libromatematicabas

MATEMÁTICA BÁSICA I2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (-7) y (-19). x1 x2 0-19 -7 19 7 1 3 x x1 rx2 x 11 1r 3 x 19 7 11 64 x 13 x 3 4 3r1 x 163. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1, -2), (4,-2), (4,2). Determinar las longitudes de los catetos, y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. y x x C(4,2) BC 4 A(1,-2) AB 3 x AC 16 9 x AC 5u B(4,-2) A 43 2 A 6u 2 301

MATEMÁTICA BÁSICA I4. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3),(9,8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es unparalelogramo y calcular su área. 33 0 D=(3,8) C=(9,8)m1 7 1 6m2 88 0 93 6 AB // CD h=5um3 83 5 31 2 83 5 A=(1,3) 6u B=(7,3)m4 9 7 2 AD // BCA 6 5 30u2 EJERCICIOS PROPUESTOS5. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (- 2), hallar el otro punto. (Dos casos).6. En un sistema coordenado lineal, P1(x1) y P2(x2) son los puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada (x) de un punto P que divide a P1P2 en la razón dada r=P1P : PP2 es: x1 + rx2 x = --------------, r -1. 1+r 302

MATEMÁTICA BÁSICA I7. Haciendo r = 1 en la fórmula obtenida en el ejercicio 6, demostrar que la coordenada del punto medio de un segmento rectilíneo es la media aritmética de las coordenadas de sus puntos extremos.8. Un extremo de segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo.9. Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P1(4) y P2(-2). Hallar la razón P2P: PP1 en que el punto P(7) divide a este segmento.10. Un cuadrado, de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices.11. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1), (7, -1) y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.12. En el triángulo rectángulo del ejercicio 13, determinar primero los puntos medios de los catetos y, después, el punto medio de la hipotenusa.13. Hallar la distancia del origen al punto (a, b).14. Hallar la distancia entre los puntos (6, 0) y (0, -8).15. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1, 1) y (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).16. Demostrar que los puntos (-5, 0), (0, 2) y (0, -2) son los vértices de un triángulo isósceles, y calcular su área.17. Demostrar que los puntos (0, 0), (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son los vértices de un rombo, y calcular su área. 303

MATEMÁTICA BÁSICA I7.7 CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría elemental, conocida ya del lector, se llama Geometría pura para distinguirla del presente estudio. Acabamos de ver que por medio de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del Análisis a la Geometría, y de ahí el nombre de Geometría analítica. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por ejemplo, cómo pueden usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales. El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la Geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes (1596-1650). Por esta razón, la Geometría analítica se conoce también con el nombre de Geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de las matemáticas, la introducción de la Geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de las matemáticas. En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente, era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la solución de cada problema; en Geometría analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría 304

MATEMÁTICA BÁSICA I analítica y que la solución de un problema geométrico no se ha efectuado por Geometría analítica si no se ha empleado un sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados. Esto es de particular importancia en los primeros pasos de la Geometría analítica, porque un defecto muy común del principiante es que si el problema que trata de resolver se le dificulta, está propenso a caer en los métodos de la Geometría pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para adquirir el método y espíritu analítico lo más pronto posible.7.8 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS Sean P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera. Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d = /P1 P2/. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares P1 A y P2D a ambos ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su punto de intersección. Consideremos el triángulo rectángulo P1 EP2. Por el teorema de Pitágora, tenemos: d2 = P1P22 = P22 + EP12 Y B P1(x1,y1) C A XX‟ OP2(x2,y2) D E Y‟ 305

MATEMÁTICA BÁSICA ILas coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejescoordenados son A (x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y2). Luego, porel teorema 1 (Art. 3) tenemos: P2E = CA = x1 - x2, EP1 = DB = y1 – y2Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos:de donde, d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 , d = (x1 x2 )2 (y1 y2 )2Este resultado se anuncia como sigue:Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P1 (x1 , x2) y P2 (x2 ,x2) está dada por la fórmula: d = (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS1. Los vértices de un triángulo son A (3, 8), B (2, -1) y C (6, -1). Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la mediana AD. Yd x2 x 2 y2 y1 2 A(3,8)d 3 42 8 12 xd 1 81d 82 x M(4,-1) X B(2,-1) x C(6,-1) 306

MATEMÁTICA BÁSICA I2. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto (x, y) equidista de los dos puntos (-3, 5), (7, -9). Y A(-3,5) x XAP PBx 32 y 52 x 72 y 92x2 6x 9 y2 10 y 25 x2 14x 49 y 2 18 y 81 x B(7,-9)Rta : 5x 7 y 24 0 EJERCICIOS PROPUESTOS3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, - 1), (0, 3), (3, 4), (4, -1).4. Demostrar que los puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2), son los vértices de un triángulo isósceles.5. Demostrar que los puntos (2, -2), (-8, 4), (5, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área.6. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), (2, -1), son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta. 307

MATEMÁTICA BÁSICA I 7. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2), (4, -2) son los vértices de un cuadrado. 8. Demostrar que los cuatro puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6), (9, 2) son los vértices de un paralelogramo. 9. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2), (3, -4). Sugestión. 10. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. (Dos soluciones).Ecuación de la mediatriz EJERCICIO RESUELTO11. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices.Sean los puntos extremos YA x1; y1 B x2; y2 y C x3; y3 B(5,6) xUtilicemos la formula de xlos puntos medios A(-1,4)x x1 x2 ; y y1 y2 221) AB : x1 x2 2 2 4 X2) BC : x2 x3 2(4) 8 x C(3,-2)3) AC : x1 x3 2(1) 2 308

MATEMÁTICA BÁSICA ISumando las tres ecuaciones:2 x1 x2 x3 14 x1 x2 x3 7Resolviendo (1) (2) y (3) se tiene:x1 1; x2 5; x3 3Procediendo en la misma forma para y:y1 4 ; y2 6 ; y3 2Los puntos serán A 1;4 , B 5;6 , C 3; 2 EJERCICIOS PROPUESTOS12. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) y (6, -3).13. Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8, - 4). Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P : PP1 = -2.14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.15. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7, 4) y P2 (-1, -4). Hallar la razón P1P : PP2 en que el punto P (1, -2) divide al segmento.16. Los vértices de un triángulo son A (-1, 3), B (3, 5) y C (7, -1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.17. En el triángulo rectángulo del ejercicio 3, demostrar que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices. 309

MATEMÁTICA BÁSICA I 18. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 forman un paralelogramo. 19. Los vértices de un triángulo son (2, -1), (-4, 7), (8, 0). Hallar, para cada una de las medianas, el punto de trisección más cercano al punto medio del lado correspondiente. Demostrar que este punto es el mismo para cada una de las medianas y, por tanto, que las medianas concurren en un punto. Este punto se llama baricentro del triángulo. 20. En el triángulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), demostrar que las coordenadas del baricentro son: (1/2 [x1 + x2 + x3] , ½ [y1 + y2 + y3] Utilizar este resultado para comprobar el ejercicio 19.7.9 PENDIENTE DE UNA RECTA Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas” es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el o bien su suplemento el ß, para hacer una distinción entre estos dos ángulos, consideramos que las rectas están dirigidas y luego establecemos la siguiente. Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos lados que se alejan del vértice. Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. 310

MATEMÁTICA BÁSICA IAsí, de acuerdo con las definiciones 1 y 2, el ángulo de inclinaciónde la recta l es , y el de l‟ es ‟. Evidentemente, puede tenercualquier valor comprendido entre 0° y 180°; es decir, su intervalode variación está dado por: 0° 180° (2)Para la mayor parte de los problemas de Geometría analítica,emplearemos más la tangente del ángulo de inclinación que elángulo mismo.Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a latangente de su ángulo de inclinación.La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.Por lo tanto, podemos escribir. m = tg (1)Por (1) y (2) se ve que la pendiente puede tomar todos los valoresreales. Si es agudo, la pendiente es positiva, como para la rectal; si ‟ es obtuso, como para la recta l‟, la pendiente es negativa.Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y seráperpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90°.Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralelaal eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que todarecta perpendicular al eje X no tiene pendiente. El estudianterecordará, probablemente la igualdad tg 90° = , cuyo significadodebe considerar muy cuidadosamente ya que no es un número.Es igualdad es una manera simbólica de expresar que, a medidaque el ángulo se aproxima más y más a 90°, tg se hace y 311

MATEMÁTICA BÁSICA I permanece mayor que cualquier número positivo por grande que se suponga.Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquierade una recta, la pendiente de la recta es:m = y1 y2 , x1 x2 x1 x2Después, por el teorema 5, tenemos: 42 36 6 6tg C = 3 9 27 8 7 1 4,2 39de donde, C = 40°36‟.Dibujar una figura para cada ejercicio: EJERCICIOS RESUELTOS1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3). Y A(-3,2) d X B(7,-3) 312

MATEMÁTICA BÁSICA Im y2 y1 x2 x1m 23 5 13 7 10 5tg 1 5180 26.56505118153.4349488;153 26'6\"2. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices sonlos puntos (-2, 1), (3, 4) y (5, -2). Comprobar los resultados. Ym1 mCB ; m2 mCA ; m3 mAB 3; 3 x B(3,4) 7 5m1 3; m2 m3tgA 13 ; 54 10' A(-2,1) 18 77 28' xtgB 9 ; X 2tgC 9 ; 48 22' 8 x C(5,-2)3. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de –3, calcular la pendiente de la recta inicial. 135 m1 1m2 3 313 2tg135 3 m 1 3m1tg135 1 1 3 m1 1 3m1

MATEMÁTICA BÁSICA I 4. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y (4, 5. Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. 5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) son vértices de un paralelogramo. 6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. 7. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?. 8. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4), (1, -1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es la abscisa? 9. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0) y (4, -2) son vértices de un paralelogramo, y hallar su ángulo obtuso. 10. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3) y (6, -4) son vértices de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos iguales. 11. Hallar los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (2, 5), (7, 3), (6, 1) y (0, 0). Comprobar los resultados. 12. Dos rectas se cortan forman un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es –2. Hallar la ordenada de A. 13. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A (1, -3), B (3, 3) y C (6, -1) empleando el seno del ángulo BAC. Sugestión. Ver apéndice IC, 12. 14. Por medio de las pendientes demuéstrese que los tres puntos (6, -2), (2,1) y (-2, 4) son colineales. 314

MATEMÁTICA BÁSICA I15. Una recta pasa por los dos puntos (-2, -3), (4, 1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada?16. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos(2, -1), (7, 3).Si P(x; y) ; A(2; -1) y B(7; 3) pertenecen a una misma recta;entonces:mAB mAP 31 y1 72 x2Resolviendo 4x 5y 13 017. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, -1) y que tiene una pendiente igual a 4.18. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (-2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la que pasa por los dos puntos (-1, 1) y (3, 7).19. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6), y otra recta l2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2.20. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos.21. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4), (7,3), (6, -2) y (1, -1) son vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales. 315

MATEMÁTICA BÁSICA I 22. Demostrar que los cuatro puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.RESUMEN DE FÓRMULASA intervalos apropiados el estudiante debe construir tablas quecomprendan un sumario de los resultados obtenidos. En talestablas se apreciará a simple vista no solamente las relacionesimportantes sino también algunas analogías o propiedadescomunes; también servirán para reducir a un mínimo losresultados que deben aprenderse de memoria. Como ejemplo,presentamos a continuación un resumen, en forma de tabla, delos principales resultados obtenidos en este capítulo. El estudiantedebe tener estos resultados claramente definidos en su mente, y,en particular, debe notar el paralelismo entre la condicióngeométrica por una parte y su representación analítica por otra.Condición Geométrica Representación analíticaLongitud P1P2 de un segmento de recta dirigido,P1P2 con punto inicial P1 y punto final P2.P1P2 coincidiendo con el eje X: P1 (x10), P2 (x20).P1P2 paralelo al eje X: P1 (x1, y), P2 (x2, y), y0. P1P2 = x2 - x1P1P2 coincidiendo con el eje Y: P1 (0, y1), P2 (0,y2). P1P2 paralelo al eje Y: P1 (x, y1), P2 (x, y2), x 0. P1P2 = y2 - y1Distancia d entre dos puntos dadosP1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) d = (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 316

MATEMÁTICA BÁSICA ICoordenadas (x, y) del punto P que divide al x1 rx 2 r -1 x 1rsegmento rectillíneo dirigido P1P2, con puntos y1 ry 2 1rextremos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la yrazón dada r = P1P : PP2.Coordenadas (x, y) del punto medio del x1 rx 2 x 2segmento dirigido, P1P2 cuyos extremos dados y1 ry 2 2son los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) yPendiente m de la recta que pasa por los dos y1 y2 , x1 x2 m x1 x2puntos dados diferentes P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)Angulo formado por dos rectas con pendiente Tginicial m1 y pendiente final m2 m2 m1 , m1m2 1 1 m1 m2Condición necesaria y suficiente para el m1 = m2paralelismo de dos rectas dadas de pendientesm1 y m2Condición necesaria y suficiente para laperpendicularidad de dos rectas dadas de m1 m2 = -1.pendientes m1 y m27.10 DISCUTIR Y GRAFICAR UNA ECUACIÓN Discutir una ecuación es estudiar la ecuación en sus diferentes características:a) Intersección con los ejes coordenados.- Cada una de las variables de la ecuación se igualan a cero. Se resuelven las ecuaciones y se hallan los puntos de intersección. En caso 317

MATEMÁTICA BÁSICA I de no obtener un número real; o se hace infinito: la recta no tiene intersección con los ejes coordenados. b) Simetría.- Cuando un punto de la curva, tiene otro punto a igual distancia. Se nota a simple vista observando la ecuación. Si la variable “y” tiene potencias pares, es simétrico al eje “x”. Si la variable “x” tiene potencias pares, es simétrico al eje “y”. Si ambas potencias están elevadas a potencias pares, es simétrico al origen. c) Extensión.- Cuando las variables toman cualquier valor: son abiertas; caso contrario: cerrados. d) Asintontas.- Son rectas a la que la curva se aproxima y no tienen ningún punto común únicamente las ecuaciones que presentan productos de variables tienen asíntotas. Para hallar la asíntota: los denominadores se igualan a cero, al resolverlas se hallan las asíntotas. 318

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSEn cada uno de los ejercicios 1-25 discútase la ecuación estudiante lasintercepciones, simetría y extensión. Después trácese la gráficacorrespondiente.Observaciones:1ro Si la ecuación es de la forma ax by c 0 ; es una recta, será suficiente hallar dos puntos P1 0; y P2 ;0 y graficar:1. 5x + 4y – 20 = 0 Y 5x 4y 20Si P1 0;5 P2 4;0 X 5x+4y=202. 3x – 2y = 02da Si la ecuación es de la forma: ax2 ay2 c Observe que los coeficientes son iguales y el termino independiente es positivo; se trata de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas: 319

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo:3. 3x2 + 3y2 – 10 = 0Hallemos el radio despejando una de las incógnitas; representarcon cero a la otra: 1.1y 0 x 1.1 -1.1 1.1 -1.14. 3x2 + 4y2 – 12 = 0 3ra Si la ecuación es de la forma: ax2 by2 c Observe que los coeficientes son diferentes y el termino independiente positivo: se trata de una elipse despeje cada incógnita separadamente y halle sus vértices. Ejemplo:5. 4x2 + 3y2 – 12 = 0 24x2 3y2 12 -1.7y 0 x 1.7 1.7x0 y 2 -24ta Si la ecuación es de la forma ax2 by2 c Uno de los coeficientes es negativo, se refiere a una hipérbola. Los puntos de intersección se hallan, igualando a acero la segunda incógnita. 320

6. 4x2 - 9y2 – 36 = 0 MATEMÁTICA BÁSICA I X 4x2 9 y2 36 y0 x 3 -3 3 Y7. 9x2 - 4y2 – 36 = 05ta En los otros casos; discuta y grafique las ecuaciones:8. 16x2 – y = 0y 16x2a) Intersección con los ejes: xy x 0 y 0 pasa por el origen: 00 1 16b) Simetría:y y Varia la ecuación, uso simétrico a xx x No varia la ecuación simétrico al eje yc) Extensión: abierta toma todos los valores Yd) Asuntotas: no tiene xx Parábola X 321

MATEMÁTICA BÁSICA I 18. x2 – 6x + y2 = 0 19. x2 + y2 – 2x – 2y = 149. 16y2 - x = 0 20. x2 – 4x – 4y + 16 = 010. x2 - y2 – 9 = 0 21. x2 + 4x + 3y + 1 = 011. y = x3 + x2 – 9x – 9 22. y2 – 2x – 8y + 12 = 012. 8x3 – y = 0 23. x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 013. x8 – x – y = 0 24. 4x2 – y2 – 2y = 214. x4 – 9x2 – y = 0 25. y2 – 9x2 – 18x – 8y – 2 = 015. x – y4 + 9y2 = 016. x2 – y8 = 017. x2 + y2 – 4y = 0En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la curvacorrespondiente a la ecuación dada. EJERCICIOS RESUELTOS1. xy – 2y – 3 = 0 Solución Sean f (x,y):xy-2y-3=0 I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 0 2(0) 3 0 3 0 No hay intersección 322

MATEMÁTICA BÁSICA Ib) Con el eje Y: Six0 2y 3 0 y 3 P 0, 3 2 2II. Simetría:a) Con el eje X: f x, y : x y 2 y x 2y 3 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : x y 2y 3 xy 2y 3 0 f x, y f x, y No es simétricac) Con el origen:f x, y : x ( y) 2( y) 3 xy 2y 3 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensióna) Dominio de la ecuación: y f (x)y 3 xR 2 Dominio = ,2 2, x2b) Rango de la ecuación: x f ( y)y 2y 3 y R 0 Rango = ,0 0, yIV. Asíntotasa) Asíntotas Horizontales: yx 2y 3 0 y 0 es unaA.H.b) Asíntotas Verticales: (x 2) y 3 0 x 2 es una A.V.V. Tabla de Valoresy3 X 3 5 1 -1 x2 Y 3 1 -3 -1 323

MATEMÁTICA BÁSICA ISi x>2 y es (+)Si x<2 y es (-)VI. Trazado de la gráfica y 02 x P2. xy – 3y – x = 0SoluciónSean f (x,y):xy-3y-x=0I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 0 0 x 0 x 0b) Con el eje Y: Si x 0 0 3y 0 0 y 0 La curva pasa por el origenII. Simetría:a) Con el eje X:f x, y : x y 3 y x xy 3y x 0 f x, y f x, y No es simétricac) Con el eje Y:f x, y : x y 3y x xy 3y x 0 f x, y f x, y No es simétrica 324

MATEMÁTICA BÁSICA Id) Con el origen: f x, y : x ( y) 3( y) ( x) xy 3y x 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensióna) Dominio de la ecuación: y f (x)y x xR 3 Dominio = ,3 3, x3b) Rango de la ecuación: x f ( y)y 3y y R 1 Rango = ,1 1, y1IV. Asíntotasa) Asíntotas Horizontales: y 1 x 3y 0 y 1 es unaA.H.b) Asíntotas Verticales: (x 3) y x 0 x 3 es una A.V.V. Tabla de Valoresyx x 4 6 2 -3 x3 y 4 2 -2 -1/2 Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1. Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.VI. Trazado de la gráfica y 1 x 03 P 325

MATEMÁTICA BÁSICA I3. xy – 2x – 2y + 2 = 0Solución 2x 2 0 x 1 A(1,0)Sean f (x,y): xy-2x-2y+2=0 2y 2 0 y 1 B(0,1)I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 b) Con el eje Y: Si x 0II. Simetría:a) Con el eje X: f x, y : xy 2x 2y 2 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : xy 2x 2y 2 0 f x, y f x, y No es simétricac) Con el origen: f x, y : xy 2x 2y 2 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x)y 2x 2 x R 2 Dominio = x2 ,2 2,b) Rango de la ecuación: x f ( y)y 2y 2 y R 2 Rango = ,2 2, y2IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales:y 2 x 2y 2 0 y 2 0 y 2b) Asíntotas Verticales: (x 2) y 2x 2 0 x 2 0 x 2 326

MATEMÁTICA BÁSICA IV. Tabla de Valores x 3 6 -1 3/2 y 2x 2 y 4 5/2 4/3 -2 x2Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1.Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.VI. Trazado de la gráfica x y 2 02 P4. x2 + 2xy + y2 + 2x – 2y - 1 = 0SoluciónSean f (x,y): x2 2xy y2 2x 2y 1 0I. Interseccionesa) Con el eje X: Si y 0 x2 2x 1 0 x 1 2b) Con el eje Y: Si x 0 y2 2y 1 0 x 1 2II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x2 2xy y 2 2x 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : x2 2xy y 2 2x 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica 327

MATEMÁTICA BÁSICA Ic) Con el origen: f x, y : x2 2xy y 2 2x 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y 2 2 x 1 y x2 2x 1 0 y x 1 x 1 2 x2 2x 1 1 x 2 4xy 2 4x 0 x 1 Dominio = , 1 2 2b) Rango de la ecuación: x2 2 y 1 x y 2 2y 1 0 y y 1 y 1 2 y2 2y 1 y 1 4y 2 y 4y 2 0 x 1 Rango = 1 , 2 2IV. AsíntotasComo los coeficientes de x2 e y 2 son constantes, la curvade la ecuación dado no tiene asíntotas horizontales yverticales.V. Tabla de Valoresy 1 x 2 4x x 1/4 1/4 -1/2 -1/2 y 7/4 -1/4 7/2 -1/2VI. Trazado de la gráfica y P 0x 328

MATEMÁTICA BÁSICA I5. x3 + y2 – 4y + 4 = 0SoluciónSean f (x,y): x3 y2 4y 4 0I. Interseccionesa) Con el eje X: Si y 0 x3 4 0 x 3 4 A(3 4,0)b) Con el eje Y: Si x 0 y2 4y 4 0 y 2 B(0,2)II. Simetría: a)Con el eje X: f x, y : x3 y2 4y 0 f x, y f x, y No es simétricab)Con el eje Y: f x, y : x3 y2 4y 4 0 f x, y f x, y No es simétricac)Con el origen: f x, y : x3 y2 4y 4 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x)y 2 2 x3 y 2 x xy x0 x0 Dominio = ,0b) Rango de la ecuación: x f ( y)x 3 4y y2 4 y , es real. Rango = RIV. Asíntotas Como los coeficientes de las variables x3 e y2 sonconstantes, la curva no tiene asíntotas horizontales niverticales. 329

MATEMÁTICA BÁSICA IV. Tabla de Valoresy2x x x -1 -1 -2 -2 y 1 3 -0.82 4.82VI. Trazado de la gráfica y B xA06. y3 – x2 + 3y2 + 2x + 3y = 0SoluciónLa ecuación podemos transformarla del siguiente modo: y3 3y2 3y 1 x2 2x 1 0 f x, y : y 1 3 x 1 2I. Interseccionesa) Con el eje X: Si y 0 x 1 2 1 x 1 1 ó x 1 1 x 2óx 0 A(2,0) y 0(0,0)b) Con el eje Y: Si x 0 y 1 3 1 y 0 0(0,0)II. Simetría: x 12 a) Con el eje X: f x, y : y 1 3 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : y 1 3 x 1 2 f x, y f x, y No es simétrica 330

MATEMÁTICA BÁSICA I c) Con el origen: f x, y : y 1 3 x 12 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión a) Dominio de la ecuación: y f (x)y 1 3 x 1 2 y, x R Dominio =Rb) Rango de la ecuación: x f ( y)y 1 y 1 3 x y 1 0 y 1 Rango =1,IV. AsíntotasComo los coeficientes de las variables x2 e y3 son constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni verticales.V. Tabla de Valoresy 1 3 x 12 x 1 3 -1 -2 y -1 0.58 0.58 1.08VI. Trazado de la gráfica y B xA0 331

MATEMÁTICA BÁSICA I7. x2y – 4y – x = 0SoluciónSean f (x,y): x2 y 4 y x 0I. Intersecciones a) Con el eje X: Si y 0 x 0b) Con el eje Y: Si x 0 y 0 La curva pasa por el origen.II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x2 y 4y x 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : x2 y 4y x 0 f x, y f x, y No es simétricac) Con el origen: f x, y : x2 y 4y x x2 y 4y x 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensióna) Dominio de la ecuación: y f (x) y x x2 4 yx2 Dominio = R-{-2,2}b) Rango de la ecuación: x f ( y) yx2 x 4y 0 1 1 16 y2 x y0 Rango =R-{0} x 2yIV. Asíntotasa) Asíntotas Horizontales: yx2 x 4y 0 y 0b) Asíntotas Verticales: x2 4 y x 0 x2 4 0 x 2 332

MATEMÁTICA BÁSICA IV. Tabla de Valoresy x x 1 -1 3 -3 x2 4 y -1/4 1/43/ 3/5 -3/5VI. Trazado de la gráfica y -2 0 2x8. x2y – xy – 2y – 1 = 0SoluciónSean f (x,y): x2 y xy 2y 1 0I. Interseccionesa) Con el eje X: Si y 0 1 0 No hay intersecciónb) Con el eje Y: Si x 0 2y 1 0 y 1 A(0, 1 ) 2 2 La curva pasa por el origen.II. Simetría:a) Con el eje X: f x, y : x2 y xy 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : x2 y xy 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétricac) Con el origen: f x, y : x2 y xy 2y 1 0 f x, y f x, y No es simétrica 333

MATEMÁTICA BÁSICA IIII. Extensióna) Dominio de la ecuación: y f (x) y 1 x 2x 1 y x 2, x 1 Dominio = R-{2,-1}b) Rango de la ecuación: x f ( y) yx2 yx (2y 1) 0 y 9y2 4y x 9y2 4y 0 y 0De donde: x 2yx 1ó y 4 Rango = , 4 0, 9 9IV. Asíntotasa) Asíntotas Horizontales: yx2 yx 2y 1 0 y 0b) Asíntotas Verticales: x2 x 2 y 1 0 x2 x 2 0V. Tabla de Valores x 1ó x 2 y1 x 2x 1 x 1 3 -2 -3 y -1/2 1/43/ 1/4 1/10VI. Trazado de la gráfica y -1 0 2 x 334

MATEMÁTICA BÁSICA I9. x2 – xy + 5y = 0SoluciónSean f (x,y): x2 xy 5y 0I. Intersecciones Como la ecuación carece de término independiente la curva pasa por el origen.II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x2 xy 5y 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : x2 xy 5y 0 f x, y f x, y No es simétricac) Con el origen: f x, y : x2 xy 5y 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensióna) Dominio de la ecuación: y f (x) x2 y x5 y x5 Dominio = R-{5}b) Rango de la ecuación: x f ( y) x 1 y y2 20y 2 x y2 20y 0 y 0 ó y 20 Rango = ,0 20,IV. Asíntotas 5x 0 x5 a) Asíntotas Horizontales: No tiene (1) b) Asíntotas Verticales: 5 x y x2 0 c) Asíntotas Oblicuas: y=mx+k 335

MATEMÁTICA BÁSICA ISustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos setiene: 1 m x2 5m k x 5k 0 y1 m 0 m 1 y 5m k 0 k 5Luego, en (1): y x 5V. Tabla de Valoresy x2 x 4 6 -2 -5 x5 -16 363/ -4/7 -5/2 yVI. Trazado de la gráfica y 20 y=x+5 5 5x -1 010. x2y – x2 – 4xy + 4y = 0 Solución Sean f (x,y): x2 y x2 4xy 4y 0 I. Intersecciones Como la ecuación carece de término independiente la curva pasa por el origen.II. Simetría: a) Con el eje X: f x, y : x2 y x2 4xy 4y 0 f x, y f x, y No es simétricab) Con el eje Y: f x, y : x2 y x2 4xy 4y 0 336

MATEMÁTICA BÁSICA I f x, y f x, y No es simétricac) Con el origen: f x, y : x2 y x2 4xy 4y 0 f x, y f x, y No es simétricaIII. Extensión x2 y x 22a) Dominio de la ecuación: y f (x) Dominio = R-{2}y x2b) Rango de la ecuación: x f ( y) y 1 x2 4yx 4y 0x 2y 4y2 y 1 4y 2y 2 yx y0 Rango = 0,IV. Asíntotas a) Asíntotas Horizontales: y 1 x2 4yx 4y 0 y 1b) Asíntotas Verticales: x 2 2 y x2 0 x 2 0 x2V. Tabla de Valores x2 x 1 3 6 -2y y 1 93/ 1/4 x2 9/4VI. Trazado de la gráfica y 1 x02 337

MATEMÁTICA BÁSICA I11. x2y2 - 4x2 – 4y2 = 0SoluciónSean f (x,y): x2 y2 4x2 4y2 0I. Interseccionesa) Con el eje X. Si y 0 4x2 0 x 0b) Con el eje Y. Si x 0 4y2 0 y 0 El origen es un punto que pertenece a la gráfica.II. Simetría:Como todos los términos de la ecuación dada son de grado par, la curva es simétrica respecto de los ejes X e Y, y al origen.III. Extensióna) Dominio de la ecuación: y f (x) y 2x x2 4 y x2 4 0 x2 4 x 2 ó x 2 Dominio = , 2 2,b) Rango de la ecuación: x f ( y) x 2y y2 4 x y2 4 0 y2 4 y 2 ó y 2 Rango = , 2 2,IV. Asíntotas 2 a) Asíntotas Horizontales: y2 4 x2 4y2 0 2 y2 4 0 y 2 ó y b) Asíntotas Verticales: x2 4 y2 4x2 0 x2 4 0 x 2 ó x 338

MATEMÁTICA BÁSICA IV. Tabla de Valores x 5/2 4 -5/2 -4 y 2x y 3.3 2.33/ 3.3 2.3 x2 4VI. Trazado de la gráfica y 2 2 x-2 0 -212. x3 – xy2 + 2 y2 = 0 Solución Sean f (x,y): x3 xy2 2 y2 0 I. Intersecciones a) Con el eje X. Si y 0 x3 0 x 0 b) Con el eje Y. Si x 0 2y2 0 y 0 La curva pasa por el origen. II. Simetría: Como la variable y es de grado par, la curva es simétrica sólo con el eje X. III. Extensión: VII. Dominio de la ecuación: y f (x) y x x x2 339

MATEMÁTICA BÁSICA I y x 0 x 0ó x 2 ,0 2, x2 Dominio =IV. Asíntotas 2x 0 x2 a) Asíntotas Horizontales: No tiene b) Asíntotas Verticales: 2 x y2 x3 0 c) Asuntotas Oblicuas: y=mx+k (1)Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos setiene: 1 m2 x3 2 m2 mk x2 k 2 4mk x 2k 2 0Entonces: 1 m2 0 m1 0 ó m2 1m2 mk 0 k1 1 ó k2 1Luego, en (1), las asíntotas oblicuas de la curva sonL1 : y x 1 y L2 y x 1V. Tabla de Valoresyx x 3 4 -1 -2 x2 y 5.2 5.63/ 0.57 1.41VI. Trazado de la gráfica y L1 02 x L2 340

MATEMÁTICA BÁSICA IEJERCICIOS PROPUESTOS13. xy - 2x – 1 = 0 20. xy2 – 9x – y – 1 = 014. x4 + y4 = 16 21. xy2 + xy - 2x - 2 = 015. x3 + x – y = 0 22. xy2 + 2xy – y2 + x = 016. xy 3x – y = 0 23. x2y – x2 + xy + 3x = 217. x4 – 4x2 – y = 0 24. xy2 – y2 – xy + y = 018. x2 – 2xy + y2 – 6x – 6y + 3 = 0 25. y3 + x2y – x2 = 019. x3 – 3x2 – y2 + 3x – 2y - 2 = 0Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene pendiente 2. Solución Según la forma (1), la ecuación de la recta es: y 5 2(x 1) L : 2x y 3 02. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45°. Solución Como m Tg m Tg45 1 Según la forma (1): y 3 1(x 6) L : x y 3 0341

MATEMÁTICA BÁSICA I3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intercepción con el eje Y es –2. Solución Tenemos: m=-3 y b=-2 Según la forma (2): y 3x 2 L : 3x y 2 04. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y B (-5, 7). Solución Según la forma (3): y 2 2 7 (x 4) 45 De donde: L : 5x 9y 38 05. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7), D (8,0). Hallar las ecuaciones de sus lados.SoluciónSegún la fórmula (3) se tiene:AB: y 0 4 0 (x 0) AB: 2x y 0 20BC: y 7 7 4 (x 6) BC: 3x 4y 10 0 62CD: y 0 0 7 (x 8) BC: 7x 2y 56 0 86AD= y 0 (Ecuación del eje X) C y B A0 D x 342

MATEMÁTICA BÁSICA I6. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2 y –3, respectivamente. Hallar su ecuación. Solución Tenemos a=2 y b=-3, entonces por la forma (4):x y1 L : 3x 2y 6 0237. Una recta pasa por los dos puntos A (-3, -1) y B (2, -6). Hallar suecuación en la forma simétrica.SoluciónSegún la forma (3): y 1 6 1 (x 3)De donde: L : x y 4 23 Dividiendo entre -4 se tiene, L : x y 1 448. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A (-1, 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica. Solución Por la forma (1): y 4 2(x 1) L : 2x y 2 Dividiendo entre 2 se tiene, L : x y 1 129. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. SoluciónSi L1 es la recta que pasa por C y D, entonces m1 42 6 32 5Si L L1 m m1 65 , luego: y 8 6x 7De donde: L : 6x 5y 82 0 5 343

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS10. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2), B (1, 6). y PB L x011. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2, 4), y determina sobre el eje X el segmento –9.12. Demostrar que los puntos A (-5, 2), B (1, 4) y C (4, 5) son colineales hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de estos puntos.13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0.Los ejercicios 14 – 21 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-2, 1),B (4, 7) y C (6, -3).14. Hallar las ecuaciones de los lados.15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC.16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan al lado opuesto AC.17. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los vértices A, B y C y son paralelas a los lados opuestos.344

MATEMÁTICA BÁSICA I18. Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección.19. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de intersección. Este punto se llama circuncentro.20. Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Este punto se llama ortocentro.21. Hallar las coordenadas del pie de la altura correspondiente al lado AC. A partir de estas coordenadas hállese la longitud de la altura y luego el área del triángulo.22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4, y que pasa porel punto de intersección de las rectas 2x + y – 8 = 0 y3x – 2y + 9 = 0.23. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x – 8x + 36 = 0, x + y – 10 = 0, 3x – 8y – 19 = 0 y x + y + 1 = 0. Demostrar que la figura es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus vértices.24. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0.25. Las coordenadas de un punto P son (2, 6), y la ecuación de una recta l es 4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta l siguiendo en orden los siguientes pasos: a) Hallar la pendiente del, b) Hallar la ecuación de la recta l‟ que pasa por P y es perpendicular a l, c) Hallar las coordenadas de P‟, punto de intersección de l y l‟, d) Hallar la longitud del segmento PP‟.26. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A (7, -2). Calcular la abscisa de P. 345

MATEMÁTICA BÁSICA I27. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos C (-3, 1) y D (1, 6).28. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x – 7y + 27 = 0, 9x – 2y – 15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0. Hallar sus ángulos y comprobar los resultados.29. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determina sobre el eje X el segmento a. Compárese este resultado con la ecuación de una recta conocida su pendiente y su ordenada en el origen, dada en el Artículo 27.30. Una recta pasa por los dos puntos A (-1, 3) y B (5, 4). Escríbase su ecuación en forma de determinante. Verifíquese el resultado desarrollando el determinante. 346

MATEMÁTICA BÁSICA I7.11 ANGULO DE INCLINACIÓN O ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Es el ángulo formado por el eje “x” y el lado de la recta contrahoraria. y x7.12 PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina así a la tangente de la recta en posición normal. y x m = tgd347

MATEMÁTICA BÁSICA I7.13 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de unarecta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal.Ax + Bx + C = 0, (1)En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no serigual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación deuna recta.Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal(1), ¿representa siempre una línea recta? Para contestar a esta preguntaexaminaremos las dos formas posibles de la ecuación (1) con respecto alcoeficiente de y, es decir, las formas para B = 0 y B 0.Caso I. B = 0. Si B = 0, entonces A 0, y la ecuación (1) se reduce a laformax= - C (2) APero (2) es de la forma x = k, de la que anteriormente se demostró quees la ecuación de una recta paralela al eje Y (Art. 18).Caso II. B 0. B 0, podemos dividir la ecuación (1) por B, y entoncespor trasposición se reduce a la forma:y= Ax C BB348

MATEMÁTICA BÁSICA IPero (3) está en la forma y = mx + b (Art. 27) y, por tanto , es laecuación de una recta cuya pendiente es - A y cuya ordenada en el Borigen es - C . BSolución. Representemos por Ax + By + C = 0 la ecuación de todas lasrectas paralelas a l. Por el apartado (a) del teorema 6 se verifica.A B , o sea, B 7 A57 5Por tanto, la ecuación de todas las rectas paralelas a l es: Ax - 7A y C 0 (6) 5de donde, 5x – 7y + 5C = 0, Ao sea, 5x – 7y + k = 0,en donde k = 5C es una constante arbitraria. ASi la recta (6) debe pasar por el punto (4, 2), las coordenadas debensatisfacer (6). Por tanto: 5.4–7.2+k=0de donde k = -6, y la recta buscada es 5x – 7y – 6 = 0 349

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSDibujar una figura para cada ejercicio.1. Transformar la forma general de la ecuación de una recta a la forma simétrica. Establecer las restricciones a que deben estar sometidos los coeficientes para permitir esta transformación.2. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (-2, 4) y tiene una pendiente igual a –3.3. Hallar la ecuación de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir, sus intercepciones, son 3 y –5, respectivamente.4. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1, -3).5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1) y – 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.6. Determinar el valor de k para que la recta k2x + (k + 1) y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0.7. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x – 9y + 2 = 0.8. Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intercepciones de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x – 7y + 2 = 0.9. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 2 ½ unidades cuadradas. 350