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MATEMÁTICA BÁSICA ILos números naturales cumplen con la propiedad conmutativa(cerrados) para la suma y la multiplicación. No se cumple para la:resta y división.3.1.2 NÚMEROS ENTEROS (Z)Como los números naturales son cerrados, es necesario ampliarlos números y tenemos, los números enteros en Z; que contienena todos los números naturales con signo positivo y todos losnúmeros negativos; son el resultado de comparar dos númerosnaturales por sustracción. Representación lineal ● ● ●● ●● ● ●- ...-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4.......+Los números enteros cumplen con la propiedad conmutativa paralas operaciones de: suma, resta y multiplicación; en cambio parala división no se cumple; por lo que es necesario ampliar. 3.1.3 NÚMEROS RACIONALES (Q) Que son el resultado de comparar los números enteros por división: Los números racionales cumplen con la propiedad conmutativa (cerrados) para la: suma, resta, multiplicación y división, siendo el segundo diferente de Cero. Diagrama lineal- ............... -3 -2 -1 0 1 2 3 ................... + -3 5 28 151

MATEMÁTICA BÁSICA I 3.1.4 NÚMEROS IRRACIONALES (Q’) Se denomina así, a todos los números que no son racionales. Ejemplo: (3.1416..) 3 3 5 (3.1416..)- ..................... -3 -2 -1 0 1 2 3............ + E (2.71) E (2.71) Diagrama Lineal (Q’)3.1.5 NÚMEROS REALES (R)Se denomina así a todos los números estudiados: naturales,enteros, racionales e irracionales.Si en los números racionales se desarrolla la operación dedivisión; a estos números se les conocen como númerosRacionales decimales. Ejemplo: 3 = 0.374999........ 8 1 = 0.5 2 8 = 1.6 53.1.6 NÚMEROS IMAGINARIOS (I)Son los números que se presentan como la raíz par (2; 4; 6........)de los números negativos. Ejemplo:2 = 2 ( 1) = 2 i ; ( 1 ) = i ; 1.41 i4 = 4 ( 1) = 2 1 = 2i 152

MATEMÁTICA BÁSICA I Representación gráfica I 2i i-R -3 -2 -1 0 1 2 3 -i -2i . . -i 3.1.7 NÚMEROS COMPLEJOS (C) Es un par formado por un número Real (R) y un número imaginario (I); C (R; I). 153

MATEMÁTICA BÁSICA I Sistema Cartesiano Rectangular en el campo complejo I ( 19 ; 3i) coi . . . - 3iC (- ; 2i) - 2i -i-0-4 -3 -2 -1 1234 -i -2i C ( ; -2i) -3iC (- ; - 15 ) - 15 . . -i 154

MATEMÁTICA BÁSICA I SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos Números Reales N. ImaginariosN. Racionales N. Irracionales N. EnterosEnt. Negativos Cero Ent. Positivos Naturales N. Primos 155

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1. En los ejercicios siguientes reconozca si es verdadero o falso paralos números: Naturales (N); Enteros (Z); Racionales (Q);Irracionales (Q‟); Imaginarios (i) ; Complejos (C).1.1) -7 Є N 1.9) 1 Є Z1.2) 2 Є R‟ 21.3) 4 Є Q1.4) 9 Є R 1.10) 5 Є Q‟1.5) 3 Є Q 1.11) 3 8 Є N1.6) –6 Є Q 1.12) 9 Є Q‟ 4 1.13) –2 Є Z1.7) 11 Є C 1.14) ЄR1.8) (-3; 2 3 ) Є C 1.15) 4 Є R2. Desarrollar un diagrama lineal de los conjuntos: R; N y Q‟.3. A cuál de los conjuntos: N; Z; Q; Q‟; R; I; C; pertenecen losnúmeros:3.1) - 3 3.3) 5 3.5) 3 ; 13 4 43.2) 26 3.4) 4 3.6) 94. En los conjuntos; N; P; Q‟; Q; Z y R; cuáles son cerrados a la Suma; Resta; Multiplicación y División; indique ejemplos:5. Con notación conjuntista, escriba las afirmaciones: 5.1) 5 es menor que 8. 5.2) a no es mayor e igual que b. 5.3) a no es menor que b. 5.4) a es mayor o igual que b. 5.5) a no es mayor que b. 156

MATEMÁTICA BÁSICA I6. Entre los siguientes números, indicar el signo de relación que los representa adecuadamente:6.1) -9 ....................... 7 6.5) 52 ................. 256.2) -12 ..................... –3 6.6) - ................. 26.3) 5 ........................ 32 6.7) Є ..................6.4) -8 ....................... 8 6.8) 2 ................. 7 57. Representar las siguientes relaciones con los signos de desigualdades correspondientes: 7.1) y está a la derecha de 12. 7.2) Z está a la izquierda de 5. 7.3) X está entre –9 y 9. 7.4) W está entre –4 y 6. 7.5) Y está entre –9 y –2.8. Desarrollar los siguientes ejercicios: 8.1) /3 + 5/ 8.2) /-3 –6/ 8.3) /+8 + 4/ - / -3 – 2 / 8.4) / -3 / + / -8 / 8.5) / -9 / - / -7 / 8.6) - / -7+2 / 8.7) – 4 - / -7 / 8.8) /4 – 3/ + /9 – 12/ 8.9) - / -6 / - / -8 / 8.10) / 4 / - / -12 + 4 /9. Representar X; entre desigualdades: 9.1) 3 < x – 4 < 8 9.2) –1 < x + 3 < 2 9.3) –9 < 3 x < 12 9.4) –6 < -2x < 4 157

MATEMÁTICA BÁSICA I 9.5) 3 < 2x – 5 < 7 9.6) –7 < -2x + 3 < 510. Representar sin el signo de valor absoluto: 10.1) / x / < 3 10.2) / x – 8 / < 5 10.3) /2x + 3/ < 711. Representar con el signo de valor absoluto 11.1) -2 < x < 6 11.2) 4 < x < 1012. Indicar el signo de desigualdad correspondiente 12.1) 1 ............ –7 12.2) –2 ........... –9 12.3) 23 ............ 8 12.4) 3 ............. 7 12.5) 32 ............ 9 12.6) 32 ............ –1113. Representar en forma conjuntista los intervalos: 13.1) M = [-8 ; 5 [ 13.2) S = ] 7; 14 [ 13.3) T = [ 4; 9 ] 13.4) W = ] -8; -3 ]14. Desarrollar los siguientes intervalos en líneas rectas: 14.1) R = ] -9; 4 ] 14.2) S = [ -4; 4 [ 14.3) T = ] 5; 8 [ 14.4) W = [ 7; 12 ] 158

MATEMÁTICA BÁSICA I15. Las siguientes desigualdades representar en la recta y escribir en conjuntos los intervalos correspondientes. 15.1) A = {x/x, x < 3} 15.2) B = {x/x, x 2} 15.3) C = {x/x, x -4} 15.4) D = {x/x, x > -1}16. Con los intervalos:A = [-8; 5[ y B = [-5; 8]Representar en la misma recta A y B.Representar en la recta: 16.2.1) A B 16.2.2) A B 16.2.3) A – B 16.2.4) A B17. Representar en notación de intervalos: A B; A B y A – B.18. Representar y dar ejemplos de intervalos, cuya reunión o unión es un intervalo.19. Representar en una recta y escribir el conjunto que resulta en notación de intervalos. 19.1) {x/x; x -1} {x/x ; - 3 < x < 2} 19.2) {x/x; x < 2} {x/x ; x 2} 19.3) {x/x; -3 < x 1} {x/x ; x > 2} 19.4) {x/x; -2 < x 3} {x/x ; x < 1} 19.5) {x/x; -3 x 0} {x/x ; - 2 < x < 3}20. En las siguientes expresiones, indique: cuál es Verdadero o Falso:20.1) a Z; b Q y (a – b) N20.2) a P; b Q‟ y ab Q.20.3) a N; b Z y ab Z. 159

MATEMÁTICA BÁSICA I20.4) a N, b Q‟ y a Q.20.5) a P, b P b20.6) a N, b Q‟20.7) a Z, b Q y (a + b) P. y (a + b) Q‟.20.8) a P, b Z y a N. b y b Q. a21. Representar las siguientes afirmaciones con la notación de la relación de orden: 21.1) x no es mayor que y. 21.2) El valor absoluto de x es menor que 4. 21.3) r no es menor que y. 21.4) r es mayor o igual que t.22. Entre los siguientes números indicar la relación correcta:22.1) 5 .................. –8 22.5) 23 .................. 1922.2) / x / .............. –322.3) 23 ................. 8 22.6) - / x / .............. 1 22.7) – 7 ................. 422.4) - ................ 22.8) – 2 ................. –5 323. Representar en la recta la relación de los números: 23.1) a está a la derecha b. 23.2) x está a la izquierda de y 23.3) r está entre –5 y –8.24. Calcular: 25.6) / -2 / + / 1 – 5 / 25.7) / 3 – 8 / - / 2 – 1 / 24.1) / 4 – 7 / 24.2) / -4 – 7 / 25.8) / -3 / - / -9 / 24.3) / 4 + 7 / 25.9) / 2 – 6 / - / 1 – 9 / 24.4) / 3 / - / -5 / 24.5) / 2 – 3 / + / -6 / 160

MATEMÁTICA BÁSICA I25. Representar las desigualdades en función de “x” 25.1) -2 < x – 3 < 4 25.2) –5 < x + 2 < 1 25.3) –12 < 4x < - 8 25.4) 4 < -2x < 10 25.5) –1 < 2x – 3 < 5 25.6) –3 < 5 – 2x < 726. Representar sin el signo de valor absoluto: 26.1) / x / 8 26.2) / x – 3 / < 8 26.3) / 2x + 4 / < 827. Representar con signo de valor absoluto: 27.1) -3 < x < 9 27.2) 2 x 8 27.3) –7 < x < -128. Representar los siguientes intervalos como conjuntos y en la recta: 28.1) A = [-3 ; 1[ 28.2) B = [1: 2] 28.3) C = ]-1; 3] 28.4) D = ]-4; 2[29. Representar como intervalos las siguientes relaciones y en la recta: 29.1) R = {x/x, x 2} 29.2) S = {x/x, x > -1} 29.3) T = {x/x, x < -3} 161

MATEMÁTICA BÁSICA I30. Sean los intervalos. Hallar y representar como intervalos: A = [ -4 ; 2 [ B = ] -1; 6 [ C = ]- ; 1]30.1) A B 30.7) A - C 30.8) C - A30.2) A B 30.9) B C30.3) A – B 30.10) B C30.4) B – A 30.11) B - C30.5) A C 30.12) C – B30.6) A C3.2 EXPONENTES Y RADICALES EXPONENTES Es la operación que consiste en hallar un número; que, multiplicado otro número, tantas veces como indica otro número denominado exponente es igual al número buscado. exponente an = a x a x a ............. (n veces) basePROPIEDADES1. Para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se suman los exponentes. an x am = an + m2. Para dividir expresiones exponenciales de la misma base; se restan los exponentes: an : am = an - m ; para n > m 162

MATEMÁTICA BÁSICA I3. Para elevar una expresión exponencial a una potencia cualquiera, se multiplica el exponente por la potencia (an)m = an x m4. Para elevar un producto , a una potencia cualquiera; cada una de las expresiones, se eleva a la potencia indicada. (a x b)n = an x bn5. Para elevar a una potencia cualquiera, un cociente; el dividendo y divisor se eleva a la potencia indicada. a n an b bn6. Toda expresión con exponente cero; es igual al número uno. a0 = 1 para a 07. Toda expresión con exponente negativo, es igual al inverso de la expresión con exponente positivo.8. Toda expresión positiva elevada a una potencia par o impar; siempre es positiva.9. Toda expresión negativa elevada a una potencia par es positiva; y, elevada a una potencia impar es negativa. 163

MATEMÁTICA BÁSICA I3.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES EXPONENCIALES EJERCICIOS RESUELTOS1. 2x 3 y 4 4 3y 2 z3 2 z3 2x2 Solución: 22 32 x8 y20 36x8 y20 z6 z6 24 x12 y16 32 y4 z6 z12 22 x42. 2a2 c 3 3 30b6 3 15b 4 4a2c 2 Solución: 2a2c3 30b6 3 b2c b6c3 15b4 4a2c2 13. a 1 1 ; 1 a ; a1 a a 2n 1 a2n 14. a 2n a2n5. a 2n a2n ; a 2n 1 a2n 1 EJERCICIO PROPUESTO1. 12x2a 2 4 1 6xa 2 2x2a 164

MATEMÁTICA BÁSICA IDESARROLLAR LAS OPERACIONES INDICADAS CONEXPONENCIALES. EJERCICIOS RESUELTOS 1. (2a2) (3a4) (a5) = 6a11 2. (-3a2) (-5a5) = 15a7 | EJERCICIOS PROPUESTOS1. 34 x 32 10. 1022. 52 x 52 523. 36 11. 253 34 534. 35 12. 3 2 34 45. 25 13. 2 4 23 36. 45 14. 1 4 42 57. 57 15. (42 )3 55 16. (23 x 32)2 17. (24 x 3)28. 52 x 22 18. (42 x 2)39. 33 x 43 165

MATEMÁTICA BÁSICA I 24. 18 x5 y7 3x2 y3 19. (3a6) (2a4) 20. (4x4) (3x3) 25. (3x3)2 21. 4 2 26. a7 5 a3 22. b9 27. (5a4)3 28. (-4b2)3 b5 29. (-a3 b2 c4)2 23. 20c4d 2 5c2dSIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: EJERCICIOS RESUELTOS1. 42 h9 y7 k 4 = 7h4 y3k 6h5 y4 k 32. 36x 5 y 6 z3 5 2xy3z2 5 32x5 y15z10 18 x 4 y3 z = EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 24 x4 y5 z2 3. 28 a7 b8 d 3 3x2 y3 z2 4a2 b4 d 3 2. 27 c5 d 4 e5 4. 9a4 b6 c8 3 3c4 d 2 e3 3a3 b4 c5 166

MATEMÁTICA BÁSICA I5. 18 a4 b2 4 13. 7c3 d 4 18c4 e7 6a3 b2 6e5 21d 56. 27 h3 k 3 14. 27 r 4 s2 t 2 16h5 k 3 12 r 2 s2 t5 4 x3 y3 3 2r3 s5 5 2 y2 3r5 s37. 15.8. 48a7 b3 c5 16. 12a7 b3 c 6 4 32a5 b4 c 18 a5 b6 c109. 81x8 y6 z4 14x5 y 4 z 9 5 36x4 y7 z5 7 x2 y7 z8 17.10. 3a2 b3 4a3 c2 18. (3a3)2 (4a4)2 2c4 9b2 6h4 k 7 3 9h3 k 911. 6x4 y3 z5 10w5 x2 19. 5w2 9y5 y712. 12h3 y4 15h4 k 3 5k 5 8y6Si los exponentes son iguales se multiplican las bases y se indicael exponen común.20. (2a2 bc3)2 (4a 3b2c)2 21. (5h4 y3 k2)4 (h2 y4 k)4 167

MATEMÁTICA BÁSICA I Si los exponentes son iguales se dividen las bases y se indica el exponente común. EJERCICIOS RESUELTOS1. 4c3 d2 5 3e5 5 4c3d 2 3e5 5 ce 5 c5e5 3e4 = 3e2 8c2d 2 2 32 8c 2 d22. 4h2 3 9h4 3 6k 6 3 4h2 9h4 6k 6 3 2h6 3 8h18 3k 3 2k 2 18k 7 3k 3 2k 2 18k 7 k6 k183. a3y+2 a2y-4 a2-5y= a0 1 a 3n 4 b 2n 1 a3nb2n a2nbn a6b24. = a2n 6bn 2 an 2 b1 n an 6bn 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 3r2 2 4r2 2 9. 3d2 3 2d5 3 35. c 2r2 3r3 d3 3c 3 d66. 3 a2 b 3 c4 2 2 c 3 3a2 b2 10. 3x3 4 4 2x 4 y 4y7. 2x 3 y 2 4 6 z5 4 2y2 3x3 3 x 4 2x 4 y 2a2 2 2 a2 2 11. (5a4b2 c3)4 (4a3b4 c2 )4 (10a8b5 c5 )48. 3b b3 a3 6b 168

12. (8h4 j3 k 2 )5 (2h3 j2 k 3 )5 MATEMÁTICA BÁSICA I (16h6 j6 k 6 )5 21. (h3h 2 )3 (h3k 2 )413. a3n + 5 a2n-5 (h3k 2 )514. b2x+3 bx-1 bx-215. c2x-1 cx+2 c1-5x 22. (2a3 x 4 )2 (4a2b)3 (2a2x3 )3 an 2 x 2n 116. 23. (4c 2de2 )3 (2c 3d2e4 )3 (6c 3d3e7 )3 an 2 x1 2n 24. a5n 4 b3n 817. (a2 b3 )2 (ab2 )2 a2n 1 (h2b)3 25. (an 1 bn 2 )218. (2x3 y 2z3 )2 (6x 4 yz2 )2 a2n b 4 (12x5 y 4 z5 )2 (a2n 1 bn 1)3 an 2 x 3n 1 26.19. an 3 b3 an 4 x1 n20. (a2x3 )4 (ax 2 )2 (a2x3 )23.4 EXPONENTES NEGATIVOS Encuéntrese el valor de las expresiones en los problemas 6 a 24. EJERCICIOS RESUELTOS1. (-2)0 = 12. 2 0 1 3 = 169

MATEMÁTICA BÁSICA I3. (3-2)-1 (22) – 1= 3 2 2 2 1 62 1 36 1 354. (5-2 83)-2 = 548 6 54 625 86 2621445. (4-2)2 = 4 4 1 1 44 256 EJERCICIOS PROPUESTOS6. 4-1 15. 3-47. 5-2 16. (3-1) (3-2) 17. (2-4) (2-2)8. 3 0 18. (4-5) (42) 4 19. (3-8) (35) 20. (3 – 122)39. (2-3)-3 21. (42 3-3)-210. (32)-1 (22) – 1 22. (2-2 43)-311. (32)-1 (2-2)-1 23. (32)-1 24. (5-1)2 12. (3-2)-1 (2-2)-1 13. [ (3) (5)]0 14. 2-3 170

MATEMÁTICA BÁSICA IMediante el uso de exponentes negativos, escríbanse sindenominadores las expresiones de los problemas 30 a 36. EJERCICIOS RESUELTOS25. 4x 2 = 4x2 y 3 y326. 4x2 y = 4 3 1x2 y 2z 2 3y3 z227. x 2 = 3 1 x 5 3x2 x5 EJERCICIOS PROPUESTOS30. 2a2 35. 3a2 b3 c b 2 1 a 1 b4 c 231. 3h2 k 36. 2h3 j2 k 4 k2 j3 3 2 h4 jk 232. 4a2 b3 37. 4r3 s 1 t 2 2cd 2 1r4 s 2 t 133. 3a 2b 4 38. 8x3 y 3 z 40 a3 b5 4 1 x4 y 2 z334. 7x2 y2 3x5 y3 171

MATEMÁTICA BÁSICA ISimplifíquense las siguientes expresiones: EJERCICIOS RESUELTOS1. c0z-3 = 1 z32. x-2 x-3 = 1 x53. x3 3 3 1 = 1 y2 x3 y2 x9 y64. 3x-a + 2 = 3 2 5 xa xa X a xa5. c3 2 1 c3d 2 2 c6d 4 d2 c3d 2 =6. 2x-1 + 3b-1 = 2 3 2b 3x x b bx 1 1 yx7. x1 y1 = x y xy x2 y2 ( y x) xy x2 y2 1 1 y2 x2 y2 x2 y2 xy( y x)( y x) y x x28. y 3 x 3 1 1 x3 y3 x 2y 3 x 3y 2 x3 y2 x3 x3 xy 1 1 x3 y3 x2 y3 x3 y2 x3y3(x3 y3) y(x2 xy y2 )(x y) y(x2 xy y2 ) x3 y2(x y) xy 172

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS9. x0 y-2 22. 2r 2 3 310. by-4 4 1 r3 s 211. e0f 1 23. 3 2 a2 b2 g3 2 1 a2 b 112. x-3 x 24. a b 113. a-1 x-1 b a1 a2 2 25. a b b3 b1 a114. 26. a-1 + b-1 a2 2 27. 62 x 2 y 3 z 1 b315. 23 xy 2 z 316. 24 p 4q 2 r4 28. 50 h2 k 1 15 p 3q 4 r5 2 2 j 1k217. 18x3 y2 z0 29. 12x3 y 2 z0 12x 1 yz 8x 1 yz 2 218. 4 2 a 1 b2 c 3 30. 9c 1 d 3 e2 2 3 a2 b 3 c 2 12bc2 d 1 e019. a-1 b-2 31. 2 2 a 3 b2 c 1 3 2 ab 2 c 320. a2c 2 a1 32. y 2 x 1y 1 y 2 x 1y 121. x 1y 3 x 4 102 173

MATEMÁTICA BÁSICA I33. x y1 x2 38. x 1 y 2 1y 1 x 2y y134. y 2 2x 1 y 1 x 2 39. x 2 y 1 x 1y 2 x 2 y 1 x335. 3x-1y + 2xy-1 40. z 3 z 236. a-1 b-1 c – abc-1 z437. a 3 b 2 a141. x 1 y1 x 2 y242. y 2 3x 1 y 1 2x 2 x 1y 2 x 2 y 1 xy 2 x1 y2 1y43. x 144. -3 (x + 1) (x – 1)-4 + (x – 1)-345. -2 (2x + 5)2 (x + 1)-3 + 4(2x – 5) (x + 1)-246. –2 (2x – 1)2 (x – 3)-3 + 4(2x – 1) (x - 3)-247. 2(3x + 1)-1 (x + 2)-3 + 3(3x – 1)-2 (x + 2)-2 174

MATEMÁTICA BÁSICA I3.5 EXPONENTES RACIONALES EJERCICIOS RESUELTOS 3 56 52 1251. 25 2 = 253 2 23 2 3 33 22. 8 3 = 3 82 22 4 27 272 32 9 1 52 5 5 5 5 15 5 153. 27 2 = 125 32 3 3 3 3 3 9 125 27 1 5 3 15 5 254. 125 2 = 32 3 3 3 27 52 5 5 5 EJERCICIOS PROPUESTOS5. 93 1 1 10. 8 56. 01 3 2 1 11. (.001) 37. 64 3 3 1 12. (100) 28. 64 4 3 3 13. 16 49. 32 5 5 14. 4 3 9 175

MATEMÁTICA BÁSICA I 3 5 20. 32 8 15. 81 2 3 16 21. 81 4 3 1 16. 4 2 25 22. (001) 3 1 3 17. 8 3 23. 4 2 25 1 18. 25 2 1 19. 64 2Escríbanse sin radicales los valores de las expresiones de losproblemas 26 a 43. EJERCICIOS RESUELTOS 9x2 y4 3xy 224. 1 1 5z 4 25z 225. 12 27a4 x8 3 48 1 12 64b9 y18 312 a12 x12 34 a3x3 6 9 18 133 212 b12 y12 22b4 y2 176

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS26. 25 36. 3 25a3 b227. 3 64 37. 8x3 y 428. 5 55 38. 3 16a5 b0 c 329. n 3n 39. 4 4a2 b330. 43 40. 6 16x3 y 431. 3 82 9z 232. 4 4 41. 64x 4 y 633. 6 32 42. 3 27a6 b934. 5 32h10 k 5 43. 8 9p3 q435. 4 256r 8 s12 16 r 6 s0Escríbanse en su forma más simple y sin emplear exponentesnegativos o fraccionarios, las expresiones de los problemas47 a 59. EJERCICIOS RESUELTOS 36 31 1 3a 4 b 2 3a 4 2 3a 4 34 a44. 6 b3 b3 1 b2 a2 177

MATEMÁTICA BÁSICA I 32 3 a345. a 8 y 8 a8 8 3 32 x3 y2 x8 x8 y8 21 c46. c 4 = c 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 3 13547. x 2 54. 4 2 a 2 b 2 2 33 348. b 3 32 6 h 8 k 2 55. 43 33149. x 7 b 7 88 h 8 k 2 3 12 c7 56. 8 2 x 3 y2 32 21 1 a 2y 650. 57. 8 3 x 3 y 3 7 231 c8 58. 32 8 a 8 b 8 23 31 151. x 4 y 4 59. 9 2 x 5 y 5 352. a 2 12 153. 4 2 x 3 y 2 11 82 x3 178

MATEMÁTICA BÁSICA IElimínense de los radicales en los problemas 13 a 68, todos losfactores racionales. EJERCICIOS RESUELTOS 11. 32 = 16 2 4 2 4 22 3 332. 8x 2 = 22 2x 2 2 2x 2 13. 3 81 = 3 33 3 3 3 3 3 33 14. 4 162 = 4 34 2 3 2 3 225. 3 a2nb3n = anb2n 16. 450 = 9 25 2 3 5 2 15 227. 3 4r 3 3s6 = 3 43356 3 12x356 x52 3 128. 3 48a7 = 3 23 6a6a 2a 2 b9 b9 b9 6a9. 4 80a5b8c6 = 5 24 5b8c4c2 2b2c4 5c210. 5 243p20q7r12 = 5 35 p20q5 q2r10 r 3p4qr 2 q2r11. (x2 3x 2) (x2 x 6) = x 1 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 2x 3 179

MATEMÁTICA BÁSICA I 12. 3 (a b) (a2 b2 ) (a3 b3 ) 3 a b a b a b a b a2 ab b2 a b 3 a b a2 ab b2 EJERCICIOS PROPUESTOS13. 96 27. 2x214. 128 28. 5x 2y 415. 162 29. 27a2b516. 150 30. 7a2b217. 320 31. 3h4k 618. 588 32. 45x5 y 419. 3 16 33. 3 54a4b720. 3 25021. 3 108 34. 3 192x 5 y 822. 4 32 35. 3 48u7v1023. 4 384 36. 3 725r11s1024. 4 324 37. 3 6u9v 625. 8x3 38. 3 2p9q1226. 12y5 180

39. 3 16a2b15 MATEMÁTICA BÁSICA I40. 5 64x7y15z1141. 4 625r16s12t7 52. 3 40a5b642. 5 294a9b10c13 54c 743. 396x8 y12z1544. 768h17 j8k5 53. 4 128x 7 y1245. 960u9v11w10 162z 846. 9x 54. 5 128u9v 6 4y 2 486w 2047. 20a5 55. 4 81b9 b6 c1248. 3 27a4 56. 3 8a7 b7 b949. 3 16x 3 57. 50e5 f 4 y5 64g850. 3 16b3 58. 72x 6 y 7 c6 49z10 98r 9s851. 59. 3 40a5b6 25t12 54c 7 33 60. 8x 4 4 3 61. 16a 3 62. 4 256c 6d12 625e8 181

MATEMÁTICA BÁSICA I 63. (a b) (a2 b2 ) 64. (2a b) (4a2 b2 ) 25 65. 9x 3 y 8 66. a2nb3n 67. n a2n b3n 68. 4 a4n b8nRedúzcase el orden de los radicales de los problemas 69 a 84, yelimínense de los radicales obtenidos todos los factores posibles. EJERCICIOS RESUELTOS69. 6 8 = 6 23 270. 4 64x6 = 4 26 x6 23 x3 2x 2x71. 9 27 = 9 33 3 372. 6 x 2 2x 1= 6 x 1 2 3 x 1 EJERCICIOS PROPUESTOS73. 4 25 76. 10 x 274. 6 4 77. 6 8x375. 12 x 6 182

78. 4 16a8b2 MATEMÁTICA BÁSICA I79. 6 27x3 y680. 4 81u8v10 82. 8 16r 2s481. 9 64a3b12 83. 12 27h6k 9 84. 4 a2 4a 4Redúzcanse los radicales de los problemas 88 a 92 a expresionesque contengan sólo un signo de radical. Redúzcase de ser posibleel orden de los radicales obtenidos. EJERCICIOS RESUELTOS85. 3 a3 = 6 a3 a86. 5 3 32a15 = 15 25 a15 a15 25 a3 287. 4 8 81x 6 y12 = 32 34 x6 y12 16 32 a3 y6 16 9a3 y6 EJERCICIOS PROPUESTOS88. 4 3 x2 91. 4 6 25a2 b1289. 4 8a3 92. 3 6 27a6 b990. 3 9a3 183

MATEMÁTICA BÁSICA I Simplifíquense las siguientes expresiones radicales. EJERCICIOS RESUELTOS1. 3 3 3 9 = 3 3 32 3 33 32. 3 27 = 3 33 34 32 93. 3 1 3 16 1 16 23 2 2 27 3 3 3 2 27 334. 2a3b 6ab2 = 12a4b3 22 3a4b2b 2a2b 3b5. 1 128 1 28 28 1 26 2 2 32 2 32 3 2 9 23 2 8 2 336. 3x 2= 6x 1 11 12 4y 3xy 12 xy 2 2y2 y2 2y7. 72u3 v 9 = 72u 2v 9 v2 27 32u5v7w8 12u 2 w8 27u5 w 5 32v 7 w 3 (a b) a b ab ab ab8. = a b a b2 a2 b2 a ba b ab ab ab u2 v2 1 u vu v uv9. uv (u v) u v u v u v 184

MATEMÁTICA BÁSICA I 3 (w 2 z2 )(w z) w zw zw z wz10. 3 w z2w z2 3 z2 3 (w z)2 (w z)2 w w zw z w2 z23 w z2 wzEJERCICIOS PROPUESTOS11. 2 8 21. 4 8012. 3 75 4513. 3 4 3 5414. 3 9 3 81 22. 3 50015. 8 32 3416. 3 4 3 1617. 2 27 23. 5 288 59 3 3218. 3 4 3 54 24. 219. 3 3 3 1 3 48 25. 520. 243 8 3 26. 7 12 27. 4 5 28. 8u3 uw 5 12uv 7 29. 15r 4 s3 15a2b 185

MATEMÁTICA BÁSICA I30. 8h3k 6h5k 44. 18 32 2431. 6c5 d7 12cd3 45. 6032. 5a5 b3 15a2b 20 3033. 8x5 y 4xy 3 46. 30 27 1534. 3 16u2 v 4 3 4uv 3 12r 5 s235. 3 6c 5 d7 3 9cd4 47. 24rs736. 3 4p4 q2 3 2p7 q5 28x 3 y37. 3 9x2y1z 3 12xy 4z 48. 35x 5 y 338. 10xy 5 6x3 y2 49. 3 32c 4d239. 2a3 9b 5 3 48c 2d7 3b 8a 5 50. 4 48uv 640. 6c 5 10d2 4 64u6 v 2 5d8 5c 7 51. 3 72t56 u241. 12u3 20v 7 3 27tu7 5v 5 27u 4 531x 4 y 2 4 243x3 y9 52.42. 59x 1y 2 4 6x5v 2 3 36x 2 y 3 9xz 4 53. 3 12y 5 z743. 12 24 8 186

416x 3 y 5 MATEMÁTICA BÁSICA I54. 3 (x y)2 52xy 1 58. 540a5b 3 c 255. 3 (x2 y2 )(x y) 3 c2 d2 15abc 816c 3 de4 59.56. 3 (c d)2 (c d) 34c 1d3e (x2 y2 ) x y 3a b 60.57. xy 3 (a2 b2 )(a b)Simplificar los radicales de las expresiones siguientes y efectúense lasadiciones posibles. EJERCICIOS RESUELTOS1. 45 20 5 125 5 9 5 4 5 5 25 5 3 5 2 5 5 5 52. 3 432 3 343 3 128 3 54 3 23 33 2 3 73 3 26 2 3 32 2 63 2 7 43 2 33 2 73 2 7 7 3 2 1 187

MATEMÁTICA BÁSICA I3. 12a4b a2 27b 2a 12a2b 2a2 3b 3a2 3b 8a2 3b 3a2 3b4. 48x7y x 27x5y x2 12x3y 24 3x6 xy x 32 3x4 xy x2 22 3x2 xy4x3 3xy 3x3 3xy x3 3xy 3x2 3xy5. 2 5u2 80u3 25u2 v v v 5u2u 5 24 5u2u 25u 2 2u 5 4u 5u 25u 2 5uv v v 5u v v 5uv2u 5 4 5uv 5u 5u 2u 5 4 5uv 5u 5u v vv v6. 3 54x 2 y10 3 24x5 y 4 y 3 2x 2 y7 2x 3 24x 2 y 43 33 2x2 y5 y 3 23 3x3 x2 y 2 y y3 2x2 y6 y 2x3 23 3x2 y3 y3y3 3 2x2 y 2xy3 3xy y3 3 2x2 y 4x2 y 2 3x2 y2y33 2x2 y y33 2x2 y 4x2 y2 3 3x2 y7. a b a bab ab a ba b a ba b a2 b2 a2 b2 a b2 a b2 ab aba b a2 b2 a b a2 b2 2a a2 b2 a2 b2 a2 b2 188

MATEMÁTICA BÁSICA I8. x2y 2 2x y2 x 2y 1 2xy y3 x2 y 2 2x y2 x2 y 1 2xy y3 x2 2x y2 x2 2xy y3 y2 y x2 2xy2 y4 x2 2xy2 y4 x y2 2 x y2 2 y2 y y2 y x y2 x y2 x y2 x y2 y x y2 1 y yy y y y EJERCICIOS PROPUESTOS9. 3 12 48 18. 3 54 3 32 3 16 3 25610. 8 18 50 19. x 8x2y 18x4y x2 32y11. 75 48 108 12 20. 6 5uev u 20u4v u2 45u2v12. 3 16 3 54 3 25013. 3 32 3 108 3 256 21. 4a 9a3 414. 3 24 3 192 3 375 3 81 a a2 a15. 50 3 24 3 192 816. 4 32 3 108 4 1250 72 22. 18x 32x 3 4 x x2 2x 23. a 27a 3a3 6a2 b b2 b 3a17. 32 45 72 20 24. 9a2b 25ab2 16ab2 4a2b 189

MATEMÁTICA BÁSICA I25. 8r32 27r 2 3 2r32 3r 2 326. 3 8u2 v7 3 27u10 v 2 y 3 8u7 v 2 v 3 u2 v 427. cd2 16c 2d 9cd2 c2d 2 3 2 328. 25p 4 2q 3 p 2q2q 3 p 2q 9p29. 3h 3h 5k 2 3k 3h3 3 3k 7 2k 4h k 2k h30. 3a 3 3b 1 2a 1 3b 2b3 8a3 b 3b 2a 2a31. 2ab 4 4a2b2 6 8a3b332. 3 8x 4 y x 6 x 2 y 2 2 9 x12 y333. 8 81a4 4 729a2 75a 16b 4 4b2 2b34. 6 64x 2 y 2 2 9 512x3 y3 12 x 4 y 4 4z 2 8z3 16z 435. x x y yx y x2 3y2 xy xy x2 y236. x 18 81x 1 x 2y 1 18xy 1 81y 1 190

MATEMÁTICA BÁSICA IOPERACIONES CON EXPRESIONES IRRACIONALES EJERCICIOS RESUELTOS1. ( 2 3 5) ( 2 3 5)2352353 6 1096 155 10 156 262. (2 2 3) (7 2 3) 2 23 7 23 14 14 3 12 4 3 2 10 33. ( h k )332 2 3h 3 h k 3h k kh h 3h k 3k h k k4. ( a 2b c ) ( a 2b c ) a 2b c 2b 2bc a 2b 6 2b 2bc a 2ab ac 2ab c aca c 2 2ab 191

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS5. ( 3 2) ( 3 2) 10. 3 3 3 56. (2 2 3) (7 2 3) 88 887. (5 6) ( 2 3)8. 1 3 1 3 11. ( a b) ( a b) 12. ( x y )2 22229. 3 5 3 5 13. (u w v) ( u v ) 44 4414. ( r s rs) ( r s rs)15. ( xy xz yz) ( xy xz yz)16. (2x 3x x 2x) (x 2x x 2x)En los problemas 19 a 29, introdúzcanse debajo del signo radical losfactores externos y luego ordénense los radicales en orden de sumagnitud.EJERCICIOS RESUELTOS17. 2 4 33 , 3 4 6 , 4 4 2 18. 6 17, 10 6 ,7 134 528; 4 486; 512 612; 600; 6374 528; 4 512; 4 486 637; 612; 600 192

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS RESUELTOS19. 4 3, 3 6 ,2 10 25. 3 3 5 , 53 6 , 7 3 320. 3 3 4 , 2 3 6 , 4 3 2 5721. 2 70, 3 30 ,5 1022. a 2, a 2a , a 2a3 , a 1 26. a 1 , a5 1 , a3 1 , a 123. 2ab 6b, 3a 3b3 , 2b 7a2b a a5 a324. 6 1 , 3 2 , 4 1 27. 5 13 , 2 2 , 7 6 , 8 5 33 2 28.6 3 5 , 43 17 , 7 3 3 , 8 3 2 29. 3 2560; 3 1088; 3 1029; 3 1024Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 33 a 37. EJERCICIOS RESUELTOS30. 3 4ab2 , 4 2a3b 12 4ab2 4 ;12 2a3b 3 12 256a4b8 ;12 8a9b331. 3 2a2b3 , 6 3a5b , 8 4a5b724 2a2b3 8 ; 24 3a5b 4 ; 24 4a5b7 311 12 132. x 2 y 8 , 4 x 2 y 3 , 6 x 2 y1 16 1 23 1212 x 2 y8 ;12 x 2 y 3 ;12 x 2 y 3312 x3 y 4 ;12 x 2 y 2 ;12 xy 2 193

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS33. 3x , 3 4x234. 2x , 3 3x 2 y , 4 x3 y 235. 3 ab2c , 4 2a3bc , 6 3a5b4c211 23436. a6 , 3a 2 , 2a337. 3 r 2s , 6 3r5s2 , 9 2r7s5Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 39 a 45y luego efectúense las operaciones indicadas. EJERCICIOS RESUELTOS38. 3 4a2 8a36 4a2 2 6 8a3 3 6 16a4 512a96 24 29 a13 6 212 2a12a26 a6 6 2a 64a6 6 2a EJERCICIOS PROPUESTOS39. 2 3 4 43. 2ab 4 8a3b540. 3 4 4 8 3 4a2b41. 3b3 4 27b2 3 3x 2 y 4 27xy 342. 2x 3 4 44. 4 4x3 6 243xy 5 45. 2ab 3 4a5b4 6 2ac 5 194

MATEMÁTICA BÁSICA IRacionalícense los denominadores de los problemas 49 a 66. EJERCICIOS RESUELTOS46. 14 8 14 8 2 7 10 7 15 22 7 27 27 22 27 14 8 27a. 28 8 2 98 8 7 27 82 72 8747. 10 7 15 2 10 7 15 2 3 2 2 7 27 548. 3 6 1 3 6 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 3 21 3 61 3 21 3 18 3 6 12 2 1 36a. 2 3 2 2 3 2 12 3 12 3 12 3 42 6 3 36 2 22 195

MATEMÁTICA BÁSICA I2 4 2 2 3 2 2 2 4 8 2 4 3 4 2 16 4 6b. 2 2 2 2 2 2 4812 4 2 4 3 4 6 3 2 3 6 4 EJERCICIOS PROPUESTOS49. 2 14 7 31 56.50. 6 3 21 32 57. 6 451. 1 23 52 58. 14 4 1552. 2 53 62 59. 14 1053. 3 2 5 72 x y 2 xy54. 5 5 60. 15 33 xy55. 61. 3 2 31 3 2 2a b ab 62. b 2a 196

63. x3 x x MATEMÁTICA BÁSICA I xx 65. 2 6 3 25 22 66. 6 3 164. 123 123Encuéntrese los valores de la siguiente expresiones, con unaaproximación de milésimas.67. 1 71. 1 3 568. 1 72. 2 12 3169. 1 3 73. 5 3 13 5370. 5 74. 7 2 31 72 197

MATEMÁTICA BÁSICA I 198

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO IV ALGEBRA DE MATRICESSe denomina “MATRIZ”, a un conjunto de números ordenados ydispuestas en filas (horizontal), y, columnas (vertical), entre barras; queverifican ciertas reglas del ALGEBRA. Los números o funciones ai,j se lesconoce como elementos. El primero sub – índice indica: La fila y lasegunda: La columna, esquemáticamente la matriz se puede representar“matriz ai,j m x n” donde m representa a la fila, y n a la columna. Si noexisten dudas del orden de una matriz, se representa por una letramayúscula. Ejemplo: “matriz A”1) Matrices cuadradas. Si se tiene la matriz a1,1 a1,2 a1,3 ....... a1,n A a2,1 a2,2 a2,3 ....... a2,n . . . ....... . am,1 am,2 am,3 .......am,n Además n = m se dice que es una matriz cuadrada. Se denomina diagonal principal a los elementos a1,1; a2,2; a3,3……… an,n y la suma de estos se conoce como TRAZA. 199

MATEMÁTICA BÁSICA I2) Igualdad de matrices. La condición necesaria y suficiente para que dos matrices A = ai,j y B = bi,j sean iguales: deben tener el mismo orden y cada uno de su elementos sean iguales.3) Matriz Nula. Cuando todos sus elementos son nulos, o sea A = 04) Suma Algebraica de Matrices. Sean las matrices: A = ai,j y B = bi,j de orden m x n; la suma o diferencia de ambas A B es otra matriz C = i , j de orden m x n (el producto el número de filas por columnas se denomina: orden) Ejemplo: 235 753A 428 yB 842 653 642AB 27 35 53 753 48 24 82 842 66 54 32 642AB 27 35 53 582 48 24 82 12 2 10 66 54 32 12 9 1 200