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MATEMÁTICA BÁSICA ISea L la proyección de la curva T sobre el plano .Designaremos por d el dominio del plano , limitado por L.Dividamos arbitrariamente el dominio D en dominiosparcialmente o elementales . Tomemos en cadadominio parcial un punto arbitrario . Al puntocorresponderá un punto en la superficie .Por el punto tracemos un plano tangente a la superficie. Su (1)ecuación será:En este plano elijamos un dominio parcial tal que se proyectasobre el plano en forma del dominio elemental .Consideremos la suma de todos los dominios elementales :El limite de esta suma, cuando el máximo de los diámetros de tiende a cero, llamaremos área de la superficie, es decir,según la definición, pongamos: 451

MATEMÁTICA BÁSICA I (2)Calculemos ahora el área de la superficie. Designemos por elángulo formado por el plano tangente y el plano . Basándonosen la fórmula conocida de la geometría analítica, podemosescribir:ó (3)El ángulo también está formado por el eje y la normal alplano (1). Por eso, en virtud de la ecuación (1) y de la fórmulacorrespondiente de la geometría analítica tenemos:Por consiguiente,Poniendo esta expresión en la fórmula (2), obtenemos:Como el límite de la suma integral del segundo miembro de estaúltima igualdad es, según la definición, la integral dobleEn definitiva, tenemos: (4)Esta es la fórmula que permite calcular el área de la superficie 452

MATEMÁTICA BÁSICA ISi la ecuación de la superficie es dada en la forma o enla forma Entonces las formulas correspondientes, para calculas las superficies, tienen la forma: (3’ ) (3’’) Donde D‟ y D‟‟ son los dominios de los planos y en los cuales se proyecta la superficie dada.8. DENSIDAD DE DISTRIBUCION DE LA MATERIA Y LA INTEGRAL DOBLE Supongamos que cierta materia está distribuida en el dominio D de modo que cada unidad del área D contiene determinada de ésta. Se trata aquí de la distribución de la masa, aunque nuestros razonamientos siguen en vigor cuando hablemos de la distribución de carga eléctrica, cantidad de calor, etc. 453

MATEMÁTICA BÁSICA IExaminemos un dominio parcial arbitrario de D. Sea lamasa de la materia distribuida en este dominio parcial. Entonces,la razón se llama densidad superficial media de la materia en.Suponemos ahora que el dominio parcial disminuye,reduciéndose, finalmente, al punto . Examinemos el límite Si este límite existe, él dependerá, en caso general, dela posición del punto P, es decir de sus coordenadas e y,representando en sí cierta función del punto P. Este límite(l3o’llamaremos densidad superficial de la materia en el punto P: )Así, la densidad superficial es una función de lascoordenadas del punto examinado en el dominio.Supongamos, ahora, inversamente que en el dominio D está dadala densidad superficial de cierta materia como una funcióncontinua ; es preciso determinar la cantidad total dela materia M que se contienen en D. Dividamos el dominio en losdominios parciales (i = 1,2, … , n), y en cada de ellos tomemosun punto . Entonces, es la densidad superficial en el punto.El producto nos da la cantidad de la materia contenida en (con la precisión de hasta las infinitesimales de ordensuperior), mientras que la sumaExpresa aproximadamente la cantidad total de la substanciadistribuida en el dominio D. Pero ésta es la suma integral para la 454

MATEMÁTICA BÁSICA Ifunción en D. El valor preciso lo obtenemos pasando allímite, cuando .Por consiguienteEs decir, la cantidad total de materia en el dominio D es igual a laintegral doble por D de la densidad de estasubstancia.9. MOMENTO DE INERCIA DEL AREA DE UNA FIGURA PLANA Se llama momento de inercia I de un punto material M de masa respecto a un cierto punto al producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los puntos M y :El momento de inercia de un sistema de puntos materiales , , …, respecto al punto es la suma de los momentos deinercia de los diversos puntos del sistema:Determinemos, ahora, el momento de inercia de una figuramaterial plano D. 455

MATEMÁTICA BÁSICA ISupongamos que la figura D está situada en el plano decoordenadas . Determinemos el momento de inercia de estafigura respecto al origen de coordenadas, suponiendo que ladensidad superficial es por dondequiera igual a la unidad.Dividamos D en los dominios parciales . En cadadominio parcial tomemos un punto de coordenadas . Elproducto de la masa del dominio parcial por el cuadrado de ladistancia , se llama momento elemental de inerciade :Formemos la suma de estos momentos:la que es, al mismo tiempo, una suma integral para la función por el dominio D.Determinemos el momento de inercia de la figura D como el límitede esta suma integral, cuando el diámetro de cada tiende acero:Pero, el límite de esta suma es la integral doble . Por consiguiente, el momento de inercia de lafigura D respecto al origen de coordenadas es igual a: (1)donde D es el dominio coincidente con la figura plana dada.Las integrales (2) 456

MATEMÁTICA BÁSICA I (3)se llaman, respectivamente, los momentos de inercia de la figuraD respecto a los ejes y .Ejemplo 1. Calcular el momento de inercia del área de círculo Dde radio R, respecto al centro .SoluciónSegún la fórmula (1), tenemos:Para calcular esta integral, pasaremos a las coordenadas polares .La ecuación de la circunferencia en coordenadas polares es =R.Observación. Si la densidad superficial no es igual a 1 y es unacierta función de e , es decir, entonces la masa deldominio parcial será igual a (con precisión de hastalas infinitesimales de orden superior) y por esto, el momento(1d’ einercia de una figura plana respecto al origen de coordenad) as,será: 457

MATEMÁTICA BÁSICA IElipse de inercia. Determinemos el momento de inercia de unafigura plana D respecto a cierto eje que pasa por el puntotomado por el origen de coordenadas.Sea el ángulo formado por la recta con la dirección positivadel eje .La ecuación normal de la recta esLa distancia r de un punto cualquiera a esta recta es iguala . El momento de inercia I del área D enrelación a la recta , según la definición, se expresa mediante laintegralPor tanto, , (4) 458

MATEMÁTICA BÁSICA Iponde es el momento de inercia de la mismarespecto al eje x, y, además:Dividiendo todos los términos de la última ecuación (4) por Iobtenemos: (5)Tomemos en la recta un punto tal, que seaDistintos valores de I y diferentes puntos A corresponden a variasdirecciones del eje es decir, a diferentes valores del ángulo .Hallemos el lugar geométrico de los puntos A. Es evidente, queEn virtud de la igualdad (5), las magnitudes X e Y estánentrelazadas por la correlación (6)De este modo, el lugar geométrico de los puntos es lacurva de segundo grado (6). Demostremos que esta curva es unaelipse. Tenemos la siguiente desigualdad, llamada de Buniakovski(matemático ruso):ó 459

MATEMÁTICA BÁSICA I Así, el discriminante de la curva (6) es positivo y, por consiguiente, ésta es una elipse. Esta elipse se llama elipse de inercia. La noción de elipse de inercia tiene gran importancia en mecánica.Notemos que las longitudes de los ejes de la elipse de inercia y suposición en el plano dependen de la forma de la figura plana dada.Como la distancia entre el origen de coordenadas y un puntoarbitrario A de la elipse es igual a donde I es el momento deinercia de la figura respecto al eje , por tanto, al construir laelipse, es fácil calcular el momento de inercia de la figura Drespecto a una recta cualquiera, que pasa por el origen decoordenadas. En particular, es fácil ver que el momento de inerciade la figura es máximo al eje pequeño de esta elipse, y mínimo,respecto a su eje grande.10.COORDENAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DEL AREA DE UNA FIGURA PLANAHemos indicado que las coordenadas del centro de gravedad deunos sistemas de puntos materiales (de masasrespectivamente) se determinan por las fórmulas: (1)460

MATEMÁTICA BÁSICA IDeterminemos, ahora, las coordenadas del centro de gravedad deuna figura plana D. Dividámosla en los dominios parciales muypequeños. Si suponemos que la densidad superficial es igual a 1,la masa del dominio parcial será igual a su área. Siconvencionalmente suponemos que toda la masa de estáconcentrada en algunos de sus puntos podemosconsiderar la figura D como un sistema de puntos materiales. Eneste caso, en virtud de las fórmulas (1), las coordenadas delcentro de gravedad de esta figura serán determinadas,aproximadamente, por las igualdades:Pasando al límite, cuando , las sumas integrales en losnumeradores y los denominadores de las fracciones setransforman en las integrales dobles, con lo que obtenemos lasfórmulas exactas para calcular las coordenadas del centro de (2)gravedad de una figura plana:Estas fórmulas deducidas para una figura plana de densidadsuperficial igual a 1 son válidas, también, para cada figura, quetiene otra densidad cualquiera, constante en todos los puntos.Si la densidad superficial es variable:Las fórmulas correspondientes toman, entonces, la forma: 461

MATEMÁTICA BÁSICA ILas expresiones ySe llaman momentos estáticos de la figura plana D respecto a losejes y .La integral expresa la magnitud de la masa de lafigura examinada.Ejemplo. Determinar las coordenadas del centro de gravedad dela cuarta parte del elipse. Suponiendo, que la densidad superficial en todos los puntos esigual a 1.Solución. Según las fórmulas (2), obtenemos: 462

MATEMÁTICA BÁSICA I11.INTEGRAL TRIPLESea todo en el espacio cierto dominio V, limitado por unasuperficie cerrada . Supongamos que en el dominio y en sufrontera está definida una función continua , dondeson las coordenadas rectangulares de un punto del dominio. Paraprecisar las ideas en el caso en que , podemossuponer que ésta representa la densidad de distribución de ciertamateria en el dominio V.Dividamos el dominio V arbitrariamente en dominios parciales ,designando con el símbolo no sólo el dominio elemental, sinotambién su volumen. En cada tomemos un punto arbitrario y (1)designemos por el valor de la función en este punto.Formemos la suma integralY aumentemos indefinidamente el número de los dominiosparciales de modo que el diámetro máximo de tienda a cero.Si la función es continua, existe el límite de las sumasintegrales de la forma (1), donde al límite se le da el mismosignificado, que hemos dado durante la determinación de laintegral doble. Este límite, que no depende del modo de dividir eldominio V, ni de la manera de elegir los puntos , se designa por 463

MATEMÁTICA BÁSICA Iel símbolo y se llama integral triple. Así, según ladefinición, tenemos:ó (2)Si consideramos como la densidad volumétrica de ladistribución de una materia en un dominio V, la integral (2) nosdará la masa de toda la substancia contenida en el volumen V.12.CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE Supóngase que un dominio espacial (tridimensional) V, limitado por una superficie cerrada , tiene las siguientes propiedades:1) Toda recta paralela al eje , trazada por punto interior deldominio V (es decir, por un punto que no pertenece a la fronteraS) corta la superficie S en dos puntos;2) Todo dominio V se proyecta sobre el plano en forma de undominio regular (de dos dimensiones) D;3) Toda parte del dominio V, separada por un plano paralelo a unplano de coordenadas cualquiera ( ), también posee las propiedades 1) y 2)4) Un dominio V que tiene las propiedades indicadas se llama dominio regular tridimensional.Estos dominios tridimensionales regulares son, por ejemplo, unelipsoide, un elipsoide, un paralelepípedo rectangular, un 464

MATEMÁTICA BÁSICA Itetraedro, etc. Se da un ejemplo del dominio tridimensionalesirregular. En este párrafo examinemos sólo los dominiosregulares.Sean la ecuación de la superficie que limita el dominioV por de debajo, y , la de una superficie que limita Vpor arriba.Introduzcamos la noción de una integral iterada de tercer orden ,extendida por el dominio V, de una función de tres variables por el dominio V se determina así: (1)Notemos que, como el resultado de la integración respecto a , yla sustitución de los límites en las llaves, obtenemos una funciónde e . Luego, se puede calcular una integral doble de estafunción extendida por el dominio D, como lo hemos hechoanteriormente.Demos un ejemplo del cálculo de una integral iterada de tercerorden. 465

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Calcular la integral iterada de tercer orden de lafunción , extendida por el dominio V limitado por losplanos.Solución. Este dominio es regular: puesto que está limitado porencima y por debajo por los planos ,respectivamente y, además, su proyección sobre el planorepresenta un dominio regular plano D que es un triángulo limitadopor las rectas . Por eso, la integral iteradade tercer orden se calcula de la siguiente manera:Poniendo los límites en la integral iterada de segundo ordenextendida por el dominio D, tenemos:Analicemos, ahora, algunas propiedades de la integral iterada detercer orden.Propiedad 1. Si el dominio V está dividido en dos dominios y mediante un plano paralelo o cualquiera de los planos decoordenadas, la integral iterada de tercer orden extendida por eldominio V es igual a la suma de integrales iteradas de tercerorden extendidas por los dominios y . 466

MATEMÁTICA BÁSICA INo hace falta repetir aquí la demostración de esta propiedad,pues, es idéntica en todos los puntos a la aplicada en el caso de laintegral iterada de segundo orden.Corolario. Cualquiera que sea el modo de dividir el dominio V enun número finito de dominios , …, mediante planos paralelosa los planos de coordenadas, se verifica la igualdad:Propiedad 2 (Teorema sobre la evaluación de una integraliterada de tercer orden). Si y son valores mínimo y máximo,respectivamente de la función en el dominio V, se verificala desigualdad:Donde V es el volumen del dominio dado y , la integral iteradade tercer orden de la función , extendida por V.Demostración. Evaluemos al principio la integral interior queforma parte de la integral iterada de tercer orden 467

MATEMÁTICA BÁSICA IAsí, la integral interior no supera a la expresión . Por consiguiente, e virtud del teorema del (1)sobre las integrales dobles, designando por D la proyección deldominio V sobre el plano , obtenemos:Pero, la última integral iterada de segundo orden es igual a laintegral doble de la función y, por tanto, alvolumen del dominio comprendido entre las superficiesy , es decir, al volumen del dominio V. Porconsiguiente,De modo análogo demostremos que . La propiedad 2queda así demostrada.Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral iterada de tercerorden de una función continua extendida por eldominio V es igual al producto de su volumen V por el valor de la (2)función en un cierto punto P del dominio V, es decir, 468

MATEMÁTICA BÁSICA ILa demostración de esta propiedad es análoga a la que hemosdado durante la demostración de semejante propiedad para laintegral doble. Ahora podremos demostrar el teorema sobre elcálculo de la integral triple.Teorema. La integral triple de una función , extendida porun dominio regular V es igual a la integral iterada de tercer ordenextendida por el mismo dominio, es decir, orden extendida por elmismo dominio, es decir,Demostración. Dividamos el dominio V mediante planos paralelosa los planos de coordenadas en dominios regulares:Designemos con , como hemos hecho anteriormente, la integraliterada de tercer orden de la función extendida por eldominio V y con , la integral iterada de tercer orden extendida(3)por . En virtud del corolario de la propiedad 1 se puede escribirla igualdad.Transformemos cada sumando del segundo miembro de estaecuación según la fórmula (2): (4)Donde es cierto punto de 469

MATEMÁTICA BÁSICA IEn el segundo miembro de la igualdad (4) tenemos una sumaintegral. Según la Hipótesis, la función es continúa en eldominio V, por lo cual el diámetro máximo de tiende a cero; ellímite de esta suma existe y es igual a la integral triple de lafunción extendida por el dominio V. Así, pasando al límitede la igualdad (4), 470

MATEMÁTICA BÁSICA I BIBLIOGRAFÍAPINZON, Alvaro (2001) Conjuntos y Estructura. Editorial HARLA S.A. B. Aires.SEYMOUR, Lipschutz (1999) Teoría de los Conjuntos y Temas Afines. Editorial MC Graw Hill BogotáMATAIX, Carlos (2002) Algebra Práctica. Editorial Dossat Madrid.LEHMANN, Charles (2001) Geometría Analítica. Editorial Hispanoamericana México.HAENSSLES, Ernest Matemáticas para Administradores y Economía. Editorial Iberoamericana. México.PAPY (200) Matemática Moderna: I-II-III. Editorial Universitaria. Buenos Aires.DOLCIANI, Mary (2002) Introducción al Análisis Moderno. Editorial Universitaria. Buenos Aires.HERNANDEZ ROJO (2002) Conceptos Básicos de Matemática Moderna. Editorial Codex. Buenos Aires.REES SPARKS (2002) Algebra. Editorial Reverté Buenos Aires.KINDLE, Joseph (2002) Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Bogotá 471

MATEMÁTICA BÁSICA I “El presente material contiene una compilación de contenidos de obras de Matemática Básica para Derecho, Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”. 472