คาํ นาํ ตําราวิชาคณิตศาสตรวิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส ใชประกอบการสอนวิชาคณิตศาสตร วศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ในปก ารศกึ ษา 1/2558 และปการศึกษา 2/2558 สาํ หรบั ตําราเลม นี้ มเี นื้อหา ทัง้ หมด 10 บท ดังน้ี คือ บทท่ี 1 อนุพันธของฟงกชัน บทท่ี 2 การหาปริพันธ บทที่ 3 แบบจําลอง คณิ ตศ าสตร ข อง ระ บบ บ ท ที่ 4 สมก าร อนุพั นธ สา มัญ อั นดั บหน่ึง บ ท ที่ 5 สมก า ร อนุพันธแบบเอกพันธ บทที่ 6 สมการอนุพันธแบบแมนตรง บทท่ี 7 สมการอนุพันธแบบเชิงเสน บทท่ี 8 การแปลงลาปลาซ บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลับ และ บทท่ี 10 การประยุกตใช ลาปลาซทรานสฟอรม ซึ่งในปการศึกษา 1/2558 และปการศึกษา 2/2558 ท้ังสองภาคเรียนไดมีการ ใชต ําราเลม นี้ตง้ั แตบ ทท่ี 3 จนถึงบทท่ี 10 สว นเนือ้ หาในบทท่ี 1 และ บทท่ี 2 เปนการทบทวนความรู ที่ไดเ รยี นมาแลวในวชิ าคณิตศาสตร 1 ซึ่งเนื้อหาในบทที่ 1 และ บทที่ 2 ผเู ขียนจะทบทวนเน้อื หาให นักศึกษาในชวงเย็นหลังเลิกเรียนในสัปดาหแรกของการเปดภาคเรียน เพ่ือใหนักศึกษาสามารถ นําพ้ืนฐานในการหาปริพันธและอนุพันธมาใชในการแกสมการแบบอนุพันธในระดับสูงได โดยมีการแทรกบทประยุกตทางดานวิศวกรรมไฟฟาและวงจรอิเล็กทรอนิกสเขาไปในเนื้อหา แตละบท เพื่อใหผูเรียนสามารถนําวิชาคณิตศาสตรในการแกปญหาในชีวิตประจําวัน ตลอดจน สามารถวิเคราะหลักษณะการทํางานทางดานไฟฟาและวงจรอิเลก็ ทรอนิกสไดอยา งเปนระบบ ผูเขียนตองขอขอบคุณ บิดา มารดา ท่ีอุปการะเลี้ยงดูใหการสนับสนุนและสงเสริม ดานการศกึ ษาเพ่ือเปน แนวทางในการประกอบอาชีพและอบรมเลี้ยงดใู หเตบิ โตในสังคม ขอบคุณ รศ.ดร.อลงกรณ พรมที ท่ีเปนกําลังใจในการแตงเรียบเรียงผลงานเลมน้ี ขอขอบคุณ รศ.สมชาย ช่ืนวัฒนาประณิธิ ท่ีเปนตนแบบในการเรียนรูทักษะการทํางาน ขอขอบคุณคณะผูบริหาร คณะเทคโนโลยี และผบู รหิ ารมหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี ท่ีใหโอกาสและสนับสนุนการทําผลงาน ในคร้ังน้ี ขอบคุณ คุณหถั ยา คําภาษี เจาหนา ที่หองปฏบิ ัติการสาขาวิศวกรรมไฟฟา ที่ชวยเรยี บเรยี ง รูปเลมตาํ ราใหม คี วามสวยงามและสมบูรณ จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย มกราคม 2558
คณติ ศาสตรวศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส Electronics Engineering Mathematics ผศ.จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย คณะเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี 2558
คณติ ศาสตรวิศวกรรมอเิ ล็กทรอนิกส Electronics Engineering Mathematics ผศ.จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย วศ.ม. (วิศวกรรมไฟฟา ) คณะเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี 2558
สารบัญ หนา คาํ นาํ ..............................................................................................................................................(1) สารบญั ..........................................................................................................................................(3) สารบญั รปู ภาพ ..............................................................................................................................(7) สารบัญตาราง ..............................................................................................................................(13) บทที่ 1 อนพุ ันธของฟง กชัน .....................................................................................................1 1.1 บทนํา........................................................................................................................1 1.2 กฎสาํ หรับการหาอนพุ นั ธ.........................................................................................4 1.3 กฎของลกู โซ ..........................................................................................................10 1.4 อนุพันธข องฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ..............................................................................12 1.5 การหาอนุพนั ธข องฟงกช ันตรโี กณมิติผกผัน..........................................................14 1.6 อนพุ นั ธข องฟง กชนั ลอการทิ มึ ...............................................................................17 1.7 อนพุ นั ธข องฟงกช ันเลขชก้ี ําลัง...............................................................................18 1.8 การประยกุ ตอนุพนั ธข องฟง กช นั ...........................................................................19 1.9 สรุป........................................................................................................................25 แบบฝกหัดทายบท......................................................................................................... 27 เอกสารอางองิ ................................................................................................................29 บทท่ี 2 การหาปริพนั ธ .............................................................................................................31 2.1 ความหมายของปริพนั ธ..........................................................................................31 2.2 ปริพันธไ มจาํ กดั เขต................................................................................................32 2.3 ปริพันธจํากดั เขต .................................................................................................... 33 2.4 ทฤษฎีบทหลักมูล................................................................................................... 33 2.5 การหาปรพิ ันธโ ดยใชส ูตร......................................................................................34 2.6 การหาปริพนั ธก รณที ีไ่ มส ามารถหาปรพิ ันธโดยตรงใหใ ชสตู ร..............................46 2.7 การหาปรพิ นั ธโดยวิธแี ทนคาหรอื เปลย่ี นตวั แปร (ใชสตู รมาตรฐาน) ....................47
(4) สารบัญ (ตอ ) หนา 2.8 การหาปริพนั ธฟ งกชนั ตรรกยะ...............................................................................49 2.9 การประยกุ ตป รพิ นั ธ...............................................................................................55 2.10 สรปุ ......................................................................................................................61 แบบฝก หดั ทายบท.........................................................................................................62 เอกสารอา งอิง................................................................................................................63 บทท่ี 3 แบบจาํ ลองสมการทางคณติ ศาสตร .........................................................................65 3.1 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรข องระบบเชงิ กล.........................................................65 3.2 แบบจาํ ลองทางคณติ ศาสตรของระบบทางไฟฟา ...................................................71 3.3 สรุป........................................................................................................................92 แบบฝกหดั ทายบท.........................................................................................................94 เอกสารอางองิ ................................................................................................................96 บทท่ี 4 สมการอนพุ นั ธส ามัญอนั ดับหนง่ึ .............................................................................97 4.1 บทนาํ ......................................................................................................................97 4.2 สมการเชิงอนุพนั ธส ามัญและอนั ดับ ......................................................................99 4.3 ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ............................................................................101 4.4 การแกส มการเชิงอนุพนั ธอ นั ดับหนึ่ง................................................................... 105 4.5 สมการเชงิ อนพุ ันธสามัญอันดับหนง่ึ กับการประยกุ ตใชงานทางไฟฟา ................115 4.6 สรุป......................................................................................................................150 แบบฝกหดั ทา ยบท.......................................................................................................151 เอกสารอา งองิ ..............................................................................................................153 บทที่ 5 สมการอนุพนั ธแบบเอกพันธ..................................................................................155 5.1 นิยามของสมการแบบเอกพนั ธ.............................................................................155
(5) สารบัญ (ตอ) หนา 5.2 ขนั้ ตอนการแกส มการแบบเอกพันธ..................................................................... 157 aa21xx++bb12yy++mm 5.3 การแกสมการท่ีอยูในรปู dy = เมื่อ a1b2 - a2b1¹0 ...................171 dx 5.4 สรุป......................................................................................................................176 แบบฝกหัดทา ยบท.......................................................................................................178 เอกสารอา งอิง..............................................................................................................179 บทที่ 6 สมการอนุพนั ธแบบแมนตรง..................................................................................181 6.1 สมการเชงิ อนพุ นั ธแบบแมน ตรง..........................................................................181 6.2 การแกสมการแบบแมน ตรงโดยใชผลตางเชิงอนพุ ันธ .........................................182 6.3 การหาผลเฉลยสมการเชงิ อนพุ ันธแบบแมนตรง..................................................183 6.4 สมการเชิงอนุพนั ธอ ันดบั ทห่ี นึ่งแบบไมแมนตรง.................................................191 6.5 สรุป......................................................................................................................201 แบบฝกหัดทา ยบท.......................................................................................................202 เอกสารอา งองิ ..............................................................................................................203 บทที่ 7 สมการอนพุ นั ธแบบเชิงเสน .....................................................................................205 7.1 สมการเชงิ อนพุ ันธเ ชิงเสนอนั ดับหนง่ึ .................................................................. 205 7.2 การหาผลเฉลยสมการเชิงเสน อนุพนั ธอ นั ดับทห่ี นงึ่ .............................................206 7.3 สมการแบรนูลลี ................................................................................................... 218 7.4 สมการเชงิ อนุพนั ธเ ชงิ เสน อันดบั สอง................................................................... 221 7.5 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอนั ดับ n.......................................................................234 7.6 สรปุ ......................................................................................................................288 แบบฝกหดั ทา ยบท.......................................................................................................289 เอกสารอางองิ ..............................................................................................................291
(6) สารบญั (ตอ) หนา บทที่ 8 การแปลงลาปลาซ .....................................................................................................293 8.1 ปริพนั ธไ มต รงแบบ..............................................................................................294 8.2 การคาํ นวณหาลาปลาซทรานสฟอรม ................................................................... 298 8.3 คุณสมบัติของลาปลาซทรานสฟอรม ................................................................... 307 8.4 สรปุ ......................................................................................................................325 แบบฝก หดั ทา ยบท.......................................................................................................326 เอกสารอางองิ ..............................................................................................................328 บทที่ 9 ลาปลาซทรานสฟอรมกลบั ......................................................................................329 9.1 ความหมายของลาปลาซทรานสฟ อรม กลับ..........................................................329 9.2 คณุ สมบตั ิของลาปลาซทรานสฟอรมกลบั ............................................................331 9.3 การแยกเศษสวนยอย ............................................................................................339 9.4 สรุป......................................................................................................................361 แบบฝก หดั ทายบท.......................................................................................................362 เอกสารอางองิ ..............................................................................................................364 บทที่ 10 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟอรม .................................................................367 10.1 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรม กบั สมการอนพุ ันธธ รรมดา.....................368 10.2 การประยกุ ตใ ชล าปลาซทรานสฟ อรมกบั วงจรไฟฟา.........................................380 10.3 การประยกุ ตล าปลาซทรานสฟอรมในระบบควบคมุ .........................................400 10.4 สรุป....................................................................................................................419 แบบฝกหัดทายบท....................................................................................................... 420 เอกสารอา งองิ ..............................................................................................................422 บรรณานุกรม ............................................................................................................................ 425 ดชั นี............................................................................................................................................427 ภาคผนวก.................................................................................................................................. 429
สารบัญรูปภาพ รูปท่ี หนา 1.1 อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y หรือ f (x) ในชว ง x1 ถงึ x1+h ......................................................1 1.2 อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ตําแหนง x = x1................................................................................2 1.3 เสน ตรงสมั ผสั เสน โคง ณ จดุ x0.............................................................................................19 1.4 จุดตํา่ สุดและสงู สดุ ของกราฟ ................................................................................................21 2.1 นิยามการหาปรพิ นั ธ..............................................................................................................32 2.2 การเก็บสะสมประจขุ องตวั เกบ็ ประจุ ....................................................................................37 2.3 กราฟการเก็บสะสมประจขุ องตวั เกบ็ ประจุ ...........................................................................38 2.4 กราฟฟงกช ันไซนและโคไซน...............................................................................................41 2.5 พนื้ ท่รี ะหวางโคง ...................................................................................................................57 2.6 วงจรตวั อยา งที่ 2.29...............................................................................................................58 2.7 วงจรตวั อยา งที่ 2.30...............................................................................................................59 2.8 วงจรตวั อยางที่ 2.31...............................................................................................................60 3.1 แรงทกี่ ระทําตอวตั ถุมวล M ................................................................................................... 65 3.2 แรงภายนอกทก่ี ระทําตอสปรงิ ..............................................................................................66 3.3 สปริงและแผนภาพบลอ็ กสปริง.............................................................................................66 3.4 แบบจําลองทางกลของตัวหนว ง............................................................................................67 3.5 แรงหนวงของสปริง...............................................................................................................67 3.6 การหมนุ เชิงมมุ ......................................................................................................................68 3.7 แบบจําลองระบบสปริงและมวล ...........................................................................................70 3.8 การจําลองระบบเชิงกล มวล- สปริง- ตวั หนว ง......................................................................70 3.9 สญั ลักษณข องตวั ตานทาน..................................................................................................... 71 3.10 แบบจาํ ลองของตวั ตานทาน................................................................................................... 71 3.11 วงจรไฟฟา ท่ีเช่อื มตอกบั ตัวตา นทาน.....................................................................................73 3.12 แบบจําลองทางไฟฟา ของตัวเหนีย่ วนํา..................................................................................74 3.13 แบบจาํ ลองทางไฟฟาของตัวเกบ็ ประจุ..................................................................................76 3.14 ระบบทางกลอยา งงา ย............................................................................................................79 3.15 การสรา งรม ชชู พี สาํ หรบั ไข................................................................................................... 80
(8) สารบัญรูปภาพ (ตอ) รปู ท่ี หนา 3.16 แบบจําลองการเคล่ือนที่ของวัตถใุ นแนวด่งิ ...........................................................................81 3.17 การเคล่อื นทขี่ องวตั ถทุ ต่ี ดิ กับสปริง.......................................................................................82 3.18 แบบจําลองการตอวงจรไฟฟาแบบอนกุ รม .......................................................................83 3.19 แบบจาํ ลองของมอเตอรไฟฟากระแสตรง .............................................................................84 3.20 แบบจาํ ลองทางไฟฟา ของมอเตอรไ ฟฟากระแสตรง .............................................................85 3.21 กราฟคณุ สมบตั ิของไดโอดในทางปฏิบัติ..............................................................................87 3.22 วงจรเรยี งกระแสแบบครึ่งคล่ืน..............................................................................................88 3.23 วงจรตวั อยา งท่ี 3.23...............................................................................................................89 3.24 วงจรตวั อยางที่ 3.24...............................................................................................................90 3.25 วงจรตวั อยา งที่ 3.24...............................................................................................................91 3.26 วงจรอนกุ รม RL ....................................................................................................................94 3.27 วงจรขนาน RLC ที่มแี หลง จายสญั ญาณขน้ั บนั ได ................................................................. 94 3.28 การเคลอ่ื นทขี่ องรถยนต ........................................................................................................95 4.1 การเคลื่อนทใี่ นแนวตรงของรถไฟ........................................................................................97 4.2 วงจรแบบอนกุ รมของตวั เก็บประจแุ ละตัวตา นทาน..............................................................98 4.3 การปลอยจรวดของเลน บังคับ...............................................................................................98 4.4 การเคล่ือนทขี่ องสปริง...........................................................................................................99 4.5 วงจรตวั ตา นทานและตวั เหนย่ี วนาํ ตออนกุ รมทีส่ ภาวะเริ่มตน .............................................116 4.6 เมื่อสวติ ช ปดวงจรทเี่ วลา t < 0............................................................................................117 4.7 วงจร RL ตออนุกรมกับ R.................................................................................................... 117 4.8 วงจรทาํ งานท่ีสภาวะเรม่ิ ตน ................................................................................................. 117 4.9 วงจรแบบอนกุ รม RC ..........................................................................................................118 4.10 การทาํ งานของตัวเกบ็ ประจใุ นสภาวะเรม่ิ ตน ......................................................................118 4.11 วงจร RC เมือ่ ตอขนานกับ R ................................................................................................118 4.12 ทส่ี ภาวะเริม่ ตน ....................................................................................................................119 4.13 การพิจารณาสภาวะเร่ิมตน ของวงจรท่ีซบั ซอ น.................................................................... 119
(9) สารบัญรปู ภาพ (ตอ) รปู ที่ หนา 4.14 ทีส่ ภาวะเริ่มตนของตวั เหน่ยี วนาํ จะลัดวงจร........................................................................120 4.15 วงจรการตอแบบผสมของ RLC...........................................................................................120 4.16 การทาํ งานที่สภาวะเรม่ิ ตน................................................................................................... 120 4.17 วงจรการตอตวั ตานทานและตวั เหนีย่ วนาํ ............................................................................121 4.18 วงจรตวั อยางที่ 4.16.............................................................................................................123 4.19 วงจรตวั อยางท่ี 4.17........................................................................................................................125 4.20 การผสมการละลายในแทงค. .........................................................................................................127 4.21 การใหค วามรอ นกับแทงเหลก็ .......................................................................................................129 4.22 การเคลือ่ นท่ีในแนวราบ..................................................................................................................131 4.23 การเคลือ่ นท่ีของกอ นหนิ ในแนวด่งิ .............................................................................................133 4.24 นกั กระโดดรมกระโดด...................................................................................................................135 4.25 แบบจาํ ลองการเคลื่อนที่ตามกฎของนวิ ตนั ในแนวดิ่ง.................................................................135 4.26 วงจรตวั อยา งที่ 4.28........................................................................................................................141 4.27 วงจรตวั อยางท่ี 4.29.........................................................................................................................143 4.28 วงจรตวั อยา งท่ี 4.30.........................................................................................................................145 4.29 วงจรตวั อยางท่ี 4.31.........................................................................................................................148 4.30 การหา VTh และ RTh ทต่ี ัวเกบ็ ประจุ................................................................................................148 6.1 วงจรไฟตรงมแี หลงจาย 100V.............................................................................................198 6.2 วงจร RL ท่ี R = 50 , L = 1 H , E = 5 V สภาวะสวติ ช S เริ่มตอวงจร...............................200 7.1 วงจรอนกุ รม RL เมื่อสวิตช S ปดและเปดวงจร ................................................................... 242 7.2 วงจรอนกุ รม RL เมื่อตออยกู บั แหลงจา ยไฟกระแสสลับ .....................................................244 7.3 วงจรไฟตรงมีแหลง จาย 100V.............................................................................................247 7.4 วงจรอนกุ รม RC เม่ือมีแหลง จายไฟเปนไฟฟากระแสสลับ.................................................249 7.5 วงจรขนาน RLC กบั แหลง จา ยกระแส.................................................................................258 7.6 วงจรอันดับสอง RLC...........................................................................................................260 7.7 วงจรอนกุ รม RLC................................................................................................................262
(10) สารบัญรปู ภาพ (ตอ) รปู ที่ หนา 7.8 กระแสท่มี ลี กั ษณะโอเวอรแ ดมป.........................................................................................265 7.9 กระแสเปน ลกั ษณะคริตคิ อลแดมป .....................................................................................268 7.10 แสดงรูปของกระแสในลกั ษณะอนั เดอรแ ดมป.................................................................... 269 7.11 การเคลอ่ื นทข่ี องสปรงิ .........................................................................................................271 7.12 การเคลื่อนทีข่ องสปริงแนวราบ...........................................................................................272 7.13 การเคลอ่ื นทขี่ องสปริงเม่ือมีแรงหนว ง................................................................................274 7.14 วงจรออปแอมป...................................................................................................................278 7.15 วงจรตวั อยา งท่ี 7.49.............................................................................................................281 7.16 วงจรตวั อยา งท่ี 7.50.............................................................................................................284 7.17 วงจรตวั อยา งท่ี 7.51.............................................................................................................286 7.18 วงจรขอ 23...........................................................................................................................290 7.19 วงจรขอ 24...........................................................................................................................291 8.1 ความสมั พันธของลาปลาซทรานสฟ อรม และการแปลงกลบั ...............................................293 8.2 การแกปญ หาวงจรไฟฟาโดยวธิ สี มการอนุพนั ธและวิธลี าปลาซทรานสฟ อรม ...................294 8.3 ฟงกช นั ยนู ติ สเตป็ ................................................................................................................298 8.4 ฟง กชันเอ็กซโ ปเนนเทยี ลของตวั เก็บประจเุ มือ่ มกี ารคายประจุ ...........................................299 8.5 ฟงกช ันไซน. ........................................................................................................................300 8.6 สัญญาณอมิ พลั ส..................................................................................................................302 8.7 ฟงกช นั แกมมา.....................................................................................................................303 8.8 ฟงกชนั ยูนติ สเต็ปท่ีถกู เล่ือนไปทเ่ี วลา t0..............................................................................308 8.9 เม่ือ g(t) = e-4tu(t-3)..............................................................................................................309 8.10 รปู คลนื่ สัญญาณแบบสามเหลี่ยม.........................................................................................317 8.11 รูปคลืน่ ของฟนเลอื่ ย............................................................................................................319 8.12 รปู คลน่ื ................................................................................................................................319 8.13 วงจรเรียงกระแสแบบครึง่ คล่นื และสัญญาณเอาตพุต ..........................................................322 8.14 สัญญาณพัลสรปู ไซน ..........................................................................................................322
(11) สารบัญรปู ภาพ (ตอ ) รปู ที่ หนา 8.15 รปู คล่ืนสัญญาณแบบสเี่ หลย่ี ม.............................................................................................324 10.1 การหาผลเฉลยโดยวิธแี ปลงลาปลาซ...................................................................................368 10.2 วงจรอนกุ รม RC..................................................................................................................380 10.3 วงจรอนกุ รม RL ..................................................................................................................383 10.4 วงจรผสม RL.......................................................................................................................385 10.5 วงจรผสม RC.......................................................................................................................388 10.6 วงจรอนกุ รม RLC................................................................................................................391 10.7 วงจรอนกุ รม RLC................................................................................................................395 10.8 วงจรอนกุ รม RC..................................................................................................................397 10.9 การควบคมุ ปรมิ าณนํา้ ในถัง ................................................................................................400 10.10 ทรานสเฟอรฟ ง กช ัน..........................................................................................................401 10.11 วงจรอนกุ รม RL ................................................................................................................402 10.12 วงจรอนกุ รม RC................................................................................................................403 10.13 วงจรอนกุ รม RLC..............................................................................................................404 10.14 วงจรอนกุ รม RC................................................................................................................406 10.15 วงจรอนกุ รม RC................................................................................................................407 10.16 วงจรอนกุ รม RL ................................................................................................................409 10.17 วงจรตวั อยา งท่ี 10.22.........................................................................................................410 10.18 วงจรตวั อยา งที่ 10.23.........................................................................................................412 10.19 วงจรตวั อยา งที่ 10.24.........................................................................................................413 10.20 วงจรตวั อยา งท่ี 10.25.........................................................................................................414 10.21 วงจรตวั อยางท่ี 10.26.........................................................................................................416
สารบัญตาราง ตารางท่ี หนา 2.1 ตวั อยา งเปรยี บเทยี บผลจากการหาอนพุ ันธและการหาปฎิยานุพันธ. ......................................33 3.1 คณุ สมบตั ขิ องสว นประกอบเชิงกล........................................................................................69 3.2 คณุ สมบัตทิ างกลของสว นประกอบทางไฟฟา .......................................................................77 3.3 การสะสมพลงั งานของอปุ กรณ .............................................................................................78 4.1 การเกบ็ สะสมพลังงานของตวั อุปกรณ. ................................................................................116 8.1 ลาปลาซทรานสฟ อรม .........................................................................................................306 8.2 คุณสมบัตขิ องลาปลาซทรานสฟอรม ..................................................................................313 9.1 ลาปลาซทราสฟ อรมกลับ .................................................................................................... 330 9.2 คุณสมบัติของลาปลาซผกพัน..............................................................................................335 10.1 ความสัมพันธของแรงดนั และกระแส..................................................................................401
บทที่ 1 อนพุ ันธของฟงกชัน 1.1 บทนํา อนุพันธ (Derivative) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสองตัวแปร หรือ อนุพันธของ ฟงกชัน หมายถึง อัตราสวนระหวางผลตางของตัวแปรตาม ตอผลตางของตัวแปรอิสระโดย กําหนดให y = f (x) ซ่ึงหมายถงึ y เปนฟงกชนั ที่ขน้ึ อยกู ับตัวแปร x เมื่อ x เปนตัวแปรอิสระ และ y เปน ตวั แปรตาม เม่อื ตวั แปรอิสระมีการเปลี่ยนแปลงในทิศทางทเ่ี พิ่มขน้ึ หรอื ลดลงก็จะมีผลทําใหต ัว แปรตามมีการเปลี่ยนแปลงไปดวย กําหนดให y = f (x) ซึ่งหมายถึง y เปนฟงกชันท่ีขึ้นอยูกบั ตัว แปร x y y = f (x) f (x1+h) f (x1+h)- f (x1) h f (x1) x1 x1+h x รูปที่ 1.1 อัตราการเปลยี่ นแปลงของ y หรอื f (x) ในชวง x1 ถึง x1+h ถา y มีความตอเน่ืองทุกๆ คาของ x อัตราการเปล่ียนแปลงของ y หรือ f (x) ในชวง x1 ถึง x1+h คอื f x1 + h- f x1 (1.1) h อัตราการเป ลี่ยน แป ลงน้ี เรียกวาความชัน (Slope) กรณี ท่ีกราฟ เป นเสน ตรงหรือ y มีการเปลี่ยนแปลงเปนเชิงเสนกับคา x ความชันจะคงที่ แตถา y ไมเปนเชิงเสนกับ x หรือกราฟ เปน เสน โคงดังรูปท่ี 1.1 อตั ราการเปล่ยี นแปลงของตัวแปร y หรือ f (x) ในชว ง x1 ถึง x1+h เปน อตั รา การเปลย่ี นแปลงโดยเฉลี่ย
2 บทท่ี 1 อนพุ นั ธของฟงกช ัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แตถาใหชวงจาก x1 ถึง x1+h แคบเขา น่ันคือให h เขาใกล 0 อัตราการเปลี่ยนแปลงดังกลาว กจ็ ะเขา ใกลอ ัตราการเปล่ียนแปลง ณ ตาํ แหนง x = x1 h x1 h--->0 x1+h รูปท่ี 1.2 อัตราการเปลย่ี นแปลง ณ ตําแหนง x = x1 น่ันคือ hlim0 f x1 +h- f (x1) คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y หรือ f (x) ณ x = x1 กรณีท่ัวไป f h x +h- f (x) hlim0 h คอื อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y หรอื f (x) ณ คา x ใดๆ ซึ่งหมายถึง ความชัน ของกราฟหรือฟง กช นั ทจ่ี ดุ x ใดๆ นน่ั เอง อนพุ ันธข องฟง กชนั f ถา y = f (x) เปนฟงกช ันท่ีมีโดเมน f x +h- f (x) และเรนจเ ปนสบั เซตของจํานวนจรงิ เราเรยี ก hlim0 h ที่หาไดว า อนุพนั ธข องฟงกชัน f ที่ x และเรานยิ มใชสญั ลกั ษณ f (x) หรอื dy แทนอนุพนั ธด งั กลา ว dx 1.1.1 สัญกรณข องไลบนิซ ในป ค.ศ. 1675 กอททฟรีด วิลเฮลม ไลบนิซ ไดเสนอสัญลักษณ dx, dy และ dx/dy เพ่ือแทนการหาอนุพันธของฟงกชัน ซ่ึงสัญลักษณนี้ใชกันอยางทั่วไป เม่ือสมการมีลักษณะ ความสัมพันธเชงิ ฟงกช ันระหวางตวั แปรตนและตัวแปรตาม เชน y = f (x) โดยมี x เปน ตวั แปรตน และ y เปนตวั แปรตาม โดยการเขยี นความสัมพันธของอนุพันธอนั ดบั หน่ึงมีสัญลกั ษณดงั นี้ dy , df (x), หรอื d f (x) dx dx dx สว นอนุพันธอนั ดบั สงู มสี ัญลักษณเปนดังน้ี dny dn f dn dxn , dxn (x), หรอื dxn f (x) โดย n เปน ลําดบั ทข่ี องอนุพนั ธ ตัวอยา งการเขียนอนุพันธอ ันดบั สองของ f (x) เขียนไดด งั น้ี d2y = d dy dx 2 dx dx การเขียนอนุพันธของ y ท่ีจุด x = a ในสัญกรณของไลบนิซ มีรูปแบบที่แตกตางกัน สองแบบ ไดแก จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพันธของฟง กชัน 3 dy z=a = dy (a) dx dx การเขียนสมการอนุพันธโ ดยใชสัญกรณของไลบนิซทาํ ใหสามารถระบุตวั แปรในการหา อนุพนั ธได โดยเฉพาะในการหาอนุพนั ธย อ ย และเปนการงายในการใชก ฎของลกู โซ dy dy du dx = du dx 1.1.2 สัญกรณข องลากรางจ สัญกรณของลากรางจเปนสัญกรณยุคใหมที่ใชกันมากที่สุดในการหาอนุพันธ หรือ เรียกอีกอยางหนึ่งวา สัญกรณไพรม ซึ่งเสนอโดยโฌแซ็ฟ-หลุยส ลากร็องฌ และใชเคร่ืองหมาย ไพรมเ ปนสญั ลกั ษณอนพุ ันธข องฟงกชัน f (x) เขยี นไดใ นรูป f (x) หรือ f สวนอนุพนั ธอ นั ดบั สอง และสามสามารถเขยี นไดในรปู ดงั น้ี ( f ) = f และอนุพนั ธอันดับสามเขียนไดใ นรปู ดงั นี้ ( f ) = f สว นอนุพันธอันดับที่สูงกวาน้ี บางครั้งจะใชเลขโรมันเปนตัวยก หรืออาจใชจํานวนนับ ในวงเลบ็ แทนได f iv หรือ f (4) รูปท่ัวไปคอื f (n) สาํ หรับอนพุ ันธอ นั ดบั n ของ f สญั กรณแบบลากรางจเ หมาะกบั สมการอนุพันธใ นรูปฟงกช นั ของตวั เอง 1.1.3 สัญกรณข องนิวตนั สัญกรณของนิวตัน หรือเรียกวา สัญกรณจุด การเขียนสมการอนุพันธแบบนี้สามารถ นาํ ไปใชทั่วไปในฟสิกส สมการเชิงอนุพันธ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ เชน การหาอนุพันธเทียบ กับเวลา หรือการเทียบกับความยาวสวนโคง โดยสัญกรณแบบนี้เหมาะในการเขียนอนุพันธที่มี อันดับสูงขน้ึ ในทางปฏบิ ัตจิ ะใชก บั อนพุ นั ธไมกี่อันดับทจี่ ําเปนเทา นัน้ โดยเขียนเคร่ืองหมายจุดไวเหนือชื่อฟงกชันแทนจํานวนคร้ังของการหาอนุพันธ เชน ถา y = f (t) แลว y และ y หมายถงึ อนุพันธอ ันดบั หน่งึ และสองของ y เทียบกบั t ตามลาํ ดบั ตัวอยา งท่ี 1.1 ให f (x) = 2x2+1 จงหาความชนั ของฟง กชนั ท่ี x = 5 วิธีทํา ขั้นตอนท่ี 1 จาก f (x) = 2x2+1 แทนคา x = x + h จะได f x + h= 2x + h 2 +1 จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
4 บทท่ี 1 อนพุ นั ธข องฟง กช ัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ข้นั ตอนท่ี 2 หา hlim0 f x +h - f x = hlim0 2 x + h 2 +1-(2 x 2 +1) h h 2 x 2 + 4 xh + 2h2 +1- 2 x 2 -1 = hlim0 h = hlim04 x +2 h = 4x ขนั้ ตอนที่ 3 ความชนั ของฟง กช นั f (x) = 2x2+1 ที่ (x = 5) เทา กับ 4x จะได 4(5) = 20 ตอบ ความชันของฟงกชัน f (x) = 20 1.2 กฎสาํ หรับการหาอนพุ ันธ นิยาม 1.1 อนุพันธของคาคงตัว (Derivative of constant) ถา y = f (x) = C เมื่อ C เปนคาคงตัว สาํ หรับทกุ คา x แลว f (x) = 0 (อนุพนั ธของคาคงตัวมีคา เทากบั ศนู ย) dy f (x) = 0 หรือ dx = 0 นิยาม 1.2 การหาอนุพันธของ xn (เมอื่ n เปน จํานวนเต็มบวก) ถา f เปน ฟง กชัน ซ่ึง y = f (x) = xn เมอื่ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก แลว f (x) = nxn-1 หรอื dy = dx n = nxn-1 dx dx นิยาม 1.3 การหาอนุพันธของผลคูณของคาคงตัวกับฟงกชัน ถา u (x) สามารถหาอนุพันธ ไดที่ x และ f (x) = C.u (x) แลว f (x) = C.u(x) dy d หรอื dx = C dx u(x) ตัวอยา งท่ี 1.2 ถา f1 (x) = 5 และ f2 (x) = 3.5 จงหาอนพุ ันธของ f1 (x) และ f2 (x) d dx f1(x) = d (5) = 0 dx d d และ dx f2(x) = dx (3.5) = 0 ตอบ d f1(x) = 0 และ d f2(x) = 0 dx dx จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพันธของฟงกชนั 5 ตวั อยางท่ี 1.3 ถา f (x) = x4 จงหาอนพุ ันธของ f (x) จะไดว า n = 4 n – 1 = 3 d d จะได dx f (x) = dx (x4 ) = 4x3 ตอบ d f (x) = 4x3 dx ตวั อยา งที่ 1.4 ถา f (x) = x10 จงหาอนพุ ันธข อง f (x) จะไดว า n = 10 n – 1 = 10-1 = 9 d d จะได dx f (x) = dx ( x10 ) = 10 x 9 ตอบ d f (x) = 10x9 dx ตัวอยางที่ 1.5 จงหาอนพุ ันธของ f (x) = 6x3 f (x) = 6 x3 u(x) = x3 ; n = 3 n - 1 = 2 คาคงที่ C d u( x ) = 3 x 2 dx ดงั น้นั d d ตอบ dx f (x) = 6 dx u(x) d = 6(3)x 2 = 18x2 dx f (x) = 18x2 ตัวอยางท่ี 1.6 จงหาอนพุ นั ธข องฟงกช นั g (p) = 15 p 2 15 f ( p) ถาให f (p) = p แลว g (p) = 2 f (p) = p เม่ือ n = 1 ; n – 1 = 1 – 1 = 0 d ddx f (p) =1 dx g( p) จะได = 15 d f ( p) 2 dx 15(1) 15 = 152 = 2 p) = 2 ตอบ d g( dx จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
6 บทที่ 1 อนุพนั ธของฟง กชนั คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส นยิ าม 1.4 อนพุ ันธของผลบวก (Derivative of a sum) ถา u (x) และ v (x) หาอนพุ ันธไ ดท ี่ x ถา f (x) = u (x) + v (x) แลว d d d dx f (x) = dx u(x) + dx v(x) (1.2) ตัวอยา งท่ี 1.7 จงหาอนพุ นั ธข องฟง กช นั f (x) = y = 4x3 + 3x2 - 2x +2 วธิ ที าํ ขั้นตอนที่ 1 พิจารณา f (x) = y = 4x3 + 3x2 - 2x +2 ใชนิยาม 1.4 ขนั้ ตอนที่ 2 แยกพจิ ารณาแตล ะพจนจ ะได d dx f1 (x) = 4x3 ใชน ยิ าม 1.3 จะได f1(x) = 4(3)x3-1 = 12x2 f2 (x) = 3x2 ใชน ยิ าม 1.3 จะได d f2(x) = 3(2)x2-1 = 6x dx d f3 (x) = 2x ใชน ิยาม 1.3 จะได ddx f3(x) = 2(1)x1-1 = 2 f4 (x) =2 ใชนิยาม 1.3 จะได dx f4 (x) = 0 ขน้ั ตอนท่ี 3 อนพุ นั ธของฟง กชนั f (x) จะได d d d d d ddx f (x)= dx f1(x)+ dx f2 (x) + dx f3(x)+ dx f4 (x) dx f (x)= = 12x2 + 12x2 + 6x +2+0 ตอบ d f (x) 6x + 2 dx นิยาม 1.5 อนุพันธของการคูณ (Derivative of a product) ถา u(x) และ v(x) เปนฟงกชัน vdd(xx)f.(ddxx)uห(xา)อนุพันธได ที่หาอนุพันธไดท ี่ x ซ่ึง f (x) = u(x) . v(x) แลว และ d f (x) dx = dy = u(x). d v(x) + dx dx (อนุพนั ธของผลคณู ของสองฟงกชันเทากับฟงกชันแรก คูณอนุพันธของฟงกชันท่ีสองบวกกับ ฟง กชนั ทีส่ องคูณอนุพันธข องฟง กชนั แรก) dy udv vdu dx = dx + dx (1.3) ตวั อยาง 1.8 จงหาอนุพนั ธของ ฟงกช นั y = (x3 + 4) (x + 3) วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 พิจารณา f (x) = y = (x3 + 4) (x + 3) ใชนยิ าม 1.5 แยกตัวแปรเปน u(x) และ v(x) จะได u(x) = (x3 + 4) และ จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพนั ธของฟงกช นั 7 v(x) = (x + 3) dy udv vdu dx dx dx ขน้ั ตอนท่ี 2 จาก นยิ าม 1.5 = + ขัน้ ตอนที่ 3 จาก u(x) = (x3 + 4) du = 3x3-1 + 0 = 3x2 ตอบ dx dv v(x) = (x + 3) dx = 1x1-1 + 0 = 1 แทนคา u , v ในสมการ จะได du u(x) = (x3 + 4) และ dx = 3x2 v(x) = (x + 3) และ dv = 1 dx dy จะได dx = (x3 + 4)(1) + (x + 3)(3x2) dy = x3 + 4 + 3x3 + 9x2 (คูณเขาในวงเลบ็ ) dx = 4x3 + 9x2 + 4 ตัวอยางท่ี 1.9 ถา y = (4x)(x + 1) จงหาอนพุ นั ธข องฟง กชัน y dy d dx = dx (4x)(x + 1) วธิ ที ํา ข้ันตอนที่ 1 พจิ ารณา y = (4x)(x + 1) ใชนิยาม 1.5 แยกตวั แปรเปน u(x) และ v(x) จะได u(x) = (4x) และ v(x) = (x + 1) dy udv vdu dx dx dx ขัน้ ตอนท่ี 2 จากนยิ าม 1.5 = + ข้นั ตอนท่ี 3 จาก u(x) = (4x) du = 4 dx dv v(x) = (x + 1) dx = 1x1-1 + 0 = 1 แทนคา ในสมการ du dx u = (4x) และ = 4 v = (x + 1) และ dv = 1 dx dy จะได dx = (x3 + 4)(1) + (x + 3)(3x2) = x3 + 4 + 3x3 + 9x2 (คูณเขาในวงเล็บ) dy d d dx = 4x dx (x + 1) + (x + 1) dx 4x จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
8 บทที่ 1 อนุพันธของฟงกช ัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส = 4x (1) + (x+1)4 dy = 4x + 4x + 4 dx ตอบ = 8x +4 ตวั อยา งที่ 1.10 ถา y = (x2- 1)(3x) จงหาอนพุ ันธของฟงกชนั y dy d dx = dx (x2- 1)(3x) วิธที ํา ข้นั ตอนท่ี 1 พจิ ารณา y = (x 2 - 1)(3x) ใชนยิ าม 1.5 แยกตวั แปรเปน u(x) และ v(x) จะได u(x) = (x2- 1) และ v(x) = (3x) dy udv vdu dx dx dx ขน้ั ตอนท่ี 2 จาก นิยาม 1.5 = + ขนั้ ตอนท่ี 3 ตอบ จาก u(x) = (x2- 1) du = 2x dx dv v(x) = (3x) dx =3 จาก dy = udv + vdu แทนคา ในสมการ dx dx dx dy จะได dx = (x2- 1)(3) + (3x)(2x) dy = 3x2- 3 + 6x 2 dx = 9x2- 3 นิยาม 1.6 อนพุ ันธของการหาร (Derivative of a quotient) ถา u(x) และ v(x) เปนฟงกชัน u(x) ที่หาอนพุ นั ธไดท ี่ x และ v(x) 0 และ f (x) เปน ฟง กชนั ซง่ึ f (x) = y = v(x) แลว dy = v(x). d u(x) - u(x). d v(x) dx dx dx [v(x)]2 vdu udv dy = dx - dx (1.4) dx v2 ตวั อยาง 1.11 ถา กําหนดให h(x) = x จงหาอนุพนั ธข อง h(x) x -1 x วธิ ีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 พิจารณา h(x) =y = x -1 นยิ าม 1.6 จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนพุ ันธของฟง กช นั 9 จะได u(x) = x และ v(x) = x – 1 vdu udv ขัน้ ตอนที่ 2 จาก นยิ าม 1.6 dy = dx - dx ทาํ การแยกพิจารณาเปน dx v2 du จาก u(x) = x dx =1 v(x) = x - 1 dv =1 dx v2 = (x - 1)2 du dv ขน้ั ตอนที่ 3 จาก นิยาม 1.6 แทนคา u(x) , dx , v(x) , dx และ v2 dy = (x -1)(1) - x(1) = 1 dx (x -1)2 (x -1)2 ตอบ dy = 1 dx (x -1)2 ตัวอยา งที่ 1.12 ถา y = (3x -1) จงหาอนุพันธข อง y x (3x -1) วิธีทาํ ข้ันตอนท่ี 1 พิจารณา h(x) = y = x นิยาม 1.6 จะได u(x) = 3x -1 และ v(x) = x vdu udv ขนั้ ตอนท่ี 2 จาก นิยาม 1.6 dy = dx - dx ทําการแยกพิจารณาเปน dx v2 du จาก u(x) = 3x -1 dx =3 v(x) = x dv =1 dx v2(x) = x2 du dv dv ขนั้ ตอนที่ 3 จากนิยาม 1.6 แทนคา u(x) , dx , v(x) , dx และ dx dy = x (3)- (3x -1)(1) = 3x -3x +1 = 1 dx x2 x2 x2 dy 1 ตอบ dx = x2 ตวั อยา งท่ี 1.13 ถา y = 3x - 5 จงหาอนุพนั ธข อง y x2 +2 จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
10 บทท่ี 1 อนุพนั ธของฟงกชัน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส วธิ ที าํ ข้นั ตอนที่ 1 พจิ ารณา h(x) = y = 3x - 5 นิยาม 1.6 x2 +2 จะได u(x) = 3x -5 และ v(x) = x2 + 2 vdu udv ขั้นตอนที่ 2 จากนิยาม 1.6 dy = dx - dx ทาํ การแยกพิจารณาเปน dx v2 du จาก u(x) =3x -5 dx =3 v(x) = x2 + 2 dv = 2x dx v2 = (x2+2)2 du dv ขั้นตอนที่ 3 จากนิยาม 1.6 แทนคา u(x) , dx , v(x) , dx และ v2 dy = ( x2 + 2)(3) -(3x - 5)(2 x ) = 3x 2 +6-6x2 -10 x dx (x2 + 2)2 (x2 + 2)2 -3x2-10x + ตอบ dy = (x2 +2)2 6 dx 1.3 กฎลกู โซ (Chain rule) เม่ือ f (x) และ g(x) เปนฟงกชันท่ีหาอนุพันธไดและเขียนอยูในรูป y = f (u) และ u = g(x) เมอื่ g(x) อยูใ นโดเมนของฟงกชนั f แลวยอ มไดว า y = f (g(x)) ดงั นั้น y คอื ฟง กชันของ x เรยี กวา y เปนฟงกชันประกอบ (Composite function) ของ x หรือ y เปนฟงกชันของ x ดังน้ัน เม่อื ตอ งการหาอนพุ ันธฟง กชันประกอบใหใ ชก ฎของลกู โซด งั ทฤษฎบี ทท่ี 1.1 ทฤษฎีบทท่ี 1.1 ถา f (u) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไ ดที่ ถา y = f (u) และ u = g(x) โดยอนุพันธ ของ y เทียบกับ u และอนุพันธของ u เทียบกับ x หาคาไดแลว นิยามการหาอนุพันธของฟงกชัน ประกอบ y = f (g(x)) เขยี นไดด งั น้ี dy dy du dx = du dx ตัวอยา งท่ี 1.14 กําหนดให y = (x2+2x +3)5 = u5 จงหาคา dy dx วธิ ีทํา ขนั้ ตอนท่ี 1 กาํ หนดให u = x2+2x+3 จะได y = (x2+2x +3)5 = u5 ขัน้ ตอนที่ 2 ใชกฎของลูกโซจ ะได จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพนั ธข องฟง กช นั 11 หาคา dy = dy du + 3) = 2x+2 ddxu = ddxd(ux2 dx dx +2x ข้นั ตอนท่ี 3 แทนคาในสมการลูกโซจ ะได dy = du5 du = 5u4 du ddxy = dx dx dx dx 5u4 (2x + 2) ขัน้ ตอนที่ 4 แทนคา u = x2 +2x +3u ในสมการจะได ตอบ dy = 5(x2 + 2x + 3)4(2x + 2) dx ตวั อยา งท่ี 1.15 กําหนดให y = sin (2t3- 4) จงหาคา dy dt วธิ ที าํ ขั้นตอนที่ 1 กําหนดให u = 2t3- 4 จะได y = sin u ขั้นตอนที่ 2 ใชกฎของลูกโซจะได du d หาคา dt = dt (2t3 -4) = 6t ขั้นตอนท่ี 3 แทนคาในสมการลกู โซจะได ขั้นตอนที่ 4 dy d du du ddyt = du (sin u). dt = cos u dt dt = [cos u](6t) แทนคา u = 2t3- 4 ในสมการจะได ตอบ dy = 6tcos (2t 3 - 4) dt 1.4 อนุพนั ธของฟง กชันตรีโกณมิติ นยิ าม 1.7 อนพุ ันธของฟง กช ัน sin u(x) ถา f (x) = sin u(x) d d แลว dx f (x) = cos u(x) dx u(x) นยิ าม 1.8 อนุพนั ธข องฟงกชนั โคไซน ถา f (x) = cos u(x) d d แลว dx f (x) = - sin u(x) dx u(x) นิยาม 1.9 อนุพันธของฟง กชันแทนเจนต ถา f (x) = tan u(x) จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
12 บทที่ 1 อนพุ ันธของฟงกช ัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส แลว d f (x) = sec2 u(x) d u(x) dx dx นยิ าม 1.10 อนุพนั ธข องโคแทนเจนต ถา f (x) = cot u(x) d d แลว dx f (x) = -csc2 u(x) dx u(x) นยิ าม 1.11 อนุพันธของซแี คนต ถา f (x) = sec u(x) d d แลว dx f (x) = sec u(x) tan u(x) dx u(x) นยิ าม 1.12 อนพุ นั ธข องโคซแี คนต ถา f (x) = csc u(x) d d แลว dx f (x) = - csc u(x) cot u(x) dx u(x) ตวั อยา งท่ี 1.16 จงหาอนุพนั ธข องฟง กชนั f (x) = sin x2 วธิ ีทํา ขนั้ ตอนท่ี 1 พิจารณา f (x) = sin x2 อยูในรูปของ f (x) = sin u(x) ขั้นตอนท่ี 2 หาอนพุ ันธของ f (x) ตาม นยิ าม 1.7 ซง่ึ d (=แxล)xะ2=ddcxousd(duxx()xu)จ(xะd)dไxด=u(x2x)2-1 dx f (x) = cos x2 (2x) เมอ่ื u(x) = 2x ข้ันตอนที่ 3 แทนคา u(x) d f dx d ตอบ dx f (x) = 2x cos x2 ตวั อยางที่ 1.17 จงหาอนุพนั ธข อง f (x) = sin2x วธิ ที าํ ข้นั ตอนท่ี 1 พิจารณา f (x) = sin2x อยูใ นรปู ฟงกชันไซน ขั้นตอนที่ 2 กาํ หนดให u = sin x f (x) = u2 ขั้นตอนท่ี 3 du fs=i(nxdxd)x=แ(s2ลiunะddxuxdd)ux ==ccoossxx หาคา dx จะได แทนคา u= d = 2 sin x cos x dx ตอบ d f (x) = sin 2x dx = sin 2x จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทที่ 1 อนพุ นั ธของฟง กชัน 13 ตัวอยางท่ี 1.18 จงหาอนพุ นั ธของ f (x) = sec (6x + 5) วิธที าํ ขน้ั ตอนที่ 1 พจิ ารณา f (x) = sec (6x + 5) ใช นิยาม 1.11 ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนดให u(x) = 6x + 5 udddddd(xxxx)uff(((=xxx)))6===xs+6e[(sc51eu)cxแ((x1=ล6-)1xะ+t+addn50xd)duxs=t(aeuxnc6)(x((d66)dxxx=+u+65(x)5]))(6dd)x ขนั้ ตอนที่ 3 (6x+5) tan (6x+5) u(x) ตอบ d f แทนคา dx (x) = 6 sec ตวั อยา งท่ี 1.19 กําหนดให y = cos 5x จงหา dy วธิ ีทํา ข้นั ตอนท่ี 1 dx ข้นั ตอนท่ี 2 พจิ ารณา f (x) = y = cos 5x ใช นิยาม 1.11 ขนั้ ตอนท่ี 3 กาํ หนดให u(x) = 5x d ddx u(x) = 5(1)x1-1 = 5 dx f (x) = dy ssddiixnn(55cxxosd(d5ux(dd(x5xx)x))) d u(x ) dx = dx = - - ตอบ dy = -5 sin 5x dx ตัวอยา งที่ 1.20 กาํ หนดให y = tan (2x+5) จงหา dy dx วธิ ที าํ ขนั้ ตอนท่ี 1 พจิ ารณา f (x) = y = tan (2x+5) ใช นิยาม 1.11 ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนดให u(x) = 2x+5 d u(x) = 2(1)x1-1 + 0 = 2 dx จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
14 บทที่ 1 อนพุ นั ธข องฟง กชัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส ขนั้ ตอนท่ี 3 dy = sdsdeexcc2(2tua(2nddxxu+((52x)x))(+2d5dddx)xxu)(x ) dx = dy = dx ตอบ dy = 2 sec2 5x dx ตัวอยางท่ี 1.21 กาํ หนดให y = sin 8x - cos 5x + tan 4x จงหา dy dx วธิ ที ํา ขนั้ ตอนที่ 1 พจิ ารณา y = sin 8x - cos 5x + tan 4x ใช นิยาม 1.11 ขั้นตอนท่ี 2 d กาํ หนดให u(x) = 8x จะได ddx u(x) = 8 v(x) = 5x จะได ddx v(x) = 5 w(x) = 4x จะได dx w(x) = 4 ขัน้ ตอนท่ี 3 dy ddddxxsi(nsiun( dx = 8x - cos 5x + tan 4x) = x) d u(x)- d cos v(x) d v(x)+ d tan w(x) d w(x) dx dx dx dx dx = -cos u(8)-sin v(5)+sec2 w(4) dy ตอบ dx = 8cos 8x + 5sin 5x + 4sec24x 1.5 การหาอนุพนั ธข องฟงกช นั ตรโี กณมิตผิ กผนั d 1 d 1.4.1 ถา f (x) = sin-1 u(x) จะได dx f (x) = 1 - [u( x )]2 dx u(x) 1.4.2 ถา f (x) = cos-1 u(x) จะได d f (x) = -1 d u(x) dx 1 - [u( x)]2 dx 1.4.3 ถา f (x) = tan-1 u(x) จะได d f (x) = 1 d u(x) dx 1+ [u(x)]2 dx 1.4.4 ถา f (x) = cot-1 u(x) จะได d f (x) = -1 d u(x) dx 1+ [u(x)]2 dx 1.4.5 ถา f (x) = sec-1 u(x) จะได d f (x) = u(x) 1 d u(x) dx [u(x)]2 -1 dx จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ ันธข องฟงกชัน 15 1.4.6 ถา f (x) = csc-1 u(x) จะได d f (x) = u(x) -1 d u(x) dx [u(x)]2 -1 dx ตวั อยางที่ 1.22 จงหาอนุพันธข อง f (x) = sin-1 4x วิธที ํา ข้ันตอนที่ 1 จากโจทยกาํ หนด u(x) = 4x d d dx u(x ) = dx 4(x) = 4 ขนั้ ตอนที่ 2 d sin-1 u( x) = 1 d u(x) แทนคา dx 1 - [u( x )]2 dx จะได d f (x) = 1 4 dx 1 - (4 x )2 ตอบ d f (x) = 4 dx 1 - 16 x 2 ตัวอยางที่ 1.23 จงหาอนุพนั ธข อง f (x) = cos-1 (1-2x) วิธีทาํ ข้นั ตอนที่ 1 กาํ หนด u(x) = (1-2x) d d dx u(x ) = dx (1-2x) = -2 ขัน้ ตอนที่ 2 d cos-1 u( x) = -1 d u(x) dx 1 - [u( x )]2 dx จะได d f (x) = 1 (-2) dx 1-(1- 2x)2 =2 1-(1- 4x + 4x2 ) =2 1-1+ 4x - 4x2 =2 4x - 4x2 d 1 ตอบ dx f (x) = -x2+ x ตวั อยา งท่ี 1.24 จงหาอนพุ ันธของ y = x sec-1 x วธิ ีทาํ ขน้ั ตอนที่ 1 จากโจทย y = x sec-1 x อยใู นรปู ผลคณู จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
16 บทที่ 1 อนพุ นั ธของฟงกชัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส คอื u(x) = x และ v(x) = sec-1 x ddddyxux== udv vdu ข้ันตอนท่ี 2 กฎผลคณู y = u.v แลว dx + dx เม่อื u(x) = x จะได 1 ขัน้ ตอนท่ี 3 ตอบ v(x) = sec-1x ; dv = x 1 (1) dx x2 -1 แทนคา 1 + sec-1 (x) . (1) dy x2 -1 dx =x x dy = 1 + sec-1 (x) dx x2 -1 ตัวอยา งที่ 1.25 กาํ หนดให y = sec-1 (2x + 1) จงหา dy dx วธิ ีทาํ ขั้นตอนที่ 1 โจทยกาํ หนด y = sec-1 (2x + 1) 1ud2dx-1u(ddxx)u=( d ข้นั ตอนท่ี 2 กําหนด u(x) = 2x +1 จะได dx (2 x +1) =2 ขั้นตอนท่ี 3 =u x) จาก dy = d sec-1 u( x) dx dx 1 = (2x+1) (2x +1)2 -1 (2) = (2x +1) 2 4x2+4x +1-1 = (2x+1) 2 4x2 +4x = (2x+1) 2 4(x2 +1) = (2x +1)22 (x2 +1) = (2x 1 x2 +1 +1) ตอบ dy = (2x 1 x2 +1 dx + 1) dy ตัวอยา งท่ี 1.26 กําหนดให y = sin-1 (3x) จงหา dx วธิ ที าํ ขน้ั ตอนท่ี 1 จากโจทย y = sin-1 (3x) จไุ รรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ นั ธของฟง กชนั 17 ขน้ั ตอนที่ 2 กําหนด u(x) = 3x จะได 1d1d-xuu2(x)ddx=u(dxdx) 3x =3 ขนั ตอนที 3 หาคาจากสตู ร d sin-1 u(x) = dx d 1 จาก dx sin-1(3x ) = 1-(3x )2 .(3) ตอบ dy = 3 dx 1-9x2 1.6 อนพุ นั ธข องฟงกชนั ลอการทิ มึ dy dx 1.5.1 ถา y = loga u เมอ่ื u = f (x) แลว = 1 log ae du u dx d 1 du 1.5.2 ถา f (x) = ln u แลว dx f (x) = u dx d 1 1.5.3 ถา f (x) = ln x แลว dx f (x) = x ตัวอยางท่ี 1.27 จงหาอนพุ นั ธข อง y = log 4x du dx วธิ ีทํา ขน้ั ตอนที่ 1 กาํ หนด u(x) = 4x = 4 ขัน้ ตอนท่ี 2 จาก y = log 4x 4 dy d 4x dx = 1 log e dx (4x) = log e 4x dy 4 ตอบ dx = 4x log e ตัวอยางท่ี 1.28 จงหาอนพุ นั ธข อง y = log2 (x2+1) du dx วธิ ที ํา ขั้นตอนท่ี 1 กําหนด u(x) = x2+1 = 2x ข้นั ตอนที่ 2 ถา y = loga u แลว dy = 1 loga e du dx u dx du แทนคา u(x) = x2+1 และ dx = 2x จะได dy = x 1 1 log 2 e(2 x ) dx 2+ ตอบ dy = x 1 1 log2 e(2x ) x 2 x 1 log 2e dx 2+ + 2 จุไรรัตนจ นิ ดา อรรคนติ ย
18 บทที่ 1 อนพุ ันธของฟง กช ัน คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส ตัวอยางที่ 1.29 จงหาอนุพันธของ y = log x x 1 + x dz d x วิธที าํ ข้ันตอนท่ี 1 กาํ หนด z = x +1 dx = dx ( x + 1) ให u(x) = x du = 1 dx dv v(x) = x + 1 dx = 1 dz = vdu - udv = (x +1)(1)- x(1) = 1 dx dx dx (x +1)2 + 1)2 v2 (x dy 1 du ขั้นตอนท่ี 2 ถา y = loga u แลว dx = u loga e dx dy = 1 log e (x 1 dx x + 1)2 x +1 dy 1 ตอบ dx = ( x 2 + x ) log e 1.7 อนุพนั ธของฟงกชันเลขชก้ี าํ ลัง dy du 1.6.1 ถา f (x) = au แลว dx = au. ln a . dx 1.6.2 ถา f (x) = eu แลว dy = eu du dx dx ตัวอยาง 1.30 จงหาอนพุ นั ธข อง y = ex -e-x ex + e-x ex -e-x u(x) วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 จาก y = ex + e-x อยูในรปู ของการหาร y= v(x) การหาอนพุ ันธ dy = vdu - udv (1.5) dx dx dx v2 du ข้นั ตอนท่ี 2 กาํ หนด u = ex -e-x dx = ex (1) - e-x (-1) = ex +e-x v = ex + e-x dv = ex (1) + e-x (-1) = ex -e-x dx du dv ข้ันตอนท่ี 3 แทนคา u,v, dx , dx ในสมการ (1.5) จะได จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ ันธของฟง กช นั 19 dy = (ex + e-x )(ex + e-x ) - (ex - e-x )(ex - e-x ) dx (ex + e-x )2 = e2x + ex .e-x + e-x .ex + e-2x - (e2x - e x.e-x - e-x .ex + e-2x ) (ex + e-x )2 = e2x +1+1+ e-2x - e2x +1+1- e-2x (ex + e-x)2 dy 4 ตอบ dx = (ex + e-x)2 1.8 การประยกุ ตอนุพนั ธของฟง กช ัน 1.8.1 ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคง เม่ือพิจารณานิยามของการหาอนุพันธที่จุดท่ี x = x0 และจากรูปที่ 1.3 จะเห็นไดวา f (x0 + h) - f (x0 ) d ความชนั ของเสน ตรงท่สี ัมผัสเสน โคง y = f (x) ท่ีจุด x0 เทากับ hlim0 h dx ( x0 ) รูปที่ 1.3 เสนตรงสัมผัสเสน โคง ณ จดุ x0 ตวั อยา งท่ี 1.31 จงหาความชันของเสน โคง y = 4 - x2 ทจี่ ดุ (-1, 3) วิธีทํา ข้นั ตอนที่ 1 การหาคา ความชนั ของเสน โคง (m) ที่จุดใดๆ คือ การหาคา อนพุ ันธข อง ขนั้ ตอนท่ี 2 dy เสนโคงท่ีจุดนน้ั m = dx โจทยก ําหนด y = 4 - x2 dy d dx = dx (4 - x2) จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
20 บทท่ี 1 อนพุ นั ธของฟงกชัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส = d4 - dx2 dx dx dy dx = -2x ข้ันตอนที่ 3 หาคา ความชนั ของเสน โคงทจ่ี ุด (-1, 3) แทนคา x = -1 ในสมการ dy = -2(-1) = 3 dx ตอบ คาความชนั ของเสนโคงท่ีจดุ (-1, 3) = 3 ตัวอยา งที่ 1.32 จงหาความชันของเสนโคง x2 - 4y2 = 5 ท่จี ุด (4, 1) วิธีทาํ ขนั้ ตอนท่ี 1 ความชนั ของเสน โคง (m) ทจ่ี ดุ ใดๆ คอื อนพุ ันธข องเสน โคง ทจ่ี ุดน้นั ขัน้ ตอนที่ 2 dy m = dx โจทยก ําหนด x2 - 4y2 = 5 ทําการหาอนุพันธเทยี บกบั x ท้งั สองขางของ สมการ จะได d5 dx d x2 + d 4 y2 = dx dy dy 2x+4 2 y dx = 0 = dy 8y dx -2x dy = -2x dx 8y dy -x dx = 4y ดังนนั้ ความชันของเสน โคง ท่ีจดุ ใดๆ คือ -x 4y ข้ันตอนที่ 3 แทนคา หาความชนั เสนโคงทจ่ี ุด (4, 1) ในสมการ dy -x dx = 4y จะได dy = -4 = -1 dx 4(1) ตอบ ความชันของเสนโคง ที่จดุ (4, 1) มีคาเปน -1 1.8.2 การหาคาสงู สุดและตํา่ สดุ นิยาม 1.13 ให f เปนฟง กช นั บนชว ง I และ t I จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพนั ธของฟง กชัน 21 1. เรียก f (t) วาคาสูงสุดสัมพัทธ (Relative maximum) ของ f ที่จุด t ก็ตอเมื่อมีจํานวน บวก h ทท่ี ําให f (x) ≥ f (t) ทุกๆ x I(t -h , t +h) และเรียกจุด (t ,f (t)) วาจดุ สูงสดุ สมั พทั ธข อง f 2. เรียก f (t) วาคาตํ่าสุดสัมพัทธ (Relative minimum) ของ f ที่จุด t ก็ตอเมื่อ มีจํานวน บวก h ทท่ี ําให f (x) ≥ f (t) ทกุ ๆ x I (t -h, t +h) และเรยี กจดุ (t,f (t)) วา จุดตาํ่ สดุ สัมพัทธของ f 3. เรียก f (t) วาคาสงู สุดสัมบูรณ (Absolute maximum) ของ f บน I ก็ตอเมือ่ f (x) £ f (t) ทกุ ๆ x I และเรยี กจดุ (t,f (t)) วาจุดสูงสุดสมั บูรณของ f 4. เรียก f (t) วาคาตํ่าสุดสัมบูรณ (Absolute minimum) ของ f บน I ก็ตอเมื่อ f (x) ≥ f (t) ทุกๆ x I และเรยี กจุด (t,f (t)) วา จุดตาํ่ สุดสัมบูรณของ f รปู ท่ี 1.4 จุดตํ่าสดุ และสูงสุดของกราฟ f เปน ฟงกช ันบนชวง (-∞,a] คาสงู สดุ สัมพทั ธ คอื f (m), f (p), f (a) คา ต่ําสุดสัมพัทธ คอื f (n), f (q) คา สงู สดุ สัมบรู ณ คือ f (a) คา ตํา่ สดุ สัมบรู ณ ไมม ี การหาคาสงู สุดและคาตาํ่ สดุ โดยใชอนุพนั ธอนั ดบั 1 d 1. หาคา dt f (t) 2. หาคา วิกฤต t โดย ddtddtf1f((tt)) d 2.1 ให = 0 ในกรณีที่ ddtdtf f (t) หาคาได 2.2 ให = 0 ในกรณที ่ี (t) หาคาไมได 3. ทําการทดสอบคา วิกฤต t จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
22 บทท่ี 1 อนุพันธข องฟงกช นั คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส 3.1 ถา d f (t)> 0 เมือ่ x < t และ d f (t) < 0 เมื่อ x > t dt dt แลว f (t) จะเปน คาสงู สดุ สัมพัทธของ f ทจี่ ดุ a d d 3.2 ถา dt f (t) < 0 เมือ่ x < t และ dt f (t) > 0 เม่อื x > t แลว f (t) จะเปน คา ตํ่าสดุ สัมพทั ธข อง f ท่จี ดุ t (คา x ที่ x < t หรือ x > t จะตอง เปนคา ทีน่ อยกวา หรือมากกวา t เพยี งเลก็ นอยเทานั้น หรือเปนคา ทอ่ี ยูใกลๆ t น่นั เอง) ตวั อยางที่ 1.33 จงเขียนกราฟพรอมทั้งหาคาสงู สดุ สมั พทั ธหรือคาตา่ํ สุดสมั พทั ธ วิธีทาํ ขั้นตอนที่ 1 โจทยก ําหนดสมการ y = x3 - 3x2 + 4 ขน้ั ตอนท่ี 2 dy จดุ วกิ ฤต คือ จดุ ทท่ี าํ ให dx = 0 ทาํ การหาอนพุ ันธข องฟง กช ันเพือ่ หาจดุ วกิ ฤต dy d dx = dx (x3- 3x2 + 4) = 3x2 -6 x = 3x (x - 2) จุดวกิ ฤต คือ 3x (x - 2) = 0 x = 0, 2 ขนั้ ตอนที่ 3 พจิ ารณาที่จุด x = 0 โดยเลอื กชว ง [-1, 1] ในชวง [-1, 1] มี x = 0 เปน จุดวกิ ฤต เพยี งจุดเดยี ว dy แทนคา x = 1; ในสมการจดุ วกิ ฤต dx = 3x2 -6x จะได dy = 3(-1)2-6(-1) > 0 เปน บวก dx dy แทนคา x = 1; ในสมการจดุ วกิ ฤต dx = 3x2 -6x จะได dy = 3(1)2-6(-1) < 0 เปน ลบ dx คาความชนั เปล่ียนจากบวกเปนลบในชวง [-1, 1] ขัน้ ตอนท่ี 4 หาคา สูงสุดสมั พทั ธ ท่จี ดุ x = 0 โดยแทนคาในสมการ y = x3 - 3x2 + 4 คา สงู สดุ สัมพทั ธ f (0) = 03- 3(0)2 + 4 = 4 จุดสูงสดุ สัมพนั ธ คือ (0, 4) ข้ันตอนท่ี 5 พิจารณาท่จี ุด x = 2 โดยเลอื กชวง [1, 3] dy เม่ือ x = 1; dx = 3(1)2-6(-1) < 0 เปน ลบ จุไรรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพันธข องฟง กชัน 23 เมื่อ x = 3 ; dy = 3(3)2-6(3) > 0 เปนบวก dx คาความชันเปลยี่ นจากลบเปนบวกในชว ง [1, 3] ทจี่ ุด x = 2 หาคาตา่ํ สดุ สัมพทั ธ ทจี่ ดุ x = 2 โดยแทนคาในสมการ y = x3 - 3x2 + 4 ข้ันตอนที่ 6 จะใหค าตํ่าสดุ สมั พทั ธ f (2) = 23 - 3(2)2 + 4 = 0 ตอบ จุดตํา่ สดุ สมั พัทธ คอื (2, 0) ทาํ การวาดกราฟจาก y = x3 -3x2 +4 ให y = 0 จะไดว า x3 -3x2 +4 = 0 (x-2)(x-2)(x+1) = 0 x = -1, 2, 2 จดุ ตดั แกน x คือ จดุ (-1, 0), (2, 0) ให x = 0 จะได y = 03- 3(0)2+ 4 = 0 จดุ ตัดแกน y คือ (0, 4) หาคา y เมอื่ x = 1 y = 13 - 3(1)2 + 4 = 2 หาคา y เม่ือ x = 3 y = 33 - 3(3)2 + 4 = 4 เม่อื x = 3 จะได y = 4 ในการศึกษาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของสิ่งตา งๆ เชน การเปล่ยี นแปลงของระยะทางที่วตั ถุ เคล่ือนท่ีเมื่อเทียบกับเวลา อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วตอเวลา ตนทุนสินคาเมื่อเทียบกับ จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
24 บทที่ 1 อนุพันธของฟง กชัน คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส จํานวนทผี่ ลิต อตั ราการเปลย่ี นแปลงของราคาสินคา เม่ือเทียบกบั ราคานา้ํ มนั โดยสามารถนาํ สมการ อนพุ นั ธไ ปประยุกตใชง านได นยิ าม อัตราการเปลยี่ นแปลงของ ตวั แปร f เทียบกับตัวแปร x ท่ี a เขยี นแทนไดดว ยสมการ dy f (a) = hlim 0 f (a+ h) - f (a) (1.6) da h ตวั อยางที่ 1.34 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของพน้ื ที่วงกลมเทียบกบั รัศมี เมอื่ รศั มขี องวงกลมมคี า เทากบั 10 ซม. วธิ ีทํา ขั้นตอนท่ี 1 โจทยก าํ หนดคารศั มขี องวงกลม = 10 cm. ซึ่งรศั มีของวงกลมแทนดว ย R และพืน้ ท่ีของวงกลม (A) = R2 ข้นั ตอนท่ี 2 โจทยต องการหาคา อัตราการเปลีย่ นแปลงของพ้นื ท่ีวงกลมเทียบกับรศั มี dA ดงั น้นั dR = d ( R2 ) = d R2 = 2 R dR dR ขน้ั ตอนท่ี 3 แทนคารศั มี R = 10 cm. จะได dA dR = 2R = 2 (10) = 62.82 ตารางเซนติเมตร/เซนตเิ มตร ตอบ dA = 62.82 ตารางเซนตเิ มตร/เซนตเิ มตร dR ตวั อยางที่ 1.35 วัตถุหนึ่งเคล่ือนท่ีไดร ะยะทาง s = 4t3-2t2+3t-1 เมตร และเมื่อเวลาผานไป t วนิ าที จงหาคา ตอ ไปน้ี (1) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลา t ใดๆ (2) ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลาผานไป 2 วินาที วธิ ที าํ (1) หาคาความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใดๆ ขั้นตอนที่ 1 โจทยก าํ หนด ระยะแทนดวย s ซึง่ มสี มการเปน s = 4t3-2t2+3t-1 ตอ งการหาคา ความเรว็ ท่ีเวลา t ใดๆ ขัน้ ตอนท่ี 2 จากสมการความสมั พนั ธ ความเร็ว คอื อัตราการเปลย่ี นแปลงของ ระยะทางเทียบกับเวลา ซึ่งมสี มการเปน ds v = dt ข้นั ตอนที่ 3 แทนคา ในสมการความเรว็ จะได ds d v = dt = dt (4t3 - 2t 2 + 3t -1) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 1 อนุพนั ธของฟงกช ัน 25 v = d (4t3 )- d (2t2 ) + d (3t ) - d (1) dt dt dt dt v =12t2 -4t +3t (2) หาคาความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t = 2 วินาที ข้นั ตอนท่ี 4 หาความเรว็ ท่ีเวลา t = 2 วินาที โดยแทนคา ในสมการความเรว็ จะได v =12t2 -4t +3t v =12(2)2 -4(2)+3(2) = 48 m / s ตอบ v = 48 m/s ตวั อยางที่ 1.36 ตัวเก็บประจเุ ปน อปุ กรณสองข้วั ซึง่ ความสมั พันธระหวา งกระแส (i) กบั แรงดัน(v) dv เปน ดังน้ี i = C dt จงหาคา กระแสทีเ่ วลา t ใดๆในตัวเกบ็ ประจขุ นาด 1 F เม่ือจายแรงดันไฟฟา v = 10 cos 100t วธิ ที ํา ข้ันตอนท่ี 1 โจทยกาํ หนดคา ตัวเก็บประจุ (c) ขนาด 1 F และ v =10 cos100t ตองการหาคากระแสทีเ่ วลา t ใดๆ ขน้ั ตอนท่ี 2 แทนคาตามสมการความสัมพันธร ะหวา งกระแสและแรงดันตามสมการ ===11Cdd11vt00--66จddะ1tไ0(ด1dd0 t i cos 100t ) ) i (cos 100t i i =110-6 10100(-sin 100t) i =10-3(-sin 100t) = -sin 100t mA ตอบ i =-sin100t mA 1.9 สรุป การหาอนุพันธเปนการหาคาอัตราการเปล่ียนแปลงในชวงเวลาส้ันๆ ซ่ึงการหาคาอนุพันธ สามารถทําไดโดยการแทนคาตามสูตรของแตละฟงกชัน และใชกฎตางๆ ในการหาคําตอบ เชน กฎการคูณ กฎการหาร กฎการบวก กฎการลบ ถา ฟงกชนั ใดไมสามารถหาคา ไดโ ดยตรงก็สามารถ ใชกฎของลูกโซเพื่อหาคําตอบใหกับสมการนั้น และสามารถนําสมการอนุพันธไปประยุกต ในการหาคาสูงสุดและคาต่ําสดุ ของกราฟไดจ ากความชันของเสน สัมผัสโคง และนําสมการอนุพันธ ไปประยกุ ตใ นการหาสมการทางดา นวิศวกรรมและทางฟส กิ สไ ด จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
26 บทท่ี 1 อนุพันธข องฟงกชัน คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส แบบฝก หดั ทายบทที่ 1 จงหาคาของฟง กช ันตอไปนี้ (f (x) = dy ) dx dy dy 1. dx = (x2 + x + 1) (x + 1) ตอบ dx = 3x2 + 4x + 2 2. d f (x) = (x2 -3x + 2) ( x3 + 2 x2 -6x) ตอบ dy = 5x4 - 4x3 - 18x2 + 35x - 12 dx dx d dy 3. dx (3x 2 - x+5) ตอบ dx = 6x - x 4. d (-2x3 + 6x2 -5x+ 2) ตอบ dy = -6x2+12x -5 dx dx d dy 5. dx 2 x + 3(3x - 2) ตอบ dx = 12x+5 6. d (2x2 -1)(x3 +2) ตอบ dy = 10x4-3x2+8 dx dx จุไรรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนุพันธข องฟง กช นั 27 7. d 4 x - 7 3 ตอบ dy = 12(4x-7)2 dx dx d 2 dy -4x(4- x2 ) 8.dx 4-x2 ตอบ dx = (4-x2 ) d x -1 dy -x2 +2x+2 dx x2 + x+1 dx (x2 + x +1)2 9. ตอบ = 10. ddddxxx(3x-+53x2x2)(++21x2-x1-)10 ตอบ dy = 6x2 +4x+9 11. dx (3x +1)2 dy ตอบ dx = 3x2-10x +2 12. d 2x5 + 1 - 9 ตอบ dy = 4x3- 1 - 9ln x dx x3 4x2 x dx 2x3 dy u vdu - udv จงหาอนพุ นั ธของฟง กช นั ตอ ไปนี้ (f (x) = dx ) f (x) = v ; f (x) = v2 13. y = x2 +1 ตอบ -x4 - 3x2 +10x x3 +5 (x3 + 5)2 14. y = x3 + 3x +15 ตอบ x4 + 4x3 + 3x2 -30x - 24 x2 +2x+2 (x2 + 2x + 2)2 15. จงหาอนุพนั ธของ y = x sin-1 2x + 1 1-4x 2 2 16. จงหาอนุพนั ธของ y = (x2+1) tan-1 (x- x) จงหาจุดสงู สุดสัมพัทธข องฟง กช ันทนี่ ิยามดังตอ ไปน้ี 17. f (x) = x3 - 6x2 + 9x 18. f (x) = 10 - 12x - 3x2 + 2x3 19. f (x) = 2x2 - x4 20. f (x) = x4 - 4x 21. วัตถุหนึง่ เคลอื่ นทีไ่ ดระยะทาง s = 2t2+5t+4 เมตร และเมอ่ื เวลาผา นไป t วินาที จงหาคา ตอไปนี้ (1) ความเร็วของวตั ถขุ ณะเวลา t ใดๆ (2) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลาผานไป 4 วินาที 22. จงหาคา กระแสที่เวลา t ใดๆ ในตัวเกบ็ ประจุขนาด 5 F โดยตวั เก็บประจุเปนอุปกรณสองขั้ว dv ซึ่งความสัมพันธระหวางกระแส (i) กับแรงดัน (v) เปนดังนี้ i =C dt เม่ือจายแรงดันไฟฟา v = 20 sin 50t จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
28 บทที่ 1 อนพุ นั ธของฟงกชัน คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส เอกสารอางอิง จนั ทนีย กาญจนะโรจน และ ชลุ ี โชติกประคัลภ. (2550). แคลคลลู ัส 1. พิมพคร้ังท่ี 5. มหาวิทยาลยั กรงุ เทพฯ. ดํารงค ทิพยโ ยธา และคณะ. (2558). แคลคลู ัส 2. สํานักพมิ พแหง จุฬาลงกรณม หาวทิ ยาลัย. แนงนอ ย ทรงกาํ พล .เอกสารประกอบการสอนวชิ าแคลคูลสั 1.มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าชมงคล. [ออนไลน] เขา ถึงไดจ าก http://www.electron.rmutphysics.com/news/index.php?option=com_ content&task=view&id=521. (วนั ที่คน ขอมูล 10 เมษายน 2556) ปราโมทย เดชะอาํ ไพ. (2555). แคลคลู สั และสมการเชิงอนพุ นั ธดวยแมทแลบ: สาํ นักพิมพแ หง จุฬาลงกรณ มหาวิทยาลัย ธีระศักดิ์ อรุ ัจนานนท. (2550). แคลคลู สั 1 สาํ หรับวิศวกร: สํานักพมิ พ สกายบคุ ส. พูลสุข ธนั วารชร , สมใจ อรณุ ศรโี สภณ, ประวตั ิ พัฒนบิ ลู ย, สุมา บรรณวนิชกุล , สุภาณี เพ็งเลีย. (2550). แคลคูลสั 1. ภาควชิ าคณติ ศาสตร คณะวิทยาศาสตร จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส บทท่ี 1 อนพุ ันธข องฟง กช นั 29 มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร วิรตั น สวุ รรณาภิชาต.ิ (2551). แคลคลู สั 1. สายวิชาคณิตศาสตร สถติ ิ และคอมพวิ เตอร คณะศลิ ปศาสตรและวทิ ยาศาสตร มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร วิทยาเขตกาํ แพงแสน สาํ นกั พมิ พ มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร. สกุ ญั ญา สนทิ วงศ ณ อยุธยา และอนญั ญา อภชิ าตบตุ ร. (2549). แคลคลู ัส 1 ฉบับเสรมิ ประสบการณ: บรษิ ทั วิทยพฒั น จาํ กัด. จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
บทท่ี 2 การหาปรพิ ันธ 2.1 ความหมายของปริพนั ธ การหาอนุพันธน ั้นเปน การหาอัตราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ หรอื อตั ราการเปลี่ยนแปลงขณะใดๆ รวมถึง ความเร็ว ความเรง ความชันและบทประยุกต สวนในทางกลับกันถาหากทราบความเร็ว ความเรงในการเคลือ่ นที่ ก็สามารถหาระยะทางทีว่ ัตถุเคลอ่ื นทไี่ ดโ ดยใชปริพันธ ปริพันธ (Integral) คือ ฟงกชันที่ใชในการหาพ้ืนที่ มวล หรือปริมาตร หรือผลรวมตางๆ โดยการหาปริพันธสามารถหาไดหลายวิธี ซึ่งในการดําเนินการดวยวิธีใดก็ตามจะไดผลลัพธ เชน เดยี วกันเสมอ การหาปริพันธม ี 2 แบบ คือ การหาปรพิ ันธแบบจํากดั เขต (Definite integral) และ การหาปริพันธไมจํากัดเขต (Indefinite integral) หรือเรียกวา ปฏิยานุพันธ (Anti differential) กระบวนการแกปญหาของปฏิยานุพันธ เรียกวา การหาปฏิยานุพันธ หรอื การหาปรพิ ันธไมจ ํากัด เขต และกระบวนการในทางตรงขามกัน เรยี กวา การหาอนุพันธ ปริพันธและปฏยิ านุพันธมคี วามแตกตา งกันซึ่งสามารถอธิบายความสัมพันธข องทั้งสองแบบ โดยใชทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส สําหรับตําราเลมน้ีจะเรียกการหาปฏิยานุพันธวาปริพันธ ไมจํากดั เขต นิยาม 2.1 ฟงกชัน F เปนปริพันธของ f เมื่อ F (x) = f (x) สําหรับทุกคาของ x ที่อยูในโดเมน ของ f ปริพันธของฟงกชันจํานวนจริงบวกท่ีตอเนื่อง และมีตัวแปร x อยูระหวางจุด a กับจุด b ก็คือ พื้นท่ีท่ีถูกปดลอมดวยเสน x = a, x = b, แกน x และเสนโคง f (x) ดังรูปที่ 2.1 หรือจะกลาว ใหเปน ทางการขน้ึ วา ถา ให S ={(x, y) R2 : a x b,0 y f (x)}
32 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส y f (x) S a bx รปู ที่ 2.1 นิยามการหาปริพันธ แลวปริพันธของฟงกชัน f ระหวาง a กับ b คือ การวัดขนาดของ S น่ันเอง ไลบนิซไดใช เครอื่ งหมาย S ยาว แทนสญั ลกั ษณของปรพิ นั ธ b (2.1) f (x)dx a โดยสัญลกั ษณ ∫ คือ การหาปริพนั ธ a และ b คอื ขอบเขตของชว งทีจ่ ะหา f (x) คอื ฟง กช นั ทีเ่ ราตอ งการหาปรพิ นั ธ dx แทนตวั แปรทจี่ ะหาปรพิ ันธ 2.2 ปริพนั ธไ มจาํ กัดเขต (Indefinite integral) นิยาม 2.2 เมื่อ f เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง และ F(x) = f (x) สาํ หรบั ทุกๆ x ท่ีอยูในในโดเมนของ f ปริพันธไมจ ํากดั เขตของฟงกชัน f เขียนแทน ดว ย f (x)dx โดยที่ f (x)dx = F(x) + C เมอื่ C เปนคา คงตวั ใดๆ รูปท่ัวไปของปริพันธไมจํากัดเขตของ f (x) ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ f (x)dx อานวา ปริพันธไมจ ํากัดเขตของ f (x) เทยี บกับ x หรือ ปริพนั ธของ f (x) เรียกกระบวนการหา f (x)dx วา การหาปริพนั ธ เครื่องหมาย เรียกวา เครือ่ งหมายปริพนั ธ f (x) คือ อนพุ นั ธข องฟง กชัน F(x) + C dx คือ การหาปรพิ นั ธเ ทียบกับตวั แปร x จไุ รรตั นจ นิ ดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอิเล็กทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปริพนั ธ 33 ตารางท่ี 2.1 ตัวอยางเปรยี บเทียบผลจากการหาอนพุ ันธแ ละปริพนั ธไ มจ ํากดั เขต อนุพนั ธ ปริพันธไมจํากดั เขต (Differential) (Indefinite integral) ddx (4x) = 4 4dx = 4x + C ddx (5x2 ) = 10x ddx (- 3 x ) = - 13 x-23 10xdx = 5x2 + C ddx (sin x) = cos x - 13 x-23 dx = - 3 x + C ddx (cos x) = -sin x cos xdx = sin x + C ddx (tan x) = sec2x (-sin x)dx = cos x + C sec2xdx = tan x +C 2.3 ปริพันธจํากดั เขต (Definite integral) ถา ให F(x) เปนปรพิ นั ธข อง f (x) ปริพันธจาํ กดั เขตของฟง กชัน f บนชวง x = a ถึง x = b คือ ab f ( x)dx = F ( x ) b = F(b)- F(a) (2.2) a เม่ือ F(x) = f (x) 2.4 ทฤษฎบี ทหลกั มลู ทฤษฎีบทหลักมูลเปนทฤษฎที ี่แสดงถึงความสัมพันธร ะหวางปริพันธไมจาํ กดั เขตและปริพันธ จาํ กัดเขต โดยที่ปริพันธไมจํากัดเขตหมายถึงเซตท้ังหมดของปริพันธไมจํากัด ซ่ึงการหาปรพิ ันธ จาํ กดั เขตหาไดจากลมิ ิตของผลบวกรีมนั น ทฤษฎีท่ี 2.1 เมอื่ f เปนฟงกช ันตอเน่ืองบนชว ง [a , b] ถา F เปน ฟงกช ันบนชว ง [a , b] โดยที่ F(x) = f (x) ทุก x[a,b] แลว b f (x)dx = F(b) - F(a) a b เราจะเขียนสญั ลกั ษณ F(x) a แทน F(b) – F(a) กไ็ ด b f ( x )dx = F(x) b = F(b) - F(a) a a (2.3) จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
34 บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ คณติ ศาสตรว ิศวกรรมอิเล็กทรอนกิ ส ปริพันธของ f (x) คือพ้ืนที่ท่ีอยูระหวางเสน y = f (x) กับแกน x และอยูในชวง [a, b] การหา ปริพันธว ิธีหาปรพิ นั ธท พ่ี ื้นฐานทีส่ ุด ก็คือใชทฤษฎีบทมลู ฐานของแคลคูลัสในการหา ซ่ึงมีขั้นตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนท่ี 1 กาํ หนดฟง กชัน f (x) และชวง [a, b] ข้นั ตอนท่ี 2 หาปริพันธจ ํากัดเขตของ f ก็คือ หาฟง กช ัน F ที่ Fเทากับ f ขัน้ ตอนท่ี 3 จากทฤษฎบี ทมลู ฐานของแคลคลู ัส จะไดวา b f (x)dx = F(b) - F(a) a ขั้นตอนที่ 4 คา ของปริพันธ คือ F(b) - F(a) ขน้ั ตอนท่ี 5 หาปริพันธไมจํากัดเขตของ f โดยใชเทคนิคบางการหาปริพันธแบบตางๆ ได เทคนิคเหลาน้ัน ไดแก การหาปริพันธโดยการแทนคา การหาปริพันธเปนสวน การหาปริพันธ โดยการแทนท่ฟี งกช ันตรีโกณมิติ การหาปรพิ นั ธโ ดยใชเศษสว นยอ ย 2.5 การหาปรพิ ันธโ ดยใชสตู ร 2.5.1 ปรพิ นั ธฟ งกช ันพีชคณติ ฟง กช ันพีชคณติ มีหลายรูปแบบต้ังแตรูปแบบงา ยจนถึงรูปแบบทซี่ อ น dy 1. ถา f ( x ) = dx = k เม่อื k เปนคาคงท่ี f (x) = f (x)dx = kx + C เม่อื C เปนคาคงทีใ่ ดๆ 2. ถา f (x) = xn เม่อื n1 1 f (x) = f (x)dx = xnn++11 + C เมอื่ C เปนคาคงทใ่ี ดๆ 3. ถา f (x) = kxn เม่อื n -1 f (x) = f (x)dx = k xnn++11 +C เม่ือ C เปน คา คงทใ่ี ดๆ 4. ถา f (x) = g(x) ± h(x) f (x) = f (x)dx = g(x) ± h(x) + C เมอื่ C เปน คา คงทใี่ ดๆ 5. ถา f (x) = u(x) ± v(x) f (x) = f (x)dx = (u(x) ± v(x))dx + C จุไรรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณิตศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทท่ี 2 การหาปรพิ นั ธ 35 ตัวอยางท่ี 2.1 จงหาคา x8dx วิธีทํา ขัน้ ตอนท่ี 1 จาก xndx = xnn++11 + C ขัน้ ตอนที่ 2 แทนคา x8dx = x88++11 + C ตอบ x8dx = x99 + C ตวั อยา งที่ 2.2 จงหาคา 1 dx x4 วธิ ที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จากสูตร xndx = xnn++11 + C 1 ข้นั ตอนที่ 2 โจทยก ําหนด x4 dx = x -4 dx n= -4 จะได 1 dx = x-4 = x-4-4++11 x4 1 x--33 ตอบ x4 dx = +C ตัวอยางที่ 2.3 จงหาคา dx 3 x2 วิธที ํา ขน้ั ตอนที่ 1 จากสตู ร xndx = x n+1 +C ขน้ั ตอนที่ 2 n+1 dx dx โจทยก าํ หนด 3 x2 = x 23 dx = x -32 dx 3 x2 -2 +1 1 x 3 x3 = +C = 1 +C -2 +1 3 3 1 ตอบ dx = 3x3 +C 3 x2 จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
36 บทที่ 2 การหาปริพนั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอเิ ลก็ ทรอนกิ ส ตวั อยางท่ี 2.4 จงหาปรพิ นั ธของ (x3 + 5x2 + 3) dx วธิ ีทํา ข้ันตอนท่ี 1 จาก (x3 + 5x2 + 3) dx = x3dx +5x2dx +3dx ข้ันตอนท่ี 2 (สูตรท่ี 2 คอื (u + v)dx = udx + vdx ) พจิ ารณา xndx = xnn++11 + C จะได x3dx = x44 + C1 5x2dx = 5 x2dx = 5 x22++11 = 5x3 + C2 ข้ันตอนท่ี 3 3dx = 3 dx = 3x + C3 ตอบ (x3 + 5x2 + 3)dx = x44 + 35 x3 + 3x + C1 + C2 + C3 (x3 + 5x2 + 3)dx = x44 + 35 x3 + 3x + C ตัวอยางท่ี 2.5 จงหาปรพิ ันธของ (3x + 4)2dx วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 จาก (3x + 4)2dx จะตอ งกระจาย (3x + 4)2 กอน ซึ่ง (3x + 4)2 = 32 x2 + 2(3)(4)x + 42 = 9x2 + 24x +16 ข้ันตอนที่ 2 จะได (3x + 4)2dx = (9x2 + 24x +16) dx ขน้ั ตอนท่ี 3 (สตู รที่ 2 ; (u + v)dx = udx + vdx ) (9x2 + 24x +16) dx = 9x2dx +9x2dx + 24xdx +16dx 9x 2dx = 9 x 2 +1 + C1 = 9x3 = 3 x3 + C1 2+1 3 24 x1+1 24 x 2 24xdx = 1+1 + C2 = 2 = 12 x2 + C2 ขั้นตอนท่ี 4 16dx = 16x + C3 (3x + 4)2dx = 3x3 +12x3 +16x +C1 +C2 + C3 = 3x3 +12x3 +16x + C ตอบ (3x + 4)2dx = 3x3 +12x3 +16x + C จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
คณติ ศาสตรว ศิ วกรรมอเิ ล็กทรอนกิ ส บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ 37 2.5.2 ปริพนั ธของฟงกช ันอดศิ ัย (The integration of transcendental functions) ฟงกชันอดิศัย (Transcendental functions) คือ ฟงกชันท่ีไมใช ฟงกชันพีชคณิต ไดแก ฟ งก ชั น ต รี โก ณ (Trigonometric function) ฟ งก ชั น ต รีโ ก ณ ผ ก ผั น (Inverse trigonometric function) ฟ งกชั น เลข ยกกํ าลัง (Exponential function) และฟ งก ชั น ลอการิทึ ม (Logarithm function) เปน ตน 2.5.2.1 ปริพนั ธข องฟงกชันลอการทิ มึ (Integrals of logarithm functions) ฟง กชันลอการิทมึ และฟงกช ันเลขชกี้ ําลังเปนฟงกช ันอดิศยั ท่ีมีสมบตั ิเปนฟงกช ัน ผกผันซ่งึ กนั และกัน และเปนฟง กช ันทส่ี ามารถหาอนพุ ันธได จงึ ทาํ ใหสามารถหาปรพิ นั ธไ ดเชน กัน โ ด ย ส ว น ใ ห ญ ฟ ง ก ชั น ล อ ก า ริ ทึ ม แ ล ะ ฟ ง ก ชั น เล ข ชี้ กํ า ลั ง ส า ม า ร ถ ใ ช อ ธิ บ า ย ป ร า ก ฏ ก า ร ณ ทางธรรมชาติได ตัวอยางเชน วงจรไฟฟาสําหรับตวั เกบ็ ประจุสมมติวาเรามีตัวเก็บประจุ C1 ท่ีตอ เขากับแบตเตอร่ี ดังรูปที่ 2.2 ตัวเก็บประจุนี้จะมีประจุอยูเน่ืองจากการตอเขากับแบตเตอร่ีมาเปน เวลานาน และความตา งศกั ยท่ีครอ มตวั เก็บประจนุ ั้นจะเทา กับความตางศักยท ่คี รอมแบตเตอร่ี รปู ท่ี 2.2 การเก็บสะสมประจขุ องตวั เก็บประจุ จากรูปท่ี 2.2 จะไดสมการการเก็บสะสมแรงดันของตัวเก็บประจุตามสมการ 1-e-kt ซ่ึงเปนการเพ่ิมขึ้นแบบเอกซโพเนนเชียลเขาหาคาคงตัวคาหนึ่งในที่น้ีคือ 1 หลังจากเวลาผานไป นานมาก โดย k เปนคาคงตัวของการเพมิ่ ข้ึนแบบเอกซโ พเนนเชียล จไุ รรัตนจ ินดา อรรคนติ ย
38 บทที่ 2 การหาปรพิ นั ธ คณิตศาสตรว ิศวกรรมอิเลก็ ทรอนกิ ส รปู ท่ี 2.3 กราฟการเก็บสะสมประจุของตวั เก็บประจุ ฟงกชันเลขชี้กําลังท่ีอยูในรูปคาคงตัวยกกําลังและตัวแปรซึ่งเปนฟงกชันที่สามารถหา อนพุ นั ธไ ดท่ี x 1. เมือ่ F(x) = ex จาก F(x) = ddx (ex ) = ex F(x) dx = exdx จากสมบตั ิปรพิ ันธไมจํากดั เขต exdx = ex + C ในกรณที ี่ u เปนฟงกชันของ x และหาอนพุ นั ธไดที่ x ดังนัน้ จะได 2. เมื่อ eudu = eu + C F ( x ) = dldnxx ln x = 1x ( ddxx ) = 1x F(x) = ln x จาก dx F(x) dx = 1x จากสมบัตปิ ริพันธไมจาํ กดั เขต 1x dx = ln x + C ในกรณที ่ี u เปน ฟง กชนั ของ x และหาอนุพนั ธไ ดท ่ี x ดังนั้นจะได 1u du = ln u + C ตัวอยา งท่ี 2.6 จงหาคา e3xdx วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 จากสตู ร exdx = ex + C ขน้ั ตอนท่ี 2 โจทยตองการหาคา e3xdx กําหนดให u = 3x จไุ รรตั นจ ินดา อรรคนติ ย
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441