01 Bilangan BUlat
Bilangan Bulat Pemberian Rangsangan Buatlah beberapa kelompok di kelasmu yang terdiri dari 4-5 orang anak. Diskusikan bersama kelompokmu materi pembelajaran berikut. Science Menurut perkiraan cuaca, suhu dikota Bandung adalah 29������ C. Sedangkan duhu di kota London −8������ C. Selisih suhu dari kedua kota tersebut adalah … Pembahasan : Suhu Kota Bandung = 29������ C Suhu Kota London = −8������ C Selisih suhu = suhu tertinggi – suhu terendah = 29������ C - (−8������ C) = 29������ C + 8������ C = 37������ C Jadi, selisih suhu kedua kota tersebut adalah 37������ C Teknologi Sepanjang bulan Januari 2014, suhu di Eropa berubah secara drastis. Saat siang hari bisa mencapai 10° C (baca 10 derajat Celsius) di atas titik beku (0° C), sedangkan pada malam hari turun hingga 15° C di bawah titik beku. Gambar 1.1 Ungkapan 10 di atas titik beku, dan 15 di bawah titik beku, secara berurutan bisa ditulis sebagai bilangan bulat “+10” (baca positif sepuluh) dan “-15”(baca negative lima belas). Untuk bilangan “+10” cukup ditulis “10”.
Engineering Pembagian zona waktu dunia berdasarkan GMT (Greenwich Meredian Time) menjadi standar acuan waku dunia. Gambar 1.2 Pembagian zona waktu dunia berdasarkan GMT (Greenwich Meredian Time) menjadi standar acuan waku dunia. Dengan penetapan kota Greenwich sebagai titik acuan atau titik nol waktu dunia dapat kita lihat pada pengelompokan daerah dan urutannya. Berdasarkan GMT, perhatikan urutan bilangan yang ada pada gambar 1.2. ● Untuk menetapkan waktu Jakarta tambahkan waktu Greenwich sebesar 7 satuan, maka diperoleh waktu Jakarta adalah pukul 07.00 GMT. ● Posisi Kalimantan berada pada +8 terhadap waktu Greenwich sehingga diperoleh waktu di Kalimantan adalah pukul 08.00 GMT. Mathematics Pada hari minggu, ibu berbelanja ke pasar. Ia membeli 5 kg jeruk. 1 kg jeruk berisi 15 buah. Jeruk tersebut akan dimasukkan pada 3 kantong plastik dengan isi sama banyak. Banyak jeruk tiap kantong plastik adalah … Pembahasan : Banyak jeruk yang dibeli = 5 kg Banyak jeruk tiap 1 kg = 15 Banyak kantong plastik = 3 Kalimat matematikanya = (5x15) : 3 = 75 : 3 = 25
Identifikasi Masalah 1. Tentukan bilangan mana yang lebih besar antara -547578 dengan - 595326. 2. Tentukan bilangan mana yang lebih besar antara -547578 dengan - 5195326. 3. Andaikan simbol “b” mewakili suatu angka, tentukan angka b agar bilangan 63b452 lebih kecil dari 635452. Jelaskan. 4. Andaikan simbol “c” mewakili suatu angka, tentukan angka b agar bilangan c45279 lebih kecil dari 63545. Jelaskan. 5. Jelaskan bagaimana langkah-langkah yang kalian lakukan untuk membandingkan dua bilangan jika banyak angka penyusunnya berbeda. 6. Jelaskan bagaimana langkah-langkah yang kalian lakukan untuk membandingkan dua bilangan jika banyak angka penyusunnya sama. Pengumpulan Data Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan. Contoh 1.1 Tentukan manakah yang lebih besar (kuantitas) antara 8592 dengan 8631 Alternatif Penyelesaian Kedua bilangan sama-sama tersusun oleh empat angka. Nilai angka 6 (bernilai 600) pada bilangan 8631 lebih besar dari nilai angka 5 (bernilai 500) pada bilangan 8592. Oleh karena itu, 8631 lebih dari 8592.
Kedua bilangan tersebut mempunyai banyak angka penyusun yang sama, yaitu empat. Nilai angka terbesar (yaitu ribuan) sama-sama ditempati oleh angka “8” sehingga nilainya sama, yaitu 8.000. Nilai angka terbesar kedua (yaitu ratusan) pada bilangan 8592 ditempati oleh angka “5”, sehingga nilainya 500. Sedangkan pada bilangan 8631 ditempati oleh angka “6”, sehingga nilainya adalah 600. Dengan membandingan kedua bilangan tersebut (500 dan 600) kita dapat menentukan bahwa 600 lebih besar dari 500. Dengan kata lain, tanpa menghiraukan nilai angka yang lebih kecil pada kedua bilangan, kita dapat menyimpulkan bahwa 8631 lebih besar dari 8592. Setelah memahami cara membandingkan kedua bilangan pada kedua contoh tersebut, kita dapat membandingkan bilangan bulat yang lain, termasuk bilangan bulat negatif. Namun perlu kita ingat pada garis bilangan, bahwa semakin ke kiri nilai bilangan negatif, nilainya semakin kecil. Pengolahan Data Diskusikan jawaban dengan teman sekelompok kalian. Tentukan jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban yang berbeda dalam diskusi tersebut. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Bagi siswa atau kelompok yang tidak maju harap menanggapi presentasi dari temannya. Pembuktian Membandingkan bilangan bulat yang (relatif) besar atau memuat banyak angka Untuk membandingkan dua bilangan bulat yang mendekati nol (angka penyusun bilangan tersebut sedikit), kalian cukup melihat posisi kedua bilangan tersebut pada garis bilangan. Tentunya hal itu tidak sulit. Bilangan yang lebih besar selalu berada di kanan bilangan yang lebih kecil. Namun untuk membandingkan bilangan-bilangan bulat positif yang sangat besar, atau bilangan-bilangan bulat negatif yang sangat kecil, tentunya tidak efektif menggunakan garis bilangan.
Untuk membandingkan bilangan bulat positif yang sangat besar atau bilangan bulat negatif yang sangat kecil, kalian bisa dengan mengamati angka-angka penyusunnya. Bilangan tersusun atas angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Bilangan 7 “baca tujuh” tersusun dari angka 7 saja. Bilangan 12 “baca dua belas” tersusun dari angka 1 dan 2. Bilangan 123 “baca seratus dua puluh tiga” tersusun dari angka 1, 2, dan 3. Bilangan 6123987 “baca enam juta seratus dua puluh tiga ribu sembilan ratus delapan puluh tujuh” tersusun dari angka 1, 2, 3, 6, 7, 8, dan 9. Angka 6 pada posisi jutaan, bernilai 6 × 1.000.000 = 6.000.000. Angka 1 pada posisi ratusribuan, bernilai 1 × 100.000 = 100.000. Angka 2 pada posisi puluhribuan, bernilai 2 × 10.000 = 20.000. Angka 3 pada posisi ribuan, bernilai 3 × 1.000 = 3.000. Angka 9 pada posisi ratusan, bernilai 9 × 100 = 900. Angka 8 pada posisi puluhan, bernilai 8 × 10 = 80. Angka 7 pada posisi satuan, bernilai 7 × 1 = 1. Tabel 1.1 Nilai Angka pada Bilangan Nilai Angka Baca 1 Satu 10 Sepuluh 100 Seratus 1.000 Seribu 10.000 Sepuluh ribu 100.000 Seratus ribu 1.000.000 Satu juta 10.000.000 Sepuluh Juta 100.000.000 Seratus juta 1.000.000.000 Satu milyar 10.000.000.000 Sepuluh milyar 100.000.000.000 Seratus milyar 1.000.000.000.000 Satu triliun
Menarik Kesimpulan Bilangan bulat dibedakan menjadi tiga bagian, yaitu bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Pada garis bilangan, bilangan bulat positif terletak di kanan bilangan nol. Sedangkan bilangan bulat negatif terletak di kiri nol. Untuk lebih jelasnya, perhatikan garis bilangan berikut. Gambar 1.3 ”Istilah lain dari bilangan bulat positif adalah bilangan asli, sedangkan gabungan dari bilangan bulat positif dan nol disebut bilangan cacah.” Gambar 1.4
02 Operasi Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Pemberian Rangsangan Buatlah beberapa kelompok di kelasmu yang terdiri dari 4-5 orang anak. Diskusikan bersama kelompokmu materi pembelajaran berikut. Science Lumba-lumba pada kedalaman 3 meter dibawah permukaan laut. Satu saat ia meloncat ke atas permukaan air laut sejauh 1 meter. Tinggi loncatan lumba- lumba adalah …. Pembahasan : Tinggi akhir lumba-lumba dikurang dengan tinggi sebelumnya atau 1 meter di atas permukaan laut dikurangi dengan kedalaman 3 meter. Atau tinggi loncatan = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4 Teknologi Sebuah mobil bergerak mundur 3 satuan. Kemudian dia berbalik arah dan mundur 5 satuan. Berapakah hasil operasi matematika tersebut? Pembahasan : Mobil selalu berangkat dari 0 dan menghadap ke kanan. Kemudian mobil bergerak mundur 3 satuan sehingga terdapat tanda negative (-). Berikutnya mobil berbalik sehingga ada tanda pengurangan, dan bergerak mundur lagi 5 satuan (-5). Jadi, (-3) – (-5) = 2
Engineering Pada suatu hari Andi membeli peralatan sekolah di took alat tulis sejauh 2 KM dari rumahnya. Setelah itu ia pergi ke rumah temannya sejauh 5 KM dari took buku dan melewati rumahnya. Tahukah kamu bahwa jarak yang ditempuh oleh Andi dari rumahnya ke rumah temannya berbeda dengan jarak sebenarnya dari rumahnya ke rumah temannya? Gambar 2.1 Perhatikan pada gambar diatas : 5 + (-2) = 5 – 2 = 3 KM *5 sebagai jarak antara took alat tulis ke rumah teman Andi dan -2 adalah jarak dari rumah Andi ke took buku. Jarak yang ditempuh oleh Andi adalah 2 + 5 = 7 Mathematics Gambar 2.2 Nia mempunyai 6 pasang sepatu di rumahnya. Karena sedang senang hati, Nia memberikan 2 pasang sepatunya kepada sepupunya. Berapakah pasang sepatu yang dimiliki Nia sekarang? Pembahasan : Bentuk dari soal tersebut adalah 6 − 2 = ... Awalnya Nia memiliki 6 pasang sepatu, maka bergerak dari titik nol ke kanan 6 satuan. Karena dikurang 2 pasang sepatu, berarti panah berbalik arah ke kiri 2 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 4.
Gambar 2.3 Perhatikan bahwa 6 − 2 sama dengan penjumlahan 6 + (−2). Panah ke kiri menunjukkan arah pengurangan oleh bilangan positif atau penjumlahan dengan bilangan negatif (−). Jadi, banyak sepatu yang dimiliki Nia sekarang adalah 6 − 2 = 4 pasang. Identifikasi Masalah Berikan tanggapan terhadap pernyatan-pernyataan berikut dengan kata: selalu, tidak selalu, tidak pernah. Beri alasanmu. Keterangan: Selalu : Selalu terjadi sesuai pernyataan Tidak selalu : Terjadi sesuai pernyataan tapi tidak selalu, atau tidak berlaku untuk semua kondisi yang mungkin Tidak pernah : Tidak pernah terjadi sesuai pernyataan Tabel 2.1 No Pernyataan Tanggapan 1. Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a+ b juga bilangan bulat. 2. Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a - b juga bilangan bulat. 3. Jika c adalah bilangan genap, dan d adalah bilangan ganjil, maka c + d adalah bilangan genap. 4. Jika c adalah bilangan genap, dan d adalah bilangan ganjil, maka c - d adalah bilangan ganjil. 5. Jika c adalah bilangan ganjil, dan d adalah bilangan genap, maka c + d adalah genap.
No Pernyataan Tanggapan 6. Jika c adalah bilangan ganjil, dan d adalah bilangan genap, maka c - d adalah ganjil. 7. Jika c adalah bilangan ganjil, dan d adalah bilangan ganjil, maka c + d adalah genap 8. Jika c adalah bilangan ganjil, dan d adalah bilangan ganjil, maka c - d adalah genap. 9. Jika e adalah bilangan positif, dan f adalah bilangan positif, maka e - f adalah positif Pengumpulan Data Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan. Sifat-sifat lain dari Bilangan bulat 1. Penjumlahan bilangan genap ditambah bilangan genap Perhatikan tabel berikut. Isilah kolom Bilangan I dan Bilangan II dengan sebarang bilangan bulat genap. Amati hasil penjumlahan antar bilangan tersebut. Setelah mengamati, buatlah dugaan tentang hasil penjumlahan dua bilangan genap. Bilangan I Tabel 2.2 Bilangan I + Bilangan II 6 14 (genap) … Bilangan II … … 8 … … … … … … Genap … Genap
2. Penjumlahan bilangan genap ditambah bilangan ganjil Perhatikan tabel berikut. Isilah kolom Bilangan I dengan sebarang bilangan bulat genap dan kolom Bilangan II dengan sebarang bilangan bulat ganjil. Amati hasil penjumlahan antar bilangan tersebut. Bilangan I Tabel 2.3 Bilangan I + Bilangan II 6 13 (ganjil) … Bilangan II … … 7 … … … … … … Genap … Ganjil 3. Penjumlahan bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil Perhatikan tabel berikut. Isilah kolom Bilangan I dan Bilangan II dengan sebarang bilangan bulat ganjil. Amati hasil penjumlahan antar bilangan tersebut. Setelah mengamati, buatlah dugaan tentang hasil penjumlahan dua bilangan ganjil. Bilangan I Tabel 2.4 Bilangan I + Bilangan II 3 8 (genap) … Bilangan II … … 5 … … … … … … Ganjil … Ganjil
Pengolahan Data Diskusikan jawaban dengan teman sekelompok kalian. Tentukan jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban yang berbeda dalam diskusi tersebut. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Bagi siswa atau kelompok yang tidak maju harap menanggapi presentasi dari temannya. Pembuktian Apabila menggunakan garis bilangan, menjumlahkan dengan bilangan bulat positif maka banyaknya langkah ke kanan. Apabila menggunakan garis bilangan, menjumlahkan dengan bilangan negatif maka banyaknya langkah ke kiri. Positif + positif = positif Positif + negatif = negatif Negatif + negatif = positif Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat Ketika masih di bangku SD/MI kalian sudah mempelajari banyak tentang operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Mari kita mengingat kembali sejauh mana ingatan kalian tersebut. Soal: 1. 800 + 70 = ... 2. 70 + 800 = ... 3. 650 + 30 = ... 4. 30 + 650 = ... 5. 780 – 120 = ... 6. 120 – 780 = ... 7. 580 + (-20) = ... 8. 580 – 20 = ...
Tentu kalian dengan mudah menentukan hasil dari soal-soal tersebut. Pada soal nomor 1 dan 2, posisi bilangan saling berkebalikan. Namun hasil dari kedua penjumlahan tersebut adalah sama, yaitu .... Begitupun pada soal nomor 3 dan 4, hasilnya adalah sama, yaitu .... Hasil yang sama itu pun berlaku untuk penjumlahan bilangan bulat lainnya. (Silakan dicoba) Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif (berkebalikan). Sifat 1: Komutatif Secara umum, Jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku a+b=b+a Apakah sifat komutatif juga berlaku pada operasi pengurangan? Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif. Sifat 2: Asosiatif Selain sifat komutatif, pada penjumlahan bilangan bulat juga berlaku sifat asosiatif (pengelompokan). Secara umum, jika a, b, dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku a + (b + c) = (a + b) + c Menarik Kesimpulan Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif . Contohnya : -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8, ... 1. Bilangan Bulat Negatif Bilangan bulat negatif adalah bilang dimana ada simbol negatif yang terletak didepan angka dan terletak disebalah kiri. Contohnya : ...-6,-5,-4,-3,-2,-1 2. Nol. Nol yang ditulisan dengan 0 . Contohnya : 0 3. Bilangan Bulat Positif Bilangan bulat positif adalah bilangan yang terletak setelah nol sebalah kanan. Contohnya : 1,2,3,4,5,6,7,8, …
Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat Pemberian Rangsangan Buatlah beberapa kelompok di kelasmu yang terdiri dari 4-5 orang anak. Diskusikan bersama kelompokmu materi pembelajaran berikut. Science Gambar 2.4 Ketika memasuki musim dingin, suhu di negara Eropa sering kali turun drastis. Setiap 1 jam suhu turun sebesar 2°C. Jika pada pukul 18.00 suhu di sana adalah 10°C, tentukan suhunya ketika pukul 24.00 waktu setempat. PembTaehkansoalnog:i Dari pukul 18.00 hingga pukul 24.00 berarti sudah berlangsung 6 jam. Karena setiap 1 jam suhunya turun 2°C, maka turunnya suhu selama 6 jam tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian 6×(-2)=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-12 Selama 6 jam suhu di Eropa turun 12°C atau dapat ditulis -12°C. Jadi, suhu di Eropa ketika pukul 24.00 (waktu setempat) adalah 10 + (-12) = -2°C . Gambar 2.5
Teknologi Sarah bekerja di sebuah kantor yang berlantai 25 di atas tanah. Dari bawah ia naik menggunakan lift menuju lantai 3 untuk mengantarkan barang. Kemudian ia naik lagi 3 lantai untuk melakukan rapat. Selesai rapat dia lanjut naik 3 lantai ke atas. Setelah sampai pada lantai tersebut, di turun 5 lantai. Di lantai berapakah sarah saat ini? Pembehasan : Posisi awal Sarah di lantai 1, kemudian dia naik 3 lantai hingga berulang 3 kali. Dan turun 5 lantai. Permodelan matematikanya : (3 x 3) – 5 = 9 – 5 = 4 Engineering Gambar 2.6 Pernahkah kalian melihat resep dokter seperti berikut? Resep dokter tersebut bermakna bahwa pasien tersebut sebaiknya meminum obat 3 kali dalam 1 hari. Dengan kata lain 3 × sehari = 3 × 1 hari = 1 + 1 + 1. Mathematics Gambar 2.7
Suatu gedung tersusun atas 5 lantai. Jika tinggi satu lantai gedung adalah 6 meter, tentukan tinggi gedung tersebut (tanpa atap). Pembahasan : Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian 5 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 Jadi tinggi gedung tersebut adalah 30 meter. Gambar 2.8 Identifikasi Masalah 1. Pada pembagian dua bilangan bulat, hasil bagi antara bilangan negatif dan bilangan negatif apakah negatif atau positif? 2. Pada pembagian bilangan bulat, hasil bagi bilangan positif oleh bilangan negatif apakah negatif atau positif? 3. Pada perkalian bilangan bulat a × b, jika salah satu a atau b adalah 0, tentukan kemungkin hasil kalinya. 4. Diketahui a dan b adalah sebarang bilangan bulat tak nol. Tentukan kemungkinan hasil dari a ÷ b. 5. Diketahui a = 0, dan b adalah sebarang bilangan bulat. Tentukan kemungkinan hasil dari a ÷ b. 6. Diketahui b = 0, dan a adalah sebarang bilangan bulat. Tentukan kemungkinan hasil dari a ÷ b. 7. Apakah operasi pengurangan dan pembagian memenuhi sifat komutatif? Jelaskan. 8. Sifat tertutup pada bilangan bulat terhadap operasi perkalian artinya hasil perkalian dua bilangan bulat adalah bilangan bulat juga. Buatlah dugaan. a. Apakah operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat tertutup? Jelaskan. b. Apakah operasi pembagian pada bilangan bulat memenuhi sifat tertutup? Jelaskan.
Pengumpulan Data Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan. Lengkapi table berikut untuk mengetahui dugaan Gambar 2.9 Gambar 2.10
Lengkapi tabel berikut untuk mengecek sifat komutatif, asosiatif, dan distributif pada perkalian! Gambar 2.11 Gambar 2.12 Gambar 2.13
Pengolahan Data Diskusikan jawaban dengan teman sekelompok kalian. Tentukan jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban yang berbeda dalam diskusi tersebut. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Bagi siswa atau kelompok yang tidak maju harap menanggapi presentasi dari temannya. Pembuktian Pahamilah sifat komutatif, asosiatif, dan distributif pada perkalian sebagai berikut. Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku. 1. Komutatif a×b=b×a 2. Asosiatif (a × b) × c = a × ( b × c) 3. Distributif Perkalian terhadap penjumlahan a × (b + c) = a × b + a × c Perkalian terhadap pengurangan a × (b − c) = a × b − a × c Didalam pembagian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Berikut contoh kaitan antara operasi perkalian dengan konsep ketaqwaan terhadap Tuhan Yang Maha Esa. Gambar 2.14
Menarik Kesimpulan Faktor Bilangan Bulat Diketahui a dan b adalah bilangan bulat. a disebut faktor dari b jika ada n sedemikian sehingga b = a × n, dengan n adalah bilangan bulat. Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misal p adalah bilangan prima maka faktor dari p hanya 1 dan p. Bilangan prima antara 1 sampai 100. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Urutan Operasi Urutan operasi yang dimaksud adalah operasi penjumlahan (+), pengurangan (–), perkalian (×), dan pembagian (÷). Seandainya tidak ada aturan urutan operasi pada bilangan bulat. Misal ada suatu soal matematika sebagai berikut. Tentukan hasil dari 6 + 2 × 4 = ... Kemungkinan jawaban pertama 6 + 2 × 4 = 8 × 4 = 32 Kemungkinan jawaban kedua 6 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14 Jawaban manakah yang benar, dan jawaban manakah yang salah. Jika tidak dibuat aturan dalam urutan operasi matematika, maka dalam perhitungan matematika akan menghasilkan beberapa kemungkinan jawaban yang berbeda seperti di atas. Oleh karena itu, para matematikawan sepakat untuk membuat aturan tentang urutan operasi. Urutan Operasi 1. Hitung bentuk yang di dalam kurung. 2. Hitung bentuk eksponen (pangkat). 3. Perkalian dan pembagian secara berurutan dari kiri ke kanan. 4. Penjumlahan dan pengurangan secara berurutan dari kiri ke kanan
03 Bilangan Pecahan
Bilangan Pecahan Pemberian Rangsangan Buatlah beberapa kelompok di kelasmu yang terdiri dari 4-5 orang anak. Diskusikan bersama kelompokmu materi pembelajaran berikut. Science Gambar 3.1 Pada gambar 3.1 tinggi gelas dibagi menjadi 5 bagian sama. Bagian yang tersisa di dalam gelas adalah 3 dari 5 bagian. Sehingga banyak air adalah 2 3 gelas air. Teknologi Gambar 3.2
Indeks Massa Tubuh/IMT adalah pengukuran yang memperkirakan apakah seseorang dewasa memiliki tubuh yang ideal dari perbandingan tinggi dan berat badannya. Nilai IMT diberikan oleh rumus berikut. IMT = ������ ������2 Keterangan : b = berat badan (kg) t = tinggi badan (meter) Engineering Gambar 3.3 Pada gambar panjang kain dibagi menjadi 3 bagian sama. Panjang kain yang tersisa adalah 2 dari 3 bagian. Sehingga panjang kain adalah 2 potong kain. 3 Mathematics Pada gambar 3.4 kue dibagi menjadi 4 bagian yang sama. bagian yang tersisa adalah 3 bagian. Sehingga banyak kue adalah 3 dari 4 bagian kue atau 3 bagian 4 kue. Gambar 3.4
Identifikasi Masalah 1. Dengan menggunakan tanda “=”, “<”, “>” bandingkan pecahan berikut a. 2 … 3 a adalah bilangan bulat positif ������ ������ b. 4 … 5 b adalah bilangan bulat negative ������ ������ 2… 2 c. c dan d adalah bilangan bulat positif, dengan c >d 2. ������ ������ kalian untuk membandingkan bilangan pecahan ������������dengan dan d adalah bilangan bulat, c dan d ≠ 0 Tuliskan langkah ������������, apabila a, b, c, a. Menyatakan masing-masing pecahan dengan pecahan yang ekuivalen, sedemikian sehingga penyebutnya sama. b. Ketika penyebut sudah sama, cukup melihat pembilangnya saja. Pengumpulan Data Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan. Contoh 1.2 Tentukan bilangan yang lebih besar antara 3 dengan 2 4 3 Alternatif Penyelesaian Penyebut kedua bilangan, masing-masing adalah 4 dan 3. Kedua bilangan tersebut mempunyai KPK yaitu 12, sehingga pecahan 2 dan 3 secara berturut- 3 4 9 182. turut senilai dengan 12 dan Setelah kedua penyebut sama, dengan mudah kita dapat menentukan bahwa 9 lebih dari 182. Dengan kata 3 lebih besar 12 4 2 3 lain
Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan. Contoh 1.2 Bilangan manakah yang lebih besar antara antara 2013 dengan 22001156? 2014 Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan manakah yang lebih besar, kita dapat menggunakan cara yang sama dengan Contoh 1.7. Namun, cara tersebut agak kurang efektif karena penyebut kedua bilangan yang cukup besar. 1 < 3 karena 1 = 4 < 3 2 4 2 2 4 2 < 4 karena 2 = 10 < 12 = 3 3 5 3 15 15 4 3 < 5 karena 3 = 9 < 10 = 3 4 6 4 12 12 4 Dengan mengamati pola bilangan tersebut, kita mengarah pada kesimpulan 2015 lebih besar dari 2013 2016 2014 Pengolahan Data Diskusikan jawaban dengan teman sekelompok kalian. Tentukan jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban yang berbeda dalam diskusi tersebut. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Bagi siswa atau kelompok yang tidak maju harap menanggapi presentasi dari temannya.
Pembuktian Ilustrasi pecahan Gambar 3.5 Menarik Kesimpulan Jika a dan b adalah bilangan bulat, dengan b ≠ 0, maka bilangan pecahan a merepresentasikan a bagian dari b bagian ekuivalen. Bagian ekuivalen yang dimaksud adalah bagian yang sama sesuai dengan objek keseluruhannya, misal panjang, tinggi, luas, berat, volume, dan lainlain. Pada bilangan pecahan ������ ������ , a disebut pembilang, sedangkan b disebut penyebut.
Bilangan 3,3 dapat dinyatakan dalam pecahan lain yang relatif senilai, 46 yaitu 21. Pecahan-pecahan yang relatif senilai disebut pecahan ekuivalen. Perhatikan ilustrasi berikut. Bagian yang berwarna kuning jika dinyatakan dalam bentuk pecahan adalah sebagai berikut. Gambar 3.6 Misalkan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, dengan b dan d ≠ 0 ������ Pecahan ������ ekuivalen (senilai) dengan c/d jika a×d = c×b “Pola bilangan pecahan juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.” Untuk membandingkan dua bilangan pecahan, kita dapat menggunakan cara menyamakan penyebut kedua bilangan pecahan tersebut.
04 Operasi Bilangan Pecahan
Bilangan Pecahan Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan Pemberian Rangsangan Buatlah beberapa kelompok di kelasmu yang terdiri dari 4-5 orang anak. Diskusikan bersama kelompokmu materi pembelajaran berikut. Science Tinggi sebatang pohon 10,4 m. pohon tersebut dipangkas 34 m. setelah 5 3 beberapa bulan, pohon tersebut tumbuh dan bertambah tinggi 8 m. berapakah tinggi pohon saat ini? Pembahasan : 43 = 10,4 − 3 5 + 8 104 19 3 = 10 − 5 + 8 416 − 152 + 15 = 40 279 = 40 39 = 6 40
Teknologi Sebuah tanki sepeda motor Gigi berisi 2,5 liter bensin. Setelah digunakan, bensin berkurang sebanyak 3 liter. Jika Gigi mengisi kembali tanki motornya 4 1 dengan 1 2 liter bensin, maka volume bensin saat ini adalah … 31 = 2,5 − 4 + 1 2 533 =2−4+2 10 − 3 + 6 =4 13 =4 1 = 34 1 Jadi volume bensin pada tanki motor Gigi adalah = 3 4 Engineering Gambar 4.1
Nina membeli 1 kg buah jeruk. Tetapi mengingat teman-temannya akan 4 3 datang ke rumah, Ia membeli lagi 4 kg buah jeruk. Berapa kg berat jeruk keseluruhan? Penyelesaian Alternatif Pada contoh tersebut bisa kita buat bentuk matematikanya sebagai berikut. 41+ 3 = 1+ 3 = 4 = 1 Jadi, berat buah 4 4 4 jeruk yang dibeli oleh Nina adalah 1 kg. Mathematics Tentukan hasil dari 2 + 4 5 5 Pembahasan : Penjumlahan 2 + 4 dapat diilustrasikan menggunakan pita pecahan berikut. 5 5 Gambar 4.2 Perhatikan bahwa 1 objek utuh (keseluruhan) pada pita pecahan ini tersusun dari 5 bagian yang sama (seperlimaan). Jadi 2 + 4 = 5 + 1 = 6 = 1 1 5 5 5 5 5 5 1 ● 1 5 bermakna 1 objek utuh dan 1 bagian dari 5 bagian yang sama dari 1 objek utuh. ● 6 bermakna 6 bagian dari 2 objek utuh (keseluruhan) 5
Identifikasi Masalah 1. Ubahlah bilangan berikut menjadi bilangan pecahan paling sederhana a. 2,4 b. 75% 2. Urutkan bilangan berikut dari yang terkecil a. 3 , 70 %, 0,55, 500 % 5 b. 1 , 350%, 30%, 0,25 6 3. Tentukan hasil dari a. 5 1 + 1 2 − 2 1 4 36 b. 7,5 − 25% + 1 2 5 4. Jika bilangan pecahan ������ ������������������ ������ , dengan a, b, c, diketahui dua ������ ������ dan d adalah bilangan bulat, b dan d ≠ 0. a. Nyatakan hasil penjumlahan kedua bilangan pecahan tersebut. Jalaskan langkah kalian mendapatkan hasilnya b. Nyatakan hasil pengurangan kedua bilangan pecahan tersebut. Jelaskan langkah kalian mendapatkan hasilnya
Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan. Tentukan hasil dari 2 + 1 5 2 Penjumlahan 2 + 1 tidak dapat langsung dijumlahkan karena kedua pecahan 5 2 tersebut memiliki bagian keseluruhan yang berbeda. Untuk menjumlahkan kedua pecahan tersebut kita harus mengubah menjadi pecahan ekuivalen yang penyebutnya sama. Dalam hal ini 2+1 dapat ditulis 4 150, 4 25, 5 52 10 10 10 + karena ekuivalen dengan sedangkan ekuivalen (senilai) dengan 12. Perhatikan ilustrasi menggunakan pita pecahan berikut. Perhatikan bahwa 1 objek utuh (keseluruhan) pada pita pecahan ini tersusun dari 10 bagian yang sama (sepersepuluhan). Jadi, 2 + 1 = 4 + 5 = 9 5 2 10 10 10 9 10 bermakna 9 bagian yang sama dari 1 objek utuh (10 bagian yang sama).
Diskusikan jawaban dengan teman sekelompok kalian. Tentukan jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban yang berbeda dalam diskusi tersebut. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Bagi siswa atau kelompok yang tidak maju harap menanggapi presentasi dari temannya. Jika diketahui dua bilangan pecahan ������ dan ������ , dengan a, b, c, dan d adalah ������ ������ bilangan bulat, b dan d ≠ 0. Cara untuk mengoperasikan (menjumlahkan atau mengurangkan) kedua bilangan pecahan tersebut adalah sebagai berikut. a. Menyamakan penyebutnya b. Menjumlahkannya Macam-macam bilangan pecahan. Bilangan pecahan dapat dikelompokkan menjadi empat bilangan, yaitu sebagai berikut: 1. Pecahan Sejati. Pecahan yang pembilangnya kurang dari penyebut serta FPB dari pembilang dan penyebutnya Adalah 1 • Bilangan di atas yang termasuk bilangan pecahan sejati adalah 1,2 ������������������ 4 7 2 25 4 • Untuk bilangan bukan bilangan pecahan sejati karena FPB dari pembilang dan penyebutnya adalah 2. • Seperti yang sudah dibahas sebelumnya pecahan 2 adalah pecahan yang 4 1 ekuivalen atau senilai dengan 2
• Untuk bilangan pecahan dengan penyebut 100 disebut persen • Bilangan pecahan dengan penyebut 100 disebut permil Misal: 5 = 5% 100 5 (dibaca lima persen) 1000 = 5‰ (dibaca lima permil) 2. Pecahan tidak sejati Pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut. Bilangan di atas yang termasuk bilangan pecahan tidak sejati adalah 6 ������������������ 5 5 2 3. Bilangan campuran • Bilangan campuran yang dimaksud adalah campuran antara bilangan bulat dan bilangan pecahan. • Bilangan di atas yang termasuk bilangan campuran adalah 1 1 ������������������ 21 2 5 • Bilangan campuran bisa diubah menjadi bilangan pecahan dengan cara sebagai berikut. 121 = 1������2+1 = 2+1 = 3 , 2 1 = 2������5+1 = 10+1 = 11 55 55 2 22 Secara umum, jika ada bilangan campuran ca/b dengan a dan b adalah bilangan bulat positif dan c adalah bilangan bulat, maka bisa diubah menjadi pecahan c������������ = ������������������+������ ������ 4. Bilangan desimal • Sistem bilangan desimal bilangan tersusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • Bilangan yang termasuk bilangan desimal adalah 0,5; 1,25; dan 3. • Bilangan bulat juga termasuk ke dalam bilangan desimal. • Pada bilangan 1,25 Angka 1 bernilai 1 × 1 = 1 Angka 2 bernilai 2 × 1 = 2 10 10 1 5 Angka 5 bernilai 5 × 100 = 100
Bilangan Pecahan Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan Pemberian Rangsangan Buatlah beberapa kelompok di kelasmu yang terdiri dari 4-5 orang anak. Diskusikan bersama kelompokmu materi pembelajaran berikut. Science Seorang apoteker ingin mengambil 1 dari cairan Y yang ada di dalam botol. Jika 2 4 banyak cairan dalam botol adalah 5 bagian. Tentukan banyak cairan yang diambil oleh apoteker tersebut. Bentuk permasalahan tersebut dapat diubah menjadi 12bagian dari 4 cairan 5 1 ������ 4 Y dalam botol. Jika dituliskan dalam perkalian 5 2
Untuk memahami perkalian dua bilangan pecahan agak sulit jika menggunakan garis bilangan. Kita bisa menggunakan pita bilangan untuk mengilustrasikan perkalian dua bilangan pecahan tersebut. Perhatikan daerah yang dikenai arsiran biru dan arsiran kuning. Daerah yang terkena arsiran biru dan kuning ada 4 bagian dari 10 bagian yang sama atau 4 10 4 1 4 Jadi 5 ������ 2 = 10 Satria melakukan perjalanan jauh sejauh 16 km dengan motornya. Pada perjalanan pertama ia menempuh 35% dari jarak yang akan ditempuh, pada perjalanan kedua ia menempuh 3 nya. Jika ia ingin sampai ditujuan 8 pada akhir perjalanan ketiga, maka berapa jarak yag harus ditempuhnya pada perjalanan ketiga itu? Pembahasan : Perjalanan pertama = 35 % x 16 = 5,6 km Perjaanan kedua = 3 x 16 8 = 6 km Sisa perjalanan = 16 – 5,6 – 6 = 4,4 km
Untuk meracik suatu ramuan obat, seorang apoteker menuang 1 liter 2 cairan X setiap satu jam selama 5 jam. Berapa liter kandungan cairan X dalam ramuan obat tersebut? Permasalahan tersebut bisa ditulis 21× 5. Dengan bantuan garis bilangan di atas, didapatkan 1 × 5 = 2 12atau 2 2 5 Jadi, banyak kandungan cairan X dalam ramuan obat tersebut adalah 2 1 liter. 2 6 meter kayu papan akan dipotong-potong menjadi masing-masing 72. 7 Ada berapa bagian kayu yang dihasilkan?
Dari ilustrasi di atas dapat dilihat bahwa 67meter kayu papan dapat dipotong menjadi 3 potongan yang panjangnya masing-masing 72meter. Ditulis 6 2 6 7 ∶ 7 = 2 = 3 1. Apakah hasil bagi suatu bilangan selalu menghasilkan bilangan yang lebih kecil ? jelaskan! 2. Jika a/b, b/c, c/d,dan d/e adalah bilangan pecahan, tentukan hasil dari a. ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ b. ������ ∶ ������ ∶ ������ ∶ ������ ������ ������ ������ ������ Buatlah syarat jika diperlukan ������ ������������, dengan a, b, c, dan d ������ 3. Jika diketahui dua bilangan pecahan dan adalah bilangan bulat, b dan d ≠ 0. Tentukan hasil kai kedua bilangan pecahan tersebut. ������ ���ℎ���, dengan e, f, g, dan h ������ 4. Jika diketahui dua bilangan pecahan dan adalah bilangan bulat, e, f dan g ≠ 0. Bagaimana hasilnya ������ ∶ ������ ������ ℎ Silahkan kumpulkan jawaban kalian berdasarkan informasi yang sudah kalian amati pada tahap pemberian rangsangan
Perhatikan daerah yang dikenai arsiran biru dan arsiran kuning. Daerah yang terkena arsiran biru dan kuning ada 3 bagian dari 50 bagian yang sama atau 3 ������������������������ 3 ������ 1 = 3 50 10 50 5 Diskusikan jawaban dengan teman sekelompok kalian. Tentukan jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban yang berbeda dalam diskusi tersebut. Sajikan jawaban terbaik kalian di dalam kelas. Bagi siswa atau kelompok yang tidak maju harap menanggapi presentasi dari temannya Perkalian bilangan pecahan ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������ ������ ������
Uji Kompetensi 1. Perhatikan macam-macam es beserta suhunya berikut ES TEH ES KRIM ES BATU JUS 2⁰C -5⁰C -6⁰C 3⁰C Dari gambar diatas, Urutkan minuman yang paling dingin. 2. Suhu terendah yang terjadi di kota A adalah ─18ᵒC, sedangkan suhu tertinggi yang pernah terjadi adalah 15ᵒC. Adapun suhu terendah dan suhutertinggi yang pernah terjadi di kota B adalah ─27ᵒC dan 7ᵒC. Di antara kedua kota itu, kota manakan yang mempunyai interval suhu lebih besar? 3. Suhu udara di padang gurun pada pukul 12.00 siang adalah 44ᵒC. Setelah pukul 12.00 tersebut suhu udara mulai turun secara bertahap. Pada pukul 21.00 suhu udara menjadi 2ᵒC. a. Berapa penurunan rata-rata suhu setiap 3 jam? b. Berapa derajat suhu udara pada pukul 18.00? 4. Tahu bakso mempunyai suhu mula-mula 18ᵒC. Tahu bakso tersebut dipanaskan hingga suhunya naik sebesar 73ᵒC, lalu dihidangkan. Selama dihidangkan, suhu makanan tersebut turun 3ᵒC setiap menitnya. Berapa suhu tahu bakso setelah 12 menit semenjak dihidangkan pertama kali? 5. Tentukan bentuk sederhana dari pecahan-pecahan berikut. a. 18/48 b. 180% c. 625% d. 1,25 6. Di kelas VIIA, sebanyak 30% siswa ikut ekstrakulikuler renang, 9 bagian 20 1 siswa ikut ekstrakurikuler sains, dan 4 bagian siswa ikut ekstrakurikuler musik. Ekstrakurikuler apa yang paling banyak diikuti siswa 7. Ari dan Dewi berjalan dari tempat A ke tempat B yang berjarak 100 m. Panjang langkah Ari 60 cm dan panjang langkah Dewi 50 cm. Mereka mulai melangkah bersamaan dengan kecepatan sama. Berapa meter sisa jarak yang harus mereka tempuh saat langkah mereka bertemu di satu tempat untuk terakhir kalinya. -SELAMAT MENGERJEKAN-
Rangkuman 1. Bilangan bulat dibedakan menjadi tiga bagian, yaitu bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. 2. Apabila menggunakan garis bilangan, menjumlahkan dengan bilangan bulat positif maka banyaknya langkah ke kanan. Apabila menggunakan garis bilangan, menjumlahkan dengan bilangan negatif maka banyaknya langkah ke kiri. Positif + positif = positif Positif + negatif = negatif Negatif + negatif = positif 3. Sifat-sifat dalam operasi bilangan bulat - Sifat komutatif Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a. - Sifat asosiatif Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c). 4. Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku. - Komutatif a×b=b×a - Asosiatif (a × b) × c = a × ( b × c) - Distributif Perkalian terhadap penjumlahan a × (b + c) = a × b + a × c Perkalian terhadap pengurangan a × (b − c) = a × b − a × c Didalam pembagian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif 5. Bilangan pecahan terdiri dari macam-macam bilangan pecahan adalah pecahan biasa, pecahan campuran, pecahan desimal, dan pecahan senilai.
Refleksi Diri Dalam refleksi diri ini, kalian diharapkan dapat memonitir diri kalian sendiri tentang pemahaman kalian dalam mempelajari materi kesebangunan. Jawablah pertanyaan-pertanyaan dengan cara memberikan tanda centang (√) pada kolom jawaban dengan jujur dan bertanggung jawab. Bila ada jawaban “tidak”, maka segera lakukan review pembelajaran, terutama pada bagian yang masih “tidak”. Jangan putus asa untuk menggulang lagi! Bila semua jawaban “ya” maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran selanjutnya No Pertanyaan Ya Tidak 1 Apakah saya dapat memahami konsep bilangan? 2 Apakah saya dapat menerapkan operasi bilangan pada kehidupan sehari-hari? 3 Apakah saya mampu dapat membedakan operasi bilangan bulat? 4 Apakah saya dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan konsep bilangan? 5. Apakah saya mampu membuat model matematika dari soal berbentuk uraian dan soal cerita? Bila ada jawaban “tidak”, maka segera lakukan review pembelajaran, terutama pada bagian yang masih “tidak”. Jangan putus asa untuk menggulang lagi! Bila semua jawaban “ya” maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran selanjutnya.
Daftar Pustaka As'ari, Abdur Rahman.2017.Buku Guru Matematika kelas VII. Jakarta:Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Gunawan, Pria. 2019. Model Pembelajaran Steam. Makasar Profil Penulis Nama : Zulfa Nabila Nama : Nevita Falasyifa Nim : 2620033 Nim : 2620050 Prodi : Tadris Matematika Prodi : Tadris Matematika Fakultas : Tarbiyah dan Ilmu Fakultas : Tarbiyah dan Ilmu Keguruan Keguruan Alamat : Kab. Pekalongan Alamat : Kab. Pekalongan Nama : Nur Kumala Sari Nama : Siti Khotimah Widiyanti Nim : 2620093 Nim : 2620105 Prodi : Tadris Matematika Prodi : Tadris Matematika Fakultas : Tarbiyah dan Ilmu Fakultas : Tarbiyah dan Ilmu Keguruan Keguruan Alamat :Sumatra Selatan Alamat : kab. Batang
UIN KH Abdurrahman Wahid Bahan Ajar Peluang Bernuansa STEM Untuk SMP/MTs Sederajat Kelas VIII / Semester Genap 139
Kata Pengantar Assalamu’alaikum Wr.Wb. Puji syukur senantiasa penulis haturkan kepada Allah SWT atas limpahan rahmat, karunia, dan kemudahan yang telah diberikan oleh- Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Bahan Ajar Matematika dengan Model Problem Based Learning Bernuansa STEM (Science, Technology, Engineering, and Mathematics) pada Materi Peluang dengan baik. Bahan ajar ini digunakan sebagai pegangan peserta didik dan pendidik Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah yang bertujuan untuk meningkatkan kemampuan literasi matematis siswa. Bahan ajar ini merupakan produk dari mata kuliah Telaah Kurikulum 1 yang penulis kembangkan sesuai dengan hasil penelitian penulis sebelumnya. Bahan ajar ini disusun sesuai kompetensi inti dan kompetensi dasar 3.11 dan 4.11 Kelas VIII Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah pada kurikulum 2013 yang disesuaikan dengan aspek PBL-STEM untuk memberikan pengalaman bermakna kepada peserta didik melalui berbagai aktivitas pembelajaran dan materi yang disediakan. Aktivitas tersebut mengharuskan siswa untuk aktif dalam pembelajaran yang akan melatih kemampuan literasi matematis siswa. Konsep yang disajikan pada bahan ajar ini tersusun secara sistematis yang dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari yang akan mempermudah siswa dalam memahami materi yang diberikan. Pengembangan bahan ajar ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Oleh karena itu, penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan bahan ajar ini. Penulis berharap, bahan ajar ini bisa bermanfaat bagi dunia pendidikan khusunya dalam upaya meningkatkan kemampuan literasi matematis siswa. Terima Kasih Wassalamu’alaikum Wr.Wb. Tim Penulis 140
Kompetensi Dasar 3.11 Menjelaskan peluang empirik dan teoretik suatu kejadian dari suatu percobaan 4.11 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang empirik dan teoretik suatu kejadian dari suatu percobaan Indikator Pencapaian Kompetensi 4.11.1 Menentukan peluang empirik dari suatu percobaan 4.11.2 Menentukan ruang sampel dari suatu eksperimen 4.11.3 Menentukan titik sampel yang memenuhi suatu kejadian 4.11.4 Menentukan peluang teoretik dari suatu eksperimen Tujuan Pembelajaran Melalui model pembelajaran problem based learning (PBL) dengan pendekatan STEM, peserta didik diharapkan dapat : 1.Menentukan peluang empirik dan peluang teoretik dari suatu percobaan 2.Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan ruang sampel dan titik sampel yang memenuhi suatu kejadian. 141
