libromatematicabas

MATEMÁTICA BÁSICA I10. En las ecuaciones ax + (2 – b) y –23 = 0 y (a – 1 ) x + by + 15 = 0hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasanpor el punto (2, -3).11. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4, -1) y (7, 2)bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8, -3) y (-4, - 3).12. Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0, x – 8y + 37 = 0, 2x – y – 16 = 0 y x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales.13. Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0, x + 5y – 22 = 0, 5x – y – 32= 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.14. Demostrar que los ángulos suplementarios formados por las dos rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟ = 0 están dados por lasfórmulas: tg = A'B AB' AA' BB'15. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x + 2y – 7 = 0.16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y que forman cada una un ángulo de 45° con la recta 2x – 3y + 7 = 0.17. A partir del resultado del ejercicio 14, deducir las condicionesnecesarias y suficientes para el paralelismo y perpendicularidad dedos rectas, dadas en los apartados (a) y (b) del teorema 6, artículo30.18. Si k es una constante cualquiera diferente de cero, demuéstreseque todo punto que esté sobre la recta Ax + By + C = 0 tambiénestará sobre la recta k Ax + kBy + kC = 0. Por tanto, dedúzcase la 351

MATEMÁTICA BÁSICA I condición necesaria y suficiente para la coincidencia de dos rectas, dada en el apartado (c) del teorema 6, artículo 30.19. Por medio de determinantes obténgase la condición necesaria y suficiente para que las dos rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟ = 0 se corten en uno y solamente un punto, dada en el apartado (d) del teorema 6, Artículo 30.20. Si tres rectas se cortan en un punto común, se dice que son concurrentes. Si las tres rectas A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 y A3x + B3y + C3 = 0 son concurrentes, demuéstrese que sus coeficientes satisfacen la condición. A1 B1 C1 A2 B2 C2 = 0 A3 B3 C321. Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y - 8 = 0 y 6x – 7y + 8 = 0 son concurrentes.22. Demostrar analíticamente que las medianas de cualquier triángulo son concurrentes.23. Demostrar analíticamente que las mediatrices perpendiculares a los lados en su punto medio en cualquier triángulo son concurrentes.24. Demostrar analíticamente que las alturas de cualquier triángulo son concurrentes.25. Los vértices de un triángulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar que el baricentro (punto de intersección de las medianas), el circuncentro (punto en donde los signos del radical se escogen de acuerdo con el teorema 8, Artículo 32. Por tanto, (18) es la ecuación de la bisectriz l1. 352

MATEMÁTICA BÁSICA IAnálogamente, de (17) tenemos como ecuación de la bisectriz l2,Ax By C A' x B' y C' A2 B2 A2 B2Este resultado conduce al siguiente.Teorema 11. Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulossuplementarios formados por dos rectas que se cortan, Ax + By + C = 0 yA‟x + B‟y + C‟ = 0 son:Ax By C A' x B' y C' A2 B2 A2 B2Ax By C A' x B' y C' A2 B2 A '2 B´'2en donde los signos de los radicales se escogen de acuerdo con elteorema 8, Artículo 32.Ejemplo 2. Los vértices de un triángulo son A (-2, 3), B (5, 5) y C (4, -1).Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo interior ACB.Solución. Sea 1 la bisectriz buscada. Por el teorema 3. Artículo 27, lasecuaciones de los lados BC y AC son: 6x – y – 25 = 0 y 2x + 3y – 5 = 0respectivamente.Sea P (x,y) un punto cualquiera sobre l, y representemos por d1 y d2 lasdistancias dirigidas de los lados BC y AC, respectivamente, al punto P.Entonces, como P y el origen están al mismo lado de BC y de lados 353

MATEMÁTICA BÁSICA Iopuestos de AC, el teorema 10 se deduce que d1 = -d2. Por tanto, por elteorema 11, la ecuación de la bisectriz l es6x y 25 2x 3y 5 62 1 22 32la cual, simplificada, toma la forma6 13 2 37 x 13 3 37 y 25 3 5 37 0 EJERCICIOS PROPUESTOSDibújese una figura para cada ejercicio:1. Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P (2, -3).2. Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto P (1, 4).3. Los vértices de un triángulo. 354

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO VIII LA CIRCUNFERENCIAINTRODUCCIÓNDespués de la recta, la línea más familiar al estudiante es lacircunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios deGeometría elemental. La circunferencia es como un ejemplo específicode lugar geométrico.8.1 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA; FORMA ORDINARIA La ecuación de la circunferencia se obtendrá a partir de la siguiente: DEFINICIÓN Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio. TEOREMA 1 La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la constante, tiene por ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Demostración.- Sea P (x, y) (fig.1) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por definición 355

MATEMÁTICA BÁSICA Ide circunferencia, el punto P debe satisfacer la condicióngeométrica/ CP / = r, (1)la cual, por distancia 1, esta expresada, analíticamente por laecuación (x - h)2 (y - k) r 2de donde, (x - h)2 + (y - k)2 = r2 .Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyascoordenadas satisfacen la ecuación (2) de manera que se verificala igualdad (x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 .De aquí se deduce, extrayendo la raíz cuadrada, (x - h)2 (y - k)2 r 11que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)aplicada al punto P1. Por tanto, demostrados los teoremas directoy reciproco, resulta que (2) es la ecuación buscada. Y P(x,y) XO X r C(h,k)Para el caso particular en el centro C esta en el origen, h= K = O, y tenemos: Y 356

MATEMÁTICA BÁSICA ICOROLARIO.- La circunferencia de centro en el origen y radio rtiene por ecuación X2 + y2 = r2Por el teorema 1 observamos que, si se conocen las coordenadasdel centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirseinmediatamente. Esto sugiere un método para obtener la ecuaciónde una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que senecesita es obtener las coordenadas del centro y la longitud delradio a partir de las condiciones dadas. La construcción de unacircunferencia, en geometría elemental implica la determinacióndel centro y el radio; el método allí empleado, aunque no siemprees el mas corto, puede usarse para obtener una geometríaanalítica, la ecuación de una circunferencia.EjemploHallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulocuyos vértices son P1 (-1, 1), P2 (3, 5) y P3 (5, -3).SoluciónLa construcción de la circunferencia que pasa por los tres puntosdados es un problema conocido de la Geometría elemental. Elmétodo consiste en construir las mediatrices l1 y l2,respectivamente, de dos cualesquiera de los lados, digamos P1 P2y P2 P3- La intersección C de l1 y l2 es el centro y la distancia de Ca uno cualquiera de los puntos P1, P2, P3 es el radio. Ahoradeterminaremos la ecuación de la circunferencia siguiendo estemismo método analíticamente. 357

MATEMÁTICA BÁSICA IPor los métodos del Capítulo III, se puede demostrar rápidamenteque las ecuaciones de las mediatrices l1 y l2 son x + y = 4 y x – 4y= 0, respectivamente. La solución común de estas dos ecuacioneses x = 16 , y = 4 , de manera que las coordenadas del centro C 55son 16 , 4 55Por el teorema 2 del Artículo 6, el radio está dado porr = CP1 16 2 4 2 1 442 5 5 1 5 1Por tanto, el teorema l anterior, la ecuación buscada es: x 16 2 y 4 2 442 5 5 25Se recomienda al estudiante que verifique el hecho de que lascoordenadas de los puntos P1, P2 y P3 satisfacen la ecuaciónhallada de la circunferencia.Dibujar una figura para cada ejercicio.EJERCICIOS RESUELTOS1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3, -5) y radio 7. Solución Por el teorema 1, la ecuación pedida es: x 3 2 y 5 2 492. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2, 3) y B (-4, 5). Hallar la ecuación de la curva. 358

MATEMÁTICA BÁSICA ISoluciónEl centro C biseca al diámetro AB. yEntonces: C 2 4 , 3 5 C 1,4 B 22 Cr AC 2 1 2 3 4 2 10 A BLuego, la ecuación buscada es: 0 x x 1 2 y 4 2 103. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7, -6) y que pasa por el punto A (2, 2).Solución 7 22 6 2 2 89Por definición: r CALuego, por el Teorema 1, la ecuación de la circunferencia es: x 7 2 y 6 2 894. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2, -4) y que es tangente al eje Y. Solución Como h=distancia de C al eje Y r h 2 Luego, la ecuación de la circunferencia es: x 22 y 42 45. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0, -2) y es tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación. 359

MATEMÁTICA BÁSICA ISoluciónPor una propiedad de las tangentes: y L 0 xr d C, L 5(0) 12( 2) 2 26 2 r 25 144 13 CLuego, la ecuación de la circunferencia es: x 02 y 22 46. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, - 1) y que es tangente la recta 3x + 2y – 12 = 0. Rp. x 4 2 y 1 2 527. La ecuación de una circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36. Demostrar que el punto A (2, -5) es interior a la circunferencia y que el punto B (-4, 1) es exterior.Solución 3 22 4 52 2 6En efecto: ACComo AC r , entonces B es un punto exterior a lacircunferencia.8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0. Solución Si C(h, k) L1 3h 2k 24 0 y si C(h, k) L2 2h 7k 9 0 Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: h=6 y k=-3 Luego, la ecuación buscada es: x 6 2 y 3 2 25 360

MATEMÁTICA BÁSICA I9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, - 5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = 0 y 2x – 5y + 2 = 0.Solución 57Si C(h, k) (L1 L2 ) C(4,2)r AC 4 7 2 2 5 2Luego, la ecuación de la circunferencia es: x 4 2 y 2 2 5810. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda.Solución x2 y2 25 (1)Tenemos: x 7y 25 (2)Sustituyendo (2) en (1) se tiene: 7y 25 2 y2 25 y2 7y 12 0 y1 3 ó y2 4 x1 4 ó x2 3Luego, los extremos de la cuerda son: A(-4,3) y B(3,4) y sulongitud: AB 3 4 2 4 3 2 5 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 361

MATEMÁTICA BÁSICA I11. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10, y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.Los ejercicios 12-16 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-1, 0),B (2, 9/4) y C (5, 0).12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el vértice A y que es tangente al lado BC.13. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.14. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo.15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por los pies de las alturas del triángulo.17. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los dos puntos A (1, 3) y B (4, 6).18. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos A (2, 2) y B (6, -4).19. Una circunferencia pasa por los puntos A (-3, 3) y B (1, 4) y su centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0. Hállese su ecuación.20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0, 3x + 8y – 47 = 0 y x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.21. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto (- 2, 4). Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita. 362

MATEMÁTICA BÁSICA I22. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a este círculo en el punto (6, 7).23. La ecuación de una circunferencia es (x + 4)2 + (y – 3)2 = 5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3, 3). (Dos soluciones).24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, - 5) y es tangente a la recta x – y – 4 = 0 en el punto B (3, -1).25. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 6x + 7y – 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0. (Dos soluciones).8.2 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Si desarrollamos la ecuación ordinaria(x – h)2 + (y – k)2 = r2, (1)obtenemos x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0,lo cual puede escribirse en la forma (2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0en donde D = -2h , E = -2k y F = h2 + k2 – r2Se deduce, por lo tanto, que la ecuación de una circunferenciacualquiera puede escribirse en la forma (2), llamada forma generalde la ecuación de la circunferencia. El problema que se presentaahora es averiguar si, recíprocamente, toda ecuación de la forma 363

MATEMÁTICA BÁSICA Igeneral (2) representa una circunferencia. Para contestar estapregunta, pasaremos de la forma (2) a la forma (1) empleando elmétodo de completar cuadrados. Ordenando los términos de (2),resulta (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F;y sumando D2 4 E2 a ambos miembros, obtenemos: 4x 2 Dx D2 y 2 Ey E2 D2 E2 4F 4 4 4de donde: y E2 D2 E2 4F x D2 2 4 2Comparando las ecuaciones (1) y (3), vemos que depende del valor delsegundo miembro es (3) el que (3) represente o no una circunferencia.Hay tres casos posibles por considerar:a) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) representa una circunferenciade centro en el punto D, E y radio igual a 22 1/ 2 D2 E2 4F .b) Si D2 + E2 – 4F = 0, la ecuación (3) se dice, con frecuencia, que representa una circunferencia de radio cero; se dice también que es un círculo punto o círculo nulo. Desde nuestro punto de vista, 364

MATEMÁTICA BÁSICA I sin embargo, la ecuación (3) representa un solo punto de coordenadas D , E . 22c) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) se dice que representa un círculo imaginario. En nuestra Geometría real, sin embargo, la ecuación (3) no representa, en este caso, un lugar geométrico. Aunque el caso (b) puede considerarse como un caso límite del caso (a), en adelante consideraremos que una ecuación representa una circunferencia solamente en el caso (a). Por tanto, tenemos el siguiente: TEOREMA 2 La ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 representa una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si D2 + E2 – 4F 0.Las coordenadas del centro son, entonces, D , E y el radioes 1/ 2 D2 E2 4F . 22Nota. Si se da la ecuación de una circunferencia en la formageneral, se aconseja al estudiante que no procedamecánicamente, usando las fórmulas dadas en el teorema 2, paraobtener el centro y el radio. En vez de esto, es conveniente quereduzca la ecuación a la forma ordinaria por el método de 365

MATEMÁTICA BÁSICA I completar cuadrados, tal como se hizo en la deducción del teorema mismo. Ejemplo. Reducir las tres ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la ecuación representa una circunferencia hállense su centro y su radio.a) 2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0.b) 36x2 + 36y2 + 48x - 108y + 97 = 0.c) x2 + y2 – 8x + 6y – 29 = 0.Solución.a) Primero dividimos la ecuación por 2, coeficiente de x2, y pasamos al término independiente al segundo miembro. Esto nos da, después de volver a ordenar los términos. (x2 – 5x) + (y2 + 3y) = 15 2 Para completar los cuadrados, sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y a ambos miembros. Esto nos dax 2 5x 25 y 2 3yx 9 15 25 9 4 4 244que puede escribirse en la forma 366

MATEMÁTICA BÁSICA I x 52 y 3 2 16 2 2Por tanto, la ecuación dada representa una circunferencia cuyocentro es 5 , 3 y cuyo radio es 4. 22b) Dividiendo la ecuación por 36, trasponiendo el término independiente, y volviendo a ordenar los términos, obtenemos: x2 4 x y2 3y 97 3 36Completando los cuadrados, resultax2 4 x 4 y2 3y 9 97 4 9 39 4 36 9 4de donde, x 22 y 32 0 3 2Por tanto, el lugar geométrico de la ecuación (b) es el punto único.2,3 .32c) Ordenando los términos y completando los cuadrados, obtenemos: (x2 – 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) = -29 + 16 + 9de donde, 367

MATEMÁTICA BÁSICA I (x – 4)2 + (y + 3)2 = - 4 Por tanto, la ecuación (c) no representa ningún lugar geométrico real.8.3 DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA SUJETA ATRES CONDICIONES DADASEn la ecuación ordinaria de la circunferencia. (Art. 39),(x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1)hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manerasemejante, en la ecuación general. (Art. 40) (2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,hay tres constantes arbitrarias independientes, D, E y F. Como laecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera delas dos formas (1) o (2), la ecuación de cualquier circunferenciaparticular puede obtenerse determinando los valores de tresconstantes. Esto requiere tres ecuaciones independientes, quepueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Portanto, analíticamente, la ecuación de una circunferencia sedetermina completamente por tres condiciones independientes.Geométricamente, una circunferencia queda, también,perfectamente determinada por tres condiciones independientes;así, por ejemplo, queda determinada por tres cualesquiera de suspuntos. El estudiante debe comparar estas observaciones con ladiscusión análoga sobre la recta. Vemos, por lo tanto, queademás de estudiada tenemos ahora otro método para determinarla ecuación de una circunferencia.368

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Determinar la ecuación, centro y radio de lacircunferencia que pasa por los tres puntos A (-1, 1), B (3, 5) y C(5, -3).Solución. Este problema es idéntico al ejemplo anterior.Supongamos que la ecuación buscada es, en la forma general.X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2)En donde las constantes D, E y F deben ser determinadas.Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, suscoordenadas debe satisfacer la ecuación (2). De acuerdo conesto, tenemos las tres ecuaciones siguientes correspondiente alos puntos dados:(-1, 1) 1+ 1– D+ E+F=0(3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0(5, -3) 25 + 9 + 5D – 3E + F = 0que pueden escribirse más abreviadamente así: D - E -F=23D + 5E + F = - 345D – 3E + F = - 34La solución de este sistema de tres ecuaciones nos daD = - 32 , E = - 8 , F = - 34 , 55 5 369

MATEMÁTICA BÁSICA Ide manera que sustituyendo estos valores en (2), obtenemos x2 + y2 - 32 x - 8 y - 34 = 0, 55 5o sea, 5x2 + 5y2 – 32x – 8y – 34 = 0como ecuación de la circunferencia buscada.El centro y el radio se obtienen reduciendo la última ecuación a laforma ordinaria x 16 2 y 4 2 442 5 5 25de donde el centro es 16 , 4 y el radio es 1 442 55 5Ejemplo 2. Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferenciaque pasa por los puntos (6, 2), (8, 0) y cuyo centro está sobre larecta 3x + 7y + 2 = 0.Solución. Supongamos que la ecuación buscada, en la formaordinaria, es (1) (x – h)2 + (y – k)2 = r2Como el centro (h, k) está sobre la recta 3x + 7y + 2 = 0, suscoordenadas satisfacen la ecuación de la recta, y tenemos 3h + 7k + 2 = 0 (3)También, como los puntos (6, 2) y (8, 0) están sobre lacircunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (1).Por tanto, tenemos las dos ecuaciones. (4) (6 – h)2 + (2 – k)2 = r2 (5) (8 – h)2 + k2 = r2 370

MATEMÁTICA BÁSICA Ila solución del sistema formado por las tres ecuaciones (3), (4) y(5) con las tres incógnitas h, k y r da. h = 4, k = -2, r = 2 5Por tanto, la ecuación buscada es (x – 4)2 + (y + 2)2 = 20El centro es el punto (4, -2) y el radio es 2 5 . La gráfica apareceen la figura 55. En el Artículo 35 obtuvimos la ecuación de larecta que pasa por dos puntos dados diferentes en forma dedeterminante. Por un argumento semejante, podemos obtener laecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados, nocolineales, P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3), en formadeterminante. El resultado está dado por el siguiente: TEOREMA 3La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dadosno colineales P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) viene dada por eldeterminante. x2 + y2 x y 1 x12 + y12 x1 y1 1 = 0 x22 + y22 x2 y2 1 x32 + y32 x3 y3 1 371

MATEMÁTICA BÁSICA I Nota.- Esta forma es útil para determinar si cuatro puntos dados están o no sobre una circunferencia. Se dice que tales puntos son concíclicos. EJERCICIOS RESUELTOSDibujar una figura para cada ejercicio.En cada uno de los ejercicios l-3, reduciendo la ecuación dada a laforma ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si larespuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio.1. 2x2 + 2y2 – 6x + 10y + 7 = 0.2. 4x2 + 4y2 – 28x - 8y + 53 = 0.3. 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0.4. Hallar el área del círculo cuya ecuación es: 9x2 + 9y + 72x - 12y + 103 = 05. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: 25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 = 06. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 – 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 17y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.7. Demostrar que las circunferencias x2 + y + 4x + 6y – 23 = 0 y x2 + y – 8x – 10y + 25 = 0 son tangentes.8. Demostrar, por dos métodos, que las circunferencias x2 + y + 2x – 8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y2 – 40x + 8y + 79 = 0 no se cortan. 372

MATEMÁTICA BÁSICA IEn cada uno de los ejercicios 9-11, determinar la ecuación, centro y radiode la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando elmétodo del ejemplo 1, artículo 41.9. (0, 0), (3, 6), (7, 0).10. (2, -2), (-1, 4), (4, 6).11. (4, -1), (0, -7), (-2, -3).12. Resolver el ejercicio 9 por el método del ejemplo del Artículo 39.13. Resolver el ejercicio 10 por el método del ejemplo 2, Artículo 41.14. Resolver el ejercicio 11 usando el determinante del teorema 3, Artículo 41.15. Por medio del teorema 3, Artículo 41, demostrar que los cuatro puntos (-1, -1), (2, 8), (5, 7), (7, 3) son concíclicos.16. Resolver el ejercicio 15 hallando la ecuación de la circunferencia que pasa por tres cualesquiera de los puntos y demostrando después que las coordenadas del cuarto punto satisfacen esta ecuación.17. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son: X2 + y2 + D1x + Ey + F1 = 0 y x2 + y + D2x + E2y + F2 = 0Hallar las condiciones que deben satisfacer los coeficientes para quesean concéntricas.18. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 25 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x – 12y = 1. 373

MATEMÁTICA BÁSICA I19. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia. x2 + y2 + x – 2y – 39 = 0 en el punto (4, 5).20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0. (Dos soluciones).21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (.- 1, -4), (2, -1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.22. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x – 4y – 1 = 0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuación (dos soluciones).23. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 en el punto (6, 5). Hallar su ecuación (dos soluciones).24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (-2, 1).25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y es tangente a la recta x + 2y – 3 = 0 en el punto (1, 1).26. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2), (7, 3). Hállese su ecuación. (Dos soluciones).27. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta que pasa por el punto (-1, 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x - 6y + 6 = 0. Interpretar el resultado geométricamente. 374

MATEMÁTICA BÁSICA I28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 7x – 2y – 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas 5x – 12y + 5 = 0 y 4x + 3y – 3 = 0. (Dos soluciones).29. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son 4x – 3y = 0, 4x + 3y – 8 = 0, y = 0.30. Una circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados se llama ex inscrita al triángulo., Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias ex inscritas al triángulo del ejercicio 29.8.4 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS Ahora consideramos familias o haces de circunferencias de la misma manera como consideramos familias rectas. En anterior oportunidad demostramos que una circunferencia y su ecuación se determinan cada una por tres condiciones independientes. Una circunferencia que satisface menos de tres condiciones independientes no es, por lo tanto, única. La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a dos condiciones, contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se dice entonces que tal ecuación representa una familia de circunferencias de un parámetro. Por ejemplo, la familia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (1, 2) tiene por ecuación (x – 1)2 + (y – 2)2 = k2 en donde el parámetro k es cualquier número positivo. 375

MATEMÁTICA BÁSICA IConsideremos ahora el caso importante de la familia de curvasque pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas.Sean, C1 y C2 dos circunferencias diferentes dadas cualesquiera,cuyas ecuaciones son: (1) C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 (1) C2 : x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0De (1) y (2) se deduce la ecuaciónx2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 (3)en donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales.Supongamos que los círculos C1 y C2 se cortan en dos puntosdistintos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2). Como las coordenadas (x1, y1) deP1 satisfacen ambas ecuaciones (1) y (2), también satisfacen a laecuación (3), y ésta se reduce entonces a la forma 0 + k = 0, quees verdadera para todos los valores de k. Análogamente, lascoordenadas (x2, y2) de P2 que satisfacen ambas ecuaciones (1) y(2) satisfacen también a la ecuación (3) para todos los valores dek. Por tanto, la ecuación (3) representa la familia de curvas quepasan por las dos intersecciones de las circunferencias C1 y C2.Para determinar la naturaleza de las curvas de esta familia,escribimos la ecuación (3) en la forma.k+1)x2 + (x+1)2 + (D1+kD2)x + (E1 + kE2)y + F1 + kF2 = 0 (4)Si k = -1, la ecuación (4) se reduce a una de primer grado y, porlo tanto, representa una línea recta. Pero, para cualquier otro valorde k, la ecuación (4) representa una circunferencia de acuerdo a 376

MATEMÁTICA BÁSICA Ilo estudiado. En particular, para k = 0, la ecuación (4) se reduce ala ecuación C1.La ecuación (3) se particularmente útil para obtener la ecuaciónde una curva que pasa por las intersecciones de lascircunferencias dadas, ya que entonces no es necesariodeterminar las coordenadas de los puntos de intersección.Ejemplo. Las ecuaciones de dos circunferencias son: C1 : x2 + y2 + 7x - 10y + 31 = 0 C2 : x2 + y2 - x - 6y + 3 = 0Hallar la ecuación de la circunferencia C3 que pasa por lasintersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta l: x – y –2 = 0.Solución. La circunferencia buscada C3 es un elemento de lafamilia. x2 + y2 + 7x – 10y + 31 + k (x2 + y2 - x – 6y + 3= 0 (5)en donde el parámetro k debe determinarse por la condición deque el centro de C3 está sobre la recta l. El centro de cualquiercircunferencia de la familia (5) se halla fácilmente y suscoordenadas son k 7 , 3x 5 . Como estas coordenadas 2(k 1) k 1deben satisfacer la ecuación de l, tenemosk7 3k 5 2 02 (k 1) k 1 377

MATEMÁTICA BÁSICA I de donde k = - 3 . Sustituyendo este valor de k en (5) y 7 simplificando, obtenemos para ecuación de C3: x2 + y2 – 7x – 3y – 18 = 0 TEOREMA 4 Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C1 y C2 son: C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0 C1 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2= 0 La ecuación x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0 representa una familia de circunferencias todas las cuales tienen sus centros en la recta de los centros de C1 y C2. Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de –1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2, con la única excepción de C2 misma. Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de –1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma. 378

MATEMÁTICA BÁSICA ISi C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representauna circunferencia para cada valor de k diferente de –1, siempreque la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan lascondiciones especificadas en el teorema 2 del Artículo 40. Ningúnpar de circunferencias de la familia tiene un punto común conninguna de las dos circunferencias C1 y C2.8.5 EJE RADICALEn el artículo precedente hemos considerado dos circunferenciasdiferentes, C1 y C2 de ecuaciones. (1) C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0 (2) C1 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2= 0A partir de estas ecuaciones formamos la ecuación.x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0 (3)y la discutimos como ecuación de una familia de circunferenciaspara todos los valores de k, excepto –1. Si k = - 1, la ecuación (3)toma la forma.(D1 – D2) x + (E1 – E2) y + F1 – F2= 0 (4)Si C1 y C2, no son concéntricas, se verificará D1 D2 o E1 E2, oambas, de manera que por lo menos uno de los coeficientes de xy y en (4) será diferente de cero, y la ecuación (4) representaentonces una línea recta llamada eje radical de C1 y C2. 379

MATEMÁTICA BÁSICA ISi C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, se sigue, con ladiscusión del eje radical que pasa por estos dos puntos y, portanto, coincide con su cuerda común. Si C1 y C2 son tangentesentre sí, su eje radical es la tangente común a ambascircunferencias. Si C1 y C2 no tienen ningún punto común y no sonconcéntricas, su eje radical no tiene ningún punto común conninguna de las dos circunferencias.Ahora demostraremos que el eje radical de dos circunferenciascualesquiera es perpendicular a su recta de los centros. En efecto,anteriormente vimos que la ecuación de la recta de los centros deC1 y C2 es:2 (E1 - E2) x – 2 (D1 y D2) y + D2 E1 - D1 E2 = 0y la pendiente de esta recta es E1 E2 , si D1 D2. La pendiente D1 D2del eje radical, deducida de la ecuación (4), es - D1 D2 , si E1 E2E1 E2. Como estas pendientes son negativamente reciprocadas,se sigue que el eje radical es perpendicular a la recta de loscentros. Si D1 = D2, entonces, por la ecuación (4), resulta que eleje radical es paralelo al eje X, y por la ecuación anterior, la rectade los centros es paralela al eje Y; por tanto, en este caso, el ejeradical y la línea de los centros también son perpendiculares entresí. Análogamente, si E1= E2, el eje radical es paralelo al eje Y y larecta de los centros es paralela al eje X; por lo tanto, sonperpendiculares entre sí. 380

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Hallar la ecuación del eje radical de lascircunferencias. C1 : 2x2 + 2y2 + 10x – 6y + 9 = 0 (5) C2 : x2 + y2 - 8x – 12y + 43 = 0 (6)Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.Solución. Si multiplicamos la ecuación (6) por 2 y la restamos dela ecuación (5), obtenemos: L : 26x + 18y – 77 = 0.Como ecuación del eje radical. Su pendiente es - 13 . 9Las coordenadas de los centros C1 y C2 se encuentran fácilmentey son 5 , 3 y (4, 6), respectivamente, de manera que la 52pendiente de la recta de los centros es 6 (3 / 2) 9 , que es 4 (5 / 2) 13negativamente recíproca de la pendiente del eje radical. Por tanto,el eje radical es perpendicular a la recta de los centros. Lascircunferencias C1 y C2, su recta de los centros y su eje radical setraza.Para reducir una propiedad importante del eje radical,estableceremos el siguiente teorema: 381

MATEMÁTICA BÁSICA I TEOREMA 5Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P1(x1,y1) a la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2, entonces t = (x1 h)2 (y1 k)2 r 2DEMOSTRACIÓNSea T el punto de tangencia, de manera que t = P1T. Como P1Tes tangente a la circunferencia, el radio CT es perpendicular aP1T. Por tanto, en el triángulo rectángulo P1Tc, tendremos: t2 = CP12 – r2 (7)Por el teorema 2, artículo 6, CP12 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2valor que, sustituido en la ecuación (7), da t2 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 - r2de donde, t = (x1 h)2 (y1 k)2 r 2Ejemplo 2. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto (-3,2) a la circunferencia 9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0. 382

MATEMÁTICA BÁSICA ISolución. Para aplicar el teorema 5, es necesario hacer que loscoeficientes de x2 y y2 sean iguales a la unidad. Para ellodividiendo por 9, resulta: X2 + y2 - 10 x – 2y - 2 = 0 39Sustituyendo x por –3 y y por 2 en el primer miembro de estaecuación, obtenemos t2 = 9 + 4 + 10 – 4 - 2 = 169 99de donde se deduce que la longitud de la tangente es t = 13 . 3Debe observarse que, si se utilizara la ecuación de lacircunferencia en la forma original, es decir, sin dividir por 9, elresultado sería el triple del valor correcto. Se recomienda alestudiante que dibuje la figura correspondiente a este ejercicio.Por medio del ejercicios anteriores, podemos demostrarfácilmente que el eje radical de dos circunferencias noconcéntricas es el lugar geométrico de un punto que se mueve detal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde éla las dos circunferencias son iguales. En efecto, sean C1 y C2 lasdos circunferencias no concéntricas dadas por las ecuaciones (1)y (2), respectivamente. Sea P (x, y) el punto móvil y sean t1 y t2,respectivamente, las longitudes de las tangentes trazadas de P aC1 y C2. Entonces, por el teorema 5, t12 = x2 + y2 + D1x + E1y + F1,y t22 = x2 + y2 + D2x + E2y + F2, 383

MATEMÁTICA BÁSICA I Como, por hipótesis, t1 = t2, de estas dos últimas ecuaciones se deduce que (D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0 que, según (4), es la ecuación del eje radical de C1 y C2. Podemos demostrar, recíprocamente, que, si P1 (x1 , y1) es un punto que está sobre el eje radical, las longitudes de las tangentes trazadas de P1 a C1 y C2 son iguales. Los resultados precedentes se resumen en el siguiente: TEOREMA 6 Si las ecuaciones de dos circunferencias no concéntricas C1 y C2 son: C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1 = 0, C2 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2 = 0, La eliminación de x2 y y2 entre estas dos ecuaciones da la ecuación lineal (D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0 que es la ecuación del eje radical de C1 y C2. Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, su eje radical coincide con su cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es su tangente común, y si C1 y C2 no tienen ningún punto común, su eje radical no tiene ningún punto común con ninguno de ellos. 384

MATEMÁTICA BÁSICA I El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta de los centros; es también el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas por él a C1 y C2 son iguales. Consideremos tres circunferencias, de las cuales no hay dos que sean concéntricas. Cada par tiene un eje radical, y las tres, tomadas a pares, tienen tres ejes radicales. Si las tres circunferencias no tienen una recta de los centros común, sus tres ejes radicales se cortan en un punto llamado centro radical. La demostración de la existencia del centro radical de tres circunferencias dadas se deja como ejercicio al estudiante. EJERCICIOS PROPUESTOSDibujar una figura para cada ejercicio.1. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (-3, 5). Dibujar tres elementos de la familia, especificando el valor del parámetro en cada caso.2. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias cuyos centros están sobre el eje Y. Desígnense los dos parámetros por k1 y k2. Dibújense tres elementos de la familia conservando a k1 constante y asignando a k2 tres valores diferentes. Dibújense otros tres miembros de la familia haciendo que k2 permanezca constante y asignando a k1 tres valores diferentes. 385

MATEMÁTICA BÁSICA I3. Escribir la ecuación de la familia de todas las circunferencias que pasan por el origen. Dibujar seis elementos de la familia asignando valores a los dos parámetros como en el ejercicio 2.4. Determinar la ecuación de la familia de circunferencias, cada una de las cuales pasa por el origen y el punto (1, 3). Dibujar tres elementos de la familia, especificando el valor del parámetro en cada caso.5. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son: C1 x2 + y2 + 4x – 8y + 7 = 0 y C2 x2 + y – 16x – 4y + 3 = 0 También dibujar tres elementos de la familia C1 + kC2 = 0 para valores de k diferentes de 0 y –1, y demostrar que sus centros están sobre la recta de los centros de C1 y C2.6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (- 8, 5) y por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 – 8x – 6y + 17 = 0 y x2 + y – 18x – 4y + 67 = 0.}7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje X y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el ejercicio 6.8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el ejercicio 6.9. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y – 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias. X2 + y2 – 8x – 4y + 11 = 0 y x2 + y2 – 4x + 4y – 0 = 0 386

MATEMÁTICA BÁSICA I10. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 2 y que pasa 2 por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x – 6y – 16 = 0 y x2 + y2 – 6x + 2y = 0. (Dos soluciones).11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 13 en su punto común y cuyo centro está sobre la recta 3x + y + 5 = 0.12. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 13 en su punto común y que es tangente a la recta x – 2y – 1 = 0. (Dos soluciones).13. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (- 10, -2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y + 2x – 2y – 32 = 0 y la recta x – y + 4 = 0.14. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias. X2 + y2 – 2x – 10y + 10 = 0, 4x2 + 4y – 32x – 12y + 37 = 0. Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.15. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda común de las circunferencias x2 + y – 8y + 9 = 0 y x2 + y2 – 14x – 6y + 38 = 0.16. Demostrar analíticamente que si dos circunferencias diferentes son concéntricas, su eje radical no existe.17. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (-1, 3) a la circunferencia 3x2 + 3y2 – 14x – 15y + 23 = 0.18. Obtener las coordenadas de un punto que se encuentre sobre el eje radical del ejercicio 19, y demostrar que las longitudes de las 387

MATEMÁTICA BÁSICA I tangentes trazadas de ese punto a las dos circunferencias son iguales.19. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias x2 + y + 2x – 4y – 6 = 0, x2 + y – 4x – 2y = 0 y x2 + y + 2x + 12y + 36 = 0.20. Demostrar que las tres circunferencias x + y + 10x + 2y + 17 = 0, x + y + 4x – 4y = 0 y x2 + y2 – 8x – 16y + 71 = 0 no tienen centro radical. Explicar el resultado.8.6 TANGENTE DE UNA CURVA En Geometría elemental solamente se estudia, en general, la tangente a una curva: la circunferencia. La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia. Esta definición, suficiente para la circunferencia, es inadecuada para las curvas planas en general, pues hay curvas planas en las cuales una tangente en un punto corta a la curva en uno o más puntos diferentes. Por esto, vamos a dar ahora una definición de tangente que se aplique a todas las curvas planas en general.Sea la ecuación de una curva plana cualquiera Cf (x, y) = 0 (1)Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos diferentes cualesquiera deC tales que el arco de curva que los une sea continuo; es decir, P2puede moverse hacia P1 permaneciendo siempre sobre la curva.La recta que pasa por P1 y P2 se llama secante. Considerare2mosque P1 es un punto fijo mientras que P2 se mueve a lo largo de C 388

MATEMÁTICA BÁSICA Ihacia P1. Entonces, a medida que P2 se aproxima a P1, la secantegira en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj entorno a P1 y, en general, tiende a una posición límite representadapor la recta P1T que se define como la tangente a la curva C en elpunto P1. El punto P1 se llama punto de tangencia o punto decontacto de la tangente. La pendiente de la curva C en el punto P1se define como la pendiente de la tangente a C en P1.Para determinar la ecuación de la tangente a una curva dada enun punto particular de la curva, se conoce como un punto, el puntode contacto; por lo tanto, queda por hallar la pendiente de latangente. La pendiente de la secante P1 P2 esm8 = y1 y2 , x1 x2 x1 x2 389

MATEMÁTICA BÁSICA I 390

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO IX LA PARÁBOLAINTRODUCCIÓNEn su estudio previo de Geometría elemental, el estudiante conoció doslíneas: la línea recta y la circunferencia. Las dos líneas ya han sidoestudiadas desde el punto de vista analítico. Ahora comenzamos elestudio de ciertas curvas planas no incluidas, ordinariamente, en el cursode Geometría –elemental.9.1 DEFINICIONES La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada. Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de un recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto se fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. Designemos por F y l, el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como BB‟, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en 391

MATEMÁTICA BÁSICA I particular, una cuerda que pasa por el foco como CC‟, se llama cuerda focal. La cuerda focal LL‟ perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.9.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN YEJE UN EJE COORDENADOVeremos que la ecuación de una parábola toma su forma mássimple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide conuno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremosla parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide conel eje X. Entonces el foco F está sobre el eje X; sean (p, 0) suscoordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de ladirectriz l es x = -p. Sea P (x, y) un punto cualquiera de laparábola. Por P tracemos el segmento PA perpendicular a l.Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacerla condición geométrica. (1) /FP/ = /PA/Reemplazando, tenemos /FP/ = (x p)2 y 2luego: /PA/ = /x + p/Por tanto, la condición geométrica (1) está expresada,analíticamente, por la ecuación (x p)2 y 2 = /x + p/ 392

MATEMÁTICA BÁSICA ISi elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación ysimplificamos, obtenemos: (2) y2 = 4 px.Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyascoordenadas satisfagan (2). Tendremos: y12 = 4px1Si sumamos (x1 – p)2 a ambos miembros de esta ecuación, yextraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva,(x p)2 y2 = /x1 + p/ 1 1que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)aplicada al punto P1. Por tanto, P1 está sobre la parábola cuyaecuación está dada por (2).Ahora discutiremos la ecuación (2) siguiendo el método explicadoen el Artículo 19. Evidentemente, la curva pasa por el origen y notiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. La únicasimetría que posee el lugar geométrico de (2) es con respecto aleje X. Despejando y de la ecuación (2), tenemos:y = 2 px (3)Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y xdeben ser el mismo signo. Según esto, podemos considerar doscasos: p 0 y p 0.Si p 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y todoel lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y. Como no 393

MATEMÁTICA BÁSICA I se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores reales, el lugar geométrico de (2) es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. Esta posición, se dice que la parábola se abre hacia la derecha. Análogamente, si p 0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación (3) y todo el lugar geométrico aparece en la izquierda del eje Y. Esta posición está indicada, y , en este caso, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda. Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no tiene asíntotas verticales ni horizontales. Según la ecuación (3), hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 2p y el otro la ordenada –2p. Como la abscisa del foco es p, se sigue la longitud del lado recto que es igual al valor absoluto de la cantidad 4p.Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide conel eje Y, se demuestra, análogamente, que la ecuación de laparábola es x2 = 4 py (4)en donde el foco es el punto (0, p). Puede demostrarse fácilmenteque, si p 0, la parábola se abre hacia arriba; y, si p 0, laparábola se abre hacia abajo. La discusión completa de laecuación (4) se deja como ejercicio al estudiante. 394

MATEMÁTICA BÁSICA ILas ecuaciones (2) y (4) se llaman a veces la primera ecuaciónordinaria de la parábola. Como son las ecuaciones más simplesde la parábola, nos referimos a ellas como a las formas cónicas.Los resultados anteriores se resumen en el siguiente: TEOREMA 1La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X,es: x2 = 4 py,en donde el foco es el punto (p, 0) y al ecuación de la directriz esx = -p. Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, laparábola se abre hacia abajo.En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valorabsoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.Ejemplo. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo ejecoincide con el eje Y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuaciónde la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de sudirectriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráficacorrespondiente.Solución. Por el teorema 1, la ecuación de la parábola es de laforma x2 = 4 py (4) 395

MATEMÁTICA BÁSICA I Como la parábola pasa por el punto (4, -2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (4), y tenemos 16 = 4p (-2) de donde, p = -2, y la ecuación buscada es x2 = -8y. También, por el teorema l, el foco es el punto (0, p), o sea, (0, -2), la ecuación de la directriz es y = -p, o sea, y=2 y la longitud del lado recto es /4p/ = 8.Dibujar para cada ejercicio la gráfica correspondiente.En cada uno de los ejercicios 1-4, hallar las coordenadas del foco, laecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada,y discutir el lugar geométrico correspondiente.EJERCICIOS RESUELTOS1. y2 = 12x y LP Solución La ecuación es de la forma y2 4 px 4 p 12 , de donde: p=3 (p>0) 0F xa. Coordenadas del foco F(p,0)b. Ecuación de la directriz: x=-p F(3,0) x=-3c. Lado recto: LR 4 p LR 12d. Como p>0, la curva se abre hacia la derecha del eje Y, y su eje coincide con el eje X.396

MATEMÁTICA BÁSICA I2. x2 = 12y y Solución La ecuación es de l forma x2 4 py 4 p 12 , de donde: p 3 (p>0) F xa. Coordenadas del foco F(0,p) F(0,3) L 0b. Directriz: y=-p y=-3 Dc. Lado recto: LR 4 p LR 12d. Como p>0, la curva se abre hacia arriba y su eje coincide con el eje Y.3. y2 + 8x = 0 y Solución PDSi y2 8x , la curva de la forma y2 4 px F0 x 4 p 8 , de donde: p=-2 (p>0) La. Coordenadas del foco F(p,0) F(-2,0)b. Directriz: y=-p x=2c. Lado p<0, la curva se abre hacia la izquierda del eje Y, y su ejede simetría coincide con el eje X.4. x2 + 2y = 0 L yD Solución 0x FPSi x2 2 y , la curva es de la forma x2 4 pya. Como p<0, la curva se abre hacia abajo y su eje coincide con el eje Y. 397

MATEMÁTICA BÁSICA I5. Deducir y discutir la ecuación ordinaria x2 = 4pySoluciónSea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, F(0,p) el foco y Lsu directriz. Por definición de parábola el punto P debe satisfacerla condición:FP d(P, L) AP yp y x 02 y p2 PDe donde: x2 4 py F 0L: y p A x6. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (3, 0).SoluciónComo el foco F(3,0) está sobre el eje X, la forma de la ecuaciónde la parábola es: y 2 4 px (1)Además, si F(p,0) p=3, por lo tanto, en (1): y 2 12x7. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y – 5 = 0. Solución Siendo la directriz una recta horizontal, el eje de la parábola será vertical, por lo que, su ecuación será de la forma: x2 4 py (1) Como L : y p , entonces p=-5, por tanto, en (1): x2 20 y 398

MATEMÁTICA BÁSICA I8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (0, -3).SoluciónComo el foco F(0,-3) está sobre el eje Y, la forma de la ecuaciónde la parábola es: x2 4 py (1)Además, si F(p,0) p=-3, por lo tanto, en (1): x2 12y EJERCICIOS PROPUESTOS9. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por medio de escuadras y compás, cuando se conocen el foco y la directriz.10. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por medio de escuadras y compás, si se dan el foco y el vértice.11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.12. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.13. Una cuerda de la parábola x2 + 4x = 0 es un segmento de la recta x – 2y + 3 = 0. Hallar su longitud.14. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4y – 7 = 0.15. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P1 (x1, y1) de la parábola y2 = 4px es igual a /x1 + p/. 399

MATEMÁTICA BÁSICA I16. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2 – 9x = 0 cuya ordenada es igual a 6.17. De un punto cualquiera de una parábola se traza una perpendicular al eje. Demostrar que esta perpendicular es media proporcional entre el lado recto y la porción del eje comprendida entre el vértice y el pie de la perpendicular.18. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 – 4y = 0.19. Los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen con el punto de intersección del eje con la directriz. Demostrar que estas rectas son perpendiculares entre sí.20. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, -1) pasa por el foco de la parábola x2 +6 16y = 0. Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola.21. Hallar la ecuación de una parábola tomando como ejes X y Y, el eje y la directriz respectivamente.En cada uno de los ejercicios 22-25, aplicando la definición de laparábola, hallar la ecuación de la parábola a partir de los datos dados.Reducir la ecuación a la primera forma ordinaria por transformación decoordenadas.22. Foco (3, 4), directriz x – 1 = 0.23. Foco (3, -5), directriz y – 1 = 0.24. Vértice (2, 0), foco (0, 0).25. Foco (-1, 1), directriz x + y – 5 = 0. 400