Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

Published by lavanh9979, 2021-08-24 09:13:03

Description: ວິຊາ คณิตศาสตร์วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

Search

Read the Text Version

คาํ นาํ ตําราวิชาคณิตศาสตรวิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส ใชประกอบการสอนวิชาคณิตศาสตร วศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ในปก ารศกึ ษา 1/2558 และปการศึกษา 2/2558 สาํ หรบั ตําราเลม นี้ มเี นื้อหา ทัง้ หมด 10 บท ดังน้ี คือ บทท่ี 1 อนุพันธของฟงกชัน บทท่ี 2 การหาปริพันธ บทที่ 3 แบบจําลอง คณิ ตศ าสตร ข อง ระ บบ บ ท ที่ 4 สมก าร อนุพั นธ สา มัญ อั นดั บหน่ึง บ ท ที่ 5 สมก า ร อนุพันธแบบเอกพันธ บทที่ 6 สมการอนุพันธแบบแมนตรง บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลับ และ บทท่ี 10 การประยุกตใช ลาปลาซทรานสฟอรม ซึ่งในปการศึกษา 1/2558 และปการศึกษา 2/2558 ท้ังสองภาคเรียนไดมีการ ใชต ําราเลม นี้ตง้ั แตบ ทท่ี 3 จนถึงบทท่ี 10 สว นเนือ้ หาในบทท่ี 1 และ บทท่ี 2 เปนการทบทวนความรู ที่ไดเ รยี นมาแลวในวชิ าคณิตศาสตร 1 ซึ่งเนื้อหาในบทที่ 1 และ บทที่ 2 ผเู ขียนจะทบทวนเน้อื หาให นักศึกษาในชวงเย็นหลังเลิกเรียนในสัปดาหแรกของการเปดภาคเรียน เพ่ือใหนักศึกษาสามารถ นําพ้ืนฐานในการหาปริพันธและอนุพันธมาใชในการแกสมการแบบอนุพันธในระดับสูงได โดยมีการแทรกบทประยุกตทางดานวิศวกรรมไฟฟาและวงจรอิเล็กทรอนิกสเขาไปในเนื้อหา แตละบท เพื่อใหผูเรียนสามารถนําวิชาคณิตศาสตรในการแกปญหาในชีวิตประจําวัน ตลอดจน สามารถวิเคราะหลักษณะการทํางานทางดานไฟฟาและวงจรอิเลก็ ทรอนิกสไดอยา งเปนระบบ ผูเขียนตองขอขอบคุณ บิดา มารดา ท่ีอุปการะเลี้ยงดูใหการสนับสนุนและสงเสริม ดานการศกึ ษาเพ่ือเปน แนวทางในการประกอบอาชีพและอบรมเลี้ยงดใู หเตบิ โตในสังคม ขอบคุณ รศ.ดร.อลงกรณ พรมที ท่ีเปนกําลังใจในการแตงเรียบเรียงผลงานเลมน้ี ขอขอบคุณ รศ.สมชาย ช่ืนวัฒนาประณิธิ ท่ีเปนตนแบบในการเรียนรูทักษะการทํางาน ขอขอบคุณคณะผูบริหาร คณะเทคโนโลยี และผบู รหิ ารมหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี ท่ีใหโอกาสและสนับสนุนการทําผลงาน ในคร้ังน้ี ขอบคุณ คุณหถั ยา คําภาษี เจาหนา ที่หองปฏบิ ัติการสาขาวิศวกรรมไฟฟา ที่ชวยเรยี บเรยี ง รูปเลมตาํ ราใหม คี วามสวยงามและสมบูรณ จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย มกราคม 2558

คณติ ศาสตรวศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส Electronics Engineering Mathematics ผศ.จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย คณะเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี 2558

คณติ ศาสตรวิศวกรรมอเิ ล็กทรอนิกส Electronics Engineering Mathematics ผศ.จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย วศ.ม. (วิศวกรรมไฟฟา ) คณะเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี 2558

สารบัญ หนา คาํ นาํ ..............................................................................................................................................(1) สารบญั ..........................................................................................................................................(3) สารบญั รปู ภาพ ..............................................................................................................................(7) สารบัญตาราง ..............................................................................................................................(13) บทที่ 1 อนพุ ันธของฟง กชัน .....................................................................................................1 1.1 บทนํา........................................................................................................................1 1.2 กฎสาํ หรับการหาอนพุ นั ธ.........................................................................................4 1.3 กฎของลกู โซ ..........................................................................................................10 1.4 อนุพันธข องฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ..............................................................................12 1.5 การหาอนุพนั ธข องฟงกช ันตรโี กณมิติผกผัน..........................................................14 1.6 อนพุ นั ธข องฟง กชนั ลอการทิ มึ ...............................................................................17 1.7 อนพุ นั ธข องฟงกช ันเลขชก้ี ําลัง...............................................................................18 1.8 การประยกุ ตอนุพนั ธข องฟง กช นั ...........................................................................19 1.9 สรุป........................................................................................................................25 แบบฝกหัดทายบท......................................................................................................... 27 เอกสารอางองิ ................................................................................................................29 บทท่ี 2 การหาปริพนั ธ .............................................................................................................31 2.1 ความหมายของปริพนั ธ..........................................................................................31 2.2 ปริพันธไ มจาํ กดั เขต................................................................................................32 2.3 ปริพันธจํากดั เขต .................................................................................................... 33 2.4 ทฤษฎีบทหลักมูล................................................................................................... 33 2.5 การหาปรพิ ันธโ ดยใชส ูตร......................................................................................34 2.6 การหาปริพนั ธก รณที ีไ่ มส ามารถหาปรพิ ันธโดยตรงใหใ ชสตู ร..............................46 2.7 การหาปรพิ นั ธโดยวิธแี ทนคาหรอื เปลย่ี นตวั แปร (ใชสตู รมาตรฐาน) ....................47

(4) สารบัญ (ตอ ) หนา 2.8 การหาปริพนั ธฟ งกชนั ตรรกยะ...............................................................................49 2.9 การประยกุ ตป รพิ นั ธ...............................................................................................55 2.10 สรปุ ......................................................................................................................61 แบบฝก หดั ทายบท.........................................................................................................62 เอกสารอา งอิง................................................................................................................63 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองสมการทางคณติ ศาสตร .........................................................................65 3.1 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรข องระบบเชงิ กล.........................................................65 3.2 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบทางไฟฟา ...................................................71 3.3 สรุป........................................................................................................................92 แบบฝกหดั ทายบท.........................................................................................................94 เอกสารอางองิ ................................................................................................................96 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธส ามัญอนั ดับหนง่ึ .............................................................................97 4.1 บทนาํ ......................................................................................................................97 4.2 สมการเชิงอนุพนั ธส ามัญและอนั ดับ ......................................................................99 4.3 ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ............................................................................101 4.4 การแกส มการเชิงอนุพนั ธอ นั ดับหนึ่ง................................................................... 105 4.5 สมการเชงิ อนพุ ันธสามัญอันดับหนง่ึ กับการประยกุ ตใชงานทางไฟฟา ................115 4.6 สรุป......................................................................................................................150 แบบฝกหดั ทา ยบท.......................................................................................................151 เอกสารอา งองิ ..............................................................................................................153 บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพันธ..................................................................................155 5.1 นิยามของสมการแบบเอกพนั ธ.............................................................................155

(5) สารบัญ (ตอ) หนา 5.2 ขนั้ ตอนการแกส มการแบบเอกพันธ..................................................................... 157 aa21xx++bb12yy++mm 5.3 การแกสมการท่ีอยูในรปู dy = เมื่อ a1b2 - a2b1¹0 ...................171 dx 5.4 สรุป......................................................................................................................176 แบบฝกหัดทา ยบท.......................................................................................................178 เอกสารอา งอิง..............................................................................................................179 บทที่ 6 สมการอนุพนั ธแบบแมนตรง..................................................................................181 6.1 สมการเชงิ อนพุ นั ธแบบแมน ตรง..........................................................................181 6.2 การแกสมการแบบแมน ตรงโดยใชผลตางเชิงอนพุ ันธ .........................................182 6.3 การหาผลเฉลยสมการเชงิ อนพุ ันธแบบแมนตรง..................................................183 6.4 สมการเชิงอนุพนั ธอ ันดบั ทห่ี นึ่งแบบไมแมนตรง.................................................191 6.5 สรุป......................................................................................................................201 แบบฝกหัดทา ยบท.......................................................................................................202 เอกสารอา งองิ ..............................................................................................................203 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน .....................................................................................205 7.1 สมการเชงิ อนพุ ันธเ ชิงเสนอนั ดับหนง่ึ .................................................................. 205 7.2 การหาผลเฉลยสมการเชิงเสน อนุพนั ธอ นั ดับทห่ี นงึ่ .............................................206 7.3 สมการแบรนูลลี ................................................................................................... 218 7.4 สมการเชงิ อนุพนั ธเ ชงิ เสน อันดบั สอง................................................................... 221 7.5 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอนั ดับ n.......................................................................234 7.6 สรปุ ......................................................................................................................288 แบบฝกหดั ทา ยบท.......................................................................................................289 เอกสารอางองิ ..............................................................................................................291

(6) สารบญั (ตอ) หนา บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ .....................................................................................................293 8.1 ปริพนั ธไ มต รงแบบ..............................................................................................294 8.2 การคาํ นวณหาลาปลาซทรานสฟอรม ................................................................... 298 8.3 คุณสมบัติของลาปลาซทรานสฟอรม ................................................................... 307 8.4 สรปุ ......................................................................................................................325 แบบฝก หดั ทา ยบท.......................................................................................................326 เอกสารอางองิ ..............................................................................................................328 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลบั ......................................................................................329 9.1 ความหมายของลาปลาซทรานสฟ อรม กลับ..........................................................329 9.2 คณุ สมบตั ิของลาปลาซทรานสฟอรมกลบั ............................................................331 9.3 การแยกเศษสวนยอย ............................................................................................339 9.4 สรุป......................................................................................................................361 แบบฝก หดั ทายบท.......................................................................................................362 เอกสารอางองิ ..............................................................................................................364 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม .................................................................367 10.1 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม กบั สมการอนพุ ันธธ รรมดา.....................368 10.2 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรมกบั วงจรไฟฟา.........................................380 10.3 การประยกุ ตล าปลาซทรานสฟอรมในระบบควบคมุ .........................................400 10.4 สรุป....................................................................................................................419 แบบฝกหัดทายบท....................................................................................................... 420 เอกสารอา งองิ ..............................................................................................................422 บรรณานุกรม ............................................................................................................................ 425 ดชั นี............................................................................................................................................427 ภาคผนวก.................................................................................................................................. 429

สารบัญรูปภาพ รูปท่ี หนา 1.1 อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y หรือ f (x) ในชว ง x1 ถงึ x1+h ......................................................1 1.2 อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ตําแหนง x = x1................................................................................2 1.3 เสน ตรงสมั ผสั เสน โคง ณ จดุ x0.............................................................................................19 1.4 จุดตํา่ สุดและสงู สดุ ของกราฟ ................................................................................................21 2.1 นิยามการหาปรพิ นั ธ..............................................................................................................32 2.2 การเก็บสะสมประจขุ องตวั เกบ็ ประจุ ....................................................................................37 2.3 กราฟการเก็บสะสมประจขุ องตวั เกบ็ ประจุ ...........................................................................38 2.4 กราฟฟงกช ันไซนและโคไซน...............................................................................................41 2.5 พนื้ ท่รี ะหวางโคง ...................................................................................................................57 2.6 วงจรตวั อยา งที่ 2.29...............................................................................................................58 2.7 วงจรตวั อยา งที่ 2.30...............................................................................................................59 2.8 วงจรตวั อยางที่ 2.31...............................................................................................................60 3.1 แรงทกี่ ระทําตอวตั ถุมวล M ................................................................................................... 65 3.2 แรงภายนอกทก่ี ระทําตอสปรงิ ..............................................................................................66 3.3 สปริงและแผนภาพบลอ็ กสปริง.............................................................................................66 3.4 แบบจําลองทางกลของตัวหนว ง............................................................................................67 3.5 แรงหนวงของสปริง...............................................................................................................67 3.6 การหมนุ เชิงมมุ ......................................................................................................................68 3.7 แบบจําลองระบบสปริงและมวล ...........................................................................................70 3.8 การจําลองระบบเชิงกล มวล- สปริง- ตวั หนว ง......................................................................70 3.9 สญั ลักษณข องตวั ตานทาน..................................................................................................... 71 3.10 แบบจาํ ลองของตวั ตานทาน................................................................................................... 71 3.11 วงจรไฟฟา ท่ีเช่อื มตอกบั ตัวตา นทาน.....................................................................................73 3.12 แบบจําลองทางไฟฟา ของตัวเหนีย่ วนํา..................................................................................74 3.13 แบบจาํ ลองทางไฟฟาของตัวเกบ็ ประจุ..................................................................................76 3.14 ระบบทางกลอยา งงา ย............................................................................................................79 3.15 การสรา งรม ชชู พี สาํ หรบั ไข................................................................................................... 80

(8) สารบัญรูปภาพ (ตอ) รปู ท่ี หนา 3.16 แบบจําลองการเคล่ือนที่ของวัตถใุ นแนวด่งิ ...........................................................................81 3.17 การเคล่อื นทขี่ องวตั ถทุ ต่ี ดิ กับสปริง.......................................................................................82 3.18 แบบจําลองการตอวงจรไฟฟาแบบอนกุ รม .......................................................................83 3.19 แบบจาํ ลองของมอเตอรไฟฟากระแสตรง .............................................................................84 3.20 แบบจาํ ลองทางไฟฟา ของมอเตอรไ ฟฟากระแสตรง .............................................................85 3.21 กราฟคณุ สมบตั ิของไดโอดในทางปฏิบัติ..............................................................................87 3.22 วงจรเรยี งกระแสแบบครึ่งคล่ืน..............................................................................................88 3.23 วงจรตวั อยา งท่ี 3.23...............................................................................................................89 3.24 วงจรตวั อยางที่ 3.24...............................................................................................................90 3.25 วงจรตวั อยา งที่ 3.24...............................................................................................................91 3.26 วงจรอนกุ รม RL ....................................................................................................................94 3.27 วงจรขนาน RLC ที่มแี หลง จายสญั ญาณขน้ั บนั ได ................................................................. 94 3.28 การเคลอ่ื นทขี่ องรถยนต ........................................................................................................95 4.1 การเคลื่อนทใี่ นแนวตรงของรถไฟ........................................................................................97 4.2 วงจรแบบอนกุ รมของตวั เก็บประจแุ ละตัวตา นทาน..............................................................98 4.3 การปลอยจรวดของเลน บังคับ...............................................................................................98 4.4 การเคล่ือนทขี่ องสปริง...........................................................................................................99 4.5 วงจรตวั ตา นทานและตวั เหนย่ี วนาํ ตออนกุ รมทีส่ ภาวะเริ่มตน .............................................116 4.6 เมื่อสวติ ช ปดวงจรทเี่ วลา t < 0............................................................................................117 4.7 วงจร RL ตออนุกรมกับ R.................................................................................................... 117 4.8 วงจรทาํ งานท่ีสภาวะเรม่ิ ตน ................................................................................................. 117 4.9 วงจรแบบอนกุ รม RC ..........................................................................................................118 4.10 การทาํ งานของตัวเกบ็ ประจใุ นสภาวะเรม่ิ ตน ......................................................................118 4.11 วงจร RC เมือ่ ตอขนานกับ R ................................................................................................118 4.12 ทส่ี ภาวะเริม่ ตน ....................................................................................................................119 4.13 การพิจารณาสภาวะเร่ิมตน ของวงจรท่ีซบั ซอ น.................................................................... 119

(9) สารบัญรปู ภาพ (ตอ) รปู ที่ หนา 4.14 ทีส่ ภาวะเริ่มตนของตวั เหน่ยี วนาํ จะลัดวงจร........................................................................120 4.15 วงจรการตอแบบผสมของ RLC...........................................................................................120 4.16 การทาํ งานที่สภาวะเรม่ิ ตน................................................................................................... 120 4.17 วงจรการตอตวั ตานทานและตวั เหนีย่ วนาํ ............................................................................121 4.18 วงจรตวั อยางที่ 4.16.............................................................................................................123 4.19 วงจรตวั อยางท่ี 4.17........................................................................................................................125 4.20 การผสมการละลายในแทงค. .........................................................................................................127 4.21 การใหค วามรอ นกับแทงเหลก็ .......................................................................................................129 4.22 การเคลือ่ นท่ีในแนวราบ..................................................................................................................131 4.23 การเคลือ่ นท่ีของกอ นหนิ ในแนวด่งิ .............................................................................................133 4.24 นกั กระโดดรมกระโดด...................................................................................................................135 4.25 แบบจาํ ลองการเคลื่อนที่ตามกฎของนวิ ตนั ในแนวดิ่ง.................................................................135 4.26 วงจรตวั อยา งที่ 4.28........................................................................................................................141 4.27 วงจรตวั อยางท่ี 4.29.........................................................................................................................143 4.28 วงจรตวั อยา งท่ี 4.30.........................................................................................................................145 4.29 วงจรตวั อยางท่ี 4.31.........................................................................................................................148 4.30 การหา VTh และ RTh ทต่ี ัวเกบ็ ประจุ................................................................................................148 6.1 วงจรไฟตรงมแี หลงจาย 100V.............................................................................................198 6.2 วงจร RL ท่ี R = 50  , L = 1 H , E = 5 V สภาวะสวติ ช S เริ่มตอวงจร...............................200 7.1 วงจรอนกุ รม RL เมื่อสวิตช S ปดและเปดวงจร ................................................................... 242 7.2 วงจรอนกุ รม RL เมื่อตออยกู บั แหลงจา ยไฟกระแสสลับ .....................................................244 7.3 วงจรไฟตรงมีแหลง จาย 100V.............................................................................................247 7.4 วงจรอนกุ รม RC เม่ือมีแหลง จายไฟเปนไฟฟากระแสสลับ.................................................249 7.5 วงจรขนาน RLC กบั แหลง จา ยกระแส.................................................................................258 7.6 วงจรอันดับสอง RLC...........................................................................................................260 7.7 วงจรอนกุ รม RLC................................................................................................................262

(10) สารบัญรปู ภาพ (ตอ) รปู ที่ หนา 7.8 กระแสท่มี ลี กั ษณะโอเวอรแ ดมป.........................................................................................265 7.9 กระแสเปน ลกั ษณะคริตคิ อลแดมป .....................................................................................268 7.10 แสดงรูปของกระแสในลกั ษณะอนั เดอรแ ดมป.................................................................... 269 7.11 การเคลอ่ื นทข่ี องสปรงิ .........................................................................................................271 7.12 การเคลื่อนทีข่ องสปริงแนวราบ...........................................................................................272 7.13 การเคลอ่ื นทขี่ องสปริงเม่ือมีแรงหนว ง................................................................................274 7.14 วงจรออปแอมป...................................................................................................................278 7.15 วงจรตวั อยา งท่ี 7.49.............................................................................................................281 7.16 วงจรตวั อยา งท่ี 7.50.............................................................................................................284 7.17 วงจรตวั อยา งท่ี 7.51.............................................................................................................286 7.18 วงจรขอ 23...........................................................................................................................290 7.19 วงจรขอ 24...........................................................................................................................291 8.1 ความสมั พันธของลาปลาซทรานสฟ อรม และการแปลงกลบั ...............................................293 8.2 การแกปญ หาวงจรไฟฟาโดยวธิ สี มการอนุพนั ธและวิธลี าปลาซทรานสฟ อรม ...................294 8.3 ฟงกช นั ยนู ติ สเตป็ ................................................................................................................298 8.4 ฟง กชันเอ็กซโ ปเนนเทยี ลของตวั เก็บประจเุ มือ่ มกี ารคายประจุ ...........................................299 8.5 ฟงกช ันไซน. ........................................................................................................................300 8.6 สัญญาณอมิ พลั ส..................................................................................................................302 8.7 ฟงกช นั แกมมา.....................................................................................................................303 8.8 ฟงกชนั ยูนติ สเต็ปท่ีถกู เล่ือนไปทเ่ี วลา t0..............................................................................308 8.9 เม่ือ g(t) = e-4tu(t-3)..............................................................................................................309 8.10 รปู คลนื่ สัญญาณแบบสามเหลี่ยม.........................................................................................317 8.11 รูปคลืน่ ของฟนเลอื่ ย............................................................................................................319 8.12 รปู คลน่ื ................................................................................................................................319 8.13 วงจรเรียงกระแสแบบครึง่ คล่นื และสัญญาณเอาตพุต ..........................................................322 8.14 สัญญาณพัลสรปู ไซน ..........................................................................................................322

(11) สารบัญรปู ภาพ (ตอ ) รปู ที่ หนา 8.15 รปู คล่ืนสัญญาณแบบสเี่ หลย่ี ม.............................................................................................324 10.1 การหาผลเฉลยโดยวิธแี ปลงลาปลาซ...................................................................................368 10.2 วงจรอนกุ รม RC..................................................................................................................380 10.3 วงจรอนกุ รม RL ..................................................................................................................383 10.4 วงจรผสม RL.......................................................................................................................385 10.5 วงจรผสม RC.......................................................................................................................388 10.6 วงจรอนกุ รม RLC................................................................................................................391 10.7 วงจรอนกุ รม RLC................................................................................................................395 10.8 วงจรอนกุ รม RC..................................................................................................................397 10.9 การควบคมุ ปรมิ าณนํา้ ในถัง ................................................................................................400 10.10 ทรานสเฟอรฟ ง กช ัน..........................................................................................................401 10.11 วงจรอนกุ รม RL ................................................................................................................402 10.12 วงจรอนกุ รม RC................................................................................................................403 10.13 วงจรอนกุ รม RLC..............................................................................................................404 10.14 วงจรอนกุ รม RC................................................................................................................406 10.15 วงจรอนกุ รม RC................................................................................................................407 10.16 วงจรอนกุ รม RL ................................................................................................................409 10.17 วงจรตวั อยา งท่ี 10.22.........................................................................................................410 10.18 วงจรตวั อยา งที่ 10.23.........................................................................................................412 10.19 วงจรตวั อยา งที่ 10.24.........................................................................................................413 10.20 วงจรตวั อยา งท่ี 10.25.........................................................................................................414 10.21 วงจรตวั อยางท่ี 10.26.........................................................................................................416

สารบัญตาราง ตารางท่ี หนา 2.1 ตวั อยา งเปรยี บเทยี บผลจากการหาอนพุ ันธและการหาปฎิยานุพันธ. ......................................33 3.1 คณุ สมบตั ขิ องสว นประกอบเชิงกล........................................................................................69 3.2 คณุ สมบัตทิ างกลของสว นประกอบทางไฟฟา .......................................................................77 3.3 การสะสมพลงั งานของอปุ กรณ .............................................................................................78 4.1 การเกบ็ สะสมพลังงานของตวั อุปกรณ. ................................................................................116 8.1 ลาปลาซทรานสฟ อรม .........................................................................................................306 8.2 คุณสมบัตขิ องลาปลาซทรานสฟอรม ..................................................................................313 9.1 ลาปลาซทราสฟ อรมกลับ .................................................................................................... 330 9.2 คุณสมบัติของลาปลาซผกพัน..............................................................................................335 10.1 ความสัมพันธของแรงดนั และกระแส..................................................................................401

บทที่ 1 อนพุ ันธของฟงกชัน 1.1 บทนํา อนุพันธ (Derivative) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสองตัวแปร หรือ อนุพันธของ ฟงกชัน หมายถึง อัตราสวนระหวางผลตางของตัวแปรตาม ตอผลตางของตัวแปรอิสระโดย กําหนดให y = f (x) ซ่ึงหมายถงึ y เปนฟงกชนั ที่ขน้ึ อยกู ับตัวแปร x เมื่อ x เปนตัวแปรอิสระ และ y เปน ตวั แปรตาม เม่อื ตวั แปรอิสระมีการเปลี่ยนแปลงในทิศทางทเ่ี พิ่มขน้ึ หรอื ลดลงก็จะมีผลทําใหต ัว แปรตามมีการเปลี่ยนแปลงไปดวย กําหนดให y = f (x) ซึ่งหมายถึง y เปนฟงกชันท่ีขึ้นอยูกบั ตัว แปร x y y = f (x) f (x1+h) f (x1+h)- f (x1) h f (x1) x1 x1+h x รูปที่ 1.1 อัตราการเปลยี่ นแปลงของ y หรอื f (x) ในชวง x1 ถึง x1+h ถา y มีความตอเน่ืองทุกๆ คาของ x อัตราการเปล่ียนแปลงของ y หรือ f (x) ในชวง x1 ถึง x1+h คอื f  x1 + h- f  x1  (1.1) h อัตราการเป ลี่ยน แป ลงน้ี เรียกวาความชัน (Slope) กรณี ท่ีกราฟ เป นเสน ตรงหรือ y มีการเปลี่ยนแปลงเปนเชิงเสนกับคา x ความชันจะคงที่ แตถา y ไมเปนเชิงเสนกับ x หรือกราฟ เปน เสน โคงดังรูปท่ี 1.1 อตั ราการเปล่ยี นแปลงของตัวแปร y หรือ f (x) ในชว ง x1 ถึง x1+h เปน อตั รา การเปลย่ี นแปลงโดยเฉลี่ย

2 บทท่ี 1 อนพุ นั ธของฟงกช ัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แตถาใหชวงจาก x1 ถึง x1+h แคบเขา น่ันคือให h เขาใกล 0 อัตราการเปลี่ยนแปลงดังกลาว กจ็ ะเขา ใกลอ ัตราการเปล่ียนแปลง ณ ตาํ แหนง x = x1 h x1 h--->0 x1+h รูปท่ี 1.2 อัตราการเปลย่ี นแปลง ณ ตําแหนง x = x1 น่ันคือ hlim0 f  x1 +h- f (x1) คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y หรือ f (x) ณ x = x1 กรณีท่ัวไป f h  x +h- f (x) hlim0 h คอื อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y หรอื f (x) ณ คา x ใดๆ ซึ่งหมายถึง ความชัน ของกราฟหรือฟง กช นั ทจ่ี ดุ x ใดๆ นน่ั เอง อนพุ ันธข องฟง กชนั f ถา y = f (x) เปนฟงกช ันท่ีมีโดเมน f  x +h- f (x) และเรนจเ ปนสบั เซตของจํานวนจรงิ เราเรยี ก hlim0 h ที่หาไดว า อนุพนั ธข องฟงกชัน f ที่ x และเรานยิ มใชสญั ลกั ษณ f (x) หรอื dy แทนอนุพนั ธด งั กลา ว dx 1.1.1 สัญกรณข องไลบนิซ ในป ค.ศ. 1675 กอททฟรีด วิลเฮลม ไลบนิซ ไดเสนอสัญลักษณ dx, dy และ dx/dy เพ่ือแทนการหาอนุพันธของฟงกชัน ซ่ึงสัญลักษณนี้ใชกันอยางทั่วไป เม่ือสมการมีลักษณะ ความสัมพันธเชงิ ฟงกช ันระหวางตวั แปรตนและตัวแปรตาม เชน y = f (x) โดยมี x เปน ตวั แปรตน และ y เปนตวั แปรตาม โดยการเขยี นความสัมพันธของอนุพันธอนั ดบั หน่ึงมีสัญลกั ษณดงั นี้ dy , df (x), หรอื d f (x) dx dx dx สว นอนุพันธอนั ดบั สงู มสี ัญลักษณเปนดังน้ี dny dn f dn dxn , dxn (x), หรอื dxn f (x) โดย n เปน ลําดบั ทข่ี องอนุพนั ธ ตัวอยา งการเขียนอนุพันธอ ันดบั สองของ f (x) เขียนไดด งั น้ี d2y = d  dy  dx 2 dx dx การเขียนอนุพันธของ y ท่ีจุด x = a ในสัญกรณของไลบนิซ มีรูปแบบที่แตกตางกัน สองแบบ ไดแก จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพันธของฟง กชัน 3 dy z=a = dy (a) dx dx การเขียนสมการอนุพันธโ ดยใชสัญกรณของไลบนิซทาํ ใหสามารถระบุตวั แปรในการหา อนุพนั ธได โดยเฉพาะในการหาอนุพนั ธย อ ย และเปนการงายในการใชก ฎของลกู โซ dy dy du dx =  du  dx  1.1.2 สัญกรณข องลากรางจ สัญกรณของลากรางจเปนสัญกรณยุคใหมที่ใชกันมากที่สุดในการหาอนุพันธ หรือ เรียกอีกอยางหนึ่งวา สัญกรณไพรม ซึ่งเสนอโดยโฌแซ็ฟ-หลุยส ลากร็องฌ และใชเคร่ืองหมาย ไพรมเ ปนสญั ลกั ษณอนพุ ันธข องฟงกชัน f (x) เขยี นไดใ นรูป f (x) หรือ f  สวนอนุพนั ธอ นั ดบั สอง และสามสามารถเขยี นไดในรปู ดงั น้ี ( f ) = f  และอนุพนั ธอันดับสามเขียนไดใ นรปู ดงั นี้ ( f ) = f  สว นอนุพันธอันดับที่สูงกวาน้ี บางครั้งจะใชเลขโรมันเปนตัวยก หรืออาจใชจํานวนนับ ในวงเลบ็ แทนได f iv หรือ f (4) รูปท่ัวไปคอื f (n) สาํ หรับอนพุ ันธอ นั ดบั n ของ f สญั กรณแบบลากรางจเ หมาะกบั สมการอนุพันธใ นรูปฟงกช นั ของตวั เอง 1.1.3 สัญกรณข องนิวตนั สัญกรณของนิวตัน หรือเรียกวา สัญกรณจุด การเขียนสมการอนุพันธแบบนี้สามารถ นาํ ไปใชทั่วไปในฟสิกส สมการเชิงอนุพันธ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ เชน การหาอนุพันธเทียบ กับเวลา หรือการเทียบกับความยาวสวนโคง โดยสัญกรณแบบนี้เหมาะในการเขียนอนุพันธที่มี อันดับสูงขน้ึ ในทางปฏบิ ัตจิ ะใชก บั อนพุ นั ธไมกี่อันดับทจี่ ําเปนเทา นัน้ โดยเขียนเคร่ืองหมายจุดไวเหนือชื่อฟงกชันแทนจํานวนคร้ังของการหาอนุพันธ เชน ถา y = f (t) แลว y และ y หมายถงึ อนุพันธอ ันดบั หน่งึ และสองของ y เทียบกบั t ตามลาํ ดบั ตัวอยา งท่ี 1.1 ให f (x) = 2x2+1 จงหาความชนั ของฟง กชนั ท่ี x = 5 วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 จาก f (x) = 2x2+1 แทนคา x = x + h จะได f x + h= 2x + h 2 +1 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

4 บทท่ี 1 อนพุ นั ธข องฟง กช ัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนท่ี 2 หา hlim0 f  x +h - f  x  = hlim0 2 x + h 2 +1-(2 x 2 +1) h h 2 x 2 + 4 xh + 2h2 +1- 2 x 2 -1 = hlim0 h = hlim04 x +2 h = 4x ขนั้ ตอนที่ 3 ความชนั ของฟง กช นั f (x) = 2x2+1 ที่ (x = 5) เทา กับ 4x จะได 4(5) = 20 ตอบ ความชันของฟงกชัน f (x) = 20 1.2 กฎสาํ หรับการหาอนพุ ันธ นิยาม 1.1 อนุพันธของคาคงตัว (Derivative of constant) ถา y = f (x) = C เมื่อ C เปนคาคงตัว สาํ หรับทกุ คา x แลว f (x) = 0 (อนุพนั ธของคาคงตัวมีคา เทากบั ศนู ย) dy f (x) = 0 หรือ dx = 0 นิยาม 1.2 การหาอนุพันธของ xn (เมอื่ n เปน จํานวนเต็มบวก) ถา f เปน ฟง กชัน ซ่ึง y = f (x) = xn เมอื่ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก แลว f (x) = nxn-1 หรอื dy = dx n = nxn-1 dx dx นิยาม 1.3 การหาอนุพันธของผลคูณของคาคงตัวกับฟงกชัน ถา u (x) สามารถหาอนุพันธ ไดที่ x และ f (x) = C.u (x) แลว f (x) = C.u(x) dy d หรอื dx = C dx u(x) ตัวอยา งท่ี 1.2 ถา f1 (x) = 5 และ f2 (x) = 3.5 จงหาอนพุ ันธของ f1 (x) และ f2 (x) d  dx f1(x) = d (5) = 0 dx d d และ dx f2(x) = dx (3.5) = 0 ตอบ d f1(x) = 0 และ d f2(x) = 0 dx dx จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพันธของฟงกชนั 5 ตวั อยางท่ี 1.3 ถา f (x) = x4 จงหาอนพุ ันธของ f (x) จะไดว า n = 4  n – 1 = 3 d d จะได dx f (x) = dx (x4 ) = 4x3 ตอบ d f (x) = 4x3 dx ตวั อยา งที่ 1.4 ถา f (x) = x10 จงหาอนพุ ันธข อง f (x) จะไดว า n = 10  n – 1 = 10-1 = 9 d d จะได dx f (x) = dx ( x10 ) = 10 x 9 ตอบ d f (x) = 10x9 dx ตัวอยางที่ 1.5 จงหาอนพุ ันธของ f (x) = 6x3 f (x) = 6 x3 u(x) = x3 ; n = 3  n - 1 = 2 คาคงที่ C d u( x ) = 3 x 2 dx ดงั น้นั d d ตอบ dx f (x) = 6 dx u(x) d = 6(3)x 2 = 18x2 dx f (x) = 18x2 ตัวอยางท่ี 1.6 จงหาอนพุ นั ธข องฟงกช นั g (p) = 15 p 2 15 f ( p) ถาให f (p) = p แลว g (p) = 2 f (p) = p เม่ือ n = 1 ; n – 1 = 1 – 1 = 0 d ddx f (p) =1 dx g( p) จะได = 15 d f ( p) 2 dx 15(1) 15 = 152 = 2 p) = 2 ตอบ d g( dx จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

6 บทที่ 1 อนุพนั ธของฟง กชนั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส นยิ าม 1.4 อนพุ ันธของผลบวก (Derivative of a sum) ถา u (x) และ v (x) หาอนพุ ันธไ ดท ี่ x ถา f (x) = u (x) + v (x) แลว d d d dx f (x) = dx u(x) + dx v(x) (1.2) ตัวอยา งท่ี 1.7 จงหาอนพุ นั ธข องฟง กช นั f (x) = y = 4x3 + 3x2 - 2x +2 วธิ ที าํ ขั้นตอนที่ 1 พิจารณา f (x) = y = 4x3 + 3x2 - 2x +2 ใชนิยาม 1.4 ขนั้ ตอนที่ 2 แยกพจิ ารณาแตล ะพจนจ ะได d dx f1 (x) = 4x3 ใชน ยิ าม 1.3 จะได  f1(x) = 4(3)x3-1 = 12x2 f2 (x) = 3x2 ใชน ยิ าม 1.3 จะได  d f2(x) = 3(2)x2-1 = 6x dx d f3 (x) = 2x ใชน ิยาม 1.3 จะได  ddx f3(x) = 2(1)x1-1 = 2 f4 (x) =2 ใชนิยาม 1.3 จะได  dx f4 (x) = 0 ขน้ั ตอนท่ี 3 อนพุ นั ธของฟง กชนั f (x) จะได d d d d d ddx f (x)= dx f1(x)+ dx f2 (x) + dx f3(x)+ dx f4 (x) dx f (x)= = 12x2 + 12x2 + 6x +2+0 ตอบ d f (x) 6x + 2 dx นิยาม 1.5 อนุพันธของการคูณ (Derivative of a product) ถา u(x) และ v(x) เปนฟงกชัน vdd(xx)f.(ddxx)uห(xา)อนุพันธได ที่หาอนุพันธไดท ี่ x ซ่ึง f (x) = u(x) . v(x) แลว และ d f (x) dx = dy = u(x). d v(x) + dx dx (อนุพนั ธของผลคณู ของสองฟงกชันเทากับฟงกชันแรก คูณอนุพันธของฟงกชันท่ีสองบวกกับ ฟง กชนั ทีส่ องคูณอนุพันธข องฟง กชนั แรก) dy udv vdu dx = dx + dx (1.3) ตวั อยาง 1.8 จงหาอนุพนั ธของ ฟงกช นั y = (x3 + 4) (x + 3) วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 พิจารณา f (x) = y = (x3 + 4) (x + 3)  ใชนยิ าม 1.5 แยกตัวแปรเปน u(x) และ v(x) จะได u(x) = (x3 + 4) และ จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพนั ธของฟงกช นั 7 v(x) = (x + 3) dy udv vdu dx dx dx ขน้ั ตอนท่ี 2 จาก นยิ าม 1.5 = + ขัน้ ตอนที่ 3 จาก u(x) = (x3 + 4)  du = 3x3-1 + 0 = 3x2 ตอบ dx dv v(x) = (x + 3)  dx = 1x1-1 + 0 = 1 แทนคา u , v ในสมการ จะได du u(x) = (x3 + 4) และ dx = 3x2 v(x) = (x + 3) และ dv = 1 dx dy จะได dx = (x3 + 4)(1) + (x + 3)(3x2) dy = x3 + 4 + 3x3 + 9x2 (คูณเขาในวงเลบ็ ) dx = 4x3 + 9x2 + 4 ตัวอยางท่ี 1.9 ถา y = (4x)(x + 1) จงหาอนพุ นั ธข องฟง กชัน y dy d dx = dx (4x)(x + 1) วธิ ที ํา ข้ันตอนที่ 1 พจิ ารณา y = (4x)(x + 1)  ใชนิยาม 1.5 แยกตวั แปรเปน u(x) และ v(x) จะได u(x) = (4x) และ v(x) = (x + 1) dy udv vdu dx dx dx ขัน้ ตอนท่ี 2 จากนยิ าม 1.5 = + ข้นั ตอนท่ี 3 จาก u(x) = (4x)  du = 4 dx dv v(x) = (x + 1)  dx = 1x1-1 + 0 = 1 แทนคา ในสมการ du dx u = (4x) และ = 4 v = (x + 1) และ dv = 1 dx dy จะได dx = (x3 + 4)(1) + (x + 3)(3x2) = x3 + 4 + 3x3 + 9x2 (คูณเขาในวงเล็บ) dy d d dx = 4x dx (x + 1) + (x + 1) dx 4x จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

8 บทที่ 1 อนุพันธของฟงกช ัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส = 4x (1) + (x+1)4 dy = 4x + 4x + 4 dx ตอบ = 8x +4 ตวั อยา งที่ 1.10 ถา y = (x2- 1)(3x) จงหาอนพุ ันธของฟงกชนั y dy d dx = dx (x2- 1)(3x) วิธที ํา ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณา y = (x 2 - 1)(3x)  ใชนยิ าม 1.5 แยกตวั แปรเปน u(x) และ v(x) จะได u(x) = (x2- 1) และ v(x) = (3x) dy udv vdu dx dx dx ขน้ั ตอนท่ี 2 จาก นิยาม 1.5 = + ขนั้ ตอนท่ี 3 ตอบ จาก u(x) = (x2- 1)  du = 2x dx dv v(x) = (3x)  dx =3 จาก dy = udv + vdu แทนคา ในสมการ dx dx dx dy จะได dx = (x2- 1)(3) + (3x)(2x) dy = 3x2- 3 + 6x 2 dx = 9x2- 3 นิยาม 1.6 อนพุ ันธของการหาร (Derivative of a quotient) ถา u(x) และ v(x) เปนฟงกชัน u(x) ที่หาอนพุ นั ธไดท ี่ x และ v(x)  0 และ f (x) เปน ฟง กชนั ซง่ึ f (x) = y = v(x) แลว dy = v(x). d u(x) - u(x). d v(x) dx dx dx [v(x)]2 vdu udv dy = dx - dx (1.4) dx v2 ตวั อยาง 1.11 ถา กําหนดให h(x) = x จงหาอนุพนั ธข อง h(x) x -1 x วธิ ีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 พิจารณา h(x) =y = x -1  นยิ าม 1.6 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนพุ ันธของฟง กช นั 9 จะได u(x) = x และ v(x) = x – 1 vdu udv ขัน้ ตอนที่ 2 จาก นยิ าม 1.6 dy = dx - dx ทาํ การแยกพิจารณาเปน dx v2 du จาก u(x) = x  dx =1 v(x) = x - 1  dv =1 dx v2 = (x - 1)2 du dv ขน้ั ตอนที่ 3 จาก นิยาม 1.6 แทนคา u(x) , dx , v(x) , dx และ v2 dy = (x -1)(1) - x(1) = 1 dx (x -1)2 (x -1)2 ตอบ dy = 1 dx (x -1)2 ตัวอยา งที่ 1.12 ถา y = (3x -1) จงหาอนุพันธข อง y x (3x -1) วิธีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 พิจารณา h(x) = y = x  นิยาม 1.6 จะได u(x) = 3x -1 และ v(x) = x vdu udv ขนั้ ตอนท่ี 2 จาก นิยาม 1.6 dy = dx - dx ทําการแยกพิจารณาเปน dx v2 du จาก u(x) = 3x -1  dx =3 v(x) = x dv =1 dx v2(x) = x2 du dv dv ขนั้ ตอนที่ 3 จากนิยาม 1.6 แทนคา u(x) , dx , v(x) , dx และ dx dy = x (3)- (3x -1)(1) = 3x -3x +1 = 1 dx x2 x2 x2 dy 1 ตอบ dx = x2 ตวั อยา งท่ี 1.13 ถา y = 3x - 5 จงหาอนุพนั ธข อง y x2 +2 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

10 บทท่ี 1 อนุพนั ธของฟงกชัน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส วธิ ที าํ ข้นั ตอนที่ 1 พจิ ารณา h(x) = y = 3x - 5  นิยาม 1.6 x2 +2 จะได u(x) = 3x -5 และ v(x) = x2 + 2 vdu udv ขั้นตอนที่ 2 จากนิยาม 1.6 dy = dx - dx ทาํ การแยกพิจารณาเปน dx v2 du จาก u(x) =3x -5  dx =3 v(x) = x2 + 2  dv = 2x dx v2 = (x2+2)2 du dv ขั้นตอนที่ 3 จากนิยาม 1.6 แทนคา u(x) , dx , v(x) , dx และ v2 dy = ( x2 + 2)(3) -(3x - 5)(2 x ) = 3x 2 +6-6x2 -10 x dx (x2 + 2)2 (x2 + 2)2 -3x2-10x + ตอบ dy = (x2 +2)2 6 dx 1.3 กฎลกู โซ (Chain rule) เม่ือ f (x) และ g(x) เปนฟงกชันท่ีหาอนุพันธไดและเขียนอยูในรูป y = f (u) และ u = g(x) เมอื่ g(x) อยูใ นโดเมนของฟงกชนั f แลวยอ มไดว า y = f (g(x)) ดงั นั้น y คอื ฟง กชันของ x เรยี กวา y เปนฟงกชันประกอบ (Composite function) ของ x หรือ y เปนฟงกชันของ x ดังน้ัน เม่อื ตอ งการหาอนพุ ันธฟง กชันประกอบใหใ ชก ฎของลกู โซด งั ทฤษฎบี ทท่ี 1.1 ทฤษฎีบทท่ี 1.1 ถา f (u) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไ ดที่ ถา y = f (u) และ u = g(x) โดยอนุพันธ ของ y เทียบกับ u และอนุพันธของ u เทียบกับ x หาคาไดแลว นิยามการหาอนุพันธของฟงกชัน ประกอบ y = f (g(x)) เขยี นไดด งั น้ี   dy dy du dx = du dx ตัวอยา งท่ี 1.14 กําหนดให y = (x2+2x +3)5 = u5 จงหาคา dy dx วธิ ีทํา ขนั้ ตอนท่ี 1 กาํ หนดให u = x2+2x+3 จะได y = (x2+2x +3)5 = u5 ขัน้ ตอนที่ 2 ใชกฎของลูกโซจ ะได จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพนั ธข องฟง กช นั 11   หาคา dy = dy du + 3) = 2x+2 ddxu = ddxd(ux2 dx dx +2x ข้นั ตอนท่ี 3 แทนคาในสมการลูกโซจ ะได dy = du5  du = 5u4 du ddxy = dx dx dx dx 5u4 (2x + 2) ขัน้ ตอนที่ 4 แทนคา u = x2 +2x +3u ในสมการจะได ตอบ dy = 5(x2 + 2x + 3)4(2x + 2) dx ตวั อยา งท่ี 1.15 กําหนดให y = sin (2t3- 4) จงหาคา dy dt วธิ ที าํ ขั้นตอนที่ 1 กําหนดให u = 2t3- 4 จะได y = sin u ขั้นตอนที่ 2 ใชกฎของลูกโซจะได du d หาคา dt = dt (2t3 -4) = 6t ขั้นตอนท่ี 3 แทนคาในสมการลกู โซจะได ขั้นตอนที่ 4 dy d du du ddyt = du (sin u). dt = cos u dt dt = [cos u](6t) แทนคา u = 2t3- 4 ในสมการจะได ตอบ dy = 6tcos (2t 3 - 4) dt 1.4 อนุพนั ธของฟง กชันตรีโกณมิติ นยิ าม 1.7 อนพุ ันธของฟง กช ัน sin u(x) ถา f (x) = sin u(x) d d แลว dx f (x) = cos u(x) dx u(x) นยิ าม 1.8 อนุพนั ธข องฟงกชนั โคไซน ถา f (x) = cos u(x) d d แลว dx f (x) = - sin u(x) dx u(x) นิยาม 1.9 อนุพันธของฟง กชันแทนเจนต ถา f (x) = tan u(x) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

12 บทที่ 1 อนพุ ันธของฟงกช ัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แลว d f (x) = sec2 u(x) d u(x) dx dx นยิ าม 1.10 อนุพนั ธข องโคแทนเจนต ถา f (x) = cot u(x) d d แลว dx f (x) = -csc2 u(x) dx u(x) นยิ าม 1.11 อนุพันธของซแี คนต ถา f (x) = sec u(x) d d แลว dx f (x) = sec u(x) tan u(x) dx u(x) นยิ าม 1.12 อนพุ นั ธข องโคซแี คนต ถา f (x) = csc u(x) d d แลว dx f (x) = - csc u(x) cot u(x) dx u(x) ตวั อยา งท่ี 1.16 จงหาอนุพนั ธข องฟง กชนั f (x) = sin x2 วธิ ีทํา ขนั้ ตอนท่ี 1 พิจารณา f (x) = sin x2 อยูในรูปของ f (x) = sin u(x) ขั้นตอนท่ี 2 หาอนพุ ันธของ f (x) ตาม นยิ าม 1.7 ซง่ึ d (=แxล)xะ2=ddcxousd(duxx()xu)จ(xะd)dไxด=u(x2x)2-1 dx f (x) = cos x2 (2x) เมอ่ื u(x) = 2x ข้ันตอนที่ 3 แทนคา u(x) d f dx d ตอบ dx f (x) = 2x cos x2 ตวั อยางที่ 1.17 จงหาอนุพนั ธข อง f (x) = sin2x วธิ ที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 พิจารณา f (x) = sin2x  อยูใ นรปู ฟงกชันไซน ขั้นตอนที่ 2 กาํ หนดให u = sin x  f (x) = u2 ขั้นตอนท่ี 3 du fs=i(nxdxd)x=แ(s2ลiunะddxuxdd)ux ==ccoossxx หาคา dx จะได แทนคา u= d = 2 sin x cos x dx ตอบ d f (x) = sin 2x dx = sin 2x จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 1 อนพุ นั ธของฟง กชัน 13 ตัวอยางท่ี 1.18 จงหาอนพุ นั ธของ f (x) = sec (6x + 5) วิธที าํ ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณา f (x) = sec (6x + 5)  ใช นิยาม 1.11 ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนดให u(x) = 6x + 5 udddddd(xxxx)uff(((=xxx)))6===xs+6e[(sc51eu)cxแ((x1=ล6-)1xะ+t+addn50xd)duxs=t(aeuxnc6)(x((d66)dxxx=+u+65(x)5]))(6dd)x ขนั้ ตอนที่ 3 (6x+5) tan (6x+5) u(x) ตอบ d f แทนคา dx (x) = 6 sec ตวั อยา งท่ี 1.19 กําหนดให y = cos 5x จงหา dy วธิ ีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 dx ข้นั ตอนท่ี 2 พจิ ารณา f (x) = y = cos 5x  ใช นิยาม 1.11 ขนั้ ตอนท่ี 3 กาํ หนดให u(x) = 5x d ddx u(x) = 5(1)x1-1 = 5 dx f (x) = dy ssddiixnn(55cxxosd(d5ux(dd(x5xx)x))) d u(x ) dx = dx = - - ตอบ dy = -5 sin 5x dx ตัวอยา งที่ 1.20 กาํ หนดให y = tan (2x+5) จงหา dy dx วธิ ที าํ ขนั้ ตอนท่ี 1 พจิ ารณา f (x) = y = tan (2x+5)  ใช นิยาม 1.11 ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนดให u(x) = 2x+5 d u(x) = 2(1)x1-1 + 0 = 2 dx จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

14 บทที่ 1 อนพุ นั ธข องฟง กชัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขนั้ ตอนท่ี 3 dy = sdsdeexcc2(2tua(2nddxxu+((52x)x))(+2d5dddx)xxu)(x ) dx = dy = dx ตอบ dy = 2 sec2 5x dx ตัวอยางท่ี 1.21 กาํ หนดให y = sin 8x - cos 5x + tan 4x จงหา dy dx วธิ ที ํา ขนั้ ตอนที่ 1 พจิ ารณา y = sin 8x - cos 5x + tan 4x  ใช นิยาม 1.11 ขั้นตอนท่ี 2 d กาํ หนดให u(x) = 8x จะได ddx u(x) = 8 v(x) = 5x จะได ddx v(x) = 5 w(x) = 4x จะได dx w(x) = 4 ขัน้ ตอนท่ี 3 dy ddddxxsi(nsiun( dx = 8x - cos 5x + tan 4x) = x) d u(x)- d cos v(x) d v(x)+ d tan w(x) d w(x) dx dx dx dx dx = -cos u(8)-sin v(5)+sec2 w(4) dy ตอบ dx = 8cos 8x + 5sin 5x + 4sec24x 1.5 การหาอนุพนั ธข องฟงกช นั ตรโี กณมิตผิ กผนั d 1 d 1.4.1 ถา f (x) = sin-1 u(x) จะได dx f (x) = 1 - [u( x )]2 dx u(x) 1.4.2 ถา f (x) = cos-1 u(x) จะได d f (x) = -1 d u(x) dx 1 - [u( x)]2 dx 1.4.3 ถา f (x) = tan-1 u(x) จะได d f (x) = 1 d u(x) dx 1+ [u(x)]2 dx 1.4.4 ถา f (x) = cot-1 u(x) จะได d f (x) = -1 d u(x) dx 1+ [u(x)]2 dx 1.4.5 ถา f (x) = sec-1 u(x) จะได d f (x) = u(x) 1 d u(x) dx [u(x)]2 -1 dx จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ ันธข องฟงกชัน 15 1.4.6 ถา f (x) = csc-1 u(x) จะได d f (x) = u(x) -1 d u(x) dx [u(x)]2 -1 dx ตวั อยางที่ 1.22 จงหาอนุพันธข อง f (x) = sin-1 4x วิธที ํา ข้ันตอนที่ 1 จากโจทยกาํ หนด u(x) = 4x d d  dx u(x ) = dx 4(x) = 4 ขนั้ ตอนที่ 2 d sin-1 u( x) = 1 d u(x) แทนคา dx 1 - [u( x )]2 dx จะได d f (x) = 1 4 dx 1 - (4 x )2 ตอบ d f (x) = 4 dx 1 - 16 x 2 ตัวอยางที่ 1.23 จงหาอนุพนั ธข อง f (x) = cos-1 (1-2x) วิธีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 กาํ หนด u(x) = (1-2x) d d  dx u(x ) = dx (1-2x) = -2 ขัน้ ตอนที่ 2 d cos-1 u( x) = -1 d u(x) dx 1 - [u( x )]2 dx จะได d f (x) = 1 (-2) dx 1-(1- 2x)2 =2 1-(1- 4x + 4x2 ) =2 1-1+ 4x - 4x2 =2 4x - 4x2 d 1 ตอบ dx f (x) = -x2+ x ตวั อยา งท่ี 1.24 จงหาอนพุ ันธของ y = x sec-1 x วธิ ีทาํ ขน้ั ตอนที่ 1 จากโจทย y = x sec-1 x อยใู นรปู ผลคณู จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

16 บทที่ 1 อนพุ นั ธของฟงกชัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส คอื u(x) = x และ v(x) = sec-1 x ddddyxux== udv vdu ข้ันตอนท่ี 2 กฎผลคณู y = u.v แลว dx + dx เม่อื u(x) = x จะได 1 ขัน้ ตอนท่ี 3 ตอบ v(x) = sec-1x ; dv = x 1 (1) dx x2 -1 แทนคา 1 + sec-1 (x) . (1) dy x2 -1 dx =x x dy = 1 + sec-1 (x) dx x2 -1 ตัวอยา งที่ 1.25 กาํ หนดให y = sec-1 (2x + 1) จงหา dy dx วธิ ีทาํ ขั้นตอนที่ 1 โจทยกาํ หนด y = sec-1 (2x + 1) 1ud2dx-1u(ddxx)u=( d ข้นั ตอนท่ี 2 กําหนด u(x) = 2x +1 จะได dx (2 x +1) =2 ขั้นตอนท่ี 3 =u x) จาก dy = d sec-1 u( x) dx dx 1 = (2x+1) (2x +1)2 -1 (2) = (2x +1) 2 4x2+4x +1-1 = (2x+1) 2 4x2 +4x = (2x+1) 2 4(x2 +1) = (2x +1)22 (x2 +1) = (2x 1 x2 +1 +1) ตอบ dy = (2x 1 x2 +1 dx + 1) dy ตัวอยา งท่ี 1.26 กําหนดให y = sin-1 (3x) จงหา dx วธิ ที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 จากโจทย y = sin-1 (3x) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ นั ธของฟง กชนั 17 ขน้ั ตอนที่ 2 กําหนด u(x) = 3x จะได 1d1d-xuu2(x)ddx=u(dxdx) 3x =3 ขนั ตอนที 3 หาคาจากสตู ร d sin-1 u(x) = dx d 1 จาก dx sin-1(3x ) = 1-(3x )2 .(3) ตอบ dy = 3 dx 1-9x2 1.6 อนพุ นั ธข องฟงกชนั ลอการทิ มึ dy dx 1.5.1 ถา y = loga u เมอ่ื u = f (x) แลว = 1 log ae du u dx d 1 du 1.5.2 ถา f (x) = ln u แลว dx f (x) = u  dx    d 1 1.5.3 ถา f (x) = ln x แลว dx f (x) = x ตัวอยางท่ี 1.27 จงหาอนพุ นั ธข อง y = log 4x du dx วธิ ีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 กาํ หนด u(x) = 4x  = 4 ขัน้ ตอนท่ี 2 จาก y = log 4x 4 dy d 4x dx = 1 log e dx (4x) = log e 4x dy 4 ตอบ dx = 4x log e ตัวอยางท่ี 1.28 จงหาอนพุ นั ธข อง y = log2 (x2+1) du dx วธิ ที ํา ขั้นตอนท่ี 1 กําหนด u(x) = x2+1  = 2x ข้นั ตอนที่ 2 ถา y = loga u แลว dy = 1 loga e du dx u dx du แทนคา u(x) = x2+1 และ dx = 2x จะได dy = x 1 1 log 2 e(2 x ) dx 2+ ตอบ dy = x 1 1 log2 e(2x ) x 2 x 1 log 2e dx 2+ + 2 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย

18 บทที่ 1 อนพุ ันธของฟง กช ัน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ตัวอยางที่ 1.29 จงหาอนุพันธของ y = log x x 1 + x dz d x วิธที าํ ข้ันตอนท่ี 1 กาํ หนด z = x +1  dx =  dx ( x + 1) ให u(x) = x  du = 1 dx dv v(x) = x + 1  dx = 1 dz = vdu - udv = (x +1)(1)- x(1) = 1 dx dx dx (x +1)2 + 1)2 v2 (x dy 1 du ขั้นตอนท่ี 2 ถา y = loga u แลว dx = u loga e dx dy = 1 log e  (x 1  dx x  + 1)2  x +1 dy 1 ตอบ dx = ( x 2 + x ) log e 1.7 อนุพนั ธของฟงกชันเลขชก้ี าํ ลัง dy du 1.6.1 ถา f (x) = au แลว dx = au. ln a . dx 1.6.2 ถา f (x) = eu แลว dy = eu du dx dx ตัวอยาง 1.30 จงหาอนพุ นั ธข อง y = ex -e-x ex + e-x ex -e-x u(x) วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 จาก y = ex + e-x อยูในรปู ของการหาร y= v(x) การหาอนพุ ันธ dy = vdu - udv (1.5) dx dx dx v2 du ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนด u = ex -e-x  dx = ex (1) - e-x (-1) = ex +e-x v = ex + e-x  dv = ex (1) + e-x (-1) = ex -e-x dx du dv ข้ันตอนท่ี 3 แทนคา u,v, dx , dx ในสมการ (1.5) จะได จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ ันธของฟง กช นั 19 dy = (ex + e-x )(ex + e-x ) - (ex - e-x )(ex - e-x ) dx (ex + e-x )2 = e2x + ex .e-x + e-x .ex + e-2x - (e2x - e x.e-x - e-x .ex + e-2x ) (ex + e-x )2 = e2x +1+1+ e-2x - e2x +1+1- e-2x (ex + e-x)2 dy 4 ตอบ dx = (ex + e-x)2 1.8 การประยกุ ตอนุพนั ธของฟง กช ัน 1.8.1 ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคง เม่ือพิจารณานิยามของการหาอนุพันธที่จุดท่ี x = x0 และจากรูปที่ 1.3 จะเห็นไดวา f (x0 + h) - f (x0 ) d ความชนั ของเสน ตรงท่สี ัมผัสเสน โคง y = f (x) ท่ีจุด x0 เทากับ hlim0 h dx ( x0 ) รูปที่ 1.3 เสนตรงสัมผัสเสน โคง ณ จดุ x0 ตวั อยา งท่ี 1.31 จงหาความชันของเสน โคง y = 4 - x2 ทจี่ ดุ (-1, 3) วิธีทํา ข้นั ตอนที่ 1 การหาคา ความชนั ของเสน โคง (m) ที่จุดใดๆ คือ การหาคา อนพุ ันธข อง ขนั้ ตอนท่ี 2 dy เสนโคงท่ีจุดนน้ั m = dx โจทยก ําหนด y = 4 - x2 dy d dx = dx (4 - x2) จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

20 บทท่ี 1 อนพุ นั ธของฟงกชัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส = d4 - dx2 dx dx dy  dx = -2x ข้ันตอนที่ 3 หาคา ความชนั ของเสน โคงทจ่ี ุด (-1, 3) แทนคา x = -1 ในสมการ dy = -2(-1) = 3 dx ตอบ คาความชนั ของเสนโคงท่ีจดุ (-1, 3) = 3 ตัวอยา งที่ 1.32 จงหาความชันของเสนโคง x2 - 4y2 = 5 ท่จี ุด (4, 1) วิธีทาํ ขนั้ ตอนท่ี 1 ความชนั ของเสน โคง (m) ทจ่ี ดุ ใดๆ คอื อนพุ ันธข องเสน โคง ทจ่ี ุดน้นั ขัน้ ตอนที่ 2 dy m = dx โจทยก ําหนด x2 - 4y2 = 5 ทําการหาอนุพันธเทยี บกบั x ท้งั สองขางของ สมการ จะได d5 dx d x2 + d  4 y2  = dx dy dy 2x+4  2 y dx  = 0  =    dy 8y dx -2x dy = -2x dx 8y dy -x  dx = 4y ดังนนั้ ความชันของเสน โคง ท่ีจดุ ใดๆ คือ -x 4y ข้ันตอนที่ 3 แทนคา หาความชนั เสนโคงทจ่ี ุด (4, 1) ในสมการ dy -x dx = 4y จะได dy = -4 = -1 dx 4(1) ตอบ ความชันของเสนโคง ที่จดุ (4, 1) มีคาเปน -1 1.8.2 การหาคาสงู สุดและตํา่ สดุ นิยาม 1.13 ให f เปนฟง กช นั บนชว ง I และ t  I จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพนั ธของฟง กชัน 21 1. เรียก f (t) วาคาสูงสุดสัมพัทธ (Relative maximum) ของ f ที่จุด t ก็ตอเมื่อมีจํานวน บวก h ทท่ี ําให f (x) ≥ f (t) ทุกๆ x  I(t -h , t +h) และเรียกจุด (t ,f (t)) วาจดุ สูงสดุ สมั พทั ธข อง f 2. เรียก f (t) วาคาตํ่าสุดสัมพัทธ (Relative minimum) ของ f ที่จุด t ก็ตอเมื่อ มีจํานวน บวก h ทท่ี ําให f (x) ≥ f (t) ทกุ ๆ x  I (t -h, t +h) และเรยี กจดุ (t,f (t)) วา จุดตาํ่ สดุ สัมพัทธของ f 3. เรียก f (t) วาคาสงู สุดสัมบูรณ (Absolute maximum) ของ f บน I ก็ตอเมือ่ f (x) £ f (t) ทกุ ๆ x I และเรยี กจดุ (t,f (t)) วาจุดสูงสุดสมั บูรณของ f 4. เรียก f (t) วาคาตํ่าสุดสัมบูรณ (Absolute minimum) ของ f บน I ก็ตอเมื่อ f (x) ≥ f (t) ทุกๆ x  I และเรยี กจุด (t,f (t)) วา จุดตาํ่ สุดสัมบูรณของ f รปู ท่ี 1.4 จุดตํ่าสดุ และสูงสุดของกราฟ f เปน ฟงกช ันบนชวง (-∞,a] คาสงู สดุ สัมพทั ธ คอื f (m), f (p), f (a) คา ต่ําสุดสัมพัทธ คอื f (n), f (q) คา สงู สดุ สัมบรู ณ คือ f (a) คา ตํา่ สดุ สัมบรู ณ ไมม ี การหาคาสงู สุดและคาตาํ่ สดุ โดยใชอนุพนั ธอนั ดบั 1 d 1. หาคา dt f (t) 2. หาคา วิกฤต t โดย ddtddtf1f((tt)) d 2.1 ให = 0 ในกรณีที่ ddtdtf f (t) หาคาได 2.2 ให = 0 ในกรณที ่ี (t) หาคาไมได 3. ทําการทดสอบคา วิกฤต t จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

22 บทท่ี 1 อนุพันธข องฟงกช นั คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส 3.1 ถา d f (t)> 0 เมือ่ x < t และ d f (t) < 0 เมื่อ x > t dt dt แลว f (t) จะเปน คาสงู สดุ สัมพัทธของ f ทจี่ ดุ a d d 3.2 ถา dt f (t) < 0 เมือ่ x < t และ dt f (t) > 0 เม่อื x > t แลว f (t) จะเปน คา ตํ่าสดุ สัมพทั ธข อง f ท่จี ดุ t (คา x ที่ x < t หรือ x > t จะตอง เปนคา ทีน่ อยกวา หรือมากกวา t เพยี งเลก็ นอยเทานั้น หรือเปนคา ทอ่ี ยูใกลๆ t น่นั เอง) ตวั อยางที่ 1.33 จงเขียนกราฟพรอมทั้งหาคาสงู สดุ สมั พทั ธหรือคาตา่ํ สุดสมั พทั ธ วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 โจทยก ําหนดสมการ y = x3 - 3x2 + 4 ขน้ั ตอนท่ี 2 dy จดุ วกิ ฤต คือ จดุ ทท่ี าํ ให dx = 0 ทาํ การหาอนพุ ันธข องฟง กช ันเพือ่ หาจดุ วกิ ฤต dy d  dx = dx (x3- 3x2 + 4) = 3x2 -6 x = 3x (x - 2)  จุดวกิ ฤต คือ 3x (x - 2) = 0  x = 0, 2 ขนั้ ตอนที่ 3 พจิ ารณาที่จุด x = 0 โดยเลอื กชว ง [-1, 1]  ในชวง [-1, 1] มี x = 0 เปน จุดวกิ ฤต เพยี งจุดเดยี ว dy แทนคา x = 1; ในสมการจดุ วกิ ฤต dx = 3x2 -6x จะได dy = 3(-1)2-6(-1) > 0 เปน บวก dx dy แทนคา x = 1; ในสมการจดุ วกิ ฤต dx = 3x2 -6x จะได dy = 3(1)2-6(-1) < 0 เปน ลบ dx  คาความชนั เปล่ียนจากบวกเปนลบในชวง [-1, 1] ขัน้ ตอนท่ี 4 หาคา สูงสุดสมั พทั ธ ท่จี ดุ x = 0 โดยแทนคาในสมการ y = x3 - 3x2 + 4 คา สงู สดุ สัมพทั ธ  f (0) = 03- 3(0)2 + 4 = 4 จุดสูงสดุ สัมพนั ธ คือ (0, 4) ข้ันตอนท่ี 5 พิจารณาท่จี ุด x = 2 โดยเลอื กชวง [1, 3] dy เม่ือ x = 1; dx = 3(1)2-6(-1) < 0 เปน ลบ จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพันธข องฟง กชัน 23 เมื่อ x = 3 ; dy = 3(3)2-6(3) > 0 เปนบวก dx  คาความชันเปลยี่ นจากลบเปนบวกในชว ง [1, 3] ทจี่ ุด x = 2 หาคาตา่ํ สดุ สัมพทั ธ ทจี่ ดุ x = 2 โดยแทนคาในสมการ y = x3 - 3x2 + 4 ข้ันตอนที่ 6 จะใหค าตํ่าสดุ สมั พทั ธ  f (2) = 23 - 3(2)2 + 4 = 0 ตอบ จุดตํา่ สดุ สมั พัทธ คอื (2, 0) ทาํ การวาดกราฟจาก y = x3 -3x2 +4 ให y = 0 จะไดว า x3 -3x2 +4 = 0 (x-2)(x-2)(x+1) = 0  x = -1, 2, 2 จดุ ตดั แกน x คือ จดุ (-1, 0), (2, 0) ให x = 0 จะได y = 03- 3(0)2+ 4 = 0 จดุ ตัดแกน y คือ (0, 4) หาคา y เมอื่ x = 1  y = 13 - 3(1)2 + 4 = 2 หาคา y เม่ือ x = 3  y = 33 - 3(3)2 + 4 = 4 เม่อื x = 3 จะได y = 4 ในการศึกษาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของสิ่งตา งๆ เชน การเปล่ยี นแปลงของระยะทางที่วตั ถุ เคล่ือนท่ีเมื่อเทียบกับเวลา อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วตอเวลา ตนทุนสินคาเมื่อเทียบกับ จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

24 บทที่ 1 อนุพันธของฟง กชัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส จํานวนทผี่ ลิต อตั ราการเปลย่ี นแปลงของราคาสินคา เม่ือเทียบกบั ราคานา้ํ มนั โดยสามารถนาํ สมการ อนพุ นั ธไ ปประยุกตใชง านได นยิ าม อัตราการเปลยี่ นแปลงของ ตวั แปร f เทียบกับตัวแปร x ท่ี a เขยี นแทนไดดว ยสมการ dy f (a) = hlim 0 f (a+ h) - f (a) (1.6) da h ตวั อยางที่ 1.34 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของพน้ื ที่วงกลมเทียบกบั รัศมี เมอื่ รศั มขี องวงกลมมคี า เทากบั 10 ซม. วธิ ีทํา ขั้นตอนท่ี 1 โจทยก าํ หนดคารศั มขี องวงกลม = 10 cm. ซึ่งรศั มีของวงกลมแทนดว ย R และพืน้ ท่ีของวงกลม (A) = R2 ข้นั ตอนท่ี 2 โจทยต องการหาคา อัตราการเปลีย่ นแปลงของพ้นื ท่ีวงกลมเทียบกับรศั มี dA ดงั น้นั dR = d ( R2 ) = d R2 = 2 R dR dR ขน้ั ตอนท่ี 3 แทนคารศั มี R = 10 cm. จะได dA dR = 2R = 2 (10) = 62.82 ตารางเซนติเมตร/เซนตเิ มตร ตอบ dA = 62.82 ตารางเซนตเิ มตร/เซนตเิ มตร dR ตวั อยางที่ 1.35 วัตถุหนึ่งเคล่ือนท่ีไดร ะยะทาง s = 4t3-2t2+3t-1 เมตร และเมื่อเวลาผานไป t วนิ าที จงหาคา ตอ ไปน้ี (1) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลา t ใดๆ (2) ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลาผานไป 2 วินาที วธิ ที าํ (1) หาคาความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใดๆ ขั้นตอนที่ 1 โจทยก าํ หนด ระยะแทนดวย s ซึง่ มสี มการเปน s = 4t3-2t2+3t-1 ตอ งการหาคา ความเรว็ ท่ีเวลา t ใดๆ ขัน้ ตอนท่ี 2 จากสมการความสมั พนั ธ ความเร็ว คอื อัตราการเปลย่ี นแปลงของ ระยะทางเทียบกับเวลา ซึ่งมสี มการเปน ds v = dt ข้นั ตอนที่ 3 แทนคา ในสมการความเรว็ จะได ds d v = dt = dt (4t3 - 2t 2 + 3t -1) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพนั ธของฟงกช ัน 25 v = d (4t3 )- d (2t2 ) + d (3t ) - d (1) dt dt dt dt v =12t2 -4t +3t (2) หาคาความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t = 2 วินาที ข้นั ตอนท่ี 4 หาความเรว็ ท่ีเวลา t = 2 วินาที โดยแทนคา ในสมการความเรว็ จะได v =12t2 -4t +3t v =12(2)2 -4(2)+3(2) = 48 m / s ตอบ v = 48 m/s ตวั อยางที่ 1.36 ตัวเก็บประจเุ ปน อปุ กรณสองข้วั ซึง่ ความสมั พันธระหวา งกระแส (i) กบั แรงดัน(v) dv เปน ดังน้ี i = C dt จงหาคา กระแสทีเ่ วลา t ใดๆในตัวเกบ็ ประจขุ นาด 1 F เม่ือจายแรงดันไฟฟา v = 10 cos 100t วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 โจทยกาํ หนดคา ตัวเก็บประจุ (c) ขนาด 1 F และ v =10 cos100t ตองการหาคากระแสทีเ่ วลา t ใดๆ ขน้ั ตอนท่ี 2 แทนคาตามสมการความสัมพันธร ะหวา งกระแสและแรงดันตามสมการ ===11Cdd11vt00--66จddะ1tไ0(ด1dd0 t i cos 100t ) ) i (cos 100t i i =110-6 10100(-sin 100t) i =10-3(-sin 100t) = -sin 100t mA ตอบ i =-sin100t mA 1.9 สรุป การหาอนุพันธเปนการหาคาอัตราการเปล่ียนแปลงในชวงเวลาส้ันๆ ซ่ึงการหาคาอนุพันธ สามารถทําไดโดยการแทนคาตามสูตรของแตละฟงกชัน และใชกฎตางๆ ในการหาคําตอบ เชน กฎการคูณ กฎการหาร กฎการบวก กฎการลบ ถา ฟงกชนั ใดไมสามารถหาคา ไดโ ดยตรงก็สามารถ ใชกฎของลูกโซเพื่อหาคําตอบใหกับสมการนั้น และสามารถนําสมการอนุพันธไปประยุกต ในการหาคาสูงสุดและคาต่ําสดุ ของกราฟไดจ ากความชันของเสน สัมผัสโคง และนําสมการอนุพันธ ไปประยกุ ตใ นการหาสมการทางดา นวิศวกรรมและทางฟส กิ สไ ด จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

26 บทท่ี 1 อนุพันธข องฟงกชัน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส แบบฝก หดั ทายบทที่ 1 จงหาคาของฟง กช ันตอไปนี้ (f (x) = dy ) dx dy dy 1. dx = (x2 + x + 1) (x + 1) ตอบ dx = 3x2 + 4x + 2 2. d f (x) = (x2 -3x + 2) ( x3 + 2 x2 -6x) ตอบ dy = 5x4 - 4x3 - 18x2 + 35x - 12 dx dx d dy 3. dx (3x 2 - x+5) ตอบ dx = 6x - x 4. d (-2x3 + 6x2 -5x+ 2) ตอบ dy = -6x2+12x -5 dx dx d dy 5. dx  2 x + 3(3x - 2) ตอบ dx = 12x+5 6. d (2x2 -1)(x3 +2) ตอบ dy = 10x4-3x2+8 dx dx จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพันธข องฟง กช นั 27 7. d  4 x - 7 3 ตอบ dy = 12(4x-7)2 dx dx d 2 dy -4x(4- x2 )  8.dx 4-x2 ตอบ dx = (4-x2 ) d x -1 dy -x2 +2x+2 dx x2 + x+1 dx (x2 + x +1)2  9. ตอบ = 10. ddddxxx(3x-+53x2x2)(++21x2-x1-)10 ตอบ dy = 6x2 +4x+9 11. dx (3x +1)2 dy  ตอบ dx = 3x2-10x +2 12. d  2x5 + 1 - 9  ตอบ dy = 4x3- 1 - 9ln x dx  x3 4x2 x  dx 2x3   dy u vdu - udv จงหาอนพุ นั ธของฟง กช นั ตอ ไปนี้ (f (x) = dx ) f (x) = v ; f (x) = v2 13. y = x2 +1 ตอบ -x4 - 3x2 +10x x3 +5 (x3 + 5)2 14. y = x3 + 3x +15 ตอบ x4 + 4x3 + 3x2 -30x - 24 x2 +2x+2 (x2 + 2x + 2)2 15. จงหาอนุพนั ธของ y = x sin-1 2x + 1 1-4x 2 2 16. จงหาอนุพนั ธของ y = (x2+1) tan-1 (x- x) จงหาจุดสงู สุดสัมพัทธข องฟง กช ันทนี่ ิยามดังตอ ไปน้ี 17. f (x) = x3 - 6x2 + 9x 18. f (x) = 10 - 12x - 3x2 + 2x3 19. f (x) = 2x2 - x4 20. f (x) = x4 - 4x 21. วัตถุหนึง่ เคลอื่ นทีไ่ ดระยะทาง s = 2t2+5t+4 เมตร และเมอ่ื เวลาผา นไป t วินาที จงหาคา ตอไปนี้ (1) ความเร็วของวตั ถขุ ณะเวลา t ใดๆ (2) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลาผานไป 4 วินาที 22. จงหาคา กระแสที่เวลา t ใดๆ ในตัวเกบ็ ประจุขนาด 5 F โดยตวั เก็บประจุเปนอุปกรณสองขั้ว dv ซึ่งความสัมพันธระหวางกระแส (i) กับแรงดัน (v) เปนดังนี้ i =C dt เม่ือจายแรงดันไฟฟา v = 20 sin 50t จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย

28 บทที่ 1 อนพุ นั ธของฟงกชัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เอกสารอางอิง จนั ทนีย กาญจนะโรจน และ ชลุ ี โชติกประคัลภ. (2550). แคลคลลู ัส 1. พิมพคร้ังท่ี 5. มหาวิทยาลยั กรงุ เทพฯ. ดํารงค ทิพยโ ยธา และคณะ. (2558). แคลคลู ัส 2. สํานักพมิ พแหง จุฬาลงกรณม หาวทิ ยาลัย. แนงนอ ย ทรงกาํ พล .เอกสารประกอบการสอนวชิ าแคลคูลสั 1.มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าชมงคล. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.electron.rmutphysics.com/news/index.php?option=com_ content&task=view&id=521. (วนั ที่คน ขอมูล 10 เมษายน 2556) ปราโมทย เดชะอาํ ไพ. (2555). แคลคลู สั และสมการเชิงอนพุ นั ธดวยแมทแลบ: สาํ นักพิมพแ หง จุฬาลงกรณ มหาวิทยาลัย ธีระศักดิ์ อรุ ัจนานนท. (2550). แคลคลู สั 1 สาํ หรับวิศวกร: สํานักพมิ พ สกายบคุ ส. พูลสุข ธนั วารชร , สมใจ อรณุ ศรโี สภณ, ประวตั ิ พัฒนบิ ลู ย, สุมา บรรณวนิชกุล , สุภาณี เพ็งเลีย. (2550). แคลคูลสั 1. ภาควชิ าคณติ ศาสตร คณะวิทยาศาสตร จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ ันธข องฟง กช นั 29 มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร วิรตั น สวุ รรณาภิชาต.ิ (2551). แคลคลู สั 1. สายวิชาคณิตศาสตร สถติ ิ และคอมพวิ เตอร คณะศลิ ปศาสตรและวทิ ยาศาสตร มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร วิทยาเขตกาํ แพงแสน สาํ นกั พมิ พ มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร. สกุ ญั ญา สนทิ วงศ ณ อยุธยา และอนญั ญา อภชิ าตบตุ ร. (2549). แคลคลู ัส 1 ฉบับเสรมิ ประสบการณ: บรษิ ทั วิทยพฒั น จาํ กัด. จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

บทท่ี 2 การหาปรพิ ันธ 2.1 ความหมายของปริพนั ธ การหาอนุพันธน ั้นเปน การหาอัตราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ หรอื อตั ราการเปลี่ยนแปลงขณะใดๆ รวมถึง ความเร็ว ความเรง ความชันและบทประยุกต สวนในทางกลับกันถาหากทราบความเร็ว ความเรงในการเคลือ่ นที่ ก็สามารถหาระยะทางทีว่ ัตถุเคลอ่ื นทไี่ ดโ ดยใชปริพันธ ปริพันธ (Integral) คือ ฟงกชันที่ใชในการหาพ้ืนที่ มวล หรือปริมาตร หรือผลรวมตางๆ โดยการหาปริพันธสามารถหาไดหลายวิธี ซึ่งในการดําเนินการดวยวิธีใดก็ตามจะไดผลลัพธ เชน เดยี วกันเสมอ การหาปริพันธม ี 2 แบบ คือ การหาปรพิ ันธแบบจํากดั เขต (Definite integral) และ การหาปริพันธไมจํากัดเขต (Indefinite integral) หรือเรียกวา ปฏิยานุพันธ (Anti differential) กระบวนการแกปญหาของปฏิยานุพันธ เรียกวา การหาปฏิยานุพันธ หรอื การหาปรพิ ันธไมจ ํากัด เขต และกระบวนการในทางตรงขามกัน เรยี กวา การหาอนุพันธ ปริพันธและปฏยิ านุพันธมคี วามแตกตา งกันซึ่งสามารถอธิบายความสัมพันธข องทั้งสองแบบ โดยใชทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส สําหรับตําราเลมน้ีจะเรียกการหาปฏิยานุพันธวาปริพันธ ไมจํากดั เขต นิยาม 2.1 ฟงกชัน F เปนปริพันธของ f เมื่อ F (x) = f (x) สําหรับทุกคาของ x ที่อยูในโดเมน ของ f ปริพันธของฟงกชันจํานวนจริงบวกท่ีตอเนื่อง และมีตัวแปร x อยูระหวางจุด a กับจุด b ก็คือ พื้นท่ีท่ีถูกปดลอมดวยเสน x = a, x = b, แกน x และเสนโคง f (x) ดังรูปที่ 2.1 หรือจะกลาว ใหเปน ทางการขน้ึ วา ถา ให S ={(x, y) R2 : a  x  b,0  y  f (x)}

32 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส y f (x) S a bx รปู ที่ 2.1 นิยามการหาปริพันธ แลวปริพันธของฟงกชัน f ระหวาง a กับ b คือ การวัดขนาดของ S น่ันเอง ไลบนิซไดใช เครอื่ งหมาย S ยาว แทนสญั ลกั ษณของปรพิ นั ธ b (2.1)  f (x)dx a โดยสัญลกั ษณ ∫ คือ การหาปริพนั ธ a และ b คอื ขอบเขตของชว งทีจ่ ะหา f (x) คอื ฟง กช นั ทีเ่ ราตอ งการหาปรพิ นั ธ dx แทนตวั แปรทจี่ ะหาปรพิ ันธ 2.2 ปริพนั ธไ มจาํ กัดเขต (Indefinite integral) นิยาม 2.2 เมื่อ f เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง และ F(x) = f (x) สาํ หรบั ทุกๆ x ท่ีอยูในในโดเมนของ f ปริพันธไมจ ํากดั เขตของฟงกชัน f เขียนแทน ดว ย  f (x)dx โดยที่  f (x)dx = F(x) + C เมอื่ C เปนคา คงตวั ใดๆ รูปท่ัวไปของปริพันธไมจํากัดเขตของ f (x) ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ  f (x)dx อานวา ปริพันธไมจ ํากัดเขตของ f (x) เทยี บกับ x หรือ ปริพนั ธของ f (x) เรียกกระบวนการหา  f (x)dx วา การหาปริพนั ธ เครื่องหมาย  เรียกวา เครือ่ งหมายปริพนั ธ f (x) คือ อนพุ นั ธข องฟง กชัน F(x) + C dx คือ การหาปรพิ นั ธเ ทียบกับตวั แปร x จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปริพนั ธ 33 ตารางท่ี 2.1 ตัวอยางเปรยี บเทียบผลจากการหาอนพุ ันธแ ละปริพนั ธไ มจ ํากดั เขต อนุพนั ธ ปริพันธไมจํากดั เขต (Differential) (Indefinite integral) ddx (4x) = 4  4dx = 4x + C ddx (5x2 ) = 10x ddx (- 3 x ) = - 13 x-23 10xdx = 5x2 + C ddx (sin x) = cos x - 13 x-23 dx = - 3 x + C ddx (cos x) = -sin x  cos xdx = sin x + C ddx (tan x) = sec2x (-sin x)dx = cos x + C sec2xdx = tan x +C 2.3 ปริพันธจํากดั เขต (Definite integral) ถา ให F(x) เปนปรพิ นั ธข อง f (x) ปริพันธจาํ กดั เขตของฟง กชัน f บนชวง x = a ถึง x = b คือ ab f ( x)dx = F ( x ) b = F(b)- F(a) (2.2) a เม่ือ F(x) = f (x) 2.4 ทฤษฎบี ทหลกั มลู ทฤษฎีบทหลักมูลเปนทฤษฎที ี่แสดงถึงความสัมพันธร ะหวางปริพันธไมจาํ กดั เขตและปริพันธ จาํ กัดเขต โดยที่ปริพันธไมจํากัดเขตหมายถึงเซตท้ังหมดของปริพันธไมจํากัด ซ่ึงการหาปรพิ ันธ จาํ กดั เขตหาไดจากลมิ ิตของผลบวกรีมนั น ทฤษฎีท่ี 2.1 เมอื่ f เปนฟงกช ันตอเน่ืองบนชว ง [a , b] ถา F เปน ฟงกช ันบนชว ง [a , b] โดยที่ F(x) = f (x) ทุก x[a,b] แลว b  f (x)dx = F(b) - F(a) a b เราจะเขียนสญั ลกั ษณ F(x) a แทน F(b) – F(a) กไ็ ด b f ( x )dx = F(x) b = F(b) - F(a) a  a (2.3) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

34 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ปริพันธของ f (x) คือพ้ืนที่ท่ีอยูระหวางเสน y = f (x) กับแกน x และอยูในชวง [a, b] การหา ปริพันธว ิธีหาปรพิ นั ธท พ่ี ื้นฐานทีส่ ุด ก็คือใชทฤษฎีบทมลู ฐานของแคลคูลัสในการหา ซ่ึงมีขั้นตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนท่ี 1 กาํ หนดฟง กชัน f (x) และชวง [a, b] ข้นั ตอนท่ี 2 หาปริพันธจ ํากัดเขตของ f ก็คือ หาฟง กช ัน F ที่ Fเทากับ f ขัน้ ตอนท่ี 3 จากทฤษฎบี ทมลู ฐานของแคลคลู ัส จะไดวา b  f (x)dx = F(b) - F(a) a ขั้นตอนที่ 4 คา ของปริพันธ คือ F(b) - F(a) ขน้ั ตอนท่ี 5 หาปริพันธไมจํากัดเขตของ f โดยใชเทคนิคบางการหาปริพันธแบบตางๆ ได เทคนิคเหลาน้ัน ไดแก การหาปริพันธโดยการแทนคา การหาปริพันธเปนสวน การหาปริพันธ โดยการแทนท่ฟี งกช ันตรีโกณมิติ การหาปรพิ นั ธโ ดยใชเศษสว นยอ ย 2.5 การหาปรพิ ันธโ ดยใชสตู ร 2.5.1 ปรพิ นั ธฟ งกช ันพีชคณติ ฟง กช ันพีชคณติ มีหลายรูปแบบต้ังแตรูปแบบงา ยจนถึงรูปแบบทซี่ อ น dy 1. ถา f ( x ) = dx = k เม่อื k เปนคาคงท่ี f (x) =  f (x)dx = kx + C เม่อื C เปนคาคงทีใ่ ดๆ 2. ถา f (x) = xn เม่อื n1 1 f (x) =  f (x)dx = xnn++11 + C เมอื่ C เปนคาคงทใ่ี ดๆ 3. ถา f (x) = kxn เม่อื n  -1 f (x) =  f (x)dx = k xnn++11 +C เม่ือ C เปน คา คงทใ่ี ดๆ 4. ถา f (x) = g(x) ± h(x) f (x) =  f (x)dx = g(x) ± h(x) + C เมอื่ C เปน คา คงทใี่ ดๆ 5. ถา f (x) = u(x) ± v(x) f (x) =  f (x)dx = (u(x) ± v(x))dx + C จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ 35 ตัวอยางท่ี 2.1 จงหาคา  x8dx วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 จาก  xndx = xnn++11 + C ขัน้ ตอนที่ 2 แทนคา  x8dx = x88++11 + C ตอบ  x8dx = x99 + C ตวั อยา งที่ 2.2 จงหาคา  1 dx x4 วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จากสูตร  xndx = xnn++11 + C 1 ข้นั ตอนที่ 2 โจทยก ําหนด  x4 dx =  x -4 dx n= -4 จะได  1 dx =  x-4 = x-4-4++11 x4 1 x--33 ตอบ  x4 dx = +C ตัวอยางที่ 2.3 จงหาคา  dx 3 x2 วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จากสตู ร  xndx = x n+1 +C ขน้ั ตอนที่ 2 n+1 dx dx โจทยก าํ หนด  3 x2 = x 23  dx =  x -32 dx 3 x2 -2 +1 1 x 3 x3 = +C = 1 +C -2 +1 3 3 1 ตอบ dx = 3x3 +C  3 x2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

36 บทที่ 2 การหาปริพนั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยางท่ี 2.4 จงหาปรพิ นั ธของ (x3 + 5x2 + 3) dx วธิ ีทํา ข้ันตอนท่ี 1 จาก (x3 + 5x2 + 3) dx =  x3dx +5x2dx +3dx ข้ันตอนท่ี 2 (สูตรท่ี 2 คอื  (u + v)dx = udx + vdx ) พจิ ารณา  xndx = xnn++11 + C จะได  x3dx = x44 + C1 5x2dx = 5 x2dx = 5 x22++11 = 5x3 + C2 ข้ันตอนท่ี 3 3dx = 3 dx = 3x + C3 ตอบ  (x3 + 5x2 + 3)dx = x44 + 35 x3 + 3x + C1 + C2 + C3  (x3 + 5x2 + 3)dx = x44 + 35 x3 + 3x + C ตัวอยางท่ี 2.5 จงหาปรพิ ันธของ  (3x + 4)2dx วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 จาก  (3x + 4)2dx จะตอ งกระจาย (3x + 4)2 กอน ซึ่ง (3x + 4)2 = 32 x2 + 2(3)(4)x + 42 = 9x2 + 24x +16 ข้ันตอนที่ 2 จะได  (3x + 4)2dx =  (9x2 + 24x +16) dx ขน้ั ตอนท่ี 3 (สตู รที่ 2 ;  (u + v)dx = udx + vdx )  (9x2 + 24x +16) dx = 9x2dx +9x2dx + 24xdx +16dx  9x 2dx = 9 x 2 +1 + C1 = 9x3 = 3 x3 + C1 2+1 3 24 x1+1 24 x 2  24xdx = 1+1 + C2 = 2 = 12 x2 + C2 ขั้นตอนท่ี 4 16dx = 16x + C3  (3x + 4)2dx = 3x3 +12x3 +16x +C1 +C2 + C3 = 3x3 +12x3 +16x + C ตอบ  (3x + 4)2dx = 3x3 +12x3 +16x + C จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ 37 2.5.2 ปริพนั ธของฟงกช ันอดศิ ัย (The integration of transcendental functions) ฟงกชันอดิศัย (Transcendental functions) คือ ฟงกชันท่ีไมใช ฟงกชันพีชคณิต ไดแก ฟ งก ชั น ต รี โก ณ (Trigonometric function) ฟ งก ชั น ต รีโ ก ณ ผ ก ผั น (Inverse trigonometric function) ฟ งกชั น เลข ยกกํ าลัง (Exponential function) และฟ งก ชั น ลอการิทึ ม (Logarithm function) เปน ตน 2.5.2.1 ปริพนั ธข องฟงกชันลอการทิ มึ (Integrals of logarithm functions) ฟง กชันลอการิทมึ และฟงกช ันเลขชกี้ ําลังเปนฟงกช ันอดิศยั ท่ีมีสมบตั ิเปนฟงกช ัน ผกผันซ่งึ กนั และกัน และเปนฟง กช ันทส่ี ามารถหาอนพุ ันธได จงึ ทาํ ใหสามารถหาปรพิ นั ธไ ดเชน กัน โ ด ย ส ว น ใ ห ญ ฟ ง ก ชั น ล อ ก า ริ ทึ ม แ ล ะ ฟ ง ก ชั น เล ข ชี้ กํ า ลั ง ส า ม า ร ถ ใ ช อ ธิ บ า ย ป ร า ก ฏ ก า ร ณ ทางธรรมชาติได ตัวอยางเชน วงจรไฟฟาสําหรับตวั เกบ็ ประจุสมมติวาเรามีตัวเก็บประจุ C1 ท่ีตอ เขากับแบตเตอร่ี ดังรูปที่ 2.2 ตัวเก็บประจุนี้จะมีประจุอยูเน่ืองจากการตอเขากับแบตเตอร่ีมาเปน เวลานาน และความตา งศกั ยท่ีครอ มตวั เก็บประจนุ ั้นจะเทา กับความตางศักยท ่คี รอมแบตเตอร่ี รปู ท่ี 2.2 การเก็บสะสมประจขุ องตวั เก็บประจุ จากรูปท่ี 2.2 จะไดสมการการเก็บสะสมแรงดันของตัวเก็บประจุตามสมการ 1-e-kt ซ่ึงเปนการเพ่ิมขึ้นแบบเอกซโพเนนเชียลเขาหาคาคงตัวคาหนึ่งในที่น้ีคือ 1 หลังจากเวลาผานไป นานมาก โดย k เปนคาคงตัวของการเพมิ่ ข้ึนแบบเอกซโ พเนนเชียล จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย

38 บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส รปู ท่ี 2.3 กราฟการเก็บสะสมประจุของตวั เก็บประจุ ฟงกชันเลขชี้กําลังท่ีอยูในรูปคาคงตัวยกกําลังและตัวแปรซึ่งเปนฟงกชันที่สามารถหา อนพุ นั ธไ ดท่ี x 1. เมือ่ F(x) = ex จาก F(x) = ddx (ex ) = ex  F(x) dx =  exdx จากสมบตั ิปรพิ ันธไมจํากดั เขต  exdx = ex + C ในกรณที ี่ u เปนฟงกชันของ x และหาอนพุ นั ธไดที่ x ดังนัน้ จะได 2. เมื่อ  eudu = eu + C F ( x ) = dldnxx ln x = 1x ( ddxx ) = 1x F(x) = ln x จาก dx  F(x) dx =  1x จากสมบัตปิ ริพันธไมจาํ กดั เขต  1x dx = ln x + C ในกรณที ่ี u เปน ฟง กชนั ของ x และหาอนุพนั ธไ ดท ่ี x ดังนั้นจะได  1u du = ln u + C ตัวอยา งท่ี 2.6 จงหาคา  e3xdx วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 จากสตู ร  exdx = ex + C ขน้ั ตอนท่ี 2 โจทยตองการหาคา  e3xdx กําหนดให u = 3x จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย