ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

342 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลับ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส B = 3(-1)-5 = --48 = 2 -1-3 (s-33)s(-s5+1) = s1-3 - s+21  L-1 (s-33)s(-s5+1)  = L-1  s1-3  - 2L-1  s+11  แทนคา ในตารางที่ 9.1 จะได ตอบ L-1[F(s)] = e3t- 2e-t จะไดคาเทากนั ทั้ง 2 วิธี ตัวอยางที่ 9.11 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมกับของฟงกช นั ตอ ไปนี้ L-1  (s+12)(ss2-+2)4( s-3)    วิธที ํา วิธที ่ี 1 ใชการแกสมการแบบเทียบสัมประสิทธิ์โดยแยกตัวแปรจะได (เมื่อ A และ B เปน คา คงท่)ี (s+12)(ss2-+2)4(s-3) = s+A1 + sB-2 + sC-3 (9.15) ซ่งึ มคี ารากของสมการเปน s = -1 , s = 2 และ s = 3 1.1 นํา (s+1)(s-2)(s-3) คูณเขา ทั้งสองขา งของสมการ (s+12)(ss2-+2)4(s-3) (s+1)(s-2)(s-3) = sA+1 (s+1)(s-2)(s-3)+ sB-2 (s+1)(s-2)(s-3)+ sC-3  (s+1)(s-2)(s-3) 2s2+4 = A(s - 2)(s - 3) + B(s + 1)(s - 3) + C(s + 1)(s - 2) 2s2+4 = A(s2 - 5s + 6) + B(s2- 2s - 3) + C(s2 – s - 2) 2s2+4 = As2 - 5As + 6A + Bs2 - 2Bs - 3B + Cs2- Cs-2C 2s2+4 = (A + B + C)s2- (5A + 2B + C)s + (6A - 3B - 2C) โดยการเทียบสมั ประสทิ ธิ์ทางซายมอื และขวามือจะได (A + B + C)s2 = 2s2 A+B+C =2 (9.16) และ (5A + 2B + C)s = 0s จะได (9.17) และ 6A - 3B - 2C = 4 (9.18) นาํ สมการที่ (9.16) - (9.17) ; -4A - B = 2 (9.19) 2  (9.17) ; 10A + 4B + 2C = 0 (9.20) (9.18) + (9.20) ; 16A + B = 4 (9.21) (9.19) + (9.21) ; 12A =6 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั 343 A = 162 = 12 แทน A = 12 ในสมการที่ (9.19) -4  12 - B = 2 -2 - B = 2 B = -4 แทน A = 12 และ B = -4 ในสมการท่ี (9.16) 12 - 4 + C = 2 12-8 + C =2 -27 + C = 2 C = 2 + 27 = 4+27 = 121 s+12)(ss2-+2)4( L-1  ( s-3)  = L-1  sA+1  + L-1  sB-2  + L-1  sC-3    s2+11 s12-13 = L-1   + L-1  s--42  + L-1       = 12 L-1  s1+1  - 4L-1  s1-2  + 121 L-1  s1-3  = -21 e-t- 4e2t+ 121 e3t s+12)(ss2-+2)4( ตอบ L-1  ( s-3)  = -21 e-t- 4e2t+ 121 e3t   วธิ ีที่ 2 หาคาโดยการใชสตู ร F(s) = (s+12)(ss2-+2)4(s-3) = sA+1 + sB-2 + sC-3 A = F (s)(s + 1) s=-1 A = (s+12)(ss2-+2)4(s-3) (s + 1) s=-1 A = (s2-2s2)(+s4-3) s=-1 A = 2(-1)2 +4 ((-1)-2)((-1)-3) s=-1 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

344 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลับ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส A = (-3)6(-4) = 162 = 12 B = F (s)(s - 2) s=2 B = (s+12)(ss2-+2)4(s-3) (s - 2) s=2 B = (s2+s12)(+s4-3) s=2 2(22 )+4 B = (2+1)(2-3) B = (31)(2-1) = 1-32 = -4 C = F(s)(s - 3) s=3 C = (s+12)(ss2-+2)4(s-3) (s - 3) s=3 C = (s2+s12)(+s4-2) s=3 C = 2(32 )+4 (3+1)(3-2) C = (42)(21) = 242 = 121 L-1[F(s)]= L-1  ( s+12)(ss2-+2)4( s-3)    ss+12A+11 sB-2 s1sC2--133 = L-1  + s--42 + = L-1 + +   ตอบ L-1  (s+12)(ss2-+2)4( s-3)  = -21 e-t-4e2t+ 121 e3t   ตัวอยางที่ 9.12 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมกลับของฟงกชัน F(s) = s2 s+5 +2s+5 วิธที ํา ขั้นตอนท่ี 1 หารากของสมการจากเมื่อ N(s) = s+5 และ D(s) = s2+2s+5 รากสมการ คือ s2+2s+5 = 0 จากสมการ รากสมการมีคาเปน จํานวน เชงิ ซอนใชส มการเพ่อื หารากของสมการจะได จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลบั 345 s = -b 2ba2 - 4ac เมอ่ื a = 1 , b = 2 และ c = 5 จะได s = -2 22 - 4(1)(5) 2(1) = -2 2 -16 = -242 -1 = -1  2j ดงั นน้ั รากของสมการมีคา เปน s1 = -1+2j และ s2 = -1-2j ข้ันตอนท่ี 2 ใชก ารแกส มการแบบแยกตวั แปรจะได ขัน้ ตอนท่ี 3 F(s) = s+5 = s+5 j) ขน้ั ตอนที่ 4 s2 +2 s+5 (s+1+2 j)(s+1-2 ข้ันตอนที่ 5 = s+1A+12 j + s+A1-22 j แกส มการโดยใชส ูตร An = F (s)(s - an ) s=an A1 = (s+1+2sj+)(5s+1-2 j) (s + 1 + 2 j) s=-1-2 j A1 = (s+s1+-52 j) s=-1-2 j 1+2 j 2 A1 = -1-2 j+5 j = 4-2 j = -1-2 j+1-2 -4 j หาคา A2 จากสมการ A2 = (s+1+2sj+)(5s+1-2 j) (s + 1 - 2 j) s=-1+2 j A2 = (s+s1++52 j) s=-1+2 j 1-2 j 2 A2 = -1+2 j5 j = 4-2 j = -1+2 j+1-2 4j แทนคา A1 และ A2 ในสมการ F(s) = s+1A+12 j + s+A1-22 j F(s) = s+1+12+22j j + s+1-122-2j j ทาํ ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

346 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส L-1[F(s)]= L-1  s+1+12+22j j  + L-1  s+1-122-2j j      1+2 j 1-2 j f (t) = 2 e-(1+2j)t+ 2 e-(1-2j)t f (t) = 1+2 j e-t e-2jt + 1-2 j e-t e2jt 2 2 1+2 j 1-2 j f (t) = e-t  2 e-2 jt + 2 e2 jt    เม่ือ e-2jt = cos 2t - jsin 2t และ e-2jt=cos 2t + jsin 2t แทนคาในสมการ จะได 1+2 j 1-2 j 2 2 f (t) = e-t  (cos 2t - jsin 2t) + (cos 2t + jsin 2t)  1+2 j 1+2 j 1-2 j 1-2 j f (t) = e-t  2 cos 2t - 2 jsin 2t + 2 cos 2t + 2 jsin 2t )    1+2 j 1-2 j 1+2 j 1-2 j f (t) = e-t  2 + 2 (cos 2t) - 2 + 2 ( jsin 2t )    -4 j f (t) = e-t (cos 2t ) - 2 ( jsin 2 t )  f (t) = e-t (cos 2t) - 42 (sin 2t) ตอบ L-1[F(s)] = f (t) = e-t (cos 2t) - 42 (sin 2t) 9.3.1.1 เม่ือ D(s) มีรากหลายรากและเปน รากยกกาํ ลัง N(s) F(s) = N (s) = (s-a1)n D1(s) (9.22) D(s) เม่ือ a1 ,a2 ,….,an เปนรากของ D1(s) เปนรากธรรมดา และไมม ีรากตัวใดท่ีซํ้ากัน คือ a1 ≠ a2 ….≠an N (s) N(s) D(s) (s-a1)n D1(s) F(s) = = F(s)(s - a1)n = N(s) (9.23) D1(s) เพ่ืองา ยตอการคํานวณ จะกําหนดให p = s - a ดังนั้น s = p + a จากสมการที่ (9.22) จะได N ( p+a) F(p+a)(p+a-a)n = D1( p+a) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั 347 F(p+a)(p)n = N ( p+a) D1( p+a) นาํ คา D1(p+a) มาหาร N(p+a) จะไดโพลโี นเมยี ลทีม่ ฐี านกําลงั p ดังนัน้ F(p+a)(p)n = A0+A1 p+…+An-1 pn-1+ g( p) pn D1( p+a) A0 A1 (As-na-1) g( p) F(s) = (s-a)n + (s-a)n-1 + ... + + D1(s) ถา D1(s) = 0 ก็จะเปนกรณีของรากธรรมดา และเทอมขวามอื ของสมการท่ี (9.23) สามารถกระจายเศษสว นยอ ยไดเ ชนเดียวกับกรณแี รก และลาปลาซทรานสฟอรม กลบั ในสมการที่ (9.23) หาไดจากตาราง และสําหรับสัมประสิทธ์ิ A0 ,A1 ,……,An-1 สามารถคํานวณไดโดยการหา อนพุ ันธข องฟง กช นั F(s)(s - a)n เทียบกับ s ดงั นัน้ Ak = k1 dj F(s)(s - a)n j = 0, 1 ,……,(n-1) dsk s=a ตัวอยางท่ี 9.13 จงหาคาลาปลาซทรานสฟอรมกลับของฟงกชนั ตอ ไปนี้ F(s) = s+10 s4 +s2 วธิ ีทาํ ข้ันตอนที่ 1 หารากของสมการจาก D(s) = s4+ s2 = s2(s2+1) = s2(s + j)(s - j) ข้ันตอนที่ 2 ดงั นัน้ รากของสมการ คอื s1, s2 = 0 ซง่ึ เปน รากซา้ํ และ s3 = s + j และ s4 = s - j แยกเศษสว นยอยจะได F(s) = s+10 = s+10 = s+10 s4 +s2 s2(s2 +1) s2 (s+ j)(s- j) As0 A1 ( sA+2j ) ( sA-3j ) F(s) = + s2 + + เนอ่ื งจาก A0 และ A1 มคี าเปน 0 ซงึ่ เปนรากซา้ํ ซง่ึ หาคา ไดจ ากสมการ Ak = k1 dj F(s)(s - a)n dsk s=a ข้ันตอนท่ี 3 แกส มการหาคา A0 และ A1 จะได A0 = 01! d0 F ( s )( s )2 s=0 ds0 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

348 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส A0 = 01! s+10 (s)2 s2 (s2+1) s=0 A0 = (1) s+10 s=0 s2 +1 0+10 A0 = (1) 02 +1 = 10 A1 = 11! d1 [ F ( s )]s 2 s=0 ds1 A1 = 11! dds  s+10  ( s )2  s2 (s2 +1)  s=0  A1 = dds s+10 s=0 s2 +1 A1 = s2 +1d(sd+s1(0s)2-+(s1+)210)d(sd2s+1) s=0 s2 +1(1)-(s+10)(2s) A1 = (s2 +1)2 s=0 A1 = 02 +1-(0+10)(2)(0) (02 +1)2 A1 = 1 หาคา A2 และ A3 จากสมการ An = F(s)(s - an ) s=an A2 = s2 ( s+10 j ) ( s + j) s=- j s+ j)(s- A2 = s2s+(s1-0j) s=- j A2 = - j+10 s=- j (- j)2(- j- j) A2 = - j +10 = -05-5j 2j A3 = s2 ( s+10 j ) ( s - j) s= j s+ j)(s- A3 = s2s(+s1+0j) s= j จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลับ 349 A3 = j+10 s= j j2( j+ j) A3 = j+10 = -05+5j -2 j ขั้นตอนท่ี 4 แทนคาในสมการแยกตวั แปรและหาลาปลาซทรานสฟอรม กลับจะได As0 A1 ( sA+2j ) ( sA-3j ) F(s) = + s2 + + F(s) = 1s0 + 1 + -0.5-5 j + -0.5+5 j s2 (s+ j) (s- j) f (t) = L-1[F(s)] = L-1  1s0 + 1 + -0.5-5 j + -0.5+5 j   s2 (s+ j) (s- j)  f (t) = 10+ t +(-0.5-5j)e-jt+(-0.5+5)ejt f (t) = 10 + t - 0.5e-jt- 5e-jt- 0.5ejt+5ejt f (t) = 10 + t - 0.5e-jt - 0.5ejt- 5e-jt+5ejt f (t) = 10 + t - 0.5(sin t - cos t) - 0.5(sin t + cos t) - 5(cos t -sin t)+5(sin t - cos t) f (t) = 10 + t - 0.5sin t + 0.5cos t - 0.5 sin t - 0.5cos t -5cos t + 5sin t +5sin t - 5cost f (t) = 10 + t + 9sin t - 10cos t ตอบ L-1[F(s)] = f (t) = 10 + t + 9sin t - 10cos t ตัวอยา งท่ี 9.14 จงหาคาลาปลาซทรานสฟอรม กลบั ของฟง กชนั ตอ ไปนี้ F(s) = s-3 s3(s2 +6s+9) วิธที าํ ขั้นตอนท่ี 1 หารากของสมการ D(s) = s3(s2+5s+6) = s3(s+3)(s+2) ดังนน้ั รากของสมการเปน รากซํา้ 3 คาไดแก s1 = 0 , s2 = 0 , s3 =0 และรากไมซ า้ํ 2 คา ไดแก s4 = -3 , s5 = -2 ข้นั ตอนที่ 2 ใชว ิธกี ารแกส มการแบบแยกตัวแปรจะได F(s) = s-3 = s-3 s3(s2 +6s+9) s2 (s+3)(s+2) As0 A1 A2 sA+33 sA+42 = + s2 + s3 + + จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

350 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลับ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เนอ่ื งจาก A0 ,A1 และ A2 มคี าเปน 0 ซ่ึงเปน รากซํา้ ซ่งึ หาคา ไดจ ากสมการ Ak = k1 dj F(s)(s - a)n dsk s=a ขั้นตอนที่ 3 แกส มการหาคา A0 และ A1 A2 จะได A0 = 01! d0 [ F ( s)]( s)3 ds0 s=0 A0 = (1) s-3 s3 s3 ( s2 +6s+9) s=0 A0 = s-3 (s2 +6s+9) A0 s=0 หาคา A1 0-3 = -31 = 02 +6(0)+9 A1 = 11! d1 [ F ( s)]( s)3 ds1 s=0 A1 = (1) dds  s3 ( s-3 s3   s2 +6s+9)  s= 0 A1 = dds  s-3   (s2 +6s+9)  A1 s=0 +6 s+9) dds ( s-3)+( s-3) dds ( s2 A1 = (s2 (s2 +6s+9)2 +6s+9) A1 s=0 A1 หาคา A2 = (s2 +6s+9)(1)+(s-3)(2s+6) A2 s4 +19s3+54s2 +108s+81 s=0 = (02 +6(0)+9)+(0-3)(2(0)+6) 04 +19(0)3+54(0)2 +108(0)+81 s=0 = 8271 = 13 = 21! d2 [ F ( s )]( s )3 ds2 s=0 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลับ 351  A2 = 21 d2  s3 s-3 s3  ds2  (s2 +6s+9)  s=0 A2 = d2  s-3  ds2  (s2 +6s+9)  s=0 A2 = dds  (s2 +6s+9)(1)+(s-3)(2s+6)   s4 +19s3+54s2 +108s+81  s=0 A2 = dds  s2 +6s+9+2s2-18  s4 +19s3+54s2 +108s+81 s=0 A2 = dds  3s2 +6s-9  s4 +19s3+54s2 +108s+81 s=0 (s4 +19s3+54s2 +108s+81)dds(3s2 +6s-9)+(3s2 +6s-9)dds(s4 +19s3+54s2 +108s+81) A2 = (s4 +19s3+54s2 +108s+81)2 (81)(6)+(9) s=0 812 A2 = = 0.0754 ข้ันตอนที่ 4 หาคา A4 และ A5 โดยใชสูตรรากไมซ้ํา An = F(s)(s - an ) s=an A3 = s-3 (s + 3) s3 ( s+3)( s+ 2) s=-3 A3 = s-3 s2 (s+2) s=-3 -3-3 = --69 = 23 A3 = (-3)2 (-3+2) หาคา A4 A4 = s-3 (s + 2) s2 ( s+3)( s+2) s=-2 A4 = s-3 s2 (s+3) s=-2 -2-3 = --45 = 45 A3 = (-2)2 (-2+3) จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

352 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลบั คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขนั้ ตอนที่ 5 หาลาปลาซทรานสฟอรมกลับจะได sA+33 As0 A1 A2 sA+42 F(s) = + s2 + s3 + + เมอ่ื A0= - 13 , A1 = 13 , A2 = 0.0754, A3 s=+23323 , A4 = 45 F(s) = -s13 + 13 + 0.0754 + + s+452 s2 s3 s+452 -s13 13 s+233 L-1[F(s)]= f (t) = L-1  + s2 + 0.0754 + +   s3  f (t) = - 13 u(t) + 13 t + 0.0754 t22! + 32 e-3t+ 45 e-2t ตอบ L-1[F(s)] = - 13 u(t) + 13 t + 0.0754 t22! + 32 e-3t + 45 e-2t ตวั อยางท่ี 9.15 จงหาคา ลาปลาซทรานสฟอรมกลับของฟงกชนั ตอไปนี้ F(s) = 3s2 -15s-7 (s+1)(s-2)3 N (s) วิธที าํ ข้ันตอนท่ี 1 หารากของสมการจาก F(s) = D(s) ขน้ั ตอนที่ 2 D(s) = (s+1)(s-2)3 ดังนน้ั รากของสมการมีคาเปน s1 = -1 s1 = -1 และมีรากซาํ้ คือ s2 = s3= s4 = 2 แกสมการโดยวธิ ีการแยกตัวแปรจะได F(s) = 3s2 -15s-7 (s+1)(s-2)3 sA+11 A2 A3 (sA-42) = + (s-2)3 + (s-2)2 + (9.24) ข้ันตอนท่ี 3 หาคา A1 จากสมการรากไมซา้ํ จะได An = F(s)(s - an ) s=an A1 = 3s2 -15s-7 (s + 1) (s+1)(s-2)3 s=-1 A1 = 3s2 -15s-7 (s-2)3 s=-1 A1 = 3(-1)2 -15(-1)-7 (-1-2)3 s=-1 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั 353 A1 = 1217 หาคา A2 จากสมการรากซ้ําจะได ขัน้ ตอนท่ี 4 A2 = 01! d0 F ( s)( s - 2)3 ds0 s=2 A2 = F(s)(s - 2)3 s=-2 A2 = 3s2 -15s-7 (s - 2)3 (s+1)(s-2)3 s=-2 A2 = 3s2 -15s-7 (s+1) s=-2 A2 = 3(-2)2-15(-2) - 7 = -35 -2 +1 หาคา A3 แ(3sล+sะ21-A)1(45sโ-s2ด-7)ย3แท=นs1ค2+17า 1A+1 และ A2 ในสมการที่ (9.24) -35 (sA-42) (s-2)3 + A3 + (9.25) (s-2)2 (9.26) แทน s = 0 ในสมการที่ (9.25) จะได (9.27) 012+171 3(0)2 -15(0)-7 = + -35 + A3 + (0A-42) (0+1)(0-2)3 (0-2)3 (0-2)2 --78 = 1217 + --385 + A43 + A-24 -3.9 = A43 + A-24 - A3 +2 A4 -3.9 = -4 -A3 + 2A4= 15.6 แทน s = 1 ในสมการที่ (9.25) จะได 112+171 3(1)2 -15(1)-7 = + -35 + A3 + (1A-42) (1+1)(1-2)3 (1-2)3 (1-2)2 --129 = 5141 + --315 + A13 + A-14 A3 - A4 = -25 นาํ สมการที่ (9.26) + (9.27) จะได A4 = -9.4 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

354 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลบั คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แทนคา A4 ในสมการที่ (9.27) จะได A3- (-9.4) = -25 A3 = -34.4 แทนคา A3 = -34.4 และ A4 = -9.4 ในสมการท่ี (9.25) จะได F(s) = s12+171 + -35 + -34.4 + (-s9-.24) (s-2)3 (s-2)2 ขน้ั ตอนท่ี 5 หาลาปลาซทรานสฟอรม กลบั จะได s12+171 L-1[F(s)]= L-1  + -35 + -34.4 + (-s9-.24)   (s-2)3 (s-2)2  จากสตู ร L-1[F(s)] =  1  = tnn! eat จะได  (s-a)n+1  L-1[F(s)] = f (t) = 1217 e-t - 35 t22! e2t - 34.4te2t - 9.4e2t ตอบ f (t) = 1217 e-t - 35 t22! e2t - 34.4te2t - 9.4e2t 9.3.1.3 การกระจายของเฮฟวีไซด (Heaviside's expansion) ในกรณีท่ีตัวสวน คือ D(s) มีรากเปนปกติ (Simple root) ท้ังหมด เม่ือทําการ แยกเศษสว นยอยจะไดเปน sA-a11 sA-a22 F(s) = N (s) = + + ... sA-ann (9.28) D(s) จากวิธีท่ีผานมาจะตองหาคา A1 , A2,….., An กอน จึงทําลาปลาซทรานสฟอรม กลับทีหลัง แตจากสมการท่ี (9.28) จะสามารถหาคาลาปลาซทรานสฟอรมกลับไดทันทีถาใชสูตร การกระจายทฤษฎีการกระจายของเฮวีไซด จะได n  N (ak )eak t  k =1  D(ak )  L-1[F(s)]= f (t) =    L-1[F(s)] = f (t) = N (a1 )ea1t + N (a2 )ea2t + ... + N (an )eant (9.29) D( a1 ) D(a2 ) D(an ) เม่อื D(ak) คือ dds [D(s)] แลวแทนคา s ดวย ak จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลับ 355 ตวั อยางท่ี 9.16 จงหาคา L-1  ( s+1)2(ss2-2-4)( s-3)    N (s) วธิ ีทาํ ขัน้ ตอนท่ี 1 พิจารณารากของสมการ จาก F(s) = D(s) F(s) = N (s) = (s+1)2(ss2-2-4)(s-3) D(s) เมอ่ื N(s) = 2s2-4 และ D(s) = (s+1)(s-2)(s-3) ดังนัน้ รากของสมการมคี า เปน s1 = -1 , s2 = 2 , s3 = 3 ขน้ั ตอนท่ี 2 ทาํ การแยกเศษสว นยอ ยจะได ขนั้ ตอนที่ 3 sA-a11 + sA-a22 + sA-a33 N (s) = D(s) จาก s1 = a1 = -1 , s2 = a2 = 2 และ s3 = a3 = 3 หาคา f (t) โดยใชท ฤษฎกี ารกระจายของเฮวไี ซด f (t) = N (a1 )ea1t + N (a2 )ea2t + ... + N (an )eant (9.30) D( a1 ) D(a2 ) D(an ) หาคา D(s) และ D(s) D(s) = (s+1)(s-2)(s-3) D(s) = s3- 4s2+ s +6 dds [D(s)] = D(s) = dds (s3 - 4s2 + s + 6) = 3s2- 8s + 1 ข้นั ตอนท่ี 4 แทนคา หา D(a1), D(a2) และ D(a3) จะได D(a1) = D(-1) = 3(-1)2- 8(-1) + 1 = 3+8+1 = 12 D(a2) = D(2) = 3(2)2- 8(2) + 1 = 12+16+1 = -3 ขัน้ ตอนที่ 5 D(a3) = D(3) = 3(3)2- 8(3) + 1 = 27+24+1 = 4 แทนคา หา N(a1) , N(a2) และ N(a3) เม่อื N(s) = 2s2- 4 N(a1) = N(-1) = 2(-1)2- 4 = 2 - 4 = -2 N(a2) = N(2) = 222- 4 = 8 - 4 = 4 N(a3) = N(3) = 232- 4 = 18 - 4 = 14 ขัน้ ตอนที่ 6 แทนคา a1 , a2 , a3 , D(a1) , D(a2) , D(a3) , N(a1) , N(a2) และ N(a3) ในสมการ จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

356 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรม กลับ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส f (t) = N (a1 )ea1t + N (a2 )ea2t + ... + N (an )eant D( a1 ) D(a2 ) D(an ) f (t) = 122 e-t + -43 e-2t + 144 e-3t f (t) = - 16 e-t + -43 e-2t + 27 e-3t ตอบ f (t) = - 16 e-t + -43 e-2t + 27 e-3t ตัวอยางท่ี 9.17 จงหา L-1  s-4   s3+8s2 +17s+10  N (s) วิธที ํา ข้นั ตอนที่ 1 พจิ ารณารากของสมการ จาก F(s) = D(s) F(s) = N (s) = s-4 D(s) s3+8s2 +17s+10 เมื่อ N(s) = s - 4 และ D(s) = s3+ 8s2+17s+10 ดงั นั้นรากของสมการมีคา เปน D(s) = (s+5)(s+2)(s+1) ขัน้ ตอนท่ี 2 ทาํ การแยกเศษสว นยอ ยจะได ขั้นตอนท่ี 3 = sA-a11 + sA-a22 + sA-a33 N (s) D(s) จาก s1 = a1 = -5 , s2 = a2 = -2 และ s3 = a3 = -1 หาคา f (t) โดยใชทฤษฎกี ารกระจายของเฮวีไซด f (t) = N (a1 )ea1t + N (a2 )ea2t + ... + N (an )eant D( a1 ) D(a2 ) D(an ) หาคา D(s) และ D(s) D(s) = s3+8s2+17s+10 dds [D(s)] = D(s) = dds (s3 + 8s2 + 17s + 10) = 3s2+16s+17 ขั้นตอนที่ 4 แทนคา หา D(a1), D(a2) และ D(a3) จะได D(a1) = D(-5) = 3(-5)2 + 16(-5) + 17 = 12 D(a2) = D(-2) = 3(-2)2 + 16(-2) + 17 = -3 D(a3) = D(-1) = 3(-1)2 + 16(-1) + 17 = 4 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลับ 357 ขนั้ ตอนที่ 5 แทนคา หา N(a1) , N(a2) และ N(a3) เม่อื N(s) = s - 4 ขน้ั ตอนท่ี 6 N(a1) = N(-5) = -5-4 = -9 ตอบ f (t) N(a2) = N(-2) = -2-4 = -6 N(a3) = N(-1) = -1-4 = -5 แทนคา a1 , a2 , a3 , D(a1) , D(a2) , D(a3) , N(a1) , N(a2) และ N(a3) ในสมการ f (t) = N (a1 )ea1t + N (a2 )ea2t + ... + N (an )eant D( a1 ) D(a2 ) D(an ) f (t) = 1-92 e-5t + --63 e-2t + -45 e-t f (t) = - 43 e-5t + 2e-2t - 45 e-3t = - 43 e-5t + 2e-2t - 45 e-3t 9.3.1.4 ทฤษฏคี าเริม่ ตน และคาสดุ ทา ย (Initial- and final- value theorem) ถา F(s) เปน ลาปลาซทรานสฟอรม ของฟง กช ัน f (t) ซึ่งตองการทราบฟงกชัน f (t) นี้ดงั นั้นการกาํ หนดคาเร่ิมตน ท่ี t = 0+ และการกาํ หนดคาสุดทา ยที่ t =  จะทาํ ใหไดรับ f (t) ที่เวลา t = 0+ และ  ไดโ ดยไมต อ งยงุ ยากในการคาํ นวณหาลาปลาซทรานสฟอรมกลบั จากฟง กช นั F(s) 1. ทฤษฏีคา เร่ิมตน (Initial- value theorem) ถาฟงกชัน f (t) และอนุพันธอันดับท่ี 1 ของ f (t) สามารถหาลาปลาซทรานส ฟอรม ไดด ังน้นั คา เรม่ิ ตน ของ f (t) จะถูกกาํ หนดโดย f (0+) = lim [sF(s)] (9.31) S  พิสูจนจากสมการที่ (9.31) โดยแทนคา F(s) ในดา นขวามอื ของสมการ จะได lim [sF(s)] = lim sf (t)e-st dt S  S  = lim 0 f (t )e - st dt S  ผลของการหาปริพันธในวงเล็บจะมีคานอยมาก เนื่องจากจะมีคาใกล 0 ที่ t มีคามาก แตจะมีคาสูงสุดที่ใกลกับ t = 0 ดังน้ันผลของการอินทิเกรต f (t) f (0) สมการ จะเปลยี่ นเปน จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

358 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลบั คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส lim [sF(s)] = lim f (0)0 se -st dt S  S  = f (0) lim ses-st  S 0 = f (0){1} = f (0) ตามปกติ เมอื่ มี F(s) แลว ทําลาปลาซทรานสฟอรมกลับจะได f (t) ถา แทน t = 0 ก็จะได f (0) แตจากทฤษฎขี องคา เร่มิ ตนจะสามารถหา f (0) จาก F(s) ไดเ ลย เชน 5s ถา ตองการหา f (0) จาก F(s) = s2 +7s+2 จากสมการที่ (9.31) จะได 5s +7s+2 f (0+) = lim [sF(s)] = lim s s2 S  S  5s2 s2 = lim s2 7s 2 s2 + s2 + s2 S  = lim 1+ 7s5+ 2 =5 s2 S  ดงั น้ันคา เริม่ ตน ของฟงกชนั คือ f (0) = 5 2.ทฤษฏคี า สดุ ทา ย (Final - value theorem) หาไดจาก lim [ f (t)] = lim sF(s) (9.32) S  S 0 (9.33) (9.34) พิสูจนโดยพิจารณาจากลาปลาซทรานสฟอรมของ df (t)/dt จะได L ddt f (t) = sF(s) – f (0) และจาก L ddt f (t) = 0 ddt f (t)e-stdt เม่ือสมการท่ี (9.34) = สมการที่ (9.33) จะได 0 ddt f (t)e-stdt = sF(s)- f (0) หาคา ลิมิตท่ี s  0 ทงั้ สองขา งของสมการจะได lim 0 ddt f (t)e-st dt = lim sF(s) - f (0) (9.35) S 0 S 0 จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั 359 สมมติวา f (t) มีลิมิตที่ s  ∞ แลวทําการหาปริพันธทางดานซายมือของ สมการที่ (9.35) จะได 0 ddt f (t )e-stdt = f (∞) – f (0) ดงั นัน้ lim 0 ddt f (t)e-st dt = lim { f () - f (0)} S 0 S 0 จากสมการที่ (9.35) จะได lim { f () - f (0)} = lim sF(s) - f (0) (9.36) S0 S0 f (∞) = lim [sF(s)] S 0 จากสมการที่ (9.36) คือ ทฤษฎีคาสุดทายของ f (t) สามารถนํามาใชไดเฉพาะ เมอ่ื รากของ D(s) หรอื โพล ของ F(s) มคี าจริงและตดิ ลบเทา นัน้ ตวั อยางท่ี 9.18 จาก F(s) = s2 +4 จงหาคาเร่มิ ตน และคา สดุ ทายของ f (t) s3+3s2 +2s วธิ ีทํา ขนั้ ตอนที่ 1 ใชสมการที่ (9.31) จะได f (0+) = lim [sF(s)] S  = S lim  s s3 s2 +4   +3s2+2s   = lim  s s2 +4   s(s2 +3s+2)  S  = S lim  ( s+s12)+(s4+2)     = S lim  s2 +4   s2 +3s+2   s2 + 4 s2 s2 = lim s2 3s 2 s2 + s2 + s2 S  f (0+) = lim  1+13s+2ss+42 2  =1  s2  S     จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

360 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ข้ันตอนที่ 2 หารากสมการ โดยท่มี รี ากเปน s = 0 , s = -1 และ s = -2 ซ่งึ เปน รากไมซ า้ํ ดังน้ัน D(s) อยูใ นเงอ่ื นไขของทฤษฎีคาสุดทา ย จะได f (∞) = lim [sF(s)] S 0 = lim s s3 s2 +4 s  +3s2 +2  S 0 = lim s s2 +4  s(s2 +3s+2s)  S 0 = lim  (s+s12)+(s4+2)  = 24 =2   S 0 ตอบ คา f (0) = 1 และ f (∞) = 2 ตวั อยา งท่ี 9.19 จาก F(s) = 3s จงหาคา เรม่ิ ตน และคาสดุ ทายของ f (t) s2 +2s+1 วิธีทํา ข้ันตอนท่ี 1 ใชส มการท่ี (9.31) จะได f (0+) = lim [sF(s)] S   = lim s 3s  s2 +2s+1  S  = S lim  s2 3s2   +2s+1    3s2   s2  = lim  s2 2s 1   s2 + s2 + s2  S  f (0+) = lim  2ss3+ 1  =3  1+ s2  S    ขนั้ ตอนที่ 2 หารากสมการ D(s) อยใู นเงื่อนไขของทฤษฎีคาสดุ ทา ย จะได f (∞) = lim [sF(s)] S 0  = lim s 3s  s2 +2s+1  S 0 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั 361 = lim  (s+13)(ss+1)    S 0 เน่ืองจาก D(s) มรี ากเปน -1 ท้ังสองตัว จงึ ไมส ามารถหาคา สดุ ทายได ตอบ คา f (0) = 3 และ f (∞) หาคาไมไ ดโดยทฤษฎคี าสดุ ทาย 9.4 สรุป การแปลงกลบั ลาปลาซเปน แกส มการท่ีอยูในรูปของตวั แปรแบบเอสโดเมนใหกลบั ไปอยใู นรูป ของไทมโดเมนซ่ึงในการแปลงกลับสามารถทําได 2 วิธี คือ การใชตารางการแปลงกลับ ของลาปลาซและการแกสมการโดยใชการแยกเศษสวนยอยกอนแลวจึงแปลงกลับโดยใชตาราง โดยมีคุณสมบัติการในแปลงกลับลาปลาซ เชน การเลื่อนความถ่ี การเปนเชิงเสน การหาปริพันธ และการหาอนุพันธ เปนตน ซึ่งการแยกเศษสวนยอยสามารถแบงไดเปน กรณีที่รากไมซ้ําท่ีเปน จาํ นวนจริงและจํานวนเชิงซอน กรณีรากซ้ําซ่ึงเปนจํานวนจริงและจํานวนเชิงซอนซ่ึงท้ัง 4 กรณี สามารถแกสมการไดโดยใชการแยกเศษสวนยอยและการหาคาตัวแปรน้ันสามารถทําไดโดยใช การเทยี บสัมประสิทธ์ิหรือหาไดจากสูตรในกรณีรากไมซ้าํ ซ่งึ ไดแก An = F(s)(s - an ) s=an หรือ N (s) dds[D(s)] s=an An = , n = 1,2 ,3 ……….. สวนในกรณรี ากซา้ํ หาไดจ ากสูตร Ak = k1 dj F(s)(s - a)n j = 0, 1 ,……,(n-1) dsk s=a นอกจากน้ยี ังสามารถแกสมการการแปลงกลบั ของลาปาซไดอีก 1 วิธี คือ ใชสูตรการกระจาย ของเฮฟวไี ซด ซึ่งขอ ดขี องการแกส มการนี้คอื ไมตอ งหาคาตวั แปรในสมการแยกตวั แปร แตสามารถ แทนคาลงไปในสมการเพ่ือหาคําตอบไดเ ลย โดยสตู รการกระจายของเฮฟวไี ซด ไดแก L-1[F(s)] = f (t) = nk =1  N (ak )eakt   D(ak )    จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

362 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟอรม กลบั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส แบบฝก หดั ทา ยบทที่ 9 จงหาลาปลาซทรานสฟอรมกลับของ F(s) ตอไปน้ี ตอบ f (t) = 43 e-43t 1. F(s) = 3 ตอบ f (t) = 6e- 7t -4u(t)+9(t) 4s+3 ตอบ f (t) = 93 e-43t -4t +6(t) 6 4s 2. F(s) = s+7 - + 9 ตอบ f (t) = 7cos 5t -sin 6t 3. F(s) = 3s9+4 + 2 + 6 s2 7s 6 4. F(s) = s2 +25 + s2 +36 5. F(s) = 4 + s ตอบ f (t) = 2sin 2t -cos 9t s2 +4 s2 +81 2s-7 ตอบ f (t) = 2cos 2t - 72 sin 2t 6. F(s) = s2 +4 7. F(s) = 2 + 4s ตอบ f (t) = sinh 2t -cosh 4t s2 -4 s2 -16 9 8s ตอบ f (t) = 94 sinh 4t - 87 cosh 7t 8. F(s) = s2 -16 + s2 -49 9. F(s) = 3 + 7s + 4s ตอบ f (t) = 3t +7u(t)+ 4 cos 7t s2 s2 +7 7 3s-8 4 s-24 ตอบ f (t) = 23 cos 2t -4 sin 2t +sinh 4t - 6 cosh 4t 10. F(s) = s2 +4 + s2 -16 11. F(s) = s2 +2s+1 ตอบ f (t) = cos 2t+0.5sin 2t s2 +4 s+3 ตอบ f (t) = 21 t2e-t 1 12. F(s) = s3+3s2 +3s +1 13. F(s) = s2 +2s+2 ตอบ f (t) = 15 e-t +cos (2t -36.87) s3+s2 +4s+4 12e-5t +13e5t 14. F(s) = 5s+1 ตอบ f (t) = 5 s2 25 2s+10 ตอบ f (t) = (4e-3t -2e-4t )u(t) 15. F(s) = s2 +7s+12 16. F(s) = ((s+1)2 s+1 +1) ตอบ f (t) = 1 e-t  cos t - cos 2t  +4)((s+1)2 3 1 17. F(s) = s2 -2s+2 ตอบ f (t) = et sin t  จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั 363 18. F(s) = 1 e5s ตอบ f (t) = et-5sin (t -5) ut -5 s2 -2s+2 ตอบ f (t) = 2cos t + 3sin t 2s+3 f (t) = e-2tcos t + 6e-2tsin t 19. F(s) = (s2 +1) 20. F(s) = (s2 4 -s ตอบ +4s+5) จงหาคา เร่มิ ตนและคา สุดทายของ F(s) ตอไปนี้ s+25 21. F(s) = s2 +4s+12 1.22. F(s) = 3(s-1) s2 +5s+4 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

364 บทท่ี 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลบั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส เอกสารอา งอิง วินยั คําทว.ี (2542). ตาํ ราสมการเชงิ อนุพันธุ 1. กรงุ เทพฯ : พิทักษก ารพิมพ. มงคล ทองสงคราม. (2542). การแปลงลาปลาซและการแปลงฟเู รยี ร. กรุงเทพฯ : รามาการพมิ พ, พมิ พครง้ั ท่ี 2 ศรบี ตุ ร แววเจริญ, ชนศกั ด์ิ บา ยเทยี่ ง. (2542). สมการเชิงอนุพนั ธ 1 Differential equations 1: คณติ ศาสตรสาํ หรับวศิ วกรรมและวทิ ยาศาสตร. กรงุ เทพฯ: สํานกั พมิ พว งตะวัน. ศรีบุตร แววเจรญิ , ชนศกั ดิ์ บา ยเท่ียง. (2543). สมการเชิงอนพุ นั ธ 2 และการแปลงลาปลาซ Differential equations 2 & laplace transform : คณติ ศาสตรส าํ หรบั วิศวกรรมและ วทิ ยาศาสตร. กรุงเทพฯ : สาํ นักพมิ พว งตะวนั . นิรันดร คําประเสริฐ. (2538). คณิตศาสตรว ศิ วกรรมไฟฟา 4 : สมการเชงิ อนุพนั ธส ามญั สมการเชงิ อนพุ นั ธยอ ย . กรุงเทพฯ : ศนู ยส อ่ื เสรมิ กรงุ เทพฯ. การแปลงฟูเรียรแ ละลาปลาซ .[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจ าก http://e-book.ram.edu/e- book/m/ MA343(41)/ma343(41)-2-1.pdf.(วันท่คี น ขอมูล : 10 มกราคม 2557). คุณสมบัตขิ องการแปลงลาปลาซ .[ออนไลน] . เขา ถึงไดจาก http: //www.ir.rmuti.ac.th/xmlui /bitstream/handle/.../230/เนอ้ื หาลาปลาซ.pdf?...32011.(วันท่ีคน ขอมูล : 10 มกราคม 2557). บทท่ี 6 การแปลงลาปลาซ.[ออนไลน] . เขา ถึงไดจ ากhttp:// www.vcharkarn.com/uploads/252/ 252771.pdf. (วนั ท่ีคนขอมลู : 15 มกราคม 2557). Application of the Laplace Transform to Linear Differential ..[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจ าก http:// www2.fiu.edu/~aladrog/LaplaceTransDifferentialEq.pdf.(วนั ท่ีคน ขอ มูล : 5 เมษายน 2557). Applications of the Laplace Transform.[ออนไลน] . เขา ถึงไดจ าก http://www.vis.uky.edu /~cheung/courses/ee422g/lecture6.pdf. (วนั ที่คน ขอ มูล : 5 เมษายน 2557). Chapter 9: Application of Laplace Transform Techniques .[ออนไลน] . เขา ถงึ ไดจ าก http://www.globalspec.com/.../chapter-9-application-of-laplace-tr... .(วนั ทค่ี น ขอมลู : 5 เมษายน 2557). Chapter 10. Differential Equations: Laplace .[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจาก http://www.Transform Methodswww. delmarlearning.com/companions/.../Chapter%2010.(วันทีค่ น ขอ มลู : 13 กมุ ภาพนั ธ 2557). จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟ อรมกลับ 365 Solving Linear ODE Using Laplace Transforms.[ออนไลน] . เขาถงึ ไดจาก http://www.math. oregonstate.edu /home/programs/.../laplace/.../solve.ht.. .(วันทีค่ น ขอ มูล : 12 กุมภาพนั ธ 2557). จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชลาปลาซทรานสฟอรม การใชสมการลาปลาซในการแกสมการอนุพันธเพื่อลดข้ันตอนในการแกสมการอนุพันธ ทมี่ ีรูปแบบการแกส มการท่ีซับซอน โดยสมการลาปลาซเปนการแกสมการท่ีอยใู นรูปแบบสมการ พีชคณติ ซึ่งงายในการแกป ญหาดา นวิศวกรรมและไมซบั ซอน โดยมขี ้ันตอนดงั นค้ี อื 1. สมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสนจะถกู เปลย่ี นไปเปน สมการพีชคณิต 2. ซ่ึงถา มีการกาํ หนดเงื่อนไขคาเร่ิมตนจะสามารถหาผลเฉลยเฉพาะได โดยไมตองทําการ หาผลเฉลยทั่วไป 3. แตถ าไมม ีเงื่อนไขคาเร่ิมตนก็สามารถหาผลเฉลยท่ัวไปไดทันที จากสมการเชงิ อนุพนั ธอ นั ดบั n มีสมการดังนี้ any(n) + an-1yn-1 + ..... + a2 y+ a1y+ ao y = Q(t) (10.1) โดยท่ี a0 ,a1 ,a2 ,……an เปนคาคงตวั ทําการหาลาปลาซทรานสฟ อรมโดยใชค ณุ สมบตั กิ ารเปนเชิงเสน anL[y(n)] + an-1L[yn-1] +..... + a2L[y] + a1L[y] + aoL[y] = L[Q(t)] จาก L[y(n)] = snL[y(t)] - sn-1y(0) - sn-2 y(0) -.....- yn-1(0) เมือ่ เงอ่ื นไขคา เร่ิมตนกาํ หนดดวยตวั แปร y(0) = C0 , y(0) = C1 ,y(0) = C2,……, y(n-1)(0) = Cn-1 จะได L[y(n)] = snL[y(t)] -C0sn-1 -C1sn-2 - ..... - Cn-1 และ L[y(n-1)] = sn-1L[y(t)] - sn-2 y(0) - sn-3y(0) -..... - yn-2(0) L[y(n-1)] = sn-1L[y(t)]-C0sn-2 - C1sn-3 -..... -Cn-2 . . . L[y] = sL[y(t)]- y(0) = sL(s) -C0 กําหนดให L[y(t)] = F(s) และ L[Q(t)] = V(s) จะได

368 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส an[snF(s) - C0sn-1 - C1sn-2 - ...-Cn-1] + an-1[sn-1F(s) -C0sn-2 - C1sn-3 -...- Cn-2] + ... +a1[s F(s) -C0] ทําการจดั พจนใ หมจะได [ansn + an-1sn-1 + ... + a1s]F(s) -C0[ansn-1 + an-1sn-2 + ... + a1] -C1[ansn-2 + an-1sn-3 + ... + a2] -...-Cn-2[ans + an-1] -Cn-1an = V(s) กาํ หนดให p(s) = ansn + an-1sn-1 + ... + a1s r(s) = C0[ansn-1 + an-1sn-2 + ... + a1]-C1[ansn-2 + an-1sn-3 + ... + a2] -...-Cn-2[ans + an-1]-Cn-1an จะได p(s)F(s) – r(s) = V(s) p(s)F(s) = r(s) + V(s) r(s) + V (s) และ F(s) = p(s) ซึ่ง F(s) เปนสมการพีชคณิตท่มี าจากการแปลงลาปลาซ และ L-1[F(s)] = y(t) หรือ y(t ) = L-1  r( s) +V (s)   p(s)    รปู ท่ี 10.1 การหาผลเฉลยโดยวธิ ีแปลงลาปลาซ 10.1 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานฟอรม กับสมการอนพุ นั ธธรรมดา ตัวอยางท่ี 10.1 จงแกส มการอนพุ นั ธอันดบั ท่ี 1 ตอไปน้โี ดยใชล าปลาซทรานสฟอรม dy dt + 2 y = 12 เมอ่ื กําหนดให y(0) = 10 วิธที าํ ขั้นตอนท่ี 1 ใชคณุ สมบตั กิ ารเปน เชงิ เสน ของลาปลาซทรานสฟอรม L  dy  + 2L  y  = L 12   dt  จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 369 ขัน้ ตอนที่ 2 ใชต ารางคณุ สมบตั กิ ารแปลงลาปลาซจากตาราง จะได ข้นั ตอนที่ 3 ข้นั ตอนที่ 4 L[f (t)] = F(s) และ L[y(t)] = Y(s) dy ขั้นตอนที่ 5 L [ dt ] = L[ f (t)] = sF(s) - f(0) และ L[y(t)] = sY(s)- y(0) A L[A] = s เมอ่ื A = 12 จะได L[12] = 12 s dy ดงั นัน้ L  dt  + 2L  y  = L 12    12 sY(s)- y(0)+2Y(s) = s (10.1) โจทยกําหนดคา y(0) = 10 นาํ ไปแทนคาในสมการที่ (10.1) 12 sY(s)-10+2Y(s) = s จดั รูปสมการโดยดงึ ตวั รว ม Y(s) ออกทัง้ 2 พจน จะได 12 Y(s)(s+2) - 10 = s Y(s)(s+2) = 12 +10 s 12 10 Y(s) = s(s + 2) + s+2 ทาํ การแยกเศษสวนยอยของ Y1(s) = 12 2) = A + B และหาคาคงท่ี s(s + s s+2 A และ B โดยใชว ิธีเศษเหลอื หาคา A จากสูตร A = Y1(s)(s - a) s=a เมอื่ s = 0 ดงั น้ัน จะได 12 A = s(s + 2)  s s=0 A = 12 s=0 = 12 =6 s+2 0+2 หาคา B จากสตู ร B = Y1(s)(s - a) s=a เมอื่ s + 2 = 0 ดังนนั้ s = -2 B = 12 2) (s + 2) s = -2 s(s + 12 12 B = s s = -2 = -2 = -6 แทนคา A และ B เพอื่ หาลาปลาซทรานสฟอรมจะได 10 Y(s) = Y1(s)+ s+2 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

370 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส Y(s) = 6 + s -6 + 10 s +2 s+2 6 4 Y(s) = s + s + 2 ข้ันตอนที่ 6 หาลาปลาซทรานสฟอรมกลับจะได L-1[Y(s)]= L-1  6 + s 4 2   s +  6 4 = L-1  s  +L-1  s + 2      1 1 จาก L-1  s -a  = eat และ L-1  s  = u(t) ดังน้นั จะได     y(t) = 6u(t) + 4e-2t ตอบ y(t) = 6u(t) + 4e-2t ตัวอยางท่ี 10.2 จงแกสมการอนุพันธอันดับท่ี 1 ตอไปนี้โดยใชลาปลาซทรานสฟอรม dy dt + 2y = 12 sin 4t เมอ่ื กาํ หนดให y(0) = 10 วิธีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 ใชค ุณสมบัตกิ ารเปน เชงิ เสนของลาปลาซทรานสฟอรม ขน้ั ตอนท่ี 2 L  dy  + 2 L[ y] = L[12 sin 4t] ขั้นตอนที่ 3  dt  ใชคณุ สมบัตกิ ารแปลงลาปลาซจะได L[f (t)] = F(s) และ L[y(t)] = Y(s) และ L[ y(s)] = sY (s) - y(0) a 4 L[sin at] = s2 + a2 เม่ือ a = 4 จะได L[sin 4t] = s2 + 16 ดงั นนั้ L  dy  + 2 L[ y] = L[12 sin 4t]  dt  12(4) sY(s) - y(0)+2Y(s) = s2 +16 (10.2) โจทยก าํ หนดให y(0) = 10 นําไปแทนในสมการ (10.2) 48 sY(s)-10+2Y(s) = s2 +16 Y(s)(s+2)-10 = 48 s2 +16 48 Y(s)(s+2) = s2 +16 +10 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 371 Y(s) = (s + 48 + 16) + 10 2)(s2 s+2 ขน้ั ตอนท่ี 4 ทาํ การแยกเศษสว นยอ ยของ Bs12s++1B62 ขัน้ ตอนที่ 5 Y1(s) = (s + 48 +16) = s A + (10.3) 2)(s2 +2 จากสมการคา s ไดแ ก s + 2 = 0 ดงั นั้น s = -2 หาคา A B1 และ B2 ซง่ึ เปน คา คงที่ โดยใชว ิธีเศษเหลือ หาคา A จากสูตร A = Y1(s)(s - a) s=a เมอ่ื s + 2 = 0 ดงั นั้น s = -2 จะได A = (s + 48 + 16) (s + 2) s = -2 2)(s2 48 48 48 A = s2 +16 s = -2 = (-2)2 +16 = 20 = 2.4 แทนคา A ในสมการ (10.3) และหาคา B1 และ B2 48 2.4 Bs12s++1B62 ( s + 2)(s2 + 16) = s+2 + (10.4) กําหนดให s = 0 ในสมการ (10.4) จะได B1(0) + B2 (0 + 48 + 16) = 0 2.4 2 + 02 +16 2)(02 + 48 2.4 1B62 (2)(16) = 2 + B2 = 4.8 หาคา B1 โดยแทน s = -1 และแทน B2 = 4.8 ในสมการ (10.4) จะได 48 2.4 B1(-1) + 4.8 (-1 + 2)((-1)2 +16) = (-1) + 2 + (-1)2 + 16 48 = 2.4 + -B11+74.8 (1)(17) 1 2.8 = 2.4-0.058B1+0.28 B1 = 2.06 แทนคา A , B1 และ B2 เพือ่ หาลาปลาซทรานสฟอรมจะได Bs12s ++1B62 Y ( s) = (s + 48 + 16) = s A 2 + 2)(s2 + 48 2.4 2.06s + 4.8 Y (s) = ( s + 2)(s2 + 16) = s+2 + s2 +16 Y (s) = 2.4 + 2.06s + 4.8 s+2 s2 +16 s2 +16 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

372 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ขนั้ ตอนที่ 6 หาลาปลาซทรานสฟอรมกลับจะได ตอบ L-1[Y(s)] = L-1  s2+.42 + 2.06s + 4.8   s2 +16 s2 +16  s2+.42 2.06s 4.8 = L-1   + L-1  s2 +16  + L-1  s2 +16        1- a s2+.42 จาก L-1  s  = eat จะได L-1   = 2.4 e2t     จาก L-1  s2 s  = cos at จะได L-1  2.06s  = 2.06 cos 4t  + a2   s2 +16    จาก L-1  s2 a a2  = sin at จะได L-1  s 4.8  = 4.8 sin 4t    2 +16   +  ดงั นั้น y(t) = 2.4e2t + 2.06cos 4t + 4.8sin 4t y(t) = 2.4e2t + 2.06cos 4t + 4.8sin 4t ตัวอยางที่ 10.3 จงแกส มการอนุพนั ธอนั ดบั ที่ 1 ตอไปน้โี ดยใชการลาปลาซเม่อื dy + 2y = e3t dt เม่อื กาํ หนดให y(0) = 2 วิธที ํา ขั้นตอนท่ี 1 ใชคณุ สมบัตกิ ารเปนเชงิ เสนของลาปลาซทรานสฟอรม L  dy  + 2 L[ y] = L[e3t ]  dt  ขั้นตอนท่ี 2 ใชตารางคณุ สมบัตกิ ารแปลงลาปลาซจะได F[f (t)] = F(s) และ L[y(t)] = Y(s) L  dy  = L[f(t)] = sF(s) - f (0) และ L[y(t)] = sY(s)- y(0)  dt  1 1 L[eat] = s-a เมอื่ a = 3 จะได L[e3t] = s-3 sY(s) - y(0) + 2Y(s) = s 1 -3 ขน้ั ตอนที่ 3 แทนคา y(0) = 2 ในสมการ 1 sY(s)-2+2Y(s) = s-3 Y(s)(s+2)-2 = 1 s-3 1 Y(s)(s+2) = s-3 +2 Y(s) = 1 + 2) + s 2 2 (s - 3)(s + จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 373 ขั้นตอนที่ 4 ทําการแยกเศษสว นยอย และหาคาคงท่ขี องตวั แปร A และ B A B 2 Y(s) = s-3 + s +2 + s +2 หาคา A และ B โดยใชวธิ ีเศษเหลอื หาคา A จากสูตร A = Y (s)(s- a) s= a เมอ่ื s - 3 = 0 ดังนัน้ s = 3 จะได A = (s - 1 + 2) (s - 3) s = 3 3)(s 1 1 1 A = s+2 s=3 = 3+2 = 5 หาคา B จากสูตร B = Y (s)(s- a) s = a เมื่อ s + 2 = 0 ดังนนั้ s = -2 B = ( s - 1 + 2) (s + 2) s = -2 3)(s 1 1 1 B = s-3 s = -2 = -2 -3 = -5 ขน้ั ตอนที่ 5 แทนคา A และ B เพอื่ หาลาปลาซทรานสฟอรมจะได Y(s) = A + s B + s 2 s-3 +2 +2 s 15- 3 s-+152 Y(s) = + + s 2 2 + Y(s) = s15-3 + s +95 2 ขน้ั ตอนที่ 6 หาลาปลาซทรานสฟอรมกลบั จะได L-1[Y(s)] = L-1  s 15- 3 + s +59 2        15- 3 +95 = L-1  s  + L-1  s 2             1 จาก L-1  s -a  = eat ดงั นน้ั จะได   1 9 y(t) = 5 e3t+ 5 e-2t ตอบ y(t) = 1 e3t+ 9 e-2t 5 5 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

374 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ตัวอยา งท่ี 10.4 จงแกสมการอนพุ นั ธอนั ดบั ที่ 2 ดว ยวิธีการของลาปลาซ d2y + y =t เม่อื y(0) = dt 2 1 และ y(0) = -2 วธิ ีทาํ ข้ันตอนที่ 1 นําลาปลาซทรานสฟอรมเขา ในสมการท้ังสองดานจะได (10.5) L[y'']+ L y  = Lt  ขน้ั ตอนที่ 2 ใชสตู รการแปลงลาปลาซจะได L[f (t)] = F(s) และ L[y(t)] = Y(s) L[f (t)] = sF(s) - f (0) และ L[y(t)] = sY(s) - y(0) L[f (t)] = s2F(s) - sf (0)-f (0) และ L[y] = s2Y(s) - sy (0)- y(0) n! 1 L[t n] = sn+1 = s2 L[t] = 1 = 1 s1+1 s2 ข้ันตอนที่ 3 แทนคาในสมการ (10.5) จะได 1 s2Y(s) - sy(0)- y(0)+Y(s) = s2 เมอื่ โจทยกาํ หนดให y(0) = 1 และ y(0) = -2 แทนคา จะได 1 s2Y(s)- s(1)-(-2)+Y(s) = s2 s2Y(s)- s+2+Y(s) Y(s)[s2+1]-(s-2) = 1 Y(s)[s2+1] s2 1 Y(s) = s2 = 1 + (s-2) s2 1 s-2 = s2(s2 + 1) + s2 +1 ข้ันตอนที่ 4 จัดรปู สมการใหอยใู นรปู แบบที่มีในตารางการแปลงกลับลาปลาซ 1 1 1 Y1(s) = s2(s2 + 1) = s2 - s2 +1 Y2(s) = s-2 = s2 s 1 - 2 s2 +1 + s2 +1 1 - 1 s Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = s2 s2 +1 + s2 +1 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 375 Y(s) = Y1(s)+Y2(s) = 1 - 1 + s 1 - 2 s2 s2 +1 s2 + s2 +1 1 s 3 Y(s) = s2 + s2 + 1 - s2 +1 ขนั้ ตอนท่ี 5 ทาํ การแปลงกลบั ลาปลาซเพื่อหาคําตอบ L-1 Y (s) = L-1  1 + s - 3   s2 s2 +1 s2 +1  1 s 1 L-1 Y (s) = L-1  s2  + L-1  s2 + 1  - 3L-1  s2 + 1        จากสูตร a 1 + s2 + L-1  s2 a2  = sin at เมอ่ื a = 1 จะได L-1  1  = sin t     s s L-1  s2 + a2  = cos at เมื่อ a = 1 จะได L-1  s2 + 1  = cos t     1 L-1  s2  = t   แทนคา ในสมการจะได y(t) = t + cos t - 3sin t ตอบ y(t) = t + cos t - 3sin t เปน คําตอบของสมการ ตัวอยางท่ี 10.4 จงแกสมการอนุพนั ธอ ันดับสองโดยใชว ธิ ขี องลาปลาซ y- 3y+ 2y = 4e2t เมื่อ y(0) = -3, y(0) = 5 วธิ ที ํา ขั้นตอนท่ี 1 นาํ ลาปลาซทรานสฟอรม เขาในสมการทงั้ สองดาน จะได L[y- 3y+2y] = L[4e2t] L[y] - 3L[y]+ 2L[y] = 4L[e2t] (10.6) ขัน้ ตอนที่ 2 ใชสูตรการแปลงลาปลาซจะได L[f (t)] = F(s) และ L[y(t)] = Y(s) L[f (t)] = sF(s) - f (0) และ L[y(t)] = sY(s) - y(0) L[f (t)] = s2F(s) - sf (0) - f (0) และ L[y] = s2Y(s) - sy(0) - y(0) 1 L  e at  = s -a ขั้นตอนท่ี 3 แทนคาลงในสมการท่ี (10.6) 1 -2 [s2Y(s) - sy(0) - y(0)]- 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = 4  s    เมอ่ื โจทยกาํ หนดให y(0) = -3 และ y(0) =5 แทนคา 4 s-2 [s2Y(s) - s(-3) - 5)]- 3[sY(s) - (-3)] + 2Y(s) = จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

376 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส s2Y(s) + 3s - 5 -3sY(s) - 9+ 2Y(s) = 4 s-2 ขั้นตอนท่ี 4 ดึงตัวรว ม Y(s) และจัดรูปสมการ ขน้ั ตอนที่ 5 Y(s)[s2- 3s + 2]-(14 - 3s) = 4 ข้ันตอนท่ี 6 s-2 4 Y(s)[s2- 3s + 2] = s-2 +(14 - 3s) Y(s) = ( s2 - 3s 4 2)(s - 2) + 14 -3s 2) + (s2 -3s + ทาํ การแยกตัวประกอบของสมการ s2- 3s + 2 = (s-1)(s-2) 4 14 - 3s Y(s) = (s -1)(s - 2)(s - 2) + (s -1)(s - 2) = (s 4 - 2)2 + 14 -3s 2) -1)(s (s -1)(s - = 4 + (14 - 3s)(s - 2) (s -1)(s - 2)2 = 4 + (14s -3s2 - 28 + 6s) (s -1)(s - 2)2 = -3s2 - 20s - 24 (s -1)(s - 2)2 ทําการแยกเศษสวนยอ ย โดยมีรากไมซ้ํา คอื 1 และ รากซํา้ คอื 2 A + B0 B1 Y(s) = -3s2 + 20s - 24 = s-1 s-2 + ( s - 2)2 (s -1)(s - 2)2 หาคา A จากสูตร A = Y (s)(s - a) s=a เม่อื (s - 1) = 0 จะได s = 1 A = -3s2 + 20s - 24 (s -1) s=1 (s -1)(s - 2)2 = -3(1)2 + 20(1)- 24 (1- 2)2 หาคา B0 และ B1 ซงึ่ เปนรากซ้ํา คอื (s-2)2 จะได s = 2 คอื รากซํา้ จากสูตร Bk = 1 dj F(s)(s - a)n s=a k! dsk หาคา B0 และ B1 จะได B0 = 1 d0 F(s)(s - 2)2 s=2 0! ds0 -3s2 + 20s - 24 B0 = 1 (s -1)(s - 2)2 (s - 2)2 s=2 0! จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 377 = -3(2)2 + 20(2) - 24 =4 (2 -1) หาคา B1 จากสูตร B1 = 1 d1 F(s)(s - 2)2 s=2 1! ds1 -3s2 B1 = d  (s - + 20s - 24  ( s - 2)2 s=2 ds  1)(s - 2)2  B1 = (s -1) dds (-3s2 + 20s - 24)- (-3s2 + 20s- 24) dds (s-1) (s -1) s=2 B1 = (s -1)(-6s + 20)- (3s2 + 20s - 24) s=2 (s -1) (2 -1)(-6(2) + 20)- (3(2)2 B1 = (2 -1) + 20(2) - 24) =4 Y(s) = s -7 + s 4 + (s 4 -1 -2 - 2)2 ขัน้ ตอนที่ 7 ทาํ การแปลงกลบั ลาปลาซโดยใชส ตู ร L-1[Y(s)] = L-1  1  + 4 L-1  s 1  + 4 L-1 1   s-1   -2   2)2   (s -  y(t) = -7et + 4e2t + 4te2t ตอบ y(t) = -7et + 4e2t + 4te2t ตัวอยางท่ี 10.5 จงแกส มการ d2y - 3 dy + 2 y = 24 เมือ่ y(0) = 10 และ y(0) = 0 dt 2 dt วธิ ที าํ ขั้นตอนท่ี 1 นาํ ลาปลาซทรานสฟอรมเขาในสมการทัง้ สองดาน จะได L[y- 3y + 2y] = L[24] L[y]- 3L[y] + 2L[y] = L[24] (10.7) ข้ันตอนท่ี 2 ใชสูตรการแปลงลาปลาซจะได L[f (t)] = F(s) และ L[y(t)] = Y(s) L[f (t)] = sF(s) - f (0) และ L[y(t)] = sY(s) - y(0) L[f  (t)]= s2F(s)-sf (0) - f (0) และ L[y] = s2Y(s) - sy(0) - y (0) A L[A] = s จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

378 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขั้นตอนท่ี 3 แทนคาลงในสมการที่ (10.7) 24 s ข้นั ตอนที่ 4 [s2Y (s) - sy(0) - y(0)] - 3[sY (s) - y(0)] + 2Y ( s) =   ขน้ั ตอนท่ี 5   ข้ันตอนท่ี 6 เมื่อโจทยกาํ หนดให y(0) = 10 และ y(0) = 0 แทนคา 24 s [s2Y (s) - s(10) - 0] - 3[sY (s) - 10] + 2Y ( s) = s2Y (s) -10s - 3sY (s) - 30 + 2Y (s) = 24 s ดงึ ตวั รว ม Y(s) และจดั รูปสมการ 24 Y (s)[s2 - 3s + 2] - 10s - 30 = s Y (s)[s2 - 3s + 2] = 24 + (10s + 30) s 24 10s + 30 Y (s) = s(s2 - 3s + 2) + (s2 -3s + 2) ทาํ การแยกตัวประกอบของสมการ s2 -3s + 2 = (s -1)(s - 2) 24 10s + 30 Y (s) = s(s -1)(s - 2) + (s -1)(s - 2) ทาํ การแยกเศษสวนยอ ย เมอ่ื A B 24 s s-1 C Y1(s) = s(s -1)(s - 2) = + + s-2 A = s(s 24 - 2)  s s=0 -1)(s 24 24 A = (s -1)(s - 2) s=0 = (0 - 1)(0 - 2) = 12 B = s(s - 24 s - 2)  (s - 1) s=1 1)( 24 24 B = s( s- 2) s=1 = (1)(1 - 2) = -24 C = s(s 24 - 2)  ( s - 2) s=2 -1)(s 24 24 C = s(s -1) s=2 = (1)(2 -1) = 12 Y2 (s) = 10s + 30 = D + E (s -1)(s - 2) s-1 s-2 10s + 30 D = (s -1)(s - 2)  ( s - 1) s=1 D = 10s + 30 s=1 = 10(1) + 30 = -40 (s - 2) (1- 2) 10s + 30 E = (s -1)(s - 2)  (s - 2) s=2 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 379 E = 10(2) + 30 s=2 = 50 = 50 (s -1) (2 -1) 24 10s + 30 เม่ือ Y (s) = s(s -1)(s - 2) + (s -1)(s - 2) Y (s) = Y1(s) + Y2 (s) = A + B + C + D + E s s-1 s-2 s-1 s-2 12 -24 12 -40 50 Y (s) = s + s-1 + s-2 + s-1 + s-2 Y (s) = 12 + -64 + 62 s s-1 s-2 ขน้ั ตอนท่ี 7 ทาํ การแปลงกลับลาปลาซจะได L-1[Y (s)] = L-1  12 + -64 + 62   s s-1 s-2  y(t) = 12u(t)-64et + 62e2t ตอบ y(t) = 12u(t)-64et + 62e2t ตัวอยางที่ 10.6 จงแกสมการ y+y = 16cos t , y(0) = 0 และ y(0) = 0 วธิ ที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 นําลาปลาซทรานสฟอรมเขาในสมการท้งั สองดาน จะได L y'' + y  = L16cos t  L[y''] + L[y] = L[16cos t] (10.8) ขน้ั ตอนที่ 2 ใชส ตู รการแปลงลาปลาซจะได L[f (t)] = F(s) และ L[y (t)] = Y(s) L[f (t)] = s2F(s) - sf (s) - sf (0) - f (0) และ L[y] = s2Y(s) - sy(0) - y(0) s L[cos at] = s2 + a2 ข้นั ตอนที่ 3 แทนคา ลงในสมการที่ (10.8) 16s ข้นั ตอนท่ี 4 s2 +12 [s2Y (s) - sy(0) - y(0)] + [Y (s)] =     เมอื่ โจทยกําหนดให y(0) = 0 และ y(0) = 0 แทนคา 16s [s2Y (s) - s(0) - 0] + [Y (s)] = s2 +1 s2Y (s) + Y (s) = 16s s2 +1 ดงึ ตวั รว ม Y(s) จะได 16s Y (s)(s2 + 1) = s2 +1 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

380 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส Y ( s) = ( s2 + 16s 2 + 1) = ( 16s 1)(s s2 +1)2 ขัน้ ตอนท่ี 5 หาลาปลาซทรานสฟอรม กลบั จะได L-1 [Y (s)] = L-1  16s   (s2 +1)2  2as จาก L-1  (s2 + a2 )2  = t sin at   16s 2(8)(1)s y(t) = L-1  (s2 +1)2  = (s2 +1)2 เม่ือ a = 1 จะได   (8s2 2(1)s y(t ) = + 1)2 = 8t sin t ตอบ y(t) = 8t sin t 10.2 การประยกุ ตใ ชลาปลาซทรานสฟอรมกับวงจรไฟฟา ตวั อยางท่ี 10.7 วงจรอนกุ รมอารซ ี RC ดงั รูปที่ 10.2 มแี หลงจายไฟฟา กระแสตรงขนาด V โวลต ตอ อยูใ นวงจร ถา ตัวเก็บประจุ C มีประจุเร่ิมตน (Initial charge) บนตัวเทา กบั q0 จงหาคา กระแสที่ ไหลในวงจร SR + V i(t) ++++ C - รปู ที่ 10.2 วงจรอนกุ รม RC วธิ ที ํา ขน้ั ตอนท่ี 1 ใชก ฎแรงดันของเคอรชอฟทเ พอื่ หาสมการความสมั พนั ธในวงจรจากกฎ แรงดันของเคอรชอฟทก ลา ววา แรงดันท่ีแหลง จายจะมคี าเทากับผลรวม ของแรงดันท่ตี กครอมอุปกรณแตละตวั ซึ่ง แรงดันท่ีแหลง จา ยมีคาเทากับ V โวลต แรงดันทตี่ กครอ มตวั ตา นทานมคี า VR แรงดนั ทตี่ กครอ มตวั เกบ็ ประจุมีคา VC V = VR +VC (10.9) จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 381 ขั้นตอนท่ี 2 ใชกฎของโอหม เพื่อหาความสมั พันธของกระแสและแรงดนั ข้ันตอนที่ 3 1 VR = i(t)R และ VC = C  i(t)dt แทนคา ในสมการท่ี (10.9) ขน้ั ตอนที่ 4 ข้นั ตอนที่ 5 จะได V = i(t)R + 1  i(t)dt (10.10) C ทาํ การแกส มการโดยใชว ิธีการของลาปลาซทรานสฟอรม เมือ่ ตวั แปร V , R , C เปน คาคงที่ และกระแส i(t) เปน ตัวแปรทตี่ องการหาคา ซ่ึงสัมพนั ธ กบั การเปลย่ี นแปลงของเวลา จะได (10.11) L[V ] = L[i(t)R] + L[C1 i(t)dt] จากสูตร L[f (t)] = F(s) และ L[i(t)] = I(s) L[ f (t)] = F(s) + F (0+ ) s s I (0+ ) L[ i(t)] = I (s) + s s A V L[A] = s หรอื L[V ] = s แทนคาในสมการท่ี 10.11 จะได V = RI( s) + 1  I (s) + i(0+ )  (10.12) s C  s s  หาคากระแสในสภาวะเร่ิมตนโดยโจทยก าํ หนดใหป ระจุของตัวเก็บประจุ ทส่ี ภาวะเรม่ิ ตน กอ นท่ีจะปด วงจรมคี า q0 คอื ทเ่ี วลา t < 0 i(0+ ) = q0 = CVC VC = qC0 แทนคา i(0+) ในสมการท่ี (10.12) จะได V = RI (s) + 1  I (s) + qs0  s C  s  V = RI (s) + 1  I (s) + qs0  s C  s  Cq0s V = RI(s) + I(s) + s Cs V Cq0s 1 - = ( R + Cs )I (s) s ดงึ ตวั รว ม s ออกจากสมการดา นซา ยมือจะได จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

382 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส 1 (V - qC0 ) = (R+ 1 ) I(s) R(V+-C1qCs0 ) = I(s) Cs s 1 s  1 (V - +qC10 ) = I (s) sRCs Cs I(s) = CS 1  1 (V - qC0 )  RCS +   S ดึงตัวรว ม RC จะได I(s) = C 1 )  (V - qC0 )  RC(S + RC   I(s) = 1  (V - qC0 )  1 1 R   RC (S + ) ขั้นตอนท่ี 6 ทําการแกส มการโดยใชล าปลาซแบบผกผัน L-1 [ I (s)] = L-1  1  (V - qC0 )  ( S 1 )   R   + R1C    - qC0   R i(t) =  V  L-1  1       1  S + RC i(t) =  V - qC0  e R-1C t  R  ตอบ กระแสที่ไหลในวงจรมคี า เปน i(t) =  V - qC0  e R-1C t  R  จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 383 ตวั อยา งท่ี 10.8 วงจรอนกุ รมอารแอล RL ดงั รปู ที่ 10.3 มแี หลง จา ยไฟฟากระแสตรงขนาด V โวลต จงหากระแสทไ่ี หลในวงจร รปู ท่ี 10.3 วงจรอนกุ รม RL วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 ใชกฎแรงดันของเคอรชอฟทเพ่อื หาสมการความสัมพันธในวงจร ขั้นตอนท่ี 2 จากกฎแรงดันของเคอรช อฟทก ลาววา แรงดนั ทแ่ี หลงจายจะมีคา เทากบั ขน้ั ตอนที่ 3 ผลรวมของแรงดนั ท่ีตกครอมอุปกรณแตละตวั ซ่งึ ข้นั ตอนท่ี 4 ขน้ั ตอนที่ 5 แรงดันท่แี หลงจา ยมีคา เทากับ V โวลต แรงดันท่ตี กครอ มตวั ตานทานมีคา VR แรงดันที่ตกครอมตวั เก็บประจุมีคา VL V = VR + VL (10.13) ใชกฎของโอหม เพือ่ หาความสมั พันธข องกระแสและแรงดัน (สําหรับ ขอ นส้ี ัญลกั ษณ L แทนตัวเหนย่ี วนาํ และ L แทนลาปลาซทรานสฟอรม) di(t ) V = i(t)R + L dt แกสมการโดยใชล าปลาซทรานสฟอรม จะได L[V] = L[i(t)R]+ L[L did(tt)] (10.14) จากสตู ร L[f (t)] = F(s) และ L[i(t)] = I(s) di(t) L  dt  = sI (s) - i(0)   A V L[A] = s หรอื L[V ] = s แทนคาในสมการท่ี (10.14) จะได [V ] = RI(s) + L[sI(s)-i(0)] s หาคา กระแสท่สี ภาวะเริ่มตน โดยทส่ี ภาวะเริ่มตน ตวั เหนีย่ วนาํ ไมมกี าร จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

384 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส สะสมพลังงาน ดงั นั้นคา i(0+) = 0 แทนคา ในสมการ [V ] = RI(s) + LSI(s) s ดงึ ตัวประกอบรวม I(s) จะได [V ] = I(s)(R + Ls)  [Vs ] 1 = I(s) s R + Ls V 1 I ( s) =   R + Ls  s   I(s) = V 1  1 s  s L  LR +      I(s) = V 1  R 1  s L  L  + s     I(s) = V 1  s 1 LR  L  +  s   ขั้นตอนท่ี 6 ทําการแกสมการโดยใชว ิธกี ารเศษสวนยอย  1  s 1 R  = A + B R (10.15) s  L  L + s s +   หาคา คงท่ี A และ B โดยใชวธิ ีเศษเหลอื จะได A = 1  1  S S  + S R    L  s=0 A =  S 1 R  = 0 1 R = L  + L  + L R s=0   หาคาตัวแปร B จะได  B = 1  S 1 R   S + R S  + L  L s= -LR   จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 385 B = 1 s= -LR = 1 = -L S -R R L แทนคา A และ B ในสมการท่ี (10.15) จะได L S-+LRLR  1  S 1 R  = R +  + L  S S   L S-+LRLR     I(s) =V 1  S 1 R  = V  SR +  L S  + L  L       1 S-+R1LR I(s) =V  RS +  = V  1 - S 1 R    R  S + L      ข้ันตอนท่ี 7 ทําการแปลงกลบั ลาปลาซจะได L-1 [ I (s)] = L-1  V  1 - S 1 R   R  S + L    V e-LR  R i(t) =  u(t ) - t    V -LRt ตอบ กระแสท่ีไหลในวงจรมคี า เปน i(t) = R  u(t ) - e    ตวั อยางท่ี 10.9 จากวงจรดังรูป 10.4 เมอื่ สวิตชป ดอยกู อ นนานจนกระทัง่ วงจรอยใู นสภาวะคงตวั แลวหลังจากน้นั สวติ ชไ ดเ ปด ที่เวลา t = 0 ใหห าคา กระแส (i(t)) ท่เี วลา t > 0 รปู ที่ 10.4 วงจรผสม RL วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 วาดรูปวงจรในขณะท่ีทาํ การเปด วงจร เม่ือสวิตชป ด อยกู อนนานจนวงจร จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

386 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส อยูในสภาวะคงตัว กระแส i(0-) จะไหลผาน R1 เน่ืองจากตัวเหนี่ยวนํา จะเสมือนลัดวงจร ทําใหไมมีกระแสไหลผาน R ดังน้ันกระแสท่ีเกิดข้ึน V กอนเปดสวติ ชจ ะมีคาเปน i (0¯) = R1 -เมอื่ สวติ ชเ ปด ที่ t = 0 กระแสทีไ่ หลในขณะนค้ี อื i (0) = i(0¯) = V โดย R1 กระแสที่ไหลผานตัวเหน่ียวนําจะไหลวนอยูระหวางตัวตานทานและตัว เหนยี่ วนํา ขั้นตอนท่ี 2 พิจารณาที่เวลา t > 0 เม่อื สวิตช S เปดออกจะทําใหเ กดิ กระแส i(t) ไหลวน อยูใ นวงจร ระหวางตวั เหน่ียวนําและตัวเก็บประจุ ขัน้ ตอนที่ 3 พิจารณาที่เวลา t = 0 โดยใชกฎแรงดันของเคอรชอฟท (KVL) เม่ือ VL = แรงดันที่ตกครอมตัวเหนี่ยวนํา , VR = แรงดันตกครอมตัวตานทาน จากรูป จะได จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม 387 VL +VR = 0 (10.16) di เมือ่ VL = L dt และ VR = i(t)R แทนคาลงในสมการที่ (10.16) จะได L di + i(t )R = 0 dt ข้ันตอนท่ี 4 แกสมการโดยใชลาปลาซทรานสฟอรมจะได (เมื่อ L แทนตัวเหนี่ยวนํา และ L แทนลาปราซทราสฟอรม ) L L di  + L[i(t )R] = L [0] (10.17) dt  จาก L[y] = sY (s) - y(0) และ L[ddti] = sI(s)-i(0) และ L[i(t)] = I(s) แทนคาในสมการท่ี (10.17) จะได L[sI(s) -i(0)] + I(s)R = 0 V เมอ่ื i(0-) = R1 แทนคา ในสมการจะได sLI (s) - VL + I (s)R = 0 R1 VL LsI ( s) + I (s)R = R1 I (s)(Ls + R) = VL R1 VL I(s) = R1(Ls + R) I (s) = VL R ) R1L(s + L V I (s) = R1( s+ R ) L ทาํ ลาปลาซทรานสฟ อรมกลับ จะได ขั้นตอนที่ 5 L-1 [ I (s)] = L-1  V R )   R1(s + L  V e- LRt   R1 i(t) = ตอบ กระแสท่ไี หลในวงจรมคี า เปน i(t) = V e- LRt R1 จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

388 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ตวั อยางที่ 10.10 จากโจทยขอ 10.9 ถากําหนดใหค า R1 = 50  R = 20  และ L = 100 mH และ V = 10 V จงหาคา กระแสเรม่ิ ตน กระแสสดุ ทาย และกระแสทเ่ี วลา t = 10 ms วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จากสมการคาํ ตอบในตวั อยา งท่ี 10.9 สมการของกระแสทไี่ หล คอื i(t) = V e- LRt (10.18) R1 โดยกระแสเริม่ ตน i(0-) เกิดข้นึ เมอื่ เวลา t = 0 และ R1 = 50  ,V = 10 V จะได e-LR(0) i(t) = V = V = 10 = 1 = 0.2 A R1 R1 50 5 หาคากระแสสดุ ทา ย i(∞) โดยแทนคา t = ∞ ในสมการ e-LR() i(t) = V = V e- = V = 0 A R1 R1 R1e ขัน้ ตอนท่ี 2 หาคา ของกระแสทเี่ วลา t = 10 ms แทนคาในสมการท่ี (10.18) จะได e-10200m (10ms) i(t) = 10 = 0.2e-2 = 0.2(0.13533) = 0.02706 50 ตอบ กระแสเริ่มตน i(0-) = 0.2 A เม่ือเวลา t = 0 , คา กระแสสุดทา ย i(∞)= 0 A เม่อื t = ∞ และ กระแส i(10) = 0.02706 A ทีเ่ วลา t = 10 ms ตวั อยา งท่ี 10.11 จากวงจรดงั รปู ท่ี 10.5 สวติ ชอ ยูในตาํ แหนงที่ 1 จนกระทง่ั วงจรอยูใ นสภาวะคงตัว แลวเปล่ียนไปอยูในตําแหนง 2 ทันที ที่เวลา t = 0 ใหหากระแส i(t) ที่เวลา t > 0 เมื่อแรงดันที่ แหลงจาย V มคี า 12 V ตัวตา นทาน R1 = 1 k และ R = 2k C = 10 µF รปู ท่ี 10.5 วงจรผสม RC จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 389 วธิ ีทํา ขน้ั ตอนท่ี 1 หาคากระแสเรม่ิ ตน เมือ่ สวิตชอ ยตู ําแหนง 1 จะไมม กี ระแสไหลในวงจร แตต ัวเกบ็ ประจุ C จะถกู ประจุไวจ นเตม็ เทา กับแรงดนั ท่ีแหลงจาย คือ V= 12 โวลต ขัน้ ตอนที่ 2 เม่ือสวิตชเ ปลยี่ นไปอยใู นตาํ แหนง ที่ 2 ในทนั ทที ี่เวลา t = 0 แรงดันที่ ประจไุ วท ต่ี วั เก็บประจุ C จะถูกจา ยกลับผานตัวตานทาน R = 2 k ซงึ่ จะทําใหเ กดิ กระแสไหลวนในลปู ข้นั ตอนที่ 3 หากระแสทไ่ี หลในวงจรโดยใชก ฎแรงดนั ของเคอรชอฟท ขนั้ ตอนที่ 4 i(t)R + 1  i(t )dt = 0 C ทาํ ลาปลาซทรานสฟอรมท้ัง 2 ขางจะได (เมื่อ L แทนตัวเหนี่ยวนํา และ L แทนลาปราซทราสฟ อรม) 1 L  i(t )R  + L  C  i(t )dt  = L[0]   1 RLi(t )  + C L   i(t )dt  = 0 i- (0) s จาก L[i(t)] = I(s) และ L[i(t)] = I(s) + จะได s (10.19) 1 I (s) i- (0) RI (s) + C  s + s  = 0   จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

390 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขนั้ ตอนที่ 5 หาคากระแสท่ีสภาวะเริ่มตน พิจารณา i-(0) คือ แรงดันท่ีประจุไวบน C ทเ่ี วลา t = 0 มีหนว ยเปน คูลอมป จะไดสูตร v0 = qC0 แทนคา ii--((00))==CqV0 0ใ=นCสม(qCก0า)ร=(1q00.19) จะได 1 I (s) qs0 RI (s) + C  s +  = 0   ขนั้ ตอนท่ี 5 จดั รปู สมการโดยดึงตัวรว ม I(s) จะได = - Cq0s  I(s) R + 1 Cs q0 I (s) = - Cs(R + 1 ) Cs RqC0s + I (s) = - Cs( Cs 1) I(s) = - (RCqs0+1) q0 I (s) = - RC (s + 1 ) RC แทนคา V0 = q0 จะได V0 I (s) = - RC (s + 1 ) RC ขั้นตอนท่ี 6 ทําการแปลงกลบั ลาปลาซเพ่ือหากระแส i(t) จะได i(t) = - V0 e- R1C t RC V0 e-R1C t ตอบ กระแสท่ีไหลในวงจรมีคา เปน i(t ) = - RC จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม 391 ตวั อยา งที่ 10.12 จากวงจรในรปู ที่ เมอื่ เรมิ่ ตน สวติ ชเ ปด อยกู อน และตวั เก็บประจุ C ไมไ ดถูกประจุ ไวก อ น และเมื่อสวติ ชป ดทเี่ วลา t = 0 จงหากระแสท่ไี หลในวงจรทเี่ วลา t > 0 รปู ท่ี 10.6 วงจรอนกุ รม RLC วิธที าํ ขั้นตอนที่ 1 เม่ือปดสวิตชท ี่ t = 0 จะมีกระแสไหลในวงจร หาสมการความสัมพนั ธ ข้ันตอนท่ี 2 ระหวา งกระแสและแรงดนั โดยใชกฎแรงดนั ของเคอรชอฟท ข้ันตอนที่ 2 di(t) 1 L dt + Ri(t) + C  idt = V ทาํ ลาปลาซทรานสฟอรม จะได (เม่ือ L แทนตวั เหนย่ี วนาํ และ L แทนลา ปลาซทรานสฟอรม) L L di(t )  + L[Ri(t )] + L  1  idt  = L [V ] dt   C  จาก L[ddti] = sI(s)- i(0) L[ i (t )dt ] = I(s) + i- (0) และ L[i(t)] = I(s) และ s s แทนคาในสมการ - L[sI (s) - i(0)] + RI (s) + 1  I (s) + i (0)  = V C  s s  s หาคา กระแสทสี่ ภาวะเรม่ิ ตน i-(0) เม่อื สวิตชป ด ในทันที ไมมกี ระแสไหล อยกู อ นดังนนั้ i-(0) = 0 A ทเี่ วลา t = 0- และกระแสทีต่ ัวเกบ็ ประจุท่ีสภาวะ เรม่ิ ตน มคี า i-(0) = 0 A 1 I(s) V C s s LsI (s) + RI(s) + = (Ls + R + C1s)I(s) = V s CLs2 + RCs + 1) V ( Cs I (s) = s จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

392 บทท่ี 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส I ( s) = VCs + 1) s(CLs2 + RCs VC I ( s) = (CLs2 + RCs + 1) I ( s) = LC(s2 + VC s + 1 ) RC LC LC VC I ( s) = LC(s2 R 1 (10.20) + L s + LC ) ถา กาํ หนดให R = 3  , L = 1 H , C = 1 F และ V = 1 V ใหห ากระแสที่ 2 เกิดขน้ึ ในวงจรแทนคา ในสมการที่ (10.20) จะได 1 1 I (s) = (s2 + 3s + 2) = (s + 1)( s + 2) ข้นั ตอนที่ 3 ทาํ การแกส มการโดยแยกเศษสวนยอ ยจะได 1 A B I (s) = (s + 1)( s + 2) = s +1 + s +2 A = (s + 1 + 2)  (s + 1) s=-1 1)(s 1 1 1 A = (s + 2) s=-1 = -1 + 2 = 1 = 1 B = (s + 1 + 2)  (s + 2) s=-2 1)(s 1 1 1 B = (s + 1) s=-2 = -2 + 1 = -1 = -1 I(s) = s A + s B = s 1 1 + s -1 +1 +2 + +2 ขนั้ ตอนท่ี 4 ทําการลาปลาซทรานสฟอรมกลบั จะได 1 1 L-1[I (s)] = L-1  s + 1 - s + 2    i(t) = e-t + e-2t ตอบ กระแสทไี่ หลในวงจรมคี า เปน i(t) = e-t + e-2t ตวั อยางที่ 10.13 จากตวั อยา งที่ 10.12 ถากําหนดใหต ัวตานทานเปน 2  และ L = 1 H , C = 1 F 2 และ V = 2 V จงหาคา กระแสทเี่ วลา t > 0 วนิ าที วธิ ที าํ ข้นั ตอนที่ 1 เม่อื ปดสวติ ชท ี่ t = 0 จะมกี ระแสไหลในวงจร หาสมการความสมั พันธ ระหวางกระแสและแรงดันโดยใชก ฎแรงดันของเคอรช อฟท จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย