140 บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อนั ดับหนงึ่ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส dI = e I0[e eV ] dV kT kT ข้นั ตอนที่ 3 แกสมการอนุพันธแ บบแยกตัวแปร eV แทนคา I = I0e kT จะได dI eIdv dV = kT dI = e dV I kT หาปรพิ ันธท ้งั สองขางของสมการ 1 e I dI = kT dV ln I = e V kT eV I = e kT + C (เม่อื C = คาคงที)่ ข้ันตอนที่ 4 หาคา rd จากความสัมพนั ธ ขนั้ ตอนท่ี 5 dV kT rd = dI = eI แทนคา T = 290 K และ k =1.38 10-23 Joules/Kelvin-1 และ e = 1.6 10-19 คลู อมบ และ I = 10 A จะได dV kT rd = dI = eI = 1.3810-23 290 1.610-19 1010-6 = 2500 ตอบ rd = 2500 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามญั อันดับหน่ึง 141 ตัวอยางที่ 4.28 จากวงจรไบแอสแบบแบงแรงดันของทรานซิสเตอรแบบสองรอยตอ จงหา เสถยี รภาพของวงจร RTh = R1 R2 = R1R2 iC R1 + R2 iB VCC Rth Vth iE รปู ที่ 4.26 วงจรตวั อยา งที่ 4.28 วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 จากการไบแอสแบบแบงแรงดนั ขน้ั ตอนที่ 2 VB =VTh =VCC (R1R+2R2) ข้ันตอนที่ 3 RTh = R1 R2 = RR11+RR22 ใชกฎแรงดันของเคอรชอฟท หาคา กระแส IB ดา นอนิ พตุ ลูปจะได VTh - IBRTh - VBE - (+1) IBRE = 0 หรอื IB = VTh -VBE RTh +(+1)RE ใชก ฎแรงดนั ของเคอรชอฟท หาคากระแส IC ดา นเอาตพ ตุ ลูปจะได VCE = VCC - ICRC - IERE เมอ่ื IE = IC + IB แทนคา ในสมการ VCE = VCC - ICRC - (IC+IB)RE หาคา IC = IB จะได IC = RThV+Th(-V+B1E)RE จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
142 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธสามัญอนั ดับหนึง่ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ขน้ั ตอนที่ 4 สาํ หรับเสถยี รภาพในการไบแอส RTh << (+1)RE IC = (VTh -VBE ) ( +1) RE เสถยี รภาพของวงจร s = 1-(+dd1IICB ) VTh - IBRTh - VBE - IERE = 0 VTh = IBRTh + VBE + (IB+IC)RE ขน้ั ตอนท่ี 5 หาอนุพนั ธข องสมการของ IB เทยี บกบั IC dVTh = RTh dI B + dVBE +RE d ( IB+IC) dIC dIC dIC dIC เม่ือ VTh = คา คงท่ี 0 = RTh dI B +RE ( dI B + 1) dIC dIC 0 = RTh dI B +RE dI B +RE dIC dIC -RE = RTh dI B +RE dI B dIC dIC -RE = (RTh + RE) dI B dIC dI B = -RE dIC (RTh + RE ) ขน้ั ตอนที่ 6 แทนคา dI B ในสมการคา s จะได dIC s = 1- (RT+-hR1+ERE ) ตอบ เสถยี รภาพของวงจร s = 1- (RT+-hR1+ERE ) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อนั ดบั หนึง่ 143 ตัวอยางท่ี 4.29 จากวงจรออปแอมปในรูปที่ 4.27 จงหาคา vo เม่ือ t > 0 ถา v(0) = 3 V และ Rf = 80 k , R1 = 20 k และ C = 5 F Rf 80 k 1C 2 - + + 3V - 3 + vo (0+ ) R1 vo 20 k - 80 k 20 k vo รปู ที่ 4.27 วงจรตวั อยางท่ี 4.29 วิธที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 เขียนสมการอนุพนั ธโดยใชก ารวเิ คราะหแ บบโหนด ถา v1 เปนแรงดนั ที่ ขน้ั ตอนที่ 2 โหนดที่ 1 โดยใชก ฎกระแสของเคอรชอฟท เม่ือ C = ตวั เกบ็ ประจุ C0R-dd1vvt1 dv = C dt dv = - CRvv11R11 dt - = dv + CvR11 =0 dt ท่โี หนด 2 และ 3 มีคาแรงดนั เทา กนั ซึง่ แรงดนั ที่โหนด 2 มคี าเปนศูนย ดังน้ัน v1 - 0 = v v1 = v แทนคา ในสมการอนพุ นั ธจะได dv + v =0 dt CR1 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
144 บทที่ 4 สมการอนุพันธส ามัญอันดบั หน่ึง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนท่ี 3 แกสมการแบบแยกตวั แปร ขน้ั ตอนที่ 4 dv = - v ข้นั ตอนท่ี 5 dt CR1 ขน้ั ตอนท่ี 6 เมื่อ = CR1 1 - 1 dt v dv = หาปรพิ ันธทัง้ สองขา งสมการ 1 dv = - 1 dt v ln v = - 1 t +ln A (เมอ่ื ln A เปน คา คงทเี่ นอ่ื งจากใชต ัวแปร C แลว) ln v - ln A = - 1 t v = -1t ln A v = e-1t A v = A e-1t ดงั นน้ั v(t) = A e-1t กําหนด R1 = 20 k และ C = 5 F = CR1 = 510-6 20 103 = 0.1 v(t) = A e-01.1t ผลเฉลยทัว่ ไปมีคาเปน v(t) = Ae-10t หาคา คงท่ี A เมื่อ t > 0 ถา v(0) = 3 V โดยแทนคา ในสมการ v(t) = A e-1t 3 = Ae-10(0) A =3 ผลเฉลยเฉพาะรายมคี าเปน v(t) = 3e-10t โหนดท่ี 2 พจิ ารณาโดยใชก ฎกระแสของเคอรชอฟท 0R-vf 0 = C dv dt จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามัญอนั ดบั หนง่ึ 145 v0 = -Rf C dv dt แทนคา Rf = 80 k , C = 5 F v0 = -80103510-6 d(3e-10t ) dt v0 = -40010-3(-30e-10t ) = 12 e-10t V ตอบ v0 = 12e-10t V เมื่อ t > 0 ตัวอยางท่ี 4.30 จงหาคา v(t) และ v0(t) จากวงจรตอ ไปนี้ 10 k v1 1 F 3 V 20 k 50 k 20 k vo รปู ท่ี 4.28 วงจรตวั อยางที่ 4.30 วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาวงจรแรงดนั ดานอนิ พตุ v1 มลี กั ษณะการตอบสนองแบบ ขั้นบัน ได โดย vs เปนแหลงจายแรงดันคงที่ และ v0 เปนแรงดันเร่ิมตน ของตวั เกบ็ ประจุ เมอื่ C = ตวั เก็บประจุ VS v VSu(t) v (ก) (ข) สําหรบั แรงดนั ท่ีเวลา t < 0 ซง่ึ เกิดทนั ทีทันใดแรงดันทีต่ ัวเกบ็ ประจุจะไม สามารถเก็บประจไุ ดทันที ดงั นน้ั v(0-) = v(0+) = v0 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
146 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามัญอันดับหน่ึง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส จากกฎกระแสของเคอรช อฟท v -VRsu(t ) C dv + = 0 dt dv v RVCs u(t) dt + RC = เม่ือ v เปนแรงดันตกครอ มตัวเก็บประจุ เมื่อเวลา t > 0 dv v RVCs dt + RC = ขน้ั ตอนท่ี 2 แกส มการโดยใชว ิธกี ารแยกตวั แปร vR-CVs ขนั้ ตอนท่ี 3 dv RV1Cs v dtd = - RC - RC = - ขน้ั ตอนที่ 4 v -Vs = - dt ทําการหาปริพันธท ้ังสองขา งของสมการ d 1 = - RC dt v-Vs 1 t ln(v -Vs ) v(t) = - RC t 0 v0 [ ln(v(t)-Vs )-ln(v0 -Vs ) = - 1 (t)+0 RC (v(t )--VVss)) ] 1 [ ln (vo = - RC t (v(t ) -Vs ) = e- 1 t (vo -Vs ) RC v(t ) -Vs = (vo -Vs )e- 1 t RC v(t ) =Vs + (vo -Vs )e- 1 t เมื่อเวลา t > 0 RC ดงั นั้น v(t)= vo 1 เมื่อเวลา t < 0 RC v(t) =Vs + (vo -Vs )e- t เม่อื เวลา t > 0 สาํ หรบั ผลตอบสนองของวงจรออปแอมปจ ะมีสมการเปน v(t ) =Vs + (vo -Vs )e- 1 t RC จะได v(t)= v()+[v(0)-v()]e-t/ (4.12) เมอื่ v(0) = แรงดนั เร่มิ ตน ของตวั เก็บประจุ v() = แรงดันสุดทา ยของตวั เก็บประจุ = RC = คาคงทข่ี องเวลา จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธสามัญอันดับหน่ึง 147 เม่อื R = 50 10-3 และ C = 1 10-6 F หาคา = (50 10-3)( 1 10-6) = 0.05 s - สาํ หรบั t < 0 สวิตชจ ะเปด และไมม ีแรงดนั ตกครอ มตวั เกบ็ ประจุ ดังน้ัน v(0) = 0 เมื่อ t > 0 แรงดนั ที่โหนด 1 ใชก ฎการแบง แรงดัน 20 v1 = 20 +10 3 = 2 V -วงจรดานอนิ พตุ ไมม กี ารสะสมพลังงาน v1 จะมคี าคงท่สี ําหรับทุกคา t ในสภาวะคงตวั ตัวเกบ็ ประจจุ ะเสมอื นเปดวงจรดงั นน้ั วงจรออปแอมป ทํางานเปนวงจรขยายแบบไมก ลับเฟส v0(t) = 1+ Rf v1 R2 เมอ่ื Rf = 50 k และ R2 = 20 k 50 v0 () = 1+ 20 v1 = 3.5 2 = 7 V แต v1 - v0 = v v () = 2 - 7 = -5 V แทนคา , v () และ v (0) แทนคา ในสมการที่ (4.12) จะได v0(t) = v()+[v(0)-v()]e-t/ v0(t) = -5+[0-(-5)]e-20t v0(t) = 5(e-20t -1) V = 5e-20t -5 V จาก v1 - v0 = v จะได v1- v = v0 หรอื v0(t) = v1(t) - v(t) v0(t) = 2 -(5e-20t - 5) = 7-5e-20t V ตอบ v0(t) = 7-5e-20t V และ v(t)= 5e-20t -5 V จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
148 บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธสามัญอันดับหนงึ่ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยา งที่ 4.31 จงหาคาผลตอบสนองแบบขั้นบันไดของ v0(t) เมื่อ t > 0 ตามวงจรในรูป กาํ หนดให vi = 2 u(t) V , R1 = 20 k , Rf = 50 k , R2 = R3 = 10 k และ C = 2 F R1 Rf vo vi R2 R3 รปู ที่ 4.29 วงจรตวั อยางท่ี 4.31 วธิ ีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 หาคา VTh และ RTh โดยทําการตัดตัวเก็บประจุออกซึ่งเปรียบเสมือน เปดวงจร และหาคาเทียบเคียงเทวินินที่ข้ัว ไดแก VTh พิจารณาจากวงจร ในรปู มีลกั ษณะเปน วงจรขยายแบบกลับเฟส Rf R1 R2 Ro R2 vi Vab R3 R3 RTh VTh (ก) (ข) รปู ที่ 4.30 การหา VTh และ RTh ทีต่ วั เก็บประจุ Vab =- Rf vi R1 จากกฎการแบง แรงดัน VTh = R3 Vab = - R3 Rf vi R2 + R3 R2 + R3 R1 หาคา RTh จากรปู ที่ 4.30 (ข) ซึ่ง R0 เปน คา ความตา นทานเอาตพตุ ของ ออปแอมป ซง่ึ สมมตวิ า เปน ออปแอมปในอดุ มคติ R0 = 0 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหนงึ่ 149 RTh = R2 R3 = R2 R3 R2 + R3 แทนคา VTh และ RTh จะได 10 50 VTh = - 10 +10 20 (2u(t )) VTh = -2.5u(t) ขน้ั ตอนที่ 2 เขยี นวงจรเทียบเคยี งเทวนิ ิน จะได 5 k -2.5u(t ) 2 F ซง่ึ คลา ยกบั ตัวอยา งท่ี 4.30 ซงึ่ ใชกฎกระแสของเคอรช อฟทจะได v -VRsu(t ) C dv + = 0 dt แกสมการโดยใชว ธิ ีการแยกตัวแปร ขนั้ ตอนที่ 3 RV1Cs v vR-CVs ข้ันตอนที่ 4 dv = - RC - RC = - dtd = - dt ขน้ั ตอนท่ี 5 v -Vs ทําการหาปรพิ นั ธท ัง้ สองขางของสมการ d 1 = - RC dt v-Vs ทาํ การแกส มการตามตวั อยางท่ี 4.30 จะได v(t ) =Vs + (vo -Vs )e- 1 t RC ถาสมมติวา ตวั เกบ็ ประจุไมไดร ับการชารจ ประจทุ ่ีสภาวะเรม่ิ ตน v0 = 0 V 1 1 Vs -(1-e- R1Ct ) v(t ) = Vs + (0 -Vs )e- RC t = Vs -Vse- RC t = เมื่อแรงดันอนิ พุตเปนแบบขนั้ บันไดดังน้ันมีสมการเปน 1 v0 (t) = Vs (1- e- RC t ) u(t) แทนคา RTh = 5 103 และ C = 2 10-6 หาคา = RC = 5 103 2 10-6 = 0.01 เม่ือ vi = 2 u(t) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
150 บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามญั อนั ดับหนึง่ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ดังนนั้ ผลตอบสนองแบบขัน้ บนั ไดเมอ่ื t > 0 มคี าเปน v0 (t) = 2.5(1-e-100t )u(t) ตอบ v0 (t) = 2.5(1-e-100t )u(t) 4.6 สรปุ สมการเชิงอนพุ นั ธแบบแยกตวั แปรได ตอ งมรี ูปแบบมาตรฐานดังน้ี dy M ( x ) + N ( y). dx = 0 โดยผลเฉลยของสมการมีอยู 2 แบบ คือ ผลเฉลยท่ัวไปและผลเฉลยเฉพาะราย ซ่ึงในการหา ผลเฉลยท่วั ไปมีขน้ั ตอนดงั น้คี อื ขั้นตอนท่ี 1 จัดสมการใหอยใู นรูป M(x)dx + N(y)dy = 0 ขน้ั ตอนท่ี 2 ทาํ การหาปรพิ ันธของ M(x) และ N(y) จะได M(x)dx + N(y)dy = 0 ขั้นตอนท่ี 3 จดั สมการใหอ ยูในรูปผลเฉลยท่วั ไป หรือผลเฉลยเฉพาะราย สว นการประยุกตส มการอนุพันธในงานดานไฟฟา อิเลก็ ทรอนิกสและทางกลจาํ เปนตอ งสราง แบบจําลองของแรงที่กระทําตอวัตถุและเง่ือนไขความสัมพันธของตัวแปรที่เกี่ยวของตามกฎและ ทฤษฎีจากนั้นจึงนําการแกสมการแบบอนุพันธแบบแยกตัวแปรไปแกไขสมการตามเงื่อนไข ทกี่ าํ หนดให จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 4 สมการอนพุ ันธส ามัญอันดบั หน่งึ 151 แบบฝกหดั ทายบทที่ 4 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอไปนแ้ี บบแยกตวั แปรตอไปนี้ ddddxyyx 1. = 5 ye x xy2 ตอบ y = e5ex + C 2. = -3cos ตอบ y = 3si1n x + C 3. 2x2dy + 4 yx dx = 0 ตอบ y = 1 +C x2 4. 6x2 y dy - 3y3x dx = 0 ตอบ y = x +C 5. 2x cos y dy - 3sin y dx = 0 ตอบ ln sec y +tan y = 23 ln x +C 6. ddyx = -7y4sin x 1 ตอบ y= 3 - 47 cos x +C 7. ddyx = -3cos y sin x ตอบ ln csc y +cot y = cos x +C 8. ddyx + 2xy = 4x ตอบ y = ex2 - 4 + C 9. dy = 5x2 y ตอบ y = e2.5x2 + C dx dy ตอบ y = e1.5x2 -3x + C 10. dx = 3(x -1)(y -1) จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการตอไปน้ีแบบแยกตวั แปรตอ ไปนี้ 11. ddyx = -3(tan y )(sin x ) dddxyy = 1-yx เม่ือ y(1) =1 dx = -9y 12. เม่ือ y(2) =2 13. เมื่อ y(0) = 0 14. dy = 3x2 y2 เม่อื y(0) = 0 dx dy 15. y4 dx = 5(x + 2) เมอ่ื y(0) = 2 16. จากวงจรในรปู จงหากระแสเหนี่ยวนาํ iLของวงจรเม่ือเวลาผา นไป 5 วนิ าที เมื่อทเี่ วลา t = 0 สวติ ชป ด อยู ซึ่งคา V = 12 V , R1 = 1 k , R = 10 k และ L = 1 mH จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
152 บทท่ี 4 สมการอนพุ ันธสามญั อนั ดับหนึง่ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส R1 S1 vs = Vo iL 17. วตั ถมุ วล 1 kg ถกู โยนข้ึนไปในแนวด่งิ ดวยความเรว็ ตน 5 m/s ซึ่งคา โนม ถวงมคี า g =9.8 m/s2 เกิดแรงตานอากาศ 10 เทา ของความเร็ว จงหาความเรว็ ของวตั ถนุ ้ีเม่ือเวลา t ใดๆ R = 5V 18. วัตถมุ วล 10 kg ถูกแรงกระทําใหเคล่ือนทใ่ี นแนวราบเปน เสนตรงดวยความเร็ว 10 m/s ความเรง 3 m/s2 เม่ือ t = 0 วัตถุอยูห างจากจุดเริ่มตน 30 เมตร จงหาความเรว็ และตาํ แหนง ของวัตถนุ ี้ท่ีเวลา t ใดๆ 19. สําหรบั วงจรออปแอมป จงหาคา v0 เมือ่ t > 0 ถา v(0) = 4 V กาํ หนดให Rf = 50 k ,R1 = 10 k และ C = 10 F ตอบ -4e-2t V , t > 0 s C +v - Rf - ++ R1 vo - จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 4 สมการอนุพนั ธส ามญั อันดับหนึ่ง 153 เอกสารอางองิ วีรศกั ด์ิ บุญทน. (2553). คณิตศาสตรอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 2. กรงุ เทพมหานคร: สํานกั พมิ พแ หง จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย. ภัคคนิ ี ชิตสกุล และคณะ. (2010). คณติ ศาสตรว ศิ วกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรงุ เทพมหานคร. Erwin Kreyszig . พรชัย สารทวาหา . (2550). สมการเชงิ อนุพนั ธ. กรงุ เทพมหานคร : ภาควชิ าคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร จฬุ าลงกรณมหาวทิ ยาลัย. นิรดั ร คําประเสิรฐ . (2553).คณิตศาสตรว ิศวกรรมไฟฟา 4. กรุงเทพมหานคร: ศนู ยสือ่ เสรมิ กรงุ เทพฯ . สวุ ัฒน รอดผล. (2546) .สมการเชงิ อนพุ นั ธส ําหรบั วศิ วกร. กรุงเทพมหานคร : สํานักพมิ พ ส.ส.ท สมาคมสงเสรมิ เทคโนโลยไี ทยญี่ปนุ สาํ เริง ชื่นรงั สกิ ุล . (2555). สมการเชิงอนุพนั ธ. กรุงเทพมหานคร : สาํ นกั พมิ พแหงจุฬาลงกรณ มหาวิทยาลยั . คณิตศาสตรส าํ หรบั ฟส กิ ส1 .[ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://thesis.swu.ac.th/swuebook/h57127.pdf. (วันทค่ี น ขอมลู 5 เมษายน 2556). สมการแยกตวั แปร.[ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก https://uomustansiriyah.edu.iq/media/lectures/5/ 5_2018_01_03!09_02_09_PM.docx.(วันท่คี น ขอมลู 6 เมษายน 2556). อนพุ ันธข องฟงกช นั โดยปริยาย.[ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.electron.rmutphysics.com /news/index.php?option=com_content&task=view&id=521&Itemid=5&limit=1&limitsta rt=191. (วนั ท่คี น ขอมูล 10 เมษายน 2556). Application second order. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20Concepts%20and%20Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf . (วนั ทค่ี น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter4 Application of Second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ ากhttp://www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%204% 20Second %20order%20DEs.pdf. (วันทคี่ น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter 14 Difference Equations 1. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.cimt.plymouth.ac.uk /projects/.../discrete_ch14.pdf (วันทค่ี น ขอ มลู 10 เมษายน 2556) Chapter11 Differential Equation. [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ math103/keshet.notes/chapter11Notes.pdf. (วนั ทค่ี นขอ มลู 1 พฤษภาคม 2556) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
154 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธสามัญอนั ดับหน่งึ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส Linear Differential Equations. [ออนไลน] เขาถึงไดจ าก http://wwwtutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วันที่คน ขอ มลู 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วันท่ี คนขอ มลู 10 เมษายน 2556) OP-AMP CIRCUITS.[ออนไลน] เขาถงึ ไดจาก http://www.robots.ox.ac.uk/~gari/teaching/b18 /background_lectures/1P2-Op-Amp-Circuits-L1-Notes-Collins.pdf.(วนั ทคี่ น ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556). Transistor .[ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.iitg.ac.in/apvajpeyi/ph218/Lec-7.pdf.(วนั ทคี่ น ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556). จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
บทท่ี 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพนั ธ 5.1 นยิ ามของสมการแบบเอกพนั ธ สมการแบบเอกพันธ (Homogeneous equations) คือ ฟงกชันที่ทุกพจนในฟงกชัน มีระดับ ขั้นเดียวกัน บางสมการไมสามารถทําการแกสมการโดยวิธีแยกตัวแปรจากกันไดโดยตรง แตถา ทาํ การเปลีย่ นตัวแปรใหมจะทําใหสมการเหลาน้ันสามารถแยกตัวแปรไดโ ดยใชวิธีการแกสมการ แบบแยกตัวแปรเหมือนในบทท่ี 4 สมการอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง คือ สมการเชิงอนุพันธ ท่สี ัมประสทิ ธข์ิ องคาเชิงอนุพันธห รอื สมั ประสทิ ธอ์ิ นุพนั ธเ ปนฟงกช ันเอกพันธระดบั ข้ันเดียวกนั นิยาม 5.1 เรียกฟง กชนั f (x , y) วา เปนฟงกช นั เอกพันธด กี รี n ถา f (kx , ky)= k n f (x, y) (5.1) ตัวอยางท่ี 5.1 จงพสิ จู นวา f (x, y) = 2x5- x3y เปน สมการแบบเอกพนั ธฟ ง กชนั ดกี รี 5 วธิ ีทํา ข้ันตอนที่ 1 จดั สมการในรูป f (kx, ky) = kn f (x, y) จาก f (kx, ky) = 2x5- x3y ขนั้ ตอนที่ 2 แทนคา x ดวย kx แทนคา y ดว ย ky จะได f (kx, ky) = 2(kx)5 - (kx)3(ky) = 2k5x5 - (k3x3)ky = 2k5x5 - k5x3y f (kx, ky) = k5(2x5-x3y) ขน้ั ตอนที่ 3 จาก f (kx, ky) = k5(2x5- x3y) ตอบ f (kx, ky) = 2x5- x3y เปน สมการแบบเอกพนั ธฟ งกช นั ดกี รี 5 เน่ืองจาก n = 5
156 บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส นิยาม 5.2 เรียกสมการอนุพันธ M(x,y) + N(x,y)y = 0 วา สมการอนุพันธแบบเอกพันธ (Homogeneous differential equation) ถา M(x,y) และ N(x,y) เปนฟงกชันเอกพันธทม่ี ดี ีกรเี ดียวกัน ซ่ึงสมการ M(x,y) + N(x,y)y = 0 เปนสมการอนพุ นั ธแ บบเอกพันธ เขยี นใหอ ยูในรปู dy = F y หรือ dy = F x (5.2) dx x dx y ตัวอยา งที่ 5.2 จากสมการตอไปนี้ x2 dy = y2 + 2xy จงพิจารณาวาเปนสมการแบบเอกพันธ dx หรอื ไม วธิ ที าํ ข้ันตอนท่ี 1 จัดสมการในรปู dy = F y หรือ dy = F x dx x dx y จาก x 2 dy = y2 + 2xy dx y2 dy = x2 + 2x y dx x2 dy = y 2 + 2 y dx x x ขน้ั ตอนที่ 2 จะไดสมการ dy = y 2 + 2 y dx x x อยูใ นรปู dy = F y dx x ตอบ สมการ x2 dy = y2 + 2xy สามารถจัดใหอ ยใู นรูป dy = F y ดงั นั้นจึงเปนสมการ dx dx x แบบเอกพันธ ตัวอยา งที่ 5.3 จงพิสูจนวาสมการตอไปนี้ dy = ln x - ln y + x+ y เปนสมการแบบเอกพันธ dx x- y หรือไม วธิ ีทํา ข้ันตอนท่ี 1 จัดสมการในรปู dy = F y หรอื dy = F x dx x dx y จาก dy = ln x - ln y + x+ y dx x-y จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ ันธแ บบเอกพนั ธ 157 = ln x + x+ y y x-y = ln x + x + y y y y x y y - y dy = ln x + x +1 dx y y x y -1 ขัน้ ตอนที่ 2 จะได dy = ln x + x +1 อยใู นรปู dy = F x dx y y -1 dx y x y ตอบ สมการ dy = ln x - ln y + x+ y สามารถจัดใหอยใู นรูป dy = F x dx x-y dx y ดังน้นั จงึ เปน สมการแบบเอกพันธ นยิ าม 5.3 สมการ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 เปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธก็ตอเมอ่ื สมั ประสิทธ์ิ M และ N เปน ฟงกช ันเอกพนั ธท ม่ี รี ะดับขั้นเทากัน ตัวอยางที่ 5.4 1. xy dx - (x 2 + 3y 2 ) dy = 0 เปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธ เพราะวา M(x, y) = xy และ N(x, y) = x 2 + 3y 2 ตา งก็เปน ฟงกช ันเอกพนั ธทม่ี รี ะดบั ขั้น เทา กบั 2 2. x dx - (9 - x2) dy = 0 ไมเปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธ เพราะวา M(x, y) = x เปนฟงกชันเอกพันธท่ีมีระดับข้ันเทากับ 1 แต N (x, y) = 9 - x2 มีระดับชั้นเทากับ 2 ไมเ ปน ฟงกช ันเอกพันธ 5.2 ขั้นตอนการแกสมการแบบเอกพนั ธ มดี งั นี้ คือ ขั้นตอนที่ 1 จดั รูปสมการแบบเอกพนั ธใ หอยูใ นรูป dy = F y ข้ันตอนท่ี 2 dx x กําหนด v = y จะไดวา y = vx x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
158 บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแบบเอกพันธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส dy = vdx + xdv = v + xdv dx dx dx dx y dy xdv ข้ันตอนที่ 3 แทนคา v = x และ dx = v + dx ในสมการ ข้ันตอนที่ 4 dy = F y จะได ขัน้ ตอนท่ี 5 dx x v+ xdv = F(v) dx xdv dx = F(v) - v dv = dx F(v)- v x ทําการหาปริพนั ธท ้งั สองขางของสมการ dv = dx F(v) - v y x x แทนคา v = ในสมการที่ไดจ ากการหาปรพิ ันธ ตัวอยางที่ 5.5 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปน้ี dy = y2 + 2xy dx x2 วิธที าํ ขั้นตอนท่ี 1 เขยี นสมการใหอ ยูในรูป y โดย x 2 == v xy+x2ddx+v dy = y 2 + 2xy 2 y ซึ่งเปน สมการแบบเอกพนั ธ dx y x x2 x v= x ข้นั ตอนที่ 2 แทนคา และ dy ในสมการ จะได dx 2 dy = y + 2 y dx x x v + xdv = v2 +2v dx xdv dx = v2 +v 1 v dv = 1 dx v2 + x ข้ันตอนที่ 3 แกสมการโดยใชว ิธกี ารแบบแยกตวั แปร 1 v(v + 1 ) dv = 1 dx x จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพนั ธ 159 1 = A + v B 1 v(v +1) v + นํา v(v+1) คณู ทั้ง 2 ขา ง ของสมการ 1 = A (v + 1) + Bv ให v = 0 จะได 1 = A(0 + 1) + B(0) A =1 ให v = 1 จะได 1 = A(1 + 1) + B(1) 1 = 2+B B = -1 ขั้นตอนท่ี 4 แทนคา A และ B จะได ขั้นตอนที่ 5 1 1 1 v(v +1) = v - v +1 ขั้นตอนที่ 6 ทําการหาปรพิ นั ธท้งั สองขา งสมการ 1 1 1 โดย v(v +1) dv = v dv - v + 1 dv ดงั นนั้ 1 dv = lnv- ln v + 1 v(v +1) 1 และ x dx = lnx- ln C (เมอื่ C = คา คงท)่ี จะได 1 dv = 1 dx v(v +1) x lnv- ln v+1 = lnx- ln C ln v = ln Cx v+1 v = Cx v +1 y แทน v = x จะได y x y + 1 = Cx x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
160 บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส y y+x x = Cx x y y+x = Cx y = Cxy + Cx2 y - Cxy = Cx2 y(1-Cx) = Cx2 y = Cx 2 (1 - Cx ) ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการคอื y= Cx 2 (1 - Cx ) ตวั อยางที่ 5.6 จงแกสมการตอไปนี้โดยใชก ารแกสมการแบบอนุพันธ dy = x+y dx x y วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 เขียนสมการใหอ ยูในรปู x โดย dy = x + y =1+ y dx y x x สามารถเขยี นสมการแบบเอกพนั ธไ ดแ สดงวา เปนสมการแบบเอกพนั ธ y dy xdv ขนั้ ตอนที่ 2 แทนคา v= x และ dx = v+ dx จะได dy = 1 + y dx x xdv v + dx = 1+v xdv =1 dx 1 dv = x dx ข้ันตอนท่ี 3 ทําการอินทเิ กรททัง้ สองขางของสมการ 1 dv = x dx v = ln x + C (เมือ่ C = คาคงท)ี่ y ขน้ั ตอนท่ี 4 แทน v = x คนื จะได y = ln x + C x จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ 161 y = x ln x + Cx ตอบ ผลเฉลยโดยท่ัวไปของสมการ คือ y = x ln x + Cx ตัวอยางท่ี 5.7 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ dy = y2 + y dx x x วิธที ํา ขัน้ ตอนท่ี 1 เขียนสมการใหอ ยูในรูป dy = F y dx x จะได dy = y2 + y = y2 + y dx xx x x2 x dy = y 2 + y เปนสมการแบบเอกพันธ dx x x ขน้ั ตอนที่ 2 แทนคา v= y และ dy = v+ xdv x dx dx 2 dy = y + y dx x x v + xdv = v2 + v dx xdv dx = v2 ขน้ั ตอนที่ 3 ใชส มการแบบแยกตวั แปรมาวเิ คราะห 1 v2 dv = 1 dx x ข้ันตอนท่ี 4 หาปรพิ นั ธทง้ั สองขางของสมการ จะได 1 dv = 1 dx v2 x v-2dv = 1 dx x v-2+1 -2 +1 = ln x + C (เมอ่ื C = คา คงท่ี) - v-1 = ln x + C 1 - v = ln x + C ขัน้ ตอนท่ี 5 แทนคา v = y จะได x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
162 บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแ บบเอกพันธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส - 1 = ln x + C y x x - y = ln x + C y = - x +C ln x x ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = - ln x + C ตัวอยา งท่ี 5.8 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปน้ี y = 1 + y + y 2 x x วิธีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 จดั สมการในรปู dy = F y ใหเ ปน สมการแบบเอกพนั ธ ข้นั ตอนท่ี 2 dx x แทน v= y และ dy = v + xdv x dx dx 2 โจทย dy = 1+ y + y dx x x v + xdv = 1 + v + v2 dx xdv dx = 1 + v2 ขนั้ ตอนที่ 3 แกส มการโดยใชว ิธีการแยกตัวแปร 1 1 dv = 1 dx + v2 x ขน้ั ตอนที่ 4 ทาํ การหาปริพนั ธทง้ั สองขา งของสมการเพือ่ หาคําตอบ 1 1 + v2 dv = 1 dx x arctan v + C = ln x + ln C (เม่ือ C = คา คงท่ี) arctan v = ln x + arctan v y ข้นั ตอนท่ี 5 แทนคา v = x ในสมการจะได arctan v2 = ln C . x arctan y = ln C . x x จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพันธ 163 ln C. x = tan y x ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื ln C. x = tan y x ตวั อยา งท่ี 5.9 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการตอ ไปน้ี (x + y) dx + xdy = 0 วิธีทํา ข้นั ตอนที่ 1 จดั รูปสมการอยใู นรูป dy = F y dx x (x + y) dx + xdy = 0 (x + y) dx = - xdy xdy (x + y) = - dx x+ y = dy -x dx y dy - 1 - x = dx สมการอยูในรปู dy = F y ดังน้ันเปนสมการแบบเอกพนั ธ dx x ข้นั ตอนที่ 2 แทน v= y และ dy = v + xdv จะได x dx dx xdv -1 - v = v + dx -1 - 2v = xdv dx 1 1 x dx = -1- 2v dv ขั้นตอนท่ี 3 หาปรพิ นั ธท้ังสองขา งของสมการจะได 1 1 x dx = 1+ 2v dv ln x = - ln (1 + 2v) + ln C (เมอื่ C = คาคงท่)ี y ขั้นตอนท่ี 4 แทน v = x ในสมการจะได ln x = ln 1 C + 2v C x = 1+ 2v x (1 + 2v) = C จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
164 บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส x (1 + 2 y ) = C x x + 2y = C C-x y = 2 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คอื y = C- x 2 ตัวอยางท่ี 5.10 จงหาผลเฉลยทัว่ ไปของสมการตอ ไปนี้ dy = 1 x + y dx 2 y x วิธีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 จดั สมการในรูป dy = F y dx x dy = 1 x + y เปน สมการแบบเอกพันธ dx 2 y x ขน้ั ตอนท่ี 2 แทน v= y และ dy = v + xdv x dx dx xdv 1 1 v + dx = 2 v + v xdv 1 1 v + dx = 2v + 2 v xdv = 1 + 1 v dx 2v 2 xdv = 1 1-v 2 dx 2 v v dv = 1 dx 1- v2 2x ข้ันตอนท่ี 3 ทําการหาปรพิ ันธทัง้ สองขางของสมการ จะได 1 v dv = 1 dx - v2 2x แทน u = 1 - v2du = -2vdv dv = 1 du 2v v 1 1 u - 2v du = 2x dx 1 1 1 - 2 u du = 2x dx จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพนั ธ 165 - 1 ln u = 1 ln x + ln C (เมื่อ C = คาคงท)่ี 2 2 1 - 2 ln (1 - v2) = ln 2x½. C ln (1 - v2)-½ = ln 2x½. C (1 - v2)-½ = 2x½. C นาํ 2 คณู เขา ท้ังสองขา งของสมการ (1 – y 2 ) -1 = x½. C x 1 = x.C y 2 1- x ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ 1 = x . C y 2 1 - x ตัวอยางท่ี 5.11 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอ ไปนี้ dy = 2y - x dx 2x - y y dy xdv วิธที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 กําหนดให v= x จะได y = vx และ dx = v+ dx แทนคาในสมการ dy 2y-x dx = 2x- y v + xdv = 2vx - x dx 2x - vx dv x(2v -1) v + x dx = x(2 - v) v + x dv = (2v -1) dx (2 - v) นาํ คา v ลบเขาทัง้ สองขางของสมการ - v) dv (2v -1) 2v -1- v(2 x dx = (2 - v) - v = 2-v x dv = 2v -1- 2v - v2 = v2 -1 dx 2-v 2-v จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
166 บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนที่ 2 ทาํ การแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได ขนั้ ตอนท่ี 3 2-v 1 v2 -1 dv = x dx ทําการหาปรพิ ันธท ง้ั สองขา งของสมการจะได 2-v 1 v2 -1 dv = x dx ใชการแยกเศษสว นจะได A(v + 1) 2-v v2 + (v -1) v2 -1 = A + B = -1 v -1 v + 1 2 - v = Av + A + Bv - B ใชการเทียบสัมประสทิ ธจ์ิ ะได A+B = - 1 A-B = 2 B-2A = 1 1 3 C-A = 2 , B = - 2 แทนคา A และ B จะได 1 3 2-v 2 2 v2 -1 dv = v A dv +v B dv = v 1 dv +- v 1 dv -1 +1 -1 +1 1 1 3 1 1 2 v -1 dv + - 2 v +1 dv = x dx 1 ln(v - 1) + - 3 ln(v + 1) = ln x + ln C (เมือ่ C = คาคงท)่ี 2 2 1 3 2 ln(v - 1) + - 2 ln(v + 1) = ln x = ln C 13 ln(v -1)2 - ln(v +1)2 - ln x = ln C ใชคณุ สมบตั ขิ องลอการทิ ึมจะได ln ( (v-1)21 x = ln C v+1)32 (v-1)12 (v+1)32 x = C ยกกําลงั สองทงั้ สองขางของสมการ (v-1) (v+1)3 x2 = C2 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพนั ธ 167 ข้ันตอนท่ี 4 แทนคา v = y ในสมการจะได x ( xy(+xy1-)13)x2 = C2 y - x ( x x ) + = C2 ( y x + 1)3 x2 (y- x) = C 2 (y+ x)3 y - x = C2 (y + x)3 ตอบ ผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ คือ y - x = C2 ( y + x)3 ตวั อยางที่ 5.12 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอไปน้ี dy = y + e y dx x x วิธที ํา ข้ันตอนท่ี 1 กาํ หนดให v= y และ dy = v + xdv x dx dx dv v + x dx = v + ev x dv = e v dx ข้ันตอนที่ 2 ใชก ารแกสมการแบบแยกตวั แปรจะได 1 e -v dv = x dx ขน้ั ตอนท่ี 3 ทาํ การหาปริพันธท ้งั สองขา งของสมการจะได e -v dv = 1 dx x -e-v = ln x + ln C (เมื่อ C = คา คงท่)ี -e-v = ln (xC) y ข้นั ตอนที่ 4 แทนคา v = x จะได -e- y = ln (xC) x - y = ln [-ln ( xC )] x -y = x ln [-ln (xC )] จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
168 บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ -y = x ln [-ln (xC )] ตวั อยา งที่ 5.13 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ dy = y + 1 x2 + y2 dx x x y dy xdv วธิ ีทํา ขั้นตอนที่ 1 กําหนดให v= x และ dx = v + dx dv x 2 y 2 dx x2 x2 v + x = v + + v + x dv = v + 1+ v2 dx dv x dx = 1+ v2 ข้นั ตอนที่ 2 ทาํ การแกสมการแบบแยกตัวแปรจะได 1 dv = 1 dx 1+ v2 x ขั้นตอนท่ี 3 ทาํ การหาปรพิ ันธท งั้ สองขา งของสมการจะได 1 v2 dv = 1 dx 1+ x sinh-1 (v) = ln x + C (เมอ่ื C = คาคงที่) y ข้นั ตอนท่ี 4 แทนคา v = x จะได sinh-1 ( y ) = ln x + C x y ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คอื sinh-1 ( x ) = ln x + C ตวั อยางท่ี 5.14 จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการตอ ไปนี้ (x2 + y2 )dx - 3xy dy = 0 วธิ ที ํา ข้ันตอนที่ 1 ตอ งจัดสมการในรปู f (kx , ky) = k n f (x , y) (x2+ y2 ) - 3xy dy = 0 dx dy -( x 2 y2 ) -3xy dx = + จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพันธ 169 dy = (x2+y2 ) dx 3xy y2 dy = 3xx2y + 3xy dx dy y dx = 3xy + 3x ขัน้ ตอนที่ 2 กําหนดให v= xy และ dy =v+ xddxv จะได ขั้นตอนท่ี 3 dx ขั้นตอนที่ 4 v + x ddxv = 13 ( 1v ) + 13 v x ddxv = 13 ( 1v ) + 13 v - v ขนั้ ตอนที่ 5 x ddxv = 13 (1v ) + v-33v x ddvx = 13 (1v ) + -23v x ddxv = 3-96vv2 ทาํ การแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได 9v dv = 1x dx 3-6v2 3v 1x 1-2v2 dv = dx ทําการหาปริพันธทัง้ สองขางของสมการจะได 3v dv = 1x dx 1-2v2 ให u = 1 - 2v2 หาอนพุ นั ธจ ะได du = 4vdv ดงั นัน้ dv = 41v du 3uv ( 41v )du = 1xdx u3( 41 )du = 1xdx 43 u1 du = 1x dx 43 ln u + ln C = ln x (เม่อื C = คาคงที่) แทนคา u = 1 - 2v2 และ v = xy จะได 43 ln(1 - 2v2 ) + ln C = ln x 43 y )2 ln(1 - 2( x ) + ln C = ln x จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
170 บทที่ 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ln (1 - 2( y )2 ) 3 + ln C = ln x x 4 ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คือ ln (1 - 2( y )2 ) 3 + ln C = ln x x 4 ตัวอยา งที่ 5.15 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการตอไปน้ี (x -2y)dx + (2x + y)dy = 0 วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 จากนิยาม สมการ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 จะได M(x,y) = x - 2y แทน M (x, y) = M (kx, ky) จะได M (kx, ky) = kx - 2ky = k(x - 2 y) = kM(x, y) และ N (x, y) = 2x + y แทน N (x, y) = N (kx, ky) N (kx, ky) = 2kx + ky = k(2x + y) = kN (x, y) แสดงวา M (x, y) และ N (x, y) เปน ฟง กช นั เอกพนั ธระดับขน้ั ที่ 1 (กาํ ลังของ k เปน 1) y ขน้ั ตอนที่ 2 กําหนดให v = x หรือ y = vx หาอนุพันธจ ะได dy = vdx + xdv แทนคา y และ dy ในสมการที่จะหาคําตอบจะได (x - 2vx)dx + (2x + vx)(vdx + xdv) = 0 xdx - 2vx dx + 2xvdx + 2x2dv + xv2dx + vx2dv = 0 xdx + xv2dx + 2x2dv + vx2dv = 0 x(1+ v2) dx + x2(2 + v) dv = 0 ข้ันตอนท่ี 3 ใชก ารแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได x(1 + v2)dx = - x2(2 + v)dv (2+v) xdx = -x 2 (1+v2 ) dv x dx = - (2+v) dv x2 (1+v2 ) 1x (2+v) dx = - (1+v2 ) dv ขั้นตอนท่ี 4 ทําการหาปริพันธทัง้ สองขา งของสมการจะได 1x dx = - (2+v) dv (1+v2 ) 1x (2+v) dx + (1+v2 ) dv = 0 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนพุ ันธแ บบเอกพนั ธ 171 1x dx + 2 )dv + v dv = 0 (1+v2 1+v2 ln x + 12 tan-1v + 12 ln(1 + v2 ) + ln C = 0 (เมอ่ื C = คา คงท่)ี y ข้นั ตอนท่ี 5 แทนคา v = x จะได ln x + 12 tan-1 y + 21 ln(1 + ( y )2 ) + ln C = 0 x x 21 tan-1 y 12 y )2 ln Cx + x + ln(1 + ( x ) = 0 2ln Cx + tan-1 y + ln(1 + ( y )2 ) = 0 x x ln Cx2 tan-1 y y )2 + x + ln(1 + ( x ) = 0 tan-1 y + ln Cx 2 (1 + ( y )2 ) = 0 x x tan-1 y = - ln C(x2 y2 ) x + ตอบ ผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ คอื tan-1 y = - ln C(x2 + y2 ) x 5.3 การแกสมการที่อยใู นรูป dy = aa12xx++bb12yy++mn เม่อื a1b2 - a2b1 = 0 dx ในการแกสมการที่อยูในรูปแบบ dy = aa12xx++bb12yy++mn จะตองทําการเปล่ียนตัวแปรโดยทําให dx สมการในรปู แบบดงั กลา วเปน สมการแบบเอกพนั ธ ดว ยการเลอื กตวั แปรทเ่ี หมาะสม ดงั น้นั สามารถ เปลี่ยนตัวแปรโดยทําให aa12xx++bb12yy++mn อยูในรูปของ aa21XX ++bb12YY ซึ่งจะทําใหสมการกลายเปน สมการแบบเอกพนั ธ 5.3.1 ขน้ั ตอนการแกสมการ 5.3.1.1 หาคา x ในเทอมของ x และคา y ในเทอมของ y ที่เหมาะสมเพ่อื ทาํ ให a1X + b1Y = a1X + b1Y + m และ (5.1) a2 X + b2Y = a2 X + b2Y + n (5.2) 5.3.1.2 ทําการแกสมการพชี คณิตของสมการท่ี (5.1) และสมการท่ี (5.2) ดังน้ี 1. นําคา a1 คณู สมการที่ (5.2) ได a1a2 X + a1b2Y = a1a2 X + a1b2Y + a1n 2. นาํ คา a2 คูณสมการที่ (5.1) ได a1a2 X + a2b1Y = a1a2 X + a2b1Y + a2m 3. นาํ สมการท่ี (5.1) – สมการที่ (5.2) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
172 บทท่ี 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพนั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส a1a2 X + a1b2Y - a1a2 X - a2b1Y = a1a2 X + a1b2Y + a1n - a1a2 X - a2b1Y - a2m จะได a1b2Y - a2b1Y = a1b2Y + a2b1Y + a1n - a2m (a1b2 - aaa121bbn21 )Y = ( a1b2 + a2 b1 )Y + (a1n - a2 m) Y=y+ - aa22 m (เพราะวา a1b2 – a2b1 0) หรอื - b1 4. ในทํานองเดยี วกัน หา X ในเทอมของ x ไดค ือ aaaabb1h11122bbb=n2mm22----a--aaaab1bb22222b11mbbbm2nn111--aไไb2ดด1bn 1 X = x+ dY = dy จาก Y = y+ dX = dx และจาก X = x+ และ k = ให aa11bn2 - aa22 m (5.3) - b1 X = x + h หรอื x = X – h และ Y = y + k หรอื y = Y – k นั่นกค็ อื เปลยี่ นตัวแปรโดยให aa12xx++bb12yy++mn x = X - h แทนในสมการ dy = เมือ่ h และ k คือคา คงท่ี dx y = Y - k แทนในสมการ (5.3) จะทําใหเปนสมการแบบเอกพันธโดยสามารถ แกสมการหาคาํ ตอบได ตัวอยา งที่ 5.16 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปนี้ dy = 2y - x+5 dx 2x - y-4 วธิ ที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 พจิ ารณารปู สมการ จะเหน็ วา สมการทก่ี าํ หนดใหอ ยใู นรปู ของสมการ ขัน้ ตอนที่ 2 aa12xx++bb12yy++mn dy = dx พิจารณาคา a1 = -1, b1 = 2, m = 5, a2 = 2, b2 = -1, n = -4 ซึง่ สามารถเปล่ียนตวั แปรทําใหเ ปน สมการแบบเอกพนั ธไ ด คอื ให a1X + b1Y = a1X + b1Y + m จะได (5.4) -X + 2Y = -x + 2y + 5 และ a2X + b2Y = a2X + b2Y + n จะได (5.5) 2X - Y = 2x - y - 4 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแ บบเอกพนั ธ 173 นําสมการที่ (5.4) 2 + สมการที่ (5.5) ได 3Y = 3y + 6 หรอื Y = y + 2 ให y = Y - 2 ได dy = dY นําสมการท่ี (5.5) 2 + สมการท่ี (5.4) ได 3X = 3x - 3 หรอื X = x - 1 ให x = X + 1ได dx = dX dy 2y - x+5 ขั้นตอนท่ี 3 ทาํ การแทนคาในสมการ dx = 2x- y-4 เม่อื x = X + 1 และ y = Y - 2 จะได 2(Y-2)- (X-1) + 5 dY = 2(X +1) - (Y -2) - 4 dX 2Y - X 2X-Y dY = dX ขน้ั ตอนที่ 4 ทาํ การจดั รูปสมการโดยนาํ X หารเขาทุกพจนจ ะได dY = 2 Y - X dX 2 X - X X Y X X Y dY = 2 X -1 ซ่งึ เปน สมการแบบเอกพันธ dX 2 - Y X ทาํ การแกส มการโดยใชว ิธีการแกสมการแบบเอกพันธจะได ขนั้ ตอนที่ 5 Y +22v-X-v1ddXvห=รอื ddXY ข้ันตอนที่ 6 โดยให v = X และ v แทนคา ลงในสมการจะได V+X dv = dX -(v2 -1) X dv = v-2 ซึ่งเปน สมการแบบแยกตวั แปร dX ทาํ การแกสมการแบบแยกตัวแปรจะได (v - 2) dX v2-1 dv = - X หรือ v - 2 dv = - dX v2 -1 v2 -1 X = จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
174 บทที่ 5 สมการอนุพันธแ บบเอกพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ทาํ การหาปริพนั ธท ั้งสองขา งของสมการจะได v - 2 dv = - dX v2 -1 v2 -1 X 1 v-1 2 ln v 2 -1 - ln v+1 = -ln X +ln C (เมอื่ C = คาคงท)่ี หรือ ln (v2 -1)(v+1)2 = ln k / X 2 , k = C 2 (v-1)2 น่นั กค็ ือ (v2 -1)(v+1)2 = k (เม่อื k เปน คา คงท)่ี (v-1)2 X2 Y แต v = X ดงั นน้ั YX 2-1 YX +1 2 = k X2 YX -1 2 Y+X 3 หรือ Y - X =k (5.6) แต X = x - 1 และ Y = y + 2 แทนคา X และ Y ในสมการที่ (5.6) ได (y+2)+(x-1) 3 (y+2)-(x-1) = k หรอื x+y+1 3 = k y-x+3 ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ x+y+1 3= k y-x+3 ตัวอยา งท่ี 5.17 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปนี้ dy = x +3y - 5 dx x- y-1 วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณารูปสมการ จะเหน็ วา สมการทกี่ าํ หนดใหอ ยูใ นรูปของสมการ ขัน้ ตอนที่ 2 aa12xx++bb12yy++mn dy = dx จะได a1 = -1, b1 = 3, a2 = 1, b2 = -1, m = -5, n = -1 เปลี่ยนตัวแปรเพือ่ ทําใหสมการเปน สมการแบบเอกพันธด งั นี้ a1X + b1Y = a1X + b1Y + m จะได (5.7) X + 3y = x + 3y - 5 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแ บบเอกพนั ธ 175 และ a2X + b2Y = a2X + b2Y + n จะได (5.8) X-Y = x-y-1 นําสมการที่ (5.7) - (5.8) จะได 4Y = 4y - 4 หรอื Y = y - 1 ให y = Y + 1 ได dy = dY นาํ สมการ (5.8) 3 + (5.7) จะได 4X = 4x - 8 หรอื X = x - 2 ให x = X + 2 ได dx = dX dy x +3y - 5 dx x- y-1 ข้ันตอนที่ 3 ทาํ การแทนคา x = X + 2 และ y = Y + 1 ในสมการ = ได ขน้ั ตอนท่ี 4 ขน้ั ตอนที่ 5 dY (X + 2) +3(Y +1) - 5 ขัน้ ตอนท่ี 6 dX = X + 2 - (Y +1) -1 X +3Y ข้นั ตอนที่ 7 ddXY = X -Y จัดรูปสมการแบบเอกพนั ธโดยนาํ X มาหาร จะได 1+3Y /Y ddXY = 1-Y / X ซึ่งเปนสมการแบบเอกพนั ธ ทําการแกส มการโดยใชว ธิ กี ารแกส มการแบบเอกพันธจ ะได dd1XY+3=v v dv โดยให v = YX ได 1-v + X dX เมือ่ แทนคา เหลาน้ใี นสมการ v + X ddXv = ใชการแกสมการแบบแยกตวั แปรจะได 1 +3v X ddXv = 1-v - v dv = ( v2 + 2v + 1) dx 1 -v x (1- v )dv = dXX v2 +2 v +1 v-+11 + (v 2 dv = dXX + 1) 2 ทาํ การหาปริพนั ธท ้ังสองขา งของสมการจะได -1 dv + (v 2 dv = 1 dx v+1 + 1)2 x -ln v +1 - v 2+1 = ln X + C (เมอ่ื C เปน คา คงท)่ี จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
176 บทท่ี 5 สมการอนพุ นั ธแ บบเอกพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ขน้ั ตอนท่ี 8 แทนคา v = YX ในสมการจะได -ln Y +1 - YX2+1 = ln X +C X -ln X +Y - 2X = ln X +C X X +Y แต X = x - 2 และ Y = y - 1 แทน จะได (x - 2) + (y -1) -ln x-2 - (x 2(x - 2) -1) = ln x-2 + C - 2) + (y (x + y - 3) ln x-2 - 2 (x - 2) = (x + y - 3) { ln x - 2 +C} x + y-3 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการคือ x-2 (x + y - 3) ln x + y-3 - 2 (x - 2) = (x + y - 3) { ln x - 2 +C} 5.4 สรปุ สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธ คือ สมการเชิงอนุพันธท่ีสัมประสิทธ์ิของคาเชิงอนุพันธ หรือสัมประสิทธิอนุพันธเปนฟงกชันเอกพันธระดับข้ันเดียวกัน ซึ่งขั้นตอนการแกสมการแบบ เอกพันธ มดี ังนี้ คอื ข้ันตอนท่ี 1 จัดรปู สมการแบบเอกพนั ธใหอ ยใู นรปู dy = F y ขั้นตอนท่ี 2 dx x ข้ันตอนท่ี 3 กาํ หนด v = y จะไดวา y = vx ขน้ั ตอนท่ี 4 x dy vdx xdv x dv dx = dx + dx = v + dx หรอื v = x และได x = vy หา dx = vdy + ydv y y dy x dv แทนคา v= x และ dx = v + dx ในสมการ dy = F y จะได v+ x dv = F (v) dx x dx ใชวิธีการแกส มการแบบแยกตวั แปร dv F(v)- v = dx x จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ 177 ขั้นตอนท่ี 5 ทาํ การหาปริพนั ธทั้งสองขางของสมการ dv dx ข้ันตอนท่ี 6 = ขน้ั ตอนที่ 7 F(v)- v x y แทนคา v= x ในสมการทไ่ี ดจากการหาปริพันธ จัดสมการใหอ ยใู นรปู y = F(x) + C ซ่ึงเปนผลเฉลยของสมการ จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
178 บทท่ี 5 สมการอนุพันธแบบเอกพันธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แบบฝกหัดทา ยบทท่ี 5 1. จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการเชิงอนุพนั ธด งั ตอ ไปน้ี x2 +y2 1.1 dy = xy ตอบ y = ln x dx (kx) dy x-y 1.2 dx = x+y ตอบ y = 2x2 +C - x 1.3 (x - y)y = x + y ตอบ 2 tan-1 y - ln y2 +1 = 2 ln x + C ln (xy) x x2 ตอบ = x 1.4 x(x+ y)y= y(x- y) y +C 1.5 (x+ y)y= y ตอบ ln y = x +C y dy y 1.6 x2 dx = x2 + xy+ y2 ตอบ tan-1 x = ln x + C 1.7 dy = x+ y ตอบ C ( x 2 + y 2 )12 = e tan-1 y dx x-y x 1.8 (3xy+ y2)dx+(x2 +xy)dy=0 ตอบ (y2 + 2xy)x2 + C2 1.9 (x+ y)dx+xdy=0 ตอบ x2 + 2xy = C dy x 1.10 x + y dx = 2 y ตอบ ln (y - x) = y-x +C 2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนพุ ันธเม่ือกําหนดเง่ือนไขใหด ังตอ ไปนี้ 2.1 (x - y)dx + (3x + y)dy = 0 เมอื่ x = 2 , y = – 1 2.2 (y+ x2 + y2 )dx - xdy = 0 เมื่อ x = 3 และ y = 1 2.3 y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = 0 เมอ่ื x = 1 , y = 1 2.4 y(x 2 + y 2)dx + x(3x 2 - 5y 2)dy = 0 เมอื่ x = 2 , y = 1 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพันธ 179 เอกสารอา งองิ วีรศักด์ิ บุญทน. (2553). คณิตศาสตรอ ิเลก็ ทรอนิกส 2. กรงุ เทพมหานคร: สํานกั พิมพแหง จุฬาลงกรณมหาวทิ ยาลัย. ภคั คนิ ี ชิตสกุล และคณะ. (2010). คณติ ศาสตรวิศวกรรม Advanced Engineering Mathematics. กรงุ เทพมหานคร. Erwin Kreyszig . พรชยั สารทวาหา. (2550). สมการเชิงอนพุ นั ธ. กรุงเทพมหานคร : ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณม หาวิทยาลัย. นิรัดร คาํ ประเสิรฐ. (2553). คณติ ศาสตรวิศวกรรมไฟฟา 4. กรงุ เทพมหานคร: ศูนยส ่อื เสรมิ กรงุ เทพฯ . สวุ ฒั น รอดผล. (2546). สมการเชงิ อนพุ นั ธส ําหรบั วศิ วกร. กรุงเทพมหานคร : สํานักพมิ พ ส.ส.ท สมาคมสง เสรมิ เทคโนโลยีไทยญ่ปี นุ สาํ เริง ชืน่ รังสกิ ลุ . (2555). สมการเชงิ อนุพันธ. กรงุ เทพมหานคร : สาํ นักพิมพแหง จฬุ าลงกรณ มหาวิทยาลยั . Linear Differential Equations. [ออนไลน] เขาถงึ ไดจาก http://wwwtutorial.math.lamar.edu Classes /DE/Linear.aspx. (วันทีค่ น ขอมูล 5 เมษายน 2556) Order and Linearity of Differential Equations. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://www.analyzemath.com/calculus /Differential_Equations/order_linearity.html (วนั ท่ี คนขอมลู 10 เมษายน 2556) Chapter 14 Difference Equations 1. [ออนไลน] เขา ถึงไดจาก http://www.cimt.plymouth.ac.uk /projects/.../discrete_ch14.pdf (วันทคี่ น ขอมลู 10 เมษายน 2556) Chapter11 Differential Equation. [ออนไลน] เขา ถงึ ไดจาก http://ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/ math103/keshet.notes/chapter11Notes.pdf. (วนั ที่คน ขอมลู 1 พฤษภาคม 2556) Chapter4 Application of Second Order Differential Equations in Mechanical Engineering Analysis. [ออนไลน] เขา ถึงไดจากhttp://www.engr.sjsu.edu/trhsu/Chapter%204% 20Second %20order%20DEs.pdf. (วนั ทคี่ นขอ มลู 10 เมษายน 2556) Application second order. [ออนไลน] เขาถึงไดจาก http://www.stewartcalculus.com/data/ CALCULUS%20Concepts%20and%20Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf . (วันทค่ี นขอมูล 10 เมษายน 2556) จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
บทท่ี 6 สมการอนพุ นั ธแ บบแมนตรง 6.1 สมการเชงิ อนพุ นั ธแบบแมนตรง (Exact differential equation) สมการเชิงอนุพันธอันดับที่หน่ึงท่ีเปนสมการแบบแมนตรง เปนสมการที่มีรูปแบบคลายกับ สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธ การหาผลเฉลยก็มีข้ันตอนและวิธีการเฉพาะสําหรับสมการ แบบแมน ตรง โดยตองทดสอบสมการกอนวาเปนสมการแบบแมน ตรงหรือไม ถาเปนกแ็ กสมการ โดยวิธีของการแกสมการแบบแมนตรง แตถาไมเปนสมการแมนตรงตองหาตัวประกอบชวยคูณ เขามาในสมการเพื่อดําเนินการแกสมการตอไป ซึ่งรูปทั่วไปของสมการแมนตรงสามารถเขียน ใหอยูใ นรูปแบบตอ ไปนี้ เขียนสมการไดในรปู dy dx M(x,y) + N(x,y) = 0 หรอื (6.1) (6.2) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 หรือ โดยสมการ (6.2) มี M(x,y) และ N(x,y) เปนฟงกชันที่เปนสัมประสิทธิ์ของคาเชิงอนุพันธ dx และ dy ถาตรวจสอบพบวา M (x, y) = N (x, y) แลวสมการ (6.2) จะเปนสมการแบบ y x แมนตรง โดยมฟี งกชนั F(x,y) = C เปนผลเฉลยทัว่ ไป ตวั อยา งท่ี 6.1 จงพิสูจนวาสมการตอ ไปนี้ (y cos x + 2xey) + (sin x + x2ey+ 2) dy = 0 เปน สมการ dx แบบแมน ตรงหรือไม วธิ ีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 ทําการพจิ ารณาวา เปนสมการแบบแมนตรงหรอื ไมโ ดยจัดรูปแบบตาม สมการท่ี (6.1) จะได dy dx M(x,y) + N(x,y) = 0 โจทยก าํ หนด (y cos x + 2xey) + (sin x + x2ey+ 2) dy = 0 dx ดังนั้นเงื่อนไขขอ 1 เปนจรงิ ข้นั ตอนที่ 2 เงอ่ื นไขท่ี 2 M (x, y) = N (x, y ) y x จะได M(x,y) = y cos x + 2xey
182 บทที่ 6 สมการอนพุ ันธแ บบแมน ตรง คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส M ( x, y ) = ( y cos x + 2 x e y ) = cos x + 2x e y y y N(x,y) = sin x + x2ey+ 2 N ( x, y) = (sin x + x2e y + 2) = cos x + 2x e y x x M ( x, y ) = N ( x, y ) เงื่อนไขที่ 2 เปนจรงิ y x ตอบ สมการนี้เปนจริงท้งั 2 เงอื่ นไขดงั น้ันเปน สมการแบบแมน ตรง ตวั อยา งท่ี 6.2 จงพิสจู นว า สมการตอไปน้ี (3x2+ y2) + 2xy dy = 0 เป นสมการแบบ แม นตรง dx หรือไม dy วธิ ที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณารูปสมการ M(x,y) + N(x,y) dx = 0 (3x2+y2) + 2xy dy = 0 อยูในรูปแบบที่ 1 จริง dx ขน้ั ตอนที่ 2 พสิ ูจนว า M ( x, y ) = N (x, y) y x จากโจทย M(x,y) = 3x2+ y2 M ( x, y ) = (3x2 + y2) = 2y y y จากโจทย N(x,y) = 2xy N ( x, y) = (2xy ) = 2y x x M ( x, y ) = N ( x, y ) เปน จรงิ y x เงื่อนไขท่ี 1 และ 2 เปนจรงิ ดังนั้น เปนสมการแบบแมน ตรง dy ตอบ (3x2+y2) + 2xy dx = 0 เปน สมการแบบแมนตรง 6.2 การแกส มการแบบแมน ตรงโดยใชผ ลตา งเชงิ อนุพนั ธ การแกสมการโดยใชผ ลตา งเชิงอนพุ ันธรวมสามารถทําไดด ังสมการที่ (6.3) dF(x,y) = F(x, y)dx + F ( x, y )dy (6.3) (6.4) y x เพราะวา dF(x.y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy จากสมการที่ (6.3) และ (6.4) ได จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแ บบแมน ตรง 183 M(x,y)= F(x, y)และ N(z,y) = F ( x, y ) (6.5) y y และจากสมการ (6.3) และ (6.4) แสดงวา dF(x,y) = 0 (เพราะวา F(x,y) = C) ตามสมการ (6.5) เปนสมบตั ทิ ใี่ ชสําหรบั หาผลเฉลย ตวั อยา งที่ 6.3 จงแสดงวา ydx + xdy = 0 เปน สมการแบบแมนตรงและหาผลเฉลย วธิ ีทํา ขัน้ ตอนที่ 1 จาก ydx + xdy = 0 จะได F(x,y) = xy ข้นั ตอนที่ 2 เมอ่ื นํามาหาอนุพนั ธผลตา งไดเปน dF(x,y) = ydx + xdy แสดงวา ydx + xdy = 0 เปนสมการแมน ตรง ขัน้ ตอนที่ 3 โดยที่ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 และ dF(x.y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy แสดงวา dF(x.y) = 0 dF(x.y) = 0 ได F(x.y) = C ดังนน้ั ได xy = C เปนผลเฉลยทั่วไป ตอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คอื xy = C ตามตัวอยางท่ี 6.3 การทไี่ ด xy = C เปนผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ ydx + xdy = 0 เน่อื งจาก สูตรของการหาผลตางเชิงอนุพันธของ xy = C สอดคลองกับสมการ หากสมการเชิงอนุพันธ มีความซับซอนมากข้ึน การหาผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธแบบแมนตรงจึงตองมีวิธีการเฉพาะ ดังตอ ไปน้ี 6.3 การหาผลเฉลยสมการเชิงอนพุ นั ธแบบแมน ตรง เม่ือ F(x,y) เปนผลเฉลยของสมการ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 ซึ่งเปนสมการแบบแมนตรงน้ัน วิธีการหาคา F(x,y) มขี นั้ ตอนวธิ เี ฉพาะ ดงั นี้ 6.3.1 วิธีการหาผลเฉลยโดยการจัดกลุม ซึ่งตองใชพื้นฐานความรูเรื่องการหาอนุพันธ ประกอบการพิจารณา จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
184 บทท่ี 6 สมการอนุพันธแบบแมน ตรง คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยา งที่ 6.4 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการตอไปน้ี y2xdx + x2ydy = 0 วิธที าํ โจทยก ําหนดให y2xdx + x2ydy = 0 ขั้นตอนท่ี 1 พจิ ารณาสมการใหอ ยูใ นรูป M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = y2x และ N(x,y) = x2y ขน้ั ตอนท่ี 2 พสิ จู นวา M (x, y) = N ( x, y) y x หาคา M ( x, y) = ( y 2 x) = x ( y 2 ) = 2xy y y y หาคา N ( x, y) = x2y = y x2 = y2x = 2xy y x x จะได M (x, y) = N ( x, y) y x ดังนนั้ y2xdx + x2ydy = 0 เปน สมการแมนตรง ข้ันตอนท่ี 3 แกส มการโดยใชก ารจดั กลมุ โดยใชค ณุ สมบัตกิ ารหาผลคณู ของสมการ d(u.v) อนุพันธจะได dx = u ddxv + v ddxu โจทยกําหนด y2xdx + x2ydy = 0 u = y2และ v = x2 จะได d ( y2x2 ) = 2 y2dx + x2 2y = y2dx + x2dy = 0 dx นํา 2 หารเขาทั้งสองขา งของสมการ ddx y2x2 = 2 y2dx + x2 2 y 2 2 2 = y2dx + x2y = 0 ทําการหาปรพิ ันธจะได d y2x2 = y2x2 = C1 (เม่อื C1 = คาคงท)ี่ 2 2 หรือ y2x2 = 2C1 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y2x2 = 2C1 ตวั อยา งที่ 6.5 จงหาผลเฉลยของสมการตอ ไปน้ี (3x2y + 4x)dx + (x3 + 2y)dy = 0 วิธที าํ ข้นั ตอนที่ 1 พิจารณาสมการใหอ ยูในรูป M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = 3x2y + 4 และ N(x,y) = x3 + 2y จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 6 สมการอนพุ ันธแบบแมนตรง 185 ขน้ั ตอนที่ 2 พิสูจนวา M (x, y) = N (x, y) y x 4 y หาคา M (x, y) = (3x 2 y + 4) = 3x 2 ( y ) + y y y = 3x2 + 0 = 3x2 2y x หาคา N ( x, y) = x3 + 2y = x3 + = 3x2 + 0 = 3x2 y x x จะได M (x, y) = N (x, y) y x ดงั นนั้ (3x2y + 4x)dx + (x3 + 2y)dy = 0 เปน สมการแบบแมน ตรง ขนั้ ตอนที่ 3 แกส มการโดยใชก ารจดั กลมุ โดยใชค ุณสมบตั กิ ารหาผลคณู ของสมการ อนพุ นั ธจะได d(u.v) = u ddxv + v ddux dx (3x2y + 4x)dx + (x3 + 2y)dy = 0 นาํ คา dx และ dy คณู เขาไปในวงเลบ็ จะได 3x2ydx + 4xdx + x3dy + 2ydy = 0 จดั กลมุ ใหมจะได (3x2ydx + x3dy) + (4xdx + 2ydy) = 0 ใชกฎการคูณของอนุพนั ธจะได (3x2ydx + x3dy) = ddx (x3 y) และพิจารณาคา แตล ะพจน 4x dx = ddx (2x2 ) 2y = ddy ( y2 ) ดังนน้ั จะได d(x3y + 2x2 + y2) = 0 ทําการหาปรพิ ันธจะได d(x3y + 2x2 + y2) = 0 (x3y + 2x2 + y2) = C ตอบ ผลเฉลยของสมการ คอื (x3y + 2x2 + y2) = C 6.3.2 วิธีการหาผลเฉลยโดยการรวมผลเฉลยยอยเปนวิธีหาผลเฉลยจากสมบัติของสมการ แมนตรง ข้ันตอนที่ 1 พิจารณาวา เปน สมการแบบแมน ตรงหรือไมโ ดยใช 2 เง่ือนไข คอื จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
186 บทที่ 6 สมการอนุพันธแบบแมนตรง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 1. รปู สมการ M(x,y) + N(x,y) dy =0 dx 2. M (x, y) = N (x, y ) y x ตอ งเปนจรงิ ทัง้ 2 กรณี จงึ จะถอื วาเปน สมการแบบแมนตรง ขั้นตอนท่ี 2 กําหนดฟงกช ัน (x,y) = C และ ขน้ั ตอนที่ 3 (x, y) = M(x,y) และ ( x, y) = N(x, y) ขัน้ ตอนที่ 4 ขนั้ ตอนท่ี 5 x y ขัน้ ตอนท่ี 6 หาปรพิ ันธของสมการ ( x, y ) = M ( x, y ) เทยี บกบั ตวั แปร x x (x, y) dx = M(x,y) dx x (x,y) = M(x,y) dx+h(y) (6.6) เมื่อ h(y) เปนฟง กชันซง่ึ ทําหนา ทเ่ี ปน คา คงท่ี โดย h(y) = C (6.7) (6.8) ทําการหาอนพุ ันธของสมการ (x,y ) = M(x,y) dx+h(y) เทยี บกบั ตวั แปร y ( x, y) = M (x,y)dx + h( y) y y y แตจ าก ( x, y ) = N(x,y) y ดังนน้ั N(x,y) = M( x,y)dx + h( y) y y h(y) = N(x,y) - M(x, y)dx y y แทนคา h(y) ที่ไดในสมการ (6.6) คอื (x,y) = M(x,y) dx+h(y)จะไดคาํ ตอบทตี่ อ งการ ตัวอยา งท่ี 6.6 จงหาผลเฉลยทวั่ ไปของสมการตอ ไปนี้ (3x2 + y2) + 2xy dy = 0 dx วิธที ํา ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาวาเปน สมการอนุพนั ธแ บบแมน ตรงหรอื ไมโ ดยใช 2 เงอื่ นไข คอื 1. จดั รปู สมการใหอ ยใู นรูป M(x,y) + N(x,y) dy = 0 จะได dx dy (3x2 + y2) + 2xy dx = 0 เปน จรงิ M(x,y) = (3x2 + y2) และ N(x,y) = 2xy จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนุพนั ธแบบแมน ตรง 187 2. หาคา M (x, y) = N (x, y ) y x M ( x, y ) = (3x 2 + y2 ) = 2y y y N ( x, y) = (2xy) = 2y x x M (x, y) = N (x, y ) = 2y y x ดังน้ันเง่ือนไขเปน จริงทงั้ 2 เง่ือนไข จงึ เปน สมการแบบแมนตรง ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนดฟงกชนั (x,y) = C และ ขั้นตอนท่ี 3 (x, y) = M(x,y) และ ( x, y) = N(x, y) ขัน้ ตอนท่ี 4 x y โดยหาคา h(y) จากสมการ h(y) = N(x,y) - M(x, y)dx y y จากโจทยจะได N(x,y) = 2xy และ M(x,y) = 3x2 + y2 ทําการหาปริพันธ M(x,y) เทยี บกับตวั แปร x จะได M (x, y)dx = (3x2 + y2 )dx = x3 + y2x ทาํ การหาอนพุ ันธบางสว นเทยี บกบั ตวั แปร y จะได M(x,y) dx = (x3 + y2x) = 2 yx = 2 xy y x แทนคา ในสมการ h( y ) = N(x,y) - M (x, y)dx y y จะได h( y) = 2xy - 2 xy = 0 y h( y ) = 0 y ทาํ การหาปริพันธห าคา h(y) จะได yh(y) = 0 dy = k h(y) = k เม่อื กําหนดใหค า k เปน คาคงท่ี หาคา สมการผลเฉลยทัว่ ไปจาก (x, y) = M (x, y)dx + h( y) แทนคา h(y) = k และ M (x, y)dx = x3 + y2x (x, y) = x3 + y2x + k จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
188 บทที่ 6 สมการอนพุ ันธแบบแมนตรง คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เมอ่ื (x,y) = C จะได C = x3 + xy2 + k x3 + xy2 = C- k y = C-kx-x3 ตอบ ผลเฉลยท่วั ไปของสมการ คือ y = C-kx-x3 ตัวอยางท่ี 6.7 จงแกสมการ (y cos x + 2xey) + (sin x + x2ey + 2) dy = 0 dx วิธีทาํ ข้ันตอนที่ 1 พิจารณาวาเปน สมการแบบแมน ตรงหรือไมโ ดยใช 2 เงื่อนไข คือ dy 1. จดั รปู สมการใหอ ยูใ นรูป M(x,y) + N(x,y) dx = 0 จะได จากโจทย M(x,y) = y cos x + 2xey และ N(x,y) = sin x + x2ey + 2 2. หาคา M (x, y) = N (x, y ) y x M(x, y) = ( y cos x + 2xe y ) = cos x + 2xey y y N (x, y ) = (sin x + x 2e y + 2) = cos x + 2xey y x จะได M (x, y) = N (x, y ) เปน จรงิ y x เปน จรงิ ทั้ง 2 กรณี ดังนน้ั เปนสมการแบบแมน ตรง ขน้ั ตอนที่ 2 กําหนดฟง กช นั (x,y) = C และ (x, y) = M(x,y) และ ( x, y) = N(x, y) x y ขัน้ ตอนท่ี 3 โดยหาคา h(y) จากสมการ h( y ) = N(x,y) - M(x, y)dx y y M (x, y) dx = (y cos x + 2xey )dx M (x, y) dx = y sin x + x2e y M (x, y) dx = ( y sin x + x 2e y ) = sin x + x2ey y y จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 6 สมการอนพุ นั ธแ บบแมน ตรง 189 แทนคา ใน h( y ) = N(x,y) - M (x, y)dx y y h( y) = sin x + x2ey + 2 - sin x - x2ey y h( y ) = 2 y h(y) = 2 dy = 2y + k เม่อื k = คาคงที่ ขน้ั ตอนที่ 4 หาคา สมการผลเฉลยท่วั ไปจาก (x, y) = M (x, y)dx + h( y) (x, y) = y sin x + x2e y + 2y + k เม่อื (x, y) = C จะได C = y sin x + x2e y + 2y + k y sin x + x2e y + 2y = C - k ตอบ ผลเฉลยทวั่ ไปของสมการ คือ y sin x + x2e y + 2y = C - k ตวั อยางท่ี 6.8 จงหาผลเฉลยท่วั ไปของสมการตอ ไปนี้ (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0 วิธที ํา ข้นั ตอนที่ 1 พิจารณาสมการใหอยูในรปู M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = x + 2y และ N(x,y) = 2x + y ขั้นตอนที่ 2 พสิ ูจนวา M (x, y) = N (x, y ) y x หาคา M(x, y) = (x + 2 y ) = x + 2y y y y y = x 1 + 2y = 2 y y y หาคา N (x, y) = (2x + y) = 2x + x = 2 x x x จะได M (x, y) = N (x, y ) y x dh( y) ข้ันตอนที่ 3 หาคา h(y) จากสมการ d(y) = N ( x, y) - M (x, y)dx y เมอ่ื M(x,y) = x+2y ทาํ การหาปรพิ ันธเ ทยี บตวั แปร x จะได จะได M(x,y)dx = xdx + 2ydx = x22 + 2yx ทําการหาอนพุ นั ธเ ทยี บกับตวั แปร y จะได จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
190 บทที่ 6 สมการอนุพันธแ บบแมนตรง คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส y M(x, y)dx = y x22 +2 yx = 2x2y + 2x yy = 0 + 2x = 2x แทนคา จะได หาคา dh( y) = N(x, y) - y M(x, y)dx d(y) dh( y) d(y) = 2x + y - 2x = y ทําการหาปริพันธเ พอ่ื หาคา h(y) จะได dh( y) = h( y) = ydy = y2 + k d(y) 2 ข้ันตอนที่ 4 หาคา เพือ่ แทนในสมการคาํ ตอบตอไปน้ี (x,y) = M(x,y)dx + h(y) เมือ่ M(x,y) dx = x22 + 2 yx และ h(y) = y2 +k 2 y2 (x, y) = x22 + 2yx + 2 +k และ (x, y) = C C -k= x22 + 2 yx + y2 2 y2 ตอบ ผลเฉลยท่ัวไปของสมการ คือ C-k = x22 + 2 yx + 2 ตัวอยา งที่ 6.9 จงหาผลเฉลยทว่ั ไปของสมการ (4x - 2y)dx + (2y - 2x)dy = 0 วิธีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณาสมการใหอ ยใู นรปู M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 จะได M(x,y) = 4x - 2y และ N(x,y) = 2y - 2x ขนั้ ตอนที่ 2 พสิ ูจนว า M (x, y) = N (x, y ) ขั้นตอนท่ี 3 y x หาคา M (x, y) = (4 x - 2 y) = 4 x - 2y = 4x 1 - 2y = -2 y y y y y y หาคา N (x, y) = (2 y - 2 x) = 2y- 2x = -2 x x x x จะได M (x, y) = N (x, y ) แสดงวา เปนสมการแบบแมนตรง y x หาคา h(y) จากสมการ dh( y) = N ( x, y) - y M ( x, y)dx d(y) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441