ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

140 บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อนั ดับหนงึ่ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส dI = e I0[e eV ] dV kT kT ข้นั ตอนที่ 3 แกสมการอนุพันธแ บบแยกตัวแปร eV แทนคา I = I0e kT จะได dI eIdv dV = kT dI = e dV I kT หาปรพิ ันธท ้งั สองขางของสมการ 1 e  I dI =  kT dV ln I = e V kT eV I = e kT + C (เม่อื C = คาคงที)่ ข้ันตอนที่ 4 หาคา rd จากความสัมพนั ธ ขนั้ ตอนท่ี 5 dV kT rd = dI = eI แทนคา T = 290 K และ k =1.38  10-23 Joules/Kelvin-1 และ e = 1.6  10-19 คลู อมบ และ I = 10 A จะได dV kT rd = dI = eI = 1.3810-23  290 1.610-19 1010-6 = 2500  ตอบ rd = 2500  จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามญั อันดับหน่ึง 141 ตัวอยางที่ 4.28 จากวงจรไบแอสแบบแบงแรงดันของทรานซิสเตอรแบบสองรอยตอ จงหา เสถยี รภาพของวงจร RTh = R1 R2 = R1R2 iC R1 + R2  iB VCC Rth Vth iE รปู ที่ 4.26 วงจรตวั อยา งที่ 4.28 วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 จากการไบแอสแบบแบงแรงดนั ขน้ั ตอนที่ 2 VB =VTh =VCC (R1R+2R2) ข้ันตอนที่ 3 RTh = R1  R2 = RR11+RR22 ใชกฎแรงดันของเคอรชอฟท หาคา กระแส IB ดา นอนิ พตุ ลูปจะได VTh - IBRTh - VBE - (+1) IBRE = 0 หรอื IB = VTh -VBE RTh +(+1)RE ใชก ฎแรงดนั ของเคอรชอฟท หาคากระแส IC ดา นเอาตพ ตุ ลูปจะได VCE = VCC - ICRC - IERE เมอ่ื IE = IC + IB แทนคา ในสมการ VCE = VCC - ICRC - (IC+IB)RE หาคา IC = IB จะได IC =  RThV+Th(-V+B1E)RE จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

142 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธสามัญอนั ดับหนึง่ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ขน้ั ตอนที่ 4 สาํ หรับเสถยี รภาพในการไบแอส RTh << (+1)RE IC = (VTh -VBE ) ( +1) RE เสถยี รภาพของวงจร s = 1-(+dd1IICB ) VTh - IBRTh - VBE - IERE = 0 VTh = IBRTh + VBE + (IB+IC)RE ขน้ั ตอนท่ี 5 หาอนุพนั ธข องสมการของ IB เทยี บกบั IC dVTh = RTh dI B + dVBE +RE d ( IB+IC) dIC dIC dIC dIC เม่ือ VTh = คา คงท่ี 0 = RTh dI B +RE ( dI B + 1) dIC dIC 0 = RTh dI B +RE dI B +RE dIC dIC -RE = RTh dI B +RE dI B dIC dIC -RE = (RTh + RE) dI B dIC dI B = -RE dIC (RTh + RE ) ขน้ั ตอนที่ 6 แทนคา dI B ในสมการคา s จะได dIC s = 1- (RT+-hR1+ERE ) ตอบ เสถยี รภาพของวงจร s = 1- (RT+-hR1+ERE ) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อนั ดบั หนึง่ 143 ตัวอยางท่ี 4.29 จากวงจรออปแอมปในรูปที่ 4.27 จงหาคา vo เม่ือ t > 0 ถา v(0) = 3 V และ Rf = 80 k , R1 = 20 k และ C = 5 F Rf 80 k 1C 2 - + + 3V - 3 + vo (0+ ) R1 vo 20 k - 80 k 20 k vo รปู ที่ 4.27 วงจรตวั อยางท่ี 4.29 วิธที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 เขียนสมการอนุพนั ธโดยใชก ารวเิ คราะหแ บบโหนด ถา v1 เปนแรงดนั ที่ ขน้ั ตอนที่ 2 โหนดที่ 1 โดยใชก ฎกระแสของเคอรชอฟท เม่ือ C = ตวั เกบ็ ประจุ C0R-dd1vvt1 dv = C dt dv = - CRvv11R11 dt - = dv + CvR11 =0 dt ท่โี หนด 2 และ 3 มีคาแรงดนั เทา กนั ซึง่ แรงดนั ที่โหนด 2 มคี าเปนศูนย ดังน้ัน v1 - 0 = v v1 = v แทนคา ในสมการอนพุ นั ธจะได dv + v =0 dt CR1 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

144 บทที่ 4 สมการอนุพันธส ามัญอันดบั หน่ึง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนท่ี 3 แกสมการแบบแยกตวั แปร ขน้ั ตอนที่ 4 dv = - v ข้นั ตอนท่ี 5 dt CR1 ขน้ั ตอนท่ี 6 เมื่อ  = CR1 1 - 1 dt  v  dv =    หาปรพิ ันธทัง้ สองขา งสมการ   1  dv = - 1  dt  v   ln v = - 1 t +ln A (เมอ่ื ln A เปน คา คงทเี่ นอ่ื งจากใชต ัวแปร C แลว)  ln v - ln A = - 1 t  v = -1t ln A  v = e-1t A v = A e-1t ดงั นน้ั v(t) = A e-1t กําหนด R1 = 20 k และ C = 5 F  = CR1 = 510-6 20 103 = 0.1 v(t) = A e-01.1t ผลเฉลยทัว่ ไปมีคาเปน v(t) = Ae-10t หาคา คงท่ี A เมื่อ t > 0 ถา v(0) = 3 V โดยแทนคา ในสมการ v(t) = A e-1t 3 = Ae-10(0) A =3 ผลเฉลยเฉพาะรายมคี าเปน v(t) = 3e-10t โหนดท่ี 2 พจิ ารณาโดยใชก ฎกระแสของเคอรชอฟท 0R-vf 0 = C dv dt จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามัญอนั ดบั หนง่ึ 145 v0 = -Rf C dv dt แทนคา Rf = 80 k , C = 5 F v0 = -80103510-6  d(3e-10t )   dt    v0 = -40010-3(-30e-10t ) = 12 e-10t V ตอบ v0 = 12e-10t V เมื่อ t > 0 ตัวอยางท่ี 4.30 จงหาคา v(t) และ v0(t) จากวงจรตอ ไปนี้ 10 k v1 1 F 3 V 20 k 50 k 20 k vo รปู ท่ี 4.28 วงจรตวั อยางที่ 4.30 วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาวงจรแรงดนั ดานอนิ พตุ v1 มลี กั ษณะการตอบสนองแบบ ขั้นบัน ได โดย vs เปนแหลงจายแรงดันคงที่ และ v0 เปนแรงดันเร่ิมตน ของตวั เกบ็ ประจุ เมอื่ C = ตวั เก็บประจุ VS v VSu(t) v (ก) (ข) สําหรบั แรงดนั ท่ีเวลา t < 0 ซง่ึ เกิดทนั ทีทันใดแรงดันทีต่ ัวเกบ็ ประจุจะไม สามารถเก็บประจไุ ดทันที ดงั นน้ั v(0-) = v(0+) = v0 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

146 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามัญอันดับหน่ึง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส จากกฎกระแสของเคอรช อฟท v -VRsu(t ) C dv + = 0 dt dv v RVCs u(t) dt + RC = เม่ือ v เปนแรงดันตกครอ มตัวเก็บประจุ เมื่อเวลา t > 0 dv v RVCs dt + RC = ขน้ั ตอนท่ี 2 แกส มการโดยใชว ิธกี ารแยกตวั แปร vR-CVs ขนั้ ตอนท่ี 3 dv RV1Cs v dtd = - RC - RC = - ขน้ั ตอนที่ 4 v -Vs = - dt ทําการหาปริพันธท ้ังสองขา งของสมการ d 1 = -  RC dt  v-Vs 1 t ln(v -Vs ) v(t) = - RC t 0 v0 [ ln(v(t)-Vs )-ln(v0 -Vs ) = - 1 (t)+0 RC (v(t )--VVss)) ] 1 [ ln (vo = - RC t (v(t ) -Vs ) = e- 1 t (vo -Vs ) RC v(t ) -Vs = (vo -Vs )e- 1 t RC v(t ) =Vs + (vo -Vs )e- 1 t เมื่อเวลา t > 0 RC ดงั นั้น v(t)= vo 1 เมื่อเวลา t < 0 RC v(t) =Vs + (vo -Vs )e- t เม่อื เวลา t > 0 สาํ หรบั ผลตอบสนองของวงจรออปแอมปจ ะมีสมการเปน v(t ) =Vs + (vo -Vs )e- 1 t RC จะได v(t)= v()+[v(0)-v()]e-t/ (4.12) เมอื่ v(0) = แรงดนั เร่มิ ตน ของตวั เก็บประจุ v() = แรงดันสุดทา ยของตวั เก็บประจุ  = RC = คาคงทข่ี องเวลา จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามัญอันดับหน่ึง 147 เม่อื R = 50  10-3  และ C = 1  10-6 F หาคา  = (50  10-3)( 1  10-6) = 0.05 s - สาํ หรบั t < 0 สวิตชจ ะเปด และไมม ีแรงดนั ตกครอ มตวั เกบ็ ประจุ ดังน้ัน v(0) = 0 เมื่อ t > 0 แรงดนั ที่โหนด 1 ใชก ฎการแบง แรงดัน 20 v1 =  20 +10 3 = 2 V  -วงจรดานอนิ พตุ ไมม กี ารสะสมพลังงาน v1 จะมคี าคงท่สี ําหรับทุกคา t ในสภาวะคงตวั ตัวเกบ็ ประจจุ ะเสมอื นเปดวงจรดงั นน้ั วงจรออปแอมป ทํางานเปนวงจรขยายแบบไมก ลับเฟส v0(t) = 1+ Rf  v1 R2    เมอ่ื Rf = 50 k และ R2 = 20 k 50 v0 () =  1+ 20 v1 = 3.5 2 = 7 V  แต v1 - v0 = v v () = 2 - 7 = -5 V แทนคา  , v () และ v (0) แทนคา ในสมการที่ (4.12) จะได v0(t) = v()+[v(0)-v()]e-t/ v0(t) = -5+[0-(-5)]e-20t v0(t) = 5(e-20t -1) V = 5e-20t -5 V จาก v1 - v0 = v จะได v1- v = v0 หรอื v0(t) = v1(t) - v(t) v0(t) = 2 -(5e-20t - 5) = 7-5e-20t V ตอบ v0(t) = 7-5e-20t V และ v(t)= 5e-20t -5 V จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

148 บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธสามัญอันดับหนงึ่ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยา งที่ 4.31 จงหาคาผลตอบสนองแบบขั้นบันไดของ v0(t) เมื่อ t > 0 ตามวงจรในรูป กาํ หนดให vi = 2 u(t) V , R1 = 20 k , Rf = 50 k , R2 = R3 = 10 k และ C = 2 F R1 Rf vo vi R2 R3 รปู ที่ 4.29 วงจรตวั อยางท่ี 4.31 วธิ ีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 หาคา VTh และ RTh โดยทําการตัดตัวเก็บประจุออกซึ่งเปรียบเสมือน เปดวงจร และหาคาเทียบเคียงเทวินินที่ข้ัว ไดแก VTh พิจารณาจากวงจร ในรปู มีลกั ษณะเปน วงจรขยายแบบกลับเฟส Rf R1 R2 Ro R2 vi Vab R3 R3 RTh VTh (ก) (ข) รปู ที่ 4.30 การหา VTh และ RTh ทีต่ วั เก็บประจุ Vab =- Rf vi R1 จากกฎการแบง แรงดัน VTh = R3 Vab = - R3  Rf vi R2 + R3 R2 + R3  R1   หาคา RTh จากรปู ที่ 4.30 (ข) ซึ่ง R0 เปน คา ความตา นทานเอาตพตุ ของ ออปแอมป ซง่ึ สมมตวิ า เปน ออปแอมปในอดุ มคติ R0 = 0 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหนงึ่ 149 RTh = R2  R3 = R2 R3 R2 + R3 แทนคา VTh และ RTh จะได 10 50 VTh = - 10 +10  20 (2u(t )) VTh = -2.5u(t) ขน้ั ตอนที่ 2 เขยี นวงจรเทียบเคยี งเทวนิ ิน จะได 5 k -2.5u(t ) 2 F ซง่ึ คลา ยกบั ตัวอยา งท่ี 4.30 ซงึ่ ใชกฎกระแสของเคอรช อฟทจะได v -VRsu(t ) C dv + = 0 dt แกสมการโดยใชว ธิ ีการแยกตัวแปร ขนั้ ตอนที่ 3 RV1Cs v vR-CVs ข้ันตอนที่ 4 dv = - RC - RC = - dtd = - dt ขน้ั ตอนท่ี 5 v -Vs ทําการหาปรพิ นั ธท ัง้ สองขางของสมการ d 1 = -  RC dt  v-Vs ทาํ การแกส มการตามตวั อยางท่ี 4.30 จะได v(t ) =Vs + (vo -Vs )e- 1 t RC ถาสมมติวา ตวั เกบ็ ประจุไมไดร ับการชารจ ประจทุ ่ีสภาวะเรม่ิ ตน v0 = 0 V 1 1 Vs -(1-e- R1Ct ) v(t ) = Vs + (0 -Vs )e- RC t = Vs -Vse- RC t = เมื่อแรงดันอนิ พุตเปนแบบขนั้ บันไดดังน้ันมีสมการเปน 1 v0 (t) = Vs (1- e- RC t ) u(t) แทนคา RTh = 5  103 และ C = 2  10-6 หาคา  = RC = 5  103 2  10-6 = 0.01 เม่ือ vi = 2 u(t) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

150 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามญั อนั ดับหนึง่ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ดังนนั้ ผลตอบสนองแบบขัน้ บนั ไดเมอ่ื t > 0 มคี าเปน v0 (t) = 2.5(1-e-100t )u(t) ตอบ v0 (t) = 2.5(1-e-100t )u(t) 4.6 สรปุ สมการเชิงอนพุ นั ธแบบแยกตวั แปรได ตอ งมรี ูปแบบมาตรฐานดังน้ี dy M ( x ) + N ( y). dx = 0 โดยผลเฉลยของสมการมีอยู 2 แบบ คือ ผลเฉลยท่ัวไปและผลเฉลยเฉพาะราย ซ่ึงในการหา ผลเฉลยท่วั ไปมีขน้ั ตอนดงั น้คี อื ขั้นตอนท่ี 1 จัดสมการใหอยใู นรูป M(x)dx + N(y)dy = 0 ขน้ั ตอนท่ี 2 ทาํ การหาปรพิ ันธของ M(x) และ N(y) จะได  M(x)dx + N(y)dy = 0 ขั้นตอนท่ี 3 จดั สมการใหอ ยูในรูปผลเฉลยท่วั ไป หรือผลเฉลยเฉพาะราย สว นการประยุกตส มการอนุพันธในงานดานไฟฟา อิเลก็ ทรอนิกสและทางกลจาํ เปนตอ งสราง แบบจําลองของแรงที่กระทําตอวัตถุและเง่ือนไขความสัมพันธของตัวแปรที่เกี่ยวของตามกฎและ ทฤษฎีจากนั้นจึงนําการแกสมการแบบอนุพันธแบบแยกตัวแปรไปแกไขสมการตามเงื่อนไข ทกี่ าํ หนดให จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามัญอันดบั หน่งึ 151 แบบฝกหดั ทายบทที่ 4 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอไปนแ้ี บบแยกตวั แปรตอไปนี้ ddddxyyx 1. = 5 ye x xy2 ตอบ y = e5ex + C 2. = -3cos ตอบ y = 3si1n x + C 3. 2x2dy + 4 yx dx = 0 ตอบ y = 1 +C x2 4. 6x2 y dy - 3y3x dx = 0 ตอบ y = x +C 5. 2x cos y dy - 3sin y dx = 0 ตอบ ln sec y +tan y = 23 ln x +C 6. ddyx = -7y4sin x 1 ตอบ y= 3 - 47 cos x +C 7. ddyx = -3cos y sin x ตอบ ln csc y +cot y = cos x +C 8. ddyx + 2xy = 4x ตอบ y = ex2 - 4 + C 9. dy = 5x2 y ตอบ y = e2.5x2 + C dx dy ตอบ y = e1.5x2 -3x + C 10. dx = 3(x -1)(y -1) จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการตอไปน้ีแบบแยกตวั แปรตอ ไปนี้ 11. ddyx = -3(tan y )(sin x ) dddxyy = 1-yx เม่ือ y(1) =1 dx = -9y 12. เม่ือ y(2) =2 13. เมื่อ y(0) = 0 14. dy = 3x2 y2 เม่อื y(0) = 0 dx dy 15. y4 dx = 5(x + 2) เมอ่ื y(0) = 2 16. จากวงจรในรปู จงหากระแสเหนี่ยวนาํ iLของวงจรเม่ือเวลาผา นไป 5 วนิ าที เมื่อทเี่ วลา t = 0 สวติ ชป ด อยู ซึ่งคา V = 12 V , R1 = 1 k , R = 10 k และ L = 1 mH จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

152 บทท่ี 4 สมการอนพุ ันธสามญั อนั ดับหนึง่ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส R1 S1 vs = Vo iL 17. วตั ถมุ วล 1 kg ถกู โยนข้ึนไปในแนวด่งิ ดวยความเรว็ ตน 5 m/s ซึ่งคา โนม ถวงมคี า g =9.8 m/s2 เกิดแรงตานอากาศ 10 เทา ของความเร็ว จงหาความเรว็ ของวตั ถนุ ้ีเม่ือเวลา t ใดๆ R = 5V 18. วัตถมุ วล 10 kg ถูกแรงกระทําใหเคล่ือนทใ่ี นแนวราบเปน เสนตรงดวยความเร็ว 10 m/s ความเรง 3 m/s2 เม่ือ t = 0 วัตถุอยูห างจากจุดเริ่มตน 30 เมตร จงหาความเรว็ และตาํ แหนง ของวัตถนุ ี้ท่ีเวลา t ใดๆ 19. สําหรบั วงจรออปแอมป จงหาคา v0 เมือ่ t > 0 ถา v(0) = 4 V กาํ หนดให Rf = 50 k ,R1 = 10 k และ C = 10 F ตอบ -4e-2t V , t > 0 s C +v - Rf - ++ R1 vo - จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหนึ่ง 153 เอกสารอางองิ วีรศกั ด์ิ บุญทน. (2553). คณิตศาสตรอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 2. กรงุ เทพมหานคร: สํานกั พมิ พแ หง จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย. ภัคคนิ ี ชิตสกุล และคณะ. (2010). คณติ ศาสตรว ศิ วกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรงุ เทพมหานคร. Erwin Kreyszig . พรชัย สารทวาหา . (2550). สมการเชงิ อนุพนั ธ. กรงุ เทพมหานคร : ภาควชิ าคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร จฬุ าลงกรณมหาวทิ ยาลัย. นิรดั ร คําประเสิรฐ . (2553).คณิตศาสตรว ิศวกรรมไฟฟา 4. กรุงเทพมหานคร: ศนู ยสือ่ เสรมิ กรงุ เทพฯ . สวุ ัฒน รอดผล. (2546) .สมการเชงิ อนพุ นั ธส ําหรบั วศิ วกร. กรุงเทพมหานคร : สํานักพมิ พ ส.ส.ท สมาคมสงเสรมิ เทคโนโลยไี ทยญี่ปนุ สาํ เริง ชื่นรงั สกิ ุล . (2555). สมการเชิงอนุพนั ธ. กรุงเทพมหานคร : สาํ นกั พมิ พแหงจุฬาลงกรณ มหาวิทยาลยั . คณิตศาสตรส าํ หรบั ฟส กิ ส1 .[ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://thesis.swu.ac.th/swuebook/h57127.pdf. (วันทค่ี น ขอมลู 5 เมษายน 2556). สมการแยกตวั แปร.[ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก https://uomustansiriyah.edu.iq/media/lectures/5/ 5_2018_01_03!09_02_09_PM.docx.(วันท่คี น ขอมลู 6 เมษายน 2556). อนพุ ันธข องฟงกช นั โดยปริยาย.[ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.electron.rmutphysics.com /news/index.php?option=com_content&task=view&id=521&Itemid=5&limit=1&limitsta rt=191. (วนั ท่คี น ขอมูล 10 เมษายน 2556). Application second order. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20Concepts%20and%20Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf . (วนั ทค่ี น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter4 Application of Second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ ากhttp://www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%204% 20Second %20order%20DEs.pdf. (วันทคี่ น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter 14 Difference Equations 1. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.cimt.plymouth.ac.uk /projects/.../discrete_ch14.pdf (วันทค่ี น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter11 Differential Equation. [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ math103/keshet.notes/chapter11Notes.pdf. (วนั ทค่ี นขอ มลู 1 พฤษภาคม 2556) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

154 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธสามัญอนั ดับหน่งึ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส Linear Differential Equations. [ออนไลน] เขาถึงไดจ าก http://wwwtutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วันที่คน ขอ มลู 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วันท่ี คนขอ มลู 10 เมษายน 2556) OP-AMP CIRCUITS.[ออนไลน] เขาถงึ ไดจาก http://www.robots.ox.ac.uk/~gari/teaching/b18 /background_lectures/1P2-Op-Amp-Circuits-L1-Notes-Collins.pdf.(วนั ทคี่ น ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556). Transistor .[ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.iitg.ac.in/apvajpeyi/ph218/Lec-7.pdf.(วนั ทคี่ น ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556). จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

บทท่ี 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพนั ธ 5.1 นยิ ามของสมการแบบเอกพนั ธ สมการแบบเอกพันธ (Homogeneous equations) คือ ฟงกชันที่ทุกพจนในฟงกชัน มีระดับ ขั้นเดียวกัน บางสมการไมสามารถทําการแกสมการโดยวิธีแยกตัวแปรจากกันไดโดยตรง แตถา ทาํ การเปลีย่ นตัวแปรใหมจะทําใหสมการเหลาน้ันสามารถแยกตัวแปรไดโ ดยใชวิธีการแกสมการ แบบแยกตัวแปรเหมือนในบทท่ี 4 สมการอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง คือ สมการเชิงอนุพันธ ท่สี ัมประสทิ ธข์ิ องคาเชิงอนุพันธห รอื สมั ประสทิ ธอ์ิ นุพนั ธเ ปนฟงกช ันเอกพันธระดบั ข้ันเดียวกนั นิยาม 5.1 เรียกฟง กชนั f (x , y) วา เปนฟงกช นั เอกพันธด กี รี n ถา f (kx , ky)= k n f (x, y) (5.1) ตัวอยางท่ี 5.1 จงพสิ จู นวา f (x, y) = 2x5- x3y เปน สมการแบบเอกพนั ธฟ ง กชนั ดกี รี 5 วธิ ีทํา ข้ันตอนที่ 1 จดั สมการในรูป f (kx, ky) = kn f (x, y) จาก f (kx, ky) = 2x5- x3y ขนั้ ตอนที่ 2 แทนคา x ดวย kx แทนคา y ดว ย ky จะได f (kx, ky) = 2(kx)5 - (kx)3(ky) = 2k5x5 - (k3x3)ky = 2k5x5 - k5x3y f (kx, ky) = k5(2x5-x3y) ขน้ั ตอนที่ 3 จาก f (kx, ky) = k5(2x5- x3y) ตอบ f (kx, ky) = 2x5- x3y เปน สมการแบบเอกพนั ธฟ งกช นั ดกี รี 5 เน่ืองจาก n = 5

156 บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส นิยาม 5.2 เรียกสมการอนุพันธ M(x,y) + N(x,y)y = 0 วา สมการอนุพันธแบบเอกพันธ (Homogeneous differential equation) ถา M(x,y) และ N(x,y) เปนฟงกชันเอกพันธทม่ี ดี ีกรเี ดียวกัน ซ่ึงสมการ M(x,y) + N(x,y)y = 0 เปนสมการอนพุ นั ธแ บบเอกพันธ เขยี นใหอ ยูในรปู dy = F  y  หรือ dy = F  x  (5.2) dx  x  dx  y  ตัวอยา งที่ 5.2 จากสมการตอไปนี้ x2 dy = y2 + 2xy จงพิจารณาวาเปนสมการแบบเอกพันธ dx หรอื ไม วธิ ที าํ ข้ันตอนท่ี 1 จัดสมการในรปู dy = F  y  หรือ dy = F  x  dx  x  dx  y  จาก x 2 dy = y2 + 2xy dx y2 dy = x2 + 2x y dx x2 dy =  y 2 + 2  y  dx  x   x  ขน้ั ตอนที่ 2 จะไดสมการ dy =  y 2 + 2  y  dx  x   x  อยูใ นรปู dy = F  y  dx  x  ตอบ สมการ x2 dy = y2 + 2xy สามารถจัดใหอ ยใู นรูป dy = F  y  ดงั นั้นจึงเปนสมการ dx dx  x  แบบเอกพันธ ตัวอยา งที่ 5.3 จงพิสูจนวาสมการตอไปนี้ dy = ln x - ln y + x+ y เปนสมการแบบเอกพันธ dx x- y หรือไม วธิ ีทํา ข้ันตอนท่ี 1 จัดสมการในรปู dy = F  y  หรอื dy = F  x  dx  x  dx  y  จาก dy = ln x - ln y + x+ y dx x-y จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ ันธแ บบเอกพนั ธ 157 = ln  x  + x+ y  y  x-y = ln  x  + x + y  y  y y x y y - y dy = ln  x  + x +1 dx  y  y x y -1 ขัน้ ตอนที่ 2 จะได dy = ln  x  + x +1 อยใู นรปู dy = F  x  dx  y  y -1 dx  y  x y ตอบ สมการ dy = ln x - ln y + x+ y สามารถจัดใหอยใู นรูป dy = F  x  dx x-y dx  y  ดังน้นั จงึ เปน สมการแบบเอกพันธ นยิ าม 5.3 สมการ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 เปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธก็ตอเมอ่ื สมั ประสิทธ์ิ M และ N เปน ฟงกช ันเอกพนั ธท ม่ี รี ะดับขั้นเทากัน ตัวอยางที่ 5.4 1. xy dx - (x 2 + 3y 2 ) dy = 0 เปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธ เพราะวา M(x, y) = xy และ N(x, y) = x 2 + 3y 2 ตา งก็เปน ฟงกช ันเอกพนั ธทม่ี รี ะดบั ขั้น เทา กบั 2 2. x dx - (9 - x2) dy = 0 ไมเปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธ เพราะวา M(x, y) = x เปนฟงกชันเอกพันธท่ีมีระดับข้ันเทากับ 1 แต N (x, y) = 9 - x2 มีระดับชั้นเทากับ 2 ไมเ ปน ฟงกช ันเอกพันธ 5.2 ขั้นตอนการแกสมการแบบเอกพนั ธ มดี งั นี้ คือ ขั้นตอนที่ 1 จดั รูปสมการแบบเอกพนั ธใ หอยูใ นรูป dy = F  y  ข้ันตอนท่ี 2 dx  x  กําหนด v = y จะไดวา y = vx x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

158 บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแบบเอกพันธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส  dy = vdx + xdv = v + xdv dx dx dx dx y dy xdv ข้ันตอนที่ 3 แทนคา v = x และ dx = v + dx ในสมการ ข้ันตอนที่ 4 dy = F  y  จะได ขัน้ ตอนท่ี 5 dx  x  v+ xdv = F(v) dx xdv dx = F(v) - v dv = dx F(v)- v x ทําการหาปริพนั ธท ้งั สองขางของสมการ dv = dx  F(v) - v y x x แทนคา v = ในสมการที่ไดจ ากการหาปรพิ ันธ ตัวอยางที่ 5.5 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปน้ี dy = y2 + 2xy dx x2 วิธที าํ ขั้นตอนท่ี 1 เขยี นสมการใหอ ยูในรูป y โดย x 2 == v xy+x2ddx+v dy = y 2 + 2xy 2  y  ซึ่งเปน สมการแบบเอกพนั ธ dx y x x2  x  v= x ข้นั ตอนที่ 2 แทนคา และ dy ในสมการ จะได dx 2 dy =  y  + 2  y  dx  x   x  v + xdv = v2 +2v dx xdv dx = v2 +v 1 v dv = 1 dx v2 + x ข้ันตอนที่ 3 แกสมการโดยใชว ิธกี ารแบบแยกตวั แปร 1 v(v + 1 ) dv = 1 dx x จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพนั ธ 159 1 = A + v B 1 v(v +1) v + นํา v(v+1) คณู ทั้ง 2 ขา ง ของสมการ 1 = A (v + 1) + Bv ให v = 0 จะได 1 = A(0 + 1) + B(0) A =1 ให v = 1 จะได 1 = A(1 + 1) + B(1) 1 = 2+B B = -1 ขั้นตอนท่ี 4 แทนคา A และ B จะได ขั้นตอนที่ 5 1 1 1 v(v +1) = v - v +1 ขั้นตอนที่ 6 ทําการหาปรพิ นั ธท้งั สองขา งสมการ 1 1 1 โดย  v(v +1) dv =  v dv -  v + 1 dv ดงั นนั้  1 dv = lnv- ln v + 1 v(v +1) 1 และ  x dx = lnx- ln C (เมอื่ C = คา คงท)่ี จะได  1 dv =  1 dx v(v +1) x lnv- ln v+1 = lnx- ln C ln v = ln Cx v+1 v = Cx v +1 y แทน v = x จะได y x y + 1 = Cx x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

160 บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส y y+x x = Cx x y y+x = Cx y = Cxy + Cx2 y - Cxy = Cx2 y(1-Cx) = Cx2 y = Cx 2 (1 - Cx ) ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการคอื y= Cx 2 (1 - Cx ) ตวั อยางที่ 5.6 จงแกสมการตอไปนี้โดยใชก ารแกสมการแบบอนุพันธ dy = x+y dx x y วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 เขียนสมการใหอ ยูในรปู x โดย dy = x + y =1+ y dx y x x สามารถเขยี นสมการแบบเอกพนั ธไ ดแ สดงวา เปนสมการแบบเอกพนั ธ y dy xdv ขนั้ ตอนที่ 2 แทนคา v= x และ dx = v+ dx จะได dy = 1 + y dx x xdv v + dx = 1+v xdv =1 dx 1 dv = x dx ข้ันตอนท่ี 3 ทําการอินทเิ กรททัง้ สองขางของสมการ 1  dv =  x dx v = ln x + C (เมือ่ C = คาคงท)ี่ y ขน้ั ตอนท่ี 4 แทน v = x คนื จะได y = ln x + C x จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ 161 y = x ln x + Cx ตอบ ผลเฉลยโดยท่ัวไปของสมการ คือ y = x ln x + Cx ตัวอยางท่ี 5.7 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ dy = y2 + y dx x x วิธที ํา ขัน้ ตอนท่ี 1 เขียนสมการใหอ ยูในรูป dy = F  y  dx  x  จะได dy = y2 + y = y2 + y dx xx x x2 x dy =  y 2 + y เปนสมการแบบเอกพันธ dx  x  x ขน้ั ตอนที่ 2 แทนคา v= y และ dy = v+ xdv x dx dx 2 dy =  y  + y dx  x x v + xdv = v2 + v dx xdv dx = v2 ขน้ั ตอนที่ 3 ใชส มการแบบแยกตวั แปรมาวเิ คราะห 1 v2 dv = 1 dx x ข้ันตอนท่ี 4 หาปรพิ นั ธทง้ั สองขางของสมการ จะได 1 dv =  1 dx  v2 x  v-2dv =  1 dx x v-2+1 -2 +1 = ln x + C (เมอ่ื C = คา คงท่ี) - v-1 = ln x + C 1 - v = ln x + C ขัน้ ตอนท่ี 5 แทนคา v = y จะได x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

162 บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแ บบเอกพันธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส - 1 = ln x + C y x x - y = ln x + C y = - x +C ln x x ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = - ln x + C ตัวอยา งท่ี 5.8 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปน้ี y = 1 + y +  y 2 x  x  วิธีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 จดั สมการในรปู dy = F  y  ใหเ ปน สมการแบบเอกพนั ธ ข้นั ตอนท่ี 2 dx  x  แทน v= y และ dy = v + xdv x dx dx 2 โจทย dy = 1+ y +  y  dx x  x  v + xdv = 1 + v + v2 dx xdv dx = 1 + v2 ขนั้ ตอนที่ 3 แกส มการโดยใชว ิธีการแยกตัวแปร  1 1  dv = 1 dx  + v2  x ขน้ั ตอนที่ 4 ทาํ การหาปริพนั ธทง้ั สองขา งของสมการเพือ่ หาคําตอบ 1  1 + v2 dv =  1 dx x arctan v + C = ln x + ln C (เม่ือ C = คา คงท่ี) arctan v = ln x + arctan v y ข้นั ตอนท่ี 5 แทนคา v = x ในสมการจะได arctan v2 = ln C . x arctan  y  = ln C . x  x  จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพันธ 163 ln C. x = tan  y   x  ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื ln C. x = tan  y   x  ตวั อยา งท่ี 5.9 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการตอ ไปน้ี (x + y) dx + xdy = 0 วิธีทํา ข้นั ตอนที่ 1 จดั รูปสมการอยใู นรูป dy = F  y  dx  x  (x + y) dx + xdy = 0 (x + y) dx = - xdy xdy (x + y) = - dx x+ y = dy -x dx y dy - 1 - x = dx สมการอยูในรปู dy = F  y  ดังน้ันเปนสมการแบบเอกพนั ธ dx  x  ข้นั ตอนที่ 2 แทน v= y และ dy = v + xdv จะได x dx dx xdv -1 - v = v + dx -1 - 2v = xdv dx 1 1 x dx = -1- 2v dv ขั้นตอนท่ี 3 หาปรพิ นั ธท้ังสองขา งของสมการจะได 1 1  x dx =  1+ 2v dv ln x = - ln (1 + 2v) + ln C (เมอื่ C = คาคงท่)ี y ขั้นตอนท่ี 4 แทน v = x ในสมการจะได ln x = ln 1 C + 2v C x = 1+ 2v x (1 + 2v) = C จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

164 บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส x (1 + 2 y ) = C x x + 2y = C C-x y = 2 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = C- x 2 ตัวอยางท่ี 5.10 จงหาผลเฉลยทัว่ ไปของสมการตอ ไปนี้ dy = 1  x + y  dx 2  y x  วิธีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 จดั สมการในรูป dy = F  y  dx  x  dy = 1  x + y  เปน สมการแบบเอกพันธ dx 2  y x  ขน้ั ตอนท่ี 2 แทน v= y และ dy = v + xdv x dx dx xdv 1 1 v + dx = 2  v + v    xdv 1 1 v + dx = 2v + 2 v xdv = 1 + 1 v dx 2v 2 xdv = 1  1-v 2  dx 2  v     v  dv = 1 dx  1- v2  2x ข้ันตอนท่ี 3 ทําการหาปรพิ ันธทัง้ สองขางของสมการ จะได   1 v  dv =  1 dx  - v2  2x แทน u = 1 - v2du = -2vdv  dv = 1 du 2v v 1 1  u  -  2v  du =  2x dx   1 1 1 - 2  u du =  2x dx จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพนั ธ 165 - 1 ln u = 1 ln x + ln C (เมื่อ C = คาคงท)่ี 2 2 1 - 2 ln (1 - v2) = ln 2x½. C ln (1 - v2)-½ = ln 2x½. C (1 - v2)-½ = 2x½. C นาํ 2 คณู เขา ท้ังสองขา งของสมการ (1 –  y 2 ) -1 = x½. C  x  1 = x.C  y 2 1-  x   ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ 1 = x . C  y 2 1 -  x  ตัวอยางท่ี 5.11 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปนี้ dy = 2y - x dx 2x - y y dy xdv วิธที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 กําหนดให v= x จะได y = vx และ dx = v+ dx แทนคาในสมการ dy 2y-x dx = 2x- y v + xdv = 2vx - x dx 2x - vx dv x(2v -1) v + x dx = x(2 - v) v + x dv = (2v -1) dx (2 - v) นาํ คา v ลบเขาทัง้ สองขางของสมการ - v) dv (2v -1) 2v -1- v(2 x dx = (2 - v) - v = 2-v x dv = 2v -1- 2v - v2 = v2 -1 dx 2-v 2-v จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

166 บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนที่ 2 ทาํ การแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได ขนั้ ตอนท่ี 3 2-v 1 v2 -1 dv = x dx ทําการหาปรพิ ันธท ง้ั สองขา งของสมการจะได 2-v 1  v2 -1 dv =  x dx ใชการแยกเศษสว นจะได A(v + 1) 2-v v2 + (v -1) v2 -1 = A + B = -1 v -1 v + 1 2 - v = Av + A + Bv - B ใชการเทียบสัมประสทิ ธจ์ิ ะได A+B = - 1 A-B = 2 B-2A = 1 1 3 C-A = 2 , B = - 2 แทนคา A และ B จะได 1 3 2-v 2 2  v2 -1 dv = v A dv +v B dv =  v 1 dv +- v 1 dv -1 +1 -1 +1 1 1 3 1 1 2  v -1 dv + - 2  v +1 dv =  x dx 1 ln(v - 1) + - 3 ln(v + 1) = ln x + ln C (เมือ่ C = คาคงท)่ี 2 2 1 3 2 ln(v - 1) + - 2 ln(v + 1) = ln x = ln C 13 ln(v -1)2 - ln(v +1)2 - ln x = ln C ใชคณุ สมบตั ขิ องลอการทิ ึมจะได ln ( (v-1)21 x = ln C v+1)32 (v-1)12 (v+1)32 x = C ยกกําลงั สองทงั้ สองขางของสมการ (v-1) (v+1)3 x2 = C2 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพนั ธ 167 ข้ันตอนท่ี 4 แทนคา v = y ในสมการจะได x ( xy(+xy1-)13)x2 = C2 y - x ( x x ) + = C2 ( y x + 1)3 x2 (y- x) = C 2 (y+ x)3 y - x = C2 (y + x)3 ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คือ y - x = C2 ( y + x)3 ตวั อยางที่ 5.12 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอไปน้ี dy =  y  + e y dx  x  x วิธที ํา ข้ันตอนท่ี 1 กาํ หนดให v= y และ dy = v + xdv x dx dx dv v + x dx = v + ev x dv = e v dx ข้ันตอนที่ 2 ใชก ารแกสมการแบบแยกตวั แปรจะได 1 e -v dv = x dx ขน้ั ตอนท่ี 3 ทาํ การหาปริพันธท ้งั สองขา งของสมการจะได  e -v dv =  1 dx x -e-v = ln x + ln C (เมื่อ C = คา คงท่)ี -e-v = ln (xC) y ข้นั ตอนที่ 4 แทนคา v = x จะได -e- y = ln (xC) x - y = ln [-ln ( xC )] x -y = x ln [-ln (xC )] จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

168 บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ -y = x ln [-ln (xC )] ตวั อยา งที่ 5.13 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ dy = y + 1 x2 + y2 dx x x y dy xdv วธิ ีทํา ขั้นตอนที่ 1 กําหนดให v= x และ dx = v + dx dv x 2 y 2 dx x2 x2 v + x = v + + v + x dv = v + 1+ v2 dx dv x dx = 1+ v2 ข้นั ตอนที่ 2 ทาํ การแกสมการแบบแยกตัวแปรจะได 1 dv = 1 dx 1+ v2 x ขั้นตอนท่ี 3 ทาํ การหาปรพิ ันธท งั้ สองขา งของสมการจะได  1 v2 dv =  1 dx 1+ x sinh-1 (v) = ln x + C (เมอ่ื C = คาคงที่) y ข้นั ตอนท่ี 4 แทนคา v = x จะได sinh-1 ( y ) = ln x + C x y ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คอื sinh-1 ( x ) = ln x + C ตวั อยางท่ี 5.14 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการตอ ไปนี้ (x2 + y2 )dx - 3xy dy = 0 วธิ ที ํา ข้ันตอนที่ 1 ตอ งจัดสมการในรปู f (kx , ky) = k n f (x , y) (x2+ y2 ) - 3xy dy = 0 dx dy -( x 2 y2 ) -3xy dx = + จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพันธ 169 dy = (x2+y2 ) dx 3xy y2 dy = 3xx2y + 3xy dx dy y dx = 3xy + 3x ขัน้ ตอนที่ 2 กําหนดให v= xy และ dy =v+ xddxv จะได ขั้นตอนท่ี 3 dx ขั้นตอนที่ 4 v + x ddxv = 13 ( 1v ) + 13 v x ddxv = 13 ( 1v ) + 13 v - v ขนั้ ตอนที่ 5 x ddxv = 13 (1v ) + v-33v x ddvx = 13 (1v ) + -23v x ddxv = 3-96vv2 ทาํ การแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได 9v dv = 1x dx 3-6v2 3v 1x 1-2v2 dv = dx ทําการหาปริพันธทัง้ สองขางของสมการจะได  3v dv =  1x dx 1-2v2 ให u = 1 - 2v2 หาอนพุ นั ธจ ะได du = 4vdv ดงั นัน้ dv = 41v du  3uv ( 41v )du =  1xdx  u3( 41 )du =  1xdx 43  u1 du =  1x dx 43 ln u + ln C = ln x (เม่อื C = คาคงที่) แทนคา u = 1 - 2v2 และ v = xy จะได 43 ln(1 - 2v2 ) + ln C = ln x 43 y )2 ln(1 - 2( x ) + ln C = ln x จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

170 บทที่ 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ln (1 - 2( y )2 ) 3 + ln C = ln x x 4 ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ ln (1 - 2( y )2 ) 3 + ln C = ln x x 4 ตัวอยา งที่ 5.15 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอไปน้ี (x -2y)dx + (2x + y)dy = 0 วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 จากนิยาม สมการ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 จะได M(x,y) = x - 2y แทน M (x, y) = M (kx, ky) จะได M (kx, ky) = kx - 2ky = k(x - 2 y) = kM(x, y) และ N (x, y) = 2x + y แทน N (x, y) = N (kx, ky) N (kx, ky) = 2kx + ky = k(2x + y) = kN (x, y) แสดงวา M (x, y) และ N (x, y) เปน ฟง กช นั เอกพนั ธระดับขน้ั ที่ 1 (กาํ ลังของ k เปน 1) y ขน้ั ตอนที่ 2 กําหนดให v = x หรือ y = vx หาอนุพันธจ ะได dy = vdx + xdv แทนคา y และ dy ในสมการที่จะหาคําตอบจะได (x - 2vx)dx + (2x + vx)(vdx + xdv) = 0 xdx - 2vx dx + 2xvdx + 2x2dv + xv2dx + vx2dv = 0 xdx + xv2dx + 2x2dv + vx2dv = 0 x(1+ v2) dx + x2(2 + v) dv = 0 ข้ันตอนท่ี 3 ใชก ารแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได x(1 + v2)dx = - x2(2 + v)dv (2+v) xdx = -x 2 (1+v2 ) dv x dx = - (2+v) dv x2 (1+v2 ) 1x (2+v) dx = - (1+v2 ) dv ขั้นตอนท่ี 4 ทําการหาปริพันธทัง้ สองขา งของสมการจะได  1x dx = -  (2+v) dv (1+v2 ) 1x (2+v)  dx +  (1+v2 ) dv = 0 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ ันธแ บบเอกพนั ธ 171  1x dx +  2 )dv +  v dv = 0 (1+v2 1+v2 ln x + 12 tan-1v + 12 ln(1 + v2 ) + ln C = 0 (เมอ่ื C = คา คงท่)ี y ข้นั ตอนท่ี 5 แทนคา v = x จะได ln x + 12 tan-1 y + 21 ln(1 + ( y )2 ) + ln C = 0 x x 21 tan-1 y 12 y )2 ln Cx + x + ln(1 + ( x ) = 0 2ln Cx + tan-1 y + ln(1 + ( y )2 ) = 0 x x ln Cx2 tan-1 y y )2 + x + ln(1 + ( x ) = 0 tan-1 y + ln Cx 2 (1 + ( y )2 ) = 0 x x tan-1 y = - ln C(x2 y2 ) x + ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คอื tan-1 y = - ln C(x2 + y2 ) x 5.3 การแกสมการที่อยใู นรูป dy = aa12xx++bb12yy++mn เม่อื a1b2 - a2b1 = 0 dx ในการแกสมการที่อยูในรูปแบบ dy = aa12xx++bb12yy++mn จะตองทําการเปล่ียนตัวแปรโดยทําให dx สมการในรปู แบบดงั กลา วเปน สมการแบบเอกพนั ธ ดว ยการเลอื กตวั แปรทเ่ี หมาะสม ดงั น้นั สามารถ เปลี่ยนตัวแปรโดยทําให aa12xx++bb12yy++mn อยูในรูปของ aa21XX ++bb12YY ซึ่งจะทําใหสมการกลายเปน สมการแบบเอกพนั ธ 5.3.1 ขน้ั ตอนการแกสมการ 5.3.1.1 หาคา x ในเทอมของ x และคา y ในเทอมของ y ที่เหมาะสมเพ่อื ทาํ ให a1X + b1Y = a1X + b1Y + m และ (5.1) a2 X + b2Y = a2 X + b2Y + n (5.2) 5.3.1.2 ทําการแกสมการพชี คณิตของสมการท่ี (5.1) และสมการท่ี (5.2) ดังน้ี 1. นําคา a1 คณู สมการที่ (5.2) ได a1a2 X + a1b2Y = a1a2 X + a1b2Y + a1n 2. นาํ คา a2 คูณสมการที่ (5.1) ได a1a2 X + a2b1Y = a1a2 X + a2b1Y + a2m 3. นาํ สมการท่ี (5.1) – สมการที่ (5.2) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

172 บทท่ี 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส a1a2 X + a1b2Y - a1a2 X - a2b1Y = a1a2 X + a1b2Y + a1n - a1a2 X - a2b1Y - a2m จะได a1b2Y - a2b1Y = a1b2Y + a2b1Y + a1n - a2m (a1b2 - aaa121bbn21 )Y = ( a1b2 + a2 b1 )Y + (a1n - a2 m) Y=y+ - aa22 m (เพราะวา a1b2 – a2b1 0) หรอื - b1 4. ในทํานองเดยี วกัน หา X ในเทอมของ x ไดค ือ aaaabb1h11122bbb=n2mm22----a--aaaab1bb22222b11mbbbm2nn111--aไไb2ดด1bn 1 X = x+ dY = dy จาก Y = y+ dX = dx และจาก X = x+ และ k = ให aa11bn2 - aa22 m (5.3) - b1  X = x + h หรอื x = X – h และ Y = y + k หรอื y = Y – k นั่นกค็ อื เปลยี่ นตัวแปรโดยให aa12xx++bb12yy++mn x = X - h แทนในสมการ dy = เมือ่ h และ k คือคา คงท่ี dx y = Y - k แทนในสมการ (5.3) จะทําใหเปนสมการแบบเอกพันธโดยสามารถ แกสมการหาคาํ ตอบได ตัวอยา งที่ 5.16 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปนี้ dy = 2y - x+5 dx 2x - y-4 วธิ ที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 พจิ ารณารปู สมการ จะเหน็ วา สมการทก่ี าํ หนดใหอ ยใู นรปู ของสมการ ขัน้ ตอนที่ 2 aa12xx++bb12yy++mn dy = dx พิจารณาคา a1 = -1, b1 = 2, m = 5, a2 = 2, b2 = -1, n = -4 ซึง่ สามารถเปล่ียนตวั แปรทําใหเ ปน สมการแบบเอกพนั ธไ ด คอื ให a1X + b1Y = a1X + b1Y + m จะได (5.4) -X + 2Y = -x + 2y + 5 และ a2X + b2Y = a2X + b2Y + n จะได (5.5) 2X - Y = 2x - y - 4 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแ บบเอกพนั ธ 173 นําสมการที่ (5.4)  2 + สมการที่ (5.5) ได 3Y = 3y + 6 หรอื Y = y + 2 ให y = Y - 2 ได dy = dY นําสมการท่ี (5.5)  2 + สมการท่ี (5.4) ได 3X = 3x - 3 หรอื X = x - 1 ให x = X + 1ได dx = dX dy 2y - x+5 ขั้นตอนท่ี 3 ทาํ การแทนคาในสมการ dx = 2x- y-4 เม่อื x = X + 1 และ y = Y - 2 จะได 2(Y-2)- (X-1) + 5 dY = 2(X +1) - (Y -2) - 4 dX 2Y - X 2X-Y dY = dX ขน้ั ตอนที่ 4 ทาํ การจดั รูปสมการโดยนาํ X หารเขาทุกพจนจ ะได dY = 2 Y - X dX 2 X - X X Y X X Y dY = 2 X -1 ซ่งึ เปน สมการแบบเอกพันธ dX 2 - Y X ทาํ การแกส มการโดยใชว ิธีการแกสมการแบบเอกพันธจะได ขนั้ ตอนที่ 5 Y +22v-X-v1ddXvห=รอื ddXY ข้ันตอนที่ 6 โดยให v = X และ v แทนคา ลงในสมการจะได V+X dv = dX -(v2 -1) X dv = v-2 ซึ่งเปน สมการแบบแยกตวั แปร dX ทาํ การแกสมการแบบแยกตัวแปรจะได (v - 2) dX v2-1 dv = - X หรือ  v - 2  dv = - dX  v2 -1 v2 -1  X = จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

174 บทที่ 5 สมการอนุพันธแ บบเอกพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ทาํ การหาปริพนั ธท ั้งสองขา งของสมการจะได   v - 2  dv =  - dX  v2 -1 v2 -1  X 1 v-1 2 ln v 2 -1 - ln v+1 = -ln X +ln C (เมอื่ C = คาคงท)่ี หรือ ln (v2 -1)(v+1)2 = ln k / X 2 , k = C 2 (v-1)2 น่นั กค็ ือ (v2 -1)(v+1)2 = k (เม่อื k เปน คา คงท)่ี (v-1)2 X2 Y แต v = X ดงั นน้ั  YX 2-1 YX +1 2 = k X2 YX -1 2 Y+X 3 หรือ Y - X =k (5.6) แต X = x - 1 และ Y = y + 2 แทนคา X และ Y ในสมการที่ (5.6) ได (y+2)+(x-1) 3 (y+2)-(x-1) = k หรอื x+y+1 3 = k y-x+3 ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ x+y+1 3= k y-x+3 ตัวอยา งท่ี 5.17 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปนี้ dy = x +3y - 5 dx x- y-1 วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณารูปสมการ จะเหน็ วา สมการทกี่ าํ หนดใหอ ยูใ นรูปของสมการ ขัน้ ตอนที่ 2 aa12xx++bb12yy++mn dy = dx จะได a1 = -1, b1 = 3, a2 = 1, b2 = -1, m = -5, n = -1 เปลี่ยนตัวแปรเพือ่ ทําใหสมการเปน สมการแบบเอกพันธด งั นี้ a1X + b1Y = a1X + b1Y + m จะได (5.7) X + 3y = x + 3y - 5 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแ บบเอกพนั ธ 175 และ a2X + b2Y = a2X + b2Y + n จะได (5.8) X-Y = x-y-1 นําสมการที่ (5.7) - (5.8) จะได 4Y = 4y - 4 หรอื Y = y - 1 ให y = Y + 1 ได dy = dY นาํ สมการ (5.8)  3 + (5.7) จะได 4X = 4x - 8 หรอื X = x - 2 ให x = X + 2 ได dx = dX dy x +3y - 5 dx x- y-1 ข้ันตอนที่ 3 ทาํ การแทนคา x = X + 2 และ y = Y + 1 ในสมการ = ได ขน้ั ตอนท่ี 4 ขน้ั ตอนที่ 5 dY (X + 2) +3(Y +1) - 5 ขัน้ ตอนท่ี 6 dX = X + 2 - (Y +1) -1 X +3Y ข้นั ตอนที่ 7 ddXY = X -Y จัดรูปสมการแบบเอกพนั ธโดยนาํ X มาหาร จะได 1+3Y /Y ddXY = 1-Y / X ซึ่งเปนสมการแบบเอกพนั ธ ทําการแกส มการโดยใชว ธิ กี ารแกส มการแบบเอกพันธจ ะได dd1XY+3=v v dv โดยให v = YX ได 1-v + X dX เมือ่ แทนคา เหลาน้ใี นสมการ v + X ddXv = ใชการแกสมการแบบแยกตวั แปรจะได 1 +3v X ddXv = 1-v - v dv = ( v2 + 2v + 1) dx 1 -v x (1- v )dv = dXX v2 +2 v +1  v-+11 + (v 2  dv = dXX  + 1) 2    ทาํ การหาปริพนั ธท ้ังสองขา งของสมการจะได  -1 dv +  (v 2 dv =  1 dx v+1 + 1)2 x -ln v +1 - v 2+1 = ln X + C (เมอ่ื C เปน คา คงท)่ี จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

176 บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ขน้ั ตอนท่ี 8 แทนคา v = YX ในสมการจะได -ln Y +1 - YX2+1 = ln X +C X -ln X +Y - 2X = ln X +C X X +Y แต X = x - 2 และ Y = y - 1 แทน จะได (x - 2) + (y -1) -ln x-2 - (x 2(x - 2) -1) = ln x-2 + C - 2) + (y (x + y - 3) ln x-2 - 2 (x - 2) = (x + y - 3) { ln x - 2 +C} x + y-3 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการคือ x-2 (x + y - 3) ln x + y-3 - 2 (x - 2) = (x + y - 3) { ln x - 2 +C} 5.4 สรปุ สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธ คือ สมการเชิงอนุพันธท่ีสัมประสิทธ์ิของคาเชิงอนุพันธ หรือสัมประสิทธิอนุพันธเปนฟงกชันเอกพันธระดับข้ันเดียวกัน ซึ่งขั้นตอนการแกสมการแบบ เอกพันธ มดี ังนี้ คอื ข้ันตอนท่ี 1 จัดรปู สมการแบบเอกพนั ธใหอ ยใู นรปู dy = F  y  ขั้นตอนท่ี 2 dx  x  ข้ันตอนท่ี 3 กาํ หนด v = y จะไดวา y = vx ขน้ั ตอนท่ี 4 x dy vdx xdv x dv  dx = dx + dx = v + dx หรอื v = x และได x = vy หา dx = vdy + ydv y y dy x dv แทนคา v= x และ dx = v + dx ในสมการ dy = F  y  จะได v+ x dv = F (v) dx  x  dx ใชวิธีการแกส มการแบบแยกตวั แปร dv F(v)- v = dx x จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ 177 ขั้นตอนท่ี 5 ทาํ การหาปริพนั ธทั้งสองขางของสมการ dv dx ข้ันตอนท่ี 6 = ขน้ั ตอนที่ 7  F(v)- v x y แทนคา v= x ในสมการทไ่ี ดจากการหาปริพันธ จัดสมการใหอ ยใู นรปู y = F(x) + C ซ่ึงเปนผลเฉลยของสมการ จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

178 บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แบบฝกหัดทา ยบทท่ี 5 1. จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการเชิงอนุพนั ธด งั ตอ ไปน้ี x2 +y2 1.1 dy = xy ตอบ y = ln x dx (kx) dy x-y 1.2 dx = x+y ตอบ y = 2x2 +C - x 1.3 (x - y)y = x + y  ตอบ 2 tan-1 y - ln  y2 +1 = 2 ln x + C ln (xy) x  x2 ตอบ = x 1.4 x(x+ y)y= y(x- y) y +C 1.5 (x+ y)y= y ตอบ ln y = x +C y dy y 1.6 x2 dx = x2 + xy+ y2  ตอบ tan-1 x = ln x + C 1.7 dy = x+ y ตอบ C ( x 2 + y 2 )12 = e tan-1  y  dx x-y  x  1.8 (3xy+ y2)dx+(x2 +xy)dy=0 ตอบ (y2 + 2xy)x2 + C2 1.9 (x+ y)dx+xdy=0 ตอบ x2 + 2xy = C dy x 1.10 x + y dx = 2 y ตอบ ln (y - x) = y-x +C 2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนพุ ันธเม่ือกําหนดเง่ือนไขใหด ังตอ ไปนี้ 2.1 (x - y)dx + (3x + y)dy = 0 เมอื่ x = 2 , y = – 1 2.2 (y+ x2 + y2 )dx - xdy = 0 เมื่อ x = 3 และ y = 1 2.3 y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = 0 เมอ่ื x = 1 , y = 1 2.4 y(x 2 + y 2)dx + x(3x 2 - 5y 2)dy = 0 เมอื่ x = 2 , y = 1 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพันธ 179 เอกสารอา งองิ วีรศักด์ิ บุญทน. (2553). คณิตศาสตรอ ิเลก็ ทรอนิกส 2. กรงุ เทพมหานคร: สํานกั พิมพแหง จุฬาลงกรณมหาวทิ ยาลัย. ภคั คนิ ี ชิตสกุล และคณะ. (2010). คณติ ศาสตรวิศวกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรงุ เทพมหานคร. Erwin Kreyszig . พรชยั สารทวาหา. (2550). สมการเชิงอนพุ นั ธ. กรุงเทพมหานคร : ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณม หาวิทยาลัย. นิรัดร คาํ ประเสิรฐ. (2553). คณติ ศาสตรวิศวกรรมไฟฟา 4. กรงุ เทพมหานคร: ศูนยส ่อื เสรมิ กรงุ เทพฯ . สวุ ฒั น รอดผล. (2546). สมการเชงิ อนพุ นั ธส ําหรบั วศิ วกร. กรุงเทพมหานคร : สํานักพมิ พ ส.ส.ท สมาคมสง เสรมิ เทคโนโลยีไทยญ่ปี นุ สาํ เริง ชืน่ รังสกิ ลุ . (2555). สมการเชงิ อนุพันธ. กรงุ เทพมหานคร : สาํ นักพิมพแหง จฬุ าลงกรณ มหาวิทยาลยั . Linear Differential Equations. [ออนไลน] เขาถงึ ไดจาก http://wwwtutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วันทีค่ น ขอมูล 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วนั ท่ี คนขอมลู 10 เมษายน 2556) Chapter 14 Difference Equations 1. [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://www.cimt.plymouth.ac.uk /projects/.../discrete_ch14.pdf (วันทคี่ น ขอมลู 10 เมษายน 2556) Chapter11 Differential Equation. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ math103/keshet.notes/chapter11Notes.pdf. (วนั ที่คน ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556) Chapter4 Application of Second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis. [ออนไลน] เขา ถึงไดจากhttp://www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%204% 20Second %20order%20DEs.pdf. (วนั ทคี่ นขอ มลู 10 เมษายน 2556) Application second order. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20Concepts%20and%20Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf . (วันทค่ี นขอมูล 10 เมษายน 2556) จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

บทท่ี 6 สมการอนพุ นั ธแ บบแมนตรง 6.1 สมการเชงิ อนพุ นั ธแบบแมนตรง (Exact differential equation) สมการเชิงอนุพันธอันดับที่หน่ึงท่ีเปนสมการแบบแมนตรง เปนสมการที่มีรูปแบบคลายกับ สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธ การหาผลเฉลยก็มีข้ันตอนและวิธีการเฉพาะสําหรับสมการ แบบแมน ตรง โดยตองทดสอบสมการกอนวาเปนสมการแบบแมน ตรงหรือไม ถาเปนกแ็ กสมการ โดยวิธีของการแกสมการแบบแมนตรง แตถาไมเปนสมการแมนตรงตองหาตัวประกอบชวยคูณ เขามาในสมการเพื่อดําเนินการแกสมการตอไป ซึ่งรูปทั่วไปของสมการแมนตรงสามารถเขียน ใหอยูใ นรูปแบบตอ ไปนี้ เขียนสมการไดในรปู dy dx M(x,y) + N(x,y) = 0 หรอื (6.1) (6.2) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 หรือ โดยสมการ (6.2) มี M(x,y) และ N(x,y) เปนฟงกชันที่เปนสัมประสิทธิ์ของคาเชิงอนุพันธ dx และ dy ถาตรวจสอบพบวา  M (x, y) =  N (x, y) แลวสมการ (6.2) จะเปนสมการแบบ y x แมนตรง โดยมฟี งกชนั F(x,y) = C เปนผลเฉลยทัว่ ไป ตวั อยา งท่ี 6.1 จงพิสูจนวาสมการตอ ไปนี้ (y cos x + 2xey) + (sin x + x2ey+ 2) dy = 0 เปน สมการ dx แบบแมน ตรงหรือไม วธิ ีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 ทําการพจิ ารณาวา เปนสมการแบบแมนตรงหรอื ไมโ ดยจัดรูปแบบตาม สมการท่ี (6.1) จะได dy dx M(x,y) + N(x,y) = 0 โจทยก าํ หนด (y cos x + 2xey) + (sin x + x2ey+ 2) dy = 0 dx ดังนั้นเงื่อนไขขอ 1 เปนจรงิ ข้นั ตอนที่ 2 เงอ่ื นไขท่ี 2  M (x, y) =  N (x, y ) y x จะได M(x,y) = y cos x + 2xey

182 บทที่ 6 สมการอนพุ ันธแ บบแมน ตรง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส   M ( x, y ) =  ( y cos x + 2 x e y ) = cos x + 2x e y y y N(x,y) = sin x + x2ey+ 2   N ( x, y) =  (sin x + x2e y + 2) = cos x + 2x e y x x   M ( x, y ) =  N ( x, y ) เงื่อนไขที่ 2 เปนจรงิ y x ตอบ สมการนี้เปนจริงท้งั 2 เงอื่ นไขดงั น้ันเปน สมการแบบแมน ตรง ตวั อยา งท่ี 6.2 จงพิสจู นว า สมการตอไปน้ี (3x2+ y2) + 2xy dy = 0 เป นสมการแบบ แม นตรง dx หรือไม dy วธิ ที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณารูปสมการ M(x,y) + N(x,y) dx = 0 (3x2+y2) + 2xy dy = 0 อยูในรูปแบบที่ 1 จริง dx ขน้ั ตอนที่ 2 พสิ ูจนว า  M ( x, y ) =  N (x, y) y x จากโจทย M(x,y) = 3x2+ y2  M ( x, y ) =  (3x2 + y2) = 2y y y จากโจทย N(x,y) = 2xy  N ( x, y) =  (2xy ) = 2y x x  M ( x, y ) =  N ( x, y ) เปน จรงิ y x  เงื่อนไขท่ี 1 และ 2 เปนจรงิ ดังนั้น เปนสมการแบบแมน ตรง dy ตอบ (3x2+y2) + 2xy dx = 0 เปน สมการแบบแมนตรง 6.2 การแกส มการแบบแมน ตรงโดยใชผ ลตา งเชงิ อนุพนั ธ การแกสมการโดยใชผ ลตา งเชิงอนพุ ันธรวมสามารถทําไดด ังสมการที่ (6.3) dF(x,y) =  F(x, y)dx +  F ( x, y )dy (6.3) (6.4) y x เพราะวา dF(x.y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy จากสมการที่ (6.3) และ (6.4) ได จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแ บบแมน ตรง 183 M(x,y)=  F(x, y)และ N(z,y) =  F ( x, y ) (6.5) y y และจากสมการ (6.3) และ (6.4) แสดงวา dF(x,y) = 0 (เพราะวา F(x,y) = C) ตามสมการ (6.5) เปนสมบตั ทิ ใี่ ชสําหรบั หาผลเฉลย ตวั อยา งที่ 6.3 จงแสดงวา ydx + xdy = 0 เปน สมการแบบแมนตรงและหาผลเฉลย วธิ ีทํา ขัน้ ตอนที่ 1 จาก ydx + xdy = 0 จะได F(x,y) = xy ข้นั ตอนที่ 2 เมอ่ื นํามาหาอนุพนั ธผลตา งไดเปน dF(x,y) = ydx + xdy แสดงวา ydx + xdy = 0 เปนสมการแมน ตรง ขัน้ ตอนที่ 3 โดยที่ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 และ dF(x.y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy แสดงวา dF(x.y) = 0  dF(x.y) = 0 ได F(x.y) = C ดังนน้ั ได xy = C เปนผลเฉลยทั่วไป ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื xy = C ตามตัวอยางท่ี 6.3 การทไี่ ด xy = C เปนผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ ydx + xdy = 0 เน่อื งจาก สูตรของการหาผลตางเชิงอนุพันธของ xy = C สอดคลองกับสมการ หากสมการเชิงอนุพันธ มีความซับซอนมากข้ึน การหาผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธแบบแมนตรงจึงตองมีวิธีการเฉพาะ ดังตอ ไปน้ี 6.3 การหาผลเฉลยสมการเชิงอนพุ นั ธแบบแมน ตรง เม่ือ F(x,y) เปนผลเฉลยของสมการ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 ซึ่งเปนสมการแบบแมนตรงน้ัน วิธีการหาคา F(x,y) มขี นั้ ตอนวธิ เี ฉพาะ ดงั นี้ 6.3.1 วิธีการหาผลเฉลยโดยการจัดกลุม ซึ่งตองใชพื้นฐานความรูเรื่องการหาอนุพันธ ประกอบการพิจารณา จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

184 บทท่ี 6 สมการอนุพันธแบบแมน ตรง คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยา งที่ 6.4 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการตอไปน้ี y2xdx + x2ydy = 0 วิธที าํ โจทยก ําหนดให y2xdx + x2ydy = 0 ขั้นตอนท่ี 1 พจิ ารณาสมการใหอ ยูใ นรูป M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = y2x และ N(x,y) = x2y ขน้ั ตอนท่ี 2 พสิ จู นวา  M (x, y) =  N ( x, y) y x หาคา  M ( x, y) =  ( y 2 x) = x  ( y 2 ) = 2xy y y y หาคา  N ( x, y) =  x2y = y  x2 = y2x = 2xy y x x จะได  M (x, y) =  N ( x, y) y x ดังนนั้ y2xdx + x2ydy = 0 เปน สมการแมนตรง ข้ันตอนท่ี 3 แกส มการโดยใชก ารจดั กลมุ โดยใชค ณุ สมบัตกิ ารหาผลคณู ของสมการ d(u.v) อนุพันธจะได dx = u ddxv + v ddxu โจทยกําหนด y2xdx + x2ydy = 0 u = y2และ v = x2 จะได d ( y2x2 ) = 2 y2dx + x2 2y = y2dx + x2dy = 0 dx นํา 2 หารเขาทั้งสองขา งของสมการ ddx  y2x2  = 2 y2dx + x2 2 y  2  2 2 = y2dx + x2y = 0 ทําการหาปรพิ ันธจะได  d  y2x2  = y2x2 = C1 (เม่อื C1 = คาคงท)ี่  2  2 หรือ y2x2 = 2C1 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y2x2 = 2C1 ตวั อยา งที่ 6.5 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปน้ี (3x2y + 4x)dx + (x3 + 2y)dy = 0 วิธที าํ ข้นั ตอนที่ 1 พิจารณาสมการใหอ ยูในรูป M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = 3x2y + 4 และ N(x,y) = x3 + 2y จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 6 สมการอนพุ ันธแบบแมนตรง 185 ขน้ั ตอนที่ 2 พิสูจนวา  M (x, y) =  N (x, y) y x 4 y หาคา  M (x, y) =  (3x 2 y + 4) = 3x 2  ( y ) + y y y = 3x2 + 0 = 3x2 2y x หาคา  N ( x, y) =  x3 + 2y =  x3 + = 3x2 + 0 = 3x2 y x x จะได  M (x, y) =  N (x, y) y x ดงั นนั้ (3x2y + 4x)dx + (x3 + 2y)dy = 0 เปน สมการแบบแมน ตรง ขนั้ ตอนที่ 3 แกส มการโดยใชก ารจดั กลมุ โดยใชค ุณสมบตั กิ ารหาผลคณู ของสมการ อนพุ นั ธจะได d(u.v) = u ddxv + v ddux dx (3x2y + 4x)dx + (x3 + 2y)dy = 0 นาํ คา dx และ dy คณู เขาไปในวงเลบ็ จะได 3x2ydx + 4xdx + x3dy + 2ydy = 0 จดั กลมุ ใหมจะได (3x2ydx + x3dy) + (4xdx + 2ydy) = 0 ใชกฎการคูณของอนุพนั ธจะได (3x2ydx + x3dy) = ddx (x3 y) และพิจารณาคา แตล ะพจน 4x dx = ddx (2x2 ) 2y = ddy ( y2 ) ดังนน้ั จะได d(x3y + 2x2 + y2) = 0 ทําการหาปรพิ ันธจะได  d(x3y + 2x2 + y2) = 0 (x3y + 2x2 + y2) = C ตอบ ผลเฉลยของสมการ คอื (x3y + 2x2 + y2) = C 6.3.2 วิธีการหาผลเฉลยโดยการรวมผลเฉลยยอยเปนวิธีหาผลเฉลยจากสมบัติของสมการ แมนตรง ข้ันตอนที่ 1 พิจารณาวา เปน สมการแบบแมน ตรงหรือไมโ ดยใช 2 เง่ือนไข คอื จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

186 บทที่ 6 สมการอนุพันธแบบแมนตรง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 1. รปู สมการ M(x,y) + N(x,y) dy =0 dx 2.  M (x, y) =  N (x, y ) y x ตอ งเปนจรงิ ทัง้ 2 กรณี จงึ จะถอื วาเปน สมการแบบแมนตรง ขั้นตอนท่ี 2 กําหนดฟงกช ัน (x,y) = C และ ขน้ั ตอนที่ 3  (x, y) = M(x,y) และ  ( x, y) = N(x, y) ขัน้ ตอนที่ 4 ขนั้ ตอนท่ี 5 x y ขัน้ ตอนท่ี 6 หาปรพิ ันธของสมการ  ( x, y ) = M ( x, y ) เทยี บกบั ตวั แปร x x    (x, y)  dx =  M(x,y) dx   x (x,y) =  M(x,y) dx+h(y) (6.6) เมื่อ h(y) เปนฟง กชันซง่ึ ทําหนา ทเ่ี ปน คา คงท่ี โดย h(y) = C (6.7) (6.8) ทําการหาอนพุ ันธของสมการ (x,y ) =  M(x,y) dx+h(y) เทยี บกบั ตวั แปร y  ( x, y) =   M (x,y)dx  +  h( y)  y y y แตจ าก  ( x, y ) = N(x,y) y ดังนน้ั N(x,y) =    M( x,y)dx  +  h( y)   y y   h(y) = N(x,y) -   M(x, y)dx y y แทนคา h(y) ที่ไดในสมการ (6.6) คอื (x,y) =  M(x,y) dx+h(y)จะไดคาํ ตอบทตี่ อ งการ ตัวอยา งท่ี 6.6 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการตอ ไปนี้ (3x2 + y2) + 2xy dy = 0 dx วิธที ํา ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาวาเปน สมการอนุพนั ธแ บบแมน ตรงหรอื ไมโ ดยใช 2 เงอื่ นไข คอื 1. จดั รปู สมการใหอ ยใู นรูป M(x,y) + N(x,y) dy = 0 จะได dx dy (3x2 + y2) + 2xy dx = 0 เปน จรงิ M(x,y) = (3x2 + y2) และ N(x,y) = 2xy จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแบบแมน ตรง 187 2. หาคา  M (x, y) =  N (x, y ) y x  M ( x, y ) =  (3x 2 + y2 ) = 2y y y  N ( x, y) =  (2xy) = 2y x x   M (x, y) =  N (x, y ) = 2y y x ดังน้ันเง่ือนไขเปน จริงทงั้ 2 เง่ือนไข จงึ เปน สมการแบบแมนตรง ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนดฟงกชนั (x,y) = C และ ขั้นตอนท่ี 3  (x, y) = M(x,y) และ  ( x, y) = N(x, y) ขัน้ ตอนท่ี 4 x y โดยหาคา h(y) จากสมการ  h(y) = N(x,y) -   M(x, y)dx y y จากโจทยจะได N(x,y) = 2xy และ M(x,y) = 3x2 + y2 ทําการหาปริพันธ M(x,y) เทยี บกับตวั แปร x จะได  M (x, y)dx =  (3x2 + y2 )dx = x3 + y2x ทาํ การหาอนพุ ันธบางสว นเทยี บกบั ตวั แปร y จะได   M(x,y) dx =  (x3 + y2x) = 2 yx = 2 xy y x แทนคา ในสมการ  h( y ) = N(x,y) -   M (x, y)dx y y จะได  h( y) = 2xy - 2 xy = 0 y  h( y ) = 0 y ทาํ การหาปริพันธห าคา h(y) จะได  yh(y) = 0 dy = k  h(y) = k เม่อื กําหนดใหค า k เปน คาคงท่ี หาคา สมการผลเฉลยทัว่ ไปจาก (x, y) =  M (x, y)dx + h( y) แทนคา h(y) = k และ  M (x, y)dx = x3 + y2x (x, y) = x3 + y2x + k จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

188 บทที่ 6 สมการอนพุ ันธแบบแมนตรง คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เมอ่ื (x,y) = C จะได C = x3 + xy2 + k x3 + xy2 = C- k y = C-kx-x3 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y = C-kx-x3 ตัวอยางท่ี 6.7 จงแกสมการ (y cos x + 2xey) + (sin x + x2ey + 2) dy = 0 dx วิธีทาํ ข้ันตอนที่ 1 พิจารณาวาเปน สมการแบบแมน ตรงหรือไมโ ดยใช 2 เงื่อนไข คือ dy 1. จดั รปู สมการใหอ ยูใ นรูป M(x,y) + N(x,y) dx = 0 จะได จากโจทย M(x,y) = y cos x + 2xey และ N(x,y) = sin x + x2ey + 2 2. หาคา  M (x, y) =  N (x, y ) y x  M(x, y) =  ( y cos x + 2xe y ) = cos x + 2xey y y  N (x, y ) =  (sin x + x 2e y + 2) = cos x + 2xey y x จะได  M (x, y) =  N (x, y ) เปน จรงิ y x เปน จรงิ ทั้ง 2 กรณี ดังนน้ั เปนสมการแบบแมน ตรง ขน้ั ตอนที่ 2 กําหนดฟง กช นั (x,y) = C และ  (x, y) = M(x,y) และ  ( x, y) = N(x, y) x y ขัน้ ตอนท่ี 3 โดยหาคา h(y) จากสมการ  h( y ) = N(x,y) -   M(x, y)dx y y  M (x, y) dx =  (y cos x + 2xey )dx  M (x, y) dx = y sin x + x2e y   M (x, y) dx =  ( y sin x + x 2e y ) = sin x + x2ey y y จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนพุ นั ธแ บบแมน ตรง 189 แทนคา ใน  h( y ) = N(x,y) -   M (x, y)dx y y  h( y) = sin x + x2ey + 2 - sin x - x2ey y  h( y ) = 2 y h(y) = 2 dy = 2y + k เม่อื k = คาคงที่ ขน้ั ตอนที่ 4 หาคา สมการผลเฉลยท่วั ไปจาก (x, y) =  M (x, y)dx + h( y) (x, y) = y sin x + x2e y + 2y + k เม่อื (x, y) = C จะได C = y sin x + x2e y + 2y + k y sin x + x2e y + 2y = C - k ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คือ y sin x + x2e y + 2y = C - k ตวั อยางท่ี 6.8 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการตอ ไปนี้ (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0 วิธที ํา ข้นั ตอนที่ 1 พิจารณาสมการใหอยูในรปู M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = x + 2y และ N(x,y) = 2x + y ขั้นตอนที่ 2 พสิ ูจนวา  M (x, y) =  N (x, y ) y x หาคา  M(x, y) =  (x + 2 y ) =  x + 2y y y y y = x 1 + 2y = 2 y y y หาคา  N (x, y) =  (2x + y) =  2x + x = 2 x x x จะได  M (x, y) =  N (x, y ) y x dh( y) ข้ันตอนที่ 3 หาคา h(y) จากสมการ d(y) = N ( x, y) -   M (x, y)dx y เมอ่ื M(x,y) = x+2y ทาํ การหาปรพิ ันธเ ทยี บตวั แปร x จะได จะได M(x,y)dx = xdx + 2ydx = x22 + 2yx ทําการหาอนพุ นั ธเ ทยี บกับตวั แปร y จะได จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

190 บทที่ 6 สมการอนุพันธแ บบแมนตรง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส y  M(x, y)dx = y  x22 +2 yx  = 2x2y + 2x yy = 0 + 2x = 2x   แทนคา จะได หาคา dh( y) = N(x, y) - y  M(x, y)dx d(y) dh( y) d(y) = 2x + y - 2x = y ทําการหาปริพันธเ พอ่ื หาคา h(y) จะได  dh( y) = h( y) =  ydy = y2 + k d(y) 2 ข้ันตอนที่ 4 หาคา เพือ่ แทนในสมการคาํ ตอบตอไปน้ี (x,y) =  M(x,y)dx + h(y) เมือ่  M(x,y) dx = x22 + 2 yx และ h(y) = y2 +k 2 y2 (x, y) = x22 + 2yx + 2 +k และ (x, y) = C C -k= x22 + 2 yx + y2 2 y2 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ C-k = x22 + 2 yx + 2 ตัวอยา งที่ 6.9 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ (4x - 2y)dx + (2y - 2x)dy = 0 วิธีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณาสมการใหอ ยใู นรปู M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = 4x - 2y และ N(x,y) = 2y - 2x ขนั้ ตอนที่ 2 พสิ ูจนว า  M (x, y) =  N (x, y ) ขั้นตอนท่ี 3 y x หาคา  M (x, y) =  (4 x - 2 y) =  4 x - 2y = 4x 1 - 2y = -2 y y y y y y หาคา  N (x, y) =  (2 y - 2 x) =  2y- 2x = -2 x x x x จะได  M (x, y) =  N (x, y ) แสดงวา เปนสมการแบบแมนตรง y x หาคา h(y) จากสมการ dh( y) = N ( x, y) - y  M ( x, y)dx d(y) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย