ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

242 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส y = yC(x) + yP(x) 1 1 10 5 หรอื y = C1 + C2x + C3e-x - excos x + exsin x ตอบ ผลเฉลยท่วั ไป y = C1 + C2x + C3e-x - 1 excos x + 1 exsin x 10 5 7.5.3 การประยกุ ตสมการอนพุ ันธ ตวั อยางท่ี 7.32 จากวงจรไฟฟา ในรูปท่ี 7.1 ประกอบดวยตัวตานทานขนาด 12  และตัวเหนีย่ วนาํ 4 เฮนร่ี (H) ซ่ึงมีแหลงจายไฟฟาจากแบตเตอรร่ี E(t) คงท่ี 60 V และสวิตชปดลงเม่ือเวลา t = 0 ดังน้ันทําใหกระแสในสภาวะเริ่มตน i(0) = 0 จงหาสมการกระแสท่ีเวลา t ใดๆ และกระแส i(t) หลังจากเวลา 1 วินาที และขอบเขตจํากัดของกระแส V = iR R + E i V = L di - S L dt (ก) ทเ่ี วลา t = 0 (ข) ท่เี วลา t > 0 รูปที่ 7.1 วงจรอนกุ รม RL เมอ่ื สวติ ช S ปดและเปด วงจร วธิ ีทาํ ขั้นตอนที่ 1 เขียนสมการความสัมพนั ธของวงจรรูปที่ 7.1 จากกฎแรงดันของเคอรช อฟท ได VL + VR =E di โดยกฎของโอหม VL = L dt และ VR = Ri จะได L di + Ri =E dt จัดสมการใหอยใู นรปู สมการเชงิ เสน อนพุ นั ธอ ันดบั 1 จะได R E ddti + L i = L แทนคา R = 12  และ L = 4 H และ E = 60 V จะได ddti + 142 i = 640 ddti + 3i = 15 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน 243 ข้ันตอนที่ 2 แกส มการเชงิ เสน โดยหาคา ตวั ประกอบปริพนั ธ จากสมการคา P(t) = 3 และตวั ประกอบปริพนั ธ คือ  (t) = e3dt = e3t นาํ คา ตัวประกอบปรพิ ันธค ูณเขา ไปทงั้ สองขา งของสมการจะได e3t ddti + 3e3ti = 15 e3t d dt (e3t i) = 15 e3t หาปริพนั ธข องสมการจะได e3ti = 15e3tdt 15e3t e3ti = 3 = 5e3t + C i = 5e3t + C e3t e3t i = 5 + Ce-3t ขัน้ ตอนท่ี 3 หาคาสมการ i(t) โดยหาคา C เมอ่ื t = 0 , i(0) = 0 แทนคา ในสมการ i(0) = 5 + Ce-3t 0 = 5+C C = -5 ดังนนั้ สมการ i(t) คือ i(t) = 5 - 5e-3t ข้ันตอนท่ี 4 หาคา กระแสหลงั จากเวลา 1 วนิ าที เม่ือ t = 1 วินาทีจะได i(1) = 5 - 5e-3(1) = 4.75 A ขอบเขตจํากัดของกระแส tlim i(t) = tlim 5(1- e-3t ) = 5 - 5tlim e-3t =5-0 =5A ตอบ สมการ i(t) ทเี่ วลาใดๆ คือ i(t) = 5-5e-3t กระแสที่เวลา 1 วินาที มคี า 4.75 A และขอบเขตจํากัดของกระแส คอื 5 A จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

244 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยา ง 7.33 จากวงจรอนุกรม RL เม่อื มีแหลงจายไฟกระแสสลับ E = sin t จา ยเขาไปในวงจร จงหาคา กระแสท่ไี หลในเวลา t ใดๆ รปู ท่ี 7.2 วงจรอนกุ รม RL เมอื่ ตอ อยูกบั แหลง จายไฟกระแสสลับ วิธที าํ ขั้นตอนที่ 1 เขียนสมการความสัมพันธของวงจรรูปท่ี 7.2 จากกฎแรงดันของ ขั้นตอนที่ 2 เคอรช อฟท ได VL + VR = E di โดยกฎของโอหม VL = L dt และ VR = Ri จะได L di + Ri = Vm sin t dt จัดสมการใหอ ยใู นรูปสมการเชิงเสนอนุพันธอนั ดับ 1 จะได di R Vm dt + L i = L sin ωt แกสมการเชิงเสน โดยหาคาตัวประกอบปริพันธ R จากสมการคา P(t) = L และตวั ประกอบปรพิ ันธ คอื  (t) = e  Rdt = eRt L L นําคาตัวประกอบปริพันธค ณู เขา ไปท้ังสองขา งของสมการจะได di R VLm e Rt . dt + eRt L .i = eRt . sin ωt L L L จดั รปู สมการจะได d(ie RLt ) = eRt . VLm sin ωt dt L ทําการหาปรพิ นั ธท งั้ สองขา งของสมการ Vm ได i e Rt = L  e R t sin t dt + C (เมื่อ C = คา คงท)ี่ (7.3) L L จาก  e Rt sin t dt ทาํ การหาปรพิ นั ธโดยวธิ กี ารแยกสวน L จากสูตร udv = uv - vdu จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน 245 ให u = eRL t ได du = RL eRL t dt 1 1 dv = sin t dt ได v= sin t d(t) = -  cos t  eRLdt e RL dt sin t dt = - cos t +  1 cos t RL e RL t dt   e RL dt sin t dt = - eRLt cos t + RL  e RL t cos t dt (7.4)  จากสมการ (7.4) พิจารณาeRLt cos t dt หาปริพันธโดยการแยกสวน คร้ังท่ี 2 จะได ให u = eRL t ได du = RL eRL t dt dv = cos t dt 1 1 ได v = cos td t = sin t   eRLdt จาก eRL t cos t dt = sin t -  1 sin t RL e RL t dt   = eRLt sin t - RL eRL t sin tdt (7.5)  แทนคา สมการ (7.5) ในสมการ (7.4) eRL t sin tdt = - eRLt cos t + RL [ eRLt sin t - RL eRL t sin tdt]   = - eRLt cos t + R eRL t sin t - R2 eRL t sin tdt 2L ( L)2  (1+ R2 )eRL t sin tdt = R eRL t sin t - eRLt cos t ( L)2 2L   eRLt sin tdt = 2 L2 [ R eRL t sin t - eRLt cos t] (7.6) 2 L2 +R2 2L   แทนคาสมการ (7.6) ในสมการ (7.3) i e RL t =  2 LVm [ R eRL t sin t - eRLt cos t] +C 2L2 +R2 2L  i = Vm [R sin t - L cos t] + C eRL t 2L2 +R2 ท่ี t = 0, i = 0 ได จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

246 บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส C = Vm L 2L2 +R2 Vm Vm L ดงั นนั้ i(t) = 2L2 +R2 [R sin t - L cos t] + 2L2 +R2 e- RL t หรอื i(t) = Vm [R sin t - L cos t +L e-RL t ] 2L2 +R2 Vm ตอบ กระแสท่ีเวลา t ใดๆ มคี าเปน i(t) = 2L2 +R2 [R sin t - Lcos t +L e-LRt ] ตัวอยางที่ 7.34 จากตัวอยางที่ 7.32 ถาคาตัวตานทานและตัวเหนี่ยวนํามีคาดังเดิม สวนแบตเตอรี่ เปลย่ี นเปนแหลงกําเนิดไฟฟาแบบรูปคล่ืนไซน ซึ่งมีสมการเปน E(t) = 60 sin 30t V จงหาสมการ i(t) วธิ ีทํา ข้นั ตอนที่ 1 หาสมการความสัมพันธของวงจรในรูปท่ี 7.2 จากกฎแรงดันของ เคอรชอฟท ได VL + VR =E di dt โดยกฎของโอหม VL = L และ VR = IR จะได L di + Ri =E dt จดั สมการใหอยใู นรปู สมการเชิงเสน อนพุ นั ธอ นั ดับ 1 จะได di R dt + L i = EL แทนคา R = 12  และ L = 4 H และ E(t) = 60 sin 30t จะได di dt + 12 i = 60 sin 30t 4 4 di dt + 3i = 15 sin 30t ข้ันตอนที่ 2 แกสมการเชงิ เสน โดยหาคาตัวประกอบปริพันธ จากสมการคา P(t) = 3 และตัวประกอบปรพิ นั ธ คือ (t) = e3dt = e3t นําคาตัวประกอบปริพนั ธคูณเขาไปทั้งสองขา งของสมการจะได di e3t dt + 3e3t. i = 15 e3t sin 30t d (e3t i) = 15 e3t sin 30t dt จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน 247 หาปรพิ ันธข องสมการจะได e3ti = 15 e3tsin 30t dt e3ti = 15 e3t (3 sin 30t - 30 cos 30t ) + C (เมอ่ื C = คา คงที)่ 909 15(3) i = 909 (sin 30 t -10 cos 30t) + Ce-3t i = 0.049(sin 30t - 10 cos 30t) + Ce-3t ขนั้ ตอนท่ี 3 หาคา C ทีเ่ วลา t = 0 s , i(0) = 0 จะได i(0) = 0.049(sin 30(0) - 10 cos 30(0)) + Ce-3(0) 0 = 0.049(0 - 10) + C(1) C = 0.49 ดงั นั้น i(t) = 0.049(sin 30t - 10 cos 30t) + 0.49e-3t ตอบ สมการ i(t) มคี าเปน i(t) = 0.049(sin 30t - 10 cos 30t) + 0.49e-3t ตวั อยา งที่ 7.35 จากวงจรในรูปเปนการตอตวั ตานทานขนาด 100  อนกุ รมกับตัวเก็บประจุ 0.1 F จงหาคา ประจุไฟฟาและกระแสไฟฟา ในวงจรขณะเวลา t ใดๆ เมือ่ สวิตช S ปด วงจร R=100 V R + E=100 V C=0.1 F + + E S + V = Q - - - - C C S (ก) ทเ่ี วลา t = 0 (ข) ที่เวลา t > 0 รูปที่ 7.3 วงจรไฟตรงมแี หลง จา ย 100 V วิธที ํา ขนั้ ตอนที่ 1 หาสมการความสัมพนั ธเ ชิงอนพุ นั ธจ ากกฎแรงดนั ของเคอรชอฟท จากรปู ท่ี 7.3 (ข) ได VR + VC =E Q จากกฎของโอหม จะได VR = iR และ VC = C แทนคาได Ri + Q =E C dQ dQ Q จาก i= dt แทนคา R dt + C =E จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

248 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส จะได dQ + Q = E dt RC R แทนคา จากโจทย R = 100  , C = 0.1 F จะได Q dQ + (100)(0.1) = 110000 dt =1 dQ dt + 0.1Q ขนั้ ตอนที่ 2 แกส มการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุ นั ธแ บบเชิงเสน dQ + 0.1Q =1 dt ได P(t) = 0.1 , ตัวประกอบปริพันธ (t) = e0.1dt = e0.1t นําตัวประกอบปรพิ ัทธค ณู เขาไปท้งั สองขา งของสมการจะได dQ dt .e0.1t + 0.1Q e0.1t = 1.e0.1t จัดสมการใหอ ยใู นรปู แบบสมการแยกตวั แปร e0.1t dQ + 0.1e0.1t Qdt = e0.1tdt จดั รปู สมการ d(Qe0.1t ) = e0.1tdt dt ทําการหาปรพิ ันธท ง้ั สองขา งของสมการจะได Qe0.1t = e0.1tdt Qe0.1t = 10e0.1t+ k (เมอื่ k เปนคา คงท)่ี Q = 10 + ke-0.1t หาคา k ท่ี t = 0 s, Q(0) = 0 จะได 0 = 10 + ke-0.1(0) k = -10 แทนคา k ในสมการจะได ประจุท่เี วลา t ใดๆ มคี า เปน Q = 10 - 10e0.1t หากระแสทเ่ี วลา t ใดๆ จาก i = dQ dt ดังน้ัน i = ddt (10 - 10e-0.1t) กระแสทเี่ วลา t ใดๆ มีคา i(t) = -10e-0.1t A ตอบ ประจทุ ่ีเวลา t ใดๆมีคา เปน Q(t) = 10 - 10 e0.1t คลู อมป กระแสท่ีเวลา t ใดๆ มคี า i(t) = -10 e-0.1t A จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน 249 ตวั อยา งท่ี 7.36 จากวงจรอนกุ รม RC จงหาสมการกระแสทไี่ หลขณะเวลาใดๆ เม่อื มแี หลงจา ยไฟฟา กระแสสลบั E = Vmsin t R E = Vmsin t i + C - S รปู ท่ี 7.4 วงจรอนกุ รม RC เมือ่ มแี หลง จา ยไฟเปนไฟฟา กระแสสลับ วิธที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 หาสมการความสัมพนั ธจ ากกฎแรงดนั ของเคอรช อฟท จะได ข้นั ตอนที่ 2 จากรปู ที่ 7.4 จะได VR + VC = E Q C จากกฎของโอหม จะได VR = iR และ VC = แทนคา ได Ri + Q = E C dQ dQ Q จาก i= dt แทนคา R dt + C =E R dQ + Q =E dt C dQ จาก Q= idt และ dt =i ดังนั้นจะมีความสัมพันธระหวางตัวแปร i และตัวแปร t เมอื่ E = Vmsin t จะได Ri + C1 idt = Vmsin t ทําการหาอนพุ นั ธร ะหวา ง I เทยี บกบั t จะได R ddti + C1 i = Vm cos t ทําการแกสมการแบบเชงิ เสนโดยจัดรปู สมการใหม ddit + R1C i = VmR cos t จากสมการไดค า P(t) = R1C e  R1C dt = 1 t ดงั นน้ั  (x) = e RC นาํ คา  (x) คณู เขา ไปทง้ั สองขา งของสมการ . VmR e 1 t . ddit + R1C e 1 t . i = e 1 t cos t RC RC RC จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

250 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส d (ie  1 t ) 1 t . VmR RC RC จดั รูปสมการจะได = e cos t dt ทาํ การหาปริพันธท ้ังสองขา งของสมการ VmR ได i e 1 t =  e 1 t cos tdt + k (เม่อื k = คาคงท)่ี (7.7) RC RC เนื่องจากในขอน้ีมกี ารใชสญั ลกั ษณ C แลว ดังนัน้ จึงใชส ัญลกั ษณ k แทน คา คงท่ี 1 RC จากสมการ  e t cos tdt ทําการหาปริพันธโ ดยการแยกสวน จากสูตร udv = uv - vdu 1 1 ให u = e RC t และ du = R1C e RC t dt dv = cos tdt และ v = 1 cos tdt = 1 sin t   1 1 1 1 R1C 1 แทนคา  e RC t cos tdt = e RC t sin t -  sin t e RC t dt   e R1Ct 1 = sin t -  1RC  e RC t sin tdt (7.8)  1 จากสมการ  e RC t sin tdt ทาํ การหาปรพิ นั ธโ ดยวธิ ีการแยกสว น จากสูตร udv = uv - vdu 1 1 ให u = e RC t และ du = R1C e RC t dt แทนคา ได dv = sin tdt และ v= 1 sin tdt = - 1 cos t 1 e R1C t   1 RC RC  e t sin tdt = -  cos t +  1 cos t R1C e t dt e R1Ct 1  RC =-  cos t +  1RC  e t cos tdt (7.9) แทนคาสมการ (7.9) ในสมการ (7.8) จะได e R1Ct  e 1 t cos tdt = e R1Ct sin t + 2RC cos t - 1  e 1 t cos tdt RC ( RC )2 RC  (1+ 1 ) e 1 t cos tdt = e R1Ct sin t + e R1Ct cos t ( RC )2 RC  2 RC   e 1 t cos tdt = (  2 R2C 2 )[ e R1Ct sin t + e R1Ct cos t] RC 2R2C2 +1  2 RC  แทนคา สมการ (7.8) ในสมการ (7.7) จะได จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน 251 i e 1 t = ( 3RC2Vm )[ e R1C t sin t + e R1Ct cos t]+ k e 1 t RC 2R2C2 +1  2 RC RC  i = ( VmC )(RC sin t + cos t)+ k e- 1 t 2 R2C 2 RC +1  หาคา k ทเี่ วลา t = 0, i(0) = 0 ได VmC k = -  2 R2C 2 +1 ดังนนั้ i(t) = ( VmC )[RC sin t + cos t] - VmC e- 1 t  2 R2C 2 2R2C2 +1 RC +1 VmC หรอื i(t) = ( 2 R2C 2 )[RC sin t + cos t - e- 1 t ] RC +1  VmC 2 R2C 2 ตอบ กระแสไหล ทีเ่ วลา t ใดๆ มีคาเปน i(t)= ( )[RC sin t + cos t - e- 1 t ] RC +1  ตัวอยา งท่ี 7.37 โยนวัตถุมวล m ข้ึนไปในอากาศในแนวด่ิงดวยความเร็วตน V0 ถาแรงตานการ เคลอื่ นที่จากอากาศเปนสัดสวนกบั ความเรว็ ของวตั ถุ จงหาสมการการเคล่ือนที่ของวตั ถทุ ่ีเวลาใดๆ วิธีทาํ ขั้นตอนท่ี 1 หาสมการความสัมพันธ จากกฎของนิวตันจะได F = ma แรงทก่ี ระทําตอ วตั ถุมี 2 ชนิด คือ แรงเนื่องจากแรงโนมถวงของโลก = mg และ แรงตานอากาศ = kv แตเน่อื งจากแรงท้ังสองกระทําในทิศทางลงหรือทิศทางเปนลบ จะได ma = -mg - kv mddddvvttdd+=vt -=kmgv--m=kmg-vg-kv จากสมการทไี่ ดเ ปนสมการแบบเชงิ เสนทําการแกส มการแบบเชงิ เสน ขั้นตอนท่ี 2 P(t) = k หาคา ตวั ประกอบหาปรพิ ันธ  (x) = e mk dt = emk t m นําตัวประกอบหาปริพนั ธค ณู ทัง้ สองขางของสมการจะได จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

252 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส e mk t dv + e mk t kv = e mk t (-g ) dt m จัดรูปสมการจะได d ( v.e mk t ) = - g .e mk t dt d(v.emk t ) = - g.emk tdt หาปริพนั ธท ั้งสองขา งของสมการจะได d(v.emk t ) = - g.emk tdt -g.emk t v.e mk t = mk =- gm e mk t + C (เมือ่ C = คาคงท)ี่ k นํา emk t หารท้ังสองขางของสมการจะได g v = - gm + C.e- mk t k ข้นั ตอนที่ 3 หาคา C โดยแทนคา ท่ีสภาวะเริ่มตน เมื่อ t = 0 s และ v(0) = v0 จะได v0 = v-0g+kmg+kmC.e- mk (0) = - gm +C C= k แทนคา C ในสมการ v= - gm +C.e- mk t จะได k gm gm mk t v =- k + ( v0 + k ).e- v = (v0 + gm ).e- mk t - gm k k gm mk t gm ตอบ สมการการเคล่ือนท่ขี องวตั ถทุ ี่เวลาใดๆ คือ v(t ) = (v0 + k ).e- - k ตวั อยา งที่ 7.38 เรอื เร็วรวมทง้ั อปุ กรณประกอบและคนขับมีมวลรวม 500 kg เคร่ืองยนตมแี รงขับ 300 N แรงตา นทานนํา้ กระทาํ ตอเรอื มีคา เปน 15 V จงหาความเร็วของเรือเม่ือเวลา t ใดๆ วิธีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 หาสมการความสมั พันธโ ดยใชก ฎการเคล่ือนที่ของนวิ ตนั ในแนวราบได  F = ma แรงท่กี ระทาํ ตอ เรอื มี 2 แรง คือ แรงขับเรอื มีทศิ ทางเปน บวก ( f ) = 300 N และแรงตานทานของน้ํา (R) = 15 V มีทศิ ทางเปน ลบ จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน 253 f - R = ma dv จาก a = dt จะได m= 500 kg จะได 15v = 500 dv 300 - dt จดั รูปสมการแบบเชงิ เสน จะได 5dddd0vvtt0--dd510vt05.00-3v1v=5=v35000=00.630 ทาํ การแกสมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน ขั้นตอนที่ 2 หาคา P(t) = - 0.03 ตวั ประกอบหาปริพนั ธ คอื  (t) = e-0.03dt = e-0.03t นําคา e-0.03t คณู ทง้ั สองขางของสมการจะได dv e-0.03t . dt - 0.03v.e- 0.03t = 0.6 e- 0.03t d ( v.e- 0.03t ) = 0.6e- 0.03t dt ทําการหาปรพิ ันธท ้งั สองขา งของสมการจะได  d(v.e-0.03t ) =  0.6 e-0.03tdt 0.6 ve- 0.03t = - 0.03 e- 0.03t+ C (เมื่อ C = คาคงท)่ี v = - 0.6 + C e0.03t 0.03 ขั้นตอนท่ี 3 หาคา C ทีเ่ วลา t = 0 , v(0) = 0 จะได 0.6 v(0) = - 0.03 + C e0.03(0) 0 = - 0.6 + C 0.03 0.6 C = 0.03 v = 0.6 + 0.6 e0.03t 0.03 0.03 0.6 0.6 ตอบ ความเรว็ ของเรอื เม่อื เวลา t ใดๆ v(t) = 0.03 + 0.03 e0.03t จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

254 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยางท่ี 7.39 แทงคน ้าํ ขนาด 120 ลติ ร บรรจนุ ํา้ เกลือภายใน 90 แกลอน โดยสารละลายมีความ เขม ขน 2 gal ถกู ปลอยเขามาในแทงคท่มี อี ตั ราการไหลเขา มีคา 4 แกลอน/นาที สารละลายมอี ตั รา การไหลออกมคี า เทากบั 3 แกลอน/นาที จงหาปริมาณของเกลอื ทีอ่ ยใู นแทงคใ นเวลา t และภายใน แทงคจ ะมีปรมิ าณเกลือเทา ไรเมือ่ เต็มแทงค วธิ ที ํา ข้นั ตอนที่ 1 เขยี นสมการความสัมพนั ธข องปริมาตรกบั เวลา จะได ปรมิ าตรของเกลอื ทเ่ี วลา t = v(t) ปรมิ าณของเกลือที่เวลา t = p(t) เมอื่ V0 = ปรมิ าตรของสารละลายต้งั ตน ปรมิ าตรของสารละลายทไ่ี หลเขา = อัตราการไหลเขา × เวลา = 4 gal/min × t = 4t ปริมาตรของสารละลายที่ไหลออก = อตั ราการไหลออก × เวลา = 3 gal/min × t = 3t ปรมิ าตรของสารละลายในแทงค = 90 + 4t - 3t = 90 - t ซง่ึ ปริมาตรของแทงคเมือ่ เต็มมคี า 120 แกลอน ดังนั้น 120 = 90 + t t = 120 - 90 = 30 นาที นํ้าจะเต็มแทงคท ี่เวลา 30 นาที ปริมาณของเกลอื ทีไ่ หลเขา = ความเขม ขน ของสารละลาย × อตั ราการไหลเขา = 2 lb/แกลอน × 4 แกลอน/นาที = 8 lb/นาที ปรมิ าณของเกลือท่ีไหลออก = ความเขมขนของสารละลาย × อตั ราการไหลเขา p(t) = v(t) × 3 lb/แกลอน = 3 p(t) 90 + t สมการปริมาณของเกลือในสารละลายท่ีเวลา t ใดๆ มีคา เปน dp(t ) 3p(t ) dt = 8 - 90 + t ขนั้ ตอนท่ี 2 เขียนสมการใหอ ยูในรปู แบบสมการเชงิ เสนจะได dp(t ) 3 p(t ) dt = - 90 + t + 8 dp(t) + 3 p(t ) = 8 dt 90 + t แกส มการแบบเชงิ เสนจะได จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน 255 P(t) = 3 , Q(t ) = 8 90 + t ตวั ประกอบหาปริพันธม คี าเปน (t) = e903+tdt = e3ln(90+t) = (90 +t)3 นาํ ตวั ประกอบหาปรพิ นั ธค ณู เขา ไปในสมการจะได dp(t ) 3p(t ) dt (90 + t)3 + 90 + t (90 + t)3 = 8(90 + t)3 d (90 + t )3 p(t ) = 8(90 + t )3 dt ทําการหาปรพิ ันธท ง้ั สองขางของสมการจะได  d(90 + t)3 p(t) = 8(90 + t)3dt 8(90 + t )4 (90 + t )3 p(t ) = 4 + C (เมอื่ C = คา คงที่) p(t ) = 8(90 + t)4 + C t )3 4(90 + t)3 (90 + C p(t) = 2(90 + t ) + (90 + t)3 ข้ันตอนที่ 3 หาคา คงที่ C ท่เี วลาเรม่ิ ตน p(0) = 90 เม่อื t = 0 s แทนคา ในสมการจะได C p(0) = 2(90 + 0) + (90 + 0)3 90 = 2(90) + C (90)3 C = - 904 ดงั นนั้ สมการปรมิ าณของเกลอื ในแทงคท ี่เวลาใดๆ มีคา เปน 904 p(t) = 2(90 + t) - (90 + t )3 หาปรมิ าณของเกลือในสารละลายเมอ่ื เตม็ แทงค เวลาทส่ี ารละลายเต็มแทงค คือ 30 นาที 904 p(30) = 2(90 + 30) - (90 + 30)3 = 240 - 904 = 202.03 lb (120)3 904 ตอบ สมการปรมิ าณของเกลือในแทงคที่เวลาใดๆ เปน p(t) = 2(90 + t)- (90 + t)3 หาปรมิ าณของเกลือทีเ่ วลา t = 30 นาที มคี า เปน p(t) = 202.03 lb จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

256 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตัวอยางท่ี 7.40 วัตถุชนิดหนึ่งไมทราบอุณหภูมิ ถูกวางไวภายในหองซ่ึงมีอุณหภูมิคงที่ 30C เมื่อเวลาผานไป 10 นาที อุณหภูมิของวัตถุลดลงเปน 4C และเมื่อเวลาผานไป 20 นาที อุณหภูมิ เพมิ่ ข้นึ เปน 12C จงหาสมการสําหรับอุณหภูมขิ องวัตถุขณะเวลา t ใดๆ วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 หาสมการความสมั พนั ธระหวางอณุ หภมู กิ บั เวลาโดยกาํ หนดให T = อณุ หภมู ิของวัตถุ ณ เวลา t ใดๆ Tm = อณุ หภูมิภายในหองซงึ่ คงท่ี 30C dT dt = อัตราการเพม่ิ ข้ึนของอุณหภมู ขิ องวตั ถุ ณ เวลา t ใดๆ กําหนดใหวัตถุทร่ี อ นขนึ้ อยกู ับสิ่งแวดลอ มบรเิ วณโดยรอบท่ีเยน็ กวา โดย อาศัยกฎการเย็นตวั ของนวิ ตนั จะได dT dt  T - Tm dT = - k (T - Tm ) โดยท่ี k > 0 , T > Tm (เม่อื k = คา คงที่) dt dT dt = - kT + kTm สมการการเพ่ิมขน้ึ ของอณุ หภมู ิของวตั ถเุ ปนไปตามสมการ dT dt + kT = kTm dT + kT = k (30) dt dT dt + kT = (30)k ข้นั ตอนที่ 2 จากสมการเปนสมการแบบเชิงเสน แกสมการแบบเชิงเสน หาคา P(t) = k และตวั ประกอบหาปรพิ ันธม คี า เปน  (t) = ekdt ekt นําคา  (t) คูณทั้งสองขางของสมการจะได dT dt ekt + kT.ekt = 30 kekt จัดสมการรูปอนพุ นั ธผ ลคณู ekt dT + kT.dekt = 30 kekt dt dt d (Tekt ) dt = 30 kekt ทําการหาปริพันธท ั้งสองขา งสมการ d (Te kt ) = 30 kekt dt dt   จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน 257 Tekt = 30 kekt +C (เม่อื C = คาคงที)่ k นําคา ekt หารทั้งสองขางของสมการ T = 30 kekt + C kekt ekt T = 30 + Ce-kt ข้ันตอนที่ 3 หาคา k โดยใชก ารแทนคา ในสมการ T = 30 + Ce-kt ถา t = 10 s, T = 4C 4 = 30 + Ce-10k Ce-10k = -26 (7.10) ถา t = 20 s, T = 12C 20 = 30 + Ce-20k Ce-20k = -10 (7.11) นาํ สมการท่ี (7.10) / สมการท่ี (7.11) จะไดเปน Ce-10k = -26 Ce-20k -10 e10k = 2.6 k = 1 ln 2.6 = 1 0.955 = 0.0955 10 10 ข้ันตอนที่ 4 หาคา C โดยแทนคาในสมการ Ce-10k = -26 จะได Ce-10(0.0955) = -26 C = -26 = - 63.949 e-0.9 ดงั นนั้ สมการ T = 30 + Ce-kt มีคา เปน T(t) = 30 - 63.449e-0.0955t หาอณุ หภมู ิของวัตถุกอ นนาํ มาวางในหองมีคา เปน เทาใด t = 0 s จะได T(t) = 30 - 63.449e-0.0955t = -33.449C ตอบ สมการสาํ หรบั อณุ หภมู ิของวตั ถขุ ณะเวลา t ใดๆ T(t) = 30 - 63.449e-0.0955t จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

258 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส 7.5.4 การประยกุ ตส มการอนพุ ันธเชงิ เสนอันดับที่ 2 วงจรไฟฟาอันดับท่ี 2 เปนการพิจารณาวงจรที่ประกอบดวยตัวสะสมพลังงานสองตัว ไดแก ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนํา ซึ่งวงจรอันดับสองจะทําใหเกิดสมการอนุพันธอันดับสอง การเกดิ สมการอนพุ นั ธอันดบั สองจากวงจรอันดบั สองพจิ ารณาจากวงจรในรปู ท่ี 7.5 รปู ท่ี 7.5 วงจรขนาน RLC กับแหลงจายกระแส จากรูปที่ 7.5 พิจารณาท่ีเวลา t > 0 ตองการหาสมการของกระแสที่โหนดดานบนโดยใช กฎกระแสของเคอรชอฟท โดยเมือ่ มีกระแสไหลเขาจะเทา กับกระแสไหลออกจะได v dv R + i + C dt = is และแรงดันท่ตี กครอม L มีคา เปน vL = v = L di แทนคา v ลงในสมการจะได dt L di d2i R dt + i + CL dt 2 = is เปน สมการอนพุ นั ธอนั ดับสองที่ตองการ และจะสามารถหาคา กระแส i(t) ตัวอยางที่ 7.41 กระแสไฟฟา ที่ไหลในวงจรกําหนดโดย d2i + 3 di + 1, 200i = 220 ถา i =0 และ dt 2 dt di dt = 0 เมือ่ t = 0 จงหาสมการของกระแสท่เี วลาใดๆ วิธีทํา ข้ันตอนท่ี 1 พิจารณาเง่ือนไขสมการความสัมพันธระหวา งกระแสและเวลา จากโจทยจ ะได d2i dt 2 + 3 di + 1, 200i = 220 dt ซง่ึ เปนสมการเชงิ อนพุ นั ธเ ชงิ เสน อันดบั สองทไี่ มเปน เอกพนั ธ จะมีสมการชวยอยใู นรูป m2+ 3m + 1,200 = 0 m = -3 ± 32 - 4(1)(1,200) = -1.5± j34.60 2(1) จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชิงเสน 259 กาํ หนดให m1 = a + jb และ m2 = a - jb จะได m1 = -1.5 + j34.6 และ m2 = -1.5 - j34.6 ซึ่ง a = -1.5 และ b = 34.6 ข้นั ตอนที่ 2 หาผลเฉลยของสมการจากสมการชวย ซึ่งมผี ลเฉลยในรูป ข้ันตอนที่ 3 iC (t) = eat(C1cos bt + C2 sin bt) (เมือ่ C1 และ C2 เปน คาคงที)่ ข้ันตอนท่ี 4 แทนคา a = -1.5 และ b = -34.6 iC (t) = e-1.5t(C1cos 34.6t + C2 sin 34.6t) หาคา ผลเฉลยเฉพาะราย เนอื่ งจากสมการ d2i + 3 di + 1, 200i = 220 ดานขวามือของสมการ dt 2 dt เปนคาคงท่ี ดงั น้ันสมมตใิ หผ ลเฉลยเฉพาะราย คอื d2i dd2tA20 Ip (t) = A0 หา di = ddAt0 = 0 และ dt2 = =0 dt แทนคาในสมการ d2i + 3 di + 1, 200i = 220 dt 2 dt จะได 0 + 3(0) +1,200A0 = 220 220 A0 = 1, 200 ผลเฉลยเฉพาะราย คอื ip (t) = 220 = 0.1833 1, 200 ผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนพุ ันธ คือ i(t) = iC (t) + iP (t) i(t) = e-1.5t (C1cos 34.6t + C2sin 34.6t) + 0.1833 หาคา คงท่ี C1 และ C2 เมื่อโจทยกาํ หนดให t = 0 s , i(0) = 0 แทนคา ในสมการ i(t) = e-1.5(0)(C1cos 34.6(0) + C2sin 34.6(0)) + 0.1833 0 = C1 + 0.1833 C1 = -0.183 หาคา C2 โดยหาอนุพันธของ i(t) จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

260 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส di(t) = d (e1.5t (C1cos 34.6t + C2sin 34.6t) + 0.1833) dt dt = e-1.5t(-34.6C1sin 34.6t + 34.6C2cos 34.6t) -1.5e-1.5t (C1cos 34.6t +C2sin 34.6t) di(t) dt = e-1.5t{(-1.5C1 + 34.6C2 )cos 34.6t - (34.6C1 +1.5C2)sin 34.6t} ถา t = 0 , di(t) = 0 จะได dt 0 = (-1.5C1 + 34.6C2 ) จาก C1 = - 0.183 แทนคาในสมการจะได 0 = (-1.5(-0.183) + 34.6C2) 0.275 C2 = - 34.6 = -0.0079 ตอบ สมการของกระแสไฟฟาในวงจรคือ i(t) = e-1.5t(-0.183 cos 34.6t - 0.0079 sin 34.6t) + 0.183 A ตัวอยา งที่ 7.42 จากวงจรในรูปที่ 7.6 ใหหาผลการตอบสนองอิสระของกระแส i ในวงจร RLC รปู ท่ี 7.6 วงจรอนั ดับสอง RLC วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 พจิ ารณาสมการความสมั พนั ธร ะหวา งกระแสและเวลาโดยใชกฎ ของกระแสไฟฟาของเคอรชอฟท โดยพจิ ารณากระแสท่ีไหลจาก โหนดดานบน ไดว า is = Rv + i C1 ddvt (7.12) is = 4v + i + 41 ddvt และสมการของแรงดนั ตกครอม RL vR + vL = v iR + L ddti = v จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชิงเสน 261 แทนคา R = 6  , L = 1 H (7.13) 6i + ddit = v (7.14) ข้ันตอนที่ 2 แทนคา v จากสมการท่ี (7.13) ในสมการที่ (7.12) ได is = 14 (6i + ddti ) + i + 14 + ddt (6i + ddit ) is = 25 i + 47 ddit + 41 ddt22i is = 14 ddt22i + 74 ddti + 52 i แกสมการโดยใชสมการชวย วงจรท่ีประกอบดวยตวั เก็บพลังงานสองตัว ซึง่ จะทาํ ใหเ กิดสมการ อนพุ นั ธอนั ดบั สองตามสมการที่ (7.14) ท่ีอยูในรปู a2 ddt22x + a1 ddxt + a0x = f (t) (7.15) เมอื่ a2 , a1 และ a0 เปน ตวั ที่รูค า และ f (t) ก็จะถกู กําหนดมาให สว น x (t) จะถกู แยกพิจารณาเปน สองเทอมคอื x = xn + xf (7.16) เมอ่ื xn เปน การตอบสนองธรรมชาติหรอื การตอบสนองอิสระ คอื คดิ ทว่ี งจรไมมีแหลง จายกําลงั ไฟฟา xf เปน การตอบสนองทีถ่ กู บงั คับจากแหลงจา ยกาํ ลงั ไฟฟา โดย xn จะถูกพจิ ารณาที่ f (t) = 0 แต xf จะตองพจิ ารณาสมการอนุพนั ธที่มี f (t) อยดู ว ย การตอบสนองอิสระของวงจรอนั ดบั สอง xn จะสอดคลอ งกับ a2 dd2tx2n + a1 ddxtn + a0xn = 0 (7.17) เมือ่ xn และคา อนุพนั ธจะตอ งสอดคลอ งกับสมการ ซึง่ จะถูกกําหนดให อยูใ นรปู xn = Aemt เมื่อ A และ m จะตองหาคาออกมา และการกําหนดคาของ xn ในรูปของ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล เนื่องจากคาอนุพันธและคาปริพันธจะอยูใน รปู แบบเดียวกนั จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

262 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส สมการผลการตอบสนองอสิ ระเปน is = ( 14 m2 + 74 m + 52 ) i = 0 จะไดส มการชว ยเปน ( 14 m2 + 74 m + 25 ) = 0 m2 + 7m + 10 = 0 (m + 2)(m + 5) = 0 ซ่งึ จะไดร ากทง้ั สองตวั คอื m1 = -2 และ m2 = -5 ขั้นตอนท่ี 3 แทนคา m1 = -2 และ m2= -5 ในสมการคําตอบ ผลเฉลยของสมการมคี า เปน i(t) = A1em1t  A2em2t ตอบ ผลการตอบสนองอสิ ระของกระแส i(t) = A1e-2t + A2e-5t A ตวั อยา งท่ี 7.43 วงจรอนกุ รม RLC ตามรปู ที่ 7.7 เม่ือเวลา t < 0 วงจรจะอยูในสภาวะคงตัว และเม่ือ เวลา t ≥ 0 สวิตชจะอยูท่ีเปลี่ยนตําแหนง จงหาผลตอบสนองอิสระของกระแส i ในวงจร เม่ือคา R = 3  , L = 1 H และ C = 12 F และ V = 1 V รูปท่ี 7.7 วงจรอนกุ รม RLC วธิ ที าํ ขั้นตอนท่ี 1 พจิ ารณาสมการความสัมพนั ธร ะหวางกระแสกับเวลาดงั นี้ 1.1 เม่ือสวติ ชเ ปล่ียนตาํ แหนง ทีเ่ วลา t < 0 จะได C ตออนกุ รมกบั R1 R 1 t=0 + Vs Vc + C - - ดังนัน้ แรงดนั ตกครอมตวั เก็บประจมุ คี าเปน vC = vs จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน 263 1.2 เม่อื สวิตชเ ปลยี่ นตาํ แหนงท่เี วลา t ≥ 0 จะไดว งจรอนกุ รม RLC โดย แรงดัน v0ทีอ่ ัดประจไุ วบน C อยูก อนจะคายประจุ ทาํ ใหเกดิ กระแสไหลในวงจรและจะไดส มการ แรงดนั ของเคอรช อฟท คือ iR + L ddti + C1 idt = 0 หาคาอนุพนั ธทง้ั สองขา งจะได L ddt22i + R ddit + Ci =0 ขน้ั ตอนท่ี 2 จากสมการทไี่ ดเปนสมการเชิงเสนอนพุ ันธอันดับท่ี 2 ซ่ึงมีสมการ ผลตอบสนองเปน (Lm2 + Rm + C1 ) i = 0 ดังนัน้ จะไดส มการชว ยเปน Lm2 + Rm + C1 =0 หารากของสมการเปน  m1 = - 2RL + 2RL 2 - L1C  m2 = - 2RL - 2RL 2 - L1C ถา m1 ไมเทากบั m2 จะไดผลเฉลยของสมการเปน xn = A1 em1t + A2 em2t แตใ นกรณที วั่ ไปจะเขียนไดเปน m1 = - +  2 - 02 = - +  = - -  m2 = - - 2 - 02 2 - 02 เม่อื  = R , 0 = 1 และ  = 2L LC ซง่ึ 0 คือ คา ความถเ่ี รโซแนนซ จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

264 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส โดยคา ของ m1 และ m2 จะทาํ ใหเ กดิ เงอื่ นไข 3 อยา ง คือ 1. ถา 2>02 จะไดคา m1 และ m2 คาจริงท้ังสอง (Real) และไมซํ้ากนั การตอบสนองของ วงจรจะมีลักษณะเปน โอเวอรแ ดมป (Over damped) 2. ถา 2= 02 จะไดคา m1 และ m2 เปนคา จริงท้งั สองแตม ีคาเทา กนั การตอบสนองของ วงจรจะมีลกั ษณะเปนครติ คิ อลแดมป (Critically damped) 3. ถา 2<02 จะไดคา m1 และ m2 เป นตัวเลขเชิงซอน ทั้ งสอง (Complex number) การตอบสนองของวงจรจะมลี ักษณะเปน อนั เดอรแดมป (Under damped) ขัน้ ตอนที่ 3 พิจารณาคา  และคา 0 จะไดวา  = 2RL = 23 ดงั นน้ั 2 = 94 และ 02 = L1C = 2 จะไดวา 2= 2 ซึ่งทําใหไดรากสองมีคาท่ีเปนคาจริงและไมซํ้ากัน ดังน้ันผลตอบสนอง วงจรจะเปน แบบโอเวอรแดมป ขน้ั ตอนท่ี 4 สมการชว ย คือ m2 + 3m + 2 = 0 และ (m + 1)(m + 2) = 0 จะไดรากสองคา คอื m1 = -1 m2 = -2 จะไดผ ลการตอบสนองของ คอื ขน้ั ตอนที่ 5 i = A1e-t + A2e-2t หาคา คงที่ A1 และ A2 โดยพจิ ารณาทีค่ าเริม่ ตน จากรปู ที่ 7.6 จะไดว า ท่ี t = 0 , i(0) = 0 แทนคานใี้ นสมการจะได i(0) = A1e-(0) + A2e-2(0) 0 = A1 + A2 A1 = -A2 ที่เวลา t = 0 จะมีแรงดนั ตกครอ ม L คือ vL = L ddti = V จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน 265 แทนคา L = 1 H และ V = 1 โวลต จะได ddti = 1 ถาหาคา อนพุ นั ธของสมการ I = A1e-t + A2e-2t ตอเวลา t จะได ddti = -A1e-t- 2A2e-2t แทนคา t = 0 และ ddti = 1 จะไดวา di(0) dt = -A1e-(0)- 2A2e-2(0) 1 = -A1 - 2A2 = -A2 และ ddit = 1 ในสมการ แทนคา A1 = -A1e-t- 2A2e-2t จะได ddti 1 = -(-A2) - 2A2 = -A2 A2 = -1 และ A1 = 1 ดังนน้ั สมการกระแส i(t) = e-t - e-2t A i 1.5 f(x)=(e^-x)-(e^-2x) 1 0.5 tt -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.5 -1 รูปท่ี 7.8 กระแสท่ีมลี ักษณะโอเวอรแดมป ตอบ สมการตอบสนองของกระแส คอื i(t) = e-t - e-2t A และลักษณะรปู คลืน่ ของ กระแสเปน แบบโอเวอรแ ดมป จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

266 บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ตวั อยางที่ 7.44 ในวงจรอนุกรม RLC ที่ไดกลาวถงึ ในตัวอยางท่ี 7.43 วงจรไฟฟาที่ประกอบดวย R L และ C ท่ีใชเปนวงจรควบคุมความเร็วของมอเตอรไฟฟาซ่ึงสามารถปรับคาตัวตานทานได ถากําหนดใหคาของ L = 1 H ,C = 1/2 F แตเปลี่ยนคา R เปน 2 2  วงจรนี้จะมีลักษณะเปน แบบใด และจงหาผลการตอบสนองของวงจร วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 หาคา สมการอนพุ ันธจากตวั อยางท่ี 7.44 จากสมการทไี่ ดเปนสมการเชิงเสนอนุพนั ธอ นั ดบั ที่ 2 ซ่ึงมสี มการผลตอบสนองเปน (Lm2 + Rm + C1 ) i = 0 แทนคา ((1)m2 + 2 2 m + 2) i = 0 สมการชวยเปน m2 + 2 2 m + 2 = 0 และ (m1 + 2 )(m2 + 2 ) =0 จะไดรากทง้ั สองมีคาเทากันคอื ขั้นตอนที่ 2 m1 = m2 = - 2 ซง่ึ จะทําใหเกิดผลตอบสนองแบบครติ คิ อลแดมป หาผลเฉลยของสมการ L ddt22i + R ddit + CI = 0 ถา หารดวย L ตลอด แลว แทนคา  = 0 = R/2L จะได ddt22i + 2 ddit +2i =0 หรือ ddt ( ddti + i) +  ( ddti + i) = 0 หรือ ddt f + f = 0 เมือ่ f = ddit + i จาก ddt f + f = 0 ซงึ่ อยใู นรปู ของสมการอนพุ นั ธอันดับหนง่ึ และ สามารถแกสมการตามแบบของเอกซโ พเนนเชียลไดเ ปน f = Ae- t ดังนน้ั จะไดส มการเปน ddit + i = A1e-t หรือ e t ddti +e ti = A1 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน 267 หรือ ddt (eti) = A1 แกส มการแบบแยกตัวแปร d (e t i) = A1dt หาปริพนั ธท ั้งสองขา งได e ti = A1t + C i = (A1 + Ct)e-t เมอ่ื  = 2RL = 0 ดังนั้นจากสมการจะได m1 = - ดงั น้ันสมการ i = (A1 + Ct)e-t เมอ่ื C = A1 = A2 = คาคงที่ i = (A1 + A2t) em1t ขั้นตอนท่ี 3 แทนคา ในผลเฉลยของสมการ m1 = - 2 จะไดเปน i = (A1 + A2t) e(- 2 )t พจิ ารณาคา เริ่มตน ท่ี t = 0 และ i = 0 แทนคาจะได i = (A1 + A2t) e(- 2 )t i(0) = (A1 + A2(0)) e- 2 (0) 0 = A1 ดงั น้ัน i = A2t e(- 2 )t หาคาอนุพนั ธข องสมการ ตอเวลา t จะได ddit = A2(- 2 t e(- 2 )t + e(- 2 )t ) แทนคา ddit = 1 ท่ี t = 0 ในสมการจะได A2 = 1 แทนคาลงในสมการ i = A2t e(- 2 )t ดงั นั้น i = t e(- 2 )t A ตอบ สมการผลตอบสนองของกระแสมคี าเปน i = t e(- 2 )t A จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

268 บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส i t รปู ที่ 7.9 กระแสเปน ลกั ษณะคริตคิ อลแดมป ตวั อยา งท่ี 7.45 ตามตัวอยา งท่ี 7.43 ถา เปลีย่ นคาความตา นทานจาก 3  เปน 2  กําหนดใหค า 1 ของ L = 1 H C = 2 F ใหห ากระแส i ทเี่ วลา t > 0 วิธีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณาหาสมการความสมั พันธ จากตวั อยางท่ี 7.33 จะไดสมการชว ยเปน m2 + 2m + 2 = 0 คา m1และ m2 มคี าเปน m1 = -1 + j และ m2 = -1 - j จากรากทง้ั สองเปนตัวเลขเชงิ ซอน จะทาํ ใหเกดิ ผลตอบสนองแบบ อนั เดอรแดมป ดงั นัน้ ผลเฉลยของสมการจงึ เปน i(t) = A1e-m1t + A2e-m2t = A1e-(1 – j)t + A2e-(1 + j)t ข้ันตอนท่ี 2 หาคา A1 และ A2 จากคาเริ่มตนจะได i(0) = 0 ท่ี t = 0 โดยแทนคา ในสมการ i(0) = A1e-(1- j)(0) + A2e-(1 + j)(0) A1 = -A2 หาคาอนุพันธข องสมการ i(t) = A1e-(1- j)t + A2e-(1 + j)t ตอ เวลา t จะได ddit = ddt (A1e-(1- j)t + A2e-(1 + j)t ) แทนคา ddit = 1 ที่ t = 0 ในสมการ ddti = -A1e-(1 - j)t (1 - j) - A2e-(1 + j)t (1 + j) 1 = -A1e-(1 - j)(0)(1 - j) - A2e-(1 + j)(0) (1 + j) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน 269 A2 = j 2 j A1 = - 2 แทนคาในสมการ i(t) = A1e-(1 - j)t + A2e-(1 + j)t จะไดส มการของกระแส j i(t) = - 2 e-(1 - j)t + 2i e-(1 + j)t = - j e-t(ejt - e-jt) 2 j = - 2 e-t(j2 sin t) ตอบ สมการผลตอบสนองของกระแสมีคา เปน i(t) = - j e-t(j2 sin t) 2 เปน ลักษณะรูปคลนื่ เปนแบบอันเดอรแ ดมป รูปท่ี 7.10 แสดงรปู ของกระแสในลักษณะอันเดอรแ ดมป ตัวอยา งท่ี 7.45 กลองสเี่ หล่ียมกลอ งหน่งึ ถกู ทําใหเคลื่อนทีเ่ ปนเสน ตรงในแนวราบ ดว ยความเร็ว ตน 30 m/s และความเรง 4 m/s2 เม่ือ t = 0 วัตถุอยูหา งจากจดุ เรม่ิ ตน 40 m จงหาตําแหนงของวัตถุนี้ ทีเ่ วลา t ใดๆ วิธีทาํ ขน้ั ตอนท่ี 1 หาสมการความสมั พันธระหวางระยะทางกับเวลา จากกฎของนวิ ตันจะได F = ma จากโจทยแรงที่กระทําใหกลอ งเคลื่อนท่มี ีความเรง 4 m/s2 : a = 4 m/s2 F = m(4) F = m d2x = 4m dt2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

270 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส จะได d2x = 4 dt2 จดั รปู สมการจะได d dx dt ( dt ) = 4 d( dx ) = 4dt dt ทาํ การหาปริพนั ธจ ะได dx  d( dt ) =  4dt dx = 2t + C1 (เมือ่ C1 = คาคงท)ี่ dt จดั รปู สมการใหม dx = 2tdt + C1dt ทําการหาปรพิ ันธท ้งั สองขางจะได ขน้ั ตอนที่ 2  dx =  2tdt +  C1dt ขั้นตอนที่ 3 x = 2t2 + C1t + C2 (เมือ่ C2 = คาคงที่) หาคาคงที่ C2 จากเง่อื นไขเร่มิ ตน จะได t = 0 , x(0) = 40 m แทนคา ในสมการจะได x(0) = 2(0)2 + C1(0) + C2 40 = 2(0) + C1(0) + C2 40 = C2 จะไดสมการ x = 2t2 + C1t + 40 หาคา คงที่ C1 โดยทาํ การหาอนพุ ันธ dx dt หาคา C1 จาก คาความเร็วเริ่มตน มคี า 30 m/s หรอื v(0) = = 30 m/s ทาํ การหาอนพุ ันธจะได dx d dt = dt (2t 2 + C1t + 40) dx = (4t + C1 ) dt dx แทนคา v(0) = dt = 30 m/s จะได 40 = (4(0) + C1) C1 = 40 จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน 271 ดังน้นั สมการระยะทางที่เวลา t ใดๆ มีคาเปน x(t) = 2t2 + 40t + 40 ตอบ ระยะทางท่ีเวลา t ใดๆ x(t) = 2t2 + 40t + 40 7.5.5 การประยุกตส มการเชงิ เสน อนพุ ันธอ ันดบั สองกับการเคลอ่ื นทขี่ องสปรงิ การสัน่ ไหวของสปรงิ (Vibrating spring) (ก) แนวดิง่ (ข) แนวราบ รูปที่ 7.11 การเคล่อื นทขี่ องสปริง จากรูปท่ี 7.11 เมื่อทําการพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุมวล m ท่ีปลายสปริงโดยเคล่ือนที่ ในแนวด่ิงตามรูปที่ 7.11 (ก) หรือเคลื่อนที่ในแนวราบบนพ้ืนผิวในรูปที่ 7.11 (ข) จากกฎของฮุค ซ่ึงกลาวถึงแรงอัดของสปริงหรือความแข็งแรงของสปริง กําหนดให x = ระยะทาง โดยเมื่อ ออกแรงดึงจากภายนอกกระทําตอวัตถุใหยืดออกแรงซ่ึงกระทําเปนสัดสวนโดยตรงกับระยะทาง ดังน้ี แรงทก่ี ระทํา = - kx ซ่ึง k = คาคงท่ีของสปรงิ ถาไมพิจารณาแรงทก่ี ระทําจากภายนอก เชน คาแรงตานอากาศ หรือ แรงเสยี ดทานโดยใชกฎขอท่ี 2 ของนวิ ตนั (แรงเทา กบั น้าํ หนกั คูณความเรง ) จะไดสมการ d2x F = ma เมื่อ a = dt2 - kx = m = d2x dt2 d2x หรอื m dt 2 + kx = 0 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

272 บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส น่ันคอื สมการเชงิ เสนอนุพนั ธอนั ดับสอง ซ่งึ มสี มการชวย คอื mr2+k = 0 -k r2 = m r= -k = j k m m k ซงึ่ มรี ากสมการเปน r = ± j เมอื่ ω  m ดงั นนั้ มีผลเฉลยของสมการเปน x(t) = C1cos t + C2sin t หรอื x(t) = A cos (t + ) ซึ่ง ω  k (ความถ่ี) และ A= C12 +C22 (แอมปลจิ ดู ) cos  = CA1 m คือ มุมเฟส) และ sin  =-CA2 ( ตัวอยางท่ี 7.46 สปริงยาว 0.5 m มีมวลขนาด 2 kg ติดอยูท่ีปลายสปริง มีแรงขนาด 25.6 N ทําให สปริงยืดออก 0.7 m ถาสปริงยืดออกท่ี 0.7 m แลวปลอยดวยความเร็วเริ่มตนเปน 0 m/s จงหา ตําแหนงของมวลท่ปี ลายสปรงิ ท่เี วลา t 0.5 m 2 kg m 2 kg m 0.2 m 0.7 m รปู ท่ี 7.12 การเคล่อื นทข่ี องสปรงิ แนวราบ วิธที ํา ขั้นตอนที่ 1 หาสมการความสมั พันธ จากกฎของฮคุ แรงทกี่ ระทาํ ตอ สปรงิ เปน ไปตาม สมการ จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชิงเสน 273 F = kx แรงท่ีกระทาํ มคี า 25.6 N ระยะยืดของสปริง 0.7 - 0.2 = 0.2 m v0 = 0 หาคา k จาก F k = x จะได k = 25.6 N = 128 N/m 0.2 m d2x สมการเคลื่อนท่เี ปน m dt 2 + kx = 0 แทนคา m = 2 kg, k = 128 N/m จะได 2 d2x + 128x =0 dt 2 ขัน้ ตอนท่ี 2 จากสมการเปน สมการอนุพนั ธเชิงเสน อนั ดบั 2 2 dd2tx + 128x = 0 จากโจทยเปน การเคลื่อนท่แี บบซิมเปล ฮารโ มนคิ สมการชวยมคี าเปน mr2 + k = 0 r =  j และ  = k m k 128 แทนคา  = m = 2 = 64 = 8 ดงั นนั้ สมการทว่ั ไปมคี า เปน x(t) = C1cos t + C2 sin t จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

274 บทท่ี 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส จะได x(t) = C1cos 8t + C2sin 8t ข้นั ตอนที่ 3 หาคา C1 จากสภาวะเรม่ิ ตน เมือ่ x(0) = 0.2 แทนคา ในสมการ x(0) = C1cos 8(0) + C2sin 8(0) 0.2 = C1(1) + C2(0) C1 = 0.2 หาคา C2 โดยหาอนพุ นั ธของสมการ x(t) = C1cos 8t + C2sin 8t d = -8C1sin 8t + 8C2cos 8t dt x(t) ท่ีสภาวะเริ่มตน คา ความเร็วทีส่ ภาวะเริม่ ตน มคี าเปน 0 d ddt x(0) = 0 แทนคา + 8C2cos (0) dt x(0) = -8C1sin (0) 0 = 0 + 8C2(1) C2 = 0 ดังนนั้ สมการ x(t) = C1cos 8t + C2sin 8t จะมีคา เปน ; C1 = 0.2 , C2 = 0 x(t) = C1cos 8t + C2sin 8t x(t) = 0.2 cos 8t ตอบ สมการทีร่ ะยะการเคล่อื นทม่ี ีคาเปน x(t) = 0.2 cos 8t ในการเคล่ือนที่ของสปริงที่จะพิจารณาในสวนของแรงตานการเคลื่อนที่ในการเคลอ่ื นที่ ในแนวดิ่ง หรือ แรงหนวง (ในกรณีทส่ี ปรงิ เคลือ่ นท่ีในของไหลตามรปู ท่ี 7.13) รูปที่ 7.13 การเคล่อื นทขี่ องสปรงิ เมือ่ มแี รงหนวง จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพนั ธแบบเชิงเสน 275 ตวั อยางของแรงหนวงคอื ระบบโชค ในรถยนตแ ละรถจกั รยานยนต ซ่งึ แรงหนว งจะเปน อัตราสวนโดยตรงกบั ความเรว็ ของมวลและตรงขามกับทิศทางการเคลือ่ นท่ี ดงั นน้ั แรงหนว ง = - C ddxt เมอ่ื C = คาคงท่ที ี่มคี าเปนบวก คาคงทกี่ ารหนว ง ดังนัน้ จากกฎขอที่ 2 ของนิวตนั จะได m d2x = restoring face + damping face dt 2 d2x m dt 2 = -C ddxt + kx = 0 หรือ m d2x + C ddxt + kx = 0 dt 2 จากสมการเปน สมการอนพุ นั ธเ ชิงเสน อนั ดับที่ 2 ซ่งึ มสี มการชว ยเปน mr2 + Cr + k = 0 r1 = -C + C 2 -4 mk , r2 = -C- C 2 -4 mk 2m 2m โดยสามารถพิจารณาเง่อื นไขได 3 เงอ่ื นไข คือ กรณีที่ 1 C2 - 4mk > 0 (โอเวอรแดมป) ในกรณนี ้ี r1 และ r2 เปน รากทีแ่ ทจ รงิ ดังนน้ั x(t) = C1 er1t + C2 er2t (C1 และ C2 เปนคาคงท)่ี ซึ่ง C , m และ k เปน จาํ นวนบวก เม่ือ C2 > 4 mk หมายถงึ การสัน่ อยางแรง (High – viscosity oil or grease) กรณที ี่ 2 C2 - 4mk = 0 (ครติ คิ อลแดมป) ในกรณนี ้ีคา r1 = r2 = 2-Cm สมการคําตอบเปน -(C/2m)t กรณีท่ี 3 x = (C1 + C2t)ert C2 - 4mk = 0 (อนั เดอรแ ดมป) r1  = 2-Cm  j r2   เมอื่ = 4 mk -C 2 2m สมการคําตอบคือ จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

276 บทท่ี 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส x(t) = e- (C/2m)t(C1cos t + C2 sin t) เม่ือตัวแปร e-(C/2m)t คือ การออสซเิ ลชัน่ ดังนัน้ ถา C > 0 และ m > 0 จะได -(C/2m) < 0 ดังน้นั e-(C/2m)t 0 เม่ือ t  ทาํ ให x  0 เม่ือ t  จงึ ทําใหการเคล่ือนที่ลดลงเขาใกลศูนยเ มื่อเวลาเพม่ิ ขนึ้ ตัวอยางท่ี 7.46 นํ้าหนักซึ่งติดกับสปริงเคล่ือนท่ีขึ้นและลง มีสมการการเคล่ือนท่ี d2s + 25s =0 dt 2 เมื่อ s แทนความยาวของสปริงท่ียืดออกมาในเวลา t วินาทีถา s = 4 และ ddst =1 เมื่อ t = 0 จงหา s ในเทอมของ t วิธที าํ ข้ันตอนที่ 1 พิจารณาสมการความสัมพันธของสปริงในแบบสมการเชิงเสนอนุพันธ d2s อนั ดบั สองจะได dt 2 + 25s = 0 สมการชว ยมีคา เปน m2 + 25 = 0 m = ± j5 ขัน้ ตอนท่ี 2 ให m1 = a + jb และ m2 = a - jb นั่นคอื ให m1 = 0 + j5 และ m2 = 0 - j5 โดยที่ a = 0 และ b = 5 หาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการจะอยูในรูป s(t) = eat (C1cos bt + C2sin bt) แทนคา a = 0 และ b = 5 จะได ขน้ั ตอนท่ี 3 s(0) = e(0)t (C1cos 5t +C2sin 5t) s = (C1 cos 5t + C2 sin 5t) ทาํ การหาอนุพันธจะได ddst = ddt (C1 cos 5t + C2 sin 5t) ddst = (-5C1 cos 5t + C2 sin 5t) หาคาคงท่ี C1 และ C2 ทส่ี ภาวะเรมิ่ ตน ถา t = 0 จะได s = 4 นน่ั คอื 4 = (C1 cos 5(0) + C2 sin 5(0)) C1 = 4 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนุพันธแบบเชงิ เสน 277 ถา t = 0 จะได ddst = 1 นัน่ คือ ddst = (-5C1sin 5t + 5C2 cos 5t) 1 = (-5C1sin 5(0) + 5C2 cos 5(0)) C2 = 15 สมการ คอื s(t) = (4 cos 5t + 15 sin 5t) ตอบ สมการ s ในเทอมของ t มีคาเปน s(t) = (4 cos 5t + 15 sin 5t) ตวั อยา ง 7.47 ถาสปริงแชอ ยใู นของเหลวทมี่ ีคาความหนว ง C = 40 ใหห าตําแหนง ของมวลท่ีเวลา t ใดๆ ถาจุดสมดุลเปนจดุ เริม่ ตน และทาํ ใหเกิดแรงผลักดว ยความเร็วเริ่มตน 0.6 m/s วิธที ํา ขัน้ ตอนท่ี 1 จากตวั อยางท่ี 7.46 วตั ถุมวล m = 2 คาคงท่ีสปรงิ k = 128 ดังน้ันสมการมีคา เปน m d2x + C ddxt + kx =0 dt 2 d2x 2 dt 2 + 40 ddxt + 128x = 0 หรือ d2x + 20 ddxt + 64x =0 dt2 ข้ันตอนที่ 2 สมการชวยมคี าเปน r2 + 20r + 64 = (r + 4)(r + 16) = 0 ซึ่งมีรากเปน r1 = -4 , r2 = -16 ดงั นัน้ เปนการเคลอ่ื นทแ่ี บบโอเวอรแดมปเ น่อื งจากรากของสมการเปน จรงิ ทัง้ คู ผลเฉลยของสมการเปน x(t) = C1e-4t + C2e-16t หาคา C1 และ C2 จากเงอื่ นไขเรมิ่ ตน x(0) = 0 จะได x(0) = C1e-4(0) + C2e-16(0) 0 = C1 + C2 -C1 = C2 ทาํ การหาคาอนุพนั ธสมการ x(t) จะได จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

278 บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส dx(t) = -4C1e-4t + (-16C2e-16t) dt dx(t) dt = -4C1e-4t - 16C2e-6t แทนคา จาก dx(0) = 0.6 m/s จะได dt 0.6 = -4C1e-4(0) - 16C2e-6(0) 0.6 = -4C1 - 16C2 จาก C1 = -C2 จะได = -4C1 - 16(-C1) = 12C1 C1 = 01.26 = 0.05 x(t) = 0.05e-4t - 0.05e-16t x(t) = 0.05(e-4t - e-16t) ตอบ สมการการเคลอ่ื นทข่ี องสปรงิ มีคาเปน x(t) = 0.05(e-4t - e-16t) ตัวอยางท่ี 7.48 วงจรออปแอมปในรูปท่ี 7.14 จงหาคา vo(t) สําหรับ t > 0 เมื่อ vs = 10 u(t) mV ให R1 = R2 = 10 k ,C1 = 20 F และ C2 = 100 F C+2 v2 - R1 v1 R2 2 + 1 +- vo C1 vo vs + - - รูปที่ 7.14 วงจรออปแอมป วธิ ีทํา ขั้นตอนท่ี 1 เขยี นสมการอนพุ นั ธจากวงจรออปแอมป สําหรบั โจทยทีม่ ตี ัวเก็บประจุ จะแทนสญั ลักษณด ว ย C1 และ C2 สว นคา คงทใี่ นผลเฉลยของสมการจะ เขียนแทนดว ยสัญลักษณ A และ B จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน 279 เมอ่ื แรงดันตกครอ ม C1 คือ vo ใชก ฎแรงดนั ของเคอรช อฟทท โ่ี หนด 1 v1 -vo จะได vs -v1 = C2 dv2 + R1 dt R2 แต v2 = v1 - vo แทนคา v2 = v1 - vo ในสมการจะได vsR-1v1 =C2 d(v1d-t vo ) + v1R-2vo ทโี่ หนด 2 dvo vvv1ssRRR---112vvv11o dt = C1 ดงั น้นั = C2 =C2 d(v1d-t vo ) +C1 ddvto dv1 dvo dvo dt -C2 dt +C1 dt จากสมการ dvo v1R-2vo dt v1-vO = C1 v1 = R2C1 ddvto ddvto = vO +R2C1 แvทs -น(คvoา+vvR1Rs1ใR2-นC1vส11 dม=dvกCtoา2)ร=ddvจCt1ะ2-ไCdดdt2 dvo +C1 dvo dt dt  vo + R2C1 dvo -C2 dvo +C1 dvo dt dt dt  vs-vo - R2C1 ddvto =C2 ddvto + R2C1C2 dd2vto -C2 ddvto +C1 ddvto R1 R1 R1 2vo  vs vo R2C1 dvo dvo d dt dvo dvo = R1 + R1 dt +C2 dt + R2C1C2 - C2 dt +C1 dt R1 d 2vo R2C1 dvo dvo vs vo  R2C1C2 dt + R1 dt - C1 dt = R1 - R1  d2vo + 1 dvo - 1 dvo = vs - vo dt C2 R1 dt C2 R2 dt R1R2C1C2 R1R2C1C2 d d2vt o + 1 - 1  ddvto + vo = vs R1C2 R2C2  R1R2C1C2 R1R2C1C2   จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

280 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ขน้ั ตอนที่ 2 ให R1 = R2= 10 k ,C1 = 20 F และ C2 = 100 F ขั้นตอนที่ 3 dd2tv2o +2 ddvto +5vo =5vs จากสมการอนพุ ันธห าสมการชวยมสี มการเปน ข้ันตอนที่ 4 m2+2m+5 = 0 หารากสมการ m1,2 = -1  j2 ผลเฉลยของสมการเปน vot= e-t(A cos 2t + B sin 2t) ซงึ่ A และ B เปน คาคงท่ี เม่ือ t   วงจรอยูในเง่ือนไขสภาวะคงตัว และตัวเก็บประจุเปดวงจร ดงั นั้น ไมมีกระแสไหลผาน C1 และ C2 ภายใตเงอ่ื นไขสภาวะคงตัวและ ไมมกี ระแสไหลทขี่ ว้ั อนิ พตุ เมื่อออปแอมปอยูในอดุ มคติ ไมมีกระแสไหล ผาน R1 และ R2 ดังนนั้ vo() = v1() = vs ในสภาวะคงตวั voss = vo() = vs = 10 mV , t > 0 สมการผลตอบสนองมีคา เปน vo(t) = vot + voss = 10 + e-t(A cos 2t + B sin 2t) พจิ ารณาหาคา A และ B ท่ีสภาวะเร่ิมตน เมอื่ t < 0 , vs = 0 ดังน้นั vo(0- ) = v2 (0- ) = 0 เม่ือ t > 0 ,แหลง จา ยเรม่ิ ทํางานมแี รงดนั เร่ิมชารจที่ตวั เกบ็ ประจุ ดังนัน้ vo(0+ ) = v2 (0+ ) = 0 v1 (0+ ) = v2 (0+ ) + vo(0+ ) = 0 แทนคา t = 0 ในสมการ vo(t) จะได vo(t) = 10 + e-t (A cos 2t + B sin 2t) vo(0) = 10 + e-0 (A cos 2(0) + B sin 2(0) 0 = 10 + A A = -10 หาคา B โดยหาอนพุ นั ธข องสมการ vo(t) = 10+e-t (A cos 2t + B sin 2t) dvdot(t) d = dt (10 + e-t ( A cos 2t + B sin 2t )) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน 281 dvdot(t) = e-t (A cos 2t - B sin 2t - 2A sin 2t+ 2B cos 2t) แทนคา dvdot(0) = 0 และ t = 0 ในสมการ dvo (t ) dt = e-t (-A cos 2t - B sin 2t -2A sin 2t+ 2B cos 2t) 0 = e-0(-A cos 2(0) - B sin 2(0)-2A sin 2(0)+ 2B cos 2(0)) 0 = -A + 2B เมอ่ื A = -10 จะได 10 = 2B B =5 ดงั น้นั vo(t) = 10 + e-t (-10 cos 2t + 5 sin 2t) mV, t > 0 ตอบ ผลเฉลยของสมการ vo(t) = 10 + e-t (-10 cos 2t + 5 sin 2t) mV, t > 0 ตวั อยางท่ี 7.49 สําหรับวงจรในรูปที่ 7.15 จงหาคา vo(t) สําหรับ t > 0 ให vin = u(t) , R1 = R2 = 10 k , C1 = C2 = 100 F C1 R2 vin R1 C2 - vo + รูปที่ 7.15 วงจรตวั อยา งท่ี 7.49 วธิ ีทาํ ขั้นตอนท่ี 1 สําหรบั โจทยท ี่มีตัวเก็บประจจุ ะแทนสัญลกั ษณด ว ย C1 และ C2 สวน คาคงท่ใี นผลเฉลยของสมการจะเขียนแทนดว ยสัญลกั ษณ A และ B พจิ ารณาที่โหนดท่ี 1 C1 R2 vin R1 C2 vo v1 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

282 บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชงิ เสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนที่ 2 vinR-1v1 =C1 d(v1d-t vo ) +C2 d(vd1t-0) ขัน้ ตอนท่ี 3 พิจารณาทโ่ี หนด 2 ขน้ั ตอนที่ 4 จแะทไนดค vvvvvา ii1iinnnndC--d--ddvvv2tvvv1t11111d==(Cv=====Cd1--2tv2v-vR-RR-oi0RoRn211R)2+CC1R1C=ใC211Rน1C0dd11ddvสRCv2-(dto1vvv2มt1o1do--กd-tRd-Rvvา1หtoRoรC1RC1ร)ท1+C2ือ1+โี่Cd2dRdหvdv2R1vtootCนo1CR-2ด-+2R2+RCR11dRR1CR22C(21C12vCCdC21v2t2v21o-od0dvv)to1 ทาํ การหาอนุพันธจ ะได ข้ันตอนท่ี 5 ddvt1 = ddvtin + R1C1 dd2tv2o +  R1CR22+CR21C1  dvo จาก ddvt1 = -vo   dt R2C2 แทนคาในสมการจะได - vo = ddvtin + R1C1 dd2tv2o +  R1CR22+CR21C1  ddvto R2C2   จดั สมการในรูปแบบสมการอนุพันธอนั ดับที่สองจะได - ddvtin = R1C1 dd2tv2o +  R1CR22+CR21C1  ddvto + vo   R2C2 นํา R1C1 หารทั้งสองขา งของสมการ  - 1  ddvtin = d 2vo +  RR1C1R22+C1RC1C21  dvo + R1R2vCo 1C2  R1C1  dt 2   dt โจทยก ําหนดให R1 = R2 = 10 k และ C1 = C2 = 100 F แทนคาในสมการ จาก R1R2C1C2 = 10  103  10  103  100  10-6  100  10-6 = 1 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชิงเสน 283 และ R1C1 = 10  103  100  10-6 = 1 และ R1C2 = 10  103  100  10-6 = 1 = dd2tv2o +  (-1) ddvtin 1+1 ddvto + v1o dd2tv2o 1 dvin dvo - dt = + 2 dt + vo d 2vo + 2 dvo + vo = - ddvtin dt 2 dt ขนั้ ตอนท่ี 6 แกส มการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน โดยใชสมการชว ยซ่งึ มีสมการเปน ขั้นตอนท่ี 7 m2 + 2m + 1 = 0 ขน้ั ตอนท่ี 8 (m + 1)2= 0 m1 = -1 และ m2 = -1 รากของสมการชวยเปนจาํ นวนจรงิ 2 คา ดังนนั้ ผลเฉลยสมการมีคาเปน vo(t) = [(A + Bt)e-t] + Vf หาคาคงที่ A และ B เมอ่ื Vf = vo() = 0 จากโจทย vin = 10 u(t) และคา แรงดนั เร่ิมตน ทต่ี วั เก็บประจมุ คี า เปน 0 แทนคา vo(0) = 0 และ Vf = 0 ในสมการ vo(0) = [(A + B(0))e-0] + 0 A = 0 แทนคา ในสมการ vo(t) = [(A + Bt)e-t] + Vf vo(t) = Bte-t หาคา B โดยหาอนุพนั ธ สมการ vo(t) = Bte-t dvo (t ) d dt = dt Bte-t dvo (t ) = (B - Bt)e-t dt dvdot(t) -vo จาก = R2C2 จากสมกาdรvodv(ti0nR+-1)v1==-CvR1o2d(C0(+v21d)-t = 0 + C2 d (vd1t-0) ทเ่ี วลา t = 0+และ vin = 1 vo ) จะได 1-0 = - C1 d (vo (0+ )) R1 dt จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

284 บทที่ 7 สมการอนุพันธแ บบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส 1 = - C1 d(vod(t0+ )) R1 d (vod(t0+ )) 1 = - R1C1 แทนคา R1C1 จะได d (vo (0+ dt )) = -1 หาคา B โดยแทนคาทีเ่ วลา t = 0+ ในสมการ dvo (0+ ) = (B - B(0)) e-(0) dt -1 = B เมอ่ื A = 0 และ B = -1 และ Vf = 0 แทนคา ในผลเฉลยท่วั ไป vo(t) = [(A + Bt)e-t] + Vf ผลเฉลยเฉพาะมคี า vo(t) = [(0 + (-1)t) e-t] + 0 vo(t) = -1t e-t = -t e-t ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไป vo(t) = [(A + Bt)e-t] + Vf ผลเฉลยเฉพาะ vo(t) = -t e-t ตวั อยางท่ี 7.50 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของกระแสในวงจรเรียงกระแสแบบเตม็ คลื่น เม่อื มีโหลดเปน RL IL D1 D3 R vs VL L D4 D2 (ก) วงจร (ข) รปู คลื่น รูปที่ 7.16 วงจรตวั อยางที่ 7.50 วิธีทาํ ขัน้ ตอนที่ 1 แรงดันอนิ พตุ มคี าเปน vs = vm sin t และแรงดนั ทโ่ี หลดมีสมการอนพุ นั ธเ ปน L dditL + RiL + E = vm sint จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน 285 ขั้นตอนท่ี 2 เปนสมการแบบไมแ มน ตรง dy a(t ) dt +b(t )y = c(t) หาตวั ประกอบปรพิ นั ธ โดยจัดสมการ LddddddiyitdttLLd+itL++P+RRLL(tRii)LLiyL+==+EvLQmE=s(i=tn)vvmmsitsni-nELt t ในกรณนี ี้ n = 1 จะไดส มการแบรนูลลี ในรปู y + P(x)y = Q(x) R E คา P(t) = L และ Q(t) = vmsin t - L ตัวประกอบปรพิ นั ธ (t) = e P(t)dt = e  ( R )dt = eR t L L ขน้ั ตอนที่ 4 แทนคา ลงในสมการผลเฉลยท่ัวไป y = e-P(t)dt[eP(t)dtQ(t)dt + C] (เม่ือ C = คา คงท่)ี iL(t) e= -LRt  e RL t ( vm sin t - E )dt +C  L L  iL(t) e= - R t (  e RL t vm sin t - e RL t E dt) +C  L L L  จาก  e RL t vLm sin tdt = e RLt R2 vm 2 L2 (R sin t -L cos t) + e RL t vLm sin tdt = eRLt vm R2 + 2 L2 sin (t - ) iL(t) = e- RLt  e R t vm sin (t - ) - E eRt    L +2L2 RLL L  +C  R2    iL(t) = e- RLt  vm sin (t -)- ER + Ce- R t   +2L2 L    R2 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปกระแส iL(t) = e- LRt  vm sin (t -)- ER + Ce- R t   +2L2 L    R2 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

286 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแ บบเชงิ เสน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยางท่ี 7.51 จงหาผลเฉลยทั่วไปของกระแส i(t) ที่ไหลผานโหลด RL เมื่อแหลงจายไฟ กระแสสลับ vs(t) = vmax sin t เม่ือ vmax = 2(120) V และความถี่ 60 Hz และกระแสที่สภาวะ เร่ิมตน มคี า เปน 0 (i(t = 0) = 0 A) D1 R = 10  vs (t) L = 25 mH รูปที่ 7.17 วงจรตวั อยางท่ี 7.51 วิธที าํ ขัน้ ตอนที่ 1 เขียนสมการความสมั พันธใ นรูปอนุพนั ธอ ันดับท่ี 1 ในกรณนี ี้ n = 1 จะได ข้นั ตอนที่ 2 สมการแบรนูลลี ในรูปแบบ y + P(x)y = Q(x) ขัน้ ตอนที่ 3 di(t) Ri(t )+ L dt = vmaxsin t i(t) + L di(t) = vmax sin t R dt R กําหนดให  = L/R ซึ่งเปนคาคงที่ สมการเอกพันธสามัญอนุพันธอนั ดับ 1 มสี มการเปน L di(t) i(t) + R dt = 0 ผลเฉลยของสมการแบบเอกพนั ธ (หรอื ผลตอบสนองตามธรรมชาติ) เปน idho(mihod(mtt)(=t)C) 1e=--Ct 1e-t แทนคาลงในสมการ )-+RLRLC1diheodm-t(t t=) ihom (t = 0 C1e-t 0 เมือ่ e-t  0 , C1  0 และ  = 1/ ihom (t) = C1e-t ผลเฉลยเฉพาะของสมการเอกพนั ธเ ปน iparticular(t) = A1cos t + B1sin t (เมอ่ื A และ B เปน คา คงท่ี) จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน 287 d (iparticular (t )) = - A1sin t + B1cos t dt di(t ) vmax จากสมการ i(t ) + dt = R sin t แทนคา iparticular (t) และ d(iparticular (t)) ในสมการจะได B1sin dt t + B1cos t) A1cos t + = vmax sin t t + (-A1sin R ทําใหค า สัมประสิทธข์ิ อง cos t = 1 ท่เี วลา t = 0 มีคาเปน จะได A1 + B1 = 0 A1 = - B1 ทาํ ใหค า สมั ประสทิ ธ์ิของ sin t = 1 ท่เี วลา t = 0 มคี าเปน จะได vmax =0 B1 - A1 - R แทนคา A1 ในสมการจะได vmax -1+1R2+vmR22axแ2ละ B1 = A1 = ผลเฉลยเฉพาะมีสมการเปน iparticular (t) = -A1co1s+vmR2tax+ B21sin ctos t + 1 vmax 2 sin t iparticular (t) = R + 2 ผลเฉลยทัว่ ไปมีสมการเปน i(t) = ihom(t) +-ipa1rtic+uvlamrR(2atx) 2  t + vmRax 2 sin t i(t) = C1 e-t cos 1+ 2  ขั้นตอนท่ี 4 หาคา คงทi(่ี0C)1=โดCย1eห-า0ค-า ท่สี1ภ+vาmวR2aะxเร2่มิ ตน cto=s0แ(ล0ะ)+i1int+(vt)mR2=ax02 sin (0) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

288 บทท่ี 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 0C1==C1-1+v1mR2+avxmR22ax2    ผลเฉลยท่วั ไปมีคาเปน vmRax vmRax vmRax i(t) =   2 e-t -  1+ 22  t + 1+ 22 sin t  1+ 2   cos      ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปมคี า เปน vmax vmax vmax i(t) =   2 e-t -  R  t + R sin t  R  1+ 22 1+ 22 1+ 2  cos      7.6 สรุป สม การเชิงอนุ พั น ธเชิงเสน อัน ดับ หนึ่ งคือ สมการเชิ งอนุ พั น ธที่ สาม ารถเขียน ได dy ใ น รู ป a1 (x) dx + a0 (x)y = b(x) การหาผลเฉลยสม ก า ร เชิ งอนุ พั น ธ เชิ ง เส น อั น ดั บหนึ่ ง มี 2 รูปแบบท่ัวไปและการใชสูตร โดยจะตองทําการหาคาตัวประกอบปริพันธ  (x) = e P(x)dx คูณเขาไปในสมการจะทําใหสมการอยูในรูปที่สามารถหาผลเฉลยไดโดยงาย สมการเชงิ อนุพันธ dy อันดับหน่ึงที่เปนสมการแบรนูลลีจะมีรูปสมการเปน dx + P( x ) y = Q ( x ) y n สามารถหาผลเฉลย ของสมการไดโดยคูณสมการแบรนูลลีดวย y-n และทําการแกสมการ สําหรับสมการเชิงอนุพันธ เชิงเสนอันดับสองเอกพันธในการแกสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสองถาสมการไมอยูในรูป ที่ยุงยากนัก การแกสมการก็สามารถทําไดโดยใชสมการชวยซึ่งมีรูปแบบตางกันขึ้นอยูกับ รากของสมการชวย จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนุพนั ธแ บบเชงิ เสน 289 แบบฝกหดั ทา ยบทท่ี 7 จงหาผลเฉลยสมการเชงิ เสนอนพุ นั ธอันดบั ทหี่ น่ึงตอ ไปนี้ x3 2 1. x dy = y + x3 + 3x 2 -2x ตอบ y= + 3x2 - 2x ln x + Cx dx dy ตอบ y = 2 + C e-x2 2. dx + 2xy = 4x 3. (1+ x2 ) dy + 2 xy = 4 x2 ตอบ y = 4x3 + C dx 3 dy x4 4. x dx +3y =x ตอบ yx3 = 4 + C 5. (x+2y3) dy - y = 0 ตอบ x = y3 + Cy dx dy x2 1 C 6. ( x2 ) dx + 4 xy = x3 +1 ตอบ y= 6 - 3x + x4 7. dy + 3y = x +2 เมื่อ (x = -1 และ y = -1) ตอบ y = (x+2)2 + 4 dx x+2 5 5(x+2)3 e3x 8. dy + y = y ตอบ y2e2x = 2 e5x + C dx 5 e-2 y 9. dy + 2x = e4 yx2 ตอบ x = C - 1 e2 y dx 2 dr e-sin  10. d +r cos = r 2 cos  ตอบ r = C + e-sin  จงหาผลเฉลยสมการเชิงเสนอนพุ ันธอนั ดบั สองตอ ไปน้ี 11. d2y + d -12x = 0 เมือ่ y = 7 , x = 0 และ dy = 7 dx2 dx dx ตอบ ผลเฉลยเฉพาะมคี า เปน y = 2e-4x +5e3x 12. d2y -10 dy + 25 y =0 ตอบ y = Ae5x + Bxe5x dx2 dx d2y dy ตอบ y = e3x(C cos 2x + D sin 2x) 13. dx2 -6 dx +13y = 0 ตอบ y = Ae2t + Be-t ตอบ y = A cos 2t + B sin 2t 14. d2y - dy -2y=0 dx2 dt d2y 15. dx2 +4y =0 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

290 บทที่ 7 สมการอนพุ ันธแ บบเชิงเสน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส จงหาผลเฉลยของสมการแบรนูล่ตี อ ไปน้ี 16. dx + 2 y x = (y2 1 x2 ตอบ x=3 y 3 +3y+C dy y2 +1 +1)2 ( y2 +1)3 17. dy + xy = x3y3 ตอบ y-2e-x2 = e-x2 dx dy 4 -16 18. dx + x y = x3y2 เม่อื y(2) = -1 และ x > 0 ตอบ y = x 4 (1+16 ln 2x ) 19. dy +5y + e-2x y-2 =0 เมือ่ y(0) = 2 ตอบ y =  -139e15x -3e-2x 31 dx ตอบ  17    2 x 23 20. dy + y - y =0 เมือ่ y(1) = 0 y =  x3 - 9x +1  dx x     การประยกุ ตสมการอนพุ ันธ 21. กลองสเ่ี หล่ยี มกลอ งหน่ึงถกู ทาํ ใหเ คลอ่ื นทเี่ ปนเสนตรงในแนวราบ ดว ยความเรว็ ตน 40 m/s และ ความเรง 6 m/s2 เมื่อ t = 0 วัตถอุ ยหู า งจากจดุ เริ่มตน 30 m จงหาตาํ แหนง ของวัตถนุ ท้ี ่ีเวลา t ใดๆ 22. กระแสไฟฟาทไี่ หลในวงจรกาํ หนดโดย d2i + 4 di + 2,504 i =110 ถา i = 0 และ di = 0 เมอื่ t dt 2 dt dt = 0 จงหา i ในเทอมของ t 23. จากวงจรออปแอมปในรูปท่ี 7.18 จงหาผลเฉลยท่ัวไป v0(t) เมื่อ R1 = R2 = 10 k และ C1 = C2 = 10 F C1 R1 R2 vs C2 vo รูปที่ 7.18 วงจรขอ 23 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 7 สมการอนพุ ันธแบบเชิงเสน 291 24. จากวงจรออปแอมปในรูปที่ 7.19 จงหาสมการอนพุ ันธข องกระแส i(t) R C vs + -i - +L รูปท่ี 7.19 วงจรขอ 24 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย