลในวงจรทเ่ี วลา t > 0 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 421 10. จากวงจรดังรูปท่ี สวิตชอยูในตําแหนงท่ี 1 จนกระท่ังวงจรอยูในสภาวะคงตวั แลว เปลย่ี นไปอยู ในตําแหนง 2 ทันที ท่เี วลา t = 0 ใหหากระแส i(t) ที่เวลา t > 0 เมื่อแรงดันที่แหลงจาย V มีคา 24 V ตวั ตา นทาน R1 = 2 k และ R = 4 k C = 20 µF Vo 11. จากวงจรอนกุ รมในรปู จงหาทรานสเฟอรฟงกช นั ของวงจร Vo จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

422 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส เอกสารอางองิ วนิ ยั คําทว.ี ตําราสมการเชงิ อนพุ นั ธุ 1.กรงุ เทพฯ : พทิ กั ษการพมิ พ, 2542. มงคล ทองสงคราม.การแปลงลาปลาซและการแปลงฟเู รยี ร. กรุงเทพฯ : รามาการพมิ พ, 2542. พมิ พครั้งท่ี 2 ศรีบุตร แววเจริญ, ชนศกั ดิ์ บายเทยี่ ง. สมการเชงิ อนพุ นั ธ 1 Differential equations 1: คณติ ศาสตร สําหรับวศิ วกรรมและวิทยาศาสตร. กรงุ เทพฯ: สาํ นักพมิ พว งตะวนั , 2542. ศรีบตุ ร แววเจริญ, ชนศกั ดิ์ บา ยเท่ยี ง.สมการเชงิ อนุพนั ธ 2 และการแปลงลาปลาซ Differential equations 2& laplace transform : คณติ ศาสตรสําหรบั วศิ วกรรมและวิทยาศาสตร. กรงุ เทพฯ : สาํ นักพิมพว งตะวนั , 2543. นิรันดร คาํ ประเสรฐิ . คณิตศาสตรวศิ วกรรมไฟฟา 4 : สมการเชิงอนพุ ันธส ามญั สมการเชงิ อนพุ นั ธย อย .กรุงเทพฯ : ศูนยส ่อื เสรมิ กรงุ เทพฯ, 2538. คุณสมบัตขิ องการแปลงลาปลาซ .[ออนไลน] . เขาถึงไดจ ากhttp: //www.ir.rmuti.ac.th/xmlui /bitstream/handle/.../230/เนอื้ หาลาปลาซ.pdf?...32011.(วันทีค่ นขอ มลู : 10 มกราคม 2557). การแปลงฟเู รยี รและลาปลาซ .[ออนไลน] . เขา ถึงไดจาก http://e-book.ram.edu/e- book/m/MA343(41)/ma343(41)-2-1.pdf.(วนั ทีค่ น ขอ มลู : 10 มกราคม 2557). บทท่ี 6 การแปลงลาปลาซ.[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจ ากhttp:// www.vcharkarn.com/uploads/252/ 252771.pdf .(วันท่คี น ขอ มลู : 15 มกราคม 2557). Solving Linear ODE Using Laplace Transforms.[ออนไลน] . เขา ถงึ ไดจากhttp://www.math. oregonstate.edu /home/programs/.../laplace/.../solve.ht.. .(วันทีค่ น ขอมลู : 12 กมุ ภาพนั ธ 2557). Chapter 10. Differential Equations: Laplace .[ออนไลน] . เขา ถงึ ไดจ ากhttp://www.Transform Methodswww. delmarlearning.com/companions/.../Chapter%2010.(วนั ทค่ี น ขอ มลู : 13 กมุ ภาพนั ธ 2557). Application of the Laplace Transform to Linear Differential ....[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจ ากhttp:// www2.fiu.edu/~aladrog/LaplaceTransDifferentialEq.pdf.(วนั ทคี่ น ขอมลู : 5 เมษายน 2557). Applications of the Laplace Transform.[ออนไลน] . เขา ถึงไดจาก http://www.vis.uky.edu/ ~cheung/courses/ee422g/lecture6.pdf.(วนั ทค่ี นขอ มลู : 5 เมษายน 2557). จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 423 Chapter 9: Application of Laplace Transform Techniques .[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจ าก http://www.globalspec.com/.../chapter-9-application-of-laplace-tr... .(วันทีค่ น ขอ มูล : 5 เมษายน 2557). จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

บรรณานุกรม จันทนีย กาญจนะโรจน และ ชลุ ี โชติกประคัลภ. (2550). แคลคลลู ัส 1. พิมพครัง้ ท่ี 5. มหาวิทยาลยั กรุงเทพฯ. ดํารงค ทิพยโยธา และคณะ. (2558). แคลคูลัส 2. สํานักพิมพแหงจุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย. ปราโมทย เดชะอําไพ. (2555). แคลคลู ัสและสมการเชงิ อนพุ นั ธด ว ยแมทแลบ : สํานกั พิมพแหง จุฬาลงกรณ มหาวิทยาลยั นิรันดร คําประเสิรฐ. (2553). คณิตศาสตรวิศวกรรมไฟฟา 4. กรงุ เทพมหานคร: ศนู ยส ื่อเสรมิ กรุงเทพฯ . พรชยั สารทวาหา. (2550). สมการเชิงอนุพนั ธ. กรุงเทพมหานคร : ภาควชิ าคณิตศาสตร คณะ วทิ ยาศาสตร จุฬาลงกรณม หาวทิ ยาลยั . ภคั คนิ ี ชติ สกลุ และคณะ. (2010). คณิตศาสตรวิศวกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรงุ เทพมหานคร. Erwin Kreyszig. มงคล ทองสงคราม. (2542). การแปลงลาปลาซและการแปลงฟเู รียร. กรุงเทพฯ : รามาการพมิ พ. พมิ พค ร้ังท่ี 2 รัชทนิ จนั ทรเ จริญ , วริทธิ์ อึง้ อาภรณ. (2545). ระบบควบคมุ เชงิ เสน. สํานกั พิมพ สง เสริม เทคโนโลยี (ไทย - ญ่ีปุน) วินัย คําทว.ี (2542). ตําราสมการเชงิ อนพุ นั ธุ 1. กรงุ เทพฯ : พิทกั ษก ารพมิ พ. วีรศกั ดิ์ บุญทน. (2553). คณิตศาสตรอ ิเลก็ ทรอนกิ ส 2. กรุงเทพมหานคร: สํานักพิมพแ หง จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย. ศรบี ตุ ร แววเจรญิ , ชนศักด์ิ บา ยเทย่ี ง. (2542). สมการเชงิ อนพุ ันธ 1 Differential equations 1: คณติ ศาสตรสาํ หรบั วศิ วกรรมและวิทยาศาสตร. กรุงเทพฯ : สํานกั พิมพวงตะวนั . ศรบี ตุ ร แววเจรญิ , ชนศักด์ิ บา ยเท่ียง. (2543). สมการเชิงอนพุ นั ธ 2 และการแปลงลาปลาซ Differential equations 2 & laplace transform : คณติ ศาสตรส ําหรบั วิศวกรรมและ วิทยาศาสตร. กรงุ เทพฯ : สาํ นกั พมิ พว งตะวัน. สาํ เริง ชน่ื รังสิกลุ . (2555). สมการเชิงอนุพนั ธ. กรุงเทพมหานคร : สาํ นกั พมิ พแ หงจฬุ าลงกรณ มหาวิทยาลยั . สุวฒั น รอดผล. (2546). สมการเชงิ อนุพนั ธส ําหรบั วศิ วกร. กรงุ เทพมหานคร : สํานักพมิ พ ส.ส.ท สมาคมสงเสรมิ เทคโนโลยไี ทยญี่ปุน

426 บรรณานกุ รม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส การแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขา ถึงไดจ าก http://www.crc.ac.th/online/22201/312ch09_2550 _3rd.pdf. (วนั ทค่ี น ขอ มลู 6 พฤษภาคม 2556). การแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขาถึงไดจาก http://ssru.ac.th/teacher/ubol/file.php/1/ Math_for_science /30_7.pdf. (วันท่ีคน ขอมูล 3 มนี าคม 2556). การแปลงฟเู รยี รแ ละลาปลาซ. [ออนไลน] . เขา ถงึ ไดจ าก http://e-book.ram.edu/e- book/m/ MA343(41)/ma343(41)-2-1.pdf. (วนั ทีค่ น ขอมลู : 10 มกราคม 2557). คณุ สมบตั ขิ องการแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขา ถึงไดจาก http: //www.ir.rmuti.ac.th/xmlui /bitstream/handle/.../230/เนอ้ื หาลาปลาซ.pdf?...32011.(วันท่คี นขอมลู : 10 มกราคม 2557). บทท่ี 6 การแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขา ถึงไดจาก http:// www.vcharkarn.com/uploads/252/ 252771.pdf. (วนั ท่ีคนขอมลู : 15 มกราคม 2557). Application second order. [ออนไลน] . เขาถึงไดจาก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20Concepts%20and%20Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf . (วนั ทคี่ น ขอ มูล 10 เมษายน 2556) Berlin Chen. Mathematical Modeling and Engineering Problem Solving. Department of Computer Science & Information Engineering.National Taiwan Normal University. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://www. berlin.csie.ntnu.edu.tw/.../NM2012S- Lecture01-Modeling%...(วันที่คนขอ มูล 10 เมษายน 2556) Chapter 9: Application of Laplace Transform Techniques. [ออนไลน] . เขาถงึ ไดจาก http://www.globalspec.com/.../chapter-9-application-of-laplace-tr... .(วนั ท่ีคน ขอ มลู : 5 เมษายน 2557). Ismael Herrera and George Pinder. (2012). Mathematical modeling in science and engineering. Wiley. Linear Differential Equations. [ออนไลน] . เขาถงึ ไดจ าก http://wwwtutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วันทคี่ น ขอมูล 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] . เขาถึงไดจ าก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วันที่ คน ขอ มูล 10 เมษายน 2556) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

ดชั นี การเลอ่ื นทางเวลา 308,316 ไลบน ิซ 2 ความชัน 23 สังยุค 225,227 ความเรว็ 24 สัมบรู ณ เคอรช อฟท อนุพนั ธ 21 แคลคูลัส 83,84 อนั เดอรแ ดมป 65,84 โคซแี คนต 213 เอกซโพเนนเชียล 263,267,275 โคไซน 12 โอเวอรแ ดมป โคแทนเจนต 11 ไฮดรอลกิ ซ 37 เง่ือนไขเริ่มตน 12 263,265,275 ซแี คนต 228,269 โดเมน 12 65 ไดอเิ ล็กตรกิ ตวั แปร 2 แทนเจนต 76 แบรนลู ลี 84 ปรพิ นั ธ 12 ปฏิยานุพนั ธ 218,289 พีชคณติ 31,32 ฟง กชนั ไซน 31 ฟงกช นั ตรรกยะ 34,61 ฟง กชันตรโี กณมติ ิ 40,41 ฟง กชนั ประกอบ 49 ฟง กชันลอกาลทิ มึ 11,14 ฟงกชันเลขชก้ี ําลัง 10 โมเมนตัม 17,32 รมี นั น 18,32 เรนจ 131,132 ลาปราซ 29 2 293,308



ภาคผนวก อนุพนั ธของฟงกชัน dy dx f (x) = 0 หรอื = 0 f (x) = nxn-1 หรือ dy = dx n = nxn-1 dx dx dy du(x) f (x) = C.u(x) หรือ dx = C dx f (x) = u (x) + v (x) แลว d f (x) =ddyxddx=u(ux(x))+. dddxdxvv((xx)) + v(x) . d u(x) f (x) = u(x) . v(x) แลว ddxdxf (x) = dx f (x) =y = u(x) แลว dy = v(x). d u(x) - u(x). d v( x) v(x) dx dx dx [v(x)]2 อนุพันธของฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ dddddddddxddxxxdxxfffff(f(((x(x(xxx)x)))))======--s-sccceesssocicccns2u2uuu(uu(x((((xx)xxx)))))tacddndodddddxxxtxuuuuuu((x((((x)xxxx)))))dddxdxuu((xx)) f (x) = sin u(x) แลว f (x) = cos u(x) แลว f (x) = tan u(x) แลว f (x) = cot u(x) แลว f (x) = sec u(x) แลว f (x) = csc u(x) แลว การหาอนพุ นั ธข องฟงกช ันตรีโกณมิตผิ กผัน d d 1 dx f (x) = sin-1 u(x) จะได dx f (x) = 1 - [u( x )]2 u(x) f (x) = cos-1 u(x) จะได d f (x) = -1 d u( x) dx 1- [u(x)]2 dx f (x) = tan-1 u(x) จะได d f (x) = 1 d u(x) dx 1+ [u(x)]2 dx f (x) = cot-1 u(x) จะได d f (x) = -1 d u(x) dx 1+ [u(x)]2 dx

f (x) = sec-1 u(x) จะได d f (x) = u(x) 1 d u( x) dx [u(x)]2 -1 dx f (x) = csc-1 u(x) จะได d f (x) = u(x) -1 d u( x) dx [u(x)]2 -1 dx อนพุ นั ธข องฟง กช ันลอการทิ ึม dy dx f (x) = y = loga u เม่ือ u = f (x) แลว = 1 loga e du u dx d 1 du f (x) = ln u แลว dx f (x) = u dx f (x) = ln x แลว d f (x) = 1 dx x อนพุ ันธของฟงกชนั เลขชีก้ ําลงั du dy dx f (x) = au แลว dx = au. ln a . f (x) = eu แลว dy = eu du dx dx การหาปริพันธ f (x) = xn เมือ่ n1  1 แลว f (x) =  f (x)dx = xnn++11 + C เม่อื C เปนคาคงทใ่ี ดๆ f (x) = kxn เมอื่ n  -1 แลว f (x) =  f (x)dx = k xnn++11 + C เม่ือ C เปนคาคงทใ่ี ดๆ f (x) = g(x) ± h(x) แลว f (x) =  f (x)dx = g(x) ± h(x) + C เม่อื C เปน คาคงทใ่ี ดๆ f (x) = u(x) ± v(x) แลว f (x) =  f (x)dx = (u(x) ± v(x))dx + C ปริพันธฟง กช นั ตรโี กณมติ ิ (sin u)du = -cos u + C (cos x)dx = sin x + C  tan udu = ln | sec u | + C  cot udu = ln | sin u | + C  sec udu = ln| sec u + tan u | + C  csc udu = ln| csc u + cot u | + C  sec2udu = tan u + C  csc2udu = -cot u + C sec u tan udu = sec u + C  csc u cot udu = -csc u + C

ปรพิ นั ธฟงกชนั ตรโี กณมิตผิ กผนั 1 ( 1-x 2 ) dx = sin-1x + C  (- 1 2 ) dx = cos-1x + C 1-x  ad2u-u2 = sin-1 ua + c , a > 0  du = 1a tan-1 au + c , a > 0 a2 +u2 = 1a sec-1 ua + c , |u| > a > 0  u ud2u-a2 uad2d2u-u+au22 = sin h-1 ua + c , a > 0  = cos h-1 ua + c , |u| > a  a1 au 1a ua  a2d-uu2 = tan h-1 +c ; |u| < a cot h-1 +c ; |u| > a ตารางลาปลาซ ตารางที่ 1 คณุ สมบตั ขิ องลาปลาซทรานสฟอรม อันดบั ท่ี f (t) ท่ี t > 0 F(s) หมายเหตุ Linearity 1 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(s)+a2F2(s) Scaling 2 f (at) Time shift 1a F  as  Frequency shift Time differentiation 3 f (t -)u(t -) e-st F (s) Time integration 4 e-at f (t) F(s + a) Frequency differentiation 5 ddt f (t) Frequency Integration sF(s) - f (0) d2 f (t) s2F(s) - sf (0) - f (0) dt 2 dn f (t) snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2 f (0) - ... - f n-1(0) dt n 6  [ f t]dt F(s) + f -1(0) s s 7 tn f (t) dnF(s) (-1)n dsn 8 f (t) s F(s)ds t

ตารางท่ี 2 ลาปลาซทรานสฟ อรม F(s) หมายเหตุ อนั ดบั ท่ี F (t) ท่ี t > 0 Unit step function 1s Impulse function 1 u(t) Exponential decay function 2 (t) 1 3 e-at Ramp function 4 tn 1 5 tne-at s+a Damped ramp function 6 sin t n! 8 cos t sn+1 Sine function n! 9 e-at sin t (s+a)n+1 Cosine function 10 e-at cos t  Exponentially decaying sine function 11 sin (t+) s2 +2 Exponentially decaying cosine 12 cos (t+) s function 13 sinh t s2 +2 Phase shift sine function 14 cosh t  Phase shift cosine function 15 e(+j)t 16 e(-j)t (s+a)2 +2 Hyperbolic sine function 17 t s+a 18 e(j)t Hyperbolic cosine function (s+a)2 +2 Complex exponential function s sin  +cos Complex exponential function s2 +2 Unit ramp function s cos-sin  s2 +2 Complex exponential function  Complex exponential decay function s2 - 2 Constant function s s2 - 2 1 s-- j 1 s-+ j 1 s2 1 s- j 19 e(-j)t 1 20 A s+ j A s

ตารางที่ 3 คณุ สมบตั ขิ องลาปลาซผกพนั ลําดบั ท่ี คณุ สมบตั ิ F(s) L-1[F(s)] = f (t) aF1(s)+ bF2(s) af1(t)+ bf2(t) 1 เชิงเสน F(s- a) f (t)eat 2 การเล่ือนทางความถี่ F(s)e-at f (t - a) F(as) 3 การเล่อื นทางเวลา 1a f  at  F n(s) 4 การสเกล (-1)ntnf (t) เม่อื n =1 ,2 ,3… 5 อนุพันธ L-1[F(s)] = f (t) 1 ตารางที่ 4 ลาปลาซทราสฟอรมกลับ t ลาํ ดบั ท่ี L[f (t)] = F(s) tnn! 1 1s eat 2 1 sin at 3 s2 1 cos at 4 sn+1 5 s1a-a sinh at 6 7 s2 +a2 cosh at 8 s 9 e(a+j)t 10 s2 +a2 e(a-j)t 11 a tn 12 s2 -a2 s teat 13 t neat s2 -a2 s-a1- j s-a+1 j n! sn+1 1 (s-a)2 n! (s-a)n+1

ตารางท่ี 4 ลาปลาซทราสฟ อรมกลบั (ตอ ) ลําดบั ท่ี L[f (t)] = F(s) L-1[F(s)] = f (t) 14 e-atsin 0t 0 15 e-atcos 0t 16 (s+a)2 +02 ) (t) s+a (s+a)2 +02 ) 1