ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

292 บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เอกสารอา งองิ วรี ศกั ดิ์ บุญทน. (2553). คณิตศาสตรอเิ ลก็ ทรอนิกส 2. กรงุ เทพมหานคร: สาํ นักพมิ พแหง จุฬาลงกรณม หาวิทยาลยั . ภคั คนิ ี ชติ สกลุ และคณะ. (2557). คณติ ศาสตรว ิศวกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรุงเทพมหานคร. Erwin Kreyszig . พรชัย สารทวาหา . (2550). สมการเชิงอนุพนั ธ. กรุงเทพมหานคร : ภาควชิ าคณติ ศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลยั . นิรดั ร คาํ ประเสริ ฐ . (2553). คณิตศาสตรว ศิ วกรรมไฟฟา 4. กรุงเทพมหานคร: ศนู ยส่ือเสรมิ กรุงเทพฯ . สุวัฒน รอดผล. (2546). สมการเชงิ อนพุ นั ธสาํ หรบั วศิ วกร. กรงุ เทพมหานคร : สาํ นกั พิมพ ส.ส.ท สมาคมสง เสรมิ เทคโนโลยไี ทยญีป่ นุ . สําเรงิ ชน่ื รงั สิกลุ . (2555). สมการเชิงอนุพันธ. กรุงเทพมหานคร : สํานักพิมพแ หงจุฬาลงกรณ มหาวทิ ยาลยั . Linear Differential Equations. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.tutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วันท่ีคน ขอ มูล 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วันทค่ี น ขอมลู 10 เมษายน 2556) Chapter 14 Difference Equations 1. [ออนไลน] เขาถึงไดจ าก http://www.cimt.plymouth.ac.uk /Projects/.../discrete_ch14.pdf (วนั ที่คน ขอมูล 10 เมษายน 2556) Chapter11 Differential Equation. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://ugrad.math.ubc.ca/ Coursedoc/ math103/keshet.notes/chapter11notes.pdf. (วนั ทค่ี น ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556) Chapter4 Application of second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis. [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%204% 20second %20order%20des.pdf. (วนั ทีค่ น ขอ มูล 10 เมษายน 2556) Application second order. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจ าก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20concepts%20and%20Contexts/upfiles/3C3-Appsof2ndOrders_stu.pdf . (วันทค่ี น ขอ มูล 10 เมษายน 2556) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซหรือผลการแปลงลาปลาซหรือเรียกวาแคลคูลัสการดําเนินการ เปนสมการท่ีสําคัญสําหรับนักคณิตศาสตร วิศวกร นักฟสิกส ซึ่งหลักการของลาปลาซ ทรานสฟอรม เปนการแกป ญหาจากโดเมนหนง่ึ ไปเปนอีกโดนเมนหน่งึ สําหรับทางวิศวกรรมไฟฟา น้ันจะเปนการแปลงสมการจากโดเมนเวลาเปนโดเมนความถ่ีเชิงซอนหรือ โดเมน s จากนั้น จึงทําการแกสมการโดยใชหลักการทางพีชคณิต แลวจึงกลับไปแปลงจากโดเมน s กลับไปเปน โดเมนของเวลาอกี คร้ังโดยใชการแปลงลาปลาซผกผัน 1 รูปท่ี 8.1 ความสมั พนั ธข องลาปลาซทรานสฟอรมและการแปลงกลบั คา ของกระแสหรือแรงดันในวงจรไฟฟาชวงภาวะทรานเชียนตตองใชวิธีการของสมการ อนพุ ันธม าชว ยแกปญหา ถา วงจรไฟฟาประกอบดวยตัวตานทานและตวั เหน่ียวนําหรือตัวตานทาน และตวั เก็บประจุ สมการท่ีใชในการแกสมการจะอยูในรปู ของสมการอนพุ ันธอันดับหนึ่ง (First- order differential equation) ซ่ึงสามารถแกปญหาไดหลายวิธี แตถาวงจรไฟฟาประกอบดวย ตัวตานทาน ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนํา สมการความสัมพันธที่ไดจะมีลักษณะเปนสมการ อนุพันธอันดับสอง (Second-order differential equation) ซ่ึงก็มีวิธีการแกปญหาไดอีกหลายวิธี แตกตางกันออกไป การแกสมการโดยใชวิธีการลาปลาซทรานสฟอรมถือเปนเครื่องมือ ที่มีประสิทธิภาพอยางยิ่งในการแกปญหาวงจรไฟฟาในสภาวะทรานเชียนต ซ่ึงเปนการแปลง จากฟงกชันของเวลา (Time domain) ไปเปนฟงกชันของความถ่ีเชิงซอน s (Complex frequency domain) ดงั รูปท่ี 8.1

294 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส รูปท่ี 8.2 การแกป ญ หาวงจรไฟฟา โดยวิธีสมการอนพุ ันธแ ละวธิ ีลาปลาซทรานสฟอรม จากรูปที่ 8.2 วิธีการของลาปลาซทรานสฟอรม จะเปลี่ยนสมการอนุพันธหรอื วงจรไฟฟา นั้นไปอยูในฟงกชันของความถี่แลวใชหลักการพีชคณิตธรรมดาจัดใหตัวแปรในรูปแบบ ทเ่ี หมาะสม แลวใชต ารางลาปลาซทรานสฟอรมเทยี บหาคา ออกมาในรปู ของฟง กชนั ของเวลาจะได คาํ ตอบท่ีตอ งการ การเทียบคากลบั มาฟงกชันของความถ่ไี ปเปน ฟงกชันของเวลานัน้ เรียกวาเปน การ ทําลาปลาซทรานสฟอรมกลับ (Inverse laplace transform) หลักของการลาปลาซทรานสฟอรม จะคลา ยกับหลักการของลอการิทึม เชน ถาตอ งการหาคาของฟง กชนั ใดใหใสลอการิทึมเขา ไปจะได คา ออกมาตามทเ่ี ปดจากตารางลอการิทึม และเมื่อตองการคําตอบใหแอนตลี้ อการิทึมโดยใชตาราง เชน เดียวกนั 8.1 ปริพันธไ มต รงแบบ (Improper integral) b บทนิยาม 8.1 ปริพันธไมตรงแบบ (Improper integral) คือ ปริพันธจํากัดเขต a f (x)dx เม่ือ ปริพัทธของ f (x) มคี า ทไ่ี มต อ เน่ืองบนชวง [a, b] ตั้งแตห นึง่ จดุ ขึ้นไป หรือ การหาลมิ ิตของปรพิ นั ธ อยางนอยคา หน่ึงเปน อนนั ต โดยแบง การหาปริพนั ธไมตรงแบบออกเปน 2 ชนดิ คอื 8.1.1 ปริพันธไมตรงแบบบนชวงปด ปริพัทธของ f (x) มีจุดท่ีไมตอเน่ืองบนชวง [a, b] ตั้งแต หนึง่ จุดข้ึนไป แบงการ พิจารณาออกเปน 3 กรณี กรณี 1 ถา f ตอเนือ่ งบนชว ง [ a, b) แตไ มตอ เนอื่ งท่ี x = b นิยามโดย จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 295 b f (x)dx =l limb- l f (x)dx (8.1) a a กรณี 2 ถา f ตอเน่ืองบนชวง (a ,b] แตไ มตอเนอ่ื งท่ี x = a นยิ ามโดย b b f (x)dx =l lima+ f (x)dx (8.2) a l กรณี 3 ถา f ตอเน่ืองทท่ี กุ ๆ จุดบนชว ง [a, b] ยกเวน ท่ี x = c เมอื่ c(a, b) นิยามโดย b k b f (x)dx =k limc- f ( x)dx +l limc + f (x)dx (8.3) a a l จากสมการปริพัทธไมตรงแบบ (8.1), (8.2) และสูตร (8.3) ถาลิมิตหาคาได จะเรียกวา ปริพันธไมตรงแบบชนิดลูเขา (Convergent) และถาลิมิตหาคาไมได จะรียกวาปริพันธไมตรงแบบ ชนดิ ลอู อก (Divergent) 8.1.2 ปริพันธไมตรงแบบบนชวงเปด อนนั ต ปรพิ ทั ธของ f (x) ท่ีมีลมิ ติ ของการหาปริพันธอยาง นอยหนึง่ คา เปน อนนั ต แบง การ พจิ ารณาออกเปน 3 กรณี กรณี 1 ถา f ตอ เน่อื งบนชว ง [a, ) นยิ ามโดย l  f ( x )dx =l lim f ( x )dx (8.4) a a กรณี 2 ถา f ตอเนอื่ งบนชว ง (-  , b] นยิ ามโดย b b f ( x )dx =l lim f ( x )dx (8.5) - l กรณี 3 ถา f ตอเนื่องทที่ ุกๆ จดุ บนชวง (- ,) และ a (-  ,  ) นยิ ามโดย b a f ( x )dx = f ( x )dx +a f ( x)dx (8.6) a - a l =k lim f ( x )dx +l lim f ( x)dx k a จากการปริพัทธไมตรงแบบ (8.4), (8.5) และ (8.6) จะไดวาถาลิมิตหาคาได จะเรียกวาปริพันธ ไมตรงแบบชนดิ ลเู ขา (Convergent) และถาลิมติ หาคาไมไ ดจ ะรียกวาปรพิ นั ธไ มตรงแบบชนิดลอู อก (Divergent) 8.2 คาํ จํากดั ความของลาปลาซทรานสฟอรม ถา f (t) = 0 ท่ี t < 0 ซ่งึ สามารถหาคา ไดท ี่ t > 0 แลวนัน้ จะสามารถหาคา ลาปลาซทรานสฟ อรม ของ f (t) นน้ั ไดจ าก จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

296 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส L[ f (t)] = 0 f (t)e-st dt (8.7) เม่ือ L เปนเครื่องหมายของลาปลาซทรานสฟอรม และ s เปนฟงกชันของความถ่ีเชิงซอน อยูในรูป s =  + j และ L[f (t)] เรียกวาลาปลาซทรานสฟอรมของ f (t) และเปนลาปลาซทรานส ฟอรม ดานเดียว (Unilateral laplace transform) คือจาก 0   จากสมการท่ี (8.7) เรียกวา อนิ ทิกรัลไมตรงแบบ (Improper integral) หรือปริพันธไมตรงแบบ ซึ่งกําหนดโดย เมอื่ ทําการหาปรพิ นั ธแ ลว แทนคา ลิมติ เขา ไปจะอยใู นรูปของตวั แปร s หรอื สามารถ เขียนไดเปน L[ f (t )] =  f (t )e- st dt = lim b e-st f (t )dt (8.8)  b  0 0 จะพบวาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน f (t) จะมีผลการแปลงหรือไมนั้นข้ึนอยูกับลิมิต ทางขวามือของสมการวาลิมิตหาคาไดหรือไม ถาลิมิตหาคาไดจะเรียกวา อินทิกรัลลูเขา และ สัญลักษณ L ซ่งึ แปลง f (t) เปน F(s) จะเรยี กวา ตัวดาํ เนนิ การแปลงลาปลาซ L[ f (t )] = F (s) (8.9) เปนการเปล่ียนแปลงฟงกชันของเวลาไปเปนฟงกชันของความถ่ีเชิงซอน จากสมการที่ (8.8) จะหาคา ไดแนน อนหรอื อยใู นชวงลูเขา (Converse) เมอื่ 0 f (t ) e- tdt <  ทงั้ นเี้ นื่องจาก = f (t) e-(t+ j)t 0 f (t)e-st = f (t)e-t e jt = f (t)et 1 = f (t)et คาที่จริงบวก (Positive real) ใดๆ ของ  ถา f (t) < Meat เสมอไปท่ีคา t เปนบวก และ การหาปริพันธจะไดคาท่ีแนนอนเม่ือ  >  น่ันคือชวงที่จะทําใหสมการลูเขาอยูท่ี  <  <  โดยพิสูจนไดจาก จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 297 0 f (t ) e-t dt < 0 Me-t e-t dt = 0 M e(-)t d (-)t - = M e -(  -  ) t  - 0 = M ถา  >  - ดังน้ันถาเลือกคา  >  แลวผลการหาปริพันธจะไดเปน M/( - ) และจะไดคาท่ีแนนอน เมื่อ  <  ดวย ดงั นนั้ คา ทเี่ หมาะสมของ  คอื  <  < จากสมการที่ (8.9) เมอ่ื ตองการเปล่ียนกลับจาก F(s) เปน f (t) ทําไดโดยการทาํ ลาปลาซทรานส ฟอรม กลบั (Inverse laplace) เขยี นไดเ ปน f (t) = L-1[F(s)] f (t) เปนการทําลาปลาซทรานสฟอรมกลับของ F(s) และจะทําไดเมื่อ t > 0 โดยหาคาไดจาก สมการ f (t) = j12 -+jj F(s)est ds (8.10) ในการทําลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั ที่นาํ มาใชจริงๆ จะหลีกเล่ียงการหาปริพันธตามสมการที่ (8.10) แตจะพยายามใชคาในตารางลาปลาซทรานสฟอรมเปรียบเทียบกลับใหไดคาท่ีตองการ เพียงแตใ นตารางจะตอ งมฟี งกชันที่จําเปนใหเพยี งพอเทา นนั้ ตัวอยางที่ 8.1 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกช ัน f (t) = 1 เม่อื t > 0 วธิ ีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 หาผลการแปลงลาปลาซจากนิยามจะได L[f (t)] = 0 f (t)e-st dt = b lim 0b e-st f (t)dt ขน้ั ตอนท่ี 2 โจทยก าํ หนดให f (t) = 1 ทาํ การแทนคาในนยิ ามจะได L[f (t)] = 0 (1)e-stdt = b lim  0b (1)e-st dt = b lim 0b e- st d (-st ) -s = b lim -es-st  0 ตอบ L[1] = 1s เมอื่ s > 0 = b lim -e-st +1 = 1s เมือ่ s > 0 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

298 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส 8.2 การคํานวณหาลาปลาซทรานสฟอรม ทจ่ี ริงแลว f (t) ใดๆ ท่ีหาคาไดท่ี t > 0 จะสามารถหาคา ลาปลาซทรานสฟอรม ของฟงกชันนัน้ ๆ ไดท ั้งหมด ตวั อยา งการหาคาลาปลาซทรานสฟอรมของฟง กช นั ทสี่ าํ คัญมดี งั ตอ ไปนี้ 8.2.1 ฟงกชันยูนิตสเต็ป (Unit step function) เปนฟงกชันท่ีมีลักษณะเปนเสนตรงคงท่ี ในแนวแกน y สวนคา x จะมีคาเพิม่ ขนึ้ เรอ่ื ยๆ โดยคา ในแนวแกน x จะเร่ิมท่ี 0 สว นคาคงที่ y จะมีคา เทากับ 1 โดยกําหนดให u(t) แทนฟงกชันยูนิตสเต็ปลักษณะเหมือนแหลงจายไฟกระแสตรง ในวงจรไฟฟา f (t) = u(t) ดงั รปู ที่ 8.3 u( t) f( x)=u(x) 2 1 t 2 34 -2 -1 1 -1 -2 รูปที่ 8.3 ฟง กช นั ยนู ิตสเต็ป f (t) = u(t) = 1 t  0 0 t 0 < เมื่อ f (t) = u(t) = 1 สามารถหาลาปลาซทรานฟอรม ของ u(t) ตามสมการท่ี (8.8) ไดดังนี้ L[u(t )] = 0 f (t )e - st dt =  u(t )e -st dt  0 เม่อื u(t) = 1 จะได L[u(t)] = 01e-st dt แทนคา t = 0 และ t =  จะได L[u(t )] = - 1s e-st  = - 1s (e-s - e-s0 ) 0 e-= 0 และ e-s0 = 1 ดังนั้น L[u(t)] = - 1s (0 - 1) = - (- 1s ) = 1s จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 299 8.2.2 ฟง กชันเอกซโพเนนเชยี ล (Exponential function) เมื่อ f (t) อยูใ นรูปของเอกซโพเนนเชยี ล (Exponential) เชน f (t) = e-at ซ่งึ ในวงจรไฟฟา ไดแกการคายประจขุ องตัวเกบ็ ประจโุ ดยสามารถหา ลาปลาซทรานสฟ อรม ของ f (t) เมอื่ a เปนคา คงทไี่ ดจ ากสมการท่ี (8.8) f(t) f( x)=2 e^- 2x t 1 1.5 3 2 1 -0.5 0.5 รปู ที่ 8.4 ฟงกชันเอกซโ พเนนเชียลของตัวเก็บประจุเมอื่ มกี ารคายประจุ ลาปลาซทรานสฟอรมของ f (t) = e-at คือ L[e-at] = 0 e-at e-st dt = 0 e-(s+a)t dt = - s+1a e -( s + a ) t  0 แทนคา t = 0 และ t =  จะได = - s+1a [e-(s+a) - e-(s+a)0 ] 1 1 = - s+1a [e- - e-0 ] s+1a e e0 = - [ - ] = - s+1a [0 - 11] = - s+1a (-1) L[e-at] = s+1a 8.2.3 ฟงกชันไซน (Sine function) เม่อื f (t) อยูในรูปของตรโี กณ เชน f (t) = sin t ซ่งึ พบเสมอ ในฟง กช ันของการจา ยกาํ ลงั ไฟฟาสลบั จงหาลาปลาซทรานสฟอรมของ f (t) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

300 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส y = sin t 3 2 1 t 246 -6 -4 -2 -1 -2 -3 รปู ท่ี 8.5 ฟง กช ันไซน ลาปลาซทรานสฟอรม ของ f (t) จะได L[sin t] = 0 sin te-st dt จาก e jt = cost + j sin t และ e-jt = cost - j sin t นํามาลบกันได e jt - e-jt = 2j sin t ดงั น้ัน sin t = 21j (e jt - e- jt ) และ L[ e jt ] = s-1j ดังนัน้ L[sin t] = 21j  s-1j - s+1j    =  s2 +2 โดยวิธีเดยี วกนั ถา f (t) = cos t s L[cos t] = s2 +2 8.2.4 ฟงกชันของอนุพันธ ถา f (t) อยใู นรูปของสมการอนุพันธ เชน d f (t ) ซ่ึงจะพบในการ dt d หาแรงดันตกครอม L ขณะท่ีมกี ระแส i(t) ไหลผานจะได L [ dt i(t) ] จะหาลาปลาซทรานสฟอรม ของฟงกช นั แบบนไ้ี ดจาก L  ddt f (t ) = 0 ddt f (t)e-stdt = 0 e-st df (t ) ใชหาปรพิ ันธบ ายพาส โดย ให u = e-st du = -se-stdt จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 301 ให dv = df (t)  f = f (t) ดงั นั้น L  ddt f (t ) = e-st f (t)  + s0 f (t)e-stdt 0 = -f (0) + sF(s) เมื่อ f (0) คือคาเร่ิมตน (Initial) ของฟงกชันนั้น เชน ถา f (t) = i(t) จะไดวา f (0) = i(0) ก็คือ กระแสไฟฟา ไหลในวงจรเมือ่ เวลาเปน 0 นนั่ เอง ในรปู แบบทัว่ ๆ ไปจะอยใู นรปู L  dn f (t) = snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2 f (0) - ... - s0 f (n-1) (8.11)  dt n 8.2.5 ฟงกชันการหาปริพันธ ถา f (t) =  f (t)dt ซ่ึงจะพบฟงกชันเชนน้ีในการหาแรงดัน ตกครอม C เม่ือกระแส i(t) ไหลผา น หาคาลาปลาซทรานสฟอรม จาก L[ f (t)dt] = 0 f (t)dt.e-st dt ใชห าปรพิ นั ธบ ายพาสโดย ให u =  f (t)dt  du = f (t)dt ให dv = e-stdt  v = - 1s e-st ดังนน้ั L[ f (t)dt] = - 1s e-st  f (t)dt  + 1s 0 f (t)e-stdt 0 1s F(s) =  f (0)dt + s = f -1 (0) + F(s) s s เมื่อ f -1(0) =  f (0)dt ในวงจรไฟฟาคา นจ้ี ะมคี า ชดั เจน 8.2.6 ฟงกช ันอมิ พลั ส ถา f (t) เปน อิมพัลส (Impulse function) หรอื เรยี กกันวาสญั ญาณอิมพัลส เปนสัญญาณที่มีความสําคัญกับวงจรไฟฟามาก จะเขียนเปนสัญลักษณวา (t) สัญญาณพิเศษนี้ มลี ักษณะดังรูปที่ 8.6 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

302 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส รูปที่ 8.6 สญั ญาณอิมพัลส (ทีม่ า : http://cnx.org/contents/30db824d-56bc-49cf-b42d-a38ff2fffd54@3) สัญญาณอิมพัลสจะมศี ูนยก ลางอยทู ี่ t = 0 และ f (t) = 01 -2 < t < 2 t ใดๆ  มคี านอยมากแตถงึ อยา งไรพ้ืนท่ีไดส ัญญาณอมิ พัลสก็จะยงั คงเทา กบั หนง่ึ เสมอไมวา  จะมีคาเทาใดก็ตาม ถา  มีคานอยลงเร่ือยๆ นั่นคือความกวางของสัญญาณจะลดลงความสูง ของสญั ญาณก็จะสงู ขึ้นตาม แตพ น้ื ท่ีไดส ญั ญาณพลั สก จ็ ะยงั คงเทากบั หน่ึงเสมอไป คําจํากดั ความของอมิ พัลสคือ  (t) = 0 ท่ี t  0 และ  (t)dt = 1 ดังนั้น f (t) (t = f (0) (t)) เสมอ ดังน้นั ในการหาลาปลาซทรานสฟอรมของ(t)จะไดโ ดย จาก L (t) = 0 e-st (t)dt แทนคา t = 0 จะได = 01 (t)dt เม่ือ a เขาสู 0 จะมีผลเทา กับ = 0 (t)dt = 1 8.2.7 ฟง กชนั แกมมา (Gamma function) ฟงกชันแกมมานั้นเปนฟงกชันทางคณิ ตศาสตรที่เปนสวนขยายของฟงกชัน แฟกทอเรียลบนจํานวนเชิงซอน โดยฟง กชนั แกมมาเปนการเตมิ เตม็ ฟงกช ันแฟกทอเรียลของคา n ท่ีไมใชจ าํ นวนเตม็ บวกหรอื ศูนย ซึง่ จํานวนเชิงซอ น z ที่เปน สวนจริงมคี าเปน บวก จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 303 y f(x)=gamma (x) 8 x 6 46 4 2 -8 -6 -4 -2 2 -2 -4 -6 รปู ที่ 8.7 ฟงกช นั แกมมา ซึ่งนยิ ามของฟง กชันแกมมาบน [0,∞) เขยี นแทนดวยสัญลักษณ  มนี ิยามดงั น้ี () =  t-1e-t dt , > 0  0 โดยฟง กช นั แกมมาจะลเู ขา เมื่อ - 1 > -1 หรือ  > 0 สว นการคํานวณคา ของฟง กชนั แกมมา สามารถคํานวณคาไดจ าก (1) =  t-1e -t dt = -e-t  =1  0 0 และสาํ หรบั จํานวนเต็มทีไ่ มเ ปนลบใดๆ และ α  1 แลว ( + 1) =  te-t dt  0 = -te-t  +  t -1e -t dt = () 0  0 ดังน้นั ถาแทน  ดวยจํานวนเต็ม n ที่ไมเปน ลบใดๆ และ n  1 แลวจะได (n+1) = n(n) (8.12) ซึ่งเรียกสมการที่ 8.6 วาสูตรเวียนบังเกิด (Recurrence formula) เมื่อแทน n = 1,2 ,3…. จะได (2) = 1. (1) =1 (3) = 2. (2)=2.1=2! (4) = 3. (3)=3.2.1=3! จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

304 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส . . . สาํ หรับคา n เปนจาํ นวนเต็มท่ไี มเ ปนลบใดๆ แลว (n+1) = n! เมื่อพิจารณาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน f (t) = t n จากนิยามของลาปลาซทรานส ฟอรมจะได L[t n ] =  e- st t ndt  0 เมอ่ื u = st ดังนน้ั du = sdt และเม่อื t  0 , u  0 และ t  ∞ , u  ∞ จะได  L[tn] =  e -u un n dsu  0 = 1  e-u u ndu sn+1  0 = 1 (n + 1) = n! sn+1 sn+1 L[tn ] (n+1) n! ดังนั้น = sn+1 หรอื L[ tn ]= sn+1 เมอื่ n =1 ,2 ,3 ………  และ  1 =  (8.13) 2 ตัวอยางที่ 8.2 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟง กชนั ตอไปนี้ L [ t-12 ] (n+1) sn+1 วิธีทํา ขนั้ ตอนท่ี 1 หาลาปลาซทรานสฟอรม โดยใชส ูตร L[tn ] = เมอ่ื n = M n = - 21 - ขน้ั ตอนท่ี 2 แทนคา ในสมการจะได  (-12+1)  s(1221+1 ) ดังน้ัน L[t-12 ] = = s12 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 305 ขน้ั ตอนที่ 3  จากสมการท่ี (8.7) จะได  21 =  แทนคาจะได =  ( 12 ) = s s12 ตอบ L [ t- 12 ] = s ตัวอยางท่ี 8.3 จงหาลาปลาซทรานสฟอรม ของฟงกช นั ตอ ไปนี้ L[t 23 ] วธิ ที ํา ข้ันตอนที่ 1 หาลาปลาซทรานสฟอรมโดยใชส ตู ร L[tn ] = (n+1) sn+1 3 เมื่อ n = 2 จะได L[t 23 ] =  ( 23+1) s 32+1 ขน้ั ตอนท่ี 2 จากสมการท่ี (8.6) เมื่อ (n+1) = n(n) จะได ( 23+1) 23 ( 23 L[t 32 ] =  s 32+1 = s 25 ) ข้ันตอนท่ี 3      จาก  23 =  23 =  12 + 1 จะได L[t 32 ] = 23 ( 23 ) = 23 ( 21 +1) s 25 s25 ใชสมการ 8.12 จะได 23 ( 21 +1) 23 21 ) 21 L[t 32 ] = s25 = ( )( s 52  ( )  จากสมการที่ (8.13)  12 =  32 )( 12 จะได L[t 23 ] = ( s 52 )  = 3  = 3  4 4 s3 . s 52 s = 4 3  s3 3 s 4 s3 ตอบ L[t 23 ] =  s จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

306 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส แลวสรุปการทําลาปลาซทรานสฟอรมของฟงกชันรูปแบบตางๆ และนําลงในตาราง ของลาปลาซทรานสฟอรม ตารางท่ี 8.1 เปนคุณสมบัติของลาปลาซทรานสฟอรมในลกั ษณะตางๆ จะไดดังน้ี ตารางที่ 8.1 ลาปลาซทรานสฟอรม อันดับท่ี F (t) ท่ี t > 0 F(s) หมายเหตุ 1 Unit step function 1 u(t) s Impulse function 1 Exponential decay 2 (t) 1 s+a function 3 e-at Ramp function n! 4 tn sn+1 Damped ramp function 5 tne-at n! 6 sin t ( s+ a )n +1 Sine function 8 cos t 9 e-at sin t  Cosine function 10 e-at cos t s2 +2 Exponentially decaying s sine function 11 sin (t+) 12 cos (t+) s2 +2 Exponentially decaying cosine function 13 sinh t  14 cosh t Phase shift sine function (s+a)2 + 2 15 e(+j)t Phase shift cosine s+a function 16 e(-j)t (s+a)2 +2 Hyperbolic sine function 17 t s sin  +cos  s2 +2 Hyperbolic cosine function s cos-sin  s2 +2 Complex exponential function  Complex exponential s2 - 2 function s Unit ramp function s2 - 2 1 s-- j 1 s-+ j 1 s2 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 307 ตารางท่ี 8.1 ลาปลาซทรานสฟ อรม (ตอ) อันดบั ที่ f (t) ที่ t > 0 F(s) หมายเหตุ 1 Complex exponential 18 e(j)t s- j function 19 e(-j)t s+1j Complex exponential 20 A A decay function s Constant function 8.3 คุณสมบัติของลาปลาซทรานสฟอรม ในการหาลาปลาซทรานสฟอรมของฟงกชันบางฟงกชนั น้ันคอนขางยุงยากในการหาปริพันธ แตสามารถคํานวณไดง า ยขน้ึ โดยอาศัยตารางท่ี 8.1 และคุณสมบตั ิตา งๆ ท่ีจะพิจารณาตอ ไปน้ีมาใช คาํ นวณ 8.3.1 คณุ สมบัติเชงิ เสน (Linearity property) ถา a1 , a2 เปน ตวั คงที่ และ L[ft (t)] = f2 (s) , L[f2 (t)] = f2 (s) ดังน้นั L[a1 f1 (t) + a2 f2 (t)] = a1 L [f1(t)] + a2 L [f2(t)] L[a1 f1 (t) + a2 f2 (t)] = a1 F1(s) + a2 F2(s) 8.3.2 คณุ สมบัติการสเกล (Scaling property) ถา L[f (t)] = F(s) (8.14)  ดังน้นั L[f (at)] = 1a F as ตวั อยา งที่ 8.4 จงหา L[sin 6t] วธิ ีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 ใชค ณุ สมบตั กิ ารแปลงลาปลาซจากตารางที่ 8.1 ลําดับที่ 6 จะได ข้นั ตอนที่ 2 1 L[sin t] = s2 +1 = F(s) จากโจทย L[sin 6t] ใชคณุ สมบตั ิการสเกลจากสมการ (8.14) จะได ข้นั ตอนท่ี 3  L[f (at)] = 1a F as เมือ่ a = 6 จะได แทน s ดว ย 6s จะไดใ นสมการจะได  L[sin 3t] = 16 F 3s จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

308 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส = 16  1   (6s )2 +1  16  1  16  1  36    6(s2 +36) = 3s26 =  s23+636 =  +1        6 = (s2 +36) ตอบ L[sin 3t] = 6 (s2 +36) 8.3.3 คณุ สมบตั กิ ารเลือ่ นทางเวลา (Time-shifting property) ถาฟงกช ันถูกเล่ือนเวลาในลกั ษณะ ดงั รูปท่ี 8.8 y x รปู ที่ 8.8 ฟง กช นั ยนู ิตสเต็ปท่ถี ูกเลอ่ื นไปที่เวลา t0 ฟงกช ันทถี่ ูกเลอ่ื นออกไปจะเขียนไดในรูป f (t-)u(t-) เมื่อ u(t-) เปนยูนติ สเตป็ ฟง กช ัน ซ่ึงจะมคี า เปน 0 เมื่อ t <  และเปน t <  ดังนัน้ การหาลาปลาซทรานสฟอรม ของฟง กชันท่ีถูกเลื่อน เวลาทําไดโ ดย จาก L f (t - )u(t - ) = 0 f (t - )u(t - )e-st dt = 0 f (t - )e-st dt ถา ให t -  = x = 0 f (x) e-s(+ x)dx จะเหน็ ไดวาเม่อื ฟงกชันอยใู นรปู ของ x เวลาก็ถกู เรมิ่ ที่ 0 ใหม ไมใชท่ี  อีกตอ ไป L f (t - )u(t - ) = e-st 0 f (x) e-sxdx จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 309 = e-st F(s) (8.15) ถา L[f (t)] = F(s) ดังนน้ั L[f (t - t0) = F(s) e-st0 ตัวอยางที่ 8.5 จงหาคา L[u(t-3)] วิธที าํ ขัน้ ตอนที่ 1 จากตารางคุณสมบัตกิ ารแปลงลาปลาซตารางท่ี 8.1 ขน้ั ตอนที่ 2 L[u(t)] = 1s = F(s) จากโจทย L[u(t-3)] ใชค ุณสมบตั กิ ารเลอ่ื นทางเวลา ตามสมการท่ี (8.15) เม่อื t0 = 3 จะได L[u(t - 3)] = F(s) e-3s L[u(t - 3)] = 1s e-3s ตอบ L[u(t - 3)] = 1s e-3s 8.3.4 คุณสมบตั กิ ารเลอื่ นทางความถ่ี (Frequency - shifting property) ถาฟงกชันนั้นถูกเปล่ียนความถ่ี (Frequency shift) ในลักษณะ e-at f (t) ลาปลาซทรานส ฟอรม จะหาไดจ าก L[e-at f (t)] = 0 e-at f (t)e-st dt = 0 f (t )e-(s+a)t dt = F(s + a) L[ f (t)e-at ] = F(s + a) (8.16) ตวั อยางท่ี 8.6 ถา ฟง กชัน g(t) ดงั แสดงในรปู ท่ี 8.9 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมของ g(t) y c-12 รูปที่ 8.9 เม่ือ g(t) = e-4tu(t-3) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

310 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส วธิ ีทาํ ขัน้ ตอนท่ี 1 หาลาปลาซทรานสฟ อรมของ F(s) = L[u(t)] = 1s ข้ันตอนที่ 2 ใชหลักการเล่อื นเวลาเม่อื t = 3 จะได ขนั้ ตอนที่ 3 L[f (t - t0) = F(s) e-st0 F(s) = L[u(t - 3)] = ( 1s )e-3s จากนนั้ ใชหลกั การเปลย่ี นความถี่ เม่ือมี e- 4t จะไดว า L[e-atf (t)] = F(s + a) = e-st0 G(s) = L[e-4tu(t - 3)] = F(s + a) แทน s = s+a เมื่อ a = 4 จะได s = s + 4 ดงั น้ัน G(s) = e-3(s+4) s+14 = e-s3+s+412 ตอบ L[g(t)]= G(s) = e-s3+s+412 ตัวอยางที่ 8.7 จงหา L[sin 3te-t] วิธที ํา ขั้นตอนที่ 1 ใชตารางการเปลี่ยนคาลาปลาซทรานสฟอรม จากตารางที่ 8.1 ขัน้ ตอนที่ 2 a ขั้นตอนที่ 3 L[sin at] = s2 +a2 = F(s) จากโจทยเมือ่ a = 3 จะได L[sin 3t] = 3 = F(s) s2 +32 ใชค ณุ สมบตั กิ ารเล่อื นทางความถ่ี จากโจทยใหหา L[sin 3te-t] สาํ หรบั การเล่ือนทางความถ่ีมีคา เปน (-1) ดงั นนั้ แทน s = s - (-1) ในสมการท่ี (8.16) จะได 3 3 L[sin 3te-t] = ( s-(-1))2 +32 = (s +1)2 +9 L[sin 3te-t] = s2 + 3 9 = s2 + 3 2 s +1+ 2s+10 L[sin 3te-t] 3 = s2 + 2 s+10 ตอบ L[sin 3te-t] = s2 3 + 2 s+10 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 311 8.3.5 คุณสมบัตกิ ารหาอนพุ ันธทางความถี่ (Frequency differentiation property) ในกรณีท่ีตองการหาลาปลาซทรานสฟอรมของผลคณู ของ t กบั f (t) ซงึ่ เรียกวา a ทําได ดังน้ใี หพจิ ารณาจากสมการอนุพันธของ F(s) ตอ s แต F(s) = L[ f (t)] = 0 f (t)e-stdt dF (s) df (t ) ดังนน้ั ds = 0 ds e- st dt = 0 -tf (t)e-stdt ใชก ารหาอนพุ นั ธผ ลคณู ธรรมดา = L[tf (t)] dF (s) ds เขยี นสลับใหมจ ะได L[tf (t)] = ในรูปแบบท่วั ไปจะได L[tnf (t)] = (-1)n dn F(s) dsn ถา L[f (t)] = [F(s)] ดังนนั้ L[f (t)t] = -[F(s)] และ L[f (t)(t)n] = (-1)n dn F(s) = (-1)nFn(s) dsn L[f (t)(-t)n] = dn [F(s)] (8.17) dsn ตวั อยา งที่ 8.8 จงหา L[e3tt] วธิ ที าํ ขัน้ ตอนที่ 1 หาผลการแปลงลาปลาซจากตารางที่ 8.1 ข้นั ตอนที่ 2 L[f (t)] = [e3t] = s1- 3 จากโจทย L[e3tt] คือ คา L[f (t)(-t)n] เมื่อ n = 1 ใชค ุณสมบัตจิ ากสมการท่ี (8.17) จะได  L[e3tt] = (-1) dds s1-3 = - dds (s - 3)-1 1 = -(-1)(s – 3)-2 = (s-3)2 ตอบ L[e3tt]= 1 (s-3)2 8.3.6 คณุ สมบัตไิ ทมคอนโวลูช่นั (Time convolution) (8.18) L[f1(t)f2(t)] = [F1(s)F2(s)] จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

312 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 8.3.7 คณุ สมบัติฟรเี ควนซีคอนโวลูชน่ั (Frequency convolution) (8.19) L[f1(t)f2(t)] = 21 [F1(s)F2(s)] (8.20) ซึ่ง F1(s)F2(s) = -+jj F1 ()F2 (s -  )d (8.21) 8.3.8 คุณสมบตั กิ ารหาอนพุ ันธท างเวลา (Time - differentiation property) ถา L[f (t)] = [F(s)] L[ ddt [f (t)]] = L[f(t)] = sF(s) - f (0) dn L[ dtn [f (t)]] = L[f n (t)] = snF(s) - sn-1f (0) - sn-2f (0)… f (n-1)(0) ตัวอยางที่ 8.9 ถา f (t) = cos 2t จงหา L[f(t)] วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 ใชคุณสมบัตกิ ารหาอนุพนั ธท างเวลาจะได ขัน้ ตอนที่ 2 L[ ddt [f (t)]] หา L[f(t)] = L[f(t)] = sF(s) - f (0) = L[ ddt (cos 2t) = L(-2 sin 2t) หาคาลาปลาซทรานสฟอรม ของ sin at จะได a L[sin at] = s2 +a2 = F(s)  ดงั นน้ั L[f(t)] = -2L[sin 2t] = -2 2 s2 +4  L[f(t)] =- 4 s2 +4  ตอบ 4 L[f(t)] = - s2 +4 8.3.9 คณุ สมบัติการหาปริพันธท างเวลา (Time - integration property) ถา L[f (t)] = [F(s)] F(s) s ดงั นั้น L[ 0t f (t)dt ] = ตวั อยา งท่ี 8.10 จงหา L[ 0t cos 2tdt ] = s วธิ ีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 หาคา L[cos at] s2 +a2 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 313 จากโจทย L[cos 2t] = s2 s = s = F(s) +22 s2 +4 ขัน้ ตอนที่ 2 ใชค ณุ สมบตั กิ ารหาปรพิ นั ธท างเวลา จากสมการ (8.21) L[ 0t f (t)dt ] = F(s) s s 1 L[ 0t cos 2tdt ] = s(s2 +4) = s2 +4 ตอบ L[ 0t cos 2tdt ] = 1 s2 +4 8.3.10 คุณสมบตั กิ ารหาปริพนั ธท างความถี่ (Frequency- integration property) ถา L[f (t)] = [F(s)] ดังนัน้ L  f (t )  = s F(s) (8.22)  t  ตารางท่ี 8.2 คุณสมบัติของลาปลาซทรานสฟ อรม อนั ดบั ท่ี f (t) ที่ t > 0 F(s) หมายเหตุ Linearity 1 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(s)+a2F2(s) Scaling Time shift 2 f (at) 1a F  as  Frequency shift Time differentiation 3 f (t -)u(t -) e-st F (s) Time integration 4 e-at f (t) F(s + a) Frequency 5 ddt f (t) differentiation sF(s) - f (0) Frequency Integration d2 f (t) s2 F(s) - sf (0) - f (0) dt 2 dn f (t) snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2 f (0) - ... - f n-1 (0) dt n 6  [ ft]dt F(s) + f -1(0) s s 7 tn f (t) dnF(s) (-1)n dsn 8 f (t) s F(s)ds t จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

314 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตารางท่ี 8.2 คณุ สมบตั ิของลาปลาซทรานสฟ อรม (ตอ) อนั ดบั ท่ี f (t) ท่ี t > 0 F(s) หมายเหตุ 9 f (t) = f (t + nT ) F1 ( s ) Time periodic 1-e-st 10 f (0+) lim sF(s) Initial value 11 f () Final value 12 f1(t)f2(t) s Convolution lim sF(s) s0 F1(s)F(s) ตัวอยา งท่ี 8.11 จงหาลาปลาซทรานสฟอรม ของ f (t) = sinh t วธิ ที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 เนอ่ื งจากในตารางการแปลงลาปลาซไมม คี าการแปลงลาปลาซของ f (t) = sinh t ดงั นน้ั จงึ เปลีย่ น sinh t = et -2e-t ข้นั ตอนท่ี 2 ทาํ การหาคา ลาปลาซทรานสฟอรม จากตาราง = L  et -2e-t  L[sinh t] = 12 L[et - e-t ] L[eat] = s 1- a จะได เม่ือ a =  และ - จะได L[sinh t] = 12 L[et - e-t ] = 21  s-1 - s+1  12 (ss+-)-((ss+-)) =     21 ss-+)(-ss++ =  ( )    = 12  2  =   s2 +2  s2 + 2 ตอบ L[sinh t]=  s2 + 2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 315 ตวั อยางที่ 8.12 จงหาลาปลาซทรานสฟ อรม ของ f (t) = (t) + u(t) - 2e-3t ที่ t > 0 วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 จากโจทยก ําหนดใหใ ชค ณุ สมบัตกิ ารเปน เชงิ เสนตามตารางที่ 8.2 จะได L[a1f1(t) + a2f2(t)] = a1F1(s) + a2F2(s) F(s) = L[(t)] + L[u(t)] - 2L[e-3t ] ข้นั ตอนที่ 2 หาคา ลาปลาซทรานสฟอรม จากตารางท่ี 8.1 จะได ขั้นตอนท่ี 3 L[(t)] = 1 L[u(t)] = 1s  L[e-at] = s+1a แทนคา ในสมการจะได F(s) = L[(t)] + L[u(t)] - 2L[e-3t ] = 1 + 1s - 2 s+13 = s2s(+s2+s3+)3 ตอบ L[f (t)] = s2s(+s2+s3+)3 ตัวอยา งท่ี 8.13 จงหาลาปลาซทรานสฟอรม ของ f (t) = t2sin 3t วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 จากโจทยก าํ หนดให f (t) = t2sin 3t เปนฟง กชนั ทอ่ี ยใู นรปู L[tnf (t)] ใชคณุ สมบตั ิ Frequency differentiation ตามตารางที่ 8.2 จะได L[t n f (t)] = (-1)n dn F(s) dsn ขน้ั ตอนท่ี 2 จากสูตร L[ f (t)] = L[sin at] = a ขั้นตอนท่ี 3 s2 +a2 3 จะได F(s) = L[sin 3t] = s2 +9 แทนคาใน L[t n f (t)] = (-1)n dn F(s) dsn จะได F(s) = L[t2sin 3t] เมอื่ n = 2 จะได F(s) = (-1)2 dd2s  3  s2 +9 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

316 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส = dds  -6s   (s2 +9)2  =  18s2 +54   (s2 +9)4  ตอบ L[f (t)] =  18s2 +54   (s2 +9)4  ตัวอยางท่ี 8.14 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมของฟงกชนั ตอไปน้ี f (t) = t2e4t วิธที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 จากโจทยก าํ หนด f (t) = t2e4t เปนคณุ สมบตั กิ ารเลอื่ นทางเวลาจาก ตารางที่ 8.2 จะได L[f (t)eat] = F(s - a) ข้นั ตอนท่ี 2 หาคา L[f (t)] = L[t n] = n! จากตารางที่ 8.1 ขนั้ ตอนที่ 3 sn+1 2! 2 ดังนน้ั L[f (t)] = L[t 2] = s2+1 = s3 = F(s) เมอ่ื n = 2 แทนคา จากตารางท่ี 8.2 L[f (t)eat] = F(s - a) เมอื่ a = 4 และ s = s - 4 L[f (t)] = L[t 2e4t] = F(s - 4) L[f (t)] = L[t2e4t] = 2 (s-4)3 2 ตอบ L[t 2e4t] = (s - 4)3 ตัวอยา งท่ี 8.15 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมของฟง กชันตอ ไปนี้ f (t) = 3e7t + 6t 3- 4 sin 3t + 3cos 3t วิธีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 จากโจทยให L[f (t)] = L[3e7t + 6t 3 - 4 sin 3t + 3cos 3t] ใชคุณสมบตั กิ ารเปนเชิงเสน ตามตารางท่ี 8.2 จะได L[f (t)] = L[3e7t + 6t 3 - 4 sin 3t + 3cos 3t] = L[3e7t] + L[6t3] - L[4 sin 3t] + L[3cos 3t] ขน้ั ตอนที่ 2 ใชค ุณสมบัตกิ ารแปลงลาปลาซจากตารางท่ี 8.1 จะได L[eat] = s 1- a ดงั นน้ั L[3e7t] = s3- 7 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 317    L[tn]= n! ดังนัน้ L[6t 3] =6 3! sn+1 s3+1  L[sin at] = a ดังน้นั L[4 sin 3t] = 4 3  s2 +a2 s2 +32  L[cos at] = s ดังน้นั L[3 cos 3t] = 3 s2 s  s2 +a2 +32 ขั้นตอนที่ 3 แทนคา ลงในสมการจะได L[f (t)] = L[3e7t] + L[6t3] – L[4 sin 3t] + L[3 cos 3t]  = s3-7 +6 3! -4  s2 3  +3  s2 s  s3+1 +32 +32  = s3-7 + 36 -  12  +  3s  s4 s2 +32 s2 +32  ตอบ 36 12 3s L[f (t)] = s3-7 + s4 -  s2 +32  +  s2 +32  ตัวอยา งท่ี 8.16 จงหาลาปลาซทรานสฟอรม ของสัญญาณตามรปู ท่ี 8.10 4 3 2 1 1234 5678 -1 รปู ท่ี 8.10 รปู คล่ืนสญั ญาณแบบสามเหลย่ี ม วิธที ํา ขั้นตอนที่ 1 วาดรูปสญั ญาณที่เกิดเปน รูปสามเหลีย่ ม ประกอบดว ยผลรวมของสาม ฟง กช ันดว ยกนั คอื f (t) = f1(t) + f2(t) +f3(t) 1.1 สมการเสน ตรงตัดแกน x และ แกน y ท่ีจุด (0,0) ซง่ึ เปน ฟง กช นั แรม มีสมการเสน ตรงคอื y = mx+c เมอ่ื m คอื ความชันของกราฟจะได y = f (t) = 45 t + 0 f1(t) = 45 t จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

318 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส f 1( t ) 5 4 3 2 1 t 12345 1.2 สมการเสนตรงท่ีมีจุดเริ่มตน คือ (4 , 0) คาความชันของกราฟมีคาเปน - 45 t ซงึ่ กราฟมีการเลอ่ื นทางเวลาไป 2 วินาทีจะได (t - 4) สมการมคี าเปน f2(t) = - 45 t (t-4) f2 (t) x y f2(t) = - 45 t (t - 4) 1.3 กราฟรูปที่ 3 เปนเสนตรง ขนานแกน y เมื่อ y = -5 จุดเร่ิมตนอยูท่ี (0,4) เปน ฟงกชันยูนิตสเต็ป ที่คาเวลาเลื่อนไปเริ่มตนท่ี t = 4 ดังนั้น f3(t) มีสมการเปน f3(t) = -5u(t - 4) f3 (t ) y 2 x -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 ข้นั ตอนที่ 2 ทําการรวมสัญญาณจะไดเ ปน ข้ันตอนท่ี 3 f (t) = 45 t - 45 t(t - 4) - 5u(t - 4) ทําการแปลงลาปลาซทรานสฟอรม โดยใชต ารางคูแปลงลาปลาซ L[f1(t)] = L[t] = 1! = 1 s2 s2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 319 ใชคณุ สมบตั กิ ารเลื่อนทางเวลา L[f (t - t0)] = F(s) e-st0 L[f2(t)] = L[t(t - 4)] = 1 e-4s s2 = L[u(t - 4)] = 1 e-4s L[f3(t)] s e-4 s -5 e-s4s      จะได F(s) = 45 1 - 45 s2 s2 5 = 4s2 (1- e-4s- se-4s) ตอบ F(s) = 5 (1- e-4s- se-4s) 4s2 ตัวอยางที่ 8.17 จากวงจรสญั ญาณรูปฟน เลอ่ื ย ใหห าลาปลาซทรานสฟอรม ของวงจรในรูปดงั กลาว รูปที่ 8.11 รูปคลืน่ ของฟน เล่ือย y x รูปท่ี 8.12 รปู คล่ืน จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

320 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส วธิ ีทาํ ขนั้ ตอนท่ี 1 หาสมการของสญั ญาณรูปฟนเลือ่ ยเพยี งรูปเดียวซงึ่ จะประกอบดวย สัญญาณ 3 สญั ญาณรวมกนั ไดแ ก สญั ญาณแรมปส องสัญญาณและ ยนู ิตสเตป็ 1 สัญญาณ ดงั น้ี f (t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) 1.1 สมการเสนตรงตัดแกน x และ แกน y ท่ีจุด (0,0) ซ่ึงเปนฟงกชันแรม มีสมการเสนตรง คือ y = mx + c เม่ือ m คือ ความชันของกราฟ และ C จุดตดั แกน y จะได y = f1(t) = At 1.2 สมการเสนตรงทม่ี จี ดุ เริม่ ตน คอื (T,0) คาความชันของกราฟมคี า เปน - TA t ซึง่ กราฟมกี ารเลื่อนทางเวลาไป T วินาที จะได (t - T) สมการมีคา เปน f2(t) = -t TA t(t-T) f2 (t) yx f2(t) = -t TA t(t - T) 1.3 กราฟรูปท่ี 3 เปนเสนตรง ขนานแกน y เมื่อ y = -A จุดเร่ิมตนอยูท่ี (0,4) เปนฟงกชันยูนิตสเต็ปท่ีคาเวลาเลื่อนไปเร่ิมตนที่ t = T ดังน้ัน f3(t) มีสมการเปน f3(t) = -Au(t-T) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 321 f3 (t) ขน้ั ตอนท่ี 2 ทําการรวมสัญญาณจะไดเ ปน ข้ันตอนท่ี 3 f (t) = TA t - TA t(t - T) -Au(t -T) ขั้นตอนท่ี 4 ทาํ ลาปลาซทรานสฟอรม โดยใชต ารางคูแปลงลาปลาซไดเ ปน e-2 s -A e-s2s      F(s)= TA 1 - TA s2 s2 A = Ts2 (1- e-TS-Tse-TS) จากรปู ที่ 8.10 สัญญาณน้ีจะซ้าํ เร่ือยไปในเวลา T จากหลกั การของ ฟงกช ันเลอื่ นเวลาจะได f (t) = f1(t) + f1(t -T)t(t-T) + f1(t-2T)t(t-2T) +… แปลงลาปลาซจะได L[f (t)] = L[f1(t)] + L[f1(t - T)t(t-T)] + L[f1(t - 2T)t(t-2T)} +… และจาก L[f (t)] = F(s) L[f (t-T)t(t -T)] = F(s)e-Ts ดังน้นั จากสมการจะไดเปน F(s) = F1(s)+F1(s)e-TS+F1(s)e-2Ts+F1(s)e-3Ts+… และจาก Infinite series คอื 11-x = 1 +x + x2 + x3+ … ดงั น้ัน 1 = 1+e- TS+e-2TS+e-3TS +…+e-nTS 1-e-Ts จากสมการ F(s) = F1(s)+F1(s)e-TS+ F1(s)e-2Ts+F1(s)e-3Ts+… จะได F(s) =  F1 ( s )   1-e-Ts  =  A (1 - e -Ts - Tse-Ts )   (1-e-Ts )Ts2  จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

322 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส  = A (1 - Tse-Ts ) Ts2 1-e-Ts =  A 1 - e-Ts )   Ts2 s(1-e-Ts   ตอบ F(s) =  A 1 - e-Ts   Ts2 s(1-e-Ts )   ตัวอยา งที่ 8.17 จงหาลาปลาซทรานสฟอรม ของรปู คลน่ื แรงดันขาออกของวงจรเรยี งกระแสแบบ ครงึ่ คลื่นเมอื่ แรงดนั อนิ พตุ มสี ัญญาณรูปไซน รปู ท่ี 8.13 วงจรเรยี งกระแสแบบครึ่งคล่นื และสัญญาณเอาตพ ตุ (ที่มา : www.CircuitToday.com) รูปที่ 8.14 สญั ญาณพลั สร ปู ไซน วิธีทาํ ขัน้ ตอนที่ 1 วาดรปู คลืน่ ไซนที่มจี ดุ เริ่มตนของสญั ญาณที่ตาํ แหนง (0,0) จะได สมการของฟงกชนั f1(t) = A sin t จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ 323 f1(1) y f1(t) = Asin t 6 4 x 2 -2 -4 -6 ขั้นตอนที่ 2 วาดรูปคลื่นไซนท่ีมจี ดุ เรมิ่ ตน ของสญั ญาณทต่ี ําแหนง (,0) จะไดสมการ ของฟง กชนั f2(t) = A sin (t -) f2 (t) f2 (t) = A sin (t - ) ข้นั ตอนท่ี 3 นํารปู สญั ญาณทัง้ สองมาบวกกนั จะได f (t) = f1(t) + f2(t) = A sin t + A sin(t - ) L[f (t)] = L[A sin t +A sin(t - )] = L[A sin t] + L[A sin(t - )] ใชคุณสมบัตกิ ารเปลี่ยนกลับของฟงกชนั ไซนแ ละการเล่อื นทางความถี่  จะได a L[sin at]= s2 +a2 เมอ่ื a = 1 จะได L[sin t] = 1 s2 + 1 1 e -Ts และ L[sin(t -T)] = s2 +t2 L[sin(t -)] = 1 e -s s2 +1 A A .e-s F(s) = s2 +1 + s2 +1 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

324 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส = A (1 + e-s ) s2 +1  =A1+e-s s2 +1  ตอบ 1+e-s F(s) = A s2 +1 ตัวอยางท่ี 8.18 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมของสญั ญาณตามรูปท่ี 8.15 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 รูปท่ี 8.15 รปู คล่นื สัญญาณแบบสเ่ี หลี่ยม วิธที าํ ขัน้ ตอนท่ี 1 วาดรปู สญั ญาณท่ีเกิดเปน รูปสเี่ หล่ียม ประกอบดว ยผลรวมของสอง ฟงกช ันดว ยกนั คอื f (t) = f1(t) + f2(t) 1.1 สมการเสนตรงขนานแกน x จุดเริ่มตน ที่ (0,5) หรอื ฟงกชนั ยนู ติ สเตป็ y = f1(t) = 5u(t) y 8 6 4 2 x -1 12 34 567 1.2 สมการเสน ตรงขนานแกน x จดุ เรม่ิ ตน ท่ี (4,-5) หรือฟง กช ันยูนติ สเตป็ ทมี่ คี า เวลาเล่ือนไป 4 วนิ าที ความสงู ของคลื่น -5 y = f2(t) = - 5u(t - 4) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 325 y x -2 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 ขัน้ ตอนที่ 2 ทาํ การรวมสญั ญาณจะไดเ ปน f (t) = 5u(t) - 5u(t - 4) ข้ันตอนท่ี 3 ทําการแปลงลาปลาซทรานสฟอรม โดยใชตารางคแู ปลงลาปลาซ L[f1(t)] = L[u(t)] = 1s ใชคุณสมบตั กิ ารเล่อื นทางเวลา L[f (t - t0) = F(s) e-st0 L[f2(t)] = L[u(t - 4)] = 1s e-4s จะได F(s) = 5s - 5s e-4s = 5s (1- e-4s) ตอบ F(s) = 5s (1- e-4s) 8.4 สรุป การแปลงลาปลาซหรือผลการแปลงลาปลาซ เปนสมการที่สําคัญในการแกปญหา ทางวิศวกรรมไฟฟา ซึ่งเปนสมการอนพุ ันธอนั ดับหนึง่ และอันดับท่ีสูงกวา 1 การแกส มการอนุพนั ธ สามารถทําไดโดยวิธีแบบตางๆ ซ่ึงมีความยุงยากในการแกสมการ โดยการแปลงลาปลาซจะเปน การแปลงสมการจากโดเมนเวลาเปนโดเมนความถี่เชิงซอนหรือโดเมน S จากนั้นจึงทําการ แกสมการโดยใชหลักการทางพีชคณิต ซ่ึงสามารถทําการแปลงลาปลาซได 2 วิธี คอื โดยใชตาราง การแปลงลาปลาซโดยตรง และโดยออมซ่ึงจะตองทําการจัดรูปสมการใหอยูในรูปแบบ ตามคุณสมบัติของการแปลงลาปลาซกอน เชน คุณสมบัติการเปนเชิงเสน คุณสมบัติการเล่ือน ทางเวลา คุณสมบัติการเลอื่ นทางความถี่ คุณสมบัติการสเกล เปนตน แลวจึงทําการแปลงลาปลาซ ตามตารางคุณสมบัติ จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

326 บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส แบบฝกหัดทายบทท่ี 8 จงหาลาปลาซทรานฟอรมของฟงกชันตอไปนี้ F(s) = 3s + s+24 1. f (t) = 3u(t) + 2e-4tu(t) ตอบ 2. f (t) = 3e5t+ 8 sinh 3t + 6 ตอบ F(s) = s3-5 + 24 + 6s s2 -9 3. f (t) = 7t – 5t4 +4 te8t 7 4! 4 ตอบ F(s) = s2 - 5 s5 + ( s-8)2 4. f (t) = 3t2 (t) + 2e-t ตอบ F(s) = s3 + 2 s+2 + s+24 5. f (t) = 2cos 3t ตอบ s3 ( s +1) 6. f (t) = 7sin 6t - 9cos 4t +10u(t) ตอบ 2s 7. f (t) = 5sin 2t ตอบ F(s) = s2 +9 8. f (t) = 2sin 2t - cos 2t ตอบ F(s) = 42 - 9s + 1s0 s2 +36 s2 +16 10 F(s) = s2 + 4 F(s) = 4-s s2 +4 s2 9. f (t) = (t2 + 2)2 ตอบ F(s) = 4 +8s+24 10. f (t) = 2cos2 2t ตอบ s5 11. f (t) = e-tcos 2t ตอบ F(s) = 1s s 12. f (t) = t3e-3t ตอบ + s2 +16 ตอบ 13. f (t) = 5(t) + 7u(t) - 9e-7t ตอบ F(s) = s+1 14. f (t) = (t - 4)2 (s2 +2s+5) 6 F(s) = ( s+3)4 F(s) = 5 + 7s - s+97 2! e-4 s F(s) = s3 15. f (t) = t2 sin 2t ตอบ F(s) = 12 s2 -16 16. f (t) = 3(t) - 5u(t) - 3e-4t ตอบ (s2 +4)3 F(s) = 3- 5s - s+34 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ 327 17. จงหาลาปลาซทรานสฟ อรม ของรปู คลืน่ สญั ญาณตอไปนี้ 18. จงหาลาปลาซทรานสฟ อรม ของรปู คลืน่ สญั ญาณตอไปนี้ f1 (t) y 19. จงหาลาปลาซทรานสฟ อรมของรูปคลนื่ สญั ญาณตอ ไปนี้ f (t) 7 05 t 20. จงหาลาปลาซทรานสฟอรม ของรูปคล่ืนสญั ญาณตอไปน้ี จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

328 บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส เอกสารอางอิง มงคล ทองสงคราม. (2542). การแปลงลาปลาซและการแปลงฟูเรยี ร. กรงุ เทพฯ : รามาการพิมพ. พมิ พค ร้ังที่ 2 ศรบี ตุ ร แววเจรญิ , ชนศกั ดิ์ บา ยเทีย่ ง. (2542). สมการเชิงอนุพนั ธ 1 Differential equations 1: คณติ ศาสตรส าํ หรับวศิ วกรรมและวทิ ยาศาสตร. กรงุ เทพฯ: สาํ นักพิมพว งตะวัน. ศรบี ตุ ร แววเจรญิ , ชนศักด์ิ บา ยเท่ยี ง. (2543). สมการเชิงอนุพันธ 2 และการแปลงลาปลาซ Differential equations 2 & laplace transform : คณติ ศาสตรส ําหรบั วิศวกรรมและ วทิ ยาศาสตร. กรงุ เทพฯ : สาํ นกั พมิ พว งตะวัน. นริ ันดร คาํ ประเสริฐ. (2538). คณติ ศาสตรวศิ วกรรมไฟฟา 4 : สมการเชงิ อนุพนั ธส ามญั สมการเชงิ อนุพนั ธยอ ย . กรุงเทพฯ : ศนู ยส ่ือเสรมิ กรงุ เทพฯ. Goyal Gupta . (2011). Laplace Transform and Fourier Transform .Pragati Prakashan. Joel L. Schiff . (1999). The Laplace Transform: Theory and Applications.Springer . จนิ ดา ไชยชว ย. Engineering Mathematics2. เขา ถงึ ไดจาก http://www.kmitl.ac.th/~kcchinda/ PDFs/inverseLP29_43.pdf .(วนั ทค่ี น ขอ มูล 5 มีนาคม 2556) การแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขา ถึงไดจ าก http://www.crc.ac.th/online/22201/312ch09_2550 _3rd.pdf. (วนั ทค่ี น ขอ มลู 6 พฤษภาคม 2556). การแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขา ถึงไดจาก http://ssru.ac.th/teacher/ubol/file.php/1/ Math_for_science /30_7.pdf. (วนั ท่ีคนขอ มลู 3 มนี าคม 2556). การแปลงลาปลาซ. [ออนไลน] . เขาถึงไดจาก http://www.vcharkarn.com/uploads/252/252771.pdf. (วันทคี่ นขอ มลู 8 กรกฎาคม 2556). ลาปลาซทรานสฟอรม. [ออนไลน] เขาถึงไดจ าก http://montri.rmutl.ac.th/old/ee/04210204mat /Presentation8.pdf. (วนั ที่คน ขอมูล7 มถิ นุ ายน 2556). Chater7 Laplace Transform . [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.math.utah.edu/~gustafso /laplace Transform .pdf. (วนั ทค่ี น ขอมูล12 พฤษภาคม 2556). S.boyd. Laplace Transform. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก https://web.stanford.edu/~boyd/ ee102/laplace.pdf. (วนั ทคี่ น ขอมูล 5 เมษายน 2556) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลับ 9.1 ความหมายของลาปลาซทรานสฟ อรม กลบั ลาปลาซทรานสฟอรมกลับหรือการแปลงลาปลาซกลบั เปนการหาฟงกช ัน f (t) เดมิ จากฟงกชัน F(s) L[f (t)] = F(s) (9.1) L[f (t)] = 0 f (t )e-st dt = F(s) (9.2) L-1[F(s)]= f (t) (9.3) ซึง่ L-1 เรียกวา ตัวดาํ เนินการลาปลาซทรานสฟอรมกลบั ( Inverse laplace transform) ซงึ่ f (t) อาจหาไดจากสมการ L-1[F(s)]= f (t) = 21j -+jj F(s)est ds (9.4) ตัวอยางท่ี 9.1 จงหาผลการแปลงกลบั ของลาปลาซทรานสฟอรมตอ ไปน้ี F(s) = s+14 วธิ ที าํ ขนั้ ตอนที่ 1 ใชส มการท่ี (9.4) ในการแกสมการจะได ขัน้ ตอนที่ 2 L-1[F(s)]= f (t) = 21j -+jj F(s)est ds แทน F(s) = s+14 ในสมการจะได  f (t) = 21j -+jj s+14 estds = e-4t ตอบ L-1[F(s)] = e-4t

330 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตารางท่ี 9.1 ลาปลาซทราสฟอรมกลับ L-1[F(s)] = f (t) 1 ลาํ ดบั ที่ L[f (t)] = F(s) t 1 1s tnn! 2 1 eat 3 s2 4 1 sin at 5 s n +1 cos at 6 s1-a sinh at 7 a cosh at 8 e(a+j)t 9 s2 +a2 e(a-j)t 10 s 11 tn 12 s2 +a2 teat 13 a t neat 14 e-atsin 0t s2 -a2 15 s e-atcos 0t 16 s2 -a2 (t) s-a1- j s-a+1 j n! sn+1 1 (s-a)2 n! (s-a)n+1 0 (s+a)2 +02 ) s+a (s+a)2 +02 ) 1 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลบั 331 9.2 คณุ สมบตั ขิ องลาปลาซทรานสฟอรมกลบั 9.2.1 คณุ สมบัตกิ ารเปนเชิงเสน (Linearity property) L-1[aF1(s) + bF2(s)] = aL-1[F1(s)] + bL-1[F2(s)] (9.5) L-1[aF1(s)+bF2(s)] = af1(t) + bf2(t) ตวั อยา งที่ 9.1 จงหาการแปลงกลับของฟง กชนั ตอไปน้ี L-1  s5-3 - 2s + 4  s2 +36 s2 +16  วธิ ีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 ใชค ณุ สมบัตกิ ารเปน เชงิ เสน จากสมการท่ี (9.5) จะได L-1[aF1(s)+ bF2(s)] = af1(t)+bf2(t) L-1  s5-3 - 2s + 4  = 5L-1  s1-3  - 2L-1  s2 s   s2 +36 s2 +16   +36  + L-1  s2 4   +16  ขนั้ ตอนที่ 2 ใชต ารางคณุ สมบัตกิ ารแปลงกลับลาปลาซจากตารางท่ี (9.1) จะไดพ จน แรก เมอ่ื 5L-1  s1-3  ใชตารางการแปลงกลบั ลําดับท่ี 4 L-1  s1-a  = eat เม่ือ a = 3 จะได 5L-1  s1-3  = 5e3t พจนที่สอง เมอื่ 2L-1  s2 s  ใชต ารางการแปลงกลับลําดบั ท่ี 6  +36  L-1  s2 s  = cos at เมือ่ a = 6 จะได  +a2  2 L-1  s2 s  = 2cos 6t  +36  พจนทีส่ าม เมอื่ L-1  s2 4  ใชต ารางการแปลงกลบั ลําดบั ที่ 5  +16  L-1  s2 s  = sin at เม่อื a = 4 จะได  +a2  L-1  s2 4  = sin 4t  +16  จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

332 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลบั คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตอบ L-1  s5-3 - 2s + 4  = 5e3t+2cos 6t + sin 4t  s2 +36 s2 +16  9.2.2 คณุ สมบตั ิการเลอ่ื นทางความถี่ (Frequency - shifting property) (9.5) L-1[F(s - a)] = f (t)eat ตัวอยา งที่ 9.2 จงหา L-1  s2 1   -8s+20  วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 ทาํ สมการใหเ หมือนกับฟงกช นั F(s) ในตารางที่ (9.1) โดยใชสมการ กําลัง 2 สมบูรณได (s - a)2 = s2- 2as +a2 ข้ันตอนท่ี 2 จากโจทย s2- 8s+20 = (s2-2(4)s + 42) + 4 เมื่อ a = 4 จะได s2- 8s+20 = (s - 4)2+ 4 L-1  s2 - 1  = L-1  ( 1 + 4   8s+20   s-4)2  ข้ันตอนท่ี 3 เมอ่ื ทําเปน กาํ ลังสองสมบูรณเรยี บรอ ยแลว จดั สมการใหอยใู นรูป L-1  s2 s  = sin at  +a2  นําคา 22 คณู เขาไปในสมการจะได L-1  ( s - 1 + 4  = 22 L-1  ( 1 + 4   4)2   s-4)2  = 12 L-1  1 + 22   (s-4)2  คา a = 2 และจาก s = s - 4 ใชคณุ สมบตั กิ ารเล่ือนทางความถจ่ี ะได L-1  ( 1 +4  = 12 e4tsin 2t  s-4)2  ตอบ L-1  s2 1  = 12 e4t sin 2t  -8s+20  จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลับ 333 9.2.3 คุณสมบตั ิการเล่ือนทางเวลา (Time - shifting property) (9.6) L-1[F(s)e-as] = f (t - a) (9.7) ตวั อยา งที่ 9.3 จงหา L-1  e-( / 3) s   s2 +1  วิธที าํ ข้ันตอนท่ี 1 จากสตู ร L-1[F(s)] = L-1  1  = sin t = f (t) ข้ันตอนที่ 2  s2 +1  ใชค ณุ สมบัตกิ ารเล่ือนทางเวลา L-1[F(s)e-as] = f (t - a) เมอ่ื - a = 3 แทนคา ในสมการจะได  1 -( / 3) s   L-1  s2 +1   e = sin t - 3  1 -( / 3) s   ตอบ  s2 +1  L-1  e = sin t - 3 9.2.4 คุณสมบัตกิ ารสเกล (Scaling property)  [F(as)] = a1 f at ตัวอยา งที่ 9.4 จงหา L-1  3s   (3s)2 +36  s วธิ ที าํ ข้ันตอนท่ี 1 หา L-1[F(s)] เม่อื F(s) = s2 +62 จากตารางที่ 9.1 ลาํ ดับที่ 6 L-1  s2 s a2  = cos at  +  เมื่อ a=6 จะได L-1  s2 s  = cos 6t = f (t)  +62  ขั้นตอนท่ี 2 ใชคณุ สมบตั กิ ารสเกล  L-1[F(as)] = a1 f at เม่ือ f (t) = cos 6t และ a = 3 จะได จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

334 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลับ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส L-1  (3s 3s  = 13 cos 63t = 13 cos 2t  )2 +36  ตอบ L-1  (3s 3s  = 13 cos 2t  )2 +36  9.2.5 ลาปลาซทรานสฟอรมกลบั อนุพันธ (Differential inverse laplace transform) ถา L-1[F(s)] = f (t) ดังน้ัน L-1[Fn(s)] = L-1  dn [ F ( s)]  = (-1)nt nf (t) (9.8)  dsn  ตัวอยางท่ี 9.5 จงหา L-1  1  s(s2 +4)  วธิ ที ํา ข้นั ตอนที่ 1 L-1[F(s)] = L-1  1  = L-1  s2 1   s2 +4   +22  นาํ คา 2 คูณท้ังเศษและสว น จะได L-1  s2 1  = 12 L-1  s2 2   +22   +22  f (t) = 12 sin 2t ขนั้ ตอนท่ี 2 ทําการหาอินเวอรสลาปลาซจากสตู ร L-1  1s  [F ( s )] = t f ( t ) dt 0 L-1  1s  1  = 0t 21 sin 2tdt s2 +4  - 21 21 cos (2t) t  เมอื่ 0 u = 2t จะได = แทนคา t = 0 และ t จะได = - 41 (cos 2t - cos 0) = - 41 (cos 2t - 1) L-1  1s  1 = 41 (1 - cos 2t)  s2 +4  ตอบ L-1  1s  1 = 14 (1 - cos 2t)  s2 +4  จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลับ 335 ตารางท่ี 9.2 คุณสมบตั ขิ องลาปลาซผกพนั ลาํ ดบั ท่ี คุณสมบตั ิ F(s) L-1[F(s)] = f (t) aF1(s)+ bF2(s) af1(t)+ bf2(t) 1 เชงิ เสน F(s- a) f (t)eat 2 การเลอื่ นทางความถ่ี F(s)e-at f (t - a) 3 การเลอื่ นทางเวลา F(as) a1 f  at  4 การสเกล (-1)ntnf (t) เมื่อ n =1 ,2 ,3… 5 อนุพนั ธ F n(s) ตัวอยา งที่ 9.6 จงหาคา ลาปาซทรานสฟอรมกลับของฟงกชนั ตอ ไปนี้ [F(s)] =  2 s6-3 - 3+4s   9s2 -16  วธิ ที าํ ข้นั ตอนที่ 1 หาคาลาปาซทรานสฟอรม กลับของแตละฟง กช ันจะได 6 เม่อื [F1(s)] =  2s-3  จะได L-1[F1(s)] = L-1  2s6-3  = L-1 22  s-323      = L-1   s -323   = 3e 23 t    และ L-1[F2(s)] = L-1 - 3+4s  9s2-16  ทาํ การแยกเศษสว นจะได L-1[F2(s)] = L-1 - 3 - 4s  9s2 -16 9s2-16  = L-1 - 19  s2 3  - 19  4s    -196   s2 -196  ขัน้ ตอนท่ี 2 ทาํ การแปลงกลับโดยใชตาราง จากตารางที่ 9.1 จะได  L-1[F(s)] = L-1 a = sinh at s2- a2 L-1 - 19  s2 3  คา a2 = 196   -196  จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

336 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ดังน้ัน a = 43 นาํ คา 43 คณู เขาไปในสมการทั้งเศษและสวนจะได L-1 - 91  s2 3  = L-1 - 43439  3    - 196    s2 -196  = L-1 - 4339  43    s2 -196  = L-1 - 4339  43    s2 -196  = L-1 - 41  43    s2 -196  = - 41 sinh 43 t สว นการหาคา L-1 - 91  4s  คา a2 = 196   s2 -196  ดงั นนั้ a = 43 จากตารางท่ี 9.10 จะได  L-1[F(s)] = L-1 s = cosh at จัดรูปสมการ s2- a2 L-1 - 19  4s  = L-1 - 49  s2 s    s2 -196    -196  = - 49 cosh 43 t ตอบ L-1  2 s6-3 - 3+4s  = 3e 23t - 14 sinh 43 t - 49 cosh 43 t  9s2-16  ตวั อยางท่ี 9.7 จงหาคาลาปลาซทรานสฟอรม กลับของฟงกชนั ตอไปนี้ [F(s)] =  s2 6s-4   -4s+20  วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 ใชก ารแกสมการแบบกาํ ลงั สองสมบรู ณ a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 จากเศษของสมการ คือ s2- 4s+20 จะได a = 1 และ b = 2 ดังนน้ั s2- 4s + 20 = (s2 - 2  2s + 22) + 16 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั 337 = (s - 2)2+ 16 L-1[F(s)] = L-1  6s-4   s2-4s+20  = L-1 6s-4   (s-2)2 +16 ขั้นตอนที่ 2 เมื่อทาํ เปนกาํ ลังสองสมบรู ณเ รียบรอยแลว จัดสมการใหอ ยูในรูป ตอบ  L-1 a = sin at s2 +a2 L-1  ( 6s-4  = L-1  6(s-2)+8  s-2)2 +16 (s-2)2 +16 ทําการแยกเศษสว นยอยเปน 2 พจน จะได = L-1  ( 6(s-2)  + L-1  ( 8 +16  s-2)2 +16 s-2)2 = 6 L-1  ( s-2 4 2  + 2 L-1  ( 4 + 42   s-2)2 +   s-2)2  จากตารางท่ี 9.1 จะได  L-1 a = sin at และ L-1  s  = cos at s2 +a2  s2 +a2  และใชค ณุ สมบัตกิ ารเล่ือนทางความถจี่ ะได L-1[F(s)] = f (t)eat เมื่อ a = 2 จะได = 6 L-1  ( s-2 4 2  + 2 L-1  ( 4 +4 2   s-2)2 +   s-2)2  = 6e2tcos 4t + 2e2tsin 4t = 2e2t(3cos 4t + sin 4t) L-1  6s-4  = 2e2t(3cos 4t + sin 4t)  s2 -4 s+ 20  ตัวอยางท่ี 9.8 L-1[F(s)] = L-1  s2 5s+30   +10s+25  วธิ ีทาํ ขนั้ ตอนที่ 1 หาสมการกาํ ลังสองสมบรู ณจาก s2+10s+25 = s2+2(5)s+52= (s+5)2 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

338 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขัน้ ตอนท่ี 2 แทนคา ในสมการจะได L-1  s2 5s+30  = L-1  5s+30   +10s+25   (s+5)2  = L-1  5( s+5)+5   ( s+5)2  ขัน้ ตอนท่ี 3 ทําการแยกเศษสวนจะได L-1  5( s+5)+5  = L-1  5(s+5) + 5   ( s+5)2   (s+5)2 (s+5)2  = L-1  (s+55) + ( 5   s+5)2  = 5e-5t- 5te-5t = 5e-5t(1- t) ตอบ L-1  5s+30  = 5e-5t(1- t)  s2 +10 s+25  ตัวอยา งท่ี 9.9 จงหาคา ลาปลาซทรานสฟอรม กลับ L-1[F(s)] = L-1  4s+3   s2 -2 s-5  วธิ ีทํา ขัน้ ตอนที่ 1 ใชส มการกําลังสองสมบรู ณ จาก s2- 2s - 5 = s2-2(1)s+12 = (s - 1)2- 6 ขน้ั ตอนท่ี 2 ทําการหาคา การแปลงกลบั จะได L-1[F(s)]= L-1  4s+3   s2 -2 s-5  = L-1  ( 4s+3   s-1)2 -6  ขน้ั ตอนท่ี 3 จัดสมการตวั เศษใหเ หมอื นกับตวั สว น จะได = L-1  4(s-1)+7   (s-1)2 - 6  ข้นั ตอนที่ 4 ทาํ การแยกพจนหาร 2 พจน จะได = L-1  ( 4(s-1) + 7 -6   s-1)2 -6 (s-1)2  จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลบั 339 = L-1  ( 4(s-1) +7   s-1)2- 62 ( s-1)2 - 62  = 4 L-1  ( (s-1) 62 +7   s-1)2 - ( s-1)2 - 62  ขนั้ ตอนท่ี 5 จากตารางท่ี 9.10 จะได ตอบ  L-1[F(s)]= L-1 s = cosh at s2-a2  L-1[F(s)]= L-1 a = sinh at s2-a2 จดั รปู สมการ ใชค ณุ สมบัตกิ ารเล่ือนทางความถ่ีจะได L-1[F(s - a)] = f (t)eat เมอ่ื a = 1 จะได = 4etcosh ( 6t ) + 7etsinh ( 6t ) = et[4cosh( 6t ) + 7sinh ( 6t )] L-1  4s+3  = et[4cosh( 6t ) + 7sinh( 6t )]  s2 -2 s-5  9.3 การแยกเศษสว นยอ ย (Partial – fraction expansion) ในการหาคาลาปลาซทรานสฟอรมกลับสามารถทําไดโดยใชตารางที่ 9.1 และตารางท่ี 9.2 แตหากคาฟงกชัน F(s) ไมอยูในรูปแบบท่ีเทียบกลับไดทันที จะตองทําเปล่ียนเปลี่ยนรูป F(s) ใหสามารถอยใู นรปู แบบทสี่ ามารถใชตารางได ซ่ึงวิธีที่นํามาใช คือ การแยกเศษสวนยอย พิจารณา ฟงกชัน F(s) ในรูป F(s) = N (s) = bmsm +bm-1sm-1+...+b1s+b0 (9.9) D(s) ansn +an-1sn-1+...+a1s+a0 เมื่อ N(s) คือ ตัวตั้ง (Numerator) และ D(s) คือ ตัวหาร (Denominator) ซ่ึงอยูในรูปแบบของ สมการแบบโพลิโนเมียลของฟงกช นั s โดยใชตัวหาร คอื D(s) นาํ มาแยกเปนเศษสว นยอย ซ่งึ n > m โดยพิจารณา D(s) ไดเ ปน 2 กรณี คือ 9.3.1 เมื่อ D(s) มีรากปกติ (Simple roots) เมื่อ D(s) สามารถแยกตัวประกอบเปนหลายวงเล็บ ซ่งึ อยูใ นรปู ของ s ยกกําลังหนึง่ จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

340 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส F(s) = N (s) = N (s) (9.10) D(s) (s - a1)(s - a2 )...(s - an ) เมื่อ a1 ,a2 ,….,an เปนรากของ D(s) และไมมีรากตัวใดที่ซํ้ากัน คือ a1  a2 …. an ซึ่งสามารถแยกเปนเศษสว นยอยไดดังน้ี s A-1a1 s A- 2a2 F(s) = N (s) = + + ... + s A- nan (9.11) D(s) ซึ่ง A1 , A2 ,……,An เปนคาคงท่ี สามารถหาคาไดโดย 2 วิธี คือ การเทียบสัมประสิทธ์ิ และการใชส ตู ร ซง่ึ มีสูตรการหาคา An ดงั น้ี An = F (s)(s - an ) s=an หรอื An = sA-a11 + sA-a22 + ... + sA-ann N (s) An = dds [D(s)] s = an , n = 1,2,3…. An = N(s) [D(s)] s = an ตวั อยา งที่ 9.10 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมกลับของ L-1  3s-5   s2 -2 s-3  3s-5 วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 เมอื่ F(s) = s2 -2 s-3 ทาํ การแยกตัวประกอบของสวน คอื s2-2s-3 = (s-3)(s+1) มีรากของสมการ 2 ตัว คอื (s- 3) = 0 จะได a1 = 3 (s+1) = 0 จะได a2 = -1 ข้ันตอนที่ 2 ทําการแยกตวั แปรจะได = (s-33)s(-s5+1) 3s-5 s2 -2 s-3 3s-5 sA-3 + sB+1 (เมอื่ A และ B เปนคา คงท)ี่ s2 -2 s-3 = (9.12) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลบั 341 ขน้ั ตอนท่ี 3 3.1 ทาํ การแกส มการโดยใชวิธีเทยี บสมั ประสทิ ธ์ิ จะได นาํ (s2- 2s - 3) หรือ (s-3)(s+1) คณู สมการท่ี (9.12) ทงั้ ซายมือและขวามอื ดงั น้ัน (เมอ่ื A และ B เปนคา คงที่) 3s-5 s2 -2 s-3  s2-2s-3 = sA-3  (s - 3)(s + 1) + sB+1  (s - 3)(s + 1) จะได 3s - 5 = A(s + 1) + B(s - 3) 3s - 5 = As + A + Bs - 3B 3s - 5 = (A + B)s + (A - 3B) A + B =3 จะได A = 3 - B (9.13) A - 3B = -5 (9.14) แทนคา A ในสมการที่ (9.14) จะได 3 - B - 3B = -5 3 - 4B = - 5 -4B = -8 ดงั น้นั B = 2 และ A =1 3s-5 ดังนนั้ s2 -2 s-3 = s1-3 - s+21  L-1  3s-5  = L-1  s1-3  - 2L-1  s+11   s2 -2 s-3  แทนคาในตารางที่ 9.1 จะได L-1  ( 3s-5  = e3t - 2e-t s-3)(s+1) 3.2 ทําการหาคา โดยการใชสตู รจะได A = F(s)(s - 3) s=3 A = (s-33)s(-s5+1) (s - 3) s=3 A = (3ss+-15) s=3 3(3)-5 A = 3+1 =1 B = F (s)(s + 1) s=-1 B = (s-33)s(-s5+1) (s + 1) s=-1 B = (3ss--35) s=-1 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย