libromatematicabas

1. a C MATEMÁTICA BÁSICA I2. b A3. c A 4. d B 5. e A 6. e AGraficar el diagrama lineal para los conjuntos:A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c}Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b}Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u}Sean los conjuntos: Q = {x/x, es un cuadrilátero} R = {x/x, es un rectángulo} H = {x/x, es un rombo} S = {x/x, es un cuadrado} Trazar el diagrama lineal.Se tienen los conjuntos:V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c}Y = {a; b} ; Z = {a; b; d}Trazar el diagrama lineal.Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ; Y = {a; b} y, Z = {a; b; d} Trazar el diagrama lineal. 51

MATEMÁTICA BÁSICA I Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para losconjuntos:{ }; S, y USi se tienen los conjuntos:(1) A B; (2) A B ; (3) A = B(4) A B ; (5) A BTrazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente.Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D. A B CDDeterminar seis afirmaciones del ejercicio anterior. Construir diagramas de Venn-Euler para losconjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio(4.23) Qué se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} } Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cuáles sonafirmaciones incorrectas y por qué? 52

1. {3; 4} A ; MATEMÁTICA BÁSICA I3. { {3; 4} } A ; 2. {3; 4} A 4. 4 A5. {4} A ; 6. 4 AHallar el conjunto potencia del conjuntoS = {3; {1; 4} }Cuáles de las afirmaciones se definen en un desarrolloaxiomático de la teoría de conjuntos:1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento;5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto.Representar en notación conjuntista, las afirmaciones:1. x no pertenece al conjunto A.2. R es subconjunto de S.3. d es elemento de E.4. F no es sub-conjunto de C.5. H no incluye a D.6. A es subconjunto de D.7. A y B son coordinables.8. A y B son disjuntos.Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B.Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F.Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler. 53

MATEMÁTICA BÁSICA I1. A B 2. A C 3. B C4. B B 5. A B 6. A C7. B C 8. USi A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y eldiagrama lineal. ; 2. (C – A) 3. (B – C)1. (A – B) ; 5. (A – A) 6. (A B)4. (B – A)7. (A C) ; 8. (B C)Si U = {1; 2; 3 ………8; 9}A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8}C = {3; 4; 5; 6}Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler:1. A‟ 2. B‟ 3. C‟4. (A C)‟ 5. (A C)‟ 6. (A – B)‟7. (C – B)‟ 8. (A B)‟ 9. (B C)‟10. (A C‟)‟ 11. (A B)‟ 12. (B C‟)‟13. (B‟ – C‟)‟Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12]C = {3; 4; 7; 13; 14}Hallar y graficar las operaciones:1. (A‟ – B‟) 2. (C‟ A) 3. (B‟ A)‟4. (A‟ B)‟ (A C‟)‟5. (A‟ B)‟ (C‟ B) 54

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma café 20 días y té 23 días. Cuántos días consume café y té simultáneamente. El mes de marzo tiene 31 días. Observemos y graficamos. té x caféSumamos: 20 + 23 =43 43 x 31 43 31 x 12 xRpta: 12 días tomo té y café2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de San Marcos, 103 estudian matemática; 90 Física y 89 Química, Matemática y Física 32; Matemática y Química 48; Física y Química 26. Cuántos estudian las 3 asignaturas y cuántos una sola asignatura. Grafiquemos y analicemos:103 90 103 73 x 200 45+x 32-x 10+x x 24 26-x 48-x 69 8 34 x 24 15-x 2 24 89 39Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura 55

MATEMÁTICA BÁSICA I3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B.4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Inglés y 56 Alemán. Cuántos hablan un solo idioma y cuántos ambos idiomas.5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne, 12 los tres productos. Cuántos han comprado exclusivamente dos productos.6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; y A B = x + y = 4. Cuántos elementos tiene A B?7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70% sintonizan radio; el 40% leen periódico, y el 10% observan televisión. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen periódico y el 4% observa televisión; el 90% de los que observan televisión, lee periódicos; del total 2% lee periódico, observa televisión y sintoniza radio. Cuántos no leen periódico, no sintonizan radio, ni observan televisión. Cuántos leen periódico únicamente?8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4};B = {1; 4; 13; 14} ;C = {2; 8} ;D = {10; 11; 12} ;Hallar: graficar los resultados:8.1) A B 8.13) (A B) – D 8.14) (A – B)‟ (B – D)8.2) A C B) 8.15) (A B)‟ (B – D)‟8.3) (D C)‟ D) 8.16) (A B) – (A B)‟8.4) B‟ 8.17) (A B)‟ – (C D)8.5) (C D 8.18) (A‟ C) (B – D‟)‟8.6) (C A)‟ 8.19) (A – B‟)‟ (C‟ – D)8.7) (C A)‟ B 8.20) (A B‟)‟ – (C‟ D)‟8.8) C‟ A)‟ (C8.9) (C8.10) C (A B)8.11) C A)‟ (C8.12) (A (A D)‟ |(A B)‟ B) – D‟ 56

MATEMÁTICA BÁSICA I9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo: A B = 34; A – B = 20; B – A = 16. Hallar: 5 {A – 4B}10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: sabían 56 Español; 60 Alemán y 84 Francés. Español y Alemán 16; Español y Francés 20 y Alemán y Francés 10. Los tres idiomas 6. a. Cuántos no estudiaban idiomas; b. Cuántos exclusivamente Francés.11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Inglés; 70 Alemán y 46 ambos idiomas. Cuántos no conocen ambos idiomas.12. Si se tienen los conjuntos: A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B = x + y Hallar: A B.13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Análisis Matemático; 128 Biología; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuántos estudian exclusivamente dos asignaturas.14. Se tienen los conjuntos: A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k} Hallar: A (B C)15. Si U = {a; b; c; d; e} B = {a; c} y A – B = {6}. Hallar A y B. A B = {a; b; c; d} ; A16. Si se tienen los conjuntos:A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2}C = {4; 5; 7; 9}Hallar:16.1) A B.16.2) (A B) C 57

MATEMÁTICA BÁSICA I16.3) A (B – C)16.4) C – (A‟ B)‟17. Si A B = {1; 2; 3; 4} A – B = {2} A B = {1; 3} y Hallar A y B.18. Si A B = {a; b; c; d} A – B = {b} A B = {a; c} y Hallar A y B.19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2} C = {-3; 1; 2}. Hallar y graficar. 19.1) B‟ 19.2) A‟ 19.3) (A B)‟ 19.4) A‟ B‟ 19.5) B C‟ 19.6) A‟ c 19.7) (B C)‟ 19.8) (A‟ B)‟20. Se tienen los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10}Hallar y graficar:20.1) A B20.2) A B20.3) A – B20.4) B – A20.5) A‟20.6) B‟20.7) (A B)‟ 58

MATEMÁTICA BÁSICA I20.8) A‟ B‟20.9) (A B‟)‟20.10) (A B‟)‟21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6} Hallar y graficar: 21.1) A‟ 21.2) B‟ 21.3) A‟ – B 21.4) B‟ – A 21.5) A‟ B‟ 21.6) (A‟ B‟)‟ 21.7) A B‟ 21.8) A‟ B‟22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14}A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8}Hallar y graficar:22.1) A B 22.9) A‟ C‟ 22.10) (A D)‟22.2) A C 22.11) (A C)‟ 22.12) (A B) – C22.3) B D 22.13) (A – B) (B – A)22.4) D C 22.14) (A B) - (A B)22.5) A‟ 22.15) (A – B) (B – A)22.6) A‟ B22.7) A‟ B‟ B)‟22.8) (A23. Si se tienen los conjuntos:A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9}C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9}Hallar y graficar:23.1) [ (A B) – (A C) ]‟23.2) [ (A B) – (A C) ]‟23.3) [ (A - B) (A – C) ]‟ 59

MATEMÁTICA BÁSICA I23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y BA B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A‟ = {2; 3; 5; 7}B‟ = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}Hallar y graficar:AyB25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C.25.1) A B.25.2) A C.25.3) (A B) C.25.4) (A B) C.25.5) A‟ B‟25.6) A – B25.7) (A B)‟25.8) (A B)‟25.9) A A‟25.10) A A‟25.11) A (B C)25.12) A (B C‟)26. Demostrar gráficamente que, sí se cumplen las propiedades conlos conjuntos: A; B y C.26.1) A B = B A.26.2) A B = B A.26.3) (A B) C = A (B C).26.4) (A B) C = A (B C).26.5) A (B C) = (A B) (A C).26.6) A‟ B‟ = (A B)‟26.7) A – B = A B‟26.8) A‟ B‟ = (A B)‟26.9) (A B) C = (A C) (B C) 60

MATEMÁTICA BÁSICA I26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C)26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C)26.12) A (A B)26.13) B (A B)26.14) (A B) A26.15) (A B) B26.16) A (B C) = (A B) (A C)27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56; Inglés 60; Francés 84; Italiano e Inglés 16; Italiano y Francés 20; Inglés y Francés 20; Italiano y Francés 10; los tres idiomas 6. 1. Cuántos no estudiaban ningún idioma. 2. Cuántos estudiaban un solo idioma. 3. En un salón de 68 estudiantes 48 juegan fútbol; 25 básket; y 30 natación. 6 de ellos practican los tres deportes. 4. Cuántos practican un solo deporte. 5. Cuántos practican dos deportes. 6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemática; 128 Física y 72 Química; 24 estudian los tres cursos. Cuántos estudian dos cursos. 61

MATEMÁTICA BÁSICA I 62

MATEMÁTICA BÁSICA I VECTORESCONCEPTOS BÁSICOSPAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquieraa y b; que denotaremos por (a,b), donde “a” es llamado la primeracomponente y “b” la segunda componente.Ejemplo.-Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , María), (hombre, mujer).Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primerascomponentes son iguales y las segundas también.En forma simbólica es:PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A yB, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde “a” pertenece alconjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B.Es decir :Sean y , el producto cartesiano de A y B es: 63

MATEMÁTICA BÁSICA I=Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados denúmeros reales.Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y alos puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremospor , etc.Gráfico:DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-Consideremos dos puntos y , a la distancia de adenotaremos por y es dado por la fórmula:Es decir: En él , porPitágoras si tiene:Además se tiene: 64

MATEMÁTICA BÁSICA IReemplazando (2) en (1) se tiene:SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2Dado dos puntos y de , la suma de elementos dese define del modo siguiente:MULTIPLICACIÓN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DER2Sean R y , el producto de un escalar r por un elementode que denotamos por y se define como:ESPACIO TRIDIMENSIONALEJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmenteidentificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del ejeX, del eje Y y del eje Z.La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes decoordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamadosplanos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planosdividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes. 65

MATEMÁTICA BÁSICA IConsidere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través dep se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados.Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta endicho eje.Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta endicho eje.Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta endicho eje.Los números , son las coordenadas de p y representaal punto p. 66

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- MATEMÁTICA BÁSICA ILa distancia no dirigida entre dos puntosespacio tridimensional está dado por: y en elDentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería seusan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones;por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleración ydesplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente porun segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector.Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigidode P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremospor: . 67

MATEMÁTICA BÁSICA IVECTORES BIDIMENSIONALES.-DEFINICION.-Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números reales , donde “x” se llama la primera componente y, “y” se llama lasegunda componente. a) OBSERVACION 1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra minúsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de recta o una flecha, es decir:2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por , tal que:3) Al vector cero simbolizaremos por .4) Si , entonces el opuesto del vector quedarádefinido por: .5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación dela otra: .6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de laotra: Donde es la primera componente. es la segunda componente. 68

MATEMÁTICA BÁSICA IREPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTORBIDIMENSIONALUn vector bidimensional es representado, mediante unsegmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier puntodel plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadasson , tal como se muestra en la figura.VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema decoordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrantedel plano cartesiano, se denomina, vector de posición o radio vector, asícomo se muestra en la figura.OBSERVACIÓN.- Al vector lo representaremos por cualquier puntosiendo su dirección indefinida. 69

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es , sabiendo que su representación de posición es: 1) 2) 3)VECTOR TRIDIMENSIONALDEFINICION.-Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales, donde son las componentes del vector.Así como las ternas ordenadas , determinan a losvectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes.a) OBSERVACIONES.-1) A los vectores tridimensionales se denota por: , , , …, etc.2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de modo que:3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero ysimbolizaremos por: . 70

4) Si MATEMÁTICA BÁSICA I por: , al puesto del vector quedara definido .INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTORTRIDIMENSIONAL.-Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremosmediante un segmento dirigido tal como ; donde es el puntoinicial y es el extremo libre del vector (tal comose muestra en la figura).VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.-Un vector es de posición, si el punto inicial coincide con elorigen de coordenadas y el extremo del vector está ubicado en cualquierpunto del espacio, tal como se muestra en la figura. 71

MATEMÁTICA BÁSICA IVECTOR n-DIMENSIONAL.-Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales quedenotaremos por , donde ,Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir:SiAl vector cero denotaremos por:El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por:OPERACIONES CON VECTORES.-IGUALDAD DE VECTORES.-Dos vectores son iguales si y sólo si, sus componentes correspondientestoman los mismos valores.Es decir: Si entonces escribimos:Si , y escribiremosasí:Si no son iguales, entonces escribiremos: para algún 72

MATEMÁTICA BÁSICA IINTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DEVECTORES.-VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la mismadirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y almismo punto terminal se denota por =VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes sitienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño perodiferente punto inicial y se denotaEjemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde =(5x + 3y, 4x-y-4),73

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónAplicando el concepto de igualdad de vectores. ≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7)5x + 3y = 4x + 2y + 5 de donde x=74x – y -4 = 3x + y +7 y = -2M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-Sea λ un escalar (λ € R) y sea un vector cualquiera entoncesllamaremos producto de λ por denotado por: λ. , al vectorresultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por λ, esto es:Si € ⇒ = ( luego λ = λ.( = (λ λSi € ⇒ = ( , luego λ = λ.( = (λ λen general si € luego λ = λ.( = (λ λEjemplo.- Sea = un vector donde: yλ 1. A(1,1), B(4,3), λ = 2 graficar los vectores 74

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución = = – A = (4,3) – (1,1)= (3,2)λ = 2(3,2) = (6,4)λ = -2(3,2) = (-6,-4)2. Si = (2,3) graficar 3 y -3 Solución3 = 3(2,3) = (6,9)-3 = -3(2,3) = (-6,-9)PROPIEDADES.- , se verifican lasPara todo es escalar r,s € R y los vectoressiguientes propiedades.1) r. es un vector. 2) (r + s) = r + s3) r( + ) = r + r 4) r(s. =5) 1. = 75

MATEMÁTICA BÁSICA ISUMA DE VECTORES.- + se obtieneDados los vectores y , el vector resultante sumasumando sus correspondientes componentes, esto es:Si , € ⇒ =( , =( =(Si , € ⇒ =( , =( =(Si , € ⇒ =( , =( =(Ejemplo.- = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1,Si = (3,5) y5 + 4) = (4,9)INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos losmétodos siguientes:1er. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.- desde el mismoSe dibujan las representaciones de los vectores y inicial de ) y sepunto (se hace coincidir los puntos terminal de 76

MATEMÁTICA BÁSICA Icompleta el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto comúnrepresenta .2do. MÈTODO DEL TRIÀNGULO.-Los vectores se grafican uno a continuación del otro, luego elvector resultante se obtiene del punto inicial del vector con elpunto final del vector .3er. MÈTODO DEL POLIGONO VECTORAL.-La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando losvectores una a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de unocon el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo elorigen del primer vector con el extremo del último vector. 77

MATEMÁTICA BÁSICA IPROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORESPara todo vector se verifica las siguientes propiedades: 1) es un vector. , neutro 2) = , conmutativa , 3) , asociativa 4) vector, existe un único vector tal que aditivo. 5) vector, existe un único vector tal que inverso aditivo.DIFERENCIA DE VECTORESConsideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores sedefine de la siguiente manera:Si = ( , = ( , de donde:Si =( , =( , de donde: 78

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Sean a   2a) 6a  ( 1,3) y b (4,8). Hallar 3.( b 2b Solución 2a (4,8) 2.( 1,3) (4,8) ( 2,6) (6,2)b6a  6.( 1,3) 2(4,8) ( 6,18) (8,16) ( 14,2) 2b  2a) 6a  3.(6,2) ( 14,2) (18,6) ( 14,2) (4,8)3(b 2bINTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DEVECTORES.-A los vectores a,  lo representamos por los segmentos dirigidos b PQ y PR con la condición de tener el tener es decir el origencomún en el punto P, entonces la diferencia de a,  es decir: a  b bquedara representado por el segmento dirigido QR puesto que  (a  a . b b)Ejemplo.- Dado la representación de a y  dibuje a  b b , usando ladefinición de resta y la regla del triangulo para la suma. 79

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónDibujando los vectores a  AC, desde el mismo punto inicial A. AB, b Ahora dibujamos bEmpleando la regla del triangulo para la suma se dibuja a  bLONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.-La longitud o módulo de un vector a es el número real no negativo,representado por a y es definido por la raíz cuadrada de la de loscuadrados de sus componentes, esto es:i) Si a V2 a (a1 , a2 ) de donde: a a12 a22cuya representación gráfica es: 80

MATEMÁTICA BÁSICA ISi a (a1, a2 ) es un vector de posición cuyo módulo yrepresentación gráfica es:ii) Si a V3 a (a1, a2 , a3 ) de donde:a a12 a 2 a32 2cuya representación gráfica es:Si a (a1, a2 , a3 ) V3 es un vector de posición cuyomódulo y representación gráfica es: 81

MATEMÁTICA BÁSICA I Sobre el plano XY se tiene d (a1 , a2 ) donde su móduloes: d a12 a22 . De donde al incluir el eje Z se tiene elmódulo del vector a (a1, a2 , a3 ), es decir:a 2 a32 a12 a22 a32 a a12 a22 a32 dEn general si a Vn a (a1, a2 , …, an ) de donde sumódulo es:a a12 a22 ... an2 n ai2 i1Ejemplo 1.- Si a (3 ,4) su módulo es:a 32 42 9 16 25 5Ejemplo 2.- Si a ( 1, 3, 4) su módulo es:a 1 9 16 26Ejemplo 3.- Si a ( 2, 4) y b ( 3, 5) entonces:2a 3b 2. 2,4 3 3,5 4,8 9,15 4 9,8 15 5, 7 5 2 7 2 25 49 74Ejemplo 4.- Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el módulode a 8 2x,5x 3z,2y z es igual a cero. 82

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónComo a V3 y a 0 a 0 0,0,0 , es decir:a 0,0,0 8 2x,5x 3z,2y z de donde2LuegoPROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTORSe verifican las siguientes propiedades: 1. vector 2. 3. vector, 4. (desigualdad triangular) Demostración1. Si = ( , como entoncesEn forma similar si =( 83

MATEMÁTICA BÁSICA I2. SiSi = ( entoncesEn forma similar si ⇒ . Por lo tanto = ( entonces Por tanto entonces: su módulo Si Si Si3. Si = ( es:Por lo tanto , entonces:Si = ( . Por lo tanto:4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ. 84

MATEMÁTICA BÁSICA IVECTOR UNITARIO.- es unSe llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir:vector unitario si y solo si = 1.Ejemplo.- El vector es unitario por que =TEOREMA entonces el vector es un vector unitario.Dado un vector DemostraciónSea = ( entonces: es unitario siEs decirPor lo tanto como entones es unitario.En forma similar para los vectoresEjemplo.- Si , por lo tanto: es unitario.DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2Cada vector no nulo = ( y su representación como radio vector lecorresponde una dirección dad por la medida del ángulo formado por elvector y el eje X positivo en sentido antihorario. 85

MATEMÁTICA BÁSICA I Si = ( ... (1)además y de (1) se tiene: =(Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y sudirección.Si es un vector unitario es decirLuego si es un vector unitario se puede expresar en función de esdecir:Y el ángulo se denomina ángulo de inclinación o ángulo de direccióndel vectorOBSERVACION.- la medida del ángulo se obtiene de la formasiguiente.Mediante un ángulo de referencia y haciendo uso de una tabla devalores se halla el valor de con para el cual , 86

MATEMÁTICA BÁSICA ISi 1er. cuadrante: , 2do. cuadrante: , 3er. cuadrante: , 4to. cuadrante:Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la mismadirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivodel eje X. Solución= 87

MATEMÁTICA BÁSICA I en términos de su magnitud yEjemplo.- Expresar el vectorsu ángulo de inclinación o dirección. SoluciónComo , de dondeCalculando se tiene 4to. CuadranteDondeLuegoPor lo tantoCONBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.-Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinaciónlineal de los vectores , a la expresión siguiente:DondeDEFINICIONDiremos que el vector esta expresado en combinación lineal de losvectores y si existen escalares , tal que: 88

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y siendo SoluciónEl vector es expresado en combinación lineal de los vectores y siexisten , R tal que: .(2,2)=De donde resolviendo el sistema si tiene ,Luego la combinación lineal es:DEFINICION de n vectores se dice que son linealmenteUn conjuntoindependiente, si toda combinación lineal igualada al vector nulo. ,, implica queCuando los vectores no son linealmente independiente se dice que sonlinealmente dependientes. 89

MATEMÁTICA BÁSICA IOBSERVACION 1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los vectores y son colineales. 2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los vectores y son no colineales.Ejemplo 1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores ,. Solución Utilizando la definición correspondiente, formularemos la combinación lineal y determinaremos las escalares respectivos siempre que sea posible. , de donde por igualdad 90

resolviendo el sistema se tiene MATEMÁTICA BÁSICA I arbitrario. , donde esEntonces , y son linealmente dependiente.2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores SoluciónEn forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores , y en combinación lineal.de donde por igualdadresolviendo el sistema se tiene:Entonces los vectores , y son linealmente independiente.VECTORES FUNDAMENTALESConsideremos los vectores y en al cual denotaremos así:, estos vectores son unitarios y se representan a partirdel origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados ensentido positivo al de los ejes; a estos vectores se lesdenomina vectores fundamentales. 91

MATEMÁTICA BÁSICA ITodo vector de se puede expresar en combinación lineal de losvectores fundamentales ,Sea pero de donde: =A los números , se denominan componentes escalares de y losvectores se denomina componentes vectoriales del vector .En forma similar consideremos los vectores y enal cuál denotaremos así:Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen decoordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo alde los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.Todo vector de es decir: , puede expresarse comocombinación lineal de los vectoresfundamentales. En efecto:Ejemplo.- Expresar el vector como combinación lineal de losvectores y , siendo ,. 92

MATEMÁTICA BÁSICA I SoluciónPRODUCTO ESCALAR DE VECTORESEl producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dadopor la suma de los productos de sus componentes correspondientes.Es decir: SíSiEn general para se tiene:Ejemplo.- Sí y entonces -OBSERVACION.- El producto de dos vectores es un número real.PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESConsideremos tres y un número real cualquiera; entonces: 1) 93

MATEMÁTICA BÁSICA I 2) , y . Hallar 3) Solución 4) 5) 6)Ejemplo.- SíVECTORES PARALELOS Y ORTOGONALESa) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otrovector multiplicando por un número real, es decir: tal queEjemplo.- Sí , , entonces , tal queEjemplo.- Los vectores y no son paralelos porque , tal que 94

MATEMÁTICA BÁSICA IOBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, enefecto: , vector, , entonces: y son paralelos.CONSECUENCIA.- Si entonces , , ahora si y son diferentes de cero, se tiene de laigualdad. de donde ,Luego tenemos que:es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentescorrespondientes.Ejemplo.- Determinar si los vectores y sonparalelos. SoluciónSi debe existir proporcionalidad entre las componentescorrespondientes: . Luego y son paralelos.CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C soncolineales si y sólo si pertenecen a una misma recta. 95

MATEMÁTICA BÁSICA IPor lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos, .Ejemplo.- Determinar si los puntos y soncolineales. SoluciónLos puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generanvectores paralelosLuego los puntos A, B y C son colineales. b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente relación.Así por ejemplo, los vectores y son ortogonales,en efecto: …(1) (2)Comparando (1) y (2) se tiene: 96

MATEMÁTICA BÁSICA ISi los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por , es decir:INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DEVECTORES Como los vectores y son las diagonales del paralelogramos cuyos lados son y , entonces si los vectores y son ortogonales esto significa que el paralelogramos es un rectángulo, por lotanto sus diagonales son congruentes.Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es:TEOREMA.- Los vectores y son ortogonales sí y sólo sí Demostracióni) Si (por demostrar)Por hipótesis se tiene que y son ortogonales entonces (por definición de ortogonalidad). 97

MATEMÁTICA BÁSICA I desarrollando los cuadrados de la de donde Luego igualdad se tiene:ii) Si (por demostrar)ComoDe dondeEsta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales(por definición de ortogonalidad).Ejemplo.- Determinar cuáles de los pares de vectores dados sonortogonales. 1) entonces y son entonces y ortogonales. 2) 3) no son ortogonales.TEOREMA son ortogonales sí y solo síLos vectores 98

MATEMÁTICA BÁSICA IPROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTEConsideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulorectángulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector(donde ) paralelo al vector de modo que los lados del triánguloquedará representado así:Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , dondeComo o lo que es lo mismo entonces . , de donde es el único número real, como ,significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector tendrá porcatetos a los vectores: ; En consecuencia: al vectorque es paralelo al vector , llamaremos proyección ortogonal del vectorsobre el vector .Al vector expresaremos en la forma siguiente: , dedonde es el vector unitario en la dirección del vector , en tanto que elnúmero es la longitud dirigida del vector proyección, al númerollamaremos componente del vector en la dirección del vector . 99

MATEMÁTICA BÁSICA IDEFINICIONES i) Sean y dos vectores, donde , definimos la proyección ortogonal del vector sobre el vector y los representamos del modo siguiente: ii) Sean y dos vectores, donde , al número que es la longitud dirigida del vector le llamaremos la componente del vector en la dirección del vector y denotaremos así:RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTEConsideremos dos vectores y donde por definición sabemosque:Al vector expresaremos en la forma siguiente: , comoEntonces se tiene: 100