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i) Si la MATEMÁTICA BÁSICA I , la y tienen la misma dirección.ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas.iii) Si la quiere que .OBSERVACION.- La diferencia entre proyección ortogonal ycomponente radica en que la proyección ortogonal es un vector y lacomponente es un número real.ÁNGULO ENTRE DOS VECTORESTEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores yno nulos corresponden a la siguiente relación. 101

MATEMÁTICA BÁSICA I DemostraciónComo y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estosdos vectores , de modo que el campo de variabilidad estádado por .Por definición de componente sabemos que:del gráfico se sabe que de donde … (1) … (2)reemplazando (2) en (1) se tiene:Ejemplo.- Dados los vectores , . Hallar: 102

MATEMÁTICA BÁSICA Ia) La proyección de sobre .b) La componente de en la dirección de .c) El ángulo entre los vectores propuestos. Solucióna)b)c)LA DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ.-TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica lasiguiente relación. DemostraciónVeremos primero para el caso en quePor Pitágoras del gráfico se tiene: , lo que es mismo 103

MATEMÁTICA BÁSICA I , además por lo tanto … (1)Ahora veremos el caso cuando es decir:Si tal quePor lo tanto:Luego de (1) y (2) se tiene:APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos ladesigualdad triangular. , de donde por lo tanto:OBSERVACIÓN.- Consideremos el vectordefiniremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos porcuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de90° sobre el vértice del vector en sentido antihorario, el vector así definido es ortogonal al vector .En efecto: =Luego 104

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplos.- su ortogonal esSean su ortogonal esSeanANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROSDIRECTORES.-Sea entonces:Definimos los siguientes ángulos: , , ,entonces: se les llama números directores del vector a) A los números. 105

MATEMÁTICA BÁSICA Ib) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector ,se les llaman ángulos directores del vector .Los ángulos directores toman valores entre y es decir: .c) A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos directores del vector . Es decir:Como , de donde , de donde , de dondecomo , tomando módulo en ambos lados setiene:AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.-Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y . 106

MATEMÁTICA BÁSICA ILa altura del paralelogramo es:como área del paralelogramo es: peroEn consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores yesta dado por:Ejemplos.- 1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3,2), B(3,-2), C(4,5). Solución Si 107

MATEMÁTICA BÁSICA IPRODUCTO VECTORIAL se definió en laPara calcular un vector ortogonal a otro vector enforma siguiente.Si , que se obtenía de hacer girar al vector un ángulo de en sentido antihorario.Pero para el caso de a un vector su ortogonal no se define por ,puesto que, para el vector fijo , existen infinitas direcciones en lasque un vector es ortogonal al vector .Por lo tanto definiremos una operación entre dos vectores y en , detal manera que resulte un vector que sea perpendicular tanto al vectorcomo el vector . 108

DEFINICION ; MATEMÁTICA BÁSICA IConsiderar dos vectores de ,producto vectorial de y se define por: entonces elEjemplo.- ySeanComo se puede observar es ortogonal tanto a como a .PROPIEDADESSean 1) es ortogonal tanto como a . 2) (el producto vectorial no es conmutativo) 3) 4) 5) 6)La demostración de estas propiedades son directas mediante ladefinición. 109

MATEMÁTICA BÁSICA I Vectores fundamentales del espaciousando la definición de producto vectorial obtenemosUsando las propiedades de (*) obtenemos la definición de .Es decir: Si= que es el producto esperado. 110

MATEMÁTICA BÁSICA IDe igual manera podemos obtener desarrollando el determinante detercer orden propuesto de la propiedad (6).Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el productovectorial sin necesidad de recordar la definición.Ejemplo.- Sean , entonces:OBSERVACIÓN.- El desarrollo del determinante de tercer orden escomo sigue.Este procedimiento se denomina, desarrollo por menorescomplementarios de la primera fila y es la técnica recomendada paracalcular el producto vectorial.TEOREMA.- Demostrar que:Donde es el ángulo entre los vectores y ; 111

MATEMÁTICA BÁSICA I Demostración y por definición deSeantenemos:Efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene:Pero , de donde: … (1) … (2)Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:De donde: , por tantoNOTA.- .Cual es el significado geométrico deConsideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y . 112

MATEMÁTICA BÁSICA ILa altura h es igual a: , es decir: , además el área de un paralelogramo es:Por lo tanto es el área del paralelogramo formado por losvectores y .Ejemplo.-1) Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores y Solución 113

MATEMÁTICA BÁSICA I son paralelos si solo si TEOREMA.- Demostrar que dos vectoresi) Si Demostración (por demostrar) como o peroii) Si (por demostrar) como además , , Entonces o . ¿Son paralelos Por lo tanto, y son paralelos.2) Dados los vectores y estos vectores? SoluciónSi , entonces: y no son paralelos. 114

MATEMÁTICA BÁSICA IPRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.- queSea , y tres vectores de , al producto mixto de , y .denotaremos por se define como el producto escalar de yEs decir:PROPIEDADES DEL PRODUCTO TRIPLE ESCALARConsideremos los vectores , entonces se verifica: 1) , y , entonces 2) 3)Ejemplo.- Simediante el producto mixto, se puede describir la orientación (tal comose observa en los siguientes gráficos).La flecha indica la La flecha indica laorientación orientaciónPositiva (LEVOGIRA). Negativa (DESTROGIRA). 115

MATEMÁTICA BÁSICA IEn general: Si , entonces decimos que están orientados tienen la mismapositivamente y que los vectores ydirección, es decir que los vectores y están en un mismo plano Pque contiene al paralelogramo formado por y .Si , entonces decimos que están orientados positivamentey que los vectores y tienen direcciones opuestas, ósea quelos vectores y están en el lado opuesto del espacio con respectoal plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores y .VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDO .Consideremos el paralelepípedo formado por los vectores 116

MATEMÁTICA BÁSICA I por que ,entonces:por lo tanto si representa el volumen delparalelepípedo de aristas para el caso en que entonces es el volumen del paralelepípedo.Ejemplo.-Determinar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores ,y SoluciónVOLUMEN DEL TETRAEDRO.- .Consideremos el tetraedro formado por los vectores , 117

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son losvectores , y Solución 118

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS DESARROLLADOS1) Dados los puntos y . Hallar las componentes de los vectores y SoluciónDe la interpretación geométrica de un vector se tiene:2) Hallar el punto con el que coincide el extremo del vector si su punto inicial es .Como Solución de dondepor lo tanto .3) Si , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de es 13. Solución Como entonces , de donde y por lo tanto o . 119

MATEMÁTICA BÁSICA I 4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector , sí ( es el vector que tiene la misma dirección que ). Solución Como y tienen la misma dirección entonces Como5) Si A, B y C son puntos de una misma recta, hallar el vectorsabiendo que B se encuentra entre A y C donde yy.Como y Solución tienen la misma dirección entonces Pero=De dondeComo6) Demostrar para qué valores de e los vectores y son paralelos. 120

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución al reemplazar por susSi tal que ,,componentes se tiene: de donde ,LuegoPor lo tanto los valores de e es:7) Si y . Hallar para que sea paralelo a SoluciónSi tal que: , dé donde: por igualdad se tiene: entoncesIgualando se tiene: de donde8) Para que valores de “a”, los vectores ,y son ortogonales. 121

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución Si (ortogonales) son los valores de a.9) Hallar las coordenadas de los vectores y , conociendo lospuntos y Solución10)Los extremos del vector coinciden con los punto y. Determinar las coordenadas del punto , sabiendo que elpunto es el origen y sus coordenadas son Solución de donde: Luego 122

11)Determinar el origen del vector MATEMÁTICA BÁSICA I si su extremo librecoincide con el punto . Solución , igualando se tiene:Por lo tanto:12)Determinar para que valores de m y n los vectores y son colineales. Solución Como y son colineales y son paralelos, es decir: , de donde: entonces:13)Determinar para qué valores de los vectores ; sonperpendiculares entre sí, sabiendo que , . SoluciónComo14)Calcular sabiendo que: , y 123

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución , elevando al cuadrado tenemos:169+361+2 215)Los vectores y forman un ángulo , se sabe además que: .y . Determinar: y Solución16)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulode es 3. Hallar el módulo de , de modo que ( seaperpendicular a . SoluciónComo y además por hipótesis:También sabemos que: comoDe donde 124

MATEMÁTICA BÁSICA I17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulode es 3. Hallar el módulo para que forme con un ángulode 30°. SoluciónPor hipótesis tenemos yDeterminamos , para que , de donde: elevando al cuadrado y simplificando , resolviendo la ecuación:18)Sean y dosvectores. Demostrar que y son ortogonales. Solución (ortogonales) Como 125

MATEMÁTICA BÁSICA I 19)Calcular los cosenos directores del vector Solución de donde tenemos:20)Demostrar que: y determinar los ángulos formados por el vector direcciones positivas con las coordenados. de los ejesSe conoce que: sí Solución entonces sumados se tiene:21)Demostrar que y son ortogonales sí solo sí . 126

MATEMÁTICA BÁSICA Ii) Solución . Como son ortogonales sí y solo síii) sí como (ortogonales)22)Si , y son las aristas de un paralelepípedo rectangular, entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y diagonales respectivamente (caso particular del cubo). Solucióni) Sea entonces: como de dondeii) Sea 127

MATEMÁTICA BÁSICA I de donde Luegoiii) Sea de donde LuegoEn particular del cubo se tiene: por lo tanto:Luego: Análogamente se puede determinar la medida de los otros ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo rectangular.23)Un vector ha formado los ángulos de y con los ejes OX, OZ respectivamente, determinar el ángulo formado con el eje OY. 128

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónSea el ángulo por calcularPor cosenos directores tenemos: ,respectivamente se tiene: reemplazando24)Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos vectores es de . Solucióni) sean a, b vectores unitarios de modo que:ii) Sí Como es unitario25)Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir: 129

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónSe observa que: por definiciónde suma de donde: … (1) por definición deSuma de donde: … (2)Comparando (1) y (2) se tiene26)Demostrar que la suma de vectores es asociativa, es decir: . SoluciónSe observa que: Por definición de suma de vectores, de donde: … (1) por definición de suma de vectores, de donde: … (2) por definición de suma de vectores, de donde: … (3) por definición de suma de vectores, de donde: … (4)Comparando (3) y (4) se tiene: 130

MATEMÁTICA BÁSICA I27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud. Solución Sea , de modo que: ,,como entonces:A continuación se debe comprobar que el segmento que une lospuntos medio de dos lados de un triangulo es igual a la mitad de lalongitud del tercer lado del triangulo, para ello sabemos que: , por lo tanto:28)Sean y dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la expresión de cualquier vector del plano determinado por y . SoluciónSabemos que el vector esparalelo al Vectoranálogamente el vector esparalelo al vector ,yaplicando la regla delparalelogramo tenemos: que es la expresión pedida. 131

MATEMÁTICA BÁSICA I 29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la altura. Solución Por hipótesis tenemos que: Debemos demostrar que: Según el gráfico sabemos que: … (1) Igualmente según el gráfico se tiene: … (2) 30)Si los extremos de tres vectores distintos , y , de origen común son colineales. Demuéstrese que se cumple la relación siendo y números reales distintos de cero. SoluciónConsideremos tres vectores , y distintos con extremoscolineales y origen común. … (1)Del gráfico se tiene:tal que: … (2)reemplazando (2) en (1) se tiene: 132

MATEMÁTICA BÁSICA I , de donde en general31)Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple larelación siendo y números realesdistintos de cero, entonces los extremos de losvectores , y son colineales. SoluciónComo ,reemplazando:de dondese observa que es un vector que se obtiene sumando el vectory el vector que es paralelo al vector y esto nosimplica que el extremo de se encuentra en la línea que une A yC.32)Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. 133

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución por ser radio de un circulo. Se observa que Por demostrar que: es decir que: Luegopero como entonces: En consecuencia33)Si k es un punto interior del triángulo MNP y M‟, N‟, P‟ son los puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que . SoluciónPor hipótesis tenemos: yAdemás en la figura se observa que: 134

Luego MATEMÁTICA BÁSICA I … (1)Igualmente de los otros lados deducimos:Además en la figura se observa que:Luego … (2)Luego … (3)Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene: Por lo tanto:34)Sean , dos vectores de un mismo origen y sus extremos los puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en términos de los vectores dados, tal que comparta del mismo origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento . 135

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que: , además se tiene:sumando se tiene: por lostanto:35)Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Solución Consideremos el paralelogramo OABC. cuyas diagonales se cortan en el punto P, además en la gráfica se observa que:i) entonces y o puesto que y son paralelos. 136

MATEMÁTICA BÁSICA Iii) y o puesto quey son paralelos.iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene:Se tiene que: , de donde , como y no son paralelos por tantoSe tiene que: por tanto con lo que se afirma que P es el punto medio de la diagonales.36)Demostrar que el polígono resulta de unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo. Solución Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos medios de sus lados. En la figura que: 137

MATEMÁTICA BÁSICA I ,, , (trayectoria cerrada) i) ii)iii) de (ii) Luego de dondepor lo tanto tenemos que: (ii), (iii)de modo que el cuadrilátero resultante es unparalelogramo.37)En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos del primero. Solución La condición para que tres vectores , y formen un triangulo es: 138

En la figura (b) se tiene: MATEMÁTICA BÁSICA I Sumando se tiene:Luego cumple la condición de formar un triángulo.38)Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Solución Se sabe que: Y como la trayectoria es cerrada entonces , pero de dondepor lo tanto ; como son ortogonales, por consiguiente eltriángulo es un triángulo rectángulo. 139

MATEMÁTICA BÁSICA I39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de igual medida. SoluciónSabemos por hipótesis que por sertriángulo isósceles:además del grafico se tiene:por definición de suma de vectores por definición de suma devectores.luego demostraremos que , comoEntonces … (1) … (2) , comoentonces:ahora comparando (1) y (2) se tiene:por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, susmedianas son iguales.40)Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares. 140

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónConsideremos dos vectores , entonces por condición delproblema se tiene: , de donde , desarrollandotenemos: , ahora simplificando , esto indica que los vectores sonperpediculares.41)Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales. Solución Consideremos dos vectores de tal manera que: Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene: de donde:42)Si A, B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide alsegmento AB en la razón r, si . Determinar C, si C divideal segmento AB en la razón r. SoluciónEn el gráfico se observa que:si 141

MATEMÁTICA BÁSICA IDe donde … (1)Como C divide al segmento AB en la razón r,EntoncesÓsea que: … (2)Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: , de donde43)Consideremos cuatro puntos A, B, C y P, de tal manera, que si Pestá en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide alos segmentos y en las razones r, s y t respectivamente.Demostrar que r.s.t=1 Solución … (1)De los datos del problema se tiene que: … (2)P divide al segmento en la razón r … (3)P divide al segmento en la razón s … (4)P divide al segmento en la razón t … (5)De (2) … (6)De (3)Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene:Ahora reemplazando (6) en (1) se tiene: , como entonces 142

MATEMÁTICA BÁSICA I44)Los vectores , y son distintos con origen común. Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus puntos extremos sean coplanares. Solución Los puntos A, B, C y D (extremos de los vectores , y ), serán coplanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas, las rectas resultantes se corten o sean paralelas. Supongamos que conectamos A con B y C; si ambas se cortan, los puntos A, P y B estarán en línea recta (P punto de intersección de las rectas y extremo del vector ), y lo mismo sucederá con P y D por lo tanto. Del ejercicio (7) se tiene:De los sistemas se tiene: , de donde:La condición necesaria, es pues: … (1)143

MATEMÁTICA BÁSICA ISi las rectas AB y CD son paralelas entonces: , sedonde , también se cumple la relación (1) Por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A, B, C y D son coplanares.45)Demuéstrese que las tres alturas de un triángulo coinciden en punto. SoluciónLa relación siguiente se cumple … (1)Como se puede demostrar por simple desarrollo.Si los vectores y tienenla dirección de las alturascorrespondientes y son, por lo tanto,perpedicular, respectivamente, y resulta que: , y teniendo en cuentala parte (1) se tiene:Luego es perpendicular a ;y tendrá ladirección de la altura resultante: por tanto, las tres alturascoinciden en el punto H.46)Si P es el punto de intersección de las medianas del triangulo ABC, O es punto cualquiera del espacio demuestre que: . 144

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución … (1)Sea M el punto medio de A y CAdemás por la propiedad de las medianas: … (2) Reemplazando (1) en (2) tenemos: Luego47)Sumar gráficamente y analíticamente los vectores , y que se muestran en la figura.145

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución , Analíticamente:Luego48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M es el punto medio de y P está en a de la distancia de A a P,demostrar vectorialmente que: . , SoluciónDe donde , de donde:Por demostrarPor lo tanto: 146

MATEMÁTICA BÁSICA I49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y Dsiendo P y Q los puntos medios de los lados yrespectivamente. Demostrar que y trisecan a la diagonal . SoluciónSean E y F los puntos de intersección de y con la diagonal .Por demostrar que:Del gráfico se tiene: … (1) … (2)Igualando (1) y (2) se tiene: , de dondePero como y son vectores no paralelos y diferentes delvector nulo y por el ejercicio (1) se tiene:Por lo tanto de (1) se tiene:147

MATEMÁTICA BÁSICA I50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el noreste; representar gráficamente y hallar la resultante del recorrido. Solución(Representa el desplazamientode 5 km. hacia el norte) (Representa el desplazamientode 8 km. hacia el noreste) (Representa a la resultantedel recorrido, es decir: ).En el triangulo OAB los lados son los vectores y cuyaslongitudes son:Para determinar la longitud de aplicamos la ley del coseno, esdecir: , de modo que es el ángulo comprendido entre, cuyo valor es: . Luego reemplazando kms. 148

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO III ALGEBRA DE NÚMEROS3.1 TEORÍA DE NÚMEROS Los números aparecen en las diferentes civilizaciones, cuyo estudio histórico se pierde en el tiempo. Una de las civilizaciones más importantes fueron los Sumerios, que se desarrollaron en la actual zona del IRAK; quienes 1700 años A.C. idearon el sistema de Numeración Decimal; utilizados mundialmente y representados en las cuevas, mediante el arte Rupestre. Los Babilonios invadieron y aprendieron el sistema de Numeración Decimal y llevaron al Asia; Norte de África y Europa. Los árabes invadieron a los Babilonios, por transculturización aprendieron el sistema de Numeración Decimal y siguieron dando a conocer, a los países donde comerciaban. Injustamente se les conoce como Números Arábigos; cuando, los inventores fueron los Sumerios. En un principio no se pudo definir los números y se trato de considerar como concepto primitivo. Inclusive en la Teoría de Inducción completa; se considera: Cero, Número y sucesivo como concepto primitivo. Posteriormente, se descubre la “Teoría de Conjuntos” por Kurt Grelling quien había escrito 200 años antes con relación a los conjuntos; recién se define (1940) los números teniendo como base los conjuntos estudiados por el inglés Kurt Grelling. Es 149

MATEMÁTICA BÁSICA I conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000 años después de Cristo) referente a los números (Yupay) en el sistema de Numeración Decimal; representados en los Quipus y el Yupana; como estupendos representantes de la matemática del flujo.Los incas en los “Yachay wasi” (Casa del aprendizaje) orientabanel aprendizaje de los números (Yupay) en base decimal, conocíanlas operaciones básicas: Yapay (suma), Quechuy (resta), Merachy(multiplicación) y Cheqta (División) se desarrollan fácilmente en elQuipu (para anular) y el yupana (para contar números). Los niñosaprenden por tres canales: tacto (qapispa); vista (qawaspa), oido(uyarispa). Según la moderna NEUROPEDAGOGÍA; el máscientífico y completo sistema de aprendizaje para la matemática.3.1.1 NÚMERO NATURAL (N)Es el signo que representa a los conjuntos coordinablesA = {a} A = {a; b} A = {a; b; c}B = {b} B = {c; d} B = {d; e; f}C = {c} C = {e; f} C = {g; h; i} . . . . . . . . . . . .1(uno) 2 (dos) 3 (tres) .............. Representación lineal0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 .... 150