libromatematicabas

MATEMÁTICA BÁSICA IDos matrices del mismo orden se conoce como “conformes” para lasuma algebraica de matrices.5) Propiedades de la suma algebraica de matrices. 5.1. Conmutativa A + B = B + A 5.2. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C 5.3. Distributiva con un escalar K (A + B) = KA + KB 5.4. Existe una matriz D; tal que A + D = B6) Multiplicación de matrices. Se desarrolla: Fila por columnaEjemplo:A 354 8 5 7 B 2 4A B 3 5 5 7 42 8 4A B 15 35 8 32Dos o mas matrices son “conformes” para la multiplicación, sí y sólosi, el número de elementos de la fila es igual al número de elementosde la columna.Ejemplo: B b1,1 b1,2 b2,1 b2,2 a1,1 a1,2A a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 201

MATEMÁTICA BÁSICA IAB a1,1 b1,1 a1,2 b2,1 a1,1b1,2 a1,2b2,2 a2,1 b1,1 a2,2 b2,1 a2,1b1,2 a2,2b2,2 a3,1 b1,1 a3,2 b2,1 a3,1b1,2 a3,1b2,2Propiedades de la multiplicación6.1. Distributiva : A(B + C) = AB + AC Distributiva (A + B)C = AC + BC6.2. Asociativa: A (BC) = (BC) C6.3. Si AB = AC, no necesariamente B = C.7) Tipos de Matrices 7.1. Por la forma: 7.1.1. Matriz fila: Si la matriz tiene una sola fila, es decir: m = 1, su orden será: 1 x n 7.1.2. Matriz columna: Representa una sola columna: n = 1 y su orden será: m x 1. 7.1.3. Matriz cuadrada: Si el número de filas es igual al número de columnas, es decir: Am x n 7.1.4. Matriz transpuestas: Cuando se intercambian filas por columnas y su representa AbT m 7.1.5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica, cuando los elementos e la diagonal principal permanecen fijos al intercambiar las filas por columnas. La simetría es con respecto a la diagonal principal. 202

MATEMÁTICA BÁSICA I7.2. Con relación a los elementos: 7.2.1. Matriz Nula: Si todos sus elementos son nulos Ejemplo: A=0 7.2.2. Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada, cuando los elementos que no pertenecen, la diagonal principal son nulos. Ejemplo: 300 A 050 007 7.2.3. Matriz escalar: Es la matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: 300 B 030 003 7.2.4. Matriz Identidad: Si todos los elementos de la matriz diagonal, son iguales a uno. Se dice también que es matriz unidad. Ejemplo: 100 A 010 001 203

MATEMÁTICA BÁSICA I 7.2.5. Matriz Triangular Superior: Es la matriz cuadrada que presenta elementos desde la diagonal principal hacia la parte superior. Ejemplo: 23 8 A 05 3 00 4 7.2.6. Matriz Triangular Inferior: Cuando presenta elementos desde la diagonal principal hacia la parte superior. Ejemplo: 8 00 B 5 40 6 32 204

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS RESUELTOS1. Si: 564 B 725 3 74A 4 62 433 8 53 734 D 285 5621.1. Hallar A + BAB 3 74 5 6 4 2 18 4 62 7 2 5 11 4 7 8 53 4 3 3 4 201.2. Hallar C – DCD 5 82 7 3 4 2 11 2 6 24 2854 6 1 7 33 5622 3 5Cambie de signo mentalmente a la matriz D.1.3. Hallar: 3A; -5B 3 74 9 21 123A 3 4 62 12 18 6 53 24 15 9 8 564 25 30 205B 57 2 5 35 10 25 25 30 10 562 205

MATEMÁTICA BÁSICA I2. Sí: 53 86 pqA 4 6;B 3 4; C r s 38 23 tuHallar: A + 2B – C = 0A 2B C 53 16 12 p q 46 6 8 rs 38 4 6 tuA 2B C 5 16 p 3 12 q 46 r 66 s 34 t 84u-11= p; 10 = r; -7 = t: 9 = q; 12 = 5; -12 = u3. Si A 5 6 3 7 B4 3A B 5 -6 3 7 50 4 - 35 - 24 9 34. Si A 7 AB 2 B 4 -8 3 6 7 28 56 21 2 4 -8 3 8 16 6 6 24 48 18 206

MATEMÁTICA BÁSICA I5. A - 2 4 - 3 7 472 B 5 2 56 3 3 38 7 472A B -2 4 -3 5 2 5 6 3 3 38 14 20 - 9 -8 -8 - 9 -14 - 20 - 9 - 4 24 - 24 25 - 25 - 43 - 46. A 746 B 2 652 6 323 3AB 746 2 14 24 18 20 652 6 12 30 6 24 323 3 6 12 9 37. Sí A 321 4 5 2 Hallar: A2; A3; A5. 363 321 321A2 4 5 2 4 5 2 363 363 983 6 10 6 343 4 22 2A2 12 20 6 8 25 12 4 10 9 38 5 23 6 30 18 3 12 9 3 54 0 9 24 18 207

MATEMÁTICA BÁSICA I PROBLEMAS PROPUESTOS1. Sí: 123 3 12 4 12A 5 0 2 B 4 25 y C 0 32 111 2 30 1 23Hallar: A + B ; A – C-2C, O x B; A + (B - C) = (A + B) – C2. Sí: 111 123A 3 2 1 yB 245 210 123Demostrar: A x B = 0 AxB 03. Sí se tienen las matrices: 132 1 410 2 112A 2 1 3 ; B 2 111 yC 3 2 1 1 431 1 212 2 510Demostrar: AB = AC4. Con las matrices: 111 13A 2 0 3 ;B 02 yC 12 3 4 312 20 2 1 14Demostrar: (AB)C = A(BC) 208

MATEMÁTICA BÁSICA I5. Con las matrices:235 135 224 134A 1 4 5 ;B 1 3 5 yC 123144 135Demostrar: AB = BA = 0AC = ACA = C6. Demostrar que las matrices A y B son inversas. 12 3 623A 133 y B 110 101 12 4AB = BA = I7. Demostrar que las matrices A y B son transpuestas y se cumplen: (A + B)‟ = A‟ + B‟ (AB)‟ = A‟, B‟8. Demostrar que la matriz 123 Es simétricaA 245 3569. Demostrar que la matriz A es idempotente de orden tres 224 A 1 3 4 A2 A 123 209

MATEMÁTICA BÁSICA I 10. Demostrar que la matriz A es nilpotente 113 A 5 2 6 A3 0 21311. Demostrar que las matrices A y B son idempotentes.235 135A 1 4 5yA 1 3 5134 135Son idempotentes: A2 A B2 B12. Con la matriz 122 A 212 221 Demostrar: A2 4A 5I 013. Con la matriz: 2 13 A 1 12 1 21 Demostrar: A3 2A2 9A 014. Demostrar que la matriz: 126 A 3 2 9 es periódica. 203 210

MATEMÁTICA BÁSICA I15. Demostrar que la matriz: 13 4 A 1 3 4 es nilpotente. 13 416. Demostrar que A y B:11 11A yB21 41No son conmutativas y se cumple: A B 2 A2 B217. Demostrar que las matrices A y B son inversas.123 3 21A 2 5 7 yB 4 1 1245 2 0118. Demostrar que las matrices A y B son involutivas. 111 433A 4 3 4 yB 101 443 33419. Demostrar que la matriz 2 24 A 1 3 4 es Idempotente 1 23 211

MATEMÁTICA BÁSICA I 20. Demostrar que la matriz 113 | A 5 2 6 es Nilpotente de orden 3 213 21. Demostrar que las matrices Ay B son Idempotente 2 35 y 13 5A 14 5 B 1 3 5 son Idempotente 1 34 13 5 122 A2 4A 5 022. Si A 2 1 2 demostrar que : 22123.Si A 111 0 1 0 ; demostrar A4 001 1 26 es una matriz de periód0 224.Si A 3 2 9 20 325.Demuestre que las matrices A y B son permutables 123 y 216A3 20 B329 111 11426.Demuestre que las matrices A y B; son involutivas 01 1 y 433A4 34 B 10 1 3 34 443 212

MATEMÁTICA BÁSICA I DETERMINANTE DE UNA MATRIZSe denomina de una matriz A y se representa por A ; a la sumaintercalada (+; -; +; -; ……) de un elemento y sólo uno, por cada fila ocolumna:A a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a2,2 a2,3 a1,2 a2,1 a2,3 a1,3 a2,1 a2,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,2 a3,3 a3,2 a3,3 a3,1 a3,3 a3,1 a3,2 a3,3Propiedades de las determinantes:I) Si los elementos correspondientes a toda una fila o columna son ceros; el determinante es nulo.II) Si una matriz cuadrada A A toda propiedad relativa a la columna se cumple en la fila y viceversa.III) Si los elementos correspondientes a una fila o columna se multiplican o dividen por un número cualquiera; el determinante queda multiplicado o dividido por dichos números.IV) Si la determinante B se obtiene permutando dos filas o columnas adyacentes: BAV) En toda determinante si dos filas o columnas son idénticas el determinante es nulo AVI) Si los elementos correspondientes a una fila o columna de un determinante, se multiplican por un mismo número y se suman a otra fila o columna: AB 213

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS RESUELTOS1) Hallar: A 2 3 8 3 11 142) Hallar: 102 204 6B 14 5 03 5 23 4 345 47 57 56 567 23 43. A 1 0 2 utilice la fila o columna que tenga elemento cero 6 05 = 2 0 2 1 3 4 2( 10) 1(18 20) 20 2 18 56 5 6 1024. A 3 4 5 14 5 2 3 4 28 30 2(18 20) 2 4 6 567 67 565. B 100 35 95 4 235 13 413 214

MATEMÁTICA BÁSICA IResolver por determinantes:6. 7 11 2 21 21 212 2 7 11 22 1 2 1 2 1 22 x 2 11 2 11 11 2 2 11 1 21 2 1 31 3 2 32 1 7 2 2 12 2 14 4 7 0 14 18 2 2 2 11 3 1 2 6 2 0 1 4 18 0 4 8 12 1 x=1 4 8 12 yz5 21 y z 7 yz 72 2y z 4 1 2y z 2 2y z 2 2 3y 9 y3 3 z5 z 53 z27. 11 2 6 1 3 13 6 3 6 1 11 2 31 2 12 32 31 x 31 2 132 3 21 3 12 213 1 2 12 11 11 2 x 1 2 3 1 12 9 2 6 3 3 2 3 14 3 22 1 215

MATEMÁTICA BÁSICA I x 1 21 18 4 4 2 376 2 6 y 2z 1 y 30 5 4 y 3z 6 y 35 y 2z 5 y 3z 10 z 15 z 158. 31 2 32 4 2 4 34 32 31 535 3 5 5 55 3 x 11 2 2 4 14 12 1 12 12 4 3 51 5 1 3 135 x 3 10 12 1 15 20 2 9 10 6 35 38 3 1 10 12 1 5 4 2 3 2 2 9 10 1 x3 2y 4z 0 4z 2 3y 5z 2 z1 6y 8z 0 2 6 y 10 2 2y 2 y1 216

MATEMÁTICA BÁSICA IEJERCICIOS PROPUESTOS1) Resolver las determinantes: 57 86 32A ;B ;C 53 64 43 542) Desarrollar los determinantes:735 835A 4 3 6; B 2 6 3532 5743) Desarrollo directo de una determinante cuadrada: a1,1 a1,2 a1,3A a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3a1,1a2,2a3,3 a2,1a3,2a1,3 a1,2a2,3a3,1 a1,3a2,2a3,1 a2,3a1,2a3,1 a1,2a2,1a3,34. Desarrollar 345 28 25 38 B 123 C 42 38 65 102 A304 25 4 56 47 83 2 51 23 4 E5 63 1 48 D 215 42 3 324 217

MATEMÁTICA BÁSICA I5. Desarrollar utilizando el método directo: 1 2 10 127 123A 23 9 B 235 C 234 4 5 11 458 453 433 D101 443Desarrollar utilizando la VI propiedad 2 3 24 10 1 2 3 212 23 2 2A B 3 2 34 24 2 1 24 05 31 5 3 1234 2121C 0011 3412 3 572 1 23 4 2 411 2 14 3D E 2000 23 4 5 1 134 3 45 6 1116 1 23 2 2 2416 2 11 3 2F G11 2 1 1 4129 14325 2427 3 22 2 2 218

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO V ÁLGEBRA DE ECUACIONESPROBLEMA.- Es una verdad matemática en la que se hallan valoresdesconocidos, hallar incógnitas (se representan con las últimas letras delalfabeto: u; v; w; x; y; Z).ECUACIÓN.- Es un problema en la que se verifica una igualdad para lasolución de este problema.INECUACIÓN.- Es un problema con desigualdad que verifica ladesigualdad dada (> ; ; < ; ) para la solución de dicho problema.GRADO DE UNA ECUACIÓN O INECUACIÓN.- Depende delexponente máximo de la variable o incógnita de la ecuación oinecuación.5.1 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Son aquellas cuyas variables o incógnitas son iguales a uno. Entoda ecuación, la adición para como sustracción de un miembro a otro yviceversa. Toda multiplicación pasa como división y viceversa. Lapotencia como raíz y viceversa.PROPIEDADES DE LAS ECUACIONESPrimera Propiedad.- Si a los dos miembros de una ecuación; se les:suma; resta; multiplica; divide, por un mismo número; se lleva a la mismapotencia; se les halla la misma raíz; la ecuación no altera el valor. 219

MATEMÁTICA BÁSICA ISegunda propiedad.- Para resolver una ecuación, se realiza el siguienteproceso:2.1 Se quitan denominadores;2.2 Se efectúan las operaciones indicadas;2.3 Se efectúa la transposición de términos, entre las expresiones que tienen la incógnita y los otros de términos conocidos;2.4 Se reducen los términos en ambos miembros;2.5 Se despeja la incógnita y se halla el valor de la misma.2.6 Se reemplaza en el ejercicio y se debe cumplir la relación de igualdad (identidad).5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas que afectan la forma: ax2 + bx + c = 0 donde ax2 esel término cuadrático; bx, el segundo término, y c, es el términoindependiente. Si b, o, c son iguales a cero; se tienen ecuacionesincompletas de segundo grado, de las formas: ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADOa. Sea la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.b. Pasemos el término independiente al segundo miembro: ax2 + bx = -cc. Multipliquemos por 4a la ecuación para formar un trinomio cuadrado perfecto: 4a2x2 + 4abx = -4ac 220

MATEMÁTICA BÁSICA Id. Formemos el trinomio cuadrado perfecto 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ace. Factoricemos: (2ax + b)2 = b2 – 4acf. Hallemos raíces: 2ax + b = ± b2 4acg. Realicemos las operaciones indicadas: 2ax = -b ± b2 4ac b b 2 4acx= 2aEs la fórmula para hallar la ecuación completa de segundo grado.La expresión: b2 – 4ac, se conoce como discriminante; y sepresentan tres casos: =A = b2 – 4ac < 0; las ecuaciones presenta; raíces imaginariasb2 – 4ac = 0; la ecuación presenta una sola respuesta. = b2 – 4ac > 0; la ecuación presenta dos respuestas.5.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Como se ha observado oportunamente, son aquellas quepresentan desigualdades, ejemplo: ax>b ax<b ax b ax b221

MATEMÁTICA BÁSICA IPropiedades.-1) Si, a los términos de una inecuación, se suma o resta; se multiplica o divide; se potencia o radica; la misma expresión positiva; se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.2) Si se cambian de signos a todos los elementos de una desigualdad; cambia el sentido de la desigualdad.3) Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo; sus inversos forman otra desigualdad de distinto sentido al original.Si las desigualdades representan dos o más incógnitas; representaninecuaciones simultánea de primero o segundo grado.- En el proceso dedesarrollo se utilizan las propiedades indicadas.Demuéstrese, mediante sustitución directa, que el número dado aladerecha en los problemas 5 a 12 es una raíz de la ecuación propuestaen cada problema. EJERCICIOS RESUELTOS1. 6x + 1 = 8 – 8x, 1 . 26x + 1 =8 - 8x6x + 8x = 8 -1 14x = 7 x= 1 2 222

MATEMÁTICA BÁSICA I2. x 3 x 1 5, 5 43 6 x3 - x1 = 5 4 3 6 C1D 12 3(x-3) - 4(x-1) = - 10 - 3x-9 - 4x+4 = 10 -x = -5 x=53. ax + bc – bx = ac, cax - bx = ac - bc x(a-b) = c(a-b) x = c(a b) ab x=c4. bx 1 a ab bx , 1bx bx a bx 1 + a = ab bx bx + bx bx - 1 + a(b+x) bx - 1 + ab+ax = ab + bx bx - bx ab - ab + = ab + bx =1 ax =1 ax x= 1 a 223

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS5. 4x + 1 = 6x – 3,2.6. 9x – 3 = 10x + 3, -6.7. 5x – 1 = 3x + 2, 3 28. 2x 4 x 1 x 2, 17 249. 2x 1 x x 2 , 8 3 4 6310. x 1 2 3 ,2x1 x 1311. a2x – b = a – abx, 1 a12. a x b 2b x , b aba aResuélvanse las ecuaciones de los problemas 18 a 72. EJERCICIOS RESUELTOS13. 4 (3x – 1) = -5 (-3x + 2) a(3x-1) = -5(-3x+2) 12x - 4 = 15x – 10 12x -15x = -10 + 4 -3x = -6 x=2 224

MATEMÁTICA BÁSICA I14. 8 3 x 1 3 2 x 1 5x 9. 24 3 8 3x 1 - 3 2x 1 = 5x-9 24 3 12x - 2 - 2x + 3 = 5x – 9 10x - 5x = -9 – 1 5x = -10 x = -215. 4 1 x 3 2 x 533 33 4 - x - 3 = 2x - 5 33 33 4 - x - 9 = 2-x - 5 -x - 2x = -5 - 4 + 9 3x = 0 x=016. x – b = 1 - abx a x- b = 1 - abx a ax - ab = ¡Error! No se 1 pueden crear ax - a2bx = x(a a2b) = ab - objetos ab modificando códigos de campo. +1 +1 x= ab 1 x= a a2b x= ab 1 a(1 ab) 1 a 225

MATEMÁTICA BÁSICA I17. x 1 x 1 2x x1x 3 x 1 x 3 (x 3) (x 1)x1 + x1 = 2x + x1x 3 x 1 x 3 (x 3)(x 1) c1d = (x-3)(x- 1) (x+1)(x-(x+1)(x-1) + 3) = 2x(x-1) + x+1x2 -1 + x2 -2x -3 = 2 x2 -2x + x + 1x2 + x2 -2 x2 - 2x+2x-x = 1 +1 + 3 -x = 4 x = -4 EJERCICIOS PROPUESTOS18. 5x = 3x + 619. 9x + 1 = 2x – 1320. 7x + 4 = 3x + 621. 5x – 1 = 2x + 122. 6x – 3 = 7x + 223. 8x – 5 = 7 + 4r24. 7x – 3 = 2 – 3x25. 9 – 8x = 7x + 326. S (x + 2) – (x – 4) = 027. 3 (5x – 2) + 4 (1 – 3x) = 028. 7x (4x + 15) – 6 (8x + 4) = 129. 4 1 x 1 1 (8x 6) 24 230. 6 2 x 1 2 (12x 6) 5. 36 3 226

MATEMÁTICA BÁSICA I31. 9 4 x 2 12 3 x 1 7x 4. 33 4632. 1 x 3 x 5 124 433. 3 x 2 2x 4 1 x43 3434. 1 x 2 3 x 7 2 2 32 335. 1 x 5 7 x 1 2636. 3 x 5 1 x 7 4237. 2 x 1 1 x 1 3238. 3 x 2 1 x 2 5 3539. ax - 1 = 1 - bx ab40. ax + b (1 - x) = 26 – a41. a + b2x = a2x – b 3x 142. = 2x + 3 243. x = 2 - 2x 4 344. x 1 2 x 6 26 227

MATEMÁTICA BÁSICA I45. 4x 2 1 3x 2 34 x2 x 146. 3 32 3x 4 4x 547. 4 - 12 448. 2x 5 3x 2 5 5 3649. 5x 3 2x 4 7 4 33 4x 3 2x 450. x 1 6951. 3x 5 2x 7 3x 21 54 552. 2x 5 3x 2 2x 3 69 253. 6x 7 4x 3 2(6 2x) 0 53 ax b bx a b54. a aa55. cx d dx c c 2 d2 dc cd56. a2 x b2 bx a ab ab a b57. 2px 3q p 3qx 3q p qp 228

MATEMÁTICA BÁSICA I58. x 3 x 4 x1 x259. 2x 5 3x 5 4x 1 6x 160. 4x 3 8x 5 2x 3 4x 161. 3x 3 3x 4 2x 1 2x 562. 2 3 6 x 1 x 3 (x 1)(x 3)63. 5 4 10 x 1 x 2 (x 1)(x 2)64. 3 5 10 x 2 x 4 x2 2x 865. 1 1 10 x 3 x 3 x2 966. 4 3 8 x 2 x 1 x2 x 267. 1 3 3 2x 3 x 3 2x2 3x 968. 21 5 x 2 2x 1 2x2 3x 269. 4 3 5 0 2x 3 x 2 5x 4 229

MATEMÁTICA BÁSICA I70. 4 1 5 3x 2 2x 3 6x 371. 4 3 13x 1 2x 3 6x 2472. 4 2 1 4x 5 x 4 x 3Demuéstrese que las ecuaciones de los problemas 73 a 80 no tienensolución.73. 4x 7 3 1x2 x274. 2 1 4 2xx1 x1 21175. x2 1 x 1 x 276. 1 1 1x 2 x 3 x2 5x 677. x 1 1 x 1 x2 1x2 x 1 (x 1)(x 2)78. x 1 x x1 x2 x2 x1 x 1 (x 1) (x 2) x1 x3 x1 x2 x 179. x1 x 1 (x 2) (x 1) x25.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DEECUACIONES Un problema que se puede resolver mediante una ecuación,comprende varias cantidades de las cuales unas son conocidas y otras 230

MATEMÁTICA BÁSICA Idesconocidas. Igualmente contiene datos que permiten observar laigualdad entre dos combinaciones de esas cantidades. Si el problema sepuede resolver mediante una ecuación de una variable, entonces lascantidades desconocidas deben expresarse en términos de una solaletra.El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de unaecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere unapráctica considerable. Para ello se sugiere el siguiente esquema:1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede perfectamente clara la situación que plantea.2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas.3. Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla mediante una letra, generalmente x. Después, expresar las otras cantidades desconocidas en términos de esta letra.4. Buscar en problema los datos que indiquen qué cantidades o qué combinaciones de éstas son iguales.5. Formular la ecuación, igualando las cantidades o combinaciones apropiadas encontradas en el paso anterior.6. Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución.A continuación se expondrán algunos ejemplos de los varios tipos deproblemas que pueden resolverse mediante el uso de ecuaciones. Elprocedimiento general que se explica en esos ejemplos se puede aplicara los problemas similares que se presentan, y a todos los ejercicios queaparezcan en este trabajo y que comprendan el planteo de problemas. 231

MATEMÁTICA BÁSICA I1. Problemas que implican movimiento a velocidad uniforme. Generalmente los problemas de este tipo establecen una relación entre distancias recorridas, entre velocidades o entre tiempos empleados. La fórmula fundamental para estos problemas es: d = vt EJERCICIOS RESUELTOS1. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 57.x x + x + 1 + x + 2 = 57 -x+ 1 3x = 57 3 3x = 54x+2 x = 18Los números son : 18; 19; 202. Los señores Fernández, González y Ramírez compraron una tienda en S/.25,000. Entre Fernández y González aportaron S/.17,000, en tanto que Ramírez puso S/.1,000.00 más que González. Encuéntrese la cantidad de dinero que puso cada uno.F 17,00 - x 1000 0 0Gx 7000R x + 100 0 800017,000 - x + x + x + 1000 = 25000 x = 25000 - 18000 x = 7000 232

MATEMÁTICA BÁSICA I3. La renta producida por dos casas en un año fue de S/. 15,700.00. Encuéntrese la renta mensual de cada una, si entre sí difieren en S/. 250.00 y la más cara estuvo desocupada dos meses.x - 250 10x + 12(x - 250) = 15700x 10x + 12x - 3000 = 15700 22x = 18700 x = 18700 22 x = 850 y = 6004. Un estanque se puede llenar en 3 horas con el agua que recibe deun tubo y se puede vaciar en 5 horas abriendo la válvula del tubode drenaje. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque dejandoabiertas las válvulas de los dos tubos?En una hora 1 del estanque se desagua en una hora 1 35 x1 1 1 35x2 1 2x = 15 15 x = 7.5 Llena el estanque en 7 horas y media5. Una persona puede remar 2 kilómetros río arriba y 6 kilómetros río abajo en el mismo tiempo. Si la velocidad de la corriente es 2 km/hr, encuéntrese la velocidad del bote en agua estancada.Velocidad en agua tranquila: x V= 2k/h 2 = 6 x2 = x22(x+2) = 6(x-2) 2x+4 = 6x-12 16 4x 233

MATEMÁTICA BÁSICA I x = 4 k/h EJERCICIOS PROPUESTOS6. Encuéntrense dos números tales que uno sea 4 veces mayor que el doble del otro, y que la suma de ambos sea 37.7. Encuéntrese dos números tales que uno sea 5 veces menor que el triple del otro, y que la suma de ambos sea 19.8. Encuéntrese la longitud de cada lado de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 82 metros y que un lado es 7 veces mayor que el otro.9. Encuéntrese las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 84 metros y que el largo es el doble del ancho.10. Tomás tiene S/. 13.00 más que Ricardo, ¿Cuánto dinero tiene cada uno si entre los dos reúnen S/. 29.00?11. Después de pagar S/. 3.00 Juan a Tomás, ambos tienen igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tenía antes de que se efectuara el pago, si el primero tenía el doble que el segundo?12. Entre tres hermanos, Tomás, Ricardo y Enrique, compraron un automóvil usado. Tomás contribuyó con una cantidad igual a un cuarto del precio del automóvil. Ricardo pagó S/. 50.00 más que Tomás y Enrique S/.50.00 más que Ricardo. Encuéntrese el precio pagado por el automóvil.13. Un hombre cercó un terreno rectangular de 60 metros de frente y 400 metros de perímetro a un costo de S/. 3,720.00. Si el costo 234

MATEMÁTICA BÁSICA I de la cerca del frente fue S/. 2.00 mayor por metro que el de los otros tres lados, encuéntrese el precio por metro en cada caso.14. Un terreno rectangular que tiene 420 metros de perímetro está cercado con una barda cuyo costo es de S/. 12.00 por metro en la parte del frente y de S/. 10.00 por metro en los otros tres lados. Encuéntrense las dimensiones del terreno si el costo total de la barda del frente fue un quinto del costo del resto de la barda.15. Un granjero vendió 15 cerdos, 20 novillos y 10 caballos por S/. 31,500.00 Cada cerdo se vendió por 4 del precio de cada 9 novillo y el precio de cada caballo fue de S/. 350.00 mayor que el precio por cerdo. Encuéntrese el precio de cada uno.16. Una parte de S/. 7,000.00 se invirtió al 3 por ciento y la otra parte al 4 por ciento. Si el interés devengado fue de S/. 240.00, encuéntrese el valor de cada parte.17. Un 1° de enero, el señor González invirtió su dinero en cierto tipo de acciones que pagaban un dividendo anual de 4 por ciento. Al principiar el segundo año vendió parte de sus acciones por valor de S/. 3,000.00 y reinvirtió este dinero en un negocio que pagaba 5 por ciento anual. Si el interés devengado en estas inversiones en dos años fue de S/. 430.00, encuéntrese el valor de la inversión original.18. Si se agrega 27 a un número de dos cifras, los dígitos de las unidades y de las decenas se invierten. Encuéntrense los números si el dígito de las unidades es doble que el de las decenas. 235

MATEMÁTICA BÁSICA I19. En un número de tres cifras, cada dígito después del primero es doble del que le precede. Si a ese número se agrega 297 se intercambia el dígito de las centenas con el de las unidades. Encuéntrese el número.20. Un padre y su hijo tienen 30 años y 6 de edad, respectivamente. ¿En cuántos años más el padre tendrá la edad doble que la del hijo?21. Juan es 3 veces mayor que Roberto, y en 6 años más su edad será el doble. Encuéntrese la edad actual de cada uno.22. En una caja se tienen S/. 6.00 en monedas de 5, 10 y 25 centavos respectivamente. El número de monedas de 10 centavos es doble del de las de 25 centavos y el número de la de 5 centavos es igual a la suma de las de 10 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en la caja?23. Un automóvil sale de Monterrey a las 13 horas con dirección a Torreón y otro sale de Torreón a Monterrey a las 14 horas del mismo día. En el camino se encuentran a las16 horas. La velocidad del segundo automóvil era de 16 km/hr. Menor que la del primero y las dos ciudades están a 392 km. Una de otra. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil.24. Dos barcos se encuentran a mitad del océano y luego continúan navegando en direcciones opuestas. Después de 7 horas están a 280 millas náuticas uno de otro. Encuéntrese la velocidad de cada uno sabiendo que éstas difieren entre sí 5 nudos.25. Dos personas salen del mismo hotel al mismo tiempo y viajan en igual dirección sobre una misma carretera. Después de 5 horas sus automóviles se encuentran a 80 kilómetros uno de otro. 236

MATEMÁTICA BÁSICA I Encuéntrense las velocidades de cada uno, si uno de ellos es 5 6 más rápido que el otro.26. Cinco minutos después de haber ocurrido un accidente automovilístico y de haber huido el culpable, llega al lugar del accidente un automóvil de la policía. Este inicia inmediatamente la persecución del culpable y lo alcanza después de 1 hr. 10 min. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que la del automóvil de la policía fue 8 km/hr. Mayor que la del otro.27. Un piloto vuela de un aeropuerto a otro a la velocidad de 288 km/hr y regresa a su punto de partida a la velocidad de 240 km/hr. Si el viaje de ida empleó 1 hora menos que en el de regreso, encuéntrese la distancia entre los dos aeropuertos.28. Dos grupos de turistas salen de un mismo hotel, en sus respectivos automóviles, para recorrer una carretera que forma un circuito cerrado y a lo largo de la cual se puede contemplar el paisaje. Al salir, cada automóvil lo hace en dirección opuesta. Un automóvil viaja a 80 km/hr. Y el otro a 68 km/hr. Encuéntrese la distancia recorrida si el automóvil más rápido la recorre en 54 min. menos que el otro.29. Un agricultor puede arar un terreno en 4 días. Su hijo, empleando maquinaria más pequeña puede hacerlo en 8 días. ¿En cuánto tiempo pueden arar el terreno si trabajan conjuntamente?30. Un operario puede pintar un techo en 12 horas y su ayudante puede hacerlo en 15 horas. ¿En cuánto tiempo pueden pintarlo trabajando los dos simultáneamente? 237

MATEMÁTICA BÁSICA I31. El mayor de tres hermanos puede segar un prado en 3 horas; el segundo hermano puede cortarlo en 4 horas y el menor de los tres en 6 horas. ¿Cuánto tiempo emplearán si lo hacen conjuntamente?32. Si en el problema anterior el hermano menor empieza sólo el trabajo y después de 3 horas empiezan a ayudarle los otros dos, ¿en cuánto tiempo terminan de segar el prado?33. En una piscina la entrada de agua se hace a través de dos tubos. Con el agua proveniente de uno de ellos se puede llenar en 12 horas y con la del otro en 8 horas. ¿En cuánto tiempo se llena si recibe agua de ambos?34. Si en el problema anterior se abre la válvula del menor de los tubos y hasta pasadas 3 horas se abre la válvula del otro, ¿en cuánto tiempo se llena la piscina?35. Un tanque que se emplea para regar puede llenarse en 6 horas y vaciarse en 4 horas. Si al comenzar un cierto trabajo el tanque está lleno y al mismo tiempo se abren las válvulas de entrada y de salida del agua, ¿en cuánto tiempo se vacía el tanque?36. ¿Cuántos kilogramos de tabaco de precio S/. 50.00 por kilogramo se deben mezclar con 30 kilogramos de otro cuyo precio es S/. 60.00 por kilogramo para poder vender la mezcla obtenida al precio de S/. 56.00 por kilogramo?37. Una persona mezcla café de precio S/. 11.60 por kilogramo con 80 kilogramos de otro cuyo precio es de S/. 16.80 por kilogramo, con el deseo de obtener una mezcla que pueda venderse al precio de S/. 14.80 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de la variedad más barata deben emplearse en la mezcla? 238

MATEMÁTICA BÁSICA I38. Un químico agrega una cierta cantidad de una solución de 86 por ciento de alcohol, a 11 litros de otra solución al 71 por ciento de alcohol. Obtiene una solución al 77 por ciento de alcohol. Encuéntrese la cantidad de litros de la primera solución que se agregaron a la segunda.39. Una pieza metálica que contiene 59 por ciento de plata se agrega a 70 kilogramos de una aleación al 83 por ciento de plata. Se obtiene una aleación de 73 por ciento de plata. Encuéntrese cuántos kilogramos de la pieza metálica se emplearon.40. Se llena el radiador de un automóvil, de capacidad 24 litros, con una solución al 25 por ciento de alcohol. ¿Cuántos litros se deben sacar del radiador y reemplazarlos con una solución al 70 por ciento de alcohol, para dejar en el radiador una solución al 40 por ciento de alcohol?41. El radiador de un automóvil tiene una pequeña rotura y se hace necesario ponerle agua durante el viaje. El radiador de capacidad 24 litros, se llena con una solución al 30 por ciento de alcohol al iniciar el viaje. Al finalizar éste se llena con agua y la solución queda al 25 por ciento de alcohol. Encuéntrese la cantidad de agua agregada.42. Un aeropuerto B está al norte de otro A. Un piloto vuela por la mañana de A a B y regresa por la tarde. En el curso de la mañana soplaba viento del sur a la velocidad de 16 km/hr, y por la tarde el viento cambió de dirección proviniendo del norte a la velocidad de 30 km/hr. Si el viaje de la mañana se hizo en 4 ½ horas y el de la tarde en 4 horas, encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire. 239

MATEMÁTICA BÁSICA I43. un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo, 160 km. En una carretera pavimentada y 120km en un camino de herradura. Encuéntrese la velocidad media en cada tramo de camino, si la velocidad en la carretera pavimentada es 15 km/hr mayor que en el camino.44. Los aeropuertos A y C están localizados a 1240 kilómetros al oeste y a 960 kilómetros al norte de B respectivamente. Un piloto vuela de A a B, descansa ahí dos horas y continúa después hasta C. Estuvo soplando viento del oeste con velocidad de 32 Km/hr, durante la primera parte del viaje y viento del norte con velocidad de 40 km/hr, durante la segunda parte. Encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire si los dos tramos del recorrido se hicieron en igual tiempo.45. Una persona sale de su casa y viaja en automóvil con una velocidad de 72 km/hr hasta llegar a un aeropuerto; ahí espera 10 minutos y luego continúa su viaje en un avión con velocidad de 192 km/hr. Si durante el viaje recorre 384 kilómetros y el tiempo total empleado es de 3 horas, encuéntrese la distancia de su casa al aeropuerto.46. Un vaquero cuyo caballo se rompió una pierna, camina hasta el rancho más próximo en donde alquila otro caballo y regresa después a su propio rancho. Si recorre en total 22.4 kilómetros, parte a pie y parte a caballo, y si las velocidades en cada caso son 48 km/kr y 9.6 km/kr., encuéntrese la distancia que hay entre el lugar del accidente y su rancho si en el recorrido total empleó 3 horas. 240

MATEMÁTICA BÁSICA I47. Una persona ejerce una fuerza de 75 kilogramos sobre un extremo de una palanca de 5 metros de largo. ¿En dónde debe colocarse el punto de apoyo para que levante un peso de 300 kilogramos?48. Dos niñas cuyos pesos son 25 y 30 kilogramos respectivamente, se balancean en una tabla de 4 metros de largo. ¿A qué distancia de la niña de menor peso está el punto de apoyo?5.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado con varias incógnita, admitediferentes métodos de solución. Para que se puede resolver unaecuación simultánea con varias incógnitas; es necesario que estéconstituido por tantas ecuaciones; como incógnitas tenga. De locontrario serán indeterminado (varias soluciones). Se presentanconsecuentemente ecuaciones simultáneamente imposibles de solución.MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES SIMULTÁNEAS1. Transposición.- En una las ecuaciones se despeja una de las incógnitas; y se reemplaza en la otra; desarrollándose como una ecuación de primer grado con una incógnita. El mismo número hallado al reemplazar en la ecuación despejada.2. Igualación.- En ambas ecuaciones se despeja la misma incógnita y se igualan, resolviéndose como una ecuación de primer grado con una incógnita. El número hallado se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas.3. Eliminación.- Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas con signo cambiado; se suma, el resultado se reemplaza en una de las ecuaciones; así sucesivamente. 241

MATEMÁTICA BÁSICA I4. Método de Cramer.- Mediante determinantes.Resuélvanse los pares de ecuaciones de los problemas 3 a 16 por elmétodo de adición o sustracción EJERCICIOS RESUELTOS1. x + 2y = 5 3- y= 1 - y = -2 3x – y = 1 y= 2 x + 2y = 5 3x - y = 1 x + 2y = 5 6x - 2y = 2 7x = 7 x =12. 20x - 30y = -27 20( 3 ) - 30y = -27 8x + 15y = 0 4 20x - 30y = -27 -15 - 30y = -27 8x + 15y = 0 - 30y = -12 20x - 30y = -27 16x + 30y = 0 y = 12 30 36x = -27 x= 3 y=2 4 5 EJERCICIOS PROPUESTOS3. 3x – 4y = -2 4. 4x + 3y = -1 x + 2y = -4 2x – y = 7 242

MATEMÁTICA BÁSICA I5. 6 – 5y = -4 12. 24x + 12y = 49 3x + y = 5 3x + 8y = -26. 2x + 3y = 3 2x 1y 1 3x + 5y = 4 13. 3 47. 5x - 4y = 1 1x 3y 4 2x - 3y = 6 348. 3x + 8y = 1 1x 3y 3 2x + 7y = 4 14. 2 59. 4x + 5y = 1 3x 2y 2 3x + 2y = -8 2510. 2x + 4y = 11 3 x 2y 1 4x - 3y = 9 15. 4 4 2x y 3 3411. 3x - 2y = 1 3x 1y 2 12x - 18y = -11 16. 2 3 1x 1y 1 46Resuélvanse por sustitución de los pares de ecuaciones de losproblemas 18 a 32. EJERCICIO RESUELTO17. 8x + 3y = 12 8(3) + 3y = 12 6x – y = 22 3y = 12 - 24 8x + 3y = 12 6x - y = 22 243

MATEMÁTICA BÁSICA I8x + 3y = 12 3y = -1218x - 3y = 66 y= 426x = 78 x=3 EJERCICIOS PROPUESTOS18. 2x + 7y = 3 26. 2x - 4y = -5 x – 5y = -7 4x + 2y = 519. 4x + 9y = -1 27. 3x + 4y = 5 5x – y = 11 24x – 36y = -1120. 5x - 7y = 1 28. 5x + 2y = 3 x + 3y = 9 30x – 50y = -1321. 7x - 3y = -1 1x 1y 3 3x – 2y = -4 29. 2 3 222. 4x + 5y = -14 x 2y 5 2x – 3y = 26 3x 2y 123. 6x + 5y = 5 30. 2 3 4x + 3y = 1 3x 2y 024. 3x - 5y = -10 4x – 3y = 16 2x 3y 5 31. 3 4 625. x + 2y = 3 12x – 18y = 1 4x 3y 4 5x 2y 1 32. 3 5 4 2x y 1 244

MATEMÁTICA BÁSICA IEJERCICIOS PROPUESTOS1. 2x – y + z = 7 8. 2x - 3y + 3z = -9x – 2y – z = 2 5x - 7y + z = -13x + 2y + z = 2 3x – 2y + z = 72. 3x + y + 2z = 1 9. 3x + 5y + 2z = -7 2x – y – 3z = -6 2x + 4y + 3z = -2 x + y + 2z = -3 5x + 7y + 5z = 33. x + y + 2z = 3 10. 2x - 3y + 2z = 13 x + 2y + 4z = 3 3x + 5y - 3z = 31 x – 3y – 5z = 5 5x + 2y – 5z = 204. 2x + 3y + z = 8 11. 4x + 2y - 6z = 10 3x + 2y + z = -5 3x - 5y + 7z = -7 x + 3y + z = 6 5x + 3y – 5z = 175. 3x - 2y + z = -1 12. 4x + 2y - 3z = 10 2x + 3y + 2z = 17 5x - 3y + 2z = 8 4x – 4y – z = -1 3x + 5y – 7z = 66. 5x + 2y + 2z = -9 13. 2x + 3y + 4z = 6 3x - y + z = 8 3x - 6y + 2z = 2 7x + y + 4z = -3 4x + 9y – 8z = 27. x + 2y + 3z = 6 14. 6x - 5y - 3z = 3 x + 3y + 2z = -2 4x - 10y + 6z = 10 2x + 15y – 9z = -3 2x + 5y + 7z = 10 245

MATEMÁTICA BÁSICA I 22. 3x + y =915. 8x - 6y + 4z = 5 2x + z=3 4x + 9y - 8z = 5 6x + 3y + 3z = 10 2x + 3y – 5z = -4316. 3x - 4y + 6z = -2 23. x + 2y = 3 6x + 2y + 3z = 7 y + 2z = 2 2x + 8y + 4z = 12 3x – 5y + 6z = 817. 4x + 3y + 2z = 6 2x - 6y + z = -7 24. 4y + z = 4 6x + 9y - 3z = 0 3x + z = 5 3x – 4y + 5z = 1618. 10x + 5y - 4z = 6 x + y + 4z = 2 25. x + 2z = -3 6x + y – 8z = 1 2y + z = 319. 6x - 3y + 2z = 6 2x – 3y =2 2x - y + 4z = 8 3x - 6y + 2z = 2 26. x - 3y =120. 8x - 6y - 3z = 4 y + 2z = 14 16x - 2y + z = 9 4x – 3y + 6z = 7 3x + 2z = 121. x + 2z = 5 27. 3x + z = 1 y + 3z = 14 3x + 2y – 3z = -17 3y + 2z = -1 4x - 3y = -1 28. 2x + 3y = -12 4x - z=3 3y + 9z = 3 246

MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse los problemas siguientes introduciendo más de unavariable. EJERCICIOS RESUELTOS1. Entre dos hermanos compran una bicicleta en S/. 300.00. Encuéntrese la cantidad que aportó cada uno, si uno de ellos pagó S/.12.00 más que el otro.x y 300 156 y 300x y 12 y 300 156 2x 312 y 144x 156Rpta: Pagaron S/.156 y S/.144.2. Un pescador fue hasta un lago y luego regresó por otro camino que era 15 km. más largo que el de ida. Si en total recorrió 265 km., encuéntrese la distancia recorrida en cada camino.x y 15 y 265 140x y 265 y 125 2x 280 x 140Rpta: 140 Km. Y 125 Km.3. Un granjero vendió 30 aves, entre gallinas y gallos, en S/. 500.00. Si recibió S/. 10.00 por cada gallo y S/. 20.00 por cada gallina, encuéntrese el número de cada variedad. 247

MATEMÁTICA BÁSICA Ix y 30 x 30 2010x 20 y 500 x 10 x y 30 x 2 y 50 y 20 y 20Rpta: Vendió 20 gallinas y 10 gallos. EJERCICIOS PROPUESTOS4. Después de haber pagado Jaime a Francisco S/. 5.00, aquél tenía la mitad de dinero que éste. Si entre los dos juntaban S/. 21.00, encuéntrese la cantidad de dinero que originalmente poseía cada uno.5. La colecta de la Cruz Roja en una escuela primaria fue de S/. 45.00 Si había 650 niños y cada uno aportó una moneda de cinco centavos o una de diez centavos, encuéntrese cuántas monedas de cada valor hubo en la colecta.6. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 11. Si los dígitos se invierten, el número se incrementa en 45. Encuéntrese el número.7. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 8. Si el número se sustrae del que se obtiene al invertir los dígitos, el resultado es 18. Encuéntrese el número.8. Un hombre y su esposa hacen cada uno su lista de compras y encuentran que la suma de los dos es S/. 850.00. La señora elimina entonces un artículo cuyo costo equivalía a la novena 248

MATEMÁTICA BÁSICA I parte de su pedido y su marido a su vez elimina otro por valor de un octavo del importe de su lista. Si con estas supresiones podían gastar S/.100.00 menos, encuéntrese el valor del pedido original de cada uno.9. Durante el año de 1950, un propietario recibió S/. 18,100.00 por concepto de rentas de dos casas, aún cuando una de ellas estuvo desalquilada dos meses. Si la suma de las rentas por mes, fue S/. 1,650.00, encuéntrese el valor de la renta de cada una.10. Un contratista tiene 40 operarios en su lista de raya. A una parte de ellos les paga a razón de S/. 8.00 diarios y a los otros a S/. 10.00 también diarios. Encuéntrese cuántos trabajadores hay con un sueldo y cuántos con otro, sabiendo que el importe diario de salarios es de S/. 350.00.11. En 10 meses el propietario de una casa recibe por concepto de renta una cantidad que es S/. 500.00 menor que el 10 por ciento del valor de la casa. Durante los 12 meses siguientes, y cobrando S/. 50.00 menos por mes, recibió una cantidad que fue S/. 100.00 mayor que el 10 por ciento del valor de la casa. Encuéntrese el valor de la casa y la renta mensual durante los 10 primeros meses.12. Un grupo de 40 estudiantes hizo un viaje de excursión en un autobús de alquiler y en varios de sus automóviles. El pago en el autobús fue a razón de S/.15.00 por persona y los que fueron en auto contribuyeron con S/. 12.50 cada uno para pagar los gastos. Encuéntrese cuántos estudiantes viajaron en autobús, sabiendo que el costo total por transporte fue S/. 575.00. 249

MATEMÁTICA BÁSICA I13. Dos jóvenes cuyo peso total es 156 kg., se balancean en una viga. Si el punto de apoyo está a 2.1 mts., de uno y a 1.8 mts del otro, encuéntrese los respectivos pesos.14. Las cantidades que una persona ha invertido en dos compañías distintas, difieren entre sí en S/. 250.00. La mayor de ellas reditúa 4 por ciento y la otra 3 por ciento. Encuéntrese el valor de cada una sabiendo que el ingreso total que recibe al año es de S/. 272.50.15. Un piloto viajó hasta un aeropuerto 700 km. al norte y regresó al punto de partida. Durante todo el viaje estuvo soplando viento del norte a velocidad constante. Encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire y la velocidad del viento, si el tiempo empleado en la primera parte del viaje fue 7 horas y 5 horas de regreso.16. Un estudiante va a su casa en vacaciones. El viaje de ida lo hace en autobús y el de regreso en automóvil, pero por un camino más corto. Las velocidades medias del autobús y del automóvil fueron 80 km/hr., y 96 km/hr., respectivamente. Encuéntrese las distancias recorridas en cada parte del viaje, si en total empleó 9 horas, y en el viaje de ida empleó una hora más que en el de regreso.17. Dos automóviles de turismo salen del mismo hotel al mismo tiempo y parten en direcciones opuestas por un camino que circunda un lago. Cuando se encuentra en el lado opuesto, el automóvil más rápido ha recorrido 150 km., y el otro, 120 km. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil, si el más rápido hace el recorrido completo en 1 hora 21 minutos menos que el otro. 250