ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปรพิ ันธ 39 ขน้ั ตอนท่ี 3 du = 3dx ดงั นัน้ จะได 13 du = dx ตอบ แทนคาลงในสมการจะได  e3xdx = eu (13 du)  e3xdx = 13 eu (du) = 13 eu แทนคา u = 3x จะได  e3xdx = 13 e3x ตัวอยางท่ี 2.7 จงหาคา e5x+3dx วธิ ที ํา ขัน้ ตอนที่ 1 จากสตู ร  exdx = ex + c ขนั้ ตอนท่ี 2 โจทยต องการหาคา e5 x+3dx กําหนดให u = 5x+3 du = 5dx ดังนั้นจะได 15 du = dx ขนั้ ตอนท่ี 3 แทนคา ลงในสมการจะได  e5x+3dx = eu  15 du  e5x+3dx = 15  eu (du) = 15 eu แทนคา u =5x+3 จะได ตอบ  e5x+3dx = 15 e5x+3 ตัวอยางที่ 2.8 จงหาคา (ex -1)2dx วธิ ีทาํ ขัน้ ตอนที่ 1 จากสูตร  exdx = ex + C ขัน้ ตอนที่ 2 โจทยต องการหาคา (ex -1)2dx ใชส ูตรสมการกาํ ลังสอง จะได(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ดงั นน้ั (ex -1)2dx = (e2x - 2ex (1) + (-1)2 )dx = e2xdx - 2exdx + 1dx = 12 e2x - 2ex + x + C ตอบ (ex -1)2dx = 12 e2x - 2ex + x + C จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

40 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตวั อยา งท่ี 2.9 จงหาคา  ( x x 4 ) dx วิธที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 2- 1u du จากสูตร  = ln u + C ขนั้ ตอนที่ 2 โจทยตองการหาคา  ( x x 4 ) dx 2- กําหนดให u = x2 - 4 จะได du = 2xdx และ 21x du = dx ข้นั ตอนที่ 3 แทนคาในสมการ x ux 21x  x2- 4 dx =   du   1u  12 du = 12  1u du = 12 ln(u) +C ข้ันตอนท่ี 4 แทนคา u = x2 - 4 จะได x 21 ตอบ  x2- 4 dx = ln ( x 2 - 4) + C ตวั อยางที่ 2.10 จงหา  ( x2 ex -4 x )dx วธิ ที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 x2  1u จากสตู ร du = ln u + C ขน้ั ตอนท่ี 2 โจทยตองการหาคา  ( x2ex -4 x )dx x2 ทําการแยกตวั หารออก 2 พจน จะได ( x2ex -4 x )dx = x2e x dx - -4 x dx x2 x2 x2    x 2ex -4 x =  exdx -  -x4 dx x2 ตอบ  ( )dx = ex + 4 ln(x) + C 2.5.2.2 ปรพิ นั ธของฟง กช นั ตรีโกณมิติ (Integrals of trigonometric functions) ฟ งก ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ เป น ฟ งก ชั น อ ดิ ศั ย อี ก ป ระ เภ ท ห นึ่ ง ที่ มี ใ ช งาน ใ น ท า ง วทิ ยาศาสตรและวิศวกรรมศาสตรม ากมาย เชน ฟงกชันไซน ซึ่งเปนลักษณะของแหลง จายไฟฟา กระแสสลับท่ีกําเนดิ จากเคร่ืองกาํ เนิดไฟฟา จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปริพันธ 41 รูปที่ 2.4 กราฟฟงกช นั ไซนและโคไซน (ท่ีมา : http://th.wikipedia.org/wiki) 1. เมือ่ F(x) = cos x + C เมื่อหาอนุพันธไ ด F(x) = ddx (cos x +C ) = -sin x จากสมการ  F(x)dx = (-sin x)dx จากสมบัตปิ ริพนั ธ (-sin x)dx = cos x + C หรือ (sin x)dx = -cos x + C กรณที ี่ u(x) เปน ฟงกชนั ของ x ทห่ี าอนุพนั ธไดที่ x จะไดสูตรพ้นื ฐานดังนี้ (sin u)du = -cos u + C 2. เม่ือ F(x) = sin x + C เมือ่ หาอนพุ ันธไ ด F(x) = ddx (sin x + C ) = cos x จากสมการ  F(x)dx = (cos x)dx จากสมบัตปิ รพิ ันธ (cos x)dx = sin x + C กรณีท่ี u(x) เปนฟงกชันของ x ทีห่ าอนุพนั ธไดท่ี x จะไดสตู รพืน้ ฐานดงั น้ี (cos u)du = sin u + C และในกรณอี ื่นๆ สามารถหาสมการไดจ าก 3.  tan udu = ln | sec u | + C 4.  cot udu = ln | sin u | + C 5. sec udu = ln| sec u + tan u | + C จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

42 บทท่ี 2 การหาปรพิ ันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 6.  csc udu = ln| csc u + cot u | + C 7.  sec2udu = tan u + C 8.  csc2udu = -cot u + C 9. sec u tan udu = sec u + C 10.  csc u cot udu = -csc u + C ตวั อยา งท่ี 2.11 จงหาปริพันธ  sin θ3 d วธิ ที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 ให u = θ3 = du = d θ3 = 13 d จะได d = 3du  sin θ3 d = 3sin udu = -3 cos u + C ข้นั ตอนท่ี 2 แทนคา u = θ3 จะได ตอบ  sin θ3 d = -3 cos θ3 + C ตัวอยางท่ี 2.12 จงหาปริพันธ  sin5cos d วธิ ที ํา ข้ันตอนที่ 1 ให u = sin = du = cosd ข้ันตอนที่ 2  sin5cos d =  u5du  u5du = u55++11 + C = u66 + C ข้ันตอนท่ี 3 แทนคา u = sin จะได ตอบ  sin5cos d = sin66 + C ตวั อยางท่ี 2.13 จงหาปริพนั ธข องฟง กช นั  cos 4xdx วิธที าํ ขน้ั ตอนที่ 1 ให u = 4x จะได du = 4 dx dx = 14 du ข้ันตอนที่ 2 แทนคา ในสมการจะได 14cocsousu14du=du14  cos 4xdx = = sin u + C ข้ันตอนที่ 3 แทนคา u = 4x จะได ตอบ  cos 4xdx = 41 sin 4x + C จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ 43 วติธวั ทีอยําางทข่ีั้น2.ต1อ4นทจี่ง1หาปรพิใหัน ธuข อ=งฟ3xงกจช ะนั ไดsedcu3x=d13xdx ข้นั ตอนที่ 2 dx = 3du แทนคาในสมการจะได sec 3x dx = sec u(3du) = 3sec udu จากสตู ร (sec u)du = ln sec u + tan u + C จะได u3=sec3xuduจะ=ไ3ดln sec u + tan u +C แทนคา ข้นั ตอนที่ 3 ตอบ sec 3x dx = 3ln sec 3x + tan 3x + C 2.5.2.3 ปริพัน ธของฟ งกชัน ตรีโกณ มิติผกผัน (Integrals of inverse trigonometric functions) ฟงกชันตรีโกณมิติผกผันที่สามารถหาอนุพันธไดก็สามารถหาปริพันธได ฟงกชัน ตรีโกณมติ ผิ กผนั ท่หี าอนพุ ันธไ ดม ีดงั น้ีเม่อื 1. F(x) =sin-1x ทําการหาอนุพนั ธจ ะได F(x) = ddx (sin-1x) = 1 จากสมการ  F(x)dx = 1(-x211-x 2 ) dx ( 1 2 ) dx = sin-1x + C 1-x กรณที ี่ u(x) เปนฟงกชนั ของ x ที่หาอนุพนั ธไดท ่ี x จะไดส ตู รพนื้ ฐานดงั นี้ 1 ( 1-u2 ) du = sin-1u + C 2. เมอ่ื F(x) = cos-1x = ddx (cos-1x) ทําการหาอนพุ นั ธจะได F(x) จากสมการ  F(x)dx = - 1 ) dx = (1--x121-x2   (- 1 2 ) dx = cos-1x + C 1-x จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

44 บทที่ 2 การหาปริพนั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส กรณที ่ี u(x) เปน ฟง กชนั ของ x ทห่ี าอนุพันธไดท่ี x จะไดส ตู รพืน้ ฐานดังน้ี 1  (- 1-u2 ) du = cos-1u + C กรณี F(x) เปน ฟง กช ันผกผันของฟงกช นั ตรโี กณมิตอิ ืน่ ๆ สามารถหาสูตรพน้ื ฐานสําหรับ หาปริพนั ธไ ดด ังน้ี 1.  ad2u-u2 = sin-1 ua + c , a > 0 du = 1a tan-1 ua + c , a > 0 2.  a2 +u2 3.  u ud2u-a2 = a1 sec-1 ua + c , |u| > a > 0 4.  ad2+uu2 = sin h-1 ua + c , a > 0 5.  ud2u-a2 = cos h-1 ua + c , |u| > a a1 tan h-1 au + c ; |u| < a 6.  a2d-uu2 = 1a cot h-1 au + c ; |u| > a ตัวอยางที่ 2.15 จงหาปริพนั ธข อง  dx 28-12x-x2 วิธีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 จากสมการจะอยูในรูปของ du = sin-1 ua + c , a > 0  a2-u2  dx =  dx 28-12x-x2 28-( x 2 +12 x +36)+36 dx =  64-(x+6)2 ข้ันตอนท่ี 2 กําหนด u = x + 6  du = dx แทนคา dx du = sin-1 ua + c  64-(x+6)2 =  64-u2 ขัน้ ตอนที่ 3 แทนคา u = x + 6 จะได ตอบ (x8+6) + C  dx = sin-1 64-(x+6)2 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปริพนั ธ 45 ตวั อยา งที่ 2.16 จงหาปริพนั ธของ  x 2 -1 dx +4 x +8 วธิ ีทาํ ขน้ั ตอนที่ 1 จากสมการจะอยใู นรปู ของ  -1 1 du = cot-1u + C u2+ จากโจทยกําหนด -1 -1  x2 +4 x +8 dx =  ( x2 +4 x+4)+4 dx =  ( -1 + 4 dx x+2)2 ขัน้ ตอนท่ี 2 กาํ หนด u = x + 2  du = dx แทนคา -1 -1  x2 +4 x +8 dx =  u2+4 du = cot-1u + C ขน้ั ตอนท่ี 3 แทนคา u = x + 2 จะได -1 ตอบ  x2 +4 x +8 dx = cot-1(x + 2) + C ตวั อยางที่ 2.17 จงหาปรพิ นั ธของ  1 dx 9 - 4x2 1 sin-1u + วิธที ํา ข้ันตอนที่ 1 จากสมการจะอยูในรูปของ  1- u2 du = C จากโจทยกําหนด  1 dx จัดรปู สมการใหอ ยูในรูปสตู รการ 9 - 4x2 อินทเิ กรต โดยนํา 9 หารท้ังเศษสว นจะได 1 1  9 - 4x2 dx =  99 - 49x2 dx 3 13 =  1 dx = 3 1 dx 1- 49x2 1- (23x)2 3 ขั้นตอนท่ี 2 กําหนด u = 23 x  du = 23 dx ดังนั้น dx = 23 du 1 dx = 13  1 23 ข้ันตอนที่ 3  9 - 4x2 1- u2 ( du) ตอบ = 12  1 du = 12 sin -1u + C จะได 1-u2 )+ C แทนคา u = 32 x 12 sin-1 ( 23 x 1 x2 dx =  9-4 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

46 บทที่ 2 การหาปริพันธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส 2.6 การหาปริพนั ธก รณีทีไ่ มสามารถหาปริพนั ธโดยตรงไดใ หใ ชส ตู ร (2.4)  f (g(x))g'(x)dx =  f (u)du เมอ่ื u = g(x) = F(u) + C ขน้ั ตอนการแกสมการ ขั้นตอนที่ 1 กาํ หนด u = g(x) ขน้ั ตอนที่ 2 หาอนพุ ันธของ u จะได du = g(x)dx ขั้นตอนท่ี 3 หาปรพิ ันธ  f (g(x))g'(x)dx =  f (u)du ตวั อยา งที่ 2.18 จงหาปรพิ นั ธข อง (x3 + 2)2(3x2)dx วธิ ที ํา ขนั้ ตอนท่ี 1 กําหนด u = g(x) = x2+2 ข้ันตอนท่ี 2 หาอนพุ นั ธ du = g(x)dx du = d(x3+2) = 3x2dx ข้นั ตอนท่ี 3 หาปรพิ ันธ  f (g(x))g'(x)dx =  f (u)du จาก ขัน้ ตอนท่ี 4 (x3 + 2)2(3x2)dx = u2du = u22++11 + C = u33 + C แทนคา u ในรปู ของ x ตอบ (x3 + 2)2(3x2)dx = u33 + C = (x3+32)3 + C ตวั อยางที่ 2.19 จงหาปรพิ ันธข อง  x1+5 dx วธิ ีทํา ข้ันตอนที่ 1 กําหนด u = x+5 ข้นั ตอนที่ 2 หาอนุพนั ธ du = dx ข้ันตอนที่ 3 จาก  x1+5 dx =  1u du = ln |u| + C ขน้ั ตอนที่ 4 แทนคา u = x + 5 จะได ตอบ  x1+5 dx = ln |x + 5 | + C จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ 47 ตวั อยา งที่ 2.20 จงหาปริพันธข อง  xx++12 dx วิธีทาํ ขั้นตอนท่ี 1 ทาํ เปนเศษสวนคละโดยใชก ารต้ังหารจะได x+1 x+2 1 x +1 1 เศษ ขน้ั ตอนท่ี 2 จะได xx++12 = 1+ x1+1 ตอบ  xx++12 dx =  (1+ x1+1)dx  xx++12 dx =  dx +  x1+1 dx = x + ln (x + 1) + C ตวั อยา งที่ 2.21 จงหาปรพิ ันธข อง  1+1ey dy วธิ ีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 นาํ e-y คูณทั้งตวั เศษและตวั สวน  dy )  e-y  =  (1 e-y y ) dy (1+ey  e-y  + e-   ขนั้ ตอนท่ี 2 กําหนด u = 1 + e-y du = e-y dy  (1+e-ey-y )dy ข้ันตอนที่ 3 = - duu = - ln u + C ขั้นตอนท่ี 4 แทนคา u = 1 + e-y จะได = - ln (1 + e-y ) + C ตอบ  (1+ee-y-y )dy = - ln (1 + e-y ) + C 2.7 การหาปริพันธโดยวธิ กี ารแทนคาหรอื เปลี่ยนตัวแปร (ใชส ตู รมาตรฐาน) ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณาความสมั พันธข องฟงกช ันในตวั ถูกอนิ ทเิ กรต เพ่ือแยก กาํ หนดให g (x) = u ซึง่ มี g(x) dx = du ข้ันตอนท่ี 2 แลวเปลยี่ น  f (g(x))g'(x)dx =  f (u)du ข้นั ตอนท่ี 3 หาคา  f (u)du ซ่ึงอยูในรปู แบบมาตรฐาน ทม่ี ีสูตรของการอินทเิ กรตแลว ขั้นตอนท่ี 4 แทนคาผลลพั ธก ลับในรปู ตวั แปร x โดยแทน u ดว ย g(x) จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

48 บทท่ี 2 การหาปริพนั ธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยางที่ 2.22 จงหาปรพิ ันธข อง I =  x x - 5 dx จงหาคา I วิธที าํ ข้ันตอนท่ี 1 กําหนดให g (x) = u(x) = x - 5 u2 = x – 5 ดงั นัน้ x = u2 + 5  g(x) = dx = 2udu ขนั้ ตอนที่ 2 แทนคา x ในรปู ของ u ใน I จาก I =  x x - 5 dx =  (u2 + 5) u 2udu =  (u2 + 5) 2u2du I = (2u4 +10u2) du   f(u)du ขั้นตอนท่ี 3 จาก  f (u)du +=103u3(2+u4C+(ค10าคu2งท) d่ี)u อยใู นรปู แบบมาตรฐาน ขน้ั ตอนที่ 4 I = 25u5 แทนคา กลับในรปู ตวั แปร x u = x - 5 = (x – 5)1/2 จะได I = 2(x-55)5/2 + 10(x-35)3/2 + C ตัวอยางที่ 2.23 จงหาปริพนั ธข อง I =  sin 2x dx 1+sin 2x วิธที าํ ขนั้ ตอนที่ 1 กาํ หนดให g (x) = u = 1+ sin2x g(x) = du = 2 sin x cos xdx = sin 2xdx ขัน้ ตอนท่ี 2 เปลย่ี น  f (g(x))g'(x)dx =  f (u)du sin 2x dx =  sinu2x dx และ du = sin 2xdx ขนั้ ตอนที่ 3 I =  1+sin 2 x ขนั้ ตอนที่ 4 I =  1u du I =  u1 du = ln u + C (แบบมาตรฐาน) แทนคา กลับในรูปตวั แปร x โดย u = 1 + sin2 x I = ln (1 + sin2 x) + C ตอบ I = ln (1 + sin2 x) + C จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปริพนั ธ 49 2.8 การหาปรพิ ันธฟงกช ันตรรกยะ 2.8.1 กรณตี วั ประกอบของ Q(x) เปนตัวประกอบเชงิ เสน ท่ไี มซ้ํากัน ถา Q(x) = (x - a1) (x - a2) …..(x - an) จะแยกสมการเปน P( x) = (x A1 ) + ( x A2 ) ++ (x An ) Q( x) - a1 - a2 -a n ตวั อยางท่ี 2.24 I=  x 2 +2x+3 dx จงหาคา I x3 - x 2 วิธีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 จาก  x +2x + 3 dx อยใู นรปู  P(x) dx x 3-x Q(x)  P(x) = x2 + 2x + 3 Q(x) = x3 – x Q(x) = x (x2 - 1) ใชก ารดึงตวั ประกอบรวม จาก Q(x) = x (x2 - 1) = x (x - 1) (x + 1) มี 3 พจน ข้นั ตอนท่ี 2  เราสามารถแยกสมการเปน P(x) = ( x A1 ) + (x A2 ) ++ (x An ) Q(x) - a1 - a2 - an P(x) = A1 + A2 + A3 Q(x) x x -1 x +1 ขั้นตอนที่ 3 หาคา A1 , A2 และ A3 ทาํ ได 2 วธิ ี คือ 3.1 โดยการเทยี บสัมประสทิ ธ์ิ x2 +2x+3 = x2 +2x+3 = A1 + A2 + A3 x3-x x( x -1)( x +1) x x -1 x +1 x2 +2x+3 = A1 (x-1)(x+1)+ A2 (x)(x+1)+ A3 x(x-1) x( x -1)( x +1) x ( x -1)( x +1) x2 +2x +3 = A1(x -1)(x +1) + A2x(x +1) + A3x(x -1) = A1(x2 + x - x -1) + A2 (x2 + x) + A3(x2 - x) = A1(x2 -1) + A2 (x2 + x) + A3 (x2 - x) = A1x2 - A1 + A2x2 + A2x + A3x2 - A3x จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

50 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส x2 + 2x + 3 = (A1 + A2 + A3 )x2 +(A2 - A3 )x - A1 ใชการเทยี บสัมประสิทธจิ์ ะได A1 + A2 + A3 = 1 (2.4) A2 - A3 = 2 (2.5) -A1 = 3 (2.6) จากสมการท่ี (2.6) จะได A1 = -3 แทนคาในสมการที่ (2.4) จะได -3 + A2 + A3 = 1 A2 + A3 =4 (2.7) จากสมการท่ี (2.5) จะได A2 + A3 = 2 นําสมการท่ี (2.7) + สมการที่ (2.5) จะได A2 + A3 + A2 - A3 = 4 + 2 2A2 = 6 A2 = 3  A3 = 1 และ A1 = -3 ขั้นตอนที่ 4 3.2 โดยวิธีแทนคา x ท่เี หมาะสม จากสมการ x2 + 2x + 3 = A1(x -1)(x +1) + A2x(x +1) + A3x(x -1) (2.8) ใหเลอื กคา x ทท่ี ําใหห าคา A1, A2 , A3งายและสะดวก คอื x = 0 , 1 และ -1 จากสมการท่ี (2.8) ถา x = 0 จะได 3 = A1(0 -1)(0 +1) + A2 (0)(0 +1) + A3 (0)(0 -1) A1 = -3 จากสมการที่ (2.8) ถา x = 1 จะได 12 + 2(1) + 3 = A1(1-1)(1+1) + A2 (1)(1+1) + A3 (1)(1-1) 6 = 2 A2 A2 = 3 จากสมการที่ (2.8) ถา x = -1 จะได (-1)2 + 2(-1) + 3 = A1(-1-1)(-1+1) + A2 (-1)(-1+1) + A3 (-1)(-1-1) 4 = 2 A3 A3 = 2 แทนคา A1, A2 , A3 จะได จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปรพิ ันธ 51  x2 +2x+3 dx = - 3 dx +  3 dx + 1 dx x3-x x x-1 x +1 = -3 ln |x| + 3 ln |x - 1| + ln |x + 1| + C = - ln |x|3 + ln |x - 1|3 + ln |x + 1| + C = - ln (x +1)(x -1)3 +C x3 ตอบ  x 2 +2x +3 dx = - ln (x +1)(x -1)3 +C 3-x x3 x 2.8.2 กรณตี วั ประกอบบางตัวของ Q(x) เปนตัวประกอบเชงิ เสนทซี่ าํ้ กนั Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - an)m จะแยก P(x) = A1 ) + A2 ) + (x B1 ) + (x B2 + Bm )m Q(x) (x - a1 (x -a2 - a3 - a3 )2 (x -a3 ตวั อยา งท่ี 2.25 จงหาปริพนั ธข อง I=  (x 3 x +5 2) dx - 3x+ วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 จาก  (x 3 x+5 2) dx อยูในรูป  P(x) dx จะได - 3x + Q(x) P(x) = x + 5 Q(x) = x3 - 3x + 2 วิธีการแยกตวั ประกอบ Q(x) = x3 - 3x + 2 = (x - 1) (x2 + x - 2) = (x - 1) (x - 1) (x + 2) Q(x) = (x - 1)2 (x + 2) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

52 บทท่ี 2 การหาปริพันธ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ขน้ั ตอนที่ 2 จาก Q(x) = (x + 2) (x - 1)2  เราสามารถแยก P(x) = (x A1 + B1 + ( B2 2 Q(x) +2) (x -1) x -1) ขน้ั ตอนที่ 3 หาคา A1 , B1 , B2 x+5 = A1 + B1 + ( B2 2 (x3 - 3x+2) ( x + 2) (x -1) x -1) x + 5 = A1(x -1)2 + B1(x + 2)(x -1) + B2 (x + 2) หาคา A1 , B1 , B2 โดยแทนคา x ทีเ่ หมาะสม เมอื่ x = -2 ; - 2 + 5 = A1(- 3)2 + B1(-2 + 2)(-2 -1) + B2 (-2 + 2) A1 = 1 3 เมื่อ x = 1 ; 1 + 5 = A1(1-1)2 + B1(1+ 2)(1-1) + B2 (1+ 2) B2 = 2 เม่อื x = 0 ; 0 + 5 = A1(0-1)2 + B1(0 + 2)(0 -1) + B2 (0 + 2) 5 = A1 + (-B1 ) + 2B2 5 = 1 + - B1 + 2(2) 3 B1 = - 1 3 ขน้ั ตอนที่ 4 แทนคา A1 , B1 , B2 จะได 13  (x 3 x +5 dx =  (x + 2) dx -  (x 1 dx   2 2 dx - 3x + 2) -2) (x-1) = 13 ln |x + 2| - 13 ln |x - 1| - x2-1 + C ตอบ  (x 3 x+5 dx = 13 ln |x + 2| - 13 ln |x - 1| - x2-1 + C - 3x+2) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปริพันธ 53 2.8.3 กรณีตวั ประกอบของ Q(x) เปน ตัวประกอบกาํ ลังสองท่ีไมซ ้ํากัน เมอื่ Q(x) = (x - a1) (x - a2) (ax2 + bx + C) สามารถแยกสมการไดเ ปน P(x) = (x A1 ) + ( x A2 ) + (ax Bx+ D c) Q(x) - a1 - a2 2 +bx + ตวั อยางที่ 2.26 จงหาคาปริพันธข อง I = dx  x5-x2 วิธที าํ ขน้ั ตอนที่ 1 แยกตัวประกอบ P( x ) = 1 Q( x ) x5 -x2 จะได Q(x) = x5 - x2 = x2 (x3 - 1) (x - 1)  x3 +0x2 +0x-1 (x2 + x +1)  Q(x) = x5 - x2 = x2 (x3- 1) = x2(x - 1) (x2 + x + 1) ขนั้ ตอนที่ 2 จาก x2 (x - 1) (x2+ x + 1) สามารถแยกสมการไดเ ปน P(x) = A + B + x C + Dx + E (2.9) Q(x) x2 x -1 x2 + x+1 คณู x2 (x - 1) (x2+ x + 1) ท้ัง 2 ขาง ของสมการจะได 1 = A(x - 1)(x2 + x + 1) + Bx (x - 1)(x2 + x + 1) + Cx2(x2 + x + 1) + (Dx + E) x2(x - 1) (2.10) ขั้นตอนที่ 3 หาคา A , B , C , D และ E โดย สมมติหาคา x ท่เี หมาะสม จะได 3.1 x = 0 แทนคา ในสมการ (2.10) จะได 1 = A(0 - 1) (02 + 0 + 1) + B(0) (0 - 1) (02 + 0 + 1) + C(02) (02 + 0 + 1) + (D(0) + E) (02)(0 - 1) 1 = -A  A = -1 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

54 บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส 3.2 เมือ่ x = 1 แทนคาในสมการ (2.10) จะได 1 = A (1 - 1) (12 + 1 + 1) + B(1) (1 - 1) (12 + 1 + 1) + C(12) (12 + 1 + 1) + (D(1) + E) (12)(1 - 1) 1 = 3C 1  C = 3 3.3 จัดสมการ (2.10) ใหมจ ะได 1 = A (x3 -1) + B(x4 - x) + C(x4 + x3 + x2) + Dx4 + Ex3- Dx3- Ex2 1 = (B +C + D)x4 (A + C + E - D)x3 + (C - E)x2 - Bx - A (2.11) 3.4 จากสมการ (2.11) ใชวธิ เี ทยี บสมั ประสทิ ธ์ิ จะได 1 1 3 B= C-E =0 จาก C = 3  E = A+C+E-D = 0 จะได A = -1 ,C= 1 , E = 1 3 3 1 1 1 D= A + C + E = - 1 + 3 + 3 = - 3 ขัน้ ตอนที่ 4 จาก A = - 1 , B = 0 , C = 1 , D = - 1 , E = 1 แทนคาใน (2.9) จะได 3 3 3 ขัน้ ตอนที่ 5 ตอบ 1 = -1 +0 +1 + -1 x + 1 x5 -x2 x2 x 3(x-1) 3 + 3 x2 x +1 = -1 + 1 - 3(x x -1 +1) x2 3( x -1) 2+x 1 = - 1 dx +  1 dx - 1  (x 2 x-1 dx x2 3(x-1) 3 + x+1)  x5-x2 ให f1 = - 1 dx = 1 x2 x f2 = 1 1 dx = 1 ln |x - 1| x-1 3 3 f3 = 1 x 2 x -1 dx = 1  2 x +1-3 dx + x +1 32 x2 +x+1 3 = 1  x 2 x +1 dx -  x 2 3 +1 dx 6 2 +x+1 +x จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ 55 2.9 การประยกุ ตป รพิ นั ธ 2.9.1 คาเฉล่ียของฟง กชนั (Average function value) สาํ หรบั ฟง กชนั f (x) บนชวงปด [a , b] สามารถหาความสมั พนั ธไดจาก b favg = 1 f ( x)dx (2.12) b-a a ตัวอยางที่ 2.27 จงหาคา เฉล่ยี ของฟงกชนั ตอไปนี้ f (t) = 2t2-3t+3cos (t) บนชวง [-1 , 5 ] 2 วธิ ที าํ ขัน้ ตอนท่ี 1 จากสมการที่ (2.12) b favg = 1 f ( x )dx favg โจทยกาํ หนด a = -1 และ b = 5 b-a a 2 5 ข้นั ตอนท่ี 2 แทนคา f (x) และ a = -1 และ b = 2 ในสมการจะได favg = 25 1 -521(2t 2 - 3t + 3cos (t )) dt -(-1) favg = 251+1  2t2 - 3t + 3 sin (t) 25  3 2    -1 favg = 127  2t2 - 3t + 3 sin (t ) 52  3 2    -1      favg 2 5 2 3 5   2 2 = 2  3 - 2 + 3 sin ( 5 ) 7  2     - 2  2(-1)3 - 3(-1) + 3 sin (-)  7  3 2   favg = 7.555 ตอบ คา เฉล่ียของฟงกชนั f (t) = 7.555 2.9.2 คาเฉล่ียสําหรับปริพันธ ถา f (x) เปนฟงกชันที่ตอเนื่องบนชวงปด [ a ,b] แลวมี C เปน จํานวนจรงิ ซึง่ C  [ a , b] แลว คา เฉล่ียสาํ หรับปริพันธม ีสมการเปน b f (x)dx = f ( c)(b - a) (2.13) a จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

56 บทที่ 2 การหาปริพันธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตัวอยา งท่ี 2.28 จงหาคา C ซ่งึ อยใู นชว งของ [1, 4] โดยใชค า เฉล่ยี ปริพนั ธข องฟงกช นั f (x) = x2+3x+2 วิธที ํา ข้นั ตอนที่ 1 โจทยก ําหนด f (x) = x2+3x+2 เปนฟงกชนั พหนุ ามท่ีความตอ เนอ่ื งในชวง [1, 4] ขน้ั ตอนท่ี 2 หาคา เฉล่ียสาํ หรบั ปริพันธ มคี า คงท่ี C อยูในชวงปด [1, 4] โดยใช ขนั้ ตอนท่ี 3 b สมการคาเฉลย่ี สําหรับปรพิ นั ธ f ( x)dx = f (c)(b - a) a 4 f ( x)dx = f (c)(4 -1) 1 41(x2 +3x+2)dx = f (C)(4-1) 4  x3 3x2   3 + 2 + 2 x  = 3(C2+3C+2)   1  43 + 3 42 + 2(4) - 13 + 3 12 + 2(1) = 3(C2+3C+2) 993 = 2  3 2 323 =    2 3(C2+3C+2) (C2+3C+2) จดั สมการในรูปกาํ ลงั สองจะได 29 C2+3C- 2 = 0 หาคา C จาก C= -3± 32 - 4(1)(- 29 ) 2 2(1) -3± 67 C = 2 C = -3- 2 67 = -5.59  ไมอยใู นชว ง [1, 4] -3+ 67 C= 2 = 2.593  [1, 4] ดงั นัน้ 2.593 เปนจาํ นวนสอดคลองกบั คา เฉลย่ี ปริพนั ธ ตอบ คา C ท่สี อดคลอ งกับคา เฉล่ียปรพิ นั ธ คือ C = 2.593 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปรพิ ันธ 57 2.9.3 พน้ื ท่รี ะหวางโคง (Area between curves) สามารถพิจารณาไดเ ปน 2 กรณีตอไปนี้ กรณีที่ 1 กําหนดให y = f (x) และ y = g(x) เปนฟงกช ันท่ีมคี วามตอเนอื่ งบนชว งปด [ a ,b] และ f (x)  g(x) สําหรับทกุ x  [ a , b] ดังรูปท่ี 2.5 Y Y Y y = f (x) f ( X * ) f ( X * ) - g ( X * ) i i i 0a b X 0 a -g ( X * ) b X0a bX y = g(x) i X * X i รปู ที่ 2.5 พน้ื ทีร่ ะหวา งโคง (ทมี่ า : http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/AreabetweenCurves.aspx) จากรูปท่ี 2.5 บรเิ วณพื้นท่ี A คือ จะเปน ผลบวกของพน้ื ท่รี ปู สีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากเล็กๆ หลายรูป โดย n [ A = 0 lim i=1 f ( X * )- g ( X * )]X i i ซ่ึงบริเวณพ้ืนที่ A คือพื้นท่ีที่ปดลอมดวยเสนโคง y = f (x) และ y = g(x) และเสนตรง x = a และ x = b เม่ือ f และ g เปนฟงกชันตอเน่ืองบนชวงปด [a , b ] และ f (x)  g(x) สําหรับ ทุก x ท่ีเปนสมาชิกในชว งปด [a , b ] มสี มการเปน (2.14) A= ba[ f (x)-g(x)]dx เม่ือ a  x  b กรณีท่ี 2 กําหนดให x = f (y) และ x = g(y) เปนฟงกชันท่ีมีความตอเน่ืองบนชวงปด [ c , d] และ f (y)  g(y) สําหรับทุก y  [ c , d ] ซึ่งบริเวณพื้นท่ี A คือพ้ืนที่ท่ีปดลอมดวยเสนโคง x = f (y) และ x = g(y) และเสนตรง y = c และ y = d เมื่อ f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวงปด [c , d ] และ f (y)  g(y) สําหรับ ทุก x ทเ่ี ปน สมาชิกในชวงปด [c , d ] มสี มการเปน (2.16) A= dc[ f (y)-g(y)]dy เมื่อ c  x  d จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

58 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยา งที่ 2.29 จากสมการ y = x2 และ y = x จงหาพื้นที่ในบริเวณท่ีปด ลอม (2.16) วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 จากสมการ y = x2 (2.17) และสมการ y = x หาจดุ ตัดจากสมการที่ (2.16) และ (2.17) จะไดวา ให x = 0 แทนคา ในสมการ (2.16) จะได y = 0 จดุ ตดั คือ (0 ,0) ให x = 1 แทนคาในสมการ (2.16) จะได y = 1 จดุ ตัด คอื (1 ,1) ขัน้ ตอนที่ 2 เขยี นกราฟความสัมพันธ รูปที่ 2.6 วงจรตวั อยางที่ 2.29 (ท่ีมา : http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/AreaBetweenCurves.aspx) ขน้ั ตอนท่ี 3 หาปริพนั ธข องพ้นื ทป่ี ด ลอม A= ba[ f (x)-g(x)]dx A= 01[ x-x2 ]dx 1  32 3 13  A = x 2 - x 3  0 A =  23 (1) 3 - 13 (1)3  -  23 (0) 3 - 13 (0)3   2   2  A= 23 -13 = 13    ตอบ A = 13 ตารางหนว ย จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปริพนั ธ 59 ตัวอยา งท่ี 2.30 จงหาพ้นื ที่ของบริเวณทป่ี ดลอมดวย y = xe-x2 , y = 2x +1 และ x = 2 และแกน x วิธีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 วาดกราฟของสมการ y = xe-x2 , y = 2x +1 และ x = 2 และแกน x จะได รปู ท่ี 2.7 วงจรตวั อยา งท่ี 2.30 (ที่มา : http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/areabetweencurves.aspx) ขั้นตอนที่ 2 หาปริพนั ธของพืน้ ที่ปดลอมจากสมการ ขน้ั ตอนท่ี 3 แทนคา f A= ab[ f ( x)- g(x)]dx x ) = xe- x2 และชวงปด [0 , 2] (x) = 2x +1 และ g( A= 02[(2x +1)-(xe-x2 )]dx 12 2 A = ( x2 + x + e- x2 ) 0 A= (22 +2+ 12 e-22 )-(02 +0+ 21 e-02 ) A = (1261++1212ee--44)- ( 12 ) A = ตารางหนวย ตอบ พืน้ ที่ A= 121 + 1 e-4 ตารางหนว ย 2 ตัวอยา งที่ 2.31 จงหาพนื้ ท่ขี องบรเิ วณท่ีปด ลอ มดว ย x = -y2+10 และ x = (y-2)2 วิธที ํา ขั้นตอนที่ 1 หาจดุ ตัดของสมการจาก -y2 + 10 = (y - 2)2 -y2 + 10 = y2- 4y + 4 จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

60 บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขัน้ ตอนที่ 2 0 = 2 y2- 4y - 6 0 = 2(y + 1)(y - 3) y = -1 และ y = 3 วาดกราฟความสัมพนั ธของ x = -y2+10 และ x = (y-2)2 รูปที่ 2.8 วงจรตวั อยางท่ี 2.31 (ท่ีมา : http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/areabetweencurves.aspx) ขน้ั ตอนท่ี 3 หาปริพันธของพน้ื ท่ปี ด ลอ มจากสมการ A= dc[ f (y)-g(y)]dy ขั้นตอนที่ 3 แทนคา และชว งปด f (y) = -y2+10 และ g(y) = (y-2)2 บนชวง [-1 , 3] A= -31[-y2 +10-( y-2)2]dy A= -31[-2y2 +4 y +6]dy 23 y3 +2y2 +6y 3 A = - 23 -1 - 23 (-1)3 + 2(-1)2 + 6(-1) A = - 33 +2(3)2 +6(3)- A= 634 ตอบ พน้ื ที่ A= 634 ตารางหนว ย จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปริพนั ธ 61 2.10 สรปุ การหาปริพันธเปนการทํายอนกลับของการหาอนุพันธ ซึ่งมี 2 แบบ คือ การหาปริพันธ แบบจํากัดเขต และการหาปริพันธแบบไมจํากัดเขต โดยการหาปริพันธสามารถหาไดหลายวิธี เชน การหาคาปรพิ ันธโดยใชสูตรโดยตรง ไดแ กปริพนั ธข องฟงกชนั พีชคณิต ปรพิ ันธของฟง กชัน ตรีโกณมิติ ปริพันธของฟงกชันเอ็กซโพเนนเชียล ปริพันธของฟงกชันลอการิทึม นอกจากน้ี หากไมสามารถหาปริพนั ธโดยตรงได ยังสามารถหาปรพิ ันธโดยใชการแทนคา และปรพิ นั ธโดยวิธี แยกเศษสวนยอ ย สําหรับการประยุกตปริพนั ธสามารถนําไปใชในการหาคาเฉล่ียสําหรับปริพันธ และพนื้ ทร่ี ะหวางโคง จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

62 บทที่ 2 การหาปรพิ ันธ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส แบบฝกหดั ทายบทท่ี 2 จงหาปรพิ นั ธของ 2 9 1.  (x3 + 2)1/2 x2dx ตอบ (x 3 + 2)3/ 2 + ln แนะนําให u = x3+2 แนะนาํ ให u = x3+2 2.  8 x2 dx ตอบ - 4 2)2 + C ( x3 +2)3 3(x3 + แนะนําให u = x3+2 3.  x2 dx ตอบ 4 (x3 + 2)3/ 4 + C x3 +2 9 4 4.  3x 1-2x2 dx ตอบ - 1 (1 - 2 x2 )3/ 2 + C แนะนําให u = 1-2x2 2 dx 1 1 5.  x 2 -4 ตอบ 4 ln |x - 2| - 4 ln |x + 2| + C 6.  ( x+1) dx ตอบ 1 ln |x| + 3 ln |x - 2| - 2 ln |x + 3| + C x 3 + x 2 -6 x 6 10 15 -4 1 x +1 7.  3x+5 dx ตอบ x -1 + 21 ln | x -1 | + C x 3 - x 2 - x +1 8.  x ( x +1) 2 dx ตอบ 1 ln x2 2x2 C แนะนาํ ให u = x2+2x+ 2 +2x+ 2 2 9.  x2+x+31x-2 dx ตอบ x2 - 2 x + C 2 10.  sin1 x dx ตอบ tan x - sec x + C 11.  tan x dx ตอบ 1 cos4 x + C sec4 x 4 12. -21ex (1- e-x )dx ตอบ e2-e-1-3 13. 1-2(2x2 +1)dx ตอบ 7 2 3 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปรพิ ันธ 63 เอกสารอา งอิง จนั ทนีย กาญจนะโรจน และ ชลุ ี โชติกประคลั ภ. (2550). แคลคลลู สั 1. พิมพค ร้ังท่ี 5. มหาวทิ ยาลัยกรุงเทพฯ. ดาํ รงค ทิพยโ ยธา และคณะ. (2558). แคลคลู สั 2. สาํ นกั พมิ พแ หง จุฬาลงกรณม หาวิทยาลัย. แนง นอย ทรงกําพล .เอกสารประกอบการสอนวชิ าแคลคลู สั 1.มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคล. [ออนไลน] เขาถงึ ไดจ าก http://www.electron.rmutphysics.com/news/index.php?option=com_ content&task=view&id=521. (วนั ท่คี น ขอมลู 10 เมษายน 2556) ปราโมทย เดชะอาํ ไพ. (2555). แคลคลู ัสและสมการเชงิ อนพุ นั ธด ว ยแมทแลบ: สํานกั พิมพแ หง จุฬาลงกรณ มหาวทิ ยาลยั ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท. (2550). แคลคูลัส1 สาํ หรับวิศวกร: สาํ นกั พมิ พ สกายบุค ส. พูลสขุ ธนั วารชร , สมใจ อรุณศรโี สภณ, ประวัติ พัฒนิบูลย, สมุ า บรรณวนชิ กลุ , สภุ าณี เพง็ เลีย. (2550). แคลคูลสั 1. ภาควชิ าคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร วริ ัตน สวุ รรณาภิชาต.ิ (2551). แคลคูลัส 1. สายวิชาคณิตศาสตร สถิติ และคอมพิวเตอร คณะศลิ ปศาสตรแ ละวิทยาศาสตร มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร วิทยาเขตกําแพงแสน สาํ นกั พมิ พ มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร. สกุ ัญญา สนิทวงศ ณ อยุธยา และอนญั ญา อภชิ าตบุตร. (2549). แคลคลู ัส 1 ฉบบั เสริมประสบการณ: บริษัทวทิ ยพฒั น จํากดั . จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

บทที่ 3 แบบจาํ ลองสมการทางคณติ ศาสตร แบบจําลองคณติ ศาสตรส รางขึน้ เพือ่ ใชใ นการออกแบบและวิเคราะหก ารทํางานของระบบ ควบคุม พฤติกรรมทางพลวัตของระบบ (Dynamic System) ซ่ึงสามารถสรางข้ึนโดยใชสมการ อนุพนั ธใ นการวเิ คราะหการทํางาน การสรางแบบจาํ ลองของระบบมหี ลายระบบ เชน ระบบทางกล ระบบไฮดรอลกิ ซ ระบบไฟฟา และอนื่ ๆ เน่อื งจากระบบโดยทว่ั ไปเปนระบบไมเ ปนเชิงเสน 3.1 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรข องระบบเชิงกล สว นประกอบของระบบเชิงกล (Elements of mechanical system ) ระบบเชงิ กลจะประกอบดว ย สวนประกอบท่ีสําคัญ 3 สวน คือ มวล (Mass) สปริง (Spring) และตัวหนวง (Damper) โดยมวล จะทําหนาท่สี ะสมพลงั งานจลน หรือสะสมแรงเฉื่อย ซ่ึงทนทานตอการเคล่ือนที่ สว นสปริงจะเปน ชิ้นสวนท่ีทําหนาท่ีสะสมพลังงานศักย และตัวหนวงจะทําหนาท่ีสรางแรงกระทําเพ่ือตาน การเคลื่อนที่ หรือทําใหพ ลงั งานการเคลือ่ นทีข่ องระบบลดลง สําหรับการพจิ ารณาระบบเชิงกลน้ัน อินพุตของระบบมักจะเปนแรง (Force) ที่กระทํากับระบบในขณะท่ีเอาตพุตของระบบจะเปน การขจัด (Displacement) ของระบบ 3.1.1 มวล (Mass) สําหรับมวลนั้นจะหาความสัมพันธระหวางการขจัดและแรงกระทําไดโดยอาศัย กฎขอ ทสี่ องของนิวตัน น่นั คือ แรงกระทาํ จะเทา กับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตของระบบ รปู ท่ี 3.1 แรงท่กี ระทาํ ตอวตั ถุมวล M แตเนื่องจาก F = m dV (3.1) dt

66 บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส และสมมตุ ิวามวลของระบบคงที่ V = dx (3.2) dt (3.3) d2x F = m dt 2 = mx เมอ่ื x = dx dt 3.1.2 สปรงิ (Spring) การสรา งแบบจําลองทางกลสําหรบั สปริง รูปท่ี 3.2 แรงภายนอกท่ีกระทาํ ตอสปรงิ สาํ หรับสปริงจะมีความสมั พนั ธระหวางแรงและการขจัดหรอื ระยะยดื ของสปรงิ เปน F = kx(t) (3.4) โดยในที่นี้สมมุติวาสปริงน้ีเปนสปริงเชิงเสนคือแรงและการขจัดมีอัตราสวนที่คงที่ โดยคาอัตราสวน k น้ีเรียกคาคงท่ีสปริง (Spring constant) หรือคาความแข็งแรงของสปริง (Stiffness) โดยทค่ี า k นี้มีคา มากกต็ องออกแรงมากในการทจ่ี ะยืดหรือกดสปริง รปู ท่ี 3.3 สปริงและแผนภาพบล็อกสปริง จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องระบบ 67 3.1.3 ตวั หนวง (Damper) ตัวหนวงนี้ทําหนาท่ีเปนแรงตานการเคลื่อนท่ีโดยสวนมากในทางเชิงกลจะพิจารณา ตัวหนวงแบบหนืด (Viscous damper) โดยความหนืดของของไหลจะทําหนาท่ีเปนสวนที่สราง แรงตานการเคลื่อนท่ีของวัตถุ เนื่องจากแรงท่ีเกิดข้ึนโดยการกระทําของของไหล จะเปนสัดสวน กับแรงเฉือนท่ีเกิดข้ึนในของไหล และแรงเฉือนที่เกิดข้ึนในของไหลจะเปนสัดสวนกับความเร็ว ในการเคลือ่ นทขี่ องของไหล ดังนน้ั จะไดวา kd รปู ท่ี 3.4 แบบจําลองทางกลของตัวหนว ง (3.5) F(t)  V(t) (3.6) F (t ) = kdV = kd ddxt โดย kd คือคาตัวประกอบความหนวง (Damping factor) ของตัวหนวงน้ัน ซึ่งถือวา เปนคาคงที่ และเคร่ืองหมายลบในสมการแสดงใหเห็นวาทิศทางของแรงจะตองตรงขาม กับการเคลอื่ นที่ รูปที่ 3.5 แรงหนว งของสปริง จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

68 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องระบบ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส 3.1.4 พลงั งาน (Energy) เน่ื อ ง จ า ก ก า ร เค ลื่ อ น ที่ ข อ ง ร ะ บ บ เชิ ง ก ล จ ะ เกิ ด ข้ึ น จ า ก ก า ร เป ล่ี ย น แ ป ล ง พ ลั ง ง า น ไมวาจะเปนพลังงานจลนหรือพลังงานศักยก็ตาม สําหรับมวลน้ันจะเปนสวนท่ีมีหนาที่สะสม พลังงานจลน ซงึ่ จะไดว า KE = 21 mV 2 (3.7) สวนการยดื หรอื หดตัวของสปรงิ จะทาํ ใหเกิดการสะสมพลงั งานศักยโ ดย PE = 21 kx2 (3.8) ในขณะที่การเคลื่อนท่ีของตัวหนวงไมไดทําใหเกิดการสะสมพลังงาน แตจะทําให พลงั งานของระบบลดลงโดยอัตราการลดลงของพลังงาน หรอื การสญู เสียกําลังงาน (P) จะมีคาเปน P = cV 2 (3.9) สาํ หรับระบบที่กลาวมาน้ี เปนระบบเชิงกลท่เี คลื่อนท่ีเปนเชิงเสน น่ันคือการเคล่ือนที่น้ัน จะทําใหเกิดการขจัดเปนเชิงเสนเทานั้น ไมมีการหมุนหรือการเคล่ือนท่ีเชิงมุมเกิดข้ึนในระบบ ถาหากวามีการเคลื่อนท่ีเชิงมุมเกิดขึ้น สปริงก็จะเปนสปริงเชิงมุม (Torsion spring) และตําแหนง ก็จะเปนตัวหนว งเชิงมุม (Rotary damper) โดยสาํ หรับสปริงเชิงมุมและมคี วามสมั พันธข องแรงบิด (Torque, T) และการขจัดเชงิ มมุ  เปน T = k (t) (3.10) แบบจําลองการมุมของมวล รปู ท่ี 3.6 การหมุนเชิงมุม จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรของระบบ 69 โดยในที่นี้ k จะเปนคาคงที่สปรงิ เชิงมุมมมี ิติเปนแรงบิดตอดวยการขจัดเชิงบิด สวนตัวหนวง เชิงมุม จะมีความสัมพนั ธของแรงบดิ และความเรว็ เชิงมุม () เปน T = c = c ddt (3.11) โดยในกรณีนี้ c จะมมี ิตเิ ปนแรงบดิ ตอ ดวยความเรว็ เชิงมมุ สว นการเคลอื่ นท่ีของมวลก็จะมีความสมั พันธระหวางแรงบดิ และความเรงเชิงมมุ เปน T = I (3.12) โดย  คอื ความเรง เชงิ มมุ และ I คือ โมเมนตค วามเฉ่อื ยของมวลนั้น ซ่งึ จะได (3.13) T = I ddt = I dd2t2 (3.14) (3.15) สาํ หรบั พลงั งานจลนใ นการเคล่ือนทีข่ องมวลจะเปน KE = 12 I2 และพลังงานศกั ยท่สี ะสมในสปริงเชิงมุมจะเปน PE = 12 k 2 = 12 k Th 2 = 12 Tk2 และกาํ ลังทีส่ ญู เสยี ไปในการเคลอ่ื นทเี่ มือ่ มตี วั หนว งเชิงมมุ จะเปน P = c 2 (3.16) ตารางท่ี 3.1 คุณสมบัตขิ องสว นประกอบเชิงกล สว นประกอบ สมการของแรง สมการของพลังงาน/กําลังงาน มวล F = m d2x KE = 21 mv2 โมเมนตความเฉ่ือย dt2 สปรงิ เชิงเสน T = I dd2t2 KE = 12 I2 F = kx PE = 12 kx2 PE = 12 k 2 สปรงิ เชงิ มุม F = k P = cV 2 ตัวหนวงเชิงเสน F = c ddxt P = c 2 ตวั หนว งเชงิ มมุ T = c ddt จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

70 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องระบบ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส 3.1.5 ระบบเชงิ กล (Mechanical system) ระบบเชิงกลตางๆ น้ันสามารถสรางข้ึนดวย มวล - สปริง- ตัวหนวง รวมข้ึนมาเปน แบบจําลองของระบบน้ัน โดยวิธีการสรางแบบจําลองเชิงกลนั้น จะพิจารณาสวนตางๆ ในระบบ แลววิเคราะหวาสวนใดในระบบทําหนาท่ีใด สวนท่ีทําหนาที่สะสมพลังงานจลน หรือเปนสวน ท่สี รางความเฉ่ือยใหกับระบบ ก็มักจะแทนดวยมวล สวนที่ทาํ หนาท่ีสะสมพลังงานศักย หรือสวน ทมี่ ีการยดื หยุนในระหวา งทีร่ ะบบเคลอ่ื นตวั กจ็ ะแทนดวยสปริงเปนตน 3.1.5.1 แบบจาํ ลองระบบสปริงและมวล M  d 2x(t ) dt 2 รปู ที่ 3.7 แบบจําลองระบบสปริงและมวล F ( t ) = kx (t ) + M  d 2x(t ) dt 2 3.1.5.2 แบบจําลอง มวล - สปริง - ตวั หนว ง M kd แรงซึง่ กระทํากบั สปรงิ มวล และตวั หนวง = อินพุต k F(t) x(t) ระยะกระจดั ซ่ึงเกดิ จากแรงภายนอก = เอาตพ ุต รูปที่ 3.8 การจาํ ลองระบบเชงิ กล มวล - สปรงิ - ตัวหนว ง จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรของระบบ 71 F (t ) = kx(t ) + M  d 2x(t ) + k d  dx (t ) dt 2 dt 2 หากพิจารณาวามีแรง F กระทําทําใหมวล m เกิดการเคล่ือนที่ไปดวยการขจัด x , ความเร็ว และความเรง จะไดวาแรงท่ีกระทํากับมวลจะมี 3 แรงหรือแรงกระทําภายนอก F มีทิศทางไป ในทิศของการเคล่ือนที่ x สวนแรงที่เกิดข้ึนจากสปริง Fs และแรงที่เกิดขึ้นกับตัวหนวง Fd มีทิศทางตรงกันขามกับทิศของ x การเคลื่อนที่ ดังที่แสดงตามรูปท่ี 3.8 ซ่ึงจากกฎขอท่ีสองของ นวิ ตัน 3.2 แบบจําลองทางคณิตศาสตรข องระบบทางไฟฟา สว นประกอบของระบบทางไฟฟาทส่ี ําคัญไดแก ตวั ตานทาน ตวั เก็บประจุ และตวั เหน่ยี วนาํ 3.2.1 ตัวตานทาน (Resistor) เปนอุปกรณที่ใชในการตานทานการไหลของกระแสไฟฟา เพ่ือ ทําใหกระแสและแรงดันภายในวงจร ไดขนาดตามที่ตองการ เนื่องจากอุปกรณทางดาน อิเลก็ ทรอนิกสแตละตัวถกู ออกแบบใหใ ชแรงดันและกระแสท่ีแตกตา งกนั ดงั น้นั ตวั ตานทานจึงเปน อุปกรณท มี่ ีบทบาทและใชกันมากในงานดา นไฟฟาอเิ ลก็ ทรอนกิ ส เชน วทิ ยุ โทรทัศน คอมพวิ เตอร เคร่ืองขยายเสียง ตลอดจนเคร่ืองมือเครือ่ งใชท างดานไฟฟา อิเลก็ ทรอนิกส ฯลฯ เปนตน สัญลักษณ ของตัวตา นทานทใ่ี ชใ นการเขียนวงจรมอี ยหู ลายแบบดงั แสดงในรปู ท่ี 3.9 รูปท่ี 3.9 สญั ลักษณข องตัวตา นทาน รปู ท่ี 3.10 แบบจําลองของตวั ตานทาน จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

72 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องระบบ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส จากรูปท่ี 3.10 สามารถเขยี นสมการตามกฎของโอหม ไดด ังนี้ V(t) = i(t)R (3.17) หนวยของความตานทานวัดเปนหนวย “โอหม” เขียนแทนดวยอักษรกรีกคือตัว “โอเมกา” คาความตานทาน 1 โอหม หมายถึงการปอนแรงดันไฟฟาขนาด 1 โวลต ไหลผานตัวตานทาน แลวมกี ระแสไฟฟา ไหลผา น 1 แอมแปร 3.2.1.1 สภาพนาํ ไฟฟา เม่ือตอแบตเตอร่ีกับลวดโลหะ แลววัดความตางศักย V ระหวางปลายลวด และ กระแสไฟฟา I ท่ีผา นลวดนน้ั โดยใชลวดท่ีทําจากโลหะชนิดเดียวกนั มีความยาว l ตางกัน และ มีพนื้ ท่หี นาตัดเทา กัน พบวา อตั ราสว นระหวา ง V และ I แปรผนั ตรงกบั ความยาว l ของลวดนนั้ หรือ VI  l (3.18) ถาใชลวดท่ีมีความยาวเทากัน แตมีพื้นท่ีหนาตัด A ตางๆ กัน พบวาอัตราสวน ระหวาง V และ I แปรผกผนั กบั A หรือ VI  Al (3.19) โดยอาศัยกฎของโอหมในสมการ สามารถสรุปความสัมพันธระหวางความ ตานทาน R ความยาว l และพ้ืนท่หี นาตดั A ของลวดโลหะไดดงั น้ี == AAllAl ดังนั้น R เม่อื  เปน คา คงตัว (3.20) R (3.21) R ถาทดลองโดยใชลวดท่ีทําดวยโลหะตางชนิดกัน พบวาคาคงตัวในสมการ จะไมเทากัน ข้ึนกับชนิดของสาร คาคงตัว  น้ีเรียกวา สภาพตานทานไฟฟา (Electrical resistivity) ซ่ึงมีหนวยโอหม เมตร ตาราง แสดงสภาพตานทานไฟฟาของสารตางๆ ที่อุณหภูมิ 20 องศาเซลเซยี ส 3.2.1.2 ความนาํ ไฟฟา สภาพตานทานไฟฟาของสารชนิดเดียวกันมีคาเทากัน สวนความตานทาน ของสารชนิดเดียวกนั อาจตางกัน เพราะขึน้ กบั ความยาวและพืน้ ท่หี นา ตัดของสารนัน้ จึงกลาวไดว า สภาพตานทานไฟฟาเปนสมบัติเฉพาะของสารชนิดหนึ่งๆ สวนความตานทานขึ้นกับขนาด สารแตละชิ้น สารท่ีมีความตานทานมากจะยอมใหกระแสไฟฟาผานนอย จึงกลาววาสารนั้น จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องระบบ 73 มีความนําไฟฟา (electrical conductance) นอย ดังน้ันความนําไฟฟาจึงเปนสวนกลับของความ ตานทานไฟฟา และมีหนวย (โอหม)-1 หรือซีเมนส (Siemens) แทนดวยสัญลักษณ S สําหรับสาร ท่ีมีสภาพตานทานไฟฟามากจะมี สภาพนําไฟฟา (Electrical conductivity) นอย สภาพนําไฟฟา เปนสวนกลับของสภาพตานทานไฟฟา มีหนวย (โอหม)-1 หรือ ซีเมนสตอเมตรความนําไฟฟา เปนสว นกลบั ของความตานทาน สญั ลักษณ ความนาํ ไฟฟา แทนดวย “G” G = R1 (3.22) สําหรับสารที่มีสภาพตานทานมากจะมีสภาพนําไฟฟา (Electrical conductivity) นอย สภาพนําไฟฟาจงึ เปนสว นกลบั ของสภาพตา นทาน สัญลกั ษณสภาพนาํ ไฟฟา แทนดว ย “s”  = 1 (3.23)  3.2.1.3 กฎของโอหมและความตา นทานไฟฟา รปู ท่ี 3.11 วงจรไฟฟาท่ีเชื่อมตอ กับตัวตา นทาน การทดลองของโอหม เม่อื ตอปลายของลวดนิโครม ซงึ่ เปนลวดโลหะผสมระหวา ง นิกเกิลและโครเมียมกับแหลงกําเนิดไฟฟาจะมีกระแสไฟฟาผานลวดนิโครม ถาความตางศักย ของแหลงกําเนิดไฟฟาเปลี่ยน กระแสไฟฟาทีเ่ กิดขึ้นจะเปล่ียนแปลงตาม โดยกระแสไฟฟาที่ผาน ลวดนิโครมแปรผันตรงกับความตางศกั ยระหวางปลายของลวดนิโครม จึงเขียนเปนความสัมพันธ ไดด ังนี้ I  V ดงั นั้น I = kV (3.24) เมอ่ื k เปน คา คงตัวของการแปรผัน 1k = R VVII = k หรอื VI k1 =R = ถา ให จะได V = IR (3.25) จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

74 บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรข องระบบ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส คาค งตัว R น้ี เรียกวา ความตาน ท าน (resistance) ของลวดนิ โครมท่ี ใช ในการทดลองความตานทานมีหนวยโวลตตอ แอมแปร (V/A) หรือเรียกวา โอหม (ohm) แทนดวย สัญลักษณ  โอหมไดคนพบความสัมพันธตามสมการ เม่ือ พ.ศ.2369 ความสัมพันธน้ีเรียกวา กฎของโอหม (ohm’s Law) มีใจความวา ถาอุณหภูมคิ งตัว กระแสไฟฟาทีผ่ า นตวั นาํ จะแปรผนั ตรง กับความตา งศักยร ะหวางปลายของตวั นํานน้ั 3.2.2 ตัวเหน่ียวนํา (Inductor) เปนอุปกรณท่ีนิยมใชในการปรับความถี่ของเคร่ืองรับวิทยุและ โทรทัศนโดยอาศัยหลักการของลวดทองแดง นํามาขดหลายๆ รอบ ท่ีเรียกวาคอย (Coil) แลวจาย กระแสไฟฟา เขาไป เพอื่ ใหแ สดงคณุ สมบตั ขิ องตวั เหน่ยี วนํา โครงสรางประกอบดว ยขดลวด (Coil) พันรอบแกน (Core) ซ่ึงแกนนี้อาจจะเปนแกนอากาศ, แกนเหล็ก, หรือแกนเฟอรไรทข้ึนอยูกับ คุณสมบัติของการเหนี่ยวนําไฟฟา ตัวเหนี่ยวนําชนิดตางๆ ตัวเหนี่ยวนําจะมีคุณสมบัติ ในการเหน่ียวนําทางไฟฟาโดยเกิดข้นึ ในรูปของสนามแมเหล็ก ภายในตัวเหน่ียวนํามีคาที่เรียกวา คาความเหนีย่ วนาํ (Inductance) มหี นว ยเปน เฮนร่ี (Henry) รปู ท่ี 3.12 แบบจําลองทางไฟฟา ของตัวเหน่ียวนาํ ไมเคิลฟาราเดยไดทําการทดลองศึกษาแรงเคล่ือนไฟฟาท่ีเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของ สนามแมเหล็ก พบวาการเปล่ียนแปลงสนามแมเหล็กท่ีผานพื้นที่หนาตัดของขดลวดจะเหนี่ยวนํา ใหเกิดแรงเคล่ือนไฟฟาทําใหมีกระแสไฟฟาในขดลวด โดยแรงเคลื่อนไฟฟาที่เกิดข้ึนนี้เกิดจาก การเปลี่ยนแปลงของฟลกั ซแมเหลก็ B ทผ่ี านหนาตัด A ของลวดตวั นําวงปด ซ่งึ มสี มการดังนี้ Vemf = dB (3.26) dt โดยที่ฟลักซแ มเ หลBก็ =หาไBด.dจ Aาก (3.27) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรของระบบ 75 ถาพันขดลวดจํานวน N รอบ แรงเคลอื่ นไฟฟา ทเ่ี กดิ ขึ้นหาไดจ าก Vemf =N dB (3.28) dt ตอ มาไฮนรชิ เลนซ ไดอธบิ ายทิศทางและการเกิดกระแสไฟฟาเนื่องจากแรงเคลื่อนไฟฟา เหนี่ยวนาํ ท่ีไดจากกฎฟาราเดยโดยกระแสไฟฟา เหน่ียวนาํ จะเกิดขึน้ เพื่อรักษาฟลักซแมเ หลก็ ทผ่ี าน วงจรใหคงตัว ดงั น้ันกระแสไฟฟา เหนี่ยวนําที่เกิดข้ึนในวงจรจะสรางสนามแมเหล็กท่ีมีทิศตอตา น การเปล่ยี นแปลงฟลกั ซแ มเ หล็กซง่ึ สามารถเขยี นสมการไดเ ปน dB Vemf = N dt (3.29) 3.2.2.1 สภาพเหนยี่ วนําตัวเอง วงจรไฟฟาใดๆ จะมีลักษณะเปนวงปดเสมอ เร่ิมตนไมมีกระแสไฟฟาในวงจร แตเม่ือตอสวิตชใหมีกระแสไฟฟา กระแสไฟฟาจะทําใหเกิดสนามแมเหล็กมีทิศทะลุผานวงปด ทํ า ใ ห ฟ ลั ก ซ แ ม เห ล็ ก ท่ี ผ า น ว ง ป ด มี ก า ร เป ลี่ ย น แ ป ล ง โ ด ย เพิ่ ม ขึ้ น จ า ก ศู น ย ใ น ต อ น แ ร ก การเปลี่ยนแปลงนที้ าํ ใหเกิดแรงเคลื่อนไฟฟา และกระแสไฟฟาเหน่ยี วนําตอ ตานการเพ่มิ ของฟลกั ซ แมเหล็ก ดังน้ันกระแสไฟฟาสุทธิในวงจรจะคอยๆ เพิ่มข้ึนจนมีคาตามที่ควรจะเปนเมื่อฟลักซ แมเหล็กคงตัว กระแสไฟฟา ไมไดเพิ่มอยา งทนั ทที ันใด ท้งั นป้ี ริมาณของแรงเคลอ่ื นไฟฟา ที่ตอ ตานการไหลของกระแสไฟฟาในวงจร VL ขึ้นกับการเปล่ียนแปลงของฟลักซแมเหล็ก ddtB ท่ีเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟา ddIt ในวงจร VL = -N ddtB (3.30) โ ด ย แ ร ง เค ล่ื อ น ไ ฟ ฟ า ที่ ต อ ต า น ก า ร ไ ห ล ข อ ง ก ร ะ แ ส ไ ฟ ฟ า ใ น ว ง จ ร ข้ึ น กั บ การเปล่ยี นแปลงของกระแสไฟฟา ในวงจร ddddttBB N  ddIt (3.31) N = L ddIt จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

76 บทที่ 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรข องระบบ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เม่ือ L เปนคุณสมบัติท่ีขึ้นกับระบบ เรียกวา สภาพเหน่ียวนํา มีหนวยเปนเฮนรี (Henry,H) B = LI (3.32) = N NI B (3.33) L อาจเขียนใหอยใู นรปู ของแรงเคลือ่ นไฟฟา ไดเ ปน VL =-NL ddIt 3.2.3 ตัวเก็บประจุ (Capacitor) เปนอุปกรณท่ีใชในการเก็บประจุ (Charge) และสามารถ คายประจุ (Discharge)ไดโดยนําสารตัวนํา 2 ช้ิน มาวางในลักษณะขนานใกลๆ กัน แตไมได ตอ ถึงกัน ระหวางตัวนําทั้งสองจะถูกกั้นดวยฉนวนท่ีเรียกวาไดอิเล็กตรกิ (Dielectric) ซึ่งไดอิเล็ก ตริกน้ีอาจจะเปนอากาศ, ไมกา, พลาสติก, เซรามิคหรือสารที่มีสภาพคลายฉนวนอ่ืนๆ เปนตน ตัวเก็บประจุเมื่อตอกับแหลงจายไฟตรงหรือแบตเตอรี่ ประจุจะสะสมบนแผนประจุและ ความตางศักยระหวา งแผนของตัวเกบ็ ประจุจะเพ่ิมขึ้นจนกระทั่งมีคา เทา กับแหลงจายไฟขณะเวลา ใดๆ ประจุ Q ของตวั เก็บประจจุ ะมคี า Q = CV โดยที่ C คอื ความจุ (Capacitance) ของตวั เกบ็ ประจุ หนวย farads (F) รูปท่ี 3.13 แบบจาํ ลองทางไฟฟาของตวั เกบ็ ประจุ (ทีม่ า : http://www.sharetechnote.com/html/EngMath_DifferentialEquation.html) ความสัมพันธของกระแสที่ผานตัวเก็บประจุ ic และแรงดันที่ตกครอมตัวเก็บประจุ vc เปน ไปดังสมการ จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรข องระบบ 77 ic = C ddvtc (3.34) ครอจมาตกัวสเกมบ็กปารรจะะจเุหด็นังนวา้นั สหว านกขจอา ยงไสฟมตกรางรใหddvกtcบั ตเปัวนเกส็บว ปนรขะอจงจุ อะตัทราํ าใกหาส รวเปนลขีย่ อนงแปddvลtcงข=อ0งแเนรงอื่ ดงันจาทก่ีตvกc เปนไฟตรงซึ่งเปนคาคงที่อนุพันธของคาคงที่จะมีคาเปนศูนย ทําใหไมมีกระแสไหลผาน ตัวเก็บประจุ จึงทําใหคุณสมบัติทางไฟตรงของตัวเก็บประจุเสมือนเปดวงจรสวนสมการ ของแรงดนั ของตัวเก็บประจเุ ปน ไปตามสมการที่ (3.35) vc(t) = 1c i(t)dt (3.35) ตารางท่ี 3.2 คณุ สมบตั ิของสว นประกอบทางไฟฟา สวนประกอบ แรงดนั -กระแส กระแส-แรงดนั แรงดัน-ประจุ อมิ พีแดนซ แอดมิแตนซ ตัวเก็บประจุ v(t ) = C1 t i( )d i(t) = C dvd(tt) v(t) = C1 q(t) Z (s) = VI((ss)) Y (s) = VI((ss)) C1s Cs  0 ตัวตา นทาน v(t) = Ri(t) i(t) = R1 v(t) v(t) = R dq(t ) R R1 = G dt v(t) = L did(tt) i (t ) = L1 t v( )d v(t ) = L d 2q(t ) Ls L1s dt 2 ตวั เหน่ยี วนาํ  0 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

78 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตารางที่ 3.3 การสะสมพลังงานของอปุ กรณ สมการความสมั พนั ธ สมการพลังงาน ตัวแปรทางฟส กิ ส V21 = L ddti E = 21 Li2 E = 21 Fk2 v2 v1 V21 = k1 ddFt E = 21 Tk2 E = 12 IQ2 ตัวเหนี่ยวนาํ 21 = k1 ddTt E = 12 MV221 v2 v1 P21 = I ddQt E = 12 MV22 E = 12 J22 Translation Spring i = c dVdt21 E = 12 Cf P221 E = CfT2 2 1 F = M ddVt2 P = 1R .V21 P = b.V221 Rotational Spring T = J ddt2 P2 P1 Q = Cf dP21 dt Fluid inertial q = Ct ddTt2 v2 v1 i = R1 .V21 Electrical Capacitance F = b.V21 v2 v1 Translation Mass 2 1 Rotational Mass FluidPC1 apacitanceP2 T2 T1 Thermal Capacitance v2 v1 Electrical Resistance v2 v1 Translational Damper จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรข องระบบ 79 ตารางที่ 3.3 การสะสมพลังงานของอปุ กรณ (ตอ ) ตวั แปรทางฟสกิ ส สมการความสมั พนั ธ สมการพลงั งาน 2 1 T = b.21 P = b.221 Rotational Damper P2 Rf P1 Q = R1f .P21 P = R1f .P221 Fluid Resistance T2 Rt T1 q = R1t .T21 P = R1t .T21 Thermal Resistance *หมายเหตุ V21 คอื ความแตกตา งของแรงดนั ไฟฟาระหวา งจดุ ที่ 2 เทียบกบั จุดท่ี 1 P21 คอื ความแตกตา งของกําลงั ไฟฟา ระหวางจุดที่ 2 เทียบกบั จดุ ที่ 1 21 คือ ความแตกตางของความเรว็ เชิงมุมระหวางจดุ ที่ 2 เทยี บกบั จดุ ที่ 1 T21 คือ ความแตกตางของอณุ หภมู ิระหวา งจดุ ท่ี 2 เทียบกบั จุดที่ 1 ตวั อยา งที่ 3.1 ระบบทางกลอยางงา ยตามรปู มีแรงกระทํา 3 แรง ที่ทําใหวัตถุ มวล (M) เคลอ่ื นท่ี ไดแ ก แรงดงึ แรงเสยี ดทาน และแรงดึงของสปรงิ จงเขยี นสมการคณิตศาสตรเพอ่ื อธบิ ายการทาํ งาน ของระบบทางกลดังกลาว รปู ท่ี 3.14 ระบบทางกลอยางงา ย จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

80 บทท่ี 3 แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส วิธที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 กาํ หนดให ระยะการดงึ = x (t) มวลของวัตถุ =M สมั ประสิทธิ์แรงเสียดทาน = B คาคงท่ขี องสปริง =K ข้นั ตอนท่ี 2 ใชก ฎของการเคลอ่ื นทีข่ องนวิ ตนั เม่ือมีแรงกระทาํ ตอวัตถุ ในแนวดิ่งจะมีสมการเปน M d2x + B ddxt + Kx = f (t) dt2 ตอบ จะไดส มกาใรddหddคxxtt12ณx=1ต=ิ ศ=xM1า2xส[ตแfรล(ทะt)า-งxBก2 xล=2เปd-dนxKt x1d]dxt2 = M1 [ f (t)- Bx2 - Kx1] ตวั อยางที่ 3.2 จงเขียนสมการอนุพันธความเร็วของวัตถุเม่ือตกจากทองฟาที่เวลาใดๆ และ มีแรงตา นอากาศกระทาํ กับวัตถุ รปู ท่ี 3.15 การสรางรม ชชู ีพสาํ หรบั ไข (ทม่ี า : https://devilteacher.wordpress.com/2012/06/27/angry-bird/) วิธที าํ ขั้นตอนที่ 1 พจิ ารณาเงอ่ื นไขสมการทเ่ี กย่ี วของจากกฎของนวิ ตัน จะไดผ ลลัพธ ของแรงทงั้ หมดท่กี ระทาํ ตอ วัตถุ = การเคลื่อนท่ขี องวัตถุ จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 3 แบบจําลองทางคณิตศาสตรข องระบบ 81 F = ma (3.36) ข้นั ตอนท่ี 2 พิจารณาแรงทกี่ ระทําตอวัตถทุ ้ังหมด ไดแก แรงดึงดดู ของโลก และแรง ตานอากาศ แรงดึงดดู ของโลก = mg แรงตานอากาศ = -kv (เคร่อื งหมาย - แสดงวามที ิศทางตรงขา มกบั แรงดึงดดู ของโลก) เม่ือ m = มวลของวัตถุ (kg) g = แรงโนมถวงของโลก a = ความเรง (m/s2) v = ความเร็ว (m/s) k = คาสมั ประสทิ ธิแรงตา นอากาศ F = ma ความสมั พนั ธระหวา งความเรง และความเร็วคอื 1. แรงท่ชี ว ยในการเคลอ่ื นท่ี = แรงโนม ถว งโลก = mg a = ddvt 2.แรงตานการเคล่ือนที่ = ma = m ddvt แรงตา นอากาศ= -kv รูปที่ 3.16 แบบจาํ ลองการเคลือ่ นทข่ี องวตั ถใุ นแนวด่งิ (ท่มี า : http://www.sharetechnote.com/html/EngMath_DifferentialEquation.html) ข้ันตอนท่ี 3 แทนคาในสมการท่ี (3.36) F = ma mg - kv = ma mg - kv = m ddvt จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

82 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส mddvtdd=vt = mg - kv ddvt mk g - mk v ตอบ สมการในการเคลือ่ นทีข่ องวตั ถใุ นแนวดิ่ง คือ = g - v ตวั อยา งที่ 3.3 จงหาสมการอนพุ ันธข องสปรงิ ทีเ่ คลอื่ นทีต่ ดิ กับวัตถุตามรปู ABC P4 s แรงดงึ ของสปรงิ = -ks -x P1 x=0 P2 P3 จุดสมดุล +x จุดอางอิง แรงดึงของแรงโนมถว งโลก = mg รปู ท่ี 3.17 การเคลื่อนทข่ี องวตั ถุท่ีตดิ กับสปริง (ท่ีมา : http://www.sharetechnote.com/html/EngMath_DifferentialEquation.html) วธิ ีทาํ ข้นั ตอนท่ี 1 จากกฎการเคลื่อนขอที่ 2 ของนิวตัน F = ma ข้นั ตอนท่ี 2 แรงท่ีชวยในการเคล่อื นที่ = แรงหดของสปริงซึ่งมีทิศทางสวน ทางกบั จุดสมดลุ = -kx แรงโนมถว งของโลก = แรงดงึ ของวัตถไุ ปยงั พ้ืนโลก = mg แรงดึงของสปรงิ ถกู กระทาํ โดยแรงโนมถวงโลก = -ks แรงที่ปกปองการเคล่อื นท่ี = แรงหนวง - ddxt จะไดแ รงทกี่ ระทําทั้งหมดไดแก -kx + mg - ks -  ddxt = ma ถา กาํ หนดใหจ ุดสมดุลและจุดอา งอิงเปน ตาํ แหนง เดียวกนั จะทาํ ให mg - ks = 0 -kx -  ddxt = ma จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรของระบบ 83 ขน้ั ตอนท่ี 3 เม่ือ a = ddvt dx2 a = d2t -kx -  ddxt = m dx2 d 2t dx2 ddxt m d2t + kx +  = 0 ตอบ สมการในการเคลื่อนท่ที างกล คือ m dx2 + kx +  ddxt =0 d2t ตัวอยา งท่ี 3.4 จากวงจรไฟฟาที่มีการตออนุกรมของตัวตานทานและตัวเหน่ียวนําเขากับ แหลง จา ยไฟตรงดงั รปู ที่ 3.18 จงหาสมการอนพุ ันธข องแรงดนั ไฟฟา วิธที าํ แรงดันRตiกครอ ม EMFS: E + R L L ddti แรงดนั ตกครอม E C แหลง จายไฟตรง - C1 q แรงดันตกครอ ม รูปที่ 3.18 แบบจําลองการตอวงจรไฟฟาแบบอนกุ รม ขัน้ ตอนที่ 1 จากกฎแรงดนั ไฟฟา ของเคอรชอฟท กลา ววา 1. ผลรวมของแรงดันไฟฟา ทง้ั หมดภายในวงจรจะมคี า เปนศูนย 2. ผลรวมของคา emf ภายในลูปปด จะเทา กบั ผลรวมของแรงดันท่ี ตกครอมในลปู นน้ั จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

84 บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรของระบบ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนท่ี 2 ทาํ การเขยี นสมการตามกฎแรงดนั ของเคอรชอฟท (+E)+(-Ri) +-L ddti +- 1c q = 0 แหลง จา ยไฟ (มีเคร่ืองEห-มRายiเ-ปLนบddtiวก- )1c q แ=ร0งดันตกครอม (มเี คร่อื งหมายเปน ลบ) ยายขางสมการจะได E = Ri + L ddti + 1c q ขัน้ ตอนท่ี 3 ทําการหาอนุพนั ธท้งั สองขา งของสมการเทียบกบั ตวั แปร t จะได ddEt = R ddit + L ddt ddit + 1c ddqt ddEt dd=qtRแddทitน+คLาใddนt22สi ม+ก1cารddจqtะได จะได i= เมื่อ ddEt = R ddti + L ddt22i + 1c i แบบจําลองสมการอนพุ ันธของวงจรไดแ ก ตอบ ddEt = R ddti + L ddt22i + 1c i ตวั อยางท่ี 3.5 จงเขยี นสมการอนุพันธของมอเตอรก ระแสตรง ในรูปท่ี 3.19 สวนประกอบทางกล เอาตพตุ ของแรงทท่ี ําใหห มุน มมุ สมั ประสทิ ธ์กิ ารหนวง รปู ท่ี 3.19 แบบจําลองของมอเตอรไ ฟฟา กระแสตรง (ทมี่ า : http://www.sharetechnote.com/html/EngMath_DifferentialEquation.html) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรของระบบ 85 วธิ ีทํา ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาแรงทางกลโดยใชก ฎความสัมพันธใ นการหมนุ เชงิ มุมจะได แรงทเี่ กดิ ขนึ้ ในขณะทีโ่ หลดมกี ารหมนุ = มมุ ที่ใชในการเคล่อื นทข่ี อง โหลด T (Output torque) + Damping = มุมท่ีใชในการเคลื่อนที่ของโหลด kti + - kd ddt J dd2t2 kt .i - kd ddt = J dd2t2 พิจารณาวงจรทางไฟฟา เนอื่ งจากมอเตอรไ ฟฟากระแสตรงเปรียบเสมอื น ขัน้ ตอนที่ 2 กับเปน ตวั เหนยี่ วนําดงั น้ันจงึ แทนมอเตอรด ว ยตวั เหน่ยี วนาํ แรงดนั ทางดานอนิ พตุ = ผลรวมของแรงดันทตี่ กครอ มอุปกรณแ ตล ะตัว ในวงจร L ddti Vemf = ke ddt รปู ที่ 3.20 แบบจาํ ลองทางไฟฟา ของมอเตอรไฟฟากระแสตรง ขั้นตอนที่ 3 ใชกฎของแรงดันเคอรช อฟทจ ะได V = iR + L ddti +Vemf แทนคา Vemf ตามสมการVemf = ke ddt จะได V = iR + L ddit + ke ddt ตอบ สมการทางไฟฟาของมอเตอรม คี าเปน V = iR + L ddti + ke ddt สมการทางกลของมอเตอรม ีคา เปน kt .i - kd ddt = J dd2t2 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

86 บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องระบบ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส 3.2.4 ไดโอด (Diode) เปนอุปกรณท่ีทําจากสารกึ่งตัวนําชนิดพี และสารก่ึงตัวนําชนิดเอ็นมา เชือ่ มตอกัน โดยสามารถควบคุมใหก ระแสไฟฟา จากภายนอกไหลผานไดเ พยี งทิศทางเดยี ว ไดโอด ประกอบดวยขั้ว 2 ข้ัว คือข้ัว แอโนด (Anode : A) ซึ่งตออยูกับสารกึ่งตัวนําชนิดพีและขั้วแคโทด (Cathode : K) ซึ่งตออยูกับสารก่ึงตัวนําชนิดเอ็น อุปกรณไดโอดในทางปฏิบัติน้ันจะเปนอุปกรณ ทางอเิ ล็กทรอนิกสท ่ีจะมีคณุ สมบัตคิ วามสัมพันธระหวางคาแรงดนั และคาของกระแส ท่ไี มเ ปน เชิง เสน (Nonlinear) ซง่ึ สามารถเขียนสมการแสดงความสัมพนั ธน้ีได ตามสมการท่ี (3.37) และสมการ ท่ี (3.38) iD = I s ( e VVTD - 1 ) (3.37) iIDs (3.38) vD = nVT ln  + 1      เมอื่ กาํ หนดให iD = กระแสไหลผา นไดโอด VD = แรงดนั ตกครอมไดโอดในทิศทางไบแอสไปหนา IS = กระแสอ่มิ ตวั ยอนกลบั (Reverse Saturation Current) k = Boltzmann’s Constant มคี า เทา กบั 1.38  10-23 Joules/Kelvin-1 e = คาของประจไุ ฟฟาของอเิ ลก็ ตรอน มคี าเทา กับ 1.6  10-19 Coulomb n = ideality factor ในทางทฤษฎี n = 1 ในทางปฏิบตั ิ n = 1 สําหรบั ซิลคิ อนไดโอดที่มีกระแสสูงและเจอรม าเนยี ม n = 2 สําหรับซิลคิ อนไดโอดทมี่ ีกระแสตาํ่ VT = แรงดนั ไฟฟา เสมือนของอุณหภมู ิ VT = KT = 25.852 mV 300K  0.026 V (3.39) q จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 3 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรของระบบ 87 iD ไบแอสไปหนา Ge ≥ 0.3V Si ≥ 0.7V Si : Silicon -Vrb(Si) -Vrb(Ge) Ge: Germanium vD 0.3V 0.7V ไบแอสยอนกลับ รปู ที่ 3.21 กราฟคุณสมบัตขิ องไดโอดในทางปฏบิ ัติ (ท่ีมา : http://wara.com/article-778.html) จากรูปที่ 3.21 เปนกราฟท่ีแสดงคุณสมบัติของไดโอดในทางปฏิบัติ โดยแบงออกเปน 2 ชนดิ คอื ไดโอดชนดิ ซิลคิ อน และไดโอดชนดิ เจอรม าเนยี ม ซง่ึ แบงยานการทาํ งานออกเปน 2 ยาน คือยา นการทํางานแบบไบแอสไปหนา และยา นการทํางานแบบไบแอสยอ นกลับ ไดโอดพารามเิ ตอร 1. คาความตานทานบัค (Bulk resistance (rB)) เปนผลรวมของคาความตานทานของ สารกงึ่ ตวั นําชนิดพีและสารก่ึงตวั นาํ ชนดิ เอ็นของไดโอด (It) rB = rP + rN (3.40) ซ่ึงมีคา นอ ยมาก ตามสมการ rB =  VFI-FVB  เม่ือ VB คือ ศักยไฟฟา ทรี่ อยตอ (3.41)     2. ความตานทานของรอยตอ (Junction resistance : rj or rd) คาความตานทานไดนามิค เปนพารามิเตอรที่สําคัญโดยเฉพาะเมื่อทํางานในขณะท่ีมีไดโอดไดรับสัญญาณขนาดเล็ก คาของ การไบแอสตรงขึ้นอยูกับขนาดของกระแสไฟตรง dV dI ri = dI gi = dV (3.42) จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

88 บทที่ 3 แบบจําลองทางคณติ ศาสตรของระบบ คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส จาก I = Io  e V -1  ηVT V I = Io eηVT - Io dI ดังน้ันหาอนุพันธจ าก gi = dV จะได VV d(IoeηVT - Io ) d(IoeηVT )-d(Io ) gi = dI = dV = dV dV V I o e ηVT = ηVT VV จากสมการ I = Io eηVT - Io จะได I + Io = IoeηVT แทนคาในสมการจะได gi = I + Io ηVT (3.43) (3.44) ดงั น้นั จะได ηVT I + Io ri = ตัวอยางที่ 3.6 จากวงจรเรียงกระแสแบบคร่งึ คลื่นของไดโอด จงหาคาแรงดันเฉล่ียของรูปคลื่น เอาตพุต รูปท่ี 3.22 วงจรเรยี งกระแสแบบครึ่งคล่ืน (ที่มา : https://www.electronics-tutorials.ws/diode/diode_5.html) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 3 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบ 89 วิธีทาํ ขน้ั ตอนที่ 1 คาเฉล่ยี แรงดนั ของรปู คลื่นวงจรเรยี งกระแสแบบครึ่งคลื่น มสี มการเปน VAVE = 1 π0 Vp sin θ dθ π ขน้ั ตอนที่ 2 ทําการหาปรพิ ันธข องสมการ = Vp (1-cos ) VAVE π2Vp π 0 π = = 0.637 Vp ตอบ VAVE = 0.637 Vp ตวั อยา งที่ 3.23 จงหาปรพิ ันธของ vo ถา vc(t) = 0 เมือ่ t = 0 ic vc iC v1u(t) vo รปู ที่ 3.23 วงจรตวั อยางที่ 3.23 วธิ ที ํา ขัน้ ตอนท่ี 1 โดยใชแบบจาํ ลองวงจรออปแอมป เมอ่ื กระแสไหลมีคาเปนศูนย กระแส ข้ันตอนท่ี 2 ในตัวตานทานมีคาเปน ic ข้นั ตอนที่ 3 มีการตอสญั ญาณเอาตพตุ ซงึ่ เปนการปอนกลับแบบลบยอนกลับมาท่ี อนิ พุต จะได การปอ นกลับแบบลบ vn = vp = 0 จากกฎของโอหม Ric = v1 – vn = v1 dvc d(vndt-vo ) dvo กระแสของตวั เกบ็ ประจุ ic = C dt = C = -C dt แทนคา ic ในสมการกฎของโอหม v1 dvo R = -C dt จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย