Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Estadística matemática con aplicaciones Sexta edición John E. Freund Arizona State University Irwin Miller Marylees Miller TR AD UCCIÓ N : In g . R osendo José Sánchez P alm a Ingeniería Química, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Maestría en Ciencias, Universidad de Wisconsin REVISIÓN TÉ C N IC A : C arlos A rm a n d o M a rtín e z Reyes Lic. en Física y Matemáticas, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México MÉXICO • ARGENTINA • BRASIL • COLOMBIA • COSTA RICA • CHILE ESPAÑA • GUATEMALA • PERÚ • PUERTO RICO • VENEZUELA

/ Datos de catalogación bibliográfica M iller, lrw in Estadística matemática con aplicaciones, 6a. ed. PEARSON EDUCACIÓN. México. 2000 ISBN: 970-17-0389-8 Páginas: 640 Área: Universitarios Formato: 18.5 x 23.5 cm Versión en español de la obra titulada John E. Freund's mathematical statisiics. Sixth Edition, de lrwin Miller y Marylees Miller, publicada originalmente en inglés por Prentice Hall Inc., U pper Saddle River. New Jersey. U.S.A. Esta edición en español es la única autorizada. Original English language tille hy Prentice Hall Inc. Copyright © 1999 AII rights reserved ISBN 0-13-123613-X Edición en español: Editor: Guillermo Trujano Mendoza c-mail: [email protected] Supervisora de traducción: Catalina Pelayo Rojas Supervisor de producción: Alejandro A. Gómez Ruiz Edición en inglés: Acquisition Editor: Ann Heath Editorial Assistant/Supplement E d ito r Mindy McClard Editorial Director: Tim Bozik Editor-in-Chief: Jerome Grant Director of Marketing: John Tweeddale Marketing Manager: Melody Marcus Art Director/Cover Designer: Jayne Conte SEXTA EDICIÓ N , 2000 D.R. © 2000 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Calle 4 Núm. 25-2do. piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Juárez. Edo. de México Cám ara Nacional de la Industria E ditorial Mexicana Reg. Núm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstam o, alquiler o cualquier o tra forma de cesión de uso de este ejem plar requerirá tam bién la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-17-0389-8 Impreso en México. Printed in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 03 02 01 00 www.LibrosEnPdf.org

Contenido PREFACIO A ltí 1 1 IN TR O D U aÓ M 2S 1.1 In tro d u c c ió n 1 1.2 M étodos combinatorios 2 tii 1.3 Coeficientes binomiales 12 www.LibrosEnPdf.org 2 PROBABILIDAD 2.1 Introducción 25 2.2 Espacios muéstrales 26 2 J ____Eventos 28 2 .4 La probabilidad de un evento 36 2.5 Algunas reglas de probabilidad 42 2.6 Probabilidad condicional 52 2.7 Eventos independientes 58 2.8 Teorem a de Bayes 62 3 DISTRIBUaONES DE 3.1 In tro ducció n 73 Z.2 Distribuciones de probabilidades 77 3.3 Variables aleatorias continuas 89 3.4 Funciones de densidad de probabilidades 90 3.5 Distribuciones multivariadas 102 3.6 Distribuciones marginales 115 3.7 Distribuciones condicionales 119

Contenido 4 ESPERANZA M ATEM ÁTICA 4.1 Introducción 129 4.2 El va lo r esperado d e una variable aleatoria 130 4.3 M om entos 140 4.4 Teorem a de Chebyshev 144 4.5 Funciones qeneratrices de m om entos 146 4.6 M omentos producto 153 4 7 M o m e nto s de rom h ín a rio n e s lineales de varíahles aleatorias 158 4 .8 Esperanza condicional 161 9IBUCIO NES D E P R O B A B ILID A D ESPECIALES 167 5.1 In tro ducción 167 5 2 1a d istrihurión uniform e dísrrpta 167 5 3 l a distrihurión de RernnuHi 16R 5 4 l a distrihurión hinomiai 169 5.5 Las distribuciones binom ial neqatrva y geométrica 180 5.6 La distribución hipergeom étrica 182 5 .7 La distribución de Poisson 186 5 R la distrihurión multinomial 198 5.9 La distribución hipergeom étrica m ultivariada 20 0 6 D EN SID A D ES D i P R O B A B ILID A D ESPECIALES 203 6 1 Introducción 203 ó 7 1a distribución uniform e 203 6.3 Las distribuciones a a m m a . exponencial y i¡ cuadrada 204 6 4 1a distribución beta 21 0 6 5 l a distrihurión normal 216 6.6 La aproxim ación norm al a la distribución binomial 222 6.7 La distribución norm al bivariada 22 9 7 F U N C IO N E S D E V A R IA B L E S A L E A T O R IA S _________________________________2 3 6 7.1 Introducción 23 6 7.2 Té cn ica de la función d e distribución 23 7 7.3 Técnica de transformación: una variable 242 7.4 Técnica de transformación: varias variables 249 7.5 Técnica de función generatriz de m om entos 261 www.LibrosEnPdf.org

8 DISTRIBUCIONES DE M UESTREO Contenido ix 266 8.1 Introducción 266 R ? 1a distribución d e la m pdia 268 122 8.3 La distribución d e la m edia: poblaciones finitas 8.4 La distribución ji cuadrada 27 9 360 8,5 la distribución f 783 8 6 La distribución F 286 8 .7 Estadísticas de orden 293 9 T E O R ÍA D E D E C IS IO N E S _________________________________ 9.1 Introducción 300 9.2 Teoría de juegos 302 9.3 juegos estadísticos 312 9.4 Criterios de decisión 315 9.5 El criterio m inim ax 316 9 .6 El criterio d e Bayes 31 7 10 ESTIM A C IÓ N : TEORÍA 10.1 Introducción 322 345 10.2 Estimadores insesgados 323 10.3 Eficiencia 326 10.4 Consistencia 335 10.5 Suficiencia 337 10.6 Robustez 341 10.7 El m é to d o d e m om e n to s 343 10.8 El m é to d o d e m áxim a verosim ilitud 10.9 Estimación bayesiana 353 11 ESTIM A C IÓ N : APLICACIONES 11.1 Introducción 360 11.2 La estim ación d e medias 361 11.3 La estim ación d e diferencias entre medias 365 11.4 La estimación de proporciones 372 11.5 La estimación de diferencias entre proporciones 374 11.6 La estimación de varianzas 378 11.7 La estim ación d e la razón o cociente entre dos varianzas 379 11.8 Uso d e co m putado ras, 381 www.LibrosEnPdf.org

x Contenido 12 PRUEBA D i HIPÓTESIS: TEORÍA 12.1 Introducción 384 12.2 Prueba de una hipótesis estadística 386 12.3 Pérdidas y riesgos 388 12.4 El lem a de Neym an-Pearson 389 12.5 La función de potencia de una prueba 397 12.6 Pruebas de razón de verosimilitud 400 1 3 P R U B B A D B H IP Ó TE S IS : A P L IC A C IO N E S __________________________________ 4 1 Q 13.1 Introducción 410 13.2 Pruebas concernientes a medias 415 13.3 Pruebas concernientes a diferencias entremedias 418 13.4 Pruebas concernientes a varianzas 426 13.5 Pruebas concernientes a proporciones 430 13.6 Pruebas concernientes a diferencias entre * proporciones 432 13.7 El análisis de una tabla r X c 43 8 13.8 Bondad del ajuste 441 13.9 Uso de computadoras 446 14.1 Introducción 449 484 14.2 Regresión lineal 45 3 14.3 El m é to d o d e los m ín im o s cuadrados 45 5 14.4 Análisis de regresión norm al 464 14.5 Análisis de correlación norm al 473 14.6 Regresión lineal m últiple 48 0 14.7 Regresión lineal m últiple (no tació n m atricial) 1S A N Á L IS IS D E V A R 1A N Z A ___________________________________________________4 9 6 15.1 Introducción 496 15.2 Análisis d e la varianza en un solo sentido 49 6 15.3 Diseño de experimentos 504 15.4 Análisis d e la varianza en dos sentidos sin interacción 506 1V S Análisis rip la varianza en dos sentidos con interacción 514 15.6 Com paraciones múltiples 522 15.7 Algunas consideraciones adicionales 525 www.LibrosEnPdf.org

Contenido ri 16 PRUEBAS N O PARAM ÉTRICAS 527 S60 16.1 Introducción 527 16.2 La prue ba del signo 529 16.3 La prue ba de rangos con signo 531 16.4 Pruebas d e sum a de rangos: la prueba U 53 9 16.5 Pruebas d e sum a de rangos: la prueba H 543 16.6 Pruebas basadas en corridas 548 16.7 El coeficiente de correlación d e ranqos 554 APÉNDICF A •W M i t Y PRODUCTOS A.1 Reglas para sumas v productos 560 S64 A .2 Sum as especiales 561 A P ÉN D IC E B : D ISTR IB U C IO N ES DE P R O B A B ILID A D ESPECIALES APÉND ICE r D ENSIDADES D F P R O R A R IIID A D ESPECIAIES TABLAS ESTADÍSTICAS 569 RESPUESTAS A EJERCIOOS CO N N U M ER A CIÓ N IM PAR 595 ÍN D IC E 614 www.LibrosEnPdf.org

Prefacio La sexta edición de Estadística m atem ática con aplicaciones, al igual que las prim eras cinco ediciones, está diseñada p ara un curso, con base en el cálculo de introducción a las m atem á­ ticas de la estadística de dos sem estres o tres trim estres. E sta edición realza los cam bios que se hicieron en la quinta edición para reflejar los cam bios que, en años recientes, han tenido lu g ar en el p e n sam ien to estad ístico y en la en señ an za d e la estadística. Se ha puesto m ás énfasis en el uso de las com putadoras al efectuar cálculos estadísticos. Se han añadido varios ejercicios nuevos, m uchos de los cuales requieren el uso de una com putado­ ra. A d em ás, se ha a ñ ad id o n u ev o m aterial al cap ítu lo 15, e n tre el q u e se en c u en tra el m od elo de análisis de la varianza en dos sentidos con interacción y una revisión de las com paraciones m últiples. T am bién, se han añadido los apéndices, que resum en las propiedades de las funcio­ nes de distribución y densidad de probabilidad especiales que aparecen en el texto. A gradecem os tantos com entarios constructivos que recibim os del D r. John E. F reund y de los siguientes revisores: D . S. Gilí, C alifornia S tate Polytechnic U niversity, Pom ona: Jo- seph W alker, G eorgia State U niversity; Susan H erring. Sonom a S tate U niversity; y G eetha R am achandran, C alifornia State U niversity. Sacram ento. T am bién querem os hacer un reco­ nocim iento a las valiosas contribuciones del difunto D r. R onald E. W alpole a la tercera y cu ar­ ta ediciones. A sim ism o deseam os expresar nuestro aprecio a R obert E. K rieger Publishing C om pany p o r la a u to riz a c ió n p a ra b a s a r la ta b la II e n la o b r a P o is s o n ’s E x p o n e n tia l B in o m ia l L im it d e E . C. M olina; a P rentice H all, Inc. por la autorización p ara reproducir p arte de la tabla IV de A pplied M ultivariate Statistical A nalysis de R. A. Johnson y D. W . W ichern; al profesor E. S. P earso n y a los fid u ciario s de B io m etrika p o r la rep ro d u cció n del m aterial en las tab las V y V I; a los ed ito res de Biornetrics p o r la autorización para rep ro d u cir el m aterial de “C ritical V alúes for D uncan's N ew M últiple R ange T est” de H. L. H arter p ara la tabla IX; a A m erican C yanam id C om pany p o r la reproducción del m aterial de S o m e R apid A p p ro xim a te Statistical Procedures de F. W ilcoxon y R . A . W ilcox p ara la tab la X ; a D. A u b le p o r la fundam entación xüi www.LibrosEnPdf.org

xiv Prefacio de la tabla XI en su “ E x ten d ed T ables for the M ann-W hitney Statistics,” Bulletin o f the Insti- tute o f E ducational Research at Indiana U niversity; al ed ito r de A nnals o f M athernatical Statis­ tics p o r la reproducción del m aterial en la tabla X II: y a M IN ITA B® p or la reproducción de las salidas im presas de com putadora que se m uestran en el texto. A los autores tam bién les gustaría expresar su aprecio al personal de Prentice H all, en es­ pecial a E laine W etterau, p o r su aten ta cooperación para la producción de este libro. Irw in M iller M arylees M iller H am pton, N ew H am pshire www.LibrosEnPdf.org

CAPÍTULO 1 Introducción 1.1 IN TR O D U C C IÓ N 1.2 M ÉTO D O S CO M BIN ATO R IO S 1.3 COEFICIENTES BINOMIALES 1.1 IN T R O D U C C IÓ N E n años recientes, el desarrollo de la estadística se ha hecho sentir en casi todas las fa­ ses de la actividad hum ana. La estadística ya no consiste m eram ente en la recopilación de datos y su presentación en gráficas y tablas; ahora se considera que abarca la cien­ cia de basar las inferencias sobre datos observados y la totalidad del problem a de to ­ m ar decisiones en presencia de la incertidum bre. E sto cubre un terren o considerable puesto que nos encontram os con incertidum bres cuando lanzamos una m oneda, cuan­ do un dietista experim enta con aditivos para los alim entos, cuando un actuario d e te r­ m ina las prim as para el seguro de vida, cuando un ingeniero de control de calidad acepta o rechaza productos m anufacturados, cuando un profesor com para las habilida­ des de los estudiantes, cuando un econom ista pronostica tendencias, cuando un perió ­ dico predice una elección, y así sucesivam ente. Sería presuntuoso decir que la estadística, en su estado actual de desarrollo, p ue­ de m anejar todas las situaciones que im plican incertidum bres, pero constantem ente se desarrollan nuevas técnicas y la estadística m oderna puede, al m enos, proporcionar el m arco de referencia para exam inar estas situaciones en form a lógica y sistem ática. En otras palabras, la estadística proporciona los m odelos necesarios p ara estudiar las si­ tuaciones que im plican incertidum bres. en la mism a form a que el cálculo provee los m odelos para describir, digam os, los conceptos de la física new toniana. Los orígenes de las m atem áticas de la estadística se pueden encontrar en los es­ tudios sobre probabilidad de m ediados del siglo xtx, m otivados por el interés en los juegos de azar. La teoría así desarrollada para “cara o cruz\" o “rojo o negro” pronto encontró aplicaciones en situaciones donde los resultados eran “niño o niña”, “vida o m u erte ” o “ a p ro b a r o rep ro b a r\", y los estudiosos em pezaron a aplicar la teoría d e la probabilidad a los problem as actuariales y a algunos aspectos de las ciencias sociales. M ás tarde, L. B oltzm ann, J. G ibbs y J. M axwell introdujeron la probabilidad y la esta­ dística a la física, y en este siglo se han encontrado aplicaciones en todas las fases del quehacer hum ano que en alguna form a implican un elem ento de incertidum bre o ries­ 1 www.LibrosEnPdf.org

2 Capítulo 1: Introducción go. L os n o m b res relacio nad os de m an e ra m ás p ro m in e n te con e! d e sarro llo de la e s ta ­ dística m atem ática en la prim era m itad de este siglo son los de R. A. Fisher. J. N eym an. E. S. Pearson y A. W ald. M ás recientem ente, el trabajo de R. Schlaifer, L. J. Savage y otros más han dado ím petu a las teorías estadísticas basadas, esencialm ente, en m éto­ dos que se rem ontan al clérigo inglés Thom as Bayes del siglo xix. El enfoque a la estadística que se presenta en este libro es esencialm ente el en ­ foque clásico, con m étodos de inferencia am pliam ente basados en el trabajo de J. N ey­ m an y E. S. P earson. Sin em bargo, en el capítulo 9 se introduce el enfoque m ás general de la teoría d e decisiones, y en el capítulo 10 se p resen tan algunos m étod os Bayesia- nos. Este m aterial se puede om itir sin que resulte una pérdida de continuidad. 1.2 M É TO D O S C O M B IN A TO R IO S En m uchos problem as de estadística debem os enum erar todas las alternativas posibles en una situación dada o al m enos determ inar cuántas posibilidades diferentes existen. En relación con esto último, a m enudo usam os el siguiente teorem a, algunas veces co­ nocido com o el principio básico de conteo, la regla de conteo para eventos com pues­ tos, o la regla de m ultiplicación de opciones. t e o r e m a 1.1 Si u n a o p e ra c ió n co n sta de d o s pasos, de los cuales el p rim e ro se puede llevar a cabo en n { m aneras y para cada una de éstas el segundo se puede h a c er e n n 2 m an e ras, e n to n c e s la o p eració n co m p leta se p u e d e e fe c tu a r e n m, • n 2 m aneras. A quí “operación\" representa cualquier clase de procedim iento, proceso o m étodo de selección. P ara ju stificar e ste teo re m a , d e fin am o s al p a r o rd e n a d o (*,■, y ¡) com o el re su lta ­ do que surge cu an d o el prim er paso resu lta en la posibilidad y el segundo paso en la posibilidad yr E ntonces, el conjunto de todos los resultados posibles está form ado por los siguientes n, - n 2 pares: (*i.yi). ....... (*2.* i). (*2. ^z) ta .y j y i) . (■'•«i* .^2 )» • • • » y«¡I EJEM PLO 1.1 Supongam os que alguien quiere ir de vacaciones en autobús, en tren o en avión por una sem ana a alguno de los cinco estados centrales del N oreste. Encuentre el núm ero de m aneras diferentes posibles de hacerlo. www.LibrosEnPdf.org

Sección 1.2: M étodos com binatorios 3 Solución El estado en particular se puede escoger de n, = 5 m aneras y los m edios de transporte se pueden escoger de n 2 — 3 m aneras. Por consiguiente, el viaje se p u e d e e fe c tu a r de 5 • 3 = 15 posibles m an eras. Si se d esea una lista d e to d as las posibilidades, un diagram a de árbol com o el de la figura 1.1 proporciona un en ­ foque sistem ático. Este diagram a m uestra que hay n¡ = 5 ram as (posibilidades) para el núm ero de estados, y para cada una de estas ram as hay n2 = 3 ramas (po­ sibilidades) p a ra los diferentes m edios de tran sp o rte. Es evidente que las 15 posi­ bles m a n e ra s de to m a r las vacacio nes e stán re p re se n ta d a s p o r los 15 tra y e cto s distintos a lo largo de las ram as del árbol. ▲ Figura 1.1 Diagrama de árbol. www.LibrosEnPdf.org

4 Capítulo 1: Introducción EJEMPLO 1.2 ¿Cuántos resultados posibles existen cuando tiram os un par de dados, uno rojo y uno verde? Solución El dado rojo puede caer en una de seis m aneras, y para cada una de éstas el da­ do verde tam bién puede caer de seis m aneras. Por consiguiente el par de dados puede caer de 6 •6 = 36 maneras. ▲ El teo re m a 1.1 se p u e d e am p liar p a ra a b a rc a r situaciones d o n d e una o p eración consta de dos o m ás pasos. En este caso t e o r e m a 12 Si u n a o p eració n co n sta de k pasos, de los cuales el p rim e ro se puede llevar a cabo de n, m aneras, para cada una de éstas el segundo paso se pue­ de efectuar de n 2 m aneras, para cada uno de los prim eros dos el tercer paso se puede hacer en m aneras, y así sucesivam ente, entonces la operación com pleta se puede realizar en /i, • n 2 • ... • nk maneras. EJEMPLO 1.3 Un inspector de control de calidad desea seleccionar una parte para la inspección de cada uno de cuatro recipientes diferentes que contienen 4, 3. 5 y 4 partes, respectiva­ m ente. ¿D e cuántas m aneras diferentes se pueden escoger las cuatro partes? Solución El núm ero total de m aneras es 4 •3 • 5 •4 = 240. A EJEMPLO 1.4 ¿D e cuántas m aneras diferentes se puede contestar todas las preguntas de una prueba de falso o verdadero que consta de 20 preguntas? Solución En total hay 2 - 2 - 2 - 2 - ... - 2 - 2 = 220 = 1,048,576 m aneras diferentes com o se pueden responder todas las preguntas; sólo una de éstas corresponde al caso donde todas las respuestas son correctas y sólo una co­ rresponde al caso donde todas las respuestas son incorrectas. A Frecuentem ente, estam os interesados en situaciones donde los resultados son las m aneras diferentes en las que un grupo de objetos se pueden ordenar o arreglar. Por www.LibrosEnPdf.org

Sección 1.2: M étodos com binatorios 5 ejem plo, quizá deseam os saber de cuántas m aneras diferentes los 24 m iem bros de un club pueden elegir a un presidente, un vicepresidente, un tesorero y un secretario, o podríam os desear saber de cuántas m aneras diferentes seis personas se pueden sentar a la mesa. Los diferentes arreglos com o éstos se conocen com o perm utaciones. EJEM PLO 1.5 ¿C uántas perm utaciones hay de las letras a, b y c? Solución Los arreglos posibles son abe, acb, bac, bca. cab y cba, así que el núm ero de p er­ m u tacio nes d ife ren te s es seis. M ed ian te el teo re m a 1.2 p o d ría m o s h a b e r llegado a esta respuesta sin enum erar realm ente las diferentes perm utaciones. Puesto que hay tres opciones para seleccionar una letra para la prim era posición, después dos para la segunda posición, dejando sólo una letra para la tercera posición, el nú ­ m ero total de perm utaciones es 3• 2 • 1 = 6 . ▲ Al generalizar el argum ento que se utilizó en el ejem plo anterior, encontram os q u e n o b jeto s d ife ren te s se p u e d e n a rre g la r d e n{n — l)(/i — 2 )* ... •3 * 2 * 1 m an eras diferentes. Para sim plificar nuestra notación, representam os este producto con el sím ­ b o lo n \\, el c u a l se lee “ fac to ria l n ”. P o r lo ta n to , 1! = 1, 2! = 2 * 1 = 2, 3! = 3 • 2 • 1 = 6 . 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24. 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 y asísucesiv am en ­ te. T a m b ié n , p o r definición 0! = 1. te o re m a 13 El núm ero de perm utaciones de n objetos diferentes e sn !. EJEMPLO 1.6 ¿D e cuántas m aneras diferentes se pueden presentar al público los cinco jugadores ti­ tulares de un equipo de baloncesto? Solución H ay 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 m an eras en las q u e se p u e d e n p rese n tar. ▲ EJEM PLO 1.7 El núm ero de perm utaciones de las cuatro letras a. b, c y d es 24, p ero ¿cuál es el n ú ­ m ero de perm utaciones si sólo tom am os dos de las cu atro letras o, com o usualm ente se expresa, si tom am os las cuatro letras dos a la vez? Solución Tenem os dos posiciones que llenar, con cuatro opciones para la prim era y des­ p u és tre s o p cio n es p ara la segunda. P or consig uien te, m ed ian te el teo re m a 1.1, el núm ero de perm utaciones es 4 • 3 = 12. a Al generalizar el argum ento que usam os en el ejem plo anterior, encontram os que n objetos diferentes tom ados r a la vez, para r > 0 , se pueden arreglar de www.LibrosEnPdf.org

6 Capítulo 1: Introducción /i(« — l)* ... •(« — r + l) m aneras. Se representa este producto m ediante „Pr, y ha­ cemos „ P0 — 1 p o r definición. Por consiguiente, podem os escribir lo siguiente: t e o r e m a 1.4 E l n ú m e r o d e p e r m u ta c io n e s d e n o b je to s d if e r e n te s to m a d o s r a la vez es para r = 0 , 1, 2 , . . . , n. D em ostración. La fórm ula nP r = n(n — l)* ... *(n — r + l) no se p u e ­ de usar para r = 0 , pero tenem os P~ -1 \" r ° (n - 0 )! P a ra r = 1, 2 ,..., n, tenem os „ P , = n(n - lXw ~ 2 )- ... •(/? - r + l) n(n — l)(n — 2 )- . . . -(n — r + 1 X» ~ r)i (n - r)\\ = nl T {n - r)! En los problem as concernientes a perm utaciones, suele ser m ás fácil proceder con el uso d el te o re m a 1.2 c o m o en el ejem p lo 1.7, p e ro la fórm ula facto rial d el teo re m a 1.4 es m ás fácil d e reco rd ar. M uchos p a q u e te s d e softw are de estadística p ro p o rcio n an valores para „Pr y otras cantidades com binatorias m ediante sencillas instrucciones. De hecho, estas cantidades tam bién están preprogram adas en m uchas calculadoras m anua­ les de estadística (o científicas). EJEM PLO 1.8 D e entre los 24 m iem bros de un club se sacan cuatro nom bres para los puestos de p re­ sidente, vicepresidente, tesorero y secretario. ¿D e cuántas m aneras diferentes se pue­ de hacer esto? Solución El núm ero de perm utaciones de 24 objetos diferentes tom ados 4 a la vez es 24^4 = ^ 7 = 2 4 • 23 • 22 • 2 ! = 255,024 A www.LibrosEnPdf.org

Sección 1.2: M étodos com binatorios 7 EJEM PLO 1.9 ¿D e cuántas m aneras puede una sección local de la Sociedad A m ericana de Q uím ica p rogram ar a tres o rad o res para tres reuniones diferentes, si todos ellos están disponi­ bles en cualquiera de cinco fechas posibles? Solución Puesto que debem os escoger tres de cinco fechas e im porta el orden en que se escogen (asignadas a los tres oradores), obtenem os Tam bién podem os argum entar que el prim er orador se puede program ar en cual­ quiera de cinco m aneras, el segundo orador de cuatro m aneras y el tercer orador de tres m aneras, de m odo que la respuesta es 5 • 4 • 3 = 60. a Las perm utaciones que ocurren cuando los objetos se arreglan en un círculo se llam an perm utaciones circulares. D os perm utaciones circulares no se consideran dife­ ren tes (y se cu en tan sólo una vez) si los o b jeto s correspondientes en los dos arreglos tienen los m ism os objetos a su izquierda y a su derecha. Por ejem plo, si cuatro perso­ nas están ju g an d o bridge, no o btenem os una perm utación diferente si todos se cam bian a la silla que está a su derecha. EJEMPLO 1.10 ¿Cuántas perm utaciones circulares hay de cuatro personas que juegan bridge? Solución Si consideram os arbitrariam ente la posición de uno de los cuatro jugadores com o fija, podem os sentar (arreglar) a los otros tres jugadores en 3! = 6 m aneras di­ ferentes. E n otras palabras, hay seis perm utaciones circulares diferentes. A Al generalizar el argum ento que se utilizó en el ejem plo anterior, obtenem os el siguiente teorem a. t e o r e m a l i El núm ero de perm utaciones de n objetos diferentes arreglados en un círculo es (n — l)!. H asta ahora hem os supuesto que los n objetos, de los que seleccionam os r obje­ tos y form am os perm utaciones, son todos diferentes. Así, por ejem plo, no se pueden usar las diversas fórm ulas para determ inar el núm ero de m aneras en las que podem os arreglar las letras en la palabra “bo o k\" (libro) o de cuántas m aneras se pueden arre­ glar tres copias de una novela y una copia de otras cuatro en un entrepaño. www.LibrosEnPdf.org

8 Capítulo 1: Introducción EJEM PLO 1.11 ¿C uántas perm utaciones diferentes hay de las letras de la palabra \" b o o k”? Solución Si p o r el m o m e n to distinguim os e n tre las dos o e tiq u e tá n d o las o, y o 2. en to n ces hay 4! = 24 p e rm u tacio n es d iferen tes d e los sím bolos b , o x, o 2 y k. Sin em b argo, si quitam os los subíndices, en to n ces b o xk o 2 y b o j e o p o r ejem plo, am bos dan co­ mo resultado boko, y puesto que cada par de perm utaciones con subíndice resulta en sólo un arreglo sin subíndices, el núm ero total de arreglos de letras en la p a ­ labra \"b o o k\" es ^ = 12. A EJEMPLO 1.12 ¿D e cuántas m aneras diferentes se pueden arreglar, en un entrepaño, tres copias de una novela y una copia de cada una de otras cuatro novelas? Solución Si desig nam o s las tre s copias de la p rim e ra novela con a ,, a2 y a 3, y las o tra s c u a ­ tro novelas con b , c , d y e, e n c o n tram o s q u e con subíndices hay 7! d ife re n te s p e r­ m utacio nes d e a ,. a2, o 3, b, c, d y e. Sin e m b arg o , p u e sto q u e hay 3! p erm u tacio n es de a ,. a2 y a 3 que llevan a la m ism a perm utación de a, a, a, b, c. d y e, encontra- 7! mos que sólo hay — = 7 • 6 • 5 • 4 = 840 m aneras en las que siete libros se p u e ­ den arreglar en un entrepaño. A Al generalizar el argum ento utilizado en estos dos ejem plos, obtenem os el si­ guiente teorem a. t e o r e m a 1.6 E l n ú m e r o d e p e r m u ta c io n e s d e n o b je to s d e lo s c u a le s n , s o n d e u n a c la se , n 2 so n d e u n a se g u n d a c la se ,..., n k so n d e la P é sim a c la se y n¡ + n 2 + ••• + nk = n e s n , + n 2 n\\ n \\ ! *«2 ! * ••• •«*! EJEM PLO 1.13 ¿D e cuántas m aneras se pueden colgar, una junto a la otra, dos pinturas de M onet, tres pinturas de R en o ir y dos pinturas de D egas en la pared de un m useo sin hacer distin­ ción entre las pinturas de los mismos artistas? www.LibrosEnPdf.org

Sección 1.2: M étodos com binatorios 9 Solución A l su stitu ir n = 7, « , = 2, n 2 = 3 y /i3 = 2 en la fó rm u la del te o re m a 1.6. o b ­ tenem os d b = 210 A H ay m uchos problem as en los que nos interesa determ inar el núm ero de m ane­ ras en las cuales r objetos se pueden seleccionar de entre n objetos diferentes sin im ­ portar el orden en el cual son seleccionados. Tales selecciones (arreglos) se conocen com o combinaciones. EJEMPLO 1.14 ¿D e cuántas m aneras diferentes puede una persona, que reúne datos para una organi­ zación de investigación de m ercados, seleccionar tres de 2 0 familias que viven en un complejo departam ental dado? Solución Si n o s in te re sa el o rd en en el cual se selecciona a las fam ilias, la resp u e sta es 20 = 2 0 - 19- 18 = 6,840 pero entonces cada conjunto de tres fam ilias se contaría 3! = 6 veces. Si no nos interesa el orden en que se seleccionan las familias, sólo hay — — = 1,140 ma- ñeras en qu e la persona que reúne los datos puede hacer su trabajo. ▲ R ealm ente, “com binación\" significa lo m ism o que “subconjunto”, y cuando pedi­ mos el núm ero de com binaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n obje­ tos diferentes, sim plem ente pedim os el núm ero total de subconjuntos de r objetos que se pu ed en seleccionar de un conjunto de n objetos diferentes. E n general, hay r! p e r­ m utaciones de los objetos en un subconjunto de r objetos, así que las „P, perm utacio­ nes de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos diferentes contienen cada subconjunto r! veces. Al dividir nPr por r\\ y rep resen tar el resultado por m edio del sím bolo ^ \\ tenem os entonces TEOREMA 1.7 El núm ero de combinaciones de n objetos diferentes tom ados r a la vez es / n \\ ni \\ r j r\\(n - r)! p a ra r = 0 , 1 , 2 ....... n. www.LibrosEnPdf.org

10 C a p ítu lo 1: Introd u cción EJEMPLO 1.15 ¿En cuántas form as diferentes pueden seis lanzam ientos de una m oneda, producir dos caras y cuatro cruces? Solución Esta pregunta es io mismo que preguntar de cuántas m aneras podem os seleccio­ nar los dos lanzam ientos, en los cuales ocurrirán caras. Por consiguiente, al apli­ c ar el te o re m a 1.7. en co n tram o s q u e la resp u e sta es Tam bién se puede obtener este resultado con el proceso, bastante tedioso, de enum erar las diversas posibilidades, H H TTTT. TTH TH T , H T H TTT donde H representa cara y T representa cruz. ▲ EJEM PLO 1.16 ¿C uántos com ités diferentes, de dos quím icos y un físico, se pueden form ar con los cua- tro quím icos y los tres físicos del profesorado de una pequeña universidad? Solución 4! Puesto que dos de los cuatro quím icos se pueden selección; y~ = 6 m aneras y u n o de los tres físicos se puede seleccionar de = 3 ma- ñ e ra s, e l te o re m a 1.1 m u estra q u e el n ú m ero de co m ités e s 6 • 3 = 18. A U na combinación de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos diferen­ tes se puede considerar una partición de los n objetos en dos subconjuntos que contie­ nen, respectivam ente, los r objetos que se seleccionan y los n — r objetos restantes. A m enudo, nos centram os en el problem a más general de dividir un conjunto de n obje­ tos distintos en k subconjuntos. lo cual requiere que cada uno de los n objetos debe pertenecer a uno y sólo a uno de los subconjuntos.t N o im porta el orden de los obje­ tos dentro de un subconjunto. EJEMPLO 1.17 ¿De cuántas m aneras se puede dividir un conjunto de cuatro objetos en tres subconjun­ tos que contengan, respectivam ente, dos, uno y uno de los objetos? Solución A representar los cuatro objetos por a, b, c y d , encontram os, por enum eración, que existen las siguientes 12 posibilidades: tSim bólicam ente, los subconjuntos A t . A 2 A k constituyen una partición del conjunto A si A } U i4¡ U U A k = A y A , f l A t = O para toda t * j. www.LibrosEnPdf.org

Sección 1.2: M étodos com binatorios 11 a b \\c \\d ab\\d\\c. a c \\b \\d a c \\d \\b a d \\b \\c a d \\c \\b b c \\a \\d b c \\d \\a b d \\a \\c b d \\c \\a c d \\a \\b c d \\b \\a El núm ero de particiones para este ejem plo se representa con el símbolo 4 2 , 1. 1/ = 12 donde el núm ero de la parte superior representa el núm ero total de objetos y los núm eros de la parte inferior denotan el núm ero de objetos que en tran en cada subconjunto. ▲ Si no h u b iéra m o s q u e rid o e n u m e ra r to d as las posibilidades e n el ejem p lo p re c e ­ dente, podríam os haber argum entado que los dos objetos que entran en el prim er sub- f4 \\ conjunto se pueden escoger de I I = 6 m aneras, el objeto que entra en el segundo subconjunto puede entonces elegirse de = 2 m aneras y el objeto que entra en el tercer subconjunto puede entonces elegirse de '1 = 1 m aneras. Así, por m edio del te o re m a 1.2, hay 6 • 2 • 1 = 12 particiones. A l g en eralizar e ste arg u m en to ten em o s el si­ guiente teorema. t e o r e m a 1.8 E l n ú m e r o d e m a n e r a s e n q u e u n c o n j u n t o d e n o b je to s d i f e r e n ­ tes se pueden dividir o partir en k subconjuntos de n, objetos en el prim er sub­ con ju nto , n2 o b jeto s en el segundo su b co n ju n to y nk o b jetos en el Pésim o subconjunto es Demostración. Puesto que los n, objetos que entran en el prim er subcon­ jun to se pueden escoger de ^ ^ m aneras, los n 2 objetos que entran en el segundo subconjunto pueden entonces escogerse de ^ m aneras, los n objetos que entran en el tercer subconjunto pueden entonces escogerse de /,! m aneras y así sucesivam ente, resulta por el teorem a 1.2 que el núm ero total de particiones es

12 Capítulo 1: Introducción V»l, « 2 .......... * k / \\ \" l / V «2 n - n x - n 2 ---------- nk (« - n x)! rti !*(n — w,)! n 2l ' { n — n, — n 2)\\ {n - n, - n 2 ----------- ” *- i ) ! «*!• 0 ! w ,!-« 2! - ... -/i*! EJEMPLO 1.18 ¿D e cuántas m aneras puede asignarse a siete hom bres de negocios, que asisten a una convención, una habitación triple de hotel y dos dobles? Solución S u stitu y en d o n = 7. n , = 3, n 2 = 2 y n 3 = 2 e n la fó rm u la del te o re m a 1.8, o b ­ tenem os 3 ,2 .2 / 7! A = 210 3 !-2 !-2 ! 1.3 CO EFICIEN TES BIN O M IA LES Si n es un e n te ro positivo y m ultiplicam os (x + y)\" térm ino p o r térm ino, cadatérm ino será el producto de las x y las y. donde una x o una y proviene de cada uno de los n factores x + y. Por ejem plo, la expansión (x + y f = (x + y \\ x + y \\ x + y) = x •x •x + x •x •y + X ’y ’X + r* y * y + y x ‘X + y •x •y + y •y •x + y •y •y = x 3 + 3x2y + 3xy2 + y 3 p ro d u ce té rm in o s de la fo rm a x3, x 2y , xy2 y y 3. Sus coeficien tes son 1, 3, 3 y 1, y el c o e ­ ficiente d e x y 2, p o r ejem plo, es ( i j = 3, el n ú m ero d e m an e ras en q u e p o d e m o s esco- <2 , g e r los dos fa c to re s q u e p ro v e e n las y. E n fo rm a sim ilar, e l c o e ficie n te d e x 2y es = 3, el núm ero de m aneras en que podem os escoger el único factor que provee la y, y los coeficientes de x3 y y3 son Q j = 1 y ( ^ J = 1 .

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 13 M ás g en eralm en te, si n es un e n te ro positivo y m ultiplicam os + y j 1térm ino por térm ino, el coeficiente de xn~'yr es el núm ero de maneras en que podemos esco­ ger r factores que provean las y. E n consecuencia, nos referim os a ^ y com o un coefi­ ciente binomial. A hora podem os enunciar el siguiente teorem a. TEOREMA 1.9 ( - + >-r = í( \" /V -y p ara cu alq u ier e n te ro positivo n r=0 v (P ara los lectores que no estén fam iliarizados con la notación £ en el apéndice A se da una breve explicación.) A m enudo se puede simplificar el cálculo de los coeficientes binom iales al utili­ zar los tres teorem as siguientes. t e o r e m a 1.10 P a ra c u alesq u ier e n te ro s positivos n y r = 0, 1. 2 , . . . . n , Demostración. Podríam os argum entar que cuando seleccionam os un sub- conjunto de r objetos de un conjunto de n objetos diferentes, dejam os un subcon- junto de n — r objetos; de ahí que, hay tantas m aneras de seleccionar r objetos como m aneras de dejar (o seleccionar) n — r objetos. Para dem ostrar el teorem a en form a algebraica, escribimos / n \\ _ _________ n\\___________ n\\ Vi — r ) (n — r)![n — (n — r)]! (n — r)!r! -ñ r h -Q ■ E l teorem a 1.10 im plica que si calculam os los coeficientes binom iales para r = 0 , 1 , ~ cuando n es par y para r = 0 , 1 ,..., ^ , cuando n es im par, los coeficien­ tes binom iales restantes se pueden obtener al utilizar el teorem a.

14 Capítulo 1: Introducción EJEM PLO 1.19 EJEMPLO 1.20 E s precisam ente en esta form a com o el teo rem a 1.10 podrá usarse en relación con la tabla V II.t EJEM PLO 1.21 » 20 ME n cu en tre 12 Solución Puesto que n o se e n *a ta *5*a u t'hzam os e * hecho de que ^ 2 ) = 125,970. Asimismo, para encon­ = , buscamos y obtenemos trar ^ utilizam os el hecho de que ^ jjQ = ( 7 ^)* buscam os y obtene­ m os Q j Q = 19,448. ▲ t e o r e m a 1.11 P ara cualquier e n te ro positivo n y r = 1 ,2 , ..., n — 1, t Los núm eros rom anos se refieren a las tablas estadísticas al final del libro.

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 15 D em ostración. Al sustituir x = 1 en (x + y)\", escribam os (1 + y ? = (1 + V'XI + v ) \" \" 1 = (1 + y Y ~ ' + y ( \\ + y Y ~ ' e igualemos el coeficiente de y ' en (1 + y f con aquellos en (l + y) \" -1 + y (l + y)\"- 1 . Puesto q u e el coeficiente de y r e n (1 + y f es y el coeficiente de y r e n ( l + y) ” - 1 + y (l + y ) \" - 1 es la suma del coeficiente de / en (l + y)\"-1 , esto es. y el coeficiente de y ' - 1 en (l + y f ~ x, esto es, obtenem os lo cual com pleta la dem ostración. A lternativam ente, tom e cualquiera de los n objetos. Si no incluirá entre los r obje­ tos, hay ^ m aneras de seleccionar r objetos; si va a incluirse, hay ^ ^ ma­ neras de seleccionar los otros r 2 1 objetos. Por consiguiente, hay ^ y+ ;:!) m aneras de seleccionar los r objetos, esto es. El teo re m a 1.11 tam b ién se p u e d e d e m o stra r al e x p re sa r los coeficientes b ino m ia­ les, en am bos lados de la ecuación, en térm inos de factoriales y entonces proceder de m an era algebraica, p e ro d e ja rem o s esto al lector e n el ejercicio 1.12. E n el ejercicio 1.11 se d a u n a ap licació n im p o rta n te del te o re m a 1 .1 1 , d o n d e p ro p o rc io n a la clave p a ra la construcción de lo que se conoce com o el triángulo de Pascal. Para enunciar el tercer teorem a sobre los coeficientes binom iales, hagam os la si­ guiente definición: = 0 siem pre que n sea un entero positivo y r sea un entero p o ­ sitivo m ayor que n. (Evidentem ente, no hay form a en que podam os seleccionar un subconjunto que contenga m ás elem entos que todo el conjunto mismo.)

16 Capítulo 1: Introducción D em ostración. U sando la mism a técnica que en la dem ostración del teo ­ rem a 1 .1 1 , dem ostrem os este teorem a al igualar los coeficientes de y k en las ex­ presiones de am bos lados de la ecuación ( 1 + y f>+\" = ( 1 + 1 + yf El coeficiente de y4 en (l + y)m* n es * n ^j, y el coeficiente de y k en (i + y)\"(i + y Y = o) + ( > + - + (¡0+ ( : y + ... + y\" es la sum a de los productos que obtenem os al m ultiplicar el térm ino constante del p rim er facto r p o r el coeficiente de y* en el segundo factor, el coeficiente de v en el prim er factor por el coeficiente de y*-1 en el segundo facto r,..., y el coe­ ficiente de y* en el prim er factor por el térm ino constante del segundo factor. Así, el coeficiente d e y* en ( l + y)” (l + y)\" es m \\f n n m + k- 1 + ••• + 0 k- 2 m n ,=o \\ r k- r y esto com pleta la dem ostración. EJEM PLO 1.22 V erifique el teo rem a 1.12 num éricam ente p ara m = 2, n = 3 y k = 4. Solución Al sustituir estos valores, obtenem os X) *00 *©o*©o*o©-© y puesto que y ( , I son igual a 0 de acuerdo a la definición en la pá- gina 15, la ecuación se reduce a lo cual se c o m p ru e b a , p u e sto q u e 2* 1 + 1*3 = 5. A l utilizar e l teo rem a 1.8, p o d em o s a m p liar n u e stra exposición a coeficientes mul- tin o m ia les, e sto es, a los co e ficie n te s q u e resu lta n de la ex p an sió n de (x, + x 2

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 17 + ••• + **)\". E l c o e fic ie n te m u ltin o m ia l d el té rm in o x \\' ‘ X2 • . . . ‘ x'¿ e n la e x p a n ­ sión de ( x x + x 2 + ••• + x k )“ es n \\ n\\ r,, r2 rk j r , ! •r 2! • . .. •r*! EJEM PLO 1.23 ¿C uál es el coeficien te de x í * 2.*3 e n la expansión de (.V) + x 2 + * 3 ) ? Solución Si su stitu im o s n = 6 , r¡ = 3, r2 = 1 y r3 = 2 en la fórm ula a n te rio r, o b ten e m o s 6! a = 60 3! • 1! • 2! EJERCICIOS 1.1 U na o p e ra c ió n consta de do s pasos, de los cuales el p rim e ro se p u e d e h a c er de /i, m an eras. Si el p rim er paso se hace de la m an era /ésim a. el seg u n d o paso se puede hacer de n ^ m aneras.t (a) U se un diagram a de árbol y encuentre una fórm ula para el núm ero total de m aneras en que se puede efectuar la operación total. (b ) U n e stu d ia n te p u e d e p re p a ra rse d u ra n te 0, 1, 2 o 3 h o ras p a ra un exam en de historia en un día dado. U se la fórm ula obtenida en la parte (a) para verificar q u e hay 13 m an eras en las que el e stu d ia n te p u e d e p re p a ra rse d u ­ rante 4 horas cuando m ucho para la prueba en dos días consecutivos. 1.2 C on re s p e c to al ejercicio 1.1 verifiq u e q u e si n 2i e s igual a la c o n sta n te n 2, la fórm ula obtenida en la parte (a) se reduce a aquella del teorem a 1 .1 . 1 3 C on re sp e c to al ejercicio 1.1, su p o n g am o s q u e hay un te rc e r p aso, y si el p rim er paso se realizó de la /ésim a m anera y el segundo paso de la yésima m anera, el te rc e r p aso se p u e d e h a c er de n 3l¡ m aneras. (a) U se un diagram a de árbol para verificar que toda la operación se puede hacer de n, nj/ ¿ É n *i i M1 / - I m aneras diferentes. (b ) C on respecto al inciso (b) del ejercicio 1.1, use la fórm ula del inciso (a) p a ­ ra verificar que hay 32 m aneras en las que el estudiante puede prepararse durante 4 horas, cuando m ucho, para la prueba en tres días consecutivos. 1.4 D e m u e stre q u e si n 2i es igual a la co n stan te n 2 y n 3i¡ es igual a la c o n sta n te n 3, la fórm ula del inciso (a) d el ejercicio 1.3 se reduce a la del teo re m a 1.2. t El uso de subíndices dobles se explica en el apéndice A.

18 Capítulo 1: Introducción 1.5 E n una serie final del cam peonato en tre dos equipos de baloncesto, el ganador es el prim er equipo que gane m juegos. (a) C ontando separadam ente el núm ero de series finales que requieren m, m 4- 1 y 2m — 1 juegos, m uestre que el núm ero total de resultados diferentes (secuencias de juegos ganados y juegos perdidos de uno de los equipos) es (b) ¿C uántos resultados diferentes hay para una final de “2 de 3\", una final de “3 de 5” y una final de “4 de 7”? 1.6 C uando n es grande, se p uede aproxim ar n\\ p o r m edio de la expresión llam ada la fórm ula de Stirling. donde e es la base de los logaritm os naturales. (Se puede encontrar una derivación de esta fórm ula en el libro de W. Feller ci­ tado entre las referencias al final de este capítulo.) (a ) U tilice la fó rm u la d e S tirling y o b te n g a las ap roxim aciones p a ra 10! y 12!, tam bién encuentre los porcentajes de e rro r de estas aproxim aciones al com pararlas con los valores exactos, dados en la tabla VII. (b) U se la fórm ula de Stirling y obtenga una aproxim ación p ara elnúm ero de m an o s d e bridge de 13 c a rta s q u e se p u e d e n d a r con u n a b a ra ja o rd in a ria de 52 cartas de juego. 1.7 U se la fó rm u la de Stirling (véase el ejercicio 1.6) p a ra ap ro x im ar 2n\\ y n!, m uestre que 1.8 E n algunos problem as de la teo ría de la ocupación nos interesa el núm ero de m aneras en que ciertos objetos distinguibles se pueden distribuir entre personas, urnas, cajas o celdas. E ncuentre una expresión para el núm ero de form as en que se pueden distribuir r objetos distinguibles entre n celdas y úsela para en­ contrar el núm ero de m aneras en que se pueden distribuir tres libros diferen­ tes entre 12 estudiantes, en una clase de literatura inglesa. 1.9 E n algunos problem as de la teoría de la ocupación nos interesa de cuántas m a­ neras se pueden distribuir ciertos objetos indistinguibles entre personas, urnas, cajas o celdas. E ncuentre una expresión p ara el nú m ero de m aneras en que se pueden distribuir r objetos indistinguibles entre n celdas y úsela para encontrar el núm ero de m aneras en que un panadero puede vender cinco hogazas (indis­ tinguibles) de pan a tres clientes. (Sugerencia: Podríam os argum entar que L | L L L | L presenta el caso donde los tres clientes com pran una hogaza, tres ho­ gazas, y una hogaza, respectivam ente, y que L L L L | | L representa el caso don­ de los tres clientes com pran cuatro hogazas, ninguna hogaza y una hogaza. Así,

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 19 debem os buscar el núm ero de m aneras en que podem os arreglar las cinco H y las dos barras verticales.) 1.10 E n algunos problem as de la teoría de la ocupación nos interesa el núm ero de m aneras en que ciertos objetos indistinguibles se pueden distribuir entre indivi­ duos. urnas, cajaso celdas con al m enos uno en cada celda.E ncuentreuna ex­ presión parael núm ero de m aneras en que r objetos indistinguibles se pueden distribuir entre n celdas con al m enos una en cada celda y vuelva a trabajar en la p a rte nu m érica del ejercicio 1.9. d o n d e cad a un o d e los tre s clientes o b tien e al m enos una hogaza de pan. 1.11 C u an d o n o hay tablas disponibles, a veces es conveniente d e te rm in a r los coefi­ cientes b in o m iales p o r m edio del siguiente arreglo, llam ado triángulo de Pascal: 1 11 1 21 13 31 14 64 1 1 510 10 5 1 donde cada hilera em pieza con un 1, term ina con un 1, y cada uno de los de­ m ás elem entos es la sum a de los dos elem entos m ás cercanos de la hilera que está inm ediatam ente arriba. E n este triángulo, el elem ento résim o en la nésima í ” j Yhilera es el coeficiente binom ial C onstruya las dos hileras siguientes (séptim a y octava) del triángulo y escriba las expresiones binom iales de (* + y f y ( x + y)’. 1.12 D e m u e stre el te o re m a 11.1 m ed ian te la expresión de to d o s los coeficientes b i­ nom iales en térm inos de factoriales y después simplifique en form a algebraica. 1.13 Al ex p resar los coeficientes binom iales en térm inos de factoriales y sim plificar en forma algebraica, dem uestre que (a) (b) 1.14 Sustituya los valores apro p iad o s p ara .r y y en la fórm ula del teo rem a 1.9, para dem ostrar que (a) S C I \" 2*= <b> t ( - > ( : ) = ° =

Capítulo 1: Introducción 1 .1 5 P o r m ed io d e la aplicación rep e tid a del teo rem a 1.11, d em u estre que O K Ü C -J 1 .1 6 U se el teo re m a 1.12 p a ra d e m o stra r que ¿OH2; 1 .1 7 D em u estre que j ? r ( n ) = n 2 n 1 h aciendo x = 1 en el teo rem a 1.9, después r-o \\ r / diferenciando las expresiones en am bos lados con respecto a y, y finalm ente sustituyendo y = 1 . 1.18 V uelva a tra b a ja r en el ejercicio 1.17 usando el inciso (a) del ejercicio 1.14 y el inciso (c) del ejercicio 1.13. 1.19 Si n no es un e n te ro positivo o cero, la expansión binom ial de (1 4- y)\" p ro d u ­ ce, p ara — 1 < y < 1 , la serie infinita 4- ( r t \\ n(n — l)* . . . *(n — r 4- 1) ,. _ . donde ( r ) = Para c = 1, 2, 3 Use esta defini­ ción generalizada de coeficientes binom iales (que concuerda con la de la pági­ n a 13 p a ra valores e n te ro s positivos d e n ) p a ra e v alu ar (b) ( Í M V > (b ) V 5 escribiendo V 5 = 2(1 4- y usando los prim eros cuatro términos d e la expansión b inom ial d e ( l 4- ¿ ) ,/2. 1.20 C on respecto a la definición generalizada de los coeficientes binom iales en el ejercicio 1.19, dem uestre que « (? ) - ( -> (b) ( r , ) = ( “ 1X \" + r 1) p ara', > 0 - 1 .2 1 E n c u e n tre el coeficien te d e x 2y 3z 3 e n la ex p an sió n d e (* 4- y 4- z f . 1 .2 2 O b te n g a el co eficien te de x i y 2z i w e n la ex p an sió n de (2.v 4- 3y — 4 z 4- w f . 1.23 D em uestre que

Sección 1.3: Coeficientes binom iales 21 n n~ 1 n- 1 — 1 , n2, . . . , nk «i, n2 — 1,.... nk + ... + ( \" 1 J \\« i, «2 nk — 1 / expresando todos estos coeficientes m ultinom iales en térm inos de factoriales y sim plificando en form a algebraica. APLICACIONES 1.24 H ay cu atro rutas. A , B, C y D , en tre la casa de una persona y el lugar donde trabaja, p ero la ruta B es de un solo sentido, de m odo que no puede tom arla cuando va a su trabajo, y la ruta C es de un solo sentido, de m odo que no pu e­ de tom arla cuando va rum bo a casa. (a) T race un diagram a de árbol qu e m uestre las diversas m aneras en que la persona puede ir y venir del trabajo. (b) Trace un diagram a de árbol que m uestre las diversas m aneras en que pu e­ de ir y venir del trabajo, sin tom ar la m ism a ru ta en am bos sentidos. 1.25 U n a p e rso n a con $2 en su bolsillo a p u e sta $1, c o n tra la m ism a c a n tid ad , en un \"volado” o lanzam iento de una m oneda y continúa apostando $1 en tanto tie­ ne dinero. T race un diagram a de árbol para m ostrar las diversas situaciones que pueden suceder d urante los prim eros cuatro lanzam ientos de la m oneda. D es­ pués del cuarto lanzam iento, ¿en cuántos casos estará (a) exactam ente sin ganar ni perder; (b) exactam ente adelante por $2? 1.26 Suponga qu e en la Serie M undial de béisbol (en la cual el ganador es el prim er equipo que gana cuatro juegos) el cam peón de la Liga Nacional aventaja al cam peón de la Liga A m ericana p or tres juegos a dos. C onstruya un diagram a de árbol para m ostrar de cuántas m aneras pueden ganar o perder estos equipos el juego o los juegos restantes. 1.27 El entrenador de un cam po de golf alm acena dos juegos idénticos de palos de golf para m ujer, reord en an d o al final de cada día (a fin de entreg ar tem prano en la m añana siguiente) si y sólo si vendió am bos. T race un diagram a de árbol para dem ostrar que si él em pieza un lunes con dos juegos de palos, hay en to ­ tal ocho diferentes m aneras en que puede vender durante los prim eros dos días de esa semana. 1.28 Por m uchos siglos, contar el núm ero de resultados en los juegos de azar ha si­ do un pasatiem po popular. Esto era de interés no sólo porque el juego (por di­ nero) estaba de por m edio, sino tam bién porque los resultados de los juegos de azar a m enudo se interpretaban com o designio divino. A sí fue que hace alrede­ d o r de mil años, un obispo, de lo q ue ahora es Bélgica, determ inó que existen 56 m aneras diferentes en las que tres dados pueden caer a condición que uno esté interesado sólo en el resultado global y no en qué hace cada dado. Asignó una virtud a cada una de estas posibilidades y cada pecador tenía que concen­ trarse durante cierto tiem po en la virtud que correspondía a su tirada de dados.

Capítulo 1: Introducción (a) E ncuentre el núm ero de m aneras en que tres dados pueden caer con el mismo núm ero. (b) O btenga el núm ero de m aneras en que dos de los tres dados pueden caer con el mismo núm ero de puntos y el tercero caiga con un núm ero diferente. (c) D eterm ine el núm ero de m aneras en que los tres dados pueden caer con núm eros diferentes. (d) Use los resultados de las partes (a), (b) y (c) para verificar los cálculos del obispo de que hay en total 56 posibilidades. 1.29 Si la N C A A tiene solicitudes de seis universidades p ara ser el anfitrión de los cam peonatos interuniversitarios de tenis en 1998 y 1999, ¿de cuántas m aneras pueden seleccionar al anfitrión para estos cam peonatos (a) si am bos no se van a celeb rar en la m ism a universidad; (b) si am b o s pu ed en realizarse en la m ism a universidad? 1.30 Las cinco finalistas del concurso señ o rita U niverso son las rep re sen ta n te s de A rgentina, Bélgica, Estados U nidos, Japón y N oruega. ¿D e cuántas m aneras pueden los jueces escoger a (a) la ganadora y la prim era suplente; (b) la ganadora, la prim era y la segunda suplentes? 131 En una elección prim aria, hay cuatro candidatos para el puesto de alcalde, cin­ co para tesorero de la ciudad, y dos candidatos para procurador. (a) ¿D e cuántas m aneras puede un votante m arcar su boleta para elegir a los tres funcionarios? (b) ¿D e cu án tas m aneras p u ed e u n a p erso n a v o tar si ejerce su elección de no votar por un candidato para alguno o todos estos puestos? 1 3 2 U n a p ru e b a de elección m últiple co n sta d e 15 p reg u n ta s, cada u n a p e rm ite una elección entre tres alternativas. ¿D e cuántas m aneras diferentes puede una es­ tudiante m arcar sus respuestas a estas preguntas? 133 El precio de un recorrido turístico por E uropa incluye cuatro sitios qué visitar que d eben seleccionarse a partir de 10 ciudades. ¿D e cuántas m aneras diferen­ tes se puede planear tal viaje (a) si es im portante el orden de las paradas interm edias; (b) si n o es im portante el orden de las paradas interm edias? 1.34 ¿D e cu án tas m aneras p uede un d irector de televisión program ar los seis dife­ rentes anuncios de un patrocinador, durante los seis espacios de tiem po asigna­ do para anuncios, durante un “especial” de una hora? 1.35 ¿D e cu án tas m an eras p u ed e el d ire c to r de televisión del ejercicio 1.34 asignar los seis espacios de tiem po para anuncios si el patrocinador tiene tres anuncios diferentes, cada uno de los cuales se puede m ostrar dos veces? 1 3 6 ¿D e cu án tas m an eras p u ed e el d ire c to r de televisión del ejercicio 1.34 cubrir los seis espacios de tiem po para anuncios si el patrocinador tiene dos anuncios di­ ferentes, cada uno de los cuales se puede m ostrar tres veces? 1.37 ¿D e cu án tas m aneras se pueden form ar en línea cinco personas para subir a un autobús? ¿D e cuántas m aneras se pueden form ar en línea si dos de las perso­ nas se reh ú san a hacerlo una detrás de la otra?

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 23 1.38 ¿D e cu án tas m aneras pueden ocho personas form ar un círculo p ara un baile folklórico? 1.39 ¿C uántas perm utaciones hay de las letras en la palabra (a) “great” (grandioso); (b) “greet\" (saludo)? 1.40 ¿C uántas perm utaciones hay de las letras de la palab ra “statistics\" (estadísti­ ca)? ¿C uántas em piezan y term inan con la letra s? 1.41 U n e q u ip o colegial ju e g a 10 p a rtid o s de fú tb o l d u ra n te una te m p o ra d a . ¿D e cuántas m aneras puede term inar la tem porada con cinco juegos ganados, cua­ tro perdidos y un em pate? 1.42 Si och o p e rso n a s e stá n reu n id as p ara com er, ¿d e c u á n ta s m an eras d iferen tes tres de ellas pueden ordenar pollo, cuatro ordenar carne y una ordenar langosta? 1.43 E n el e je m p lo 1.4 d e m o stra m o s q u e una p ru e b a de falso o v e rd a d e ro q u e cons­ ta de 20 preguntas, se puede m arcar de 1,048,576 m aneras diferentes. ¿D e cu án ­ tas m aneras se puede m arcar cada pregunta con falso o verdadero de m odo que (a) 7 e sté n c o rre c ta s y 13 incorrectas; (b) 10 estén correctas y 10 incorrectas; (c) al m en o s 17 e sté n c o rrectas? 1.44 E n tre los siete can d id ato s p ara dos vacantes e n el consejo de una ciudad hay tres hom bres y cuatro m ujeres. ¿D e cuántas m aneras se pueden cubrir estas vacantes (a) con dos candidatos cualquiera de los siete; (b) con dos de las cuatro m ujeres; (c) con uno de los hom bres y una de las m ujeres? 1.45 E n tre 10 a p a ra to s d e televisión d e un e m b a rq u e , hay tre s q u e e stá n d e fe c tu o ­ sos. ¿D e cuántas m aneras puede un hotel com prar cuatro de estos aparatos y recibir al m enos dos de los aparatos defectuosos? 1.46 Ms. Jones tiene cu atro faldas, siete blusas y tres suéteres. ¿D e cuántas m aneras puede escoger dos de las faldas, tres de las blusas y uno de los suéteres para lle­ var en un viaje? 1.47 ¿ C u á n tas m an o s d e b rid g e d ife re n te s p u e d e n c o n te n e r cinco esp ad as, tre s d ia ­ m antes. tres tréboles y dos corazones? 1.48 E n c u e n tre el n ú m ero de m a n e ra s e n q u e una A . tre s B, d o s C y una F se p u e ­ den distribuir entre siete estudiantes que tom an un curso de estadística. 1.49 U n a coleccionista d e a rte , d u e ñ a de 10 p in tu ra s de artista s fam osos, e stá p re p a ­ rando su testam ento. ¿De cuántas m aneras diferentes puede dejar estas pintu­ ras a sus tres herederos? 1.50 U n aficionado al béisbol tiene dos boletos para seis juegos diferentes en el es­ tad io d e los C a c h o rro s de C hicago. Si tien e cinco am igos a q u ien es les g u sta el béisbol, ¿de cuántas m aneras diferentes puede invitar a uno de ellos a cada uno de los seis juegos? 1.51 A l final d e l día. una p astelería d a to d o lo q u e no se vendió a cen tro s d e acopio de com ida p a ra los necesitados. Si, al Final d e un día d a d o , le q u e d a n 12 p a s te ­ les de m anzana, ¿de cuántas m aneras diferentes puede distribuir estos pasteles entre seis centros de com ida para los necesitados?

Capítulo 1: Introducción 1 .5 2 C on resp ecto al ejercicio 1.51, ¿d e cuántas m aneras diferentes p u ed e la p aste­ lería d istrib u ir los 12 pasteles de m anzana si cada uno de los centros de com i­ da va a recibir al m enos un pastel? 1.53 U n viernes p or la m añana, la tienda de artículos para profesionales de un club de tenis tie n e 14 latas idénticas d e p elo tas p a ra tenis. Si p a ra el d o m in g o e n la noche se han vendido todas y sólo nos interesa cuántas se vendieron cada día. ¿de cuántas m aneras diferentes se pudieron haber vendido las pelotas de tenis el viernes, el sábado y el dom ingo? 1.5 4 V uelva a realizar el ejercicio 1.53, d ad o que al m enos dos de las latas de pelo­ tas para tenis se vendieron en cada uno de los tres días. R E F E R E N C IA S E ntre los pocos libros sobre la historia de la estadística se cuentan W a l k e r , H. M.. Studies in the H istory o f StatisticaI M ethod. Baltimore: The W illiams & Wilkins Com pany, 1929, W e s t e r g a a r d . H .. Contributions to the History o f Statistics. Londres: P. S. King & Son. 1932. y las publicaciones m ás recientes K f .n d a ll, M. G., and P l a c k e t t , R. L., eds.. Studies in the History o f Statistics and Proba- bility, Vol. II. N ueva York: M acmillan Publishing Co., Inc., 1977, P e a r s o n . E. S.. and K e n d a l l . M. G.. eds.. Studies in the History o f Statistics and Probabil- ity. Darien. Conn.: H afner Publishing Co., Inc., 1970, P o r t e r , T. M., T h e R ise o f Statistical T h in kin g , 1820-1900. Princeton, N.J.: Princeton Uni- versity Press, 1986. S t i g l e r , S. M., The History o f Statistics. Cam bridge, Mass.: H arvard University Press. 1986. U na amplia variedad de m aterial sobre m étodos com binatorios se puede encontrar en C o h én , D. A., Basic Techniques o f Combinatorial Theory. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1978. E ise n , M., F.lementary Combinatorial Analysis. Nueva York: G ordon and Breach, Science Publishers, Inc., 1970, FELLER, W .. A n Introduction to Probability Theory and Its Applications. V ol. I, 3 rd ed . Nueva York: John Wiley & Sons. Inc., 1968, N iven, J., Mathematics o f Choice. N ueva York: Random H ouse. Inc., 1965, R o b e r ts , F. S.. A pplied Combinatorics. U ppcr Saddlc River, N.J.: Prentice Hall. 1984, y en W h ttw o r th , W. A ., Choice and Chance. 5th ed. New York: H afner Publishing Co.. Inc., 1959, que se ha convertido en un clásico en este campo. Se pueden encontrar tratam ientos más avanzados en B eck en b aC H , E. F.. ed., Applied Combinatorial Mathematics. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc.. 1964. D a v id , F. N.. and B a r t o n , D. E., Combinatorial Chance. Nueva York: H afner Publishing Co., Inc.. 1962, y R io r d a n , J.. A n Introduction to Combinatorial Analysis. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1958.

CAPITULO 2 Probabilidad 2.1 IN TR O D U C C IÓ N 2 .2 ESPACIOS MUESTRALES 2.3 EVENTOS 2 .4 LA PROBABILIDAD DE U N EVEN TO 2 .5 ALG U N AS REGLAS DE PROBABILIDAD 2 .6 PROBABILIDAD C O N D IC IO N A L 2 .7 EVENTOS INDEPENDIENTES 2 .8 TE O R E M A DE BAYES 2.1 IN TR O D U C C IÓ N H istó ricam en te, la form a m ás a n tig u a d e definir p ro b ab ilid ad es, el concepto clásico de probabilidad, se aplica cuando todos los resultados posibles son igualm ente probables, com o es presum iblem ente el caso en la m ayoría de los juegos de a/ar. Podem os en to n ­ ces decir que si hay N posibilidades igualmente probables, de las cuales una debe ocu­ rrir y n se consideran favorables, o c o m o u n “acierto,\" entonces la p ro b a b ilid a d de un “acierto ” está dada p o r la razón — . N EJEM PLO 2.1 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja ordinaria de 52 cartas d e juego? Solución Puesto que hay n = 4 ases entre las N = 52 cartas, la probabilidad de sacar un as es = ]**• (Se su pone, p o r su p u esto , q u e cad a c a rta tie n e la m ism a o p o rtu n i­ dad de salir.) ▲ A unque las posibilidades igualm ente probables se encuentran principalm ente en los juegos de azar, el concepto clásico de probabilidad tam bién se aplica en una gran variedad de situaciones donde se usan los dispositivos de juego para hacer selecciones aleatorias (cuando se asigna al azar el espacio de la oficina para los asistentes de ense­ ñanza, cuando algunas familias de un municipio se escogen de m anera que cada una ten­ ga la misma oportunidad de ser incluida en un estudio, m uestra de cuando las partes de una m áquina se escogen para inspección de tal m anera que cada parte producida ten­ ga la mism a oportunidad de ser seleccionada, y así sucesivam ente). 25

26 Capítulo 2: Probabilidad U na deficiencia im portante del concepto clásico de probabilidad es su aplicación lim itada, pues hay m uchas situaciones en que las posibilidades que se presentan no pue­ den considerarse igualm ente probables. Éste sería el caso, por ejem plo, si nos interesara la cuestión d e si lloverá c ie rto día, si nos in te resa ra el resu lta d o de u n a elección, o si nos concierne la m ejoría de una persona enferm a. E ntre los diversos conceptos de probabilidad, el m ás am pliam ente sostenido es, la in te rp re ta c ió n d e frecuencia de acu erd o a la cual la pro b a b ilid a d de un evento (resul­ tado o suceso) es la proporción de las veces en que eventos de la mism a clase ocurri­ rán en un largo plazo. Si decim os que la probabilidad de que un jet de Los Ángeles a San Francisco llegue a tiem po es de 0.84, querem os decir (de acuerdo con la in terp reta­ ción de frecuencia) que tales vuelos llegarán a tiem po 84% de las veces. En form a si­ m ilar, si el servicio m eteorológico predice que hay 30% de posibilidades de lluvia (esto es, una probabilidad de 0.30), esto significa que bajo las mismas condiciones del clima lloverá 30% . En térm inos m ás generales, decim os que un evento tiene una probabili­ dad de, por ejem plo 0.90, en el m ism o sentido en que podríam os decir que nuestro au ­ tom óvil arrancará en clima frío 90% del tiem po. N o podem os garantizar lo que sucederá en una ocasión en particular (el autom óvil puede encender ahora y después tal vez no) pero si llevamos registros durante un largo periodo, debem os encontrarnos con que la proporción de “aciertos” es m uy cercana a 0.90. U n punto de vista alternativo, que actualm ente se ve favorecido, consiste en in­ terpretar las probabilidades com o evaluaciones personales o subjetivas. Tales probabi­ lidades expresan la fuerza de lo que creem os respecto a las incertidum bres que están en juego, y se aplican especialm ente cuando hay poca o ninguna evidencia directa, así que no hay más opción que considerar evidencia colateral (indirecta), “suposiciones educadas”, y quizá la intuición u otro s factores subjetivos. El enfoque a la probabilidad que usarem os en este capítulo es el enfoque axio­ m ático. en el que las probabilidades se definen com o “objetos m atem áticos” que se com portan de acuerdo a ciertas reglas bien definidas. Entonces, cualquiera de los con­ ceptos o interpretaciones de probabilidad anteriores se puede usar en aplicaciones en tanto sea congruente con estas reglas. 2 .2 ESPACIOS M U ESTR A LES P u esto q ue to d as las p robabilidades perten ecen a la ocurrencia o no ocurrencia de eventos, expliquem os prim ero el significado de evento y de los térm inos relacionados experimento, resultado y espacio muestral. En estadística se acostum bra denom inar experim ento a cualquier proceso de obser­ vación o medición. E n este sentido, un experim ento puede consistir en el sencillo proce­ so de verificar si un interruptor está encendido o apagado; puede consistir en contar las imperfecciones en un pedazo de tela; o puede consistir en el tan com plicado proceso de m edir la m asa de un electrón. Los productos de un experim ento, ya sean lecturas de ins­ trum entos, cuentas, respuestas “sí” o “no”, o valores obtenidos m ediante cálculos extensos, se conocen como resultados del experimento.

Sección 2.2: Espacios muéstrales 27 Al conjunto de todos los posibles resultados de un experim ento se le conoce com o el esp ad o m uestral y suele representarse con la letra S. C ada resultado de un espacio m uestral se llama elem ento del espacio m uestral o sim plem ente un punto de la muestra. Si el espacio m uestral tiene un núm ero finito de elem entos, podem os enum erar los ele­ m entos en la n o tad ó n usual de conjuntos; por ejem plo, el espacio m uestral de los posi­ bles resultados de tirar una m oneda se puede escribir como S = {H ,T } donde H y T representan cara y cruz. Los espacios m uéstrales con un núm ero de ele­ m entos grande, o infinito, se describen m ejor con un enunciado o una regla; por ejem ­ plo, si los posibles resultados de un experim ento son el conjunto de autom óviles equipados con radios de banda civil, el espacio m uestral se puede escribir S = (x |x es un autom óvil con radio de BC} Esto se lee “S es el conjunto de toda x tal que x es un autom óvil con radio de BC ”. De la m ism a form a, si S es el conjunto de los enteros positivos im pares, escribim os 5 = {2k + 1| k = 0 .1 .2 ,...} La m anera en que form ulem os el espacio m uestral en una situación dada depen­ derá del problem a que se tenga. Si un experim ento consiste en lanzar una vez un dado y nos interesara qué lado queda hacia arriba, usaríam os el espacio m uestral 5, = (1,2,3,4,5,6} Sin em bargo si sólo nos interesara q u e la cara que q u ed a hacia arriba sea p a r o im par, usaríamos el espacio de m uestreo S2 = (par, impar} Esto dem uestra que bien se pueden usar diferentes espacios m uéstrales para des­ cribir un experim ento. En general, es deseable usar espacios muéstrales cuyos elementos no se puedan dividir (partir o separar) en clases de resultados m ás prim itivos o más ele­ mentales. En otras palabras, es preferible que un elem ento de un espacio m uestral no re­ presen te d o s o m á s resultados q u e son d istinguibles en alguna m anera. A sí, e n la ilustración p re c e d e n te S, sería p refe rib le a S 2. EJEMPLO 2.2 Describa un espacio m uestral que sea apropiado para un experim ento en el que tira­ mos un par de dados, uno rojo y uno verde. Solución El espacio m uestral que proporciona la m ayor inform ación consiste en los 36 pun­ tos dados por S, = { ( x , y ) \\ x = 1 ,2 .........6 ; y = 1 , 2 . . . . , 6 } donde x representa el núm ero en que cayó el dado rojo y y representa el núm e­ ro del dado verde. U n segundo espacio m uestral, adecuado para la m ayoría de los propósitos (aunque m enos deseable en general ya que proporciona m enos infor­ mación), está dado por

28 Capítulo 2: Probabilidad S2 = { 2 , 3 , 4 ......... 1 2 } donde los elem entos son los totales de los núm eros en que cayeron los dos dados. ▲ Los espacios m uéstrales se suelen clasificar de acuerdo al núm ero de elem entos que contienen. E n el ejem plo anterior los espacios m uéstrales 5, y S2 contenían un nú­ m ero finito de elem entos; pero si se lanza una m oneda hasta que aparezca una cara por prim era vez. esto podría suceder en el prim er lanzam iento, el segundo lanzam iento, el tercer lanzam iento, el cu arto lan z a m ie n to ,.... y hay infinitam ente m uchas posibilidades. Para este experim ento obtenem os el espacio muestral 5 = {H, TH , TTH , TTTH, T T T T H ,...} con una secuencia interm inable de elementos. Pero aun en este caso el núm ero de ele­ m entos se puede igualar uno a uno con los núm eros enteros y en este sentido se dice que el espacio m uestral es contable. Si el espacio m uestral contiene u n n ú m ero finito de ele­ mentos o un núm ero infinito aunque contable de elementos, se dice que es discreto. Los resultados de algunos experim entos no son ni finitos ni contablem ente infi­ nitos. Tal es el caso, por ejem plo, cuando uno realiza una investigación para determ inar la distancia a la q u e cierta m arca de autom óviles viajará, con una ruta de pru eb a p res­ crita, con 5 litros de gasolina. Si suponem os que la distancia es una variable que puede m edirse con cualquier grado de exactitud deseado, hay una infinidad de posibilidades (distancias) que n o se p u e d e n igualar un o a u n o con los n ú m ero s en tero s. T am bién, si querem os m edir la cantidad de tiem po que dos sustancias químicas tardan en reaccio­ nar, las cantidades que form an el espacio m uestral son infinitas en núm ero y no son contables. A sí, los espacios m u éstra les n o necesitan se r discretos. Si un esp acio m u es­ tral consiste en un continuo, tal com o los puntos de un segm ento de línea o todos los puntos de un plano, se dice que es continuo. Los espacios m uéstrales continuos surgen en la práctica siem pre que los resultados de los experim entos son m ediciones de pro­ piedades físicas, com o tem p eratu ra, velocidad, presión, lo n g itu d ,..., que se m iden con es­ calas continuas. 2.3 EVEN TO S En m uchos problem as nos interesan resultados que no son dados directam ente por un elem ento específico de un espacio muestral. EJEM PLO 2.3 C on respecto al prim er espacio m uestral 5, en la página 27, describa el evento A en que el núm ero d e puntos obtenidos con el dado sea divisible en tre 3. Solución E ntre 1 ,2 .3 ,4 ,5 y 6 , sólo 3 y 6 son divisibles en tre 3. Por consiguiente, A está re­ presentado por el subconjunto {3,6 } del espacio m uestral 5,. ▲

Sección 2 .3 : Eventos 29 EJEM PLO 2.4 R especto al espacio m uestral 5j del ejem plo 2.2, describa el evento B en que el núm e­ ro d e p u n to s o b te n id o s con e l p a r d e d ad o s es 7. Solución E ntre las 36 posibilidades, sólo (1 ,6 ), (2, 5), (3 ,4 ), (4, 3), (5, 2) y (6 ,1 ) dan un to ­ tal de 7. A sí, escribim os B = {(1 .6 ), (2 ,5 ). (3 ,4 ), (4, 3), (5, 2), (6.1)} O b serv e q u e e n la figura 2.1 el e v e n to d e q u e caiga un to ta l d e 7 con los dos d a ­ do s se re p re s e n ta con el c o n ju n to d e p u n to s d e n tro d e la región lim itada p o r la línea punteada. a Dado verde • • • • • •\\ • ; I 11 11l Dado rojo 12 3 4 5 6 Figura 2.1 O btener un total de 7 con un par de dados. De la m ism a m anera, cualquier even to (desenlace o resultado) se puede identi­ ficar con un grupo de puntos, los que constituyen un subconjunto de un espacio m ues­ tral apropiado. Tal subconjunto consta de todos los elem entos de un espacio m uestral para los cuales el evento ocurre y en probabilidad y estadística identificam os el sub­ conjunto con el evento. Así, por definición, un evento es un subconjunto de un espa­ cio m uestral. EJEM PLO 2.5 Si alguien dispara a un blanco tres veces v sólo nos interesa si cada disparo da o no en el blanco, describa un espacio m uestral apropiado, los elem entos del espacio m uestral que constituyen el evento M que la persona no acertará en el blanco tres veces segui­ das, y los elem entos del evento N q ue la persona acertará una vez y fallará en dos oca­ siones. Solución Si dejam os que 0 y 1 representen una falla y un acierto respectivam ente, las ocho posibilidades (0 . 0 , 0 ), ( 1, 0 . 0 ), (0 . 1 , 0 ). (0 . 0 , 1 ), ( 1 , 1, 0 ), ( 1 , 0 , 1 ), (0 , 1 , 1) y ( 1, 1 , 1 ) se pueden m o strar com o en la figura 2.2. Así, se puede ver que

30 Capítulo 2: Probabilidad M = {(0 , 0 . 0 )} y jV = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } a Tercer tiro Uro F ig u ra 2 .2 Espacio muestral para el ejem plo 2.5. EJEMPLO 2.6 C onstruya un espacio m uestral para la duración de la vida útil de cierto com ponente electrónico e indique el subconjunto que represente el evento F de que el com ponen­ te falle antes del final del sexto año. Solución Si i es la duración de la vida útil del com ponente en años, el espacio m uestral se puede escribir S = {/|r ^ 0}, y el subconjunto F = { /|0 á t < 6 } es el evento de que el com ponente falle antes del final del sexto año. A De acuerdo a nuestra definición, cualquier evento es un subconjunto de un espa­ cio m uestral apropiado, pero debe observarse que la recíproca no es necesariam ente verdad. Para espacios m uéstrales discretos, todos los subconjuntos son eventos, pero en el caso continuo algunos conjuntos de puntos más bien oscuros se deben excluir por ra­ zones m atem áticas. E sto se exam ina con m ás detalle en alguno de los textos avanzados que se encuentran entre las referencias al final de este capítulo, p ero no es im portante por lo que concierne al trabajo en este libro. En muchos problem as de probabilidad nos interesan eventos que en realidad son com binaciones de dos o m ás eventos, form ados al tom ar uniones, intersecciones y com ­ plem entos. A unque el lector seguram ente estará fam iliarizado con estos térm inos, revi-

Sección 2 .3 : Eventos 31 sernos brevem ente que si A y B son dos subconjuntos cualquiera de un espacio mucs- tral S, su unión A U B es el subconjunto de S que contiene todos los elem entos que es­ tán en A , en B o en am bos; su intersección A D B es el subconjunto de 5 que contiene todos los elem en to s que están tan to en A com o en B , y el com plem ento A ' de A es el subconjunto de S que contiene todos los elem entos de S que no están en A . En los ejer­ cicios 2.1 a 2.4 se p u e d e e n c o n trar algunas de las reglas q u e co n tro lan la form ación de uniones, intersecciones y complementos. A m enudo se describen los espacios m uéstrales y los eventos, particularm ente las relaciones entre eventos, por m edio de diagram as de Venn. en los cuales el espacio m ues­ tra! se representa con un rectángulo, en tanto que los eventos se denotan con regiones dentro del rectángulo, usualm ente con círculos o partes de círculos. Por ejem plo, las re­ giones som breadas en los cuatro diagram as de Venn de la figura 2.3 representan, respec­ tivam ente. al evento A , al com plem ento del evento A. a la unión de los eventos A y B, y a la intersección de los eventos A y B. C uando estam os trabajando con tres eventos, por lo com ún dibujam os los círculos com o en la figura 2.4. A quí, las regiones se num eran del 1 al 8 para facilitan la referencia. A' A\\JB A C \\B F igura 2.3 Diagramas de Venn. Figura 2.4 Diagrama de Venn.

Capítulo 2: Probabilidad A y B son mutuamente excluycntes A está contenido en tí Figura 2.S Diagramas que m uestran relaciones especiales entre eventos. Para indicar las relaciones especiales entre eventos, a veces dibujam os diagramas com o los de la figura 2.5. A quí, el de la izquierda sirve para indicar que los eventos A y B son m utuam ente exduyentes; esto es, que los dos conjuntos no tienen elem entos en com ún (o que los dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiem po). C uando A y B son m utuam ente exduyentes, escribim os A H B = 0 , donde 0 denota el conjunto vado, el cual no tiene elem ento alguno. El diagram a de la derecha sirve para indicar que A está contenido en B, y sim bólicamente lo expresam os con A C B. EJERCICIOS 2.1 U se diagram as de Venn para verificar que (a) ( i 4 U f i ) U C e s el m ism o e v e n to q u e A U ( B U C); (b ) A f l ( B U C ) e s el m ism o e v e n to q u e ( / I f l f l ) U (>4 D C ) ; (c) A U (B H C ) es el mismo evento que (A U B ) D (A U C). 2.2 Con diagram as de Venn verifique las dos leyes de D e M organ: (a) (A D B )' = A 'U B '\\ (b) (A U B )' = A ' fl B '. 2.3 Use diagram as de Venn p ara verificar que si A está contenida en B . entonces A r \\ B = A y A r \\ B ' = <A. 2.4 Con diagram as de Venn verifique que (a) ( A D B ) U ( A Cl B ' ) = A: (b) ( / t n f i ) u ( > 4 n f l ' ) u ( / i ' n f l ) = a u b -, (c) A U ( A ' n B ) = A U B. A P L IC A C IO N E S 2.5 Si 5 = { 1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,6 ,7 .8 ,9 } , A = { 1 ,3 ,5 ,7 } .fí = {6 , 7 ,8 ,9 } ,C = { 2 ,4 ,8 } , y D = { 1 ,5 ,9 } , liste los elem entos de los subconjuntos de S que corresponden a los siguientes eventos: (a) A ' H B ; (b ) { A ' D B ) f l C; (c) f l ' U C ; (d) ( f í 'U C ) r i D ; (e ) A ' Cl C; (f) ( A 'n C ) n D . 2.6 U na em presa de electrónica planea construir un laboratorio de investigación en el sur de California y la dirección debe elegir entre locales en Los Ángeles, en San Diego, en Long Beach, en Pasadcna, en Santa B árbara, en A naheim , en Santa M ónica, y en W estwood. Si A representa el evento de que escogerán un local

Sección 2 .3 : Eventos 33 en San Diego o Santa B árbara, B representa el evento de que se decidirán por un sitio en San Diego o Long Beach, C representa el evento de que lo eligirán en Santa B árbara o Anaheim , y D representa el evento de que lo escogerán en Los Á ngeles o Santa B árbara, haga una lista de los elem entos de cada uno de los siguientes subconjuntos del espacio m uestral, que consiste en ocho seleccio­ nes de local: (a) A'; (b) D'\\ (c) C f lD ; (d) B n C; (e) B U C ; (f) /4 U B; (g) C U D ; (h) (B U C )'; (i) B' O C' 2.7 E ntre los ocho autom óviles que un vendedor tiene en su sala de exhibición, el au­ tomóvil 1 es nuevo, tiene aire acondicionado, dirección hidráulica y asientos de cubo; el vehículo 2 , tiene un año de uso, tiene aire acondicionado, pero no tiene ni dirección hidráulica ni asientos de cubo; el autom óvil 3, tiene dos años de uso. tiene aire acondicionado y dirección hidráulica, p ero no tiene asientos de cubo; la unidad 4 tiene tres años de uso, tiene aire acondicionado pero no tiene ni direc­ ción hidráulica ni asientos de cubo; el vehículo 5 es nuevo, no tiene aire acon­ dicionado, ni dirección hidráulica ni asientos de cubo; el autom óvil 6 tiene un año de uso, tiene dirección hidráulica, pero no tiene ni aire acondicionado ni asien­ tos de cubo; el vehículo 7 tiene dos años de uso, no tiene aire acondicionado, ni dirección hidráulica ni asientos de cubo; y la unidad 8 tiene tres años de uso. no tiene aire acondicionado, pero tiene dirección hidráulica así com o asientos de cu­ bo. Si un cliente com pra uno de estos autom óviles y el evento de que com pre un vehículo nuevo, por ejem plo, se representa con el conjunto {automóvil 1, autom ó­ vil 5}, indique en form a sim ilar los conjuntos que rep resen tan los eventos d e que (a) se decida p o r un autom óvil sin aire acondicionado; (b) escoja una unidad sin dirección hidráulica; (c) escoja un vehículo con asientos de cubo; (d) escoja un autom óvil que tenga dos o tres años de uso. 2JI Con respecto al ejercicio 2.7, enuncie con palabras qué clase de autom óvil esco­ gerá elcliente, si su elección está dada por (a) el com plem ento del conjunto del inciso (a); (b) launión de los conjuntos de los incisos (b) y (c); (c) laintersección de los conjuntos de los incisos (c) y (d); (d ) laintersección de los incisos (b) y (c) de este ejercicio. 2.9 Si la señora Brown com pra una de las casas anunciadas para su venta en un dia­ rio de S eattle (en un dom ingo dado), T es el evento de que la casa tiene tres o m ás baños, U es el evento de que tiene una chim enea, V es el evento de que cuesta m ás de $100,(XX), y W e s el e v e n to de q u e es nueva, d escrib a (con p a la ­ bras) cada uno de los siguientes eventos: (a) T \\ (b) ÍT; (c) V'\\ (d ) W' - (e) T C U ; (f) T (IV: (g) w n v - (h) V U W; (i) V' U W: (j) T U U; (k ) T U V; (i) v n w.

Capítulo 2: Probabilidad 2.10 U n hotel recreativo tiene dos cam ionetas, que usa para trasladar a sus huéspe­ des del hotel al aero p u erto y viceversa. Si la m ás grande de las dos cam ionetas p u ed e llevar cinco pasajeros y la m ás p eq u eñ a pu ed e llevar cu atro pasajeros, el p u n to (0 ,3 ) representa el evento de que en un m om ento dado la cam ioneta más grande está vacía, en tanto que las m ás pequeña tiene tres pasajeros, el punto (4,2) representa el evento de que en un m om ento dado la cam ioneta más gran­ d e tien e c u a tro p asajero s e n ta n to q u e las m ás p e q u e ñ a tie n e do s p a s a je ro s ,..., dibuje una figura que m uestre los 30 puntos del espacio m uestral correspon­ diente. T am bién, si E rep re sen ta el ev e n to de que al m enos una de las cam ione­ tas está vacía, F representa el evento de que juntas llevan dos, cuatro o seis pasajeros, y G representa el evento que cada una lleva el m ism o núm ero de p a ­ sajeros, enum ere los puntos del espacio m uestral que corresponde a cada uno de los siguientes eventos: (a) E; (b) E; (c) G; (d) E U E ; (e) E lT E ; (f) F U G; (g) E U F ; (h) E f lG '; (i) F' C E \\ 2.11 Se lanza una m oneda al aire una vez. E ntonces, si cae cara, se tira un dado una vez; si cae cruz, el dado se tira dos veces más. Utilice la notación en la que (H , 2), por ejem plo, denota el evento de que la m oneda cae cara y entonces el dado cae en 2, y (T, T, T ) d en o ta el evento de que la m oneda cae cruz tres veces segui­ das, para enum erar (a ) los 10 e le m en to s d el esp acio m u estral S\\ (b) los elem entos de S que corresponden al evento A de que caiga exactam en­ te una cara; (c) los elem entos de S que corresponden al evento B de que caiga al m enos do s v eces cruz o un n ú m ero m ayor q u e 4. 2.12 U n juego electrónico contiene tres com ponentes dispuestos en el circuito en se­ rie p aralelo de la figura 2.6. E n un m om ento dado cualquiera, cada com po n en ­ te puede estar en operación o no, y el juego funcionará sólo si hay un circuito ininterrum pido de P a Q. Sea A el evento de que el ju ego funcionará; sea B el evento de que el juego funcionará aunque el com ponente x no esté en opera­ ción; y sea C el evento de que el juego funcionará aunque el com ponente y no esté en operación. U se la notación en la cual (0 ,0 ,1 ), p or ejem plo, denota que el com ponente z está en operación pero los com ponentes x y y no lo están, y (a) enum ere los elem entos del espacio m uestral S y tam bién los elem entos de 5 q u e corresponden a los eventos A , B y C; (b) determ ine qué pares de eventos, A y B , A y C o B y C , son m utuam ente excluyentes. F ig u ra 2 .6 D iagram a para el ejercicio 2.12.

Sección 2 .3 : Eventos 35 2 .1 3 U n experim ento consiste en tirar un dado hasta que aparezca un 3. D escriba el espacio m uestral y determ ine (a) cuántos elem entos del espacio m uestral corresponden al evento de que el 3 ap a re z ca en el Arésimo tiro d el dado; (b) cuántos elem entos del espacio m uestral corresponden al evento de que el 3 no caerá después del Pésimo tiro del dado. 2.14 Si 5 = [x 10 < x < 10}, M = { * |3 < * S 8 }, y N = | * | 5 < * < 10), encuentre (a) M U N: (b) A /fl N\\ (c) M D /V'; (d) M' U N. 2 .1 5 Exprese sim bólicam ente el espacio m uestral 5 que consiste en todos los puntos (x .y ) sobre o d e n tro de una circunferencia de radio 3 centrado en el p u nto (2, —3). 2.16 E n la figura 2.7. L es el e v e n to d e q u e una c o n d u c to ra ten g a seg u ro de re sp o n ­ sabilidad civil y C es el evento de que tenga seguro contra accidentes. Exprese con p a la b ra s q u é ev en to s e stán re p re se n ta d o s en las reg io n es 1, 2. 3 y 4. F igura 2.7 Diagrama de Venn para el ejercicio 2.16. 2 .1 7 C on respecto al ejercicio 2.16 y la figura 2.7. ¿qué eventos están representados en (a) las regiones 1 y 2 juntas; (b) las regiones 2 y 4 juntas; (c) las regiones 1.2 y 3 juntas; (d) las regiones 2. 3 y 4 juntas? 2.18 E n la figura 2.8. £ , T, y N son los ev en to s d e q u e un au to m ó v il en un talle r n e ­ cesite una reparación m ayor del m otor, reparaciones en la transm isión o n eu­ m áticos nuevos. Con palabras exprese los eventos representados en F ig u ra 2 .8 Diagram a d e Venn para el ejercicio 2.18.

36 Capítulo 2: Probabilidad (a) región 1; (b) reg ió n 3; (c) reg ió n 7; (d) regiones 1 y 4 juntas; (e) regiones 2 y 5 juntas; (f) regiones 3 ,5 , 6 y 8 juntas. C on respecto al ejercicio 2.18 y la figura 2.8, enum ere la región o com binación de regiones que represente los eventos de que un autom óvil en el taller necesite (a) rep aracio n es de la transm isión, p ero no reparación m ayor del m o to r ni neum áticos nuevos; (b) una reparación m ayor del m otor y reparaciones de la transmisión; (c) reparaciones de la transm isión o neum áticos nuevos, pero no una rep ara­ ción m ayor del m otor; (d) neum áticos nuevos. 2.20 E n un grupo de 200 estudiantes universitarios, 138 están inscritos en un curso d e psicología, 115 e stá n en un c u rso de sociología, y 91 e stá n inscritos en am ­ bos. ¿C uántos de estos estudiantes no están inscritos en ninguno de los cursos? (Sugerencia: D ibuje un diagram a de Venn apropiado y anote los núm eros aso­ ciados con las diversas regiones.) 2.21 U na organización de investigación de m ercado afirma que, de 500 com pradores entrevistados. 308 co m p ran regularm ente el p roducto X , 266 el p ro d u cto K, 103 com pran regularm ente ambos, y 59 no com pran ninguno en forma regular. Utili­ ce un diagram a de Venn y anote el núm ero de com pradores asociado con las di­ versas regiones para verificar si el resultado de este estudio debe ponerse en duda. 2.22 D e 120 visitantes de D isneylandia, 74 perm anecieron en el parque p o r lo m enos 3 horas. 8 6 gastaron al m enas $20.64 tom aron el paseo del M atterhom . 60 se que­ daron al m enos 3 horas y gastaron por lo m enos $20. 52 perm anecieron cuando m enos 3 horas y tom aron el paseo del M atterhom , 54 gastaron al m enos $20 y to­ m aron el paseo del M atterhom y 48 perm anecieron 3 horas cuando menos, gasta­ ron al m enos $20 y tom aron el paseo del M atterhom . Dibuje un diagrama de Venn con tres círculos (com o el de la figura 2.4) y anote los núm eros asociados con las diversas regiones, encu en tre cuántos de los 120 visitantes a D isneylandia (a) perm anecieron en el parque al m enos 3 horas, gastaron $20 por lo menos, pero no tom aron el paseo del M atterhom ; (b) tom aron el paseo del M atterhom , pero perm anecieron en el parque me­ nos d e 3 horas y gastaron m enos de $20; (c) perm anecieron en el parque m enos de 3 horas, gastaron al m enos $20, pe­ ro no tom aron el paseo del M atterhom . 2 .4 LA P R O B A B ILID A D DE UN EV EN TO Para form ular los postulados de probabilidad, seguirem os la práctica de den o tar los even­ tos m ediante letras mayúsculas, y escribirem os la probabilidad del evento A com o P(A), la probabilidad del evento B como P(B), y así sucesivamente. Com o antes, denotarem os el co n ju n to de todos los resultados posibles, el espacio m uestral, con la letra S.

Sección 2 .4 : La p robabilidad de un even to 37 Las probabilidades son los valores de una función de co n ju n ta tam bién conocida com o medida de probabilidad, ya que. com o verem os, esta función asigna n ú m ero s rea­ les a los diversos subconjuntos de un espacio m uestral 5. Tal como los form ularem os aquí, los postulados de probabilidad se aplican sólo cuando el espacio m uestral S es discreto. postulado 1 La probabilidad de un evento es un núm ero real no negativo; es­ to es, P [ A ) ^ 0 para cualquier subconjunto A d e S. postulado 2 postulado 3 P ( S ) = 1. Si A ¡ , A 2, A 3 es una secuencia finita o infinita de eventos m utuam ente excluyentes de 5, entonces P { A t U A 2 U A 3 U ■•• ) = P ( A t ) + P { A 2) + P ( A 3) + Los postulados per se n o requieren dem ostración, p ero si se va a aplicar la teoría resultante debem os dem ostrar que se satisfacen los postulados cuando dam os a las pro­ babilidades un significado “real”. Ilustrem os esto aquí, en relación con la interpretación de frecuencia; la relación entre los postulados y el concepto clásico de probabilidad se exam inará en la página 41. m ientras que la relación en tre los postulados y las p ro b ab i­ lidades subjetivas se deja al lector p a ra su ex am en e n los ejercicios 2.34 y 2.56. Puesto que las proporciones siem pre son positivas o cero, el prim er postulado es­ tá en com pleto acuerdo con la interpretación de frecuencia. El segundo postulado enun­ cia indirectam ente que la certidum bre está identificada con una probabilidad de 1 ; después de todo, siem pre se supone que debe ocurrir una de las posibilidades en S, y es a este e v e n to c ie rto q u e asignam os una p ro b ab ilid a d de 1. H a sta d o n d e co n ciern e a la interpretación de frecuencia, una probabilidad de 1 implica que el evento en cues­ tión ocurrirá 1 0 0 % de las veces o. en otras palabras, que ocurrirá con certeza. Tom ando el tercer postulado en el caso más simple, que es para dos eventos m u­ tu am e n te excluyentes A x y A 2, se puede ver fácilm ente que se cum ple por la in te rp re ­ tación de frecuencia. Si un evento ocurre, digamos, 28% de las veces, o tro evento ocurre 39% de las veces, y am bos eventos no pueden ocurrir al mismo tiem po (es decir, son m utuam ente excluyentes), entonces uno o el o tro ocurrirá 28 + 39 = 67% de las ve­ ces. Así, el tercer postulado se cumple, y el mismo tipo de argum ento se aplica cuando hay más de dos eventos m utuam ente excluyentes. A ntes de que estudiemos algunas de las consecuencias inmediatas de los postulados de probabilidad, subrayemos el punto que los tres postulados no nos dicen cóm o asignar pro­ babilidades a los eventos; ellos m eram ente r fingen las m aneras en que se puede hacer. EJEMPLO 2.7 U n experim ento tiene cuatro resultados posibles, A . B , C y D, que son m utuam ente exclu­ yentes. Explique p o r qué las siguientes asignaciones de probabilidades no están permitidas: (a ) P ( A ) = 0.12. P ( B ) = 0.63. P (C ) = 0.45, P ( D) = -0 .2 0 ; (b> r w - /w = = § ,/> (/»

38 Capítulo 2: Probabilidad Solución (a ) P ( D ) = —0.20 v io la e l p o s tu la d o 1; (W ^ - ^ u . u c u » , - 4 . y esto viola el postulado 2 . ▲ P or supuesto, en la práctica real las probabilidades se asignan con base en la ex­ periencia pasada, sobre la base de un análisis cuidadoso de las condiciones subyacen­ tes, sobre la base de juicios subjetivos, o sobre la base de suposiciones —algunas veces la suposición de que todos los resultados posibles son equiprobables. Para asignar una m edida de probabilidad a un espacio m uestral, no es necesario especificar la probabilidad para cada subconjunto posible. E sto es afortunado, pues un espacio m u estral con tan p o cas co m o 20 resu ltad o s posibles ya tien e 2 20 = 1,048,576 sub- conjuntos [la fórm ula general resulta d irectam ente del inciso (a) del ejercicio 1.14], y el n ú m ero d e su b c o n ju n to s crece m uy rá p id a m e n te c u a n d o hay 50 resu ltad o s posibles, 100 resultados posibles o más. En vez de enum erar las probabilidades de todos los subcon­ juntos posibles, a m enudo listam os las probabilidades de los resultados individuales, o puntos m uestra de 5, y entonces hacem os uso del teorem a siguiente. t e o r e m a 2.1 Si A es un e v e n to e n u n e sp ac io m u e stra l d isc re to 5 , e n to n c e s P ( A ) es igual a la sum a de las probabilidades de los resultados individuales que abarcan A. D e m o stra c ió n . S ean 0 X, 0 2, 0 3 la secuencia finita o infinita de resul­ tados que abarcan el evento A. Así A = O , U 0 2 U 0 3 ••• y puesto q ue los resultados individuales, las O, son m utuam ente excluyentes, el tercer postulado de la probabilidad nos da P ( A ) = P ( 0 ¡ ) + P ( 0 2) + P ( 0 3) 4- ••• Esto com pleta la prueba. ▼ Para usar este teorem a, debem os poder asignar probabilidades a los resultados individuales de los experim entos. Los ejem plos siguientes ilustran cóm o se hace esto en algunas situaciones especiales. EJEMPLO 2.8 Si lanzam os dos veces una m oneda balanceada, ¿cuál es la probabilidad de sacar al m e­ nos una cara? Solución El espacio m uestral es 5 = {HH, HT, TH , TT}, donde H y T denotan cara y cruz. Puesto que suponem os que la m oneda está balanceada, estos resultados son

Sección 2 .4 : La p robabilidad de un even to 39 igualm ente posibles y asignam os a cada p u n to m uestra la probabilidad de 4. D e­ notem os con A el evento que sacamos al m enos una cara, obtenem os A = {H H .H T .T H } * y P { A ) = P ( H H ) + P{ H T ) + P ( T H ) 3 4 EJEM PLO 2.9 Un dado está arreglado de m anera que cada núm ero im par tiene el doble de probabi­ lidad de ocurrir que un núm ero par. Encuentre P { G) , donde G es el evento que un nú­ m ero m ayor que 3 ocurra en un solo tiro del dado. Solución El esp acio m u e stra l e s S = {1. 2, 3, 4, 5, 6 }. P o r ta n to , si asignam os la p ro b a b i­ lidad w a cada núm ero par y la probabilidad 2 w a cada núm ero impar, encontra­ m os que 2 w + w + 2 w + w + 2tv + w = 9 w = 1 de acuerdo al postulado 2 . Se deduce que w = \\ y 12 14 ' , <C > = S + 9 + 9 - 9 ‘ Si un espacio m uestral es contablem ente infinito, se tendrán que asignar las pro­ babilidades a los resultados individuales m ediante una regla m atem ática, preferente­ m ente m ediante una fórm ula o una ecuación. EJEMPLO 2.10 Si p a ra un e x p e rim e n to dado. O ,. 0 2. 0 3, .... e s u n a secu en cia infinita de resultados, ve­ rificar que P{°¡) = Q j para i = 1 ,2 .3 ,... es, realm ente, una m edida de probabilidad. Solución Puesto que las probabilidades son todas positivas, queda por dem ostrar que P ( S ) = 1. A l o b te n e r P { S ) = { + í + i + l í + •\" y m ediante la fórm ula para la sum a de térm inos de una progresión geom étrica infinita, encontram os que

Capítulo 2: Probabilidad P(S) = 1 =1 E n relación con el ejem p lo p rec e d e n te , la p a la b ra “ su m a\" e n el te o re m a 2.1 te n ­ drá que ser interpretada para que incluya el valor de una serie infinita. C om o verem os en el capítulo 5, la m edida de probabilidad del ejem plo 2.10 sería apropiada, p o r ejem plo, si O , es el evento de que una persona que lanza una m oneda balanceada obtendrá una cruz por prim era vez en el íésimo lanzam iento de la m oneda. Así, la probabilidad de que la prim era cruz venga en el tercer, cuarto o q u into lanza­ m iento de la m oneda es y la probabilidad de que la prim era cruz salga en un lanzam iento de núm ero im par es 1 A quí o tra vez usam os la fórm ula para la sum a de los térm inos de una progresión geo­ m étrica infinita. Si un experim ento es tal que podem os suponer probabilidades iguales para todos los p u n to s m u e stra , c o m o fue el caso en el ejem p lo 2 .8 , p o d e m o s to m a r v e n ta ja d el si­ guiente caso especial del teorem a 2 .1 . TEOREMA 2 .2 Si un experim ento puede resultar en cualquiera de N resultados diferentes igualm ente probables, y si n de estos resultados ju n to s constituyen el evento A, entonces la probabilidad del evento A es D em ostración. R epresentem os los resultados individuales en 5 con O,, O 2 ,..., O N cada uno con una probabilidad Si A es la unión de n de estos re ­ sultados m utuam ente excluyentes, y no im porta cuales, entonces